미분 등급 층

서론

이 장에서는 미분 등급 대수, 절 09JE에서 시작한 논의를 이어간다. 개관 논문으로는 [Keller-survey]가 있다.

규약

이 장에서도 환은 \(1\)을 갖는 가환환을 뜻한다는 규약을 따른다. \(R\)이 환일 때, \(R\)-대수 \(A\)란 결합적이고 항등원을 갖는 곱셈, 즉 \(R\)-쌍선형 사상 \(A \times A \to A\)가 주어진 \(R\)-가군 \(A\)를 뜻한다. 달리 말하면, 이는 구조 사상 \(R \to A\)의 상이 \(A\)의 중심에 들어가는 단위원적 결합 \(R\)-대수이다.

등급 대수의 층

이 절은 건너뛰어도 된다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층, 또는 등급 대수의 층은 \(n \in \mathbf{Z}\)를 첨자로 하는 \(\mathcal{O}\)-가군의 족 \(\mathcal{A}^n\)과 다음 \(\mathcal{O}\)-쌍선형 사상들로 주어진다. \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{A}^{n + m},\quad (a, b) \longmapsto ab\] 이 사상들을 곱셈 사상이라 하며 다음 성질을 요구한다.

1. 곱셈은 결합적이다.

2. \(\mathcal{A}^0\)에는 곱셈의 양쪽 항등원이 되는 대역 단면 \(1\)이 있다.

이러한 구조를 흔히 \(\mathcal{A}\)로 나타낸다. 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형 \(f : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)란 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}\)-가군 사상들의 족 \(f^n : \mathcal{A}^n \to \mathcal{B}^n\)을 뜻한다.

등급 \(\mathcal{O}\)-대수 \(\mathcal{A}\)와 대상 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌을 때 다음 기호를 사용한다. \[\mathcal{A}(U) = \Gamma(U, \mathcal{A}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{A}^n(U)\] 이는 등급 \(\mathcal{O}(U)\)-대수이다.

주

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하자. \(\mathcal{A}\)의 곱셈 사상은 다음 곱셈 사상을 유도한다. \(f_*\mathcal{A}^n \times f_*\mathcal{A}^m \to f_*\mathcal{A}^{n + m}\) \(f^\sharp\)을 통하여 이 사상들을 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-쌍선형 사상으로 볼 수 있다. 이렇게 얻은 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수를 \(f_*\mathcal{A}\)로 나타낸다.

2. \(\mathcal{B}\)를 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. \(\mathcal{B}\)의 곱셈 사상은 다음 곱셈 사상을 유도한다. \(f^*\mathcal{B}^n \times f^*\mathcal{B}^m \to f^*\mathcal{B}^{n + m}\) \(f^\sharp\)을 사용하여 이 사상들을 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-쌍선형 사상으로 볼 수 있다. 이렇게 얻은 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수를 \(f^*\mathcal{B}\)로 나타낸다.

3. 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 준동형 \(f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)들의 집합은 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 준동형 \(\mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\)들의 집합과 \(1\) 대 \(1\)로 대응한다.

(3)은 가군의 층에 대한 \(f^*\)와 \(f_*\) 사이의 통상적인 수반에서 곧바로 따른다.

등급 가군의 층

이 절은 건너뛰어도 된다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{A}\) 위의 (오른쪽) 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, 또는 (오른쪽) 등급 가군은 \(n \in \mathbf{Z}\)를 첨자로 하는 \(\mathcal{O}\)-가군의 족 \(\mathcal{M}^n\)과 다음 \(\mathcal{O}\)-쌍선형 사상들로 주어진다. \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, a) \longmapsto xa\] 이 사상들을 곱셈 사상이라 하며 다음 성질을 요구한다.

1. 곱셈은 \((xa)a' = x(aa')\)를 만족한다.

2. \(\mathcal{A}^0\)의 항등 단면 \(1\)은 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{M}^n\) 위에서 항등원으로 작용한다.

이 상황을 흔히 “\(\mathcal{M}\)을 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자”라고 표현한다. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)이란 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}\)-가군 사상들의 족 \(f^n : \mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^n\)을 뜻한다. (오른쪽) 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주를 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)로 나타낸다.

왼쪽 등급 가군도 완전히 같은 방식으로 정의할 수 있지만, 이 장에서는 오른쪽 가군을 기본으로 삼는다.

등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)과 대상 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌을 때 다음 기호를 사용한다. \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 이는 (오른쪽) 등급 \(\mathcal{A}(U)\)-가군이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)는 다음 성질을 갖는 아벨 범주이다.

1. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에는 임의의 직합이 존재한다.

2. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에는 임의의 여극한이 존재한다.

3. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서 여과 여극한은 완전하다.

4. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에는 임의의 곱이 존재한다.

5. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에는 임의의 극한이 존재한다.

등급 \(\mathcal{A}\)-가군을 그 \(n\)차 항으로 보내는 함자 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}),\quad \mathcal{M} \longmapsto \mathcal{M}^n\] 는 모든 극한 및 여극한과 가환한다.

이 보조정리는 극한과 여극한을 항별로 취할 수 있음을 말한다. 또한 다음 망각 함자가 모든 극한 및 여극한과 가환한다는 것도 말해 준다(원한다면 이를 따르는 결과로 보아도 된다). \[\textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{등급 }\mathcal{O}\text{-가군}\]

증명

보조정리의 명제에 나오는 함자를 \(\text{gr}^n : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\)로 나타내자. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)을 생각하자. 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 사상으로 본 \(f\)의 핵과 여핵에는 정의 0FQZ과 같은 곱셈 사상이 추가로 주어진다. 따라서 이들은 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서도 각각 핵과 여핵이다. 그러므로 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)는 아벨 범주이고, 핵과 여핵을 취하는 연산은 \(\text{gr}^n\)과 가환한다.

극한과 여극한의 존재를 보이려면 곱과 직합의 존재를 보이는 것으로 충분하다. 범주론, 보조정리 002N 및 002P를 보라. 같은 보조정리들에 따르면, 극한 및 여극한과의 \(\text{gr}^n\) 가환성을 보이려면 \(\text{gr}^n\)이 직합 및 곱과 가환함을 보이면 충분하다.

\(\mathcal{M}_t\), \(t \in T\)를 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 집합이라 하자. 그 \(n\)차 항이 \(\bigoplus_{t \in T} \mathcal{M}_t^n\)이고 자명한 곱셈 사상을 갖는 등급 \(\mathcal{A}\)-가군을 생각할 수 있다. 이것이 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서 직합임은 독자가 쉽게 확인할 수 있다. 곱도 마찬가지이다.

모든 \(n\)에 대하여 \(\text{gr}^n\)은 완전 함자이며, \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)의 복합체 \(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3\)가 완전일 필요충분조건은 \(\text{gr}^n\mathcal{M}_1 \to \text{gr}^n\mathcal{M}_2 \to \text{gr}^n\mathcal{M}_3\)가 모든 \(n\)에 대하여 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에서 완전인 것이다. 따라서 (3)이 성립한다. 실제로 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)는 그로텐디크 아벨 범주이므로 여과 여극한이 완전하다. 사이트 위의 코호몰로지, 절 07A5를 보라.

등급 가군의 층으로 이루어진 등급 범주

이 절은 건너뛰어도 된다. 이 절은 미분 등급 대수, 예 09MN에 대응한다. 등급 범주에 관한 규약은 미분 등급 대수, 절 09L1를 보라.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. 연관 범주 \((\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}))^0\)가 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주인, \(R = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 범주 \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\)를 구성하겠다. \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\)의 대상으로는 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군을 취한다(절 0FQY를 보라). 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{M}\)이 주어졌을 때 다음과 같이 놓는다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\] 여기서 \(\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\)은 차수 \(n\)인 동차 오른쪽 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\)들의 집합이다. 더 정확히 말하면, \(f\)는 곱셈 사상과 양립하는 사상들의 족 \(f : \mathcal{L}^i \to \mathcal{M}^{i + n}\), \(i \in \mathbf{Z}\)로 주어진다. 성분으로 쓰면 \[\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] (첨자의 순서가 뒤집힘에 유의하라) 중 다음을 만족하는 \(f = (f_{p, q})\)들의 부분집합이다. \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] 여기서 \(a\)는 \(\mathcal{A}^i\)의 국소 단면이고 \(m\)은 \(\mathcal{L}^{-q - i}\)의 국소 단면이다. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{M}\)에 대하여 \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\)의 합성은 다음 사상들로 정의한다. \[\Hom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \times \Hom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 이는 오른쪽 \(\mathcal{A}\)-가군 사상의 통상적인 합성, \((g, f) \mapsto g \circ f\)로 주어진다.

등급 가군의 층에 대한 텐서곱

이 절은 건너뛰어도 된다. 이 절은 미분 등급 대수, 절 09LL의 일부에 대응한다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, \(\mathcal{N}\)을 왼쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 텐서곱 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)을 그 \(n\)차 항이 다음과 같은 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로 정의한다. \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n = \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} \mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \mathcal{M}^p \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^q \right)\] 여기서 사상은 \(\mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t\)의 국소 단면 \(x \otimes a \otimes y\)를 \(xa \otimes y - x \otimes ay\)로 보낸다. 이 정의에 따르면 \((\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n\)은 준층 \(U \mapsto (\mathcal{M}(U) \otimes_{\mathcal{A}(U)} \mathcal{N}(U))^n\)의 층화이다. 여기서 등급 가군의 텐서곱은 미분 등급 대수, 절 09LL에서 정의한 것이다.

왼쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)을 고정하면 다음 함자를 얻는다. \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O})) = \text{등급 }\mathcal{O}\text{-가군}\] \(\text{Gr}(-)\)라는 기호는 호몰로지, 정의 0125를 보라. 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 등급 범주는 \(\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\)로 나타낸다. 미분 등급 대수, 예 09MM를 보라. 위 함자는 다음과 같은 등급 범주의 함자로 확장할 수 있다. \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\] 이는 \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\)인 차수 \(n\)의 준동형을 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)에서 \(\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)으로 가는 유도된 차수 \(n\)의 사상으로 보냄으로써 얻는다.

등급 가군의 층에 대한 내부 Hom

독자에게 이 절을 건너뛸 것을 권한다.

절 0FR1의 구성을 층화한 판본이 필요하다. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{L}\)을 절 0FR1에서와 같이 잡자. 다음을 정의한다. \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 이는 그 \(n\)차 항이 \[\SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] 중 다음을 만족하는 국소 단면 \(f = (f_{p, q})\)들로 이루어진 부분층인 등급 \(\mathcal{O}\)-가군이다. \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] 여기서 \(a\)는 \(\mathcal{A}^i\)의 국소 단면이고, \(m\)은 \(\mathcal{L}^{-q - i}\)의 국소 단면이다. 절 0FR1에서와 같이 다음 합성 사상이 있다. \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 여기서 왼쪽 항은 절 0FR2에서 정의한 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 텐서곱이다. 이 사상은 다음 합성 사상으로 주어진다. \[\SheafHom^m_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{n + m}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 이 사상은 (국소적으로) 통상적인 합성으로 정의된다.

이 정의들에 따라 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}))\] 가 합성과 양립하는 등급 \(R\)-가군으로서 성립한다.

등급 쌍가군의 층과 텐서-Hom 수반

이 절은 건너뛰어도 된다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자.

등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군은 \(n \in \mathbf{Z}\)를 첨자로 하는 \(\mathcal{O}\)-가군의 족 \(\mathcal{M}^n\)과 다음 \(\mathcal{O}\)-쌍선형 사상들로 주어진다. \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, b) \longmapsto xb\] 및 \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{M}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (a, x) \longmapsto ax\] 이 사상들을 곱셈 사상이라 하며 다음 성질을 요구한다.

1. 곱셈은 \(a(a'x) = (aa')x\) 및 \((xb)b' = x(bb')\)를 만족한다.

2. \((ax)b = a(xb)\),

3. \(\mathcal{A}^0\)의 항등 단면 \(1\)은 곱셈에 의해 항등원으로 작용한다.

4. \(\mathcal{B}^0\)의 항등 단면 \(1\)은 곱셈에 의해 항등원으로 작용한다.

이러한 구조를 흔히 \(\mathcal{M}\)으로 나타낸다. 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군의 준동형 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)이란 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}\)-가군 사상들의 족 \(f^n : \mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^n\)을 뜻한다.

등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군 \(\mathcal{M}\)과 대상 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌을 때 다음 기호를 사용한다. \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 이는 등급 \((\mathcal{A}(U), \mathcal{B}(U))\)-쌍가군이다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, \(\mathcal{N}\)을 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하자. 이 경우 절 0FR2에서 정의한 등급 텐서곱 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 에는 자명한 곱셈 사상이 주어져 오른쪽 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이 된다. 이 구성은 다음 함자 및 등급 범주의 함자를 정의한다. \[\otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}) \quad\text{및}\quad \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})\] 이는 \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\)인 차수 \(n\)의 준동형을 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)에서 \(\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)으로 가는 유도된 차수 \(n\)의 사상으로 보냄으로써 얻는다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{N}\)을 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 오른쪽 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. 이 경우 절 0FR3에서 정의한 등급 내부 Hom \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 은 다음 곱셈 사상을 갖는 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다.¹ \[\SheafHom^n_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \times \mathcal{A}^m \longrightarrow \SheafHom^{n + m}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 이는 \(U\) 위의 \(\SheafHom^n_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\)의 단면 \(f = (f_{p,q})\)와 \(U\) 위의 \(\mathcal{A}^m\)의 단면 \(a\)를, \(U\) 위의 \(\SheafHom^{n + m}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\)의 단면 \(f a\)로 보낸다. 이 단면은 다음 사상들의 족으로 정의된다.

\[\mathcal{N}^{-q - m}|_U \xrightarrow{a \cdot -} \mathcal{N}^{-q}|_U \xrightarrow{f_{p, q}} \mathcal{M}^p|_U\]

이것이 잘 정의된다는 확인은 생략한다. 이 구성은 다음 함자 및 등급 범주의 함자를 정의한다. \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{및}\quad \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] 이는 \(\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)인 차수 \(n\)의 준동형을 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\)에서 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}')\)으로 가는 유도된 차수 \(n\)의 사상으로 보냄으로써 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, \(\mathcal{N}\)을 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군, \(\mathcal{L}\)을 오른쪽 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. 위의 규약 아래 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] 및 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{gr}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\), \(\mathcal{L}\)에 대하여 함자적으로 성립한다.

증명

생략한다. 힌트: 양변을 오른쪽에서 \(\mathcal{B}\)-선형인 \(\mathcal{A}\)-쌍선형 등급 사상 \(\psi : \mathcal{M} \times \mathcal{N} \to \mathcal{L}\)으로 해석하면 된다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. 위의 특수한 경우로서 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 함자 및 등급 범주의 함자를 얻는다. \[\otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}) \quad\text{및}\quad \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})\] 한편 다음 제한 함자들이 있다. \[res_\varphi : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{및}\quad res_\varphi : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] 위의 보조정리를 사용하면 이 함자들이 서로 수반임을 보일 수 있다 (제한과 밑바꿈의 통상적인 경우와 같다). 구체적으로, \(\mathcal{B}\)를 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군으로 보았을 때 \({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}\)라고 쓰자. 그러면 임의의 오른쪽 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대하여 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}, \mathcal{L}) = res_\varphi(\mathcal{L})\] 가 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 성립한다. 따라서 보조정리 0FR6에 의해 다음 함자적 동형이 있다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( \mathcal{M}, res_\varphi(\mathcal{L}))\] 문맥에서 분명할 때에는 이 식에서 \(\varphi\)에 대한 의존성을 흔히 표기하지 않는다. 같은 방식으로 다음 등식을 얻는다. \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{B}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{gr}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 이는 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 등식이다.

등급 가군의 층에 대한 당김과 밂

독자에게 이 절을 건너뛸 것을 권한다.

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수, \(\mathcal{B}\)를 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음 사상이 주어졌다고 하자. \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 이는 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상이다. 스칼라 제한과 스칼라 확장의 수반에 의해, 이는 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)와 같은 자료이다. 동치로, \(\varphi\)를 다음 사상으로 볼 수 있다. \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 이는 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상이다. 주의 0FQX를 보라.

다음 함자를 정의하자. \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B})\] 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)이 주어졌을 때, \(f_*\mathcal{M}\)을 그 \(n\)차 항이 \(f_*\mathcal{M}^n\)인 등급 \(\mathcal{B}\)-가군으로 정의한다. 곱셈으로는 다음을 사용한다. \[f_*\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \xrightarrow{(\text{id}, \varphi^m)} f_*\mathcal{M}^n \times f_*\mathcal{A}^m \xrightarrow{f_*\mu_{n, m}} f_*\mathcal{M}^{n + m}\] 여기서 \(\mu_{n, m} : \mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m}\)은 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{M}\)에 대한 곱셈 사상이다. 여기서는 \(f_*\)가 곱과 가환한다는 사실을 사용한다. 이 구성은 분명히 \(\mathcal{M}\)에 대하여 함자적이므로 원하는 함자를 얻는다.

다음 함자를 정의하자. \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 이 함자를 다음 함자들의 합성으로 정의한다. \[\textit{Mod}(\mathcal{B}) \xrightarrow{f^{-1}} \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B}) \xrightarrow{ - \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A}} \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 먼저 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{N}\)이 주어졌을 때, \(f^{-1}\mathcal{N}\)을 그 \(n\)차 항이 \(f^{-1}\mathcal{N}^n\)인 등급 \(f^{-1}\mathcal{B}\)-가군으로 정의한다. 곱셈으로는 다음을 사용한다. \[f^{-1}\nu_{n, m} : f^{-1}\mathcal{N}^n \times f^{-1}\mathcal{B}^m \longrightarrow f^{-1}\mathcal{N}^{n + m}\] 여기서 \(\nu_{n, m} : \mathcal{N}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{N}^{n + m}\)은 \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{N}\)에 대한 곱셈 사상이다. 여기서는 \(f^{-1}\)이 곱과 가환한다는 사실을 사용한다. 이 구성은 분명히 \(\mathcal{N}\)에 대하여 함자적이므로 함자 \(f^{-1}\)을 얻는다. 이제 절 0FR4의 텐서곱 논의를 사용하여 다음 함자를 정의할 수 있다. \[- \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A} : \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 마지막으로, 위에서 이미 예고한 대로 다음과 같이 놓는다. \[f^*\mathcal{N} = f^{-1}\mathcal{N} \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}, \varphi} \mathcal{A}\]

함자 \(f_*\)와 \(f^*\)는 다음 등급 범주의 함자로 쉽게 확장된다. \[f_* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \quad\text{및}\quad f^* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] 이들은 바탕 대상에 대해서는 같은 작용을 하며, 차수 \(n\)의 동차 사상에 대한 위 구성들의 함자성으로 정의된다.

보조정리

위의 상황에서 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{N}, f_*\mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( f^*\mathcal{N}, \mathcal{M})\]

증명

생략한다. 힌트: 먼저 아벨 군의 층에 대한 \(f^{-1}\)과 \(f_*\)의 수반을 사용하여, \(\textit{Mod}(\mathcal{B})\)와 \(\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B})\) 사이의 함자로서 \(f^{-1}\)과 \(f_*\)가 수반임을 보인다. 다음으로 절 0FR4에서 주어진 밑바꿈과 제한 사이의 수반을 사용한다.

국소화와 등급 가군의 층

독자에게 이 절을 건너뛸 것을 권한다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고 다음으로 나타내자. \[j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] 이는 대응하는 국소화 사상이다(사이트 위의 가군, 절 03DH). 아래에서는 다음 사실을 사용한다. \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{M}_i\), \(i = 1, 2\)와 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{A}\)에 대하여 다음 표준 사상이 있다. \[j_! : \Hom_{\mathcal{O}_U}( \mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U, \mathcal{M}_2) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}( j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}, j_!\mathcal{M}_2)\] 실제로 \(j_!(\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U) = j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}\)가 사이트 위의 가군, 보조정리 0E8I에 의해 성립한다.

\(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{A}\)의 \(\mathcal{C}/U\)로의 제한을 \(\mathcal{A}_U\)로 나타낸다. 즉, \(\mathcal{A}_U = j^*\mathcal{A} = j^{-1}\mathcal{A}\)이다. 절 0FR7에서 다음 수반 함자들을 구성하였다. \[j_* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \quad\text{및}\quad j^* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U)\] 여기서 \(j^*\)는 \(j_*\)의 왼쪽 수반이다. 이에 더하여 \(j^*\)의 왼쪽 수반인 다음 완전 함자가 있다고 주장한다. \[j_! : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] 구체적으로, 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군 \(\mathcal{M}\)이 주어졌을 때 \(j_!\mathcal{M}\)을 그 \(n\)차 항이 \(j_!\mathcal{M}^n\)인 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 정의한다. 곱셈 사상으로는 다음을 사용한다. \[j_!\mu_{n, m} : j_!\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to j_!\mathcal{M}^{n + m}\] 여기서 \(\mu_{m, n} : \mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m}\)은 주어진 곱셈 사상이다. 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군의 차수 \(n\)인 동차 사상 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\)이 주어지면 차수 \(n\)인 동차 사상 \(j_!f : j_!\mathcal{M} \to j_!\mathcal{M}'\)을 얻는다. 따라서 원하는 함자를 얻는다.

보조정리

위의 상황에서 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U)}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\]

증명

사이트 위의 가군, 절 03DH의 논의에 의해 \(\mathcal{O}\)-가군에 대한 함자 \(j_!\)와 \(j^*\)는 수반이다. 따라서 \(\mathcal{O}\)-가군 구조만 보면 다음을 안다. \[\Hom_{\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U))}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\] (\(\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\)가 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 등급 범주를 나타냄을 상기하라.) 이제 이 동일시가 왼쪽 항의 \(\mathcal{A}\)-가군 사상을 오른쪽 항의 \(\mathcal{A}_U\)-가군 사상으로 보내는지 확인해야 한다. 이를 확인하기 위해, \(\mathcal{O}_U\)-선형 사상 \(f^n : \mathcal{M}^n \to j^*\mathcal{N}^{n + d}\) 에 대응하는 \(\mathcal{O}\)-선형 사상 \(g^n : j_!\mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^{n + d}\) 이 주어졌을 때 다음이 가환하는 것과 \[\xymatrix{ \mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m \ar[r]_{f^n \otimes 1} \ar[d] & j^*\mathcal{N}^{n + d} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m \ar[d] \\ \mathcal{M}^{n + m} \ar[r]^{f^{n + m}} & j^*\mathcal{N}^{n + m + d} }\] 다음이 가환하는 것이 동치임을 보이면 충분하다. \[\xymatrix{ j_!\mathcal{M}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^m \ar[r]_{g^n \otimes 1} \ar[d] & \mathcal{N}^{n + d} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}_U^m \ar[d] \\ j_!\mathcal{M}^{n + m} \ar[r]^{g^{n + m}} & \mathcal{N}^{n + m + d} }\]

그런데 다음을 안다. \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m, j^*\mathcal{N}^{n + d + m}) & = \Hom_\mathcal{O}(j_!(\mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m), \mathcal{N}^{n + d + m}) \\ & = \Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{M}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^m, \mathcal{N}^{n + d + m}) \end{align*}\] 이는 앞서 사용한 사이트 위의 가군, 보조정리 0E8I에 따른다. 첫 번째 군에서 첫 번째 도표의 가환성에 대한 장애물이 마지막 군에서 두 번째 도표의 가환성에 대한 장애물로 사상된다는 확인은 생략한다.

보조정리

위의 상황에서 \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군, \(\mathcal{N}\)을 왼쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 \[j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U)\] 가 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)에 대하여 함자적으로, 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로서 성립한다.

증명

\(j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)의 차수 \(n\) 성분은 다음 표준 사상의 여핵임을 상기하라. \[\bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} j_!\mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} j_!\mathcal{M}^p \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^q\] 절 0FR2를 보라. 사이트 위의 가군, 보조정리 0E8I에 의해 이는 다음 사상의 여핵과 같다. \[\bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} j_!(\mathcal{M}^r \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}^s|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}^t|_U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} j_!(\mathcal{M}^p \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}^q|_U)\] 이로써 증명이 끝난다. 다른 증명으로는 위에서 인용한 보조정리의 증명에 나오는 요네다 논증을 되풀이할 수 있다.

등급 가군의 층에 대한 이동 함자

독자에게 이 절을 건너뛸 것을 권한다. 등급 대수 위의 등급 가군의 층은 미분 등급 대수, 주의 09P3에서 논의한 현상의 한 예가 된다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하고 \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(\mathcal{M}\)의 \(k\)차 이동 \(\mathcal{M}[k]\)를, 그 \(n\)차 부분이 다음과 같은 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 정의한다. \[(\mathcal{M}[k])^n = \mathcal{M}^{n + k}\] 이는 \(\mathcal{M}\)의 \((n + k)\)차 부분이다. 곱셈 사상으로는

\[(\mathcal{M}[k])^n \times \mathcal{A}^m \longrightarrow (\mathcal{M}[k])^{n + m}\] 단순히 \(\mathcal{M}\)의 다음 곱셈 사상을 사용한다. \[\mathcal{M}^{n + k} \times \mathcal{A}^m \longrightarrow \mathcal{M}^{n + m + k}\] 함자 \([k]\)를 정의하였고 \([k + l] = [k] \circ [l]\)이며 다음이 성립함은 분명하다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}[k]) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M})[k]\] 이는 (부호가 개입하지 않고) \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{L}\)에 대하여 함자적으로 성립한다. 따라서 미분 등급 대수, 주의 09P3에서 논의한 바와 같이, 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 등급 범주는 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 통상적인 범주와 이동 함자들로부터 복원될 수 있음을 실제로 알 수 있다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)는 그로텐디크 아벨 범주이다.

증명

보조정리 0FR0와 그로텐디크 아벨 범주의 정의 (단사 대상, 정의 079B)에 의해 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)가 생성자를 가짐을 보이면 충분하다. 다음이 생성자라고 주장한다. \[\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{k, U} j_{U!}\mathcal{A}_U[k]\] 여기서 합은 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)와 \(k \in \mathbf{Z}\)에 걸친다. 실제로 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)이 주어졌을 때 \(\mathcal{G}\)에서 \(\mathcal{M}\)으로 가는 영이 아닌 사상이 없다면, 모든 \(k\)와 \(U\)에 대하여 \[\Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(j_{U!}\mathcal{A}_U[k], \mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}_U)}(\mathcal{A}_U[k], \mathcal{M}|_U) = \Gamma(U, \mathcal{M}^{-k})\] 가 영이다. 따라서 \(\mathcal{M}\)은 영이다.

미분 등급 대수의 층

이 절은 미분 등급 대수, 절 061U에 대응한다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층, 또는 미분 등급 대수의 층은 다음 \(\mathcal{O}\)-쌍선형 사상들이 주어진 \(\mathcal{O}\)-가군의 공사슬 복합체 \(\mathcal{A}^\bullet\)이다. \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{A}^{n + m},\quad (a, b) \longmapsto ab\] 이 사상들을 곱셈 사상이라 하며 다음 성질을 요구한다.

1. 곱셈은 결합적이다.

2. \(\mathcal{A}^0\)에는 곱셈의 양쪽 항등원이 되는 대역 단면 \(1\)이 있다.

3. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(a \in \mathcal{A}^n(U)\), \(b \in \mathcal{A}^m(U)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\text{d}^{n + m}(ab) = \text{d}^n(a)b + (-1)^n a\text{d}^m(b)\]

이러한 구조를 흔히 \((\mathcal{A}, \text{d})\)로 나타낸다. \((\mathcal{A}, \text{d})\)에서 \((\mathcal{B}, \text{d})\)로 가는 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형이란 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 사상 \(f : \mathcal{A}^\bullet \to \mathcal{B}^\bullet\)을 뜻한다.

미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수 \((\mathcal{A}, \text{d})\)와 대상 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌을 때 다음 기호를 사용한다. \[\mathcal{A}(U) = \Gamma(U, \mathcal{A}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{A}^n(U)\] 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}(U)\)-대수이다.

가능한 한 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수 \((\mathcal{A}, \text{d})\)를, 정의에 주어진 라이프니츠 법칙을 만족하는 차수 \(1\)의 연산자 \(\text{d} : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\)가 주어진 등급 \(\mathcal{O}\)-대수 \(\mathcal{A}\)로 생각하겠다 (\(\mathcal{A}\)는 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로 본다).

주

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자.

1. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하자. 밂은 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수 \((f_*\mathcal{A}, \text{d})\)이다. 여기서 \(f_*\mathcal{A}\)는 주의 0FQX에서와 같고, \(f_*\mathcal{A}^n \to f_*\mathcal{A}^{n + 1}\)인 사상으로서 \(\text{d} = f_*\text{d}\)이다. 라이프니츠 법칙이 성립한다는 확인은 생략한다.

2. \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 당김은 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수 \((f^*\mathcal{B}, \text{d})\)이다. 여기서 \(f^*\mathcal{B}\)는 주의 0FQX에서와 같고, \(f^*\mathcal{B}^n \to f^*\mathcal{B}^{n + 1}\)인 사상으로서 \(\text{d} = f^*\text{d}\)이다. 라이프니츠 법칙이 성립한다는 확인은 생략한다.

3. 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 준동형 \(f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)들의 집합은 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 준동형 \(\mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\)들의 집합과 \(1\) 대 \(1\)로 대응한다.

(3)은 가군의 층에 대한 \(f^*\)와 \(f_*\) 사이의 통상적인 수반에서 곧바로 따른다.

미분 등급 가군의 층

이 절은 미분 등급 대수, 절 09JH에 대응한다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{A}\) 위의 (오른쪽) 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, 또는 (오른쪽) 미분 등급 가군은 다음 \(\mathcal{O}\)-쌍선형 사상들이 주어진 공사슬 복합체 \(\mathcal{M}^\bullet\)이다. \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, a) \longmapsto xa\] 이 사상들을 곱셈 사상이라 하며 다음 성질을 요구한다.

1. 곱셈은 \((xa)a' = x(aa')\)를 만족한다.

2. \(\mathcal{A}^0\)의 항등 단면 \(1\)은 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{M}^n\) 위에서 항등원으로 작용한다.

3. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(x \in \mathcal{M}^n(U)\), \(a \in \mathcal{A}^m(U)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\text{d}^{n + m}(xa) = \text{d}^n(x)a + (-1)^n x\text{d}^m(a)\]

이 상황을 흔히 “\(\mathcal{M}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자”라고 표현한다. \(\mathcal{M}\)에서 \(\mathcal{N}\)으로 가는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형이란 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 사상 \(f : \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\)을 뜻한다. (오른쪽) 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주를 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)로 나타낸다.

왼쪽 미분 등급 가군도 완전히 같은 방식으로 정의할 수 있지만, 이 장에서는 오른쪽 가군을 기본으로 삼는다.

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)과 대상 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌을 때 다음 기호를 사용한다. \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 이는 (오른쪽) 미분 등급 \(\mathcal{A}(U)\)-가군이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)는 다음 성질을 갖는 아벨 범주이다.

1. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에는 임의의 직합이 존재한다.

2. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에는 임의의 여극한이 존재한다.

3. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 여과 여극한은 완전하다.

4. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에는 임의의 곱이 존재한다.

5. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에는 임의의 극한이 존재한다.

다음 망각 함자는 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군을 그 바탕 등급 가군으로 보내며, 모든 극한 및 여극한과 가환한다.

증명

보조정리의 명제에 나오는 함자를 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\)로 나타내자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)가 성질 (1) – (5)를 가짐에 유의하라. 보조정리 0FR0을 보라.

등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)을 생각하자.

등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 사상으로 본 \(f\)의 핵과 여핵에는 정의 0FRI과 같은 미분이 추가로 주어진다. 따라서 이들은 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서도 각각 핵과 여핵이다. 그러므로 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)는 아벨 범주이고, 핵과 여핵을 취하는 연산은 \(F\)와 가환한다.

극한과 여극한의 존재를 보이려면 곱과 직합의 존재를 보이는 것으로 충분하다. 범주론, 보조정리 002N 및 002P를 보라. 같은 보조정리들에 따르면, 극한 및 여극한과의 \(F\) 가환성을 보이려면 \(F\)가 직합 및 곱과 가환함을 보이면 충분하다.

\(\mathcal{M}_t\), \(t \in T\)를 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 집합이라 하자. 직합 \(\bigoplus \mathcal{M}_t\)를 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 생각할 수 있다. 등급 가군의 직합은 항별로 취하므로 \(\bigoplus \mathcal{M}_t\)에 미분이 주어짐은 분명하다. 이것이 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 직합임은 독자가 쉽게 확인할 수 있다. 곱도 마찬가지이다.

\(F\)가 완전 함자이고 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 복합체 \(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3\)가 완전일 필요충분조건은 \(F(\mathcal{M}_1) \to F(\mathcal{M}_2) \to F(\mathcal{M}_3)\)가 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서 완전인 것임에 유의하라. 따라서 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서 여과 여극한이 완전하므로 (3)이 성립한다.

보조정리 0FRJ과 0FR0을 결합하면 다음과 같은 완전하고 충실한 함자가 있음을 알 수 있다. \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}(\mathcal{O})\] 이는 아벨 범주 사이의 함자이다. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대하여 \(H^i(\mathcal{M})\)로 나타내는 코호몰로지 \(\mathcal{O}\)-가군은 \(\mathcal{M}\)에 대응하는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 코호몰로지로 정의한다. 따라서 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{M} \to 0\)은 다음 긴 완전열을 유도한다. [0FRK]\[\begin{equation} H^n(\mathcal{K}) \to H^n(\mathcal{L}) \to H^n(\mathcal{M}) \to H^{n + 1}(\mathcal{K}) \end{equation}\] 이는 코호몰로지 가군의 열이다. 호몰로지, 보조정리 0117을 보라.

더 나아가 이제부터 가군 복합체에 사용하는 모든 용어를 빌려 쓴다. 예를 들어, 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(H^k(\mathcal{M}) = 0\)이면 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)을 비순환이라고 한다. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{M} \to \mathcal{N}\)이 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 동형 \(H^k(\mathcal{M}) \to H^k(\mathcal{N})\)을 유도하면 이를 유사동형이라고 한다. 이와 같은 방식으로 용어를 사용한다.

가군의 미분 등급 범주

이 절은 미분 등급 대수, 예 09LC에 대응한다. 미분 등급 범주에 관한 규약은 미분 등급 대수, 절 09L4를 보라.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 다음 미분 등급 범주를 구성하겠다. \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 이는 \(R = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 범주이고, 그에 연관된 복합체 범주는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주이다. \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Comp}(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 대상으로 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군을 취한다. 절 0FRH를 보라. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{M}\)이 주어졌을 때 다음과 같이 놓는다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\] 이는 등급 \(R\)-가군의 등식이다. 절 0FR1를 보라. 달리 말하면, \(n\)차 등급 성분 \(\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\)은 차수 \(n\)인 동차 오른쪽 \(\mathcal{A}\)-가군 사상들의 \(R\)-가군이다. 원소 \(f \in \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\)에 대하여 다음과 같이 놓는다. \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 이를 해석하기 위해 \(\text{d}_\mathcal{M}\)과 \(\text{d}_\mathcal{L}\)을 등급 \(\mathcal{O}\)-가군 사상으로 보고, 등급 \(\mathcal{O}\)-가군 사상의 합성을 사용한다. \(\text{d}(f)\)가 등급 \(\mathcal{O}\)-가군 사상으로서 차수 \(n + 1\)인 동차 사상임은 분명하다. 또한 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{A}\)의 동차 국소 단면 \(x\)와 \(a\)에 대하여 다음이 성립하므로 \(\mathcal{A}\)-선형이다.

\[\begin{align*} \text{d}(f)(xa) & = \text{d}_\mathcal{M}(f(x) a) - (-1)^n f (\text{d}_\mathcal{L}(xa)) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(f(x)) a + (-1)^{\deg(x) + n} f(x) \text{d}(a) - (-1)^n f(\text{d}_\mathcal{L}(x)) a - (-1)^{n + \deg(x)} f(x) \text{d}(a) \\ & = \text{d}(f)(x) a \end{align*}\] 이는 원하는 결과이다(\(\Hom\) 위의 미분 정의에 있는 부호가 없으면 이 계산이 성립하지 않음에 유의하라).

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{M}\)에 대해서는 이미 다음 합성을 정의하였다. \[\Hom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \times \Hom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 이는 절 0FR1에서 층 사상의 통상적인 합성으로 정의하였다. 이 합성은 미분 등급 가군의 다음 사상을 정의한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_R \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 이는 미분 등급 대수, 정의 09L5에서 요구되는 사상이다. 실제로 \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_\mathcal{M} \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_\mathcal{K} \\ & = \left(\text{d}_\mathcal{M} \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_L\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_\mathcal{L} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{K}\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] \(f\)의 차수가 \(n\)이고 \(g\)의 차수가 \(m\)이면 원하는 대로 성립한다.

미분 등급 가군의 층에 대한 텐서곱

이 절은 미분 등급 대수, 절 09LL의 일부에 대응한다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, \(\mathcal{N}\)을 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 이 상황에서 텐서곱 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)을 다음과 같이 정의한다. 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로서는 절 0FR2의 구성으로 주어지며, 다음 미분이 주어진다. \[\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} : (\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n \longrightarrow (\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^{n + 1}\] 이 미분은 다음 규칙으로 정의된다. \[\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(x \otimes y) = \text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y)\] 여기서 \(x\)와 \(y\)는 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)의 동차 국소 단면이다. 이것이 잘 정의됨을 보이려면 \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{N}\)의 동차 국소 단면 \(x\), \(a\), \(y\)에 대하여 \(\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\)가 \(xa \otimes y - x \otimes ay\) 꼴의 원소를 영으로 보냄을 보여야 한다. 계산하면 \[\begin{align*} & \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}( xa \otimes y - x \otimes ay) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(xa) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) -\text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay - (-1)^{\deg(x)} x \otimes \text{d}_\mathcal{N}(ay) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(x)a \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x\text{d}(a) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \\ & -\text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay - (-1)^{\deg(x)} x \otimes \text{d}(a)y - (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} x\otimes a\text{d}_\mathcal{N}(y) \end{align*}\] 이다. 이제 다음 원소들이 \[\text{d}_\mathcal{M}(x)a \otimes y - \text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay,\quad x\text{d}(a) \otimes y - x \otimes \text{d}(a)y,\quad \text{및}\quad xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) - x\otimes a\text{d}_\mathcal{N}(y)\] 모두 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)에서 영으로 가므로 결론을 얻는다. 다음 등식의 확인은 생략한다. \(\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} \circ \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} = 0\).

왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)을 고정하면 다음 함자를 얻는다. \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}(\mathcal{O})\] 오른쪽 항은 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 범주이다. 이 함자는 다음 미분 등급 범주의 함자로 확장할 수 있다. \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] 바탕 등급 대상에서는 차수 \(n\)의 준동형 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\)을 차수 \(n\)의 사상 \(f \otimes \text{id}_\mathcal{N} : \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)으로 보낸다. 이는 절 0FR2에서 한 구성이다. 이 구성이 성립함을 보이려면 다음 사상이 미분과 양립함을 확인해야 한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{M}') \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})\] 위와 같은 \(f\)에 대하여 이를 보이려면 \[(\text{d}_{\mathcal{M}'} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{M}) \otimes \text{id}_\mathcal{N}\] 가 다음과 같음을 보여야 한다. \[\text{d}_{\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} \circ (f \otimes \text{id}_\mathcal{N}) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_\mathcal{N}) \circ \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\] \(x\)와 \(y\)가 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)의 동차 국소 단면일 때, \(x \otimes y\) 꼴의 국소 단면에 대한 이 연산자들의 작용을 계산하자. 첫 번째 연산자에서는 \[(\text{d}_{\mathcal{M}'}(f(x)) - (-1)^n f(\text{d}_\mathcal{M}(x))) \otimes y\] 를 얻고, 두 번째 연산자에서는 \[\begin{align*} &\text{d}_{\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(f(x) \otimes y) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_\mathcal{N})( \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(x \otimes y) \\ & = \text{d}_{\mathcal{M}'}(f(x)) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + n}f(x) \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \\ & -(-1)^n f(\text{d}_\mathcal{M}(x)) \otimes y -(-1)^n (-1)^{\deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \end{align*}\] 를 얻는다. 이는 실제로 같은 국소 단면이다.

미분 등급 가군의 층에 대한 내부 Hom

절 0FRL의 구성을 층화한 판본이 필요하다. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{L}\)을 절 0FRL에서와 같이 잡자. 다음을 정의한다. \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) = \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 이는 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 등식이다. 절 0FR3를 보라. 달리 말하면, \(U\) 위의 \(n\)차 등급 성분 \(\SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M})\)의 단면 \(f\)는 차수 \(n\)인 동차 오른쪽 \(\mathcal{A}_U\)-가군 사상 \(\mathcal{L}|_U \to \mathcal{M}|_U\)이다. 이러한 \(f\)에 대하여 다음과 같이 놓는다.

\[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M}|_U \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}|_U\] 이를 해석하기 위해 \(\text{d}_\mathcal{M}|_U\)와 \(\text{d}_\mathcal{L}|_U\)를 등급 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사상으로 보고, 등급 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사상의 합성을 사용한다. \(\text{d}(f)\)가 등급 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사상으로서 차수 \(n + 1\)인 동차 사상임은 분명하다. 절 0FRL와 완전히 같은 계산을 사용하면 \(\text{d}(f)\)가 \(\mathcal{A}_U\)-선형임을 알 수 있다.

절 0FRL에서와 같이 다음 합성 사상이 있다. \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 여기서 왼쪽 항은 절 0FRM에서 정의한 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 텐서곱이다. 이 사상은 다음 합성 사상으로 주어진다. \[\SheafHom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 이는 (국소적으로) 통상적인 합성으로 정의된다. 국소 단면에 대하여 절 0FRL와 완전히 같은 계산을 사용하면 이 합성 사상이 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 사상임을 알 수 있다.

이 정의들에 따라 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}))\] 가 합성과 양립하는 등급 \(R\)-가군으로서 성립한다.

미분 등급 쌍가군의 층과 텐서–Hom 수반

이 절은 Differential Graded Algebra, Section 09LL의 일부에 대응한다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자.

미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이란 \(\mathcal{O}\)-쌍선형 사상 \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, b) \longmapsto xb\] 과 \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{M}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (a, x) \longmapsto ax\] 가 주어진 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{M}^\bullet\)을 말한다. 이 사상들을 곱셈 사상이라 부르며, 다음 성질을 만족해야 한다.

1. 곱셈은 \(a(a'x) = (aa')x\) 및 \((xb)b' = x(bb')\)을 만족한다.

2. \((ax)b = a(xb)\),

3. \(\text{d}(ax) = \text{d}(a) x + (-1)^{\deg(a)}a \text{d}(x)\) 및 \(\text{d}(xb) = \text{d}(x) b + (-1)^{\deg(x)}x \text{d}(b)\),

4. \(\mathcal{A}^0\)의 항등 단면 \(1\)은 곱셈으로 항등적으로 작용한다.

5. \(\mathcal{B}^0\)의 항등 단면 \(1\)은 곱셈으로 항등적으로 작용한다.

이러한 구조를 흔히 \(\mathcal{M}\)으로 나타내고, 때로는 \({}_\mathcal{A}\mathcal{M}_\mathcal{B}\)로 쓴다. 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군의 준동형 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)은 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 사상 \(f : \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\)이다.

미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군 \(\mathcal{M}\)과 대상 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어지면 다음 표기를 사용한다. \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 이는 미분 등급 \((\mathcal{A}(U), \mathcal{B}(U))\)-쌍가군이다.

미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군 \(\mathcal{M}\)은 등급과 미분이 일치하고 \(\mathcal{A}\)-가군 구조와 \(\mathcal{B}\)-가군 구조가 서로 교환하는, 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이기도 한 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군과 같은 자료임을 관찰하자. 이를 정확히 서술하면 다음과 같다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{N}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. 주어진 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 구조와 양립하는 \(\mathcal{N}\) 위의 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군 구조와 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형 \[\mathcal{A} \longrightarrow \SheafHom^{dg}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{N})\] 사이에는 \(1\) 대 \(1\) 대응이 있다.

증명

생략한다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하고, \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하자. 이 경우 Section 0FRM에서 정의한 미분 등급 텐서곱 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 은 Section 0FR4에서와 같은 곱셈 사상을 갖는 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이다. 이 구성은 함자 및 등급 범주들의 함자 \[\otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{and}\quad \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})\] 를 정의한다. 즉 \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\)인 차수 \(n\)의 준동형을 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)에서 \(\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)으로 가는 유도된 차수 \(n\)의 사상으로 보낸다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. 이 경우 Section 0FRN에서 정의한 미분 등급 내부 Hom \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 은 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이며, 그 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 구조는 Section 0FR4에서 정의한 것이다. 곱셈은 다음 합성을 사용하여 정의할 수도 있다.

\[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \to \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{N}) \to \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 여기서 첫 번째 화살표는 Lemma 0FRR에서 오고, 두 번째 화살표는 Section 0FRN의 합성이다. 두 화살표 모두 미분과 양립하므로 실제로 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군을 얻는다. 이 구성은 함자 및 미분 등급 범주들의 함자 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{and}\quad \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 를 정의한다. 즉 \(\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)인 차수 \(n\)의 준동형을 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\)에서 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}')\)로 가는 유도된 차수 \(n\)의 사상으로 보낸다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군, \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군, \(\mathcal{L}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. 위의 규약에 따라 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] 그리고 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{dg}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] 가 성립하며, 이는 \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\), \(\mathcal{L}\)에 관하여 함자적이다.

증명

생략한다. 힌트: 등급 수준에서는 Lemma 0FR6에서 이미 이를 보았다. 따라서 이 동형들이 미분과 양립함을 확인하면 충분하고, 이는 국소 단면 수준의 계산으로 할 수 있다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 위의 특수한 경우로, 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 함자 및 미분 등급 범주들의 함자 \[\otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{and}\quad \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})\] 를 얻는다. 한편 제한 함자 \[res_\varphi : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \quad\text{and}\quad res_\varphi : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 도 있다. 위의 보조정리를 사용하면 이 함자들이 서로 수반임을 보일 수 있다 (제한과 밑변환에서 통상적인 대로이다). 구체적으로, \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군으로 본 것을 \({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}\)로 쓰자. 그러면 임의의 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대하여 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}, \mathcal{L}) = res_\varphi(\mathcal{L})\] 인 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 등식이 성립한다. 따라서 Lemma 0FR6에 의해 함자적 동형

\[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( \mathcal{M}, res_\varphi(\mathcal{L}))\] 을 얻는다. 문맥상 명확하면 이 식에서 \(\varphi\)에 대한 의존성을 보통 생략한다. 같은 방식으로 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 등식 \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{B}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{dg}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 을 얻는다.

미분 등급 가군의 층에 대한 당김과 밂

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고, \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음 사상이 주어졌다고 하자. \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 는 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상이다. 스칼라 제한과 스칼라 확장의 수반에 의해 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)와 같은 것이며, 동치로 \(\varphi\)를 다음 사상으로 볼 수 있다. \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상으로 볼 수 있다. Remark 0FRG를 보라.

함자를 정의하자. \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})\] 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대하여 \(f_*\mathcal{M}\)을 Section 0FR7에서 구성한 등급 \(\mathcal{B}\)-가군으로 정의하고, 미분은 \(f_*d : f_*\mathcal{M}^n \to f_*\mathcal{M}^{n + 1}\)로 주어진다. 이 구성은 \(\mathcal{M}\)에 관하여 명백히 함자적이므로 원하는 함자를 얻는다.

함자를 정의하자. \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\] 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{N}\)에 대하여 \(f^*\mathcal{N}\)을 Section 0FR7에서 구성한 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 정의한다. 다음을 상기하자. \[f^*\mathcal{N} = f^{-1}\mathcal{N} \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A}\] \(f^{-1}\mathcal{N}\)에는 미분 \(f^{-1}\text{d} : f^{-1}\mathcal{N}^n \to f^{-1}\mathcal{N}^{n + 1}\) 가 주어져 있으므로, 이 텐서곱을 미분을 제공하는 Section 0FRP의 텐서곱의 한 예로 볼 수 있다. 이 구성은 \(\mathcal{N}\)에 관하여 명백히 함자적이므로 함자 \(f^*\)를 얻는다.

\(f_*\)와 \(f^*\)는 쉽게 미분 등급 범주들의 함자로 확장된다. \[f_* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{and}\quad f^* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 이들은 바탕 대상에 대해서는 같은 작용을 하며, 차수 \(n\)의 동차 사상에 대한 구성의 함자성으로 정의된다.

보조정리

위 상황에서 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{N}, f_*\mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( f^*\mathcal{N}, \mathcal{M})\]

증명

생략한다. 힌트: 바탕 등급 범주에 대해서는 Lemma 0FR8에 의해 참이다. 계산하면 이 동형들이 미분과 양립함을 알 수 있다.

국소화와 미분 등급 가군의 층

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고 다음을 나타내자. \[j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] 를 대응하는 국소화 사상이라 하자 (Modules on Sites, Section 03DH). 이하에서 다음 사실을 사용한다. \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{M}_i\) (\(i = 1, 2\))와 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{A}\)에 대하여 표준 사상 \[j_! : \Hom_{\mathcal{O}_U}( \mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U, \mathcal{M}_2) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}( j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}, j_!\mathcal{M}_2)\] 이 존재한다. 실제로 \(j_!(\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U) = j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}\)이고, 이는 Modules on Sites, 보조정리 0E8I에 의한다.

\(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{C}/U\)로 제한한 것을 \(\mathcal{A}_U\)로 나타내며, 즉 \(\mathcal{A}_U = j^*\mathcal{A} = j^{-1}\mathcal{A}\). Section 0FRT에서 수반 함자 \[j_* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \quad\text{and}\quad j^* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d})\] \(j^*\)가 \(j_*\)의 왼쪽 수반이다. 여기에 더하여 다음 완전 함자가 존재한다. \[j_! : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 이는 \(j_*\)의 오른쪽 수반이다. 즉 미분 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군 \(\mathcal{M}\)이 주어지면 \(j_!\mathcal{M}\)을 Section 0FR9에서 구성한 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 정의하고, 미분은 \(j_!\text{d} : j_!\mathcal{M}^n \to j_!\mathcal{M}^{n + 1}\). 로 둔다. 미분 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군의 차수 \(n\) 동차 사상 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\)이 주어지면, 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 차수 \(n\) 동차 사상 \(j_!f : j_!\mathcal{M} \to j_!\mathcal{M}'\)을 얻는다. 이 구성이 미분과 양립한다는 직접적인 확인은 생략한다. 따라서 원하는 함자를 얻는다.

보조정리

위 상황에서 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d})}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\]

증명

생략한다. 힌트: Lemma 0FRA에서 이 보조정리가 등급 수준에서 참임을 보았다. 그러므로 결과 동형이 미분과 양립한다는 것만 확인하면 된다.

보조정리

위 상황에서 \(\mathcal{M}\)을 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군이라 하고 \(\mathcal{N}\)을 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 \[j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U)\] 가 성립하고, 이는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 등식이며 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)에 관하여 함자적이다.

증명

등급 가군으로서는 Lemma 0FRB에서 따른다. 이 동형이 미분과 양립한다는 확인은 생략한다.

미분 등급 가군의 층의 이동 함자

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(\mathcal{M}\)의 \(k\)번째 이동을 \(\mathcal{M}[k]\)으로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

1. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 \(\mathcal{M}[k]\)를 Section 0FRC에서 정의한 것으로 둔다.

2. 미분 \(d_{\mathcal{M}[k]} : (\mathcal{M}[k])^n \to (\mathcal{M}[k])^{n + 1}\) 은 다음으로 정의한다. \((-1)^k\text{d}_\mathcal{M} : \mathcal{M}^{n + k} \to \mathcal{M}^{n + k + 1}\).

\(\mathcal{A}\)-가군의 차수 \(n\) 동차 준동형 \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\)에 대하여 \(f[k] : \mathcal{L}[k] \to \mathcal{M}[k]\)를 \(f\)와 같은 성분 사상으로 정의한다. 그러면 \(f[k]\)는 차수 \(n\)의 동차 \(\mathcal{A}\)-가군 사상이다. 따라서 다음 사상을 얻는다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{L}[k], \mathcal{M}[k])\] 이며, 이는 미분과 양립한다 (이는 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{M}\)의 미분 부호가 같은 만큼 변한다는 사실에서 따른다). 이 선택은 Differential Graded Algebra, Definition 09JL의 선택과 양립한다. 따라서 다음 함자를 정의했음이 명백하다. \[[k] : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 미분 등급 범주들의 함자이며, \([k + l] = [k] \circ [l]\).

등급 가군 위에서 Section 0FRC에서 정의한 동형 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}[k]) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M})[k]\] 은 미분과 양립함을 주장한다. 이를 보이기 위해 차수 \(n\) 동차 오른쪽 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}[k]\)를 생각하자. 이는 좌변의 차수 \(n\) 원소이다. \(f\)와 같은 성분 사상을 갖는 차수 \(n+k\)의 동차 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(f' : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\)을 택하자. 우리의 규약에 따르면 이는 우변의 대응하는 차수 \(n\) 원소이다. 좌변의 미분 정의에 의해 \[\text{d}_{LHS}(f) = \text{d}_{\mathcal{M}[k]} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L} = (-1)^k\text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 그리고 우변의 미분에 대해서는 다음을 얻는다. \[\text{d}_{RHS}(f') = (-1)^k\left( \text{d}_\mathcal{M} \circ f' - (-1)^{n + k} f' \circ \text{d}_\mathcal{L} \right) = (-1)^k\text{d}_\mathcal{M} \circ f' - (-1)^n f' \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 이고, 이 사상들은 같은 성분 사상을 가지므로 증명이 끝난다.

호모토피 범주

이 절은 Differential Graded Algebra, Section 09JM에 대응한다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(f, g : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형이라 하자. \(f\)와 \(g\) 사이의 호모토피란 차수 \(-1\)의 동차 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(h : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)으로서 \[f - g = \text{d}_\mathcal{N} \circ h + h \circ \text{d}_\mathcal{M}\] 를 만족하는 것이다. 호모토피가 존재하면 \(f\)와 \(g\)가 호모토픽이라고 말한다.

정의의 상황에서 사상 \(a : \mathcal{K} \to \mathcal{M}\)과 \(c : \mathcal{N} \to \mathcal{L}\)이 주어지면 다음을 알 수 있다. \[\begin{matrix} h\text{는 호모토피이다} \\ f\text{와 }g\text{ 사이의} \end{matrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{matrix} c \circ h \circ a\text{는 호모토피이다}\\ c \circ f \circ a\text{와 }c\circ g\circ a\text{ 사이의} \end{matrix}\] 따라서 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 사상의 호모토피류의 합성을 정의할 수 있다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)로 나타내는 호모토피 범주는 대상이 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 대상이고 사상이 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 준동형의 호모토피류인 범주이다.

표기 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)는 표준적이지는 않지만 Stacks project의 다른 곳에서 \(K(-)\)를 사용하는 것과는 일관된다.

Differential Graded Algebra, Definition 09L7에서 복합체의 범주 \(\text{Comp}(\mathcal{S})\) 와 미분 등급 범주 \(\mathcal{S}\)의 호모토피 범주 \(K(\mathcal{S})\)를 정의했다. 이를 미분 등급 범주 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 적용하면 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Comp}(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] (Section 0FRL의 논의를 보라). 또한 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) = K(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] 를 얻는다. 마지막 등식이 참임을 보이기 위해 다음 등식에 주목하자. \[\text{d}_{\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{M}, \mathcal{N})}(h) = \text{d}_\mathcal{N} \circ h + h \circ \text{d}_\mathcal{M}\] \(h\)가 Definition 0FS0에서와 같을 때 성립한다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 호모토피 범주 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)는 직합과 곱을 갖는다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 0FRJ에서와 같이 직합과 곱을 사용하면 된다. 이는 이 함자들이 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주로 가는 망각 함자와 가환하고, 아벨 군의 족의 범주에서 \(\prod\)와 \(\bigoplus\)가 완전 함자이기 때문이다.

원뿔과 삼각형

이 절에서는 Differential Graded Algebra, Section 09P5의 내용을 사용하여 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 범주의 호모토피 범주가 삼각 범주임을 보인다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 미분 등급 범주 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) 는 Differential Graded Algebra, Section 09P5의 공리 (A)와 (B)를 만족한다.

증명

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)이 주어졌다고 하자. 자명한 방식으로 정의한 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\)을 생각하자. 그러면 공사상 \(i : \mathcal{M} \to \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) 및 \(j : \mathcal{N} \to \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) 및 및 사영 \(p : \mathcal{M} \oplus \mathcal{N} \to \mathcal{N}\) 및 \(q : \mathcal{M} \oplus \mathcal{N} \to \mathcal{M}\) 는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 사상이다. 따라서 \(i,j,p,q\)는 차수 \(0\)의 동차 닫힌 사상, 즉 \(\text{d}(i)=0\) 등이다. 그러므로 이 직합은 Differential Graded Algebra, Definition 09P4의 의미에서 미분 등급 직합이다. 이로써 공리 (A)가 증명된다.

공리 (B)는 Section 0FRY에서 보였다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 다음 열을 생각하자. \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to 0\] \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 이를 허용 짧은 완전열이라 부른다 (Differential Graded Algebra, Section 09P5). 이는 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서 분할되는 경우, 즉 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 열로서 분할되는 경우이다. 다음 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 분할을 나타내자. \(s : \mathcal{N} \to \mathcal{L}\) 및 \(\pi : \mathcal{L} \to \mathcal{K}\) Lemma 0FS4와 Differential Graded Algebra, Lemma 09P6를 결합하면 다음 삼각형을 얻는다. \[\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to \mathcal{K}[1]\] 여기서 Differential Graded Algebra, Lemma 09P6의 증명에서 화살표 \(\mathcal{N} \to \mathcal{K}[1]\)는 다음과 같이 구성된다. \[\delta = \pi \circ \text{d}_{\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{L}, \mathcal{M})}(s) = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s - \pi \circ s \circ \text{d}_\mathcal{N} = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s\] 끔찍한 표기에 대해서는 양해를 구한다. 어쨌든 우리의 상황에서 Differential Graded Algebra, Lemma 09P6에서 구성한 경계 사상 \(\delta\)는 \(\mathcal{O}\)-가군의 바탕 복합체에서 항별로 분할된 복합체의 짧은 완전열에 대해 Stacks project 전체에서 사용하는 통상적인 경계 사상과 일치한다. Derived Categories, Definition 014I를 보라.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(f : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형이라 하자. \(f\)의 원뿔은 다음과 같이 정의되는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(C(f)\)이다.

1. \(\mathcal{O}\)-가군의 바탕 복합체는 \(\mathcal{A}\)-가군 복합체의 사상 \(f : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)에 대응하는 원뿔이다. 즉 \(C(f)^n = \mathcal{L}^n \oplus \mathcal{K}^{n + 1}\) 및 미분은 \[d_{C(f)} = \left( \begin{matrix} \text{d}_\mathcal{L} & f \\ 0 & -\text{d}_\mathcal{K} \end{matrix} \right)\]

2. 곱셈 사상 \[C(f)^n \times \mathcal{A}^m \to C(f)^{n + m}\] 은 다음 두 곱셈 사상의 직합이다. \(\mathcal{L}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{L}^{n + m}\) 및 \(\mathcal{K}^{n + 1} \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{K}^{n + 1 + m}\).

이는 명백한 사상에서 유도되는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 표준 준동형 \(i : \mathcal{L} \to C(f)\) 및 \(p : C(f) \to \mathcal{K}[1]\)을 갖는다.

정의의 상황에서 다음 열은 \[0 \to \mathcal{L} \to C(f) \to \mathcal{K}[1] \to 0\] 허용 짧은 완전열임을 관찰하자.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 미분 등급 범주 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) 는 Differential Graded Algebra, Situation 09QJ에서 정식화한 공리 (C)를 만족한다.

증명

\(f : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형이라 하자. 위에서 허용 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{L} \to C(f) \to \mathcal{K}[1] \to 0\] 을 얻었다. 증명을 마치려면 이 열에 대응하는 경계 사상 \[\delta : \mathcal{K}[1] \to \mathcal{L}[1]\] 가 \(f[1]\)과 같음을 보여야 한다. 사상 \(s : \mathcal{K}[1] \to C(f)\)에 대해서는 차수 \(n\)에서 매입 \(\mathcal{K}^{n + 1} \to C(f)^n\)을 사용한다. 그러면 차수 \(n\)에서 \(\pi\)는 사영 \(C(f)^n \to \mathcal{L}^n\)으로 주어진다. 따라서 계산해야 할 것은 \[\delta = \pi \circ \text{d}_{C(f)} \circ s\] (위의 논의를 보라). 행렬 표기로 이는 다음과 같다. \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \text{d}_\mathcal{L} & f \\ 0 & -\text{d}_\mathcal{K} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = f\] 이고, 원하는 결과를 얻는다.

이제 Differential Graded Algebra, Section 09P5에서 증명한 모든 보조정리가 미분 등급 범주 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\)에도 성립함을 안다. 특히 다음을 얻는다.

명제

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 호모토피 범주 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)는 삼각 범주이며,

1. 이동 함자는 Section 0FRY에서 구성한 것이다.

2. 특별 삼각형은 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 안의 삼각형 중 다음 삼각형과 삼각형으로서 동형인 것들이다. \[\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \xrightarrow{\delta} \mathcal{K}[1],\quad\quad \delta = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s\] 이는 위의 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서의 허용 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to 0\)으로부터 구성된다.

증명

\(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) = K(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\), Section 0FRZ임을 상기하자. 그러므로 이 명제는 Lemmas 0FS4와 0FS6, 그리고 Differential Graded Algebra, Proposition 09QY에서 따른다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(C = C(\text{id}_\mathcal{A})\)를 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 사상으로 본 항등 사상 \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}\)의 원뿔이라 하자. 그러면 \[\Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})}(C, \mathcal{M}) = \{(x, y) \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}^0) \times \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}^{-1}) \mid x = \text{d}(y)\}\] 좌변에서 우변으로 가는 사상은 \(f\)를 다음 쌍 \((x,y)\)로 보낸다. \(x\)는 \(C^{-1} = \mathcal{A}^{-1} \oplus \mathcal{A}^0\)의 전역 단면 \((0,1)\)의 상이고, \(y\)는 \(C^0 = \mathcal{A}^0 \oplus \mathcal{A}^1\)의 전역 단면 \((1,0)\)의 상이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)는 그로텐디크 아벨 범주이다.

증명

Lemma 0FRJ과 그로텐디크 아벨 범주의 정의 (Injectives, Definition 079B)에 따르면 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)가 생성자를 갖는지만 보이면 충분하다. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대하여 Remark 0FS8와 같이 항등 사상 \(\mathcal{A}_U \to \mathcal{A}_U\)의 원뿔을 \(C_U\)로 나타내자. 다음이 생성자임을 주장한다. \[\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{k, U} j_{U!}C_U[k]\] 여기서 합은 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)와 \(k \in \mathbf{Z}\)에 걸친다. 실제로 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대해 \(\mathcal{G}\)에서 \(\mathcal{M}\)으로 가는 0이 아닌 사상이 없다면, 모든 \(k\)와 \(U\)에 대해 \[\begin{align*} \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(j_{U!}C_U[k], \mathcal{M}) \\ & = \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}_U)}(C_U[k], \mathcal{M}|_U) \\ & = \{(x, y) \in \mathcal{M}^{-k}(U) \times \mathcal{M}^{-k - 1}(U) \mid x = \text{d}(y)\} \end{align*}\] 가 0이다. 따라서 \(\mathcal{M}\)은 0이다.

평탄 해소

이 절은 Differential Graded Algebra, Section 09KK에 대응한다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{P}\)를 다음 조건을 만족하면 good이라고 부르자.

1. 함자 \(\mathcal{N} \mapsto \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 가 등급 왼쪽 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주에서 완전하다.

2. \(\mathcal{N}\)이 비순환 미분 등급 왼쪽 \(\mathcal{A}\)-가군이면 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)는 비순환이다.

3. 임의의 환 달린 토포스의 사상 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 과 임의의 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수 \(\mathcal{A}'\) 및 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 임의의 사상 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)가 주어졌을 때, 당김 \(f^*\mathcal{P}\)에 대해서도 (1)과 (2)가 성립한다. 이를 미분 등급 \(\mathcal{A}'\)-가군으로 보고 (Section 0FRT) 해석한다.

첫 번째 조건은 \(\mathcal{P}\)가 오른쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 평탄하다는 뜻이고, 두 번째 조건은 Spaltenstein의 의미에서 \(\mathcal{P}\)가 K-평탄하다는 뜻이다 (Cohomology on Sites, Section 06YL 참조). 세 번째 조건은 임의의 기저변경 뒤에도 이것이 성립한다는 뜻이다.

다소 놀랍게도 good 가군은 많이 존재한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. 그러면 \(j_!\mathcal{A}_U\)는 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다.

증명

\(\mathcal{N}\)을 왼쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. Lemma 0FRB에 의해 다음이 성립한다. \[j_!\mathcal{A}_U \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{A}_U \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U) = j_!(\mathcal{N}_U)\] 등급 가군으로서 성립한다. \(U\)로의 제한과 \(j_!\)가 모두 완전이므로 이는 조건 (1)을 증명한다. Lemma 0FRX를 사용하면 같은 논법으로 조건 (2)도 얻는다.

환 달린 토포스의 사상 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수 \(\mathcal{A}'\), 그리고 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)를 생각하자. 다음을 보여야 한다. \[f^*j_!\mathcal{A}_U = f^{-1}j_!\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}'\] 이 식이 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수의 층 \(\mathcal{A}'\)를 갖춘 환 달린 토포스 \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)에서 (1)과 (2)를 만족함을 보여야 한다. 이를 보이기 위해 다음을 동치인 환 달린 토포스로 바꾸어도 된다. \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)와 \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 동치인 환 달린 토포스로 바꾼다. 따라서 Modules on Sites, Lemma 03CR \(f\)가 연속 함자 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)에 의해 주어지는 사이트의 사상 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)에서 온다고 가정할 수 있다. 이 경우 \(U' = u(U)\)로 놓고, 이에 대응하는 국소화 사상 \(j' : \Sh(\mathcal{C}'/U') \to \Sh(\mathcal{C}')\)를 나타내자. 그러면 환 달린 토포스 사상들의 다음 가환 정사각형을 얻는다. \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'/U'), \mathcal{O}'_{U'}) \ar[rr]_{(j', (j')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[rr]^{(j, j^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}). }\] 그리고 \(f'_*(j')^{-1} = j^{-1}f_*\)가 성립한다. 이는 Modules on Sites, Lemma 04J0. 수반의 유일성에 의해 \(f^{-1}j_! = j'_!(f')^{-1}\)을 얻는다. 따라서 다음을 얻는다. \[\begin{align*} f^*j_!\mathcal{A}_U & = f^{-1}j_!\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}' \\ & = j'_!(f')^{-1}\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}' \\ & = j'_!\left( (f')^{-1}\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}|_{U'}} \mathcal{A}'|_{U'}\right) \\ & = j'_!\mathcal{A}'_{U'} \end{align*}\] 첫 번째 식은 \(j_!\mathcal{A}_U\)를 \(\mathcal{A}'\) 위의 미분 등급 가군으로 당기는 것의 정의이다. 두 번째 식은 \(f^{-1}j_! = j'_!(f')^{-1}\)이기 때문이다. 세 번째 식은 환 달린 사이트 \((\mathcal{C}', f^{-1}\mathcal{O})\)에 미분 등급 대수의 층 \(f^{-1}\mathcal{A}\)를 주고, \(\mathcal{C}'/U'\) 위의 미분 등급 가군 \((f')^{-1}\mathcal{A}_U\)와 \(\mathcal{C}'\) 위의 \(\mathcal{A}'\)에 적용한 Lemma 0FRX에 의한 것이다. 네 번째 식은 물론 \((f')^{-1}\mathcal{A}_U = f^{-1}\mathcal{A}|_{U'}\)이기 때문이다. 따라서 당김도 같은 종류의 가군이며, 위에서 그 가군에 대해 조건 (1)과 (2)를 증명했다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 다음을 생각하자. \(0 \to \mathcal{P} \to \mathcal{P}' \to \mathcal{P}'' \to 0\) 이것이 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 허용 짧은 완전열이라고 하자. 이 가군들 중 셋 가운데 둘이 good이면 나머지 하나도 good이다.

증명

조건 (1)은 이 열이 등급 수준에서 직합이므로 즉시 성립한다. 조건 (2)를 위해 임의의 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군에 대해 다음 열을 생각하자. \[0 \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to 0\] 이는 미분을 잊으면 텐서곱이 등급 가군의 범주에서 취해진다는 점에 의해 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 허용 짧은 완전열이다. 따라서 셋 가운데 둘이 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로서 완전하면 나머지 하나도 그러하다. 마지막으로 같은 논법에 의해 환 달린 토포스의 사상 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 과 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수 \(\mathcal{A}'\), 그리고 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)가 주어지면 다음이 성립한다. \[0 \to f^*\mathcal{P} \to f^*\mathcal{P}' \to f^*\mathcal{P}'' \to 0\] 이는 미분 등급 \(\mathcal{A}'\)-가군의 허용 짧은 완전열이며, 위와 같은 논법을 적용할 수 있다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 임의의 직합은 good이다. 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 여과 여극한도 good이다.

증명

생략한다. 힌트: 직합과 여과 여극한은 텐서곱 및 당김과 가환한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 다음 성질을 갖는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)이 존재한다.

1. \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)은 전사이다.

2. \(\Ker(\text{d}_\mathcal{P}) \to \Ker(\text{d}_\mathcal{M})\) 은 전사이고,

3. \(\mathcal{P}\)는 good이다.

증명

\((U,k,x)\)인 세 쌍을 생각하자. 여기서 \(U\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상이고, \(k \in \mathbf{Z}\)이며, \(x\)는 \(\text{d}_\mathcal{M}(x)=0\)을 만족하는 \(U\) 위의 \(\mathcal{M}^k\)의 단면이다. 그러면 \(1\)을 \(x\)로 보내는 미분 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군의 유일한 사상 \(\varphi_x : \mathcal{A}_U[-k] \to \mathcal{M}|_U\)를 얻는다. 이는 다음 사상에 수반된다. \(\psi_x : j_{U!}\mathcal{A}_U[-k] \to \mathcal{M}\). \(1 \in \mathcal{A}_U(U)\)는 미분이 0이고 \(\psi_x\)에 의해 \(x\)로 보내지는, 차수 \(k\)의 단면 \(1 \in j_{U!}\mathcal{A}_U[-k](U)\)에 대응함에 주의하자. 따라서 다음 사상을 생각하면 \[\bigoplus\nolimits_{(U, k, x)} j_{U!}\mathcal{A}_U[-k] \longrightarrow \mathcal{M}\] 조건 (2)와 (3)을 얻는다. 즉 대상 \(j_{U!}\mathcal{A}_U[-k]\)는 good이다 (Lemma 0FSB). 또한 good 대상의 직합은 good이다 (Lemma 0FSD).

다음으로 \(U\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이고 \(k\in\mathbf{Z}\)이며 \(x\)가 \(\mathcal{M}^k\)의 단면인 세 쌍 \((U,k,x)\)를 생각하자 (미분에 의해 소멸할 필요는 없다). Remark 0FS8와 같이 항등 사상 \(\mathcal{A}_U \to \mathcal{A}_U\)의 원뿔 \(C_U\)를 생각할 수 있다. 원소 \(x\)는 다음 사상을 정한다. \(\varphi_x : C_U[-k - 1] \to \mathcal{A}_U\).

Remark 0FS8를 보라. 이제 다음 허용 짧은 완전열이 있으므로 \[0 \to \mathcal{A}_U \to C_U \to \mathcal{A}_U[1] \to 0\] Lemma 0FSC와 이미 사용한 Lemma 0FSB에 의해 \(j_{U!}C_U\)가 good 가군임을 얻는다. 앞과 같이 \(\varphi_x\)에 수반되는 사상 \(\psi_x : j_{U!}C_U \to \mathcal{M}\)들의 직합 \[\bigoplus\nolimits_{(U, k, x)} j_{U!}C_U \longrightarrow \mathcal{M}\] 은 전사이다. 첫 번째 문단에서 얻은 사상과 직합하면 결론을 얻는다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 등급 집합의 층이란 다음 사상을 갖춘 집합의 층 \(\mathcal{S}\)를 말한다. \(\deg : \mathcal{S} \to \underline{\mathbf{Z}}\) 집합의 층의 사상이다. 등급 집합의 층 \(\mathcal{S}\) 위의 자유 \(\mathcal{O}\)-가군인 등급 \(\mathcal{O}\)-가군을 \(\mathcal{O}[\mathcal{S}]\)로 나타내자. 더 정확히 말해 \(\mathcal{O}[\mathcal{S}]\)의 \(n\)번째 등급 부분은 다음 규칙의 층화이다. \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U),\ \deg(s) = n} s \cdot \mathcal{O}(U)\] 미분을 0으로 두면 이를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로도 생각할 수 있다. \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이라 하자. 마찬가지로 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\)를 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 정의하자. 그 \(n\)번째 등급 부분은 다음 규칙의 층화이다. \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U)} s \cdot \mathcal{A}^{n - \deg(s)}(U)\] \(\mathcal{A}\)가 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이면, 모든 \(s \in \mathcal{S}(U)\)에 대해 \(\text{d}(s)=0\)으로 두고 층화하여 이를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로 만든다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-대수라 하자. \(\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 등급 집합의 층이라 하자. 그러면 Remark 0FSF에서와 같이 미분을 부여한 \(\mathcal{S}\) 위의 자유 등급 가군 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\)는 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다.

증명

\(\mathcal{N}\)을 왼쪽 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 \[\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = \mathcal{O}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N} = \mathcal{N}[\mathcal{S}]\] 여기서 \(\mathcal{N}[\mathcal{S}\)는 차수 \(n\) 부분이 다음 준층에 대응하는 층인 등급 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

\[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U)} s \cdot \mathcal{N}^{n - \deg(s)}(U)\] \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}[\mathcal{S}]\)가 완전 함자임은 명백하므로 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}\)는 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 평탄하다. 이제 \(\mathcal{N}\)이 미분 등급 왼쪽 \(\mathcal{A}\)-가군이라고 하자. 그러면

\[H^*(\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) = H^*(\mathcal{O}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N})\] 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 층으로서 성립하며, 이는 (\(\mathcal{O})\) 위의 평탄성에 의해 다음과 같다.

\[H^*(\mathcal{N})[\mathcal{S}]\] 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로서 성립한다. 따라서 \(\mathcal{N}\)이 비순환이면 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)도 비순환이다.

마지막으로 다음 사상을 생각하자. \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 환 달린 토포스의 사상, 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수 \(\mathcal{A}'\), 그리고 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)에 대해 다음이 자명하게 성립한다. \[f^*\mathcal{A}[\mathcal{S}] = \mathcal{A}'[f^{-1}\mathcal{S}]\] 이로써 이 가군이 good임이 증명된다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 다음 성질을 갖는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)이 존재한다.

1. \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)은 유사동형이다.

2. \(\mathcal{P}\)는 good이다.

증명

\(\mathcal{S}_0\)를 (Remark 0FSF)에서와 같이 차수 \(n\) 부분이 \(\Ker(\text{d}_\mathcal{M}^n)\)인 등급 집합의 층이라 하자. 다음 미분 등급 가군의 준동형을 생각하자. \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{S}_0] \longrightarrow \mathcal{M}\] 좌변은 Remark 0FSF에서와 같고, 이 사상은 \(\mathcal{S}_0\)의 국소 단면 \(s\)를 이에 대응하는 \(\mathcal{M}^{\deg(s)}\)의 국소 단면으로 보낸다. 이는 미분의 핵에 있으므로 실제로 미분 등급 가군의 사상이다. 구성에 의해 코호몰로지 층 사이의 사상 \(H^n(\mathcal{P}_0) \to H^n(\mathcal{M})\)은 전사이다. 다음 사상들을 귀납적으로 구성하자. \[\mathcal{P}_0 \to \mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_2 \to \ldots \to \mathcal{M}\] 분명히 모든 \(i\)에 대해 \(H^*(\mathcal{P}_i) \to H^*(\mathcal{M})\)은 전사이다. \(\mathcal{P}_i \to \mathcal{M}\)이 주어졌다고 하자. 차수 \(n\) 부분이 다음인 등급 집합의 층을 \(\mathcal{S}_{i+1}\)로 나타내자. \[\Ker(\text{d}_{\mathcal{P}_i}^{n + 1}) \times_{\mathcal{M}^{n + 1}, \text{d}} \mathcal{M}^n\] 그리고 \[\mathcal{P}_{i + 1} = \mathcal{P}_i \oplus \mathcal{A}[\mathcal{S}_{i + 1}]\] 를 미분과 \(\mathcal{M}\)으로의 사상을 다음과 같이 정의한 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 둔다.

1. \(\mathcal{P}_i\)의 국소 단면에는 \(\mathcal{P}_i\)의 미분과 \(\mathcal{M}\)으로의 주어진 사상을 사용한다.

2. \(\mathcal{S}_{i+1}\)의 국소 단면 \(s=(p,m)\)에 대해 \(\text{d}(s)\)는 차수 \(\deg(s)+1\)인 \(\mathcal{P}_i\)의 단면으로 본 \(p\)로 정하고, \(s\)를 \(\mathcal{M}\)의 \(m\)으로 보낸다.

3. 라이프니츠 법칙이 성립하도록 미분을 유일하게 확장한다.

이는 \(\text{d}(m)\)이 \(p\)의 상이고 \(\text{d}(p)=0\)이므로 타당하다. 마지막으로 유도된 \(\mathcal{M}\)으로의 사상과 함께 \(\mathcal{P}=\colim \mathcal{P}_i\)로 둔다.

사상 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)은 유사동형이다. \(H^n(\mathcal{P})=\colim H^n(\mathcal{P}_i)\)이고, 각 \(i\)에 대해 \(H^n(\mathcal{P}_i) \to H^n(\mathcal{M})\)은 전사이며 그 핵은 구성에 의해 \(H^n(\mathcal{P}_i) \to H^n(\mathcal{P}_{i+1})\)에 의해 소멸한다. 각 \(\mathcal{P}_i\)는 good이다. 왜냐하면 \(\mathcal{P}_0\)는 Lemma 0FSG에 의해 good이고, 각 \(\mathcal{P}_{i+1}\)은 다음 허용 짧은 완전열의 가운데 항이기 때문이다. \(0 \to \mathcal{P}_i \to \mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{A}[\mathcal{S}_{i + 1}] \to 0\) 양 끝 항은 귀납 가정에 의해 good이다. 따라서 \(\mathcal{P}_{i+1}\)은 Lemma 0FSC에 의해 good이다. 마지막으로 Lemma 0FSD에 의해 \(\mathcal{P}\)도 good임을 얻는다.

증명

이 증명을 읽기 전에 Differential Graded Algebra, Lemma 09KP의 증명을 읽기를 권한다. \(\mathcal{M}=\mathcal{M}_0\)로 둔다. 다음 짧은 완전열을 귀납적으로 택한다. \[0 \to \mathcal{M}_{i + 1} \to \mathcal{P}_i \to \mathcal{M}_i \to 0\] 여기서 \(\mathcal{P}_i \to \mathcal{M}_i\)는 Lemma 0FSE에서와 같이 택한다. 그러면 다음 ‘해소’를 얻는다. \[\ldots \to \mathcal{P}_2 \xrightarrow{f_2} \mathcal{P}_1 \xrightarrow{f_1} \mathcal{P}_0 \to \mathcal{M} \to 0\] 이제 \(\mathcal{P}\)를 다음과 같이 정의한 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 둔다.

1. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 다음과 같이 둔다. \(\mathcal{P} = \bigoplus_{a \leq 0} \mathcal{P}_{-a}[-a]\), 즉 차수 \(n\) 부분은 다음과 같다. \(\mathcal{P}^n = \bigoplus\nolimits_{a + b = n} \mathcal{P}_{-a}^b\),

2. \(\mathcal{P}\)의 미분은 다음 식으로 주어지는 이중 복합체에 대응하는 전체 복합체의 구성에서와 같다. \[\text{d}_\mathcal{P}(x) = f_{-a}(x) + (-1)^a \text{d}_{\mathcal{P}_{-a}}(x)\] 여기서 \(x\)는 \(\mathcal{P}_{-a}^b\)의 국소 단면이다.

이러한 약속 아래 \(\mathcal{P}\)는 실제로 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다. 세부사항은 생략한다. \(a<0\)인 합성분 \(\mathcal{P}_{-a}[-a]\)에서는 0이고 \(a=0\)인 합성분에서는 주어진 \(\mathcal{P}_0\to\mathcal{M}\)인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)이 있다. 다음을 주목하자. \[\mathcal{P} = \colim_i F_i\mathcal{P}\] 여기서 \(F_i\mathcal{P}\subset\mathcal{P}\)는 바탕 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이 다음인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군이다. \[F_i\mathcal{P} = \bigoplus\nolimits_{i \geq -a \geq 0} \mathcal{P}_{-a}[-a]\] 다음 사상들이 \[0 \to F_1\mathcal{P} \to F_2\mathcal{P} \to F_3\mathcal{P} \to \ldots \to \mathcal{P}\] 모두 허용 단사사상이고 다음 허용 짧은 완전열을 갖는다는 것은 자명하다. \[0 \to F_i\mathcal{P} \to F_{i + 1}\mathcal{P} \to \mathcal{P}_{i + 1}[i + 1] \to 0\] 귀납과 Lemma 0FSC에 의해 \(F_i\mathcal{P}\)가 good 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군임을 얻는다. \(\mathcal{P}=\colim F_i\mathcal{P}\)이므로 Lemma 0FSD에 의해 \(\mathcal{P}\)는 good이다.

마지막으로 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)이 유사동형임을 보여야 한다. \(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 가지면, 이는 stalk에서 확인하여 초등적인 Homology, Lemma 09IZ에서 따른다. 일반적으로는 다음과 같이 논할 수 있다 (이 증명은 매우 길다 — 초등적 증명처럼 국소 단면으로 작업하는 다른 논법도 있지만 역시 상당히 길다). 아벨 층의 범주에서 여과 여극한은 완전하므로 다음을 얻는다. \[H^d(\mathcal{P}) = \colim H^d(F_i\mathcal{P})\] 각 \(i\geq0\)와 \(d\in\mathbf{Z}\)에 대해 (a) 다음 짧은 완전열과 \[0 \to H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M}) \to 0\] 두 번째 사상은 \(F_i\mathcal{P}\to\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)에서 오는 것이며, (b) 다음 합성이 \[H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(F_{i + 1}\mathcal{P})\] 0이다. 이 주장이 증명을 끝내기에 충분함은 자명하다.

주장의 증명. 모든 \(i\geq0\)에 대해 \(\mathcal{M}_{i+1}[i]\to F_i\mathcal{P}\)인 사상이 있다. 이는 \(\mathcal{M}_{i+1}\)을 \(f_i\)의 핵으로서 \(\mathcal{P}_i\)에 포함시키는 것에서 온다. \(C_i\)를 정의하는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 다음 짧은 완전열을 생각하자. \[0 \to \mathcal{M}_{i + 1}[i] \to F_i\mathcal{P} \to C_i \to 0\] \(C_0=\mathcal{M}_0=\mathcal{M}\)임을 주목하자. 또한 \(C_i\)는 다음 열을 갖는 이중 복합체 \(C_i^{\bullet,\bullet}\)에 대응하는 전체 복합체이다. \[\mathcal{M}_i = \mathcal{P}_i/\mathcal{M}_{i + 1}, \mathcal{P}_{i - 1}, \ldots, \mathcal{P}_0\] 차수 \(-i,-i+1,\ldots,0\)에 놓인다. 이중 복합체의 사상 \(C_i^{\bullet,\bullet}\to C_{i-1}^{\bullet,\bullet}\)이 있는데, 차수 \(-i\)의 열에서는 \(0\)이고, 차수 \(-i+1\)에서는 전사 \(\mathcal{P}_{i-1}\to\mathcal{M}_{i-1}\)이며, 다른 열에서는 항등이다. 따라서 복합체의 사상 \[C_i \longrightarrow C_{i - 1}\] 이 사상들은 전사 유사동형이다. 핵이 차수 \(-i,-i+1\)에 \(\mathcal{M}_i,\mathcal{M}_i\)를 열로 갖고 이 두 열 사이의 사상이 항등인 이중 복합체의 전체 복합체이기 때문이다. 그 결과 얻는 다음 식별을 사용하면 \(H^d(C_i) = H^d(C_{i - 1} = \ldots = H^d(\mathcal{M})\) 이미 다음 긴 완전열을 얻는다.

\[H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M}) \to H^{d + 1}(\mathcal{M}_{i + 1}[i])\] 이는 위의 복합체의 짧은 완전열에서 따른다. 그러나 다음 가환 도표도 갖는다. \[\xymatrix{ \mathcal{M}_{i + 2}[i + 1] \ar[r]_a & T_{i + 1} \ar[r] & F_{i + 1}\mathcal{P} \ar[r] & C_{i + 1} \ar[d] \\ & \mathcal{M}_{i + 1}[i] \ar[r] \ar[u]^b & F_i\mathcal{P} \ar[u] \ar[r] & C_i }\] \(T_{i+1}\)은 차수 \(-i-1\)과 \(-i\)에 각각 \(\mathcal{P}_{i+1},\mathcal{M}_{i+1}\)을 열로 놓은 이중 복합체의 전체 복합체이다. 즉 \(T_{i+1}\)은 사상 \(\mathcal{P}_{i+1}\to\mathcal{M}_{i+1}\)의 원뿔의 이동이며, \(a\)는 유사동형이고 \(a^{-1}\circ b\)는 다음 짧은 완전열에 대응하는 \(D(\mathcal{O})\)의 특별 삼각형에서 세 번째 사상의 이동임을 얻는다. \[0 \to \mathcal{M}_{i + 2} \to \mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{M}_{i + 1} \to 0\] 사상 \(H^d(\mathcal{P}_{i+1})\to H^d(\mathcal{M}_{i+1})\)은 다음 사상이 전사하도록 사상들을 택했으므로 전사이다. \(\Ker(\text{d}_{\mathcal{P}_{i + 1}}) \to \Ker(\text{d}_{\mathcal{M}_{i + 1}})\)는 전사이다. 따라서 \(a^{-1}\circ b\)는 코호몰로지 층에서 0이다. 이로써 주장의 (b)가 증명된다. \(T_{i+1}\)은 전사 복합체 사상 \(F_{i+1}\mathcal{P}\to C_i\)의 핵이므로 긴 완전 코호몰로지 열의 사상을 얻는다. \[\xymatrix{ H^d(T_{i + 1}) \ar[r] & H^d(F_{i + 1}\mathcal{P}) \ar[r] & H^d(\mathcal{M}) \ar[r] & H^{d + 1}(T_{i + 1}) \\ H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \ar[r] \ar[u] & H^d(F_i\mathcal{P}) \ar[r] \ar[u] & H^d(\mathcal{M}) \ar[r] \ar[u] & H^{d + 1}(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \ar[u] }\] 위의 논의에 의해 양 끝의 세로 사상은 0이다. 따라서 \(H^d(F_{i+1}\mathcal{P})\to H^d(\mathcal{M})\)은 전사이고 주장의 (a)가 따른다. 더 정확히는 \(i>0\)일 때 주장이 성립하며, \(i=0\)인 경우는 독자에게 맡긴다(실제로 보조정리를 얻기 위해서는 모든 \(i\gg0\)에 대해 주장만 증명하면 충분하다).

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 good 비순환 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자.

1. 임의의 미분 등급 왼쪽 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)에 대해 텐서곱 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)은 비순환이다.

2. 임의의 사상 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 인 환 달린 토포스의 사상, 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수 \(\mathcal{A}'\), 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)에 대해 당김 \(f^*\mathcal{P}\)는 비순환이고 good이다.

증명

(1)의 증명. Lemma 0FSH에 의해 good 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{Q}\)와 유사동형 \(\mathcal{Q}\to\mathcal{N}\)을 택할 수 있다. 그러면 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q}\) 는 \(\mathcal{Q}\)가 good이므로 비순환이다. \(\mathcal{N}'\)을 사상 \(\mathcal{Q}\to\mathcal{N}\)의 원뿔이라 하자. 그러면 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}'\)는 \(\mathcal{P}\)가 good이고 \(\mathcal{N}'\)가 비순환 (유사동형의 원뿔)이므로 비순환이다. 다음 특별 삼각형을 갖는다. \[\mathcal{Q} \to \mathcal{N} \to \mathcal{N}' \to \mathcal{Q}[1]\] 이는 삼각 구조의 구성에 의해 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 안에 있다. \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}-\)가 특별 삼각형을 특별 삼각형으로 보내므로 다음 특별 삼각형을 얻는다. \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}' \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q}[1]\] 이는 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) 안에 있다. 따라서 결론을 얻는다.

(2)의 증명. good 가군의 정의에 의해 \(f^*\mathcal{P}\)가 good임을 주목하자. 다음을 상기하자. \(f^*\mathcal{P} = f^{-1}\mathcal{P} \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}'\). 그러면 \(f^{-1}\)이 완전이므로 \(f^{-1}\mathcal{P}\)는 good 비순환 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{A}\)-가군이다. 따라서 (1)에 의해 \(f^*\mathcal{P}\)가 비순환임을 얻는다.

등급 가군의 미분 등급 포락

등급 가군 \(\mathcal{N}\)의 미분 등급 포락은 다음 보조정리의 함자 \(G\)를 적용한 결과이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 망각 함자 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) 는 왼쪽 수반 \(G : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\).

증명

\(G\)의 존재를 증명하기 위해 수반 함자 정리를 사용할 수 있다. Categories, Theorem 0AHQ를 보라 (여기서는 \(F\)와 \(G\)의 역할을 바꾸었다). \(F\)의 완전성 조건은 Lemma 0FRJ에 의해 성립한다. 집합론적 조건은 다음과 같이 볼 수 있다. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)이 주어졌다고 하자. 임의의 사상 \[\varphi : \mathcal{N} \longrightarrow F(\mathcal{M})\] 에 대해 \(\Im(\varphi)\subset F(\mathcal{M}')\)를 만족하는 가장 작은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군 \(\mathcal{M}'\subset\mathcal{M}\)을 생각할 수 있다. \(\mathcal{M}'\)가 다음 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사상의 상임은 자명하다. \[\mathcal{N} \oplus \mathcal{N}[-1] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{M}\] 이 사상은 다음과 같이 정의된다. \[(n, \sum n_i \otimes a_i) \longmapsto \varphi(n) + \sum \text{d}(\varphi(n_i)) a_i\] 이 사상의 상은 미분 등급 \(\mathcal{M}\)-부분가군임을 쉽게 알 수 있기 때문이다. 따라서 이러한 \(\mathcal{M}'\)의 가능한 동형류의 수는 유계이고, 결론을 얻는다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위에서 \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하고 다음과 같은 짧은 완전열이 주어졌다고 하자. \[0 \to \mathcal{N} \to F(\mathcal{M}) \to \mathcal{N}' \to 0\] 이 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 안에 있다. 그러면 다음과 같은 표준 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 준동형을 얻는다. \[\overline{\text{d}} : \mathcal{N} \to \mathcal{N}'[1]\] 다음과 같이 정의한다. \(\mathcal{N}\)의 국소 단면 \(x\)가 주어지면,

\(x\)를 \(\mathcal{M}\)의 국소 단면으로 보았을 때의 \(\text{d}_\mathcal{M}(x)\)를 \(\mathcal{N}'\)로 보내 얻는 상을 \(\overline{\text{d}}(x)\)라 하자.

보조정리

Lemma 0FSK의 함자 \(F, G\)는 다음 성질을 갖는다. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)이 주어지면

1. 코단위 \(\mathcal{N} \to F(G(\mathcal{N}))\)는 단사이고,

2. 사상 \(\overline{\text{d}} : \mathcal{N} \to \Coker(\mathcal{N} \to F(G(\mathcal{N})))[1]\)는 동형이고,

3. \(G(\mathcal{N})\)은 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다.

증명

성질 (3)은 성질 (1)과 (2)의 결과임을 관찰하자. 실제로 \(\text{d}(s) = 0\)인 \(F(G(\mathcal{N}))\)의 0이 아닌 국소 단면 \(s\)를 생각하면, \(s\)는 \(\mathcal{N} \to F(G(\mathcal{N}))\)의 상에 있을 수 없다. 따라서 cokernel에서 \(s\)의 상 \(\overline{s}\)를 어떤 \(\mathcal{N}\)의 국소 단면 \(s'\)에 대해 \(\overline{\text{d}}(s')\)로 쓸 수 있다. 그러면 \(s = \text{d}(s')\)임을 알 수 있다. \(s - \text{d}(s')\)가 여전히 \(\text{d}\)의 핵에 있고 코단위의 상에 포함되기 때문이다.

잠시 \(\mathcal{A}_{gr}\) 및 \(\mathcal{A}_{dg}\)를 각각 층 \(\mathcal{A}\)를 자기 자신 위의 (오른쪽) 등급 가군으로 본 것, 및 자기 자신 위의 (오른쪽) 미분 등급 가군으로 본 것으로 쓰자. 이 보조정리에서 가장 중요한 경우는 \(G(\mathcal{A}_{gr})\)가 무엇인지 이해하는 것이다. 물론 \(G(\mathcal{A}_{gr})\)는 다음 함자를 나타내는 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 대상이다. \[\mathcal{M} \longmapsto \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(\mathcal{A}_{gr}, F(\mathcal{M})) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M})\] 비고 0FS8에 의해 이 함자는

\(\mathcal{A}_{dg}\)의 항등사상 위의 원뿔인 \(C\)에 대해 \(C[-1]\)이 나타냄을 알 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{A}_{dg}[-1] \to C[-1] \to \mathcal{A}_{dg} \to 0\] 이는 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 안에서 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)의 코단위 \(\mathcal{A}_{gr} \to F(C[-1])\)에 의해 분할된다. 따라서 \(G(\mathcal{A}_{gr})\)는 성질 (1)과 (2)를 만족한다.

\(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 국소화 사상을 \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\)로 쓰자. \(\mathcal{A}_U\)를 \(U\) 위로 제한한 \(\mathcal{A}\)라 하자. \(\mathcal{A}_U\)를 등급 \(\mathcal{A}_U\)-가군으로 본 것을 \(\mathcal{A}_{U, gr}\)로 나타내겠다. 망각 함자 \(F_U : \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A}_U)\)를 쓰고 그 수반을 \(G_U\)로 쓰자. 그러면 다음 가환 도식을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[d]_{j_U^*} \ar[r]_F & \textit{Mod}(\mathcal{A}) \ar[d]^{j_U^*} \\ \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \ar[r]^{F_U} & \textit{Mod}(\mathcal{A}_U) } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \ar[r]_{F_U} \ar[d]_{j_{U!}} & \textit{Mod}(\mathcal{A}_U) \ar[d]^{j_{U!}} \\ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[r]^F & \textit{Mod}(\mathcal{A}) } }\] 이는 Sections 0FR7, 0FRT, 0FR9, 0FRV에서

\(j^*_U\)와 \(j_{U!}\)를 구성한 것에 따른 것이다. 수반의 유일성에 의해 \(j_{U!} \circ G_U = G \circ j_{U!}\)를 얻는다. \(j_{U!}\)가 완전 함자이므로, 앞 부분의 증명에서 본 코단위 \(\mathcal{A}_{U, gr} \to F_U(G_U(\mathcal{A}_{U, gr}))\) 에 대한 성질 (1), (2)가 다음 코단위에 대한 성질 (1), (2)를 함의함을 알 수 있다. \(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr} \to F(G(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr})) = j_{U!}F_U(G_U(\mathcal{A}_{U, gr}))\).

Lemma 0FRD의 증명에서 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)의 임의의 대상은 \(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr}\)의 복사본들의 직합의 몫임을 보았다. \(G\)는 왼쪽 수반이므로 \(G\)가 직합과 가환한다. 따라서 성질 (1), (2)는 그 성질을 만족하는 대상들의 직합에 대해서도 성립한다. 그러므로 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)의 모든 대상 \(\mathcal{N}\)은 다음 완전열에 들어간다. \[\mathcal{N}_1 \to \mathcal{N}_0 \to \mathcal{N} \to 0\] 여기서 \(\mathcal{N}_1\)과 \(\mathcal{N}_0\)에 대해 성질 (1), (2)가 성립한다. \(G\)가 오른쪽 완전임을 사용하여 \(\mathcal{N}\)에 대한 성질 (1), (2)를 도출하는 것은 독자에게 맡긴다.

K-단사 미분 등급 가군

이 절은 미분 등급 대수의 층 위 미분 등급 가군의 층이라는 설정에서 Injectives, Section 079I의 유사물이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 등급 대수의 층이라 하자. 집합 \(T\)가 존재하여 각 \(t \in T\)에 대해 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 단사 사상 \(\mathcal{N}_t \to \mathcal{N}'_t\)가 주어진다고 하자. 그러면 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)의 대상 \(\mathcal{I}\)가 단사인 것은 모든 다음 가환 도식에 대해 \[\xymatrix{ \mathcal{N}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{N}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 도식을 가환하게 만드는 점선 화살표가 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에 존재하는 것과 동치이다.

증명

이는 임의의 그로텐디크 아벨 범주에서 성립한다. Injectives, Lemma 079G를 보라. Lemma 0FRD에 의해 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)는 그로텐디크 아벨 범주이다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군

\(\mathcal{I}\)를 등급 단사²라고 하는 것은 \(\mathcal{M}\)을 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로

보았을 때 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서 단사 대상인 경우이다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{I}\)를 등급 단사 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. \[0 \to \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3 \to 0\] 가 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 짧은 완전열이라고 하자. \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이므로 다음 복합체의 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I}) \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I}) \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I}) \to 0\] 이는 \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\)-가군의 짧은 완전열이다. 코호몰로지를 취하면 다음 긴 완전열을 얻는다. \[\xymatrix{ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I}) \ar[d] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I})[1] \ar[d] \\ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I}) \ar[d] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I})[1] \ar[d] \\ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I}) \ar[ruu] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I})[1] }\] 호모토피 범주에서의 준동형 군들의 긴 완전열이다. 중요한 점은 우리의 짧은 완전열이 허용된다고 가정하지 않았음에도 이를 얻는다는 것이다 (따라서 일반적으로 이 짧은 완전열은 호모토피 범주에서 특별 삼각형을 정의하지 않는다).

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(T\)를 집합이라 하고 각 \(t \in T\)에 대해 \(\mathcal{I}_t\)를 등급 단사 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 \(\prod \mathcal{I}_t\)는 등급 단사 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다.

증명

이는 단사 대상들의 곱이 단사이기 때문이다. Homology, Lemma 0137를 보라. 또한 망각 함자를 통해 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서의 곱은 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)에서의 곱과 양립한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 집합 \(T\)가 존재하여 각 \(t \in T\)에 대해 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사이의 단사 사상 \(\mathcal{M}_t \to \mathcal{M}'_t\)가 주어진다고 하자. 그러면 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 대상 \(\mathcal{I}\)에 대해 다음 조건들이 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이다.

2. 모든 다음 가환 도식에 대해 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 도식을 가환하게 만드는 점선 화살표가 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 존재한다.

증명

Lemma 0FSN에서와 같이 \(T\)와 \(\mathcal{N}_t \to \mathcal{N}'_t\)를 택하자. 망각 함자를 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) 로 쓰자. Lemma 0FSK에서처럼 \(G\)를 \(F\)의 왼쪽 수반 함자라 하자. 다음과 같이 두자. \[\mathcal{M}_t = G(\mathcal{N}_t) \to G(\mathcal{N}'_t) = \mathcal{M}'_t\] 이는 Lemma 0FSL에 의해 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사이의 단사 사상이다. \(G\)가 \(F\)의 왼쪽 수반이므로 다음 도식에 점선 화살표가 존재하는 것은 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 다음 도식에 점선 화살표가 존재하는 것과 동치이다. \[\xymatrix{ \mathcal{N}_t \ar[r] \ar[d] & F(\mathcal{I}) \\ \mathcal{N}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 따라서 \(\mathcal{N}_t \to \mathcal{N}_t'\) 사상들의 모음을

선택한 것으로부터 결과가 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자.

집합 \(S\)가 존재하여 각 \(s\) 에 대해 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}_s\)가 주어진다고 하자. 그러면 모든 0이 아닌 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대해 어떤 \(s \in S\)와 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서의 단사 사상 \(\mathcal{M}_s \to \mathcal{M}\)이 존재한다.

증명

시작하기 전에 우리의 관례에 의해 사이트 \(\mathcal{C}\)가 대상과 사상의 집합 및 피복들의 집합 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)를 갖는다는 것을 상기하자. \(\mathcal{F}\)가 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이면 \(|\mathcal{F}|\)를 다음 집합의 기수의 합으로 정의하자. \[\coprod\nolimits_{(U, n)} \mathcal{F}^n(U)\] \(U\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상을, \(n \in \mathbf{Z}\)를 모두 돌며 취한다. 기수 \(|\Ob(\mathcal{C})|\), \(|\text{Arrows}(\mathcal{C})|\), \(|\text{Cov}(\mathcal{C})|\), \(\sup |I|\)에 대해 \(\{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)인 경우, 그리고 \(|\mathcal{A}|\)보다 큰 무한 기수 \(\kappa\)를 택하자.

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 포함 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{M}\)를 생각하자. 집합 \(K\)와 각 \(k \in K\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U_k\), 정수 \(n_k\), 단면 \(x_k \in \mathcal{M}^{n_k}(U_k)\)로 이루어진 삼중항 \((U_k, n_k, x_k)\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)와 \(k \in K\)에 대한 단면 \(x_k\)들을 포함하는 가장 작은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{M}\)을 생각할 수 있다. 다음을 통해 \[(\mathcal{F}')^n(U) \subset \mathcal{M}^n(U)\] 기술할 수 있다. 즉 이는 다음 조건을 만족하는 \(x \in \mathcal{M}^n(U)\)들의 집합이다. 어떤 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)가 존재하여 각 \(i \in I\)에 대해 유한 집합 \(T_i\)와 사상 \(g_t : U_i \to U_{k_t}\)가 존재하고 \[f_i^*x = y_i + \sum\nolimits_{t \in T_i} a_{it}g_t^*x_{k_t} + b_{it}g_t^*\text{d}(x_{k_t})\] 어떤 \(y_i \in \mathcal{F}^n(U)\)와 \(a_{it} \in \mathcal{A}^{n - n_{k_t}}(U_i)\), \(b_{it} \in \mathcal{A}^{n - n_{k_t} - 1}(U_i)\)가 존재한다. (자세한 내용은 생략한다. 힌트: 이 단면들이 확실히 \(\mathcal{F}'\)에 속함을 보이고, 역으로 이 규칙이 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군을 정의함을 보이면 된다.) 이 기술로부터 \(|\mathcal{F}'| \leq \max(|\mathcal{F}|, |K|, \kappa)\).

\(\mathcal{M}\)을 0이 아닌 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 어떤 정수 \(n\)과 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에서의 \(\mathcal{M}^n\)의 0이 아닌 단면 \(x\)를 찾을 수 있다. 다음을 두자. \[\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{M}\] 를 \(x\)를 포함하는 가장 작은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군이라 하자. 앞 문단에 의해 \(|\mathcal{F}_0| \leq \kappa\). 귀납적으로 다음과 같이 하자. \(\mathcal{F}_0, \ldots, \mathcal{F}_n\)가 주어졌다고 하자. 다음과 같이 \(\mathcal{F}_{n + 1}\)을 정의한다. 다음 집합을 생각하자. \[L = \{(U, n, x)\} \{U_i \to U\}_{i \in I}, (x_i)_{i \in I})\}\]

이는 \(U\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이고 \(n \in \mathbf{Z}\)이며 \(\text{d}(x) = 0\)인 \(x \in \mathcal{F}_n(U)\)인 삼중항들의 집합이다. \(\mathcal{M}\)이 비순환이므로 각 삼중항 \(l = (U_l, n_l, x_l) \in L\)에 대해 다음을 택할 수 있다.

\(\{(U_{l, i} \to U_l\}_{i \in I_l} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)와 \(x_{l, i} \in \mathcal{M}^{n_l - 1}(U_{l, i})\)에 대해 \(\text{d}(x_{l, i}) = x|_{U_{l, i}}\). 그러면 \[K = \{(U_{l, i}, n_l - 1, x_{l, i}) \mid l \in L, i \in I_l\}\] 로 두고, \(\mathcal{F}_{n + 1}\)을 \(\mathcal{F}_n\)과 단면 \(x_{l, i}\)들을 포함하는 \(\mathcal{M}\)의 가장 작은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군으로 정의한다. \(|K| \leq \max(\kappa, |\mathcal{F}_n|)\)이므로 귀납에 의해 \(|\mathcal{F}_{n + 1}| \leq \kappa\)를 얻는다.

구성에 의해 포함 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\)은 코호몰로지 층에서 영사상을 유도한다. 따라서 \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_n\)은 0이 아닌 비순환 부분가군이고 \(|\mathcal{F}| \leq \kappa\)임을 알 수 있다. \(|\mathcal{F}|\)가 유계인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{F}\)의 동형류는 집합 하나뿐이므로 결론을 얻는다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군

\(\mathcal{I}\)가 K-단사라는 것은 모든 비순환 미분 등급 \(\mathcal{M}\)에 대해 다음이 성립하는 것이다. \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) = 0\]

Derived Categories, Definition 070H와 유사함에 주목하자.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(T\)를 집합이라 하고 각 \(t \in T\)에 대해 \(\mathcal{I}_t\)를 K-단사

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 그러면 \(\prod \mathcal{I}_t\)는 K-단사 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다.

증명

비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{K}\)를 잡자. 그러면 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \prod\nolimits_{t \in T} \mathcal{I}_t) = \prod\nolimits_{t \in T} \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{I}_t)\] \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 곱을 취하는 것이 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로 가는 망각 함자와 가환하기 때문이다. 곱을 취하는 것은 아벨 군의 범주에서 완전 함자이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 K-단사이자 등급 단사인 대상이라 하자. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 임의의 다음 가환 도식에 대해 \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}' \ar@{..>}[ru] }\] 여기서 \(b\)가 단사이고 \(\mathcal{M}\)이 비순환이면 도식을 가환하게 만드는 점선 화살표가 존재한다.

증명

\(\mathcal{M}\)이 비순환이고 \(\mathcal{I}\)가 K-단사이므로 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(h : \mathcal{M} \to \mathcal{I}\)의 차수가 \(-1\)인 가 존재하여 \(a = \text{d}(h)\)이다. \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이고 \(b\)가 단사이므로 차수 \(-1\)인 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사상 \(h' : \mathcal{M}' \to \mathcal{I}\)가 존재하여 \(h = h' \circ b\)이다. 그러면 점선 화살표로 \(a' = \text{d}(h')\)를 취할 수 있다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 K-단사이자 등급 단사인 대상이라 하자. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 임의의 다음 가환 도식에 대해 \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}' \ar@{..>}[ru] }\] 여기서 \(b\)가 유사동형이면 도식을 호모토피까지 가환하게 만드는 점선 화살표가 존재한다.

증명

\(\mathcal{M}'\)를 \(\mathcal{M}'\)와 \(\mathcal{M}\)의 항등사상 위의 원뿔(이는 비순환이다)의 직합으로 바꾸면 \(b\)도 단사라고 가정할 수 있다. 그러면 \(b\)의 cokernel \(\mathcal{Q}\)는 비순환이다. 따라서 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{Q}, \mathcal{I}) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{Q}, \mathcal{I})[1] = 0\] \(\mathcal{I}\)가 K-단사이기 때문이다. \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이고 비고 0FSQ에 의해 다음을 얻는다. \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}', \mathcal{I}) \longrightarrow \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\] 는 전단사이고 증명이 끝난다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 집합 \(R\)이 존재하여 각 \(r \in R\)에 대해 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사이의 단사 사상 \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\)가 주어진다고 하자. 그러면 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 대상 \(\mathcal{I}\)에 대해 다음 조건들이 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{I}\)가 K-단사이자 등급 단사이다.

2. 모든 다음 가환 도식에 대해 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_r \ar@{..>}[ru] }\] 도식을 가환하게 만드는 점선 화살표가 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 존재한다.

증명

Lemma 0FSS에서와 같이 \(T\)와 \(\mathcal{M}_t \to \mathcal{M}'_t\)를 택하자. Lemma 0FST에서와 같이 \(S\)와 \(\mathcal{M}_s\)를 택하자. 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 사이에서 호모토픽하게 0인 단사 사상 \(\mathcal{M}_s \to \mathcal{M}'_s\)를 택하자. 이는 \(\mathcal{M}'_s\)를 항등사상 위의 원뿔로 택할 수 있으므로 가능하다. 이 경우에는 \(\mathcal{M}'_s\)의 항등사상 자체가 호모토픽하게 0이기도 하다. Differential Graded Algebra, Lemma 09QK을 보라. 이는 Section 0FS3의 논의에 의해 적용된다. 주어진 사상들과 함께 \(R = T \coprod S\)가 작동한다고 주장하자.

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 Lemma 0FSW에 의해 성립한다.

(2)를 가정하자. 먼저 Lemma 0FSS에 의해 \(\mathcal{I}\)가 등급 단사임을 알 수 있다. 다음으로 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)을 잡자. 다음을 보여야 한다. \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) = 0\] 증명은 Injectives, Lemma 079L의 증명과 정확히 같다.

순서수 \(\alpha\)에 대한 귀납으로 다음과 같이 비순환 미분 등급 부분가군 \(\mathcal{K}_\alpha \subset \mathcal{M}\)을 구성하자. \(\alpha = 0\)이면 \(\mathcal{K}_0 = 0\)으로 둔다. \(\alpha > 0\)이면 다음과 같이 진행한다.

1. \(\alpha = \beta + 1\)이고 \(\mathcal{K}_\beta = \mathcal{M}\)이면 \(\mathcal{K}_\alpha = \mathcal{K}_\beta\)로 둔다.

2. \(\alpha = \beta + 1\)이고 \(\mathcal{K}_\beta \not = \mathcal{M}\)이면 \(\mathcal{M}/\mathcal{K}_\beta\)는 0이 아닌 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다. Lemma 0FST에 따라 어떤 \(s \in S\)에 대한 \(\mathcal{M}_s\)와 동형인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-부분가군 \(\mathcal{N}_\alpha \subset \mathcal{M}/\mathcal{K}_\beta\)를 택한다. 마지막으로 \(\mathcal{K}_\alpha \subset \mathcal{M}\)을 \(\mathcal{N}_\alpha\)의 원상으로 둔다.

3. \(\alpha\)가 극한 순서수이면

   \(\mathcal{K}_\beta = \colim \mathcal{K}_\alpha\)로 둔다.

적절히 큰 순서수 \(\alpha\)에 대해 \(\mathcal{M} = \mathcal{K}_\alpha\)임은 분명하다. 다음이 성립함을 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I})\] 가 \(\alpha\)에 대한 초한 귀납으로 0임을 보이겠다. \(\alpha = 0\)일 때는 \(\mathcal{K}_0\)가 0이므로 성립한다. \(\beta\)에 대해 성립한다고 하고 \(\alpha = \beta + 1\)이라 하자. 위 목록의 경우 (1)에서는 결과가 자명하다. 경우 (2)에서는 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{K}_\beta \to \mathcal{K}_\alpha \to \mathcal{N}_\alpha \to 0\] 비고 0FSQ와 \(\mathcal{I}\)가 등급 단사임을 이미 보았다는 사실에 의해 다음 완전열을 얻는다. \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\beta, \mathcal{I}) \to \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I}) \to \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{N}_\alpha, \mathcal{I})\] 귀납에 의해 왼쪽 항은 0이다. 가정 (2)에 의해 오른쪽 항도 0이다. 임의의 사상 \(\mathcal{M}_s \to \mathcal{I}\)는 \(\mathcal{M}'_s\)를 통해 인수분해되므로 호모토픽하게 0이기 때문이다. 따라서 가운데 군도 0이다. 마지막으로 \(\alpha\)가 극한 순서수라고 하자. 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서

\(\mathcal{K}_\alpha = \colim \mathcal{K}_\alpha\)도 가지므로 다음이 성립한다. \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I}) = \lim_{\beta < \alpha} \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{K}_\beta, \mathcal{I})\] 아벨 군의 복합체로서, 이 복합체들의 코호몰로지 군은 이동 사이의 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서의 사상을 계산한다. \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이므로 비고 0FSQ에 의해 이 복합체 계의 전이 사상은 전사이다. 더 나아가 극한 순서수 \(\beta \leq \alpha\)에 대해서는 극한과 값이 일치한다. 따라서 Homology, Lemma 0AAT를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 집합 \(R\)를 택하고, 각 \(r \in R\)에 대해 \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\)인 비순환 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 단사 사상이 주어졌다고 하자. 다음 조건을 만족하는 함자 \(M : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)와 자연 변환 \(j : \text{id} \to M\)가 존재한다.

1. \(j_\mathcal{M} : \mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\)는 단사이고 유사동형이다.

2. 모든 실선 도식에 대해 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M} \ar[d]^{j_\mathcal{M}} \\ \mathcal{M}'_r \ar@{..>}[r] & M(\mathcal{M}) }\] 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 존재한다.

증명

다음 도식의 밀어내기로 \(M(\mathcal{M})\)를 정의한다. \[\xymatrix{ \bigoplus_{(r, \varphi)} \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M} \ar[d] \\ \bigoplus_{(r, \varphi)} \mathcal{M}'_r \ar[r] & M(\mathcal{M}) }\] 여기서 직합은 모든 순서쌍 \((r, \varphi)\)에 대해 취하며, \(r \in R\)이고 \(\varphi \in \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_r, \mathcal{M})\)인 경우이다. 단사 사상의 밀어내기도 단사이므로 \(\mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\)가 단사임을 알 수 있다. 왼쪽 수직 화살표의 cokernel이 비순환이므로, \(\mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\)의 그것과 동형인 cokernel도 비순환이다. 따라서 \(\mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\)는 유사동형이다. 성질 (2)는 구성에 의해 성립한다. 이 절차를 함자로 만들 수 있다는 확인은 생략한다.

정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수의 층이라 하자. 모든 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대해, \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이자 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이 되도록 하는 유사동형 \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\)가 존재한다. 또한 이 구성은 \(\mathcal{M}\)에 대해 함자적이다.

증명

Lemma 0FSY에서 얻은 집합 \(R\)와 \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\)에 속하는 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 사상들을 택하자. 이 \(R\)와 \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\)를 사용하여 Lemma 0FSZ에서 구성한 함자 \(M\)과 자연 변환 \(\text{id} \to M\)을 택하자. 초한 재귀를 사용하여 함자열 \(M_\alpha\)와 자연 변환 \(M_\beta \to M_\alpha\)를 \(\alpha < \beta\)일 때 다음과 같이 정의한다.

1. \(M_0 = \text{id}\)로 둔다.

2. \(M_{\alpha + 1} = M \circ M_\alpha\)로 두고, \(\beta < \alpha + 1\)에 대한 자연 변환 \(M_\beta \to M_{\alpha + 1}\)는 이미 구성한 \(M_\beta \to M_\alpha\)와 \(\text{id} \to M\)에서 오는 사상 \(M_\alpha \to M \circ M_\alpha\)로부터 얻는다.

3. \(\alpha\)가 극한 순서수이면 \(M_\alpha = \colim_{\beta < \alpha} M_\beta\)로 두고, 여입사들을

   \(\alpha < \beta\)에 대한 변환 \(M_\beta \to M_\alpha\)로 둔다.

모든 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군에 대해 사상 \(\mathcal{M} \to M_\beta(\mathcal{M}) \to M_\alpha(\mathcal{M})\)가 단사 유사동형임을 관찰하자(여과 여극한이 완전하기 때문이다).

\(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)가 그로텐디크 아벨 범주임을 상기하자. 따라서 Injectives, Proposition 079F을 (\(r \in R\)인 모든 \(\mathcal{M}_r\)의 직합에 적용하여) 사용하면, 모든 \(r \in R\)에 대해 \(\mathcal{M}_r\)가 단사 사상에 관하여 \(\alpha\)-작아지는 극한 순서수 \(\alpha\)가 존재한다. \(\mathcal{M} \to M_\alpha(\mathcal{M})\)가 \(\mathcal{M}\)을 등급 단사 K-단사 가군에 넣는 원하는 함자적 매장이라고 주장한다.

실제로 임의의 사상 \(\mathcal{M}_r \to M_\alpha(\mathcal{M})\)는 어떤 \(\beta < \alpha\)에 대해 \(M_\beta(\mathcal{M})\)를 통해 인수분해된다. 그런데 \(M\)의 구성에 의해 이는 \(\mathcal{M}_r \to M_{\beta + 1}(\mathcal{M}) = M(M_\beta(\mathcal{M}))\)가 \(\mathcal{M}'_r\)를 통해 인수분해된다는 뜻이다. \(M_\beta(\mathcal{M}) \subset M_{\beta + 1}(\mathcal{M}) \subset M_\alpha(\mathcal{M})\)이므로 \(M_\alpha(\mathcal{M})\)으로의 원하는 인수분해를 얻는다.

Lemma 0FSY에서 \(R\)와 \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\)를 선택한 방식에 의해 결론을 얻는다.

유도 범주

이 절은 Differential Graded Algebra, Section 09KV의 유사물이다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서 유사동형을 역으로 만들어 유도 범주 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)를 구성할 것이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 다음 \(H^0 : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) 함자는 Section 0FRH의 함자를 통해 인수분해된다. \[H^0 : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\] 이 함자는 Derived Categories, Definition 0147의 의미에서 호몰로지적이다.

증명

정의에서 즉시 다음 가환 도식이 존재함을 얻는다. \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[r] \ar[d] & K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \ar[d] \\ \text{Comp}(\mathcal{O}) \ar[r] & K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) }\] \(H^0(\mathcal{M})\)는 \(\mathcal{M}\)의 바탕이 되는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 영차 코호몰로지 층으로 정의된다. 따라서 이 보조정리는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 경우에서 따른다. 이는 Derived Categories, Lemma 05RS의 특수한 경우이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 비순환 가군으로 이루어진 호모토피 범주 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 충만 부분범주 \(\text{Ac}\)는 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 엄밀 충만 포화 삼각 부분범주이다.

증명

물론 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 대상 \(\mathcal{M}\)이 \(\text{Ac}\)에 속한다는 것은 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(\mathcal{M}) = H^0(\mathcal{M}[i])\)가 0이라는 것과 동치이다. 따라서 이 보조정리는 이 사실과 Lemma 0FT2, Derived Categories, Lemma 05RD에서 따른다. 또한 Derived Categories, Definitions 05RB 및 05QM, 그리고 Lemma 05QX를 보라.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 유사동형으로 이루어진 부분류 \(\text{Qis} \subset \text{Arrows}(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})))\)를 생각하자. 이는 포화 곱셈계이며 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 위의 삼각 구조와 양립한다.

증명

\(f , g : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)가 호모토픽인 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 사상이라고 하자. 그러면 \(f\)가 유사동형인 것은 \(g\)가 유사동형인 것과 동치이다. 실제로 Lemma 0FT2에 의해 사상 \(H^i(f) = H^0(f[i])\)와 \(H^i(g) = H^0(g[i])\)는 서로 같다. 따라서 호모토피 범주 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 사상이 유사동형이라고 말하는 것은 모호하지 않다. “곱셈계”, “포화”, “삼각 구조와 양립”의 정의는 Derived Categories, Definition 05R2 및 Categories, Definitions 04VC과 05Q8을 보라.

이 보조정리를 실제로 증명하기 위해 삼각 범주 사이의 완전 함자의 합성 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 를 생각하자. \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 사상 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)가 \(\text{Qis}\)에 속하는 것은 그 사상이 \(D(\mathcal{O})\)에서 동형사상으로 보내지는 것과 동치이다. 따라서 이 보조정리는 Derived Categories, Lemma 05R4.

Lemma 0FT4의 상황에서는 Derived Categories, Proposition 05R6 을 적용하여 삼각 범주 사이의 완전 함자 \[Q : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow \text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\] 그러나 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)는 “큰” 범주, 즉 대상들이 진클래스를 이루는 범주이므로, \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)이 주어졌을 때 \(\text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 의 구성이 다음 사상의 set을 만든다는 것은 즉시 분명하지 않다. \[\Mor_{\text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))} (\mathcal{M}, \mathcal{N})\] 의 사상들이다. 그러나 K-단사 복합체를 구성했으므로 이는 실제로 성립한다. 즉 Theorem 0FT0에 의해 유사동형 \(s_0 : \mathcal{N} \to \mathcal{I}\)를 택할 수 있고, 여기서 \(\mathcal{I}\)는 등급 단사이자 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다. 이제 위에 표시한 집합의 원소는 순서쌍 \((f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}', s : \mathcal{N} \to \mathcal{N}')\) 의 동치류임을 상기하자. 여기서 \(f\)는 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 임의의 사상이고 \(s\)는 유사동형이다.

왼쪽 분수 계산에 대한 설명은 Categories, Section 04VB을 보라. Lemma 0FSX에 의해 에 의해 다음 도식의 점선 화살표를 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[rd]^f & & \mathcal{N} \ar[ld]_s \ar[rd]^{s_0} \\ & \mathcal{N}' \ar@{..>}[rr]^{s'} & & \mathcal{I} }\] 이 도식은 호모토피 범주에서 가환한다. 따라서 순서쌍 \((f, s)\)는 순서쌍 \((s' \circ f, s_0)\)와 동치이고, 동치류들의 모음은 집합을 이룬다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. \(\text{Qis}\)를 Lemma 0FT4에서와 같이 두자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)의 유도 범주는 다음 삼각 범주이다. \[D(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\] 위에서 더 자세히 논의한 바와 같다.

이 구성에 관한 몇 가지 사실을 증명하자.

보조정리

Definition 0FT5에서 국소화 함자 \(Q : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 의 핵은 Lemma 0FT3의 범주 \(\text{Ac}\)이다.

증명

이는 Derived Categories, Lemma 05R8과 \(0 \to \mathcal{M}\)이 유사동형인 것은 \(\mathcal{M}\)이 비순환인 것과 동치라는 사실에서 즉시 따른다.

보조정리

Definition 0FT5에서 함자 \(H^0 : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\)는 호몰로지 함자 \(H^0 : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\)를 통해 인수분해된다.

증명

Derived Categories, Lemma 05R7에서 즉시 따른다.

다음은 유도 범주에서 사상 집합을 계산하는 앞서 약속한 보조정리이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. \(\mathcal{M}\)과 \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. \(\mathcal{N} \to \mathcal{I}\)가 유사동형이고 \(\mathcal{I}\)가 등급 단사이자 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라고 하자. 그러면 \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\]

증명

\(\mathcal{N} \to \mathcal{I}\)가 유사동형이므로 다음이 성립한다. \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\] Definition 0FT5 앞의 논의에서 Lemma 0FSX를 사용하여, \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\)가 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 표현될 수 있고, \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{I}\)라는 사상으로 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서 나타남을 보았다. 이제 \(f, f' : \mathcal{M} \to \mathcal{I}\)가 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)의 두 사상이라고 하자. 이들이 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 같은 사상을 정의하는 것은 유사동형 \(g : \mathcal{I} \to \mathcal{K}\)가 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에 존재하여 \(g \circ f = g \circ f'\)가 되는 것과 동치이다. Categories, Lemma 04VF을 보라. 그러나 Lemma 0FSX에 의해 사상 \(h : \mathcal{K} \to \mathcal{I}\) \(h \circ g = \text{id}_\mathcal{I}\)가

\(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서 성립한다. 따라서 \(g \circ f = g \circ f'\)이면 \(f = f'\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 그러면

1. \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)는 직접합과 곱을 모두 갖는다,

2. 직접합은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 직접합을 취하여 얻고,

3. 곱은 K-단사 미분 등급 가군들의 곱을 취하여 얻는다.

증명

이제 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)가 임의의 직접합과 곱을 갖는 아벨 범주이고, 이것들이 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서 직접합과 곱을 준다는 사실을 사용한다. Lemma 0FRJ과 Lemma 0FS2를 보라.

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 족 \(\mathcal{M}_j\)를 잡자. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 직접합 \(\mathcal{M} = \bigoplus \mathcal{M}_j\)를 생각하자. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)에 대하여 \(\mathcal{N} \to \mathcal{I}\)인 유사동형을 택하자. 여기서 \(\mathcal{I}\)는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 등급 단사이자 K-단사이다. Theorem 0FT0를 보라. Lemma 0FT8를 사용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) & = \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_j, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_j, \mathcal{I}) \end{align*}\]

따라서 이 보조정리의 (2)번에서 말한 \(D(A, \text{d})\)의 직접합이 존재한다.

미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 족 \(\mathcal{M}_j\)를 잡자.

각 \(j\)에 대하여 \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}_j\)인 유사동형을 택하자. 여기서 \(\mathcal{I}_j\)는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 등급 단사이자 K-단사이다. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 곱 \(\mathcal{I} = \prod \mathcal{I}_j\)를 생각하자. Lemmas 0FSV와 0FSR에 의해 \(\mathcal{I}\)는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 등급 단사이자 K-단사임을 알 수 있다. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)에 대하여 Lemma 0FT8를 사용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}) & = \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}_j) \\ & = \prod \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{M}_j) \end{align*}\] 따라서 이 보조정리의 (3)번에서 말한 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 곱이 존재한다.

정준 델타 함자

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 다음 함자를 생각하자. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). 이 함자는 일반적으로 \(\delta\)-함자가 아니다. 그러나

\(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(A, \text{d})\)가 \(\delta\)-함자임을 알 수 있다. 이를 보기 위해서는 다음 짧은 완전열에 연관된 사상 \(\delta\)를 정의해야 한다. \[0 \to \mathcal{K} \xrightarrow{a} \mathcal{L} \xrightarrow{b} \mathcal{M} \to 0\] 아벨 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 생각하자. 사상 \(a\)의 원뿔 \(C(a)\)와 그 정준 사상 \(i : \mathcal{L} \to C(a)\) 및 \(p : C(a) \to \mathcal{K}[1]\)를 함께 생각하자. Definition 0FS5을 보라. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형 \[q : C(a) \longrightarrow \mathcal{M}\] 을 Differential Graded Algebra, Lemma 09P7에 의해 얻는다. 이는 Section 0FS3의 논의에 따라 사용할 수 있으며, 다음 도식에 적용한 것이다. \[\xymatrix{ \mathcal{K} \ar[r]_a \ar[d] & \mathcal{L} \ar[d]^b \\ 0 \ar[r] & \mathcal{M} }\] 사상 \(q\)가 유사동형이라는 것은, 예를 들어 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 사상 범주에서도 그러하기 때문이다. Derived Categories, Section 014Z의 논의를 보라. Differential Graded Algebra, Lemma 09QU에 따르면 (Section 0FS3의 논의에 따라 이를 사용할 수 있다) 다음 삼각형 \[(\mathcal{K}, \mathcal{L}, C(a), a, i, -p)\] 는 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서 구별되는 삼각형이다. 국소화 함자 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\)가 완전 함자이므로 \((\mathcal{K}, \mathcal{L}, C(a), a, i, -p)\)가 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 구별되는 삼각형임을 알 수 있다. \(q\)는 유사동형이고, \(q\)는 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 동형사상이다. 따라서 다음을 얻는다. \[(\mathcal{K}, \mathcal{L}, \mathcal{M}, a, b, -p \circ q^{-1})\] 는 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 구별되는 삼각형이다. 이는 다음 보조정리를 시사한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 국소화 함자 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 는 다음과 같이 자연스러운 \(\delta\)-함자 구조를 갖는다. \[\delta_{\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{M}} = - p \circ q^{-1}\] 여기서 \(p\)와 \(q\)는 위에서 설명한 것이다.

증명

복합체의 짧은 완전열이 주어질 때 이 선택이 구별되는 삼각형을 준다는 것은 이미 보았다. 이 구성의 함자성을 보여야 한다. Derived Categories, Definition 0150를 보라. 이는 약간의 계산을 하면 Differential Graded Algebra, Lemma 09P7에서 따른다(Section 0FS3의 논의에 따라 이를 사용할 수 있다). Derived Categories, Lemma 0152와 비교하라.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 미분 등급 대수 층이라 하자. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 계 \(\mathcal{M}_n\)을 잡자. 그러면 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서의 유도 여극한 \(\text{hocolim} \mathcal{M}_n\)은 미분 등급 가군 \(\colim \mathcal{M}_n\)으로 표현된다.

증명

\(\mathcal{M} = \colim \mathcal{M}_n\)으로 두자. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 다음 완전열이 있다. \[0 \to \bigoplus \mathcal{M}_n \to \bigoplus \mathcal{M}_n \to \mathcal{M} \to 0\] 이는 Derived Categories, Lemma 093W에 의해 성립한다(밑에 놓인 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체에 적용한다). 직접합은 Lemma 0FT9에 의해 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서의 직접합이다. 따라서 결과는 Derived Categories, Definition 090Z의 유도 여극한 정의와, 복합체의 짧은 완전열이 구별되는 삼각형을 준다는 사실 (Lemma 0FTB)에서 따른다.

유도 당김

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 위상 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고 \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음 사상이 주어졌다고 하자. \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 이는 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상이다. 스칼라 제한과 확장의 수반성에 의해 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)와 같은 것이며, 동치로 \(\varphi\)를 다음 사상으로 볼 수 있다. \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상이다. Remark 0FRG를 보라.

위의 자료에 더하여 \(\mathcal{A}'\)를 두 번째 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고 \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\)-쌍가군이라 하자. 이 설정에서 다음 함자를 생각할 수 있다. \[\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N}\] 이는 다음 함자로 확장된다. \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}', \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N}\] Section 0FRT와 Section 0FRP의 논의에 따라 미분 등급 범주 사이의 함자이다. 따라서 형식적으로 다음 완전 함자도 얻는다. [0FTE]\[\begin{equation} K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N} \end{equation}\] 삼각 범주 사이의 함자이다.

보조정리

위의 상황에서 함자 (0FTE)와 국소화 함자 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) 의 합성은 좌유도 확장 \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\)을 갖는다. 이 함자의 좋은 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{P}\)에서의 값은 \(f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)이다.

증명

임의의 (오른쪽) 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대하여, \(\mathcal{P}\)가 좋은 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군인 유사동형 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)이 존재함을 상기하자. Lemma 0FSH를 보라. 따라서 Derived Categories, Lemma 06XN에 의해, 좋은 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군들의 유사동형 \(\mathcal{P} \to \mathcal{P}'\)이 주어졌을 때 유도된 사상 \[f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \longrightarrow f^*\mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 이 유사동형임을 보이면 충분하다. \(\mathcal{P} \to \mathcal{P}'\)의 원뿔 \(\mathcal{P}''\)은 Lemma 0FSC에 의해

좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다. 구별되는 삼각형 \[\mathcal{P} \to \mathcal{P}' \to \mathcal{P}'' \to \mathcal{P}[1]\] 이 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}))\)에 있으므로 구별되는 삼각형 \[f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}[1] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 을 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}))\)에서 얻는다. Lemma 0FSI에 의해 미분 등급 가군 \(f^*\mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)은 비순환이고, 증명이 끝난다.

정의

유도 텐서곱과 유도 당김.

1. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하자. Lemma 0FTF에서 구성한 함자 \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\)를 유도 텐서곱이라 하고 \(- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\)으로 나타낸다.

2. \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 위상 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고 \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\)를 잡자. Lemma 0FTF에서 구성한 함자 \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\)를

   유도 당김이라 하고 \(Lf^*\)로 나타낸다.

이 용어를 사용하면 몇 가지 명백한 호환성을 표현할 수 있다.

보조정리

Lemma 0FTF의 함자 \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\)는 \(\mathcal{M} \mapsto Lf^*\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\).

증명

이는 좋은 미분 등급 가군으로 대상을 나타내어 이 함자들을 계산할 수 있고, \(\mathcal{P}\)가 좋은 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이면 \(f^*\mathcal{P}\)가 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라는 사실에서 즉시 따른다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)와 \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\)를 환 달린 위상 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\), \(\mathcal{A}''\)를 각각 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수, \(\mathcal{O}'\)-대수, \(\mathcal{O}''\)-대수라 하자. \(\varphi : \mathcal{A}' \to f_*\mathcal{A}\) 및 \(\varphi' : \mathcal{A}'' \to g_*\mathcal{A}'\)를 각각 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수와 \(\mathcal{O}''\)-대수의 준동형이라 하자. 그러면 \(L(g \circ f)^* = Lf^* \circ Lg^* : D(\mathcal{A}'', \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\)이다.

증명

이는 좋은 미분 등급 가군으로 대상을 나타내어 이 함자들을 계산할 수 있고,

\(\mathcal{P}\)가 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}'\)-가군이면 \(f^*\mathcal{P}\)가 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라는 사실에서 즉시 따른다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}'\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군의 준동형이라 하자. 그러면 정준 사상 \[t : \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\] \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 \(\mathcal{M}\)에 대해 함자적인 사상이며, 삼각 범주 사이의 완전 함자 \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) 사이의 자연 변환을 정의한다. 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{P}\)에서 \(t\)의 값은 다음의 명백한 사상이다. \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}' = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\]

보조정리

위의 상황에서 \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}'\)이 코호몰로지 층의 동형사상이면, \(t\)는 다음 함자 사이의 동형사상이다. \((- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \to (- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}')\).

증명

임의의 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{P}\)에 대하여 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\)가 코호몰로지 층의 동형사상임을 보이면 충분하다. 이를 위해 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 사상 \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}'\)의 원뿔 \(\mathcal{N}''\)를 잡자. Definition 0FS5을 보라. (정확히는 \(\mathcal{N}''\)도 쌍가군이지만 이를 사용할 필요는 없다.) 텐서 구성의 함자성 (이는 미분 등급 범주의 함자이다)에 의해 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}''\)는 다음 사상의 (\(\mathcal{O}\)-가군 복합체로서의) 원뿔이다. \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\). 따라서 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}''\)가 비순환임을 보이면 충분하다. 이는 \(\mathcal{P}\)가 좋고, \(\mathcal{N}''\)가 유사동형의 원뿔이므로 비순환이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하자. \(\mathcal{N}\)이 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 좋다면, 모든 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대하여 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} = \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)이다.

증명

좋은 (오른쪽) 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{P}\)와 유사동형 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)을 택하자. 이 보조정리를 증명하려면 다음 사상이 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 가 유사동형임을 보여야 한다. 사상에 대한 원뿔 \(C\)는 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)에 대한 비순환 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다. 따라서 \(C \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)은 \(\mathcal{N}\)이 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 좋다고 가정했으므로 비순환이다. \(C \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)은 다음 사상의 원뿔이다. 사상 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)을 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체로 보아 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\), \(\mathcal{A}''\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N}\)과 \(\mathcal{N}'\)를 각각 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\)-쌍가군과 \((\mathcal{A}', \mathcal{A}'')\)-쌍가군이라 하자. 다음 정준 사상이 \[\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] \(D(\mathcal{A}'', \text{d})\)에서 유사동형이라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' = \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}')\] \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}'', \text{d})\)의 함자로서 성립한다.

증명

좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{P}\)와 유사동형 \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\)을 택하자. Lemma 0FSH를 보라. 그러면 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}') = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 그리고 다음이 성립한다. \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' = (\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\] 따라서 다음 정준 사상이 \[(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 유사동형임을 보여야 한다. \(\mathcal{Q}\)가 좋은 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}'\)-가군인 유사동형 \(\mathcal{Q} \to \mathcal{N}'\)을 택하자 (Lemma 0FSH). Lemma 0FTK에 의해 위 사상은 \(\mathcal{O}\)-가군의 유도 범주에서 다음 사상이다. \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q} \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 가정에 의해 \(\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q} \to \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\)는 유사동형이고,

는 유사동형이고, \(\mathcal{P}\)는 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이므로 이 사상은 Lemma 0FTJ에 의해 유사동형이다(왼쪽과 오른쪽은 각각 왼쪽은 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q})\)를 계산하고, 오른쪽은 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}')\)를 계산한다. 또는 보조정리의 증명에서 같은 논의를 반복해도 된다).

유도 직접상

충분한 K-단사 가군이 존재하므로 호모토피 범주의 임의의 완전 함자에 대해 오른쪽 유도 함자를 취할 수 있다.

보조정리

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. 미분 등급 대수의 층 \((\mathcal{A}, \text{d})\)가 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위에 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 완전 함자 \[T : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow \mathcal{D}\] 삼각 범주 사이에는 오른쪽 유도 확장 \(RT : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathcal{D}\)가 존재하며, 등급 단사이고 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{I}\)에서의 그 값은 \(T(\mathcal{I})\)이다.

증명

정리 0FT0에 의해 임의의 (오른쪽) 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)에 대해 어떤 유사동형 \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\)가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{I}\)는 등급 단사이고 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이다. 그러므로 유도 범주, 보조정리 06XN에 의해, 등급 단사이고 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군들의 유사동형 \(\mathcal{I} \to \mathcal{I}'\)가 주어졌을 때 \(T(\mathcal{I}) \to T(\mathcal{I}')\)가 동형임을 보이면 충분하다. 이는 예를 들어 보조정리 0FT8에 의해 \(\mathcal{I} \to \mathcal{I}'\)가 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)에서 동형이기 때문이다 (또는 보조정리 0FSX로부터 이 사실을 얻을 수도 있다).

이 결과가 적용되는 함자는 이미 여러 개 보았다. 두 가지 예를 들면 다음과 같다.

정의

유도 내부 Hom과 유도 직접상.

1. 환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하자. 내부 Hom 함자의 오른쪽 유도 확장 \[R\SheafHom_\mathcal{B}(\mathcal{N}, -) : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] 내부 Hom 함자 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -)\)의 이 확장을 유도 내부 Hom이라 한다.

2. \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 환 달린 토포스의 사상이라고 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고, \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음과 같은 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\)를 주어졌다고 하자. 직접상 \(f_*\)의 오른쪽 유도 확장 \[Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] 을 유도 직접상이라 한다.

실제로 \(Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) 는 기저 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체에 대한 유도 직접상과 일치한다. 보조정리 0FTW를 보라.

이 함자들은 유도 당김과 유도 텐서곱에 수반된다.

보조정리

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N}\)을 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-쌍가군이라 하자. 그러면 \[R\SheafHom_\mathcal{B}(\mathcal{N}, -) : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] 는 다음 함자의 오른쪽 수반이다. \[- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\]

증명

이는 유도 범주, 보조정리 0FND과 보조정리 0FRS에 따른다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 환 달린 토포스의 사상이라고 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고, \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음과 같은 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\)를 주어졌다고 하자. 그러면 \[Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] 는 다음 함자의 오른쪽 수반이다. \[Lf^* : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\]

증명

이는 유도 범주, 보조정리 0FND과 보조정리 0FRU에 따른다.

다음으로 절 0FTD에서 고려한 상황에서 어떤 일이 일어나는지 논의한다.

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 환 달린 토포스의 사상이라고 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고, \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음과 같은 사상 \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 가 미분 등급 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상이라고 하자. 스칼라 제한과 스칼라 확장의 수반에 의해 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 사상 \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)와 같은 것이며, 동치로 \(\varphi\)를 다음 사상으로 볼 수 있다. \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 사상으로서 말이다. 주의 0FRG를 보라.

위의 자료에 더하여 두 번째 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수 \(\mathcal{A}'\)와 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\)-쌍가군 \(\mathcal{N}\)을 택하자. 이 상황에서 다음 함자를 생각할 수 있다. \[\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] 이를 다음 함자로 확장할 수 있음에 주의하자. \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}', \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] 미분 등급 범주 사이의 함자이며, 이는 절 0FRT와 절 0FRP의 논의에 따른다. 따라서 형식적으로 다음 완전 함자도 얻는다. [0FTS]\[\begin{equation} K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M}) \end{equation}\] 삼각 범주 사이의 함자이다.

보조정리

위의 상황에서 (0FTS)의 오른쪽 유도 확장을 \(RT : D(\mathcal{A}', \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\)로 나타내자. 그러면 \[RT(\mathcal{M}) = Rf_* R\SheafHom(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] \(\mathcal{M}\)에 대해 함자적으로 성립한다.

증명

보조정리 0FRS와 0FRU에 의해 함자 (0FTS)는 함자 (0FTE)의 오른쪽 수반이다. 유도 범주, 보조정리 0FND에 의해 함자 \(RT\)는 보조정리 0FTF의 함자의 오른쪽 수반이며, 이 함자는 보조정리 0FTH에 의해 \(Lf^*(-) \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\)과 같다. 보조정리 0FTQ과 0FTR에 의해 함자 \(Lf^*(-) \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\)은 \(Rf_* R\SheafHom(\mathcal{N}, -)\)의 왼쪽 수반이다. 그러므로 수반의 유일성으로부터 결론을 얻는다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)와 \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\)가 환 달린 토포스의 사상이라고 하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\) 및 \(\mathcal{A}''\)를 각각 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수, \(\mathcal{O}'\)-대수 및 \(\mathcal{O}''\)-대수라 하자. 다음과 같은 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수 및 \(\mathcal{O}''\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{A}' \to f_*\mathcal{A}\)와 \(\varphi' : \mathcal{A}'' \to g_*\mathcal{A}'\)를 주어졌다고 하자. 그러면 \(R(g \circ f)_* = Rg_* \circ Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}'', \text{d})\)이다.

증명

이는 보조정리 0FTI과 0FTR, 그리고 수반의 유일성에 따른다.

보조정리

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\), \(\mathcal{A}''\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. \(\mathcal{N}\)과 \(\mathcal{N}'\)를 각각 미분 등급 \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\)-쌍가군과 \((\mathcal{A}', \mathcal{A}'')\)-쌍가군이라 하자. 다음 정준 사상 \[\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] \(D(\mathcal{A}'', \text{d})\)에서 유사동형이라고 가정하자. 그러면 \[R\SheafHom_{\mathcal{A}''} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}', -) = R\SheafHom_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, R\SheafHom_{\mathcal{A}''}(\mathcal{N}', -))\] \(D(\mathcal{A}'', \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 함자로서 성립한다.

증명

이는 보조정리 0FTL와 0FTQ, 그리고 수반의 유일성에 따른다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 환 달린 토포스의 사상이라고 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수라 하고, \(\mathcal{B}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수라 하자. 다음과 같은 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-대수의 준동형 \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\)를 주어졌다고 하자. 다음 도표는 \[\xymatrix{ D(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[d]_{Rf_*} \ar[rr]_{forget} & & D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\mathcal{B}, \text{d}) \ar[rr]^{forget} & & D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 가환한다.

증명

몇몇 범주를 동일시하는 것을 제외하면, 이 보조정리는 보조정리 0FTU로부터 즉시 따른다.

\((\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0)\)을 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)를 차수 \(0\)에 놓고 영 미분을 부여한 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수로 볼 수 있다. 다음이 성립함은 명백하다. \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = \text{Comp}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \quad\text{and}\quad D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] 이 동일시에 의해 망각 함자 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \text{Comp}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) 는 절 0FRT에서 정의한 “직상” \(\text{id}_{\mathcal{C}, *}\)이다. 이는 항등 사상 \(\text{id}_\mathcal{C} : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\)와 미분 등급 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-대수의 사상 \((\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) \to (\mathcal{A}, \text{d})\)에 대응하는 환 달린 토포스의 사상에 의해 정의된다. \(\text{id}_{\mathcal{C}, *}\)가 완전하므로 다음을 즉시 얻는다. \[R\text{id}_{\mathcal{C}, *} = forget : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] 정확히 같은 논의로 \[R\text{id}_{\mathcal{D}, *} = forget : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{D}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\] 더 나아가 사이트 위의 코호몰로지, 절 07A5에서의 \(Rf_* : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) 의 구성은 정의 \(Rf_* : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D}, 0)\)의 구성과 일치한다. 두 함자는 모두 기저 가군의 복합체에 대한 직상의 오른쪽 유도 확장으로 정의되기 때문이다. 정의 0FTP에 있다. 보조정리 0FTU에 의해 다음 두 함자는 \(Rf_* \circ R\text{id}_{\mathcal{C}, *}\)와 \(R\text{id}_{\mathcal{D}, *} \circ Rf_*\)는 \(f_* \circ forget = forget \circ f_*\)의 유도 함자이며, 따라서 수반의 유일성에 의해 서로 같다.

보조정리

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하고, \(\mathcal{M}\)을 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. \(n \in \mathbf{Z}\)라 하자. 그러면 \[H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{A}, \mathcal{M}[n])\] 여기서 좌변은 \(\mathcal{M}\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로 본 코호몰로지이다.

증명

이 식을 증명하기 위해 다음을 관찰하자. \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I})\] 여기서 \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\)는 등급 단사이고 K-단사인 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{I}\)로 가는 유사동형이다 (보조정리 0FTN와 0FTW를 결합하라). 보조정리 0FT8에 의해 다음을 얻는다. \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{A}, \mathcal{M}[n]) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}[n]) = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}[n])) = H^n(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}))\] 이 두 결과를 결합하면 원하는 등식을 얻는다.

유도 범주의 동치

이 절은 미분 등급 대수, 절 09S5에 대응한다.

보조정리

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형이고 코호몰로지 층에서 동형을 유도한다고 하자. 그러면 \[D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d}), \quad \mathcal{M} \longmapsto \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}\] 는 범주의 동치이다.

증명

스칼라 제한 함자는 \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \to \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}),\quad \mathcal{N} \mapsto res_\varphi \mathcal{N}\] 이며 다음 함자의 오른쪽 수반이다. \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \mapsto \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}\] 절 0FRP를 보라. 제한 함자는 유사동형을 유사동형으로 보내므로, 자명하게 왼쪽 유도 확장을 (제한 함자 자체로 주어지는) 갖는다. 이는 유도 범주, 보조정리 0FND. 에 의해 \(- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}\)의 오른쪽 수반이 된다. 수반 사상 \[\mathcal{M} \to res_\varphi(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B})\] 는 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 (왼쪽) 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 유사동형이라는 가정에 의해 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서 동형이다. 특히 이 보조정리의 함자는 완전 충실하다. 범주론, 보조정리 07RB를 보라. 제한 함자의 핵이 \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 영이라는 것은 명백하다. 따라서 유도 범주, 보조정리 09J1로부터 결론을 얻는다.

미분 등급 대수의 분해

이 절은 미분 등급 대수, 절 0BZ6에 대응한다.

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 생각하자. 주의 0FSF에서와 같이 \(\mathcal{C}\) 위의 등급 집합의 층 \(\mathcal{S}\)를 생각하자. \(r\)회 자기곱 \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) 을 다음 규칙을 갖는 등급 집합의 층으로 보자. \(\deg(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r) = \sum \deg(s_i)\). 여기서 국소 단면 \(s_i \in \mathcal{S}(U)\), \(i = 1, \ldots, r\)가 주어졌을 때 \(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\)를 \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\)의 \(U\) 위 대응하는 단면을 나타내는 데 사용한다. \(\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle\)를 \(\mathcal{S}\) 위 자유 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라 하자. 더 정확히는 \[\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \mathcal{O}[\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}]\] 주의 0FSF와 같은 표기를 사용한다. 이는 다음 이어붙이기에 의해 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이 된다. \[(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r) (s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}) = s_1 \cdot \ldots s_r \cdot s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}\] \(\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle\)에 \(\mathcal{S}\)의 모든 국소 단면 \(s\)에 대해 \(\text{d}(s) = 0\)으로 놓고 라이프니츠 법칙을 사용해 유일하게 확장함으로써 미분을 부여할 수 있다. 다만 다른 미분들도 고려하는 것이 중요하다.

실제로 다음과 같은 종류의 계가 주어졌다고 하자.

1. \(i = 0, 1, 2, \ldots\)에 대해 등급 집합의 층 \(\mathcal{S}_i\),

2. \(i = 0, 1, 2, \ldots\)에 대해 다음 사상 \[\delta_{i + 1} : \mathcal{S}_{i + 1} \longrightarrow \mathcal{A}_i = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_i\rangle\] 의 상이 공역 위 귀납적으로 정의된 미분의 핵에 포함되는, 차수 \(1\)의 등급 집합의 층의 사상.

더 정확히는 먼저 \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \rangle\) 로 놓고, \(\mathcal{S}\)의 임의의 국소 단면 \(s\)에 대해 \(\text{d}(s) = 0\)이 되도록 라이프니츠 법칙을 만족하는 유일한 미분을 부여한다. 귀납적으로 \(\mathcal{A}_i\) 위의 미분 \(\text{d}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 이를 라이프니츠 법칙을 만족하고 다음을 갖는 \(\mathcal{A}_{i + 1}\) 위의 유일한 미분으로 확장한다. \[\text{d}(s) = \delta(s)\] 여기서 \(s\)가 \(\mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_{i + 1}\)의 직합 성분 \(\mathcal{S}_j\)에 있으면 \(\delta(s) = \delta_j(s)\)로 한다. 이는 정확히 \(\delta(s)\)가 귀납적으로 정의된 미분의 핵에 속하기 때문에 가능하다.

보조정리

위 상황의 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수 \[\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\] 는 다음 성질을 갖는다. 임의의 사상 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 환 달린 토포스의 사상에 대해 당김 \(f^*\mathcal{A}\)는 등급 \(\mathcal{O}'\)-가군으로서 평탄하고 \(\mathcal{O}'\)-가군의 복합체로서 K-평탄하다.

증명

\(f^*\mathcal{A} = \colim f^*\mathcal{A}_i\)이고 다음임을 관찰하자. \[f^*\mathcal{A}_i = \mathcal{O}'\langle f^{-1}\mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg f^{-1}\mathcal{S}_i\rangle\] 의 미분은 \(f^{-1}\delta_{i + 1}\)를 사용한 위의 귀납 절차로 주어진다. 따라서 \(\mathcal{A}\)가 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로서 평탄하고 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로서 K-평탄함을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 각 \(\mathcal{A}_i\)가 등급 \(\mathcal{O}\)-가군으로서 평탄하고 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로서 K-평탄함을 보이면 충분하다. 보조정리 0FSD과 비교하라.

\(i \geq 1\)에 대해 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_i\)로 쓰자. 그러면 등급 \(\mathcal{O}\)-대수로서 \(\mathcal{A}_i = \mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle\)이다. 이 대수의 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-부분가군에 의한 여과를 구성하자.

\(W = \mathbf{Z}_{\geq 0}^{i + 1}\)를 사전식 순서와 함께 생각하자. 즉 \(W\)의 \(w = (w_0, \ldots w_i)\)와 \(w' = (w'_0, \ldots, w'_i)\)가 주어졌을 때 다음과 같이 말한다. \[w > w' \Leftrightarrow \exists j,\ 0 \leq j \leq i : w_i = w'_i,\ w_{i - 1} = w'_{i - 1},\ \ldots , \ w_{j + 1} = w'_{j + 1},\ w_j > w'_j\] 이와 같이 계속한다. 단면 \(s = s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\)이 \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) 의 단면으로서 \(U\) 위에 주어졌다고 하자. 어떤 유일한 \(0 \leq j_a \leq i\)에 대해 \(s_a \in \mathcal{S}_{j_a}(U)\)이면 \(s\)의 가중치가 정의되었다고 한다. 이 경우 가중치를 \[w(s) = (w_0(s), \ldots, w_i(s)) \in W,\quad w_j(s) = |\{a \mid j_a = j\}|\] \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\)의 임의의 단면의 가중치는 국소적으로 정의된다. 다음과 같은 서로소 합 분해를 얻는 것은 쉽게 확인할 수 있다. \[\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S} = \coprod\nolimits_{w \in W} \left( \mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w\] 이는 주어진 가중치를 갖는 단면들의 부분층들로의 분해이다. 물론 주어진 \(r\)에 대해서는 \(\sum_{0 \leq j \leq i} w_j = r\)인 \(w \in W\)만 나타난다. 이에 대응하여 다음 분해를 얻는다. \[\mathcal{A}_i = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w \in W} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w]\] 증명의 나머지는 다음 자명한 관찰에 의존한다. \(r\), \(w\) 및 \(\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w\)의 국소 단면 \(s = s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\)가 주어지면 다음이 성립한다. \[\text{d}(s) \text{ is a local section of } \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r' \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w' \in W,\ w' < w} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_{w'}]\] 그 이유는 다음 식들 각각에서 \[(-1)^{\deg(s_1) + \ldots + \deg(s_{a - 1})} s_1 \cdot \ldots s_{a - 1} \cdot \delta(s_a) \cdot s_{a + 1} \cdot \ldots \cdot s_r\] 그 합이 원소 \(\text{d}(s)\)를 주며, 원소 \(\delta(s_a)\)는 국소적으로 원소 \(s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}\)들의 \(\mathcal{O}\)-선형 결합이다. 여기서 어떤 \(0 \leq j'_{a'} < j_a\)에 대해 \(s'_{a'}\)는 \(\mathcal{S}_{j'_a}\)에 속하고, \(j_a\)는 \(s_a\)가 \(\mathcal{S}_{j_a}\)의 단면이 되도록 택한 것이다.

이는 다음을 뜻한다. \(w \in W\)에 대해 \[F_w \mathcal{A}_i = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w' \in W,\ w' \leq w} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_{w'}]\] 위 관찰에 의해 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-부분가군이다. 다음의 허용 가능한 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to \colim_{w' < w} F_{w'}\mathcal{A}_i \to F_w\mathcal{A}_i \to \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w] \to 0\] 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 완전열이며, 오른쪽 항의 미분은 영이다.

이제 순서 집합 \(W\)에 대한 초한 귀납법으로 증명을 마친다. 미분 등급 복합체 \(F_0\mathcal{A}_0\)는 직합 성분 \(\mathcal{O}\)이고, 이는 K-평탄하며 등급 평탄하다. \(w \in W\)에 대해 \(w' < w\)인 경우 \(F_{w'}\mathcal{A}_i\)에 대한 결과가 성립한다고 하자. 그러면 보조정리 0FSD, 0FSC, 및 0FSG에 의해 \(w\)에서도 결과를 얻는다. 마지막으로 \(\mathcal{A}_i = \colim_{w \in W} F_w\mathcal{A}_i\)이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라고 하자. \((\mathcal{B}, \text{d})\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수라고 하자. 다음 조건을 만족하는 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 유사동형이 존재한다. \((\mathcal{A}, \text{d}) \to (\mathcal{B}, \text{d})\)이고, \(\mathcal{A}\)는 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로서 등급 평탄하며 K-평탄하다. 또한 환 달린 위상공간의 임의의 사상에 의한 당김 뒤에도 같은 성질이 성립한다.

증명

증명은 보조정리 0FSH의 첫 번째 증명과 정확히 같지만, 이번에는 자유 등급 가군 대신 자유 등급 대수를 사용한다.

보조정리 0FU1에서와 같이 다음을 구성하여 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)를 만들 것이다. \[\mathcal{A}_0 \to \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2 \to \ldots \to \mathcal{B}\] \(\mathcal{S}_0\)를 등급 집합의 층 (비고 0FSF)으로 두고, 그 \(n\)차 부분이 \(\Ker(\text{d}_\mathcal{B}^n)\)이게 하자. 다음 미분 등급 가군 사상을 생각하자. \[\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \rangle \longrightarrow \mathcal{B}\] 이 사상은 \(\mathcal{S}_0\)의 국소 단면 \(s\)를 이에 대응하는 \(\mathcal{A}^{\deg(s)}\)의 국소 단면으로 보낸다. (이는 미분의 핵에 속하므로 실제로 미분 등급 대수의 사상이다.) 구성에 의해 코호몰로지 층 사이의 유도 사상 \(H^n(\mathcal{A}_0) \to H^n(\mathcal{B})\)는 전사이고, 따라서 이는 모든 \(i\)에 대해 계속 성립한다.

구성의 귀납 단계. \(\mathcal{A}_i \to \mathcal{B}\)가 주어졌다고 하자. 차수 \(n\) 부분이 다음인 등급 집합의 층을 \(\mathcal{S}_{i + 1}\)로 쓰자. \[\Ker(\text{d}_{\mathcal{A}_i}^{n + 1}) \times_{\mathcal{B}^{n + 1}, \text{d}} \mathcal{B}^n\] 이는 다음의 표준 사상을 갖는다. \[\delta_{i + 1} : \mathcal{S}_{i + 1} \longrightarrow \mathcal{A}_i\] 그 상은 구성에 의해 \(\text{d}_{\mathcal{A}_i}\)의 핵에 포함된다. 따라서 \(\mathcal{A}_{i + 1} = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \mathcal{S}_{i + 1}\rangle\)는 이 절의 앞부분에서 논의한 대로 \(\mathcal{A}_i\)의 미분을 확장하는 미분을 갖는다. \(\mathcal{A}_{i + 1}\)에서 \(\mathcal{B}\)로 가는 사상은 \(\mathcal{A}_i\)에서 주어진 사상으로 제한되고, \(\mathcal{S}_{i + 1}\)의 국소 단면 \(s = (a, b)\)를 \(\mathcal{B}\)의 \(b\)로 보내는 유일한 등급 대수 사상이다. 이는 \(\text{d}(b)\)가 \(\mathcal{B}\)에서 \(a\)의 상이기 때문에 정확히 미분과 양립한다.

사상 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)는 유사동형이다. 실제로 \(H^n(\mathcal{A}) = \colim H^n(\mathcal{A}_i)\)이고, 각 \(i\)에 대해 사상 \(H^n(\mathcal{A}_i) \to H^n(\mathcal{B})\)는 전사이며 그 핵은 구성에 의해 \(H^n(\mathcal{A}_i) \to H^n(\mathcal{A}_{i + 1})\)에 의해 소멸한다. 마지막으로 \(\mathcal{A}\)의 평탄성 조건은 보조정리 0FU1에서 보였다.

기타 사항

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라고 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이라고 하자. 다음 합성을 사용한다.³ \[\mathcal{A} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}\] 그리고 상대 컵곱 (Cohomology on Sites, 비고 0B6C 및 절 0FPJ 참조)을 사용하면 곱셈을 얻는다.⁴ \[\mu : Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{A}\] \(D(\mathcal{O}')\)에서. 이 곱셈은 다음 도표가 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu \otimes 1} \ar[d]_{1 \otimes \mu} & & Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^\mu \\ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-\mu & & Rf_*\mathcal{A} }\] \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환한다. 이는 Cohomology on Sites, 보조정리 0FPL에서 따른다. 정확히 같은 방법으로, 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)이 주어지면 곱셈 \[\mu_\mathcal{M} : Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{M}\] \(D(\mathcal{O}')\)에서 얻는다. 이 곱셈은 위의 \(\mu\)와 양립하며, 다음 도표가 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_\mathcal{M} \otimes 1} \ar[d]_{1 \otimes \mu} & & Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^{\mu_\mathcal{M}} \\ Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_\mathcal{M}} & & Rf_*\mathcal{M} }\] \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환하며, 이번에도 Cohomology on Sites, 보조정리 0FPL에서 따른다.

위의 특별한 예로 \(f\)를 점 토포스 \(\Sh(pt)\)로 가는 사상으로 취하는 경우를 들 수 있다. 이때 \(\mu\)는 컵곱 사상 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}), \quad \eta \otimes \theta \mapsto \eta \cup \theta\] 마찬가지로 \(\mu_\mathcal{M}\)은 컵곱 사상 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}), \quad \eta \otimes \theta \mapsto \eta \cup \theta\] 일반적으로 다음 식별을 통해 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) = R\Gamma(\mathcal{C}', Rf_*\mathcal{A}) \quad\text{and}\quad R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = R\Gamma(\mathcal{C}', Rf_*\mathcal{M})\] Cohomology on Sites, 비고 08J6에 의해 \(\mu_\mathcal{M}\)은 코호몰로지에서 컵곱을 유도한다. 이를 보려면 Cohomology on Sites, 보조정리 0FPN를 사용하자. 여기서 두 번째 토포스 사상은 위와 같이 \(\Sh(\mathcal{C}')\)에서 점 토포스로 가는 사상이다.

\(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2\)가 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형이면 다음 도표는 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_{\mathcal{M}_1}} \ar[d] & & Rf_*\mathcal{M}_1 \ar[d] \\ Rf_*\mathcal{M}_2 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}_2}} & & Rf_*\mathcal{M}_2 }\] \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환한다. 이는 상대 컵곱이 함자적이라는 사실에서 따른다. 다음 짧은 완전열이 주어졌다고 하자. \[0 \to \mathcal{M}_1 \xrightarrow{a} \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3 \to 0\] 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 완전열이다. 그러면 다음 도표가 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M}_3 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_{\mathcal{M}_3}} \ar[d]_{Rf_*\delta \otimes \text{id}} & & Rf_*\mathcal{M}_3 \ar[d]^{Rf_*\delta} \\ Rf_*\mathcal{M}_1[1] \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}_1[1]}} & & Rf_*\mathcal{M}_1[1] }\] \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환한다. 여기서 \(\delta : \mathcal{M}_3 \to \mathcal{M}_1[1]\)는 주어진 짧은 완전열에서 오는 \(D(\mathcal{O})\)의 사상이다 (Derived Categories, 절 014Z 참조). 이 완전열이 등급 오른쪽 \(\mathcal{A}\)-가군의 완전열로서 분할되면 이는 자명하다. 이 경우 \(\delta\)를 오른쪽 \(\mathcal{A}\)-가군의 사상으로 나타낼 수 있으므로 위 논의를 적용할 수 있다. 일반적인 경우에는 \(a\)의 원뿔과 다음 도표를 사용한다. \[\xymatrix{ \mathcal{M}_1 \ar[r]_a \ar[d] & \mathcal{M}_2 \ar[r]_i \ar[d] & C(a) \ar[r]_{-p} \ar[d]^q & \mathcal{M}_1[1] \ar[d] \\ \mathcal{M}_1 \ar[r] & \mathcal{M}_2 \ar[r] & \mathcal{M}_3 \ar[r]^\delta & \mathcal{M}_1[1] }\] 오른쪽 정사각형은 Derived Categories, 보조정리 0152에서의 \(\delta\)의 정의에 의해 \(D(\mathcal{O})\)에서 가환한다. 이제 원뿔 \(C(a)\)는 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 구조를 가지며, \(i\), \(p\), \(q\)는 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 준동형이다 (정의 0FS5 참조). 따라서 위 결과에 의해 \(q\)와 \(-p\)에 대응하는 도표들이 가환한다. \(q\)가 \(D(\mathcal{O})\)에서 동형이므로, 원하는 대로 \(\delta\)에 대해서도 같은 결론을 얻는다.

위 상황에서 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)과 다음 원소가 주어졌다고 하자. \[\xi \in H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M})\] 즉 \(\xi\)는 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로 본 \(\mathcal{M}\)의 코호몰로지에서 차수 \(n\)인 코호몰로지류이다. 보조정리 0FTX에 의해 다음 사상들을 구성할 수 있다. \[x : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{M}'[n] \quad\text{and}\quad s : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\] 오른쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 사상으로서 \(s\)는 유사동형이고, 유도 범주 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)에서의 사상 \(s[n]^{-1} \circ x\)를 통해 \(1 \in H^0(\mathcal{C}, \mathcal{A})\)의 상이 \(\xi\)가 되게 한다. 따라서 유도 범주 \(D(\mathcal{O})\)에서도 마찬가지이다. 그러므로 이에 대응하는 사상 \[\xi' = (s[n])^{-1} \circ x : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{M}[n]\] \(D(\mathcal{O})\)에서 다음 두 성질로 유일하게 특징지어진다.

1. \(\xi'\)는 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 사상으로 올릴 수 있다.

2. \(H^0(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) = H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M})\)에서 \(\xi = \xi'(1)\)이다.

앞에서 논의한 상대 컵곱과 \(x\), \(s\)의 양립성을 사용하면, 모든⁵ 환 달린 토포스의 사상 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)에 대해 유도된 직상 \[Rf_*\xi' : Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{M}[n]\] \(\xi'\)는 위에서 구성한 \(\mu\) 및 \(\mu_{\mathcal{M}[n]}\)와 다음 의미에서 양립한다. 즉 도표가 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-\mu \ar[d]_{Rf_*\xi' \otimes \text{id}} & & Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^{Rf_*\xi'} \\ Rf_*\mathcal{M}[n] \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}[n]}} & & Rf_*\mathcal{M}[n] }\] \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환한다. 점 토포스로 가는 사상에 대해 이 양립성을 사용하면 특히 다음을 얻는다. \[\xymatrix{ R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[d]_{\xi' \otimes \text{id}} \ar[r] & R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[d]^{\xi'} \\ R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[r] & R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) }\] 가환한다. \(\xi'(1) = \xi\)와 결합하면 코호몰로지에 유도되는 사상 \[\xi' : R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \to R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]), \quad \eta \mapsto \xi \cup \eta\] 은 표시된 대로 \(\xi\)에 의한 왼쪽 컵곱으로 주어진다.

범주 위의 미분 등급 가군

이 절은 Cohomology on Sites의 절 0GYU의 계속이다.

\(\mathcal{C}\)를 범주라고 하자. \(\mathcal{C}\)를 혼돈 위상을 갖는 사이트로 생각한다. \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층이라고 하자. \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이라고 하자. 즉 \(\mathcal{O}\)는 범주 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 프리셰프이고, \((\mathcal{A}, \text{d})\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 프리셰프이다 (Categories, 정의 02X6 참조).

정의

위 상황에서 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)를 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 다음 성질을 갖는 대상 \(M\)들로 이루어진 충만 부분범주로 정의한다. 즉 \(\mathcal{C}\)의 모든 \(U \to V\)에 대해 표준 사상 \[R\Gamma(V, M) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \longrightarrow R\Gamma(U, M)\] 은 \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\)에서 동형이다.

보조정리

위 상황에서 부분범주 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)는 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이며, 임의의 직합에 대해 보존된다.

증명

\(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\)를 택하자. \(\mathcal{C}\)의 위상이 혼돈 위상이므로 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\)는 정확하고 직합과 가환한다. 따라서 정확한 함자 \(M \mapsto R\Gamma(U, M)\)는 \(K\)를 임의의 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)으로 나타내고 \(\mathcal{M}(U)\)를 취하여 계산된다. 그러므로 \(R\Gamma(U, -)\)는 직합과 가환한다 (보조정리 0FT9 참조). 마찬가지로 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(U \to V\)가 주어지면 유도 텐서곱 함자 \(- \otimes_{\mathcal{O}(A)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) : D(\mathcal{A}(V)) \to D(\mathcal{A}(U))\) 는 정확하고 직합과 가환한다. 보조정리는 이 관찰들로부터 곧바로 따른다. 세부사항은 생략한다.

주

앞과 같이 \(\mathcal{C}\)를 혼돈 위상을 갖는 사이트로 본 범주, \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층, \((\mathcal{A}, \text{d})\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이라고 하자. 그러면 Cohomology on Sites, 명제 0GZ0의 유사한 명제가 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 대해 거의 정확히 같은 증명으로 성립한다.

1. 직합을 곱으로 보내는 임의의 반변 코호몰로지 함자 \(H : \mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Ab}\) 는 표현 가능하다.

2. 임의의 정확한 함자 \(F : \mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathcal{D}\) 삼각 범주 사이의 함자로서 직합을 직합으로 보내는 것은 정확한 오른쪽 수반을 갖는다.

3. 포함 함자 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) has 는 정확한 오른쪽 수반을 갖는다.

필요해지는 경우에는 여기서 이를 정확히 정식화하고 증명할 것이다.

\(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)를 범주 사이의 함자라고 하자. \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}'\)를 혼돈 위상을 갖는 사이트로 보면 \(u\)는 연속이고 쌍연속인 함자이다. 따라서 토포스의 사상 \(g : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{C})\)를 얻는다 (Sites, 보조정리 00XO 참조). 또한 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층 \(\mathcal{O}\)와 \(\mathcal{C}'\) 위의 환의 층 \(\mathcal{O}'\), 그리고 사상 \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 환 달린 토포스의 사상을 간단히 \(g : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), Modules on Sites, 절 01D2 참조). 마지막으로 \((\mathcal{A}, \text{d})\)가 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층이고 \((\mathcal{A}', \text{d})\)가 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수의 층이며, 미분 등급 \(\mathcal{O}'\)-대수의 사상 \(\varphi : g^*\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)가 주어졌다고 하자 (절 0FRT 참조).

보조정리

\(g : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 와 \(\varphi : g^*\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)가 위와 같다고 하자. 그러면 함자 \(Lg^* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) 는 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)를 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\)로 보낸다.

증명

\(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\)를 택하고 그 상을 \(U = u(U')\)가 \(\mathcal{C}\)에서의 상이라고 하자. \(pt\)를 하나의 대상과 하나의 사상만을 갖는 범주라고 하자. \((\Sh(pt), \mathcal{O}'(U'))\)와 \((\Sh(pt), \mathcal{O}(U))\)를 위와 같이 미분 등급 대수 \(\mathcal{A}'(U)\)와 \(\mathcal{A}(U)\)를 갖춘 환 달린 토포스로 두자. 이들의 미분 등급 가군 유도 범주는 각각 \(D(\mathcal{A}'(U'), \text{d})\)와 \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\)로 식별한다. 그러면 환 달린 토포스의 다음 가환 도표가 있다. \[\xymatrix{ (\Sh(pt), \mathcal{O}'(U')) \ar[rr]_{U'} \ar[d] & & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \ar[d]^g \\ (\Sh(pt), \mathcal{O}(U)) \ar[rr]^U & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) }\] 각 토포스에는 대응하는 미분 등급 대수가 주어져 있다. 아래 수평 사상에 따른 당김은 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 \(M\)을 \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\)의 대상으로 본 \(R\Gamma(U, K)\)로 보낸다. 왼쪽 수직 사상에 따른 당김은 \(M\)을 \(M \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U')\). 도표를 어느 방향으로 돌아도 같은 결과를 주므로 (보조정리 0FTI) 다음을 얻는다. \[R\Gamma(U', Lg^*K) = R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U')\] 마지막으로 \(f' : U' \to V'\)를 \(\mathcal{C}'\)의 사상이라 하고, 그 상을 \(\mathcal{C}\)에서의 \(f = u(f') : U = u(U') \to V = u(V')\)로 쓰자. \(K\)가 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 속하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} R\Gamma(V', Lg^*K) \otimes_{\mathcal{A}'(V')}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(U', Lg^*K) \end{align*}\] 원하는 결론이다. 여기서는 위의 관찰을 \(U'\)와 \(V'\) 모두에 사용했다.

범주 위의 미분 등급 가군, 계속

절 0GZ8에서 도입한 준연접 가군의 개념에 대해 몇 가지 결과를 더 전개한다.

보조정리

\(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\)가 절 0GZ8에서와 같다고 하자. \(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\)를 다음 성질을 갖는 충만 부분범주라고 하자. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 화살표 \(U \to U'\)들의 범주 \(U/\mathcal{C}'\)가 여과공이다. \(\mathcal{O}', \mathcal{A}'\)를 \(\mathcal{C}'\)에 대한 \(\mathcal{O}, \mathcal{A}\)의 제한이라고 하자. 그러면 제한은 다음 동치를 유도한다. \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\).

증명

이 함자의 준역함자를 구성하자. 즉 \(M'\)를 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\)의 대상이라고 하자. 보조정리 0FSH에 따라 \(M'\)를 좋은 미분 등급 가군 \(\mathcal{M}'\)으로 나타낼 수 있다. 그러면 모든 \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\)에 대해 미분 등급 \(\mathcal{A}'(U')\)-가군 \(\mathcal{M}'(U)\)는 K-평탄하고 등급 평탄하다. 또한 \(\mathcal{C}'\)의 모든 사상 \(U'_1 \to U'_2\)에 대해 다음 사상은 \[\mathcal{M}'(U'_2) \otimes_{\mathcal{A}'(U'_2)} \mathcal{A}'(U'_1) \longrightarrow \mathcal{M}'(U'_1)\] 유사동형이다 (그 원천이 유도 텐서곱을 나타내기 때문이다). 다음 규칙으로 정의되는 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{M}\)을 생각하자. \[\mathcal{M}(U) = \colim_{U \to U' \in U/\mathcal{C}'} \mathcal{M}'(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\] 이는 보조정리의 가정에 의해 복합체들의 여과 직결한계이다. \(M'\)가 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\)에 속하므로 계의 모든 전이 사상은 유사동형이다. 여과 직결한계는 정확하므로, \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\)인 임의의 사상 \(U \to U'\)에 대해 \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\)에서 \(\mathcal{M}(U)\)는 \(\mathcal{M}'(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\)와 동형이다.

\(\mathcal{M}\)이 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)에 속함을 보이자. 즉 \(\mathcal{C}\)에서 \(U \to V\)가 주어지면 \(V' \in \Ob(\mathcal{C}')\)인 사상 \(V \to V'\)를 택한다. 위 결과에 의해 사상 \(\mathcal{M}(V) \to \mathcal{M}(U)\)는 다음 사상으로 식별된다. \[\mathcal{M}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')} \mathcal{A}(V) \longrightarrow \mathcal{M}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')} \mathcal{A}(U)\] \(\mathcal{M'}(V')\)는 미분 등급 \(\mathcal{A}'(V')\)-가군으로서 K-평탄하므로 주장이 성립한다.

자연 사상 \(\mathcal{M}|_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{M}'\)는 위에서 즉시 따르는 대로 \(D(\mathcal{A}', d)\)에서 동형이다.

반대로 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)의 대상 \(E\)가 주어지면 이를 좋은 미분 등급 가군 \(\mathcal{E}\)로 나타내자. \(\mathcal{M}' = \mathcal{E}|_{\mathcal{C}'}\)로 두면 (이는 또 다른 좋은 미분 등급 가군이다) 다음 사상이 존재한다. \[\mathcal{E} \to \mathcal{M}\] 이는 \(\mathcal{C}\)의 \(U\) 위에서 다음 사상으로 주어진다. \[\mathcal{E}(U) \longrightarrow \colim_{U \to U' \in U/\mathcal{C}'} \mathcal{E}(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\] 같은 이유로 이는 유사동형이다. 따라서 제한과 위 구성은 원하는 대로 서로 준역함자이다.

보조정리

\(\mathcal{C}, \mathcal{O}\)가 절 0GZ8에서와 같다고 하자. \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 코호몰로지 층에서 동형을 유도하는 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 준동형이라고 하자. 그러면 다음 동치 \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) 보조정리 0FTZ가 다음 동치를 유도한다. \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B}, \text{d})\).

증명

다음을 보이면 충분하다. \(\mathcal{C}\)의 사상 \(U \to V\)와 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\)의 \(M\)이 주어졌을 때 다음 두 조건은 동치이다.

1. \(R\Gamma(V, M) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \to \Gamma(U, M)\)는 \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\)에서 동형이다.

2. \(R\Gamma(V, M \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}) \otimes_{\mathcal{B}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{B}(U) \to \Gamma(U, M \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B})\) 는 \(D(\mathcal{B}(U), \text{d})\)에서 동형이다.

\(\mathcal{C}\)의 위상이 혼돈 위상이므로 이는 단순히 \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{B}(U)\)와 \(\mathcal{A}(V) \to \mathcal{B}(V)\)가 유사동형이라는 사실로 귀결된다. 세부사항은 생략한다.

미분 등급 대수의 역계

이 절에서는 절 0GZ8에서 논의한 상황의 다음 특수한 경우를 생각한다.

1. \(\mathcal{C}\)는 범주 \(\mathbf{N}\)이며, \(i \leq j\)일 때 그리고 그때에만 \(i \to j\)라는 유일한 사상이 있다.

2. \(\mathcal{O}\)는 주어진 환 \(R\)을 값으로 갖는 상수 (프리)층이다.

이 설정에서 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수의 층 \(\mathcal{A}\)는 미분 등급 \(R\)-대수의 역계 \((A_n)\)와 같다. 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 층 \(\mathcal{M}\)은, \(M_n\)이 미분 등급 \(A_n\)-가군이고 전이 사상 \(M_{n + 1} \to M_n\)이 \(A_{n + 1}\)-가군 사상인 역계 \((M_n)\)와 같다. 이 절에서는 표기에서 미분을 생략하고, 정의 0GZ9에서 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\)로 표시한 범주를 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)로 쓰겠다.

\(\mathcal{B} = (B_n)\)가 두 번째 미분 등급 \(R\)-대수 역계라고 하자. 프로 대상의 사상 \(\varphi : (A_n) \to (B_n)\)이 주어지면 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)에서 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)로 가는 정확한 함자를 구성할 것이다. 구체적으로 Categories, 예 0G2W 사상 \(\varphi\)는 정수의 수열 \(\ldots \geq m(3) \geq m(2) \geq m(1)\)과 다음 가환 도표로 주어진다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & A_{m(3)} \ar[d]^{\varphi_3} \ar[r] & A_{m(2)} \ar[d]^{\varphi_2} \ar[r] & A_{m(1)} \ar[d]^{\varphi_1} \\ \ldots \ar[r] & B_3 \ar[r] & B_2 \ar[r] & B_1 }\] 미분 등급 \(R\)-대수의 도표이다. \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)의 대상을 나타내는 좋은 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군의 층 \(\mathcal{M} = (M_n)\)이 주어지면 다음과 같이 둘 수 있다. \[N_n = M_{m(n)} \otimes_{A_{m(n)}} B_n\] 이 역계는 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)의 대상을 정한다. \(A_{m(n)}\)-가군 \(M_{m(n)}\)이 K-평탄하기 때문이다. 세부사항은 생략한다. 구성에서 한 선택과 무관하게 결과 함자가 정해짐을 보이는 일은 독자에게 맡긴다.

보조정리

위 상황에서 \(\mathcal{A} = (A_n)\)와 \(\mathcal{B} = (B_n)\)가 미분 등급 \(R\)-대수의 역계라고 하자. \(\varphi : (A_n) \to (B_n)\)가 프로 대상의 동형이면, 위에서 구성한 함자 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B})\)는 동치이다.

증명

\(\psi : (B_n) \to (A_n)\)를 \(\varphi\)의 역인 프로 대상의 사상이라고 하자. 앞의 Categories, 예 0G2W 에 따라 \(\varphi\)가 위와 같은 사상들의 계로 주어지고 \(\psi\)가 \(n(1) < n(2) < \ldots\)와 다음 가환 도표로 주어진다고 가정할 수 있다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & B_{n(3)} \ar[d]^{\psi_3} \ar[r] & B_{n(2)} \ar[d]^{\psi_2} \ar[r] & B_{n(1)} \ar[d]^{\psi_1} \\ \ldots \ar[r] & A_3 \ar[r] & A_2 \ar[r] & A_1 }\] 미분 등급 \(R\)-대수의 도표이다. \(\varphi \circ \psi = \text{id}\)이므로, 함수 \(n(\cdot)\)와 \(m(\cdot)\)의 값을 필요하면 증가시켜 \(B_{n(m(i))} \to A_{m(i)} \to B_i\)가 전이 사상이 되게 가정할 수 있다. 따라서 다음 함자들의 합성 \[\mathit{QC}(\mathcal{B}) \to \mathit{QC}(\mathcal{A}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B})\] 은 좋은 미분 등급 \(\mathcal{B}\)-가군의 층 \(\mathcal{N} = (N_n)\)을 다음 값을 갖는 역계 \(\mathcal{N}' = (N'_i)\)로 보낸다. \[N'_i = N_{n(m(i))} \otimes_{B_{n(m(i))}} B_i\] 이는 \(\mathcal{N}\)이 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)의 대상이고 모든 \(j\)에 대해 \(N_j\)가 K-평탄 미분 등급 가군이기 때문에 표준적으로 \(\mathcal{N}\)과 유사동형이다. 반대 방향의 합성에도 같은 사실이 성립하므로 결론을 얻는다.

\(\mathcal{C} = \mathbf{N}\)이고 \(\mathcal{O}\)가 환 \(R\)을 값으로 갖는 상수층이며, \(\mathcal{A}\)가 미분 등급 \(R\)-대수의 역계 \((A_n)\)으로 주어진다고 하자. 역계 \((N_n)\)과 \((N'_n)\)으로 주어진 두 왼쪽 미분 등급 \(\mathcal{A}\)-가군 \(\mathcal{N}\)과 \(\mathcal{N}'\)을 생각하자. 따라서 각 \(N_n\)과 \(N'_n\)은 왼쪽 미분 등급 \(A_n\)-가군이다. 다음 정수 수열과 사상들이 존재할 때 \((N_n)\)과 \((N'_n)\)이 it 유도 범주에서 프로 동형이라고 잠시 부르자. \[1 = n_0 < n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\] 그리고 사상 \[N_{n_{2i}} \to N'_{n_{2i - 1}} \quad\text{in}\quad D(A_{n_{2i}}^{opp}, \text{d})\] 및 \[N'_{n_{2i + 1}} \to N'_{n_{2i}} \quad\text{in}\quad D(A_{n_{2i + 1}}^{opp}, \text{d})\] 이때 합성 \(N_{n_{2i}} \to N_{n_{2i - 2}}\)와 \(N'_{n_{2i + 1}} \to N'_{2i - 1}\)은 각각의 계의 전이 사상으로 주어진다.

보조정리

\((N_n)\)과 \((N'_n)\)이 위에서 정의한 의미로 유도 범주에서 프로 동형이면, \(D(\mathbf{N}, \mathcal{A})\)의 모든 대상 \((M_n)\)에 대해 다음이 성립한다. \[R\lim (M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N_n) = R\lim (M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N'_n)\] \(D(R)\)에서.

증명

가정에 의해 \(D(R)\)의 역계 \((M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N_n)\)은 통상적인 의미에서 \(D(R)\)의 역계 \((M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N'_n)\)과 프로 동형이다. 따라서 결과는 More on Algebra, 보조정리 0H9L에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_r \in R\)라 하자. \(K_n\)을 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\)에 대한 코쥘 복합체를 미분 등급 \(R\)-대수로 본 것이라 하자. \((M_n)\)을 \(D(\mathbf{N}, (K_n))\)의 대상이라고 하자. 그러면 임의의 \(t \geq 1\)에 대해 다음이 성립한다. \[R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t) = R\lim (M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} K_t)\] \(D(R)\)에서.

증명

\(t \geq 1\)을 고정하자. \(n \geq t\)에 대해 미분 등급 \(R\)-대수 \(K_t\)를 왼쪽 미분 등급 \(K_n\)-가군으로 본 것을 \({}_nK_t\)로 쓰자. 다음을 관찰하자. \[M_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t = M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} (K_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t) = M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} (K_n \otimes_R K_t)\] 따라서 보조정리 0GZI에 의해 \(({}_nK_t)\)와 \((K_n \otimes_R K_t)\)가 유도 범주에서 프로 동형임을 보이면 충분하다. 곱셈 사상 \[K_n \otimes_R K_t \longrightarrow {}_nK_t\] 은 왼쪽 미분 등급 \(K_n\)-가군의 사상이다. 따라서 증명을 마치려면 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(N > n\)과 다음 사상이 존재하여 \[{}_NK_t \longrightarrow {}_NK_n \otimes_R K_t\] \(D(K_N^{opp}, \text{d})\)에서 이 사상과 곱셈 사상의 합성이 어느 방향에서든 전이 사상이 됨을 보이면 충분하다. 이는 Divided Power Algebra, 보조정리 0GZ7에서 명시적 구성으로 행해진다.

명제

\(R\)을 뇌터 환이라 하고 \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. 다음 세 범주는 표준적으로 동치이다.

1. \(\mathcal{A}\)를 \(R\)-대수의 역계 \(A_n = R/I^n\)에 대응하는 \(\mathbf{N}\) 위의 \(R\)-대수의 층이라고 하자. 범주 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\).

2. \(I\)의 생성원 \(f_1, \ldots, f_r\)을 택하자. \(\mathcal{B}\)를 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\)에 대한 코쥘 대수의 역계에 대응하는 \(\mathbf{N}\) 위의 미분 등급 \(R\)-대수의 층이라고 하자. 범주 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\).

3. 유도 완비 대상들로 이루어진 충만 부분범주 \(D_{comp}(R, I) \subset D(R)\) (More on Algebra, 정의 091S 및 그 뒤의 글 참조).

증명

환 달린 토포스의 자명한 사상 \(f : (\Sh(\mathbf{N}), \mathcal{A}) \to (\Sh(pt), R)\) 을 생각하고 수반 함자 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)를 생각하자. 첫 번째 함자는 다음 함자로 제한된다. \[F : D_{comp}(R, I) \longrightarrow \mathit{QC}(\mathcal{A})\] 이는 K-평탄 복합체 \(K^\bullet\)로 나타낸 \(D_{comp}(R, I)\)의 대상 \(K\)를 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)의 대상 \((K^\bullet \otimes_R R/I^n)\)으로 보낸다. 두 번째 함자는 다음 함자로 제한된다. \[G : \mathit{QC}(\mathcal{A}) \longrightarrow D_{comp}(R, I)\] 이는 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)의 대상 \((M_n^\bullet)\)을 \(R\lim M_n^\bullet\)로 보낸다. 그 결과는 예를 들어 More on Algebra, 보조정리 091W에 의해 유도 완비이다. 또한 More on Algebra, 명제 0922 에서 \(G \circ F = \text{id}\)가 따른다. 따라서 \(F\)와 \(G\)가 서로 준역인 동치임을 보이려면 \(G\)의 핵이 영임을 보이면 충분하다 (Derived Categories, 보조정리 09J1 참조). 그러나 이를 직접 보이는 것은 쉽지 않아 보인다!

이 문단에서는 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)와 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)가 동치임을 보인다. \(\mathcal{B} = (B_n)\)로 쓰자. 여기서 \(B_n\)은 코쥘 복합체를 차수 \(-r, -r + 1, \ldots, 0\)의 코체인 복합체로 본 것이다. Divided Power Algebra, 비고 0GZ5에 의해 (단, 체인 복합체를 코체인 복합체로 바꾸어) \(1 < n_1 < n_2 < \ldots\)와 미분 등급 \(R\)-대수의 사상 \(B_{n_i} \to E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) 및 \(E_i \to B_{n_{i - 1}}\)를 찾아서 다음이 성립하게 할 수 있다. \[\xymatrix{ B_{n_1} \ar[d] & B_{n_2} \ar[d] \ar[l] & B_{n_3} \ar[d] \ar[l] & \ldots \ar[l] \\ E_1 \ar[d] & E_2 \ar[l] \ar[d] & E_3 \ar[l] \ar[d] & \ldots \ar[l] \\ B_1 & B_{n_1} \ar[l] & B_{n_2} \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] 이는 미분 등급 \(R\)-대수의 가환 도표이고, \(E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\)는 유사동형이다. 따라서 다음을 얻는다.

1. \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)와 \(\mathit{QC}((E_i))\) 사이에 동치가 있다.

2. \(\mathit{QC}((E_i))\)와 \(\mathit{QC}((R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})))\) 사이에 동치가 있다.

3. \(\mathit{QC}((R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})))\)와 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 사이에 동치가 있다.

실제로 (1)에 대해서는 위 도표에 보조정리 0GZH을 적용할 수 있으며, 이 도표는 \((E_i)\)와 \((B_n)\)이 프로 동형임을 보인다. (2)에 대해서는 유사동형의 역계 \(E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\)에 보조정리 0GZF를 적용할 수 있다. (3)에 대해서는 보조정리 0GZH과 역계 \((R/I^n)\) 및 \((R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\)가 프로 동형이라는 초등적 사실을 적용할 수 있다.

증명의 첫 문단에서와 정확히 같이 수반 함자를 정의할 수 있다.⁶ \[F' : D_{comp}(R, I) \longrightarrow \mathit{QC}(\mathcal{B}) \quad\text{and}\quad G' : \mathit{QC}(\mathcal{B}) \longrightarrow D_{comp}(R, I).\] 첫 번째 함자는 K-평탄 복합체 \(K^\bullet\)로 나타낸 \(D_{comp}(R, I)\)의 대상 \(K\)를 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)의 대상 \((K^\bullet \otimes_R B_n)\)으로 보낸다. 두 번째 함자는 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)의 대상 \((M_n)\)을 \(R\lim M_n\)으로 보낸다. 위와 같이 논증하면 \(G'\)의 핵이 영임을 보이면 충분하다. 그러므로 \(\mathcal{M} = (M_n)\)을 \(G'\)의 핵에 있는 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)의 대상을 나타내는, \(\mathcal{B}\) 위의 좋은 미분 등급 가군의 층이라고 하자. 그러면 \[0 = R\lim M_n \Rightarrow 0 = (R\lim M_n) \otimes_R^\mathbf{L} B_t = R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} B_t)\] 보조정리 0GZJ에 의해 \(R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} B_t) = R\lim (M_n \otimes_{B_n}^\mathbf{L} B_t)\). \((M_n)\)이 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)의 대상이므로 역계 \(M_n \otimes_{B_n}^\mathbf{L} B_t\)는 결국 \(M_t\)라는 값으로 상수이다. 따라서 원하는 대로 \(M_t = 0\)이다.

주

\(R\)을 환이라 하고, \(f_1, \ldots, f_r \in R\)을 아이디얼 \(I\)를 생성하는 원소들의 수열이라고 하자. \(K_n\)을 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\)에 대한 코쥘 복합체를 미분 등급 \(R\)-대수로 본 것이라 하자. 모든 \(n\)에 대해 \(m > n\)이 존재하여 \(K_m \to K_n\)이 차수 \(0\)을 제외한 코호몰로지에서 영사상을 유도하면 \(f_1, \ldots, f_r\)을 약한 프로정칙 수열이라고 한다. 그러면 \(R\)이 뇌터 환이 아니어도 명제 0GZK의 증명에 있는 논증들이 계속 성립한다. 특히 \(I\)가 약한 프로정칙 수열로 생성될 수 있으면 \(\mathit{QC}(\{R/I^n\})\)는 \(R\)-선형 삼각 범주로서 유도 완비 대상들의 범주 \(D_{comp}(R, I)\)와 동치이다. 필요해지는 경우에는 여기서 이를 정확히 진술하고 증명할 것이다.