空間の双対性

序論

本章は、スキームに対する対応する章の類似物である。『スキームの双対性』節 0DWF を参照されたい。ここでの展開は、論文 [Neeman-Grothendieck], [LN], [Lipman-notes], [Neeman-improvement] における展開と同様である。

代数空間上の双対化複体

\(U\) を局所 Noether スキームとする。\(U\) の小エタール・サイト上の \(U\) の構造層を \(\mathcal{O}_\etale\) とする。『スキームの双対性』節 0A85 の意味でのある双対化複体 \(\omega_U^\bullet\) に対して \(K = \epsilon^*(\omega_U^\bullet)\) と書けるとき、対象 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) を \(U\) 上の双対化複体という。ここで \(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) は『空間の導来圏』補題 071Q の同値である。『スキームの双対性』節 0A85 で調べた \(\omega_U^\bullet\) の性質の大部分は、『空間の導来圏』節 071P および 08HC の議論を通じて \(K\) に受け継がれる。

局所 Noether 代数空間上の双対化複体を、エタール局所的に対応するスキーム上の双対化複体から来る複体として定義する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 代数空間とする。 \(K\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。次の条件は同値である。

\(U\) がスキームである任意のエタール射 \(U \to X\) に対して、制限 \(K|_U\) は \(U\) 上の双対化複体である（意味は上記のとおり）。

\(U\) がスキームである全射エタール射 \(U \to X\) で、 \(K|_U\) が \(U\) 上の双対化複体となるものが存在する。

証明

\(U\) がスキームである全射エタール射 \(U \to X\) を仮定する。 \(V\) がスキームであるエタール射 \(V \to X\) をとる。このとき \[U \leftarrow U \times_X V \rightarrow V\] はスキームのエタール射であり、\(V\) への射は全射である。したがって『スキームの双対性』補題 0E4N により、\(K|_U\) が \(U\) 上の双対化複体ならば、\(K|_V\) は \(V\) 上の双対化複体である。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 代数空間とする。 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象 \(K\) が補題 0E4Y の同値な条件を満たすとき、 \(K\) を 双対化複体という。

補題

\(A\) を Noether 環とし、\(X = \Spec(A)\) とする。 \(X\) の小エタール・サイト上の \(X\) の構造層を \(\mathcal{O}_\etale\) とする。\(K, L\) を \(D(A)\) の対象とする。 \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\) であり、かつ \(L\) の入射次元が有限ならば、 \[\epsilon^*\widetilde{R\Hom_A(K, L)} = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L})\] が \(D(\mathcal{O}_\etale)\) において成り立つ。ここで \(\epsilon : (X_\etale, \mathcal{O}_\etale) \to (X, \mathcal{O}_X)\) は『空間の導来圏』節 071P におけるものとする。

証明

『スキームの双対性』補題 0A88 により、標準同型 \[\widetilde{R\Hom_A(K, L)} = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{K}, \widetilde{L})\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在する。また、標準射 \[\epsilon^*R\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{K}, \widetilde{L}) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L})\] が \(D(\mathcal{O}_\etale)\) において存在する。『サイト上のコホモロジー』評注 08JF を参照されたい。この射の左辺と右辺のコホモロジー層が同型であることを示すが、その同型がこの射によって与えられることの検証は省略する。

\(L\) は入射 \(A\)-加群からなる有限複体 \(I^\bullet\) で与えられると仮定してよい。\(I^\bullet\) の長さに関する帰納法と、各構成の識別三角形との両立性により、\(I\) が入射 \(A\)-加群で \(L = I[0]\) である場合に帰着する。

\(R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L}))\) のコホモロジー層は、\(X\) 上エタールな \(U\) に対し、\(U_\etale\) への \(\epsilon^*\widetilde{K}\) と \(\epsilon^*\widetilde{L}\) の制限の間の第 \(i\) Ext 群を対応させる前層の層化であることを思い出そう。『サイト上のコホモロジー』補題 08JA を参照されたい。 \(U = \Spec(B)\) がアフィンなら、この Ext 群は、『空間の導来圏』補題 071Q と『スキームの導来圏』補題 06Z0 の同値により、 \(\text{Ext}^i_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\) に等しい（ここでは『空間の導来圏』評注 08GH に詳述された両立性も用いる）。\(A \to B\) はエタールなので、『双対化複体』補題 0E4F により、 \(I \otimes_A B\) は入射 \(B\)-加群である。したがって \[\begin{align*} \Ext^n_B(K \otimes_A B, I \otimes_A B) & = \Hom_B(H^{-n}(K \otimes_A B), I \otimes_A B) \\ & = \Hom_{A_f}(H^{-n}(K) \otimes_A B, I \otimes_A B) \\ & = \Hom_A(H^{-n}(K), I) \otimes_A B \\ & = \text{Ext}^n_A(K, I) \otimes_A B \end{align*}\] を得る。最後から二つ目の等号は、\(H^{-n}(K)\) が有限 \(A\)-加群であることによる。

『代数詳論』補題 087R を参照されたい。ゆえに、補題の等式の左辺と右辺のコホモロジー層は同じである。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 代数空間とする。 \(K\) を \(X\) 上の双対化複体とする。このとき \(K\) は \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の対象であり、 \(D = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(-, K)\) は反同値 \[D : D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] を誘導する。この反同値には標準同型 \(\text{id} \to D \circ D\) が備わる。\(X\) が準コンパクトなら、 \(D\) は \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) と \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を交換し、同値 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を誘導する。

証明

\(U\) がアフィンであるエタール射 \(U \to X\) をとる。 \(U = \Spec(A)\) と書き、補題 0E4Y および『スキームの双対性』補題 0A86 の意味で \(K|_U\) に対応する \(A\) の双対化複体を \(\omega_A^\bullet\) とする。補題 0E50 により、図式 \[\xymatrix{ D_{\textit{Coh}}(A) \ar[r] \ar[d]_{R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)} & D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_\etale) \ar[d]^{R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(-, K|_U)} \\ D_{\textit{Coh}}(A) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\etale) }\] は可換である。ここで \(\mathcal{O}_\etale\) は \(U\) の小エタール・サイト上の構造層である。\(R\SheafHom\) の形成は制限と可換なので、\(D\) は \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に送る。さらに、標準射 \[L \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, K), K)\] （『サイト上のコホモロジー』補題 0A97）は、 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の任意の \(L\) に対して同型である。実際、上記のすべての \(U\) 上でこれは『双対化複体』補題 0A7C により成り立つ。準コンパクトな場合の関手 \(D\) の有界性に関する主張も、『双対化複体』補題 0A7C の対応する主張から従う。

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) を環付きサイトとする。 \(D(\mathcal{O})\) の対象 \(L\) が可逆であるとは、導来テンソル積が

\(D(\mathcal{O}_X)\) に与える対称モノイド構造に関してその対象が可逆対象であることをいう。『サイト上のコホモロジー』補題 0FPY で見たように、これは \(L\) が完全であることを意味する。さらに \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)

が局所環付きサイトなら、\(\mathcal{C}\) の任意の対象 \(U\) に対し、ある整数 \(n_i\) について \(L|_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}[-n_i]\) となるような \(\mathcal{C}\) における \(U\) の被覆 \(\{U_i \to U\}\) が存在する。

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(D(\mathcal{O}_X)\) の \(L\) が可逆なら、非交和分解 \(X = \coprod_{n \in \mathbf{Z}} X_n\) であって、 \(L|_{X_n}\) が次数 \(n\) に置かれた可逆加群となるものが存在する。特に \(L = \bigoplus H^n(L)[-n]\) であり、これは \(L\) を表す \(\mathcal{O}_X\)-加群の明確に定まった複体（微分は零）を与える。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 代数空間とする。 \(K\) と \(K'\) が \(X\) 上の双対化複体なら、\(K'\) は、 \(D(\mathcal{O}_X)\) のある可逆対象 \(L\) に対する \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) と同型である。

証明

\[L = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, K')\] とおく。これは \(D(\mathcal{O}_X)\) の可逆対象である。実際、このことはアフィン局所的に成り立つ。補題 0E50 と『双対化複体』補題 0A7F およびその証明を用いよ。同じ理由により、評価写像 \(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \to K'\) は同型である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether かつ準分離な代数空間とする。\(\omega_X^\bullet\) を \(X\) 上の双対化複体とする。

このとき \(X\) について、次で定義される関数 \(|X| \to \mathbf{Z}\) \[\begin{aligned} x &\longmapsto \delta(x)\text{ であって } \\ &\omega_{X, \overline{x}}^\bullet[-\delta(x)] \\ &\text{ は次の環上の正規化双対化複体である：} \\ &\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \end{aligned}\] は \(|X|\) 上の次元関数である。

証明

\(U\) をスキームとし、\(U \to X\) を全射エタール射とする。 \(\omega_X^\bullet|_U\) に付随する \(U\) 上の双対化複体を \(\omega_U^\bullet\) とする。\(u \in U\) が \(x \in |X|\) に写るなら、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{U, u}\) の強 Hensel 化である。『双対化複体』補題 0AWD により、 \(\omega^\bullet\) が \(\mathcal{O}_{U, u}\) の正規化双対化複体なら、 \(\omega^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) の正規化双対化複体である。したがって、スキーム \(U\) と複体 \(\omega_U^\bullet\) に対する『スキームの双対性』補題 0AWF の次元関数 \(U \to \mathbf{Z}\) は、\(U \to |X|\) と \(\delta\) の合成に等しい。 \(|X|\) における特殊化は \(U\) における特殊化へ持ち上がり、 \(U\) における非自明な特殊化は \(X\) における非自明な特殊化へ写る（『良質な空間』補題 03IL および 03K5）ことを用いると、容易な位相的議論により \(\delta\) は \(|X|\) 上の次元関数であることが分かる。

順像の右随伴

これは『スキームの双対性』節 0A9D の類似物である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準分離かつ準コンパクトな代数空間の間の射とする。関手 \(Rf_* : D_\QCoh(X) \to D_\QCoh(Y)\) は右随伴をもつ。

証明

『導来圏』命題 0A8G の仮定を検証することにより、右随伴が存在することを証明する。まず、圏 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は直和をもつ。『空間の導来圏』補題 08F3 を参照されたい。また『空間の導来圏』定理 09IY により、圏 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) はコンパクト生成される。 \(X\) と \(Y\) は準コンパクトかつ準分離なので、\(f\) もそうである。『空間の射』補題 03KR および 03KS を参照されたい。したがって関手 \(Rf_*\) は直和と可換である。『空間の導来圏』補題 08FB を参照されたい。これで証明は完了する。

補題

記法と仮定は補題 0E55 のとおりとする。 \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を \(Rf_*\) の右随伴とする。このとき \(a\) は \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に写す。実際、ある整数 \(N\) が存在し、\(i \leq c\) に対して \(H^i(K) = 0\) ならば、\(i \leq c - N\) に対して \(H^i(a(K)) = 0\) となる。

証明

『空間の導来圏』補題 08FA により、関手 \(Rf_*\) のコホモロジー次元は有限である。言い換えると、ある整数 \(N\) が存在し、\(i \geq c\) に対して \(H^i(L) = 0\) ならば、 \(i \geq N + c\) に対して \(H^i(Rf_*L) = 0\) となる。 \(K \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) が \(i \leq c\) に対して \(H^i(K) = 0\) を満たすとする。このとき、上で述べたことにより \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\tau_{\leq c - N}a(K), a(K)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*\tau_{\leq c - N}a(K), K) = 0\] である。明らかに、これは \(i \leq c - N\) に対して \(H^i(a(K)) = 0\) であることを含意する。

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準分離かつ準コンパクトな代数空間の射とする。 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴を \(a\) と書く。任意の \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) と \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して、標準射 [0E57]\[\begin{equation} Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K) \end{equation}\] を得る。すなわち、この射は合成 \[\begin{aligned} Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) &\to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, Rf_*a(K)) \\ &\to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K) \end{aligned}\] として構成される。ここで最初の矢印は『サイト上のコホモロジー』評注 0B6D のものであり、二番目の矢印は随伴の余単位 \(Rf_*a(K) \to K\) である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の射とする。 \(a\) を \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴とする。 \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) および \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) とする。このとき、写像 (0E57) \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] は、『空間の導来圏』節 0CR3 で論じた関手 \(DQ_Y : D(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を適用すると同型になる。

証明

『空間の導来圏』補題 0CR4 により \(DQ_Y\) が存在するので、この主張には意味がある。\(DQ_Y\) は包含関手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴なので、補題を証明するには、任意の \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に対して、

写像 (0E57) が全単射 \[\Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \longrightarrow \Hom_Y(M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K))\] を誘導することを示せばよい。このために、次の等式列を用いる： \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) & = \Hom_X(Lf^*M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \\ & = \Hom_X(Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, a(K)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), K) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L, K) \\ & = \Hom_Y(M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)) \end{align*}\] 最初の等号は『サイト上のコホモロジー』補題 07A6 による。

二番目の等号は『サイト上のコホモロジー』補題 08J9 による。三番目の等号は \(a\) の構成による。四番目の等号は『空間の導来圏』補題 08IN による（これが重要な段階である）。五番目の等号は『サイト上のコホモロジー』補題 08J9 による。

例

補題 0E58 の主張は、「コヒーレータ」\(DQ_Y\) を適用しなければ成り立たない。『スキームの双対性』例 0GEU を参照されたい。

注意

補題 0E58 の状況では、『空間の導来圏』補題 0CR5 により \[DQ_Y(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) = Rf_* DQ_X(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)))\] である。したがって \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))\allowbreak \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) なら、矢印の左辺にある \(DQ_Y\) を「消去」できる。一方、 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\allowbreak \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) であることが分かっていれば、矢印の右辺から \(DQ_Y\) を「消去」できる。両方が成り立つなら、(0E57) は同型である。これと『空間の導来圏』補題 0A8A を組み合わせると、次のいずれかの場合に \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))\allowbreak \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\) は同型であることが分かる。

\(L\) と \(Rf_*L\) が完全である。

\(K\) が下に有界であり、\(L\) と \(Rf_*L\) が擬連接である。

(2) では、補題 0E56 により、 \(K\) が下に有界なら \(a(K)\) も下に有界であることを用いる。

例

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の Noether 代数空間の固有射とし、 \(L \in D^-_{\textit{Coh}}(X)\) および \(K \in D^+_{\QCoh}(\mathcal{O}_Y)\) とする。このとき写像 \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\) は同型である。実際、『空間の導来圏』補題 08IK および 08GK により、複体 \(L\) と \(Rf_*L\) は擬連接であり、評注 0GG4 の議論を適用できる。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準分離かつ準コンパクトな代数空間の射とする。すべての \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) と \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に対して、 (0E57) は大域導来 Hom の同型 \(R\Hom_X(L, a(K))\allowbreak \to R\Hom_Y(Rf_*L, K)\) を誘導する。

証明

構成により（『サイト上のコホモロジー』節 0B6E）、複体 \[\begin{aligned} R\Hom_X(L, a(K)) &= R\Gamma(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \\ &= R\Gamma(Y, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \end{aligned}\] および \[R\Hom_Y(Rf_*L, K) = R\Gamma(Y, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(Rf_*L, a(K)))\] を得る。したがって補題は補題 0E58 の帰結である。すなわち、\(D(\mathcal{O}_Y)\) の写像 \(E \to E'\) が同型 \(DQ_Y(E) \to DQ_Y(E')\) を誘導するなら、大域切断上で準同型 \(R\Gamma(Y, E) \to R\Gamma(Y, E')\) を誘導する。実際、 \(\mathcal{O}_Y[-i]\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に属し、\(DQ_Y\) は包含関手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴である。したがって

\(\begin{aligned} &H^i(Y, E) = \Ext^i_Y(\mathcal{O}_Y, E) \\ &= \Hom(\mathcal{O}_Y[-i], E) \\ &= \Hom(\mathcal{O}_Y[-i], DQ_Y(E)) \end{aligned}\) である。

順像の右随伴と基底変換 I

順像の右随伴の間の基底変換写像を定義しよう。 \(S\) をスキームとする。Cartesian 図式 [0E5B]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y } } \end{equation}\] を考える。ここで \(Y'\) と \(X\) は \(Y\) 上 Tor 独立である。 \(Rf_*\) と \(Rf'_*\) の右随伴（補題 0E55）をそれぞれ \[a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \quad\text{および}\quad a' : D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\] と書く。『サイト上のコホモロジー』評注 07A7 の基底変換写像は、準連接コホモロジーをもつ層の導来圏上の関手の変換 \[Lg^* \circ Rf_* \longrightarrow Rf'_* \circ L(g')^*\] を与える。したがって、反対向きの右随伴の間の変換 \[a \circ Rg_* \longleftarrow Rg'_* \circ a'\] を得る。

補題

図式 (0E5B) において、写像 \(a \circ Rg_* \leftarrow Rg'_* \circ a'\) は同型である。

証明

『空間の導来圏』補題 08IR により、 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の任意の \(K\) に対して、基底変換写像 \(Lg^* \circ Rf_* K \to Rf'_* \circ L(g')^*K\) は同型である（ここで Tor 独立性の仮定を用いる）。したがって、対応する随伴関手間の変換も同型である。

そこで、次の合成で与えられる関手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) の射を考えることができる： [0E5D]\[\begin{equation} L(g')^* \circ a \to L(g')^* \circ a \circ Rg_* \circ Lg^* \leftarrow L(g')^* \circ Rg'_* \circ a' \circ Lg^* \to a' \circ Lg^*. \end{equation}\] 最初の矢印は随伴写像 \(\text{id} \to Rg_* Lg^*\) から来て、最後の矢印は随伴写像 \(L(g')^*Rg'_* \to \text{id}\) から来る。中央の矢印を逆にするには Tor 独立性の仮定が必要である。補題 0E5C を参照されたい。別の見方をすると、\(L(g')^*\) と \(R(g')_*\) の随伴性により、 (0E5D) は自然変換 \[a \to a \circ Rg_* \circ Lg^* \leftarrow Rg'_* \circ a' \circ Lg^*\] と考えられる。ここでも二番目の矢印は可逆である。 \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) および \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) なら、Yoneda 関手上でこの写像は \[\begin{align*} \Hom_X(M, a(K)) & = \Hom_Y(Rf_*M, K) \\ & \to \Hom_Y(Rf_*M, Rg_* Lg^*K) \\ & = \Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K) \\ & \leftarrow \Hom_{Y'}(Rf'_* L(g')^*M, Lg^*K) \\ & = \Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) \\ & = \Hom_X(M, Rg'_*a'(Lg^*K)) \end{align*}\] で与えられる（左向きの矢印は『空間の導来圏』補題 08IR の基底変換定理により可逆である）。この表示の方が多少明示的である。

本節ではまず、この基底変換写像が、通常の基底変換写像についての『サイト上のコホモロジー』評注 0E46 および 0E47 と同様に、正方形を積み重ねることに関するいくつかの自然な両立性を満たすことを証明する。初読では本節の残りを飛ばすことを勧める。

補題

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^m & Z }\] を考える。両方の正方形は Cartesian であり、\(f\) と \(l\)、および \(g\) と \(m\) は Tor 独立であるとする。このとき、二つの正方形に対する写像 (0E5D) の合成は、外側の長方形に対する基底変換写像を与える（正確な主張については証明を参照されたい）。

証明

仮定から \(g \circ f\) と \(m\) は Tor 独立である（詳細は省略する）ので、この主張には意味がある。この証明では \(Lk^*\) の代わりに \(k^*\)、\(Rf_*\) の代わりに \(f_*\) と書く。補題 0E55 による \(f\), \(g\), \(g \circ f\) の右随伴を \(a\), \(b\), \(c\) とし、プライム付きの場合も同様に書く。上の正方形に対応する矢印は合成 \[\gamma_{top} : k^* \circ a \to k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \xleftarrow{\xi_{top}} k^* \circ k_* \circ a' \circ l^* \to a' \circ l^*\] である。ここで \(\xi_{top} : k_* \circ a' \to a \circ l_*\) は同型（したがって逆にできる）であり、基底変換写像 \(l^* \circ f_* \to f'_* \circ k^*\) に「双対」な矢印である。外側の矢印は標準写像 \(1 \to l_* \circ l^*\) および \(k^* \circ k_* \to 1\) から来る。同様に、下の正方形については \[\gamma_{bot} : l^* \circ b \to l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{bot}} l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \to b' \circ m^*\] を得る。外側の長方形については \[\gamma_{rect} : k^* \circ c \to k^* \circ c \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{rect}} k^* \circ k_* \circ c' \circ m^* \to c' \circ m^*\] を得る。\((g \circ f)_* = g_* \circ f_*\) であるから \(c = a \circ b\) であり、同様に \(c' = a' \circ b'\) である。補題の主張は、\(\gamma_{rect}\) が合成 \[k^* \circ c = k^* \circ a \circ b \xrightarrow{\gamma_{top}} a' \circ l^* \circ b \xrightarrow{\gamma_{bot}} a' \circ b' \circ m^* = c' \circ m^*\] に等しいということである。これを見るため、次の図式を考える： \[\xymatrix@C=.8em{ & & k^* \circ a \circ b \ar[d] \ar[lldd] \\ & & k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \circ b \ar[ld] \\ k^* \circ a \circ b \circ m_* \circ m^* \ar[r] & k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* & k^* \circ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \ar[u]_{\xi_{top}} \ar[d] \ar[ld] \\ & k^*\circ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \ar[u]_{\xi_{top}} \ar[rd] & a' \circ l^* \circ b \ar[d] \\ k^* \circ k_* \circ a' \circ b' \circ m^* \ar[uu]_{\xi_{rect}} \ar[ddrr] & k^*\circ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[l] \ar[dr] & a' \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \\ & & a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[d] \\ & & a' \circ b' \circ m^* }\] 右辺を下ると上記の合成が得られ、左辺を下ると \(\gamma_{rect}\) が得られる。この図式の右辺にあるすべての四辺形は、『圏』補題 003F、またはより直接には『圏』定義 003E に先立つ議論により可換である。したがって、図式 \[\xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* & a \circ b \circ m_* \ar[l] \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \ar[u]_{\xi_{top}} & \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[r] & k_* \circ a' \circ b' \ar[uu]_{\xi_{rect}} }\] が、矢印 \(\xi_{top}\), \(\xi_{bot}\), \(\xi_{rect}\) を逆にすると可換になることを示せば十分である（これは、この図式そのものが可換であると要求することとは異なる）。ところが図式 \[\xymatrix{ & a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* \\ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[ru]^{\xi_{bot}} & & k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \ar[ul]_{\xi_{top}} \\ & k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[ul]^{\xi_{top}} \ar[ur]_{\xi_{bot}} }\] は『圏』補題 003F により可換である。次の二つの図式も可換であり（上記の参考文献を参照）、

\[\vcenter{ \xymatrix@C=.8em{ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* & a \circ b \circ m \ar[l] \\ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u] & a \circ l_* \circ b' \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{および}\quad \vcenter{ \xymatrix@C=.8em{ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[r] & a \circ l_* \circ b' \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u] \ar[r] & k_* \circ a' \circ b' \ar[u] } }\] \(l_* \to l_* \circ l^* \circ l_* \to l_*\) の合成は恒等写像なので、

\[k \circ a' \circ b' \xrightarrow{\xi_{bot}} a \circ l_* \circ b \xrightarrow{\xi_{top}} a \circ b \circ m_*\] が \(\xi_{rect}\) に等しいことを証明すれば十分である（同一視 \(a \circ b = c\) および \(a' \circ b' = c'\) を介して）。これは『サイト上のコホモロジー』評注 0E46 に双対な主張であり、証明は完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{h'} & Y' \ar[r]^h & Y }\] を考える。両方の正方形は Cartesian であり、\(f\) と \(h\)、および \(f'\) と \(h'\) は Tor 独立であるとする。このとき、二つの正方形に対する写像 (0E5D) の合成は、外側の長方形に対する基底変換写像を与える（正確な主張については証明を参照されたい）。

証明

仮定から \(f\) と \(h \circ h'\) は Tor 独立である（詳細は省略する）ので、この主張には意味がある。この証明では \(Lg^*\) の代わりに \(g^*\)、\(Rf_*\) の代わりに \(f_*\) と書く。補題 0E55 による \(f\), \(f'\), \(f''\) の右随伴を \(a\), \(a'\), \(a''\) とする。右の正方形に対応する矢印は合成 \[\gamma_{right} : g^* \circ a \to g^* \circ a \circ h_* \circ h^* \xleftarrow{\xi_{right}} g^* \circ g_* \circ a' \circ h^* \to a' \circ h^*\] である。ここで \(\xi_{right} : g_* \circ a' \to a \circ h_*\) は同型（したがって逆にできる）であり、基底変換写像 \(h^* \circ f_* \to f'_* \circ g^*\) に「双対」な矢印である。外側の矢印は標準写像 \(1 \to h_* \circ h^*\) および \(g^* \circ g_* \to 1\) から来る。同様に、左の正方形については \[\gamma_{left} : (g')^* \circ a' \to (g')^* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \xleftarrow{\xi_{left}} (g')^* \circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \to a'' \circ (h')^*\] を得る。外側の長方形については \[\gamma_{rect} : k^* \circ a \to k^* \circ a \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{rect}} k^* \circ k_* \circ a'' \circ m^* \to a'' \circ m^*\] を得る。ここで \(k = g \circ g'\) および \(m = h \circ h'\) である。 \(k^* = (g')^* \circ g^*\) および \(m^* = (h')^* \circ h^*\) である。補題の主張は、\(\gamma_{rect}\) が合成 \[k^* \circ a = (g')^* \circ g^* \circ a \xrightarrow{\gamma_{right}} (g')^* \circ a' \circ h^* \xrightarrow{\gamma_{left}} a'' \circ (h')^* \circ h^* = a'' \circ m^*\] に等しいということである。これを見るため、次の図式を考える： \[\xymatrix{ & (g')^* \circ g^* \circ a \ar[d] \ar[ddl] \\ & (g')^* \circ g^* \circ a \circ h_* \circ h^* \ar[ld] \\ (g')^* \circ g^* \circ a \circ h_* \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* & (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ a' \circ h^* \ar[u]_{\xi_{right}} \ar[d] \ar[ld] \\ (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{right}} \ar[dr] & (g')^* \circ a' \circ h^* \ar[d] \\ (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{left}} \ar[ddr] \ar[dr] & (g')^* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* \\ & (g')^*\circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{left}} \ar[d] \\ & a'' \circ (h')^* \circ h^* }\] 右辺を下ると上記の合成が得られ、左辺を下ると \(\gamma_{rect}\) が得られる。この図式の右辺にあるすべての四辺形は、『圏』補題 003F、またはより直接には『圏』定義 003E に先立つ議論により可換である。したがって \[g_* \circ (g')_* \circ a'' \xrightarrow{\xi_{left}} g_* \circ a' \circ (h')_* \xrightarrow{\xi_{right}} a \circ h_* \circ (h')_*\] が \(\xi_{rect}\) に等しいことを示せば十分である。これは『コホモロジー』評注 0ATM に双対な主張であり、証明は完了する。

注意

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{k'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{l'} \ar[d]_{g''} & Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z'' \ar[r]^{m'} & Z' \ar[r]^m & Z }\] を考える。すべての正方形は Cartesian であり、 \((f, l)\), \((g, m)\), \((f', l')\), \((g', m')\) は Tor 独立な射の組であるとする。補題 0E55 による \(f\), \(f'\), \(f''\), \(g\), \(g'\), \(g''\) の右随伴をそれぞれ \(a\), \(a'\), \(a''\), \(b\), \(b'\), \(b''\) とする。図式の正方形を次のように \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) と名付ける： \[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\] 各正方形に対する写像 (0E5D) は（ここでは \(k^* = Lk^*\) などと書く） \[\begin{matrix} \gamma_A : (k')^* \circ a' \to a'' \circ (l')^* & \gamma_B : k^* \circ a \to a' \circ l^* \\ \gamma_C : (l')^* \circ b' \to b'' \circ (m')^* & \gamma_D : l^* \circ b \to b' \circ m^* \end{matrix}\] である。\(2 \times 1\) および \(1 \times 2\) の長方形に対しては、さらに四つの基底変換写像 \[\begin{matrix} \gamma_{A + B} : (k \circ k')^* \circ a \to a'' \circ (l \circ l')^* \\ \gamma_{C + D} : (l \circ l')^* \circ b \to b'' \circ (m \circ m')^* \\ \gamma_{A + C} : (k')^* \circ (a' \circ b') \to (a'' \circ b'') \circ (m')^* \\ \gamma_{A + C} : k^* \circ (a \circ b) \to (a' \circ b') \circ m^* \end{matrix}\] がある。補題 0E5F により \[\gamma_{A + B} = \gamma_A \circ \gamma_B, \quad \gamma_{C + D} = \gamma_C \circ \gamma_D\] であり、補題 0E5E により \[\gamma_{A + C} = \gamma_C \circ \gamma_A, \quad \gamma_{B + D} = \gamma_D \circ \gamma_B\] である。ここで、より正確には、『圏』節 003D の記法を用いて \(\gamma_{A + B} = (\gamma_A \star \text{id}_{l^*}) \circ (\text{id}_{(k')^*} \star \gamma_B)\) と書くべきであり、他についても同様である。しかし、補題 0E5E および 0E5F の証明で用いた記法の濫用、すなわち恒等変換との \(\star\) 積を省略する慣行を続ける。変換の始域と終域が分かっていれば、どれを補うべきか判別できるからである。

以上を踏まえると、（先験的には）二つの変換 \[(k')^* \circ k^* \circ a \circ b \longrightarrow a'' \circ b'' \circ (m')^* \circ m^*\] を得る。すなわち \[\gamma_C \circ \gamma_A \circ \gamma_D \circ \gamma_B = \gamma_{A + C} \circ \gamma_{B + D}\] および \[\gamma_C \circ \gamma_D \circ \gamma_A \circ \gamma_B = \gamma_{C + D} \circ \gamma_{A + B}\] である。この評注の要点は、これらの変換が等しいことを指摘することにある。実際、そのためには \[\xymatrix{ (k')^* \circ a' \circ l^* \circ b \ar[r]_{\gamma_D} \ar[d]_{\gamma_A} & (k')^* \circ a' \circ b' \circ m^* \ar[d]^{\gamma_A} \\ a'' \circ (l')^* \circ l^* \circ b \ar[r]^{\gamma_D} & a'' \circ (l')^* \circ b' \circ m^* }\] が可換であることを示せば十分である。これは『圏』補題 003F、またはより直接には『圏』定義 003E に先立つ議論により成り立つ。

順像の右随伴と基底変換 II

本節では、節 0E5A の基底変換写像がいくつかの場合に同型であることを証明する。

補題

図式 (0E5B) において、さらに \(g : Y' \to Y\) がアフィン・スキームの射であり、 \(f : X \to Y\) が固有であると仮定する。このとき基底変換写像 (0E5D) は、次の場合に同型 \[L(g')^*a(K) \longrightarrow a'(Lg^*K)\] を誘導する。

\(f\) が有限表示平坦なら、すべての \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して。

\(f\) が完全で \(Y\) が Noether なら、すべての \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して。

\(g\) の Tor 次元が有限で \(Y\) が Noether なら、 \(K \in D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) に対して。

証明

\(Y = \Spec(A)\) および \(Y' = \Spec(A')\) と書く。アフィン射の基底変換なので、射 \(g'\) はアフィンである。 \(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の完全生成対象とする。『空間の導来圏』定理 09IY を参照されたい。このとき \(L(g')^*M\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) の生成対象である。『空間の導来圏』評注 0E4R を参照されたい。したがって、(0E5D) が大域 Hom 複体の同型 [0E5J]\[\begin{equation} R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*a(K)) \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) \end{equation}\] を誘導することを示せば十分である。『サイト上のコホモロジー』節 0B6E を参照されたい。実際、これにより \(L(g')^*a(K) \to a'(Lg^*K)\) の錐が零であることが従う。証明の構成は次のとおりである。まずこれらの Hom 複体が同型であることを示し、証明の最後の部分で、その同型が (0E5J) により誘導されることを示す。

左辺について考える。\(M\) は完全なので、標準写像 \[R\Hom_X(M, a(K)) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*a(K))\] は『空間の導来圏』補題 0E4S により同型である。これと補題 0E59 の同型 \(R\Hom_Y(Rf_*M, K) = R\Hom_X(M, a(K))\) を組み合わせると、左辺は \(R\Hom_Y(Rf_*M, K) \otimes^\mathbf{L}_A A'\) に等しい。

右辺について考える。まず補題 0E59 の同型 \[R\Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) = R\Hom_{Y'}(Rf'_*L(g')^*M, Lg^*K)\] を用いる。\(f\) と \(g\) は Tor 独立なので、次の基底変換写像を考える。

\(Lg^*Rf_*M \to Rf'_*L(g')^*M\)。これは『空間の導来圏』補題 08IR により同型である。したがって、これを \(R\Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M,\allowbreak Lg^*K)\) と書き換えられる。 \(Y\), \(Y'\) はアフィンであり、\(K\), \(Rf_*M\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に属する（『空間の導来圏』補題 08FA）ので、 \(D(A')\) における標準写像 \[\beta : R\Hom_Y(Rf_*M, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K)\] がある。これは『代数詳論』式 (0E1X) の矢印である。ここでは『スキームの導来圏』補題 06Z0 および 0A6H を用いて、代数との間を行き来した。

\(f\) が平坦かつ有限表示なら、『空間の導来圏』補題 0CTM により複体 \(Rf_*M\) は \(Y\) 上完全であり、『代数詳論』補題 0A6A の (1) により \(\beta\) は同型である。

\(f\) が完全で \(Y\) が Noether なら、『空間の射詳論』補題 0E4U により複体 \(Rf_*M\) は \(Y\) 上完全であり、先ほどと同様に \(\beta\) は同型である。

\(g\) の Tor 次元が有限で \(Y\) が Noether なら、『空間の導来圏』補題 08GK および 08IK により複体 \(Rf_*M\) は \(Y\) 上擬連接であり、『代数詳論』補題 0A6A の (4) により \(\beta\) は同型である。

前段落と同じ答えが得られた。

証明の残りでは、第二、第三段落で与えた (0E5J) の左辺と右辺の同一視が、実際に (0E5J) により与えられることを示す。式を扱いやすくするため、\((-, -)_X = R\Hom_X(-, -)\)、 \(- \otimes_A^\mathbf{L} A'\) の代わりに \(- \otimes A'\)、

\(g^* = Lg^*\) および \(f_* = Rf_*\) と略記する。次の可換図式を考える： \[\xymatrix@C=.4em{ ((g')^*M, (g')^*a(K))_{X'} \ar[d] & (M, a(K))_X \otimes A' \ar[l]^-\alpha \ar[d] & (f_*M, K)_Y \otimes A' \ar@{=}[l] \ar[d] \\ ((g')^*M, (g')^*a(g_*g^*K))_{X'} & (M, a(g_*g^*K))_X \otimes A' \ar[l]^-\alpha & (f_*M, g_*g^*K)_Y \otimes A' \ar@{=}[l] \ar@/_4pc/[dd]_{\mu'} \\ ((g')^*M, (g')^*g'_*a'(g^*K))_{X'} \ar[u] \ar[d] & (M, g'_*a'(g^*K))_X \otimes A' \ar[u] \ar[l]^-\alpha \ar[ld]^\mu & (f_*M, K) \otimes A' \ar[d]^\beta \\ ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'} & (f'_*(g')^*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \ar[r] & (g^*f_*M, g^*K)_{Y'} }\] \(\alpha\) と記した矢印は、角が \(X', X, Y', Y\) である図式に対する『空間の導来圏』補題 0E4S の写像である。水平矢印は各変数について関手的なので、図式の上部は可換である。中央の垂直矢印は、補題 0E5C の可逆変換 \(g'_* \circ a' \to a \circ g_*\) から来る。したがって中央の正方形は可換である。左辺を下る写像が (0E5J) である。上の水平矢印は、証明の第二段落で用いた同一視を与える。 \(\beta\) を含む下の水平矢印は、証明の第三段落で用いた同一視を与える。 \(E \in D(A)\), \(E' \in D(A')\) および \(D(A)\) における \(c : E \to E'\) が与えられたとき、忘却と基底変換の随伴性により \(c\) から誘導される写像を \(\mu_c : E \otimes A' \to E'\) と書く。 \(c\) が明らかなら \(\mu = \mu_c\) と書き、記法から \(c\) を省く。図式中の \(\mu\) は、この形の写像であり、

同一視 \((M, g'_*a(g^*K))_X = ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'}\) によって \(c\) が与えられる。\(\mu\) を含む三角形は『空間の導来圏』評注 0E4T により可換である。

次の図式が可換であることに注意する： \[\xymatrix{ (M, a(g_*g^*K))_X & (f_*M, g_* g^*K)_Y \ar@{=}[l] & (g^*f_*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \\ (M, g'_* a'(g^*K))_X \ar[u] & ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'} \ar@{=}[l] & (f'_*(g')^*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \ar[u] }\] これは変換 \(g'_* \circ a' \to a \circ g_*\) の定義そのものによる。上記と同様に、同一視

\((f_*M, g_*g^*K)_X = (g^*f_*M, g^*K)_{Y'}\) に対応する写像を \(\mu'\) とすると、六角形も可換である。したがって、 \(\beta\) が

\((f_*M, K)_Y \otimes A' \to (f_*M, g_*g^*K)_X \otimes A'\) と \(\mu'\) の合成に等しいことを示せば十分である。そのためには、誘導される二つの写像 \((f_*M, K)_Y \to (g^*f_*M, g^*K)_{Y'}\) が同じであることを示せばよい。言い換えると、すべての \(E, K \in D(A)\) に対して図式 \[\xymatrix@C=.8em{ R\Hom_A(E, K) \ar[rr]_{\beta\text{ により誘導}} \ar[rd] & & R\Hom_{A'}(E \otimes_A^\mathbf{L} A', K \otimes_A^\mathbf{L} A') \\ & R\Hom_A(E, K \otimes_A^\mathbf{L} A') \ar[ru] }\] が可換であることを示せば十分である。これは『代数詳論』節 0E1V における \(\beta\) の構成そのものなので、証明は完了する。

順像の右随伴とトレース写像

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の射とする。 \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を、補題 0E55 における右随伴とする。『圏』節 0036 により、関手の変換 \[\text{Tr}_f : Rf_* \circ a \longrightarrow \text{id}\] を得る。\(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に対する対応する写像 \(\text{Tr}_{f, K} : Rf_*a(K) \longrightarrow K\) を、しばしば トレース写像という。この写像は、右随伴を特徴付ける全単射 \[\Hom_X(L, a(K)) \longrightarrow \Hom_Y(Rf_*L, K)\] が、\(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して \[\varphi \longmapsto \text{Tr}_{f, K} \circ Rf_*\varphi\] で与えられるという性質をもつ。標準写像 (0E57) \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] は \(\text{Tr}_{f, K}\) との合成により生じる。本節で考えるすべてのトレース写像は、このトレース写像の特殊な場合である。いくつかの特殊な場合を論じる前に、トレース写像の形成が基底変換と可換することを示す。

補題

図式 (0E5B) が与えられているとする。このとき、写像 \(1 \star \text{Tr}_f : Lg^* \circ Rf_* \circ a \to Lg^*\) および \(\text{Tr}_{f'} \star 1 : Rf'_* \circ a' \circ Lg^* \to Lg^*\) は、基底変換写像 \(\beta : Lg^* \circ Rf_* \to Rf'_* \circ L(g')^*\) （『サイト上のコホモロジー』評注 07A7）および \(\alpha : L(g')^* \circ a \to a' \circ Lg^*\) （(0E5D)）を介して一致する。より正確には、関手の変換の図式 \[\xymatrix{ Lg^* \circ Rf_* \circ a \ar[d]_{\beta \star 1} \ar[r]_-{1 \star \text{Tr}_f} & Lg^* \\ Rf'_* \circ L(g')^* \circ a \ar[r]^{1 \star \alpha} & Rf'_* \circ a' \circ Lg^* \ar[u]_{\text{Tr}_{f'} \star 1} }\] は可換である。

証明

この証明では \(Rf_*\) の代わりに \(f_*\)、\(Lg^*\) の代わりに \(g^*\) と書き、恒等変換との \(\star\) 積を省略する。変換の始域と終域が分かっていれば、どれを補うべきか判別できるからである。 \(\beta : g^* \circ f_* \to f'_* \circ (g')^*\) は同型であり、 \(\alpha\) は \(\beta\) の随伴である同型 \(\beta^\vee : g'_* \circ a' \to a \circ g_*\) を用いて定義されることを思い出そう。補題 0E5C とその証明を参照されたい。まず、補題の図式の上の水平矢印は合成 \[g^* \circ f_* \circ a \to g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \circ g^* \to g^* \circ g_* \circ g^* \to g^*\] に等しいことに注意する。ここで最初の矢印は \((g^*, g_*)\) の単位、二番目の矢印は \(\text{Tr}_f\)、三番目の矢印は \((g^*, g_*)\) の余単位である。これは、単位と余単位の合成 \(g^* \to g^* \circ g_* \circ g^* \to g^*\) が恒等写像であることの簡単な帰結である。図式 \[\xymatrix@C=.3em{ & g^* \circ f_* \circ a \ar[ld]_\beta \ar[d] \ar[r]_{\text{Tr}_f} & g^* \\ f'_* \circ (g')^* \circ a \ar[dr] & g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \circ g^* \ar[d]_\beta \ar[ru] & g^* \circ f_* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \ar[l]_{\beta^\vee} \ar[d]_\beta & f'_* \circ a' \circ g^* \ar[lu]_{\text{Tr}_{f'}} \\ & f'_* \circ (g')^* \circ a \circ g_* \circ g^* & f'_* \circ (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \ar[ru] \ar[l]_{\beta^\vee} }\] を考える。この図式の二つの正方形は、『圏』補題 003F、またはより直接には『圏』定義 003E に先立つ議論により可換である。三角形は上の議論により可換である。『圏』補題 0B65 により、正方形 \[\xymatrix{ g^* \circ f_* \circ g'_* \circ a' \ar[d]_{\beta^\vee} \ar[r]_-\beta & f'_* \circ (g')^* \circ g'_* \circ a' \ar[d] \\ g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \ar[r] & \text{id} }\] は可換であり、これは大きな図式の五角形が可換であることを含意する。 \(\beta\) と \(\beta^\vee\) は同型であり、また大きな図式の外周を進む合成は、

定義により \(\text{Tr}_f \circ \alpha \circ \beta\) に等しいので、補題が証明された。

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の射とする。 \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を、補題 0E55 における \(Rf_*\) の右随伴とする。『圏』節 0036 により、随伴の単位と呼ばれる関手の変換 \[\eta_f : \text{id} \to a \circ Rf_*\] を得る。

補題

図式 (0E5B) が与えられているとする。このとき、写像 \(1 \star \eta_f : L(g')^* \to L(g')^* \circ a \circ Rf_*\) および \(\eta_{f'} \star 1 : L(g')^* \to a' \circ Rf'_* \circ L(g')^*\) は、基底変換写像 \(\beta : Lg^* \circ Rf_* \to Rf'_* \circ L(g')^*\) （『サイト上のコホモロジー』評注 07A7）および \(\alpha : L(g')^* \circ a \to a' \circ Lg^*\) （(0E5D)）を介して一致する。より正確には、関手の変換の図式 \[\xymatrix{ L(g')^* \ar[r]_-{1 \star \eta_f} \ar[d]_{\eta_{f'} \star 1} & L(g')^* \circ a \circ Rf_* \ar[d]^\alpha \\ a' \circ Rf'_* \circ L(g')^* & a' \circ Lg^* \circ Rf_* \ar[l]_-\beta }\] は可換である。

証明

この証明は補題 0E5L の証明に双対である。この証明では \(Rf_*\) の代わりに \(f_*\)、\(Lg^*\) の代わりに \(g^*\) と書き、恒等変換との \(\star\) 積を省略する。変換の始域と終域が分かっていれば、どれを補うべきか判別できるからである。 \(\beta : g^* \circ f_* \to f'_* \circ (g')^*\) は同型であり、 \(\alpha\) は \(\beta\) の随伴である同型 \(\beta^\vee : g'_* \circ a' \to a \circ g_*\) を用いて定義されることを思い出そう。補題 0E5C とその証明を参照されたい。まず、補題の図式の左の垂直矢印は合成 \[(g')^* \to (g')^* \circ g'_* \circ (g')^* \to (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ f'_* \circ (g')^* \to a' \circ f'_* \circ (g')^*\] に等しいことに注意する。ここで最初の矢印は \(((g')^*, g'_*)\) の単位、二番目の矢印は \(\eta_{f'}\)、三番目の矢印は \(((g')^*, g'_*)\) の余単位である。これは、単位と余単位の合成 \((g')^* \to (g')^* \circ (g')_* \circ (g')^* \to (g')^*\) が恒等写像であることの簡単な帰結である。図式 \[\xymatrix{ & (g')^* \circ a \circ f_* \ar[r] & (g')^* \circ a \circ g_* \circ g^* \circ f_* \ar[ld]_\beta \\ (g')^* \ar[ru]^{\eta_f} \ar[dd]_{\eta_{f'}} \ar[rd] & (g')^* \circ a \circ g_* \circ f'_* \circ (g')^* & (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[u]_{\beta^\vee} \ar[ld]_\beta \ar[d] \\ & (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ f'_* \circ (g')^* \ar[ld] \ar[u]_{\beta^\vee} & a' \circ g^* \circ f_* \ar[lld]^\beta \\ a' \circ f'_* \circ (g')^* }\] を考える。この図式の二つの正方形は、『圏』補題 003F、またはより直接には『圏』定義 003E に先立つ議論により可換である。三角形は上の議論により可換である。『圏』補題 0B65 の双対により、正方形 \[\xymatrix{ \text{id} \ar[r] \ar[d] & g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[d]^\beta \\ g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[r]^{\beta^\vee} & a \circ g_* \circ f'_* \circ (g')^* }\] は可換であり、これは大きな図式の五角形が可換であることを含意する。 \(\beta\) と \(\beta^\vee\) は同型であり、また大きな図式の外周を進む合成は、定義により \(\beta \circ \alpha \circ \eta_f\) に等しいので、補題が証明された。

順像の右随伴と引戻し

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の射とする。 \(a\) を補題 0E55 における順像の右随伴とする。 \(K, L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に対して標準写像 \[Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L) \longrightarrow a(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} L)\] がある。すなわち、この写像は写像 \[Rf_*(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L)) = K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} Rf_*(a(L)) \longrightarrow K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} L\] の随伴である（等号は『空間の導来圏』補題 08IN による）。ここではトレース写像 \(Rf_*a(L) \to L\) を用いる。 \(L = \mathcal{O}_Y\) のとき、\(K\) について関手的で、識別三角形と両立する写像 [0E5P]\[\begin{equation} Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(\mathcal{O}_Y) \longrightarrow a(K) \end{equation}\] を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の射とする。上で \(K, L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に対して定義した写像 \(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L) \to a(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} L)\) は、\(K\) が完全なら同型である。特に、\(K\) が完全なら (0E5P) は同型である。

証明

\(K^\vee\) を \(K\) の「双対」とする。『サイト上のコホモロジー』補題 08JJ を参照されたい。 \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*M, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} L) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}( Rf_*M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} K^\vee, L) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}( M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*K^\vee, a(L)) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(M, Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L)) \end{align*}\] である。二番目の等号は \(a\) の定義と射影公式（『サイト上のコホモロジー』補題 0944）、またはより一般的な『空間の導来圏』補題 08IN による。したがって Yoneda の補題により主張が従う。

補題

図式 (0E5B) が与えられているとする。 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) とする。図式 \[\xymatrix{ L(g')^*(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] \ar[d] & L(g')^*a(K) \ar[d] \\ L(f')^*Lg^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} a'(\mathcal{O}_{Y'}) \ar[r] & a'(Lg^*K) }\] は可換である。ここで水平矢印は \(K\) と \(Lg^*K\) に対する写像 (0E5P) であり、垂直写像は『サイト上のコホモロジー』評注 07A7 および (0E5D) を用いて構成される。

証明

この証明では \(Rf_*\) の代わりに \(f_*\)、\(Lf^*\) の代わりに \(f^*\) などと書き、\(\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\) などの代わりに \(\otimes\) と書く。(0E5P) を合成 \[\begin{align*} f^*K \otimes a(\mathcal{O}_Y) & \to a(f_*(f^*K \otimes a(\mathcal{O}_Y))) \\ & \leftarrow a(K \otimes f_*a(\mathcal{O}_K)) \\ & \to a(K \otimes \mathcal{O}_Y) \\ & \to a(K) \end{align*}\] として書く。ここで最初の矢印は単位 \(\eta_f\)、二番目の矢印は『サイト上のコホモロジー』式 (0B56) に \(a\) を適用したものであり、これは『空間の導来圏』補題 08IN により同型である。三番目の矢印は \(\text{id}_K \otimes \text{Tr}_f\) に \(a\) を適用したもの、四番目の矢印は同型 \(K \otimes \mathcal{O}_Y = K\) に \(a\) を適用したものである。補題の証明は、これらの写像がそれぞれ補題の主張にある可換正方形を生じさせることを示すことからなる。\(\eta_f\) と \(\text{Tr}_f\) については、これは補題 0E5M および 0E5L である。『サイト上のコホモロジー』式 (0B56) を用いる矢印については、『サイト上のコホモロジー』評注 0E48 である。乗法写像については明らかである。これで証明は完了する。

固有平坦射に対する順像の右随伴

準コンパクトかつ準分離な代数空間の間の、固有、平坦かつ有限表示な射に対して、順像の右随伴はいくつかの顕著な性質をもつ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(Y\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間とする。 \(f : X \to Y\) を、固有、平坦かつ有限表示な代数空間の射とする。 \(a\) を、補題 0E55 の \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴とする。このとき \(a\) は直和と可換である。

証明

\(P\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象とする。『空間の導来圏』補題 0CTM により、複体 \(Rf_*P\) は \(Y\) 上完全である。 \(K_i\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の対象の族とする。このとき \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, a(\bigoplus K_i)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*P, \bigoplus K_i) \\ & = \bigoplus \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*P, K_i) \\ & = \bigoplus \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, a(K_i)) \end{align*}\] である。これは完全対象がコンパクトであることによる（『空間の導来圏』命題 09M8）。 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は完全生成対象をもつ（『空間の導来圏』定理 09IY）ので、写像 \(\bigoplus a(K_i) \to a(\bigoplus K_i)\) は同型である。すなわち \(a\) は直和と可換である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(Y\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間とする。 \(f : X \to Y\) を、固有、平坦かつ有限表示な代数空間の射とする。写像 (0E5P) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) のすべての対象 \(K\) に対して同型である。

証明

補題 0E5T により、\(a\) は直和と可換する。したがって、(0E5P) が同型となる \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の対象全体は、厳密充満、飽和、三角な \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の部分圏であり、さらに直和をとる操作で保たれる。 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は加群圏であり（『空間の導来圏』定理 09MC）、一つの完全対象により生成される（『空間の導来圏』定理 09IY）。したがって『代数詳論』評注 09PB と同様に論じることで、 (0E5P) が一つの完全対象に対して同型であることを示せば十分である。しかし、完全対象に対する結果は補題 0E5Q で既に成り立つ。

補題

\(Y\) をアフィン・スキームとする。 \(f : X \to Y\) を、固有、平坦かつ有限表示な代数空間の射とする。 \(a\) を、補題 0E55 の \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴とする。このとき

\(a(\mathcal{O}_Y)\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の \(Y\)-完全対象である。

\(Rf_*a(\mathcal{O}_Y)\) の正次数のコホモロジー層は消える。

\(\mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) は同型である。

証明

\(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象 \(E\) に対して \[\begin{align*} Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \omega_{X/Y}^\bullet) & = Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, \omega_{X/Y}^\bullet) \\ & = R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y) \\ & = (Rf_*E^\vee)^\vee \end{align*}\] である。最初の等号については『サイト上のコホモロジー』補題 08JJ を参照されたい。二番目の等号については、補題 0E58、評注 0GG4、および『空間の導来圏』補題 0CTM を参照されたい。三番目の等号は双対の定義である。特に、これらの参照結果は、得られた対象が \(D(\mathcal{O}_Y)\) の完全対象であることも示す。したがって『空間の射詳論』補題 0GFL により、\(\omega_{X/Y}^\bullet\) は \(Y\)-完全である。これで (1) が示された。

\(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の対象とする。このとき \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*a(\mathcal{O}_Y)) & = \Hom_X(Lf^*M, a(\mathcal{O}_Y)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*Lf^*M, \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \end{align*}\] である。最初の等号は『サイト上のコホモロジー』補題 07A6 による。二番目の等号は \(a\) の構成による。三番目の等号は『空間の導来圏』補題 08IN による。ある \(N\) に対して \(Rf_*\mathcal{O}_X\) は Tor 振幅 \([0, N]\) をもつ完全対象であることを思い出そう。『空間の導来圏』補題 0CTM を参照されたい。したがって \(Rf_*\mathcal{O}_X\) は、次数 \([0,N]\) に置かれた有限射影加群の複体で表せる（『代数詳論』補題 0658 と \(Y\) がアフィンであることを用いる）。ゆえに、ある \(i > 0\) に対して \(M = \mathcal{O}_Y[-i]\) なら、最後の群は零である。 \(Y\) はアフィンなので、\(i > 0\) に対して \(H^i(Rf_*a(\mathcal{O}_Y)) = 0\) である。これで (2) が示された。

\(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の完全対象とする。このとき \[\begin{align*} \begin{aligned} &\Hom_X(E, \\ &R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y)) \end{aligned} & = \begin{aligned} &\Hom_X(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y), \\ &a(\mathcal{O}_Y)) \end{aligned} \\ & = \begin{aligned} &\Hom_Y(Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)), \\ &\mathcal{O}_Y) \end{aligned} \\ & = \begin{aligned} &\Hom_Y(Rf_*(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, a(\mathcal{O}_Y))), \\ &\mathcal{O}_Y) \end{aligned} \\ & = \begin{aligned} &\Hom_Y(R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y), \\ &\mathcal{O}_Y) \end{aligned} \\ & = R\Gamma(Y, Rf_*E^\vee) \\ & = \Hom_X(E, \mathcal{O}_X) \end{align*}\] である。最初の等号は『サイト上のコホモロジー』補題 08J9 による。二番目の等号は \(a\) の定義である。三番目の等号は完全双対複体 \(E^\vee\) の構成から来る。『サイト上のコホモロジー』補題 08JJ を参照されたい。四番目の等号は、証明の最初の段落で示した等式 \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, \omega_{X/Y}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y)\) から従う。五番目の等号は完全複体の二重双対性（『サイト上のコホモロジー』補題 08JJ）と、『空間の導来圏』補題 0CTM によって \(Rf_*E\) が完全であることによる。最後の等号は \(f\) に対する Leray である。この等式列は本質的に、Yoneda の補題により (3) が成り立つことを示している。実際、『空間の導来圏』補題 0A8A により、対象 \(R\SheafHom(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属する。上で \(E = \mathcal{O}_X\) とすると、 \(\text{id}_{\mathcal{O}_X} \in \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) に対応する写像 \(\alpha : \mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) を得る。上のすべての同型は \(E\) について関手的なので、 \(\alpha\) の錐は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象 \(C\) であり、すべての完全 \(E\) に対して \(\Hom(E, C) = 0\) を満たす。完全対象は生成するので（『空間の導来圏』定理 09IY）、 \(\alpha\) は同型である。

固有平坦射に対する相対双対化複体

『スキームの双対性』第 0E4H 節および 0E2S 節と、第 0E5S 節の内容に動機づけられて、次の定義を与える。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の間の固有かつ平坦な有限表示射とする。 \(X/Y\) の 相対双対化複体とは、 \(D(\mathcal{O}_X)\) の \(Y\)-完全対象 \(\omega_{X/Y}^\bullet\) と写像 \[\tau : Rf_*\omega_{X/Y}^\bullet \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] からなる対 \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) であって、任意のデカルト正方形 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] に対し、\(Y'\) がアフィンスキームならば、対 \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau)\) が、第 0E54、 0E5A、 0E5H、 0E5K、 0E5N、および 0E5S 節で考察した対 \((a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\) と同型になるものをいう。

ここでいくつか注意しておくべきことがある。

定義 0E5X では、 \(\omega_{X/Y}^\bullet\) が \(Y\)-完全であるという仮定を省いてよい。実際、\(Y'\) を \(Y\) のアフィンによるエタール被覆の各要素にわたって動かすと、補題 0E5V より、 \(\omega_{X/Y}^\bullet\) の \(X\) のあるエタール被覆の各要素への制限は \(Y\)-完全である。したがって \(\omega_{X/Y}^\bullet\) は \(Y\)-完全である。『空間の射についてさらに』第 0DKM 節を参照せよ。
相対双対化複体 \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) と、定義 0E5X にあるデカルト正方形を考える。同型 \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau) \cong (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\) の存在を、次のように捉えることにする。すなわち、任意の \(M' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) に対して写像 \[\Hom_{X'}(M', L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet) \longrightarrow \Hom_{Y'}(Rf'_*M', \mathcal{O}_{Y'}),\quad \varphi' \longmapsto Lg^*\tau \circ Rf'_*\varphi'\] が同型であるということである。これは \(a'\) の定義と、第 0E5K 節の議論から従う。特に、米田の補題によりこの同型は一意である。
\(Y\) 自身がアフィンならば、相対双対化複体 \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) は存在し、 \((a(\mathcal{O}_Y), \text{Tr}_{f, \mathcal{O}_Y})\) と標準的に同型である。ここで \(a\) は補題 0E55 にある \(Rf_*\) の右随伴であり、 \(\text{Tr}_f\) は第 0E5K 節にあるものである。実際、定義にある図式を与えると、補題 0E5I により同型 \(L(g')^*a(\mathcal{O}_Y) \to a'(\mathcal{O}_{Y'})\) を得るが、これは補題 0E5L によりトレース写像と両立する。

これにより、局所的に与えられた相対双対化複体を大域的なものへ貼り合わせるためにちょうど十分な情報が得られる。以下の補題の証明は読み飛ばしてもよい。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) を有限表示な固有平坦射とする。 \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) が相対双対化複体ならば、 \(\mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\omega_{X/Y}^\bullet, \omega_{X/Y}^\bullet)\) は同型であり、\(Rf_*\omega_{X/Y}^\bullet\) の正次数のコホモロジー層は消える。

証明

\(Y\) 上エタールなアフィンスキームへの基底変換後にこれを証明すれば十分であり、その場合は補題 0E5V から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) を有限表示な固有平坦射とする。 \((\omega_j^\bullet, \tau_j)\)、\(j = 1, 2\) が \(X/Y\) 上の二つの相対双対化複体ならば、一意な同型 \((\omega_1^\bullet, \tau_1) \to (\omega_2^\bullet, \tau_2)\) が存在する。

証明

\(g : Y' \to Y\) を、\(Y'\) がアフィンスキームであるようなエタール射とし、 \(X' = Y' \times_Y X\) を基底変換とする。定義 0E5X とその後の議論により、一意な同型 \(\iota : (\omega_1^\bullet|_{X'}, \tau_1|_{Y'}) \to (\omega_2^\bullet|_{X'}, \tau_2|_{Y'})\) が存在する。 \(Y'' \to Y'\) がアフィンのさらなるエタール射で \(X'' = Y'' \times_Y X\) ならば、\(\iota|_{X''}\) は一意な同型 \((\omega_1^\bullet|_{X''}, \tau_1|_{Y''}) \to (\omega_2^\bullet|_{X''}, \tau_2|_{Y''})\) である（一意性による）。また、補題 0E5Y により \[\text{Ext}^p_{X'}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_2^\bullet|_{X'}) = 0, \quad p < 0\] である。実際、 \(\mathcal{O}_{X'} \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_1^\bullet|_{X'}) \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_2^\bullet|_{X'})\) である。

各 \(V_n = \coprod_{i \in I_n} Y_{n, i}\) において \(Y_{n, i}\) がアフィンとなるようなエタール超被覆 \(b : V \to Y\) を選ぶ。これは『超被覆』補題 0DAV と評注 0DB2 により可能である（補題で得られた超被覆を、各次数で非交和をもつものに置き換える）。 \(X_{n, i} = Y_{n, i} \times_Y X\) および \(U_n = V_n \times_Y X\) とおくと、エタール超被覆 \(a : U \to X\) を得る（『超被覆』補題 0DAY）。ここで \(U_n = \coprod X_{n, i}\) である。 \(a : U \to X\) と複体 \(\omega_1^\bullet\)、\(\omega_2^\bullet\) に対して、『単体的空間』補題 0DL9 の仮定が満たされる。したがって一意な射 \(\iota : \omega_1^\bullet \to \omega_2^\bullet\) を得て、その \(X_{0, i}\) への制限は一意な同型 \((\omega_1^\bullet|_{X_{0, i}}, \tau_1|_{Y_{0, i}}) \to (\omega_2^\bullet|_{X_{0, i}}, \tau_2|_{Y_{0, i}})\) である。さらに、図式 \[\xymatrix{ Rf_*\omega_1^\bullet \ar[rd]_{\tau_1} \ar[rr]_{Rf_*\iota} & & Rf_*\omega_1^\bullet \ar[ld]^{\tau_2} \\ & \mathcal{O}_Y }\] が可換であることを示さなければならない。しかし、補題 0E5Y により \(Rf_*\omega_1^\bullet\) と \(Rf_*\omega_2^\bullet\) の正次数のコホモロジー層は消える。したがって、この可換性はアフィン \(Y_{0, i}\) への制限後に証明すればよく、そこでは構成により成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) を有限表示な固有平坦射とする。 \((\omega^\bullet, \tau)\) を、\(D(\mathcal{O}_X)\) の \(Y\)-完全対象と写像 \(\tau : Rf_*\omega^\bullet \to \mathcal{O}_Y\) からなる対とする。デカルト図式 \[\xymatrix{ X_i \ar[r]_{g_i'} \ar[d]_{f_i} & X \ar[d]^f \\ Y_i \ar[r]^{g_i} & Y }\] があり、\(Y_i\) はアフィンで、\(\{g_i : Y_i \to Y\}\) はエタール被覆であり、さらに定義 0E5X にあるような対の同型 \((\omega^\bullet|_{X_i}, \tau|_{Y_i}) \to (a_i(\mathcal{O}_{Y_i}), \text{Tr}_{f_i, \mathcal{O}_{Y_i}})\) があると仮定する。このとき \((\omega^\bullet, \tau)\) は \(Y\) 上の \(X\) の相対双対化複体である。

証明

\(g : Y' \to Y\) および \(X', f', g', a'\) を、定義 0E5X にあるものとする。 \(((\omega')^\bullet, \tau') = (L(g')^*\omega^\bullet, Lg^*\tau)\) とおく。 \(\{Y_i \times_Y Y' \to Y'\}\) を細分する、アフィンによる有限エタール被覆 \(\{Y'_j \to Y'\}\) を取ることができる（『位相』補題 0218）。したがって各 \(j\) に対し、ある \(i_j\) と \(Y\) 上の射 \(k_j : Y'_j \to Y_{i_j}\) が存在する。ファイバー積 \[\xymatrix{ X'_j \ar[r]_{h_j'} \ar[d]_{f'_j} & X' \ar[d]^{f'} \\ Y'_j \ar[r]^{h_j} & Y' }\] を考える。\(k_j\) の \(f_{i_j}\) による基底変換として誘導される射を \(k'_j : X'_j \to X_{i_j}\) と書く。与えられた同型を射 \(k'_j\) によって \(Y'_j\) へ制限すると、対の同型

\(((\omega')^\bullet|_{X'_j}, \tau'|_{Y'_j}) \to (a_j(\mathcal{O}_{Y'_j}), \text{Tr}_{f'_j, \mathcal{O}_{Y'_j}})\) を得る。\(f : X \to Y\) を \(f' : X' \to Y'\) で置き換えれば、次の段落で解く問題に帰着する。

\(Y\) がアフィンであると仮定する。問題は \((\omega^\bullet, \tau)\) が次の対と同型であることを示すことである。

\(\begin{aligned} &(\omega_{X/Y}^\bullet, \text{Tr}) \\ &= (a(\mathcal{O}_Y), \text{Tr}_{f, \mathcal{O}_Y}) \end{aligned}\) 。被覆 \(\{Y_i \to Y\}\) は、アフィンの単一の全射エタール射 \(\{g : Y' \to Y\}\) で与えられていると仮定してよい。実際、まず \(\{g_i: Y_i \to Y\}\) を有限部分被覆で置き換え、次いで \(g = \coprod g_i : Y' = \coprod Y_i \to Y\) とおけばよい。細部は省略する。 \(X' = Y' \times_Y X\) とおき、\(f', g'\) を定義 0E5X にある写像とする。このとき、与えられているのは同型 \[(\omega^\bullet|_{X'}, \tau|_{Y'}) \to (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\] だけである。\((\omega_{X/Y}^\bullet, \text{Tr})\) は相対双対化複体であるから（定義 0E5X の後の議論を参照）、一意な同型 \[(\omega_{X/Y}^\bullet|_{X'}, \text{Tr}|_{Y'}) \to (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\] が存在する。例えば補題 0E5Z により一意である。二つの表示された同型を組み合わせると、同型 \[\alpha : (\omega^\bullet|_{X'}, \tau|_{Y'}) \to (\omega_{X/Y}^\bullet|_{X'}, \text{Tr}|_{Y'})\] を得る。\(Y'' = Y' \times_Y Y'\) および \(X'' = Y'' \times_Y X\) とおく。 \(\alpha\) の \(X''\) への二つの引戻しは、一意性により再び一致しなければならない。 \(X'\) 上で \(\omega_{X'/Y'}^\bullet\) の負次数の自己 Ext が消え（補題 0E5Y）、しかも任意の射影 \(Y' \times_Y \ldots \times_Y Y' \to Y'\) による引戻し後にもこのことが成り立つので（細部は省略する。補題 0E5Z の証明と比較せよ）、『単体的空間』補題 0DL9 により、 \(\alpha\) は \(X\) 上の同型 \(\omega^\bullet \to \omega_{X/Y}^\bullet\) に降下する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) を有限表示な固有平坦射とする。相対双対化複体 \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) が存在する。

証明

各 \(V_n = \coprod_{i \in I_n} Y_{n, i}\) において \(Y_{n, i}\) がアフィンとなるようなエタール超被覆 \(b : V \to Y\) を選ぶ。これは『超被覆』補題 0DAV と評注 0DB2 により可能である（補題で得られた超被覆を、各次数で非交和をもつものに置き換える）。 \(X_{n, i} = Y_{n, i} \times_Y X\) および \(U_n = V_n \times_Y X\) とおくと、エタール超被覆 \(a : U \to X\) を得る（『超被覆』補題 0DAY）。ここで \(U_n = \coprod X_{n, i}\) である。各 \(n, i\) に対し、\(X_{n, i}/Y_{n, i}\) 上の相対双対化複体 \((\omega_{n, i}^\bullet, \tau_{n, i})\) が存在する。定義 0E5X の後の議論を参照せよ。 \(\varphi : [m] \to [n]\) と \(i \in I_n\) に対し、

\(g_{\varphi, i} : Y_{n, i} \to Y_{m, \alpha(\varphi)}\) および \(g'_{\varphi, i} : X_{n, i} \to X_{m, \alpha(\varphi)}\) を、与えられた超被覆の構造の一部をなす射とする（『超被覆』第 094J 節）。このとき一意な同型 \[\iota_{n, i, \varphi} : (L(g'_{n, i})^*\omega_{n, i}^\bullet, Lg_{n, i}^*\tau_{n, i}) \longrightarrow (\omega_{m, \alpha(\varphi)(i)}^\bullet, \tau_{m, \alpha(\varphi)(i)})\] が存在する。定義 0E5X の後の議論を参照せよ。補題 0E5Y により、 \(X_{n, i}\) 上で \(\omega_{n, i}^\bullet\) の負次数の自己 Ext は消える。 \(U_n/V_n\) 上で、\(i \in I_n\) に対する対 \((\omega_{n, i}^\bullet, \tau_{n, i})\) から構成される対を \((\omega_n^\bullet, \tau_n)\) と書く。 \(\varphi : [m] \to [n]\) と \(i \in I_n\) に対し、 \(g_\varphi : V_n \to V_m\) および \(g'_\varphi : U_n \to U_m\) を、単体的代数空間 \(V\) と \(U\) の構造の一部をなす射とする。このとき、各成分上の同型から構成される対の一意な同型 \[\iota_\varphi : (L(g'_\varphi)^*\omega_n^\bullet, Lg_\varphi^*\tau_n) \longrightarrow (\omega_m^\bullet, \tau_m)\] が存在する。一意性により、これらの同型は『単体的空間』定義 0D9N で定式化された推移律条件を満たす。『単体的空間』補題 0DLA の仮定は、 \(a : U \to X\)、複体 \(\omega_n^\bullet\)、および同型 \(\iota_\varphi\) に対して満たされる¹。したがって \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象 \(\omega^\bullet\) と、二つの同型 \(\iota_{\delta^1_0}\)、\(\iota_{\delta^1_1}\) と両立する同型 \(\iota_0 : \omega^\bullet|_{U_0} \to \omega_0^\bullet\) を得る。最後に、『単体的空間』補題 0DL9 を適用して、一意な射 \[\tau : Rf_*\omega^\bullet \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] を得る。その \(V_0\) への制限は \(\tau_0\) と一致する。細部は省略する。例えば必要な負次数 Ext の消滅が得られる理由については、補題 0E5Z の証明の末尾と比較せよ。補題 0E60 により、対 \((\omega^\bullet, \tau)\) は相対双対化複体であり、証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の代数空間のデカルト正方形 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を考える。\(X \to Y\) は固有、平坦かつ有限表示であると仮定する。 \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) を \(f\) の相対双対化複体とする。このとき \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau)\) は \(f'\) の相対双対化複体である。

証明

『空間の射についてさらに』補題 0DKT により、 \(L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet\) は \(Y'\)-完全である。定義 0E5X のもう一つの条件は、ファイバー積の推移律から成り立つ。

スキームの場合との比較

この節には、なお多くの内容を加えるべきである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な代数空間の射とする。 \(X\) と \(Y\) は表現可能であると仮定し、\(f\) を表現するスキームの射を \(f_0 : X_0 \to Y_0\) とする（不格好だが一時的な記法である）。 \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を、補題 0E55 にある \(Rf_*\) の右随伴とする。 \(a_0 : D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) を、『スキームの双対性』補題 0A9E にある \(Rf_*\) の右随伴とする。このとき \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{『空間の導来圏』補題 \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar[u]^{a_0} \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{『空間の導来圏』補題 \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[u]_a }\] は可換である。

証明

随伴の一意性と、『空間の導来圏』評注 08GH の両立性から従う。

この補題で用いるのは \(\omega_0^\bullet\) と二つの写像

\(\delta_1^1, \delta_0^1 : [1] \to [0]\) だけである。ここでは実際、加群の導来圏の単体的系がすでに与えられているので、参照した補題の証明の最初の数行は読み飛ばしてよい。↩︎