대수 공간의 Chow 군

서론

이 장에서는 먼저 대수 공간의 Chow 군을 논한다. 이를 정의한 뒤 벡터 다발의 Chern 특성류를 이 Chow 군들 위의 작용소로 정의한다. 전략은 스킴의 경우와 완전히 같다. 따라서 독자에게 스킴에 관한 대응 장의 서론 (Chow Homology, Section 02P4) 을 살펴볼 것을 권한다.

관련 논문으로는 [edidin-graham]과 [kresch_cycle]가 있다.

설정

먼저 이 장에서 다룰 대수 공간의 범주를 고정한다. Decent Spaces, Lemma 0BB6 에 따르면 “decent \(+\) 국소 뇌터”와 “준분리 \(+\) 국소 뇌터”는 같은 조건임을 이 장 전체에서 유의하라.

설정

여기서 \(S\)는 스킴이고 \(B\)는 \(S\) 위의 대수 공간이다. \(B\)가 준분리이고 국소 뇌터이며 보편적으로 catenary라고 가정한다 (Decent Spaces, Definition 0ED7). 또한 차원 함수 \(\delta : |B| \longrightarrow \mathbf{Z}\) 가 주어졌다고 가정한다. \(X\)가 \(B\) 위의 대수 공간이고 그 구조 사상 \(f : X \to B\)가 준분리이며 국소 유한형이면 \(X/B\)가 좋다고 한다. 이 경우 \[\delta = \delta_{X/B} : |X| \longrightarrow \mathbf{Z}\] 를 \(x\)를 \(\delta(f(x))\)와 \(x/f(x)\)의 초월차수의 합으로 보내는 사상으로 정의한다(Morphisms of Spaces, Definition 04NM). 이는 More on Morphisms of Spaces, Lemma 0EDN 에 의해 차원 함수이다.

특별한 경우로 \(S = B\)가 스킴이고 \((S, \delta)\)가 Chow Homology, Situation 02QL에서와 같은 경우가 있다. 따라서 \(B\)는 체의 스펙트럼일 수도 있고 (Chow Homology, Example 02QM), \(B = \Spec(\mathbf{Z})\)일 수도 있다 (Chow Homology, Example 02QN).

Situation 0EDT의 설정에서는 우리가 다루는 대수 공간이 준분리이고(따라서 특히 decent이고) 국소 뇌터이므로, 대수 공간에 관한 많은 보조정리, 명제, 정리, 정의를 더 쉽게 다룰 수 있다. 이 점을 강조하기 위해 이 장 곳곳에 다음과 같은 주석을 둔다.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋으면 \(|X|\)는 sober 위상공간이다. Properties of Spaces, Lemma 06NJ 또는 Decent Spaces, Proposition 03K6를 보라. 이후에는 별도의 언급 없이 이 사실을 사용하여 \(|X|\)의 기약 닫힌 부분집합의 일반점을 택한다.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋으면 \(X\)가 정수적인 것 (Spaces over Fields, Definition 0AD4)과 \(X\)가 축약이고 \(|X|\)가 기약인 것은 동치이다. 또한 임의의 점 \(\xi \in |X|\)에 대하여, \(\xi\)가 닫힌 부분집합 \(|Z| \subset |X|\)의 일반점이 되는 유일한 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)가 존재한다. Spaces over Fields, Lemma 0ENF를 보라.

\(B\)가 Jacobson이고 \(\delta\)가 닫힌 점을 영으로 보내면, \(\delta\)는 각 점을 그 폐포의 차원으로 보내는 함수이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(B\)가 Jacobson이고 \(|B|\)의 모든 닫힌 점 \(b\)에 대해 \(\delta(b) = 0\)이라고 가정하자. \(X/B\)가 좋다고 하자. \(Z \subset X\)가 일반점 \(\xi \in |Z|\)를 갖는 정수적인 닫힌 부분공간이면, 다음 정수들은 모두 같다.

1. \(\delta(\xi) = \delta_{X/B}(\xi)\),

2. \(\dim(|Z|)\),

3. 닫힌 점 \(z \in |Z|\)에 대한 \(\text{codim}(\{z\}, |Z|)\),

4. 닫힌 점 \(z \in |Z|\)에 대하여 \(z\)에서 \(Z\)의 국소환의 차원, 그리고

5. 닫힌 점 \(z \in |Z|\)에 대한 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}})\).

증명

\(X\), \(Z\), \(\xi\)를 보조정리에서와 같이 두자. \(X\)가 \(B\) 위에서 국소 유한형이므로 \(X\)는 Jacobson이다. Decent Spaces, Lemma 0BA3를 보라. 따라서 Decent Spaces, Lemma 0BA5에 의해 \(X_{\text{ft-pts}} \subset |X|\)는 닫힌 점들의 집합이다. \(|Z|\)의 기약 닫힌 부분집합들의 사슬 \(T_0 \supset \ldots \supset T_e\) 가 주어지면 Morphisms of Spaces, Lemma 06EK에 의해 \(T_e \cap X_{\text{ft-pts}}\)는 공집합이 아니다. 따라서 이런 사슬은 항상 어떤 닫힌 점 \(z \in |Z|\)에 대하여 \(T_e = \{z\}\)로 끝난다고 가정할 수 있다. 그러므로 \(\dim(Z) = \sup_z \text{codim}(\{z\}, |Z|)\)이고, 여기서 \(z\)는 \(|Z|\)의 닫힌 점 전체를 돈다. Topology, Lemma 02IA에 의해 \(\text{codim}(\{z\}, Z) = \delta(\xi) - \delta(z)\)이다. Morphisms of Spaces, Lemma 06EI에 의해 \(z\)의 상은 \(B\)의 유한형 점, 즉 \(|B|\)의 닫힌 점이다. Morphisms of Spaces, Lemma 0ECY에 의해 \(z/b\)의 초월차수는 \(0\)이다. 따라서 가정에 의해 \(\delta(z) = \delta(b) = 0\)이다. 그러므로 모든 닫힌 점 \(z \in |Z|\)에 대하여 \[\dim(|Z|) = \text{codim}(\{z\}, Z) = \delta(\xi)\] 를 얻는다. 마지막으로 Decent Spaces, Lemma 0ED1에 의해 \(\text{codim}(\{z\}, Z)\)는 \(z\)에서 \(Z\)의 국소환의 차원과 같고, 이는 다시 Properties of Spaces, Lemma 04N9에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}})\)와 같다.

위 보조정리의 상황에서 닫힌 기약 부분집합의 일반점에서 \(\delta\)의 값은 그 기약 닫힌 부분집합의 차원이다. 이는 다음 정의의 동기가 된다.

정의

Situation 0EDT에서 좋은 \(X/B\)와 임의의 기약 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)에 대하여 \[\dim_\delta(T) = \delta(\xi)\] 로 정의한다. 여기서 \(\xi \in T\)는 \(T\)의 일반점이다. 이를 \(T\)의 \(\delta\)-차원이라 한다. \(T \subset |X|\)가 임의의 닫힌 부분집합이면 \(\dim_\delta(T)\)를 \(T\)의 기약 성분들의 \(\delta\)-차원의 상한으로 정의한다. \(Z\)가 \(X\)의 닫힌 부분공간이면 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(|Z|)\)로 둔다.

물론 이는 단지 \(\dim_\delta(T) = \sup \{\delta(t) \mid t \in T\}\)라는 뜻이다.

사이클

이는 Chow Homology, Section 02QQ에 대응한다.

여기서는 공간들이 준콤팩트라고 가정하지 않으므로 사이클을 정의할 때 조금 주의해야 한다. 예를 들어 유리함수는 극점을 무한히 많이 가질 수 있으므로 무한합을 허용해야 한다. 어떤 경우든 \(X\)가 준콤팩트이면 사이클은 평소와 같이 유한합이다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(X\) 위의 사이클은 형식적 합 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 이다. 여기서 합은 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\) 전체를 돌고, 각 \(n_Z \in \mathbf{Z}\)이며, \(\{|Z|; n_Z \not = 0\}\)는 \(|X|\)의 부분집합들의 국소 유한 모음이다 (Topology, Definition 0BDS).

2. \(X\) 위의 \(k\)-사이클은 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 꼴의 사이클로서 \(n_Z \not = 0 \Rightarrow \dim_\delta(Z) = k\)를 만족하는 것이다.

3. \(X\) 위의 모든 \(k\)-사이클의 아벨 군을 \(Z_k(X)\)로 나타낸다.

달리 말하면, \(X\) 위의 \(k\)-사이클은 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적인 닫힌 부분공간(Remark 0EDV)들의 국소 유한 형식적 \(\mathbf{Z}\)-선형결합이다. \(k\)-사이클 \(\alpha = \sum n_Z[Z]\)와 \(\beta = \sum m_Z[Z]\)의 합은 \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] 즉 계수들을 더하여 주어진다.

중복도

길이와 중복도에 관한 몇 가지 간단한 결과를 모은 절이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\)라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{F}_{\overline{x}} = d\)

2. \(U\)가 스킴인 어떤 étale 사상 \(U \to X\)와 \(x\)로 가는 \(u \in U\)에 대하여 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{F}|_U)_u = d\)이다.

3. \(U\)가 스킴인 임의의 étale 사상 \(U \to X\)와 \(x\)로 가는 \(u \in U\)에 대하여 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{F}|_U)_u = d\)이다.

증명

\(U \to X\)와 \(u \in U\)를 (2) 또는 (3)에서와 같이 두자. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 엄밀 Hensel화이고 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (\mathcal{F}|_U)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 임을 안다. Properties of Spaces, Lemmas 04KF와 05VP를 보라. 따라서 길이의 등식은 Algebra, Lemma 02M1, \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 평탄이라는 사실, 그리고 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathfrak m_u\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)의 잉여체와 같다는 사실에서 따른다. 엄밀 Hensel화에 관한 이 사실들은 More on Algebra, Lemma 07QM에 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\)라 하자. Lemma 0EE1의 동치인 조건들이 성립하면 \(x\)에서 \(\mathcal{F}\)의 길이가 \(d\)이다라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Y \to X\)를 \(S\) 위 대수 공간들의 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(y \in |Y|\)의 상이 \(x \in |X|\)라 하자. \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(y\)에서 \(\mathcal{G}\)의 길이가 \(d\)이다.

2. \(x\)에서 \(i_*\mathcal{G}\)의 길이가 \(d\)이다.

증명

\(U\)가 스킴인 étale 사상 \(f : U \to X\)와 \(x\)로 가는 \(u \in U\)를 택하자. \(V = Y \times_X U\)로 두자. 사영들을 \(g : V \to Y\)와 \(j : V \to U\)로 나타내자. 그러면 \(j : V \to U\)는 닫힌 몰입이고, \(y \in |Y|\)와 \(u \in U\)로 가는 유일한 점 \(v \in V\)가 존재한다 (Properties of Spaces, Lemma 03H4와 Spaces, Lemma 02YW를 사용한다).

스킴 \(V\) 위의 가군으로서 \(j_*(\mathcal{G}|_V) = (i_*\mathcal{G})|_U\)이고, \(j_*\)는 스킴의 사상 \(j\)에 대한 가군의 “통상적인” 푸시포워드이다. Cohomology of Spaces, Equation (071Z) 주변의 논의를 보라. 이로써 스킴의 경우로 환원된다. 즉, \(i : Y \to X\)가 스킴들의 닫힌 몰입이면 \[(i_*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_y\] 가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군으로서 성립하며, 오른쪽의 가군 구조는 전사 사상 \(i_y^\sharp : \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)로 주어진다. 따라서 Algebra, Lemma 00IX에 의해 길이가 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(U\)가 스킴인 어떤 étale 사상 \(U \to X\)와 \(x\)로 가는 \(u \in U\)에 대하여, \(u\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\)의 기약 성분의 일반점이다.

2. \(U\)가 스킴인 임의의 étale 사상 \(U \to X\)와 \(x\)로 가는 \(u \in U\)에 대하여, \(u\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\)의 기약 성분의 일반점이다.

3. \(x\)에서 \(\mathcal{F}\)의 길이는 유한하고 영이 아니다.

\(X\)가 decent이면(동치로 준분리이면) 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. \(x\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 기약 성분의 일반점이다.

증명

\(f : U \to X\)가 \(U\)가 스킴인 étale 사상이고 \(u \in U\)가 \(x\)로 간다고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{F}|_U = f^*\mathcal{F}\)는 국소 뇌터 스킴 \(U\) 위의 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이고, 특히 \((\mathcal{F}|_U)_u\)는 유한 \(\mathcal{O}_{U, u}\)-가군이다. Cohomology of Spaces, Lemma 07UB와 Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ를 보라. \(\mathcal{F}|_U\)의 지지집합은 \(U\)의 닫힌 부분집합이고 (Morphisms, Lemma 056J), \((\mathcal{F}|_U)_u\)의 지지집합은 사상 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u}) \to U\)에 의한 \(\mathcal{F}|_U\)의 지지집합의 역상임을 상기하자. 따라서 \(u\)가 \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\)의 기약 성분의 일반점인 것과 \((\mathcal{F}|_U)_u\)의 지지집합이 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 극대 아이디얼과 같은 것은 동치이다. 이제 (1), (2), (3)의 동치는

Algebra, Lemma 00L5에서 따른다.

\(X\)가 decent라고 하자. étale 사상 \(f : U \to X\)와 \(x\)로 가는 점 \(u \in U\)를 택하자. \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(\mathcal{F}|_U\)의 지지집합으로 역상된다. Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ를 보라. 또한 \(|X|\)에서의 특수화 \(x' \leadsto x\)는 \(U\)에서의 특수화 \(u' \leadsto u\)로 올라가고, \(U\)에서의 임의의 자명하지 않은 특수화 \(u' \leadsto u\)는 \(|X|\)에서의 자명하지 않은 특수화 \(f(u') \leadsto f(u)\)로 간다. Decent Spaces, Lemmas 03IL과 03K5를 보라. \(|X|\)와 \(U\)가 sober 위상공간이라는 사실 (Decent Spaces, Proposition 03K6와 Schemes, Lemma 01IS)을 사용하면, \(x\)가 \(\mathcal{F}\)의 지지집합의 일반점인 것과 \(u\)가 \(\mathcal{F}|_U\)의 지지집합의 일반점인 것은 동치이다. 따라서 (4)는 (1)과 동치이다.

괄호 속 주장은 Decent Spaces, Lemma 0BB6 에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(t \in T\)라 하자. \(\dim_\delta(T) \leq k\)이고 \(\delta(t) = k\)이면, \(t\)는 \(T\)의 기약 성분의 일반점이다.

증명

\(t\)가 어떤 기약 성분 \(T' \subset T\)에 포함됨을 안다. \(t' \in T'\)를 그 일반점이라 하자. 그러면 \(k \geq \delta(t') \geq \delta(t)\)이다. \(\delta\)가 차원 함수이므로 \(t = t'\)임을 알 수 있다.

닫힌 부분공간에 결부된 사이클

이 절은 Chow Homology, Section 02QS에 대응한다.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(Y \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. Remarks 0EDU와 0EDV에 의해 다음 사이에는 \(1\)-대-\(1\) 대응이 있다.

1. \(|Y|\)의 기약 성분 \(T\),

2. \(|Y|\)의 기약 성분의 일반점, 그리고

3. \(|Z|\)가 \(|Y|\)의 기약 성분이라는 성질을 갖는 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset Y\).

이 장에서는 (3)에서와 같은 \(Z\)를 \(Y\)의 기약 성분이라 하고, \(\xi \in |Z|\)를 그 일반점이라 한다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(Y \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자.

1. 일반점이 \(\xi\)인 기약 성분 \(Z \subset Y\)에 대하여, \(\xi\)에서 \(\mathcal{O}_Y\)의 길이 (Definition 0EE2)를 \(Y\)에서 \(Z\)의 중복도라 한다. \(Y\) 위의 \(\mathcal{O}_Y\)에 Lemma 0EE4를 적용하면 이는 양의 정수이다.

2. \(\dim_\delta(Y) \leq k\)라고 가정하자. \(Y\)에 결부된 \(k\)-사이클은 \[[Y]_k = \sum m_{Z, Y}[Z]\] 이다. 여기서 합은 \(Y\)의 기약 성분 중 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 \(Z\) 전체를 돌고, \(m_{Z, Y}\)는 \(Y\)에서 \(Z\)의 중복도이다. 이는 Spaces over Fields, Lemma 0EE5에 의해 \(k\)-사이클이다.

\(Y\)의 \(\delta\)-차원이 \(k\)를 넘지 않을 때에만 \([Y]_k\)를 정의한다는 점을 유의해야 한다. 달리 말하면, 관례상 \([Y]_k\)라고 쓰면 \(\dim_\delta(Y) \leq k\)임을 함의한다.

연접 층에 결부된 사이클

이는 Chow Homology, Section 02QV에 대응한다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 일반점이 \(\xi\)인 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)에 대하여, \(|Z|\)가 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 기약 성분이면 \(\xi\)에서 \(\mathcal{F}\)의 길이(Definition 0EE2)를 \(\mathcal{F}\)에서 \(Z\)의 중복도라 한다. Lemma 0EE4에 의해 이는 양의 정수이다.

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)에 결부된 \(k\)-사이클은 \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z, \mathcal{F}}[Z]\] 이다. 여기서 합은 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 기약 성분에 대응하는 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\) 전체를 돌고, \(m_{Z, \mathcal{F}}\)는 \(\mathcal{F}\)에서 \(Z\)의 중복도이다. 이는 Spaces over Fields, Lemma 0EE5에 의해 \(k\)-사이클이다.

\(\mathcal{F}\)가 연접이고 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 \(\delta\)-차원이 \(k\)를 넘지 않을 때에만 \([\mathcal{F}]_k\)를 정의한다는 점을 유의해야 한다. 달리 말하면, 관례상 \([\mathcal{F}]_k\)라고 쓰면 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에서 연접이고 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)임을 함의한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)를 만족하는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Z\)를 \(\dim_\delta(Z) = k\)인 \(X\)의 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 그러면 \([\mathcal{F}]_k\)에서 \(Z\)의 계수는 \(\xi\)에서 \(\mathcal{F}\)의 길이이다.

증명

\(|Z|\)가 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 기약 성분인 것은 \(\xi \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)인 것과 동치임을 유의하라. Lemma 0EE6을 보라. 또한 \(\xi \not \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이면 \(\xi\)에서 \(\mathcal{F}\)의 길이는 영이다. 이를 Definition 0EEB와 결합하면 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(Y \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. \(\dim_\delta(Y) \leq k\)이면 \([Y]_k = [i_*\mathcal{O}_Y]_k\)이다. 여기서 \(i : Y \to X\)는 포함 사상이다.

증명

\(Z\)를 \(\dim_\delta(Z) = k\)인 \(X\)의 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자.

\(Z \not \subset Y\)이면 \(Z\)는 \([Y]_k\)와 \([i_*\mathcal{O}_Y]_k\)에서 모두 계수가 영이다. \(Z \subset Y\)이면 \(Z\)의 일반점을 그 상이 \(x \in |X|\)인 점 \(y \in |Y|\)로 볼 수 있다. 그러면 \([Y]_k\)에서 \(Z\)의 계수는 \(y\)에서 \(\mathcal{O}_Y\)의 길이이고, \([i_*\mathcal{O}_Y]_k\)에서 \(Z\)의 계수는 \(x\)에서 \(i_*\mathcal{O}_Y\)의 길이이다. 따라서 계수들의 등식은 Lemma 0EE3에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\)을 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\)의 지지집합들의 \(\delta\)-차원이 \(\leq k\)라고 가정하자. 그러면 \([\mathcal{G}]_k = [\mathcal{F}]_k + [\mathcal{H}]_k\)이다.

증명

\(Z\)를 \(\dim_\delta(Z) = k\)인 \(X\)의 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \([\mathcal{G}]_k\), \([\mathcal{F}]_k\), \([\mathcal{H}]_k\)에서 \(Z\)의 계수들이 대응하는 가법성을 만족함을 보이면 충분하다. Lemma 0EEC에 의해 다음을 보이면 충분하다. \[\mathcal{G}\text{의 }x\text{에서의 길이} = \mathcal{F}\text{의 }x\text{에서의 길이} + \mathcal{H}\text{의 }x\text{에서의 길이}\] 이는 임의의 \(x \in |X|\)에 대하여 성립해야 한다. Definition 0EE2를 보면 길이의 가법성에서 곧바로 따르며, Algebra, Lemma 00IV를 보라.

고유 푸시포워드를 위한 준비

이 절은 Chow Homology, Section 02R0에 대응한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X,Y/B\)가 좋고 \(f : X \to Y\)가 \(B\) 위의 사상이라고 하자. \(Z \subset X\)가 정수적인 닫힌 부분공간이면, 다음 가환도식이 존재하고 \(Z \to Z'\)가 우세하도록 하는 유일한 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z' \subset Y\)가 존재한다. \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r] & Y }\] \(f\)가 고유이면 \(Z \to Z'\)는 고유이고 전사이다.

증명

\(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. \(Z' \subset Y\)를 그 일반점이 \(\xi' = f(\xi)\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. Remark 0EDV을 보라. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(\xi \in |f^{-1}(Z')| = |f|^{-1}(|Z'|)\)이고,

\(Z\)가 축약이며 \(|Z| = \overline{\{\xi\}}\)이므로, \(X\)의 닫힌 부분공간으로서 \(Z \subset f^{-1}(Z')\)임을 안다(Properties of Spaces, Lemma 03JJ을 보라). 따라서 사상 \(Z \to Z'\)를 얻는다. \(Z\)의 일반점이 \(Z'\)의 일반점으로 가므로 이 사상은 우세이다. \(Z'\)의 유일성은 명백하다. \(f\)가 고유이면 고유 사상들의 합성으로서 \(Z \to Y\)는 고유이다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 04WP과 04XZ). 그러면 Morphisms of Spaces, Lemma 04NX에 의해 \(Z \to Z'\)가 고유임을 얻는다. 고유 사상의 상은 닫혀 있으므로 전사성도 따른다.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. 모든 \(x \in |X|\)는 \(k\)가 체인 (유일한) 단사 사상 \(\Spec(k) \to X\)로 나타낼 수 있다. Decent Spaces, Lemma 03K4을 보라. 이때 \(k\)를 \(x\)의 잉여체라 하고 \(\kappa(x)\)로 나타낸다. \(X\)가 조밀한 열린 부분스킴 \(U \subset X\)를 가짐을 상기하자(Properties of Spaces, Proposition 06NH). \(x \in U\)이면 \(\kappa(x)\)는 스킴 \(U\) 위의 점 \(x\)의 잉여체와 일치한다. Decent Spaces, Section 0EMV를 보라.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이라고 가정하자. 이 경우 \(X\)의 함수체 \(R(X)\)가 정의되며, 이는 \(X\)의 일반점에서의 잉여체와 같다. Spaces over Fields, Definition 0ENE을 보라. 이를 Remark 0EDV과 결합하면, 임의의 \(x \in X\)에 대하여 잉여체 \(\kappa(x)\)는 그 일반점이 \(x\)인 유일한 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)의 함수체임을 알 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋고 \(f : X \to Y\)가 \(B\) 위의 사상이라고 하자. \(X\), \(Y\)가 정수적이고 \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 \(Y\)의 진 닫힌 부분공간을 통해 분해되거나, 아니면 \(f\)는 우세이고 함수체 확대 \(R(X) / R(Y)\)는 유한이다.

증명

Lemma 0EEG에 의해 \(f\)가 우세 사상 \(X \to Z\)를 통해 분해되도록 하는 유일한 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset Y\)가 존재한다. 그러면 \(Z = Y\)인 것은 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(Y)\)인 것과 동치이다. 한편 차원 함수의 구성(Situation 0EDT을 보라)에 의해

\(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Z) + r\)이고, 여기서 \(r\)은 확대 \(R(X)/R(Z)\)의 초월차수이다. 이를 Spaces over Fields, Lemma 0AD5와 결합하면 보조정리가 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이고 \(\{T_i\}_{i \in I}\)가 \(|X|\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모음이라고 가정하자. 그러면 \(\{\overline{|f|(T_i)}\}_{i \in I}\)는 \(|Y|\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모음이다.

증명

\(V \subset |Y|\)를 준콤팩트 열린 부분집합이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 0EMK에 의해 \(|f|^{-1}(V) \subset |X|\)는 준콤팩트이다. 따라서 집합 \(\{i \in I : T_i \cap |f|^{-1}(V) \not = \emptyset \}\)는 우리가 생략하는 간단한 위상적 논증에 의해 유한이다. 이는 다음 집합과 같으므로 보조정리가 증명된다. \[\{i \in I : |f|(T_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I : \overline{|f|(T_i)} \cap V \not = \emptyset \}\]

고유 푸시포워드

이 절은 Chow Homology, Section 02R3에 대응한다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 사상이라 하고, \(f\)가 고유라고 가정하자.

1. \(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) = k\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(Z' \subset Y\)를 Lemma 0EEG에서와 같은 \(Z\)의 상이라 하자. 다음과 같이 정의한다. \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{이면} & \dim_\delta(Z')< k, \\ \deg(Z/Z') [Z'] & \text{이면} & \dim_\delta(Z') = k. \end{matrix} \right.\] \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z)\)이면 Lemma 0ENY과 Spaces over Fields, Definition 0AD6에 의해 \(Z\)의 \(Z'\) 위 차수가 정의되고 유한하다.

2. \(\alpha = \sum n_Z [Z]\)를 \(X\) 위의 \(k\)-사이클이라 하자.

   \(\alpha\)의 푸시포워드를 다음 합으로 정의한다. \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] 여기서 각 \(f_*[Z]\)는 위와 같이 정의된다. 위의 Lemma 0ENZ에 의해 이 합은 국소 유한이다.

정의에 의해 사이클의 고유 푸시포워드 \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] 는 아벨 군의 준동형이다.

이는 \(X \mapsto Z_k(X)\)를, 대상이 \(B\) 위의 좋은 대수 공간이고 사상이 \(B\) 위의 고유 사상인 범주 위의 공변 함자로 만든다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y, Z/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(B\) 위의 고유 사상이라 하자. 그러면 사상 \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\)로서 \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\)이다.

증명

\(W \subset X\)를 차원이 \(k\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. 먼저 \(f\)와 \(W\)에, 이어서 \(g\)와 \(W'\)에 Lemma 0EEG를 적용하여 얻는 정수적인 닫힌 부분공간들을 \(W' \subset Y\)와 \(W'' \subset Z\)라 하자. 그러면 \(W \to W'\)와 \(W' \to W''\)는 전사이고 고유이다.

\(g_*(f_*[W]) = (f \circ g)_*[W]\)임을 보여야 한다. \(\dim_\delta(W'') < k\)이면 양변은 모두 영이다. \(\dim_\delta(W'') = k\)이면 \(W \to W'\)와 \(W' \to W''\)가 모두 Lemma 0ENY의 가정을 만족함을 알 수 있다. 따라서 \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (f \circ g)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] 이제 Spaces over Fields, Lemma 0ENH을 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 고유 사상이라 하자.

1. \(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)인 닫힌 부분공간이라 하자. 그러면 \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]

2. \(\mathcal{F}\)를 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)를 만족하는 \(X\) 위의 연접 층이라 하자. 그러면 \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]

Cohomology of Spaces, Lemma 08AR에 의해 \(f_*\mathcal{F}\)와 \(f_*\mathcal{O}_Z\)가 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이므로 이 명제는 의미가 있음을 유의하라.

증명

(1)은 (2)와 Lemma 0EED에서 따른다. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접 층이라 하고 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)라고 가정하자. Cohomology of Spaces, Lemma 07UG에 의해 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)와 연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)이고 \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(Z\)이다. \(Z' \subset Y\)를 \(f|_Z : Z \to Y\)의 스킴론적 상이라 하자. Morphisms of Spaces, Definition 082Y를 보라. \(B\) 위의 대수 공간들의 가환도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] 을 생각하자. \(f|_Z\)는 전사이고(Morphisms of Spaces, Lemma 082Z와 \(|f|\)가 닫힌 사상이라는 사실에서 따른다) 고유임을 유의하라 (Morphisms of Spaces, Lemmas 04WP, 04XZ, 그리고 04NX에서 따른다). 도식을 두 방향으로 돌아가면 \(f_*\mathcal{F} = f_*i_*\mathcal{G} = i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\)를 얻는다. 닫힌 몰입과 \(f|_Z\)에 대하여 결과가 성립한다고 가정하자. 그러면 \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] 를 얻는다. 닫힌 몰입의 경우는 Lemma 0EE3과 정의들에서 따른다. 따라서 \(\dim_\delta(X) \leq k\)이고 \(f : X \to Y\)가 고유이고 전사인 경우로 환원하였다.

\(\dim_\delta(X) \leq k\)이고 \(f : X \to Y\)가 고유이고 전사라고 가정하자. 일반점이 \(\eta\)인 모든 기약 성분 \(Z \subset Y\)에 대하여 \(f(\xi) = \eta\)를 만족하는 점 \(\xi \in X\)가 존재한다. 따라서 \(\delta(\eta) \leq \delta(\xi) \leq k\)이다. 그러므로 다음 식들에서 \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{그리고} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] \(n_Z \not = 0\)이거나 \(m_Z \not = 0\)이면 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z\)는 실제로 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 \(Y\)의 기약 성분이다(Lemma 0EE6을 보라). 그런 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset Y\)를 택하고 그 일반점을 \(\eta\)라 하자. \(f(\xi) = \eta\)를 만족하는 임의의 \(\xi \in X\)에 대하여 \(\delta(\xi) \geq k\)이므로 \(\xi\)는 역시 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 \(X\)의 기약 성분의 일반점이다(Lemma 0EE6을 보라). Spaces over Fields, Lemma 0AD2에 의해 \(f^{-1}(V) \to V\)가 유한이 되도록 하는 열린 부분공간 \(\eta \in V \subset Y\)가 존재한다. \(\eta\)가 \(|Y|\)의 기약 성분의 일반점이므로 \(V\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. Properties of Spaces, Proposition 06NH 을 보라. \(Y\)를 \(V\)로, \(X\)를 \(f^{-1}(V)\)로 바꾸어 \(Y\)가 아핀이고 \(f\)가 유한인 경우로 환원한다. 특히 \(X\)와 \(Y\)는 스킴이고, 스킴에 대한 대응하는 결과인 Chow Homology, Lemma 02R6로 환원된다(\(S = Y\)로 적용한다).

평탄 풀백을 위한 준비

이 절은 Chow Homology, Section 02R7에 대응한다.

대수 공간의 사상이 상대차원 \(r\)을 가진다고 함은, 원천과 목표에서 étale 국소적으로 상대차원 \(r\)을 갖는 스킴의 사상을 얻는 경우를 말한다. 정확한 정의는 이에 동치이지만 실제로는 약간 다르다. Morphisms of Spaces, Definition 06LR을 보라.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 사상이라 하자. \(f\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정하자. 임의의 닫힌 부분집합 \(T \subset |Y|\)에 대하여 \[\dim_\delta(|f|^{-1}(T)) = \dim_\delta(T) + r.\] 단, \(|f|^{-1}(T)\)는 공집합이 아니라고 한다. \(Z \subset Y\)가 정수적인 닫힌 부분스킴이고

\(Z' \subset f^{-1}(Z)\)가 기약 성분이면, \(Z'\)는 \(Z\) 위에 우세하고 \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z) + r\)이다.

증명

닫힌 부분집합의 \(\delta\)-차원은 그 기약 성분들의 \(\delta\)-차원들의 상한이므로 마지막 명제를 증명하면 충분하다. \(Y\)를 정수적인 닫힌 부분스킴 \(Z\)로, \(X\)를 \(f^{-1}(Z) = Z \times_Y X\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(Z = Y\)가 정수적이고 \(f\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정할 수 있다. \(Y\)가 국소 Noether이므로 국소 유한형인 사상 \(f\)는 실제로 국소 유한 표시이다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 042S을 적용할 수 있고, \(f\)는 열린 사상이다. \(\xi \in X\)를 \(X\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. \(f\)의 열림성에 의해 \(f(\xi)\)는 \(Z = Y\)의 일반점 \(\eta\)이다. 따라서 \(Z'\)는 \(Z = Y\) 위에 우세한다. 마지막으로 Properties of Spaces, Proposition 06NH 에 의해 \(\xi\)와 \(\eta\)는 \(X\)와 \(Y\)의 스킴 자취에 놓인다. \(\xi\)가 \(X\)의 일반점이므로 \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi}\)는 소 아이디얼을 하나만 가지며, 따라서 차원이 \(0\)이다(\(\xi\)와 \(\eta\)가 \(X\)와 \(Y\)의 스킴 자취에 있으므로 통상적인 국소환을 사용해도 된다). 그러므로 Morphisms of Spaces, Lemma 04NQ (그리고 주어진 상대차원을 갖는 사상의 정의)에 의해 \(\kappa(\xi)\)의 \(\kappa(\eta)\) 위 초월차수는 \(r\)이다. 다시 말해 \(\delta(\xi) = \delta(\eta) + r\)이며, 이것이 원하는 결론이다.

다음 보조정리는 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모음의 평탄 풀백이 국소 유한임을 증명하는 데 사용할 것이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 사상이라 하자. \(\{T_i\}_{i \in I}\)가 \(|Y|\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모음이라고 가정하자. 그러면 \(\{|f|^{-1}(T_i)\}_{i \in I}\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모음이다.

증명

\(U \subset |X|\)를 준콤팩트 열린 부분집합이라 하자. 상 \(|f|(U) \subset |Y|\)가 준콤팩트 부분집합이므로 \(|f|(U) \subset V\)를 만족하는 준콤팩트 열린집합 \(V \subset |Y|\)가 존재한다. 다음을 유의하라. \[\{i \in I : |f|^{-1}(T_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I : T_i \cap V \not = \emptyset \}.\] 오른쪽 집합은 가정에 의해 유한이므로 결론을 얻는다.

평탄 풀백

이 절은 Chow Homology, Section 02RA에 대응한다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수 공간들의 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분공간이라 하자. 이 장에서는 Morphisms of Spaces, Definition 083Q에서 구성한 \(Z\)의 역상 \(f^{-1}(Z)\)를 때때로 스킴론적 역상이라고 부른다. 스킴론적 역상은 다음 섬유곱이다. \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)가 \(Y\) 안의 \(Z\)에 대응하는 준연접 아이디얼 층이면, \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\)는 \(X\) 안의 \(f^{-1}(Z)\)에 대응하는 준연접 아이디얼 층이다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 사상이라 하자. \(f\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정하자.

1. \(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(f^*[Z]\)를 스킴론적 역상에 결부된 \(X\) 위의 \((k+r)\)-사이클로 정의한다. \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] Lemma 0EP5에 의해 \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = k + r\)이므로 이는 의미가 있다.

2. \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\)를 \(Y\) 위의 \(k\)-사이클이라 하자. \(f\)에 의한 \(\alpha\)의 평탄 풀백은 다음 합이다. \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] 여기서 각 \(f^*[Z_i]\)는 위와 같이 정의한다. Lemma 0EP6에 의해 이 합은 국소 유한이다.

3. 이렇게 얻은 아벨 군의 사상을 \(f^* : Z_k(Y) \to Z_{k + r}(X)\)로 쓴다.

열린 몰입은 평탄하다. 이는 평탄 사상의 자명하지만 중요한 특수한 경우이다. \(U \subset X\)가 열린 부분공간이면, 사이클을 \(j : U \to X\)로 풀백한 것을 때때로 그 사이클의 \(U\)로의 제한이라고 부른다. 이 경우 모든 사상 \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] 은 전사임을 유의하라. 실제로 임의의 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z' \subset U\)가 주어지면, \(Z'\)의 \(X\)에서의 폐포를 \(Z\)로 잡고

이를 \(X\)의 축소된 닫힌 부분공간으로 생각할 수 있다(Properties of Spaces, Definition 047X을 보라). 또한 명백히 \(Z \cap U = Z'\), 다시 말해 \(j^*[Z] = [Z']\)이므로 전사성을 얻는다. 사실은 이보다 조금 더 강하다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. \(Y\)를 \(|Y| = |X| \setminus |U|\)인 \(X\)의 축소된 닫힌 부분공간이라 하고, 포함 사상을 \(i : Y \to X\)로 쓰자. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 수열 \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] 은 아벨 군들의 완전 복합체이다.

증명

\(j^*\)의 전사성은 위에서 보았다. 먼저 \(X\)가 준콤팩트라고 가정하자. 그러면 \(Z_k(X)\)는 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적인 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)에 대응하는 원소 \([Z]\)들을 기저로 갖는 자유 \(\mathbf{Z}\)-가군이다. 이러한 기저 원소는 \(Z_k(U)\)의 기저 원소 \([Z \cap U]\)로 가거나, \(Z \subset Y\)이면 0으로 간다. 따라서 이 경우 보조정리는 명백하다. 일반적인 경우도 비슷하므로 증명은 생략한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들 사이의 étale 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)가 정수적인 닫힌 부분공간이면 \(f^*[Z] = \sum [Z']\)이다. 여기서 합은 \(f^{-1}(Z)\)의 기약 성분들 (Remark 0EE8) 전체를 돈다.

증명

보조정리의 뜻은 \([Z']\)의 계수가 \(1\)이라는 것이다. \(f^{-1}(Z)\)는 정수적인 대수 공간 \(Z\) 위에서 étale이므로 축소된 대수 공간이라는 사실에서 결론이 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y, Z/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(B\) 위의 상대차원이 각각 \(r\)과 \(s\)인 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(g \circ f\)는 상대차원이 \(r + s\)인 평탄 사상이고 \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] 이다. 이는 사상 \(Z_k(Z) \to Z_{k + r + s}(X)\)들의 등식이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemmas 04NR와 03MN에 의해 합성은 상대차원이 \(r + s\)인 평탄 사상이다. 다음을 가정하자.

1. \(A \subset Z\)는 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 닫힌 정수적인 부분공간이다.

2. \(A' \subset Y\)는 \(\delta\)-차원이 \(k + s\)이고 \(A' \subset g^{-1}(A)\)인 닫힌 정수적인 부분공간이다.

3. \(A'' \subset Y\)는 \(\delta\)-차원이 \(k + s + r\)이고

   \(A'' \subset f^{-1}(W')\)인 닫힌 정수적인 부분공간이다.

\((g \circ f)^*[A]\)에서 \([A'']\)의 계수 \(n\)과 \(f^*(g^*[A])\)에서 \([A'']\)의 계수 \(m\)이 같음을 보여야 한다. 다음 가환도식을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] 여기서 \(U, V, W\)는 스킴이고 수직 화살표들은 étale이며, \(u \mapsto v \mapsto w\)이고 \(u, v, w\)가 각각 \(A'', A', A\)의 일반점으로 가는 점들 \(u \in U\), \(v \in V\), \(w \in W\)가 존재한다. (세부사항은 생략한다.) 그러면 평탄 국소환 준동형

\(\mathcal{O}_{W, w} \to \mathcal{O}_{V, v}\), \(\mathcal{O}_{V, v} \to \mathcal{O}_{U, u}\)가 있고, Lemma 0EE1를 거듭 사용하면 \[n = \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{U, u})\] 및 \[m = \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}( \mathcal{O}_{V, v}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{V, v}) \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v\mathcal{O}_{U, u})\] 을 얻는다. 따라서 등식은 Algebra, Lemma 02M2에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자.

1. \(Z \subset Y\)를 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)인 닫힌 부분공간이라 하자. 그러면 \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) \leq k + r\)이고 \(Z_{k + r}(X)\)에서 \([f^{-1}(Z)]_{k + r} = f^*[Z]_k\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)인 \(Y\) 위의 연접 층이라 하자. 그러면 \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})) \leq k + r\)이고 \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] 이다. 이는 \(Z_{k + r}(X)\)에서의 등식이다.

증명

(1)은 (2)와 Lemma 0EED, 그리고 \(f^*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\)라는 사실에서 따른다.

(2)의 증명. \(X\), \(Y\)가 국소 Noether이므로 Cohomology of Spaces, Lemma 07UB를 적용하여 \(\mathcal{F}\)가 유한형임을 알 수 있다. 따라서 \(f^*\mathcal{F}\)는 유한형이고(Modules on Sites, Lemma 03DO), 다시 Cohomology of Spaces, Lemma 07UB에 의해 \(f^*\mathcal{F}\)는 연접이다. 그러므로 보조정리는 의미가 있다. \(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하고, \(W' \subset X\)를 차원이 \(k + r\)이며 \(f\)에 의해 \(W\)로 가는 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(f^*[{\mathcal F}]_k\)에서 \([W']\)의 계수 \(n\)과 \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\)에서 \([W']\)의 계수 \(m\)이 같음을 보여야 한다. 다음 가환도식을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U, V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 étale이며, \(u \mapsto v\)이고 \(u, v\)가 각각 \(W', W\)의 일반점으로 가는 점들 \(u \in U\), \(v \in V\)가 존재한다. (세부사항은 생략한다.) 줄기 \(M = (\mathcal{F}|_V)_v\)를 \(\mathcal{O}_{V, v}\)-가군으로 생각하자. (차원 가정에 의해 \(M\)의 길이는 유한하지만, 실제로 이를 확인할 필요는 없다. Lemma 0EE4를 보라.) 다음을 얻는다. \((f^*\mathcal{F}|_U)_u = \mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} M\). 따라서 \[n = \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} M) \quad \text{그리고} \quad m = \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}(M) \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})\] 이다. 따라서 등식은 Algebra, Lemma 02M1에서 따른다.

푸시포워드와 풀백

이 절은 Chow Homology, Section 02RF에 대응한다.

이 절에서는 의미가 있을 때 고유 푸시포워드와 평탄 풀백이 서로 양립함을 확인한다. 위에서 한 작업에 의해 이는 코호몰로지와 밑변환의 결과이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 가 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 섬유곱 도식이라고 하자. \(f : X \to Y\)가 고유이고 \(g : Y' \to Y\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정하자. 그러면 \(f'\)도 고유이고 \(g'\)도 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이다. \(X\) 위의 임의의 \(k\)-사이클 \(\alpha\)에 대하여 \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] 가 \(Z_{k + r}(Y')\)에서 성립한다.

증명

\(f'\)가 고유라는 명제는 Morphisms of Spaces, Lemma 04WP에서 따른다. \(g'\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라는 명제는 Morphisms of Spaces, Lemmas 04NS와 03MO에서 따른다. \(\alpha = [W]\)이고 \(W \subset X\)가 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 어떤 정수적인 닫힌 부분공간인 경우에 사이클의 등식을 증명하면 충분하다. 이 경우 Lemma 0EED에 의해 \(\alpha = [\mathcal{O}_W]_k\)임을 유의하라. 따라서 Lemmas 0EP3와 0EPB에 의해 \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\)가 \(g^*f_*\mathcal{O}_W\)와 동형임을 보이면 충분하다. 이는 코호몰로지와 밑변환, 즉 Cohomology of Spaces, Lemma 073K에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 차수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이라 하자 (Morphisms of Spaces, Definition 03ZV을 보라). 그러면 \(f\)는 고유이면서 상대차원 \(0\)인 평탄 사상이고, \[f_*f^*\alpha = d\alpha\] 가 모든 \(\alpha \in Z_k(Y)\)에 대하여 성립한다.

증명

유한 국소 자유 사상은 Morphisms of Spaces, Lemma 0416에 의해 평탄이고 유한하며, 유한 사상은 Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ에 의해 고유이다. 유한 사상의 상대차원이 \(0\)임을 보이는 일은 생략한다. 따라서 공식은 의미가 있다. \(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적인 닫힌 부분스킴이라 하자.

\(\alpha = [Z]\)인 경우에 공식을 증명하면 충분하다. 유한 국소 자유 사상의 밑변환은 유한 국소 자유이므로(Morphisms of Spaces, Lemma 03ZY), \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\)는 \(Z\) 위의 랭크 \(d\)인 유한 국소 자유 층이다. 따라서 \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\)는 \(Z\)의 일반점에서 명백히 길이 \(d\)를 갖는다. 그러므로 \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] 이다. 여기서 Lemmas 0EPB와 0EP3를 사용하였다.

주인자를 위한 준비

이 절은 Chow Homology, Section 02RI에 대응한다. 이 절의 내용 일부는 Spaces over Fields, Section 0ENI의 논의와 부분적으로 겹친다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이라고 가정하자.

1. \(Z \subset X\)가 정수적인 닫힌 부분공간이면 다음 조건들은 동치이다.

   1. \(Z\)는 소인자이다.

   2. \(|Z|\)는 \(|X|\)에서 여차원 \(1\)을 갖는다.

   3. \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\)이다.

2. \(Z\)가 \(X\) 위 유효 Cartier 인자의 기약 성분이면 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\)이다.

증명

(1)은 소인자의 정의(Spaces over Fields, Definition 0ENJ), Decent Spaces, Lemma 0ED1, 그리고 차원 함수의 정의 (Topology, Definition 02I9)에서 따른다.

\(D \subset X\)를 유효 Cartier 인자라 하자. \(Z \subset D\)를 기약 성분이라 하고 \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. \(U = \Spec(A)\)이고 \(D \times_X U\)가 영인자가 아닌 원소 \(f \in A\)로 잘려 나오는 étale 근방 \((U, u) \to (X, \xi)\)를 택하자. Divisors on Spaces, Lemma 083C를 보라. 그러면 Decent Spaces, Lemma 0ABV에 의해 \(u\)는 \(V(f)\)의 일반점이다. 따라서 크룰의 주 아이디얼 정리(Algebra, Lemma 00KV)에 의해 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 차원은 \(1\)이다. 그러므로 \(\xi\)는 \(X\) 위의 여차원 \(1\)인 점이고 \(Z\)는 원하던 대로 소인자이다.

주인자

이 절은 Chow Homology, Section 02RN에 대응한다. 다음 정의는 현재 설정에서 Spaces over Fields, Definition 0ENP에 대응하는 정의이다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이고 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. \(f\)에 결부된 주인자는 Spaces over Fields, Definition 0ENP에서 정의한 \((n - 1)\)-사이클 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] 이다. Lemma 0EPZ에 의해 소인자들의 \(\delta\)-차원이 \(n - 1\)이므로 이는 의미가 있다.

이 정의의 상황에서 \(f, g \in R(X)^*\)에 대하여 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 가 \(Z_{n - 1}(X)\)에서 성립한다. Spaces over Fields, Lemma 0ENQ를 보라. 다음 보조정리를 이용하면 주인자에 관한 명제를 스킴의 경우로 환원할 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들 사이의 étale 사상이라 하자. \(Y\)가 정수적이라고 가정하자. \(g \in R(Y)^*\)라 하자. \(X\) 위의 사이클로서 \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \sum\nolimits_{X'} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] 이다. 여기서 합은 \(X\)의 기약 성분들(Remark 0EE8) 전체를 돈다.

증명

사상 \(|X| \to |Y|\)는 열려 있다. \(|X|\)의 기약 성분들의 집합은 \(|X|\)에서 국소 유한이다. 따라서 모든 기약 성분 \(X' \subset X\)에 대하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)는 우세이다. 그러므로 \(g \circ f|_{X'}\)가 정의되고(Morphisms of Spaces, Section 0EML), \(\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\)도 정의된다. 또한 합은 국소 유한이므로 오른쪽은 실제로 \(X\) 위의 사이클이다. 왼쪽은 Definition 0EP8과 étale 사상이 상대차원 \(0\)인 평탄 사상이라는 사실에 의해 정의된다.

\(f\)가 étale이므로 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 \(\delta_X(x) = \delta_y(f(x))\)이다. 따라서 \(\dim_\delta(Y) = n\)이면 \(X\)의 모든 기약 성분 \(X'\)에 대하여 \(\dim_\delta(X') = n\)이다(\(X\)의 일반점들이 \(Y\)의 일반점으로 가기 때문이다. 위를 보라). 그러므로 양변 모두 \((n - 1)\)-사이클이다.

\(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) = n - 1\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. 등식을 증명하려면 \(Z\)의 계수들이 같음을 보여야 한다. \(Z' \subset Y\)를 Lemma 0EEG에서 구성한 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. 그러면 \(\dim_\delta(Z') = n - 1\)이다. \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 그러면 \(\xi' = f(\xi) \in |Z'|\)가 일반점이다. Decent Spaces, Remark 0EPL의 가환도식 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 축소된 Noether 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)와 \(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h\)가 정역일 필요는 없으므로 약간 주의해야 한다. 따라서 분수체 대신 전분수환 \(Q(-)\)을 사용한다. 정의에 따라 \(\text{div}_Y(g)\)에서 \(Z'\)의 계수를 구하려면 \(Q(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h)\)에서 \(g\)의 상을 \(a/b\)로 쓴다. 여기서 \(a, b \in \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h\)는 영인자가 아닌 원소들이다. 그리고 다음을 취한다. \[\text{ord}_{Z'}(g) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/b \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h)\] \(f^*\text{div}_Y(G)\)에서 \(Z\)의 계수도 같은 정수임을 유의하라.

Lemma 0EPY을 보라. \(\xi \in X'\)라고 가정하자. 그러면 사상들 \[\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{X', \xi}^h\] 을 생각할 수 있다. 첫째 화살표는 평탄하고 둘째 화살표는 차원이 \(1\)인 축소된 Noether 국소환들의 전사 사상이다. 따라서 두 사상 모두 영인자가 아닌 원소를 영인자가 아닌 원소로 보내며, \(\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\)에서 \(Z'\)의 계수는

위와 같은 규칙에 의해 \[\text{ord}_Z(g \circ f|_{X'}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/b \mathcal{O}_{X', \xi}^h)\] 이다. 따라서 다음을 보이면 충분하다. \[\text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) = \sum\nolimits_{\xi \in |X'|} \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h)\] 먼저 환 사상 \(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)가 평탄이고 비분기이므로 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] 이다. 이는 Algebra, Lemma 02M1에서 따른다. \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)를 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)의 극대가 아닌 소 아이디얼들이라 하고 \(R_j = \mathcal{O}_{X, \xi}^h/\mathfrak q_j\)라 두자. 위와 같은 \(X'\)에 대하여, \(\mathfrak q_j\)가 \(X'\)의 한 점에 대응하는, 즉 전사 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{X', \xi}\) 아래에서

\(\mathfrak q_j\)가 \(\mathcal{O}_{X', \xi}\)의 소 아이디얼에 대응하는 지표들의 집합을 \(J(X') \subset \{1, \ldots, t\}\)로 쓰자. Chow Homology, Lemma 02QG에 의해 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) = \sum\nolimits_j \text{length}_{R_j}(R_j/a R_j)\] 및 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h) = \sum\nolimits_{j \in J(X')} \text{length}_{R_j}(R_j/a R_j)\] 을 얻는다. 따라서 \(\{1, \ldots, t\}\)가 집합들 \(J(X')\)의 서로소 합집합이므로 보조정리의 결과가 성립한다. \(X\) 위의 여차원 \(0\)인 각 점은 유일한 \(X'\) 위에 놓인다.

주인자와 푸시포워드

이 절은 Chow Homology, Section 02RS에 대응한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(X\)와 \(Y\)가 정수적이고 \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. \(p : X \to Y\)를 고유 우세 사상이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하고 \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] 로 두자. 그러면 \(p_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\)이다.

증명

이를 스킴의 경우에서 étale 국소화를 통해 유도할 것이다. \(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원이 \(n - 1\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(p_*\text{div}(f)\)와 \(\text{div}(g)\)에서 \([Z]\)의 계수가 같음을 보이고자 한다. Spaces over Fields, Lemma 0AD2을 사상 \(p : X \to Y\)와 일반점 \(\xi \in |Z|\)에 적용하자. \(Y\)를 \(\xi\)를 포함하는 열린 부분공간으로 바꾸어 \(p : X \to Y\)가 유한이라고 가정할 수 있다. \(V\)가 아핀 스킴인 étale 근방 \((V, v) \to (Y, \xi)\)를 택하자. Lemma 0EPY에 의해 \(V\)로 풀백한 뒤 사이클들의 등식을 증명하면 충분하다. \(U = V \times_Y X\)로 두고 가환도식 \[\xymatrix{ U \ar[r]_a \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ V \ar[r]^b & Y }\] 을 생각하자. \(V_j \subset V\), \(j = 1, \ldots, m\)을 \(V\)의 기약 성분들이라 하자. 각 \(i\)에 대하여,

\(U_{j, i}\), \(i = 1, \ldots, n_j\)를 \(V_j\) 위에 우세한 \(U\)의 기약 성분들이라 하자. \(p' : U \to V\)의 제한을 \(p'_{j, i} : U_{j, i} \to V_j\)로 쓰자. 스킴의 경우(Chow Homology, Lemma 02RT)에 의해 \[p'_{j, i, *}\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i}) = \text{div}_{V_j}(g_{j, i})\] 이다. 여기서 \(f_{j, i}\)는 \(f\)의 \(U_{j, i}\)로의 제한이고, \(g_{j, i}\)는 유한 확대 \(R(U_{j, i})/R(V_j)\)을 따른 \(f_{j, i}\)의 노름이다. Lemmas 0EPD, 0EQ2, 그리고 0EP2에 의해 \[\begin{align*} b^* p_*\text{div}_X(f) & = p'_* a^* \text{div}_X(f) \\ & = p'_*\left(\sum\nolimits_{j, i} (U_{j, i} \to U)_*\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{j, i} (V_j \to V)_*p'_{j, i, *}\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i}) \\ & = \sum\nolimits_j (V_j \to V)_*\left(\sum\nolimits_i \text{div}_{V_j}(g_{j, i})\right) \\ & = \sum\nolimits_j (V_j \to V)_*\text{div}_{V_j}(\prod\nolimits_i g_{j, i}) \end{align*}\] 을 얻는다. 증명을 끝내기 위해 Lemma 0EQ2를 다시 사용하면, \(V_j\)의 함수체의 원소로서 \[g \circ b|_{V_j} = \prod\nolimits_i g_{j, i}\] 임을 보이면 충분하다. 체의 말로 쓰면 이는 다음 명제이다. \(L/K\)를 유한 확대라 하자. \(M/K\)를 유한 분리 확대라 하자. \(M \otimes_K L = \prod M_i\)라고 쓰자. \(t \in L\)의 상들을 \(t_i \in M_i\)라 하면, \(\text{Norm}_{L/K}(t)\)의 \(M\)에서의 상은 \(\prod \text{Norm}_{M_i/M}(t_i)\)이다. 증명은 생략한다.

유리 동치

이 절은 Chow Homology, Section 02RV에 대응한다. 이 절에서는 \(k\)-사이클 위의 유리 동치를 정의한다. 닫힌 몰입 아래에서 주인자들의 상들의 국소 유한 합을 허용할 것이다. 이 때문에 상당히 기이한 현상들이 생긴다(스킴에 관한 장의 예들을 보라). 그러나 이를 허용하지 않으면 선다발의 Chern 특성류로 캡하는 연산이 유리 동치를 통해 인수분해됨을 어떻게 증명할지 알 수 없다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(\dim_\delta(W_j) = k + 1\)인 정수적인 닫힌 부분공간들의 임의의 국소 유한 모음 \(\{W_j \subset X\}\)와 임의의 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 주어지면 \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] 를 생각할 수 있다. 여기서 \(i_j : W_j \to X\)는 포함 사상이다. 사상 \(\coprod i_j : \coprod W_j \to X\)가 고유이므로 이는 의미가 있다.

2. \(\alpha \in Z_k(X)\)가 위에 표시한 형태의 사이클이면 \(\alpha\)는 영과 유리 동치라고 한다.

3. \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)에 대하여 \(\alpha - \beta\)가 영과 유리 동치이면 이 두 사이클이 유리 동치라고 하고 \(\alpha \sim_{rat} \beta\)라고 쓴다.

4. \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] 를 \(X\) 위 \(k\)-사이클들의 Chow 군이라고 정의한다. 이를 때때로 \(X\) 위의 유리 동치로 나눈 \(k\)-사이클들의 Chow 군 이라고 부른다.

그 밖에도 흥미로운 동치관계가 많이 있다. 유리 동치는 이들 가운데 가장 거친 동치관계이다. 다음은 매우 간단하지만 중요한 보조정리이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. \(Y\)를 \(|Y| = |X| \setminus |U|\)인 \(X\)의 축소된 닫힌 부분공간이라 하고, 포함 사상을 \(i : Y \to X\)로 쓰자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)라고 가정하자. \(\alpha|_U \sim_{rat} \beta|_U\)이면 다음을 만족하는 사이클 \(\gamma \in Z_k(Y)\)가 존재한다. \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] 다시 말해 수열 \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] 은 아벨 군들의 완전 복합체이다.

증명

\(\{W_j\}_{j \in J}\)를 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 \(U\)의 정수적인 닫힌 부분공간들의 국소 유한 모음이라 하고, 정의에서와 같이 \((\alpha - \beta)|_U = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\)가 되도록 하는 원소들 \(f_j \in R(W_j)^*\)를 택하자. \(W_j' \subset X\)를 \(W_j\)와 같은 일반점을 갖는, 이에 대응하는 \(X\)의 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(V \subset X\)가 준콤팩트 열린 부분공간이라고 가정하자. \(V\)가 Noether이므로 \(V \cap U\)도 \(U\)에서 준콤팩트 열린 부분공간이다. 따라서 \(\{W_j\}\)가 국소 유한이므로 집합 \(\{j \in J \mid W_j \cap V \not = \emptyset\} = \{j \in J \mid W'_j \cap V \not = \emptyset\}\)은 유한하다. 다시 말해 \(\{W'_j\}\)도 국소 유한임을 알 수 있다. \(R(W_j) = R(W'_j)\)이므로 \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] 는 \(X\) 위의 사이클이고 \(U\)로의 제한은 영이다. Lemma 0EP9을 적용하면 보조정리가 따른다.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\) 위의 \(k\)-사이클들의 무한 모음 \(\alpha_i, \beta_i \in Z_k(X)\), \(i \in I\)가 있다고 가정하자. \(\sum \alpha_i\)와 \(\sum \beta_i\)가 사이클로 정의되도록, \(\alpha_i\)와 \(\beta_i\)의 지지집합들이 \(X\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모음을 이룬다고 가정하자. 또한 각 \(i\)에 대하여 \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\)라고 가정하자. 그렇더라도 \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\)인지는 명백하지 않다. 문제는 유리 동치들이 국소 유한 족 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\)로 주어질 수 있지만, 합집합 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 국소 유한이 아닐 수 있다는 점이다.

실제로 많은 경우에는 \(|X|\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 족 \(\{T_i\}_{i \in I}\)가 있어서 \(\alpha_i, \beta_i\)는 \(T_i\) 위에 지지되고, \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\)가 \(T_i\) “위에서” 성립한다. 더 정확히 말하면 족들 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\)는 \(|W_{i, j}| \subset T_i\)인 정수적인 닫힌 부분공간 \(W_{i, j}\)들로 이루어진다. 이 경우 족 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\)가 자동으로 국소 유한이므로 \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\)가 \(X\) 위에서 성립한다.

유리 동치와 푸시포워드 및 풀백

이 절은 Chow Homology, Section 02S0에 대응한다. 이 절에서는 평탄 풀백과 고유 푸시포워드가 유리 동치와 가환함을 보인다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(Y\)가 정수적이고 \(\dim_\delta(Y) = k\)라고 가정하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(g \in R(Y)^*\)에 대하여 \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum m_{X', X} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] 이다. 이는 \(X\) 위의 \((k + r - 1)\)-사이클들의 등식이며, 합은 \(X\)의 기약 성분 \(X'\) 전체를 돌고 \(m_{X', X}\)는 \(X\)에서 \(X'\)의 중복도이다.

증명

\(X\)의 모든 기약 성분은 \(Y\) 위에 우세함을 유의하라 (Lemma 0EP5). 따라서 합성 \(g \circ f|_{X'}\)가 정의된다(Morphisms of Spaces, Section 0EML). 이를 스킴의 경우로 환원하자. 스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(V \to Y\)를 택한다. 스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ U \ar[r]_a \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ V \ar[r]^b & Y }\] \(a\)가 전사이고 étale이므로 Lemma 0EPY에 의해 \(a\)로 풀백한 뒤 사이클들의 등식을 증명하면 충분하다. Lemma 0EQ2를 사용하면 \[b^*\text{div}_Y(g) = \sum (V' \to V)_*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'})\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 합은 \(V\)의 기약 성분 \(V'\) 전체를 돈다. Lemma 0EPD를 사용하면 \[h^*b^*\text{div}_Y(g) = \sum (V' \times_V U \to U)_*(h')^*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'})\] 를 얻는다. 여기서 \(h' : V' \times_V U \to V'\)는 사영이다. 스킴의 경우의 보조정리(Chow Homology, Lemma 0EPH)를 사상 \(h' : V' \times_V U \to V'\)에 적용하면 \[(h')^*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'}) = \sum m_{U', V' \times_V U} (U' \to V' \times_V U)_*\text{div}_{U'}(g \circ b|_{V'} \circ h'|_{U'})\] 이다. 여기서 합은 \(V' \times_V U\)의 기약 성분 \(U'\) 전체를 돈다. 이 합에 나타나는 각 \(U'\)는 \(U\)의 기약 성분이며, 역으로 \(U\)의 모든 기약 성분 \(U'\)는 유일한 기약 성분 \(V' \subset V\)에 대하여 \(V' \times_V U\)의 기약 성분이다. 기약 성분 \(U' \subset U\)가 주어지면, Lemma 0EEG의 \(X\) 안의 “상” \(\overline{a(U')} \subset X\)를 쓰자. 이는 예를 들어 Lemma 0EP5에 의해 \(X\)의 기약 성분이다.

중복도 \(m_{U', V' \times_V U}\)는 중복도 \(m_{\overline{a(U')}, X}\)와 같다. 이는 등식 \(h^*a^*[Y] = b^*f^*[Y]\)(Lemma 0EPA), 정의들, 그리고 Lemma 0EPY에서 따른다. 지금까지의 내용을 합치면 \[a^*f^*\text{div}_Y(g) = h^*b^*\text{div}_Y(g) = \sum m_{\overline{a(U')}, X} (U' \to U)_*\text{div}_{U'}(g \circ (f \circ a)|_{U'})\] 를 얻는다. 다음으로 보조정리의 명제에 있는 공식의 오른쪽을 \(a\)로 풀백할 때 일어나는 일을 분석한다. 먼저 Lemma 0EPD를 사용하여 \[a^*\sum m_{X', X} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'}) = \sum m_{X', X} (X' \times_X U \to U)_*(a')^*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] 를 얻는다. 여기서 \(a' : X' \times_X U \to X'\)는 사영이다. Lemma 0EQ2에 의해 \[(a')^*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'}) = \sum (U' \to X' \times_X U)_*\text{div}_{U'}(g \circ (f \circ a)|_{U'})\] 이다. 여기서 합은 \(X' \times_X U\)의 기약 성분 \(U'\) 전체를 돈다. 이 \(U'\)들은 \(U\)의 기약 성분들이며, 실제로 \(\overline{a(U')} = X'\)를 만족하는 \(U\)의 기약 성분들과 정확히 같다. 위에서 얻은 것과 비교하면 결론이 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\alpha \sim_{rat} \beta\)를 \(Y\) 위의 유리 동치인 \(k\)-사이클들이라 하자. 그러면 \(f^*\alpha \sim_{rat} f^*\beta\)가 \(X\) 위의 \((k + r)\)-사이클들로서 성립한다.

증명

무엇을 보여야 하는가? 닫힌 몰입들의 모음 \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] 가 주어졌다고 하자. 각 \(W_j\)는 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 정수적인 공간이고, 유리함수 \(g_j \in R(W_j)^*\)가 주어졌다고 하자. 또한 모음 \(\{|i_j|(|W_j|)\}_{j \in J}\)가 \(|Y|\)에서 국소 유한이라고 가정하자. 그러면 \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] 가 \(X\) 위에서 영과 유리 동치임을 보여야 한다. Lemma 0EP6에 의해 오른쪽의 합은 의미가 있다.

섬유곱 \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] 을 생각하고, 첫째 사영을 \(f_j : W'_j \to W_j\)로 쓰자. Lemma 0EPD에 의해 위의 합을 \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] 라고 쓸 수 있다. Lemma 0EQA에 의해 각 \(f_j^*\text{div}(g_j)\)는 \(W'_j\) 위에서 영과 유리 동치이다. 따라서 각 \(i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\)는 영과 유리 동치이다. 그러므로 Remark 0EQ8의 논의에 의해 표시한 합도 그러하다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(p : X \to Y\)를 고유 사상이라 하자. \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)가 유리 동치라고 가정하자. 그러면 \(p_*\alpha\)는 \(p_*\beta\)와 유리 동치이다.

증명

무엇을 보여야 하는가? 닫힌 몰입들의 모음 \[i_j : W_j \longrightarrow X\] 가 주어졌다고 하자. 각 \(W_j\)는 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 정수적인 공간이고, 유리함수 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 주어졌다고 하자. 또한 모음 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\)가 \(X\)에서 국소 유한이라고 가정하자. 그러면 \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] 가 \(X\) 위에서 영과 유리 동치임을 보여야 한다.

이 합은 \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] 와 같음을 유의하라. \(W'_j \subset Y\)를 \(p \circ i_j\)의 상인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. Lemma 0EEG를 보라. Lemma 0ENZ에 의해 모음 \(\{W'_j\}\)는 \(Y\)에서 국소 유한이다. 따라서 주어진 \(j\)에 대하여 \(p_*i_{j, *}\text{div}(f_j) = 0\)이거나, 어떤 \(g_j \in R(W'_j)^*\)에 대하여 \(i'_{j, *}\text{div}(g_j)\)와 같음을 보이면 충분하다.

따라서 위의 논증을 통해 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 하나의 정수적인 닫힌 부분공간 \(W \subset X\)인 경우로 환원된다.

\(f \in R(W)^*\)라 하자. 위와 같이 \(W' = p(W)\)라 하자. 사상들의 가환도식 \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] 을 얻는다. Lemma 0EP2에 의해 \(p_*i_*\text{div}(f) = i'_*(p')_*\text{div}(f)\)임을 유의하라. 위에서 설명했듯이 \((p')_*\text{div}(f)\)가 \(W'\) 위 유리함수의 인자이거나 영임을 보여야 한다. 세 경우를 구분한다.

\(\dim_\delta(W') < k\)인 경우. 이 경우 자동으로 \((p')_*\text{div}(f) = 0\)이므로 증명할 것이 없다.

\(\dim_\delta(W') = k\)인 경우. 이 경우 \((p')_*\text{div}(f) = 0\)임을 보이자. \((p')_*\text{div}(f)\)가 \(k\)-사이클이므로 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \((p')_*\text{div}(f) = n[W']\)이다. \(n = 0\)임을 증명하기 위해 \(W'\)를 공집합이 아닌 열린 부분공간으로 바꾸어도 된다. 특히 \(W'\)가 스킴이라고 가정할 수 있고 그렇게 한다. \(\eta \in W'\)를 일반점이라 하자. \(K = \kappa(\eta) = R(W')\)를 함수체라 하자. 밑변환 도식 \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r]^\eta & W' }\] 을 생각하자. \(c\)는 고유임을 유의하라. 또한 \(|W_\eta|\)의 차원은 \(1\)이다. Decent Spaces, Lemma 0AC8를 사용하여 \(|W_\eta|\)를 \(\eta\)로 가는 \(|W|\)의 점들의 부분공간과 동일시하라. \(\dim_\delta(W) = k + 1\)이고 \(\delta(\eta) = k\)이므로 \(W_\eta\)의 점들의 \(\delta\)-값은 \(k\) 또는 \(k + 1\)이어야 함을 유의하라. 따라서 Decent Spaces, Lemma 0ED1에 의해 국소환들의 차원은 \(\leq 1\)이다. Spaces over Fields, Lemma 0ADD에 의해 \(W_\eta\)는 스킴이다. \(\Spec(K)\)는 \(W'\)의 공집합이 아닌 아핀 열린 부분스킴들의 극한이므로 Limits of Spaces, Lemma 07SR에 의해 \(W\)가 스킴이라고 가정할 수 있다고 결론 내린다. 마지막으로 스킴의 경우(Chow Homology, Lemma 02S2)에 의해 \(n = 0\)임을 얻는다.

\(\dim_\delta(W') = k + 1\)인 경우. 이 경우 Lemma 0EQ4을 적용할 수 있고, 원하는 대로 어떤 \(g \in R(W')^*\)에 대하여 \(p'_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\)임을 알 수 있다.

가역 층에 결부된 인자

이 절은 Chow Homology, Section 02SI에 대응한다. 다음 정의는 현재 설정에서 Spaces over Fields, Definition 0EPU에 대응한다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 임의의 유리형 단면 \(s\)에 대하여 \(s\)에 결부된 Weil 인자를 \((n - 1)\)-사이클

   \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] 로 정의한다. 이는 Spaces over Fields, Definition 0EPU에서 정의된 사이클이다. Lemma 0EPZ에 의해 Weil 인자들의 \(\delta\)-차원이 \(n - 1\)이므로 이는 의미가 있다.

2. \(\mathcal{L}\)에 결부된 Weil 인자를 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{div}_\mathcal{L}(s)\text{의 류} \in \CH_{n - 1}(X)\] 로 정의한다. 여기서 \(s\)는 \(X\) 위의 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 임의의 유리형 단면이다. 이는 Spaces over Fields, Lemma 0EPT에 의해 잘 정의된다.

영이 아닌 단면의 영점 스킴은 유효 Cartier 인자이며, 그 Weil 인자류는 가역 가군에 결부된 Weil 인자를 계산한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 영이 아닌 전역 단면이라 하자. 그러면 \(Z_{n - 1}(X)\)에서 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] 이고, \(\CH_{n - 1}(X)\)에서 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\] 이다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원이 \(n - 1\)인 정수적인 닫힌 부분공간이라 하자. \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 첫째 등식을 증명하기 위해 양변에서 \(Z\)의 계수를 비교한다. 기본 étale 근방 \((U, u) \to (X, \xi)\)를 택하자. Decent Spaces, Section 0EMV을 보라. 이 경우 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h = \mathcal{O}_{U, u}^h\)임을 상기하라. \(U\)를 \(u\)의 열린 근방으로 바꾼 뒤 \(\mathcal{L}|_U\)의 자명화 단면 \(s_U\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 어떤 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)에 대하여 \(s|_U = f s_U\)라고 쓰자. 그러면 \(Z \times_X U\)는 \(U\)의 닫힌 부분스킴으로서 \(V(f)\)와 같다. Divisors on Spaces, Definition 0845를 보라. Spaces over Fields, Section 0ENV에서와 같이, 표준 사상 \(c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \to X\)에 따른 \(\mathcal{L}\)의 풀백을 \(\mathcal{L}_\xi\)로 쓰자. \(s_U\)의 풀백을 \(s_\xi\)로 쓰면 이는 \(\mathcal{L}_\xi\)의 자명화이다. 그러면 \(c_\xi^*(s) = fs_\xi\)임을 알 수 있다. \([Z(s)]_{n - 1}\)에서 \(Z\)의 계수는 정의에 따라 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}(\mathcal{O}_{U, u}/f\mathcal{O}_{U, u})\] 이다. \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 평탄이고 잉여체들을 동일시하므로, 이는 Algebra, Lemma 02M1에 의해 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/f\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] 와 같다. 이 마지막 양은 Spaces over Fields, Definition 0EPR에 의해 \(\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)\)와 같다. 즉 원하는 대로 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\)에서 \(Z\)의 계수와 같다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 사상 \[q : T = \underline{\Spec}\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) \longrightarrow X\] 는 다음 성질들을 갖는다.

1. \(q\)는 전사이고 매끄럽고 아핀이며 상대차원이 \(1\)이다.

2. 동형사상 \(\alpha : q^*\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_T\)가 존재한다.

3. \((q : T \to X, \alpha)\)의 구성은 밑변환과 가환한다.

4. \(q^* : Z_k(X) \to Z_{k + 1}(T)\)는 단사이다.

5. \(Z \subset X\)가 정수적인 닫힌 부분공간이면 \(q^{-1}(Z) \subset T\)도 정수적인 닫힌 부분공간이다.

6. \(Z \subset X\)가 \(\delta\)-차원이 \(\leq k\)인 \(X\)의 닫힌 부분공간이면, \(q^{-1}(Z)\)는 \(\delta\)-차원이 \(\leq k + 1\)인 \(T\)의 닫힌 부분공간이고 \(q^*[Z]_k = [q^{-1}(Z)]_{k + 1}\)이다.

7. \(\xi' \in |T|\)가 \(\xi\) 위의 \(|T| \to |X|\)의 섬유의 일반점이면, 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{T, \xi'}^h\)는 평탄이고, \(\mathfrak m_{\xi'}^h = \mathfrak m_\xi^h \mathcal{O}_{T, \xi'}^h\)이며, 잉여체 확대는 초월차수가 \(1\)인 순수 초월 확대이다.

8. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

증명

\(\mathcal{L}|_U\)가 자명하도록 하는 étale 사상 \(U \to X\)를 택하자. 그러면 \(T \times_X U \to U\)는 사영 \(\mathbf{G}_m \times U \to U\)와 동형이다. 여기서

\(\mathbf{G}_m\)은 곱셈군 스킴이다. Groupoids, Example 022U을 보라. 따라서 (1)은 명백하다.

(2)를 보기 위해 \(q_*q^*\mathcal{L} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n + 1}\)임을 유의하라. 따라서 \(q_*\mathcal{O}_T\)-가군의 자명한 동형사상 \(q_*q^*\mathcal{L} \to q_*\mathcal{O}_T\)가 있다. Morphisms of Spaces, Lemma 08AI에 의해 이는 동형사상 \(q^*\mathcal{L} \to \mathcal{O}_T\)를 결정한다.

상대 스펙트럼의 구성은 임의의 밑변환과 가환하고 동형사상 \(\alpha\)도 명백히 그러하므로 (3)이 성립한다.

(4)는 (1)과 정의들에서 곧바로 따른다.

(5)는 \(Z\)가 정수적인 대수 공간이면 \(\mathbf{G}_m \times Z\)도 정수적인 대수 공간이라는 사실에서 따른다.

(6)은 길이가 보존된다는 사실에서 따른다. \((A, \mathfrak m)\)이 국소환이고 \(B = A[x]_{\mathfrak m A[x]}\)이며 \(M\)이 \(A\)-가군이면 \(\text{length}_A(M) = \text{length}_B(M \otimes_A B)\)이다. 이는 \(\mathcal{F}\)가 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\xi \in |X|\)이며 \(\xi' \in |T|\)가 \(\xi\) 위 섬유의 일반점이면, \(\xi\)에서 \(\mathcal{F}\)의 길이가 \(\xi'\)에서 \(q^*\mathcal{F}\)의 길이와 같음을 뜻한다. 정의들을 추적하면 (6)과 그보다 더 많은 것을 얻는다.

(7)의 사상은 Decent Spaces, Remark 0EPL에서 온다. 하지만 이 경우에는 \[\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \times_X T = \mathbf{G}_m \times \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) = \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h[t, t^{-1}])\] 이고, \(\xi'\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) 위에서 이 공간의 특수섬유의 일반점에 대응한다. 따라서 \(\mathcal{O}_{T, \xi'}^h\)는 대응하는 소 아이디얼에서 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h[t, t^{-1}]\)의 국소화의 Hensel화이다. 여기서 (7)과 몇 가지 가환대수가 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\)가 정수적이라고 가정하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. \(q : T \to X\)를 Lemma 0EQG의 사상이라 하자. 그러면 \[q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_T(q^*(s))\] 이다. 여기서 동형사상 \(q^*\mathcal{L} \to \mathcal{O}_T\)를 사용하여 풀백 \(q^*(s)\)를 \(T\) 위의 영이 아닌 유리형 함수로 본다.

증명

Spaces over Fields, Sections 0ENI와 0ENV에서 주어진 구성들의 양립성에 의해 \(\text{div}_T(q^*(s)) = \text{div}_{\mathcal{O}_T}(q^*(s))\)임을 유의하라. 이 증명에서는 \(\text{div}_{\mathcal{O}_T}(q^*(s))\)와 일치함을 보이겠다. Lemma 0EQG에 서술된 \(q : T \to X\)의 모든 성질을 이후 별도의 언급 없이 사용하겠다. \(Z \subset T\)를 소인자라 하자. 그러면 \(Z \to X\)가 우세이거나, 어떤 소인자 \(Z' \subset X\)에 대하여 \(Z = q^{-1}(Z')\)이다. \(Z \to X\)가 우세이면 이 보조정리의 등식 양변에서 \(Z\)의 계수는 영이다. 따라서 \(Z' \subset X\)가 소인자이고 \(Z = q^{-1}(Z')\)이라고 가정해도 된다. \(\xi' \in |Z'|\)와 \(\xi \in |Z|\)를 각각의 일반점이라 하자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{T, \xi}^h) \ar[r]_-{c_\xi} \ar[d]_h & T \ar[d]^q \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi'}^h) \ar[r]^-{c_{\xi'}} & X }\] 을 얻는다. Decent Spaces, Remark 0EPL을 보라. \(\mathcal{L}_{\xi'} = c_{\xi'}^*\mathcal{L}\)의 자명화 \(s_{\xi'}\)를 택하자. 그러면 \(s_{\xi'}\)를 \(h\)에 따라 풀백한 \(s_\xi\)를 \(\mathcal{L}_\xi = c_\xi^* q^*\mathcal{L}\)의 자명화로 사용할 수 있다. 영인자가 아닌 \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi'}\)에 대하여 \(s/s_{\xi'} = a/b\)라고 쓰자. 정의에 따라 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\)에서 \(Z'\)의 계수는 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi'}^h}( \mathcal{O}_{X, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi'}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi'}^h}( \mathcal{O}_{X, \xi'}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi'}^h)\] 이다. \(Z = q^{-1}(Z')\)이므로 이는 \(q^*\text{div}_\mathcal{L}(s)\)에서 \(Z\)의 계수이기도 하다. \(\mathcal{O}_{X, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{T, \xi}^h\)가 평탄하므로 원소 \(a, b\)는 \(\mathcal{O}_{T, \xi}^h\)에서 영인자가 아닌 원소로 간다. 따라서 \(\mathcal{O}_{T, \xi}^h\)의 전분수환에서 \(q^*(s)/s_\xi = a/b\)이다. 정의에 따라 \(\text{div}_T(q^*(s))\)에서 \(Z\)의 계수는 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{T, \xi}^h}( \mathcal{O}_{T, \xi}^h/a \mathcal{O}_{T, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{T, \xi}^h}( \mathcal{O}_{T, \xi}^h/b \mathcal{O}_{T, \xi}^h)\] 이다. Algebra, Lemma 02M1와 Lemma 0EQG에서 보인 \(\mathfrak m_\xi^h = \mathfrak m_{\xi'}^h\mathcal{O}_{T, \xi}^h\)에 의해 이 길이들은 앞의 길이들과 같으므로 증명이 끝난다.

가역 층과의 교차

이 절은 Chow Homology, Section 02SN에 해당한다. 이 절에서는 다음 구성을 연구한다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 각 정수 \(k\)에 대하여 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 라는 연산을 정의하고, 이를 \(\mathcal{L}\)의 제1 Chern 특성류와의 교차라 부른다.

1. \(\dim_\delta(W) = k + 1\)인 정수적 닫힌 부분공간 \(i : W \to X\)가 주어졌을 때 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] 로 정의한다. 여기서 우변은 Definition 0EQE에 정의되어 있다.

2. 일반적인 \((k + 1)\)-사이클 \(\alpha = \sum n_i [W_i]\)에 대해서는 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\] 로 둔다.

각 \(c_1(\mathcal{L}) \cap W_i = \sum_j n_{i, j} [Z_{i, j}]\)를 \(\{Z_{i, j}\}_j\)가 \(W_i\)의 정수적 닫힌 부분공간들의 국소 유한 합이 되도록 쓰자. \(\{W_i\}\)가 \(X\) 위 정수적 닫힌 부분공간들의 국소 유한 족이므로, \(\{Z_{i, j}\}_{i, j}\)도 \(X\)의 닫힌 부분공간들의 국소 유한 족임을 쉽게 알 수 있다. 따라서

\(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_in_{i, j}[Z_{i, j}]\)는 사이클이다. 이를 생각하는 또 다른, 흔히 더 편리한 방법은 사상 \(\coprod W_i \to X\)가 고유임을 유의하는 것이다. 따라서 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)는 \(\CH_k(\coprod W_i) = \prod \CH_k(W_i)\)의 한 류를 푸시포워드한 것으로 볼 수 있다. 이는 결과가 \(X\) 위 유리 동치를 제외하고 잘 정의되는 이유도 설명한다.

다음 몇 절의 주된 목표는 \(c_1(\mathcal{L})\)과의 교차가 유리 동치를 통해 인수분해됨을 보이는 것이다. 이는 자명하지 않다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자.

\(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위의 가역 층들이라 하자. 그러면 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\]

가 모든 \(\alpha \in Z_{k - 1}(X)\)에 대하여 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다. 또한 모든 \(\alpha\)에 대하여 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\)이다.

증명

가법성은 Spaces over Fields, Lemma 0EPV와 정의들에서 곧바로 따른다. \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\)임을 보기 위해 단면 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)을 생각하자. 이는 임의의 정수적 닫힌 부분공간 \(W \subset X\) 위에서 어디서나 영이 아닌 단면으로 제한된다. 따라서 원하는 대로 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap [W] = 0\)이다.

\(Z(s) \subset X\)는 대수 공간 \(X\) 위 가역 층의 대역 단면 \(s\)의 영점 스킴을 뜻함을 상기하자. Divisors on Spaces, Definition 0845을 보라.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(Y/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)를 정칙 단면이라 하고 \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\)이라고 가정하자. \([Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\)라고 쓰자. 여기서 \(Y_i \subset Y\)들은 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 \(Y\)의 기약 성분들이다. \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\)로 두자. 그러면 [0EQM]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\] 가 \(Y\) 위의 \(k\)-사이클로서 성립한다.

증명

\(\varphi : V \to Y\)를 \(V\)가 스킴인 전사 étale 사상이라 하자. Lemma 0EPY에 의해 \(\varphi\)로 풀백한 뒤 등식을 증명하면 충분하다. 같은 보조정리에 의해 \(\varphi^*[Y_i] = [\varphi^{-1}(Y_i)] = \sum [V_{i, j}]\)이다. 여기서 \(V_{i, j}\)들은 \(Y_i\) 위에 놓인 \(V\)의 기약 성분들이다. 따라서 먼저 \(Y_i \times_Y V\) 위의 \(\varphi^*s_i\)에 스킴인 경우(Chow Homology, Lemma 0EPI)를 적용하면 \(\varphi^*[Z(s_i)]_k = [Z(\varphi^*s_i)] = \sum [Z(s_{i, j})]_k\)임을 얻는다. 여기서 \(s_{i, j}\)는 \(s\)를 \(V_{i, j}\)로 풀백한 것이다. \(\varphi^*s\)에 스킴인 경우를 적용하면 \[\varphi^*[Z(s)]_k = [Z(\varphi^*s)]_k = \sum n_i[Z(s_{i, j})]_k\] 를 얻는다. 이는 위에서 말한 중복도에 관한 설명에 의한다. 위의 모든 사실을 합치면 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 가역 층의 \(c_1\)과 닫힌 부분스킴에 결부된 사이클의 교차곱을 계산하는 데 유용하다. \(Z(s) \subset X\)는 스킴 \(X\) 위 가역 층의 대역 단면 \(s\)의 영점 스킴을 뜻함을 상기하자. Divisors, Definition 02OQ을 보라.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Y \subset X\)를 \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\)인 닫힌 부분스킴이라 하고, \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L}|_Y)\)를 정칙 단면이라 하자. 그러면 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\] 가 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다.

증명

\[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] 라고 쓰자. 여기서 \(Y_i \subset Y\)들은 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 \(Y\)의 기약 성분들이고 \(n_i > 0\)이다. 가정에 의해 제한 \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\)는 영이 아니며, 따라서 정칙 단면이다. Lemma 0EQF에 의해 \([Z(s_i)]_k\)가 \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\)를 나타냄을 알 수 있다. 따라서 정의에 의해 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] 이다. 이제 Lemma 0EQL에서 결과가 따른다.

가역 층과의 교차 및 푸시포워드와 풀백

이 절은 Chow Homology, Section 0AYA에 해당한다. 이 절에서는 연산 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\)가 평탄 풀백 및 고유 푸시포워드와 가환함을 증명한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원이 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역 층이라 하자. \(Y\)가 정수적이고 \(n = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. 그러면 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 가 \(Z_{n + r - 1}(X)\)에서 성립한다. 여기서 합은 \(\delta\)-차원이 \(n + r\)인 기약 성분 \(X_i \subset X\) 전체를 돌고, 단면 \(s_i = f|_{X_i}^*(s)\)는 \(s\)의 풀백이며, \(n_i = m_{X_i, X}\)는 \(X\)에서 \(X_i\)의 중복도이다.

증명

약간의 기교를 써서 이를 Lemma 0EQA에서 도출하겠다. (다른 방법은 가역 가군의 유리형 단면이라는 설정에서 그 보조정리의 증명을 다시 하는 것이다.) 즉, \(q : T \to Y\)를 \(Y\) 위의 \(\mathcal{L}\)을 사용하여 구성한 Lemma 0EQG의 사상이라 하자. 이 보조정리에 서술된 \(T\)의 모든 성질을 사용하겠다. 섬유곱 그림 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{q'} \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^q & Y }\] 을 생각하자. 그러면 \(q' : T' \to X\)는 \(X\) 위의 \(f^*\mathcal{L}\)을 사용하여 구성한 사상이다. 이제 \[(q')^*f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i (q')^*\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 를 증명하면 충분하다.

\(T'_i = q^{-1}(X_i)\)들은 \(T'\)의 기약 성분이고, \(n_i\)는 \(T'\)에서 \(T'_i\)의 중복도임을 유의하라. 좌변은 Lemma 0EQH (그리고 Lemma 0EPA)에 의해 \[h^*q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = h^*\text{div}_T(q^*(s))\] 와 같다. 한편 \(q'\)의 제한을 \(q'_i : T'_i \to X_i\)로 나타내면, Lemma 0EQH에 의해 우변은

\[\sum n_i \text{div}_{T_i}((q'_i)^*(s_i))\] 와 같다. 이 두 식에서 표현 \(q^*(s)\)와 \((q'_i)^*(s_i)\)는 동형사상 \(\alpha : q^*\mathcal{L} \to \mathcal{O}_T\)와 이를 \(T\) 위의 공간들로 풀백한 동형사상들을 통해, \(q^*\mathcal{L}\)과 \((q'_i)^*f^*\mathcal{L}|_{X_i}\)의 풀백된 유리형 단면들에 대응하는 유리함수들을 나타낸다. 이 규약 아래에서는 \((q'_i)^*(s_i)\)가 \(T\) 위의 유리함수 \(q^*(s)\)와 사상 \(h|_{T'_i} : T'_i \to T\)의 합성임이 명백하다. 따라서 Lemma 0EQA는 정확히

\[h^*\text{div}_T(q^*(s)) = \sum n_i \text{div}_{T_i}((q'_i)^*(s_i))\] 라고 말하며, 이는 원하는 결과이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원이 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역 층이라 하자. \(\alpha\)를 \(Y\) 위의 \(k\)-사이클이라 하자. 그러면 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\] 가 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(\alpha = \sum n_i[W_i]\)라고 쓰자. \(X\)의 닫힌 부분공간 \(f^{-1}(W_i)\) 위에서 유리 동치를 구성함으로써 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] 가 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 성립함을 보이겠다. Remark 0EQ8의 논의에 의해 이로부터 보조정리의 등식이 성립함이 증명된다.

\(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적 닫힌 부분공간이라 하자. 닫힌 부분공간 \(W' = f^{-1}(W) = W \times_Y X\)를 생각하면 섬유곱 그림 \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] 을 얻는다. \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\)임을 보여야 한다. \(\mathcal{L}|_W\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(s\)를 택하자. \(W'_i \subset W'\)를 \(\delta\)-차원이 \(k + r\)인 기약 성분들이라 하자. 정의에 따라 \(n_i\)를 \(W'\)에서 \(W'_i\)의 중복도로 하여 \([W']_{k + r} = \sum n_i[W'_i]\)라고 쓰자. 그러면 \(Z_{k + r}(X)\)에서 \(f^*[W] = \sum n_i[W'_i]\)이다. 각 \(W'_i \to W\)가 우세이므로 각 \(i\)에 대하여 \(s_i = s|_{W'_i}\)가 영이 아닌 유리형 단면임을 알 수 있다. Lemma 0EQQ에 의해 사이클의 등식 \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] 가 \(Z_{k + r - 1}(W')\)에서 성립한다. 좌변은 \(W'\) 위의 사이클이고 그 푸시포워드는 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W])\)이며, 우변은 \(W'\) 위의 사이클이고 그 푸시포워드는 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\)이므로 증명이 끝난다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역 층이라 하자. \(X\), \(Y\)가 정수적이고, \(f\)가 우세이며, \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자.

\(s\)를 \(Y\) 위의 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(s\)라 하자. 그러면 \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] 가 \(Y\) 위의 사이클로서 성립한다. 특히

\[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[Y].\]

증명

정의에 따라 \(f_*[X] = [R(X) : R(Y)][Y]\)이므로 마지막 등식은 첫째 등식에서 따른다.

첫째 등식을 증명하자. \(q : T \to Y\)를 \(Y\) 위의 \(\mathcal{L}\)을 사용하여 구성한 Lemma 0EQG의 사상이라 하자. 이 보조정리에 서술된 \(T\)의 모든 성질을 사용하겠다. 섬유곱 그림 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{q'} \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^q & Y }\] 을 생각하자. 그러면 \(q' : T' \to X\)는 \(X\) 위의 \(f^*\mathcal{L}\)을 사용하여 구성한 사상이다.

\(T'\)로 풀백한 뒤 등식을 증명하면 충분하다. 좌변을 풀백하면 \[\begin{align*} q^*f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) & = h_*(q')^*\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s) \\ & = h_*\text{div}_{(q')^*f^*\mathcal{L}}((q')^*f^*s) \\ & = h_*\text{div}_{h^*q^*\mathcal{L}}(h^*q^*s) \end{align*}\] 이다. 첫째 등식은 Lemma 0EPD에 의한다. 둘째 등식은 \(T'\)가 정수적임을 사용하는 Lemma 0EQQ에 의한다. 셋째 등식은 표시된 그림이 가환하기 때문이다. 우변을 풀백하면 \[[R(X) : R(Y)]q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = [R(T') : R(T)]\text{div}_{q^*\mathcal{L}}(q^*s)\] 이다. 이는 Lemma 0EQQ, \(T\)가 정수적이라는 사실, 그리고 등식 \([R(T') : R(T)] = [R(X) : R(Y)]\)에서 따른다. 그 증명은 생략한다 (Lemma 0EPD에서 따르지만, 그것은 이 등식을 증명하는 어리석은 방법일 것이다). 따라서 사상 \(h : T' \to T\), 가역 가군

\(q^\mathcal{L}\), 그리고 단면 \(q^*s\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. \(q^*\mathcal{L} = \mathcal{O}_T\)이므로 다음 문단에서 논의할 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}\)인 경우로 환원된다.

\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_Y\)라고 가정하자. 이 경우 \(s\)는 유리함수

\(g \in R(Y)\)에 대응한다. 매장 \(R(Y) \subset R(X)\)을 사용하면

\(g\)를 \(X\) 위의 유리함수로 볼 수 있고, 우리가 증명하려는 것은 단지 \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] 이다. 이를 Lemma 0EQ4의 결과와 비교하면, \(g \in R(Y)^*\)이므로 \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g) = g^{[R(X) : R(Y)]}\)여서 참임을 알 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(p : X \to Y\)를 고유 사상이라 하자. \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역 층이라 하자. 그러면 \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\] 가 \(\CH_k(Y)\)에서 성립한다.

증명

\(p\)가 다음 성질을 갖는다고 하자. 즉, 모든 정수적 닫힌 부분공간 \(W \subset X\)에 대하여 사상 \(p|_W : W \to Y\)가 닫힌 몰입이라고 하자. 그러면 \(c_1(\mathcal{L})\)과의 교차의 정의에 의해 보조정리가 성립한다.

이 설명을 사용하여 특별한 경우로 환원하겠다. 즉, \(n_i \not = 0\)이고 \(W_i\)들이 서로 다르도록 \(\alpha = \sum n_i[W_i]\)라고 쓰자. \(W'_i \subset Y\)를 Lemma 0EEG에서와 같은 \(W_i\)의 “상”이라 하자. 그림 \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] 을 생각하자. \(\{W_i\}\)가 \(X\) 위에서 국소 유한이고 \(p\)가 고유이므로, \(\{W'_i\}\)가 \(Y\) 위에서 국소 유한이며 \(q, q', p'\)도 고유 사상임을 알 수 있다.

\(\sum n_i[W_i]\)를 \(k\)-사이클 \(\alpha' \in Z_k(X')\)로 볼 수도 있다. 명백히 \(q_*\alpha' = \alpha\)이다. 그리고 증명의 첫 설명에 의해 \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\)이고 \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\)이다. 따라서 사상 \(p'\)와 사이클 \(\sum n_i[W_i]\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 이는 명백히 \(X\), \(Y\)가 정수적이고,

\(f : X \to Y\)가 우세이며 \(\alpha = [X]\)이라고 가정해도 됨을 뜻한다. 이 경우 결과는 Lemma 0EQS에서 따른다.

핵심 공식

이 절은 Chow Homology, Section 0AYB에 해당한다. 독자에게 먼저 그 경우의 증명을 읽을 것을 강력히 권한다.

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이고 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하고, \(t\)를 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. \(Z \subset X\)를 일반점이 \(\xi \in |Z|\)인 소인자라 하자. Spaces over Fields, Section 0ENV에서 사용된 사상 \[c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \longrightarrow X\] 을 생각하자. \(\mathcal{L}_\xi\)와 \(\mathcal{N}_\xi\)로 \(c_\xi\)에 따른 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 풀백을 나타낸다. 흔히 \(\mathcal{L}_\xi\)와 \(\mathcal{N}_\xi\)를 이들이 주는 계수 \(1\)의 자유 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)-가군으로 생각한다. \(s\), 각각 \(t\)의 풀백은 \(\mathcal{L}_\xi\), 각각 \(\mathcal{N}_\xi\)의 정칙 유리형 단면임을 유의하라.

\(Z_i \subset X\), \(i \in I\)를 다음 성질을 갖는 소인자들의 국소 유한 집합이라 하자. \(Z \not \in \{Z_i\}\)이면 \(s\)는 \(\mathcal{L}_\xi\)의 생성원이고 \(t\)는 \(\mathcal{N}_\xi\)의 생성원이다. 그러한 집합은 Spaces over Fields, Lemma 0EPS에 의해 존재한다. 그러면 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] 이고, 마찬가지로 \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] 이다. 정의를 더 풀어 쓰기 위해 각 \(i\)에 대하여 생성원 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\)와 \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\)를 택하자. 여기서 \(\xi_i\)는 \(Z_i\)의 일반점이다. 그러면 \[s = f_i s_i \quad\text{그리고}\quad t = g_i t_i\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(f_i, g_i\)는 전분수환 \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi_i}^h)\)의 가역원이다. \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}^h\)로 줄여 쓰자. 다음을 나타내자. \[\text{ord}_{B_i} : Q(B_i)^* \longrightarrow \mathbf{Z},\quad a/b \longmapsto \text{length}_{B_i}(B_i/aB_i) - \text{length}_{B_i}(B_i/bB_i)\] 즉, Algebra, Definition 02MD를 차원이 \(1\)인 이 축소 Noether 국소환들로 임시로 확장한다. 그러면 정의에 따라 \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{그리고}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] 이다. \(\xi_i\)가 \(Z_i\)의 일반점이므로 잉여체 \(\kappa(\xi_i)\)가 \(Z_i\)의 함수체임을 알 수 있다. 더구나 \(\kappa(\xi_i)\)는 \(B_i\)의 잉여체이다. Decent Spaces, Lemma 0EN0을 보라. \(t_i\)가 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\)의 생성원이므로 섬유 \(\mathcal{N}_{\xi_i} \otimes_{B_i} \kappa(\xi_i)\)에서 그 상은 \(\mathcal{N}|_{Z_i}\)의 영이 아닌 유리형 단면이다. 이 상을 \(t_i|_{Z_i}\)로 나타내겠다. 우리의 정의에서 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 이고, 마찬가지로 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 가 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 성립한다. 이 두 사이클 사이의 유리 동치를 찾겠다. 이를 위해 테임 기호 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^* = R(Z_i)^*\] 를 생각한다. Chow Homology, Section 0EAH을 보라.

보조정리

위 상황에서 사이클 \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] 은 사이클 \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] 과 같다.

증명

증명의 전략은 다음과 같다. 먼저 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)이 자명한 가역 가군인 경우로 환원하고, 다음으로 국소 자명화의 선택을 바꾸며, 마지막으로 étale 국소화를 사용하여 스킴인 경우로 환원한다¹.

첫째 단계. \(q : T \to X\)를 Lemma 0EQG에서 구성한 사상이라 하자. 거기 서술된 모든 성질을 별도의 언급 없이 사용하겠다. 특히 \(q\)로 풀백한 뒤 두 사이클이 같음을 보이면 충분하다. \(s'\)와 \(t'\)로 \(s\)와 \(t\)를 \(q^*\mathcal{L}\)과 \(q^*\mathcal{N}\)의 유리형 단면으로 풀백한 것을 나타내자. \(Z'_i = q^{-1}(Z_i)\)로 쓰고, \(\xi'_i \in |Z'_i|\)를 일반점이라 하며, \(B'_i = \mathcal{O}_{T, \xi'_i}^h\)로 쓰자. 또한 \(\mathcal{L}_{\xi'_i}\)와 \(\mathcal{N}_{\xi'_i}\)로 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)을 \(\Spec(B'_i)\)로 풀백한 것을 나타내자. 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(B'_i) \ar[r]_-{c_{\xi'_i}} \ar[d] & T \ar[d]^q \\ \Spec(B_i) \ar[r]^-{c_{\xi_i}} & X }\] 을 갖는다는 것을 상기하자. Decent Spaces, Remark 0EPL을 보라. \(s'_i\)와 \(t'_i\)로 \(s_i\)와 \(t_i\)의 풀백을 나타내자. 이들은 \(\mathcal{L}_{\xi'_i}\)와 \(\mathcal{N}_{\xi'_i}\)의 생성원이다. 그러면 \[s' = f'_i s'_i \quad\text{그리고}\quad t' = g'_i t'_i\] 이다. 여기서 \(f'_i\)와 \(g'_i\)는 \(B_i \to B'_i\)가 유도하는 사상 \(Q(B_i) \to Q(B'_i)\)에 따른 \(f_i, g_i\)의 상이다. Algebra, Lemma 02M1에 의해 \[\text{ord}_{B_i}(f_i) = \text{ord}_{B'_i}(f'_i) \quad\text{그리고}\quad \text{ord}_{B_i}(g_i) = \text{ord}_{B'_i}(g'_i)\] 이다. \(q : Z'_i \to Z_i\)에 Lemma 0EQQ를 적용하면 \[q^*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) = \text{div}_{q^*\mathcal{N}|_{Z'_i}}(t'_i|_{Z'_i}) \quad\text{그리고}\quad q^*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = \text{div}_{q^*\mathcal{L}|_{Z'_i}}(s'_i|_{Z'_i})\] 이다. 이는 보조정리의 명제에 나오는 첫째 사이클이 \(s', t', Z'_i, s'_i, t'_i\)에 해당하는 사이클로 풀백됨을 이미 보인다. 둘째 사이클도 그러함을 보기 위해 Chow Homology, Lemma 0EPG에 의해 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \mapsto \partial_{B'_i}(f'_i, g'_i) \quad\text{를 통해}\quad \kappa(\xi_i) \to \kappa(\xi'_i)\] 임을 유의하라. 따라서 앞과 같은 보조정리에 의해 \[q^*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = \text{div}(\partial_{B'_i}(f'_i, g'_i))\] 이다. \(q^*\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_T\)이므로 \(\mathcal{L}\)이 자명한 경우에 등식을 증명하면 충분함을 알 수 있다. \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 역할을 바꾸면 마찬가지로 \(\mathcal{N}\)도 자명하다고 가정할 수 있다. 이로써 첫째 단계의 증명이 끝난다.

둘째 단계. \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)이고 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\)라고 가정하자. \(1\)로 \(\mathcal{L}\)의 자명화 단면을 나타내자. 그러면 어떤 단위원 \(u \in B_i\)에 대하여 \(s_i = u \cdot 1\)이다. \(s_i\)를 \(1\)로 바꾸면 어떤 일이 생기는지 살펴보자. 그러면 \(f_i\)는 \(u f_i\)로 바뀐다. 따라서 보조정리의 첫째 표현 중 첫 부분은 변하지 않고, 둘째 부분에는 \[\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] 를 더한다. 여기서 \(u|_{Z_i}\)는 Spaces over Fields, Lemma 0EPT에 따른 잉여체에서의 \(u\)의 상이다. 둘째 표현에는 테임 기호의 쌍선형성에 의해 \[\text{div}(\partial_{B_i}(u, g_i))\] 를 더한다. 이 항들은 Chow Homology, Equation (0EAN)에 주어진 테임 기호의 성질에 의해 일치한다.

\(Y \subset X\)를 \(\dim_\delta(Y) = n - 2\)인 정수적 닫힌 부분공간이라 하자.

보조정리의 두 사이클에서 \(Y\)의 계수들이 같음을 보이기 위해, 앞 문단에서처럼 \(s_i\)를 \(1\)로 바꾸어도 된다. 완전히 같은 방식으로 \(t_i\)를 \(1\)로 바꾸어도 됨을 보인다. \(Y \subset Z_i\)인 \(Z_i\)는 유한 개뿐이므로 이 모든 \(Z_i\)에 대하여 \(s_i = 1\)이고 \(t_i = 1\)이라고 가정할 수 있다.

셋째 단계. 여기서는 \(\dim_\delta(Y) = n - 2\)인 정수적 닫힌 부분공간 \(Y\)에 대하여 보조정리의 두 사이클에서 \(Y\)의 계수들이 일치함을 증명한다. 더 나아가 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)이고 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\)이며, \(Y \subset Z_i\)인 모든 \(Z_i\)에 대하여 \(s_i = 1\)이고 \(t_i = 1\)이라고 하자. \(X\)를 더 작은 열린 부분공간으로 바꾼 뒤 실제로 모든 \(i\)에 대하여 \(s_i\)와 \(t_i\)가 \(1\)이라고 가정할 수 있다. 이 경우 첫째 사이클은 영이다. 우리의 과제는 둘째 사이클에서 \(Y\)의 계수도 영임을 보이는 것이다.

먼저 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)이고 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\)이므로, \(s, t\)를 \(X\) 위의 유리함수 \(f, g\)로 보아도 되며 그렇게 하겠다. \(s_i\)와 \(t_i\)가 \(1\)과 같으므로, 모든 \(i\)에 대하여 \(f_i\), 각각 \(g_i\)는 \(Q(B_i)\)에서 \(f\), 각각 \(g\)의 상이다. \(\zeta \in |Y|\)를 일반점이라 하자. étale 근방 \[(U, u) \longrightarrow (X, \zeta)\] 을 택하고 \(Y' = \overline{\{u\}} \subset U\)로 쓰자. étale 사상은 평탄하므로 \(f\)와 \(g\)를 \(U\) 위의 정칙 유리형 함수로 풀백할 수 있고, 이를 역시 \(f\)와 \(g\)로 나타내겠다. 모든 소인자 \(Y \subset Z \subset X\)에 대하여 스킴 \(Z \times_X U\)는 \(U\)의 소인자들의 합집합이다. 역으로 소인자 \(Y' \subset Z' \subset U\)가 주어지면, \(Z'\)가 \(Z \times_X U\)의 한 성분이 되는 소인자 \(Y \subset Z \subset X\)가 존재한다. 그러한 쌍 \((Z, Z')\)가 주어졌을 때 환 사상 \[\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{U, \xi'}^h\] 은 étale이다(실제로 유한 étale이다). 따라서 Chow Homology, Lemma 0EPG에 의해 \[\partial_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f, g) \mapsto \partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g) \quad\text{를 통해}\quad \kappa(\xi) \to \kappa(\xi')\] 임을 알 수 있다. 따라서 Lemma 0EQ2를 적용하면 \[(Z \times_X U \to Z)^*\text{div}_Z(\partial_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f, g)) = \sum\nolimits_{Z' \subset Z \times_X U} \text{div}_{Z'}(\partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g))\] 이다. 평탄 풀백은 닫힌 몰입에 따른 푸시포워드와 가환하므로 (Lemma 0EPD), 다음 식에서 \(Y'\)의 계수가 영임을 증명하면 충분함을 알 수 있다. \[\sum\nolimits_{Z' \subset U} (Z' \to U)_*\text{div}_{Z'}(\partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g))\]

\(A = \mathcal{O}_{U, u}\)라 하자. 그러면 \(f, g \in Q(A)^*\)이다. 따라서 영인자가 아닌 \(a, b, c, d \in A\)에 대하여 \(f = a/b\)와 \(g = c/d\)라고 쓸 수 있다. 위 표현에서 \(Y'\)의 계수는

\[\sum\nolimits_{\mathfrak q \subset A\text{ 높이 }1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_\mathfrak q}(f, g))\] 이다. \(\partial_A\)의 쌍선형성에 의해

\[\sum\nolimits_{\mathfrak q \subset A\text{ 높이 }1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_\mathfrak q}(a, c))\] 가 영임을 증명하면 충분하며, 다른 쌍 \((a, d)\), \((b, c)\), \((b, d)\)도 마찬가지이다. 이는 Chow Homology, Lemma 0EAW에 의해 참이다.

가역 층과의 교차 및 유리 동치

이 절은 Chow Homology, Section 02TG에 해당한다. 핵심 보조정리를 적용하여 가역 층과의 교차가 갖는 기본 성질들을 얻는다. 특히 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\)가 유리 동치를 통해 인수분해되고, 서로 다른 가역 층들에 대한 이 연산들이 가환함을 보겠다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이고 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위의 가역 층이라 하자. \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(s\)와 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(t\)를 택하자. \(\alpha = \text{div}_\mathcal{L}(s)\) 및 \(\beta = \text{div}_\mathcal{N}(t)\)로 두자. 그러면 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] 가 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 성립한다.

증명

핵심 Lemma 0EQV와 그 앞의 논의에서 곧바로 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역 층이라 하자. 연산 \(\alpha \mapsto c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)는 유리 동치를 통해 인수분해되어 연산 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 을 준다.

증명

\(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)이고 \(\alpha \sim_{rat} 0\)이라 하자. Definition 0EQJ에서 정의된 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)가 영임을 보여야 한다. Definition 0EQ6에 의해 \(\dim_\delta(W_j) = k + 2\)인 정수적 닫힌 부분공간들의 국소 유한 족 \(\{W_j\}\)와 유리함수 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 존재하여 \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] 이다. \(p : \coprod W_j \to X\)는 고유 사상임을 유의하라. 따라서 \(\alpha = p_*\alpha'\)이다. 여기서 \(\alpha' \in Z_{k + 1}(\coprod W_j)\)는 주인자들 \(\text{div}_{W_j}(f_j)\)의 합이다. Lemma 0EQT에 의해 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\)이다. 따라서 각각의 \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j}) \cap \text{div}_{W_j}(f_j)\)가 영임을 보이면 충분하다. 즉, \(X\)가 정수적이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대하여 \(\alpha = \text{div}_X(f)\)라고 가정해도 된다.

\(X\)가 정수적이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대하여 \(\alpha = \text{div}_X(f)\)라고 가정하자.

\(f\)를 가역 층 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\)의 정칙 유리형 단면으로 생각할 수 있다. \(\mathcal{L}\)의 유리형 단면 \(s\)를 택하고 \(\beta = \text{div}_\mathcal{L}(s)\)로 나타내자. Lemma 0EQX에 의해 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] 이다. 그러나 Lemma 0EQK에 의해 우변은 원하는 대로 \(\CH_k(X)\)에서 영이다.

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역 층이라 하자. 연산 \[c_1(\mathcal{L})^s \cap - : \CH_{k + s}(X) \to \CH_k(X)\] 을 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\)라 나타내겠다. 이는 Lemma 0EQY에 의해 말이 된다.

모든 \(s \geq 0\)에 대하여 \(c_1(\mathcal{L}^s \cap -\)로 이 연산의 \(s\)회 반복을 나타내겠다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위의 가역 층이라 하자. 임의의 \(\alpha \in \CH_{k + 2}(X)\)에 대하여 \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] 가 \(\CH_k(X)\)의 원소로서 성립한다.

증명

\(\dim_\delta(Z_j) = k + 2\)인 정수적 닫힌 부분공간들의 어떤 국소 유한 족 \(Z_j \subset X\)에 대하여 \(\alpha = \sum m_j[Z_j]\)라고 쓰자. 고유 사상 \(p : \coprod Z_j \to X\)를 생각하자. \(\coprod Z_j\) 위의 \((k + 2)\)-사이클로서 \(\alpha' = \sum m_j[Z_j]\)로 두자. Lemma 0EQT를 여러 번 적용하면 \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\)이고 \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\)임을 알 수 있다. 따라서 \(X\)가 정수적이고 \(\alpha = [X]\)인 경우의 공식을 증명하면 충분하다. 이 경우 결과는 Lemma 0EQX과 정의들에서 따른다.

유효 Cartier 인자와의 교차

이 절은 Chow Homology, Section 02T7에 해당한다.

동기를 위해 그 절의 도입부를 읽어 주기 바란다.

유효 Cartier 인자는 \(\mathcal{L}\)이 가역 층이고 \(s\)가 대역 단면인 쌍 \((\mathcal{L}, s)\)의 동형류와 \(1\) 대 \(1\)로 대응함을 상기하자. Divisors on Spaces, Lemma 0847를 보라. \(D\)가 \((\mathcal{L}, s)\)에 대응하면 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)이다. 이 절을 읽는 동안 이를 기억해 두기 바란다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. 가역 층과 대역 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)으로 이루어진 쌍 \((\mathcal{L}, s)\)를 취하자. \(D = Z(s)\)를 \(s\)의 영점 자취라 하고, \(i : D \to X\)로 닫힌 몰입을 나타내자. 각 정수 \(k\)에 대하여 (정제된) Gysin 준동형 \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\] 을 다음 규칙으로 정의한다.

1. \(\dim_\delta(W) = k + 1\)인 정수적 닫힌 부분공간 \(W \subset X\)가 주어졌을 때 다음과 같이 정의한다.

   1. \(W \not \subset D\)이면 \(D\) 위의 \(k\)-사이클로서 \(i^*[W] = [D \cap W]_k\)로 두고,

   2. \(W \subset D\)이면 \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\)로 둔다. 여기서 \(i' : W \to D\)는 유도된 닫힌 몰입이다.

2. 일반적인 \((k + 1)\)-사이클 \(\alpha = \sum n_j[W_j]\)에 대해서는 \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\] 로 둔다.

3. \(D\)가 유효 Cartier 인자이면 그 류를 \(X\) 위의 류로 푸시포워드한 것을 \(D \cdot \alpha = i_*i^*\alpha\)로 나타낸다.

실제로 나중에 보겠지만, 이 Gysin 준동형 \(i^*\)는 비평탄 풀백의 한 예로 볼 수 있다. 따라서 때때로 비형식적으로 류 \(i^*\alpha\)를 류 \(\alpha\)의 풀백이라 부르겠다.

주

\(S\), \(B\), \(X\), \(\mathcal{L}\), \(s\), \(i : D \to X\)가 Definition 0ER1에서와 같고 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)라고 가정하자. 이 경우 \(W \subset D\)일 때마다 \(i^*[W] = 0\)이 되도록 요구함으로써 사이클들 위에 표준 사상 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to Z_k(D)\)를 정의할 수 있다. 이렇게 할 수 있다는 사실은 나중에 유용할 것이다.

주

\(f : X' \to X\)를 Situation 0EDT에서와 같은 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같은 삼중항이라 하자. 그러면 \(\mathcal{L}' = f^*\mathcal{L}\), \(s' = f^*s\) 및 \(D' = X' \times_X D = Z(s')\)로 둘 수 있다. 이로부터 가환 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 얻으며, \(i^*\)와 \((i')^*\) 사이의 여러 양립성을 물을 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같이 취하자. \(\alpha\)를 \(X\) 위의 \((k + 1)\)-사이클이라 하자. 그러면 \(i_*i^*\alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)가 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다. 특히 \(D\)가 유효 Cartier 인자이면 \(D \cdot \alpha = c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap \alpha\)이다.

증명

\(\alpha = \sum n_j[W_j]\)라고 쓰자. 여기서 \(i_j : W_j \to X\)들은 \(\dim_\delta(W_j) = k\)인 정수적 닫힌 부분공간들이다. \(D\)가 \(s\)의 영점 자취이므로 \(D \cap W_j\)는 제한 \(s|_{W_j}\)의 영점 자취임을 알 수 있다. 따라서 \(W_j \not \subset D\)인 각 \(j\)에 대하여 Lemma 0EQN에 의해 \(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_j] = [D \cap W_j]_k\)이다. 그러므로 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] 가 Definition 0EQJ에 의해 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다. 우변은 Definition 0ER1의 \(D\) 위 류 \(i^*\alpha\)를 푸시포워드한 것과 항별로 일치한다. 따라서 증명이 끝난다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X' \to X\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 고유 사상이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같이 취하자. Remark 0ER3에서와 같은 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 만들자. \(X'\) 위의 임의의 \((k + 1)\)-사이클 \(\alpha'\)에 대하여 \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\)가 \(\CH_k(D)\)에서 성립한다 (이는 \(f_*\)가 사이클 수준에서 정의되므로 말이 된다).

증명

어떤 정수적 닫힌 부분공간 \(W' \subset X'\)에 대하여 \(\alpha = [W']\)라고 하자. \(W \subset X\)를 Lemma 0EEG에서와 같은 \(W'\)의 “상”이라 하자. \(W' \not \subset D'\)인 경우에는 \(W \not \subset D\)이고 \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{그리고}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] 임을 알 수 있다. 그러므로 Lemma 0EQS에 의해 첫째 사이클의 \(f_*\)는 둘째 사이클과 같다. 따라서 등식은 사이클로서 성립한다. \(W' \subset D'\)인 경우에는 \(W \subset D\)이고,

\(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'}) \cap [W'])\)는 Lemma 0EQS의 둘째 주장에 의해 \(\CH_k(W)\)에서 \(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W]\)와 같다. Remark 0EQ8에 의해 일반적인 \(\alpha'\)에 대한 결과가 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X' \to X\)를 상대차원이 \(r\)인 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 평탄 사상이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같이 취하자. Remark 0ER3에서와 같은 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 만들자. \(X\) 위의 임의의 \((k + 1)\)-사이클 \(\alpha\)에 대하여

\((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha'\)가 \(\CH_{k + r}(D)\)에서 성립한다 (이는 \(f^*\)가 사이클 수준에서 정의되므로 말이 된다).

증명

어떤 정수적 닫힌 부분공간 \(W \subset X\)에 대하여 \(\alpha = [W]\)라고 하자. \(W' = f^{-1}(W) \subset X'\)라 하자. \(W \not \subset D\)인 경우에는 \(W' \not \subset D'\)이고 \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] 임을 \(D'\)의 닫힌 부분공간으로서 알 수 있다. 따라서 Lemma 0EPB에 의해 등식은 사이클로서 성립한다. \(W \subset D\)인 경우에는 \(W' \subset D'\)이고 \(W' = g^{-1}(W)\)이며, \([W']_{k + 1 + r} = g^*[W]\)이다. 그러므로 Lemma 0EQR에 의해 등식은 \(\CH_{k + r}(D')\)에서 성립한다. Remark 0EQ8에 의해

일반적인 \(\alpha'\)에 대한 결과가 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같이 취하자. \(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\)이고 \(D \cap Z\)가 \(Z\) 위의 유효 Cartier 인자인 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(i^*([Z]_{k + 1}) = [D \cap Z]_k\)이다.

증명

가정은 \(s|_Z\)가 \(\mathcal{L}|_Z\)의 정칙 단면임을 뜻한다. 따라서 \(D \cap Z = Z(s)\)이고 \[[D \cap Z]_k = \sum n_i [Z(s_i)]_k\] 를 사이클로서 얻는다. 여기서 \(s_i = s|_{Z_i}\)이고, \(Z_i\)들은 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 기약 성분들이며, \([Z]_{k + 1} = \sum n_i[Z_i]\)이다. Lemma 0EQL을 보라. \(D \cap Z_i = Z(s_i)\)이다. Gysin 사상의 정의와 비교하면 결론을 얻는다.

Gysin 준동형

이 절은 Chow Homology, Section 02TK에 해당한다. 이 절에서는 핵심 공식을 이용하여 Gysin 준동형이 유리 동치를 통해 인수분해됨을 보인다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)가 정수적이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(i : D \to X\)를 유효 Cartier 인자라 하자. \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(t\)를 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. 그러면 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\)가 \(\CH_{n - 2}(D)\)에서 성립한다.

증명

어떤 \(\delta\)-차원이 \(n - 1\)인 정수적 닫힌 부분공간 \(Z_i \subset X\)들에 대하여 \(\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t)[Z_i]\) 라고 쓰자. 족 \(\{Z_i\}\)가 국소 유한이고, \(U = X \setminus \bigcup Z_i\)에서 \(t \in \Gamma(U, \mathcal{N}|_U)\)가 생성원이며, \(D\)의 모든 기약 성분이 \(Z_i\) 중 하나라고 가정해도 좋다. Spaces over Fields, Lemmas 0EE5, 0ENN, and 0EPS를 보라.

\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)로 두자. 표준 단면을 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)) = \Gamma(X, \mathcal{L})\)로 나타내자. Section 0EQU의 논의를 현재 상황에 적용하겠다. 각 \(i\)에 대하여 \(\xi_i \in |Z_i|\)를 그 일반점이라 하고, \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}^h\)로 두자. 각 \(i\)에 대하여 \(B_i\) 위에서 \(\mathcal{L}_{\xi_i}\)의 생성원 \(s_i\)와 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\)의 생성원 \(t_i\)를 택하되, \(Z_i \not \subset D\)이면 \(s_i = s\)를 택하도록 요구한다. \(s = f_i s_i\)와 \(t = g_i t_i\)로 쓰자. 여기서 \(f_i, g_i \in B_i\)이다.

그러면 \(\text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\)이다. 한편 \(f_i \in B_i\)이고, \(s_i\)의 선택으로부터 \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] 이다. 우리는 사이클로서 \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 라고 주장한다. 더 정확히는 우변이 좌변을 나타내는 사이클이다. 실제로 이는 \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\)에 대한 공식과 다음 사실에서 명백하다. \(Z_i \not \subset D\)이면 \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\)인데, 이 경우 \(s_i|_{Z_i} = s|_{Z_i}\)가 정칙 단면이기 때문이다. Lemma 0EQF을 보라. 마찬가지로 \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 이다. 핵심 공식(Lemma 0EQV)은 사이클의 등식 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] 을 준다. \(Z_i \not \subset D\)이면 \(f_i = 1\)이고, 따라서 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = 0\)이다. 그러므로 \(D\) 위에서 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\)와 \(c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\)를 나타내는 위의 구체적인 사이클들 사이의 유리 동치를 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같이 취하자. Gysin 준동형은 유리 동치를 통해 인수분해되어 사상 \(i^* : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\)를 준다.

증명

\(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)라 하고 \(\alpha \sim_{rat} 0\)이라 가정하자. 이는 \(\delta\)-차원이 \(k + 2\)인 정수적 닫힌 부분공간 \(W_j \subset X\)들의 국소 유한 모음과 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 존재하여 \(\alpha = \sum i_{j, *}\text{div}_{W_j}(f_j)\)가 됨을 뜻한다. \(X' = \coprod W_i\)로 두고 다음 그림을 생각하자.

\[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] 이는 Remark 0ER3의 그림이다. \(X' \to X\)가 고유이므로 Lemma 0ER5에 의해 \(i^*p_* = q_*(i')^*\)임을 알 수 있다. 또한 \(q_*\)가 유리 동치를 통해 인수분해됨을 알고 있으므로(Lemma 0EQC), \(X'\) 위의 \(\alpha' = \sum \text{div}_{W_j}(f_j)\)에 대해 결과를 증명하면 충분하다. 이는 명백히 \(X\)가 정수적이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대해 \(\alpha = \text{div}(f)\)인 경우로 귀착된다.

\(X\)가 정수적이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대해 \(\alpha = \text{div}(f)\)라고 가정하자. \(X = D\)이면 \(i^*\alpha\)는 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)와 같다. 이는 Lemma 0EQY에 의해 영과 유리 동치이다. \(D \not = X\)이면 Lemma 0ER9에 의해 \(i^*\text{div}_X(f)\)는 \(\CH_k(D)\)에서 \(c_1(\mathcal{O}_D) \cap [D]_{n - 1}\)와 같다.

물론 \(c_1(\mathcal{O}_D)\)와의 교차는 영사상이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같은 삼중항이라 하자. \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 모든 \(\alpha \in \CH_k(Z)\)에 대하여 \(i^*(c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha) = c_1(i^*\mathcal{N}) \cap i^*\alpha\)가 \(\CH_{k - 2}(D)\)에서 성립한다.

증명

Lemma 0ERA와 완전히 같은 증명으로 이는 Lemmas 0EQT, 0EQZ, and 0ER9에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)와 \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같은 두 삼중항이라 하자. 그러면 그림 \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d] \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r] & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] 은 가환이며, 여기서 각 사상은 Gysin 사상이다.

증명

\(j : D \cap D' \to D\)와 \(j' : D \cap D' \to D'\)로 \((\mathcal{L}|_{D'}, s|_{D'}\)와 \((\mathcal{L}'_D, s|_D)\)에 대응하는 닫힌 몰입들을 나타내자.

모든 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대하여 \((j')^*i^*\alpha = j^* (i')^*\alpha\)임을 보여야 한다. \(W \subset X\)를 차원이 \(k\)인 정수적 닫힌 부분스킴이라 하자.

\(\alpha = [W]\)인 경우에 등식을 증명하겠다. 그러면 일반적인 경우는 Remark 0EQ8의 관찰 (그리고 아래에서 만들어지는 유리 동치의 구체적인 형태)에서 따른다. \(\alpha = [W]\)인 경우의 등식을 핵심 공식에서 도출하겠다.

\(\sigma\)를 \(\mathcal{L}|_W\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하고, \(W \not \subset D\)이면 \(s|_W\)와 같도록 요구한다. \(\sigma'\)를 \(\mathcal{L}'|_W\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하고, \(W \not \subset D'\)이면 \(s'|_W\)와 같도록 요구한다. Section 0EQU의 논의에서와 같이 \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] 라고 쓰고, 마찬가지로 \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] 라고 쓰자. 그러면 \(n_i \not = 0\)이면 \(Z_i \subset D\)이고, \(n'_i \not = 0\)이면 \(Z'_i \subset D'\)이다.

각 \(i\)에 대하여 \(\xi_i \in |Z_i|\)를 일반점이라 하자. Section 0EQU에서와 같이 각 \(i\)에 대하여 원소 \(\sigma_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\)와 각각 \(\sigma'_i \in \mathcal{L}'_{\xi_i}\)를 택하자. 이들은 \(B_i = \mathcal{O}_{W, \xi_i}^h\) 위의 생성원이고, \(Z_i \not \subset D\)일 때와 각각 \(Z_i \not \subset D'\)일 때 \(s\)와 각각 \(s'\)의 상과 같도록 한다. \(\sigma = f_i \sigma_i\)와 \(\sigma' = f'_i\sigma'_i\)로 쓰면 \(n_i = \text{ord}_{B_i}(f_i)\)이고 \(n'_i = \text{ord}_{B_i}(f'_i)\)이다. 정의로부터 사이클로서 \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] 이고, \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] 이다. 핵심 공식(Lemma 0EQV)은 이제 사이클의 등식 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] 을 준다. \(Z_i \not \subset D \cap D'\)이면 이 경우 \(f_i = 1\) 또는 \(f'_i = 1\)이므로 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i)) = 0\)임에 유의하라. 따라서 \(D \cap D' \cap W\) 위에서 \((j')^*i^*[W]\)와 \(j^*(i')^*[W]\)를 나타내는 위의 구체적인 사이클들 사이의 유리 동치를 얻는다.

상대 유효 Cartier 인자

이 절은 Chow Homology, Section 02TP에 해당한다. 상대 유효 Cartier 인자는 Divisors on Spaces, Section 0EPM에서 정의된다. 벡터 다발의 Chern 특성류에 관한 기본 결과를 전개하는 데에는 주변 스킴과 유효 Cartier 인자가 모두 밑 위에서 평탄한 경우만 필요하다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자.

\(p : X \to Y\)를 상대차원이 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(i : D \to X\)를 상대 유효 Cartier 인자라 하자 (Divisors on Spaces, Definition 0EPP). \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)로 두자. 임의의 \(\alpha \in \CH_{k + 1}(Y)\)에 대하여 \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] 가 \(\CH_{k + r}(D)\)에서 성립하고, \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\] 가 \(\CH_{k + r}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원이 \(k + 1\)인 정수적 닫힌 부분공간이라 하자. Divisors on Spaces, Lemma 0EPN에 의해 \(D \cap p^{-1}W\)는 \(p^{-1}W\) 위의 유효 Cartier 인자이다. Lemma 0ER7에 의해 다음 등식들의 첫 번째 등식을 얻는다. \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] 두 번째 등식은 대수 공간으로서 \(D \cap p^{-1}(W) = (p|_D)^{-1}(W)\)이기 때문에 성립한다.

정의에 의해 \(p^*[W] = [p^{-1}W]_{k + r + 1}\)이므로 \(i^*p^*[W] = (p|_D)^*[W]\)가 사이클로서 성립함을 알 수 있다. \(\alpha = \sum m_j[W_j]\)가 일반적인 \(k + 1\)-사이클이면 \(i^*\alpha = \sum m_j i^*p^*[W_j] = \sum m_j(p|_D)^*[W_j]\)가 사이클로서 성립한다.

이로써 첫 번째 등식이 증명된다.

첫 번째 등식에서 두 번째 등식을 도출하려면 Lemma 0ER4를 적용하면 된다.

아핀 다발

이 절은 Chow Homology, Section 02TS에 해당한다. 아핀 다발에 대해서는 Chow 군 위의 풀백 사상이 전사이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X, Y/B\)가 좋다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 상대차원이 \(r\)인 준콤팩트 평탄 사상이라 하자. 모든 \(y \in Y\)에 대하여 \(X_y \cong \mathbf{A}^r_{\kappa(y)}\)라고 가정하자. 그러면 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\)는 전사이다.

증명

\(\alpha \in \CH_{k + r}(X)\)라 하자. \(\alpha = \sum m_j[W_j]\)라고 쓰자. 여기서 \(m_j \not = 0\)이고 \(W_j\)들은 서로 다른, \(\delta\)-차원이 \(k + r\)인 정수적 닫힌 부분공간들이다. 그러면 족 \(\{W_j\}\)는 \(X\)에서 국소 유한이다. Lemma 0EEG에서와 같이 우세 사상 \(W_j \to Z_j\)를 얻도록 하는 정수적 닫힌 부분공간 \(Z_j \subset Y\)를 취하자. 임의의 준콤팩트 열린집합 \(V \subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}(V) \cap W_j\)가 공집합이 아닌 \(j\)는 유한 개뿐임을 알 수 있다. 따라서 상들의 폐포인 \(Z_j\)들의 모음은 \(Y\)의 정수적 닫힌 부분공간들의 국소 유한 모음이다.

섬유곱 그림 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 어떤 \(k\)-사이클 \(\beta_j \in \CH_k(Z_j)\)에 대하여 \([W_j] \in Z_{k + r}(f^{-1}(Z_j))\)가 \(f_j^*\beta_j\)와 유리 동치라고 가정하자. 그러면 \(\beta = \sum m_j \beta_j\)는 \(Y\) 위의 \(k\)-사이클이고, \(f^*\beta = \sum m_j f_j^*\beta_j\)는 \(\alpha\)와 유리 동치이다 (Remark 0EQ8를 보라). 이로써 \(Y\)가 정수적이고 \(\alpha = [W]\)이며 \(X\)의 어떤 정수적 닫힌 부분스킴이 \(Y\) 위에 우세한 경우로 귀착된다.

특히 \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\)라고 가정해도 좋다.

따라서 \(d = \dim_\delta(Y)\)에 대한 귀납법을 사용할 수 있다. \(d < k\)이면 \(\CH_{k + r}(X) = 0\)이므로 보조정리가 성립한다. 이것이 귀납법의 기초 단계이다. 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Y\)를 생각하자. 어떤 \(\beta \in Z_k(V)\)에 대하여 \(\alpha|_{f^{-1}(V)} = f^*\beta\)임을 보일 수 있다고 하자. Lemma 0EP9에 의해 어떤 \(\beta' \in Z_k(Y)\)에 대하여 \(\beta = \beta'|_V\)임을 알 수 있다. Lemma 0EQ7의 완전열 \(\CH_k(f^{-1}(Y \setminus V)) \to \CH_k(X) \to \CH_k(f^{-1}(V))\)에 의해 \(\alpha - f^*\beta'\)는 어떤 사이클 \(\alpha' \in \CH_{k + r}(f^{-1}(Y \setminus V))\)에서 옴을 알 수 있다.

\(\dim_\delta(Y \setminus V) < d\)이므로 \(d\)에 대한 귀납법으로 결론을 얻는다.

특히 \(Y\)를 적당한 열린집합으로 바꾸어, \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 갖는 스킴이라고 가정해도 좋다. 동형 \(Y_\eta \cong \mathbf{A}^r_\eta\)는 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Y\) 위의 동형으로 확장된다. Limits of Spaces, Lemma 07SK을 보라.

이로써 스킴의 경우로 귀착되는데, 이는 Chow Homology, Lemma 02TT이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\) 위의 결부된 벡터 다발을 \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] 라 하자. 그러면 모든 \(k\)에 대하여 \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + 1}(L)\)는 동형이다.

증명

전사성은 Lemma 0ERG를 보라. \(o : X \to L\)을 \(L \to X\)의 영단면, 즉 모든 \(n > 0\)에 대하여 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)을 영으로 보내는 전사 \(\text{Sym}^*(\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_X\)에 대응하는 사상이라 하자. 그러면 \(p \circ o = \text{id}_X\)이고 \(o(X)\)는 \(L\) 위의 유효 Cartier 인자이다. 따라서 Lemma 0ERE에 의해 \(o^* \circ p^* = \text{id}\)임을 알 수 있고, \(p^*\)도 단사라는 결론을 얻는다.

쌍변 교차 이론

이 절은 Chow Homology, Section 0B75에 해당한다. 벡터 다발의 고차 Chern 특성류를 제대로 논하기 위해 [FM]을 따라 다음 개념을 도입한다. [F, Theorem 17.1]에서, 서로 다른 설정에서 작업한다는 유의점을 제외하면 우리의 정의가 [F]의 정의와 일치함이 따른다.

정의

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(f\)에 대한 차수 \(p\)의 쌍변류 \(c\)란, \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 모든 사상 \(Y' \to Y\)와 모든 \(k\)에 사상 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 을 대응시키는 규칙이다. 여기서 \(X' = Y' \times_Y X\)이고, 다음 조건들을 만족해야 한다.

1. \(Y'' \to Y'\)이 고유 사상이면 모든 \(Y''\) 위의 \(\alpha''\)에 대하여 \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\)이고,

2. \(Y'' \to Y'\)이 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이며 상대차원이 \(r\)인 평탄 사상이면, 모든 \(Y'\) 위의 \(\alpha'\)에 대하여 \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\)이고,

3. \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\)가 Definition 0ER1에서와 같고, 이를 \(X'\)로 풀백한 것이 \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\)이면, 모든 \(Y'\) 위의 \(\alpha'\)에 대하여 \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\)이다.

\(f\)에 대한 차수 \(p\)의 모든 쌍변류의 모음을 \(A^p(X \to Y)\)로 나타낸다.

Situation 0EDT에서 \(X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(A^p(X \to Y)\)가 아벨 군임은 명백하다. 더 나아가 결합적인 쌍선형 합성 \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\] 이 있음도 명백하다. 우리는 주로 \(A^p(X) = A^p(X \to X)\)에 관심을 둘 것이다. 이는 항상 \(\text{id}_X\)에 대한 쌍변 코호몰로지류를 뜻한다. 바로 이곳에 Chern 특성류들이 놓인다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(X\)의 Chow 코호몰로지는 차수 \(p\) 성분이 \(A^p(X \to X)\)인 등급 \(\mathbf{Z}\)-대수 \(A^*(X)\)이다.

경고: \(A^*(X)\) 위의 \(\mathbf{Z}\)-대수 구조가 가환인지는 명확하지 않다. 그러나 Chern 특성류들이 그 중심에 놓임을 보게 될 것이다.

주

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이라 하자. 그러면 표준적인 \(\mathbf{Z}\)-대수 사상 \(A^*(Y) \to A^*(X)\)가 있다. 실제로 \(c \in A^p(Y)\)와 \(X' \to X\)가 주어지면, \(X'\)를 \(Y\) 위의 대수 공간으로 생각하여 주어지는 사상 \(c \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - p}(X')\)으로 \(f^*c\)를 정의할 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f : X' \to X\)에 \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(X')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(1\)의 쌍변류이다.

증명

이는 Lemmas 0EQY, 0EQT, 0EQR, and 0ERB에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이며 상대차원이 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(Y' \to Y\)에 \((f')^* : \CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(-r\)의 쌍변류이다. 여기서 \(X' = X \times_Y Y'\)이다.

증명

이는 Lemmas 0EQB, 0EPA, 0EPD, and 0ER6에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 0ER1에서와 같은 삼중항이라 하자. \(f : X' \to X\)에 \((i')^* : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(D')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(1\)의 쌍변류이다. 여기서 \(D' = D \times_X X'\)이다.

증명

이는 Lemmas 0ERA, 0ER5, 0ER6, and 0ERC에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이라 하자. \(c \in A^p(X \to Z)\)라 하고 \(f\)가 고유라고 가정하자. 그러면 \(X' \to X\)에 \(\alpha \longmapsto f_*(c \cap \alpha)\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(p\)의 쌍변류이다.

증명

이는 Lemmas 0EP2, 0EPD, and 0ER5에서 따른다.

여기서 \(c_1(\mathcal{L})\)이 \(A^*(X)\)의 중심에 놓임을 알 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\)은 모든 원소 \(c \in A^p(X)\)와 가환한다.

증명

\(p : L \to X\)를 Lemma 0ERH에서와 같이 취하고, \(o : X \to L\)을 영단면이라 하자. \(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\)에는 그 영점 자취가 정확히 유효 Cartier 인자 \(o(X)\)인 표준 단면이 있음을 관찰하자. \(\alpha \in \CH_k(X)\)라 하자. 그러면 Lemmas 0EQR and 0ERE에 의해 \[p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) = c_1(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap p^*\alpha = o_* o^* p^*\alpha\] 임을 알 수 있다. \(c\)가 쌍변류이므로 \[\begin{align*} p^*(c \cap c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) \\ & = c \cap o_* o^* p^*\alpha \\ & = o_* o^* p^*(c \cap \alpha) \\ & = p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] 이다(마지막 등식은 위의 내용을 \(c \cap \alpha\)에 적용한 것이다). 위에서 인용한 보조정리에 의해 \(p^*\)가 단사이므로 \(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1})\)이 \(A^*(X)\)의 중심에 놓인다. 이는 보조정리를 증명한다.

다음은 쌍변류가 영이 되는 경우에 대한 판정법이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(c \in A^p(X)\)라 하자. 그러면 \(X\) 위에서 국소 유한형인 모든 정수적 대수 공간 \(Y\)에 대하여 \(c \cap [Y] = 0\)이 \(\CH_*(Y)\)에서 성립할 때, 그리고 그때에만 \(c\)는 영이다.

증명

한 방향은 명백하다. 역으로, \(X\) 위에서 국소 유한형인 모든 정수적 대수 공간 \(Y\)에 대하여 \(c \cap [Y] = 0\)이 \(\CH_*(Y)\)에서 성립한다고 가정하자. \(X' \to X\)가 국소 유한형이라 하자. \(\alpha \in \CH_k(X')\)라 하자. \(\alpha = \sum n_i [Y_i]\)라고 쓰자. 여기서 \(Y_i \subset X'\)들은 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모음이다.

그러면 \(\alpha\)는 고유 사상 \(X'' \to X'\) 아래에서 \(X'' = \coprod Y_i\) 위의 사이클 \(\alpha' = \sum n_i[Y_i]\)의 푸시포워드이다. 쌍변류의 성질에 의해 \(c \cap \alpha' = 0\)이 \(\CH_{k - p}(X'')\)에서 성립함을 증명하면 충분하다. 정의에서 즉시 \(\CH_{k - p}(X'') = \prod \CH_{k - p}(Y_i)\)임을 알 수 있다. 사영 사상 \(\CH_{k - p}(X'') \to \CH_{k - p}(Y_i)\)들은 평탄 풀백으로 주어진다. \(c\)와의 교차는 평탄 풀백과 가환하므로 \(c \cap [Y_i]\)가 \(\CH_{k - p}(Y_i)\)에서 영임을 보이면 충분하다. 이는 가정에 의해 참이다.

사영공간 다발 공식

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)를 생각하자. 우리의 규약에서 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발은 \(X\) 위의 사상 \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] 이며, 여기서 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)은 \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)) = \mathcal{E}\)가 되도록 규격화되어 있다. 특히 전사 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)가 있다. 비형식적으로 “\((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자”라고 말할 때에는 \(P = \mathbf{P}(\mathcal{E})\)이고 \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)인 상황을 뜻하겠다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)라 하자.

\((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 임의의 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대하여 원소 \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] 는 \(s < r - 1\)이면 \(0\)이고 \(s = r - 1\)이면 \(\alpha\)와 같다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적 닫힌 부분공간이라 하자. \(\alpha = [Z]\)인 경우에 보조정리를 증명하겠다. 이 특수한 경우에서 일반적인 경우를 도출하는 논증은 생략한다. 힌트: Remark 0EQ8에서처럼 논증하라.

\(P_Z = P \times_X Z\)를 밑변환이라 하자. 물론 \(\pi_Z : P_Z \to Z\)는 \(\mathcal{E}|_Z\)에 결부된 사영 다발이고, \(\mathcal{O}_P(1)\)은 \(P_Z\) 위의 대응하는 가역 가군으로 풀백된다. Lemmas 0ERM and 0ERN에 의해 \(c_1(\mathcal{O}_P(1) \cap -\)와 \(\pi^*\)는 쌍변류이므로

\[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z] \right) = (Z \to X)_*\pi_{Z, *}\left( c_1(\mathcal{O}_{P_Z}(1))^s \cap \pi_Z^*[Z] \right)\] 임을 알 수 있다. 따라서 \(X\)가 정수적이고 \(\alpha = [X]\)인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

\(X\)가 정수적이고 \(\dim_\delta(X) = k\)이며 \(\alpha = [X]\)라고 가정하자. \(P\)는 \(\delta\)-차원이 \(r - 1\)인 정수적 공간이므로 \(\pi^*[X] = [P]\)임을 유의하라.

\(s < r - 1\)이면 구성에 의해 \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap [P]\)는 \((k + r - 1 - s)\)-사이클이다.

따라서 이 사이클의 푸시포워드는 차원상의 이유로 영이다.

\(s = r - 1\)이라 하자. 위의 논증에 의해 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap [P]) = n [X]\)임을 알 수 있다. \(n = 1\)임을 보이려 한다. 위와 같은 차원상의 이유로 \(X\)를 조밀한 열린집합으로 바꾼 뒤 이 결과를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X\)가 스킴이라고 가정해도 좋고, 결과는 Chow Homology, Lemma 02TW에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)를 Situation 0EDT에서와 같이 취하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자. \(\mathcal{E}\)를 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)라 하자.

\((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] 은 동형이다.

증명

\(k \in \mathbf{Z}\)를 고정하자. 먼저 사상이 단사임을 보이자. 좌변의 원소 \((\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\)가 영으로 보내진다고 가정하자. Lemma 0ERU에 의해 \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] 임을 알 수 있다. 다음으로 \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] 임을 알 수 있고, 이와 같이 계속한다. 따라서 사상은 단사이다.

사상이 전사임을 증명하기 위해 Lemma 0ERG의 증명과 정확히 같이 논증하여 스킴의 경우로 귀착시키겠다. 독자에게 이 증명을 건너뛰기를 권한다.

\(\beta \in \CH_{k + r - 1}(P)\)라 하자. \(\beta = \sum m_j[W_j]\)라고 쓰자. 여기서 \(m_j \not = 0\)이고 \(W_j\)들은 서로 다른, \(\delta\)-차원이 \(k + r\)인 정수적 닫힌 부분공간들이다.

그러면 족 \(\{W_j\}\)는 \(P\)에서 국소 유한이다. \(Z_j \subset X\)를 Lemma 0EEG에서와 같은 \(W_j\)의 “상”이라 하자. 임의의 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(\pi^{-1}(U) \cap W_j\)가 공집합이 아닌 \(j\)는 유한 개뿐임을 알 수 있다. 따라서 상들 \(Z_j\)의 모음은 \(X\)의 정수적 닫힌 부분공간들의 국소 유한 모음이다.

섬유곱 그림 \[\xymatrix{ P_j \ar[r] \ar[d]_{\pi_j} & P \ar[d]^\pi \\ Z_j \ar[r] & X }\] 을 생각하자. 어떤 \((k + i)\)-사이클 \(\alpha_{j, i} \in \CH_{k + i}(Z_j)\)에 대하여 \([W_j] \in Z_{k + r - 1}(P_j)\)가 \[\pi_j^*\alpha_{j, 0} + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi_j^*\alpha_{j, 1} + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi_j^*\alpha_{j, r - 1}\] 와 유리 동치라고 가정하자. 그러면 \(\alpha_i = \sum m_j \beta_{j, i}\)는 \(X\) 위의 \((k + i)\)-사이클이고,

\[\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}\] 은 \(\beta\)와 유리 동치이다(Remark 0EQ8를 보라). 이로써 \(X\)가 정수적이고, \(\alpha = [W]\)이며 어떤 \(P\)의 정수적 닫힌 부분스킴이 \(X\) 위에 우세한 경우로 귀착된다.

특히 \(d = \dim_\delta(X) < \infty\)라고 가정해도 좋다.

따라서 \(d = \dim_\delta(X)\)에 대한 귀납법을 사용할 수 있다. \(d < k\)이면 \(\CH_{k + r - 1}(X) = 0\)이므로 보조정리가 성립한다.

이것이 귀납법의 기초 단계이다. 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)를 생각하자. 어떤 \(\alpha_i \in Z_{k + i}(U)\)에 대하여 \[\beta|_{\pi^{-1}(U)} = \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}\] 임을 보일 수 있다고 하자. Lemma 0EP9에 의해 어떤 \(\alpha'_i \in Z_{k + i}(X)\)에 대하여 \(\alpha_i = \alpha'_i|_U\)임을 알 수 있다. Lemma 0EQ7의 완전열들 \(\CH_{k + i}(\pi^{-1}(X \setminus U)) \to \CH_{k + i}(P) \to \CH_{k + i}(\pi^{-1}(U))\)에 의해

\[\beta - \left(\pi^*\alpha'_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha'_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha'_{r - 1}\right)\] 은 어떤 사이클 \(\beta' \in \CH_{k + r}(\pi^{-1}(X \setminus U))\)에서 온다는 것을 알 수 있다.

\(\dim_\delta(X \setminus U) < d\)이므로 \(d\)에 대한 귀납법으로 결론을 얻는다.

특히 \(X\)를 적당한 열린집합으로 바꾸어 \(X\)가 스킴이라고 가정해도 좋고, 문제는 Chow Homology, Lemma 02TX으로 귀착된다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 층이라 하자. \(X\) 위의 결부된 벡터 다발을 \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] 라 하자. 그러면 모든 \(k\)에 대하여 \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + r}(E)\)는 동형이다.

증명

(선다발의 경우에는 Lemma 0ERH을 보라.)

전사성은 Lemma 0ERG를 보라. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 유한 국소 자유 층 \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자. \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\)를 대역 단면 \((0, 1) \in \Gamma(X, \mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X)\)에 대응하는 단면이라 하자. \(D = Z(s) \subset P\)로 두자. \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\)가 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영공간 다발임을 유의하라. \(\pi_D = \pi|_D\) 및 \(\mathcal{O}_D(1) = \mathcal{O}_P(1)|_D\)로 나타내자. 더 나아가 \(D\)는 \(P\) 위의 유효 Cartier 인자이다. 따라서 \(\mathcal{O}_P(D) = \mathcal{O}_P(1)\)이다(Divisors on Spaces, Lemma 0847를 보라). 또한 동형 \(E \cong P \setminus D\)가 있다. \(j : E \to P\)로 대응하는 열린 몰입을 나타내자. 단사성을 위해 \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] 의 핵은 유효 Cartier 인자 \(D\)에 지지된 사이클들이라는 사실을 사용한다. Lemma 0EQ7을 보라.

따라서 \(p^*\alpha = 0\)이면 어떤 \(\beta \in \CH_{k + r}(D)\)에 대하여 \(\pi^*\alpha = i_*\beta\)이다.

Lemma 0ERV에 의해 \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 어떤 \(\beta_i \in \CH_{k + i}(X)\)들이 존재한다.

Lemmas 0ERE and 0EQT에 의해 이는 \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\] 를 함의한다.

\(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\)의 계수는 \(r + 1\)이므로, 모든 \(\alpha\)와 모든 \(\beta_i\)가 영이지 않으면 이는 Lemma 0EQT와 모순이다.

벡터 다발의 Chern 특성류

이 절은 Chow Homology, Sections 02TZ and 02U4에 해당한다. 그러나 그곳에서 한 것과 달리, 우리는 벡터 다발의 Chern 특성류를 쌍변류로 직접 정의한다. 이로써 상당한 작업을 줄일 수 있다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 층이라 하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자. \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 모든 사상 \(X' \to X\)에 대하여 유일한 사상들 \[c_i(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \longrightarrow \CH_{k - i}(X'),\quad i = 0, \ldots, r\] 이 존재하며, \(\alpha \in \CH_k(X')\)에 대하여 \(c_0(\mathcal{E}) \cap \alpha = \alpha\)이고 \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r} (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*\left(c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap \alpha\right) = 0\] 이다.

여기서 \(\pi' : P' \to X'\)는 \(\pi\)의 밑변환이다. 더 나아가 이 사상들은 \(X\) 위의 차수 \(i\)인 쌍변류 \(c_i(\mathcal{E})\)를 정의한다.

증명

사상들 \(c_i(\mathcal{E}) \cap -\)의 유일성과 존재성은 Lemma 0ERV과 주어진 \(c_0(\mathcal{E})\)의 기술에서 즉시 따른다.

모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대하여, \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 각 사상 \(X' \to X\)에 사상 \[t_i(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \longrightarrow \CH_{k - i}(X'),\quad \alpha \longmapsto \pi'_*(c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^{r - 1 + i} \cap (\pi')^*\alpha)\] 을 대응시키는 규칙은 Lemmas 0ERM, 0ERN, and 0ERQ에 의해 쌍변류이다 ².

Lemma 0ERU에 의해 \(i < 0\)이면 \(t_i(\mathcal{E}) = 0\)이고 \(t_0(\mathcal{E}) = 1\)이다. 보조정리의 명제에 있는 등식에 푸시포워드를 적용하면 Lemma 0ERU에서 \[(-1)^r t_1(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 1}c_1(\mathcal{E}) = 0\] 을 얻는다. 특히 \(c_1(\mathcal{E})\)가 쌍변류임을 알 수 있다. 보조정리의 명제에 있는 등식에 \(c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))\)을 곱하고 그 결과를 \(X'\)로 푸시포워드하면 \[(-1)^r t_2(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 1} t_1(\mathcal{E}) \cap c_1(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 2} c_2(\mathcal{E}) = 0\] 을 얻는다. 앞에서와 같이 \(c_2(\mathcal{E})\)가 쌍변류라고 결론 내린다. 이와 같이 계속한다.

정의

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 층이라 하자. \(i = 0, \ldots, r\)에 대하여 \(\mathcal{E}\)의 \(i\)번째 Chern 특성류는 Lemma 0ERY에서 구성한 차수 \(i\)의 쌍변류 \(c_i(\mathcal{E}) \in A^i(X)\)이다. \(\mathcal{E}\)의 전체 Chern 특성류는 형식적 합 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] 이며, 이를 \(X\) 위의 비동차 쌍변류로 본다.

편의를 위해 종종 \(i > r\) 및 \(i < 0\)에 대하여 \(c_i(\mathcal{E}) = 0\)으로 둔다. 정의에 의해 \(c_0(\mathcal{E}) = 1 \in A^0(X)\)이다. 다음은 타당성 확인이다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. Definition 0ERZ의 \(X\) 위 \(\mathcal{L}\)의 제1 Chern 특성류는 Lemma 0ERM의 쌍변류와 같다.

증명

실제로 이 경우, 사영 다발의 규격화에 의해 \(P = \mathbf{P}(\mathcal{L}) = X\)이고 \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{L}\)이다. Section 0ERT을 보라. 따라서 Lemma 0ERY의 등식은 \[(-1)^0 c_1(\mathcal{L})^0 \cap c^{new}_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + (-1)^1 c_1(\mathcal{L})^1 \cap c^{new}_0(\mathcal{L}) \cap \alpha = 0\] 이 된다. 여기서 \(c_i^{new}(\mathcal{L})\)은 Definition 0ERZ에서와 같다. \(c_0^{new}(\mathcal{L}) = 1\)이고 \(c_1(\mathcal{L})^0 = 1\)이므로 결론을 얻는다.

다음으로 Chern 특성류들이 쌍변 Chow 코호몰로지 환 \(A^*(X)\)의 중심에 놓임을 보인다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 계수가 \(r\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(c_j(\mathcal{L}) \in A^j(X)\)는 모든 원소 \(c \in A^p(X)\)와 가환한다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 계수가 \(s\)인 두 번째 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면, 모든 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대하여 \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] 가 \(\CH_{k - i - j}(X)\)의 원소로서 성립한다.

증명

\(X' \to X\)를 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이라 하자. \(\alpha \in \CH_k(X')\)라 하자. \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)라고 쓰면 \(\alpha_0 = \alpha\)이다. Lemma 0ERY에 의해 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 이 \((X' \to X)^*\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발 \((\pi' : P' \to X', \mathcal{O}_{P'}(1))\)의 Chow 군에서 성립한다. \(c \cap -\)를 적용하고 Lemma 0ERR와 쌍변류의 성질을 사용하면 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap \pi^*(c \cap \alpha_{r - i}) = 0\] 을 \(P'\)의 Chow 군에서 얻는다.

따라서 Lemma 0ERY의 유일성에 의해 \(c \cap \alpha_j\)는 \(c_j(\mathcal{E}) \cap (c \cap \alpha)\)와 같다. 이는 보조정리를 증명한다.

주

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수이지 않아도 \(\mathcal{E}\)의 Chern 특성류들을 정의할 수 있다. 실제로 이 경우 \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(X_r \subset X\)는 \(\mathcal{E}\)의 계수가 \(r\)인 열린닫힌 부분공간이다. \(X' \to X\)가 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 사상이면, 풀백에 의해 \(X'\)의 대응하는 분해를 얻고, 우리의 정의에 의해 \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] 임을 알 수 있다. 그러면 \(c_i(\mathcal{E})\)를 이 직적 분해들을 보존하고 각 인자에서 이미 정의된 연산 \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r}) \cap -\)로 작용하는 쌍변류로 정의한다. 이 설정에서는 무한히 많은 \(i\)에 대하여 \(c_i(\mathcal{E})\)가 영이 아닐 수도 있음을 관찰하라.

Chern 특성류들 사이의 다항식 관계

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}_i\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 유한 모음이라 하자. Lemma 0ES1에 의해 Chern 특성류들 \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] 은 Chow 코호몰로지 \(A^*(X)\)의 가환(더 나아가 중심적인) \(\mathbf{Z}\)-부분대수를 생성함을 알 수 있다. 따라서 이 Chern 특성류들의 다항식이 영이라는 것과 두 다항식이 같다는 것이 무엇을 뜻하는지 말할 수 있다. 예를 들어 \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\)이라고 말하는 것은 \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 모든 사상 \(f : Y \to X\)에 대하여 연산들 \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] 이 영이라는 뜻이다. Lemma 0ERS에 의해 이는 \(Y\)가 \(X\) 위에서 국소 유한형인 정수적 대수 공간인 임의의 사상 \(f : Y \to X\)가 주어졌을 때 사이클 \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] 이 \(\CH_{\dim(Y) - 5}(Y)\)에서 영이어야 한다는 조건과 동치이다.

구체적인 예는 Lemma 0EQK에서 증명된 관계 \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] 이다. 더 일반적으로 임의의 국소 자유 층에 가역 층을 텐서곱하면 다음과 같은 일이 일어난다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 층이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역 층이라 하자. 그러면 [0ES5]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\] 가 \(A^*(X)\)에서 성립한다.

증명

증명은 Chow Homology, Lemma 02UD의 증명에서 그곳에 사용된 보조정리들을 Lemmas 0ERS and 0ERY로 바꾸면 완전히 같다.

Chern 특성류의 가법성

이 절은 Chow Homology, Section 02UF에 해당한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{F}\)를 각각 계수가 \(r\), \(r - 1\)이고 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 에 놓이는 \(X\) 위의 유한 국소 자유 층들이라 하자. 그러면 \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\] 가 \(A^*(X)\)에서 성립한다.

증명

증명은 Chow Homology, Lemma 02UG의 증명에서 그곳에 사용된 보조정리들을 Lemmas 0ERS, 0ERE, 0EQT, and 0ERY로 바꾸면 완전히 같다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{F}\)를 각각 계수가 \(r\), \(r - 1\)이고 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 에 놓이는 \(X\) 위의 유한 국소 자유 층들이라 하자. 여기서 \(\mathcal{L}\)은 가역 층이다. 그러면 \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\] 가 \(A^*(X)\)에서 성립한다.

증명

증명은 Chow Homology, Lemma 02UH의 증명에서 그곳에 사용된 보조정리들을 Lemmas 0ES7 and 0ES4로 바꾸면 완전히 같다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)가 완전열 \[0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}_2 \to 0\] 에 놓인다고 가정하자. 여기서 \(\mathcal{E}_i\)는 계수가 \(r_i\)인 유한 국소 자유 층들이다. 전체 Chern 특성류들은 \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{E}_1) c(\mathcal{E}_2)\] 를 \(A^*(X)\)에서 만족한다.

증명

증명은 Chow Homology, Lemma 02UI의 증명에서 그곳에 사용된 보조정리들을 Lemmas 0ERS, 0ES8, and 0ERY로 바꾸면 완전히 같다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 여과 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] 가 주어진 국소 자유 계수 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

\(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\)라고 가정하자. \(c_1({\mathcal L}_i) = x_i\)로 두자. 그러면 \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\] 가 \(A^*(X)\)에서 성립한다.

증명

Lemma 0ES8와 귀납법을 적용하라.

분할 원리

이 절은 Chow Homology, Section 02UF에 해당한다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}_i\)를 계수가 \(r_i\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 유한 모음이라 하자. 다음을 만족하는 상대차원이 \(d\)인 사영 평탄 사상 \(\pi : P \to X\)가 존재한다.

1. \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 임의의 사상 \(f : Y \to X\)에 대하여 사상 \(\pi_Y^* : \CH_*(Y) \to \CH_{* + d}(Y \times_X P)\)는 단사이고,

2. 각 \(\pi^*\mathcal{E}_i\)에는 연속 몫들 \(\mathcal{L}_{i, 1}, \ldots, \mathcal{L}_{i, r_i}\)가 가역 \({\mathcal O}_P\)-가군인 여과가 있다.

증명

정수 \(r = \sum r_i\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(r = 0\)이면 \(\pi = \text{id}_X\)로 취할 수 있다. 모든 \(i\)에 대하여 \(r_i = 1\)이면 역시 \(\pi = \text{id}_X\)로 취할 수 있다. 어떤 \(i_0\)에 대하여 \(r_{i_0} > 1\)이라고 가정하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}_{i_0}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 표준 사상 \(\pi^*\mathcal{E}_{i_0} \to \mathcal{O}_P(1)\)은 전사이므로 그 핵 \(\mathcal{E}'_{i_0}\)은 계수가 \(r_{i_0} - 1\)인 유한 국소 자유 가군이다. \(B\) 위의 좋은 대수 공간들의 임의의 사상 \(f : Y \to X\)에 대하여 \(\pi_Y^*\)가 단사임을 관찰하라. Lemma 0ERV을 보라. 따라서 \(P\)와 국소 자유 층들 \(\pi^*\mathcal{E}_i\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 그러나 가역 몫을 갖는 부분다발 \(\mathcal{E}_{i_0} \subset \pi^*\mathcal{E}_{i_0}\)이 있으므로, 이제 모음 \(\{\mathcal{E}_i\}_{i \not = i_0} \cup \{\mathcal{E}'_{i_0}\}\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다.

이는 \(r\)을 \(1\)만큼 감소시키므로 귀납 가정으로 결론을 얻는다.

분할 원리가 무엇을 말하는지 설명하는 대신, 몇몇 보조정리의 증명에서 이를 사용해 보자.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)를 쌍대 \(\mathcal{E}^\vee\)를 갖는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[c_i(\mathcal{E}^\vee) = (-1)^i c_i(\mathcal{E})\] 가 \(A^i(X)\)에서 성립한다.

증명

Lemma 0ESC에서와 같은 사상 \(\pi : P \to X\)를 택하자. (임의의 밑변환 뒤에도) \(\pi^*\)가 단사이므로, \(P\)로 풀백한 뒤 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{E}^\vee\)의 Chern 특성류들 사이의 관계를 증명하면 충분하다. 따라서 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들 \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\)와 여과 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] 가 존재하여 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\)라고 가정해도 좋다. 그러면 연속 몫들이 \(\mathcal{E}_{i - 1}^\perp/\mathcal{E}_i^\perp \cong \mathcal{L}_i^{\otimes -1}\)인 쌍대 여과 \[0 = \mathcal{E}_r^\perp \subset \mathcal{E}_1^\perp \subset \mathcal{E}_2^\perp \subset \ldots \subset \mathcal{E}_0^\perp = \mathcal{E}^\vee\] 를 얻는다.

\(x_i = c_1(\mathcal{L}_i)\)로 두자. Lemma 0EQK에 의해 \(c_1(\mathcal{L}_i^{\otimes -1}) = - x_i\)이다. Lemma 0ESA에 의해 \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i) \quad\text{and}\quad c(\mathcal{E}^\vee) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 - x_i)\] 가 \(A^*(X)\)에서 성립한다. 결과는 생략하는 형식적 계산에서 따른다.

보조정리

Situation 0EDT에서 \(X/B\)가 좋다고 하자. \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{F}\)를 각각 계수가 \(r\) 및 \(s\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자.

그러면 \[c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r c_1(\mathcal{F}) + s c_1(\mathcal{E})\] 이고, \[c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r^2 c_2(\mathcal{F}) + rs c_1(\mathcal{F})c_1(\mathcal{E}) + s^2 c_2(\mathcal{E})\] 이며, 이와 같이 계속된다(증명을 보라).

증명

Lemma 0ESD의 증명에서와 정확히 같이 논증하여, 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들 \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\), \({\mathcal N}_i\), \(i = 1, \ldots, s\)와 여과들이 있다고 가정해도 좋다.

\[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E} \quad\text{and}\quad 0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_s = \mathcal{F}\] 이고 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\)이며 \(\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong \mathcal{N}_j\)라고 가정한다. 쌍 \((i, j)\)들을 사전식으로 순서 매기면 여과 \[0 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_i \otimes \mathcal{F}_j + \mathcal{E}_{i - 1} \otimes \mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{E} \otimes \mathcal{F}\] 를 얻으며, 그 연속 몫들은 \[\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_1, \mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_2, \ldots, \mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_s, \mathcal{L}_2 \otimes \mathcal{N}_1, \ldots, \mathcal{L}_r \otimes \mathcal{N}_s\] 이다. Lemma 0ESA에 의해 \[c(\mathcal{E}) = \prod (1 + x_i), \quad c(\mathcal{F}) = \prod (1 + y_j), \quad\text{and}\quad c(\mathcal{F}) = \prod (1 + x_i + y_j),\] 가 \(A^*(X)\)에서 성립한다.

결과는 생략하는 형식적 계산에서 따른다.

영차원 사이클의 차수

이 절은 Chow Homology, Section 0AZ0에 해당한다. 체 위의 고유 대수 공간에서 영차원 사이클의 차수를 정의하는 것으로 시작한다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(p : X \to \Spec(k)\)를 대수 공간들의 고유 사상이라 하자. \(X\) 위의 영차원 사이클의 차수는 Lemma 0EQC의 고유 푸시포워드 \[p_* : \CH_0(X) \longrightarrow \CH_0(\Spec(k)) \longrightarrow \mathbf{Z}\] 와 \([\Spec(k)]\)를 \(1\)로 보내는 자연 동형 \(\CH_0(\Spec(k)) \to \mathbf{Z}\)의 합성으로 주어진다. 표기: \(\deg(\alpha)\).

이를 더 자세히 풀어 쓰자.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 대수 공간이라 하자. \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\)가 \(Z_0(X)\)에 속한다고 하자. 그러면 \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] 이다. 여기서 \(\deg(Z_i)\)는 \(Z_i \to \Spec(k)\)의 차수, 즉 \(\deg(Z_i) = \dim_k \Gamma(Z_i, \mathcal{O}_{Z_i})\)이다.

증명

이는 고유 푸시포워드의 정의이다 (Definition 0EP1).

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 대수 공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 차원이 \(d\)인 닫힌 부분공간이라 하자. \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. 그러면 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_1) \cap [Z]_d)\] 이다.

여기서 좌변은 Spaces over Fields, Definition 0EDF에서 정의된다.

증명

\(Z_i \subset Z\), \(i = 1, \ldots, t\)를 차원이 \(d\)인 기약 성분들이라 하자. \(m_i\)를 \(Z\)에서 \(Z_i\)의 중복도라 하자. 그러면 \([Z]_d = \sum m_i[Z_i]\)이고 \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\)는 사이클들 \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\)의 합이다. Spaces over Fields, Lemma 0EDE에 의해 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\)에도 비슷한 분해가 있으므로, \(Z = X\)가 \(k\) 위의 고유 정수적 대수 공간인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

Chow의 보조정리에 의해 조밀한 열린집합 \(U \subset X\) 위에서 동형이고 \(X'\)가 스킴인 고유 사상 \(f : X' \to X\)가 존재한다. More on Morphisms of Spaces, Lemma 088U을 보라. 그러면 \(X'\)는 \(k\) 위의 고유 스킴이다. \(X'\)를 \(f^{-1}(U)\)의 스킴론적 폐포로 바꾸어 \(X'\)가 정수적이라고 가정해도 좋다. 그러면 Spaces over Fields, Lemma 0EDJ에 의해 \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot X') = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] 이고, Lemma 0EQT에 의해 \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] 이다.

따라서 \(X\)를 \(X'\)로 바꾸어 \(X\)가 \(k\) 위의 고유 스킴이라고 가정해도 좋다. 이 경우는 Chow Homology, Lemma 0BFI에서 증명되었다.