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집합론

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이 장의 절서론
모든 것은 집합이다
클래스
서수
집합의 계층
기수
공종성
반사 원리
스킴 범주의 구성
군 작용을 갖는 집합
사이트의 덮개
아벨 범주와 단사 대상

서론

때때로 집합론이 필요하다. 여기서는 [Kunen]과 [Jech]에 설명된 선택 공리를 포함한 Zermelo–Fraenkel 집합론(ZFC)을 사용한다.

모든 것은 집합이다

대부분의 수학자는 집합론이 수학의 기본 토대를 제공한다고 생각한다. 그렇다면 이것은 실제로 어떻게 작동하는가? 예를 들어 “\(X\)는 스킴이다”라는 문장을 집합론으로 어떻게 옮기는가? 정의를 차례로 풀어 쓰면 된다. 스킴은 각 점이 아핀 스킴인 열린 근방을 갖는 국소환 달린 공간이다. 국소환 달린 공간은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. 환 달린 공간은 위상공간 \(X\)와 그 위의 환의 층 \(\mathcal{O}_X\)로 이루어진 쌍 \((X, \mathcal{O}_X)\)이다. 위상공간은 집합 \(X\)와 위상의 공리들을 만족하는 부분집합들의 집합 \(\tau \subset \mathcal{P}(X)\)로 이루어진 쌍 \((X, \tau)\)이다. 이런 식으로 계속한다.

그러면 집합 \(S\)가 주어졌을 때 그것이 스킴인지 어떻게 판별할 수 있는가? 먼저 집합 \(S\)가 순서쌍인지 살핀다. 이는 어떤 집합 \(a, b\)에 대하여 \(S\)가 \((a, b) := \{\{a\}, \{a, b\}\}\)의 꼴이라는 뜻으로 정의된다 ([Jech], 7쪽 참조). 그렇다면 \(a\)가 순서쌍 \((c, d)\)인지 살핀다. 그렇다면 \(d \subset \mathcal{P}(c)\)인지 확인하고, 다시 그렇다면 \(d\)가 집합 \(c\) 위의 한 위상을 이루는 집합족인지 확인한다. 이런 식으로 계속한다.

따라서 집합론에서 자유변수 \(x\) 하나를 갖고 “\(x\)는 스킴이다”라는 개념을 표현하는 완전한 공식 \(\phi_{scheme}(x)\)을 쓰려면 상당한 작업이 필요하지만, 그렇게 하는 것은 가능하다. 모든 수학적 대상에 대해서도 마찬가지여야 한다.

클래스

비형식적으로는 클래스라는 개념을 사용한다. 공식 \(\phi(x, p_1, \ldots, p_n)\)이 주어졌을 때 \[C = \{x : \phi(x, p_1, \ldots, p_n)\}\] 를 클래스라고 부른다. 클래스는 그것을 정의하는 공식보다 다루기 쉽지만, 엄밀히 말해 수학적 대상은 아니다. 예를 들어 \(R\)이 환이면 모든 \(R\)-가군의 클래스를 생각할 수 있다(결국 “\(M\)은 \(R\)-가군이다”라는 문장을 집합론의 공식으로 옮길 수 있고, 그 공식이 한 클래스를 정의한다). 집합이 아닌 클래스를 고유 모임이라고 한다.

이와 같이 \(R\)-가군의 범주를 생각할 수 있는데, 이는 대상들이 고유 모임을 이루는 “큰” 범주이다. 마찬가지로 스킴들의 “큰” 범주, 환들의 “큰” 범주 등을 생각할 수 있다.

서수

\(x\in T\)이면 \(x\subset T\)인 집합 \(T\)를 추이적이라고 한다. 집합 \(\alpha\)가 추이적이고 \(\in\)에 의해 정렬순서를 이루면 이를 서수라고 한다. 이 경우 \(\alpha + 1 = \alpha \cup \{\alpha\}\)로 정의하며, 이것은 \(\alpha\)의 후속이라 불리는 또 다른 서수이다. 어떤 서수 \(\beta\)에 대하여 \(\alpha = \beta + 1\)이면 서수 \(\alpha\)를 후속 서수라고 한다. 가장 작은 서수는 \(\emptyset\)이며 \(0\)으로도 표기한다. \(\alpha\)가 \(0\)도 아니고 후속 서수도 아니면 \(\alpha\)를 극한 서수라고 하며, 이때 \[\alpha = \bigcup\nolimits_{\gamma \in \alpha} \gamma.\] 첫 번째 극한 서수는 \(\omega\)이며, 동시에 첫 번째 무한 서수이다. 첫 번째 비가산 서수 \(\omega_1\)은 모든 가산 서수의 집합이다. 모든 서수의 모임은 고유 모임이다. 이는 다음 의미에서 \(\in\)에 의해 정렬되어 있다. 공집합이 아닌 서수의 임의의 집합(더 나아가 클래스)은 최소 원소를 갖는다. 서수들의 집합 \(A\)가 주어지면 \(A\)의 상한을 \(\sup_{\alpha \in A} \alpha = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha\)로 정의한다. 이것은 모든 \(\alpha \in A\)보다 크거나 같은 가장 작은 서수이다. 임의의 정렬집합 \((S, <)\)에 대하여 \((S, <) \cong (\alpha, \in)\)인 유일한 서수 \(\alpha\)가 존재하며, 이를 그 정렬집합의 순서형이라고 한다.

집합의 계층

초한 재귀로 \(V_0 = \emptyset\), \(V_{\alpha + 1} = P(V_\alpha)\) (멱집합)로 정의하고, 극한 서수 \(\alpha\)에 대해서는 \[V_\alpha = \bigcup\nolimits_{\beta < \alpha} V_\beta.\] 로 정의한다. 각 \(V_\alpha\)는 추이적 집합임에 유의하라.

보조정리

모든 집합은 어떤 서수 \(\alpha\)에 대하여 \(V_\alpha\)의 원소이다.

증명

[Jech, Lemma 6.3]을 참조하라.

[Kunen, Chapter III]에서는 이 보조정리가 기초 공리와 동치임을 설명한다. 집합 \(S\)의 랭크는 \(S \in V_{\alpha + 1}\)인 가장 작은 서수 \(\alpha\)이다. 부분 우주란 문맥에서 크기가 충분히 크다는 것이 분명한 \(V_\alpha\) 꼴의 집합을 뜻한다.

기수

집합 \(A\)의 기수는 \(A\)와 전단사인 가장 작은 서수 \(\alpha\)이다. 이를 나타내기 위해 때때로 \(\alpha = |A|\)라는 표기를 사용한다. 서수 \(\alpha\)가 어떤 집합 \(A\)의 기수로 나타날 때, 다시 말해 \(\alpha = |A|\)일 때 그리고 그때에만 \(\alpha\)를 기수라고 한다. 기수에는 그리스 문자 \(\kappa\), \(\lambda\)를 사용한다. 첫 번째 무한 기수는 \(\omega\)이며, 이 문맥에서는 \(\aleph_0\)로 표기한다. 기수가 \(\leq \aleph_0\)인 집합을 가산이라고 한다. \(\alpha\)가 서수이면 \(\alpha^+\)는 \(> \alpha\)인 가장 작은 기수를 나타낸다. 이를 이용하여 \(\aleph_1 = \aleph_0^+\), \(\aleph_2 = \aleph_1^+\) 등을 정의할 수 있고, 실제로 임의의 서수 \(\alpha\)에 대하여 초한 재귀로 \(\aleph_\alpha\)를 정의할 수 있다. 등식 \(\aleph_1 = \omega_1\)도 성립한다.

기수 \(\kappa, \lambda\)의 덧셈은 \(\kappa \oplus \lambda\)로 표기하며, 이는 \(\kappa \amalg \lambda\)의 기수이다. 기수 \(\kappa, \lambda\)의 곱셈은 \(\kappa \otimes \lambda\)로 표기하며, 이는 \(\kappa \times \lambda\)의 기수이다. \(\kappa\)와 \(\lambda\)가 무한 기수이면 \(\kappa \oplus \lambda = \kappa \otimes \lambda = \max(\kappa, \lambda)\)이다. 기수 \(\kappa, \lambda\)의 거듭제곱은 \(\kappa^\lambda\)로 표기하며, 이는 \(\lambda\)에서 \(\kappa\)로 가는 (집합) 함수들의 집합의 기수이다. 기수들의 임의의 집합 \(K\)가 주어지면 \(K\)의 상한은 \(\sup_{\kappa \in K} \kappa = \bigcup_{\kappa \in K} \kappa\)이며, 이것도 기수이다.

공종성

정렬집합 \(T\)의 공종 부분집합 \(S\)란 \(\forall t \in T \exists s\in S (t \leq s)\)를 만족하는 부분집합 \(S \subset T\)이다. 정렬집합의 부분집합은 유도된 순서에 관하여 정렬집합임에 유의하라. 서수 \(\alpha\)가 주어졌을 때, \(\alpha\)의 공종성 \(\text{cf}(\alpha)\)는 \(\alpha\)의 어떤 공종 부분집합의 순서형으로 나타나는 가장 작은 서수 \(\beta\)이다. 서수의 공종성은 항상 기수이다. 따라서 \(\alpha\)의 공종성을 \(\alpha\)의 공종 부분집합이 가질 수 있는 가장 작은 기수로 정의해도 된다.

보조정리

\(T = \colim_{\alpha < \beta} T_\alpha\)가 주어진 서수 \(\beta\)보다 작은 서수들로 지표화된 집합들의 여극한이라고 하자. 집합의 함수 \(\varphi : S \to T\)가 주어졌다고 하자. \(\beta\)가 \(S\)로 지표화된 서수들의 극한이 아니면, 다시 말해 \(\beta\)가 \(\text{cf}(\beta) > |S|\)인 서수이면, \(\varphi\)는 어떤 \(\alpha < \beta\)에 대하여 \(T_\alpha\)로 가는 함수로 올려진다.

증명

각 원소 \(s \in S\)에 대하여 \(\alpha_s < \beta\)와 \(T\)에서 \(\varphi(s)\)로 사상되는 원소 \(t_s \in T_{\alpha_s}\)를 하나씩 고른다. 가정에 의해 \(\alpha = \sup_{s \in S} \alpha_s\)는 \(\beta\)보다 엄밀히 작다. 따라서 \(s\)에 \(T_\alpha\)에서의 \(t_s\)의 상을 대응시키는 함수 \(\varphi_\alpha : S \to T_\alpha\)가 해가 된다.

다음은 Grothendieck이 특정 아벨 범주에 충분히 많은 단사 대상이 존재함을 증명할 때 사용한, 공종성이 임의로 큰 서수의 존재에 관한 논증과 본질적으로 같다. [Tohoku]를 참조하라.

명제

\(\kappa\)를 기수라 하자. 그러면 공종성이 \(\kappa\)보다 큰 서수가 존재한다.

증명

\(\kappa\)가 유한이면 \(\omega = \text{cf}(\omega)\)를 택하면 된다. 따라서 \(\kappa\)가 무한이라고 가정하자. 기수가 \(\kappa\)보다 엄밀히 큰 가장 작은 서수 \(\alpha\)를 생각한다. \(\text{cf}(\alpha) > \kappa\)임을 보이겠다. 만일 \(\alpha = \beta + 1\)이면 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 무한이므로 \(|\alpha| = |\beta|\)이고, 이는 \(\alpha\)의 최소성에 모순된다. 따라서 \(\alpha\)는 극한 서수이다. (물론 \(\alpha\)는 기수이기도 하지만 여기서는 필요하지 않다.) 모순을 얻기 위해 \(S \subset \alpha\)가 \(|S| \leq \kappa\)인 공종 부분집합이라고 하자. \(\beta \in S\), 즉 \(\beta < \alpha\)이면 \(\alpha\)의 최소성에 의해 \(|\beta| \leq \kappa\)이다. \(\alpha\)가 극한 서수이고 \(S\)가 \(\alpha\)에서 공종이므로 \(\alpha = \bigcup_{\beta \in S} \beta\)를 얻는다. 따라서 \(|\alpha| \leq |S| \otimes \kappa \leq \kappa \otimes \kappa \leq \kappa\)이고, 이는 \(\alpha\)의 선택에 모순이다.

반사 원리

이 내용의 일부는 [Kunen]의 “쉬운 무모순성 증명”이라는 장에 나온다.

\(\phi(x_1, \ldots, x_n)\)를 집합론의 공식이라 하자. 이 표기는 \(\phi\)의 모든 자유변수가 \(x_1, \ldots, x_n\) 가운데 나타난다는 것을 뜻한다고 약속하자. \(M\)을 집합이라 하자. 공식 \(\phi^M(x_1, \ldots, x_n)\)은 \(\phi(x_1, \ldots, x_n)\)에 나오는 모든 \(\forall x\)와 \(\exists x\)를 각각 \(\forall x\in M\)과 \(\exists x\in M\)으로 바꾸어 얻는 공식이다. 따라서 공식 \(\phi(x_1, x_2) = \exists x (x\in x_1 \wedge x\in x_2)\)는 \(\phi^M(x_1, x_2) = \exists x \in M (x\in x_1 \wedge x\in x_2)\)로 바뀐다. 공식 \(\phi^M\)을 \(\phi\)의 \(M\)에 대한 상대화라고 한다.

정리

집합론의 공식들로 이루어진 유한 모음 \(\phi_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, \phi_m(x_1, \ldots, x_n)\)이 주어졌다고 하자. \(M_0\)를 집합이라 하자. \(M_0 \subset M\)이고 \(\forall x_1, \ldots, x_n \in M\)에 대하여 \[\forall i = 1, \ldots, m, \ \phi_i^{M}(x_1, \ldots, x_n) \Leftrightarrow \forall i = 1, \ldots, m, \ \phi_i(x_1, \ldots, x_n).\] 인 집합 \(M\)이 존재한다. 실제로 어떤 극한 서수 \(\alpha\)에 대하여 \(M = V_\alpha\)로 택할 수 있다.

증명

[Jech, Theorem 12.14] 또는 [Kunen, Theorem 7.4]을 참조하라.

이 정리는 다음과 같이 이해한다. 임의의 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)이 주어졌을 때, 속박변수가 모든 집합을 달리며 공식들이 성립하는 것과 속박변수가 \(V_\alpha\)의 원소들을 달리며 공식들이 성립하는 것은 동치이다. 이 정리는 집합론의 공식 자체를 직접 다루므로 메타정리이다. 더 구체적으로, 자유변수가 기껏해야 \(x_1, \ldots, x_n\)인 공식들의 유한 목록 \(\phi_1, \ldots, \phi_m\)이 주어졌을 때 문장 \[\begin{matrix} \forall M_0\ \exists M, \ M_0 \subset M\ \forall x_1, \ldots, x_n \in M \\ \phi_1(x_1, \ldots, x_n) \wedge \ldots \wedge \phi_m(x_1, \ldots, x_n) \leftrightarrow \phi_1^M(x_1, \ldots, x_n) \wedge \ldots \wedge \phi_m^M(x_1, \ldots, x_n) \end{matrix}\] 이 ZFC에서 증명 가능하다고 말한다. 다시 말해, 실제로 공식들 \(\phi_i\)의 유한 목록을 적을 때마다 하나의 정리를 얻는다.

공식들 \(\phi_i^M(x_1, \ldots, x_n)\)의 의미가 그다지 명확하지 않으므로 이 정리를 “보통 수학”에서 사용하기는 다소 어렵다. 대신 필요한 존재 결과를 직접 증명할 때 반사 원리의 증명에 담긴 생각을 사용할 것이다.

스킴 범주의 구성

이제 주어진 스킴들의 초기 집합에서 출발하여 자연스러운 연산들의 목록 아래 닫혀 있는 “작은” 스킴 범주를 만드는 데 위의 내용을 어떻게 적용하는지 논의한다. 그에 앞서 스킴의 크기를 도입한다. 스킴 \(S\)가 주어지면 \[\text{size}(S) = \max(\aleph_0, \kappa_1, \kappa_2),\] 로 정의하며, 기수 \(\kappa_1\)과 \(\kappa_2\)는 다음과 같이 정한다.

  1. \(\kappa_1\)은 \(S\)의 아핀 열린집합들의 집합의 기수로 둔다.

  2. \(\kappa_2\)는 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대한 모든 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_S)\)의 기수들의 상한으로 둔다.

보조정리

모든 기수 \(\kappa\)에 대하여 다음을 만족하는 집합 \(A\)가 존재한다. \(A\)의 모든 원소는 스킴이고, \(\text{size}(S) \leq \kappa\)인 모든 스킴 \(S\)에 대하여 \(X \cong S\)인 원소 \(X \in A\)가 존재한다(스킴의 동형).

증명

생략한다. 힌트: 임의의 스킴이 아핀 스킴들을 붙여 얻는 스킴과 동형이라는 사실을 어떻게 나타낼지 생각하라.

각 기수 \(\kappa\)에 [046U]\[\begin{equation} Bound(\kappa) = \max\{\kappa^{\aleph_0}, \kappa^+\}. \end{equation}\] 를 대응시키는 함수를 \(Bound\)로 표기한다. 이 함수를 훨씬 빠르게 증가하도록 잡을 수도 있다. 예를 들어 \(Bound(\kappa) = \kappa^\kappa\)로 두어도 아래의 결과는 여전히 성립한다. 임의의 서수 \(\alpha\)에 대하여, 대상이 \(V_\alpha\)의 원소인 스킴 범주의 충만한 부분범주를 \(\Sch_\alpha\)로 표기한다. 이제 증명할 결과는 다음과 같다.

보조정리

위와 같은 표기 \(\text{size}\), \(Bound\), \(\Sch_\alpha\)를 사용하자. \(S_0\)를 스킴들의 집합이라 하자. 다음 성질들을 갖는 극한 서수 \(\alpha\)가 존재한다.

  1. \(S_0 \subset V_\alpha\)이다. 다시 말해 \(S_0 \subset \Ob(\Sch_\alpha)\)이다.

  2. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)와 \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\)인 임의의 스킴 \(T\)에 대하여, \(T \cong S'\)인 스킴 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재한다.

  3. 임의의 가산1 도표 범주 \(\mathcal{I}\)와 임의의 함자 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\)에 대하여, 극한 \(\lim_\mathcal{I} F\)가 \(\Sch_\alpha\)에 존재하는 것과 \(\Sch\)에 존재하는 것은 동치이며, 이 경우 둘 사이의 자연 사상은 동형이다.

  4. 임의의 가산 지표 범주 \(\mathcal{I}\)와 임의의 함자 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\)에 대하여, 여극한 \(\colim_\mathcal{I} F\)가 \(\Sch_\alpha\)에 존재하는 것과 \(\Sch\)에 존재하는 것은 동치이며, 이 경우 둘 사이의 자연 사상은 동형이다.

증명

초한 귀납법으로 모든 서수에 서수를 대응시키는 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의한다. \(f(0) = 0\)으로 둔다. \(f(\alpha)\)가 주어졌을 때, \(f(\alpha + 1)\)을 다음 조건들을 만족하는 가장 작은 서수 \(\beta\)로 정의한다.

  1. \(\alpha + 1 \leq \beta\)이고 \(f(\alpha) \leq \beta\)이다.

  2. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_{f(\alpha)})\)와 \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\)인 임의의 스킴 \(T\)에 대하여, \(T \cong S'\)인 스킴 \(S' \in \Ob(\Sch_\beta)\)가 존재한다.

  3. 임의의 가산 지표 범주 \(\mathcal{I}\)와 임의의 함자 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_{f(\alpha)}\)에 대하여, 극한 \(\lim_\mathcal{I} F\) 또는 여극한 \(\colim_\mathcal{I} F\)가 \(\Sch\)에 존재하면 그것은 \(\Sch_\beta\)의 한 스킴과 동형이다.

그러한 \(\beta\)가 존재함을 다음과 같이 보인다. \(\Ob(\Sch_{f(\alpha)})\)가 집합이므로 \[\kappa = \sup_{S \in \Ob(\Sch_{f(\alpha)})} Bound(\text{size}(S))\] 가 존재하며 기수이다. 보조정리 000I에서처럼 \(\kappa\)에서 출발하여 얻는 스킴들의 집합을 \(A\)라 하자. 가산 범주들의 집합 \(CountCat\)이 존재하여, 모든 가산 범주가 \(CountCat\)의 한 원소와 동형이다. 따라서 위의 (3)에서는 \(\mathcal{I}\)가 \(CountCat\)의 원소라고 가정할 수 있다. 이는 (3)의 쌍들 \((\mathcal{I}, F)\)이 한 집합 위를 달린다는 뜻이다. 그러므로 (3)과 같은 모든 \((\mathcal{I}, F)\)에 대하여 극한이나 여극한이 존재하면 \(B\)의 한 원소와 동형이 되도록 하는, 스킴들을 원소로 갖는 집합 \(B\)가 존재한다. 따라서 \(A \cup B \subset V_\beta\)이고 \(\beta > \max\{\alpha + 1, f(\alpha)\}\)인 임의의 \(\beta\)를 택하면 (1)–(3)이 성립한다. 공집합이 아닌 모든 서수 모임은 최소 원소를 가지므로 \(f(\alpha + 1)\)은 잘 정의된다. 마지막으로 \(\alpha\)가 극한 서수이면 \(f(\alpha) = \sup_{\alpha' < \alpha} f(\alpha')\)로 둔다.

\(S_0 \subset V_{\beta_0}\)인 \(\beta_0\)를 택하자. 구성에 의해 \(f(\beta) \geq \beta\)이고, 따라서 \(S_0 \subset V_{f(\beta_0)}\)이다. 또한 \(f\)가 비감소이므로 모든 \(\beta \geq \beta_0\)에 대하여 \(S_0 \subset V_{f(\beta)}\)이다. 다음으로 \(\beta_1 > \beta_0\)이고 공종성이 \(\text{cf}(\beta_1) > \omega = \aleph_0\)인 임의의 서수를 택한다. 서수의 공종성은 임의로 커질 수 있으므로 이는 가능하다. 명제 05N3를 참조하라. 보조정리의 문제에 대한 해가 \(\alpha = f(\beta_1)\)임을 보이겠다.

보조정리의 첫 번째 성질은 위에서 \(\beta_1 > \beta_0\)로 택했으므로 성립한다.

\(\beta_1\)의 공종성이 무한이므로 이는 극한 서수이고, 따라서 \(f(\beta_1) = \sup_{\beta < \beta_1} f(\beta)\)를 얻는다. 그러므로 \(\{f(\beta) \mid \beta < \beta_1\} \subset f(\beta_1)\)은 공종 부분집합이다. 따라서 \[V_\alpha = V_{f(\beta_1)} = \bigcup\nolimits_{\beta < \beta_1} V_{f(\beta)}.\] 이제 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)라 하자. \(S \in \Ob(\Sch_{f(\beta)})\)인 가장 작은 서수 \(\beta\)를 \(\beta(S)\)로 정의한다. 위의 식에 의해 언제나 \(\beta(S) < \beta_1\)이다. 또한 \(\Ob(\Sch_{f(\beta + 1)}) \subset \Ob(\Sch_\alpha)\)이므로, 위의 \(f\)의 구성에 의해 보조정리의 두 번째 성질이 성립한다.

\(\{S_1, S_2, \ldots\} \subset \Ob(\Sch_\alpha)\)가 가산 모음이라고 하자. 함수 \(\omega \to \beta_1\), \(n \mapsto \beta(S_n)\)을 생각하자. \(\beta_1\)의 공종성이 \(> \omega\)이므로 이 함수의 상은 공종 부분집합일 수 없다. 따라서 \(\{S_1, S_2, \ldots\} \subset \Ob(\Sch_{f(\beta)})\)인 \(\beta < \beta_1\)이 존재한다. 그러므로 임의의 함자 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\)는 부분범주들 가운데 하나인 \(\Sch_{f(\beta)}\)를 통하여 분해된다. 따라서 도표 \(F\)의 여극한 또는 극한인 스킴 \(X\)가 존재하면, \(f\)의 구성에 의해 \(X\)는 \(\Sch_\alpha\)의 부분범주인 \(\Sch_{f(\beta + 1)}\)의 한 대상과 동형이다. 이로써 보조정리의 마지막 두 주장을 증명하였다.

주

위 보조정리는 반사 원리를 사용해서도 증명할 수 있다. 그러나 주의가 필요하다. 문장 \(\phi_{scheme}(X)\)이 “\(X\)는 스킴이다”라는 성질을 표현한다고 할 때, 공식 \(\phi_{scheme}^{V_\alpha}(X)\)은 무엇을 뜻하는가? 반사 원리에 의해 모든 \(X \in V_\alpha\)에 대하여 \(\phi_{scheme}(X) \leftrightarrow \phi_{scheme}^{V_\alpha}(X)\)가 성립하는 \(\alpha\)를 찾을 수 있는 것은 사실이지만, 이것만으로는 전혀 쓸모가 없다. 그러한 두 문장을 결합해야 비로소 흥미로운 일이 생긴다. 예를 들어 \(\phi_{red}(X, Y)\)가 “\(X\), \(Y\)는 스킴이고 \(Y\)는 \(X\)의 기약화이다”라는 성질을 표현한다고 하자(스킴, 정의 01J4 참조). 공식의 쌍 \(\phi_1(X, Y) = \phi_{red}(X, Y)\), \(\phi_2(X) = \exists Y, \phi_1(X, Y)\)에 반사 원리를 적용한다고 하자. 그러면 반사 원리로 얻은 임의의 \(\alpha\)는 다음 성질을 갖는다. \(X \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 주어지면 \(X\)의 기약화도 \(\Sch_\alpha\)의 대상이다(연습문제로 남긴다).

보조정리

\(S\)를 아핀 스킴이라 하고 \(R = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)라 하자. 그러면 \(S\)의 크기는 \(\max\{ \aleph_0, |R|\}\)와 같다.

증명

\(\Spec(R)\)의 아핀 열린집합은 기껏해야 \(\max\{|R|, \aleph_0\}\)개이다. 실제로 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset \Spec(R)\)는 주 열린집합들의 유한 합집합 \(D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)이므로, 아핀 열린집합의 수는 기껏해야 \(\sup_n |R|^n = \max\{|R|, \aleph_0\}\)이다. [Kunen, Ch. I, 10.13]을 참조하라. 한편 \(\Gamma(U, \mathcal{O}) \subset R_{f_1} \times \ldots \times R_{f_n}\)이므로 \(|\Gamma(U, \mathcal{O})| \leq \max\{\aleph_0, |R_{f_1}|, \ldots, |R_{f_n}|\}\)이다. 따라서 \(|R_f| \leq \max\{\aleph_0, |R|\}\)임을 증명하면 충분하며, 그 증명은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \[S = \bigcup_{i \in I} S_i\] 를 열린 덮개라 하자. 그러면 \[\text{size}(S) \leq \max\{|I|, \sup_i\{\text{size}(S_i)\}\}\] 이다.

증명

\(U \subset S\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하자. \(U\)는 준콤팩트이므로 유한 개의 원소 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 아핀 열린집합 \(U_i \subset U \cap S_i\)가 존재하여 \(U = U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_n\)이다. 따라서 \[|\Gamma(U, \mathcal{O}_U)| \leq |\Gamma(U_1, \mathcal{O})| \otimes \ldots \otimes |\Gamma(U_n, \mathcal{O})| \leq \sup\nolimits_i\{\text{size}(S_i)\}\] 이다. 또한 이로부터 \(S\)의 아핀 열린집합들의 집합의 기수가 다음 집합의 기수보다 작거나 같음을 알 수 있다. \[\coprod_{n \in \omega} \coprod_{i_1, \ldots, i_n \in I} \{\text{affine opens of }S_{i_1}\} \times \ldots \times \{\text{affine opens of }S_{i_n}\}.\] 분리합집합 안의 각 집합은 기껏해야 \(\sup_i\{\text{size}(S_i)\}\)의 기수를 갖는다. 지표집합의 기수는 기껏해야 \(\max\{|I|, \aleph_0\}\)이다. [Kunen, Ch. I, 10.13]을 참조하라. 따라서 [Jech, Lemma 5.8]에 의해 분리합집합의 기수는 기껏해야 \(\max\{\aleph_0, |I|\} \otimes \sup_i\{\text{size}(S_i)\}\)이다. 이로써 보조정리가 성립한다.

보조정리

스킴의 사상 \[f : X \to S\] 와 \[g : Y \to S\] 가 주어졌다고 하자. 그러면 \[\text{size}(X \times_S Y) \leq \max\{\text{size}(X), \text{size}(Y)\}\] 이다.

증명

\(S = \bigcup_{k \in K} S_k\)를 아핀 열린 덮개라 하자. \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\), \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 아핀 열린 덮개라 하고, \(I\), \(J\)의 기수는 각각 \(\leq \text{size}(X), \text{size}(Y)\)라 하자. 각 \(i \in I\)에 대하여 \(f(U_i) \subset \bigcup_{k \in K_i} S_k\)인 \(k \in K\)들의 유한 집합 \(K_i\)가 존재한다. 각 \(j \in J\)에 대해서도 \(g(V_j) \subset \bigcup_{k \in K_j} S_k\)인 \(k \in K\)들의 유한 집합 \(K_j\)가 존재한다. 따라서 \(f(X), g(Y)\)는 \(S' = \bigcup_{k \in K'} S_k\)에 포함되며, 여기서 \(K' = \bigcup_{i \in I} K_i \cup \bigcup_{j \in J} K_j\)이다. \(K'\)의 기수는 기껏해야 \(\max\{\aleph_0, |I|, |J|\}\)임에 유의하라. 보조정리 000Q를 적용하면 모든 \(k \in K'\)에 대하여 \(\text{size}(f^{-1}(S_k) \times_{S_k} g^{-1}(S_k)) \leq \max\{\text{size}(X), \text{size}(Y)\}\)임을 보이면 충분하다. 다시 말해 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다.

\(S\)가 아핀이라고 가정하자. \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\), \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 아핀 열린 덮개라 하고, \(I\), \(J\)의 기수는 각각 \(\leq \text{size}(X), \text{size}(Y)\)라 하자. 다시 보조정리 000Q에 의해 곱 \(U_i \times_S V_j\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 보조정리 000P에 의해 \[|A \otimes_C B| \leq \max\{\aleph_0, |A|, |B|\}.\] 임을 보이면 충분하다. 이 부등식의 증명은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)가 국소 유한형이고 \(X\)가 준콤팩트이면 \(\text{size}(X) \leq \text{size}(S)\)이다.

증명

각 \(U_i\)가 \(S\)의 아핀 열린집합 \(S_i\) 안으로 사상되도록 하는 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots n} U_i\)를 찾을 수 있다. 따라서 보조정리 000Q에 의해 \(S\)와 \(X\)가 모두 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우 보조정리 000P에 의해 \[|A[x_1, \ldots, x_n]| \leq \max\{\aleph_0, |A|\}.\] 임을 보이면 충분하다. 이 부등식의 증명은 생략한다.

대수학, 보조정리 04W0에서 환의 전사 \(A \to B\)에 대하여 \(|B| \leq \max(|A|, \aleph_0)\)임을 보일 것이다. 스킴에 대한 유사한 결과는 다음 보조정리이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 단사사상이라 하자. 다음 성질들 중 적어도 하나가 성립하면 \(\text{size}(X) \leq \text{size}(Y)\)이다.

  1. \(f\)는 준콤팩트이다.

  2. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

  3. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

그러나 국소 유한형인 단사사상에 대해서는 이 상계가 성립하지 않는다.

증명

\(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 \(|J| \leq \text{size}(Y)\)인 \(Y\)의 아핀 열린 덮개라 하자. 보조정리 000Q에 의해 \(X\)에서 \(V_j\)의 역상의 크기를 상계하면 충분하다. 따라서 \(Y\)가 아핀인 경우, 즉 \(Y = \Spec(B)\)인 경우로 환원된다. 임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(A) \subset X\)에 대하여 \(|A| \leq \max(|B|, \aleph_0) = \text{size}(Y)\)이다. 위의 주석과 보조정리 000P를 참조하라. 따라서 \(X\)의 아핀 열린집합이 기껏해야 \(\text{size}(Y)\)개임을 보이면 충분하다. \(X\)가 준콤팩트이면 이는 명백하므로 (1)이 성립한다. (2)의 경우 나타날 수 있는 \(B\)-대수 \(A\)의 동형류의 수는 \(\text{size}(B)\)로 상계된다. 실제로 각 \(A\)는 \(B\) 위의 유한형이므로 어떤 \(n, m\) 및 \(f_j \in B[x_1, \ldots, x_n]\)에 대하여 \(B[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)과 동형이다. 그런데 \(X \to Y\)가 단사사상이므로 \(Y = \Spec(B)\) 위의 사상 \(\Spec(A) \to X\)가 존재한다면 유일하다. 따라서 \(X\)의 아핀 열린집합의 수는 이들 동형류의 수로 상계된다.

보조정리의 마지막 주장을 증명하기 위해 환 \(B = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)와 \(Y = \Spec(B)\)를 생각하자. \(\mathbf{N}\) 위의 각 극대 필터 \(\mathcal{U}\)에 대하여 잉여체가 \(\mathbf{F}_2\)인 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_\mathcal{U}\)를 얻는다. 사상 \(B \to \mathbf{F}_2\)는 원소 \((x_n)\)을 \(\lim_\mathcal{U} x_n\)으로 보낸다. 자세한 내용은 생략한다. 스킴의 사상 \(X = \coprod_\mathcal{U} \Spec(\mathbf{F}_2) \to Y\)는 모든 점이 서로 다르므로 단사사상이다. 그러나 \(X\)의 아핀 열린 부분스킴들의 집합의 기수는 \(\mathbf{N}\) 위 극대 필터들의 집합의 기수와 같고, 이는 \(2^{2^{\aleph_0}}\)이다. \(|B| = 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}}\)이므로 결론이 따른다.

보조정리

\(\alpha\)를 위의 보조정리 000J에서와 같은 서수라 하자. 범주 \(\Sch_\alpha\)는 다음 성질들을 만족한다.

  1. \(X, Y, S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)이면, 임의의 사상 \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\)에 대하여 \(\Sch_\alpha\) 안의 섬유곱 \(X \times_S Y\)가 존재하며 스킴 범주에서도 섬유곱이다.

  2. \(\Ob(\Sch_\alpha)\)의 원소들로 이루어진 많아야 가산인 임의의 모음 \(S_1, S_2, \ldots\)가 주어지면 쌍대곱 \(\coprod_i S_i\)가 \(\Ob(\Sch_\alpha)\)에 존재하며 스킴 범주에서도 쌍대곱이다.

  3. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)와 열린 몰입 \(U \to S\)에 대하여, \(V \cong U\)인 \(V \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재한다.

  4. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)와 닫힌 몰입 \(T \to S\)에 대하여, \(S' \cong T\)인 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재한다.

  5. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)와 유한형 사상 \(T \to S\)에 대하여, \(S' \cong T\)인 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재한다.

  6. 스킴 \(S\)가 다음 조건을 만족하는 열린 덮개 \(S = \bigcup_{i \in I} S_i\)를 갖는다고 하자. 어떤 \(T \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재하여 (a) 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(\text{size}(S_i) \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\)이고, (b) \(|I| \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\)이다. 그러면 \(S\)는 \(\Sch_\alpha\)의 한 대상과 동형이다.

  7. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)와 국소 유한형 사상 \(f : T \to S\)에 대하여, \(T\)가 많아야 \(\text{size}(S)^{\aleph_0}\)개의 아핀 열린집합으로 덮이면 \(S' \cong T\)인 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재한다. 예를 들어 \(T\)가 많아야 \(|\mathbf{R}| = 2^{\aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0}\)개의 아핀 열린집합으로 덮이면 이 조건이 성립한다.

  8. 임의의 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)와, 국소 유한 표시이거나 준콤팩트인 단사사상 \(T \to S\)에 대하여 \(S' \cong T\)인 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 존재한다.

  9. \(T \in \Ob(\Sch_\alpha)\)가 아핀이라고 하자. \(R = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)로 쓰면, 다음 스킴들은 모두 \(\Sch_\alpha\) 안의 한 스킴과 동형이다.

    1. 임의의 아이디얼 \(I \subset R\)과 완비화 \(R^* = \lim_n R/I^n\)에 대한 스킴 \(\Spec(R^*)\).

    2. 임의의 유한형 \(R\)-대수 \(R'\)에 대한 스킴 \(\Spec(R')\).

    3. 임의의 국소화 \(S^{-1}R\)에 대한 스킴 \(\Spec(S^{-1}R)\).

    4. 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대한 스킴 \(\Spec(\overline{\kappa(\mathfrak p)})\).

    5. 임의의 부분환 \(R' \subset R\)에 대한 스킴 \(\Spec(R')\).

    6. 기수가 기껏해야 \(|R|^{\aleph_0}\)인 환 위의 임의의 유한형 스킴.

    7. 그 밖에도 마찬가지이다.

증명

(1)과 (2)는 정의에서 바로 따른다. (3)은 \(S\)의 열린 부분스킴 \(U\)의 크기가 분명히 \(S\)의 크기보다 작거나 같으므로 성립한다. (4)는 (5)에서 따르고, (5)는 (7)에서 따른다. (6)은 보조정리 000Q에 의해 \(S\)의 크기가 \(\leq \max\{|I|, \sup_i \text{size}(S_i)\} \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\)이므로 성립한다. (7)은 (6)에서 따른다. 실제로 임의의 아핀 열린집합 \(V \subset T\)에 대하여 보조정리 04T7에 의해 \(\text{size}(V) \leq \text{size}(S)\)이다. 따라서 (7)의 상황에 (6)을 적용할 수 있다. (8)은 보조정리 04VA에서 따른다.

(9)는 보조정리 000P를 통하여 환 \(R^*\), \(S^{-1}R\), \(\overline{\kappa(\mathfrak p)}\), \(R'\) 등의 기수에 대한 상계로 옮겨진다. 아마 가장 흥미로운 것은 환 \(R^*\)일 것이다. 집합으로서 이는 전사 \(R^{\mathbf{N}} \to R^*\)의 상이다. \(|R^{\mathbf{N}}| = |R|^{\aleph_0}\)이므로, \(Bound(\kappa)\)를 적어도 \(\kappa^{\aleph_0}\)로 택한 덕분에 원하는 결론을 얻는다. 휴! (체의 대수적 폐포의 기수는 그 체의 기수와 같거나 \(\aleph_0\)이다.)

주

\(R\)을 환이라 하자. 환 \(\prod_{\mathfrak p \in \Spec(R)} \kappa(\mathfrak p)\)를 생각한다고 하자. 이 환의 기수는 \(|R|^{2^{|R|}}\)로 상계되지만 일반적으로 \(|R|^{\aleph_0}\)로는 상계되지 않는다. 예를 들어 \(R = \mathbf{C}[x]\)이면 \(|R|^{\aleph_0}\)로 상계되지 않고, \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)이면 \(|R|^{|R|}\)로 상계되지 않는다. 따라서 위의 보조정리 000R에 나오는 “그 밖에도 마찬가지”라는 말은 어느 정도 유보하여 받아들여야 한다. 물론 fppf/étale 코호몰로지에 관한 논증에서 이 환들을 고려할 필요가 생긴다면, 위의 함수 \(Bound\)를 함수 \(\kappa \mapsto \kappa^{2^\kappa}\)로 바꿀 수 있다.

다음 보조정리에서는 위상론, 절 022A에서 도입하는 fpqc 덮개의 개념을 사용한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(g_j\)가 \(f\)를 통하여 분해되는 fpqc 덮개 \(\{g_j : Y_j \to Y\}_{j \in J}\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(\text{size}(Y) \leq \text{size}(X)\)이다.

증명

\(V \subset Y\)를 아핀 열린집합이라 하자. 정의에 의해 \(n \geq 0\)과 \(a : \{1, \ldots, n\} \to J\), 그리고 아핀 열린집합 \(V_i \subset Y_{a(i)}\)가 존재하여 \(V = g_{a(1)}(V_1) \cup \ldots \cup g_{a(n)}(V_n)\)이다. \(f \circ h_j = g_j\)인 사상 \(h_j : Y_j \to X\)를 택하자. 그러면 \(h_{a(1)}(V_1) \cup \ldots \cup h_{a(n)}(V_n)\)은 \(f^{-1}(V)\)의 준콤팩트 부분집합이다. 따라서 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(h_{a(i)}(V_i)\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합 \(W \subset f^{-1}(V)\)를 찾을 수 있다. 특히 \(V = f(W)\)이다.

한편 이 사실은 \(Y\)의 아핀 열린집합들의 집합의 기수가 \(X\)의 준콤팩트 열린집합들의 집합 \(S\)의 기수보다 작거나 같음을 보인다. \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 아핀 열린집합들의 유한 합집합이므로 이 집합의 기수는 기껏해야 \(\sup |S|^n = \max(\aleph_0, |S|)\)이다. 다른 한편 \(\{V_i \to V\}\)가 fpqc 덮개이므로 \(\mathcal{O}_Y(V) \subset \prod_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{Y_{a(i)}}(V_i)\)이다. 또한 \(V_i \to V\)가 \(W\)를 통하여 분해되므로 \(\mathcal{O}_Y(V) \subset \mathcal{O}_X(W)\)이다. 다시 \(W\)는 \(X\)의 아핀 열린집합들로 이루어진 유한 덮개를 가지므로 \(|\mathcal{O}_Y(V)|\)는 \(X\)의 크기로 상계된다. 이제 스킴의 크기 정의에서 보조정리가 따른다.

다음 보조정리에서는 위상론, 절 021L에서 도입하는 fppf 덮개의 개념을 사용한다.

보조정리

\(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)를 스킴의 fppf 덮개라 하자. \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)의 세분이면서 \(\text{size}(\coprod W_j) \leq \text{size}(X)\)를 만족하는 fppf 덮개 \(\{W_j \to X\}_{j \in J}\)가 존재한다.

증명

\(|A| \leq \text{size}(X)\)인 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{a \in A} U_a\)를 택하자. 각 \(a\)에 대하여 유한 부분집합 \(I_a \subset I\)와, 각 \(i \in I_a\)에 대하여 \(U_a = \bigcup_{i \in I_a} f_i(W_{a, i})\)를 만족하는 준콤팩트 열린집합 \(W_{a, i} \subset X_i\)를 택할 수 있다. 그러면 보조정리 04T7에 의해 \(\text{size}(W_{a, i}) \leq \text{size}(X)\)이다. 따라서 보조정리 000Q에 의해 \(\text{size}(\coprod_a \coprod_{i \in I_a} W_{i, a}) \leq \text{size}(X)\)이다.

군 작용을 갖는 집합

\(G\)를 군이라 하자. \(G\)-집합들의 “큰” 범주를 \(G\textit{-Sets}\)로 표기한다. 임의의 서수 \(\alpha\)에 대하여, 대상이 \(V_\alpha\)에 속하는 \(G\textit{-Sets}\)의 충만한 부분범주를 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)로 표기한다. \(G\)-집합의 크기는 \(\text{size}(S) = \max\{\aleph_0, |G|, |S|\}\)로 잡는다(여기서 \(|G|\)와 \(|S|\)는 바탕 집합들의 기수이다). 위와 같이 함수 \(Bound(\kappa) = \kappa^{\aleph_0}\)를 사용한다.

보조정리

위와 같은 표기 \(G\), \(G\textit{-Sets}_\alpha\), \(\text{size}\), \(Bound\)를 사용하자. \(S_0\)를 \(G\)-집합들의 집합이라 하자. 다음 성질들을 갖는 극한 서수 \(\alpha\)가 존재한다.

  1. \(S_0 \cup \{{}_GG\} \subset \Ob(G\textit{-Sets}_\alpha)\)이다.

  2. 임의의 \(S \in \Ob(G\textit{-Sets}_\alpha)\)와 \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\)인 임의의 \(G\)-집합 \(T\)에 대하여, \(T\)와 동형인 \(S' \in \Ob(G\textit{-Sets}_\alpha)\)가 존재한다.

  3. 임의의 가산 지표 범주 \(\mathcal{I}\)와 임의의 함자 \(F : \mathcal{I} \to G\textit{-Sets}_\alpha\)에 대하여 극한 \(\lim_\mathcal{I} F\)와 여극한 \(\colim_\mathcal{I} F\)가 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)에 존재하며, \(G\textit{-Sets}\)에서의 것과 같다.

증명

생략한다. 위의 보조정리 000J의 증명과 비슷하지만 더 쉽다.

보조정리

\(\alpha\)를 위의 보조정리 000U에서와 같은 서수라 하자. 범주 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)는 다음 성질들을 만족한다.

  1. \(G\)-집합 \({}_GG\)는 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)의 대상이다.

  2. (쌍대)곱, 섬유곱, 밂이 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)에 존재하며, \(G\textit{-Sets}\)에서의 대응물과 같다.

  3. \(G\textit{-Sets}_\alpha\)의 대상 \(U\)가 주어졌을 때, 임의의 \(G\)-안정 부분집합 \(O \subset U\)는 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)의 한 대상과 동형이다.

증명

생략한다.

사이트의 덮개

\(\mathcal{C}\)가 범주이고(범주론, 정의 0014), \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)가 사이트론, 정의 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 만족하는 덮개들의 고유 모임이라고 하자. 이 성질들을 다시 적으면 다음과 같다.

  1. \(V \to U\)가 동형이면 \(\{V \to U\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이다.

  2. \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{V_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이면 \(\{V_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이다.

  3. \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이고 \(V \to U\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면, 모든 \(i\)에 대하여 \(U_i \times_U V\)가 존재하며 \(\{U_i \times_U V \to V \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이다.

서수 \(\alpha\)에 대하여 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha = \text{Cov}(\mathcal{C}) \cap V_\alpha\)로 둔다. 서수 \(\alpha\)와 기수 \(\kappa\)가 주어지면 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)를 \(|I| \leq \kappa\)인 원소 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha\)들의 집합으로 둔다.

다음 개념을 상기하자. 사이트론, 정의 00VU를 참조하라. \(\mathcal{C}\)에서 같은 공역을 갖는 두 사상족 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\)와 \(\{\psi_j : W_j \to U\}_{j\in J}\)에 대하여, 사상 \(\alpha : I \to J\)와 \(\beta : J\to I\)가 존재하여 \(\varphi_i = \psi_{\alpha(i)}\) 및 \(\psi_j = \varphi_{\beta(j)}\)이면 두 사상족을 조합적으로 동치라고 한다. 이는 공역이 고정된 사상족들 위의 동치관계를 정의한다.

보조정리

위와 같은 표기를 사용하자. \(\text{Cov}_0 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\)를 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)에 포함되는 집합이라 하자. 다음 성질들을 갖는 기수 \(\kappa\)와 극한 서수 \(\alpha\)가 존재한다.

  1. \(\text{Cov}_0 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)이다.

  2. 덮개들의 집합 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)는 사이트론, 정의 00VH의 (1), (2), (3)을 만족한다(위를 보라). 다시 말해 \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha})\)는 사이트이다.

  3. \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)의 모든 덮개는 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)의 한 덮개와 조합적으로 동치이다.

증명

이를 증명하기 위해 먼저 공역이 고정된 \(\mathcal{C}\)의 사상 집합들을 모두 모은 집합 \(\mathcal{S}\)를 생각한다. 다시 말해 \(\mathcal{S}\)의 원소는 \(\text{Arrows}(\mathcal{C})\)의 부분집합 \(T\)로서, \(T\)의 모든 원소가 같은 공역을 갖는다. 공역이 고정된 사상족 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\)가 주어지면 \(Supp(\mathcal{U}) = \{ \varphi \in \text{Arrows}(\mathcal{C}) \mid \exists i\in I, \varphi = \varphi_i\}\)로 정의한다. 두 사상족 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\)와 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\)가 조합적으로 동치인 것과 \(Supp(\mathcal{U}) = Supp(\mathcal{V})\)인 것은 동치임에 유의하라. 다음으로 \(\mathcal{S}_\tau \subset \mathcal{S}\)를 부분집합 \(\mathcal{S}_\tau = \{ T \in \mathcal{S} \mid \exists\ \mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C}) \ T = Supp(\mathcal{U})\}\)로 정의한다. 각 원소 \(T \in \mathcal{S}_\tau\)에 대하여, 어떤 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_\beta\)가 존재하여 \(T = \text{Supp}(\mathcal{U})\)가 되게 하는 가장 작은 서수 \(\beta\)를 \(\beta(T)\)로 둔다. 마지막으로

\(\beta_0 = \sup_{T \in S_\tau} \beta(T)\)로 둔다. 이로부터 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)가 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0}\)의 어떤 원소와 조합적으로 동치임이 따른다.

\(\kappa\)를 \(\aleph_0\), 기수 \(|\text{Arrows}(\mathcal{C})|\), 그리고 \[\sup\nolimits_{\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0}} |I|, \quad\text{and}\quad \sup\nolimits_{\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}_0} |I|.\] 의 최댓값으로 둔다. \(\kappa\)는 무한 기수이므로 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)이다. 또한 분명히 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0} = \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta_0}\)이다.

초한 귀납법으로 모든 서수에 서수를 대응시키는 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의한다. \(f(0) = 0\)으로 둔다. \(f(\alpha)\)가 주어졌을 때 \(f(\alpha + 1)\)을 다음 조건들을 만족하는 가장 작은 서수 \(\beta\)로 정의한다.

  1. \(\alpha + 1 \leq \beta\)이고 \(f(\alpha) \leq \beta\)이다.

  2. \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{W_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)이면 \(\{W_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\)이다.

  3. \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)이고 \(W \to U\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 \(\{U_i \times_U W \to W \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\)이다.

그러한 \(\beta\)가 존재함을 보이기 위해, (2)와 (3)에 나타나는 모든 덮개 \(\{W_{ij} \to U\}\)와 \(\{U_i \times_U W \to W \}\)의 모임이 분명 집합임에 유의한다. 따라서 이 모든 덮개를 \(V_\beta\)가 포함하도록 하는 어떤 서수 \(\beta\)가 존재한다. 또한 덮개 \(\{W_{ij} \to U\}\)의 지표집합의 기수는 \(\sum_{i \in I} |J_i| \leq \kappa \otimes \kappa = \kappa\)이므로, 이 덮개들은 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\)에 포함된다. 공집합이 아닌 모든 서수 모임은 최소 원소를 가지므로 \(f(\alpha + 1)\)은 잘 정의된다. 마지막으로 \(\alpha\)가 극한 서수이면 \(f(\alpha) = \sup_{\alpha' < \alpha} f(\alpha')\)로 둔다.

다음을 만족하는 서수 \(\beta_1\)을 택하자. \(\text{Arrows}(\mathcal{C}) \subset V_{\beta_1}\),

\(\text{Cov}_0 \subset V_{\beta_0}\), 그리고 \(\beta_1 \geq \beta_0\)이다. 구성에 의해 \(f(\beta_1) \geq \beta_1\)이고 같은 성질들이 \(V_{f(\beta_1)}\)에 대해서도 성립한다. 또한 \(f\)가 비감소이므로 모든 \(\beta \geq \beta_1\)에 대해서도 그렇다. 다음으로 \(\beta_2 > \beta_1\)이고 공종성이 \(\text{cf}(\beta_2) > \kappa\)인 임의의 서수를 택한다. 서수의 공종성은 임의로 커질 수 있으므로 이는 가능하다. 명제 05N3를 참조하라. 보조정리의 문제에 대한 해가 \(\kappa\), \(\alpha = f(\beta_2)\)의 쌍임을 보이겠다.

보조정리의 첫 번째와 세 번째 성질은 위에서 \(\kappa\)와 \(\beta_2 > \beta_1 > \beta_0\)로 택했으므로 성립한다.

\(\beta_2\)의 공종성이 무한이므로 이는 극한 서수이고, \(f(\beta_2) = \sup_{\beta < \beta_2} f(\beta)\)를 얻는다. 따라서 \(\{f(\beta) \mid \beta < \beta_2\} \subset f(\beta_2)\)는 공종 부분집합이다. 그러므로 \[V_\alpha = V_{f(\beta_2)} = \bigcup\nolimits_{\beta < \beta_2} V_{f(\beta)}.\] 이제 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_{\kappa, \alpha}\)라 하자. \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_{\kappa, f(\beta)}\)인 가장 작은 서수 \(\beta\)를 \(\beta(\mathcal{U})\)로 정의한다. 위에서 언제나 \(\beta(\mathcal{U}) < \beta_2\)임을 알 수 있다.

사이트를 정의하는 성질 (1), (2), (3)이 쌍 \((\mathcal{C}, \text{Cov}_{\kappa, \alpha})\)에 대하여 성립함을 보여야 한다. 첫 번째 성질은 \(\beta_2\)의 선택에 의해 \(\mathcal{C}\)의 모든 화살표가 \(V_{f(\beta_2)}\)에 포함되므로 성립한다. 세 번째 성질에 대해서는, 덮개 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)가 주어지면 \(\beta(\mathcal{U}) < \beta_2\)이고 따라서 \(\mathcal{U}\)의 임의의 밑변환이 \(f\)의 구성에 의해

\(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\beta + 1)}\)에 포함되며, 따라서 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)에 포함된다는 사실을 사용한다.

마지막으로 두 번째 조건을 보이자.

\(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)이고 각 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{W}_i = \{W_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)라고 하자. 함수 \(I \to \beta_2\), \(i \mapsto \beta(\mathcal{W}_i)\)를 생각하자. \(\beta_2\)의 공종성은 \(> \kappa \geq |I|\)이므로 이 함수의 상은 공종 부분집합일 수 없다. 따라서 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(\mathcal{W}_i \in \text{Cov}_{\kappa, f(\beta)}\)가 되도록 하는

\(\beta < \beta_1\)이 존재한다. 그러므로 덮개 \(\{W_{ij} \to U\}_{i\in I, j \in J_i}\)는 원하는 대로 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\beta + 1)} \subset \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)의 원소이다.

주

어떤 극한 서수 \(\alpha\)에 대해서는 덮개들의 집합 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha\) 자체가 보조정리의 조건들을 만족할 가능성이 크다. 결국 이것이 반사 원리를 적용하면 얻을 법한 결과이다(절 000F의 끝과 주석 000O에 설명된 주의사항은 제외하고 말이다).

아벨 범주와 단사 대상

다음 보조정리는 사이트 위 환의 층에 대한 가군들의 범주에 적용된다.

보조정리

큰 범주 \(\mathcal{A}\)가 주어졌다고 하자(범주론, 주석 0015). \(\mathcal{A}\)가 아벨 범주이고 충분히 많은 단사 대상을 갖는다고 가정하자. 호몰로지, 정의 0109와 0138를 참조하라. 그러면 \(\mathcal{A}\)의 대상들로 이루어진 임의의 집합 \(\{A_s\}_{s\in S}\)에 대하여, 다음 성질들을 갖는 아벨 부분범주 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)가 존재한다.

  1. 포함 함자 \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\)는 완전하다.

  2. \(\Ob(\mathcal{A}')\)은 집합이다.

  3. \(\Ob(\mathcal{A}')\)은 각 \(s \in S\)에 대한 \(A_s\)를 포함한다.

  4. \(\mathcal{A}'\)는 충분히 많은 단사 대상을 갖는다.

  5. \(\mathcal{A}'\)의 대상이 단사 대상인 것과 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상인 것은 동치이다.

증명

생략한다.

  1. 대상들의 집합과 사상 집합들이 모두 가산이라는 뜻이다. 실제로 (3)과 (4)에서 \(\aleph_0\)를 임의의 기수로 바꾸어도 보조정리를 증명할 수 있다.↩︎