스킴의 성질

서론

이 장에서는 스킴의 몇 가지 절대적 성질을 도입한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

구성가능 집합

구성가능 집합과 국소 구성가능 집합은 Topology의 절 04ZC에서 도입하였다. 스킴의 국소 구성가능 부분집합은 다음과 같이 특징지을 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E\)를 \(X\)의 부분집합이라 하자. 이 부분집합이 \(X\)에서 국소 구성가능일 필요충분조건은 모든 아핀 열린집합에 대하여 \(E \cap U\)가 \(U\)에서 구성가능한 것이다. 여기서 \(U\)는 \(X\)의 아핀 열린집합이다.

증명

\(E\)가 국소 구성가능하다고 가정하자. 그러면 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 \(E \cap U_i\)가 \(U_i\)에서 각 \(i\)에 대해 구성가능하다. \(V \subset X\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하자. 유한 아핀 열린 덮개 \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)을 각 \(j\)에 대하여 \(V_j \subset U_i\)이고 어떤 \(i = i(j)\)가 존재하도록 택할 수 있다. Topology의 보조정리 005J에 의해 각 \(E \cap V_j\)는 \(V_j\)에서 구성가능하다. 포함사상 \(V_j \to V\)는 준콤팩트이므로(Schemes의 보조정리 01K4를 보라), Topology의 보조정리 053W에 의해 \(E \cap V\)가 \(V\)에서 구성가능하다고 결론 내린다. 역은 자명하다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(E \subset X\)를 국소 구성가능 부분집합이라 하자. \(\xi \in X\)를 \(X\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자.

1. \(\xi \in E\)이면, \(\xi\)의 어떤 열린 근방이 \(E\)에 포함된다.

2. \(\xi \not \in E\)이면, \(\xi\)의 어떤 열린 근방이 \(E\)와 만나지 않는다.

증명

국소 구성가능 부분집합의 여집합도 국소 구성가능하므로 (2)만 보이면 충분하다. \(X\)가 아핀이고 따라서 \(E\)가 구성가능하다고 가정해도 된다(보조정리 054C). 이 경우 \(X\)는 스펙트럴 공간이다 (Algebra의 보조정리 090M). 그러면 Topology의 보조정리 0903와 \(\xi \not \in E\)이면 \(\xi \not \in \overline{E}\)라는 사실을 얻는다. 여기에는 \(X\)에서 \(\xi\)와 다른 점 가운데 \(\xi\)로 특수화되는 점이 없다는 사실도 사용하였다.

보조정리

\(X\)를 준분리 스킴이라 하자. \(X\)의 임의의 두 준콤팩트 열린집합의 교집합은 \(X\)의 준콤팩트 열린집합이다. \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 \(X\)에서 레트로콤팩트이다.

증명

\(U\)와 \(V\)가 준콤팩트 열린집합이면 \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\)이고, 여기서 \(\Delta : X \to X \times X\)는 대각사상이다. \(X\)가 준분리이므로 \(\Delta\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(U \cap V\)는 준콤팩트이다. 실제로 \(U \times V\)가 준콤팩트이다 (세부사항은 생략한다. \(U \times V\)가 아핀들의 유한 합집합임을 보이려면 Schemes의 보조정리 01JS를 사용하라). 나머지 주장들은 첫 주장과 Topology의 보조정리 0069에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)의 기저 위상공간은 스펙트럴 공간이다.

증명

Topology의 정의 08YG에 의해, \(X\)가 소버이고 준콤팩트이며 준콤팩트 열린집합들로 이루어진 기저를 갖고, 임의의 두 준콤팩트 열린집합의 교집합이 준콤팩트임을 확인해야 한다. 이는 Schemes의 보조정리 01IS와 01IT, 그리고 위의 보조정리 054D에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(X\)의 모든 국소 구성가능 부분집합은 구성가능하다.

증명

\(X\)가 준콤팩트이므로 유한 아핀 열린 덮개 \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)을 택할 수 있다. \(X\)가 준분리이므로 보조정리 054D에 의해 각 \(V_i\)는 \(X\)에서 레트로콤팩트이다. 따라서 Topology의 보조정리 053W에 의해, \(E \subset X\)가 \(X\)에서 구성가능할 필요충분조건은 각 \(E \cap V_j\)가 \(V_j\)에서 구성가능한 것이다. 그러므로 보조정리 054C를 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E\)를 \(X\)의 부분집합이라 하자. 이 부분집합이 \(X\)에서 레트로콤팩트일 필요충분조건은 \(E \cap U\)가 \(U\)에서 준콤팩트인 것이 \(X\)의 모든 아핀 열린집합에 대해 성립하는 것이다.

증명

\(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 아핀 열린집합들의 유한 합집합이라는 사실에서 바로 따른다.

보조정리

\(X = \coprod_{i \in I} X_i\)를 스킴 \(X\)의 레트로콤팩트 부분들로 이루어진 분할이라 하자. 이 분할이 국소 유한일 필요충분조건은 각 부분이 국소 구성가능한 것이다.

증명

레트로콤팩트, 분할, 국소 유한의 정의는 Topology의 정의 005A, 09XZ, 그리고 0BDS를 보라.

분할이 국소 유한이고 \(U \subset X\)가 아핀 열린집합이라고 하자. 그러면 \(U = \coprod_{i \in I} U \cap X_i\)는 유한 분할이다(더 정확히 말하면, 유한 개를 제외한 모든 부분이 공집합이다). 따라서 \(U \cap X_i\)는 준콤팩트이고, 그 여집합은 레트로콤팩트 부분들의 유한 합집합이므로 \(U\)에서 레트로콤팩트이다. 따라서 Topology의 보조정리 0F2K에 의해 \(U \cap X_i\)는 구성가능하다. 그러므로 보조정리 054C에 의해 \(X_i\)는 국소 구성가능하다.

각 부분이 국소 구성가능하다고 가정하자. 그러면 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 구성가능 부분집합들로 이루어진 덮개 \(U = \coprod X_i \cap U\)를 얻는다. 구성가능 위상이 준콤팩트이므로 (Topology의 보조정리 0901를 보라), 이 덮개는 유한 세분을 갖는다. 즉, 분할은 국소 유한이다.

정수적, 기약, 축약 스킴

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 공집합이 아니고 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)에 대하여 환 \(R\)이 정역이면, 이 스킴이 정수적이라고 한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 축약이다. Schemes의 정의 01J0를 보라.

2. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)\)가 축약환이다.

3. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 축약환이다.

4. 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 축약환이다.

증명

Schemes의 보조정리 01J1와 01J2를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 기약이다.

2. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 존재하여 \(I\)가 공집합이 아니고, \(U_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대하여 기약이며, \(U_i \cap U_j \not = \emptyset\)가 모든 \(i, j \in I\)에 대하여 성립한다.

3. 스킴 \(X\)는 공집합이 아니고 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)는 기약이다.

증명

(1)을 가정하자. Schemes의 보조정리 01IS에 의해 \(X\)는 유일한 일반점 \(\eta\)를 갖는다. 그러면 \(X = \overline{\{\eta\}}\)이다. 따라서 \(\eta\)는 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)의 원소이다. 이는 \(\eta \in U\)가 조밀하고 따라서 \(U\)가 기약임을 뜻한다. 또한 임의의 두 공집합이 아닌 아핀 열린집합이 만남을 뜻한다. 그러므로 (1)은 (2)와 (3)을 모두 함의한다.

(2)를 가정하자. \(X = Z_1 \cup Z_2\)가 두 닫힌 부분집합의 합집합이라고 하자. 모든 \(i\)에 대하여 \(U_i \subset Z_1\) 또는 \(U_i \subset Z_2\)이다. 어떤 \(i \in I\)를 택하고 \(U_i \subset Z_1\)이라고 가정하자 (필요하면 \(Z_1\), \(Z_2\)의 번호를 바꾼다). 임의의 \(j \in I\)에 대하여 열린 부분집합 \(U_i \cap U_j\)는 \(U_j\)에서 조밀하고 닫힌 부분집합 \(Z_1 \cap U_j\)에 포함된다. 따라서 \(U_j \subset Z_1\)이다. 그러므로 원하는 대로 \(X = Z_1\)이다.

(3)을 가정하자. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하자. 각 \(U_i\)가 공집합이 아니라고 가정해도 된다. \(X\)가 공집합이 아니므로 \(I\)도 공집합이 아니다. 가정에 의해 각 \(U_i\)는 기약이다. \(U_i \cap U_j = \emptyset\)인 어떤 쌍 \(i, j \in I\)가 있다고 하자. 그러면 열린집합 \(U_i \amalg U_j = U_i \cup U_j\)는 아핀이다. Schemes의 보조정리 01I5를 보라. 따라서 가정에 의해 이 열린집합은 기약인데, 이는 모순이다. 그러므로 (3)은 (2)를 함의한다. 보조정리가 증명되었다.

보조정리

스킴 \(X\)가 정수적일 필요충분조건은 그것이 축약이고 기약인 것이다.

증명

\(X\)가 기약이면 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)는 기약이다. \(X\)가 축약이면 위의 보조정리 01OL에 의해 \(R\)은 축약환이다. 따라서 \(R\)은 축약환이고 \((0)\)은 소 아이디얼이다. 즉, \(R\)은 정역이다.

\(X\)가 정수적이면 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)에 대하여 환 \(R\)은 축약이고, 따라서 보조정리 01OL에 의해 \(X\)는 축약이다. 더욱이 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합은 기약이다. 따라서 보조정리 01OM에 의해 \(X\)는 기약이다.

Examples의 절 0568에서는 모든 국소환이 정역이지만 정수적이지 않은 연결 아핀 스킴을 구성한다.

환의 성질로 정의되는 스킴의 유형

이 절에서는 환의 어떤 성질들로 스킴의 국소 성질을 정의할 수 있는지 연구한다.

정의

\(P\)를 환의 성질이라 하자. 다음이 성립할 때 \(P\)가 국소적이라고 한다.

1. 임의의 환 \(R\)과 임의의 \(f \in R\)에 대하여 \(P(R) \Rightarrow P(R_f)\)이다.

2. 임의의 환 \(R\)과 \(f_i \in R\)에 대하여 \((f_1, \ldots, f_n) = R\)이면 \(\forall i, P(R_{f_i}) \Rightarrow P(R)\)이다.

정의

\(P\)를 환의 성질이라 하자. \(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 국소적으로 \(P\)라고 함은, 임의의 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린 근방 \(U\)가 \(x\)를 포함하도록 \(X\) 안에 존재하고 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 성질 \(P\)를 가지는 경우이다.

이는 해당 성질이 국소적일 때에만 좋은 개념이다. \(P\)가 국소 성질이더라도, 다른 곳에서 그 정의를 명시적으로 서술하지 않는 한 이 정의를 자동으로 사용하여 스킴이 “국소적으로 \(P\)”라고 말하지는 않을 것이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(P\)를 환의 국소 성질이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 국소적으로 \(P\)이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 성질 \(P(\mathcal{O}_X(U))\)가 성립한다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 \(P\)를 만족한다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 국소적으로 \(P\)이다.

더욱이 \(X\)가 국소적으로 \(P\)이면 모든 열린 부분스킴도 국소적으로 \(P\)이다.

증명

물론 (1) \(\Leftrightarrow\) (3)이고 (2) \(\Rightarrow\) (1)이다. (3) \(\Rightarrow\) (2)이면 보조정리의 마지막 주장도 성립하며, (4)도 (1)과 동치라는 것이 쉽게 따른다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (2)를 보이면 된다.

\(X = \bigcup U_i\)를 아핀 열린 덮개라 하고 \(U_i = \Spec(R_i)\)라고 하자. \(P(R_i)\)라고 가정하자. \(\Spec(R) = U \subset X\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하자. Schemes의 보조정리 01IX에 의해 \(U = \Spec(R)\)에는 표준 열린집합 \(D(f_j)\)들로 이루어진 표준 덮개가 존재하여 각 환 \(R_{f_j}\)는 환들 \(R_i\) 가운데 하나의 주 국소화이다. 정의 01OP (1)에 의해 \(P(R_{f_j})\)를 얻는다. 그러므로 정의 01OP (2)에 의해 \(P(R)\)이다.

응용의 한 예는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 축약일 필요충분조건은 정의 01OQ의 의미에서 \(X\)가 “국소적으로 축약”인 것이다.

증명

보조정리 01OL에서 명백하다.

보조정리

환 \(R\)의 다음 성질들은 국소적이다.

1. (코언–매콜리.) 환 \(R\)은 뇌터이고 CM이다. Algebra의 정의 00NC을 보라.

2. (정칙.) 환 \(R\)은 뇌터이고 정칙이다. Algebra의 정의 00OD를 보라.

3. (절대 뇌터.) 환 \(R\)은 \(Z\) 위에서 유한형이다.

4. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.¹

증명

생략한다.

뇌터 스킴

환 \(R\)이 아이디얼들의 오름 사슬 조건을 만족하면 뇌터라고 부른다는 것을 상기하자. 동치로, \(R\)의 모든 아이디얼이 유한 생성이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X\)가 국소 뇌터라고 함은 모든 \(x \in X\)가 아핀 열린 근방 \(\Spec(R) = U \subset X\)를 가지며 환 \(R\)이 뇌터인 경우이다.

2. \(X\)가 국소 뇌터이고 준콤팩트이면 \(X\)가 뇌터라고 한다.

국소 뇌터 스킴을 특징짓는 표준 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 국소 뇌터이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 뇌터이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 뇌터이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 국소 뇌터이다.

더욱이 \(X\)가 국소 뇌터이면 모든 열린 부분스킴도 국소 뇌터이다.

증명

뇌터라는 것이 환의 국소 성질임을 보이면 충분하다. 보조정리 01OR를 보라. 뇌터환의 모든 국소화는 뇌터이다. Algebra의 보조정리 00FN를 보라. Algebra의 보조정리 00EO에 의해 정의 01OP의 두 번째 성질을 얻는다.

보조정리

임의의 몰입 \(Z \to X\)는 \(X\)가 국소 뇌터이면 준콤팩트이다.

증명

닫힌 몰입은 명백히 준콤팩트이다. 준콤팩트 사상들의 합성은 준콤팩트이다. Topology의 보조정리 005B를 보라. 따라서 국소 뇌터 스킴으로 들어가는 열린 몰입이 준콤팩트임을 보이면 충분하다. Schemes의 보조정리 01K4를 사용하면 \(X\)가 아핀인 경우로 환원된다. 뇌터환의 스펙트럼의 모든 열린 부분집합은 준콤팩트이다 (예를 들어 Algebra의 보조정리 00FQ와 Topology의 보조정리 0052 및 04ZA를 결합하라).

보조정리

국소 뇌터 스킴은 준분리이다.

증명

Schemes의 보조정리 01KO에 의해, 두 아핀 열린집합의 교집합 \(U \cap V\)가 준콤팩트임을 보이면 된다. 여기서 두 열린집합은 \(X\)의 열린집합이다. 이는 예를 들어 열린 몰입 \(U \cap V \to U\)에 위의 보조정리 01OX를 적용하면 따른다. (그러나 실제로는 뇌터환의 스펙트럼의 모든 열린집합이 준콤팩트이기 때문이다.)

보조정리

(국소) 뇌터 스킴의 기저 위상공간은 (국소) 뇌터이다. Topology의 정의 0051를 보라.

증명

뇌터 스킴이 뇌터환들의 스펙트럼들의 유한 합집합이라는 사실과 Algebra의 보조정리 00FQ 및 Topology의 보조정리 0053에서 따른다.

보조정리

(국소) 뇌터 스킴의 모든 국소닫힌 부분스킴은 (국소) 뇌터이다.

증명

생략한다. 힌트: 뇌터환의 모든 몫환과 모든 국소화는 뇌터이다. 뇌터인 경우에는 뇌터 공간의 모든 부분집합이 유도위상에 관하여 뇌터 공간이라는 사실을 다시 사용하라.

보조정리

뇌터 스킴은 유한 개의 기약 성분을 갖는다.

증명

뇌터 스킴의 기저 위상공간은 뇌터이고 (보조정리 01OZ), 뇌터 위상공간은 유한 개의 기약 성분만 가지므로 결론이 따른다 (Topology의 보조정리 0052).

보조정리

임의의 스킴 사상 \(f : X \to Y\)는 \(X\)가 뇌터이면 준콤팩트이다.

증명

보조정리 01OZ와, 뇌터 위상공간의 모든 부분집합이 준콤팩트라는 사실을 사용하라(Topology의 보조정리 0052와 04ZA를 보라).

다음은 재미있는 보조정리이다. 모든 국소 뇌터 스킴에는 닫힌점이 충분히 많다는 것 (각 닫힌 부분집합마다 적어도 하나가 있다는 것)을 말한다.

보조정리

공집합이 아닌 모든 국소 뇌터 스킴은 닫힌점을 갖는다. 국소 뇌터 스킴의 공집합이 아닌 모든 닫힌 부분집합은 닫힌점을 갖는다. 동치로, 국소 뇌터 스킴의 모든 점은 한 닫힌점으로 특수화된다.

증명

두 번째 주장은 첫 번째 주장으로부터 따른다 (Schemes의 보조정리 01J3와 보조정리 02IK를 사용하라). 공집합이 아닌 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)를 생각하자. \(x \in U\)를 닫힌점이라 하자. \(x\)가 \(X\)의 닫힌점이면 끝난다. 그렇지 않으면 \(X_0 \subset X\)를 \(\overline{\{x\}}\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조라 하자. 그러면 \(U_0 = U \cap X_0\)는 Schemes의 보조정리 01IN에 의해 \(X_0\)의 아핀 열린집합이고, \(U_0 = \{x\}\)이다. \(y \in X_0\)와 \(y \not = x\)를 \(x\)의 한 특수화라 하자. 국소환 \(R = \mathcal{O}_{X_0, y}\)를 생각하자. 보조정리 02IK에 의해 \(X_0\)가 뇌터이므로 이는 뇌터 국소환이다. \(V \subset \Spec(R)\)를 표준 사상 \(U_0\)의 \(\Spec(R)\) 안의 역상이라 하자. 여기서 사용한 표준 사상은 \(\Spec(R) \to X_0\)이다 (Schemes의 절 01J5를 보라). 구성에 의해 \(V\)는 \(x\)에 대응하는 유일한 점을 갖는 한원소집합이다 (Schemes의 보조정리 01J7를 사용하라). Algebra의 보조정리 02IG에 의해 \(\dim(R) = 1\)임을 알 수 있다. 달리 말해 \(y\)는 \(x\)의 바로 다음 특수화이다 (Topology의 정의 02I9를 보라). 다시 말해 \(y \not = x\)이고 \(x \leadsto y\)인 모든 점은 \(x\)의 바로 다음 특수화이다. 이 점들은 각각 명백히 닫힌점이므로 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(x' \leadsto x\)를 \(X\)의 점들의 특수화라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 이산 값매김환 \(R\)과 사상 \(f : \Spec(R) \to X\)가 존재하여, \(\eta\)는 \(\Spec(R)\)의 일반점이고 \(x'\)으로 가며 특수점은 \(x\)로 간다.

2. \(x \not = x'\)이라고 하자. 유한 생성 체 확대 \(K/\kappa(x')\)가 주어지면, 확대 \(\kappa(\eta)/\kappa(x')\)가 \(f\)에 의해 유도되고 주어진 확대와 동형이 되도록 할 수 있다.

증명

먼저 \(x' \leadsto x\)가 \(X\)에서의 특수화이고 \(x \not = x'\)이라고 가정하며, \(K/\kappa(x')\)를 유한 생성 체 확대라 하자. Schemes의 보조정리 01J7와 Schemes의 보조정리 01J9 뒤의 논의에 의해 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x') \to K\)를 얻는다. \(x \not = x'\)이므로 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 \(K\) 안의 상은 체가 아니다(세부사항은 생략한다). \(R \subset K\)를 분수체가 \(K\)이고 \(\mathcal{O}_{X, x} \to K\)의 상을 지배하는 임의의 이산 값매김환이라 하자. Algebra의 보조정리 00PH를 보라. 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to R\)은 사상 \(f : \Spec(R) \to X\)를 유도한다. Schemes의 보조정리 01J6을 보라. 구성에 의해 이 사상은 원하는 모든 성질을 갖는다. \(x = x'\)이면 \(R = \kappa(x)[t]_{(t)}\)로 둘 수 있다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(T \subset S\)를 무한 부분집합이라 하자. 그러면 무한 부분집합 \(T' \subset T\)가 존재하여 \(T'\)의 점들 사이에는 자명하지 않은 특수화가 없다.

증명

\(T_0 \subset T\)를, \(t \in T\) 중 \(T\)의 다른 점으로 특수화되지 않는 모든 점의 집합이라 하자. \(T_0\)가 무한이면 \(T' = T_0\)로 두면 된다. 따라서 \(T_0\)가 유한이라고 가정해도 되고 그렇게 하자. 귀납적으로 \(i > 0\)에 대하여 집합 \(T_i \subset T\)를 다음을 만족하는 \(t \in T\)들로 정의하자.

1. \(t \not \in T_{i - 1} \cup T_{i - 2} \cup \ldots \cup T_0\)이다.

2. 자명하지 않은 특수화 \(t \leadsto t'\)가 존재하여 \(t' \in T_{i - 1}\)이다.

3. 임의의 자명하지 않은 특수화 \(t \leadsto t'\)에 대하여 \(t' \in T\)이면 \(t' \in T_{i - 1} \cup T_{i - 2} \cup \ldots \cup T_0\)이다.

다시, \(T_i\)가 무한이면 \(T' = T_i\)로 두면 된다. \(d\)를 국소환 \(\mathcal{O}_{S, t}\)의 차원들의 최댓값이라 하자. 여기서 \(t \in T_0\)이다. \(d\)가 정수인 것은 \(T_0\)가 유한이고 Algebra의 명제 00KQ에 의해 국소환들의 차원이 유한하기 때문이다. 그러면 \(T_i = \emptyset\)이다(\(i > d\)). 실제로 \(t \in T_i\)이면 자명하지 않은 특수화들의 열 \(t = t_i \leadsto t_{i - 1} \leadsto \ldots \leadsto t_0\)를 찾을 수 있고, \(t_0 \in T_0\)이다. 점들 \(t = t_i, t_{i - 1}, \ldots, t_0\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, t_0})\)에 속하므로 (Schemes의 보조정리 01J7), \(i \leq d\)임을 알 수 있다. 따라서 \(\bigcup T_i = T_d \cup \ldots \cup T_0\)는 \(T\)의 유한 부분집합이다.

\(t \in T\)가 \(\bigcup T_i\)에 속하지 않는다고 하자. 그러면 특수화 \(t \leadsto t'\)가 존재하여 \(t' \in T\)이고 \(t' \not \in \bigcup T_i\)이어야 한다. (실제로 \(t\)의 모든 특수화가 유한 집합 \(T_d \cup \ldots \cup T_0\)에 속하면, 최대 \(i\)가 존재하여 특수화 \(t \leadsto t'\)와 \(t' \in T_i\)가 있고, 구성에 의해 \(t \in T_{i + 1}\)이다.) 따라서 \[t \leadsto t' \leadsto t'' \leadsto \ldots\] 와 같이 \(T \setminus \bigcup T_i\)의 점들 사이에 자명하지 않은 특수화들의 무한 열을 얻는다. 이는 \(S\)의 기저 위상공간이 보조정리 01OY에 의해 뇌터이므로 불가능하다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(T \subset S\)를 부분집합이라 하자. \(T_0 \subset T\)를, \(t \in T\) 중 자명하지 않은 특수화 \(t' \leadsto t\)와 \(t' \in T'\)가 존재하지 않는 모든 점의 집합이라 하자. 그러면 (a) \(T_0\)의 점들 사이에는 특수화가 없고, (b) \(T\)의 모든 점은 \(T_0\)의 한 점의 특수화이며, (c) \(T\)와 \(T_0\)의 폐포는 같다.

증명

\(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) < \infty\)임이 모든 \(s \in S\)에 대하여 성립함을 상기하자. Algebra의 명제 00KQ을 보라. \(t \in T\)라 하자. \(t' \leadsto t\)이면 차원론에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{S, t'}) \leq \dim(\mathcal{O}_{S, t})\)이고, 등호가 성립할 필요충분조건은 \(t' = t\)인 것이다. 따라서 \(t' \leadsto t\)를 \(\dim(\mathcal{O}_{T, t'})\)가 최소가 되도록 택하면 \(t' \in T_0\)이다. 달리 말해, 모든 \(t \in T\)는 \(T_0\)의 한 원소의 특수화이다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(T \subset S\)를 무한 조밀 부분집합이라 하자. 그러면 가산 부분집합 \(E \subset T\)가 존재하며 \(S\)에서 조밀하다.

증명

\(T'\)을, 모든 점 \(s \in S\) 가운데 \(\overline{\{s\}} \cap T\)가 폐포가 \(\overline{\{s\}}\)인 가산 부분집합을 포함하는 점들의 집합이라 하자. 유한 집합은 가산이므로 \(T \subset T'\)이다. \(s \in T'\)에 대하여 그러한 가산 부분집합 \(E_s \subset \overline{\{s\}} \cap T\)를 택하자. \(E' = \{s_1, s_2, s_3, \ldots\} \subset T'\)을 가산 부분집합이라 하자. 그러면 \(E'\)의 \(S\)에서의 폐포는 가산 부분집합 \(\bigcup_n E_{s_n}\)의 폐포이며, 이 부분집합은 \(T\)에 포함된다. 따라서 \(Z\)가 \(E'\)의 폐포의 한 기약 성분이면 \(Z\)의 일반점은 \(T'\)에 속한다.

\(T'_0 \subset T'\)을, 보조정리 0G2R에서처럼 \(t \in T'\) 중 자명하지 않은 특수화 \(t' \leadsto t\)와 \(t' \in T'\)가 존재하지 않는 모든 점의 부분집합이라 하자. 그 결과들을 더 언급하지 않고 사용할 것이다. \(T'_0\)가 무한이면 가산 부분집합 \(E' \subset T'_0\)을 택한다. 첫 문단의 논증에 의해 \(E'\)의 폐포의 기약 성분들의 일반점들은 \(T'\)에 속한다. 그러나 이 점들 가운데 하나는 \(E' \subset T'_0\)의 서로 다른 원소 무한 개로 특수화되므로 모순이다. 따라서 \(T'_0\)는 유한이다. 이를 \(T'_0 = \{s_1, \ldots, s_m\}\)이라 하자. 그러면 \(S\)는 \(T\)의 폐포이고 \(\{s_1, \ldots, s_m\}\)의 폐포에 포함되고, 이는 다시 가산 부분집합 \(E_{s_1} \cup \ldots \cup E_{s_m} \subset T\)의 폐포에 포함된다. 이로써 원하는 결론을 얻는다.

Jacobson 스킴

모든 닫힌 부분집합에서 닫힌점들이 조밀한 공간을 Jacobson이라고 한다는 것을 상기하자. Topology의 절 005T을 보라.

정의

스킴 \(S\)의 기저 위상공간이 Jacobson이면 이를 Jacobson이라고 한다.

환 \(R\)의 모든 근기 아이디얼이 극대 아이디얼들의 교집합이면 \(R\)이 Jacobson이라고 한다는 것을 상기하자. Algebra의 정의 00G0을 보라.

보조정리

아핀 스킴 \(\Spec(R)\)가 Jacobson일 필요충분조건은 환 \(R\)이 Jacobson인 것이다.

증명

이는 Algebra의 보조정리 00G3이다.

Jacobson 스킴을 특징짓는 표준 결과는 다음과 같다. 직관적으로 Jacobson \(\Leftrightarrow\) 국소적으로 Jacobson임을 주장한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 Jacobson이다.

2. 스킴 \(X\)는 정의 01OQ의 의미에서 “국소적으로 Jacobson”이다.

3. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 Jacobson이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 Jacobson이다.

5. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 Jacobson이다.

더욱이 \(X\)가 Jacobson이면 모든 열린 부분스킴도 Jacobson이다.

증명

보조정리의 마지막 주장은 Topology의 보조정리 005X에 의해 성립한다. (5)와 (1)의 동치는 Topology의 보조정리 005W이다. 따라서 보조정리 01P3를 사용하면 (1) \(\Leftrightarrow\) (2)임을 알 수 있다. 보조정리의 증명을 끝내려면 “Jacobson”이 환의 국소 성질임을 보이면 충분하다. 보조정리 01OR를 보라. Jacobson 환을 한 원소에서 국소화한 환은 Jacobson이다. Algebra의 보조정리 00G6를 보라. \(R\)을 환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)이 단위 아이디얼을 생성하며 각 \(R_{f_i}\)가 Jacobson이라고 가정하자. 그러면 \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\)는 모두 Jacobson인 열린 부분집합들의 합집합이므로, Topology의 보조정리 005W에 의해 \(\Spec(R)\)도 Jacobson이다. 이는 정의 01OP의 두 번째 성질을 증명한다.

대수기하에서 흔히 쓰이는 많은 스킴은 Jacobson이다. Morphisms의 보조정리 02J6를 보라. 여기서는 다음 흥미로운 경우를 언급한다.

보조정리

뇌터 Jacobson 스킴의 예들은 다음과 같다.

1. \((R, \mathfrak m)\)이 뇌터 국소환이면 구멍 뚫린 스펙트럼 \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\)은 Jacobson 스킴이다.

2. \(R\)이 Jacobson 근기 \(\text{rad}(R)\)을 갖는 뇌터환이면 \(\Spec(R) \setminus V(\text{rad}(R))\)은 Jacobson 스킴이다.

3. \((R, I)\)가 Zariski 쌍이고(More on Algebra의 정의 0ELY), \(R\)이 뇌터이면 \(\Spec(R) \setminus V(I)\)는 Jacobson 스킴이다.

증명

(3)의 증명. \(\Spec(R) - V(I)\)는 아핀 열린집합 \(\Spec(R_f)\)들로 이루어진 덮개를 가짐을 관찰하자. 여기서 \(f \in I\)이다. 환들 \(R_f\)는 More on Algebra의 보조정리 0GED에 의해 Jacobson이다. 따라서 보조정리 01P4에 의해 \(\Spec(R) \setminus V(I)\)는 Jacobson이다. (1)과 (2)는 (3)의 특수한 경우이다.

(1)의 직접 증명. \(\Spec(R)\)가 뇌터 스킴이므로 \(S\)는 뇌터 스킴이다(보조정리 02IK). 따라서 \(S\)는 소버 뇌터 위상공간이다 (Schemes의 보조정리 01IS를 사용하라). \(S\)가 Jacobson이 아니라고 가정하여 모순을 얻자. Topology의 보조정리 02I7에 의해 어떤 닫히지 않은 점 \(\xi \in S\)가 존재하여 \(\{\xi\}\)는 국소닫혀 있다. 이는 다음을 만족하는 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대응한다. (1) 두 포함이 모두 진포함인 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)와 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset \mathfrak m\)이 존재하고, (2) \(\{\mathfrak p\}\)는 \(\Spec(R/\mathfrak p)\)에서 열려 있다. 이는 Algebra의 보조정리 02IG에 의해 불가능하다.

정규 스킴

환 \(R\)의 모든 국소환이 정규 정역이면 그 환을 정규라고 함을 상기하자. Algebra의 정의 00GV를 보라. 정규 정역은 자신의 분수체 안에서 정수적으로 닫힌 정역이다. Algebra의 정의 0309를 보라. 따라서 정규 스킴을 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽다.

정의

스킴 \(X\)가 정규라는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정규 정역이라는 것과 같다.

이는 EGA에서 사용되는 정의인 듯하다. [EGA, 0, 4.1.4]를 보라. \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)가 축약이라고 하자. 이때 \(X\)가 정규라는 것과 \(A\)가 자신의 전분수환 안에서 정수적으로 닫혀 있다는 것은 동치가 아니다. 그러나 \(A\)가 뇌터이면 둘은 동치이다 (Algebra의 보조정리 030C를 보라).

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 정규이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 정규이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 정규이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 정규이다.

더욱이 \(X\)가 정규이면 모든 열린 부분스킴도 정규이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

보조정리

정규 스킴은 축약이다.

증명

정의에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 정수적 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 정규라는 것은 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 정규 정역이라는 것과 같다.

증명

Algebra의 보조정리 030B에서 따른다.

보조정리

모든 준콤팩트 열린집합이 유한 개의 기약 성분을 갖는 스킴 \(X\)를 생각하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 정규이고,

2. \(X\)는 정규 정수적 스킴들의 서로소 합집합이다.

증명

(2)가 (1)을 함의함은 정의에서 즉시 따른다. 모든 준콤팩트 열린집합이 유한 개의 기약 성분을 갖는 정규 스킴 \(X\)를 생각하자. \(X\)가 아핀이면 Algebra의 보조정리 030C에 의해 \(X\)는 (2)를 만족한다. 일반적인 \(X\)에 대하여 \(X = \bigcup X_i\)를 아핀 열린 덮개라 하자. 각 \(X_i\) 역시 유한 개의 기약 성분만을 가지며, 각 \(X_i\)에 대하여 보조정리가 성립한다. \(T \subset X\)를 기약 성분이라 하자. 아핀인 경우에 의해 각 교집합 \(T \cap X_i\)는 \(X_i\)에서 열려 있고 정규 정수적 스킴이다. 따라서 \(T \subset X\)는 열린 정규 정수적 스킴이다. 이는 \(X\)가 자신의 기약 성분들의 서로소 합집합이고, 그 성분들이 정규 정수적 스킴임을 보인다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 정규이고,

2. \(X\)는 유한 개의 정규 정수적 스킴들의 서로소 합집합이다.

증명

뇌터 스킴의 밑 위상공간은 뇌터이므로, 이는 보조정리 0357의 특수한 경우이다 (보조정리 01OZ 및 Topology의 보조정리 0052를 보라).

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 정규이고,

2. \(X\)는 정수적 정규 스킴들의 서로소 합집합이다.

증명

생략. 힌트: 보조정리 033M에 의해 이는 순전히 위상적인 사실이다.

주

\(X\)를 정규 스킴이라 하자. \(X\)가 국소 뇌터이면 보조정리 033N에 의해 \(X\)가 정수적이라는 것은 \(X\)가 연결이라는 것과 같다. 그러나 연결 아핀 스킴 \(X\) 중에는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 모든 \(x \in X\)에 대하여 정역이지만 \(X\)는 기약이 아닌 것이 존재한다. Examples의 절 0568을 보라. 이 예는 심지어 정규 스킴이기도 하므로(증명은 생략한다) 주의해야 한다!

보조정리

\(X\)를 정수적 정규 스킴이라 하자. 그러면 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)는 정규 정역이다.

증명

\(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 놓자. \(R\)이 정역임은 명백하다. 그 분수체의 원소 \(f = a/b\)가 \(R\) 위에서 정수적이라고 하자. \(f^d + \sum_{i = 0, \ldots, d - 1} a_i f^i = 0\)이고 \(a_i \in R\)인 관계가 있다고 하자. \(U \subset X\)를 공집합이 아닌 아핀 열린집합이라 하자. \(b \in R\)은 영이 아니고 \(X\)는 정수적이므로 \(b|_U \in \mathcal{O}_X(U)\) 역시 영이 아니다. 따라서 \(a/b\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 분수체의 원소이며 \(\mathcal{O}_X(U)\) 위에서 정수적이다(실제로 같은 다항식 \(f^d + \sum_{i = 0, \ldots, d - 1} a_i|_U f^i = 0\)을 \(U\) 위에서 사용할 수 있다). \(\mathcal{O}_X(U)\)는 정규 정역이므로 (보조정리 033L), \(f_U = (a|_U)/(b|_U) \in \mathcal{O}_X(U)\)임을 알 수 있다. \(f_U|_V = f_V\)임은 공집합이 아닌 아핀 열린집합들이 \(V \subset U \subset X\)를 만족할 때마다 명백하다. 따라서 국소 절단 \(f_U\)들은 \(g \in R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)인 원소로 짜깁기된다. 그러면 \(bg\)와 \(a\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 원소로서 위와 같은 모든 \(U\)에 대하여 일치하므로 \(bg = a\)이다. 다시 말해, \(g\)의 상은 \(f\)이며 이는 \(R\)의 분수체 안에서의 등식이다.

코언–매콜리 스킴

Algebra의 정의 00N8에서 보았듯이, 국소 뇌터환 \((R, \mathfrak m)\)이 코언–매콜리라는 것은 \(\text{depth}_{\mathfrak m}(R) = \dim(R)\)이라는 뜻이다. 뇌터환 \(R\)이 코언–매콜리라는 것은 \(R_{\mathfrak p}\) 꼴의 모든 국소환, 즉 \(R\)의 각 소 아이디얼에서의 국소화가 코언–매콜리라는 뜻이다. Algebra의 정의 00NC를 보라.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 코언–매콜리라는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 이것이 \(x\)의 근방이고 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 뇌터이며 코언–매콜리라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 코언–매콜리이고,

2. \(X\)는 국소 뇌터이며 그 모든 국소환은 코언–매콜리이고,

3. \(X\)는 국소 뇌터이며 임의의 폐점 \(x \in X\)에 대하여 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 코언–매콜리이다.

증명

Algebra의 보조정리 00NB에 의하면 코언–매콜리 국소환의 국소화는 코언–매콜리이다. 이를 보조정리 01OW, 국소 뇌터 스킴에서 폐점의 존재 (보조정리 02IL), 그리고 정의들과 결합하면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 코언–매콜리이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 뇌터이고 코언–매콜리이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 뇌터이고 코언–매콜리이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 코언–매콜리이다.

더욱이 \(X\)가 코언–매콜리이면 모든 열린 부분스킴도 코언–매콜리이다.

증명

보조정리 01OW과 02IP를 결합하면 된다.

코언–매콜리 스킴과 깊이에 관한 더 자세한 내용은 Cohomology of Schemes의 절 0340에서 찾을 수 있다.

정칙 스킴

Algebra의 정의 00KU에서 보았듯이, 국소 뇌터환 \((R, \mathfrak m)\)에서 \(\mathfrak m\)이 \(\dim(R)\)개의 원소로 생성되면 이 환을 정칙이라고 한다. 뇌터환 \(R\)이 정칙이라는 것은 \(R_{\mathfrak p}\) 꼴의 모든 국소환, 즉 \(R\)의 각 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙이라는 뜻이다. Algebra의 정의 00OD를 보라.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 정칙, 또는 비특이라는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 이것이 \(x\)의 근방이고 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 뇌터이며 정칙이라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 정칙이고,

2. \(X\)는 국소 뇌터이며 그 모든 국소환은 정칙이고,

3. \(X\)는 국소 뇌터이며 임의의 폐점 \(x \in X\)에 대하여 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 정칙이다.

증명

Algebra의 정의 00OD 앞에 있는 논의에 의하면 정칙 국소환의 국소화는 정칙이다. 이를 보조정리 01OW, 국소 뇌터 스킴에서 폐점의 존재 (보조정리 02IL), 그리고 정의들과 결합하면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 정칙이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 뇌터이고 정칙이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 뇌터이고 정칙이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 정칙이다.

더욱이 \(X\)가 정칙이면 모든 열린 부분스킴도 정칙이다.

증명

보조정리 01OW과 02IT를 결합하면 된다.

보조정리

정칙 스킴은 정규이다.

증명

Algebra의 보조정리 0567를 보라.

차원

스킴의 차원은 바로 그 밑 위상공간의 차원이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X\)의 차원은 위상공간으로서의 \(X\)의 차원이다. Topology의 정의 0055를 보라.

2. \(x \in X\)에 대하여 \(\dim_x(X)\)는 \(X\)의 밑 위상공간이 \(x\)에서 갖는 차원을 나타낸다. Topology의 정의 0055를 보라. \(\dim_x(X)\)를 \(X\)의 \(x\)에서의 차원이라고 한다.

스킴의 밑 위상공간은 소버이므로 (Schemes의 보조정리 01IS), \(X\)의 차원은 기약 닫힌 부분집합들의 사슬 \[T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_n\] 의 길이 \(n\)들의 상한으로 계산할 수 있다. 여기서 이 부분집합들은 \(X\) 안에 있다. 또는 특수화 사슬 \[\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] 의 길이 \(n\)들의 상한으로 계산할 수도 있다. 여기서 이 점들은 \(X\)의 점들이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 세 수는 같다.

1. \(X\)의 차원.

2. \(X\)의 국소환들의 차원들의 상한.

3. \(\dim_x(X)\)의 상한. 여기서 \(x \in X\)는 모든 점을 돈다.

증명

특수화 사슬 \[\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] 이 주어졌다고 하자. 이 사슬의 점들은 \(X\)의 점들이며, 모든 \(\xi_i\)는 Schemes의 보조정리 01J7에 의해 \(X\)의 \(\xi_0\)에서의 국소환의 소 아이디얼에 대응한다. 따라서 \(X\)의 차원은 그 국소환들의 차원들의 상한이다. 특히 \(\dim_x(X) \geq \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)이다. 실제로 \(\dim_x(X)\)는 \(x\)의 열린 근방들의 차원들의 최솟값이다. 따라서 \(\sup_{x \in X} \dim_x(X) \geq \dim(X)\)이다. 한편 \(\sup_{x \in X} \dim_x(X) \leq \dim(X)\)임은 명백하다. 실제로 임의의 열린 부분집합에 대하여 \(\dim(U) \leq \dim(X)\)이고 이 열린집합은 \(X\) 안에 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Y \subset X\)를 기약 닫힌 부분집합이라 하고 \(\xi \in Y\)를 그 일반점이라 하자. 그러면 \[\text{codim}(Y, X) = \dim(\mathcal{O}_{X, \xi})\] 이다. 여기서 여차원은 Topology의 정의 02I3와 같다.

증명

Topology의 보조정리 02I4에 의해 \(X\)를 \(\xi\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어도 된다. 이 경우 결과는 Algebra의 보조정리 00ET에서 쉽게 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(x\)가 \(X\)의 어떤 기약 성분의 일반점일 필요충분조건은 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)인 것이다.

증명

예를 들어 보조정리 02IZ에서 따른다.

보조정리

차원이 \(0\)인 국소 뇌터 스킴은 아르틴 국소환들의 스펙트럼들의 서로소 합집합이다.

증명

차원이 \(0\)인 뇌터환은 아르틴 국소환들의 유한 곱이다. Algebra의 명제 00KJ을 보라. 따라서 국소 뇌터 스킴 \(X\)의 차원이 \(0\)이면 그 아핀 열린집합은 이산인 밑 위상공간을 갖는다. 이는 \(X\)의 위상이 이산임을 뜻하며, 이 관찰들에서 보조정리가 쉽게 따른다.

보조정리

\(X\)를 차원 영인 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 준분리이다.

2. \(X\)는 분리이다.

3. \(X\)는 하우스도르프이다.

4. 모든 아핀 열린집합은 닫혀 있다.

이 경우 \(X\)의 연결 성분들은 점이고, \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 아핀이다. 특히 \(X\)가 준콤팩트이면 \(X\)는 아핀이다.

증명

\(X\)의 차원이 영이므로, 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 공간 \(U\)는 프로유한이며 아래에서 자유롭게 사용할 여러 다른 성질을 만족한다. Algebra의 보조정리 04MG를 보라. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)를 선택한다.

(4)가 성립한다고 하자. 그러면 \(U_i \cap U_j\)는 \(U_i\)의 닫힌 부분집합이므로 준콤팩트이다. 따라서 Schemes의 보조정리 01KO에 의해 \(X\)는 준분리이고, (1)이 성립한다.

(1)이 성립한다고 하자. 그러면 \(U_i \cap U_j\)는 \(U_i\)의 준콤팩트 열린집합이므로 \(U_i\)에서 닫혀 있다. 따라서 \(U_i \cap U_j \to U_i\)는 상이 닫힌 열린 몰입이고, 따라서 닫힌 몰입이다. 특히 \(U_i \cap U_j\)는 아핀이며 \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)\)는 전사이다. 그러므로 Schemes의 보조정리 01KP에 의해 \(X\)는 분리이고, (2)가 성립한다.

(2)를 가정하고 \(x, y \in X\)라 하자. \(x \in U_i\)라고 하자. \(y \in U_i\)이기도 하면 \(x\)와 \(y\)의 서로소 열린 근방을 찾을 수 있다. 실제로 \(U_i\)는 하우스도르프이다. 이제 \(y \not \in U_i\)이고 \(y \in U_j\)라고 하자. 그러면 \(y \not \in U_i \cap U_j\)이다. 이 교집합은 \(U_j\)의 아핀 열린집합이므로 \(U_j\)에서 닫혀 있다. 따라서 \(y\)의 열린 근방 가운데 \(U_i\)와 만나지 않는 것을 찾을 수 있다. 결국 \(X\)는 하우스도르프이고, (3)이 성립한다.

(3)을 가정하자. \(U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 Topology의 보조정리 08YB에 의해 \(U\)는 \(X\)에서 닫혀 있다. 이는 (4)를 증명한다.

\(X\)가 서로 동치인 조건 (1) – (4)를 만족한다고 하자. 보조정리의 마지막 주장들을 증명하자. \(x, y \in X\)이고 \(x \not = y\)라고 하자. \(y\)가 \(x\)로 특수화되지 않으므로 \(U \subset X\)인 아핀 열린집합을 \(x \in U\)이고 \(y \not \in U\)가 되도록 선택할 수 있다. 그러면 \(X = U \amalg (X \setminus U)\)는 열린닫힌 부분집합들로의 분해이고, 따라서 \(x\)와 \(y\)는 \(X\)의 같은 연결 성분에 속하지 않는다. 다음으로 \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)을 아핀 열린집합들의 합집합으로 쓰자. \(n\)에 대한 귀납법으로 \(U\)가 아핀임을 보일 것이다. 이는 곧바로 \(n = 2\)인 경우로 귀착된다. 이 경우 \(U = (U_1 \setminus U_2) \amalg (U_1 \cap U_2) \amalg (U_2 \setminus U_1)\) 이고, 위의 논증에 의해 각 조각은 아핀이다.

보조정리

\(x\)를 국소 뇌터 스킴 \(X\)의 점이라 하자. 그러면 \(\dim_x(X) = 0\)일 필요충분조건은 \(x\)가 \(X\)의 고립점인 것이다.

증명

\(x\)가 고립점이면 \(\{x\}\)는 \(X\)의 열린 부분집합이고 (Topology의 정의 06RM), 따라서 정의에 의해 \(\dim_x(X) = \dim(\{x\}) = 0\)이다. 역으로 \(\dim_x(X) = 0\)이면 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(x\)의 근방이고 \(\dim(U) = 0\)이다 (Topology의 정의 0055). 보조정리 0AAX에 의해 \(U\)의 위상은 이산이므로 \(x\)는 고립점이다.

카테너리 스킴

위상공간 \(X\)가 카테너리라는 것은 기약 닫힌 부분집합의 임의의 쌍 \(T \subset T'\)에 대하여 기약 닫힌 부분집합들의 극대 사슬 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] 이 존재하고 그러한 모든 사슬의 길이가 같다는 뜻임을 상기하자. Topology의 정의 02I1를 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\)의 밑 위상공간이 카테너리이면 \(S\)를 카테너리라고 한다.

환 \(A\)가 카테너리라는 것은 소 아이디얼의 임의의 쌍 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)에 대하여 소 아이디얼들의 극대 사슬 \[\mathfrak p = \mathfrak p_0 \subset \ldots \subset \mathfrak p_e = \mathfrak q\] 이 존재하고 이들 모두의 길이가 같다는 뜻임을 상기하자. Algebra의 정의 00NI를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(S\)는 카테너리이고,

2. \(S\)의 열린 덮개 가운데 모든 원소가 카테너리 스킴인 것이 존재하고,

3. 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset S\)에 대하여 환 \(R\)은 카테너리이고,

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(U_i\)가 카테너리 환의 스펙트럼이다.

더욱이 이 경우 \(S\)의 모든 국소닫힌 부분스킴 역시 카테너리이다.

증명

Topology의 보조정리 02I2와 Algebra의 보조정리 02IH를 결합하면 된다.

보조정리

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(S\)는 카테너리이고,

2. Zariski 위상에서 국소적으로 \(S\) 위의 차원 함수가 존재한다 (Topology의 정의 02I9를 보라).

증명

이는 Topology의 보조정리들 02I2, 02IA, 02IC, Schemes의 보조정리 01IS, 그리고 마지막으로 보조정리 01OZ에서 따른다.

스킴이 카테너리일 필요충분조건은 그 국소환들이 카테너리인 것임이 밝혀진다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 카테너리이고,

2. 임의의 \(x \in X\)에 대하여 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 카테너리이다.

증명

\(X\)가 카테너리라고 가정하자. \(x \in X\)라 하자. 보조정리 02IX에 의해 \(X\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어도 되며, 그러면 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)는 카테너리 환이다. Algebra의 보조정리 00NJ에 의해 카테너리 환의 모든 국소화는 카테너리이다. 따라서 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 카테너리이다.

역으로 \(X\)의 모든 국소환이 카테너리라고 가정하자. \(Y \subset Y'\)를 \(X\)의 기약 닫힌 부분집합들의 포함이라 하자. \(\xi \in Y\)를 일반점이라 하자. \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, \xi}\)를 \(Y'\)의 일반점에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. Schemes의 보조정리 01J7를 보라. 같은 보조정리에 의해 \(X\) 안에서 \(Y\)와 \(Y'\) 사이에 있는 기약 닫힌 부분집합들은 \(\mathfrak q \subset \mathcal{O}_{X, \xi}\)이면서 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset \mathfrak m_{\xi}\)인 소 아이디얼들에 대응한다. \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)는 카테너리 환이므로 이러한 소 아이디얼들의 모든 극대 사슬은 유한하고 길이가 같다.

Serre 조건

자주 유용한 두 가지 기술적 개념을 소개한다. Cohomology of Schemes의 절 0340도 보라.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(k \geq 0\)이라 하자.

1. \(X\)가 여차원 \(k\)에서 정칙이라고 하거나, \(X\)가 성질 \((R_k)\)를 갖는다고 함은 모든 \(x \in X\)에 대하여 다음이 성립한다는 뜻이다. \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq k \Rightarrow \mathcal{O}_{X, x}\text{ is regular}\]

2. \(X\)가 성질 \((S_k)\)를 갖는다고 함은 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(k, \dim(\mathcal{O}_{X, x}))\) 가 성립한다는 뜻이다.

“여차원 \(k\)에서 정칙”이라는 표현은 타당하다. 실제로 절 02IV에서 \(Y \subset X\)가 일반점 \(x\)를 갖는 기약 닫힌 부분집합이면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \text{codim}(Y, X)\)임을 보았다. 예를 들어 조건 \((R_0)\)은 모든 일반점 \(\eta \in X\)가 \(X\)의 어떤 기약 성분의 일반점일 때 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)가 체라는 뜻이다. 그러나 일반적인 뇌터 스킴에서는 \(X\)의 정칙 궤적이 잘 거동하지 않을 수 있으므로 주의해야 한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 정칙일 필요충분조건은 \(X\)가 \((R_k)\)를 모든 \(k \geq 0\)에 대하여 갖는 것이다.

증명

보조정리 02IT과 정의들에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 코언–매콜리일 필요충분조건은 \(X\)가 \((S_k)\)를 모든 \(k \geq 0\)에 대하여 갖는 것이다.

증명

보조정리 02IP에 의해 국소환을 살피는 문제로 귀착된다. 뇌터 국소환이 코언–매콜리일 필요충분조건은 그 깊이가 차원과 같은 것이므로 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 축약일 필요충분조건은 \(X\)가 성질 \((S_1)\)과 \((R_0)\)을 갖는 것이다.

증명

이는 Algebra의 보조정리 031R이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 정규일 필요충분조건은 \(X\)가 성질 \((S_2)\)와 \((R_1)\)을 갖는 것이다.

증명

이는 Algebra의 보조정리 031S이다.

보조정리

\(X\)를 정규인 국소 뇌터 스킴이라 하고 그 차원이 \(\leq 1\)이라고 하자. 그러면 \(X\)는 정칙이다.

증명

보조정리 0345과 정의들에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 정규인 국소 뇌터 스킴이라 하고 그 차원이 \(\leq 2\)라고 하자. 그러면 \(X\)는 코언–매콜리이다.

증명

보조정리 0345과 정의들에서 따른다.

Japanese 스킴과 Nagata 스킴

이 절에서 다루는 개념들은 EGA에서 두드러지게 정의되어 있지 않다. “보편 Japanese 스킴”은 [EGA, IV Corollary 5.11.4]에서 언급되고 정의되어 있다. “Japanese 스킴”은 [EGA, IV Remark 10.4.14 (ii)]에서 언급되지만 정의는 주어지지 않는다. 아래와 같은 Nagata 스킴은 문헌의 몇 곳에서 등장한다 (예를 들어 [Liu, Definition 8.2.30]와 [Greco, Page 142]를 보라).

정역 \(R\)이 Japanese라는 것은 그 분수체의 임의의 유한 확대에서 \(R\)의 정수적 폐포가 \(R\) 위에서 유한이라는 뜻임을 간단히 상기하자. 환 \(R\)이 보편 Japanese라는 것은 임의의 유한형 환 사상 \(R \to S\)에 대하여 \(S\)가 정역이면 \(S\)가 Japanese라는 뜻이다. 환 \(R\)이 Nagata라는 것은 이 환이 뇌터이고 \(R/\mathfrak p\)가 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 Japanese라는 뜻이다. 여기서 이 소 아이디얼들은 \(R\)의 소 아이디얼이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X\)가 정수적이라고 가정하자. \(X\)가 Japanese라는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린 근방 \(x \in U \subset X\)가 존재하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 Japanese라는 뜻이다 (Algebra의 정의 032F을 보라).

2. \(X\)가 보편 Japanese라는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린 근방 \(x \in U \subset X\)가 존재하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 보편 Japanese라는 뜻이다 (Algebra의 정의 032R를 보라).

3. \(X\)가 Nagata라는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린 근방 \(x \in U \subset X\)가 존재하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 Nagata라는 뜻이다 (Algebra의 정의 032R를 보라).

Nagata라는 것은 국소 뇌터이고 보편 Japanese라는 것과 같다. 보조정리 033Z를 보라.

주

[Hoobler-finite]에서는 (국소 뇌터) 스킴 \(X\)가 Japanese라는 것을 모든 \(x \in X\)와 모든 동반 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여, 이것이 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 동반 소 아이디얼일 때 환 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p\)가 Japanese라는 것으로 정의한다. 우리는 이 정의를 사용하지 않는다. 실제로 차원이 일이고 모든 국소환이 훌륭하여(특히 Japanese여서) 정규화가 유한이 아닌 뇌터 정역이 존재하기 때문이다. [Hochster-loci, Example 1], [Heinzer-Levy], 또는 [Traveaux, Exposé XIX]를 보라. 한편 스킴 \(X\)를 Japanese라고 부르는 방식으로 이 문제를 피할 수도 있다. 즉 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(A) \subset X\)에 대하여 \(A/\mathfrak p\)가 모든 동반 소 아이디얼 \(\mathfrak p\), 곧 \(A\)의 동반 소 아이디얼에 대해 Japanese라고 요구할 수 있다.

보조정리

Nagata 스킴은 국소 뇌터이다.

증명

Nagata 환은 정의상 뇌터이므로 성립한다.

보조정리

\(X\)를 정수적 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 Japanese이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 정역 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 Japanese이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 Japanese이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 Japanese이다.

더욱이 \(X\)가 Japanese이면 모든 열린 부분스킴도 Japanese이다.

증명

보조정리 01OR와 Algebra의 보조정리들 032G, 032H에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 보편 Japanese이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 보편 Japanese이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 보편 Japanese이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 보편 Japanese이다.

더욱이 \(X\)가 보편 Japanese이면 모든 열린 부분스킴도 보편 Japanese이다.

증명

보조정리 01OR와 Algebra의 보조정리들 032S, 032V에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 Nagata이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 Nagata이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 Nagata이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 Nagata이다.

더욱이 \(X\)가 Nagata이면 모든 열린 부분스킴도 Nagata이다.

증명

보조정리 01OR와 Algebra의 보조정리들 032U, 032V에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 Nagata일 필요충분조건은 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)가 Japanese인 것이다.

증명

\(X\)가 Nagata라고 가정하자. \(Z \subset X\)를 정수적 닫힌 부분스킴이라 하고 \(z \in Z\)라 하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)를 \(z\)를 포함하고 \(A\)가 Nagata가 되도록 선택하자. 그러면 \(Z \cap U \cong \Spec(A/\mathfrak p)\)이고, 여기서 \(\mathfrak p\)는 어떤 소 아이디얼이다. Schemes의 보조정리 01IN와 정의 01OK을 보라. Algebra의 정의 032R에 의해 \(A/\mathfrak p\)는 Japanese이다. 따라서 정의에 의해 \(Z\)는 Japanese이다.

\(X\)의 모든 정수적 닫힌 부분스킴이 Japanese라고 가정하자. \(\Spec(A) = U \subset X\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하자. \(X\)가 국소 뇌터이므로 \(A\)는 뇌터이다 (보조정리 01OW). \(\mathfrak p \subset A\)를 소 아이디얼이라 하자. \(A/\mathfrak p\)가 Japanese임을 보여야 한다. \(T \subset U\)를 닫힌 부분집합 \(V(\mathfrak p) \subset \Spec(A)\)라 하자. \(\overline{T} \subset X\)를 그 폐포라 하자. 그러면 \(\overline{T}\)는 기약 부분집합의 폐포이므로 기약이다. 따라서 \(\overline{T}\)가 정의하는 축약 닫힌 부분스킴은 정수적 닫힌 부분스킴이다(이를 다시 \(\overline{T}\)라 부른다). Schemes의 보조정리 01J3를 보라. 다시 말해 \(\Spec(A/\mathfrak p)\)는 \(X\)의 어떤 정수적 닫힌 부분스킴의 아핀 열린집합이다. 가정에 의해 이 부분스킴은 Japanese이고, 보조정리 033V에 의해 \(A/\mathfrak p\)는 Japanese이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 Nagata이고,

2. \(X\)는 국소 뇌터이며 보편 Japanese이다.

증명

이는 Algebra의 명제 0334이다.

이 논의는 Morphisms의 절 0359에서 이어진다.

G-스킴

환 \(R\)이 G-환이라는 것은 \(R\)이 뇌터이고 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\), 즉 \(R\)의 소 아이디얼에 대하여 환 사상 \(R_\mathfrak p \to (R_\mathfrak p)^\wedge\)가 정칙이라는 뜻임을 언급해 둔다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 G-스킴²이라고 하는 것은 모든 \(x \in X\)에 대하여 아핀 열린 근방 \(x \in U \subset X\)가 존재하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 G-환이라는 뜻이다 (More on Algebra의 정의 07GH을 보라).

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 G-스킴이고,

2. \(X\)는 국소 뇌터이며 모든 \(x \in X\)에 대하여 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)가 정칙이고,

3. \(X\)는 국소 뇌터이며 임의의 폐점 \(x \in X\)에 대하여 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)가 정칙이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의함은 명백하다. (3)을 가정하자. \(x \in X\)를 임의의 점이라 하자. 보조정리 02IL에 의해 특수화 \(x \leadsto x'\)이 존재하며 \(x'\)은 \(X\)에서 닫힌점이다. 그러면 More on Algebra의 보조정리 07PT에 의해 \(\mathcal{O}_{X, x'}\)는 G-환이다. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x'}\)를 어떤 소 아이디얼에서 국소화한 것이므로(Schemes의 보조정리 01J7), \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)는 정칙 환 사상이다. \(x \in X\)가 임의였으므로, 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 뇌터환(보조정리 01OW) \(\mathcal{O}_X(U)\)는 G-환이라고 결론내린다. 이는 (1)을 증명한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 G-스킴이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 G-환이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 G-환이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 G-스킴이다.

더욱이 \(X\)가 G-스킴이면 모든 열린 부분스킴도 G-스킴이다.

증명

보조정리 01OW과 0HA4를 결합하면 된다.

특이 궤적

정의는 다음과 같다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 정칙 궤적 \(\text{Reg}(X)\)이라 하는 \(X\)의 부분집합은 점 \(x \in X\) 중에서 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정칙 국소환인 것들의 집합이다. 특이 궤적 \(\text{Sing}(X)\)은 여집합 \(X \setminus \text{Reg}(X)\), 즉 점 \(x \in X\) 중에서 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정칙 국소환이 아닌 것들의 집합이다.

국소 뇌터 스킴의 정칙 궤적은 일반화에 대하여 안정적이다. Algebra의 정의 00OD 앞의 논의를 보라. 그러나 일반적인 국소 뇌터 스킴에서는 정칙 궤적이 열려 있을 필요가 없다. 이것이 성립하는 몇 가지 판정법은 More on Algebra의 절 07P6에서 찾을 수 있다. 이 문제는 Morphisms의 절 07R2에서 더 논의한다.

국소 기약성

More on Algebra의 절 06DT에서 (기하학적으로) 단일분지인 국소환의 개념을 도입했음을 상기하자.

정의

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 단일분지라는 것은 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 단일분지라는 뜻이다. \(X\)가 \(x\)에서 기하학적으로 단일분지라는 것은 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 기하학적으로 단일분지라는 뜻이다. \(X\)가 모든 점에서 단일분지이면 \(X\)를 단일분지라고 한다. \(X\)가 모든 점에서 기하학적으로 단일분지이면 \(X\)를 기하학적으로 단일분지라고 한다.

국소환 \(A\)가 More on Algebra의 정의 0BPZ의 의미에서 기하학적으로 단일분지이지만, 스킴 \(\Spec(A)\)는 정의 0BQ2의 의미에서 기하학적으로 단일분지가 아닌 일이 실제로 일어날 수 있다. 예를 들어 \(A\)가 보통 이중점 특이점 (node)을 갖는 기약 평면곡선 위 원뿔의 꼭짓점에서의 국소환이면 그렇다.

보조정리

정규 스킴은 기하학적으로 단일분지이다.

증명

정의에서 따른다. 실제로 스킴이 정규라는 것은 그 국소환들이 정규 정역이라는 뜻이다. More on Algebra의 정의 0BPZ에서 정규인 국소 정역이 기하학적으로 단일분지임은 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 기하학적으로 단일분지이고 (정의 0BQ2),

2. 모든 점 \(x \in X\) 가운데 \(X\)의 기약 성분의 일반점이 아닌 것에 대하여 강한 헨젤화 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)의 구멍 뚫린 스펙트럼은 연결이다.

증명

More on Algebra의 보조정리 06DM에 의해 (1)이 성립하면 (2)의 구멍 뚫린 스펙트럼들은 기약이고, 특히 연결이다.

(2)를 가정하자. \(x \in X\)라 하자. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 기하학적으로 단일분지임을 보여야 한다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x})\)에 대한 귀납법으로 \(x\)의 모든 자명하지 않은 일반화에 대하여 결과가 성립한다고 가정할 수 있다. \(X\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)로 바꾸어도 된다. 다시 말해 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)가 국소환이며, \(A_\mathfrak p\)가 기하학적으로 단일분지라고 가정할 수 있다. 여기서 \(\mathfrak p \subset A\)는 각 비극대 소 아이디얼을 돈다.

\(A^{sh}\)를 \(A\)의 강한 헨젤화라 하자. \(\mathfrak q \subset A^{sh}\)가 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓인 소 아이디얼이면 \(A_\mathfrak p \to A^{sh}_\mathfrak q\)는 étale 대수들의 여과 쌍극한이다. 따라서 \(A_\mathfrak p\)와 \(A^{sh}_\mathfrak q\)의 강한 헨젤화들은 동형이다. 그러므로 More on Algebra의 보조정리 06DM에 의해 \(A^{sh}_\mathfrak q\)는 모든 비극대 소 아이디얼 \(\mathfrak q\), 즉 \(A^{sh}\)의 비극대 소 아이디얼에 대하여 유일한 극소 소 아이디얼을 갖는다.

\(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\)를 \(A^{sh}\)의 극소 소 아이디얼들이라 하자. \(r = 1\)임을 보여야 한다. 위의 논의에 의해 \(V(\mathfrak q_1) \cap V(\mathfrak q_j) = \{\mathfrak m^{sh}\}\)가 \(j = 2, \ldots, r\)에 대하여 성립한다. 따라서 \(V(\mathfrak q_1) \setminus \{\mathfrak m^{sh}\}\)는 \(A^{sh}\)의 구멍 뚫린 스펙트럼의 열린닫힌 부분집합이다. 이 구멍 뚫린 스펙트럼이 연결이라는 가정과 모순되지 않으려면 \(r = 1\)이어야 한다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(X\)의 \(x\)에서의 분지 수는 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 분지 수이다. 이는 More on Algebra의 정의 0C26에서 정의되었다. \(X\)의 \(x\)에서의 기하학적 분지 수는 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 기하학적 분지 수이다. 이는 More on Algebra의 정의 0C26에서 정의되었다.

흔히 이를 완비 국소환의 분지들과 비교하고 싶지만 일반적으로 그 비교는 간단하지 않다. 이에 관한 정보는 More on Algebra의 절 0C27에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(X_i\), \(i \in I\)를 \(X\)의 기약 성분 중 \(x\)를 지나는 것들이라 하자. 그러면 \(X\)의 \(x\)에서의 (기하학적) 분지 수는 \(i \in I\)에 걸쳐 \(X_i\)의 \(x\)에서의 (기하학적) 분지 수를 합한 것과 같다.

증명

\(X_i\)들을 \(X\)의 정수적 닫힌 부분스킴으로 본다. Schemes의 정의 01J4와 보조정리 01ON을 보라. \(X_i\)의 \(x\)에서의 (기하학적) 분지 수는 적어도 \(1\)임을 관찰하자. 이는 모든 \(i\)에 대하여 성립한다(본질적으로 정의에서 따른다). \(X_i\)들은 \(1\)-대-\(1\)로 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak p_i \subset \mathcal{O}_{X, x}\)들과 대응함을 상기하자. Algebra의 보조정리 00ET를 보라. 따라서 \(I\)가 무한이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 무한히 많은 극소 소 아이디얼을 갖는다. 그러므로 \(\mathcal{O}_{X, x}^h\)와 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)도 모두 무한히 많은 극소 소 아이디얼을 갖는다 (Algebra의 보조정리 00FK와 0CAN, 그리고 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^h \to \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 의 단사성을 결합하라). 이 경우 \(X\)의 \(x\)에서의 (기하학적) 분지 수는 \(\infty\)로 정의되며, 이 값은 합에 대해서도 같다. 따라서 \(I\)가 유한이라고 가정할 수 있다. \(A'\)을 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 정수적 폐포라 하되, 이는 전분수환 \(Q\), 즉 \((\mathcal{O}_{X, x})_{red}\)의 전분수환 안에서 취한다. \(A'_i\)를 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p_i\)의 정수적 폐포라 하되, 이는 전분수환 \(Q_i\), 즉 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p_i\)의 전분수환 안에서 취한다. Algebra의 보조정리 02LX에 의해 \(Q = \prod_{i \in I} Q_i\)이다. 따라서 \(A' = \prod A'_i\)이다. 이제 More on Algebra의 보조정리 0C37는 (기하학적) 분지 수를 \(A'\)의 극대 아이디얼들로 나타내므로, 그 보조정리에서 원하는 등식이 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자.

1. \(X\)의 \(x\)에서의 분지 수가 \(1\)일 필요충분조건은 \(X\)가 \(x\)에서 단일분지인 것이다.

2. \(X\)의 \(x\)에서의 기하학적 분지 수가 \(1\)일 필요충분조건은 \(X\)가 \(x\)에서 기하학적으로 단일분지인 것이다.

증명

정의들과 환에 대한 대응 결과에서 즉시 따른다. More on Algebra의 보조정리 0C37을 보라.

유한형 가군과 유한 표시 가군의 특징짓기

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 보조정리는 \(\mathcal{F}\)가 유한형일 필요충분조건이 (Modules의 정의 01B5를 보라) \(\mathcal{F}\)가 각 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\) 위에서 어떤 \(\widetilde M\) 꼴이고, 여기서 \(A\)-가군 \(M\)이 유한인 것임을 보인다. 마찬가지로 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시일 필요충분조건은 (Modules의 정의 01BN을 보라) \(\mathcal{F}\)가 각 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\) 위에서 어떤 \(\widetilde M\) 꼴이고, 여기서 \(A\)-가군 \(M\)이 유한 표시인 것이다.

보조정리

\(X = \Spec(R)\)을 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층 \(\widetilde M\)이 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 필요충분조건은 \(M\)이 유한 \(R\)-가군인 것이다.

증명

\(\widetilde M\)이 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 가정하자. 이는 \(X\)의 어떤 열린 덮개가 존재하여 \(\widetilde M\)을 그 덮개의 원소들에 제한하면 유한 개의 절단으로 전역 생성된다는 뜻이다. 따라서 표준 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\)도 존재하여 \(\widetilde M|_{D(f_i)}\)가 유한 개의 절단으로 생성된다. 그러므로 \(M_{f_i}\)는 각 \(i\)에 대하여 유한 생성이다. 이제 Algebra의 보조정리 00EO에서 결론이 따른다.

보조정리

\(X = \Spec(R)\)을 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층 \(\widetilde M\)이 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 필요충분조건은 \(M\)이 유한 표시 \(R\)-가군인 것이다.

증명

\(\widetilde M\)이 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 가정하자. 보조정리 01PB에 의해 \(M\)은 유한 \(R\)-가군이다. 전사사상 \(R^n \to M\)을 선택하고 그 핵을 \(K\)라 하자. Schemes의 보조정리 01HV에 의해 짧은 완전열 \[0 \to \widetilde{K} \to \bigoplus \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \widetilde{M} \to 0\] 이 존재한다. Modules의 보조정리 01BP에 의해 \(\widetilde{K}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 따라서 보조정리 01PB를 다시 사용하면 \(K\)는 유한 \(R\)-가군이다. 그러므로 \(M\)은 유한 표시 \(R\)-가군이다.

주 열린집합 위의 절단

다음은 이러한 종류의 전형적인 결과이다. 뒤의 보조정리들에서는 더 소박하지만 더 직접적인 증명 방법을 사용할 것이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. \(X_f \subset X\)를 \(f\)가 가역인 열린집합이라 쓰자. Schemes의 보조정리 01HZ를 보라. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이면 표준 사상 \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X)_f \longrightarrow \Gamma(X_f, \mathcal{O}_X)\] 은 동형사상이다. 또한 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이면 사상 \[\Gamma(X, \mathcal{F})_f \longrightarrow \Gamma(X_f, \mathcal{F})\] 은 동형사상이다.

증명

\(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 쓰자. 스킴의 표준 사상 \[\varphi : X \longrightarrow \Spec(R)\] 을 생각하자. Schemes의 보조정리 01I1를 보라. 그러면 오른쪽의 표준 열린집합 \(D(f)\)의 역상은 왼쪽의 \(X_f\)이다. 또한 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정했으므로 사상 \(\varphi\)는 준콤팩트이고 준분리이다. Schemes의 보조정리 01K4와 01KV를 보라. 따라서 Schemes의 보조정리 01LC에 의해 \(\varphi_*\mathcal{F}\)는 준연접이다. 그러므로 \(\varphi_*\mathcal{F} = \widetilde M\)이고, \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\)는 \(R\)-가군이다. 따라서 \[\Gamma(X_f, \mathcal{F}) = \Gamma(D(f), \varphi_*\mathcal{F}) = \Gamma(D(f), \widetilde M) = M_f\] 이고, 이것이 바로 보조정리의 내용이다. 보조정리의 첫 번째 표시 동형사상은 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)로 놓으면 따른다.

\(X\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하며, \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 등급환 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 과 등급 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-가군 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\) 을 얻는다는 것을 상기하자. Modules의 정의 01CV를 보라. 더 나아가 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)가 있으면 사상 [0B5L]\[\begin{equation} \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow \Gamma(X_s, \mathcal{F}|_{X_s}) \end{equation}\] 을 얻는다. 이 사상은 \(t/s^n\)을 보낸다. 여기서 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\) 이고, 그 상은 \(t|_{X_s} \otimes s|_{X_s}^{-n}\)이다. 정의상 \(X_s \subset X\)는 \(s\)가 역원을 갖는 열린집합이므로 이는 잘 정의된다. Modules의 보조정리 01CY를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(X\)가 준콤팩트이면 (0B5L)는 단사이고,

2. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이면 (0B5L)는 동형사상이다.

특히 표준 사상 \[\Gamma_*(X, \mathcal{L})_{(s)} \longrightarrow \Gamma(X_s, \mathcal{O}_X),\quad a/s^n \longmapsto a \otimes s^{-n}\] 은 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이면 동형사상이다.

증명

\(X\)가 준콤팩트라고 가정하자. 유한 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)을 선택하자. 여기서 \(U_j\)는 아핀이고 \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\)이다. 이 동형사상을 통해 상 \(s|_{U_j}\)는 어떤 \(f_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{O}_{U_j})\)에 대응한다. 그러면 \(X_s \cap U_j = D(f_j)\)이다.

(1)의 증명. (0B5L)의 핵의 원소 \(t/s^n\)을 잡자. 그러면 \(t|_{X_s} = 0\)이다. 따라서 \((t|_{U_j})|_{D(f_j)} = 0\)이다. 보조정리 01P7에 의해 \(f_j^{e_j} t|_{U_j} = 0\)이 되는 어떤 \(e_j \geq 0\)이 존재한다. \(e = \max(e_j)\)라 하자. 그러면 \(t \otimes s^e\)는 \(U_j\)에 제한하면 모든 \(j\)에 대하여 영이므로 그 자체가 영이다. \(t/s^n\)은 \(t \otimes s^e/s^{n + e}\)와 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)}\) 안에서 같으므로 원하는 대로 \(t/s^n = 0\)을 얻는다.

(2)의 증명. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 \(U_j \cap U_{j'}\)는 모든 쌍 \(j, j'\)에 대하여 준콤팩트이다. Schemes의 보조정리 01KO를 보라. (1)에 의해 (0B5L)가 단사임을 안다. \(t' \in \Gamma(X_s, \mathcal{F}|_{X_s})\)라 하자. 모든 \(j\)에 대하여 정수 \(e_j \geq 0\)과 \(t'_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{F}|_{U_j})\)가 존재하여 \(t'|_{D(f_j)}\)는 \(t'_j/f_j^{e_j}\)에 대응한다. 여기서는 보조정리 01P7의 동형사상을 사용하였다. \(e = \max(e_j)\)라 놓고 \[t_j = f_j^{e - e_j} t'_j \otimes q_j^e \in \Gamma(U_j, (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes e})|_{U_j})\] 라 하자. 여기서 \(q_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{L}|_{U_j})\)는 동형사상 \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\)에서 오는 자명화 절단이다. 특히 \(s|_{U_j} = f_j q_j\)이다. 이를 사용하여 계산하면 \(t_j|_{U_j \cap U_{j'}}\)와 \(t_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}}\)는 \(\mathcal{F}\)의 같은 절단으로 사상되고, 그 절단은 \(U_j \cap U_{j'} \cap X_s\) 위에 정의된다. \(U_j \cap U_{j'}\)의 준콤팩트성과 (1)에 의해 어떤 정수 \(e' \geq 0\)이 존재하여 \[t_j|_{U_j \cap U_{j'}} \otimes s^{e'}|_{U_j \cap U_{j'}} = t_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}} \otimes s^{e'}|_{U_j \cap U_{j'}}\] 가 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e + e'}\)의 절단으로서 \(U_j \cap U_{j'}\) 위에서 성립한다. 모든 쌍에 대하여 같은 \(e'\)을 선택하여 쓸 수 있다. 여기서 쌍은 \(j, j'\)이다. 그러면 층 조건에 의해 절단 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e + e'})\) 가 존재하고, 그 \(U_j\)로의 제한은 \(t_j \otimes s^{e'}|_{U_j}\)이다. 간단히 계산하면 \(t/s^{e + e'}\)가 원하는 대로 \(t'\)으로 사상됨을 알 수 있다.

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 등급 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-가군 \[M = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] 을 생각하자. 다음으로 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 잡자. 그러면 표준 사상 [0B5M]\[\begin{equation} M_{(s)} \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X_s}}(\mathcal{F}|_{X_s}, \mathcal{G}|_{X_s}) \end{equation}\] 이 있다. 이 사상은 \(\alpha/s^n\)을 \(\alpha|_{X_s} \otimes s|_{X_s}^{-n}\)으로 보낸다. 다음 보조정리를 보조정리 01PI과 함께 사용하면, 대략적으로 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리일 때 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_s}\)-가군의 범주는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에서 사상들의 곱셈적 계 \(s^n: \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\)을 가역화하여 얻는 범주라는 것을 알 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 절단이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(X\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 (0B5M)는 단사이고,

2. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이며 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 (0B5M)는 전단사이다.

증명

먼저 \(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)인 경우를 증명하자. 이 경우 \(s\)는 원소 \(f \in A\)에 대응한다. \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) 및 \(\mathcal{G} = \widetilde{N}\)이라고 하자. 여기서 \(A\)-가군은 각각 \(M\)과 \(N\)이다. 그러면 보조정리 01PB와 01PC를 통해 이 보조정리는 다음 대수 명제들로 옮겨진다.

1. \(M\)이 유한 \(A\)-가군이고 \(\varphi : M \to N\)이 \(A\)-가군 사상이며 유도된 사상 \(M_f \to N_f\)가 영이면, \(f^n\varphi = 0\)이 되는 어떤 \(n\)이 존재한다.

2. \(M\)이 유한 표시 \(A\)-가군이면 \(\Hom_A(M, N)_f = \Hom_{A_f}(M_f, N_f)\)이다.

두 번째 명제는 Algebra의 보조정리 0583이고, 첫 번째 명제의 증명은 생략한다.

이제 일반적인 \(X\)에 대하여 (1)을 증명하자. \(X\)가 준콤팩트라고 가정하고 유한 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)을 선택하자. 여기서 \(U_j\)는 아핀이고 \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\)이다. 이 동형사상을 통해 상 \(s|_{U_j}\)는 어떤 \(f_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{O}_{U_j})\)에 대응한다. 그러면 \(X_s \cap U_j = D(f_j)\)이다. (0B5M)의 핵의 원소 \(\alpha/s^n\)을 잡자. 그러면 \(\alpha|_{X_s} = 0\)이다. 따라서 \((\alpha|_{U_j})|_{D(f_j)} = 0\)이다. 위에서 다룬 아핀 경우에 의해 \(f_j^{e_j} \alpha|_{U_j} = 0\)이 되는 어떤 \(e_j \geq 0\)이 존재한다. \(e = \max(e_j)\)라 하자. 그러면 \(\alpha \otimes s^e\)는 \(U_j\)에 제한하면 모든 \(j\)에 대하여 영이므로 그 자체가 영이다. \(\alpha/s^n\)은 \(\alpha \otimes s^e/s^{n + e}\)와 \(M_{(s)}\) 안에서 같으므로 원하는 대로 \(\alpha/s^n = 0\)이다.

(2)의 증명. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이므로 층 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)는 준연접이다. Schemes의 절 01LA를 보라. 또한 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 임은 모든 \(n\)에 대하여 명백하다. 따라서 이 경우에는 보조정리 01PW를 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)에 적용하여 명제가 따른다.

준아핀 스킴

정의

스킴 \(X\)가 준콤팩트이고 어떤 아핀 스킴의 열린 부분스킴과 동형이면 이를 준아핀이라고 한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(U \subset \Spec(A)\)를 준콤팩트 열린 부분스킴이라 하자. 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(U\) 위에 주어지면 표준 사상 \[\widetilde{H^0(U, \mathcal{F})}|_U \to \mathcal{F}\] 은 동형사상이다.

증명

\(j : U \to \Spec(A)\)를 포함사상이라 쓰자. 그러면 \(H^0(U, \mathcal{F}) = H^0(\Spec(A), j_*\mathcal{F})\)이고, \(j_*\mathcal{F}\)는 Schemes의 보조정리 01LC에 의해 준연접이다. 따라서 Schemes의 보조정리 01IB에 의해 \(j_*\mathcal{F} = \widetilde{H^0(U, \mathcal{F})}\)이다. 다시 \(U\)에 제한하면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이며 \(X_f\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 Schemes의 보조정리 01I1에서 오는 표준 사상 \[j : X \longrightarrow \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] 은 \(X_f = j^{-1}(D(f))\)에서 표준 아핀 열린집합 \(D(f) \subset \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) 위로의 동형사상을 유도한다.

증명

\(j\)가 보조정리 01P7에 의해 환의 동형사상 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)_f \to \mathcal{O}_X(X_f)\)을 유도하므로 이는 명백하다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 준아핀일 필요충분조건은 Schemes의 보조정리 01I1에서 오는 표준 사상 \[X \longrightarrow \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] 이 준콤팩트 열린 몰입인 것이다.

증명

표시된 사상이 준콤팩트 열린 몰입이면 \(X\)는 \(\Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\)의 준콤팩트 열린 부분스킴과 동형이고, 따라서 \(X\)는 분명 준아핀이다.

\(X\)가 준아핀이라고 가정하자. 즉, \(X \subset \Spec(R)\)이 준콤팩트 열린집합이라고 하자. 특히 이로부터 \(X\)가 분리임이 따른다. Schemes의 보조정리 01L8를 보라. \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 환 사상 \(R \to A\)를 생각하자. 이는 \(R = \Gamma(\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\)과 층 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)의 제한 사상에서 온다. Schemes의 보조정리 01I1에 의해 포함사상의 분해 \[X \longrightarrow \Spec(A) \longrightarrow \Spec(R)\] 를 얻는다. \(x \in X\)라 하자. \(r \in R\)을 선택하여 \(x \in D(r)\)이고 \(D(r) \subset X\)가 되게 하자. \(f \in A\)를 \(r\)의 \(A\)에서의 상이라 쓰자. 위의 보조정리 01P7의 열린집합 \(X_f\)는 \(D(r) \subset X\)와 같으므로, 그 보조정리의 결론에 의해 \(A_f \cong R_r\)이다. 따라서 \(D(r) \to \Spec(A)\)는 표준 아핀 열린집합 \(D(f)\), 즉 \(\Spec(A)\) 안의 그 열린집합 위로의 동형사상이다. \(X\)는 이러한 아핀 열린집합 \(D(f)\)들로 덮이므로 결론이 따른다.

보조정리

\(U \to V\)를 준아핀 스킴들의 열린 몰입이라 하자. 그러면 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr]_-j & & \Spec(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)) \ar[d] \\ U \ar[r] & V \ar[r]^-{j'} & \Spec(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)) }\] 은 데카르트 도식이다.

증명

Schemes의 보조정리 01I1에 의해 도식은 가환한다. \(A = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 및 \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)라 쓰자. \(g \in B\)를 잡아 \(V_g\)가 아핀이고 \(U\)에 포함되게 하자. 이는 \(f\)가 \(g\)의 \(A\)에서의 상일 때 \(U_f = V_g\)라는 뜻이다. 보조정리 01P8에 의해 \(j'\)은 \(V_g\)에서 표준 열린집합 \(D(g)\), 즉 \(\Spec(B)\) 안의 그 열린집합 위로의 동형사상을 유도한다. 따라서 \(V_g \times_{\Spec(B)} \Spec(A) \to \Spec(A)\)는 \(D(f) \subset \Spec(A)\) 위로의 동형사상이다. 보조정리 01P8를 다시 쓰면 \(j\)는 \(U_f\)를 \(D(f)\) 위로 동형으로 보낸다. 따라서 \(U_f = U_f \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\)이다. 보조정리 01P9에 의해 \(U\)는 위와 같은 \(V_g = U_f\)들로 덮이므로 \(U \to U \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\)는 동형사상이다.

보조정리

\(X\)를 준아핀 스킴이라 하자. 정수 \(n \geq 0\), 아핀 스킴 \(T\), 그리고 사상 \(T \to X\)가 존재하여, 모든 사상 \(X' \to X\) 중 \(X'\)이 아핀인 것에 대해 섬유곱 \(X' \times_X T\)는 \(\mathbf{A}^n_{X'}\)와 \(X'\) 위에서 동형이다.

증명

정의에 의해 어떤 환 \(A\)가 존재하여 \(X\)는 준콤팩트 열린 부분스킴 \(U \subset \Spec(A)\)와 동형이다. 표준 열린집합 \(D(f) \subset \Spec(A)\)들은 위상의 기저를 이룬다는 것을 상기하자. Algebra의 절 00DY을 보라. \(U\)가 준콤팩트이므로 \(f_1, \ldots, f_n \in A\)를 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)이 되도록 선택할 수 있다. 따라서 \(X = \Spec(A) \setminus V(I)\)이고 \(I = (f_1, \ldots, f_n)\)이라고 가정해도 된다. 다음과 같이 놓자. \[T = \Spec(A[t, x_1, \ldots, x_n]/(f_1 x_1 + \ldots + f_n x_n - 1))\] 구조사상 \(T \to \Spec(A)\)는 열린집합 \(X\)를 통해 분해되어 사상 \(T \to X\)를 준다. \(X' = \Spec(A')\)이고 사상 \(X' \to X\)가 환 사상 \(A \to A'\)에 대응한다면, 상들 \(f'_1, \ldots, f'_n \in A'\)은 \(f_1, \ldots, f_n\)의 상이며 \(A'\)에서 단위 아이디얼을 생성한다. \(1 = f'_1 a'_1 + \ldots + f'_n a'_n\)이라고 하자. 밑변환 \(X' \times_X T\)는 \(A'[t, x_1, \ldots, x_n]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1)\)의 스펙트럼이다. \(A'\)-대수 준동형 \[\varphi : A'[y_1, \ldots, y_n] \longrightarrow A'[t, x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1)\] 이 \(y_i\)를 \(a'_i t + x_i\)로 보낼 때 동형사상이라고 주장한다. 이 주장은 보조정리의 증명을 끝낸다. \(\varphi\)의 역은 \(A'\)-대수 준동형 \[\psi : A'[t, x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1) \longrightarrow A'[y_1, \ldots, y_n]\] 으로 주어지는데, 이는 \(t\)를 \(-1 + f'_1 y_1 + \ldots + f'_n y_n\)으로 보내고 \(x_i\)를 \(y_i + a'_i - a'_i(f'_1 y_1 + \ldots + f'_n y_n)\)으로 보낸다. 여기서 \(i = 1, \ldots, n\)이다. 이는 \(\sum f'_ix_i\)가 \[\begin{matrix} \sum f'_i(y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j)) = (\sum f'_iy_i) + 1 - (\sum f'_j y_j) = 1 \end{matrix}\] 로 사상되므로 잘 정의된다. 두 사상이 서로 역임을 보려면 다음과 같이 계산하면 된다. \[\begin{matrix} \varphi(\psi(t) = \varphi(-1 + \sum f'_i y_i) = -1 + \sum f'_i (a'_i t + x_i) = t \\ \varphi(\psi(x_i)) = \varphi(y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j)) = a'_i t + x_i + a'_i - a'_i(\sum f'_ja'_jt + f'_jx_j) = x_i \\ \psi(\varphi(y_i)) = \psi(a'_i t + x_i) = a'_i(-1 + \sum f'_j y_j) + y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j) = y_i \end{matrix}\] 이로써 증명이 끝난다.

평탄 가군

어떤 환 달린 공간 \((X, \mathcal{O}_X)\)에서든 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 (한 점에서) 평탄하다는 말의 뜻을 알고 있다. Modules의 정의 05ND (정의 05NF)를 보라. 아핀 스킴 위의 준연접층에 대해서는 이것이 대수 장에서 정의한 개념과 일치한다.

보조정리

\(X = \Spec(R)\)을 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이라 하자. 여기서 \(R\)-가군은 \(M\)이다. 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 필요충분조건은 \(M\)이 평탄 \(R\)-가군인 것이다.

증명

\(\mathcal{F}\)의 평탄성은 줄기에서 검사할 수 있다. Modules의 보조정리 05NE를 보라. 환 위의 가군에 대해서도 마찬가지이다. Algebra의 보조정리 00HT를 보라. 그리고 \(\mathcal{F}_x = M_{\mathfrak p}\)이며 \(x\)가 \(\mathfrak p\)에 대응하므로 보조정리가 성립한다.

국소 자유 가군

어떤 환 달린 공간에서든 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 (유한) 국소 자유라는 말의 뜻을 알고 있다. 아핀 스킴에서는 이것이 대수 장에서 정의한 개념과 일치한다.

보조정리

\(X = \Spec(R)\)을 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이라 하자. 여기서 \(R\)-가군은 \(M\)이다. 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 (유한) 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 필요충분조건은 \(M\)이 (유한) 국소 자유 \(R\)-가군인 것이다.

증명

정의에서 바로 따른다. Modules의 정의 01C6와 Algebra의 정의 00NW를 보라.

유한 국소 자유 가군은 여러 가지 서로 다른 방식으로 특징지을 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시인 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 모든 \(x \in X\)에 대하여 줄기 \(\mathcal{F}_x\)는 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 국소 자유 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

4. \(\mathcal{F}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

5. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 모든 \(x \in X\)에 대하여 줄기 \(\mathcal{F}_x\)는 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이며, 함수 \[\rho_\mathcal{F} : X \to \mathbf{Z}, \quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 는 \(X\)의 자리스키 위상에 관하여 국소 상수이다.

증명

이 보조정리는 곧바로 아핀인 경우로 환원된다. 그 경우에는 Algebra의 보조정리 00NX를 다시 서술한 것이다. 이 번역에는 보조정리 01PB, 01PC, 05P0, 그리고 05JM를 사용한다.

보조정리

\(X\)를 축약 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 보조정리 05P2의 서로 동치인 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 함수 \[\rho_\mathcal{F} : X \to \mathbf{Z}, \quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 는 \(X\)의 자리스키 위상에 관하여 국소 상수이다.

증명

이 보조정리는 곧바로 아핀인 경우로 환원된다. 그 경우에는 Algebra의 보조정리 0FWG를 다시 서술한 것이다.

국소 사영 가군

대수 장에서 수행한 작업의 한 귀결로서, 다음과 같이 국소 사영 가군을 정의하는 것이 타당하다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 국소 사영이라는 것은 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군 \(\mathcal{F}(U)\)가 사영이라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 국소 사영이다.

2. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)-가군 \(\mathcal{F}(U_i)\)는 모든 \(i\)에 대하여 사영이다.

특히 \(X = \Spec(A)\)이고 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이면 \(\mathcal{F}\)가 국소 사영일 필요충분조건은 \(M\)이 사영 \(A\)-가군인 것이다.

증명

먼저 \(M\)이 사영 \(A\)-가군이고 \(A \to B\)가 환 사상이면 \(M \otimes_A B\)는 사영 \(B\)-가군이다. Algebra의 보조정리 05A3를 보라. 따라서 \(U\)가 아핀 열린집합이고 \(\mathcal{F}(U)\)가 사영 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군이면, 표준 열린집합 \(D(f)\)도 아핀이고 \(\mathcal{F}(D(f))\)는 사영 \(\mathcal{O}_X(D(f))\)-가군이다. 이는 모든 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\)에 대하여 성립한다. (2)가 성립한다고 가정하자. \(U \subset X\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하자. 열린 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(f_j)\)를 찾을 수 있고, 이는 유한 개의 표준 열린집합 \(D(f_j)\)로 이루어지며, 각 \(j\)에 대하여 열린집합 \(D(f_j)\)는 어떤 \(U_i\)의 표준 열린집합이다. Schemes의 보조정리 01IW를 보라. \(A = \mathcal{O}_X(U)\)라 놓고, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하되 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(M\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(M_{f_j}\)는 사영 \(A_{f_j}\)-가군이다. 따라서 \(A \to B = \prod A_{f_j}\)는 충실히 평탄인 환 사상이고 \(M \otimes_A B\)는 사영 \(B\)-가군이다. 그러므로 Algebra의 정리 05A9에 의해 \(M\)은 사영이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G}\)가 \(Y\) 위에서 국소 사영이면 \(f^*\mathcal{G}\)는 \(X\) 위에서 국소 사영이다.

증명

Algebra의 보조정리 05A3와 보조정리 05JQ에서 따른다.

준연접층의 연장

열린 부분스킴 위에 주어진 준연접층이 전체 스킴으로 연장됨을 보일 수 있으면 때때로 유용하다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 스킴들의 준콤팩트 열린 몰입이라 하자.

1. \(U\) 위의 임의의 준연접층은 \(X\) 위의 준연접층으로 연장된다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\)를 준연접 부분층이라 하자. \(\mathcal{H}\)가 준연접 부분층으로서 존재하며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 부분층이고 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)이고, 이는 \(\mathcal{F}|_U\)의 부분층으로서의 등식이다.

3. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(U\) 위의 준연접층이라 하자. \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\)를 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 사상이라 하자. 준연접층 \(\mathcal{H}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층으로서 존재하고, 사상 \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)이고 \(\psi|_U = \varphi\)이다.

증명

몰입은 분리이다(Schemes의 보조정리 01L7를 보라). 또한 가정에 의해 \(j\)는 준콤팩트이다. 따라서 임의의 준연접층 \(\mathcal{G}\)가 \(U\) 위에 주어지면 층 \(j_*\mathcal{G}\)는 \(X\)로의 연장이다. Schemes의 보조정리 01LC와 Sheaves의 절 009Z을 보라.

\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)가 (2)와 같다고 가정하자. 그러면 \(j_*\mathcal{G}\)는 \(X\) 위의 준연접층이다(위를 보라). 이는 \(j_*j^*\mathcal{F}\)의 부분층이다. 따라서 핵 \[\mathcal{H} = \Ker(\mathcal{F} \oplus j_* \mathcal{G} \longrightarrow j_*j^*\mathcal{F})\] 도 준연접이다. Schemes의 절 01LA를 보라. \(\mathcal{H} \subset \mathcal{F}\)이고 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)임은 형식적으로 확인할 수 있다 (Sheaves의 절 009Z의 내용을 다시 사용한다).

(3)도 (2)와 같은 방법으로 증명한다. \(\mathcal{H} = \Ker(\mathcal{F} \oplus j_* \mathcal{G} \to j_*j^*\mathcal{F})\)를 취하고, \(\mathcal{F}\)로 가는 명백한 사상 및 \(\mathcal{G}\)와의 \(U\) 위에서의 명백한 식별을 사용하면 된다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-부분가군이라 하자. 그러면 유한형 준연접 부분가군 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)이다.

증명

\(n\)을 아핀 열린집합 \(U_i \subset X\), \(i = 1, \ldots , n\)의 최소 개수라 하자. 이들은 \(X = U \cup \bigcup U_i\)가 되게 한다. (여기서 \(X\)의 준콤팩트성을 사용한다.) \(n = 1\)인 경우에 보조정리를 증명할 수 있다고 하자. 그러면 \(\mathcal{G}\)를 차례로 \(\mathcal{G}_1\)로 \(U \cup U_1\) 위에, \(\mathcal{G}_2\)로 \(U \cup U_1 \cup U_2\) 위에, \(\mathcal{G}_3\)로 \(U \cup U_1 \cup U_2 \cup U_3\) 위에 연장하는 식으로 계속할 수 있다. 따라서 \(n = 1\)인 경우로 환원된다.

그러므로 \(X = U \cup V\)이고 \(V\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X\)가 준분리이고 \(U\), \(V\)가 준콤팩트 열린집합이므로 \(U \cap V\)는 준콤팩트 열린집합이다. 계 \((V, U \cap V, \mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_{U \cap V})\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 실제로 그 결과 얻는 층 \(\mathcal{G}'\)를 \(V\) 위에서 주어진 층 \(\mathcal{G}\)와 \(U\) 위에서 \(U \cap V\) 위의 공통값을 따라 붙일 수 있다. 따라서 \(X\)가 아핀인 경우로 환원된다.

\(X = \Spec(R)\)이라고 가정하자. \(\mathcal{F} = \widetilde M\)이라 쓰자. 여기서 \(R\)-가군은 \(M\)이다. 위의 보조정리 01PE에 의해 준연접 부분층 \(\mathcal{H} \subset \mathcal{F}\)를 찾을 수 있고, 이는 \(\mathcal{G}\)로 \(U\) 위에서 제한된다. \(\mathcal{H} = \widetilde N\)이라 쓰자. 여기서 \(R\)-가군은 \(N\)이다. 모든 \(u \in U\)에 대하여 어떤 \(f \in R\)이 존재하여 \(u \in D(f) \subset U\)이고 \(N_f\)는 유한 생성이다. 보조정리 01PB를 보라. \(U\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 \(D(f_i)\)로 덮을 수 있고, 각 \(N_{f_i}\)는 유한 개의 원소, 이를테면 \(x_{i, 1}/f_i^N, \ldots, x_{i, r_i}/f_i^N\)로 생성된다. \(N' \subset N\)을 원소 \(x_{i, j}\)들로 생성되는 부분가군이라 하자. 그러면 부분층 \(\mathcal{G}' = \widetilde{N'} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) 가 원하는 것이다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층은 그 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군들의 유향 여극한이다.

증명

\(\mathcal{G}_1\), \(\mathcal{G}_2\)가 유한형 준연접 부분층이면 \(\mathcal{G}_1 \oplus \mathcal{G}_2 \to \mathcal{F}\)의 상도 유한형 준연접 부분가군이므로 이 여극한은 유향이다. \(U \subset X\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하고, \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\)를 임의의 절단이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\)를 \(s\)로 생성되는 부분층이라 하자. 그러면 분명히 \(\mathcal{G}\)는 준연접이고 \(\mathcal{O}_U\)-가군으로서 유한형이다. 보조정리 01PF에 의해 \(\mathcal{G}\)는 유한형 준연접 부분층 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\)의 제한이다. \(X\)의 위상에는 아핀 열린집합들로 이루어진 기저가 있으므로, \(\mathcal{F}\)의 모든 국소 절단은 국소적으로 어떤 유한형 준연접 부분가군에 포함된다. 이로써 결론이 따른다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\)를 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 사상이라 하자. 그러면 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}'\)과 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상 \(\varphi' : \mathcal{G}' \to \mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)이고 \(\varphi'|_U = \varphi\)이다.

증명

증명의 시작은 보조정리 01PF의 증명의 시작을 반복한다. 그래도 이를 자세히 적겠다.

\(n\)을 아핀 열린집합 \(U_i \subset X\), \(i = 1, \ldots , n\)의 최소 개수라 하자. 이들은 \(X = U \cup \bigcup U_i\)가 되게 한다. (여기서 \(X\)의 준콤팩트성을 사용한다.) \(n = 1\)인 경우에 보조정리를 증명할 수 있다고 하자. 그러면 쌍 \((\mathcal{G}, \varphi)\)를 차례로 \((\mathcal{G}_1, \varphi_1)\)로 \(U \cup U_1\) 위에, \((\mathcal{G}_2, \varphi_2)\)로 \(U \cup U_1 \cup U_2\) 위에, \((\mathcal{G}_3, \varphi_3)\)로 \(U \cup U_1 \cup U_2 \cup U_3\) 위에 연장하는 식으로 계속할 수 있다. 따라서 \(n = 1\)인 경우로 환원된다.

그러므로 \(X = U \cup V\)이고 \(V\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X\)가 준분리이고 \(U\)가 준콤팩트이므로 \(U \cap V \subset V\)는 준콤팩트이다. 계 \((V, U \cap V, \mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_{U \cap V}, \varphi|_{U \cap V})\) 에 대해 보조정리를 증명하여 \((\mathcal{G}', \varphi')\)를 얻고, 이 쌍이 \(V\) 위에 있다고 하자. 그러면 \(\mathcal{G}'\)를 \(V\) 위에서 주어진 층 \(\mathcal{G}\)와 \(U\) 위에서 \(U \cap V\) 위의 공통값을 따라 붙일 수 있고, 마찬가지로 사상 \(\varphi'\)을 사상 \(\varphi\)와 \(U \cap V\) 위의 공통값을 따라 붙일 수 있다. 따라서 \(X\)가 아핀인 경우로 환원된다.

\(X = \Spec(R)\)이라고 가정하자. 위의 보조정리 01PE에 의해 준연접층 \(\mathcal{H}\)와 사상 \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\)를 찾을 수 있다. 이들은 \(X\) 위에 있고, \(\mathcal{G}\)와 \(\varphi\)로 \(U\) 위에서 제한된다. 보조정리 01PF에 의해 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{H}' \subset \mathcal{H}\)를 \(\mathcal{H}'|_U = \mathcal{G}\)가 되도록 찾을 수 있다. 따라서 \(\mathcal{H}\)를 \(\mathcal{H}'\)로 바꾸고 \(\psi\)를 \(\psi\)의 \(\mathcal{H}'\)에 대한 제한으로 바꾸면 \(\mathcal{H}\)가 유한형이라고 가정할 수 있다. 보조정리 01PC에 의해 \(\mathcal{H} = \widetilde{N}\)이고 \(N\)은 유한 생성 \(R\)-가군이다. 따라서 다음과 같은 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 짧은 완전열을 이루는 전사사상이 존재한다. \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{H} \to 0\] 여기서 \(\mathcal{K}\)는 핵으로 정의된다. \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이고 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)이므로, Modules의 보조정리 01BP에 의해 제한 \(\mathcal{K}|_U\)는 유한형 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다. 따라서 보조정리 01PF를 다시 사용하면 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}\)가 존재하여 \(\mathcal{K}'|_U = \mathcal{K}|_U\)이다. 보조정리에서 제기한 문제의 해답은 다음과 같이 놓는 것이다. \[\mathcal{G}' = \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K}'\] 이는 분명 유한 표시이고 \(\mathcal{G}\)를 \(U\) 위에서 주도록 제한되며, \(\varphi'\)은 합성 \[\mathcal{G}' = \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K}' \to \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K} = \mathcal{H} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F}.\] 과 같다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{G}\)가 준연접이고 유한형이면 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}'\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)이다.

2. \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이면 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}'\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)이다.

증명

(2)는 \(\mathcal{F} = 0\)인 보조정리 01PI의 특수한 경우이다. (1)에 대해서는 먼저 보조정리 01PE에 의해 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_U\)라고 쓰되, 그 우변은 어떤 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군에서 오도록 한다. 이어서 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_U\)로 놓고 보조정리 01PF를 적용한다.

다음 보조정리는 준콤팩트 준분리 스킴 위의 모든 준연접층이 유한 표시 \(\mathcal{O}\)-가군들의 여과 여극한임을 말한다. 실제로 다음 보조정리에서는 이를 유향 집합 위의 유향 여극한이라는 (아마 더 익숙한) 말로 다시 서술한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음이 존재한다.

1. 여과 지표 범주 \(\mathcal{I}\)(Categories의 정의 002V를 보라),

2. 도표 \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) (Categories의 절 002D를 보라), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\),

3. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\).

여기서 각 \(\mathcal{F}_i\)는 유한 표시이고, 사상들 \(\varphi_i\)는 동형사상 \[\colim_i \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.\] 을 유도한다.

증명

집합 \(I\)를 선택하고 각 \(i \in I\)에 대하여 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군과 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준동형 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)를 다음 성질을 만족하도록 선택하자. 임의의 \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)에 대하여, 여기서 \(\mathcal{G}\)는 유한 표시인데, 어떤 \(i \in I\)가 존재하여 동형사상 \(\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}\)가 \(\varphi_i = \psi \circ \alpha\)를 만족한다. 이러한 집합이 존재함은 Modules의 보조정리 01BC에서 명백하다(그 증명도 보라). \(\mathcal{I}\)를 \(\Ob(\mathcal{I}) = I\)인 범주라 쓰고, \(i, i' \in I\)가 주어지면 다음과 같이 놓는다. \[\Mor_\mathcal{I}(i, i') = \{\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'} \mid \alpha \circ \varphi_{i'} = \varphi_i \}.\] \(\mathcal{I}\)가 여과 범주이고 \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\)라고 주장한다.

\(i, i' \in I\)라 하자. 그러면 사상 \[\mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \longrightarrow \mathcal{F}\] 을 생각할 수 있으며, 이는 \(\varphi_i\)와 \(\varphi_{i'}\)의 직합이다. 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 직합은 유한 표시이므로 어떤 \(i'' \in I\)가 존재하여 \(\varphi_{i''} : \mathcal{F}_{i''} \to \mathcal{F}\)가 위에 표시한 \(\mathcal{F}\)로 가는 화살표와 동형임을 알 수 있다. 가환 도식들 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \ar[r] & \mathcal{F} } \quad \text{and} \quad \xymatrix{ \mathcal{F}_{i'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \ar[r] & \mathcal{F} }\] 이 있으므로 사상 \(i \to i''\)와 \(i' \to i''\)가 \(\mathcal{I}\) 안에 있다. 다음으로 \(i, i' \in I\)와 사상 \(\alpha, \beta : i \to i'\)가 주어졌다고 하자(이는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\alpha, \beta : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)에 대응한다). 이 경우 쌍대등화자 \[\mathcal{G} = \Coker( \mathcal{F}_i \xrightarrow{\alpha - \beta} \mathcal{F}_{i'} )\] 를 생각하자. \(\mathcal{G}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군임에 유의하라. 범주 \(\mathcal{I}\)의 사상의 정의에 의해 \(\varphi_{i'} \circ \alpha = \varphi_{i'} \circ \beta\)이므로 유도된 사상 \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 얻는다. 따라서 다시 쌍 \((\mathcal{G}, \psi)\)는 쌍 \((\mathcal{F}_{i''}, \varphi_{i''})\)와 어떤 \(i''\)에 대하여 동형이다. 따라서 사상 \(i' \to i''\)가 \(\mathcal{I}\) 안에 존재하고 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 같게 만든다. 이로써 범주 \(\mathcal{I}\)가 여과임을 보였다.

이제 도표의 여극한이 \(\mathcal{F}\)임을 보여야 한다. 여극한의 정의와 범주 \(\mathcal{I}\)의 정의에 의해 표준 사상 \[\varphi : \colim_i \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}.\] 이 있다. \(x \in X\)를 잡자. \(\varphi_x\)가 동형사상임을 보이자. 다음을 상기하라. \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x},\] Sheaves의 절 009E을 보라. 먼저 사상 \(\varphi_x\)가 단사임을 보이자. \(s \in \mathcal{F}_{i, x}\)를 잡고, \(s\)가 \(\mathcal{F}_x\)에서 영으로 사상된다고 하자. 그러면 준콤팩트 열린집합 \(U\)가 존재하여 \(s\)는 \(s \in \mathcal{F}_i(U)\)에서 오고 \(\varphi_i(s) = 0\)이 \(\mathcal{F}(U)\)에서 성립한다. 보조정리 01PF에 의해 유한형 준연접 부분층 \(\mathcal{K} \subset \Ker(\varphi_i)\)를 찾을 수 있고, 이는 \(\mathcal{O}_U\)-부분가군으로서 준연접이고, \(\mathcal{F}_i\) 안에서 \(s\)로 생성되는 부분가군으로 제한된다. \(\mathcal{K}|_U = \mathcal{O}_U\cdot s \subset \mathcal{F}_i|_U\). 분명 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{K}\)는 유한 표시이고 사상 \(\varphi_i\)는 몫사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i/\mathcal{K}\)를 통해 분해된다. 따라서 \(i' \in I\)와 사상 \(\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)를 \(\mathcal{I}\) 안에서 찾을 수 있고, 이 사상은 몫사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i/\mathcal{K}\)와 식별된다. 그러면 절단 \(s\)는 \(\mathcal{F}_{i'}(U)\)에서 영으로 사상되고, 특히 \((\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}\)에서도 그러하다. 단사성이 따른다. 마지막으로 사상 \(\varphi_x\)가 전사임을 보이자. \(s \in \mathcal{F}_x\)를 잡자. 준콤팩트 열린 근방 \(U \subset X\)를 \(x\)에 대해 선택하여 \(s\)가 절단 \(s \in \mathcal{F}(U)\)에 대응하게 하자. 사상 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\)를 생각하자(\(s\)에 의한 곱셈). 보조정리 01PI에 의해 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\)는 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\)와 식별된다. 다시 \(\mathcal{I}\)의 정의에 의해 어떤 \(i \in I\)가 존재하여 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)는 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)와 동형이다. 분명 절단 \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\)가 존재하여 \(s \in \mathcal{F}(U)\)로 사상된다. 이로써 전사성이 증명되고 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음이 존재한다.

1. 유향 집합 \(I\)(Categories의 정의 00D3를 보라),

2. 계 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)가 \(I\) 위에 있고 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 안에 놓인다 (Categories의 정의 0030를 보라),

3. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\).

여기서 각 \(\mathcal{F}_i\)는 유한 표시이고, 사상들 \(\varphi_i\)는 동형사상 \[\colim_i \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.\] 을 유도한다.

증명

보조정리 01PJ와 Categories의 보조정리 0032의 직접적인 귀결이다(층의 범주에는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 여극한이 존재한다는 사실도 함께 사용한다. Sheaves의 절 009E을 보라).

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)라고 쓸 수 있고, \(\mathcal{F}_i\)는 유한 표시이며 모든 전이사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)는 전사이다.

증명

\(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰자(보조정리 01PK). \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)가 어떤 \(i\)에 대하여 전사라고 주장한다. 실제로 유한 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)을 선택하자. 절단 \(s_{jl} \in \mathcal{F}(U_j)\)들을 선택하여 \(\mathcal{F}|_{U_j}\)를 생성하게 하자. 보조정리 01PB를 보라. Sheaves의 보조정리 009F에 의해 \(s_{jl}\)는 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)의 상에 충분히 큰 \(i\)에 대하여 속한다. 따라서 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대하여 전사이다. 그러한 \(i\)를 선택하고 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}_i\)를 사상 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)의 핵이라 하자. \(\mathcal{K} = \colim \mathcal{K}_a\)를 그 유한형 준연접 부분가군들의 여과 여극한으로 쓰자(보조정리 01PG). 그러면 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i/\mathcal{K}_a\)가 보조정리에서 제기한 문제의 해답이다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하고 \(\mathcal{F}|_U\)가 유한 표시라고 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재하여 (a) \(\mathcal{G}\)는 유한 표시이고, (b) \(\varphi\)는 전사이며, (c) \(\varphi|_U\)는 동형사상이다.

증명

\(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)를 유향 여극한으로 쓰되, 각 \(\mathcal{F}_i\)가 유한 표시가 되게 하자. 보조정리 01PK를 보라. 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup V_j\)를 선택하고, 유한 개의 절단 \(s_{jl} \in \mathcal{F}(V_j)\)을 선택하여 \(\mathcal{F}|_{V_j}\)를 생성하게 하자. 보조정리 01PB를 보라. Sheaves의 보조정리 009F에 의해 \(s_{jl}\)는 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)의 상에 충분히 큰 \(i\)에 대하여 속한다. 따라서 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대하여 전사이다. 그러한 \(i\)를 선택하고 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{F}_i\)를 사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)의 핵이라 하자. \(\mathcal{F}_U\)가 유한 표시이므로 \(\mathcal{K}|_U\)는 유한형이다. Modules의 보조정리 01BP를 보라. 따라서 유한형 준연접 부분가군 \(\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}\)를 \(\mathcal{K}'|_U = \mathcal{K}|_U\)가 되도록 찾을 수 있다. 보조정리 01PF를 보라. 그러면 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}_i/\mathcal{K}'\)와 주어진 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 해답이다.

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 보조정리에서는 유한 표시인 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}\)라는 개념을 사용한다. 이는 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\)이고, 여기서 \(A\)는 \(R\)-대수로서 유한 표시인 (가환) \(R\)-대수라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 다음이 존재한다.

1. 유향 집합 \(I\)(Categories의 정의 00D3를 보라),

2. 계 \((\mathcal{A}_i, \varphi_{ii'})\)가 \(I\) 위에서 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 범주 안에 놓인다.

3. \(\mathcal{O}_X\)-대수의 사상 \(\varphi_i : \mathcal{A}_i \to \mathcal{A}\).

여기서 각 \(\mathcal{A}_i\)는 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수이고, 사상들 \(\varphi_i\)는 동형사상 \[\colim_i \mathcal{A}_i = \mathcal{A}.\] 을 유도한다.

증명

먼저 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\)를 보조정리 01PK에서와 같이 유한 표시 준연접층들의 유향 여극한으로 쓰자. 각 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{B}_i = \text{Sym}(\mathcal{F}_i)\)를 \(\mathcal{F}_i\)로 생성되는 \(\mathcal{O}_X\) 위의 대칭대수라 하자. \(\mathcal{I}_i = \Ker(\mathcal{B}_i \to \mathcal{A})\)라 쓰자. \(\mathcal{I}_i = \colim_j \mathcal{F}_{i, j}\)라 쓰되, \(\mathcal{F}_{i, j}\)는 \(\mathcal{I}_i\)의 유한형 준연접 부분가군이라 하자. 보조정리 01PG를 보라. \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{I}_i\)를 \(\mathcal{B}_i\)-아이디얼 가운데 \(\mathcal{F}_{i, j}\)로 생성되는 것과 같게 놓자. \(\mathcal{A}_{i, j} = \mathcal{B}_i/\mathcal{I}_{i, j}\)라 놓자. 그러면 \(\mathcal{A}_{i, j}\)는 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수이다. \((i, j) \leq (i', j')\)를 다음과 같이 정의하자. \(i \leq i'\)이고 사상 \(\mathcal{B}_i \to \mathcal{B}_{i'}\)가 아이디얼 \(\mathcal{I}_{i, j}\)를 아이디얼 \(\mathcal{I}_{i', j'}\) 안으로 보내야 한다. 그러면 \(\mathcal{A} = \colim_{i, j} \mathcal{A}_{i, j}\)임이 명백하다.

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 보조정리에서는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}\)라는 개념을 사용한다. 이는 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\)이고, 여기서 \(A\)는 \(R\)-대수로서 유한형인 (가환) \(R\)-대수라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)는 그 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수들의 유향 여극한이다.

증명

\(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \subset \mathcal{A}\)가 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수이면 \(\mathcal{A}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{A}_2 \to \mathcal{A}\)의 상도 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수이고(몇몇 세부사항은 생략한다), \(\mathcal{A}_1\)과 \(\mathcal{A}_2\)를 모두 포함한다. 이로써 이 계가 유향임을 알 수 있다. \(\mathcal{A}\)가 이 계의 여극한임을 보이기 위해, \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{A}_i\)를 보조정리 05JS에서와 같이 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 유향 여극한으로 쓰자. 그러면 상들 \(\mathcal{A}'_i = \Im(\mathcal{A}_i \to \mathcal{A})\)은 \(\mathcal{A}\)의 유한형 준연접 부분대수이다. \(\mathcal{A}\)가 이들의 여극한이므로 결과가 따른다.

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 보조정리에서는 유한 (각각 정수적) 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}\)라는 개념을 사용한다. 이는 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\)이고, 여기서 \(A\)는 \(R\)-대수로서 유한 (각각 정수적)인 (가환) \(R\)-대수라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{A}\)를 유한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)는 유한이고 유한 표시인 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 유향 여극한이며, 모든 전이사상 \(\mathcal{A}_{i'} \to \mathcal{A}_i\)는 전사이다.

증명

보조정리 086M에 의해 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 전사사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{A}\)가 존재한다. 대수 구조를 사용하여 전사사상 \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{A}\] 을 얻는다. 그 핵을 \(\mathcal{J}\)라 쓰자. \(\mathcal{J} = \colim \mathcal{E}_i\)를 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{E}_i\)들의 여과 여극한으로 쓰자(보조정리 01PG). 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{A}_i = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})/(\mathcal{E}_i)\] 여기서 \((\mathcal{E}_i)\)는 \(\mathcal{E}_i \to \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\)의 상으로 생성되는 아이디얼 층을 뜻한다. 그러면 각 \(\mathcal{A}_i\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-대수이고, 전이사상들은 전사이며, \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)이다. 증명을 끝내려면 \(\mathcal{A}_i\)가 유한 \(\mathcal{O}_X\)-대수임을 충분히 큰 \(i\)에 대하여 보이면 된다. 이를 위해 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)을 선택하자. 생성원들 \(f_{j, 1}, \ldots, f_{j, N_j} \in \Gamma(U_i, \mathcal{F})\)을 잡자. \(\mathcal{A}(U_j)\)는 유한 \(\mathcal{O}_X(U_j)\)-대수이므로, 각 \(k\)에 대하여 일계수 다항식 \(P_{j, k} \in \mathcal{O}(U_j)[T]\)가 존재하여 \(P_{j, k}(f_{j, k})\)가 \(\mathcal{A}(U_j)\)에서 영이다. 구성에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)이므로, \(P_{j, k}(f_{j, k}) = 0\)이 \(\mathcal{A}_i(U_j)\)에서 충분히 큰 모든 \(i\)에 대하여 성립한다. 그러한 \(i\)에 대하여 대수들 \(\mathcal{A}_i\)는 유한이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{A}\)를 정수적 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면

1. \(\mathcal{A}\)는 그 유한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수들의 유향 여극한이고,

2. \(\mathcal{A}\)는 유한이고 유한 표시인 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 직접 여극한이다.

증명

보조정리 05JT에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)이고, \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 전체를 달린다. 임의의 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수 가운데 \(\mathcal{A}\)의 부분대수인 것은 유한이다(Algebra의 보조정리 02JJ를 \(\mathcal{A}_i(U) \subset \mathcal{A}(U)\)에 적용하라. 여기서 \(U\)는 \(X\) 안의 아핀 열린집합이다). 이로써 (1)이 증명된다.

(2)를 증명하기 위해, 보조정리 01PK를 사용하여 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여극한으로 쓰자. 각 \(i\)에 대하여 사상 \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\] 의 핵을 \(\mathcal{J}_i\)라 하자. \(i' \geq i\)에 대하여 유도된 사상 \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\)가 있고, \(\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)이다. 또한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)는 유한이다(위를 보라). \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여극한으로 쓰자. \(i' \geq i\)와 \(k\)가 주어지면 어떤 \(k'\)이 존재하여 사상 \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\)가 있고, 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] 을 가환하게 한다. 이는 Modules의 보조정리 01BS에서 따른다. 이로부터 사상 \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] 이 유도된다. 여기서 \((\mathcal{E}_{ik})\)는 \(\mathcal{E}_{ik}\)로 생성되는 아이디얼을 뜻한다. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}_{ki}\)는 충분히 큰 \(k\)에 대하여 유한 표시이고 유한이다(보조정리 086N의 증명을 보라). 마지막으로 \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] 이다. 첫 번째 등식은 보조정리 086N의 증명에서 보였고, 두 번째 등식은 \(\mathcal{A}\)가 가군들 \(\mathcal{F}_i\)의 여극한이기 때문에 성립한다.

Gabber의 결과

이 절에서는 모든 스킴 위에 기수 \(\kappa\)가 존재하여 각 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)가 그 준연접 \(\kappa\)-생성 부분층들의 합집합이 되게 한다는 Gabber의 결과를 증명한다. 이로부터 스킴 위의 준연접층의 범주는 극한과 충분한 단사대상을 갖는 그로텐디크 아벨 범주임이 따른다³.

정의

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\kappa\)를 무한 기수라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)를 \(\kappa\)-생성이라고 하는 것은 다음 조건이 성립한다는 뜻이다. 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}|_{U_i}\)가 부분집합 \(R_i \subset \mathcal{F}(U_i)\)로 생성되고 그 기수가 \(\kappa\) 이하이다.

많아야 \(\kappa\)개인 \(\kappa\)-생성 가군들의 직합은 다시 \(\kappa\)-생성임에 유의하라. 이는 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)이기 때문이다. Sets의 절 000D을 보라. 특히 두 \(\kappa\)-생성 가군의 직합에 대해 이것이 성립한다. 또한 \(\kappa\)-생성 층의 몫은 \(\kappa\)-생성이다. (하지만 부분가군에 대해서도 같을 필요는 없다.)

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\kappa\)를 기수라 하자. 집합 \(T\)와 족 \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\)가 존재하며, 이 족은 \(\kappa\)-생성 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어지고 모든 \(\kappa\)-생성 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 \(\mathcal{F}_t\) 가운데 하나와 동형이다.

증명

반복을 허용하지 않으면 \(X\)의 덮개들은 하나의 집합을 이룬다. \(X = \bigcup U_i\)가 덮개이고 \(\mathcal{F}_i\)가 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-가군이라고 하자. 그러면 붙임 사상들이 하나의 집합을 이루므로 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\) 중에서 \(\mathcal{F}|_{U_i} \cong \mathcal{F}_i\)라는 성질을 가진 것들의 동형류도 하나의 집합을 이룬다. 따라서 몫들 \(\oplus_{k \in \kappa} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)의 (동형류의) 모임이 임의의 환 달린 공간 \(X\)에 대해 집합임을 증명하는 것으로 환원된다. 이는 명백하다.

다음은 이 절의 제목이 가리키는 결과이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 기수 \(\kappa\)가 존재하여 모든 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)는 그 준연접 \(\kappa\)-생성 부분가군들의 유향 여극한이다.

증명

아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 선택하자. 각 쌍 \(i, j\)에 대하여 아핀 열린 덮개 \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k \in I_{ij}} U_{ijk}\)를 선택하자. \(U_i = \Spec(A_i)\) 및 \(U_{ijk} = \Spec(A_{ijk})\)라 쓰자. \(\kappa\)를 \(\geq\) 관계로 집합들 \(I\), \(I_{ij}\) 각각의 기수를 지배하는 임의의 무한 기수라 하자.

\(\mathcal{F}\)를 준연접층이라 하자. \(M_i = \mathcal{F}(U_i)\) 및 \(M_{ijk} = \mathcal{F}(U_{ijk})\)라 놓자. 다음에 유의하라. \[M_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = M_{ijk} = M_j \otimes_{A_j} A_{ijk}.\] Schemes의 보조정리 01I9를 보라. 선택공리를 사용하여 사상 \[(i, j, k, m) \mapsto S(i, j, k, m)\] 을 선택하자. 이는 모든 \(i, j \in I\), \(k \in I_{ij}\) 및 \(m \in M_i\)에 유한 부분집합 \(S(i, j, k, m) \subset M_j\)를 대응시키며, \[m \otimes 1 = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes a_{m'}\] 가 \(M_{ijk}\) 안에서 어떤 \(a_{m'} \in A_{ijk}\)에 대하여 성립하게 한다. 또한 \(S(i, i, k, m) = \{m\}\)라고 약속하자. 이 약속은 위와 같은 모든 \(i, j = i, k, m\)에 적용한다. 이러한 사상을 하나 고정한다.

부분집합들의 족 \(\mathcal{S} = (S_i)_{i \in I}\)가 주어졌고, 각 \(S_i \subset M_i\)의 기수가 \(\kappa\) 이하이면 \(\mathcal{S}' = (S'_i)\)라 놓는데, 여기서 \[S'_j = \bigcup\nolimits_{(i, k, m)\text{ such that }m \in S_i} S(i, j, k, m)\] 이다. \(S_i \subset S'_i\)임에 유의하라. 또한 \(S'_i\)는 기수가 많아야 \(\kappa\)인 집합에 걸친 유한집합들의 합집합이므로 기수가 많아야 \(\kappa\)이다. \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\), \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\)라 놓고 귀납적으로 \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\)라 놓자. 그리고 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} \mathcal{S}^{(n)}\)라 놓자. \(\mathcal{S}^{(\infty)} = (S^{(\infty)}_i)\)라 쓰면, 임의의 원소 \(m \in S^{(\infty)}_i\)에 대하여 \(m\)의 \(M_{ijk}\) 안에서의 상은 유한합 \(\sum m' \otimes a_{m'}\)으로 쓸 수 있고, 여기서 \(m' \in S_j^{(\infty)}\)이다. 따라서 \[N_i = A_i\text{-submodule of }M_i\text{ generated by }S^{(\infty)}_i\] 라고 놓으면 \[N_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = N_j \otimes_{A_j} A_{ijk}.\] 이다. 이는 \(M_{ijk}\)의 부분가군으로서의 등식이다. 그러므로 준연접 부분층 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}(U_i) = N_i\)이다. 또한 구성에 의해 층 \(\mathcal{G}\)는 \(\kappa\)-생성이다.

\(\{\mathcal{G}_t\}_{t \in T}\)를 \(\kappa\)-생성 준연접 부분층들의 집합이라 하자. \(t, t' \in T\)이면 \(\mathcal{G}_t + \mathcal{G}_{t'}\)도 \(\kappa\)-생성 준연접 부분층이다. 실제로 이는 사상 \(\mathcal{G}_t \oplus \mathcal{G}_{t'} \to \mathcal{F}\)의 상이다. 따라서 포함으로 순서지은 이 계는 유향이다. 위의 논의는 \(\mathcal{F}\)의 \(U_i\) 위의 모든 절단이 어떤 \(\mathcal{G}_t\)에 속함을 보인다(\(\mathcal{S}\)를 주어진 절단이 \(S_i\)의 원소가 되도록 택하여 시작할 수 있기 때문이다). 따라서 원하는 대로 \(\colim_t \mathcal{G}_t \to \mathcal{F}\)는 단사이고 전사이다.

명제

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. 범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 그로텐디크 아벨 범주이다. 따라서 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 충분한 단사대상과 모든 극한을 갖는다.

2. 포함 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 오른쪽 수반을 갖는다⁴ \[Q : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] 모든 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 수반 사상 \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)는 동형사상이다.

증명

(1)은 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 (a) 모든 여극한을 갖고, (b) 여과 여극한이 완전하며, (c) 생성자를 갖는다는 뜻이다. Injectives의 절 079A를 보라. Schemes의 절 01LA에 의해 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안의 여극한은 존재하고 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 안의 여극한과 일치한다. Modules의 보조정리 01AH에 의해 여과 여극한은 완전하다. 따라서 (a)와 (b)가 성립한다. 생성자 \(U\)를 구성하기 위해 보조정리 077N와 같은 기수 \(\kappa\)를 선택하자. 보조정리 077M에서와 같은 준연접층의 모임 \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\)를 선택하자. 이들은 \(\kappa\)-생성이다. 다음과 같이 놓자. \(U = \bigoplus_{t \in T} \mathcal{F}_t\). 모든 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상은 \(\kappa\)-생성 준연접 가군의 여과 여극한, 즉 \(\mathcal{F}_t\)와 동형인 대상들의 여과 여극한이므로 \(U\)가 생성자임은 명백하다. 극한과 단사대상에 관한 주장들은 모든 그로텐디크 아벨 범주에서 성립한다. Injectives의 정리 079H와 보조정리 07D8를 보라.

(2)의 증명. \(Q\)를 구성하기 위해 다음의 일반적인 절차를 사용한다. 대상 \(\mathcal{F}\)가 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에 주어지면 함자 \[\QCoh(\mathcal{O}_X)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad \mathcal{G} \longmapsto \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] 를 생각한다. 이 함자는 여극한을 극한으로 보내므로 표현가능하다. Injectives의 보조정리 07D7을 보라. 따라서 준연접층 \(Q(\mathcal{F})\)와 함자적 동형사상 \(\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_X(\mathcal{G}, Q(\mathcal{F}))\) 이 존재하며, 이는 \(\mathcal{G}\)가 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안에 대하여 성립한다. 요네다 보조정리(Categories의 보조정리 001P)에 의해 구성 \(\mathcal{F} \leadsto Q(\mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}\)에 관하여 함자적이다. 구성에 의해 \(Q\)는 포함 함자의 오른쪽 수반이다. 사상 \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)가 \(\mathcal{F}\)가 준연접일 때 동형사상이라는 사실은 포함 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)가 충실충만이라는 사실의 형식적인 귀결이다.

닫힌 부분집합에 지지가 있는 절

위상 공간 \(X\), 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\), 아벨 층 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 지지가 \(Z\)에 포함되는 절단들의 부분층을 취할 수 있다. \(X\)가 스킴이고 \(Z\)가 닫힌 부분스킴이며 \(\mathcal{F}\)가 준연접 가군이면, 스킴 이론적 의미에서 \(Z\)에 지지를 갖는 절단을 취하는 변형도 있다. 그러나 스킴의 경우에는 조심해야 한다. 얻어지는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 준연접이 아닐 수 있기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(U\)는 \(X\)에서 역준콤팩트이다.

2. \(U\)는 준콤팩트이다.

3. \(U\)는 유한 개의 아핀 열린집합의 합집합이다.

4. 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 존재하여 \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\)이다 (집합으로서).

증명

(1), (2), (3)의 동치는 보조정리 054D에서 따른다. (1), (2), (3)을 가정하자. \(T = X \setminus U\)라 놓자. Schemes의 보조정리 01J3에 의해 유일한 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{J}\)가 존재하여 \(T\) 위에 유도되는 약화된 닫힌 부분스킴 구조를 잘라낸다. \(\mathcal{J}|_U = \mathcal{O}_U\)임에 유의하자. 이는 유한형 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다. 보조정리 01PF에 의해 유한형 준연접 부분층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{J}\)가 존재하며 \(\mathcal{I}|_U = \mathcal{J}|_U\) 이다. 따라서 \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\)이고 (4)를 얻는다. 반대로 (4)의 \(\mathcal{I}\)를 택하고 \(W = \Spec(R) \subset X\)가 아핀 열린집합이면, \(\mathcal{I}|_W = \widetilde{I}\)이며 어떤 유한 생성 아이디얼 \(I \subset R\)가 존재한다. 보조정리 01PB을 보라. 따라서 \(U \cap W = \Spec(R) \setminus V(I)\)는 준콤팩트이다. 대수의 보조정리 00F6을 보라. 그러므로 보조정리 07ZL에 의해 \(U \subset X\)는 역준콤팩트이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군 층 \(\mathcal{F}'\)를 생각하자. 이는 각 열린집합 \(U \subset X\)에 다음을 대응시킨다. \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}s = 0\}\] \(\mathcal{I}\)가 유한형이라고 가정하자. 그러면

1. \(\mathcal{F}'\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 층이다.

2. 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에서 \(\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}(U)s = 0\}\)이고,

3. \(\mathcal{F}'_x = \{s \in \mathcal{F}_x \mid \mathcal{I}_x s = 0\}\)이다.

증명

\(\mathcal{F}'\)를 정의하는 규칙이 \(\mathcal{F}\)의 부분층을 준다는 것은 명백하다(층 조건은 쉽게 확인할 수 있다). 따라서 다른 명제들을 확인하기 위해 \(X\) 위에서 국소적으로 작업하면 된다. 즉 \(X = \Spec(A)\), \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\), \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)라고 가정해도 된다. 이 경우 \(\mathcal{F}'(U) = \{x \in M \mid Ix = 0\} =: M'\)임은 명백하다. 이는 \(\widetilde{I}\)가 전체 절단 \(I\)로 생성되기 때문이며, (2)를 증명한다. \(\mathcal{F}'\)가 준연접임을 보이려면 모든 \(f \in A\)에 대해 \(\{x \in M_f \mid I_f x = 0\} = (M')_f\)임을 보이면 충분하다. \(I = (g_1, \ldots, g_t)\)라고 쓰자. 이는 \(\mathcal{I}\)가 유한형이므로 가능하다. 보조정리 01PB을 보라. \(x = y/f^n\)이고 \(I_fx = 0\)이면, 이는 모든 \(i\)에 대해 어떤 \(m \geq 0\)가 존재하여 \(f^mg_ix = 0\)임을 뜻한다. 하나의 \(m\)을 택할 수 있으며, 이것은 모든 \(i\)에 대해 성립한다 (여기서 \(I\)가 유한 생성이라는 사실을 사용한다). 그러면 \(f^mx \in M'\)이고 \(x/f^n = f^mx/f^{n + m}\)은 \((M')_f\)에서 성립하므로 원하는 결론을 얻는다. (3)의 증명은 유사하므로 생략한다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 위의 보조정리 01PO에서 정의한 부분층 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 절단의 부분층이라고 부른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_X\)에 의해 소멸되는 절단의 부분층이라 하자. 그러면 \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 절단의 부분층이다.

증명

생략한다. (힌트: \(f\)가 준콤팩트 준분리라는 가정은 \(f_*\mathcal{F}\)가 준연접임을 뜻하므로, 보조정리 01PO를 \(\mathcal{I}\)와 \(f_*\mathcal{F}\)에 적용할 수 있다.)

위상 공간 위의 아벨 층에 대해서는 닫힌 부분집합에 지지가 있는 절단의 부분층을 이미 Modules의 주석 01AY에서 논의했다. 준연접 가군의 경우 이 부분가군은 항상 준연접인 것은 아니지만, 닫힌 부분집합의 여집합이 역준콤팩트이면 준연접이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군 층 \(\mathcal{F}'\)를 생각하자. 이는 각 열린집합 \(U \subset X\)에 다음을 대응시킨다. \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{the support of }s\text{ is contained in }Z \cap U\}\] \(X \setminus Z\)가 \(X\)의 역준콤팩트 열린집합이면 다음이 성립한다.

1. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 유한 생성 아이디얼 \(I \subset \mathcal{O}_X(U)\)가 존재하여 \(Z \cap U = V(I)\)이다.

2. (1)의 \(U\)와 \(I\)에 대하여 \(\mathcal{F}'(U) = \{x \in \mathcal{F}(U) \mid I^nx = 0 \text{ for some } n\}\)이다.

3. \(\mathcal{F}'\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 층이다.

증명

(1)은 Algebra의 보조정리 00F6이다. \(U = \Spec(A)\)라 놓고 \(I\)는 (1)에서와 같이 택하자. 그러면 \(\mathcal{F}|_U\)는 어떤 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하는 준연접 층이다. 다음이 성립한다. \[\mathcal{F}'(U) = \{x \in M \mid x = 0\text{ in }M_\mathfrak p \text{ for all }\mathfrak p \not \in Z\}.\] 이는 Modules의 정의 01AT에 의한 것이다. 따라서 \(x \in \mathcal{F}'(U)\)일 필요충분조건은 \(V(\text{Ann}(x)) \subset V(I)\)이다. Algebra의 보조정리 07Z5을 보라. \(I\)가 유한 생성이므로 이는 \(I^n x = 0\)가 어떤 \(n\)에 대해 성립하는 것과 동치이다. 이로써 (2)가 증명된다.

(3)의 증명. 열린집합 \(U \subset X\)가 주어지면 정확한 열 \[0 \to \mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U \setminus Z)\] 이 있음에 유의하자. 포함 사상 \(j : X \setminus Z \to X\)를 나타내면, \(\mathcal{F}(U \setminus Z)\)는 \(j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\)의 \(U\) 위 절단임을 관찰할 수 있다. 따라서 정확한 열 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\] 이 있다. 제한 \(\mathcal{F}|_{X \setminus Z}\)는 준연접이다. 그러므로 \(j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\)는 준연접이다. 이는 Schemes의 보조정리 01LC와 \(j\)가 준콤팩트라는 가정(모든 열린 몰입은 분리되어 있다)에 따른다. 따라서 \(\mathcal{F}'\)는 준연접 가군 사이의 사상의 핵으로서 준연접이다. Schemes의 절 01LA을 보라.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(T \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하고 그 여집합이 \(X\)에서 역준콤팩트라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 보조정리 07ZP에서 정의한 준연접 부분층 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(T\)에 지지가 있는 절단의 부분층이라고 부른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(Y \setminus Z\)가 \(Y\)에서 역준콤팩트라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(f^{-1}Z\)에 지지가 있는 절단의 부분층이라 하자. 그러면 \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\)는 \(Z\)에 지지가 있는 절단의 부분층이다.

증명

생략한다. (힌트: 먼저 \(X \setminus f^{-1}Z\)가 \(X\)에서 역준콤팩트임을 보인다. 이는 \(Y \setminus Z\)가 \(Y\)에서 역준콤팩트이기 때문이다. 따라서 보조정리 07ZP를 \(f^{-1}Z\)와 \(\mathcal{F}\)에 적용할 수 있다. \(f\)가 준콤팩트 준분리이므로 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접이다. 그러므로 보조정리 07ZP를 \(Z\)와 \(f_*\mathcal{F}\)에 적용할 수 있다. 마지막으로 층들을 직접 대응시킨다.)

준연접 층의 절단

다음은 아핀 스펙트럼의 준콤팩트 열린집합 위에서 준연접 층의 절단을 계산한 것이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 다음의 표준 사상이 존재한다. \[\colim_n \Hom_A(I^n, M) \longrightarrow \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}).\] 이 사상은 항상 단사이다. 모든 \(x \in M\)에 대하여 \(Ix = 0 \Rightarrow x = 0\)이면 이 사상은 동형사상이다. 일반적으로 \(M_n = \{x \in M \mid I^nx = 0\}\)이라 놓으면 다음 동형사상이 존재한다. \[\colim_n \Hom_A(I^n, M/M_n) \longrightarrow \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}).\]

증명

\(I^{n + 1} \subset I^n\)이고 \(M_n \subset M_{n + 1}\)이므로, 이 사상들을 통한 합성을 사용하여 \(A\)-가군의 표준 사상 \[\Hom_A(I^n, M) \longrightarrow \Hom_A(I^{n + 1}, M)\] 및 \[\Hom_A(I^n, M/M_n) \longrightarrow \Hom_A(I^{n + 1}, M/M_{n + 1})\] 을 얻고, 이를 계에서 전이 사상으로 사용한다. \(A\)-가군 사상 \(\varphi : I^n \to M\)이 주어지면 층 사상 \(\widetilde{\varphi} : \widetilde{I^n} \to \widetilde{M}\)을 얻으며, 이를 열린집합 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)에 제한할 수 있다. \(\widetilde{I^n}\)을 이 열린집합에 제한하면 구조층이 되므로, \(\Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\)의 원소를 얻는다. 이것이 계 \(\Hom_A(I^n, M)\)의 전이 사상과 양립한다는 확인은 생략한다. 이로써 첫 번째 화살표를 얻는다. 두 번째 화살표를 얻기 위해 \(\widetilde{M}\)과 \(\widetilde{M/M_n}\)은 열린집합 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 일치한다는 점을 관찰한다. 이는 층 \(\widetilde{M_n}\)의 지지가 명백히 \(V(I)\)에 포함되기 때문이다. 따라서 앞과 같은 장치를 사용할 수 있다.

이 화살표를 대수적으로 정의하는 방법을 다음에 계산한다. \(I = (f_1, \ldots, f_t)\)라 하자. 그러면 \(\Spec(A) \setminus V(I) = \bigcup_{i = 1, \ldots, t} D(f_i)\)이다. 따라서 \[0 \to \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}) \to \bigoplus\nolimits_i M_{f_i} \to \bigoplus\nolimits_{i, j} M_{f_if_j}\] 은 정확하다. \(\varphi : I^n \to M\)이 \(A\)-가군 사상이라고 하자. \(\varphi(f_i^n)/f_i^n \in M_{f_i}\)인 원소들의 벡터를 생각하자. 이 벡터가 위 정확한 열의 두 번째 직합에서 영사상으로 간다는 것은 쉽게 알 수 있다. 따라서 \(\Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\)의 원소를 얻는다. 이 설명이 앞에서 주어진 설명과 일치한다는 확인은 생략한다.

이 설명을 사용하여 첫 번째 화살표가 단사임을 보이자. 즉 \(\varphi\)가 영사상으로 간다면, 각 \(i\)에 대해 \(\varphi(f_i^n)/f_i^n\)는 \(M_{f_i}\)에서 영이다. 다시 말해 각 \(i\)에 대해 \(f_i^m\varphi(f_i^n) = 0\)인 어떤 \(m \geq 0\)가 존재한다. 하나의 \(m\)을 택할 수 있으며, 이는 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 그러면 \(\varphi(f_i^{n + m}) = 0\)가 모든 \(i\)에 대해 성립함을 알 수 있다. 이는 \(\varphi|_{I^{t(n + m - 1) + 1}} = 0\)가 됨을 쉽게 알 수 있으며, 다시 말해 \(\varphi\)가 여극한의 \(t(n + m - 1) + 1\)번째 항에서 영사상으로 간다는 뜻이다. 따라서 단사성이 따른다.

각 \(M_n = 0\)임에 유의하자. 이는 \(Ix = 0 \Rightarrow x = 0\)가 \(x \in M\)에 대해 성립하는 경우이다. 따라서 이 보조정리의 증명을 끝내려면 두 번째 화살표가 동형사상임을 보이면 충분하다.

이 보조정리의 두 번째 사상의 역을 구성해 보자. \(s \in \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\)라 하자. 이는 위의 정확한 열의 첫 번째 직합에서 \(x_i/f_i^n\)라는 벡터에 대응하며, 여기서 \(x_i \in M\)이다. 따라서 각 \(i, j\)에 대하여 어떤 \(m \geq 0\)가 존재하여 \(f_i^m f_j^m (f_j^n x_i - f_i^n x_j) = 0\)가 \(M\)에서 성립한다. 하나의 \(m\)을 택할 수 있으며, 이는 모든 쌍 \(i, j\)에 대해 성립한다. \(x_i\)를 \(f_i^mx_i\)로, \(n\)을 \(n + m\)으로 바꾸면 \(f_j^nx_i = f_i^nx_j\)가 \(M\)에서 모든 \(i, j\)에 대해 성립함을 알 수 있다. 다음을 정의하자. \[K_n = \{x \in M \mid f_1^nx = \ldots = f_t^nx = 0\}\] 다음과 같은 \(A\)-가군 사상이 존재한다고 주장한다. \[\varphi : I^{t(n - 1) + 1} \longrightarrow M/K_n\] 이는 합 \(f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t}\)를 \(\sum e_i = t(n - 1) + 1\)일 때 \(K_n\)으로 나눈 다음 표현식의 동치류로 보낸다. \(f_1^{e_1} \ldots f_i^{e_i - n} \ldots f_t^{e_t}x_i\) 여기서 \(i\)는 \(e_i \geq n\)이 되도록 택한다 (그러한 \(i\)가 적어도 하나 존재한다). 이것이 실제로 잘 정의됨을 보이기 위해 다음을 가정하자. \[\sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t} = 0\] 이는 계수 \(a_E\)가 \(A\)에 있는 단항식들 사이의 관계이다. 그렇다면 이를 다음 원소로 보낼 것이다. \[z = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_{i(E)}^{e_{i(E)} - n} \ldots f_t^{e_t}x_{i(E)}\] 각 다중지수 \(E\)에 대해 특정한 \(i(E)\)를 택했으며, \(e_{i(E)} \geq n\)이다. 이를 \(f_j^n\)으로 곱하면 임의의 \(j\)에 대해 영이 됨에 유의하자. 위에서 얻은 관계 \(f_j^nx_i = f_i^nx_j\)에 의해 다음과 같이 된다. \[\begin{align*} f_j^nz & = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_j^{e_j + n} \ldots f_{i(E)}^{e_{i(E)} - n} \ldots f_t^{e_t}x_{i(E)} \\ & = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t}x_j = 0. \end{align*}\] 따라서 \(z \in K_n\)이고 모든 관계가 \(M/K_n\)에서 영으로 보내짐을 알 수 있다. 이것이 주장을 증명한다.

\(K_n \subset M_{t(n - 1) + 1}\)임에 유의하자. 따라서 사상 \(\varphi\)는 특히 \(A\)-가군 사상 \(I^{t(n - 1) + 1} \to M/M_{t(n - 1) + 1}\)을 준다. 이로써 보조정리의 두 번째 화살표가 전사임이 증명된다. 단사성의 증명은 생략한다.

예

첫 번째로 표시된 사상이 동형사상이 아님을 보이는 두 예를 보이겠다. 보조정리 01PM를 보라.

\(k\)를 체라 하자. 다음 환을 생각하자. \[A = k[x, y, z_1, z_2, \ldots]/(x^nz_n).\] \(I = (x)\)라 놓고 \(M = A\)라 하자. 그러면 원소 \(y/x\)는 \(\Spec(A)\)의 구조층에서 \(D(x) = \Spec(A) \setminus V(I)\) 위의 절단을 정의한다. \(y/x\)가 표준 사상 \(\colim \Hom_A(I^n, A) \to A_x = \mathcal{O}(D(x))\)의 상에 속하지 않는다고 주장한다. 만일 그렇다면 준동형 \(\varphi : I^n \to A\)로부터 어떤 \(n\)에 대해 왔을 것이다. \(a = \varphi(x^n)\)이라 놓자. 그러면 \(x^m(xa - x^ny) = 0\)인 어떤 \(m > 0\)가 존재할 것이다. 이는 \(x^{m + 1}a = x^{m + n}y\)임을 뜻한다. 다시 이는 \(\varphi(x^{n + m + 1}) = x^{m + n}y\)임을 뜻한다. 따라서 다음이 성립해야 하므로 모순에 이른다. \[0 = \varphi(0) = \varphi(z_{n + m + 1} x^{n + m + 1}) = x^{m + n}y z_{n + m + 1}\] 이는 환 \(A\)에서 참이 아니다.

\(k\)를 체라 하자. 다음 환을 생각하자. \[A = k[f, g, x, y, \{a_n, b_n\}_{n \geq 1}]/ (fy - gx, \{a_nf^n + b_ng^n\}_{n \geq 1}).\] \(I = (f, g)\)라 놓고 \(M = A\)라 하자. 그러면 \(x/f \in A_f\)와 \(y/g \in A_g\)는 \(A_{fg}\)에서 같은 원소로 간다. 따라서 이들은 \(s\)라는 절단을 정의하며, \(\Spec(A)\)의 구조층에서 \(D(f) \cup D(g) = \Spec(A) \setminus V(I)\) 위의 절단이다. 그러나 첫 번째 표시된 화살표의 원천에서 오는 어떤 \(n \geq 0\)에 대해서도 \(s\)가 \(A\)-가군 사상 \(\varphi : I^n \to A\)로부터 유도되지는 않는다. 보조정리 01PM를 보라. 구체적으로 그러한 가군 사상이 주어졌다고 하고 \(x_n = \varphi(f^n)\) 및 \(y_n = \varphi(g^n)\)이라 놓자. 그러면 \(f^mx_n = f^{n + m - 1}x\) 및 \(g^my_n = g^{n + m - 1}y\)가 어떤 \(m \geq 0\)에 대해 성립한다 (보조정리의 증명 참조). 그런데 그러면 다음이 성립한다. \(0 = \varphi(0) = \varphi(a_{n + m}f^{n + m} + b_{n + m}g^{n + m}) = a_{n + m}f^{n + m - 1}x + b_{n + m}g^{n + m - 1}y\)는 성립하지 않는다. 이는 환 \(A\)에서 성립하지 않는다.

다음 보조정리는 뇌터 환의 경우에 개선할 것이다. Cohomology of Schemes의 보조정리 01YB을 보라.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{I}\)로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하고 \(U = X \setminus Z\)라 놓자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 표준 사상 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F})\] 은 단사이다. 더 나아가 \(X\)가 준분리라고 가정하자. \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{I}^n\)에 의해 소멸되는 절단들의 부분층이라 하자. 표준 사상 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}/\mathcal{F}_n) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F})\] 은 동형사상이다.

증명

\(\Spec(A) = W \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(\mathcal{F}|_W = \widetilde{M}\)이라 쓰자. 여기서 어떤 \(A\)-가군 \(M\)이다. 또한 \(\mathcal{I}|_W = \widetilde{I}\)라 쓰자. 여기서 \(I \subset A\)는 어떤 유한형 아이디얼이다. 보조정리의 첫 번째 표시 사상을 \(W\)에 제한하면 보조정리 01PM의 첫 번째 표시 사상을 얻는다. \(X\)를 유한 개의 아핀 열린집합으로 덮을 수 있으므로 이로부터 보조정리의 첫 번째 표시 사상이 단사임이 따른다.

\(\mathcal{F}_n|_W = \widetilde{M_n}\)임을 알 수 있으며, \(M_n \subset M\)은 보조정리 01PM에서 정의한 것이다(세부사항은 생략한다). 이 보조정리에 의해 다음 전단사가 존재한다. \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_W}( \mathcal{I}^n|_W, (\mathcal{F}/\mathcal{F}_n)|_W) \longrightarrow \Gamma(U \cap W, \mathcal{F})\] 이는 그러한 아핀 열린집합 \(W\)마다 성립한다.

보조정리의 두 번째 표시 화살표가 전단사임을 보이기 위해 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} W_j\)를 택하자. 단사성은 위의 결과와 덮개의 유한성에서 즉시 따른다. \(X\)가 준분리이면 각 쌍 \(j, j'\)에 대해 유한 아핀 열린 덮개 \[W_j \cap W_{j'} = \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_{jj'}} W_{jj'k}.\] 를 택하자. \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\)라 하자. 위에서 본 것처럼 각 \(j\)에 대해 어떤 \(n_j\)와 사상 \(\varphi_j : \mathcal{I}^{n_j}|_{W_j} \to (\mathcal{F}/\mathcal{F}_{n_j})|_{W_j}\)가 존재하며, 이는 \(s|_{U \cap W_j}\)에 대응한다. 같은 방식으로 각 세쌍 \((j, j', k)\)에 대해 어떤 정수 \(n_{jj'k}\)가 존재하여 \(\varphi_j\)와 \(\varphi_{j'}\)를 \(\mathcal{I}^{n_{jj'k}} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}_{n_{jj'k}}\)라는 사상으로 제한한 것들이 \(W_{jj'k}\) 위에서 일치한다. \(n = \max\{n_j, n_{jj'k}\}\)라 놓으면 \(\varphi_j\)들은 \(\mathcal{I}^n \to \mathcal{F}/\mathcal{F}_n\)이라는 사상으로 \(X\) 위에서 붙는다. 이로써 사상의 전사성이 증명된다.

충분한 가역층

Modules의 보조정리 01CY를 상기하자. 가역층 \(\mathcal{L}\)이 국소 환 달린 공간 \(X\) 위에 주어지고, 그 전역 절단 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)에 주어지면 집합 \(X_s = \{x \in X \mid s \not \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\)는 열려 있다. 일반적으로 \(X_s \cap X_{s'} = X_{ss'}\)임을 관찰할 수 있다. 여기서 \(ss'\)는 절단 \(s \otimes s' \in \Gamma(X, \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}')\)을 뜻한다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)이 충분하다는 것은 다음을 뜻한다.

1. \(X\)가 준콤팩트이고,

2. 모든 \(x \in X\)에 대해 어떤 \(n \geq 1\)과 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)가 존재하여 \(x \in X_s\)이고 \(X_s\)가 아핀이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. 그러면 \(\mathcal{L}\)이 충분할 필요충분조건은 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)이 충분한 것이다.

증명

이는 \(X_{s^n} = X_s\)라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 충분한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 임의의 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)에 대해 \(\mathcal{L}\)의 \(Z\)로의 제한은 충분하다.

증명

이는 준콤팩트 공간의 닫힌 부분집합이 준콤팩트이고, 아핀 스킴의 닫힌 부분스킴이 아핀이라는 사실에서 명백하다 (스킴, 보조정리 01IH 참조).

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자. 임의의 아핀 \(U \subset X\)에 대해 교집합 \(U \cap X_s\)는 아핀이다.

증명

이는 다음 대수 문제로 옮겨진다. \(R\)을 환이라 하자. \(N\)을 가역 \(R\)-가군 (즉, 계수 1의 국소 자유 가군)이라 하자. \(s \in N\)을 원소라 하자. 그러면 \(V = \{\mathfrak p \mid s \not \in \mathfrak p N\}\)는 \(\Spec(R)\)의 아핀 열린 부분집합이다.

\(A = \bigoplus_{n \geq 0} A_n\)을 \(N\)의 대칭 대수 (가환 대수이다)라 하고 \(s\)를 \(A_1\)의 원소로 보자. \(B = A/(s - 1)A\)로 두자. 이는 \(R\)-대수이며 그 구성이 임의의 기저변환 \(R \to R'\)와 가환한다. 따라서 \(B' = B \otimes_R R'\)는 \(s\)가 \(N' = N \otimes_R R'\)에서 영으로 사상되면 영환이다. 그러므로 \(x \in \Spec(R) \setminus V\)이면 \(B \otimes_R \kappa(x) = 0\)이다. \(\Spec(B) \to \Spec(R)\)는 \(V\)를 통해 인수분해된다. 실제로 \(x \not \in V\) 위의 섬유는 비어 있기 때문이다. 한편 \(\Spec(R') \subset V\)가 아핀 열린집합이면 \(s\)는 \(N'\)의 기저 원소로 사상되며, 따라서 \(B' = R'[s]/(s - 1) \cong R'\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(\Spec(B) \to V\)는 동형사상이고 \(V\)는 실제로 아핀이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{M}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 조건을 만족한다고 하자.

1. \(\mathcal{L}\)은 충분하고,

2. 열린집합 \(X_t\)들이 (여기서 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M}^{\otimes m})\)이고 \(m > 0\)) \(X\)를 덮는다.

그러면 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\)은 충분하다.

증명

정의 01PS의 조건들을 확인하자. \(\mathcal{L}\)이 충분하므로 \(X\)는 준콤팩트이다. \(x \in X\)를 잡자. 어떤 \(n \geq 1\), \(m \geq 1\), \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\), 그리고 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M}^{\otimes m})\)가 존재하여 \(x \in X_s\), \(x \in X_t\)이고 \(X_s\)가 아핀이 되도록 택하자. 그러면 \(s^mt^n \in \Gamma(X, (\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})^{\otimes nm})\)이고, \(x \in X_{s^mt^n}\)이다. 또한 보조정리 01PV에 의해 \(X_{s^mt^n}\)은 아핀이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 열린집합 \(X_s\)들을 생각하자. 여기서 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)이고 \(n \geq 1\)이다. 이 열린집합들이 \(X\)의 위상에 대한 기저를 이룬다고 가정하자. 이 열린집합들 중 아핀인 \(X_s\)들이 \(X\)의 위상에 대한 기저를 이룬다.

증명

\(x \in X\)를 잡자. 아핀 열린 근방 \(\Spec(R) = U \subset X\)를 \(x\)의 근방으로 택하자. 가정에 의해 어떤 \(n \geq 1\)과 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)이 존재하여 \(X_s \subset U\)이다. 위의 보조정리 01PV에 의해 교집합 \(X_s = U \cap X_s\)는 아핀이다. \(U\)를 임의로 작게 택할 수 있으므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 모든 점 \(x\)에 대해, \(X\)에서 어떤 \(n \geq 1\)과 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)가 존재하여 \(x \in X_s\)이고 \(X_s\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 분리된다.

증명

먼저 \(X\)가 준분리임을 보이자. 가정에 의해 \(X\)를 \(X_s\) 꼴의 아핀 열린집합들로 덮을 수 있다. 위의 보조정리 01PV에 의해 이러한 두 집합의 교집합은 아핀이다. 따라서 스킴의 보조정리 01KO에 의해 \(X\)는 준분리이다.

\(X\)가 분리임을 보이기 위해 스킴의 보조정리 01L0의 값매김 판정법을 사용할 수 있다. 따라서 값매김환 \(A\)와 그 분수체 \(K\) 및 두 사상 \(f, g : \Spec(A) \to X\)를 잡되, 두 합성 \(\Spec(K) \to \Spec(A) \to X\)가 일치한다고 하자. \(A\)가 국소이므로 어떤 \(p, q \ge 1\), \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes p})\), 그리고 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes q})\)가 존재하여 \(X_s\)와 \(X_t\)가 아핀이고, \(f(\Spec A) \subseteq X_s\)이며, \(g(\Spec A) \subseteq X_t\)이다. 이제 \(s\)를 \(s^q\)로, \(t\)를 \(t^p\)로, \(\mathcal{L}\)을 \(\mathcal{L}^{\otimes pq}\)로 바꾼다. 이는 \(X_s = X_{s^q}\) 및 \(X_t = X_{t^p}\)이므로 문제가 없으며, 이제 \(s\)와 \(t\)는 같은 층 \(\mathcal{L}\)의 절단이다.

준연접 가군 \(f^*\mathcal{L}\)은 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하고, \(g^*\mathcal{L}\)은 아핀 스킴 위의 준연접 가군 분류에 의해 \(A\)-가군 \(N\)에 대응한다 (스킴, 보조정리 01IA). \(A\)-가군 \(M\)과 \(N\)은 계수 \(1\)의 국소 자유 가군이다 (보조정리 05JM). 또한 \(A\)가 국소이므로 이들은 자유 가군이다(대수, 보조정리 00JJ). 따라서 \(M\)과 \(N\)을 각각 \(A\)-부분가군인 \(M \otimes_A K\)와 \(N \otimes_A K\)로 식별할 수 있다. \(f|_{\Spec(K)} = g|_{\Spec(K)}\)라는 등식은 동형사상 \(\phi \colon M \otimes_A K \to N \otimes_A K\)를 결정한다.

당김에 대응하는 원소를 각각 \(x \in M\), \(y \in N\)이라 하자. 이는 \(s\)의 당김이며 \(f\)와 \(g\)에 따른 것이다. 이들은 \(\phi(x \otimes 1) = y \otimes 1\)을 만족한다. \(f\)의 상은 \(X_s\)에 포함되므로 \(x \not\in \mathfrak{m}_A M\)이다. 즉 \(x\)는 \(M\)을 생성한다. 따라서 \(\phi\)는 \(M\)을 \(N\)의 부분가군으로 보내는 동형사상을 결정하며, \(y\)가 그 부분가군을 생성한다. \(t\)를 사용하여 대칭적으로 논하면 \(\phi^{-1}\)은 \(N\)을 \(M\)의 부분가군으로 보내는 동형사상을 결정한다. 결과적으로 \(\phi\)는 \(M\)과 \(N\)의 동형사상으로 제한된다. \(x\)가 \(M\)을 생성하고 그 상 \(y\)가 \(N\)을 생성하므로 \(y \not\in \mathfrak{m}_A N\)이다. 그러므로 \(g(\Spec(A)) \subseteq X_s\)이다. \(X_s\)는 아핀이므로 스킴의 보조정리 01KN에 의해 분리되고, 이에 따라 \(f = g\)이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\) 위에 충분한 가역층이 존재하면 \(X\)는 분리된다.

증명

이는 보조정리 01PY와 정의 01PS에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)을 등급환으로 두자. \(X\)의 모든 점이 열린 부분스킴 \(X_s\) 중 하나에 포함된다고 하자. 여기서 \(s \in S_{+}\)는 동차 원소이다. 그러면 표준적인 스킴 사상 \[f : X \longrightarrow Y = \text{Proj}(S),\] 이 존재하며, 이는 \(S\)의 동차 스펙트럼으로 가는 사상이다 (구성, 절 01M3 참조). 이 사상은 다음 성질을 갖는다.

1. \(f^{-1}(D_{+}(s)) = X_s\) (모든 동차 \(s \in S_{+}\)에 대해),

2. 곱셈 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\)이 존재한다. 구성, 식 (01MO) 참조,

3. \(S_n \to \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(n)) \to \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 의 합성은 항등사상이고,

4. 모든 \(x \in X\)에 대해 어떤 정수 \(d \geq 1\)과 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\)의 근방으로 존재하여 \(f^*\mathcal{O}_Y(dn)|_U \to \mathcal{L}^{\otimes dn}|_U\)가 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 동형사상이다.

증명

\(\psi : S \to \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)를 항등사상이라 하자. 구성의 보조정리 01NK의 세 쌍 \((U(\psi), r_{\mathcal{L}, \psi}, \theta)\)를 사용할 것이다. 가정에 의해 열린 부분스킴 \(U(\psi)\)는 \(X\)와 같다. 따라서 \(r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \to Y\)는 \(X\) 전체에서 정의된다. \(f = r_{\mathcal{L}, \psi}\)로 둔다. (2)의 사상들은 \(\theta\)의 성분들이다. (3)은 위에서 인용한 보조정리의 조건 (2)에서 따른다. (1)은 (3)과 그 보조정리의 조건 (1)을 결합하면 따른다. (4)는 구성의 보조정리 01NK의 마지막 서술에서 따른다. 그곳에서 언급한 사상 \(\alpha\)가 동형사상이기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)로 두자. (a) \(X\)의 모든 점이 열린 부분스킴 \(X_s\) 중 하나에 포함되고, 여기서 \(s \in S_{+}\)는 동차 원소이며, (b) \(X\)가 준콤팩트라고 가정하자. 그러면 위의 보조정리 01PZ의 표준 사상 \(f : X \longrightarrow \text{Proj}(S)\)는 준콤팩트이고 조밀한 상을 갖는다.

증명

\(f\)가 준콤팩트임을 보이려면 \(f^{-1}(D_{+}(s))\)가 준콤팩트임을 모든 동차 \(s \in S_{+}\)에 대해 보이면 충분하다. \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\)를 아핀 열린집합들의 유한 합으로 쓰자. 보조정리 01PV에 의해 각 교집합 \(X_s \cap X_i\)는 아핀이다. 따라서 \(X_s = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_s \cap X_i\)는 준콤팩트이다. \(f\)의 상이 조밀하지 않다고 가정하여 모순을 얻자. 그러면 열린집합 \(D_+(s)\)들이, 여기서 \(s \in S_+\)는 동차 원소이며, \(\text{Proj}(S)\)의 위상에 대한 기저를 이루므로, \(s\)를 택하여 \(D_+(s) \not = \emptyset\)이고 \(f(X) \cap D_+(s) = \emptyset\)가 되게 할 수 있다. 보조정리 01PZ에 의해 이는 \(X_s = \emptyset\)임을 뜻한다. 보조정리 01PW에 의해 이는 어떤 \(s^n\)이 \(\mathcal{L}^{\otimes n\deg(s)}\)의 영절단임을 뜻한다. 그러면 \(D_+(s) = \emptyset\)이 되어 원하는 모순을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)로 두자. \(\mathcal{L}\)이 충분하다고 가정하자. 그러면 보조정리 01PZ의 표준적인 스킴 사상 \(f : X \longrightarrow \text{Proj}(S)\)은 조밀한 상을 갖는 열린 몰입이다.

증명

보조정리 01PY에 의해 \(X\)가 준분리임을 알 수 있다. 다음과 같은 유한 개의 동차 원소 \(s_1, \ldots, s_n \in S_{+}\)를 택하여 \(X_{s_i}\)들이 아핀이고 \(X = \bigcup X_{s_i}\)가 되게 하자. \(s_i\)의 차수를 \(d_i\)라 하자. \(D_{+}(s_i)\)의 역상은 \(f\)에 의해 \(X_{s_i}\)이다. 보조정리 01PZ를 참조하라. 보조정리 01PW에 의해 환 사상 \[(S^{(d_i)})_{(s_i)} = \Gamma(D_{+}(s_i), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) \longrightarrow \Gamma(X_{s_i}, \mathcal{O}_X)\] 은 동형사상이다. 따라서 \(f\)는 동형사상 \(X_{s_i} \to D_{+}(s_i)\)를 유도한다. 그러므로 \(f\)는 \(X\)를 열린 부분스킴 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D_{+}(s_i)\) 위로 보내는 동형사상이며, 이는 \(\text{Proj}(S)\)의 부분스킴이다. 상은 보조정리 01Q0에 의해 조밀하다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(S\)를 등급환이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고, 다음과 같은 열린 몰입이 존재한다고 가정하자. \[j : X \longrightarrow Y = \text{Proj}(S).\] 그러면 \(j^*\mathcal{O}_Y(d)\)는 어떤 \(d > 0\)에 대해 가역이고 충분한 층이다.

증명

이는 구성, 보조정리 01MW이다.

명제

\(X\)를 준콤팩트 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)로 두자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{L}\)은 충분하다,

2. 열린집합 \(X_s\)들이 (동차 원소 \(s \in S_{+}\)에 대해) \(X\)를 덮고, 연관된 사상 \(X \to \text{Proj}(S)\)가 열린 몰입이다,

3. 열린집합 \(X_s\)들이 (동차 원소 \(s \in S_{+}\)에 대해) \(X\)의 위상에 대한 기저를 이룬다,

4. 열린집합 \(X_s\)들 중 아핀인 것들이 (동차 원소 \(s \in S_{+}\)에 대해) \(X\)의 위상에 대한 기저를 이룬다,

5. 모든 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 있을 때 다음 표준 사상들의 상들의 합 \[\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] (\(n \geq 1\)인 경우)이 \(\mathcal{F}\)와 같다,

6. (01Q8)와 같은 성질이 \(\mathcal{F}\)가 모든 준연접 아이디얼층을 달리하는 경우에도 성립한다,

7. \(X\)가 준분리이고 유한형 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 있을 때 마다 어떤 정수 \(n_0\)가 존재하여 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\)이 모든 \(n \geq n_0\)에 대해 전역 생성된다,

8. \(X\)가 준분리이고 유한형 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 있을 때 마다 어떤 정수 \(n > 0\), \(k \geq 0\)가 존재하여 \(\mathcal{F}\)가 \(k\)개 복사본의 직합의 몫인 \(\mathcal{L}^{\otimes - n}\)의,

9. (01QB)와 같은 성질이 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 유한형 아이디얼층 전체를 달리하는 경우에도 성립한다.

증명

보조정리 01Q1는 (01Q4) \(\Rightarrow\) (01Q5)이다. 보조정리 01PT와 01Q2는 (01Q4) \(\Leftarrow\) (01Q5)을 준다. (01Q5) \(\Rightarrow\) (01Q7) \(\Rightarrow\) (01Q6)라는 함의는 구성의 절 01M3에서 명백하다. 보조정리 01PX는 (01Q6) \(\Rightarrow\) (01Q4)이다. 따라서 처음 네 조건은 모두 동치이다.

동치인 조건 (1)–(4)를 가정하자. 특히 \(X\)는 분리된 스킴 \(\text{Proj}(S)\)의 열린 부분스킴이므로 분리된다. 준연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 잡자. 동차 원소 \(s \in S_{+}\)를 택하여 \(X_s\)가 아핀이 되게 하자. 임의의 절단 \(m \in \Gamma(X_s, \mathcal{F})\)가 위 (01Q8)에 표시한 사상 중 하나의 상에 속한다고 주장하자. 이는 이러한 아핀 열린집합 \(X_s\)들이 \(X\)를 덮으므로 (01Q8)를 뜻한다. 실제로 보조정리 01PW에 의해 \(m\)은 어떤 \(m' \otimes s^{-n}\)의 상으로 쓸 수 있는데, 어떤 \(n \geq 1\)과 어떤 \(m' \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)에 대해 그렇다. 이로써 주장이 증명된다.

분명히 (01Q8) \(\Rightarrow\) (01Q9)이다. (01Q9)를 가정하고 \(\mathcal{L}\)이 충분함을 보이자. \(x \in X\)를 잡자. \(U \subset X\)인 아핀 열린집합을 택하자. 이는 \(x\)를 포함한다. \(Z = X \setminus U\)로 두자. \(Z\)를 감소된 닫힌 부분스킴으로 생각할 수 있는데, 스킴 절 01IZ를 참조하라. 닫힌 부분스킴에 대응하는 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 두자. 이 층은 \(Z\)에 대응한다. 가정 (01Q9)에 의해 어떤 \(n \geq 1\)과 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)가 존재하여 \(s\)가 \(x\)에서 소멸하지 않는다(더 정확히는 \(s \not \in \mathfrak m_x \mathcal{I}_x \otimes \mathcal{L}_x^{\otimes n}\)). \(s\)를 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)의 절단으로 생각할 수 있다. \(Z\)를 따라 명백히 소멸하므로 \(X_s \subset U\)이다. 따라서 \(X_s\)는 아핀이다. 보조정리 01PV을 보라. 이로써 \(\mathcal{L}\)이 충분함이 증명된다. 이 시점에서 (1)–(6)이 서로 동치임을 증명했다.

동치인 조건 (1)–(6)을 가정하자. 다음에서는 전역 생성된 두 가군층의 텐서곱도 전역 생성된다는 사실을 더 이상 언급하지 않고 사용한다(구성, 보조정리 01AO 참조). (1)에 의해 원소 \(s_i \in S_{d_i}\)를 찾을 수 있으며 \(d_i \geq 1\)이고, \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_{s_i}\)가 되게 할 수 있다. \(d = d_1\ldots d_n\)으로 두자. 그러면 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)는 \[s_1^{d/d_1}, \ldots, s_n^{d/d_n}.\] 에 의해 전역 생성된다. 이는 \(\mathcal{L}^{\otimes j}\)가 전역 생성되면 \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn}\)도 모든 \(n \geq 0\)에 대해 전역 생성된다는 뜻이다. \(j \in \{0, \ldots, d - 1\}\)를 고정하자. 모든 점 \(x \in X\)에 대해 어떤 \(n \geq 1\)과 \(s\)라는 \(\mathcal{L}^{j + dn}\)의 전역 절단이 존재하며, 이 절단은 \(x\)에서 소멸하지 않는다. 이는 (01Q8)를 \(\mathcal{F} = \mathcal{L}^{\otimes j}\)와 충분한 가역층 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)에 적용하면 따른다. \(X\)가 준콤팩트이므로 어느 점에서도 소멸하지 않는 정수 \(n_i\)들과 \(s_i\)라는 \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn_i}\)의 전역 절단들의 유한 목록을 택할 수 있는데, 이는 \(X\)의 어느 점에서도 성립한다. \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)가 전역 생성되므로 \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn}\)도 전역 생성되는데, 여기서 \(n = \max\{n_i\}\)이다. 이를 모든 법 \(d\)의 합동류에 대해 증명했으므로 어떤 \(n_0 = n_0(\mathcal{L})\)가 존재하여 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)이 모든 \(n \geq n_0\)에 대해 전역 생성된다. 이제 \(\mathcal{F}\)가 전역 생성되면 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\)도 모든 \(n \geq n_0\)에 대해 전역 생성됨을 알 수 있다.

동치인 조건 (1)–(6)을 계속 가정하자. 유한형 준연접층 \(\mathcal{F}\)를 잡자. 이 층은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이다. (01Q8)의 표준 사상의 상을 \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}\)라 하자. 구성에 의해 \(\mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 전역 생성된다. (01Q8)에 의해 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}_n\) 부분층들의 합이며, \(n \geq 1\)이다. Modules, 보조정리 01BB에 의해 \(\mathcal{F} = \sum_{n = 1, \ldots, N} \mathcal{F}_n\)임을 안다. 이는 어떤 \(N \geq 1\)에 대해 성립한다. 따라서 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 \(n \geq N + n_0(\mathcal{L})\)이면 전역 생성된다. 여기서 \(n_0(\mathcal{L})\)은 위에서와 같다. 그러므로 (1)–(6)은 (01QA)를 함의한다.

(01QA)를 가정하자. 준연접층 \(\mathcal{F}\)를 잡자. 이 층은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유한형 층이다. (01QA)에 의해 어떤 정수 \(n \geq 1\)이 존재하여 다음의 표준 사상이 \[\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] 전사적이다. \(I\)를 \(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)의 유한 부분집합들의 집합으로 두고 포함관계로 부분순서화하자. 그러면 \(I\)는 유향 부분순서집합이다. \(i = \{s_1, \ldots, s_{r(i)}\}\)에 대해 \(\mathcal{F}_i \subset \mathcal{F}\)를 다음 사상의 상으로 두자. \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r(i)} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] 이 사상은 \(s_j\)에 의한 곱셈을 \(j\)번째 인자에 적용한다. 위 전사성으로부터 \(\mathcal{F} = \colim_{i \in I} \mathcal{F}_i\)임을 얻는다. 따라서 Modules, 보조정리 01BB를 적용하면 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_i\)임을 어떤 \(i\)에 대해 결론낼 수 있다. 그러므로 (01QB)를 증명했다. 즉, (01QA) \(\Rightarrow\) (01QB)이다.

(01QB) \(\Rightarrow\) (01QC)라는 함의는 자명하다.

마지막으로 (01QC)를 가정하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)인 준연접 아이디얼층을 잡자. 보조정리 01PG에 의해 (\(X\)가 준분리라는 조건을 사용하는 부분이다) \(\mathcal{I} = \colim_\alpha I_\alpha\)임을 안다. 각 \(I_\alpha\)는 유한형 준연접층이다. 가정에 의해 각 \(I_\alpha\)는 \(\mathcal{L}\)의 음의 텐서 거듭제곱들의 몫이므로 \(\mathcal{I}\)에 대해서도 같은 결론을 얻는다 (물론 거듭제곱의 유한성이나 유계성은 없다). 따라서 (01QC)는 (01Q9)를 함의한다. 이로써 명제의 증명이 끝난다.

보조정리

스킴 \(X\)를 잡자. \(\mathcal{L}\)을 충분한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(i : X' \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건 중 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(i\)가 준콤팩트 몰입이다,

2. \(X'\)가 준콤팩트이고 \(i\)가 몰입이다,

3. \(i\)가 준콤팩트이고 \(X'\)와 \(i(X')\) 사이의 위상동형을 유도한다,

4. \(X'\)가 준콤팩트이고 \(i\)가 \(X'\)와 \(i(X')\) 사이의 위상동형을 유도한다.

그러면 \(i^*\mathcal{L}\)은 \(X'\) 위에서 충분하다.

증명

조건 (1)과 (3)에서는 \(X'\)가 준콤팩트임에 주목하자. 이는 정의 01PS에 의해 \(X\)가 준콤팩트이기 때문이다. 따라서 (2)와 (4)만 증명하면 충분하다. (2)는 (4)의 특수한 경우이므로 (4)만 증명하면 충분하다.

조건 (4)가 성립한다고 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)에 대해 \(s' = i^*s\)를 \(s\)의 \(X'\)로의 당김으로 표기하자. 그러면 \(s'\)는 \((i^*\mathcal{L})^{\otimes d}\)의 절단이다. 명제 01Q3에 의해 \(X_s\)들, 여기서 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)는 \(X\)의 위상에 대한 기저를 이룬다. Modules, 비고 0H78에 의해 \(X'_{s'} = i^{-1}(X_s)\)이고, \(X' \to i(X')\)가 위상동형이므로 \(X'_{s'}\)들이 \(X'\)의 위상에 대한 기저를 이룬다. 따라서 명제 01Q3에 의해 \(i^*\mathcal{L}\)은 충분하다.

보조정리

\(S\)를 준분리 스킴이라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 충분한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\mathcal{N}\)을 충분한 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{N}\) 은 \(X \times_S Y\) 위의 충분한 가역층이다.

증명

사상 \(i : X \times_S Y \to X \times Y\)는 준콤팩트 몰입이다. 스킴, 보조정리 01KR를 보라. 한편 \(\mathcal{M}\)은 \(i\)로 당긴 \(X \times Y\) 위의 대응하는 가역 가군이다. 보조정리 0B3E에 의해 \(X \times Y\)에 대해 명제를 증명하면 충분하다. \(\mathcal{M}\)에 대해 정의 01PS의 (1)과 (2)를 \(X \times Y\) 위에서 확인하자.

\(X\)와 \(Y\)가 준콤팩트이므로 \(X \times Y\)도 준콤팩트이다. 점 \(z \in X \times Y\)를 잡자. 사영을 \(x \in X\)와 \(y \in Y\)라 하자. \(n > 0\)과 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)을 택하여 \(X_s\)가 \(x\)의 아핀 열린 근방이 되게 하자. \(m > 0\)과 \(t \in \Gamma(Y, \mathcal{N}^{\otimes m})\)을 택하여 \(Y_t\)가 \(y\)의 아핀 열린 근방이 되게 하자. 그러면 \(r = \text{pr}_1^*s \otimes \text{pr}_2^*t\)는 \(\mathcal{M}\)의 절단이고 \((X \times Y)_r = X_s \times Y_t\)이다. 이는 \(z\)의 아핀 열린 근방이므로 증명이 끝난다.

아핀 스킴과 준아핀 스킴

보조정리

스킴 \(X\)를 잡자. \(X\)가 준아핀일 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_X\)가 충분한 것이다.

증명

\(X\)가 준아핀이라고 하자. \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. 보조정리 01P9에 따른 열린 몰입 \[j : X \longrightarrow \Spec(A)\] 을 생각하자. \(\Spec(A) = \text{Proj}(A[T])\)임에 주목하자. 구성, 예 01MI를 보라. 따라서 보조정리 01Q2를 적용하여 \(\mathcal{O}_X\)가 충분함을 얻을 수 있다.

\(\mathcal{O}_X\)가 충분하다고 하자. \(\Gamma_*(X, \mathcal{O}_X) \cong A[T]\)가 등급환으로서 성립함에 주목하자. 따라서 보조정리 01Q1와 01P9로부터 결과를 얻는다. 위에서 본 \(\Spec(A) = \text{Proj}(A[T])\)가 임의의 환 \(A\)에 대해 성립함을 함께 사용했다.

보조정리

\(X\)를 준아핀 스킴이라 하자. 임의의 준콤팩트 몰입 \(i : X' \to X\)에 대해 \(X'\)는 준아핀이다.

증명

이는 충분한 가역층에 관한 내용을 사용하지 않고 쪽지에 직접 증명할 수 있다. 독자가 직접 해 보기를 권한다. \(X\)가 준아핀이므로 보조정리 01QE에 의해 \(\mathcal{O}_X\)는 충분하다. 그러면 보조정리 0B3E에 의해 \(\mathcal{O}_{X'}\)는 충분하다. 따라서 보조정리 01QE에 의해 \(X'\)는 준아핀이다.

보조정리

스킴 \(X\)를 잡자. 다음 조건을 만족하는 유한 개의 원소 \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)가 존재한다고 하자.

1. 각 \(X_{f_i}\)가 \(X\)의 아핀 열린집합이다,

2. \(f_1, \ldots, f_n\)이 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)에서 생성하는 아이디얼이 단위원 아이디얼이다.

그러면 \(X\)는 아핀이다.

증명

명제의 \(f_1, \ldots, f_n\)을 택했다고 하자. \(1 = \sum g_i f_i\)로 쓸 수 있는데, 여기서 어떤 \(g_j \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 택할 수 있으므로 \(X = \bigcup X_{f_i}\)임은 자명하다. (어떤 점에서도 \(f_i\)들이 모두 소멸할 수 없다.) 각 \(X_{f_i}\)는 아핀이므로 준콤팩트이다. 따라서 \(X\)도 준콤팩트이다. 그러므로 위의 보조정리 01QE에 의해 \(X\)는 준아핀이다. 열린 몰입 \[j : X \to \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)),\] 을 보조정리 01P9에 따라 생각하자. 우변의 표준 열린집합 \(D(f_i)\)의 역상은 좌변의 \(X_{f_i}\)와 같고, 사상 \(j\)는 \(X_{f_i} \cong D(f_i)\)라는 동형을 유도한다. 보조정리 01P8를 보라. \(f_i\)들이 단위 아이디얼을 생성하므로 \(\Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)) = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\)이다. 따라서 \(j\)는 동형이다.

준연접층과 충분한 가역층

이 절의 주제: 충분한 가역층이 있으면 모든 준연접층은 등급 가군에서 유래한다.

설정

스킴 \(X\)를 잡자. 충분한 가역층 \(\mathcal{L}\)를 \(X\) 위에 잡자. \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)을 등급환으로 두자. \(Y = \text{Proj}(S)\)로 두자. 보조정리 01PZ의 표준 사상 \(f : X \to Y\)를 잡자. 이 사상에는 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수 사상 \(\bigoplus f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \bigoplus \mathcal{L}^{\otimes n}\) 이 함께 주어진다.

다음 보조정리는 사실 다음 보조정리의 특수한 경우이지만, 먼저 그 유효성을 지적하는 것이 좋을 듯하다.

보조정리

상황 01QH에서. 표준 사상 \(f : X \to Y\)는 \(X\)를 열린 부분스킴 \(W = W_1 \subset Y\)로 보낸다. 여기서 \(\mathcal{O}_Y(1)\)은 가역이고 모든 곱셈 사상 \(\mathcal{O}_Y(n) \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(m) \to \mathcal{O}_Y(n + m)\) 은 동형이다(구성, 보조정리 01MU를 보라). 더욱이 사상 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 모두 동형이다.

증명

명제 01Q3에 의해 어떤 정수 \(n_0\)가 존재하여 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)은 모든 \(n \geq n_0\)에 대해 전역 생성된다. 점 \(x \in X\)를 잡자. 위 결과에 의해 \(a \in S_{n_0}\)와 \(b \in S_{n_0 + 1}\)을 택하여 \(a\)와 \(b\)가 \(x\)에서 소멸하지 않게 할 수 있다. 따라서 \(f(x) \in D_{+}(a) \cap D_{+}(b) = D_{+}(ab)\)이다. 구성, 보조정리 01MU에 의해 \(f(x) \in W_1\)임을 얻는다. 이제 \(f\)의 사상을 구성할 때 사용한 구성, 보조정리 01NK에 의해 사상 \(f^*\mathcal{O}_Y(n_0) \to \mathcal{L}^{\otimes n_0}\)와 \(f^*\mathcal{O}_Y(n_0 + 1) \to \mathcal{L}^{\otimes n_0 + 1}\)은 \(x\)의 근방에서 동형이다. 대수 구조와 \(f\)가 \(W\)로 사상된다는 사실과의 호환성으로부터 모든 사상 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\)이 \(x\)의 근방에서 동형임을 결론낸다. 따라서 증명되었다.

Modules, 정의 01CV에서 상기하자. 국소 환 달린 공간 \(X\), 가역층 \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 등급 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-가군 \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}).\] 을 얻는다. 다음 보조정리는 상황 01QH에서 이 등급 가군으로부터 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)를 복원할 수 있다고 말한다. 구성, 보조정리 03GM도 보라. 그곳에서는 특수한 경우 \(X = \mathbf{P}^n_R\)에 대해 이 보조정리를 증명한다.

보조정리

상황 01QH에서. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(M = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\)를 등급 \(S\)-가군으로 두자. 다음 동형들이 존재한다. \[f^*\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] 이는 \(\mathcal{F}\)에 함자적이며 다음 사상을 만족한다. \(M_0 \to \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M}) \to \Gamma(X, \mathcal{F})\) 는 항등 사상이다.

증명

\(s \in S_{+}\)를 동차 원소로 택하여 \(X_s\)가 \(X\)의 아핀 열린집합이 되게 하자. \(\widetilde{M}|_{D_{+}(s)}\)는 \(S_{(s)}\)-가군 \(M_{(s)}\)에 대응함을 상기하자. 구성, 보조정리 01M7를 보라. 또한 \(f^{-1}(D_{+}(s)) = X_s\)임을 상기하자. \(X\)가 충분한 가역층을 가지므로 준콤팩트이고 준분리임을 절 01PR에서 보았다. 보조정리 01PW에 의해 표준 동형 \(M_{(s)} = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \to \Gamma(X_s, \mathcal{F})\)이 존재한다. \(\mathcal{F}\)가 준연접이므로 이는 표준 동형 \[f^*\widetilde{M}|_{X_s} \to \mathcal{F}|_{X_s}\] 으로 이어진다. \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 충분하므로 \(X\)는 \(X_s\) 꼴의 아핀 열린집합들로 덮인다. 따라서 표시된 사상들이 겹침에서 이어 붙는다는 것을 증명하면 충분하다. 이 증명은 생략한다.

주

보조정리 01QJ의 가정과 표기를 사용하자. 그 보조정리에서 표시한 사상을 \(\theta_\mathcal{F}\)로 쓰자. 보조정리 01QI의 동형 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 바로 \(\theta_{\mathcal{L}^{\otimes n}}\)임에 주목하자. 곱셈 사상 \[\widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(n) \longrightarrow \widetilde{M(n)}\] 을 생각하자. 구성, 방정식 (01MQ)를 보라. 이를 \(X\)로 당겨 다음을 생각하자. \[\xymatrix{ f^*\widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{O}_Y(n) \ar[r] \ar[d]_{\theta_\mathcal{F} \otimes \theta_{\mathcal{L}^{\otimes n}}} & f^*\widetilde{M(n)} \ar[d]^{\theta_{\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}}} \\ \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} \ar[r]^{\text{id}} & \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} }\] 여기서 명백한 식별 \(M(n) = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\) 을 사용했다. 이 도표는 가환한다. 증명은 생략한다.

다음 보조정리는 보조정리 01QJ에서 (또는 그 역으로) 얻을 수 있을 것 같지만, 그 증명을 다시 쓰는 편이 더 간단하다.

보조정리

\(S\)를 등급환이라 하고 \(X = \text{Proj}(S)\)가 준콤팩트라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)을 등급 \(S\)-가군으로 두자. 구성, 절 01MM를 보라. 사상 \[\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] 은 구성, 보조정리 0B5I의 사상이며 동형이다. \(X\)가 표준 열린집합 \(D_+(f)\)들로 덮이고 각 \(f\)의 차수가 \(1\)이면, 유도된 사상 \(M_n \to \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)은 항등 사상이다.

증명

\(X\)가 준콤팩트이므로 양의 차수를 갖는 동차 원소 \(f_1, \ldots, f_n \in S\)를 찾아 \(X = D_+(f_1) \cup \ldots \cup D_+(f_n)\)으로 쓸 수 있다. \(d\)를 \(f_1, \ldots, f_n\)의 차수들의 최소공배수라 하자. \(f_i\)를 거듭제곱으로 바꾸면 각 \(f_i\)의 차수가 \(d\)라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(d)\)는 가역이고, 곱셈 사상 \(\mathcal{O}_X(ad) \otimes \mathcal{O}_X(bd) \to \mathcal{O}_X((a + b)d)\) 은 동형이며, 각 \(f_i\)는 전역 절단 \(s_i\)를 정하여 \(\mathcal{L}\)의 절단이 되고 \(X_{s_i} = D_+(f_i)\)이다. 구성, 보조정리 01MU와 01MV을 보라. 따라서 \(\Gamma(X, \mathcal{F}(ad)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes a})\)이다. \(\widetilde{M}|_{D_{+}(f_i)}\)는 \(S_{(f_i)}\)-가군 \(M_{(f_i)}\)에 대응함을 상기하자. 구성, 보조정리 01M7를 보라. \(f_i\)의 차수가 \(d\)이므로 \(M_{(f_i)}\)의 동형류는 \(M\)의 동차 성분들 중 \(d\)로 나누어지는 것에만 의존한다. 더 정확히는 \(M_{(f_i)}\)의 동형류는 등급 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-가군 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\)와 \(s_i\) 및 \(f_i\)의 상이 놓이는 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)에만 의존한다. 가정에 의해 \(X\)는 준콤팩트이고, 구성, 보조정리 01MC에 의해 분리되어 있다. 보조정리 01PW에 의해 표준 동형 \[M_{(f_i)} = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s_i)} \to \Gamma(X_{s_i}, \mathcal{F}).\] 이 존재한다. 구성, 보조정리 0B5I에서 사상을 구성하는 방법을 보면 이 사상이 \(D_+(f_i)\) 위에서 동형임을 알 수 있다. 따라서 \(X\)가 이 열린집합들로 덮이므로 전체에서도 동형이다. 마지막 명제의 증명은 생략한다.

적절한 아핀 열린집합 찾기

이 절에서는 더 일반적이거나 덜 일반적인 상황에서 아핀 열린집합의 존재에 관한 결과를 모은다.

보조정리

\(X\)를 준분리 스킴이라 하자. \(Z_1, \ldots, Z_n\)을 서로 다른 \(X\)의 기약 성분들이라 하자. 위상, 절 004U를 보라. \(\eta_i \in Z_i\)를 그 일반점이라 하자. 스킴이 준콤팩트임에 관한 스킴, 보조정리 01IS를 보라. \(\eta_i \in U_i\)인 아핀 열린 근방들을 택하여 \(U_i \cap U_j = \emptyset\)가 모든 \(i \not = j\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 특히 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)은 \(\eta_1, \ldots, \eta_n\)을 모두 포함하는 아핀 열린집합이다.

증명

임의의 아핀 열린집합 \(V_i\)를 택하자. 이는 \(\eta_i\)를 포함하고 닫힌집합 \(Z_1 \cup \ldots \hat Z_i \ldots \cup Z_n\)과 서로소이다. \(X\)가 준분리이므로 각 \(i\)에 대해 \(W_i = \bigcup_{j, j \not = i} V_i \cap V_j\)는 \(V_i\)의 준콤팩트 열린집합이며 \(\eta_i\)를 포함하지 않는다. 대수, 보조정리 00EV에 의해 \(U_i \subset V_i\)인 열린 근방을 찾아 \(\eta_i\)를 포함하고 \(W_i\)와 서로소가 되게 할 수 있다. 마지막으로 \(U\)는 아핀이다. 왜냐하면 이는 \(R_1 \times \ldots \times R_n\)의 스펙트럼이고, 여기서 \(R_i = \mathcal{O}_X(U_i)\)이기 때문이다. 스킴, 보조정리 01I5를 보라.

주

위 보조정리 01ZV는 \(X\)가 준분리되지 않으면 거짓이다. 예를 들어 보자. \(R = \mathbf{Q}[x, y_1, y_2, \ldots]/((x-i)y_i)\)로 두자. \(\mathfrak p = (y_1, y_2, \ldots)\)라는 극소 소 아이디얼을 \(R\)에서 생각하자. \(\Spec(R)\)의 두 복사본을 (준콤팩트가 아닌) 열린집합 \(\Spec(R) \setminus V(\mathfrak p)\)를 따라 붙여 스킴 \(X\)를 얻자(붙임은 스킴, 예 01JD와 같다). 그러면 \(X\)의 \(\mathfrak p\)에 대응하는 두 극대점은 공통의 아핀 열린집합에 포함되지 않는다. 그 이유는 \(\Spec(R)\)에서 \(\mathfrak p\)를 포함하는 임의의 열린집합이 \(x = i\), \(y_j = 0\) (\(j \not = i\))인 “직선”들을 매개변수 \(y_i\)와 함께 무한히 많이 포함하기 때문이다. 세부 사항은 생략한다.

위 예에도 불구하고 유한한 기약 닫힌 부분집합의 “대부분”에 대해서는, 적어도 \(X\)가 준콤팩트라면 위 보조정리 01ZV를 적용할 수 있다. 이는 \(X\)가 분리된 조밀 열린집합을 포함하기 때문에 성립한다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 스킴이라 하자. 분리된 조밀 열린집합 \(V \subset X\)가 존재한다.

증명

\(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)가 \(n\)개의 아핀 열린 부분스킴의 합이라고 하자. \(n\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. \(n = 1\)이면 자명하다. 귀납 가정에 의해 분리된 조밀 열린 부분스킴 \(V' \subset \bigcup_{i = 1, \ldots, n - 1} U_i\)가 존재한다고 하자. 다음을 생각하자. \[V = V' \amalg (U_n \setminus \overline{V'}).\] \(V\)가 분리된 조밀 열린 부분스킴인 \(X\)의 조밀 열린 부분스킴임은 자명하다.

\(X\)가 준분리이면서 준콤팩트이더라도 분리된 준콤팩트 조밀 열린집합이 존재하지 않을 수 있음에 주의하자. 예는 예, 보조정리 086I를 보라. 다음은 위 보조정리 01ZV의 약간의 보강이다.

보조정리

\(X\)를 준분리 스킴이라 하자. \(Z_1, \ldots, Z_n\)을 \(X\)의 서로 다른 기약 성분들이라 하자. 그 일반점은 \(\eta_i \in Z_i\)라 하자. \(x \in X\)를 임의의 점이라 하자. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(x\)와 모든 \(\eta_i\)를 포함한다.

증명

\(x \in Z_1 \cap \ldots \cap Z_r\)이고 \(x \not \in Z_{r + 1}, \ldots, Z_n\)이라고 하자. 그러면 \(W \subset X\)인 아핀 열린집합을 택하여 \(x \in W\)이고 \(W \cap Z_i = \emptyset\)가 \(i = r + 1, \ldots, n\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 분명히 \(\eta_i \in W\)는 \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 성립한다. 보조정리 01ZV에 의해 서로소인 아핀 열린집합 \(U_i \subset X\)들을 택하여 \(\eta_i \in U_i\)가 \(i = r + 1, \ldots, n\)에 대해 성립하게 할 수 있다. \(X\)가 준분리이므로 열린집합 \(W \cap U_i\)는 준콤팩트이고 \(\eta_i\)를 포함하지 않으며, 이는 \(i = r + 1, \ldots, n\)에 대해 성립한다. 따라서 대수, 보조정리 00EV에 의해 \(U_i\)를 줄여 \(W \cap U_i = \emptyset\)가 \(i = r + 1, \ldots, n\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 그러면 \(U = W \cup \bigcup_{i = r + 1, \ldots, n} U_i\)는 서로소이고, 따라서 (스킴, 보조정리 01I5에 의해) 적절한 아핀 열린집합이다.

보조정리

스킴 \(X\)를 잡자. 다음 조건 중 하나가 성립한다고 하자.

1. 스킴 \(X\)는 준아핀이다.

2. 스킴 \(X\)는 아핀 스킴의 국소 닫힌 부분스킴과 동형이다.

3. \(X\) 위에 충분한 가역층이 존재한다.

4. 스킴 \(X\)는 \(\text{Proj}(S)\)의 국소 닫힌 부분스킴과 동형이며, 여기서 \(S\)는 등급환이다.

임의의 유한 부분집합 \(E \subset X\)에 대해 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(E \subset U\)이다.

증명

Properties, 정의 01P6에 의해 준아핀 스킴은 아핀 스킴의 준콤팩트 열린 부분스킴이다. 임의의 아핀 스킴 \(\Spec(R)\)는 \(\text{Proj}(R[X])\)와 동형이며, \(R[X]\)에 \(\deg(X) = 1\)로 등급을 준다. 명제 01Q3에 의해 \(X\)가 충분한 가역층을 가지면 \(X\)는 \(\text{Proj}(S)\)의 열린 부분스킴과 동형이며, 여기서 \(S\)는 등급환이다. 따라서 경우 (4)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. (독자가 경우 (2)를 직접 증명해 보기를 권한다.)

따라서 \(X \subset \text{Proj}(S)\)가 국소 닫힌 부분스킴이라고 하자. 여기서 \(S\)는 등급환이다. \(T = \overline{X} \setminus X\)로 두자. 표준 열린집합 \(D_{+}(f)\)들이 \(\text{Proj}(S)\)의 위상에 대한 기저를 이룸을 상기하자. \(E\)가 유한이므로 다음을 만족하는 유한 개의 동차 원소 \(f_i \in S_{+}\)를 택할 수 있다. \[E \subset D_{+}(f_1) \cup \ldots \cup D_{+}(f_n) \subset \text{Proj}(S) \setminus T\] \(E = \{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\}\)를 \(\text{Proj}(S)\)의 부분집합으로 보자. 아이디얼 \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset S\)를 생각하자. \(I \not \subset \mathfrak p_j\)가 모든 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 성립하므로 대수, 보조정리 00JS에 의해 동차 원소 \(f \in I\)를 택하여 \(f \not \in \mathfrak p_j\)가 모든 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 그러면 \(E \subset D_{+}(f) \subset D_{+}(f_1) \cup \ldots \cup D_{+}(f_n)\)이다. \(D_{+}(f)\)가 \(T\)와 만나지 않으므로 \(X \cap D_{+}(f)\)는 아핀 스킴 \(D_{+}(f)\)의 닫힌 부분스킴이다. 따라서 이는 원하는 \(X\)의 아핀 열린집합이다.

보조정리

스킴 \(X\)를 잡자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 충분한 가역층이라 하자. 다음을 생각하자. \[E \subset W \subset X\] 여기서 \(E\)는 유한하고 \(W\)는 \(X\)에서 열린집합이다. 그러면 어떤 \(n > 0\)과 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)이 존재하여 \(X_s\)가 아핀이고 \(E \subset X_s \subset W\)이다.

증명

독자는 보조정리 01ZY의 증명을 수정하여 이 보조정리를 증명할 수 있다. 여기서는 그 보조정리로부터 이 결과를 이끌어 내겠다. 보조정리 01ZY에 의해 \(U \subset W\)인 아핀 열린집합을 택하여 \(E \subset U\)가 되게 할 수 있다. 등급환 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 을 생각하자. 각 \(x \in E\)에 대해 절단들의 등급 아이디얼 \(\mathfrak p_x \subset S\)를 두자. 이는 \(x\)에서 소멸하는 절단들로 이루어지므로 \(\mathfrak p_x\)가 소 아이디얼임은 자명하다. 또한 \(\mathcal{L}\)의 어떤 거듭제곱이 전역 생성되므로 \(S_{+} \not \subset \mathfrak p_x\)이다. 모든 점에서 소멸하는 절단들의 등급 아이디얼 \(I \subset S\)를 \(X \setminus U\)에 대해 두자. \(X_s\)들이 위상의 기저를 이루므로 \(I \not \subset \mathfrak p_x\)가 모든 \(x \in E\)에 대해 성립한다. (등급) 소 아이디얼 피하기, 즉 대수, 보조정리 00JS에 의해 동차 원소 \(s \in I\)를 택하여 \(s \not \in \mathfrak p_x\)가 모든 \(x \in E\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 그러면 \(E \subset X_s \subset U\)이고 보조정리 01PV에 의해 \(X_s\)는 아핀이다.

보조정리

\(X\)를 준아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(E \subset W \subset X\)라 하고 \(E\)는 유한하며 \(W\)는 열린집합이라고 하자. 그러면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)인 절단이 존재하여 \(X_s\)는 아핀이고 \(E \subset X_s \subset W\)이다.

증명

이 보조정리의 증명은 대수, 보조정리 00DS의 증명과 많은 공통점이 있다. \(E = \{x_1, \ldots, x_n\}\)이라 하자. \(E = W = \emptyset\)이면 \(s = 0\)으로 충분하다. \(W \not = \emptyset\)이면 필요하다면 점을 하나 추가하여 \(E \not = \emptyset\)라고 가정할 수 있다. 따라서 \(n \geq 1\)이라 가정할 수 있다. \(n\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다.

기초 단계: \(n = 1\). \(W\)를 \(x_1\)의 \(W\) 안의 아핀 열린 근방으로 바꾼 뒤 \(W\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 보조정리 01QE와 명제 01Q3를 결합하면 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 전역 생성됨을 알 수 있다. 따라서 \(s\)라는 \(\mathcal{L}\)의 전역 절단을 택하여 \(x_1\)에서 소멸하지 않게 할 수 있다. 한편 \(Z \subset X\)를 \(X \setminus W\) 위에 유도된 감소된 닫힌 부분스킴이라 하자. 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)인 \(Z\)에 전역 생성을 적용하여 전역 절단 \(f\)를 \(\mathcal{I}\)에서 택하면 \(x_1\)에서 소멸하지 않게 할 수 있다. 그러면 \(s' = fs\)는 \(\mathcal{L}\)의 전역 절단이고 \(x_1\)에서 소멸하지 않으며 \(X_{s'} \subset W\)이다. 따라서 \(X_{s'}\)는 아핀이다. 보조정리 01PV을 보라.

\(n > 1\)일 때의 귀납 단계. \(x_i \leadsto x_j\) 특수화가 \(i \not = j\)인 경우 존재한다면, \(\{x_1, \ldots, x_n\} \setminus \{x_i\}\)에 대해 보조정리를 증명하는 것으로 충분하고 귀납에 의해 끝난다. 따라서 \(x_i\)들 사이에 특수화가 없다고 가정할 수 있다. 보조정리 01ZY 또는 보조정리 09NV에 의해 \(W\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 귀납 가정에 의해 전역 절단 \(s\)를 \(\mathcal{L}\)에서 찾아 \(X_s \subset W\)가 아핀이고 \(x_1, \ldots, x_{n - 1}\)을 포함하게 할 수 있다. \(x_n \in X_s\)이면 끝난다. \(s\)가 \(x_n\)에서 영이라고 가정하자. \(n = 1\)인 경우에 의해 전역 절단 \(s'\)를 \(\mathcal{L}\)에서 찾아 \(\{x_n\} \subset X_{s'} \subset W \setminus \overline{\{x_1, \ldots, x_{n - 1}\}}\) 가 되게 할 수 있다. 여기서 \(x_n\)이 \(x_1, \ldots, x_{n - 1}\)의 특수화가 아니라는 사실을 사용했다. 그러면 \(s + s'\)는 \(\mathcal{L}\)의 전역 절단이고 \(x_1, \ldots, x_n\)에서 소멸하지 않으며 \(X_{s + s'} \subset W\)이다. 앞에서와 같이 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)를 점이라 하자. \(U \subset X\)인 \(x\)의 아핀 열린 근방이 존재하여 표준 사상 \(\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X, x}\)가 다음 각 경우에 단사이다.

1. \(X\)가 정수적이다.

2. \(X\)가 국소 뇌터이다.

3. \(X\)가 축약이고 기약 성분의 개수가 유한하다.

증명

대수로 옮기면 이는 대수의 보조정리 0BX1에서 따른다.

보조정리

\(U\), \(V\)를 아핀 스킴이라 하고 \(W \to U\)와 \(W \to V\)를 열린 몰입이라 하자. 임의의 \(w \in W\)에 대하여 \(W' \subset W\)인 \(w\)의 아핀 열린 근방이 존재하여 \(W'\)가 \(U\)와 \(V\) 모두의 표준 열린집합으로 사상된다.

증명

\(X\)를 \(U\)와 \(V\)를 \(W\)를 따라 붙여 얻은 스킴이라 하고 Schemes의 보조정리 01IW를 적용한다.