스킴의 기본군

서론

이 장에서는 Grothendieck의 스킴 기본군과 그 응용을 논한다. 기초 문헌은 [SGA1]이다. 좋은 입문서로 [Lenstra]가 있다. 그 밖의 참고문헌으로 [Murre-lectures]와 [Grothendieck-Murre]가 있다.

한 점 위에서 에탈인 스킴

이 절에서는 체의 스펙트럼 위에서 에탈인 스킴을 기술한다. 결과를 서술하기 전에 위상군 \(G\)에 대한 \(G\)-집합의 범주를 도입한다.

정의

위상군 \(G\)를 잡자. \(G\)-집합 또는 이산 \(G\)-집합이란 집합 \(X\)와 왼쪽 작용 \(a : G \times X \to X\)의 쌍으로서, \(X\)에는 이산위상을 주고 \(G \times X\)에는 곱위상을 주었을 때 \(a\)가 연속인 것을 말한다. \(G\)-집합의 사상 \(f : X \to Y\)란 단순히 \(G\)-등변인 사상, 즉 \(X\)에서 \(Y\)로 가는 사상을 말한다. \(G\)-집합의 범주는 \(G\textit{-Sets}\)로 나타낸다.

\(a : G \times X \to X\)가 연속이라는 조건은 단순히 임의의 \(x \in X\)의 안정자가 \(G\)의 열린 부분군이라는 뜻이다.

\(G\)가 추상군 \(G\)(즉, 위상군이 아닌 군)인 경우, \(G\)에 이산위상을 주면 앞의 정의와 일치한다(예를 들어 사이트, 예 00VK을 보라).

\(L/K\)가 무한 Galois 확대이면 Galois 군 \(G = \text{Gal}(L/K)\)에는 표준적인 위상이 주어짐을 상기하자. 체, 절 0BMI을 보라.

보조정리

체 \(K\)를 잡자. \(K^{sep}\)를 \(K\)의 분리 폐포라 하자. 프로유한군 \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)를 생각하자. 함자 \[\begin{matrix} \text{스킴(}K\text{ 위에서 에탈)} & \longrightarrow & G\textit{-Sets} \\ X/K & \longmapsto & \Mor_{\Spec(K)}(\Spec(K^{sep}), X) \end{matrix}\] 는 범주의 동치이다.

증명

스킴 \(X\)가 \(K\) 위에 있고 \(K\) 위에서 에탈일 필요충분조건은 \(X \cong \coprod_{i\in I} \Spec(K_i)\)로 쓸 수 있고 각 \(K_i\)가 \(K\)의 유한 분리 확대인 것이다 (사상, 보조정리 02GL). 보조정리의 함자는 \(X\)에 \(G\)-집합 \[\coprod\nolimits_i \Hom_K(K_i, K^{sep})\] 를 그 자연스러운 왼쪽 \(G\)-작용과 함께 대응시킨다. \(G\) 위상의 정의에 따라 각 원소의 안정자는 열려 있다. 반대로 임의의 \(G\)-집합 \(S\)는 그 궤도들의 서로소 합이다. \(S = \coprod S_i\)라 쓰자. \(s_i \in S_i\)를 고르고 그 열린 안정자를 \(G_i \subset G\)로 나타내자. Galois 이론 (체, 정리 0BML)에 의해 체 \((K^{sep})^{G_i}\)는 \(K\)의 유한 분리 확대이다. 따라서 스킴 \[\coprod\nolimits_i \Spec((K^{sep})^{G_i})\] 은 \(K\) 위에서 에탈이다. 이로써 보조정리의 함자에 대한 역함자를 얻는다. 일부 세부사항은 생략한다.

주

보조정리 03QR의 대응 아래에서 체 \(K\)의 작은 에탈 사이트 \(\Spec(K)_\etale\)의 덮개들은 \(G\textit{-Sets}\)에서 사상들의 전사족에 대응한다.

Galois 범주

이 절에서는 [SGA1, Exposé V, Sections 4, 5, and 6]에 실린 내용의 일부를 논한다.

\(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 우리의 규약상 범주의 대상들은 집합을 이루며, 임의의 두 대상 사이의 사상들도 집합을 이룸을 상기하자. 표준적인 단사 사상 [0BS7]\[\begin{equation} \text{Aut}(F) \longrightarrow \prod\nolimits_{X \in \Ob(\mathcal{C})} \text{Aut}(F(X)) \end{equation}\] 이 있다. 집합 \(E\)에 대해 \(\text{Aut}(E)\)에는 콤팩트-열린 위상을 준다 (위상수학, 예 0BMC). \(E\)가 유한이면 이는 물론 이산위상이며, 이 절에서 관심을 두는 경우가 바로 이것이다¹. \(\text{Aut}(F)\)에는 (0BS7)의 오른쪽에 있는 곱위상으로부터 유도되는 위상을 준다. 특히 작용 사상 \[\text{Aut}(F) \times F(X) \longrightarrow F(X)\] 은 \(F(X)\)에 이산위상을 주면 연속이다. 실제로 임의의 집합 \(E\)에 대해 작용 사상 \(\text{Aut}(E) \times E \to E\)가 연속이기 때문이다. \(\text{Aut}(F)\)에 준 위상의 보편 성질은 다음과 같다. \(G\)를 위상군이라 하고, \(G \to \text{Aut}(F)\)를 군 준동형으로서 유도된 작용 \(G \times F(X) \to F(X)\)가 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(F(X)\)에 이산위상을 주었을 때 연속이라고 하자. 그러면 \(G \to \text{Aut}(F)\)는 연속이다.

다음 보조정리는 유한 집합의 범주로 가는 함자의 자기동형군이 자동으로 프로유한군이 됨을 말해 준다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주, \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 사상 (0BS7)은 \(\text{Aut}(F)\)를 \(\prod_{X \in \Ob(\mathcal{C})} \text{Aut}(F(X))\)의 닫힌 부분군과 동일시한다. 특히 모든 \(X\)에 대해 \(F(X)\)가 유한이면 \(\text{Aut}(F)\)는 프로유한군이다.

증명

\(\xi = (\gamma_X) \in \prod \text{Aut}(F(X))\)가 \(\text{Aut}(F)\)에 속하지 않는 원소라 하자. 그러면 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X \to X'\)와 원소 \(x \in F(X)\)가 존재하여 \(F(f)(\gamma_X(x)) \not = \gamma_{X'}(F(f)(x))\). 를 만족한다. \(\gamma_X\)의 열린 근방 \(U = \{\gamma \in \text{Aut}(F(X)) \mid \gamma(x) = \gamma_X(x)\}\) 와 열린 근방 \(U' = \{\gamma' \in \text{Aut}(F(X')) \mid \gamma'(F(f)(x)) = \gamma_{X'}(F(f)(x))\}\). 를 생각하자. 그러면 \(U \times U' \times \prod_{X'' \not = X, X'} \text{Aut}(F(X''))\) 은 \(\xi\)의 열린 근방이며 \(\text{Aut}(F)\)와 만나지 않는다. 마지막 주장은 각 \(F(X)\)가 유한이면 \(\prod \text{Aut}(F(X))\)가 프로유한 공간이라는 사실에서 따른다.

예

\(G\)를 위상군이라 하자. 중요한 예는 망각 함자 [0BMT]\[\begin{equation} \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 이다. 여기서 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)는 유한 \(G\)-집합을 대상으로 하는 \(G\textit{-Sets}\)의 충만 부분범주이다. \(G\)-집합의 범주 \(G\textit{-Sets}\)는 정의 04JJ에서 정의하였다.

\(G\)를 위상군이라 하자. \(G\)의 프로유한 완비화란 프로유한 위상을 갖춘 프로유한군 \[G^\wedge = \lim_{U \subset G\text{ open, normal, finite index}} G/U\] 을 말한다. 유한 지수의 열린 정규 부분군들을 유한 개 교차해도 같은 성질을 가지므로 이 극한은 공여과적이다. 프로유한 완비화의 보편 성질은 프로유한군 \(H\)로 가는 임의의 연속 사상 \(G \to H\)가 표준적으로 \(G \to G^\wedge \to H\)로 분해된다는 것이다.

보조정리

\(G\)를 위상군이라 하자. 함자 (0BMT)의 자기동형군에 보조정리 0BMR의 프로유한 위상을 준 것은 \(G\)의 프로유한 완비화이다.

증명

(0BMT)의 함자를 \(F_G\)라 쓰자. \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)의 임의의 사상 \(X \to Y\)는 \(G\)의 작용과 가환한다. 따라서 임의의 \(g \in G\)는 \(F_G\)의 자기동형을 정하며, 표준적인 군 준동형 \(G \to \text{Aut}(F_G)\)를 얻는다. 임의의 유한 \(G\)-집합 \(X\)는 표준적인 \(G\)-작용을 갖는 꼴 \(G/H_i\)의 \(G\)-집합들의 유한 서로소 합이다. 여기서 \(H_i \subset G\)는 유한 지수의 열린 부분군이다. 이때 \(U_i = \bigcap gH_ig^{-1}\)는 열리고 정규이며 유한 지수를 갖는다. 또한 \(U_i\)는 \(G/H_i\)에 자명하게 작용하므로 \(U = \bigcap U_i\)는 \(F_G(X)\)에 자명하게 작용한다. 따라서 작용 \(G \times F_G(X) \to F_G(X)\)는 연속이다. \(\text{Aut}(F_G)\) 위상의 보편 성질에 의해 사상 \(G \to \text{Aut}(F_G)\)는 연속이다. 보조정리 0BMR과 프로유한 완비화의 보편 성질에 의해 유도된 연속 군 준동형 \[G^\wedge \longrightarrow \text{Aut}(F_G)\] 이 존재한다. 또한 \(G/U\)가 \(G/U\)에 충실하게 작용하므로 이 사상은 단사이다. 그 상이 조밀하면 이 사상은 전사이고, 따라서 위상수학, 보조정리 08YE에 의해 위상동형이다.

\(\gamma \in \text{Aut}(F_G)\)와 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)를 잡자. \(\gamma\)와 \(g\)가 \(F_G(X)\)에 같은 작용을 유도하는 \(g \in G\)가 존재함을 보이면 증명이 끝난다. 앞에서와 같이 \(X\)는 \(G/H_i\)들의 유한 서로소 합이다. 위와 같은 \(U_i\)와 \(U\)를 쓰면, 유한 \(G\)-집합 \(Y = G/U\)는 모든 \(i\)에 대해 \(G/H_i\) 위로 전사한다. 따라서 \(\gamma\)와 \(g\)가 \(F_G(G/U) = G/U\)에 같은 작용을 유도하는 \(g \in G\)를 찾으면 충분하다. \(e \in G\)를 항등원이라 하고, 어떤 \(g_0 \in G\)에 대해 \(\gamma(eU) = g_0U\)라 쓰자. 임의의 \(g_1 \in G\)에 대해 사상 \[R_{g_1} : G/U \longrightarrow G/U,\quad gU \longmapsto gg_1U\] 은 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)의 사상이며 \(\gamma\)의 작용과 가환한다. 따라서 \[\gamma(g_1U) = \gamma(R_{g_1}(eU)) = R_{g_1}(\gamma(eU)) = R_{g_1}(g_0U) = g_0g_1U\] 이다. 그러므로 \(g = g_0\)로 잡으면 된다.

완전 함자란 모든 유한 극한 및 유한 여극한과 가환하는 함자이다. 특히 그러한 함자는 등화자, 쌍대등화자, 섬유곱, 푸시아웃 등과 가환한다.

보조정리

\(G\)를 위상군이라 하자. \(F : \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Sets}\)를 완전 함자라 하고, 모든 \(X\)에 대해 \(F(X)\)가 유한하다고 하자. 그러면 \(F\)는 함자 (0BMT)와 동형이다.

증명

\(X\)를 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)의 공집합이 아닌 대상이라 하자. 도식 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & \{*\} \ar[d] \\ \{*\} \ar[r] & \{*\} }\] 은 쌍대카르테시안이다. 따라서 \(F(X)\)는 공집합이 아니다. \(U \subset G\)를 유한 지수의 열린 정규 부분군이라 하자. 등식 \[G/U \times G/U = \coprod\nolimits_{gU \in G/U} G/U\] 에서 \(gU\)에 대응하는 성분은 왼쪽의 \((eU, gU)\)의 궤도에 대응한다. 따라서 \[F(G/U) \times F(G/U) = F(G/U \times G/U) = \coprod\nolimits_{gU \in G/U} F(G/U)\] \(|F(G/U)| = |G/U|\)이다. 실제로 \(F(G/U)\)는 공집합이 아니다. 그러므로 \[\lim_{U \subset G\text{ open, normal, finite idex}} F(G/U)\] 은 공집합이 아니다(범주론, 보조정리 086J). 이 극한의 원소 \(\gamma = (\gamma_U)\)를 하나 잡자. 함자 (0BMT)를 \(F_G\)라 쓰자. \(F_G\)를 함자 \[X \longmapsto \colim_U \Mor(G/U, X)\] 와 동일시할 수 있다. 여기서 \(f : G/U \to X\)는 \(f(eU) \in X = F_G(X)\)에 대응한다 (세부사항은 생략한다). 따라서 원소 \(\gamma\)는 잘 정의된 사상 \[t : F_G \longrightarrow F\] 를 정한다. 실제로 \(x \in X\)가 주어지면 \(U\)와 \(eU\)를 \(x\)로 보내는 \(f : G/U \to X\)를 고르고 \(t_X(x) = F(f)(\gamma_U)\)로 놓는다. 임의의 \(U\)에 대해 \(t\)가 전단사 사상 \(t_{G/U} : F_G(G/U) \to F(G/U)\)를 유도함을 보이자. 그러면 \(t\)가 동형이라는 것은 곧바로 따른다(세부사항은 생략한다). \(|F_G(G/U)| = |F(G/U)|\)이므로 \(t_{G/U}\)가 전사임을 보이면 충분하다. 그 상은 적어도 원소 \(t_{G/U}(eU) = F(\text{id}_{G/U})(\gamma_U) = \gamma_U\). 를 포함한다. \(g \in G\)에 대해 오른쪽 곱셈을 \(R_g : G/U \to G/U\)로 나타내자. \(F(R_g) : F(G/U) \to F(G/U)\)의 고정점 집합은 \(F(\emptyset) = \emptyset\)과 같다. 이는 \(g \not \in U\)이면 \(F\)가 등화자와 가환하기 때문이다. 따라서 \(g_1, \ldots, g_{|G/U|}\)가 \(G/U\)의 대표원계이면 원소 \(F(R_{g_i})(\gamma_U)\)들은 서로 다르며, 따라서 \(F(G/U)\) 전체를 이룬다. 이때 \[t_{G/U}(g_iU) = F(R_{g_i})(\gamma_U)\] 이므로 증명이 끝난다.

예

\(\mathcal{C}\)를 범주, \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하고, 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(F(X)\)가 유한하다고 하자. 보조정리 0BMR에 의해 \(G = \text{Aut}(F)\)에는 표준적으로 프로유한 위상군의 구조가 주어진다. 함자 [0BMX]\[\begin{equation} \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Finite-}G\textit{-Sets},\quad X \longmapsto F(X) \end{equation}\] 를 얻는다. 여기서 \(F(X)\)에는 \(G\)의 유도된 작용을 준다. 이 작용은 \(\text{Aut}(F)\) 위상의 구성에 의해 연속이다.

Galois 범주를 정의하는 목적은 함자 (0BMX)가 동치가 되는 쌍 \((\mathcal{C}, F)\)를 특징짓는 데 있다. Galois 범주를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 범주, \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 쌍 \((\mathcal{C}, F)\)가 Galois 범주라는 것은 다음 조건들을 만족한다는 뜻이다.

1. \(\mathcal{C}\)는 유한 극한과 유한 여극한을 갖는다.

2. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 연결 대상들의 유한 쌍대곱(공집합일 수도 있다)이다.

3. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(F(X)\)는 유한하다.

4. \(F\)는 동형을 반영하고², 완전하다³.

여기서 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)가 연결이라는 것은 이 대상이 시작 대상이 아니며, 임의의 단사 사상 \(Y \to X\)에 대해 \(Y\)가 시작 대상이거나 \(Y \to X\)가 동형이라는 뜻이다.

주의: 이 정의는 대부분의 문헌에 나오는 정의와 같지 않다(뒤에서 두 정의가 동치임을 보일 것이다). 실제로 [SGA1, Exposé V, Definition 5.1]에서는 Galois 범주를 어떤 프로유한군 \(G\)에 대한 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)와 동치인 범주로 정의한다. 이어서 Grothendieck은 위 공리들보다 약한 공리 (G1)–(G6)의 목록으로 Galois 범주를 특징짓는다. 여기의 정의를 택한 이유는 유한 극한과 유한 여극한의 존재 및 함자 \(F\)의 완전성을 강조하기 위해서이다. 그 대가로 뒤에서 이 절의 결과를 적용할 때 조금 더 많은 작업이 필요하다.

보조정리

\((\mathcal{C}, F)\)를 Galois 범주라 하고, \(X \to Y \in \text{Arrows}(\mathcal{C})\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(F\)는 충실하다.

2. \(X \to Y\)가 단사 사상이다. \(\Leftrightarrow F(X) \to F(Y)\)가 단사 사상이다.

3. \(X \to Y\)가 전사 사상이다. \(\Leftrightarrow F(X) \to F(Y)\)가 전사 사상이다.

4. 대상 \(A\)가 \(\mathcal{C}\)의 시작 대상일 필요충분조건은 \(F(A) = \emptyset\)이다.

5. 대상 \(Z\)가 \(\mathcal{C}\)의 끝 대상일 필요충분조건은 \(F(Z)\)가 한원소 집합인 것이다.

6. \(X\)와 \(Y\)가 연결이면 \(X \to Y\)는 전사 사상이다.

7. \(X\)가 연결이고 \(a, b : X \to Y\)가 두 사상이라고 하자. \(F(a)\)와 \(F(b)\)가 \(F(X)\)의 한 원소에서 일치하면 \(a = b\)이다.

8. \(X = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i\)이고 \(Y = \coprod_{j = 1, \ldots, m} Y_j\)이며 \(X_i\), \(Y_j\)가 연결이라고 하자. 그러면 사상 \(\alpha : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}\)가 존재하여 \(X \to Y\)는 사상들의 모음 \(X_i \to Y_{\alpha(i)}\)로부터 얻어진다.

증명

(1)의 증명. \(a, b : X \to Y\)이고 \(F(a) = F(b)\)라고 하자. \(E\)를 \(a\)와 \(b\)의 등화자라 하자. 그러면 \(F(E) = F(X)\)이고, \(F\)가 동형을 반영하므로 \(E = X\)이다.

(2)의 증명. \(F\)는 사상 \(X \to X \times_Y X\)를 사상 \(F(X) \to F(X) \times_{F(Y)} F(X)\)로 보내고, \(F\)는 동형을 반영하기 때문이다.

(3)의 증명. \(F\)는 사상 \(Y \amalg_X Y \to Y\)를 사상 \(F(Y) \amalg_{F(X)} F(Y) \to F(Y)\)로 보내고, \(F\)는 동형을 반영하기 때문이다.

(4)의 증명. 시작 대상 \(A\)가 존재하고 분명히 \(F(A) = \emptyset\)이다. 한편 대상 \(X\)가 \(F(X) = \emptyset\)을 만족하면 유일한 사상 \(A \to X\)는 전단사 \(F(A) \to F(X)\)를 유도하므로 \(A \to X\)는 동형이다.

(5)의 증명. 끝 대상 \(Z\)가 존재하고 분명히 \(F(Z)\)는 한원소 집합이다. 한편 대상 \(X\)에 대해 \(F(X)\)가 한원소 집합이면 유일한 사상 \(X \to Z\)는 전단사 \(F(X) \to F(Z)\)를 유도하므로 \(X \to Z\)는 동형이다.

(6)의 증명. 두 사상 \(Y \to Y \amalg_X Y\)의 등화자 \(E\)는 \(\mathcal{C}\)의 시작 대상이 아니다. 실제로 \(X \to Y\)가 \(E\)를 거쳐 분해되고 \(F(X) \not = \emptyset\)이기 때문이다. 따라서 \(E = Y\)이며 주장이 따른다.

(0BN1)의 증명. \(a\)와 \(b\)의 등화자 \(E\)에는 단사 사상 \(E \to X\)가 주어지며, \(F(E) \subset F(X)\)는 \(F(a)\)와 \(F(b)\)가 일치하는 원소들의 집합이다. \(E\)가 시작 대상이거나 \(E = X\)이므로 주장이 따른다.

(8)의 증명. 각 \(i, j\)에 대해 \(E_{ij} = X_i \times_Y Y_j\)는 시작 대상이거나 \(X_i\)와 같다. \(s \in F(X_i)\)를 하나 고르면 \(E_{ij} = X_i\)일 필요충분조건은 \(s\)가 \(F(Y_j) \subset F(Y)\)의 원소로 보내지는 것이다. 따라서 이는 유일한 \(j = \alpha(i)\)에 대해 일어난다.

위 보조정리에 의해 Galois 범주 \((\mathcal{C}, F)\)의 연결 대상 \(X\)가 주어지면 자기동형군 \(\text{Aut}(X)\)의 위수는 \(|F(X)|\) 이하이다. 실제로 \(s \in F(X)\)와 \(g \in \text{Aut}(X)\)에 대해 \(F(g)(s) = s\)일 필요충분조건은 (0BN1)에 의해 \(g = \text{id}_X\)인 것이다. 등호가 성립할 때 \(X\)를 Galois라고 한다. 동치로, \(X\)가 Galois라는 것은 연결이고 \(\text{Aut}(X)\)가 \(F(X)\)에 추이적으로 작용한다는 뜻이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, F)\)를 Galois 범주라 하자. \(\mathcal{C}\)의 임의의 연결 대상 \(X\)에 대해 Galois 대상 \(Y\)와 사상 \(Y \to X\)가 존재한다.

증명

이하에서는 보조정리 0BN0의 결과를 별도의 언급 없이 사용한다. \(n = |F(X)|\)라 하자. \(X^n\)에 \(S_n\)의 자연스러운 작용을 준 것을 생각하자. \[X^n = \coprod\nolimits_{t \in T} Z_t\] 를 연결 대상들로의 분해라 하자. \(F(Z_t)\)가 서로 다른 \(s_i\)들로 이루어진 원소 \((s_1, \ldots, s_n)\)를 포함하도록 \(t\)를 하나 고르자. 다른 원소 \((s'_1, \ldots, s'_n) \in F(Z_t)\)에 대해서도 \(s'_i\)들이 서로 다르다고 주장한다.

그렇지 않고, 예를 들어 \(s'_i = s'_j\)라면 \(Z_t\)는 \(X^{n - 1}\)의 어떤 연결 성분을 대각 사상 \[\Delta_{ij} : X^{n - 1} \longrightarrow X^n\] 으로 보낸 상이다. 연결 대상 사이의 사상은 전사 사상이고, \(F\)를 적용하면 전사 사상을 유도하므로 \(s_i = s_j\)가 따라야 하지만 이는 성립하지 않는다.

\(G \subset S_n\)을 \(g(Z_t) = Z_t\)를 만족하는 원소들로 이루어진 부분군이라 하자. \(S_n\)의 \[F(X)^n = F(X^n) = \coprod\nolimits_{t' \in T} F(Z_{t'})\] 위의 작용을 살펴보면 \(G = \{g \in S_n \mid g(s_1, \ldots, s_n) \in F(Z_t)\}\)이다. 이제 두 번째 원소 \((s'_1, \ldots, s'_n) \in F(Z_t)\)를 고르자. 위에서 \(s'_i\)들이 서로 다름을 보였다. 따라서 \(g(s_1, \ldots, s_n) = (s'_1, \ldots, s'_n)\)를 만족하는 \(g \in S_n\)이 존재한다. 즉 \(G\)의 \(F(Z_t)\) 위의 작용은 추이적이며 증명이 끝난다.

다음은 핵심 보조정리이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, F)\)를 Galois 범주라 하자. \(G = \text{Aut}(F)\)는 예 0BMW의 것이라 하자. \(\mathcal{C}\)의 임의의 연결 대상 \(X\)에 대해 \(G\)의 \(F(X)\) 위의 작용은 추이적이다.

증명

이하에서는 보조정리 0BN0의 결과를 별도의 언급 없이 사용한다. \(I\)를 \(\mathcal{C}\)에서 Galois 대상들의 동형류로 이루어진 집합이라 하자. 각 \(i \in I\)에 대해 그 동형류의 대표를 \(X_i\)라 하자. 각 \(i \in I\)에 대해 \(\gamma_i \in F(X_i)\)를 고른다. \(I\) 위의 부분순서를 \(i \geq i'\)일 필요충분조건이 사상 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)의 존재가 되도록 정의한다. 그러한 사상이 주어지면 자기동형 \(X_{i'} \to X_{i'}\)를 뒤에 합성하여 \(F(f_{ii'})(\gamma_i) = \gamma_{i'}\)가 되게 할 수 있다. 이 정규화 아래에서 사상 \(f_{ii'}\)는 유일하다. \(I\)가 유향 부분순서집합임에 유의하자 (범주론, 정의 00D3). 실제로 \(i_1, i_2 \in I\)이면 Galois 대상 \(Y\)와 사상 \(Y \to X_{i_1} \times X_{i_2}\)가 존재한다. 이는 보조정리 0BN2를 \(X_{i_1} \times X_{i_2}\)의 연결 성분에 적용하면 된다. 이때

어떤 \(i \in I\)에 대해 \(Y \cong X_i\)이고, \(i \geq i_1\), \(i \geq I_2\)이다.

함자 \(F\)는 \(X\)를 \[F'(X) = \colim_I \Mor_\mathcal{C}(X_i, X)\] 로 보내는 함자 \(F'\)와 동형이라고 주장한다. 이 동형은 다음과 같이 정의되는 함자 변환 \(t : F' \to F\)로 주어진다. \(f : X_i \to X\)가 주어지면 \(t_X(f) = F(f)(\gamma_i)\)로 놓는다. (0BN1)를 사용하면 \(t_X\)는 단사이다. 전사임을 보이기 위해 \(\gamma \in F(X)\)를 잡자. Galois 범주의 정의에 의해 곧바로 \(X\)가 연결인 경우로 환원할 수 있다. 더 나아가 보조정리 0BN2에 의해 \(X\)가 Galois라고 가정해도 된다. 이 경우 어떤 \(i\)에 대해 \(X\)는 \(X_i\)와 동형이다. 동형 \(X_i \to X\)는 \(\gamma_i\)가 \(\gamma\)로 보내지도록 고를 수 있다(Galois 대상의 정의에 의한다). 따라서 \(t\)는 동형이다.

\(A_i = \text{Aut}(X_i)\)로 놓자. \(i \geq i'\)일 때 모든 \(a \in A_i\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ X_i \ar[d]_a \ar[r]_{f_{ii'}} & X_{i'} \ar[d]^{h_{ii'}(a)} \\ X_i \ar[r]^{f_{ii'}} & X_{i'} }\] 이 가환하도록 하는 표준적인 사상 \(h_{ii'} : A_i \to A_{i'}\)가 존재한다고 주장한다. 실제로 \(h_{ii'}(a) = a' : X_{i'} \to X_{i'}\)를 \(F(a')(\gamma_{i'}) = F(f_{ii'} \circ a)(\gamma_i)\)를 만족하는 유일한 자기동형으로 잡으면 된다. 앞에서와 같이 이로써 도식은 가환하며, 그 선택도 유일하다. 따라서 \(h_{i'i''} \circ h_{ii'} = h_{ii''}\) 가 \(i \geq i' \geq i''\)일 때 성립한다. \(F(X_i) \to F(X_{i'})\)가 전사이므로 \(A_i \to A_{i'}\)도 전사이다. 역극한을 취하여 군 \[A = \lim_I A_i\] 를 얻는다. 자기동형군들이 유한하므로 이는 프로유한군이다. 범주론, 보조정리 086J에 의해 사상 \(A \to A_i\)는 모든 \(i\)에 대해 전사이다.

\(A\)의 원소들은 역계 \(X_i\)에 작용하므로 앞합성을 통해 \(F'\) 위의 \(A\)의 오른쪽 작용을 얻는다. 달리 말하면 준동형 \(A^{opp} \to G\)를 얻는다. \(A \to A_i\)가 전사이므로 \(G\)는 모든 \(i\)에 대해 \(F(X_i)\)에 추이적으로 작용한다. 모든 연결 대상은 어떤 \(X_i\)에 의해 지배되므로 보조정리가 따른다.

명제

\((\mathcal{C}, F)\)를 Galois 범주라 하자. \(G = \text{Aut}(F)\)는 예 0BMW의 것이라 하자. 함자 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)

(0BMX)는 범주의 동치이다.

증명

이하에서는 보조정리 0BN0의 결과를 별도의 언급 없이 사용한다. 특히 함자가 충실함은 이미 알고 있다. 보조정리 0BN3에 의해 임의의 연결 대상 \(X\)에 대한 \(G\)의 \(F(X)\) 위의 작용은 추이적이다. 따라서 일반적인 \(X\)에 대해 함자 \(F\)는 \(X\)의 연결 성분들(Galois 범주의 공리에 의해 존재한다)을 \(F(X)\)의 \(G\)-궤도들로 보낸다. \(X\)와 \(Y\)를 대상이라 하고, \(s : F(X) \to F(Y)\)를 사상이라 하자. 그러면 \(s\)의 그래프 \(\Gamma_s \subset F(X) \times F(Y)\)는 연결 성분들의 합이다. 따라서 \(X \times Y\)의 연결 성분들의 합 \(Z\)가 존재하여 단사 사상 \(Z \to X \times Y\)를 갖고 \(F(Z) = \Gamma_s\)를 만족한다. \(F(Z) \to F(X)\)가 전단사이므로 \(Z \to X\)는 동형이다. 그러므로 \(s = F(f)\)이며, 여기서 \(f : X \cong Z \to Y\)는 합성이다. 따라서 \(F\)는 충만충실하다.

증명을 끝내기 위해 \(F\)가 본질적으로 전사임을 보이자. 유한 지수의 임의의 열린 부분군 \(H \subset G\)에 대해 \(G/H\)가 본질적 상에 속함을 보이면 충분하다. \(G\) 위상의 정의에 의해 유한 개의 대상 \(X_i\)가 존재하여 \[\Ker(G \longrightarrow \prod\nolimits_i \text{Aut}(F(X_i)))\] 가 \(H\)에 포함된다. 모든 \(i\)에 대해 \(X_i\)가 연결이라고 가정해도 된다. 보조정리 0BN2를 사용하여 \(\prod X_i\)의 한 연결 성분으로 사상하는 Galois 대상 \(Y\)를 고를 수 있다. 어떤 열린 부분군 \(U \subset G\)에 대해 \(G\textit{-sets}\)에서 동형 \(F(Y) = G/U\)를 고르자. \(Y\)가 Galois이므로 군 \(\text{Aut}(Y) = \text{Aut}_{G\textit{-Sets}}(G/U)\)는 \(F(Y) = G/U\)에 추이적으로 작용한다. 이는 \(U\)가 정규임을 뜻한다. \(F(Y)\)가 각 \(i\)에 대해 \(F(X_i)\) 위로 전사하므로 \(U \subset H\)이다. \(M \subset \text{Aut}(Y)\)을 다음에 대응하는 유한 부분군이라 하자. \[(H/U)^{opp} \subset (G/U)^{opp} = \text{Aut}_{G\textit{-Sets}}(G/U) = \text{Aut}(Y).\] \(X = Y/M\)으로 놓자. 즉 \(X\)는 사상 \(m : Y \to Y\), \(m \in M\)들의 쌍대등화자이다. \(F\)가 완전하므로 \(F(X) = G/H\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\((\mathcal{C}, F)\)와 \((\mathcal{C}', F')\)를 Galois 범주라 하자. \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)를 완전 함자라 하자. 동형 \(t : F' \circ H \to F\)가 존재한다. \(t\)의 선택은 연속 준동형 \(h : G' = \text{Aut}(F') \to \text{Aut}(F) = G\)와 \(2\)-가환 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_H \ar[d] & \mathcal{C}' \ar[d] \\ \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \ar[r]^h & \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} }\] 을 정한다. 사상 \(h\)는 \(t\)의 선택에 의존하지만 \(G\)의 내부 자기동형을 제외하면 유일하다. 반대로 연속 준동형 \(h : G' \to G\)가 주어지면 완전 함자 \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)와 동형 \(t\)가 존재하며, 위의 구성으로 \(h\)를 복원한다.

증명

명제 0BN4와 보조정리 0BMU에 의해 \(\mathcal{C} = \textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)이고 \(F\)가 망각 함자라고 가정해도 되며, \(\mathcal{C}'\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(t\)의 존재는 보조정리 0BMV에서 따른다. 사상 \(h\)는 \(t\)를 통한 구조의 운반으로 얻는다. 도식의 가환성은 명백하다. \(G\)의 원소에 의한 내부 공액을 제외하고 \(h\)가 유일하다는 것은 \(G\)의 원소를 제외하고 \(t\)의 선택이 유일하다는 사실에서 따른다. 마지막 주장은 자명하다.

함자와 준동형

\((\mathcal{C}, F)\), \((\mathcal{C}', F')\), \((\mathcal{C}'', F'')\)를 Galois 범주라 하자. \(G = \text{Aut}(F)\), \(G' = \text{Aut}(F')\), \(G'' = \text{Aut}(F'')\)로 놓자. \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)와 \(H' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}''\)를 완전 함자라 하자. 보조정리 0BN5와 같이 이들에 대응하는 연속 준동형을 각각 \(h : G' \to G\)와 \(h' : G'' \to G'\)라 하자. 이 절에서는 대응하는 \(2\)-가환 도식 [0BTR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_H \ar[d] & \mathcal{C}' \ar[r]_{H'} \ar[d] & \mathcal{C}'' \ar[d] \\ \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \ar[r]^h & \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \ar[r]^{h'} & \textit{Finite-}G''\textit{-Sets} } } \end{equation}\] 을 고찰하고, 열 \(1 \to G'' \to G' \to G \to 1\)의 완전성에 관한 성질을 함자 \(H\)와 \(H'\)의 성질에 연결한다.

보조정리

도식 (0BTR)에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(h : G' \to G\)는 전사이다.

2. \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)는 충만충실하다.

3. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)가 연결이면 \(H(X)\)도 연결이다.

4. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)가 연결이고 \(\mathcal{C}'\)에 사상 \(*' \to H(X)\)가 존재하면 사상 \(* \to X\)가 존재한다.

5. \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(X\)에 대해 사상 \(\Mor_\mathcal{C}(*, X) \to \Mor_{\mathcal{C}'}(*', H(X))\) 은 전단사이다.

여기서 \(*\)와 \(*'\)는 각각 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}'\)의 종대상이다.

증명

함의 (5) \(\Rightarrow\) (4)와 (2) \(\Rightarrow\) (5)는 명백하다.

(3)을 가정하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 연결 대상으로 하고, \(*' \to H(X)\)를 사상이라 하자. (3)에 의해 \(H(X)\)는 연결이므로 \(*' \to H(X)\)는 동형이다. 따라서 \(H(X)\)에 대응하는 \(G'\)-집합은 원소를 정확히 하나 가지며, 이는 \(X\)에 대응하는 \(G\)-집합이 원소를 하나 가짐을 뜻한다. 그러므로 \(X\)는 \(\mathcal{C}\)의 종대상과 동형이고, 특히 사상 \(* \to X\)가 존재한다. 이로써 (3) \(\Rightarrow\) (4)이다.

(1)이 성립하면 함자 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Sets}\) 는 충실충만이다. 실제로 이 경우 \(G\)-집합의 사상이 \(G\)의 작용과 가환하는 것과 \(G'\)의 작용과 가환하는 것은 동치이다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다.

(1)이 성립하면 \(G\)-집합 \(X\)에서 \(G\)-궤도와 \(G'\)-궤도는 일치한다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (3)이다.

증명을 끝내려면 (4)가 (1)을 함의함을 보이면 충분하다. (1)이 거짓이라고, 즉 \(h\)가 전사가 아니라고 하자. 그러면 \(h(G')\)를 포함하지만 \(G\)와 같지 않은 열린 부분군 \(U \subset G\)가 존재한다. 유한 \(G\)-집합 \(M = G/U\)에 대한 작용은 추이적이지만 \(G'\)는 고정점을 갖는다. \(M\)에 대응하는 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(X\)는 (3)에 모순된다. 이로써 (3) \(\Rightarrow\) (1)이고, 증명이 끝난다.

보조정리

도식 (0BTR)에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(h \circ h'\)는 자명하다.

2. \(H' \circ H\)의 상은 종대상의 유한 쌍대곱과 동형인 대상들로 이루어진다.

증명

\(H\)와 \(H'\)를 \(h\)와 \(h'\)가 정하는 표준 함자 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Sets}\)로 바꾸어도 된다. 그러면 주장은 모든 \(G\)-집합에 대한 \(G''\)의 작용이 자명한 것과 준동형 \(G'' \to G\)가 자명한 것이 동치라는 명제이며, 이는 명백하다.

보조정리

도식 (0BTR)에서 다음 조건들은 동치이다.

1. 열 \(G'' \xrightarrow{h'} G' \xrightarrow{h} G \to 1\)은 다음 의미에서 완전하다. \(h\)는 전사이고, \(h \circ h'\)는 자명하며, \(\Ker(h)\)는 \(\Im(h')\)를 포함하는 가장 작은 닫힌 정규 부분군이다.

2. \(H\)는 충실충만이고, \(\mathcal{C}'\)의 대상 \(X'\)가 \(H\)의 본질적 상에 속할 필요충분조건은 \(H'(X')\)가 종대상의 유한 쌍대곱과 동형인 것이다.

3. \(H\)는 충실충만이고, \(H \circ H'\)는 모든 대상을 종대상의 유한 쌍대곱으로 보낸다. 더 나아가 \(\mathcal{C}'\)의 대상 \(X'\)가 \(H'(X')\)가 종대상의 유한 쌍대곱이라는 조건을 만족하면, \(\mathcal{C}\)의 대상 \(X\)와 전사 \(H(X) \to X'\)가 존재한다.

증명

보조정리 0BN6와 0BS8에 의해 \(H\)는 충실충만이고, \(h\)는 전사이며, \(H' \circ H\)는 대상을 종대상의 서로소 합으로 보내고, \(h \circ h'\)는 자명하다고 해도 된다. \(N \subset G'\)를 \(h'\)의 상을 포함하는 가장 작은 닫힌 정규 부분군이라 하자. 명백히 \(N \subset \Ker(h)\)이다. 함자 \(H\)와 \(H'\)는 \(h\)와 \(h'\)가 정하는 표준 함자 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Sets}\)라고 해도 된다.

(2)를 가정하자. 이는 유한 \(G'\)-집합 \(X'\)에 \(G''\)가 자명하게 작용하면 \(G'\)의 작용이 \(G\)를 통해 분해됨을 뜻한다. 이를 \(X' = G'/U'N\)에 적용하자. 여기서 \(U'\)는 충분히 작은 \(G'\)의 열린 부분군이다. 그러면 모든 \(U'\)에 대해 \(\Ker(h) \subset U'N\)이다. \(N\)은 닫혀 있으므로 \(\Ker(h) \subset N\)이 따른다. 즉 (1)이 성립한다.

(1)을 가정하자. 이는 \(N = \Ker(h)\)임을 뜻한다. \(X'\)를 유한 \(G'\)-집합으로 하고, \(G''\)가 자명하게 작용한다고 하자. 이는 \(\Ker(G' \to \text{Aut}(X'))\)가 \(\Im(h')\)를 포함하는 닫힌 정규 부분군임을 뜻한다. 따라서 \(N = \Ker(h)\)는 이 부분군에 포함되고, \(X'\)에 대한 \(G'\)의 작용은 \(G\)를 통해 분해된다. 즉 (2)가 성립한다.

(3)을 가정하자. 이는 유한 \(G'\)-집합 \(X'\)에 \(G''\)가 자명하게 작용하면, \(X\)가 \(G\)-집합인 \(G'\)-집합의 전사 \(X \to X'\)가 존재함을 뜻한다. 명백히 이는 \(X'\)에 대한 \(G'\)의 작용이 \(G\)를 통해 분해됨을 뜻한다. 즉 (2)가 성립한다.

함의 (2) \(\Rightarrow\) (3)은 곧바로 따른다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

도식 (0BTR)에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(h'\)는 단사이다.

2. \(\mathcal{C}''\)의 임의의 연결 대상 \(X''\)에 대하여, \(\mathcal{C}'\)의 대상 \(X'\)와 도식

   \[X'' \leftarrow Y'' \rightarrow H(X')\] 이 \(\mathcal{C}''\)에 존재하여, \(Y'' \to X''\)는 전사이고 \(Y'' \to H(X')\)는 단사이다.

증명

\(H'\)를 유한 \(G'\)-집합의 범주에서 유한 \(G''\)-집합의 범주로 가는 대응하는 함자로 바꾸어도 된다.

\(h' : G'' \to G'\)가 단사라고 가정하자. \(H'' \subset G''\)를 열린 부분군이라 하자. \(G''\)의 위상은 \(G'\)에서 유도된 위상이므로, \((h')^{-1}(H') \subset H''\)를 만족하는 열린 부분군 \(H' \subset G'\)가 존재한다. 구하는 도식은 \[G''/H'' \leftarrow G''/(h')^{-1}(H') \rightarrow G'/H'\] 이다. 역으로 함자 \(\textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Sets}\). 에 대해 (2)가 성립한다고 가정하자. \(g'' \in \Ker(h')\)라 하자. 임의의 열린 부분군 \(H'' \subset G''\)를 택한다. 가정에 의해 유한 \(G'\)-집합 \(X'\)와 도식 \[G''/H'' \leftarrow Y'' \rightarrow X'\] 이 \(G''\)-집합의 범주에 존재하며, 왼쪽 화살표는 전사이고 오른쪽 화살표는 단사이다. \(g''\)는 \(h'\)의 핵에 속하므로 \(g''\)는 \(X'\)에 자명하게 작용한다. 따라서 \(g''\)는 \(Y''\)에 자명하게 작용하고, 나아가 \(G''/H''\)에도 자명하게 작용한다. 그러므로 \(g'' \in H''\)이다. 이는 모든 열린 부분군에 대해 성립하므로 \(g''\)는 원하는 대로 항등원이다.

보조정리

도식 (0BTR)에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(h'\)의 상은 정규이다.

2. \(\mathcal{C}'\)의 임의의 연결 대상 \(X'\)에 대하여, \(\mathcal{C}''\)의 종대상에서 \(H'(X')\)로 가는 사상이 존재하면 \(H'(X')\)는 종대상의 유한 쌍대곱과 동형이다.

증명

이는 연속 군 준동형 \(h' : G'' \to G'\)에 관한 다음 주장으로 옮겨진다. \(h'\)의 상이 정규일 필요충분조건은 \(h'(G'')\)를 포함하는 임의의 열린 부분군 \(U' \subset G'\)가 \(h'(G'')\)의 모든 켤레도 포함하는 것이다. 이로부터 결과는 쉽게 따른다. 세부 일부는 생략한다.

유한 에탈 사상

이 절에서는 에탈 기본군을 구성하는 데 충분한 유한 에탈 사상에 관한 기본 결과들을 증명한다.

\(X\)를 스킴이라 하자. 기호 \(\textit{F\'Et}_X\)는 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주를 나타낸다. 따라서

1. \(\textit{F\'Et}_X\)의 대상은 공역이 \(X\)인 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)이다.

2. \(\textit{F\'Et}_X\)에서 \(Y \to X\)로부터 \(Y' \to X\)로 가는 사상은 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[rr] \ar[rd] & & Y' \ar[ld] \\ & X }\] 을 가환하게 하는 사상 \(Y \to Y'\)이다.

\(\textit{F\'Et}_X\)의 대상을 흔히 \(X\)의 유한 에탈 덮개라고 부른다 (\(Y\)가 공집합인 경우도 포함한다). 스킴의 범주 위에는 스택 \(p : \textit{F\'Et} \to \Sch\)가 존재하며, 그 \(X\) 위의 올은 방금 정의한 범주 \(\textit{F\'Et}_X\)이다. Examples of Stacks, 절 0BLY를 보라.

예

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(X = \Spec(k)\)라 하자. 이 경우 \(\textit{F\'Et}_X\)는 유한 집합의 범주와 동치이다. 더 일반적으로 \(k\)가 분리적으로 대수적으로 닫힌 경우에도 성립한다. 이는 \(k\) 위의 에탈 스킴이 \(k\)의 유한 분리 확대체들의 스펙트럼의 서로소 합이기 때문이다. Morphisms, 보조정리 02GL를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 범주 \(\textit{F\'Et}_X\)는 유한 극한과 유한 여극한을 가지며, 임의의 사상 \(X' \to X\)에 대한 기저변환 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X'}\)는 완전하다.

증명

유한 극한과 왼쪽 완전성. Categories, 보조정리 002O에 의해 \(\textit{F\'Et}_X\)가 종대상과 올곱을 가짐을 보이면 충분하다. 이는 \(X\) 위의 모든 스킴의 범주가 종대상(즉 \(X\))과 올곱을 갖는다는 사실에서 명백하다. 또한 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴들의 올곱도 \(X\) 위에서 유한 에탈이다. 기저변환이 이 연산들과 가환함도 명백하므로 기저변환은 왼쪽 완전하다(Categories, 보조정리 0035).

유한 여극한과 오른쪽 완전성. Categories, 보조정리 002Q에 의해 \(\textit{F\'Et}_X\)가 유한 쌍대곱과 쌍대등화자를 가짐을 보이면 충분하다. 유한 쌍대곱은 서로소 합으로 주어진다(빈 쌍대곱은 빈 스킴이다). \(a, b : Z \to Y\)를 \(\textit{F\'Et}_X\)의 두 사상이라 하자. \(Z \to X\)와 \(Y \to X\)가 유한 에탈이므로 \(Z = \underline{\Spec}(\mathcal{C})\) 및 \(Y = \underline{\Spec}(\mathcal{B})\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{B}\)는 각각 \(\mathcal{O}_X\) 위의 유한 국소 자유 대수이다. 사상 \(a, b\)는 두 사상 \(a^\sharp, b^\sharp : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)를 유도한다. \(\mathcal{A} = \text{Eq}(a^\sharp, b^\sharp)\)를 그 등화자라 하자. 만일 \[\underline{\Spec}(\mathcal{A}) \longrightarrow X\] 가 유한 에탈이면, 이것이 쌍대등화자임은 명백하다(실제로 \(\textit{F\'Et}_X\)의 임의의 대상은 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 층의 상대 스펙트럼으로 쓸 수 있다). 이 확인은 \(X\)를 에탈 덮개의 한 원소로 바꾼 뒤 수행해도 된다 (Descent, 보조정리 02LA 및 02VN). 따라서 Étale Morphisms, 보조정리 04HN에 의해 \(Y = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X\) 및 \(Z = \coprod_{j = 1, \ldots, m} X\) 라고 해도 된다. 이때 \[\mathcal{C} = \prod\nolimits_{1 \leq j \leq m} \mathcal{O}_X \quad\text{이고}\quad \mathcal{B} = \prod\nolimits_{1 \leq i \leq n} \mathcal{O}_X\] 이다. 열린 덮개의 한 원소로 다시 바꾸면 \(a, b\)가 사상 \(a_s, b_s : \{1, \ldots, m\} \to \{1, \ldots, n\}\)에 대응한다고 해도 된다. 즉 \(Z\)에서 지표 \(j\)에 대응하는 성분 \(X\)는 사상 \(a\), \(b\)에 의해 \(Y\)에서 각각 지표 \(a_s(j)\), \(b_s(j)\)에 대응하는 성분 \(X\)로 보내진다. \(\{1, \ldots, n\} \to T\)를 \(a_s, b_s\)의 쌍대등화자라 하자. 그러면 \[\mathcal{A} = \prod\nolimits_{t \in T} \mathcal{O}_X\] 이고, 그 스펙트럼은 명백히 \(X\) 위에서 유한 에탈이다. 이것이 기저변환과 양립한다는 확인은 생략한다. 따라서 기저변환은 오른쪽 완전 함자이다.

주

\(X\)를 스킴이라 하자. 자연스러운 함자 \(F_1 : \textit{F\'Et}_X \to \Sch\)와 \(F_2 : \textit{F\'Et}_X \to \Sch/X\) 를 생각하자. 그러면

1. 함자 \(F_1\)과 \(F_2\)는 유한 여극한과 가환한다.

2. 함자 \(F_2\)는 유한 극한과 가환한다.

3. 함자 \(F_1\)은 연결된 유한 극한, 즉 등화자와 올곱과 가환한다.

극한에 관한 결과는 보조정리 0BN9의 증명에서 한 논의와 Categories, 보조정리 002T에서 곧바로 따른다. \(F_1\)과 \(F_2\)가 유한 쌍대곱과 가환함은 명백하다. Categories, 보조정리 0035의 쌍대에 의해, \(F_1\)과 \(F_2\)가 쌍대등화자와 가환함을 보이면 충분하다. 보조정리 0BN9의 증명에서 \(\textit{F\'Et}_X\)의 쌍대등화자는 에탈 국소적으로 다음 꼴임을 보았다. \[\xymatrix{ \coprod_{j \in J} U \ar@<1ex>[r]^a \ar@<-1ex>[r]_b & \coprod_{i \in I} U \ar[r] & \coprod_{t \in \text{Coeq}(a, b)} U }\] 이는 명백히 스킴의 범주에서 쌍대등화자이다. 따라서 주장은 쌍대등화자라는 성질이 fpqc 국소적이라는 사실에서 따른다. 정확한 정식화는 Descent, 보조정리 0BMN에 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(U, V\)가 \(X\) 위에서 유한 에탈이면, \(X\) 위에서 유한 에탈인 스킴 \(W\)가 존재하여 \[\Mor_X(X, W) = \Mor_X(U, V)\] 를 만족하고, 이 등식은 임의의 기저변환 뒤에도 성립한다.

증명

More on Morphisms, 보조정리 0BL5에 의해 \(\mathit{Mor}_X(U, V)\)를 표현하는 스킴 \(W\)가 존재한다(여기서 에탈 사상은 국소 준유한이라는 Morphisms, 보조정리 03WS와 유한 사상은 분리적이라는 사실을 사용한다). 이 스킴이 임의의 기저변환 뒤에도 등식을 만족함은 명백하다. 증명을 끝내려면 \(W \to X\)가 유한 에탈임을 보여야 한다. 이는 \(X\)를 에탈 덮개의 한 원소로 바꾼 뒤 보여도 된다 (Descent, 보조정리 02LA 및 02KU). 따라서 Étale Morphisms, 보조정리 04HN에 의해 \(U = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X\) 및 \(V = \coprod_{j = 1, \ldots, m} X\) 라고 해도 된다. 이 경우 직접 확인하면 \(W = \coprod_{\alpha : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}} X\) 이다(세부는 생략한다). 이것으로 증명이 끝난다.

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)의 기하점은 \(k\)가 대수적으로 닫힌 체인 사상 \(\Spec(k) \to X\)이다. 이러한 점은 보통 윗줄을 붙인 소문자 \(\overline{x}\)로 나타낸다. \(\overline{x}\)는 사상뿐 아니라 스킴 \(\Spec(k)\)도 나타내며, \(\kappa(\overline{x})\)로 \(k\)를 나타낸다. \(\overline{x}\)가 \(x\)의 위에 놓인다는 것은 \(x \in X\)가 \(\overline{x}\)의 상이라는 뜻이다. 이에 대해서는 Étale Cohomology, 절 03PN에서 더 논의한다. \(\overline{x}\)와 에탈 사상 \(U \to X\)가 주어지면 다음을 생각할 수 있다. \[|U_{\overline{x}}| : \text{스킴의 점들로 이루어진 바탕 집합 }U_{\overline{x}} = U \times_X \overline{x}\] \(U_{\overline{x}}\)는 \(\overline{x}\) 위의 스킴으로서 \(\overline{x}\)의 복사본들의 서로소 합이므로(Morphisms, 보조정리 02GL), 이 집합은 다음과 같이도 기술할 수 있다. \[|U_{\overline{x}}| = \left\{ \begin{matrix} \text{가환} \\ \text{도식} \end{matrix} \vcenter{ \xymatrix{ \overline{x} \ar[rd]_{\overline{x}} \ar[r]_{\overline{u}} & U \ar[d] \\ & X } } \right\}\] 대응 \(U \mapsto |U_{\overline{x}}|\)는 함자이며, 흔히 \(F_{\overline{x}}\)로 쓴다.

보조정리

\(X\)를 연결 스킴이라 하고 \(\overline{x}\)를 기하점이라 하자. 함자 \[F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Sets},\quad Y \longmapsto |Y_{\overline{x}}|\] 는 Galois 범주를 정한다(정의 0BMY).

증명

\(\textit{F\'Et}_{\overline{x}}\)를 유한 집합의 범주와 동일시하면 (예 0BN8), 함자 \(F_{\overline{x}}\)는 사상 \(\overline{x} \to X\)에 대한 기저변환 함자에 지나지 않는다. 따라서 \(\textit{F\'Et}_X\)는 유한 극한과 유한 여극한을 가지며, 보조정리 0BN9에 의해 \(F_{\overline{x}}\)는 완전하다. 또한 \(\textit{F\'Et}_X\)의 유한 극한은 \(X\) 위의 스킴의 범주에서 대응하는 유한 극한과 일치한다는 사실도 사용한다. 주의 0BNA를 보라.

\(Y' \to Y\)가 \(\textit{F\'Et}_X\)의 단사사상이면 \(Y' \to Y' \times_Y Y'\)는 동형이고, 따라서 \(Y' \to Y\)는 스킴의 단사사상이다. 그러므로 \(Y' \to Y\)는 열린 몰입이다(Étale Morphisms, 정리 025G). \(Y'\)는 \(X\) 위에서 유한이고 \(Y\)는 \(X\) 위에서 분리적이므로, 사상 \(Y' \to Y\)는 유한이며(Morphisms, 보조정리 035D), 따라서 닫혀 있다(Morphisms, 보조정리 01WN). 그러므로 이는 \(Y\)의 열린닫힌 부분스킴의 포함이다. 따라서 \(Y\)가 범주 \(\textit{F\'Et}_X\)의 연결 대상인 것(정의 0BMY의 의미에서)과 \(Y\)가 스킴으로서 연결인 것은 동치이다. 이때 Topology, 보조정리 07VB에 의해 \(Y\)는 스킴으로서도, 정의 0BMY의 의미에서도 그 연결 성분들의 유한 쌍대곱이다.

\(Y \to Z\)를 \(\textit{F\'Et}_X\)의 사상으로서 전단사 \(F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Z)\)를 유도한다고 하자. \(Y \to Z\)가 동형임을 보여야 한다. 위의 논의에 의해 \(Z\)가 연결이라고 해도 된다. \(Y \to Z\)는 유한 에탈, 따라서 유한 국소 자유이므로, \(Y \to Z\)가 차수 \(1\)인 유한 국소 자유 사상임을 보이면 충분하다. 이는 \(Z\)에서 \(\overline{x}\) 위에 놓인 임의의 점의 근방에서 성립한다. \(Z\)는 연결이고 차수는 국소 상수이므로 결론이 따른다.

기본군

이 절에서는 Grothendieck의 대수적 기본군을 정의한다. 다음 정의가 의미를 갖는 것은 보조정리 0BNB에 의한다.

정의

\(X\)를 연결 스킴이라 하고 \(\overline{x}\)를 \(X\)의 기하점이라 하자. 기점 \(\overline{x}\)를 갖는 \(X\)의 기본군은 군 \[\pi_1(X, \overline{x}) = \text{Aut}(F_{\overline{x}})\] 즉 올 함자 \(F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Sets}\) 의 자기동형군에 보조정리 0BMR의 표준 프로유한 위상을 준 것이다.

위의 결과와 절 0BMQ의 내용을 합치면 다음 정리를 얻는다.

정리

\(X\)를 연결 스킴이라 하고 \(\overline{x}\)를 \(X\)의 기하점이라 하자.

1. 올 함자 \(F_{\overline{x}}\)는 범주의 동치 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets}\] 를 정한다.

2. 두 번째 기하점 \(\overline{x}'\)가 \(X\)에 주어지면 동형 \(t : F_{\overline{x}} \to F_{\overline{x}'}\)가 존재한다. 이는 (1)의 범주 동치와 양립하는 동형 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(X, \overline{x}')\)을 준다. 이 동형은 내부 켤레를 제외하면 \(t\)에 의존하지 않는다.

3. 연결 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어졌을 때 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)라 쓰자. 표준 연속 준동형 \[f_* : \pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Y, \overline{y})\] 이 존재하고, 도식 \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_Y \ar[r]_{\text{기저변환}} \ar[d]_{F_{\overline{y}}} & \textit{F\'Et}_X \ar[d]^{F_{\overline{x}}} \\ \textit{Finite-}\pi_1(Y, \overline{y})\textit{-Sets} \ar[r]^{f_*} & \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets} }\] 은 가환한다.

증명

(1)은 보조정리 0BNB와 명제 0BN4에서 따른다. (2)는 보조정리 0BN5의 특별한 경우이다. (3)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_Y \ar[r] \ar[d]_{F_{\overline{y}}} & \textit{F\'Et}_X \ar[d]^{F_{\overline{x}}} \\ \textit{Sets} \ar@{=}[r] & \textit{Sets} }\] 은 가환한다(단지 \(2\)-가환인 것이 아니라 실제로 가환한다). 이는 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)이기 때문이다. 따라서 암묵적인 함자 사이의 변환과 함께 보조정리 0BN5를 적용하면 (3)을 얻는다.

보조정리

\(K\)를 체라 하고 \(X = \Spec(K)\)라 하자. \(\overline{K}\)를 대수적 폐포라 하고, 대응하는 기하점을 \(\overline{x} : \Spec(\overline{K}) \to X\)라 쓰자. \(K^{sep} \subset \overline{K}\)를 분리 폐포라 하자.

1. 보조정리 03QR의 함자는 범주의 동치 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Sets}.\] 를 유도하며, \(F_{\overline{x}}\) 및 함자 \(\textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Sets} \to \textit{Sets}\)와 양립한다.

2. 이는 프로유한 위상군 사이의 표준 동형 \[\text{Gal}(K^{sep}/K) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{x})\] 을 유도한다.

증명

보조정리 03QR의 함자는 함자 \(F_{\overline{x}}\)와 같다. 실제로 \(X\) 위에서 에탈인 임의의 \(Y\)에 대하여 \[\Mor_X(\Spec(\overline{K}), Y) = \Mor_X(\Spec(K^{sep}), Y)\] 이다. 즉 보조정리 03QR의 증명에서 보았듯이 \(Y = \coprod_{i \in I} \Spec(L_i)\)이고, \(L_i/K\)는 \(K\)의 유한 분리 확대이다. 따라서 임의의 \(K\)-대수 준동형 \(L_i \to \overline{K}\)는 \(K^{sep}\)를 통해 분해된다. 또한 \(F_{\overline{x}}(Y)\)가 유한인 것, \(I\)가 유한인 것, 그리고 \(Y \to X\)가 유한 에탈인 것은 서로 동치이다. 이것으로 (1)이 증명되었다.

(2)는 (1), 보조정리 0BN5, 그리고 보조정리 0BMU의 형식적 귀결이다(아래의 주의도 보라).

주

보조정리 0BNE의 상황에서 동형 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \pi_1(X, \overline{x}) = \text{Aut}(F_{\overline{x}})\). 을 더 명시적으로 구성하자. 등식 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) = \text{Aut}(\overline{K}/K)\) 이 성립한다. 실제로 \(\overline{K}\)는 \(K^{sep}\)의 완전 폐포이다. \(F_{\overline{x}}(Y) = \Mor_X(\Spec(\overline{K}), Y)\)이므로 사상 \[\text{Aut}(\overline{K}/K) \times F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Y), \quad (\sigma, \overline{y}) \mapsto \sigma \cdot \overline{y} = \overline{y} \circ \Spec(\sigma)\] 을 생각할 수 있다. 이는 작용이다. 실제로 \[\sigma\tau \cdot \overline{y} = \overline{y} \circ \Spec(\sigma\tau) = \overline{y} \circ \Spec(\tau) \circ \Spec(\sigma) = \sigma \cdot (\tau \cdot \overline{y})\] 이다. 이 작용은 \(Y \in \textit{F\'Et}_X\)에 관해 함자적이며, 원하는 사상을 얻는다.

연결 스킴의 Galois 덮개

\(X\)를 기하점 \(\overline{x}\)를 갖는 연결 스킴이라 하자. \(F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Sets}\)는 Galois 범주이므로 (보조정리 0BNB), 절 0BMQ의 내용을 적용할 수 있다. 이 절에서는 그 용어와 결과의 일부를 스킴과 유한 에탈 사상의 상황으로 명시적으로 옮긴다.

유한 에탈 사상 \(Y \to X\)가 Galois 덮개라는 것은 \(Y\)가 \(\textit{F\'Et}_X\)의 Galois 대상을 정한다는 뜻이다. 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)에 대해 \(G = \text{Aut}_X(Y)\)라 하면 다음 조건들은 동치이다.

1. \(Y\)는 \(X\)의 Galois 덮개이다.

2. \(Y\)는 연결이고, \(|G|\)는 \(Y \to X\)의 차수와 같다.

3. \(Y\)는 연결이고, \(G\)는 \(F_{\overline{x}}(Y)\)에 추이적으로 작용한다.

4. \(Y\)는 연결이고, \(G\)는 \(F_{\overline{x}}(Y)\)에 단순 추이적으로 작용한다.

이는 절 0BMQ의 논의에서 곧바로 따른다.

\(Y\)가 연결인 임의의 유한 에탈 사상 \(f : Y \to X\)에 대하여, \(Y\)를 지배하는 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y' \to X\)가 존재한다(보조정리 0BN2).

\(\textit{F\'Et}_X\)의 Galois 대상들은 동치 \[F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets}\] (정리 0BND)를 통해 \(G = \pi_1(X, \overline{x})/H\) 꼴의 유한 \(\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets}\)에 대응한다. 여기서 \(H\)는 열린 정규 부분군이다. 동치인 표현으로, \(G\)가 유한군이고 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G\)가 연속 전사이면, \(G\)를 \(\pi_1(X, \overline{x})\)-집합으로 본 것이 Galois 덮개에 대응한다.

\(Y_i \to X\), \(i = 1, 2\)가 Galois 군 \(G_i\)를 갖는 유한 에탈 Galois 덮개이면, 그 Galois 군이 \(G_1 \times G_2\)의 부분군인 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y \to X\)가 존재한다. 실제로 대응하는 연속 준동형 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G_i\)들을 택하고, \(G\)를 유도된 연속 준동형 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G_1 \times G_2\)의 상으로 두면 된다.

기본군의 위상적 불변성

이 절의 주결과는 연결 스킴의 보편 위상동형사상이 기본군의 동형을 유도한다는 것이다. 명제 0BQN을 보라.

두 스킴의 기본군이 같음을 직접 증명하는 대신, 그 유한 에탈 덮개의 범주가 같음을 증명하는 경우가 많다. 두 스킴이 연결이면 물론 이로부터 기본군이 같다는 결론이 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 준콤팩트 준분리 스킴의 사상이라 하고, 기저변환 함자 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\)가 범주의 동치라고 하자. 그러면

1. \(f\)는 위상동형사상 \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\)를 유도한다.

2. \(X\), 또는 동치인 조건으로 \(Y\)가 연결이면 \(\pi_1(X, \overline{x}) = \pi_1(Y, \overline{y})\)이다.

증명

\(Y = Y_0 \amalg Y_1\)을 공집합이 아닌 열린닫힌 부분스킴들로의 분해라 하자. \(f(X)\)가 두 \(Y_i\) 모두와 만난다고 주장한다. 그렇지 않고, 예를 들어 \(f(X) \subset Y_1\)이면 유한 에탈 사상 \(V = Y_1 \to Y\)를 생각할 수 있다. 이는 동형이 아니지만 \(V \times_Y X \to X\)는 동형이 되어 모순이다.

\(X = X_0 \amalg X_1\)을 열린닫힌 부분스킴들로의 분해라 하자. 유한 에탈 사상 \(U = X_1 \to X\)를 생각하자. 그러면 \(U = X \times_Y V\)이며, 여기서 \(V \to Y\)는 어떤 유한 에탈 사상이다. 사상 \(V \to Y\)의 차수는 국소 상수이므로, 열린닫힌 부분스킴들로의 분해 \(Y = \coprod_{d \geq 0} Y_d\)로서 \(V \to Y\)가 \(Y_d\) 위에서 차수 \(d\)를 갖는 것을 얻는다. \(d > 1\)이면 \(f^{-1}(Y_d) = \emptyset\)이므로, 위의 논의에 의해 \(d > 1\)이면 \(Y_d = \emptyset\)이다. 따라서 \(i = 0, 1\)에 대하여 \(f^{-1}(Y_i) = X_i\)이다.

그러므로 \(f^{-1}\)은 \(Y\)의 열린닫힌 부분집합 전체와 \(X\)의 열린닫힌 부분집합 전체 사이의 전단사를 유도한다. \(X\)와 \(Y\)가 스펙트럼 공간임에 주의하자 (Properties, 보조정리 094L). Topology, 보조정리 005F에 의해 스펙트럼 공간의 열린닫힌 부분집합들의 격자는 연결 성분들의 집합을 결정한다. 그러므로 \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\)는 전단사이다. \(\pi_0(X)\)와 \(\pi_0(Y)\)는 프로유한 공간이므로 (Topology, 보조정리 0900), Topology, 보조정리 08YE에 의해 \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\)는 위상동형사상이다. 이것으로 (1)이 증명되었다. (2)는 곧바로 따른다.

다음 보조정리는 Hensel 쌍의 기본군이 그 닫힌 부분집합의 기본군임을 보인다.

보조정리

\((A, I)\)를 Hensel 쌍이라 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(Z = \Spec(A/I)\)라 두자. 함자 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_Z,\quad U \longmapsto U \times_X Z\] 는 범주의 동치이다.

증명

이는 More on Algebra, 보조정리 09ZL를 옮겨 쓴 것이다.

다음 보조정리는 두꺼워짐의 기본군이 원래의 기본군과 같음을 보인다. 이는 아래의 보편 위상동형사상에 관한 더 강한 명제를 증명할 때 사용한다.

보조정리

\(X \subset X'\)를 스킴의 두꺼워짐이라 하자. 함자 \[\textit{F\'Et}_{X'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_X,\quad U' \longmapsto U' \times_{X'} X\] 는 범주의 동치이다.

증명

두꺼워짐에 관한 논의는 More on Morphisms, 절 04EW를 보라. \(U' \to X'\)를 에탈 사상이라 하고, \(U = U' \times_{X'} X \to X\)가 유한 에탈이라고 하자. 그러면 \(U' \to X'\)도 유한 에탈이다. 이는 예를 들어 More on Morphisms, 보조정리 0BPG에서 따른다. 이제 \(X \subset X'\)가 유한 차수의 두꺼워짐이면, 이 주의와 Étale Morphisms, 정리 039R를 합쳐 보조정리를 얻는다. 아래에서는 일반적인 두꺼워짐에 대해 보조정리를 증명하지만, 독자에게는 이 증명을 건너뛸 것을 권한다.

아핀 열린 덮개를 \(X' = \bigcup X_i'\)라 하자. 다음과 같이 놓는다. \(X_i = X \times_{X'} X_i'\), \(X_{ij}' = X'_i \cap X'_j\), \(X_{ij} = X \times_{X'} X_{ij}'\), \(X_{ijk}' = X'_i \cap X'_j \cap X'_k\), \(X_{ijk} = X \times_{X'} X_{ijk}'\). 두꺼워짐 \(X_i \subset X'_i\), \(X_{ij} \subset X_{ij}'\), 그리고 \(X_{ijk} \subset X_{ijk}'\) 각각에 대해 정리를 증명할 수 있다고 하자. 그러면 스킴의 상대적 이어붙이기에 의해 \(X \subset X'\)에 대한 결과가 따른다. Constructions, 절 01LG를 보라. 스킴 \(X_i'\), \(X_{ij}'\), \(X_{ijk}'\)는 각각 아핀 스킴의 열린 부분스킴으로서 분리적임에 주의하자. 이 논의를 한 번 더 반복하면 스킴 \(X'_i\), \(X_{ij}'\), \(X_{ijk}'\)가 아핀인 경우로 귀착된다.

아핀인 경우 \(X' = \Spec(A')\) 및 \(X = \Spec(A'/I')\)이고, \(I'\)는 국소 멱영 아이디얼이다. 이때 \((A', I')\)는 Hensel 쌍이며(More on Algebra, 보조정리 0ALI), 결과는 보조정리 09ZS에서 따른다 (이 경우에는 훨씬 더 쉽다).

다음 명제를 증명하는 “올바른” 방법은 에탈 사이트의 불변성에서 이를 이끌어 내는 것일 것이다. Étale Cohomology, 정리 04DZ를 보라.

명제

\(f : X \to Y\)를 스킴의 보편 위상동형사상이라 하자. 그러면 \[\textit{F\'Et}_Y \longrightarrow \textit{F\'Et}_X,\quad V \longmapsto V \times_Y X\] 는 범주의 동치이다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 연결이면 \(f\)는 기본군의 동형 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Y, \overline{y})\)을 유도한다.

증명

보편 위상동형사상이라는 것은 정수적이고 보편 단사이며 전사인 사상과 같다. Morphisms, 보조정리 04DF을 보라. 특히 대각사상 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)는 Morphisms, 보조정리 01S4에 의해 두꺼워짐이다. 따라서 보조정리 0BQB에 의해 유한 에탈 사상 \(U \to X\)가 주어지면 유일한 동형 \[\varphi : U \times_Y X \to X \times_Y U\] 이 존재하는데, 이는 \(X \times_Y X\) 위의 유한 에탈 스킴들의 동형이고 \(\Delta\)에 의한 당김은 \(X\) 위에서 \(\text{id} : U \to U\)를 준다. \(X \to X \times_Y X \times_Y X\)도 두꺼워짐이므로(이는 전단사인 닫힌 몰입이다), \((U, \varphi)\)는 \(X/Y\)에 관한 내림 데이터이다. Étale Morphisms, 명제 0BTP에 의해 \(U = X \times_Y V\)이다. 여기서 \(V \to Y\)는 준콤팩트이고 분리적이며 에탈이다. \(V \to Y\)가 유한임을 보이는 증명은 생략한다(힌트: 사상 \(U \to V\)는 전사이고 \(U \to Y\)는 정수적이다). 따라서 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\)는 본질적으로 전사이다.

위와 마찬가지로 논하면, \(V_1 \to Y\) 및 \(V_2 \to Y\)가 \(\textit{F\'Et}_Y\)의 대상일 때 임의의 사상 \(a : X \times_Y V_1 \to X \times_Y V_2\)는 \(X\) 위의 표준 내림 데이터와 양립한다. 따라서 Étale Morphisms, 보조정리 0BTL에 의해 \(a\)는 \(Y\) 위의 사상 \(V_1 \to V_2\)로 내려간다.

고유 스킴의 유한 에탈 덮개

이 절에서는 Hensel 국소환 위의 연결 고유 스킴의 기본군이 그 특수 올의 기본군과 같음을 보인다. 또한 이 결과의 Hensel 쌍에 대한 변형도 증명한다.

더 나아가 대수적으로 닫힌 체 \(k\) 위의 연결 고유 스킴의 기본군은 \(k\)를 대수적으로 닫힌 확대체로 바꾸어도 변하지 않음을 보인다.

연결인 경우에 결과를 진술하고 증명하는 대신 일반적인 경우에 결과를 증명하고, 기본군에 관한 결론은 보조정리 0BQA를 사용하여 독자가 이끌어 내도록 한다.

보조정리

\(A\)를 Hensel 국소환이라 하고 \(X\)를 \(A\) 위의 고유 스킴, 닫힌 올을 \(X_0\)이라 하자. 그러면 함자 \[\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_0},\quad U \longmapsto U_0 = U \times_X X_0\] 는 범주의 동치이다.

증명

여기서의 증명은 대수화와 근사를 적용하는 한 예이다. 몇 단계로 나누어 진행한다.

\(A\)가 완비 Noether 국소환인 경우의 본질적 전사성. \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/\mathfrak m^{n + 1})\)이라 놓자. Étale Morphisms, 정리 039R에 의해 포함 \[X_0 \to X_1 \to X_2 \to \ldots\] 은 \(X_0\) 위의 에탈 스킴의 범주와 \(X_n\) 위의 에탈 스킴의 범주 사이의 범주 동치를 유도한다. 또한 \(U_n \to X_n\)이 유한 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)에 대응하면 \(U_n \to X_n\)도 유한이다. 예를 들어 More on Morphisms, 보조정리 09ZW. 이 경우 사상 \(U_0 \to \Spec(A/\mathfrak m)\)는 \(X_0\)가 \(A/\mathfrak m\) 위에서 고유이므로 고유이다. 따라서 Grothendieck의 대수화 정리를 (다음 형태로) 적용할 수 있다. Cohomology of Schemes, 보조정리 09ZT) 이에 의해 유한 사상 \(U \to X\)가 존재하며, 이를 \(X_0\)로 제한하면 \(U_0\)를 되찾는다. More on Morphisms, 보조정리 0A43 에 의해 \(U \to X\)는 \(U_0\)의 모든 점에서 에탈이다. 그러나 \(U\)의 각 점은 \(U_0\)의 한 점으로 특수화되므로(\(U\)는 \(A\) 위에서 고유이다), \(U \to X\)가 에탈이라는 결론을 얻는다. 이로써 함자가 본질적으로 전사임이 따른다.

\(A\)가 완비 Noether 국소환인 경우의 충실충만성. \(U \to X\)와 \(V \to X\)를 유한 에탈 사상이라 하고, \(\varphi_0 : U_0 \to V_0\)를 \(X_0\) 위의 사상이라 하자. 다음 사상을 생각한다. \[\Gamma_{\varphi_0} : U_0 \longrightarrow U_0 \times_{X_0} V_0\] 이 사상은 유한 에탈 사상인 동시에 닫힌 몰입이다. \(X = U \times_X V\)에 본질적 전사성을 적용하면 유한 에탈 사상 \(W \to U \times_X V\)를 얻으며, 그 특수 올은 \(\Gamma_{\varphi_0}\)와 동형이다. 사영 \(W \to U\)를 생각하자. 이는 구성에 의해 유한 에탈이고 \(U_0\) 위에서는 동형이다. Étale Morphisms, 보조정리 04DH \(W \to U\)는 \(U_0\)의 열린 근방에서 동형이다. 따라서 이는 동형이고, 합성 \(\varphi : U \cong W \to V\)는 \(\varphi_0\)의 원하는 올림이다.

\(A\)가 Hensel Noether 국소 G-환인 경우의 본질적 전사성. \(U_0 \to X_0\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(A^\wedge\)를 극대 아이디얼에 관한 \(A\)의 완비화라 하고, \(X^\wedge\)를 \(X\)의 \(A^\wedge\)로의 기저변환이라 하자. 위의 결과에 의해 특수 올이 \(U_0\)인 유한 에탈 사상 \(V \to X^\wedge\)가 존재한다. \(A^\wedge = \colim A_i\)로 쓰되, \(A \to A_i\)가 유한형이라고 하자. Limits, 보조정리 01ZM에 의해 어떤 \(i\)와 유한 표시 사상 \(U_i \to X_{A_i}\)가 존재하여, 이를 \(X^\wedge\)로 기저변환하면 \(V\)가 된다. \(i\)를 충분히 크게 잡으면 \(U_i \to X_{A_i}\)가 유한 에탈이라고 가정할 수 있다 (Limits, 보조정리 01ZO 및 07RP). 다음과 같이 쓰자. \[A_i = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 환사상 \(A_i \to A^\wedge\)는 방정식계 \(f_j = 0\)의 해 \((a_1, \ldots, a_n)\)를 \(A^\wedge\) 안에서 택한 것으로 해석할 수 있다. Smoothing Ring Maps, 정리 07QY에 의해 이 해를 \(A\) 안의 해 \((b_1, \ldots, b_n)\)로 (예를 들어 차수 \(11\)까지) 근사할 수 있다. 이를 다시 해석하면 \(A\)-대수 사상 \(A_i \to A\)를 얻으며, 이는 원래 사상 \(A_i \to A^\wedge\)와 같은 닫힌점을 준다(\(11 > 1\)이기 때문이다). 따라서 이 환사상에 의한 \(U \to X\)는 \(V \to X_{A_i}\)의 기저변환이고, 특수 올이 \(U_0\)와 동형인 유한 에탈 사상이다.

\(A\)가 Hensel Noether 국소 G-환인 경우의 충실충만성. 이는 \(A\)가 완비 Noether 환인 경우와 완전히 같은 방식으로 본질적 전사성에서 도출된다.

일반적인 경우. \((A, \mathfrak m)\)을 Hensel 국소환이라 하자. \(S = \Spec(A)\)라 두고 닫힌점을 \(s \in S\)로 쓰자. Limits, 보조정리 0A0P 에 의해 \(X \to \Spec(A)\)를 고유 사상 \(X_i \to S_i\)들의 공여과 극한으로 쓸 수 있다. \(S_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이다. 각 \(i\)에 대해 \(s_i \in S_i\)를 \(s\)의 상이라 하자. \(S = \lim S_i\)이고 \(A = \mathcal{O}_{S, s}\)이므로 \(A = \colim \mathcal{O}_{S_i, s_i}\)이다. 환 \(A_i = \mathcal{O}_{S_i, s_i}\)는 Noether 국소 G-환이다(More on Algebra, 명제 07PX). More on Algebra, 보조정리 0A04에 의해 \(A = \colim A_i^h\)이다. More on Algebra, 보조정리 07QR에 의해 환 \(A_i^h\)는 G-환이다. 따라서 \(A = \colim A_i^h\)이고 \[X = \lim (X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h))\] 가 스킴으로서 성립한다. \(X\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주는 \(X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주들의 극한이다(Limits, 보조정리 01ZM, 01ZO 및 07RP) 에 대해서도 마찬가지이다. \(X_0 = \lim (X_i \times_{S_i} s_i)\) 위의 유한 에탈 스킴에도 같은 결과가 성립한다. 따라서 위에서 다룬 \(X / \Spec(A)\)에 대한 결과를, 위에서 다룬 \((X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)) / \Spec(A_i^h)\)에 대한 결과에서 형식적으로 이끌어 낼 수 있다.

보조정리

\((A, I)\)를 Hensel 쌍이라 하고 \(X\)를 \(A\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(X_0 = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I)\)라 두자. 그러면 함자 \[\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_0},\quad U \longmapsto U_0 = U \times_X X_0\] 는 범주의 동치이다.

증명

이 보조정리의 증명은 보조정리 0A48의 증명과 완전히 같다.

\(A\)가 Noether 환이고 \(I\)-진 완비인 경우의 본질적 전사성. \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I^{n + 1})\)이라 두자. Étale Morphisms, 정리 039R에 의해 포함 \[X_0 \to X_1 \to X_2 \to \ldots\] 은 \(X_0\) 위의 에탈 스킴의 범주와 \(X_n\) 위의 에탈 스킴의 범주 사이의 범주 동치를 유도한다. 또한 \(U_n \to X_n\)이 유한 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)에 대응하면 \(U_n \to X_n\)도 유한이다. 예를 들어 More on Morphisms, 보조정리 09ZW. 이 경우 사상 \(U_0 \to \Spec(A/I)\)는 \(X_0\)가 \(A/I\) 위에서 고유이므로 고유이다. 따라서 Grothendieck의 대수화 정리를 (다음 형태로) 적용할 수 있다. Cohomology of Schemes, 보조정리 09ZT) 이에 의해 유한 사상 \(U \to X\)가 존재하며, 이를 \(X_0\)로 제한하면 \(U_0\)를 되찾는다. More on Morphisms, 보조정리 0A43 에 의해 \(U \to X\)는 \(U_0\)의 모든 점에서 에탈이다. 그러나 \(U\)의 각 점은 \(U_0\)의 한 점으로 특수화되므로(\(U\)는 \(A\) 위에서 고유이다), \(U \to X\)는 에탈이다. 이로써 함자가 본질적으로 전사임이 따른다.

\(A\)가 Noether 환이고 \(I\)-진 완비인 경우의 충실충만성. \(U \to X\)와 \(V \to X\)를 유한 에탈 사상이라 하고, \(\varphi_0 : U_0 \to V_0\)를 \(X_0\) 위의 사상이라 하자. 다음 사상을 생각한다. \[\Gamma_{\varphi_0} : U_0 \longrightarrow U_0 \times_{X_0} V_0\] 이 사상은 유한 에탈 사상인 동시에 닫힌 몰입이다. \(X = U \times_X V\)에 본질적 전사성을 적용하면 유한 에탈 사상 \(W \to U \times_X V\)를 얻으며, 그 특수 올은 \(\Gamma_{\varphi_0}\)와 동형이다. 사영 \(W \to U\)를 생각하자. 이는 구성에 의해 유한 에탈이고 \(U_0\) 위에서는 동형이다. Étale Morphisms, 보조정리 04DH \(W \to U\)는 \(U_0\)의 열린 근방에서 동형이다. 따라서 이는 동형이고, 합성 \(\varphi : U \cong W \to V\)는 \(\varphi_0\)의 원하는 올림이다.

\((A, I)\)가 Hensel 쌍이고 \(A\)가 Noether G-환인 경우의 본질적 전사성. \(U_0 \to X_0\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(A^\wedge\)를 \(I\)에 관한 \(A\)의 완비화라 하자. \(A^\wedge\)는 Noether 환이고 \(IA^\wedge\)-진 완비임에 주의하자. Algebra, 보조정리 031C 및 0316을 보라. \(X^\wedge\)를 \(X\)의 \(A^\wedge\)로의 기저변환이라 하자. 위의 결과에 의해 특수 올이 \(U_0\)인 유한 에탈 사상 \(V \to X^\wedge\)가 존재한다. \(A^\wedge = \colim A_i\)로 쓰되 \(A \to A_i\)가 유한형이라고 하자. Limits, 보조정리 01ZM에 의해 어떤 \(i\)와 유한 표시 사상 \(U_i \to X_{A_i}\)가 존재하여, 이를 \(X^\wedge\)로 기저변환하면 \(V\)가 된다. \(i\)를 충분히 크게 잡으면 \(U_i \to X_{A_i}\)가 유한 에탈이라고 가정할 수 있다 (Limits, 보조정리 01ZO 및 07RP). 다음과 같이 쓰자. \[A_i = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 환사상 \(A_i \to A^\wedge\)는 방정식계 \(f_j = 0\)의 해 \((a_1, \ldots, a_n)\)를 \(A^\wedge\) 안에서 택한 것으로 해석할 수 있다. Smoothing Ring Maps, 보조정리 0AH5에 의해 이 해를 \(A\) 안의 해 \((b_1, \ldots, b_n)\)로 (예를 들어 차수 \(11\)까지) 근사할 수 있다. 이를 다시 해석하면 \(A\)-대수 사상 \(A_i \to A\)를 얻으며, 이는 원래 사상 \(A_i \to A^\wedge\)와 같은 닫힌점을 준다(\(11 > 1\)이기 때문이다). 따라서 이 환사상에 의한 \(U \to X\)는 \(V \to X_{A_i}\)의 기저변환이고, 특수 올이 \(U_0\)와 동형인 유한 에탈 사상이다.

\((A, I\)가 Hensel 쌍이고 \(A\)가 Noether G-환인 경우의 충실충만성. 이는 \(A\)가 완비 Noether 환인 경우와 완전히 같은 방식으로 본질적 전사성에서 도출된다.

일반적인 경우. \((A, I)\)를 Hensel 쌍이라 하자. \(S = \Spec(A)\), \(S_0 = \Spec(A/I)\)라 두자. Limits, 보조정리 0A0P 에 의해 \(X \to \Spec(A)\)를 고유 사상 \(X_i \to S_i\)들의 공여과 극한으로 쓸 수 있다. 여기서 \(S_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위의 아핀 유한형이다. \(S_i = \Spec(A_i)\)라 쓰고, \(I_i \subset A_i\)를 사상 \(A_i \to A\)에 의한 \(I\)의 역상이라 하자. \(S_{i, 0} = \Spec(A_i/I_i)\)라 두자. \(S = \lim S_i\)이므로 \(A = \colim A_i\)이고, 따라서 \(I = \colim I_i\) 및 \(A/I = \colim A_i/I_i\)도 성립한다. 환 \(A_i\)는 Noether G-환이다(More on Algebra, 명제 07PX). \((A_i^h, I_i^h)\)를 \((A_i, I_i)\)의 Hensel화라 쓰자. More on Algebra, 보조정리 0A04에 의해 \(A = \colim A_i^h\)이다. More on Algebra, 보조정리 0AH3에 의해 환 \(A_i^h\) 는 G-환이다. 따라서 \(A = \colim A_i^h\)이고 \[X = \lim (X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h))\] 가 스킴으로서 성립한다. \(X\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주는 \(X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주들의 극한이다(Limits, 보조정리 01ZM, 01ZO 및 07RP) 에 대해서도 마찬가지이다. \(X_0 = \lim (X_i \times_{S_i} S_{i, 0})\) 위의 유한 에탈 스킴에도 같은 결과가 성립한다. 따라서 위에서 다룬 따라서 \(X / \Spec(A)\)에 대한 결과를, 위에서 다룬 \((X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)) / \Spec(A_i^h)\)에 대한 결과에서 형식적으로 이끌어 낼 수 있다.

보조정리

\(k'/k\)를 대수적으로 닫힌 체들의 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. 그러면 함자 \[U \longmapsto U_{k'}\] 는 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주와 \(X_{k'}\) 위의 유한 에탈 스킴의 범주 사이의 범주 동치이다.

증명

함자가 본질적으로 전사임을 보이자. \(U' \to X_{k'}\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(k' = \colim A_i\)를 유한형 \(k\)-대수들의 여과 여극한으로 쓰자. Limits, 보조정리 01ZM에 의해 어떤 \(i\)와 유한 표시 사상 \(U_i \to X_{A_i}\)가 존재하여, 이를 \(X_{k'}\)로 밑변환하면 \(U'\)가 된다. \(i\)를 충분히 크게 잡으면 \(U_i \to X_{A_i}\)가 유한 에탈이라고 가정할 수 있다(Limits, 보조정리 01ZO 및 07RP). \(k\)는 대수적으로 닫혀 있으므로 \(\Spec(A_i)\) 안에서 \(k\)-값점 \(t\)를 찾을 수 있다. \(U = (U_i)_t\)를 \(t\) 위에서의 \(U_i\)의 올이라 하자. 점 \(t\)에 대응하는 극대 아이디얼을 \(\mathfrak m\)이라 하고, \((A_i)_{\mathfrak m}\)의 헨젤화를 \(A_i^h\)라 하자. 보조정리 0A48에 의해 \(X_{A_i^h}\) 위의 스킴으로서 \((U_i)_{A_i^h} = U \times \Spec(A_i^h)\)이다. 이제 \(A_i^h\)는 \(A_i\) 위에서 대수적이고(예를 들어 Smoothing Ring Maps, 예 0A1W의 논의를 보라), \(k'\)는 대수적으로 닫혀 있으므로, 주어진 포함 \(A_i \subset k'\)를 연장하는 환 사상 \(A_i^h \to k'\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(U'\)는 \(U\)의 밑변환과 동형이다. 충실충만성의 증명도 완전히 같다.

국소 연결성

이 절에서는 스킴 \(X\)의 조밀 열린집합 \(U\)에 대하여 언제 \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\)가 전사인지 묻는다. 대략 말해, 이는 \(x \in X \setminus U\) 주위의 임의의 작은 “공” \(B\)에 대하여 \(U \cap B\)가 연결일 때 성립함을 보일 것이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f(X)\)가 \(Y\)에서 조밀하면 밑변환 함자 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\)는 충실하다.

증명

유한 에탈 덮개의 범주는 내부 Hom을 가지므로(보조정리 0BL7), 다음을 보이면 충분하다. \(W\)를 \(Y\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하고, \(s : X \to W\)를 \(X\) 위의 사상이라 하자. \(s = t \circ f\)를 만족하는 단면 \(t : Y \to W\)는 많아야 하나이다. \(s = t_1 \circ f = t_2 \circ f\)를 만족하는 두 단면 \(t_1, t_2 : Y \to W\)를 생각하자. \(t_1\)과 \(t_2\)의 등화자는 \(Y\)에서 닫혀 있고 (Schemes, 보조정리 01KM), \(f(X)\)는 \(Y\)에서 조밀하므로 \(t_1\)과 \(t_2\)는 \(Y_{red}\) 위에서 일치한다. 따라서 \(t_1\)과 \(t_2\)의 상은 같고, 이 상은 \(W\)의 열린닫힌 부분스킴이며 \(Y\)로 동형으로 사상된다 (Étale Morphisms, 명제 024T). 그러므로 두 단면은 같다.

다음 보조정리에서 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼이 연결이라는 조건은, 예를 들어 국소환이 기하학적으로 일분기라는 가정에서 따른다. More on Algebra, 보조정리 06DM를 보라. 그 부분적 역은 Properties, 보조정리 0BQ4에 있다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)라 하고 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)라 하자. \(A\)의 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼이 연결이면 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U,\quad Y \longmapsto Y \times_X U\] 는 충실충만 함자이다.

증명

먼저 \(A\)가 엄밀 헨젤 환이라고 가정하자. 이 경우 \(X\)의 임의의 유한 에탈 덮개 \(Y\)는 \(X\)의 유한 개 서로소 복사본의 합과 동형이다. 따라서 \(U\) 위의 임의의 사상 \(U \to U \amalg \ldots \amalg U\)가 \(X\) 위의 사상 \(X \to X \amalg \ldots \amalg X\)로 유일하게 연장됨을 보이면 충분하다. \(U\)가 연결이면(특히 공집합이 아니면) 이는 참이다.

이제 일반적인 경우를 보자. 유한 에탈 덮개의 범주는 내부 Hom을 가지므로(보조정리 0BL7), 다음을 보이면 충분하다. \(Y\)를 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴이라 할 때, \(X\) 위의 임의의 사상 \(s : U \to Y\)는 \(X\) 위의 사상 \(t : X \to Y\)로 연장된다. \(A\)의 엄밀 헨젤화를 \(A^{sh}\)라 하고 \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\), \(U^{sh} = U \times_X X^{sh}\), \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh}\)라 쓰자. 첫 문단과 \(A\)에 대한 가정에 의해 \(s\)의 밑변환 \(s^{sh} : U^{sh} \to Y^{sh}\)를 \(t^{sh} : X^{sh} \to Y^{sh}\)로 연장할 수 있다. \(A' = A^{sh} \otimes_A A^{sh}\)라 하자. \(t^{sh}\)를 \(X' = \Spec(A')\)로 당긴 두 사상 \(t'_1, t'_2\)는 \(s\)를 \(U' = U \times_X X'\)로 당긴 사상 \(s'\)의 연장이다. \(A \to A'\)가 평탄하므로, \(A \to A'\)에 대한 내려가기 (Algebra, 보조정리 00HS)에 의해 \(U' \subset X'\)는 위상적으로 조밀하다. 따라서 보조정리 0BQE에 의해 \(t'_1 = t'_2\)이다. 그러므로 예를 들어 Descent, 보조정리 023Q에 의해 \(t^{sh}\)는 사상 \(t : X \to Y\)로 내려간다.

보조정리 0BLQ에 비추어 보면, 환과 그 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼이 언제 연결인지 아는 것이 흥미롭다. 충분조건을 주는 Hartshorne의 유명한 보조정리에 대해서는 Local Cohomology, 보조정리 0BLR를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 조밀 열린집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)의 바탕 위상공간은 뇌터 공간이고,

2. 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼이 연결이다.

그러면 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'et}_U\)는 충실충만하다.

증명

\(Y_1, Y_2\)를 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하고 \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\)를 \(U\) 위의 사상이라 하자. \(\varphi\)가 \(X\) 위의 사상 \(Y_1 \to Y_2\)로 유일하게 올라감을 보여야 한다. 유일성은 보조정리 0BQE에서 따른다.

\(x \in X \setminus U\)를 \(X \setminus U\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)라 하자. \(x\)의 선택에 의해 이는 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)의 천공 스펙트럼이다. 보조정리 0BLQ에 의해 사상 \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\)를 유일하게 사상 \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\)로 연장할 수 있다. Limits, 보조정리 0BQ5에 의해 \(x\)를 포함하는 열린집합 \(U \subset U'\)와 \(\varphi\)의 연장 \(\varphi' : (Y_1)_{U'} \to (Y_2)_{U'}\)를 얻는다. \(X\)의 바탕 위상공간은 뇌터 공간이므로, \(\varphi\)가 정의된 열린집합의 여집합에 대한 뇌터 귀납법으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 조밀 열린집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U \to X\)는 준콤팩트이고,

2. \(X \setminus U\)의 모든 점은 닫힌점이며,

3. 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼이 연결이다.

그러면 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'et}_U\)는 충실충만하다.

증명

\(Y_1, Y_2\)를 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하고 \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\)를 \(U\) 위의 사상이라 하자. \(\varphi\)가 \(X\) 위의 사상 \(Y_1 \to Y_2\)로 유일하게 올라감을 보여야 한다. 유일성은 보조정리 0BQE에서 따른다.

\(x \in X \setminus U\)라 하고 \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)라 하자. \(X \setminus U\)의 모든 점이 닫힌점이므로 \(V\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)의 천공 스펙트럼이다. 보조정리 0BLQ에 의해 사상 \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\)를 유일하게 사상 \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\)로 연장할 수 있다. Limits, 보조정리 0BQ5 (여기서는 \(U\)가 \(X\)에서 레트로콤팩트임을 사용한다)에 의해 \(x\)를 포함하는 열린집합 \(U \subset U'_x\)와 \(\varphi\)의 연장 \(\varphi'_x : (Y_1)_{U'_x} \to (Y_2)_{U'_x}\)를 얻는다. 두 점 \(x, x' \in X \setminus U\)가 주어지면, \(U\)가 \(U'_x \cap U'_{x'}\)에서 조밀하므로 사상 \(\varphi'_x\)와 \(\varphi'_{x'}\)는 그 교집합 위에서 일치한다(보조정리 0BQE). 따라서 원하는 대로 \(\varphi\)를 \(\bigcup U'_x = X\)까지 연장할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 조밀 열린집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 유한 개의 기약 성분을 가지며,

2. 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼이 연결이다.

그러면 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'et}_U\)는 충실충만하다.

증명

\(Y_1, Y_2\)를 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하고 \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\)를 \(U\) 위의 사상이라 하자. \(\varphi\)가 \(X\) 위의 사상 \(Y_1 \to Y_2\)로 유일하게 올라감을 보여야 한다. 유일성은 보조정리 0BQE에서 따른다. 존재성을 보이기 위해 \(U \not = X\)일 때 \(U\)를 더 크게 만들 수 있음을 보인 뒤 초른의 보조정리를 적용한다.

\(x \in X \setminus U\)를 \(X \setminus U\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하고 \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)라 하자. \(x\)의 선택에 의해 이는 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)의 천공 스펙트럼이다. 보조정리 0BLQ에 의해 사상 \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\)를 유일하게 사상 \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\)로 연장할 수 있다. \(W \subset X\)를 \(x\)의 아핀 근방으로 택하자. \(U \cap W\)는 \(W\)에서 조밀하므로 \(W\)의 일반점 \(\eta_1, \ldots, \eta_n\)을 모두 포함한다. \(\eta_1, \ldots, \eta_n\)을 포함하는 아핀 열린집합 \(W' \subset W \cap U\)를 택하고 \(V' = W' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)라 하자. Limits, 보조정리 0BQ5를 \(x \in W \supset W'\)에 적용하면, \(x \in W''\)인 열린집합 \(W' \subset W'' \subset W\)와 사상 \(\varphi'' : (Y_1)_{W''} \to (Y_2)_{W''}\)를 얻으며, 이 사상은 \(W'\) 위에서 \(\varphi\)와 일치한다. \(W'\)는 \(W'' \cap U\)에서 조밀하므로 보조정리 0BQE에 의해 \(\varphi\)와 \(\varphi''\)는 \(U \cap W'\) 위에서 일치한다. 따라서 \(\varphi\)와 \(\varphi''\)를 붙여서 \(U' = U \cup W''\) 위의 사상 \(\varphi'\)를 얻으며, 이는 \(U\) 위에서 \(\varphi\)와 일치한다. \(x \in U'\)이므로 \(\varphi\)를 진정으로 더 큰 열린집합으로 연장한 것이다.

\(U \subset U'\)이고 \(\varphi'\)가 \(\varphi\)의 연장인 순서쌍 \((U', \varphi')\)들의 집합을 \(\mathcal{S}\)라 하자. \(\mathcal{S}\)에 자명한 방식으로 부분순서를 주자. \((U'_i, \varphi'_i)\)가 전순서 부분집합이면, 이는 상계 \((U', \varphi')\)를 갖는다. 실제로 \(U' = \bigcup U'_i\)라 하고 \(\varphi' : (Y_1)_{U'} \to (Y_2)_{U'}\)를 각 \(U'_i\) 위에서 \(\varphi'_i\)와 일치하는 사상으로 잡으면 된다. 따라서 초른의 보조정리를 적용할 수 있고, \(\mathcal{S}\)는 극대 원소를 갖는다. 위의 논의에 의해 이 극대 원소는 \(X\) 전체 위에서 정의된 \(\varphi\)의 연장이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)라 하고 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)라 하자. \(A\)의 엄밀 헨젤화 \(A^{sh}\)의 천공 스펙트럼을 \(U^{sh}\)라 하자. \(U\)가 준콤팩트이고 \(U^{sh}\)가 연결이라고 가정하자. 그러면 열 \[\pi_1(U^{sh}, \overline{u}) \to \pi_1(U, \overline{u}) \to \pi_1(X, \overline{u}) \to 1\] 은 보조정리 0BS9 (1)의 의미에서 완전하다.

증명

사상 \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\)는 보조정리 0BLQ 및 0BN6에 의해 전사이다.

\(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\)라 쓰자. \(Y \to X\)를 유한 에탈 사상이라 하자. 그러면 \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh} \to X^{sh}\)도 유한 에탈 사상이다. \(A^{sh}\)가 엄밀 헨젤 환이므로 \(Y^{sh}\)는 \(X^{sh}\)의 서로소 복사본들의 합과 동형이다. 따라서 \(Y \times_X U^{sh}\)에 대해서도 마찬가지이다. 그러므로 합성 \(\pi_1(U^{sh}) \to \pi_1(U) \to \pi_1(X)\)는 자명하다. 보조정리 0BS8를 보라.

증명을 끝내려면 보조정리 0BS9에 따라 다음을 보이면 충분하다. \(V \to U\)가 유한 에탈 사상이고 \(V \times_U U^{sh}\)가 \(U^{sh}\)의 서로소 복사본들의 합이라고 하자. 그러면 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)를 찾아 \(U\) 위에서 \(V \cong Y \times_X U\)가 되게 할 수 있다. 가정에 의해 유한 에탈 사상 \(Y^{sh} \to X^{sh}\)와 동형 \(V \times_U U^{sh} \cong Y^{sh} \times_{X^{sh}} U^{sh}\)가 존재한다. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] & U^{sh} \ar[d] \ar[l] & U^{sh} \times_U U^{sh} \ar[d] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & U^{sh} \times_U U^{sh} \times_U U^{sh} \ar[d] \ar@<1ex>[l] \ar[l] \ar@<-1ex>[l] \\ X & X^{sh} \ar[l] & X^{sh} \times_X X^{sh} \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & X^{sh} \times_X X^{sh} \times_X X^{sh} \ar@<1ex>[l] \ar[l] \ar@<-1ex>[l] }\] 가정에 의해 \(U \subset X\)가 준콤팩트이므로 아래쪽을 향한 모든 화살표는 준콤팩트 열린 몰입이다. \(U^{sh} \times_U U^{sh}\)에 속하지 않는 점 \(\xi \in X^{sh} \times_X X^{sh}\)를 택하자. 그러면 \(\xi\)는 \(X^{sh}\)의 닫힌점 \(x^{sh}\) 위에 놓인다. 첫째 사영 \(X^{sh} \times_X X^{sh}\)가 정하는 국소환 준동형 \[A^{sh} = \mathcal{O}_{X^{sh}, x^{sh}} \to \mathcal{O}_{X^{sh} \times_X X^{sh}, \xi}\] 을 생각하자. 이는 국소화인 에탈 환 사상들로 이루어진 국소 준동형들의 여과 여극한이다. \(A^{sh}\)가 엄밀 헨젤 환이므로 이 사상은 동형이다. 여집합의 모든 \(\xi\)에 대해 이것이 성립하므로 이 점들 사이에는 특수화가 없고, 따라서 각 \(\xi\)는 닫힌점이다(이를 직접 보일 수도 있다). \(\xi\)에서의 국소환은 \(A^{sh}\)와 동형이므로 엄밀 헨젤 환이며 연결인 천공 스펙트럼을 갖는다. 마찬가지로, \(U^{sh} \times_U U^{sh} \times_U U^{sh}\)에 속하지 않는 \(X^{sh} \times_X X^{sh} \times_X X^{sh}\)의 점 \(\xi\)에 대해서도 같은 말이 성립한다. 보조정리 0BSA에 의해 수직 화살표를 따른 당김은 유한 에탈 스킴의 범주 사이의 충실충만 함자를 유도한다. 따라서 fpqc 덮개 \(\{U^{sh} \to U\}\)에 대한 \(V \times_U U^{sh}\) 위의 표준 내림 데이터는 fpqc 덮개 \(\{X^{sh} \to X\}\)에 대한 \(Y^{sh}\)의 내림 데이터로 옮겨진다. \(Y^{sh} \to X^{sh}\)는 유한, 따라서 아핀 사상이므로 이 내림 데이터는 유효하다 (Descent, 보조정리 0245). 그러므로 아핀 사상 \(Y \to X\)와 내림 데이터와 양립하는 동형 \(Y \times_X X^{sh} \to Y^{sh}\)를 얻는다. 내림 데이터의 충실충만성 (Descent, 보조정리 02W0의 경우와 같이)에 의해 동형 \(V \to U \times_X Y\)를 얻는다. 마지막으로 \(Y^{sh} \to X^{sh}\)가 유한 에탈이므로 \(Y \to X\)도 유한 에탈이다. Descent, 보조정리 02VN 및 02LA를 보라.

\(X\)를 기약 스킴이라 하고 \(\eta \in X\)를 그 일반점이라 하자. 표준 사상 \(\eta \to X\)는 표준 사상 [0BQH]\[\begin{equation} \text{Gal}(\kappa(\eta)^{sep}/\kappa(\eta)) = \pi_1(\eta, \overline{\eta}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{\eta}) \end{equation}\] 을 유도한다. 왼쪽의 동일시는 보조정리 0BNE에 따른다.

보조정리

\(X\)를 기약이고 기하학적으로 일분기인 스킴이라 하자. 공집합이 아닌 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 표준 사상 \[\pi_1(U, \overline{u}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{u})\] 은 전사이다. 사상 (0BQH) \(\pi_1(\eta, \overline{\eta}) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\)도 전사이다.

증명

보조정리 0BQB에 의해 \(X\)를 그 축약으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(X\)가 정역 스킴이라고 가정할 수 있다. 보조정리 0BN6에 의해 이 보조정리의 주장은 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)와 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_\eta\)가 충실충만이라는 명제로 바뀐다.

\(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)에 대한 결과는 보조정리 0BQG와, 기하학적으로 일분기인 국소환 \(A\)의 엄밀 헨젤화가 기약 스펙트럼을 갖는다는 사실에서 따른다. More on Algebra, 보조정리 06DM를 보라.

잉여체 \(\kappa(\eta) = \mathcal{O}_{X, \eta}\)는 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대한 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 여과 여극한이다. 따라서 \(\textit{F\'Et}_\eta\)는 그러한 \(U\)에 대한 범주 \(\textit{F\'Et}_U\)들의 여극한이다. Limits, 보조정리 01ZM, 01ZO 및 07RP를 보라. 이제 형식적인 논증으로 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_\eta\)의 충실충만성은 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)의 충실충만성에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(x_1, \ldots, x_n \in X\)를 다음 조건을 만족하는 유한 개의 닫힌점이라 하자.

1. \(U = X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\)는 연결이고 \(X\)의 레트로콤팩트 열린집합이며,

2. 각 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\)의 엄밀 헨젤화의 천공 스펙트럼 \(U_i^{sh}\)는 연결이다.

그러면 사상 \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\)는 전사이고, 그 핵은 \(i = 1, \ldots, n\)에 대한 \(\pi_1(U_i^{sh}) \to \pi_1(U)\)의 상들을 모두 포함하는 \(\pi_1(U)\)의 가장 작은 닫힌 정규 부분군이다.

증명

전사성은 보조정리 0BSA 및 0BN6에서 따른다. 다음 사상들의 열을 생각하자. \[\pi_1(U) \to \ldots \to \pi_1(X \setminus \{x_1, x_2\}) \to \pi_1(X \setminus \{x_1\}) \to \pi_1(X)\] 군론적 논증에 의해 핵에 관한 명제는 \(n = 1\)인 경우만 보이면 충분하다 (세부사항은 생략한다). \(x = x_1\), \(U^{sh} = U_1^{sh}\)라 쓰고, \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)라 하며, 그 엄밀 헨젤화를 \(A^{sh}\)라 하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] & \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\} \ar[l] \ar[d] & U^{sh} \ar[d] \ar[l] \\ X & \Spec(A) \ar[l] & \Spec(A^{sh}) \ar[l] }\] 보조정리 0BS9에 의해, \(U^{sh}\)의 자명한 덮개로 당겨지는 유한 에탈 사상 \(V \to U\)가 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴으로 연장됨을 보여야 한다. 보조정리 0BSB에 의해 \(A\)의 천공 스펙트럼 위의 유한 에탈 스킴에 대한 대응 명제를 알고 있다. 한편 Limits, 보조정리 0BPA에 의해 \(X\) 위의 유한 표시 스킴은 \(A\)의 천공 스펙트럼 위에서 붙인, \(U\) 위의 유한 표시 스킴과 \(A\) 위의 유한 표시 스킴의 데이터와 같다. 이것으로 증명이 끝난다.

정규 스킴의 기본군

\(X\)를 정역이고 기하학적으로 일분기인 스킴이라 하자. 앞 절에서 \(X\)의 기본군은 \(X\)의 함수체 \(K\)의 갈루아 군의 몫임을 보았다. 사상이 연속이므로 그 핵은 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군이다. 따라서 갈루아 이론 (Fields, 정리 0BML)에 의해 이 핵은 갈루아 확대 \(M/K\)에 대응한다. 이 절에서는 \(X\)가 정규 정역 스킴일 때 \(M\)을 결정한다.

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 스킴이라 하자. \(L/K\)를 유한 확대라 하자. Morphisms, 절 0BAK에서 정의한, 사상 \(\Spec(L) \to X\)에서의 \(X\)의 정규화 \(Y \to X\)를 생각하자. 이 상황에서 \(Y \to X\)가 스킴의 비분기 사상이면 \(X\)는 \(L\)에서 비분기이다라고 한다. 이 조건은 보조정리 0BTF에서 더 자세히 설명한다. \(Y \to X\)의 \(\Spec(K)\) 위 스킴론적 올은 \(\Spec(L)\)임에 주의하자. 따라서 \(X\)가 \(L\)에서 비분기이면 체 확대 \(L/K\)는 분리 확대이다. Morphisms, 보조정리 02G7를 보라.

보조정리

위의 상황에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)는 \(L\)에서 비분기이다.

2. \(Y \to X\)는 에탈이다.

3. \(Y \to X\)는 유한 에탈이다.

증명

\(Y \to X\)는 정수적 사상임에 주의하자. 각 경우에서 정의에 의해 사상 \(Y \to X\)는 국소 유한형이다. 따라서 각 경우에 Morphisms, 보조정리 01WJ을 적용하면 \(Y \to X\)는 유한이다. 특히 (2)와 (3)은 동치이다. 에탈 사상은 비분기이므로 (2)는 (1)을 함의한다.

거꾸로 \(Y \to X\)가 비분기라고 가정하자. 정규 스킴은 기하학적으로 일분기이므로 (Properties, 보조정리 0BQ3), More on Morphisms, 보조정리 0GS9에 의해 사상 \(Y \to X\)는 에탈이다. 다음 문단에서는 직접적인 증명도 제시한다.

\(x \in X\)라 하자. 다음 사상이 서로소 닫힌 몰입들의 합이 되게 하는 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)를 택할 수 있다. \[Y \times_X U = \coprod V_j \longrightarrow U\] Étale Morphisms, 보조정리 04HJ를 보라. \(U\)를 축소하여 준콤팩트라고 가정해도 된다. 그러면 \(U\)는 유한 개의 기약 성분을 갖는다 (Descent, 보조정리 0BAL). \(U\)는 정규이고(Descent, 보조정리 034F), \(U\)의 기약 성분들은 열린닫힌집합이므로 (Properties, 보조정리 0357), \(U\)가 기약이라고 가정해도 된다. 그러면 \(U\)는 정역 스킴이고 그 일반점 \(\xi\)는 \(X\)의 일반점으로 사상된다. 한편 More on Morphisms, 보조정리 03GV에 의해 \(Y \times_X U\)는 \(\Spec(L) \times_X U\)에서의 \(U\)의 정규화이다. \(\Spec(L) \times_X U\)의 모든 점은 \(\xi\)로 사상된다. 따라서 Morphisms, 보조정리 0AXP에 의해 각 \(V_j\)는 \(\xi\)로 사상되는 점을 포함한다. \(U = \overline{\{\xi\}}\)이므로 \(V_j \to U\)는 동형이다. 따라서 \(Y \times_X U \to U\)는 에탈이다. Descent, 보조정리 02VN에 의해 \(Y \to X\)는 \(U \to X\)의 상, 즉 \(x\)의 열린 근방 위에서 에탈이다.

보조정리

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 스킴이라 하자. \(Y \to X\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(Y\)가 연결이면 \(Y\)는 정규 정역 스킴이고, \(Y\)는 \(Y\)의 함수체에서의 \(X\)의 정규화이다.

증명

Descent, 보조정리 034F에 의해 스킴 \(Y\)는 정규이다. \(Y \to X\)가 평탄하므로 Morphisms, 보조정리 03HV에 의해 \(Y\)의 각 일반점은 \(X\)의 일반점으로 사상된다. \(Y \to X\)가 유한이므로 \(Y\)는 유한 개의 기약 성분을 갖는다. 따라서 Properties, 보조정리 0357에 의해 \(Y\)는 유한 개의 정규 정역 스킴의 서로소 합이다. 그러므로 \(Y\)가 연결이면 \(Y\)는 정규 정역 스킴이다.

\(L\)을 \(Y\)의 함수체라 하고 \(Y' \to X\)를 \(L\)에서의 \(X\)의 정규화라 하자. Morphisms, 보조정리 035I에 의해 분해 \(Y' \to Y \to X\)를 얻고, \(Y' \to Y\)는 \(L\)에서의 \(Y\)의 정규화이다. \(Y\)가 정규이므로 \(Y' = Y\)임은 분명하다(이는 Morphisms, 보조정리 0AB1에서도 따른다).

명제

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 스킴이라 하자. 그러면 표준 사상 (0BQH) \[\text{Gal}(K^{sep}/K) = \pi_1(\eta, \overline{\eta}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{\eta})\] 은 몫사상 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K)\)와 동일시된다. 여기서 \(M \subset K^{sep}\)는 \(X\)가 \(L\)에서 비분기인 유한 부분확대 \(L\)들의 합집합이다.

증명

\(X\)는 정규 스킴이므로 기하학적으로 일분기이다 (Properties, 보조정리 0BQ3). 따라서 보조정리 0BQI를 \(X\)에 적용할 수 있다. 그러므로 \(\pi_1(\eta, \overline{\eta}) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\)는 전사이고, 다음 가환 도식의 위쪽 수평 화살표는 충실충만하다. \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_X \ar[r] \ar[d] \ar[rd]_c & \textit{F\'Et}_\eta \ar[d] \\ \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{\eta})\textit{-sets} \ar[r] & \textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-sets} }\] 왼쪽 수직 화살표는 정리 0BND의 동치이고, 오른쪽 수직 화살표는 보조정리 0BNE의 동치이다. 아래쪽 수평 화살표는 명제의 사상에서 유도된다. 보조정리 0BQK 및 0BQL에 의해 \(c\)의 본질적 상은 다음 꼴의 집합과 동형인 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Sets}\)들로 이루어진다. \[S = \Hom_K(\prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} L_i, K^{sep}) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Hom_K(L_i, K^{sep})\] 여기서 \(L_i/K\)는 유한 분리 확대이고 \(X\)는 \(L_i\)에서 비분기이다. 따라서 \(M \subset K^{sep}\)가 보조정리의 명제에서와 같다면 \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\)은 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\)의 부분군 가운데 \(c\)의 본질적 상에 속하는 모든 대상에 자명하게 작용하는 부분군과 정확히 같다. 한편 \(c\)의 본질적 상은 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\)의 작용이 전사 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\)를 통해 분해되는 \(S\)들의 범주와 정확히 같다. 따라서 \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\)은 그 핵이다. 그러므로 \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\)은 정규 부분군이고 \(M/K\)는 갈루아 확대이며, 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[1 \to \text{Gal}(K^{sep}/M) \to \text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] 이는 갈루아 이론(Fields, 정리 0BML 및 보조정리 0BMM)에 따른다. 증명이 끝났다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 정규 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)라 하자. \(A^{sh}\)를 \(A\)의 엄밀 헨젤화라 하자. \(K\)와 \(K^{sh}\)를 각각 \(A\)와 \(A^{sh}\)의 분수체라 하자. 그러면 열 \[\pi_1(\Spec(K^{sh})) \to \pi_1(\Spec(K)) \to \pi_1(X) \to 1\] 은 보조정리 0BS9 (1)의 의미에서 완전하다.

증명

\(A^{sh}\)가 정규 정역임에 주의하자. More on Algebra, 보조정리 06DI를 보라. \(\pi_1(\Spec(K)) \to \pi_1(X)\)는 명제 0BQM에 의해 전사이다.

\(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\)라 쓰자. \(Y \to X\)를 유한 에탈 사상이라 하자. 그러면 \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh} \to X^{sh}\)도 유한 에탈 사상이다. \(A^{sh}\)가 엄밀 헨젤 환이므로 \(Y^{sh}\)는 \(X^{sh}\)의 서로소 복사본들의 합과 동형이다. 따라서 \(Y \times_X \Spec(K^{sh})\)도 마찬가지이다. 그러므로 합성 \(\pi_1(\Spec(K^{sh})) \to \pi_1(X)\)는 자명하다. 보조정리 0BS8를 보라.

증명을 끝내기 위해 보조정리 0BS9에 따라 다음을 보이면 충분하다. \(V \to \Spec(K)\)를 유한 에탈 사상이라 하고, \(V \times_{\Spec(K)} \Spec(K^{sh})\)가 \(\Spec(K^{sh})\)의 서로소 복사본들의 합이라고 하자. 그러면 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)를 찾아 \(\Spec(K)\) 위에서 \(V \cong Y \times_X \Spec(K)\)가 되게 할 수 있다. \(V = \Spec(L)\)이라 쓰면 \(L\)은 \(K\)의 유한 분리 확대들의 유한곱이다. \(B \subset L\)을 \(L\)에서의 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. \(A \to B\)가 에탈이면 \(Y = \Spec(B)\)로 잡아 증명을 끝낼 수 있다. Algebra, 보조정리 03GG와 생략한 극한 논증에 의해 \(B \otimes_A A^{sh}\)는 \(L^{sh} = L \otimes_K K^{sh}\)에서의 \(A^{sh}\)의 정수적 폐포이다. 가정에 의해 \(L^{sh}\)는 \(K^{sh}\)의 복사본들의 곱이고, 따라서 \(B^{sh}\)는 \(A^{sh}\)의 복사본들의 곱이다. 그러므로 \(A^{sh} \to B^{sh}\)는 에탈이다. \(A \to A^{sh}\)가 충실평탄하므로 Descent, 보조정리 02VN에 의해 \(A \to B\)는 에탈이며, 원하는 결론을 얻는다.

군 작용과 정수적 폐포

이 절에서는 More on Algebra, 절 0BRE의 논의를 계속한다. 정의에 의해 정규 국소환은 정역임을 상기하자.

보조정리

분수체 \(K\)가 분리대수적으로 닫힌 정규 정역 \(A\)를 택하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 영이 아닌 소 아이디얼이라 하자. 그러면 잉여체 \(\kappa(\mathfrak p)\)는 대수적으로 닫혀 있다.

증명

보조정리가 거짓이라고 가정하여 모순을 얻자. 그러면 차수가 \(d > 1\)인 기약 일계수 다항식 \(P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\)가 존재한다. 분모를 없애기 위해 적절한 \(a \in A\)에 대하여 \(P\)를 \(a^d P(a^{-1}T)\)로 바꾼 뒤, \(P\)가 \(A[T]\)의 일계수 다항식 \(Q\)의 상이라고 가정할 수 있다. \(Q\)는 \(K[T]\)에서 기약임에 주의하자. 실제로 \(K\) 위에서의 인수분해가 존재하면 Algebra, 보조정리 00H6에 의해 \(A\) 위에서의 인수분해가 생기고, 이를 \(\mathfrak p\)로 나누어 나머지를 취하면 \(P\)의 인수분해가 생긴다. \(K\)가 분리적으로 닫혀 있으므로 \(Q\)는 분리 다항식이 아니다 (Fields, 정의 09H1). 따라서 \(K\)의 표수는 \(p > 0\)이고 \(Q\)의 일차항은 영이다 (Fields, 정의 09H1). 그러나 이때 \(Q\)를 \(Q + a T\)로 바꾸면 모순을 얻는다. 여기서 \(a \in \mathfrak p\)는 영이 아니다.

보조정리

분리적으로 닫힌 분수체를 갖는 정규 국소환은 엄밀 헨젤 환이다.

증명

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 분리적으로 닫힌 분수체 \(K\)를 갖는 정규 국소환이라 하자. \(A = K\)이면 끝났다. 그렇지 않으면 보조정리 0BSP에 의해 잉여체 \(\kappa\)는 대수적으로 닫혀 있으므로, \(A\)가 헨젤 환임을 확인하면 충분하다. \(f \in A[T]\)를 일계수 다항식이라 하고, \(a_0 \in \kappa\)를 환원 \(\overline{f} \in \kappa[T]\)의 중복도 \(1\)인 근이라 하자. \(f = \prod f_i\)를 \(K[T]\)에서의 인수분해라 하자. Algebra, 보조정리 00H6에 의해 \(f_i \in A[T]\)이다. 따라서 어떤 \(i\)에 대하여 \(a_0\)는 \(f_i\)의 근이다. \(f\)를 \(f_i\)로 바꾸어 \(f\)가 기약이라고 가정해도 된다. \(a_0\)가 단근이므로 도함수 \(f'\)는 \(A[T]\)에서 영일 수 없다. \(K\)가 분리대수적으로 닫혀 있으므로 이로부터 \(f\)는 일차임을 얻는다. 따라서 \(A\)는 헨젤 환이다. Algebra, 정의 04GF을 보라.

보조정리

유한군 \(G\)가 환 \(R\)에 작용한다고 하자. \(R^G \to A\)를 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak q' \subset A \otimes_{R^G} R\)를 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset R\) 위에 놓인 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \[I_\mathfrak q = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q\text{ 및 } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] 는 \[I_{\mathfrak q'} = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q') = \mathfrak q'\text{ 및 } \sigma \bmod \mathfrak q' = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q')}\}\] 와 같다.

증명

\(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak q'\)의 역상이고 \(\kappa(\mathfrak q) \subset \kappa(\mathfrak q')\)이므로 \(I_{\mathfrak q'} \subset I_\mathfrak q\)이다. 거꾸로 \(\sigma \in I_\mathfrak q\)이면 \(\sigma\)는 올환 \(A \otimes_{R^G} \kappa(\mathfrak q)\)에 자명하게 작용한다. 따라서 \(\sigma\)는 \(\mathfrak q\) 위에 놓인 모든 소 아이디얼을 고정하고, 각각의 잉여체 위에서 항등사상을 유도한다.

보조정리

유한군 \(G\)가 환 \(R\)에 작용한다고 하자. \(\mathfrak q \subset R\)를 소 아이디얼이라 하고 다음과 같이 놓자. \[I = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q \text{ 및 } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_\mathfrak q\}\] 그러면 \(R^G \to R^I\)는 \(R^I \cap \mathfrak q\)에서 에탈이다.

증명

증명의 전략은 에탈 국소화를 사용하여 \(R \to R^I\)가 \(R^I \cap \mathfrak p\)에서 국소 동형인 경우로 환원하는 것이다. \(R^G \to A\)를 에탈 환 준동형이라 하자. \(G\)가 \(A \otimes_{R^G} R\)에 작용하는 경우와 \(\mathfrak q\) 위에 놓인 \(A \otimes_{R^G} R\)의 어떤 소 아이디얼 \(\mathfrak q'\)에 대하여 결과가 성립하면 원래 결과도 성립한다고 주장한다.

이를 확인하자. \(R^G \to A\)가 평탄하므로 \(A = (A \otimes_{R^G} R)^G\)이다. More on Algebra, 보조정리 0BRH를 보라. 보조정리 0BSS에 의해 군 \(I\)는 바뀌지 않는다. 다시 More on Algebra, 보조정리 0BRH을 적용하면 \(A \otimes_{R^G} R^I = (A \otimes_{R^G} R)^I\)를 얻는다 (\(R^I \to A \otimes_{R^G} R^I\)가 평탄하기 때문이다). 따라서 \[\xymatrix{ \Spec((A \otimes_{R^G} R)^I) \ar[d] \ar[r] & \Spec(R^I) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(R^G) }\] 은 데카르트 도식이고 수평 화살표들은 에탈이다. 그러므로 왼쪽 수직 화살표가 \((A \otimes_{R^G} R)^I \cap \mathfrak q'\)를 포함하는 어떤 열린 근방 \(W\)에서 에탈이면, 오른쪽 수직 화살표는 \(\Spec(R^I)\)에서 \(W\)의 열린 상에 속하는 점들에서 에탈이다. Descent, 보조정리 05B5를 보라. 특히 사상 \(\Spec(R^I) \to \Spec(R^G)\)는 \(R^I \cap \mathfrak q\)에서 에탈이다.

\(\mathfrak p = R^G \cap \mathfrak q\)라 하자. More on Algebra, 보조정리 0BRI에 의해 \(\mathfrak p\) 위에서의 \(\Spec(R) \to \Spec(R^G)\)의 올은 유한하다. 더욱이 이 점들에서의 잉여체 확대들은 대수적이고 정규이며, 그 자기동형군들은 유한하다. 이는 More on Algebra, 보조정리 0BRJ에 따른다. 따라서 More on Morphisms, 보조정리 0BSR을 정수적 환 준동형 \(R^G \to R\)와 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 적용할 수 있다. 위의 주장과 합치면, \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\)인 경우로 환원된다. 각 \(A_i\)는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak q_i\)를 가지며, 이는 \(\mathfrak p\) 위에 놓이고, 잉여체 확대 \(\kappa(\mathfrak q_i)/\kappa(\mathfrak p)\)는 순수 비분리이다. 물론 \(\mathfrak q\)는 이 소아이디얼들 가운데 하나이므로, \(\mathfrak q = \mathfrak q_1\)이라 해도 좋다.

\(G\)가 인자 \(A_i\)들을 치환하지 않을 수도 있다(예를 들어 \(A_i\)의 스펙트럼이 연결이고 \(R^G\)가 국소환이면 치환한다). 이는 다음과 같이 바로잡을 수 있다. 독자에게 이 과정을 직접 생각해 보기를 권하며, 위상 대신 멱등원을 사용해도 좋다. 곱 분해는 \(\Spec(R)\)를 열린닫힌 부분집합 \(U_i\)들로 나타내는 서로소 합 분해를 준다는 점을 상기하자. \(G\)가 유한이므로 이 덮개를 유한 서로소 합 분해 \(\Spec(R) = \coprod_{j \in J} W_j\)로 세분할 수 있다. 여기서 열린닫힌 부분집합 \(W_j\)들에 대해, 각 \(j \in J\)마다 어떤 \(j' \in J\)가 존재하여 \(\sigma(W_j) = W_{j'}\)가 되게 할 수 있다. 이 \(W_j\)들 가운데 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\}\)와 만나지 않는 것들의 합집합은 \(\mathfrak p\) 위의 올과 만나지 않는 닫힌집합이다. 따라서 이 합집합은 \(\Spec(R^G)\)에서 \(\mathfrak p\)와 만나지 않는 닫힌집합으로 사상된다. 이는 \(\Spec(R) \to \Spec(R^G)\)가 닫힌 사상이기 때문이다. 그러므로 \(R^G\)를 주국소화로 바꾸고 나면(위의 주장에 의해 허용된다), 각 \(W_j\)가 어떤 \(\mathfrak q_i\)와 만난다고 가정할 수 있다. 이제 \(U_i = W_j\)로 둔다. 단, 이는 \(\mathfrak q_i \in W_j\)일 때이다. 이에 대응하는 곱 분해 \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\)에서는 \(G\)가 인자 \(A_i\)들을 치환한다.

따라서 곱 분해 \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\)가 \(G\)-작용과 양립하고, 각 \(A_i\)는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak q_i\)를 가지며, 이는 \(\mathfrak p\) 위에 놓이고, 체 확대 \(\kappa(\mathfrak q_i)/\kappa(\mathfrak p)\)가 순수 비분리라고 가정할 수 있다. \(A' = A_2 \times \ldots \times A_n\)이라 쓰면 \[R = A_1 \times A'\] 이다. \(\mathfrak q = \mathfrak q_1\)이므로 모든 \(\sigma \in I\)는 위의 곱 분해를 보존한다. 따라서 \[R^I = (A_1)^I \times (A')^I\] 이다. \(I = D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q\}\)임에 유의하자. 이는 \(\kappa(\mathfrak q)/\kappa(\mathfrak p)\)가 순수 비분리이기 때문이다. \(G\)의 \(\mathfrak p\) 위 소아이디얼들에 대한 작용은 추이적이다 (More on Algebra, 보조정리 0BRI). 따라서 \(I\)의 \(G\)에서의 지수는 \(n\)이고, \(G = eI \amalg \sigma_2I \amalg \ldots \amalg \sigma_nI\)로 쓸 수 있으며, \(A_i = \sigma_i(A_1)\)이다(\(i = 2, \ldots, n\)). 그러므로 \[R^G = (A_1)^I.\] 사상 \(R^G \to R^I\)는 \(R^I \cap \mathfrak q\)에서 에탈이고, 이로써 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 More on Algebra, 보조정리 09EH를 일반화한다.

보조정리

\(A\)를 분수체 \(K\)를 갖는 정규 정역이라 하자. \(L/K\)를 (무한일 수도 있는) 갈루아 확대라 하자. \(G = \text{Gal}(L/K)\)로 두고, \(B\)를 \(A\)의 \(L\)에서의 정수적 폐포라 하자. \(\mathfrak q \subset B\)라 하자. 다음과 같이 둔다. \[I = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q \text{ 이고 } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] 그러면 \((B^I)_{B^I \cap \mathfrak q}\)는 에탈 \(A\)-대수들의 여과 여극한이다.

증명

\(L\)을 \(K\)의 유한 갈루아 확대들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 따라서 \(L/K\)가 유한 갈루아 확대인 경우에 이 보조정리를 증명하면 충분하다. Algebra, 보조정리 0BSJ를 보라. \(A = B^G\)이다. 실제로 \(A\)는 \(K = L^G\)에서 정수적으로 닫혀 있다. 따라서 결과는 보조정리 0BST에서 따른다.

분기 이론

이 절에서는 More on Algebra, 절 09E3의 논의를 계속하여 스킴의 기본군에 관한 논의와 연결한다.

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 분수체 \(K\)를 갖는 정규 국소환이라 하자. 분리 대수적 폐포 \(K^{sep}\)를 택한다. \(A^{sep}\)를 \(A\)의 \(K^{sep}\)에서의 정수적 폐포라 하자. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m^{sep} \subset A^{sep}\)를 하나 택한다. \(A \subset A^h \subset A^{sh}\)를 각각 헨젤화와 엄밀 헨젤화라 하자. \(A^h\)와 \(A^{sh}\)도 정규환임에 유의하자 (More on Algebra, 보조정리 06DI). 각각의 분수체를 \(K^h\)와 \(K^{sh}\)로 쓴다. 보조정리 0BSQ에 의해 \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)는 엄밀 헨젤 환이므로, \(A\)-대수 준동형 \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)를 택할 수 있다. 구체적으로 먼저 \(\kappa\)-몰입⁴ \(\kappa(\mathfrak m^{sh}) \to \kappa(\mathfrak m^{sep})\)를 택한 다음, Algebra, 보조정리 04GU에 의해 이를 \(A\)-대수 준동형으로 (유일하게) 확장한다. 다음 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ K^{sep} & K^{sh} \ar[l] & K^h \ar[l] & K \ar[l] \\ (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}} \ar[u] & A^{sh} \ar[u] \ar[l] & A^h \ar[u] \ar[l] & A \ar[u] \ar[l] }\] 이 환들의 스펙트럼의 기본군을 생각할 수 있다. 물론 \(K^{sep}\), \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\), \(A^{sh}\)는 엄밀 헨젤이므로 이들에서는 자명군을 얻는다. 따라서 흥미로운 부분은 다음과 같다. [0BSV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \pi_1(U^{sh}) \ar[r] \ar[rd]_1 & \pi_1(U^h) \ar[d] \ar[r] & \pi_1(U) \ar[d] \\ & \pi_1(X^h) \ar[r] & \pi_1(X) } } \end{equation}\] 여기서 \(X^h\)와 \(X\)는 각각 \(A^h\)와 \(A\)의 스펙트럼이고, \(U^{sh}\), \(U^h\), \(U\)는 각각 \(K^{sh}\), \(K^h\), \(K\)의 스펙트럼이다. 표지 \(1\)은 사상이 자명하다는 뜻이다. 이는 사상이 자명군 \(\pi_1(X^{sh})\)를 경유하기 때문이다. 한편 프로유한군 \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)는 \(A^{sep}\)에 작용하므로 다음을 정의한다. \[D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m^{sep}) = \mathfrak m^{sep}\} \supset I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m^{sep} = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m^{sep})}\}\] 이 군들은 특히 \(A\)가 이산 부치환환일 때 각각 분해군과 관성군이라 불리기도 한다.

보조정리

위의 상황에서 동형 \(\pi_1(U) = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)를 통하여 도식 (0BSV)은 다음 도식으로 옮겨진다. \[\xymatrix{ I \ar[r] \ar[rd]_1 & D \ar[d] \ar[r] & \text{Gal}(K^{sep}/K) \ar[d] \\ & \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa) \ar[r] & \text{Gal}(M/K) }\] 여기서 \(K^{sep}/M/K\)는 \(A\)에 관해 비분기인 최대 부분확대이다. 또한 수직 화살표들은 전사이고, 왼쪽 수직 화살표의 핵은 \(I\)이며, 오른쪽 수직 화살표의 핵은 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\)에서 \(I\)를 포함하는 최소 닫힌 정규부분군이다.

증명

구성에 의해 군 \(D\)는 \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)에 \(A\) 위에서 작용한다. 잉여체 위의 사상을 지정했을 때의 \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)의 유일성 (Algebra, 보조정리 04GU)으로부터, \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)의 상은 \(((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\)에 포함된다. 한편 보조정리 0BSU에 의해 \(((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\)는 \(A\)의 에탈 확대들의 여과 여극한이다. \(A^{sh}\)는 그러한 최대 확대이므로 \(A^{sh} = ((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\)라고 결론내릴 수 있다. 따라서 \(K^{sh} = (K^{sep})^I\)이다.

\(I\)는 전사 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m^{sep})/\kappa)\)의 핵임을 상기하자. More on Algebra, 보조정리 0BRK를 보라. 위에서 보았듯이 \(\text{Aut}(\kappa(\mathfrak m^{sep})/\kappa) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\)이고, 이 체들은 각각 \(\kappa\)의 대수적 폐포와 분리 대수적 폐포이다. 한편 Algebra, 보조정리 04GS의 유일성에 의해 \(A^{sh}\)의 \(A\) 위의 모든 자기동형은 \(A^{sh}\)의 \(A^h\) 위의 자기동형이다. 더 나아가 \(A^{sh}\)는 유한 에탈 확대 \(A^h \subset A'\)들의 여극한이며, 이 확대들은 \(1\) 대 \(1\)로 유한 분리 확대 \(\kappa'/\kappa\)와 대응한다. Algebra, 주의 0BSL를 보라. 따라서 \[\text{Aut}(A^{sh}/A) = \text{Aut}(A^{sh}/A^h) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\] \(\kappa'/\kappa\)를 갈루아군 \(G\)를 갖는 유한 갈루아 확대라 하자. Algebra, 보조정리 04GK에 의해 유한 에탈 확대 \(A^h \subset A'\)를 택한다. 이는 \(\kappa \subset \kappa'\)에 대응한다. 분수체와 차수를 살펴보면 \((A')^G = A^h\)가 따른다 (작은 세부사항은 생략한다). 여극한을 취하면 \((A^{sh})^{\text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)} = A^h\)라고 결론내릴 수 있다. 이상을 모두 합치면 \(A^h = ((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^D\)를 얻는다. 따라서 \(K^h = (K^{sep})^D\)이다.

\(U\), \(U^h\), \(U^{sh}\)는 각각 체 \(K\), \(K^h\), \(K^{sh}\)의 스펙트럼이므로, 보조정리 0BNE에 의해 두 도식의 윗줄들이 대응한다. 보조정리 09ZS에 의해 \(\pi_1(X^h) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\)이다. 열 \(1 \to I \to D \to \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa) \to 1\) 이 완전하다는 것은 위에서 지적했다. 명제 0BQM에 의해 \(\pi_1(X) = \text{Gal}(M/K)\)이다. 마지막으로 사상 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K) = \pi_1(X)\)의 핵에 관한 주장은 보조정리 0BSM에서 따른다. 이로써 증명이 끝난다.

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 스킴이라 하자. \(K^{sep}\)를 \(K\)의 분리 대수적 폐포라 하자. \(X^{sep} \to X\)를 \(X\)의 \(K^{sep}\)에서의 정규화라 하자. \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)가 \(K^{sep}\)에 작용하므로, \(G\)의 오른쪽 작용을 \(X^{sep}\) 위에 얻는다. \(y \in X^{sep}\)에 대해 다음과 같이 정의한다. \[D_y = \{\sigma \in G \mid \sigma(y) = y\} \supset I_y = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m_y = \text{id}_{\kappa(y)} \}\] 이는 위와 같다. 한편 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)를 엄밀 헨젤화라 하고, \(K_x^{sh}\)를 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)의 분수체라 하며, \(K\)-몰입 \(K_x^{sh} \to K^{sep}\)를 하나 택한다.

보조정리

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 스킴이라 하자. 위의 표기 아래 다음 세 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) = \pi_1(\Spec(K))\)의 부분군은 서로 같다.

1. 전사 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \longrightarrow \pi_1(X)\)의 핵.

2. \(I_y\)를 포함하는 최소 닫힌 정규부분군(모든 \(y \in X^{sep}\)에 대해).

3. \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\)를 포함하는 최소 닫힌 정규부분군 (모든 \(x \in X\)에 대해).

증명

보조정리 0BSW에 의해 (2)와 (3)은 동치이다. 그 보조정리는 \(I_y\)가 \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\)와 켤레임을 말하며, 이는 \(y\)가 \(x\) 위에 있을 때이다. 보조정리 0BSM에 의해 \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\)는 \(\pi_1(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}))\)로 자명하게 사상된다. 따라서 (2)와 (3)의 부분군 \(N \subset G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)는 \(G \longrightarrow \pi_1(X)\)의 핵에 포함된다.

반대 포함관계를 보이자. \(N\)은 정규이므로, \(N \subset U \subset G\)이고 \(U\)가 열린 정규부분군일 때 몫사상 \(G \to G/U\)가 \(\pi_1(X)\)를 경유함을 보이면 충분하다. 달리 말해, \(L/K\)가 \(U\)에 대응하는 갈루아 확대라면 \(X\)가 \(L\)에서 비분기임을 보여야 한다 (절 0BQJ, 특히 명제 0BQM). \(X\)가 아핀인 경우만 보이면 충분하다 (증명의 나머지에서 대수학 결과들을 인용할 수 있도록 이렇게 한다). \(Y \to X\)를 \(X\)의 \(L\)에서의 정규화라 하자. 포함 \(L \subset K^{sep}\)는 사상 \(\pi : X^{sep} \to Y\)를 유도한다. \(y \in X^{sep}\)에 대해 \(\pi(y)\)의 \(\text{Gal}(L/K)\)에서의 관성군은 \(I_y\)의 \(\text{Gal}(L/K)\)에서의 상이다. 이는 More on Algebra, 보조정리 0BSX에서 따른다. \(N \subset U\)이므로 이 모든 관성군은 자명하다. 보조정리 0BST를 적용하면 \(Y \to X\)가 에탈임을 얻는다. (다른 방법으로 보조정리 0BSM을 사용하여 \(Y\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)로 당긴 것이 모든 \(x \in X\)에 대해 에탈임을 보인 뒤, 약간의 작업을 더하여 결론을 내릴 수도 있다.)

예

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 뇌터 스킴이라 하자. 분기 자취의 순수성(아래를 보라)에 의해 \(X\)가 정칙이면 보조정리 0BTD에서 관성군 \(I = \pi_1(\Spec(K_x^{sh}))\)만 점 \(x\), 즉 여차원이 \(1\)인 \(X\)의 점에 대해 생각하면 충분하다. 그러나 일반적으로는 이것만으로 충분하지 않다. 실제로 \(Y = \mathbf{A}_k^n = \Spec(k[t_1, \ldots, t_n])\)이라 하고, \(k\)를 표수가 \(2\)가 아닌 체라 하자. \(G = \{\pm 1\}\)을 위수가 \(2\)인 군이라 하고, 좌표들에 대한 곱셈으로 \(Y\)에 작용하게 하며, \[X = \Spec(k[t_it_j, i, j \in \{1, \ldots, n\}])\] 로 둔다. 몰입 \(k[t_it_j] \subset k[t_1, \ldots, t_n]\)은 차수 \(2\)인 사상 \(Y \to X\)를 정한다. 이 사상은 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = (t_it_j)\) 위를 제외하면 모든 곳에서 비분기이다. 이 아이디얼은 여차원이 \(n\)인 \(X\)의 점이다.

보조정리

\(X\)를 함수체 \(K\)를 갖는 정규 정역 스킴이라 하자. \(L/K\)를 유한 확대라 하고, \(Y \to X\)를 \(X\)의 \(L\)에서의 정규화라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)가 절 0BQJ의 의미에서 \(L\)에서 비분기이다.

2. \(Y \to X\)가 스킴의 비분기 사상이다.

3. \(Y \to X\)가 스킴의 에탈 사상이다.

4. \(Y \to X\)가 유한 에탈 사상이다.

5. \(x \in X\)에 대한 사상 \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)가 비분기이다.

6. (5)와 같되 \(\mathcal{O}_{X, x}^h\)를 사용한다.

7. (5)와 같되 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)를 사용한다.

8. \(x \in X\)에 대한 스킴론적 올 \(Y_x\)가 \(x\) 위에서 에탈이고 차수가 \(\geq [L : K]\)이다.

더 나아가 \(L/K\)가 갈루아군 \(G\)를 갖는 갈루아 확대이면, 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. \(y \in Y\)에 대해 군 \(I_y = \{g \in G \mid g(y) = y\text{ 이고 } g \bmod \mathfrak m_y = \text{id}_{\kappa(y)}\}\)가 자명하다.

증명

(1)과 (2)의 동치성은 (1)의 정의이다. (2), (3), (4)의 동치성은 보조정리 0BQK에 따른다. (4) \(\Rightarrow\) (5), (5) \(\Rightarrow\) (6), (6) \(\Rightarrow\) (7)은 쉽게 증명된다.

(7)을 가정하자. \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)는 정규 국소 정역임에 유의하자 (More on Algebra, 보조정리 06DI). \(L^{sh} = L \otimes_K K_x^{sh}\)로 둔다. 여기서 \(K_x^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)의 분수체이다. 그러면 \(L^{sh} = \prod_{i = 1, \ldots, n} L_i\)이고, \(L_i/K_x^{sh}\)는 유한 분리 확대이다. Algebra, 보조정리 03GG (그리고 여기서는 생략하는 극한 논증)에 의해 \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\)의 \(L^{sh}\)에서의 정수적 폐포이다. 따라서 보조정리 0BQK을 인자 \(L_i\), 즉 \(L^{sh}\)의 인자들에 적용하면 \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\)는 유한 에탈이다. 일반점을 살펴보면 그 차수는 \([L : K]\)와 같으므로 (8)이 성립한다.

(8)을 가정하자. \(x \in X\)라 하고, 스킴론적 올 \(Y_x\)가 \(x\) 위에서 에탈이며 차수가 \(\geq [L : K]\)라고 하자. 이는 \(Y\)가 \(\geq [L : K]\)개의 기하점을 \(x\) 위에 갖는다는 뜻이다. \(Y \to X\)가 \(x\)의 어떤 근방 위에서 유한 에탈임을 보이겠다. 그러면 (1)이 따른다. 증명을 위해 \(X = \Spec(R)\)이고 점 \(x\)가 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대응하며 \(Y = \Spec(S)\)라고 가정해도 좋다. More on Morphisms, 보조정리 0BSR을 적용하면, 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)로서 \(Y \times_X U = V_1 \amalg \ldots \amalg V_m\)이고 각 \(V_i\)가 유일한 점 \(v_i\)를 가지며, 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(v_i)/\kappa(u)\)가 순수 비분리인 것을 얻는다. 필요하면 \(U\)를 축소하여 \(U\)가 일반점 \(\xi\)를 갖는 정규 정역 스킴이라고 가정할 수 있다(Descent, 보조정리 0BAL, 034F, 그리고 Properties, 보조정리 0357를 사용한다). 기하점에 관해 위에서 한 관찰로부터 \(m \geq [L : K]\)이다. 한편 More on Morphisms, 보조정리 03GV에 의해 \(\coprod V_i \to U\)는 \(U\)의 \(\Spec(L) \times_X U\)에서의 정규화이다. \(K \subset \kappa(\xi)\)가 유한 분리 확대이므로 \(\Spec(L) \times_X U = \Spec(\prod_{i = 1, \ldots, n} L_i)\)로 쓸 수 있으며, \(L_i/\kappa(\xi)\)는 유한이고 \([L : K] = \sum [L_i : \kappa(\xi)]\)이다. \(V_j\)가 각 \(j\)에 대해 공집합이 아니고 \(m \geq [L : K]\)이므로 \(m = n\)이고 \([L_i : \kappa(\xi)] = 1\)이라고 결론내릴 수 있다 (모든 \(i\)에 대해). 따라서 \(V_j \to U\)는 동형, 특히 에탈이고, \(Y \times_X U \to U\)도 에탈이다. Descent, 보조정리 02VN에 의해 \(Y \to X\)는 \(U \to X\)의 상, 즉 \(x\)의 열린 근방 위에서 에탈이다.

\(L/K\)가 갈루아 확대이고 (9)가 성립한다고 가정하자. 그러면 보조정리 0BSU에 의해 \(Y \to X\)는 에탈이다. (1)이 (9)를 함의한다는 증명은 생략한다.

이산 부치환환의 무한 갈루아 확대의 경우에는 조금 더 상세히 말할 수 있다. 이를 위해 다음 표기를 도입한다. 정수의 부분집합 \(S \subset \mathbf{N}\)가 곱셈적으로 유향이라는 것은 \(1 \in S\)이고, \(n, m \in S\)에 대해 어떤 \(k \in S\)가 존재하여 \(n | k\)와 \(m | k\)를 만족한다는 뜻이다. \(S\) 위의 부분순서를 \(n \geq_S m\)이 \(m | n\)과 동치가 되도록 정의한다. 체 \(\kappa\)가 주어지면 유한군들의 역계 \(\{\mu_n(\kappa)\}_{n \in S}\)와 전이 사상 \[\mu_n(\kappa) \longrightarrow \mu_m(\kappa),\quad \zeta \longmapsto \zeta^{n/m}\] 을 얻는다. 여기서 \(n \geq_S m\)이다. 따라서 프로유한군 \[\lim_{n \in S} \mu_n(\kappa)\] 을 만들 수 있다. 이 극한은 공여과형이다(\(S\)가 유향이기 때문이다). 이 구성은 \(\kappa\)에 관해 함자적이며, 특히 \(\text{Aut}(\kappa)\)는 이 프로유한군에 작용한다. 예를 들어 \(S = \{1, n\}\)이면 \(\mu_n(\kappa)\)를 얻는다. \(S = \{1, \ell, \ell^2, \ell^3, \ldots\}\)이고 \(\ell\)이 \(\kappa\)의 표수와 다른 소수이면 \(\lim_n \mu_{\ell^n}(\kappa)\)를 얻는다. 이는 흔히 \(\ell\)진 Tate 가군, 즉 \(\kappa\)의 곱셈군의 Tate 가군이라 불린다 (More on Algebra, 예 0BKG와 비교하라).

보조정리

\(A\)를 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이라 하자. \(L/K\)를 (무한일 수도 있는) 갈루아 확대라 하자. \(B\)를 \(A\)의 \(L\)에서의 정수적 폐포라 하자. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 하나 택한다. 이는 \(B\)의 극대 아이디얼이다. \(G = \text{Gal}(L/K)\), \(D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m) = \mathfrak m\}\), \(I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m)}\}\)로 둔다. 분해군 \(D\)는 다음 표준 완전열에 들어간다. \[1 \to I \to D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa_A) \to 1\] 관성군 \(I\)는 다음 표준 완전열에 들어간다. \[1 \to P \to I \to I_t \to 1\] 여기서 다음이 성립한다.

1. \(P\)는 \(D\)의 정규부분군이다.

2. \(P\)는 프로-\(p\)-군이며, 이는 \(\kappa_A\)의 표수가 \(p > 1\)일 때이다. \(P = \{1\}\)인 것은 \(\kappa_A\)의 표수가 0일 때이다.

3. 곱셈적으로 유향인 \(S \subset \mathbf{N}\)가 존재하여, \(\kappa(\mathfrak m)\)는 원시 \(n\)제곱근을 각 \(n \in S\)에 대해 포함한다 (단, \(S\)의 원소들은 \(p\)와 서로소이다).

4. 다음 표준 전사가 존재한다. \[\theta_{can} : I \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\] 그 핵은 \(P\)이고, \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) 를 \(\tau \in D\), \(\sigma \in I\)에 대해 만족하며, 동형 \(I_t \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\)를 유도한다.

증명

이는 주로 More on Algebra, 절 09E3에서 증명한 유한 갈루아 확대에 관한 결과를 다시 표현한 것이다. 사상 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa)\)의 전사성은 More on Algebra, 보조정리 0BRK에 따른다. 이로부터 첫 번째 완전열을 얻는다.

두 번째 짧은 완전열을 구성하기 위해 유한 갈루아 부분확대들의 집합을 \(\Lambda\)라 하자. 즉 \(\lambda \in \Lambda\)는 \(L/L_\lambda/K\)에 대응한다. \(G_\lambda = \text{Gal}(L_\lambda/K)\)로 둔다. \(G_\lambda\)는 전사 전이 사상을 갖는 유한군들의 역계이고 \(G = \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\)임을 상기하자. Fields, 보조정리 0BU2를 보라. \(B_\lambda\)를 \(A\)의 \(L_\lambda\)에서의 정수적 폐포라 하자. 이제 \(\mathfrak m_\lambda = \mathfrak m \cap B_\lambda\)로 두고, \(P_\lambda, I_\lambda, D_\lambda\)를 각각 \(\mathfrak m_\lambda\)의 야성 관성군, 관성군, 분해군이라 쓰자. More on Algebra, 보조정리 09EE를 보라. \(\lambda \geq \lambda'\)일 때 제한 사상으로 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ P_\lambda \ar[d] \ar[r] & I_\lambda \ar[d] \ar[r] & D_\lambda \ar[d] \ar[r] & G_\lambda \ar[d] \\ P_{\lambda'} \ar[r] & I_{\lambda'} \ar[r] & D_{\lambda'} \ar[r] & G_{\lambda'} }\] 수직 사상들은 전사이다. More on Algebra, 보조정리 0BU7를 보라.

정의로부터 위의 동형 아래 \(I = \lim I_\lambda\)와 \(D = \lim D_\lambda\), 그리고 \(G = \lim G_\lambda\)임이 즉시 따른다. \(L = \colim L_\lambda\)이므로 \(B = \colim B_\lambda\)이고 \(\kappa(\mathfrak m) = \colim \kappa(\mathfrak m_\lambda)\)이다. \(D_\lambda\) 계의 전이 사상들은 \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)/\kappa)\)와 양립한다 (More on Algebra, 보조정리 0BU7). 따라서 사상 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa)\)는 사상 \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)/\kappa)\)들의 극한이다.

표준 사상 \[\theta_{\lambda, can} : I_\lambda \longrightarrow \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\] 이 존재한다. 여기서 \(n_\lambda = |I_\lambda|/|P_\lambda|\)이고, \(\mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\)의 위수는 \(n_\lambda\)이며, \(\theta_{\lambda, can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{\lambda, can}(\sigma))\) 를 \(\tau \in D_\lambda\)와 \(\sigma \in I_\lambda\)에 대해 만족한다. 또한 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ I_\lambda \ar[r]_-{\theta_{\lambda, can}} \ar[d] & \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)) \ar[d]^{(-)^{n_\lambda/n_{\lambda'}}} \\ I_{\lambda'} \ar[r]^-{\theta_{\lambda', can}} & \mu_{n_{\lambda'}}(\kappa(\mathfrak m_{\lambda'})) }\] More on Algebra, 주의 0BU8를 보라.

\(S \subset \mathbf{N}\)를 정수 \(n_\lambda\)들의 집합이라 하자. \(\Lambda\)가 유향이므로 \(S\)는 곱셈적으로 유향이다. 위에 나타낸 가환 도식들에 따라 사상 \(\theta_{\lambda, can}\)들의 극한을 취하여 \[\theta_{can} : I \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m)).\] 를 얻는다. 이 사상은 연속이다(작은 세부사항은 생략한다). \(I_\lambda\) 계의 전이 사상들이 전사이고 \(\Lambda\)가 유향이므로, 사영 \(I \to I_\lambda\)는 전사이다. 각 \(\lambda\)에 대해 다음 도식 \[\xymatrix{ I \ar[d] \ar[r]_-{\theta_{can}} & \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m)) \ar[d] \\ I_{\lambda} \ar[r]^-{\theta_{\lambda, can}} & \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)) }\] 은 가환이다. 따라서 \(\theta_{can}\)의 상은 유한군 \(\mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m)) = \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\) (위수 \(n_\lambda\))으로 전사한다 (위를 보라). 그러므로 \(\theta_{can}\)의 상은 조밀하다. 한편 \(\theta_{can}\)은 연속이고 그 정의역은 프로유한군이다. 따라서 위상적 논증에 의해 \(\theta_{can}\)은 전사이다.

\(\tau \in D\), \(\sigma \in I\)에 대하여 \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) 가 성립한다는 것은 사상 \(\theta_{\lambda, can}\)의 대응하는 성질과 사상 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m))\) 및 사상 \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\) 사이의 양립성에서 따른다. \(P = \Ker(\theta_{can})\)로 놓으면, 이는 \(P\)가 \(D\)의 정규 부분군임을 뜻한다. \(I_t = I/P\)로 놓으면 \(\theta_{can}\)의 전사성으로부터 동형 \(I_t \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\)을 얻는다.

증명을 끝내기 위해 \(P = \lim P_\lambda\)임을 보이자. 이로써 \(P\)가 프로-\(p\)-군임이 증명된다. 순한 관성군 \(I_{\lambda, t} = I_\lambda/P_\lambda\)의 위수는 \(n_\lambda\)이다. 전이 사상 \(P_\lambda \to P_{\lambda'}\)가 전사이고 \(\Lambda\)가 유향이므로, 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[1 \to \lim P_\lambda \to I \to \lim I_{\lambda, t} \to 1\] (세부 사항은 생략한다). 각 \(\lambda\)에 대하여 사상 \(\theta_{\lambda, can}\)이 동형 \(I_{\lambda, t} \cong \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m))\) 을 유도하므로 원하는 결과가 따른다.

보조정리

\(A\)를 분수체가 \(K\)인 이산 부치환환이라 하자. \(K^{sep}\)를 \(K\)의 분리 폐포라 하자. \(A^{sep}\)를 \(K^{sep}\)에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. \(\mathfrak m^{sep}\)를 \(A^{sep}\)의 극대 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak m = \mathfrak m^{sep} \cap A\)로 놓고 \(\kappa = A/\mathfrak m\), 그리고 \(\overline{\kappa} = A^{sep}/\mathfrak m^{sep}\)로 놓자. 그러면 \(\overline{\kappa}\)는 \(\kappa\)의 대수적 폐포이다. \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\), \(D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m^{sep}) = \mathfrak m^{sep}\}\), 그리고 \(I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m^{sep} = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m^{sep})}\}\)로 놓자. 분해군 \(D\)는 다음 표준 완전열에 들어간다. \[1 \to I \to D \to \text{Gal}(\kappa^{sep}/\kappa) \to 1\] 여기서 \(\kappa^{sep} \subset \overline{\kappa}\)는 \(\kappa\)의 분리 폐포이다. 관성군 \(I\)는 다음 표준 완전열에 들어간다. \[1 \to P \to I \to I_t \to 1\] 그리고 다음이 성립한다.

1. \(P\)는 \(D\)의 정규 부분군이다.

2. \(\kappa_A\)의 표수가 \(p > 1\)이면 \(P\)는 프로-\(p\)-군이고, \(\kappa_A\)의 표수가 0이면 \(P = \{1\}\)이다.

3. 다음 표준 전사 사상이 존재한다. \[\theta_{can} : I \to \lim_{n\text{ prime to }p} \mu_n(\kappa^{sep})\] 그 핵은 \(P\)이고, \(\tau \in D\), \(\sigma \in I\)에 대하여 \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) 를 만족하며, 또한 동형 \(I_t \to \lim_{n\text{ prime to }p} \mu_n(\kappa^{sep})\)을 유도한다.

증명

보조정리 0BSP에 의해 \(\overline{\kappa}\)는 \(\kappa\)의 대수적 폐포이다. 나머지 명제 대부분은 보조정리 0BUA의 대응하는 부분에서 곧바로 따른다. 예를 들어 \(\text{Aut}(\overline{\kappa}/\kappa) = \text{Gal}(\kappa^{sep}/\kappa)\) 이므로 첫 번째 완전열을 얻는다. 이제 증명이 필요한 유일한 나머지 명제는 보조정리 0BUA의 \(S\)에 대하여 극한 \(\lim_{n \in S} \mu_n(\overline{\kappa})\)가 \(\lim_{n\text{ prime to }p} \mu_n(\kappa^{sep})\)와 같다는 것이다. 이를 보이려면 \(p\)와 서로소인 모든 정수 \(n\)이 \(S\)의 어떤 원소를 나눈다는 것을 보이면 충분하다. 균등화원 \(\pi \in A\)를 택하고 다항식 \(X^n - \pi\)의 분해체를 \(L\)이라 하자. 이 다항식은 분리적이므로 \(L\)은 \(K\)의 유한 갈루아 확대이다. 매장 \(L \to K^{sep}\) 하나를 택한다. \(B\)를 \(L\)에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하면 \(A \to B_{\mathfrak m^{sep} \cap B}\)의 분기 지수는 \(n\)으로 나누어떨어진다(\(\pi\)의 \(n\)제곱근이 \(B\)에 있기 때문이다. 실제로 분기 지수는 \(n\)과 같지만 여기서는 필요하지 않다). 보조정리 0BUA의 증명에서 사용한 \(S\)의 구성으로부터 \(n\)이 \(S\)의 어떤 원소를 나눈다는 결론이 따른다.

기하적 기본군과 산술적 기본군

이 절에서는 체 \(k\) 위의 스킴 \(X\)의 기본군과 \(X_{\overline{k}}\)의 기본군을 비교할 때 어떤 일이 일어나는지 살펴본다. 여기서 \(\overline{k}\)는 \(k\)의 대수적 폐포이다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \(X_i\)를 준콤팩트 준분리 스킴들로 이루어진 \(I\) 위의 역계라 하고, 그 전이 사상들은 아핀이라고 하자. Limits, 절 01YV에서와 같이 \(X = \lim X_i\)로 놓자. 그러면 범주의 동치 \[\colim \textit{F\'Et}_{X_i} = \textit{F\'Et}_X\] 가 존재한다. 충분히 큰 모든 \(i\)에 대하여 \(X_i\)가 연결이고 \(\overline{x}\)가 \(X\)의 기하점이면, \[\pi_1(X, \overline{x}) = \lim \pi_1(X_i, \overline{x})\] 이다.

증명

범주의 동치는 Limits, 보조정리 01ZM, 01ZO, 그리고 07RP에서 따른다. 두 번째 명제는 범주에 관한 명제로부터 형식적으로 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 그 완전화를 \(k^{perf}\)라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 연결 스킴이라 하자. 그러면 \(X_{k^{perf}}\)는 연결이고 \(\pi_1(X_{k^{perf}}) \to \pi_1(X)\)는 동형이다.

증명

이는 기본군의 위상적 불변성의 특수한 경우이다. 명제 0BQN을 보라. \(\Spec(k^{perf}) \to \Spec(k)\)가 보편 위상동형임을 보이려면 Algebra, 보조정리 0BRD를 사용하면 된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 그 대수적 폐포를 \(\overline{k}\)라 하자. \(X\)를 체 \(k\) 위의 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. 기저변환 \(X_{\overline{k}}\)가 연결이면, 다음은 프로유한 위상군들의 짧은 완전열이다. \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k)) \to 1\]

증명

\(\textit{F\'Et}_{\Spec(k)}\)의 연결 대상은 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 꼴이며, 여기서 \(k'/k\)는 유한 분리 확대이다. 그러면 \(X_{\Spec{k'}}\)는 연결이다. 실제로 사상 \(X_{\overline{k}} \to X_{\Spec(k')}\)가 전사이고 가정에 의해 \(X_{\overline{k}}\)가 연결이기 때문이다. 따라서 보조정리 0BN6에 의해 \(\pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k))\)는 전사이다.

계속하기 전에 \(k\)가 완전체라고 가정해도 됨에 주의하자. 실제로 보조정리 0BTW에 의해 \(\pi_1(X_{k^{perf}}) = \pi_1(X)\) 및 \(\pi_1(\Spec(k^{perf})) = \pi_1(\Spec(k))\)이다.

함자의 합성 \(\textit{F\'Et}_{\Spec(k)} \to \textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{k}}}\)이 대상을 \(X_{\Spec(\overline{k})}\)의 복사본들의 서로소 합으로 보냄은 명백하다. 따라서 합성 \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k))\) 은 보조정리 0BS8에 의해 자명한 준동형이다.

\(U \to X\)를 유한 에탈 사상이라 하고 \(U\)가 연결이라고 하자. \(U \times_X X_{\overline{k}} = U_{\overline{k}}\)임에 주의하자. \(U_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\)가 단면 \(s : X_{\overline{k}} \to U_{\overline{k}}\)를 가진다고 가정하자. 그러면 \(s(X_{\overline{k}})\)는 \(U_{\overline{k}}\)의 열린 연결 성분이다. \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)에 대하여 \(\Spec(\sigma)\)에 의한 \(s\)의 기저변환을 \(s^\sigma\)라 쓰자. \(U_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\)는 유한 에탈이므로 단면은 유한 개뿐이다. 따라서 \[\overline{T} = \bigcup s^\sigma(X_{\overline{k}})\] 는 유한 합이고, \(\overline{T}\)는 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)-안정인 열린닫힌 부분집합이다. Varieties, 보조정리 038B에 의해 \(\overline{T}\)는 어떤 닫힌 부분집합 \(T \subset U\)의 역상이다. \(U_{\overline{k}} \to U\)가 열린 사상이므로 (Morphisms, 보조정리 0383), \(T\)도 열려 있다. \(U\)가 연결이므로 \(T = U\)이다. 따라서 \(U_{\overline{k}}\)는 \(X_{\overline{k}}\)의 복사본들의 (유한) 서로소 합이다. 보조정리 0BTS에 의해 \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X)\)의 상은 정규 부분군이다.

유한 에탈 덮개 \(V \to X_{\overline{k}}\)를 택하자. \(\overline{k}\)가 \(k\)의 유한 분리 확대들의 합집합임을 상기하자. 보조정리 0BTV에 의해, 유한 분리 확대 \(k'/k\)와 유한 에탈 사상 \(U \to X_{k'}\)로서 \(V = X_{\overline{k}} \times_{X_{k'}} U = U \times_{\Spec(k')} \Spec(\overline{k})\) 가 되는 것을 얻는다. 그러면 합성 \(U \to X_{k'} \to X\)는 유한 에탈이고, \(U \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k})\)는 \(V = U \times_{\Spec(k')} \Spec(\overline{k})\)를 열린닫힌 부분스킴으로 포함한다. (실제로 \(\Spec(\overline{k})\)는 곱셈 사상 \(k' \otimes_k \overline{k} \to \overline{k}\)에 의해 \(\Spec(k') \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k})\)의 열린닫힌 부분스킴이다.) 보조정리 0BN7에 의해 \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X)\)는 단사이다.

마지막으로, \(U_{\overline{k}}\)가 \(X_{\overline{k}}\)의 복사본들의 서로소 합이 되는 임의의 유한 에탈 사상 \(U \to X\)에 대하여, 유한 에탈 사상 \(V \to \Spec(k)\)와 전사 \(V \times_{\Spec(k)} X \to U\)가 존재함을 보여야 한다. 보조정리 0BS9를 보라. 위와 같이 보조정리 0BTV을 사용하면, 유한 분리 확대 \(k'/k\)로서 동형 \(U_{k'} \cong \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_{k'}\) 이 존재하는 것을 얻는다. 따라서 \(V = \coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(k')\)로 놓으면 된다.

호모토피 완전열

이 절에서는 다음 결과를 논의한다. \(f : X \to S\)를 유한 표시인 평탄 고유 사상이라 하고, 그 기하적 올들은 연결이고 기약이라고 하자. \(S\)는 연결이고 \(\overline{s}\)는 \(S\)의 기하점이라고 가정하자. 그러면 기본군의 완전열 \[\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S) \to 1\] 을 얻는다. 명제 0C0J을 보라.

보조정리

스킴의 고유 사상 \(f : X \to S\)를 택하자. \(X \to S' \to S\)를 \(f\)의 Stein 인자분해라 하자. More on Morphisms, 정리 03H2을 보라. \(f\)가 유한 표시이고 평탄하며 기하적으로 기약인 올을 가지면, \(S' \to S\)는 유한 에탈이다.

증명

이는 Derived Categories of Schemes, 보조정리 0G7Y와 More on Morphisms, 정리 03H2에 담긴 정보에서 따른다.

명제

\(f : X \to S\)를 유한 표시인 평탄 고유 사상이라 하고, 그 기하적 올들은 연결이고 기약이라고 하자. \(S\)는 연결이고 \(\overline{s}\)는 \(S\)의 기하점이라고 가정하자. 그러면 기본군의 완전열 \[\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S) \to 1\] 을 얻는다.

증명

유한 에탈 사상 \(Y \to X\)를 택하자. 다음 Stein 인자분해를 생각하자. \[\xymatrix{ Y \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] 이는 \(Y \to S\)의 Stein 인자분해이다. 보조정리 0BUN에 의해 사상 \(T \to S\)는 유한 에탈이다. 이와 같이 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_S\)를 얻는다. 임의의 유한 에탈 사상 \(U \to S\)에 대하여, \(X\) 위의 사상 \(Y \to U \times_S X\)는 \(S\) 위의 사상 \(Y \to U\)와 같고, 이러한 사상은 Stein 인자분해를 유일하게 경유한다. 즉, 유일한 사상 \(T \to U\)에 대응한다 (Stein 인자분해를 More on Morphisms, 보조정리 03GY의 상대 정규화로 구성한 다음 Morphisms, 보조정리 035I에 의해 인자화하면 된다). 따라서 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_S\)와 \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X\)는 서로 수반이다. 또한 \(U \times_S X \to S\)의 Stein 인자분해가 \(U\)임에 주의하자. 이는 \(U \times_S X \to U\)의 올들이 기하적으로 연결이기 때문이다.

위 논의와 Categories, 보조정리 07RB에 의해 \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X\) 는 충실충만이다. 즉, \(\pi_1(X) \to \pi_1(S)\)는 전사이다 (보조정리 0BN6).

합성 \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{s}}}\) 이 임의의 \(U\)를 \(X_{\overline{s}}\)의 복사본들의 서로소 합으로 보냄은 명백하다. 따라서 \(\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S)\)는 보조정리 0BS8에 의해 자명하다.

유한 에탈 사상 \(Y \to X\)에서 \(Y\)가 연결이고, \(Y \times_X X_{\overline{s}}\)가 \(X_{\overline{s}}\)와 동형인 연결 성분 \(Z\)를 포함한다고 하자. 위의 Stein 인자분해 \(T\)를 생각하자. \(\overline{t} \in T_{\overline{s}}\)를 올 \(Z\)에 대응하는 점이라 하자. \(T\)는 연결 스킴의 상이므로 연결이고, 위의 전사성에 의해 \(T \times_S X\)도 연결이다. 다음 인자화를 생각하자. \[\pi : Y \longrightarrow T \times_S X\] 임의의 닫힌점 \(\overline{x} \in X_{\overline{s}}\)를 택하자. \(\kappa(\overline{t}) = \kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{x})\) 가 대수적으로 닫힌 체임에 주의하자. 그러면 \((\overline{t}, \overline{x})\) 위의 \(\pi\)의 올은 하나의 점, 즉 \(\overline{z} \in Z\)만으로 이루어진다. 이 점은 동형 \(Z \to X_{\overline{s}}\) 아래에서 \(\overline{x} \in X_{\overline{s}}\)에 대응한다. 따라서 유한 에탈 사상 \(\pi\)는 \((\overline{t}, \overline{x})\)의 근방에서 차수가 \(1\)이다. \(T \times_S X\)가 연결이므로 모든 곳에서 차수가 \(1\)이고, \(Y \cong T \times_S X\)를 얻는다. 따라서 \(Y \times_X X_{\overline{s}}\)는 완전히 분해된다. 이들을 종합하면 보조정리 0BS9와 0BTS을 모두 적용할 수 있고, 증명이 끝난다.

특수화 사상

이 절에서는 특수화 사상을 구성한다. \(f : X \to S\)를 기하적으로 연결인 올들을 갖는 스킴의 고유 사상이라 하자. \(s' \leadsto s\)를 \(S\)의 점들의 특수화라 하자. \(\overline{s}\)와 \(\overline{s}'\)를 각각 \(s\)와 \(s'\) 위의 기하점이라 하자. 그러면 특수화 사상 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \longrightarrow \pi_1(X_{\overline{s}})\] 을 얻는다. 이 사상의 구성은 다음과 같다. \(A\)를 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\)에 관한 \(\mathcal{O}_{S, s}\)의 엄밀 헨젤화라 하자. Algebra, 정의 04GQ을 보라. \(s' \leadsto s\)이므로 점 \(s'\)에 대응하는 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)의 점을 생각할 수 있다. 따라서 \(\Spec(A)\)에는 그 위에 놓이고 잉여체가 \(\kappa(s')\)의 분리 대수적 확대인 점 \(s'\)가 적어도 하나 존재한다(하나보다 많을 수도 있다). \(\kappa(\overline{s}')\)가 대수적으로 닫혀 있으므로, 다음 가환 도식을 주는 사상 \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\)를 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \overline{s}' \ar[r]_-\varphi \ar[rd] & \Spec(A) \ar[d] & \overline{s} \ar[l] \ar[ld] \\ & S }\] 특수화 사상은 다음 합성이다. \[\pi_1(X_{\overline{s}'}) \longrightarrow \pi_1(X_A) = \pi_1(X_{\kappa(s)^{sep}}) = \pi_1(X_{\overline{s}})\] 여기서 첫 번째 등호는 보조정리 0A48에 의한 것이고, 두 번째 등호는 보조정리 0BTW과 0A49에서 따른다. 구성상 특수화 사상은 다음 가환 도식에 들어간다. \[\xymatrix{ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[rr]_{sp} \ar[rd] & & \pi_1(X_{\overline{s}}) \ar[ld] \\ & \pi_1(X) }\] 여기서는 \(X\)가 연결이라고 가정한다. 특수화 사상은 위에서 택한 \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\)에 의존한다. 이 의존성을 나타낼 때는 \(sp_\varphi\)라고 쓴다.

보조정리

다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ Y \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\ T \ar[r] & S }\] 여기서 \(f\)와 \(g\)는 기하적으로 연결인 올들을 갖는 고유 사상이다. \(t' \leadsto t\)를 \(T\)의 점들의 특수화라 하고, 위에서 구성한 특수화 사상 \(sp : \pi_1(Y_{\overline{t}'}) \to \pi_1(Y_{\overline{t}})\)를 생각하자. 그러면 다음 가환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ \pi_1(Y_{\overline{t}'}) \ar[r]_{sp} \ar[d] & \pi_1(Y_{\overline{t}}) \ar[d] \\ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[r]^{sp} & \pi_1(X_{\overline{s}}) }\] 이는 특수화 사상들의 도식이며, \(\overline{s}\)와 \(\overline{s}'\)는 각각 \(\overline{t}\)와 \(\overline{t}'\)의 상이다.

증명

\(B\)를 \(\kappa(t) \subset \kappa(t)^{sep} \subset \kappa(\overline{t})\)에 관한 \(\mathcal{O}_{T, t}\)의 엄밀 헨젤화라 하자. 특수화 사상의 구성에서와 같이 \(\psi : \overline{t}' \to \Spec(B)\)를 택하자. 이는 \(\overline{t}' \to T\)의 올림이다. \(s\)와 \(s'\)를 각각 \(t\)와 \(t'\)의 \(S\)에서의 상이라 하자. \(A\)를 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\)에 관한 \(\mathcal{O}_{S, s}\)의 엄밀 헨젤화라 하자. \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{t})\)이므로, 엄밀 헨젤화의 함자성(Algebra, 보조정리 04GU)에 의해 다음 가환 도식에 들어가는 환 준동형 \(A \to B\)를 얻는다. \[\xymatrix{ \overline{t}' \ar[r]_-\psi \ar[d] & \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & T \ar[d] \\ \overline{s}' \ar[r]^-\varphi & \Spec(A) \ar[r] & S }\] 여기서 사상 \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\)는 단순히 합성 \(\overline{t}' \to \Spec(B) \to \Spec(A)\)로 잡는다. 기저변환을 취하면 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ Y_{\overline{t}'} \ar[r] \ar[d] & Y_B \ar[d] \\ X_{\overline{s}'} \ar[r] & X_A }\] 특수화 사상의 구성에 따라 이 도식의 가환성은 보조정리에 나온 도식의 가환성을 뜻한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 기하적으로 연결인 올들을 갖는 고유 사상이라 하자. \(s'' \leadsto s' \leadsto s\)를 \(S\)의 점들의 특수화라 하자. 특수화 사상들의 합성 \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\)은 특수화 사상 \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\)이다.

증명

\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)를 \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\)를 사용해 구성한 엄밀 헨젤화라 하자. 첫 번째 특수화 사상을 구성할 때 사용한 사상을 \(A \to \kappa(\overline{s}')\)라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s'} \to A'\)를 \(\kappa(s') \subset \kappa(\overline{s}')\)를 사용해 구성한 엄밀 헨젤화라 하자. 엄밀 헨젤화의 함자성에 의해 사상 \(A \to A'\)가 존재하여, \(A' \to \kappa(\overline{s}')\)와의 합성이 주어진 사상이 된다. (Algebra, 보조정리 08HR). 다음으로 두 번째 특수화 사상을 구성할 때 사용한 사상을 \(A' \to \kappa(\overline{s}'')\)라 하자. 그러면 첫 번째와 두 번째 특수화 사상의 합성이 사상 \(A \to A' \to \kappa(\overline{s}'')\)를 사용해 구성한 특수화 사상 \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) 임은 명백하다.

\(X \to S\)를 기하적으로 연결인 올들을 갖는 고유 사상이라 하자. \(R\)을 분수체가 대수적으로 닫힌 엄밀 헨젤 부치환환이라 하고 사상 \(\Spec(R) \to S\)를 택하자. \(\eta, s \in \Spec(R)\)를 각각 일반점과 닫힌점이라 하자. 그러면 기저변환 \(X_R/\Spec(R)\)에 대하여 특수화 사상 \[sp_R : \pi_1(X_\eta) \to \pi_1(X_s)\] 을 생각할 수 있다. \(\eta\)와 \(s\)의 잉여체가 모두 대수적으로 닫혀 있으므로 이 사상은 잘 정의된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 기하적으로 연결인 올들을 갖는 고유 사상이라 하자. \(s' \leadsto s\)를 \(S\)의 점들의 특수화라 하고 \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\)를 특수화 사상이라 하자. 그러면 분수체가 대수적으로 닫힌 \(S\) 위의 엄밀 헨젤 부치환환 \(R\)로서, \(sp\)가 위에서 정의한 \(sp_R\)과 동형인 것이 존재한다.

증명

\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)를 \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\)를 사용해 구성한 엄밀 헨젤화라 하자. \(sp\)는 구성에 사용된 사상 \(A \to \kappa(\overline{s}')\)으로부터 얻어진다. \(R \subset \kappa(\overline{s}')\)을 분수체가 \(\kappa(\overline{s}')\)이고 \(A\)의 상을 지배하는 부치환환이라 하자. Algebra, 보조정리 00IA를 보라. 예를 들어 보조정리 0BSQ와 Algebra, 보조정리 00IC에 의해 \(R\)이 엄밀 헨젤임에 주의하자. 따라서 보조정리가 따른다.

\(X \to S\)를 기하적으로 연결인 올들을 갖는 고유 사상이라 하자. \(R\)을 엄밀 헨젤 이산 부치환환이라 하고 사상 \(\Spec(R) \to S\)를 택하자. \(\eta, s \in \Spec(R)\)를 각각 일반점과 닫힌점이라 하자. 그러면 기저변환 \(X_R/\Spec(R)\)에 대하여 특수화 사상 \[sp_R : \pi_1(X_{\overline{\eta}}) \to \pi_1(X_s)\] 을 생각할 수 있다. \(s\)의 잉여체가 대수적으로 닫혀 있으므로 이 사상은 잘 정의된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 기하적으로 연결인 올들을 갖는 고유 사상이라 하자. \(s' \leadsto s\)를 \(S\)의 점들의 특수화라 하고, \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\)를 특수화 사상이라 하자. \(S\)가 뇌터이면, \(S\) 위의 엄밀 헨젤 이산 부치환환 \(R\)로서 \(sp\)가 위에서 정의한 \(sp_R\)과 동형인 것이 존재한다.

증명

\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)를 \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\)를 사용해 구성한 엄밀 헨젤화라 하자. \(sp\)는 구성에 사용된 사상 \(A \to \kappa(\overline{s}')\)으로부터 얻어진다. \(R \subset \kappa(\overline{s}')\)을 \(A\)의 상을 지배하는 이산 부치환환이라 하자. Algebra, 보조정리 00PH를 보라. 다음 체의 도식에서 \[\xymatrix{ \kappa(\overline{s}) \ar[r] & k \\ A/\mathfrak m_A \ar[r] \ar[u] & R/\mathfrak m_R \ar[u] }\] \(k\)가 대수적으로 닫히도록 택하자. \(R^{sh}\)를 \(R \to k\)를 사용해 \(R\)로부터 구성한 엄밀 헨젤화라 하자. 사상 \(A \to R^{sh}\)를 얻는다. Algebra, 보조정리 04GU. More on Algebra, 보조정리 0AP3에 의해 환 \(R^{sh}\)는 이산 부치환환이다. 그 일반점과 닫힌점을 \(\eta, o\)라 쓰자. 다음 \(\Spec(R^{sh})\)의 스킴 도식은 가환이다. \[\xymatrix{ \overline{\eta} \ar[d] \ar[r] & \Spec(R^{sh}) \ar[d] & \Spec(k) \ar[d] \ar[l] \\ \overline{s}' \ar[r] & \Spec(A) & \overline{s} \ar[l] }\] 따라서 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \pi_1(X_{\overline{\eta}}) \ar[d] \ar[r]_{sp_{R^{sh}}} & \pi_1(X_o) \ar[d] \\ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[r]^{sp} & X_{\overline{s}} }\] 사상들의 구성에 의해 이는 특수화 사상들의 도식이다. 세로 화살표들이 동형이므로(보조정리 0A49), 보조정리가 증명된다.

닫힌 부분스킴으로의 제한

이 절에서는 제한 함자에 관한 몇 가지 결과를 증명한다. \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_Y,\quad U \longmapsto V = U \times_X Y\] 여기서 \(X\)는 스킴이고 \(Y\)는 닫힌 부분스킴이다. 기본군의 위상적 불변성을 사용하면 이 함자의 연구를 유한 국소 자유 가군에 대한 완비화 함자와 연관시킬 수 있다.

이하의 보조정리에서는 Cohomology of Schemes, 절 0EHN에서 정의한 연접 형식 가군의 개념을 사용한다. 뇌터 스킴과 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 주어졌을 때, 대상 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 이 대상이 유한 국소 자유라는 것은 각 \(\mathcal{F}_n\)이 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\)-가군이라는 뜻이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고, \(Y \subset X\)를 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. 완비화 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 가 유한 국소 자유 대상들의 충만 부분범주 위에서 충실충만이라고 가정하자(위 설명을 보라). 그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\)는 충실충만이다.

증명

유한 에탈 덮개들의 범주에는 내부 Hom이 있으므로(보조정리 0BL7), 다음을 보이면 충분하다. \(U\)를 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하고 \(X\) 위의 사상 \(t : Y \to U\)를 택하면, \(t = s|_Y\)를 만족하는 유일한 단면 \(s : X \to U\)가 존재한다. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & U \ar[d]^f \\ Y \ar[r] \ar[ru] & X \ar@{..>}@/^1em/[u] }\] 점선 화살표 \(s\)를 찾는 것은 다음 \(\mathcal{O}_X\)-대수 사상을 찾는 것과 동치이다. \[s^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 이 사상은 \(Y\)의 아이디얼층으로 나눈 뒤 주어진 대수 사상 \(t^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_Y\)가 되어야 한다. 보조정리 0BQB에 의해 \(t\)는 유일하게 양립하는 사상들의 계 \(t_n : Y_n \to U\)로 올라가며, 따라서 다음 사상을 얻는다. \[\lim t_n^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{Y_n}\] 이는 \(X\) 위의 대수층 사상이다. \(f_*\mathcal{O}_U\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이므로, 유일한 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\sigma : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_X\)를 얻으며, 그 완비화는 \(\lim t_n^\sharp\)이다. \(\sigma\)가 대수 준동형임을 보이려면 다음 도식의 가환성을 확인하면 된다. \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d]_{\sigma \otimes \sigma} & f_*\mathcal{O}_U \ar[d]^\sigma \\ \mathcal{O}_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_X }\] 임의의 \(n\)에 대하여 \(Y_n\)으로 제한한 뒤, 즉 완비화 함자를 적용한 뒤에는 이 도식이 가환함을 알 수 있다. 따라서 완비화 함자의 충실성으로부터 해당 사상이 대수 준동형이라는 결론이 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고, \(Y \subset X\)를 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. 완비화 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 가 유한 국소 자유 대상들의 충만 부분범주 사이의 동치라고 가정하자(위 설명을 보라). 그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\)는 동치이다.

증명

제한 함자가 충실충만이라는 것은 보조정리 0EL8에서 따른다.

유한 에탈 사상 \(U_1 \to Y\)를 택하자. 증명을 끝내기 위해 \(U_1\)이 제한 함자의 본질적 상에 속함을 보이자.

\(n \geq 1\)에 대하여 \(Y_n\)을 \(Y\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. 보조정리 0BQB에 의해 유일한 유한 에탈 사상 \(\pi_n : U_n \to Y_n\)이 존재하며, \(Y = Y_1\)로의 기저변환은 \(U_1 \to Y_1\)을 복원한다. 층 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\)을 생각하자. \(\mathcal{F}_n\)을 \(X\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 보면, 국소적으로 \((\mathcal{O}_X/f^{n + 1}\mathcal{O}_X)^{\oplus r}\)와 동형이다. 이 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 유한 국소 자유 대상이다. 가정에 의해 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 양립하는 동형들의 계 \[\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\] 을 얻는다. 이들은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 동형이다.

\(\mathcal{F}\) 위의 대수 구조를 구성하기 위해 곱셈 사상 \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\)을 생각하자. 이는 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\)이 대수층이므로 주어진다. 이 사상들은 다음 사상을 정한다. \[(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \mathcal{F}^\wedge\] 이는 범주 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 사상이다. 따라서 가정에 의해 \(\mu : \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)를 얻으며, 그 \(Y_n\)으로의 제한들이 위의 곱셈 사상들을 주도록 할 수 있다. 보조정리의 명제에 나오는 함자의 충실성에 의해 \(\mu\)는 \(\mathcal{F}\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-대수 구조를 정하며, \(\mathcal{F}_n\) 위의 주어진 대수 구조와 양립한다. 다음과 같이 놓자. \[U = \underline{\Spec}_X((\mathcal{F}, \mu))\] 그러면 유한 국소 자유 스킴 \(\pi : U \to X\)를 얻고, 그 \(Y\)로의 제한은 \(U_1\)과 동형이다. \(\pi\)의 판별식은 다음 단면의 영점 스킴이다. \[\det(Q_\pi) : \mathcal{O}_X \longrightarrow \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_U)^{\otimes -2}\] 이는 Discriminants, 절 0BVH에서 구성한 것이다. 모든 \(n\)에 대하여 그 \(Y_n\)으로의 제한이 동형이므로, Discriminants, 보조정리 0BJF에 의해 그 자체도 동형이다. 따라서 \(\pi\)는 Discriminants, 보조정리 0BJF에 의해 에탈이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고, \(Y \subset X\)를 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(Y\)를 포함하는 열린 부분스킴 \(V \subset X\)들의 집합이라 하고 역포함으로 순서화하자. 완비화 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 가 유한 국소 자유 대상들의 충만 부분범주 위에서 충실충만이라고 가정하자(위 설명을 보라). 그러면 제한 함자 \(\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\) 는 충실충만이다.

증명

\(\mathcal{V}\)는 유향 집합이므로 여극한은 Categories, 절 04AX에서 설명한 것이다. 나머지 논증은 보조정리 0EL8의 증명과 거의 같으므로 독자는 건너뛰어도 된다.

유한 에탈 덮개들의 범주에는 내부 Hom이 있으므로(보조정리 0BL7), 다음을 보이면 충분하다. \(U\)를 어떤 \(V \in \mathcal{V}\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하고, \(V\) 위의 사상 \(t : Y \to U\)를 택하면, 어떤 \(V' \geq V\)와 사상 \(s : V' \to U\)가 존재하여 \(V\) 위에서 \(t = s|_Y\)가 된다. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & & U \ar[d]^f \\ Y \ar[r] \ar[rru] & V' \ar@{..>}[ru] \ar[r] & V }\] 점선 화살표 \(s\)를 찾는 것은 다음 \(\mathcal{O}_{V'}\)-대수 사상을 찾는 것과 동치이다. \[s^\sharp : f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \longrightarrow \mathcal{O}_{V'}\] 이 사상은 \(Y\)의 아이디얼층으로 나눈 뒤 주어진 대수 사상 \(t^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_Y\)가 되어야 한다. 보조정리 0BQB에 의해 \(t\)는 유일하게 양립하는 사상들의 계 \(t_n : Y_n \to U\)로 올라가며, 따라서 다음 사상을 얻는다. \[\lim t_n^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{Y_n}\] 이는 \(V\) 위의 대수층 사상이다. \(f_*\mathcal{O}_U\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_V\)-가군이다. 따라서 어떤 \(V' \geq V\)와 사상 \(\sigma : f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \to \mathcal{O}_{V'}\) 를 얻으며, 그 완비화는 \(\lim t_n^\sharp\)이다. \(\sigma\)가 대수 준동형임을 보이려면 다음 도식 \[\xymatrix{ (f_*\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_V} f_*\mathcal{O}_U)|_{V'} \ar[r] \ar[d]_{\sigma \otimes \sigma} & f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \ar[d]^\sigma \\ \mathcal{O}_{V'} \otimes_{\mathcal{O}_{V'}} \mathcal{O}_{V'} \ar[r] & \mathcal{O}_{V'} }\] 이 가환임을 확인하면 된다. 임의의 \(n\)에 대하여 \(Y_n\)으로 제한한 뒤, 즉 완비화 함자를 적용한 뒤에는 이 도식이 가환함을 알 수 있다. 따라서 완비화 함자의 충실성으로부터, 어떤 \(V'' \geq V'\)가 존재하여 \(\sigma|_{V''}\)가 대수 준동형이 된다는 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고, \(Y \subset X\)를 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(Y\)를 포함하는 열린 부분스킴 \(V \subset X\)들의 집합이라 하고 역포함으로 순서화하자. 완비화 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 가 유한 국소 자유 대상들의 충만 부분범주 사이의 동치를 정한다고 가정하자 (위 설명을 보라). 그러면 제한 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] 는 동치이다.

증명

\(\mathcal{V}\)는 유향 집합이므로 여극한은 Categories, 절 04AX에서 설명한 것이다. 나머지 논증은 보조정리 0EL9의 증명과 거의 같으므로 독자는 건너뛰어도 된다.

제한 함자가 충실충만이라는 것은 보조정리 0ELA에서 따른다.

유한 에탈 사상 \(U_1 \to Y\)를 택하자. 증명을 끝내기 위해 \(U_1\)이 제한 함자의 본질적 상에 속함을 보이자.

\(n \geq 1\)에 대하여 \(Y_n\)을 \(Y\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. 보조정리 0BQB에 의해 유일한 유한 에탈 사상 \(\pi_n : U_n \to Y_n\)이 존재하며, 그 \(Y = Y_1\)로의 기저변환은 \(U_1 \to Y_1\)을 복원한다. 층 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\)을 생각하자. \(\mathcal{F}_n\)을 \(X\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 보면, 국소적으로 \((\mathcal{O}_X/f^{n + 1}\mathcal{O}_X)^{\oplus r}\). 이 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 유한 국소 자유 대상이다. 가정에 의해 어떤 \(V \in \mathcal{V}\), 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_V\)-가군 \(\mathcal{F}\), 그리고 양립하는 동형들의 계 \[\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\] 이 존재한다. 이들은 \(\mathcal{O}_V\)-가군의 동형이다.

\(\mathcal{F}\) 위의 대수 구조를 구성하기 위해 곱셈 사상 \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\)을 생각하자. 이는 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\)이 대수층이므로 주어진다. 이들은 다음 사상을 정한다. \[(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \mathcal{F}^\wedge\] 이는 범주 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 사상이다. 따라서 가정에 의해 \(V\)를 축소한 뒤 다음 사상이 존재한다고 가정할 수 있다. \(\mu : \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 그 \(Y_n\)으로의 제한들은 위의 곱셈 사상들을 준다. 필요하다면 열린 부분을 더 축소하여 \(\mu\)가 \(\mathcal{F}\) 위에 가환 \(\mathcal{O}_V\)-대수 구조를 정하고 \(\mathcal{F}_n\) 위의 주어진 대수 구조와 양립한다고 가정할 수 있다. 다음과 같이 놓자. \[U = \underline{\Spec}_V((\mathcal{F}, \mu))\] 그러면 \(V\) 위의 유한 국소 자유 스킴을 얻고, 그 \(Y\)로의 제한은 \(U_1\)과 동형이다. 따라서 \(U \to V\)는 \(Y\) 위에 놓이는 모든 점에서 에탈이다. More on Morphisms, 보조정리 0A43. 에 의해 \(V\)를 한 번 더 축소하여 \(U \to V\)가 유한 에탈이라고 가정할 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(Y \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(X\)의 모든 연결 성분이 \(Y\)와 만나면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\)는 충실하다.

증명

\(a, b : U \to U'\)를 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴들 사이의 사상이라 하고, 그 \(Y\)로의 제한들이 같다고 하자. \(U\)의 연결 성분의 상은 \(X\)의 연결 성분이다. 이는 \(U \to X\)를 \(X\)의 연결 성분 위로 제한한 뒤 Topology, 보조정리 07VB를 적용하면 알 수 있다. 따라서 가정에 의해 \(U\)의 모든 연결 성분의 상은 \(Y\)와 만난다. 그러므로 Étale Morphisms, 명제 024V에 의해 \(a = b\)이다. 이 결론은 \(U\)의 각 연결 성분에 제한하여 얻는다. \(a\)와 \(b\)의 등화자가 \(U\)의 열린 부분스킴이므로(\(U'\)의 대각 사상이 \(X\) 위에서 열린 사상이기 때문이다) 결론이 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(Y \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Y_n \subset X\)를 \(X\)에서 \(Y\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(X\)가 준아핀이고 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\) 가 동형이거나,

2. \(X\)가 풍부한 가역 가군 \(\mathcal{L}\)을 가지며, \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\) 가 모든 \(m \gg 0\)에 대하여 동형이거나,

3. 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대하여 사상 \(\Gamma(X, \mathcal{E}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\) 가 동형이다.

그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\)는 충실충만이다.

증명

이 보조정리는 보조정리 0EL8와 Algebraic and Formal Geometry, 보조정리 0EKP에서 형식적으로 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(Y \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Y_n \subset X\)를 \(X\)에서 \(Y\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(Y\)를 포함하는 열린 부분스킴 \(V \subset X\)들의 집합이라 하고 역포함으로 순서화하자. 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(X\)가 준아핀이고 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\] 가 동형이거나,

2. \(X\)가 풍부한 가역 가군 \(\mathcal{L}\)을 가지며, \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] 가 모든 \(m \gg 0\)에 대하여 동형이거나,

3. 모든 \(V \in \mathcal{V}\)와 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_V\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대하여 사상 \[\colim_{V' \geq V} \Gamma(V', \mathcal{E}|_{V'}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] 가 동형이다.

그러면 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] 는 충실충만이다.

증명

이 보조정리는 보조정리 0ELA과 Algebraic and Formal Geometry, 보조정리 0EK2에서 형식적으로 따른다.

밂과 기본군

주요 결과는 다음과 같다.

보조정리

More on Morphisms, 상황 0ECI 에서 예를 들어 \(Z \to Y\)와 \(Z \to X\)가 스킴들의 닫힌 몰입이면, 범주의 동치 \[\textit{F\'Et}_{Y \amalg_Z X} \longrightarrow \textit{F\'Et}_Y \times_{\textit{F\'Et}_Z} \textit{F\'Et}_X\] 가 존재한다.

증명

More on Morphisms, 명제 0E25. 에 의해 밂은 존재한다. 이 함자는 밂 위의 유한 에탈 스킴 \(U\)를 기저변환 \(Y' = U \times_{Y \amalg_Z X} Y\)와 \(X' = U \times_{Y \amalg_Z X} X\), 그리고 \(Z\) 위의 자연스러운 동형 \(Y' \times_Y Z \to X' \times_X Z\)로 보냄으로써 주어진다. 이 함자가 동치임을 보이기 위해 More on Morphisms, 보조정리 0ECL 를 사용하여 준역함자를 구성한다. 이제 다음만 보이면 된다. 분리이고 준유한이며 에탈인 사상 \(U \to Y \amalg_Z X\)가 주어지고 \(X' \to X\)와 \(Y' \to Y\)가 유한이면, \(U \to Y \amalg_Z X\)는 유한이다. 이는 대응하는 대수적 사실(More on Algebra, 보조정리 0D2H) 에서 따른다. 또는 \[X' \amalg Y' \to U\] 가 전사이고 \(X'\)와 \(Y'\)가 \(Y \amalg_Z X\) 위에서 고유임을 이용할 수도 있다 (여기서는 More on Morphisms, 명제 0E25) 의 밂에 대한 기술을 사용한다). 이제 Morphisms, 보조정리 0AH6를 적용하면 \(U\)가 \(Y \amalg_Z X\) 위에서 고유임을 알 수 있다. 준유한 고유 사상은 유한이므로(More on Morphisms, 보조정리 02LS), 결론이 따른다.

천공 스펙트럼의 유한 에탈 덮개 I

먼저 Lefschetz형 결과 몇 가지를 증명한다.

설정

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하고 \(f \in \mathfrak m\)이라 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(X_0 = \Spec(A/fA)\)로 놓고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) 및 \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\)를 각각 \(A\) 및 \(A/fA\)의 천공 스펙트럼이라 하자.

스킴 \(X\)에 대하여 \(X\) 위의 유한 에탈 스킴들의 범주를 \(\textit{F\'Et}_X\)로 나타냈음을 상기하자. 절 0BL6을 보라. 상황 0BLF에서는 다음 기저변환 함자들을 조사한다. \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_X \ar[d] \ar[r] & \textit{F\'Et}_U \ar[d] \\ \textit{F\'Et}_{X_0} \ar[r] & \textit{F\'Et}_{U_0} }\] 많은 경우 오른쪽 세로 화살표는 충실하다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(f \not \in \mathfrak p\)를 만족하는 모든 극소 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대하여 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\)이거나,

2. \(U\)의 모든 연결 성분이 \(U_0\)와 만난다.

그러면 \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0},\quad V \longmapsto V_0 = V \times_U U_0\] 는 충실 함자이다.

증명

경우 (2)는 보조정리 0EJX에서 곧바로 따른다. 가정 (1) 아래에서는 \(U\)의 모든 기약 성분이 \(U_0\)와 만난다. Algebra, 보조정리 00KW을 보라. 따라서 (1)은 (2)로부터 따른다.

더 흥미로운 결과를 증명하기 전에 몇 가지 보조정리가 필요하다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(V \to U\)를 유한 사상이라 하자. \(A^\wedge\)를 \(A\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화라 하고 \(X' = \Spec(A^\wedge)\)로 놓자. 또한 \(U'\)와 \(V'\)를 각각 \(U\)와 \(V\)의 \(X'\)로의 기저변환이라 하자. 유한 사상 \(Y' \to X'\)가 \(V' = Y' \times_{X'} U'\)를 만족하면, 유한 사상 \(Y \to X\)로서 \(V = Y \times_X U\) 및 \(Y' = Y \times_X X'\)를 만족하는 것이 존재한다.

증명

이는 More on Algebra, 명제 05ER의 직접적인 응용이다. 실제로 \(f_1, \ldots, f_t\)를 \(\mathfrak m\)의 생성원들로 택하자. 각 \(i\)에 대하여 \(V \times_U D(f_i) = \Spec(B_i)\)로 쓰자. \(1 \leq i, j \leq n\)에 대하여 두 스펙트럼 모두 \(V \times_U D(f_if_j)\)를 나타내므로, \(A_{f_if_j}\)-대수들 사이의 동형 \(\alpha_{ij} : (B_i)_{f_j} \to (B_j)_{f_i}\)를 얻는다. \(Y' = \Spec(B')\)로 쓰자. \(V \times_U U' = Y \times_{X'} U'\)이므로 동형 \(\alpha_i : B'_{f_i} \to B_i \otimes_A A^\wedge\)를 얻는다. 직접적인 논증으로 \((B', B_i, \alpha_i, \alpha_{ij})\)가 \(\text{Glue}(A \to A^\wedge, f_1, \ldots, f_t)\)의 대상임을 알 수 있다. More on Algebra, 주의 05EL를 보라. 위에서 인용한 명제를 적용하여(대수 구조를 얻으려면 More on Algebra, 주의 05EU를 사용한다), \(A\)-대수 \(B\)로서 \(\text{Can}(B)\)가 \((B', B_i, \alpha_i, \alpha_{ij})\)와 동형인 것을 얻는다. \(Y = \Spec(B)\)로 놓으면 \(Y \to X\)가 사상이고, 원하는 양립하는 동형 \(V \cong Y \times_X U\) 및 \(Y' = Y \times_X X'\)를 갖는다는 것을 알 수 있다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(A\)가 헨젤이거나, 더 일반적으로 \((A, (f))\)가 헨젤 쌍이라고 가정하자. \(A^\wedge\)를 \(A\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화라 하고 \(X' = \Spec(A^\wedge)\)로 놓자. 또한 \(U'\)와 \(U'_0\)를 각각 \(U\)와 \(U_0\)의 \(X'\)로의 기저변환이라 하자. \(\textit{F\'Et}_{U'} \to \textit{F\'Et}_{U'_0}\)가 충실충만이면 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\)도 충실충만이다.

증명

\(\textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U'_0}\)가 충실충만이라고 가정하자. \(X' \to X\)가 충실 평탄이므로, 함자 \(V \to V_0 = V \times_U U_0\)가 충실임은 곧바로 알 수 있다. 유한 에탈 덮개들의 범주에는 내부 Hom이 있으므로(보조정리 0BL7), \(V\)가 \(U\) 위에서 유한 에탈일 때 다음을 보이면 충분하다. \[\Mor_U(U, V) = \Mor_{U_0}(U_0, V_0)\] 따라서 \(U_0\) 위의 사상 \(s_0 : U_0 \to V_0\)가 주어졌다고 하고, \(U\) 위의 사상 \(s : U \to V\)를 구성하자.

가정에 의해 사상 \(s' : U' \to V'\)로서 그 \(V'_0\)로의 제한이 \(s'_0\), 즉 \(s_0\)의 기저변환인 것이 존재한다. \(V' \to U'\)가 유한 에탈이므로 \(V' = s'(U') \amalg W'\)이고 \(W' \to U'\)는 유한 에탈이다. 유한 사상 \(Z' \to X'\)로서 \(W' = Z' \times_{X'} U'\)를 만족하는 것을 택하자. 이는 More on Morphisms, 보조정리 05K0 에 서술된 형태의 Zariski 주정리에 의해 가능하다 (한 가지 세부 사항은 생략한다). 그러면 \[V' = s'(U') \amalg W' \longrightarrow X' \amalg Z' = Y'\] 는 열린 몰입이고 \(V' = Y' \times_{X'} U'\)를 만족한다. 보조정리 0BLH에 의해 유한 사상 \(Y \to X\)로서 \(V = Y \times_X U\) 및 \(Y' = Y \times_X X'\)를 만족하는 것을 얻는다. \(Y = \Spec(B)\)로 쓰면 \(Y' = \Spec(B \otimes_A A^\wedge)\)이다. 이때 \(B \otimes_A A^\wedge\)는 멱등원 \(e'\)을 갖는다. 이는 \(Y' = X' \amalg Z'\)에서 열린닫힌 부분스킴 \(X'\)에 대응한다.

먼저 \(A\)가 헨젤인 경우를 생각하자(이쪽이 조금 더 쉽다). 상 \(\overline{e}\), 즉 \(e'\)의 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak m) = B/\mathfrak mB\)에서의 상은 \(B\)의 멱등원 \(e\)로 올라간다. 이는 \(A\)가 헨젤이기 때문이다 (Algebra, 보조정리 04GG에 의해 \(B\)는 국소환들의 곱이다). 멱등원 올림의 유일성에 의해 \(e\)는 \(e'\)로 사상된다(여기서는 \(B \otimes_A A^\wedge\)가 국소환들의 곱임을 사용한다). \(e\)에 대응하는 열린닫힌 부분스킴을 \(Y_1 \subset Y\)라 하자. 그러면 \(Y_1 \times_X X' = s'(X')\)이고, 충실 평탄 내림에 의해 \(Y_1 \to X\)가 동형임이 따른다. 이것이 원하는 단면을 준다.

다음으로 \((A, (f))\)가 헨젤 쌍인 경우를 생각하자. 여기서는 \(s'\)가 \(s'_0\)의 올림임을 사용한다. 구체적으로, \(Y_{0, 1} \subset Y_0 = Y \times_X X_0\)를 \(s_0(U_0) \subset V_0 = Y_0 \times_{X_0} U_0\)의 폐포라 하자. \(X' \to X\)가 평탄이므로 기저변환 \(Y'_{0, 1} \subset Y'_0\)는 \(s'_0(U'_0)\)의 폐포이며, 이는 \(X'_0 \subset Y'_0\)와 같다 (Morphisms, 보조정리 081I를 보라). \(Y'_0 \to Y_0\)는 상사상이므로(Morphisms, 보조정리 02JY), \(Y_{0, 1}\)은 \(Y_0\)의 열린닫힌 부분스킴이다. 대응하는 멱등원을 \(e_0 \in B/fB\)라 하자. More on Algebra, 보조정리 09XI 에 의해 \(e_0\)를 멱등원 \(e \in B\)로 올릴 수 있다. 나머지는 앞의 경우와 같이 결론을 얻는다.

상황 0BLF에서 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) 의 충실충만성은 상당히 약한 가정 아래에서도 성립한다. 특히 그 가정들은 \(U\)가 연결 스킴임을 보장하지 않지만, 결론은 \(U\)와 \(U_0\)의 연결 성분 수가 같음을 보장한다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다.

2. 쌍 \((A, (f))\)는 헨젤이다.

3. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)를 만족하고, \(X_0\)에 포함되지 않는 \(X\)의 모든 기약 성분은 차원이 \(\geq 3\)이다.

   2. \(f \not \in \mathfrak p\)를 만족하는 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대하여 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 2\).

그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) 는 충실충만이다.

증명

\(A'\)을 \(\mathfrak m\)-진 \(A\)-완비화라 하자. 가정들이 \(A'\)에 대해서도 성립함을 보이자. 조건 (a)와 (b)는 명백하다. 조건 (c)(ii)는 Local Cohomology, 보조정리 0EHW 에 의해 보존된다. 이제 (c)(i)가 성립한다고 가정하자. \(A\)가 보편적 카테너리이므로 (Dualizing Complexes, 보조정리 0A80), \(\Spec(A')\)의 기약 성분 가운데 \(V(f)\)에 포함되지 않는 것은 모두 차원이 \(\geq 3\)이다. More on Algebra, 명제 0AW6를 보라. \(A \to A'\)가 Gorenstein 올을 갖는 평탄 사상이므로, \(A_f\)가 \((S_2)\)를 만족하면 \(A'_f\)도 \((S_2)\)를 만족한다. 여기서 사용한 참조는 Dualizing Complexes, 절 0BJM, More on Algebra, 절 0BIR, 그리고 Algebra, 보조정리 0339이다. 따라서 보조정리 0BLI에 의해 \(A\)가 완비 뇌터 국소환이라고 가정해도 된다.

다른 가정들에 더하여 \(A\)가 완비 국소환이라고 가정하자. 보조정리 0EL8에 의해 결과는 Algebraic and Formal Geometry, 보조정리 0EKT에서 따른다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정하자.

1. \(H^1_\mathfrak m(A)\)와 \(H^2_\mathfrak m(A)\)는 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸하고,

2. \(A\)는 헨젤이거나, 더 일반적으로 \((A, (f))\)는 헨젤 쌍이다.

그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) 는 충실충만이다.

증명

보조정리 0BLI에 의해 \(A\)가 완비 뇌터 국소환이라고 가정해도 된다. (가정들은 그대로 보존된다. Dualizing Complexes, 보조정리 0ALZ를 사용한다.) 보조정리 0EL8에 의해 결과는 Algebraic and Formal Geometry, 보조정리 0EKS에서 따른다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(A\)의 깊이가 \(\geq 3\)이고, \(A\)는 헨젤이거나, 더 일반적으로 \((A, (f))\)가 헨젤 쌍이라고 가정하자. 그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) 는 충실충만이다.

증명

깊이에 대한 가정으로부터 \(H^1_\mathfrak m(A) = H^2_\mathfrak m(A) = 0\)이다. Dualizing Complexes, 보조정리 0AVZ를 보라. 따라서 보조정리 0BM6를 적용할 수 있다.

국소 경우의 순수성 I

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)로 놓고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)를 천공 스펙트럼이라 하자. \((A, \mathfrak m)\)에 대해 순수성이 성립한다는 것은 제한 함자 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U\] 가 본질적으로 전사라는 뜻이다. 이 절에서는 \(X\)에서 초곡면 \(X_0\), 즉 \(X\) 안의 초곡면으로 옮길 때 이 문제가 어떻게 달라지는지 이해하고자 한다. 달리 말하면 천공 스펙트럼의 기본군에 대한 일종의 국소 Lefschetz 성질을 연구한다. 이 결과들은 국소 순수성에 관한 주요 결과, 즉 보조정리 0BMA, 명제 0BPD, 그리고 명제 0EYC의 증명을 차원에 대한 귀납법으로 진행하는 데 유용하다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)로 놓고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(\pi : Y \to X\)를 유한 사상이라 하고, \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)가 모든 닫힌점 \(y \in Y\)에 대하여 성립한다고 가정하자. 그러면 \(Y\)는 \(B = \mathcal{O}_Y(\pi^{-1}(U))\)의 스펙트럼이다.

증명

\(V = \pi^{-1}(U)\)로 놓고 \(\pi' : V \to U\)를 \(\pi\)의 제한이라 하자. 다음 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상을 생각하자. \[\pi_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow j_*\pi'_*\mathcal{O}_V\] 여기서 \(j : U \to X\)는 포함 사상이다. 이 사상에 Divisors, 보조정리 0E9I를 적용할 수 있다고 주장한다. 그렇다면 \(B = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)이고 보조정리가 성립한다. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. 다음을 보이면 충분하다. \(\text{depth}((\pi_*\mathcal{O}_Y)_x) \geq 2\). \(y_1, \ldots, y_n \in Y\)를 \(x\)로 사상되는 점들이라 하자. Algebra, 보조정리 0AUK에 의해 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\)가 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 성립함을 보이면 충분하다. 이는 바로 보조정리의 가정이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)로 놓고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(V\)를 \(U\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하자. \(A\)의 깊이가 \(\geq 2\)라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(V = Y \times_X U\)인 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)가 존재한다.

2. \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)는 \(A\) 위 유한 에탈이다.

증명

주어진 유한 에탈 사상을 \(\pi : V \to U\)라 하자. (1)의 \(Y\)가 존재한다고 가정하자. \(x \in X\)를 \(\mathfrak m\)에 대응하는 점이라 하자. \(y \in Y\)를 \(x\)로 사상되는 점이라 하자. 다음을 주장한다. \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\). 이는 \(Y \to X\)가 에탈이고, 따라서 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)와 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)의 깊이가 같기 때문이다 (Algebra, 보조정리 0337). 그러므로 보조정리 0BM8를 적용할 수 있고 \(Y = \Spec(B)\)이다.

함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)은 더 쉬우므로 세부 사항을 생략한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)로 놓고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(A\)가 차원 \(\geq 2\)인 정규환이라고 가정하자. 함자 \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{유한 정규 }A\text{-대수 }B\text{ 중} \\ \Spec(B) \to X\text{가 }U\text{ 위에서 에탈인 것} \end{matrix} \right\}, \quad V \longmapsto \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\] 는 동치이다. 또한 \(V = Y \times_X U\)인 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)가 존재할 필요충분조건은 \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)가 \(A\) 위 유한 에탈인 것이다.

증명

\(\text{depth}(A) \geq 2\)임에 주의하자. 이는 \(A\)가 정규이기 때문이다 (정규성에 관한 Serre의 판정법, Algebra, 보조정리 031S). 따라서 마지막 명제는 보조정리 0BLK에서 따른다. 유한 에탈 사상 \(\pi : V \to U\)가 주어졌을 때 \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)로 놓자. \(B\)가 정규이고 \(A\) 위 유한임을 보이면 표시된 함자를 얻는다. 자명한 준역함자가 있으므로 보일 것은 이것뿐이다.

\(A\)가 정규이므로 스킴 \(V\)도 정규이다 (Descent, 보조정리 034F). 따라서 \(V\)는 정역 스킴들의 유한 서로소 합이다 (Properties, 보조정리 033M). 그러므로 \(V\)가 정역 스킴이라고 가정해도 된다. 이 경우 함수체 \(L\), 즉 \(V\)의 함수체는 (Morphisms, 절 01RR) \(A\)의 분수체의 유한 분리 확대이다 (이는 \(V \to U\)의 일반올을 살펴보고 Morphisms, 보조정리 02GL를 사용하면 알 수 있다). Algebra, 보조정리 032L에 의해 \(B' \subset L\)을 \(A\)의 \(L\) 안에서의 정수적 폐포라 하면, 이는 \(A\) 위 유한이다. More on Algebra, 보조정리 0BM4에 의해 \(B'\)은 반사 \(A\)-가군이고, 따라서 More on Algebra, 보조정리 0AVB에 의해 \(\text{depth}_A(B') \geq 2\)이다.

\(f \in \mathfrak m\)이라 하자. 그러면 \(B_f = \Gamma(V \times_U D(f), \mathcal{O}_V)\)이다 (Properties, 보조정리 01P7). 따라서 \(B'_f = B_f\)이다. 실제로 위에서 본 대로 \(B_f\)는 정규이고, \(A_f\) 위 유한이며 분수체가 \(L\)이다. 따라서 \(V = \Spec(B') \times_X U\)이다. 더 나아가 \(B = B'\)이다. 이는 보조정리 0BM8를 \(\Spec(B') \to X\)에 적용하면 따른다. 이 보조정리를 적용할 수 있는 까닭은 국소화 \(B'_{\mathfrak m'}\), 즉 \(B'\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset B'\) 중 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 것에서 취한 국소화가 Algebra, 보조정리 0AUK와 앞 문단의 깊이에 관한 관찰에 의해, 깊이 \(\geq 2\)를 갖기 때문이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\)로 놓고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(V\)를 \(U\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하자. \(A^\wedge\)를 \(\mathfrak m\)-진 \(A\)-완비화라 하고 \(X' = \Spec(A^\wedge)\)로 놓자. \(U'\)와 \(V'\)를 각각 \(U\)와 \(V\)의 \(X'\)로의 기저변환이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(V = Y \times_X U\)인 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)가 존재한다.

2. \(V' = Y' \times_{X'} U'\)인 유한 에탈 사상 \(Y' \to X'\)가 존재한다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 해 \(Y \to X\)의 기저변환을 취하면 따른다. \(Y' \to X'\)를 (2)의 것으로 하자. 보조정리 0BLH에 의해, 유한 사상 \(Y \to X\)로서 \(V = Y \times_X U\)이고 \(Y' = Y \times_X X'\)인 것을 취할 수 있다. 내림에 의해 \(Y \to X\)는 유한 에탈이다 (대수학의 보조정리 03C4와 00U2). 이것으로 증명이 끝난다.

다음 두 보조정리의 요점은 그 가정들만으로는 \(A\)의 깊이가 \(\geq 3\)임이 따르지 않는다는 데 있다. 예를 들어 \(A\)가 차원 \(\geq 3\)인 완비 정규 국소 정역이고 \(f \in \mathfrak m\)이 영이 아니면 이 가정들이 성립한다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(V\)를 \(U\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

2. 쌍 \((A, (f))\)는 헨젤 쌍이다.

3. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고, \(X_0\)에 포함되지 않는 \(X\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\geq 3\)이다.

   2. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대하여, \(f \not \in \mathfrak p\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 2\)이다.

4. 어떤 유한 에탈 사상 \(Y_0 \to X_0\)에 대하여 \(V_0 = V \times_U U_0\)가 \(Y_0 \times_{X_0} U_0\)와 같다.

그러면 어떤 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)에 대하여 \(V = Y \times_X U\)이다.

증명

보조정리 0BLL을 사용하여 완비인 경우로 환원한다. (가정들도 그대로 이어진다. 보조정리 0EK5의 증명을 보라.)

완비인 경우, 대수학 심화의 보조정리 09ZL에 의해 \(Y_0 \to X_0\)를 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)로 올릴 수 있다. 또한 대수학 심화의 보조정리 0ALJ에 의해 \((A, fA)\)가 헨젤 쌍임에 유의하라. 이제 보조정리 0EK5을 사용하면 \(V\)가 \(Y \times_X U\)와 동형임을 알 수 있다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(V\)를 \(U\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(H^1_\mathfrak m(A)\)와 \(H^2_\mathfrak m(A)\)는 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸한다.

2. 어떤 유한 에탈 사상 \(Y_0 \to X_0\)에 대하여 \(V_0 = V \times_U U_0\)가 \(Y_0 \times_{X_0} U_0\)와 같다.

그러면 어떤 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)에 대하여 \(V = Y \times_X U\)이다.

증명

보조정리 0BLL을 사용하여 완비인 경우로 환원한다. (가정들도 그대로 이어진다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ를 사용하라.)

완비인 경우, 대수학 심화의 보조정리 09ZL에 의해 \(Y_0 \to X_0\)를 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)로 올릴 수 있다. 또한 대수학 심화의 보조정리 0ALJ에 의해 \((A, fA)\)가 헨젤 쌍임에 유의하라. 이제 보조정리 0BM6을 사용하면 \(V\)가 \(Y \times_X U\)와 동형임을 알 수 있다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(V\)를 \(U\) 위의 유한 에탈 스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)의 깊이는 \(\geq 3\)이다.

2. 어떤 유한 에탈 사상 \(Y_0 \to X_0\)에 대하여 \(V_0 = V \times_U U_0\)가 \(Y_0 \times_{X_0} U_0\)와 같다.

그러면 어떤 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)에 대하여 \(V = Y \times_X U\)이다.

증명

깊이에 관한 가정으로부터 \(H^1_\mathfrak m(A) = H^2_\mathfrak m(A) = 0\)이 따른다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ를 보라. 따라서 보조정리 0BLS을 적용할 수 있다.

분기 자취의 순수성

유한 국소 자유 사상의 판별식을 사용할 것이다. 판별식의 절 0BVH을 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 \(\dim(A) \geq 1\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(f \in \mathfrak m\)이라 하자. 그러면 \(\mathfrak p \in V(f)\)이고 \(\dim(A_\mathfrak p) = 1\)인 것이 존재한다.

증명

\(\dim(A)\)에 관한 귀납법을 쓴다. \(\dim(A) = 1\)이면 \(\mathfrak p = \mathfrak m\)으로 두면 된다. \(\dim(A) > 1\)이면, \(Z \subset \Spec(A)\)를 차원 \(> 1\)인 기약 성분이라 하자. 그러면 \(V(f) \cap Z\)의 차원은 \(> 0\)이다 (대수학의 보조정리 00KW). 소 아이디얼 \(\mathfrak q \in V(f) \cap Z\)로서 \(\mathfrak q \not = \mathfrak m\)이고 \(A\)의 천공 스펙트럼의 닫힌점에 대응하는 것을 택한다. 이는 성질의 보조정리 02IM에 의해 가능하다. 이때 \(\mathfrak q\)는 \(Z\)의 일반점이 아니다. 따라서 \(0 < \dim(A_\mathfrak q) < \dim(A)\)이고 \(f \in \mathfrak q A_\mathfrak q\)이다. 차원에 관한 귀납법으로 \(f \in \mathfrak p \subset A_\mathfrak q\)이고 \(\dim((A_\mathfrak q)_\mathfrak p) = 1\)인 것을 찾을 수 있다. 그러면 \(\mathfrak p \cap A\)가 원하는 것이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소 뇌터 스킴의 사상이라 하고 \(x \in X\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 평탄하다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다.

3. \(x\)는 \(X\)의 어느 기약 성분의 일반점도 아니다.

4. 특수화 \(x' \leadsto x\)로서 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\)인 것마다 \(f\)는 \(x'\)에서 비분기이다.

그러면 \(f\)는 \(x\)에서 에탈이다.

증명

\(f\)가 비분기인 점들의 집합은 \(f\)가 에탈인 점들의 집합과 같으며, 이 집합은 열린집합이다. 스킴의 사상의 정의 02G4, 02GI 및 보조정리 02GV를 보라. \(f\)가 \(x\)에서 에탈인지 확인할 때에는 밑과 공역 양쪽에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다 (내림의 보조정리 02VN 및 036W). 따라서 스킴의 사상 심화의 보조정리 02LK을 적용하여 \(f : X \to Y\)가 유한이고, \(x\)가 \(X\)에서 \(y = f(x)\) 위에 놓이는 유일한 점이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(f\)는 유한 국소 자유이다 (스킴의 사상의 보조정리 02KB).

\(f\)가 유한 국소 자유이고 \(x\)가 \(X\)에서 \(y = f(x)\) 위에 놓이는 유일한 점이라고 가정하자. 판별식의 보조정리 0BJF에 의해 국소 주인 닫힌 부분스킴 \(D_\pi \subset Y\)로서 다음 성질을 갖는 것을 얻는다. 즉, \(y' \in D_\pi\)인 것과 어떤 \(x' \in X\)에 대하여 \(f(x') = y'\)이고 \(f\)가 \(x'\)에서 분기하는 것이 동치이다. 따라서 \(y \not \in D_\pi\)임을 보이면 충분하다. 모순을 얻기 위해 \(y \in D_\pi\)라고 가정하자.

조건 (3)에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 1\)이다. 대수학의 보조정리 00ON에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)이다. 보조정리 0BJG에 의해 \(y' \in D_\pi\)로서 \(y\)로 특수화되고 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\)인 것을 택할 수 있다. \(f(x') = y'\)이고 \(f\)가 분기하는 \(x' \in X\)를 택하자. \(f\)는 유한이므로 닫힌 사상이고, 따라서 \(x' \leadsto x\)이다. 앞에서와 마찬가지로 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\)이다. 이는 조건 (4)에 모순이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 차원 \(d \geq 2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)이라 두자. 그러면

1. 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)는 본질적으로 전사이다. 즉, \(A\)에 대하여 순수성이 성립한다.

2. \(A \to B\)가 유한이고 \(B\)가 정규이며 천공 스펙트럼 위에서 유한 에탈 사상을 유도하면, 이 사상은 에탈이다.

증명

대수학의 보조정리 0567에 의해 정칙 국소환은 정규임을 상기하자. 따라서 보조정리 0BM9에 의해 (1)과 (2)는 동치이다. \(d\)에 관한 귀납법으로 보조정리를 증명한다.

\(d = 2\)인 경우. 이 경우 \(A \to B\)는 평탄하다. 실제로 대수학의 명제 00H8에 의해 \(A \to B\)에 대하여 하강 정리가 성립한다. 그러면 대수학의 보조정리 00ON에 의해 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset B\)에 대하여 \(\dim(B_{\mathfrak m'}) = 2\)이다. 또한 대수학의 보조정리 031S에 의해 \(B_{\mathfrak m'}\)는 Cohen–Macaulay이다. 따라서, 이것이 핵심인데, 대수학의 보조정리 00R4을 적용하면 \(A \to B_{\mathfrak m'}\)가 평탄임을 알 수 있다. 이어서 대수학의 보조정리 00HT에 의해 \(A \to B\)가 평탄이다. 그러므로 보조정리 0BJH (또는 더 쉬운 판별식의 보조정리 0BJF을 써서 직접 논증할 수도 있다)을 적용하면 \(A \to B\)가 에탈임을 알 수 있다.

\(d \geq 3\)인 경우. \(V \to U\)를 유한 에탈이라 하자. \(f \in \mathfrak m_A\)이고 \(f \not \in \mathfrak m_A^2\)인 원소를 택한다. 그러면 \(A/fA\)는 차원 \(d - 1 \geq 2\)인 정칙 국소환이다. 대수학의 보조정리 00NQ을 보라. \(U_0\)를 \(A/fA\)의 천공 스펙트럼이라 하고, \(V_0 = V \times_U U_0\)라 두자. 보조정리 0BLM에 의해 \(V_0\)가 함자 \(\textit{F\'Et}_{\Spec(A/fA)} \to \textit{F\'Et}_{U_0}\)의 본질적 상에 속함을 보이면 충분하다. 이는 귀납 가정에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소 뇌터 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하고 \(y = f(x)\)라 두자. 다음을 가정한다.

1. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 정규이다.

2. \(\mathcal{O}_{Y, y}\)는 정칙이다.

3. \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다.

4. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 1\)

5. 특수화 \(x' \leadsto x\)로서 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\)인 것마다 \(f\)는 \(x'\)에서 비분기이다.

그러면 \(f\)는 \(x\)에서 에탈이다.

증명

\(d = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)에 관한 귀납법으로 증명한다.

\(d = 1\)인 경우는 특별할 것이 없다. 이 경우 \(f\)가 \(x\)에서 비분기이고, \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 이산 부치환환이라고 가정하였다 (대수학의 보조정리 00PD). 그러면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 위에서 평탄하다 (그렇지 않으면 사상은 \(x\)에서 준유한일 수 없다). 따라서 \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다. 평탄 \(+\) 비분기인 사상은 에탈이므로 결론을 얻는다(몇몇 세부는 생략한다).

\(d \geq 2\)인 경우. \(d\)에 관한 귀납법을 사용하여 보조정리 0BMA에서 논의한 경우로 환원한다. \(f\)가 \(x\)에서 에탈인지 확인할 때에는 밑과 공역 양쪽에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다 (내림의 보조정리 02VN 및 036W). 따라서 스킴의 사상 심화의 보조정리 02LK을 적용하여 \(f : X \to Y\)가 유한이고, \(x\)가 \(X\)에서 \(y\) 위에 놓이는 유일한 점이라고 가정할 수 있다. 여기서는 국소환의 에탈 확대가 차원, 정규성, 정칙성을 바꾸지 않는다는 사실을 사용하였다. 대수학 심화의 절 0AGY 및 에탈 사상의 절 025L을 보라.

다음으로 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)에 의한 밑변환을 취하여 \(Y\)가 정칙 국소환의 스펙트럼이라고 가정할 수 있다. 실제로 \(X\)의 모든 점은 반드시 \(x\)로 특수화하므로 \(X = \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)이다.

환 준동형 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 유한이고, 차원이 같으므로 반드시 단사이다. 대수학의 명제 00H8에 의해 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)에 대하여 하강 정리가 성립한다 (대수학의 보조정리 0567에 의해 정칙환은 정규환이라는 사실도 사용한다). \(x' \in X\)이고 \(x' \not = x\)이며 그 상이 \(y' = f(x')\)인 점을 택하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, x'}\)는 정규 정역의 국소화이므로 정규이다. 마찬가지로 \(\mathcal{O}_{Y, y'}\)는 정칙이다(대수학의 보조정리 0AFS를 보라). 대수학의 보조정리 00ON에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y'})\)이다 (위에서 하강 정리를 확인하였다). 이 차원들은 물론 \(d\)보다 진정 작다. 실제로 \(x' \not = x\)이다. \(d\)에 관한 귀납법으로 \(f\)가 \(x'\)에서 에탈임을 얻는다.

이로써 다음 상황에 이르렀다. 차원 \(d \geq 2\)인 뇌터 국소환의 유한 국소 준동형 \(A \to B\)가 있고, \(A\)는 정칙이며 \(B\)는 정규이고, 이 준동형은 천공 스펙트럼 위에 유한 에탈 사상 \(V \to U\)를 유도한다. 목표는 \(A \to B\)가 에탈임을 보이는 것이다. 이는 보조정리 0BMA에서 따르므로 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 유한 에탈 사상을 연장할 수 있는 최대 열린 부분집합을 찾을 때 유용하다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 국소 뇌터 스킴의 열린 몰입이라 하고, 모든 \(x \not \in U\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)라고 가정하자. \(\pi : V \to U\)를 유한 에탈이라 하자. 그러면

1. \(\mathcal{B} = j_*\pi_*\mathcal{O}_V\)는 반사적인 연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수이다. \(Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{B})\)라 두자.

2. \(Y \to X\)는 \(V = Y \times_X U\)이고 모든 \(y \in Y \setminus V\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)인 유일한 유한 사상이다.

3. \(Y \to X\)가 \(y\)에서 에탈인 것과 \(Y \to X\)가 \(y\)에서 평탄인 것은 동치이다.

4. \(Y \to X\)가 에탈인 것과 \(\mathcal{B}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 유한 국소 자유인 것은 동치이다.

또한 (a) \(\mathcal{B}\)와 \(Y \to X\)의 구성은 국소 뇌터 스킴의 평탄 사상 \(X' \to X\)에 의한 밑변환과 가환한다. (b) \(V' \to U'\)가 유한 에탈 사상이고 \(U \subset U' \subset X\)가 열린집합이며 \(U\) 위에서 \(V \to U\)와 일치하면, \(U'\) 위의 동형사상 \(Y' \times_X U' = V'\)가 유일하게 존재한다.

증명

\(\pi_*\mathcal{O}_V\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U\)-가군이며, 특히 반사적이다. 인자의 보조정리 0EBJ에 의해 \(j_*\pi_*\mathcal{O}_V\)는 \(X\) 위의 반사적 연접 가군 가운데 \(U\) 위에서 \(\pi_*\mathcal{O}_V\)로 제한되는 유일한 것이다. 이로써 (1)이 증명되었다.

구성에 의해 \(Y \times_X U = V\)이다. \(\mathcal{B}\)가 연접이므로 \(Y \to X\)는 유한이다. 인자의 보조정리 0EBI에 의해 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{B}_x) \geq 2\)이다. 따라서 대수학의 보조정리 0AUK에 의해 모든 \(y \in Y \setminus V\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)이다. 거꾸로, \(\pi' : Y' \to X\)가 유한 사상이고 \(V = Y' \times_X U\)이며 모든 \(y' \in Y' \setminus V\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y', y'}) \geq 2\)라고 하자. 그러면 \(\pi'_*\mathcal{O}_{Y'}\)는 \(U\) 위에서 \(\pi_*\mathcal{O}_V\)로 제한되고, 대수학의 보조정리 0AUK에 의해 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대하여 \(\text{depth}((\pi'_*\mathcal{O}_{Y'})_x) \geq 2\)이다. 그러면 예를 들어 인자의 보조정리 0E9I에 의해 \(\pi'_*\mathcal{O}_{Y'}\)는 \(j_*\pi_*\mathcal{O}_V\)와 표준적으로 동형이다. 이로써 (2)가 증명되었다.

\(Y \to X\)가 \(y\)에서 에탈이면 \(Y \to X\)는 \(y\)에서 평탄이다. 거꾸로 \(Y \to X\)가 \(y\)에서 평탄이라고 가정하자. \(y \in V\)이면 \(Y \to X\)는 \(y\)에서 에탈이다. \(y \not \in V\)이면 보조정리 0BJH의 (1), (2), (3), (4)를 확인함으로써 \(Y \to X\)가 \(y\)에서 에탈임을 알 수 있다. (1)과 (2)는 명백하고, \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)이므로 (3)도 명백하다. \(y' \leadsto y\)가 특수화이고 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\)이면 \(y' \in V\)이다. 그렇지 않다면 대수학의 보조정리 00LK에 의해 이 국소환의 깊이가 \(2\)가 되어 모순이기 때문이다. 따라서 \(Y \to X\)는 \(y'\)에서 에탈이고, 보조정리 0BJH의 (4)도 성립한다. 이로써 (3)의 증명이 끝난다.

(4)는 (3)과 다음 사실에서 따른다. \(((Y \to X)_*\mathcal{O}_Y)_x\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군인 것과, \(x\)로 가는 모든 \(y \in Y\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군인 것은 동치이다. 대수학의 보조정리 00HT을 보라. 또한 뇌터환 위의 유한 평탄 가군은 유한 국소 자유라는 사실도 사용한다. 대수학의 보조정리 00NX 및 대수학의 보조정리 00FP을 보라.

보조정리의 마지막 주장들 가운데 (a)는 평탄 밑변환에서 따른다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH를 보라. (b)는 (2)의 유일성을 제한 \(Y \times_X U'\)에 적용하면 따른다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 뇌터 스킴의 열린 몰입이라 하고, 모든 \(x \not \in U\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, x}\)에서 순수성이 성립한다고 가정하자. 그러면 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U\] 는 본질적으로 전사이다.

증명

\(V \to U\)를 유한 에탈 사상이라 하자. 뇌터 귀납법에 의해 \(V \to U\)를 \(X\)의 진정 더 큰 열린 부분집합 위의 유한 에탈 사상으로 연장하면 충분하다. \(x \in X \setminus U\)를 \(X \setminus U\)의 어떤 기약 성분의 일반점이라 하자. 이때 역상 \(U_x\), 즉 \(U\)의 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 안에서의 역상은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 천공 스펙트럼이다. 가정에 의해 \(V_x = V \times_U U_x\)는 어떤 유한 에탈 사상 \(Y_x \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)를 \(U_x\)로 제한한 것이다. 극한의 보조정리 0BQ5에 의해, \(x\)를 포함하는 열린 부분스킴 \(U \subset U' \subset X\)와 유한 표시 사상 \(V' \to U'\)로서, \(U\)로 제한하면 \(V \to U\)를 복원하고 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)로 제한하면 \(Y_x\)를 복원하는 것을 얻는다. 마지막으로 필요하면 극한의 보조정리 0EY3에 의해 \(U'\)를 더 작은 열린 부분집합으로 축소하여, 사상 \(V' \to U'\)가 유한 에탈이 되게 할 수 있다.

천공 스펙트럼의 유한 에탈 덮개 II

이 절에서는 절 0BLE에서 논의한 내용의 몇 가지 변형을 증명한다. 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m)\)과 \(f \in \mathfrak m\)이 주어졌다고 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(X_0 = \Spec(A/fA)\)라 두고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)와 \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\)를 각각 \(A\)와 \(A/fA\)의 천공 스펙트럼이라 하자. 이는 정확히 상황 0BLF와 같다. 다른 점은 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 를 고려한다는 것이다. 다시 말해, \(U_0\)의 유한 에탈 덮개를 \(U\) 전체로 올리려는 것이 아니라 어떤 열린 근방 \(U'\), 즉 \(U\) 안에서 \(U_0\)의 열린 근방으로만 올리려 한다.

보조정리

상황 0BLF에서 \(U' \subset U\)를 \(U_0\)를 포함하는 열린 부분집합이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)가 \(\mathfrak p \in U'\) 및 \(\mathfrak p \not \in U_0\)를 만족하는 극소 소 아이디얼이면 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\)라고 가정하자. 그러면 \[\textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0},\quad V' \longmapsto V_0 = V' \times_{U'} U_0\] 는 충실한 함자이다. 또한 이 가정을 만족하는 \(U'\)가 존재하며, \(U_0\)를 포함하는 더 작은 임의의 열린 부분집합 \(U'' \subset U'\)도 이 가정을 만족한다. 특히 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 는 충실하다.

증명

대수학의 보조정리 00KW에 의해 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\)인 \(A\)의 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(V(\mathfrak p)\)가 \(U_0\)와 만난다. 따라서 보조정리 0EJX에 의해 표시한 함자는 명제에 나온 것과 같은 \(U\)에 대하여 충실하다. 그런 \(U'\)가 존재함을 보이기 위해, \(\mathfrak p \subset A\)가 \(\mathfrak p \in U\), \(\mathfrak p \not \in U_0\), \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\)을 만족하면 \(\mathfrak p\)는 \(U\)의 닫힌점에 대응하고, 따라서 \(V(\mathfrak p) \cap U_0 = \emptyset\)임에 유의하자. 그러므로 \(U'\)로서 \(U_0\)와 만나지 않으며 차원이 \(1\)인 \(X\)의 기약 성분들의 여집합을 취할 수 있다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(f\)-진 완비이다.

2. \(X_0\)에 포함되지 않는 \(X\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\geq 3\)이다.

그러면 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 는 충만충실하다.

증명

기본군의 위상적 불변성에 의해 증명할 때 \(A\)를 그 축약으로 바꾸어도 된다. 보조정리 0BQB을 보라. 그러면 결과는 보조정리 0ELA과 대수적 및 형식적 기하의 보조정리 0EKU에서 따른다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(f\)는 영인자가 아니다.

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 는 충만충실하다.

증명

보조정리 0ELA과 대수적 및 형식적 기하의 보조정리 0EKV에서 따른다.

천공 스펙트럼의 유한 에탈 덮개 III

이 절에서는 상황 0BLF에서 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 가 범주의 동치가 되는 조건을 조사한다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(f\)-진 완비이다.

2. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고, \(X_0\)에 포함되지 않는 \(X\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\geq 4\)이다.

   2. \(\mathfrak p \not \in V(f)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)이다.

그러면 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 는 동치이다.

증명

보조정리 0EK1과 대수적 및 형식적 기하의 보조정리 0EKY에서 따른다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(f\)는 영인자가 아니다.

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 및 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 제한 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ open}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 는 동치이다.

증명

보조정리 0EK1과 대수적 및 형식적 기하의 보조정리 0EKZ에서 따른다.

주

\((A, \mathfrak m)\)을 완비 뇌터 국소환이라 하고, \(f \in \mathfrak m\)을 영이 아닌 원소라 하자. \(A_f\)가 \((S_2)\)이고 \(\Spec(A)\)의 모든 기약 성분의 차원이 \(\geq 4\)라고 가정하자. 그러면 보조정리 0DXY에 의해 범주 \[\colim\nolimits_{U' \subset U\text{ open, }U_0 \subset U} \text{유한 에탈 }U'\text{-스킴의 범주}\] 는 유한 에탈 \(U_0\)-스킴의 범주와 동치이다. 예를 들어 \(A\)가 차원 \(\geq 4\)인 정규 정역이면 이 조건이 성립한다.

천공 스펙트럼의 유한 에탈 덮개 IV

상황 0BLF에서와 같이 \(X, X_0, U, U_0\)를 잡는다. 이 절에서는 제한 함자 \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 가 본질적으로 전사인 조건을 묻는다. 절 0EK7의 결과를 사용하고 나머지 틈을 순수성으로 메워 이를 보일 것이다. 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m)\)에 대하여 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)가 본질적으로 전사인 경우를 생각하자. 여기서 \(X = \Spec(A)\) 및 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)이다. 이때 이 환에서는 순수성이 성립한다고 하였다.

보조정리

상황 0BLF에서 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(f\)-진 완비이다.

2. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고, \(X_0\)에 포함되지 않는 \(X\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\geq 4\)이다.

   2. \(\mathfrak p \not \in V(f)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)이다.

3. 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A_f\)에 대하여 \((A_f)_\mathfrak p\)에서 순수성이 성립한다.

그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\)는 본질적으로 전사이다.

증명

\(V_0 \to U_0\)를 유한 에탈 사상이라 하자. 보조정리 0DXY에 의해 \(U_0\)를 포함하는 열린 부분집합 \(U' \subset U\)와 유한 에탈 사상 \(V' \to U\)가 존재하며, 그 \(U_0\)로의 밑변환은 \(V_0 \to U_0\)와 동형이다. \(U' \supset U_0\)이므로 \(U \setminus U'\)는 (3)에 나온 소 아이디얼 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\)에 대응하는 점들로 이루어진다. 가정에 의해 유한 에탈 사상 \(V'_i \to \Spec(A_{\mathfrak p_i})\)로서 \(V' \to U'\)와 \(U' \times_U \Spec(A_{\mathfrak p_i})\) 위에서 일치하는 것을 택할 수 있다. 극한의 보조정리 0BPA을 \(n\)번 적용하면 \(V' \to U'\)가 유한 에탈 사상 \(V \to U\)로 연장됨을 알 수 있다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하고 \(f \in \mathfrak m\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(f\)는 영인자가 아니다.

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 및 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

4. 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A_f\)에 대하여 \((A_f)_\mathfrak p\)에서 순수성이 성립한다.

그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\)는 본질적으로 전사이다.

증명

증명은 보조정리 0EK9의 증명과 같고, 보조정리 0DXY 대신 보조정리 0BLV을 쓰면 된다.

국소적인 경우의 순수성 II

이 절은 절 0BM7의 계속이다. 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m)\)에 대하여 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)가 본질적으로 전사인 경우를 생각하자. 여기서 \(X = \Spec(A)\)이고 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)이다. 이때 이 환에서는 순수성이 성립한다고 하였다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하고, \(f \in \mathfrak m\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(f\)-진 완비이다.

2. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고, \(X\)의 모든 기약 성분 중 \(X_0\)에 포함되지 않는 것의 차원은 \(\geq 4\)이다.

   2. \(\mathfrak p \not \in V(f)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)이면, \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)이다.

3. 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A_f\)에 대하여 \((A_f)_\mathfrak p\)에서 순수성이 성립한다.

4. \(A\)에서 순수성이 성립한다.

그러면 \(A/fA\)에서 순수성이 성립한다.

증명

\(X = \Spec(A)\)라 두고, \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)를 천공 스펙트럼이라 하자. 마찬가지로 \(X_0 = \Spec(A/fA)\) 및 \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\)를 얻는다. \(V_0 \to U_0\)를 유한 에탈 사상이라 하자. 보조정리 0EK9에 의해, 유한 에탈 사상 \(V \to U\)로서 그 \(U_0\)로의 밑변환이 \(V_0 \to U_0\)와 동형인 것을 얻는다. 가정 (5)에 의해 \(V \to U\)는 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)로 연장된다. 그러면 \(Y\)의 \(X_0\)로의 제한은 원하는 \(V_0 \to U_0\)의 연장이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하고, \(f \in \mathfrak m\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(f\)는 영인자가 아니다.

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 및 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

4. 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A_f\)에 대하여 \((A_f)_\mathfrak p\)에서 순수성이 성립한다.

5. \(A\)에서 순수성이 성립한다.

그러면 \(A/fA\)에서 순수성이 성립한다.

증명

증명은 보조정리 0DXZ의 증명과 같고, 보조정리 0EKA을 보조정리 0EK9 대신 쓰면 된다.

지금까지의 결과를 거듭 적용하면 차원 \(\geq 3\)인 완전교차에서 순수성이 성립함을 증명할 수 있다. 뇌터 국소환의 완비화가 정칙 국소환을 정칙열이 생성하는 아이디얼로 나눈 몫일 때, 그 환을 완전교차라고 하였다. 나눗셈 거듭제곱 대수의 절 09PY에서 한 논의를 보라.

명제

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(A\)가 차원 \(\geq 3\)인 완전교차이면, \(A\)에서 순수성이 성립한다. 즉, 천공 스펙트럼의 모든 유한 에탈 덮개는 연장된다.

증명

보조정리 0BLL에 의해 \(A\)가 완비 국소환이라고 가정해도 된다. 가정에 의해 \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(B\)는 완비 정칙 국소환이고, \(f_1, \ldots, f_r\)은 정칙열이다. \(r\)에 관한 귀납법으로 증명을 마무리한다. 기초 단계 \(r = 0\)은 차원 \(\geq 2\)인 정칙환에 적용되는 보조정리 0BMA에서 따른다.

\(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\)라 하고, 이 명제가 \(r - 1\)에 대하여 성립한다고 가정하자. \(A' = B/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\)라 두고, \(f_r \in A'\)에 보조정리 0BPC을 적용한다. 다음과 같은 이유로 이를 적용할 수 있다. 조건 (1)은 \(f_1, \ldots, f_r\)이 정칙열이므로 성립한다. 조건 (2)는 \(B\), 따라서 \(A'\)가 완비이므로 성립한다. 조건 (3)은 \(A = A'/f_r A'\)가 차원 \(\dim(A) \geq 3\)인 Cohen–Macaulay 환이므로 성립한다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ를 보라. 조건 (4)는 귀납 가정으로부터 성립한다. 실제로 \(\dim((A'_{f_r})_\mathfrak p) \geq 3\)이다. 여기서 \(\mathfrak p\)는 \(A'_{f_r}\)의 극대 소 아이디얼이고, 또한 \((A'_{f_r})_\mathfrak p = B_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\)가 어떤 \(\mathfrak q \subset B\)에 대하여 성립한다. 조건 (5)도 귀납 가정으로부터 성립한다.

국소적인 경우의 순수성 III

이 절에서는 절 0BM7 및 0BPB의 논의를 계속한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 깊이 \(\geq 2\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(B = A[[x_1, \ldots, x_d]]\)라 하고, \(d \geq 1\)이라 하자. \(Y = \Spec(B)\) 및 \(Y_0 = V(x_1, \ldots, x_d)\)라 두자. \(V \subset Y\)를 열린 부분스킴이라 하고, \(V_0 = V \cap Y_0\)가 \(Y_0 \setminus \{\mathfrak m_B\}\)와 같다고 하자. 그러면 제한 함자 \[\textit{F\'Et}_V \longrightarrow \textit{F\'Et}_{V_0}\] 는 충만충실하다.

증명

\(I = (x_1, \ldots, x_d)\) 및 \(X = \Spec(A)\)라 두자. 사상 \(Y \to X\)를 사용하여 \(Y_0\)를 \(X\)와 동일시하면, \(V_0\)는 천공 스펙트럼 \(U\), 즉 \(A\)의 천공 스펙트럼과 동일시된다. 이 아핀 사상으로 가군을 전진시키면 \[\begin{align*} \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_V/I^n\mathcal{O}_V) & = \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_Y/I^n\mathcal{O}_Y) \\ & = \lim_n \Gamma(U, \mathcal{O}_U[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n) \\ & = \lim_n A[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n \\ & = B \end{align*}\] 실제로 \(A\)의 깊이가 \(\geq 2\)이므로 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\)이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0을 보라. 따라서 보조정리에 나오는 임의의 열린 부분집합 \(V \subset Y\)에 대하여 \[B = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_Y/I^n\mathcal{O}_Y) = B\] 를 얻는다. 이로부터 두 화살표가 모두 동형임이 따른다(작은 세부사항은 생략한다). 대수적 및 형식적 기하의 보조정리 0EKP에 의해, \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \to \textit{Coh}(V, I\mathcal{O}_V)\)는 유한 국소 자유 대상들로 이루어진 충만 부분범주 위에서 충만충실하다. 따라서 보조정리 0EL8에서 결론이 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 깊이 \(\geq 2\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(B = A[[x_1, \ldots, x_d]]\)라 하고, \(d \geq 1\)이라 하자. 열린 부분집합 \(V \subset Y = \Spec(B)\)가 다음을 포함한다고 가정한다.

1. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)로서 \(\mathfrak q \cap A \not = \mathfrak m\)인 것.

2. 소 아이디얼 \(\mathfrak m B\).

그러면 함자 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\) 는 동치이다. 특히 \(B\)에서 순수성이 성립한다.

증명

소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 \(V\)에 포함되지 않으면 \(\mathfrak m\) 위에 놓인다. 이 경우 \(A \to B_\mathfrak q\)는 평탄 국소 준동형이므로 \(\text{depth}(B_\mathfrak q) \geq 2\)이다(대수학의 보조정리 0337). 따라서 보조정리 0BQF와 국소 코호몰로지의 보조정리 0BLR에 의해 이 함자는 충만충실하다.

\(W \to V\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(B \to C\)를 다음 성질을 갖는 유일한 유한 환 준동형이라 하자. 즉, \(\Spec(C) \to Y\)는 보조정리 0EY6에서 구성한, \(W \to V\)를 연장하는 유한 사상이다. \(C = \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)임에 유의하라.

\(Y_0 = V(x_1, \ldots, x_d)\) 및 \(V_0 = V \cap Y_0\)라 두고, \(X = \Spec(A)\)라 두자. 사상 \(Y \to X\)를 사용하여 \(Y_0\)를 \(X\)와 동일시하면, \(V_0\)는 천공 스펙트럼 \(U\), 즉 \(A\)의 천공 스펙트럼과 동일시된다. 따라서 \(W_0 = W \times_Y Y_0\)를 \(U\) 위의 유한 에탈 스킴으로 볼 수 있다. 이때 \[W_0 \times_U (U \times_X Y) \quad\text{및}\quad W \times_V (U \times_X Y)\] 는 \(U \times_X Y\) 위의 유한 에탈 스킴들이고, \(V_0\) 위로 제한하면 서로 동형이다. 열린 부분집합 \(U \times_X Y\)에 보조정리 0EY9을 적용하여 동형 \[W_0 \times_U (U \times_X Y) \longrightarrow W \times_V (U \times_X Y)\] 을 \(U \times_X Y\) 위에서 얻는다.

\(C_0 = \Gamma(W_0, \mathcal{O}_{W_0})\)는 유한 \(A\)-대수임에 유의하라. 이는 \(W_0 \to U \subset X\)에 보조정리 0EY6를 적용하면 따른다(위에서 \(B \to C\)에 대하여 한 것과 완전히 같다). 보조정리 0EY6의 구성은 평탄 밑변환 및 열린집합의 변경과 가환하므로, 위의 동형은 동형 \[\Psi : C \longrightarrow C_0 \otimes_A B\] 을 유도하며, 이는 유한 \(B\)-대수의 동형이다. 한편 \(\Spec(C) \to Y\)는 \(Y\)의 적어도 한 점으로서 \(\mathfrak m \in X\) 위에 놓이는 점의 위에 있는 모든 점에서 에탈임을 알고 있다. \(\Psi\)가 동형이므로 \(\Spec(C_0) \to X\)는 \(\mathfrak m\) 위에서 에탈이다(작은 세부사항은 생략한다). 이는 물론 \(A \to C_0\)가 유한 에탈이고, 따라서 \(B \to C\)도 유한 에탈임을 뜻한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. \(S\)는 뇌터이다.

3. \(s \in S\)가 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}) \leq 1\)을 만족하면 \(X_s = U_s\)이다.

4. \(U_s \subset X_s\)는 모든 \(s \in S\)에 대하여 조밀하다.

그러면 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\)는 동치이다.

증명

보조정리 0BQF와 국소 코호몰로지의 보조정리 0BLR에 의해 이 함자는 충만충실하다 (깊이 조건을 확인하려면 대수학의 보조정리 0337도 적용한다).

\(\pi : V \to U\)를 유한 에탈 사상이라 하고, \(Y \to X\)를 보조정리 0EY6에서 구성한 유한 사상이라 하자. \(Y \to X\)가 유한 에탈임을 보여야 한다. 모든 점 \(x \in X\)에 대하여 그 점이 주어진 점 \(s \in S\)로 갈 때 이를 보일 때에는 뇌터 스킴의 평탄 사상 \(S' \to S\)로서 \(s\)를 상에 포함하는 것에 의해 밑변환해도 된다. 이는 보조정리 0EY6의 구성이 평탄 밑변환과 가환하기 때문이다.

\(U\)를 확대하여 \(U \subset X\)가 \(Y \to X\)가 유한 에탈인 최대 열린집합이라고 가정해도 된다. \(Z \subset X\)를 \(U\)의 여집합이라 하자. 모순을 얻기 위해 \(Z \not = \emptyset\)이라고 가정한다. \(s \in S\)를 \(Z \to S\)의 상에 속하는 점으로서 \(s\)의 어떤 진정한 일반화점도 그 상에 속하지 않는 것으로 택한다. 그러면 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 밑변환하여 \(S = \Spec(A)\)이고, \((A, \mathfrak m, \kappa)\)가 깊이 \(\geq 2\)인 뇌터 국소환이라고 가정해도 된다. 또한 \(Z\)는 닫힌 올 \(X_s\)에 포함되며 \(X_s\) 안에서 어디에서도 조밀하지 않다. 닫힌점 \(z \in Z\)를 택한다. 그러면 \(\kappa(z)/\kappa\)는 유한이다(Hilbert 영점정리에 의한다. 대수학의 정리 00FV를 보라). 국소 스킴의 유한 평탄 사상 \((S', s') \to (S, s)\)로서 잉여체 확대 \(\kappa(z)/\kappa\)를 실현하는 것을 택한다. 대수학의 보조정리 07NE을 보라. \(S' \to S\)로 밑변환하면 \(\kappa(z) = \kappa\)인 경우로 환원된다.

스킴의 사상 심화의 보조정리 057G에 의해, 국소 닫힌 부분스킴 \(S' \subset X\)로서 \(z\)를 지나고 \(S' \to S\)가 \(z\)에서 에탈인 것이 존재한다. \(S' \to S\)로 밑변환하여 \(\sigma : S \to X\)이고 \(\sigma(s) = z\)인 단면이 존재한다고 가정해도 된다. \(\Spec(B) \subset X\)를 \(s\)의 아핀 근방으로 택한다. 그러면 \(A \to B\)는 매끄러운 환 준동형이고 단면 \(\sigma : B \to A\)를 가진다. \(I = \Ker(\sigma)\)라 두고, \(B^\wedge\)를 \(I\)-진 완비화, 즉 환 \(B\)의 완비화라 하자. 그러면 \(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\)가 어떤 \(d \geq 0\)에 대하여 성립한다. 대수학의 보조정리 05D5를 보라. \(d > 0\)임에 유의하라. 실제로 그렇지 않다면 \(X \to S\)는 \(z\)에서 에탈이고, \(z\)는 \(X_s\)의 일반점이므로 가정 (4)에 의해 \(z \in U\)가 된다. 마찬가지로 \(d > 0\)이면 \(\mathfrak m B^\wedge\)는 \(U\) 안으로, 사상 \(\Spec(B^\wedge) \to X\)에 의해 간다. \(Y \to X\)가 \(\Spec(B^\wedge)\)로 밑변환한 뒤 유한 에탈임을 보이면 충분하다. \(B \to B^\wedge\)가 평탄이므로 (대수학의 보조정리 00MB), 이는 보조정리 0EYA와 \(Y \to X\)의 구성의 유일성에서 따른다.

명제

\(A \to B\)를 뇌터 국소환의 국소 준동형이라 하자. \(A\)의 깊이가 \(\geq 2\)이고, \(A \to B\)가 \(\mathfrak m_B\)-진 위상에 관하여 형식적으로 매끄러우며, \(\dim(B) > \dim(A)\)라고 가정하자. 열린 부분집합 \(V \subset Y = \Spec(B)\)가 다음을 포함한다고 하자.

1. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)로서 \(\mathfrak q \cap A \not = \mathfrak m_A\)인 것.

2. 소 아이디얼 \(\mathfrak m_A B\).

그러면 함자 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\)는 동치이다. 특히 \(B\)에서 순수성이 성립한다.

증명

소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 \(V\)에 포함되지 않으면 \(\mathfrak m_A\) 위에 놓인다. 이 경우 \(A \to B_\mathfrak q\)는 평탄 국소 준동형이므로 \(\text{depth}(B_\mathfrak q) \geq 2\)이다 (대수학의 보조정리 0337). 따라서 보조정리 0BQF와 국소 코호몰로지의 보조정리 0BLR에 의해 이 함자는 충만충실하다.

\(A^\wedge\) 및 \(B^\wedge\)를 각각 \(A\) 및 \(B\)의 극대 아이디얼에 관한 완비화라 하자. 이 명제의 가정들은 \(A^\wedge \to B^\wedge\)에 대하여 성립한다. 대수학 심화의 보조정리 07NV, 07NW 및 07ED을 보라. 보조정리 0EY6의 구성의 유일성과 평탄 밑변환과의 가환성에 의해, \(A^\wedge \to B^\wedge\) 및 \(V\)의 역상에 대하여 본질적 전사성을 증명하면 충분하다(세부사항은 생략한다. \(V\)가 천공 스펙트럼인 경우는 보조정리 0BLL과 비교하라). 대수학 심화의 명제 07PM에 의해, 이는 \(A \to B\)가 정칙이라고 가정해도 됨을 뜻한다.

\(W \to V\)를 유한 에탈 사상이라 하자. Popescu 정리(환 사상의 평활화의 정리 07GC)에 의해 \(B = \colim B_i\)를 매끄러운 \(A\)-대수들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 어떤 \(i\)와 열린 부분집합 \(V_i \subset \Spec(B_i)\)로서 그 역상이 \(V\)인 것을 택할 수 있다 (극한의 보조정리 01Z4). \(i\)를 크게 한 뒤에는 유한 에탈 사상 \(W_i \to V_i\)로서 그 \(V\)로의 밑변환이 \(W \to V\)인 것이 존재한다고 가정해도 된다. 극한의 보조정리 01ZM, 01ZO 및 07RP를 보라. \(V_i\)의 여집합이 \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\)의 닫힌 올에 포함된다고 가정해도 된다. 이는 \(V\)에 대하여 성립하기 때문이다(\(V_i\)를 이와 같이 택하거나, 위의 보조정리를 사용하여 충분히 큰 \(i\)에 대하여 성립함을 보이면 된다). \(\eta\)를 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 닫힌 올의 일반점이라 하자. \(\eta \in V\)이므로 \(\eta\)의 상은 \(V_i\)에 속한다. 따라서 \(V_i\)를 \(\Spec(B)\)의 닫힌점의 상의 아핀 열린 근방으로 바꾼 뒤에는, \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\)의 닫힌 올이 기약이고 그 일반점이 \(V_i\)에 포함된다고 가정해도 된다(세부사항은 생략한다. 체 위의 매끄러운 스킴이 기약 스킴들의 서로소 합임을 사용한다). 이제 보조정리 0EYB를 적용하면 \(W_i \to V_i\)는 유한 에탈 사상 \(\Spec(C_i) \to \Spec(B_i)\)로 연장된다. 이를 \(\Spec(B)\)로 당겨오면 \(W\)는 원하는 대로 함자 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\)의 본질적 상에 속한다.

기본군에 대한 Lefschetz

물론 국소적인 경우에는 이러한 종류의 결과를 이미 여러 개 증명하였다. 이 절에서는 사영적인 경우를 논한다.

명제

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하고, \(Y = Z(s)\)를 \(s\)의 영점 스킴이라 하자. 모든 \(x \in X \setminus Y\)에 대하여 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 1\] 이라고 가정하자. 그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\)는 충만충실하다. 실제로 \(V \subset X\)를 \(Y\)를 포함하는 임의의 열린 부분스킴이라 하면, 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\)는 충만충실하다.

증명

첫째 주장은 보조정리 0EJZ과 대수적 및 형식적 기하의 명제 0EL1의 형식적 귀결이다. 둘째 주장은 보조정리 0EJZ과 대수적 및 형식적 기하의 보조정리 0EL2에서 따른다.

명제

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하고, \(Y = Z(s)\)를 \(s\)의 영점 스킴이라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(X\)의 열린 부분스킴으로서 \(Y\)를 포함하는 것 전체의 집합에 포함관계의 역순으로 순서를 준 것이라 하자. 모든 \(x \in X \setminus Y\)에 대하여 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] 이라고 가정하자. 그러면 제한 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] 는 동치이다.

증명

이는 보조정리 0EK1과 대수적 및 형식적 기하의 명제 0EL7의 형식적 귀결이다.

명제

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하고, \(Y = Z(s)\)를 \(s\)의 영점 스킴이라 하자. 모든 \(x \in X \setminus Y\)에 대하여 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] 이고, 또한 닫힌점 \(x \in X \setminus Y\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, x}\)에서 순수성이 성립한다고 가정하자. 그러면 제한 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\)는 동치이다. \(X\), 또는 이와 동치로 \(Y\)가 연결이면 \[\pi_1(Y, \overline{y}) \to \pi_1(X, \overline{y})\] 는 임의의 기하점 \(\overline{y}\)가 \(Y\) 위에 놓일 때 동형이다.

증명

명제 0ELC에 의해 충만충실성이 성립한다. 명제 0ELD에 의해 \(\textit{F\'Et}_Y\)의 모든 대상은 섬유곱 \(U \times_V Y\)와 동형이다. 여기서 어떤 유한 에탈 사상 \(U \to V\)가 있고, \(V \subset X\)는 \(Y\)를 포함하는 열린 부분스킴이다. 여집합 \(T = X \setminus V\)는⁵ \(X \setminus Y\)의 닫힌점들의 유한집합이다. \(T = \{x_1, \ldots, x_n\}\)이라 하자. 가정에 의해 유한 에탈 사상 \(V'_i \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\)로서 \(U \to V\)와 \(V \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\) 위에서 일치하는 것을 택할 수 있다. 극한의 보조정리 0BPA을 \(n\)번 적용하면 \(U \to V\)가 원하는 유한 에탈 사상 \(U' \to X\)로 연장됨을 알 수 있다. 마지막 주장에 대해서는 보조정리 0BQA를 보라.

분기 자취의 순수성

이 절에서는 일반적으로 유한한 사상에 대한 분기 자취의 순수성의 유사 결과를 논한다. 이 결과는 Gabber의 것으로 보인다. 특별한 경우는 van der Waerden의 순수성 정리로, 정규 다양체에서 매끄러운 다양체로 가는 쌍유리 사상이 동형이 아닌 자취에 관한 것이다.

보조정리

\(A\)를 차원 \(2\)인 뇌터 정규 국소 정역이라 하자. \(A\)가 Nagata이고, 쌍대화 가군 \(\omega_A\)를 가지며, 특이점 해소 \(f : X \to \Spec(A)\)를 가진다고 가정하자. \(\omega_X\)를 곡면의 해소의 주의 0B4R에 나오는 것으로 하자. 어떤 유효 Cartier 인자 E에 대하여 \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X(E)\)이고, 이 \(E \subset X\)의 받침이 예외 올에 포함되면, \(A\)는 유리 특이점을 정의한다. \(f\)가 극소 해소이면 \(E = 0\)이다.

증명

대각합 사상 \(Rf_*\omega_X \to \omega_A\)가 존재한다. 스킴의 쌍대성의 절 0AWG을 보라. Grauert–Riemenschneider에 의해 (곡면의 해소의 명제 0AXD), \(R^1f_*\omega_X = 0\)이다. 따라서 대각합 사상은 \(f_*\omega_X \to \omega_A\)인 사상이다. 이제 \[\mathcal{O}_{\Spec(A)} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\omega_X \to \omega_A\] 를 생각할 수 있다. 첫째 사상은 보조정리의 명제에서 존재한다고 가정한 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(E) = \omega_X\)에서 온다. 합성은 인자의 보조정리 0AVM에 의해 동형이다. 실제로 이는 \(A\)의 천공 스펙트럼 위에서 동형이고(보조정리의 가정 및 \(f\)가 천공 스펙트럼 위에서 동형이라는 사실에 의해), \(A\)와 \(\omega_A\)는 \(A\)-가군으로서 깊이 \(2\)를 가진다(대수학의 보조정리 031S 및 쌍대화 복합체의 보조정리 0AWE에 의해). 따라서 \(f_*\omega_X \to \omega_A\)는 전사이고, 그러므로 동형이다. 이에 따라 \(Rf_*\omega_X = \omega_A\)이고, 쌍대성에 의해 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{\Spec(A)}\)이다. 따라서 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이고, 이는 \(A\)가 유리 특이점을 정의함을 뜻한다 (곡면의 해소의 절 0AXE에서 한 논의, 특히 보조정리 0B4Q 및 0AXF를 보라). \(f\)가 극소이면 \(E = 0\)이다. 이는 사상 \(f^*\omega_A \to \omega_X\)가 곡면의 해소의 보조정리 0B64을 반복하여 적용함으로써 전사이고, 또한 위에서 보았듯이 \(\omega_A \cong A\)이기 때문이다.

보조정리

\(f : X \to \Spec(A)\)를 유한형 사상이라 하고, 점 \(x \in X\)를 택하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 우수 정칙 국소환이다.

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 차원 \(2\)인 정규환이다.

3. \(f\)는 \(\overline{\{x\}}\) 밖에서 에탈이다.

그러면 \(f\)는 \(x\)에서 에탈이다.

증명

먼저 \(X\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방으로 바꾼다. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 우수 국소환이다 (대수학 심화의 보조정리 07QU). 따라서 특이점의 극소 해소 \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)를 택할 수 있다. 곡면의 해소의 정리 0BGP를 보라. 필요하면 \(X\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어, 고유 사상 \(b : X' \to X\)로서 \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = W\)를 만족하는 것을 찾을 수 있다. 극한의 보조정리 0BPA을 보라. 또한 \(X\)를 축소하여 \(X'\)가 정칙이라고 가정해도 된다. 실제로 \(W\)는 정칙이고 \(X'\)는 우수하며, 우수환의 스펙트럼의 정칙 자취는 열려 있다. 또한 \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)는 사영적이므로 (정규화된 부풀리기들의 열이기 때문이다), \(X\)를 축소한 뒤 \(b\)가 사영적이라고 가정해도 된다 (세부사항은 생략한다). \(U = X \setminus \overline{\{x\}}\)라 두자. \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)가 천공 스펙트럼 위에서 동형이므로, \(b : X' \to X\)가 \(U\) 위에서 동형이라고 가정해도 된다. 따라서 \(U\)를 \(X'\)의 열린 부분스킴으로도 간주한다. \(f' = f \circ b : X' \to \Spec(A)\)라 두자.

\(A\)가 정칙이므로 \(\mathcal{O}_Y\)는 \(Y\)의 쌍대화 복합체이다. 따라서 \(f^!\mathcal{O}_Y\)는 \(X\) 위의 쌍대화 복합체이다 (스킴의 쌍대성의 보조정리 0AA3). 스킴의 쌍대성의 보조정리 0AWT에 의해 \(X\)의 Cohen–Macaulay 자취는 열려 있다(이는 우수성을 사용해서도 증명할 수 있다). \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 Cohen–Macaulay이므로 \(X\)를 축소한 뒤에는 \(X\)가 Cohen–Macaulay이라고 가정해도 된다. 에탈 사상은 국소 완전교차임에 유의하라. 따라서 스킴의 쌍대성의 보조정리 0EA0를 \(r = 0\)으로 적용하여 사상 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \omega_{X/Y} = H^0(f^!\mathcal{O}_Y)\] 을 얻는다. 이는 \(X \setminus \overline{\{x\}}\) 위에서 동형이다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0E9V에 의해 \(\omega_{X/Y}\)는 \((S_2)\)이므로, 인자의 보조정리 0AVM에 의해 이 사상은 동형이다. 이로써 이미 \(X\), 특히 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 Gorenstein임을 알 수 있다.

\(\omega_{X'/Y} = H^0((f')^!\mathcal{O}_Y)\)라 두자. 위와 완전히 같은 방식으로 논하면, \((f')^!\mathcal{O}_Y = \omega_{X'/Y}[0]\)는 \(X'\)의 쌍대화 복합체이다. \(X'\)가 정칙이므로 사상 \(X' \to Y\)는 국소 완전교차 사상이다. 스킴의 사상 심화의 보조정리 0E9K를 보라. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0E9Z에 의해 사상 \[\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow \omega_{X'/Y}\] 이 존재하고, 이는 \(U\) 위에서 동형이다. 따라서 어떤 유효 Cartier 인자에 대하여 \(\omega_{X'/Y} = \mathcal{O}_{X'}(E)\)이고, 이 \(E \subset X'\)는 \(U\)와 서로 만나지 않는다.

\(\omega_{X/Y} = \mathcal{O}_Y\)이므로 \(\omega_{X'/Y} = b^! f^!\mathcal{O}_Y = b^!\mathcal{O}_X\)이다. \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)로 돌아가면 \(\omega_W = \mathcal{O}_W(E|_W)\)임을 알 수 있다. 보조정리 0EA2에 의해 \(E|_W = 0\)이다. 따라서 이미 사용한 스킴의 쌍대성의 보조정리 0E9Z에 의해 \(f' : X' \to Y\)는 에탈이다. \(f'\)가 에탈이면 \(b\)는 동형이어야 하므로, 이로써 곧 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소 뇌터 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하고, \(y = f(x)\)라 두자. 다음을 가정한다.

1. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 차원 \(\geq 1\)인 정규환이다.

2. \(\mathcal{O}_{Y, y}\)는 정칙이다.

3. \(f\)는 국소 유한형이다.

4. 특수화 \(x' \leadsto x\)가 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\)을 만족하면, \(f\)는 \(x'\)에서 에탈이다.

그러면 \(f\)는 \(x\)에서 에탈이다.

증명

이 보조정리를 \(d = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)에 관한 귀납법으로 증명한다.

\(d = 1\)인 경우에는 가정에 의해 사상 \(f\)가 \(x\)에서 에탈이므로 자명하다. \(d \geq 2\)라고 가정하자.

보조정리의 결론에 영향을 주지 않고 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)로 밑변환할 수 있다. 스킴의 사상의 보조정리 0476를 보라. 따라서 \(Y = \Spec(A)\)라고 가정해도 된다. 여기서 \(A\)는 정칙 국소환이고, \(y\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대응하며, 이는 \(A\)의 극대 아이디얼이다.

특수화 \(x' \leadsto x\)로서 \(x' \not = x\)인 것을 택하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, x'}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 국소화이므로 정규이다. \(x'\)가 \(X\)의 일반점이 아니면 \(1 \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x'}) < d\)이고, 귀납 가정에 의해 \(f\)는 \(x'\)에서 에탈이다. 따라서 \(f\)가 \(x\)로 특수화되는 모든 점에서 에탈이라고 가정해도 된다. \(f\)가 에탈인 점들의 집합은 정의에 의해 \(X\)에서 열려 있으므로, \(X\)를 \(x\)의 열린 근방으로 바꾼 뒤에는 \(f\)가 \(\overline{\{x\}}\) 밖에서 에탈이라고 가정해도 된다. 특히 \(f\)는 닫힌점 \(y \in Y = \Spec(A)\) 위에 놓이는 점들을 제외하면 에탈이다.

\(X' = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)라 두고, \(x' \in X'\)를 \(x\) 위에 놓이는 유일한 점이라 하자. 위의 논의에 의해 \(X'\)는 닫힌 올 밖에서 \(\Spec(A^\wedge)\) 위에 에탈이고, 따라서 \(X'\)는 닫힌 올 밖에서 정규이다. \(X\)가 정규이므로 곡면의 해소의 보조정리 0BG9에 의해 \(X'\)는 정규이다. 이제 \(X' \to \Spec(A^\wedge)\)가 \(x'\)에서 에탈임을 보일 수 있다면, 앞서 말한 스킴의 사상의 보조정리 0476에 의해 \(f\)는 \(x\)에서 에탈이다. 따라서 \(A\)가 정칙 완비 국소환이라고 가정해도 되며, 실제로 그렇게 가정한다.

\(d = 2\)인 경우는 보조정리 0EA3에서 따른다.

\(d > 2\)라고 가정하자. \(t \in \mathfrak m\), \(t \not \in \mathfrak m^2\)를 잡는다. \(Y_0 = \Spec(A/tA)\) 및 \(X_0 = X \times_Y Y_0\)로 놓자. 그러면 \(X_0 \to Y_0\)는 닫힌점 위의 올을 제외한 곳에서 에탈이다. \(d > 2\)이므로 \(\dim(\mathcal{O}_{X_0, x}) = d - 1\)은 \(\geq 2\)이다. 정규화 \(X_0' \to X_0\)는 전사이고 유한이다 (완비 국소환 위에서 작업하고 있고, 그러한 환은 Nagata이기 때문이다). \(x\)로 가는 점 \(x' \in X_0'\)를 잡는다. 귀납 가정에 의해 사상 \(X'_0 \to Y\)는 \(x'\)에서 에탈이다. 포함관계 \(\kappa(y) \subset \kappa(x) \subset \kappa(x')\)로부터 \(\kappa(x)\)가 \(\kappa(y)\)의 유한 확대임을 안다. 따라서 \(x\)는 \(X \to Y\)의 \(y\) 위 올의 닫힌점이다. 그러나 \(x\)는 이 올의 일반점이기도 하므로, \(f\)가 \(x\)에서 준유한임을 알 수 있고, 분기 자취의 순수성의 경우로 환원된다. 보조정리 0BMB를 보라.

분기 자취의 여집합의 아핀성

\(f : X \to Y\)를 Noether 스킴들의 유한형 사상이라 하고, \(X\)는 정규이며 \(Y\)는 정칙이라고 하자. \(V \subset X\)를 \(f\)가 에탈인 최대 열린부분스킴이라 하자. [EGA, Chapter IV, Section 21.12]의 논의는 \(V \to X\)가 아핀 사상일 가능성을 시사한다. \(V \to X\)가 아핀이면, 인자의 보조정리 0BCU을 사용하여 분기 자취의 순수성 (보조정리 0EA4)을 얻는다는 점에 주의하자. 따라서 \(V \to X\)의 아핀성은 분기 자취에 대한 순수성의 “강한” 형태이다. 이 절에서는 \(X\)와 \(Y\)가 등표수이고 우수할 때 \(V \to X\)가 아핀임을 증명한다. 정리 0ECD을 보라. \(X\)와 \(Y\)가 혼합표수인 경우에도(여전히 우수하다면) 이 결과가 참일 것이라고 추측하는 것이 타당해 보인다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)를 체를 포함하는 정칙 국소환이라 하자. \(f : V \to \Spec(A)\)를 에탈이고 준콤팩트인 사상이라 하자. \(\mathfrak m \not \in f(V)\)이고 \(g : V \to \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(i > 0\)에 대하여 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\)는 \(A\)의 잉여체의 단사 포락의 복사본들의 직합과 동형이다.

증명

천공 스펙트럼을 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)라 쓰자. 그러면 \(g : V \to U\)는 아핀이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 089W에 의해 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = H^i(U, g_*\mathcal{O}_V)\)이다. 스킴의 보조정리 01LC에 의해 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(g_*\mathcal{O}_V\)는 준연접이다. 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(i > 0\)이면 코호몰로지 \(H^i(U, \mathcal{F})\)는 \(\mathfrak m\)-거듭제곱 꼬임이다. 예를 들어 국소 코호몰로지의 보조정리 0DWR를 보라. 특히 \(i > 0\)이면 \(A\)-가군 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\)는 \(\mathfrak m\)-거듭제곱 꼬임이다. 임의의 평탄 환 준동형 \(A \to A'\)에 대하여, 평탄 기저변환에 관한 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH에 의해 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A A' = H^i(V', \mathcal{O}_{V'})\)이다. 여기서 \(V' = V \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\)이다. \(A'\)을 \(A\)의 완비화로 잡으면 (대수학 심화의 절 07NU에 의해 평탄하다) 다음을 얻는다. \[H^i(V, \mathcal{O}_V) = H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A A' = H^i(V', \mathcal{O}_{V'}),\quad\text{여기서 } i > 0\] 첫 번째 등호는 방금 증명한 꼬임 성질과 대수학 심화의 보조정리 05EC에서 따른다. 또한 잉여체 \(k\)의 단사 포락은 \(A\)와 \(A'\)에 대해 같다. 쌍대화 복합체의 보조정리 08Z5를 보라. 이와 같이 \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\)인 경우로 환원된다. 대수학의 절 0323을 보라.

\(k\)의 표수가 \(p > 0\)이라고 가정하자. \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\)는 평탄하고 (국소 코호몰로지의 보조정리 0EC0), 또 에탈 사상의 보조정리 0EBS에 의해 \(V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A) \cong V\)가 \(\Spec(A)\) 위의 스킴으로서 동형이므로, 위의 논의에서 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F} A \cong H^i(V, \mathcal{O}_V)\)를 얻는다. 따라서 국소 코호몰로지의 보조정리 0EC3에 의해 결과가 따른다.

\(k\)의 표수가 \(0\)이라고 가정하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0EC7에 의해 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) 위에 가법 작용소 \(D_j\), \(j = 1, \ldots, d\)가 존재하고, \(\partial_j = \partial/\partial x_j\)에 관한 라이프니츠 법칙을 만족한다. 따라서 국소 코호몰로지의 보조정리 0EC2에 의해 결과를 얻는다.

보조정리

보조정리 0ECB의 상황에서 \(i \geq \dim(A) - 1\)에 대하여 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = 0\)이라고 가정하자. 그러면 \(V\)는 아핀이다.

증명

\(k = A/\mathfrak m\)로 놓자. \(V \times_{\Spec(A)} \Spec(k) = \emptyset\)이므로, 코호몰로지와 기저변환에 의해 \[R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A^\mathbf{L} k = 0\] 이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 08IB를 보라. 따라서 스펙트럼 열(대수학 심화의 예 0662) \[E_2^{p, q} = \text{Tor}_{-p}(k, H^q(V, \mathcal{O}_V)),\quad d_2^{p, q} : E_2^{p, q} \to E_2^{p + 2, q - 1}\] 이 있고, \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\)는 영으로 수렴한다. 보조정리 0ECB, 쌍대화 복합체의 보조정리 0EBT, 그리고 \(i \geq \dim(A) - 1\)에 대하여 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = 0\)이라는 가정으로부터, 위치 \((p, q) = (0, 0)\)으로 들어오거나 그곳에서 나가는 영이 아닌 미분은 없다고 결론내릴 수 있다. 따라서 \(H^0(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A k = 0\)이다. 이는 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_d)\)이면, 아핀 열린부분스킴 \(V \times_{\Spec(A)} \Spec(A_{x_i})\)들에 의한 열린 덮개 \(V = \bigcup V \times_{\Spec(A)} \Spec(A_{x_i})\)가 존재하고 (\(V\)가 \(A\)의 천공 스펙트럼 위에서 아핀이기 때문이다), \(x_1, \ldots, x_d\)가 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)의 단위 아이디얼을 생성한다는 뜻이다. 성질의 보조정리 01QF에 의해 이는 \(V\)가 아핀임을 뜻한다.

정리

\(Y\)를 한 체 위의 우수한 정칙 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 스킴들의 유한형 사상이라 하고, \(X\)는 정규라고 하자. \(V \subset X\)를 \(f\)가 에탈인 최대 열린부분스킴이라 하자. 그러면 포함사상 \(V \to X\)는 아핀이다.

증명

\(x \in X\)를 그 상이 \(y \in Y\)인 점이라 하자. \(V \cap W\)가 아핀이 되는 \(x\)의 아핀 열린 근방 \(W\)를 찾으면 충분하다. \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)가 스킴 \(W\)들의 극한이므로, 이는 \[V_x = V \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\] 가 아핀인 것과 동치이다(극한의 보조정리 01Z6). 따라서 사상 \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)에 대해 정리가 성립하면 원래 정리도 성립한다. 특히 \(Y\)가 유한차원 정칙 스킴이라고 가정할 수 있으므로 차원 \(d = \dim(Y)\)에 관해 귀납할 수 있다. 같은 논증을 다시 결합하면, \(Y\)는 닫힌점 \(y\)를 갖는 국소 스킴이고, \(V \cap (X \setminus f^{-1}(\{y\}) \to X \setminus f^{-1}(\{y\})\)는 아핀이라고 가정해도 된다.

\(x \in X\)를 \(y\) 위의 점이라 하자. \(x \in V\)이면 증명할 것이 없다. \(f^{-1}(\{y\}) \cap V\)는 닫힌점들의 유한집합임에 주의하자 (에탈 사상의 올은 이산적이기 때문이다). 따라서 \(X\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방으로 바꾼 뒤, \(y \not \in f(V)\)라고 가정해도 된다. \(V\)가 아핀임을 증명해야 한다.

\(e(V)\)를 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \not = 0\)인 \(i\)들의 최댓값이라 하자. \(X\)가 아핀이므로, 정수 \(e(V)\)는 수 \(e(V_x)\)들(\(x \in X \setminus V\))의 최댓값이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXB 및 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX7에 나오는 코호몰로지 차원의 특성화를 보라. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXC에 의해 \(e(V_x) \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\)이다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)이면, 분기 자취의 순수성 (보조정리 0EA4)에 의해 \(V_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 천공 스펙트럼보다 진정으로 작다. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정규이고 우수하므로, Hartshorne–Lichtenbaum 소멸 (국소 코호몰로지의 보조정리 0EB7)에 의해 \(e(V_x) \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 2\)가 따른다. 한편 \(X \to Y\)는 유한형이고, \(V \subset X\)는 조밀하므로(필요하면 \(X\)를 \(V\)의 폐포로 바꾼다), 차원 공식(스킴의 사상의 보조정리 02JU)에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq d\)이다. 따라서 \(e(V) \leq \max(0, d - 2)\)이다. \(d \geq 2\)이면 보조정리 0ECC에 의해 \(V\)는 아핀이다. \(d = 1\) 또는 \(d = 0\)이면 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)의 천공 스펙트럼은 아핀이므로 \(V\)도 아핀이다.

매끄럽고 고유한 경우의 특수화 사상

이 절에서는 다음 결과를 논한다. \(f : X \to S\)를 스킴들의 고유하고 매끄러운 사상이라 하자. \(s \leadsto s'\)를 \(S\)의 점들의 특수화라 하자. 그러면 절 0BUP의 특수화 사상 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}}) \longrightarrow \pi_1(X_{\overline{s}'})\] 은 전사이고 다음이 성립한다.

1. \(\kappa(s')\)의 표수가 영이면 이는 동형사상이다.

2. \(\kappa(s')\)의 표수가 \(p > 0\)이면 이는 \(p\)와 서로소인 최대 몫들 사이의 동형사상을 유도한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 기하학적으로 연결인 올들을 갖는 평탄 고유 사상이라 하자. \(s' \leadsto s\)를 특수화라 하자. \(X_s\)가 기하학적으로 기약이면, 특수화 사상 \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\)는 전사이다.

증명

\(X_s\)가 기하학적으로 기약이므로, 필요하면 \(S\)를 축소하여 모든 올이 기하학적으로 기약이라고 가정해도 된다. 스킴의 사상 심화의 보조정리 0C0E을 보라. \(\mathcal{O}_{S, s} \to A \to \kappa(\overline{s}')\)를 특수화 사상의 구성에 나타나는 사상들이라 하자. 절 0BUP을 보라. 따라서 \[\pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_A)\] 가 전사임을 보이면 충분하다. 이는 명제 0C0J와 \(\pi_1(\Spec(A)) = \{1\}\)에서 따른다.

명제

\(f : X \to S\)를 기하학적으로 연결인 올들을 갖는 매끄럽고 고유한 사상이라 하자. \(s' \leadsto s\)를 특수화라 하자. \(\kappa(s)\)의 표수가 영이면 특수화 사상 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\] 은 동형사상이다.

증명

이 사상은 보조정리 0C0P에 의해 전사이다. 따라서 단사임을 보이면 충분하다.

\(S\)는 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(S\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형인 아핀 스킴들의 여과 역극한이다. 따라서 \(X \to S\)가 \(X_0 \to S_0\)의 기저변환이라고 가정할 수 있다. 여기서 \(S_0\)는 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수의 스펙트럼이고, \(X_0 \to S_0\)는 매끄럽고 고유하다. 극한의 보조정리 01ZM, 0C0C, 그리고 081F를 보라. 보조정리 0C0K에 의해 기저가 Noether인 경우로 환원된다.

보조정리 0C0N을 적용하면, 기저 \(S\)가 엄밀 헨젤 이산 부치환환 \(A\)의 스펙트럼이고 \(A\) 위의 특수화 사상을 다루는 경우로 환원된다. \(K\)를 \(A\)의 분수체라 하자. \(\overline{K}\)를 기하학적 일반점 \(\overline{\eta}\)(\(\Spec(A)\)의 점)에 대응하는 대수적 폐포로 택한다. \(\overline{K}/L/K\)가 유한 분리 확대일 때, \(B \subset L\)을 \(L\) 안에서 취한 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. 이는 대수학 심화의 주의 09E8에 의해 이산 부치환환이다.

\(X \to \Spec(A)\)를 앞 단락의 사상이라 하자. 특수화 사상의 단사성을 보이려면, \(X_{\overline{\eta}}\)의 임의의 유한 에탈 덮개 \(V\)가 어떤 유한 에탈 덮개 \(Y \to X\)의 기저변환임을 증명하면 충분하다. 실제로 이 경우 보조정리 0BN7에 의해 \(\pi_1(X_{\overline{\eta}}) \to \pi_1(X) = \pi_1(X_s)\)는 단사이다.

\(V\)가 주어졌을 때 먼저 보조정리 0BTW에 의해 \(V\)를 \(V' \to X_{K^{sep}}\)로 강하시킬 수 있고, 이어서 보조정리 0BTV에 의해 \(V'' \to X_L\)로 강하시킬 수 있다. \(Z \to X_B\)를 \(V''\) 안에서 취한 \(X_B\)의 정규화라 하자. \(Z\)는 정규이고 \(Z_L = V''\)가 \(X_L\) 위의 스킴으로서 성립함에 주의하자. 따라서 \(Z \to X_B\)는 일반올 위에서 유한 에탈이다. 문제는 \(Z \to X_B\)가 모든 곳에서 에탈인지 알 수 없다는 데 있다. \(X \to \Spec(A)\)는 기하학적으로 연결인 매끄러운 올들을 가지므로 특수올 \(X_s\)는 기하학적으로 기약이다. 따라서 \(X_B \to \Spec(B)\)의 특수올은 기약이다. 그 일반점을 \(\xi_B\)라 하자. \(\xi_B\)로 가는 \(Z\)의 점들을 \(\xi_1, \ldots, \xi_r\)라 하자. 이제 첫 번째 문제 (그리고 이것이 유일한 문제임을 알게 될 것이다)는 이산 부치환환의 확대 \[\mathcal{O}_{X_B, \xi_B} \subset \mathcal{O}_{Z, \xi_i}\] 가 분기할 수 있다는 점이다. 이 확대의 분기지수를 \(e_i\)라 하자. \(\kappa(s)\)의 표수가 영이므로 이 분기는 순분기임에 주의하자.

분기를 제거하기 위해, 유도된 확대 \(B'/B\)의 분기지수 \(e\)가 \(e_i\)로 나누어지는 더 큰 유한 분리 확대 \(K^{sep}/L'/L/K\)를 택한다. \(Z'\)를 \(\Spec(B') \to \Spec(B)\)에 관한 \(Z\)의 정규화 기저변환이라 하자. 스킴의 사상 심화의 절 09IJ의 논의를 보라. \(\xi_{i, j}\)를 \(\xi_{B'}\) 및 \(Z\)의 점 \(\xi_i\)로 가는 \(Z'\)의 점이라 하자. 그러면 국소환 \[\mathcal{O}_{Z', \xi_{i, j}}\] 은 \(\mathcal{O}_{Z, \xi_i}\)의 분수체를 \(F_i\)라 할 때, \(L' \otimes_L F_i\) 안에서 취한 \(\mathcal{O}_{Z, \xi_i}\)의 정수적 폐포의 국소화이다. 세부사항은 생략한다. 따라서 Abhyankar 보조정리 (대수학 심화의 보조정리 0BRM)에 의해 \[\mathcal{O}_{X_{B'}, \xi_{B'}} \subset \mathcal{O}_{Z', \xi_{i, j}}\] 은 비분기이다. 따라서 사상 \(Z' \to X_{B'}\)는 여차원 \(1\)의 바깥에서 에탈이다. 따라서 분기 자취의 순수성(보조정리 0BMB)에 의해 \(Z' \to X_{B'}\)는 유한 에탈이다.

그러나 \(A \to B'\)가 유도하는 잉여체 확대는 자명하다(\(A\)의 잉여체는 표수 영인 분리적으로 닫힌 체이므로 대수적으로 닫혀 있기 때문이다). 따라서 보조정리 0A48을 두 번 적용하면, \(Z'\)가 어떤 유한 에탈 덮개 \(Y \to X\)의 기저변환임을 알 수 있다 (먼저 \(A\) 위에서 \(Y\)를 얻고, 다음으로 \(B\)로의 당김이 \(Z'\)와 동형임을 보인다). 이로써 증명이 끝난다.

\(G\)를 프로유한군, \(p\)를 소수라 하자. 정의에 따라 \(p\)와 서로소인 최대 몫은 \[G' = \lim_{U \subset G\text{는 열리고 정규이며 그 지수가 }p\text{와 서로소}} G/U\] 이다. \(X\)가 연결 스킴이고 \(p\)가 주어졌을 때, \(\pi_1(X)\)의 \(p\)와 서로소인 최대 몫을 \(\pi'_1(X)\)로 쓴다.

정리

\(f : X \to S\)를 기하학적으로 연결인 올들을 갖는 매끄럽고 고유한 사상이라 하자. \(s' \leadsto s\)를 특수화라 하자. \(\kappa(s)\)의 표수가 \(p\)이면 특수화 사상 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\] 은 전사이고, p와 서로소인 최대 몫들 사이의 동형사상 \[\pi'_1(X_{\overline{s}'}) \cong \pi'_1(X_{\overline{s}})\] 을 유도한다.

증명

증명은 명제 0C0Q의 증명과 완전히 같지만, 다음 차이들이 있다.

1. \(X/A\)가 주어졌을 때, 함자 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{\eta}}}\)가 본질상 전사임을 보이는 데까지 나아가지는 않는다. Galois 군의 위수가 \(p\)와 서로소인 Galois 대상이 본질상에 속한다는 것만 보인다. 같은 논증으로 \(\pi'_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi'_1(X_{\overline{s}})\)의 단사성을 결론내리기에는 이것으로 충분하다.

2. 확대 \(\mathcal{O}_{X_B, \xi_B} \subset \mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) 는 순분기이다. 대응하는 분수체 확대가 Galois이고 그 군의 위수가 \(p\)와 서로소이기 때문이다. 대수학 심화의 보조정리 09EB을 보라.

3. 확대 \(\kappa_B/\kappa_A\)는 더 이상 반드시 자명하지는 않지만 순수 비분리이다. 따라서 사상 \(X_{\kappa_B} \to X_{\kappa_A}\)는 보편 위상동형사상이고, 명제 0BQN에 의해 기본군들의 동형사상을 유도한다.

순분기

\(X \to Y\)를 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형인 스킴들의 유한 에탈 사상이라 하자. \(f\)가 \(\infty\)에서 순분기한다는 것을 정의하는 방법은 여러 가지가 있다. 논문 [Kerz-Schmidt]에서는 이 개념들이 어느 정도 일치하는지 논한다.

이 절에서는 무한대에서의 순분기성 개념보다 앞서는, 더 초등적인 별개의 문제를 논한다. [Grothendieck-Murre]의 다소 다른 논의와 비교하라. 다음이 주어졌다고 가정하자.

1. 국소 Noether 스킴 \(X\),

2. 조밀 열린집합 \(U \subset X\),

3. 유한 에탈 사상 \(f : Y \to U\).

또한 \(Z \cap U = \emptyset\)인 모든 소인자 \(Z \subset X\)에 대하여, \(Z\)의 일반점 \(\xi\)에서의 \(X\)의 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)가 이산 부치환환이라고 하자. \(K_\xi\)를 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 분수체라 놓으면 스킴들의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K_\xi) \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \ar[r] & X }\] 을 얻는다. 특히 \(Y \times_U \Spec(K_\xi)\)는 유한 분리 대수 \(L_\xi/K_\xi\)의 스펙트럼이다. 이때 \(L_\xi/K_\xi\)가 위와 같은 모든 \((Z, \xi)\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)에 관하여 각각 비분기이거나 순분기라는 뜻에서, 각각 \(Y\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 비분기이다, \(Y\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 순분기이다라고 한다. 대수학 심화의 정의 09E9를 보라. 더 정확히 말하면, \(L_\xi\)를 \(K_\xi\)의 유한 분리 체 확대들의 곱으로 분해하고, 그 각각이 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)에 관하여 각각 비분기이거나 순분기일 것을 요구한다.

보조정리

\(X' \to X\)를 국소 Noether 스킴들의 사상이라 하고, \(U \subset X\)를 조밀 열린집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U' = f^{-1}(U)\)는 \(X'\)의 조밀 열린집합이다.

2. \(Z \cap U = \emptyset\)인 모든 소인자 \(Z \subset X\)에 대하여, \(Z\)의 일반점 \(\xi\)에서의 \(X\)의 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)는 이산 부치환환이다.

3. \(Z' \cap U' = \emptyset\)인 모든 소인자 \(Z' \subset X'\)에 대하여, \(Z'\)의 일반점 \(\xi'\)에서의 \(X'\)의 국소환 \(\mathcal{O}_{X', \xi'}\)는 이산 부치환환이다.

4. \(\xi' \in X'\)이 (3)과 같은 점이면 \(\xi = f(\xi')\)는 (2)와 같은 점이다.

이때 \(f : Y \to U\)가 유한 에탈이고 \(Y\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 각각 비분기이거나 순분기이면, \(Y' = Y \times_X X' \to U'\)는 유한 에탈이고, \(Y'\)는 \(X'\) 위 여차원 \(1\)에서 각각 비분기이거나 순분기이다.

증명

이 보조정리에서 유일하게 흥미로운 사실은 대수학 심화의 보조정리 0EXY에 주어진 가환대수학의 결과이다.

위에서 도입한 용어를 사용하면 앞에서 얻은 순수성 결과를 다음과 같이 간결하게 다시 말할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 조밀 열린부분스킴이라 하자. \(Y \to U\)를 유한 에탈 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(Y\)는 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 비분기이다.

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대하여 정칙이다.

그러면 유한 에탈 사상 \(Y' \to X\)로서 그 \(U\)로의 제한이 \(Y\)인 것이 존재한다.

증명

\(\xi \in X \setminus U\)를 \(X \setminus U\)의 여차원 \(1\)인 기약 성분의 일반점이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)는 이산 부치환환이다. 위의 논의와 마찬가지로 \(Y \times_U \Spec(K_\xi) = \Spec(L_\xi)\)라 쓰자. \(B_\xi\)를 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 \(L_\xi\) 안에서의 정수적 폐포라 하자. \(Y\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 비분기라는 가정은 \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to B_\xi\)가 유한 에탈이라는 뜻이다. 따라서 유한 에탈 사상 \(Y_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\)과 동형사상 \[Y \times_U \Spec(K_\xi) \cong Y_\xi \times_{\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})} \Spec(K_\xi)\] 을 얻는다. 이는 \(\Spec(K_\xi)\) 위의 동형사상이다. 극한의 보조정리 0BQ5에 의해 \(\xi\)를 포함하는 열린부분스킴 \(U \subset U' \subset X\)와 유한 표시 사상 \(Y' \to U'\)로서, \(U\)로 제한하면 \(Y\)를 되찾고 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\)로 제한하면 \(Y_\xi\)를 되찾는 것을 얻는다. 마지막으로 극한의 보조정리 0EY3에 의해 사상 \(Y' \to U'\)는, 필요하면 \(U'\)를 더 작은 열린집합으로 축소한 뒤 유한 에탈이라고 가정해도 된다. \(X \setminus U\)의 여차원 \(1\)인 다른 일반점들에 대하여 이 논의를 반복하면, 유한 에탈 사상 \(Y' \to U'\)로서 \(Y \to U\)를 연장하는 것이 있다고 가정해도 된다. 여기서 열린부분스킴 \(U' \subset X\)는 \(U\)와 모든 여차원 \(1\)인 점 (\(X \setminus U\)의 점들)을 포함한다. 마지막으로 보조정리 0EY7를 \(Y' \to U'\)에 적용한다. 실제로 모든 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\), \(x \in X \setminus U'\)는 정칙이고 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)를 만족한다. 따라서 보조정리 0BMA에 의해 \(\mathcal{O}_{X, x}\)에 대하여 순수성이 성립한다.

보조정리

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 인자라 하고, \(D\)가 정칙 스킴이라고 하자. \(Y \to X \setminus D\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(Y\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 비분기이면, 유한 에탈 사상 \(Y' \to X\)로서 그 \(X \setminus D\)로의 제한이 \(Y\)인 것이 존재한다.

증명

이는 보조정리 0H2W의 특수한 경우이다. 우선 \(D\)는 \(X\)에서 어디에서도 조밀하지 않은 부분집합이므로(인자의 절 01WQ의 논의를 보라), \(X \setminus D\)는 \(X\)에서 조밀하다. 다음으로 환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 모든 \(x \in D\)에 대하여 정칙 국소환이다. 이는 대수학의 보조정리 00NU와 \(\mathcal{O}_{D, x}\)가 정칙이라는 가정에서 따른다.

예

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in A\)를 비영인자라 하고 \(A/fA\)가 기약이라고 하자. 그러면 \(A_\mathfrak p\)는 소원 \(f\)를 갖는 이산 부치환환이다. 이는 \(f\) 위에 놓인 임의의 극소 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 성립한다. \(e \geq 1\)을 \(A\)에서 가역인 정수라 하자. \[C = A[x]/(x^e - f)\] 로 놓자. 그러면 \(\Spec(C) \to \Spec(A)\)는 유한 국소 자유 사상이고 \(A_f\)의 스펙트럼 위에서 에탈이다. 유한 에탈 사상 \[\Spec(C_f) \longrightarrow \Spec(A_f)\] 은 \(\Spec(A)\) 위 여차원 \(1\)에서 순분기한다. 이 순분기성은 대수학 심화의 보조정리 0EXW에 나오는 순분기 확대의 특성화에서 즉시 따른다.

정칙 인자에 대한 Abhyankar 보조정리의 한 형태를 진술한다.

보조정리

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 Cartier 인자라 하고, \(D\)가 정칙 스킴이라고 하자. \(Y \to X \setminus D\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(Y\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 순분기하면, \(X\) 위 에탈 국소적으로 사상 \(Y \to X\)는 예 0EYF에 기술한 표준 순분기 사상들의 유한 서로소 합으로 주어진다.

증명

모든 \(x \in X\)에 대하여 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)로서 \(U = \Spec(A)\)이고 기저변환 \(Y \times_X U \to U\)가 예 0EYF에서와 같은 표준 순분기 사상들의 유한 서로소 합이 되는 것을 찾아야 한다. \(x \in D\)라고 가정하자. \(x \not \in D\)인 경우는 에탈 사상의 보조정리 04HN과 예 0EYF에서 \(e = 1\) 및 \(f = 1\)로 택하는 것에서 따른다.

이 단락에서는 \(X\)가 엄밀 헨젤 국소환의 스펙트럼이고 \(x\)가 닫힌점인 경우로 환원한다. 실제로 \(X\)를 축소하여 \(X = \Spec(A)\)이고 \(D \subset X\)가 비영인자 \(f \in A\)로 주어진다고 가정해도 된다. 그러면 \(Y\)는 \(\Spec(A_f)\)의 유한 에탈 덮개이므로 아핀이다. \(Y = \Spec(B)\)라 쓰자. \(A^{sh}\)를 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 엄밀 헨젤화라 하자. \(A \to A^{sh}\)가 평탄이고 \(x \in D\)이므로, \(f\)는 \(A^{sh}\)의 극대 아이디얼 안의 비영인자로 보내진다. 또한 \(A^{sh}/fA^{sh} = (A/fA)^{sh}\)는(대수학의 보조정리 05WS), \(\mathcal{O}_{D, x}\)의 엄밀 헨젤화로서 정칙 국소환이다. 대수학 심화의 보조정리 06LN을 보라. 보조정리 0EYD에 의해 \(Y\)의 \(\Spec(A^{sh})\)로의 기저변환은 여차원 \(1\)에서 순분기한다. 이 \(Y\)의 \(\Spec(A^{sh})\)로의 기저변환에 대하여 주장을 증명했다고 가정하자. \(A^{sh}\)가 엄밀 헨젤이므로 모든 에탈 근방은 단면을 가지며, 동형사상 \[A^{sh} \otimes_A B \cong \prod\nolimits_{i \in I} A^{sh}_f[x]/(x^{e_i} - f)\] 을 얻는다. 여기서 \(I\)는 유한집합이고 각 \(e_i\)는 \(A^{sh}\)에서 가역인 정수이다. \(A^{sh} = \colim A_\lambda\)를 에탈 \(A\)-대수 \(A_\lambda\)들의 여과 여극한으로 쓰자. 위의 동형사상은 충분히 큰 \(\lambda\)에 대하여 동형사상 \[A_\lambda \otimes_A B \cong \prod\nolimits_{i \in I} (A_\lambda)_f[x]/(x^{e_i} - f)\] 으로 내려간다. 예를 들어 대수학의 보조정리 05N9를 보라. \(\lambda\)를 조금 더 크게 잡으면 \(e_i\)가 \(A_\lambda\)에서 가역이라고 가정해도 된다. 그러면 \(\Spec(A_\lambda) \to \Spec(A)\)는 우리가 찾는 \(x\)의 에탈 근방이다.

\(X = \Spec(A)\)라고 가정하자. 여기서 \(A\)는 엄밀 헨젤 국소환이고, \(x \in X\)는 \(A\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대응한다. \(f \in \mathfrak m\)을 \(D\)를 잘라내는 비영인자라 하자. 그러면 \(A/fA\)가 정칙이고 대수학의 보조정리 00NU에 의해 \(A\)도 정칙이다. 정칙 국소환의 몇몇 성질, 예를 들어 정규 정역이라는 사실을 사용할 것이다. 대수학의 보조정리 00NP 및 0567을 보라. 특히 \(A\)는 정역이다. 위와 마찬가지로 \(Y = \Spec(B)\)는 아핀이고 \(A_f \to B\)는 유한 에탈이다. 따라서 \(B\)도 정규이다 (대수학의 보조정리 033C). 그러므로 대수학의 보조정리 030C에 의해 \(Y\)는 정규 정역들의 스펙트럼의 유한 서로소 합이다. 따라서 \(B\)도 정역이라고 가정해도 된다. \(A\)와 \(A/fA\)가 정역이므로 \(f\)는 \(A\)의 소원이고, 높이 \(1\)인 소아이디얼 \(\mathfrak p = fA\)를 생성한다. \(A_\mathfrak p\)는 \(f\)를 소원으로 갖는 이산 부치환환임에 주의하자.

\(K\)를 \(A\)의 분수체, \(L\)을 \(B\)의 분수체라 하자. 순분기라는 가정은 \(L\)이 \(A_\mathfrak p\)에 대하여 순분기한다는 뜻이다. 대수학 심화의 주의 09E8에서와 같이 \(e \geq 1\)을 \(L\)의 \(A_\mathfrak p\) 위의 분기지수들의 곱이라 하자. 그러면 \(e\)는 \(\kappa(\mathfrak p)\)에서 가역이지만, 이 시점에서는 \(e\)가 \(A/fA\) 또는 \(A\)에서 가역인지 알 수 없다.

유한 자유 \(A\)-대수 \[A' = A[x]/(x^e - f)\] 를 생각하자. 이는 엄밀 헨젤 국소환의 국소 유한 확대이므로 엄밀 헨젤이다. \(f' = x\)는 \(A'\)의 비영인자이고 \(A'/f'A' \cong A/fA\)는 정칙환임에 주의하자. 따라서 앞에서와 마찬가지로 \(A'\)는 정칙이고, 특히 정역이다. \(B' = B \otimes_A A' = B \otimes_{A_f} A'_{f'}\). 로 놓자. Abhyankar 보조정리(대수학 심화의 보조정리 0BRM)에 의해 \(\Spec(B')\)는 \(\Spec(A')\) 위 여차원 \(1\)에서 비분기이다. 실제로 보조정리 0EYD에 의해 \(\Spec(B')\)는 적어도 여전히 \(\Spec(A')\) 위 여차원 \(1\)에서 순분기한다. 그러나 Abhyankar 보조정리에 의해 모든 분기지수가 \(1\)이 되었다. 보조정리 0EYE에 의해 유한 에탈 사상 \(\Spec(B') \to \Spec(A'_{f'})\)는 유한 에탈 사상 \(\Spec(C) \to \Spec(A')\)로 연장된다. 그런데 \(A'\)가 엄밀 헨젤이므로 \(\Spec(C)\)는 \(\Spec(A')\)의 복사본들의 유한 서로소 합이다. 따라서 적어도 하나의 사상 \(\Spec(A'_{f'}) \to \Spec(B')\)가 존재한다. 그러므로 \(A_f\)-대수로서의 포함 \(B \subset A'_{f'}\)가 존재한다.

따라서 포함관계 \(K \subset L \subset K[f^{1/e}]\)를 갖는다. 대수학 심화의 보조정리 09EV에 의해 \(L\)은 \(K[f^{1/n}]\)과 같다. 여기서 \(n\)은 \(e\)의 어떤 약수이다. 이제 \(B\)의 정규성에서 \(B \cong A_f[y]/(y^n - f)\)가 따른다. 세부사항은 생략한다. 그러나 환 준동형 \(A_f \to A_f[y]/(y^n - f)\)의 분기 자취는 \(ny^{n - 1}\)로 잘라지므로, \(n\)은 \(A_f\)의 단위원이어야 한다. \(f\)가 소원이므로 이는 \(n = u f^s\)라는 뜻이다. 여기서 \(u\)는 \(A\)의 어떤 단위원이고 \(s \in \mathbf{Z}\)이다. \(n\)이 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 단위원으로 보내지므로 \(s = 0\)이고, 증명이 끝난다.

보조정리

보조정리 0EYG의 상황에서 \(Y\) 안에서 취한 \(X\)의 정규화는 유한 국소 자유 사상 \(\pi : Y' \to X\)이고 다음을 만족한다.

1. \(Y'\)의 \(X \setminus D\)로의 제한은 \(Y\)와 동형이다.

2. \(D' = \pi^{-1}(D)_{red}\)는 \(Y'\) 위의 유효 Cartier 인자이다.

3. \(D'\)는 정칙 스킴이다.

더 나아가 \(X\) 위 에탈 국소적으로 사상 \(Y' \to X\)는 사상 \[\Spec(A[x]/(x^e - f)) \to \Spec(A)\] 들의 유한 서로소 합이다. 여기서 \(A\)는 Noether 환이고, \(f \in A\)는 비영인자이며 \(A/fA\)는 정칙이고, \(e \geq 1\)은 \(A\)에서 가역이다.

증명

이는 보조정리 0EYG에 대한 보충일 뿐이며, 실제로 그 보조정리의 증명을 읽으면 이 보조정리가 참이라는 것은 거의 즉시 따른다. 그러나 보조정리 0EYG의 결과에서 직접 유도할 수도 있다. 실제로 \(Y\) 안에서 취한 \(X\)의 정규화는 에탈 기저변환과 가환한다. 스킴의 사상 심화의 보조정리 03GV을 보라. 따라서 \(Y' \to X\)의 국소 구조에 관한 주장은 \(X\) 위 에탈 국소적으로 증명해도 된다. 그러므로 보조정리 0EYG에 의해 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)는 Noether 환이며, 비영인자 \(f\in A\)에 대하여 \(A/fA\)가 정칙이고, \(Y\)는 환 \(A_f[x]/(x^e - f)\)의 스펙트럼들의 유한 서로소 합이며, \(e\)가 \(A\)에서 가역이라고 가정해도 된다. \(A_f[x]/(x^e - f)\) 안에서 취한 \(A\)의 정수적 폐포가 \(A' = A[x]/(x^e - f)\)와 같다는 검증은 생략한다 (이를 보려면 \((f)\) 위에 놓인 소아이디얼들에서의 \(A'\)의 국소화가 정칙임을 보이면 된다). 세부사항은 생략한다.

보조정리

보조정리 0EYG의 상황에서 \(Y' \to X\)를 보조정리 0EYH의 사상이라 하자. \(R\)을 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이라 하자. \[t : \Spec(R) \to X\] 를 사상이라 하고, 스킴론적 역상 \(t^{-1}D\)가 \(\Spec(R)\)의 기약 닫힌점이라고 하자.

1. \(t|_{\Spec(K)}\)가 \(Y\)의 점으로 올려지면, 올림 \(t' : \Spec(R) \to Y'\)로서 \(Y' \to X\)가 \(t'(\Spec(R))\)을 따라 에탈인 것을 얻는다.

2. \(\Spec(K) \times_X Y\)가 \(\Spec(K)\)의 복사본들의 서로소 합과 동형이면, \(Y' \to X\)는 \(t(\Spec(R))\)의 어떤 열린 근방 위에서 유한 에탈이다.

증명

유한 사상 \(Y' \to X\)에 고유성에 대한 부치환 판정법을 적용하면, \(Y\)의 \(\Spec(K)\)-값 점 중에서 \(X\)로 가는 사상으로서 \(t|_{\Spec(K)}\)와 일치하는 것은 사상 \(t' : \Spec(R) \to Y'\)로 유일하게 올려진다. 따라서 주장 (1)은 의미가 있다.

에탈 근방 \((U, u) \to (X, t(\mathfrak m_R))\)로서 \(U = \Spec(A)\)이고 \(Y' \times_X U \to U\)가 어떤 \(f \in A\)에 대하여 보조정리 0EYH과 같은 기술을 갖는 것을 택하자. 그러면 \(\Spec(R) \times_X U \to \Spec(R)\)는 에탈이고 전사이다. \(R'\)을 \(\Spec(R) \times_X U\)의 국소환 중 \(\Spec(R)\)의 닫힌점 위에 놓인 것이라 하자. 그러면 \(R'\)은 이산 부치환환이고 \(R \subset R'\)은 이산 부치환환들의 비분기 확대이다 (대수학 심화의 보조정리 0AP2). \(t\)에 대한 가정은 사상 \(A \to R'\)로서 \[\Spec(R') \to \Spec(R) \times_X U \to U\] 에 대응하는 것이 \(f\)를 소원 \(\pi \in R'\)로 보낸다는 뜻이다. 이제 어떤 \(e_i \geq 1\)에 대하여 \[Y' \times_X U = \coprod\nolimits_{i \in I} \Spec(A[x]/(x^{e_i} - f))\] 라고 가정하자. 그러면 \[\Spec(R') \times_U (Y' \times_X U) = \coprod\nolimits_{i \in I} \Spec(R'[x]/(x^{e_i} - \pi))\] 를 얻는다. 환 \(R'[x]/(x^{e_i} - f)\)는 이산 부치환환이다 (대수학 심화의 보조정리 09EV). 따라서 \(R'\)의 분수체로 가는 사상을 가지려면 \(e_i = 1\)이어야 한다.

(1)의 증명. 이 경우 사상 \(t' : \Spec(R) \to Y'\)는 기저변환에 의해 대응하는 사상 \(t'' : \Spec(R') \to Y' \times_X U\)를 정하고, 위의 논의에 의해 이는 \(i \in I\)이고 \(e_i = 1\)인 성분으로 가야 한다. 따라서 \(Y' \times_X U \to U\)가 \(t''\)의 상을 따라 에탈이라는 것은 명백하다. 에탈성은 에탈 기저변환 뒤에 판정할 수 있는 성질이므로, 이것으로 (1)이 증명되었다.

(2)의 증명. 이 경우 가정은 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(e_i = 1\)이라는 뜻이다. 따라서 \(Y' \times_X U \to U\)는 유한 에탈이고 앞에서와 마찬가지로 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 일반점 \(\eta\)를 갖는 정역 정규 Noether 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 기하학적으로 연결인 올들을 갖는 매끄러운 사상이라 하자. \(\sigma : S \to X\)를 \(f\)의 단면이라 하자. \(Z \to X_\eta\)를 유한 에탈 Galois 덮개 (절 03SF)라 하고, 그 군 \(G\)의 위수가 \(S\) 위에서 가역이며 \(Z\)가 \(\sigma(\eta)\)로 가는 \(\kappa(\eta)\)-유리점을 가진다고 하자. 그러면 군 \(G\)를 갖고 \(X_\eta\)로의 제한이 \(Z\)인 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y \to X\)가 존재한다.

증명

먼저 \(S = \Spec(R)\)가 이산 부치환환 \(R\)의 스펙트럼이고 닫힌점을 \(s \in S\)라 하자. 그러면 \(X_s\)는 \(X\)의 유효 Cartier 인자이고, 체 위의 매끄러운 스킴으로서 \(X_s\)는 정칙이다. 또 일반올 \(X_\eta\)는 열린부분스킴 \(X \setminus X_s\)이다. 대수학 심화의 보조정리 09EB과 \(G\)에 대한 가정에 의해 \(Z\)는 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 순분기한다. \(Z' \to X\)를 보조정리 0EYH의 사상이라 하자. \(G\)의 \(Z\) 위의 작용이 \(G\)의 \(Z'\) 위의 작용으로 연장됨에 주의하자. 보조정리 0EYI에 의해 \(Z' \to X\)는 \(\sigma(y)\)의 어떤 열린 근방 위에서 유한 에탈이다. \(X_s\)가 기약이므로, 이는 \(Z \to X_\eta\)가 \(X\) 위 여차원 \(1\)에서 비분기라는 뜻이다. 그러면 보조정리 0EYE에 의해 \(X_\eta\)로의 제한이 \(Z\)인 유한 에탈 사상 \(Y \to X\)를 얻는다. 물론 \(Y \cong Z'\)이고(세부사항은 생략한다. 힌트: 에탈 국소적으로 계산하라), 따라서 \(Y\)는 군 \(G\)를 갖는 Galois 덮개이다.

일반적인 경우. \(U \subset S\)를 다음 성질을 갖는 최대 열린부분스킴이라 하자. 즉, 군 \(G\)를 갖고 \(X_\eta\)로의 제한이 \(Z\)와 동형인 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y \to X \times_S U\)가 존재한다고 하자. 모순을 얻기 위해 \(U \not = S\)라고 가정한다. \(s \in S \setminus U\)를 \(S \setminus U\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. \(U_s\)를 \(U\)의 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 안에서의 역상이라 하면, 이는 \(\mathcal{O}_{S, s}\)의 천공 스펙트럼이다. 사상 \(Y \times_S U_s \to X \times_S U_s\)는 군 \(G\)를 갖는 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y'_s \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)의 제한이라고 주장한다.

먼저 이 주장이 원하는 모순을 준다는 것을 보이자. 극한의 보조정리 0BQ5에 의해 \(s\)를 포함하는 열린부분스킴 \(U \subset U' \subset S\)와 유한 표시 사상 \(Y'' \to U'\)로서, \(U\)로 제한하면 \(Y' \to U\)를 되찾고 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 제한하면 \(Y'_s\)를 되찾는 것을 얻는다. 더 나아가 이 보조정리가 주는 범주들의 동치에 의해, \(U'\)를 축소한 뒤 사상 \(Y'' \to U' \times_S X\)와 \(U' \times_S X\) 위의 \(G\)의 \(Y''\) 위 작용이 존재하고, 이들이 \(U\) 및 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 기저변환한 뒤 주어진 사상과 작용에 맞는다고 가정해도 된다. 필요하면 \(U'\)를 더 축소하여 \(Y'' \to U \times_S X\)가 유한 에탈이라고 가정해도 된다. 극한의 보조정리 0EY3를 보라. 이는 \(Y\)가 군 \(G\)를 갖는 유한 에탈 Galois 덮개로 연장되는 \(S\)의 진정으로 더 큰 열린집합을 찾았다는 뜻이며, 우리가 원한 모순을 준다.

주장의 증명. \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 바꾸어도 되고, 실제로 그렇게 하자. 그러면 \(S = \Spec(A)\)이고 \((A, \mathfrak m)\)은 정규 국소 정역이다. 또한 \(U \subset S\)는 천공 스펙트럼이고, 군 \(G\)를 갖는 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y \to X \times_S U\)가 있다. \(\dim(A) = 1\)이면 증명의 첫 단락에 의해 \(Y\)를 \(X\)의 Galois 덮개로 연장할 수 있다. 따라서 \(\dim(A) \geq 2\)라고 가정해도 되고, \(S\)가 정규이므로 \(\text{depth}(A) \geq 2\)이다. 대수학의 보조정리 031S을 보라. \(X \to S\)가 평탄이므로, \(s\)로 가는 모든 점 \(x \in X\)에 대하여 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)라고 결론내릴 수 있다. 대수학의 보조정리 0337을 보라. \[Y' \longrightarrow X\] 를 \(Y \to X \times_S U\)를 사용하여 보조정리 0EY6에서 구성한 유한 사상이라 하자. \(G\)의 표준 작용을 \(Y\) 위에 얻는다는 점에 주의하자. 따라서 남은 것은 \(Y'\)가 \(X\) 위에서 에탈임을 보이는 것뿐이다. 실제로 예를 들어 보조정리 0EYB에 의해 \(Y' \to X\)가 올 \(X_s\)의 유일한 일반점 위에서 에탈임을 보이는 것만으로도 충분하다. 이는 \(\sigma(s)\)의 형식적 근방에서의 국소 계산으로 보인다.

\(\sigma(s)\)를 포함하는 아핀 열린집합 \(\Spec(B) \subset X\)를 택하자. 그러면 \(A \to B\)는 매끄러운 환 준동형이고 단면 \(\sigma : B \to A\)를 갖는다. \(I = \Ker(\sigma)\)라 쓰고 \(B^\wedge\)를 \(B\)의 \(I\)-진 완비화라 하자. 그러면 어떤 \(d \geq 0\)에 대하여 \(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\)이다. 대수학의 보조정리 05D5를 보라. 물론 \(B \to B^\wedge\)는 평탄이고 (대수학의 보조정리 00MB), \(\Spec(B^\wedge) \to X\)의 상은 \(X_s\)의 일반점을 포함한다. \(V \subset \Spec(B^\wedge)\)를 \(U\)의 역상이라 하자. 유한 에탈 사상 \[W = Y \times_{(X \times_S U)} V \longrightarrow V\] 를 생각하자. 보조정리 0EY6에서 \(Y'\)의 구성이 평탄 기저변환과 양립하므로, 기저변환 \(Y' \times_X \Spec(B^\wedge) \to \Spec(B^\wedge)\)는 \(W \to V\)로부터 \(\Spec(B^\wedge)\) 위에서 보조정리 0EY6의 절차로 구성된다. \(V_0 = V \cap V(x_1, \ldots, x_d) \subset V\) 및 \(W_0 = W \times_V V_0\)로 놓자. 이는 정규 정역 스킴이고 사상 \(\Spec(B^\wedge) \to X\)에 의해 \(\sigma(S)\) 안으로 가며, 실제로 \(\sigma(U)\)와 동일시된다. 따라서 \(W_0 \to V_0 = U\)는 완전히 분해된다. 실제로 그 일반올에 대해서는 \(Z \to X_\eta\)가 \(\sigma(\eta)\) 위에 놓인 \(\kappa(\eta)\)-유리점을 갖는다는 가정에서 이 사실이 따른다 (그리고 물론 \(G\)-작용으로부터 전체 올 \(Z_{\sigma(\eta)}\)는 스킴 \(\eta = \Spec(\kappa(\eta))\)의 복사본들의 서로소 합이다). 마지막으로 보조정리 0EY9에 의해 \[W_0 \times_U V \cong W\] 이다. 이는 \(W\)가 \(V\)의 복사본들의 서로소 합임을 보인다. 따라서 \(Y' \times_X \Spec(B^\wedge)\)는 \(\Spec(B^\wedge)\)의 복사본들의 서로소 합이고, 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 일반점 \(\eta\)를 갖는 준콤팩트 준분리 정역 정규 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 준콤팩트하고 준분리이며 기하학적으로 연결인 올들을 갖는 매끄러운 사상이라 하자. \(\sigma : S \to X\)를 \(f\)의 단면이라 하자. \(Z \to X_\eta\)를 유한 에탈 Galois 덮개 (절 03SF)라 하고, 그 군 \(G\)의 위수가 \(S\) 위에서 가역이며 \(Z\)가 \(\sigma(\eta)\)로 가는 \(\kappa(\eta)\)-유리점을 가진다고 하자. 그러면 군 \(G\)를 갖고 \(X_\eta\)로의 제한이 \(Z\)인 유한 에탈 Galois 덮개 \(Y \to X\)가 존재한다.

증명

\(S\)가 Noether이면 이는 보조정리 0EYJ의 결과이다. 일반적인 경우는 표준적인 극한 논법으로부터 따른다. 독자에게 이 증명은 건너뛸 것을 강하게 권한다.

\(S = \lim S_i\)를 아핀 전이사상을 갖는 스킴들의 계의 유향 역극한으로 쓰되, \(S_i\)들은 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이라고 하자. 극한의 명제 01ZA를 보라. 각 \(i\)에 대하여 \(S \to S'_i \to S_i\)를 \(S\) 안에서 취한 \(S_i\)의 정규화에서 오는 사상들이라 하자. 스킴의 사상의 절 0BAK을 보라. 대수학의 명제 0335, 스킴의 사상의 보조정리 03GR 및 035L을 함께 쓰면, \(S'_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이고 \(S_i\) 위 유한이며, 더 나아가 \(S'_i\)는 정역 정규 스킴이고 \(S \to S'_i\)는 우세하다고 결론내릴 수 있다. 스킴의 사상의 보조정리 035J에 의해 전이사상 \(S'_{i'} \to S'_i\)로서 전이사상 \(S_{i'} \to S_i\) 및 정의역이 \(S\)인 사상들과 양립하는 것을 얻는다. \(S = \lim S'_i\)라고 주장한다. 이 주장의 증명은 생략한다(힌트: 어떤 \(i\)에 대하여 택한 \(S_i\)의 아핀 열린집합 위의 아핀 열린집합들을 생각하면, 이는 소박한 대수학 문제로 바뀐다). 따라서 \(S = \lim S_i\)를 정규 정역 스킴 \(S_i\)들의 계의 유향 역극한으로 쓰되, 전이사상들은 아핀이고 \(S_i\)들은 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이라고 가정해도 된다.

어떤 \(i\)에 대하여 유한 표시인 매끄러운 사상 \(X_i \to S_i\)로서 \(S\)로의 기저변환이 \(X \to S\)인 것을 찾을 수 있다. 극한의 보조정리 01ZM 및 0C0C를 보라. \(i\)를 크게 한 뒤 단면 \(\sigma\)가 단면 \(\sigma_i : S_i \to X_i\)로 내려간다고 가정해도 된다 (극한의 보조정리 01ZM에 나오는 범주들의 동치에 의한다). \(X_i\)를 스킴의 사상 심화의 절 055K에서 연구한 열린부분스킴 \(X_i^0\)로 바꾸어도 된다. 실제로 \(X \to X_i\)의 상은 분명히 그 안에 놓인다 (열림성에 대해서는 스킴의 사상 심화의 보조정리 055R을 보라). 따라서 \(X_i \to S_i\)의 올들이 기하학적으로 연결이라고 가정해도 된다. \(i\)를 크게 한 뒤 \(|G|\)가 \(S_i\) 위에서 가역이라고 가정해도 된다. \(\eta_i \in S_i\)를 일반점이라 하자. \(X_\eta\)가 스킴 \(X_{i, \eta_i}\)들의 극한이므로, 똑같은 논법에 의해 필요하면 \(i\)를 크게 하여 \(Z \to X_\eta\)를 어떤 유한 에탈 Galois 덮개 \(Z_i \to X_{i, \eta_i}\)로 내릴 수 있다. 보조정리 0BTV을 보라. 필요하면 \(i\)를 한 번 더 크게 한 뒤 \(Z_i\)가 \(\sigma_i(\eta_i)\)로 가는 \(\kappa(\eta_i)\)-유리점을 가진다고 가정해도 된다. 이제 Noether인 경우의 보조정리를 적용한 뒤 \(X\)로 당겨오면 결론을 얻는다.

양의 표수에서의 기법

Piotr Achinger의 논문 [Achinger]에서는 양의 표수인 아핀 스킴이 항상 \(K(\pi, 1)\)임을 증명한다. 이 절에서는 [Achinger]의 더 초등적인 부분을 설명한다. 즉, 양의 표수인 체 \(k\)에 대하여 \(\mathbf{A}^n_k\) 위에서 에탈인 아핀 스킴이 실제로는 다른 사상에 의하여 \(\mathbf{A}^n_k\) 위에서 유한 에탈임을 보인다. 또한 양의 표수인 연결 아핀 스킴들의 닫힌 몰입이 에탈 기본군들 사이의 단사를 유도함도 보인다.

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. 전사 \[k[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow A\] 를 유한형 \(k\)-대수들의 전사라 하되, 그 정의역은 \(x_1, \ldots, x_n\)에 관한 다항식환이라고 하자. 그 핵을 \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)라 쓰면 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/I\)이다. \(A\)가 비영이라고 가정하지 않는다 (달리 말하면 \(A\)가 영환이고 \(I = k[x_1, \ldots, x_n]\)인 경우도 허용한다). 마지막으로 유한 에탈 환 준동형 \(\pi : A \to B\)가 주어졌다고 하자.

\(k, n, k[x_1, \ldots, x_n] \to A, I, \pi : A \to B\)가 주어졌다고 하자. \(C\)를 \(k\)-대수라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ & B \\ C \ar[r] & C/\varphi(I)C \ar[u]^\tau \\ k[x_1, \ldots, x_n] \ar[u]^\varphi \ar[r] & A \ar[u] \ar@/_3em/[uu]_\pi }\] 를 생각하자. 여기서 \(\varphi\)는 에탈 \(k\)-대수 준동형이고 \(\tau\)는 전사 \(k\)-대수 준동형이다. \(C, \varphi, \tau\)가 주어졌다고 하자. 임의의 \(r \geq 0\) 및 \(y_1, \ldots, y_r \in C\)로서 \(C\)를 \(\Im(\varphi)\) 위의 대수로 생성하는 것에 대하여, \(s = s(r, y_1, \ldots, y_r) \in \{0, \ldots, r\}\)를 \(1 \leq i \leq s\)에 대하여 \(y_i\)가 \(\Im(\varphi)\) 위 정수가 되는 가장 큰 정수라 하자. \(NF(C, \varphi, \tau)\)를 위와 같은 \(r\) 및 \(y_1, \ldots, y_r\)의 모든 선택에 걸쳐 \(r - s = r - s(r, y_1, \ldots, y_r)\)가 취하는 최솟값으로 정의한다. \(NF(C, \varphi, \tau)\)가 \(0\)인 것과 \(\varphi\)가 유한인 것은 동치이다.

보조정리

위의 상황에서 \(NF(C, \varphi, \tau) > 0\)이면, 가환 도식 \[\xymatrix{ & B \\ C \ar[r] & C/\varphi'(I)C \ar[u]_{\tau'} \\ k[x_1, \ldots, x_n] \ar[u]^{\varphi'} \ar[r] & A \ar[u] \ar@/_3em/[uu]_\pi }\] 에 들어가고 \(NF(C, \varphi', \tau') < NF(C, \varphi, \tau)\)를 만족하는 에탈 \(k\)-대수 준동형 \(\varphi'\)과 전사 \(k\)-대수 준동형 \(\tau'\)가 존재한다.

증명

\(C\)를 \(\Im(\varphi)\) 위에서 생성하는 \(r \geq 0\) 및 \(y_1, \ldots, y_r \in C\)를 택하고, \(y_1, \ldots, y_s\)가 \(\Im(\varphi)\) 위에서 정수적이며 \(r - s = NF(C, \varphi, \tau) > 0\)이 되도록 \(0 \leq s \leq r\)를 택한다. \(B\)가 \(A\) 위 유한이므로 \(B\)에서의 \(y_{s + 1}\)의 상은 \(A\) 위의 일계수 다항식을 만족한다. 따라서 \(d \geq 1\) 및 \(f_1, \ldots, f_d \in k[x_1, \ldots, x_n]\)로서 \[z = y_{s + 1}^d + \varphi(f_1) y_{s + 1}^{d - 1} + \ldots + \varphi(f_d) \in J = \Ker(C \to C/\varphi(I)C \xrightarrow{\tau} B)\] 가 되는 것을 찾을 수 있다. \(\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\)가 에탈이므로, 영이 아니고 상수가 아닌 다항식 \(g \in k[T_1, \ldots, T_{n + 1}]\)로서 \[g(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), z) = 0 \quad\text{(다음 환에서)}\quad C\] 가 되는 것을 찾을 수 있다. 이를 보려면 예를 들어 \(C \otimes_{\varphi, k[x_1, \ldots, x_n]} k(x_1, \ldots, x_n)\)가 \(k(x_1, \ldots, x_n)\)의 유한차 분리 체 확대들의 유한 직접곱이라는 사실 (대수학의 보조정리 00U3을 보라)을 사용하면 된다. 따라서 \(z\)는 \(k(x_1, \ldots, x_n)\) 위의 일계수 다항식을 만족한다. 분모를 없애면 \(g\)를 얻는다.

\(g\)의 존재와 대수학의 보조정리 051N에 의해, \(z\)가 \(C\)의 부분환 \(C'\), 즉 \(t_1 = \varphi(x_1) + z^{pe_1}, \ldots, t_n = \varphi(x_n) + z^{pe_n}\)로 생성되는 부분환 위에서 정수적이 되게 하는 정수 \(e_1, e_2, \ldots, e_n \geq 1\)을 얻는다. 물론 원소 \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n)\)도 \(C'\) 위에서 정수적이고, 원소 \(y_1, \ldots, y_s\)도 마찬가지이다. 마지막으로 \(z\)를 택한 방식에 의해 원소 \(y_{s + 1}\)도 \(C'\) 위에서 정수적이다.

환 준동형 \[\varphi' : k[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow C, \quad x_i \longmapsto t_i\] 를 생각하자. 그 상은 \(C'\)이다. \(\text{d}(\varphi(x_i)) = \text{d}(t_i) = \text{d}(\varphi'(x_i))\)가 \(\Omega_{C/k}\)에서 성립하므로(여기서 \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이라는 사실을 사용한다), \(\varphi\)가 에탈인 것에서 \(\varphi'\)도 에탈이라고 결론내릴 수 있다. 대수학의 보조정리 0G1C을 보라. \(\varphi'(x_i) - \varphi(x_i) = t_i - \varphi(x_i) = z^{pe_i}\)는 \(z\)를 \(J\)의 원소로 택한 것에 의해 핵 \(J\), 즉 사상 \(C \to C/\varphi(I)C \to B\)의 핵에 속함에 주의하자. 따라서 \(f \in I\)에 대하여 원소 \[\varphi'(f) = f(t_1, \ldots, t_n) = f(\varphi(x_1) + z^{pe_1}, \ldots, \varphi(x_n) + z^{pe_n}) = \varphi(f) + \text{다음 아이디얼의 원소 }(z)\] 도 \(J\)에 속한다. 달리 말해 \(\varphi'(I)C \subset J\)이고, \(A\) 위에서 에탈인 대수들 사이의 전사 \[\tau' : C/\varphi'(I)C \longrightarrow C/J \cong B\] 를 얻는다. 마지막으로 대수 \(C\)는 원소 \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), y_1, \ldots, y_r\)에 의해 \(C' = \Im(\varphi')\) 위에서 생성되고, \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), y_1, \ldots, y_{s + 1}\)는 \(C' = \Im(\varphi')\) 위에서 정수적이다. 따라서 \(NF(C, \varphi', \tau') < r - s = NF(C, \varphi, \tau)\)이다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \(X \to \mathbf{A}^n_k\)를 에탈 사상이라 하고 \(X\)가 아핀이라고 하자. 그러면 유한 에탈 사상 \(X \to \mathbf{A}^n_k\)가 존재한다.

증명

\(X = \Spec(C)\)라 쓰자. \(A = 0\)으로 놓고 \(I = k[x_1, \ldots, x_n]\)라 쓰자. 가정에 의해 어떤 에탈 \(k\)-대수 준동형 \(\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\)가 존재한다. \(\tau : C/\varphi(I)C \to 0\)를 유일한 전사라 쓰자. \(N(C, \varphi, \tau)\)가 최소가 되도록 \(\varphi\)와 \(\tau\)를 택할 수 있다. 보조정리 0G1F에 의해 \(N(C, \varphi, \tau) = 0\)을 얻는다. 따라서 \(\varphi\)는 유한 에탈이다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \(Z \subset \mathbf{A}^n_k\)를 닫힌부분스킴이라 하자. \(Y \to Z\)가 유한 에탈이라고 하자. 그러면 유한 에탈 사상 \(f : U \to \mathbf{A}^n_k\)로서, \(Z\) 위의 열린 동시에 닫힌 몰입 \(Y \to f^{-1}(Z)\)가 존재하게 하는 것이 존재한다.

증명

이 문제를 대수학으로 바꾸어 보자. \(\mathbf{A}^n_k = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\). 라고 쓰자. 그러면 \(Z = \Spec(A)\)이고 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/I\)이다. 여기서 \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)는 어떤 아이디얼이다. \(Y = \Spec(B)\)라 쓰면 \(Y \to Z\)는 유한 에탈 \(k\)-대수 준동형 \(A \to B\)에 대응한다.

대수학의 보조정리 04D1에 의해 에탈 환 준동형 \[\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\] 와 전사 \(A\)-대수 준동형 \(\tau : C/\varphi(I)C \to B\)가 존재한다. (\(C, \varphi, \tau\)는 \(\tau\)가 동형사상이 되도록 택할 수도 있지만, 이를 사용하지 않는다.) \(N(C, \varphi, \tau)\)가 최소가 되도록 \(\varphi\)와 \(\tau\)를 택할 수 있다. 보조정리 0G1F에 의해 \(N(C, \varphi, \tau) = 0\)을 얻는다. 따라서 \(\varphi\)는 유한 에탈이다.

\(f : U = \Spec(C) \to \mathbf{A}^n_k\)를 \(\varphi\)에 대응하는 유한 에탈 사상이라 하자. 사상 \(Y \to f^{-1}(Z) = \Spec(C/\varphi(I)C)\)는 \(\tau\)에 의해 유도되고, \(\tau\)가 전사이므로 닫힌 몰입이며 스킴의 사상의 보조정리 02GW에 의해 에탈 사상이므로 열리기도 하다. 이것으로 증명이 끝난다.

다음이 주요 결과이다.

명제

\(p\)를 소수라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(\mathbf{F}_p\) 위의 연결 아핀 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(Z\)의 임의의 기하점 \(\overline{z}\)에 대하여 사상 \[\pi_1(Z, \overline{z}) \to \pi_1(X, \overline{z})\] 은 단사이다.

증명

\(Y \to Z\)를 유한 에탈 사상이라 하자. \(Y\)가 \(f^{-1}(Z)\)의 열린 동시에 닫힌 부분스킴과 동형이 되게 하는 유한 에탈 사상 \(f : U \to X\)를 구성하면 충분하다. 보조정리 0BN7를 보라. \(Y = \Spec(A)\) 및 \(X = \Spec(R)\)라 쓰면 닫힌 몰입 \(Y \to X\)는 전사 \(R \to A\)로 주어진다. \(A = \colim A_i\)를 유한형 \(\mathbf{F}_p\)-부분대수들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 보조정리 0BTV에 의해 어떤 \(i\)와 유한 에탈 사상 \(Y_i \to Z_i = \Spec(A_i)\)로서 \(Y = Z \times_{Z_i} Y_i\)가 되는 것을 찾을 수 있다.

전사 \(\mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n] \to A_i\)를 택하자. 이는 닫힌 몰입 \[Z_i = \Spec(A_i) \longrightarrow X_i = \mathbf{A}^n_{\mathbf{F}_p} = \Spec(\mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n])\] 을 정한다. 다항식 대수의 보편 성질과 \(R \to A\)가 전사라는 사실에 의해 가환 도식 \[\xymatrix{ \mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n] \ar[r] \ar[d] & A_i \ar[d] \\ R \ar[r] & A }\] 을 \(\mathbf{F}_p\)-대수들 사이에서 찾을 수 있다. 따라서 가환 도식 \[\xymatrix{ Y_i \ar[r] & Z_i \ar[r] & X_i \\ Y \ar[u] \ar[r] & Z \ar[u] \ar[r] & X \ar[u] }\] 을 얻고, 그 오른쪽 정사각형은 데카르트이다. 유한 에탈 사상 \(f_i : U_i \to X_i\)로서 \(Y_i\)가 \(f_i^{-1}(Z_i)\)의 열린 동시에 닫힌 부분스킴과 동형이 되는 것을 찾을 수 있다면, \(f_i\)를 \(X \to X_i\)에 의해 기저변환한 \(f : U \to X\)가 이 문제의 해라는 것은 명백하다. 따라서 보조정리 0G1H를 \(Y_i \to Z_i \to X_i = \mathbf{A}^n_{\mathbf{F}_p}\)에 적용하면 결론을 얻는다.