프로에탈 코호몰로지

서론

이 장의 내용과 그보다 더 많은 내용은 프리프린트 [BS]에서 찾을 수 있다.

이 장의 목적은 프로에탈 위상을 도입하고 이 위상에서 아벨 층의 코호몰로지에 관한 기초 이론을 전개하는 것이다. 두 번째 목적은 프로에탈 위상을 사용하면 대수기하학에서 \(\ell\)진 코호몰로지를 도입하는 일이 어떻게 단순해지는지 보이는 것이다.

우리가 이해한 \(\ell\)진 에탈 코호몰로지의 역사를 간략히 개관하자. [SGA5, Exposés V and VI]에서 Grothendieck 등은 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-가군의 층들의 역계로서 \(\ell\)진 층을 다루는 이론을 발전시켰다. Weil 추측에 관한 두 번째 논문([WeilII])에서 Deligne은 스킴 \(X\)의 에탈 사이트 위의 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-가군 층의 복합체들의 범주의 어떤 2-극한으로 \(\ell\)진 층의 유도범주를 도입했다. 이 접근법은 Beilinson, Bernstein, Deligne의 논문([BBD])에서 퍼버스 층에 관한 아름다운 이론의 기초로 쓰인다. Uwe Jannsen은 “Continuous Étale Cohomology”라는 제목의 논문([Jannsen])에서 체 위의 대수다양체에 놓인 \(\ell\)진 층의 코호몰로지에 대한 중요한 변형을 논한다. 그 뒤를 잇는 Torsten Ekedahl의 논문([Ekedahl])은 극한으로 정의된 유도범주를 편리하게 다루는 데 필요한 아딕 형식론을 논한다.

스킴의 프로에탈 사이트에서 작업하면 이 저자들이 마주한 기술적 문제들 가운데 일부를 피할 수 있음이 드러난다. 그 대가로 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체에 놓인 \(\ell\)진 층과 그 코호몰로지에만 관심이 있더라도 비뇌터 스킴을 다루어야 한다.

스킴의 (작은) 프로에탈 사이트가 갖는 매우 중요하고 놀라운 특징은 준콤팩트한 w-축약 가능 대상을 충분히 많이 갖는다는 것이다. 이러한 대상의 존재는 아벨 층의 유도범주와 층의 역계에 대해 여러 유용하고 (어쩌면) 이례적인 귀결을 준다. 바로 이 특징 덕분에 \(\ell\)진 층을 다룰 때 생기는 복잡한 문제들을 처리할 수 있으며, 뒤에서 보듯 그 밖에도 여러 이점이 있다.

위상수학의 몇 가지 준비

몇 가지 예비사항부터 살펴보자. 우리는 스펙트럴 공간과 스펙트럴 공간 사이의 스펙트럴 사상을 Topology, Section 08YF에서 정의했다. 환의 스펙트럼은 스펙트럴 공간이다. Algebra, Lemma 090M를 보라.

보조정리

\(X\)를 스펙트럴 공간이라 하고, \(X_0 \subset X\)를 닫힌점들의 집합이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)의 모든 열린 덮개는 각 \(U_i\)가 \(X\)에서 열린 동시에 닫힌 집합인 유한 서로소 합 분해 \(X = \coprod U_i\)에 의해 세분된다.

2. 합성 \(X_0 \to X \to \pi_0(X)\)는 전단사이다.

더 나아가 \(X_0\)가 \(X\)에서 닫혀 있고, \(X\)의 모든 점이 \(X_0\)의 유일한 한 점으로 특수화된다면 이 조건들이 성립한다.

증명

이하에서는 \(X_0\)가 준콤팩트라는 사실 (Topology, Lemma 08ZM)과 \(\pi_0(X)\)가 프로유한이라는 사실 (Topology, Lemma 0906)을 별도의 언급 없이 사용한다. 다음 도식을 보자. \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd]_f \ar[r] & X \ar[d]^\pi \\ & \pi_0(X) }\] (2)가 성립하면 연속 전단사 \(f : X_0 \to \pi_0(X)\)는 Topology, Lemma 08YE에 의해 위상동형이다. 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 주어지면 \(\pi_0(X) = \bigcup f(X_0 \cap U_i)\)라는 열린 덮개를 얻는다. Topology, Lemma 08ZZ에 의해 이 덮개를 세분하는 \(\pi_0(X) = \coprod V_j\) 꼴의 유한 열린 덮개를 찾을 수 있다. \(X_0 \to \pi_0(X)\)가 전단사이므로 \(X\)의 각 연결 성분에는 유일한 닫힌점이 있고, 따라서 그 성분은 이 닫힌점으로 특수화되는 점들의 집합과 같다. 그러므로 \(\pi^{-1}(V_j)\)는 \(f^{-1}(V_j)\)의 점들로 특수화되는 점들의 집합이다. 이제 \(f^{-1}(V_j) \subset X_0 \cap U_i \subset U_i\)라면 \(\pi^{-1}(V_j) \subset U_i\)가 따른다 (열린집합 \(U_i\)는 일반화에 대해 닫혀 있기 때문이다). 이로써 열린 덮개 \(X = \coprod \pi^{-1}(V_j)\)가 처음의 덮개를 세분함을 알 수 있다. 따라서 (2)는 (1)을 함의한다.

(1)을 가정하자. \(x, y \in X\)를 닫힌점이라 하자. 그러면 \(X = (X \setminus \{x\}) \cup (X \setminus \{y\})\)라는 열린 덮개가 있다. (1)에 의해 \(U\)와 \(V\)가 열린 (따라서 닫힌) 집합이고 \(x \in U\), \(y \in V\)인 서로소 합 분해 \(X = U \amalg V\)가 존재한다. 특히 \(X\)의 각 연결 성분에는 닫힌점이 많아야 하나뿐이다. Topology, Lemma 005E에 의해 각 연결 성분은 (닫힌 집합이므로) 실제로 닫힌점을 갖는다. 따라서 \(X_0 \to \pi_0(X)\)는 전단사이다. 이로써 (1)이 (2)를 함의함을 알 수 있다.

\(X_0\)가 \(X\)에서 닫혀 있고 모든 점이 \(X_0\)의 유일한 한 점으로 특수화된다고 가정하자. 그러면 \(X_0\)는 스펙트럴 공간이고 (Topology, Lemma 0902), 닫힌점들로 이루어져 있으므로 프로유한이다 (Topology, Lemma 0905). 서로 다른 \(x, y \in X_0\)를 잡자. Topology, Lemma 08ZZ에 의해 \(U_0\)와 \(V_0\)가 열린 동시에 닫힌 집합이고 \(x \in U_0\), \(y \in V_0\)인 서로소 합 분해 \(X_0 = U_0 \amalg V_0\)를 찾을 수 있다. \(U \subset X\)와 \(V \subset X\)를 각각 \(U_0\)와 \(V_0\)로 특수화되는 점들의 집합이라 하자. \(X = U \amalg V\)임에 유의하라. Topology, Lemma 0A31에 의해 \(U\)는 준콤팩트 열린 부분집합들의 교집합이다. 따라서 \(U\)는 구성 가능 위상에서 닫혀 있다. \(U\)는 특수화에 대해 닫혀 있으므로 Topology, Lemma 0903에 의해 \(U\)는 닫혀 있다. 대칭성에 의해 \(V\)도 닫혀 있고, 따라서 \(U\)와 \(V\)는 모두 열린 동시에 닫힌 집합이다. 이는 \(x, y\)가 \(X\)의 같은 연결 성분에 속하지 않음을 보인다. 달리 말하면 \(X_0 \to \pi_0(X)\)는 단사이다. Topology, Lemma 005E과 연결 성분들이 닫혀 있다는 사실에 의해 이 사상은 전사이기도 하다. 따라서 마지막 조건은 (2)를 함의한다.

예

\(T\)를 프로유한 공간이라 하자. \(t \in T\)를 한 점이라 하고 \(T \setminus \{t\}\)가 준콤팩트하지 않다고 가정하자. \(X = T \times \{0, 1\}\)로 놓는다. \(X\) 위에서 다음 집합들이 이루는 부분기저로 주어지는 위상을 생각하자: \(U \subset T\)가 열릴 때의 \(U \times \{0, 1\}\), \(X \setminus \{(t, 0)\}\), 그리고 \(U \subset T\)가 열리고 \(t \not \in U\)일 때의 \(U \times \{1\}\). \(X\)의 닫힌점들의 집합은 \(X_0 = T \times \{0\}\)이고, \((t, 1)\)은 \(X_0\)의 폐포에 속한다. 또한 \(X_0 \to \pi_0(X)\)는 전단사이다. 이 예는 Lemma 0968의 조건 (1)과 (2)가 닫힌점들의 집합이 닫혀 있음을 함의하지는 않음을 보인다.

Lemma 0968의 마지막 명제에 나타난 조금 더 강한 성질을 갖는 스펙트럴 공간을 다루는 편이 더 편리함이 드러난다. 이 성질에 이름을 붙이자.

정의

스펙트럴 공간 \(X\)의 닫힌점들의 집합 \(X_0\)가 닫혀 있고 \(X\)의 모든 점이 유일한 닫힌점으로 특수화될 때 그 공간을 w-국소라고 한다. w-국소 공간들의 연속 사상 \(f : X \to Y\)가 스펙트럴 사상이고 \(X\)의 모든 닫힌점을 \(Y\)의 닫힌점으로 보낼 때 그 사상을 w-국소라고 한다.

Lemma 0968의 증명에서 보았듯이, 이 경우 \(X_0 \to \pi_0(X)\)는 위상동형이고 \(X_0 \cong \pi_0(X)\)는 프로유한 공간이다. 또한 \(X\)의 연결 성분 하나는 주어진 \(x \in X_0\)로 특수화되는 점들의 집합과 정확히 같다.

보조정리

\(X\)를 w-국소 스펙트럴 공간이라 하자. \(Y \subset X\)가 닫혀 있으면 \(Y\)는 w-국소이다.

증명

닫힌점들의 부분집합 \(Y_0 \subset Y\)는 \(Y_0 = X_0 \cap Y\)이므로 닫혀 있다. \(X\)가 \(w\)-국소이므로 각 \(y \in Y\)는 \(X_0\)의 유일한 한 점으로 특수화된다. \(\overline{\{y\}}\subset Y\)이므로 이 특수화는 \(Y\)에 속하고, 따라서 \(Y_0\)에도 속한다. 결론적으로 \(Y\)는 \(w\)-국소이다.

보조정리

\(X\)를 스펙트럴 공간이라 하자. 위상공간의 범주에서 다음 데카르트 도식이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 여기서 \(T\)는 프로유한이다. 그러면 \(Y\)는 스펙트럴 공간이고 \(T = \pi_0(Y)\)이다. 더 나아가 \(X\)가 w-국소이면 \(Y\)는 w-국소이고, \(Y \to X\)는 w-국소이며, \(Y\)의 닫힌점들의 집합은 \(X\)의 닫힌점들의 집합의 역상이다.

증명

\(\pi_0(X)\)는 프로유한 공간이어서 하우스도르프이므로 \(Y\)는 \(X \times T\)의 닫힌 부분공간임에 유의하라 (Topology, Lemmas 0906와 08ZH를 사용한다). \(X \times T\)가 스펙트럴 공간이므로 (Topology, Lemma 0907) \(Y\)도 스펙트럴 공간이다 (Topology, Lemma 0902). 표준 분해 \(Y \to \pi_0(Y) \to T\)를 생각하자 (Topology, Lemma 08ZL). \(\pi_0(Y) \to T\)가 전사임은 분명하다. \(Y \to T\)의 올들은 \(X \to \pi_0(X)\)의 올들과 위상동형이다. 따라서 이 올들은 연결되어 있고, \(\pi_0(Y) \to T\)는 단사이다. Topology, Lemma 08YE에 의해 \(\pi_0(Y) \to T\)가 위상동형이라고 결론짓는다.

이제 \(X\)가 w-국소라고 가정하고, \(X_0 \subset X\)를 닫힌점들의 집합이라 하자. \(X_0\)의 \(Y\)에서의 역상을 \(Y_0 \subset Y\)라 하자. Lemma 0968에 의해 \(X_0 \to \pi_0(X)\)가 전단사이므로 그 역상은 \(T\) 위로 전단사적으로 사상된다. 또한 \(Y_0\)는 스펙트럴 공간 \(Y\)의 닫힌 부분집합이므로 준콤팩트이다. 따라서 Topology, Lemma 08YE에 의해 \(Y_0 \to \pi_0(Y) = T\)는 위상동형이다. 그러므로 \(Y_0\)의 모든 점은 \(Y\)에서 닫힌점이다. 거꾸로 \(y \in Y\)가 닫힌점이면 \(Y \to \pi_0(Y) = T\)의 올에서 닫혀 있고, 따라서 \(X\)에서의 상 \(x\)는 \(X \to \pi_0(X)\)의 위상동형인 올에서 닫혀 있다. 이는 \(x \in X_0\)를 함의하고, 따라서 \(y \in Y_0\)이다. 그러므로 \(Y_0\)는 \(Y\)의 닫힌점들의 집합이고, 각 \(y \in Y_0\)에 대해 \(y\)의 일반화들의 집합은 \(Y \to \pi_0(Y)\)의 올이다. 보조정리가 따른다.

국소 동형

정의부터 시작한다.

정의

\(\varphi : A \to B\)를 환 준동형이라 하자.

1. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대해 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)인 원소가 존재하여 \(A \to B_g\)가 열린 몰입 \(\Spec(B_g) \to \Spec(A)\)를 유도할 때 \(A \to B\)를 국소 동형이라고 한다.

2. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대해 표준 사상 \(A_{\varphi^{-1}(\mathfrak q)} \to B_\mathfrak q\)가 동형일 때 \(A \to B\)가 국소환들을 식별한다고 한다.

몇 가지 기본 성질을 열거한다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(A \to A'\)를 환 준동형이라 하자. \(B' = B \otimes_A A'\)를 \(B\)의 기저변환이라 하자.

1. \(A \to B\)가 국소 동형이면 \(A' \to B'\)도 국소 동형이다.

2. \(A \to B\)가 국소환들을 식별하면 \(A' \to B'\)도 국소환들을 식별한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(B \to C\)를 환 준동형이라 하자.

1. \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 국소 동형이면 \(A \to C\)도 국소 동형이다.

2. \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 국소환들을 식별하면 \(A \to C\)도 국소환들을 식별한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(B \to C\)를 \(A\)-대수 준동형이라 하자.

1. \(A \to B\)와 \(A \to C\)가 국소 동형이면 \(B \to C\)도 국소 동형이다.

2. \(A \to B\)와 \(A \to C\)가 국소환들을 식별하면 \(B \to C\)도 국소환들을 식별한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)를 국소 동형이라 하자. 그러면

1. \(A \to B\)는 에탈이고,

2. \(A \to B\)는 국소환들을 식별하며,

3. \(A \to B\)는 준유한이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)를 국소 동형이라 하자. 그러면 \(n \geq 0\), \(g_1, \ldots, g_n \in B\), \(f_1, \ldots, f_n \in A\)가 존재하여 \((g_1, \ldots, g_n) = B\)이고 \(A_{f_i} \cong B_{g_i}\)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(p : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\)와 \(q : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\)를 국소환 달린 공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{O}_Y = p^{-1}\mathcal{O}_X\)이면 \[\Mor_{\text{LRS}/(X, \mathcal{O}_X)}((Z, \mathcal{O}_Z), (Y, \mathcal{O}_Y)) \longrightarrow \Mor_{\textit{Top}/X}(Z, Y),\quad (f, f^\sharp) \longmapsto f\] 는 전단사이다. 여기서 \(\text{LRS}/(X, \mathcal{O}_X)\)는 \(X\) 위의 국소환 달린 공간들의 범주이고, \(\textit{Top}/X\)는 \(X\) 위의 위상공간들의 범주이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(X = \Spec(A)\)로 놓자. 함자 \[B \longmapsto \Spec(B)\] 는 \(A \to B\)가 국소환들을 식별하는 \(A\)-대수 \(B\)들의 범주에서 \(X\) 위의 위상공간들의 범주로 가는 충실충만 함자이다.

증명

이는 Lemma 096K와 다음 사실에서 따른다. \(A \to B\)가 국소환들을 식별하면 \(p : \Spec(B) \to \Spec(A)\)에 의한 \(\Spec(A)\)의 구조층의 역상은 \(\Spec(B)\)의 구조층과 같다.

Ind-Zariski 대수

정의부터 시작한다. 논문 [BS]의 해당 정의와 비교하려면 Remark 0A0D를 보라.

정의

각 \(A \to B_i\)가 국소 동형인 여과 쌍대극한 \(B = \colim B_i\)로 \(B\)를 쓸 수 있을 때 환 준동형 \(A \to B\)를 ind-Zariski라고 한다.

Ind-Zariski 사상의 한 예는 국소화 \(A \to S^{-1}A\)이다. Algebra, Lemma 00CR를 보라. ind-Zariski 대수들의 범주는 여러 자연스러운 연산에 대해 닫혀 있다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(A \to A'\)를 환 준동형이라 하자. \(B' = B \otimes_A A'\)를 \(B\)의 기저변환이라 하자. \(A \to B\)가 ind-Zariski이면 \(A' \to B'\)도 ind-Zariski이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(B \to C\)를 환 준동형이라 하자. \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 ind-Zariski이면 \(A \to C\)도 ind-Zariski이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(B \to C\)를 \(A\)-대수 준동형이라 하자. \(A \to B\)와 \(A \to C\)가 ind-Zariski이면 \(B \to C\)도 ind-Zariski이다.

증명

생략한다.

보조정리

ind-Zariski \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한은 \(A\) 위에서 ind-Zariski이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)가 ind-Zariski이면 \(A \to B\)는 국소환들을 식별한다.

증명

생략한다.

w-국소 아핀 스킴의 구성

아핀 스킴 \(X\)의 바탕 위상공간이 w-국소이면 (Definition 096A) \(X\)를 w-국소라고 한다. 임의의 환 \(A\)가 주어졌을 때, \(\Spec(A_w)\)가 w-국소가 되도록 하는 표준적인 충실 평탄 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to A_w\)가 존재한다. \(A_w\)를 구성하는 핵심은 다음의 간단한 보조정리이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(X = \Spec(A)\)로 놓자. \(Z \subset X\)를 어떤 \(f \in A\)와 아이디얼 \(I \subset A\)에 대해 \(D(f) \cap V(I)\) 꼴인 국소 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면

1. 어떤 곱셈적 부분집합 \(S \subset A\)가 존재하여 \(\Spec(S^{-1}A)\)는 \(X\)에서 \(Z\)로 특수화되는 점들의 집합에 위상동형으로 사상되고,

2. \(A\)-대수 \(A_Z^\sim = S^{-1}A\)는 바탕 국소 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\)에만 의존하며,

3. \(Z\)는 \(\Spec(A_Z^\sim)\)의 닫힌 부분스킴이다.

\(A \to A'\)가 환 준동형이고, 같은 꼴이며 \(Z\) 안으로 사상되는 국소 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset X' = \Spec(A')\)가 주어지면 유일한 \(A\)-대수 준동형 \(A_Z^\sim \to (A')_{Z'}^\sim\)이 존재한다.

증명

\(S \subset A\)를 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) = (A/I)_f\)에서 가역원으로 사상되는 원소들의 곱셈적 집합이라 하자. \(A\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)가 \(Z\)로 특수화되지 않으면 \(\mathfrak p\)는 \((A/I)_f\)에서 단위 아이디얼을 생성한다. 따라서 어떤 \(n \geq 0\), \(g \in \mathfrak p\), \(h \in I\)에 대해 \(f^n = g + h\)로 쓸 수 있다. 그러면 \(g \in S\)이므로 \(\mathfrak p\)는 \(S^{-1}A\)의 스펙트럼에 속하지 않음을 알 수 있다. 거꾸로 \(\mathfrak p\)가 \(Z\)로 특수화된다면, 즉 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \supset I\)이고 \(f \not \in \mathfrak q\)이면, \(S^{-1}A\)가 \(A_\mathfrak q\)로 사상됨을 알 수 있다. 따라서 \(\mathfrak p\)는 \(S^{-1}A\)의 스펙트럼에 속한다. 이로써 (1)을 증명했다.

국소화 \(S^{-1}A\)의 동형류는 대응하는 부분집합 \(\Spec(S^{-1}A) \subset \Spec(A)\)에만 의존하므로 (2)가 성립한다. 구성에 의해 \(S^{-1}A\)는 \((A/I)_f\) 위로 전사하므로 (3)이 성립한다. 마지막 명제는 \(Z'\)에 대응하는 곱셈적 부분집합 \(S' \subset A'\)가 \(S\)의 상을 포함한다는 사실에서 따른다.

\(A\)를 환이라 하고 \(E \subset A\)를 유한 부분집합이라 하자. \(E\)의 원소들의 소멸 양상을 살펴보면 \(X = \Spec(A)\)를 국소 닫힌 부분스킴들로 층화할 수 있다. 더 정확히, 서로소 합 분해 \(E = E' \amalg E''\)가 주어지면 [096W]\[\begin{equation} Z(E', E'') = \bigcap\nolimits_{f \in E'} D(f) \cap \bigcap\nolimits_{f \in E''} V(f) = D(\prod\nolimits_{f \in E'} f) \cap V( \sum\nolimits_{f \in E''} fA) \end{equation}\] 로 놓는다. \(Z(E', E'')\)의 점들은 정확히 다음 조건을 만족하는 \(x \in X\)이다: \(f \in E'\)는 \(\kappa(x)\)의 영이 아닌 원소로 사상되고, \(f \in E''\)는 \(\kappa(x)\)의 영으로 사상된다. 따라서 집합론적으로 [096X]\[\begin{equation} X = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} Z(E', E'') \end{equation}\] 임은 분명하다. 각 층이 구성 가능임에 유의하라.

보조정리

위와 같이 \(X = \Spec(A)\)라 하자. 구성 가능 부분집합들에 의한 임의의 유한 층화 \(X = \coprod T_i\)가 주어지면, 층화 (096X)가 \(X = \coprod T_i\)를 세분하도록 하는 유한 부분집합 \(E \subset A\)가 존재한다.

증명

어떤 준콤팩트 열린집합 \(U_{i, j}\)와 \(V_{i, j}\)에 대해 \(T_i = \bigcup_j U_{i, j} \cap V_{i, j}^c\)를 유한 합집합으로 쓸 수 있다. 그러면 \(U_{i, j} = \bigcup D(f_{i, j, k})\)와 \(V_{i, j} = \bigcup D(g_{i, j, l})\)로 쓸 수 있다. 이제 \(E = \{f_{i, j, k}\} \cup \{g_{i, j, l}\}\)로 놓는다. 층화 (096X)의 층들은 \(E\)의 원소들의 소멸 양상으로 표지되므로 주어진 층화를 명백히 세분한다.

논의를 계속하자. 유한 부분집합 \(E \subset A\)가 주어지면 [096Z]\[\begin{equation} A_E = \prod\nolimits_{E = E' \amalg E''} A_{Z(E', E'')}^\sim \end{equation}\] 로 놓는다. 표기는 Lemma 096V과 같다. (096W)에 의해 각 \(Z(E', E'')\)가 필요한 꼴이므로 이 정의는 의미가 있다. 이 환의 스펙트럼을 취하여 [0970]\[\begin{equation} X_E = \Spec(A_E) = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} X_{E', E''} \end{equation}\] 로 쓴다. 여기서 \(X_{E', E''} = \Spec(A_{Z(E', E'')}^\sim)\)이다. 또한 [0971]\[\begin{equation} Z_E = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} Z(E', E'') \longrightarrow X_E \end{equation}\] 는 닫힌 부분스킴이다. 구성에 의해 닫힌 부분스킴 \(Z_E\)는 아핀 스킴 \(X_E\)의 모든 닫힌점을 포함한다. 실제로 \(X_{E', E''}\)의 각 점은 \(Z(E', E'')\)의 한 점으로 특수화된다.

\(I(A)\)를 \(A\)의 모든 유한 부분집합들의 부분순서 집합이라 하자. 이는 유향 부분순서 집합이다. \(E_1 \subset E_2\)에 대해 표준적인 \(A\)-대수 전이 사상 \(A_{E_1} \to A_{E_2}\)가 존재한다. 실제로 분해 \(E_2 = E'_2 \amalg E''_2\)가 주어지면 \(E'_1 = E_1 \cap E'_2\)와 \(E''_1 = E_1 \cap E''_2\)로 놓는다. 그러면 \(Z(E'_2, E''_2) \subset Z(E'_1, E''_1)\)이므로 Lemma 096V에 의해 유일한 \(A\)-대수 준동형 \(A_{Z(E'_1, E''_1)}^\sim \to A_{Z(E'_2, E''_2)}^\sim\)이 존재한다. 이 사상들을 모두 사용하면 원하는 환 준동형 \(A_{E_1} \to A_{E_2}\)를 얻는다. 대응하는 아핀 스킴의 사상 [0972]\[\begin{equation} X_{E_2} \longrightarrow X_{E_1} \end{equation}\] 은 \(Z_{E_2}\)를 \(Z_{E_1}\) 안으로 보낸다. 유일성에 의해 \(I(A)\) 위의 \(A\)-대수의 계를 얻으며, [0973]\[\begin{equation} A_w = \colim_{E \in I(A)} A_E \end{equation}\] 로 놓는다. 이 \(A\)-대수는 \(A\) 위에서 ind-Zariski이고 충실 평탄하다. 마지막으로 \(X_w = \Spec(A_w)\)로 놓고, 그 위에 닫힌 부분스킴 \(Z = \lim_{E \in I(A)} Z_E\)를 둔다. 식으로 쓰면 [0974]\[\begin{equation} X_w = \lim_{E \in I(A)} X_E \supset Z = \lim_{E \in I(A)} Z_E \end{equation}\] 이다.

보조정리

\(X = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. 위와 같이 \(A \to A_w\), \(X_w = \Spec(A_w)\), \(Z \subset X_w\)를 잡자.

1. \(A \to A_w\)는 ind-Zariski이고 충실 평탄하며,

2. \(X_w \to X\)는 전단사 \(Z \to X\)를 유도하고,

3. \(Z\)는 \(X_w\)의 닫힌점들의 집합이며,

4. \(Z\)는 축소 스킴이고,

5. \(X_w\)의 모든 점은 \(Z\)의 유일한 한 점으로 특수화된다.

특히 \(X_w\)는 w-국소이다(Definition 096A).

증명

사상 \(A \to A_w\)는 구성에 의해 ind-Zariski이다. 모든 \(E\)에 대해 사상 \(Z_E \to X\)가 전단사이므로 (2)가 성립한다. \(Z \subset X_w\)이므로 \(X_w \to X\)가 전사이고, Algebra, Lemma 00HQ에 의해 \(A \to A_w\)는 충실 평탄이다. 이로써 (1)을 증명했다.

\(y \in X_w\), \(y \not \in Z\)라고 하자. 그러면 어떤 \(E\)가 존재하여 \(X_E\)에서 \(y\)의 상이 \(Z_E\)에 속하지 않는다. 따라서 모든 \(E \subset E'\)에 대해 \(y\)는 \(Z_{E'}\)에 속하지 않는 \(X_{E'}\)의 원소로 사상된다. \(T_{E'} \subset X_{E'}\)를 \(y\)의 상의 폐포인 축소 닫힌 부분스킴이라 하자. \(T = \lim_{E \subset E'} T_{E'}\)가 \(X_w\)에서 \(y\)의 폐포임은 분명하다. 모든 \(E \subset E'\)에 대해 \(X_{E'}\)의 구성에 의해 스킴 \(T_{E'} \cap Z_{E'}\)는 공집합이 아니다. 따라서 \(\lim T_{E'} \cap Z_{E'}\)는 공집합이 아니고, \(T \cap Z\)가 공집합이 아니라고 결론짓는다. 그러므로 \(y\)는 닫힌점이 아니다. 따라서 \(X_w\)의 모든 닫힌점은 \(Z\)에 속한다.

\(y \in X_w\)가 \(z, z' \in Z\)로 특수화된다고 하자. \(z = z'\)임을 보이면 (3)의 증명이 끝나고 (5)도 따라온다. \(x, x' \in X\)를 \(z\)와 \(z'\)의 상이라 하자. \(Z \to X\)가 전단사이므로 \(x = x'\)임을 보이면 충분하다. \(x \not = x'\)이면 (또는 그 반대로) \(x \in D(f)\)이고 \(x' \in V(f)\)인 어떤 \(f \in A\)가 존재한다. \(E = \{f\}\)로 놓으면 \[X_E = \Spec(A_f) \amalg \Spec(A_{V(f)}^\sim)\] 이다.

그러면 \(z\)와 \(z'\)는 위의 \(X_E\)의 분해에서 서로 다른 부분에 속하는 \(x_E\)와 \(x'_E\)로 사상된다. 그러나 이때 \(x_E\)와 \(x'_E\)가 같은 점의 특수화들일 수는 없다. 이는 원하는 모순이다.

유한 부분집합 \(E \subset A\)가 주어지면 \(Z_E\)는 국소 닫힌 부분스킴 \(Z(E', E'')\)들의 서로소 합임을 상기하라. 각 부분스킴은 \((A/I)_f\)의 스펙트럼과 동형이다. 여기서 \(I\)는 \(E''\)가 생성하는 아이디얼이고, \(f\)는 \(E'\)의 원소들의 곱이다. \((A/I)_f\)의 멱영원 \(b\)는 어떤 \(g \in A\)에 대해 \(g/f^n\)의 류이다. 이제 \(E' = E \cup \{g\}\)로 놓으면,

계의 전이 사상 \(Z_{E'} \to Z_E\)로 당겨 올렸을 때 \(b\)가 영이 됨을 독자가 확인할 수 있다. 이로써 (4)를 증명했다.

주

\(A\)를 환이라 하자.

\(\kappa\)를 \(A\)의 기수보다 크거나 같은 무한 기수라 하자. 그러면 \(A_w\)의 기수는 (Lemma 0975) 많아야 \(\kappa\)이다. 실제로 각 \(A_E\)의 기수는 많아야 \(\kappa\)이고, \(A\)의 유한 부분집합들의 집합의 기수도 많아야 \(\kappa\)이다. 따라서 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)이므로 결론이 따른다. Sets, Section 000D를 보라.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. Lemma 0975에서 구성한 환 준동형을 \(A \to A_w\)라 하자. \(\Spec(B)\)가 w-국소인 임의의 환 준동형 \(A \to B\)에 대해, \(\Spec(B) \to \Spec(A_w)\)가 w-국소가 되도록 하는 유일한 분해 \(A \to A_w \to B\)가 존재한다.

증명

\(Y = \Spec(B)\)라 하고 \(Y_0 \subset Y\)를 닫힌점들의 집합이라 하자. 주어진 사상을 \(f : Y \to X\)라 쓰자. \(Y_0\)가 프로유한이므로 특히 \(Y_0\)의 모든 구성 가능 부분집합은 열린 동시에 닫혀 있음을 상기하라. \(E \subset A\)를 유한 부분집합이라 하자. \(A_w = \colim A_E\)이고 \(\Spec(A_w)\)의 닫힌점들의 집합은 닫힌 부분집합 \(Z_E \subset X_E = \Spec(A_E)\)들의 극한임을 상기하라. 따라서 \(Y \to X_E\)가 \(Y_0\)를 \(Z_E\) 안으로 보내도록 하는 유일한 분해 \(A \to A_E \to B\)가 존재함을 보이면 충분하다. \(Z_E \to X = \Spec(A)\)는 전단사이고 층 \(Z(E', E'')\)들은 구성 가능이므로 \[Y_0 = \coprod f^{-1}(Z(E', E'')) \cap Y_0\] 는 열린 동시에 닫힌 부분집합들의 서로소 합 분해이다. \(Y_0 = \pi_0(Y)\)이므로 \(Y\)에도 대응하는 열린 동시에 닫힌 조각들로의 분해가 생긴다. 따라서 어떤 분해 \(E = E' \amalg E''\)에 대해 \(f(Y_0) \subset Z(E', E'')\)인 경우에 분해를 구성하면 충분하다. 이 경우 \(f(Y)\)는 \(X\)에서 \(Z(E', E'')\)로 특수화되는 점들의 집합에 포함되고, 이 집합은 \(X_{E', E''}\)와 위상동형이다. 따라서 \(X\) 위의 유일한 연속 사상 \(Y \to X_{E', E''}\)를 얻는다. Lemma 096K에 의해 이는 \(X\) 위의 유일한 스킴 사상 \(Y \to X_{E', E''}\)에 대응한다. 이로써 증명이 끝난다.

환의 스펙트럼이 프로유한일 필요충분조건은 모든 점이 닫힌점이라는 것임을 상기하라. 실제로 이를 함의하는 서로 동치인 조건이 아주 많이 있다. Algebra, Lemma 04MG 또는 Topology, Lemma 0905을 보라.

보조정리

\(\Spec(A)\)가 프로유한인 환을 \(A\)라 하고, \(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. 다음 각각의 경우에 \(\Spec(B)\)는 프로유한이다.

1. \(\mathfrak q,\mathfrak q' \subset B\)가 \(A\)의 같은 소 아이디얼 위에 놓이면 \(\mathfrak q \subset \mathfrak q'\)도 \(\mathfrak q' \subset \mathfrak q\)도 아닌 경우,

2. \(A \to B\)가 잉여체들의 대수적 확대를 유도하는 경우,

3. \(A \to B\)가 국소 동형인 경우,

4. \(A \to B\)가 국소환들을 식별하는 경우,

5. \(A \to B\)가 약 에탈인 경우,

6. \(A \to B\)가 준유한인 경우,

7. \(A \to B\)가 비분기인 경우,

8. \(A \to B\)가 에탈인 경우,

9. \(B\)가 (1)–(8) 가운데 어느 하나를 만족하는 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한인 경우,

10. 기타 등등.

증명

위에서 언급한 참고문헌 (Algebra, Lemma 04MG 또는 Topology, Lemma 0905)에 의해 \(\Spec(A)\)의 서로 다른 점들 사이에는 특수화가 없고, \(\Spec(B)\)의 서로 다른 점들 사이에 특수화가 없을 필요충분조건은 \(\Spec(B)\)가 프로유한이라는 것이다. 이러한 특수화는 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 올 안에서만 일어날 수 있다. 이로부터 (1)이 성립함을 알 수 있다.

(2)의 가정은 Algebra, Lemma 00GA에 의해 \(B\)의 모든 소 아이디얼이 극대임을 함의한다. 따라서 (2)가 성립한다. \(A \to B\)가 국소 동형이거나 국소환들을 식별하면 잉여체 확대들은 자명하므로 (3)과 (4)는 (2)에서 따른다. \(A \to B\)가 약 에탈이면 More on Algebra, Lemma 092R에 의해 분리 대수적 잉여체 확대들을 유도하므로 (5)는 (2)에서 따른다. \(A \to B\)가 준유한이면 올들은 유한 이산 위상공간이다. 따라서 (6)은 (1)에서 따른다.

따라서 (3)은 (1)에서 따른다. (7)과 (8)은 이로부터 따른다. 비분기 및 에탈 환 준동형은 준유한이기 때문이다 (Algebra, Lemmas 02UR와 00U5). \(B = \colim B_i\)가 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한이면 Limits, Lemma 0CUF에 의해 위상공간의 범주에서 \(\Spec(B) = \lim \Spec(B_i)\)이다. 따라서 각 \(\Spec(B_i)\)가 프로유한이면 Topology, Lemma 0ET8에 의해 \(\Spec(B)\)도 프로유한이다. 이로써 (9)를 증명했다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(V(I) \subset \Spec(A)\)가 프로유한 위상공간인 닫힌 부분집합이라 하자. 그러면 \(\Spec(B)\)가 w-국소이고, 닫힌점들의 집합이 \(V(IB)\)이며, \(A/I \cong B/IB\)가 되도록 하는 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)가 존재한다.

증명

Lemma 0975에서와 같이 \(A \to A_w\)와 \(Z \subset Y = \Spec(A_w)\)를 잡자. \(T \subset Z\)를 \(V(I)\)의 역상이라 하자. Topology, Lemma 08YE에 의해 \(T \to V(I)\)는 위상동형이다. Lemma 096V에서와 같이 \(B = (A_w)_T^\sim\)로 놓자. \(B\)가 w-국소이고 닫힌점들이 \(V(IB)\)임은 분명하다. 환 준동형 \(A/I \to B/IB\)는 ind-Zariski이고 바탕 위상공간들 사이의 위상동형을 유도한다. 따라서 Lemma 096L에 의해 이 준동형은 동형이다.

보조정리

\(X = \Spec(A)\)가 w-국소인 환을 \(A\)라 하자. \(I \subset A\)를 \(X\)의 닫힌점들의 집합 \(X_0\)를 정의하는 근기 아이디얼이라 하자. \(A \to B\)가 소 아이디얼들에서 잉여체들의 대수적 확대를 유도하는 환 준동형이라 하자. 그러면

1. \(Z = V(IB)\)의 모든 점은 \(\Spec(B)\)의 닫힌점이고,

2. 다음 조건들을 만족하는 ind-Zariski 환 준동형 \(B \to C\)가 존재한다.

   1. \(B/IB \to C/IC\)는 동형이고,

   2. 공간 \(Y = \Spec(C)\)는 w-국소이며,

   3. 유도된 사상 \(p : Y \to X\)는 w-국소이고,

   4. \(p^{-1}(X_0)\)는 \(Y\)의 닫힌점들의 집합이다.

증명

Lemma 0978을 \(A/I \to B/IB\)에 적용하면 \(Z = V(IB) = \Spec(B/IB)\)의 모든 점이 닫혀 있고, 실제로 \(\Spec(B/IB)\)가 프로유한 공간임을 얻는다. 증명을 끝내기 위해 Lemma 0979를 \(IB \subset B\)에 적용한다.

국소환들의 식별과 ind-Zariski

ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)는 국소환들을 식별한다 (Lemma 096T). 그 역은 성립하지 않는다 (Examples, Section 09AN). 그러나 국소환들을 식별하는 환 준동형에는 ind-Zariski 환 준동형으로 표현되는 일종의 구조 정리가 있음이 밝혀진다. Proposition 097G을 보라.

\(A\)를 환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)라 하자. 연결 성분들의 공간 \(\pi_0(X)\)는 Topology, Lemma 0906 (및 Algebra, Lemma 090M)에 의해 프로유한 공간이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(X = \Spec(A)\)라 하자. \(T \subset \pi_0(X)\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 전사 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)가 존재하여, \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)는 \(\Spec(B)\)와 \(X\)에서 \(T\)의 역상 사이의 위상동형을 유도한다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 그러면 \(Z\)는 \(Z\)를 포함하는 \(X\)의 열린 동시에 닫힌 부분집합들의 교집합 \(Z = \bigcap Z_\alpha\)이다. Topology, Lemma 04PL을 보라. 각 \(\alpha\)에 대해 \(Z_\alpha = \Spec(A_\alpha)\)이고, \(A \to A_\alpha\)는 국소 동형(멱등원에 의한 국소화)이다. \(B = \colim A_\alpha\)로 놓으면 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(X = \Spec(A)\)라 하자. \(T\)를 프로유한 공간이라 하고 \(T \to \pi_0(X)\)를 연속 사상이라 하자. ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)가 존재하여, \(Y = \Spec(B)\)로 놓으면 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & \pi_0(Y) \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 은 위상공간의 범주에서 데카르트이고, \(\pi_0(X)\) 위의 공간으로서 \(\pi_0(Y) = T\)이다.

증명

즉, \(T = \lim T_i\)를 유향집합 위의 유한 이산 공간들의 역계의 극한으로 쓰자(Topology, Lemma 08ZY을 보라). 각 \(i\)에 대해 \(Z_i = \Im(T \to \pi_0(X) \times T_i)\)라 놓는다. 이는 닫힌 부분집합이다. \(X \times T_i\)는 \(A_i = \prod_{t \in T_i} A\)의 스펙트럼이고 \(A \to A_i\)는 국소 동형임을 관찰하라. Lemma 097C에 의해 \(Z_i \subset \pi_0(X \times T_i) = \pi_0(X) \times T_i\)는 ind-Zariski인 전사 \(A_i \to B_i\)에 대응하며, \(X \times T_i\)의 부분집합으로서 \(\Spec(B_i) = X \times_{\pi_0(X)} Z_i\)이다. 전이 사상 \(T_i \to T_{i'}\)는 사상 \(Z_i \to Z_{i'}\)와 \(X \times_{\pi_0(X)} Z_i \to X \times_{\pi_0(X)} Z_{i'}\)를 유도한다. 따라서 환 준동형 \(B_{i'} \to B_i\)를 유도한다 (Lemmas 096L 및 096T). \(B = \colim B_i\)로 놓자. \(T = \lim Z_i\)이므로 \(X \times_{\pi_0(X)} T = \lim X \times_{\pi_0(X)} Z_i\)이고, 따라서 \(Y = \Spec(B) = \lim \Spec(B_i)\)는 위상공간의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 에 들어맞는다. Lemma 096C에 의해 \(T = \pi_0(Y)\)이다.

예

\(k\)를 체라 하고 \(T\)를 프로유한 위상공간이라 하자. \(\Spec(A)\)가 \(T\)와 위상동형이 되도록 하는 ind-Zariski 환 준동형 \(k \to A\)가 존재한다. 실제로 Lemma 097D을 \(T \to \pi_0(\Spec(k)) = \{*\}\)에 적용하면 된다. 더욱이 이 경우, 각 \(T_i\)가 유한인 여과 극한 \(T = \lim T_i\)로 쓸 때마다 \[A = \colim \text{Map}(T_i, k)\] 이다.

보조정리

환 준동형 \(A \to B\)가 다음 조건들을 만족한다고 하자.

1. \(A \to B\)는 국소환들을 식별하고,

2. 위상공간 \(\Spec(B)\)와 \(\Spec(A)\)는 w-국소이며,

3. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)는 w-국소이고,

4. \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\)는 전단사이다.

그러면 \(A \to B\)는 동형이다.

증명

\(X_0 \subset X = \Spec(A)\)와 \(Y_0 \subset Y = \Spec(B)\)를 닫힌점들의 집합이라 하자. 가정에 의해 \(Y_0\)는 \(X_0\) 안으로 사상되고, 유도된 사상 \(Y_0 \to X_0\)는 전단사이다. 공간으로서 \(\Spec(A)\)는 닫힌점들에서의 \(A\)의 국소환들의 스펙트럼들의 서로소 합이다. \(B\)에 대해서도 마찬가지이다.

따라서 \(X \to Y\)는 전단사이다. \(A \to B\)는 평탄하므로 하강 정리가 성립한다 (Algebra, Lemma 00HS). 그러므로 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓이는 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대해 Algebra, Lemma 00EA는 \(B_\mathfrak q = B_\mathfrak p\)임을 보인다. 가정에 의해 \(B_\mathfrak q = A_\mathfrak p\)이므로 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해, 즉 \(A\)의 모든 소 아이디얼에 대해 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\)이다. 따라서 Algebra, Lemma 00HN에 의해 \(A = B\)이다.

보조정리

환 준동형 \(A \to B\)가 다음 조건들을 만족한다고 하자.

1. \(A \to B\)는 국소환들을 식별하고,

2. 위상공간 \(\Spec(B)\)와 \(\Spec(A)\)는 w-국소이며,

3. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)는 w-국소이다.

그러면 \(A \to B\)는 ind-Zariski이다.

증명

\(X = \Spec(A)\)와 \(Y = \Spec(B)\)로 놓자. \(X_0 \subset X\)와 \(Y_0 \subset Y\)를 닫힌점들의 집합이라 하자. \(A \to A'\)를 다음 성질을 갖는 아핀 스킴들의 ind-Zariski 사상이라 하자. 즉, \(X' = \Spec(A')\)로 놓았을 때 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & \pi_0(X') \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 이 위상공간의 범주에서 데카르트이고, \(\pi_0(X)\) 위의 공간으로서 \(\pi_0(X') = \pi_0(Y)\)이다. Lemma 097D을 보라. Lemma 096C에 의해 \(X'\)는 w-국소이고, 닫힌점들의 집합 \(X'_0 \subset X'\)는 \(X_0\)의 역상이다.

\(X\) 위에서 바탕 위상공간들의 연속 사상 \(Y \to X'\)를 얻으며, 이 사상은 \(\pi_0(Y)\)와 \(\pi_0(X')\)를 식별한다. Lemma 096L (및 Lemma 096T)에 의해 이는 \(X\) 위의 아핀 스킴 사상 \(Y \to X'\)에 대응한다. \(Y \to X\)가 \(Y_0\)를 \(X_0\) 안으로 보내므로 \(Y \to X'\)는 \(Y_0\)를 \(X'_0\) 안으로 보낸다. 즉 \(Y \to X'\)는 w-국소이다. Lemma 097E에 의해 \(Y \cong X'\)이고, 결론이 따른다.

다음 명제는 뒤에서 증명할 유형의 결과를 위한 준비이다.

명제

\(A \to B\)를 국소환들을 식별하는 환 준동형이라 하자. 그러면 충실 평탄 ind-Zariski 환 준동형 \(B \to B'\)가 존재하여 \(A \to B'\)는 ind-Zariski이다.

증명

\(A \to A_w\)와 \(B \to B_w\)를 각각 Lemma 0975에서 \(A\)와 \(B\)에 대해 구성한 충실 평탄 ind-Zariski 환 준동형이라 하자. \(\Spec(B_w)\)가 w-국소이므로 Lemma 0977에 의해 \(\Spec(B_w) \to \Spec(A_w)\)가 w-국소가 되도록 하는 유일한 분해 \(A \to A_w \to B_w\)가 존재한다. \(A_w \to B_w\)는 국소환들을 식별함에 유의하라. Lemma 096H을 보라. Lemma 097F에 의해 이는 \(A_w \to B_w\)가 ind-Zariski임을 뜻한다. \(B \to B_w\)는 충실 평탄 ind-Zariski이고 (Lemma 0975), 합성 \(A \to B \to B_w\)는 ind-Zariski이므로(Lemma 096Q) 명제가 증명되었다.

위 명제는 아핀 스킴의 pro-Zariski 사이트에서 아핀이며 약 수축 가능한 대상들을 특징지을 수 있게 한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 국소환들을 식별하는 모든 충실 평탄 환 준동형 \(A \to B\)는 퇴축을 갖는다.

2. 모든 충실 평탄 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)는 퇴축을 가지며,

3. \(A\)는 다음을 만족한다.

   1. \(\Spec(A)\)는 w-국소이고,

   2. \(\pi_0(\Spec(A))\)는 극단 비연결이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 Proposition 097G에서 즉시 따른다.

(3)(a)와 (3)(b)를 가정하자. \(A \to B\)가 충실 평탄이며 ind-Zariski라고 하자. 평탄 사상 \(A \to B\)가 충실 평탄일 필요충분조건은 \(\Spec(A)\)의 모든 닫힌점이 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 상에 속하는 것이라는 사실을 이후 언급 없이 사용하겠다. \(A \to B\)가 퇴축을 가짐을 보이겠다.

\(V(I) \subset \Spec(A)\)가 \(\Spec(A)\)의 닫힌점들의 집합이 되도록 하는 아이디얼 \(I \subset A\)를 잡자. \(B\)를 \(A \to B\)와 \(I \subset A\)에 대해 Lemma 097A에서 구성한 환 \(C\)로 대체할 수 있다. 따라서 \(\Spec(B)\)가 w-국소이고 \(\Spec(B)\)의 닫힌점들의 집합이 \(V(IB)\)라고 가정할 수 있다.

\(\Spec(B)\)가 w-국소이고 \(\Spec(B)\)의 닫힌점들의 집합이 \(V(IB)\)라고 가정하자. 전사 연속 사상 \(V(IB) \to V(I)\)의 연속 단면을 하나 택한다. \(V(I) \cong \pi_0(\Spec(A))\)가 극단 비연결이므로 이것이 가능하다. Topology, Proposition 08YN를 보라. 그 상은 닫힌 부분공간 \(T \subset \pi_0(\Spec(B)) \cong V(IB)\)이며, \(\pi_0(A)\) 위로 위상동형으로 사상된다.

\(B\)를 Lemma 097C에서 구성한 ind-Zariski 몫환으로 대체하면 \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\)가 전단사라고 가정할 수 있다. 이 시점에서 Lemma 097E에 의해 \(A \to B\)는 동형이다.

(1), 또는 동치인 (2)를 가정하자. \(A \to A_w\)를 Lemma 0975에서 구성한 환 준동형이라 하자. (1)에 의해 퇴축 \(A_w \to A\)가 존재한다. 따라서 \(\Spec(A)\)는 \(\Spec(A_w)\)의 닫힌 부분집합과 위상동형이다. Lemma 096B에 의해 (3)(a)가 성립한다. 마지막으로 \(T\)가 극단 비연결이고 준콤팩트한 Hausdorff 위상공간인 전사 사상 \(T \to \pi_0(A)\)를 잡자

(Topology, Lemma 090D). \(T \to \pi_0(\Spec(A))\)에 맞추어 Lemma 097D의 \(A \to B\)를 택한다. (1)에 의해 퇴축 \(B \to A\)가 존재한다. 따라서 \(T = \pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\)는 단면을 갖는다. Topology, Proposition 08YN를 사용하는 형식적 범주론 논증에 의해 \(\pi_0(\Spec(A))\)는 극단 비연결이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. Lemma 09AZ의 동치 조건들을 \(B\)가 만족하도록 하는 충실 평탄 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)가 존재한다.

증명

먼저 Lemma 0975을 적용하여 \(\Spec(A)\)가 w-국소라고 가정할 수 있다. 극단 비연결 공간 \(T\)와 전사 연속 사상 \(T \to \pi_0(\Spec(A))\)를 택한다. Topology, Lemma 090D을 보라. \(T\)는 프로유한임에 유의하라. Lemma 097D을 적용하여 \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\)가 \(T \to \pi_0(\Spec(A))\)를 실현하고 도식 \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(\Spec(B)) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \pi_0(\Spec(A)) }\] 이 위상공간의 범주에서 데카르트가 되도록 하는 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to B\)를 찾는다. \(\Spec(B)\)가 w-국소이고, \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 w-국소이며, \(\Spec(B)\)의 닫힌점들의 집합은 \(\Spec(A)\)의 닫힌점들의 집합의 역상임에 유의하라. Lemma 096C을 보라. 따라서 Lemma 09AZ의 조건 (3)이 \(B\)에 대해 성립한다.

주

Lemmas 097C, 097D, Proposition 097G, 그리고 Lemma 09B0 각각에서 몇 가지 성질을 갖는 ind-Zariski 환 준동형을 찾았다. 논문 [BS]에서 저자들은 주 국소화들의 유한 곱들의 여과 쌍대극한인 ind-(Zariski localization) 개념을 사용한다. 위에 열거한 각 결과에서 ind-Zariski를 ind-(Zariski localization)으로 바꿀 수 있다. 그러나 여기서는 이것이 필요하지 않고, 이 장에서 정의한 ind-Zariski 환 준동형의 개념은 형식적으로 조금 더 나은 성질을 갖는다. 더욱이 ind-Zariski 환 준동형의 개념은 다음 절에서 정의할 ind-étale 환 준동형 개념의 자연스러운 유사물이다.

Ind-étale 대수

먼저 정의부터 시작한다.

정의

환 준동형 \(A \to B\)에 대해 \(B\)를 étale \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한으로 쓸 수 있으면 이를 ind-étale이라고 한다.

ind-étale 대수들의 범주는 여러 자연스러운 연산에 대해 닫혀 있다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(A \to A'\)를 환 준동형이라 하자. \(B' = B \otimes_A A'\)를 \(B\)의 기저변환이라 하자. \(A \to B\)가 ind-étale이면 \(A' \to B'\)도 ind-étale이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0BSH이다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(B \to C\)를 환 준동형이라 하자. \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 ind-étale이면 \(A \to C\)도 ind-étale이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0BSI이다.

보조정리

ind-étale \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한은 \(A\) 위에서 ind-étale이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0BSJ이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(B \to C\)를 ind-étale \(A\)-대수들 사이의 \(A\)-대수 준동형이라 하자. 그러면 \(C\)는 ind-étale \(B\)-대수이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 08HS이다.

보조정리

\(A \to B\)가 ind-étale이라고 하자. 그러면 \(A \to B\)는 약 에탈이다 (More on Algebra, Definition 092B).

증명

이는 More on Algebra, Lemma 092N에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 기저변환 함자 \[\text{ind-\'etale }A\text{-algebras} \longrightarrow \text{ind-\'etale }A/I\text{-algebras},\quad C \longmapsto C/IC\] 는 완전 충실한 오른쪽 수반함자 \(v\)를 갖는다. 특히 ind-étale \(A/I\)-대수 \(\overline{C}\)가 주어지면 \(\overline{C} = C/IC\)가 되도록 하는 ind-étale \(A\)-대수 \(C = v(\overline{C})\)가 존재한다.

증명

\(\overline{C}\)를 ind-étale \(A/I\)-대수라 하자. \(A \to B\)가 étale인 분해 \(A \to B \to \overline{C}\)들의 범주를 \(\mathcal{C}\)라 하자. (이 증명에서는 몇 가지 집합론적 문제를 무시한다.) 이 범주가 유향이고 \(C = \colim_\mathcal{C} B\)가 \(\overline{C} = C/IC\)를 만족하는 ind-étale \(A\)-대수임을 보이겠다.

먼저 \(\mathcal{C}\)가 유향임을 증명한다 (Categories, Definition 002V). \(A \to A \to \overline{C}\)가 대상이므로 이 범주는 공집합이 아니다. \(A \to B \to \overline{C}\)와 \(A \to B' \to \overline{C}\)가 \(\mathcal{C}\)의 두 대상이라고 하자. 그러면 \(A \to B \otimes_A B' \to \overline{C}\)도 대상이다 (Algebra, Lemma 00U2을 사용한다). \(f, g : B \to B'\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(A \to B \to \overline{C}\)와 \(A \to B' \to \overline{C}\) 사이의 두 사상이라고 하자. 그러면 쌍대등화자 하나는 \(A \to B' \otimes_{f, B, g} B' \to \overline{C}\)이다. 이는 Algebra, Lemmas 00U2와 00U7에 의해 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. 따라서 범주 \(\mathcal{C}\)는 유향이다.

\(\overline{C} = \colim \overline{B_i}\)를 \(\overline{B_i}\)가 \(A/I\) 위에서 étale인 여과 쌍대극한으로 쓰자. 각 \(i\)에 대해 \(\overline{B_i} = B_i/IB_i\)가 되는 étale 준동형 \(A \to B_i\)가 존재한다. Algebra, Lemma 04D1을 보라. 따라서 \(C \to \overline{C}\)는 전사이다. \(C/IC \to \overline{C}\)는 ind-étale이므로 (Lemma 097M) 평탄하다. 따라서 \(\overline{C}\)는 어떤 곱셈적 부분집합 \(S \subset C/IC\)에 의한 \(C/IC\)의 국소화이다 (Algebra, Lemma 04PS). \(S \subset C/IC\)의 한 원소로 사상되는 \(f \in C\)를 잡자. \(\mathcal{C}\)의 \(A \to B \to \overline{C}\)와, 쌍대극한에서 \(f\)로 사상되는 \(g \in B\)를 택한다. 그러면 \(A \to B_g \to \overline{C}\)도 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. 따라서 \(f\)는 \(C\)의 가역원이다. 그러므로 \(C/IC = \overline{C}\)이다.

다음으로, \(A\) 위의 ind-étale 대수 \(D\)에 대해 \[\Mor_A(D, C) = \Mor_{A/I}(D/ID, \overline{C})\] 임을 주장한다. 실제로 \(D/ID \to \overline{C}\)를 \(A/I\)-대수 준동형이라 하자. \(D_i\)가 \(A\) 위에서 étale인 유향집합 \(I\) 위의 쌍대극한으로 \(D = \colim_{i \in I} D_i\)를 쓰자. \(\mathcal{C}\)의 선택에 의해 사상 \(I \to \mathcal{C}\)를 얻고, 따라서 \(\overline{C}\)로 가는 사상들과 양립하는 사상 \(D \to C\)를 얻는다. 이로써 주장이 증명된다.

따라서 다음 규칙으로 정의되는 함자 \(v\) \[\overline{C} \longmapsto v(\overline{C}) = \colim_{A \to B \to \overline{C}} B\] 는 보조정리에서 요구한 대로 기저변환 함자 \(u\)의 오른쪽 수반이다. 구성에 의해 \(u \circ v = \text{id}\)이므로 함자 \(v\)는 완전 충실하다. Categories, Lemma 07RB을 보라.

Ind-étale 대수의 구성

\(A\)를 환이라 하자. 임의의 étale 환 준동형 \(A \to B\)는 상대 차원 \(0\)인 표준 매끄러운 환 준동형과 동형임을 상기하라. 이러한 환 준동형은 다음 꼴이다. \[A \longrightarrow A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] 여기서 성분이 \(\partial f_i/\partial x_j\)인 \(n \times n\) 행렬의 행렬식은 몫환에서 가역이다. Algebra, Lemma 00U9를 보라.

\(S(A)\)를 상대 차원 \(0\)인 모든 충실 평탄 ¹ 표준 매끄러운 \(A\)-대수들의 집합이라 하자. \(I(A)\)를 \(S(A)\)의 유한 부분집합 \(E\)들의, 포함관계로 순서가 주어진 부분순서집합이라 하자. \(I(A)\)는 유향 부분순서집합임에 유의하라. \(E = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_n\}\)에 대해 \[B_E = B_1 \otimes_A \ldots \otimes_A B_n\] 로 놓자. \(B_E\)는 충실 평탄 étale \(A\)-대수임을 관찰하라. \(E \subset E'\)이면 étale \(A\)-대수들의 표준 전이 사상 \(B_E \to B_{E'}\)가 존재한다. 구체적으로 \(E = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_n\}\)이고 \(E' = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_{n + m}\}\)라고 하면, \(B_E \to B_{E'}\)는 \(b_1 \otimes \ldots \otimes b_n\)을 \(B_{E'}\)의 원소 \(b_1 \otimes \ldots \otimes b_n \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1\)로 보낸다. 이 구성은 \(I(A)\) 위의 충실 평탄 étale \(A\)-대수들의 계를 정의하며, 다음과 같이 놓는다. \[T(A) = \colim_{E \in I(A)} B_E\] \(T(A)\)는 충실 평탄 ind-étale \(A\)-대수임을 관찰하라 (Algebra, Lemma 090N). 구성에 의해, 임의의 충실 평탄 étale \(A\)-대수 \(B\)가 주어지면 (유일할 필요는 없는) \(A\)-대수 준동형 \(B \to T(A)\)가 존재한다. 실제로 어떤 \((A \to B_0) \in S(A)\)와 동형 \(B \cong B_0\)를 택한다. 그러면 표준 구조 사상 \[B \to B_0 \to T(A) = \colim_{E \in I(A)} B_E\] 이 원하는 사상이다.

보조정리

환 \(A\)가 주어지면, 모든 충실 평탄 étale 환 준동형 \(C \to B\)가 퇴축을 갖도록 하는 충실 평탄 ind-étale \(A\)-대수 \(C\)가 존재한다.

증명

\(T^1(A) = T(A)\) 및 \(T^{n + 1}(A) = T(T^n(A))\)로 놓고, \[C = \colim T^n(A)\] 로 놓자. 이 대수는 각 \(T^n(A)\) 위에서, 특히 \(A\) 위에서 충실 평탄이다. Algebra, Lemma 090N을 보라. 또한 Lemma 097L에 의해 \(C\)는 \(A\) 위에서 ind-étale이다. \(C \to B\)가 étale이면 어떤 \(n\)과 étale 환 준동형 \(T^n(A) \to B'\)가 존재하여 \(B = C \otimes_{T^n(A)} B'\)이다. Algebra, Lemma 00U2을 보라. \(C \to B\)가 충실 평탄이면 \(\Spec(B) \to \Spec(C) \to \Spec(T^n(A))\)는 전사이므로 \(\Spec(B') \to \Spec(T^n(A))\)도 전사이다. 달리 말해 \(T^n(A) \to B'\)는 충실 평탄이다. 우리의 구성에 의해 \(T^n(A)\)-대수 준동형 \(B' \to T^{n + 1}(A)\)가 존재한다. 이는 \(C\)-대수 준동형 \(B \to C\)를 유도하며, 증명이 끝난다.

주

\(A\)를 환이라 하자. \(\kappa\)를 \(A\)의 기수보다 크거나 같은 무한 기수라 하자. 그러면 \(T(A)\)의 기수는 많아야 \(\kappa\)이다. 실제로 각 \(B_E\)의 기수는 많아야 \(\kappa\)이고 지표집합 \(I(A)\)의 기수도 많아야 \(\kappa\)이다. 따라서 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)이므로 결론이 따른다. Sets, Section 000D를 보라. 따라서 Lemma 097R의 증명에서 구성한 환의 기수도 많아야 \(\kappa\)이다.

주

구성 \(A \mapsto T(A)\)는 다음 의미에서 함자적이다. \(A \to A'\)가 환 준동형이면 가환 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & T(A) \ar[d] \\ A' \ar[r] & T(A') }\] 을 구성할 수 있다. 실제로 \(S(A)\)의 원소 \((A \to A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n))\)이 주어지면, 환 준동형 \(\varphi : A \to A'\)를 사용하여 \(S(A')\)의 대응하는 원소 \((A' \to A'[x_1, \ldots, x_n]/(f^\varphi_1, \ldots, f^\varphi_n))\)를 얻을 수 있다. 여기서 \(f^\varphi\)는 다항식 \(f\)의 계수들에 \(\varphi\)를 적용하여 얻은 다항식을 뜻한다. 또한 환의 범주에서 가환 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n) \ar[d] \\ A' \ar[r] & A'[x_1, \ldots, x_n]/(f^\varphi_1, \ldots, f^\varphi_n) }\] 이 있다. 유한한 \(E \subset S(A)\)에 대해 \(E' = \varphi(E)\)로 놓고 \(B_E \to B_{E'}\)를 자명한 방식으로 정의한다. 쌍대극한을 취하면 원하는 사상 \(T(A) \to T(A')\)를 얻는다. Categories, Lemma 002K을 보라.

보조정리

모든 충실 평탄 étale 환 준동형 \(A \to B\)가 퇴축을 갖는 환을 \(A\)라 하자. 그러면 모든 몫환 \(A/I\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

\(A/I \to \overline{B}\)가 충실 평탄 étale이라고 하자. Algebra, Lemma 04D1에 의해 어떤 étale 환 준동형 \(A \to B\)에 대해 \(\overline{B} = B/IB\)로 쓸 수 있다. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 상 \(U\)는 열려 있고 \(V(I)\)를 포함한다. 따라서 여집합 \(Z = \Spec(A) \setminus U\)는 준콤팩트이며 \(V(I)\)와 서로소이다. 그러므로 어떤 \(r \geq 0\)와 \(f_i \in I\)에 대해 \(Z \subset D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\)이다. 이때 \(A \to B' = B \times \prod A_{f_i}\)는 충실 평탄 étale이고 \(\overline{B} = B'/IB'\)이다.

따라서 \(A \to B'\)의 퇴축 \(B' \to A\)는 \(A/I \to \overline{B}\)의 퇴축을 유도한다.

보조정리

모든 충실 평탄 étale 환 준동형 \(A \to B\)가 퇴축을 갖는 환을 \(A\)라 하자. 그러면 \(A\)의 극대 아이디얼들에서의 모든 국소환은 강 Hensel이다.

증명

\(\mathfrak m\)을 \(A\)의 극대 아이디얼이라 하자. \(A \to B\)를 étale 환 준동형이라 하고, \(\mathfrak q \subset B\)를 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 소 아이디얼이라 하자. Algebra, Lemma 04GW에 주어진 강 Hensel화 \(A_\mathfrak m^{sh}\)의 기술에 의해 \(A_\mathfrak m = B_\mathfrak q\)임을 보이면 충분하다. \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 소 아이디얼은 유한 개이며 \(\mathfrak q = \mathfrak q_1, \mathfrak q_2, \ldots, \mathfrak q_n\)으로 쓸 수 있음을 유의하라. étale 환 준동형은 준유한이므로 이들 사이에는 특수화가 없다. Algebra, Lemma 00U5을 보라. 따라서 \(\mathfrak q_i\)는 극대 아이디얼이고, \(g \in \mathfrak q_2 \cap \ldots \cap \mathfrak q_n\), \(g \not \in \mathfrak q\)인 원소를 찾을 수 있다 (Algebra, Lemma 00DS). \(B\)를 \(B_g\)로 대체하면 \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 \(B\)의 유일한 소 아이디얼이 된다. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 상 \(U \subset \Spec(A)\)는 열려 있다 (Algebra, Proposition 00I1). 따라서 여집합 \(\Spec(A) \setminus U\)는 닫혀 있고,

\(\Spec(A) = U \cup D(f)\)가 되는 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)를 찾을 수 있다. 환 준동형 \(A \to B \times A_f\)는 충실 평탄 étale이므로, \(A\)에 대한 가정에 의해 퇴축 \(\sigma : B \times A_f \to A\)를 갖는다. \(\sigma\)는 étale \(A\)-대수들 사이의 사상이므로 étale이고, 따라서 평탄임을 관찰하라 (Algebra, Lemma 00U7). \(\mathfrak q\)는 \(A\) 위에 놓이는 \(B \times A_f\)의 유일한 소 아이디얼이므로 \(A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q\)는 평탄이기도 한 퇴축을 가짐을 얻는다. 따라서 \(A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\)는 합성이 항등인 평탄 국소환 준동형들이다. 국소환들의 평탄 국소 준동형은 단사이므로, 원하는 대로 이 사상들은 동형이다.

보조정리

모든 충실 평탄 étale 환 준동형 \(A \to B\)가 퇴축을 갖는 환을 \(A\)라 하자. \(Z \subset \Spec(A)\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(A \to A_Z^\sim\)를 Lemma 096V에서 구성한 것이라 하자. 그러면 모든 충실 평탄 étale 환 준동형 \(A_Z^\sim \to C\)는 퇴축을 갖는다.

증명

\(A_Z^\sim\)-대수로서 \(C = B' \otimes_A A_Z^\sim\)이 되도록 하는 étale 환 준동형 \(A \to B'\)가 존재한다.

\(\Spec(B') \to \Spec(A)\)의 상 \(U' \subset \Spec(A)\)는 열려 있고 \(V(I)\)를 포함하므로, \(\Spec(A) = U' \cup D(f)\)가 되는 \(f \in I\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(A \to B' \times A_f\)는 étale이고 충실 평탄이다. 가정에 의해 퇴축 \(B' \times A_f \to A\)가 존재한다. 국소화하면 원하는 퇴축 \(C \to A_Z^\sim\)를 얻는다.

보조정리

\(A \to B\)를 잉여체들의 대수적 확대를 유도하는 환 준동형이라 하자. 다음 성질들을 갖는 가환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ B \ar[r] & D \\ A \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\]

1. \(A \to C\)는 충실 평탄 ind-étale이고,

2. \(B \to D\)는 충실 평탄 ind-étale이며,

3. \(\Spec(C)\)는 w-국소이고,

4. \(\Spec(D)\)는 w-국소이며,

5. \(\Spec(D) \to \Spec(C)\)는 w-국소이고,

6. \(\Spec(D)\)의 닫힌점들의 집합은 \(\Spec(C)\)의 닫힌점들의 집합의 역상이며,

7. \(\Spec(C)\)의 닫힌점들의 집합은 \(\Spec(A)\) 위로 전사하고,

8. \(\Spec(D)\)의 닫힌점들의 집합은 \(\Spec(B)\) 위로 전사하며,

9. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset C\)에 대해 국소환 \(C_\mathfrak m\)은 강 Hensel이다.

증명

\(\Spec(A')\)가 w-국소이고 \(\Spec(A')\)의 닫힌점들의 집합이 \(\Spec(A)\) 위로 사상되도록 하는 충실 평탄 ind-Zariski 환 준동형 \(A \to A'\)가 존재한다. Lemma 0975을 보라. \(V(I)\)가 \(\Spec(A')\)의 닫힌점들의 집합이 되도록 하는 아이디얼을 \(I \subset A'\)라 하자. Lemma 097R에서와 같이 \(A' \to C'\)를 택한다. Lemma 097V에 의해 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset C'\)에서의 국소환 \(C'_{\mathfrak m'}\)는 강 Hensel임에 유의하라. Lemma 097A를 \(A' \to C'\)와 \(I \subset A'\)에 적용하여 \(C'/IC' \cong C/IC\)인 \(C' \to C\)를 얻는다. \(A' \to C'\)가 충실 평탄이므로 \(\Spec(C'/IC')\)는 \(A'\)의 닫힌점들의 집합 위로, 특히 \(\Spec(A)\) 위로 전사함에 유의하라. 또한 \(V(IC) \subset \Spec(C)\)는 \(C\)의 닫힌점들의 집합이고 \(C' \to C\)는 ind-Zariski이므로(또한 국소환들을 식별하므로) 성질 (1), (3), (7), (9)를 얻는다.

\(V(J)\)가 \(\Spec(C)\)의 닫힌점들의 집합이 되도록 하는 아이디얼을 \(J \subset C\)라 하자. \(D' = B \otimes_A C\)로 놓자. 환 준동형 \(C \to D'\)는 잉여체들의 대수적 확대를 유도한다. \(V(J) \to \Spec(A)\)가 전사이므로 사상 \(T = V(JD') \to \Spec(B)\)도 전사임을 기억하라. Lemma 097A를 \(C \to D'\)와 \(J \subset C\)에 적용하여 \(D'/JD' \cong D/JD\)인 \(D' \to D\)를 얻는다. 보조정리에 주어진 나머지 모든 성질은 Lemma 097A의 결과에서 즉시 따른다.

약 에탈과 pro-étale의 비교

환 준동형 \(A \to B\)가 평탄이고 \(B \otimes_A B \to B\)도 평탄이면 \(A \to B\)를 약 에탈이라고 함을 상기하라. 이러한 환 준동형들의 몇 가지 성질을 More on Algebra, Section 092A에서 증명했다. 특히 \(A \to B\)가 국소 준동형이고 \(A\)가 강 Hensel 국소환이면 \(A = B\)이다. More on Algebra, Theorem 092Z을 보라.

이 정리와 위에서 한 작업을 사용하여 약 에탈 환 준동형들에 대한 다음 구조 정리를 얻는다.

명제

\(A \to B\)를 약 에탈 환 준동형이라 하자. 그러면 충실 평탄 ind-étale 환 준동형 \(B \to B'\)가 존재하여 \(A \to B'\)는 ind-étale이다.

증명

환 준동형 \(A \to B\)는 잉여체들의 (분리) 대수적 확대를 유도한다. More on Algebra, Lemma 092R를 보라. 따라서 Lemma 097X를 적용하여 그 보조정리에 열거된 성질들을 갖는 도식 \[\xymatrix{ B \ar[r] & D \\ A \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] 을 택할 수 있다. \(C \to D\)는 More on Algebra, Lemma 092L에 의해 약 에탈임을 유의하라. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset D\)를 택한다. 구성에 의해 이는 어떤 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset C\) 위에 놓인다. More on Algebra, Theorem 092Z에 의해 환 준동형 \(C_{\mathfrak m'} \to D_\mathfrak m\)은 동형이다. \(\Spec(C)\)의 모든 점은 닫힌점으로 특수화되므로 \(C \to D\)는 국소환들을 식별한다. 따라서 Proposition 097G을 \(C \to D\)에 적용할 수 있다. \(C \to D'\)가 ind-Zariski가 되도록 하는 충실 평탄 ind-Zariski 사상 \(D \to D'\)를 택한다. 그러면 \(B \to D'\)가 명제의 문제에 대한 해이다.

V 위상과 pro-h 위상

V 위상은 Topologies, Section 0ETA에서 도입되었다. h 위상은 More on Flatness, Section 0ETQ에서 도입되었다. 일종의 중간 위상인 ph 위상은 Topologies, Section 0DBC에서 도입되었다.

스킴들의 적절한 범주 \(\mathcal{C}\) 위의 위상 \(\tau\)가 주어지면, \(\mathcal{C}\) 위의 “pro-\(\tau\) 위상”을 다음과 같이 도입할 수 있다. \(\mathcal{C}\)의 \(X\)에 대해 \(X\)에 대응하는 표현 가능 준층을 \(h_X\)로 나타냄을 상기하라. 잠시 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(X \to Y\)를 \(\tau\)-덮개라고 하자². 이는 \(h_X \to h_Y\)의 \(\tau\)-층화가 전사라는 뜻이다. 이제 pro-\(\tau\) 위상을 다음 조건들을 만족하는 가장 엉성한 위상으로 정의할 수 있다.

1. pro-\(\tau\) 위상은 \(\tau\) 위상보다 더 섬세하고,

2. \(Y\)가 아핀이며 \(X = \lim X_\lambda\)가 \(Y\) 위의 아핀 스킴 \(X_\lambda\)들의 유향 극한이고, 모든 \(\lambda\)에 대해 \(h_{X_\lambda} \to h_Y\)가 \(\tau\)-덮개이면 \(X \to Y\)는 pro-\(\tau\)-덮개이다.

이렇게 다소 장황하게 공식화하는 이유는 pro-\(\tau\) 덮음들의 한 선택을 지정하고 싶지 않기 때문이다. 서로 다른 \(\tau\)에는 서로 다른 덮음 모음의 선택이 적절하다. 예를 들어 Section 0988에서 pro-étale 위상을 정의할 때 어떤 유한성 성질을 갖는 약 에탈 사상들의 족들을 살펴보는 것이 잘 작동함을 보게 된다. 더 일반적으로 이 문단에서 제안한 구성은 주로 이 절의 결과들에 동기를 부여하기 위한 것이며, 우리는 이 방법으로 pro-\(\tau\) 위상을 암묵적으로 정의하지 않을 것이다.

다음 보조정리는 pro-V 위상이 V 위상과 같음을 말한다.

보조정리

\(Y\)를 아핀 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 \(Y\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{X \to Y\}\)는 표준 V 덮음이고 (Topologies, Definition 0ETB),

2. 모든 \(i\)에 대해 \(\{X_i \to Y\}\)는 표준 V 덮음이다.

증명

한 원소족 \(\{X \to Y\}\)가 표준 V 덮음일 필요충분조건은, 사상 \(g : \Spec(V) \to Y\)가 주어질 때마다 값매김환의 확대 \(V \subset W\)와 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r]^g & Y }\] 이 존재하는 것이다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 정의에서 즉시 따른다. 역으로 (2)를 가정하고 위와 같은 \(g : \Spec(V) \to Y\)가 주어졌다고 하자. \(\Spec(V) \times_Y X_i = \Spec(A_i)\)로 쓰자. \(\{X_i \to Y\}\)가 표준 V 덮음이므로, 합성 \(V \to A_i \to W_i\)가 값매김환의 확대가 되도록 하는 값매김환 \(W_i\)와 환 준동형 \(A_i \to W_i\)를 택할 수 있다. 특히 \(A_i\)를 그 \(V\)-꼬임으로 나눈 몫 \(A'_i\)는 충실 평탄 \(V\)-대수이다.

평탄성은 More on Algebra, Lemma 0539에서 따르고, 스펙트럼에서의 전사성은 \(A_i \to W_i\)가 \(A'_i\)를 통해 분해되는 사실에서 따른다. 따라서 \[A = \colim A'_i\] 는 충실 평탄 \(V\)-대수이다 (Algebra, Lemma 090N). \(\{\Spec(A) \to \Spec(V)\}\)는 표준 fpqc 덮음이므로 표준 V 덮음이다 (Topologies, Lemma 0ETC). 따라서 \(V \to W\)가 값매김환의 확대가 되도록 하는 \(\Spec(W) \to \Spec(A)\)를 택할 수 있다. 이를 사상 \(\Spec(A) \to X = \Spec(\colim A_i)\)와 합성할 수 있으므로 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 대략 pro-h 위상, pro-ph 위상, V 위상이 서로 같음을 말한다.

보조정리

\(X \to Y\)를 아핀 스킴들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{X \to Y\}\)는 표준 V 덮음이고 (Topologies, Definition 0ETB),

2. \(X = \lim X_i\)는 \(Y\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이며 각 \(i\)에 대해 \(\{X_i \to Y\}\)는 ph 덮음이고,

3. \(X = \lim X_i\)는 \(Y\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이며 각 \(i\)에 대해 \(\{X_i \to Y\}\)는 h 덮음이다.

증명

(2) \(\Rightarrow\) (1)을 증명하자. 아핀들 사이의 한 화살표로 주어진 V 덮음은 표준 V 덮음임을 상기하라. Topologies, Definition 0ETH 및 Lemma 0ETG를 보라. 임의의 ph 덮음은 V 덮음임을 상기하라. Topologies, Lemma 0ETK를 보라. 따라서 (2)에서처럼 \(X = \lim X_i\)이면 각 \(i\)에 대해 \(\{X_i \to Y\}\)는 표준 V 덮음이다. 그러므로 Lemma 0EVN에 의해 (1)이 성립한다.

(3) \(\Rightarrow\) (2)를 증명하자. h 덮음은 항상 ph 덮음이므로 명백하다. More on Flatness, Definition 0ETS을 보라.

(1) \(\Rightarrow\) (3)을 증명하자. 이것이 흥미로운 방향이지만, 이 증명의 흥미로운 내용은 More on Flatness, Lemma 0ETR에 숨어 있다. \(X = \Spec(A)\)와 \(Y = \Spec(R)\)로 쓰자. Algebra, Lemma 00QN에 의해 \(A_i\)가 \(R\) 위에서 유한 표시인 \(A = \colim A_i\)로 쓸 수 있다. \(X_i = \Spec(A_i)\)로 놓자. (1)과 Topologies, Lemma 0ETG에 의해 모든 \(i\)에 대해 \(\{X_i \to Y\}\)는 표준 V 덮음이다. 따라서 More on Flatness, Definition 0ETS에 의해 \(\{X_i \to Y\}\)는 h 덮음이다. 이로써 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 대략 말해 극한을 보존하는 h-층이 V 덮음들에 대한 층 조건을 만족함을 말한다. Remark 0EVR과도 비교하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(F\)를 \(S\) 위의 모든 스킴들의 범주에 정의된 반변 함자라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(F\)는 h 위상에 대한 층 성질을 만족하고,

2. \(F\)는 극한을 보존한다 (Limits, Remark 05LX).

그러면 \(F\)는 V 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

증명

Topologies, Lemma 0ETM의 (1)과 (2’)를 확인하여 이를 증명하겠다. Zariski 덮음들에 대한 층 성질은 \(F\)가 모든 h 덮음들에 대한 층 성질을 갖는다는 사실에서 따른다. 마지막으로 \(X \to Y\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 사상이라 하고 \(\{X \to Y\}\)가 V 덮음이라고 하자. Lemma 0EVP에 의해 \(X = \lim X_i\)를 \(Y\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한으로 쓸 수 있으며, 각 \(i\)에 대해 \(\{X_i \to Y\}\)는 h 덮음이다. 다음을 얻는다. \[\begin{align*} & \text{쌍대등화자}( \xymatrix{ F(X) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(X \times_Y X) } ) \\ & = \text{쌍대등화자}( \xymatrix{ \colim F(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim F(X_i \times_Y X_i) } ) \\ & = \colim \text{쌍대등화자}( \xymatrix{ F(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(X_i \times_Y X_i) } ) \\ & = \colim F(Y) = F(Y) \end{align*}\] 이는 원하는 바이다. 첫 번째 등식은 \(F\)가 극한을 보존하고 \(X = \lim X_i\) 및 \(X \times_Y X = \lim X_i \times_Y X_i\)이기 때문이다. 두 번째 등식은 여과 쌍대극한이 완전하기 때문이다. 세 번째 등식은 \(F\)가 h 덮음들에 대한 층 성질을 만족하기 때문이다.

주

\(S\)를 큰 사이트 \(\Sch_h\)에 들어 있는 스킴이라 하자. \(F\)를 \((\Sch/S)_h\) 위의 집합의 층이라 하고, \((\Sch/S)_h\) 안의 아핀 스킴들의 유향 극한 \(T = \lim T_i\)마다 \(F(T) = \colim F(T_i)\)라고 하자. 이 상황에서 \(F\)는 \(S\) 위의 모든 스킴들의 범주 위의 반변 함자 \(F'\)로 유일하게 확대되며, (a) \(F'\)는 h 위상에 대한 층 성질을 만족하고 (b) \(F'\)는 극한을 보존한다. More on Flatness, Lemma 0EV3를 보라. 이때 Lemma 0EVQ은 \(F'\)가 V 위상에 대한 층 성질을 만족함을 말한다.

w-수축 가능 덮개의 구성

이 절에서는 아핀 스킴들의 w-수축 가능 덮개를 구성한다.

정의

\(A\)를 환이라 하자. 모든 충실 평탄 약 에탈 환 준동형 \(A \to B\)가 퇴축을 가지면 \(A\)를 w-수축 가능이라고 한다.

Proposition 097Z에 의해, 모든 충실 평탄 ind-étale 환 준동형 \(A \to B\)가 퇴축을 갖도록 요구하는 것이 동치인 정의임을 언급해 둔다. 다음은 w-수축 가능 환들을 구성할 수 있게 하는 핵심 관찰이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(A\)는 w-수축 가능이고,

2. 모든 충실 평탄 ind-étale 환 준동형 \(A \to B\)는 퇴축을 가지며,

3. \(A\)는 다음을 만족한다.

   1. \(\Spec(A)\)는 w-국소이고,

   2. \(\pi_0(\Spec(A))\)는 극단 비연결이며,

   3. 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A\)에 대해 국소환 \(A_\mathfrak m\)은 강 Hensel이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 Proposition 097Z에서 즉시 따른다.

(3)(a), (3)(b), (3)(c)를 가정하자. \(A \to B\)가 충실 평탄이고 ind-étale이라고 하자. 평탄 사상 \(A \to B\)가 충실 평탄일 필요충분조건은 \(\Spec(A)\)의 모든 닫힌점이 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 상에 속하는 것이라는 사실을 이후 언급 없이 사용하겠다. \(A \to B\)가 퇴축을 가짐을 보이겠다.

\(V(I) \subset \Spec(A)\)가 \(\Spec(A)\)의 닫힌점들의 집합이 되도록 하는 아이디얼을 \(I \subset A\)라 하자. \(B\)를 \(A \to B\)와 \(I \subset A\)에 대해 Lemma 097A에서 구성한 환 \(C\)로 대체할 수 있다. 따라서 \(\Spec(B)\)가 w-국소이고 \(\Spec(B)\)의 닫힌점들의 집합이 \(V(IB)\)라고 가정할 수 있다. 이 경우 극대 아이디얼들에서 확인하면 충분하므로 조건 (3)(c)에 의해 \(A \to B\)는 국소환들을 식별한다. 여기서 \(B\)의 극대 아이디얼은 \(A\)의 극대 아이디얼 위에 놓인다. 따라서 Lemma 09AZ에 의해 \(A \to B\)는 퇴축을 갖는다.

(1), 또는 동치인 (2)를 가정하자. Lemma 097V에 의해 (3)(c)를 얻는다. 성질 (3)(a)와 (3)(b)는 Lemma 09AZ에서 따른다.

명제

모든 환 \(A\)에 대해 \(D\)가 w-수축 가능이 되도록 하는 충실 평탄 ind-étale 환 준동형 \(A \to D\)가 존재한다.

증명

Lemma 097X를 \(\text{id}_A : A \to A\)에 적용하면, \(C\)가 w-국소이고 \(C\)의 극대 아이디얼들에서의 모든 국소환이 강 Hensel이 되도록 하는 충실 평탄 ind-étale 환 준동형 \(A \to C\)를 얻는다. 극단 비연결 공간 \(T\)와 전사 연속 사상 \(T \to \pi_0(\Spec(C))\)를 택한다. Topology, Lemma 090D을 보라. \(T\)는 프로유한임에 유의하라. Lemma 097D을 적용하여 \(\pi_0(\Spec(D)) \to \pi_0(\Spec(C))\)가 \(T \to \pi_0(\Spec(C))\)를 실현하고 도식 \[\xymatrix{ \Spec(D) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(\Spec(D)) \ar[d] \\ \Spec(C) \ar[r] & \pi_0(\Spec(C)) }\] 이 위상공간의 범주에서 데카르트가 되도록 하는 ind-Zariski 환 준동형 \(C \to D\)를 찾는다. \(\Spec(D)\)가 w-국소이고, \(\Spec(D) \to \Spec(C)\)가 w-국소이며, \(\Spec(D)\)의 닫힌점들의 집합은 \(\Spec(C)\)의 닫힌점들의 집합의 역상임에 유의하라. Lemma 096C을 보라. 따라서 \(D\)의 극대 아이디얼들에서의 국소환들은 여전히 강 Hensel이다(대응하는 \(C\)의 극대 아이디얼들에서의 국소환들과 동형이기 때문이다). Lemma 0982에 의해 \(D\)는 w-수축 가능이다.

주

\(A\)를 환이라 하자. \(\kappa\)를 \(A\)의 기수보다 크거나 같은 무한 기수라 하자. 그러면 Proposition 0983에서 구성한 환 \(D\)의 기수는 많아야 \[\kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}.\] 이다. 실제로 환 준동형 \(A \to D\)는 합성 \[A \to A_w = A' \to C' \to C \to D.\] 으로 구성된다. 여기서 구성의 처음 세 단계는 Lemma 097X 증명의 첫 문단에서 수행된다. 첫 단계에 대해서는 Remark 0976에 의해 \(|A_w| \leq \kappa\)이다. Remark 097S에 의해 \(|C'| \leq \kappa\)이다. 그 다음 \(C\)는 \((C')_w\)의 국소화이므로 \(|C| \leq \kappa\)이다 (Lemma 0979을 \(C'\)에 적용하여 구성하며, 그 적용은 Lemma 097A의 증명에 있다). 따라서 \(C\)는 많아야 \(2^\kappa\)개의 극대 아이디얼을 갖는다. 마지막으로 환 준동형 \(C \to D\)는 국소환들을 식별하고, Topology, Remark 090E에 의해 \(D\)의 극대 아이디얼들의 집합의 기수는 많아야 \(2^{2^{2^\kappa}}\)이다. \(D \subset \prod_{\mathfrak m \subset D} D_\mathfrak m\)이므로 \(D\)의 크기는 많아야 위에 표시한 크기이다.

보조정리

\(A \to B\)를 준유한이며 유한 표시인 환 준동형이라 하자. \(A\)의 잉여체들이 분리 대수적으로 닫혀 있고 \(\Spec(A)\)가 Hausdorff이며 극단 비연결이면 \(\Spec(B)\)도 극단 비연결이다.

증명

\(X = \Spec(A)\)와 \(Y = \Spec(B)\)로 놓자. Étale Cohomology, Lemma 095K에서와 같이 유한 분할 \(X = \coprod X_i\)와 \(X'_i \to X_i\)를 택한다. 위상공간들의 사상 \(\coprod X_i \to X\)는(여기서 정의역은 위상공간의 범주에서의 서로소 합이다) Topology, Proposition 08YN에 의해 단면을 갖는다. 따라서 위상적으로 \(X\)는 층들 \(X_i\)의 서로소 합이다. 그러므로 \(X\)를 \(X_i\)로 대체하여, \((X' \times_X Y)_{red}\)가 \(X'_{red}\)의 유한 개 복사본들의 서로소 합과 동형이 되도록 하는 전사 유한 국소 자유 사상 \(X' \to X\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 도식 \[\xymatrix{ \coprod_{i = 1, \ldots, r} X' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 을 생각하라. \(A\)의 잉여체들에 대한 가정은 이 도식이 바탕 점들의 집합에서 올곱 도식임을 함의한다(세부사항은 생략한다). \(X\)는 극단 비연결이고 \(X'\)는 Hausdorff이므로 (Lemma 0978) 연속 사상 \(X' \to X\)는 연속 단면 \(\sigma\)를 갖는다. 그러면 \(\coprod_{i = 1, \ldots, r} \sigma(X) \to Y\)는 전단사 연속 사상이다. Topology, Lemma 08YE에 의해 이는 위상동형이고, 증명이 끝난다.

보조정리

\(A \to B\)를 유한이며 유한 표시인 환 준동형이라 하자. \(A\)가 w-수축 가능이면 \(B\)도 그렇다.

증명

Lemma 0982의 판정법을 사용하겠다. \(X = \Spec(A)\)와 \(Y = \Spec(B)\)로 놓고 유도된 사상을 \(f : Y \to X\)로 나타내자. \(f : Y \to X\)가 유한 사상이므로 \(Y\)의 닫힌점들의 집합 \(Y_0\)는 \(X\)의 닫힌점들의 집합 \(X_0\)의 역상이다. \(y \in Y\)를 잡고 그 상을 \(x \in X\)라 하자. 그러면 \(x\)는 유일한 닫힌점 \(x_0 \in X\)로 특수화된다. \(Y\)에서 닫힌 \(y_i\)들을 사용하여 \(f^{-1}(\{x_0\}) = \{y_1, \ldots, y_n\}\)으로 쓰자. \(R = \mathcal{O}_{X, x_0}\)가 강 Hensel이고 \(f\)가 유한이므로, \(Y \times_{f, X} \Spec(R)\)는 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(R_i)\)와 같다. 여기서 각 \(R_i\)는 \(R\) 위에서 유한인 국소환이고, 그 극대 아이디얼은 \(y_i\)에 대응한다. Algebra, Lemma 04GG의 (10)을 보라. 그러면 \(y\)는 이 \(\Spec(R_i)\)들 가운데 정확히 하나의 점이므로, \(y\)는 정확히 하나의 \(y_i\)로 특수화된다. 달리 말해 \(Y\)의 모든 점은 \(Y_0\)의 유일한 점으로 특수화된다. 따라서 \(Y\)는 w-국소이다. \(y \in Y_0\)의 상이 \(x \in X_0\)일 때마다, Algebra, Lemma 04GH을 \(\mathcal{O}_{X, x} \to B \otimes_A \mathcal{O}_{X, x}\)에 적용하면 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 강 Hensel임을 알 수 있다. \(Y_0\)가 극단 비연결임을 보이는 일만 남았다. 이를 위해 \(X_0 \subset X\)에 축약 유도 스킴 구조를 주고 \(X_0 \times_X Y \to X_0\)를 살펴본다. \(X_0 \times_X Y\)의 바탕 위상공간은 \(Y_0\)와 같음에 유의하라. 이제 원하는 결과는 Lemma 0985에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(Z \subset \Spec(A)\)를 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) 꼴의 닫힌 부분집합이라 하자. \(B = A_Z^\sim\)로 놓는다. Lemma 096V을 보라. \(A\)가 w-수축 가능이면 \(B\)도 그렇다.

증명

\(A_Z^\sim \to B\)를 약 에탈 충실 평탄 환 준동형이라 하자. 환 준동형 \[A \longrightarrow A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times B\] 을 생각하자. 이는 충실 평탄이고 약 에탈이다.

\(A\)가 w-수축 가능이면 퇴축 \(\sigma\)가 존재한다. 사상 \[\Spec(A_Z^\sim) \to \Spec(A) \xrightarrow{\Spec(\sigma)} \coprod \Spec(A_{f_i}) \amalg \Spec(B)\] 을 생각하자. \(Z \subset \Spec(A_Z^\sim)\)의 모든 점은 성분 \(\Spec(B)\) 안으로 사상된다. \(\Spec(A_Z^\sim)\)의 모든 점은 \(Z\)의 한 점으로 특수화되므로 원하는 사상 \(\Spec(A_Z^\sim) \to \Spec(B)\)를 얻는다.

pro-étale 사이트

이 절에서는 여러 pro-étale 사이트들의 실제 정의와 구성 및 그 사이의 사상들만 논의한다. 약 수축 가능 대상들의 존재는 Section 0F4N에서 다룬다.

pro-étale 위상은 fpqc 위상(Topologies, Section 022A을 보라)과 조금 비슷하다. 즉 스킴의 작은 pro-étale 사이트 위 층들의 토포스는 바탕 스킴 범주의 선택에 의존한다. 따라서 스킴의 it 그 pro-étale 토포스라고 말할 수 없다. 그러나 바탕 스킴 범주를 확대해도 층의 코호몰로지 군들은 변하지 않을 것이다. Section 0F4R를 보라.

pro-étale 덮음을 스킴들의 약 에탈 사상들을 사용하여 정의하겠다. More on Morphisms, Section 094N을 보라. 그 이유는 한편으로 스킴의 pro-étale 사상의 개념을 정의하기가 다소 어색하고, 다른 한편으로 Proposition 097Z이 다음 정의로 같은 층들을 얻는다고 보장하기 때문이다³.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. 스킴 사상들의 족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)가 다음 조건을 만족하면 이를 \(T\)의 pro-étale 덮음이라 한다. 각 \(f_i\)는 약 에탈이고, 모든 아핀 열린집합 \(U \subset T\)에 대해 \(n \geq 0\), 사상 \(a : \{1, \ldots, n\} \to I\), 그리고 아핀 열린집합 \(V_j \subset T_{a(j)}\), \(j = 1, \ldots, n\)이 존재하여 \(\bigcup_{j = 1}^n f_{a(j)}(V_j) = U\)이다.

물론 이 조건은 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 함의한다. 다음 보조정리는 pro-étale 덮음을 알아볼 수 있게 한다. 또한 pro-étale 덮음에 관한 많은 보조정리를 fpqc 덮음에 대한 대응 결과들로 환원할 수 있게 한다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 공역이 \(T\)인 스킴 사상들의 족이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다. \sloppy

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 pro-étale 덮음이고,

2. 각 \(f_i\)는 약 에탈이며 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 fpqc 덮음이고,

3. 각 \(f_i\)는 약 에탈이며, 모든 아핀 열린집합 \(U \subset T\)에 대해 유한 개를 제외하면 공집합인 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset T_i\)들이 존재하여 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)이고,

4. 각 \(f_i\)는 약 에탈이며, 아핀 열린 덮음 \(T = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\)가 존재하고, 각 \(\alpha \in A\)에 대해 \(i_{\alpha, 1}, \ldots, i_{\alpha, n(\alpha)} \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_{\alpha, j} \subset T_{i_{\alpha, j}}\)들이 존재하여 \(U_\alpha = \bigcup_{j = 1, \ldots, n(\alpha)} f_{i_{\alpha, j}}(U_{\alpha, j})\)이다.

\fussy

\(T\)가 준분리이면 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. 각 \(f_i\)는 약 에탈이며, 모든 \(t \in T\)에 대해 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_j \subset T_{i_j}\)들이 존재하여 \(\bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\)는 \(T\)에서 \(t\)의 (열린집합일 필요는 없는) 근방이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의에서 즉시 따른다. 따라서 보조정리는 Topologies, Lemma 03L7에서 따른다.

보조정리

임의의 étale 덮음과 임의의 Zariski 덮음은 pro-étale 덮음이다.

증명

이는 fpqc 덮음에 대한 대응 결과 (Topologies, Lemma 022C), Lemma 098A, 그리고 étale 사상이 약 에탈 사상이라는 사실에서 따른다. More on Morphisms, Lemma 094X을 보라.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 pro-étale 덮음이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 pro-étale 덮음이고 각 \(i\)에 대해 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 pro-étale 덮음이면 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 pro-étale 덮음이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 pro-étale 덮음이고 \(T' \to T\)가 스킴의 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 pro-étale 덮음이다.

증명

이는 약 에탈 사상들의 합성과 기저변환이 약 에탈이라는 사실 (More on Morphisms, Lemmas 094T 및 094U), Lemma 098A, 그리고 fpqc 덮음에 대한 대응 결과에서 따른다. Topologies, Lemma 022D를 보라.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 pro-étale 덮음이라 하자. 그러면 각 \(U_j\)가 아핀 스킴인 pro-étale 덮음 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\)이 존재하고, 이는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분이다. 더욱이 각 \(U_j\)를 어떤 \(T_i\)의 열린 아핀으로 택할 수 있다.

증명

이는 정의에서 직접 따른다.

따라서 아핀들의 대응하는 표준 덮음을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. 각 \(T_j\)가 아핀이고 각 \(f_i\)가 약 에탈이며 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)인 족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\)을 \(T\)의 표준 pro-étale 덮음이라 한다.

우리가 사용할 큰 pro-étale 사이트를 구성하기 위해 Topologies, Section 020M에 주어진 일반적인 개요를 따른다. 그러나 어떤 구성들의 크기를 수용하기 위해 조금 더 큰 환들이 필요하므로 구성을 약간 수정한다.

정의

큰 pro-étale 사이트란 다음과 같이 구성한 Sites, Definition 00VH에서와 같은 임의의 사이트 \(\Sch_\proetale\)이다.

1. 스킴들의 임의의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 pro-étale 덮음들의 임의의 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. Sets, Equation (046U)의 함수 \(Bound\)를 다음으로 바꾼다. \[Bound(\kappa) = \max\{\kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}, \kappa^{\aleph_0}, \kappa^+\}.\]

3. 바탕 범주로 집합 \(S_0\)와 함수 \(Bound\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 취한다.

4. 범주 \(\Sch_\alpha\), pro-étale 덮음들의 모임, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000X에서와 같은 임의의 덮음들의 집합을 택한다.

큰 사이트의 정의에 관한 동기와 설명은 Topologies, Definition 020S 뒤의 주석들을 보라.

Lemma 098J에서 보게 되듯이 큰 pro-étale 사이트 \(\Sch_\proetale\) 위의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 pro-étale 위상으로부터 유도된다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\Sch_\proetale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 pro-étale 사이트라 하자.

1. \(S\)의 큰 pro-étale 사이트는 \((\Sch/S)_\proetale\)로 나타내며, Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_\proetale/S\)이다.

2. \(S\)의 작은 pro-étale 사이트는 \(S_\proetale\)로 나타내며, 대상이 \(U \to S\)가 약 에탈인 \(U/S\)들인 \((\Sch/S)_\proetale\)의 충만 부분범주이다. \(S_\proetale\)의 덮음은 \(U \in \Ob(S_\proetale)\)인 \((\Sch/S)_\proetale\)의 임의의 덮음 \(\{U_i \to U\}\)이다.

3. \(S\)의 큰 아핀 pro-étale 사이트는 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)로 나타내며, 대상이 아핀 \(U/S\)들인 \((\Sch/S)_\proetale\)의 충만 부분범주이다. \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)의 덮음은 표준 pro-étale 덮음인 \((\Sch/S)_\proetale\)의 임의의 덮음 \(\{U_i \to U\}\)이다.

작은 pro-étale 사이트와 큰 아핀 pro-étale 사이트가 실제로 사이트인지는 완전히 명백하지 않다. 이제 이를 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\Sch_\proetale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(S_\proetale\)와 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)는 모두 사이트이다.

증명

\(S_\proetale\)가 사이트임을 보이자. 이는 공역이 고정된 사상들의 족들로 이루어진 주어진 집합을 갖는 범주이다. 따라서 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 보여야 한다. \((\Sch/S)_\proetale\)가 사이트이므로, \((\Sch/S)_\proetale\)의 임의의 덮음 \(\{U_i \to U\}\)에서 \(U \in \Ob(S_\proetale)\)이면 \(U_i \in \Ob(S_\proetale)\)임을 보이면 충분하다. 약 에탈 사상들의 합성은 약 에탈이므로 이는 정의에서 따른다.

위와 같이 논증하면 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)가 사이트임을 보이기 위해 아핀들의 표준 pro-étale 덮음들의 모음이 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 만족함을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 098A과 표준 fpqc 덮음에 대한 대응 결과(Topologies, Lemma 03LA)에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\Sch_\proetale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(\Sch\)를 모든 스킴의 범주라 하자.

1. 범주 \(\Sch_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_\proetale\), \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)는 올곱을 가지며, 이는 \(\Sch\)에서의 올곱과 일치한다.

2. 범주 \(\Sch_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_\proetale\)는 등화자를 가지며, 이는 \(\Sch\)에서의 등화자와 일치한다.

3. 범주 \((\Sch/S)_\proetale\)와 \(S_\proetale\)는 모두 끝 대상 \(S/S\)를 갖는다.

4. 범주 \(\Sch_\proetale\)는 \(\Sch\)의 끝 대상과 일치하는 끝 대상 \(\Spec(\mathbf{Z})\)를 갖는다.

증명

범주 \(\Sch_\proetale\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\)를 포함하며 구성에 의해 곱과 올곱에 대해 닫혀 있다. Sets, Lemma 000R을 보라. \(U, V, W \in \Ob(\Sch_\proetale)\)인 스킴의 사상 \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 있다고 하자. \(\Sch_\proetale\)에서의 올곱 \(V \times_U W\)는 \(\Sch\)에서의 올곱이고, \(S\) 위의 모든 스킴의 범주에서 \(U/S\) 위의 \(V/S\)와 \(W/S\)의 올곱이므로 \((\Sch/S)_\proetale\)에서도 올곱이다. 이로써 \((\Sch/S)_\proetale\)에 대한 결과가 증명되었다. \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 약 에탈이면 \(V \times_U W \to S\)도 약 에탈이므로(More on Morphisms, Section 094N을 보라) \(S_\proetale\)에서의 올곱을 얻는다. \(U, V, W\)가 아핀이면 \(V \times_U W\)도 아핀이므로 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)에서의 올곱을 얻는다.

\(a, b : U \to V\)를 \(\Sch_\proetale\)의 두 사상이라 하자. 이 경우 \(a\)와 \(b\)의 등화자(스킴의 범주에서)는

\[V \times_{\Delta_{V/\Spec(\mathbf{Z})}, V \times_{\Spec(\mathbf{Z})} V, (a, b)} (U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U)\] 이고, 위에서 본 바에 의해 이는 \(\Sch_\proetale\)의 대상이다. 따라서 \(\Sch_\proetale\)는 등화자를 갖는다. \(a\)와 \(b\)가 \(S\) 위의 사상이면 등화자(스킴의 범주에서)는 또한 \[V \times_{\Delta_{V/S}, V \times_S V, (a, b)} (U \times_S U)\] 로 주어진다. 따라서 \((\Sch/S)_\proetale\)는 등화자를 갖는다. 더욱이 \(U\)와 \(V\)가 \(S\) 위에서 약 에탈이면 위의 등화자는 약 에탈인 스킴들의 올곱이므로 역시 \(S\) 위에서 약 에탈이다. 따라서 \(S_\proetale\)는 등화자를 갖는다. 끝 대상들에 대한 명제들은 명백하다.

다음으로 큰 아핀 pro-étale 사이트가 큰 pro-étale 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\Sch_\proetale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 pro-étale 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)는 특별 쌍대연속 함자이다. 따라서 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_\proetale)\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_\proetale)\)로의 토포스 동치를 유도한다.

증명

특별 쌍대연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입된다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)로 나타내자. 쌍대연속이라는 것은 아핀 \(T\)에 대해 \(T/S\)의 임의의 pro-étale 덮음이 \(T\)의 표준 pro-étale 덮음으로 세분될 수 있다는 뜻일 뿐이다. 이는 Lemma 098D의 내용이다. 따라서 (1)이 성립한다. 표준 pro-étale 덮음은 pro-étale 덮음이므로 \(u\)는 연속이다. 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 완전 충실하다는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 조건 (5)는 모든 스킴이 아핀 열린 덮음을 갖는다는 사실에서 따른다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(f : T \to S\)를 \(\Sch_\proetale\)의 사상이라 하자. 함자 \(T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)는 쌍대연속이고 토포스의 사상 \[i_f : \Sh(T_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] 을 유도한다. \((\Sch/S)_\proetale\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 대해 공식 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)가 성립한다. 함자 \(i_f^{-1}\)는 올곱과 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(i_{f, !}\)도 갖는다.

증명

함자를 \(u : T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)로 나타내자. 달리 말해 \(T_\proetale\)의 대상에 대응하는 약 에탈 사상 \(j : U \to T\)가 주어지면 \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\)로 놓는다. 이 함자는 올곱과 가환한다. Lemma 098M을 보라. 또한 Lemma 098M에 의해 \(T_\proetale\)는 등화자를 가지며 \(u\)는 그들과 가환한다. \(u\)는 분명 쌍대연속이다. 덮음을 덮음으로 보내고 올곱과 가환하므로 연속이기도 하다. 따라서 보조정리는 Sites, Lemmas 00XR와 00XS에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\Sch_\proetale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 pro-étale 사이트라 하자. 포함 함자 \(S_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)는 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족하므로 사이트의 사상 \[\pi_S : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow S_\proetale\] 과 토포스의 사상 \[i_S : \Sh(S_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] 을 유도하며, \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\)이다. 더욱이 \(i_S = i_{\text{id}_S}\)이며, 여기서 \(i_{\text{id}_S}\)는 Lemma 098P의 것이다. 특히 함자 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\)는 규칙 \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\)로 기술된다.

증명

이 경우 함자 \(u : S_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)는 위 Lemma 098P의 증명에서 본 성질들 외에도 완전 충실하고 끝 대상을 끝 대상으로 보낸다. 보조정리는 Sites, Lemma 00XU에서 따른다.

정의

Lemma 098Q의 상황에서 함자 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\)를 흔히 작은 pro-étale 사이트로의 제한이라 부른다. 큰 pro-étale 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 이 제한을 \(\mathcal{F}|_{S_\proetale}\)로 나타낸다.

이 표기 아래에서, 큰 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)와 큰 사이트 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 대해 다음이 성립한다.

\[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_\proetale)}(\mathcal{F}|_{S_\proetale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\proetale)}(\mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_\proetale)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_\proetale}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\proetale)}(\pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 더욱이 \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_\proetale} = \mathcal{G}\)이고 \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_\proetale} = \mathcal{G}\)이다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(f : T \to S\)를 \(\Sch_\proetale\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_\proetale \longrightarrow (\Sch/S)_\proetale, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 쌍대연속이고, 연속인 오른쪽 수반 \[v : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow (\Sch/T)_\proetale, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 를 갖는다. 이들은 같은 토포스의 사상 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] 을 유도한다. \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고, \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)는 올곱과 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)를 갖는다.

증명

함자 \(u\)는 쌍대연속이고 연속이며 올곱과 등화자와 가환한다 (세부사항은 생략한다. Lemma 098P의 증명과 비교하라). 따라서 Sites, Lemmas 00XR와 00XS를 적용할 수 있으며, \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어지면 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 원하는 대로 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX와 00XY을 적용하여 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(f : T \to S\)를 \(\Sch_\proetale\)의 사상이라 하자.

1. Lemma 098P의 \(i_f\)와 Lemma 098Q의 \(i_T\)에 대하여 \(i_f = f_{big} \circ i_T\)이다.

2. 함자 \(S_\proetale \to T_\proetale\), \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\)는 연속이고 토포스의 사상 \[f_{small} : \Sh(T_\proetale) \longrightarrow \Sh(S_\proetale).\] 을 유도한다. 우리는 \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)를 갖는다.

3. 사이트의 사상들의 가환 도식 \[\xymatrix{ T_\proetale \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_\proetale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T}\\ S_\proetale & (\Sch/S)_\proetale \ar[l]_{\pi_S} }\] 을 가지며, 따라서 토포스의 사상으로서 \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\)이다.

4. \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\)이다.

증명

등식 \(i_f = f_{big} \circ i_T\)는 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\)에서 따르며, 후자는 위에서 이 함자들을 기술한 방식으로부터 명백하다. 이로써 (1)을 얻는다.

함자 \(u : S_\proetale \to T_\proetale\), \(u(U \to S) = (U \times_S T \to T)\)는 덮개를 덮개로 보내고 올곱과 가환한다. Lemmas 098C와 098M를 보라. 또한 \(S_\proetale\)와 \(T_\proetale\)는 각각 끝 대상 \(S/S\)와 \(T/T\)를 가지며 \(u(S/S) = T/T\)이다. 따라서 Sites, Proposition 00X6에 의해 함자 \(u\)는 사이트의 사상 \(T_\proetale \to S_\proetale\)에 대응한다. 이는 다시 토포스의 사상을 낳는다. Sites, Lemma 00XC를 보라. 순상 함자의 기술은 이 참고문헌들로부터 명백하다.

(3)은 \(\pi_S\)와 \(\pi_T\)가 포함 함자로 주어지고, \(f_{small}\)과 \(f_{big}\)가 기저변환 함자 \(U \mapsto U \times_S T\)로 주어지기 때문에 성립한다.

(4)는 (3)의 앞에 \(i_T\)를 합성하면 따른다.

이 보조정리의 상황에서 Definition 098R의 용어를 쓰면 다음을 얻는다. \(T\)의 큰 pro-étale 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 [0F60]\[\begin{equation} (f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_\proetale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_\proetale}), \end{equation}\] 이다. 이 등식은 보조정리의 사이트 도식의 가환성에서 명백하다. 실제로 \(T\)의 작은 pro-étale 사이트로의 제한과 \(S\)의 작은 pro-étale 사이트로의 제한은 각각 \(\pi_{T, *}\)와 \(\pi_{S, *}\)로 주어진다. 당김과 제한을 포함하는 유사한 공식은 거짓이다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\) 안의 스킴 \(X\), \(Y\), \(Y\)와 사상 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)가 주어지면 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\)이고 \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\)이다.

증명

큰 사이트 위의 함자에 대해서는 Lemma 098S의 순상 및 역상의 단순한 기술로부터 따른다. 작은 사이트 위의 함자에 대해서는 Lemma 098T의 순상 함자 기술로부터 따른다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(\Sch_\proetale\) 안의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 생각하자. 그러면 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)이고 \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\)이다.

증명

도식이 데카르트이므로 \(U'/S'\)에 대하여 \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\)이다. 따라서 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\)와 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)는 모두 \((\Sch/T)_\proetale\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)를 \(S'_\proetale\) 위의 층 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\)로 보낸다 (Lemmas 098P와 098S을 사용하라). 두 번째 등식도 같은 방식으로 증명할 수 있고, 매우 일반적인 Sites, Lemma 03CF에서 도출할 수도 있다.

\(S\)의 큰 pro-étale 사이트 위의 층은 \(S\) 위의 스킴들의 작은 pro-étale 사이트 위의 층들을 모은 것으로 생각할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 큰 pro-étale 사이트 \(\Sch_\proetale\)에 들어 있는 스킴이라 하자. 큰 pro-étale 사이트 \((\Sch/S)_\proetale\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)는 다음 데이터로 주어진다.

1. 모든 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\proetale)\)에 대하여 \(T_\proetale\) 위의 층 \(\mathcal{F}_T\),

2. \((\Sch/S)_\proetale\)의 모든 \(f : T' \to T\)에 대하여 사상 \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\).

이 데이터는 다음 조건을 만족해야 한다.

1. \((\Sch/S)_\proetale\) 안의 임의의 \(f : T' \to T\)와 \(g : T'' \to T'\)가 주어지면 합성 \(c_g \circ g_{small}^{-1}c_f\)는 \(c_{f \circ g}\)와 같고,

2. \((\Sch/S)_\proetale\) 안의 \(f : T' \to T\)가 약 에탈이면 \(c_f\)는 동형이다.

증명

Topologies, Lemma 021K의 증명과 동일하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S_{affine, \proetale}\)를 \(S_\proetale\)의 아핀 대상들로 이루어진 충만한 부분범주라 하자. \(S_{affine, \proetale}\)의 덮개는 표준 pro-étale 덮개로 정의한다. Definition 098E를 보라. 그러면 제한

\[\mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{S_{affine, \etale}}\] 은 토포스의 동치 \(\Sh(S_\proetale) \cong \Sh(S_{affine, \proetale})\)를 정의한다.

증명

이는 정의에서 직접 보일 수 있으며 좋은 연습문제이다. 그러나 포함 함자 \(S_{affine, \proetale} \to S_\proetale\)가 특별 쌍대연속 함자임을 확인함으로써 Sites, Lemma 03A0에서도 즉시 따른다 (Sites, Definition 03CG를 보라).

보조정리

\(S\)를 아핀 스킴이라 하자. \(S_{app}\)를 \(\mathcal{O}(S) \to \mathcal{O}(U)\)가 ind-étale인 아핀 대상 \(U\)들로 이루어진 \(S_\proetale\)의 충만한 부분범주라 하자. \(S_{app}\)의 덮개는 표준 pro-étale 덮개로 정의한다. Definition 098E를 보라. 그러면 제한 \[\mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{S_{app}}\] 은 토포스의 동치 \(\Sh(S_\proetale) \cong \Sh(S_{app})\)를 정의한다.

증명

Lemma 098W에 의해 \(S_\proetale\)를 \(S_{affine, \proetale}\)로 바꾸어도 된다. 이 보조정리는 포함 함자 \(S_{app} \to S_{affine, \proetale}\)가 특별 쌍대연속 함자임을 확인함으로써 Sites, Lemma 03A0에서 따른다. Sites, Definition 03CG를 보라. Sites, Lemma 03A0의 조건들은 정의와 다음 사실들에서 즉시 따른다.

(a) \(S_{affine, \proetale}\)의 임의의 대상 \(U\)는 \(X\) 위에서 ind-étale인 \(V\)를 갖는 덮개 \(\{V \to U\}\)를 가진다 (Proposition 097Z).

(b) 함자 \(u\)는 완전 충실하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. pro-étale 사이트 \(\Sch_\proetale\), \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_{affine, \proetale}\), \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 각각의 위상은 준표준이다.

증명

Lemma 098A과 Descent, Lemma 023Q를 결합하라.

약 수축 가능 대상

이 절에서는 우리의 pro-étale 사이트가 약 수축 가능 대상을 많이 포함한다는 핵심 사실을 증명한다. 사실 Lemma 098I의 증명은 Definition 098G에서 함수 \(Bound\)가 그 형태를 갖는 이유이다(집합론적 문제를 무시하는 독자에게는 이 정보가 내용이 없다).

먼저 w-수축 가능 환의 개념을 pro-étale 덮개로 표현한다.

보조정리

\(T = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(A\)는 w-수축 가능하다.

2. \(T\)의 모든 pro-étale 덮개는 \(T = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 꼴의 Zariski 덮개로 세분될 수 있다.

증명

\(A\)가 w-수축 가능하다고 하자. Lemma 098D에 의해 모든 표준 pro-étale 덮개 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\)를 \(T\)의 Zariski 덮개로 세분할 수 있음을 증명하면 충분하다. 사상 \(\coprod T_i \to T\)는 아핀 스킴들의 전사 약 에탈 사상이다. 따라서 Definition 0981에 의해 \(T\) 위의 사상 \(\sigma : T \to \coprod T_i\)가 존재한다. 그러면 Zariski 덮개 \(T = \coprod \sigma^{-1}(T_i)\)는 \(\{f_i : T_i \to T\}\)를 세분한다.

역으로 (2)를 가정하자. \(A \to B\)가 충실 평탄이고 약 에탈이면 \(\{\Spec(B) \to T\}\)는 pro-étale 덮개이다. 따라서 Zariski 덮개 \(T = \coprod U_i\)와 \(T\) 위의 사상 \(U_i \to \Spec(B)\)가 존재한다. \(T = \coprod U_i\)이므로 \(T \to \Spec(B)\), 즉 \(A\)-대수 사상 \(B \to A\)를 얻는다. 이는 \(A\)가 w-수축 가능하다는 뜻이다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 Definition 098G에서와 같은 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(T = \Spec(A)\)를 \(\Sch_\proetale\)의 아핀 대상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(A\)는 w-수축 가능하다.

2. \(T\)는 \(\Sch_\proetale\)의 약 수축 가능 대상이다 (Sites, Definition 090L).

3. \(T\)의 모든 pro-étale 덮개는 \(T = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 꼴의 Zariski 덮개로 세분될 수 있다.

증명

Lemma 098F에서 (1)과 (3)의 동치를 보았다.

(3)을 가정하고 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\Sch_\proetale\) 위의 층들의 전사라 하자. \(s \in \mathcal{G}(T)\)라 하자. (2)를 증명하기 위해 \(s\)가 \(\mathcal{F}(T) \to \mathcal{G}(T)\)의 상에 속함을 보이겠다. \(s\)가 \(T_i\) 위의 \(\mathcal{F}\)의 단면으로 올라가는 \(\Sch_\proetale\)의 덮개 \(\{T_i \to T\}\)를 찾을 수 있다 (Sites, Definition 00WM). (3)에 의해 열린닫힌 부분집합들에 의한 유한 덮개 \(T = \coprod_{j = 1, \ldots, m} U_j\)와 \(s|_{U_j}\)로 가는 \(t_j \in \mathcal{F}(U_j)\)를 갖는다고 해도 된다. Zariski 덮개는 \(\Sch_\proetale\)의 덮개이므로 (Lemma 098B) \(\mathcal{F}(T) = \prod \mathcal{F}(U_j)\)이다. 따라서 \(t = (t_1, \ldots, t_m) \in \mathcal{F}(T)\)는 \(s\)로 가는 단면이다.

(2)를 가정하자. \(A \to D\)를 Proposition 0983에서와 같이 잡는다. 그러면 \(\{V \to T\}\)는 \(\Sch_\proetale\)의 덮개이다. (Remark 0984, Definition 098G에서 함수 \(Bound\)를 선택한 방식, 그리고 Sets, Lemma 000Q의 아핀 스킴 크기 계산을 결합하면 \(V = \Spec(D)\)는 \(\Sch_\proetale\)의 대상임에 유의하라.) \(\Sch_\proetale\)의 위상은 준표준이므로 (Lemma 098Z) \(h_V \to h_T\)는 층들의 전사이다 (Sites, Lemma 00WT). \(T\)가 약 수축 가능하다고 가정했으므로, \(h_T(T)\) 안의 상이 \(\text{id}_T\)인 원소 \(f \in h_V(T) = \Mor(T, V)\)가 존재한다. 따라서 \(A \to D\)는 퇴축 \(\sigma : D \to A\)를 갖는다. 이제 \(A \to B\)가 충실 평탄이고 약 에탈이면 \(D \to D \otimes_A B\)도 같은 성질들을 가지므로 퇴축 \(D \otimes_A B \to D\)가 존재한다. 이를 \(\sigma\)와 결합하면 \(A \to B\)의 퇴축 \(B \to D \otimes_A B \to D \to A\)를 얻는다. 따라서 \(A\)는 w-수축 가능하고 (1)이 성립한다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 Definition 098G에서와 같은 큰 pro-étale 사이트라 하자. \(\Sch_\proetale\)의 모든 대상 \(T\)에 대하여 \(\Sch_\proetale\) 안의 덮개 \(\{T_i \to T\}\)가 존재하여, 각 \(T_i\)는 아핀이고 w-수축 가능 환의 스펙트럼이다. 특히 \(T_i\)는 \(\Sch_\proetale\)에서 약 수축 가능하다.

증명

집합론적 문제를 신경 쓰지 않는 독자에게 이 보조정리는 Lemma 098H와 Proposition 0983의 자명한 귀결이다. 세부사항은 다음과 같다. 아핀 열린 덮개 \(T = \bigcup U_i\)를 택하고 \(U_i = \Spec(A_i)\)라고 쓰자. Proposition 0983에서와 같이 \(D_i\)가 w-수축 가능하도록 충실 평탄인 ind-étale 환 사상 \(A_i \to D_i\)를 택한다. 사상들의 족 \(\{\Spec(D_i) \to T\}\)는 pro-étale 덮개이다. \(\Spec(D_i)\)가 \(\Sch_\proetale\)의 어떤 대상 \(T_i\)와 동형임을 보일 수 있다면, \(\Sch_\proetale\)를 구성한 Definition 098G, 더 정확히는 마지막 단계에서 Sets, Lemma 000X를 적용한 방식에 따라 \(\{T_i \to T\}\)는 \(\Sch_\proetale\)의 덮개와 조합적으로 동치일 것이다. \(\Spec(D_i)\)가 \(\Sch_\proetale\)의 대상과 동형임을 보이려면 \(\Sch_\proetale\)를 구성한 Definition 098G, 더 정확히는 단계 (3)의 Sets, Lemma 000J 적용에 의해 \(|D_i| \leq Bound(\text{size}(T))\)임을 보이면 충분하다. Sets, Lemmas 000P와 04T7에 의해 \(|A_i| \leq \text{size}(U_i) \leq \text{size}(T)\)이므로, Remark 0984에 의해 \(\kappa = \text{size}(T)\)일 때 \(|D_i| \leq \kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}\)를 얻는다. 따라서 Definition 098G에서 함수 \(Bound\)를 선택한 방식으로부터 결론이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. pro-étale 사이트 \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_{affine, \proetale}\), \((\textit{Aff}/S)_\proetale\), 그리고 \(S\)가 아핀이면 \(S_{app}\)는 준콤팩트인 아핀 약 수축 가능 대상을 충분히 많이 갖는다. Sites, Definition 090L을 보라.

증명

Lemma 098I에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. pro-étale 사이트 \(\Sch_\proetale\), \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\)는 다음 성질을 갖는다. 임의의 대상 \(U\)에 대하여 \(V\)가 약 수축 가능 대상인 덮개 \(\{V \to U\}\)가 존재한다. \(U\)가 준콤팩트이면 \(V\)를 아핀이고 약 수축 가능하도록 택할 수 있다.

증명

\(V = \coprod_{j \in J} V_j\)가 약 수축 가능 대상 \(V_j\)들의 서로소 합인 \((\Sch/S)_\proetale\)의 대상이라고 하자. 서로소 합 분해는 pro-étale 덮개이므로 임의의 pro-étale 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(\mathcal{F}(V) = \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j)\)이다. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 집합의 층들의 전사라 하자. \(V_j\)가 약 수축 가능하므로 사상 \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{G}(V_j)\)는 전사이다. Sites, Definition 090L을 보라. 따라서 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{G}(V)\)는 집합들의 전사들의 곱이므로 전사이고, \(V\)가 약 수축 가능하다고 결론내린다.

Lemma 098I에서와 같이 \(U_i\)가 아핀이고 약 수축 가능인 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 택한다. \(V = \coprod_{i \in I} U_i\)로 둔다(여기에는 아래에서 다룰 집합론적 문제가 있다). 그러면 \(\{V \to U\}\)는 약 수축 가능 대상에 의한 원하는 pro-étale 덮개이다(덮개인지 확인하려면 Lemma 098A을 사용하라). \(U\)가 준콤팩트이면 Lemma 098A에서 유한 부분집합 \(I' \subset I\)를 택하여 \(\{U_i \to U\}_{i \in I'}\)가 여전히 덮개가 되게 할 수 있음이 즉시 따른다. 그러면 \(\{\coprod_{i \in I'} U_i \to U\}\)는 아핀이고 약 수축 가능인 대상에 의한 원하는 덮개이다.

건너뛰기를 권하는 이 문단에서는 집합론적 문제를 다룬다. 서로소 합이 우리의 부분 우주 안에 놓임을 알려면 지표집합 \(I\)의 기수를 제한해야 한다. Lemma 098I의 증명에서 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 구성한 방식을 보면, 스킴의 크기를 Sets, Section 000H에서와 같이 정의했을 때 \(|I| \leq \text{size}(U)\)임을 즉시 알 수 있다. 또한 각 \(i\)에 대하여 \(\text{size}(U_i) \leq Bound(\text{size}(U))\)이다. 이는 Lemma 098I의 증명에서 \(\Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\)의 기수에 대한 상계와 Sets, Lemma 000P에서 따른다. 따라서 Sets, Lemma 000Q에 의해 \(\text{size}(\coprod_{i \in I} U_i)) \leq Bound(\text{size}(U))\)이다. 그러므로 Sets, Lemma 000J를 통한 큰 pro-étale 사이트의 구성에 의해 \(\coprod_{i \in I} U_i\)는 우리 사이트의 한 대상과 동형이고, 증명이 끝난다.

약 수축 가능 초덮개

Section 0F4N의 결과들로부터 약 수축 가능 대상들로 이루어진 초덮개가 존재한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X_\proetale\)의 모든 대상 \(U\)에 대하여 \(X_\proetale\) 안의 \(U\)의 초덮개 \(K\)가 존재하여, 각 항 \(K_n\)은 \(U\)를 덮는 \(X_\proetale\)의 하나의 약 수축 가능 대상으로 이루어진다.

2. \(X_\proetale\)의 모든 준콤팩트 준분리 대상 \(U\)에 대하여 \(X_\proetale\) 안의 \(U\)의 초덮개 \(K\)가 존재하여, 각 항 \(K_n\)은 \(U\)를 덮는 \(X_\proetale\)의 하나의 아핀 약 수축 가능 대상으로 이루어진다.

증명

\(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\proetale)\)를 \(X_\proetale\)의 약 수축 가능 대상들의 집합이라 하자. Lemma 0F4P에 의해 \(X_\proetale\)의 모든 대상 \(T\)는 \(I\)가 유한이고 \(T_i \in \mathcal{B}\)인 덮개 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 갖는다. Hypercoverings, Lemma 094K에 의해 \(I_n\)이 유한이고 \(U_{n, i}\)가 약 수축 가능인 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)를 갖는 \(U\)의 초덮개 \(K\)를 얻는다. 그러면 차수 \(n\)에서 \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\)인 \(\{U_n\}\)으로 주어진 \(U\)의 초덮개로 \(K\)를 바꿀 수 있다. 이는 Hypercoverings, Remark 0DB2에 의해 허용된다.

\(X_{qcqs, \proetale} \subset X_\proetale\)를 준콤팩트 준분리 대상들로 이루어진 충만한 부분범주라 하자. \(X_{qcqs, \proetale}\)의 덮개는 유한 pro-étale 덮개로 정의한다. 그러면 \(X_{qcqs, \proetale}\)는 사이트이고 올곱을 가지며, 포함 함자 \(X_{qcqs, \proetale} \to X_\proetale\)는 연속이고 올곱과 가환한다. 특히 \(K\)가 \(X_{qcqs, \proetale}\) 안의 대상 \(U\)의 초덮개이면, Hypercoverings, Lemma 0DAZ에 의해 \(K\)는 \(X_\proetale\) 안에서도 \(U\)의 초덮개이다. \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{qcqs, \proetale})\)를 아핀이고 약 수축 가능인 대상들의 집합이라 하자.

Lemma 098I와 아핀들의 유한 합집합은 아핀이라는 사실에 의해, \(X_{qcqs, \proetale}\)의 모든 대상 \(U\)는 \(V \in \mathcal{B}\)인 \(X_{qcqs, \proetale}\)의 덮개 \(\{V \to U\}\)를 갖는다. Hypercoverings, Lemma 094K에 의해 \(I_n\)이 유한이고 \(U_{n, i}\)가 아핀이고 약 수축 가능인 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)를 갖는 \(U\)의 초덮개 \(K\)를 얻는다. 그러면 차수 \(n\)에서 \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\)인 \(\{U_n\}\)으로 주어진 \(U\)의 초덮개로 \(K\)를 바꿀 수 있다. 이는 Hypercoverings, Remark 0DB2에 의해 허용된다.

다음 보조정리에서는 사이트 안의 초덮개 \(K\)에 딸린 Čech 복합체 \(s(\mathcal{F}(K))\)를 사용한다. Hypercoverings, Section 01GU를 보라. \(K\)가 \(U\)의 초덮개이고 \(K_n = \{U_n \to U\}\)이면 Čech 복합체는 다음과 같다. \[s(\mathcal{F}(K)) = \left( \mathcal{F}(U_0) \to \mathcal{F}(U_1) \to \mathcal{F}(U_2) \to \ldots \right)\]

여기서 \(s(\mathcal{F}(U_n))\)는 코호몰로지 차수 \(n\)에 놓인다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E \in D^+(X_\proetale)\)를 아벨 층들의 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{E}^\bullet\)가 나타낸다고 하자. \(K_n = \{U_n \to U\}\)이고 \(U_n\)이 \(X_\proetale\)의 약 수축 가능 대상인, \(U \in \Ob(X_\proetale)\)의 초덮개 \(K\)를 택하자. 그러면 \[R\Gamma(U, E) = \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet(K)))\] 가 \(D(\textit{Ab})\) 안에서 성립한다.

증명

\(\mathcal{E}\)가 \(X_\proetale\) 위의 아벨 층이면 Hypercoverings, Lemma 01GY의 스펙트럼 열로부터

\[R\Gamma(X_\proetale, \mathcal{E}) = s(\mathcal{E}(K))\] 을 얻는다. 실제로 \(U_n\) 위의 임의의 층의 고차 코호몰로지군은 사라진다. Cohomology on Sites, Lemma 0946을 보라.

\(\mathcal{E}^\bullet\)가 아래로 유계이면 단사 분해 \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)를 택하고 복합체의 사상 \[\text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet(K))) \longrightarrow \text{Tot}(s(\mathcal{I}^\bullet(K)))\] 을 생각할 수 있다. 모든 \(n\)에 대하여 \(U_n\) 위에서 단면을 취하는 것은 완전하므로 사상 \(\mathcal{E}^\bullet(U_n) \to \mathcal{I}^\bullet(U_n)\)은 준동형이다. 따라서 표시된 사상은 Homology, Lemma 0132의 스펙트럼 열들 중 하나에 의해 준동형이다. 첫 문단의 결과를 사용하면 모든 \(p\)에 대하여 복합체 \(s(\mathcal{I}^p(K))\)는 차수 \(n > 0\)에서 비순환이고 차수 \(0\)에서 \(\mathcal{I}^p(U)\)를 계산한다. 따라서 Homology, Lemma 0132의 다른 스펙트럼 열은 \(\text{Tot}(s(\mathcal{I}^\bullet(K)))\)가 \(R\Gamma(U, E) = \mathcal{I}^\bullet(U)\)를 계산함을 보인다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. 함자 \(R\Gamma(X, -) : D^+(X_\proetale) \to D(\textit{Ab})\)는 직합 및 호모토피 쌍대극한과 가환한다.

증명

이 명제의 뜻은 다음과 같다. \(D^+(X_\proetale)\)의 대상들의 족 \(E_i\)가 주어지고 \(\bigoplus E_i\)가 \(D^+(X_\proetale)\)의 대상이라고 하자. 그러면 \(R\Gamma(X, \bigoplus E_i) = \bigoplus R\Gamma(X, E_i)\)이다. 이를 보이기 위해 \(K_n = \{U_n \to X\}\)이고 \(U_n\)이 아핀 약 수축 가능 스킴인 \(X\)의 초덮개 \(K\)를 택한다. Lemma 09A1을 보라. 모든 \(p < N\)에 대하여 \(H^p(E_i) = 0\)이 되게 하는 정수 \(N\)을 택한다. \(\mathcal{E}_i^p = 0\)이 \(p < N\)에 대하여 성립하고 \(E_i\)를 나타내는 아벨 층들의 복합체 \(\mathcal{E}_i^\bullet\)를 택한다. 항별 직합 \(\bigoplus \mathcal{E}_i^\bullet\)는 \(D(X_\proetale)\) 안에서 \(\bigoplus E_i\)를 나타낸다. Injectives, Lemma 07D9를 보라. Lemma 09A2에 의해 \[R\Gamma(X, \bigoplus E_i) = \text{Tot}(s((\bigoplus \mathcal{E}^\bullet_i)(K)))\] 이고 \[R\Gamma(X, E_i) = \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet_i(K)))\] 이다. 각 \(U_n\)이 준콤팩트이므로 Modules on Sites, Lemma 0935에 의해 \[\text{Tot}(s((\bigoplus \mathcal{E}^\bullet_i)(K))) = \bigoplus \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet_i(K)))\] 이다. 호모토피 쌍대극한에 대한 명제는 \(R\Gamma\)가 삼각 범주의 완전 함자이고 직합과 가환한다는 방금 증명한 사실의 형식적 귀결이다.

주

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X_\proetale\)는 약 수축 가능 대상을 충분히 많이 가지므로 \(D(X_\proetale)\)의 모든 \(K\)에 대하여 \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\)이다. Cohomology on Sites, Proposition 0947을 보라. Injectives, Lemma 08U1에 의해 \(R\Gamma\)는 \(R\lim\)과 가환하므로 \[R\Gamma(X, K) = R\lim R\Gamma(X, \tau_{\geq -n}K)\] 가 \(D(\textit{Ab})\) 안에서 성립한다. 이를 이용하면 때때로 아래로 유계인 복합체에 대한 결과를 모든 복합체로 확장할 수 있다.

콤팩트 생성

이 절에서는 우리의 pro-étale 사이트에 딸린 여러 유도 범주가 Derived Categories, Definition 09SQ에서 정의한 의미로 콤팩트 생성됨을 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \(\Lambda\)를 환이라 하자.

1. \(D(S_\proetale)\)는 콤팩트 생성된다.

2. \(D(S_\proetale, \Lambda)\)는 콤팩트 생성된다.

3. \(S_\proetale\) 위의 임의의 환의 층 \(\mathcal{A}\)에 대하여 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\)는 콤팩트 생성된다.

4. \(D((\Sch/S)_\proetale)\)는 콤팩트 생성된다.

5. \(D((\Sch/S)_\proetale, \Lambda)\)는 콤팩트 생성된다.

6. \((\Sch/S)_\proetale\) 위의 임의의 환의 층 \(\mathcal{A}\)에 대하여 \(D((\Sch/S)_\proetale, \mathcal{A})\)는 콤팩트 생성된다.

증명

(3)의 증명. \(U\)를 약 수축 가능인 \(S_\proetale\)의 아핀 대상이라 하자. 그러면 \(j_{U!}\mathcal{A}_U\)는 유도 범주 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\)의 콤팩트 대상이다. Cohomology on Sites, Lemma 094E를 보라. 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대한 \(S_\proetale\)의 아핀 약 수축 가능 대상 \(U_i\)를 택하여, \(S_\proetale\)의 모든 아핀 약 수축 가능 대상이 어떤 \(U_i\)와 동형이 되게 한다. \(\Ob(S_\proetale)\)가 집합이므로 이는 가능하다. (3)의 증명을 끝내려면 \(\bigoplus j_{U_i, !}\mathcal{A}_{U_i}\)가 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\)의 생성자임을 보이면 충분하다. Derived Categories, Definition 09SJ를 보라. 이를 보이기 위해 \(K\)를 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\)의 영이 아닌 대상이라 하자. 그러면 우리 사이트 \(S_\proetale\)의 대상 \(T\)와 \(H^n(K)(T)\)의 영이 아닌 원소 \(\xi\)가 존재한다. 다시 말해 \(\xi\)는 \(K\)의 \(n\)번째 코호몰로지 층의 영이 아닌 단면이다. \(K\)가 \(\mathcal{A}\)-가군의 층들의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)로 표현되고, \(\xi\)가 \(\text{d}(s) = 0\)인 단면 \(s \in \mathcal{K}^n(T)\)의 동치류라고 해도 된다. 실제로 \(\xi\)는 국소적으로 한 단면의 동치류로 표현된다(따라서 \(T\)를 \(T\)의 어떤 덮개의 한 원소로 바꾸면 이 결과를 얻는다). 다음으로 Lemma 098I에서와 같은 덮개 \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\)를 택한다. \(H^n(K)\)는 층이므로 어떤 \(j\)에 대해서는 제한 \(\xi|_{T_j}\)가 여전히 영이 아니다. 따라서 \(s|_{T_j}\)는 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) 안의 영이 아닌 사상 \(j_{T_j, !}\mathcal{A}_{T_j} \to K\)를 정의한다. 어떤 \(i \in I\)에 대하여 \(T_j \cong U_i\)이므로 결론이 따른다.

\(S\)의 큰 pro-étale 사이트에 대해서도 정확히 같은 논증이 성립한다.

위상들의 비교

이 절은 Étale Cohomology, Section 09XL의 유사물이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 서로소 합을 곱으로 보내는 \(X_\proetale\) 위의 집합의 준층이라 하자. \(W\)가 \(X_\proetale\)의 아핀 약 수축 가능 대상이면 \(\mathcal{F}^\#(W) = \mathcal{F}(W)\)이다.

증명

\(\mathcal{F}^\#\)는 \((\mathcal{F}^+)^+\)와 같음을 상기하자. Sites, Theorem 00WB를 보라. 여기서 \(\mathcal{F}^+\)는 \(X_\proetale\)의 대상 \(U\)를 \(\colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)로 보내는 준층이고, 쌍대극한은 \(U\)의 모든 pro-étale 덮개 \(\mathcal{U}\)에 걸쳐 취한다. 따라서 (a) \(\mathcal{F}^+\)가 유한 서로소 합을 곱으로 보내고, (b) \(W\)를 \(\mathcal{F}(W)\)로 보냄을 증명하면 충분하다. \(U = U_1 \amalg U_2\)이고 \(U\)의 pro-étale 덮개 \(\mathcal{U} = \{f_j : V_j \to U\}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 pro-étale 덮개 \(\mathcal{U}_i = \{f_j^{-1}(U_i) \to U_i\}\)를 얻고, 명백히 \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{U}_1, \mathcal{F}) \times H^0(\mathcal{U}_2, \mathcal{F})\] 이다. 실제로 \(\mathcal{F}\)는 유한 서로소 합을 곱으로 보낸다 (이는 \(\mathcal{F}\)가 공스킴을 한원소집합으로 보낸다는 조건을 포함한다). 이로써 (a)를 증명했다. 마지막으로 Lemma 098H에 의해 \(W\)의 모든 pro-étale 덮개는 유한 서로소 합 분해 \(W = W_1 \amalg \ldots W_n\)으로 세분될 수 있다. 따라서 \(\mathcal{F}^+(W) = \mathcal{F}(W)\)이다. 정확히 말하면 \(W\)에서의 \(\mathcal{F}\)의 값은 \(W_j\)에서의 \(\mathcal{F}\)의 값들의 곱이기 때문이다. 이로써 (b)를 증명했다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(Y_\proetale\) 위의 집합의 층이라 하자. \(W\)가 \(X_\proetale\)의 아핀 약 수축 가능 대상이면 \[f_{small}^{-1}\mathcal{F}(W) = \colim_{W \to V} \mathcal{F}(V)\] 이다. 여기서 쌍대극한은 \(V \in Y_\proetale\)인 \(Y\) 위의 사상 \(W \to V\)에 걸쳐 취한다.

증명

\(f_{small}^{-1}\mathcal{F}\)는 준층 \[u_p\mathcal{F} : U \mapsto \colim_{U \to V} \mathcal{F}(V)\] 에 딸린 층임을 상기하자.

이는 \(X_\etale\) 위의 준층이다. Sites, Sections 00X0와 00WU를 보라. 표기에서 쌍대극한이 범주 \(\{U \to V, V \in Y_\proetale\}\)의 반대범주에 걸쳐 취해진다는 사실을 생략했다. Lemma 0F63에 의해 \(u_p\mathcal{F}\)가 유한 서로소 합을 곱으로 보냄을 증명하면 충분하다. \(U = U_1 \amalg U_2\)가 열린닫힌 부분스킴들의 서로소 합이라고 하자. 함자 \[\{U_1 \to V_1\} \times \{U_2 \to V_2\} \longrightarrow \{U \to V\},\quad (U_1 \to V_1, U_2 \to V_2) \longmapsto (U \to V_1 \amalg V_2)\] 가 존재하며 이는 시작 함자이다(Categories, Definition 09WP). 따라서 반대범주 위의 대응하는 함자는 공종이고, Categories, Lemma 04E7에 의해 \(U\)에서의 \(u_p\mathcal{F}\)는 곱범주에 걸친 값 \(\mathcal{F}(V_1 \amalg V_2)\)들의 쌍대극한이다. \(\mathcal{F}\)는 층이므로 서로소 합을 곱으로 보내며, \(u_p\mathcal{F}\)도 그러하다고 결론내린다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. Lemma 098Q의 사상 \[\pi_S : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow S_\proetale\] 을 생각하자. \(\mathcal{F}\)를 \(S_\proetale\) 위의 층이라 하자. 그러면 \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\)는 규칙 \[(\pi_S^{-1}\mathcal{F})(T) = \Gamma(T_\proetale, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] 로 주어진다. 여기서 \(f : T \to S\)이다. 또한 \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\)는 fpqc 덮개에 대한 층 조건을 만족한다.

증명

사상 \(i_f : \Sh(T_\proetale) \to \Sh(\Sch/S)_\proetale)\)가 존재하고, 사이트의 사상 \(T_\proetale \to S_\proetale\)로서 \(\pi_S \circ i_f = f_{small}\)임에 유의하자. Lemma 098P를 보라. 당김은 추이적이므로 원하는 대로 \(i_f^{-1} \pi_S^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\)이다.

\(\{g_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 fpqc 덮개라 하자. 마지막 명제의 뜻은 다음과 같다. \(T_\proetale\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)와 단면들 \(s_i \in \Gamma(T_i, g_{i, small}^{-1}\mathcal{G})\)가 주어지고, 그것들의 \(T_i \times_T T_j\)로의 당김들이 일치한다고 하자. 그러면 \(T\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 유일한 단면 \(s\)가 존재하여 \(T_i\)로의 당김이 \(s_i\)와 일치한다. \(T\)가 아핀이고 덮개가 아핀들 사이의 하나의 전사 평탄 사상 \(T' \to T\)로 주어진 경우에 이 명제를 증명하겠다. 일반적인 경우를 이 경우로 환원하는 과정은 생략한다.

\(g : T' \to T\)를 아핀들 사이의 전사 평탄 사상이라 하고, \(s' \in g_{small}^{-1}\mathcal{G}(T')\)를 \(T' \times_T T'\) 위에서 \(\text{pr}_0^*s' = \text{pr}_1^*s'\)를 만족하는 단면이라 하자. \(W\)가 아핀이고 약 수축 가능인 전사 약 에탈 사상 \(W \to T'\)를 택한다. Lemma 0F4P를 보라. Lemma 0F64에 의해 제한 \(s'|_W\)는 \(\colim_{W \to U} \mathcal{G}(U)\)의 원소이다. \(s'\)에 대응하는 \(\phi : W \to U_0\)와 \(s_0 \in \mathcal{G}(U_0)\)를 택한다. \(V\)가 아핀이고 약 수축 가능인 전사 약 에탈 사상 \(V \to W \times_T W\)를 택한다. 유도된 사상들을 \(a, b : V \to W\)로 나타내자. \(a^*(s'|_W) = b^*(s'|_W)\)이고 범주 \(\{V \to U, U \in T_\proetale\}\)가 여과역이므로 (이는 명백하지만 의심스러우면 Sites, Lemma 00X5을 보라), 두 사상 \(\phi \circ a , \phi \circ b : V \to U_0\)는 같아야 한다. Descent, Section 023P의 결과들, 특히 Descent, Lemma 023Q에 의해 유일한 사상 \(T \to U_0\)가 존재하여 \(\phi\)는 이 사상과 구조 사상 \(W \to T\)의 합성이 된다(작은 세부사항은 생략한다). 이제 \(s\)를 이 사상에 의한 \(s_0\)의 당김으로 둘 수 있다. \(s\)가 \(T'\) 위에서 \(s'\)로 당겨진다는 확인은 생략한다.

큰 토포스와 작은 토포스의 비교

이 절은 Étale Cohomology, Section 0757의 유사물이다. 다음에서는 Lemma 098Q의 토포스의 사상 \(i_S : \Sh(S_\proetale) \to \Sh((\Sch/S)_\proetale)\)에 대응하는 당김 함자 \(i_S^{-1}\)를 종종 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{S_\proetale}\)로 나타내겠다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(T\)를 \((\Sch/S)_\proetale\)의 대상이라 하자.

1. \(\mathcal{I}\)가 \(\textit{Ab}((\Sch/S)_\proetale)\)에서 단사이면

   1. \(i_f^{-1}\mathcal{I}\)는 \(\textit{Ab}(T_\proetale)\)에서 단사이고,

   2. \(\mathcal{I}|_{S_\proetale}\)는 \(\textit{Ab}(S_\proetale)\)에서 단사이다.

2. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 \(\textit{Ab}((\Sch/S)_\proetale)\) 안의 K-단사 복합체이면

   1. \(i_f^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\textit{Ab}(T_\proetale)\) 안의 K-단사 복합체이고,

   2. \(\mathcal{I}^\bullet|_{S_\proetale}\)는 \(\textit{Ab}(S_\proetale)\) 안의 K-단사 복합체이다.

증명

(1)(a)와 (2)(a)의 증명: \(i_f^{-1}\)는 완전 함자 \(i_{f, !}\)의 오른쪽 수반이다. 실제로 \(i_f\)는 쌍대연속이고 연속이며 올곱과 등화자와 가환하는 함자 \(u : T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)에 대응함을 상기하자. Lemma 098P와 그 증명을 보라. 따라서 Modules on Sites, Lemma 04BG에 의해 \(i_{f, !}\)를 얻는다. Modules on Sites, Lemma 04BH에서 이것이 완전함을 보였다. 그러면 Homology, Lemma 015Z와 Derived Categories, Lemma 08BJ에 의해 (1)(a)와 (2)(a)가 성립한다고 결론내린다.

\(i_S = i_{\text{id}_S}\)이므로 (1)(b)와 (2)(b)는 각각 (1)(a)와 (2)(a)의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D((\Sch/T)_\proetale)\) 안의 \(K\)에 대하여 \[(Rf_{big, *}K)|_{S_\proetale} = Rf_{small, *}(K|_{T_\proetale})\] 가 \(D(S_\proetale)\) 안에서 성립한다. 더 일반적으로 구조 사상이 \(g : S' \to S\)인 \(S' \in \Ob((\Sch/S)_\proetale)\)를 택하고 올곱 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 생각하자. 그러면 \(D((\Sch/T)_\proetale)\) 안의 \(K\)에 대하여 \[i_g^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}K)\] 가 \(D(S'_\proetale)\) 안에서 성립하고, \[g_{big}^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^{-1}K)\] 가 \(D((\Sch/S')_\proetale)\) 안에서 성립한다.

증명

첫 번째 등식은 \(K\)를 나타내는 아벨 층들의 K-단사 복합체를 택한 뒤 Lemma 0F67와 (0F60)을 적용하면 따른다. 두 번째 등식은 \(K\)를 나타내는 같은 복합체를 택한 뒤 Lemma 0F67와 Lemma 0F61을 적용하면 따른다. 세 번째 등식도 \(K\)를 나타내는 같은 복합체를 택한 뒤 Cohomology on Sites, Lemmas 03F3와 08FI, 그리고 Lemma 0F61을 적용하면 마찬가지로 따른다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{H}\)를 \((\Sch/S)_\proetale\) 위의 아벨 층이라 하자. \(H^n_\proetale(U, \mathcal{H})\)는 \((\Sch/S)_\proetale\)의 대상 \(U\) 위에서의 \(\mathcal{H}\)의 코호몰로지를 나타냄을 상기하자.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D(S_\proetale)\) 안의 \(K\)에 대하여 \[H^n_\proetale(S, \pi_S^{-1}K) = H^n(S_\proetale, K)\] 이고 \[H^n_\proetale(T, \pi_S^{-1}K) = H^n(T_\proetale, f_{small}^{-1}K).\] 이다. \(D((\Sch/S)_\proetale)\) 안의 \(M\)에 대하여 \[H^n_\proetale(T, M) = H^n(T_\proetale, i_f^{-1}M).\] 이다.

증명

마지막 등식을 증명하려면 \(M\)을 아벨 층들의 K-단사 복합체로 나타낸 뒤 Lemma 0F67를 적용하고 정의들을 전개한다. 두 번째 등식은 \(i_f^{-1} \circ \pi_S^{-1} = f_{small}^{-1}\)이므로 이로부터 따른다. 첫 번째 등식은 두 번째 등식의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(K \in D(S_\proetale)\)에 대하여 사상 \[K \longrightarrow R\pi_{S, *}\pi_S^{-1}K\] 은 동형이다.

증명

\(\pi_S^{-1}\)와 \(\pi_{S, *} = i_S^{-1}\)가 모두 완전 함자이고 합성 \(\pi_{S, *} \circ \pi_S^{-1}\)가 항등 함자이므로 이는 참이다.

pro-étale 사이트의 점

먼저 점을 충분히 많이 가짐을 보이기 위해 Deligne의 판정을 적용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. pro-étale 사이트 \(\Sch_\proetale\), \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_{affine, \proetale}\), \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)는 점을 충분히 많이 갖는다.

증명

\(S\)의 큰 pro-étale 토포스는 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)가 정의하는 토포스와 동치이다. Lemma 098N를 보라. \(S_\proetale\) 위의 층의 토포스는 \(S_{affine, \proetale}\)에 딸린 토포스와 동치이다. Lemma 098W를 보라. 사이트 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)와 \(S_{affine, \proetale}\)에 대한 결과는 Deligne의 결과 Sites, Lemma 0DW0에서 즉시 따른다. \(\Sch_\proetale\)의 경우는 이것이 \((\Sch/\Spec(\mathbf{Z}))_\proetale\)와 같기 때문에 처리된다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\)를 기하학적 점이라 하자. \(\overline{s}\)의 it pro-étale 근방을 \(U \to S\)가 약 에탈인 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[r]_-{\overline{u}} \ar[rd]_{\overline{s}} & U \ar[d] \\ & S }\] 으로 정의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\)를 기하학적 점이라 하자. \(\overline{s}\)의 pro-étale 근방들의 범주는 여과역이다.

증명

증명은 Étale Cohomology, Lemma 03PQ의 증명과 동일하되, More on Morphisms, Lemmas 094T, 094U, 0951에서 증명한 약 에탈 사상에 대한 대응하는 사실들을 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \(\overline{s}\)를 \(S\)의 기하학적 점이라 하자. \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : S_i \to S\}_{i\in I}\)를 pro-étale 덮개라 하자. 그러면 \(i \in I\)와 \(\overline{s}\)로 가는 \(S_i\)의 기하학적 점 \(\overline{s}_i\)가 존재한다.

증명

\(\coprod \varphi_i\)가 전사이고, 약 에탈 사상이 유도하는 잉여체 확대가 분리 대수적이라는 사실에서 즉시 따른다

(예를 들어 More on Morphisms, Lemma 094Z를 보라.

\(S\)를 스킴, \(\overline{s}\)를 \(S\)의 기하학적 점이라 하자. \(\Sh(S_\proetale)\) 안의 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(\overline{s}\)에서의 \(\mathcal{F}\)의 줄기를 공식 \[\mathcal{F}_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] 으로 정의한다. 여기서 쌍대극한은 \(U \in \Ob(S_\proetale)\)인 \(\overline{s}\)의 모든 pro-étale 근방 \((U, \overline{u})\)에 걸쳐 취한다. 위 두 보조정리에서 함자

\[S_\proetale \textit{Sets},\quad U \longmapsto \{\overline{u}\text{ geometric point of }U\text{ mapping to }\overline{s}\}\] 가 사이트 \(S_\proetale\)의 점을 정의함이 따른다. Sites, Definition 00Y5와 Lemma 0F4E를 보라. 따라서 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\)는 토포스 \(\Sh(S_\proetale)\)의 점을 정의한다. Sites, Definition 00Y4와 Lemma 00YA를 보라. 특히 이 함자는 완전하고 임의의 쌍대극한과 가환한다. 사실 이 함자는 다른 기술을 갖는다.

보조정리

위 상황에서 스킴 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\)는 \(X_\proetale\)의 대상이고, \(\mathcal{F}\)에 함자적인 표준 동형 \[\mathcal{F}(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] 이 존재한다.

증명

첫 번째 명제는 강 Hensel화를 \(S\) 위의 에탈 대수들의 여과 쌍대극한으로 구성하는 방식에서 명백하다. 또는 More on Morphisms, Lemma 094Z의 약 에탈 사상에 대한 특성화를 사용하라. 두 번째 명제는 Olivier의 정리(More on Algebra, Theorem 092Z)에 의해 스킴 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\)가 \(\overline{s}\)의 pro-étale 근방들의 범주의 시작 대상이라는 사실에서 따른다.

\(S\)의 에탈 토포스의 상황과 달리 \(\Sh(S_\proetale)\)의 모든 점이 이 꼴인 것은 아니며, 기하학적 점들에 딸린 점들의 모음이 보수적인 것도 아니다. 실제로 \(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(S = \Spec(k)\)라고 하자. \(A\)를 영이 아닌 아벨 군이라 하자. \(S_\proetale\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)를 아핀 \(U\)에 대해서는 \[\mathcal{F}(U) = \frac{\{\text{functions }U \to A\}}{\{\text{locally constant functions}\}}\] 으로 정의하고 일반적으로는 층화하여 정의하자. Example 0F6D를 보라. \(U = S = \Spec(k)\)이면 \(\mathcal{F}(U) = 0\)이지만 일반적으로 \(\mathcal{F}\)는 영이 아니다. 실제로 \(S_\proetale\)는 무한히 많은 점을 갖는 아핀 대상을 포함한다. 예를 들어 전이 사상이 전사인 유한 집합들의 역극한 \(E = \lim E_n\), 이를테면 \(E = \mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\)를 택하자. 스킴 \(U = \Spec(\colim \text{Map}(E_n, k))\)는 \(S_\proetale\)의 대상이다. 실제로 \(\colim \text{Map}(E_n, k)\)는 \(k\) 위에서 약 에탈이며 심지어 ind-Zariski이다. 따라서 국소상수가 아닌 사상 \(E \to A\)가 존재하므로 \(\mathcal{F}(U)\)는 영이 아니다. 그러므로 \(\mathcal{F}\)는 \(S\)의 유일한 기하학적 점에서의 줄기가 영인, 영이 아닌 아벨 층이다. \(S_\proetale\)가 점을 충분히 많이 가짐을 알고 있으므로 위에서 설명한 구성으로부터 나오지 않는 pro-étale 사이트의 점이 존재해야 한다.

점을 사용하는 논증은 아핀 약 수축 가능 대상을 사용하여 대신한다. 첫째, Lemma 0990에 의해 아핀 약 수축 가능 대상이 충분히 많이 존재한다. 둘째, \(W \in \Ob(S_\proetale)\)가 아핀 약 수축 가능이면 함자 \[\Sh(S_\proetale) \longrightarrow \textit{Sets},\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(W)\] 는 모든 극한과 가환하는 완전 함자 \(\Sh(S_\proetale) \to \textit{Sets}\)이다. 함자 \[\textit{Ab}(S_\proetale) \longrightarrow \textit{Ab},\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(W)\] 는 완전하고 직합과 가환하므로(\(W\)가 준콤팩트이다. Sites, Lemma 0738를 보라) 모든 극한 및 쌍대극한과 가환한다. 또한 \(S_\proetale\)의 이러한 아핀 약 수축 가능 대상에서 값을 취하여 아벨 층들의 복합체의 완전성을 확인할 수 있다. Cohomology on Sites, Proposition 0947을 보라.

마지막으로, 일반적으로 아핀 약 수축 가능 \(W\)에 대한 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\)는 \(S_\proetale\)의 점의 줄기 함자가 아니다. \(W\)가 비연결이면 이 함자는 집합의 층들의 쌍대곱을 보존하지 않기 때문이다. 실제로 \(W\)가 \(1\)개보다 많은 닫힌 점을 가지면, 즉 \(W\)가 강 Hensel 국소환의 스펙트럼이 아니면 \(W\)는 비연결이다(후자가 위에서 다룬 특수한 경우이다).

étale 사이트와의 비교

\(X\)를 스킴이라 하자. 사이트를 적절히 선택하면⁴ \(U/X\)를 \(U/X\)로 보내는 함자 \(u : X_\etale \to X_\proetale\)는 사이트의 사상 \[\epsilon : X_\proetale \longrightarrow X_\etale\] 을 정의한다. 이는 Sites, Proposition 00X6에서 따른다.

보조정리

위의 표기를 사용하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\etale\) 위의 층이라 하자. 규칙 \[X_\proetale \longrightarrow \textit{Sets},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y_\etale, f_\etale^{-1}\mathcal{F})\] 은 층이고 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)와 같다. 여기서 \(f_\etale : Y_\etale \to X_\etale\)는 Étale Cohomology, Section 04I0에서 구성한 작은 étale 사이트의 사상이다.

증명

Lemma 098A에 의해 모든 pro-étale 덮개는 fpqc 덮개이다. 따라서 이 공식은 Étale Cohomology, Lemma 09XN에 의해 \(X_\proetale\) 위의 층을 정의한다. \(a : \Sh(X_\etale) \to \Sh(X_\proetale)\)를 \(\mathcal{F}\)를 보조정리의 공식이 주는 층으로 보내는 함자라 하자. \(a = \epsilon^{-1}\)임을 보이려면 \(a\)가 \(\epsilon_*\)의 왼쪽 수반임을 보이면 충분하다.

\(\mathcal{G}\)를 \(\Sh(X_\proetale)\)의 대상이라 하자. \(\epsilon_*\mathcal{G}\)는 단순히 \(\mathcal{G}\)를 충만한 부분범주 \(X_\etale\)로 제한하여 주어짐을 상기하자. \(f : Y \to X\)를 \(X_\proetale\)의 대상이라 하고 \(Y_\etale\)를 \(X_\proetale\)의 부분범주로 보자. 층 \(\mathcal{G}\)의 제한 사상들은 사상 \[\epsilon_*\mathcal{G} = \mathcal{G}|_{X_\etale} \longrightarrow f_{\etale, *}(\mathcal{G}|_{Y_\etale})\] 을 정의한다. 실제로 \(X_\etale\) 안의 \(U\)에 대한 \(f_{\etale, *}(\mathcal{G}|_{Y_\etale})\)의 \(U\)에서의 값은 \(\mathcal{G}(Y \times_X U)\)이고, 제한 사상 \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{G}(Y \times_X U)\)가 존재한다. 수반에 의해 이는 사상 \[f_\etale^{-1}(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}|_{Y_\etale}\] 을 결정한다. \(X_\proetale\) 안의 모든 \(f : Y \to X\)에 대하여 이들을 모으면 표준 사상 \(a(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}\)를 얻는다.

\(\mathcal{F}\)를 \(\Sh(X_\etale)\)의 대상이라 하자. 즉시 \(\mathcal{F} = \epsilon_*a(\mathcal{F})\)임이 명백하다.

사상 \(\mathcal{F} \to \epsilon_*a(\mathcal{F})\)와 \(a(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}\)가 이 수반의 단위원과 쌍대단위원이라고 주장한다(Categories, Section 0036를 보라). 이를 보이려면 대응하는 사상

\[\Mor_{\Sh(X_\proetale)}(a(\mathcal{F}), \mathcal{G}) \to \Mor_{\Sh(X_\etale)}(\mathcal{F}, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\] 와 \[\Mor_{\Sh(X_\etale)}(\mathcal{F}, \epsilon^{-1}\mathcal{G}) \to \Mor_{\Sh(X_\proetale)}(a(\mathcal{F}), \mathcal{G})\] 가 서로 역임을 보이면 충분하다. 자세한 확인은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X_\etale\) 위의 모든 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 수반 사상 \(\mathcal{F} \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)는 동형이다. 즉 \(X_\etale\) 안의 \(U\)에 대하여 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(U)\)이다.

증명

Lemma 0GLZ의 \(\epsilon^{-1}\)에 대한 기술에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Y = \lim Y_i\)를 전이 사상이 아핀인 \(X_\proetale\)의 준콤팩트 준분리 대상들의 유향 역계의 극한이라 하자. \(X_\etale\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \[\epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y) = \colim \epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y_i)\] 이다. 또한 \(Y_i\)가 \(X_\etale\)에 속하면 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y) = \colim \mathcal{F}(Y_i)\)이다.

증명

Lemma 0GLZ의 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)에 대한 기술에 의해, 표시된 공식은 Étale Cohomology, Theorem 09YQ의 특수한 경우이다. (\(X\), \(Y\), \(Y_i\)가 모두 아핀이면 더 읽기 쉬운 Étale Cohomology, Lemma 03Q6를 보라.) 마지막 명제는 이 사실과 Lemma 099T에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 아핀 스킴이라 하자. \(X_\etale\) 위의 단사 아벨 층 \(\mathcal{I}\)에 대하여 \(p > 0\)이면 \(H^p(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = 0\)이다.

증명

이를 증명하기 위해 Cohomology on Sites, Lemma 03F9을 사용하겠다. \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\proetale)\)를 \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\)가 ind-étale인 \(X_\proetale\)의 아핀 대상 \(U\)들의 집합이라 하자. \(\text{Cov}\)를 \(U \in \mathcal{B}\)이고 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(U_i)\)가 ind-étale인 pro-étale 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\)들의 집합이라 하자. Cohomology on Sites, Lemma 03F9의 성질 (1)과 (2)는 Lemmas 097K, 097J, 098D, 그리고 Proposition 097Z에 의해 \(\mathcal{B}\)와 \(\text{Cov}\)에 대하여 성립한다.

조건 (3)을 확인하기 위해 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\)가 \(\text{Cov}\)의 원소라고 하자. \(\mathcal{U}\)에 대한 \(\epsilon^{-1}\mathcal{I}\)의 고차 Cech 코호몰로지군이 영임을 보여야 한다. 먼저 \(U_{i, a} \to U\)가 étale이고 \(U_{i, a}\)가 아핀인 유향 역극한 \(U_i = \lim_{a \in A_i} U_{i, a}\)로 쓴다.

\(A_1 \times \ldots \times A_n\)을 다음 순서가 주어진 유향 집합으로 생각한다. 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(a_i \geq a_i'\)일 때, 그리고 그때에만 \((a_1, \ldots, a_n) \geq (a_1', \ldots, a_n')\)이다. 다음이 모든 경우에 étale 덮개임에 유의하자. \(\mathcal{U}_{(a_1, \ldots, a_n)} = \{U_{i, a_i} \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\)

여기서 모든 \(a_1, \ldots, a_n \in A_1 \times \ldots \times A_n\)을 취한다. 극한은 올곱과 가환하므로 모든 \(i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}\)에 대하여 \[U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} = \lim_{(a_1, \ldots, a_n) \in A_1 \times \ldots \times A_n} U_{i_0, a_{i_0}} \times_U U_{i_1, a_{i_1}} \times_U \ldots \times_U U_{i_p, a_{i_p}}\] 임에 유의하자. 따라서 Lemma 099S과 여과 쌍대극한의 완전성에 의해 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_{(a_1, \ldots, a_n)}, \epsilon^{-1}\mathcal{I})\] 이다. 그러므로 \(U\)의 étale 덮개에 대한 소멸을 증명하면 충분하다!

\(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\)를 \(U_i\)가 아핀인 étale 덮개라 하자. \(U_b\)가 아핀이고 \(U_b \to X\)가 étale인 유향 역극한 \(U = \lim_{b \in B} U_b\)로 쓰자. Limits, Lemmas 01ZM, 01Z6, 07RP에 의해 \(b_0 \in B\)를 택하여 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 아핀들의 étale 사상 \(U_{i, b_0} \to U_{b_0}\)가 존재하고 \(U_i = U \times_{U_{b_0}} U_{i, b_0}\)가 되게 할 수 있다. \(b \geq b_0\)에 대하여 \(U_{i, b} = U_b \times_{U_{b_0}} U_{i, b_0}\)로 둔다. 충분히 큰 \(b\)에 대하여 족 \(\mathcal{U}_b = \{U_{i, b} \to U_b\}_{i = 1, \ldots, n}\)는 étale 덮개이다. Limits, Lemma 07RR를 보라. 앞과 정확히 같이 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_b, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_b, \mathcal{I})\] 를 얻으며 마지막 등식은 Lemma 099T에 의한다. 오른쪽의 각 Čech 복합체는 양의 차수에서 비순환이므로 (Cohomology on Sites, Lemma 03AW) 왼쪽 것도 그러하다. 이로써 Cohomology on Sites, Lemma 03F9의 조건 (3)을 증명했다. \(X \in \mathcal{B}\)이므로 보조정리가 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X_\etale\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(R\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{F}) = \mathcal{F}\)이다.

2. \(K \in D^+(X_\etale)\)에 대하여 사상 \(K \to R\epsilon_*\epsilon^{-1}K\)는 동형이다.

증명

\(\mathcal{I}\)를 \(X_\etale\) 위의 단사 아벨 층이라 하자. \(R^q\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{I})\)는 \(U \mapsto H^q(U_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{I})\)에 딸린 층임을 상기하자. Cohomology on Sites, Lemma 072W를 보라. Lemma 099U에 의해 \(q > 0\)이고 \(U\)가 아핀이며 \(X\) 위에서 étale이면 이는 영이다. \(X_\etale\)의 모든 대상은 아핀 대상들에 의한 덮개를 가지므로 \(q > 0\)이면 \(R^q\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{I}) = 0\)이다.

\(K \in D^+(X_\etale)\)라 하자. \(K\)를 나타내는 \(X_\etale\) 위의 단사 아벨 층들의 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 택한다. 그러면 \(\epsilon^{-1}K\)는 \(\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)로 표현된다. Leray의 비순환성 보조정리(Derived Categories, Lemma 015E)에 의해 \(R\epsilon_*\epsilon^{-1}K\)는 \(\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)로 표현된다. Lemma 099T에 의해 \(R\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}^\bullet\)라고 결론내리고 (2)의 증명이 끝난다. (1)은 (2)의 특수한 경우이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X_\etale\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 모든 \(i\)에 대해 \[H^i(X_\etale, \mathcal{F}) = H^i(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{F})\] 이다.

2. \(K \in D^+(X_\etale)\)에 대하여 \[R\Gamma(X_\etale, K) = R\Gamma(X_\proetale, \epsilon^{-1}K)\] 이다.

증명

Lemma 099V과 Leray 스펙트럼 열의 즉각적인 귀결이다(Cohomology on Sites, Lemma 0733).

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(X_\etale\) 위의, 가환일 필요가 없는 군의 층이라 하자. 그러면 \[H^1(X_\etale, \mathcal{G}) = H^1(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\] 이다. 여기서 \(H^1\)은 토서의 동형류들의 집합으로 정의한다 (Cohomology on Sites, Section 03AG를 보라).

증명

Lemma 099T에 의해 함자 \(\epsilon^{-1}\)는 완전 충실하므로 사상 \(H^1(X_\etale, \mathcal{G}) \to H^1(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\)가 단사임은 명백하다. 전사성을 보이려면 임의의 \(\epsilon^{-1}\mathcal{G}\)-토서 \(\mathcal{F}\)가 étale 국소적으로 자명함을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(X\)가 아핀이라고 해도 된다. 따라서 \(X\)가 아핀인 경우의 전사성을 증명하는 것으로 환원된다.

(a) \(U\)가 아핀이고, (b) \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\)가 ind-étale이고, (c) \(\mathcal{F}(U)\)가 공집합이 아닌 덮개 \(\{U \to X\}\)를 택한다. 이는 Proposition 097Z과 \(X\)의 표준 pro-étale 덮개들이 \(X\)의 모든 pro-étale 덮개 중 공종이라는 사실(Lemma 098D)에 의해 가능하다. 이를 \(X\) 위에서 étale인 아핀 스킴들의 극한 \(U = \lim U_i\)로 쓰고 \(s \in \mathcal{F}(U)\)를 택한다. \(g \in \epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U)\)를 \(\mathcal{F}(U \times_X U)\) 안에서 \(g \cdot \text{pr}_1^*s = \text{pr}_2^*s\)를 만족하는 유일한 단면이라 하자. 그러면 \(g\)는 \[\text{pr}_{12}^*g \cdot \text{pr}_{23}^*g = \text{pr}_{13}^*g\] 라는 코사이클 조건을 \(\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U \times_X U)\) 안에서 만족한다. Lemma 099S에 의해 \[\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U) = \colim \mathcal{G}(U_i \times_X U_i)\] 이고 \[\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U \times_X U) = \colim \mathcal{G}(U_i \times_X U_i \times_X U_i)\] 이므로, \(g\)로 가고 코사이클 조건을 만족하는 원소 \(g_i \in \mathcal{G}(U_i \times_X U_i)\)와 \(i\)를 찾을 수 있다. 그러면 코사이클 \(g_i\)는 \(X_\etale\) 위의 \(\mathcal{G}\)-토서를 정의하며, 그 당김은 구성상 \(\mathcal{F}\)와 동형이다. 몇 가지 세부사항은 생략한다(즉, 사이트 위의 코호몰로지 장에 추가되어야 할 토서와 1-코사이클 사이의 관계).

보조정리

\(X\)를 스킴, \(\Lambda\)를 환이라 하자.

1. 완전 충실한 함자 \(\epsilon^{-1} : \textit{Mod}(X_\etale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\)의 본질적 상은 약 Serre 부분범주 \(\mathcal{C}\)이다.

2. 함자 \(\epsilon^{-1}\)는 \(D^+(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D^+_\mathcal{C}(X_\proetale, \Lambda)\)의 범주들의 동치를 정의하며, 준역은 \(R\epsilon_*\)로 주어진다.

증명

(1)을 증명하기 위해 Homology, Lemma 0754의 조건 (1) – (4)를 증명하겠다. \(\epsilon^{-1}\)는 완전 충실하고 (Lemma 099T) 완전하므로 조건 (4)를 제외한 모든 것이 명백하다. 그러나 \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \epsilon^{-1}\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G} \to \epsilon^{-1}\mathcal{F}_2 \to 0\] 이 주어지면 \[0 \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_1 \to \epsilon_*\mathcal{G} \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_2 \to R^1\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_1\] 를 얻고, 이는 Lemma 099V에 의해 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \epsilon_*\mathcal{G} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 과 같다.

당기면 \(\mathcal{G} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{G}\)임을 얻는다. 이로써 (1)을 증명했다.

(2)는 (1)과 Cohomology on Sites, Lemma 0D7U에서 따른다.

\(\Lambda\)를 환이라 하자. Modules on Sites, Section 093P에서 사이트 위의 \(\Lambda\)-가군의 국소상수 층의 개념을 정의했다. \(M\)이 \(\Lambda\)-가군이면 \(\underline{M}\)이 \(\underline{\Lambda}\)-가군의 층으로서 유한 표시일 필요충분조건은 \(M\)이 유한 표시 \(\Lambda\)-가군인 것이다. Modules on Sites, Lemma 093N를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴, \(\Lambda\)를 환이라 하자. 함자 \(\epsilon^{-1}\)는 범주들의 동치 \[\left\{ \begin{matrix} \text{locally constant sheaves}\\ \text{of }\Lambda\text{-modules on }X_\etale\\ \text{of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{locally constant sheaves}\\ \text{of }\Lambda\text{-modules on }X_\proetale\\ \text{of finite presentation} \end{matrix} \right\}\] 를 정의한다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 유한 표시인 국소상수 \(\Lambda\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{F}|_{U_i}\)가 상수 층이 되게 하는 pro-étale 덮개 \(\{U_i \to X\}\)를 택하고 \(\mathcal{F}|_{U_i} \cong \underline{M_i}_{U_i}\)라고 쓰자. \(M_i\)가 \(M_j\)와 동형이 아니면 \(U_i \times_X U_j\)가 공집합임에 유의하자. 각 \(\Lambda\)-가군 \(M\)에 대하여 \(I_M = \{i \in I \mid M_i \cong M\}\)으로 둔다. pro-étale 덮개는 fpqc 덮개이므로 Descent, Lemma 03N0에 의해 \(U_M = \bigcup_{i \in I_M} \Im(U_i \to X)\)는 \(X\)의 열린 부분집합이다. 그러면 \(X = \coprod U_M\)은 \(X\)의 서로소 열린 덮개이다. \(X\)를 어떤 \(M\)에 대한 \(U_M\)으로 바꾸고 모든 \(i\)에 대하여 \(M_i = M\)이라고 해도 된다.

층 \(\mathcal{I} = \mathit{Isom}(\underline{M}, \mathcal{F})\)를 생각하자. 이 층은 \(\mathcal{G} = \mathit{Isom}(\underline{M}, \underline{M})\)에 대한 토서이다. Modules on Sites, Lemma 093T에 의해 \(G = \mathit{Isom}_\Lambda(M, M)\)인 \(\mathcal{G} = \underline{G}\)이다. Lemma 099X에 의해 étale 위상과 pro-étale 위상에 대한 토서가 일치하므로 \(\mathcal{I}\)는 \(X\) 위에서 étale 국소적으로 단면을 갖는다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 étale 국소적으로 상수 층이며, 이것이 보여야 할 명제이다.

보조정리

\(X\)를 스킴, \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(D_{flc}(X_\etale, \Lambda)\), 각각 \(D_{flc}(X_\proetale, \Lambda)\)를 \(D(X_\etale, \Lambda)\), 각각 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 충만한 부분범주 가운데 코호몰로지 층들이 유한형 \(\Lambda\)-가군의 국소상수 층인 복합체들로 이루어진 것으로 두자. 그러면 \[\epsilon^{-1} : D_{flc}^+(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D_{flc}^+(X_\proetale, \Lambda)\] 는 범주의 동치이다.

증명

범주 \(D_{flc}(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D_{flc}(X_\proetale, \Lambda)\)는 Modules on Sites, Lemma 093U와 Derived Categories, Section 06UP에 의해 각각 \(D(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이다. 보조정리의 명제는 Lemmas 09B1와 099Y를 결합하면 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴, \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(K\)를 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 대상이라 하고

\(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)으로 둔다. \(K_1\)이

1. \(\epsilon^{-1} :D(X_\etale, \Lambda/I) \to D(X_\proetale, \Lambda/I)\)의 본질적 상에 속하고,

2. 어떤 \(a \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \([a,\infty)\) 안의 Tor 진폭을 가지면,

\(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\)의 대상으로서 \(K_n\)에 대해서도 (1)과 (2)가 성립한다.

증명

\(K_n\)에 대한 주장 (2)는 더 일반적인 Cohomology on Sites, Lemma 0942에서 따른다. \(K_n\)에 대한 주장 (1)은 구별 삼각형 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} \to K_{n + 1} \to K_n \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}[1]\] 과 동형 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} = K_1 \otimes_{\Lambda/I}^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}\] 및 Lemma 09B1에서 증명한 \(\epsilon^{-1}\)의 본질적 상이 \(D^+(X_\proetale, \Lambda/I^n)\)의 삼각 부분범주라는 사실로부터 \(n\)에 대한 귀납법으로 따른다.

예

\(X\)를 스킴, \(A\)를 아벨 군이라 하자. \(U\)를 점들의 집합의 모든 사상 \(U \to A\)의 집합으로 보내는 \(X_\proetale\) 위의 층을 \(fun(-, A)\)로 나타내자. \(X_\proetale\) 위의 층들의 열 \[0 \to \underline{A} \to fun(-, A) \to \mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. 상수 층은 끝 토포스로부터의 당김이므로 \(\underline{A} = \epsilon^{-1}\underline{A}\)이다. 그러나 \(A\)가 하나보다 많은 원소를 가지면 \(fun(-, A)\)와 \(\mathcal{F}\) 어느 것도 \(X\)의 étale 사이트에서 당겨진 것이 아니다. \(\mathcal{F}\)의 값을 몇몇 경우에 계산하기 위해, \(X\)의 모든 점이 분리적으로 닫힌 잉여체를 갖는 닫힌 점이고 \(U\)가 아핀이라고 하자. 그러면 \(U\)의 모든 점도 분리적으로 닫힌 잉여체를 갖는 닫힌 점이며, Lemma 099W와 Étale Cohomology, Lemma 09AY에 의해 \[H^1_\proetale(U, \underline{A}) = H^1_\etale(U, \underline{A}) = 0\] 이다. 따라서 이 경우 \[\mathcal{F}(U) = fun(U, A)/\underline{A}(U)\] 이다.

상수 Noether 경우의 유도 완비화

Algebraic and Formal Geometry, Section 0995에서 시작한 논의를 계속한다. 독자가 그 절의 적어도 일부를 읽었다고 가정한다.

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환, \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. Modules on Sites, Lemma 093M에서 \[\underline{\Lambda}^\wedge = \lim \underline{\Lambda/I^n}\] 은 평탄한 \(\underline{\Lambda}\)-대수이고 사상 \(\underline{\Lambda} \to \underline{\Lambda}^\wedge\)가 \(I\)에 의한 몫들을 식별함을 상기하자. 따라서 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 099I는 \[D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) = D_{comp}(\mathcal{C}, \underline{\Lambda}^\wedge)\] 임을 알려 준다. 특히 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)의 대상 \(K\)의 코호몰로지 층 \(H^i(K)\)는 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)-가군의 층이다. 표기의 편의를 위해 흔히 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)로 작업한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환, \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. Algebraic and Formal Geometry, Proposition 099F의 포함 함자 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) \to D(\mathcal{C}, \Lambda)\)의 왼쪽 수반은 \(K\)를 \[K^\wedge = R\lim(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\] 으로 보낸다. 특히 \(K\)가 유도 완비일 필요충분조건은 \(K = R\lim(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\)이다.

증명

\(I\)의 생성자 \(f_1, \ldots, f_r\)를 택한다. Algebraic and Formal Geometry, Lemma 0A0E에 의해 \[K^\wedge = R\lim (K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{K_n})\] 이다. 여기서 \(K_n = K(\Lambda, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)이다. More on Algebra, Lemma 0921에서 \(D(\Lambda)\)의 전체계 \(\{K_n\}\)와 \(\{\Lambda/I^n\}\)가 동형임을 보았다. 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(\Lambda\)를 Noether 환, \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\)를 토포스의 사상이라 하자. 그러면

1. \(Rf_*\)는 \(D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\)를 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 안으로 보내고,

2. 사상 \(Rf_* : D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda) \to D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)는 왼쪽 수반 \(Lf_{comp}^* : D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) \to D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\)를 가지며, 이는 \(Lf^*\) 뒤에 유도 완비화를 적용한 것이고,

3. \(Rf_*\)는 유도 완비화와 가환하고,

4. \(D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\) 안의 \(K\)에 대하여 \(Rf_*K = R\lim Rf_*(K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\)이고,

5. \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 안의 \(M\)에 대하여 \(Lf^*_{comp}M = R\lim Lf^*(M \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\)이다.

증명

(1)과 (2)는 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 099K에서 보았다. (3)은 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 0A0G에서 따른다. (4)를 위해 \(K\)가 유도 완비라고 하자. 그러면 \[Rf_*K = Rf_*( R\lim K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}) = R\lim Rf_*(K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\] 이다. 첫 번째 등식은 Lemma 099M에 의하고, 두 번째 등식은 \(Rf_*\)가 \(R\lim\)과 가환한다는 사실에 의한다 (Cohomology on Sites, Lemma 0A07). 이로써 (4)를 증명했다. (5)를 증명하기 위해 Lemma 099M을 사용하면 \[Lf_{comp}^*M = R\lim ( Lf^*M \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\] 이다. Cohomology on Sites, Lemma 07A4에 의해 \(Lf^*\)는 유도 텐서곱과 가환하고 \(Lf^*\underline{\Lambda/I^n} = \underline{\Lambda/I^n}\)이므로 (5)를 얻는다.

유도 완비화와 약 수축 가능 대상

Section 099L의 논의를 계속한다. 이 절에서는 약 수축 가능 대상의 존재가 유도 완비 가군의 연구를 어떻게 단순화하는지 살펴본다.

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환, \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)에 대한 일반 이론은 상당히 만족스럽지만 유도 완비 복합체의 예를 명시적으로 주기는 어렵다. 우리는 다음을 안다.

1. \(D(\mathcal{C}, \Lambda/I^n)\)의 모든 대상 \(M\)은 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\)의 유도 완비 대상으로 제한되고,

2. 모든 \(K \in D(\mathcal{C}, \Lambda)\)에 대하여 유도 완비화 \(K^\wedge = R\lim (K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\)는 유도 완비이다.

첫째 꼴의 대상들은 자명하게 완비이므로 어쩌면 흥미롭지 않다. (2)의 문제는 일반적으로 유도 완비화가 다소 불가사의하다는 것이며, 이는 \(K = \underline{\Lambda}\)인 경우에도 마찬가지다. 실제로 호모토피 극한의 정의에 의해 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 안의 구별 삼각형 \[R\lim(\underline{\Lambda/I^n}) \to \prod \underline{\Lambda/I^n} \to \prod \underline{\Lambda/I^n} \to R\lim(\underline{\Lambda/I^n})[1]\] 이 존재하며, 여기서 곱들은 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 안에서 취한다. 이들은 단사 분해들의 곱을 취하여 계산된다(Injectives, Lemma 07D9). 따라서 층 \(H^p(\prod \underline{\Lambda/I^n})\)는 준층 \[U \longmapsto \prod H^p(U, \Lambda/I^n).\] 에 딸린 층이다. 명시적인 예로 \(X = \Spec(\mathbf{C}[t, t^{-1}])\), \(\mathcal{C} = X_\etale\), \(\Lambda = \mathbf{Z}\), \(I = (2)\), \(p = 1\)이면, \(X\) 위에서 étale인 \(U\)에 대하여 준층 \[U \mapsto \prod H^1(U_\etale, \mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})\] 에 딸린 층을 얻는다. \(H^1(X_\etale, \mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\)는 위수가 \(m\)인 순환군이고, 생성자 \(\alpha_m\)은 방정식 \(t = s^m\)이 주는 유한 étale \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\)-덮개로 주어진다는 사실에 유의하자 (Étale Cohomology, Section 03N8을 보라). 그러면 위 준층의 단면 \[\alpha = (\alpha_{2^n}) \in \prod H^1(X_\etale, \mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})\] 은 \(X\) 위의 어떤 공집합이 아닌 étale 스킴에서도 영으로 제한되지 않는다. 따라서 이 준층에 딸린 층은 영이 아니다.

그러나 pro-étale 사이트에서는 이 현상이 일어나지 않는다. 그 이유는 준콤팩트인 약 수축 가능 대상을 충분히 많이 갖기 때문이다. 다음 명제에서는 약 수축 가능 대상을 충분히 많이 갖는 사이트에 대하여 Noether 상수 경우의 유도 완비화에 관한 몇몇 결과를 모은다 (Sites, Definition 090L을 보라).

명제

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{C}\)가 약 수축 가능 대상을 충분히 많이 갖는다고 가정하자. \(\Lambda\)를 Noether 환, \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자.

1. 유도 완비 \(\Lambda\)-가군 층들의 범주는 \(\textit{Mod}(\mathcal{C}, \Lambda)\)의 약 Serre 부분범주이다.

2. \(\Lambda\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)를 만족할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 유도 완비이고 \(\bigcap I^n\mathcal{F} = 0\)인 것이다.

3. 층 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)는 유도 완비이다.

4. \(\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\)이 유도 완비 \(\Lambda\)-가군 층들의 역계이면 \(\lim \mathcal{F}_n\)은 유도 완비이다.

5. 대상 \(K \in D(\mathcal{C}, \Lambda)\)가 유도 완비일 필요충분조건은 각 코호몰로지 층 \(H^p(K)\)가 유도 완비인 것이다.

6. 대상 \(K \in D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)가 위로 유계일 필요충분조건은 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\)가 위로 유계인 것이다.

7. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\)가 유한 Tor 차원을 가지면 대상 \(K \in D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)는 유계이다.

증명

\(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 모든 \(U \in \mathcal{B}\)가 약 수축 가능이고 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상이 \(\mathcal{B}\)의 원소들에 의한 덮개를 갖게 하는 부분집합이라 하자. Cohomology on Sites, Lemma 0946와 Proposition 0947의 결과를 더 언급하지 않고 사용하겠다.

\(R\lim\)은 \(R\Gamma(U, -)\)와 가환함을 상기하자. Injectives, Lemma 08U1을 보라. \(f \in I\)라 하자. \(T(K, f)\)는 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 안의 계 \[\ldots \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K\] 의 호모토피 극한임을 상기하자. 따라서 \[R\Gamma(U, T(K, f)) = T(R\Gamma(U, K), f).\] 이다. \(U \in \mathcal{B}\)에서 값을 취하여 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\)의 대상들 사이의 사상이 동형인지 검사할 수 있으므로, \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\)의 대상 \(K\)가 유도 완비일 필요충분조건은 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(R\Gamma(U, K)\)가 \(D(\Lambda)\)의 대상으로서 유도 완비인 것이다.

위 논평에 의해 항목 (1), (5)는 환 위의 가군에 대한 대응하는 결과에서 따른다. More on Algebra, Lemmas 091P와 091U를 보라. 같은 방식으로 (2)는 More on Algebra, Proposition 091T에서 도출할 수 있다. 실제로 \(U\)에서 값을 취하는 것이 완전하므로 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \((I^n\mathcal{F})(U) = I^n \cdot \mathcal{F}(U)\)이다.

(4)의 증명. 호모토피 극한 \(R\lim \mathcal{F}_n\)은

\(D_{comp}(X, \Lambda)\)에 속한다(Algebraic and Formal Geometry, Definition 0999 뒤의 논의를 보라). 방금 증명한 (5)에 의해 \(\lim \mathcal{F}_n = H^0(R\lim \mathcal{F}_n)\)은 유도 완비라고 결론내린다. (3)은 (4)의 특수한 경우이다.

(6)과 (7)의 증명. Lemma 099M, Cohomology on Sites, Lemma 0942, 그리고 Cohomology on Sites, Proposition 0947의 호모토피 극한 계산에서 따른다.

한 점의 코호몰로지

\(\Lambda\)를 아이디얼 \(I \subset \Lambda\)에 관해 완비인 Noether 환이라 하고 \(k\)를 체라 하자. 이 절에서는 \[H^i(\Spec(k)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge)\] 를 “계산”한다. 여기서 앞과 같이 \(\underline{\Lambda}^\wedge = \lim_m \underline{\Lambda/I^m}\)이다. \(k^{sep}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. 그러면 \[\mathcal{U} = \{\Spec(k^{sep}) \to \Spec(k)\}\] 는 \(\Spec(k)\)의 pro-étale 덮개이다. 이 덮개에 대한 Čech-코호몰로지 스펙트럼 열을 사용하겠다. \(U_0 = \Spec(k^{sep})\)로 두고 \[\begin{align*} U_n & = \Spec(k^{sep}) \times_{\Spec(k)} \Spec(k^{sep}) \times_{\Spec(k)} \ldots \times_{\Spec(k)} \Spec(k^{sep}) \\ & = \Spec(k^{sep} \otimes_k k^{sep} \otimes_k \ldots \otimes_k k^{sep}) \end{align*}\] 로 둔다(\(n + 1\)개의 인자). \(U_0\)의 바탕 위상공간 \(|U_0|\)는 한원소집합이고, \(n \geq 1\)이면 profinite 공간으로서 \[|U_n| = G \times \ldots \times G\quad (n\text{ factors})\] 이다. 여기서 \(G = \text{Gal}(k^{sep}/k)\)이다. 실제로 \(U_n\)의 모든 점의 잉여체는 \(k^{sep}\)이고, \((\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\)을 전사 \[k^{sep} \otimes_k k^{sep} \otimes_k \ldots \otimes_k k^{sep} \longrightarrow k^{sep}, \quad \lambda_0 \otimes \lambda_1 \otimes \ldots \lambda_n \longmapsto \lambda_0 \sigma_1(\lambda_1) \ldots \sigma_n(\lambda_n)\] 에 대응하는 점과 동일시한다. 그러면 다음과 같이 계산한다. \[\begin{align*} R\Gamma((U_n)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge) & = R\lim_m R\Gamma((U_n)_\proetale, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = R\lim_m R\Gamma((U_n)_\etale, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = \lim_m H^0(U_n, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = \text{Maps}_{cont}(G \times \ldots \times G, \Lambda) \end{align*}\] 첫 번째 등식은 \(R\Gamma\)가 유도 극한과 가환하고,

\(\Lambda^\wedge\)가 Proposition 099Q에 의해 층들 \(\underline{\Lambda/I^m}\)의 유도 극한이기 때문이다. 두 번째 등식은 Lemma 099W에 의한다. 세 번째 등식은 Étale Cohomology, Lemma 09AY에 의한다. 네 번째 등식에서는 Étale Cohomology, Remark 03P5를 사용하여 상수 층 \(\underline{\Lambda/I^m}\)의 단면을 식별한다. 그 다음 \(\Lambda\)가 \(I\)에 관해 완비이고 따라서 위상공간으로서 \(\lim_m \Lambda/I^m\)와 같다는 사실을 사용하여 \(\lim_m \text{Map}_{cont}(G, \Lambda/I^m) = \text{Map}_{cont}(G, \Lambda)\)임을 보고, \(G\)의 더 높은 거듭제곱에도 마찬가지로 적용한다. 이제 Cohomology on Sites, Lemmas 03AX와 03F7은 \[\Lambda \to \text{Maps}_{cont}(G, \Lambda) \to \text{Maps}_{cont}(G \times G, \Lambda) \to \ldots\] 가 pro-étale 코호몰로지를 계산함을 알려 준다. 다시 말해 \[H^i(\Spec(k)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge) = H^i_{cont}(G, \Lambda)\] 임을 안다. 여기서 오른쪽은 Tate의 연속 코호몰로지이다. Étale Cohomology, Section 0DVG를 보라. 물론 이는 마땅히 그래야 한다.

보조정리

\(k\)를 체, \(G = \text{Gal}(k^{sep}/k)\)를 그 절대 Galois 군이라 하자. 또한 다음 중 하나를 가정하자.

1. \(M\)은 연속 \(G\)-작용을 갖는 profinite 아벨 군이다.

2. \(\Lambda\)는 Noether 환, \(I \subset \Lambda\)는 아이디얼이고, \(M\)은 연속 \(G\)-작용을 갖는 \(I\)-진 완비 \(\Lambda\)-가군이다.

그러면 \(M\)에 딸린 \(\Spec(k)_\proetale\) 위의 표준 층 \(\underline{M}^\wedge\)가 존재하여

\[H^i(\Spec(k), \underline{M}^\wedge) = H^i_{cont}(G, M)\] 가 아벨 군 또는 \(\Lambda\)-가군으로서 성립한다.

증명

(2)의 경우의 증명. \(M_n = M/I^nM\)으로 두자. \(M\)이 \(I\)-진 완비라고 가정했으므로 \(M = \lim M_n\)이다. \(G\)의 작용이 연속이므로 \(M_n\) 위의 연속 \(G\)-작용을 얻는다. Étale Cohomology, Theorem 03QT에 의해 이 작용은 \(\Spec(k)_\etale\) 위의 \(\Lambda/I^n\)-가군의 국소상수 층 \(\underline{M_n}\)에 대응한다. 비교 사상 \(\epsilon\)으로 \(\Spec(k)_\proetale\)에 당긴 뒤 극한 \[\underline{M}^\wedge = \lim \epsilon^{-1}\underline{M_n}\] 을 취하여 보조정리가 약속한 층을 얻는다. 이 절의 도입부에서 제시한 것과 정확히 같은 논증으로 Tate의 연속 Galois 코호몰로지와의 비교를 얻는다.

pro-étale 사이트의 함자성

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 함자 \(Y_\proetale \to X_\proetale\), \(V \mapsto X \times_Y V\)는 사이트의 사상 \(f_\proetale : X_\proetale \to Y_\proetale\)를 유도한다. Sites, Proposition 00X6을 보라. 사실 사이트의 사상들의 가환 도식 \[\xymatrix{ X_\proetale \ar[r]_\epsilon \ar[d]_{f_\proetale} & X_\etale \ar[d]^{f_\etale} \\ Y_\proetale \ar[r]^\epsilon & Y_\etale }\] 을 얻는다. 여기서 \(\epsilon\)은 Section 099R에서와 같다. 특히 \(\epsilon^{-1} f_\etale^{-1} = f_\proetale^{-1} \epsilon^{-1}\)이다. 순상 함자에 대한 대응하는 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 준콤팩트 준분리인 스킴의 사상이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\etale\) 위의 집합의 층이라 하자. 그러면 \(f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F}\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\etale\) 위의 아벨 층이라 하자. 그러면 \(Rf_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}Rf_{\etale, *}\mathcal{F}\)이다.

증명

(1)의 증명. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\etale\) 위의 집합의 층이라 하자. 표준 사상 \(\epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F} \to f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)가 존재한다. Sites, Section 06UM을 보라. 이것이 동형임을 보이기 위해 \(Y\) 위에서 Zariski 국소적으로 작업해도 되므로 \(Y\)가 아핀이라고 해도 된다. 이 경우 \(Y_\proetale\)의 모든 대상은 \(Y\) 위에서 étale인 아핀 스킴 \(V_i\)들의 극한 \(V = \lim V_i\)인 대상들에 의한 덮개를 갖는다 (예를 들어 Proposition 097Z). 사상 \(\epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F} \to f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)를 \(V\)에서 평가하면 사상

\[\colim \Gamma(X \times_Y V_i, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X \times_Y V, \epsilon^*\mathcal{F})\] 을 얻는다. 왼쪽에 대해서는 Lemma 099S을 보라. Lemma 0GLZ에 의해 \[\Gamma(X \times_Y V, \epsilon^*\mathcal{F}) = \Gamma(X \times_Y V, g_\etale^{-1}\mathcal{F})\] 이다. 여기서 \(g : X \times_Y V \to X\)는 사영이다. 따라서 Étale Cohomology, Lemma 03Q6에 의해 결과가 성립한다.

(2)의 증명. 위와 정확히 같은 방식으로 논증하면 다음을 보이면 충분함을 안다.

\[\colim H^i_\etale(X \times_Y V_i, \mathcal{F}) \longrightarrow H^i_\etale(X \times_Y V, \mathcal{F})\] 이는 다시 Étale Cohomology, Lemma 03Q6에서 따른다.

유한 사상과 pro-étale 사이트

스킴의 유한 사상이 아벨 pro-étale 층 위에서 완전 순상 함자를 결정하는지는 명백하지 않다.

보조정리

\(f : Z \to X\)를 유한 표시 국소적인 스킴의 유한 사상이라 하자. 그러면 \(f_{\proetale, *} : \textit{Ab}(Z_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\)는 완전하다.

증명

이를 증명하기 위해 \(X\) 위에서 Zariski 국소적으로 작업하고 \(X\)가 아핀, 이를테면 \(X = \Spec(A)\)라고 해도 된다. 그러면 어떤 유한 표시 유한 \(A\)-대수 \(B\)에 대하여 \(Z = \Spec(B)\)이다. Proposition 0983의 증명에 있는 구성은 \(D\)가 w-수축 가능인 충실 평탄 ind-étale 환 사상 \(A \to D\)를 만든다.

층들의 열의 완전성은 이러한 대상 \(U = \Spec(D)\)에서 값을 취하여 확인할 수 있다. \(U\)에서 평가한 \(f_{\proetale, *}\mathcal{F}\)는 \(V = \Spec(D \otimes_A B)\)에서 평가한 \(\mathcal{F}\)와 같다. Lemma 0986에 의해 \(D \otimes_A B\)가 w-수축 가능이므로 \(V\)에서 값을 취하는 것은 완전하다.

닫힌 몰입과 pro-étale 사이트

스킴의 닫힌 몰입이 아벨 pro-étale 층 위에서 완전 순상 함자를 결정하는지는 명백하지 않으며, 아마 거짓일 것이다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 아핀 스킴들의 닫힌 몰입 사상이라 하자. Lemma 098X에서 도입한 사이트들을 \(X_{app}\)와 \(Z_{app}\)로 나타내자. 기저변환 함자 \[u : X_{app} \to Z_{app},\quad U \longmapsto u(U) = U \times_X Z\] 는 연속이고 완전 충실한 왼쪽 수반 \(v\)를 갖는다. \(Z_{app}\) 안의 \(V\)에 대하여 사상 \(V \to v(V)\)는 \(V\)를 \(u(v(V)) = v(V) \times_X Z\)와 동일시하는 닫힌 몰입이고, \(v(V)\)의 모든 점은 \(V\)의 한 점으로 특수화된다. 함자 \(v\)는 쌍대연속이고 덮개를 덮개로 보낸다.

증명

수반의 존재는 Lemma 097P와 정의들에서 즉시 따른다. \(X_{app}\)의 덮개 정의로부터 \(u\)가 연속임은 명백하다.

\(X = \Spec(A)\), \(Z = \Spec(A/I)\)로 쓰자. \(V = \Spec(\overline{C})\)를 \(Z_{app}\)의 대상이라 하고 \(v(V) = \Spec(C)\)라 하자. Lemma 097P의 명제에서 \(V\)가 \(v(V) \times_X Z = \Spec(C/IC)\)와 같음을 보았다. \(C/IC = \overline{C}\)의 가역원으로 가는 임의의 \(g \in C\)는 \(C\)에서 가역이다. 실제로 \(A\)-대수 사상 \(C \to C_g \to C/IC\)가 존재하고,

수반에 의해 \(C\)-대수 사상 \(C_g \to C\)를 얻는다. 따라서 \(v(V)\)의 모든 점은 \(V\)의 한 점으로 특수화된다.

\(\{V_i \to V\}\)가 \(Z_{app}\) 안의 덮개라고 하자. 그러면

\(\{v(V_i) \to v(V)\}\)는 \(Z_{app}\)의 사상들의 유한한 족이고, \(V \subset v(V)\)의 모든 점은 어떤 사상 \(v(V_i) \to v(V)\)의 상에 속한다. 사상 \(v(V_i) \to v(V)\)는 약 에탈이므로 평탄하고, 따라서 \(\{v(V_i) \to v(V)\}\)가 공동 전사라고 결론내린다. 이로써 \(v\)가 덮개를 덮개로 보냄을 증명했다.

\(V\)를 \(Z_{app}\)의 대상이라 하고 \(\{U_i \to v(V)\}\)를 \(X_{app}\)의 덮개라 하자. 그러면 \(\{u(U_i) \to u(v(V)) = V\}\)가 \(Z_{app}\)의 덮개임을 알 수 있다. 수반에 의해 사상 \(v(u(U_i)) \to U_i\)를 얻는다. 따라서 족 \(\{v(u(U_i)) \to v(V)\}\)는 주어진 덮개를 세분하고, \(v\)가 쌍대연속이라고 결론내린다.

보조정리

\(Z \to X\)를 아핀 스킴들의 닫힌 몰입 사상이라 하자. 대응하는 토포스의 사상 \(i = i_\proetale\)는 Lemma 09BK의 완전 충실 쌍대연속 함자 \(v : Z_{app} \to X_{app}\)에 딸린 토포스의 사상과 같다. 따라서

1. \(i^{-1}\mathcal{F}\)는 준층 \(V \mapsto \mathcal{F}(v(V))\)에 딸린 층이고,

2. \(Z_{app}\)의 약 수축 가능 대상 \(V\)에 대하여 \(i^{-1}\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(v(V))\)이고,

3. \(i^{-1} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(Z_\proetale)\)는 왼쪽 수반 \(i^{Sh}_!\)를 갖고,

4. \(i^{-1} : \textit{Ab}(X_\proetale) \to \textit{Ab}(Z_\proetale)\)는 왼쪽 수반 \(i_!\)를 갖고,

5. \(\text{id} \to i^{-1}i^{Sh}_!\), \(\text{id} \to i^{-1}i_!\), \(i^{-1}i_* \to \text{id}\)는 동형이고,

6. \(i_*\), \(i^{Sh}_!\), \(i_!\)는 완전 충실하다.

증명

Lemma 098X에 의해 \(i_\proetale\)를 사이트의 사상 \(u : X_{app} \to Z_{app}\), \(V \mapsto V \times_X Z\)로 기술할 수 있다. 보조정리의 첫 번째 명제는 Sites, Lemmas 00XX와 00XY에서 따른다 (단, \(u\)와 \(v\)의 역할을 뒤바꾼다).

(1)의 증명. \(i\)를 \(v\)에 딸린 토포스의 사상으로 기술한 방식에 의해 이는 구성으로부터 성립한다. Sites, Lemma 00XO를 보라.

(2)의 증명. Lemma 09BK에 의해 함자 \(v\)는 덮개를 덮개로 보내므로 준층 \(\mathcal{G} : V \mapsto \mathcal{F}(v(V))\)는 분리 준층이다 (Sites, Definition 00WA). 따라서 \(\mathcal{G}\)에 딸린 층은 \(\mathcal{G}^+\)이다. Sites, Theorem 00WB를 보라. 다음으로 \(V\)를 \(Z_{app}\)의 약 수축 가능 대상이라 하자. \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\)를 \(Z_{app}\) 안의 임의의 덮개라 하고 \(\mathcal{V}' = \{\coprod V_i \to V\}\)로 둔다. \(v\)는 유한 서로소 합과 가환하고(왼쪽 수반이므로 또는 구성에 의해), \(\mathcal{F}\)는 유한 서로소 합을 곱으로 보내므로 \[H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = H^0(\mathcal{V}', \mathcal{G})\] 이다(Sites, Section 00W1의 표기를 썼다. Étale Cohomology, Lemma 03OZ와 비교하라). 따라서 덮개가 하나의 사상 \(\{V' \to V\}\)로 주어진다고 해도 된다. \(V\)가 약 수축 가능이므로 이 덮개는 자명한 덮개 \(\{V \to V\}\)로 세분될 수 있다. 그러므로 \(V\)에서의 \(\mathcal{G}^+ = i^{-1}\mathcal{F}\)의 값은 단순히 \(\mathcal{F}(v(V))\)이고, (2)를 증명했다.

(3)의 증명. \(Z_{app}\)의 모든 대상은 약 수축 가능 대상들에 의한 덮개를 갖는다(Lemma 0990). 위의 결과에 의해 \(i^{Sh}_!\)가 존재한다면, 약 수축 가능인 \(V\)에 대하여 \(i^{Sh}_!h_V = h_{v(V)}\)여야 한다. 그러면 \(i^{Sh}_!\)의 존재는 Sites, Lemma 09YX에서 따른다.

(4)의 증명. \(Z_{app}\)에서 \(V\)가 약 수축 가능일 때 \(i_!\mathbf{Z}_V = \mathbf{Z}_{v(V)}\)로 두고, 직합에 대해서도 비슷하게 정의한 뒤 Homology, Lemma 0793를 적용하면 같은 방식으로 \(i_!\)의 존재가 따른다. 세부사항은 생략한다.

(5)의 증명. \(V\)를 \(Z_{app}\)의 수축 가능 대상이라 하자. 그러면 \(i^{-1}i^{Sh}_!h_V = i^{-1}h_{v(V)} = h_{u(v(V))} = h_V\)이다. (\(i^{-1}h_U = h_{u(U)}\)라는 것은 일반적인 사실이다.) 수축 가능인 \(V\)들에 대한 층 \(h_V\)들이 \(\Sh(Z_{app})\)를 생성하므로(Sites, Lemma 00WS), \(\text{id} \to i^{-1}i^{Sh}_!\)가 동형이라고 결론내린다. 사상 \(\text{id} \to i^{-1}i_!\)도 마찬가지이다. 다음으로 \((i^{-1}i_*\mathcal{H})(V) = i_*\mathcal{H}(v(V)) = \mathcal{H}(u(v(V))) = \mathcal{H}(V)\)이고, \(i^{-1}i_* \to \text{id}\)가 동형임을 얻는다.

(6)의 완전 충실성 명제들은 이제 Categories, Lemma 07RB에서 따른다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 닫힌 몰입이라 하자. 그러면

1. \(i_\proetale^{-1}\)는 극한과 가환하고,

2. \(i_{\proetale, *}\)는 완전 충실하며,

3. \(i_\proetale^{-1}i_{\proetale, *} \cong \text{id}_{\Sh(Z_\proetale)}\)이다.

증명

Sites, Lemma 04D6에 의해 (2)와 (3)은 동치이다. (1)과 (3)은 \(X\) 위에서 Zariski 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 해도 된다. 이 경우 결과는 Lemma 09BL에서 따른다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 정수적이고 보편 단사이며 전사인 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(i_{\proetale, *}\)와 \(i_\proetale^{-1}\)는 pro-étale 토포스의 범주들의 서로 준역인 동치이다.

증명

\(X\)가 아핀인 경우로 즉시 환원된다. 그러면 \(Z\)도 아핀이다. \(A = \mathcal{O}(X)\), \(B = \mathcal{O}(Z)\)로 두자. \(A\) 위와 \(B\) 위의 étale 대수들의 범주는 동치이다. Étale Cohomology, Theorem 04DZ와 Remark 05YX를 보라. 따라서 \(A\) 위와 \(B\) 위의 ind-étale 대수들의 범주도 동치이다. 다시 말해 Lemma 098X의 범주 \(X_{app}\)와 \(Z_{app}\)는 동치이다. 이 동치가 덮개를 덮개로 보내고 그 역도 성립한다는 확인은 생략한다. 따라서 Lemma 098X가 pro-étale 토포스는 \(X_{app}\) 위의 층의 토포스라고 알려 주므로 결과가 따른다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 닫힌 몰입이라 하자. \(U \to X\)를 다음을 만족하는 \(X_\proetale\)의 대상이라 하자.

1. \(U\)는 아핀이고 약 수축 가능이며,

2. \(U\)의 모든 점은 \(U \times_X Z\)의 한 점으로 특수화된다.

그러면 \(X_\proetale\) 위의 모든 아벨 층에 대하여 \(i_\proetale^{-1}\mathcal{F}(U \times_X Z) = \mathcal{F}(U)\)이다.

증명

당김은 제한과 가환하므로 \(X\)를 \(U\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(X\)는 아핀이고 약 수축 가능이며, \(X\)의 모든 점이 \(Z\)의 한 점으로 특수화된다고 해도 된다. Lemma 09BL의 (1)에 의해 이 경우 \(v(Z) = X\)임을 보이면 충분하다. 따라서 다음을 보여야 한다. \(A\)가 w-수축 가능 환이고, \(I \subset A\)가 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함된 아이디얼이며, \(A \to B\)가 ind-étale인 분해 \(A \to B \to A/I\)가 주어지면, \(A/I\)로 가는 사상들과 양립하는 유일한 퇴축 \(B \to A\)가 존재한다. \(A/I\)-대수로서 \(B/IB = A/I \times R\)임에 유의하자. \(B\)를 국소화로 바꾼 뒤 \(B/IB = A/I\)라고 해도 된다. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 상은 \(V(I)\)를 포함하고 따라서 모든 닫힌 점을 포함하며 특수화에 대해 닫혀 있으므로 이 사상은 전사이다. \(A\)가 w-수축 가능이므로 퇴축 \(B \to A\)가 존재한다. \(B/IB = A/I\)이므로 이 퇴축은 \(A/I\)로 가는 사상과 양립한다. 유일성의 증명은 생략한다(힌트: \(A\)와 \(B\)는 \(A\)의 극대 아이디얼에서 동형인 국소환들을 갖는다는 사실을 사용하라).

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 닫힌 몰입이라 하자. \(X \setminus i(Z)\)가 \(X\)의 역콤팩트 열린 부분이면 \(i_{\proetale, *}\)는 완전하다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 해도 된다. \(X = \Spec(A)\), \(Z = \Spec(A/I)\)라고 하자. 집합론적으로 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)이 되게 하는 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)가 존재한다. Algebra, Lemma 00F6을 보라. Lemma 09AB에 의해 \(Z = \Spec(A/(f_1, \ldots, f_r))\)라고 해도 된다. 이 경우 함자 \(i_{\proetale, *}\)는 Lemma 09A8에 의해 완전하다.

영에 의한 연장

Modules on Sites, Section 03DH의 일반 논의를 이용하면 다음 정의를 할 수 있다.

정의

\(j : U \to X\)를 스킴의 약 에탈 사상이라 하자.

1. 제한 함자 \(j^{-1} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(U_\proetale)\) 에는 왼쪽 수반함자

   \(j_!^{Sh} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(U_\proetale)\)가 있다.

2. 제한 함자 \(j^{-1} : \textit{Ab}(X_\proetale) \to \textit{Ab}(U_\proetale)\) 에는 \(j_! : \textit{Ab}(U_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\)로 표기하고 영에 의한 연장이라 부르는 왼쪽 수반함자가 있다.

3. \(\Lambda\)를 환이라 하자. 함자

   \(j^{-1} : \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda) \to \textit{Mod}(U_\proetale, \Lambda)\)

   에는 \(j_! : \textit{Mod}(U_\proetale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\)라는 왼쪽 수반함자가 있으며, 이를 영에 의한 연장이라 부른다.

여느 때처럼 이를 에탈 경우에 일어나는 일과 비교한다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 스킴의 에탈 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(U_\etale\) 위의 아벨 층이라 하자. 그러면 \(X_\proetale\) 위의 층으로서 \(\epsilon^{-1} j_!\mathcal{G} = j_!\epsilon^{-1}\mathcal{G}\)이다.

증명

두 함자가 모두 \(j_\proetale^{-1} \epsilon_* = \epsilon_* j_\etale^{-1}\)의 왼쪽 수반함자이므로 성립한다. 이 등식은 Section 09A5의 논의에 의해 성립한다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 스킴의 약 에탈 사상이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(U \times_X Z = \emptyset\)을 만족하는 닫힌 몰입이라 하자. \(V \to X\)를 \(V\)의 모든 점이 \(V_Z = Z \times_X V\)의 한 점으로 특수화되는 \(X_\proetale\)의 아핀 대상이라 하자. 그러면 \(U_\proetale\) 위의 모든 아벨 층에 대하여 \(j_!\mathcal{F}(V) = 0\)이다.

증명

\(\{V_i \to V\}\)가 pro-에탈 덮개라고 하자. 이 덮개를 그 구성원들이 \(X\) 위에서 \(U\)로 가는 사상을 갖지 않는 덮개로 세분할 수 있으면 보조정리가 따른다(\(j_!\)의 구성은 Modules on Sites, Section 03DH을 보라). 먼저 덮개를 세분하여 \(V_i\)들이 아핀인 유한 덮개를 얻는다. 각 \(i\)에 대하여 \(V_i = \Spec(A_i)\)라 하고, \(Z_i \subset V_i\)를 \(Z\)의 역상이라 하자. Lemma 096V의 표기법으로 \(W_i = \Spec(A_{i, Z_i}^\sim)\)라고 두자. 그러면 \(\coprod W_i \to V\)는 약 에탈이고 그 상은 \(V_Z\)의 모든 점을 포함한다. 따라서 특수화에 대한 우리의 가정에 의해 그 상은 \(V\)의 모든 점을 포함한다. 그러므로 \(\{W_i \to V\}\)는 주어진 덮개를 세분하는 pro-에탈 덮개이다. 그러나 \(W_i\)의 각 점은 \(Z\) 위에 놓인 점으로 특수화되므로 \(X\) 위의 사상 \(W_i \to U\)는 존재하지 않는다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 스킴의 열린 몰입이라 하자. 그러면 \(\text{id} \cong j^{-1}j_!\)이고 \(j^{-1}j_* \cong \text{id}\)이며, 함자 \(j_!\)와 \(j_*\)는 완전 충실하다.

증명

Modules on Sites, Lemma 0F6Z (집합의 층인 경우에는 Sites, Lemma 00Y2)와 Categories, Lemma 07RB를 보라.

영에 의한 연장과 여집합인 닫힌 부분스킴으로의 제한 사이의 관계는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 그 여집합이라 하자. 포함 사상들을 각각 \(i : Z \to X\)와 \(j : U \to X\)로 표기하자. \(j\)가 준콤팩트 사상이라고 가정하자. \(X_\proetale\) 위의 모든 아벨 층에 대하여 표준 짧은 완전열 \[0 \to j_!j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] 이 \(X_\proetale\) 위에 존재한다. 여기서 모든 함자는 pro-에탈 위상에 대한 것이다.

증명

관련된 함자들의 수반 성질로부터 사상들을 얻는다. 이 열에 값을 취하면 짧은 완전열이 되는 대상이 \(X_\proetale\)에 충분히 많음을 보이면 충분하다(Sites, Definition 090L). \(V = \Spec(A)\)를 \(A\)가 w-수축 가능한 \(X_\proetale\)의 아핀 대상이라 하자(이러한 유형의 대상은 충분히 많다). 그러면 \(V \times_X Z\)는 어떤 아이디얼 \(I \subset A\)로 잘려 나온다. \(j\)가 준콤팩트라는 가정에 의해 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_r)\)가 되게 하는 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)가 존재한다. 다음과 같은 충실 평탄한 ind-Zariski 환 사상을 얻는다. \[A \longrightarrow A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times A_{V(I)}^\sim\] 여기서 \(A_{V(I)}^\sim\)은 Lemma 096V에서와 같다. \(V_i = \Spec(A_{f_i}) \to X\)가 \(U\)를 통해 분해되므로 \[j_!j^{-1}\mathcal{F}(V_i) = \mathcal{F}(V_i) \quad\text{and}\quad i_*i^{-1}\mathcal{F}(V_i) = 0\] 이다. 한편 스킴 \(V^\sim = \Spec(A_{V(I)}^\sim)\)에 대해서는 \[j_!j^{-1}\mathcal{F}(V^\sim) = 0 \quad\text{and}\quad \mathcal{F}(V^\sim) = i_*i^{-1}\mathcal{F}(V^\sim)\] 이다. 첫째 등식은 Lemma 09AG에 의해, 둘째 등식은 Lemmas 09AC and 0987에 의해 성립한다. 따라서 이 열은 \(\Spec(A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times A_{V(I)}^\sim)\)에서 값을 취하면 완전열이 되고, 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 스킴의 준콤팩트 열린 몰입 사상이라 하자. 함자 \(j_! : \textit{Ab}(U_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\)는 극한과 가환한다.

증명

\(j_!\)는 완전하므로 \(j_!\)가 곱과 가환함을 보이면 충분하다. 문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 해도 된다. \(\mathcal{G}\)를 \(U_\proetale\) 위의 아벨 층이라 하자. 우리는 \(j^{-1}j_*\mathcal{G} = \mathcal{G}\)를 갖는다. 따라서 Lemma 09AH의 완전열을 적용하면 \[0 \to j_!\mathcal{G} \to j_*\mathcal{G} \to i_*i^{-1}j_*\mathcal{G} \to 0\] 을 얻는다. 여기서 \(i : Z \to X\)는 여집합 \(Z = X \setminus U\) 위의 축약 유도 스킴 구조의 포함 사상이다. 함자 \(j_*\)와 \(i_*\)는 오른쪽 수반함자이므로 곱과 가환한다. 함자 \(i^{-1}\)는 Lemma 09AA에 의해 곱과 가환한다. 그러므로 \(j_!\)도 곱과 가환한다. 실제로 pro-에탈 사이트에서는 곱이 완전하다(Cohomology on Sites, Proposition 0947).

pro-étale 사이트 위의 구성 가능 층

여기서는 Noether 환에 대한 \(\Lambda\)-가군의 구성 가능 층만을 다룬다. 앞으로 집합, 군 등의 구성 가능 층도 논의할 예정이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 층이 다음을 만족하면 이를 구성 가능이라 한다. 모든 아핀 열린 부분 \(U \subset X\)에 대하여 \(U\)를 구성 가능한 국소 닫힌 부분스킴들로 분해한 유한 분해 \(U = \coprod_i U_i\)가 존재하여, 모든 \(i\)에 대해 \(\mathcal{F}|_{U_i}\)가 유한형이고 국소상수이다.

이번에도 이는 어떤 “새로운” 것을 주지는 않는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. 함자 \(\epsilon^{-1}\)는 \[\left\{ \begin{matrix} \text{constructible sheaves of}\\ \Lambda\text{-modules on }X_\etale\\ \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{constructible sheaves of}\\ \Lambda\text{-modules on }X_\proetale\\ \end{matrix} \right\}\] 라는 범주의 동치, 즉 \(X_\etale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 구성 가능 층들과 \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 구성 가능 층들 사이의 동치를 정의한다.

증명

Lemma 099T에 의해 함자 \(\epsilon^{-1}\)는 완전 충실하고, 각 층으로의 당김(제한)과 가환한다. 따라서 구성 가능한 에탈 층의 \(\epsilon^{-1}\)은 구성 가능한 pro-에탈 층이다. 증명을 마치기 위해 Definition 09AJ에서와 같이 \(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 구성 가능 층이라 하자. 표준 사상 \[\epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 이 존재한다. 이 사상이 동형임을 보이겠다. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 \(\epsilon^{-1}\)의 본질적 상에 속하므로 증명이 끝난다(세부 사항은 생략한다).

이를 \(X\) 위에서 국소적으로 증명하면 충분하므로 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이며, 구성 가능한 국소 닫힌 층들에 의한 유한 분할 \(X = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i\)가 주어져 \(\mathcal{F}|_{X_i}\)가 유한형의 국소상수라고 해도 된다. \(n\)에 대한 귀납법을 사용하겠다. 기초 경우 \(n = 1\)은 Lemma 099Y에서 따른다. 점 \(x \in X\)를 취하면 어떤 \(k\)에 대해 \(x \in X_k\)이다. 표시된 사상이 \(x\)의 어떤 열린 근방에서 동형임을 보이면 충분하다. 따라서 \(X_k\)가 \(X\)에서 닫혀 있다고 해도 된다. \(Z = X_k\)라고 두고 \(U \subset X\)로 \(Z\)의 여집합을 표기하자. 귀납 가정은 \(\mathcal{F}\)를 \(Z\)와 \(U\)로 제한한 것에 적용된다는 점에 유의하라. Lemma 09AH에 의해 \(X_\proetale\) 위에 짧은 완전열 \[0 \to j_!j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] 이 있다. 함자성으로부터 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \epsilon^{-1}\epsilon_*j_!j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \epsilon^{-1}\epsilon_*i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & j_!j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 귀납법에 의해 한편으로는 \(\epsilon^{-1}\epsilon_*i^{-1}\mathcal{F} \to i^{-1}\mathcal{F}\)와 \(\epsilon^{-1}\epsilon_*j^{-1}\mathcal{F} \to j^{-1}\mathcal{F}\)가 동형임을 알고, 다른 한편으로는 \(Z_\etale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 어떤 구성 가능 층 \(\mathcal{A}\)와 \(U_\etale\) 위의 어떤 구성 가능 층 \(\mathcal{B}\)에 대하여 \(i^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{A}\)와 \(j^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{B}\)임을 안다. 그러면 \[\epsilon^{-1}\epsilon_*j_!j^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\epsilon_*j_!\epsilon^{-1}\mathcal{B} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\epsilon^{-1}j_!\mathcal{B} = \epsilon^{-1}j_!\mathcal{B} = j_!\epsilon^{-1}\mathcal{B} = j_!j^{-1}\mathcal{F}\] 이다. 둘째 등식은 Lemma 09AF에 의해, 셋째 등식은 Lemma 099T에 의해, 넷째 등식은 다시 Lemma 09AF에 의해 성립한다. 마찬가지로 \[\epsilon^{-1}\epsilon_*i_*i^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\epsilon_*i_*\epsilon^{-1}\mathcal{A} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\epsilon^{-1}i_*\mathcal{A} = \epsilon^{-1}i_*\mathcal{A} = i_*\epsilon^{-1}\mathcal{A} = i_*i^{-1}\mathcal{F}\] 를 얻는데, 이번에는 Lemma 09A6을 사용했다. 오항 보조정리에 의해 큰 그림의 가운데 수직 사상이 동형이라고 결론짓는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 구성 가능 층들의 범주는 \(\textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\)의 약 Serre 부분범주이다.

증명

이는 Lemmas 09AK와 09B1, 그리고 에탈 사이트에 대한 결과 (Étale Cohomology, Lemma 03RZ)의 형식적 귀결이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(D_c(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D_c(X_\proetale, \Lambda)\)를 각각 \(D(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 충만한 부분범주 가운데 코호몰로지 층들이 \(\Lambda\)-가군의 구성 가능 층인 복합체들로 이루어진 것으로 두자. 그러면 \[\epsilon^{-1} : D_c^+(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D_c^+(X_\proetale, \Lambda)\] 는 범주의 동치이다.

증명

범주 \(D_c(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D_c(X_\proetale, \Lambda)\)는 Étale Cohomology, Lemma 03RZ, Lemma 09B5, 그리고 Derived Categories, Section 06UP에 의해 각각 \(D(X_\etale, \Lambda)\)와 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이다. 보조정리의 명제는 Lemmas 09B1와 09AK를 결합하면 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(K, L \in D_c^-(X_\proetale, \Lambda)\)라 하자. 그러면 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L\)은 \(D_c^-(X_\proetale, \Lambda)\)에 속한다.

증명

\(H^i(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L)\)은 \(H^i(\tau_{\geq i - 1}K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \tau_{\geq i - 1}L)\)와 같음에 유의하라. 따라서 \(K\)와 \(L\)이 유계라고 해도 된다. 이 경우 Lemma 09AL를 적용하여 에탈 사이트의 경우로 환원할 수 있다. Étale Cohomology, Lemma 0961를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하자. \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(K\)를 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 대상이라 하자. \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)이라고 두자. \(K_1\)이 \(D^-_c(X_\proetale, \Lambda/I)\)에 속하면 모든 \(n\)에 대해 \(K_n\)은 \(D^-_c(X_\proetale, \Lambda/I^n)\)에 속한다.

증명

특별 삼각형들 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} \to K_{n + 1} \to K_n \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}[1]\] 과 동형들 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} = K_1 \otimes_{\Lambda/I}^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}\] 을 생각하자. Lemma 09BQ에 의해 이 텐서곱의 코호몰로지 층들은 구성 가능이다(\(K_1\)의 코호몰로지가 소멸할 때에는 이 텐서곱도 소멸한다). 따라서 Lemma 09B5를 사용하여 \(n\)에 대해 귀납하면 각 \(K_n\)의 코호몰로지 층들이 구성 가능임을 알 수 있다.

구성 가능 adic 층

이 절에서는 구성 가능 \(\Lambda\)-층의 개념과 그 몇 가지 변형을 정의한다.

정의

\(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 층이라 하자.

1. \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)이고 각 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)가 \(\Lambda/I^n\)-가군의 구성 가능 층이면 \(\mathcal{F}\)를 구성 가능 \(\Lambda\)-층이라 한다.

2. \(\mathcal{F}\)가 구성 가능 \(\Lambda\)-층일 때, 각 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)가 국소상수이면 \(\mathcal{F}\)를 lisse라 한다.

3. \(M/IM\)이 유한인 \(I\)-진 완비 \(\Lambda\)-가군 \(M\)이 존재하여 \(\mathcal{F}\)가 국소적으로 \[\underline{M}^\wedge = \lim \underline{M/I^nM}.\] 와 동형이면 \(\mathcal{F}\)를 adic lisse⁵라 한다.

4. 모든 아핀 열린 부분 \(U \subset X\)에 대하여 구성 가능한 국소 닫힌 부분스킴들로의 분해 \(U = \coprod U_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}|_{U_i}\)가 adic lisse이면 \(\mathcal{F}\)를 adic 구성 가능⁶이라 한다.

\(\Lambda = \mathbf{Z}_\ell\)이고 \(I = (\ell)\)일 때 구성 가능 \(\Lambda\)-층의 정의는 [SGA5, Exposé VI, Definition 1.1.1]의 정의와 동치이다. 다음 함의들이 있음은 분명하다. \[\xymatrix{ \text{lisse adic} \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[d] & \text{adic constructible} \ar@{=>}[d] \\ \text{lisse constructible }\Lambda\text{-sheaf} \ar@{=>}[r] & \text{constructible }\Lambda\text{-sheaf} }\] 어떤 경우에는 수직 화살표들을 역으로 돌릴 수 있다(Lemmas 09BU와 09BX를 보라). 일반적으로 adic 구성 가능 층들의 범주도 구성 가능 \(\Lambda\)-층들의 범주도 핵과 여핵에 대해 닫혀 있지 않다.

실제로 \(X\)를 그 바탕 위상공간 \(|X|\)가 \(\Lambda = \mathbf{Z}_\ell\)와 위상동형인 아핀 스킴이라 하자. Example 09BJ를 보라. 한 위상동형을 \(f : |X| \to \mathbf{Z}_\ell = \Lambda\)로 표기하자. \(f\)를 \(X\) 위의 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)의 단면으로 생각할 수 있고, 이때 \(f\)에 의한 곱셈은 \(X_\proetale\) 위의 2항 복합체 \[\underline{\Lambda}^\wedge \xrightarrow{f} \underline{\Lambda}^\wedge\] 를 정의한다. 층 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)는 adic lisse이다. 그러나 위 사상의 여핵은 그 줄기들의 동형형이 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)와 \(\mathbf{Z}_\ell\)이라는 무한히 많은 값을 취하므로 adic 구성 가능이 아니다. 이 여핵은 구성 가능 \(\mathbf{Z}_\ell\)-층이다. 그러나 그 핵은

어떤 비준콤팩트 열린 부분 위에서는 영이지만 전체적으로 영은 아니므로 구성 가능 \(\mathbf{Z}_\ell\)-층조차 아니다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 구성 가능 \(\Lambda\)-층이라 하자. 그러면 국소 닫힌 부분스킴들에 의한 유한 분할 \(X = \coprod X_i\)가 존재하여 제한 \(\mathcal{F}|_{X_i}\)가 lisse이다.

증명

\(R = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)이라고 두자. \(R\)은 Noether 환임에 유의하라. 각 층 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)가 \(\Lambda/I^n\Lambda\)-가군의 구성 가능 층이므로 \(I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\)도 \(\Lambda/I\)-가군의 구성 가능 층이며, 따라서 Lemma 09AK에 의해 \(X_\etale\) 위의 어떤 구성 가능 층 \(\mathcal{G}_n\)의 당김이다. \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_n\)이라고 두자. 이는 \(X_\etale\) 위의 \(R\)-가군의 층이고, 사상 \[\mathcal{G}_0 \otimes_{\Lambda/I} \underline{R} \longrightarrow \mathcal{G}\] 은 사상들 \[\mathcal{F}/I\mathcal{F} \otimes \underline{I^n/I^{n + 1}} \to I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\] 이 전사이므로 전사이다. 따라서 Étale Cohomology, Proposition 09BH에 의해 \(\mathcal{G}\)는 \(R\)-가군의 구성 가능 층이다. \(\mathcal{G}|_{X_i}\)가 유한형 \(R\)-가군의 국소상수 층이 되게 하는 분할 \(X = \coprod X_i\)를 택하자(Étale Cohomology, Lemma 095E). 이것이 보조정리에서 요구한 분할이라고 주장한다. 실제로 \(X\)를 \(X_i\)로 바꾸어 \(\mathcal{G}\)가 국소상수라고 해도 된다. 그러면 각 층 \(I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\)도 국소상수이다. 짧은 완전열들 \[0 \to I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] 을 사용하면,

귀납법과 Modules on Sites, Lemma 093U에 의해 보조정리가 따른다.

보조정리

\(X\)를 약 수축 가능한 아핀 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 다음을 만족하는 \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 층이라 하자.

1. \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\),

2. \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)는 \(\Lambda/I^n\)-가군의 상수 층이고,

3. \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)는 유한형이다.

그러면 \(\mathcal{F} \cong \underline{M}^\wedge\)이며, 여기서 \(M\)은 유한 \(\Lambda^\wedge\)-가군이다.

증명

\(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \cong \underline{M_n}\)이 되게 하는 \(\Lambda/I^n\)-가군 \(M_n\)을 택하자. 전사 \(\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)가 있으므로, 동형 \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\)을 유도하는 전사 \(M_{n + 1} \to M_n\)들이 존재한다고 결론지을 수 있다. 이러한 전사들을 하나씩 고정하고 \(M = \lim M_n\)이라고 두자. 그러면 \(M\)은 \(M/I^nM = M_n\)을 만족하는 \(I\)-진 완비 \(\Lambda\)-가군이다. Algebra, Lemma 09B8를 보라. \(M_1\)은 유한형 \(\Lambda\)-가군이므로(Modules on Sites, Lemma 093N), \(M\)은 유한 \(\Lambda^\wedge\)-가군임을 알 수 있다. \(X_\proetale\) 위의 층들 \[\mathcal{I}_n = \mathit{Isom}(\underline{M_n}, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 을 생각하자. \(I^n\)으로 나눈 나머지를 취하면 전이 사상 \[\mathcal{I}_{n + 1} \longrightarrow \mathcal{I}_n\] 이 정의된다. \(M_n\)의 선택에 의해 층 \(\mathcal{I}_n\)은 \[\mathit{Isom}(\underline{M_n}, \underline{M_n}) = \underline{\text{Isom}_\Lambda(M_n, M_n)}\] 아래의 토서이다(Modules on Sites, Lemma 093T). 실제로 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)는 \(\underline{M_n}\)과 (에탈) 국소적으로 동형이다. More on Algebra, Lemma 09BB로부터 층들의 계 \((\mathcal{I}_n)\)이 Mittag–Leffler임이 따른다. 각 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{I}'_n \subset \mathcal{I}_n\)을 모든 \(N \gg n\)에 대한 \(\mathcal{I}_N \to \mathcal{I}_n\)의 상이라 하자. 그러면 \[\ldots \to \mathcal{I}'_3 \to \mathcal{I}'_2 \to \mathcal{I}'_1 \to *\] 는 전이 사상들이 전사인 \(X_\proetale\) 위의 집합의 층들의 열이다. \(*(X)\)는 한원소집합(특히 공집합이 아님)이고 \(X\)에서 값을 취하는 것은 집합의 층들의 전사 사상을 집합의 전사 사상으로 보내므로 \(s \in \lim \mathcal{I}'_n(X)\)를 택할 수 있다. 이 단면들은 동형 \(\underline{M}^\wedge \to \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = \mathcal{F}\) 을 정의하고, 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 연결 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(X_\proetale\) 위의 lisse인 구성 가능 \(\Lambda\)-층이면 \(\mathcal{F}\)는 adic lisse이다.

증명

Lemma 099Y에 의해 어떤 \(\Lambda/I^n\)-가군의 국소상수 층 \(\mathcal{G}_n\)에 대하여 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{G}_n\)이다. Étale Cohomology, Lemma 09BF에 의해 \(\mathcal{G}_n\)이 \(\underline{M_n}\)과 국소적으로 동형이 되게 하는 유한 \(\Lambda/I^n\)-가군 \(M_n\)이 존재한다. 각 \(W_t\)가 아핀이고 약 수축 가능인 덮개 \(\{W_t \to X\}_{t \in T}\)를 택하자. 그러면 \(\mathcal{F}|_{W_t}\)는 Lemma 09BV의 가정을 만족하므로 어떤 유한 \(\Lambda^\wedge\)-가군 \(N_t\)에 대하여 \(\mathcal{F}|_{W_t} \cong \underline{N_t}^\wedge\)이다. 모든 \(t\)와 \(n\)에 대해 \(N_t/I^nN_t \cong M_n\)임에 유의하라. 따라서 모든 \(t, t' \in T\)에 대해 \(N_t \cong N_{t'}\)이다. More on Algebra, Lemma 09BC를 보라. 이로써 \(\mathcal{F}\)가 adic lisse임이 증명된다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 구성 가능 \(\Lambda\)-층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 adic 구성 가능이다.

증명

이는 Lemmas 09BU와 09BW, Noether 스킴이 국소 연결이라는 사실 (Topology, Lemma 04MF), 그리고 정의들로부터 따른다.

유도 완비 \(\Lambda\)-가군의 층들의 범주 안에서 구성 가능 \(\Lambda\)-층들을 식별해 두면 유용할 것이다. More on Algebra, Lemma 09BA의 소박한 유사 명제는 이 상황에서는 틀린 것으로 판명된다. 그러나 다음은 More on Algebra, Lemma 09B9의 유사 명제이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 \(\Lambda\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 유도 완비이고 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F} = 0\)이면 \(\mathcal{F} = 0\)이다.

증명

\(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)가 영이라고 가정하자. \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)라 하자. \(\mathcal{G} = \mathcal{F}/(f_1, \ldots, f_i)\mathcal{F}\)가 영이 아니게 하는 가장 큰 정수 \(i < r\)를 택하자. 그러한 \(i\)가 존재하지 않으면 \(\mathcal{F} = 0\)이고, 이것이 보이려던 바이다. 그러면 \(\mathcal{G}\)는 유도 완비 가군들 사이의 사상의 여핵이므로 유도 완비이다. Proposition 099Q를 보라. \(i\)의 선택에 의해 \(f_{i + 1} : \mathcal{G} \to \mathcal{G}\)는 전사이다. 따라서 \[\lim (\ldots \to \mathcal{G} \xrightarrow{f_{i + 1}} \mathcal{G} \xrightarrow{f_{i + 1}} \mathcal{G})\] 는 영이 아니며, 이는 \(\mathcal{G}\)의 유도 완비성과 모순이다.

보조정리

\(X\)를 약 수축 가능한 아핀 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X_\proetale\) 위의 유도 완비 \(\Lambda\)-가군의 층이라 하고, \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)가 유한형 \(\Lambda/I\)-가군의 국소상수 층이라 하자. 그러면 어떤 정수 \(t\)와 전사 사상 \[(\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}\] 가 존재한다.

증명

\(X\)가 약 수축 가능이므로 유한 서로소 열린 덮개 \(X = \coprod U_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}|_{U_i}\)는 어떤 유한 \(\Lambda/I\)-가군 \(M_i\)에 대응하는 상수 층과 동형이다. \(M_i\)의 유한 생성원들 \(m_{ij}\)를 택하자. \(U_i\) 위의 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)의 단면으로 본 \(m_{ij}\)로 제한되는 단면 \(s_{ij} \in \mathcal{F}(X)\)를 찾을 수 있다. \(t\)를 \(s_{ij}\)들의 총 개수라 하자. 그러면 사상 \[\alpha : \underline{\Lambda}^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}\] 을 얻으며, 이는 구성에 의해 \(I\)를 법으로 전사이다. Lemma 099M에 의해 \(\underline{\Lambda}^{\oplus t}\)의 유도 완비화는 층 \((\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}\)이다. \(\mathcal{F}\)가 유도 완비이므로 \(\alpha\)가 사상 \[\alpha^\wedge : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}\] 을 통해 분해됨을 알 수 있다. 그러면 \(\mathcal{Q} = \Coker(\alpha^\wedge)\)는 Proposition 099Q에 의해 \(\Lambda\)-가군의 유도 완비 층이다. 구성에 의해 \(\mathcal{Q}/I\mathcal{Q} = 0\)이다. Lemma 09BY로부터 \(\mathcal{Q} = 0\)이 따르고, 이것이 보이려던 바이다.

적합한 유도 범주

\(X\)를 스킴이라 하자. 많은 스킴 \(X\)에 대하여 적합한 \(\ell\)-진 층의 유도 범주는 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 유도 완비 대상 \(K\) 가운데 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \mathbf{F}_\ell\)이 구성 가능한 코호몰로지 층들을 가지며 유계인 것들을 생각하여 얻어진다는 것이 밝혀질 것이다. 일반적인 정의는 다음과 같다.

정의

\(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(X\)를 스킴이라 하자. \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 대상 \(K\)가 다음을 만족하면 이를 구성 가능이라 한다.

1. \(K\)는 \(I\)에 관하여 유도 완비이고,

2. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\)는 구성 가능한 코호몰로지 층들을 가지며 국소적으로 유한 Tor 차원을 갖는다.

\(D(X_\proetale, \Lambda)\)에서 구성 가능한 \(K\)들로 이루어진 충만한 부분범주를 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)로 표기한다.

우리의 규약에서 유한 Tor 차원의 복합체는 유계임을 상기하라 (Cohomology on Sites, Definition 08FZ). 실제로 지금까지 증명한 모든 것을 하나의 보조정리로 모아 보자.

보조정리

위의 상황에서 \(K\)가 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)에 속하고 \(X\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)이라고 두자. 다음을 만족하는 \(a, b\)가 존재한다.

1. \(K = R\lim K_n\)이고 \(i \not \in [a, b]\)이면 \(H^i(K) = 0\)이다.

2. 각 \(K_n\)의 Tor 진폭은 \([a, b]\)에 들어간다.

3. 각 \(K_n\)은 구성 가능한 코호몰로지 층들을 갖는다.

4. 어떤 \(L_n \in D_{ctf}(X_\etale, \Lambda/I^n)\)에 대하여 \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\)이다(Étale Cohomology, Definition 03TQ).

증명

\(K\)가 유도 완비이므로 Lemma 099M에 의해 \(K = R\lim K_n\)이다. 국소적으로 유한 Tor 차원을 갖는다는 정의에 의해 \(K_1\)의 Tor 진폭이 \([a, b]\)에 들어가게 하는 \(a, b\)를 찾을 수 있다. (2)는 Cohomology on Sites, Lemma 0942에서 따른다. 다음으로 \(K\)가 유도 완비이므로 (1)은 Cohomology on Sites, Proposition 0947의 극한에 대한 기술과 \(K_n = K_{n + 1} \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}\)이므로 \(H^b(K_{n + 1}) \to H^b(K_n)\)가 전사라는 사실에서 따른다. (3)은 Lemma 09BR에서 따른다. (4)는 Lemma 09AL와 \(K_n\)이 유한 Tor 차원을 가지므로 \(L_n\)도 유한 Tor 차원을 갖는다는 사실에서 따른다(짧은 논증은 생략한다).

보조정리

\(X\)를 약 수축 가능한 아핀 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(K\)를 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)의 대상이라 하고, \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\)의 코호몰로지 층들이 국소상수라고 하자. 그러면 유한 서로소 열린 덮개 \(X = \coprod U_i\)와 각 \(i\)마다 유한 사영 \(\Lambda^\wedge\)-가군들의 유한 모음 \(M^a, \ldots, M^b\)가 존재하여, \(K|_{U_i}\)는 어떤 \(\Lambda\)-가군의 층의 사상들 \((\underline{M^i})^\wedge \to (\underline{M^{i + 1}})^\wedge\)에 대하여 \(D(U_{i, \proetale}, \Lambda)\)에서 복합체 \[(\underline{M^a})^\wedge \to \ldots \to (\underline{M^b})^\wedge\] 로 표현된다.

증명

Lemma 09C2의 결과들을 자유롭게 사용하겠다. 그 보조정리에서와 같이 \(a, b\)를 택하자. \(b - a\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. \(\mathcal{F} = H^b(K)\)라고 두자. \(\mathcal{F}\)는 Proposition 099Q에 의해 유도 완비 \(\Lambda\)-가군의 층임에 유의하라. 또한 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)는 유한형 \(\Lambda/I\)-가군의 국소상수 층이다. Lemma 09BZ를 적용하여 전사 \(\rho : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}\)를 얻는다.

\(a = b\)이면 \(K = \mathcal{F}[-b]\)이다. 이 경우 \[\mathcal{F} \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I} = \mathcal{F}/I\mathcal{F}\] 임을 알 수 있다. \(X\)는 약 수축 가능이고 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)는 국소상수이므로, 아핀 열린 부분들 \(U_i\)에 의한 유한 서로소 합 분해 \(X = \coprod U_i\)와 \(\Lambda/I\)-가군들 \(\overline{M}_i\)를 찾아 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)를 \(U_i\)로 제한한 것이 \(\underline{\overline{M}_i}\)가 되게 할 수 있다. 덮개를 세분한 뒤에는 사상 \[\rho|_{U_i} \bmod I : \underline{\Lambda/I}^{\oplus t} \longrightarrow \underline{\overline{M}_i}\] 이 어떤 전사 가군 사상

\(\alpha_i : \Lambda/I^{\oplus t} \to \overline{M}_i\)에 대한 \(\underline{\alpha_i}\)와 같다고 해도 된다. Modules on Sites, Lemma 093S를 보라. 각 \(\overline{M}_i\)는 유한 \(\Lambda/I\)-가군임에 유의하라. \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\)의 Tor 진폭이 \([0, 0]\)에 들어가므로 \(\overline{M}_i\)가 평탄한 \(\Lambda/I\)-가군이라고 결론짓는다. 따라서 \(\overline{M}_i\)는 유한 사영이다(Algebra, Lemma 00NX). 그러므로 그 상이 사상 \(\alpha_i\) 아래에서 \(\overline{M}_i\)로 동형으로 사상되는 사영자 \(\overline{p}_i : (\Lambda/I)^{\oplus t} \to (\Lambda/I)^{\oplus t}\)를 찾을 수 있다. \(\overline{p}_i\)를 사영자 \(p_i : (\Lambda^\wedge)^{\oplus t} \to (\Lambda^\wedge)^{\oplus t}\)⁷로 올릴 수 있다. 그러면 \(M_i = \Im(p_i)\)는 \(M_i/IM_i = \overline{M}_i\)를 만족하는 유한 \(I\)-진 완비 \(\Lambda^\wedge\)-가군이다. \(U_i\) 위에서 사상들 \[\underline{M_i}^\wedge \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}|_{U_i}\] 을 생각하자. 구성에 의해 그 합성은 \(I\)를 법으로 동형을 유도한다. 정의역과 공역이 유도 완비이므로 여핵 \(\mathcal{Q}\)와 핵 \(\mathcal{K}\)도 유도 완비이다. 구성에 의해 \(\mathcal{Q}/I\mathcal{Q} = 0\)이고, 따라서 Lemma 09BY에 의해 \(\mathcal{Q}\)는 영이다. 그러면 \[0 \to \mathcal{K}/I\mathcal{K} \to \underline{\overline{M}_i} \to \mathcal{F}/I\mathcal{F} \to 0\] 은 이 문단의 시작에서 본 \(\text{Tor}_1\)의 소멸에 의해 완전하다. 또한

\(\underline{\Lambda}^\wedge/I\overline{\Lambda}^\wedge\)와 Modules on Sites, Lemma 093M를 사용하면 \(\underline{M_i}^\wedge/I\underline{M_i}^\wedge = \underline{\overline{M}_i}\)임을 알 수 있다. 따라서 구성에 의해 \(\mathcal{K}/I\mathcal{K} = 0\)이고, 앞에서와 같이 \(\mathcal{K} = 0\)이라고 결론짓는다. 이로써 \(a = b\)인 경우의 결과가 증명되었다.

\(b > a\)이면 사상 \(\rho\)를 \(D(X_\proetale, \Lambda)\)의 사상 \[\tilde \rho : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b] \longrightarrow K\] 로 올린다. Section 099L의 도입부 논의에 의해 \(K\)를 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)-가군의 복합체로 생각할 수 있고, \(X_\proetale\)가 약 수축 가능이므로 원소들 \(\rho(e_s) \in H^0(X, \mathcal{F})\)을 \(H^b(X, K)\)의 원소들로 올리는 데 장애물이 없어서 이것이 가능하다. \(\tilde \rho\)를 특별 삼각형 \[(\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b] \to K \to L \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b + 1]\] 에 넣으면 \(L\)은 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)의 대상이고, \(L \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\)의 Tor 진폭은 \([a, b - 1]\)에 들어감을 알 수 있다(세부 사항은 생략한다). 귀납법에 의해 \(L\)을 보조정리의 명제와 같이 국소적으로 기술할 수 있다. 즉 \(L\)은 \[(\underline{M^a})^\wedge \to \ldots \to (\underline{M^{b - 1}})^\wedge\] 와 동형이라고 하자. 사상 \(L \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b + 1]\)은 사상 \((\underline{M^{b - 1}})^\wedge \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}\)에 대응하며, 이를 통해 복합체를 한 항만큼 연장할 수 있다. 대응하는 복합체는 삼각 범주의 성질에 의해 유도 범주에서 \(K\)와 동형이다. 이로써 증명이 끝난다.

구성 가능 \(\Lambda\)-층에 일어나는 일에서 동기를 얻어 다음 개념을 도입한다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(K \in D(X_\proetale, \Lambda)\)라 하자.

1. 유한 사영 \(\Lambda^\wedge\)-가군들의 유한 복합체 \(M^\bullet\)이 존재하여 \(K\)가 국소적으로 \[\underline{M^a}^\wedge \to \ldots \to \underline{M^b}^\wedge\] 와 동형이면 \(K\)를 adic lisse⁸라 한다.

2. 모든 아핀 열린 부분 \(U \subset X\)에 대하여 구성 가능한 국소 닫힌 부분스킴들로의 분해 \(U = \coprod U_i\)가 존재하여 \(K|_{U_i}\)가 adic lisse이면 \(K\)를 adic 구성 가능⁹이라 한다.

Lemma 09C3에서 얻은 국소 구조와 adic lisse 복합체의 구조의 차이는, Lemma 09C3의 사상들 \(\underline{M^i}^\wedge \to \underline{M^{i + 1}}^\wedge\)은 상수일 필요가 없는 반면 위 정의에서는 상수여야 한다는 점이다.

보조정리

\(X\)를 약 수축 가능한 아핀 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(K\)를 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)의 대상이라 하고, \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)가 \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\)에서 \(\Lambda/I^n\)-가군의 상수 층들의 복합체와 동형이라고 하자. 그러면

\[H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n)\] 는 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

증명

어떤 \(D(\Lambda/I^n)\)의 대상 \(E_n\)에 대하여 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)가 \(\underline{E_n}\)과 동형이라고 하자. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\)가 유한 Tor 차원을 가지며 유한형 코호몰로지 층들을 가지므로 \(E_1\)은 완전하다(More on Algebra, Lemma 0658를 보라). 전이 사상들 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^{n + 1}} \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\] 은 국소적으로 \(D(\Lambda/I^{n + 1})\)의 복합체 사상 \(E_{n + 1} \to E_n\)들에서 온다(서로 다른 사상이 여럿일 수 있다). Cohomology on Sites, Lemma 09BE를 보라. 각 \(n\)에 대해 그러한 사상을 하나 택하고, 이것이 \(D(\Lambda/I^n)\)에서 동형 \(E_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}}^\mathbf{L} \Lambda/I^n \to E_n\) 을 유도함에 유의하라. More on Algebra, Lemma 09AW에 의해 유한 사영 \(\Lambda^\wedge\)-가군들의 유한 복합체 \(M^\bullet\)과, 전이 사상들과 양립하는 \(D(\Lambda/I^n)\)의 동형 \(M^\bullet/I^nM^\bullet \to E_n\)들을 찾을 수 있다.

이제 지표들의 각 유한 모음 \(n > m > k\)에 대해 사상들의 삼중항 \[H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n) \to H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^m) \to H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^k)\] 은 \[H^0(X, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}) \to H^0(X, \underline{M^\bullet/I^mM^\bullet}) \to H^0(X, \underline{M^\bullet/I^kM^\bullet})\] 와 동형임에 유의하라. 실제로 임의의 동형 \[\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet} \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n\] 을 택하면,

\(I^m\)과 \(I^k\)를 법으로 한 비슷한 동형들을 유도하므로 이 주장이 참임을 알 수 있다. 따라서 보조정리를 증명하려면 계 \(H^0(X, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet})\)이 Mittag–Leffler임을 보이면 충분하다. \(X\) 위의 단면을 취하는 것이 완전하므로 \(\Lambda\)-가군의 계 \[H^0(M^\bullet/I^nM^\bullet)\] 이 Mittag–Leffler임을 증명하면 충분하다. \(A = \Lambda^\wedge\)라고 두고 스펙트럼 열 \[\text{Tor}_{-p}^A(H^q(M^\bullet), A/I^nA) \Rightarrow H^{p + q}(M^\bullet/I^nM^\bullet)\] 을 생각하자. More on Algebra, Lemma 0911에 의해 \(p > 0\)이면 pro-계 \(\{\text{Tor}_{-p}^A(H^q(M^\bullet), A/I^nA)\}\)는 영이다. 따라서 pro-계 \(\{H^0(M^\bullet/I^nM^\bullet)\}\)은 pro-계 \(\{H^0(M^\bullet)/I^nH^0(M^\bullet)\}\)과 같고, 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(X\)를 연결 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(K\)가 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)에 속하고

\(K \otimes_\Lambda \underline{\Lambda/I}\)의 코호몰로지 층들이 국소상수이면 \(K\)는 adic lisse이다(Definition 09C4).

증명

\(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)이라고 쓰자. Lemma 09C2의 결과들은 더 언급하지 않고 사용하겠다. Cohomology on Sites, Lemma 094I에 의해 모든 \(n\)에 대해 \(K_n\)의 코호몰로지 층들이 국소상수임을 알 수 있다.

국소상수 코호몰로지 층들을 갖는 어떤 \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda/I^n)\)의 \(L_n\)에 대하여 \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\)이다. Étale Cohomology, Lemma 09BI에 의해 \(L_n\)이 \(\underline{M_n}\)과 에탈 국소적으로 동형이 되게 하는 완전 \(M_n \in D(\Lambda/I^n)\)이 존재한다. \(K_{n + 1} \to K_n\)에 대응하는 사상들 \(L_{n + 1} \to L_n\)은 동형 \(L_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}}^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n} \to L_n\)을 유도한다. \(X\) 위에서 국소적으로 살펴보면, Cohomology on Sites, Lemma 09BE에 의해 \(D(\Lambda/I^{n + 1})\)의 사상들 \(M_{n + 1} \to M_n\) 가운데 동형

\(M_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}} \Lambda/I^n \to M_n\)을 유도하는 것들이 존재한다고 결론짓는다. 그러한 사상들을 하나씩 고정하자. More on Algebra, Lemma 09AW에 의해 유한 사영 \(\Lambda^\wedge\)-가군들의 유한 복합체 \(M^\bullet\)과, 전이 사상들과 양립하는 \(D(\Lambda/I^n)\)의 동형 \(M^\bullet/I^nM^\bullet \to M_n\)들을 찾을 수 있다. 증명을 마치기 위해 \(K\)가 국소적으로 \[\underline{M^\bullet}^\wedge = \lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet} = R\lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}\] 와 동형임을 보이겠다. \(E^\bullet\)을 \(M^\bullet\)의 쌍대 복합체라 하자. More on Algebra, Lemma 07VI과 그 증명을 보라. \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\)의 대상들 \[H_n = R\SheafHom_{\Lambda/I^n}(\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}, K_n) = \underline{E^\bullet/I^nE^\bullet} \otimes_{\Lambda/I^n}^\mathbf{L} K_n\] 을 생각하자. \(I^n\)으로 나눈 나머지를 취하면 전이 사상 \(H_{n + 1} \to H_n\)이 정의된다. \(H = R\lim H_n\)이라고 두자. 그러면 \(H\)는 \(H \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n} = H_n\)을 만족하는 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)의 대상이다(세부 사항은 생략한다). 각 \(W_t\)가 아핀이고 약 수축 가능인 덮개 \(\{W_t \to X\}_{t \in T}\)를 택하자. \(M^\bullet\)의 선택에 의해 \[\begin{align*} H_n|_{W_t} & \cong R\SheafHom_{\Lambda/I^n}(\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}) \\ & = \underline{ \text{Tot}(E^\bullet/I^nE^\bullet \otimes_{\Lambda/I^n} M^\bullet/I^nM^\bullet) } \end{align*}\] 임을 알 수 있다. 따라서 \(H = R\lim H_n\)에 Lemma 09C5을 적용할 수 있다. 계 \(H^0(W_t, H_n)\)이 Mittag–Leffler를 만족한다고 결론짓는다. 모든 \(n \gg 1\)에 대해 \(H^0(W_t, H_n)\)의 원소 가운데 \[H^0(W_t, H_1) = \Hom(\underline{M^\bullet/IM^\bullet}, K_1)\] 에서 동형으로 사상되는 것이 있으므로, 역극한 안에서 \(I\)를 법으로 동형을 주는 원소 \((\varphi_{t, n})\)를 찾는다. 그러면 \[R\lim \varphi_{t, n} : \underline{M^\bullet}^\wedge|_{W_t} = R\lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}|_{W_t} \longrightarrow R\lim K_n|_{W_t} = K|_{W_t}\] 는 동형이다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 아이디얼이라 하자. \(K\)를 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)의 대상이라 하자. 그러면 \(K\)는 adic 구성 가능이다(Definition 09C4).

증명

이는 Lemma 09C6, Noether 스킴이 국소 연결이라는 사실(Topology, Lemma 04MF), 그리고 정의들로부터 따른다.

고유 기저변환

이 절에서는 pro-에탈 위상은 “극한 문제”를 다루는 데에만 사용하고 나머지는 모두 에탈 위상에 대해 증명된 결과로 처리한다는 일반적인 주제에 따라, 에탈 코호몰로지에 대한 고유 기저변환 정리를 사용하여 pro-에탈 사이트 위의 유도 완비 대상들에 대한 고유 기저변환 정리를 증명하는 방법을 설명한다.

정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 고유 사상이라 하자. \(g : Y' \to Y\)를 기저변환 그림 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 주는 스킴의 사상이라 하자. \(\Lambda\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset \Lambda\)를 \(\Lambda/I\)가 토션이 되게 하는 아이디얼이라 하자. \(K\)를 다음을 만족하는

\(D(X_\proetale)\)의 대상이라 하자.

1. \(K\)는 유도 완비이고,

2. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)은 아래로 유계이고 그 코호몰로지 층들은 \(X_\etale\)에서 오며,

3. \(\Lambda/I^n\)은 완전 \(\Lambda\)-가군이다.¹⁰

그러면 기저변환 사상 \[Lg_{comp}^*Rf_*K \longrightarrow Rf'_*L(g')^*_{comp}K\] 은 동형이다.

증명

기저변환 사상의 구성은 생략한다(이는 유도 순상과 완비 유도 당김의 형식적 성질만을 사용한다. Cohomology on Sites, Remark 07A7와 비교하라). \(K_n = K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}\)이라고 쓰자. \(K\)가 유도 완비이므로 Lemma 099M에 의해 \(K = R\lim K_n\)이다. Lemmas 099N와 099M에 의해 왼쪽 항을 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다. \[Lg_{comp}^* Rf_* K = R\lim Lg^*(Rf_*K)\otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n} = R\lim Lg^* Rf_* K_n\] 마지막 등식은 \(\Lambda/I^n\)이 완전 가군이라는 사실과 사영 공식 (Cohomology on Sites, Lemma 0944)에서 따른다. Lemma 099N를 사용하면 오른쪽 항을 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다. \[Rf'_* L(g')^*_{comp} K = Rf'_* R\lim L(g')^* K_n = R\lim Rf'_* L(g')^* K_n\] 마지막 등식은 \(Rf'_*\)가 \(R\lim\)과 가환하기 때문에 성립한다 (Cohomology on Sites, Lemma 0A07). 따라서 사상들 \[Lg^* Rf_* K_n \longrightarrow Rf'_* L(g')^* K_n\] 이 동형임을 보이면 충분하다. Lemma 09B1와 둘째 조건에 의해 어떤 \(L_n \in D^+(X_\etale, \Lambda/I^n)\)에 대하여 \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\)이라고 쓸 수 있다. Lemma 09A6과 \(\epsilon^{-1}\)이 당김과 가환한다는 사실에 의해

\[Lg^* Rf_* K_n = Lg^* Rf_* \epsilon^*L_n = Lg^* \epsilon^{-1} Rf_* L_n = \epsilon^{-1} Lg^* Rf_* L_n\] 을 얻고, \[Rf'_* L(g')^* K_n = Rf'_* L(g')^* \epsilon^{-1} L_n = Rf'_* \epsilon^{-1} L(g')^* L_n = \epsilon^{-1} Rf'_* L(g')^* L_n\] 도 얻는다(여기서는 \(L_n\)이 아래로 유계라는 사실도 사용한다). 마지막으로 에탈 코호몰로지에 대한 고유 기저변환 정리(Étale Cohomology, Theorem 095T)에 의해 \[Lg^* Rf_* L_n = Rf'_* L(g')^* L_n\] 이다(여기서도 \(L_n\)이 아래로 유계라는 사실을 사용한다). 이로써 정리가 증명된다.

부분 우주의 변경

독자에게 이 절을 건너뛰라고 권한다. 여기서는 pro-에탈 위상에서 층들의 코호몰로지가 부분 우주의 선택과 무관함을 보인다. 즉 아래의 Lemma 098Y의 함자 \(g_*\)는 코호몰로지를 바꾸지 않는 작은 pro-에탈 토포스의 매장이다. 큰 pro-에탈 사이트들에 대해서는 본질적으로 같은 내용을 말하는 Lemmas 0F4S와 0F4T가 있다.

그러나 먼저 Section 0988에서 약속한 대로, 큰 pro-에탈 사이트 \(\Sch_\proetale\) 위의 위상이 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 pro-에탈 위상으로부터 유도됨을 증명한다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)를 Definition 098G에서와 같은 큰 pro-에탈 사이트라 하자. \(T \in \Ob(\Sch_\proetale)\)라 하자. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 pro-에탈 덮개라 하자. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_\proetale\) 사이트 안의 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재한다.

증명

먼저 \(\{V_k \to T\}\)를 Lemma 098I에서와 같은 덮개라 하자. 그러면 pro-에탈 덮개들 \(\{T_i \times_T V_k \to V_k\}\)는 유한 서로소 열린 덮개 \(V_k = V_{k, 1} \amalg \ldots \amalg V_{k, n_k}\)에 의해 세분될 수 있다. Lemma 098F를 보라. 이제 \(\{V_{k, i} \to T\}\)는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_\proetale\)의 덮개이다.

먼저 작은 pro-에탈 사이트들에 대한 비교를 진술하고 증명한다. 스킴의 작은 pro-에탈 토포스가 부분 우주의 선택과 무관하다고 주장하는 것은 아님에 유의하라. 이는 작은 에탈 토포스의 경우와 달리 참이 아니다 (Étale Cohomology, Lemma 0958).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S_\proetale \subset S_\proetale'\)를 Definition 098K에서 구성한 \(S\)의 두 작은 pro-에탈 사이트라 하자. 그러면 포함 함자는 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족한다. 따라서 토포스의 사상들 \[\xymatrix{ \Sh(S_\proetale) \ar[r]^g & \Sh(S_\proetale') \ar[r]^f & \Sh(S_\proetale) }\] 이 존재하여 그 합성은 항등과 동형이고 \(f_* = g^{-1}\)이다. 또한 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{F}' \in \textit{Ab}(S_\proetale')\)에 대하여 \(H^p(S_\proetale', \mathcal{F}') = H^p(S_\proetale, g^{-1}\mathcal{F}')\) 이다.

2. \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(S_\proetale)\)에 대하여 \[H^p(S_\proetale, \mathcal{F}) = H^p(S_\proetale', g_*\mathcal{F}) = H^p(S_\proetale', f^{-1}\mathcal{F}).\]

증명

포함 함자는 완전 충실하고 연속이다. \(S_\proetale\)와 \(S_\proetale'\)에는 올곱과 끝 대상이 존재하며 우리의 함자가 이들과 가환함을 앞에서 보았다(Lemma 098M). Lemma 098J로부터 포함 함자가 쌍대연속임이 따른다. 따라서 \(f\)와 \(g\)의 존재는 Sites, Lemma 00XU에서 따른다. (1)의 등식은 Cohomology on Sites, Lemma 03YU이다. (2)는 \(\mathcal{F} = g^{-1}g_*\mathcal{F} = g^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\)이므로 (1)에서 따른다.

다음으로 큰 pro-에탈 토포스에 대한 대응하는 결과를 증명한다.

보조정리

\(\Sch_\proetale\)와 \(\Sch'_\proetale\)를 Definition 098G에서와 같은 주어진 큰 사이트라 하자. \(\Sch_\proetale\)가 \(\Sch'_\proetale\)에 포함된다고 가정하자. 포함 함자 \(\Sch_\proetale \to \Sch'_\proetale\)는 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족한다. 토포스의 사상들 \[\begin{eqnarray*} g : \Sh(\Sch_\proetale) & \longrightarrow & \Sh(\Sch'_\proetale) \\ f : \Sh(\Sch'_\proetale) & \longrightarrow & \Sh(\Sch_\proetale) \end{eqnarray*}\] 이 존재하여 \(f \circ g \cong \text{id}\)이다. \(\Sch_\proetale\)의 임의의 대상 \(S\)에 대하여 포함 함자 \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\)도 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족한다. 따라서 마찬가지로 사상들 \[\begin{eqnarray*} g : \Sh((\Sch/S)_\proetale) & \longrightarrow & \Sh((\Sch'/S)_\proetale) \\ f : \Sh((\Sch'/S)_\proetale) & \longrightarrow & \Sh((\Sch/S)_\proetale) \end{eqnarray*}\] 을 얻으며, \(f \circ g \cong \text{id}\)이다.

증명

Sites, Lemma 00XU의 가정 (b), (c), (e)는 함자들 \(\Sch_\proetale \to \Sch'_\proetale\)와 \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\)에 대하여 즉시 성립한다. 성질 (a)는 Lemma 098J에 의해 성립한다. 성질 (d)는 범주 \(\Sch_\proetale\)와 \(\Sch'_\proetale\)에서 올곱들이 존재하며 스킴의 범주에서의 올곱들과 양립하므로 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((\Sch/S)_\proetale\)와 \((\Sch'/S)_\proetale\)를 Definition 098K에서와 같은 \(S\)의 두 큰 pro-에탈 사이트라 하자. 첫째가 둘째에 포함된다고 가정하자. 이 경우 다음이 성립한다.

1. \((\Sch'/S)_\proetale\) 위에 정의된 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}'\)와 \((\Sch/S)_\proetale\)의 임의의 대상 \(U\)에 대하여 \[H^p(U, \mathcal{F}'|_{(\Sch/S)_\proetale}) = H^p(U, \mathcal{F}')\] 이다. 즉 큰 사이트에서 계산한 \(U\) 위의 \(\mathcal{F}'\)의 코호몰로지는 작은 사이트로 제한한 \(\mathcal{F}'\)의 \(U\) 위의 코호몰로지와 일치한다.

2. \((\Sch/S)_\proetale\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여, 그 \((\Sch/S)_\proetale\)로의 제한이 \(\mathcal{F}\)와 동형인

   \((\Sch/S)_\proetale'\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}'\)가 존재한다.

증명

Lemma 0F4S에 의해 포함 함자 \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\)는 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족한다. 이로부터 (2)가 따르고, (1)은 Cohomology on Sites, Lemma 03YU에서 따른다.