환 준동형의 평활화

서론

이 장의 주된 결과는 다음과 같다. \[\fbox{뇌터 환 사이의 정칙 준동형은 매끄러운 준동형들의 여과 여극한이다.}\] 이 정리는 Popescu의 결과이다. [popescu-letter]를 보라. Richard Swan은 Popescu의 증명을 읽기 쉽게 설명하였다. [swan]을 보라. Swan은 André의 노트와 Ogoma의 논문 [Ogoma]를 이용하였다.

여기서는 Swan의 설명을 따르되, 조금 더 단순한 상황에서 논의할 수 있게 해 주는 중간 결과를 먼저 증명한다. 전체 흐름은 다음과 같다. 먼저 다음 “올림 문제”를 해결한다. 매끄러운 대수들의 여과 여극한의 평탄한 무한소 변형은 매끄러운 대수들의 여과 여극한이다. 이 결과는 본질적으로 주정리를 축약된 뇌터 환 사이의 준동형에 대해서만 증명하면 충분하다는 뜻이다. 다음으로 “올림 보조정리”와 “특이점 해소 보조정리”라고 부르는 두 가지 매우 기교적인 보조정리를 증명한다. 이들을 결합하면 주정리는 체 \(k\) 위의 기하적으로 정칙인 뇌터 대수 \(\Lambda\)가 매끄러운 \(k\)-대수들의 여과 여극한임을 증명하는 문제로 귀착됨을 보인다. 그다음 Popescu-Ogoma-Swan-André 증명에 필요한 국소적 기법들을 설명한다. 마지막 세 절에서는 증명을 마무리한다.

서론을 마치기 전에 관련 문헌을 안내한다. \(A\)를 헨젤 뇌터 국소환이라 하자. 임의의 \(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\)에 대하여, 연립방정식 \(f_1 = 0, \ldots, f_m = 0\)이 \(A\)의 완비화에서 해를 가질 필요충분조건이 \(A\)에서 해를 갖는 것일 때, \(A\)가 근사 성질을 갖는다고 한다. 이 정의는 Artin이 도입하였다. Artin은 해석적 연립방정식에 대해 근사 성질을 처음 증명하였다. [Artin-Analytic-Approximation]을 보라. [Artin-Algebraic-Approximation]에서 Artin은 우수 이산 값매김환 위에서 본질적으로 유한형인 국소환에 대해 근사 성질을 증명하였다. Artin은 모든 우수 헨젤 국소환이 근사 성질을 가질 것이라고 추측하였다 ([Artin-Algebraic-Approximation]의 26쪽).

어느 시점부터 뇌터 환 사이의 모든 정칙 준동형이 매끄러운 대수들의 여과 여극한이라는 추측이 제기되었다. 예를 들어 [Raynaud-Rennes], [popescu-global], [Artin-power-series], [Artin-Denef]를 보라. 이 추측¹을 누가 처음 제기했는지는 확실하지 않다. 근사 성질과의 관계는 다음과 같다. \(A\)가 위와 같을 때 \(A \to A^\wedge\)가 매끄러운 대수들의 여극한이면 근사 성질이 성립한다(추후 참조를 여기에 삽입). 또한 \(A\)가 우수 국소환이면 주정리를 사상 \(A \to A^\wedge\)에 적용할 수 있다. 우수 국소환의 조건 중 하나가 형식적 섬유의 기하적 정칙성이기 때문이다. 우수 국소환은 Grothendieck이 정의하였으며, 그 정의는 1965년에 출판되었음을 덧붙인다.

[Artin-power-series]에서는 체 위에서 본질적으로 유한형인 임의의 국소환 \(R\)에 대해 \(R \to R^\wedge\)가 매끄러운 대수들의 여과 여극한임을 증명하였다. [Rotthaus-Artin]에서는 우수 이산 값매김환 위에서 본질적으로 유한형인 임의의 국소환 \(R\)에 대해 \(R \to R^\wedge\)가 매끄러운 대수들의 여과 여극한임을 증명하였다. 끝으로, 앞서 설명한 것처럼 [popescu-GND], [popescu-GNDA], [popescu-letter], [Ogoma], [swan]에서 주정리가 증명되었다.

반대로, [Rotthaus-excellent]에서는 위 결과 중 일부를 이용하여, 근사 성질을 갖는 모든 뇌터 국소환이 우수환임을 증명하였다.

논문 [Spivakovsky]는 주정리에 대한 다른 접근법을 제시하지만, 읽기가 어려운 것으로 보인다. 예를 들어 [Spivakovsky, Lemma 5.2]는 [Elkik, Lemma 3]를 잘못 다시 정식화한 것으로 보인다. 이 내용에 대한 Bourbaki 강연도 있다. [Teissier]를 보라.

특이 아이디얼

\(R \to A\)를 환 준동형이라 하자. \(R\) 위의 \(A\)의 특이 아이디얼은 사상 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)의 특이점 집합을 정의하는 \(A\)의 근기 아이디얼이다. 정확한 정의는 다음과 같다.

정의

\(R \to A\)를 환 준동형이라 하자. \(R\) 위의 \(A\)의 특이 아이디얼은 \(H_{A/R}\)로 표기하며, 다음을 만족하는 유일한 근기 아이디얼 \(H_{A/R} \subset A\)이다. \[V(H_{A/R}) = \{\mathfrak q \in \Spec(A) \mid R \to A \text{가 }\mathfrak q\text{에서 매끄럽지 않다}\}\]

\(R \to A\)가 매끄러운 소 아이디얼들의 집합은 열려 있으므로 이 정의는 의미가 있다. Algebra, Definition 00TB을 보라. 특이 아이디얼의 생성원들을 명시적으로 구하기 위해 먼저 다음 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고, \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)이라 하자. \(\mathfrak q \subset A\)를 소 아이디얼이라 하자. \(R \to A\)가 \(\mathfrak q\)에서 매끄럽다고 가정하자. 그러면 \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak q\)인 원소와 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\)인 정수 \(c\), 그리고 크기가 \(c\)인 부분집합 \(U \subset \{1, \ldots, n\}\), \(V \subset \{1, \ldots, m\}\)이 존재하여, 어떤 \(a' \in A\)에 대해 \[a = a' \det(\partial f_j/\partial x_i)_{j \in V, i \in U}\] 이고, 모든 \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\)에 대해 \[a f_\ell \in (f_j, j \in V) + (f_1, \ldots, f_m)^2\] 이다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 놓으면, \(R\) 위의 \(A\)의 소박한 여접복합체는 \(I/I^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i\)와 호모토피 동치이다. Algebra, Lemma 00S1를 보라. 소박한 여접복합체의 구성이 국소화와 가환한다는 사실을 사용한다. Algebra, Section 00S0, 특히 Algebra, Lemma 00S7을 보라. Algebra, Definitions 00T2와 00TB에 의해, 어떤 \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak q\)에 대해 \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a\text{d}x_i\)는 분할 단사이다. \(x_1, \ldots, x_n\)과 \(f_1, \ldots, f_m\)의 번호를 다시 매기면, \(f_1, \ldots, f_c\)가 벡터공간 \(I/I^2 \otimes_A \kappa(\mathfrak q)\)의 기저를 이루고, \(\text{d}x_{c + 1}, \ldots, \text{d}x_n\)의 상이 \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak q)\)의 기저를 이룬다고 가정할 수 있다. 따라서 어떤 \(a' \in A\), \(a' \not \in \mathfrak q\)에 대해 \(a\)를 \(aa'\)로 바꾸면, \(f_1, \ldots, f_c\)가 \((I/I^2)_a\)의 기저를 이루고 \(\text{d}x_{c + 1}, \ldots, \text{d}x_n\)의 상이 \((\Omega_{A/R})_a\)의 기저를 이룬다고 가정할 수 있다. 이 상황에서는 충분히 큰 정수 \(N\)에 대한 \(a^N\)이 보조정리의 조건을 만족한다(\(U = V = \{1, \ldots, c\}\)로 둔다).

\(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준 원소라는 개념을 사용한다. 여기서의 개념은 Swan의 논문 [swan]에 나오는 개념보다 조금 약하다. 또한 위 보조정리에서 구한 유형의 원소를 초등 표준 원소로 정의한다. 이 서로 다른 유형의 원소들을 보조정리 07EZ에서 비교한다.

정의

\(R \to A\)를 유한 표시 환 준동형이라 하자. 원소 \(a \in A\)가 \(R\) 위의 \(A\)에서 초등 표준이라는 것은, 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)과 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\)이 존재하여, 어떤 \(a' \in A\)에 대해 [07C8]\[\begin{equation} a = a' \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} \end{equation}\] 이고, \(j = 1, \ldots, m - c\)에 대해 [07C9]\[\begin{equation} a f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] 인 것을 말한다. 원소 \(a \in A\)가 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이라는 것은, 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)과 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\)이 존재하여, 어떤 \(a_I \in A\)에 대해 [07ER]\[\begin{equation} a = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} a_I \det(\partial f_j/\partial x_i)_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I} \end{equation}\] 이고, \(j = 1, \ldots, m - c\)에 대해 [07ES]\[\begin{equation} a f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] 인 것을 말한다.

다음 보조정리는 (07ER)의 귀결을 알아내는 데 유용하다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고, \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)이라 하자. \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 쓰고, \(a \in A\)라 하자. 그러면 (07ER)로부터 다음을 만족하는 \(A\)-선형사상 \(\psi : \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A \text{d}x_i \to A^{\oplus c}\)가 존재한다. 합성 \[A^{\oplus c} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_c)} I/I^2 \xrightarrow{f \mapsto \text{d}f} \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A \text{d}x_i \xrightarrow{\psi} A^{\oplus c}\] 은 \(a\)를 곱하는 사상이다. 반대로, 이러한 \(\psi\)가 존재하면 \(a^c\)는 (07ER)을 만족한다.

증명

이는 Algebra, Lemma 07DQ의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R \to A\)를 유한 표시 환 준동형이라 하자. 특이 아이디얼 \(H_{A/R}\)는 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준인 원소들로 생성되는 아이디얼의 근기이며, 또한 \(R\) 위의 \(A\)에서 초등 표준인 원소들로 생성되는 아이디얼의 근기이다.

증명

\(a\)가 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이라고 가정하자. \(A_a\)가 \(R\) 위에서 매끄럽다고 주장한다. 이를 보이면 \(a \in H_{A/R}\)가 따른다. 구체적으로, \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\), \(c\), \(a' \in A\)를 정의 07C7에서와 같이 잡는다. \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 놓으면 \(R\) 위의 \(A\)의 소박한 여접복합체는 \(I/I^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i\)로 주어진다. 가정 (07ES)로부터 \((I/I^2)_a\)는 \(f_1, \ldots, f_c\)의 잉여류들로 생성됨을 알 수 있다. 가정 (07ER)로부터 미분 \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a\text{d}x_i\)가 왼쪽 역을 갖는다는 것이 따른다. 보조정리 07ET을 보라. 따라서 정의와 Algebra, Lemma 00S7에 의해 \(R \to A_a\)는 매끄럽다.

\(H_e, H_s \subset A\)를 각각 \(R\) 위의 \(A\)에서 초등 표준인 원소들, 엄밀 표준인 원소들로 생성되는 아이디얼의 근기라 하자. 정의와 방금 증명한 사실에 의해 \(H_e \subset H_s \subset H_{A/R}\)이다. 포함관계 \(H_{A/R} \subset H_e\)는 보조정리 07C6에서 따른다.

예

유한 표시 환 준동형이 매끄러운 점들의 집합은 준콤팩트 열린집합일 필요가 없다. 예를 들어 \(R = k[x, y_1, y_2, y_3, \ldots]/(xy_i)\), \(A = R/(x)\)라 하자. 그러면 \(R \to A\)의 매끄러운 점들의 집합은 \(\bigcup D(y_i)\)이며, 이는 준콤팩트가 아니다.

보조정리

\(R \to A\)를 유한 표시 환 준동형이라 하고, \(R \to R'\)를 환 준동형이라 하자. \(a \in A\)가 \(R\) 위의 \(A\)에서 초등 표준(각각 엄밀 표준)이면, \(a \otimes 1\)은 \(R'\) 위의 \(A \otimes_R R'\)에서 초등 표준(각각 엄밀 표준)이다.

증명

\(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)이 \(R\) 위의 \(A\)의 표시이면, \(A \otimes_R R' = R'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_m)\)은 \(R'\) 위의 \(A \otimes_R R'\)의 표시이다. 여기서 \(f'_j\)는 \(R'[x_1, \ldots, x_n]\)에서의 \(f_j\)의 상이다. 따라서 결론은 정의에서 따른다.

보조정리

\(R \to A \to \Lambda\)를 환 준동형들이라 하고, \(A\)는 \(R\) 위에서 유한 표시라고 하자. \(H_{A/R} \Lambda = \Lambda\)라고 가정하자. 그러면 \(R\) 위에서 매끄러운 \(B\)를 통한 분해 \(A \to B \to \Lambda\)가 존재한다.

증명

\(\Lambda\)에서 \(\sum f_i\lambda_i = 1\)이 되도록 \(f_1, \ldots, f_r \in H_{A/R}\)와 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \Lambda\)를 고른다. \(B = A[x_1, \ldots, x_r]/(f_1x_1 + \ldots + f_rx_r - 1)\)로 놓고, \(x_i\)를 \(\lambda_i\)로 보내어 \(B \to \Lambda\)를 정의한다. \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄러움을 확인하려면, \(H_{A/R}\)의 정의에 의해 \(A_{f_i}\)가 \(R\) 위에서 매끄럽고 \(B_{f_i}\)가 \(A_{f_i}\) 위에서 매끄럽다는 것을 사용하면 된다. 자세한 내용은 생략한다.

대수의 표시

이 절의 결과 중 일부는 Elkik의 결과이다. 다음 보조정리에 나오는 대수 \(C\)는 \(A\) 위의 대칭대수임에 유의하자. 또한 \(R\)가 뇌터 환이면 \(C\)는 \(R\) 위에서 유한 표시를 갖는다.

보조정리

\(R\)를 환, \(A\)를 유한 표시 \(R\)-대수라 하자. 다음 두 성질을 가지며 수축 사상을 갖는 유한형 \(R\)-대수 사상 \(A \to C\)가 존재한다.

1. \(R \to A_a\)가 국소 완전교차인 (More on Algebra, Definition 07D0) 각 \(a \in A\)에 대하여, 환 \(C_a\)는 \(A_a\) 위에서 매끄럽고 \(J/J^2\)가 \(C_a\) 위의 자유 가군이 되는 표시 \(C_a = R[y_1, \ldots, y_m]/J\)를 갖는다.

2. \(A_a\)가 \(R\) 위에서 매끄러운 각 \(a \in A\)에 대하여, 가군 \(\Omega_{C_a/R}\)는 \(C_a\) 위의 자유 가군이다.

증명

표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)를 택하고 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 쓰자. 짧은 완전열 \[0 \to K \to A^{\oplus m} \to I/I^2 \to 0\] 로 \(A\)-가군 \(K\)를 정의한다. 여기서 가운데 항의 \(j\)번째 기저 벡터 \(e_j\)는 오른쪽의 \(f_j\)의 동치류로 보내진다. \[C = \text{Sym}^*_A(I/I^2).\] 로 놓자. 수축 사상은 단순히 \(C\)의 차수 \(0\) 부분으로의 사영이다. \(y_j\)를 \(I/I^2\)에서의 \(f_j\)의 동치류로 보내는 전사 사상 \(R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m] \to C\)가 있다. 이 사상의 핵 \(J\)는 원소 \(f_1, \ldots, f_m\)과, \(\sum h_j e_j\)가 \(K\)의 원소를 정의하는 \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)에 대한 원소 \(\sum h_j y_j\)로 생성된다. \(R \to A \to C\)와 위의 표시들에 적용한 Algebra, Lemma 00S2 및 More on Algebra, Lemma 07EV에 의해, \(C\)-가군의 짧은 완전열 [07EW]\[\begin{equation} I/I^2 \otimes_A C \to J/J^2 \to K \otimes_A C \to 0 \end{equation}\] 이 존재한다. \(h \in R[x_1, \ldots, x_n]\)를 상이 \(a \in A\)인 원소라 하자. 국소화한 환들의 표시로 \[A_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n]/I' \quad\text{및}\quad C_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]/J'\] 를 사용한다. 여기서 \(I' = (hx_0 - 1, I)\)이고 \(J' = (hx_0 - 1, J)\)이다. 따라서 \(A_a\)-가군으로서 \(I'/(I')^2 = A_a \oplus (I/I^2)_a\)이고, \(C_a\)-가군으로서 \(J'/(J')^2 = C_a \oplus (J/J^2)_a\)이다. 그러므로 \(R \to A_a \to C_a\)와 위의 표시들에 대응하는 Algebra, Lemma 00S2의 완전열로 [07EX]\[\begin{equation} C_a \oplus I/I^2 \otimes_A C_a \to C_a \oplus (J/J^2)_a \to K \otimes_A C_a \to 0 \end{equation}\] 을 얻는다.

이제 \(a \in A\)가 \(A_a\)를 \(R\) 위의 국소 완전교차로 만드는 원소라고 가정하자. 그러면 \((I/I^2)_a\)는 \(A_a\) 위의 유한 사영 가군이다. More on Algebra, Lemma 08RK를 보라. 따라서 \(K_a \oplus (I/I^2)_a \cong A_a^{\oplus m}\)은 자유 가군이다. 특히 \(K_a\)도 유한 사영 가군이다. More on Algebra, Lemma 07D4에 의해 완전열 (07EX)은 왼쪽에서도 완전하다. 따라서 \[J'/(J')^2 \cong C_a \oplus I/I^2 \otimes_A C_a \oplus K \otimes_A C_a \cong C_a^{\oplus m + 1}\] 이다. 이로써 (1)이 증명된다. 끝으로 \(A_a\)가 추가로 \(R\) 위에서 매끄럽다고 가정하자. 그러면 같은 표시에서 \(\Omega_{C_a/R}\)가 사상 \[J'/(J')^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i C_a\text{d}x_i \oplus \bigoplus\nolimits_j C_a\text{d}y_j\] 의 여핵임을 알 수 있다. 위의 분해에서 \(J'/(J')^2\)의 직합인자 \(C_a\)는 \(hx_0 - 1\)에 대응하므로 직합인자 \(C_a\text{d}x_0\)로 동형으로 보내진다. \(J'/(J')^2\)의 직합인자 \(I/I^2 \otimes_A C_a\)는 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} C_a\text{d}x_i\)로 단사적으로 보내지며, 그 몫은 \(\Omega_{A_a/R} \otimes_{A_a} C_a\)이다. 직합인자 \(K \otimes_A C_a\)는 \(\bigoplus_{j \geq 1} C_a\text{d}y_j\)로 단사적으로 보내지며, 그 몫은 \(I/I^2 \otimes_A C_a\)와 동형이다. 따라서 마지막에 표시한 사상의 여핵은 가군 \(I/I^2 \otimes_A C_a \oplus \Omega_{A_a/R} \otimes_{A_a} C_a\)이다. \((I/I^2)_a \oplus \Omega_{A_a/R}\)가 자유 가군이므로 (매끄러운 환 준동형의 정의에 의해), (2)가 성립한다.

다음 명제는 헨젤 쌍 위의 매끄러운 환 준동형에 대해 Elkik이 [Elkik]에서 증명하였다. 매끄러운 환 준동형에 대한 결과는 [Arabia]에서도 찾을 수 있으며, 그곳에서는 매끄러운 대수 사이의 환 준동형도 올릴 수 있음을 증명한다.

명제

\(R \to R_0\)를 핵이 \(I\)인 전사 환 준동형이라 하자.

1. \(R_0 \to A_0\)가 신토믹(syntomic) 환 준동형이면, \(A/IA \cong A_0\)인 신토믹 환 준동형 \(R \to A\)가 존재한다.

2. \(R_0 \to A_0\)가 매끄러운 환 준동형이면, \(A/IA \cong A_0\)인 매끄러운 환 준동형 \(R \to A\)가 존재한다.

증명

\(R_0 \to A_0\)가 신토믹이라고 가정하자. 특히 이는 국소 완전교차이다 (More on Algebra, Lemma 07D3). 표시 \(A_0 = R_0[x_1, \ldots, x_n]/J_0\)를 택하고 \(C_0 = \text{Sym}^*_{A_0}(J_0/J_0^2)\)으로 놓자. \(J_0/J_0^2\)는 유한 사영 \(A_0\)-가군임에 유의하자 (Algebra, Lemma 07BT). 보조정리 07CE에 의해 환 준동형 \(A_0 \to C_0\)는 매끄러우며, \(K_0/K_0^2\)가 \(C_0\) 위의 자유 가군인 표시 \(C_0 = R_0[y_1, \ldots, y_m]/K_0\)를 찾을 수 있다. Algebra, Lemma 07CF에 의해, \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c\)가 \(C_0\) 위의 \(K_0/K_0^2\)의 기저로 보내지는 \(C_0 = R_0[y_1, \ldots, y_m]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c)\)의 형태라고 가정할 수 있다. \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c\)를 올리는 \(f_1, \ldots, f_c \in R[y_1, \ldots, y_c]\)를 택하고 \[C = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_c)\] 로 놓자. 구성에 의해 \(C_0 = C/IC\)이다. Algebra, Lemma 00ST에 의해, \(C\)를 \(C_g\)로 바꾼 뒤에는 \(C\)가 \(R\) 위의 상대적 전역 완전교차라고 가정할 수 있다. 결국 어떤 신토믹 \(R\)-대수 \(C\)에 대해 \(C_0 = \text{Sym}^*_{A_0}(P_0)\)가 \(C/IC\)와 동형이 되는 유한 사영 \(A_0\)-가군 \(P_0\)가 존재한다.

정수 \(n\)과 직합 분해 \(A_0^{\oplus n} = P_0 \oplus Q_0\)를 택하자. More on Algebra, Lemma 07M5에 의해, 동형 \(C/IC \to C'/IC'\)를 유도하는 에탈 환 준동형 \(C \to C'\)와, \(Q/IQ\)가 \(Q_0 \otimes_{A_0} C/IC\)와 동형인 유한 사영 \(C'\)-가군 \(Q\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(D = \text{Sym}_{C'}^*(Q)\)는 매끄러운 \(C'\)-대수이다 (More on Algebra, Lemma 07M6 참조). 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ R \ar[d] \ar[rr] & & C \ar[r] \ar[d] & C' \ar[r] \ar[d] & D \ar[d] \\ R/I \ar[r] & A_0 \ar[r] & C/IC \ar[r]^{\cong} & C'/IC' \ar[r] & D/ID }\] \(Q\)를 위와 같이 택했으므로 \[\begin{align*} D/ID & = \text{Sym}_{C/IC}^*(Q_0 \otimes_{A_0} C/IC) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0) \otimes_{A_0} C/IC \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0) \otimes_{A_0} \text{Sym}_{A_0}^*(P_0) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0 \oplus P_0) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(A_0^{\oplus n}) \\ & = A_0[x_1, \ldots, x_n] \end{align*}\] 이다. \(D/ID = A_0[x_1, \ldots, x_n]\)에서 \(x_1, \ldots, x_n\)으로 보내지는 \(f_1, \ldots, f_n \in D\)를 택하자. \(A = D/(f_1, \ldots, f_n)\)으로 놓으면 \(A_0 = A/IA\)이다. \(R \to A\)가 \(V(IA)\)의 한 근방에서 신토믹임을 주장한다. 이 주장이 참이면, \(1 \in A_0\)로 보내지며 \(A_f\)가 \(R\) 위에서 신토믹이 되는 \(f \in A\)를 찾을 수 있으므로 (1)의 증명이 끝난다.

주장의 증명. \(R \to D\)는 신토믹 환 준동형 \(R \to C\), 에탈 환 준동형 \(C \to C'\), 매끄러운 환 준동형 \(C' \to D\)의 합성이므로 신토믹이다(Algebra, Lemmas 00SZ 및 00TA). 이 문제는 \(\Spec(D)\) 위에서 국소적이므로, \(D\)가 상대적 전역 완전교차라고 가정해도 된다 (Algebra, Lemma 00SY). \(D = R[y_1, \ldots, y_m]/(g_1, \ldots, g_s)\)라고 하자. \(f_1, \ldots, f_n\)의 올림 \(f'_1, \ldots, f'_n \in R[y_1, \ldots, y_m]\)를 택하자. 그러면 Algebra, Lemma 00ST을 적용하여 주장을 얻는다.

(2)의 증명. 매끄러운 환 준동형은 신토믹이므로, \(A_0 = A/IA\)인 신토믹 환 준동형 \(R \to A\)를 찾을 수 있다. 가정에 의해 \(V(I)\)의 소아이디얼들 위에서 \(R \to A\)의 섬유들은 매끄러우므로, \(R \to A\)는 \(V(IA)\)의 한 열린 근방에서 매끄럽다 (Algebra, Lemma 00TF). 따라서 \(A\)를 국소화로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.

임의의 신토믹 환 준동형 \(R \to A\)가 국소적으로 상대적 전역 완전교차임을 알고 있다. Algebra, Lemma 00SY를 보라. 다음 보조정리는 \(\Spec(A)\) 위의 한 벡터 다발이 상대적 전역 완전교차임을 말한다.

보조정리

\(R \to A\)를 신토믹 환 준동형이라 하자. \(R\) 위의 전역 상대적 완전교차 \(C\)에 대해, 수축 사상을 갖는 매끄러운 \(R\)-대수 사상 \(A \to C\)가 존재한다. 즉, \[C \cong R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] 는 \(R\) 위에서 평탄하고 모든 섬유의 차원이 \(n - c\)이다.

증명

보조정리 07CE을 적용하여 \(A \to C\)를 얻는다. Algebra, Lemma 07CF에 의해, \(f_i\)가 \(J/J^2\)의 기저로 보내지도록 \(C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)로 쓸 수 있다. 환 준동형 \(R \to C\)는 신토믹 환 준동형과 매끄러운 환 준동형의 합성이므로 신토믹이다(따라서 평탄하다). Algebra, Lemma 00SC에 의해 섬유의 차원은 \(n - c\)이다 (섬유들이 국소 완전교차이므로 이 보조정리를 적용할 수 있다).

보조정리

\(R \to A\)를 매끄러운 환 준동형이라 하자. \(B\)가 \(R\) 위에서 표준 매끄러운 대수가 되도록, 수축 사상을 갖는 매끄러운 \(R\)-대수 사상 \(A \to B\)가 존재한다. 즉, \[B \cong R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] 이며 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\)가 \(B\)에서 가역이다.

증명

보조정리 07CG을 적용하여, \(C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)가 \(R\) 위의 상대적 전역 완전교차가 되도록 수축 사상을 갖는 매끄러운 \(R\)-대수 사상 \(A \to C\)를 얻는다. \(C\)가 \(R\) 위에서 매끄러우므로 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, c} C f_j \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} C\text{d}x_i \to \Omega_{C/R} \to 0\] 이 있다. \(\Omega_{C/R}\)가 사영 \(C\)-가군이므로 이 완전열은 분할된다. 첫 번째 사상의 왼쪽 역 \(t\)를 택하자. \(t(\text{d}x_i) = \sum c_{ij} f_j\)라고 쓰면 \(\sum_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i} c_{i\ell} = \delta_{j\ell}\) (크로네커 델타)이다. \[B' = C[y_1, \ldots, y_c] = R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_c]/(f_1, \ldots, f_c)\] 로 놓자. \(R\)-대수 사상 \(C \to B'\)는 \(y_j\)를 영으로 보내는 수축 사상을 갖는다. 사상 \[R[z_1, \ldots, z_n] \longrightarrow B',\quad z_i \longmapsto x_i - \sum\nolimits_j c_{ij} y_j\] 이 \(\Spec(C) \to \Spec(B')\)의 상에 속하는 모든 점에서 에탈임을 주장한다. \(\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\)에서 \[0 = \text{d}f_j - \sum\nolimits_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \text{d}z_i \equiv \sum\nolimits_{i, \ell} \frac{\partial f_j}{\partial x_i} c_{i\ell} \text{d}y_\ell \equiv \text{d}y_j \bmod (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\] 이다. \(\sum B'\text{d}y_j + (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\) 를 법으로 하여 \(0 = \text{d}z_i = \text{d}x_i\)이므로, \[\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}/ (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]} = 0.\] 을 얻는다. \(\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\)는 유한 \(B'\)-가군이므로, 나카야마 보조정리에 의해 \((\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]})_g = 0\)이 되는 \(g \in 1 + (y_1, \ldots, y_c)\)가 존재한다. 이는 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\)가 비분기임을 증명한다. Algebra, Definition 00UT를 보라. \(k\)가 체인 임의의 환 준동형 \(R \to k\)에 대하여, 차원이 \(n\)인 매끄러운 \(k\)-대수 사이의 비분기 환 준동형 \(k[z_1, \ldots, z_n] \to (B'_g) \otimes_R k\)를 얻는다. Algebra, Lemmas 00R4 및 00TS에 의해, \(k[z_1, \ldots, z_n] \to (B'_g) \otimes_R k\)는 평탄하다. 섬유별 평탄성 판정법 (Algebra, Lemma 00R7)으로부터 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\)가 평탄함을 얻는다. 끝으로 Algebra, Lemma 00U6에 의해 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\)는 에탈이다. \(B = B'_g\)로 놓자. \(C \to B\)는 매끄럽고 수축 사상을 가지므로 \(A \to B\)도 매끄럽고 수축 사상을 갖는다. 또한 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B\)는 에탈이다. Algebra, Lemma 00U9에 의해 \[B = R[z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_m]/(g_1, \ldots, g_m)\] 으로 쓸 수 있으며, 여기서 \(\det(\partial g_j/\partial w_i)\)는 \(B\)에서 가역이다. 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(R \to \Lambda\)를 환 준동형이라 하자. \(\Lambda\)가 매끄러운 \(R\)-대수들의 여과 여극한이면, \(\Lambda\)는 표준 매끄러운 \(R\)-대수들의 여과 여극한이다.

증명

\(A\)가 \(R\) 위에서 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(A \to \Lambda\)를 생각하자. Algebra, Lemma 07C3에 따르면, 이 사상을 표준 매끄러운 대수를 거쳐 분해하면 충분하다. 또한 \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄럽도록 \(A \to B \to \Lambda\)로 분해할 수 있음을 알고 있다. \(C\)가 \(R\) 위에서 표준 매끄럽고 수축 사상 \(C \to B\)를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(B \to C\)를 택하자. 보조정리 07CH를 보라. 그러면 원하는 분해는 \(A \to B \to C \to B \to \Lambda\)이다.

보조정리

\(R \to A\)를 표준 매끄러운 환 준동형이라 하자. \(E \subset A\)를 원소 수가 \(|E| = n\)인 유한 부분집합이라 하자. 그러면 \(c \geq n\)이고, \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\)가 \(A\)에서 가역이며, \(E\)가 \(x_1, \ldots, x_n\)의 합동류들의 집합이 되는 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)가 존재한다.

증명

\(\det(\partial g_j/\partial y_i)_{i, j = 1, \ldots, d}\)의 상이 \(A\)에서 가역이 되도록 \(A = R[y_1, \ldots, y_m]/(g_1, \ldots, g_d)\)라는 표시를 택하자. \(E = \{a_1, \ldots, a_n\}\)으로 원소들을 나열하고, \(A\)에서의 상이 \(a_i\)인 \(h_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\)를 택하자. 표시 \[A = R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]/ (x_1 - h_1, \ldots, x_n - h_n, g_1, \ldots, g_d)\] 를 생각하고 \(c = n + d\)로 놓으면 된다.

보조정리

\(R \to A\)를 유한 표시 환 준동형이라 하자. \(a \in A\)라 하자. \(a\)에 대해 다음 조건들을 생각하자.

1. \(A_a\)는 \(R\) 위에서 매끄럽다.

2. \(A_a\)는 \(R\) 위에서 매끄럽고 \(\Omega_{A_a/R}\)는 안정적으로 자유이다.

3. \(A_a\)는 \(R\) 위에서 매끄럽고 \(\Omega_{A_a/R}\)는 자유이다.

4. \(A_a\)는 \(R\) 위에서 표준 매끄럽다.

5. \(a\)는 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이다.

6. \(a\)는 \(R\) 위의 \(A\)에서 초등 표준이다.

그러면 다음이 성립한다.

1. (4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1).

2. (6) \(\Rightarrow\) (5).

3. (6) \(\Rightarrow\) (4).

4. (5) \(\Rightarrow\) (2).

5. (2) \(\Rightarrow\) \(e \geq e_0\)인 원소 \(a^e\)들은 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이다.

6. (4) \(\Rightarrow\) \(e \geq e_0\)인 원소 \(a^e\)들은 \(R\) 위의 \(A\)에서 초등 표준이다.

증명

(a)는 정의들과 Algebra, Lemma 00T7에서 명백하다. (b)는 정의 07C7에서 명백하다.

(c)의 증명. (07C8)과 (07C9)가 성립하도록 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)를 택하자. \(a\)로 보내지는 \(h \in R[x_1, \ldots, x_n]\)를 택하면 \[A_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n]/(x_0h - 1, f_1, \ldots, f_m).\] 이다. \(J = (x_0h - 1, f_1, \ldots, f_m)\)으로 쓰자. (07C9)에 의해 \(A_a\)-가군 \(J/J^2\)는 \(A_a\) 위에서 \(x_0h - 1, f_1, \ldots, f_c\)로 생성된다. 따라서 Algebra, Lemma 07CF의 증명에서와 같이, \[A_a = R[x_0, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/ (x_0h - 1, f_1, \ldots, f_c, gx_{n + 1} - 1).\] 이 되도록 \(g \in 1 + J\)를 택할 수 있다. 이제 (07C8)에 의해 \(R \to A_a\)가 표준 매끄럽다 (좌표 \(x_0, x_1, \ldots, x_c, x_{n + 1}\)에 대해 미분한다).

(d)의 증명. (07ER)과 (07ES)가 성립하도록 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)를 택하자. \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 쓰자. \(A_a\)가 \(R\) 위에서 매끄럽다는 것은 이미 알고 있다. 보조정리 07CA를 보라. 보조정리 07ET에 의해 \((I/I^2)_a\)는 \(f_1, \ldots, f_c\)를 기저로 하는 자유 가군이고, \(\bigoplus A_a \text{d}x_i\)의 한 직합인자로 동형으로 보내진다. \(\Omega_{A_a/R} = (\Omega_{A/R})_a\)는 사상 \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a \text{d}x_i\)의 여핵이므로 안정적으로 자유이다.

(e)의 증명. \(I\)가 유한 생성인 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)를 택하자. 가정에 의해 분할 짧은 완전열 \[0 \to (I/I^2)_a \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A_a\text{d}x_i \to \Omega_{A_a/R} \to 0\] 이 있다. 따라서 \((I/I^2)_a \oplus \Omega_{A_a/R}\)는 자유 \(A_a\)-가군이다. \(\Omega_{A_a/R}\)가 안정적으로 자유이므로 \((I/I^2)_a\)도 안정적으로 자유이다. 그러므로 어떤 \(r\)에 대해 위의 표시를 \(A = R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + r}]/J\), \(J = (I, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + r})\)로 바꾸면 \((J/J^2)_a\)가 (유한) 자유 가군이 되게 할 수 있다. \((J/J^2)_a\)의 기저로 보내지는 \(f_1, \ldots, f_c \in J\)를 택하자. 이를 생성원 목록 \(f_1, \ldots, f_m \in J\)로 확장하자. 표시 \(A = R[x_1, \ldots, x_{n + r}]/(f_1, \ldots, f_m)\)를 생각하자. 그러면 구성에 의해 충분히 큰 모든 \(e\)에 대해 \(a^e\)는 (07ES)를 만족한다. 또한 \((J/J^2)_a \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n + r} A_a\text{d}x_i\) 는 분할 단사 사상이므로 \(A_a\)-선형 왼쪽 역을 찾을 수 있다. 이 왼쪽 역을 기저 \(f_1, \ldots, f_c\)에 관해 쓰고 분모를 없애면, 어떤 \(e_0 \geq 1\)에 대해 \[A^{\oplus c} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_c)} J/J^2 \xrightarrow{f \mapsto \text{d}f} \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n + r} A \text{d}x_i \xrightarrow{\psi_0} A^{\oplus c}\] 가 \(a^{e_0}\)을 곱하는 사상이 되게 하는 선형 사상 \(\psi_0 : A^{\oplus n + r} \to A^{\oplus c}\)를 얻는다. 보조정리 07ET에 의해 모든 \(a^{ce_0}\)에 대해 (07ER)이 성립하며, 따라서 \(e \geq ce_0\)인 모든 \(e\)에 대해 \(a^e\)에도 성립한다.

(f)의 증명. \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\)가 \(A_a\)에서 가역이 되도록 표시 \(A_a = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)를 택하자. 어떤 \(m < n\)에 대해 \(x_1, \ldots, x_m\)의 동치류들이, \(R\) 위에서 \(A\)를 생성하는 \(a_1, \ldots, a_m \in A\)에 대한 \(a_i/1\)에 대응한다고 가정해도 된다. 보조정리 07EY를 보라. \(m < i \leq n\)에 대해 \(x_i\)를 \(a^Nx_i\)로 바꾸면, 어떤 \(a_i \in A\)에 대해 \(x_i\)의 동치류가 \(a_i/1 \in A_a\)라고 가정할 수 있다. 환 준동형 \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow A,\quad x_i \longmapsto a_i.\] 를 생각하자. 이는 전사 환 준동형이다. \(f_j\)를 \(a^Nf_j\)로 바꾸면 \(f_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)이고 \(\Psi(f_j) = 0\)이라고 가정할 수 있다(실제로 \(A_a\)에서 \(f_j(a_1/1, \ldots, a_n/1) = 0\)이기 때문이다). \(J = \Ker(\Psi)\)라 하자. 그러면 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/J\)는 하나의 표시이며, 원소 \(f_1, \ldots, f_c \in J\)는 \((J/J^2)_a\)가 \(f_1, \ldots, f_c\)를 기저로 하는 자유 가군이 되게 하고, \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\)는 \(A_a\)의 가역원으로 보내진다. 따라서 원하는 대로, 충분히 큰 모든 \(e\)에 대해 \(a^e\)는 (07C8)과 (07C9)를 만족한다.

막간: Néron 특이점 해소

Popescu 정리의 일반적인 경우에 대한 논의를 잠시 멈추고, 더 쉽지만 이미 매우 흥미로운 경우, 즉 \(R \to \Lambda\)가 이산 값매김환의 준동형인 경우를 살펴보자. 이 경우는 [Artin-Algebraic-Approximation, Section 4]에서 다룬다.

설정

여기서 \(R \subset \Lambda\)는 분기 지수가 \(1\)인 이산 값매김환의 확장이다(More on Algebra, Definition 09E4). \(R \to A\)가 평탄하고 유한형인 분해 \[R \to A \xrightarrow{\varphi} \Lambda\] 가 주어져 있다고 가정한다. \(\mathfrak q = \Ker(\varphi)\) 및 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak m_\Lambda)\)로 놓자.

상황 0BJ2에서 \(\pi \in R\)를 균일화원이라 하자. \(A\)가 \(R\) 위에서 평탄하다는 것은 \(\pi\)가 \(A\)에서 비영인자라는 뜻임을 상기하자(More on Algebra, Lemma 0539). \(R \subset \Lambda\)에 대한 가정에 의해 \(\pi\)는 \(\Lambda\)의 균일화원으로 보내진다. \(\pi \in \mathfrak p\)이므로 Néron의 아핀 블로업 대수 (Algebra, Section 052P 참조) \[\varphi' : A' = A[\textstyle{\frac{\mathfrak p}{\pi}}] \longrightarrow \Lambda\] 를 생각할 수 있다. 여기에는 \(a \in \mathfrak p^n\)인 \(a/\pi^n\)을 \(\Lambda\)의 \(\pi^{-n}\varphi(a)\)로 보내는 \(\Lambda\)로 가는 유도 사상이 주어진다. \(A'\)의 대응하는 소아이디얼들을 \(\mathfrak q' \subset \mathfrak p' \subset A'\)로 표기하자. \(A'\)의 동형류는 균일화원의 선택에 의존하지 않음에 유의하자. 이 구성을 반복하면 열 \[A \to A' \to A'' \to \ldots \to \Lambda\] 을 얻는다.

보조정리

상황 0BJ2에서 Néron의 블로업은 다음 의미에서 함자적이다.

1. \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak p\)이면, \(A_a\)의 Néron 블로업은 \(A'_a\)이다.

2. \(B \to A\)가 핵이 \(I\)인 평탄 유한형 \(R\)-대수의 전사 사상이면, \(A'\)는 \(B'/IB'\)를 그 \(\pi\)-거듭제곱 꼬임으로 나눈 몫이다.

증명

(1)과 (2)는 모두 Algebra, Lemma 0BIP의 특수한 경우이다. 실제로 \(A_1 \to A_2 \to \Lambda\)가 \(\mathfrak p_1 A_2 = \mathfrak p_2\)를 만족하면, \(A_2'\)는 \(A_1' \otimes_{A_1} A_2\)를 그 \(\pi\)-거듭제곱 꼬임으로 나눈 몫이다.

보조정리

상황 0BJ2에서 \(R \to A\)가 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽고 \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\)가 분리 체확장이라고 가정하자. 그러면 \(R \to A'\)는 \(\mathfrak p'\)에서 매끄러우며, 짧은 완전열 \[0 \to \Omega_{A/R} \otimes_A A'_{\mathfrak p'} \to \Omega_{A'/R, \mathfrak p'} \to (A'/\pi A')_{\mathfrak p'}^{\oplus c} \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(c = \dim((A/\pi A)_\mathfrak p)\)이다.

증명

보조정리 0BJ3에 의해 \(A\)를 \(\mathfrak p\)에 속하지 않는 원소에 대한 국소화로 바꿔도 된다. 이하에서는 이를 별도 언급 없이 사용한다. \(\kappa = R/\pi R\)로 쓰자. 매끄러움은 밑변환에 대해 안정적이므로 (Algebra, Lemma 00T4), \(A/\pi A\)는 \(\mathfrak p\)에서 \(\kappa\) 위로 매끄럽다. 따라서 \((A/\pi A)_\mathfrak p\)는 정칙 국소환이다 (Algebra, Lemma 00TT). \((A/\pi A)_\mathfrak p\)의 정칙 매개변수계로 보내지는 \(g_1, \ldots, g_c \in \mathfrak p\)를 택하자. 필요하면 \(A\)를 국소화로 바꾸어 \(\mathfrak p = (\pi, g_1, \ldots, g_c)\)라고 할 수 있다. \(\pi, g_1, \ldots, g_c\)는 \(A_\mathfrak p\)의 정칙열임에 유의하자 (먼저 \(\pi\)는 비영인자이고, 나머지 열에는 Algebra, Lemma 00NQ을 적용한다). \(A\)를 국소화로 바꾸면 \(\pi, g_1, \ldots, g_c\)가 \(A\)의 정칙열이라고 가정할 수 있다 (Algebra, Lemma 061L). More on Algebra, Lemma 0BIQ에 의해 \[A' = A[y_1, \ldots, y_c]/(\pi y_1 - g_1, \ldots, \pi y_c - g_c) = A[y_1, \ldots, y_c]/I\] 이다. 이하에서는 소박한 여접복합체를 이용한 매끄러움의 정의 (Algebra, Definition 00T2)와 Algebra, Lemma 07BU의 판정법을 별도 언급 없이 사용한다. \(R \to A[y_1, \ldots, y_c] \to A'\)에 대한 Algebra, Lemma 00S2의 완전열은 다음과 같다. \[0 \to H_1(\NL_{A'/R}) \to I/I^2 \to \Omega_{A/R} \otimes_A A' \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, c} A' \text{d}y_i \to \Omega_{A'/R} \to 0\] 여기서 \(I/I^2\)에 속하는 \(\pi y_i - g_i\)의 동치류는 다음 항의 \(- \text{d}g_i + \pi \text{d}y_i\)로 보내진다. 이때 \(\NL_{A'/A[y_1, \ldots, y_c]}\)를 계산하기 위해 Algebra, Lemma 07BP을 사용하였다. 또한 \(R \to A[y_1, \ldots, y_c]\)가 매끄럽다는 사실도 사용하였다. 따라서 \(H_1(\NL_{A[y_1, \ldots, y_c]/R}) = 0\)이며, \(\Omega_{A[y_1, \ldots, y_c]/R}\)는 유한 사영(따라서 평탄) \(A[y_1, \ldots, y_c]\)-가군이다. 실제로 이 가군은 \(\Omega_{A/R} \otimes_A A[y_1, \ldots, y_c]\)와 \(\text{d}y_i\)를 기저로 하는 자유 가군의 직합이다. 증명을 마치려면 \(\text{d}g_1, \ldots, \text{d}g_c\)가 유한 자유 가군 \(\Omega_{A/R, \mathfrak p}\)의 기저의 일부를 이룸을 보이면 충분하다. 그러면 \((I/I^2)_\mathfrak p\)는 \(\pi y_i - g_i\)를 기저로 하는 자유 가군이고, 완전열 가운데 사상의 \(\mathfrak p\)에서의 국소화는 단사이므로 \(H_1(\NL_{A'/R})_\mathfrak p = 0\)이며, 여핵 \(\Omega_{A'/R, \mathfrak p}\)도 유한 자유 가군임을 알 수 있다. 이를 위해서는 \(\text{d}g_i\)의 상들이 \(\Omega_{A/R, \mathfrak p}/\pi = \Omega_{(A/\pi A)/\kappa, \mathfrak p}\) 에서 \(\kappa(\mathfrak p)\)-선형 독립임을 보이면 충분하다 (이 등식은 Algebra, Lemma 00RV에 의한다). \(\kappa \subset \kappa(\mathfrak p) \subset \Lambda/\pi \Lambda\)이므로, \(\kappa(\mathfrak p)\)는 \(\kappa\) 위에서 분리적이다 (Algebra, Definition 030O). 이제 원하는 선형 독립성은 Algebra, Lemma 00TU에서 따른다.

보조정리

상황 0BJ2에서 \(R \to A\)가 \(\mathfrak q\)에서 매끄럽고, 핵이 \(I\)인 \(R\)-대수의 전사 사상 \(B \to A\)가 있다고 가정하자. \(R \to B\)가 \(\mathfrak p_B = (B \to A)^{-1}\mathfrak p\)에서 매끄럽다고 가정하자. \[I/I^2 \otimes_A \Lambda \to \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda\] 의 여핵이 자유 \(\Lambda\)-가군이면, \(R \to A\)는 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽다.

증명

사상 \(I/I^2 \to \Omega_{B/R} \otimes_B A\)의 여핵은 \(\Omega_{A/R}\)이다. Algebra, Lemma 00RU를 보라. \(d = \dim_\mathfrak q(A/R)\)를 \(\mathfrak q\)에서의 \(R \to A\)의 상대차원, 즉 \(\mathfrak q\)에서의 \(\Spec(A[1/\pi])\)의 차원이라 하자. Algebra, Definition 00QD을 보라. 그러면 \(\Omega_{A/R, \mathfrak q}\)는 \(A_\mathfrak q\) 위에서 계수가 \(d\)인 자유 가군이다 (Algebra, Lemma 00TT). 따라서 보조정리의 가정이 성립하면 \(\Omega_{A/R} \otimes_A \Lambda\)는 계수가 \(d\)인 자유 가군이다. 그러므로 \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)의 차원은 \(d\)이다 (\(\Lambda/\pi \Lambda\)와 텐서곱한 뒤에 이 사실이 성립하기 때문이다). \(R \to A\)가 평탄하고 \(\mathfrak p\)가 \(\mathfrak q\)의 특수화이므로, Algebra, Lemma 00QH에 의해 \(\dim_\mathfrak p(A/R) \geq d\)이다. 그러면 Algebra, Lemmas 00TF 및 00TT에 의해 \(R \to A\)가 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽다.

보조정리

상황 0BJ2에서 \(R \to A\)가 \(\mathfrak q\)에서 매끄럽고 \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\)가 분리 체확장이라고 가정하자. 그러면 유한 번의 아핀 Néron 블로업을 시행한 뒤에는 대수 \(A\)가 \(\mathfrak p\)에서 \(R\) 위로 매끄러워진다.

증명

\(R\)-대수 \(B\)와 전사 사상 \(B \to A\)를 택하자. \(\mathfrak p_B = (B \to A)^{-1}(\mathfrak p)\)로 놓고, \(\mathfrak p_B\)에서의 \(R \to B\)의 상대차원을 \(r\)로 표기하자. \(R \to B\)가 \(\mathfrak p_B\)에서 매끄럽도록 \(B\)를 택한다. 예를 들어 \(B\)를 \(R\) 위의 \(r\)변수 다항식 대수로 택할 수 있다. 보조정리 0BJ5의 복합체 \[I/I^2 \otimes_A \Lambda \longrightarrow \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda\] 를 생각하자. \(\Lambda\) 위의 유한 가군의 구조 (More on Algebra, Lemma 0ASV)에 의해, 여핵은 어떤 \(d \geq 0\), \(n \geq 0\), \(e_i \geq 1\)에 대해 \[\Lambda^{\oplus d} \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Lambda/\pi^{e_i} \Lambda\] 의 형태임을 알 수 있다. \(d\)는 \(\mathfrak q\)에서의 \(A/R\)의 상대차원임에 유의하자 (Algebra, Lemma 00TT). 결함량 \(e = \sum_{i = 1, \ldots, n} e_i\)가 영이면, 보조정리 0BJ5에 의해 증명이 끝난다.

이제 Néron 블로업을 시행하면 어떻게 되는지 살펴보자. \(A'\)는 \(B'/IB'\)를 그 \(\pi\)-거듭제곱 꼬임으로 나눈 몫이며 (보조정리 0BJ3), \(R \to B'\)는 \(\mathfrak p_{B'}\)에서 매끄럽다 (보조정리 0BJ4). 따라서 블로업 뒤에도 정확히 같은 상황이 성립한다. 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I' \ar[r] & B' \ar[r] & A' \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] \(I \subset \mathfrak p_B\)이므로 \(I \to I'\)는 \(\pi I'\)를 거쳐 분해된다. 유도되는 복합체 사상을 살펴보면 \[\xymatrix{ I'/(I')^2 \otimes_{A'} \Lambda \ar[r] & \Omega_{B'/R} \otimes_{B'} \Lambda \ar@{=}[r] & M' \\ I/I^2 \otimes_A \Lambda \ar[r] \ar[u] & \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda \ar[u] \ar@{=}[r] & M }\] 를 얻는다. 그러면 \(M \subset M'\)는 유한 자유 \(\Lambda\)-가군이며, 몫 \(M'/M\)은 \(\pi\)에 의해 소멸한다. 보조정리 0BJ4를 보라. 수평 사상들의 상을 \(N \subset M\)과 \(N' \subset M'\)로 놓고, \(Q = M/N\) 및 \(Q' = M'/N'\)로 표기하자. 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N' \ar[r] & M' \ar[r] & Q' \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & Q \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻는다. 그러면 \(N \subset N'\)는 계수가 \(r - d\)인 자유 \(\Lambda\)-가군이다. \(I\)가 \(\pi I'\) 안으로 보내지므로 \(N \subset \pi N'\)이다.

\(K = \Lambda_\pi\)를 \(\Lambda\)의 분수체라 하자. 행들이 짧은 완전열인 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N' \ar[r] & N'_K \cap M' \ar[r] & Q'_{tor} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[u] & N_K \cap M \ar[r] \ar[u] & Q_{tor} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 이 있다. 따라서 결함량의 변화는 \[e - e' = \text{length}(Q_{tor}) - \text{length}(Q'_{tor}) = \text{length}(N'/N) - \text{length}(N'_K \cap M' / N_K \cap M)\] 로 주어진다. \(M'/M\)이 \(\pi\)에 의해 소멸하므로 \(N'_K \cap M' / N_K \cap M\)도 그러하며, 그 길이는 \(\dim_K(N_K)\) 이하이다. \(N \subset \pi N'\)이므로 \(\text{length}(N'/N) \ge \dim_K(N_K)\)이며, 등호가 성립할 필요충분조건은 \(N = \pi N'\)이다.

증명을 마치려면 \(A\)가 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽지 않을 때 \(N\)이 \(\pi N'\)의 진부분가군임을 보여야 한다. 이것이 Néron의 논증에서 수행해야 할 핵심 계산이다. 이를 위해 완전열 \[I/I^2 \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B) \to \Omega_{B/R} \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B) \to \Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p) \to 0\] 을 생각하자(Algebra, Lemma 00RU에서 따른다). \(R \to A\)가 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽지 않으므로, \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)의 차원 \(s\)는 \(d\)보다 크다. 한편 첫 번째 화살표는 Algebra, Lemma 00TU의 단사 사상 \[\mathfrak p B_\mathfrak p/\mathfrak p^2 B_\mathfrak p \to \Omega_{B/R} \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B)\] 을 거쳐 분해된다. \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\)에 대한 가정에 의해 \(\kappa(\mathfrak p)\)가 \(k\) 위에서 분리적임에 유의하자. 따라서 \(j > r - s\)일 때 \(g_j \in \mathfrak p^2\)가 되는 생성원들 \(g_1, \ldots, g_t \in I\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(j > r - s\)일 때 \(g_j\)의 \(A'\)에서의 상은 \(\pi^2 I'\)에 속한다. \(r - s < r - d\)이므로, \(N\)의 최소 생성원들 중 적어도 하나는 \(N'\)에서 \(\pi^2\)로 나누어떨어진다. 따라서 \(e\)는 적어도 \(1\)만큼 감소하며, 증명이 끝난다.

\(R \to \Lambda\)가 이산 값매김환의 확장이면, \(R \to \Lambda\)가 정칙일 필요충분조건은 (a) 분기 지수가 \(1\)이고, (b) 분수체의 확장이 분리적이며, (c) \(R/\mathfrak m_R \subset \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\)가 분리적인 것이다. 따라서 다음 결과는 정리 07GC의 일반 Néron 특이점 해소의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R \subset \Lambda\)를 분기 지수가 \(1\)이고 잉여체와 분수체의 분리 확장을 유도하는 이산 값매김환의 확장이라 하자. 그러면 \(\Lambda\)는 매끄러운 \(R\)-대수들의 여과 여극한이다.

증명

Algebra, Lemma 07C3에 의해, 상황 0BJ2의 임의의 \(R \to A \to \Lambda\)가 매끄러운 \(R\)-대수 \(B\)를 거쳐 \(A \to B \to \Lambda\)로 분해됨을 보이면 충분하다. \(A\)를 \(\Lambda\)에서의 상으로 바꾸면, \(A\)는 정역이며 그 분수체 \(K\)가 \(\Lambda\)의 분수체의 부분체라고 가정할 수 있다. 특히 가정에 의해 \(A\)는 \(R\)의 분수체 위에서 분리적이다. 그러면 Algebra, Lemma 07ND에 의해 \(R \to A\)는 \(\mathfrak q = (0)\)에서 매끄럽다. 유한 번의 Néron 블로업 뒤에는 \(R \to A\)가 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽다고 가정할 수 있다. 보조정리 0BJ6을 보라. 이제 \(A\)를 \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak p\)인 원소에서 국소화하면 \(R\) 위에서 매끄러워지므로 보조정리가 증명된다.

올림 문제

이 절의 목표는 매끄러운 대수들의 여과 여극한인 대수들의 모임이 무한소 평탄 변형에 대해 닫혀 있음을 증명하는 것이다 (명제 07CM). 증명은 초등적이며, 07CD절의 매끄러운 대수의 표시에 관한 결과들만을 사용한다.

보조정리

\(R \to \Lambda\)를 환 준동형, \(I \subset R\)를 아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(I^2 = 0\)이다.

2. \(\Lambda/I\Lambda\)는 매끄러운 \(R/I\)-대수들의 여과 여극한이다.

\(A\)가 \(R\) 위에서 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(\varphi : A \to \Lambda\)를 생각하자. 그러면 분해 \[A \to B/J \to \Lambda\] 가 존재한다. 여기서 \(B\)는 매끄러운 \(R\)-대수이고, \(J \subset IB\)는 유한 생성 아이디얼이다.

증명

\(\bar B\)가 \(R/I\) 위에서 표준 매끄럽도록 분해 \[A/IA \to \bar B \to \Lambda/I\Lambda\] 를 택하자. 가정과 보조정리 07CI에 의해 이것이 가능하다. \[\bar B = A/IA[t_1, \ldots, t_r]/(\bar g_1, \ldots, \bar g_s)\] 로 쓰고, \(\bar B \to \Lambda/I\Lambda\)가 \(t_i\)를 \(I\Lambda\)를 법으로 한 \(\lambda_i\)의 동치류로 보낸다고 하자. \(\bar g_1, \ldots, \bar g_s\)를 올리는 \(g_1, \ldots, g_s \in A[t_1, \ldots, t_r]\)를 택하자. 어떤 \(\epsilon_{ij} \in I\)와 \(\mu_{ij} \in \Lambda\)에 대해 \(\varphi(g_i)(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) = \sum \epsilon_{ij} \mu_{ij}\)로 쓰자. \[A' = A[t_1, \ldots, t_r, \delta_{i, j}]/ (g_i - \sum \epsilon_{ij} \delta_{ij})\] 로 정의하고 사상 \[A' \longrightarrow \Lambda,\quad a \longmapsto \varphi(a),\quad t_i \longmapsto \lambda_i,\quad \delta_{ij} \longmapsto \mu_{ij}\] 을 생각하자. \[A'/IA' = A/IA[t_1, \ldots, t_r]/(\bar g_1, \ldots, \bar g_s)[\delta_{ij}] \cong \bar B[\delta_{ij}]\] 이다. \(\bar B\)가 표준 매끄러우므로 이 대수는 \(R/I\) 위에서 표준 매끄럽다. \(\det(\partial \bar f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\)가 \(A'/IA'\)에서 가역이 되는 표시 \(A'/IA' =\allowbreak R/I[x_1, \ldots, x_n]/(\bar f_1, \ldots, \bar f_c)\)를 택하자. \(\bar f_1, \ldots, \bar f_c\)의 올림 \(f_1, \ldots, f_c \in R[x_1, \ldots, x_n]\)를 택하자. 그러면 \[B = R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/ (f_1, \ldots, f_c, x_{n + 1}\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} - 1)\] 는 \(R\) 위에서 매끄럽다. 매끄러운 환 준동형은 형식적으로 매끄러우므로 (Algebra, Proposition 00TN), \(I\)를 법으로 하여 동형인 \(R\)-대수 사상 \(B \to A'\)가 존재한다. 그러면 나카야마 보조정리 (Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(B \to A'\)는 전사이다. 따라서 \(A' = B/J\)이며, 여기서 \(J \subset IB\)는 유한 생성이다 (Algebra, Lemma 00R2 참조).

보조정리

\(R \to \Lambda\)를 환 준동형, \(I \subset R\)를 아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(I^2 = 0\)이다.

2. \(\Lambda/I\Lambda\)는 매끄러운 \(R/I\)-대수들의 여과 여극한이다.

3. \(R \to \Lambda\)는 평탄하다.

\(B\)가 \(R\) 위에서 매끄러운 \(R\)-대수 사상 \(\varphi : B \to \Lambda\)를 생각하자. \(J \subset IB\)를 \(\varphi(J) = 0\)인 유한 생성 아이디얼이라 하자. 그러면 \(R\)-대수 사상들 \[B \xrightarrow{\alpha} B' \xrightarrow{\beta} \Lambda\] 이 존재하여, \(B'\)는 \(R\) 위에서 매끄럽고 \(\alpha(J) = 0\)이며 \(\beta \circ \alpha = \varphi\)이다.

증명

\(J = (h)\)인 경우에 보조정리를 증명할 수 있으면, \(J\)의 생성원 수에 대한 귀납법으로 일반적인 경우도 증명할 수 있다. 즉, \(J\)가 \(n\)개의 원소 \(h_1, \ldots, h_n\)으로 생성될 수 있고, \(J\)가 \(n - 1\)개의 원소로 생성되는 모든 경우에 보조정리가 성립한다고 가정하자. \(n = 1\)인 경우를 적용하여 첫 번째 사상이 \(h_n\)을 영으로 보내는 \(B \to B' \to \Lambda\)를 얻는다. 이제 \(J'\)를 \(h_1, \ldots, h_{n - 1}\)의 상들로 생성되는 \(B'\)의 아이디얼로 놓고, \(n - 1\)인 경우를 적용하여 \(B' \to B'' \to \Lambda\)를 얻는다. \(B \to B'' \to \Lambda\)가 원하는 조건들을 만족함은 쉽게 확인할 수 있다.

\(J = (h)\)라고 가정하고, 어떤 \(\epsilon_i \in I\)와 \(b_i \in B\)에 대해 \(h = \sum \epsilon_i b_i\)로 쓰자. \(0 = \varphi(h) = \sum \epsilon_i \varphi(b_i)\)임에 유의하자. \(\Lambda\)가 \(R\) 위에서 평탄하므로, 평탄성의 방정식 판정법 (Algebra, Lemma 00HK)에 의해 \(\varphi(b_i) = \sum_j a_{ij} \lambda_j\)와 \(\sum_i \epsilon_i a_{ij} = 0\)을 만족하는 \(\lambda_j \in \Lambda\), \(j = 1, \ldots, m\) 및 \(a_{ij} \in R\)를 찾을 수 있다. \[C = B[x_1, \ldots, x_m]/(b_i - \sum a_{ij} x_j)\] 로 놓고, \(C \to \Lambda\)는 \(\varphi\)와 \(x_j \mapsto \lambda_j\)로 정의하자. 보조정리 07CK에서와 같은 분해 \[C \to B'/J' \to \Lambda\] 를 택하자. \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄러우므로 사상 \(B \to C \to B'/J'\)를 사상 \(\alpha : B \to B'\)로 올릴 수 있다. 그러면 \(\varphi = \beta \circ \alpha\)이다. 증명을 마치기 위해 \(\alpha(h) = 0\)을 확인하자. \(\alpha\)가 \(B \to C \to B'/J'\)의 올림이라는 사실은, 어떤 \(\xi_j \in B'\)와 \(\theta_i \in J' \subset IB'\)에 대해 \[\alpha(b_i) = \sum a_{ij} \xi_j + \theta_i\] 임을 뜻한다. 따라서 위의 관계식들과 \(I^2 = 0\)이라는 사실에 의해 \[\alpha(h) = \alpha(\sum \epsilon_i b_i) = \sum \epsilon_i a_{ij} \xi_j + \sum \epsilon_i \theta_i = 0\] 이다.

명제

\(R \to \Lambda\)를 환 준동형, \(I \subset R\)를 아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(I\)는 멱영이다.

2. \(\Lambda/I\Lambda\)는 매끄러운 \(R/I\)-대수들의 여과 여극한이다.

3. \(R \to \Lambda\)는 평탄하다.

그러면 \(\Lambda\)는 매끄러운 \(R\)-대수들의 여과 여극한이다.

증명

어떤 \(n\)에 대해 \(I^n = 0\)이므로, \(n\)에 대한 귀납법에 의해 \(I^2 = 0\)인 경우만 생각하면 충분하다. \(A\)가 \(R\) 위에서 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(\varphi : A \to \Lambda\)를 생각하자. \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄러운 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 찾아야 한다. Algebra, Lemma 07C3를 보라. 보조정리 07CK에 의해 \(A = B/J\)이며 \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄럽고 \(J \subset IB\)가 유한 생성 아이디얼이라고 가정할 수 있다. 보조정리 07CL에 의해, \(B'\)가 \(R\) 위에서 매끄럽고 \(\alpha(J) = 0\)인 \(R\)-대수의 가환 그림 \[\xymatrix{ B \ar[rr]_\alpha \ar[rd]_\varphi & & B' \ar[ld]^\beta \\ & \Lambda }\] 을 찾을 수 있다. 따라서 \(\alpha\)는 \(B \to A \to B'\)로 분해되며, 증명이 끝난다.

올림 보조정리

다음은 지독할 만큼 영리한 보조정리이다.

보조정리

\(R\)를 뇌터 환, \(\Lambda\)를 \(R\)-대수라 하자. \(\pi \in R\)라 하고 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) 및 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)라고 가정하자. \(\bar C\)가 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상들 \(R/\pi^2R \to \bar C \to \Lambda/\pi^2\Lambda\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(R\)-대수 준동형 \(D \to \Lambda\)와 가환 그림 \[\xymatrix{ R/\pi^2R \ar[r] \ar[d] & \bar C \ar[r] \ar[d] & \Lambda/\pi^2\Lambda \ar[d] \\ R/\pi R \ar[r] & D/\pi D \ar[r] & \Lambda/\pi \Lambda }\] 이 존재하며, 다음 성질들을 만족한다.

1. \(D\)는 유한 표시를 갖는다.

2. \(\pi \not \in \mathfrak q\)인 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 \(R \to D\)는 매끄럽다.

3. \(\pi \in \mathfrak q\)이고, \(R/\pi^2 R \to \bar C\)가 매끄러운 \(\bar C\)의 소아이디얼 위에 놓이는 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 \(R \to D\)는 매끄럽다.

4. \(R/\pi^2R \to \bar C\)가 매끄러운 \(\bar C\)의 소아이디얼 위에 놓이는 모든 소아이디얼에서 \(\bar C/\pi \bar C \to D/\pi D\)는 매끄럽다.

증명

표시 \[\bar C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 를 택하자. 또한 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 표기하고, \(R/\pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\)에서의 \(I\)의 상을 \(\bar I\)로 표기한다. \(R\)가 뇌터 환이므로 \(\bar C\)도 뇌터 환이다. 따라서 \(R/\pi^2 R \to \bar C\)의 매끄러운 자취는 준콤팩트이다. Topology, Lemma 0052을 보라. 보조정리 07C6를 적용하여 유한한 원소 목록 \(a_1, \ldots, a_r \in R[x_1, \ldots, x_n]\)을 다음과 같이 택할 수 있다.

1. 열린 부분공간들 \(\Spec(\bar C_{a_k}) \subset \Spec(\bar C)\)의 합집합은 \(R/\pi^2 R \to \bar C\)의 매끄러운 자취를 덮는다.

2. 각 \(k = 1, \ldots, r\)에 대해 유한 부분집합 \(E_k \subset \{1, \ldots, m\}\)가 존재하여, \((\bar I/\bar I^2)_{a_k}\)는 \(j \in E_k\)인 \(f_j\)들의 동치류들을 기저로 하는 자유 가군이다.

\(I_k = (f_j, j \in E_k) \subset I\)로 놓고, \(R/\pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\)에서의 \(I_k\)의 상을 \(\bar I_k\)로 표기하자. (2)와 나카야마 보조정리에 의해, 어떤 \(b'_k \in \bar I_{a_k}\)에 대해 \((\bar I/\bar I_k)_{a_k}\)는 \(1 + b'_k\)에 의해 소멸한다. 어떤 \(b_k \in I\)와 정수 \(N\)에 대해 \(b'_k\)가 \(b_k/(a_k)^N\)의 상이라고 하자. \(a_k\)를 \(a_kb_k\)로 바꾸면

1. \((\bar I_k)_{a_k} = (\bar I)_{a_k}\)이다.

따라서 필요하면 \(a_k\)를 높은 거듭제곱으로 바꾸어, 임의의 \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\)에 대해

1. \(a_k f_\ell = \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^jf_j + \pi^2 g_{k, \ell}\)

로 쓸 수 있다. 여기서 어떤 \(h_{i, \ell}^j, g_{i, \ell} \in R[x_1, \ldots, x_n]\)를 택한다. \(\ell \in E_k\)이면 \(h_{k, \ell}^j = a_k\delta_{\ell, j}\) (크로네커 델타) 및 \(g_{k, \ell} = 0\)으로 택한다. \[D = R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j - \pi z_j, p_{k, \ell}).\] 로 놓자. 여기서 \(j \in \{1, \ldots, m\}\), \(k \in \{1, \ldots, r\}\), \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\)이고, \[p_{k, \ell} = a_k z_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j z_j - \pi g_{k, \ell}.\] 이다. 위의 선택에 의해 \(\ell \in E_k\)이면 \(p_{k, \ell} = 0\)임에 유의하자.

사상 \(R \to D\)는 주어진 사상이다. \(\bar C \to \Lambda/\pi^2\Lambda\)가 \(x_i\)를 \(\pi^2\)를 법으로 한 \(\lambda_i\)의 동치류로 보낸다고 하자. \(f \in R[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해 \(x_i\) 자리에 \(\lambda_i\)를 대입한 결과를 \(f(\lambda) \in \Lambda\)로 표기한다. 그러면 어떤 \(\mu_j \in \Lambda\)에 대해 \(f_j(\lambda) = \pi^2 \mu_j\)임을 안다. \(x_i \mapsto \lambda_i\) 및 \(z_j \mapsto \pi\mu_j\)로 \(D \to \Lambda\)를 정의하자. 이는 다음 식 때문에 잘 정의된다. \[\begin{align*} p_{k, \ell} & \mapsto a_k(\lambda) \pi \mu_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(\lambda) \pi \mu_j - \pi g_{k, \ell}(\lambda) \\ & = \pi\left(a_k(\lambda) \mu_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(\lambda) \mu_j - g_{k, \ell}(\lambda)\right) \end{align*}\] 위의 (4)에서 \(x_i = \lambda_i\)를 대입하면 괄호 안의 식은 \(\pi^2\)에 의해 소멸함을 알 수 있다. \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)라고 가정했으므로 이 식은 \(\pi\)에 의해서도 소멸한다. 사상 \(\bar C \to D/\pi D\)는 \(x_i \mapsto x_i\)로 결정된다 (잘 정의됨은 명백하다). 따라서 (b), (c), (d)를 증명하면 증명이 끝난다.

(4)를 사용하면 다음 핵심 등식을 얻는다. \[\begin{align*} \pi p_{k, \ell} & = \pi a_k z_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} \pi h_{k, \ell}^jz_j - \pi^2 g_{k, \ell} \\ & = - a_k (f_\ell - \pi z_\ell) + a_k f_\ell + \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j (f_j - \pi z_j) - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j f_j - \pi^2 g_{k, \ell} \\ & = -a_k(f_\ell - \pi z_\ell) + \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(f_j - \pi z_j) \end{align*}\] 마지막 식은 \(f_j - \pi z_j\)들로 생성되는 아이디얼에 속한다. 특히 \(D[1/\pi]\)는 \(R[1/\pi][x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/(f_j - \pi z_j)\)와 동형이며, 이는 다시 \(R[1/\pi][x_1, \ldots, x_n]\)와 동형이므로 \(R\) 위에서 매끄럽다. 이로써 (b)가 증명된다.

고정한 \(k \in \{1, \ldots, r\}\)에 대해 환 \[D_k = R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j - \pi z_j, j \in E_k, p_{k, \ell})\] 을 생각하자. \(\ell \in E_k\)이면 \(p_{k, \ell}\)가 영이므로, 방정식의 수는 \(m = |E_k| + (m - |E_k|)\)이다. 또한 \[\begin{align*} (D_k/\pi D_k)_{a_k} & = R/\pi R[x_1, \ldots, x_n, 1/a_k, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j, j \in E_k, p_{k, \ell}) \\ & = (\bar C/\pi \bar C)_{a_k}[z_1, \ldots, z_m]/ (a_kz_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j z_j) \\ & \cong (\bar C/\pi \bar C)_{a_k}[z_j, j \in E_k] \end{align*}\] 임에 유의하자. 특히 \((D_k/\pi D_k)_{a_k}\)는 \((\bar C/\pi \bar C)_{a_k}\) 위에서 매끄럽다. \(a_k\)의 선택에 의해 \((\bar C/\pi \bar C)_{a_k}\)는 \(R/\pi R\) 위에서 상대차원 \(n - |E_k|\)로 매끄럽다. (2)를 보라. 따라서 \(\pi\)를 포함하고 \(\Spec(\bar C_{a_k})\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak q_k \subset D_k\)에 대해, \(R \to D_k\)의 섬유환은 \(\mathfrak q_k\)에서 차원이 \(n\)이고 매끄럽다. 위에서 센 방정식의 수에 의해 \(R \to D_k\)는 \(\mathfrak q_k\)에서 신토믹이다. Algebra, Lemma 00ST을 보라. 따라서 Algebra, Lemma 00TF에 의해 \(R \to D_k\)는 \(\mathfrak q_k\)에서 매끄럽다.

증명을 마치기 위해, \(\pi\)를 포함하고 \(R/\pi^2 R \to \bar C\)가 매끄러운 소아이디얼 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset D\)를 택하자. (1)에 의해 어떤 \(k\)에 대해 \(a_k \not \in \mathfrak q\)이다. 전사 사상 \(D_k \to D\)가 \(\mathfrak q\)에서의 국소환들 사이의 동형을 유도함을 보이겠다. 앞 문단에 의해 환 준동형 \(\bar C/\pi \bar C \to D_k/\pi D_k\)와 \(R \to D_k\)가 대응하는 소아이디얼 \(\mathfrak q_k\)에서 매끄러움을 알고 있으므로, 이것으로 (c)와 (d)가 증명되어 전체 증명이 끝난다.

먼저 임의의 \(\ell\)에 대해 위에서 증명한 등식 \(\pi p_{k, \ell} = -a_k(f_\ell - \pi z_\ell) + \sum_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j (f_j - \pi z_j)\)은 \(f_\ell - \pi z_\ell\)가 \((D_k)_{a_k}\)에서, 따라서 특히 \((D_k)_{\mathfrak q_k}\)에서 영으로 보내짐을 보여 준다. 관계식 (4)에 의해 \(I/I^2\)에서 \(a_k f_\ell = \sum_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j f_j\)이다. \((\bar I_k/\bar I_k^2)_{a_k}\)가 \(j \in E_k\)인 \(f_j\)들을 기저로 하는 자유 가군이므로, 모든 \(k, k', \ell\) 및 \(j \in E_k\)에 대해 \[a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j\] 는 \(\bar C_{a_k}\)에서 영이다. 따라서 \[a_k^N\left( a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j \right)\] 가 \(I_k + \pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\)에 속하게 하는 충분히 큰 정수 \(N\)을 찾을 수 있다. \(\pi\)를 법으로 계산하면 \[\begin{align*} & a_kp_{k', \ell} - a_{k'}p_{k, \ell} + \sum h_{k', \ell}^{j'} p_{k, j'} \\ & = - a_k \sum h_{k', \ell}^{j'} z_{j'} + a_{k'} \sum h_{k, \ell}^j z_j + \sum h_{k', \ell}^{j'} a_k z_{j'} - \sum \sum h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j z_j \\ & = \sum \left( a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j \right) z_j \end{align*}\] 이다. 여기서는 아인슈타인 합 규약을 사용하였다. 위의 결과들을 결합하면 \(a_k^{N + 1} p_{k', \ell}\)은 \(R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]\)에서 \(I_k\)와 \(\pi\)로 생성되는 아이디얼에 포함된다. 따라서 \(p_{k', \ell}\)는 \(\pi (D_k)_{a_k}\) 안으로 보내진다. 한편 등식 \[\pi p_{k', \ell} = -a_{k'} (f_\ell - \pi z_\ell) + \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'}(f_{j'} - \pi z_{j'})\] 은 \(\pi p_{k', \ell}\)가 \((D_k)_{a_k}\)에서 영임을 보여 준다. \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\)라고 가정하였고 \((D_k)_{\mathfrak q_k}\)가 매끄러우므로 \(R\) 위에서 평탄하다. 따라서 \(\text{Ann}_{(D_k)_{\mathfrak q_k}}(\pi) = \text{Ann}_{(D_k)_{\mathfrak q_k}}(\pi^2)\)이다. 결국 \(p_{k', \ell}\)도 영으로 보내지므로 \(D_{\mathfrak q} = (D_k)_{\mathfrak q_k}\)이고, 증명이 끝난다.

특이점 해소 보조정리

다음은 또 하나의 지독할 만큼 영리한 보조정리이다.

보조정리

\(R\)를 뇌터 환, \(\Lambda\)를 \(R\)-대수라 하자. \(\pi \in R\)라 하고 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)라고 가정하자. \(A\)가 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(A \to \Lambda\)를 생각하자. 다음을 가정한다.

1. \(\pi\)의 상은 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이다.

2. \(\Lambda/\pi^4 \Lambda\)로 가는 사상과 양립하는 절단 사상 \(\rho : A/\pi^4 A \to R/\pi^4 R\)가 존재한다.

그러면 \(B\)가 유한 표시를 갖고 \(\mathfrak a B \subset H_{B/R}\)가 되도록 \(R\)-대수 사상들 \(A \to B \to \Lambda\)를 찾을 수 있다. 여기서 \(\mathfrak a = \text{Ann}_R(\text{Ann}_R(\pi^2)/\text{Ann}_R(\pi))\)이다.

증명

표시 \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 와 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\)를 택하여, \(\pi\)에 대해 (07ER)이 성립하고 \(j = 1, \ldots, m - c\)에 대해 [07CS]\[\begin{equation} \pi f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] 이 성립하게 하자. \(\rho\)가 \(x_i\)를 \(r_i \in R\)의 동치류로 보낸다고 하자. 그러면 \(x_i\)를 \(x_i - r_i\)로 바꿀 수 있다. 따라서 \(R/\pi^4 R\)에서 \(\rho(x_i) = 0\)이라고 가정해도 된다. 이는 \(f_j(0) \in \pi^4R\)이고, \(A \to \Lambda\)가 어떤 \(\lambda_i \in \Lambda\)에 대해 \(x_i\)를 \(\pi^4\lambda_i\)로 보냄을 뜻한다. \[f_j = f_j(0) + \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} r_{ji} x_i + \text{h.o.t.}\] 로 쓰자. 그러면 \(\partial f_j/\partial x_i\)의 상수항은 \(r_{ji}\)이다. \(\pi\)에 대한 (07ER)에 \(\rho\)를 적용하면, 어떤 \(r_I \in R\)에 대해 \[\pi = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} r_I \det(r_{ji})_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I} \bmod \pi^4R\] 임을 알 수 있다. 따라서 어떤 \(u \in 1 + \pi^3R\)에 대해 \[u\pi = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} r_I \det(r_{ji})_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I}\] 이다. Algebra, Lemma 07DQ에 의해, 다음 등식을 만족하는 \(n \times c\) 행렬 \((s_{ik})\)가 존재한다. \[u\pi \delta_{jk} = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} r_{ji}s_{ik}\quad \text{for all } j, k = 1, \ldots, c\] (크로네커 델타). 보조변수 \(v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n\)을 도입하고 \[h_i = x_i - \pi^2 \sum\nolimits_{j = 1, \ldots c} s_{ij} v_j - \pi^3 w_i\] 로 놓자. 이하에서는 \[R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n) = R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]\] 이라는 사실을 별도 언급 없이 사용한다. \(R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n)\)에서 \[\begin{align*} f_j & = f_j(x_1 - h_1, \ldots, x_n - h_n) \\ & = \pi^2 \sum\nolimits_{k = 1}^c \left(\sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji} s_{ik}\right) v_k + \pi^3 \sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji}w_i \bmod \pi^4 \\ & = \pi^3 v_j + \pi^3 \sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji}w_i \bmod \pi^4 \end{align*}\] 이다(\(1 \leq j \leq c\)). 따라서 \(g_j = v_j + \sum r_{ji}w_i \bmod \pi\)이고 \(R\)-대수 \(R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n)\)에서 \(f_j = \pi^3 g_j\)가 성립하게 하는 원소들 \(g_j \in R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]\)을 택할 수 있다. \[B = R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (f_1, \ldots, f_m, h_1, \ldots, h_n, g_1, \ldots, g_c).\] 로 놓자. 사상 \(A \to B\)는 명백하다. \(x_i \to \pi^4\lambda_i\), \(v_i \mapsto 0\), \(w_i \mapsto \pi \lambda_i\)로 보내어 \(B \to \Lambda\)를 정의하자. 그러면 원소 \(f_j\)와 \(h_i\)가 \(\Lambda\)에서 영으로 보내짐은 명백하다. 또한 \(g_i\)는 \(\pi\Lambda\)의 원소 \(t\)로 보내지며 \(\pi^3t = 0\)임도 명백하다 (\(h\)들로 생성되는 아이디얼을 법으로 \(f_i = \pi^3 g_i\)이기 때문이다). 따라서 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)라는 가정에 의해 \(t = 0\)이다. 이제 매끄러움에 관한 명제를 증명하면 증명이 끝난다.

방정식 \(g_i = 0\)은 \(f_i = 0\)에서 따라오므로 \(B_\pi \cong A_\pi[v_1, \ldots, v_c]\)임에 유의하자. \(\pi\)가 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이라는 가정에 의해 \(A_\pi\)가 \(R\) 위에서 매끄러우므로, \(B_\pi\)도 \(R\) 위에서 매끄럽다. 보조정리 07CA를 보라.

\(B' = R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/(g_1, \ldots, g_c)\)로 놓자. \(g_i = v_i + \sum r_{ji}w_i \bmod \pi\)이므로 \(B'/\pi B' = R/\pi R[w_1, \ldots, w_n]\)이다. 따라서 Algebra, Lemmas 00ST 및 00TF에 의해, \(R \to B'\)는 \(V(\pi)\)의 모든 점에서 상대차원이 \(n\)인 매끄러운 사상이다(첫 번째 보조정리는 그 소아이디얼들에서 이 사상이 신토믹, 특히 평탄함을 보여 주고, 그러면 두 번째 보조정리가 매끄러움을 보여 준다).

\(\pi \in \mathfrak q\)이고 어떤 \(r \in \mathfrak a\)에 대해 \(r \not \in \mathfrak q\)인 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)를 생각하자. \(\mathfrak q' = B' \cap \mathfrak q\)로 표기한다. 전사 사상 \(B' \to B\)가 국소환의 동형 \((B')_{\mathfrak q'} \to B_\mathfrak q\)를 유도한다고 주장한다. 이것으로 보조정리의 증명이 끝난다. \(B_\mathfrak q\)는 \((B')_{\mathfrak q'}\)를 \(j = 1, \ldots, m - c\)인 \(f_{c + j}\)들로 생성되는 아이디얼로 나눈 몫임에 유의하자. 두 가지를 관찰하자. 첫째, \((B')_{\mathfrak q'}\)에서 \(f_{c + j}\)의 상은 \(\pi^2\)로 나누어떨어진다. 둘째, (07CS)에 의해 \((B')_{\mathfrak q'}\)에서 \(\pi f_{c + j}\)의 상은 \(\sum b_{j_1 j_2} f_{c + j_1}f_{c + j_2}\)로 쓸 수 있다. 따라서 각 \(\pi f_{c + j}\)의 상은 \(\pi^2 f_{c + j'}\)들로 생성되는 아이디얼에 포함된다. \((B')_{\mathfrak q'}\)는 뇌터 국소환이므로 \(\pi f_{c + j} = 0\)이다. Algebra, Lemma 00IP를 보라. \(R \to (B')_{\mathfrak q'}\)가 평탄하므로 \[\left(\text{Ann}_R(\pi^2)/\text{Ann}_R(\pi)\right) \otimes_R (B')_{\mathfrak q'} = \text{Ann}_{(B')_{\mathfrak q'}}(\pi^2)/\text{Ann}_{(B')_{\mathfrak q'}}(\pi)\] 이다. \(r \in \mathfrak a\)가 \((B')_{\mathfrak q'}\)에서 가역이므로 이 가군은 영이다. 따라서 원하는 대로 \(f_{c + j}\)의 상은 \((B')_{\mathfrak q'}\)에서 영이다.

보조정리

\(R\)를 뇌터 환, \(\Lambda\)를 \(R\)-대수라 하자. \(\pi \in R\)라 하고 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) 및 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)라고 가정하자. \(A\)와 \(D\)가 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상들 \(A \to \Lambda\) 및 \(D \to \Lambda\)를 생각하자. 다음을 가정한다.

1. \(\pi\)는 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이다.

2. \(\Lambda/\pi^4 \Lambda\)로 가는 사상들과 양립하는 \(R\)-대수 사상 \(A/\pi^4 A \to D/\pi^4 D\)가 존재한다.

그러면 \(B\)가 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(B \to \Lambda\)와, \(\Lambda\)로 가는 사상들과 양립하는 \(R\)-대수 사상들 \(A \to B\)와 \(D \to B\)가 존재하며, \(H_{D/R}B \subset H_{B/D}\) 및 \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\)가 된다.

증명

\(D\)에서의 \(\pi\)의 상과 사상들 \[D \longrightarrow A \otimes_R D \longrightarrow \Lambda\] 에 보조정리 07CR를 적용한다. 보조정리 07CC에 의해 \(\pi\)는 \(D\) 위의 \(A \otimes_R D\)에서 엄밀 표준이다. (2)의 사상에서 유도되는 사상을 절단 사상 \(\rho : (A \otimes_R D)/\pi^4 (A \otimes_R D) \to D/\pi^4 D\)로 택한다. 따라서 보조정리 07CR를 적용할 수 있으며, \(B\)가 유한 표시를 갖고 \(\mathfrak a B \subset H_{B/D}\)가 되는 분해 \(A \otimes_R D \to B \to \Lambda\)를 얻는다. 여기서 \[\mathfrak a = \text{Ann}_D(\text{Ann}_D(\pi^2)/\text{Ann}_D(\pi)).\] 이다. \(D_\mathfrak q\)가 \(R\) 위에서 평탄한 \(D\)의 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대해 \(\text{Ann}_{D_\mathfrak q}(\pi^2)/\text{Ann}_{D_\mathfrak q}(\pi) = 0\) 이다. 원소의 소멸자는 평탄한 밑변환과 가환하고 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\)라고 가정했기 때문이다. \(D\)가 뇌터 환이므로 \(\text{Ann}_D(\pi^2)/\text{Ann}_D(\pi)\)는 유한 \(D\)-가군이며, 따라서 그 소멸자를 취하는 것은 국소화와 가환한다. 그러므로 \(\mathfrak a \not \subset \mathfrak q\)임을 알 수 있다. 따라서 \(D \to B\)는 \(\mathfrak q\) 위에 놓이는 \(B\)의 모든 소아이디얼에서 매끄럽다. \(R \to D\)가 매끄러운 \(D\)의 모든 소아이디얼에서 \(D_\mathfrak q\)는 \(R\) 위에서 평탄하므로 \(H_{D/R}B \subset H_{B/D}\)를 얻는다. 마지막 포함관계 \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\)는 매끄러운 환 준동형의 합성이 매끄럽다는 사실에서 따른다 (Algebra, Lemma 00TD).

보조정리

\(R\)를 뇌터 환, \(\Lambda\)를 \(R\)-대수라 하자. \(\pi \in R\)라 하고 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) 및 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)라고 가정하자. \(A\)가 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(A \to \Lambda\)를 생각하고, \(\pi\)가 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준이라고 가정하자. \(\bar C\)가 유한 표시를 갖는 분해 \[A/\pi^8A \to \bar C \to \Lambda/\pi^8\Lambda\] 를 생각하자. 그러면 \(B\)가 유한 표시를 갖고 \(R_\pi \to B_\pi\)가 매끄러우며 \[H_{\bar C/(R/\pi^8 R)} \cdot \Lambda/\pi^8\Lambda \subset \sqrt{H_{B/R} \Lambda} \bmod \pi^8\Lambda.\] 가 되도록 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 찾을 수 있다.

증명

보조정리 07CP을 적용하여 \(\bar C/\pi^4\bar C \to D/\pi^4 D \to \Lambda/\pi^4\Lambda\)라는 분해를 갖는 \(R \to D \to \Lambda\)를 얻자. 이때 \(R \to D\)는 \(\pi\)를 포함하지 않는 모든 소아이디얼과, \(R/\pi^8 R \to \bar C\)가 매끄러운 \(\bar C/\pi^4\bar C\)의 소아이디얼 위에 놓이는 모든 소아이디얼에서 매끄럽다. 보조정리 07CT에 의해, 유한 표시 \(R\)-대수 \(B\)와 \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\)가 되는 분해들 \(A \to B \to \Lambda\) 및 \(D \to B \to \Lambda\)를 찾을 수 있다. 이것이 보조정리가 제시한 문제의 해임을 확인하는 과정은 생략한다.

준비 단계: 기저체로의 환원

이 절에서는 앞 절들의 보조정리를 적용하여, 기저환이 체인 경우에 주결과를 증명하면 충분함을 보인다. 보조정리 07F5를 보라.

설정

여기서 \(R \to \Lambda\)는 뇌터 환들 사이의 정칙 환 준동형이다.

\(R \to \Lambda\)가 상황 07F2과 같다고 하자. \(\Lambda\)가 매끄러운 \(R\)-대수들의 여과 여극한이면 \(R \to \Lambda\)에 대해 PT가 성립한다고 말한다.

보조정리

\(R_i \to \Lambda_i\), \(i = 1, 2\)가 상황 07F2과 같다고 하자. \(i = 1, 2\)에 대해 \(R_i \to \Lambda_i\)에서 PT가 성립하면 \(R_1 \times R_2 \to \Lambda_1 \times \Lambda_2\)에서도 PT가 성립한다.

증명

생략한다. 힌트: 여과 여극한들의 곱은 여과 여극한이다.

보조정리

\(A\)가 \(R\) 위에서 유한 표시를 갖는 환 준동형들 \(R \to A \to \Lambda\)를 생각하자. \(S \subset R\)를 곱셈적 집합이라 하자. \(B'\)가 \(S^{-1}R\) 위에서 매끄러운 분해 \(S^{-1}A \to B' \to S^{-1}\Lambda\)를 생각하자. 그러면 어떤 \(s \in S\)가 \(R\) 위의 \(B\)에서 초등 표준 원소가 되도록 (정의 07C7) 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 찾을 수 있다.

증명

먼저 \(S^{-1}R \to B'\)에 보조정리 07CH를 적용한다. 따라서 \(B'\)가 \(S^{-1}R\) 위에서 표준 매끄럽다고 가정해도 된다. \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_t)\)로 쓰고, \(\Lambda\)에서 \(x_i \mapsto \lambda_i\)라고 하자. 어떤 \(c \geq n\)에 대해 \(B' = S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\)는 \(B'\)에서 가역이고, \(A \to B'\)는 \(x_i \mapsto x_i\)로 주어진다. 보조정리 07EY를 보라. \(i > n\)인 \(x_i\)에 \(S\)의 한 원소를 곱하고 방정식 \(f_j\)를 그에 맞게 수정하면, \(i > n\)에 대해 어떤 \(\lambda_i \in \Lambda\)가 존재하여 \(B' \to S^{-1}\Lambda\)가 \(x_i\)를 \(\lambda_i/1\)로 보낸다고 가정할 수 있다. 어떤 \(a_j \in S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)에 대해 관계식 \[1 = a_0 \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} a_jf_j\] 을 택하자. \(S\)의 각 원소는 \(B'\)에서 가역이므로 (분모를 없애어) \(f_j, a_j \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)이고 어떤 \(s_0 \in S\)에 대해 \[s_0 = a_0 \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} a_jf_j\] 라고 가정할 수 있다. \(g_j\)가 \(S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, x_c)\)에서 영으로 보내지므로, \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)에서 \(s_j g_j = 0\)이 되게 하는 원소 \(s_j \in S\)를 찾을 수 있다. \(f_j\)가 \(S^{-1}\Lambda\)에서 영으로 보내지므로, \(\Lambda\)에서 \(s'_j f_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m}) = 0\)이 되게 하는 \(s'_j \in S\)를 찾을 수 있다. 환 \[B = R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/ (s'_1f_1, \ldots, s'_cf_c, g_1, \ldots, g_t)\] 과, \(B \to \Lambda\)가 \(x_i \mapsto \lambda_i\)로 주어지는 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 생각하자. \(s = s_0s_1 \ldots s_ts'_1 \ldots s'_c\)가 \(R\) 위의 \(B\)에서 초등 표준이라고 주장한다. 이것으로 증명이 끝난다. 실제로 \(s_j g_j \in (f_1, \ldots, f_c)\)이므로 \(sg_j \in (s'_1f_1, \ldots, s'_cf_c)\)이다. 끝으로 \[a_0\det(\partial s'_jf_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} (s'_1 \ldots \hat{s'_j} \ldots s'_c) a_j s'_jf_j = s_0s'_1\ldots s'_c\] 이며, 원하는 대로 오른쪽 항은 \(s\)를 나눈다.

보조정리

\(R\)가 체인 모든 상황 07F2에서 PT가 성립하면, 일반적인 경우에도 PT가 성립한다.

증명

\(R\)가 체인 모든 상황 07F2에서 PT가 성립한다고 가정하자. 상황 07F2과 같은 임의의 \(R \to \Lambda\)를 생각하자. \(R/I \to \Lambda/I\Lambda\)도 뇌터 환들 사이의 정칙 환 준동형임에 유의하자. More on Algebra, Lemma 07C1를 보라. 아이디얼들의 집합 \[\mathcal{I} = \{I \subset R \mid R/I \to \Lambda/I\Lambda \text{ does not have PT}\}\] 를 생각하자. \(\mathcal{I}\)가 공집합임을 보여야 한다. 이 집합이 공집합이 아니면 \(R\)가 뇌터 환이므로 극대 원소를 갖는다. \(R\)를 \(R/I\)로, \(\Lambda\)를 \(\Lambda/I\)로 바꾸면, \(R\)의 임의의 영이 아닌 아이디얼에 대해 \(R/I \to \Lambda/I\Lambda\)에서 PT가 성립하는 상황을 얻는다. 특히 명제 07CM를 적용하면 \(R\)가 축약환임을 알 수 있다.

\(A \to \Lambda\)를, \(A\)가 유한 표시를 갖는 \(R\)-대수 준동형이라고 하자. \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄러운 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 찾아야 한다. Algebra, Lemma 07C3를 보라.

\(S \subset R\)를 비영인자들의 집합이라 하고, \(R\)의 전분수환 \(Q = S^{-1}R\)을 생각하자. Algebra, Lemmas 02LX 및 00FR에 의해, \(Q = K_1 \times \ldots \times K_n\)은 체들의 곱이다. 보조정리 07F3와 가정에 의해 환 준동형 \(S^{-1}R \to S^{-1}\Lambda\)에서 PT가 성립한다. 따라서 \(B'\)가 \(S^{-1}R\) 위에서 매끄러운 분해 \(S^{-1}A \to B' \to S^{-1}\Lambda\)를 찾을 수 있다.

보조정리 07F4를 적용하면, 어떤 \(\pi \in S\)가 \(R\) 위의 \(B\)에서 초등 표준이 되는 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 얻는다. \(A\)를 \(B\)로 바꾸어, \(\pi\)가 \(A\)에서 초등 표준이고 따라서 엄밀 표준이라고 가정할 수 있다. \(R/\pi^8R \to \Lambda/\pi^8\Lambda\)에서 PT가 성립함을 알고 있다. 따라서 \(R/\pi^8 R \to \bar C\)가 매끄러운 분해 \(R/\pi^8 R \to A/\pi^8A \to \bar C \to \Lambda/\pi^8\Lambda\)를 찾을 수 있다. 보조정리 07CP에 의해 \(D\)가 \(R\) 위에서 매끄럽고 분해 \(R/\pi^4 R \to A/\pi^4A \to D/\pi^4D \to \Lambda/\pi^4\Lambda\)를 갖는 \(R\)-대수 사상 \(D \to \Lambda\)를 찾을 수 있다. 보조정리 07CT에 의해 \(B\)가 \(R\) 위에서 매끄러운 \(A \to B \to \Lambda\)를 찾을 수 있으며, 이로써 증명이 끝난다.

국소적 기법

설정

뇌터 환 \(R\), \(R\)-대수 사상 \(A \to \Lambda\), 그리고 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset \Lambda\)가 주어져 있다고 하자. \(A\)가 \(R\) 위에서 유한 표시를 갖는다고 가정한다. 이 상황에서는 \(\mathfrak h_A = \sqrt{H_{A/R} \Lambda}\)로 쓴다.

상황 07F7과 같은 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 생각하자. \(B\)가 유한 표시를 가지며 \(\mathfrak h_A \subset \mathfrak h_B \not \subset \mathfrak q\)를 만족하는 분해 \(A \to B \to \Lambda\)가 존재하면 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)는 해소 가능하다고 한다. 이 경우 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)의 해소라고 부른다.

보조정리

상황 07F7과 같은 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 생각하자. \(r \geq 1\)이라 하고, \(\pi_1, \ldots, \pi_r \in R\)의 상이 \(\mathfrak q\)의 원소라고 하자. 다음을 가정한다.

1. \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 \[\text{Ann}_{R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)R}(\pi_i) = \text{Ann}_{R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)R}(\pi_i^2)\] 이고 \[\text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)\Lambda}(\pi_i) = \text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)\Lambda}(\pi_i^2)\]

2. \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 원소 \(\pi_i\)의 상은 \(R\) 위의 \(A\)에서 엄밀 표준 원소이다.

그러면 \[R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)R \to A/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)A \to \Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)\Lambda \supset \mathfrak q/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)\Lambda\] 가 해소 가능하면 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)도 해소 가능하다.

증명

\(r\)에 대한 귀납법으로 증명한다.

\(r = 1\)인 경우를 보자. 이때 가정에 의해 \(\pi_1^8\)을 법으로 한 상황을 해소하는 분해 \(A/\pi_1^8 \to \bar C \to \Lambda/\pi_1^8\)이 존재한다. 조건 (1)과 (2)는 보조정리 07F0를 적용하는 데 필요한 가정이다. 따라서 해소 \(\bar C\)를 “끌어올려” \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)의 해소를 얻을 수 있다.

\(r > 1\)인 경우를 보자. 이때는 다음 상황에 \(r - 1\)에 대한 귀납 가정을 적용한다. \(R/\pi_1^8 \to A/\pi_1^8 \to \Lambda/\pi_1^8 \supset \mathfrak q/\pi_1^8\Lambda\). 조건 (2)는 보조정리 07CC에 의해 보존됨에 유의하자.

보조정리

상황 07F7과 같은 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 생각하자. \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)라 하자. \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소이고 \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)가 해소 가능하다고 가정하자. 그러면 \(C\)가 유한 표시를 가지며 \(H_{C/R} \Lambda \not \subset \mathfrak q\)를 만족하는 분해 \(A \to C \to \Lambda\)가 존재한다.

증명

다음 해소를 생각하자. \(A_\mathfrak p \to C \to \Lambda_\mathfrak q\), \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)의 해소이다. \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소라는 가정에 의해 이는 \(H_{C/R_\mathfrak p} \Lambda_\mathfrak q = \Lambda_\mathfrak q\)를 뜻한다. 보조정리 07EU에 의해 \(C\)가 \(R_\mathfrak p\) 위에서 매끄럽다고 가정해도 된다. 보조정리 07CH에 의해 \(C\)가 \(R_\mathfrak p\) 위에서 표준 매끄럽다고 가정해도 된다. \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_t)\)로 쓰고, \(A \to \Lambda\)가 \(x_i \mapsto \lambda_i\)로 주어진다고 하자. 어떤 \(c \geq n\)에 대해 \(C = R_\mathfrak p[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)로 쓰자. 여기서 \(A \to C\)는 \(x_i\)를 \(x_i\)로 보내고, \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 는 \(C\)에서 가역이다. 보조정리 07EY를 보라. 분모를 제거하여 \(f_1, \ldots, f_c\)가 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)의 원소라고 가정해도 된다. 물론 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 는 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)에서 가역이 아니지만, 어떤 원소 \(s_0 \in R\), \(s_0 \not \in \mathfrak p\)를 가역화하면 가역이 된다. \(R[x_1, \ldots, x_n] \to A \to C\) 아래에서 \(g_j\)의 상이 영이므로, \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)에서 \(s_jg_j\)가 영이 되는 \(s_j \in R\), \(s_j \not \in \mathfrak p\)를 찾을 수 있다. 다항식 \(F_j \in R[x_1, \ldots, x_n, X_{n + 1}, \ldots, X_{n + m + 1}]\) 이 \(X_{n + 1}, \ldots, X_{n + m + 1}\)에 관해 동차이고 \(f_j = F_j(x_1, \ldots, x_{n + m}, 1)\)을 만족하도록 잡자. \(i = 1, \ldots, m + 1\)에 대해 \(\lambda_{n + i} \in \Lambda\)를 \(\lambda_{n + m + 1} \not \in \mathfrak q\)이고, \(\Lambda_\mathfrak q\)에서 \(x_{n + i}\)의 상이 \(\lambda_{n + i}/\lambda_{n + m + 1}\)이 되도록 잡자. 그러면 \[\begin{align*} F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m + 1}) & = (\lambda_{n + m + 1})^{\deg(F_j)} F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \frac{\lambda_{n + 1}}{\lambda_{n + m + 1}}, \ldots, \frac{\lambda_{n + m}}{\lambda_{n + m + 1}}, 1) \\ & = (\lambda_{n + m + 1})^{\deg(F_j)} f_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \frac{\lambda_{n + 1}}{\lambda_{n + m + 1}}, \ldots, \frac{\lambda_{n + m}}{\lambda_{n + m + 1}}) \\ & = 0 \end{align*}\] 가 \(\Lambda_\mathfrak q\)에서 성립한다. 따라서 \(\Lambda\)에서 \(\lambda_0 F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m + 1}) = 0\)을 만족하는 \(\lambda_0 \in \Lambda\), \(\lambda_0 \not \in \mathfrak q\)를 찾을 수 있다. 이제 \(B\)를 \[R[x_0, \ldots, x_{n + m + 1}]/ (g_1, \ldots, g_t, x_0F_1(x_1, \ldots, x_{n + m + 1}), \ldots, x_0F_c(x_1, \ldots, x_{n + m + 1}))\] 로 두고 \(x_i\)를 \(\lambda_i\)로 보내어 \(\Lambda\)로 사상한다. \(b\)를 \(B\)에서 \(x_0 x_{n + m + 1} s_0 s_1 \ldots s_t\)의 상이라 하자. 그러면 \(B_b\)는 \[R_{s_0s_1 \ldots s_t}[x_0, x_1, \ldots, x_{n + m + 1}, 1/x_0x_{n + m + 1}]/ (f_1, \ldots, f_c)\] 와 동형이고, 이는 구성상 \(R\) 위에서 매끄럽다. \(b\)의 상은 \(\mathfrak q\)의 원소가 아니므로 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

상황 07F7과 같은 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 생각하자. \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소이다.

2. \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)는 해소 가능하다.

3. \(\dim(\Lambda_\mathfrak q) = 0\).

그러면 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)는 해소 가능하다.

증명

(3)에 의해 환 \(\Lambda_\mathfrak q\)는 아르틴 국소환이므로 \(\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)는 멱영이다. 따라서 어떤 \(N > 0\)에 대해 \((\mathfrak h_A)^N \Lambda_\mathfrak q = 0\)이다. 그러므로 \(\Lambda\)에서 \(\lambda (\mathfrak h_A)^N = 0\)을 만족하는 \(\lambda \in \Lambda\), \(\lambda \not \in \mathfrak q\)가 존재한다. \(H_{A/R} = (a_1, \ldots, a_r)\)라 쓰면 \(\Lambda\)에서 \(\lambda a_i^N = 0\)이다. 보조정리 07F9에 의해 \(C\)가 유한 표시를 가지며 \(\mathfrak h_C \not \subset \mathfrak q\)를 만족하는 분해 \(A \to C \to \Lambda\)를 찾을 수 있다. \(C = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)로 쓰고 \[B = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_r, z, t_{ij}]/ (f_j - \sum y_i t_{ij}, zy_i)\] 로 두자. 여기서 \(t_{ij}\)는 \(rm\)개의 변수로 이루어진 집합이다. \(t_{ij}\)를 영으로 두어 정의되는 사상 \(B \to C[y_i, z]/(y_iz)\)가 있음에 유의하자. 사상 \(B \to \Lambda\)는 합성 \(B \to C[y_i, z]/(y_iz) \to \Lambda\)이다. 여기서 \(C[y_i, z]/(y_iz) \to \Lambda\)는 주어진 사상 \(C \to \Lambda\)이고, \(z\)를 \(\lambda\)로 보내며 \(y_i\)를 \(\Lambda\)에서 \(a_i^N\)의 상으로 보낸다.

\(B\)가 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)의 해를 준다고 주장한다. 먼저 \(B_z\)는 \(C[y_1, \ldots, y_r, z, z^{-1}]\)와 동형이므로 매끄럽다. 한편 \(B_{y_\ell} \cong A[x_i, y_i, y_\ell^{-1}, t_{ij}, i \not = \ell]\) 는 \(A\) 위에서 매끄럽다. 따라서 \(z\)와 \(a_\ell y_\ell\)은 모두 \(H_{B/R}\)의 원소임을 알 수 있다. 여기서는 매끄러운 사상들의 합성이 매끄럽다는 사실을 썼다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

분리적 잉여류체

이 절에서는 잉여류체 확대가 분리적인 경우에 국소 문제를 푸는 방법을 설명한다.

보조정리

뇌터 환 \(A\)와 유한 \(A\)-모듈 \(M\)을 생각하자. \(S \subset A\)를 곱셈적 집합이라 하자. \(\pi \in A\)이고 \(\Ker(\pi : S^{-1}M \to S^{-1}M) = \Ker(\pi^2 : S^{-1}M \to S^{-1}M)\) 이면, 임의의 \(n > 0\)에 대해 \(\Ker(s^n\pi : M \to M) = \Ker((s^n\pi)^2 : M \to M)\). 을 만족하는 \(s \in S\)가 존재한다.

증명

\(K = \Ker(\pi : M \to M)\), \(K' = \{m \in M \mid \pi^2 m = 0\text{ in }S^{-1}M\}\), \(Q = K'/K\)라 하자. 가정에 의해 \(S^{-1}Q = 0\)임에 유의하자. \(A\)가 뇌터 환이므로 \(Q\)는 유한 \(A\)-모듈이다. 따라서 \(s\)가 \(Q\)를 소멸시키는 \(s \in S\)를 찾을 수 있다. 이 \(s\)가 원하는 원소이다.

보조정리

\(\Lambda\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하고, \(I \subset \mathfrak q\)인 소 아이디얼을 생각하자. \(n, e\)를 양의 정수라 하자. \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \subset I\Lambda_\mathfrak q\)이고 \(\Lambda_\mathfrak q\)가 차원 \(d\)인 정칙 국소환이라고 가정하자. 그러면 어떤 \(n > 0\)과 \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \Lambda\)가 존재하여

1. \((\pi_1, \ldots, \pi_d)\Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\),

2. \(\pi_1^n, \ldots, \pi_d^n \in I\)이고,

3. \(i = 1, \ldots, d\)에 대해 \[\text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)\Lambda}(\pi_i) = \text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)\Lambda}(\pi_i^2).\]

증명

\(S = \Lambda \setminus \mathfrak q\)로 두면 \(\Lambda_\mathfrak q = S^{-1}\Lambda\)이다. 먼저 (1)을 만족하는 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)를 잡자. \(\Lambda_\mathfrak q\)가 정칙이므로 이는 가능하다. 가정에 의해 \(\pi_i^n \in I\Lambda_\mathfrak q\)이다. 따라서 \(s_i\pi_i^n \in I\)를 만족하는 \(s_1, \ldots, s_d \in S\)를 찾을 수 있다. \(\pi_i\)를 \(s_i\pi_i\)로 바꾸면 (2)를 얻는다. (1)과 (2)는 \(S\)의 원소를 더 곱해도 보존됨에 유의하자. 어떤 \(t \in \{0, \ldots, d\}\)에 대해 \(i = 1, \ldots, t\)일 때 (3)이 성립한다고 하자. Algebra, Lemma 00NQ에 의해 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)는 \(S^{-1}\Lambda\)에서 정칙열이다. 특히 Algebra, Lemma 07DV에 의해 \(\pi_1^e, \ldots, \pi_t^e, \pi_{t + 1}\)은 \(S^{-1}\Lambda = \Lambda_\mathfrak q\)에서 정칙열이다. 따라서 \[\text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)}(\pi_i) = \text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)}(\pi_i^2).\] 보조정리 07FC에 의해 어떤 \(s \in S\)에 대해 \(\pi_{t + 1}\)을 \(s\pi_{t + 1}\)로 바꾸면 \(i = t + 1\)일 때의 (3)을 얻는다. \(t\)에 대한 귀납법으로 (1), (2), (3)을 만족하는 열을 얻는다.

보조정리

상황 07F7과 같은 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 생각하자. 다음을 가정한다.

1. \(k\)는 체이다.

2. \(\Lambda\)는 뇌터 환이다.

3. \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소이다.

4. \(\Lambda_\mathfrak q\)는 정칙 국소환이다.

5. 체 확대 \(\kappa(\mathfrak q)/k\)는 분리적이다.

그러면 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)는 해소 가능하다.

증명

\(d = \dim \Lambda_\mathfrak q\)로 두자. \(R = k[x_1, \ldots, x_d]\)로 두자. 다음을 만족하는 \(n > 0\)을 잡자. \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \subset \mathfrak h_A\Lambda_\mathfrak q\) \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소이므로 이는 가능하다. \(H_{A/R}\)의 생성원 \(a_1, \ldots, a_r\)을 잡고 다음과 같이 두자. \[B = A[x_1, \ldots, x_d, z_{ij}]/(x_i^n - \sum z_{ij}a_j)\] \(B_{a_j}\)는 각각 \(R\) 위에서 매끄럽다. 실제로 이는 \(A_{a_j}[x_1, \ldots, x_d]\) 위의 다항식 대수이고, \(A_{a_j}\)는 \(k\) 위에서 매끄럽다. 따라서 \(B_{x_i}\)는 \(R\) 위에서 매끄럽다. 보조정리 07CE에서 구성한 \(R\)-대수 사상을 \(B \to C\)라 하자. 여기에는 \(R\)-대수 수축 사상 \(C \to B\)가 딸려 있다. 특히 위 도식에 들어맞는 사상 \(C \to \Lambda\)가 있다. 구성상 \(C_{x_i}\)는 \(\Omega_{C_{x_i}/R}\)가 자유인 매끄러운 \(R\)-대수이다. 따라서 \(x_i^c\)가 \(C/R\)에서 엄밀 표준이 되는 \(c > 0\)을 찾을 수 있다. 보조정리 07EZ를 보라. 이제 보조정리 07FD에서처럼 \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \Lambda\)를 잡자. 여기서 \(n = n\), \(e = 8c\), \(\mathfrak q = \mathfrak q\), \(I = \mathfrak h_A\)이다. 어떤 \(\pi_{ij} \in \Lambda\)에 대해 \(\pi_i^n = \sum \lambda_{ij} a_j\)로 쓰자. \(x_i \mapsto \pi_i\) 및 \(z_{ij} \mapsto \lambda_{ij}\)로 주어지는 사상 \(B \to \Lambda\)가 있다. \(R = k[x_1, \ldots, x_d]\)로 두자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R \ar[r] & B \ar[rd] \\ k \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & \Lambda }\] 이제 \(R \to C \to \Lambda \supset \mathfrak q\)와 \(R\)의 원소열 \(x_1^c, \ldots, x_d^c\)에 보조정리 07F8을 적용한다. 가정 (2)는 명백하다. 가정 (1)은 \(R\)에 대해서는 직접 확인할 수 있고, \(\Lambda\)에 대해서는 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)의 선택에 의해 성립한다. (다음에 유의하자. 만일 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)이면 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^c)\)가 모든 \(c > 0\)에 대해 성립한다.) 따라서 다음을 해소하면 충분하다. \[R/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to C/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to \Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e) \supset \mathfrak q/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\] \(e = 8c\)로 둔다. 보조정리 07FA에 의해 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤 이를 해소하면 충분하다. 그런데 \(x_1, \ldots, x_d\)의 상은 \(\Lambda_\mathfrak q\)에서 정칙열이므로 \(R_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\)가 평탄임을 알 수 있다. Algebra, Lemma 07DY를 보라. 따라서 \[R_\mathfrak p/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to \Lambda_\mathfrak q/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\] 는 아르틴 국소환들 사이의 평탄한 환 준동형이다. 더욱이 가정에 의해 이 사상은 잉여류체 위에서 분리적 체 확대를 유도한다. 따라서 Algebra, Lemma 07BV와 명제 07CM에 의해 이 사상은 매끄러운 대수들의 여과 여극한이다. 원하는 해의 존재는 Algebra, Lemma 07C3에서 따른다.

비분리적 잉여류체

이 절에서는 잉여류체 확대가 비분리적인 경우에 국소 문제를 푸는 방법을 설명한다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \((\Lambda, \mathfrak m, K)\)를 아르틴 국소 \(k\)-대수라 하자. \(\dim H_1(L_{K/k}) < \infty\)라고 가정하자. 그러면 \(\Lambda\)는 아르틴 국소 \(k\)-대수 \(A\)들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 여기서 각 사상 \(A \to \Lambda\)는 평탄하고, \(\mathfrak m_A \Lambda = \mathfrak m\)이며, \(A\)는 \(k\) 위에서 본질적으로 유한형이다.

증명

\(A \to \Lambda\)의 평탄성은 \(A \to \Lambda\)가 단사임을 함의함에 유의하자. 따라서 이 보조정리는 실제로 \(\Lambda\)가 이러한 부분환 \(A \subset \Lambda\)들의 유향 합집합이라고 말한다. \(\mathfrak m^n = 0\)을 만족하는 최소 정수를 \(n\)이라 하자. \(n\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. 체 확대는 유한 생성 체 확대들의 합집합이므로 \(n = 1\)인 경우는 명백하다.

\(\mathfrak m\)을 생성하는 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d \in \mathfrak m\)을 잡자. \(K\)는 \(\mathbf{F}_p\) 위에서 형식적으로 매끄러우므로(Algebra, Lemma 0320 참조), 몫사상 \(\Lambda \to K\)의 절단인 환 준동형 \(\sigma : K \to \Lambda\)를 찾을 수 있다. 일반적으로 \(\sigma\)는 \(k\)-대수 사상이 아니다. \(\sigma\)가 주어지면 \[\Psi_\sigma : K[x_1, \ldots, x_d] \longrightarrow \Lambda\] 를 \(K\)의 원소에는 \(\sigma\)를 적용하고 \(x_i\)는 \(\lambda_i\)로 보내도록 정의한다. 주장: 어떤 \(\sigma : K \to \Lambda\)와 \(k\) 위에서 유한 생성인 부분체 \(k \subset F \subset K\)가 존재하여, \(\Lambda\)에서 \(k\)의 상이 \(\Psi_\sigma(F[x_1, \ldots, x_d])\)에 포함된다.

\(\mathfrak m^n = 0\)을 만족하는 최소 정수 \(n\)에 대한 귀납법으로 주장을 증명한다. \(n = 1\)인 경우는 명백하다. \(n > 1\)이면 \(I = \mathfrak m^{n - 1}\) 및 \(\Lambda' = \Lambda/I\)로 두자. 귀납 가정에 의해, \(k \to \Lambda \to \Lambda'\)의 상이 \(A' = \Psi_{\sigma'}(F'[x_1, \ldots, x_d])\)에 포함되도록 하는 \(\sigma' : K \to \Lambda'\)와 유한 생성 부분체 \(k \subset F' \subset K\)가 주어져 있다고 해도 된다. 유도된 사상을 \(\tau' : k \to A'\)로 표기하자. \(\sigma'\)의 올림 \(\sigma : K \to \Lambda\)를 잡자. 이는 앞서 언급한 \(K/\mathbf{F}_p\)의 형식적 매끄러움에 의해 가능하다. 나중에 쓰기 위해, 어떤 미분 \(D : K \to I\)에 대해 \(\sigma\)를 \(\sigma + D\)로 바꿀 수 있음에 유의하자. \(A = F[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n\)로 두자. 그러면 \(\Psi_\sigma\)는 환 준동형 \(\Psi_\sigma : A \to \Lambda\)를 유도한다. 이를 몫사상 \(\Lambda \to \Lambda'\)와 합성하면 멱영 핵을 갖는 전사 사상 \(A \to A'\)이 유도된다. \(\tau'\)의 올림 \(\tau : k \to A\)를 잡자. \(k/\mathbf{F}_p\)가 형식적으로 매끄러우므로 이는 가능하다. 이로써 두 사상 \(k \to \Lambda\), 즉 \(\Psi_\sigma \circ \tau : k \to \Lambda\)와 주어진 사상 \(i : k \to \Lambda\)를 얻는다. 이들은 \(I\)를 법으로 일치하므로 그 차이는 미분 \(\theta = i - \Psi_\sigma \circ \tau : k \to I\)이다. \(\sigma\)를 \(\sigma + D\)로 바꾸면 \(\theta\)는 \(\theta - D|_k\)로 바뀜에 유의하자.

\(k\)의 원소들의 집합 \(\{y_j\}_{j \in J}\)를 그 미분 \(\text{d}y_j\)들이 \(\Omega_{k/\mathbf{F}_p}\)의 기저를 이루도록 잡자. \(\mathbf{F}_p \subset k \subset K\)에 대한 Jacobi–Zariski 열은 \[0 \to H_1(L_{K/k}) \to \Omega_{k/\mathbf{F}_p} \otimes K \to \Omega_{K/\mathbf{F}_p} \to \Omega_{K/k} \to 0\] \(\dim H_1(L_{K/k}) < \infty\)이므로 첫 사상의 상이 \(\bigoplus_{j \in J_0} K\text{d}y_j\)에 포함되게 하는 유한 부분집합 \(J_0 \subset J\)를 찾을 수 있다. 따라서 원소 \(\text{d}y_j\), \(j \in J \setminus J_0\)의 상들은 \(\Omega_{K/\mathbf{F}_p}\)에서 \(K\)-선형 독립이다. 그러므로 \(\theta - D|_k = \xi \circ \text{d}\)가 되도록 \(D : K \to I\)를 고를 수 있다. 여기서 \(\xi\)는 합성 \[\Omega_{k/\mathbf{F}_p} = \bigoplus\nolimits_{j \in J} k \text{d}y_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_0} k \text{d}y_j \longrightarrow I\] \(j \in J_0\)에 대해 \(f_j = \xi(\text{d}y_j) \in I\)라 하자. 위와 같이 \(\sigma\)를 \(\sigma + D\)로 바꾸자. 그러면 \(\Omega_{k/\mathbf{F}_p}\)에서 \(\text{d}a = \sum a_j \text{d}y_j\)일 때, \(a \in k\)에 대해 \(\theta(a) = \sum_{j \in J_0} a_j f_j\)이다. \(I\)는 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\)에 관한 전체 차수 \(|E| = \sum e_i = n - 1\)의 단항식 \(\lambda^E = \lambda_1^{e_1} \ldots \lambda_d^{e_d}\)들로 생성됨에 유의하자. \(c_{j, E} \in K\)인 \(f_j = \sum_E c_{j, E} \lambda^E\)로 쓰자. \(F'\)를 \(F = F'(c_{j, E})\)로 바꾸면 주장이 성립한다.

주장에서와 같이 \(\sigma\)와 \(F\)를 잡자. \(\Psi_\sigma\)의 핵은 유한 개의 다항식 \(g_1, \ldots, g_t \in K[x_1, \ldots, x_d]\)로 생성된다. 유한 개의 원소를 첨가하여 \(F\)를 확대하면, 이 다항식들의 계수가 \(F\)에 속한다고 가정해도 된다. 이 경우 사상 \(A = F[x_1, \ldots, x_d]/(g_1, \ldots, g_t) \to K[x_1, \ldots, x_d]/(g_1, \ldots, g_t) = \Lambda\)는 평탄함이 명백하다. 주장에 의해 \(A\)는 \(\Lambda\)의 \(k\)-부분대수이다. \(K\)가 부분체 \(F\)들의 여과 합집합이므로 \(\Lambda\)는 이 대수들의 여과 여극한임이 명백하다. 마지막으로 Algebra, Lemma 07DT에 의해 이 대수들은 \(k\) 위에서 본질적으로 유한형이다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \(\Lambda\)를 기하적으로 정칙인 뇌터 \(k\)-대수라 하자. \(\mathfrak q \subset \Lambda\)를 소 아이디얼이라 하자. \(n \geq 1\)을 정수라 하고, \(E \subset \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)를 유한 부분집합이라 하자. 그러면 다음 성질을 갖는 \(m \geq 0\)과 \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\)를 찾을 수 있다.

1. \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)로 두면 \(\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q = \mathfrak p \Lambda_\mathfrak q\) 이고 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\)는 평탄하다.

2. 아르틴 국소환의 준동형들에 의한 분해 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] 가 존재하며, 첫째 화살표는 본질적으로 매끄럽고 둘째 화살표는 평탄하다.

3. \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)를 법으로 \(E\)는 \(D\)에 포함된다.

증명

\(\bar \Lambda = \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)로 두자. More on Algebra, Proposition 07E5에 의해 \(\dim H_1(L_{\kappa(\mathfrak q)/k}) < \infty\)임에 유의하자. \(E\)를 포함하는 \(A \subset \bar \Lambda\)를 다음과 같이 잡자. \(A\)는 \(k\) 위에서 본질적으로 유한형인 아르틴 국소환이고, 사상 \(A \to \bar \Lambda\)는 평탄하며, \(\mathfrak m_A\)는 \(\bar \Lambda\)의 극대 아이디얼을 생성한다. 보조정리 07FG를 보라. 잉여류체를 \(F = A/\mathfrak m_A\)로 표기하면 \(k \subset F \subset K\)이다. \(\bar \Lambda\)에서 \(A\)의 원소로 보내지고, 또한 \(\text{d}\lambda_1, \ldots, \text{d}\lambda_t\)의 상이 \(\Omega_{F/k}\)의 기저를 이루도록 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_t \in \Lambda\)를 잡자. \(y_j\)를 \(\lambda_j\)로 보내는 사상 \(\varphi' : k[y_1, \ldots, y_t] \to \Lambda\)를 생각하자. \(\mathfrak p' = (\varphi')^{-1}(\mathfrak q)\)로 두자. More on Algebra, Lemma 07E6에 의해 환 준동형 \(k[y_1, \ldots, y_t]_{\mathfrak p'} \to \Lambda_\mathfrak q\)는 평탄하고, \(\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak p' \Lambda_\mathfrak q\)는 정칙이다. 따라서 \(A \subset \bar \Lambda\)로 상이 들어가고, \(\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak p' \Lambda_\mathfrak q\)의 정칙 매개변수계로 보내지는 원소 \(\lambda_{t + 1}, \ldots, \lambda_m \in \Lambda\)를 더 고를 수 있다. 이로써 성질 (1)을 갖는 \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\)를 얻고, \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \bar\Lambda\) 는 \(A\)를 통해 분해된다. 따라서 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to A\)는 Algebra, Lemma 0584에 의해 평탄하다. 구성상 잉여류체 확대 \(F/\kappa(\mathfrak p)\)는 유한 생성이고 \(\Omega_{F/\kappa(\mathfrak p)} = 0\)이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 07E1에 의해 유한 분리적이다. 그러므로 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to A\) 는 Algebra, Lemma 07DT에 의해 유한이다. 마지막으로 Algebra, Lemma 00U6에 의해 이 사상이 에탈임을 알 수 있다. 에탈 환 준동형은 물론 본질적으로 매끄러우므로 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\), \(n\), \(\mathfrak q\), \(\mathfrak p\) 및 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\] 가 보조정리 07FH에서와 같다고 하자. 그러면 임의의 \(\lambda \in \Lambda \setminus \mathfrak q\)에 대해 어떤 정수 \(q > 0\)과 분해 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n \to D \to D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\] 가 존재한다. 여기서 \(D \to D'\)는 아르틴 국소환들 사이의 본질적으로 매끄러운 사상이고, 마지막 화살표는 평탄하며, \(\lambda^q\)는 \(D'\)에 속한다.

증명

\(\bar \Lambda = \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)로 두자. \(\bar \lambda\)를 \(\bar \Lambda\)에서 \(\lambda\)의 상이라 하고, \(\alpha \in \kappa(\mathfrak q)\)를 잉여류체에서 \(\lambda\)의 상이라 하자. \(D\)의 잉여류체를 \(k \subset F \subset \kappa(\mathfrak q)\)라 하자. \(\alpha\)가 \(F\)에 속하면 \(x \bar\lambda = 1 \bmod \mathfrak q\)를 만족하는 \(x \in D\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(q\)가 \(p\)로 나누어떨어지면 \((x \bar \lambda)^q = 1 \bmod (\mathfrak q)^q\)이다. 그러므로 \(\bar\lambda^q\)는 \(D\)에 속한다. \(\alpha\)가 \(F\) 위에서 초월적이면, \(D\)와 \(\bar \lambda\)로 생성한 부분환을 \(\mathfrak m = D[\bar \lambda] \cap \mathfrak q \bar \Lambda\)에서 국소화한 \(D' = (D[\bar \lambda])_\mathfrak m\)으로 둘 수 있다. 이 경우 \(D[\bar \lambda]\)는 실제로 \(D\) 위의 다항식 대수이므로 이것으로 충분하다. 마지막으로 \(\lambda \bmod \mathfrak q\)가 \(F\) 위에서 대수적이면, \(\alpha^q\)가 \(F\) 위에서 분리 대수적이 되게 하는 \(p\)-거듭제곱 \(q\)를 찾을 수 있다. Fields, Section 037H을 보라. \(D\)와 \(\bar\Lambda\)는 헨젤 국소환임에 유의하자. Algebra, Lemma 06RS을 보라. 잉여류체 확대가 \(F(\alpha^q)/F\)인 유한 에탈 확대를 \(D \to D'\)라 하자. Algebra, Lemma 04GK를 보라. \(\bar\Lambda\)가 헨젤이고 \(F(\alpha^q)\)가 그 잉여류체에 포함되므로 분해 \(D' \to \bar \Lambda\)를 찾을 수 있다. 논증의 첫 부분에 의해 어떤 \(q' > 0\)에 대해 \(\bar\lambda^{qq'} \in D'\)임을 알 수 있다.

보조정리

상황 07F7과 같은 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 생각하자. 다음을 가정한다.

1. \(k\)는 표수 \(p > 0\)인 체이다.

2. \(\Lambda\)는 뇌터 환이고 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙이다.

3. \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소이다.

그러면 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)는 해소 가능하다.

증명

다음 단계들을 주어진 순서로 수행하여 보조정리를 증명한다. 각 단계의 정당화는 아래에서 제시한다.

1. 다음을 만족하는 정수 \(N > 0\)을 잡는다. \(\mathfrak q^N\Lambda_\mathfrak q \subset H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\).

2. 아이디얼 \(H_{A/R}\)의 생성원 \(a_1, \ldots, a_t \in A\)를 잡는다.

3. \(d = \dim(\Lambda_\mathfrak q)\)로 둔다.

4. \(B = A[x_1, \ldots, x_d, z_{ij}]/(x_i^{2N} - \sum z_{ij}a_j)\)로 둔다.

5. \(B\)를 \(k[x_1, \ldots, x_d]\)-대수로 보고, 보조정리 07CE에서와 같은 \(B \to C\)를 잡는다. 또한 절단 \(C \to B\)를 얻는다.

6. 각 \(x_i^c\)가 \(k[x_1, \ldots, x_d]\) 위의 \(C\)에서 엄밀 표준이 되게 하는 \(c > 0\)을 잡는다.

7. \(n = N + dc\) 및 \(e = 8c\)로 둔다.

8. \(E \subset \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)를 \(k\)-대수로서 \(A\)의 생성원들의 상으로 이루어진 집합이라 하자.

9. 정수 \(m\), \(k\)-대수 사상 \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\), 그리고 아르틴 국소환들에 의한 분해 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] 를 다음과 같이 잡는다. 첫째 화살표는 본질적으로 매끄럽고, 둘째 화살표는 평탄하며, \(E\)는 \(D\)에 포함된다. 또한 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)로 두면 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\)가 평탄하고 \(\mathfrak p \Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q \Lambda_\mathfrak q\)이다.

10. \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\)의 정칙 매개변수계로 보내지는 \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \mathfrak p\)를 잡는다.

11. \(R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_m]\) 및 \(\gamma_i = \pi_i t_i\)로 둔다.

12. 필요하면 \(i = 1, \ldots, d\)에 대해 다음이 성립하도록 \(\pi_i\)의 선택을 바꾼다. \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i^2)\]

13. \(\delta_1, \ldots, \delta_d \in \Lambda\), \(\delta_i \not \in \mathfrak q\)와 분해 \(D \to D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 가 존재한다. 여기서 \(D'\)는 아르틴 국소환이고, \(D \to D'\)는 본질적으로 매끄러우며, 사상 \(D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 는 평탄하다. 또한 \(\pi_i' = \delta_i \pi_i\)로 두면 \(i = 1, \ldots, d\)에 대해 다음이 성립한다.

    1. \(\Lambda\)에서 \((\pi_i')^{2N} = \sum a_j\lambda_{ij}\)이고, \(\lambda_{ij} \bmod \mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)는 \(D'\)의 원소이다.

    2. \(\text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_{i - 1}^e)}({\pi'}_i) = \text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_{i - 1}^e)}({\pi'}_i^2)\),

    3. \(\delta_i \bmod \mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)는 \(D'\)의 원소이다.

14. \(x_i\)를 \(\pi'_i\)로, \(z_{ij}\)를 위에서 구한 \(\lambda_{ij}\)로 보내어 \(B \to \Lambda\)를 정의한다. 사상 \(B \to \Lambda\)를 수축 사상 \(C \to B\)와 합성하여 \(C \to \Lambda\)를 정의한다.

15. \(k[y_1, \ldots, y_m]\)에는 \(\varphi\)를 적용하고 \(t_i\)는 \(\delta_i\)로 보내어 \(R \to \Lambda\)를 정의한다. 또한 사상 \[k[x_1, \ldots, x_d] \longrightarrow R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_d]\] 을 \(x_i\)를 \(\gamma_i = \pi_i t_i\)로 보내도록 정의한다.

16. 다음을 해소하면 충분하다. \[R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\]

17. \(I = (\gamma_1^e, \ldots, \gamma_d^e) \subset R\)로 둔다.

18. 다음을 해소하면 충분하다. \[R/I \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R/I \to \Lambda/I\Lambda \supset \mathfrak q/I\Lambda\]

19. \(\mathfrak q\)의 역상을 \(\mathfrak r \subset R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_d]\)로 표기한다.

20. 다음을 해소하면 충분하다. \[(R/I)_\mathfrak r \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/I)_\mathfrak r \to \Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q\]

21. \(k[y_1, \ldots, y_m]\)에서 \(J = (\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\)로 둔다.

22. 다음을 해소하면 충분하다. \[(R/JR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\]

23. 다음을 해소하면 충분하다. \[(R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\]

24. 다음을 해소하면 충분하다. \[(R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\]

25. 주어진 사상 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D'\)와 \(t_i\)를 \(t_i\)로 보내는 사상으로 \(D'[t_1, \ldots, t_d]\)에 \(R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p\)-대수 구조를 준다. 분해 \[B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to D'[t_1, \ldots, t_d] \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] 를 찾으면 충분하다. 여기서 둘째 화살표는 \(t_i\)를 \(\delta_i\)로 보내고, 주어진 준동형 \(D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)를 유도한다.

26. 위에서 \(D'\)를 선택한 방식에 의해 이러한 분해가 존재한다.

이제 각 단계를 정당화한다. 단, 단지 표기만 도입하는 단계는 생략한다.

단계 (07FK). \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak h_A = \sqrt{H_{A/k}\Lambda}\) 위에서 극소이므로 가능하다.

단계 (07FQ). \(A_{a_i}\)가 \(k\) 위에서 매끄러움에 유의하자. 따라서 \(A_{a_j}[x_1, \ldots, x_d]\) 위의 다항식 대수와 동형인 \(B_{a_j}\)는 \(k[x_1, \ldots, x_d]\) 위에서 매끄럽다. 그러므로 \(B_{x_i}\)는 \(k[x_1, \ldots, x_d]\) 위에서 매끄럽다. 보조정리 07CE에 의해 \(C_{x_i}\)는 \(k[x_1, \ldots, x_d]\) 위에서 매끄럽고 그 미분 모듈은 유한 자유이다. 따라서 보조정리 07EZ에 의해 \(x_i\)의 어떤 거듭제곱은 \(k[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 \(C\)에서 엄밀 표준이다.

단계 (07FT). 보조정리 07FH를 적용하면 된다.

단계 (07FU). 구성상 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\)는 평탄하고 \(\mathfrak p \Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q \Lambda_\mathfrak q\)이다. 따라서 Algebra, Lemma 00ON에 의해 \(\dim(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p) = d\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(\Lambda_\mathfrak q\)의 정칙 매개변수계로 보내지는 \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \Lambda\)를 찾을 수 있다.

단계 (07FW). Algebra, Lemma 00NQ에 의해 열 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)의 임의의 순열은 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\)에서 정칙열이다. 따라서 \(\gamma_1 = \pi_1 t_1, \ldots, \gamma_d = \pi_d t_d\)는 \(R_\mathfrak p = k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p[t_1, \ldots, t_d]\)에서 정칙열이다. Algebra, Lemma 07DW을 보라. \(S = k[y_1, \ldots, y_m] \setminus \mathfrak p\)로 두면 \(R_\mathfrak p = S^{-1}R\)이다. \(\pi_i\)에 \(S\)의 원소들을 곱해도 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)와 \(\gamma_1, \ldots, \gamma_d\)가 정칙열인 성질은 보존됨에 유의하자. 이제 \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i^2)\] 가 어떤 \(t \in \{0, \ldots, d\}\)에 대해 \(i = 1, \ldots, t\)일 때 성립한다고 하자. Algebra, Lemma 07DV에 의해 \(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e, \gamma_{t + 1}\)은 \(S^{-1}R\)에서 정칙열이다. 따라서 \[\text{Ann}_{S^{-1}R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)}(\gamma_i) = \text{Ann}_{S^{-1}R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)}(\gamma_i^2).\] 그러므로 \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e)R}(\gamma_{t + 1}) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e)R}(\gamma_{t + 1}^2)\] 를 얻는다. 여기서는 보조정리 07FC에 따라 어떤 \(s \in S\)에 대해 \(\pi_{t + 1}\)을 \(s\pi_{t + 1}\)로 바꾸었다. \(t\)에 대한 귀납법으로 원하는 열을 얻는다.

단계 (07FX). \(S = \Lambda \setminus \mathfrak q\)로 두면 \(\Lambda_\mathfrak q = S^{-1}\Lambda\)이다. \(\bar \Lambda = \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\)로 두자. 어떤 \(t \in \{0, \ldots, d\}\), \(\delta_1, \ldots, \delta_t \in S\) 및 (07FX)에서와 같은 분해 \(D \to D' \to \bar \Lambda\)가 주어져 있고, \(i = 1, \ldots, t\)에 대해 (a), (b), (c)가 성립한다고 하자. (07FK)에 의해 \(\mathfrak q^N \Lambda_\mathfrak q \subset H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\)이므로 \(\pi_{t + 1}^N \in H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\)이다. 따라서 \(\pi_{t + 1}^N \in H_{A/k} \bar\Lambda\)이다. 또한 \(D' \to \bar \Lambda\)가 충실히 평탄하므로 \(\pi_{t + 1}^N \in H_{A/k}D'\)이다. Algebra, Lemma 05CK를 보라. \(H_{A/k} = (a_1, \ldots, a_t)\)임을 상기하자. \(D'\)에서 \(\pi_{t + 1}^N = \sum a_j d_j\)라 쓰고, \(d_j \in D'\)의 올림 \(c_j \in \Lambda_\mathfrak q\)를 잡자. 그러면 \(\epsilon \in \mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \subset \mathfrak q^{n - N}H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\)인 \(\pi_{t + 1}^N = \sum c_j a_j + \epsilon\)을 얻는다. 어떤 \(c'_j \in \mathfrak q^{n - N}\Lambda_\mathfrak q\)에 대해 \(\epsilon = \sum a_j c'_j\)로 쓰자. 따라서 \(\pi_{t + 1}^{2N} = \sum (\pi_{t + 1}^N c_j + \pi_{t + 1}^N c'_j) a_j\)이다. \(\pi_{t + 1}^Nc'_j\)의 상은 \(\bar \Lambda\)에서 영임에 유의하자. 이 자명하지만 핵심적인 관찰은 나중에 (a)가 성립함을 보장한다. 이제 다음 두 성질을 만족하는 \(s \in S\)와 \(\mu_{t + 1j} \in \Lambda\)를 잡자. 한편으로 \(S^{-1}\Lambda\)에서 \(\pi_{t + 1}^N c_j + \pi_{t + 1}^N c'_j = \mu_{t + 1j}/s^{2N}\)이고, 다른 한편으로 \(\Lambda\)에서 \((s \pi_{t + 1})^{2N} = \sum \mu_{t + 1j}a_j\)이다 (사소한 세부사항은 생략한다). 더 나아가 \(s\)를 그 거듭제곱으로 바꾸고 \(D'\)를 확대하여 \(s\)의 상이 \(D'\)의 원소라고 해도 된다. 이 선택들 아래에서 \(\mu_{t + 1j}\)의 상은 \(D'\)의 원소인 \(s^{2N}d_j\)이다. \(\varphi\)의 선택에 의해 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)는 \(S^{-1}\Lambda\)에서 매개변수들의 정칙열임에 유의하자. 따라서 Algebra, Lemma 00NQ에 의해 \(\pi_1, \ldots, \pi_d\)는 \(\Lambda_\mathfrak q\)에서 정칙열을 이룬다. 그러므로 Algebra, Lemma 07DV에 의해 \({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e, s\pi_{t + 1}\)은 \(S^{-1}\Lambda\)에서 정칙열이다. 따라서 \[\text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}(s\pi_{t + 1}) = \text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}((s\pi_{t + 1})^2).\] 보조정리 07FC를 적용하면 다음을 만족하는 \(s' \in S\)를 찾을 수 있다. \[\text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}((s')^qs\pi_{t + 1}) = \text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}(((s')^qs\pi_{t + 1})^2).\] 이 식은 임의의 \(q > 0\)에 대해 성립한다. 보조정리 07FI에 의해 \(q\)를 선택하고 \(D'\)를 확대하여 \((s')^q\)의 상이 \(D'\)의 원소라고 할 수 있다. \(\delta_{t + 1} = (s')^qs\)로 두면 \(i = 1, \ldots, t + 1\)에 대해 (a), (b), (c)가 성립한다. (a)에 대해서는 \(\lambda_{t + 1j} = (s')^{2Nq}\mu_{t + 1j}\)가 조건을 만족함에 유의하자. \(t\)에 대한 귀납법으로 원하는 결론을 얻는다.

단계 (07G0). 구성상 \(H_{(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R)/R} \Lambda\)의 근기는 \(\mathfrak h_A\)를 포함한다. 실제로 원소 \(a_j \in H_{A/k}\)는 \(H_{B/k[x_1, \ldots, x_n]}\)의 원소로 보내지고, 따라서 \(H_{C/k[x_1, \ldots, x_n]}\)의 원소로 보내지며, 따라서 \(a_j \otimes 1\)은 \(H_{C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R/R}\)의 원소로 보내진다. 더욱이 다음 상황의 해 \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_n]} R \to T \to \Lambda\)가 주어져 있다고 하자. \[R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\] 그러면 \(R\)가 \(k\) 위에서 매끄러우므로 \(H_{T/R} \subset H_{T/k}\)이다. 따라서 \(T\)는 원래 상황 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)의 해이기도 하다.

단계 (07G2). \(R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\)와 원소열 \(\gamma_1^c, \ldots, \gamma_d^c\)에 보조정리 07F8을 적용하면 된다. \(x_i^c\)가 \(k[x_1, \ldots, x_d]\) 위의 \(C\)에서 엄밀 표준이므로, 보조정리 07CC에 의해 원소 \(\gamma_i^c\)는 \(R\) 위의 \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R\)에서 엄밀 표준임에 유의하자. 보조정리 07F8의 다른 가정은 단계 (07FW)와 (07FX)에 의해 성립한다.

단계 (07G4). 보조정리 07FA를 단계 (07G2)의 상황에 적용한다. 나머지 논증에서는 목표 환이 아르틴 국소환이므로, 원천 환 위에서 매끄러운 대수 \(T\)를 통한 분해를 찾는다.

단계 (07G6). \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to T \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\)가 다음 상황의 해라고 하자. \[(R/JR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\] 그러면 \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/I)_\mathfrak r \to T_\mathfrak r \to \Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q\)는 단계 (07G4)의 상황에 대한 해이다.

단계 (07G7). 우리가 택한 \(n = N + dc\)는 충분히 커서 \(\mathfrak p^nk[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \subset J_\mathfrak p\) 이고 \(\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q \subset J\Lambda_\mathfrak q\)이다. 따라서 \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to T \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 가 (07G6의 해라면, \(T/JT\)를 (07G7)의 해로 취할 수 있다.

단계 (07G8). \(R\)-대수의 범주에서 절단 \(C \to B\)를 갖기 때문에 성립한다.

단계 (07G9). \(D'\)는 아르틴 국소환 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\) 위에서 본질적으로 매끄럽고, \[R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p = k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/ \mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p[t_1, \ldots, t_d].\] 이기 때문에 성립한다. 따라서 \(D'[t_1, \ldots, t_d]\)는 매끄러운 \(R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p\)-대수들의 여과 여극한이고, \(B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p)\) 는 그중 하나를 통해 분해된다.

단계 (07GA). 증명의 마지막 묘점은 단순히 사상 \(B \to D'\)를 사용할 수 없다는 것이다. 이 사상은 \(x_i\)를 \(D'\)에서 \(\pi_i'\)의 상으로 보내고 \(z_{ij}\)를 \(D'\)에서 \(\lambda_{ij}\)의 상으로 보낸다. 그 이유는 도식 \[\xymatrix{ B \ar[r] & D'[t_1, \ldots, t_d] \\ k[x_1, \ldots, x_d] \ar[r] \ar[u] & R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p \ar[u] }\] 이 가환해야 하고, 합성 \(B \to D'[t_1, \ldots, t_d] \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 이 (07FY)의 사상이어야 하기 때문이다. 이를 위해서는 \(x_i\)를 \(D'[t_1, \ldots, t_d]\)에서 \(\pi_i t_i\)의 상으로 보내야 한다. 따라서 \(z_{ij}\)를 \(D'[t_1, \ldots, t_d]\)에서 \(\lambda_{ij} t_i^{2N} / \delta_i^{2N}\)의 상으로 보내면 모든 것이 명백해진다.

주정리

이 절에서는 지금까지의 논의를 마무리한다.

정리

뇌터 환의 임의의 정칙 준동형은 매끄러운 환 사상들의 여과 여극한이다.

증명

보조정리 07F5에 의해 \(\Lambda\)가 뇌터이고 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙인 경우의 \(k \to \Lambda\)에 대해 증명하면 충분하다. \(A\)가 유한형 \(k\)-대수인 분해 \(k \to A \to \Lambda\)를 잡자. 보조정리 07EU에 따라 \(B\)가 유한형이고 \(\mathfrak h_B = \Lambda\)인 분해 \(A \to B \to \Lambda\)를 구성하면 충분하다. 따라서 아이디얼 \(\mathfrak h_A\)에 대해 뇌터 귀납법을 적용할 수 있다. 소아이디얼 \(\mathfrak q \supset \mathfrak h_A\)를 잡자. 이때 \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak h_A\) 위에서 극소이다. 이제 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\)를 해소하면 충분하다 (상황 07F7 뒤의 본문에서 정의한 의미로). \(k\)의 표수가 영이면 이는 보조정리 07FE에서 따른다. \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이면 이는 보조정리 07FJ에서 따른다.

G-환의 근사 성질

\(R\)를 뇌터 국소환이라 하자. 이 경우 \(R\)가 G-환일 필요충분조건은 환 사상 \(R \to R^\wedge\)가 정칙인 것이다. More on Algebra, Lemma 07PT를 보라. 이 경우 \(R\)의 헨젤화 \(R^h\)와 엄밀 헨젤화 \(R^{sh}\)도 G-환이다. More on Algebra, Lemma 07QR을 보라. 더욱이 체, 완비 국소환, \(\mathbf{Z}\) 또는 표수 영인 데데킨트 환 위에서 본질적으로 유한형인 임의의 대수는 G-환이다. More on Algebra, Proposition 07PX을 보라. 따라서 아래 결과를 적용할 수 있는 환은 충분히 많다.

\(R\)를 환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \(S\)를 \(R\)-대수라 하자. 이 상황에서 벡터 \((a_1, \ldots, a_n) \in S^n\)가 \(S\)에서의 해라는 것은 다음이 성립한다는 것과 동치이다. \[f_j(a_1, \ldots, a_n) = 0 \text{ in } S, \text{ for } j = 1, \ldots, m\] 물론 대수기하학에서 중요한 문제 하나는 다항방정식계가 언제 해를 갖는지 밝히는 것이다. 다음 정리에 따르면 뇌터 국소환의 완비화에서 해가 존재하는 것만으로 그 환의 헨젤화에서 해가 존재함을 보이기에 충분한 경우가 많다.

정리

\(R\)를 뇌터 국소환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \((a_1, \ldots, a_n) \in (R^\wedge)^n\)가 \(R^\wedge\)에서의 해라고 하자. \(R\)가 헨젤 G-환이면, 모든 정수 \(N\)에 대해 \(a_i - b_i \in \mathfrak m^NR^\wedge\)를 만족하는 \(R\)에서의 해 \((b_1, \ldots, b_n) \in R^n\)가 존재한다.

증명

\(a_i - c_i \in \mathfrak m^N\)을 만족하는 원소 \(c_i \in R\)를 잡자. 생성원 \(\mathfrak m^N = (d_1, \ldots, d_M)\)을 잡고 \(a_i = c_i + \sum a_{i, l} d_l\)로 쓰자. 다항식환 \(R[x_{i, l}]\)과 다음 원소들을 생각하자. \[g_j = f_j(c_1 + \sum x_{1, l} d_l , \ldots, c_n + \sum x_{n, l} d_{n, l}) \in R[x_{i, l}]\] 연립방정식 \(g_j = 0\)은 해 \((a_{i, l})\)을 갖는다. \(g_j\)가 \(R\)에서 해 \((b_{i, l})\)을 가짐을 보일 수 있다고 하자. 그러면 \(b_i = c_i + \sum b_{i, l}d_l\)은 \(\mathfrak m^N\)을 법으로 \(a_i\)와 합동인 \(f_j = 0\)의 해이다. 따라서 \(R^\wedge\) 위의 해의 존재가 \(R\) 위의 해의 존재를 함의함을 보이면 충분하다.

\(A \subset R^\wedge\)를 \(a_1, \ldots, a_n\)으로 생성되는 \(R\)-부분대수라 하자. \(R\)가 G-환, 즉 \(R \to R^\wedge\)가 정칙이라고 가정했으므로 다음 분해가 존재한다. \[A \to B \to R^\wedge\] 여기서 \(B\)는 \(R\) 위에서 매끄럽다. 정리 07GC를 보라. 잉여류체를 \(\kappa = R/\mathfrak m\)로 표기하자. 이는 \(R^\wedge\)의 잉여류체이기도 하므로 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ B \ar[rd] \ar@{..>}[r] & R' \ar@{..>}[d] \\ R \ar[r] \ar[u] & \kappa }\] 수직 화살표가 매끄러우므로 More on Algebra, Lemma 07M7에 의해 동형 \(R/\mathfrak m \to R'/\mathfrak mR'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(R \to R'\)와 위 도식을 가환이 되게 하는 \(R\)-대수 사상 \(B \to R'\)가 존재한다. \(R\)가 헨젤이므로 \(R \to R'\)는 절단을 갖는다. Algebra, Lemma 04GG을 보라. \(b_i \in R\)를 환 사상 \(A \to B \to R' \to R\)에 의한 \(a_i\)의 상이라 하자. 이 사상들이 모두 \(R\)-대수 사상이므로 \((b_1, \ldots, b_n)\)은 \(R\)에서의 해이다.

뇌터 국소환 \((R, \mathfrak m)\), 에탈 환 사상 \(R \to R'\) 및 \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m')\)를 만족하며 \(\mathfrak m\) 위에 놓인 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset R'\)가 주어지면 다음 포함관계가 성립한다. \[R \subset R_{\mathfrak m'} \subset R^h \subset R^\wedge,\] 이는 Algebra, Lemma 04GR와 More on Algebra, Lemma 06LJ에서 따른다.

정리

\(R\)를 뇌터 국소환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \((a_1, \ldots, a_n) \in (R^\wedge)^n\)가 해라고 하자. \(R\)가 G-환이면 모든 정수 \(N\)에 대해 다음이 존재한다.

1. 에탈 환 사상 \(R \to R'\),

2. \(\mathfrak m\) 위에 놓인 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset R'\),

3. \(R'\)에서의 해 \((b_1, \ldots, b_n) \in (R')^n\).

이들은 \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m')\) 및 \(a_i - b_i \in (\mathfrak m')^NR^\wedge\)를 만족한다.

증명

정리 07QY에서 이 정리를 도출할 수도 있다. 실제로 More on Algebra, Lemma 07QR에 의해 헨젤화 \(R^h\)가 G-환이고, \(R^h\)를 에탈 확대 \(R'\)들의 유향 여극한으로 쓸 수 있다. 여기서는 이전 정리의 증명을 이 경우에 다시 수행하여 증명한다.

\(a_i - c_i \in \mathfrak m^N\)을 만족하는 원소 \(c_i \in R\)를 잡자. 생성원 \(\mathfrak m^N = (d_1, \ldots, d_M)\)을 잡고 \(a_i = c_i + \sum a_{i, l} d_l\)로 쓰자. 다항식환 \(R[x_{i, l}]\)과 다음 원소들을 생각하자. \[g_j = f_j(c_1 + \sum x_{1, l} d_l , \ldots, c_n + \sum x_{n, l} d_{n, l}) \in R[x_{i, l}]\] 연립방정식 \(g_j = 0\)은 해 \((a_{i, l})\)을 갖는다. \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m')\)를 만족하는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m'\)이 딸린 어떤 에탈 환 사상 \(R \to R'\)에 대해 \(g_j\)가 \(R'\)에서 해 \((b_{i, l})\)을 가짐을 보일 수 있다고 하자. 그러면 \(b_i = c_i + \sum b_{i, l}d_l\)은 \((\mathfrak m')^N\)을 법으로 \(a_i\)와 합동인 \(f_j = 0\)의 해이다. 따라서 \(R^\wedge\) 위의 해의 존재가 \(\mathfrak m\) 위의 어떤 소아이디얼에서 자명한 잉여류체 확대를 유도하는 어떤 에탈 환 확대 위의 해의 존재를 함의함을 보이면 충분하다.

\(A \subset R^\wedge\)를 \(a_1, \ldots, a_n\)으로 생성되는 \(R\)-부분대수라 하자. \(R\)가 G-환, 즉 \(R \to R^\wedge\)가 정칙이라고 가정했으므로 다음 분해가 존재한다. \[A \to B \to R^\wedge\] 여기서 \(B\)는 \(R\) 위에서 매끄럽다. 정리 07GC를 보라. 잉여류체를 \(\kappa = R/\mathfrak m\)로 표기하자. 이는 \(R^\wedge\)의 잉여류체이기도 하므로 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ B \ar[rd] \ar@{..>}[r] & R' \ar@{..>}[d] \\ R \ar[r] \ar[u] & \kappa }\] 수직 화살표가 매끄러우므로 More on Algebra, Lemma 07M7에 의해 동형 \(R/\mathfrak m \to R'/\mathfrak mR'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(R \to R'\)와 위 도식을 가환이 되게 하는 \(R\)-대수 사상 \(B \to R'\)가 존재한다. \(b_i \in R'\)를 환 사상 \(A \to B \to R'\)에 의한 \(a_i\)의 상이라 하자. 이 사상들이 모두 \(R\)-대수 사상이므로 \((b_1, \ldots, b_n)\)은 \(R'\)에서의 해이다.

예

\((R, \mathfrak m)\)을 헨젤화가 \(R^h\)인 뇌터 국소환이라 하자. 완비화 사이의 사상 \(R^\wedge \to (R^h)^\wedge\)은 동형이다. More on Algebra, Lemma 06LJ을 보라. \(R^h\)도 뇌터이므로(같은 곳 참조), 완비화가 충실히 평탄하다는 사실에 의해 \(R^h\)를 그 완비화의 부분환으로 생각할 수 있다. 따라서 \(R^h\)를 \(R^\wedge\)의 부분환과 동일시할 수 있다.

\(R^\wedge\)의 어떤 원소가 \(R^h\)에 속하는지 알아보자. 단순성을 위해 \(R\)가 분수체 \(K\)를 갖는 정역이라고 가정한다. 분명히 \(R^h\)의 모든 원소 \(f\)는 \(R\) 위에서 대수적이다. 즉, \(n > 0\)이고 \(a_n \not = 0\)인 어떤 \(a_i \in R\)에 대해 \(a_n f^n + \ldots + a_1 f + a_0 = 0\) 꼴의 방정식이 존재한다.

거꾸로 \(f \in R^\wedge\), \(n \in \mathbf{N}\)이고 \(a_n \not = 0\)인 \(a_0, \ldots, a_n \in R\)가 \(a_n f^n + \ldots + a_1 f + a_0 = 0\)을 만족한다고 하자. \(R\)가 G-환이면 모든 \(N > 0\)에 대해 \(a_n g^n + \ldots + a_1 g + a_0 = 0\) 및 \(f - g \in \mathfrak m^N R^\wedge\)를 만족하는 원소 \(g \in R^h\)가 존재한다. 정리 07QZ를 보라. \(N \gg 0\)일 때 \(f = g\)라고 결론내리고자 한다. 그렇지 않다면 \(R^h\)에서 \(P(T)\)의 근 \(g\)를 무한히 많이 얻는다. 그러나 (1) \(R^h \subset R^h \otimes_R K\)이고 (2) \(R^h \otimes_R K\)가 \(K\)의 유한 개 체 확대의 곱이므로 이는 불가능하다. 실제로 \(R \to K\)는 단사이고 \(R \to R^h\)는 평탄하므로 \(R^h \to R^h \otimes_R K\)는 단사이며, (2)는 More on Algebra, Lemma 07QQ에서 따른다.

결론: \(R\)가 분수체 \(K\)를 갖는 뇌터 국소 정역이자 G-환이면, \(R^h \subset R^\wedge\)는 \(K\) 위에서 대수적인 모든 원소의 집합이다.

다음은 이 절의 주정리의 또 다른 변형이다.

보조정리

\(R\)를 뇌터 환이라 하고 \(\mathfrak p \subset R\)를 소아이디얼이라 하자. \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \((a_1, \ldots, a_n) \in ((R_\mathfrak p)^\wedge)^n\)가 해라고 하자. \(R_\mathfrak p\)가 G-환이면 모든 정수 \(N\)에 대해 다음이 존재한다.

1. 에탈 환 사상 \(R \to R'\),

2. \(\mathfrak p\) 위에 놓인 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset R'\),

3. \(R'\)에서의 해 \((b_1, \ldots, b_n) \in (R')^n\).

이들은 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\) 및 \(a_i - b_i \in (\mathfrak p')^N(R'_{\mathfrak p'})^\wedge\)를 만족한다.

증명

정리 07QZ에 의해 다음 조건을 만족하는 해 \((b'_1, \ldots, b'_n)\)을 어떤 환 \(R''\)에서 찾을 수 있다. 이 환은 \(R_\mathfrak p\) 위에서 에탈이고, \(\mathfrak p\) 위에 놓이며 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p'')\) 및 \(a_i - b'_i \in (\mathfrak p'')^N(R''_{\mathfrak p''})^\wedge\)를 만족하는 소아이디얼 \(\mathfrak p''\)이 딸려 있다. 어떤 에탈 \(R\)-대수 \(R'\)에 대해 \(R'' = R' \otimes_R R_\mathfrak p\)로 쓸 수 있다(Algebra, Lemma 00U2를 보라). 필요하면 \(R'\)을 주국소화로 바꾸어 \((b'_1, \ldots, b'_n)\)이 \(R'\)의 해 \((b_1, \ldots, b_n)\)에서 온다고 가정해도 된다. \(\mathfrak p' = R' \cap \mathfrak p''\)로 두면 \(R''_{\mathfrak p''} = R'_{\mathfrak p'}\)이므로 증명이 끝난다.

헨젤 쌍의 근사

절 07QX의 논의를 헨젤 쌍의 경우로 일반화할 수 있다. 헨젤 쌍은 More on Algebra, Section 09XD에서 정의하였다.

보조정리

\((A, I)\)를 \(A\)가 뇌터인 헨젤 쌍이라 하자. \(A^\wedge\)를 \(A\)의 \(I\)-진 완비화라 하자. 다음 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(A \to A^\wedge\)는 정칙 환 사상이다.

2. \(A\)는 뇌터 G-환이다.

3. \((A, I)\)는 \(B\)가 뇌터 G-환인 쌍 \((B, J)\)의 헨젤화이다 (More on Algebra, Lemma 0A02).

\(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\) 및 \(\hat{a}_1, \ldots, \hat{a}_n \in A^\wedge\)가 주어져 있고 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(f_j(\hat{a}_1, \ldots, \hat{a}_n) = 0\)이라 하자. 그러면 모든 \(N \geq 1\)에 대해 \(\hat{a}_i - a_i \in I^N\)이고 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(f_j(a_1, \ldots, a_n) = 0\)인 \(a_1, \ldots, a_n \in A\)가 존재한다.

증명

More on Algebra, Lemma 0AH3에 의해 (3)은 (2)를 함의한다. More on Algebra, Lemma 0AH2에 의해 (2)는 (1)을 함의한다. 따라서 \(A \to A^\wedge\)가 정칙 환 사상인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

\(\hat{a}_1, \ldots, \hat{a}_n\)을 보조정리의 명제에서와 같이 잡자. 정리 07GC에 의해 \(A \to P\)가 매끄럽고 \(B\)에서 \(f_j(b_1, \ldots, b_n) = 0\)인 \(b_1, \ldots, b_n \in B\)가 딸린 분해 \(A \to B \to A^\wedge\)를 찾을 수 있다. 합성을 \(\sigma : B \to A^\wedge \to A/I^N\)로 표기하자. More on Algebra, Lemma 07M7에 의해 동형 \(A/I^N \to A'/I^NA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)와 \(\sigma\)를 올리는 \(A\)-대수 사상 \(\tilde \sigma : B \to A'\)를 찾을 수 있다. \((A, I)\)가 헨젤이므로 \(A\)-대수 사상 \(\chi : A' \to A\)가 존재한다. More on Algebra, Lemma 09XI를 보라. 이제 \(a_i = \chi(\tilde \sigma(b_i))\)로 두면 해를 얻는다.