Méthodes simpliciales

Introduction

Voici une introduction minimale aux méthodes simpliciales. Nous y ajoutons simplement les éléments dont nous aurons besoin par la suite. On pourra consulter [SimpHom] comme référence générale sur ce sujet. Le mémoire de Quillen sur l’algèbre homotopique, voir [Quillen], ou celui d’Artin et Mazur sur l’homotopie étale, voir [ArtinMazur], donnent des exemples de ce que permettent ces méthodes.

La catégorie des ensembles finis ordonnés

La catégorie \(\Delta\) est la catégorie dont

1. les objets sont \([0], [1], [2], \ldots\), où \([n] = \{0, 1, 2, \ldots, n\}\), et

2. un morphisme \([n] \to [m]\) est une application croissante au sens large \(\{0, 1, 2, \ldots, n\} \to \{0, 1, 2, \ldots, m\}\) entre les ensembles correspondants.

Par définition, une application \(\varphi : [n] \to [m]\) est croissante au sens large si \(\varphi(i) \geq \varphi(j)\) dès que \(i \geq j\). Autrement dit, \(\Delta\) est une catégorie équivalente à la « grande » catégorie des ensembles finis totalement ordonnés non vides et des applications croissantes au sens large. Il existe exactement \(n + 1\) morphismes \([0] \to [n]\) et exactement \(1\) morphisme \([n] \to [0]\). Il existe exactement \((n + 1)(n + 2)/2\) morphismes \([1] \to [n]\) et exactement \(n + 2\) morphismes \([n] \to [1]\). Et ainsi de suite.

Définition

Pour tout entier \(n\geq 1\) et tout \(0\leq j \leq n\), on note \(\delta^n_j : [n-1] \to [n]\) l’application injective croissante qui omet \(j\). Pour tout entier \(n\geq 0\) et tout \(0\leq j \leq n\), on note \(\sigma^n_j : [n + 1] \to [n]\) l’application surjective croissante telle que \((\sigma^n_j)^{-1}(\{j\}) = \{j, j + 1\}\).

Lemme

Tout morphisme de \(\Delta\) s’écrit comme une composée de morphismes \(\delta^n_j\) et \(\sigma^n_j\).

Démonstration

Soit \(\varphi : [n] \to [m]\) un morphisme de \(\Delta\). Si \(j \not \in \Im(\varphi)\), on peut écrire \(\varphi\) sous la forme \(\delta^m_j \circ \psi\) pour un morphisme \(\psi : [n] \to [m - 1]\). Si \(\varphi(j) = \varphi(j + 1)\), on peut écrire \(\varphi\) sous la forme \(\psi \circ \sigma^{n - 1}_j\) pour un morphisme \(\psi : [n - 1] \to [m]\). Chaque remplacement de ce type diminue \(n + m\) ; on aboutit donc à un \(\varphi\) à la fois injectif et surjectif, donc à un morphisme identité.

Lemme

Les morphismes \(\delta^n_j\) et \(\sigma^n_j\) satisfont aux relations suivantes.

1. Si \(0 \leq i < j \leq n + 1\), alors \(\delta^{n + 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n + 1}_i \circ \delta^n_{j - 1}\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\delta^{n + 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_i} \ar[rd]_{\delta^n_{j - 1}} & & [n + 1] \\ & [n] \ar[ru]_{\delta^{n + 1}_i} & }\] est commutatif.

2. Si \(0 \leq i < j \leq n - 1\), alors \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n - 1}_i \circ \sigma^{n - 2}_{j - 1}\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_i} \ar[rd]_{\sigma^{n - 2}_{j - 1}} & & [n - 1] \\ & [n - 2] \ar[ru]_{\delta^{n - 1}_i} & }\] est commutatif.

3. Si \(0 \leq j \leq n - 1\), alors \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_j = \text{id}_{[n - 1]}\) et \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_{j + 1} = \text{id}_{[n - 1]}\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_j} \ar[rd]_{\delta^n_{j + 1}} \ar[rr]^{\text{id}_{[n - 1]}} & & [n - 1] \\ & [n] \ar[ru]_{\sigma^{n - 1}_j} & }\] est commutatif.

4. Si \(0 < j + 1 < i \leq n\), alors \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n - 1}_{i - 1} \circ \sigma^{n - 2}_j\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_i} \ar[rd]_{\sigma^{n - 2}_j} & & [n - 1] \\ & [n - 2] \ar[ru]_{\delta^{n - 1}_{i - 1}} & }\] est commutatif.

5. Si \(0 \leq i \leq j \leq n - 1\), alors \(\sigma^{n - 1}_j \circ \sigma^n_i = \sigma^{n - 1}_i \circ \sigma^n_{j + 1}\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n + 1] \ar[ru]^{\sigma^n_i} \ar[rd]_{\sigma^n_{j + 1}} & & [n - 1] \\ & [n] \ar[ru]_{\sigma^{n - 1}_i} & }\] est commutatif.

Démonstration

Omis.

Lemme

La catégorie \(\Delta\) est la catégorie universelle ayant pour objets les \([n]\), \(n \geq 0\), et pour morphismes les \(\delta^n_j\) et \(\sigma^n_j\), telle que (a) tout morphisme soit une composée de ces morphismes, (b) les relations énumérées dans le lemme 0167 soient satisfaites et (c) toute relation entre les morphismes soit une conséquence de celles-ci.

Démonstration

Omis.

Objets simpliciaux

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Un objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) est un foncteur contravariant \(U\) de \(\Delta\) vers \(\mathcal{C}\), c’est-à-dire un foncteur \[U : \Delta^{opp} \longrightarrow \mathcal{C}\]

2. Si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des ensembles, on appelle \(U\) un ensemble simplicial.

3. Si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des groupes abéliens, on appelle \(U\) un groupe abélien simplicial.

4. Un morphisme d’objets simpliciaux \(U \to U'\) est une transformation de foncteurs.

5. La catégorie des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\) est notée \(\text{Simp}(\mathcal{C})\).

Cela signifie que l’on dispose d’objets \(U([0]), U([1]), U([2]), \ldots\) et, pour \(\varphi\) une application croissante au sens large \(\varphi : [m] \to [n]\), d’un morphisme \(U(\varphi) : U([n]) \to U([m])\), satisfaisant \(U(\varphi \circ \psi) = U(\psi) \circ U(\varphi)\).

En particulier, il existe un unique morphisme \(U([0]) \to U([n])\) et exactement \(n + 1\) morphismes \(U([n]) \to U([0])\), correspondant aux \(n + 1\) applications \([0] \to [n]\). Pour parler commodément de ces objets simpliciaux, il nous faut davantage de notations. Nous utilisons pour cela les morphismes distingués à la section 0164.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Étant donné un objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\), on obtient une suite d’objets \(U_n = U([n])\) munis des morphismes \(d^n_j = U(\delta^n_j) : U_n \to U_{n-1}\) et \(s^n_j = U(\sigma^n_j) : U_n \to U_{n + 1}\). Ces morphismes satisfont aux relations opposées à celles du lemme 0167, à savoir :

   1. Si \(0 \leq i < j \leq n + 1\), alors \(d^n_i \circ d^{n + 1}_j = d^n_{j - 1} \circ d^{n + 1}_i\).

   2. Si \(0 \leq i < j \leq n - 1\), alors \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_i\).

   3. Si \(0 \leq j \leq n - 1\), alors \(\text{id} = d^n_j \circ s^{n - 1}_j = d^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_j\).

   4. Si \(0 < j + 1 < i \leq n\), alors \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{i - 1}\).

   5. Si \(0 \leq i \leq j \leq n - 1\), alors \(s^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_i\).

2. Réciproquement, étant donnés une suite d’objets \(U_n\) et des morphismes \(d^n_j\), \(s^n_j\) satisfaisant à (1)(a) – (e), il existe un unique objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(U_n = U([n])\), \(d^n_j = U(\delta^n_j)\) et \(s^n_j = U(\sigma^n_j)\).

3. Un morphisme entre objets simpliciaux \(U\) et \(U'\) est donné par une famille de morphismes \(U_n \to U'_n\) qui commutent aux morphismes \(d^n_j\) et \(s^n_j\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0168.

Remarque

Par abus de notation, nous écrivons parfois \(d_i : U_n \to U_{n - 1}\) au lieu de \(d^n_i\), et de même \(s_i : U_n \to U_{n + 1}\). Les relations entre les morphismes \(d^n_i\) et \(s^n_i\) peuvent alors s’écrire comme suit :

1. Si \(i < j\), alors \(d_i \circ d_j = d_{j - 1} \circ d_i\).

2. Si \(i < j\), alors \(d_i \circ s_j = s_{j - 1} \circ d_i\).

3. On a \(\text{id} = d_j \circ s_j = d_{j + 1} \circ s_j\).

4. Si \(i > j + 1\), alors \(d_i \circ s_j = s_j \circ d_{i - 1}\).

5. Si \(i \leq j\), alors \(s_i \circ s_j = s_{j + 1} \circ s_i\).

Cela signifie que, dès que les composées des deux membres sont définies, l’égalité correspondante est satisfaite.

On obtient un unique morphisme \(s^0_0 = U(\sigma^0_0) : U_0 \to U_1\) et deux morphismes \(d^1_0 = U(\delta^1_0)\) et \(d^1_1 = U(\delta^1_1)\), qui sont des morphismes \(U_1 \to U_0\). Il existe deux morphismes \(s^1_0 = U(\sigma^1_0)\), \(s^1_1 = U(\sigma^1_1)\), qui sont des morphismes \(U_1 \to U_2\), et trois morphismes \(d^2_0 = U(\delta^2_0)\), \(d^2_1 = U(\delta^2_1)\), \(d^2_2 = U(\delta^2_2)\), qui sont des morphismes \(U_3 \to U_2\). Et ainsi de suite.

On se représente \(U\) par le diagramme suivant : \[\xymatrix{ U_2 \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & U_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & U_0 \ar@<0ex>[l] }\] Les morphismes \(d\) sont les flèches dirigées vers la droite et les morphismes \(s\) celles dirigées vers la gauche.

Exemple

L’exemple le plus simple est l’objet simplicial constant de valeur \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Autrement dit, \(U_n = X\) et toutes les applications sont \(\text{id}_X\).

Exemple

Supposons que \(Y\to X\) soit un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que tous les produits fibrés \(Y \times_X Y \times_X \ldots \times_X Y\) existent. On prend alors pour \(U_n\) le produit fibré à \((n + 1)\) facteurs et l’on associe à \(\varphi : [n] \to [m]\) l’application (en « coordonnées ») \((y_0, \ldots, y_m) \mapsto (y_{\varphi(0)}, \ldots, y_{\varphi(n)})\). Autrement dit, l’application \(U_0 = Y \to U_1 = Y \times_X Y\) est l’application diagonale, tandis que les deux applications \(U_1 = Y \times_X Y \to U_0 = Y\) sont les projections.

L’exemple 016E est important du point de vue géométrique. Il invite à considérer les applications \(d^n_j : U_n \to U_{n - 1}\) comme des projections (qui oublient la \(j\)-ième composante) et les applications \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) comme des applications diagonales (qui répètent la \(j\)-ième coordonnée). Nous y reviendrons dans les sections suivantes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Chacun des morphismes \(s^n_i : U_n \to U_{n + 1}\) admet un inverse à gauche. En particulier, \(s^n_i\) est un monomorphisme.

Démonstration

En effet, \(d_i^{n + 1} \circ s^n_i = \text{id}_{U_n}\).

Objets simpliciaux comme préfaisceaux

On peut encore considérer un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) comme un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\Delta\). Voir Sites, définition 00V3. En effet, si \(U\) et \(U'\) sont des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\), alors [016H]\[\begin{equation} \Mor(U, U') = \Mor_{\textit{PSh}(\Delta)}(U, U'). \end{equation}\] Une partie de ce qui suit pourrait être remplacée par les constructions plus générales du chapitre sur les sites. Les arguments propres aux objets simpliciaux donnent toutefois une présentation plus transparente.

Objets cosimpliciaux

On pourrait définir un objet cosimplicial d’une catégorie \(\mathcal{C}\) comme un objet simplicial de la catégorie opposée \(\mathcal{C}^{opp}\). Cette façon de penser étant peu naturelle, nous les introduisons séparément et en relevons quelques propriétés élémentaires.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Un objet cosimplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) est un foncteur covariant \(U\) de \(\Delta\) vers \(\mathcal{C}\), c’est-à-dire un foncteur \[U : \Delta \longrightarrow \mathcal{C}\]

2. Si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des ensembles, on appelle \(U\) un ensemble cosimplicial.

3. Si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des groupes abéliens, on appelle \(U\) un groupe abélien cosimplicial.

4. Un morphisme d’objets cosimpliciaux \(U \to U'\) est une transformation de foncteurs.

5. La catégorie des objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\) est notée \(\text{CoSimp}(\mathcal{C})\).

Cela signifie que l’on dispose d’objets \(U([0]), U([1]), U([2]), \ldots\) et, pour \(\varphi\) une application croissante au sens large \(\varphi : [m] \to [n]\), d’un morphisme \(U(\varphi) : U([m]) \to U([n])\), satisfaisant \(U(\varphi \circ \psi) = U(\varphi) \circ U(\psi)\).

En particulier, il existe un unique morphisme \(U([n]) \to U([0])\) et exactement \(n + 1\) morphismes \(U([0]) \to U([n])\), correspondant aux \(n + 1\) applications \([0] \to [n]\). Pour parler commodément de ces objets cosimpliciaux, nous utilisons les morphismes distingués à la section 0164.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Étant donné un objet cosimplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\), on obtient une suite d’objets \(U_n = U([n])\) munis des morphismes \(\delta^n_j = U(\delta^n_j) : U_{n - 1} \to U_n\) et \(\sigma^n_j = U(\sigma^n_j) : U_{n + 1} \to U_n\). Ces morphismes satisfont aux relations du lemme 0167.

2. Réciproquement, étant donnés une suite d’objets \(U_n\) et des morphismes \(\delta^n_j\), \(\sigma^n_j\) satisfaisant à ces relations, il existe un unique objet cosimplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(U_n = U([n])\), \(\delta^n_j = U(\delta^n_j)\) et \(\sigma^n_j = U(\sigma^n_j)\).

3. Un morphisme entre objets cosimpliciaux \(U\) et \(U'\) est donné par une famille de morphismes \(U_n \to U'_n\) qui commutent aux morphismes \(\delta^n_j\) et \(\sigma^n_j\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0168.

Remarque

Par abus de notation, nous écrivons parfois \(\delta_i : U_{n - 1} \to U_n\) au lieu de \(\delta^n_i\), et de même \(\sigma_i : U_{n + 1} \to U_n\). Les relations entre les morphismes \(\delta^n_i\) et \(\sigma^n_i\) peuvent alors s’écrire comme suit :

1. Si \(i < j\), alors \(\delta_j \circ \delta_i = \delta_i \circ \delta_{j - 1}\).

2. Si \(i < j\), alors \(\sigma_j \circ \delta_i = \delta_i \circ \sigma_{j - 1}\).

3. On a \(\text{id} = \sigma_j \circ \delta_j = \sigma_j \circ \delta_{j + 1}\).

4. Si \(i > j + 1\), alors \(\sigma_j \circ \delta_i = \delta_{i - 1} \circ \sigma_j\).

5. Si \(i \leq j\), alors \(\sigma_j \circ \sigma_i = \sigma_i \circ \sigma_{j + 1}\).

Cela signifie que, dès que les composées des deux membres sont définies, l’égalité correspondante est satisfaite.

On obtient un unique morphisme \(\sigma^0_0 = U(\sigma^0_0) : U_1 \to U_0\) et deux morphismes \(\delta^1_0 = U(\delta^1_0)\) et \(\delta^1_1 = U(\delta^1_1)\), qui sont des morphismes \(U_0 \to U_1\). Il existe deux morphismes \(\sigma^1_0 = U(\sigma^1_0)\), \(\sigma^1_1 = U(\sigma^1_1)\), qui sont des morphismes \(U_2 \to U_1\), et trois morphismes \(\delta^2_0 = U(\delta^2_0)\), \(\delta^2_1 = U(\delta^2_1)\), \(\delta^2_2 = U(\delta^2_2)\), qui sont des morphismes \(U_2 \to U_3\). Et ainsi de suite.

On se représente \(U\) par le diagramme suivant : \[\xymatrix{ U_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U_1 \ar@<0ex>[l] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & U_2 \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] Les morphismes \(\delta\) sont les flèches dirigées vers la droite et les morphismes \(\sigma\) celles dirigées vers la gauche.

Exemple

L’exemple le plus simple est l’objet cosimplicial constant de valeur \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Autrement dit, \(U_n = X\) et toutes les applications sont \(\text{id}_X\).

Exemple

Supposons que \(X\to Y\) soit un morphisme de \(C\) tel que toutes les sommes amalgamées \(Y\amalg_X Y \amalg_X \ldots \amalg_X Y\) existent. On prend alors pour \(U_n\) la somme amalgamée à \((n + 1)\) facteurs et l’on associe à \(\varphi : [n] \to [m]\) l’application \[(y \text{ dans la }i\text{-ième composante}) \mapsto (y \text{ dans la }\varphi(i)\text{-ième composante})\] en « coordonnées ». Autrement dit, l’application \(U_1 = Y \amalg_X Y \to U_0 = Y\) est l’identité sur chaque composante. Les deux applications \(U_0 = Y \to U_1 = Y \amalg_X Y\) sont les deux coprojections.

Exemple

Pour tout \(n \geq 0\), on note \(C[n]\) l’ensemble cosimplicial \[\Delta \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad [k] \longmapsto \Mor_{\Delta}([n], [k])\] Cet exemple est dual de l’exemple 0176.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(U\) un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}\). Chacun des morphismes \(\delta^n_i : U_{n - 1} \to U_n\) admet un inverse à gauche. En particulier, \(\delta^n_i\) est un monomorphisme.

Démonstration

En effet, \(\sigma_i^{n - 1} \circ \delta^n_i = \text{id}_{U_n}\) pour \(j < n\).

Produits d’objets simpliciaux

Il serait naturel de définir le produit d’objets simpliciaux comme leur produit dans la catégorie des objets simpliciaux. Il pourrait alors arriver, ce qui prêterait à confusion, que ce produit existe sans être décrit comme ci-dessous. Nous le définissons donc directement.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(U\) et \(V\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\). Supposons que les produits \(U_n \times V_n\) existent dans \(\mathcal{C}\). Le produit de \(U\) et \(V\) est l’objet simplicial \(U \times V\) défini comme suit :

1. \((U \times V)_n = U_n \times V_n\),

2. \(d^n_i = (d^n_i, d^n_i)\), et

3. \(s^n_i = (s^n_i, s^n_i)\).

Autrement dit, \(U \times V\) est le produit des préfaisceaux \(U\) et \(V\) sur \(\Delta\).

Lemme

Si \(U\) et \(V\) sont des objets simpliciaux de la catégorie \(\mathcal{C}\) et si \(U \times V\) existe, alors \[\Mor(W, U \times V) = \Mor(W, U) \times \Mor(W, V)\] pour tout troisième objet simplicial \(W\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Produits fibrés d’objets simpliciaux

Il serait naturel de définir le produit fibré d’objets simpliciaux comme leur produit fibré dans la catégorie des objets simpliciaux. Il pourrait alors arriver, ce qui prêterait à confusion, que ce produit fibré existe sans être décrit comme ci-dessous. Nous le définissons donc directement.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(U, V, W\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\) et soient \(a : V \to U\), \(b : W \to U\) des morphismes. Supposons que les produits fibrés \(V_n \times_{U_n} W_n\) existent dans \(\mathcal{C}\). Le produit fibré de \(V\) et \(W\) au-dessus de \(U\) est l’objet simplicial \(V \times_U W\) défini comme suit :

1. \((V \times_U W)_n = V_n \times_{U_n} W_n\),

2. \(d^n_i = (d^n_i, d^n_i)\), et

3. \(s^n_i = (s^n_i, s^n_i)\).

Autrement dit, \(V \times_U W\) est le produit fibré des préfaisceaux \(V\) et \(W\) au-dessus du préfaisceau \(U\) sur \(\Delta\).

Lemme

Si \(U, V, W\) sont des objets simpliciaux de la catégorie \(\mathcal{C}\), si \(a : V \to U\), \(b : W \to U\) sont des morphismes et si \(V \times_U W\) existe, alors \[\Mor(T, V \times_U W) = \Mor(T, V) \times_{\Mor(T, U)} \Mor(T, W)\] pour tout quatrième objet simplicial \(T\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Sommes amalgamées d’objets simpliciaux

Il serait naturel de définir la somme amalgamée d’objets simpliciaux comme leur somme amalgamée dans la catégorie des objets simpliciaux. Il pourrait alors arriver, ce qui prêterait à confusion, que ces sommes existent sans être décrites comme ci-dessous. Nous les définissons donc directement.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(U, V, W\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\) et soient \(a : U \to V\), \(b : U \to W\) des morphismes. Supposons que les sommes amalgamées \(V_n \amalg_{U_n} W_n\) existent dans \(\mathcal{C}\). La somme amalgamée de \(V\) et \(W\) sous \(U\) est l’objet simplicial \(V\amalg_U W\) défini comme suit :

1. \((V \amalg_U W)_n = V_n \amalg_{U_n} W_n\),

2. \(d^n_i = (d^n_i, d^n_i)\), et

3. \(s^n_i = (s^n_i, s^n_i)\).

Autrement dit, \(V\amalg_U W\) est la somme amalgamée des préfaisceaux \(V\) et \(W\) sous le préfaisceau \(U\) sur \(\Delta\).

Lemme

Si \(U, V, W\) sont des objets simpliciaux de la catégorie \(\mathcal{C}\), si \(a : U \to V\), \(b : U \to W\) sont des morphismes et si \(V\amalg_U W\) existe, alors \[\Mor(V\amalg_U W, T) = \Mor(V, T) \times_{\Mor(U, T)} \Mor(W, T)\] pour tout quatrième objet simplicial \(T\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Produits d’objets cosimpliciaux

Il serait naturel de définir le produit d’objets cosimpliciaux comme leur produit dans la catégorie des objets cosimpliciaux. Il pourrait alors arriver, ce qui prêterait à confusion, que ce produit existe sans être décrit comme ci-dessous. Nous le définissons donc directement.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(U\) et \(V\) des objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\). Supposons que les produits \(U_n \times V_n\) existent dans \(\mathcal{C}\). Le produit de \(U\) et \(V\) est l’objet cosimplicial \(U \times V\) défini comme suit :

1. \((U \times V)_n = U_n \times V_n\),

2. pour tout \(\varphi : [n] \to [m]\), l’application \((U \times V)(\varphi) : U_n \times V_n \to U_m \times V_m\) est le produit \(U(\varphi) \times V(\varphi)\).

Lemme

Si \(U\) et \(V\) sont des objets cosimpliciaux de la catégorie \(\mathcal{C}\) et si \(U \times V\) existe, alors \[\Mor(W, U \times V) = \Mor(W, U) \times \Mor(W, V)\] pour tout troisième objet cosimplicial \(W\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Produits fibrés d’objets cosimpliciaux

Il serait naturel de définir le produit fibré d’objets cosimpliciaux comme leur produit fibré dans la catégorie des objets cosimpliciaux. Il pourrait alors arriver, ce qui prêterait à confusion, que ce produit existe sans être décrit comme ci-dessous. Nous le définissons donc directement.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(U, V, W\) des objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\) et soient \(a : V \to U\) et \(b : W \to U\) des morphismes. Supposons que les produits fibrés \(V_n \times_{U_n} W_n\) existent dans \(\mathcal{C}\). Le produit fibré de \(V\) et \(W\) au-dessus de \(U\) est l’objet cosimplicial \(V \times_U W\) défini comme suit :

1. \((V \times_U W)_n = V_n \times_{U_n} W_n\),

2. pour tout \(\varphi : [n] \to [m]\), l’application \((V \times_U W)(\varphi) : V_n \times_{U_n} W_n \to V_m \times_{U_m} W_m\) est le produit \(V(\varphi) \times_{U(\varphi)} W(\varphi)\).

Lemme

Si \(U, V, W\) sont des objets cosimpliciaux de la catégorie \(\mathcal{C}\), si \(a : V \to U\), \(b : W \to U\) sont des morphismes et si \(V \times_U W\) existe, alors \[\Mor(T, V \times_U W) = \Mor(T, V) \times_{\Mor(T, U)} \Mor(T, W)\] pour tout quatrième objet cosimplicial \(T\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Ensembles simpliciaux

Soit \(U\) un ensemble simplicial. Il est utile de considérer \(U_0\) comme l’ensemble des \(0\)-simplexes, \(U_1\) comme l’ensemble des \(1\)-simplexes, \(U_2\) comme l’ensemble des \(2\)-simplexes, et ainsi de suite.

On considère \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) comme l’application qui associe à un \(n\)-simplexe \(A\) le \((n + 1)\)-simplexe dégénéré \(B\) dont l’arête \((j, j + 1)\) est contractée sur le sommet \(j\) de \(A\). On considère \(d^n_j : U_n \to U_{n - 1}\) comme l’application qui associe à un \(n\)-simplexe \(A\) l’une de ses faces, celle qui omet le sommet \(j\). On peut ainsi visualiser géométriquement les relations entre les applications \(s^n_j\) et \(d^n_j\).

Définition

Soit \(U\) un ensemble simplicial. On dit que \(x\) est un \(n\)-simplexe de \(U\) si \(x\) est un élément de \(U_n\). On dit que \(y\) est la \(j\)-ième face de \(x\) si \(d^n_jx = y\). On dit que \(z\) est la \(j\)-ième dégénérescence de \(x\) si \(z = s^n_jx\). Un simplexe est dit dégénéré s’il est la dégénérescence d’un autre simplexe.

Voici quelques exemples fondamentaux.

Exemple

Pour tout \(n \geq 0\), on note \(\Delta[n]\) l’ensemble simplicial \[\Delta^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad [k] \longmapsto \Mor_{\Delta}([k], [n])\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier les assertions suivantes. Tout \(m\)-simplexe de \(\Delta[n]\) avec \(m > n\) est dégénéré. Il existe un unique \(n\)-simplexe non dégénéré de \(\Delta[n]\), à savoir \(\text{id}_{[n]}\).

Lemme

Soit \(U\) un ensemble simplicial et soit \(n \geq 0\) un entier. Il existe une bijection canonique \[\Mor(\Delta[n], U) \longrightarrow U_n\] qui à un morphisme \(\varphi\) associe la valeur de \(\varphi\) sur l’unique \(n\)-simplexe non dégénéré de \(\Delta[n]\).

Démonstration

Omis.

Exemple

Considérons la catégorie \(\Delta/[n]\) des objets au-dessus de \([n]\) dans \(\Delta\), voir Catégories, exemple 001G. Il existe un foncteur \(p : \Delta/[n] \to \Delta\). La catégorie fibre de \(p\) au-dessus de \([k]\), voir Catégories, section 003S, a pour objets l’ensemble \(\Delta[n]_k\) des \(k\)-simplexes de \(\Delta[n]\) et pour seuls morphismes les identités. Pour tout morphisme \(\varphi : [k] \to [l]\) de \(\Delta\) et tout objet \(\psi : [l] \to [n]\) de la catégorie fibre au-dessus de \([l]\), il existe un unique objet au-dessus de \([k]\) muni d’un morphisme au-dessus de \(\varphi\), à savoir \(\psi \circ \varphi : [k] \to [n]\). Ainsi \(\Delta/[n]\) est fibrée en ensembles au-dessus de \(\Delta\). Autrement dit, on peut voir \(\Delta/[n]\) comme un préfaisceau d’ensembles sur \(\Delta\). Voir aussi Catégories, exemple 0044. Ce préfaisceau d’ensembles coïncide avec l’ensemble simplicial \(\Delta[n]\). En particulier, l’équation (016H) et le lemme 0177 donnent la formule \[\Mor_{\textit{PSh}(\Delta)}(\Delta/[n], U) = U_n\] pour tout ensemble simplicial \(U\).

Lemme

Soient \(U\) et \(V\) des ensembles simpliciaux et soient \(a, b \geq 0\) des entiers. Supposons que tout \(n\)-simplexe de \(U\) soit dégénéré si \(n > a\), et que tout \(n\)-simplexe de \(V\) soit dégénéré si \(n > b\). Alors tout \(n\)-simplexe de \(U \times V\) est dégénéré si \(n > a + b\).

Démonstration

Supposons \(n > a + b\) et soit \((u, v) \in (U \times V)_n = U_n \times V_n\). Par hypothèse, il existe \(\alpha : [n] \to [a]\), \(u' \in U_a\), \(\beta : [n] \to [b]\) et \(v' \in V_b\) tels que \(u = U(\alpha)(u')\) et \(v = V(\beta)(v')\). Puisque \(n > a + b\), il existe \(0 \leq i \leq a + b\) tel que \(\alpha(i) = \alpha(i + 1)\) et \(\beta(i) = \beta(i + 1)\). Il s’ensuit immédiatement que \((u, v)\) appartient à l’image de \(s^{n - 1}_i\).

Objets simpliciaux tronqués et foncteurs squelette

Notons \(\Delta_{\leq n}\) la sous-catégorie pleine de \(\Delta\) ayant pour objets \([0], [1], [2], \ldots, [n]\), et soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

Définition

Un objet simplicial \(n\)-tronqué de \(\mathcal{C}\) est un foncteur contravariant de \(\Delta_{\leq n}\) vers \(\mathcal{C}\). Un morphisme d’objets simpliciaux \(n\)-tronqués est une transformation de foncteurs. On note la catégorie des objets simpliciaux \(n\)-tronqués de \(\mathcal{C}\) par le symbole \(\text{Simp}_n(\mathcal{C})\).

Étant donné un objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\), sa troncature \(\text{sk}_n U\) est la restriction de \(U\) à la sous-catégorie \(\Delta_{\leq n}\). Cela définit un foncteur squelette \[\text{sk}_n : \text{Simp}(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{Simp}_n(\mathcal{C})\] de la catégorie des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\) vers celle des objets simpliciaux \(n\)-tronqués de \(\mathcal{C}\). Voir la remarque 018Q afin d’éviter toute confusion avec d’autres foncteurs de la littérature.

Produits avec des ensembles simpliciaux

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, soit \(U\) un ensemble simplicial et soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). On peut considérer le foncteur covariant qui associe à tout objet simplicial \(W\) de \(\mathcal{C}\) l’ensemble [017B]\[\begin{equation} \left\{ (f_{n, u} : V_n \to W_n)_{n \geq 0, u \in U_n} \text{ tels que } \begin{matrix} \forall \varphi : [m] \to [n] \\ f_{m, U(\varphi)(u)} \circ V(\varphi) = W(\varphi) \circ f_{n, u} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Si ce foncteur est de la forme \(\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(Q, -)\), on peut considérer \(Q\) comme le produit de \(U\) par \(V\). Plutôt que de formaliser cette idée, nous définissons directement le produit comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie dans laquelle la somme de deux objets quelconques de \(\mathcal{C}\) existe. Soit \(U\) un ensemble simplicial et soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Supposons chaque \(U_n\) fini et non vide. On définit alors le produit \(U \times V\) de \(U\) et \(V\) comme l’objet simplicial de \(\mathcal{C}\) dont le terme de degré \(n\) est \[(U \times V)_n = \coprod\nolimits_{u\in U_n} V_n\] et dont les applications associées à \(\varphi : [m] \to [n]\) sont données par le morphisme \[\coprod\nolimits_{u\in U_n} V_n \longrightarrow \coprod\nolimits_{u'\in U_m} V_m\] qui envoie la composante \(V_n\) correspondant à \(u\) sur la composante \(V_m\) correspondant à \(u' = U(\varphi)(u)\) par le morphisme \(V(\varphi)\). Plus généralement, si toutes les sommes affichées ci-dessus existent (sans hypothèse globale sur \(\mathcal{C}\)), nous dirons que le produit \(U \times V\) existe.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie dans laquelle la somme de deux objets quelconques de \(\mathcal{C}\) existe. Soit \(U\) un ensemble simplicial et soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Supposons chaque \(U_n\) fini et non vide. Le foncteur \(W \mapsto \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(U \times V, W)\) est canoniquement isomorphe au foncteur qui associe à \(W\) l’ensemble de l’équation (017B).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie dans laquelle la somme de deux objets quelconques de \(\mathcal{C}\) existe. Notons provisoirement \(\textit{FSSets}\) la catégorie des ensembles simpliciaux dont toutes les composantes sont finies et non vides.

1. La règle \((U, V) \mapsto U \times V\) définit un foncteur \(\textit{FSSets} \times \text{Simp}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}(\mathcal{C})\).

2. Pour tous \(U\), \(V\) comme ci-dessus, il existe un morphisme canonique d’objets simpliciaux \[U \times V \longrightarrow V\] défini par l’identité sur chaque composante de \((U \times V)_n = \coprod_u V_n\).

Démonstration

Omis.

Étudions brièvement un cas particulier de la construction précédente. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \(k \geq 0\) un entier. Si toutes les sommes \(X \amalg \ldots \amalg X\) existent, alors, d’après la définition ci-dessus, le produit \[X \times \Delta[k]\] existe, où \(X\) est considéré comme l’objet simplicial constant correspondant.

Lemme

Avec \(X\) et \(k\) comme ci-dessus, on dispose, pour tout objet simplicial \(V\) de \(\mathcal{C}\), de la bijection canonique \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times \Delta[k], V) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(X, V_k).\] qui à \(\gamma\) associe la restriction du morphisme \(\gamma_k\) à la composante correspondant à \(\text{id}_{[k]}\). De même, pour tout \(n \geq k\), si \(W\) est un objet simplicial \(n\)-tronqué de \(\mathcal{C}\), alors \[\Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_n(X \times \Delta[k]), W) = \Mor_\mathcal{C}(X, W_k).\]

Démonstration

Un morphisme \(\gamma : X \times \Delta[k] \to V\) est donné par une famille de morphismes \(\gamma_\alpha : X \to V_n\), où \(\alpha : [n] \to [k]\). Ces morphismes doivent vérifier que, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), les diagrammes \[\xymatrix{ X \ar[r]^{\gamma_\alpha} \ar[d]^{\text{id}_X} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ X \ar[r]^{\gamma_{\alpha \circ \varphi}} & V_m }\] soient commutatifs. En prenant \(\alpha = \text{id}_{[k]}\), on voit que, pour tout \(\varphi : [m] \to [k]\), on a \(\gamma_\varphi = V(\varphi) \circ \gamma_{\text{id}_{[k]}}\). Le morphisme \(\gamma\) est donc déterminé par la valeur de \(\gamma\) sur la composante correspondant à \(\text{id}_{[k]}\). Réciproquement, un morphisme \(f : X \to V_k\) de ce type définit aisément un morphisme \(\gamma\) en posant \(\gamma_\alpha = V(\alpha) \circ f\).

Le cas tronqué est analogue et laissé au lecteur.

Le cas \(k = 0\) en fournit un exemple particulier. La formule du lemme signifie alors simplement que \[\Mor_\mathcal{C}(X, V_0) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X, V)\] où, dans le membre de droite, \(X\) désigne l’objet simplicial constant de valeur \(X\). Nous utiliserons désormais cette formule sans autre mention.

Hom des ensembles simpliciaux vers les objets cosimpliciaux

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) et soit \(V\) un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}\). On obtient alors un ensemble cosimplicial \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)\) comme suit :

1. on pose \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_n = \Mor_\mathcal{C}(U_n, V_n)\), et

2. à \(\varphi : [m] \to [n]\) on associe l’application \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_m \to \Hom_\mathcal{C}(U, V)_n\) donnée par \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\).

C’est ce qui motive la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie admettant les produits finis. Soit \(V\) un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}\) et soit \(U\) un ensemble simplicial tel que chaque \(U_n\) soit fini et non vide. On définit \(\Hom(U, V)\) comme l’objet cosimplicial de \(\mathcal{C}\) suivant :

1. on pose \(\Hom(U, V)_n = \prod_{u \in U_n} V_n\), autrement dit l’unique objet de \(\mathcal{C}\) dont les points à valeurs dans \(X\) satisfont \[\Mor_\mathcal{C}(X, \Hom(U, V)_n) = \text{Map}(U_n, \Mor_\mathcal{C}(X, V_n))\] et

2. à \(\varphi : [m] \to [n]\) on associe l’application \(\Hom(U, V)_m \to \Hom(U, V)_n\) donnée par \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\) sur les points à valeurs dans \(X\) ci-dessus.

Nous laissons au lecteur le soin d’expliciter cette définition en termes d’applications entre produits. Remarquons également que la construction est fonctorielle en \(U\) (contravariamment) et en \(V\) (covariamment), exactement comme au lemme 017E pour les produits d’ensembles simpliciaux avec des objets simpliciaux.

Hom des ensembles cosimpliciaux vers les objets simpliciaux

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, soit \(U\) un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}\) et soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). On obtient alors un ensemble simplicial \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)\) comme suit :

1. on pose \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_n = \Mor_\mathcal{C}(U_n, V_n)\), et

2. à \(\varphi : [m] \to [n]\) on associe l’application \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_n \to \Hom_\mathcal{C}(U, V)_m\) donnée par \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\).

C’est ce qui motive la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie admettant les produits finis. Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) et soit \(U\) un ensemble cosimplicial tel que chaque \(U_n\) soit fini et non vide. On définit \(\Hom(U, V)\) comme l’objet simplicial de \(\mathcal{C}\) suivant :

1. on pose \(\Hom(U, V)_n = \prod_{u \in U_n} V_n\), autrement dit l’unique objet de \(\mathcal{C}\) dont les points à valeurs dans \(X\) satisfont \[\Mor_\mathcal{C}(X, \Hom(U, V)_n) = \text{Map}(U_n, \Mor_\mathcal{C}(X, V_n))\] et

2. à \(\varphi : [m] \to [n]\) on associe l’application \(\Hom(U, V)_n \to \Hom(U, V)_m\) donnée par \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\) sur les points à valeurs dans \(X\) ci-dessus.

Nous laissons au lecteur le soin d’expliciter cette définition en termes d’applications entre produits. La construction est fonctorielle en \(U\) (contravariamment) et en \(V\) (covariamment), exactement comme au lemme 017E pour les produits d’ensembles simpliciaux avec des objets simpliciaux.

Explicitons la construction précédente dans un cas particulier. Soit \(X\) un objet d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Supposons que les produits \(X \times \ldots \times X\) existent et soit \(k\) un entier. Considérons l’objet simplicial \(U\) de termes \[U_n = \prod\nolimits_{\alpha \in \Mor([k], [n])} X\] et dont les applications associées à \(\varphi : [m] \to [n]\) sont \[U(\varphi) : \prod\nolimits_{\alpha \in \Mor([k], [n])} X \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha' \in \Mor([k], [m])} X, \quad (f_{\alpha})_{\alpha} \longmapsto (f_{\varphi \circ \alpha'})_{\alpha'}\] En « coordonnées », l’élément \((x_\alpha)_\alpha\) est envoyé sur \((x_{\varphi \circ \alpha'})_{\alpha'}\). Nous affirmons que cet objet est égal à \(\Hom(C[k], X)\), où \(X\) est considéré comme l’objet simplicial constant de valeur \(X\) et où \(C[k]\) est l’ensemble cosimplicial de l’exemple 0B13.

Lemme

Avec \(X\), \(k\) et \(U\) comme ci-dessus :

1. pour tout objet simplicial \(V\) de \(\mathcal{C}\), on dispose de la bijection canonique \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(V, U) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(V_k, X).\] qui à \(\gamma\) associe le morphisme \(\gamma_k\) composé avec la projection sur le facteur correspondant à \(\text{id}_{[k]}\) ;

2. de même, si \(W\) est un objet simplicial \(k\)-tronqué de \(\mathcal{C}\), alors \[\Mor_{\text{Simp}_k(\mathcal{C})}(W, \text{sk}_k U) = \Mor_\mathcal{C}(W_k, X).\]

3. l’objet \(U\) construit ci-dessus est une réalisation de \(\Hom(C[k], X)\), où \(C[k]\) est l’ensemble cosimplicial de l’exemple 0B13.

Démonstration

Montrons d’abord (1). Supposons que \(\gamma : V \to U\) soit un morphisme. Il est donné par une famille de morphismes \(\gamma_{\alpha} : V_n \to X\) pour \(\alpha : [k] \to [n]\). Ces morphismes doivent vérifier que, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), les diagrammes \[\xymatrix{ X \ar[d]^{\text{id}_X} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \ar[l]^{\gamma_{\varphi \circ \alpha'}} \\ X & V_m \ar[l]_{\gamma_{\alpha'}} }\] soient commutatifs pour tout \(\alpha' : [k] \to [m]\). En prenant \(\alpha' = \text{id}_{[k]}\), on voit que, pour tout \(\varphi : [k] \to [n]\), on a \(\gamma_\varphi = \gamma_{\text{id}_{[k]}} \circ V(\varphi)\). Le morphisme \(\gamma\) est donc déterminé par la composante de \(\gamma_k\) correspondant à \(\text{id}_{[k]}\). Réciproquement, un morphisme \(f : V_k \to X\) de ce type définit aisément un morphisme \(\gamma\) en posant \(\gamma_\alpha = f \circ V(\alpha)\).

Le cas tronqué est analogue et laissé au lecteur.

L’assertion (3) résulte immédiatement de la construction de \(U\) et de l’égalité \(C[k]_n = \Mor([k], [n])\), dont les deux membres sont les ensembles d’indices utilisés dans la construction de \(U_n\).

Hom interne

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie admettant les produits finis non vides. Soient \(U\), \(V\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\). Dans certains cas, le foncteur \[\text{Simp}(\mathcal{C})^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad W \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W \times V, U)\] est représentable. On note alors \(\SheafHom(V, U)\) l’objet simplicial de \(\mathcal{C}\) ainsi obtenu et l’on dit que le Hom interne de \(V\) vers \(U\) existe. En outre, pour tout \(X\) de \(\mathcal{C}\), on aurait \[\begin{align*} \Mor_\mathcal{C}(X, \SheafHom(V, U)_n) & = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times \Delta[n], \SheafHom(V, U)) \\ & = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times \Delta[n]\times V, U) \\ & = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X, \SheafHom(\Delta[n] \times V, U)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(X, \SheafHom(\Delta[n] \times V, U)_0) \end{align*}\] pourvu que \(\SheafHom(\Delta[n] \times V, U)\) existe également. La première et la dernière égalité résultent du lemme 017F.

Nous en retenons qu’étant donnés \(U\) et \(V\), si l’on veut construire le Hom interne, il convient de construire les objets \[\SheafHom(\Delta[n] \times V, U)_0\] car ils doivent constituer le terme de degré \(n\) de \(\SheafHom(V, U)\). Dans la section suivante, nous étudions une construction d’objets simpliciaux « \(\Hom(\Delta[n], U)\) ».

Hom des ensembles simpliciaux vers les objets simpliciaux

À la suite de la discussion sur le Hom interne, nous définissons l’objet simplicial qui doit classifier les morphismes d’un ensemble simplicial vers un objet simplicial donné de la catégorie \(\mathcal{C}\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie dans laquelle la somme de deux objets quelconques existe. Soit \(U\) un ensemble simplicial tel que \(U_n\) soit fini et non vide pour tout \(n \geq 0\). Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). On note \(\Hom(U, V)\) tout objet simplicial de \(\mathcal{C}\) tel que \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W, \Hom(U, V)) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W \times U, V)\] fonctoriellement en l’objet simplicial \(W\) de \(\mathcal{C}\).

Bien entendu, \(\Hom(U, V)\) n’existe pas nécessairement. D’après la discussion de la section 017G, on s’attend en outre, lorsqu’il existe, à ce que \(\Hom(U, V)_n = \Hom(U \times \Delta[n], V)_0\). Nous n’employons pas la notation italique pour ces objets Hom, puisque \(\Hom(U, V)\) n’est pas un Hom interne.

Lemme

Supposons que la catégorie \(\mathcal{C}\) admette les sommes de deux objets et les limites dénombrables. Soit \(U\) un ensemble simplicial tel que \(U_n\) soit fini et non vide pour tout \(n \geq 0\). Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Alors le foncteur \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ X & \longmapsto & \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times U, V) \end{eqnarray*}\] est représentable.

Démonstration

Un morphisme de \(X \times U\) vers \(V\) est donné par une famille de morphismes \(f_u : X \to V_n\), où \(n \geq 0\) et \(u \in U_n\). Une telle famille définit effectivement un morphisme si et seulement si, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), tous les diagrammes \[\xymatrix{ X \ar[r]^{f_u} \ar[d]_{\text{id}_X} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ X \ar[r]^{f_{U(\varphi)(u)}} & V_m }\] commutent. Il est donc naturel d’introduire une catégorie \(\mathcal{U}\) et un foncteur \(\mathcal{V} : \mathcal{U}^{opp} \to \mathcal{C}\) comme suit :

1. l’ensemble des objets de \(\mathcal{U}\) est \(\coprod_{n \geq 0} U_n\),

2. un morphisme de \(u' \in U_m\) vers \(u \in U_n\) est un \(\varphi : [m] \to [n]\) tel que \(U(\varphi)(u) = u'\),

3. pour \(u \in U_n\), on pose \(\mathcal{V}(u) = V_n\), et

4. pour \(\varphi : [m] \to [n]\) tel que \(U(\varphi)(u) = u'\), on pose \(\mathcal{V}(\varphi) = V(\varphi) : V_n \to V_m\).

Il est alors clair que notre foncteur n’est autre que le foncteur qui définit \[\lim_{\mathcal{U}^{opp}} \mathcal{V}\] Si \(\mathcal{C}\) admet les limites dénombrables, cette limite existe donc, et avec elle un objet représentant le foncteur du lemme.

Lemme

Supposons que la catégorie \(\mathcal{C}\) admette les sommes de deux objets et les limites finies. Soit \(U\) un ensemble simplicial tel que \(U_n\) soit fini et non vide pour tout \(n \geq 0\). Supposons que tous les \(n\)-simplexes de \(U\) soient dégénérés pour tout \(n \gg 0\). Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Alors le foncteur \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ X & \longmapsto & \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times U, V) \end{eqnarray*}\] est représentable.

Démonstration

Il faut montrer que la catégorie \(\mathcal{U}\) décrite dans la preuve du lemme 017J possède une sous-catégorie finie \(\mathcal{U}'\) telle que la limite de \(\mathcal{V}\) sur \(\mathcal{U}'\) soit la même que la limite de \(\mathcal{V}\) sur \(\mathcal{U}\). Nous utiliserons Catégories, lemme 002R. Pour \(m > 0\), notons \(\mathcal{U}_{\leq m}\) la sous-catégorie pleine ayant pour objets \(\coprod_{0 \leq n \leq m} U_m\). Soit \(m_0\) un entier tel que tout \(n\)-simplexe de l’ensemble simplicial \(U\) soit dégénéré si \(n > m_0\). Pour tout \(m \geq m_0\) assez grand, la sous-catégorie \(\mathcal{U}_{\leq m}\) satisfait à la propriété (1) de Catégories, définition 09WP.

Supposons que \(u \in U_n\) et \(u' \in U_{n'}\), avec \(n, n' \leq m_0\), et que \(\varphi : [k] \to [n]\), \(\varphi' : [k] \to [n']\) soient des morphismes tels que \(U(\varphi)(u) = U(\varphi')(u')\). Un argument combinatoire élémentaire montre que, si \(k > 2m_0\), il existe un indice \(0 \leq i \leq 2m_0\) tel que \(\varphi(i) =\varphi(i + 1)\) et \(\varphi'(i) = \varphi'(i + 1)\). (Le principe des tiroirs montre déjà que cela fonctionne si \(k > m_0^2\), ce qui suffit de toute manière à l’argument ci-dessous.) Ainsi, si \(k > 2m_0\), on peut écrire \(\varphi = \psi \circ \sigma^{k - 1}_i\) et \(\varphi' = \psi' \circ \sigma^{k - 1}_i\), pour certains \(\psi : [k - 1] \to [n]\) et \(\psi' : [k - 1] \to [n']\). Comme \(s^{k - 1}_i : U_{k - 1} \to U_k\) est injective, voir le lemme 016F, on en déduit également que \(U(\psi)(u) = U(\psi')(u')\). En poursuivant de la sorte, on conclut que, étant donnés des morphismes \(u \to z\) et \(u' \to z\) de \(\mathcal{U}\), avec \(u, u' \in \mathcal{U}_{\leq m_0}\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ u \ar[rd] \ar[rrd] & & \\ & a \ar[r] & z \\ u' \ar[ru] \ar[rru] }\] où \(a \in \mathcal{U}_{\leq 2m_0}\).

On en déduit aisément que la sous-catégorie finie \(\mathcal{U}_{\leq 2m_0}\) convient. En effet, soient \(x' \in U_n\) et \(x'' \in U_{n'}\), avec \(n, n' \leq 2m_0\), ainsi que des morphismes \(x' \to x\) et \(x'' \to x\) de \(\mathcal{U}\) ayant même but. Par le choix de \(m_0\), on peut trouver des objets \(u, u'\) de \(\mathcal{U}_{\leq m_0}\) et des morphismes \(u \to x'\), \(u' \to x''\). D’après ce qui précède, on peut trouver \(a \in \mathcal{U}_{\leq 2m_0}\) et des morphismes \(u \to a\), \(u' \to a\) tels que \[\xymatrix{ u \ar[rd] \ar[rrd] \ar[r] & x' \ar[rd] & \\ & a \ar[r] & x \\ u' \ar[ru] \ar[rru] \ar[r] & x'' \ar[ru] & }\] soit commutatif. En faisant tourner ce diagramme de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre, on obtient le diagramme voulu comme dans Catégories, définition 09WP, (2).

Lemme

Supposons que la catégorie \(\mathcal{C}\) possède les sommes de deux objets quelconques et les limites finies. Soit \(U\) un ensemble simplicial, avec \(U_n\) fini et non vide pour tout \(n \geq 0\). Supposons que tous les \(n\)-simplexes de \(U\) soient dégénérés pour tout \(n \gg 0\). Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Alors \(\Hom(U, V)\) existe et l’on a les égalités attendues \[\Hom(U, V)_n = \Hom(U \times \Delta[n], V)_0.\]

Démonstration

Construisons cet objet simplicial comme suit. Pour \(n \geq 0\), notons \(\Hom(U, V)_n\) l’objet de \(\mathcal{C}\) qui représente le foncteur \[X \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times U \times \Delta[n], V)\] Celui-ci existe par le lemme 017K, car \(U \times \Delta[n]\) est un ensemble simplicial dont les ensembles de simplexes sont finis et qui n’a aucun simplexe non dégénéré en degré assez grand, voir le lemme 0179. À partir de \(\varphi : [m] \to [n]\), on obtient une application induite d’ensembles simpliciaux \(\varphi : \Delta[m] \to \Delta[n]\). On obtient donc un morphisme \(X \times U \times \Delta[m] \to X \times U \times \Delta[n]\) fonctoriel en \(X\), puis une transformation de foncteurs, laquelle donne \[\Hom(U, V)(\varphi) : \Hom(U, V)_n \longrightarrow \Hom(U, V)_m.\] Cela définit manifestement un foncteur contravariant \(\Hom(U, V)\) de \(\Delta\) dans la catégorie \(\mathcal{C}\). Autrement dit, on obtient un objet simplicial de \(\mathcal{C}\).

Il reste à montrer que \(\Hom(U, V)\) satisfait à la propriété universelle voulue \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W, \Hom(U, V)) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W \times U, V)\] Pour le voir, soit \(f : W \to \Hom(U, V)\). Construisons l’élément \(f' : W \times U \to V\) du membre de droite. Par construction, chaque \(f_n : W_n \to \Hom(U, V)_n\) correspond à un morphisme \(f_n : W_n \times U \times \Delta[n] \to V\). De plus, pour tout morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\), le diagramme \[\xymatrix{ W_n \times U \times \Delta[m] \ar[rr]_{W(\varphi)\times \text{id} \times \text{id}} \ar[d]_{\text{id} \times \text{id} \times \varphi} & & W_m \times U \times \Delta[m] \ar[d]^{f_m} \\ W_n \times U \times \Delta[n] \ar[rr]^{f_n} & & V }\] est commutatif. Pour \(\psi : [n] \to [k]\) appartenant à \((\Delta[n])_k\), notons \((f_n)_{k, \psi} : W_n \times U_k \to V_k\) la composante de \((f_n)_k\) correspondant à l’élément \(\psi\). Définissons \(f'_n : W_n \times U_n \to V_n\) par \(f'_n = (f_n)_{n, \text{id}}\), c’est-à-dire comme la restriction de \((f_n)_n : W_n \times U_n \times (\Delta[n])_n \to V_n\) à \(W_n \times U_n \times \text{id}_{[n]}\). Pour voir que la famille \((f'_n)\) définit un morphisme d’objets simpliciaux, il faut montrer, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), que \(V(\varphi) \circ f'_n = f'_m \circ W(\varphi) \times U(\varphi)\). Le diagramme commutatif ci-dessus affirme que \((f_n)_{m, \varphi} : W_n \times U_m \to V_m\) est égal à \((f_m)_{m, \text{id}} \circ W(\varphi) : W_n \times U_m \to V_m\). Or, puisque \(f_n\) est un morphisme d’objets simpliciaux, le diagramme \[\xymatrix{ W_n \times U_n \times (\Delta[n])_n \ar[r]_-{(f_n)_n} \ar[d]_{\text{id} \times U(\varphi) \times \varphi} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ W_n \times U_m \times (\Delta[n])_m \ar[r]^-{(f_n)_m} & V_m }\] est commutatif. Il en résulte que \((f_n)_{m, \varphi} \circ U(\varphi)\) est égal à \(V(\varphi) \circ (f_n)_{n, \text{id}}\). Au total, on obtient \(V(\varphi) \circ (f_n)_{n, \text{id}} = (f_n)_{m, \varphi} \circ U(\varphi) = (f_m)_{m, \text{id}} \circ W(\varphi)\circ U(\varphi) = (f_m)_{m, \text{id}} \circ W(\varphi)\times U(\varphi)\) comme voulu.

Réciproquement, étant donné un morphisme \(f' : W \times U \to V\), définissons un morphisme \(f : W \to \Hom(U, V)\) comme suit. Par le lemme 017F, le morphisme \(\text{id} : W_n \to W_n\) correspond à un unique morphisme \(c_n : W_n \times \Delta[n] \to W\). On peut donc considérer le composé \[W_n \times \Delta[n] \times U \xrightarrow{c_n} W \times U \xrightarrow{f'} V.\] Par construction, celui-ci correspond à un unique morphisme \(f_n : W_n \to \Hom(U, V)_n\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ces morphismes définissent le morphisme d’objets simpliciaux voulu.

Nous laissons également au lecteur le soin de vérifier que les opérations \(f \mapsto f'\) et \(f' \mapsto f\) sont inverses l’une de l’autre.

Lemme

Supposons que la catégorie \(\mathcal{C}\) possède les sommes de deux objets quelconques et les limites finies. Soient \(a : U \to V\), \(b : U \to W\) des morphismes d’ensembles simpliciaux. Supposons que \(U_n, V_n, W_n\) soient finis et non vides pour tout \(n \geq 0\), et que tous les \(n\)-simplexes de \(U, V, W\) soient dégénérés pour tout \(n \gg 0\). Soit \(T\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Alors \[\Hom(V, T) \times_{\Hom(U, T)} \Hom(W, T) = \Hom(V \amalg_U W, T)\] Autrement dit, le produit fibré du membre de gauche est représenté par l’objet Hom du membre de droite.

Démonstration

Par le lemme 017L, tous les objets \(\Hom\) requis existent et possèdent les propriétés fonctorielles attendues. On peut alors identifier le terme de degré \(n\) du membre de gauche à l’objet qui représente le foncteur associant à \(X\) le premier ensemble de la suite d’égalités fonctorielles suivante : \[\begin{align*} & \Mor(X \times \Delta[n], \Hom(V, T) \times_{\Hom(U, T)} \Hom(W, T)) \\ & = \Mor(X \times \Delta[n], \Hom(V, T)) \times_{\Mor(X \times \Delta[n], \Hom(U, T))} \Mor(X \times \Delta[n], \Hom(W, T)) \\ & = \Mor(X \times \Delta[n] \times V, T) \times_{\Mor(X \times \Delta[n] \times U, T)} \Mor(X \times \Delta[n] \times W, T) \\ & = \Mor(X \times \Delta[n] \times (V \amalg_U W), T)) \end{align*}\] On a utilisé ici le fait que \[(X \times \Delta[n] \times V) \times_{X \times \Delta[n] \times U} (X \times \Delta[n] \times W) = X \times \Delta[n] \times (V \amalg_U W)\] ce qui se vérifie aisément degré par degré. Le lemme en résulte, puisque le dernier terme de la suite d’égalités affichée correspond à \(\Hom(V \amalg_U W, T)_n\).

Scindement des objets simpliciaux

Un sous-objet \(N\) d’un objet \(X\) de la catégorie \(\mathcal{C}\) est un objet \(N\) de \(\mathcal{C}\) muni d’un monomorphisme \(N \to X\). Bien entendu, on dit (par abus de notation) que les sous-objets \(N\), \(N'\) sont égaux s’il existe un isomorphisme \(N \to N'\) compatible avec les morphismes vers \(X\). L’ensemble des sous-objets est ordonné partiellement. (Cela tient à nos conventions sur les catégories ; ce ne serait pas vrai, par exemple, pour la catégorie des espaces à homotopie près.)

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie admettant les sommes finies non vides. On dit qu’un objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) est scindé s’il existe des sous-objets \(N(U_m)\) de \(U_m\), \(m \geq 0\), tels que [017Q]\[\begin{equation} \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ surjective}} N(U_m) \longrightarrow U_n \end{equation}\] soit un isomorphisme pour tout \(n \geq 0\). Si \(U\) est un objet simplicial \(r\)-tronqué de \(\mathcal{C}\), on dit que \(U\) est scindé s’il existe des sous-objets \(N(U_m)\) de \(U_m\), \(r \geq m \geq 0\), tels que (017Q) soit un isomorphisme pour \(r \geq n \geq 0\).

Dans ce cas, \(N(U_0) = U_0\). Ensuite, \(U_1 = U_0 \amalg N(U_1)\). Puis \[U_2 = U_0 \amalg N(U_1) \amalg N(U_1) \amalg N(U_2).\] Dans de nombreuses catégories \(\mathcal{C}\), tout objet simplicial est scindé.

Lemme

Soit \(U\) un ensemble simplicial. Alors \(U\) possède un unique scindement, pour lequel \(N(U_m)\) est l’ensemble des \(m\)-simplexes non dégénérés.

Démonstration

Il résulte immédiatement de la définition que, s’il existe un scindement, \(N(U_m)\) est nécessairement l’ensemble des simplexes non dégénérés. Soit \(x \in U_n\). Supposons qu’il existe des surjections \(\varphi : [n] \to [k]\) et \(\psi : [n] \to [l]\), ainsi que des simplexes non dégénérés \(y \in U_k\), \(z \in U_l\), tels que \(x = U(\varphi)(y)\) et \(x = U(\psi)(z)\). Choisissons une section \(\xi : [l] \to [n]\) de \(\psi\), c’est-à-dire \(\psi \circ \xi = \text{id}_{[l]}\). Alors \(z = U(\xi)(x)\), d’où \(z = U(\xi)(x) = U(\varphi \circ \xi)(y)\). Comme \(z\) est non dégénéré, on en déduit que \(\varphi \circ \xi : [l] \to [k]\) est surjective, et donc que \(l \geq k\). De même, \(k \geq l\). Ainsi, \(\varphi \circ \xi : [l] \to [k]\) est nécessairement l’identité pour tout choix d’une section \(\xi\) de \(\psi\). Il en résulte aisément que \(\psi = \varphi\).

Il peut naturellement arriver qu’une application d’ensembles simpliciaux envoie un \(n\)-simplexe non dégénéré sur un \(n\)-simplexe dégénéré. Le scindement du lemme 017R n’est donc pas fonctoriel. Voici un cas où il l’est.

Lemme

Soit \(f : U \to V\) un morphisme d’ensembles simpliciaux. Supposons que (a) l’image de tout simplexe non dégénéré de \(U\) soit un simplexe non dégénéré de \(V\) et que (b) la restriction de \(f\), comme application de l’ensemble des simplexes non dégénérés de \(U\) vers celui des simplexes non dégénérés de \(V\), soit injective. Alors \(f_n\) est injective pour tout \(n\). Le même énoncé vaut en remplaçant « injective » par « surjective » ou « bijective ».

Démonstration

Sous l’hypothèse (a), l’application \(f\) respecte les décompositions en réunions disjointes du scindement du lemme 017R ; autrement dit, on obtient des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ surjective}} N(U_m) \ar[r] \ar[d] & U_n \ar[d] \\ \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ surjective}} N(V_m) \ar[r] & V_n. }\] L’hypothèse (b) montre alors que la flèche verticale de gauche est injective (resp. surjective, resp. bijective).

Lemme

Soit \(U\) un ensemble simplicial et soit \(n \geq 0\) un entier. La règle \[U'_m = \bigcup\nolimits_{\varphi : [m] \to [i], \ i\leq n} \Im(U(\varphi))\] définit un sous-ensemble simplicial \(U' \subset U\) tel que \(U'_i = U_i\) pour \(i \leq n\). De plus, tous les \(m\)-simplexes de \(U'\) sont dégénérés pour tout \(m > n\).

Démonstration

Si \(x \in U_m\) et \(x = U(\varphi)(y)\) pour un certain \(y \in U_i\), \(i \leq n\), et un certain \(\varphi : [m] \to [i]\), alors l’image \(U(\psi)(x)\), pour tout \(\psi : [m'] \to [m]\), est égale à \(U(\varphi \circ \psi)(y)\), où \(\varphi \circ \psi : [m'] \to [i]\). Ainsi \(U'\) est un ensemble simplicial. Par construction, tous les simplexes de dimension au moins \(n + 1\) sont dégénérés.

Lemme

Soit \(U\) un groupe abélien simplicial. Alors \(U\) possède un scindement obtenu en prenant \(N(U_0) = U_0\) et, pour \(m \geq 1\), \[N(U_m) = \bigcap\nolimits_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i).\] De plus, ce scindement est fonctoriel sur la catégorie des groupes abéliens simpliciaux.

Démonstration

Montrons par récurrence sur \(n\) que le choix de \(N(U_m)\) indiqué dans le lemme assure que (017Q) est un isomorphisme pour \(m \leq n\). C’est clair pour \(n = 0\). Dans la suite de la démonstration, nous omettrons les exposants des applications \(d_i\) et \(s_i\) afin d’alléger les notations. Nous utiliserons aussi à plusieurs reprises les relations de la remarque 016C.

Commençons par une remarque générale. Pour \(0 \leq i \leq m\) et \(z \in U_m\), on a \(d_i(s_i(z)) = z\). Tout \(x \in U_{m + 1}\) s’écrit donc de manière unique sous la forme \(x = x' + x''\), avec \(d_i(x') = 0\) et \(x'' \in \Im(s_i)\), en prenant \(x' = (x - s_i(d_i(x)))\) et \(x'' = s_i(d_i(x))\). De plus, l’élément \(z \in U_m\) tel que \(x'' = s_i(z)\) est unique puisque \(s_i\) est injective.

Voici un procédé pour décomposer un élément quelconque \(x \in U_{n + 1}\). Écrivons d’abord \(x = x_0 + s_0(z_0)\) avec \(d_0(x_0) = 0\), puis \(x_0 = x_1 + s_1(z_1)\) avec \(d_1(x_1) = 0\). En continuant ainsi, on obtient \[\begin{eqnarray*} x & = & x_0 + s_0(z_0), \\ x_0 & = & x_1 + s_1(z_1), \\ x_1 & = & x_2 + s_2(z_2), \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{n - 1} & = & x_n + s_n(z_n) \end{eqnarray*}\] où \(d_i(x_i) = 0\) pour tout \(i = n, \ldots, 0\). D’après la remarque générale ci-dessus, tous les \(x_i\) et \(z_i\) sont déterminés de manière unique par \(x\). Nous affirmons que \(x_i \in \Ker(d_0) \cap \Ker(d_1) \cap \ldots \cap \Ker(d_i)\) et \(z_i \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\) pour \(i = n, \ldots, 0\). Ici comme dans la suite, une intersection vide de noyaux désigne l’espace tout entier ; ainsi, la notation \(z_0 \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\) lorsque \(i = 0\) signifie simplement \(z_0 \in U_n\), sans condition.

Procédons par récurrence croissante sur \(i\). Pour \(i = 0\), cela résulte de la construction de \(x_0\) et \(z_0\). Prouvons-le pour \(0 < i \leq n\), en supposant le résultat établi pour \(i - 1\). Tout d’abord, \(d_i(x_i) = 0\) par construction. Fixons donc \(j\) avec \(0 \leq j < i\). Par récurrence, \(d_j(x_{i - 1}) = 0\). Ainsi \[0 = d_j(x_{i - 1}) = d_j(x_i) + d_j(s_i(z_i)) = d_j(x_i) + s_{i - 1}(d_j(z_i)).\] La dernière égalité résulte des relations de la remarque 016C. Ces relations impliquent également que \(d_{i - 1}(d_j(x_i)) = d_j(d_i(x_i)) = 0\) car \(d_i(x_i)= 0\) par construction. L’unicité dans la remarque générale ci-dessus montre alors que l’égalité \(0 = x' + x'' = d_j(x_i) + s_{i - 1}(d_j(z_i))\) ne peut avoir lieu que si les deux termes sont nuls. On en conclut que \(d_j(x_i) = 0\) et, par injectivité de \(s_{i - 1}\), que \(d_j(z_i) = 0\). Cela démontre l’affirmation.

L’affirmation montre que l’on peut écrire de manière unique \[x = s_0(z_0) + s_1(z_1) + \ldots + s_n(z_n) + x_n\] avec \(x_n \in N(U_{n + 1})\) et \(z_i \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\). Autrement dit, on a obtenu une décomposition en somme directe \[U_{n + 1} = N(U_{n + 1}) \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 0}^{i = n} s_i\Big(\Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\Big)\] ayant la propriété suivante : \[\Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_j) = N(U_{n + 1}) \oplus \bigoplus\nolimits_{i = j + 1}^{i = n} s_i\Big(\Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\Big)\] pour \(j = 0, \ldots, n\). Le résultat s’en déduit comme suit. Chacun des \(z_i\) apparaissant dans l’expression de \(x\) s’écrit de manière unique \[z_i = s_i(z'_{i, i}) + \ldots + s_{n - 1}(z'_{i, n - 1}) + z_{i, 0}\] avec \(z_{i, 0} \in N(U_n)\) et \(z'_{i, j} \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{j - 1})\). Les premières étapes de la décomposition de \(z_i\) sont nulles puisque \(z_i\) appartient déjà aux noyaux de \(d_0, \ldots, d_i\). On en déduit de manière unique \[x = x_n + s_0(z_{0, 0}) + s_1(z_{1, 0}) + \ldots + s_n(z_{n, 0}) + \sum\nolimits_{0 \leq i \leq j \leq n - 1} s_i(s_j(z'_{i, j})).\] En poursuivant ainsi, on obtient finalement une décomposition de \(x\) en somme de termes de la forme \[s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_k} (z)\] avec \(0 \leq i_1 \leq i_2 \leq \ldots \leq i_k \leq n - k + 1\) et \(z \in N(U_{n + 1 - k})\). C’est précisément la décomposition requise, car toute application surjective \([n + 1] \to [n + 1 - k]\) s’écrit de manière unique sous la forme \[\sigma^{n - k}_{i_k} \ldots \sigma^{n - 1}_{i_2} \sigma^n_{i_1}\] avec \(0 \leq i_1 \leq i_2 \leq \ldots \leq i_k \leq n - k + 1\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Alors \(U\) possède un scindement obtenu en prenant \(N(U_0) = U_0\) et, pour \(m \geq 1\), \[N(U_m) = \bigcap\nolimits_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i).\] De plus, ce scindement est fonctoriel sur la catégorie des objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Pour tout objet \(A\) de \(\mathcal{A}\), on obtient un groupe abélien simplicial \(\Mor_\mathcal{A}(A, U)\). Chacun d’eux est canoniquement scindé par le lemme 017U. De plus, \[N(\Mor_\mathcal{A}(A, U_m)) = \bigcap\nolimits_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i) = \Mor_\mathcal{A}(A, N(U_m)).\] Ainsi, le morphisme (017Q) devient un isomorphisme après application du foncteur \(\Mor_\mathcal{A}(A, -)\), pour tout objet de \(\mathcal{A}\). C’est donc un isomorphisme par le lemme de Yoneda.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(f : U \to V\) un morphisme d’objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\). Si les morphismes induits \(N(f)_i : N(U)_i \to N(V)_i\) sont injectifs pour tout \(i\), alors \(f_i\) est injectif pour tout \(i\). Le même énoncé vaut en remplaçant « injectif » par « surjectif » ou par « isomorphisme ».

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 017V et de la définition d’un scindement.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne, soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\) et soient \(N(U_m)\) comme dans le lemme 017V. Alors \(d^m_m(N(U_m)) \subset N(U_{m - 1})\).

Démonstration

Pour \(j = 0, \ldots, m - 2\), on a \(d^{m - 1}_j d^m_m = d^{m - 1}_{m - 1} d^m_j\) d’après les relations de la remarque 016C. Le résultat en découle.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne, soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\) et soit \(n \geq 0\) un entier. La règle \[U'_m = \sum\nolimits_{\varphi : [m] \to [i], \ i\leq n} \Im(U(\varphi))\] définit un sous-objet simplicial \(U' \subset U\) tel que \(U'_i = U_i\) pour \(i \leq n\). De plus, \(N(U'_m) = 0\) pour tout \(m > n\).

Démonstration

Fixons \(m\), \(i \leq n\) et un morphisme \(\varphi : [m] \to [i]\). L’image par \(U(\psi)\) de \(\Im(U(\varphi))\), pour tout \(\psi : [m'] \to [m]\), est égale à l’image de \(U(\varphi \circ \psi)\), où \(\varphi \circ \psi : [m'] \to [i]\). Ainsi \(U'\) est un objet simplicial. Fixons \(m > n\). Il faut montrer que \(N(U'_m) = 0\). Par définition de \(N(U_m)\) et \(N(U'_m)\), on a \(N(U'_m) = U'_m \cap N(U_m)\) (intersection de sous-objets). Comme \(U\) est scindé par le lemme 017V, il suffit de montrer que \(U'_m\) est contenu dans la somme \[\sum\nolimits_{\varphi : [m] \to [m']\text{ surjective}, \ m' < m} \Im(U(\varphi)|_{N(U_{m'})}).\] Par le scindement, chaque \(U_{m'}\) est la somme des images des \(N(U_{m''})\) par \(U(\psi)\), pour les applications surjectives \(\psi : [m'] \to [m'']\). La somme affichée ci-dessus est donc égale à \[\sum\nolimits_{\varphi : [m] \to [m']\text{ surjective}, \ m' < m} \Im(U(\varphi)).\] Manifestement, \(U'_m\) y est contenu : toute application \(\varphi : [m] \to [i]\), \(i \leq n\), intervenant dans la définition de \(U'_m\) se factorise sous la forme \([m] \to [m'] \to [i]\), où \([m] \to [m']\) est surjective et \(m' < m\), comme dans la dernière somme affichée ci-dessus.

Foncteurs cosquelette

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Le foncteur cosquelette (s’il existe) est un foncteur \[\text{cosk}_n : \text{Simp}_n(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{Simp}(\mathcal{C})\] adjoint à droite du foncteur squelette. En formule, [0181]\[\begin{equation} \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(U, \text{cosk}_n V) = \Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_n U, V) \end{equation}\] Étant donné un objet simplicial \(n\)-tronqué \(V\), on dit que \(\text{cosk}_nV\) existe s’il existe un objet \(\text{cosk}_nV \in \Ob(\text{Simp}(\mathcal{C}))\) et un morphisme \(\text{sk}_n \text{cosk}_n V \to V\) tels que la formule affichée soit vérifiée, autrement dit si le foncteur \(U \mapsto \Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_n U, V)\) est représentable. S’il existe, il est unique à isomorphisme unique près par le lemme de Yoneda. Voir Catégories, section 001L.

Exemple

Supposons que la catégorie \(\mathcal{C}\) possède les produits finis non vides d’un objet avec lui-même. Un objet simplicial \(0\)-tronqué de \(\mathcal{C}\) est simplement un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, nous affirmons que \(\text{cosk}_0(X)\) est l’objet simplicial \(U\) tel que \(U_n = X^{n + 1}\) soit le produit de \((n + 1)\) copies de \(X\), muni de la structure d’objet simplicial de l’exemple 016E. En effet, un morphisme \(V \to U\), où \(V\) est un objet simplicial, est donné par des morphismes \(V_n \to X^{n + 1}\) tels que tous les diagrammes \[\xymatrix{ V_n \ar[r] \ar[d]_{V([0] \to [n], 0 \mapsto i)} & X^{n + 1} \ar[d]^{\text{pr}_i} \\ V_0 \ar[r] & X }\] soient commutatifs. Cela signifie manifestement que l’application détermine, et est déterminée par, un unique morphisme \(V_0 \to X\). La formule (0181) est donc vérifiée.

Rappelons la catégorie \(\Delta/[n]\), voir l’exemple 0178. Notons \((\Delta/[n])_{\leq m}\) la sous-catégorie pleine de \(\Delta/[n]\) formée des objets \([k] \to [n]\) de \(\Delta/[n]\) avec \(k \leq m\). Autrement dit, on a le diagramme commutatif suivant de catégories et de foncteurs : \[\xymatrix{ (\Delta/[n])_{\leq m} \ar[r] \ar[d] & \Delta/[n] \ar[d] \\ \Delta_{\leq m} \ar[r] & \Delta }\] Étant donné un objet simplicial \(m\)-tronqué \(U\) de \(\mathcal{C}\), on définit un foncteur \[U(n) : (\Delta/[n])_{\leq m}^{opp} \longrightarrow \mathcal{C}\] par les règles \[\begin{eqnarray*} ([k] \to [n]) & \longmapsto & U_k \\ \psi : ([k'] \to [n]) \to ([k] \to [n]) & \longmapsto & U(\psi) : U_k \to U_{k'} \end{eqnarray*}\] À tout morphisme \(\varphi : [n] \to [n']\) de \(\Delta\) est associé un foncteur \[\overline{\varphi} : (\Delta/[n])_{\leq m} \longrightarrow (\Delta/[n'])_{\leq m}\] qui envoie \(\alpha : [k] \to [n]\) sur \(\varphi \circ \alpha : [k] \to [n']\). Le composé \(U(n') \circ \overline{\varphi}\) est égal au foncteur \(U(n)\).

Lemme

Si la catégorie \(\mathcal{C}\) possède les limites finies, alors les foncteurs \(\text{cosk}_m\) existent pour tout \(m\). De plus, pour tout objet simplicial \(m\)-tronqué \(U\), l’objet simplicial \(\text{cosk}_mU\) est décrit par la formule \[(\text{cosk}_mU)_n = \lim_{(\Delta/[n])_{\leq m}^{opp}} U(n)\] et, pour \(\varphi : [n] \to [n']\), l’application \(\text{cosk}_mU(\varphi)\) provient de l’identification \(U(n') \circ \overline{\varphi} = U(n)\) ci-dessus, par Catégories, lemme 002L.

Démonstration

Dans cette démonstration, notons \(\text{cosk}_mU\) l’objet simplicial tel que \((\text{cosk}_mU)_n\) soit égal à \(\lim_{(\Delta/[n])_{\leq m}^{opp}} U(n)\). Nous conclurons à la fin que celui-ci satisfait bien à la propriété universelle requise.

Soit \(V\) un objet simplicial. Un morphisme \(\gamma : V \to \text{cosk}_mU\) est donné par une suite de morphismes \(\gamma_n : V_n \to (\text{cosk}_mU)_n\). Par définition d’une limite, ces données reviennent à une famille de morphismes \(\gamma(\alpha) : V_n \to U_k\), où \(\alpha\) parcourt les applications \(\alpha : [k] \to [n]\) avec \(k \leq m\). Ces morphismes satisfont en outre à la condition que les diagrammes \[\xymatrix{ V_n \ar[r]_{\gamma(\alpha)} & U_k \\ V_{n'} \ar[r]^{\gamma(\alpha')} \ar[u]^{V(\varphi)} & U_{k'} \ar[u]_{U(\psi)} }\] soient commutatifs, quels que soient \(0 \leq k, k' \leq m\), \(0 \leq n, n'\) et \(\psi : [k] \to [k']\), \(\varphi : [n] \to [n']\), \(\alpha : [k] \to [n]\) et \(\alpha' : [k'] \to [n']\) dans \(\Delta\), avec \(\varphi \circ \alpha = \alpha' \circ \psi\). En prenant \(n = k = k'\), \(\varphi = \alpha'\) et \(\alpha = \psi = \text{id}_{[k]}\), on en déduit que \(\gamma(\alpha') = \gamma(\text{id}_{[k]}) \circ V(\alpha')\). Autrement dit, les morphismes \(\gamma(\text{id}_{[k]})\), \(k \leq m\), déterminent \(\gamma\). Il est aisé de voir qu’ils forment un morphisme \(\text{sk}_m V \to U\).

Réciproquement, étant donné un morphisme \(\gamma : \text{sk}_m V \to U\), on obtient une famille de morphismes \(\gamma(\alpha)\), où \(\alpha\) parcourt les applications \(\alpha : [k] \to [n]\) avec \(k \leq m\), en posant \(\gamma(\alpha) = \gamma(\text{id}_{[k]}) \circ V(\alpha)\). Ces morphismes satisfont à toutes les conditions de commutativité affichées ci-dessus et donnent donc un morphisme \(V \to \text{cosk}_m U\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(U\) un objet simplicial \(m\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). Pour \(n \leq m\), la limite \(\lim_{(\Delta/[n])_{\leq m}^{opp}} U(n)\) existe et est canoniquement isomorphe à \(U_n\).

Démonstration

En effet, la catégorie \((\Delta/[n])_{\leq m}\) possède alors un objet final, à savoir l’application identité \([n] \to [n]\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les limites finies et soit \(U\) un objet simplicial \(n\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). Le morphisme \(\text{sk}_n \text{cosk}_n U \to U\) est un isomorphisme.

Démonstration

Combiner les lemmes 0183 et 0184.

Décrivons plus en détail un cas particulier du foncteur cosquelette. Par abus de notation, nous noterons encore \(\text{sk}_n\) le foncteur de restriction \(\text{Simp}_{n'}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\) pour tout \(n' \geq n\). Nous allons décrire un adjoint à droite du foncteur \(\text{sk}_n : \text{Simp}_{n + 1}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\). Pour \(n \geq 1\) et \(0 \leq i < j \leq n + 1\), définissons \(\delta^{n + 1}_{i, j} : [n - 1] \to [n + 1]\) comme l’application croissante qui omet \(i\) et \(j\). Remarquons que \(\delta^{n + 1}_{i, j} = \delta^{n + 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n + 1}_i \circ \delta^n_{j - 1}\), d’après le lemme 0167. Cela motive le lemme suivant.

Lemme

Soit \(n\) un entier \(\geq 1\) et soit \(U\) un objet simplicial \(n\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). Considérons le foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) vers \(\textit{Ensembles}\) qui associe à un objet \(T\) l’ensemble \[\{ (f_0, \ldots, f_{n + 1}) \in \Mor_\mathcal{C}(T, U_n) \mid d^n_{j - 1} \circ f_i = d^n_i \circ f_j \ \forall\ 0\leq i < j\leq n + 1\}\] Si ce foncteur est représentable par un objet \(U_{n + 1}\) de \(\mathcal{C}\), alors \[U_{n + 1} = \lim_{(\Delta/[n + 1])_{\leq n}^{opp}} U(n)\]

Démonstration

La limite, si elle existe, représente le foncteur qui associe à un objet \(T\) l’ensemble \[\{ (f_\alpha)_{\alpha : [k] \to [n + 1], k \leq n} \mid f_{\alpha \circ \psi} = U(\psi) \circ f_\alpha\ \forall \ \psi : [k'] \to [k], \alpha : [k] \to [n + 1] \}.\] Nous allons en fait montrer que ce foncteur est isomorphe à celui qui figure dans l’énoncé. L’application dans un sens est donnée par la règle \[(f_\alpha)_{\alpha} \longmapsto (f_{\delta^{n + 1}_0}, \ldots, f_{\delta^{n + 1}_{n + 1}}).\] Cette famille satisfait aux conditions du lemme, car \[d^n_{j - 1} \circ f_{\delta^{n + 1}_i} = f_{\delta^{n + 1}_i \circ \delta^n_{j - 1}} = f_{\delta^{n + 1}_j \circ \delta^n_i} = d^n_i \circ f_{\delta^{n + 1}_j}\] par les relations rappelées avant le lemme. Pour construire une application dans l’autre sens, il faut associer à un système \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\) comme dans la formule du lemme un système d’applications \(f_\alpha\). Soit \(\alpha : [k] \to [n + 1]\). Comme \(k \leq n\), l’application \(\alpha\) n’est pas surjective. On peut donc écrire \(\alpha = \delta^{n + 1}_i \circ \psi\) pour un certain \(0 \leq i \leq n + 1\) et un certain \(\psi : [k] \to [n]\). On doit poser \[f_\alpha = U(\psi) \circ f_i.\] Il faut vérifier que cette définition ne dépend pas du choix du couple \((i, \psi)\). D’abord, \(i\) étant fixé, il existe un unique \(\psi\) qui convienne. Ensuite, soit \((j, \phi)\) un autre couple. Alors \(i \not = j\) et l’on peut supposer \(i < j\). Puisqu’aucun des indices \(i, j\) n’appartient à l’image de \(\alpha\), on peut écrire \(\alpha = \delta^{n + 1}_{i, j} \circ \xi\) ; on a alors \(\psi = \delta^n_{j - 1} \circ \xi\) et \(\phi = \delta^n_i \circ \xi\). Ainsi \[\begin{eqnarray*} U(\psi) \circ f_i & = & U(\delta^n_{j - 1} \circ \xi) \circ f_i \\ & = & U(\xi) \circ d^n_{j - 1} \circ f_i \\ & = & U(\xi) \circ d^n_i \circ f_j \\ & = & U(\delta^n_i \circ \xi) \circ f_j \\ & = & U(\phi) \circ f_j \end{eqnarray*}\] comme voulu. Il reste à vérifier que les applications \(f_\alpha\) ainsi définies satisfont aux conditions imposées à un système \((f_\alpha)_\alpha\). Pour cela, supposons que \(\psi : [k'] \to [k]\), \(\alpha : [k] \to [n + 1]\), avec \(k, k' \leq n\). Posons \(\alpha' = \alpha \circ \psi\). Choisissons \(i\) hors de l’image de \(\alpha\). Alors \(i\) n’appartient pas non plus à l’image de \(\alpha'\). Écrivons \(\alpha = \delta^{n + 1}_i \circ \phi\) (on ne peut employer la lettre \(\psi\) ici, puisqu’elle est déjà utilisée). On a manifestement \(\alpha' = \delta^{n + 1}_i \circ \phi \circ \psi\). Par la construction ci-dessus, \[U(\psi) \circ f_\alpha = U(\psi) \circ U(\phi) \circ f_i = U(\phi \circ \psi) \circ f_i = f_{\alpha \circ \psi} = f_{\alpha'}\] comme voulu. Nous laissons au lecteur l’agréable tâche de vérifier que nos constructions sont des bijections inverses l’une de l’autre et sont fonctorielles en \(T\).

Lemme

Soit \(n\) un entier \(\geq 1\) et soit \(U\) un objet simplicial \(n\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). Considérons le foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) vers \(\textit{Ensembles}\) qui associe à un objet \(T\) l’ensemble \[\{ (f_0, \ldots, f_{n + 1}) \in \Mor_\mathcal{C}(T, U_n) \mid d^n_{j - 1} \circ f_i = d^n_i \circ f_j \ \forall\ 0\leq i < j\leq n + 1\}\] Si ce foncteur est représentable par un objet \(U_{n + 1}\) de \(\mathcal{C}\), alors il existe un objet simplicial \((n + 1)\)-tronqué \(\tilde U\), avec \(\text{sk}_n \tilde U = U\) et \(\tilde U_{n + 1} = U_{n + 1}\), tel que l’adjonction suivante soit vérifiée : \[\Mor_{\text{Simp}_{n + 1}(\mathcal{C})}(V, \tilde U) = \Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_nV, U)\]

Démonstration

Par le lemme 0184, on a des identifications \[U_i = \lim_{(\Delta/[i])_{\leq n}^{opp}} U(i)\] pour \(0 \leq i \leq n\). Par le lemme 0186, on a \[U_{n + 1} = \lim_{(\Delta/[n + 1])_{\leq n}^{opp}} U(n).\] On peut donc définir, pour tout \(\varphi : [i] \to [j]\) avec \(i, j \leq n + 1\), l’application correspondante \(\tilde U(\varphi) : \tilde U_j \to \tilde U_i\) exactement comme dans le lemme 0183. On obtient ainsi un objet simplicial \((n + 1)\)-tronqué \(\tilde U\) avec \(\text{sk}_n \tilde U = U\).

Pour établir l’adjonction, raisonnons comme suit. Étant donné un élément \(\gamma : \text{sk}_n V \to U\) du membre de droite, considérons les morphismes \(f_i = \gamma_n \circ d^{n + 1}_i : V_{n + 1} \to V_n \to U_n\). Ils satisfont manifestement aux relations \(d^n_{j - 1} \circ f_i = d^n_i \circ f_j\) et définissent donc un unique morphisme \(V_{n + 1} \to U_{n + 1}\) par le choix de \(U_{n + 1}\). Réciproquement, étant donné un morphisme \(\gamma' : V \to \tilde U\) du membre de gauche, il suffit de le restreindre à \(\Delta_{\leq n}\) pour obtenir un élément du membre de droite. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.

Remarque

Soient \(U\) et \(U_{n + 1}\) comme dans le lemme 0187. Sur les points à valeurs dans \(T\), on décrit aisément les applications de face et de dégénérescence de \(\tilde U\). Explicitement, les applications \(d^{n + 1}_i : U_{n + 1} \to U_n\) sont données par \[(f_0, \ldots, f_{n + 1}) \longmapsto f_i.\] Et les applications \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) sont données par \[\begin{eqnarray*} f & \longmapsto & ( s^{n - 1}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_0 \circ f, \\ & & s^{n - 1}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_1 \circ f, \\ & & \ldots\\ & & s^{n - 1}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_{j - 1} \circ f, \\ & & f, \\ & & f, \\ & & s^{n - 1}_j \circ d^{n - 1}_{j + 1} \circ f, \\ & & s^{n - 1}_j \circ d^{n - 1}_{j + 2} \circ f, \\ & & \ldots\\ & & s^{n - 1}_j \circ d^{n - 1}_n \circ f ) \end{eqnarray*}\] où nous laissons au lecteur le soin de vérifier que le membre de droite appartient à l’ensemble affiché dans le lemme 0187. Pour \(n = 0\), il y a une application, à savoir \(f \mapsto (f, f)\). Pour \(n = 1\), il y en a deux, à savoir \(f \mapsto (f, f, s_0d_1f)\) et \(f \mapsto (s_0d_0f, f, f)\). Pour \(n = 2\), il y en a trois, à savoir \(f \mapsto (f, f, s_0d_1f, s_0d_2f)\), \(f \mapsto (s_0d_0f, f, f, s_1d_2f)\), et \(f \mapsto (s_1d_0f, s_1d_1f, f, f)\). Et ainsi de suite.

Remarque

Dans le cas des ensembles simpliciaux, la construction du lemme 0187 est la suivante. Étant donné un ensemble simplicial \(n\)-tronqué \(U\), on construit canoniquement un ensemble simplicial \((n + 1)\)-tronqué \(\tilde U\). On adjoint un ensemble de \((n + 1)\)-simplexes \(U_{n + 1}\) par la formule du lemme. Un élément de \(U_{n + 1}\) est donc une famille numérotée \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\) de \(n\)-simplexes, qui se recollent comme les faces d’un \((n + 1)\)-simplexe. Autrement dit, la \(i\)-ième face de \(f_j\) est la \((j-1)\)-ième face de \(f_i\) pour \(i < j\). Géométriquement, les applications de face et de dégénérescence de \(\tilde U\) sont évidentes. Si \(V\) est un ensemble simplicial \((n + 1)\)-tronqué, ses \((n + 1)\)-simplexes fournissent des familles compatibles de \(n\)-simplexes \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\) avec \(f_i \in V_n\). Il existe donc une application naturelle \(\Mor(\text{sk}_nV, U) \to \Mor(V, \tilde U)\) inverse de l’application de restriction canonique dans l’autre sens.

Il suffit d’ailleurs d’effectuer la combinatoire de la construction pour les ensembles simpliciaux tronqués. En effet, pour tout objet \(T\) de la catégorie \(\mathcal{C}\) et tout objet simplicial \(n\)-tronqué \(U\) de \(\mathcal{C}\), on peut considérer l’ensemble simplicial \(n\)-tronqué \(\Mor(T, U)\). On lui applique la construction, on prend son ensemble de \((n + 1)\)-simplexes et on exige que celui-ci soit représentable. C’est une bonne manière d’interpréter le lemme 0187.

Remarque

Construction inductive des cosquelettes. Supposons que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie possédant les limites finies et que \(U\) soit un objet simplicial \(m\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). On peut alors construire par récurrence des objets \(n\)-tronqués \(U^n\) comme suit :

1. Pour commencer, poser \(U^m = U\).

2. Étant donné \(U^n\) pour \(n \geq m\), poser \(U^{n + 1} = \tilde U^n\), où \(\tilde U^n\) est construit à partir de \(U^n\) comme dans le lemme 0187.

Comme la construction du lemme 0187 laisse inchangé le \(n\)-squelette de \(U^n\), on peut définir \(\text{cosk}_m U\) comme l’objet simplicial tel que \((\text{cosk}_m U)_n = U^n_n = U^{n + 1}_n = \ldots\). Il résulte formellement du lemme 0187 que \(U^n\) satisfait à la formule \[\Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(V, U^n) = \Mor_{\text{Simp}_m(\mathcal{C})}(\text{sk}_mV, U)\] pour tout \(n \geq m\). Il en résulte également, de manière formelle, que \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(V, \text{cosk}_mU) = \Mor_{\text{Simp}_m(\mathcal{C})}(\text{sk}_mV, U)\] pour le choix de \(\text{cosk}_mU\) ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les limites finies.

1. Pour tout \(n\), le foncteur \(\text{sk}_n : \text{Simp}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\) possède un adjoint à droite \(\text{cosk}_n\).

2. Pour tout \(n' \geq n\), le foncteur \(\text{sk}_n : \text{Simp}_{n'}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\) possède un adjoint à droite, à savoir \(\text{sk}_{n'}\text{cosk}_n\).

3. Pour tout \(m \geq n \geq 0\) et tout objet simplicial \(n\)-tronqué \(U\) de \(\mathcal{C}\), on a \(\text{cosk}_m \text{sk}_m \text{cosk}_n U = \text{cosk}_n U\).

4. Si \(U\) est un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) tel que l’application canonique \(U \to \text{cosk}_n \text{sk}_nU\) soit un isomorphisme pour un certain \(n \geq 0\), alors l’application canonique \(U \to \text{cosk}_m \text{sk}_mU\) est un isomorphisme pour tout \(m \geq n\).

Démonstration

L’existence dans (1) résulte du lemme 0183. Les assertions (2) et (3) découlent de la discussion de la remarque 018A. L’assertion (4) est alors évidente.

Remarque

Toutes les limites finies ne sont pas nécessaires pour définir les foncteurs cosquelette. Voici quelques remarques.

1. On a vu dans l’exemple 0182 que, si \(\mathcal{C}\) possède les produits de deux objets, alors \(\text{cosk}_0\) existe.

2. Pour \(k > 0\), le foncteur \(\text{cosk}_k\) existe si \(\mathcal{C}\) possède les limites finies connexes.

Cela ressort de la construction inductive des cosquelettes (remarques 0189 et 018A), mais résulte aussi du fait que les catégories \((\Delta/[n])_{\leq k}\), pour \(k \geq 1\) et \(n \geq k + 1\), utilisées dans le lemme 0183, sont connexes. Pour \(n \leq k\), ces catégories ne sont pas nécessaires, d’après les lemmes 0184 et 0185. (Lorsque \(k\) croît, les catégories \((\Delta/[n])_{\leq k}\) pour \(k \geq 1\) et \(n \geq k + 1\) deviennent de plus en plus connexes au sens topologique.)

Lemme

Soient \(U\), \(V\) des objets simpliciaux \(n\)-tronqués d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Alors \[\text{cosk}_n (U \times V) = \text{cosk}_nU \times \text{cosk}_nV\] dès que les membres de gauche et de droite existent.

Démonstration

Soit \(W\) un objet simplicial. On a \[\begin{eqnarray*} \Mor(W, \text{cosk}_n (U \times V)) & = & \Mor(\text{sk}_n W, U \times V) \\ & = & \Mor(\text{sk}_n W, U) \times \Mor(\text{sk}_nW, V) \\ & = & \Mor(W, \text{cosk}_n U) \times \Mor(W, \text{cosk}_n V) \\ & = & \Mor(W, \text{cosk}_n U \times \text{cosk}_n V) \end{eqnarray*}\] Le lemme en découle.

Lemme

Supposons que \(\mathcal{C}\) possède les produits fibrés. Soient \(U \to V\) et \(W \to V\) des morphismes d’objets simpliciaux \(n\)-tronqués de la catégorie \(\mathcal{C}\). Alors \[\text{cosk}_n (U \times_V W) = \text{cosk}_nU \times_{\text{cosk}_n V} \text{cosk}_nW\] dès que les membres de gauche et de droite existent.

Démonstration

La démonstration est omise ; elle est très semblable à celle du lemme 018C.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les limites finies et soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Le foncteur \(\mathcal{C}/X \to \mathcal{C}\) commute aux foncteurs cosquelette \(\text{cosk}_k\) pour \(k \geq 1\).

Démonstration

Cela signifie que, si \(U\) est un objet simplicial de \(\mathcal{C}/X\), que l’on peut voir comme un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) muni d’un morphisme vers l’objet simplicial constant \(X\), alors \(\text{cosk}_k U\) calculé dans \(\mathcal{C}/X\) est le même que celui calculé dans \(\mathcal{C}\). Cela résulte, par exemple, de Catégories, lemme 002T, car les catégories \((\Delta/[n])_{\leq k}\) pour \(k \geq 1\) et \(n \geq k + 1\) utilisées dans le lemme 0183 sont connexes. Pour \(n \leq k\), ces catégories ne sont pas nécessaires, d’après les lemmes 0184 et 0185.

Lemme

L’application canonique \(\Delta[n] \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Delta[n]\) est un isomorphisme.

Démonstration

Considérons un ensemble simplicial \(U\) et un morphisme \(f : U \to \Delta[n]\). Celui-ci associe à chaque \(u \in U_i\) une application \(f_u : [i] \to [n]\) de \(\Delta\). Ces applications doivent en outre vérifier \(f_u \circ \varphi = f_{U(\varphi)(u)}\) pour tout \(\varphi : [j] \to [i]\). Notons \(\epsilon^i_j : [0] \to [i]\) l’application qui envoie \(0\) sur \(j\), et notons \(F : U_0 \to [n]\) l’application \(u \mapsto f_u(0)\). Alors \[f_u(j) = F(\epsilon^i_j(u))\] pour tout \(0 \leq j \leq i\) et tout \(u \in U_i\). En particulier, la connaissance de \(F\) détermine les applications \(f_u\) pour tout \(u\in U_i\) et tout \(i\). Réciproquement, étant donnée une application \(F : U_0 \to [n]\), on peut poser, pour tout \(i\), tout \(u \in U_i\) et tout \(0 \leq j \leq i\), \[f_u(j) = F(\epsilon^i_j(u))\] Cela ne définit pas en général un morphisme \(f\) d’ensembles simpliciaux comme ci-dessus. La condition requise est que toutes les applications \(f_u\) soient croissantes. Elle équivaut manifestement à \(F(\epsilon^i_j(u)) \leq F(\epsilon^i_{j'}(u))\) dès que \(0 \leq j \leq j' \leq i\) et \(u \in U_i\). Or les morphismes \[\epsilon^i_j, \epsilon^i_{j'} : [0] \to [i]\] se factorisent tous deux par l’application \(\epsilon^i_{j, j'} : [1] \to [i]\) définie par \(0 \mapsto j\), \(1 \mapsto j'\). Il suffit donc de vérifier les inégalités pour \(i = 1\) et \(u \in X_1\). Autrement dit, \[\Mor(U, \Delta[n]) = \Mor(\text{sk}_1 U, \text{sk}_1 \Delta[n])\] comme voulu.

Augmentations

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Une augmentation \(\epsilon : U \to X\) de \(U\) vers un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) est un morphisme de \(U\) vers l’objet simplicial constant \(X\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Se donner une augmentation de \(U\) vers \(X\) revient à se donner un morphisme \(\epsilon_0 : U_0 \to X\) tel que \(\epsilon_0 \circ d^1_0 = \epsilon_0 \circ d^1_1\).

Démonstration

Un morphisme \(\epsilon : U \to X\) fournit évidemment un \(\epsilon_0\) comme dans le lemme. Réciproquement, étant donné \(\epsilon_0\) comme dans le lemme, définissons \(\epsilon_n : U_n \to X\) en choisissant un morphisme quelconque \(\alpha : [0] \to [n]\) et en posant \(\epsilon_n = \epsilon_0 \circ U(\alpha)\). En effet, si \(\beta : [0] \to [n]\) est un autre choix, il existe un morphisme \(\gamma : [1] \to [n]\) tel que \(\alpha\) et \(\beta\) se factorisent tous deux sous la forme \([0] \to [1] \to [n]\). La condition sur \(\epsilon_0\) montre donc que \(\epsilon_n\) est bien définie. On vérifie alors aisément que \((\epsilon_n) : U \to X\) est un morphisme d’objets simpliciaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les produits fibrés, soit \(f : Y\to X\) un morphisme de \(\mathcal{C}\) et soit \(U\) l’objet simplicial de \(\mathcal{C}\) dont le terme de degré \(n\) est le produit fibré de \((n + 1)\) copies \(Y \times_X Y \times_X \ldots \times_X Y\). Voir l’exemple 016E. Pour tout objet simplicial \(V\) de \(\mathcal{C}\), on a \[\begin{align*} \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(V, U) & = \Mor_{\text{Simp}_1(\mathcal{C})}(\text{sk}_1 V, \text{sk}_1 U) \\ & = \{g_0 : V_0 \to Y \mid f \circ g_0 \circ d^1_0 = f \circ g_0 \circ d^1_1\} \end{align*}\] En particulier, \(U = \text{cosk}_1 \text{sk}_1 U\).

Démonstration

Supposons que \(g : \text{sk}_1V \to \text{sk}_1U\) soit un morphisme d’objets simpliciaux \(1\)-tronqués. Alors le diagramme \[\xymatrix{ V_1 \ar@<1ex>[r]^{d^1_0} \ar@<-1ex>[r]_{d^1_1} \ar[d]_{g_1} & V_0 \ar[d]^{g_0} \\ Y \times_X Y \ar@<1ex>[r]^{pr_1} \ar@<-1ex>[r]_{pr_0} & Y \ar[r] & X }\] est commutatif, ce qui démontre la relation du lemme. Réciproquement, il faut montrer qu’un morphisme \(g_0\) satisfaisant à la relation \(f \circ g_0 \circ d^1_0 = f \circ g_0 \circ d^1_1\) détermine un unique morphisme d’objets simpliciaux \(g : V \to U\). Pour tout \(n \geq 1\), posons \(g_{n, i} = g_0 \circ V([0] \to [n], 0 \mapsto i) : V_n \to Y\). L’égalité ci-dessus implique que \(f \circ g_{n, i} = f \circ g_{n, i + 1}\) en vertu du diagramme commutatif \[\xymatrix{ [0] \ar[rd]_{0 \mapsto 0} \ar[rrrrrd]^{0 \mapsto i} \\ & [1] \ar[rrrr]^{0 \mapsto i, 1\mapsto i + 1} & & & & [n] \\ [0] \ar[ru]^{0 \mapsto 1} \ar[rrrrru]_{0 \mapsto i + 1} }\] On obtient donc \((g_{n, 0}, \ldots, g_{n, n}) : V_n \to Y \times_X\ldots \times_X Y = U_n\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu’il s’agit d’un morphisme d’objets simpliciaux. La dernière assertion du lemme équivaut à la première égalité de sa formule affichée.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les produits fibrés, soit \(V\) un objet simplicial et soit \(\epsilon : V \to X\) une augmentation. Soit \(U\) l’objet simplicial dont le terme de degré \(n\) est le produit fibré de \((n + 1)\) copies de \(V_0\) au-dessus de \(X\). En combinant simplement les lemmes 018H et 018I, on obtient un morphisme canonique \(V \to U\).

Adjoints à gauche des foncteurs squelette

Dans cette section, nous construisons, dans certains cas, un adjoint à gauche \(i_{m!}\) du foncteur squelette \(\text{sk}_m\). La formule d’adjonction est \[\Mor_{\text{Simp}_m(\mathcal{C})}(U, \text{sk}_mV) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(i_{m!}U, V).\] Cet adjoint à gauche existe lorsque la catégorie \(\mathcal{C}\) possède les colimites finies.

Nous employons une construction analogue à celle de la section 017Z. Rappelons la catégorie \([n]/\Delta\) des objets sous \([n]\), voir Catégories, exemple 001H. Ses objets sont les morphismes \(\alpha : [n] \to [k]\) et ses morphismes les triangles commutatifs. Notons \(([n]/\Delta)_{\leq m}\) la sous-catégorie pleine de \([n]/\Delta\) formée des objets \([n] \to [k]\) avec \(k \leq m\). Étant donné un objet simplicial \(m\)-tronqué \(U\) de \(\mathcal{C}\), on définit un foncteur \[U(n) : ([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp} \longrightarrow \mathcal{C}\] par les règles \[\begin{eqnarray*} ([n] \to [k]) & \longmapsto & U_k \\ \psi : ([n] \to [k']) \to ([n] \to [k]) & \longmapsto & U(\psi) : U_k \to U_{k'} \end{eqnarray*}\] À tout morphisme \(\varphi : [n] \to [n']\) de \(\Delta\) est associé un foncteur \[\underline{\varphi} : ([n']/\Delta)_{\leq m} \longrightarrow ([n]/\Delta)_{\leq m}\] qui envoie \(\alpha : [n'] \to [k]\) sur \(\varphi \circ \alpha : [n] \to [k]\). Le composé \(U(n) \circ \underline{\varphi}\) est égal au foncteur \(U(n')\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les colimites finies. Les foncteurs \(i_{m!}\) existent pour tout \(m\). Soit \(U\) un objet simplicial \(m\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). L’objet simplicial \(i_{m!}U\) est décrit par la formule \[(i_{m!}U)_n = \colim_{([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(n)\] et, pour \(\varphi : [n] \to [n']\), l’application \(i_{m!}U(\varphi)\) provient de l’identification \(U(n) \circ \underline{\varphi} = U(n')\) ci-dessus, par Catégories, lemme 002K.

Démonstration

Dans cette démonstration, notons \(i_{m!}U\) l’objet simplicial dont le terme de degré \(n\) est donné par la formule affichée du lemme. Nous allons montrer qu’il satisfait à la propriété d’adjonction.

Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) et soit \(\gamma : U \to \text{sk}_mV\). Un morphisme \[\colim_{([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(n) \to T\] est donné par un système compatible de morphismes \(f_\alpha : U_k \to T\), où \(\alpha : [n] \to [k]\) et \(k \leq m\). On obtient un tel système en prenant les composés \[U_k \xrightarrow{\gamma_k} V_k \xrightarrow{V(\alpha)} V_n.\] On obtient donc un morphisme induit \((i_{m!}U)_n \to V_n\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ceux-ci forment un morphisme d’objets simpliciaux \(\gamma' : i_{m!}U \to V\).

Réciproquement, étant donné un morphisme \(\gamma' : i_{m!}U \to V\), on obtient un morphisme \(\gamma : U \to \text{sk}_m V\) en définissant \(\gamma_i : U_i \to V_i\) comme le composé \[U_i \xrightarrow{\text{id}_{[i]}} \colim_{([i]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(i) \xrightarrow{\gamma'_i} V_i\] pour \(0 \leq i \leq n\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette construction est inverse de la précédente.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(U\) un objet simplicial \(m\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). Pour tout \(n \leq m\), la colimite \[\colim_{([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(n)\] existe et est égale à \(U_n\).

Démonstration

En effet, la catégorie \(([n]/\Delta)_{\leq m}\) possède un objet initial, à savoir \(\text{id} : [n] \to [n]\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les colimites finies et soit \(U\) un objet simplicial \(m\)-tronqué de \(\mathcal{C}\). L’application \(U \to \text{sk}_m i_{m!}U\) est un isomorphisme.

Démonstration

Combiner les lemmes 018L et 018M.

Lemme

Si \(U\) est un ensemble simplicial \(m\)-tronqué et si \(n > m\), alors tous les \(n\)-simplexes de \(i_{m!}U\) sont dégénérés.

Démonstration

Cela résulte de la construction de \(i_{m!}U\) dans le lemme 018L, mais on peut aussi raisonner directement. Posons \(V = i_{m!}U\). Soit \(V' \subset V\) le sous-ensemble simplicial tel que \(V'_i = V_i\) pour \(i \leq m\) et dont tous les \(i\)-simplexes sont dégénérés pour \(i > m\), voir le lemme 017T. Par la formule d’adjonction, puisque \(\text{sk}_m V' = U\), l’injection \(V' \to V\) possède un inverse. Ainsi \(V' = V\).

Lemme

Soit \(U\) un ensemble simplicial et soit \(n \geq 0\) un entier. Le morphisme \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) identifie \(i_{n!} \text{sk}_n U\) à l’ensemble simplicial \(U' \subset U\) défini dans le lemme 017T.

Démonstration

Par le lemme 018O, les seuls simplexes non dégénérés de \(i_{n!} \text{sk}_n U\) sont en degrés \(\leq n\). L’application \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) est un isomorphisme en degrés \(\leq n\). On en conclut que l’application \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) envoie les simplexes non dégénérés sur des simplexes non dégénérés et que deux simplexes non dégénérés distincts n’ont pas la même image. Le lemme 017S s’applique donc. Ainsi \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) est injective, d’où le résultat.

Remarque

Dans certains textes, le foncteur composé \[\text{Simp}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\text{sk}_m} \text{Simp}_m(\mathcal{C}) \xrightarrow{i_{m!}} \text{Simp}(\mathcal{C})\] est noté \(\text{sk}_m\). Cela se justifie pour les ensembles simpliciaux, car le lemme 018P affirme alors que \(i_{m!} \text{sk}_m V\) est simplement le sous-ensemble simplicial de \(V\) formé de tous les \(i\)-simplexes de \(V\), \(i \leq m\), et de leurs dégénérescences. Dans ces textes, il est également usuel de noter le composé \[\text{Simp}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\text{sk}_m} \text{Simp}_m(\mathcal{C}) \xrightarrow{\text{cosk}_m} \text{Simp}(\mathcal{C})\] par \(\text{cosk}_m\).

Lemme

Soient \(U \subset V\) des ensembles simpliciaux. Supposons que \(n \geq 0\) et \(x \in V_n\), \(x \not \in U_n\), soient tels que

1. \(V_i = U_i\) pour \(i < n\),

2. \(V_n = U_n \cup \{x\}\),

3. tout \(z \in V_j\), \(z \not \in U_j\), pour \(j > n\), est dégénéré.

Soit \(\Delta[n] \to V\) l’unique morphisme qui envoie le \(n\)-simplexe non dégénéré de \(\Delta[n]\) sur \(x\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ \Delta[n] \ar[r] & V \\ i_{(n - 1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n] \ar[r] \ar[u] & U \ar[u] }\] est cocartésien.

Démonstration

Pour abréger, notons \(\partial \Delta[n] = i_{(n - 1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n]\). Il existe une application naturelle \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n] \to V\). Il faut montrer qu’elle est bijective en degré \(j\), pour tout \(j\). C’est clair pour \(j \leq n\). Soit \(j > n\). La troisième condition signifie que tout \(z \in V_j\), \(z \not \in U_j\), est un simplexe dégénéré, disons \(z = s^{j - 1}_i(z')\). Bien entendu, \(z' \not \in U_{j - 1}\). Par récurrence, \(z'\) est une dégénérescence de \(x\). Ainsi, tout \(j\)-simplexe de \(V\) appartient à \(U\) ou est une dégénérescence de \(x\). L’application \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n] \to V\) est donc surjective. Remarquons qu’un simplexe non dégénéré de \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n]\) est soit l’image d’un simplexe non dégénéré de \(U\), soit l’image de l’unique \(n\)-simplexe non dégénéré de \(\Delta[n]\). Comme \(x\) est manifestement non dégénéré, l’application \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n] \to V\) envoie les simplexes non dégénérés sur des simplexes non dégénérés et est injective sur les simplexes non dégénérés. Elle est donc injective par le lemme 017S.

Lemme

Soient \(U \subset V\) des ensembles simpliciaux tels que \(U_n, V_n\) soient finis et non vides pour tout \(n\). Supposons que \(U\) et \(V\) n’aient qu’un nombre fini de simplexes non dégénérés. Alors il existe une suite de sous-ensembles simpliciaux \[U = W^0 \subset W^1 \subset W^2 \subset \ldots W^r = V\] telle que le lemme 018R s’applique à chacune des inclusions \(W^i \subset W^{i + 1}\).

Démonstration

Soit \(n\) le plus petit entier tel que \(V\) possède un simplexe non dégénéré qui n’appartient pas à \(U\). Soit \(x \in V_n\), \(x\not \in U_n\), un tel simplexe non dégénéré. Soit \(W \subset V\) l’ensemble des éléments qui appartiennent à \(U\) ou qui sont une dégénérescence, éventuellement itérée, de \(x\) (autrement dit, qui sont de la forme \(V(\varphi)(x)\), avec \(\varphi : [m] \to [n]\) surjective). On vérifie aisément que \(W\) est un ensemble simplicial. L’inclusion \(U \subset W\) satisfait aux conditions du lemme 018R. De plus, le nombre de simplexes non dégénérés de \(V\) qui ne sont pas contenus dans \(W\) est exactement inférieur d’une unité au nombre de simplexes non dégénérés de \(V\) qui ne sont pas contenus dans \(U\). Le résultat s’ensuit par récurrence sur ce nombre.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(U\) un objet simplicial \(m\)-tronqué de \(\mathcal{A}\). Pour \(n > m\), on a \(N(i_{m!}U)_n = 0\).

Démonstration

Posons \(V = i_{m!}U\). Soit \(V' \subset V\) le sous-objet simplicial de \(V\) tel que \(V'_i = V_i\) pour \(i \leq m\) et \(N(V'_i) = 0\) pour \(i > m\), voir le lemme 017Y. Par la formule d’adjonction, puisque \(\text{sk}_m V' = U\), l’injection \(V' \to V\) possède un inverse. Ainsi \(V' = V\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne, soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\) et soit \(n \geq 0\) un entier. Le morphisme \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) identifie \(i_{n!} \text{sk}_n U\) au sous-objet simplicial \(U' \subset U\) défini dans le lemme 017Y.

Démonstration

Par le lemme 018T, on a \(N(i_{n!} \text{sk}_n U)_i = 0\) pour \(i > n\). L’application \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) est un isomorphisme en degrés \(\leq n\), voir le lemme 018N. On en conclut que l’application \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) induit des applications injectives \(N(i_{n!} \text{sk}_n U)_i \to N(U)_i\) pour tout \(i\). Le lemme 017W s’applique donc. Ainsi \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) est injective, d’où le résultat.

Voici une autre interprétation du foncteur cosquelette à l’aide des résultats précédents.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les sommes finies et les limites finies. Soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Alors \[(\text{cosk}_n \text{sk}_n V)_{n + 1} = \Hom(i_{n !}\text{sk}_n \Delta[n + 1], V)_0.\]

Démonstration

Par le lemme 017F, l’objet de gauche représente le foncteur qui associe à \(X\) le premier ensemble de la suite d’égalités suivante : \[\begin{eqnarray*} \Mor(X \times \Delta[n + 1], \text{cosk}_n \text{sk}_n V) & = & \Mor(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n V) \\ & = & \Mor(X \times i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1], V). \end{eqnarray*}\] L’objet de droite dans la formule du lemme est représenté par le foncteur qui associe à \(X\) le dernier ensemble de la suite d’égalités. Cela démontre le résultat.

Dans la suite d’égalités, nous avons utilisé \(\text{sk}_n (X \times \Delta[n + 1]) = X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1]\) et \(i_{n!}(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1]) = X \times i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1]\). La première égalité est évidente. Pour tout objet simplicial \(W\), éventuellement tronqué, de \(\mathcal{C}\) et tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), notons provisoirement \(\Mor_\mathcal{C}(X, W)\) l’ensemble simplicial, éventuellement tronqué, \([n] \mapsto \Mor_\mathcal{C}(X, W_n)\). Il résulte des définitions que \(\Mor(U \times X, W) = \Mor(U, \Mor_\mathcal{C}(X, W))\) pour tout ensemble simplicial \(U\), éventuellement tronqué. Ainsi \[\begin{eqnarray*} \Mor(X \times i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1], W) & = & \Mor(i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1], \Mor_\mathcal{C}(X, W)) \\ & = & \Mor(\text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n\Mor_\mathcal{C}(X, W)) \\ & = & \Mor(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_nW) \\ & = & \Mor(i_{n!}(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1]), W). \end{eqnarray*}\] Cela démontre la seconde égalité utilisée et achève la démonstration.

Objets simpliciaux dans les catégories abéliennes

Rappelons que la notion de catégorie abélienne est définie dans Homology, section 00ZX.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Les catégories \(\text{Simp}(\mathcal{A})\) et \(\text{CoSimp}(\mathcal{A})\) sont abéliennes.

2. Un morphisme d’objets (co)simpliciaux \(f : A \to B\) est injectif si et seulement si chaque \(f_n : A_n \to B_n\) est injectif.

3. Un morphisme d’objets (co)simpliciaux \(f : A \to B\) est surjectif si et seulement si chaque \(f_n : A_n \to B_n\) est surjectif.

4. Une suite d’objets (co)simpliciaux \[A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\] est exacte en \(B\) si et seulement si chaque suite \[A_i \xrightarrow{f_i} B_i \xrightarrow{g_i} C_i\] est exacte en \(B_i\).

Démonstration

La préadditivité est immédiate. Un objet final est donné par \(U_n = 0\) en tout degré. L’existence des produits directs a été établie dans les lemmes 016R et 0170. Les noyaux et conoyaux s’obtiennent degré par degré.

Pour un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) et un entier \(k\), considérons l’objet simplicial \(k\)-tronqué \(U\) défini par

1. \(U_i = 0\) pour \(i < k\),

2. \(U_k = A\),

3. tous les morphismes \(U(\varphi)\) sont nuls, à l’exception de \(U(\text{id}_{[k]}) = \text{id}_A\).

Comme \(\mathcal{A}\) possède les limites et les colimites finies, \(\text{cosk}_k U\) et \(i_{k!}U\) existent tous deux. Nous allons les décrire, ainsi que l’application canonique \(i_{k!}U \to \text{cosk}_kU\).

Lemme

Avec \(A\), \(k\) et \(U\) comme ci-dessus, de sorte que \(U_i = 0\), \(i < k\), et \(U_k = A\).

1. Étant donné un objet simplicial \(k\)-tronqué \(V\), on a \[\Mor(U, V) = \{ f : A \to V_k \mid d^k_i \circ f = 0, \ i = 0, \ldots, k \}\] et \[\Mor(V, U) = \{ f : V_k \to A \mid f \circ s^{k - 1}_i = 0, \ i = 0, \ldots, k - 1 \}.\]

2. L’objet \(i_{k!} U\) a pour terme de degré \(n\) \(\bigoplus_\alpha A\), où \(\alpha\) parcourt tous les morphismes surjectifs \(\alpha : [n] \to [k]\).

3. Pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), l’application \(i_{k!} U(\varphi)\) est décrite par l’application \(\bigoplus_\alpha A \to \bigoplus_{\alpha'} A\) qui envoie la composante correspondant à \(\alpha : [n] \to [k]\) sur zéro si \(\alpha \circ \varphi\) n’est pas surjective, et par l’identité sur la composante correspondant à \(\alpha \circ \varphi\) si elle est surjective.

4. L’objet \(\text{cosk}_k U\) a pour terme de degré \(n\) \(\bigoplus_\beta A\), où \(\beta\) parcourt tous les morphismes injectifs \(\beta : [k] \to [n]\).

5. Pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), l’application \(\text{cosk}_k U(\varphi)\) est décrite par l’application \(\bigoplus_\beta A \to \bigoplus_{\beta'} A\) qui envoie la composante correspondant à \(\beta : [k] \to [n]\) sur zéro si \(\beta\) ne se factorise pas par \(\varphi\), et par l’identité sur chacune des composantes correspondant à \(\beta'\) telles que \(\beta = \varphi \circ \beta'\) dans le cas contraire.

6. L’application canonique \(c : i_{k !} U \to \text{cosk}_k U\) possède en degré \(n\) un coefficient \((\alpha, \beta)\), \(A \to A\), nul si \(\alpha \circ \beta\) n’est pas l’identité et égal à \(\text{id}_A\) sinon.

7. L’application canonique \(c : i_{k !} U \to \text{cosk}_k U\) est injective.

Démonstration

La démonstration de (1) est laissée au lecteur.

Prenons les règles de (2) et (3) comme définition d’un objet simplicial, noté \(\tilde U\). Nous allons montrer qu’il constitue une réalisation de \(i_{k!}U\), ce qui démontrera simultanément (2) et (3). Il faut montrer qu’étant donné un morphisme \(f : U \to \text{sk}_kV\), il existe un unique morphisme \(\tilde f : \tilde U \to V\) qui redonne \(f\) après passage au \(k\)-squelette. D’après (1), \(f\) correspond à un morphisme \(f_k : A \to V_k\) dont l’image est contenue dans le noyau de \(d^k_i\) pour tout \(i\). Pour toute surjection \(\alpha : [n] \to [k]\), définissons \(\tilde f_\alpha : A \to V_n\) comme le composé \(\tilde f_\alpha = V(\alpha) \circ f_k : A \to V_n\). Définissons \(\tilde f_n : \tilde U_n \to V_n\) comme la somme des \(\tilde f_\alpha\) pour les surjections \(\alpha : [n] \to [k]\). Une telle famille de \(\tilde f_\alpha\) définit un morphisme d’objets simpliciaux si et seulement si, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), le diagramme \[\xymatrix{ \bigoplus_{\alpha : [n] \to [k]\text{ surjective}} A \ar[r]_-{\tilde f_n} \ar[d]_{(3)} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ \bigoplus_{\alpha' : [m] \to [k]\text{ surjective}} A \ar[r]^-{\tilde f_m} & V_m }\] soit commutatif. Le choix \(\varphi = \alpha\) montre que \(\tilde f_\alpha\) est uniquement déterminé par \(f_k\). La commutativité se vérifie en général séparément sur chaque facteur direct du coin supérieur gauche. Elle est claire pour les facteurs correspondant aux \(\alpha\) tels que \(\alpha \circ \varphi\) soit surjective, car ils sont envoyés par \(\text{id}_A\) sur le facteur avec \(\alpha' = \alpha \circ \varphi\), et l’on a \(\tilde f_{\alpha'} = V(\alpha') \circ f_k = V(\alpha \circ \varphi) \circ f_k = V(\varphi) \circ \tilde f_\alpha\). Pour ceux où \(\alpha \circ \varphi\) n’est pas surjective, il faut montrer que \(V(\varphi) \circ \tilde f_\alpha = 0\). Par définition, ce morphisme est égal à \(V(\varphi) \circ V(\alpha) \circ f_k = V(\alpha \circ \varphi) \circ f_k\). Comme \(\alpha \circ \varphi\) n’est pas surjective, on peut l’écrire sous la forme \(\delta^k_i \circ \psi\), et l’on en déduit que \(V(\varphi) \circ V(\alpha) \circ f_k = V(\psi) \circ d^k_i \circ f_k = 0\), comme ci-dessus.

Prenons les règles de (4) et (5) comme définition d’un objet simplicial, noté \(\tilde U\). Nous allons montrer qu’il constitue une réalisation de \(\text{cosk}_k U\), ce qui démontrera simultanément (4) et (5). L’argument est entièrement dual de la démonstration de (2) et (3), mais nous le donnons. Il faut montrer qu’étant donné un morphisme \(f : \text{sk}_kV \to U\), il existe un unique morphisme \(\tilde f : V \to \tilde U\) qui redonne \(f\) après passage au \(k\)-squelette. D’après (1), \(f\) correspond à un morphisme \(f_k : V_k \to A\) nul sur l’image de \(s^{k - 1}_i\) pour tout \(i\). Pour toute injection \(\beta : [k] \to [n]\), définissons \(\tilde f_\beta : V_n \to A\) comme le composé \(\tilde f_\beta = f_k \circ V(\beta) : V_n \to A\). Définissons \(\tilde f_n : V_n \to \tilde U_n\) comme la somme des \(\tilde f_\beta\) pour les injections \(\beta : [k] \to [n]\). Une telle famille de \(\tilde f_\beta\) définit un morphisme d’objets simpliciaux si et seulement si, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), le diagramme \[\xymatrix{ V_n \ar[d]_{V(\varphi)} \ar[r]_-{\tilde f_n} & \bigoplus_{\beta : [k] \to [n]\text{ injective}} A \ar[d]^{(5)} \\ V_m \ar[r]^-{\tilde f_m} & \bigoplus_{\beta' : [k] \to [m]\text{ injective}} A }\] soit commutatif. Le choix \(\varphi = \beta\) montre que \(\tilde f_\beta\) est uniquement déterminé par \(f_k\). La commutativité se vérifie en général séparément sur chaque facteur direct du coin inférieur droit. Elle est claire pour les facteurs correspondant aux \(\beta'\) tels que \(\varphi \circ \beta'\) soit injective, car l’unique facteur envoyé dans chacun d’eux est celui avec \(\beta = \varphi \circ \beta'\), et l’on a alors \(\tilde f_{\beta'} \circ V(\varphi) = f_k \circ V(\beta') \circ V(\varphi) = f_k \circ V(\beta) = \tilde f_\beta\). Pour ceux où \(\varphi \circ \beta'\) n’est pas injective, il faut montrer que \(\tilde f_{\beta'} \circ V(\varphi) = 0\). Par définition, ce morphisme est égal à \(f_k \circ V(\beta') \circ V(\varphi) = f_k \circ V(\varphi \circ \beta')\). Comme \(\varphi \circ \beta'\) n’est pas injective, on peut l’écrire sous la forme \(\psi \circ \sigma^{k - 1}_i\), et l’on en déduit que \(f_k \circ V(\beta') \circ V(\varphi) = f_k \circ s^{k - 1}_i \circ V(\psi) = 0\), comme ci-dessus.

Le composé \(i_{k!}U \to \text{cosk}_kU\) est l’unique application d’objets simpliciaux qui soit l’identité sur \(A = U_k = (i_{k!}U)_k = (\text{cosk}_kU)_k\). Il suffit donc de vérifier que la règle proposée définit un morphisme d’objets simpliciaux. Pour cela, il faut montrer que, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), le diagramme \[\xymatrix{ \bigoplus_{\alpha : [n] \to [k]\text{ surjective}} A \ar[d]_{(3)} \ar[r]_{(6)} & \bigoplus_{\beta : [k] \to [n]\text{ injective}} A \ar[d]^{(5)} \\ \bigoplus_{\alpha' : [m] \to [k]\text{ surjective}} A \ar[r]^{(6)} & \bigoplus_{\beta' : [k] \to [m]\text{ injective}} A }\] soit commutatif. On peut l’interpréter en termes de matrices ne contenant que des \(0\) et des \(1\), comme suit. La matrice de (3) possède une entrée \((\alpha', \alpha)\) non nulle si et seulement si \(\alpha' = \alpha \circ \varphi\). De même, la matrice de (5) possède une entrée \((\beta', \beta)\) non nulle si et seulement si \(\beta = \varphi \circ \beta'\). La matrice supérieure de (6) possède une entrée \((\alpha, \beta)\) non nulle si et seulement si \(\alpha \circ \beta = \text{id}_{[k]}\), et de même pour la matrice inférieure de (6). La commutativité du diagramme revient alors à calculer l’entrée \((\alpha, \beta')\) des deux composés et à constater qu’elles sont égales. Cela revient à l’égalité suivante : \[\# \left\{ \beta \mid \beta = \varphi \circ \beta' \text{ et } \alpha \circ \beta = \text{id}_{[k]} \right\} = \# \left\{ \alpha' \mid \alpha' = \alpha \circ \varphi \text{ et } \alpha' \circ \beta' = \text{id}_{[k]} \right\}\] dont la démonstration peut sans risque être laissée au lecteur.

Enfin, démontrons (7). Cela résulte directement des lemmes 017W, 0185, 018N et 018T.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(k\) un entier \(\geq 0\). L’objet d’Eilenberg–Mac Lane \(K(A, k)\) est l’objet \(K(A, k) = i_{k!}U\) décrit dans le lemme 0190.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(k\) un entier \(\geq 0\). Considérons l’objet simplicial \(E\) défini par les règles suivantes :

1. \(E_n = \bigoplus_\alpha A\), où la somme porte sur les \(\alpha : [n] \to [k + 1]\) dont l’image est \([k]\) ou \([k + 1]\).

2. Étant donné \(\varphi : [m] \to [n]\), l’application \(E_n \to E_m\) envoie le facteur correspondant à \(\alpha\), par \(\text{id}_A\), sur le facteur correspondant à \(\alpha \circ \varphi\), pourvu que \(\Im(\alpha \circ \varphi)\) soit égal à \([k]\) ou \([k + 1]\).

Alors il existe une suite exacte courte \[0 \to K(A, k) \to E \to K(A, k + 1) \to 0\] qui est scindée exacte degré par degré.

Démonstration

Les applications \(K(A, k)_n \to E_n\), resp. \(E_n \to K(A, k + 1)_n\), sont données par l’inclusion des sommes directes, resp. la projection des sommes directes, qui résultent manifestement des inclusions des ensembles d’indices. Ce sont clairement des applications d’objets simpliciaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Pour tout objet simplicial \(V\) de \(\mathcal{A}\), on a \[V = \colim_n i_{n!}\text{sk}_n V\] où toutes les applications de transition sont injectives.

Démonstration

En effet, chaque \(V_m\) est égal à \((i_{n!}\text{sk}_n V)_m\) dès que \(n \geq m\). Voir aussi le lemme 018U pour les applications de transition.

Objets simpliciaux et complexes de chaînes

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Voir Homology, section 010V, pour les conventions et les notations relatives aux complexes de chaînes. Soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Le complexe de chaînes associé \(s(U)\) à \(U\), parfois appelé complexe de Moore, est le complexe de chaînes \[\ldots \to U_2 \to U_1 \to U_0 \to 0 \to 0 \to \ldots\] dont les différentielles \(d_n : U_n \to U_{n - 1}\) sont données par la formule \[d_n = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i d^n_i.\] C’est bien un complexe car, d’après les relations de la remarque 016C, on a \[\begin{eqnarray*} d_n \circ d_{n + 1} & = & (\sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i d^n_i) \circ (\sum\nolimits_{j = 0}^{n + 1} (-1)^j d^{n + 1}_j) \\ & = & \sum\nolimits_{0 \leq i < j \leq n + 1} (-1)^{i + j} d^n_{j - 1} \circ d^{n + 1}_i + \sum\nolimits_{n \geq i \geq j \geq 0} (-1)^{i + j} d^n_i \circ d^{n + 1}_j \\ & = & 0. \end{eqnarray*}\] Les signes s’annulent ! On note \(s(U)\) le complexe de chaînes associé. La construction est manifestement fonctorielle et définit donc un foncteur \[s : \text{Simp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}).\] On a ainsi la formule déconcertante mais correcte \(s(U)_n = U_n\).

Lemme

Le foncteur \(s\) est exact.

Démonstration

Cela résulte du lemme 018Z.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\), soit \(k\) un entier et soit \(E\) l’objet décrit dans le lemme 0192. Alors le complexe \(s(E)\) est acyclique.

Démonstration

Pour un morphisme \(\alpha : [n] \to [k + 1]\), définissons \(\alpha' : [n + 1] \to [k + 1]\) comme l’application telle que \(\alpha'|_{[n]} = \alpha\) et \(\alpha'(n + 1) = k + 1\). Remarquons que, si l’image de \(\alpha\) est \([k]\) ou \([k + 1]\), l’image de \(\alpha'\) est \([k + 1]\). Considérons la famille d’applications \(h_n : E_n \to E_{n + 1}\) qui envoie le facteur correspondant à \(\alpha\) sur celui correspondant à \(\alpha'\) par l’identité de \(A\). Calculons \(d_{n + 1} \circ h_n - h_{n - 1} \circ d_n\). Faisons-le d’abord lorsque la catégorie \(\mathcal{A}\) est celle des groupes abéliens. Notons \(x_\alpha\) l’élément \(x \in A\) dans le facteur de \(E_n\) correspondant à l’application \(\alpha\) de l’ensemble d’indices. Convenons aussi que \(x_\alpha\) désigne l’élément nul de \(E_n\) lorsque \(\Im(\alpha)\) n’est ni \([k]\) ni \([k + 1]\). Avec ces conventions, \[d_{n + 1}(h_n(x_\alpha)) = \sum\nolimits_{i = 0}^{n + 1} (-1)^i x_{\alpha' \circ \delta^{n + 1}_i}\] et \[h_{n - 1}(d_n(x_\alpha)) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i x_{(\alpha \circ \delta_i^n)'}\] On vérifie aisément que \(\alpha' \circ \delta^{n + 1}_i = (\alpha \circ \delta_i^n)'\) pour \(i = 0, \ldots, n\). On vérifie également que \(\alpha' \circ \delta^{n + 1}_{n + 1} = \alpha\). Ainsi, \[(d_{n + 1} \circ h_n - h_{n - 1} \circ d_n)(x_\alpha) = (-1)^{n + 1} x_\alpha\] Ces identités restent valables pour toute catégorie abélienne \(\mathcal{A}\), puisqu’elles valent dans le groupe abélien simplicial \([n] \mapsto \Hom(A, E_n)\) ; les détails sont laissés au lecteur. On en conclut que l’identité de \(E\) est homotope à zéro, l’homotopie étant donnée par la famille d’applications \(h'_n = (-1)^{n + 1}h_n : E_n \to E_{n + 1}\). Ainsi \(E\) est acyclique, par exemple d’après Homology, lemme 0110.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(k\) un entier. On a \(H_i(s(K(A, k))) = A\) si \(i = k\), et \(0\) sinon.

Démonstration

Démontrons d’abord l’énoncé pour \(k = 0\). Dans ce cas, \(K(A, 0)_n = A\) pour tout \(n\). Toutes les applications de ce groupe abélien simplicial sont en outre \(\text{id}_A\) ; autrement dit, \(K(A, 0)\) est l’objet simplicial constant de valeur \(A\). Les différentielles \(d_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^i \text{id}_A = 0\) si \(n\) est impair et \(= \text{id}_A\) si \(n\) est pair. Ainsi \(s(K(A, 0))\) est de la forme \[\ldots \to A \xrightarrow{0} A \xrightarrow{1} A \xrightarrow{0} A \to 0\] et le résultat est clair.

Montrons ensuite le résultat pour tout \(k\) par récurrence. Le résultat étant acquis pour \(k\), considérons la suite exacte courte \[0 \to K(A, k) \to E \to K(A, k + 1) \to 0\] du lemme 0192. Par le lemme 018Z, la suite associée de complexes de chaînes est exacte. Par le lemme 0196, \(s(E)\) est acyclique. Le résultat pour \(k + 1\) découle donc de la suite exacte longue d’homologie ; voir Homology, lemme 0111.

On peut associer un second complexe de chaînes à un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Rappelons que, par le lemme 017V, tout objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{A}\) est canoniquement scindé avec \(N(U_m) = \bigcap_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i)\). On définit le complexe de chaînes normalisé \(N(U)\) comme le complexe de chaînes \[\ldots \to N(U_2) \to N(U_1) \to N(U_0) \to 0 \to 0 \to \ldots\] dont la différentielle \(d_n : N(U_n) \to N(U_{n - 1})\) est la restriction de \((-1)^nd^n_n\) au facteur direct \(N(U_n)\) de \(U_n\). Remarquons que le lemme 017X implique \(d^n_n(N(U_n)) \subset N(U_{n - 1})\). C’est un complexe car \(d^n_n \circ d^{n + 1}_{n + 1} = d^n_n \circ d^{n + 1}_n\) et \(d^{n + 1}_n\) est nulle sur \(N(U_{n + 1})\) par définition. On obtient ainsi un second foncteur \[N : \text{Simp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}).\] Voici la raison du signe dans la différentielle.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). L’application canonique \(N(U_n) \to U_n\) induit un morphisme de complexes \(N(U) \to s(U)\).

Démonstration

C’est clair, car la différentielle sur \(s(U)_n = U_n\) est \(\sum (-1)^i d^n_i\), et les applications \(d^n_i\), \(i < n\), sont nulles sur \(N(U_n)\), tandis que la restriction de \((-1)^nd^n_n\) est, par définition, la différentielle de \(N(U)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(k\) un entier. On a \(N(K(A, k))_i = A\) si \(i = k\), et \(0\) sinon.

Démonstration

Il est clair que \(N(K(A, k))_i = 0\) lorsque \(i < k\), car \(K(A, k)_i = 0\) dans ce cas. Il est également clair que \(N(K(A, k))_k = A\), puisque \(K(A, k)_{k - 1} = 0\) et \(K(A, k)_k = A\). Pour \(i > k\), on a \(N(K(A, k))_i = 0\) par le lemme 018T et la définition de \(K(A, k)\) ; voir la définition 0191.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Le morphisme canonique de complexes de chaînes \(N(U) \to s(U)\) est scindé. En fait, \[s(U) = N(U) \oplus D(U)\] pour un certain complexe \(D(U)\). La construction \(U \mapsto D(U)\) est fonctorielle.

Démonstration

Définissons \(D(U)_n\) comme l’image de \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ surjective}, \ m < n} N(U_m) \xrightarrow{\bigoplus U(\varphi)} U_n\] qui est un sous-objet de \(U_n\) supplémentaire de \(N(U_n)\) d’après le lemme 017V et la définition 017P. Montrons que \(D(U)\) est un sous-complexe. Fixons une application surjective \(\varphi : [n] \to [m]\) avec \(m < n\) et considérons le composé \[N(U_m) \xrightarrow{U(\varphi)} U_n \xrightarrow{d_n} U_{n - 1}.\] Ce composé est la somme des applications \[N(U_m) \xrightarrow{U(\varphi \circ \delta^n_i)} U_{n - 1}\] affectées du signe \((-1)^i\), \(i = 0, \ldots, n\).

Montrons d’abord par récurrence croissante sur \(m\), pour \(0 \leq m < n - 1\), que toutes les applications \(U(\varphi \circ \delta^n_i)\) envoient \(N(U_m)\) dans \(D(U)_{n - 1}\). (Le cas \(m = n - 1\) est traité ci-dessous.) Lorsque l’application \(\varphi \circ \delta^n_i : [n - 1] \to [m]\) est surjective, l’image de \(N(U_m)\) par \(U(\varphi \circ \delta^n_i)\) est contenue par définition dans \(D(U)_{n - 1}\). Si \(\varphi \circ \delta^n_i : [n - 1] \to [m]\) n’est pas surjective, posons \(j = \varphi(i)\) et remarquons que \(i\) est l’unique indice dont l’image par \(\varphi\) est \(j\). On peut écrire \(\varphi \circ \delta^n_i = \delta^m_j \circ \psi \circ \delta^n_i\) pour un certain \(\psi : [n - 1] \to [m - 1]\). Ainsi, \(U(\varphi \circ \delta^n_i) = U(\psi \circ \delta^n_i) \circ d^m_j\), qui est nulle sur \(N(U_m)\) sauf si \(j = m\). Si \(j = m\), alors \(d^m_m(N(U_m)) \subset N(U_{m - 1})\), et donc \(U(\varphi \circ \delta^n_i)(N(U_m)) \subset U(\psi \circ \delta^n_i)(N(U_{m - 1}))\) ; on conclut par l’hypothèse de récurrence.

Pour achever la preuve que \(D(U)\) est un sous-complexe, il reste à traiter le composé \[N(U_m) \xrightarrow{U(\varphi)} U_n \xrightarrow{d_n} U_{n - 1}.\] dans le cas \(m = n - 1\). Alors \(\varphi = \sigma^{n - 1}_j\) pour un certain \(0 \leq j \leq n - 1\), et \(U(\varphi) = s^{n - 1}_j\). Le composé est donc donné par la somme \[\sum (-1)^i d^n_i \circ s^{n - 1}_j\] Rappelons, d’après la remarque 016C, que \(d^n_j \circ s^{n - 1}_j = d^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_j = \text{id}\) et que ces deux termes s’annulent, car ils ont des signes opposés. L’application \(d^n_n \circ s^{n - 1}_j\), si \(j < n - 1\), est égale à \(s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{n - 1}\). Comme \(d^{n - 1}_{n - 1}\) envoie \(N(U_{n - 1})\) dans \(N(U_{n - 2})\), l’image \(d^n_n ( s^{n - 1}_j (N(U_{n - 1}))\) est contenue dans \(s^{n - 2}_j(N(U_{n - 2}))\), qui est contenu par définition dans \(D(U_{n - 1})\). Pour toutes les autres combinaisons \((i, j)\), on a soit \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_i\) (si \(i < j\)), soit \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{i - 1}\) (si \(n > i > j + 1\)), et dans ces cas l’application est nulle par la définition de \(N(U_{n - 1})\).

Remarque

Dans la situation du lemme 019A, le sous-complexe \(D(U) \subset s(U)\) peut aussi être défini comme le sous-complexe de termes \[D(U)_n = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ surjective}, \ m < n} U_m \xrightarrow{\bigoplus U(\varphi)} U_n\right)\] En effet, puisque \(U_m\) est la somme directe du sous-objet \(N(U_m)\) et des images des \(N(U_k)\) pour les surjections \([m] \to [k]\) avec \(k < m\), cette définition coïncide manifestement avec celle de \(D(U)_n\) donnée dans la démonstration du lemme 019A. Ainsi, si \(U\) est un groupe abélien simplicial, les éléments de \(D(U)_n\) sont exactement les sommes de \(n\)-simplexes dégénérés.

Lemme

Le foncteur \(N\) est exact.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0195 et de la décomposition fonctorielle du lemme 019A.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(V\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Le morphisme canonique de complexes de chaînes \(N(V) \to s(V)\) est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, le complexe \(D(V)\) du lemme 019A est acyclique.

Démonstration

Remarquons que le résultat vaut pour \(K(A, k)\), pour tout objet \(A\) et tout \(k \geq 0\), d’après les lemmes 0197 et 0199. Considérons l’hypothèse \(IH_{n, m}\) : pour tout \(V\) tel que \(V_j = 0\) pour \(j \leq m\), et tout \(i \leq n\), l’application \(N(V) \to s(V)\) induit un isomorphisme \(H_i(N(V)) \to H_i(s(V))\).

Pour amorcer la récurrence, remarquons que \(IH_{n, n}\) est trivialement vraie, car alors \(N(V)_n = 0\) et \(s(V)_n = 0\).

Supposons \(IH_{n, m}\), avec \(m \leq n\). Soit \(V\) un objet simplicial tel que \(V_j = 0\) pour \(j < m\). Par le lemme 0190 et la définition 0191, on a \(K(V_m, m) = i_{m!} \text{sk}_mV\). Par le lemme 018U, le morphisme naturel \[K(V_m, m) = i_{m!} \text{sk}_mV \to V\] est injectif. On obtient donc une suite exacte courte \[0 \to K(V_m, m) \to V \to W \to 0\] pour un certain \(W\) tel que \(W_i = 0\) pour \(i = 0, \ldots, m\). Cette suite exacte courte induit un morphisme de suites exactes courtes de complexes associés \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N(K(V_m, m)) \ar[r] \ar[d] & N(V) \ar[r] \ar[d] & N(W) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & s(K(V_m, m)) \ar[r] & s(V) \ar[r] & s(W) \ar[r] & 0 }\] voir les lemmes 0195 et 019B. Le résultat pour \(V\) se déduit donc du résultat aux extrémités.

Dold-Kan

Dans cette section, nous démontrons le théorème de Dold–Kan, qui relie les objets simpliciaux d’une catégorie abélienne aux complexes de chaînes.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Le foncteur \(N\) est fidèle et reflète les isomorphismes, les injections et les surjections.

Démonstration

La fidélité résulte immédiatement de la décomposition canonique du lemme 017V. L’assertion concernant la réflexion des injections, des surjections et des isomorphismes résulte du lemme 017W.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soient \(N : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(S : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs. Supposons que

1. les foncteurs \(S\) et \(N\) soient exacts,

2. il existe un isomorphisme \(g : N \circ S \to \text{id}_\mathcal{B}\) vers le foncteur identité de \(\mathcal{B}\),

3. \(N\) soit fidèle, et

4. \(S\) soit essentiellement surjectif.

Alors \(S\) et \(N\) sont des équivalences de catégories quasi inverses.

Démonstration

Il suffit de construire un isomorphisme fonctoriel \(S(N(A)) \cong A\). Pour cela, choisissons \(B\) et un isomorphisme \(f : A \to S(B)\). Considérons l’application \[f^{-1} \circ g_{S(B)} \circ S(N(f)) : S(N(A)) \to S(N(S(B))) \to S(B) \to A.\] On vérifie aisément qu’elle ne dépend pas du choix de \(f, B\) et qu’elle donne l’isomorphisme cherché \(S \circ N \to \text{id}_\mathcal{A}\).

Théorème

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Le foncteur \(N\) induit une équivalence de catégories \[N : \text{Simp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\]

Démonstration

Nous allons décrire un foncteur en sens inverse, inspiré par la construction du lemme 0192 (à ceci près que nous introduisons un signe pour obtenir les bonnes différentielles). Soit \(A_\bullet\) un complexe de chaînes, de différentielles \(d_{A, n} : A_n \to A_{n - 1}\). Pour chaque \(n \geq 0\), posons \[I_n = \Big\{ \alpha : [n] \to \{0, 1, 2, \ldots\} \mid \Im(\alpha) = [k]\text{ pour un certain }k \Big\}.\] Pour \(\alpha \in I_n\), nous notons \(k(\alpha)\) l’unique entier tel que \(\Im(\alpha) = [k]\). Nous définissons un objet simplicial \(S(A_\bullet)\) comme suit :

1. \(S(A_\bullet)_n = \bigoplus_{\alpha \in I_n} A_{k(\alpha)}\), que nous écrirons \(\bigoplus_{\alpha \in I_n} A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) afin d’évoquer « \(\alpha\) » comme vecteur de base du facteur direct correspondant,

2. étant donné \(\varphi : [m] \to [n]\), nous définissons \(S(A_\bullet)(\varphi)\) par sa restriction au facteur direct \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) de \(S(A_\bullet)_n\), de la manière suivante :

   1. si \(\alpha \circ \varphi \not \in I_m\), nous la prenons égale à zéro,

   2. si \(\alpha \circ \varphi \in I_m\), mais si \(k(\alpha \circ \varphi)\) n’est égal ni à \(k(\alpha)\) ni à \(k(\alpha) - 1\), nous la prenons encore égale à zéro,

   3. si \(\alpha \circ \varphi \in I_m\) et \(k(\alpha \circ \varphi) = k(\alpha)\), nous utilisons l’application identité vers le facteur direct \(A_{k(\alpha \circ \varphi)} \cdot (\alpha \circ \varphi)\) de \(S(A_\bullet)_m\), et

   4. si \(\alpha \circ \varphi \in I_m\) et \(k(\alpha \circ \varphi) = k(\alpha) - 1\), nous utilisons \((-1)^{k(\alpha)} d_{A, k(\alpha)}\) vers le facteur direct \(A_{k(\alpha \circ \varphi)}\cdot (\alpha \circ \varphi)\) de \(S(A_\bullet)_m\).

Montrons que \(S(A_\bullet)\) est un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Pour cela, supposons données des applications \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(\psi : [n] \to [p]\). Nous allons montrer que \(S(A_\bullet)(\varphi) \circ S(A_\bullet)(\psi) = S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\). Choisissons \(\beta \in I_p\) et posons \(\alpha = \beta \circ \psi\) et \(\gamma = \alpha \circ \varphi\) considérées comme des applications \(\alpha : [n] \to \{0, 1, 2, \ldots\}\) et \(\gamma : [m] \to \{0, 1, 2, \ldots\}\). On a le diagramme \[\xymatrix{ [m] \ar[r]_\varphi \ar[d]_\gamma & [n] \ar[r]_\psi \ar[d]_\alpha & [p] \ar[d]^\beta \\ \Im(\gamma) \ar[r] & \Im(\alpha) \ar[r] & [k(\beta)] }\] Nous allons montrer que les restrictions des applications \(S(A_\bullet)(\varphi) \circ S(A_\bullet)(\psi)\) et \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) coïncident. Il y a plusieurs cas à considérer :

1. Supposons que \(\alpha \not \in I_n\) ; la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi)\) à \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est donc nulle. Alors soit \(\gamma \not \in I_m\), soit \([k(\gamma)] = \Im(\gamma) \subset \Im(\alpha) \subset [k(\beta)]\) et le sous-ensemble \(\Im(\alpha)\) de \([k(\beta)]\) présente une lacune, de sorte que \(k(\gamma) < k(\beta) - 1\). Dans les deux cas, la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) à \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est elle aussi nulle.

2. Supposons que \(\alpha \in I_n\) et \(k(\alpha) < k(\beta) - 1\) ; la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi)\) à \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est donc nulle. Alors soit \(\gamma \not \in I_m\), soit \([k(\gamma)] \subset [k(\alpha)] \subset [k(\beta)]\) et il s’ensuit que \(k(\gamma) < k(\beta) - 1\). Dans les deux cas, la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) à \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est elle aussi nulle.

3. Supposons que \(\alpha \in I_n\) et \(k(\alpha) = k(\beta)\) ; la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi)\) à \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est alors l’application identité de \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) vers \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\). Dans ce cas, comme \(\Im(\alpha) =[k(\beta)]\), la règle qui décrit la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est exactement la même que celle qui décrit la restriction de \(S(A_\bullet)(\varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) ; elles coïncident donc.

4. Supposons que \(\alpha \in I_n\) et \(k(\alpha) = k(\beta) - 1\) ; la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi)\) à \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est alors donnée par \((-1)^{k(\beta)}d_{A, k(\beta)}\) vers \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\). Distinguons plusieurs sous-cas :

   1. Si \(\gamma \not \in I_m\), la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) et celle de \(S(A_\bullet)(\varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) sont toutes deux nulles ; elles coïncident donc.

   2. Si \(\gamma \in I_m\), mais \(k(\gamma) < k(\alpha) - 1\), les deux restrictions sont encore nulles et coïncident donc.

   3. Si \(\gamma \in I_m\) et \(k(\gamma) = k(\alpha)\), alors \(\Im(\gamma) = \Im(\alpha)\). Dans ce cas, la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) est donnée par \((-1)^{k(\beta)}d_{A, k(\beta)}\) vers \(A_{k(\gamma)} \cdot \gamma\) et la restriction de \(S(A_\bullet)(\varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) est l’application identité \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \to A_{k(\gamma)} \cdot \gamma\). Les deux applications coïncident donc.

   4. Enfin, si \(\gamma \in I_m\) et \(k(\gamma) = k(\alpha) - 1\), la restriction de \(S(A_\bullet)(\varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) est donnée par \((-1)^{k(\alpha)} d_{A, k(\alpha)}\) comme application \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \to A_{k(\beta)} \cdot \beta\). Comme \(A_\bullet\) est un complexe, la composée \(A_{k(\beta)} \cdot \beta \to A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \to A_{k(\gamma)} \cdot \gamma\) est nulle, ce qui coïncide avec la restriction de \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) au facteur direct \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\), car \(k(\gamma) = k(\beta) - 2 < k(\beta) - 1\).

Ainsi, \(S(A_\bullet)\) est un objet simplicial de \(\mathcal{A}\).

Construisons un isomorphisme \(A_\bullet \to N(S(A_\bullet))\) fonctoriel en \(A_\bullet\). Rappelons que \[S(A_\bullet) = N(S(A_\bullet)) \oplus D(S(A_\bullet))\] comme complexes de chaînes, d’après le lemme 019A. D’autre part, il résulte de la remarque 0FKI et de la construction de \(S(A_\bullet)\) que \[D(S(A_\bullet))_n = \bigoplus\nolimits_{\alpha \in I_n,\ k(\alpha) < n} A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \subset \bigoplus\nolimits_{\alpha \in I_n} A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\] Or, si \(\alpha \in I_n\), alors \(k(\alpha) \geq n \Leftrightarrow \alpha = \text{id}_{[n]} : [n] \to [n]\). Ainsi, le facteur direct \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) de \(S(A_\bullet)_n\) est un supplémentaire de \(D(S(A_\bullet))_n\). Toutes les applications \(d^n_i : S(A_\bullet)_n \to S(A_\bullet)_n\) s’annulent sur le facteur direct \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\), sauf \(d^n_n\), qui y induit \((-1)^n d_{A, n}\) de \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) vers \(A_{n - 1} \cdot \text{id}_{[n - 1]}\). Nous en concluons que \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) est nécessairement égal au facteur direct \(N(S(A_\bullet))_n\) et, de plus, que la restriction de la différentielle \(d_n = \sum (-1)^id^n_i : S(A_\bullet)_n \to S(A_\bullet)_{n - 1}\) au facteur direct \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) est bien celle que nous cherchons.

Enfin, il nous reste à montrer que \(S \circ N\) est isomorphe au foncteur identité. Soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\). Nous pouvons alors définir une application évidente \[S(N(U))_n = \bigoplus\nolimits_{\alpha \in I_n} N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha \longrightarrow U_n\] en utilisant \(U(\alpha) : N(U)_{k(\alpha)} \to U_n\) sur le facteur direct correspondant à \(\alpha\). D’après la définition 017P, c’est un isomorphisme. Pour achever la démonstration, il faut vérifier sa compatibilité avec les applications des objets simpliciaux. Soient donc \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(\alpha \in I_n\). Posons \(\beta = \alpha \circ \varphi\). On a le diagramme \[\xymatrix{ [m] \ar[r]_\varphi \ar[d]_\beta & [n] \ar[d]_\alpha \\ \Im(\beta) \ar[r] & [k(\alpha)] }\] Il y a plusieurs cas à considérer :

1. Supposons que \(\beta \not \in I_m\). Il existe alors un indice \(0 \leq j < k(\alpha)\) tel que \(j \not \in \Im(\alpha \circ \varphi)\) ; nous pouvons donc choisir une factorisation \(\alpha \circ \varphi = \delta^{k(\alpha)}_j \circ \psi\) pour une certaine \(\psi : [m] \to [k(\alpha) - 1]\). Il s’ensuit que \(U(\varphi)\) s’annule sur l’image du facteur direct \(N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha\), car \(U(\varphi) \circ U(\alpha) = U(\alpha \circ \varphi) = U(\psi) \circ d^{k(\alpha)}_j\) est nulle sur \(N(U)_{k(\alpha)}\) par construction de \(N\). C’est précisément la règle donnée ci-dessus pour \(S(N(U))\).

2. Supposons que \(\beta \in I_m\) et \(k(\beta) < k(\alpha) - 1\). Nous raisonnons exactement comme dans le cas (1), avec \(j = k(\alpha) - 1\).

3. Supposons que \(\beta \in I_m\) et \(k(\beta) = k(\alpha)\). Le facteur direct \(N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) est alors envoyé par l’identité sur le facteur direct \(N(U)_{k(\beta)} \cdot \beta\). C’est aussi l’effet de \(U(\varphi)\), puisque, dans ce cas, \(U(\varphi) \circ U(\alpha) = U(\beta)\).

4. Supposons que \(\beta \in I_m\) et \(k(\beta) = k(\alpha) - 1\). Nous utilisons alors la différentielle \((-1)^{k(\alpha)} d_{N(U), k(\alpha)}\) pour envoyer le facteur direct \(N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) sur le facteur direct \(N(U)_{k(\beta)} \cdot \beta\). D’autre part, comme \(\Im(\beta) = [k(\beta)]\) dans ce cas, nous avons \(\alpha \circ \varphi = \delta^{k(\alpha)}_{k(\alpha)} \circ \beta\). Ainsi, la composée de \(U(\varphi)\) avec la restriction de \(U(\alpha)\) à \(N(U)_{k(\alpha)}\) est égale à \(U(\beta)\) précomposée avec la restriction de \(d^{k(\alpha)}_{k(\alpha)}\) à \(N(U)_{k(\alpha)}\). Puisque \(d_{N(U), k(\alpha)} = \sum (-1)^i d^{k(\alpha)}_i\) et puisque \(d^{k(\alpha)}_i\) s’annule sur \(N(U)_{k(\alpha)}\) lorsque \(i < k(\alpha)\), nous obtenons bien l’égalité voulue.

Ceci achève la démonstration du théorème.

Dold–Kan pour les objets cosimpliciaux

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. D’après Homologie, lemme 010A, \(\mathcal{A}^{opp}\) est elle aussi abélienne. Il résulte formellement des définitions que \[\text{CoSimp}(\mathcal{A}) = \text{Simp}(\mathcal{A}^{opp})^{opp}.\] Ainsi, le théorème de Dold–Kan (théorème 019G) implique que \(\text{CoSimp}(\mathcal{A})\) est équivalente à la catégorie \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}^{opp})^{opp}\). D’autre part, il résulte formellement des définitions que \[\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A}) = \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}^{opp})^{opp}.\] En composant ces flèches, nous obtenons une équivalence \[Q : \text{CoSimp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A}).\] Dans cette section, nous décrivons \(Q\).

Définissons d’abord le complexe de cochaînes \(s(U)\) associé à un objet cosimplicial \(U\). C’est le complexe de cochaînes dont les termes sont nuls aux degrés négatifs et tel que \(s(U)^n = U_n\) pour \(n \geq 0\). Comme différentielles, nous utilisons les applications \(d^n : s(U)^n \to s(U)^{n + 1}\) définies par \(d^n = \sum_{i = 0}^{n + 1} (-1)^i \delta^{n + 1}_i\). Autrement dit, le complexe \(s(U)\) est de la forme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & U_0 \ar[rr]^{\delta^1_0 - \delta^1_1} & & U_1 \ar[rr]^{\delta^2_0 - \delta^2_1 + \delta^2_2} & & U_2 \ar[r] & \ldots }\] On l’appelle aussi parfois le complexe de Moore associé à \(U\).

D’autre part, étant donné un objet cosimplicial \(U\) de \(\mathcal{A}\), posons \(Q(U)^0 = U_0\) et \[Q(U)^n = \Coker( \xymatrix{ \bigoplus_{i = 0}^{n - 1} U_{n - 1} \ar[r]^-{\delta^n_i} & U_n }).\] La différentielle \(d^n : Q(U)^n \to Q(U)^{n + 1}\) est induite par \((-1)^{n + 1}\delta^{n + 1}_{n + 1}\), c’est-à-dire en insérant le morphisme \((-1)^{n + 1}\delta^{n + 1}_{n + 1}\) dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U_n \ar[rr]_{(-1)^{n + 1}\delta^{n + 1}_{n + 1}} \ar[d] & & U_{n + 1} \ar[d] \\ Q(U)^n \ar[rr]^{d_n} & & Q(U)^{n + 1}. }\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ce diagramme a bien un sens, c’est-à-dire que l’image de \(\delta^n_i\) est envoyée dans le noyau de la flèche verticale de droite pour \(i = 0, \ldots, n - 1\). (C’est l’énoncé dual du lemme 017X.) Ainsi, notre complexe de cochaînes \(Q(U)\) est de la forme \[0 \to Q(U)^0 \to Q(U)^1 \to Q(U)^2 \to \ldots\] On l’appelle le complexe de cochaînes normalisé associé à \(U\). L’énoncé dual du théorème de Dold–Kan 019G est le suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Le foncteur \(s : \text{CoSimp}(\mathcal{A}) \to \text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) est exact.

2. Les applications \(s(U)^n \to Q(U)^n\) définissent un morphisme de complexes de cochaînes.

3. Il existe une décomposition en somme directe fonctorielle \(s(U) = D(U) \oplus Q(U)\) dans \(\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\).

4. Le foncteur \(Q\) est exact.

5. Le morphisme de complexes \(s(U) \to Q(U)\) est un quasi-isomorphisme.

6. Le foncteur \(U \mapsto Q(U)^\bullet\) définit une équivalence de catégories \(\text{CoSimp}(\mathcal{A}) \to \text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\).

Démonstration

Omis. Ces résultats sont toutefois les énoncés exactement duaux des lemmes 0195, 0198, 019A, 019B, 019C, et du théorème 019G.

Homotopies

Considérons les ensembles simpliciaux \(\Delta[0]\) et \(\Delta[1]\). Rappelons qu’il existe deux morphismes \[e_0, e_1 : \Delta[0] \longrightarrow \Delta[1],\] provenant des morphismes \([0] \to [1]\) qui envoient \(0\) sur un élément de \([1] = \{0, 1\}\). Rappelons aussi que chaque ensemble \(\Delta[1]_k\) est fini. Par conséquent, si la catégorie \(\mathcal{C}\) possède les coproduits finis, nous pouvons former le produit \[U \times \Delta[1]\] pour tout objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) ; voir la définition 017C. Notons que \(\Delta[0]\) possède la propriété suivante : \(\Delta[0]_k = \{*\}\) est un singleton pour tout \(k \geq 0\). Ainsi, \(U \times \Delta[0] = U\). Les morphismes \(e_0, e_1\) ci-dessus donnent donc lieu à des morphismes \[e_0, e_1 : U \to U \times \Delta[1].\]

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les coproduits finis. Supposons que \(U\) et \(V\) soient deux objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\). Soient \(a, b : U \to V\) deux morphismes.

1. Nous disons qu’un morphisme \[h : U \times \Delta[1] \longrightarrow V\] est une homotopie de \(a\) vers \(b\) si \(a = h \circ e_0\) et \(b = h \circ e_1\).

2. Nous disons que les morphismes \(a\) et \(b\) sont homotopes, ou dans la même classe d’homotopie, s’il existe une suite de morphismes \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\) de \(U\) vers \(V\) telle que, pour chaque \(i = 1, \ldots, n\), il existe soit une homotopie de \(a_{i - 1}\) vers \(a_i\), soit une homotopie de \(a_i\) vers \(a_{i - 1}\).

La relation « il existe une homotopie de \(a\) vers \(b\) » n’est en général ni transitive ni symétrique ; nous verrons dans l’exemple 07KA qu’elle est réflexive. Bien entendu, « être homotopes » est une relation d’équivalence sur l’ensemble \(\Mor(U, V)\) ; c’est la relation d’équivalence engendrée par la relation « il existe une homotopie de \(a\) vers \(b\) ». On peut en fait définir des homotopies entre des couples d’applications d’objets simpliciaux dans une catégorie quelconque. Nous le ferons dans la remarque 019M, après avoir explicité ce que signifie la donnée d’un morphisme \(h : U \times \Delta[1] \to V\).

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les coproduits finis. Soient \(U\), \(V\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\). Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes. Supposons en outre que \(h : U \times \Delta[1] \to V\) soit une homotopie de \(a\) vers \(b\). Pour tout \(n \geq 0\), écrivons \[\Delta[1]_n = \{\alpha^n_0, \ldots, \alpha^n_{n + 1}\}\] où \(\alpha^n_i : [n] \to [1]\) est l’application définie par \[\alpha^n_i(j) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & j < i\\ 1 & \text{si} & j \geq i \end{matrix} \right.\] Ainsi, \[h_n : (U \times \Delta[1])_n = \coprod U_n \cdot \alpha^n_i \longrightarrow V_n\] possède une composante \(h_{n, i} : U_n \to V_n\) qui est sa restriction au facteur direct correspondant à \(\alpha^n_i\), pour tout \(i = 0, \ldots, n + 1\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, les relations suivantes sont satisfaites :

1. On a \(h_{n, 0} = b_n\) et \(h_{n, n + 1} = a_n\).

2. On a \(d^n_j \circ h_{n, i} = h_{n - 1, i - 1} \circ d^n_j\) pour \(i > j\).

3. On a \(d^n_j \circ h_{n, i} = h_{n - 1, i} \circ d^n_j\) pour \(i \leq j\).

4. On a \(s^n_j \circ h_{n, i} = h_{n + 1, i + 1} \circ s^n_j\) pour \(i > j\).

5. On a \(s^n_j \circ h_{n, i} = h_{n + 1, i} \circ s^n_j\) pour \(i \leq j\).

Réciproquement, tout système d’applications \(h_{n, i}\) satisfaisant aux propriétés ci-dessus définit un morphisme \(h\) qui est une homotopie de \(a\) vers \(b\).

Démonstration

Omis. Pour démontrer la dernière assertion, on utilise le fait que, d’après le lemme 0168, se donner un morphisme d’objets simpliciaux revient à se donner une suite de morphismes \(h_n\) commutant avec tous les \(d^n_j\) et \(s^n_j\).

Exemple

Supposons, dans la situation ci-dessus, que \(a = b\). Il existe alors une homotopie triviale de \(a\) vers \(b\), à savoir celle pour laquelle \(h_{n, i} = a_n = b_n\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie quelconque (sans aucune hypothèse). Soient \(U\) et \(V\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\), et soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\). Une homotopie de \(a\) vers \(b\) est la donnée de morphismes¹ \(h_{n, i} : U_n \to V_n\), pour \(n \geq 0\), \(i = 0, \ldots, n + 1\) satisfaisant aux relations du lemme 019L. Comme dans la définition 019K, nous disons que les morphismes \(a\) et \(b\) sont homotopes s’il existe une suite de morphismes \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\) de \(U\) vers \(V\) telle que, pour chaque \(i = 1, \ldots, n\), il existe soit une homotopie de \(a_{i - 1}\) vers \(a_i\), soit une homotopie de \(a_i\) vers \(a_{i - 1}\). Il est clair que si \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est un foncteur quelconque et si \(\{h_{n, i}\}\) est une homotopie de \(a\) vers \(b\), alors \(\{F(h_{n, i})\}\) est une homotopie de \(F(a)\) vers \(F(b)\). De même, si \(a\) et \(b\) sont homotopes, alors \(F(a)\) et \(F(b)\) le sont aussi. Comme le lemme affirme que la nouvelle notion coïncide avec l’ancienne lorsque les coproduits finis existent, nous en déduisons notamment que les foncteurs préservent la notion initiale dès que les deux catégories possèdent les coproduits finis.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie quelconque. Supposons que deux morphismes \(a, a' : U \to V\) d’objets simpliciaux soient homotopes. Alors, pour tout morphisme \(b : V \to W\), les deux applications \(b \circ a, b \circ a' : U \to W\) sont homotopes. De même, pour tout morphisme \(c : X \to U\), les deux applications \(a \circ c, a' \circ c : X \to V\) sont homotopes. En fait, les applications \(b \circ a \circ c, b \circ a' \circ c : X \to W\) sont homotopes. En effet, si les applications \(h_{n, i} : U_n \to V_n\) définissent une homotopie de \(a\) vers \(a'\), alors les applications \(b \circ h_{n, i} \circ c\) définissent une homotopie de \(b \circ a \circ c\) vers \(b \circ a' \circ c\). Nous obtenons ainsi une nouvelle catégorie \(\text{hSimp}(\mathcal{C})\), qui a les mêmes objets que \(\text{Simp}(\mathcal{C})\), mais dont les morphismes sont les classes d’homotopie de morphismes de \(\text{Simp}(\mathcal{C})\). Il existe donc un foncteur canonique \[\text{Simp}(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{hSimp}(\mathcal{C})\] qui est essentiellement surjectif et surjectif sur les ensembles de morphismes.

Définition

Soient \(U\) et \(V\) deux objets simpliciaux d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Nous disons qu’un morphisme \(a : U \to V\) est une équivalence d’homotopie s’il existe un morphisme \(b : V \to U\) tel que \(a \circ b\) soit homotope à \(\text{id}_V\) et \(b \circ a\) homotope à \(\text{id}_U\). Nous disons que \(U\) et \(V\) ont le même type d’homotopie s’il existe une équivalence d’homotopie \(a : U \to V\).

Exemple

L’ensemble simplicial \(\Delta[m]\) a le même type d’homotopie que \(\Delta[0]\). En effet, considérons l’unique morphisme \(f : \Delta[m] \to \Delta[0]\) et le morphisme \(g : \Delta[0] \to \Delta[m]\) donné par l’inclusion du dernier \(0\)-simplexe de \(\Delta[m]\). On a \(f \circ g = \text{id}\). Nous allons construire une homotopie \(h : \Delta[m] \times \Delta[1] \to \Delta[m]\) de \(\text{id}_{\Delta[m]}\) vers \(g \circ f\). L’homotopie \(h\) est donnée par les applications \[\Mor_\Delta([n], [m]) \times \Mor_\Delta([n], [1]) \to \Mor_\Delta([n], [m])\] qui envoient \((\varphi, \alpha)\) sur \[k \mapsto \left\{ \begin{matrix} \varphi(k) & \text{si} & \alpha(k) = 0 \\ m & \text{si} & \alpha(k) = 1 \end{matrix} \right.\] Notons que ceci ne fonctionne que parce que nous avons choisi pour \(g\) l’inclusion du dernier \(0\)-simplexe. Si nous avions pris pour \(g\) l’inclusion du premier \(0\)-simplexe, nous aurions pu construire une homotopie de \(g \circ f\) vers \(\text{id}_{\Delta[m]}\). Cela illustre l’asymétrie propre aux homotopies dans la catégorie des ensembles simpliciaux.

Le lemme suivant affirme que \(U \times \Delta[1]\) a le même type d’homotopie que \(U\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les coproduits finis. Soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Considérons les applications \(e_1, e_0 : U \to U \times \Delta[1]\) et \(\pi : U \times \Delta[1] \to U\) ; voir le lemme 017E.

1. On a \(\pi \circ e_1 = \pi \circ e_0 = \text{id}_U\), et

2. les morphismes \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) et \(e_0 \circ \pi\) sont homotopes.

3. Les morphismes \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) et \(e_1 \circ \pi\) sont homotopes.

Démonstration

La première assertion est immédiate. Considérons l’application d’ensembles simpliciaux \(\Delta[1] \times \Delta[1] \longrightarrow \Delta[1]\) qui, en degré \(n\), associe à un couple \((\beta_1, \beta_2)\), où \(\beta_i : [n] \to [1]\), le morphisme \(\beta : [n] \to [1]\) défini par la règle \[\beta(i) = \max\{\beta_1(i), \beta_2(i)\}.\] Il s’agit d’un morphisme d’ensembles simpliciaux, car l’action \(\Delta[1](\varphi) : \Delta[1]_n \to \Delta[1]_m\) de \(\varphi : [m] \to [n]\) se fait par précomposition. Avec la notation \(\Delta[1]_n = \{\alpha^n_0, \ldots, \alpha^n_{n + 1}\}\) introduite ci-dessus, on a \(\beta = \alpha^n_0\) si \(\beta_2 = \alpha^n_0\), et \(\beta = \beta_1\) si \(\beta_2 = \alpha^n_{n + 1}\). Comme \(\alpha^n_0\), resp. \(\alpha^n_{n + 1}\), est l’application constante de valeur \(1\), resp. \(0\), il en résulte que le morphisme induit \[U \times \Delta[1] \times \Delta[1] \longrightarrow U \times \Delta[1]\] du lemme 017E est une homotopie de \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) vers \(e_1 \circ \pi\). On procède de même pour \(e_0 \circ \pi\) (en utilisant le minimum au lieu du maximum).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’une catégorie \(\mathcal{C}\) possédant les produits fibrés. Supposons que \(f\) admette une section \(s\). Considérons l’objet simplicial \(U\) construit dans l’exemple 016E à partir de \(f\). Le morphisme \(U \to U\) qui, en chaque degré, est l’endomorphisme \((s \circ f)^{n + 1}\) de \(Y \times_X \ldots \times_X Y\), donné par \(s \circ f\) sur chaque facteur, est homotope à l’identité de \(U\). En particulier, \(U\) a le même type d’homotopie que l’objet simplicial constant \(X\).

Démonstration

Posons \(g^0 = \text{id}_Y\) et \(g^1 = s \circ f\). Nous utilisons les morphismes \[\begin{eqnarray*} Y \times_X \ldots \times_X Y \times \Mor([n], [1]) & \to & Y \times_X \ldots \times_X Y \\ (y_0, \ldots, y_n) \times \alpha & \mapsto & (g^{\alpha(0)}(y_0), \ldots, g^{\alpha(n)}(y_n)) \end{eqnarray*}\] où nous adoptons le point de vue du foncteur des points pour définir les applications. On peut aussi dire que \(h_{n, 0} = \text{id}\), \(h_{n, n + 1} = (s \circ f)^{n + 1}\) et \(h_{n, i} = \text{id}_Y^{i + 1} \times (s \circ f)^{n + 1 - i}\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu’elles satisfont aux relations du lemme 019L. Elles définissent donc l’homotopie cherchée. Voir aussi la remarque 019M, qui montre qu’aucune autre hypothèse sur la catégorie \(\mathcal{C}\) n’est nécessaire.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(T\) un ensemble. Pour \(t \in T\), soient \(X_t\), \(Y_t\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(X = \prod_{t \in T} X_t\) et \(Y = \prod_{t \in T} Y_t\) existent.

1. Si \(X_t\) et \(Y_t\) ont le même type d’homotopie pour tout \(t \in T\) et si \(T\) est fini, alors \(X\) et \(Y\) ont le même type d’homotopie.

Pour \(t \in T\), soient \(a_t, b_t : X_t \to Y_t\) des morphismes. Posons \(a = \prod a_t : X \to Y\) et \(b = \prod b_t : X \to Y\).

1. S’il existe une homotopie de \(a_t\) vers \(b_t\) pour tout \(t \in T\), alors il existe une homotopie de \(a\) vers \(b\).

2. Si \(T\) est fini et si \(a_t, b_t : X_t \to Y_t\) sont homotopes pour tout \(t \in T\), alors \(a\) et \(b\) sont homotopes.

Démonstration

Si \(h_t = (h_{t, n , i})\) est une homotopie de \(a_t\) vers \(b_t\) (voir la remarque 019M), alors \(h = (\prod_t h_{t, n, i})\) est une homotopie de \(\prod a_t\) vers \(\prod b_t\). Cela démontre (2).

Démontrons (3). Choisissons \(t \in T\). Il existe un entier \(n \geq 0\) et une chaîne \(a_t = a_{t, 0}, a_{t, 1}, \ldots, a_{t, n} = b_t\) telle que, pour tout \(1 \leq i \leq n\), il existe soit une homotopie de \(a_{t, i - 1}\) vers \(a_{t, i}\), soit une homotopie de \(a_{t, i}\) vers \(a_{t, i - 1}\). Si \(n = 0\), choisissons un autre \(t\). (La démonstration est achevée si \(a_t = b_t\) pour tout \(t \in T\).) Supposons donc \(n > 0\). D’après l’exemple 07KA, il existe une homotopie de \(b_{t'}\) vers \(b_{t'}\) pour tout \(t' \in T \setminus \{t\}\). Ainsi, d’après (2), il existe soit une homotopie de \(a_{t, n - 1} \times \prod_{t'} b_{t'}\) vers \(b\), soit une homotopie de \(b\) vers \(a_{t, n - 1} \times \prod_{t'} b_{t'}\). On peut ainsi diminuer \(n\) de \(1\). Cela démontre (3).

La partie (1) résulte de la partie (3) et des définitions.

Homotopies dans les catégories abéliennes

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(U\), \(V\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\) et soient \(a, b : U \to V\) des morphismes. Supposons en outre que \(h : U \times \Delta[1] \to V\) soit une homotopie de \(a\) vers \(b\). Montrons que les deux morphismes de complexes de chaînes \(s(a), s(b) : s(U) \longrightarrow s(V)\) sont homotopes au sens de Homologie, section 010V. Avec la notation introduite dans la section 019J, nous définissons \[s(h)_n : U_n \longrightarrow V_{n + 1}\] par la formule [019R]\[\begin{equation} s(h)_n = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^{i + 1} h_{n + 1, i + 1} \circ s^n_i. \end{equation}\] Calculons \(d_{n + 1} \circ s(h)_n + s(h)_{n - 1} \circ d_n\). On a d’abord \[\begin{eqnarray*} d_{n + 1} \circ s(h)_n & = & \sum\nolimits_{j = 0}^{n + 1} \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^{j + i + 1} d^{n + 1}_j \circ h_{n + 1, i + 1} \circ s^n_i \\ & = & \sum\nolimits_{1 \leq i + 1 \leq j \leq n + 1} (-1)^{j + i + 1} h_{n, i + 1} \circ d^{n + 1}_j \circ s^n_i \\ & & + \sum\nolimits_{n \geq i \geq j \geq 0} (-1)^{i + j + 1} h_{n, i} \circ d^{n + 1}_j \circ s^n_i \\ & = & \sum\nolimits_{1 \leq i + 1 < j \leq n + 1} (-1)^{j + i + 1} h_{n, i + 1} \circ s^{n - 1}_i \circ d^n_{j - 1} \\ & & + \sum\nolimits_{1 \leq i + 1 = j \leq n + 1} (-1)^{j + i + 1} h_{n, i + 1} \\ & & + \sum\nolimits_{n \geq i = j \geq 0} (-1)^{i + j + 1} h_{n, i} \\ & & + \sum\nolimits_{n \geq i > j \geq 0} (-1)^{i + j + 1} h_{n, i} \circ s^{n - 1}_{i - 1} \circ d^n_j \end{eqnarray*}\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la première et la dernière des quatre sommes s’annulent exactement avec tous les termes de \[s(h)_{n - 1} \circ d_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^n (-1)^{i + 1 + j} h_{n, i + 1} \circ s^{n - 1}_i \circ d^n_j.\] Nous obtenons donc \[\begin{eqnarray*} d_{n + 1} \circ s(h)_n + s(h)_{n - 1} \circ d_n & = & \sum_{j = 1}^{n + 1} (-1)^{2j} h_{n, j} + \sum_{i = 0}^n (-1)^{2i + 1} h_{n, i} \\ & = & h_{n, n + 1} - h_{n , 0} \\ & = & a_n - b_n \end{eqnarray*}\] comme souhaité.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\). Si \(a\), \(b\) sont homotopes, alors \(s(a), s(b) : s(U) \to s(V)\) sont des applications homotopes de complexes de chaînes. Si \(\mathcal{A}\) est abélienne, alors \(N(a), N(b) : N(U) \to N(V)\) sont également des applications homotopes de complexes de chaînes.

Démonstration

Nous pouvons choisir une suite \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\) de morphismes de \(U\) vers \(V\) telle que, pour chaque \(i = 1, \ldots, n\), il existe soit une homotopie de \(a_i\) vers \(a_{i - 1}\), soit une homotopie de \(a_{i - 1}\) vers \(a_i\). Le calcul ci-dessus montre qu’alors soit \(s(a_i)\) est homotope à \(s(a_{i - 1})\) comme application de complexes de chaînes, soit \(s(a_{i - 1})\) est homotope à \(s(a_i)\). Ces deux assertions sont bien entendu équivalentes ; de plus, être homotopes est une relation d’équivalence sur l’ensemble des applications de complexes de chaînes ; voir Homologie, section 010V. Cela démontre que \(s(a)\) et \(s(b)\) sont homotopes comme applications de complexes de chaînes.

Passons à \(N(a)\) et \(N(b)\). Il résulte du lemme 019A que \(N(a)\), \(N(b)\) sont les composées \[N(U) \to s(U) \to s(V) \to N(V)\] où l’on utilise \(s(a)\), \(s(b)\) au milieu. L’assertion résulte donc de Homologie, lemme 010W.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(a : U \to V\) un morphisme d’objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\). Si \(a\) est une équivalence d’homotopie, alors \(s(a) : s(U) \to s(V)\) est une équivalence d’homotopie de complexes de chaînes. Si, de plus, \(\mathcal{A}\) est abélienne, alors \(N(a) : N(U) \to N(V)\) est lui aussi une équivalence d’homotopie de complexes de chaînes.

Démonstration

Omis. Voir le lemme 019S ci-dessus.

Homotopies et objets cosimpliciaux

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les produits finis. Soit \(V\) un objet cosimplicial, et considérons \(\Hom(\Delta[1], V)\) ; voir la section 07K9. Les morphismes \(e_0, e_1 : \Delta[0] \to \Delta[1]\) induisent deux morphismes \(e_0, e_1 : \Hom(\Delta[1], V) \to V\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant les produits finis. Soient \(U\) et \(V\) deux objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\). Soient \(a, b : U \to V\) deux morphismes d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\).

1. Nous disons qu’un morphisme \[h : U \longrightarrow \Hom(\Delta[1], V)\] tel que \(a = e_0 \circ h\) et \(b = e_1 \circ h\) est une homotopie de \(a\) vers \(b\).

2. Nous disons que \(a\) et \(b\) sont homotopes, ou dans la même classe d’homotopie, s’il existe une suite \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\) de morphismes de \(U\) vers \(V\) telle que, pour chaque \(i = 1, \ldots, n\), il existe soit une homotopie de \(a_i\) vers \(a_{i - 1}\), soit une homotopie de \(a_{i - 1}\) vers \(a_i\).

C’est la notion duale de celle introduite pour les objets simpliciaux dans la section 019J. Pour l’expliquer, considérons une homotopie \(h : U \to \Hom(\Delta[1], V)\) de \(a\) vers \(b\) comme dans la définition. Rappelons que \(\Delta[1]_n\) est un ensemble fini. La composante de degré \(n\) de \(h\) est un morphisme \[h_n = (h_{n, \alpha}) : U \longrightarrow \Hom(\Delta[1], V)_n = \prod\nolimits_{\alpha \in \Delta[1]_n} V_n\] Les morphismes \(h_{n, \alpha} : U_n \to V_n\) de \(\mathcal{C}\) possèdent la propriété suivante : pour tout morphisme \(f : [n] \to [m]\) de \(\Delta\), on a [07KB]\[\begin{equation} h_{m, \alpha} \circ U(f) = V(f) \circ h_{n, \alpha \circ f} \end{equation}\] De plus, la condition \(a = e_0 \circ h\) signifie que \(a_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\), où \(0 : [n] \to [1]\) est l’application constante de valeur \(0\). De même, la condition \(b = e_1 \circ h\) signifie que \(b_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\), où \(1 : [n] \to [1]\) est l’application constante de valeur \(1\). Réciproquement, étant donnée une famille de morphismes \(\{h_{n, \alpha}\}\) telle que (07KB) soit satisfaite pour tout morphisme \(f\) de \(\Delta\) et telle que \(a_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\) et \(b_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\) pour tout \(n \geq 0\), nous obtenons une homotopie \(h\) de \(a\) vers \(b\) en posant \(h = \prod_{\alpha \in \Delta[1]_n} h_{n, \alpha}\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie quelconque (sans aucune hypothèse). Soient \(U\) et \(V\) des objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\), et soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\). Une homotopie de \(a\) vers \(b\) est la donnée de morphismes \(h_{n, \alpha} : U_n \to V_n\), pour \(n \geq 0\), \(\alpha \in \Delta[1]_n\) satisfaisant à (07KB) pour tout morphisme \(f\) de \(\Delta\) et tels que \(a_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\) et \(b_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\) pour tout \(n \geq 0\). Comme dans la définition 019W, nous disons que les morphismes \(a\) et \(b\) sont homotopes s’il existe une suite de morphismes \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\) de \(U\) vers \(V\) telle que, pour chaque \(i = 1, \ldots, n\), il existe soit une homotopie de \(a_{i - 1}\) vers \(a_i\), soit une homotopie de \(a_i\) vers \(a_{i - 1}\). Il est clair que si \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est un foncteur quelconque et si \(\{h_{n, i}\}\) est une homotopie de \(a\) vers \(b\), alors \(\{F(h_{n, i})\}\) est une homotopie de \(F(a)\) vers \(F(b)\). De même, si \(a\) et \(b\) sont homotopes, alors \(F(a)\) et \(F(b)\) le sont aussi. Cette nouvelle notion coïncide avec l’ancienne lorsque les produits finis existent. Nous en déduisons notamment que les foncteurs préservent la notion initiale dès que les deux catégories possèdent les produits finis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Supposons que \(U\) et \(V\) soient deux objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\). Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets cosimpliciaux. Rappelons que \(U\), \(V\) correspondent à des objets simpliciaux \(U'\), \(V'\) de \(\mathcal{C}^{opp}\). De plus, \(a, b\) correspondent à des morphismes \(a', b' : V' \to U'\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Il existe une homotopie \(h = \{h_{n, \alpha}\}\) de \(a\) vers \(b\) au sens de la remarque 0FKJ.

2. Il existe une homotopie \(h = \{h_{n, i}\}\) de \(a'\) vers \(b'\) au sens de la remarque 019M.

Ainsi, \(a\) est homotope à \(b\) au sens de la remarque 0FKJ si et seulement si \(a'\) est homotope à \(b'\) au sens de la remarque 019M.

Démonstration

Si \(\mathcal{C}\) possède les produits finis, alors \(\mathcal{C}^{opp}\) possède les coproduits finis et nous pouvons utiliser les définitions 019W et 019K à la place des remarques 0FKJ et 019M. Dans ce cas, \(h : U \to \Hom(\Delta[1], V)\) équivaut à un morphisme \(h' : \Hom(\Delta[1], V)' \to U'\). Comme les produits et les coproduits s’échangent eux aussi, il est immédiat que \((\Hom(\Delta[1], V))' = V' \times \Delta[1]\). De plus, les versions « primées » des morphismes \(e_0, e_1 : \Hom(\Delta[1], V) \to V\) sont les morphismes \(e_0, e_1 : V' \to \Delta[1] \times V\). Ainsi, \(e_0 \circ h = a\) se traduit par \(h' \circ e_0 = a'\), et \(e_1 \circ h = b\) se traduit de même par \(h' \circ e_1 = b'\). Cela démontre le lemme dans ce cas.

Dans le cas général, il faut traduire les relations données par (07KB) en celles du lemme 019L. Nous omettons les détails.

La dernière assertion résulte formellement de l’équivalence de (1) et (2).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}, \mathcal{C}', \mathcal{D}, \mathcal{D}'\) des catégories. Nous employons la terminologie des remarques 0FKJ et 019M.

1. Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets simpliciaux de \(\mathcal{D}\). Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur covariant. Si \(a\) et \(b\) sont homotopes, alors \(F(a)\), \(F(b)\) sont des morphismes homotopes \(F(U) \to F(V)\) d’objets simpliciaux.

2. Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) un foncteur covariant. Si \(a\) et \(b\) sont homotopes, alors \(F(a)\), \(F(b)\) sont des morphismes homotopes \(F(U) \to F(V)\) d’objets cosimpliciaux.

3. Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets simpliciaux de \(\mathcal{D}\). Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un foncteur contravariant. Si \(a\) et \(b\) sont homotopes, alors \(F(a)\), \(F(b)\) sont des morphismes homotopes \(F(V) \to F(U)\) d’objets cosimpliciaux.

4. Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur contravariant. Si \(a\) et \(b\) sont homotopes, alors \(F(a)\), \(F(b)\) sont des morphismes homotopes \(F(V) \to F(U)\) d’objets simpliciaux.

Démonstration

D’après le lemme 019X, nous pouvons transformer \(F\) en un foncteur covariant entre deux catégories ; il nous reste alors à montrer que ce foncteur préserve les couples d’applications homotopes. Ceci est expliqué dans la remarque 019M.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’une catégorie \(\mathcal{C}\) possédant les sommes amalgamées. Supposons qu’il existe un morphisme \(s : Y \to X\) tel que \(s \circ f = \text{id}_X\). Considérons l’objet cosimplicial \(U\) construit dans l’exemple 016N à partir de \(f\). Le morphisme \(U \to U\) qui, en chaque degré, est l’endomorphisme de \(Y \amalg_X \ldots \amalg_X Y\) donné par \(f \circ s\) sur chaque facteur est homotope à l’identité de \(U\). En particulier, \(U\) a le même type d’homotopie que l’objet cosimplicial constant \(X\).

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 019P. Il résulte donc du lemme 019X.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(a, b : U \to V\) des morphismes d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{A}\). Si \(a\), \(b\) sont homotopes, alors \(s(a), s(b) : s(U) \to s(V)\) sont des applications homotopes de complexes de cochaînes. Si, de plus, \(\mathcal{A}\) est abélienne, alors \(Q(a), Q(b) : Q(U) \to Q(V)\) sont des applications homotopes de complexes de cochaînes.

Démonstration

Soit \((-)' : \mathcal{A} \to \mathcal{A}^{opp}\) le foncteur contravariant \(A \mapsto A\). D’après le lemme 019Z, les applications \(a'\) et \(b'\) sont homotopes. Le lemme 019S montre que \(s(a')\) et \(s(b')\) sont des applications homotopes de complexes de chaînes. Comme \(s(a') = (s(a))'\) et \(s(b') = (s(b))'\), nous en concluons que \(s(a)\) et \(s(b)\) sont eux aussi homotopes, en appliquant le foncteur additif contravariant \((-)'' : \mathcal{A}^{opp} \to \mathcal{A}\). Le résultat pour les complexes \(Q\) s’obtient de la même manière, en utilisant \(Q(U)' = N(U')\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(a : U \to V\) un morphisme d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{A}\). Si \(a\) est une équivalence d’homotopie, alors \(s(a) : s(U) \to s(V)\) est une équivalence d’homotopie de complexes de chaînes. Si, de plus, \(\mathcal{A}\) est abélienne, alors \(Q(a) : Q(U) \to Q(V)\) est lui aussi une équivalence d’homotopie de complexes de chaînes.

Démonstration

Omis. Voir le lemme 01A0 ci-dessus.

Autres homotopies dans les catégories abéliennes

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Dans cette section, nous montrons qu’une homotopie entre des morphismes de \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) provient toujours d’un morphisme \(U \times \Delta[1] \to V\) dans la catégorie des objets simpliciaux. Cela donnera, en un certain sens, une réciproque du lemme 019S. Nous établissons d’abord quelques résultats sur les homotopies entre morphismes de complexes de chaînes.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(A\) un complexe de chaînes. Considérons le foncteur covariant \[B \longmapsto \{ (a, b, h) \mid a, b : A \to B\text{ et }h\text{ une homotopie entre }a, b \}\] Il existe un complexe de chaînes \(\diamond A\) tel que \(\Mor_{\text{Ch}(\mathcal{A})}(\diamond A, -)\) soit isomorphe au foncteur affiché. La construction \(A \mapsto \diamond A\) est fonctorielle.

Démonstration

Posons \(\diamond A_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\) et définissons \(d_{\diamond A, n}\) par la matrice \[d_{\diamond A, n} = \left( \begin{matrix} d_{A, n} & 0 & \text{id}_{A_{n - 1}} \\ 0 & d_{A, n} & -\text{id}_{A_{n - 1}} \\ 0 & 0 & -d_{A, n - 1} \end{matrix} \right) : A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1} \to A_{n - 1} \oplus A_{n - 1} \oplus A_{n - 2}\] Si \(\mathcal{A}\) est la catégorie des groupes abéliens et si \((x, y, z) \in A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\), alors \(d_{\diamond A, n}(x, y, z) = (d_n(x) + z, d_n(y) - z, -d_{n - 1}(z))\). On vérifie aisément que \(d^2 = 0\). Il existe manifestement deux applications \(\diamond a, \diamond b : A \to \diamond A\) (le premier et le second facteur) et une application \(\diamond A \to A[-1]\) qui donnent une suite exacte courte \[0 \to A \oplus A \to \diamond A \to A[-1] \to 0\] scindée en chaque degré. De plus, il existe une suite d’applications \(\diamond h_n : A_n \to \diamond A_{n + 1}\), à savoir l’identité de \(A_n\) vers le facteur \(A_n\) de \(\diamond A_{n + 1}\), telle que \(\diamond h\) soit une homotopie entre \(\diamond a\) et \(\diamond b\).

Nous en concluons que tout morphisme \(f : \diamond A \to B\) donne un triplet \((a, b, h)\) en posant \(a = f \circ \diamond a\), \(b = f \circ \diamond b\) et \(h_n = f_{n + 1} \circ \diamond h_n\). Réciproquement, un triplet \((a, b, h)\) fournit un morphisme \(f : \diamond A \to B\) en posant \[f_n = (a_n, b_n, h_{n - 1}).\] Pour vérifier qu’il s’agit d’un morphisme de complexes de chaînes, il faut effectuer un calcul. Nous ne le faisons que lorsque \(\mathcal{A}\) est la catégorie des groupes abéliens. Soit \((x, y, z) \in \diamond A_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\). Alors \[\begin{eqnarray*} f_{n - 1}(d_n(x, y, z)) & = & f_{n - 1}(d_n(x) + z, d_n(y) - z, -d_{n - 1}(z)) \\ & = & a_n(d_n(x)) + a_n(z) + b_n(d_n(y)) - b_n(z) - h_{n - 2}(d_{n - 1}(z)) \end{eqnarray*}\] et \[\begin{eqnarray*} d_n(f_n(x, y, z) & = & d_n(a_n(x) + b_n(y) + h_{n - 1}(z)) \\ & = & d_n(a_n(x)) + d_n(b_n(y)) + d_n(h_{n - 1}(z)) \end{eqnarray*}\] et ces expressions sont égales par définition d’une homotopie.

Notons que l’extension \[0 \to A \oplus A \to \diamond A \to A[-1] \to 0\] est munie de sections des morphismes \(\diamond A_n \to A[-1]_n\) telles que le morphisme associé \(\delta : A[-1] \to (A \oplus A)[-1]\), voir Homologie, lemme 011D, soit égal au morphisme \((1, -1) : A[-1] \to A[-1] \oplus A[-1]\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[0 \to A \oplus A \to B \to C \to 0\] une suite exacte courte de complexes de chaînes de \(\mathcal{A}\). Supposons donnés en outre des morphismes \(s_n : C_n \to B_n\) qui scindent la suite exacte courte associée en degré \(n\). Soit \(\delta(s) : C \to (A \oplus A)[-1] = A[-1] \oplus A[-1]\) le morphisme de complexes associé ; voir Homologie, lemme 011D. Si \(\delta(s)\) se factorise par le morphisme \((1, -1) : A[-1] \to A[-1] \oplus A[-1]\), alors il existe un unique morphisme \(B \to \diamond A\) qui s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \oplus A \ar[d] \ar[r] & B \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \oplus A \ar[r] & \diamond A \ar[r] & A[-1] \ar[r] & 0 }\] où les applications verticales sont compatibles avec les scindages \(s_n\) ainsi qu’avec les scindages de \(\diamond A_n \to A[-1]_n\).

Démonstration

Notons \((p_n, q_n) : B_n \to A_n \oplus A_n\) le morphisme \(\pi_n\) de Homologie, lemme 011D. Notons aussi \((a, b) : A \oplus A \to B\) et \(r : B \to C\) les applications de la suite exacte courte. Écrivons la factorisation de \(\delta(s)\) sous la forme \(\delta(s) = (1, -1) \circ f\). Cela signifie que \(p_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = f_n\) et \(q_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = - f_n\). Prenons pour application \(B_n \to \diamond A_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\) l’application \((p_n, q_n, f_n \circ r_n)\).

Il faut maintenant vérifier que ceci définit bien un morphisme de complexes. Nous ne le faisons que dans le cas des groupes abéliens. Choisissons \(x \in B_n\). Alors \(x = a_n(x_1) + b_n(x_2) + s_n(x_3)\), et il suffit de vérifier séparément, pour chaque terme, que notre définition commute avec la différentielle. Pour le terme \(a_n(x_1)\), on a \((p_n, q_n, f_n \circ r_n)(a_n(x_1)) = (x_1, 0, 0)\), et le résultat est évident. Il en va de même pour le terme \(b_n(x_2)\). Pour le terme \(s_n(x_3)\), on a \[\begin{eqnarray*} (p_n, q_n, f_n \circ r_n)(d_n(s_n(x_3))) & = & (p_n, q_n, f_n \circ r_n)( \\ & & \ \ \ \ \ a_n(f_n(x_3)) - b_n(f_n(x_3)) + s_n(d_n(x_3))) \\ & = & (f_n(x_3), -f_n(x_3), f_n(d_n(x_3))) \end{eqnarray*}\] par définition de \(f_n\). D’autre part, \[\begin{eqnarray*} d_n(p_n, q_n, f_n \circ r_n)(s_n(x_3)) & = & d_n(0, 0, f_n(x_3)) \\ & = & (f_n(x_3), - f_n(x_3), d_{A[-1], n}(f_n(x_3))) \end{eqnarray*}\] Le résultat en découle, puisque \(f\) est un morphisme de complexes.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(U\), \(V\) des objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\) et soient \(a, b : U \to V\) deux morphismes. Supposons que les applications correspondantes de complexes de chaînes \(N(a), N(b) : N(U) \to N(V)\) soient homotopes par une homotopie \(\{N_n : N(U)_n \to N(V)_{n + 1}\}\). Alors il existe une homotopie de \(a\) vers \(b\) au sens de la définition 019K. De plus, on peut choisir l’homotopie \(h : U \times \Delta[1] \to V\) de sorte que \(N_n = N(h)_n\), où \(N(h)\) est l’homotopie issue de \(h\) comme dans la section 019Q.

Démonstration

Soit \((\diamond N(U), \diamond a, \diamond b, \diamond h)\) comme dans le lemme 01A2 et sa démonstration. D’après ce lemme, il existe un morphisme \(\diamond N(U) \to N(V)\) représentant le triplet \((N(a), N(b), \{N_n\})\). Nous allons montrer qu’il existe un morphisme \(\psi : N(U \times \Delta[1]) \to \diamond{N(U)}\) tel que \(\diamond a = \psi \circ N(e_0)\) et \(\diamond b = \psi \circ N(e_1)\). Nous montrerons de plus que l’homotopie entre \(N(e_0), N(e_1) : N(U) \to N(U \times \Delta[1])\) provenant de (019R) et du lemme 019S, avec \(h = \text{id}_{U \times \Delta[1]}\), est envoyée par \(\psi\) sur l’homotopie canonique \(\diamond h\) entre les deux applications \(\diamond a, \diamond b : N(U) \to \diamond{N(U)}\). Cela impliquera évidemment le lemme.

Notons que le foncteur \(N : \text{Simp}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) est un facteur direct du foncteur \(s : \text{Simp}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\). De plus, le foncteur \(\diamond\) est compatible aux sommes directes. Il suffit donc de construire un morphisme \(\Psi : s(U \times \Delta[1]) \to \diamond{s(U)}\) possédant les propriétés correspondantes. C’est ce que nous faisons ci-dessous.

D’après la définition 019K, les morphismes \(e_0 : U \to U \times \Delta[1]\) et \(e_1 : U \to U \times \Delta[1]\) sont homotopes par l’homotopie \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\). Le lemme 019S fournit une homotopie explicite \(\{h_n : s(U)_n \to s(U \times \Delta[1])_{n + 1}\}\) entre les morphismes de complexes de chaînes \(s(e_0) : s(U) \to s(U \times \Delta[1])\) et \(s(e_1) : s(U) \to s(U \times \Delta[1])\). D’après le lemme 01A3, nous obtenons un morphisme correspondant \[\Phi : \diamond{s(U)} \to s(U \times \Delta[1])\] D’après la construction, la restriction de \(\Phi_n\) au facteur direct \(s(U)[-1]_n = s(U)_{n - 1}\) de \(\diamond{s(U)}_n\) est égale à \(h_{n - 1}\). Or \[h_{n - 1} = \sum\nolimits_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i + 1} s^n_i \cdot \alpha^n_{i + 1} : U_{n - 1} \to \bigoplus\nolimits_j U_n \cdot \alpha^n_j.\] avec des notations évidentes.

D’autre part, les morphismes \(e_i : U \to U \times \Delta[1]\) induisent un morphisme \((e_0, e_1) : U \oplus U \to U \times \Delta[1]\). Notons \(W\) son conoyau. Si nous écrivons \((U \times \Delta[1])_n = \bigoplus_{\alpha : [n] \to [1]} U_n \cdot \alpha\), nous pouvons alors identifier \(W_n = \bigoplus_{i = 1}^n U_n \cdot \alpha^n_i\), où \(\alpha^n_i\) est comme dans la section 019J. Nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & U \oplus U \ar[rd]_{(1, 1)} \ar[r] & U \times \Delta[1] \ar[d]^\pi \ar[r] & W \ar[r] & 0 \\ & & U & & }\] Après application du foncteur \(s\), nous obtenons donc un diagramme commutatif analogue. Choisissons ensuite les scindages \(\sigma_n : s(W)_n \to s(U \times \Delta[1])_n\) en envoyant le facteur \(U_n \cdot \alpha^n_i \subset W_n\), par \((-1, 1)\), dans les facteurs \(U_n \cdot \alpha^n_0 \oplus U_n \cdot \alpha^n_i \subset (U \times \Delta[1])_n\). Notons que \(s(\pi)_n \circ \sigma_n = 0\). Il s’ensuit que \((1, 1) \circ \delta(\sigma)_n = 0\). Par conséquent, \(\delta(\sigma)\) se factorise comme dans le lemme 01A3. Ce lemme fournit un morphisme canonique \(\Psi : s(U \times \Delta[1]) \to \diamond{s(U)}\).

Pour calculer \(\Psi\), calculons d’abord le morphisme \(\delta(\sigma) : s(W) \to s(U)[-1] \oplus s(U)[-1]\). D’après Homologie, lemme 011D, et sa démonstration, il faut pour cela calculer \[d_{s(U \times \delta[1]), n} \circ \sigma_n - \sigma_{n - 1} \circ d_{s(W), n}\] et l’écrire comme un morphisme à valeurs dans \(U_{n - 1} \cdot \alpha^{n - 1}_0 \oplus U_{n - 1} \cdot \alpha^{n - 1}_n\). Nous ne le faisons que lorsque \(\mathcal{A}\) est la catégorie des groupes abéliens. Nous employons la notation abrégée \(x_{\alpha}\), pour \(x \in U_n\), afin de désigner l’élément \(x\) du facteur \(U_n \cdot \alpha\) de \((U \times \Delta[1])_n\). Rappelons que \[d_{s(U \times \delta[1]), n} = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i d^n_i\] où \(d^n_i\) envoie le facteur \(U_n \cdot \alpha\) dans le facteur \(U_{n - 1} \cdot (\alpha \circ \delta^n_i)\) par le morphisme \(d^n_i\) de l’objet simplicial \(U\). Avec la notation ci-dessus, cela signifie que \[d_{s(U \times \delta[1]), n}(x_\alpha) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i}\] Partant de \(x_\alpha \in W_n\), autrement dit de \(\alpha = \alpha^n_j\) pour un certain \(j \in \{1, \ldots, n\}\), on a \(\sigma_n(x_\alpha) = x_\alpha - x_{\alpha^n_0}\), et par conséquent \[(d_{s(U \times \delta[1]), n} \circ \sigma_n)(x_\alpha) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i} - \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha^n_0 \circ \delta^n_i}\] Pour calculer \(d_{s(W), n}(x_\alpha)\), il faut omettre tous les termes pour lesquels \(\alpha \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_0, \alpha^{n - 1}_n\). Nous obtenons donc \[\begin{matrix} (\sigma_{n - 1} \circ d_{s(W), n})(x_\alpha) = \\ \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n\text{ et } \alpha \circ \delta^n_i \not = \alpha^{n - 1}_0\text{ ou }\alpha^{n - 1}_n} \Big((-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i} - (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha^{n - 1}_0} \Big) \end{matrix}\] Manifestement, la différence des deux termes est la somme \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n\text{ et } \alpha \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_0\text{ ou }\alpha^{n - 1}_n} \Big((-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i} - (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha^{n - 1}_0} \Big)\] Bien entendu, si \(\alpha \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_0\), le terme disparaît. Rappelons que \(\alpha = \alpha^n_j\) pour un certain \(j \in \{1, \ldots, n\}\). La seule possibilité pour que \(\alpha^n_j \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_n\) est \(j = n\) et \(i = n\). Nous obtenons donc \(0\) sauf si \(j = n\), auquel cas nous obtenons \((-1)^n(d^n_n(x))_{\alpha^{n - 1}_n} - (-1)^n(d^n_n(x))_{\alpha^{n - 1}_0}\). Autrement dit, nous en concluons que le morphisme \[\delta(\sigma)_n : W_n \to (s(U)[-1] \oplus s(U)[-1])_n = U_{n - 1} \oplus U_{n - 1}\] est nul sur tous les facteurs directs sauf \(U_n \cdot \alpha^n_n\), et que, sur ce facteur, il est égal à \(((-1)^nd^n_n, -(-1)^nd^n_n)\). (En effet, le premier des deux facteurs correspond au facteur portant \(\alpha^{n - 1}_n\), car c’est l’application \([n - 1] \to [1]\) qui envoie tout élément sur \(0\), et qui correspond donc à \(e_0\).)

Nous obtenons un diagramme canonique \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & s(U) \oplus s(U) \ar[r] \ar[d] & \diamond{s(U)} \ar[r] \ar[d]^{\Phi}& s(U)[-1] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & s(U) \oplus s(U) \ar[r] \ar[d] & s(U \times \Delta[1]) \ar[r] \ar[d]^\Psi & s(W) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & s(U) \oplus s(U) \ar[r] & \diamond{s(U)} \ar[r] & s(U)[-1] \ar[r] & 0 }\] Nous affirmons que \(\Phi \circ \Psi\) est l’identité. Pour le voir, il suffit de montrer que la composée induite par \(\Phi\) et \(\delta(\sigma)\), \(s(U)[-1] \to s(W) \to s(U)[-1] \oplus s(U)[-1]\), est l’identité sur le premier facteur et l’opposé de l’identité sur le second. D’après les calculs ci-dessus, elle vaut \(((-1)^nd^n_0, -(-1)^nd^n_0) \circ (-1)^n s^n_n = (1, -1)\), comme souhaité.

Fibrations de Kan triviales

Rappelons que, pour \(n \geq 0\), l’ensemble simplicial \(\Delta[n]\) est donné par la règle \([k] \mapsto \Mor_\Delta([k], [n])\) ; voir l’exemple 0176. Rappelons que \(\Delta[n]\) possède un unique \(n\)-simplexe non dégénéré et que tous ses simplexes non dégénérés sont des faces de ce \(n\)-simplexe. En fait, les simplexes non dégénérés de \(\Delta[n]\) correspondent exactement aux morphismes injectifs \([k] \to [n]\), que nous pouvons identifier aux sous-ensembles de \([n]\). Rappelons en outre que \(\Mor(\Delta[n], X) = X_n\) pour tout ensemble simplicial \(X\) (lemme 0177). Posons \[\partial \Delta[n] = i_{(n - 1)!}\text{sk}_{n - 1}\Delta[n]\] et appelons-le le bord de \(\Delta[n]\). Le lemme 018P montre que \(\partial \Delta[n] \subset \Delta[n]\) est le sous-ensemble simplicial ayant les mêmes simplexes non dégénérés aux degrés \(\leq n - 1\), mais ne contenant pas le \(n\)-simplexe non dégénéré.

Définition

Une application \(X \to Y\) d’ensembles simpliciaux est appelée une fibration de Kan triviale si \(X_0 \to Y_0\) est surjective et si, pour tout \(n \geq 1\) et tout diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données, \[\xymatrix{ \partial \Delta[n] \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

Une fibration de Kan triviale satisfait une propriété de relèvement très générale.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux. Pour tout diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ Z \ar[r]_b \ar[d] & X \ar[d] \\ W \ar[r]^a \ar@{-->}[ru] & Y }\] d’ensembles simpliciaux, où \(Z \to W\) est injective en chaque degré, il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

Démonstration

Supposons que \(Z \not = W\). Soit \(n\) le plus petit entier tel que \(Z_n \not = W_n\). Soit \(x \in W_n\), \(x \not \in Z_n\). Notons \(Z' \subset W\) le sous-ensemble simplicial contenant \(Z\), \(x\) et toutes les dégénérescences de \(x\). Soit \(\varphi : \Delta[n] \to Z'\) le morphisme correspondant à \(x\) (lemme 0177). Alors \(\varphi|_{\partial \Delta[n]}\) est à valeurs dans \(Z\), puisque tous les simplexes non dégénérés de \(\partial \Delta[n]\) sont envoyés dans \(Z\). Par hypothèse, nous pouvons prolonger \(b \circ \varphi|_{\partial \Delta[n]}\) en \(\beta : \Delta[n] \to X\). D’après le lemme 018R, l’ensemble simplicial \(Z'\) est la somme amalgamée de \(\Delta[n]\) et \(Z\) le long de \(\partial \Delta[n]\). Ainsi, \(b\) et \(\beta\) définissent un morphisme \(b' : Z' \to X\). Autrement dit, nous avons prolongé le morphisme \(b\) à un sous-ensemble simplicial plus grand de \(Z\).

La démonstration s’achève par une application du lemme de Zorn (omise).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme d’ensembles simpliciaux. Alors \(X \times_Y Y' \to Y'\) est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Ceci résulte immédiatement des propriétés fonctorielles du produit fibré (lemme 016U) et des définitions.

Lemme

La composée de deux fibrations de Kan triviales est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\ldots \to U^2 \to U^1 \to U^0\) une suite de fibrations de Kan triviales. Soit \(U = \lim U^t\), défini par \(U_n = \lim U_n^t\). Alors \(U \to U^0\) est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Omis. Indication : utiliser le fait que la limite projective d’une suite dénombrable de surjections d’ensembles est non vide.

Lemme

Soit \(X_i \to Y_i\) une famille de fibrations de Kan triviales. Alors \(\prod X_i \to \prod Y_i\) est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Omis.

Lemme

Une colimite filtrante de fibrations de Kan triviales est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Omis. Indication : voir la description des colimites filtrantes d’ensembles dans Catégories, section 04AX.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux. Alors \(f\) est une équivalence d’homotopie.

Démonstration

D’après le lemme 08NM, nous pouvons choisir un inverse à droite \(g : Y \to X\) de \(f\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \partial \Delta[1] \times X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Delta[1] \times X \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] La flèche horizontale supérieure est donnée par \(\text{id}_X\) et \(g \circ f\), où l’on utilise \((\partial \Delta[1] \times X)_n = X_n \amalg X_n\) pour tout \(n \geq 0\). La flèche horizontale inférieure est donnée par l’application \(\Delta[1] \to \Delta[0]\) et par \(f : X \to Y\). Le diagramme est commutatif, car \(f \circ g \circ f = f\). D’après le lemme 08NM, nous pouvons construire la flèche pointillée, ce qui conclut.

Fibrations de Kan

Soient \(n\), \(k\) des entiers tels que \(0 \leq k \leq n\) et \(1 \leq n\). Soient \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n\) les \(n + 1\) faces de l’unique \(n\)-simplexe non dégénéré \(\sigma\) de \(\Delta[n]\), c’est-à-dire \(\sigma_i = d_i\sigma\). On note \[\Lambda_k[n] \subset \Delta[n]\] la \(k\)-ième corne du \(n\)-simplexe \(\Delta[n]\). C’est le sous-ensemble simplicial de \(\Delta[n]\) engendré par \(\sigma_0, \ldots, \hat \sigma_k, \ldots, \sigma_n\). Autrement dit, l’image de l’inclusion affichée contient tous les simplexes non dégénérés de \(\Delta[n]\), à l’exception de \(\sigma\) et de \(\sigma_k\).

Définition

Une application \(X \to Y\) d’ensembles simpliciaux est appelée une fibration de Kan si, pour tous \(k, n\) tels que \(1 \leq n\), \(0 \leq k \leq n\) et tout diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ \Lambda_k[n] \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif. Un complexe de Kan est un ensemble simplicial \(X\) tel que \(X \to *\) soit une fibration de Kan, où \(*\) est l’ensemble simplicial constant associé à un singleton.

Remarquons que \(\Lambda_k[n]\) est toujours non vide. Ainsi, un morphisme de l’ensemble simplicial vide vers n’importe quel ensemble simplicial est toujours une fibration de Kan. Il résulte du lemme 08NM qu’une fibration de Kan triviale est une fibration de Kan.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une fibration de Kan d’ensembles simpliciaux. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme d’ensembles simpliciaux. Alors \(X \times_Y Y' \to Y'\) est une fibration de Kan.

Démonstration

Ceci résulte immédiatement des propriétés fonctorielles du produit fibré (lemme 016U) et des définitions.

Lemme

La composée de deux fibrations de Kan est une fibration de Kan.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\ldots \to U^2 \to U^1 \to U^0\) une suite de fibrations de Kan. Soit \(U = \lim U^t\), défini en posant \(U_n = \lim U_n^t\). Alors \(U \to U^0\) est une fibration de Kan.

Démonstration

Omis. Indication : utiliser le fait que la limite projective d’une suite dénombrable de surjections d’ensembles est non vide.

Lemme

Soit \(X_i \to Y_i\) une famille de fibrations de Kan. Alors \(\prod X_i \to \prod Y_i\) est une fibration de Kan.

Démonstration

Omis.

Le lemme suivant est dû à J.C. Moore, voir [Moore-Cartan].

Lemme

Soit \(X\) un groupe simplicial. Alors \(X\) est un complexe de Kan.

Démonstration

La démonstration suivante n’est essentiellement qu’une traduction en français de la démonstration de la référence mentionnée ci-dessus. Avec la terminologie expliquée dans l’introduction de cette section, supposons que \(f : \Lambda_k[n] \to X\) soit un morphisme défini sur une corne. Posons \(x_i = f(\sigma_i) \in X_{n - 1}\) pour \(i = 0, \ldots, \hat k, \ldots, n\). Cela signifie que, pour \(i < j\), on a \(d_i x_j = d_{j - 1} x_i\) dès que \(i, j \not = k\). Il faut trouver un \(x \in X_n\) tel que \(x_i = d_ix\) pour \(i = 0, \ldots, \hat k, \ldots, n\).

Montrons d’abord qu’il existe un \(u \in X_n\) tel que \(d_i u = x_i\) pour \(i < k\). C’est trivial pour \(k = 0\). Si \(k > 0\), on définit par récurrence un élément \(u^r \in X_n\) tel que \(d_i u^r = x_i\) pour \(0 \leq i \leq r\). On commence avec \(u^0 = s_0x_0\). Si \(r < k - 1\), on pose \[y^r = s_{r + 1}((d_{r + 1}u^r)^{-1}x_{r + 1}),\quad u^{r + 1} = u^r y^r.\] Un calcul facile montre que \(d_iy^r = 1\) (élément neutre du groupe \(X_{n - 1}\)) pour \(i \leq r\) et que \(d_{r + 1}y^r = (d_{r + 1}u^r)^{-1}x_{r + 1}\). Il s’ensuit que \(d_iu^{r + 1} = x_i\) pour \(i \leq r + 1\). Enfin, prenons \(u = u^{k - 1}\) pour obtenir le \(u\) promis.

Montrons ensuite, par récurrence sur l’entier \(r\), \(0 \leq r \leq n - k\), qu’il existe un \(x^r \in X_n\) tel que \[d_i x^r = x_i\quad\text{pour }i < k\text{ et }i > n - r.\] On commence avec \(x^0 = u\) pour \(r = 0\). Ayant défini \(x^r\) pour \(r \leq n - k - 1\), on pose \[z^r = s_{n - r - 1}((d_{n - r}x^r)^{-1}x_{n - r}),\quad x^{r + 1} = x^rz^r\] Un calcul simple, utilisant les relations données, montre que \(d_iz^r = 1\) pour \(i < k\) et \(i > n - r\), et que \(d_{n - r}(z^r) = (d_{n - r}x^r)^{-1}x_{n - r}\). Il s’ensuit que \(d_ix^{r + 1} = x_i\) pour \(i < k\) et \(i > n - r - 1\). Enfin, on prend \(x = x^{n - k}\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un homomorphisme de groupes abéliens simpliciaux qui est surjectif en chaque degré. Alors \(f\) est une fibration de Kan d’ensembles simpliciaux.

Démonstration

Considérons un diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ \Lambda_k[n] \ar[r]_a \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r]^b \ar@{-->}[ru] & Y }\] comme dans la définition 08NU. L’application \(a\) correspond à \(x_0, \ldots, \hat x_k, \ldots, x_n \in X_{n - 1}\) satisfaisant \(d_i x_j = d_{j - 1} x_i\) pour \(i < j\), \(i, j \not = k\). L’application \(b\) correspond à un élément \(y \in Y_n\) tel que \(d_iy = f(x_i)\) pour \(i \not = k\). Il s’agit de produire un \(x \in X_n\) tel que \(d_ix = x_i\) pour \(i \not = k\) et \(f(x) = y\).

Puisque \(f\) est surjectif en chaque degré, on peut trouver \(x \in X_n\) tel que \(f(x) = y\). Remplaçons \(y\) par \(0 = y - f(x)\) et \(x_i\) par \(x_i - d_ix\) pour \(i \not = k\). On voit alors que l’on peut supposer \(y = 0\). En particulier, \(f(x_i) = 0\). Autrement dit, on peut remplacer \(X\) par \(\Ker(f) \subset X\) et \(Y\) par \(0\). Dans ce cas, l’assertion devient le lemme 08NZ.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un homomorphisme de groupes abéliens simpliciaux qui est surjectif en chaque degré et induit un quasi-isomorphisme entre les complexes de chaînes associés. Alors \(f\) est une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux.

Démonstration

Considérons un diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ \partial \Delta[n] \ar[r]_a \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r]^b \ar@{-->}[ru] & Y }\] comme dans la définition 08NL. L’application \(a\) correspond à \(x_0, \ldots, x_n \in X_{n - 1}\) satisfaisant \(d_i x_j = d_{j - 1} x_i\) pour \(i < j\). L’application \(b\) correspond à un élément \(y \in Y_n\) tel que \(d_iy = f(x_i)\). Il s’agit de produire un \(x \in X_n\) tel que \(d_ix = x_i\) et \(f(x) = y\).

Puisque \(f\) est surjectif en chaque degré, on peut trouver \(x \in X_n\) tel que \(f(x) = y\). Remplaçons \(y\) par \(0 = y - f(x)\) et \(x_i\) par \(x_i - d_ix\). On voit alors que l’on peut supposer \(y = 0\). En particulier, \(f(x_i) = 0\). Autrement dit, on peut remplacer \(X\) par \(\Ker(f) \subset X\) et \(Y\) par \(0\). Cela convient, car, d’après Homologie, lemme 0111, l’homologie du complexe de chaînes associé à \(\Ker(f)\) est nulle et donc \(\Ker(f) \to 0\) induit un quasi-isomorphisme entre les complexes de chaînes associés.

Puisque \(X\) est un complexe de Kan (lemme 08NZ), on peut trouver \(x \in X_n\) tel que \(d_i x = x_i\) pour \(i = 0, \ldots, n - 1\). Après avoir remplacé \(x_i\) par \(x_i - d_ix\) pour \(i = 0, \ldots, n\), on peut supposer que \(x_0 = x_1 = \ldots = x_{n - 1} = 0\). Dans ce cas, on voit que \(d_i x_n = 0\) pour \(i = 0, \ldots, n - 1\). Ainsi, \(x_n \in N(X)_{n - 1}\) et appartient au noyau de la différentielle \(N(X)_{n - 1} \to N(X)_{n - 2}\). Ici, \(N(X)\) est le complexe de chaînes normalisé associé à \(X\), voir la section 0194. Puisque \(N(X)\) est quasi-isomorphe à \(s(X)\) (lemme 019C) et est donc acyclique, on trouve \(x \in N(X_n)\) dont la différentielle est \(x_n\). Cet \(x\) répond à la question posée par le lemme, et la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de groupes abéliens simpliciaux. Si \(f\) est une équivalence d’homotopie d’ensembles simpliciaux, alors \(f\) induit un quasi-isomorphisme entre les complexes de chaînes associés.

Démonstration

Dans cette démonstration, on écrira \(H_n(Z) = H_n(s(Z)) = H_n(N(Z))\) lorsque \(Z\) est un groupe abélien simplicial, avec \(s\) et \(N\) comme dans la section 0194. Notons \(\mathbf{Z}[X]\) le groupe abélien libre sur \(X\) considéré comme ensemble simplicial, et de même pour \(\mathbf{Z}[Y]\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathbf{Z}[X] \ar[r]_g \ar[d] & \mathbf{Z}[Y] \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] de groupes abéliens simpliciaux. Puisque la formation du groupe abélien libre sur un ensemble est fonctorielle, on voit que la flèche horizontale est une équivalence d’homotopie de groupes abéliens simpliciaux, voir le lemme 019Y. D’après le lemme 019T, on voit que \(H_n(g) : H_n(\mathbf{Z}[X]) \to H_n(\mathbf{Z}[Y])\) est bijective pour tout \(n \geq 0\).

Soit \(\xi \in H_n(Y)\). Par définition de \(N(Y)\), on peut représenter \(\xi\) par un élément \(y \in N(Y_n)\) dont le bord est nul. Cela signifie que \(y \in Y_n\) avec \(d^n_0(y) = \ldots = d^n_{n - 1}(y) = 0\), puisque \(y \in N(Y_n)\), et \(d^n_n(y) = 0\), puisque le bord de \(y\) est nul. Notons \(0_n \in Y_n\) l’élément nul. On voit alors que \[\tilde y = [y] - [0_n] \in (\mathbf{Z}[Y])_n\] est un élément tel que \(d^n_0(\tilde y) = \ldots = d^n_{n - 1}(\tilde y) = 0\) et \(d^n_n(\tilde y) = 0\). Ainsi, \(\tilde y\) appartient à \(N(\mathbf{Z}[Y])_n\) et est de bord \(0\), c’est-à-dire que \(\tilde y\) détermine une classe \(\tilde \xi \in H_n(\mathbf{Z}[Y])\) dont l’image est \(\xi\). Puisque \(H_n(\mathbf{Z}[X]) \to H_n(\mathbf{Z}[Y])\) est bijective, on peut relever \(\tilde \xi\) en une classe de \(H_n(\mathbf{Z}[X])\). En considérant le diagramme commutatif ci-dessus, on voit que \(\xi\) appartient à l’image de \(H_n(X) \to H_n(Y)\).

Soit \(\xi \in H_n(X)\) un élément dont l’image dans \(H_n(Y)\) est nulle. Exactement comme dans le paragraphe précédent, on peut représenter \(\xi\) par un élément \(x \in N(X_n)\) dont le bord est nul, c’est-à-dire \(d^n_0(x) = \ldots = d^n_{n - 1}(x) = d^n_n(x) = 0\). En particulier, on voit que \([x] - [0_n]\) est un élément de \(N(\mathbf{Z}[X])_n\) dont le bord est nul, et définit donc un relèvement \(\tilde \xi \in H_n(\mathbf{Z}[x])\) de \(\xi\). Le fait que l’image de \(\xi\) dans \(H_n(Y)\) soit nulle signifie qu’il existe un \(y \in N(Y_{n + 1})\) dont le bord est \(f_n(x)\). Cela signifie que \(d^{n + 1}_0(y) = \ldots = d^{n + 1}_n(y) = 0\) et \(d^{n + 1}_{n + 1}(y) = f(x)\). Mais cela signifie exactement que \(z = [y] - [0_{n + 1}]\) appartient à \(N(\mathbf{Z}[y])_{n + 1}\) et que \[g([x] - [0_n]) = [f(x)] - [0_n] = \text{bord de }z\] Ceci prouve que l’image de \(\tilde \xi\) dans \(H_n(\mathbf{Z}[y])\) est nulle. Comme \(H_n(\mathbf{Z}[X]) \to H_n(\mathbf{Z}[Y])\) est bijective, on conclut que \(\tilde \xi = 0\), et donc que \(\xi = 0\).

Une équivalence d’homotopie

Supposons que \(A\), \(B\) soient des ensembles et que \(f : A \to B\) soit une application. Considérons l’application associée d’ensembles simpliciaux \[\xymatrix{ \text{cosk}_0(A) \ar@{=}[r] & \Big(\ldots A \times A \times A \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A \times A \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A \Big) \ar[d] \ar@<0ex>[l] \\ \text{cosk}_0(B) \ar@{=}[r] & \Big( \ldots B \times B \times B \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & B \times B \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & B \Big) \ar@<0ex>[l] }\] Voir l’exemple 0182. Le cas \(n = 0\) du lemme suivant affirme que cette application d’ensembles simpliciaux est une fibration de Kan triviale si \(f\) est surjective.

Lemme

Soit \(f : V \to U\) un morphisme d’ensembles simpliciaux. Soit \(n \geq 0\) un entier. Supposons que

1. L’application \(f_i : V_i \to U_i\) est une bijection pour \(i < n\).

2. L’application \(f_n : V_n \to U_n\) est une surjection.

3. Le morphisme canonique \(U \to \text{cosk}_n \text{sk}_n U\) est un isomorphisme.

4. Le morphisme canonique \(V \to \text{cosk}_n \text{sk}_n V\) est un isomorphisme.

Alors \(f\) est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ \partial \Delta[k] \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Delta[k] \ar[r] \ar@{-->}[ru] & U }\] comme dans la définition 08NL. Soit \(x \in U_k\) le \(k\)-simplexe correspondant à la flèche horizontale inférieure. Si \(k \leq n\), alors la flèche pointillée est celle qui correspond à un relèvement \(y \in V_k\) de \(x\) ; le diagramme commute, car les autres simplexes non dégénérés de \(\Delta[k]\) sont de degrés \(< k\), où \(f\) est un isomorphisme. Si \(k > n\), alors, d’après les conditions (3) et (4), on a (en utilisant l’adjonction entre les foncteurs squelette et cosquelette) \[\Mor(\Delta[k], U) = \Mor(\text{sk}_n\Delta[k], \text{sk}_nU) = \Mor(\text{sk}_n\partial\Delta[k], \text{sk}_nU) = \Mor(\partial \Delta[k], U)\] et de même pour \(V\), car \(\text{sk}_n\Delta[k] = \text{sk}_n\partial\Delta[k]\) pour \(k > n\). On obtient donc, dans ce cas également, une unique flèche pointillée qui complète le diagramme.

Soient \(A, B\) des ensembles. Soient \(f^0, f^1 : A \to B\) des applications d’ensembles. Considérons les applications induites \(f^0, f^1 : \text{cosk}_0(A) \to \text{cosk}_0(B)\), désignées abusivement par les mêmes symboles. Le lemme suivant, pour \(n = 0\), affirme que \(f^0\) est homotope à \(f^1\). En fait, il existe une homotopie \(h : \text{cosk}_0(A) \times \Delta[1] \to \text{cosk}_0(A)\) de \(f^0\) à \(f^1\), de composantes \[\begin{eqnarray*} h_m : A \times \ldots \times A \times \Mor_{\Delta}([m], [1]) & \longrightarrow & B \times \ldots \times B, \\ (a_0, \ldots, a_m, \alpha) & \longmapsto & (f^{\alpha(0)}(a_0), \ldots, f^{\alpha(m)}(a_m)) \end{eqnarray*}\] Pour vérifier que cela convient, remarquons que, pour une application \(\varphi : [k] \to [m]\), les applications induites sont \((a_0, \ldots, a_m) \mapsto (a_{\varphi(0)}, \ldots, a_{\varphi(k)})\) et \(\alpha \mapsto \alpha \circ \varphi\). Ainsi, \(h = (h_m)_{m \geq 0}\) est manifestement une application d’ensembles simpliciaux, comme souhaité.

Lemme

Soient \(f^0, f^1 : V \to U\) des applications d’ensembles simpliciaux. Soit \(n \geq 0\) un entier. Supposons que

1. Les applications \(f^j_i : V_i \to U_i\), \(j = 0, 1\), sont égales pour \(i < n\).

2. Le morphisme canonique \(U \to \text{cosk}_n \text{sk}_n U\) est un isomorphisme.

3. Le morphisme canonique \(V \to \text{cosk}_n \text{sk}_n V\) est un isomorphisme.

Alors \(f^0\) est homotope à \(f^1\).

Démonstration

Soit \(W\) l’ensemble simplicial \(n\)-tronqué tel que \(W_i = U_i\) pour \(i < n\) et \(W_n = U_n / \sim\), où \(\sim\) est la relation d’équivalence engendrée par \(f^0(y) \sim f^1(y)\) pour \(y \in V_n\). Ceci a un sens, car les morphismes \(U(\varphi) : U_n \to U_i\) correspondant à \(\varphi : [i] \to [n]\) pour \(i < n\) se factorisent par l’application quotient \(U_n \to W_n\), puisque \(f^0\) et \(f^1\) sont des morphismes d’ensembles simpliciaux et sont égaux aux degrés \(< n\). Ensuite, on étend \(W\) en un ensemble simplicial en prenant \(\text{cosk}_n W\). D’après le lemme 01A6, le morphisme \(g : U \to W\) est une fibration de Kan triviale. Remarquons que \(g \circ f^0 = g \circ f^1\) par construction, et notons \(f : V \to W\) ce morphisme. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \partial \Delta[1] \times V \ar[rr]_{f^0, f^1} \ar[d] & & U \ar[d] \\ \Delta[1] \times V \ar[rr]^f \ar@{-->}[rru] & & W }\] D’après le lemme 08NM, la flèche pointillée existe, ce qui achève la démonstration.

Démonstration

Il faut construire un morphisme d’ensembles simpliciaux \(h : V \times \Delta[1] \to U\) qui redonne \(f^i\) par composition avec \(e_i\). Le cas \(n = 0\) a été traité avant le lemme. On peut donc supposer que \(n \geq 1\). L’application \(\Delta[1] \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Delta[1]\) est un isomorphisme, voir le lemme 018E. On voit donc que \(\Delta[1] \to \text{cosk}_n \text{sk}_n \Delta[1]\) est un isomorphisme puisque \(n \geq 1\), voir le lemme 018B. Par conséquent, \(V \times \Delta[1] \to \text{cosk}_n \text{sk}_n (V \times \Delta[1])\) est également un isomorphisme, voir le lemme 018C. Autrement dit, pour construire l’homotopie, il suffit de construire un morphisme convenable d’ensembles simpliciaux \(n\)-tronqués \(h : \text{sk}_n V \times \text{sk}_n \Delta[1] \to \text{sk}_n U\).

Pour \(k = 0, \ldots, n - 1\), on définit \(h_k\) par la formule \(h_k(v, \alpha) = f^0(v) = f^1(v)\). L’application \(h_n : V_n \times \Mor_{\Delta}([n], [1]) \to U_n\) est définie comme suit. Soient \(v \in V_n\) et \(\alpha : [n] \to [1]\) :

1. Si \(\Im(\alpha) = \{0\}\), alors on pose \(h_n(v, \alpha) = f^0(v)\).

2. Si \(\Im(\alpha) = \{0, 1\}\), alors on pose \(h_n(v, \alpha) = f^0(v)\).

3. Si \(\Im(\alpha) = \{1\}\), alors on pose \(h_n(v, \alpha) = f^1(v)\).

Soit \(\varphi : [k] \to [l]\) un morphisme de \(\Delta_{\leq n}\). Montrons que le diagramme \[\xymatrix{ V_{l} \times \Mor([l], [1]) \ar[r] \ar[d] & U_{l} \ar[d] \\ V_{k} \times \Mor([k], [1]) \ar[r] & U_{k} }\] est commutatif. Soient \(v \in V_{l}\) et \(\alpha : [l] \to [1]\). La commutativité signifie que \[h_k(V(\varphi)(v), \alpha \circ \varphi) = U(\varphi)(h_l(v, \alpha)).\] Dans presque tous les cas, cette égalité est vraie, car \(h_k(V(\varphi)(v), \alpha \circ \varphi) = f^0(V(\varphi)(v))\) et \(U(\varphi)(h_l(v, \alpha)) = U(\varphi)(f^0(v))\), compte tenu du fait que \(f^0\) est un morphisme d’ensembles simpliciaux. Les seuls cas où ce raisonnement ne s’applique pas sont ceux où soit (A) \(\Im(\alpha) = \{1\}\) et \(l = n\), soit (B) \(\Im(\alpha \circ \varphi) = \{1\}\) et \(k = n\). Remarquons en outre que l’on a nécessairement \(f^0(v) = f^1(v)\) pour tout \(n\)-simplexe dégénéré de \(V\). On peut donc restreindre davantage les cas ci-dessus aux cas (A) \(\Im(\alpha) = \{1\}\), \(l = n\) et \(v\) non dégénéré, et (B) \(\Im(\alpha \circ \varphi) = \{1\}\), \(k = n\) et \(V(\varphi)(v)\) non dégénéré.

Dans le cas (A), on voit que \(\Im(\alpha \circ \varphi) = \{1\}\) également. On voit donc que non seulement \(h_l(v, \alpha) = f^1(v)\), mais aussi que \(h_k(V(\varphi)(v), \alpha \circ \varphi) = f^1(V(\varphi)(v))\). Ainsi, la relation est vraie parce que \(f^1\) est un morphisme d’ensembles simpliciaux.

Dans le cas (B), on conclut que \(l = k = n\) et que \(\varphi\) est bijective, car sinon \(V(\varphi)(v)\) est dégénéré. Ainsi, \(\varphi = \text{id}_{[n]}\), ce qui est un cas trivial.

Lemme

Soient \(A\), \(B\) des ensembles et \(f : A \to B\) une application. Considérons l’ensemble simplicial \(U\) dont les \(n\)-simplexes sont \[A \times_B A \times_B \ldots \times_B A\ (n + 1 \text{ facteurs)}.\] Voir l’exemple 016E. Si \(f\) est surjective, le morphisme \(U \to B\), où \(B\) désigne l’ensemble simplicial constant de valeur \(B\), est une fibration de Kan triviale.

Démonstration

Remarquons que \(U\) s’insère dans un carré cartésien \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & \text{cosk}_0(A) \ar[d] \\ B \ar[r] & \text{cosk}_0(B) }\] Puisque la flèche verticale de droite est une fibration de Kan triviale d’après le lemme 01A6, il en est de même de celle de gauche d’après le lemme 08NN.

Préparation aux résolutions standard

Le contenu de cette section se trouve dans [Godement, Appendice 1]

Exemple

Soit \(Y : \mathcal{C} \to \mathcal{C}\) un foncteur d’une catégorie dans elle-même et supposons données des transformations de foncteurs \[d : Y \longrightarrow \text{id}_\mathcal{C} \quad\text{et}\quad s : Y \longrightarrow Y \circ Y\] À l’aide de ces transformations, nous pouvons construire quelque chose qui ressemble à un objet simplicial. Plus précisément, pour \(n \geq 0\), posons \[X_n = Y \circ \ldots \circ Y \quad (n + 1\text{ compositions})\] Remarquons que \(X_{n + m + 1} = X_n \circ X_m\) pour \(n, m \geq 0\). Ensuite, pour \(n \geq 0\) et \(0 \leq j \leq n\), nous définissons, avec les notations de Catégories, section 003D, \[d^n_j = 1_{X_{j - 1}} \star d \star 1_{X_{n - j - 1}} : X_n \to X_{n - 1} \quad\text{et}\quad s^n_j = 1_{X_{j - 1}} \star s \star 1_{X_{n - j - 1}} : X_n \to X_{n + 1}\] Ainsi, \(d^n_j\), resp. \(s^n_j\), est la transformation naturelle qui applique \(d\), resp. \(s\), au \(j\)-ième \(Y\) (compté à partir de la gauche) dans la composition définissant \(X_n\).

Lemme

Dans l’exemple 0G5M, si \[1_Y = (d \star 1_Y) \circ s = (1_Y \star d) \circ s \quad\text{et}\quad (s \star 1) \circ s = (1 \star s) \circ s\] alors \(X = (X_n, d^n_j, s^n_j)\) est un objet simplicial de la catégorie des endofoncteurs de \(\mathcal{C}\) et \(d : X_0 = Y \to \text{id}_\mathcal{C}\) définit une augmentation.

Démonstration

Pour voir que nous obtenons un objet simplicial, nous devons vérifier que les relations (1)(a) – (e) du lemme 016B sont satisfaites. Nous utiliserons la notation abrégée \[1_a = 1_{X_{a - 1}} = 1_Y \star \ldots \star 1_Y \quad (a\text{ facteurs})\] pour \(a \geq 0\). Avec cette notation, nous avons \[d^n_j = 1_j \star d \star 1_{n - j} \quad\text{et}\quad s^n_j = 1_j \star s \star 1_{n - j}\] Nous utiliserons à plusieurs reprises la règle selon laquelle, pour des transformations de foncteurs \(a, a', b, b'\), nous avons \((a' \circ a) \star (b' \circ b) = (a' \star b') \circ (a \star b)\) pourvu que les compositions \(\star\) et \(\circ\) de cette formule soient définies ; voir Catégories, lemme 003F.

La condition (1)(a) est toujours satisfaite (aucune condition n’est requise sur \(d\) et \(s\)). En effet, soit \(0 \leq i < j \leq n + 1\). Nous devons montrer que \(d^n_i \circ d^{n + 1}_j = d^n_{j - 1} \circ d^{n + 1}_i\), c’est-à-dire \[(1_i \star d \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star d \star 1_{n + 1 - j}) = (1_{j - 1} \star d \star 1_{n + 1 - j}) \circ (1_i \star d \star 1_{n + 1 - i})\] Nous pouvons réécrire le membre de gauche sous la forme \[\begin{align*} & (1_i \star d \star 1_{j - i - 1} \star 1_{n + 1 - j}) \circ (1_i \star 1_1 \star 1_{j - i - 1} \star d \star 1_{n + 1 - j}) \\ & = 1_i \star \left((d \star 1_{j - i - 1}) \circ (1_1 \star 1_{j - i - 1} \star d)\right) \star 1_{n + 1 - j} \\ & = 1_i \star d \star 1_{j - i - 1} \star d \star 1_{n + 1 - j} \end{align*}\] La seconde égalité est vraie parce que \(d \circ 1_1 = d\) et \(1_{j - i} \circ (1_{j - i - 1} \star d) = 1_{j - i - 1} \star d\). Un calcul analogue donne le même résultat pour le membre de droite.

Vérifions la condition (1)(b). Soit \(0 \leq i < j \leq n - 1\). Nous devons montrer que \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_i\), c’est-à-dire \[(1_i \star d \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_{j - 1} \star s \star 1_{n - 1 - j}) \circ (1_i \star d \star 1_{n - 1 - i})\] Par le même type de calcul que dans le cas (1)(a), les deux membres se simplifient en \(1_i \star d \star 1_{j - i - 1} \star s \star 1_{n - j - 1}\).

Vérifions la condition (1)(c). Soit \(0 \leq j \leq n - 1\). Nous devons montrer \(\text{id} = d^n_j \circ s^{n - 1}_j = d^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_j\), c’est-à-dire \[1_n = (1_j \star d \star 1_{n - j}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_{j + 1} \star d \star 1_{n - j - 1}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j})\] Cela résulte immédiatement de la première hypothèse du lemme.

Vérifions la condition (1)(d). Soit \(0 < j + 1 < i \leq n\). Nous devons montrer \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{i - 1}\), c’est-à-dire \[(1_i \star d \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_j \star s \star 1_{n - 2 - j}) \circ (1_{i - 1} \star d \star 1_{n - i})\] Par le même type de calcul que dans le cas (1)(a), les deux membres se simplifient en \(1_j \star s \star 1_{i - j - 2} \star d \star 1_{n - i}\).

Vérifions la condition (1)(e). Soit \(0 \leq i \leq j \leq n - 1\). Nous devons montrer que \(s^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_i\), c’est-à-dire \[(1_i \star s \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_{j + 1} \star s \star 1_{n - 1 - j}) \circ (1_i \star s \star 1_{n - 1 - i})\] Par le même type de calcul que dans le cas (1)(a), cela se réduit à \[(s \star 1_{j - i + 1}) \circ (1_{j - i} \star s) = (1_{j - i + 1} \star s) \circ (s \star 1_{j - i})\] Si \(j = i\), c’est exactement l’une des deux hypothèses du lemme. Si \(j > i\), les membres de gauche et de droite se réduisent tous deux à \(s \star 1_{j - i - 1} \star s\) par des calculs semblables à ceux que nous avons effectués dans le cas (1)(a).

Enfin, pour montrer que \(d\) définit une augmentation, nous devons montrer que \(d \circ (1_1 \star d) = d \circ (d \star 1_1)\), ce qui est vrai puisque les deux membres sont égaux à \(d \star d\).

Exemple

Soient \(\mathcal{C}\), \(Y\), \(d\), \(s\) comme dans l’exemple 0G5M, satisfaisant les équations du lemme 0G5N. Étant donnés des foncteurs \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{C} \to \mathcal{B}\), nous obtenons un objet simplicial \(G \circ X \circ F\) dans la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{B}\), muni d’une augmentation vers \(G \circ F\).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\), \(Y\), \(d\), \(s\), \(F\), \(G\) comme dans l’exemple 0G5P. Étant donnée une transformation de foncteurs \(h_0 : G \circ F \to G \circ Y \circ F\) telle que \[1_{G \circ F} = (1_G \star d \star 1_F) \circ h_0\] alors il existe un morphisme \(h : G \circ F \to G \circ X \circ F\) d’objets simpliciaux tel que \(\epsilon \circ h = \text{id}\), où \(\epsilon : G \circ X \circ F \to G \circ F\) est l’augmentation.

Démonstration

Notons \(u_n : Y = X_0 \to X_n\) le morphisme de l’objet simplicial \(X\) correspondant à l’unique morphisme \([n] \to [0]\) de \(\Delta\). Posons \(h_n : G \circ F \to G \circ X_n \circ F\) égal à \((1_G \star u_n \star 1_F) \circ h_0\).

Pour tout objet simplicial \(X = (X_n)\) d’une catégorie quelconque, \(u =(u_n) : X_0 \to X\) est un morphisme de l’objet simplicial constant de valeur \(X_0\) vers \(X\). Par conséquent, \(h\) est un morphisme d’objets simpliciaux, car il est la composée de \(1_G \star u \star 1_F\) et de \(h_0\).

Vérifions que \(\epsilon \circ h = \text{id}\). Nous calculons \[\epsilon_n \circ (1_G \star u_n \star 1_F) \circ h_0 = \epsilon_0 \circ h_0 = \text{id}\] La première égalité vient de ce que \(\epsilon\) est un morphisme d’objets simpliciaux, et la seconde de ce que \(\epsilon_0 = (1_G \star d \star 1_F)\) et que nous pouvons appliquer l’hypothèse de l’énoncé du lemme.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\), \(Y\), \(d\), \(s\), \(F\), \(G\) comme dans l’exemple 0G5P. Soient \(F' : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) et \(G' : \mathcal{C} \to \mathcal{B}\) deux foncteurs. Soit \((a_n) : G \circ X \to G' \circ X\) un morphisme d’objets simpliciaux compatible avec \(a : G \to G'\) via les augmentations. Soit \((b_n) : X \circ F \to X \circ F'\) un morphisme d’objets simpliciaux compatible avec \(b : F \to F'\) via les augmentations. Alors les deux morphismes \[a \star (b_n), (a_n) \star b : G \circ X \circ F \to G' \circ X \circ F'\] sont homotopes.

Démonstration

Pour montrer que les morphismes sont homotopes, nous construisons des morphismes \[h_{n, i} : G \circ X_n \circ F \to G' \circ X_n \circ F'\] pour \(n \geq 0\) et \(0 \leq i \leq n + 1\), satisfaisant les relations décrites dans le lemme 019L. Voir aussi la remarque 019M. Pour satisfaire la condition (1) du lemme 019L, nous sommes contraints de poser \(h_{n, 0} = a \star b_n\) et \(h_{n , n + 1} = a_n \star b\). Un choix naturel est donc \[h_{n , i} = a_{i - 1} \star b_{n - i}\] pour \(1 \leq i \leq n\). En posant \(a = a_{-1}\) et \(b = b_{-1}\), nous voyons que la formule affichée est valable pour \(0 \leq i \leq n + 1\).

Rappelons que \[d^n_j = 1_G \star 1_j \star d \star 1_{n - j} \star 1_F\] sur \(G \circ X \circ F\), où nous utilisons la notation \(1_a = 1_{Y \circ \ldots \circ Y}\) introduite dans la démonstration du lemme 0G5N. Nous utiliserons ci-dessous les réécritures suivantes : \[\begin{align*} d^n_j & = d^j_j \star 1_{n - j} = d^{j + 1}_j \star 1_{n - j} = \ldots = d^{n - 1}_j \star 1_1 \\ & = 1_j \star d^{n - j}_0 = 1_{j - 1} \star d^{n - j + 1}_1 = \ldots = 1_1 \star d^{n - 1}_{j - 1} \end{align*}\] Bien entendu, nous avons les formules analogues pour \(d^n_j\) sur \(G' \circ X \circ F'\).

Vérifions la condition (2) du lemme 019L. Soit \(i > j\). Nous devons montrer \[d^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_{i - 2} \star b_{n - i}) \circ d^n_j\] Puisque \(i - 1 \geq j\), nous pouvons utiliser l’une des descriptions possibles de \(d^n_j\) pour réécrire le membre de gauche sous la forme \[(d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (d^{i - 1}_j \circ a_{i - 1}) \star b_{n - i} = (a_{i - 2} \circ d^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] De même, le membre de droite devient \[(a_{i - 2} \star b_{n - i}) \circ (d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) = (a_{i - 2} \circ d^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] Nous obtenons donc le même résultat, ce qui vérifie (2).

Vérifions la condition (3) du lemme 019L. Soit \(i \leq j\). Nous devons montrer \[d^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_{i - 1} \star b_{n - 1 - i}) \circ d^n_j\] Puisque \(j \geq i\), nous pouvons réécrire le membre de gauche sous la forme \[(1_i \star d^{n - i}_{j - i}) \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = a_{i - 1} \star (b_{n - 1 - i} \circ d^{n - i}_{j - i})\] Une manipulation analogue montre que cela coïncide avec le membre de droite.

Rappelons que \[s^n_j = 1_G \star 1_j \star s \star 1_{n - j} \star 1_F\] sur \(G \circ X \circ F\). Nous utiliserons ci-dessous les réécritures suivantes : \[\begin{align*} s^n_j & = s^j_j \star 1_{n - j} = s^{j + 1}_j \star 1_{n - j - 1} = \ldots = s^{n - 1}_j \star 1_1 \\ & = 1_j \star s^{n - j}_0 = 1_{j - 1} \star s^{n - j + 1}_1 = \ldots = 1_1 \star s^{n - 1}_{j - 1} \end{align*}\] Bien entendu, nous avons les formules analogues pour \(s^n_j\) sur \(G' \circ X \circ F'\).

Vérifions la condition (4) du lemme 019L. Soit \(i > j\). Nous devons montrer \[s^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_i \star b_{n - i}) \circ s^n_j\] Puisque \(i - 1 \geq j\), nous pouvons réécrire le membre de gauche sous la forme \[(s^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (s^{i - 1}_j \circ a_{i - 1}) \star b_{n - i} = (a_i \circ s^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] De même, le membre de droite devient \[(a_i \star b_{n - i}) \circ (s^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) = (a_i \circ s^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] comme voulu.

Vérifions la condition (5) du lemme 019L. Soit \(i \leq j\). Nous devons montrer \[s^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_{i - 1} \star b_{n + 1 - i}) \circ s^n_j\] Cette égalité est vraie, car les deux membres sont égaux à \(a_{i - 1} \star (s^{n - i}_{j - i} \circ b_{n - i}) = a_{i - 1} \star (b_{n + 1 - i} \circ s^{n - i}_{j - i})\) par les mêmes arguments que ci-dessus.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\), \(Y\), \(d\), \(s\) comme dans l’exemple 0G5M, satisfaisant les équations du lemme 0G5N. Soit \(f : \text{id}_\mathcal{C} \to \text{id}_\mathcal{C}\) un endomorphisme du foncteur identité. Alors \(f \star 1_X, 1_X \star f : X \to X\) sont des morphismes d’objets simpliciaux compatibles avec \(f\) via l’augmentation \(\epsilon : X \to \text{id}_\mathcal{C}\). De plus, \(f \star 1_X\) et \(1_X \star f\) sont homotopes.

Démonstration

Le morphisme \(f \star 1_X\) est celui dont les composantes sont \[X_n = \text{id}_\mathcal{C} \circ X_n \xrightarrow{f \star 1_{X_n}} \text{id}_\mathcal{C} \circ X_n = X_n\] Pour une transformation \(a : F \to G\) d’endofoncteurs de \(\mathcal{C}\), nous avons \(a \circ (f \star 1_F) = f \star a = (f \star 1_G) \circ a\). Ainsi, \(f \star 1_X\) est bien un morphisme d’objets simpliciaux. Il en va de même pour \(1_X \star f\).

Pour montrer que les morphismes sont homotopes, nous construisons des morphismes \(h_{n, i} : X_n \to X_n\) pour \(n \geq 0\) et \(0 \leq i \leq n + 1\) satisfaisant les relations décrites dans le lemme 019L. Voir aussi la remarque 019M. On constate que nous pouvons prendre \[h_{n, i} = 1_i \star f \star 1_{n + 1 - i}\] où \(1_i\) est la transformation identité de \(Y \circ \ldots \circ Y\), comme dans la démonstration du lemme 0G5N. Nous avons \(h_{n, 0} = f \star 1_{X_n}\) et \(h_{n, n + 1} = 1_{X_n} \star f\) ce qui vérifie la première condition. Pour vérifier les autres conditions, nous utilisons les observations faites dans la démonstration du lemme 0G5R au sujet des morphismes \(d^n_j\) et \(s^n_j\).

Vérifions la condition (2) du lemme 019L. Soit \(i > j\). Nous devons montrer \[d^n_j \circ (1_i \star f \star 1_{n + 1 - i}) = (1_{i - 1} \star f \star 1_{n + 1 - i}) \circ d^n_j\] Puisque \(i - 1 \geq j\), nous pouvons utiliser l’une des descriptions possibles de \(d^n_j\) pour réécrire le membre de gauche sous la forme \[(d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) \circ (1_i \star f \star 1_{n + 1 - i}) = d^{i - 1}_j \star f \star 1_{n + 1 - i}\] De même, le membre de droite devient \[(1_{i - 1} \star f \star 1_{n + 1 - i}) \circ (d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) = d^{i - 1}_j \star f \star 1_{n + 1 - i}\] Nous obtenons donc le même résultat, ce qui vérifie (2).

Les conditions (3), (4) et (5) du lemme 019L se vérifient exactement de la même manière, en suivant la stratégie de la démonstration du lemme 0G5R. Nous omettons les détails².

Résolutions standard

Une partie du contenu de cette section se trouve dans [Godement, Appendice 1] et [cotangent, I 1.5].

Situation

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{S}\) des catégories et soit \(V : \mathcal{A} \to \mathcal{S}\) un foncteur admettant pour adjoint à gauche \(U : \mathcal{S} \to \mathcal{A}\).

Dans cette situation très générale, nous allons construire un objet simplicial \(X\) dans la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{A}\). Nous conseillons de consulter les exemples présentés plus loin avant de lire le texte de cette section.

Pour cette construction, nous utiliserons la composition horizontale telle qu’elle est définie dans Catégories, section 003D. La définition des morphismes d’adjonction³ \[d : U \circ V \to \text{id}_\mathcal{A} \quad (\text{co-unité}) \quad\text{et}\quad \eta : \text{id}_\mathcal{S} \to V \circ U \quad (\text{unité})\] dans Catégories, section 0036 montre que les composés [08NB]\[\begin{equation} V \xrightarrow{\eta \star 1_V} V \circ U \circ V \xrightarrow{1_V \star d} V \quad\text{et}\quad U \xrightarrow{1_U \star \eta} U \circ V \circ U \xrightarrow{d \star 1_U} U \end{equation}\] sont les morphismes identité. Ici, pour définir le morphisme \(\eta \star 1_V\), nous identifions tacitement \(V\) à \(\text{id}_\mathcal{S} \circ V\) et \(1_V\) désigne \(\text{id}_V : V \to V\). Nous utiliserons cette notation et ces relations à plusieurs reprises dans la suite. Pour \(n \geq 0\), nous posons \[X_n = (U \circ V)^{\circ (n + 1)} = U \circ V \circ U \circ \ldots \circ U \circ V\] Autrement dit, \(X_n\) est le composé de \((n + 1)\) copies de \(U \circ V\). Nous posons aussi \(X_{-1} = \text{id}_\mathcal{A}\). Nous avons \(X_{n + m + 1} = X_n \circ X_m\) pour tous \(n, m \geq -1\). Nous allons munir cette suite de foncteurs d’une structure d’objet simplicial de \(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{A})\) en construisant les morphismes de foncteurs \[d^n_j : X_n \to X_{n - 1},\quad s^n_j : X_n \to X_{n + 1}\] qui satisfont aux relations du lemme 0167. Plus précisément, nous posons \[d^n_j = 1_{X_{j - 1}} \star d \star 1_{X_{n - j - 1}} \quad\text{et}\quad s^n_j = 1_{X_{j - 1} \circ U} \star \eta \star 1_{V \circ X_{n - j - 1}}\] Enfin, posons \(\epsilon_0 = d : X_0 \to X_{-1}\).

Lemme

Dans la situation 08N9, le système \(X = (X_n, d^n_j, s^n_j)\) est un objet simplicial de \(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{A})\) et \(\epsilon_0\) définit une augmentation \(\epsilon\) de \(X\) vers l’objet simplicial constant de valeur \(X_{-1} = \text{id}_\mathcal{A}\).

Démonstration

Considérons \(Y = U \circ V : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\). Nous disposons déjà de la transformation \(d : Y = U \circ V \to \text{id}_\mathcal{A}\). Notons \[s = 1_U \star \eta \star 1_V : Y = U \circ \text{id}_\mathcal{S} \circ V \longrightarrow U \circ V \circ U \circ V = Y \circ Y\] Nous sommes alors dans la situation de l’exemple 0G5M. Il résulte immédiatement des formules que les \(X, d^n_i, s^n_i\) construits ci-dessus et les \(X, s^n_i, s^n_i\) construits à partir de \(Y, d, s\) dans l’exemple 0G5M coïncident. Ainsi, d’après le lemme 0G5N, il suffit de montrer que \[1_Y = (d \star 1_Y) \circ s = (1_Y \star d) \circ s \quad\text{et}\quad (s \star 1) \circ s = (1 \star s) \circ s\] La première égalité équivaut à l’égalité \[1_U \star 1_V = (d \star 1_U \star 1_V) \circ (1_U \star \eta \star 1_V)\] qui est vérifiée si \(1_U = (d \star 1_U) \circ (1_U \star \eta)\), ce qui résulte de (08NB). Il en va de même pour la seconde égalité. Pour la dernière équation, il faut montrer \[(1_U \star \eta \star 1_V \star 1_U \star 1_V) \circ (1_U \star \eta \star 1_V) = (1_U \star 1_V \star 1_U \star \eta \star 1_V) \circ (1_U \star \eta \star 1_V)\] Pour cela, il suffit de montrer \((\eta \star 1_V \star 1_U) \circ \eta = (1_V \star 1_U \star \eta) \circ \eta\) ce qui est vrai car les deux membres sont égaux à \(\eta \star \eta\).

Avant de lire la démonstration du lemme suivant, nous conseillons au lecteur de consulter l’exemple 08NE présenté plus loin afin de comprendre le but du lemme.

Lemme

Dans la situation 08N9, les applications \[1_V \star \epsilon : V \circ X \to V, \quad\text{et}\quad \epsilon \star 1_U : X \circ U \to U\] sont des équivalences d’homotopie.

Démonstration

Comme dans la démonstration du lemme 08NC, nous posons \(Y = U \circ V\), de sorte que nous sommes dans la situation de l’exemple 0G5M.

Démonstration de la première équivalence d’homotopie. D’après le lemme 0G5Q, pour construire une application \(h : V \to V \circ X\) inverse à droite de \(1_V \star \epsilon\), il suffit de construire une application \(h_0 : V \to V \circ Y = V \circ U \circ V\) telle que \(1_V = (1_V \star d) \circ h_0\). Bien entendu, nous prenons \(h_0 = \eta \star 1_V\) et l’égalité résulte de (08NB). Pour achever la démonstration, il faut montrer que les deux applications \[(1_V \star \epsilon) \circ h, 1_V \star \text{id}_X : V \circ X \longrightarrow V \circ X\] sont homotopes. Cela résulte immédiatement du lemme 0G5R (avec \(G = G' = V\) et \(F = F' = \text{id}_\mathcal{S}\)).

Démonstration de la seconde équivalence d’homotopie. D’après le lemme 0G5Q, pour construire une application \(h : U \to X \circ U\) inverse à droite de \(\epsilon \star 1_U\), il suffit de construire une application \(h_0 : U \to Y \circ U = U \circ V \circ U\) telle que \(1_U = (d \star 1_U) \circ h_0\). Bien entendu, nous prenons \(h_0 = 1_U \star \eta\) et l’égalité résulte de (08NB). Pour achever la démonstration, il faut montrer que les deux applications \[(\epsilon \star 1_U) \circ h, \text{id}_X \star 1_U : X \circ U \longrightarrow X \circ U\] sont homotopes. Cela résulte immédiatement du lemme 0G5R (avec \(G = G' = \text{id}_\mathcal{A}\) et \(F = F' = U\)).

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Comme exemple de ce qui précède, nous pouvons prendre pour \(i : \text{Mod}_R \to \textit{Ensembles}\) le foncteur d’oubli et pour \(F : \textit{Ensembles} \to \text{Mod}_R\) le foncteur qui associe à un ensemble \(E\) le \(R\)-module libre \(R[E]\) de base \(E\). Pour un \(R\)-module \(M\), le \(R\)-module simplicial \(X(M)\) est de la forme suivante \[X(M) = \left( \ldots \xymatrix{ R[R[R[M]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & R[R[M]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & R[M] \ar@<0ex>[l] } \right)\] et est muni d’une augmentation vers \(M\). Nous montrerons aussi que cette augmentation est une équivalence d’homotopie sur les ensembles simpliciaux sous-jacents. D’après les lemmes 08NS, 08P2 et 08P1 cela revient à demander que \(M\) soit le seul groupe de cohomologie non nul du complexe de chaînes associé au module simplicial \(X(M)\).

Exemple

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\textit{Alg}_A\) la catégorie des \(A\)-algèbres commutatives. Comme exemple de ce qui précède, nous pouvons prendre pour \(i : \textit{Alg}_A \to \textit{Ensembles}\) le foncteur d’oubli et pour \(F : \textit{Ensembles} \to \textit{Alg}_A\) le foncteur qui associe à un ensemble \(E\) l’algèbre de polynômes \(A[E]\) en les indéterminées \(E\), à coefficients dans \(A\). (Nous nous excusons du conflit de notation entre cet exemple et l’exemple 0G5T.) Pour une \(A\)-algèbre \(B\), l’\(A\)-algèbre simpliciale \(X(B)\) est de la forme suivante \[X(B) = \left( \ldots \xymatrix{ A[A[A[B]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar@<0ex>[l] } \right)\] et est munie d’une augmentation vers \(B\). Nous montrerons aussi que cette augmentation est une équivalence d’homotopie sur les ensembles simpliciaux sous-jacents. D’après les lemmes 08NS, 08P2 et 08P1 cela revient à demander que \(B\) soit le seul groupe de cohomologie non nul du complexe de chaînes de \(A\)-modules associé à \(X(B)\) considéré comme un \(A\)-module simplicial.

Exemple

Dans l’exemple 0G5T, nous avons \(X_n(M) = R[R[\ldots [M]\ldots]]\) avec \(n + 1\) paires de crochets. Nous décrivons les applications construites ci-dessus à l’aide d’un élément type \[\xi = \sum\nolimits_i r_i\left[\sum\nolimits_j r_{ij}[m_{ij}]\right]\] de \(X_1(M)\). Les applications \(d_0, d_1 : R[R[M]] \to R[M]\) sont données par \[d_0(\xi) = \sum\nolimits_{i, j} r_ir_{ij}[m_{ij}] \quad\text{et}\quad d_1(\xi) = \sum\nolimits_i r_i\left[\sum\nolimits_j r_{ij}m_{ij}\right].\] Les applications \(s_0, s_1 : R[R[M]] \to R[R[R[M]]]\) sont données par \[s_0(\xi) = \sum\nolimits_i r_i\left[\left[\sum\nolimits_j r_{ij}[m_{ij}]\right]\right] \quad\text{et}\quad s_1(\xi) = \sum\nolimits_i r_i\left[\sum\nolimits_j r_{ij}[[m_{ij}]]\right].\]

Exemple

Dans l’exemple 08NA, nous avons \(X_n(B) = A[A[\ldots [B]\ldots]]\) avec \(n + 1\) paires de crochets. Nous décrivons les applications construites ci-dessus à l’aide d’un élément type \[\xi = \sum\nolimits_i a_i [x_{i, 1}] \ldots [x_{i, m_i}] \in A[A[B]] = X_1(B)\] où, pour chaque \(i, j\), nous pouvons écrire \[x_{i, j} = \sum a_{i, j, k} [b_{i, j, k, 1}] \ldots [b_{i, j, k, n_{i, j, k}}] \in A[B]\] De toute évidence, cette notation est affreuse ! Pour l’alléger et déterminer l’action des morphismes de \(A\)-algèbres \(d_0, d_1 : A[A[B]] \to A[B]\), il suffit d’examiner l’image des variables \([x]\), où \[x = \sum a_k [b_{k, 1}] \ldots [b_{k, n_k}] \in A[B]\] est un élément quelconque. On obtient alors \[d_0([x]) = x = \sum a_k [b_{k, 1}] \ldots [b_{k, n_k}] \quad\text{et}\quad d_1([x]) = \left[\sum a_k b_{k, 1} \ldots b_{k, n_k}\right]\] Les applications \(s_0, s_1 : A[A[B]] \to A[A[A[B]]]\) sont données par \[s_0([x]) = \left[\left[\sum a_k [b_{k, 1}] \ldots [b_{k, n_k}]\right]\right] \quad\text{et}\quad s_1([x]) = \left[\sum a_k [[b_{k, 1}]] \ldots [[b_{k, n_k}]]\right]\]

Exemple

Revenons à l’exemple 08NA étudié ci-dessus. Notre lemme 08ND signifie que, pour tout morphisme d’anneaux \(A \to B\), l’application d’anneaux simpliciaux \[\xymatrix{ A[A[A[B]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \\ B \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & B \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & B \ar@<0ex>[l] }\] est une équivalence d’homotopie sur les ensembles simpliciaux sous-jacents. De plus, l’application inverse construite dans le lemme 08ND est donnée en degré \(n\) par \[b \longmapsto [\ldots[b]\ldots]\] avec les notations évidentes. Dans l’autre sens, le lemme nous dit que, pour tout ensemble \(E\), il existe une équivalence d’homotopie \[\xymatrix{ A[A[A[A[E]]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[A[E]]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[A[E]] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \\ A[E] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[E] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[E] \ar@<0ex>[l] }\] d’anneaux simpliciaux. L’application inverse construite dans le lemme est donnée en degré \(n\) par le morphisme d’anneaux \[\sum a_{e_1,\ldots,e_p}[e_1][e_2] \ldots [e_p] \longmapsto \sum a_{e_1,\ldots,e_p}[\ldots[e_1]\ldots][\ldots[e_2]\ldots] \ldots [\ldots[e_p]\ldots]\] (avec les notations évidentes).