대수공간 위의 제수

서론

이 장에서는 대수공간 위의 제수와 관련 주제들을 연구한다. 대수공간에 대한 기본 참고문헌은 [Kn]이다.

연관점과 약연관점

스킴의 경우에는 서로 경쟁하는 두 가지 연관점 개념을 도입했다. 즉 통상적인 연관점(Divisors, Section 02OI)과 약연관점(Divisors, Section 056K)이다. 일반적인 대수공간에서는 연관점이라는 개념이 사실상 쓸모가 없으므로 아예 도입하지 않는다. 대수공간이 국소 Noether이면 Noether 스킴에서는 두 개념이 같기 때문에(Divisors, Lemma 05AR), “약연관점” 대신 “연관점”이라는 표현을 사용하기도 한다. 정의에 앞서 보조정리가 하나 필요하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(x \in |X|\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 어떤 étale 사상 \(f : U \to X\)에 대해 \(U\)가 스킴이고 \(u \in U\)가 \(x\)로 가며, 점 \(u\)가 \(f^*\mathcal{F}\)에 약하게 연관된다.

2. 모든 étale 사상 \(f : U \to X\)에 대해 \(U\)가 스킴이고 \(u \in U\)가 \(x\)로 가며, 점 \(u\)가 \(f^*\mathcal{F}\)에 약하게 연관된다.

3. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 극대 아이디얼은 줄기 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)의 약연관 소아이디얼이다.

\(X\)가 국소 Noether이면 위 조건들은 다음 조건들과도 동치이다.

1. 어떤 étale 사상 \(f : U \to X\)에 대해 \(U\)가 스킴이고 \(u \in U\)가 \(x\)로 가며, 점 \(u\)가 \(f^*\mathcal{F}\)에 연관된다.

2. 모든 étale 사상 \(f : U \to X\)에 대해 \(U\)가 스킴이고 \(u \in U\)가 \(x\)로 가며, 점 \(u\)가 \(f^*\mathcal{F}\)에 연관된다.

3. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 극대 아이디얼은 줄기 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)의 연관 소아이디얼이다.

증명

스킴 \(U\), 점 \(u\), 그리고 étale 사상 \(f : U \to X\)를 택하되, 이 사상이 \(u\)를 \(x\)로 보내게 하자. \(\overline{x}\)를 \(U\)의, \(u\) 위 기하점으로 올리자. 다음 등식을 상기하자. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\). 여기서 강 Hensel화는 우리가 택한 \(\overline{x}\)의 올림에 관하여 취한다. Properties of Spaces, Lemma 04KF을 보라. 마지막으로 Properties of Spaces, Lemma 05VP에 의해 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (f^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (f^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] 이다. 따라서 (1), (2), (3)의 동치는 More on Flatness, Lemma 0CTU에서 따른다. \(X\)가 국소 Noether이면 위와 같은 모든 \(U\)도 국소 Noether이므로, Divisors, Lemma 05AR에 의해 (1), (2)는 각각 (4), (5)와 동치이다. 한편 국소 Noether인 경우 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)도 Noether이다 (Properties of Spaces, Lemma 08AH). 따라서 같은 보조정리(또는 Algebra, Lemma 058A)에 의해 (3)과 (6)이 동치이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하고, \(x \in |X|\)라 하자.

1. Lemma 0CTW의 동치 조건 (1), (2), (3)이 성립하면 \(x\)가 \(\mathcal{F}\)에 약하게 연관된다고 한다.

2. \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\)로 \(\mathcal{F}\)의 약연관점들의 집합을 나타낸다.

3. \(X\)의 약연관점은 \(\mathcal{O}_X\)의 약연관점이다.

\(X\)가 국소 Noether이면, \(x\)가 \(\mathcal{F}\)에 약하게 연관될 필요충분조건으로 \(x\)가 \(\mathcal{F}\)에 연관된다고 말하고 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)로 둔다. 마지막으로 여전히 \(X\)가 국소 Noether이라고 가정할 때, \(x\)가 \(X\)의 약연관점일 필요충분조건으로 \(x\)가 \(X\)의 연관점이다라고 한다.

이제 필요한 표준 보조정리들을 증명할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)이다.

증명

정의에서 바로 따른다. \(X\) 위의 아벨 층의 지지집합은 Properties of Spaces, Definition 04KA에서 정의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)을 \(X\) 위 준연접층들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\)이고 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\)이다.

증명

모든 기하점 \(\overline{x} \in X\)에 대해 줄기들의 열 \(0 \to \mathcal{F}_{1, \overline{x}} \to \mathcal{F}_{2, \overline{x}} \to \mathcal{F}_{3, \overline{x}} \to 0\)은 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)-가군들의 짧은 완전열이다. 따라서 보조정리는 Algebra, Lemma 0548에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\] 이다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(f : U \to X\)를 택하자. \(\mathcal{F}\)가 영일 필요충분조건은 \(f^*\mathcal{F}\)가 영인 것이다. 따라서 정의와 스킴에 대한 경우, 즉 Divisors, Lemma 05AP에서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(x \in |X|\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이다.

2. \(x\)는 공차원 \(0\)인 \(X\)의 점이다 (Properties of Spaces, Definition 04NA).

그러면 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다. \(\mathcal{F}\)가 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 스킴론적 지지집합이 \(Z\)이며 (Morphisms of Spaces, Definition 07U1), \(x\)가 공차원 \(0\)인 \(Z\)의 점이면 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다.

증명

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이므로 줄기 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)는 영이 아니다. 따라서 Algebra, Lemma 0588에 의해 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_{\overline{x}})\)는 공집합이 아니다. 한편 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 스펙트럼은 한원소 집합이다. 따라서 정의에 의해 \(x\)는 \(\mathcal{F}\)의 약연관점이다. 마지막 명제는 다음 사실들에서 따른다. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\)는 전사이고, \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\)의 스펙트럼은 한원소 집합이며,

\(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)는 영이 아닌 \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\)-가군이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(x \in |X|\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 decent이다(예를 들어 준분리이거나 국소 분리이다).

2. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이다.

3. \(x\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 다른 점의 특수화가 아니다.

그러면 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다.

증명

(준분리 대수공간은 decent이다. Decent Spaces, Section 03I7를 보라. 국소 분리 대수공간은 decent이다. Decent Spaces, Lemma 088J를 보라.) 스킴 \(U\), 점 \(u \in U\), 그리고 étale 사상 \(f : U \to X\)를 택하되, 이 사상이 \(u\)를 \(x\)로 보내게 하자. Decent Spaces, Lemma 03K5에 의해, \(u' \leadsto u\)가 자명하지 않은 특수화이면 \(f(u') \not = x\)이다. 따라서 \(u \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\)는 \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})\)의 다른 점의 특수화가 아니다. 그러므로 Divisors, Lemma 0CUL에 의해

\(u \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{F})\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap W\)는 모든 준콤팩트 열린집합 \(W \subset |X|\)에 대해 유한집합이다.

증명

준콤팩트 스킴 \(U\)와 étale 사상 \(U \to X\)를 택하여 \(W\)가 \(|U| \to |X|\)의 상이 되게 하자. 그러면 \(U\)는 Noether 스킴이므로 Divisors, Lemma 05AF를 적용하면 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \to X\)가 étale 사상이고 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \Im(|U| \to |X|)\)이면, \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\)는 단사이다.

증명

\(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\)를 \(U\) 위에서 영으로 제한되는 절이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)의 상이라 하자. 이 사상은 \(s\)로 정의된다. 그러면 \(\mathcal{F}'|_U = 0\)이다. 이는 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \cap \Im(|U| \to |X|) = \emptyset\)임을 뜻한다 (약연관점의 정의에 의한다). 한편 Lemma 0CTZ에 의해 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다. 따라서 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\)이고, Lemma 0CU0에 의해 \(\mathcal{F}' = 0\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 준콤팩트 준분리 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y \in |Y|\)가 \(|f|\)의 상에 속하지 않는 점이면, \(y\)는 \(f_*\mathcal{F}\)에 약하게 연관되지 않는다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 03M9에 의해 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접이므로 보조정리의 진술은 의미가 있다. 아핀 스킴 \(V\), 점 \(v \in V\), 그리고 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하되, 이 사상이 \(v\)를 \(y\)로 보내게 하자. \(f : X \to Y\), \(\mathcal{F}\), \(y\)를 각각 \(X \times_Y V \to V\), \(\mathcal{F}|_{X \times_Y V}\), \(v\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(X\)는 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to X\)를 택할 수 있다. 합성 사상을 \(g : U \to Y\)로 나타내자.

그러면 \(f_*\mathcal{F} \subset g_*(\mathcal{F}|_U)\)이다. Lemma 0CTZ에 의해 스킴의 경우로 환원되며, 이는 Divisors, Lemma 0AVN이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이라 하자. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 다음 중 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{G}_{\overline{x}}\)는 단사이다.

2. \(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 단사이다.

증명

가정에 의해 \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)이고, 따라서 Lemma 0CU0에 의해 \(\Ker(\varphi) = 0\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 기약 대수공간이라 하자. 그러면 \(X\)의 약연관점들은 정확히 공차원 \(0\)인 \(X\)의 점들이다.

증명

Étale 국소적으로 작업하면 이는 Divisors, Lemma 0EME와 Properties of Spaces, Lemma 0BAQ에서 따른다.

사상과 약연관점

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 아핀 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] 이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하자. \(U = X \times_Y V\)로 두자. 그러면 \(U \to V\)는 스킴들의 아핀 사상이다. 약연관점의 정의에 의해 문제는 스킴들의 사상 \(U \to V\)에 대한 문제로 환원된다. 이 경우는 Divisors, Lemma 05EX에서 다룬다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 아핀 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\)가 국소 Noether이면 \[\text{WeakAss}_Y(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] 이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하자. \(U = X \times_Y V\)로 두자. 그러면 \(U \to V\)는 스킴들의 아핀 사상이고 \(U\)는 국소 Noether이다. 약연관점의 정의에 의해 문제는 스킴들의 사상 \(U \to V\)에 대한 문제로 환원된다. 이 경우는 Divisors, Lemma 05EY에서 다룬다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 유한 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\)이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하자. \(U = X \times_Y V\)로 두자. 그러면 \(U \to V\)는 스킴들의 유한 사상이다. 약연관점의 정의에 의해 문제는 스킴들의 사상 \(U \to V\)에 대한 문제로 환원된다. 이 경우는 Divisors, Lemma 05EZ에서 다룬다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)이고 \(y = f(x) \in |Y|\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(y \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\)이다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 평탄하다.

3. \(f\)의 \(x\)에서의 섬유의 국소환 차원이 영이다 (Morphisms of Spaces, Definition 04NM).

그러면 \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\)이다.

증명

스킴 \(V\), 점 \(v \in V\), 그리고 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하되, 이 사상이 \(v\)를 \(y\)로 보내게 하자. 스킴 \(U\), 점 \(u \in U\), 그리고 étale 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택하되, 이 사상이 \(v\)를

\(v\)와 \(x\) 위에 놓인 점으로 보내게 하자. 이는 \(t \in |V \times_Y X|\)가 존재하여 \((v, y)\)로 가기 때문에 가능하다.

Properties of Spaces, Lemma 03H4을 보라. 정의에 의해 \(\mathcal{O}_{U_v, u}\)의 차원은 영이다. 따라서 \(u\)는 섬유 \(U_v\)의 일반점이다. 약연관점의 정의에 의해 문제는 스킴들의 사상 \(U \to V\)에 대한 문제로 환원된다. 이 경우는 Divisors, Lemma 05F0에서 다룬다.

보조정리

\(K/k\)를 체의 확대라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y \in X_K\)의 상이 \(x \in X\)라 하자. \(y\)가 당김 \(\mathcal{F}_K\)의 약연관점이면 \(x\)는 \(\mathcal{F}\)의 약연관점이다.

증명

이는 Divisors, Lemma 0CUC를 대수공간의 언어로 옮긴 것이다. 옮기는 과정의 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간들의 유한 평탄 사상이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)의 상이 \(y \in |Y|\)라 하자. 그러면 \[x \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\] 이다.

증명

스킴의 경우(More on Flatness, Lemma 05FN)에서 étale 국소화로 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간들의 étale 사상이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)의 상이 \(y \in |Y|\)라 하자. 그러면 \[x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\] 이다.

증명

이는 약연관점의 정의에서 바로 따른다. 실제로 스킴의 경우에 대한 대응하는 보조정리(More on Flatness, Lemma 05FP)가 우리 정의의 바탕이다.

상대 약연관점 집합

이 대상을 정의하려면 몇 가지 보조정리가 필요하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 어떤 스킴 \(V\), 점 \(v \in V\), étale 사상 \(V \to Y\)가 있어 \(v\)를 \(y\)로 보내고 대수공간 \(X_v\)가 국소 Noether이다.

2. 모든 스킴 \(V\), 점 \(v \in V\), étale 사상 \(V \to Y\)에 대해 \(v\)가 \(y\)로 가면 대수공간 \(X_v\)가 국소 Noether이다.

3. 체 \(k\)와 사상 \(\Spec(k) \to Y\)가 존재하고, 이 사상이 \(y\)를 나타내며 \(X_k\)가 국소 Noether이다.

체 \(k_0\)와 단사상 \(\Spec(k_0) \to Y\)가 존재하여 \(y\)를 나타내면, 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. 대수공간 \(X_{k_0}\)는 국소 Noether이다.

증명

\(X_v = v \times_Y X = \Spec(\kappa(v)) \times_Y X\)임을 주목하자. 따라서 함의 (2) \(\Rightarrow\) (1) \(\Rightarrow\) (3)은 명백하다. \(\Spec(k) \to Y\)가 체의 스펙트럼에서 오는 사상이고 \(X_k\)가 국소 Noether이라고 가정하자. Étale 사상 \(V \to Y\)를 택하되 \(V\)가 스킴이게 하자. 점 \(v \in V\)를 택하여 \(y\)로 가게 하자.

그러면 스킴 \(v \times_Y \Spec(k)\)는 공집합이 아니다. 점 \(w \in v \times_Y \Spec(k)\)를 택하고 사상들을 생각하자. \[X_v \longleftarrow X_w \longrightarrow X_k\] \(V \to Y\)가 étale이고 \(w\)를 \(V \times_Y \Spec(k)\)의 점으로 볼 수 있으므로, \(\kappa(w)/k\)는 체의 유한 분리 확대이다 (Morphisms, Lemma 02GL). 따라서 \(X_w \to X_k\)는 \(w \to \Spec(k)\)의 밑변환으로서 유한 étale 사상이다. 그러므로 \(X_w\)는 국소 Noether이다(Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK). 사상 \(X_w \to X_v\)는 전사 아핀 평탄 사상 \(w \to v\)의 밑변환으로서 전사이고 아핀이며 평탄하다. 따라서 \(X_w\)가 국소 Noether이라는 사실은 \(X_v\)가 국소 Noether임을 뜻한다. 이는 전사 étale 사상 \(U \to X\)를 택한 뒤 \(U_w \to U_v\)가 전사이고 아핀이며 평탄하다는 사실을 사용하면 알 수 있다. 스킴 \(U_v\) 위에서 아핀 국소적으로 작업하면 Algebra, Lemma 033E에 의해 \(U_w\)가 국소 Noether이라고 결론짓는다.

마지막으로 단사상 \(\Spec(k_0) \to Y\)가 있고 이것이 \(y\)의 류에 속할 때 (3)이 (4)를 함의함을 보이면 충분하다. 이때 \(\Spec(k) \to Y\)는 \(\Spec(k) \to \Spec(k_0) \to Y\)로 인수분해된다. 위의 논증에 의해 \(X_k\)가 국소 Noether이면 \(X_{k_0}\)도 국소 Noether이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. Lemma 0CUW의 동치 조건 (1), (2), (3)이 성립하면 \(f\)의 \(y\) 위 섬유가 국소 Noether이다라고 한다. \(f\)의 섬유들이 국소 Noether이다라고 하는 것은 이것이 모든 \(y \in |Y|\)에 대해 성립한다는 뜻이다.

물론 국소 Noether 섬유를 보장하는 통상적인 방법은 사상이 국소 유한형이라고 가정하는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이면 \(f\)의 섬유들은 국소 Noether이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK와 체의 스펙트럼이 Noether이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)이고 \(y = f(x) \in |Y|\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 가환 그림들을 생각하자. \[\xymatrix{ X \ar[d] & X \times_Y V \ar[d] \ar[l] & X_v \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] } \quad \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[d] \ar[l] & U_v \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] } \quad \xymatrix{ x \ar@{|->}[d] & x' \ar@{|->}[d] \ar@{|->}[l] & u \ar@{|->}[ld] \ar@{|->}[l] \\ y & v \ar@{|->}[l] }\] 여기서 \(V\)와 \(U\)는 스킴이고, \(V \to Y\)와 \(U \to X \times_Y V\)는 étale이며, \(v \in V\), \(x' \in |X_v|\), \(u \in U\)는 마지막 그림과 같이 연관된 점들이다. \(\mathcal{F}|_{X_v}\)와 \(\mathcal{F}|_{U_v}\)로 \(\mathcal{F}\)의 당김들을 나타내자.

다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 위와 같은 어떤 \(V, v, x'\)에 대해 \(x'\)는 \(\mathcal{F}|_{X_v}\)의 약연관점이다.

2. 위와 같은 모든 \(V \to Y, v, x'\)에 대해 \(x'\)는 \(\mathcal{F}|_{X_v}\)의 약연관점이다.

3. 위와 같은 어떤 \(U, V, u, v\)에 대해 \(u\)는 \(\mathcal{F}|_{U_v}\)의 약연관점이다.

4. 위와 같은 모든 \(U, V, u, v\)에 대해 \(u\)는 \(\mathcal{F}|_{U_v}\)의 약연관점이다.

5. 어떤 체 \(k\)와 사상 \(\Spec(k) \to Y\)가 있어 \(y\)를 나타내고, 어떤 \(t \in |X_k|\)가 있어서 \(x\)로 가며 점 \(t\)가 \(\mathcal{F}|_{X_k}\)의 약연관점이다.

체 \(k_0\)와 단사상 \(\Spec(k_0) \to Y\)가 존재하여 \(y\)를 나타내면, 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. \(x_0\)는 \(\mathcal{F}|_{X_{k_0}}\)의 약연관점이며, 여기서 \(x_0 \in |X_{k_0}|\)는 \(x\)로 가는 유일한 점이다.

\(f\)의 \(y\) 위 섬유가 국소 Noether이면 조건 (1), (2), (3), (4), (6)에서 “약연관”을 “연관”으로 바꾸어도 된다.

증명

보조정리에서와 같은 \(V, v, x'\)가 주어지면 \(U \to X \times_Y V\)와 \(u \in U\)를 찾을 수 있고, 이 점은 \(x'\)로 가며, 그때 사상 \(U_v \to X_v\)는 étale이다. 따라서 (1)과 (3), 그리고 (2)와 (4)가 각각 동치임이 분명하다. 이 조건들은 각각 (5)를 함의한다. (5)가 (2)를 함의함을 보이겠다. \(V, v, x'\)와 함께 \(\Spec(k) \to X\)와 \(t \in |X_k|\)가 주어져서 점 \(t\)가

\(\mathcal{F}|_{X_k}\)의 약연관점이라고 하자. 점 \(w \in v \times_Y \Spec(k)\)를 택할 수 있다. 그러면 사상들을 얻는다. \[X_v \longleftarrow X_w \longrightarrow X_k\] \(V \to Y\)가 étale이고 \(w\)를 \(V \times_Y \Spec(k)\)의 점으로 볼 수 있으므로, \(\kappa(w)/k\)는 체의 유한 분리 확대이다 (Morphisms, Lemma 02GL). 따라서 \(X_w \to X_k\)는 \(w \to \Spec(k)\)의 밑변환으로서 유한 étale 사상이다. 그러므로 임의의 점 \(x''\)가 \(X_w\)의 점이고 \(t\) 위에 놓이면 Lemma 0CUU에 의해 \(\mathcal{F}|_{X_w}\)의 약연관점이다. \(x''\)를 택하여 \(x'\)로 가게 할 수 있다 (Properties of Spaces, Lemma 03H4). 그러면 Lemma 0CUS에 의해 \(x'\)는 \(\mathcal{F}|_{X_v}\)의 약연관점이다.

증명을 끝내려면, (6)에서와 같은 \(\Spec(k_0) \to Y\)가 주어질 때 동치 조건 (1)–(5)가 (6)을 함의함을 보이면 충분하다. 이 경우 (5)의 사상 \(\Spec(k) \to Y\)는 유일하게 \(\Spec(k) \to \Spec(k_0) \to Y\)로 인수분해된다. 그러면 \(x_0\)는 \(t\)의 상이며, 여기서 쓰는 사상은 \(X_k \to X_{k_0}\)이다. 따라서 위와 같은 보조정리에 의해 (6)이 성립한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의, \(X\) 안에서 \(Y\)에 대한 상대 약연관점 집합은 집합 \(\text{WeakAss}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset |X|\)이다. 이 집합은 \(x \in |X|\) 중 Lemma 0CUZ의 동치 조건들을 만족하는 것들로 이루어진다. \(f\)의 섬유들이 국소 Noether이면(Definition 0CUX) \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)라는 표기를 사용한다.

이 표기를 사용하면 스킴에 대해 이미 증명한 몇몇 결과를 표현할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 평탄하다.

2. \(X\)와 \(Y\)는 국소 Noether이다.

3. \(f\)의 섬유들은 국소 Noether이다.

그러면 \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \{x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\text{이고 } f(x) \in \text{Ass}_Y(\mathcal{G})\}\] 이다.

증명

Étale 국소화를 하면 스킴에 대한 결과, 즉 Divisors, Lemma 05DB에서 곧바로 따른다. 우리가 Noether가 아닌 대수공간에 대해 연관점을 정의하지 않았다는 이유만으로 스킴에 대한 결과가 더 일반적이다. 따라서 이 결과를 진술할 수 있으려면 \(X\)와 \(X \to Y\)의 섬유들이 국소 Noether이라고 가정해야 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 를 \(S\) 위 대수공간들의 올곱 그림이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)로 두자. \(f\)가 국소 유한형이면 다음이 성립한다.

1. \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}') \Rightarrow g'(x') \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)이다.

2. \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)이면, \(y' \in |Y'|\)가 주어지고 \(f(x) = g(y')\)를 만족할 때 \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)인 것이 존재하여 \(g'(x') = x\) 및 \(f'(x') = y'\)를 만족한다.

증명

이는 étale 국소화를 통해 스킴의 경우에서 따른다. 세부사항을 모두 적겠다. 스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하자. 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택하자. 스킴 \(V'\)와 전사 étale 사상 \(V' \to V \times_Y Y'\)를 택하자. 그러면 \(U' = V' \times_V U\)는 스킴이고 사상 \(U' \to X'\)는 전사 étale이다.

(1)의 증명. \(u' \in U'\)를 택하여 \(x'\)로 가게 하자. \(v' \in V'\)로 \(u'\)의 상을 나타내자.

정의에 의해 \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)일 필요충분조건은 \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U'_{v'}})\)인 것이다 (\(\text{Ass}\)를 \(\text{WeakAss}\) 대신 써도 되며, 이는 \(U'_{v'}\)가 국소 Noether이므로 의미가 있다). Divisors, Lemma 05DC를 적용하면 \(u \in U\)는 \(u'\)의 상이며 \(\text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\)에 속함을 알 수 있다. 여기서 \(v \in V\)는 \(u\)의 상이다. 이는 다시 \(g'(x') \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)임을 뜻한다.

(2)의 증명. \(u \in U\)를 택하여 \(x\)로 가게 하자. \(v \in V\)로 \(u\)의 상을 나타내자.

정의에 의해 \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)일 필요충분조건은 \(u \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\)인 것이다. 점 \(v' \in V'\)를 택하여 \(y' \in |Y'|\)와 \(v \in V\)로 가게 하자 (Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 가능하다). \(t \in \Spec(\kappa(v') \otimes_{\kappa(v)} \kappa(u))\)를 한 기약 성분의 일반점이라 하자. \(u' \in U'\)를 \(t\)의 상이라 하자. Divisors, Lemma 05DC를 적용하면 \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}'|_{U'_{v'}})\)임을 알 수 있다. 이는 다시 \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)임을 뜻하며, 여기서 \(x' \in |X'|\)는 \(u'\)의 상이다.

보조정리

표기와 가정은 위의 Lemma 0CV2에서와 같다. \(g\)가 국소 준유한이거나, 더 일반적으로 모든 \(y' \in |Y'|\)에 대해 \(y'/g(y')\)의 초월차수가 \(0\)이라고 가정하자. 그러면 \(\text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)는 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)의 역상이다.

증명

점이 그 상 위에서 갖는 초월차수는 Morphisms of Spaces, Definition 04NM에서 정의한다. \(x' \in |X'|\)의 상이 \(x \in |X|\)라 하자. 스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)를 택하자. 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택하자. 스킴 \(V'\)와 전사 étale 사상 \(V' \to V \times_Y Y'\)를 택하자. 그러면 \(U' = V' \times_V U\)는 스킴이고 사상 \(U' \to X'\)는 전사 étale이다. \(u \in U\)를 택하여 \(x\)로 가게 하자. \(v \in V\)로 \(u\)의 상을 나타내자.

정의에 의해 \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)일 필요충분조건은 \(u \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\)인 것이다. 점 \(u' \in U'\)를 택하여 \(x' \in |X'|\)와 \(u \in U\)로 가게 하자(Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 가능하다). \(v' \in V'\)를 \(u'\)의 상이라 하자. 그러면 정의에 의해 \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)일 필요충분조건은 \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}'|_{U'_{v'}})\)인 것이다. 이제 \(u' \in \Spec(\kappa(v') \otimes_{\kappa(v)} \kappa(u))\)에 Divisors, Remark 05KL의 논의를 적용하면 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(i : Z \to X\)를 유한 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}_{X/Y}(i_*\mathcal{G}) = i(\text{WeakAss}_{Z/Y}(\mathcal{G}))\)이다.

증명

스킴의 경우(Divisors, Lemma 0CUD)에서 étale 국소화로 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(Y\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(Y\) 위의 유한 표시 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하고 \(U \to Y\)가 준콤팩트라고 하자. 그러면 집합 \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset |U_y|\}\] 은 \(Y\)에서 국소 구성가능하다.

증명

\(Y\)가 스킴이므로 섬유 \(X_y = \Spec(\kappa(y)) \times_Y X\)를 취하는 것이 의미가 있음을 주목하자. (또한 우리 정의에 따르면 집합 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\)는 정확히 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \to Y\)의 \(y\) 위 섬유이지만, 이를 쓰지는 않는다.) 문제는 \(Y\) 위에서 국소적이다. 실제로 \(E\)가 구성가능함을 보이기 위해 \(Y\)가 아핀인 경우만 다루면 된다. 이 경우 \(X\)는 준콤팩트이다. 아핀 스킴 \(W\)와 전사 étale 사상 \(\varphi : W \to X\)를 택하자. 그러면 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\)는 \(\text{Ass}_{W_y}(\varphi^*\mathcal{F}_y)\)의 상이며, 이는 모든 \(y \in Y\)에 대해 성립한다. 따라서 보조정리는 열린집합 \(\varphi^{-1}(U) \subset W\)와 사상 \(W \to Y\)에 대한 스킴의 경우에서 따른다. 스킴의 경우는 More on Morphisms, Lemma 05KR이다.

Fitting 아이디얼

이 절은 Divisors, Section 0C3C의 논의를 이어간다. \(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 이 상황에서 다음 Fitting 아이디얼들을 구성할 수 있다. \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_X\]

이들은 다음 성질로 특징지어지는 준연접 아이디얼 층들의 열이다. 임의의 아핀 \(U = \Spec(A)\)가 \(X\) 위에서 étale일 때 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(A\)-가군 \(M\)에 대응한다면, \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\)는 아이디얼 \(\text{Fit}_i(M) \subset A\)에 대응한다. 이는 잘 정의되며 준연접 아이디얼 층이다. 실제로 \(A \to B\)가 étale 환 사상이면 \(i\)번째 Fitting 아이디얼, 즉 \(M \otimes_A B\)의 \(B\) 위 Fitting 아이디얼은 More on Algebra, Lemma 07ZA의 (3)에 의해 \(\text{Fit}_i(M) B\)와 같다.

더 정확히 말하면(아마도), 아이디얼의 준연접 층 \(\text{Fit}_0(\mathcal{O}_X)\)의 존재는 예컨대 Properties of Spaces, Lemma 03LZ에 주어진 준연접 층의 기술과 Divisors, Lemma 0C3D에 주어진 당김 성질에서 따른다.

Fitting 아이디얼들을 이 방식으로 구성하는 장점은 그 구성이 étale 국소화와 가환함을 즉시 알 수 있다는 것이다. 따라서 Fitting 아이디얼들의 많은 성질은 곧바로 스킴의 경우에 해당하는 성질로 환원된다. 흔히 스킴과 대수공간 위의 준연접 층의 성질을 서로 옮기기 위해 Properties of Spaces, Section 05VR의 논의를 사용할 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_X = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\)이다.

증명

Étale 국소화에 의해 Divisors, Lemma 0C3D로 환원된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\)는 유한형 준연접 아이디얼이다.

증명

Étale 국소화에 의해 Divisors, Lemma 0C3E로 환원된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Z_0 \subset X\)를 \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\)로 잘라 얻는 닫힌 부분공간이라 하고, \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합이라 하자. 그러면

1. 닫힌 부분공간으로서 \(Z \subset Z_0 \subset X\)이고,

2. \(|Z| = |Z_0| = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이고, 이들은 \(|X|\)의 닫힌 부분집합들이며,

3. 다음을 만족하는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-가군 \(\mathcal{G}_0\)가 존재한다. \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\]

증명

\(Z\)의 형성은 étale 국소화와 가환함을 상기하자. Morphisms of Spaces, Definition 07U1를 보라 (이 정의는 \(Z\)를 정의하기 위해 Morphisms of Spaces, Lemma 07U0를 사용한다). 따라서 (1)과 (2)는 스킴의 경우, 즉 Divisors, Lemma 0CYX에서 따른다. (3)의 \(\mathcal{G}_0\)를 얻기 위해 Morphisms of Spaces, Lemma 07U0에서와 같은 \(\mathcal{G}\)가 \(Z\) 위에 있음을 사용하고 \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\)로 둘 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(x \in |X|\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(r\)개의 원소로 \(x\)의 한 étale 근방에서 생성될 필요충분조건은 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)이다.

증명

Étale 국소화에 의해 Divisors, Lemma 0C3F로 환원된다. 여기서는 Properties of Spaces, Section 04KE의 국소환에 대한 기술과, 국소환의 강 Hensel화가 충실 평탄이므로 강 Hensel화 위의 등식과 국소환 위의 등식이 동치라는 사실도 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(r \geq 0\)이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 가군이다.

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\)이고 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\)이다.

3. \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\) (\(k < r\))이고, \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\) (\(k \geq r\))이다.

증명

Étale 국소화에 의해 Divisors, Lemma 0C3G로 환원된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

닫힌 부분공간 \[X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] 은 \(\mathcal{F}\)의 Fitting 아이디얼들로 정의되며 다음 성질들을 가진다.

1. 교집합 \(\bigcap Z_r\)는 공집합이다.

2. 함자 \((\Sch/X)^{opp} \to \textit{Sets}\)를 다음 규칙으로 정의하자. \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ is locally generated by } \leq r\text{ sections} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 이 함자는 열린 부분공간 \(X \setminus Z_r\)로 표현된다.

3. 함자 \(F_r : (\Sch/X)^{opp} \to \textit{Sets}\)를 다음 규칙으로 정의하자.

   \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ locally free rank }r\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 이 함자는 국소 닫힌 부분공간 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\)로 표현되며, 이는 \(X\)의 부분공간이다.

\(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 \(Z_r \to X\), \(X \setminus Z_r \to X\), \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to X\)는 유한 표시이다.

증명

Étale 국소화에 의해 Divisors, Lemma 05P8로 환원된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

Lemma 0CZ9에서와 같이 \(X = Z_{-1} \subset Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots\)라 하고 \(X_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\)로 두자. 그러면 \(X' = \coprod_{r \geq 0} X_r\)는 함자

\[F_{flat} : \Sch/X \longrightarrow \textit{Sets},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ flat over }T\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 를 표현한다. 또한 \(\mathcal{F}|_{X_r}\)는 계수 \(r\)인 국소 자유 가군이고, 사상 \(X_r \to X\)와 \(X' \to X\)는 유한 표시이다.

증명

Étale 국소화에 의해 Divisors, Lemma 05P9로 환원된다.

유효 Cartier 제수

어떤 이유에서인지 다른 모든 것보다 먼저 유효 Cartier 제수의 개념을 정의하는 것이 편리하다. Morphisms of Spaces, Section 03MA에서 닫힌 부분공간과 준연접 아이디얼 층 사이의 대응을 논의했음을 주목하자. 또한 Properties of Spaces, Section 05VR에서 준연접 가군의 성질, 특히 “\(1\)개의 원소로 국소적으로 생성됨”을 논의했다. 이 참고문헌들은 다음 정의가 스킴에 대한 정의와 양립함을 보여 준다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(X\)의 국소 주 닫힌 부분공간이란 그 아이디얼 층이 \(1\)개의 원소로 국소적으로 생성되는 닫힌 부분공간이다.

2. \(X\) 위의 유효 Cartier 제수란 닫힌 부분공간 \(D \subset X\) 중에서 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_X\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 것이다.

따라서 유효 Cartier 제수는 국소 주 닫힌 부분공간이지만, 그 역은 언제나 참인 것은 아니다. 유효 Cartier 제수는 가능한 가장 강한 의미에서 순수 공차원 \(1\)인 닫힌 부분공간이다. 즉, 이들은 영인자가 아닌 하나의 원소로 국소적으로 잘린다. 특히 어디에서도 조밀하지 않다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(D \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 부분공간 \(D\)는 \(X\) 위의 유효 Cartier 제수이다.

2. 어떤 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to X\)에 대해 역상 \(D \times_X U\)는 \(U\) 위의 유효 Cartier 제수이다.

3. 모든 스킴 \(U\)와 모든 étale 사상 \(U \to X\)에 대해 역상 \(D \times_X U\)는 \(U\) 위의 유효 Cartier 제수이다.

4. 모든 \(x \in |D|\)에 대해 점이 지정된 대수공간들의 étale 사상 \((U, u) \to (X, x)\)가 존재하여 \(U = \Spec(A)\)이고 \(D \times_X U = \Spec(A/(f))\)이며, \(f \in A\)는 영인자가 아니다.

증명

(1)–(3)의 동치는 Definition 083B와 그 앞의 참고문헌들에서 따른다. (1)을 가정하고 \(x \in |D|\)라 하자. 스킴 \(W\)와 전사 étale 사상 \(W \to X\)를 택하자. \(w \in D \times_X W\)를 택하여 \(x\)로 가게 하자. (3)에 의해 \(D \times_X W\)는 \(W\) 위의 유효 Cartier 제수이다. 따라서

아핀 étale 근방 \(U\)를 찾을 수 있다. 이는 \(w\)의 \(W\) 안의 아핀 열린 근방을 택하는 것으로, Divisors, Lemma 01WS에서와 같다.

(4)를 가정하자. 그러면 Divisors, Lemma 01WS에 의해 \(\mathcal{I}_D|_U\)가 가역임을 알 수 있다. \(X\)의 étale 덮개를 이러한 모든 \(U\)와 \(X \setminus D\)의 모음으로 찾을 수 있으므로, \(\mathcal{I}_D\)는 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 국소 주 닫힌 부분공간이라 하고 \(U = X \setminus Z\)로 두자. 그러면 \(U \to X\)는 아핀 사상이다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 étale 국소적이다. Morphisms of Spaces, Lemmas 03WG와 Lemma 083C를 보라. 따라서 스킴의 경우, 즉 Divisors, Lemma 07ZT에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하고 \(U = X \setminus D\)로 두자. 그러면 \(U \to X\)는 아핀 사상이고 \(U\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

증명

아핀성은 Lemma 083D이다. 조밀성 문제는 Morphisms of Spaces, Definition 0834에 의해 \(X\) 위에서 étale 국소적이다. 따라서 스킴의 경우, 즉 Divisors, Lemma 07ZU에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하고 \(x \in |D|\)라 하자. \(\dim_x(X) < \infty\)이면 \(\dim_x(D) < \dim_x(X)\)이다.

증명

유효 Cartier 제수의 정의와 한 점에서 대수공간의 차원에 대한 정의 (Properties of Spaces, Definition 04N5)는 모두 étale 국소적이다. 따라서 이 보조정리는 스킴의 경우, 즉 Divisors, Lemma 056N에서 따른다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 유효 Cartier 제수 \(D_1\), \(D_2\)가 \(X\) 위에 주어졌을 때, \(D = D_1 + D_2\)를 \(X\)의 닫힌 부분공간으로 두는데, 이는 준연접 아이디얼 층

\(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\)에 대응한다. 이를 유효 Cartier 제수 \(D_1\)과 \(D_2\)의 합이라 부른다.

합 \(\sum n_iD_i\)는 유한 개의 유효 Cartier 제수 \(D_i\)가 \(X\) 위에 주어지고 \(n_i\)가 음이 아닌 정수일 때 정의할 수 있음이 명백하다.

보조정리

두 유효 Cartier 제수의 합은 유효 Cartier 제수이다.

증명

생략한다. Étale 국소적으로 다음의 간단한 대수 사실로 환원된다. \(f_1, f_2 \in A\)가 환 \(A\)의 영인자가 아닌 원소들이면 \(f_1f_2 \in A\)도 영인자가 아니다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z, Y\)를 \(X\)의 두 닫힌 부분공간이라 하고, 각각의 아이디얼 층을 \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{J}\)라 하자. \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)가 유효 Cartier 제수 \(D \subset X\)를 정의하면, \(Z\)와 \(Y\)는 유효 Cartier 제수이고 \(D = Z + Y\)이다.

증명

Lemma 083C에 의해 스킴의 경우, 즉 Divisors, Lemma 07ZV로 환원된다.

Morphisms of Spaces, Definition 083Q에서 대수공간들의 임의의 사상에 따른 닫힌 부분공간의 역상을 정의했음을 상기하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X' \to X\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(Z \subset X\)를 국소 주 닫힌 부분공간이라 하자. 그러면 역상 \(f^{-1}(Z)\)는 \(X'\)의 국소 주 닫힌 부분공간이다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X' \to X\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(D \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하자. \(D\)의 \(f\)에 의한 당김이 정의된다고 하는 것은 닫힌 부분공간 \(f^{-1}(D) \subset X'\)가 유효 Cartier 제수라는 뜻이다. 이 경우 이를 \(f^*D\) 또는 \(f^{-1}(D)\)로 나타내고 유효 Cartier 제수의 당김이라 부른다.

\(f^{-1}(D)\)가 유효 Cartier 제수라는 조건은 실제로 흔히 만족된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(D \subset Y\)를 유효 Cartier 제수라 하자. 다음 각 경우에 \(D\)의 \(f\)에 의한 당김이 정의된다.

1. \(f(x) \not \in |D|\)가 모든 약연관점 \(x\), 즉 \(X\)의 약연관점에 대해 성립한다.

2. \(f\)는 평탄하다.

3. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

증명

Étale 국소적으로 작업하면 이 보조정리는 스킴의 경우로 환원된다. Divisors, Lemma 02OO를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X' \to X\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(D_1\), \(D_2\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 제수라 하자. \(D_1\)과 \(D_2\)의 당김들이 정의되면 \(D = D_1 + D_2\)의 당김도 정의되며 \(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\)이다.

증명

생략한다.

유효 Cartier 제수와 가역 층

유효 Cartier 제수는 가역 아이디얼 층을 가지므로(Definition 083B), 다음 정의는 의미가 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(D \subset X\)를 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_D\)를 갖는 유효 Cartier 제수라 하자.

1. 가역 층 \(\mathcal{O}_X(D)\)는 \(D\)에 연관되며 다음과 같이 정의한다. \[\mathcal{O}_X(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_X) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\]

2. 보통 \(1\) 또는 \(1_D\)로 나타내는 표준 단면은 \(\mathcal{O}_X(D)\)의 대역 단면이며, 포함 사상 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_X\)에 대응한다.

3. 다음과 같이 쓴다. \(\mathcal{O}_X(-D) = \mathcal{O}_X(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\).

4. 두 번째 유효 Cartier 제수 \(D' \subset X\)가 주어지면 다음과 같이 정의한다. \(\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(-D')\).

몇 가지 주석을 덧붙이자. 아래에서 대응 \(D \mapsto \mathcal{O}_X(D)\)가 유효 Cartier 제수의 덧셈(Definition 083U)을 \(X\)의 Picard 군의 덧셈(Lemma 0842)으로 보냄을 볼 것이다. 그러나 위 정의의 표현 \(D - D'\)는 기하학적 의미를 갖지 않는다. 더 정확히 말하면, \(X\) 위 유효 Cartier 제수들의 집합을 공집합인 유효 Cartier 제수를 영원소로 갖는 가환 모노이드 \(\text{EffCart}(X)\)로 생각할 수 있다. 그러면 대응 \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_X(D - D')\)는 군 준동형 \[\text{EffCart}(X)^{gp} \longrightarrow \Pic(X)\] 을 정의하며, 여기서 왼쪽은 \(\text{EffCart}(X)\)의 군 완성이다. 다시 말해 \(\mathcal{O}_X(D - D')\)라고 쓸 때 \(D - D'\)를 \(\text{EffCart}(X)^{gp}\)의 원소로 생각할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하자. 그러면 여법선 층에 대해

\(\mathcal{C}_{D/X} = \mathcal{I}_D|D = \mathcal{O}_X(D)^{\otimes -1}|_D\)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(D_1\), \(D_2\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 제수라 하고 \(D = D_1 + D_2\)로 두자. 그러면 유일한 동형사상 \[\mathcal{O}_X(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_X(D)\] 이 존재하여 \(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\)를 \(1_D\)로 보낸다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역 층이라 하자. 대역 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)에 대해 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\), \(f \mapsto fs\)가 단사이면 이를 정칙 단면이라 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 정칙 단면이다.

2. 임의의 \(x \in X\)에 대해 상 \(f \in \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 영인자가 아니다.

3. 임의의 아핀 \(U = \Spec(A)\)가 \(X\) 위에서 étale이면 제한 \(f|_U\)는 \(A\)의 영인자가 아닌 원소이다.

4. 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to X\)가 존재하여 \(f|_U\)는 \(\mathcal{O}_U\)의 정칙 단면이다.

증명

생략한다.

\(s\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)의 대역 단면이면, 이를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)로 볼 수 있음을 주목하자. 따라서 그 쌍대는 사상 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)이다. (쌍대 가역 층에 대해서는 Modules on Sites, Lemma 040A를 보라.)

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 층이라 하고 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자. \(s\)의 영점 스킴은 닫힌 부분공간 \(Z(s) \subset X\)로서, 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 정의되며 이 층은 사상 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)의 상이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자.

1. 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\) 중에서

   \(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L}))\)가 영이 되는 것들을 포함관계로 순서화하여 생각하자. 영점 스킴 \(Z(s)\)는 이 순서집합의 최대원소이다.

2. 임의의 사상 \(f : Y \to X\)가 \(S\) 위 대수공간들의 사상이면 \(f^*s = 0\)가 \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) 안에서 성립할 필요충분조건은 \(f\)가 \(Z(s)\)를 통해 인수분해되는 것이다.

3. 영점 스킴 \(Z(s)\)는 \(X\)의 국소 주 닫힌 부분공간이다.

4. 영점 스킴 \(Z(s)\)가 \(X\) 위의 유효 Cartier 제수일 필요충분조건은 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 정칙 단면인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(D \subset X\)가 유효 Cartier 제수이면 표준 단면 \(1_D\), 즉 \(\mathcal{O}_X(D)\)의 표준 단면은 정칙이다.

2. 역으로 \(s\)가 가역 층 \(\mathcal{L}\)의 정칙 단면이면, 유일한 유효 Cartier 제수 \(D = Z(s) \subset X\)와 유일한 동형사상 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\)이 존재하고, 이 사상은 \(1_D\)를 \(s\)로 보낸다.

구성 \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\)와 \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\)는 서로 역인 사상 \[\left\{ \begin{matrix} \text{effective Cartier divisors on }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{pairs }(\mathcal{L}, s)\text{ consisting of an invertible}\\ \mathcal{O}_X\text{-module and a regular global section} \end{matrix} \right\}\] 을 준다.

증명

생략한다.

Noether 대수공간 위의 유효 Cartier 제수

국소 Noether 상황에서는 유효 Cartier 제수와 정칙 단면에 관한 논의의 대부분이 다소 단순해진다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 대수공간이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하자. \(X\)가 \((S_k)\)이면 \(D\)는 \((S_{k - 1})\)이다.

증명

대수공간에 대한 성질 \((S_k)\)의 정의(Properties of Spaces, Section 03E5)와 Lemma 083C에 의해 스킴의 경우 (Divisors, Lemma 0B3R)에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정규 대수공간이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하자. 그러면 \(D\)는 \((S_1)\)이다.

증명

대수공간에 대한 정규성의 정의(Properties of Spaces, Section 03E5)와 Lemma 083C에 의해 스킴의 경우 (Divisors, Lemma 0B3S)에서 따른다.

다음 보조정리는 때때로 유효 Cartier 제수를 만드는 데 사용할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 정칙 Noether 분리 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 조밀한 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 유효 Cartier 제수 \(D \subset X\)가 존재하여 \(U = X \setminus D\)이다.

증명

\(D\)를 \(X \setminus U\) 위의 축약 유도 대수공간 구조라 하자(Properties of Spaces, Definition 047X)가 원하는 유효 Cartier 제수라고 주장한다. \(D\)의 구성은 étale 국소화와 가환한다. Properties of Spaces, Lemma 03IQ의 증명을 보라. 전사 étale 사상 \(X' \to X\)를 택하되 \(X'\)가 아핀이 되게 하자. \(X\)가 분리이므로 \(U' = X' \times_X U\)가 아핀임을 알 수 있다. \(|X'| \to |X|\)가 열린 사상이므로 \(U'\)는 \(X'\)에서 조밀하다. \(D' = X' \times_X D\)가 \(X' \setminus U'\) 위의 축약 유도 스킴 구조이므로, Divisors, Lemma 0BCW와 그 증명에 의해 \(D'\)는 유효 Cartier 제수이다. 이것이 보일 것이었다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 정칙 Noether 분리 대수공간이라 하자. 그러면 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 다음 층과 동형이다. \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] 여기서 \(D, D'\)는 \(X\) 안의 어떤 유효 Cartier 제수들이다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 조밀한 아핀 열린집합 \(U \subset X\)를 택하여 \(\mathcal{L}|_U\)가 자명하게 하자. \(X\)는 스킴인 조밀한 열린 부분공간을 가지므로 이것이 가능하다. Properties of Spaces, Proposition 06NH를 보라.

자명화를 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{L}|_U\)로 나타내자. \(U\)의 여집합은 유효 Cartier 제수 \(D\)이다. 어떤 \(n > 0\)에 대해 사상 \(s\)가 유일하게 다음 사상으로 연장된다고 주장한다. \[s : \mathcal{O}_X(-nD) \longrightarrow \mathcal{L}\] 이 주장은 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(nD)\)가 정칙 대역 단면을 가져 \(\mathcal{O}_X(D')\)와 동형임을 보인다. 여기서 \(D'\)는 Lemma 0847에서 주어진 어떤 유효 Cartier 제수이다. 따라서 이 주장은 보조정리를 함의한다. 주장을 증명하기 위해 étale 국소적으로 작업할 수 있다. 따라서 \(X\)가 아핀 Noether 스킴이라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{O}_X(-nD) = \mathcal{I}^n\)이고, 여기서 \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\)는 \(D\)의 \(X\) 안의 아이디얼 층이므로, 이 경우는 Cohomology of Schemes, Lemma 01YB에서 따른다.

다음 보조정리는 사실 다른 절에 속한다.

보조정리

\(R\)을 분수체 \(K\)를 갖는 값매김환이라 하자. \(X\)를 \(R\) 위의 대수공간이라 하고 \(X \to \Spec(R)\)가 매끄럽다고 하자. 모든 유효 Cartier 제수 \(D \subset X_K\)에 대해 유효 Cartier 제수 \(D' \subset X\)가 존재하여 \(D'_K = D\)이다.

증명

\(D' \subset X\)를 \(D \to X_K \to X\)의 스킴론적 상이라 하자. 이 사상은 준콤팩트이므로 \(D'\)의 형성은 평탄한 밑변환과 가환한다. Morphisms of Spaces, Lemma 089E를 보라. 특히 \(D'_K = D\)임을 얻는다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(X = \Spec(A)\)라 쓰자. 그러면 \(X_K = \Spec(A \otimes_R K)\)이고 \(D\)는 아이디얼 \(I \subset A \otimes_R K\)에 대응한다. \(J = I \cap A\)가 \(X\)에서 유효 Cartier 제수를 잘라 냄을 보여야 한다. 먼저 \(A/J\)가 \(R\) 위에서 평탄함을 관찰하자(\(R\)-가군으로서 꼬임이 없기 때문이다. More on Algebra, Lemma 0539를 보라). 따라서 More on Algebra, Lemma 053E와 Algebra, Lemma 0519에 의해 \(J\)는 유한 생성이다. 그러므로 \(J_\mathfrak q \subset A_\mathfrak q\)가 한 원소로 생성됨을 각 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해 보이면 충분하다. \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)로 두자. 그러면 \(R_\mathfrak p\)는 값매김환이다(Algebra, Lemma 088Y). 또한 \(A_\mathfrak q/\mathfrak p A_\mathfrak q\)는 Algebra, Lemma 00TT에 의해 정칙환임을 관찰하자. 따라서 More on Algebra, Lemma 0DLQ를 적용하면 \(I(A_\mathfrak q \otimes_R K)\)가 한 원소 \(f \in A_\mathfrak p \otimes_R K\)로 생성됨을 알 수 있다. 분모를 제거하여 \(f \in A_\mathfrak q\)라고 가정할 수 있다. \(\mathfrak c \subset R_\mathfrak p\)를 \(f\)의 내용 아이디얼이라 하자(More on Algebra, Definition 0ASA 및 More on Flatness, Lemma 0ASX를 보라). \(R_\mathfrak p\)는 값매김환이고 \(\mathfrak c\)는 유한 생성이므로(More on Algebra, Lemma 0ASB), \(\mathfrak c = (\pi)\)이고 여기서 \(\pi \in R_\mathfrak p\)이다(Algebra, Lemma 090Q).

\(f\)를 \(\pi^{-1}f\)로 바꾸면 \(f \in A_\mathfrak q\)이고 \(f \not \in \mathfrak pA_\mathfrak q\)임을 알 수 있다.

주장: \(I_\mathfrak q = (f)\)이며, 이로써 증명이 끝난다. 주장을 보이기 위해 \(f \in I_\mathfrak q\)임을 관찰하자. 따라서 전사 \(A_\mathfrak q/(f) \to A_\mathfrak q/I_\mathfrak q\)가 있고, 이는 \(R\) 위에서 \(K\)와 텐서한 뒤 동형사상이 된다. 그러므로 \(A_\mathfrak q/(f)\)가 \(R_\mathfrak p\)-평탄이면 끝난다. 이는 Algebra, Lemma 046Z과 \(f\)의 선택에서 따른다.

상대 유효 Cartier 제수

다음 보조정리는 밑공간 위에서 평탄한 유효 Cartier 제수가 실제로 밑공간 위의 “유효 Cartier 제수들의 족”임을 보여 준다. 예를 들어 임의의 섬유에 대한 제한은 유효 Cartier 제수이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고 \(D \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(D\)는 유효 Cartier 제수이다.

2. \(D \to Y\)는 평탄 사상이다.

그러면 스킴들의 모든 사상 \(g : Y' \to Y\)에 대해 당김 \((g')^{-1}D\)는 \(X' = Y' \times_Y X\) 위의 유효 Cartier 제수이다. 여기서 \(g' : X' \to X\)는 사영이다.

증명

Lemma 083C를 사용하면 유효 Cartier 제수라는 성질은 étale 국소적이다.

따라서 이 보조정리는 즉시 스킴의 경우, 즉 Divisors, Lemma 056Q로 환원된다.

이 보조정리가 다음 정의의 동기이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(X/Y\) 위의 상대 유효 Cartier 제수란 유효 Cartier 제수 \(D \subset X\) 중에서 \(D \to Y\)가 대수공간들의 평탄 사상인 것이다.

유리형 함수와 단면

이 절은 Divisors, Section 01X1에 대응한다.

주의하라. 이 내용에서는 스킴의 경우보다 대수공간의 경우에 실수하기가 훨씬 더 쉽다!

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 임의의 스킴 \(U\)가 \(X\) 위에서 étale이면, 집합 \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\)를 \(\mathcal{O}_X\)의 \(U\) 위 정칙 단면들의 집합으로 Definition 0843에서 정의했다. 정칙 단면을 étale \(V/U\)에 제한해도 정칙이다. 따라서 \(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 (집합의) 부분층이다. 때때로 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\)라고 써서 \(X\)에 대한 의존성을 나타낸다. 또한 \(\mathcal{S}(U)\)는 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 곱셈적 부분집합이고, 이는 각 \(U\)에 대해 성립한다. 따라서 환의 앞층 \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] 을 \(X_\etale\) 위에서 생각하고 그 층화를 취할 수 있다. Modules on Sites, Section 0EMB를 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\) 위의 유리형 함수의 층은 위에 표시한 앞층에 연관된 층 \(\mathcal{K}_X\)이며, 이는 \(X_\etale\) 위의 층이다. \(X\) 위의 유리형 함수란 \(\mathcal{K}_X\)의 대역 단면이다.

각 \(\mathcal{S}(U)\)의 각 원소는 \(\mathcal{O}_X(U)\)에서 영인자가 아니므로 환의 층의 자연스러운 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\)가 단사임을 알 수 있다. 또한 층화와 줄기를 취하는 일이 양립하므로 \[\mathcal{K}_{X, \overline{x}} = \mathcal{S}_{\overline{x}}^{-1}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 임을 임의의 기하적 점 \(\overline{x}\), 즉 \(X\)의 기하적 점에 대해 알 수 있다. 집합 \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합에 포함되지만, 일반적으로 두 집합은 같지 않다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(U\)가 아핀이고 \(X\) 위에서 étale이면 집합 \(\mathcal{S}_X(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합이다.

증명

Lemma 0844에서 따른다.

다음으로 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하고, 이 층이 \(X_\etale\) 위에 있다고 하자. 앞층 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\)를 생각하자. 그 층화는 층 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)이다. Modules on Sites, Lemma 0EMD을 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하고, 이 층이 \(X_\etale\) 위에 있다고 하자.

1. \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\)로 \(\mathcal{K}_X\)-가군의 층을 나타내며, 이 층은 앞층 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\)의 층화이다. 동치로 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)이다(위를 보라).

2. \(\mathcal{F}\)의 유리형 단면이란 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\)의 대역 단면이다.

특히 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{K}_{X, \overline{x}} = \mathcal{S}_{\overline{x}}^{-1}\mathcal{F}_{\overline{x}}\] 이고, 이는 임의의 기하적 점 \(\overline{x}\), 즉 \(X\)의 기하적 점에 대해 성립한다. 그러나 위에서 지적했듯이 \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\)가 étale 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합이 아닐 수 있으므로 주의해야 한다. 유리형 단면의 층들은 일반적으로 준연접 가군이 아니지만, 준연접 가군과 몇몇 성질을 공유한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)의 모든 약연관점은 공차원 \(0\)인 점이다.

2. \(X\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족한다.

그러면

1. \(\mathcal{K}_X\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 층이다.

2. 아핀 \(U \in X_\etale\)에 대해 \(\mathcal{K}_X(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 전분수환이다.

3. 기하적 점 \(\overline{x}\)에 대해 집합 \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합이다.

4. 기하적 점 \(\overline{x}\)에 대해 환 \(\mathcal{K}_{X, \overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 전분수환이다.

증명

Lemma 0844에 의해

아핀 \(U \in X_\etale\)에 대해 \(\mathcal{S}_X(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합이다. 따라서 앞층 \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\)는 \[U \longmapsto Q(\mathcal{O}_X(U))\] 와 같고, 이는 \(X_{affine, \etale}\) 위에서의 등식이다. 표기는 Algebra, Example 02C5에서와 같다. 공차원 \(0\)인 \(X\)의 점들은 \(U\)의 일반점들에 대응함을 관찰하자. Properties of Spaces, Lemma 0BAQ를 보라. 따라서 \(U = \Spec(A)\)이면 \(A\)는 유한 개의 극소 소아이디얼을 가지며, \(A\)의 모든 약연관 소아이디얼은 극소이다. \(A\)의 임의의 étale 확대에 대해서도 같은 사실이 성립한다(그 스펙트럼은 \(X\) 위에서 étale인 아핀 스킴이므로 앞 문장에서 \(A\)의 역할을 할 수 있다). 우리 앞층이 층이고 준연접임을 보이려면, \[Q(A) \otimes_A B \longrightarrow Q(B)\] 가 동형사상임을 보이면 충분하며, 여기서 \(A \to B\)는 étale 환 사상이다. Properties of Spaces, Lemma 03LZ를 보라. (표시한 화살표를 정의하려면 \(A \to B\)가 평탄이어서 영인자가 아닌 원소들을 영인자가 아닌 원소들로 보냄을 관찰하라.)

Algebra, Lemmas 02LX와 05C3에 의해 \[Q(A) = \prod\nolimits_{\mathfrak p \subset A\text{ minimal}} A_\mathfrak p \quad\text{and}\quad Q(B) = \prod\nolimits_{\mathfrak q \subset B\text{ minimal}} B_\mathfrak q\] 이다. \(A \to B\)가 étale이므로 \(B\)의 극소 소아이디얼들은 정확히 \(B\)의 소아이디얼들 중 \(A\)의 극소 소아이디얼 위에 놓이는 것들이다(예컨대 More on Algebra, Lemma 07QP에 의해). Algebra, Lemmas 06RS, 04GG의 (13), 그리고 04GJ에 의해 \(A_\mathfrak p \otimes_A B\)는 \(A_\mathfrak p\) 위의 유한 étale 국소환들의 유한 곱이다. 이는 명백히 \(A_\mathfrak p \otimes_A B = \prod_{\mathfrak q\text{ lies over }\mathfrak p} B_\mathfrak q\)를 함의하며, 이것이 원한 바이다.

이제 (1)과 (2)가 성립함을 안다. (3)을 증명하자. \(s \in \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)를 영인자가 아닌 원소라 하자. 그러면 étale 근방 \((U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\)와 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\)를 찾아 \(s\)로 가게 할 수 있다. \(u \in U\)를 \(\overline{u}\)가 정하는 점이라 하자. \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 강 Hensel화로서 충실 평탄이므로, \(f\)는 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 영인자가 아닌 원소로 감을 알 수 있다. Divisors, Lemma 0EMF에 의해 \(U\)를 줄이고 나면 \(f\)가 영인자가 아닌 원소이며 따라서 \(\mathcal{S}_X(U)\)의 단면임을 얻는다. (4)는 줄기를 계산하여 (3)에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)의 모든 약연관점은 공차원 \(0\)인 점이다.

2. \(X\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족한다.

3. \(X\)는 스킴 \(X_0\)로 표현된다(어색하지만 임시로 쓰는 표기이다).

그러면 유리형 함수의 층 \(\mathcal{K}_X\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 층이며, 유리형 함수의 준연접 층 \(\mathcal{K}_{X_0}\)에 연관된다.

증명

\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)와 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) 사이의 동치에 대해서는 Properties of Spaces, Section 03G5을 보라. 이 보조정리가 참인 이유는 \(\mathcal{K}_X\)와 \(\mathcal{K}_{X_0}\)가 준연접이고, Lemma 0EN6와 Divisors, Lemma 0EMF에 의해 \(X\)와 \(X_0\)의 서로 대응하는 아핀 열린집합에서 같은 값을 갖기 때문이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)에 대해 유리형 함수의 당김이 정의된다고 하는 것은 다음 임의의 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] 과 \(U \in X_\etale\), \(V \in Y_\etale\), 그리고 임의의 단면 \(s \in \mathcal{S}_Y(V)\)에 대해 당김 \(f^\sharp(s) \in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(\mathcal{S}_X(U)\)의 원소라는 뜻이다.

이 경우 유도 사상 \(f^\sharp : f_{small}^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\)가 있다. 다시 말해 환 달린 토포스들의 사상으로 이루어진 가환 그림 \[\xymatrix{ (\Sh(X_\etale), \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^{f_{small}} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^{f_{small}} \\ (\Sh(Y_\etale), \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) }\] 을 얻는다. 때때로 \(f^*(s) = f^\sharp(s)\)라고 쓰며, 여기서 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\)는 단면이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자.

다음 각 경우에 유리형 단면의 당김이 정의된다.

1. \(X\)의 약연관점들은 공차원 \(0\)인 \(Y\)의 점들로 보내진다.

2. \(f\)는 평탄하다.

3. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

증명

Étale 국소적으로 작업하면 스킴의 경우로 옮겨진다. Divisors, Lemma 02OU를 보라. 이 번역에는 Lemma 0844(정칙 단면의 기술), Definition 0CTX(약연관점의 정의), 그리고 Properties of Spaces, Lemma 0BAQ(공차원 \(0\)인 점의 기술)을 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)의 모든 약연관점은 공차원 \(0\)인 점이다.

2. \(X\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족한다.

3. 공차원 \(0\)인 \(X\)의 모든 점은 단사사상 \(\Spec(k) \to X\)로 표현될 수 있다.

\(X^0 \subset |X|\)를 공차원 \(0\)인 \(X\)의 점들의 집합이라 하자. 그러면 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] 이다. 여기서 \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\)는 Schemes, Section 01J5의 표준 사상이다. 이는 \(X^0\)가 \(X\)의 스킴적 자리에 포함되므로 의미가 있다. 마찬가지로 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 를 \(\mathcal{F}\)의 유리형 단면의 층에 대해 얻는다. 마지막으로 \(X\)의 유리함수환은 \(X\) 위의 유리형 함수들의 환이며, 식으로 쓰면 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)이다.

증명

Decent Spaces, Lemma 0BB8와 Section 03I7에 의해 \(X\)가 decent임을 알 수 있다¹. 따라서 \(X^0 \subset |X|\)는 기약 성분들의 일반점들의 집합이고(Decent Spaces, Lemma 0ABV), (b)에 의해 \(X^0\)는 \(|X|\)에서 국소 유한이다. 따라서 \(X^0\)는 \(|X|\)의 모든 조밀한 열린 부분집합에 포함된다. 특히 \(X^0\)는 스킴적 자리에 포함된다(Decent Spaces, Theorem 086U). 그러므로 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)와 사상 \(j_\eta\)가 정의된다.

가군 층들의 국소 유한 직합은 곱과 같음을 관찰하자. 이 사실과 \(X^0\)가 \(|X|\)에서 국소 유한이라는 사실이 명제의 직합과 곱 사이의 등식들을 설명한다. 이제 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)이므로 두 번째 등식은 첫 번째 등식에서 따른다.

다음과 같이 두자. \[j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\]

이는 사상들 \(j_\eta\)의 곱이다. \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\)임을 보여야 한다. \(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\)임을 관찰하자. 실제로 \(Y\)는 차원 \(0\)인 국소환들의 스펙트럼들의 서로소 합이고, 차원 영인 국소환에서는 영인자가 아닌 모든 원소가 단위원이다. 다음으로 Lemma 0EN9에 의해 \(j\)에 대한 유리형 함수의 당김이 정의됨을 주목하자. 이로부터 사상 \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] 을 얻는다. 아핀 \(U \in X_\etale\)를 택하자. Lemma 0EN6에 의해

왼쪽 항을 계산하면 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 전분수환을 얻는다. 다른 한편, 오른쪽 항은 \(U\)의 공차원 \(0\)인 점들, 즉 \(U\)의 일반점들에서의 국소환들의 곱과 같다. 이 두 환은 이미 Lemma 0EN6의 증명에서 보았듯이 Algebra, Lemmas 02LX와 05C3에 의해 같다. 따라서 우리 사상은 동형사상이다.

마지막으로 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)임을 보여야 한다. 이는 스킴적 자리 \(X' \subset X\)에 스킴의 경우(Divisors, Lemma 0EMF)를 적용하면 따른다. 실제로 \(X\)의 유리함수환은 정의에 의해 \(X'\) 위의 유리함수환과 같다. 이 부분공간이 \(X\)의 조밀한 열린 부분공간이기 때문이다(위를 보라). 물론 \(R(X')\)는 \(X'\)를 스킴으로 볼 때의 유리함수환과 일치한다. 다른 한편 위의 \(\mathcal{K}_X\)에 대한 기술과 위에서 본 사실, 즉 \(X^0 \subset |X'|\)가 임의의 조밀한 열린집합에 포함된다는 사실로부터 \(\Gamma(X, \mathcal{K}_X) = \Gamma(X', \mathcal{K}_{X'})\)임을 알 수 있다. 마지막으로 Lemma 0EN7에 기록된 양립성을 사용한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 유리형 단면 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 단면일 때, 유도 사상 \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)가 단사이면 이를 정칙이라고 한다.

(정칙) 유리형 단면을 언제 당길 수 있는지 자세히 적어 보자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)에 대해 유리형 함수의 당김이 정의된다고 가정하자(Definition 0EN8을 보라).

1. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하자. 다음 표준 당김 사상이 있다. \[f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\] 이는 \(\mathcal{F}\)의 유리형 단면에 대한 당김 사상이다.

2. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 정칙 유리형 단면 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 단면이면, 그 당김 \(f^*s\)는 \(f^*\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 단면이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간으로서 Lemma 0ENA의 (a), (b), (c)를 만족한다고 하자. 그러면 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)은 정칙 유리형 단면을 갖는다.

증명

Lemma 0ENA의 표기를 쓰자.

\(\mathcal{L}_\eta\), 즉 \(\mathcal{L}\)의 \(\eta \in X^0\)에서의 줄기는 정의되며, 계수 \(1\)인 자유 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)-가군이다. 생성원 \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\)를 모든 \(\eta \in X^0\)에 대해 택하자. Lemma 0ENA의 \(\mathcal{K}_X\)와 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)에 대한 기술에서 \(s = \prod s_\eta\)가 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 단면임이 즉시 따른다.

상대 Proj

이 절에서는 대수공간의 맥락에서 상대 Proj의 구성을 다시 살펴본다. 이 절의 내용은 스킴의 경우에 관한 Constructions, Section 01NS과 Divisors, Section 07ZW의 내용에 대응한다.

설정

여기서 \(S\)는 스킴이고, \(X\)는 \(S\) 위의 대수공간이며, \(\mathcal{A}\)는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수이다.

Situation 0849에서 대수공간이 될 함자 \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 정의하려 한다. 필요한 변경을 가하여 Constructions, Section 01NS의 절차를 따르겠다. 먼저 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에서 주어졌을 때, \(T\) 위의 사중쌍을 다음 자료의 계 \((d, f : T \to X, \mathcal{L}, \psi)\)로 정의한다.

1. \(d \geq 1\)은 정수이고,

2. \(f : T \to X\)는 \(S\) 위의 사상이며,

3. \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군이고,

4. \(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\) 는 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 준동형으로서 \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\)가 전사이다.

두 사중쌍 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\)가 동치라는 것은² 다음을 뜻한다. 즉, \(f = f'\)이고 어떤 양의 정수 \(m = ad = a'd'\)에 대해 동형사상 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\)가 존재하여 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\)와 \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\)가 다음 등급환 사상으로서 일치한다.

\(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\). 사중쌍 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)와 사상 \(h : T' \to T\)가 주어지면 당김 \((d, f \circ h, h^*\mathcal{L}, h^*\psi)\)가 있다. 당김은 동치관계를 보존한다. 마지막으로 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에서 준콤팩트일 때 \[F(T) = \text{사중쌍의 동치류들의 집합, 그 밑은 }T\] 로 두고, 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에서 임의로 주어졌을 때는 \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ 준콤팩트 열린집합}} F(V).\] 로 둔다. 다시 말해 원소 \(\xi\)가 \(F(T)\)에 속하는 것은 원소 \(\xi_V \in F(V)\)들의 양립하는 선택계에 대응한다. 여기서 \(V\)는 \(T\)의 준콤팩트 열린집합들을 달린다. 이로써 다음 함자를 정의하였다. [084A]\[\begin{equation} F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 함자의 사상 \(F \to X\)가 있으며, 이는 사중쌍 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)를 \(f\)로 보낸다.

보조정리

Situation 0849에서 위 함자 \(F\)는 대수공간이다. 임의의 사상 \(g : Z \to X\)에서 \(Z\)가 스킴이면, 더 이상의 밑변환과 양립하는 표준 동형사상 \(\underline{\text{Proj}}_Z(g^*\mathcal{A}) = Z \times_X F\)가 있다.

증명

두 번째 주장을 증명하면 충분하다. Spaces, Lemma 02WY를 보라. 사상 \(g : Z \to X\)를 택하되 \(Z\)는 스킴이라 하자. \(F'\)를 등급 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-대수 \(g^*\mathcal{A}\)에 연관된 사중쌍의 함자라 하자. 그러면 표준 동형사상 \(F' = Z \times_X F\)가 있으며, 이는 사중쌍 \((d, f : T \to Z, \mathcal{L}, \psi)\)로서 \(F'\)에 속하는 것을 \((d, g \circ f, \mathcal{L}, \psi)\)로 보낸다. 세부사항은 생략하며, Constructions, Lemma 01NT의 증명을 보라. Constructions, Lemmas 01NW, 01NY, 01NZ와

Definition 01O0에 의해 \(F'\)는 \(\underline{\text{Proj}}_Z(g^*\mathcal{A})\)로 표현된다.

위 보조정리에 의해 다음 정의가 의미를 갖는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접 층이라 하자. \(\mathcal{A}\)의 \(X\) 위 상대 동차 스펙트럼, 또는 \(\mathcal{A}\)의 \(X\) 위 동차 스펙트럼, 또는 \(\mathcal{A}\)의 \(X\) 위 상대 Proj는 Lemma 084B의 대수공간 \(F\), 즉 \(X\) 위의 대수공간이다. 이를 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)로 나타낸다.

특히 상대 Proj의 구조 사상은 구성에 의해 표현 가능하다. 상대 Proj를 붙이기를 통해 생각할 수도 있다. \(\varphi : U \to X\)를 전사 étale 사상이라 하되 \(U\)는 스킴이라 하자. \(R = U \times_X U\)로 두고 그 사영 사상들을 \(s, t : R \to U\)라 하자. Lemma 084B에 의해 표준 동형사상 \[\gamma : \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \times_X U\] 이 존재하며 이는 \(U\) 위에 있다. \(\alpha : t^*\varphi^*\mathcal{A} \to s^*\varphi^*\mathcal{A}\)를 Properties of Spaces, Proposition 03M3의 표준 동형사상이라 하자. 그러면 그림 \[\xymatrix{ & \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \times_{U, s} R \ar@{=}[r] & \underline{\text{Proj}}_R(s^*\varphi^*\mathcal{A}) \ar[dd]_{\text{다음에 의해 유도됨 }\alpha} \\ \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \times_X R \ar[ru]_{s^*\gamma} \ar[rd]^{t^*\gamma} \\ & \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \times_{U, t} R \ar@{=}[r] & \underline{\text{Proj}}_R(t^*\varphi^*\mathcal{A}) }\] 은 가환이다. 등호들은 Constructions, Lemma 01O3에서 나온다.

\(\mathcal{A}_U\), \(\mathcal{A}_R\)로 \(\mathcal{A}\)의 \(U\), \(R\)로의 당김을 나타내면, \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\)는 스킴 \(P_U = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_U)\)에 의한 étale 덮개를 가지며, \(P_U \times_P P_U\)는 \(P_R = \underline{\text{Proj}}_R(\mathcal{A}_R)\)와 같다. 이 설명을 이용하면 통상적인 방식대로 étale 국소화를 써서 상대 Proj에 관한 결과를 스킴의 경우에서 대수공간의 경우로 옮길 수 있다.

보조정리

Situation 0849에서 상대 Proj에는 준연접 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수의 층 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(n)\)과 등급 대수의 표준 준동형 \[\psi : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(n)\] 이 주어지며, \(X\) 위의 임의의 스킴으로 밑변환하면 Constructions, Lemma 01NR와 일치한다.

증명

Definition 084C 뒤의 논의에서처럼 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to X\)를 택하고, \(R = U \times_X U\)로 두되 그 사영들을 \(s, t : R \to U\)라 하며, \(\mathcal{A}_U = \mathcal{A}|_U\), \(\mathcal{A}_R = \mathcal{A}|_R\), \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\), \(\pi_U : P_U = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_U)\) 및

\(\pi_R : P_R = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_R)\)로 두자.

Constructions, Lemma 01NR에 의해 준연접 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{P_U}\)-대수의 층 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{P_U}(n)\)과 표준 사상 \(\psi_U : \pi_U^*\mathcal{A}_U \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{O}_{P_U}(n)\) 이 있고, \(P_R\)에 대해서도 마찬가지이다. Constructions, Lemma 01O3에 의해 \(\mathcal{O}_{P_U}(n)\)과 \(\psi_U\)를 어느 사영 \(P_R \to P_U\)로 당겨도 각각 \(\mathcal{O}_{P_R}(n)\)과 \(\psi_R\)가 된다. Properties of Spaces, Proposition 03M3에 의해 \(\mathcal{O}_{P}(n)\)과 \(\psi\)를 얻는다. \(X\) 위의 임의의 스킴으로의 당김과 양립한다는 검증은 생략한다.

상대 Proj를 구성했으므로 이제 몇 가지 기본 성질을 살펴보자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(g : X' \to X\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접 층이라 하자. 그러면 표준 동형사상 \[r : \underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A}) \longrightarrow X' \times_X \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\] 과 이에 대응하는 동형사상 \[\theta : r^*\text{pr}_2^*\left(\bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(d)\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A})}(d)\] 이 있으며, 후자는 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A})}\)-대수의 동형사상이다.

증명

\(F\)를 함자 (084A)라 하고, \(F'\)를 \(g^*\mathcal{A}\)를 써서 \(X'\) 위에 정의한 대응하는 함자라 하자. 함자의 표준 동형사상 \(r : F' \to X' \times_X F\)가 있다고 주장한다. 물론 \(r\)은 보조정리의 동형사상이다. 전단사 \(r : F'(T) \to X'(T) \times_{X(T)} F(T)\)를 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에서 준콤팩트인 경우에 구성하면 충분하다. 먼저 \(\xi = (d', f', \mathcal{L}', \psi')\)가 \(T\) 위의 사중쌍으로서 \(F'\)에 속하면 \(r(\xi) = (f', (d', g \circ f', \mathcal{L}', \psi'))\)로 둘 수 있다. 이는 다음 등식 때문에 의미가 있다.

\((g \circ f')^*\mathcal{A}^{(d)} = (f')^*(g^*\mathcal{A})^{(d)}\). 역사상은 쌍 \((f', (d, f, \mathcal{L}, \psi))\)를 사중쌍 \((d, f', \mathcal{L}, \psi)\)로 보낸다. 마지막 주장의 증명은 생략한다. 힌트는 étale 국소화로 스킴의 경우로 환원한 뒤 Constructions, Lemma 01O3를 적용하는 것이다.

보조정리

Situation 0849에서 사상 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)는 분리이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 03KM과 상대 Proj의 구성에 의해 스킴의 경우에서 따른다. 그 경우는 Constructions, Lemma 01O2이다.

보조정리

Situation 0849에서 다음 중 하나가 성립한다고 하자.

1. \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{A}_0\)-대수의 층으로서 유한형이다.

2. \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{A}_1\)에 의해 \(\mathcal{A}_0\)-대수로 생성되고, \(\mathcal{A}_1\)은 유한형 \(\mathcal{A}_0\)-가군이다.

3. 유한형 준연접 \(\mathcal{A}_0\)-부분가군 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_{+}\)가 존재하여 \(\mathcal{A}_{+}/\mathcal{F}\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A}\)의 국소 멱영 아이디얼 층이다.

그러면 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)는 준콤팩트이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 03KG과 상대 Proj의 구성에 의해 스킴의 경우에서 따른다. 그 경우는 Divisors, Lemma 07ZX이다.

보조정리

Situation 0849에서 \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 층으로서 유한형이면 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)는 유한형이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 040Y과 상대 Proj의 구성에 의해 스킴의 경우에서 따른다. 그 경우는 Divisors, Lemma 07ZY이다.

보조정리

Situation 0849에서 대수 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}_0\)가 정수적이고³, \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{A}_0\)-대수로서 유한형이라고 하자. 그러면 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)는 보편적으로 닫힌 사상이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 03IT과 상대 Proj의 구성에 의해 스킴의 경우에서 따른다. 그 경우는 Divisors, Lemma 07ZZ이다.

보조정리

Situation 0849에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\mathcal{A}_0\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{A}\)는 \(\mathcal{A}_0\)-대수로서 유한형이다.

2. \(\mathcal{A}_0\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{A}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-대수로서 유한형이다.

이 조건들이 성립하면 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)는 고유이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 083R과 상대 Proj의 구성에 의해 스킴의 경우에서 따른다. 그 경우는

Divisors, Lemma 07ZZ이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

\(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접 층으로서 \(\mathcal{A}_0\)-대수로서 \(\mathcal{A}_1\)에 의해 생성되는 것이라 하자. \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\)로 두면 다음이 성립한다.

1. \(P\)는 다음 함자 \(F_1\)을 표현한다. 이 함자는 \(T\)가 \(S\) 위에 있을 때 삼중쌍 \((f, \mathcal{L}, \psi)\)의 동형류들의 집합을 대응시키는데, 여기서 \(f : T \to X\)는 \(S\) 위의 사상이고, \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군이며, \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 는 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 사상으로서 전사 \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\)를 유도한다.

2. 표준 사상 \(\pi^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{O}_P(1)\)은 전사이다.

3. 각 \(\mathcal{O}_P(n)\)은 가역이고, 곱셈 사상들은 동형사상 \(\mathcal{O}_P(n) \otimes_{\mathcal{O}_P} \mathcal{O}_P(m) = \mathcal{O}_P(n + m)\)을 유도한다.

증명

생략한다. 스킴의 경우는 Constructions, Lemma 01O4를 보라.

상대 Proj의 함자성

이 절은 Constructions, Section 07ZF에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 사상이라 하자. \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 및 \(Q = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B}) \to X\)로 두자. 표준 열린 부분공간 \(U(\psi) \subset Q\)와 대수공간들의 표준 사상 \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow P\] 이 있으며, 후자는 \(X\) 위에 있다. 또한 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-대수의 사상 \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_P(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] 이 있다. 삼중쌍 \((U(\psi), r_\psi, \theta)\)은 다음 성질로 특징지어진다. 임의의 스킴 \(W\)가 \(X\) 위에서 étale이면 삼중쌍 \[(U(\psi) \times_X W,\quad r_\psi|_{U(\psi) \times_X W} : U(\psi) \times_X W \to P \times_X W,\quad \theta|_{U(\psi) \times_X W})\] 은 Constructions, Lemma 07ZG의 \(\psi : \mathcal{A}|_W \to \mathcal{B}|_W\)에 연관된 삼중쌍과 같다.

증명

이 보조정리는 étale 국소화와 스킴의 경우에서 따른다. Definition 084C 뒤의 논의를 보라. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\), \(Q = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B})\) 및 \(R = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{C})\)로 두자. \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), \(\psi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)를 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 사상이라 하자. 그러면

\[U(\psi \circ \varphi) = r_\varphi^{-1}(U(\psi)) \quad \text{and} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] 이다. 또한 자명한 표기 아래 \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] 이다.

증명

생략한다.

보조정리

위 Lemma 085F의 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\)가 \(d \gg 0\)에 대해 전사라고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Q\)이다.

2. \(r_\psi : Q \to R\)은 닫힌 몰입이다.

3. 사상들 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\)은 전사이지만 일반적으로 동형사상은 아니다. 이는 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 전사인 경우에도 마찬가지이다.

증명

이는 étale 국소화에 의해 스킴의 경우, 즉 Constructions, Lemma 07ZI에서 따른다.

보조정리

위 Lemma 085F의 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\)가 모든 \(d \gg 0\)에 대해 동형사상이라고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Q\)이다.

2. \(r_\psi : Q \to P\)는 동형사상이다.

3. 사상들 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\)은 동형사상이다.

증명

이는 étale 국소화에 의해 스킴의 경우, 즉 Constructions, Lemma 07ZJ에서 따른다.

보조정리

위 Lemma 085F의 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\)가 \(d \gg 0\)에 대해 전사이고, \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{A}_1\)에 의해 \(\mathcal{A}_0\) 위에서 생성된다고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Q\)이다.

2. \(r_\psi : Q \to P\)는 닫힌 몰입이다.

3. 사상들 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\)은 동형사상이다.

증명

이는 étale 국소화에 의해 스킴의 경우, 즉 Constructions, Lemma 07ZK에서 따른다.

가역 층과 상대 Proj로 가는 사상

다음 보조정리가 어딘가에서 필요할 듯하다. 상황은 다음과 같다.

1. \(S\)를 스킴이라 하고 \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

2. \(\mathcal{A}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_Y\)-대수라 하자.

3. \(\pi : \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A}) \to Y\)로 \(\mathcal{A}\)의 \(Y\) 위 상대 Proj를 나타내자.

4. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자.

5. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

6. \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\)를 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준동형이라 하자.

이 자료가 주어졌을 때 \(U(\psi) \subset X\)를 다음 식을 만족하는 열린 부분공간이라 하자. \[|U(\psi)| = \bigcup\nolimits_{d \geq 1} \{\text{사상 }f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d} \text{가 전사인 자리}\}\] \(U(\psi) \subset X\)의 형성은 임의의 사상 \(X' \to X\)에 의한 당김과 가환한다.

보조정리

위 가정과 표기를 사용하자. 사상 \(\psi\)는 \(Y\) 위 대수공간들의 표준 사상 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\] 과 등급 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-대수의 사상 \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})}(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}\] 을 유도한다. 이들은 다음 성질로 특징지어진다.

1. \(V \to Y\)가 étale이고 \(d \geq 0\)일 때 그림

   \[\xymatrix{ \mathcal{A}_d(V) \ar[d]_{\psi} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(V \times_Y X, \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(V \times_Y \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A}), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})}(d)) \ar[r]^-\theta & \Gamma(V \times_Y U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] 은 가환이다.

2. 임의의 \(d \geq 1\)과 임의의 사상 \(W \to X\)에서 \(W\)가 스킴이고 \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\)가 전사이면, (a) \(W \to X\)는 \(U(\psi)\)를 통해 인수분해되고, (b) \(W \to U(\psi)\)와 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\)의 합성은 사상 \(W \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)와 일치한다. 마지막 사상은 \(\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)의 구성에 의해 존재한다. Definition 084C을 보라.

3. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] \(X'\)와 \(Y'\)가 스킴이라고 하고, \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\) 및 \(\mathcal{L}' = (g')^*\mathcal{L}\)로 두며,

   \(\psi' : (f')^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes d}\)로 \(\psi\)의 당김을 나타내자.

   \(U(\psi')\), \(r_{\psi', \mathcal{L}'}\), \(\theta'\)를

   Constructions, Lemma 0D2Z에서 구성한 열린 부분공간, 사상, 준동형이라 하자. 그러면 \(U(\psi') = (g')^{-1}(U(\psi))\)이고, \(r_{\psi', \mathcal{L}'}\)는 \(r_{\psi, \mathcal{L}}\)의 밑변환과 일치한다. 여기서는 Lemma 085C의 동형사상 \(\underline{\text{Proj}}_{Y'}(\mathcal{A}') = Y' \times_Y \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)를 사용한다. 더 나아가 \(\theta'\)는 \(\theta\)의 당김이다.

증명

생략한다. 다음은 힌트이다. 먼저 준콤팩트 스킴 \(W\)가 \(X\) 위에 있을 때 다음 두 조건이 동치임을 관찰하자.

1. \(W \to X\)가 \(U(\psi)\)를 통해 인수분해된다.

2. 어떤 \(d\)가 존재하여 \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\)가 전사이다.

이는 \(U(\psi)\)를 \(X\)의 부분함자로서 우리의 밑 범주 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에서 기술한다. 그러한 \(W\)와 \(d\)에 대해 사중쌍 \((d, W \to Y, \mathcal{L}|_W, \psi^{(d)}|_W)\)를 생각하자. \(\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)의 정의에 의해 사상 \(W \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)를 얻는다. 사중쌍들의 동치에 관한 우리의 정의로부터 이 사상이 \(d\)의 선택과 무관함을 알 수 있다. 이는 분명히 함자의 변환

\(r_{\psi, \mathcal{L}} : U(\psi) \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\), 즉 대수공간들의 사상을 정의한다. 구성에 의해 이 사상은 (2)를 만족한다. Constructions, Lemma 01O9에서 구성된 사상이 같은 성질을 만족하므로 (3)이 성립함을 알 수 있다.

\(\theta\)를 구성하고 보조정리의 양립성 (1)을 확인하려면, Definition 084C 뒤의 논의에서처럼 논증하면서 \(Y\)와 \(X\) 위에서 étale 국소적으로 작업한다.

상대적으로 풍부한 층

이 절은 대수공간에 대한 Morphisms, Section 01VG의 대응물이다. 상대적으로 풍부한 가역 층을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)이 상대적으로 풍부하다, 또는 \(f\)-상대적으로 풍부하다, 또는 \(X/Y\) 위에서 풍부하다, 또는 \(f\)-풍부하다라는 것은 다음을 뜻한다. 사상 \(f : X \to Y\)가 표현 가능하고, 모든 사상 \(Z \to Y\)에서 \(Z\)가 스킴이면 당김 \(\mathcal{L}_Z\), 즉 \(\mathcal{L}\)을 \(X_Z = Z \times_Y X\)로 당긴 것이 Morphisms, Definition 01VH의 의미에서 \(X_Z/Z\) 위에서 풍부하다.

상대적으로 풍부한 가역 층에 관한 문제는 거의 언제나 스킴의 경우로 환원할 것이다. 따라서 이 절에는 주로 건전성 검사가 들어 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Y\)가 스킴이라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{L}\)은 Definition 0D31의 의미에서 \(X/Y\) 위에서 풍부하다.

2. \(X\)는 스킴이고 \(\mathcal{L}\)은 Morphisms, Definition 01VH의 의미에서 \(X/Y\) 위에서 풍부하다.

증명

이는 정의들과 Morphisms, Lemma 0893에서 따른다. 이 보조정리는 스킴에 대한 상대적 풍부성이 밑변환으로 보존된다고 말한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Y' \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(f' : X' \to Y'\)를 \(f\)의 밑변환이라 하고, \(\mathcal{L}'\)로 \(\mathcal{L}\)의 \(X'\)로의 당김을 나타내자. \(\mathcal{L}\)이 \(f\)-풍부하면 \(\mathcal{L}'\)은 \(f'\)-풍부하다.

증명

이는 정의에서 즉시 따른다! 힌트는 밑변환의 추이성이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)-풍부한 가역 층이 존재하면 \(f\)는 표현 가능하고, 준콤팩트이며, 분리이다.

증명

이는 정의들과 Morphisms, Lemma 01VI에서 분명하다. 의심스러우면 Algebraic Spaces, Lemma 02YO의 원리를 살펴보라.

보조정리

\(V \to U\)를 아핀 스킴들의 전사 étale 사상이라 하자. \(X\)를 \(U\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Y = V \times_U X\)로 두고, \(\mathcal{N}\)을 \(\mathcal{L}\)의 \(Y\)로의 당김이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{L}\)은 \(X/U\) 위에서 풍부하다.

2. \(\mathcal{N}\)은 \(Y/V\) 위에서 풍부하다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 Lemma 0D33에서 따른다. (2)를 가정하자. 이는 \(Y \to V\)가 준콤팩트이고 분리이며(Lemma 0D34), \(Y\)가 스킴임을 뜻한다. 따라서 사상 \(f : X \to U\)는 준콤팩트이고 분리이다(Morphisms of Spaces, Lemmas 03KG과 03KM). \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)로 두자. 이는 등급 \(\mathcal{O}_U\)-대수의 준연접 층이다(Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). 수반성으로부터 사상 \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\)를 얻는다. Lemma 0D2Z를 적용하면 열린 부분공간 \(U(\psi) \subset X\)와 사상 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \to \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A})\] 을 얻는다.

\(h : V \to U\)가 étale이므로 \(\mathcal{A}|_V = (Y \to V)_*(\bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{N}^{\otimes d})\)이다. Properties of Spaces, Lemma 03LX를 보라. 따라서 \(\psi'\), 즉 \(\psi\)의 \(Y\)로의 당김은 Morphisms, Lemma 01VJ의 (5)에 나오는 상황 \((Y \to V, \mathcal{N})\)의 수반 사상이다. \(\mathcal{N}\)은 \(Y/V\) 위에서 풍부하므로, 방금 인용한 보조정리에 의해 \(U(\psi') = Y\)이고 \(r_{\mathcal{N}, \psi'}\)가 열린 몰입임을 알 수 있다. Lemma 0D2Z에 의하면 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\)의 형성은 밑변환과 가환한다. 따라서 \(U(\psi) = X\)이고 다음 가환 그림이 있다. \[\xymatrix{ Y \ar[r]_-{r'} \ar[d] & \underline{\text{Proj}}_V(\mathcal{A}|_V) \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r]^-r & \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}) \ar[r] & U }\] 두 정사각형은 섬유곱이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03M4에 의해 \(r\)이 열린 몰입이라고 결론내린다. 따라서 \(X\)는 스킴이다. 이제 Morphisms, Lemma 01VJ의 (5)를 적용하여 \(\mathcal{L}\)이 \(X/U\) 위에서 풍부함을 결론낼 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{L}\)은 \(X/Y\) 위에서 풍부하다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대해 대수공간 \(X_Z = Z \times_Y X\)는 스킴이고, 당김 \(\mathcal{L}_Z\)는 \(X_Z/Z\) 위에서 풍부하다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대해 대수공간 \(X_Z = Z \times_Y X\)는 스킴이고, 당김 \(\mathcal{L}_Z\)는 \(X_Z/Z\) 위에서 풍부하다.

4. 스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 대수공간 \(X_V = V \times_Y X\)가 스킴이고, 당김 \(\mathcal{L}_V\)가 \(X_V/V\) 위에서 풍부하다.

증명

(1)과 (2)는 정의에 의해 동치이다. (2) \(\Rightarrow\) (3)은 즉시 따른다. (3)이 성립하고 \(Z \to Y\)가 (2)에서와 같다고 하자. 그러면

\(X_Z \to Z\)가 \(Z\) 위에서 아핀 국소적으로 표현 가능함을 알 수 있다. 따라서 예를 들어 Properties of Spaces, Lemma 03JH에 의해 \(X_Z\)는 스킴이다. 그러면 \(\mathcal{L}_Z\)가 \(X_Z/Z\) 위에서 풍부하다는 것은 \(Z\) 위에서 국소적으로 성립하고 Morphisms, Lemma 01VJ를 쓸 수 있으므로 이를 얻는다. 따라서 (1), (2), (3)은 동치이다. 이 조건들이 (4)를 함의하는 것은 분명하다.

(4)를 가정하자. 사상 \(Z \to Y\)를 택하되 \(Z\)가 아핀이라 하자. 그러면 \(U = V \times_Y Z \to Z\)는 전사 étale 사상이고, \(\mathcal{L}_Z\)를 \(X_U \to X_Z\)로 당긴 것은 \(X_U/U\) 위에서 상대적으로 풍부하다.

물론 \(U\)를 아핀 열린집합으로 바꾸어도 된다. Lemma 0D35에 의해 \(\mathcal{L}_Z\)는 \(X_Z/Z\) 위에서 풍부하다. 따라서 (4) \(\Rightarrow\) (3)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 준아핀이기 위한 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_X\)가 \(f\)-상대적으로 풍부한 것이다.

증명

이는 스킴의 경우에서 따른다. Morphisms, Lemma 0891를 보라.

상대적 풍부성과 코호몰로지

이 절에는 Cohomology of Schemes, Sections 02OF와 01XO의 결과들에 관련된 몇 가지 결과가 들어 있다.

다음 보조정리는 우리가 할 수 있는 일의 한 예일 뿐이다.

보조정리

\(R\)을 Noether 환이라 하자. \(X\)를 \(R\) 위의 대수공간이라 하되 구조 사상 \(f : X \to \Spec(R)\)이 고유라고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{L}\)은 \(X/R\) 위에서 풍부하다(Definition 0D31).

2. 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(n_0 \geq 0\)이 존재하여 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)이다. 이는 모든 \(n \geq n_0\)와 \(p > 0\)에 대해 성립한다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 Cohomology of Schemes, Lemma 0B5T에서 따른다. 가정 (1)에 의해 \(X\)가 스킴이기 때문이다. (2) \(\Rightarrow\) (1)은 Cohomology of Spaces, Lemma 0D2W이다.

보조정리

\(Y\)를 Noether 스킴이라 하자. \(X\)를 \(Y\) 위의 대수공간이라 하되 구조 사상 \(f : X \to Y\)가 고유라고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y \in Y\)를 \(X_y\)가 스킴이고 \(\mathcal{L}_y\)가 \(X_y\) 위에서 풍부한 점이라 하자. 그러면 \(d_0\)가 존재하여 모든 \(d \geq d_0\)에 대해 \[R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = 0 \text{이고 }p > 0\] 이며, 사상 \[f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y \longrightarrow H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\] 은 전사이다.

증명

\(\mathcal{O}_{Y, y}\)는 Noether 국소환임을 주목하자. 표준 사상 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)를 생각하자. Schemes, Equation (02NA)을 보라. 이는 국소환들을 동일시하므로 평탄 사상이다. 잠시 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)로 \(f\)를 이 국소환으로 밑변환한 것을 나타내자. Cohomology of Spaces, Lemma 073K에 의해 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)임을 알 수 있다. 더 나아가 섬유 \(X_y\)와 \(X'_y\)가 동일시된다. 따라서 \(Y = \Spec(A)\)가 Noether 국소환 \((A, \mathfrak m, \kappa)\)의 스펙트럼이고 \(y \in Y\)가 \(\mathfrak m\)에 대응한다고 가정해도 된다. 이 경우 \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)이며, 이는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다. \(f_y : X_y \to \Spec(\kappa)\)를 사영이라 하자.

\(B = \text{Gr}_\mathfrak m(A) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)로 두자. 층 \(\mathcal{B} = f_y^*\widetilde{B}\)를 생각하자. 이는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-대수의 층이다. Cohomology of Spaces, Section 08AU의 표기를 \(I\) 대신 \(\mathfrak m\)을 써서 사용하겠다. \(X_y\)는 \(X\)의 닫힌 부분공간으로서 \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\)로 잘라낸 것이므로 \(\mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-가군으로 볼 수 있다. Cohomology of Spaces, Lemma 08AM를 보라. 그러면 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\)는 유한형 준연접 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이다. 실제로 이는 \(\mathcal{B}\) 위에서 0차 부분으로 생성되고,

그 0차 부분 \(\mathcal{F}_y = \mathcal{F}/\mathfrak m \mathcal{F}\)가 연접 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-가군이기 때문이다. 따라서 Cohomology of Schemes, Lemma 0897의 (2)에 의해 \(d_0\)가 존재하여 \[H^p(X_y, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d}) = 0\] 이다. 이는 모든 \(p > 0\), \(d \geq d_0\), \(n \geq 0\)에 대해 성립한다. Cohomology of Spaces, Lemma 0D2U에 의해 이는 \(H^p(X, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 이 모든 \(p > 0\), \(d \geq d_0\), \(n \geq 0\)에 대해 성립한다는 것과 같다.

다음 짧은 완전열 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. 이는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 완전열이다. \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)와의 텐서곱은 완전 함자이므로 짧은 완전열 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to 0\] 을 얻는다. 긴 코호몰로지 완전열과 위의 소멸을 쓰고 귀납하면 다음을 얻는다.

1. \(H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)은 모든 \(p > 0\), \(d \geq d_0\), \(n \geq 0\)에 대해 성립한다.

2. 사상 \(H^0(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\)는 모든 \(d \geq d_0\)와 \(n \geq 1\)에 대해 전사이다.

형식 함수 정리(Cohomology of Spaces, Theorem 08AZ)에 의해 \(\mathfrak m\)-진 완비화로서 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)의 완비화는 모든 \(d \geq d_0\)와 \(p > 0\)에 대해 0이다. \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)는 Cohomology of Spaces, Lemma 08AS에 의해 유한 \(A\)-가군이므로, Nakayama의 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에서 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)가 모든 \(d \geq d_0\)와 \(p > 0\)에 대해 0임이 따른다. \(p = 0\)인 경우에는 Cohomology of Spaces, Lemma 08AY의 (3)에서 \(H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 가 전사임을 얻는다. 이것이 보조정리의 마지막 명제를 준다.

보조정리

더 일반적인 판본은 Descent on Spaces, Lemma 0D3D를 보라. \(Y\)를 Noether 스킴이라 하자. \(X\)를 \(Y\) 위의 대수공간이라 하되 구조 사상 \(f : X \to Y\)가 고유라고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y \in Y\)를 \(X_y\)가 스킴이고 \(\mathcal{L}_y\)가 \(X_y\) 위에서 풍부한 점이라 하자. 그러면 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하며 이는 \(y\)의 근방이고, \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\)가 \(f^{-1}(V)/V\) 위에서 풍부하다(Definition 0D31의 의미).

증명

Lemma 0D39에서 \(d_0\)를 택하되 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)인 경우에 택하자. \(d \geq d_0\)를 택하여 어떤 \(r \geq 0\)과 단면들 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r} \in H^0(X_y, \mathcal{L}_y^{\otimes d})\)을 찾을 수 있게 하자. 이 단면들은 닫힌 몰입 \[\varphi_y = \varphi_{\mathcal{L}_y^{\otimes d}, (s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r})} : X_y \to \mathbf{P}^r_{\kappa(y)}.\] 을 정의한다. 이는 Morphisms, Lemma 01VT에 의해 가능하지만, \(\varphi_y\)가 닫힌 몰입임을 보이기 위해 Morphisms, Lemma 01W6도 사용하고, 가역 층과 단면들을 통한 사영공간으로 가는 사상의 기술을 위해 Constructions, Section 01ND도 사용한다. \(d_0\)의 선택에 의해 \(Y\)를 \(y\)의 열린 근방으로 바꾼 뒤 \(s_0, \ldots, s_r \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)을 택하여 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r}\)로 보내지게 할 수 있다. \(X_{s_i} \subset X\)를 \(s_i\)가 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)의 생성원인 열린 부분공간이라 하자. \(s_{y, i}\)들이 \(\mathcal{L}_y^{\otimes d}\)를 생성하므로 \(|X_y| \subset U = \bigcup |X_{s_i}|\)임을 알 수 있다. \(X \to Y\)가 닫힌 사상이므로, 열린 근방 \(y \in V \subset Y\)가 존재하여 \(|f|^{-1}(V) \subset U\)이다. \(Y\)를 \(V\)로 바꾼 뒤 \(s_i\)들이 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)를 생성한다고 가정해도 된다. 따라서 사상 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_Y\] 을 얻으며, \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\)이고, 이를 \(y\)로 밑변환하면 \(\varphi_y\)를 얻는다. 엄밀히 말하면 Constructions, Section 01ND에 주어진 사영공간으로 가는 사상의 구성이 대수공간에서 사영공간으로 가는 사상도 기술함을 적어 증명해야 하지만, 세부사항은 생략한다.

약간의 기교로 증명을 끝내겠다. “올바른” 증명은 \(\varphi\)가 \(y\)의 열린 근방으로 밑변환한 뒤 닫힌 몰입임을 직접 보이는 것이다. 즉 Cohomology of Spaces, Lemma 0A4W에 의해

\(\varphi\)는 섬유 \(\mathbf{P}^r_{\kappa(y)}\)의 열린 근방 위에서 유한이다. 이 섬유는 \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\)의 \(y\) 위 섬유이다. \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\)가 닫힌 사상임을 써서 \(Y\)를 축소한 뒤 \(\varphi\)가 유한이라고 가정해도 된다. 특히 \(X\)는 스킴이다. 그러면 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\)은 매우 일반적인 Morphisms, Lemma 0892에 의해 풍부하다.

상대 Proj의 닫힌 부분공간

상대 Proj의 닫힌 부분공간에 관한 몇 가지 보조정리를 제시한다. 이 절은 Divisors, Section 084M에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)를 \(\mathcal{A}\)의 상대 Proj라 하자. \(i : Z \to P\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\)로 표준 사상 \[\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \pi_*\left((i_*\mathcal{O}_Z)(d)\right)\] 의 핵을 나타내자. \(\pi\)가 준콤팩트이면 동형사상 \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{I})\)가 존재한다.

증명

사상 \(\pi\)는 Lemma 084E에 의해 분리이다. \(\pi\)가 준콤팩트이므로 \(\pi_*\)는 준연접 가군을 준연접 가군으로 보낸다. Morphisms of Spaces, Lemma 03M9를 보라. 따라서 \(\mathcal{I}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 특히 \(\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{I}\)는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수이다. 함자성 사상 \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B}) \to \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\)은 모든 곳에서 정의되고 닫힌 몰입이다. Lemma 085H를 보라. 따라서 \(Z = Z'\)임을 \(P\)의 닫힌 부분공간으로서 보이면 충분하다.

이제 문제는 밑에서 étale 국소적이므로 étale 국소화를 통해 스킴의 경우(Divisors, Lemma 0801)로 환원한다.

닫힌 부분공간이 국소적으로 유한 개의 방정식으로 잘려 나오는 경우에는 \(\mathcal{A}\)의 유한형 아이디얼 층으로 이를 정의할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)를 \(\mathcal{A}\)의 상대 Proj라 하자. \(i : Z \to P\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\pi\)가 준콤팩트이고

\(i\)가 유한 표시이면, \(d > 0\)과 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_d\)가 존재하여 \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)이다.

증명

독자는 스킴의 경우에 사용한 논증을 다시 수행할 수 있다. 그러나 여기서는 한 가지 기교로 보조정리가 스킴의 경우에서 따름을 보이겠다. Lemma 085L의 준연접 등급 아이디얼 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\)를 택하자. 이는 \(Z\)를 잘라낸다. 아핀 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to X\)를 택하자. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. 스킴의 경우(Divisors, Lemma 0802)에 의해 \(d > 0\)과 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-부분가군 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{I}_d|_U \subset \mathcal{A}_d|_U\)가 존재하여 \(Z \times_X U\)는 \(\underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}|_U/\mathcal{F}'\mathcal{A}|_U)\)와 같다. Limits of Spaces, Lemma 0829에 의해 유한형 준연접 부분가군 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}_d\)를 찾되 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_U\)이게 할 수 있다. \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)로 두자. 그러면

\(Z' \to P\)는 닫힌 몰입이고(Lemma 085J), \(Z \subset Z'\)인데 이는 \(\mathcal{F}\mathcal{A} \subset \mathcal{I}\)이기 때문이다. 다른 한편 \(Z' \times_X U \subset Z \times_X U\)이며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 선택에 의한 것이다. 따라서 바라던 대로 \(Z = Z'\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)를 \(\mathcal{A}\)의 상대 Proj라 하자.

\(i : Z \to X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(U \subset X\)를 열린집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\pi\)는 준콤팩트이다.

2. \(i\)는 유한 표시이다.

3. \(|U| \cap |\pi|(|i|(|Z|)) = \emptyset\)이다.

4. \(U\)는 준콤팩트이다.

5. \(\mathcal{A}_n\)은 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며, 이는 모든 \(n\)에 대해 성립한다.

그러면 \(d > 0\)과 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_d\)가 존재하여 (a) \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)이고, (b) \(\mathcal{A}_d/\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(U\)와 서로소이다.

증명

Lemma 085M의 증명에서와 같은 기교로 스킴의 경우로 환원한다. Lemma 085L의 준연접 등급 아이디얼 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\)를 택하자. 이는 \(Z\)를 잘라낸다. 아핀 스킴 \(W\)와 전사 étale 사상 \(W \to X\)를 택하자. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. 스킴의 경우(Divisors, Lemma 0803)에 의해 \(d > 0\)과 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_W\)-부분가군 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{I}_d|_W \subset \mathcal{A}_d|_W\)가 존재하여 (a) \(Z \times_X W\)는 \(\underline{\text{Proj}}_W(\mathcal{A}|_W/\mathcal{F}'\mathcal{A}|_W)\)와 같고, (b) \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}'\)의 지지집합은 \(U \times_X W\)와 서로소이다. Limits of Spaces, Lemma 0829에 의해 유한형 준연접 부분가군 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}_d\)를 찾되 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_W\)이게 할 수 있다. \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)로 두자. 그러면

\(Z' \to P\)는 닫힌 몰입이고(Lemma 085J), \(Z \subset Z'\)인데 이는 \(\mathcal{F}\mathcal{A} \subset \mathcal{I}\)이기 때문이다. 다른 한편 \(Z' \times_X W \subset Z \times_X W\)이며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 선택에 의한 것이다. 따라서 \(Z = Z'\)이다. 마지막으로 \(\mathcal{A}_d/\mathcal{F}\)는 \(X \setminus U\) 위에 지지된다. 실제로 \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}|_W\)는 \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}'\)의 몫이며 후자는

\(W \setminus U \times_X W\) 위에 지지된다. 이로써 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 전단사가 있다. \[\left\{ \begin{matrix} \text{다음 사상의 단면들 }\sigma\text{ } \\ \text{사상 }\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{전사 }\mathcal{E} \to \mathcal{L}\text{들로서} \\ \mathcal{L}\text{은 가역 }\mathcal{O}_X\text{-가군} \end{matrix} \right\}\] 이 경우 \(\sigma\)는 닫힌 몰입이고 표준 동형사상 \[\Ker(\mathcal{E} \to \mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} \longrightarrow \mathcal{C}_{\sigma(X)/\mathbf{P}(\mathcal{E})}\] 이 있다. 전단사와 동형사상은 모두 밑변환과 양립한다.

증명

구성들이 밑변환과 양립하므로 \(X\) 위에서 étale 국소적으로 명제를 확인하면 충분하다. 따라서 \(X\)가 스킴이라고 가정해도 되며, 결과는 Divisors, Lemma 0B3V이다.

블로업

블로업은 대수기하학에서 중요한 도구이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하고, \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{I}\)에 대응하는 닫힌 부분공간이라 하자 (Morphisms of Spaces, Lemma 03MB). \(X\)의 \(Z\)를 따른 블로업, 또는 \(X\)의 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업은 사상 \[b : \underline{\text{Proj}}_X \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) \longrightarrow X\] 이다. 블로업의 예외 제수는 역상 \(b^{-1}(Z)\)이다. 때로는 \(Z\)를 블로업의 중심이라고 한다.

예외 제수가 유효 Cartier 제수임을 뒤에서 볼 것이다. 더 나아가 블로업은 \(X\) 위의 “가장 작은” 대수공간으로서, 그 안에서 \(Z\)의 역상이 유효 Cartier 제수인 특징지어진다.

\(b : X' \to X\)가 \(X\)의 \(Z\)에서의 블로업이면, 구조 층의 꼬임들을 흔히 \(\mathcal{O}_{X'}(n)\)으로 나타낸다. 이들은 가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이고 \(\mathcal{O}_{X'}(n) = \mathcal{O}_{X'}(1)^{\otimes n}\)임을 주목하자. 실제로 \(X'\)는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 상대 Proj이고, 그 대수는 차수 \(1\)에서 생성된다. Lemma 085D을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(U = \Spec(A)\)를 \(X\) 위에서 étale인 아핀 스킴이라 하고, \(I \subset A\)를 \(\mathcal{I}|_U\)에 대응하는 아이디얼이라 하자. \(X' \to X\)가 \(X\)의 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업이면, 표준 동형사상 \[U \times_X X' = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} I^d)\] 이 존재하며 이는 \(U\) 위의 스킴들의 동형사상이다. 우변은 \(I\)의 \(A\) 안에서의 Rees 대수의 동차 스펙트럼이다. 더 나아가 \(U \times_X X'\)는 아핀 블로업 대수들 \(A[\frac{I}{a}]\)의 스펙트럼들로 이루어진 아핀 열린 덮개를 갖는다.

증명

제한 \(\mathcal{I}|_U\)는 \(\mathcal{I}\)의 당김과 같으며, 이 당김은 사상 \(U \to X\)에 의한 것임을 주목하자. Properties of Spaces, Section 03LT를 보라. 따라서 보조정리는 Lemma 084B과 Divisors, Lemma 0804를 결합하면 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X_1 \to X_2\)를 \(S\) 위 대수공간들의 평탄 사상이라 하자. \(Z_2 \subset X_2\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(Z_1\)을 \(Z_2\)의 역상이라 하되 \(X_1\)에서 취하자. \(X'_i\)를 \(Z_i\)의 \(X_i\)에서의 블로업이라 하자. 그러면 Cartesian 그림 \[\xymatrix{ X_1' \ar[r] \ar[d] & X_2' \ar[d] \\ X_1 \ar[r] & X_2 }\] 이 존재하며 이는 \(S\) 위의 대수공간들의 그림이다.

증명

\(\mathcal{I}_2\)를 \(Z_2\)의 \(X_2\) 안에서의 아이디얼 층이라 하자. 주어진 사상을 \(g : X_1 \to X_2\)로 나타내자. 그러면 \(\mathcal{I}_1\), 즉 \(Z_1\)의 아이디얼 층은 \(g^*\mathcal{I}_2 \to \mathcal{O}_{X_1}\)의 상이다(Morphisms of Spaces, Definition 083Q과 그 정의 뒤의 논의를 보라). Lemma 085C에 의해 \(X_1 \times_{X_2} X_2'\)가 \(\bigoplus_{n \geq 0} g^*\mathcal{I}_2^n\)의 상대 Proj임을 알 수 있다. \(g\)가 평탄하므로 사상 \(g^*\mathcal{I}_2^n \to \mathcal{O}_{X_1}\)은 단사이고 그 상은 \(\mathcal{I}_1^n\)이다. 따라서 \(X_1 \times_{X_2} X_2' = X_1'\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. 블로업 \(b : X' \to X\), 즉 \(Z\)의 \(X\)에서의 블로업은 다음 성질들을 갖는다.

1. \(b|_{b^{-1}(X \setminus Z)} : b^{-1}(X \setminus Z) \to X \setminus Z\) 는 동형사상이다.

2. 예외 제수 \(E = b^{-1}(Z)\)는 \(X'\) 위의 유효 Cartier 제수이다.

3. 표준 동형사상 \(\mathcal{O}_{X'}(-1) = \mathcal{O}_{X'}(E)\)이 있다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 étale 사상이라 하자. 블로업은 평탄 밑변환과 가환하므로(Lemma 085S), 이 명제들을 \(U\)로 밑변환한 뒤 증명할 수 있다. 이로써 스킴의 경우로 환원된다. 그 경우의 결과는 Divisors, Lemma 02OS이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 \((\textit{Spaces}/X)\)의 충만한 부분범주로서, 사상 \(Y \to X\)들로 이루어진 것이라 하자. 각 사상에 대해 \(Z\)의 역상이 \(Y\) 위의 유효 Cartier 제수라고 가정한다. 그러면 블로업 \(b : X' \to X\), 즉 \(Z\)의 \(X\)에서의 블로업은 \(\mathcal{C}\)의 종대상이다.

증명

Lemma 085T에 의해 \(b : X' \to X\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. \(f : Y \to X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 사상 \(Y \to X'\)가 \(X\) 위에서 유일하게 존재함을 보여야 한다. \(D = f^{-1}(Z)\)로 두자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\)의 아이디얼 층이라 하고, \(\mathcal{I}_D\)를 \(D\)의 아이디얼 층이라 하자. 그러면 \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{I}_D\)는 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군으로의 전사이다. 이는 사상 \(\psi : \bigoplus f^*\mathcal{I}^d \to \bigoplus \mathcal{I}_D^d\)로 확장되며, 후자는 등급 \(\mathcal{O}_Y\)-대수의 사상이다. \(\mathcal{I}_D^d = \mathcal{I}_D^{\otimes d}\)임을 관찰한다. 이는 \(D\)가 유효 Cartier 제수이기 때문이다.

Lemma 085D에 의해 삼중쌍 \((f : Y \to X, \mathcal{I}_D, \psi)\)은 사상 \(Y \to X'\)를 정의하며, 이는 \(X\) 위의 사상이다. 제한 \[Y \setminus D \longrightarrow X' \setminus b^{-1}(Z) = X \setminus Z\] 은 유일하다. Lemma 083S에 의해 열린집합 \(Y \setminus D\)는 \(Y\)에서 스킴론적으로 조밀하다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 084N에 의해 사상 \(Y \to X'\)는 유일하다. 또한 Lemma 084E에 의해 \(b\)는 분리이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 유효 Cartier 제수라 하자. \(X\)의 \(Z\)에서의 블로업은 \(X\)의 항등사상이다.

증명

블로업의 보편 성질(Lemma 085U)에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(X\)가 축약이면 블로업 \(X'\)도 축약이다. 여기서 이는 \(X\)의 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업이다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 étale 사상이라 하자. 블로업은 평탄 밑변환과 가환하므로(Lemma 085S), 이 명제들을 \(U\)로 밑변환한 뒤 증명할 수 있다. 이로써 스킴의 경우로 환원된다. 그 경우의 결과는 Divisors, Lemma 0808이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(b : X' \to X\)를 닫힌 부분공간에서 한 \(X\)의 블로업이라 하자. \(X\)가 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족하면 \(X'\)도 그러하다.

증명

이는 명제에서 인용한 보조정리, Lemma 085R의 블로업에 대한 étale 국소적 기술, 그리고 Divisors, Lemma 0BFM에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(b : X' \to X\)를 닫힌 부분공간에서 한 \(X\)의 블로업이라 하자. 임의의 유효 Cartier 제수 \(D\)가 \(X\) 위에 있으면 당김 \(b^{-1}D\)가 정의된다(Definition 083Y을 보라).

증명

Lemmas 085R와 083C에 의해 다음 대수 사실로 환원된다. \(A\)를 환이라 하고, \(I \subset A\)를 아이디얼, \(a \in I\), \(x \in A\)를 영인자가 아닌 원소라 하자. 그러면 \(x\)의 \(A[\frac{I}{a}]\)에서의 상은 영인자가 아니다. 실제로 \(x (y/a^n) = 0\)이라고 하되 이는 \(A[\frac{I}{a}]\)에서의 등식이라 하자. 그러면 \(a^mxy = 0\)가 \(A\)에서 어떤 \(m\)에 대해 성립한다. 따라서 \(a^my = 0\)인데, 이는 \(x\)가 영인자가 아니기 때문이다. 그러므로 \(y/a^n\)은 \(A[\frac{I}{a}]\)에서 0이며, 이는 바라던 바이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)와 \(\mathcal{J}\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(b : X' \to X\)를 \(X\)의 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업이라 하자. \(b' : X'' \to X'\)를 \(X'\)의 \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\)에서의 블로업이라 하자. 그러면 \(X'' \to X\)는 \(X\)의 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)에서의 블로업과 표준적으로 동형이다.

증명

\(E \subset X'\)를 \(b\)의 예외 제수라 하자. Lemma 085T에 의해 이는 유효 Cartier 제수이다. 그러면 Lemma 085X에 의해 \((b')^{-1}E\)는 \(X''\) 위의 유효 Cartier 제수이다. \(E' \subset X''\)를 \(b'\)의 예외 제수라 하자. 이 역시 유효 Cartier 제수이다. 유효 Cartier 제수 \(E'' = E' + (b')^{-1}E\)를 생각하자. 구성에 의해 \(E''\)의 아이디얼은 \((b \circ b')^{-1}\mathcal{I} (b \circ b')^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X''}\)이다. 따라서 Lemma 085U에 의해 \(X''\)에서 블로업 \(c : Y \to X\), 즉 \(X\)의 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)에서의 블로업으로 가는 표준 사상이 존재한다. 역으로 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)가 가역 아이디얼로 당겨지므로 \(c^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y\)는 유효 Cartier 제수를 정의한다. Lemma 083W를 보라.

따라서 Lemma 085U에 의해 사상 \(c' : Y \to X'\)가 존재하며 이는 \(X\) 위의 사상이다. 그러면 \((c')^{-1}b^{-1}\mathcal{J}\mathcal{O}_Y = c^{-1}\mathcal{J}\mathcal{O}_Y\)도 유효 Cartier 제수를 정의한다.

따라서 사상 \(c'' : Y \to X''\)가 존재하며 이는 \(X'\) 위의 사상이다. 이 사상이 앞에서 구성한 사상 \(X'' \to Y\)의 역임을 확인하는 일은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(b : X' \to X\)를 \(X\)의 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업이라 하자. \(\mathcal{I}\)가 유한형이면 \(b : X' \to X\)는 고유 사상이다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 étale 사상이라 하자. 블로업은 평탄 밑변환과 가환하므로(Lemma 085S), \(U\)로 밑변환한 뒤 각 명제를 증명할 수 있다(Morphisms of Spaces, Lemma 083R을 보라). 이로써 스킴의 경우로 환원된다. 이 경우 사상 \(b\)는 Divisors, Lemma 02NS에 의해 사영적이므로 Morphisms, Lemma 01WC에 의해 고유하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\)가 준콤팩트하고 준분리라고 가정하자. \(Z \subset X\)를 유한 표시인 닫힌 부분공간이라 하자. \(b : X' \to X\)를 중심이 \(Z\)인 블로업이라 하자. \(Z' \subset X'\)를 유한 표시인 닫힌 부분공간이라 하자. \(X'' \to X'\)를 중심이 \(Z'\)인 블로업이라 하자. 다음을 만족하는 유한 표시인 닫힌 부분공간 \(Y \subset X\)가 존재한다.

1. \(|Y| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\)이고,

2. 합성 \(X'' \to X\)는 \(X\)의 \(Y\)에서의 블로업과 동형이다.

증명

\(Z \to X\)가 유한 표시라는 조건은 \(Z\)가 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)에 의해 잘려 나온다는 뜻이다. Morphisms of Spaces, Lemma 084Q을 보라. \(\mathcal{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)으로 써서 \(X' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})\)라 하자. Limits of Spaces, Lemma 0855에 의해 \(X \setminus Z\)는 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이다. \(b^{-1}(X \setminus Z) \to X \setminus Z\)가 동형사상이므로 (Lemma 085T), 같은 결과에서 \(b^{-1}(X \setminus Z) \setminus Z'\)가 \(X'\)의 준콤팩트 열린 부분공간임을 알 수 있다. 따라서 \(U = X \setminus (Z \cup b(Z'))\)는 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이다. Lemma 085N에 의해 어떤 \(d > 0\)과 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d\)가 존재하여 \(Z' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)이고 \(\mathcal{I}^d/\mathcal{F}\)의 지지는 \(X \setminus U\)에 포함된다.

\(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d\)는 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군이므로 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d \subset \mathcal{O}_X\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접 아이디얼 층으로 생각할 수 있다. 혼동을 피하려 이를 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)로 나타내자. \(\mathcal{I}^d / \mathcal{J}\)와 \(\mathcal{O}/\mathcal{I}^d\)의 지지는 \(|X| \setminus |U|\)에 포함되므로 \(|V(\mathcal{J})|\)는 \(|X| \setminus |U|\)에 포함된다. 역으로 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{I}^d\)이므로 \(|Z| \subset |V(\mathcal{J})|\)이다. \(X \setminus Z \cong X' \setminus b^{-1}(Z)\) 위에서 아이디얼 층 \(\mathcal{J}\)는 \(Z'\)를 잘라 낸다(아래 표시식을 보라). 따라서 \(|V(\mathcal{J})|\)는 \(|Z| \cup |b|(|Z'|)\)와 같다. 그러므로 또한 \(|V(\mathcal{I}\mathcal{J})| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\)이다. 더 나아가 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)는 두 유한형 아이디얼의 곱이므로 유한형 아이디얼이다. \(X'' \to X\)가 \(X\)의 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)에서의 블로업과 동형이라고 주장한다. 그러면 \(Y = V(\mathcal{I}\mathcal{J})\)로 두어 보조정리의 증명이 끝난다.

먼저 \(X\)의 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)에서의 블로업은 \(X'\)의 \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\)에서의 블로업과 같음을 상기하자. Lemma 085Y을 보라. 따라서 \(X'\)의 \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\)에서의 블로업이 \(X'\)의 \(Z'\)에서의 블로업과 일치함을 보이면 충분하다. 다음을 보이겠다.

\[b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{I}_E^d \mathcal{I}_{Z'}\] 이는 \(X''\) 위의 아이디얼 층들의 등식이다. 이로써 원하는 바가 따른다. \(\mathcal{I}_E^d\)가 유효 Cartier 제수 \(dE\)를 잘라 내므로 Lemmas 085V와 085Y을 적용할 수 있기 때문이다.

표시된 아이디얼들의 등식을 보이기 위해 국소적으로 작업해도 된다.

Lemma 085R의 표기 \(A\), \(I\), \(a \in I\)를 쓰면, \(\mathcal{F}\)는 \(R\)-부분가군 \(M \subset I^d\)에 대응하며, 이 부분가군은 아이디얼 \(J \subset R\)로 동형사상된다. \(Z' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)라는 조건은 \(Z' \cap \Spec(A[\frac{I}{a}])\)가 원소 \(m/a^d\), \(m \in M\)들로 생성된 아이디얼에 의해 잘려 나온다는 뜻이다. 원소 \(m \in M\)이 함수 \(f \in J\)에 대응한다고 하자. 그러면 아핀 블로업 대수 \(A' = A[\frac{I}{a}]\)에서 \(f = (a^dm)/a^d = a^d (m/a^d)\)임을 알 수 있다. 따라서 등식이 성립한다.

진변환

이 절은 Divisors, Section 080C에 대응한다. \(S\)를 스킴, \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(Z \subset B\)를 닫힌 부분공간이라 하자.

\(b : B' \to B\)를 \(B\)의 \(Z\)에서의 블로업이라 하고, \(E \subset B'\)를 예외 제수 \(E = b^{-1}Z\)로 나타내자. 다음에서는 흔히 대수공간 \(X\)를 생각하되, 이는 \(B\) 위의 대수공간이며 Cartesian 그림 \[\xymatrix{ \text{pr}_{B'}^{-1}E \ar[r] \ar[d] & X \times_B B' \ar[r]_-{\text{pr}_X} \ar[d]_{\text{pr}_{B'}} & X \ar[d]^f \\ E \ar[r] & B' \ar[r] & B }\] 을 만든다. \(E\)는 유효 Cartier 제수이므로 (Lemma 085T) \(\text{pr}_{B'}^{-1}E \subset X \times_B B'\)는 국소 주아이디얼이다 (Lemma 083X). 따라서 \(\text{pr}_{B'}^{-1}E\)의 \(X \times_B B'\) 안에서의 여집합을 넣는 포함 사상은 아핀이며, 특히 준콤팩트하다 (Lemma 083D). 그러므로 준연접 \(\mathcal{O}_{X \times_B B'}\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) 위에 지지되는 단면들의 부분층은 준연접 부분가군이다. Limits of Spaces, Definition 085A을 보라. \(\mathcal{G}\)가 준연접 대수 층이면, 예를 들어 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_{X \times_B B'}\)이면, 이 부분층은 \(\mathcal{G}\)의 아이디얼이다.

정의

위와 같이 \(Z \subset B\)와 \(f : X \to B\)가 주어졌다고 하자.

1. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때, \(\mathcal{F}\)의 진변환, 즉 \(B\)의 \(Z\)에서의 블로업에 관한 진변환은 몫 \(\mathcal{F}'\)이다. 이는 \(\text{pr}_X^*\mathcal{F}\)를 \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) 위에 지지되는 단면들의 부분가군으로 나눈 것이다.

2. \(X\)의 진변환은 \(X' \subset X \times_B B'\)인 닫힌 부분공간으로서, \(\mathcal{O}_{X \times_B B'}\)의 단면들 가운데 \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) 위에 지지되는 것들로 이루어진 준연접 아이디얼에 의해 잘려 나오는 것이다.

블로업에 따른 진변환을 취하는 것은 블로업에 사용한 닫힌 부분공간에 의존한다는 점에 주의하자(사상 \(B' \to B\)에만 의존하지 않는다).

보조정리

Definition 0862의 상황을 가정하자. 그림 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & B }\] 이 가환하고 \(U\)와 \(V\)가 스킴이며 수평 화살표들이 étale이라고 하자. \(V' \to V\)를 \(V\)의 \(Z \times_B V\)에서의 블로업이라 하자. 그러면

1. \(V' = V \times_B B'\)이고, 사상들 \(V' \to B'\)와 \(U \times_V V' \to X \times_B B'\)는 étale이다.

2. 진변환 \(U'\), 즉 \(U\)의 \(V' \to V\)에 관한 진변환은 \(X' \times_X U\)와 같다. 여기서 \(X'\)는 \(X\)의 진변환이며, \(B' \to B\)에 관해 취한 것이다.

3. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 진변환 \(\mathcal{F}'\)을 \(U \times_V V'\)에 제한한 것은 \(\mathcal{F}|_U\)의 진변환이고, 이는 \(V' \to V\)에 관해 취한 것이다.

증명

(1)은 블로업이 평탄 밑변환과 가환한다는 사실 (Lemma 085S), étale 사상이 평탄하다는 사실, 그리고 étale 사상의 밑변환도 étale이라는 사실에서 따른다. 그러면 (3)은 닫힌 부분집합 위에 지지되는 단면들의 층을 취하는

연산이 étale 사상에 의한 당김과 가환한다는 사실에서 따른다. Limits of Spaces, Lemma 0859을 보라. (2)는 (3)을 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)에 적용하면 따른다.

보조정리

Definition 0862의 상황을 가정하자.

1. 진변환 \(X'\), 즉 \(X\)의 진변환은 \(X\)의 닫힌 부분공간 \(f^{-1}Z\)에서의 \(X\)의 블로업이다.

2. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 진변환 \(\mathcal{F}'\)은 \(X' \to X \times_B B'\)에 따른 전상과 표준적으로 동형이다. 여기서 전상할 대상은 \(\mathcal{F}\)의 진변환이고, 이는 블로업 \(X' \to X\)에 관해 취한 것이다.

증명

\(X'' \to X\)를 \(X\)의 \(f^{-1}Z\)에서의 블로업이라 하자. 블로업의 보편 성질(Lemma 085U)에 의해 가환 그림 \[\xymatrix{ X'' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ B' \ar[r] & B }\] 이 존재하고, 따라서 사상 \(i : X'' \to X \times_B B'\)가 존재한다. 보조정리의 첫 번째 주장은 \(i\)가 상이 \(X'\)인 닫힌 몰입이라는 것이다. 두 번째 주장은 \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}''\)이라는 것이다. 여기서 \(\mathcal{F}''\)은 \(\mathcal{F}\)의 진변환이며, 블로업 \(X'' \to X\)에 관해 취한 것이다. 이 주장들은 \(X\) 위에서 étale 국소적으로 확인할 수 있으므로 스킴의 경우로 환원된다(Divisors, Lemma 080E). 세부 사항 일부는 생략한다.

보조정리

Definition 0862의 상황을 가정하자.

1. \(X\)가 \(B\) 위에서 평탄하되 \(Z\) 위의 모든 점에서 그러하면, \(X\)의 진변환은 밑변환 \(X \times_B B'\)와 같다.

2. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(B\) 위에서 평탄하되 \(Z\) 위의 모든 점에서 그러하면, 진변환 \(\mathcal{F}'\), 즉 \(\mathcal{F}\)의 진변환은 당김 \(\text{pr}_X^*\mathcal{F}\)와 같다.

증명

생략한다. 힌트: 스킴의 경우(Divisors, Lemma 080F)에서 étale 국소화 (Lemma 0863)로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset B\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(b : B' \to B\)를 \(Z\)의 \(B\)에서의 블로업이라 하자. \(g : X \to Y\)를 \(B\) 위의 공간들의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접 층이라 하자. \(g' : X \times_B B' \to Y \times_B B'\)를 \(g\)의 밑변환이라 하자. \(\mathcal{F}'\)을 \(\mathcal{F}\)의 진변환이라 하되 \(b\)에 관해 취하자. 그러면 \(g'_*\mathcal{F}'\)은 \(g_*\mathcal{F}\)의 진변환이다.

증명

생략한다. 힌트: 스킴의 경우(Divisors, Lemma 080G)에서 étale 국소화 (Lemma 0863)로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset B\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(D \subset B\)를 유효 Cartier 제수라 하자. \(Z' \subset B\)를 \(Z\)와 \(D\)의 아이디얼 층들의 곱으로 잘라 낸 닫힌 부분공간이라 하자. \(B' \to B\)를 \(B\)의 \(Z\)에서의 블로업이라 하자.

1. \(B\)의 \(Z'\)에서의 블로업은 \(B' \to B\)와 동형이다.

2. \(f : X \to B\)를 대수공간들의 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 단면들로 이루어진 부분층 가운데 \(|f^{-1}D|\) 위에 지지되는 것이 영이면, \(\mathcal{F}\)의 \(Z\)에서의 블로업에 관한 진변환은 \(\mathcal{F}\)의 \(B\)의 \(Z'\)에서의 블로업에 관한 진변환과 일치한다.

증명

생략한다. 힌트: 스킴의 경우(Divisors, Lemma 080H)에서 étale 국소화(Lemma 0863)로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z \subset B\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(b : B' \to B\)를 중심이 \(Z\)인 블로업이라 하자. \(Z' \subset B'\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(B'' \to B'\)를 중심이 \(Z'\)인 블로업이라 하자.

\(Y \subset B\)를 닫힌 부분스킴이라 하되 \(|Y| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\)이고 합성 \(B'' \to B\)는 \(B\)의 \(Y\)에서의 블로업과 동형이라고 하자. 이 상황에서 임의의 스킴 \(X\)가 \(B\) 위에 있고 \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 주어지면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{F}\)의 \(B\)의 \(Y\)에서의 블로업에 관한 진변환은, \(B'' \to B'\)라는 \(Z'\)에서의 블로업에 관해 다시 진변환한 것과 같다. 여기서 먼저 진변환할 것은 \(\mathcal{F}\)이며, 이는 \(B' \to B\)라는 \(B\)의 \(Z\)에서의 블로업에 관해 취한다.

2. \(X\)의 \(B\)의 \(Y\)에서의 블로업에 관한 진변환은, \(B'' \to B'\)라는 \(Z'\)에서의 블로업에 관해 다시 진변환한 것과 같다. 여기서 먼저 진변환할 것은 \(X\)이며, 이는 \(B' \to B\)라는 \(B\)의 \(Z\)에서의 블로업에 관해 취한다.

증명

생략한다. 힌트: 스킴의 경우(Divisors, Lemma 080I)에서 étale 국소화(Lemma 0863)로 따른다.

보조정리

Definition 0862의 상황을 가정하자. 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 이 \(X\) 위의 준연접 층들로 이루어지고 임의의 밑변환 \(T \to B\) 뒤에도 완전하다고 하자. 그러면 진변환 \(\mathcal{F}_i'\)들, 즉 임의의 블로업 \(B' \to B\)에 관한 진변환들도 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}'_3 \to 0\)을 이룬다.

증명

생략한다. 힌트: 스킴의 경우(Divisors, Lemma 080W)에서 étale 국소화(Lemma 0863)로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_B\)-가군이라 하자.

\(Z_k \subset S\)를 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F})\)로 잘라 낸 닫힌 부분스킴이라 하자. Section 0CZ3을 보라. \(B' \to B\)를 \(B\)의 \(Z_k\)에서의 블로업이라 하고 \(\mathcal{F}'\)을 \(\mathcal{F}\)의 진변환이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}'\)은 국소적으로 \(\leq k\)개의 단면으로 생성된다.

증명

생략한다. 스킴의 경우(Divisors, Lemma 0CZP)에서 étale 국소화(Lemma 0863)로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_B\)-가군이라 하자.

\(Z_k \subset S\)를 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F})\)로 잘라 낸 닫힌 부분스킴이라 하자. Section 0CZ3을 보라. \(\mathcal{F}\)가 계수 \(k\)인 국소 자유 가군이되 \(B \setminus Z_k\) 위에서 그러하다고 가정하자. \(B' \to B\)를 \(B\)의 \(Z_k\)에서의 블로업이라 하고 \(\mathcal{F}'\)을 \(\mathcal{F}\)의 진변환이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}'\)은 계수 \(k\)인 국소 자유 가군이다.

증명

생략한다. 스킴의 경우(Divisors, Lemma 0CZQ)에서 étale 국소화(Lemma 0863)로 따른다.

허용 블로업

블로업을 조금 더 잘 제어하기 위해 다음 표준 용어를 도입한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. 사상 \(X' \to X\)를 \(U\)-허용 블로업이라 하는 것은, 유한 표시 닫힌 몰입 \(Z \to X\)가 존재하고 \(Z\)는 \(U\)와 서로소이며 \(X'\)가 \(X\)의 \(Z\)에서의 블로업과 동형인 경우이다.

\(Z \to X\)가 유한 표시일 필요충분조건은 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{O}_X\)가 유한형인 것이다. Morphisms of Spaces, Lemma 084Q을 보라. 특히 \(U\)-허용 블로업은 고유 사상이다. Lemma 085Z를 보라. 같은 사상을 낳는 중심이 여러 개일 수 있음에 주의하자. 따라서 요구하는 것은 \(U\)와 서로소이며 \(X'\)를 만들어 내는 어떤 중심이 존재한다는 것뿐이다. 끝으로 사상 \(b : X' \to X\)는 \(U\) 위에서 동형사상이므로(Lemma 085T을 보라), 흔히 표기를 남용하여 \(U\)를 \(X'\)의 열린 부분공간으로도 생각한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자. \(b : X' \to X\)를 \(U\)-허용 블로업이라 하자. \(X'' \to X'\)를 \(U\)-허용 블로업이라 하자. 그러면 합성 \(X'' \to X\)는 \(U\)-허용 블로업이다.

증명

더 정밀한 Lemma 0860에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(X\)를 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(U, V \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자. \(b : V' \to V\)를 \(U \cap V\)-허용 블로업이라 하자. 그러면 \(U\)-허용 블로업 \(X' \to X\)가 존재하고, 이를 \(V\)로 제한하면 \(V'\)이 된다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_V\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하되, \(V(\mathcal{I})\)가 \(U \cap V\)와 서로소이고 \(V'\)이 \(V\)의 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업과 동형이도록 하자. \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U \cup V}\)를 준연접 아이디얼 층이라 하되, \(U\)로의 제한은 \(\mathcal{O}_U\)이고 \(V\)로의 제한은 \(\mathcal{I}\)이도록 하자. Limits of Spaces, Lemma 0853에 의해 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)가 존재하고, 이를 \(U \cup V\)로 제한하면 \(\mathcal{I}'\)이 된다. 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자.

\(b_i : X_i \to X\), \(i = 1, \ldots, n\)을 \(U\)-허용 블로업들이라 하자. 다음을 만족하는 \(U\)-허용 블로업 \(b : X' \to X\)가 존재한다. (a) \(b\)는 \(X' \to X_i \to X\)로 분해되며 이는 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 성립하고, (b) 각 사상 \(X' \to X_i\)는 \(U\)-허용 블로업이다.

증명

\(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_X\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하되, \(V(\mathcal{I}_i)\)가 \(U\)와 서로소이고 \(X_i\)가 \(X\)의 \(\mathcal{I}_i\)에서의 블로업과 동형이도록 하자. \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cdot \ldots \cdot \mathcal{I}_n\)으로 두고 \(X'\)을 \(X\)의 \(\mathcal{I}\)에서의 블로업이라 하자. 그러면 \(X' \to X\)는 Lemma 085Y에 의해 \(b_i\)를 통해 분해된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(U, V\)를 \(X\)의 서로소인 준콤팩트 열린 부분공간들이라 하자. 그러면 \(U \cup V\)-허용 블로업 \(b : X' \to X\)가 존재하여 \(X'\)가 열린 부분공간들의 서로소 합 \(X' = X'_1 \amalg X'_2\)이고 \(b^{-1}(U) \subset X'_1\)이며 \(b^{-1}(V) \subset X'_2\)이다.

증명

\(\mathcal{I}\)와, 각각 \(\mathcal{J}\)인 유한형 준연접 아이디얼 층들을 \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\)와, 각각 \(X \setminus V = V(\mathcal{J})\)가 되도록 택하자. Limits of Spaces, Lemma 0855을 보라. 그러면 \(|V(\mathcal{I}\mathcal{J})| = |X|\)이다. 따라서 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)는 국소 멱영 아이디얼 층이다. \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{J}\)가 유한형이고 \(X\)가 준콤팩트이므로 어떤 \(n > 0\)에 대해 \(\mathcal{I}^n \mathcal{J}^n = 0\)이다. \(\mathcal{I}\)를 \(\mathcal{I}^n\)으로, \(\mathcal{J}\)를 \(\mathcal{J}^n\)으로 바꾸어도 되고 그렇게 하자. 그러면 \(\mathcal{I} \mathcal{J} = 0\)이다. \(b : X' \to X\)를 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\)에서의 블로업이라 하자. 이는 \(U \cup V\)-허용이다. 왜냐하면

\(|V(\mathcal{I} + \mathcal{J})| = |X| \setminus |U| \cup |V|\)이기 때문이다. \(X'\)가 보조정리의 명제와 같이 열린 부분공간들의 서로소 합 \(X' = X'_1 \amalg X'_2\)임을 보이겠다.

\(|V(\mathcal{I} + \mathcal{J})|\)는 \(|U \cup V|\)의 여집합이므로 \(V \cup U\)는 \(X'\)에서 스킴론적으로 조밀하다. Lemmas 085T와 083S을 보라. 따라서 열린닫힌 부분공간들로의 분해 \(X' = X'_1 \amalg X'_2\)가 존재한다면, \(X'_1\)은 \(U\)의 스킴론적 폐포이고 이는 \(X'\) 안에서 취한다. 마찬가지로 \(X'_2\)는 \(V\)의 스킴론적 폐포이고 이는 \(X'\) 안에서 취한다. \(U \to X'\)와 \(V \to X'\)가 준콤팩트이므로 스킴론적 폐포를 취하는 것은 étale 국소화와 가환한다(Morphisms of Spaces, Lemma 082Z). 그러므로 \(X'_1\)과 \(X'_2\)의 존재를 확인하려면 \(X\) 위에서 étale 국소적으로 작업해도 된다. 이로써 스킴의 경우로 환원되며, 이는 Divisors, Lemma 080P의 증명에서 다루어진다.