Sites et faisceaux

Introduction

La notion de site a été introduite par Grothendieck afin de pouvoir étudier les faisceaux pour la topologie étale des schémas. La référence fondamentale pour cette notion est peut-être [SGA4]. Notre notion de site diffère de celle de [SGA4] ; ce que nous appelons un site y est appelé une catégorie munie d’une prétopologie dans [SGA4, Exposé II, Définition 1.3]. Nous faisons ce choix parce qu’en géométrie algébrique il est souvent commode de travailler avec une classe donnée de recouvrements, par exemple lorsqu’on définit ce que signifie, pour une propriété des schémas, être locale pour une topologie donnée ; voir Descente, section 0347. Notre exposé suivra de près [ArtinTopologies]. Nous n’utiliserons pas d’univers.

Préfaisceaux

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Un préfaisceau d’ensembles est un foncteur contravariant \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{C}\) vers \(\textit{Ensembles}\) (voir Catégories, Remarque 001E). Ainsi, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous avons un ensemble \(\mathcal{F}(U)\). Les éléments de cet ensemble sont appelés les sections de \(\mathcal{F}\) sur \(U\). Pour tout morphisme \(f : V \to U\), l’application \(\mathcal{F}(f) : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) est appelée l’application de restriction et est souvent notée \(f^\ast : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\). Une autre façon d’exprimer ceci consiste à dire que \(f^*(s)\) est l’image inverse de \(s\) par \(f\). La fonctorialité signifie que \(g^* f^* (s) = (f \circ g)^*(s)\). Nous employons parfois la notation \(s|_V := f^\ast(s)\). Cette notation est compatible avec la notion de restriction des fonctions en topologie, car si \(W \to V \to U\) sont des morphismes dans \(\mathcal{C}\) et si \(s\) est une section de \(\mathcal{F}\) sur \(U\), alors \(s|_W = (s|_V)|_W\) en vertu de la nature fonctorielle de \(\mathcal{F}\). Il faut bien entendu être prudent, puisqu’il peut fort bien arriver qu’il existe plus d’un morphisme \(V \to U\), et il n’est certainement pas vrai alors que les applications d’image inverse correspondantes soient égales.

Définition

Un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) est un foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) vers \(\textit{Ensembles}\). Les morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturelles de foncteurs. La catégorie des préfaisceaux d’ensembles est notée \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\).

Remarquons que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), le foncteur des points \(h_U\), voir Catégories, Exemple 001O, est un préfaisceau. Ceux-ci sont appelés les préfaisceaux représentables. Ces préfaisceaux possèdent la propriété agréable suivante : pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\), nous avons [090F]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U). \end{equation}\] C’est le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P).

De même, nous pouvons définir la notion de préfaisceau de groupes abéliens, d’anneaux, etc. Plus généralement, nous pouvons définir un préfaisceau à valeurs dans une catégorie.

Définition

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{A}\) des catégories. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{A}\) est un foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) vers \(\mathcal{A}\), c’est-à-dire \(\mathcal{F} : \mathcal{C}^{opp} \to \mathcal{A}\). Un morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{A}\) est une transformation naturelle de foncteurs de \(\mathcal{F}\) vers \(\mathcal{G}\).

Ce sont les objets et les morphismes de la catégorie des préfaisceaux sur \(\mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{A}\).

Remarque

Comme nous l’avons déjà signalé, nous pouvons considérer la catégorie des préfaisceaux à valeurs dans l’une quelconque des « grandes » catégories énumérées dans Catégories, Remarque 0015. Ce seront elles aussi de « grandes » catégories, et elles seront ajoutées à la remarque précitée au fur et à mesure.

Morphismes injectifs et surjectifs de préfaisceaux

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, et soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de préfaisceaux d’ensembles.

1. Nous disons que \(\varphi\) est injectif si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) est injective.

2. Nous disons que \(\varphi\) est surjectif si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) est surjective.

Lemme

Les morphismes injectifs (resp. surjectifs) définis ci-dessus sont exactement les monomorphismes (resp. épimorphismes) de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). Un morphisme est un isomorphisme si et seulement s’il est à la fois injectif et surjectif.

Démonstration

Montrons que \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est injectif si et seulement si c’est un monomorphisme de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). Le sens direct est immédiat ; montrons donc le sens réciproque. Supposons que \(\varphi\) soit un monomorphisme. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) ; nous devons montrer que \(\varphi_U\) est injective. Soient donc \(a, b \in \mathcal{F}(U)\) tels que \(\varphi_U (a) = \varphi_U (b)\) ; nous devons vérifier que \(a = b\). Sous l’isomorphisme (090F), les éléments \(a\) et \(b\) de \(\mathcal{F}(U)\) correspondent à deux transformations naturelles \(a', b' \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F})\). De même, sous l’isomorphisme analogue \(\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{G}) = \mathcal{G}(U)\), les deux éléments égaux \(\varphi_U (a)\) et \(\varphi_U (b)\) de \(\mathcal{G}(U)\) correspondent aux deux transformations naturelles \(\varphi \circ a', \varphi \circ b' \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{G})\), qui doivent donc elles aussi être égales. Ainsi \(\varphi \circ a' = \varphi \circ b'\), et par conséquent \(a' = b'\) (puisque \(\varphi\) est un monomorphisme), d’où \(a = b\). Ceci achève (1).

Montrons que \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est surjectif si et seulement si c’est un épimorphisme de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). Le sens direct est immédiat ; montrons donc le sens réciproque. Supposons que \(\varphi\) soit un épimorphisme.

Pour deux morphismes quelconques \(f : A \to B\) et \(g : A \to C\) de la catégorie \(\textit{Ensembles}\), notons \(\text{inl}_{f,g}\) et \(\text{inr}_{f,g}\) les deux applications canoniques de \(B\) et \(C\) vers \(B \coprod_A C\). (Ici, la somme amalgamée est calculée dans \(\textit{Ensembles}\).)

Définissons maintenant un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{C}\) en posant \(\mathcal{H}(U) = \mathcal{G}(U) \coprod_{\mathcal{F}(U)} \mathcal{G}(U)\) (où la somme amalgamée est calculée dans \(\textit{Ensembles}\) et induite par l’application \(\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) ; son action sur les morphismes est définie de manière évidente (par la fonctorialité de la somme amalgamée). Il existe alors deux transformations naturelles \(i_1 : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) et \(i_2 : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) dont les composantes en un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) sont données respectivement par les applications \(\text{inl}_{\varphi_U, \varphi_U}\) et \(\text{inr}_{\varphi_U, \varphi_U}\). La définition d’une somme amalgamée montre que \(i_1 \circ \varphi = i_2 \circ \varphi\), d’où \(i_1 = i_2\) (puisque \(\varphi\) est un épimorphisme). Ainsi, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous avons \(\text{inl}_{\varphi_U, \varphi_U} = \text{inr}_{\varphi_U, \varphi_U}\). Par conséquent, \(\varphi_U\) doit être surjective (car un argument combinatoire élémentaire montre que si \(f : A \to B\) est un morphisme dans \(\textit{Ensembles}\), alors \(\text{inl}_{f,f} = \text{inr}_{f,f}\) si et seulement si \(f\) est surjective). Autrement dit, \(\varphi\) est surjectif, ce qui prouve (2).

Montrons que \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est à la fois injectif et surjectif si et seulement si c’est un isomorphisme de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). Cette fois, le sens réciproque est immédiat. Pour prouver le sens direct, il suffit d’observer que, si \(\varphi\) est à la fois injectif et surjectif, alors \(\varphi_U\) est une application inversible pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), et que les inverses de ces applications, pour tous les \(U\), se combinent en une transformation naturelle \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) qui est inverse de \(\varphi\).

Définition

Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un sous-préfaisceau de \(\mathcal{G}\) si, pour tout objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\) est un sous-ensemble de \(\mathcal{G}(U)\), de façon compatible avec les applications de restriction.

Autrement dit, les applications d’inclusion \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) se recollent pour donner un morphisme (injectif) de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Supposons que \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) soit un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Il existe un unique sous-préfaisceau \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) tel que \(\varphi\) se factorise en \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) et que le premier morphisme soit surjectif.

Démonstration

Pour établir l’existence, il suffit de poser \(\mathcal{G}'(U) = \varphi_U \left(\mathcal{F}(U)\right)\) pour tout \(U \in \Ob(C)\) (et d’hériter de l’action sur les morphismes de \(\mathcal{G}\)), puis de vérifier que cela définit un sous-préfaisceau de \(\mathcal{G}\) et que \(\varphi\) se factorise en \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\), le premier morphisme étant surjectif. L’unicité est immédiate.

Définition

Avec les notations du Lemme 00V9, nous disons que \(\mathcal{G}'\) est l’image de \(\varphi\).

Limites projectives et limites inductives de préfaisceaux

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les limites projectives et les limites inductives existent dans la catégorie \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). De plus, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), le foncteur \[\textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(U)\] commute aux limites projectives et aux limites inductives. La manière la plus simple de prouver ces assertions est peut-être la suivante. Étant donné un diagramme \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) définissons les préfaisceaux \[\mathcal{F}_{\lim} : U \longmapsto \lim_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{F}_i(U) \text{ et } \mathcal{F}_{\colim} : U \longmapsto \colim_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{F}_i(U)\] Il existe manifestement des morphismes de projection \(\mathcal{F}_{\lim} \to \mathcal{F}_i\) et des morphismes canoniques \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{\colim}\). Ces morphismes satisfont les conditions imposées aux morphismes d’une limite projective (resp. d’une limite inductive) de Catégories, Définition 002E (resp. Catégories, Définition 002F). En effet, ils forment manifestement un cône, resp. un cocône, sur \(\mathcal{F}\). En outre, si \((\mathcal{G}, q_i : \mathcal{G} \to \mathcal{F}_i)\) est un autre système (comme dans la définition d’une limite projective), alors, pour tout \(U\), nous obtenons un système de morphismes \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}_i(U)\) satisfaisant les conditions de fonctorialité appropriées. Il existe donc un unique morphisme \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}_{\lim}(U)\). On vérifie facilement que ces morphismes sont compatibles lorsque \(U\) varie et proviennent du morphisme recherché \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}_{\lim}\). Un argument analogue vaut dans le cas de la limite inductive.

Fonctorialité des catégories de préfaisceaux

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Dans ce cas, nous notons \[u^p : \textit{PSh}(\mathcal{D}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] le foncteur qui associe à \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\) le préfaisceau \(u^p\mathcal{G} = \mathcal{G} \circ u\). Remarquons, d’après la section précédente, que ce foncteur commute à toutes les limites projectives et inductives.

Pour \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), notons \(\mathcal{I}^u_V\) la catégorie définie par [053L]\[\begin{equation} \begin{matrix} \Ob(\mathcal{I}^u_V) & = & \{ (U, \phi) \mid U \in \Ob(\mathcal{C}), \phi : V \to u(U) \} \\ \Mor_{\mathcal{I}^u_V}((U, \phi), (U', \phi')) & = & \{ f : U \to U' \text{ dans }\mathcal{C} \mid u(f) \circ \phi = \phi' \} \end{matrix} \end{equation}\] Nous omettons parfois l’exposant \({}^u\) de la notation et écrivons simplement \(\mathcal{I}_V\). Nous utiliserons ces catégories pour définir un adjoint à gauche du foncteur \(u^p\). Avant cela, démontrons quelques lemmes techniques.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette les produits fibrés et les égalisateurs, et que \(u\) commute à ceux-ci. Alors les catégories \((\mathcal{I}_V)^{opp}\) satisfont les hypothèses du lemme de Catégories 002X.

Démonstration

Il y a deux conditions à vérifier.

Premièrement, supposons donnés trois objets \(\phi : V \to u(U)\), \(\phi' : V \to u(U')\) et \(\phi'' : V \to u(U'')\), ainsi que des morphismes \(a : U' \to U\), \(b : U'' \to U\) tels que \(u(a) \circ \phi' = \phi\) et \(u(b) \circ \phi'' = \phi\). Nous devons montrer qu’il existe un autre objet \(\phi''' : V \to u(U''')\) et des morphismes \(c : U''' \to U'\) et \(d : U''' \to U''\) tels que \(u(c) \circ \phi''' = \phi'\), \(u(d) \circ \phi''' = \phi''\) et \(a \circ c = b \circ d\). Prenons \(U''' = U' \times_U U''\), \(c\) et \(d\) étant les morphismes de projection. Cela convient puisque \(u\) commute aux produits fibrés ; nous omettons la vérification.

Deuxièmement, supposons donnés deux objets \(\phi : V \to u(U)\) et \(\phi' : V \to u(U')\), ainsi que des morphismes \(a, b : (U, \phi) \to (U', \phi')\). Nous devons trouver un morphisme \(c : (U'', \phi'') \to (U, \phi)\) qui égalise \(a\) et \(b\). Soit \(c : U'' \to U\) l’égalisateur de \(a\) et \(b\) dans la catégorie \(\mathcal{C}\). Puisque \(u\) commute aux égalisateurs et que \(u(a) \circ \phi = u(b) \circ \phi = \phi'\), nous obtenons un morphisme \(\phi'' : V \to u(U'')\).

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Supposons que

1. la catégorie \(\mathcal{C}\) possède un objet final \(X\) et que \(u(X)\) soit un objet final de \(\mathcal{D}\), et

2. la catégorie \(\mathcal{C}\) admette les produits fibrés et que \(u\) commute à ceux-ci.

Alors les catégories d’indices \((\mathcal{I}^u_V)^{opp}\) sont filtrantes (voir Catégories, Définition 002V).

Démonstration

Les hypothèses impliquent que celles du Lemme 00X4 sont satisfaites (voir la discussion de Catégories, section 04AS). D’après le lemme de Catégories 002X, \(\mathcal{I}_V\) est une réunion disjointe (éventuellement vide) de catégories filtrantes. Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{I}_V\) est connexe.

Montrons d’abord que \(\mathcal{I}_V\) est non vide. Soit en effet \(X\) l’objet final de \(\mathcal{C}\), qui existe par hypothèse. Soit \(V \to u(X)\) l’unique morphisme donné par le fait que \(u(X)\) est final dans \(\mathcal{D}\) par hypothèse. Cela fournit un objet de \(\mathcal{I}_V\).

Montrons ensuite que \(\mathcal{I}_V\) est connexe. Soient \(\phi_1 : V \to u(U_1)\) et \(\phi_2 : V \to u(U_2)\) des objets de \(\Ob(\mathcal{I}_V)\). Par hypothèse, \(U_1\times U_2\) existe et \(u(U_1\times U_2) = u(U_1)\times u(U_2)\). Considérons le morphisme \(\phi : V \to u(U_1\times U_2)\) correspondant à \((\phi_1, \phi_2)\) par la propriété universelle des produits. L’objet \(\phi : V \to u(U_1\times U_2)\) admet manifestement des morphismes vers \(\phi_1 : V \to u(U_1)\) et \(\phi_2 : V \to u(U_2)\).

Étant donné \(g : V' \to V\) dans \(\mathcal{D}\), nous obtenons un foncteur \(\overline{g} : \mathcal{I}_V \to \mathcal{I}_{V'}\) en posant \(\overline{g}(U, \phi) = (U, \phi \circ g)\) sur les objets. Étant donné un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), nous obtenons un foncteur \[\mathcal{F}_V : \mathcal{I}_V^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad (U, \phi) \longmapsto \mathcal{F}(U).\] Autrement dit, \(\mathcal{F}_V\) est un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{I}_V\). Remarquons que \(\mathcal{F}_{V'} \circ \overline{g} = \mathcal{F}_V\). Nous définissons \[u_p\mathcal{F}(V) = \colim_{\mathcal{I}_V^{opp}} \mathcal{F}_V\] La limite inductive fournit, pour chaque \((U, \phi) \in \Ob(\mathcal{I}_V)\), une application canonique \(\mathcal{F}(U)\xrightarrow{c(\phi)}u_p\mathcal{F}(V)\). Pour \(g : V' \to V\) comme ci-dessus, il existe une application canonique de restriction \(g^* : u_p\mathcal{F}(V) \to u_p\mathcal{F}(V')\) compatible avec \(\mathcal{F}_{V'} \circ \overline{g} = \mathcal{F}_V\) d’après Catégories, Lemme 002K. C’est l’unique application telle que, pour tout \((U, \phi) \in \Ob(\mathcal{I}_V)\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{c(\phi)} \ar[d]_{\text{id}} & u_p\mathcal{F}(V) \ar[d]^{g^*} \\ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{c(\phi \circ g)} & u_p\mathcal{F}(V') }\] soit commutatif. L’unicité de ces applications entraîne que nous obtenons un préfaisceau. Ce préfaisceau sera noté \(u_p\mathcal{F}\).

Lemme

Il existe une application canonique \(\mathcal{F}(U) \to u_p\mathcal{F}(u(U))\), compatible avec les applications de restriction (de \(\mathcal{F}\) et de \(u_p\mathcal{F}\)).

Démonstration

C’est simplement l’application \(c(\text{id}_{u(U)})\) introduite ci-dessus.

Remarquons que tout morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) donne naissance à des systèmes compatibles de morphismes entre foncteurs \(\mathcal{F}_V \to \mathcal{F}'_V\), et donc à un morphisme de préfaisceaux \(u_p\mathcal{F} \to u_p\mathcal{F}'\). Autrement dit, nous avons défini un foncteur \[u_p : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{D})\]

Lemme

Le foncteur \(u_p\) est adjoint à gauche du foncteur \(u^p\). Autrement dit, la formule \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, u^p\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(u_p\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est bifonctorielle en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{D}\) et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Nous allons démontrer la formule affichée en construisant des applications dans les deux sens. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu’elles sont inverses l’une de l’autre.

Étant donné un morphisme \(\alpha : u_p \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), nous obtenons \(u^p\alpha : u^p u_p \mathcal{F} \to u^p \mathcal{G}\). Le Lemme 00VD affirme qu’il existe un morphisme \(\mathcal{F} \to u^p u_p \mathcal{F}\). La composée des deux donne le morphisme recherché. (L’intérêt de cette construction est qu’elle est manifestement fonctorielle en toutes les données en présence.)

Réciproquement, étant donné un morphisme \(\beta : \mathcal{F} \to u^p\mathcal{G}\), nous obtenons un morphisme \(u_p\beta : u_p\mathcal{F} \to u_p u^p\mathcal{G}\). Soit \(V \in \Ob(\mathcal{D})\). Nous affirmons que le foncteur \(u^p\mathcal{G}_V\) sur \(\mathcal{I}_V\) admet un morphisme canonique vers le foncteur constant de valeur \(\mathcal{G}(V)\). En effet, pour tout objet \((U, \phi)\) de \(\mathcal{I}_V\), la valeur de \(u^p\mathcal{G}_V\) en cet objet est \(\mathcal{G}(u(U))\), qui s’envoie dans \(\mathcal{G}(V)\) par \(\mathcal{G}(\phi) = \phi^*\). C’est une transformation naturelle de foncteurs parce que \(\mathcal{G}\) est lui-même un foncteur. Cela fournit un morphisme \(u_p u^p \mathcal{G}(V) \to \mathcal{G}(V)\). Une autre vérification immédiate montre que celui-ci est fonctoriel en \(V\), ce qui donne un morphisme de préfaisceaux \(u_p u^p \mathcal{G} \to \mathcal{G}\). La composée \(u_p\mathcal{F} \to u_p u^p\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est le morphisme recherché.

Remarque

Supposons que \(\mathcal{A}\) soit une catégorie telle que tout diagramme \(\mathcal{I}_Y \to \mathcal{A}\) admette une limite inductive dans \(\mathcal{A}\). Il est alors clair qu’il existe des foncteurs \(u^p\) et \(u_p\), définis exactement comme ci-dessus, entre les catégories de préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{A}\). De plus, l’adjonction du couple \(u^p\) et \(u_p\) subsiste dans ce cadre.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous avons \(u_ph_U = h_{u(U)}\).

Démonstration

Par l’adjonction de \(u_p\) et \(u^p\), nous avons \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(u_ph_U, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, u^p\mathcal{G}) = u^p\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(u(U))\] et le lemme de Yoneda montre donc que \(u_ph_U = h_{u(U)}\) en tant que préfaisceaux.

Sites

Notre notion de site fait appel au type de structures suivant.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie ; voir Conventions, section 0005. Une famille de morphismes à cible fixée dans \(\mathcal{C}\) est donnée par un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i\in I\), un morphisme \(U_i \to U\) de \(\mathcal{C}\) de cible \(U\). Nous la noterons \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\).

Il se peut que l’ensemble \(I\) soit vide ! Cette notation vise à évoquer un recouvrement ouvert, comme en topologie.

Définition

Un site¹ est la donnée d’une catégorie \(\mathcal{C}\) et d’un ensemble \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) de familles de morphismes à cible fixée \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\), appelées recouvrements de \(\mathcal{C}\), qui satisfont aux axiomes suivants :

1. Si \(V \to U\) est un isomorphisme, alors \(\{V \to U\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\).

2. Si \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) et si, pour chaque \(i\), on a \(\{V_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\), alors \(\{V_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\).

3. Si \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{C})\) et si \(V \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(U_i \times_U V\) existe pour tout \(i\) et \(\{U_i \times_U V \to V \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\).

Précisions. Dans l’axiome (1), on exige qu’il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(I = \{i\}\) soit un singleton et que le morphisme \(U_i \to U\) soit égal au morphisme \(V \to U\) donné en (1). Dans la suite, nous désignerons souvent par \(\{V \to U\}\) une famille de morphismes à cible fixée dont l’ensemble d’indices est un singleton. Dans l’axiome (3), on exige l’existence du recouvrement pour un certain choix des produits fibrés \(U_i \times_U V\), \(i \in I\).

Remarque

(À propos des questions ensemblistes ; à omettre en première lecture.) La raison principale pour laquelle nous introduisons les sites est l’étude de la catégorie des faisceaux sur un site, car elle généralise la catégorie des faisceaux sur un espace topologique, qui joue un rôle si important en géométrie algébrique. Afin de ne pas avoir à considérer des objets tels que des « classes de classes », et ainsi de suite, nous n’autoriserons pas les sites à être des catégories « grandes », contrairement à ce que nous faisons pour les catégories et les \(2\)-catégories.

Supposons que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie et que \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) soit une classe propre de recouvrements satisfaisant (1), (2) et (3) ci-dessus. Nous ne l’autoriserons pas non plus comme site, principalement parce que nous prendrons des limites sur les recouvrements. Il existe toutefois plusieurs façons naturelles de remplacer \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) par un ensemble de recouvrements, ou par une structure légèrement différente, qui donnent lieu à la même catégorie de faisceaux. Par exemple :

1. Dans Ensembles, section 000W, nous montrons comment choisir un ensemble approprié de recouvrements qui donne la même catégorie de faisceaux.

2. On peut aussi prendre la topologie associée (voir la définition 00ZD). La topologie ainsi obtenue sur \(\mathcal{C}\) possède la même catégorie de faisceaux. Deux topologies ont les mêmes catégories de faisceaux si et seulement si elles sont égales ; voir le théorème 00ZP. Une topologie sur une catégorie est donnée par un choix de cribles sur les objets. La collection de tous les cribles possibles, et même celle de toutes les topologies possibles sur \(\mathcal{C}\), est un ensemble.

3. On pourrait également modifier légèrement la notion de site ; voir la remarque 00ZF ci-dessous. On obtiendrait alors un ensemble canonique de recouvrements.

Chacune de ces solutions présente un inconvénient mineur. Pour la première, il faut vérifier que les constructions ultérieures ne dépendent pas du choix de l’ensemble de recouvrements. Pour la deuxième, il faut se familiariser avec les topologies et reprendre de nombreux arguments concernant les sites. Pour la troisième, voir la dernière phrase de la remarque 00ZF.

Notre approche consistera à travailler avec les sites de la définition 00VH ci-dessus. Étant donnée une catégorie \(\mathcal{C}\) munie d’une classe propre de recouvrements comme ci-dessus, nous remplacerons celle-ci par un ensemble de recouvrements donnant un site, au moyen d’Ensembles, lemme 000X. Le lemme 00VY ci-dessous montre que la catégorie de faisceaux obtenue (le topos) est indépendante de ce choix. Nous laissons au lecteur le soin d’employer, s’il le souhaite, l’une des deux autres stratégies pour traiter ces questions.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_{Zar}\) la catégorie dont les objets sont tous les ouverts \(U\) de \(X\) et dont les morphismes sont simplement les applications d’inclusion. Autrement dit, il existe au plus un morphisme entre deux objets quelconques de \(X_{Zar}\). Posons maintenant \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\in \text{Cov}(X_{Zar})\) si et seulement si \(\bigcup U_i = U\). Les conditions (1) et (2) ci-dessus sont claires, et (3) l’est également dès que l’on remarque que, dans \(X_{Zar}\), on a \(U \times V = U \cap V\). Notons en particulier que l’ensemble vide doit être un élément de \(X_{Zar}\), faute de quoi cela ne fonctionnerait pas en général. De plus, comme nous le verrons plus tard, il est tout aussi important d’autoriser le recouvrement vide de l’ensemble vide comme recouvrement ! Nous faisons de \(X_{Zar}\) un site en choisissant un ensemble approprié de recouvrements \(\text{Cov}(X_{Zar})_{\kappa, \alpha}\) comme dans Ensembles, lemme 000X. Les préfaisceaux et les faisceaux (au sens défini ci-dessous) sur le site \(X_{Zar}\) coïncident exactement avec les notions usuelles de préfaisceau et de faisceau sur un espace topologique, définies dans Faisceaux, section 006B.

Exemple

Soit \(G\) un groupe. Considérons la catégorie \(G\textit{-Ensembles}\) dont les objets sont les ensembles \(X\) munis d’une action à gauche de \(G\) et dont les morphismes sont les applications \(G\)-équivariantes. Un exemple important est \({}_GG\), le \(G\)-ensemble dont l’ensemble sous-jacent est \(G\) et dont l’action est donnée par la multiplication à gauche. Cette catégorie possède des produits fibrés ; voir Catégories, section 0020. Nous déclarons que \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) est un recouvrement si \(\bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i) = U\). On obtient ainsi une classe de recouvrements sur \(G\textit{-Ensembles}\) dont on vérifie aisément qu’elle satisfait les conditions (1), (2) et (3) de la définition 00VH. Le résultat n’est pas un site, car tant la collection des objets de la catégorie sous-jacente que la collection des recouvrements forment une classe propre. Nous remplaçons d’abord \(G\textit{-Ensembles}\) par une sous-catégorie pleine \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\) comme dans Ensembles, lemme 000U. Le site \((G\textit{-Ensembles}_\alpha, \text{Cov}_{\kappa, \alpha'}(G\textit{-Ensembles}_\alpha))\) obtenu ensuite en restreignant convenablement la collection des recouvrements, comme dans Ensembles, lemme 000X, sera noté \(\mathcal{T}_G\).

Dans le cas particulier où le groupe \(G\) est dénombrable, on peut prendre pour \(\mathcal{T}_G\) la catégorie des \(G\)-ensembles dénombrables et pour recouvrements les familles conjointement surjectives de morphismes \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) telles que \(I\) soit dénombrable.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Il existe une manière canonique d’en faire un site dans lequel les \(\{f : V \to U \mid f\text{ est un isomorphisme}\}\) sont les recouvrements de \(U\). Les faisceaux sur ce site sont les préfaisceaux sur \(\mathcal{C}\). La topologie correspondante est appelée topologie chaotique ou topologie grossière.

Faisceaux

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Avant d’introduire la notion de faisceau à valeurs dans une catégorie, expliquons ce que signifie, pour un préfaisceau d’ensembles, être un faisceau. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) et soit \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) un élément de \(\text{Cov}(\mathcal{C})\). Par hypothèse, tous les produits fibrés \(U_i \times_U U_j\) existent dans \(\mathcal{C}\). Il existe deux applications naturelles \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) }\] que nous noterons \(\text{pr}^*_i\), \(i = 0, 1\), comme indiqué dans la formule ci-dessus. En effet, un élément du membre de gauche correspond à une famille \((s_i)_{i\in I}\), où chaque \(s_i\) est une section de \(\mathcal{F}\) sur \(U_i\). Pour chaque couple \((i_0, i_1) \in I \times I\), on dispose des morphismes de projection \[\text{pr}^{(i_0, i_1)}_{i_0} : U_{i_0} \times_U U_{i_1} \longrightarrow U_{i_0} \text{ et } \text{pr}^{(i_0, i_1)}_{i_1} : U_{i_0} \times_U U_{i_1} \longrightarrow U_{i_1}.\] On peut donc prendre soit l’image inverse de la section \(s_{i_0}\) par la première de ces applications, soit celle de la section \(s_{i_1}\) par la seconde. Explicitement, les applications mentionnées ci-dessus sont \[\text{pr}_0^* : (s_i)_{i\in I} \longmapsto \Big( \text{pr}^{(i_0, i_1), *}_{i_0}(s_{i_0}) \Big)_{(i_0, i_1) \in I \times I}\] et \[\text{pr}_1^* : (s_i)_{i\in I} \longmapsto \Big( \text{pr}^{(i_0, i_1), *}_{i_1}(s_{i_1}) \Big)_{(i_0, i_1) \in I \times I}.\] Considérons enfin l’application naturelle \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i), \quad s \longmapsto (s|_{U_i})_{i \in I}\] où la notation \(s|_{U_i}\) désigne l’image inverse de \(s\) par l’application \(U_i \to U\). La fonctorialité de \(\mathcal{F}\) et la commutativité des diagrammes de produits fibrés montrent clairement que \(\text{pr}_0^*( (s|_{U_i})_{i \in I} ) = \text{pr}_1^*( (s|_{U_i})_{i \in I} )\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). On dit que \(\mathcal{F}\) est un faisceau si, pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\), le diagramme [00VN]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) } \end{equation}\] présente la première flèche comme l’égalisateur de \(\text{pr}_0^*\) et \(\text{pr}_1^*\).

Autrement dit, si l’on se donne des sections \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) telles que \[s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\] dans \(\mathcal{F}(U_i \times_U U_j)\) pour tout couple \((i, j) \in I \times I\), alors il existe un unique \(s \in \mathcal{F}(U)\) tel que \(s_i = s|_{U_i}\).

Remarque

Si le recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est la famille vide (c’est-à-dire si \(I = \emptyset\)), la condition de faisceau signifie que \(\mathcal{F}(U) = \{*\}\) est un singleton. En effet, dans (00VN), les deuxième et troisième ensembles sont des produits vides dans la catégorie des ensembles ; ce sont des objets finaux de cette catégorie, donc des singletons.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_{Zar}\) le site construit dans l’exemple 00VJ. La notion de faisceau sur \(X_{Zar}\) coïncide avec celle de faisceau sur \(X\) introduite dans Faisceaux, définition 006T.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Considérons le site \(X'_{Zar}\), identique au site \(X_{Zar}\) de l’exemple 00VJ, à ceci près que nous n’autorisons pas le recouvrement vide de l’ensemble vide. Autrement dit, nous autorisons le recouvrement \(\{\emptyset \to \emptyset\}\), mais non le recouvrement dont l’ensemble d’indices est vide. On vérifie aisément que cela définit encore un site. Nous affirmons toutefois que les faisceaux sur \(X'_{Zar}\) diffèrent de ceux sur \(X_{Zar}\). Comme cas extrême, considérons par exemple la situation où \(X = \{p\}\) est un singleton. Les objets de \(X'_{Zar}\) sont alors \(\emptyset, X\), tout recouvrement de \(\emptyset\) admet \(\{\emptyset \to \emptyset\}\) comme raffinement et tout recouvrement de \(X\) admet \(\{X \to X\}\) comme raffinement. Un faisceau sur ce site est clairement donné par un choix arbitraire d’un ensemble \(\mathcal{F}(\emptyset)\) et d’un ensemble \(\mathcal{F}(X)\), ainsi que d’une application de restriction \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(\emptyset)\). Ainsi, les faisceaux sur \(X'_{Zar}\) sont les faisceaux usuels sur l’espace à deux points \(\{\eta, p\}\) dont les ouverts sont \(\{\emptyset, \{\eta\}, \{p, \eta\}\}\). En général, les faisceaux sur \(X'_{Zar}\) sont les faisceaux sur l’espace \(X \amalg \{\eta\}\) dont les ouverts sont l’ensemble vide et tous les ensembles de la forme \(U \cup \{\eta\}\), où \(U \subset X\) est ouvert.

Définition

La catégorie \(\Sh(\mathcal{C})\) des faisceaux d’ensembles est la sous-catégorie pleine de la catégorie \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) dont les objets sont les faisceaux d’ensembles.

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie. Si les produits indexés par \(I\) et par \(I \times I\) existent dans \(\mathcal{A}\) pour tout \(I\) qui intervient comme ensemble d’indices d’une famille couvrante, alors la définition 00VM ci-dessus a un sens et définit une notion de faisceau sur \(\mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{A}\). Remarquons que le diagramme dans \(\mathcal{A}\) \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) }\] est un diagramme égalisateur si et seulement si, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{A}\), le diagramme d’ensembles \[\xymatrix{ \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U)) \ar[r] & \prod \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U_i)) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1})) }\] est un diagramme égalisateur.

Supposons \(\mathcal{A}\) arbitraire. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{A}\). Choisissons un objet quelconque \(X\in \Ob(\mathcal{A})\). On obtient alors un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}_X\) défini par la règle \[\mathcal{F}_X(U) = \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U)).\] Il résulte de ce qui précède qu’une bonne définition consiste à exiger que tous les préfaisceaux \(\mathcal{F}_X\) soient des faisceaux d’ensembles.

Définition

Soient \(\mathcal{C}\) un site, \(\mathcal{A}\) une catégorie et \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{A}\). On dit que \(\mathcal{F}\) est un faisceau si, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{A}\), le préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}_X\) (défini ci-dessus) est un faisceau.

Familles de morphismes à cible fixée

Cette section introduit quelques notions relatives aux familles de morphismes ayant la même cible.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\) une famille de morphismes de \(\mathcal{C}\) à cible fixée. Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\) une autre telle famille.

1. Un morphisme de familles de morphismes à cible fixée de \(\mathcal{C}\) de \(\mathcal{U}\) vers \(\mathcal{V}\), ou simplement un morphisme de \(\mathcal{U}\) vers \(\mathcal{V}\), est donné par un morphisme \(U \to V\), une application d’ensembles \(\alpha : I \to J\) et, pour chaque \(i\in I\), un morphisme \(U_i \to V_{\alpha(i)}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & V_{\alpha(i)} \ar[d] \\ U \ar[r] & V }\] soit commutatif.

2. Dans le cas particulier où \(U = V\) et où \(U \to V\) est l’identité, nous disons que \(\mathcal{U}\) est un raffinement de la famille \(\mathcal{V}\).

Une remarque triviale mais importante est que, si \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) est la famille vide de morphismes, c’est-à-dire si \(J = \emptyset\), aucune famille \(\mathcal{U} = \{U_i \to V\}_{i \in I}\) avec \(I \not = \emptyset\) ne peut raffiner \(\mathcal{V}\) !

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) et \(\mathcal{V} = \{\psi_j : V_j \to U\}_{j\in J}\) deux familles de morphismes à cible fixée.

1. Nous disons que \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{V}\) sont combinatoirement équivalentes s’il existe des applications \(\alpha : I \to J\) et \(\beta : J\to I\) telles que \(\varphi_i = \psi_{\alpha(i)}\) et \(\psi_j = \varphi_{\beta(j)}\).

2. Nous disons que \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{V}\) sont tautologiquement équivalentes s’il existe des applications \(\alpha : I \to J\) et \(\beta : J\to I\) ainsi que, pour tout \(i\in I\) et tout \(j \in J\), des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U_i \ar[rd] \ar[rr] & & V_{\alpha(i)} \ar[ld] & & V_j \ar[rd] \ar[rr] & & U_{\beta(j)} \ar[ld] \\ & U & & & & U & }\] dont les flèches horizontales sont des isomorphismes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) et \(\mathcal{V} = \{\psi_j : V_j \to U\}_{j\in J}\) deux familles de morphismes ayant la même cible fixée.

1. Si \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{V}\) sont combinatoirement équivalentes, alors elles sont tautologiquement équivalentes.

2. Si \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{V}\) sont tautologiquement équivalentes, alors \(\mathcal{U}\) est un raffinement de \(\mathcal{V}\) et \(\mathcal{V}\) est un raffinement de \(\mathcal{U}\).

3. La relation « être combinatoirement équivalentes » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des familles de morphismes à cible fixée.

4. La relation « être tautologiquement équivalentes » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des familles de morphismes à cible fixée.

5. La relation « \(\mathcal{U}\) raffine \(\mathcal{V}\) et \(\mathcal{V}\) raffine \(\mathcal{U}\) » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des familles de morphismes à cible fixée.

Démonstration

Omis.

Dans le lemme suivant, étant donnés une catégorie \(\mathcal{C}\), un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) et une famille \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\) telle que tous les produits fibrés \(U_i \times_U U_{i'}\) existent, nous dirons que la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{U}\) est satisfaite si le diagramme (00VN) est un diagramme égalisateur.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) et \(\mathcal{V} = \{\psi_j : V_j \to U\}_{j\in J}\) deux familles de morphismes ayant la même cible fixée. Supposons que les produits fibrés \(U_i \times_U U_{i'}\) et \(V_j \times_U V_{j'}\) existent. Si \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{V}\) sont tautologiquement équivalentes, alors, pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{U}\) équivaut à la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{V}\).

Démonstration

Remarquons d’abord que, si \(\varphi : A \to B\) est un isomorphisme dans la catégorie \(\mathcal{C}\), alors \(\varphi^* : \mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A)\) est un isomorphisme. Soit \(\beta : J \to I\) une application et soient \(\chi_j : V_j \to U_{\beta(j)}\) des isomorphismes au-dessus de \(U\), dont l’existence résulte de l’hypothèse. Montrons que la condition de faisceau pour \(\mathcal{V}\) implique celle pour \(\mathcal{U}\). Supposons données des sections \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) telles que \[s_i|_{U_i \times_U U_{i'}} = s_{i'}|_{U_i \times_U U_{i'}}\] dans \(\mathcal{F}(U_i \times_U U_{i'})\) pour tout couple \((i, i') \in I \times I\). On peut alors poser \(s_j = \chi_j^*s_{\beta(j)}\). Pour tout couple \((j, j') \in J \times J\), le morphisme \(\chi_j \times_{\text{id}_U} \chi_{j'} : V_j \times_U V_{j'} \to U_{\beta(j)} \times_U U_{\beta(j')}\) est lui aussi un isomorphisme. Par transport de structure, on voit donc que \[s_j|_{V_j \times_U V_{j'}} = s_{j'}|_{V_j \times_U V_{j'}}\] également. La condition de faisceau relativement à \(\mathcal{V}\) implique qu’il existe un unique \(s\) tel que \(s|_{V_j} = s_j\) pour tout \(j \in J\). D’après la première observation de la démonstration, cela implique aussi que \(s|_{U_i} = s_i\) pour tout \(i \in \Im(\beta)\). Supposons que \(i \in I\) et \(i \not \in \Im(\beta)\). Pour un tel \(i\), on dispose d’isomorphismes \(U_i \to V_{\alpha(i)} \to U_{\beta(\alpha(i))}\) au-dessus de \(U\). Cela donne un morphisme \(U_i \to U_i \times_U U_{\beta(\alpha(i))}\) qui est une section de la projection. Puisque \(s_i\) et \(s_{\beta(\alpha(i))}\) ont la même restriction au produit fibré, on en conclut que \(s_{\beta(\alpha(i))}\) a pour image inverse \(s_i\) par le morphisme \(U_i \to U_{\beta(\alpha(i))}\). Ainsi, on a également \(s_i = s|_{U_i}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un morphisme de familles de morphismes à cible fixée de \(\mathcal{C}\) donné par \(\text{id} : U \to U\), \(\alpha : J \to I\) et \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j)\) est injective, alors \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{i \in I} \mathcal{F}(U_i)\) est injective.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un morphisme de familles de morphismes à cible fixée de \(\mathcal{C}\) donné par \(\text{id} : U \to U\), \(\alpha : J \to I\) et \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Si

1. les produits fibrés \(U_i \times_U U_{i'}\), \(U_i \times_U V_j\) et \(V_j \times_U V_{j'}\) existent,

2. \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau relativement à \(\mathcal{V}\), et

3. pour tout \(i \in I\), l’application \(\mathcal{F}(U_i) \to \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j \times_U U_i)\) est injective,

alors \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau relativement à \(\mathcal{U}\).

Démonstration

D’après le lemme 0G1K, l’application \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\) est injective. Supposons donnés des \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) tels que \(s_i|_{U_i \times_U U_{i'}} = s_{i'}|_{U_i \times_U U_{i'}}\) pour tous \(i, i' \in I\). Posons \(s_j = f_j^*(s_{\alpha(j)}) \in \mathcal{F}(V_j)\). Puisque les morphismes \(f_j\) sont des morphismes au-dessus de \(U\), on obtient des morphismes induits \(f_{jj'} : V_j \times_U V_{j'} \to U_{\alpha(i)} \times_U U_{\alpha(i')}\) compatibles avec \(f_j, f_{j'}\) par les morphismes de projection. Il s’ensuit que \[s_j|_{V_j \times_U V_{j'}} = f_{jj'}^*(s_{\alpha(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\alpha(j')}}) = f_{jj'}^*(s_{\alpha(j')}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\alpha(j')}}) = s_{j'}|_{V_j \times_U V_{j'}}\] pour tous \(j, j' \in J\). La condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{V}\) fournit donc une section \(s \in \mathcal{F}(U)\) dont la restriction est \(s_j\) sur chaque \(V_j\). Il suffit de montrer que \(s\) se restreint en \(s_i\) sur \(U_i\), quel que soit \(i \in I\). Comme \(\mathcal{F}\) vérifie (3), il suffit de montrer que \(s\) et \(s_i\) ont la même restriction à \(U_i \times_U V_j\) pour tout \(j \in J\). Pour cela, on utilise \[s|_{U_i \times_U V_j} = s_j|_{U_i \times_U V_j} = (\text{id} \times f_j)^*s_{\alpha(j)}|_{U_i \times_U U_{\alpha(j)}} = (\text{id} \times f_j)^*s_i|_{U_i \times_U U_{\alpha(j)}} = s_i|_{U_i \times_U V_j}\] comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\text{Cov}_i\), \(i = 1, 2\), deux ensembles de familles de morphismes à cible fixée qui définissent chacun une structure de site sur \(\mathcal{C}\).

1. Si tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1\) est tautologiquement équivalent à un certain \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_2\), alors \(\Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_2) \subset \Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_1)\). Si, de plus, tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_2\) est tautologiquement équivalent à un certain \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_1\), alors les catégories de faisceaux sont égales.

2. Supposons que, pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1\), il existe un \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_2\) tel que \(\mathcal{V}\) raffine \(\mathcal{U}\). Dans ce cas, \(\Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_2) \subset \Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_1)\). Si, de plus, pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_2\), il existe un \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_1\) tel que \(\mathcal{V}\) raffine \(\mathcal{U}\), alors les catégories de faisceaux sont égales.

Démonstration

La partie (1) résulte directement du lemme 00VW et des définitions.

Démonstration de (2). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles pour le site \((\mathcal{C}, \text{Cov}_2)\). Soit \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1\), disons \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\). Par hypothèse, on peut choisir un raffinement \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_2\) de \(\mathcal{U}\), disons \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J}\), le raffinement étant donné par \(\alpha : J \to I\) et \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\). Observons que \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour \(\mathcal{V}\) et pour les recouvrements \(\{V_j \times_U U_i \to U_i\}_{j \in J}\), puisque ceux-ci appartiennent à \(\text{Cov}_2\). Le lemme 0G1L montre donc que \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour \(\mathcal{U}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) une classe propre de recouvrements satisfaisant les conditions (1), (2) et (3) de la définition 00VH. Soient \(\text{Cov}_1, \text{Cov}_2 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\) deux parties de \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) qui munissent \(\mathcal{C}\) d’une structure de site. Si tout recouvrement \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement de \(\text{Cov}_1\) et combinatoirement équivalent à un recouvrement de \(\text{Cov}_2\), alors \(\Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_1) = \Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_2)\).

Démonstration

C’est clair d’après les lemmes 00VX et 00VV ci-dessus, puisque l’hypothèse implique que tout recouvrement \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\) est combinatoirement équivalent à un élément de \(\text{Cov}_2\), et de même après échange des rôles de \(\text{Cov}_1\) et de \(\text{Cov}_2\).

L’exemple des G-ensembles

Comme exemple, considérons le site \(\mathcal{T}_G\) de l’Exemple 00VK. Nous allons décrire la catégorie des faisceaux sur \(\mathcal{T}_G\). La réponse se révélera indépendante des choix faits dans la définition de \(\mathcal{T}_G\). En fait, au cours de la démonstration, nous n’aurons besoin que des propriétés suivantes du site \(\mathcal{T}_G\) :

1. \(\mathcal{T}_G\) est une sous-catégorie pleine de \(G\textit{-Ensembles}\),

2. \(\mathcal{T}_G\) contient le \(G\)-ensemble \({}_GG\),

3. \(\mathcal{T}_G\) admet des produits fibrés et ceux-ci sont les mêmes que dans \(G\textit{-Ensembles}\),

4. étant donné \(U \in \Ob(\mathcal{T}_G)\) et un sous-ensemble \(G\)-invariant \(O \subset U\), il existe un objet de \(\mathcal{T}_G\) isomorphe à \(O\), et

5. toute famille surjective d’applications \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\), avec \(U, U_i \in \Ob(\mathcal{T}_G)\), est combinatoirement équivalente à un recouvrement de \(\mathcal{T}_G\).

Ces propriétés découlent de Ensembles, Lemmes 000V et 000X.

Remarquons que l’application \[\Hom_G({}_GG, {}_GG) \longrightarrow G^{opp}, \varphi \longmapsto \varphi(1)\] est un isomorphisme de groupes. L’application réciproque envoie \(g \in G\) sur l’application \(R_g : s \mapsto sg\) (c.-à-d. la multiplication à droite). Notons que \(R_{g_1g_2} = R_{g_2} \circ R_{g_1}\), de sorte que le passage au groupe opposé est nécessaire.

Il en résulte que, pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{T}_G\), l’ensemble \(\mathcal{F}({}_GG)\) hérite d’une structure de \(G\)-ensemble comme suit : \(g \cdot s\), pour \(g \in G\) et \(s \in \mathcal{F}({}_GG)\), est défini par \(\mathcal{F}(R_g)(s)\). Il s’agit d’une action à gauche car \[(g_1g_2) \cdot s = \mathcal{F}(R_{g_1g_2})(s) = \mathcal{F}(R_{g_2}\circ R_{g_1})(s) = \mathcal{F}(R_{g_1})( \mathcal{F}(R_{g_2})(s)) = g_1 \cdot (g_2 \cdot s).\] Nous avons utilisé ici le fait que \(\mathcal{F}\) est contravariant. Notons que, si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{T}_G\), nous obtenons alors une application \(\mathcal{F}({}_GG) \to \mathcal{G}({}_GG)\) compatible avec les actions de \(G\) que nous venons de définir. En définitive, nous avons construit un foncteur \[\textit{PSh}(\mathcal{T}_G) \longrightarrow G\textit{-Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}({}_GG).\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette construction possède l’agréable propriété d’envoyer le préfaisceau représentable \(h_U\) sur un objet canoniquement isomorphe à \(U\). En formule, \(h_U({}_GG) = \Hom_G({}_GG, U) \cong U\).

Supposons que \(S\) soit un \(G\)-ensemble. Nous définissons un préfaisceau \(\mathcal{F}_S\) par la formule² \[\mathcal{F}_S(U) = \Mor_{G\textit{-Ensembles}}(U, S).\] C’est manifestement un préfaisceau. D’autre part, supposons que \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{T}_G\). Il en résulte que \(\coprod_i U_i \to U\) est surjective. Il est donc clair que l’application \[\mathcal{F}_S(U) = \Mor_{G\textit{-Ensembles}}(U, S) \longrightarrow \prod \mathcal{F}_S(U_i) = \prod \Mor_{G\textit{-Ensembles}}(U_i, S)\] est injective. Et, étant donnée une famille d’applications \(G\)-équivariantes \(s_i : U_i \to S\), telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ U_i \times_U U_j \ar[d] \ar[r] & U_j \ar[d]^{s_j} \\ U_i \ar[r]^{s_i} & S }\] commutent, il existe une unique application \(G\)-équivariante \(s : U \to S\) telle que \(s_i\) soit la composée \(U_i \to U \to S\). En effet, il suffit de définir \(s(u) = s_i(u_i)\), où \(i\in I\) est un indice quelconque tel qu’il existe un \(u_i \in U_i\) s’envoyant sur \(u\) par l’application \(U_i \to U\). La commutativité des diagrammes ci-dessus signifie exactement que cette construction est bien définie. En définitive, nous avons construit un foncteur \[G\textit{-Ensembles} \longrightarrow \Sh(\mathcal{T}_G), \quad S \longmapsto \mathcal{F}_S .\]

Nous avons maintenant le diagramme suivant de catégories et de foncteurs \[\xymatrix{ \textit{PSh}(\mathcal{T}_G) \ar[rr]^{\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}({}_GG)} & & G\textit{-Ensembles} \ar[ld]_{S \mapsto \mathcal{F}_S} \\ & \Sh(\mathcal{T}_G) \ar[lu] & }\] Il découle immédiatement des définitions que \(\mathcal{F}_S({}_GG) = \Mor_G({}_GG, S) = S\), la dernière égalité résultant de l’évaluation en \(1\). Ceci démontre presque la proposition suivante.

Proposition

Les foncteurs \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}({}_GG)\) et \(S \mapsto \mathcal{F}_S\) définissent des équivalences quasi-inverses entre \(\Sh(\mathcal{T}_G)\) et \(G\textit{-Ensembles}\).

Démonstration

Nous avons déjà vu que la composée des foncteurs dans un sens est isomorphe au foncteur identité. Dans l’autre sens, pour tout faisceau \(\mathcal{H}\), il existe un morphisme naturel de faisceaux \[can : \mathcal{H} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{H}({}_GG)}.\] En effet, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{T}_G\), nous définissons \(can_U\) comme l’application \[\begin{matrix} \mathcal{H}(U) & \longrightarrow & \mathcal{F}_{\mathcal{H}({}_GG)}(U) = \Mor_G(U, \mathcal{H}({}_GG)) \\ s & \longmapsto & (u \mapsto \alpha_u^*s). \end{matrix}\] Ici, \(\alpha_u : {}_GG \to U\) est l’application \(\alpha_u(g) = gu\) et \(\alpha_u^* : \mathcal{H}(U) \to \mathcal{H}({}_GG)\) est l’application de restriction. Une vérification élémentaire mais déroutante montre qu’il s’agit bien d’un morphisme de préfaisceaux. Nous devons montrer que \(can\) est un isomorphisme. Pour cela, nous montrons que \(can_U\) est un isomorphisme pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{T}_G)\). Nous laissons au lecteur le cas (important mais facile) où \(U = {}_GG\). Un objet général \(U\) de \(\mathcal{T}_G\) est une réunion disjointe de \(G\)-orbites : \(U = \coprod_{i\in I} O_i\). La famille d’applications \(\{O_i \to U\}_{i \in I}\) est tautologiquement équivalente à un recouvrement de \(\mathcal{T}_G\) (par les propriétés de \(\mathcal{T}_G\) énumérées au début de cette section). Par conséquent, d’après le Lemme 00VW, le faisceau \(\mathcal{H}\) satisfait la condition de faisceau relativement à \(\{O_i \to U\}_{i \in I}\). La condition de faisceau pour ce recouvrement implique \(\mathcal{H}(U) = \prod_i \mathcal{H}(O_i)\). Il suffit donc de montrer que \(can_U\) est un isomorphisme lorsque \(U\) consiste en une seule \(G\)-orbite. Soit \(u \in U\) et soit \(H \subset G\) son stabilisateur. Manifestement, \(\Mor_G(U, \mathcal{H}({}_GG)) = \mathcal{H}({}_GG)^H\) est le sous-ensemble des éléments invariants par \(H\). Considérons d’autre part le recouvrement \(\{{}_GG \to U\}\) donné par \(g \mapsto gu\) (une fois encore, il est seulement combinatoirement équivalent à un recouvrement de \(\mathcal{T}_G\), ce qui, là encore, n’a aucune importance). Notons que le produit fibré \(({}_GG)\times_U ({}_GG)\) est égal à \(\{(g, gh), g\in G, h\in H\} \cong \coprod_{h\in H} {}_GG\). La condition de faisceau pour ce recouvrement s’écrit donc \[\xymatrix{ \mathcal{H}(U) \ar[r] & \mathcal{H}({}_GG) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod_{h \in H} \mathcal{H}({}_GG). }\] Les deux applications \(\text{pr}_i^*\) à valeurs dans le facteur \(\mathcal{H}({}_GG)\) diffèrent par la multiplication par \(h\). Le résultat découle maintenant de ce fait et de ce que \(can\) est un isomorphisme pour \(U = {}_GG\).

Passage au faisceau associé

Afin de définir le passage au faisceau associé, nous étudions le groupe de cohomologie de degré zéro de Čech d’un recouvrement et ses propriétés de fonctorialité.

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\), et soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Nous employons la notation \(\mathcal{F}(\mathcal{U})\) pour désigner l’égalisateur \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \{ (s_i)_{i\in I} \in \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \mid s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j} \ \forall i, j \in I \}.\] Comme nous le verrons plus loin, il s’agit de la cohomologie de degré zéro de Čech de \(\mathcal{F}\) sur \(U\) relativement au recouvrement \(\mathcal{U}\). Une petite remarque est que nous pouvons définir \(H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) dès que tous les morphismes \(U_i \to U\) sont représentables, c.-à-d. que \(\mathcal{U}\) n’a pas besoin d’être un recouvrement du site. Il existe une application canonique \(\mathcal{F}(U) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). Il est clair qu’un morphisme de recouvrements \(\mathcal{U} \to \mathcal{V}\) induit des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ & U_i \ar[rr] & & V_{\alpha(i)} \\ U_i \times_U U_j \ar[rr] \ar[ur] \ar[dr] & & V_{\alpha(i)} \times_V V_{\alpha(j)} \ar[ur] \ar[dr] & \\ & U_j \ar[rr] & & V_{\alpha(j)} }.\] Ceux-ci produisent à leur tour une application \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), compatible à l’application \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)\).

Par construction, un préfaisceau \(\mathcal{F}\) est un faisceau si et seulement si, pour tout recouvrement \(\mathcal{U}\) de \(\mathcal{C}\), l’application naturelle \(\mathcal{F}(U) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est bijective. Nous emploierons cette notion pour démontrer le lemme simple suivant sur les limites de faisceaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\) un diagramme. Alors \(\lim_\mathcal{I} \mathcal{F}\) existe et est égale à la limite dans la catégorie des préfaisceaux.

Démonstration

Soit \(\lim_i \mathcal{F}_i\) la limite calculée comme préfaisceau. Nous allons montrer qu’il s’agit d’un faisceau ; il en résultera alors trivialement que c’est une limite dans la catégorie des faisceaux. Pour vérifier la condition de faisceau, soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\) un recouvrement. Soit \((s_j)_{j\in J}\) un élément de \(H^0(\mathcal{V}, \lim_i \mathcal{F}_i)\). En utilisant les morphismes de projection, nous obtenons des éléments \((s_{j, i})_{j\in J}\) de \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}_i)\). Par la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}_i\), nous voyons qu’il existe un unique \(s_i \in \mathcal{F}_i(V)\) tel que \(s_{j, i} = s_i|_{V_j}\). Soit \(\phi : i \to i'\) un morphisme de la catégorie d’indices. Nous voulons montrer que \(\mathcal{F}(\phi) : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) envoie \(s_i\) sur \(s_{i'}\). Nous savons que c’est vrai pour les sections \(s_{i, j}\) et \(s_{i', j}\) pour tout \(j\), et donc la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}_{i'}\) montre que c’est vrai. Nous avons alors un élément \(s = (s_i)_{i \in \Ob(\mathcal{I})}\) de \((\lim_i \mathcal{F}_i)(V)\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cet élément possède la propriété requise \(s_j = s|_{V_j}\).

Exemple

Un exemple particulier est la limite du diagramme vide. Elle donne l’objet final de la catégorie des (pré)faisceaux. Il s’agit du préfaisceau qui associe à tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) un ensemble réduit à un élément, avec d’uniques applications de restriction ; de plus, ce préfaisceau est un faisceau. Nous notons souvent ce faisceau par \(*\).

Soit \(\mathcal{J}_U\) la catégorie de tous les recouvrements de \(U\). Autrement dit, les objets de \(\mathcal{J}_U\) sont les recouvrements de \(U\) dans \(\mathcal{C}\), et les morphismes sont les raffinements. Compte tenu de nos conventions sur les sites, il s’agit bien d’une catégorie, c.-à-d. que la collection des objets et des morphismes forme un ensemble. Notons que \(\Ob(\mathcal{J}_U)\) n’est pas vide puisque \(\{\text{id}_U\}\) en est un objet. D’après les remarques ci-dessus, la construction \(\mathcal{U} \mapsto H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est un foncteur contravariant sur \(\mathcal{J}_U\). Nous définissons \[\mathcal{F}^{+}(U) = \colim_{\mathcal{J}_U^{opp}} H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] Voir Catégories, section 002D, pour une discussion des limites projectives et inductives. Signalons que nous verrons plus loin que \(\mathcal{F}^{+}(U)\) est la cohomologie de degré zéro de Čech de \(\mathcal{F}\) sur \(U\).

Avant d’en dire davantage sur la structure de la limite inductive, faisons de la collection d’ensembles \(\mathcal{F}^{+}(U)\), \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), un préfaisceau. Soit donc \(V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Les axiomes d’un site fournissent un foncteur³ \[\mathcal{J}_U \longrightarrow \mathcal{J}_V, \quad \{U_i \to U\} \longmapsto \{U_i \times_U V \to V\}.\] Notons que les projections fournissent un morphisme fonctoriel de recouvrements \(\{U_i \times_U V \to V\} \to \{U_i \to U\}\) et donc, par la construction ci-dessus, une application fonctorielle d’ensembles \(H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F}) \to H^0(\{U_i \times_U V \to V\}, \mathcal{F})\). Autrement dit, il existe une transformation de foncteurs de \(H^0(-, \mathcal{F}) : \mathcal{J}_U^{opp} \to \textit{Ensembles}\) vers la composée \(\mathcal{J}_U^{opp} \to \mathcal{J}_V^{opp} \xrightarrow{H^0(-, \mathcal{F})} \textit{Ensembles}\). Par les généralités sur les limites inductives, nous obtenons donc une application canonique \(\mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(V)\). En termes de la description ci-dessus de l’ensemble \(\mathcal{F}^+(U)\), elle envoie simplement l’élément associé à \(s = (s_i) \in H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F})\) sur l’élément associé à \((s_i|_{V \times_U U_i}) \in H^0(\{U_i \times_U V \to V\}, \mathcal{F})\).

Lemme

Les constructions ci-dessus définissent un préfaisceau \(\mathcal{F}^+\) muni d’un morphisme canonique de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\).

Démonstration

Il suffit de montrer qu’étant donnés des morphismes \(W \to V \to U\), la composée \(\mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(V) \to \mathcal{F}^+(W)\) est égale à l’application \(\mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(W)\). On peut le montrer directement en vérifiant que, étant donnés un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et \(s = (s_i) \in H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F})\), nous avons canoniquement \(W \times_U U_i \cong W \times_V (V \times_U U_i)\), et que \(s_i|_{W \times_U U_i}\) correspond à \((s_i|_{V \times_U U_i})|_{W \times_V (V \times_U U_i)}\) par cet isomorphisme.

Plus indirectement, le résultat du Lemme 00W7 montre que nous pouvons tirer en arrière un élément \(s\) comme ci-dessus par tout morphisme d’un recouvrement quelconque de \(W\) vers \(\{U_i \to U\}\), et que nous aboutirons toujours au même élément de \(\mathcal{F}^+(W)\).

Lemme

L’association \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+)\) est un foncteur.

Démonstration

Au lieu de le démontrer, énonçons exactement ce qu’il faut prouver. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de préfaisceaux. Il faut prouver la commutativité de : \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{+} \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^{+} }\]

Les deux lemmes suivants impliquent que les limites inductives ci-dessus sont indexées par un ensemble ordonné filtrant.

Lemme

Étant donnés deux recouvrements \(\{U_i \to U\}\) et \(\{V_j \to U\}\) d’un objet donné \(U\) du site \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement qui en est un raffinement commun.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{C}\) est un site, pour tout \(i\), la famille \(\{V_j \times_U U_i \to U_i\}_j\) est un recouvrement. Un autre axiome implique alors que \(\{V_j \times_U U_i \to U\}_{i, j}\) est un recouvrement de \(U\). Manifestement, ce recouvrement raffine les deux recouvrements donnés.

Lemme

Deux morphismes quelconques \(f, g: \mathcal{U} \to \mathcal{V}\) de recouvrements induisant le même morphisme \(U \to V\) induisent la même application \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\).

Démonstration

Soient \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\) et \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\). Le morphisme \(f\) consiste en une application \(U\to V\), une application \(\alpha : I \to J\) et des morphismes \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\). De même, \(g\) détermine une application \(\beta : I \to J\) et des morphismes \(g_i : U_i \to V_{\beta(i)}\). Comme \(f\) et \(g\) induisent la même application \(U\to V\), le diagramme \[\xymatrix{ & V_{\alpha(i)} \ar[dr] \\ U_i \ar[ur]^{f_i} \ar[dr]_{g_i} & & V \\ & V_{\beta(i)} \ar[ur] }\] est commutatif pour tout \(i\in I\). Par conséquent, \(f\) et \(g\) se factorisent par le produit fibré \[\xymatrix{ & V_{\alpha(i)} \\ U_i \ar[r]^-\varphi \ar[ur]^{f_i} \ar[dr]_{g_i} & V_{\alpha(i)} \times_V V_{\beta(i)} \ar[u]_{\text{pr}_1} \ar[d]^{\text{pr}_2} \\ & V_{\beta(i)}. }\] Soit maintenant \(s = (s_j)_j \in H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\). Alors, pour tout \(i\in I\) : \[(f^*s)_i = f_i^*(s_{\alpha(i)}) = \varphi^*\text{pr}_1^*(s_{\alpha(i)}) = \varphi^*\text{pr}_2^*(s_{\beta(i)}) = g_i^*(s_{\beta(i)}) = (g^*s)_i,\] où l’égalité du milieu résulte de la définition de \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\). Ceci montre que les applications \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) induites par \(f\) et \(g\) sont égales.

Remarque

En particulier, ce lemme montre que, si \(\mathcal{U}\) est un raffinement de \(\mathcal{V}\) et si \(\mathcal{V}\) est un raffinement de \(\mathcal{U}\), alors il existe une identification canonique \(H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\).

Ces deux lemmes et le fait que \(\mathcal{J}_U\) est non vide impliquent que le diagramme \(H^0(-, \mathcal{F}) : \mathcal{J}_U^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est filtrant, voir Catégories, Définition 002V. Par conséquent, d’après Catégories, section 04AX, la limite inductive \(\mathcal{F}^{+}(U)\) peut être décrite de la manière élémentaire suivante. Tout élément de l’ensemble \(\mathcal{F}^{+}(U)\) provient d’un élément \(s \in H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) pour un certain recouvrement \(\mathcal{U}\) de \(U\). Étant donné un second élément \(s' \in H^0(\mathcal{U}', \mathcal{F})\), les éléments \(s\) et \(s'\) déterminent le même élément de la limite inductive si et seulement s’il existe un recouvrement \(\mathcal{V}\) de \(U\) et des raffinements \(f : \mathcal{V} \to \mathcal{U}\) et \(f' : \mathcal{V} \to \mathcal{U}'\) tels que \(f^*s = (f')^*s'\) dans \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\). Comme le recouvrement trivial \(\{\text{id}_U\}\) est un objet de \(\mathcal{J}_U\), nous obtenons une application canonique \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}^+(U)\).

Lemme

Le morphisme \(\theta : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) possède la propriété suivante : pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et toute section \(s \in \mathcal{F}^+(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(s|_{U_i}\) appartienne à l’image de \(\theta : \mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{F}^{+}(U_i)\).

Démonstration

Soit en effet \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement tel que \(s\) provienne de l’élément \((s_i) \in H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F})\). D’après le Lemme 00W7, nous pouvons considérer le recouvrement \(\{U_i \to U_i\}\) et le morphisme (évident) de recouvrements \(\{U_i \to U_i\} \to \{U_i \to U\}\) pour calculer la restriction de \(s\) dans \(\mathcal{F}^+(U_i)\). Et en effet, ce recouvrement donne exactement \(\theta(s_i)\) comme restriction de \(s\) à \(U_i\).

Définition

Nous disons qu’un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur un site \(\mathcal{C}\) est séparé si, pour tout recouvrement \(\{U_i \rightarrow U\}\), l’application \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\) est injective.

Théorème

Avec \(\mathcal{F}\) comme ci-dessus,

1. Le préfaisceau \(\mathcal{F}^+\) est séparé.

2. Si \(\mathcal{F}\) est séparé, alors \(\mathcal{F}^+\) est un faisceau et le morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) est injectif.

3. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau, alors \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) est un isomorphisme.

4. Le préfaisceau \(\mathcal{F}^{++}\) est toujours un faisceau.

Démonstration

Démonstration de (00WC). Supposons que \(s, s' \in \mathcal{F}^+(U)\) et qu’il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(s|_{U_i} = s'|_{U_i}\) pour tout \(i\). Nous avons alors trois recouvrements de \(U\) : le recouvrement \(\{U_i \to U\}\) ci-dessus, un recouvrement \(\mathcal{U}\) pour \(s\) comme dans le Lemme 00W9, et un recouvrement analogue \(\mathcal{U}'\) pour \(s'\). D’après le Lemme 00W6, nous pouvons trouver un raffinement commun, disons \(\{W_j \to U\}\). Cela signifie qu’il existe \(s_j, s'_j \in \mathcal{F}(W_j)\) tels que \(s|_{W_j} = \theta(s_j)\), et de même pour \(s'|_{W_j}\), et tels que \(\theta(s_j) = \theta(s'_j)\). Cette dernière égalité signifie qu’il existe un recouvrement \(\{W_{jk} \to W_j\}\) tel que \(s_j|_{W_{jk}} = s'_j|_{W_{jk}}\). Puisque \(\{W_{jk} \to U\}\) est un recouvrement, nous voyons alors que \(s, s'\) ont la même image dans \(H^0(\{W_{jk} \to U\}, \mathcal{F})\), comme voulu.

Démonstration de (00WD). Il est clair que \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) est injectif, car toutes les applications \(\mathcal{F}(U) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) sont injectives. Il est également clair que, si \(\mathcal{U} \to \mathcal{U}'\) est un raffinement, alors \(H^0(\mathcal{U}', \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est injective. Maintenant, supposons que \(\{U_i \to U\}\) soit un recouvrement, et soit \((s_i)\) une famille d’éléments de \(\mathcal{F}^+(U_i)\) satisfaisant la condition de faisceau \(s_i|_{U_i \times_U U_{i'}} = s_{i'}|_{U_i \times_U U_{i'}}\) pour tous \(i, i' \in I\). Choisissons des recouvrements (comme dans le Lemme 00W9) \(\{U_{ij} \to U_i\}\) tels que \(s_i|_{U_{ij}}\) soit l’image de l’unique élément \(s_{ij} \in \mathcal{F}(U_{ij})\). La condition de faisceau implique que \(s_{ij}\) et \(s_{i'j'}\) coïncident sur \(U_{ij} \times_U U_{i'j'}\), car ce produit s’envoie dans \(U_i \times_U U_{i'}\) et que nous y avons l’égalité. Ainsi, \((s_{ij}) \in H^0(\{U_{ij} \to U\}, \mathcal{F})\) donne naissance à un élément \(s \in \mathcal{F}^+(U)\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que \(s|_{U_i} = s_i\).

Démonstration de (00WE). Cela résulte immédiatement des définitions, car la condition de faisceau dit exactement que toute application \(\mathcal{F} \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est bijective (pour tout recouvrement \(\mathcal{U}\) de \(U\)).

L’assertion (00WF) est maintenant évidente.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Le faisceau \(\mathcal{F}^\# := \mathcal{F}^{++}\), muni du morphisme canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\), est appelé le faisceau associé à \(\mathcal{F}\).

Proposition

Le morphisme canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) possède la propriété universelle suivante : pour tout morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), où \(\mathcal{G}\) est un faisceau d’ensembles, il existe un unique morphisme \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) tel que \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) soit égal au morphisme donné.

Démonstration

Le Lemme 00W5 donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{+} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{++} \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^{+} \ar[r] & \mathcal{G}^{++} }\] et, d’après le Théorème 00WB, les morphismes horizontaux inférieurs sont des isomorphismes. L’unicité découle du Lemme 00W9, qui affirme que toute section de \(\mathcal{F}^\#\) provient localement de sections de \(\mathcal{F}\).

Il résulte clairement de cette proposition que le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#)\) est unique à un unique isomorphisme de foncteurs près. En fait, notons temporairement \(i : \Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) le foncteur d’inclusion. Le résultat ci-dessus affirme précisément que \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G}).\] Autrement dit, le foncteur de passage au faisceau associé est l’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(i\).

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(E\) un ensemble. Le faisceau constant \(\underline{E}\) de valeur \(E\) est le faisceau associé au préfaisceau donné par le foncteur constant de valeur \(E\). Il est caractérisé par la règle \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\underline{E}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(E, \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}))\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), où la notation est celle de la Définition 06UN.

Nous terminons cette section par quelques lemmes.

Lemme

Soit \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\) un diagramme. Alors \(\colim_\mathcal{I} \mathcal{F}\) existe et est le faisceau associé à la limite inductive dans la catégorie des préfaisceaux.

Démonstration

Puisque le foncteur de passage au faisceau associé est un adjoint à gauche, il commute à la formation de toutes les limites inductives, voir Catégories, Lemme 0038. Ainsi, puisque \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) admet des limites inductives, nous en déduisons que \(\Sh(\mathcal{C})\) admet des limites inductives (qui sont les faisceaux associés aux limites inductives de préfaisceaux).

Lemme

Le foncteur \(\textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\#\), est exact.

Démonstration

Puisqu’il est adjoint à gauche, il est exact à droite, voir Catégories, Lemme 0039. D’autre part, d’après les Lemmes 00W6 et 00W7, les limites inductives intervenant dans la construction de \(\mathcal{F}^+\) sont en réalité indexées par l’ensemble ordonné filtrant \(\Ob(\mathcal{J}_U)\), où \(\mathcal{U} \geq \mathcal{U}'\) si et seulement si \(\mathcal{U}\) est un raffinement de \(\mathcal{U}'\). Il résulte alors de Catégories, Lemme 002W, que \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) commute aux limites finies (comme foncteur des préfaisceaux vers les préfaisceaux). Nous concluons alors en utilisant le Lemme 00W2.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Notons \(\theta^2 : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) le morphisme canonique de \(\mathcal{F}\) vers son faisceau associé. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\). Il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et des sections \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) tels que

1. \(s|_{U_i} = \theta^2(s_i)\), et

2. pour tous \(i, j\), il existe un recouvrement \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\) de \(\mathcal{C}\) tel que les restrictions de \(s_i\) et \(s_j\) à chaque \(U_{ijk}\) coïncident.

Réciproquement, étant donnés un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et des éléments \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) tels que (2) soit satisfaite, il existe une unique section \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\) telle que (1) soit satisfaite.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Notons \(\mathcal{B}\) l’ensemble des \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) tels que \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) soit bijective. Si tout objet de \(\mathcal{C}\) admet un recouvrement par des éléments de \(\mathcal{B}\), alors \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}^\#\) est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Démontrons que \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{G}^\#(U)\) est surjective. Pour ce faire, nous utiliserons le Lemme 00WK sans autre mention. Pour tout \(s \in \mathcal{G}^\#(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et des sections \(s_i \in \mathcal{G}(U_i)\) tels que

1. \(s|_{U_i}\) soit l’image de \(s_i\) par \(\mathcal{G} \to \mathcal{G}^\#\), et

2. pour tous \(i, j\), il existe un recouvrement \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\) de \(\mathcal{D}\) tel que les restrictions de \(s_i\) et \(s_j\) à chaque \(U_{ijk}\) coïncident.

Par hypothèse, pour tout \(i\), nous pouvons choisir un recouvrement \(\{U_{i, a} \to U_i\}\) avec \(U_{i, a} \in \mathcal{B}\). Alors \(\{U_{i, a} \to U\}\) est un recouvrement. Notant \(s_{i, a}\) l’image de \(s_i\) dans \(\mathcal{G}(U_{i, a})\), nous voyons que les restrictions de \(s_{i, a}\) et \(s_{j, b}\) aux membres du recouvrement \[\{(U_{i, a} \times_U U_{j, b}) \times_{U_i \times_U U_j} U_{ijk} \to U_{i, a} \times_U U_{j, b}\}\] coïncident. Nous pouvons donc supposer que \(U_i \in \mathcal{B}\). En répétant l’argument, nous pouvons aussi supposer que \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\) pour tous \(i, j, k\) (détails omis). Alors, puisque \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\) est bijective par notre définition de \(\mathcal{B}\) dans l’énoncé du lemme, nous obtenons un unique \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\) qui s’envoie sur \(s_i\). Les restrictions de \(t_i\) et \(t_j\) à chaque \(U_{ijk}\) coïncident dans \(\mathcal{F}(U_{ijk})\), car \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\) et parce que nous avons l’égalité pour \(t_i\) et \(t_j\). Le lemme nous dit alors qu’il existe un unique \(t \in \mathcal{F}^\#(U)\) tel que \(t|_{U_i}\) soit l’image de \(t_i\). Il en résulte que \(t\) s’envoie sur \(s\). Nous omettons la démonstration de l’injectivité de \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{G}^\#(U)\).

Applications injectives et surjectives de faisceaux

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site, et soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux d’ensembles.

1. Nous disons que \(\varphi\) est injectif si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) est injective.

2. Nous disons que \(\varphi\) est surjectif si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et toute section \(s\in \mathcal{G}(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que, pour tout \(i\), la restriction \(s|_{U_i}\) appartienne à l’image de \(\varphi : \mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\).

Lemme

Les morphismes injectifs (resp. surjectifs) définis ci-dessus sont exactement les monomorphismes (resp. épimorphismes) de la catégorie \(\Sh(\mathcal{C})\). Un morphisme de faisceaux est un isomorphisme si et seulement s’il est à la fois injectif et surjectif.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme surjectif de faisceaux d’ensembles. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{G}}\] présente \(\mathcal{G}\) comme un coégalisateur.

Démonstration

Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau d’ensembles et soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{H}\) un morphisme de faisceaux qui égalise les deux morphismes \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\). Soit \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) l’image préfaisceautique du morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\). Comme le produit \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F}\) peut être calculé dans la catégorie des préfaisceaux, il est égal au produit préfaisceautique \(\mathcal{F} \times_{\mathcal{G}'} \mathcal{F}\). Ainsi, \(\varphi\) induit un unique morphisme de préfaisceaux \(\psi' : \mathcal{G}' \to \mathcal{H}\). Puisque \(\mathcal{G}\) est le faisceau associé à \(\mathcal{G}'\) d’après le Lemme 00WN, nous en déduisons que \(\psi'\) se prolonge de manière unique en un morphisme de faisceaux \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\). Nous omettons de vérifier que \(\varphi\) est égal à la composée de \(\psi\) et du morphisme donné.

Faisceaux représentables

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La topologie canonique est la topologie la plus fine pour laquelle tous les préfaisceaux représentables sont des faisceaux (elle est formellement définie dans la Définition 00ZA, mais nous n’en aurons pas besoin). Cette topologie n’est pas toujours celle qui est associée à la structure de site sur \(\mathcal{C}\). Nous allons donner une famille de recouvrements qui engendre cette topologie lorsque \(\mathcal{C}\) possède des produits fibrés. Donnons d’abord la définition générale suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Nous disons qu’une famille \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est une famille épimorphique effective si tous les morphismes \(U_i \to U\) sont représentables (voir Catégories, Définition 001X), et si, pour tout \(X\in \Ob(\mathcal{C})\), la suite \[\xymatrix{ \Mor_\mathcal{C}(U, X) \ar[r] & \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_\mathcal{C}(U_i, X) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i, j) \in I^2} \Mor_\mathcal{C}(U_i \times_U U_j, X) }\] est un diagramme égalisateur. Nous disons qu’une famille \(\{U_i \to U\}\) est une famille épimorphique effective universelle si, pour tout morphisme \(V \to U\), le changement de base \(\{U_i \times_U V \to V\}\) est une famille épimorphique effective.

La classe des familles épimorphiques effectives universelles satisfait les axiomes de la Définition 00VH. Si \(\mathcal{C}\) possède des produits fibrés, la topologie associée est la topologie canonique. (Dans ce cas, pour obtenir un site, on raisonne comme dans Ensembles, Lemme 000X.)

Réciproquement, supposons que \(\mathcal{C}\) soit un site tel que tous les préfaisceaux représentables soient des faisceaux. Alors, manifestement, tous les recouvrements sont des familles épimorphiques effectives universelles. La définition suivante est donc la définition « correcte » dans le cadre des sites.

Définition

Nous disons que la topologie d’un site \(\mathcal{C}\) est moins fine que la topologie canonique, ou qu’elle est sous-canonique, si tous les recouvrements de \(\mathcal{C}\) sont des familles épimorphiques effectives universelles.

Un faisceau représentable est un préfaisceau représentable qui est aussi un faisceau. Comme il vaut peut-être mieux éviter cette terminologie lorsque la topologie n’est pas sous-canonique, nous ne la définissons formellement que dans ce cas.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site dont la topologie est sous-canonique. Le plongement de Yoneda \(h\) (voir Catégories, section 001L) présente \(\mathcal{C}\) comme une sous-catégorie pleine de la catégorie des faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, nous appelons les faisceaux de la forme \(h_U\), avec \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), des faisceaux représentables sur \(\mathcal{C}\). Notation : le faisceau représentable \(h_U\) associé à \(U\) est parfois noté \(\underline{U}\).

Remarquons que, dans la situation de la définition, \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\), puisque cette égalité vaut pour les préfaisceaux ; voir (090F). En général, les préfaisceaux \(h_U\) ne sont pas des faisceaux et il faut leur associer un faisceau. Dans ce cas, nous avons encore [090I]\[\begin{equation} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) \end{equation}\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\). En effet, la première égalité résulte de la propriété d’adjonction de \(\#\) et la seconde est (090F).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Si \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement du site \(\mathcal{C}\), alors le morphisme de préfaisceaux d’ensembles \[\coprod\nolimits_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\] devient surjectif après passage aux faisceaux associés.

Démonstration

D’après le Lemme 00WN ci-dessus, il suffit de montrer que \(\coprod\nolimits_{i \in I} h_{U_i}^\# \to h_U^\#\) est un épimorphisme. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles. Un morphisme \(h_U^\# \to \mathcal{F}\) correspond à une section \(s \in \mathcal{F}(U)\). L’injectivité de \(\Mor(h_U^\#, \mathcal{F}) \to \prod_i \Mor(h_{U_i}^\#, \mathcal{F})\) découle donc directement de la propriété de faisceau de \(\mathcal{F}\).

Le lemme suivant affirme, lorsque la topologie est moins fine que la topologie canonique, que tout faisceau est en quelque sorte construit à partir de faisceaux représentables.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(E \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble tel que tout objet de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement par des éléments de \(E\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles. Il existe un diagramme de faisceaux d’ensembles \[\xymatrix{ \mathcal{F}_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{F} }\] qui présente \(\mathcal{F}\) comme un coégalisateur, tel que les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 0, 1\), soient des sommes disjointes de faisceaux de la forme \(h_U^\#\) avec \(U \in E\).

Démonstration

Montrons d’abord qu’il existe un épimorphisme \(\mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}\) du type voulu. Il suffit de prendre \[\mathcal{F}_0 = \coprod\nolimits_{U \in E, s \in \mathcal{F}(U)} (h_U)^\# \longrightarrow \mathcal{F}\] Ici, la restriction de la flèche à la composante correspondant à \((U, s)\) envoie l’élément \(\text{id}_U \in h_U^\#(U)\) sur la section \(s \in \mathcal{F}(U)\). Il s’agit d’un épimorphisme d’après le Lemme 00WN et notre condition sur \(E\). Pour construire \(\mathcal{F}_1\), posons d’abord \(\mathcal{G} = \mathcal{F}_0 \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_0\), puis construisons comme ci-dessus un épimorphisme \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}\). Voir le Lemme 086K.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Il existe alors un diagramme \(\mathcal{I} \to \mathcal{C}\), \(i \mapsto U_i\), tel que \[\mathcal{F} = \colim_{i \in \mathcal{I}} h_{U_i}^\#\] De plus, si \(E \subset \Ob(\mathcal{C})\) est un sous-ensemble tel que tout objet de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement par des éléments de \(E\), nous pouvons supposer que \(U_i\) est un élément de \(E\) pour tout \(i \in \Ob(\mathcal{I})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}\) la catégorie dont les objets sont les couples \((U, s)\), avec \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(s \in \mathcal{F}(U)\), et dont les morphismes \((U, s) \to (U', s')\) sont les morphismes \(f : U \to U'\) de \(\mathcal{C}\) tels que \(f^*s' = s\). Pour tout objet \((U, s)\) de \(\mathcal{I}\), l’élément \(s\) définit, par le lemme de Yoneda, un morphisme \(s : h_U \to \mathcal{F}\) de préfaisceaux, et donc, par la propriété universelle du faisceau associé, un morphisme \(h_U^\# \to \mathcal{F}\). On voit immédiatement que ces morphismes sont compatibles avec les morphismes de la catégorie \(\mathcal{I}\). Nous obtenons ainsi un morphisme \(\colim_{(U, s)} h_U \to \mathcal{F}\) de préfaisceaux (où la limite inductive est prise dans la catégorie des préfaisceaux) et un morphisme \(\colim_{(U, s)} (h_U)^\# \to \mathcal{F}\) de faisceaux (où la limite inductive est prise dans la catégorie des faisceaux). Puisque le passage au faisceau associé est adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) (Proposition 00WH), nous avons \(\colim (h_U)^\# = (\colim h_U)^\#\) d’après Catégories, Lemme 0038. Il suffit donc de montrer que \(\colim_{(U, s)} h_U \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme de préfaisceaux. Pour cela, montrons que, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\colim_{(U, s)} h_U(X) \to \mathcal{F}(X)\) est bijective. Elle admet en effet pour application inverse celle qui envoie l’élément \(t \in \mathcal{F}(X)\) sur l’élément de l’ensemble \(\colim_{(U, s)} h_U(X)\) correspondant à \((X, t)\) et à \(\text{id}_X \in h_X(X)\).

Nous omettons la démonstration de la dernière assertion.

Foncteurs continus

Définition

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) est dit continu si, pour tout \(\{V_i \to V\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\), les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\{u(V_i) \to u(V)\}_{i\in I}\) appartient à \(\text{Cov}(\mathcal{D})\), et

2. pour tout morphisme \(T \to V\) dans \(\mathcal{C}\), le morphisme \(u(T \times_V V_i) \to u(T) \times_{u(V)} u(V_i)\) est un isomorphisme.

Rappelons qu’étant donné un foncteur \(u\) comme ci-dessus et un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{D}\), nous avons défini \(u^p\mathcal{F}\) comme le préfaisceau \(\mathcal{F} \circ u\), autrement dit \[u^p\mathcal{F} (V) = \mathcal{F}(u(V))\] pour tout objet \(V\) de \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{D}\), alors \(u^p\mathcal{F}\) est également un faisceau.

Démonstration

Soit \(\{V_i \to V\}\) un recouvrement. Par hypothèse, \(\{u(V_i) \to u(V)\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{D}\) et \(u(V_i \times_V V_j) = u(V_i)\times_{u(V)}u(V_j)\). La condition de faisceau pour \(u^p\mathcal{F}\) et le recouvrement \(\{V_i \to V\}\) est donc précisément la même que la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) et le recouvrement \(\{u(V_i) \to u(V)\}\).

Pour éviter toute confusion, nous notons parfois \[u^s : \Sh(\mathcal{D}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] la restriction du foncteur \(u^p\) à la sous-catégorie des faisceaux d’ensembles. Rappelons que \(u^p\) admet un adjoint à gauche \(u_p : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{D})\) ; voir la section 00VC.

Lemme

Dans la situation du Lemme 00WW, le foncteur \(u_s : \mathcal{G} \mapsto (u_p \mathcal{G})^\#\) est adjoint à gauche de \(u^s\).

Démonstration

Cela résulte directement du Lemme 00VE et de la Proposition 00WH.

Voici un lemme technique.

Lemme

Dans la situation du Lemme 00WW, pour tout préfaisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}\), nous avons \((u_p\mathcal{G})^\# = (u_p(\mathcal{G}^\#))^\#\).

Démonstration

Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{D}\), nous avons \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(u_s(\mathcal{G}^\#), \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, u^s\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, u^p\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, u^p\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(u_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}((u_p\mathcal{G})^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] et le résultat découle du lemme de Yoneda.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu entre sites. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous avons \(u_sh_U^\# = h_{u(U)}^\#\).

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 04D2 et 00WY.

Remarque

(À omettre en première lecture.) Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Utilisons la définition des familles de morphismes tautologiquement équivalentes, voir la Définition 00VU, pour affaiblir (légèrement) les conditions qui définissent la continuité. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Disons que \(u\) est quasi-continu si, pour tout \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\), les conditions suivantes sont satisfaites :

1. la famille de morphismes \(\{u(V_i) \to u(V)\}_{i\in I}\) est tautologiquement équivalente à un élément de \(\text{Cov}(\mathcal{D})\), et

2. pour tout morphisme \(T \to V\) dans \(\mathcal{C}\), le morphisme \(u(T \times_V V_i) \to u(T) \times_{u(V)} u(V_i)\) est un isomorphisme.

Nous allons voir que les Lemmes 00WW et 00WX restent valables lorsque \(u\) est quasi-continu.

Remarquons d’abord que les morphismes \(u(V_i) \to u(V)\) sont représentables, car ils sont isomorphes à des morphismes représentables (d’après la première condition). En particulier, la famille \(u(\mathcal{V}) = \{u(V_i) \to u(V)\}_{i\in I}\) donne naissance à un groupe de cohomologie de Čech de degré zéro \(H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F})\) pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{D}\). Soit \(\mathcal{U} = \{U_j \to u(V)\}_{j \in J}\) un élément de \(\text{Cov}(\mathcal{D})\) tautologiquement équivalent à \(\{u(V_i) \to u(V)\}_{i \in I}\). Remarquons que \(u(\mathcal{V})\) est un raffinement de \(\mathcal{U}\) et réciproquement. La Remarque 00W8 donne donc \(H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). En particulier, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau, alors \(\mathcal{F}(u(V)) = H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F})\) en vertu de la propriété de faisceau exprimée au moyen des groupes de cohomologie de Čech de degré zéro. Nous en déduisons que \(u^p\mathcal{F}\) est un faisceau si \(\mathcal{F}\) est un faisceau, puisque \(H^0(\mathcal{V}, u^p\mathcal{F}) = H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F})\), lequel est, comme nous venons de l’observer, égal à \(\mathcal{F}(u(V)) = u^p\mathcal{F}(V)\). Le Lemme 00WW est donc valable. Le Lemme 00WX en découle immédiatement.

Morphismes de sites

Définition

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Un morphisme de sites \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) est la donnée d’un foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) tel que le foncteur \(u_s\) soit exact.

Notons que le foncteur \(u\) va dans le sens opposé au morphisme \(f\). Si \(f \leftrightarrow u\) est un morphisme de sites, nous employons les notations \(f^{-1} = u_s\) et \(f_* = u^s\). Le foncteur \(f^{-1}\) est appelé foncteur image inverse et le foncteur \(f_*\) foncteur image directe. Comme en topologie, nous avons la propriété d’adjonction suivante : \[\Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] La motivation de cette définition vient de l’exemple suivant.

Exemple

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Rappelons que nous disposons des sites \(X_{Zar}\) et \(Y_{Zar}\) ; voir l’Exemple 00VJ. Considérons le foncteur \(u : Y_{Zar} \to X_{Zar}\), \(V \mapsto f^{-1}(V)\). Ce foncteur est manifestement continu puisque les images inverses de recouvrements ouverts sont des recouvrements ouverts. (En réalité, cela dépend de la manière dont on a choisi les ensembles de recouvrements de \(X_{Zar}\) et de \(Y_{Zar}\). Mais, dans tous les cas, le foncteur est quasi-continu ; voir la Remarque 00WZ.) Il est facile de vérifier que le foncteur \(u^s\) est égal au foncteur image directe usuel \(f_*\) de la topologie. Ainsi, puisque \(u_s\) est un adjoint et que le foncteur image inverse topologique usuel \(f^{-1}\) est lui aussi un adjoint, nous obtenons un isomorphisme canonique \(f^{-1} \cong u_s\). Comme \(f^{-1}\) est exact, nous en déduisons que \(u_s\) est exact. Le foncteur \(u\) définit donc un morphisme de sites \(f : X_{Zar} \to Y_{Zar}\), que nous pouvons également noter \(f\), puisque nous avons déjà vu que les foncteurs \(u_s, u^s\) coïncident avec les notions usuelles correspondantes.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \[\text{Cov}(\mathcal{C}) \supset \text{Cov}'(\mathcal{C})\] deux ensembles de familles de morphismes de même but qui munissent \(\mathcal{C}\) d’une structure de site. Notons \(\mathcal{C}_\tau\) le site correspondant à \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{C}_{\tau'}\) le site correspondant à \(\text{Cov}'(\mathcal{C})\). Nous affirmons que le foncteur identité de \(\mathcal{C}\) définit un morphisme de sites \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] En effet, \(\text{id} : \mathcal{C}_{\tau'} \to \mathcal{C}_\tau\) est continu puisque tout recouvrement pour \(\tau'\) est un recouvrement pour \(\tau\). Le foncteur \(\epsilon_* = \text{id}^s\) est donc le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents. Par conséquent, l’adjoint à gauche \(\epsilon^{-1}\) de \(\epsilon_*\) envoie un \(\tau'\)-faisceau \(\mathcal{F}\) sur le \(\tau\)-faisceau associé à \(\mathcal{F}\) (d’après la propriété universelle du faisceau associé). Les limites finies de \(\tau'\)-faisceaux coïncident avec les limites finies de préfaisceaux (Lemme 00W2) et le passage au \(\tau\)-faisceau associé commute aux limites finies (Lemme 00WJ). Ainsi, \(\epsilon^{-1}\) est exact à gauche. Puisque \(\epsilon^{-1}\) est adjoint à gauche, il est aussi exact à droite (Catégories, Lemme 0039). Par conséquent, \(\epsilon^{-1}\) est exact et toutes les conditions de la Définition 00X1 sont vérifiées.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}_i\), \(i = 1, 2, 3\), des sites. Soient \(u : \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) et \(v : \mathcal{C}_3 \to \mathcal{C}_2\) des foncteurs continus qui induisent des morphismes de sites. Alors le foncteur \(u \circ v : \mathcal{C}_3 \to \mathcal{C}_1\) est continu et définit un morphisme de sites \(\mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_3\).

Démonstration

Il résulte immédiatement des définitions que \(u \circ v\) est un foncteur continu. De plus, nous avons manifestement \((u \circ v)^p = v^p \circ u^p\), et donc \((u \circ v)^s = v^s \circ u^s\). Les foncteurs \((u \circ v)_s\) et \(u_s \circ v_s\) sont donc tous deux adjoints à gauche de \((u \circ v)^s\). Par conséquent, \((u \circ v)_s \cong u_s \circ v_s\), et nous concluons que \((u \circ v)_s\) est exact en tant que composé de foncteurs exacts.

Définition

Soient \(\mathcal{C}_i\), \(i = 1, 2, 3\), des sites. Soient \(f : \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) et \(g : \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_3\) des morphismes de sites donnés par les foncteurs continus \(u : \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) et \(v : \mathcal{C}_3 \to \mathcal{C}_2\). Le composé \(g \circ f\) est le morphisme de sites correspondant au foncteur \(u \circ v\).

Dans cette situation, nous avons \((g \circ f)_* = g_* \circ f_*\) et \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) (voir la démonstration du Lemme 03CB).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu. Supposons que toutes les catégories \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) de la section 00VC soient filtrantes. Alors \(u\) définit un morphisme de sites \(\mathcal{D} \to \mathcal{C}\) ; autrement dit, \(u_s\) est exact.

Démonstration

Comme \(u_s\) est adjoint à gauche de \(u^s\), nous voyons que \(u_s\) est exact à droite ; voir Catégories, Lemme 0039. Il suffit donc de montrer que \(u_s\) est exact à gauche. Autrement dit, nous devons montrer que \(u_s\) commute aux limites finies. Puisque les catégories \(\mathcal{I}_Y^{opp}\) sont filtrantes, \(u_p\) commute aux limites finies ; voir Catégories, Lemme 002W (on utilise également ici la description des limites dans \(\textit{PSh}\) ; voir la section 00VB). Comme le passage au faisceau associé commute lui aussi aux limites finies (Lemme 00WJ), nous concluons en utilisant \(u_s = \# \circ u_p\).

Proposition

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu. Supposons en outre que :

1. la catégorie \(\mathcal{C}\) possède un objet final \(X\) et \(u(X)\) est un objet final de \(\mathcal{D}\), et

2. la catégorie \(\mathcal{C}\) possède des produits fibrés et \(u\) commute à ceux-ci.

Alors \(u\) définit un morphisme de sites \(\mathcal{D} \to \mathcal{C}\) ; autrement dit, \(u_s\) est exact.

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 00X3 et 00X5.

Remarque

Les conditions de la Proposition 00X6 ci-dessus équivalent à dire que \(u\) est exact à gauche, c’est-à-dire qu’il commute aux limites finies. Voir Catégories, Lemmes 002O et 0035. Il paraît plus naturel de les formuler au moyen des objets finaux et des produits fibrés, car cette formulation semble avoir un sens plus géométrique dans les exemples.

Le Lemme 09VR fournira une autre manière de démontrer qu’un foncteur continu donne naissance à un morphisme de sites.

Remarque

(À omettre en première lecture.) Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Par analogie avec la Définition 00X1, nous disons qu’un quasi-morphisme de sites \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) est donné par un foncteur quasi-continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) (voir la Remarque 00WZ) tel que \(u_s\) soit exact. L’analogue de la Proposition 00X6 dans ce cadre s’obtient en remplaçant le mot « continu » par « quasi-continu » et le mot « morphisme » par « quasi-morphisme ». La démonstration est littéralement la même.

Dans la Définition 00X1, la condition d’exactitude de \(u_s\) ne peut être omise. Par exemple, la conclusion du lemme suivant peut être fausse si l’on suppose seulement que \(u\) est continu.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites donné par le foncteur \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\). Pour tout objet \(V\) de \(\mathcal{D}\), il existe un recouvrement \(\{V_j \to V\}\) tel que, pour tout \(j\), il existe un morphisme \(V_j \to u(U_j)\) pour un certain objet \(U_j\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Puisque \(f^{-1} = u_s\) est exact, nous avons \(f^{-1}* = *\), où \(*\) désigne l’objet final de la catégorie des faisceaux (Exemple 00W3). Comme \(f^{-1}* = u_s*\) est le faisceau associé à \(u_p*\), il existe un recouvrement \(\{V_j \to V\}\) tel que \((u_p*)(V_j)\) soit non vide. Or \((u_p*)(V_j)\) est une limite inductive indexée par la catégorie \(\mathcal{I}^u_{V_j}\), dont les objets sont les morphismes \(V_j \to u(U)\) ; le lemme en découle.

Topos

Voici une définition du topos adaptée à nos besoins. Un topos est la catégorie des faisceaux sur un site. Pour spécifier un topos, il suffit donc de spécifier le site. La véritable différence entre un topos et un site réside dans la définition des morphismes. En effet, il existe de nombreux morphismes de topos qui ne proviennent pas de morphismes des sites sous-jacents.

Définition

Un topos est la catégorie \(\Sh(\mathcal{C})\) des faisceaux sur un site \(\mathcal{C}\).

1. Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des sites. Un morphisme de topos \(f\) de \(\Sh(\mathcal{D})\) vers \(\Sh(\mathcal{C})\) est la donnée de deux foncteurs \(f_* : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) et \(f^{-1} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) tels que :

   1. nous ayons \[\Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] bifonctoriellement, et

   2. le foncteur \(f^{-1}\) commute aux limites finies, c’est-à-dire qu’il est exact à gauche.

2. Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{E}\) des sites. Étant donnés des morphismes de topos \(f :\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) et \(g :\Sh(\mathcal{E}) \to \Sh(\mathcal{D})\), le composé \(f\circ g\) est le morphisme de topos défini par les foncteurs \((f \circ g)_* = f_* \circ g_*\) et \((f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}\).

Supposons que \(\alpha : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) soit une équivalence de catégories (éventuellement « grandes »). Si \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) sont des topos, poser \(f_* = \alpha\) et prendre pour \(f^{-1}\) un quasi-inverse de \(\alpha\) donne un morphisme de topos \(f : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\). Ce morphisme est en outre une équivalence dans la \(2\)-catégorie des topos (voir la section 04I9). Il est donc légitime de dire que « \(\mathcal{S}\) est un topos » si \(\mathcal{S}\) est équivalente à la catégorie des faisceaux sur un site (sans être nécessairement égale à la catégorie des faisceaux sur un site). Nous emploierons parfois cet abus de notation.

Le topos vide est le topos des faisceaux sur le site \(\mathcal{C}\), où \(\mathcal{C}\) est la catégorie vide. Nous noterons parfois ce site \(\emptyset\). Ce site possède un unique faisceau (puisque \(\emptyset\) n’a aucun objet). Ainsi, \(\Sh(\emptyset)\) est équivalente à la catégorie qui possède un seul objet et un seul morphisme.

Le topos ponctuel est le topos des faisceaux sur le site \(\mathcal{C}\) qui possède un unique objet \(pt\), un unique morphisme \(\text{id}_{pt}\), et dont le seul recouvrement est \(\{\text{id}_{pt}\}\). Nous noterons simplement ce site \(pt\). Il est clair que la catégorie des faisceaux \(=\) la catégorie des préfaisceaux \(=\) la catégorie des ensembles. En formule, \(\Sh(pt) = \textit{Ensembles}\).

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Remarquons que \(f_*\) commute à toutes les limites et que \(f^{-1}\) commute à toutes les limites inductives ; voir Catégories, Lemme 0038. En particulier, la condition imposée à \(f^{-1}\) dans la définition ci-dessus garantit que \(f^{-1}\) est exact. Les morphismes de topos sont souvent construits à l’aide soit du Lemme 00XO, soit du lemme suivant.

Lemme

Étant donné un morphisme de sites \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) correspondant au foncteur \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\), le couple de foncteurs \((f^{-1} = u_s, f_* = u^s)\) est un morphisme de topos \(\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la Définition 00X1.

Remarque

De nombreux sites donnent naissance au topos \(\Sh(pt)\). Voici un exemple utile. Supposons que \(S\) soit un ensemble (d’ensembles) qui contienne au moins un élément non vide. Soit \(\mathcal{S}\) la catégorie dont les objets sont les éléments de \(S\) et dont les morphismes sont les applications ensemblistes arbitraires. Supposons que \(\mathcal{S}\) possède des produits fibrés. Ce sera par exemple le cas si \(S = \mathcal{P}(\text{ensemble infini})\) est l’ensemble des parties d’un ensemble infini quelconque (exercice de théorie des ensembles). Munissons \(\mathcal{S}\) d’une structure de site en déclarant que les familles surjectives d’applications sont les recouvrements (et choisissons un ensemble suffisamment grand convenable de familles de recouvrement, comme dans Ensembles, section 000W). Nous affirmons que \(\Sh(\mathcal{S})\) est équivalente à la catégorie des ensembles.

Démontrons-le d’abord lorsque \(S\) contient un singleton \(e \in S\). Dans ce cas, il existe une équivalence de topos \(i : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{S})\) donnée par les foncteurs [05UW]\[\begin{equation} i^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}(e), \quad i_*E = (U \mapsto \Mor_{\textit{Ensembles}}(U, E)) \end{equation}\] En effet, supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau sur \(\mathcal{S}\). Pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{S}) = S\), nous pouvons trouver un recouvrement \(\{\varphi_u : e \to U\}_{u \in U}\), où \(\varphi_u\) envoie l’unique élément de \(e\) sur \(u \in U\). Dans ce cas, la condition de faisceau implique que \(\mathcal{F}(U) = \prod_{u \in U} \mathcal{F}(e)\). Autrement dit, \(\mathcal{F}(U) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(U, \mathcal{F}(e))\). Cette règle est en outre compatible avec les applications de restriction. Le foncteur \[i_* : \textit{Ensembles} = \Sh(pt) \longrightarrow \Sh(\mathcal{S}), \quad E \longmapsto (U \mapsto \Mor_{\textit{Ensembles}}(U, E))\] est donc une équivalence de catégories, et son inverse est le foncteur \(i^{-1}\) donné ci-dessus.

Si \(\mathcal{S}\) ne contient aucun singleton, le foncteur \(i_*\) défini ci-dessus a encore un sens. Pour montrer qu’il reste une équivalence dans ce cas, choisissons un élément non vide \(\tilde e \in S\) et une application \(\varphi : \tilde e \to \tilde e\) dont l’image est un singleton. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\), posons \[\mathcal{F}(e) := \Im( \mathcal{F}(\varphi) : \mathcal{F}(\tilde e) \longrightarrow \mathcal{F}(\tilde e) )\] et montrons qu’il s’agit d’un quasi-inverse de \(i_*\). Les détails sont omis.

Remarque

(Questions ensemblistes relatives aux morphismes de topos. À omettre en première lecture.) Un morphisme de topos tel que défini ci-dessus n’est pas un ensemble, mais une classe. Autrement dit, il est donné par une formule mathématique plutôt que par un objet mathématique. Bien que nous puissions considérer la classe de tous les morphismes entre deux topos donnés, il n’est pas judicieux de l’introduire comme objet mathématique. D’autre part, supposons que \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) soient des sites donnés. Considérons un foncteur \(\Phi : \mathcal{C} \to \Sh(\mathcal{D})\). Une telle donnée est un ensemble, autrement dit un objet mathématique. Nous pouvons poser successivement les questions suivantes à propos de \(\Phi\).

1. Est-il vrai que, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{D}\), la règle \(U \mapsto \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\Phi(U), \mathcal{F})\) définit un faisceau sur \(\mathcal{C}\) ? Si oui, elle définit un foncteur \(\Phi_* : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\).

2. Est-il vrai que \(\Phi_*\) admette un adjoint à gauche ? Si oui, notons \(\Phi^{-1}\) cet adjoint à gauche.

3. Est-il vrai que \(\Phi^{-1}\) soit exact ?

Si la réponse à la dernière question est encore « oui », nous obtenons un morphisme de topos \((\Phi_*, \Phi^{-1})\). En outre, étant donné un morphisme de topos \((f_*, f^{-1})\), nous pouvons poser \(\Phi(U) = f^{-1}(h_U^\#)\) et obtenir un foncteur \(\Phi\) comme ci-dessus, avec \(f_* \cong \Phi_*\) et \(f^{-1} \cong \Phi^{-1}\) (de manière compatible avec la propriété d’adjonction). En définitive, en travaillant avec la classe des \(\Phi\) plutôt qu’avec les morphismes de topos, nous avons (a) remplacé la notion de morphisme de topos par un objet mathématique et (b) la classe des \(\Phi\) est une classe (et non une classe de classes). On peut bien sûr aller plus loin, par exemple en précisant la signification des conditions (2) et (3) ci-dessus ; nous le faisons pour les points de topos dans la section 00Y3.

Remarque

(À omettre en première lecture.) Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Un quasi-morphisme de sites \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) (voir la Remarque 00X8) donne naissance, exactement comme dans le Lemme 00XC, à un morphisme de topos \(f\) de \(\Sh(\mathcal{D})\) vers \(\Sh(\mathcal{C})\).

G-ensembles et morphismes

Soit \(\varphi : G \to H\) un homomorphisme de groupes. Choisissons des sites (convenables) \(\mathcal{T}_G\) et \(\mathcal{T}_H\) comme dans l’Exemple 00VK et la section 00VZ. Soit \(u : \mathcal{T}_H \to \mathcal{T}_G\) le foncteur qui associe à un \(H\)-ensemble \(U\) le \(G\)-ensemble \(U_\varphi\), de même ensemble sous-jacent, mais où l’action de \(G\) est définie par \(g \cdot \xi = \varphi(g)\xi\) pour \(g \in G\) et \(\xi \in U\). Il est clair que \(u\) commute aux limites finies et qu’il est continu⁴. En appliquant la Proposition 00X6 et le Lemme 00XC, nous obtenons un morphisme de topos \[f : \Sh(\mathcal{T}_G) \longrightarrow \Sh(\mathcal{T}_H)\] associé à \(\varphi\). La Proposition 00W0 montre que nous obtenons un couple de foncteurs adjoints \[f_* : G\textit{-Ensembles} \longrightarrow H\textit{-Ensembles}, \quad f^{-1} : H\textit{-Ensembles} \longrightarrow G\textit{-Ensembles}.\] Déterminons explicitement ces foncteurs dans ce cas.

Commençons par établir une formule pour \(f_*\). Rappelons qu’au \(G\)-ensemble \(S\) correspond le faisceau \(\mathcal{F}_S\) sur \(\mathcal{T}_G\) donné par la règle \(\mathcal{F}_S(U) = \Mor_G(U, S)\). D’autre part, au faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{T}_H\) correspond le \(H\)-ensemble donné par la règle \(\mathcal{G}({}_HH)\). Nous obtenons donc \[f_*S = \Mor_{G\textit{-Ensembles}}(({}_HH)_\varphi, S).\] En développant un peu cette formule, nous obtenons \[f_*S = \{ a : H \to S \mid a(gh) = ga(h) \}\] avec l’action à gauche de \(H\) donnée par \((h \cdot a)(h') = a(h'h)\) pour tout élément \(a \in f_*S\).

Calculons ensuite explicitement \(f^{-1}\). Comme la topologie de \(\mathcal{T}_G\) et celle de \(\mathcal{T}_H\) sont sous-canoniques, tous les préfaisceaux représentables sont des faisceaux. De plus, pour tout objet \(V\) de \(\mathcal{T}_H\), nous avons \(f^{-1}h_V\) égal à \(h_{u(V)}\) (voir le Lemme 04D3). Ainsi, \(f^{-1}S = S_\varphi\) pour les faisceaux représentables. Comme tout faisceau sur \(\mathcal{T}_H\) est une somme disjointe de faisceaux représentables, nous concluons que cette formule vaut en général. Par conséquent, pour tout \(H\)-ensemble \(T\), \[f^{-1}T = T_\varphi.\] L’adjonction entre \(f^{-1}\) et \(f_*\) est exprimée par la formule \[\Mor_{G\textit{-Ensembles}}(T_\varphi, S) = \Mor_{H\textit{-Ensembles}}(T, f_*S)\] où \(f_*S\) est défini ci-dessus. On peut le démontrer directement. Il est alors clair, en outre, que \((f^{-1}, f_*)\) forme un couple adjoint et que \(f^{-1}\) est exact. On peut donc, au lieu de procéder comme ci-dessus, définir directement de cette manière le morphisme de topos \(f : G\textit{-Ensembles} \to H\textit{-Ensembles}\).

Objets quasi-compacts et limites inductives

Afin de pouvoir employer le même langage que pour les espaces topologiques, nous introduisons la terminologie suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) est quasi-compact si, pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\), il existe un autre recouvrement \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J}\) et un morphisme \(\mathcal{V} \to \mathcal{U}\) de familles de morphismes de même but donné par \(\text{id} : U \to U\), \(\alpha : J \to I\) et \(V_j \to U_{\alpha(j)}\) (voir la Définition 00VT), tels que l’image de \(\alpha\) soit une partie finie de \(I\).

Bien entendu, la notion usuelle suffit pour conclure que \(U\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Considérons les conditions suivantes :

1. \(U\) est quasi-compact,

2. pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement fini \(\{V_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) de \(\mathcal{C}\) qui raffine \(\mathcal{U}\), et

3. pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\), il existe une partie finie \(I' \subset I\) telle que \(\{U_i \to U\}_{i \in I'}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{C}\).

Nous avons toujours (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1), mais les implications réciproques sont fausses en général.

Démonstration

Les implications résultent immédiatement des définitions. Soit \(X = [0, 1] \subset \mathbf{R}\) muni de sa topologie usuelle (la topologie usuelle \(\epsilon\)-\(\delta\)). Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des sous-espaces ouverts de \(X\), les morphismes étant les inclusions, munie des recouvrements ouverts usuels (comparer à l’Exemple 00VJ). Modifions cependant la notion de recouvrement de \(\mathcal{C}\) en excluant tous les recouvrements finis, sauf ceux de la forme \(\{U \to U\}\). On vérifie facilement que l’on obtient ainsi un site au sens de la Définition 00VH. Dans ce site, l’objet \(X = U = [0, 1]\) est quasi-compact au sens de la Définition 090H, mais \(U\) ne satisfait pas (2). Nous laissons au lecteur le soin de construire un exemple où (2) est vraie et (3) fausse.

Voici la signification, en théorie des topos, d’un objet quasi-compact.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(U\) est quasi-compact, et

2. pour tout morphisme surjectif de faisceaux \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\), il existe une partie finie \(J \subset I\) telle que \(\coprod_{i \in J} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\) soit surjectif.

Démonstration

Supposons (1) et soit \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\) un morphisme surjectif. Alors \(\text{id}_U\) est une section de \(h_U^\#\) sur \(U\). Il existe donc un recouvrement \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\) et, pour tout \(a \in A\), une section \(s_a\) de \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i\) sur \(U_a\) qui s’envoie sur \(\text{id}_U\). Par la construction des sommes disjointes comme faisceaux associés aux sommes disjointes de préfaisceaux (Lemme 00WI), il existe, pour tout \(a\), un recouvrement \(\{U_{ab} \to U_a\}_{b \in B_a}\) et, pour tout \(b \in B_a\), un indice \(\iota(b) \in I\) et une section \(s_{b}\) de \(\mathcal{F}_{\iota(b)}\) sur \(U_{ab}\) qui s’envoie sur \(\text{id}_U|_{U_{ab}}\). Ainsi, après avoir remplacé le recouvrement \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\) par \(\{U_{ab} \to U\}_{a \in A, b \in B_a}\), nous pouvons supposer que nous disposons d’une application \(\iota : A \to I\) et, pour tout \(a \in A\), d’une section \(s_a\) de \(\mathcal{F}_{\iota(a)}\) sur \(U_a\) qui s’envoie sur \(\text{id}_U\). Puisque \(U\) est quasi-compact, il existe un recouvrement \(\{V_c \to U\}_{c \in C}\), une application \(\alpha : C \to A\) d’image finie et des morphismes \(V_c \to U_{\alpha(c)}\) au-dessus de \(U\). Alors \(J = \Im(\iota \circ \alpha) \subset I\) convient, car \(\coprod_{c \in C} h_{V_c}^\# \to h_U^\#\) est surjectif (Lemme 00WT) et se factorise par \(\coprod_{i \in J} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\). (Nous utilisons ici le fait que le composé \(h_{V_c}^\# \to h_{U_{\alpha(c)}} \xrightarrow{s_{\alpha(c)}} \mathcal{F}_{\iota(\alpha(c))} \to h_U^\#\) est le morphisme \(h_{V_c}^\# \to h_U^\#\) provenant du morphisme \(V_c \to U\), puisque \(s_{\alpha(c)}\) s’envoie sur \(\text{id}_U|_{U_{\alpha(c)}}\).)

Supposons (2). Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement. D’après le Lemme 00WT, \(\coprod_{i \in I} h_{U_i}^\# \to h_U^\#\) est surjectif. Il existe donc une partie finie \(J \subset I\) telle que \(\coprod_{j \in J} h_{U_j}^\# \to h_U^\#\) soit surjectif. En raisonnant comme ci-dessus, nous trouvons un recouvrement \(\{V_c \to U\}_{c \in C}\) de \(U\) dans \(\mathcal{C}\) et une application \(\iota : C \to J\) tels que \(\text{id}_U\) se relève en une section \(s_c\) de \(h_{U_{\iota(c)}}^\#\) sur \(V_c\). En raffinant encore le recouvrement, nous pouvons supposer que \(s_c \in h_{U_{\iota(c)}}(V_c)\) s’envoie sur \(\text{id}_U\). Alors \(s_c : V_c \to U_{\iota(c)}\) est un morphisme au-dessus de \(U\), ce qui permet de conclure.

Le lemme précédent motive la définition suivante.

Définition

Un objet \(\mathcal{F}\) d’un topos \(\Sh(\mathcal{C})\) est quasi-compact si, pour tout morphisme surjectif \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) de \(\Sh(\mathcal{C})\), il existe une partie finie \(J \subset I\) telle que \(\coprod_{i \in J} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) soit surjectif. Un topos \(\Sh(\mathcal{C})\) est dit quasi-compact si son objet final \(*\) est un objet quasi-compact.

D’après le Lemme 0D06, si le site \(\mathcal{C}\) possède un objet final \(X\), alors \(\Sh(\mathcal{C})\) est quasi-compact si et seulement si \(X\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Si \(U \to V\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que \(h_U^\# \to h_V^\#\) soit surjectif et si \(U\) est quasi-compact, alors \(V\) est quasi-compact.

2. Si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme surjectif de faisceaux d’ensembles et si \(\mathcal{F}\) est quasi-compact, alors \(\mathcal{G}\) est quasi-compact.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Si \(n \geq 1\) et si \(\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_n\) sont des faisceaux quasi-compacts sur \(\mathcal{C}\), alors \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{F}_i\) est quasi-compact.

Démonstration

Omis.

Les deux lemmes suivants sont les analogues, pour les sites, du Lemme 009F de Faisceaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme filtrant de faisceaux d’ensembles. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Considérons l’application canonique \[\Psi : \colim_i \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\colim_i \mathcal{F}_i\right)(U)\] Avec la terminologie introduite ci-dessus :

1. Si tous les morphismes de transition sont injectifs, alors \(\Psi\) est injective pour tout \(U\).

2. Si \(U\) est quasi-compact, alors \(\Psi\) est injective.

3. Si \(U\) est quasi-compact et si tous les morphismes de transition sont injectifs, alors \(\Psi\) est un isomorphisme.

4. Si \(U\) admet un système cofinal de recouvrements \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) où \(J\) est fini et \(U_j \times_U U_{j'}\) est quasi-compact pour tous \(j, j' \in J\), alors \(\Psi\) est bijective.

Démonstration

Supposons tous les morphismes de transition injectifs. Dans ce cas, le préfaisceau \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\) est séparé (voir la Définition 00WA). Par le Lemme 00WI, nous avons \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\). Le Théorème 00WB montre que \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\) est injectif. Cela démontre (1).

Supposons \(U\) quasi-compact. Supposons que \(s \in \mathcal{F}_i(U)\) et \(s' \in \mathcal{F}_{i'}(U)\) définissent des éléments du membre de gauche ayant la même image par \(\Psi\). Cela signifie que nous pouvons choisir un recouvrement \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\) et, pour tout \(a \in A\), un indice \(i_a \in I\), \(i_a \geq i\), \(i_a \geq i'\), tel que \(\varphi_{ii_a}(s) = \varphi_{i'i_a}(s')\). Comme \(U\) est quasi-compact, nous pouvons choisir un recouvrement \(\{V_b \to U\}_{b \in B}\), une application \(\alpha : B \to A\) d’image finie, et des morphismes \(V_b \to U_{\alpha(b)}\) au-dessus de \(U\). Choisissons \(i''\in I\), supérieur ou égal (\(\geq\)) à tous les \(i_{\alpha(b)}\), ce qui est possible puisque l’image de \(\alpha\) est finie. Nous en déduisons que \(\varphi_{ii''}(s)\) et \(\varphi_{i'i''}(s)\) coïncident sur \(V_b\) pour tout \(b \in B\), et donc que \(\varphi_{ii''}(s) = \varphi_{i'i''}(s)\). Cela démontre (2).

Supposons \(U\) quasi-compact et tous les morphismes de transition injectifs. Soit \(s\) un élément du but de \(\Psi\). Il existe un recouvrement \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\) et, pour tout \(a \in A\), un indice \(i_a \in I\) et une section \(s_a \in \mathcal{F}_{i_a}(U_a)\) tels que \(s|_{U_a}\) provienne de \(s_a\) pour tout \(a \in A\). Comme \(U\) est quasi-compact, nous pouvons choisir un recouvrement \(\{V_b \to U\}_{b \in B}\), une application \(\alpha : B \to A\) d’image finie, et des morphismes \(V_b \to U_{\alpha(b)}\) au-dessus de \(U\). Choisissons \(i \in I\), supérieur ou égal (\(\geq\)) à tous les \(i_{\alpha(b)}\), ce qui est possible puisque l’image de \(\alpha\) est finie. D’après (1), les sections \(s_b = \varphi_{i_{\alpha(b)} i}(s_{\alpha(b)})|_{V_b}\) coïncident sur \(V_b \times_U V_{b'}\). Elles se recollent donc en une section \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\) qui s’envoie sur \(s\) par \(\Psi\). Cela démontre (3).

Supposons vérifiée l’hypothèse de (4). D’après le Lemme 0D05, l’objet \(U\) est quasi-compact ; ainsi, \(\Psi\) est injective par (2). Pour démontrer la surjectivité, soit \(s\) un élément du but de \(\Psi\). Par hypothèse, il existe un recouvrement fini \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\), tel que \(U_j \times_U U_{j'}\) soit quasi-compact pour tous \(1 \leq j, j' \leq m\), ainsi que, pour tout \(j\), un indice \(i_j \in I\) et une section \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\) tels que \(s|_{U_j}\) soit l’image de \(s_j\) pour tout \(j\). Puisque \(U_j \times_U U_{j'}\) est quasi-compact, nous pouvons appliquer (2) : il existe \(i_{jj'} \in I\), avec \(i_{jj'} \geq i_j\) et \(i_{jj'} \geq i_{j'}\), tel que \(\varphi_{i_ji_{jj'}}(s_j)\) et \(\varphi_{i_{j'}i_{jj'}}(s_{j'})\) coïncident sur \(U_j \times_U U_{j'}\). Choisissons un indice \(i \in I\) supérieur ou égal à tous les \(i_{jj'}\). Les sections \(\varphi_{i_ji}(s_j)\) de \(\mathcal{F}_i\) se recollent alors en une section de \(\mathcal{F}_i\) sur \(U\). L’image de cette section est bien l’élément \(s\) voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme filtrant de faisceaux d’ensembles. Considérons l’application canonique \[\Psi : \colim_i \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}_i) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{C}, \colim_i \mathcal{F}_i)\] On a les assertions suivantes :

1. Si tous les morphismes de transition sont injectifs, alors \(\Psi\) est injective.

2. Si \(\Sh(\mathcal{C})\) est quasi-compact, alors \(\Psi\) est injective.

3. Si \(\Sh(\mathcal{C})\) est quasi-compact et si tous les morphismes de transition sont injectifs, alors \(\Psi\) est un isomorphisme.

4. Supposons qu’il existe un ensemble \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) ayant les propriétés suivantes :

   1. pour toute surjection \(\mathcal{F} \to *\), il existe \(\mathcal{K} \in S\) et un morphisme \(\mathcal{K} \to \mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{K} \to *\) soit surjectif ;

   2. pour \(\mathcal{K} \in S\), le produit \(\mathcal{K} \times \mathcal{K}\) est quasi-compact.

   Alors \(\Psi\) est bijective.

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons tous les morphismes de transition injectifs. Dans ce cas, le préfaisceau \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\) est séparé (voir la Définition 00WA). D’après le Lemme 00WI, on a \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\). Le Théorème 00WB montre que \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\) est injectif. Cela démontre (1).

Démonstration de (2). Supposons \(\Sh(\mathcal{C})\) quasi-compact. Rappelons que \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = \Mor(*, \mathcal{F})\) pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\). Soient \(a_i, b_i : * \to \mathcal{F}_i\) et, pour \(i' \geq i\), notons \(a_{i'}, b_{i'} : * \to \mathcal{F}_{i'}\) leurs composés avec les morphismes de transition du système. Posons \(a = \colim_{i' \geq i} a_{i'}\), et de même pour \(b\). Pour \(i' \geq i\), notons \[E_{i'} = \text{Égalisateur}(a_{i'}, b_{i'}) \subset * \quad\text{et}\quad E = \text{Égalisateur}(a, b) \subset *\] D’après Catégories, Lemme 002W, on a \(E = \colim_{i' \geq i} E_{i'}\). Il s’ensuit que \(\coprod_{i' \geq i} E_{i'} \to E\) est un morphisme surjectif de faisceaux. Par conséquent, si \(E = *\), c’est-à-dire si \(a = b\), alors, puisque \(*\) est quasi-compact, on a \(E_{i'} = *\) pour un certain \(i' \geq i\), d’où \(a_{i'} = b_{i'}\) pour un certain \(i' \geq i\). Cela démontre (2).

Démonstration de (3). Supposons \(\Sh(\mathcal{C})\) quasi-compact et tous les morphismes de transition injectifs. Soit \(a : * \to \colim \mathcal{F}_i\) un morphisme. Alors \(E_i = a^{-1}(\mathcal{F}_i) \subset *\) est un sous-faisceau et \(\colim E_i = *\) (d’après la référence ci-dessus). Il existe donc un indice \(i\) tel que \(E_i = *\), et l’image de \(a\) est alors contenue dans \(\mathcal{F}_i\), comme voulu.

Démonstration de (4). Soit \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) satisfaisant (4)(a) et (b). En appliquant (4)(a) à \(\text{id} : * \to *\), nous trouvons \(\mathcal{K} \in S\) tel que \(\mathcal{K} \to *\) soit surjectif. Les morphismes \(\mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{K} \to *\) sont surjectifs. D’après (4)(b) et le Lemme 0GMP, \(\mathcal{K}\) et \(\Sh(\mathcal{C})\) sont quasi-compacts. Ainsi, \(\Psi\) est injective par (2). Posons \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\). Soit \(s : * \to \mathcal{F}\) une section globale de la limite inductive. Comme \(\coprod \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) est surjectif, la projection \[\coprod\nolimits_{i \in I} * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_i \to *\] est surjective. D’après (4)(a), il existe \(\mathcal{K} \in S\) et un morphisme \(\mathcal{K} \to \coprod_{i \in I} * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_i\) tels que \(\mathcal{K} \to *\) soit surjectif. Puisque \(\mathcal{K}\) est quasi-compact, ce morphisme se factorise par \(\mathcal{K} \to \coprod_{i' \in I'} * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_{i'}\) pour une partie finie \(I' \subset I\). Soit \(i \in I\) un majorant de la partie finie \(I'\). Les morphismes de transition définissent un morphisme \(\coprod_{i' \in I'} \mathcal{F}_{i'} \to \mathcal{F}_i\). Celui-ci fournit à son tour un morphisme \(\mathcal{K} \to * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_i\). Autrement dit, nous obtenons \(\mathcal{K} \in S\), avec \(\mathcal{K} \to *\) surjectif, et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{K} \times \mathcal{K} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{K} \ar[d] \ar[r] & {*} \ar[d]^s \\ & \mathcal{F}_i \ar[r] & \mathcal{F} \ar@{=}[r] & \colim \mathcal{F}_i }\] La ligne supérieure de ce diagramme est un coégalisateur. Il suffit donc de montrer qu’après avoir augmenté \(i\), les deux morphismes induits \(a_i, b_i : \mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{F}_i\) sont égaux. C’est ce que démontre le paragraphe suivant, par exactement le même argument que dans la démonstration de (2) ; nous invitons le lecteur à omettre le reste de la démonstration.

Pour \(i' \geq i\), notons \(a_{i'}, b_{i'} : \mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{F}_{i'}\) les composés de \(a_i, b_i\) avec les morphismes de transition du système. Posons \(a = \colim_{i' \geq i} a_{i'} : \mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{F}\), et de même pour \(b\). La commutativité du diagramme ci-dessus donne \(a = b\). Pour \(i' \geq i\), notons \[E_{i'} = \text{Égalisateur}(a_{i'}, b_{i'}) \subset \mathcal{K} \times \mathcal{K} \quad\text{et}\quad E = \text{Égalisateur}(a, b) \subset \mathcal{K} \times \mathcal{K}\] D’après Catégories, Lemme 002W, on a \(E = \colim_{i' \geq i} E_{i'}\). Il s’ensuit que \(\coprod_{i' \geq i} E_{i'} \to E\) est un morphisme surjectif de faisceaux. Comme \(a = b\), on a \(E = \mathcal{K} \times \mathcal{K}\). Puisque \(\mathcal{K} \times \mathcal{K}\) est quasi-compact par (4)(b), on a \(E_{i'} = \mathcal{K} \times \mathcal{K}\) pour un certain \(i' \geq i\), et donc \(a_{i'} = b_{i'}\) pour un certain \(i' \geq i\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Plusieurs conditions permettent d’assurer les hypothèses de la partie (4) du Lemme 0GMR. En voici quelques-unes.

1. Supposons qu’il existe un ensemble \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) ayant les propriétés suivantes :

   1. pour toute surjection \(\mathcal{F} \to *\), il existe \(m \geq 0\) et \(U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{B}\) tels que \(\mathcal{F}(U_j)\) soit non vide et \(\coprod h_{U_j}^\# \to *\) surjectif ;

   2. pour \(U, U' \in \mathcal{B}\), le faisceau \(h_U^\# \times h_{U'}^\#\) est quasi-compact.

2. Supposons qu’il existe un ensemble \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) ayant les propriétés suivantes :

   1. il existe \(m \geq 0\) et \(U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{B}\) tels que \(\coprod h_{U_j}^\# \to *\) soit surjectif ;

   2. pour \(U \in \mathcal{B}\), tout recouvrement de \(U\) peut être raffiné par un recouvrement fini \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) avec \(U_j \in \mathcal{B}\) ;

   3. pour \(U, U' \in \mathcal{B}\), il existe \(m \geq 0\), des objets \(U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{B}\) et des morphismes \(U_j \to U\) et \(U_j \to U'\) tels que \(\coprod h_{U_j}^\# \to h_U^\# \times h_{U'}^\#\) soit surjectif.

3. Supposons que :

   1. \(\Sh(\mathcal{C})\) soit quasi-compact ;

   2. tout objet de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement dont les membres sont des objets quasi-compacts ;

   3. si \(U\) et \(U'\) sont quasi-compacts, alors le faisceau \(h_U^\# \times h_{U'}^\#\) soit quasi-compact.

Dans les cas (1) et (2), nous prenons pour \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) l’ensemble des coproduits finis des faisceaux \(h_U^\#\), pour \(U \in \mathcal{B}\). Dans le cas (3), nous prenons pour \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) l’ensemble des coproduits finis des faisceaux \(h_U^\#\), pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) quasi-compact.

Nous aurons plus loin besoin d’une borne sur le comportement possible des limites inductives, sous la forme suivante.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\beta\) un ordinal. Soit \(\beta \to \Sh(\mathcal{C})\), \(\alpha \mapsto \mathcal{F}_\alpha\), un système de faisceaux indexé par \(\beta\). Pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), considérons l’application canonique \[\colim_{\alpha < \beta} \mathcal{F}_\alpha(U) \longrightarrow \left(\colim_{\alpha < \beta} \mathcal{F}_\alpha \right)(U)\] Si la cofinalité de \(\beta\) est assez grande, cette application est bijective pour tout \(U\).

Démonstration

Le membre de gauche est la valeur en \(U\) de la limite inductive \(\mathcal{F}_{\colim}\) prise dans la catégorie des préfaisceaux ; voir la section 00VB. Rappelons que \(\colim_{\alpha < \beta} \mathcal{F}_\alpha\) est le faisceau associé \(\mathcal{F}_{\colim}^\#\) à \(\mathcal{F}_{\colim}\) ; voir le Lemme 00WI. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un élément de l’ensemble \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) des recouvrements de \(\mathcal{C}\). Si la cofinalité de \(\beta\) est strictement supérieure au cardinal de \(I\), nous affirmons que \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_{\colim}) = \colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_\alpha) = \colim \mathcal{F}_\alpha(U) = \mathcal{F}_{\colim}(U)\] Les deuxième et troisième égalités sont claires. Pour la première, écrivons \(s = (s_i) \in H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_{\colim})\). Pour tout \(i\), l’élément \(s_i\) provient alors d’un élément \(s_{i, \alpha_i} \in \mathcal{F}_{\alpha_i}(U_i)\) pour un certain \(\alpha_i < \beta\). Grâce à l’hypothèse sur la cofinalité, nous pouvons choisir \(\alpha_i = \alpha\) indépendamment de \(i\). Les éléments \(s_i\) et \(s_j\) ont alors la même image dans \(\mathcal{F}_{\alpha_{i, j}}(U_i \times_U U_j)\) pour un certain \(\alpha_{i, j} < \beta\). Comme le cardinal de \(I \times I\) est lui aussi strictement inférieur à la cofinalité de \(\beta\), nous pouvons, quitte à augmenter \(\alpha\), supposer \(\alpha_{i, j} = \alpha\) pour tous \(i, j\). Cela démontre la surjectivité de l’application naturelle \(\colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_\alpha) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_{\colim})\). Un argument tout à fait semblable montre qu’elle est injective. En particulier, \(\mathcal{F}_{\colim}\) satisfait la condition de faisceau pour \(\mathcal{U}\). Ainsi, si la cofinalité de \(\beta\) est strictement supérieure au supremum des cardinaux des ensembles d’indices \(I\) des recouvrements, la conclusion suit.

Limites inductives de sites

Il nous faut un analogue du Lemme 0738 lorsque le site est la limite d’un système projectif de sites. Par souci de simplicité, nous n’expliquons la construction que dans le cas où les ensembles d’indices des recouvrements sont finis.

Situation

On se donne ici :

1. une catégorie d’indices cofiltrante \(\mathcal{I}\) ;

2. pour \(i \in \Ob(\mathcal{I})\), un site \(\mathcal{C}_i\) tel que tout recouvrement de \(\mathcal{C}_i\) possède un ensemble d’indices fini ;

3. pour un morphisme \(a : i \to j\) de \(\mathcal{I}\), un morphisme de sites \(f_a : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}_j\) défini par un foncteur continu \(u_a : \mathcal{C}_j \to \mathcal{C}_i\),

tels que \(f_a \circ f_b = f_c\) dès que \(c = a \circ b\) dans \(\mathcal{I}\).

Lemme

Dans la Situation 0A34, nous pouvons construire un site \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C}))\) comme suit :

1. comme catégorie, \(\mathcal{C} = \colim \mathcal{C}_i\) ;

2. \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) est la réunion des images de \(\text{Cov}(\mathcal{C}_i)\) par \(u_i : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\).

Démonstration

Notre définition de la composition des morphismes de sites implique que \(u_b \circ u_a = u_c\) dès que \(c = a \circ b\) dans \(\mathcal{I}\). La formule \(\mathcal{C} = \colim \mathcal{C}_i\) signifie que \(\Ob(\mathcal{C}) = \colim \Ob(\mathcal{C}_i)\) et \(\text{Flèches}(\mathcal{C}) = \colim \text{Flèches}(\mathcal{C}_i)\). La source, le but et la composition sont alors hérités de la source, du but et de la composition sur \(\text{Flèches}(\mathcal{C}_i)\). Nous obtenons ainsi une catégorie. Notons \(u_i : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) le foncteur évident. Remarquons que, pour tout diagramme fini dans \(\mathcal{C}\), il existe un \(i\) tel que ce diagramme soit l’image d’un diagramme dans \(\mathcal{C}_i\).

Soit \(\{U^t \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Montrons d’abord que, si \(V \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(U^t \times_U V\) existe. D’après la remarque précédente et notre définition des recouvrements, nous pouvons trouver un \(i\), un recouvrement \(\{U_i^t \to U_i\}\) de \(\mathcal{C}_i\) et un morphisme \(V_i \to U_i\) dont l’image par \(u_i\) est la donnée considérée. Nous affirmons que \(U^t \times_U V\) est l’image de \(U^t_i \times_{U_i} V_i\) par \(u_i\). En effet, pour tout \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), le foncteur \(u_a\) est continu, et donc \(u_a(U^t_i \times_{U_i} V_i) = u_a(U^t_i) \times_{u_a(U_i)} u_a(V_i)\). En particulier, nous pouvons remplacer \(i\) par \(j\) si nous le souhaitons. Ainsi, si \(W\) est un autre objet de \(\mathcal{C}\), nous pouvons supposer \(W = u_i(W_i)\), et nous obtenons \[\begin{align*} & \Mor_\mathcal{C}(W, u_i(U^t_i \times_{U_i} V_i)) \\ & = \colim_{a : j \to i} \Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(U^t_i \times_{U_i} V_i)) \\ & = \colim_{a : j \to i} \Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(U^t_i)) \times_{\Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(U_i))} \Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(V_i)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(W, U^t) \times_{\Mor_\mathcal{C}(W, U)} \Mor_\mathcal{C}(W, V) \end{align*}\] puisque les limites inductives filtrantes commutent aux limites finies (Catégories, Lemme 002W). Il en résulte aussi que \(\{U^t \times_U V \to V\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Nous voyons ainsi que l’axiome (3) de la Définition 00VH est satisfait.

Pour vérifier l’axiome (2) de la Définition 00VH, soit \(\{U^t \to U\}_{t \in T}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et, pour tout \(t\), soit \(\{U^{ts} \to U^t\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Nous pouvons alors trouver un \(i\) et un recouvrement \(\{U^t_i \to U_i\}_{t \in T}\) de \(\mathcal{C}_i\) dont l’image par \(u_i\) est \(\{U^t \to U\}\). Comme \(T\) est fini, nous pouvons choisir \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\) et des recouvrements \(\{U^{ts}_j \to u_a(U^t_i)\}\) de \(\mathcal{C}_j\) dont l’image par \(u_j\) donne \(\{U^{ts} \to U^t\}\). Nous en déduisons que \(\{U^{ts} \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) en appliquant l’axiome (2) au site \(\mathcal{C}_j\).

Nous omettons la démonstration de l’axiome (1) de la Définition 00VH.

Lemme

Dans la Situation 0A34, soit \(u_i : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) le foncteur construit au Lemme 09YL. Alors \(u_i\) définit un morphisme de sites \(f_i : \mathcal{C} \to \mathcal{C}_i\). Pour \(U_i \in \Ob(\mathcal{C}_i)\) et un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_i\), on a [09YM]\[\begin{equation} f_i^{-1}\mathcal{F}(u_i(U_i)) = \colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{F}(u_a(U_i)) \end{equation}\]

Démonstration

Les arguments de la démonstration du Lemme 09YL montrent immédiatement que les foncteurs \(u_i\) sont continus. Pour achever la démonstration, il faut montrer que \(f_i^{-1} := u_{i, s}\) est un foncteur exact \(\Sh(\mathcal{C}_i) \to \Sh(\mathcal{C})\). Il suffit en fait de montrer que \(f_i^{-1}\) est exact à gauche, car il est exact à droite en tant qu’adjoint à gauche (Catégories, Lemme 0039). Nous démontrons d’abord (09YM), puis nous en déduisons l’exactitude.

Pour un objet arbitraire \(V\) de \(\mathcal{C}\), nous pouvons choisir un \(a : j \to i\) et un objet \(V_j \in \Ob(\mathcal{C})\) tels que \(V = u_j(V_j)\). Nous pouvons alors poser \[\mathcal{G}(V) = \colim_{b : k \to j} f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{F}(u_b(V_j))\] La valeur \(\mathcal{G}(V)\) de la limite inductive ne dépend ni du choix de \(b : j \to i\), ni de l’objet \(V_j\) tel que \(u_j(V_j) = V\) ; nous omettons la vérification. En outre, si \(\alpha : V \to V'\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), nous pouvons choisir \(b : j \to i\) et un morphisme \(\alpha_j : V_j \to V'_j\) tels que \(u_j(\alpha_j) = \alpha\). Celui-ci induit une application \(\mathcal{G}(V') \to \mathcal{G}(V)\) à l’aide des restrictions le long des morphismes \(u_b(\alpha_j) : u_b(V_j) \to u_b(V'_j)\). Une vérification montre que \(\mathcal{G}\) est un préfaisceau (nous l’omettons). En fait, \(\mathcal{G}\) satisfait la condition de faisceau. En effet, tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U^t \to U\}\) de \(\mathcal{C}\) provient d’un niveau fini. Supposons que \(\mathcal{U}_j = \{U^t_j \to U_j\}\) soit envoyé sur \(\mathcal{U}\) par \(u_j\) pour un certain \(a : j \to i\) de \(\mathcal{I}\). Alors \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = \colim_{b : k \to j} H^0(u_b(\mathcal{U}_j), f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{F}) = \colim_{b : k \to j} f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{F}(u_b(U_j)) = \mathcal{G}(U)\] comme voulu. La première égalité est vraie parce que les limites inductives filtrantes commutent aux limites finies (Catégories, Lemme 002W). Par construction, \(\mathcal{G}(U)\) est donné par le membre de droite de (09YM). Ainsi, (09YM) est vraie si nous pouvons montrer que \(\mathcal{G}\) est égal à \(f_i^{-1}\mathcal{F}\).

Vérifions dans ce paragraphe que \(\mathcal{G}\) est canoniquement isomorphe à \(f_i^{-1}\mathcal{F}\). Nous recommandons vivement au lecteur de sauter ce paragraphe. Pour cette vérification, nous devons établir une bijection \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_i)}(\mathcal{F}, f_{i, *}\mathcal{H})\) fonctorielle en le faisceau \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{C}\), où \(f_{i, *} = u_i^p\). Un morphisme \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) équivaut à un système compatible de morphismes \[\varphi_{a, b, V_j} : f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{F}(u_b(V_j)) \longrightarrow \mathcal{H}(u_j(V_j))\] pour tous \(a : j \to i\), \(b : k \to j\) et \(V_j \in \Ob(\mathcal{C}_j)\). Les compatibilités imposent que les morphismes \(\varphi_{a, b, V_j}\) soient égaux à \(\varphi_{a \circ b, \text{id}, u_b(V_j)}\). Pour \(a : j \to i\) fixé, la famille de morphismes \(\varphi_{a, \text{id}, V_j}\) correspond à un morphisme de faisceaux \(\varphi_a : f_a^{-1}\mathcal{F} \to f_{j, *}\mathcal{H}\). Les compatibilités entre les \(\varphi_{a, \text{id}, u_a(V_i)}\) et les \(\varphi_{\text{id}, \text{id}, V_i}\) impliquent que \(\varphi_a\) est l’adjoint du morphisme \(\varphi_{id}\) par les égalités \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}_j)}(f_a^{-1}\mathcal{F}, f_{j, *}\mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_i)}(\mathcal{F}, f_{a, *}f_{j, *}\mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_i)}(\mathcal{F}, f_{i, *}\mathcal{H})\] Nous voyons finalement que tout le système de morphismes \(\varphi_{a, b, V_j}\) est déterminé par le morphisme \(\varphi_{id} : \mathcal{F} \to f_{i, *}\mathcal{H}\). Réciproquement, étant donné un tel morphisme \(\psi : \mathcal{F} \to f_{i, *}\mathcal{H}\), nous pouvons remonter l’argument précédent pour construire la famille de morphismes \(\varphi_{a, b, V_j}\). Cela achève la démonstration de l’égalité \(\mathcal{G} = f_i^{-1}\mathcal{F}\).

Supposons (09YM) vérifiée. Alors le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto f_i^{-1}\mathcal{F}(U)\) commute aux limites finies, car les limites finies de faisceaux se calculent dans la catégorie des préfaisceaux (Lemme 00W2), les foncteurs \(f_a^{-1}\) commutent aux limites finies, et les limites inductives filtrantes commutent aux limites finies. Pour voir que \(\mathcal{F} \mapsto f_i^{-1}\mathcal{F}(V)\) commute aux limites finies pour un objet général \(V\) de \(\mathcal{C}\), nous pouvons employer le même argument avec la formule donnée ci-dessus pour \(f_i^{-1}\mathcal{F}(V) = \mathcal{G}(V)\). Ainsi, \(f_i^{-1}\) est exact à gauche, ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Dans la Situation 0A34, supposons donnés :

1. un faisceau \(\mathcal{F}_i\) sur \(\mathcal{C}_i\) pour tout \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) ;

2. pour \(a : j \to i\), un morphisme \(\varphi_a : f_a^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\) de faisceaux sur \(\mathcal{C}_j\).

Supposons \(\varphi_c = \varphi_b \circ f_b^{-1}\varphi_a\) dès que \(c = a \circ b\). Posons \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) sur le site \(\mathcal{C}\) du Lemme 09YL. Soient \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et \(X_i \in \text{Ob}(\mathcal{C}_i)\). Alors \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(u_a(X_i)) = \mathcal{F}(u_i(X_i))\]

Démonstration

Un argument formel montre que \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_i(u_a(X_i)) = \colim_{a : j \to i} \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(u_{a \circ b}(X_i))\] D’après (09YM), la limite inductive intérieure est égale à \(f_j^{-1}\mathcal{F}_j(u_i(X_i))\) ; on conclut donc par le Lemme 0738.

Lemme

Dans la Situation 0A34, supposons donné un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\). Alors \[\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}\] où les morphismes de transition sont les \(f_j^{-1}\varphi_a\) pour \(a : j \to i\), avec \(\varphi_a : f_a^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{j, *}\mathcal{F}\) un morphisme canonique satisfaisant une condition de cocycle comme au Lemme 09YN.

Démonstration

Comme morphisme \[\varphi_a : f_a^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{j, *}\mathcal{F}\] nous choisissons l’adjoint du morphisme identité \[f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{a, *}f_{j, *}\mathcal{F}\] Ainsi, \(\varphi_a\) est la co-unité de l’adjonction \((f_a^{-1}, f_{a, *})\). Nous devons montrer que, pour tous \(a : j \to i\) et \(b : k \to i\) de composé \(c = a \circ b\), on a \(\varphi_c = \varphi_b \circ f_b^{-1}\varphi_a\). Cela résulte de Catégories, Lemme 0DV0. Enfin, il faut montrer que le morphisme fourni par adjonction \[\colim_{i \in I} f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] est un isomorphisme. Pour un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous devons montrer que l’application \[(\colim_{i \in I} f_i^{-1}\mathcal{F}_i)(U) \to \mathcal{F}(U)\] est bijective. Choisissons un \(i\) et un objet \(U_i\) de \(\mathcal{C}_i\) tels que \(u_i(U_i) = U\). Le membre de gauche est alors égal à \[(\colim_{i \in I} f_i^{-1}\mathcal{F}_i)(U) = \colim_{a : j \to i} f_{j, *}\mathcal{F}(u_a(U_i))\] d’après le Lemme 09YN. Comme \(u_j(u_a(U_i)) = U\), on a \(f_{j, *}\mathcal{F}(u_a(U_i)) = \mathcal{F}(U)\) pour tout \(a : j \to i\), par définition. La valeur de la limite inductive est donc \(\mathcal{F}(U)\), ce qui achève la démonstration.

Fonctorialité supplémentaire des préfaisceaux

Dans cette section, nous revenons sur le contenu de la section 00VC. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Rappelons que \[u^p : \textit{PSh}(\mathcal{D}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] est le foncteur qui associe à \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\) le préfaisceau \(u^p\mathcal{G} = \mathcal{G} \circ u\). Ce foncteur possède non seulement un adjoint à gauche, à savoir \(u_p\), mais aussi un adjoint à droite.

Plus précisément, pour tout \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), nous définissons une catégorie \({}_V\mathcal{I} = {}_V^u\mathcal{I}\). Ses objets sont les couples \((U, \psi : u(U) \to V)\). Remarquons que la flèche est orientée dans le sens opposé à celle utilisée pour définir la catégorie \(\mathcal{I}_V^u\) dans la section 00VC. Un morphisme \((U, \psi) \to (U', \psi')\) est donné par un morphisme \(\alpha : U \to U'\) tel que \(\psi = \psi' \circ u(\alpha)\). De plus, pour tout préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), nous introduisons le foncteur \({}_V\mathcal{F} : {}_V\mathcal{I}^{opp} \to \textit{Ensembles}\), défini par la règle \({}_V\mathcal{F}(U, \psi) = \mathcal{F}(U)\). Nous définissons \[{}_pu(\mathcal{F})(V) := \lim_{{}_V\mathcal{I}^{opp}} {}_V\mathcal{F}\] En tant que limite, cet objet possède des morphismes de projection \(c(\psi) : {}_pu(\mathcal{F})(V) \to \mathcal{F}(U)\) pour tout objet \((U, \psi)\) de \({}_V\mathcal{I}\). En fait, \[{}_pu(\mathcal{F})(V) = \left\{ \begin{matrix} \text{familles } s_{(U, \psi)} \in \mathcal{F}(U) \\ \forall \beta : (U_1, \psi_1) \to (U_2, \psi_2) \text{ dans }{}_V\mathcal{I} \\ \text{ telles que } \beta^*s_{(U_2, \psi_2)} = s_{(U_1, \psi_1)} \end{matrix} \right\}\] où la correspondance est donnée par \(s \mapsto s_{(U, \psi)} = c(\psi)(s)\). Nous laissons au lecteur le soin de définir les applications de restriction \({}_pu(\mathcal{F})(V) \to {}_pu(\mathcal{F})(V')\) associées à tout morphisme \(V' \to V\) de \(\mathcal{D}\). Le préfaisceau ainsi obtenu sera noté \({}_pu\mathcal{F}\).

Lemme

Il existe une application canonique \({}_pu\mathcal{F}(u(U)) \to \mathcal{F}(U)\), compatible aux applications de restriction.

Démonstration

C’est simplement le morphisme de projection \(c(\text{id}_{u(U)})\) ci-dessus.

Remarquons que tout morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) donne naissance à des systèmes compatibles de morphismes entre les foncteurs \({}_V\mathcal{F} \to {}_V\mathcal{F}'\), et donc à un morphisme de préfaisceaux \({}_pu\mathcal{F} \to {}_pu\mathcal{F}'\). Autrement dit, nous avons défini un foncteur \[{}_pu : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{D})\]

Lemme

Le foncteur \({}_pu\) est adjoint à droite du foncteur \(u^p\). Autrement dit, la formule \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, {}_pu\mathcal{F})\] est bifonctorielle en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 00VE. Remarquons que le morphisme \(u^p{}_pu \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) du Lemme 00XG est celui qui permet de passer du membre de droite au membre de gauche.

On peut aussi considérer un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) comme un préfaisceau \(\mathcal{F}'\) sur \(\mathcal{C}^{opp}\) à valeurs dans \(\textit{Ensembles}^{opp}\), et procéder de même sur \(\mathcal{D}\). Vérifions que \(({}_pu \mathcal{F})' = u_p(\mathcal{F}')\) et que \((u^p\mathcal{G})' = u^p(\mathcal{G}')\). D’après la Remarque 00VF, \(u_p\) et \(u^p\) sont adjoints pour les préfaisceaux à valeurs dans \(\textit{Ensembles}^{opp}\). Le résultat s’en déduit formellement.

Ainsi, un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) de catégories fournit une suite de foncteurs \[u_p, u^p, {}_pu\] entre les catégories de préfaisceaux, dans laquelle, pour chaque couple consécutif, le premier foncteur est adjoint à gauche du second.

Lemme

Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) des foncteurs de catégories. Supposons que \(v\) soit adjoint à droite de \(u\). Alors :

1. \(u^ph_V = h_{v(V)}\) pour tout \(V\) dans \(\mathcal{D}\) ;

2. la catégorie \(\mathcal{I}^v_U\) possède un objet initial ;

3. la catégorie \({}_V^u\mathcal{I}\) possède un objet final ;

4. \({}_pu = v^p\) ;

5. \(u^p = v_p\).

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). On a \(u^ph_V = h_{v(V)}\) parce que \(u^ph_V(U) = \Mor_\mathcal{D}(u(U), V) = \Mor_\mathcal{C}(U, v(V))\) par hypothèse.

Démonstration de (2). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(\eta : U \to v(u(U))\) le morphisme adjoint du morphisme \(\text{id} : u(U) \to u(U)\). Nous affirmons que \((u(U), \eta)\) est un objet initial de \(\mathcal{I}_U^v\). En effet, étant donné un objet \((V, \phi : U \to v(V))\) de \(\mathcal{I}_U^v\), le morphisme \(\phi\) est adjoint à un morphisme \(\psi : u(U) \to V\), qui définit alors un morphisme \((u(U), \eta) \to (V, \phi)\).

Démonstration de (3). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Soit \(\xi : u(v(V)) \to V\) le morphisme adjoint du morphisme \(\text{id} : v(V) \to v(V)\). Nous affirmons que \((v(V), \xi)\) est un objet final de \({}_V^u\mathcal{I}\). En effet, étant donné un objet \((U, \psi : u(U) \to V)\) de \({}_V^u\mathcal{I}\), le morphisme \(\psi\) est adjoint à un morphisme \(\phi : U \to v(V)\), qui définit alors un morphisme \((U, \psi) \to (v(V), \xi)\).

Par conséquent, pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), on a \[\begin{eqnarray*} v^p\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(v(V)) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_{v(V)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^ph_V, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(h_V, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & {}_pu\mathcal{F}(V) \end{eqnarray*}\] ce qui démontre la partie (4). La partie (5) résulte de l’unicité des foncteurs adjoints.

Foncteurs cocontinus

Il existe une autre manière de construire des morphismes de topos. Elle fait intervenir des foncteurs cocontinus entre sites, définis comme suit.

Définition

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Le foncteur \(u\) est dit cocontinu si, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout recouvrement \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\) de \(\mathcal{D}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que la famille de morphismes \(\{u(U_i) \to u(U)\}_{i \in I}\) raffine le recouvrement \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\).

Remarquons que \(\{u(U_i) \to u(U)\}_{i \in I}\) n’est en général pas un recouvrement du site \(\mathcal{D}\).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) cocontinu. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Alors \({}_pu\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{D}\), que nous noterons \({}_su\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(\{V_j \to V\}_{j \in J}\) un recouvrement du site \(\mathcal{D}\). Nous devons montrer que \[\xymatrix{ &\ \phantom{}_pu\mathcal{F}(V) \ar[r] & \prod {}_pu\mathcal{F}(V_j) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod {}_pu\mathcal{F}(V_j \times_V V_{j'}) & }\] est un diagramme égalisateur. Comme \({}_pu\) est adjoint à droite de \(u^p\), nous avons \[{}_pu\mathcal{F}(V) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(h_V, {}_pu\mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^ph_V, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}((u^ph_V)^\#, \mathcal{F})\] Il suffit donc de montrer que [07GF]\[\begin{equation} \xymatrix{ \coprod u^p h_{V_j \times_V V_{j'}} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod u^p h_{V_j} \ar[r] & u^p h_V } \end{equation}\] devient un diagramme coégalisateur après passage aux faisceaux associés. (Rappelons qu’un coproduit dans la catégorie des faisceaux est le faisceau associé au coproduit dans la catégorie des préfaisceaux ; voir le Lemme 00WI.)

Montrons d’abord que la deuxième flèche de (07GF) devient surjective après passage aux faisceaux associés. Nous utilisons pour cela le Lemme 00WN. Il suffit donc de montrer qu’une section \(s\) de \(u^ph_V\) sur \(U\) se relève en une section de \(\coprod u^p h_{V_j}\) sur les membres d’un recouvrement de \(U\). Remarquons que \(s\) est un morphisme \(s : u(U) \to V\). Alors \(\{V_j \times_{V, s} u(U) \to u(U)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{D}\). Comme \(u\) est cocontinu, il existe donc un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\{u(U_i) \to u(U)\}\) raffine \(\{V_j \times_{V, s} u(U) \to u(U)\}\). Cela signifie que chaque restriction \(s|_{U_i} : u(U_i) \to V\) se factorise par un morphisme \(s_i : u(U_i) \to V_j\) pour un certain \(j\) ; autrement dit, \(s|_{U_i}\) appartient à l’image de \(u^ph_{V_j}(U_i) \to u^ph_V(U_i)\), comme voulu.

Soient \(s, s' \in (\coprod u^ph_{V_j})^\#(U)\) ayant la même image dans \((u^ph_V)^\#(U)\). Pour achever la démonstration du lemme, montrons qu’après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement, \(s, s'\) sont l’image de la même section de \(\coprod u^p h_{V_j \times_V V_{j'}}\) par les deux morphismes de (07GF). Nous pouvons d’abord remplacer \(U\) par les membres d’un recouvrement et supposer \(s \in u^ph_{V_j}(U)\) et \(s' \in u^ph_{V_{j'}}(U)\). Un second remplacement de ce type assure que \(s\) et \(s'\) ont la même image dans \(u^ph_V(U)\), et non seulement dans le faisceau associé. Ainsi, \(s : u(U) \to V_j\) et \(s' : u(U) \to V_{j'}\) sont des morphismes de \(\mathcal{D}\) tels que \[\xymatrix{ u(U) \ar[r]_{s'} \ar[d]_s & V_{j'} \ar[d] \\ V_j \ar[r] & V }\] soit commutatif. Nous obtenons donc \(t = (s, s') : u(U) \to V_j \times_V V_{j'}\), c’est-à-dire une section \(t \in u^ph_{V_j \times_V V_{j'}}(U)\) qui s’envoie sur \(s, s'\), comme voulu.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) cocontinu. Le foncteur \(\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\), \(\mathcal{G} \mapsto (u^p\mathcal{G})^\#\) est adjoint à gauche du foncteur \({}_su\) introduit au Lemme 00XK. De plus, il est exact.

Démonstration

Démontrons la propriété d’adjonction par les égalités suivantes : \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})} ((u^p\mathcal{G})^\#, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})} (u^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})} (\mathcal{G}, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})} (\mathcal{G}, {}_su\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] Il est donc adjoint à gauche, et par conséquent exact à droite ; voir Catégories, Lemme 0039. Nous avons vu que le passage au faisceau associé est exact à gauche ; voir le Lemme 00WJ. En outre, l’inclusion \(i : \Sh(\mathcal{D}) \to \textit{PSh}(\mathcal{D})\) est exacte à gauche d’après le Lemme 00W2. Enfin, le foncteur \(u^p\) est exact à gauche parce qu’il est adjoint à droite, à savoir de \(u_p\). Le foncteur considéré est donc le composé \({}^\# \circ u^p \circ i\) de foncteurs exacts à gauche ; il est par conséquent exact à gauche.

Terminons cette section par un lemme technique.

Lemme

Dans la situation du Lemme 00XL, pour tout préfaisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\), on a \((u^p\mathcal{G})^\# = (u^p(\mathcal{G}^\#))^\#\).

Démonstration

Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), on a \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}((u^p(\mathcal{G}^\#))^\#, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}^\#, {}_su\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}^\#, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}((u^p\mathcal{G})^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] et le résultat résulte du lemme de Yoneda.

Remarque

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Étant donnés des morphismes \(g : u(U) \to V\) et \(f : W \to V\) de \(\mathcal{D}\), nous pouvons considérer le foncteur \[\mathcal{C}^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad T \longmapsto \Mor_\mathcal{C}(T, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(T), V)} \Mor_\mathcal{D}(u(T), W)\] Si ce foncteur est représentable, notons \(U \times_{g, V, f} W\) l’objet correspondant de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) soient des sites. Considérons la propriété \(P\) suivante : pour tout recouvrement \(\{f_j : V_j \to V\}\) de \(\mathcal{D}\) et tout morphisme \(g : u(U) \to V\), on a :

1. \(U \times_{g, V, f_i} V_i\) existe pour tout \(i\) ;

2. \(\{U \times_{g, V, f_i} V_i \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\).

Remarquons la similitude avec la définition des foncteurs continus. Si \(u\) possède la propriété \(P\), alors \(u\) est cocontinu (détails omis). De nombreux foncteurs cocontinus que nous rencontrerons possèdent \(P\).

Foncteurs cocontinus et morphismes de topos

Il ressort clairement de ce qui précède qu’un foncteur cocontinu \(u\) définit un morphisme de topos dans le même sens que \(u\). Ce sens est donc opposé à celui du morphisme de topos associé (sous certaines conditions) à un foncteur continu \(u\), comme dans la Définition 00X1, la Proposition 00X6 et le Lemme 00XC.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) cocontinu. Les foncteurs \(g_* = {}_su\) et \(g^{-1} = (u^p\ )^\#\) définissent un morphisme de topos \(g\) de \(\Sh(\mathcal{C})\) vers \(\Sh(\mathcal{D})\).

Démonstration

C’est exactement le contenu du Lemme 00XL.

Lemme

Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{E}\) des foncteurs cocontinus. Alors \(v \circ u\) est cocontinu et l’on a \(h = g \circ f\), où \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\), respectivement \(g : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{E})\), respectivement \(h : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{E})\), est le morphisme de topos associé à \(u\), respectivement à \(v\), respectivement à \(v \circ u\).

Démonstration

Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\{E_i \to v(u(U))\}\) un recouvrement de \(U\) dans \(\mathcal{E}\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{D_j \to u(U)\}\) dans \(\mathcal{D}\) tel que \(\{v(D_j) \to v(u(U))\}\) raffine \(\{E_i \to v(u(U))\}\). Toujours par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{C_l \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(\{u(C_l) \to u(U)\}\) raffine \(\{D_j \to u(U)\}\). Alors \(\{v(u(C_l)) \to v(u(U))\}\) raffine bien le recouvrement \(\{E_i \to v(u(U))\}\). Cela montre que \(v \circ u\) est cocontinu. Pour démontrer la dernière assertion, il suffit de montrer que \({}_sv \circ {}_su = {}_s(v \circ u)\). Il suffit de démontrer que \({}_pv \circ {}_pu = {}_p(v \circ u)\) ; voir le Lemme 00XK. Comme \({}_pu\), respectivement \({}_pv\), respectivement \({}_p(v \circ u)\), est adjoint à droite de \(u^p\), respectivement de \(v^p\), respectivement de \((v \circ u)^p\), il suffit de montrer que \(u^p \circ v^p = (v \circ u)^p\). Cela résulte directement des définitions.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-espace ouvert. Rappelons que nous disposons des sites \(X_{Zar}\) et \(U_{Zar}\) ; voir l’Exemple 00VJ. Rappelons également que le foncteur \(u : X_{Zar} \to U_{Zar}\) associé à \(j\) est continu et donne lieu à un morphisme de sites \(U_{Zar} \to X_{Zar}\) ; voir l’Exemple 00X2. Cela donne aussi un morphisme de topos \((j_*, j^{-1})\). Considérons ensuite le foncteur \(v : U_{Zar} \to X_{Zar}\), \(V \mapsto v(V) = V\) (le même ouvert, mais considéré maintenant comme un objet de \(X_{Zar}\)). Ce foncteur est cocontinu. En effet, si \(v(V) = \bigcup_{j \in J} W_j\) est un recouvrement ouvert dans \(X\), alors chaque \(W_j\) est nécessairement contenu dans \(U\), donc est de la forme \(v(V_j)\), et \(V = \bigcup_{j \in J} V_j\) est trivialement un recouvrement ouvert dans \(U\). Le Lemme 00XO ci-dessus montre donc qu’il existe un morphisme de topos associé à \(v\) \[\Sh(U) \longrightarrow \Sh(X)\] donné par \({}_sv\) et \((v^p\ )^\#\). Nous affirmons qu’en fait \((v^p\ )^\# = j^{-1}\) et que \({}_sv = j_*\) ; autrement dit, c’est le même morphisme de topos que celui donné ci-dessus. La manière la plus simple de le voir est peut-être de remarquer que, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(X\), on a \(v^p\mathcal{G}(V) = \mathcal{G}(V)\), ce qui, d’après Faisceaux, Lemme 00A0, décrit \(j^{-1}\mathcal{G}\) (le passage au faisceau associé est donc superflu dans ce cas). L’égalité de \({}_sv\) et de \(j_*\) résulte de l’unicité des foncteurs adjoints (mais on peut également la calculer directement).

Exemple

Cet exemple généralise légèrement l’Exemple 00XP. Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Supposons que \(f\) soit ouverte. Rappelons que nous disposons des sites \(X_{Zar}\) et \(Y_{Zar}\) ; voir l’Exemple 00VJ. Rappelons également que le foncteur \(u : Y_{Zar} \to X_{Zar}\) associé à \(f\) est continu et donne lieu à un morphisme de sites \(X_{Zar} \to Y_{Zar}\) ; voir l’Exemple 00X2. Cela donne aussi un morphisme de topos \((f_*, f^{-1})\). Considérons ensuite le foncteur \(v : X_{Zar} \to Y_{Zar}\), \(U \mapsto v(U) = f(U)\). Ce foncteur est cocontinu. En effet, si \(f(U) = \bigcup_{j \in J} V_j\) est un recouvrement ouvert dans \(Y\), alors, en posant \(U_j = f^{-1}(V_j) \cap U\), on obtient un recouvrement ouvert \(U = \bigcup U_j\) tel que \(f(U) = \bigcup f(U_j)\) raffine \(f(U) = \bigcup V_j\). Le Lemme 00XO ci-dessus montre donc qu’il existe un morphisme de topos associé à \(v\) \[\Sh(X) \longrightarrow \Sh(Y)\] donné par \({}_sv\) et \((v^p\ )^\#\). Nous affirmons qu’en fait \((v^p\ )^\# = f^{-1}\) et que \({}_sv = f_*\) ; autrement dit, c’est le même morphisme de topos que celui donné ci-dessus. Pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), on a \(v^p\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(f(U))\). D’autre part, on peut calculer \(u_p\mathcal{G}(U) = \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) = \mathcal{G}(f(U))\), car \((f(U), U \subset f^{-1}(f(U)))\) est manifestement un objet initial de la catégorie \(\mathcal{I}_U^u\) de la section 00VC. Ainsi \(u_p = v^p\) et l’on en conclut que \(f^{-1} = u_s = (v^p\ )^\#\). L’égalité de \({}_sv\) et de \(f_*\) résulte de l’unicité des foncteurs adjoints (mais on peut également la calculer directement).

Dans le premier Exemple 00XP, le foncteur \(v\) est également continu. Mais, dans le second Exemple 00XQ, il n’est généralement pas continu, car la condition (2) de la Définition 00WV peut ne pas être satisfaite. Le lemme suivant s’applique donc au premier exemple, mais non au second.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu, et

2. \(u\) soit continu.

Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé. Alors

1. le passage au faisceau associé dans la formule \(g^{-1} = (u^p\ )^\#\) est inutile ; autrement dit, \(g^{-1}(\mathcal{G})(U) = \mathcal{G}(u(U))\),

2. \(g^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(g_{!} = (u_p\ )^\#\), et

3. \(g^{-1}\) commute à toutes les limites projectives et inductives.

Démonstration

D’après le Lemme 00WW, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\), le préfaisceau \(u^p\mathcal{G}\) est un faisceau sur \(\mathcal{C}\) (et est noté \(u^s\mathcal{G}\)). Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto (u_p\mathcal{F})^\#\) est adjoint à gauche de \(u^s\) d’après le Lemme 00WX. L’assertion relative aux limites projectives et inductives résulte de la discussion de Catégories, section 0036.

Dans la situation du Lemme 00XR ci-dessus, on voit que l’on dispose d’une suite de foncteurs adjoints \[g_{!}, \ g^{-1}, \ g_*.\] Le foncteur \(g_!\) n’est pas exact en général, car il ne transforme pas, en général, un objet final de \(\Sh(\mathcal{C})\) en un objet final de \(\Sh(\mathcal{D})\). Voir Faisceaux, Remarque 00AC. En revanche, dans le cadre topologique de l’Exemple 00XP, le foncteur \(j_!\) est exact sur les faisceaux abéliens ; voir Modules, Lemme 01AK. Le lemme suivant donne la généralisation au cas des sites.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu,

2. \(u\) soit continu, et

3. les produits fibrés et les égalisateurs existent dans \(\mathcal{C}\) et que \(u\) commute à ceux-ci.

Dans ce cas, le foncteur \(g_!\) ci-dessus commute aux produits fibrés et aux égalisateurs (et, plus généralement, aux limites projectives finies connexes).

Démonstration

Supposons (a), (b) et (c). On a \(g_! = (u_p\ )^\#\). Rappelons (Lemme 00W2) que les limites projectives de faisceaux sont égales aux limites projectives correspondantes calculées comme préfaisceaux. De plus, le passage au faisceau associé commute aux limites projectives finies (Lemme 00WJ). Il suffit donc de montrer que \(u_p\) commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Pour cela, il suffit que les limites inductives indexées par les catégories \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) de la section 00VC commutent aux produits fibrés et aux égalisateurs. Cela résulte du Lemme 00X4 et de Catégories, Lemme 002Y.

Le lemme suivant traite d’un cas qui ressemble encore davantage au morphisme associé à une immersion ouverte d’espaces topologiques.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu,

2. \(u\) soit continu, et

3. \(u\) soit pleinement fidèle.

Pour \(g_!, g^{-1}, g_*\) comme ci-dessus, les morphismes canoniques \(\mathcal{F} \to g^{-1}g_!\mathcal{F}\) et \(g^{-1}g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) sont des isomorphismes pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Nous avons vu dans les Lemmes 00XK et 00XR que le passage au faisceau associé n’est pas nécessaire pour les foncteurs \(g^{-1} = (u^p\ )^\#\) et \(g_{*} = ({}_pu\ )^\#\). On peut calculer \((g^{-1}g_{*}\mathcal{F})(X) = g_{*}\mathcal{F}(u(X)) = \lim \mathcal{F}(Y)\). Ici, la limite est prise sur la catégorie des couples \((Y, u(Y) \to u(X))\), où l’on n’exige pas que les morphismes \(u(Y) \to u(X)\) soient de la forme \(u(\alpha)\), avec \(\alpha\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). D’après l’hypothèse (c), ils proviennent automatiquement de morphismes de \(\mathcal{C}\), et l’on en déduit que la limite est la valeur en \((X, u(\text{id}_X))\), c’est-à-dire \(\mathcal{F}(X)\). Cela montre que \(g^{-1}g_{*}\mathcal{F} = \mathcal{F}\).

D’autre part, \((g^{-1}g_{!}\mathcal{F})(X) = g_{!}\mathcal{F}(u(X)) = (u_p\mathcal{F})^\#(u(X))\), et \(u_p\mathcal{F}(u(X)) = \colim \mathcal{F}(Y)\). Ici, la limite inductive est prise sur la catégorie des couples \((Y, u(X) \to u(Y))\), où l’on n’exige pas que les morphismes \(u(X) \to u(Y)\) soient de la forme \(u(\alpha)\), avec \(\alpha\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). D’après l’hypothèse (c), ils proviennent automatiquement de morphismes de \(\mathcal{C}\), et l’on en déduit que la limite inductive est la valeur en \((X, u(\text{id}_X))\), c’est-à-dire \(\mathcal{F}(X)\). Ainsi, pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), on a \(u_p\mathcal{F}(u(X)) = \mathcal{F}(X)\). Comme \(u\) est cocontinu et continu, tout recouvrement de \(u(X)\) dans \(\mathcal{D}\) peut être raffiné par un recouvrement (!) \(\{u(X_i) \to u(X)\}\) de \(\mathcal{D}\), où \(\{X_i \to X\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Cela implique également \((u_p\mathcal{F})^+(u(X)) = \mathcal{F}(X)\), car, dans la limite inductive qui définit la valeur de \((u_p\mathcal{F})^+\) en \(u(X)\), on peut se restreindre au système cofinal des recouvrements \(\{u(X_i) \to u(X)\}\) ci-dessus. On voit donc que \((u_p\mathcal{F})^+(u(X)) = \mathcal{F}(X)\) pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\). En répétant encore une fois cet argument, on obtient l’égalité \((u_p\mathcal{F})^\#(u(X)) = \mathcal{F}(X)\) pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\). Cela donne l’égalité voulue \(g^{-1}g_!\mathcal{F} = \mathcal{F}\).

Enfin, voici un cas qui ne possède aucun exemple topologique correspondant. Nous utiliserons ce lemme pour voir ce qui se produit lorsque l’on agrandit un « univers partiel » de schémas tout en conservant la même topologie. Dans la situation du lemme, le morphisme de topos \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) identifie \(\Sh(\mathcal{C})\) à un sous-topos de \(\Sh(\mathcal{D})\) (section 08LT) et, de plus, le plongement donné admet une rétraction.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu,

2. \(u\) soit continu,

3. \(u\) soit pleinement fidèle,

4. les produits fibrés existent dans \(\mathcal{C}\) et que \(u\) commute à ceux-ci, et

5. il existe des objets finaux \(e_\mathcal{C} \in \Ob(\mathcal{C})\), \(e_\mathcal{D} \in \Ob(\mathcal{D})\) tels que \(u(e_\mathcal{C}) = e_\mathcal{D}\).

Soient \(g_!, g^{-1}, g_*\) comme ci-dessus. Alors \(u\) définit un morphisme de sites \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) avec \(f_* = g^{-1}\) et \(f^{-1} = g_!\). Le composé \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \ar[r]^g & \Sh(\mathcal{D}) \ar[r]^f & \Sh(\mathcal{C}) }\] est isomorphe au morphisme identité du topos \(\Sh(\mathcal{C})\). De plus, le foncteur \(f^{-1}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Par hypothèse, le foncteur \(u\) satisfait aux hypothèses de la Proposition 00X6. Ainsi, \(u\) définit un morphisme de sites, donc un morphisme de topos \(f\) comme dans le Lemme 00XC. Les formules \(f_* = g^{-1}\) et \(f^{-1} = g_!\) résultent clairement du lemme cité et du Lemme 00XR. On a \(f_* \circ g_* = g^{-1} \circ g_* \cong \text{id}\), et \(g^{-1} \circ f^{-1} = g^{-1} \circ g_! \cong \text{id}\) d’après le Lemme 00XT.

Il reste à montrer que \(f^{-1}\) est pleinement fidèle. Soient \(\mathcal{F}, \mathcal{G} \in \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\). Nous devons montrer que l’application \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{F}, f^{-1}\mathcal{G})\] est bijective. Mais le membre de droite est égal à \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{F}, f^{-1}\mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, f_*f^{-1}\mathcal{G}) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, g^{-1}f^{-1}\mathcal{G}) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \end{align*}\] (la première égalité résultant de l’adjonction), ce qui démontre l’assertion.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie (munie de la topologie induite). Considérons le foncteur \(u : X_{Zar} \to Z_{Zar}\), \(U \mapsto u(U) = Z \cap U\). À première vue, il pourrait sembler que ce foncteur soit également cocontinu. Après tout, puisque \(Z\) est muni de la topologie induite, tout recouvrement de \(U\cap Z\) ne devrait-il pas provenir d’un recouvrement de \(U\) dans \(X\) ? Il n’en est rien ! En effet, que se passe-t-il si \(U \cap Z = \emptyset\) ? Dans ce cas, le recouvrement vide est un recouvrement de \(U \cap Z\), et le recouvrement vide ne peut être raffiné que par le recouvrement vide. On en conclut donc que \(u\) cocontinu \(\Rightarrow\) tout ouvert non vide \(U\) de \(X\) rencontre \(Z\). Mais cela ne suffit pas. Par exemple, si \(X = \mathbf{R}\) est la droite réelle munie de la topologie usuelle et si \(Z = \mathbf{R} \setminus \{0\}\), alors il existe un recouvrement ouvert de \(Z\), à savoir \(Z = \{x < 0\} \cup \bigcup_n \{1/n < x\}\), qui ne peut être raffiné par la restriction d’aucun recouvrement ouvert de \(X\).

Foncteurs cocontinus possédant un adjoint à droite

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) des foncteurs des catégories sous-jacentes tels que \(v\) soit adjoint à droite de \(u\). Dans ce cas, si \(v\) est continu, alors \(u\) est cocontinu (Lemme 09VR). Si \(u\) est cocontinu, alors il arrive souvent (mais pas toujours ; voir l’Exemple 0H6Z) que \(v\) soit continu ; dans ce cas, \(v\) définit un morphisme de sites dont le morphisme de topos associé est le même que celui défini par \(u\).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) des foncteurs. Supposons que \(u\) soit cocontinu et que \(v\) soit adjoint à droite de \(u\). Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé à \(u\) ; voir le Lemme 00XO. Alors

1. pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), le faisceau \(g_*\mathcal{F}\) est égal au préfaisceau \(v^p\mathcal{F}\) ; autrement dit, \((g_*\mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(v(V))\), et

2. pour un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\), on a \(g^{-1}\mathcal{G} = (v_p\mathcal{G})^\#\).

Démonstration

Pour \(\mathcal{F}\) comme en (1), on a \[g_*\mathcal{F} = {}_su\mathcal{F} = {}_pu\mathcal{F} = v^p\mathcal{F} = \mathcal{F} \circ v\] La première égalité résulte du Lemme 00XO. La deuxième égalité résulte du Lemme 00XK. La troisième égalité résulte du Lemme 09VQ. La dernière égalité est la définition de \(v^p\) dans la section 00VC. Cela démontre (1). Pour \(\mathcal{G}\) comme en (2), on a \[g^{-1}\mathcal{G} = (u^p\mathcal{G})^\# = (v_p\mathcal{G})^\#\] La première égalité résulte du Lemme 00XO. La deuxième égalité résulte du Lemme 09VQ.

Lemme

Les notations et les hypothèses sont celles du Lemme 00XX. Si, de plus, \(v\) est continu, alors \(v\) définit un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dont le morphisme de topos associé est égal à \(g\).

Démonstration

Nous utiliserons sans plus les mentionner les résultats du Lemme 00XX. Pour montrer que \(v\) définit un morphisme de sites \(f\) comme dans l’énoncé du lemme, nous devons montrer que \(v_s\) est un foncteur exact (voir la Définition 00X1). Comme \(v_s\mathcal{G} = (v_p\mathcal{G})^\# = g^{-1}\mathcal{G}\), cela résulte du fait que \(g\) est un morphisme de topos. On voit alors que \(f^{-1} = v_s = g^{-1}\) et l’on obtient \(f = g\) comme morphismes de topos.

Exemple

Cet exemple poursuit la discussion de l’Exemple 0EWI, auquel nous empruntons les notations \(\mathcal{C}, \tau, \tau', \epsilon\). Observons que le foncteur identité \(v : \mathcal{C}_{\tau'} \to \mathcal{C}_\tau\) est continu et que le foncteur identité \(u : \mathcal{C}_\tau \to \mathcal{C}_{\tau'}\) est cocontinu. De plus, \(u\) est adjoint à gauche de \(v\). Les résultats des Lemmes 00XX et 00XY s’appliquent donc, et l’on conclut que \(v\) définit un morphisme de sites, à savoir \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] dont le morphisme de topos correspondant est le même que le morphisme de topos associé au foncteur cocontinu \(u\).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites et soit \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un foncteur continu. Supposons que \(v\) possède un adjoint à gauche \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\). Alors

1. \(u\) est cocontinu,

2. les conclusions des Lemmes 00XX et 00XY sont valables.

En particulier, \(v\) définit un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\).

Démonstration

Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\) un recouvrement dans \(\mathcal{D}\). Alors \(\{v(V_j) \to v(u(U))\}_{i \in I}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Par changement de base au moyen du morphisme d’adjonction \(U \to v(u(U))\), on obtient un recouvrement \(\{W_j \to U\}_{j \in J}\), où \(W_j = v(V_j) \times_{v(u(U))} U\). En notant \(p_j : W_j \to v(V_j)\) la première projection, on obtient des morphismes \[u(W_j) \xrightarrow{u(p_j)} u(v(V_j)) \longrightarrow V_j\] où la deuxième flèche est le morphisme d’adjonction. Cela détermine un morphisme \(\{u(W_j) \to u(U)\} \to \{V_j \to u(U)\}\) de familles de morphismes à cible fixée, ce qui montre que \(u\) est bien cocontinu. Les autres assertions résultent immédiatement des Lemmes 00XX et 00XY.

Exemple

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) des foncteurs des catégories sous-jacentes tels que \(v\) soit adjoint à droite de \(u\). Le Lemme 09VR montre que, si \(v\) est continu, alors \(u\) est cocontinu. Réciproquement, si \(u\) est cocontinu, on ne peut pas conclure que \(v\) est continu. Nous donnerons un exemple de ce phénomène à l’aide des grands sites étale et lisse d’un schéma, mais il existe vraisemblablement aussi un exemple élémentaire. Considérons en effet un schéma \(S\) et les sites \((\Sch/S)_\etale\) et \((\Sch/S)_{smooth}\). On peut supposer que ces sites ont la même catégorie sous-jacente ; voir Topologies, Remarque 03FF. Soit \(u = v = \text{id}\). Alors \(u\), considéré comme foncteur de \((\Sch/S)_\etale\) vers \((\Sch/S)_{smooth}\), est cocontinu, car tout recouvrement lisse d’un schéma peut être raffiné par un recouvrement étale ; voir Compléments sur les morphismes, Lemme 055V. Réciproquement, le foncteur \(v\) de \((\Sch/S)_{smooth}\) vers \((\Sch/S)_\etale\) n’est pas continu, car un recouvrement lisse n’est pas, en général, un recouvrement étale.

Foncteurs cocontinus possédant un adjoint à gauche

Il peut arriver qu’un foncteur cocontinu \(u\) possède un adjoint à gauche \(w\).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé à un foncteur continu et cocontinu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) ; voir les Lemmes 00XO et 00XR.

1. Si \(w : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) est adjoint à gauche de \(u\), alors :

   1. \(g_!\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(w^p\mathcal{F}\) ;

   2. \(g_!\) est exact.

2. Si \(w\) est un adjoint à gauche continu, alors \(g_!\) possède un adjoint à gauche.

3. Si \(w\) est un adjoint à gauche cocontinu, alors \(g_! = h^{-1}\) et \(g^{-1} = h_*\), où \(h : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) est le morphisme de topos associé à \(w\).

Démonstration

Rappelons que \(g_!\mathcal{F}\) est le faisceau associé à \(u_p\mathcal{F}\). Ainsi, (1)(a) résulte de l’égalité \(u_p = w^p\) donnée par le Lemme 09VQ.

Pour établir (1)(b), remarquons que \(g_!\) commute à toutes les limites inductives, puisque \(g_!\) est adjoint à gauche (Catégories, Lemme 0038). Soit \(i \mapsto \mathcal{F}_i\) un diagramme fini dans \(\Sh(\mathcal{C})\). Alors \(\lim \mathcal{F}_i\) se calcule dans la catégorie des préfaisceaux (Lemme 00W2). Comme \(w^p\) est adjoint à droite (Lemme 00VE), on a \(w^p \lim \mathcal{F}_i = \lim w^p\mathcal{F}_i\). Puisque le passage au faisceau associé est exact (Lemme 00WJ), on conclut par (1)(a).

Supposons \(w\) continu. Alors \(g_! = (w^p\ )^\# = w^s\), mais le passage au faisceau associé n’est pas nécessaire, et \(w_s\) est un adjoint à gauche ; voir les Lemmes 00WW et 00WX.

Supposons \(w\) cocontinu. L’égalité \(g_! = h^{-1}\) résulte de (1)(a) et des définitions. L’égalité \(g^{-1} = h_*\) résulte de \(g_! = h^{-1}\) et de l’unicité du foncteur adjoint. On peut aussi la déduire du Lemme 00XX.

Existence de l’image directe extraordinaire

Dans cette section, nous étudions certains cas de morphismes de topos \(f\) pour lesquels \(f^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(f_!\).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) deux sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Soit \(E \subset \Ob(\mathcal{D})\) une partie telle que :

1. pour \(V \in E\), il existe un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}\) tel que \(f^{-1}\mathcal{F}(V) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\) ;

2. tout objet de \(\mathcal{D}\) admet un recouvrement par des objets de \(E\).

Alors \(f^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(f_!\).

Démonstration

D’après le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P), le faisceau \(\mathcal{G}_V\) correspondant à \(V \in E\) est défini à isomorphisme unique près par la formule \(f^{-1}\mathcal{F}(V) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}_V, \mathcal{F})\). Rappelons que \(f^{-1}\mathcal{F}(V) = \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(h_V^\#, f^{-1}\mathcal{F})\). Notons \(i_V : h_V^\# \to f^{-1}\mathcal{G}_V\) le morphisme correspondant à \(\text{id}\) dans \(\Mor(\mathcal{G}_V, \mathcal{G}_V)\). La fonctorialité de (1) implique que la bijection est donnée par \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}_V, \mathcal{F}) \to \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(h_V^\#, f^{-1}\mathcal{F}),\quad \varphi \mapsto f^{-1}\varphi \circ i_V\] Pour tous \(V_1, V_2 \in E\), il existe une application canonique \[\Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(h^\#_{V_2}, h^\#_{V_1}) \to \Hom_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}_{V_2}, \mathcal{G}_{V_1}),\quad \varphi \mapsto f_!(\varphi)\] caractérisée par \(f^{-1}(f_!(\varphi)) \circ i_{V_2} = i_{V_1} \circ \varphi\). Remarquons que \(\varphi \mapsto f_!(\varphi)\) est compatible à la composition ; cela se voit directement à partir de la caractérisation. Ainsi, \(h_V^\# \mapsto \mathcal{G}_V\) et \(\varphi \mapsto f_!\varphi\) définissent un foncteur sur la sous-catégorie pleine de \(\Sh(\mathcal{D})\) dont les objets sont les \(h_V^\#\).

Soit \(J\) un ensemble et soit \(J \to E\), \(j \mapsto V_j\), une application. Nous avons alors une bijection fonctorielle \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\coprod \mathcal{G}_{V_j}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\coprod h_{V_j}^\#, f^{-1}\mathcal{F})\] obtenue comme produit des bijections précédentes. Nous pouvons donc prolonger le foncteur \(f_!\) à la sous-catégorie pleine de \(\Sh(\mathcal{D})\) dont les objets sont les coproduits de \(h_V^\#\) avec \(V \in E\).

Étant donné un faisceau arbitraire \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{D}\), choisissons un diagramme coégalisateur \[\xymatrix{ \mathcal{H}_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & \mathcal{H} }\] où \(\mathcal{H}_i = \coprod h_{V_{i, j}}^\#\) est un coproduit avec \(V_{i, j} \in E\). Cela est possible par l’hypothèse (2) ; voir le Lemme 00WS (pour qui s’inquiéterait des questions ensemblistes, remarquons que la construction donnée dans le Lemme 00WS est canonique). Définissons \(f_!(\mathcal{H})\) comme le faisceau sur \(\mathcal{C}\) qui fait de \[\xymatrix{ f_!\mathcal{H}_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f_!\mathcal{H}_0 \ar[r] & f_!\mathcal{H} }\] un diagramme coégalisateur. Alors \[\begin{align*} \Mor(f_!\mathcal{H}, \mathcal{F}) & = \text{Égalisateur}( \xymatrix{ \Mor(f_!\mathcal{H}_0, \mathcal{F}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Mor(f_!\mathcal{H}_1, \mathcal{F}) } ) \\ & = \text{Égalisateur}( \xymatrix{ \Mor(\mathcal{H}_0, f^{-1}\mathcal{F}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Mor(\mathcal{H}_1, f^{-1}\mathcal{F}) } ) \\ & = \Hom(\mathcal{H}, f^{-1}\mathcal{F}) \end{align*}\] Nous voyons ainsi que \(f_!\) se prolonge à toute la catégorie des faisceaux sur \(\mathcal{D}\).

Localisation

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Voir Catégories, Exemple 001G, pour la définition de la catégorie \(\mathcal{C}/U\) des objets au-dessus de \(U\). Nous munissons \(\mathcal{C}/U\) d’une structure de site en déclarant qu’une famille de morphismes \(\{V_j \to V\}\) d’objets au-dessus de \(U\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}/U\) si et seulement si elle est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Considérons le foncteur d’oubli \[j_U : \mathcal{C}/U \longrightarrow \mathcal{C}.\] Il est manifestement cocontinu et continu. Par le Lemme 00XR, nous obtenons donc un morphisme de topos \[j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] donné par \(j_U^{-1}\) et \(j_{U*}\), ainsi qu’un foncteur \(j_{U!}\) adjoint à gauche de \(j_U^{-1}\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

1. Le site \(\mathcal{C}/U\) est appelé la localisation du site \(\mathcal{C}\) en l’objet \(U\).

2. Le morphisme de topos \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\) est appelé le morphisme de localisation.

3. Le foncteur \(j_{U*}\) est appelé le foncteur image directe.

4. Pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), le faisceau \(j_U^{-1}\mathcal{F}\) est appelé la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/U\).

5. Pour un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}/U\), le faisceau \(j_{U!}\mathcal{G}\) est appelé le prolongement de \(\mathcal{G}\) par l’ensemble vide.

La restriction \(j_U^{-1}\mathcal{F}\) est le faisceau défini par la règle \(j_U^{-1}\mathcal{F}(X/U) = \mathcal{F}(X)\), comme prévu. Le prolongement par l’ensemble vide admet lui aussi une description très simple dans ce cas ; la voici.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}/U\). Alors \(j_{U!}(\mathcal{G}^\#)\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] muni des applications de restriction évidentes.

Démonstration

D’après le Lemme 00XR, on a \(j_{U!}(\mathcal{G}^\#) = ((j_U)_p\mathcal{G}^\#)^\#\). D’après le Lemme 00WY, ceci est égal à \(((j_U)_p\mathcal{G})^\#\). Il suffit donc de démontrer que \((j_U)_p\) est donné par la formule ci-dessus pour tout préfaisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}/U\). D’après la définition de la section 00VC, on a \[(j_U)_p\mathcal{G}(V) = \colim_{(W/U, V \to W)} \mathcal{G}(W)\] Il est maintenant clair que la catégorie des couples \((W/U, V \to W)\) possède un objet \(O_\varphi = (\varphi : V \to U, \text{id} : V \to V)\) pour tout \(\varphi : V \to U\) et que, de plus, tout objet reçoit un unique morphisme depuis l’un des \(O_\varphi\). Le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(X/U\) un objet de \(\mathcal{C}/U\). Alors \(j_{U!}(h_{X/U}^\#) = h_X^\#\).

Démonstration

Notons \(p : X \to U\) le morphisme structural de \(X\). D’après le Lemme 03CD, \(j_{U!}(h_{X/U}^\#)\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \{\psi : V \to X \mid p \circ \psi = \varphi\}\] Celui-ci n’est autre que \(\Mor_\mathcal{C}(V, X)\). Le lemme en résulte.

On a \(j_{U!}(*) = h_U^\#\) par chacun des deux lemmes précédents. Ainsi, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}/U\), il existe un morphisme canonique de faisceaux \(j_{U!}\mathcal{G} \to h_U^\#\). Cela caractérise les faisceaux appartenant à l’image essentielle de \(j_{U!}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Le foncteur \(j_{U!}\) définit une équivalence de catégories \[\Sh(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\]

Démonstration

Notons les objets de \(\mathcal{C}/U\) sous la forme de couples \((X, a)\), où \(X\) est un objet de \(\mathcal{C}\) et \(a : X \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). De même, les objets de \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) sont des couples \((\mathcal{F}, \varphi)\). Le foncteur \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) envoie \(\mathcal{G}\) sur le couple \((j_{U!}\mathcal{G}, \gamma)\), où \(\gamma\) est le composé de \(j_{U!}\mathcal{G} \to j_{U!}*\) avec l’identification \(j_{U!}* = h_U^\#\).

Construisons un foncteur de \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) vers \(\Sh(\mathcal{C}/U)\). Supposons donné \((\mathcal{F}, \varphi)\). Pour un objet \((X, a)\) de \(\mathcal{C}/U\), considérons l’ensemble \(\mathcal{F}_\varphi(X, a)\) des éléments \(s \in \mathcal{F}(X)\) dont l’image par \(\varphi\) est l’image de \(a \in \Mor_\mathcal{C}(X, U) = h_U(X)\) dans \(h_U^\#(X)\). Il est immédiat que \((X, a) \mapsto \mathcal{F}_\varphi(X, a)\) est un faisceau sur \(\mathcal{C}/U\). Il est clair que la règle \((\mathcal{F}, \varphi) \mapsto \mathcal{F}_\varphi\) définit un foncteur \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C}/U)\).

Considérons aussi le foncteur \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U \to \textit{PSh}(\mathcal{C}/U)\), \((\mathcal{F}, \varphi) \mapsto \mathcal{F}_\varphi\), où \(\mathcal{F}_\varphi(X, a)\) est défini comme l’ensemble des éléments de \(\mathcal{F}(X)\) qui s’envoient sur \(a \in h_U(X)\). Nous affirmons que le diagramme \[\xymatrix{ \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U \ar[r] \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \ar[d] \\ \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}/U) }\] est commutatif, où les flèches verticales sont données par le passage aux faisceaux associés. Pour le voir⁵, il suffit de montrer que la construction commute au foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+\) des Lemmes 00W4 et 00W5, ainsi que du Théorème 00WB. La commutation avec \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+\) résulte du fait que, pour \((X, a)\) donné, la catégorie des recouvrements de \((X, a)\) dans \(\mathcal{C}/U\) s’identifie canoniquement à celle des recouvrements de \(X\) dans \(\mathcal{C}\).

Ensuite, faisons envoyer par \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U\) le préfaisceau \(\mathcal{G}\) sur le couple \((j_{U!}^{PSh}\mathcal{G}, \gamma)\), où \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{G}\) est le préfaisceau défini par la formule du Lemme 03CD, et où \(\gamma\) est le composé de \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{G} \to j_{U!}*\) avec l’identification \(j_{U!}^{PSh}* = h_U\) (évidente d’après la formule). Il est alors immédiatement clair que le diagramme \[\xymatrix{ \textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \ar[r] \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U \ar[d] \\ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r] & \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# }\] est commutatif, où les flèches verticales sont les passages aux faisceaux associés. En réunissant ces résultats, il suffit de montrer qu’il existe des isomorphismes fonctoriels \((j_{U!}^{PSh}\mathcal{G})_\gamma = \mathcal{G}\) pour \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/U)\), et \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{F}_\varphi = \mathcal{F}\) pour \((\mathcal{F}, \varphi)\) dans \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U\). La valeur du préfaisceau \((j_{U!}^{PSh}\mathcal{G})_\gamma\) en \((X, a)\) est la fibre de l’application \[\coprod\nolimits_{a' : X \to U} \mathcal{G}(X, a') \to \Mor_\mathcal{C}(X, U)\] au-dessus de \(a\), laquelle est \(\mathcal{G}(X, a)\). Cela démontre la première égalité. La valeur du préfaisceau \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{F}_\varphi\) en \(X\) est \[\coprod\nolimits_{a : X \to U} \mathcal{F}_\varphi(X, a) = \mathcal{F}(X)\] car, pour toute application d’ensembles \(S \to S'\), l’ensemble \(S\) est la réunion disjointe de ses fibres.

Le Lemme 00Y1 affirme que le foncteur \(j_{U!}\) est le composé \[\Sh(\mathcal{C}/U) \rightarrow \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \rightarrow \Sh(\mathcal{C})\] où la première flèche est une équivalence.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Le foncteur \(j_{U!}\) commute aux produits fibrés et aux égalisateurs (et, plus généralement, aux limites finies connexes). En particulier, si \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}'\) dans \(\Sh(\mathcal{C}/U)\), alors \(j_{U!}\mathcal{F} \subset j_{U!}\mathcal{F}'\).

Démonstration

Grâce au Lemme 00Y1 et au fait qu’une équivalence de catégories commute à toutes les limites, cela se ramène au fait que le foncteur \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \rightarrow \Sh(\mathcal{C})\) commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. On peut également le démontrer directement à partir de la description de \(j_{U!}\) donnée au Lemme 03CD, en utilisant l’exactitude du passage au faisceau associé. (De même, lorsque \(\mathcal{C}\) possède des produits fibrés et des égalisateurs, le résultat découle du Lemme 00XS.)

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Le foncteur \(j_{U!}\) reflète les injections et les surjections.

Démonstration

Nous devons montrer que \(j_{U!}\) reflète les monomorphismes et les épimorphismes ; voir le Lemme 00WN. Grâce au Lemme 00Y1, cela se ramène au fait que le foncteur \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\) reflète les monomorphismes et les épimorphismes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), on a \(j_{U!}j_U^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F} \times h_U^\#\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la description de \(j_{U!}\) donnée au Lemme 03CD.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(f : V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{C}/V \ar[rd]_{j_V} \ar[rr]_j & & \mathcal{C}/U \ar[ld]^{j_U} \\ & \mathcal{C} & }\] de foncteurs continus et cocontinus. Le foncteur \(j : \mathcal{C}/V \to \mathcal{C}/U\), \((a : W \to V) \mapsto (f \circ a : W \to U)\), s’identifie au foncteur \(j_{V/U} : (\mathcal{C}/U)/(V/U) \to \mathcal{C}/U\) par l’identification \((\mathcal{C}/U)/(V/U) = \mathcal{C}/V\). En outre, on a \(j_{V!} = j_{U!} \circ j_!\), \(j_V^{-1} = j^{-1} \circ j_U^{-1}\) et \(j_{V*} = j_{U*} \circ j_*\).

Démonstration

La commutativité du diagramme est immédiate. L’identification de \(j\) à \(j_{V/U}\) résulte des définitions. D’après le Lemme 03L5, le diagramme suivant de morphismes de topos [04IK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/V) \ar[rd]_{j_V} \ar[rr]_j & & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[ld]^{j_U} \\ & \Sh(\mathcal{C}) & } } \end{equation}\] est commutatif. Cela démontre les égalités \(j_V^{-1} = j^{-1} \circ j_U^{-1}\) et \(j_{V*} = j_{U*} \circ j_*\). L’égalité \(j_{V!} = j_{U!} \circ j_!\) résulte formellement des propriétés d’adjonction.

Lemme

Notons \(\mathcal{C}\), \(f : V \to U\), \(j_U\), \(j_V\) et \(j\) comme au Lemme 03EH. Par les identifications \(\Sh(\mathcal{C}/V) = \Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) et \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) du Lemme 00Y1, on a :

1. le foncteur \(j^{-1}\) admet la description suivante : \[j^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_U^\#) = (\mathcal{H} \times_{\varphi, h_U^\#, f} h_V^\# \to h_V^\#).\]

2. le foncteur \(j_!\) admet la description suivante : \[j_!(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_V^\#) = (\mathcal{H} \xrightarrow{h_f \circ \varphi} h_U^\#)\]

Démonstration

Démonstration de (2). Rappelons que l’identification \(\Sh(\mathcal{C}/V) \to \Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) envoie \(\mathcal{G}\) sur \(j_{V!}\mathcal{G} \to j_{V!}(*) = h_V^\#\), et qu’il en va de même pour \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\). Ainsi, \(j_!\mathcal{G}\) s’envoie sur \(j_{U!}(j_!\mathcal{G}) \to j_{U!}(*) = h_U^\#\), et (2) résulte de l’égalité \(j_{U!}j_! = j_{V!}\) donnée par le Lemme 03EH.

Le lecteur peut maintenant démontrer (1) en utilisant le fait que \(j^{-1}\) est adjoint à droite de \(j_!\), et que la règle de (1) est adjointe à droite de celle de (2). Voici une démonstration directe. Supposons que \(\varphi : \mathcal{H} \to h_U^\#\) soit un objet de \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\). D’après la démonstration du Lemme 00Y1, il correspond au faisceau \(\mathcal{H}_\varphi\) sur \(\mathcal{C}/U\) défini par la règle \[(a : W \to U) \longmapsto \{ s \in \mathcal{H}(W) \mid \varphi(s) = a\}\] sur \(\mathcal{C}/U\). L’image inverse \(j^{-1}\mathcal{H}_\varphi\) sur \(\mathcal{C}/V\) est donnée par la règle \[(a : W \to V) \longmapsto \{ s \in \mathcal{H}(W) \mid \varphi(s) = f \circ a\}\] d’après la description de \(j^{-1} = j_{U/V}^{-1}\) comme restriction de \(\mathcal{H}_\varphi\) à \(\mathcal{C}/V\). D’autre part, en appliquant la règle à l’objet \[\xymatrix{ \mathcal{H}' = \mathcal{H} \times_{\varphi, h_U^\#, f} h_V^\# \ar[rr]^-{\varphi'} & & h_V^\# }\] de \(\Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\), nous obtenons \(\mathcal{H}'_{\varphi'}\) donné par \[\begin{align*} (a : W \to V) \longmapsto & \{ s' \in \mathcal{H}'(W) \mid \varphi'(s') = a\} \\ = & \{ (s, a') \in \mathcal{H}(W) \times h_V^\#(W) \mid a' = a \text{ et } \varphi(s) = f \circ a'\} \end{align*}\] qui est exactement la règle décrivant \(j^{-1}\mathcal{H}_\varphi\) ci-dessus.

Remarque

Localisation et préfaisceaux. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). À strictement parler, les foncteurs \(j_U^{-1}\), \(j_{U*}\) et \(j_{U!}\) n’ont pas été définis pour les préfaisceaux. Nous pouvons cependant considérer un préfaisceau comme un faisceau pour la topologie chaotique sur \(\mathcal{C}\) (voir l’Exemple 07GE). Nous obtenons donc aussi un foncteur \[j_U^{-1} : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C}/U)\] et des foncteurs \[j_{U*}, j_{U!} : \textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] qui sont respectivement adjoints à droite et à gauche de \(j_U^{-1}\). D’après le Lemme 03CD, le préfaisceau \(j_{U!}\mathcal{G}\) est donné par \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] De plus, le foncteur \(j_{U!}\) commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \to V\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Les foncteurs cocontinus \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) et \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}/V\) (Lemme 03EH) satisfont la propriété \(P\) de la Remarque 09W7. Par exemple, si l’on se donne des objets \((X/U)\), \((W/V)\), un morphisme \(g : j(X/U) \to (W/V)\) et un recouvrement \(\{f_i : (W_i/V) \to (W/V)\}\), alors \((X \times_W W_i/U)\) est une incarnation de \((X/U) \times_{g, (W/V), f_i} (W_i/V)\), et la famille \(\{(X \times_W W_i/U) \to (X/U)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}/U\).

Recollement de faisceaux

Cette section est l’analogue de Faisceaux, section 00AK.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Étant donnée une famille \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i} \longrightarrow \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U_i}\] de morphismes de faisceaux telle que, pour tous \(i, j \in I\), les morphismes \(\varphi_i, \varphi_j\) induisent par restriction le même morphisme \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \to \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}\), il existe un unique morphisme de faisceaux \[\varphi : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U} \longrightarrow \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}\] dont la restriction à chaque \(\mathcal{C}/U_i\) coïncide avec \(\varphi_i\).

Démonstration

Les restrictions employées dans le lemme sont celles du Lemme 03EH. Soit \(V/U\) un objet de \(\mathcal{C}/U\). Posons \(V_i = U_i \times_U V\) et notons \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}\). Remarquons que \((U_i \times_U U_j) \times_U V = V_i \times_V V_j\). Nous avons alors \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}(V_i/U_i) = \mathcal{F}(V_i)\) et \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}(V_i \times_V V_j/U_i \times_U U_j) = \mathcal{F}(V_i \times_V V_j)\), et de même pour \(\mathcal{G}\). Nous pouvons donc définir \(\varphi\) sur les sections au-dessus de \(V\) par les flèches pointillées du diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(V) \ar@{=}[r] & H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \ar@{..>}[d] \ar[r] & \prod \mathcal{F}(V_i) \ar[d]_{\prod \varphi_i} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod \mathcal{F}(V_i \times_V V_j) \ar[d]_{\prod \varphi_{ij}} \\ \mathcal{G}(V) \ar@{=}[r] & H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] & \prod \mathcal{G}(V_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod \mathcal{G}(V_i \times_V V_j) }\] Les signes d’égalité proviennent de la condition de faisceau ; voir la section 00W1 pour la notation \(H^0(\mathcal{V}, -)\). Nous omettons la vérification que ces morphismes sont compatibles avec les applications de restriction.

Le lemme précédent implique qu’étant donnés deux faisceaux \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sur un site \(\mathcal{C}\), la règle \[U \longmapsto \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}( \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U})\] définit un faisceau \(\SheafHom(\mathcal{F},\mathcal{G})\). Il s’agit d’une sorte de faisceau Hom interne. On l’emploie rarement dans le cadre des faisceaux d’ensembles, et plus souvent dans celui des faisceaux de modules ; voir Modules sur les sites, section 04TT.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\) des faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Il existe une bijection canonique \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}\times\mathcal{G},\mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F},\SheafHom(\mathcal{G},\mathcal{H}))\] qui est fonctorielle en ses trois arguments.

Démonstration

Le lemme affirme que les foncteurs \(-\times\mathcal{G}\) et \(\SheafHom(\mathcal{G},-)\) sont adjoints l’un de l’autre. Pour le montrer, nous utilisons les notions d’unité et de counité ; voir Catégories, section 0036. L’unité \[\eta_\mathcal{F} : \mathcal{F} \longrightarrow \SheafHom(\mathcal{G},\mathcal{F}\times\mathcal{G})\] envoie \(s \in \mathcal{F}(U)\) sur le morphisme \(\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U} \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\times\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}\) qui, au-dessus de \(V/U\), est donné par \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V)\times \mathcal{G}(V), \quad t \longmapsto (s|_{V},t).\] La counité \[\epsilon_{\mathcal{H}} : \SheafHom(\mathcal{G}, \mathcal{H}) \times \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{H}\] est le morphisme d’évaluation. Il est donné par la règle \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{H}|_{\mathcal{C}/U}) \times \mathcal{G}(U) \longrightarrow \mathcal{H}(U),\quad (\varphi, s) \longmapsto \varphi(s).\] Alors, pour tout \(\varphi : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\), le morphisme correspondant \(\mathcal{F} \to \SheafHom(\mathcal{G},\mathcal{H})\) est défini en envoyant chaque section \(s \in \mathcal{F}(U)\) sur le morphisme de faisceaux sur \(\mathcal{C}/U\) qui, sur les sections au-dessus de \(V/U\), est donné par \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{H}(V),\quad t \longmapsto \varphi(s|_V, t).\] Réciproquement, pour tout \(\psi : \mathcal{F} \to \SheafHom(\mathcal{G}, \mathcal{H})\), le morphisme correspondant \(\mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est donné par \[\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U) \longrightarrow \mathcal{H}(U),\quad (s, t) \longmapsto \psi(s)(t)\] sur les sections au-dessus d’un objet \(U\). Nous omettons les détails montrant que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Alors \(\SheafHom(h_U^\#, \mathcal{F}) = j_*(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U})\) pour \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\).

Démonstration

On peut le montrer en construisant directement un isomorphisme de faisceaux. Nous raisonnons plutôt comme suit. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Alors \[\begin{align*} \Mor(\mathcal{G}, j_*(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U})) & = \Mor(\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}) \\ & = \Mor(j_!(\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}), \mathcal{F}) \\ & = \Mor(\mathcal{G} \times h_U^\#, \mathcal{F}) \\ & = \Mor(\mathcal{G}, \SheafHom(h_U^\#, \mathcal{F})) \end{align*}\] et nous concluons par le lemme de Yoneda. Nous avons utilisé ici les Lemmes 0BWQ et 03EE.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Pour tout \(i \in I\), soit \(\mathcal{F}_i\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}/U_i\). Pour toute paire \(i, j \in I\), soit \[\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \longrightarrow \mathcal{F}_j|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}\] un isomorphisme de faisceaux d’ensembles. Supposons en outre que, pour tout triplet d’indices \(i, j, k \in I\), le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \times_U U_k} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & \mathcal{F}_k|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \times_U U_k} \\ & \mathcal{F}_j|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \times_U U_k} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\] Nous appellerons une telle famille de données \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) une donnée de recollement de faisceaux d’ensembles relativement au recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Pour toute donnée de recollement \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) de faisceaux d’ensembles relativement au recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\), il existe un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}/U\) muni d’isomorphismes \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i} \to \mathcal{F}_i\] tels que les diagrammes \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \ar[d]_{\text{id}} \ar[r]_{\varphi_i} & \mathcal{F}_i|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \ar[d]^{\varphi_{ij}} \\ \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \ar[r]^{\varphi_j} & \mathcal{F}_j|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} }\] soient commutatifs.

Démonstration

Décrivons la construction du faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}/U\). Soit \(a : V \to U\) un objet de \(\mathcal{C}/U\). Alors \[\mathcal{F}(V/U) = \{ (s_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i(U_i \times_U V/U_i) \mid \varphi_{ij}(s_i|_{U_i \times_U U_j \times_U V}) = s_j|_{U_i \times_U U_j \times_U V} \}\] Nous omettons la construction des applications de restriction. Nous omettons la vérification qu’il s’agit d’un faisceau. Nous omettons la construction des isomorphismes \(\varphi_i\), ainsi que la preuve de la commutativité des diagrammes du lemme.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}/U\). À \(\mathcal{F}\) est associée sa donnée de recollement canonique, constituée des restrictions \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) et des isomorphismes canoniques \[\left(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\right)|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} = \left(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_j}\right)|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}\] provenant du fait que les composés des foncteurs \(\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \to \mathcal{C}/U_i \to \mathcal{C}/U\) et \(\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \to \mathcal{C}/U_j \to \mathcal{C}/U\) sont égaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). La catégorie \(\Sh(\mathcal{C}/U)\) est équivalente à la catégorie des données de recollement par le foncteur qui associe à \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}/U\) sa donnée de recollement canonique.

Démonstration

Dans le Lemme 04TQ, nous avons vu que le foncteur est pleinement fidèle, et dans le Lemme 04TR, nous avons démontré qu’il est essentiellement surjectif (en construisant explicitement un foncteur quasi-inverse).

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Nous allons étudier une version du recollement de faisceaux sur le site \(\mathcal{C}\) tout entier. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), soit \(\mathcal{F}_U\) un faisceau sur \(\mathcal{C}/U\). Rappelons qu’il existe un foncteur \(j_f : \mathcal{C}/V \rightarrow \mathcal{C}/U\) associé à chaque morphisme \(f : V \rightarrow U\) de \(\mathcal{C}\), défini par \((a : W \to V) \mapsto (f \circ a : W \to U)\). Pour chaque tel \(f\), soit \[c_f : j_f^{-1} \mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_V\] un isomorphisme de faisceaux. Supposons que, pour deux flèches quelconques \(f : V \to U\) et \(g : W \to V\) de \(\mathcal{C}\), le composé \(c_g \circ j_{g}^{-1} c_f\) soit égal à \(c_{f \circ g}\). Nous appellerons une telle famille de données \((\mathcal{F}_{U}, c_f)\) une donnée de recollement absolue de faisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Un morphisme de données de recollement absolues \((\mathcal{F}_{U}, c_f) \to (\mathcal{G}_{U}, c'_f)\) est donné par une famille \((\varphi_U)\) de morphismes de faisceaux \(\varphi_U : \mathcal{F}_U \to \mathcal{G}_U\), telle que \[\xymatrix{ j_f^{-1} \mathcal{F}_U \ar[r]_{c_f} \ar[d]_{j_f^{-1} \varphi_U} & \mathcal{F}_V \ar[d]^{\varphi_V} \\ j_f^{-1} \mathcal{G}_U \ar[r]^{c'_f} & \mathcal{G}_V }\] soit commutatif pour tout morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\).

À tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) est associée sa donnée canonique de recollement absolue \((\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U},c_f)\), où les isomorphismes canoniques \(c_f : j_f^{-1} \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U} \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/V}\) pour \(f : V \to U\) proviennent de la relation \(j_V = j_U \circ j_f\) comme dans le Lemme 03EH. Tout morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de faisceaux sur \(\mathcal{C}\) induit un morphisme \((\varphi|_{\mathcal{C}/U})\) de données canoniques de recollement absolues.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La catégorie \(\Sh(\mathcal{C})\) est équivalente à la catégorie des données de recollement absolues par le foncteur qui associe à \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) sa donnée canonique de recollement absolue.

Démonstration

Étant donnée une donnée de recollement absolue \((\mathcal{F}_U, c_f)\), nous construisons un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) en posant \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_U(U)\), la restriction le long de \(f : V \to U\) étant donnée par le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}_U(U) \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{F}_U(V) \ar[r]^{c_f} & \mathcal{F}_V(V) \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}(U) \ar[rr] & & \mathcal{F}(V) }\] La condition de compatibilité \(c_g \circ j_{g}^{-1} c_f = c_{f \circ g}\) garantit que \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau, ainsi que le fait que les morphismes \(c_f : \mathcal{F}_U(V) \to \mathcal{F}(V)\) définissent un isomorphisme \(\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\) pour tout \(U\). Puisque chaque \(\mathcal{F}_U\) est un faisceau, il en résulte que \(\mathcal{F}\) est lui aussi un faisceau. Le foncteur \((\mathcal{F}_U, c_f) \mapsto \mathcal{F}\) que nous venons de construire est quasi-inverse du foncteur qui envoie un faisceau sur \(\mathcal{C}\) sur sa donnée de recollement canonique. Nous omettons les détails.

Remarque

Il existe une variante du Lemme 0GWK qui intervient en géométrie algébrique. Supposons en effet que \(\mathcal{C}\) soit un site admettant tous les produits fibrés et que, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), on se donne une sous-catégorie pleine \(U_\tau \subset \mathcal{C}/U\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(U/U\) appartient à \(U_\tau\),

2. si \(V/U\) appartient à \(U_\tau\) et si \(\{V_j \to V\}\) est un recouvrement du site \(\mathcal{C}\), alors \(V_j/U\) appartient à \(U_\tau\), et

3. pour un morphisme \(U' \to U\) de \(\mathcal{C}\) et \(V/U\) dans \(U_\tau\), le changement de base \(V' = V \times_U U'\) appartient à \(U'_\tau\).

Dans ce cadre, \(U_\tau\) est un site pour tout \(U\) de \(\mathcal{C}\), et le foncteur de changement de base \(U_\tau \to U'_\tau\) définit un morphisme \(f_\tau : U_\tau \to U'_\tau\) de sites pour tout morphisme \(f : U' \to U\) de \(\mathcal{C}\). L’énoncé de recollement obtenu est alors le suivant : Un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) est donné par les données suivantes :

1. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), un faisceau \(\mathcal{F}_U\) sur \(U_\tau\),

2. pour tout \(f : U' \to U\) de \(\mathcal{C}\), un morphisme \(c_f : f_\tau^{-1}\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_{U'}\).

Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

1. étant donnés \(f : U' \to U\) et \(g : U'' \to U'\) dans \(\mathcal{C}\), le composé \(c_g \circ g_\tau^{-1}c_f\) est égal à \(c_{f \circ g}\), et

2. si \(f : U' \to U\) appartient à \(U_\tau\), alors \(c_f\) est un isomorphisme.

Si nous en avons un jour besoin, nous en donnerons ici un énoncé précis et une preuve. (Remarquons que ce résultat diffère légèrement des énoncés ci-dessus, puisque nous ne demandons pas que tous les morphismes \(c_f\) soient des isomorphismes !)

Compléments sur la localisation

Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes de localisation en imposant des hypothèses supplémentaires sur le site ou sur l’objet en lequel nous localisons.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Si la topologie de \(\mathcal{C}\) est sous-canonique, voir la Définition 00WQ, et si \(\mathcal{G}\) est un faisceau sur \(\mathcal{C}/U\), alors \[j_{U!}(\mathcal{G})(V) = \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U),\] autrement dit, le passage au faisceau associé n’est pas nécessaire dans le Lemme 03CD.

Démonstration

Soit \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(V\) dans le site \(\mathcal{C}\). Nous allons vérifier directement la condition de faisceau pour le préfaisceau \(\mathcal{H}\) du Lemme 03CD. Soit \((s_i, \varphi_i)_{i \in I} \in \prod_i \mathcal{H}(V_i)\). Cela signifie que \(\varphi_i : V_i \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) et que \(s_i \in \mathcal{G}(V_i \xrightarrow{\varphi_i} U)\). La restriction du couple \((s_i, \varphi_i)\) à \(V_i \times_V V_j\) est le couple \((s_i|_{V_i \times_V V_j/U}, \text{pr}_1 \circ \varphi_i)\), et de même, la restriction du couple \((s_j, \varphi_j)\) à \(V_i \times_V V_j\) est le couple \((s_j|_{V_i \times_V V_j/U}, \text{pr}_2 \circ \varphi_j)\). Par conséquent, si la famille \((s_i, \varphi_i)\) appartient à \(\check{H}^0(\mathcal{V}, \mathcal{H})\), alors \(\text{pr}_1 \circ \varphi_i = \text{pr}_2 \circ \varphi_j\). Le fait que la topologie de \(\mathcal{C}\) soit moins fine que la topologie canonique implique alors qu’il existe un unique morphisme \(\varphi : V \to U\) tel que \(\varphi_i\) soit le composé de \(V_i \to V\) avec \(\varphi\). La condition de faisceau pour \(\mathcal{G}\) garantit alors que les sections \(s_i\) se recollent en une unique section \(s \in \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\). Ainsi \((s, \varphi) \in \mathcal{H}(V)\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Supposons que \(\mathcal{C}\) admette les produits de deux objets. Alors

1. le foncteur \(j_U\) admet un adjoint à droite continu, à savoir le foncteur \(v(X) = X \times U / U\),

2. le foncteur \(v\) définit un morphisme de sites \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) dont le morphisme de topos associé est égal à \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\), et

3. nous avons \(j_{U*}\mathcal{F}(X) = \mathcal{F}(X \times U/U)\).

Démonstration

Dire que le foncteur \(v\) est adjoint à droite de \(j_U\) signifie que, pour \(Y/U\) et \(X\), nous avons \[\Mor_\mathcal{C}(Y, X) = \Mor_{\mathcal{C}/U}(Y/U, X \times U/U)\] ce qui est clair. Pour vérifier que \(v\) est continu, soit \(\{X_i \to X\}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Par le troisième axiome d’un site (Définition 00VH), nous voyons que \[\{X_i \times_X (X \times U) \to X \times_X (X \times U)\} = \{X_i \times U \to X \times U\}\] est encore un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Ainsi \(v\) est continu. Les autres assertions du lemme résultent des Lemmes 00XX et 00XY.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \to V\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{C}\) admette les produits fibrés. Soit \(j\) comme dans le Lemme 03EH. Alors

1. le foncteur \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}/V\) admet un adjoint à droite continu, à savoir le foncteur \(v : (X/V) \mapsto (X \times_V U/U)\),

2. le foncteur \(v\) définit un morphisme de sites \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}/V\) dont le morphisme de topos associé est égal à \(j\), et

3. nous avons \(j_*\mathcal{F}(X/V) = \mathcal{F}(X \times_V U/U)\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 03CE, puisque \(j\) peut être vu comme un foncteur de localisation par le Lemme 03EH.

Une propriété fondamentale d’une immersion ouverte est que la restriction de l’image directe et la restriction du prolongement par l’ensemble vide redonnent le faisceau initial. Ce n’est pas toujours vrai pour les foncteurs associés à \(j_U\) ci-dessus. Cela est vrai lorsque \(U\) est un « sous-objet de l’objet final ».

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Supposons que tout \(X\) de \(\mathcal{C}\) admette au plus un morphisme vers \(U\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}/U\). Les morphismes canoniques \(\mathcal{F} \to j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{F}\) et \(j_U^{-1}j_{U*}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) sont des isomorphismes.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 00XT, car l’hypothèse sur \(U\) équivaut à la pleine fidélité du foncteur de localisation \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] un diagramme commutatif de \(\mathcal{C}\). Les morphismes du Lemme 03EH fournissent les diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{C}/U' \ar[d]_{j_{U'/V'}} \ar[r]_{j_{U'/U}} & \mathcal{C}/U \ar[d]^{j_{U/V}} \\ \mathcal{C}/V' \ar[r]^{j_{V'/V}} & \mathcal{C}/V } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U') \ar[d]_{j_{U'/V'}} \ar[r]_{j_{U'/U}} & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[d]^{j_{U/V}} \\ \Sh(\mathcal{C}/V') \ar[r]^{j_{V'/V}} & \Sh(\mathcal{C}/V) } }\] de foncteurs continus et cocontinus, et de topos. De plus, si le diagramme initial de \(\mathcal{C}\) est cartésien, alors nous avons \(j_{V'/V}^{-1} \circ j_{U/V, *} = j_{U'/V', *} \circ j_{U'/U}^{-1}\).

Démonstration

La commutativité du carré de gauche dans la première assertion du lemme résulte immédiatement des définitions. Elle implique la commutativité du diagramme de topos par le Lemme 03L5. Supposons le diagramme cartésien. Par l’unicité des foncteurs adjoints, montrer \(j_{V'/V}^{-1} \circ j_{U/V, *} = j_{U'/V', *} \circ j_{U'/U}^{-1}\) équivaut à montrer \(j_{U/V}^{-1} \circ j_{V'/V!} = j_{U'/U!} \circ j_{U'/V'}^{-1}\). Par les identifications du Lemme 00Y1, nous pouvons identifier notre diagramme de topos à \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/h_{U'}^\# \ar[d] \ar[r] & \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \ar[d] \\ \Sh(\mathcal{C})/h_{V'}^\# \ar[r] & \Sh(\mathcal{C})/h_V^\# }\] et nous savons interpréter les foncteurs \(j^{-1}\) et \(j_!\) grâce au Lemme 04IL. Nous devons donc montrer, étant donné \(\mathcal{F} \to h_{V'}^\#\), que \[\mathcal{F} \times_{h_{V'}^\#} h_{U'}^\# = \mathcal{F} \times_{h_V^\#} h_U^\#\] en tant que faisceaux munis d’un morphisme vers \(h_U^\#\). C’est vrai parce que \(h_{U'} = h_{V'} \times_{h_V} h_U\) et donc aussi \[h_{U'}^\# = h_{V'}^\# \times_{h_V^\#} h_U^\#\] puisque le passage au faisceau associé est exact.

Localisation et morphismes

Le lemme suivant est important pour comprendre la relation entre la localisation et les morphismes de sites et de topos.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un morphisme de sites correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(V \in \Ob(\mathcal{D})\) et posons \(U = u(V)\). Alors le foncteur \(u' : \mathcal{D}/V \to \mathcal{C}/U\), \(V'/V \mapsto u(V')/U\), détermine un morphisme de sites \(f' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\). Le morphisme \(f'\) s’insère dans un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_V} & \Sh(\mathcal{D}). }\] En utilisant les identifications \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) et \(\Sh(\mathcal{D}/V) = \Sh(\mathcal{D})/h_V^\#\) du Lemme 00Y1, le foncteur \((f')^{-1}\) est décrit par la règle \[(f')^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_V^\#) = (f^{-1}\mathcal{H} \xrightarrow{f^{-1}\varphi} h_U^\#).\] Enfin, nous avons \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\).

Démonstration

Il est clair que \(u'\) est continu, et nous obtenons donc les foncteurs \(f'_* = (u')^s = (u')^p\) (voir les sections 00VC et 00WU) et un adjoint \((f')^{-1} = (u')_s = ((u')_p\ )^\#\). L’assertion \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\) résulte de \[(j_V^{-1}f_*\mathcal{F})(V'/V) = f_*\mathcal{F}(V') = \mathcal{F}(u(V')) = (j_U^{-1}\mathcal{F})(u(V')/U) = (f'_*j_U^{-1}\mathcal{F})(V'/V)\] ce qui vaut même pour les préfaisceaux. Ce qui n’est pas clair a priori, c’est que \((f')^{-1}\) est exact, que le diagramme commute et que la description de \((f')^{-1}\) est valable.

Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}/V\). Calculons \(j_{U!}(f')^{-1}\mathcal{H}\). Nous avons \[\begin{eqnarray*} j_{U!}(f')^{-1}\mathcal{H} & = ((j_U)_p(u'_p\mathcal{H})^\#)^\# \\ & = ((j_U)_pu'_p\mathcal{H})^\# \\ & = (u_p(j_V)_p\mathcal{H})^\# \\ & = f^{-1}j_{V!}\mathcal{H} \end{eqnarray*}\] La première égalité résulte du développement des définitions. La deuxième résulte du Lemme 00WY. La troisième vient de ce que \(u \circ j_V = j_U \circ u'\). La quatrième résulte à nouveau du Lemme 00WY. Toutes les égalités ci-dessus sont des isomorphismes de foncteurs, et nous pouvons donc les interpréter en disant que le diagramme suivant de catégories et de foncteurs est commutatif : \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_{U!}} & \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_{V!}} \ar[u]^{(f')^{-1}} & \Sh(\mathcal{D})/h_V^\# \ar[r] \ar[u]^{f^{-1}} & \Sh(\mathcal{D}) \ar[u]^{f^{-1}} }\] La flèche médiane a un sens puisque \(f^{-1}h_V^\# = (h_{u(V)})^\# = h_U^\#\), voir le Lemme 04D3. Ceci démontre en particulier la description de \((f')^{-1}\) donnée dans l’énoncé du lemme. Puisque, d’après le Lemme 00Y1, les flèches horizontales de gauche sont des équivalences, et puisque \(f^{-1}\) est exact par hypothèse, nous concluons que \((f')^{-1} = u'_s\) est exact. En effet, comme c’est un adjoint à gauche, il est déjà exact à droite (Catégories, Lemme 0038). Il nous suffit donc de montrer qu’il transforme un objet final en un objet final et commute aux produits fibrés (Catégories, Lemme 0035). Ces deux propriétés sont claires pour le foncteur induit \(f^{-1} : \Sh(\mathcal{D})/h_V^\# \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\). Ceci démontre que \(f'\) est un morphisme de sites.

Il nous reste à vérifier que \((f')^{-1}j_V^{-1} = j_U^{-1}f^{-1}\). Pour le voir, combinons la formule ci-dessus avec la description du Lemme 03EE. Nous obtenons ainsi, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\), \[j_{U!}(f')^{-1}j_V^{-1}\mathcal{G} = f^{-1}j_{V!}j_V^{-1}\mathcal{G} = f^{-1}(\mathcal{G} \times h_V^\#) = f^{-1}\mathcal{G} \times h_U^\# = j_{U!}j_U^{-1}f^{-1}\mathcal{G}.\] Puisque le foncteur \(j_{U!}\) induit une équivalence \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\), nous concluons.

Le lemme suivant est un cas particulier du Lemme 03CF ci-dessus, plus général.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un foncteur. Soit \(V \in \Ob(\mathcal{D})\). Posons \(U = u(V)\). Supposons que

1. \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) admettent toutes les limites finies,

2. \(u\) soit continu, et

3. \(u\) commute aux limites finies.

Il existe un diagramme commutatif de morphismes de sites \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \mathcal{C} \ar[d]^f \\ \mathcal{D}/V \ar[r]^{j_V} & \mathcal{D} }\] où la flèche verticale de droite correspond à \(u\), la flèche verticale de gauche correspond au foncteur \(u' : \mathcal{D}/V \to \mathcal{C}/U\), \(V'/V \mapsto u(V')/u(V)\), et les flèches horizontales correspondent aux foncteurs \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}/U\), \(X \mapsto X \times U\), et \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}/V\), \(Y \mapsto Y \times V\), comme dans le Lemme 03CE. De plus, le diagramme associé de morphismes de topos est égal au diagramme du Lemme 03CF. En particulier, nous avons \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\).

Démonstration

Notons que \(u\) satisfait aux hypothèses de la Proposition 00X6 et induit donc un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) par cette proposition. Il est clair que \(u\) induit un foncteur \(u'\) comme indiqué. Il est clair que ce foncteur satisfait également aux hypothèses de la Proposition 00X6. Nous obtenons donc un morphisme de sites \(f' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\). Le diagramme commute par notre définition de la composition des morphismes de sites (voir la Définition 03CC) et par l’égalité \[u(Y \times V) = u(Y) \times u(V) = u(Y) \times U\] qui montre que le diagramme de catégories et de foncteurs opposé à celui du lemme est commutatif.

À ce stade, nous pouvons localiser un site, nous savons le relocaliser, et nous pouvons localiser un morphisme de sites en un objet du site d’arrivée. En combinant ces opérations, nous obtenons le type de diagramme suivant.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un morphisme de sites correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soient \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(c : U \to u(V)\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Il existe un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f_c} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_V} & \Sh(\mathcal{D}). }\] Nous avons \(f_c = f' \circ j_{U/u(V)}\), où \(f' : \Sh(\mathcal{C}/u(V)) \to \Sh(\mathcal{D}/V)\) est celui du Lemme 03CF, et où \(j_{U/u(V)} : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C}/u(V))\) est celui du Lemme 03EH. En utilisant les identifications \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) et \(\Sh(\mathcal{D}/V) = \Sh(\mathcal{D})/h_V^\#\) du Lemme 00Y1, le foncteur \((f_c)^{-1}\) est décrit par la règle \[(f_c)^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_V^\#) = (f^{-1}\mathcal{H} \times_{f^{-1}\varphi, h_{u(V)}^\#, c} h_U^\# \rightarrow h_U^\#).\] Enfin, étant donnés des morphismes \(b : V' \to V\), \(a : U' \to U\) et \(c' : U' \to u(V')\) tels que \[\xymatrix{ U' \ar[r]_-{c'} \ar[d]_a & u(V') \ar[d]^{u(b)} \\ U \ar[r]^-c & u(V) }\] commute, le diagramme \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U') \ar[r]_{j_{U'/U}} \ar[d]_{f_{c'}} & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[d]^{f_c} \\ \Sh(\mathcal{D}/V') \ar[r]^{j_{V'/V}} & \Sh(\mathcal{D}/V). }\] est commutatif.

Démonstration

Ce lemme se démontre de lui-même et constitue plutôt une synthèse des faits connus à ce stade du développement de la théorie. Par exemple, la commutativité du premier carré résulte de la commutativité du Diagramme (04IK) et de celle du diagramme du Lemme 03CF. La description de \(f_c^{-1}\) résulte de la combinaison du Lemme 04IL avec le Lemme 03CF. La commutativité du dernier carré résulte alors de l’égalité \[f^{-1}\mathcal{H} \times_{h_{u(V)}^\#, c} h_U^\# \times_{h_U^\#} h_{U'}^\# = f^{-1}(\mathcal{H} \times_{h_V^\#} h_{V'}^\#) \times_{h_{u(V'), c'}^\#} h_{U'}^\#\] qui est formelle puisque \(f^{-1}h_V^\# = h_{u(V)}^\#\) et \(f^{-1}h_{V'}^\# = h_{u(V')}^\#\), voir le Lemme 04D3.

Dans le lemme suivant, nous rencontrons une autre forme de fonctorialité de la localisation, lorsque le morphisme de topos provient d’un foncteur cocontinu. Ce type de diagramme diffère du diagramme du Lemme 03CF, et, en particulier, l’égalité \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\) vue dans le Lemme 03CF n’est en général pas valable dans la situation du lemme suivant.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur cocontinu. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\), et posons \(V = u(U)\). Nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{u'} & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}/V \ar[r]^-{j_V} & \mathcal{D} }\] où la flèche verticale de gauche est \(u' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\), \(U'/U \mapsto V'/V\). Alors \(u'\) est également cocontinu et nous obtenons un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^-{j_V} & \Sh(\mathcal{D}) }\] où \(f\) (resp. \(f'\)) correspond à \(u\) (resp. \(u'\)).

Démonstration

La commutativité du premier diagramme est claire. Elle implique celle du second diagramme pourvu que nous montrions que \(u'\) est cocontinu.

Soit \(U'/U\) un objet de \(\mathcal{C}/U\). Soit \(\{V_j/V \to u(U')/V\}_{j \in J}\) un recouvrement de \(u(U')/V\) dans \(\mathcal{D}/V\). Puisque \(u\) est cocontinu, il existe un recouvrement \(\{U_i' \to U'\}_{i \in I}\) tel que la famille \(\{u(U_i') \to u(U')\}\) raffine le recouvrement \(\{V_j \to u(U')\}\) dans \(\mathcal{D}\). Autrement dit, il existe une application \(\alpha : I \to J\) et des morphismes \(\phi_i : u(U_i') \to V_{\alpha(i)}\) au-dessus de \(U'\). Considérons \(U_i'\) comme un objet au-dessus de \(U\) par la composée \(U'_i \to U' \to U\). Alors \(\{U'_i/U \to U'/U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}/U\) tel que \(\{u(U_i')/V \to u(U')/V\}\) raffine \(\{V_j/V \to u(U')/V\}\) (en utilisant les mêmes \(\alpha\) et \(\phi_i\)). Ainsi, \(u' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\) est cocontinu.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur cocontinu. Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Soit \({}^u_V\mathcal{I}\) la catégorie introduite dans la section 00XF. Nous avons un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ \,_V^u\mathcal{I} \ar[r]_j \ar[d]_{u'} & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}/V \ar[r]^-{j_V} & \mathcal{D} } } \quad\text{où}\quad \begin{matrix} j : (U, \psi) \mapsto U \\ u' : (U, \psi) \mapsto (\psi : u(U) \to V) \end{matrix}\] Déclarons qu’une famille de morphismes \(\{(U_i, \psi_i) \to (U, \psi)\}\) de \({}^u_V\mathcal{I}\) est un recouvrement si et seulement si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Alors

1. \({}^u_V\mathcal{I}\) est un site,

2. \(j\) est continu et cocontinu,

3. \(u'\) est cocontinu,

4. nous obtenons un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh({}^u_V\mathcal{I}) \ar[r]_j \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^-{j_V} & \Sh(\mathcal{D}) }\] où \(f\) (resp. \(f'\)) correspond à \(u\) (resp. \(u'\)), et

5. nous avons \(f'_*j^{-1} = j_V^{-1}f_*\).

Démonstration

Les parties (1), (2), (3) et (4) sont des conséquences immédiates des définitions et du fait que le foncteur \(j\) commute aux produits fibrés. Nous omettons les détails. Pour voir (5), rappelons que \(f_*\) est donné par \({}_su = {}_pu\). Ainsi, la valeur de \(j_V^{-1}f_*\mathcal{F}\) en \(V'/V\) est la valeur de \({}_pu\mathcal{F}\) en \(V'\), laquelle est la limite des valeurs de \(\mathcal{F}\) sur la catégorie \({}^u_{V'}\mathcal{I}\). Il existe manifestement une équivalence de catégories \[{}^u_{V'}\mathcal{I} \to {}^{u'}_{V'/V}\mathcal{I}\] Puisque la valeur de \(f'_*j^{-1}\mathcal{F}\) en \(V'/V\) est donnée par la limite des valeurs de \(j^{-1}\mathcal{F}\) sur la catégorie \({}^{u'}_{V'/V}\mathcal{I}\), et puisque les valeurs de \(j^{-1}\mathcal{F}\) sur les objets de \({}^u_V\mathcal{I}\) sont simplement les valeurs de \(\mathcal{F}\) (d’après le Lemme 00XR, puisque \(j\) est continu et cocontinu), nous voyons que (5) est vraie.

Les deux résultats suivants sont d’une nature légèrement différente.

Lemme

Supposons donnés des sites \(\mathcal{C}', \mathcal{C}, \mathcal{D}', \mathcal{D}\) et des foncteurs \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} \ar[d]_{u'} & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v & \mathcal{D} }\] Supposons que

1. \(u\), \(u'\), \(v\) et \(v'\) soient cocontinus et donnent naissance aux morphismes de topos \(f\), \(f'\), \(g\) et \(g'\) par le Lemme 00XO,

2. \(v \circ u' = u \circ v'\),

3. \(v\) et \(v'\) soient continus aussi bien que cocontinus, et

4. pour tout objet \(V'\) de \(\mathcal{D}'\), le foncteur \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I} \to {}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) donné par \(v\) soit cofinal.

Alors \(f'_* \circ (g')^{-1} = g^{-1} \circ f_*\) et \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\).

Démonstration

Les catégories \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I}\) et \({}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) sont définies dans la section 00XF. Le foncteur de la condition (4) envoie l’objet \(\psi : u'(U') \to V'\) de \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I}\) sur l’objet \(v(\psi) : uv'(U') = vu'(U') \to v(V')\) de \({}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\). Rappelons que \(g^{-1}\) est donné par \(v^p\) (Lemme 00XR) et que \(f_*\) est donné par \({}_su = {}_pu\). La valeur de \(g^{-1}f_*\mathcal{F}\) en \(V'\) est donc la valeur de \({}_pu\mathcal{F}\) en \(v(V')\), c’est-à-dire la limite \[\lim_{u(U) \to v(V') \in \Ob({}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}^{opp})} \mathcal{F}(U)\] Par le même raisonnement, la valeur de \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) en \(V'\) est donnée par la limite \[\lim_{u'(U') \to V' \in \Ob({}^{u'}_{V'}\mathcal{I}^{opp})} \mathcal{F}(v'(U'))\] Ainsi, l’hypothèse (4) et Catégories, Lemme 002R, montrent que ces limites coïncident, ce qui démontre la première égalité du lemme. La seconde égalité découle de la première par unicité des adjoints.

Lemme

Supposons donnés des sites \(\mathcal{C}', \mathcal{C}, \mathcal{D}', \mathcal{D}\) et des foncteurs \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} & \mathcal{C} \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v \ar[u]^{u'} & \mathcal{D} \ar[u]_u }\] Avec les notations des sections 00X0 et 00XN, supposons que

1. \(u\) et \(u'\) soient continus et donnent naissance aux morphismes de sites \(f\) et \(f'\),

2. \(v\) et \(v'\) soient cocontinus et donnent naissance aux morphismes de topos \(g\) et \(g'\),

3. \(u \circ v = v' \circ u'\), et

4. \(v\) et \(v'\) soient continus aussi bien que cocontinus.

Alors⁶ \(f'_* \circ (g')^{-1} = g^{-1} \circ f_*\) et \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\).

Démonstration

En effet, nous avons \[f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = (u')^p((v')^p\mathcal{F})^\# = (u')^p(v')^p\mathcal{F}\] La première égalité résulte de la définition, et la seconde du Lemme 00XR. Nous avons \[g^{-1}f_*\mathcal{F} = (v^pu^p\mathcal{F})^\# = ((u')^p(v')^p\mathcal{F})^\# = (u')^p(v')^p\mathcal{F}\] La première égalité résulte de la définition, la deuxième de ce que \(u \circ v = v' \circ u'\), et la troisième de ce que nous avons déjà vu que \((u')^p(v')^p\mathcal{F}\) est un faisceau. Cela démontre \(f'_* \circ (g')^{-1} = g^{-1} \circ f_*\) et l’égalité \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\) résulte de l’unicité des adjoints à gauche.

Morphismes de topos

Dans cette section, nous montrons que tout morphisme de topos est équivalent à un morphisme de topos qui provient d’un morphisme de sites. Comparer avec [SGA4, Exposé III, Proposition 4.9.4].

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu,

2. \(u\) soit continu,

3. étant donnés \(a, b : U' \to U\) dans \(\mathcal{C}\) tels que \(u(a) = u(b)\), il existe un recouvrement \(\{f_i : U'_i \to U'\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(a \circ f_i = b \circ f_i\),

4. étant donnés \(U', U \in \Ob(\mathcal{C})\) et un morphisme \(c : u(U') \to u(U)\) dans \(\mathcal{D}\), il existe un recouvrement \(\{f_i : U_i' \to U'\}\) dans \(\mathcal{C}\) et des morphismes \(c_i : U_i' \to U\) tels que \(u(c_i) = c \circ u(f_i)\), et

5. pour tout \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), il existe un recouvrement de \(V\) dans \(\mathcal{D}\) de la forme \(\{u(U_i) \to V\}_{i \in I}\).

Alors le morphisme de topos \[g : \Sh(\mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{D})\] associé au foncteur cocontinu \(u\) par le Lemme 00XO est une équivalence.

Démonstration

Supposons que \(u\) satisfasse les propriétés (1) – (5). Nous allons montrer que les morphismes d’adjonction \[\mathcal{G} \longrightarrow g_*g^{-1}\mathcal{G} \quad\text{et}\quad g^{-1}g_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] sont des isomorphismes.

Remarquons que le Lemme 00XR s’applique et que nous avons \(g^{-1}\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(u(U))\) pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\). Ensuite, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\), et soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Par définition, nous avons \(g_*\mathcal{F}(V) = \lim_{u(U) \to V} \mathcal{F}(U)\). Par conséquent \[g^{-1}g_*\mathcal{F}(U) = \lim_{U', u(U') \to u(U)} \mathcal{F}(U')\] où les morphismes \(\psi : u(U') \to u(U)\) ne sont pas nécessairement de la forme \(u(\alpha)\). La catégorie de ces couples \((U', \psi)\) possède un objet final, à savoir \((U, \text{id})\), qui donne le morphisme de la limite vers \(\mathcal{F}(U)\). Soit \((s_{(U', \psi)})\) un élément de la limite. Nous voulons montrer que \(s_{(U', \psi)}\) est uniquement déterminé par la valeur \(s_{(U, \text{id})} \in \mathcal{F}(U)\). D’après la propriété (4), pour tout \((U', \psi)\), il existe un recouvrement \(\{U'_i \to U'\}\) tel que les composés \(u(U'_i) \to u(U') \to u(U)\) soient de la forme \(u(c_i)\) pour certains \(c_i : U'_i \to U\) dans \(\mathcal{C}\). Par conséquent \[s_{(U', \psi)}|_{U'_i} = c_i^*(s_{(U, \text{id})}).\] Comme \(\mathcal{F}\) est un faisceau, il s’ensuit que \(s_{(U', \psi)}\) est bien déterminé par \(s_{(U, \text{id})}\). Cela démontre l’unicité. Pour l’existence, supposons donnés \(s \in \mathcal{F}(U)\), \(\psi : u(U') \to u(U)\), \(\{f_i : U_i' \to U'\}\) et \(c_i : U_i' \to U\) tels que \(\psi \circ u(f_i) = u(c_i)\) comme ci-dessus. Nous affirmons qu’il existe un (unique) élément \(s_{(U', \psi)} \in \mathcal{F}(U')\) tel que \[s_{(U', \psi)}|_{U'_i} = c_i^*(s).\] En effet, a priori, il n’est pas clair que les éléments \(c_i^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\) et \(c_j^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\) coïncident, car le diagramme \[\xymatrix{ U_i' \times_{U'} U_j' \ar[r]_-{\text{pr}_2} \ar[d]_{\text{pr}_1} & U_j' \ar[d]^{c_j} \\ U_i' \ar[r]^{c_i} & U}\] ne commute pas nécessairement. Mais la condition (3) du lemme garantit qu’il existe des recouvrements \(\{f_{ijk} : U'_{ijk} \to U_i' \times_{U'} U_j'\}_{k \in K_{ij}}\) tels que \(c_i \circ \text{pr}_1 \circ f_{ijk} = c_j \circ \text{pr}_2 \circ f_{ijk}\). Par conséquent \[f_{ijk}^* \left(c_i^*s|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\right) = f_{ijk}^* \left(c_j^*s|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\right)\] Par conséquent \(c_i^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'} = c_j^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\) par la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\), et l’existence de \(s_{(U', \psi)}\) en résulte également par la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\). L’unicité garantit que la famille \((s_{(U', \psi)})\) ainsi obtenue est un élément de la limite avec \(s_{(U, \psi)} = s\). Cela démontre que \(g^{-1}g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme.

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Alors nous voyons que \[g_*g^{-1}\mathcal{G}(V) = \lim_{U, \psi : u(U) \to V} \mathcal{G}(u(U))\] D’après le paragraphe précédent, nous voyons que la valeur du faisceau \(g_*g^{-1}\mathcal{G}\) sur un objet \(V\) de la forme \(V = u(U)\) est égale à \(\mathcal{G}(u(U))\). (Formellement, cela découle de \(g^{-1}g_*g^{-1} \cong g^{-1}\) et de la description de \(g^{-1}\) donnée au début de la démonstration ; informellement, il suffit de comparer les limites ici et ci-dessus.) Ainsi, le morphisme d’adjonction \(\mathcal{G} \to g_*g^{-1}\mathcal{G}\) a la propriété d’être une bijection sur les sections au-dessus de tout objet de la forme \(u(U)\). Comme, par l’axiome (5), il existe un recouvrement de \(V\) par des objets de la forme \(u(U)\), nous voyons facilement que le morphisme d’adjonction est un isomorphisme.

Il sera commode de donner un nom aux foncteurs cocontinus comme dans le Lemme 03A0.

Définition

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des sites. Un foncteur cocontinu spécial \(u\) de \(\mathcal{C}\) vers \(\mathcal{D}\) est un foncteur cocontinu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) satisfaisant aux hypothèses et aux conclusions du Lemme 03A0.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur cocontinu spécial. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_{j_U} \ar[d] & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}/u(U) \ar[r]^-{j_{u(U)}} & \mathcal{D} }\] comme dans le Lemme 03EG. La flèche verticale de gauche est un foncteur cocontinu spécial. Ainsi, dans le diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d] & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^u \\ \Sh(\mathcal{D}/u(U)) \ar[r]^-{j_{u(U)}} & \Sh(\mathcal{D}) }\] les flèches verticales sont des équivalences.

Démonstration

Nous avons établi l’existence et la commutativité des diagrammes dans le Lemme 03EG. Il reste à vérifier les hypothèses (1) – (5) du Lemme 03A0 pour le foncteur induit \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\). Cette vérification est entièrement formelle.

Propriété (1). C’est le Lemme 03EG.

Propriété (2). Soit \(\{U_i'/U \to U'/U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(U'/U\) dans \(\mathcal{C}/U\). Comme \(u\) est continu, nous voyons que \(\{u(U_i')/u(U) \to u(U')/u(U)\}_{i \in I}\) est un recouvrement de \(u(U')/u(U)\) dans \(\mathcal{D}/u(U)\). Ainsi, (2) est vérifiée pour \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\).

Propriété (3). Soient \(a, b : U''/U \to U'/U\) dans \(\mathcal{C}/U\) des morphismes tels que \(u(a) = u(b)\) dans \(\mathcal{D}/u(U)\). Comme \(u\) satisfait (3), nous voyons qu’il existe un recouvrement \(\{f_i : U''_i \to U''\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(a \circ f_i = b \circ f_i\). Cela donne un recouvrement \(\{f_i : U''_i/U \to U''/U\}\) dans \(\mathcal{C}/U\) tel que \(a \circ f_i = b \circ f_i\). Ainsi, (3) est vérifiée pour \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\).

Propriété (4). Soient \(U''/U, U'/U \in \Ob(\mathcal{C}/U)\) et soit donné un morphisme \(c : u(U'')/u(U) \to u(U')/u(U)\) dans \(\mathcal{D}/u(U)\). Comme \(u\) satisfait la propriété (4), il existe un recouvrement \(\{f_i : U_i'' \to U''\}\) dans \(\mathcal{C}\) et des morphismes \(c_i : U_i'' \to U'\) tels que \(u(c_i) = c \circ u(f_i)\). Nous considérons \(U_i''\) comme un objet au-dessus de \(U\) par la composée \(U_i'' \to U'' \to U\). Il n’est pas nécessairement vrai que \(c_i\) soit un morphisme au-dessus de \(U\) ! Mais puisque \(u(c_i)\) est un morphisme au-dessus de \(u(U)\), nous pouvons appliquer la propriété (3) à \(u\) et trouver des recouvrements \(\{f_{ik} : U''_{ik} \to U''_i\}\) tels que \(c_{ik} = c_i \circ f_{ik} : U''_{ik} \to U'\) soient des morphismes au-dessus de \(U\). Ainsi, \(\{f_i \circ f_{ik} : U''_{ik}/U \to U''/U\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}/U\) tel que \(u(c_{ik}) = c \circ u(f_{ik})\). Ainsi, (4) est vérifiée pour \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\).

Propriété (5). Soit \(h : V \to u(U)\) un objet de \(\mathcal{D}/u(U)\). Comme \(u\) satisfait la propriété (5), il existe un recouvrement \(\{c_i : u(U_i) \to V\}\) dans \(\mathcal{D}\). Par la propriété (4), nous pouvons trouver des recouvrements \(\{f_{ij} : U_{ij} \to U_i\}\) et des morphismes \(c_{ij} : U_{ij} \to U\) tels que \(u(c_{ij}) = h \circ c_i \circ u(f_{ij})\). Ainsi, \(\{u(U_{ij})/u(U) \to V/u(U)\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{D}/u(U)\) de la forme voulue, et nous concluons que (5) est vérifiée pour \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{C}' \subset \Sh(\mathcal{C})\) une sous-catégorie pleine (possédant un ensemble d’objets) telle que

1. \(h_U^\# \in \Ob(\mathcal{C}')\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), et

2. \(\mathcal{C}'\) soit stable par produits fibrés dans \(\Sh(\mathcal{C})\).

Déclarons qu’un recouvrement de \(\mathcal{C}'\) est toute famille \(\{\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\}_{i \in I}\) de morphismes telle que \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) soit un morphisme surjectif de faisceaux. Alors

1. \(\mathcal{C}'\) est un site (après avoir choisi un ensemble de recouvrements, voir Ensembles, Lemme 000X),

2. les préfaisceaux représentables sur \(\mathcal{C}'\) sont des faisceaux (c’est-à-dire que la topologie sur \(\mathcal{C}'\) est sous-canonique, voir Définition 00WQ),

3. le foncteur \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\), \(U \mapsto h_U^\#\) est un foncteur cocontinu spécial, et induit donc une équivalence \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\),

4. pour tout \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{C}')\), nous avons \(g^{-1}h_\mathcal{F} = \mathcal{F}\), et

5. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous avons \(g_*h_U^\# = h_{v(U)} = h_{h_U^\#}\).

Démonstration

Avertissement : certains des énoncés ci-dessus peuvent sembler un peu déroutants au premier abord ; cela vient de ce que les objets de \(\mathcal{C}'\) peuvent aussi être considérés comme des faisceaux sur \(\mathcal{C}\) ! Nous omettons de vérifier que les recouvrements de \(\mathcal{C}'\) décrits dans le lemme satisfont les conditions de la Définition 00VH.

Supposons que \(\{\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\}\) soit une famille surjective de morphismes de faisceaux. Soit \(\mathcal{G}\) un autre faisceau. La partie (2) du lemme affirme que l’égalisateur de \[\xymatrix{ \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}( \coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i, \mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}( \coprod_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}_{i_0} \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_{i_1}, \mathcal{G}) }\] est \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}).\) C’est clair (utiliser par exemple le Lemme 086K).

Pour démontrer (3), nous devons vérifier les conditions (1) – (5) du Lemme 03A0. Le fait que \(v\) soit cocontinu est équivalent à la description des morphismes surjectifs de faisceaux dans le Lemme 00WN. Le foncteur \(v\) est continu parce que \(U \mapsto h_U^\#\) commute aux produits fibrés, et transforme les recouvrements en recouvrements (voir le Lemme 00WJ, et le Lemme 00WT). Les propriétés (3), (4) du Lemme 03A0 sont des énoncés portant sur les morphismes \(f : h_{U'}^\# \to h_U^\#\). Un tel morphisme revient à un élément de \(h_U^\#(U')\). Ainsi, (3) et (4) découlent immédiatement de la construction du faisceau associé. La propriété (5) du Lemme 03A0 est le Lemme 00WS. Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) l’équivalence de topos associée à \(v\) par le Lemme 03A0.

Soit \(\mathcal{F}\) comme dans la partie (4) du lemme. Pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous avons \[g^{-1}h_\mathcal{F}(U) = h_\mathcal{F}(v(U)) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] La première égalité résulte du Lemme 00XR. La partie (4) est donc démontrée.

Soit \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{C}')\). Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Alors \[\begin{align*} g_*h_U^\#(\mathcal{F}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}')}(h_\mathcal{F}, g_*h_U^\#) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(g^{-1}h_\mathcal{F}, h_U^\#) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, h_U^\#) \\ & = \Mor_{\mathcal{C}'}(\mathcal{F}, h_U^\#) \end{align*}\] comme voulu (où la troisième égalité a été démontrée ci-dessus).

Cela nous permet de réaliser tout topos sur un site possédant toutes les limites finies.

Lemme

Soit \(\Sh(\mathcal{C})\) un topos. Soit \(\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}\) un ensemble de faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Il existe une équivalence de topos \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) induite par un foncteur cocontinu spécial \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) de sites telle que

1. \(\mathcal{C}'\) possède une topologie sous-canonique,

2. une famille \(\{V_j \to V\}\) de morphismes de \(\mathcal{C}'\) est (combinatoirement équivalente à) un recouvrement de \(\mathcal{C}'\) si et seulement si \(\coprod h_{V_j} \to h_V\) est surjectif,

3. \(\mathcal{C}'\) possède des produits fibrés et un objet final (c’est-à-dire que \(\mathcal{C}'\) possède toutes les limites finies),

4. tout sous-faisceau d’un faisceau représentable sur \(\mathcal{C}'\) est représentable, et

5. chaque \(g_*\mathcal{F}_i\) est un faisceau représentable.

Démonstration

Considérons la sous-catégorie pleine \(\mathcal{C}_1 \subset \Sh(\mathcal{C})\) formée de tous les \(h_U^\#\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), des faisceaux donnés \(\mathcal{F}_i\) et du faisceau final \(*\) (voir Exemple 00W3). Nous allons définir par récurrence des sous-catégories pleines \[\mathcal{C}_1 \subset \mathcal{C}_2 \subset \mathcal{C}_2 \subset \ldots \subset \Sh(\mathcal{C})\] Plus précisément, \(\mathcal{C}_n\) étant donnée, soit \(\mathcal{C}_{n + 1}\) la sous-catégorie pleine formée de tous les produits fibrés et sous-faisceaux d’objets de \(\mathcal{C}_n\). (Remarquons que \(\mathcal{C}_{n + 1}\) possède un ensemble d’objets.) Posons \(\mathcal{C}' = \bigcup_{n \geq 1} \mathcal{C}_n\). Un recouvrement de \(\mathcal{C}'\) est toute famille \(\{\mathcal{G}_j \to \mathcal{G}\}_{j \in J}\) de morphismes d’objets de \(\mathcal{C}'\) telle que \(\coprod \mathcal{G}_j \to \mathcal{G}\) soit surjectif comme morphisme de faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Le foncteur \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C'}\) est donné par \(U \mapsto h_U^\#\). Appliquons le Lemme 03A1.

Voici le but de la présente section.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Alors il existe un site \(\mathcal{C}'\) et un diagramme de foncteurs \[\xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_v & \mathcal{C}' & \mathcal{D} \ar[l]^u }\] tels que

1. le foncteur \(v\) soit un foncteur cocontinu spécial,

2. le foncteur \(u\) commute aux produits fibrés, soit continu et définisse un morphisme de sites \(\mathcal{C}' \to \mathcal{D}\), et

3. le morphisme de topos \(f\) coïncide avec le composé des morphismes de topos \[\Sh(\mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}') \longrightarrow \Sh(\mathcal{D})\] où la première flèche provient de \(v\) par le Lemme 03A0 et la seconde de \(u\) par le Lemme 00XC.

Démonstration

Considérons la sous-catégorie pleine \(\mathcal{C}_1 \subset \Sh(\mathcal{C})\) formée de tous les \(h_U^\#\) et de tous les \(f^{-1}h_V^\#\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(V \in \Ob(\mathcal{D})\). Soit \(\mathcal{C}_{n + 1}\) la sous-catégorie pleine formée de tous les produits fibrés d’objets de \(\mathcal{C}_n\). Posons \(\mathcal{C}' = \bigcup_{n \geq 1} \mathcal{C}_n\). Un recouvrement de \(\mathcal{C}'\) est toute famille \(\{\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\}_{i \in I}\) telle que \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) soit surjectif comme morphisme de faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Le foncteur \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C'}\) est donné par \(U \mapsto h_U^\#\). Le foncteur \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C'}\) est donné par \(V \mapsto f^{-1}h_V^\#\).

La partie (1) résulte du Lemme 03A1.

Démonstration de (2) et (3) du lemme. Le foncteur \(u\) commute aux produits fibrés, puisque \(V \mapsto h_V^\#\) et \(f^{-1}\) le font tous deux. En outre, comme \(f^{-1}\) est exact et commute aux limites inductives arbitraires, nous voyons qu’il transforme un recouvrement en une famille surjective de morphismes de faisceaux. Ainsi, \(u\) est continu. Pour voir qu’il définit un morphisme de sites, il reste à vérifier que \(u_s\) est exact. À cette fin, nous allons montrer que \(g^{-1} \circ u_s = f^{-1}\). En effet, puisque \(g^{-1}\) est une équivalence et que \(f^{-1}\) est exact, nous pourrons conclure. Comme \(g^{-1}\) est adjoint à \(g_*\), que \(u_s\) est adjoint à \(u^s\), et que \(f^{-1}\) est adjoint à \(f_*\), il suffit aussi de démontrer que \(u^s \circ g_* = f_*\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\) et soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Alors \[\begin{align*} (u^s g_{\ast}\mathcal{F})(V) & = (g_{\ast}\mathcal{F})(f^{-1}h_V^\#) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{C}')}(h_{f^{-1}h_V^\#},g_{\ast}\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{C})}(g^{-1}h_{f^{-1}h_V^\#},\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{C})}(f^{-1}h_V^\#,\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{D})}(h_V^\#,f_{\ast}\mathcal{F}) \\ & = f_{\ast}\mathcal{F}(V) \end{align*}\] La première égalité vient de ce que \(u^s = u^p\). La deuxième égalité est le lemme de Yoneda. La troisième égalité résulte de l’adjonction entre \(g^{-1}\) et \(g_*\). La quatrième égalité résulte du Lemme 03A1 (4). La cinquième égalité résulte de l’adjonction entre \(f^{-1}\) et \(f_*\). La sixième égalité est le lemme de Yoneda. Ainsi, \(u^s g_*\mathcal{F} = f_*\mathcal{F}\) et cela achève la démonstration du lemme.

Remarque

Notations et hypothèses comme dans le Lemme 03A2. Si le site \(\mathcal{D}\) possède un objet final et des produits fibrés, alors le foncteur \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}'\) satisfait toutes les hypothèses de la Proposition 00X6. En effet, outre les propriétés mentionnées dans le lemme, \(u\) transforme aussi l’objet final de \(\mathcal{D}\) en l’objet final de \(\mathcal{C}'\). Cela ressort clairement de la construction de \(u\). Ainsi, si nous appliquons d’abord le Lemme 03CI à \(\mathcal{D}\) puis le Lemme 03A2 au morphisme de topos qui en résulte \(\Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D}')\), nous obtenons l’énoncé suivant : Tout morphisme de topos \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]_g \ar[r]_f & \Sh(\mathcal{D}) \ar[d]^e \\ \Sh(\mathcal{C}') \ar[r]^{f'} & \Sh(\mathcal{D}') }\] où les propriétés suivantes sont satisfaites :

1. les morphismes \(e\) et \(g\) sont des équivalences données par des foncteurs cocontinus spéciaux \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) et \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}'\),

2. les sites \(\mathcal{C}'\) et \(\mathcal{D}'\) possèdent des produits fibrés et un objet final et sont munis de topologies sous-canoniques,

3. le morphisme \(f' : \mathcal{C}' \to \mathcal{D}'\) provient d’un morphisme de sites correspondant à un foncteur \(u : \mathcal{D}' \to \mathcal{C}'\) auquel la Proposition 00X6 s’applique, et

4. étant donné un ensemble quelconque de faisceaux \(\mathcal{F}_i\) (resp. \(\mathcal{G}_j\)) sur \(\mathcal{C}\) (resp. \(\mathcal{D}\)), nous pouvons supposer que chacun d’eux est un faisceau représentable sur \(\mathcal{C}'\) (resp. \(\mathcal{D}'\)).

Il est souvent utile de remplacer \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) par \(\mathcal{C}'\) et \(\mathcal{D}'\).

Remarque

Notations et hypothèses comme dans le Lemme 03A2. Supposons en outre que le morphisme de topos d’origine \(\Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) soit une équivalence. Alors la construction de la démonstration du Lemme 03A2 donne deux foncteurs \[\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}' \leftarrow \mathcal{D}\] qui sont tous deux des foncteurs cocontinus spéciaux. Ainsi, dans ce cas, nous pouvons effectivement factoriser le morphisme de topos comme un composé \[\Sh(\mathcal{C}) \rightarrow \Sh(\mathcal{C}') = \Sh(\mathcal{D}') \leftarrow \Sh(\mathcal{D})\] comme dans la Remarque 03CJ, mais avec le morphisme du milieu égal à l’identité.

Localisation des topos

Nous reprenons certains résultats sur la localisation dans le cadre, en apparence plus général, des topos. En réalité, ce cadre n’est pas plus général, car nous pouvons toujours agrandir les sites sous-jacents pour supposer que nous localisons en des objets du site.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Alors la catégorie \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) est un topos. Il existe un morphisme canonique de topos \[j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] qui est une localisation au sens de la section 00XZ et tel que

1. le foncteur \(j_\mathcal{F}^{-1}\) soit le foncteur \(\mathcal{H} \mapsto \mathcal{H} \times \mathcal{F}/\mathcal{F}\), et

2. le foncteur \(j_{\mathcal{F}!}\) soit le foncteur d’oubli \(\mathcal{G}/\mathcal{F} \mapsto \mathcal{G}\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 03CI. Cela signifie que nous pouvons supposer que \(\mathcal{C}\) est un site muni d’une topologie sous-canonique et que \(\mathcal{F} = h_U = h_U^\#\) pour un certain \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Les résultats de la section 00XZ s’appliquent donc. En particulier, il existe une équivalence \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) telle que le composé \[\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\] soit égal à \(j_{U!}\) ; voir le Lemme 00Y1. Notons \(a : \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C}/U)\) le foncteur inverse, de sorte que \(j_{\mathcal{F}!} = j_{U!} \circ a\), \(j_\mathcal{F}^{-1} = a^{-1} \circ j_U^{-1}\) et \(j_{\mathcal{F}, *} = j_{U, *} \circ a\). La description de \(j_{\mathcal{F}!}\) résulte de ce qui précède. Celle de \(j_\mathcal{F}^{-1}\) résulte du Lemme 03EE.

Lemme

Dans la situation du Lemme 04GZ, le foncteur \(j_{\mathcal{F}, *}\) associe à \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) le faisceau \[U \longmapsto \{\alpha : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U \text{ telle que } \alpha \text{ est un inverse à droite de }\varphi|_U \}.\]

Démonstration

Pour tout \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\), convenons de noter \(\mathcal{G}/\mathcal{F}\) l’objet correspondant de \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\). On a \[(j_{\mathcal{F}, *}(\mathcal{G}/\mathcal{F}))(U) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, j_{\mathcal{F}, *}(\mathcal{G}/\mathcal{F})) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}}(j_{\mathcal{F}}^{-1}h_U^{\#}, (\mathcal{G}/\mathcal{F})).\] D’après le Lemme 04GZ, cet ensemble est la fibre au-dessus de l’élément \(h_U^\# \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) pour l’application d’ensembles \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\# \times \mathcal{F}, \mathcal{G}) \xrightarrow{\varphi \circ} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\# \times \mathcal{F}, \mathcal{F}).\] Par l’adjonction du Lemme 0BWQ, on a \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#}\times\mathcal{F}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#},\SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}), \\ \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#} \times \mathcal{F}, \mathcal{F}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#},\SheafHom(\mathcal{F},\mathcal{F})) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}), \end{align*}\] et, sous cette adjonction, l’application \(\varphi\circ\) devient \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}) \longrightarrow \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}),\quad \psi \longmapsto \varphi|_{\mathcal{C}/U} \circ \psi,\] tandis que l’élément \(h_U^\# \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) devient \(\text{id}_{\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}}\). Par conséquent, \((j_{\mathcal{F}, *}\mathcal{G}/\mathcal{F})(U)\) est isomorphe à la fibre au-dessus de \(\text{id}_{\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}}\) pour l’application \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}) \xrightarrow{\varphi|_{\mathcal{C}/U}\circ} \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}),\] laquelle est \(\{\alpha : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U \text{ telle que } \alpha \text{ est un inverse à droite de }\varphi|_U \}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) la catégorie des couples \((U, s)\), où \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(s \in \mathcal{F}(U)\). Déclarons qu’un recouvrement de \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) est une famille \(\{(U_i, s_i) \to (U, s)\}\) telle que \(\{U_i \to U\}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Alors \(j : \mathcal{C}/\mathcal{F} \to \mathcal{C}\) est un foncteur de sites continu et cocontinu, qui induit un morphisme de topos \(j : \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F}) \to \Sh(\mathcal{C})\). En fait, il existe une équivalence \(\Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F}) = \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) qui transforme \(j\) en \(j_\mathcal{F}\).

Démonstration

Nous omettons de vérifier que \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) est un site et que \(j\) est continu et cocontinu. D’après le Lemme 00XR, il existe un morphisme de topos \(j\) comme indiqué, avec \(j^{-1}\mathcal{G}(U, s) = \mathcal{G}(U)\), et il existe un adjoint à gauche \(j_!\) de \(j^{-1}\). Un morphisme \(\varphi : * \to j^{-1}\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) revient à se donner une règle qui associe à chaque couple \((U, s)\) une section \(\varphi(s) \in \mathcal{G}(U)\) compatible avec les applications de restriction. Cela revient donc à se donner un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}\). On en conclut que \(j_!* = \mathcal{F}\). En particulier, pour tout \(\mathcal{H} \in \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F})\), il existe un morphisme canonique \[j_!\mathcal{H} \to j_!* = \mathcal{F}\] c’est-à-dire que l’on obtient un foncteur \(j'_! : \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F}) \to \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\). Un inverse de ce foncteur est la règle qui associe à un objet \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) de \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) le faisceau \[a(\mathcal{G}/\mathcal{F}) : (U, s) \longmapsto \{t \in \mathcal{G}(U) \mid \varphi(t) = s\}\] Nous omettons de vérifier que \(a(\mathcal{G}/\mathcal{F})\) est un faisceau et que \(a\) est inverse de \(j'_!\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\).

1. Le topos \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) est appelé la localisation du topos \(\Sh(\mathcal{C})\) en \(\mathcal{F}\).

2. Le morphisme de topos \(j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\) du Lemme 04GZ est appelé le morphisme de localisation.

Nous allons montrer que, chaque fois que le faisceau \(\mathcal{F}\) est égal à \(h_U^\#\) pour un certain objet \(U\) du site, la localisation du topos est égale à la catégorie des faisceaux sur la localisation du site en \(U\). Nous allons en outre vérifier que toutes les fonctorialités sont compatibles avec cette identification.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F} = h_U^\#\) pour un certain objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Alors le morphisme \(j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\) construit dans le Lemme 04GZ coïncide avec le morphisme de topos \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\) construit dans la section 00XZ par l’identification \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) du Lemme 00Y1.

Démonstration

Nous avons vu dans le Lemme 00Y1 que le composé \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\) est \(j_{U!}\). Le foncteur \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\) est \(j_{\mathcal{F}!}\) d’après le Lemme 04GZ. Ainsi, \(j_{\mathcal{F}!} = j_{U!}\) par l’identification. Donc \(j_\mathcal{F}^{-1} = j_U^{-1}\) (par adjonction), puis \(j_{\mathcal{F}, *} = j_{U, *}\) (encore par adjonction).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Si \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de faisceaux sur \(\mathcal{C}\), alors il existe un diagramme naturel commutatif de morphismes de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{G} \ar[rd]_{j_\mathcal{G}} \ar[rr]_j & & \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[ld]^{j_\mathcal{F}} \\ & \Sh(\mathcal{C}) & }\] où \(j = j_{\mathcal{G}/\mathcal{F}}\) est la localisation du topos \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) en l’objet \(\mathcal{G}/\mathcal{F}\). En particulier, on a \[j^{-1}(\mathcal{H} \to \mathcal{F}) = (\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G})\] et \[j_!(\mathcal{E} \xrightarrow{e} \mathcal{G}) = (\mathcal{E} \xrightarrow{s \circ e} \mathcal{F}).\]

Démonstration

La description de \(j^{-1}\) et de \(j_!\) résulte de la description de ces foncteurs dans le Lemme 04GZ. L’égalité de foncteurs \(j_{\mathcal{G}!} = j_{\mathcal{F}!} \circ j_!\) résulte clairement de leur description comme foncteurs d’oubli. Par adjonction, on obtient également les égalités \(j_\mathcal{G}^{-1} = j^{-1} \circ j_\mathcal{F}^{-1}\) et \(j_{\mathcal{G}, *} = j_{\mathcal{F}, *} \circ j_*\).

Lemme

Supposons que \(\mathcal{C}\) et \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) soient comme dans le Lemme 04IR. Si \(\mathcal{G} = h_V^\#\), \(\mathcal{F} = h_U^\#\) et si \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) provient d’un morphisme \(V \to U\) de \(\mathcal{C}\), alors le diagramme du Lemme 04IR s’identifie au diagramme (04IK) par les identifications \(\Sh(\mathcal{C}/V) = \Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) et \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) du Lemme 00Y1.

Démonstration

C’est vrai parce que les descriptions de \(j^{-1}\) coïncident. Voir le Lemme 04IL et le Lemme 04IR.

Localisation et morphismes de topos

Cette section est l’analogue de la section 04I8 pour les morphismes de topos.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\). Posons \(\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G}\). Il existe alors un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[r]_{j_\mathcal{F}} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G} \ar[r]^{j_\mathcal{G}} & \Sh(\mathcal{D}). }\] Le morphisme \(f'\) est caractérisé par la propriété \[(f')^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G}) = (f^{-1}\mathcal{H} \xrightarrow{f^{-1}\varphi} \mathcal{F})\] et l’on a \(f'_*j_\mathcal{F}^{-1} = j_\mathcal{G}^{-1}f_*\).

Démonstration

Comme l’énoncé porte sur des topos et ne fait pas référence aux sites sous-jacents, nous pouvons changer ceux-ci à volonté. D’après la discussion de la Remarque 03CJ, nous pouvons donc supposer que \(f\) est donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) satisfaisant aux hypothèses de la Proposition 00X6, entre des sites possédant toutes les limites finies et des topologies sous-canoniques, et tel que \(\mathcal{G} = h_V\) pour un certain objet \(V\) de \(\mathcal{D}\). Alors \(\mathcal{F} = f^{-1}h_V = h_{u(V)}\) d’après le Lemme 04D3. D’après le Lemme 03CF, on obtient un diagramme commutatif de morphismes de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_V} & \Sh(\mathcal{D}), }\] et l’on a \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\). D’après le Lemme 04IQ, on peut identifier \(j_\mathcal{F}\) à \(j_U\), et \(j_\mathcal{G}\) à \(j_V\). La description de \((f')^{-1}\) est donnée dans le Lemme 03CF.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un morphisme de sites donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Posons \(U = u(V)\). Posons \(\mathcal{G} = h_V^\#\) et \(\mathcal{F} = h_U^\# = f^{-1}h_V^\#\) (voir le Lemme 04D3). Alors le diagramme de morphismes de topos du Lemme 04H1 coïncide avec le diagramme de morphismes de topos du Lemme 03CF, par les identifications \(j_\mathcal{F}= j_U\) et \(j_\mathcal{G} = j_V\) du Lemme 04IQ.

Démonstration

Ce n’est pas tout à fait trivial, car le morphisme de sites donnant naissance à \(f\) choisi dans la démonstration du Lemme 04H1 peut différer du morphisme de sites qui nous est donné dans le lemme. Mais, dans les deux cas, le foncteur \((f')^{-1}\) est décrit par la même règle. Les deux foncteurs coïncident donc, ainsi que les morphismes de topos associés. Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soient \(\mathcal{G} \in \Sh(\mathcal{D})\), \(\mathcal{F} \in \Sh(\mathcal{C})\) et \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux. Il existe un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[r]_{j_\mathcal{F}} \ar[d]_{f_s} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G} \ar[r]^{j_\mathcal{G}} & \Sh(\mathcal{D}). }\] On a \(f_s = f' \circ j_{\mathcal{F}/f^{-1}\mathcal{G}}\), où \(f' : \Sh(\mathcal{C})/f^{-1}\mathcal{G} \to \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{F}\) est comme dans le Lemme 04H1, et \(j_{\mathcal{F}/f^{-1}\mathcal{G}} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})/f^{-1}\mathcal{G}\) est comme dans le Lemme 04IR. Le foncteur \((f_s)^{-1}\) est décrit par la règle \[(f_s)^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G}) = (f^{-1}\mathcal{H} \times_{f^{-1}\varphi, f^{-1}\mathcal{G}, s} \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}).\] Enfin, étant donnés des morphismes quelconques \(b : \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\), \(a : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) et \(s' : \mathcal{F}' \to f^{-1}\mathcal{G}'\) tels que \[\xymatrix{ \mathcal{F}' \ar[r]_-{s'} \ar[d]_a & f^{-1}\mathcal{G}' \ar[d]^{f^{-1}b} \\ \mathcal{F} \ar[r]^-s & f^{-1}\mathcal{G} }\] soit commutatif, le diagramme \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}' \ar[r]_{j_{\mathcal{F}'/\mathcal{F}}} \ar[d]_{f_{s'}} & \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[d]^{f_s} \\ \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}' \ar[r]^{j_{\mathcal{G}'/\mathcal{G}}} & \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}. }\] est commutatif.

Démonstration

La commutativité du premier carré résulte de celle du diagramme du Lemme 04IR et de celle du diagramme du Lemme 04H1. La description de \(f_s^{-1}\) résulte de la combinaison de la description de \((f')^{-1}\) dans le Lemme 04H1 et de la description de \((j_{\mathcal{F}/f^{-1}\mathcal{G}})^{-1}\) dans le Lemme 04IR. La commutativité du dernier carré résulte alors de l’égalité \[f^{-1}\mathcal{H} \times_{f^{-1}\mathcal{G}, s} \mathcal{F} \times_\mathcal{F} \mathcal{F}' = f^{-1}(\mathcal{H} \times_\mathcal{G} \mathcal{G}') \times_{f^{-1}\mathcal{G}', s'} \mathcal{F}'\] qui est formelle.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un morphisme de sites donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). Soit \(c : U \to u(V)\) un morphisme. Posons \(\mathcal{G} = h_V^\#\) et \(\mathcal{F} = h_U^\# = f^{-1}h_V^\#\). Soit \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) l’application induite par \(c\). Alors le diagramme de morphismes de topos du Lemme 04IN coïncide avec le diagramme de morphismes de topos du Lemme 04IV par les identifications \(j_\mathcal{F} = j_U\) et \(j_\mathcal{G} = j_V\) du Lemme 04IQ.

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des Lemmes 04IS et 04IU.

Points

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Un point du topos \(\Sh(\mathcal{C})\) est un morphisme de topos \(p\) de \(\Sh(pt)\) vers \(\Sh(\mathcal{C})\).

Nous définirons un point d’un site au moyen d’un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Nous verrons plus loin que \(u\) définit un morphisme de sites qui donne naissance à un point du topos associé à \(\mathcal{C}\) ; voir le Lemme 04EL.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p = u\) un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Nous introduisons cette curieuse terminologie parce qu’il paraît étrange de parler des voisinages de foncteurs ; nous considérons donc un « point » \(p\) comme un objet géométrique donné par une donnée catégorique, à savoir le foncteur \(u\). Le fait que \(p\) soit effectivement égal à \(u\) importe peu. Un voisinage de \(p\) est un couple \((U, x)\) avec \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(x \in u(U)\). Un morphisme de voisinages \((V, y) \to (U, x)\) est donné par un morphisme \(\alpha :V \to U\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(u(\alpha)(y) = x\). Remarquons que la catégorie des voisinages n’est pas une catégorie « grande ».

Nous définissons la fibre d’un préfaisceau \(\mathcal{F}\) en \(p\) par [04EH]\[\begin{equation} \mathcal{F}_p = \colim_{\{(U, x)\}^{opp}} \mathcal{F}(U). \end{equation}\] La limite inductive est prise sur l’opposée de la catégorie des voisinages de \(p\). Autrement dit, un élément de \(\mathcal{F}_p\) est donné par un triplet \((U, x, s)\), où \((U, x)\) est un voisinage de \(p\) et \(s \in \mathcal{F}(U)\). L’égalité des triplets est la relation d’équivalence engendrée par \((U, x, s) \sim (V, y, \alpha^*s)\) lorsque \(\alpha\) est comme ci-dessus.

Remarquons que, si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de préfaisceaux d’ensembles, on obtient une application canonique entre les fibres \(\varphi_p : \mathcal{F}_p \to \mathcal{G}_p\). On obtient ainsi un foncteur fibre \[\textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_p.\] Nous avons défini le foncteur fibre à partir d’un foncteur quelconque \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Aucune condition n’est nécessaire pour que la définition ait un sens⁷. En revanche, il vaut probablement mieux ne pas employer cette notion à moins que \(p\) ne soit effectivement un point (voir la définition ci-dessous), car le foncteur fibre ne possède pas, en général, de bonnes propriétés.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Un point \(p\) du site \(\mathcal{C}\) est donné par un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) tel que

1. Pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) est surjective.

2. Pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\) et tout morphisme \(V \to U\), les applications \(u(U_i \times_U V) \to u(U_i) \times_{u(U)} u(V)\) sont bijectives.

3. Le foncteur fibre \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\), est exact à gauche.

Ces conditions devraient être familières, car elles sont calquées sur celles des Définitions 00WV et 00X1. Remarquons que (3) implique que \(*_p = \{*\}\) ; voir l’Exemple 00W3. Ainsi, \(u(U) \not = \emptyset\) pour au moins un \(U\) (car une limite inductive vide donne l’ensemble vide). Nous montrerons plus bas (Lemme 00YA) que cela donne bien naissance à un point du topos \(\Sh(\mathcal{C})\). Avant cela, démontrons quelques lemmes pour des foncteurs \(u\) généraux.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Il existe des isomorphismes fonctoriels \((h_U)_p = u(U)\) pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

Démonstration

Un élément de \((h_U)_p\) est donné par un triplet \((V, y, f)\), où \(V \in \Ob(\mathcal{C})\), \(y\in u(V)\) et \(f \in h_U(V) = \Mor_\mathcal{C}(V, U)\). Deux triplets de ce type \((V, y, f)\), \((V', y', f')\) déterminent le même élément s’il existe un morphisme \(\phi : V \to V'\) tel que \(u(\phi)(y) = y'\) et \(f' \circ \phi = f\) ; en général, il faut prendre des chaînes d’identifications de ce type pour obtenir la bonne relation d’équivalence. Quoi qu’il en soit, tout \((V, y, f)\) est équivalent à l’élément \((U, u(f)(y), \text{id}_U)\). Si \(\phi\) existe comme ci-dessus, alors les triplets \((V, y, f)\), \((V', y', f')\) déterminent le même triplet \((U, u(f)(y), \text{id}_U) = (U, u(f')(y'), \text{id}_U)\). Cela montre que l’application \(u(U) \to (h_U)_p\), \(x \mapsto \text{classe de }(U, x, \text{id}_U)\) est bijective.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Par analogie avec les constructions de la section 00VC, étant donné un ensemble \(E\), nous définissons un préfaisceau \(u^pE\) par la règle [04EI]\[\begin{equation} U \longmapsto u^pE(U) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(u(U), E) = \text{Map}(u(U), E). \end{equation}\] Cela définit un foncteur \(u^p : \textit{Ensembles} \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\), \(E \mapsto u^pE\).

Lemme

Pour tout foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\), le foncteur \(u^p\) est adjoint à droite du foncteur fibre sur les préfaisceaux.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Soit \(E\) un ensemble. Un morphisme \(\mathcal{F} \to u^pE\) est donné par un système compatible d’applications \(\mathcal{F}(U) \to \text{Map}(u(U), E)\), c’est-à-dire par un système compatible d’applications \(\mathcal{F}(U) \times u(U) \to E\). Et, par définition de \(\mathcal{F}_p\), une application \(\mathcal{F}_p \to E\) est donnée par une règle qui associe à chaque triplet \((U, x, \sigma)\) un élément de \(E\), de telle sorte que des triplets équivalents aient la même image ; voir la discussion entourant l’Équation (04EH). C’est encore la donnée d’un système compatible d’applications \(\mathcal{F}(U) \times u(U) \to E\).

Par analogie avec la section 00WU, on a le lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que, pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\),

1. l’application \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) soit surjective, et

2. les applications \(u(U_i \times_U U_j) \to u(U_i) \times_{u(U)} u(U_j)\) soient surjectives.

Alors

1. le préfaisceau \(u^pE\) est un faisceau pour tout ensemble \(E\) ; notons-le \(u^sE\),

2. le foncteur fibre \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\) et le foncteur \(u^s: \textit{Ensembles} \to \Sh(\mathcal{C})\) sont adjoints, et

3. on a \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}^\#_p\) pour tout préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\).

Démonstration

La première assertion résulte immédiatement de la définition d’un faisceau, des hypothèses (1) et (2), et de la définition de \(u^pE\). La deuxième est une reformulation de l’adjonction entre \(u^p\) et le foncteur fibre (Lemme 00Y7) restreinte aux faisceaux. La troisième assertion résulte de ce que, pour tout ensemble \(E\), on a \[\text{Map}(\mathcal{F}_p, E) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, u^pE) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, u^sE) = \text{Map}(\mathcal{F}^\#_p, E)\] par la propriété d’adjonction du passage au faisceau associé.

En particulier, le Lemme 00Y8 s’applique lorsque \(p = u\) est un point. Dans ce cas, nous considérons le faisceau \(u^sE\) comme le faisceau « gratte-ciel » de valeur \(E\) en \(p\).

Définition

Soit \(p\) un point du site \(\mathcal{C}\) donné par le foncteur \(u\). Pour un ensemble \(E\), nous définissons \(p_*E = u^sE\) comme le faisceau décrit dans le Lemme 00Y8 ci-dessus. Nous l’appelons parfois un faisceau gratte-ciel.

On a en particulier la propriété d’adjonction suivante pour les faisceaux gratte-ciel et les fibres : \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, p_*E) = \text{Map}(\mathcal{F}_p, E)\] Cela motive la notation \(p^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}_p\) que nous emploierons parfois.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Soit \(p\) un point du site \(\mathcal{C}\). Alors le couple de foncteurs \((p_*, p^{-1})\) introduit ci-dessus définit un morphisme de topos \(\Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\).

2. Soit \(p = (p_*, p^{-1})\) un point du topos \(\Sh(\mathcal{C})\). Alors le foncteur \(u : U \mapsto p^{-1}(h_U^\#)\) donne naissance à un point \(p'\) du site \(\mathcal{C}\) dont le morphisme de topos associé \((p'_*, (p')^{-1})\) est égal à \(p\).

Démonstration

Démonstration de (1). D’après ce qui précède, les foncteurs \(p_*\) et \(p^{-1}\) sont adjoints. Le foncteur \(p^{-1}\) est exact par la Définition 00Y5. Toutes les conditions imposées dans la Définition 00XA sont donc satisfaites, ce qui démontre (1).

Démonstration de (2). Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Alors \(\coprod (h_{U_i})^\# \to h_U^\#\) est surjective ; voir le Lemme 00WT. Comme \(p^{-1}\) est exact (par définition d’un morphisme de topos), on en conclut que \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) est surjective. Cela démontre la partie (1) de la Définition 00Y5. Le passage au faisceau associé est exact ; voir le Lemme 00WJ. Ainsi, si \(U \times_V W\) existe dans \(\mathcal{C}\), alors \[h_{U \times_V W}^\# = h_U^\# \times_{h_V^\#} h_W^\#\] et l’on voit que \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\), puisque \(p^{-1}\) est exact. Cela démontre la partie (2) de la Définition 00Y5. Posons \(p' = u\) et soit \(\mathcal{F}_{p'}\) le foncteur fibre défini par l’Équation (04EH) au moyen de \(u\). Il existe une application canonique de comparaison \(c : \mathcal{F}_{p'} \to \mathcal{F}_p = p^{-1}\mathcal{F}\). En effet, étant donné un triplet \((U, x, \sigma)\) représentant un élément \(\xi\) de \(\mathcal{F}_{p'}\), nous considérons \(\sigma\) comme une application \(\sigma : h_U^\# \to \mathcal{F}\) et nous pouvons poser \(c(\xi) = p^{-1}(\sigma)(x)\), puisque \(x \in u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\). D’après le Lemme 00Y6, on a \((h_U)_{p'} = u(U)\). Puisque les conditions (1) et (2) de la Définition 00Y5 sont satisfaites pour \(p'\), on a également \((h_U^\#)_{p'} = (h_U)_{p'}\) d’après le Lemme 00Y8. Ainsi, \[(h_U^\#)_{p'} = (h_U)_{p'} = u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\] Nous affirmons que cette bijection est égale à l’application de comparaison \(c : (h_U^\#)_{p'} \to p^{-1}(h_U^\#)\) (vérification omise). Tout faisceau sur \(\mathcal{C}\) est un coégalisateur d’applications entre des coproduits de faisceaux de la forme \(h_U^\#\) ; voir le Lemme 00WS. Le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{p'}\) et le foncteur \(p^{-1}\) commutent aux limites inductives arbitraires (car ils sont tous deux adjoints à gauche). On en conclut que \(c\) est un isomorphisme pour tout faisceau \(\mathcal{F}\). Ainsi, le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{p'}\) est isomorphe à \(p^{-1}\) et, en particulier, il est exact. Cela démontre que la condition (3) de la Définition 00Y5 est satisfaite et que \(p'\) est un point. La dernière assertion a déjà été démontrée ci-dessus, puisque nous avons vu que \(p^{-1} = (p')^{-1}\).

En fait, un point correspond toujours à un morphisme de sites, comme le montre le lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\) donné par \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(S_0\) un ensemble infini tel que \(u(U) \subset S_0\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{S}\) le site construit à partir de l’ensemble des parties \(S = \mathcal{P}(S_0)\) dans la Remarque 00XD. Alors

1. il existe une équivalence \(i : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{S})\),

2. le foncteur \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{S}\) induit un morphisme de sites \(f : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\), et

3. le composé \[\Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{S}) \to \Sh(\mathcal{C})\] est le morphisme de topos \((p_*, p^{-1})\) du Lemme 00YA.

Démonstration

La partie (1) a été établie dans la Remarque 00XD. Rappelons en outre que l’équivalence associe à l’ensemble \(E\) le faisceau \(i_*E\) sur \(\mathcal{S}\) défini par la règle \(V \mapsto \Mor_{\textit{Ensembles}}(V, E)\). La partie (2) résulte clairement de la définition d’un point de \(\mathcal{C}\) (Définition 00Y5) et de la définition d’un morphisme de sites (Définition 00X1). Enfin, considérons \(f_*i_*E\). Par construction, on a \[f_*i_*E(U) = i_*E(u(U)) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(u(U), E)\] ce qui est égal à \(p_*E(U)\) ; voir l’Équation (04EI). Cela démontre (3).

Contrairement à ce qui se passe dans le cas topologique, la fibre du faisceau gratte-ciel de valeur \(E\) n’est pas toujours égale à \(E\). Voici ce qui est toujours vrai.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\) un point du topos associé à \(\mathcal{C}\). Pour tout ensemble \(E\), il existe des applications canoniques \[E \longrightarrow (p_*E)_p \longrightarrow E\] dont le composé est \(\text{id}_E\).

Démonstration

Il existe toujours un morphisme d’adjonction \((p_*E)_p = p^{-1}p_*E \to E\). Ce morphisme est un isomorphisme lorsque \(E = \{*\}\), car \(p_*\) et \(p^{-1}\) sont tous deux exacts à gauche et transforment donc l’objet final en l’objet final. Étant donné \(e \in E\), on peut donc considérer l’application \(i_e : \{*\} \to E\), qui donne \[\xymatrix{ p^{-1}p_*\{*\} \ar[rr]_{p^{-1}p_*i_e} \ar[d]_{\cong} & & p^{-1}p_*E \ar[d] \\ \{*\} \ar[rr]^{i_e} & & E }\] d’où l’application \(E \to (p_*E)_p = p^{-1}p_*E\) voulue.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\) un point du topos associé à \(\mathcal{C}\). Le foncteur \(p_* : \textit{Ensembles} \to \Sh(\mathcal{C})\) possède les propriétés suivantes : il commute aux limites projectives arbitraires, il est exact à gauche, il est fidèle, il transforme les surjections en surjections, il commute aux coégalisateurs, il reflète les injections, il reflète les surjections et il reflète les isomorphismes.

Démonstration

Comme \(p_*\) est adjoint à droite, il commute aux limites projectives arbitraires et est exact à gauche. Le fait que \(p^{-1}p_*E \to E\) soit une surjection canoniquement scindée implique que \(p_*\) est fidèle, reflète les injections, reflète les surjections et reflète les isomorphismes. D’après le Lemme 00YA, on peut supposer que \(p\) provient d’un point \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) du site sous-jacent \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, le faisceau \(p_*E\) est donné par \[p_*E(U) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(u(U), E)\] voir l’Équation (04EI) et la Définition 00Y9. Il résulte immédiatement de cette formule que \(p_*\) transforme les surjections en surjections et les coégalisateurs en coégalisateurs.

Construction de points

Dans cette section, nous donnons des critères pour qu’un foncteur d’un site vers la catégorie des ensembles définisse un point de ce site.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Si la catégorie des voisinages de \(p\) est cofiltrante, alors le foncteur fibre (04EH) est exact à gauche.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\) un diagramme fini de faisceaux. Nous devons montrer que la fibre de la limite de ce système coïncide avec la limite des fibres. Soit \(\mathcal{F}\) la limite du système en tant que préfaisceau. D’après le Lemme 00W2, c’est un faisceau et c’est la limite dans la catégorie des faisceaux. Il nous faut donc montrer que \(\mathcal{F}_p = \lim_\mathcal{I} \mathcal{F}_{i, p}\). Rappelons aussi que \(\mathcal{F}\) admet une description simple ; voir la section 00VB. Il nous faut ainsi montrer que \[\lim_i \colim_{\{(U, x)\}^{opp}} \mathcal{F}_i(U) = \colim_{\{(U, x)\}^{opp}} \lim_i \mathcal{F}_i(U).\] Cela résulte de Catégories, Lemme 002W, car l’opposée de la catégorie des voisinages est filtrante par hypothèse.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\mathcal{C}\) possède un objet final \(X\) et des produits fibrés. Soit \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur tel que

1. \(u(X)\) soit un singleton, et

2. pour toute paire de morphismes \(U \to W\) et \(V \to W\) de même but, l’application \(u(U \times_W V) \to u(U) \times_{u(W)} u(V)\) soit bijective.

Alors la catégorie des voisinages de \(p\) est cofiltrante et, par conséquent, le foncteur fibre \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_p\) commute aux limites finies.

Démonstration

Remarquons l’analogie avec le Lemme 00X3. Les hypothèses sur \(\mathcal{C}\) impliquent que \(\mathcal{C}\) admet les limites finies. Voir Catégories, Lemme 002O. L’hypothèse (1) implique que la catégorie des voisinages n’est pas vide. Soient \((U, x)\) et \((V, y)\) deux voisinages. Alors \(u(U \times V) = u(U \times_X V) = u(U) \times_{u(X)} u(V) = u(U) \times u(V)\) d’après (2). Il existe donc un voisinage \((U \times_X V, z)\) se projetant sur \((U, x)\) et sur \((V, y)\). Soient \(a, b : (V, y) \to (U, x)\) deux morphismes de la catégorie des voisinages. Soit \(W\) l’égalisateur de \(a, b : V \to U\). Comme dans la démonstration de Catégories, Lemme 002O, nous pouvons écrire \(W\) au moyen de produits fibrés : \[W = (V \times_{a, U, b} V) \times_{(pr_1, pr_2), V \times V, \Delta} V\] La bijectivité de (2) garantit l’existence d’un élément \(z \in u(W)\) dont l’image est \(((y, y), y)\). Alors \((W, z) \to (V, y)\) égalise \(a, b\), comme voulu. La conclusion « par conséquent » est le Lemme 0F4E.

Proposition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que les limites finies existent dans \(\mathcal{C}\). (Autrement dit, \(\mathcal{C}\) possède des produits fibrés et un objet final.) Un point \(p\) d’un tel site \(\mathcal{C}\) est donné par un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) tel que

1. \(u\) commute aux limites finies, et

2. si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement, alors \(\coprod_i u(U_i) \to u(U)\) est surjective.

Démonstration

Supposons d’abord que \(p\) soit un point (Définition 00Y5) donné par un foncteur \(u\). La condition (2) résulte directement de la définition d’un point. D’après le Lemme 00Y6, nous avons \((h_U)_p = u(U)\). D’après le Lemme 00Y8, nous avons \((h_U^\#)_p = (h_U)_p\). Ainsi, \(u\) est égal au composé des foncteurs \[\mathcal{C} \xrightarrow{h} \textit{PSh}(\mathcal{C}) \xrightarrow{{}^\#} \Sh(\mathcal{C}) \xrightarrow{()_p} \textit{Ensembles}\] Chacun de ces foncteurs est exact à gauche ; ainsi, \(u\) satisfait (1).

Réciproquement, supposons que \(u\) satisfasse (1) et (2). Nous voyons aussitôt que \(u\) satisfait les deux premières conditions de la Définition 00Y5. De plus, son foncteur fibre est exact, car c’est un adjoint à gauche d’après le Lemme 00Y8, et il commute aux limites finies d’après le Lemme 00YB.

Remarque

En fait, soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\mathcal{C}\) possède un objet final \(X\) et des produits fibrés. Soit \(p = u: \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur tel que

1. \(u(X) = \{*\}\) soit un singleton, et

2. pour toute paire de morphismes \(U \to W\) et \(V \to W\) de même but, l’application \(u(U \times_W V) \to u(U) \times_{u(W)} u(V)\) soit surjective.

3. pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\), l’application \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) soit surjective.

Alors, en général, \(p\) n’est pas un point de \(\mathcal{C}\). Un exemple est la catégorie \(\mathcal{C}\) à deux objets \(\{U, X\}\) et une seule flèche non identique, à savoir \(U \to X\). Munissons \(\mathcal{C}\) de la topologie triviale, c’est-à-dire que les seuls recouvrements sont \(\{U \to U\}\) et \(\{X \to X\}\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) est alors la même chose qu’un préfaisceau et consiste en un triplet \((A, B, A \to B)\) : à savoir \(A = \mathcal{F}(X)\), \(B = \mathcal{F}(U)\), où \(A \to B\) est l’application de restriction correspondant à \(U \to X\). Remarquons que \(U \times_X U = U\) ; les produits fibrés existent donc. Considérons le foncteur \(u = p\) défini par \(u(X) = \{*\}\) et \(u(U) = \{*_1, *_2\}\). Il satisfait (1), (2) et (3), mais le foncteur fibre correspondant (04EH) est le foncteur \[(A, B, A \to B) \longmapsto B \amalg_A B\] qui n’est pas exact. En effet, considérons \((\emptyset, \{1\}, \emptyset \to \{1\}) \to (\{1\}, \{1\}, \{1\} \to \{1\})\), qui est une application injective de faisceaux mais qui est transformée en l’application non injective d’ensembles \[\{1\} \amalg \{1\} \longrightarrow \{1\} \amalg_{\{1\}} \{1\}\] par le foncteur fibre.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_{Zar}\) le site de l’Exemple 00VJ. Soit \(x \in X\) un point. Considérons le foncteur \[u : X_{Zar} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad U \mapsto \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{si} & x \not \in U \\ \{*\} & \text{si} & x \in U \end{matrix} \right.\] Ce foncteur commute aux produits et aux produits fibrés, et transforme les recouvrements en familles surjectives d’applications. Nous obtenons donc un point \(p\) du site \(X_{Zar}\). On vérifie immédiatement que le foncteur fibre coïncide avec la fibre en \(x\) définie dans Faisceaux, section 0078.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Quels sont les points du topos \(\Sh(X)\) ? Pour le déterminer, soit \(X_{Zar}\) le site de l’Exemple 00VJ. D’après le Lemme 00YA, un point de \(\Sh(X)\) correspond à un point de ce site. Soit \(p\) un point du site \(X_{Zar}\) donné par le foncteur \(u : X_{Zar} \to \textit{Ensembles}\). Nous allons utiliser la caractérisation de tels \(u\) donnée dans la Proposition 00YC. Elle implique immédiatement que \(u(\emptyset) = \emptyset\) et \(u(U \cap V) = u(U) \times u(V)\). En particulier, \(u(U) = u(U) \times u(U)\) par l’application diagonale, ce qui implique que \(u(U)\) est soit un singleton, soit vide. En outre, si \(U = \bigcup U_i\) est un recouvrement ouvert, alors \[u(U) = \emptyset \Rightarrow \forall i, \ u(U_i) = \emptyset \quad\text{et}\quad u(U) \not = \emptyset \Rightarrow \exists i, \ u(U_i) \not = \emptyset.\] Nous en concluons qu’il existe un unique plus grand ouvert \(W \subset X\) tel que \(u(W) = \emptyset\), à savoir la réunion de tous les ouverts \(U\) tels que \(u(U) = \emptyset\). Posons \(Z = X \setminus W\). Si \(Z = Z_1 \cup Z_2\) avec \(Z_i \subset Z\) fermés, alors \(W = (X \setminus Z_1) \cap (X \setminus Z_2)\) ; ainsi \(\emptyset = u(W) = u(X \setminus Z_1) \times u(X \setminus Z_2)\), et nous concluons que \(u(X \setminus Z_1) = \emptyset\) ou que \(u(X \setminus Z_2) = \emptyset\). Cela signifie que \(X \setminus Z_1 = W\) ou que \(X \setminus Z_2 = W\). Autrement dit, \(Z\) est irréductible. Nous voyons maintenant que \(u\) est décrit par la règle \[u : X_{Zar} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad U \mapsto \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{si} & Z \cap U = \emptyset \\ \{*\} & \text{si} & Z \cap U \not = \emptyset \end{matrix} \right.\] Remarquons que, pour tout fermé irréductible \(Z \subset X\), ce foncteur satisfait les hypothèses (1), (2) de la Proposition 00YC et définit donc un point. Autrement dit, les points du site \(X_{Zar}\) sont en correspondance bijective avec les sous-ensembles fermés irréductibles de \(X\). En particulier, si \(X\) est un espace topologique sobre, alors les points de \(X_{Zar}\) et les points de \(X\) sont en correspondance bijective ; voir l’Exemple 00YE.

Exemple

Considérons le site \(\mathcal{T}_G\) décrit dans l’Exemple 00VK et la section 00VZ. Le foncteur d’oubli \(u : \mathcal{T}_G \to \textit{Ensembles}\) commute aux produits et aux produits fibrés, et transforme les recouvrements en familles surjectives. Il définit donc un point de \(\mathcal{T}_G\). Identifions \(\Sh(\mathcal{T}_G)\) et \(G\textit{-Ensembles}\). Le foncteur fibre \[p^{-1} : \Sh(\mathcal{T}_G) = G\textit{-Ensembles} \longrightarrow \textit{Ensembles}\] est le foncteur d’oubli. L’image directe \(p_*\) est le foncteur \[\textit{Ensembles} \longrightarrow \Sh(\mathcal{T}_G) = G\textit{-Ensembles}\] qui envoie un ensemble \(S\) sur le \(G\)-ensemble \(\text{Map}(G, S)\) muni de l’action \(g \cdot \psi = \psi \circ R_g\), où \(R_g\) est la multiplication à droite. En particulier, \(p^{-1}p_*S = \text{Map}(G, S)\) en tant qu’ensemble, et les applications \(S \to \text{Map}(G, S) \to S\) du Lemme 05UX sont les applications évidentes.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie munie de la topologie grossière (Exemple 07GE). Pour tout objet \(U_0\) de \(\mathcal{C}\), le foncteur \(u : U \mapsto \Mor_\mathcal{C}(U_0, U)\) définit un point \(p\) de \(\mathcal{C}\). En effet, les conditions (1) et (2) de la Définition 00Y5 sont immédiates puisque les seuls recouvrements sont donnés par les applications identiques. La condition (3) est satisfaite car \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(U_0)\) et, la topologie étant grossière, prendre les sections sur \(U_0\) est un foncteur exact.

Points et morphismes de topos

Dans cette section, nous formulons quelques remarques sur les points et les morphismes de topos.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Soit \(v : \mathcal{D} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur, et posons \(w = v \circ u\). Notons \(q\), respectivement \(p\), le foncteur fibre (04EH) associé à \(v\), respectivement à \(w\). Alors \((u_p\mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\), fonctoriellement par rapport au préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

C’est un fait catégorique simple. Nous avons \[\begin{align*} (u_p\mathcal{F})_q & = \colim_{(V, y)} \colim_{U, \phi : V \to u(U)} \mathcal{F}(U) \\ & = \colim_{(V, y, U, \phi : V \to u(U))} \mathcal{F}(U) \\ & = \colim_{(U, x)} \mathcal{F}(U) \\ & = \mathcal{F}_p \end{align*}\] La première égalité résulte de la définition de \(u_p\) et de la définition du foncteur fibre. Observons que \(y \in v(V)\). Dans la deuxième égalité, nous réunissons simplement les limites inductives. Pour établir la troisième égalité, appliquons Catégories, Lemme 05US, au foncteur \(F\) des catégories de diagrammes défini par la règle \[F((V, y, U, \phi : V \to u(U))) = (U, v(\phi)(y)).\] Cela a un sens car \(w(U) = v(u(U))\). Vérifions les hypothèses de Catégories, Lemme 05US. Observons que \(F\) possède un inverse à droite, à savoir \((U, x) \mapsto (u(U), x, U, \text{id} : u(U) \to u(U))\). Cela a encore un sens car \(x \in w(U) = v(u(U))\). D’autre part, il existe toujours un morphisme \[(V, y, U, \phi : V \to u(U)) \longrightarrow (u(U), v(\phi)(y), U, \text{id} : u(U) \to u(U))\] dans la catégorie fibre au-dessus de \((U, x)\), ce qui montre que les catégories fibres sont connexes. La quatrième et dernière égalité est claire.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\). Soit \(q\) un point de \(\mathcal{D}\) donné par le foncteur \(v : \mathcal{D} \to \textit{Ensembles}\) ; voir la Définition 00Y5. Alors le foncteur \(v \circ u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) définit un point \(p\) de \(\mathcal{C}\) et il existe en outre une identification canonique \[(f^{-1}\mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Puisque \(u\) est continu et que \(v\) définit un point, il est immédiat que \(v \circ u\) satisfait les conditions (1) et (2) de la Définition 00Y5. Démontrons l’égalité affichée. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Alors \[(f^{-1}\mathcal{F})_q = (u_s\mathcal{F})_q = (u_p \mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\] La première égalité tient à \(f^{-1} = u_s\), la deuxième au Lemme 00Y8, et la troisième au Lemme 0F4F. Nous voyons alors que \(p\) satisfait aussi la condition (3) de la Définition 00Y5, car son foncteur fibre est un composé de foncteurs exacts. Cela achève la démonstration.

Démonstration

D’après le Lemme 04EL, nous pouvons factoriser \((q_*, q^{-1})\) sous la forme \[\Sh(pt) \xrightarrow{i} \Sh(\mathcal{S}) \xrightarrow{h} \Sh(\mathcal{D})\] où le second morphisme de topos provient d’un morphisme de sites \(h : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) induit par le foncteur \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{S}\) (ce qui a un sens puisque \(\mathcal{S} \subset \textit{Ensembles}\) est une sous-catégorie pleine contenant tout objet de l’image de \(v\)). D’après le Lemme 03CB, le composé \(v \circ u : \mathcal{C} \to \mathcal{S}\) définit un morphisme de sites \(g : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\). En particulier, le foncteur \(v \circ u : \mathcal{C} \to \mathcal{S}\) est continu, ce qui, par la définition des recouvrements de \(\mathcal{S}\) (voir la Remarque 00XD), signifie que \(v \circ u\) satisfait les conditions (1) et (2) de la Définition 00Y5. D’autre part, nous voyons que \[g_*i_*E(U) = i_*E(v(u(U)) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(v(u(U)), E)\] par la construction de \(i\) dans la Remarque 00XD. Remarquons qu’il s’agit précisément de la formule pour \((v \circ u)^pE\) ; voir l’Équation (04EI). D’après le Lemme 00Y8, le foncteur \(g_*i_* = (v \circ u)^p = (v \circ u)^s\) est adjoint à droite du foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_q\). Nous voyons donc que le foncteur fibre \(p^{-1}\) est canoniquement isomorphe à \(i^{-1} \circ g^{-1}\). Il est donc exact, et nous concluons que \(p\) est un point. Enfin, puisque \(g = f \circ h\) par construction, nous voyons que \(p^{-1} = i^{-1} \circ h^{-1} \circ f^{-1} = q^{-1} \circ f^{-1}\), c’est-à-dire que nous avons la formule affichée du lemme.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Soit \(q : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{D})\) un point. Alors \(p = f \circ q\) est un point du topos \(\Sh(\mathcal{C})\) et nous avons une identification canonique \[(f^{-1}\mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et du fait que nous pouvons composer les morphismes de topos.

Localisation et points

Dans cette section, nous montrons que les points d’une localisation \(\mathcal{C}/U\) se construisent simplement à partir des points de \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\) donné par \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \(x \in u(U)\). Le foncteur \[v : \mathcal{C}/U \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad (\varphi : V \to U) \longmapsto \{y \in u(V) \mid u(\varphi)(y) = x\}\] définit un point \(q\) du site \(\mathcal{C}/U\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ & \Sh(pt) \ar[d]^p \ar[ld]_q \\ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j_U} & \Sh(\mathcal{C}) }\] soit commutatif. Autrement dit, \(\mathcal{F}_p = (j_U^{-1}\mathcal{F})_q\) pour tout faisceau sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Choisissons \(S\) et \(\mathcal{S}\) comme dans le Lemme 04EL. Nous pouvons identifier \(\Sh(pt) = \Sh(\mathcal{S})\) comme dans ce lemme, et écrire \(p = f : \Sh(\mathcal{S}) \to \Sh(\mathcal{C})\) pour le morphisme de topos induit par \(u\). D’après le Lemme 03CF, nous obtenons un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{S}/u(U)) \ar[r]_-{j_{u(U)}} \ar[d]_{p'} & \Sh(\mathcal{S}) \ar[d]^p \\ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j_U} & \Sh(\mathcal{C}), }\] où \(p'\) est donné par le foncteur \(u' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{S}/u(U)\), \(V/U \mapsto u(V)/u(U)\). Considérons le foncteur \(j_x : \mathcal{S} \cong \mathcal{S}/x\) obtenu en associant à un ensemble \(E\) l’ensemble \(E\) muni de l’application constante \(E \to u(U)\) de valeur \(x\). Alors \(j_x\) est un foncteur cocontinu pleinement fidèle qui possède un adjoint à droite continu \(v_x : (\psi : E \to u(U)) \mapsto \psi^{-1}(\{x\})\). Remarquons que \(j_{u(U)} \circ j_x = \text{id}_\mathcal{S}\) et que \(v_x \circ u' = v\). Ces observations impliquent le diagramme commutatif de topos suivant : \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{S}) \ar[rd]^a \ar[rdd]_q \ar `r[rrr] `d[dd]^p [rrdd] & & & \\ & \Sh(\mathcal{S}/u(U)) \ar[r]_-{j_{u(U)}} \ar[d]^{p'} & \Sh(\mathcal{S}) \ar[d]^p & \\ & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j_U} & \Sh(\mathcal{C}) & }\] En effet :

1. Le morphisme \(a : \Sh(\mathcal{S}) \to \Sh(\mathcal{S}/u(U))\) est le morphisme de topos associé au foncteur cocontinu \(j_x\), lequel est égal au morphisme associé au foncteur continu \(v_x\) ; voir le Lemme 00XO et la section 00XW.

2. Le composé \(p \circ j_{u(U)} \circ a = p\) puisque \(j_{u(U)} \circ j_x = \text{id}_\mathcal{S}\).

3. Le composé \(p' \circ a\) donne un morphisme de topos. De plus, c’est le morphisme de topos associé au foncteur continu \(v_x \circ u' = v\). Ainsi, \(v\) définit bien un point \(q\) de \(\mathcal{C}/U\), qui s’insère par construction dans le diagramme ci-dessus.

Cela achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\), \(p\), \(u\), \(U\) comme dans le Lemme 04H2. La construction du Lemme 04H2 donne une correspondance bijective entre les points \(q\) de \(\mathcal{C}/U\) situés au-dessus de \(p\) et les éléments \(x\) de \(u(U)\).

Démonstration

Soit \(q\) un point de \(\mathcal{C}/U\) donné par le foncteur \(v : \mathcal{C}/U \to \textit{Ensembles}\) tel que \(j_U \circ q = p\) comme morphismes de topos. Rappelons que \(u(V) = p^{-1}(h_V^\#)\) pour tout objet \(V\) de \(\mathcal{C}\) ; voir le Lemme 00YA. De même, \(v(V/U) = q^{-1}(h_{V/U}^\#)\) pour tout objet \(V/U\) de \(\mathcal{C}/U\). Considérons les deux diagrammes suivants : \[\vcenter{ \xymatrix{ \Mor_{\mathcal{C}/U}(W/U, V/U) \ar[r] \ar[d] & \Mor_\mathcal{C}(W, V) \ar[d] \\ \Mor_{\mathcal{C}/U}(W/U, U/U) \ar[r] & \Mor_\mathcal{C}(W, U) } } \quad \vcenter{ \xymatrix{ h_{V/U}^\# \ar[r] \ar[d] & j_U^{-1}(h_V^\#) \ar[d] \\ h_{U/U}^\# \ar[r] & j_U^{-1}(h_U^\#) } }\] Le diagramme de droite est le faisceau associé au diagramme des préfaisceaux sur \(\mathcal{C}/U\) qui envoie \(W/U\) sur le diagramme de gauche d’ensembles. (Il y a ici un petit point technique : nous avons \((j_U^{-1}h_V)^\# = j_U^{-1}(h_V^\#)\), et de même pour \(h_U\) ; voir le Lemme 00XM.) Remarquons que le diagramme de gauche d’ensembles est cartésien. Comme le passage au faisceau associé est exact (Lemme 00WJ), nous en concluons que le diagramme de droite est cartésien.

Appliquons le foncteur exact \(q^{-1}\) au diagramme de droite pour obtenir un diagramme cartésien \[\xymatrix{ v(V/U) \ar[r] \ar[d] & u(V) \ar[d] \\ v(U/U) \ar[r] & u(U) }\] d’ensembles. Nous avons utilisé ici \(q^{-1} \circ j^{-1} = p^{-1}\). Puisque \(U/U\) est un objet final de \(\mathcal{C}/U\), nous voyons que \(v(U/U)\) est un singleton. L’image de \(v(U/U)\) dans \(u(U)\) est donc un élément \(x\), et l’application horizontale supérieure donne une bijection \(v(V/U) \to \{y \in u(V) \mid y \mapsto x\text{ dans }u(U)\}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\) donné par \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}/U\), nous avons \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \coprod\nolimits_q \mathcal{G}_q\] où la somme disjointe porte sur les points \(q\) de \(\mathcal{C}/U\) associés aux éléments \(x \in u(U)\) comme dans le Lemme 04H2.

Démonstration

Nous utilisons la description de \(j_{U!}\mathcal{G}\) comme le faisceau associé au préfaisceau \(V \mapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V/_\varphi U)\) du Lemme 03CD. De plus, la fibre de \(j_{U!}\mathcal{G}\) en \(p\) est égale à la fibre de ce préfaisceau ; voir le Lemme 00Y8. Nous voyons donc que \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \colim_{(V, y)} \coprod\nolimits_{\varphi : V \to U} \mathcal{G}(V/_\varphi U)\] À chaque élément \((V, y, \varphi, s)\) de cette limite inductive, nous pouvons associer \(x = u(\varphi)(y) \in u(U)\). Nous obtenons donc \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \coprod\nolimits_{x \in u(U)} \colim_{(\varphi : V \to U, y), \ u(\varphi)(y) = x} \mathcal{G}(V/_\varphi U).\] Cette expression est égale à celle du lemme par notre construction des points \(q\).

Remarque

Attention : le résultat du Lemme 04H4 n’a pas d’analogue pour \(j_{U, *}\).

2-flèches de topos

Voici une brève section consacrée à la notion de \(2\)-flèche de topos.

Définition

Soient \(f, g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) deux morphismes de topos. Une 2-flèche de \(f\) vers \(g\) est donné par une transformation de foncteurs \(t : f_* \to g_*\).

Nous représentons parfois \(t\) par le diagramme suivant : \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \rrtwocell^f_g{t} & & \Sh(\mathcal{D}) }\] Puisque \(f^{-1}\) est adjoint à gauche de \(f_*\) et que \(g^{-1}\) est adjoint à gauche de \(g_*\), nous voyons que \(t\) induit aussi une transformation de foncteurs \(t : g^{-1} \to f^{-1}\) (notée généralement du même symbole), caractérisée de manière unique par la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \ar[d]_{t \circ -} \ar@{=}[r] & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \ar[d]^{- \circ t} \\ \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, g_*\mathcal{F}) \ar@{=}[r] & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(g^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) }\] En raison de difficultés ensemblistes (voir la Remarque 00XB), nous n’obtenons pas une 2-catégorie de topos. Nous pouvons néanmoins définir les compositions horizontale et verticale, et montrer que les axiomes d’une 2-catégorie stricte énumérés dans Catégories, section 003G, sont satisfaits. En effet, la composition verticale des 2-flèches est claire (il suffit de composer les transformations de foncteurs), la composition des 1-morphismes a été définie dans la Définition 00XA, et la composition horizontale de \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \rtwocell^f_g{t} & \Sh(\mathcal{D}) \rtwocell^{f'}_{g'}{s} & \Sh(\mathcal{E}) }\] est définie par la transformation de foncteurs \(s \star t\) introduite dans Catégories, Définition 003E. Explicitement, \(s \star t\) est donnée par \[\xymatrix{ f'_*f_*\mathcal{F} \ar[r]^{f'_*t} & f'_*g_*\mathcal{F} \ar[r]^s & g'_*g_*\mathcal{F} } \quad\text{ou}\quad \xymatrix{ f'_*f_*\mathcal{F} \ar[r]^s & g'_*f_*\mathcal{F} \ar[r]^{g'_*t} & g'_*g_*\mathcal{F} }\] (ces applications sont égales). Comme ces définitions coïncident avec celles de Catégories, section 003D, il résulte de Catégories, Lemme 003F, que les axiomes d’une 2-catégorie stricte sont satisfaits avec ces définitions.

Morphismes entre points

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(u, u' : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) deux foncteurs, et soit \(t : u' \to u\) une transformation de foncteurs. Nous obtenons alors une transformation canonique de foncteurs fibres \(t_{stalk} : \mathcal{F}_{p'} \to \mathcal{F}_p\) qui coïncide avec \(t\) par les identifications du Lemme 00Y6.

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(p, p'\) des points de \(\mathcal{C}\) donnés par des foncteurs \(u, u' : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Un morphisme \(f : p \to p'\) est donné par une transformation de foncteurs \[f_u : u' \to u.\]

Remarquons que la transformation de foncteurs va dans le sens opposé. Cela s’explique, comme nous le verrons plus loin, en considérant le morphisme \(f\) comme une sorte de \(2\)-flèche, représentée par le diagramme suivant : \[\xymatrix{ \textit{Ensembles} = \Sh(pt) \rrtwocell^p_{p'}{f} & & \Sh(\mathcal{C}) }\] En effet, nous verrons plus loin que \(f_u\) induit une transformation canonique de foncteurs \(p_* \to p'_*\) entre les constructions de faisceaux gratte-ciel.

Cette notion est assez importante et mérite ici un traitement plus complet. Liste des compléments souhaitables :

1. Décrire les automorphismes du point de \(\mathcal{T}_G\) décrit dans l’Exemple 00YF.

2. Décrire \(\Mor(p, p')\) au moyen de \(\Mor(p_*, p'_*)\).

3. Spécialisation des points dans les espaces topologiques. Montrer que, si \(x' \in \overline{\{x\}}\) dans l’espace topologique \(X\), alors il existe un morphisme \(p \to p'\), où \(p\) (respectivement \(p'\)) est le point de \(X_{Zar}\) associé à \(x\) (respectivement \(x'\)).

Sites ayant assez de points

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Une famille de points \(\{p_i\}_{i\in I}\) est dite conservative si toute application de faisceaux \(\phi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) qui est un isomorphisme sur toutes les fibres \(\mathcal{F}_{p_i} \to \mathcal{G}_{p_i}\) est un isomorphisme.

2. On dit que \(\mathcal{C}\) a assez de points s’il existe une famille conservative de points.

On peut alors vérifier l’« exactitude » sur les fibres.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site, et soit \(\{p_i\}_{i\in I}\) une famille conservative de points. Alors :

1. Pour toute application de faisceaux \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), l’assertion « \(\forall i, \varphi_{p_i}\) est injective » implique que \(\varphi\) est injective.

2. Pour toute application de faisceaux \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), l’assertion « \(\forall i, \varphi_{p_i}\) est surjective » implique que \(\varphi\) est surjective.

3. Pour toute paire d’applications de faisceaux \(\varphi_1, \varphi_2 : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), l’égalité \(\forall i, \varphi_{1, p_i} = \varphi_{2, p_i}\) implique \(\varphi_1 = \varphi_2\).

4. Soient un diagramme fini \(\mathcal{G} : \mathcal{J} \to \Sh(\mathcal{C})\), un faisceau \(\mathcal{F}\) et des morphismes \(q_j : \mathcal{F} \to \mathcal{G}_j\). Alors \((\mathcal{F}, q_j)\) est une limite du diagramme si et seulement si, pour tout \(i\), la fibre \((\mathcal{F}_{p_i}, (q_j)_{p_i})\) en est une.

5. Soient un diagramme fini \(\mathcal{F} : \mathcal{J} \to \Sh(\mathcal{C})\), un faisceau \(\mathcal{G}\) et des morphismes \(e_j : \mathcal{F}_j \to \mathcal{G}\). Alors \((\mathcal{G}, e_j)\) est une limite inductive du diagramme si et seulement si, pour tout \(i\), la fibre \((\mathcal{G}_{p_i}, (e_j)_{p_i})\) en est une.

Démonstration

Nous utiliserons à plusieurs reprises le fait que tous les foncteurs fibres commutent aux limites et limites inductives finies, donc aux produits, produits fibrés, etc. Nous utiliserons aussi le fait que les applications injectives sont les monomorphismes, et que les applications surjectives sont les épimorphismes. Une application de faisceaux \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est injective si et seulement si \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F}\) est un isomorphisme. D’où (1). De même, \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est surjective si et seulement si \(\mathcal{G} \amalg_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme. D’où (2). Les applications \(a, b : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sont égales si et seulement si \(\text{Égalisateur}(a, b : \mathcal{F} \to \mathcal{G}) \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme⁸. D’où (3). Les assertions (4) et (5) résultent immédiatement des définitions et des remarques faites au début de cette démonstration.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site, et soit \(\{(p_i, u_i)\}_{i\in I}\) une famille de points. Cette famille est conservative si et seulement si, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\), tout \(U\in \Ob(\mathcal{C})\) et toute paire de sections distinctes \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\), \(s \not = s'\), il existe \(i\) et \(x\in u_i(U)\) tels que les triplets \((U, x, s)\) et \((U, x, s')\) définissent des éléments distincts de \(\mathcal{F}_{p_i}\).

Démonstration

Supposons la famille conservative, et soient \(\mathcal{F}\), \(U\) et \(s, s'\) comme dans le lemme. Les sections \(s\), \(s'\) définissent des applications \(a, a' : (h_U)^\# \to \mathcal{F}\) qui sont distinctes. D’après le Lemme 00YL, il existe donc \(i\) tel que \(a_{p_i} \not = a'_{p_i}\). Rappelons que \((h_U)^\#_{p_i} = u_i(U)\), d’après les Lemmes 00Y6 et 00Y8. Il existe donc \(x \in u_i(U)\) tel que \(a_{p_i}(x) \not = a'_{p_i}(x)\) dans \(\mathcal{F}_{p_i}\). En déroulant les définitions, on voit que \((U, x, s)\) et \((U, x, s')\) sont comme dans l’énoncé du lemme.

Pour démontrer la réciproque, supposons satisfaite la condition d’existence de points donnée dans le lemme. Soit \(\phi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de faisceaux qui est un isomorphisme sur toutes les fibres. Nous devons montrer que \(\phi\) est à la fois injective et surjective ; voir le Lemme 00WN. L’injectivité résulte immédiatement de l’hypothèse. Pour montrer la surjectivité, il nous faut montrer que \(\mathcal{G} \amalg_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme (Catégories, Lemme 08LR). Comme cette application est manifestement surjective, il suffit d’en vérifier l’injectivité, qui résulte du fait que \(\mathcal{G} \amalg_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est injective sur toutes les fibres par hypothèse.

Dans le lemme suivant, les points \(q_{i, x}\) sont exactement tous les points de \(\mathcal{C}/U\) situés au-dessus du point \(p_i\), d’après le Lemme 04H3.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(\{(p_i, u_i)\}_{i\in I}\) une famille de points de \(\mathcal{C}\). Pour \(x \in u_i(U)\), soit \(q_{i, x}\) le point de \(\mathcal{C}/U\) construit dans le Lemme 04H2. Si \(\{p_i\}\) est une famille conservative de points, alors \(\{q_{i, x}\}_{i \in I, x \in u_i(U)}\) est une famille conservative de points de \(\mathcal{C}/U\). En particulier, si \(\mathcal{C}\) a assez de points, il en va de même de toute localisation \(\mathcal{C}/U\).

Démonstration

Nous savons que \(j_{U!}\) induit une équivalence \(j_{U!} : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) ; voir le Lemme 00Y1. De plus, nous savons que \((j_{U!}\mathcal{G})_{p_i} = \coprod_x \mathcal{G}_{q_{i, x}}\) ; voir le Lemme 04H4. Le résultat en découle donc formellement.

Le lemme suivant affirme que l’existence de points peut être vérifiée localement sur le site.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\{U_i\}_{i \in I}\) une famille d’objets de \(\mathcal{C}\). Supposons que

1. \(\coprod h_{U_i}^\# \to *\) soit une application surjective de faisceaux, et

2. chaque localisation \(\mathcal{C}/U_i\) ait assez de points.

Alors \(\mathcal{C}\) a assez de points.