단사 대상 · Stacks

서론

뒤의 여러 장에서는 환 달린 사이트 위 가군층의 코호몰로지를 다루기 위해 단사 대상과 K-단사 복합체의 존재를 사용할 것이다. 이 장에서는 먼저 사이트 위의 가군에 대해, 이어서 더 일반적으로 그로텐디크 아벨 범주에 대해 단사 대상과 K-단사 복합체를 구성하는 방법을 설명한다.

아벨군의 범주와 환 위의 가군 범주에는 단사 대상이 충분히 많다는 사실을 이미 알고 있다. More on Algebra의 01D6절 및 01D8절을 보라.

가군에 대한 Baer의 논증

임의의 \(R\)-가군 \(M\)을 단사적 가군에 매장할 수 있음을 보이는 데에는 집합론적인 성격이 더 강한 또 다른 방법이 있다. 이 방법은 밀어내기들의 초한 여극한으로 단사적 가군을 구성한다. 이 방법은 More on Algebra, Section 01D8의 방법보다 다소 추상적이고 복잡하지만 더 일반적이기도 하다. 이 방법은 Baer에서 비롯된 것으로 보이며, Cartan과 Eilenberg가 [Cartan-Eilenberg]에서, Grothendieck이 [Tohoku]에서 다시 다루었다. Grothendieck은 후자의 논문에서 이 방법을 사용해 다른 많은 아벨 범주에도 단사 대상이 충분히 많음을 보인다. 일반적인 경우는 뒤에서 다시 다룬다(Section 05AB).

먼저 몇 가지 집합론적 사항을 살펴보자. \(\{B_{\beta}\}_{\beta \in \alpha}\)를 순서수 \(\alpha\)로 첨자화된 어떤 범주 \(\mathcal{C}\)의 대상들의 귀납계라 하자. \(\colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\)가 \(\mathcal{C}\)에서 존재한다고 가정하자. \(A\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이면 자연스러운 사상 [05NN]\[\begin{equation} \colim_{\beta \in \alpha} \Mor_\mathcal{C}(A, B_\beta) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(A, \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta). \end{equation}\] 이 있다. 실제로 어떤 \(\beta\)에 대한 사상 \(A \to B_\beta\)가 주어지면 이를 \(B_\beta \to \colim_{\beta \in \alpha} B_\alpha\)와 합성하여 \(A\)에서 여극한으로 가는 사상을 자연스럽게 얻는다. 왼쪽 여극한은 집합들의 여극한임에 유의하라! 일반적으로 (05NN)는 단사도 전사도 아니다.

예

집합의 범주를 생각하자. \(A = \mathbf{N}\)으로 놓고, \(B_n = \{1, \ldots, n\}\)을 자연수로 첨자화된 귀납계라 하자. 여기서 \(n \leq m\)이면 \(B_n \to B_m\)은 자명한 사상이다. 그러면 \(\colim B_n = \mathbf{N}\)이므로 사상 \(A \to \colim B_n\) 가운데 어떤 \(m\)에 대해서도 \(A \to B_m\)을 거쳐 분해되지 않는 것이 있다. 따라서 \(\colim \Mor(A, B_n) \to \Mor(A, \colim B_n)\) 는 전사가 아니다.

예

다음에는 이 사상이 단사가 아닌 예를 들겠다. \(B_n = \mathbf{N}/\{1, 2, \ldots, n\}\), 즉 \(\mathbf{N}\)의 처음 \(n\)개 원소를 한 원소로 합친 몫집합이라 하자. \(n \leq m\)이면 자연스러운 사상 \(B_n \to B_m\)이 있으므로 \(\{B_n\}\)은 \(\mathbf{N}\) 위의 집합들로 이루어진 계를 이룬다. \(\colim B_n = \{*\}\), 즉 한원소 집합임은 쉽게 알 수 있다. 따라서 모든 집합 \(A\)에 대해 \(\Mor(A, \colim B_n)\)은 한원소 집합이다. 그러나 \(\colim \Mor(A , B_n)\)은 한원소 집합이 아니다. 자연스러운 사영 \(\mathbf{N} \to \mathbf{N}/\{1, 2, \ldots, n\}\)들로 이루어진 사상족 \(A \to B_n\)과 \(A\) 전체를 \(1\)의 동치류로 보내는 사상족 \(A \to B_n\)을 생각하자. 이 두 사상족은 각 단계에서 서로 다르므로 \(\colim \Mor(A, B_n)\)에서도 서로 다르지만, 같은 사상 \(A \to \colim B_n\)을 유도한다.

그럼에도 유한 집합에서 출발하는 사상을 생각하면 (05NN)는 언제나 동형이다.

보조정리

(05NN)에서 \(\mathcal{C}\)가 집합의 범주이고 \(A\)가 유한 집합이라고 하자. 그러면 그 사상은 전단사이다.

증명

\(f : A \to \colim B_\beta\)라 하자. \(f\)의 상은 유한하며, 그 원소들을 \(c_1, \ldots, c_r \in \colim B_\beta\)라 하자. 여극한의 정의에 따라 이들은 모두 충분히 큰 \(\beta \in \alpha\)에 대한 \(B_\beta\)의 원소들에서 온다. 따라서 유한 단계에서 \(f\)를 올리는 사상 \(\widetilde{f} : A \to B_\beta\)를 정의할 수 있다. 이로써 (05NN)가 전사임을 보였다. 이제 두 사상 \(f : A \to B_\gamma, f' : A \to B_{\gamma'}\)가 같은 사상 \(A \to \colim B_\beta\)를 정의한다고 하자. 그러면 \(A\)의 유한한 각 원소는 여극한의 같은 점으로 보내진다. 집합의 여극한의 정의에 따라 \(\beta \geq \gamma, \gamma'\)이고 \(A\)의 유한한 원소들이 \(f\)와 \(f'\) 아래에서 \(B_\beta\)의 같은 점들로 보내지는 지표가 존재한다. 이로써 (05NN)가 단사임을 보였다.

이 보조정리에서 가장 흥미로운 경우는 \(\alpha = \omega\)인 경우, 즉 \(\{B_\beta\}\)가 예 05NP 및 05NQ에서처럼 자연수 위의 계 \(\{B_n\}_{n \in \mathbf{N}}\)인 경우이다. 핵심 아이디어는 긴 합성의 사슬 \(B_1 \to B_2 \to \ldots\)에 비해 \(A\)가 “작아서” 유한 단계를 거쳐 분해될 수밖에 없다는 것이다. 이 보조정리의 더 일반적인 판본은 Sets, Lemma 05N2에서 찾을 수 있다. 이제 이를 가군의 범주로 일반화하자.

정의

\(\mathcal{C}\)를 범주, \(I \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\)라 하고 \(\alpha\)를 순서수라 하자. \(\alpha\) 위의 계 \(\{B_\beta\}\)의 전이 사상들이 \(I\)에 속할 때마다 사상 (05NN)가 동형이면, \(\mathcal{C}\)의 대상 \(A\)를 \(I\)에 관하여 \(\alpha\)-작다고 한다.

이 절의 나머지에서는 고정된 가환환 \(R\) 위의 \(R\)-가군 범주만을 다룬다. 또 \(I\)를 단사 사상들, 즉 \(R\) 위의 가군 범주에서 단사 사상들의 모임으로 잡는다. 이 경우 정의에 나오는 임의의 계 \(\{B_\beta\}\)에 대해 각 사상 \[B_\beta \to \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\] 은 단사이다. 따라서 사상 (05NN)는 단사이다. 실제로 \(B_\beta\)들을 가군 \(B = \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\)의 부분가군들로 해석할 수 있으며, 그러면 \(B = \bigcup_{\beta \in \alpha} B_\beta\)이다. \(B_\alpha\)를 여극한 안의 그 상과 동일시하면 이는 기호의 남용이 아니다. 이제 “큰” 순서수 \(\alpha\)에 대해 가군이 언제나 작음을 보이고자 한다.

명제

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(\kappa\)를 \(M\)의 부분가군들의 집합의 기수라 하자. \(\alpha\)가 공종수가 \(\kappa\)보다 큰 순서수이면, \(M\)은 단사 사상들에 관하여 \(\alpha\)-작다.

증명

증명은 직접적이지만, 먼저 특별한 경우를 생각해 보자. \(M\)이 유한이면 주장은 다음과 같다. 극한 순서수로 매개화되고 단계 사이의 사상이 단사인 임의의 귀납계 \(\{B_\beta\}\)에 대해, 모든 사상 \(M \to \colim B_\beta\)는 어느 \(B_\beta\)를 거쳐 분해된다. 이는 보조정리 05NR에서 증명했다.

이제 일반적인 경우의 증명을 시작하자. 사상 (05NN)가 전사임만 보이면 된다. \(f : M \to \colim B_\beta\)를 사상이라 하자. \(B_\beta\)를 여극한 \(B = \bigcup_\beta B_\beta\)의 부분대상으로 보고, \(M\)의 부분대상들 \(\{f^{-1}(B_\beta)\}\)를 생각하자. 이 가운데 하나, 이를테면 \(f^{-1}(B_\beta)\)가 \(M\)과 같다면 그 사상은 \(B_\beta\)를 거쳐 분해된다.

반대로 모든 \(f^{-1}(B_\beta)\)가 \(M\)의 진부분대상이라고 가정하자. 그러나 \[\bigcup f^{-1}(B_\beta) = f^{-1}\left(\bigcup B_\beta\right) = M.\] 임을 알고 있다. 가정에 따라 \(f^{-1}(B_\alpha)\)들 가운데 나타나는 서로 다른 \(M\)의 부분대상은 많아야 \(\kappa\)개이다. 따라서 기수가 많아야 \(\kappa\)인 부분집합 \(S \subset \alpha\)를 택하여, \(\beta'\)가 \(S\)를 달릴 때 \(f^{-1}(B_{\beta'})\)들이 \(f^{-1}(B_\alpha)\)들을 모두 이루게 할 수 있다.

그런데 \(\alpha\)의 공종수가 \(\kappa\)보다 크므로 \(S\)에는 상계 \(\widetilde{\alpha} < \alpha\)가 있다. 특히 모든 \(f^{-1}(B_{\beta'})\), \(\beta' \in S\)는 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}})\)에 들어간다. 따라서 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}}) = M\)이다. 특히 사상 \(f\)는 \(B_{\widetilde{\alpha}}\)를 거쳐 분해된다.

이 보조정리로부터 단사 대상이 충분히 많이 존재함을 도출할 수 있다. Baer의 판정법을 상기하자.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)-가군 \(Q\)가 단사적일 필요충분조건은 모든 가환 도식 \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r] & Q \\ R \ar@{-->}[ru] }\] 에서 \(\mathfrak{a} \subset R\)가 아이디얼일 때 점선 화살표가 존재하는 것이다.

증명

이는 More on Algebra, Lemma 0AVF의 (1)과 (3)의 동치이다. 거기에 주어진 증명은 초등적이다(즉 \(\text{Ext}\) 군이나 \(R\)-가군 범주에서 단사 대상 또는 사영 대상의 존재를 사용하지 않는다).

\(M\)이 \(R\)-가군이면 일반적으로 보조정리 05NU에서처럼 점선 화살표만 빠진 도식이 주어질 수 있다. 이 도식에서 밀어내기 \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r] & M \ar[d] \\ R \ar[r] & R \oplus_{\mathfrak{a}} M. }\] 를 만들 수 있다. 여기서 수직 사상은 단사이고 도식은 가환한다. 요점은 \(M\)을 더 큰 가군 \(R \oplus_{\mathfrak{a}} M\)으로 확장하면 \(\mathfrak{a} \to M\)을 \(R\)로 확장할 수 있다는 것이다.

Baer 논증의 핵심은 이 절차를 초한 번 되풀이하는 것이다. 이를 위해 먼저 \(R\)-가군 \(M\)이 주어졌을 때 다음과 같은 (거대한) 밀어내기를 정의한다. [05NV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] & M \ar[d] \\ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} R \ar[r] & \mathbf{M}(M). } } \end{equation}\] 위쪽 수평 화살표는 \(\varphi\)에 대응하는 직합인자 안의 원소 \(a \in \mathfrak a\)를 원소 \(\varphi(a) \in M\)으로 보낸다. 왼쪽 수직 화살표는 \(\varphi\)에 대응하는 직합인자 안의 \(a \in \mathfrak a\)를 단순히 \(\varphi\)에 대응하는 직합인자 안의 원소 \(a \in R\)로 보낸다. 이 구성의 기본 성질들을 다음 보조정리에 적는다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

구성 \(M \mapsto (M \to \mathbf{M}(M))\)은 \(M\)에 대해 함자적이다.

사상 \(M \to \mathbf{M}(M)\)은 단사이다.

임의의 아이디얼 \(\mathfrak{a}\)와 임의의 \(R\)-가군 사상 \(\varphi : \mathfrak a \to M\)에 대해, 다음 도식을 가환하게 하는 \(R\)-가군 사상 \(\varphi' : R \to \mathbf{M}(M)\)이 존재한다. \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r]_\varphi & M \ar[d] \\ R \ar[r]^{\varphi'} & \mathbf{M}(M) }\]

증명

(2)와 (3)은 구성에서 바로 따른다. (1)을 보이기 위해 \(\chi : M \to N\)을 \(R\)-가군 사상이라 하자. 다음과 같은 표준 가환 도식이 존재한다고 주장한다. \[\xymatrix{ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] \ar[rrd] & M \ar[rrd]^\chi \\ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} R \ar[rrd] & & \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\psi \in \Hom_R(\mathfrak a, N)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] & N \\ & & \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\psi \in \Hom_R(\mathfrak a, N)} R }\] 이 도식은 원하는 사상 \(\mathbf{M}(M) \to \mathbf{M}(N)\)을 유도한다. 가운데에서 오른쪽 아래로 향하는 화살표는 \(\varphi\)에 대응하는 직합인자 \(\mathfrak a\)를 \(\text{id}_{\mathfrak a}\)를 통해 \(\psi = \chi \circ \varphi\)에 대응하는 직합인자 \(\mathfrak a\)로 보낸다. 아래쪽에서 오른쪽 아래로 향하는 화살표도 마찬가지이다. 세부사항은 생략한다.

이제 함자 \(\mathbf{M}\)을 초한 번 적용한다. 각 순서수 \(\alpha\)에 대해 \(R\)-가군 범주 위의 함자 \(\mathbf{M}_\alpha\)와 자연스러운 단사 사상 \(N \to \mathbf{M}_\alpha(N)\)을 함께 정의한다. 이는 초한 귀납법으로 한다. 먼저 \(\mathbf{M}_1 = \mathbf{M}\)은 위에서 정의한 함자이다. 이제 순서수 \(\alpha\)가 주어지고 모든 \(\alpha' < \alpha\)에 대해 \(\mathbf{M}_{\alpha'}\)가 정의되어 있다고 하자. \(\alpha\)에 직전 순서수 \(\widetilde{\alpha}\)가 있으면 \[\mathbf{M}_\alpha = \mathbf{M} \circ \mathbf{M}_{\widetilde{\alpha}}.\] 로 놓는다. 그렇지 않으면, 즉 \(\alpha\)가 극한 순서수이면 \[\mathbf{M}_{\alpha}(N) = \colim_{\alpha' < \alpha} \mathbf{M}_{\alpha'}(N).\] 로 놓는다. \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\)들이 순서수 위의 귀납계를 이룸은 (예를 들어 귀납적으로) 명백하므로 이 정의는 타당하다.

정리

\(\kappa\)를 \(R\)의 아이디얼들의 집합의 기수라 하고, \(\alpha\)를 공종수가 \(\kappa\)보다 큰 순서수라 하자. 그러면 \(\mathbf{M}_\alpha(N)\)은 단사적 \(R\)-가군이고 \(N \to \mathbf{M}_\alpha(N)\)은 함자적인 단사 매장이다.

증명

Baer의 판정법(보조정리 05NU)에 따라, 아이디얼 \(\mathfrak{a} \subset R\)에 대해 임의의 사상 \(f : \mathfrak{a} \to \mathbf{M}_\alpha(N)\)이 \(R \to \mathbf{M}_\alpha(N)\)으로 확장됨을 보이면 충분하다. 그런데 \(\alpha\)가 극한 순서수이므로 \[\mathbf{M}_{\alpha}(N) = \colim_{\beta < \alpha} \mathbf{M}_{\beta}(N),\] 임을 알고 있다. 따라서 명제 05NT에 의해 \[\Hom_R(\mathfrak{a}, \mathbf{M}_{\alpha}(N)) = \colim_{\beta < \alpha} \Hom_R(\mathfrak a, \mathbf{M}_{\beta}(N)).\] 이다. 특히 어떤 \(\beta' < \alpha\)가 있어서 \(f\)는 다음과 같이 부분가군 \(\mathbf{M}_{\beta'}(N)\)을 거쳐 분해된다. \[f : \mathfrak{a} \to \mathbf{M}_{\beta'}(N) \to \mathbf{M}_{\alpha}(N).\] 그러나 함자 \(\mathbf{M}\)의 기본 성질인 보조정리 05NW의 (3)에 따라, 사상 \(\mathfrak{a} \to \mathbf{M}_{\beta'}(N)\)은 다음 사상으로 확장된다. \[R \to \mathbf{M}( \mathbf{M}_{\beta'}(N)) = \mathbf{M}_{\beta' + 1}(N),\] 또 \(\alpha\)가 극한 순서수이므로 \(\beta' + 1 < \alpha\)이고, 후자의 대상은 \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\)에 들어간다. 특히 \(f\)는 \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\)으로 확장될 수 있다.

G-가군

대수 위의 가군 범주에는 함자적인 단사 매장이 있음을 뒤에서 보게 된다 (Differential Graded Algebra, Section 04JD). 그 구성은 More on Algebra, Section 01D8의 구성과 정확히 같다.

보조정리

\(G\)를 위상군, \(R\)을 환이라 하자. \(R\text{-}G\)-가군의 범주 \(\text{Mod}_{R, G}\)에는 함자적인 단사 매장이 있다(Étale Cohomology, Definition 04JP 참조). 특히 이산 \(G\)-가군의 범주에 대해서도 그러하다.

증명

보조정리 앞의 설명에 따라 범주 \(\text{Mod}_{R[G]}\)에는 함자적인 단사 매장이 있다. 망각 함자 \(v : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_{R[G]}\)를 생각하자. 이 함자는 충만충실하고 단사 사상을 단사 사상으로 보내며, 다음 오른쪽 수반을 갖는다. \[u : M \mapsto u(M) = \{x \in M \mid \text{stabilizer of }x\text{ is open}\}\] \(v(M) = 0 \Rightarrow M = 0\)이므로 Homology, Lemma 0161에서 결론이 따른다.

공간 위의 아벨 층

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X\) 위의 아벨 층 범주에는 단사 대상이 충분히 많다. 실제로 이 범주에는 함자적인 단사 매장이 있다.

증명

아벨군 \(A\)에 대해 \(j : A \to J(A)\)를 More on Algebra, Section 01D8에서 구성한 함자적인 단사 매장이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. Sheaves, Example 006X에 따라 대응 \[\mathcal{I} : U \mapsto \mathcal{I}(U) = \prod\nolimits_{x\in U} J(\mathcal{F}_x)\] 은 아벨 층을 정의한다. \(s \in \mathcal{F}(U)\)를 \(\prod_{x \in U} j(s_x)\)로 보내는 표준 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)가 있다. 여기서 \(s_x \in \mathcal{F}_x\)는 \(x\)에서 \(s\)의 싹을 나타낸다. 이 사상은 단사이다. 예를 들어 Sheaves, Lemma 0079를 보라.

이제 다음을 증명하면 된다. 각 점 \(x \in X\)에 단사적 아벨군을 대응시키는 규칙 \(x \mapsto I_x\)가 주어지면, 층 \(\mathcal{I} : U \mapsto \prod_{x \in U} I_x\)는 단사적이다. 다음에 유의하라. \[\mathcal{I} = \prod\nolimits_{x \in X} i_{x, *}I_x\] 이는 마천루층 \(i_{x, *}I_x\)들의 곱이다(기호는 Sheaves, Section 0099 참조). 또한 \[\Mor_{\textit{Ab}}(\mathcal{F}_x, I_x) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}, i_{x, *}I_x).\] 이다(Sheaves, Lemma 009C 참조). 따라서 각 \(i_{x, *}I_x\)는 단사적임이 명백하다. 그러므로 \(\mathcal{I}\)의 단사성은 Homology, Lemma 0137에서 따른다.

환 달린 공간 위의 가군층

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자(Sheaves, Section 0090 참조). \(X\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 범주에는 단사 대상이 충분히 많다. 실제로 이 범주에는 함자적인 단사 매장이 있다.

증명

임의의 환 \(R\)과 임의의 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 \(j : M \to J_R(M)\)을 More on Algebra, Section 01D8에서 구성한 함자적인 단사 매장이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층이라 하자. Sheaves, Examples 006X 및 007R에 따라 대응 \[\mathcal{I} : U \mapsto \mathcal{I}(U) = \prod\nolimits_{x\in U} J_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x)\] 은 아벨 층을 정의한다. \(s \in \mathcal{F}(U)\)를 \(\prod_{x \in U} j(s_x)\)로 보내는 표준 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)가 있다. 여기서 \(s_x \in \mathcal{F}_x\)는 \(x\)에서 \(s\)의 싹을 나타낸다. 이 사상은 단사이다. 예를 들어 Sheaves, Lemma 0079를 보라.

이제 다음을 증명하면 된다. 각 점 \(x \in X\)에 단사적 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군을 대응시키는 규칙 \(x \mapsto I_x\)가 주어지면, 층 \(\mathcal{I} : U \mapsto \prod_{x \in U} I_x\)는 단사적이다. 다음에 유의하라. \[\mathcal{I} = \prod\nolimits_{x \in X} i_{x, *}I_x\] 이는 마천루층 \(i_{x, *}I_x\)들의 곱이다(기호는 Sheaves, Section 0099 참조). 또한 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, I_x) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, i_{x, *}I_x).\] 이다(Sheaves, Lemma 009C 참조). 따라서 각 \(i_{x, *}I_x\)가 단사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군임은 명백하다 (Homology, Lemma 015Z를 보거나 직접 논증하라). 그러므로 \(\mathcal{I}\)의 단사성은 Homology, Lemma 0137에서 따른다.

범주 위의 아벨 전층

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. 이는 \(\Ob(\mathcal{C})\)가 집합이라는 뜻임을 상기하자. 한편으로 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 전층을 생각하자(Sites, Section 00V1 참조). 다른 한편으로 \(\Ob(\mathcal{C})\)의 원소들로 첨자화된 아벨군의 족, 다시 말해 대상들의 바탕 집합이 \(\Ob(\mathcal{C})\)인 이산 범주 위의 전층을 생각하자. 이 이산 범주를 간단히 \(\Ob(\mathcal{C})\)로 나타내기로 하자. 자연스러운 함자 \[i : \Ob(\mathcal{C}) \longrightarrow \mathcal{C}\] 가 있으므로 자연스러운 제한 함자, 곧 망각 함자 \[v = i^p : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))\] 가 있다. Sites, Section 00VC와 비교하라. \(\mathcal{C}\) 위의 전층은 \(B\)로, \(\Ob(\mathcal{C})\) 위의 전층은 \(A\)로 나타내겠다.

또 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 전층을 \(\Ob(\mathcal{C})\) 위의 아벨 전층에 대응시키는 두 함자 \(i_p\)와 \({}_pi\)가 있다. Sites, Sections 00VC 및 00XF를 보라. 여기서는 현재의 경우 다음과 같이 정의되는 \(u = {}_pi\)를 사용한다. \[uA(U) = \prod\nolimits_{U' \to U} A(U').\] 따라서 그 원소는 \(\phi\)가 공역이 \(U\)인 \(\mathcal{C}\)의 모든 사상을 움직이는 족 \((a_\phi)_\phi\)이다. \(g : V \to U\)에 대응하는 \(uA\)의 제한 사상은 원소 \((a_\phi)_\phi\)를 원소 \((a_{g \circ \psi})_\psi\)로 보낸다.

표준 전사 사상 \(vuA \to A\)와 표준 단사 사상 \(B \to uvB\)가 있다. 이 간단한 경우 다음 등식을 보이는 일은 독자에게 맡긴다. \[\Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(B, uA) = \Mor_{\textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))}(vB, A).\] 일반적인 경우는 Sites, Section 00VC에 있다. 따라서 쌍 \((u, v)\)는 한 쌍의 수반 함자의 예이다. Categories, Section 0036를 보라.

이제 위 상황에 관한 다음 사실들을 열거할 수 있다.

함자 \(u\)와 \(v\)는 완전하다. 이는 위에 제시한 두 함자의 명시적인 기술에서 따른다.
특히 함자 \(v\)는 단사 사상을 단사 사상으로 보낸다.
범주 \(\textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))\)에는 단사 대상이 충분히 많다.
실제로 Homology, Definition 0139에서처럼 함자적인 단사 매장 \(A \mapsto \big(A \to J(A)\big)\)이 있다. 즉 \(J(A)\)를 전층 \(U\mapsto J(A(U))\)로 잡을 수 있다. 여기서 \(J(-)\)는 환 \(\mathbf{Z}\)에 대해 More on Algebra, Section 01D8에서 구성한 함자이다.

이 사실들을 모두 합치면 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)의 대상 \(B\)를 단사 대상에 매장하는 다음 절차를 얻는다: \(B \to uJ(vB)\). Homology, Lemma 0161를 보라.

명제

범주 위의 아벨 전층에는 함자적인 단사 매장이 있다.

증명

위의 논의를 보라.

사이트 위의 아벨 층

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 이 절에서는 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층 범주에 단사 대상이 충분히 많음을 증명한다.

\(i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\mathcal{C})\)를 아벨 층에서 아벨 전층으로 가는 망각 함자라 하고, \({}^\# : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C})\)를 층화 함자라 하자. \({}^\#\)는 \(i\)의 왼쪽 수반이고 \({}^\#\)는 완전하며, 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(i\mathcal{F}^\# = \mathcal{F}\)임을 상기하자. 마지막으로 \(\mathcal{G} \to J(\mathcal{G})\)를 Section 01DJ에서 얻은 단사적 전층으로의 표준 매장이라 하자.

\(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)의 임의의 층 \(\mathcal{F}\)와 임의의 순서수 \(\beta\)에 대해 층 \(J_\beta(\mathcal{F})\)를 초한 귀납법으로 정의한다. \(J_0(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\)로 놓고 \(J_1(\mathcal{F}) = J(i\mathcal{F})^\#\)로 정의한다. 표준 사상 \(i\mathcal{F} \to J(i\mathcal{F})\)을 층화하면 함자적인 사상 \[\mathcal{F} \longrightarrow J_1(\mathcal{F})\] 을 얻으며, \(\#\)가 완전하므로 이 사상은 단사이다. \(J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) = J_1(J_\alpha(\mathcal{F}))\)로 놓는다. 그러면 표준 단사 사상 \(J_\alpha(\mathcal{F}) \to J_{\alpha + 1}(\mathcal{F})\)가 있다. 극한 순서수 \(\beta\)에 대해서는 \[J_\beta(\mathcal{F}) = \colim_{\alpha < \beta} J_\alpha(\mathcal{F}).\] 로 정의한다. 이는 유향 여극한임에 유의하라. 따라서 임의의 순서수 \(\alpha < \beta\)에 대해 단사 사상 \(J_\alpha(\mathcal{F}) \to J_\beta(\mathcal{F})\)가 있다.

보조정리

위의 기호를 사용하자. \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위 아벨 층들의 단사 사상이라 하자. \(\alpha\)를 순서수라 하고 \(\mathcal{G}_1 \to J_\alpha(\mathcal{F})\)를 층의 사상이라 하자. 다음 도식을 가환하게 하는 사상 \(\mathcal{G}_2 \to J_{\alpha + 1}(\mathcal{F})\)가 존재한다. \[\xymatrix{ \mathcal{G}_1 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[d] \\ J_{\alpha}(\mathcal{F}) \ar[r] & J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) }\]

증명

사상 \(i\mathcal{G}_1 \to i\mathcal{G}_2\)가 단사이므로 \(i\mathcal{G}_1 \to iJ_\alpha(\mathcal{F})\)는 \(i\mathcal{G}_2 \to J(iJ_\alpha(\mathcal{F}))\)로 확장된다. 여기에 층화 함자를 적용하면 원하는 사상을 얻는다.

이 보조정리는 어떤 의미에서 계 \(\{J_{\alpha}(\mathcal{F})\}\)가 \(\mathcal{F}\)의 단사 매장이라고 말한다. 물론 모든 \(\alpha\)는 집합이 아니라 모임을 이루므로 그 전부에 대해 극한을 취할 수는 없다. 이제의 아이디어는 모든 단사 사상 \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\)에 대해 단사성을 검사할 필요가 없다는 사실과 다음 보조정리를 함께 사용하는 것이다.

보조정리

\(\mathcal{G}_i\), \(i\in I\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층들로 이루어진 집합이라 하자. 다음 성질을 갖는 순서수 \(\beta\)가 존재한다. 임의의 층 \(\mathcal{F}\), 임의의 \(i\in I\), 임의의 사상 \(\varphi : \mathcal{G}_i \to J_\beta(\mathcal{F})\)에 대해, \(\varphi\)가 \(J_\alpha(\mathcal{F})\)를 거쳐 분해되게 하는 \(\alpha < \beta\)가 존재한다.

증명

모든 \(\mathcal{G}_i\)의 직합을 취하면 하나의 층 \(\mathcal{G}\)인 경우로 귀착된다.

집합 \[S = \coprod\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \mathcal{G}(U).\] 과 \[T_\beta = \coprod\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} J_\beta(\mathcal{F})(U)\] 를 생각하자. 집합 \(T_\beta\)들 사이의 전이 사상은 단사이다. \(\beta\)의 공종수가 충분히 크면 \(T_\beta = \colim_{\alpha < \beta} T_\alpha\)이다 (Sites, Lemma 0GS0 참조). 사상 \(\mathcal{G} \to J_\beta(\mathcal{F})\)가 \(J_\alpha(\mathcal{F})\)를 거쳐 분해될 필요충분조건은 대응하는 사상 \(S \to T_\beta\)가 \(T_\alpha\)를 거쳐 분해되는 것이다. Sets, Lemma 05N2에 따라 \(\beta\)의 공종수가 \(S\)의 기수보다 크면 보조정리의 결론이 성립한다. 따라서 이 보조정리는 공종수가 임의로 큰 순서수가 존재한다는 사실에서 따른다. Sets, Proposition 05N3를 보라.

\(\mathcal{C}\)의 대상 \(X\)에 대해 \(\Gamma(U, \mathbf{Z}_X) = \oplus_{U \to X} \mathbf{Z}\)인 아벨군의 전층을 \(\mathbf{Z}_X\)로 나타냄을 상기하자. Modules on Sites, Section 03CP를 보라. 이 전층에 결부된 층은 \(\mathbf{Z}_X^\#\)로 나타낸다. Modules on Sites, Section 03CQ를 보라. 이 층은 성질 [05NY]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_X^\#, \mathcal{G}) = \mathcal{G}(X) \end{equation}\] 로 특징지을 수 있으며, 이때 왼쪽의 원소 \(\varphi\)는 오른쪽의 \(\varphi(1 \cdot \text{id}_X)\)로 보내진다. 이 층들을 이용해 단사적 아벨 층을 특징지을 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{J}\)가 다음 성질을 갖는 아벨군의 층이라고 하자. 모든 \(X\in \Ob(\mathcal{C})\), 임의의 아벨 부분층 \(\mathcal{S} \subset \mathbf{Z}_X^\#\), 임의의 사상 \(\varphi : \mathcal{S} \to \mathcal{J}\)에 대해 \(\varphi\)를 확장하는 사상 \(\mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{J}\)가 존재한다. 그러면 \(\mathcal{J}\)는 단사적인 아벨군의 층이다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 아벨 층들의 단사 사상이라 하고, \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{J}\)를 사상이라 하자. More on Algebra, Lemma 01D7의 증명과 같이 논증하면, \(\mathcal{F} \not = \mathcal{G}\)일 때 다음 조건을 만족하는 아벨 층 \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \subset \mathcal{G}\)를 찾으면 충분함을 알 수 있다. (a) 포함 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}'\)은 진포함이고, (b) \(\varphi\)는 \(\mathcal{F}'\)로 확장된다. \(\mathcal{F}'\)을 찾기 위해 포함 \(\mathcal{F}(X) \subset \mathcal{G}(X)\)이 진포함인 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(X\)를 택하자. \(s \in \mathcal{G}(X)\), \(s \not \in \mathcal{F}(X)\)를 택하고, \(\psi : \mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{G}\)를 (05NY)를 통해 단면 \(s\)에 대응하는 사상이라 하자. \(\mathcal{S} = \psi^{-1}(\mathcal{F})\)로 놓는다. 가정에 따라 사상 \[\mathcal{S} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{J}\] 은 사상 \(\varphi' : \mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{J}\)로 확장된다. \(\varphi\)가 그러하므로 \(\varphi'\)은 \(\psi\)의 핵을 영으로 보낸다. 따라서 \(\varphi'\)은 사상 \(\varphi'' : \Im(\psi) \to \mathcal{J}\)를 유도하며, 구성상 이는 교집합 \(\mathcal{F} \cap \Im(\psi)\) 위에서 \(\varphi\)와 일치한다. 그러므로 \(\varphi\)와 \(\varphi''\)을 이어 붙이면 \(\varphi\)를 진정 더 큰 부분층 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} + \Im(\psi)\)으로 확장할 수 있다.

정리

사이트 위의 아벨군층 범주에는 단사 대상이 충분히 많다. 실제로 함자적인 단사 매장이 존재한다. Homology, Definition 0139를 보라.

증명

\(\mathcal{G}_i\), \(i \in I\)를, 모든 \(\mathbf{Z}_X^\#\)의 모든 부분층이 어느 \(\mathcal{G}_i\)로 나타나도록 택한 아벨 층들의 집합이라 하자. 이 모임에 보조정리 01DN를 적용하여 순서수 \(\beta\)를 얻는다. 임의의 아벨군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 사상 \(\mathcal{F} \to J_\beta(\mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}\)를 단사 대상에 넣는 단사 사상이라고 주장한다. 구성상 대응 \(\mathcal{F} \mapsto \big(\mathcal{F} \to J_\beta(\mathcal{F})\big)\)은 실제로 함자적임에 유의하라.

주장을 증명하려면 보조정리 01DO에 따라 어떤 \(\mathbf{Z}_X^\#\)의 부분층 \(\mathcal{G}\)에서 정의된 임의의 사상 \(\gamma : \mathcal{G} \to J_\beta(\mathcal{F})\)를 \(\mathbf{Z}_X^\#\) 전체로 확장하면 충분하다. 보조정리 01DN에 따라 사상 \(\gamma\)는 어떤 \(\alpha < \beta\)에 대해 \(J_\alpha(\mathcal{F})\) 안으로 올라간다. 마지막으로 보조정리 01DM를 적용하면 \(\gamma\)를 \(J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) \to J_\beta(\mathcal{F})\) 안으로 가는 사상으로 원하는 대로 확장할 수 있다.

환 달린 사이트 위의 가군

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층이라 하자. More on Algebra, Section 01D8와 유사하게 단사적 \(\mathcal{O}\)-가군이 충분히 많음을 증명해 보자. 먼저 단사 매장 \[\bigoplus\nolimits_{U, \mathcal{I}} j_{U!}\mathcal{O}_U/\mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{J}\] 을 택한다. 여기서 \(\mathcal{J}\)는 단사적 아벨 층이며, 앞 절에 따라 존재한다. 직합은 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)와 모든 \(\mathcal{O}\)-부분가군 \(\mathcal{I} \subset j_{U!}\mathcal{O}_U\)에 걸쳐 취한다. 국소화 함자 \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\)에 대한 제한 함자와 \(0\)에 의한 연장 함자는 Modules on Sites, Section 03DH를 보라.

임의의 \(\mathcal{O}\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{J})\]

로 나타내고 자연스러운 \(\mathcal{O}\)-가군 구조를 준다. 여기에 내부 Hom에 대한 미래의 참조를 삽입한다. 또한 \(\mathcal{O}\)-가군층의 표준 평탄 분해가 필요하다. 이를 다음과 같이 만들 수 있다. 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[F(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C}), s \in \mathcal{F}(U)} j_{U!}\mathcal{O}_U.\] 로 나타낸다. 이는 표준 전사 사상 \(F(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)이 주어진 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군층이다. Modules on Sites, Lemma 03EW를 보라. 더욱이 구성 \(\mathcal{F} \mapsto F(\mathcal{F})\)은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다.

보조정리

함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\vee\)는 완전하다.

증명

이는 \(\mathcal{J}\)가 단사적 아벨 층이기 때문이다.

평가로 주어지는 표준 사상 \(ev : \mathcal{F} \to (\mathcal{F}^\vee)^\vee\)가 있다. 즉 \(x \in \mathcal{F}(U)\)가 주어지면 \(ev(x) \in (\mathcal{F}^\vee)^\vee = \SheafHom(\mathcal{F}^\vee, \mathcal{J})\)를 사상 \(\varphi \mapsto \varphi(x)\)로 놓는다.

보조정리

임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 평가 사상 \(ev : \mathcal{F} \to (\mathcal{F}^\vee)^\vee\)는 단사이다.

증명

\(\mathcal{J}\)의 정의를 사용해 이를 확인할 수 있다. 구체적으로 \(s \in \mathcal{F}(U)\)가 영이 아니면, 수반을 통해 이에 대응하는 \(\mathcal{O}\)-가군 사상을 \(j_{U!}\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\)라 하자. \(\mathcal{I}\)를 이 사상의 핵이라 하자. \(s\)를 소멸시키지 않는 영 아닌 사상 \(\mathcal{F} \supset j_{U!}\mathcal{O}_U/\mathcal{I} \to \mathcal{J}\)가 존재한다. \(\mathcal{J}\)가 단사적 \(\mathcal{O}\)-가군이므로 이는 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{J}\)로 확장된다. 그러면 \(ev(s)(\varphi) = \varphi(s) \not = 0\)이고, 이것이 증명할 바이다.

\(\mathcal{O}\)-가군의 표준 전사 사상 \(F(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)은 위에서 본 바와 같이 \(\mathcal{O}\)-가군의 표준 단사 사상 \[(\mathcal{F}^\vee)^\vee \longrightarrow (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee.\] 으로 바뀐다. \(J(\mathcal{F}) = (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee\)로 놓자. \(ev\)와 이 표시된 사상의 합성은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적으로 \(\mathcal{F} \to J(\mathcal{F})\)를 준다.

보조정리

\(\mathcal{O}\)를 환의 층이라 하자. 모든 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{O}\)-가군 \(J(\mathcal{F})\)는 단사적이다.

증명

함자 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, J(\mathcal{F}))\)가 완전함을 보이면 된다. 다음에 유의하라. \[\begin{eqnarray*} \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, J(\mathcal{F})) & = & \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee) \\ & = & \Hom_\mathcal{O} (\mathcal{G}, \SheafHom(F(\mathcal{F}^\vee), \mathcal{J})) \\ & = & \Hom(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} F(\mathcal{F}^\vee), \mathcal{J}) \end{eqnarray*}\] 따라서 원하는 결론은 \(F(\mathcal{F}^\vee)\)가 평탄하고 \(\mathcal{J}\)가 단사적이라는 사실에서 따른다.

정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층이라 하자. 사이트 위의 \(\mathcal{O}\)-가군층 범주에는 단사 대상이 충분히 많다. 실제로 함자적인 단사 매장이 존재한다. Homology, Definition 0139를 보라.

증명

이 절의 논의에서 따른다.

명제

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하고, \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 전층이라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 전층 범주 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\)에는 함자적인 단사 매장이 있다.

증명

Section 01DJ의 논의와 같은 방식으로 증명할 수도 있다. 여기서는 대신 위 정리를 이용해 논증한다. 대상 \(U\)의 덮개들의 집합을, \(f\)가 동형인 모든 한원소족 \(\{f : V \to U\}\)로 이루어진 집합으로 정하여 \(\mathcal{C}\)에 사이트 구조를 주자. 이것이 사이트를 정의한다는 확인은 생략한다. 이 위상에 대한 층은 전층과 같다(증명 생략). 따라서 위 정리를 적용할 수 있다.

아벨 범주의 매장

이 절에서는 아벨 범주가 충분한 점을 갖는 사이트 위의 아벨 층의 범주에 매장됨을 보인다. 이 사이트는 다음 보조정리에서 설명하는 것이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. 다음과 같이 두자. \[\text{Cov} = \{\{f : V \to U\} \mid f\text{ is surjective}\}.\] 그러면 \((\mathcal{A}, \text{Cov})\)는 사이트이다. Sites, Definition 00VH를 보라.

증명

범주에 관한 우리의 규약에 의해 \(\Ob(\mathcal{A})\)는 집합임에 유의하라. 동형사상은 전사 사상이고, 전사 사상들의 합성은 전사이다. 또한 \(\mathcal{A}\)에서 전사 사상의 밑변환은 전사이다. Homology, Lemma 05PK를 보라.

\(\mathcal{A}\)를 전가법 범주라 하자. 이 경우 Yoneda 매장 \(\mathcal{A} \to \textit{PSh}(\mathcal{A})\), \(X \mapsto h_X\)는 함자 \(\mathcal{A} \to \textit{PAb}(\mathcal{A})\)를 거쳐 분해된다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고, \(\mathcal{C} = (\mathcal{A}, \text{Cov})\)를 보조정리 05PM에서 정의한 사이트라 하자. 그러면 \(X \mapsto h_X\)는 충만충실한 완전 함자 \[\mathcal{A} \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}).\] 를 정의한다. 더욱이 사이트 \(\mathcal{C}\)는 충분한 점을 갖는다.

증명

\(f : V \to U\)가 \(\mathcal{A}\)의 전사 사상이라고 하자. \(K = \Ker(f)\)라 두자. 다음을 상기하라. \(V \times_U V = \Ker((f, -f) : V \oplus V \to U)\). Homology, Example 05PJ를 보라. 특히 단사 사상 \(K \oplus K \to V \times_U V\)가 존재한다. \(p, q : V \times_U V \to V\)를 두 사영 사상이라 하자. 사상 \(p - q : V \times_U V \to V\)는 \(f \circ (p - q) = 0\)을 만족함에 유의하라. 따라서 \(p - q\)는 \(K \to V\)를 거쳐 분해된다. 이 사상을 \(c : V \times_U V \to K\)로 나타내자. 합성 \(K \oplus K \to V \times_U V \to K\)가 전사이므로 \(c\)도 전사이다. 따라서 \[V \times_U V \xrightarrow{p - q} V \to U \to 0\] 은 \(\mathcal{A}\)의 완전열이다. 그러므로 \(\mathcal{A}\)의 대상 \(X\)에 대해 아벨 군의 열 \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(U, X) \to \Hom_\mathcal{A}(V, X) \to \Hom_\mathcal{A}(V \times_U V, X)\] 은 완전하다. Homology, Lemma 05AA를 보라. 이는 \(h_X\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 층 조건을 만족한다는 뜻이다.

Categories, Lemma 001P에 의해 이 함자는 충만충실하다. Homology, Lemma 05AA에 의해 이는 아벨 범주 사이의 왼쪽 완전 함자이다. 오른쪽 완전성도 보이기 위해 \(X \to Y\)를 \(\mathcal{A}\)의 전사 사상이라 하자. \(U\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하고, \(s \in h_Y(U) = \Mor_\mathcal{A}(U, Y)\)를 \(U\) 위의 \(h_Y\)의 단면이라 하자. Homology, Lemma 05PK에 의해 사영 \(U \times_Y X \to U\)는 전사이다. 따라서 \(\{V = U \times_Y X \to U\}\)는 \(U\)의 피복이고, \(s|_V\)는 \(h_X\)의 단면으로 올려진다. 이로써 \(h_X \to h_Y\)가 아벨 층의 전사임을 알 수 있다. Sites, Lemma 00WN를 보라.

Sites, Proposition 00YQ에 의해 사이트 \(\mathcal{C}\)는 충분한 점을 갖는다.

주

Freyd–Mitchell 매장 정리에 따르면 임의의 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)에서 어떤 환 위의 가군 범주로 가는 충만충실한 완전 함자가 존재한다. 보조정리 05PN은 이보다 다소 약하다. 그러나 어차피 사이트 위의 아벨 군의 층을 자세히 이해해야 하므로 이 결과는 Stacks project에 적합하다. 더욱이 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층의 범주에서는 “도표 추적”이 작동한다. 예를 들어 대상 위의 단면으로 작업할 수도 있고, \(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 갖는다는 사실을 이용하여 줄기 수준에서 작업할 수도 있다. 보조정리 05PN에서 Freyd–Mitchell 매장 정리를 도출하는 방법은 주석 05PR를 보라.

주

\(\mathcal{A}\)가 “큰” 아벨 범주, 즉 \(\mathcal{A}\)의 대상들의 모임이 진정한 모임이면 보조정리 05PN은 적용되지 않는다. 이 경우 임의의 대상 집합 \(E \subset \Ob(\mathcal{A})\)가 주어지면, \(\Ob(\mathcal{A}')\)가 집합이고 \(E \subset \Ob(\mathcal{A}')\)인 아벨 충만 부분범주 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)가 존재한다. 그러면 보조정리 05PN을 \(\mathcal{A}'\)에 적용할 수 있다. 이를 이용하면 도표 추적에 의존하는 결과들이 \(\mathcal{A}\)에서도 성립함을 증명할 수 있다.

주

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 정리 01DP에 의해 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)에는 단사 대상이 충분히 많다. (\(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 갖는 경우 이는 직접적이다. 실제로 \(I\)가 단사적 \(\mathbf{Z}\)-가군이고 \(p\)가 점이면 \(p_*I\)는 단사층이다.) 또한 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)에는 쌍대생성자가 있다(세부사항은 생략한다). 따라서 보조정리 05PN에 의해 충만충실한 완전 매장 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 존재하며, 여기서 \(\mathcal{B}\)에는 쌍대생성자와 충분히 많은 단사 대상이 있다. 이를 \(\mathcal{A}^{opp}\)에 적용하면 충만충실한 완전 함자 \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{D} = \mathcal{B}^{opp}\)를 얻으며, \(\mathcal{D}\)에는 충분히 많은 사영 대상과 생성자가 있다. 따라서 \(\mathcal{D}\)에는 사영 생성자 \(P\)가 있다. \(R = \Mor_\mathcal{D}(P, P)\)로 두자. 그러면 \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad X \longmapsto \Hom_\mathcal{D}(P, X).\] 은 충만충실한 완전 함자임을 확인할 수 있다. 다시 말해 위의 주석 05PP에서 언급한 Freyd–Mitchell 정리를 얻는다.

주

보조정리 05PM와 05PN을 증명한 논증은 완전 범주에도 적용된다. [Buhler, Appendix A]와 [BBD, 1.1.4]를 보라. 여기서 이를 간단히 복습하고, 나중에 Stacks project에서 필요해지면 더 자세한 내용을 덧붙이기로 한다.

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 사상들의 쌍 \((i, p)\)가 \(i : A \to B\), \(p : B \to C\)이고 \(i\)가 \(p\)의 핵이며 \(p\)가 \(i\)의 여핵이면 이를 핵-여핵 쌍이라 한다. 핵-여핵 쌍들의 집합 \(\mathcal{E}\)가 주어졌을 때, 어떤 사상 \(p\)에 대해 \((i, p) \in \mathcal{E}\)이면 \(i : A \to B\)를 허용 단사 사상이라 한다. 마찬가지로 어떤 사상 \(i\)에 대해 \((i, p) \in \mathcal{E}\)이면 \(p : B \to C\)를 허용 전사 사상이라 한다. 다음 공리들이 성립하면 쌍 \((\mathcal{A}, \mathcal{E})\)를 완전 범주라 한다.

\(\mathcal{E}\)는 핵-여핵 쌍의 동형사상에 대해 닫혀 있다.

임의의 대상 \(A\)에 대해 사상 \(1_A\)는 허용 전사 사상이자 허용 단사 사상이다.

허용 단사 사상들은 합성에 대해 안정적이다.

허용 전사 사상들은 합성에 대해 안정적이다.

임의의 사상 \(A \to A'\)를 통한 허용 단사 사상 \(i : A \to B\)의 밀어내기가 존재하고, 유도된 사상 \(i' : A' \to B'\)는 허용 단사 사상이다.

임의의 사상 \(C' \to C\)를 통한 허용 전사 사상 \(p : B \to C\)의 밑변환이 존재하고, 유도된 사상 \(p' : B' \to C'\)는 허용 전사 사상이다.

이러한 구조가 주어졌다고 하자. 피복들(즉 \(\text{Cov}\)의 원소들)이 허용 전사 사상들로 주어지는 \(\mathcal{C} = (\mathcal{A}, \text{Cov})\)를 두자. 위의 공리들로부터 이것이 사이트임이 곧바로 따른다. 보조정리 05PN에서와 정확히 같은 함자 \[F : \mathcal{A} \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}), \quad X \longmapsto h_X\] 를 생각하자. 이 함자는 충만충실하고 완전하며 완전성을 반영한다. 더욱이 \(F\)의 본질적 상에 속하는 대상들의 임의의 확대는 다시 \(F\)의 본질적 상에 속한다.

Grothendieck의 AB 조건

이 절과 이어지는 몇 절은 주로 “큰” 아벨 범주, 즉 Categories, Remark 0015에 나열된 범주들에 관한 것이다. 염두에 둘 만한 좋은 예는 환 달린 사이트 위의 가군층의 범주이다.

Grothendieck은 논문 [Tohoku]에서 매우 일반적인 상황의 단사 대상 존재성을 증명했다. 그는 특별한 성질을 지닌 아벨 범주들을 골라내기 위해 다음 조건들을 사용했다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. 다음 조건들에 이름을 붙인다.

\(\mathcal{A}\)에는 직합이 존재한다.

\(\mathcal{A}\)는 AB3을 만족하고 직합은 완전하다.

\(\mathcal{A}\)는 AB3을 만족하고 여과 여극한은 완전하다.

쌍대 개념들은 다음과 같다.

\(\mathcal{A}\)에는 직접곱이 존재한다.

\(\mathcal{A}\)는 AB3*을 만족하고 직접곱은 완전하다.

\(\mathcal{A}\)는 AB3*을 만족하고 공여과 극한은 완전하다.

\(\mathcal{A}\)에서 \(N \subset M\), \(N \not = M\)인 모든 경우에 \(N\)을 거쳐 분해되지 않는 사상 \(U \to M\)이 존재하면 대상 \(U\)를 생성자라 한다. \(\mathcal{A}\)가 AB5를 만족하고 생성자를 가지면 \(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 한다.

논의: 아벨 범주에서 직합은 쌍대곱이다. 아벨 범주에 직합이 존재하면(즉 AB3을 만족하면) 여극한이 존재한다. Categories, Lemma 002P를 보라. 마찬가지로 \(\mathcal{A}\)가 AB3*을 만족하면 극한이 존재한다. Categories, Lemma 002N를 보라. 직합의 완전성이란 다음을 뜻한다. 첨자집합 \(I\)와 \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열들 \[0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0,\quad i \in I\] 가 주어지면 열 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A_i \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} B_i \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} C_i \to 0\] 도 완전하다. AB4를 가정하지 않으면 일반적으로 이 열은 오른쪽에서만 완전하다(즉 직합이 존재할 때 직합을 취하는 함자는 오른쪽 완전하다). 마찬가지로 여과 여극한의 완전성이란 다음을 뜻한다. 유향집합 \(I\)와 \(I\) 위의 \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열계 \[0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0\] 가 주어지면 열 \[0 \to \colim_{i \in I} A_i \to \colim_{i \in I} B_i \to \colim_{i \in I} C_i \to 0\] 도 완전하다. AB5를 가정하지 않으면 일반적으로 이 열은 오른쪽에서만 완전하다(즉 여극한이 존재할 때 여극한을 취하는 함자는 오른쪽 완전하다). AB4*와 AB5*에도 이와 비슷한 설명이 성립한다.

Grothendieck 범주의 단사 대상

생성자의 존재로부터 Grothendieck 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 대상 \(M\)이 주어졌을 때 그 부분대상들이 집합을 이룸이 따른다. (이는 일반적인 “큰” 아벨 범주에서는 성립하지 않을 수도 있다.)

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 생성자 \(U\)를 갖는 아벨 범주라 하고 \(X\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하자. \(\kappa\)가 \(\Mor(U, X)\)의 기수이면 다음이 성립한다.

\(\kappa\)보다 큰 기수로 첨자화된 \(X\)의 부분대상들의 진정 증가 (또는 진정 감소) 사슬은 존재하지 않는다.

\(\alpha\)가 공종수 \(> \kappa\)인 순서수이면 \(\alpha\)로 첨자화된 \(X\)의 부분대상들의 임의의 증가(또는 감소) 열은 궁극적으로 상수이다.

\(X\)의 부분대상 집합의 기수는 \(\leq 2^\kappa\)이다.

증명

(1)을 위해 \(\kappa' > \kappa\)가 기수이고 \(X_i\), \(i \in \kappa'\)가 진정 증가한다고 가정하자. 각 \(i\)에 대해 \(\phi_i \in \Mor(U, X)\)를 택하되, \(\phi_i\)는 \(X_{i + 1}\)을 거쳐 분해되고 \(X_i\)를 거쳐서는 분해되지 않게 한다. 그러면 사상 \(\phi_i\)들은 서로 다르며, 이는 \(\kappa\)의 정의에 모순이다.

(2)는 공종수의 정의와 (1)에서 따른다.

(3)을 증명하자. 임의의 부분대상 \(Y \subset X\)에 대해 \(S_Y \in \mathcal{P}(\Mor(U, X))\)(멱집합)를 다음과 같이 정의한다. \(S_Y = \{\phi \in \Mor(U,X) : \phi)\text{ factors through }Y\}\). 그러면 \(Y = Y'\)인 것과 \(S_Y = S_{Y'}\)인 것은 동치이다. 따라서 부분대상 집합의 기수는 이 멱집합의 기수 이하이다.

보조정리 0E8N에 의해 다음 정의는 의미가 있다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(M\)을 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하자. \(M\)의 부분대상 집합의 기수를 \(M\)의 크기 \(|M|\)이라 한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\)이 주어지면 \(|M'|, |M''| \leq |M|\)이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 생성자 \(U\)를 갖는 Grothendieck 아벨 범주라 하자.

\(|M| \leq \kappa\)이면 \(M\)은 \(U\)를 \(\kappa\)개 이하 직합한 대상의 몫이다.

모든 기수 \(\kappa\)에 대해 \(|M| \leq \kappa\)인 대상 \(M\)의 동형류들은 집합을 이룬다.

증명

(1)을 위해 각 진부분대상 \(M' \subset M\)마다 상이 \(M'\)에 포함되지 않는 사상 \(\varphi_{M'} : U \to M\)을 택한다. 그러면 \(\bigoplus_{M' \subset M} \varphi_{M'} : \bigoplus_{M' \subset M} U \to M\) 은 전사이다. (1)에서 (2)가 따름은 명백하다.

명제

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(M\)을 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하자. \(\kappa = |M|\)로 두자. \(\alpha\)가 공종수가 \(\kappa\)보다 큰 순서수이면 \(M\)은 단사 사상에 관하여 \(\alpha\)-작다.

증명

명제 05NT와 비교하라. 사상 (05NN)가 전사임만 보이면 된다. 사상 \(f : M \to \colim B_\beta\)를 택하자. \(B_\beta\)를 여극한 \(B = \bigcup_\beta B_\beta\)의 부분대상으로 보아, \(M\)의 부분대상들 \(\{f^{-1}(B_\beta)\}\)를 생각하자. 이들 가운데 하나, 이를테면 \(f^{-1}(B_\beta)\)가 \(M\) 전체이면 사상은 \(B_\beta\)를 거쳐 분해된다.

\(\mathcal{A}\)가 AB5를 만족하므로 \[\colim f^{-1}(B_\beta) = f^{-1}\left(\colim B_\beta\right) = M.\] 가 성립한다. 가정에 의해 \(f^{-1}(B_\alpha)\)들 사이에 나타나는 서로 다른 \(M\)의 부분대상은 \(\kappa\)개 이하이다. 따라서 기수가 \(\kappa\) 이하인 부분집합 \(S \subset \alpha\)를 택하여, \(\beta'\)가 \(S\)를 달릴 때 \(f^{-1}(B_{\beta'})\)들이 모든 \(f^{-1}(B_\alpha)\)를 달리게 할 수 있다.

그런데 \(\alpha\)의 공종수가 \(\kappa\)보다 크므로 \(S\)에는 위끝 \(\widetilde{\alpha} < \alpha\)가 있다. 특히 모든 \(f^{-1}(B_{\beta'})\), \(\beta' \in S\)는 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}})\)에 포함된다. 따라서 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}}) = M\)이고, 특히 사상 \(f\)는 \(B_{\widetilde{\alpha}}\)를 거쳐 분해된다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 생성자 \(U\)를 갖는 Grothendieck 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 대상 \(I\)가 단사 대상일 필요충분조건은 모든 가환 도식 \[\xymatrix{ M \ar[d] \ar[r] & I \\ U \ar@{-->}[ru] }\] 에서 \(M \subset U\)가 부분대상이면 점선 화살표가 존재하는 것이다.

증명

가군의 경우는 보조정리 05NU를 보라. 단사 사상 \(A \subset B\)와 사상 \(\varphi : A \to I\)를 택하자. 부분대상 \(A \subset A' \subset B\)와 \(\varphi\)를 연장하는 사상 \(\varphi' : A' \to I\)로 이루어진 쌍 \((A', \varphi')\)들의 집합을 \(S\)라 하자. 이 집합에 자명한 방법으로 부분순서를 정의한다. 전순서 부분집합 \(T \subset S\)를 택하자. 그러면 \[A' = \colim_{t \in T} A_t \xrightarrow{\colim_{t \in T} \varphi_t} I\] 은 위끝이다. 따라서 Zorn의 보조정리에 의해 집합 \(S\)에는 극대원소 \((A', \varphi')\)가 있다. \(A' = B\)임을 보이자. 그렇지 않다면 \(A'\)를 거쳐 분해되지 않는 사상 \(\psi : U \to B\)를 택하자. \(N = A' \cap \psi(U)\), \(M = \psi^{-1}(N)\)로 두자. 그러면 사상 \[M \to N \to A' \xrightarrow{\varphi'} I\] 을 사상 \(\chi : U \to I\)로 연장할 수 있다. \(\chi|_{\Ker(\psi)} = 0\)이므로 \(\chi\)는 다음과 같이 분해된다. \[U \to \Im(\psi) \xrightarrow{\varphi''} I\] \(\varphi'\)와 \(\varphi''\)는 \(N = A' \cap \Im(\psi)\)에서 일치하므로, 둘을 합쳐 사상 \(A' + \Im(\psi) \to I\)를 정의할 수 있다. 이는 \(A'\)의 가정한 극대성에 모순이다.

정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)에는 함자적인 단사 매장이 존재한다.

증명

정리 05NX의 증명과 비교하라. \(\mathcal{A}\)의 생성자 \(U\)를 택하자. 대상 \(M\)에 대해 다음 밀어내기 도식으로 \(\mathbf{M}(M)\)을 정의한다. \[\xymatrix{ \bigoplus_{N \subset U} \bigoplus_{\varphi \in \Hom(N, M)} N \ar[r] \ar[d] & M \ar[d] \\ \bigoplus_{N \subset U} \bigoplus_{\varphi \in \Hom(N, M)} U \ar[r] & \mathbf{M}(M). }\] 사상 \(M \mapsto \mathbf{M}(M)\)은 함자이고 함자적인 단사 사상 \(M \to \mathbf{M}(M)\)이 존재함에 유의하라. 초한 귀납법으로 모든 순서수 \(\alpha\)에 대해 함자 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)을 정의한다. 구체적으로 \(\mathbf{M}_0(M) = M\)으로 두고, \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)가 주어졌을 때 \(\mathbf{M}_{\alpha + 1}(M) = \mathbf{M}(\mathbf{M}_\alpha(M))\). 으로 둔다. 극한 순서수 \(\beta\)에 대해서는 \[\mathbf{M}_\beta(M) = \colim_{\alpha < \beta} \mathbf{M}_\alpha(M).\] 로 둔다. 마지막으로 공종수가 \(|U|\)보다 큰 임의의 순서수 \(\alpha\)를 택한다. 그러한 순서수는 Sets, Proposition 05N3에 의해 존재한다. \(M \to \mathbf{M}_\alpha(M)\)이 원하는 함자적인 단사 매장임을 보이자. 실제로 \(N \subset U\)가 부분대상이고 \(\varphi : N \to \mathbf{M}_\alpha(M)\)가 사상이면, 명제 079F에 의해 어떤 \(\alpha' < \alpha\)에 대해 \(\varphi\)는 \(\mathbf{M}_{\alpha'}(M)\)을 거쳐 분해된다. \(\mathbf{M}(-)\)의 구성에 의해 \(\varphi\)는 \(U\)에서 \(\mathbf{M}_{\alpha' + 1}(M)\)로 가는 사상으로, 따라서 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)로 가는 사상으로 연장된다. 보조정리 079G에 의해 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)은 단사 대상이다.

Grothendieck 범주의 K-단사 복합체

이 절의 내용은 Serpé의 논문 [serpe]에서 가져왔다. 이 논문은 Spaltenstein의 [Spaltenstein]에 있는 몇몇 결과를 일반적인 Grothendieck 아벨 범주로 일반화한다. 우리의 보조정리 079L는 Serpé의 논문에 암묵적으로만 들어 있다. 여기서는 Grothendieck이 정리 079H을 증명한 방법을 모방한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 생성자 \(U\)를 갖는 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 기수 위의 함수 \(c\)를 \(c(\kappa) = |\bigoplus_{\alpha \in \kappa} U|\)로 정의하자. \(\pi : M \to N\)이 전사이면 \(N\)으로 전사하는 부분대상 \(M' \subset M\)이 존재하여 \(|M'| \leq c(|N|)\)을 만족한다.

증명

각 진부분대상 \(N' \subset N\)에 대해 \(U \to M \to N\)이 \(N'\)을 거쳐 분해되지 않도록 사상 \(\varphi_{N'} : U \to M\)을 택하자. 다음과 같이 두자. \[M' = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{N' \subset N} \varphi_{N'} : \bigoplus\nolimits_{N' \subset N} U \longrightarrow M\right)\] 그러면 \(M'\)이 원하는 대상이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 임의의 비순환 복합체 \(M^\bullet\)에 대해 다음이 성립하도록 하는 기수 \(\kappa\)가 존재한다.

\(M^\bullet\)이 영이 아니면, 위로 유계이고 비순환이며 \(|N^n| \leq \kappa\)인 영이 아닌 부분복합체 \(N^\bullet\)이 존재한다.

복합체의 전사 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} M_i^\bullet \longrightarrow M^\bullet\] 이 존재하며, 여기서 \(M_i^\bullet\)은 위로 유계이고 비순환이며 \(|M_i^n| \leq \kappa\)이다.

증명

\(\mathcal{A}\)의 생성자 \(U\)를 택하고, 보조정리 079J의 함수를 \(c\)로 나타내자. \(\kappa = \sup \{c^n(|U|), n = 1, 2, 3, \ldots\}\)로 두자. \(n \in \mathbf{Z}\)라 하고 \(\psi : U \to M^n\)을 사상이라 하자. (1)과 (2)를 증명하려면, 위로 유계이고 비순환이며 \(|N^m| \leq \kappa\)이고 \(\psi\)가 \(N^n\)을 거쳐 분해되는 부분복합체 \(N^\bullet \subset M^\bullet\)이 존재함을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(N^n = \Im(\psi)\), \(N^{n + 1} = \Im(U \to M^n \to M^{n + 1})\)로 두고, \(m \geq n + 2\)에 대해 \(N^m = 0\)으로 둔다. 어떤 \(k \leq n\)에 대해 모든 \(n > m \geq k\)에 대한 \(N^m \subset M^m\)을 다음 조건을 만족하도록 구성했다고 하자.

모든 \(m \geq k\)에 대해 \(\text{d}(N^m) \subset N^{m + 1}\)이다.

모든 \(m \geq k + 1\)에 대해 \(\Im(N^{m - 1} \to N^m) = \Ker(N^m \to N^{m + 1})\)이다.

모든 \(m \geq k\)에 대해 \(|N^m| \leq c^{\max\{n - m, 0\}}(|U|)\)이다.

\(M^\bullet\)이 비순환이므로 부분대상 \(\text{d}^{-1}(\Ker(N^k \to N^{k + 1})) \subset M^{k - 1}\)은 \(\Ker(N^k \to N^{k + 1})\)으로 전사한다. 따라서 보조정리 079J에 의해 \(|N^{k - 1}| \leq c^{n - k + 1}(|U|)\)이고 \(\Ker(N^k \to N^{k + 1})\)으로 전사하는 \(N^{k - 1} \subset M^{k - 1}\)을 택할 수 있다. \(k\)에 대한 귀납법으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(\kappa\)를 보조정리 079K에서와 같은 기수라 하자. \(I^\bullet\)이 다음을 만족하는 복합체라고 하자.

각 \(I^j\)는 단사 대상이다.

\(|M^n| \leq \kappa\)를 만족하는 모든 위로 유계인 비순환 복합체 \(M^\bullet\)에 대해 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet) = 0\)이다.

그러면 \(I^\bullet\)은 \(K\)-단사 복합체이다.

증명

\(M^\bullet\)을 비순환 복합체라 하자. 순서수 \(\alpha\)에 대한 귀납법으로 비순환 부분복합체 \(K_\alpha^\bullet \subset M^\bullet\)을 다음과 같이 구성한다. \(\alpha = 0\)이면 \(K_0^\bullet = 0\)으로 둔다. \(\alpha > 0\)이면 다음과 같이 진행한다.

\(\alpha = \beta + 1\)이고 \(K_\beta^\bullet = M^\bullet\)이면 \(K_\alpha^\bullet = K_\beta^\bullet\)로 택한다.

\(\alpha = \beta + 1\)이고 \(K_\beta^\bullet \not = M^\bullet\)이면 \(M^\bullet/K_\beta^\bullet\)은 영이 아닌 비순환 복합체이다. 보조정리 079K에서와 같은 부분복합체 \(N_\alpha^\bullet \subset M^\bullet/K_\beta^\bullet\)을 택한다. 마지막으로 \(K_\alpha^\bullet \subset M^\bullet\)을 \(N_\alpha^\bullet\)의 역상으로 둔다.

\(\alpha\)가 극한 순서수이면 \(K_\beta^\bullet = \colim K_\alpha^\bullet\)로 둔다.

충분히 큰 순서수 \(\alpha\)에 대해 \(M^\bullet = K_\alpha^\bullet\)임은 명백하다. \(\alpha\)에 대한 초한 귀납법으로 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\alpha^\bullet, I^\bullet)\] 이 영임을 증명한다. \(K_0^\bullet\)이 영이므로 \(\alpha = 0\)일 때 성립한다. \(\beta\)에 대해 성립하고 \(\alpha = \beta + 1\)이라고 하자. 위 목록의 (1)의 경우 결과는 명백하다. (2)의 경우 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to K_\beta^\bullet \to K_\alpha^\bullet \to N_\alpha^\bullet \to 0\] 이 존재한다. \(I^\bullet\)의 각 성분이 단사 대상이므로 완전열 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\beta^\bullet, I^\bullet) \leftarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\alpha^\bullet, I^\bullet) \leftarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(N_\alpha^\bullet, I^\bullet)\] 을 얻는다. 귀납가정에 의해 왼쪽 항은 영이고, \(I^\bullet\)에 대한 가정에 의해 오른쪽 항도 영이다. 따라서 가운데 군도 영이다. 마지막으로 \(\alpha\)가 극한 순서수라고 하자. 그러면 \[\Hom^\bullet(K_\alpha^\bullet, I^\bullet) = \lim_{\beta < \alpha} \Hom^\bullet(K_\beta^\bullet, I^\bullet)\] 이다. 여기서 표기는 More on Algebra, Section 0A8H에서와 같다. More on Algebra, Equation (0A5X)에 의해 이 복합체들은 \(K(\mathcal{A})\)에서의 사상들을 계산한다. 각 \(j\)에 대해 \(I^j\)가 단사 대상이므로 이 계의 전이 사상들은 전사임에 유의하라. 더욱이 극한 순서수 \(\alpha\)에 대해서는 극한과 값이 같다(위의 표시식을 보라). 따라서 Homology, Lemma 0AAT를 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \((K_i^\bullet)_{i \in I}\)를 비순환 복합체들의 집합이라 하자. 함자 \(M^\bullet \mapsto \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\)와 자연변환 \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) 이 존재하여 다음을 만족한다.

\(j_{M^\bullet}\)는 (항별로) 단사인 준동형사상이다.

모든 \(i \in I\)와 \(w : K_i^\bullet \to M^\bullet\)에 대해 사상 \(j_{M^\bullet} \circ w\)는 영과 호모토픽이다.

증명

각 \(i \in I\)에 대해, 영과 호모토픽이고 \(L_i^\bullet\)이 영과 준동형인 복합체의 (항별로) 단사 사상 \(K_i^\bullet \to L_i^\bullet\)을 택하자. 예를 들어 \(L_i^\bullet\)을 \(K_i^\bullet\)의 항등사상의 원뿔로 택할 수 있다. 다음 밀어내기 도식으로 \(\mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\)을 정의한다. \[\xymatrix{ \bigoplus_{i \in I} \bigoplus_{w : K_i^\bullet \to M^\bullet} K_i^\bullet \ar[r] \ar[d] & M^\bullet \ar[d] \\ \bigoplus_{i \in I} \bigoplus_{w : K_i^\bullet \to M^\bullet} L_i^\bullet \ar[r] & \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet). }\] 그러면 \(M^\bullet \mapsto \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\)은 함자이다. 오른쪽 수직 화살표는 함자적인 단사 사상 \(j_{M^\bullet}\)를 정의한다. \(j_{M^\bullet}\)의 여핵은 사상 \(K_i^\bullet \to L_i^\bullet\)들의 여핵들의 직합과 동형이므로 비순환이다. 따라서 \(j_{M^\bullet}\)는 준동형사상이다. (2)는 구성에 의해 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 함자 \(M^\bullet \mapsto \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\)와 자연변환 \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\) 이 존재하여 다음을 만족한다.

\(j_{M^\bullet}\)는 (항별로) 단사인 준동형사상이다.

모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 \(M^n \to \mathbf{N}^n(M^\bullet)\)은 부분대상 \(I^n \subset \mathbf{N}^n(M^\bullet)\)을 거쳐 분해되며, 여기서 \(I^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이다.

증명

함자적인 단사 매장 \(i_M : M \to I(M)\)을 택하자. 정리 079H을 보라. 각 복합체 \(M^\bullet\)에 대해, 항이 \(J^n(M^\bullet) = I(M^n) \oplus I(M^{n + 1})\)이고 미분이 \[d_{J^\bullet(M^\bullet)} = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)\] 로 주어지는 복합체를 \(J^\bullet(M^\bullet)\)로 나타내자. 사상 \(i_{M^n} : M^n \to I(M^n)\)과 \(i_{M^{n + 1}} \circ d : M^n \to M^{n + 1} \to I(M^{n + 1})\)를 사용하여 \(M^n\)을 \(I(M^n) \oplus I(M^{n + 1})\)로 보내면 복합체의 표준 단사 사상 \(u_{M^\bullet} : M^\bullet \to J^\bullet(M^\bullet)\)을 얻는다. 따라서 \(M^\bullet\)에 대해 함자적인 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to M^\bullet \xrightarrow{u_{M^\bullet}} J^\bullet(M^\bullet) \xrightarrow{v_{M^\bullet}} Q^\bullet(M^\bullet) \to 0\] 이 존재한다. 다음과 같이 두자. \[\mathbf{N}^\bullet(M^\bullet) = C(v_{M^\bullet})^\bullet[-1].\] 다음에 유의하라. \[\mathbf{N}^n(M^\bullet) = Q^{n - 1}(M^\bullet) \oplus J^n(M^\bullet)\] 그 미분은 \[\left( \begin{matrix} - d^{n - 1}_{Q^\bullet(M^\bullet)} & - v^n_{M^\bullet} \\ 0 & d^n_{J^\bullet(M)} \end{matrix} \right)\] 이다. 따라서 \(u\)로부터 유도되는 복합체의 사상 \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\)이 존재한다. 이는 단사이고 구성에 의해 단사 부분대상을 거쳐 분해된다. 위의 복합체의 짧은 완전열에 결부된 코호몰로지 긴 완전열을 살펴보면 사상 \(j_{M^\bullet}\)가 준동형사상임을 증명할 수 있다.

정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 모든 복합체 \(M^\bullet\)에 대해 준동형사상 \(M^\bullet \to I^\bullet\)이 존재하여, 모든 \(n\)에 대해 \(M^n \to I^n\)은 단사이고 \(I^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이며 \(I^\bullet\)은 K-단사 복합체이다. 더욱이 이 구성은 \(M^\bullet\)에 대해 함자적이다.

증명

정리 05NX과 정리 079H의 증명과 비교하라. 보조정리 079K와 079L에서와 같은 기수 \(\kappa\)를 택하자. 위로 유계이고 비순환인 복합체들의 집합 \((K_i^\bullet)_{i \in I}\)를, \(|K^n| \leq \kappa\)인 모든 위로 유계인 비순환 복합체 \(K^\bullet\)이 어떤 \(i \in I\)에 대해 \(K_i^\bullet\)과 동형이 되도록 택한다. 이는 보조정리 079E에 의해 가능하다. 보조정리 079M에서 구성한 함자를 \(\mathbf{M}^\bullet(-)\)로, 보조정리 079N에서 구성한 함자를 \(\mathbf{N}^\bullet(-)\)로 나타내자. 이 두 함자에는 단사인 자연변환 \(\text{id} \to \mathbf{M}\)과 \(\text{id} \to \mathbf{N}\)이 딸려 있다.

초한 귀납법으로 함자들의 열 \(\mathbf{T}_\alpha(-)\)와 그에 대응하는 자연변환 \(\text{id} \to \mathbf{T}_\alpha\)를 정의한다. 구체적으로 \(\mathbf{T}_0(M^\bullet) = M^\bullet\)으로 둔다. \(\mathbf{T}_\alpha\)가 주어졌다면 다음과 같이 둔다. \[\mathbf{T}_{\alpha + 1}(M^\bullet) = \mathbf{N}^\bullet(\mathbf{M}^\bullet(\mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)))\] \(\beta\)가 극한 순서수이면 다음과 같이 둔다. \[\mathbf{T}_\beta(M^\bullet) = \colim_{\alpha < \beta} \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\] 이 계의 전이 사상들은 단사인 준동형사상이다. AB5에 의해 여극한도 여전히 \(M^\bullet\)과 준동형이다. \(U\)가 \(\mathcal{A}\)의 생성자일 때 \(\alpha\)의 공종수가 \(\max(\kappa, |U|)\)보다 크면 \(M^\bullet \to \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\)이 원하는 대상임을 보이자. 보조정리 079L의 조건 (1)과 (2)를 확인하면 충분하다.

(1)을 위해 보조정리 079G의 판정법을 사용한다. \(M \subset U\)이고 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\varphi : M \to \mathbf{T}^n_\alpha(M^\bullet)\)가 사상이라고 하자. 명제 079F에 의해 어떤 \(\alpha' < \alpha\)에 대해 \(\varphi\)는 \(\mathbf{T}^n_{\alpha'}(M^\bullet)\)을 거쳐 분해된다. 특히 함자 \(\mathbf{N}^\bullet(-)\)의 구성에 의해 \(\varphi\)는 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상을 거쳐 분해되며, 따라서 \(\varphi\)는 \(U\) 위의 사상으로 올려진다.

(2)를 위해 \(w : K^\bullet \to \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\)를 복합체의 사상이라 하자. 여기서 \(K^\bullet\)은 \(|K^n| \leq \kappa\)인 위로 유계인 비순환 복합체이다. 그러면 어떤 \(i \in I\)에 대해 \(K^\bullet \cong K_i^\bullet\)이다. 더욱이 다시 명제 079F에 의해 어떤 \(\alpha' < \alpha\)에 대해 \(w\)는 \(\mathbf{T}^n_{\alpha'}(M^\bullet)\)을 거쳐 분해된다. 특히 함자 \(\mathbf{M}^\bullet(-)\)의 구성에 의해 \(w\)는 영과 호모토픽이다. 이로써 증명이 끝난다.

Grothendieck 아벨 범주에 관한 추가 주석

이 절에서는 민간전승으로 알려진 Grothendieck 아벨 범주에 관한 몇 가지 결과를 모은다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(F : \mathcal{A}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. \(F\)가 표현가능일 필요충분조건은 \(F\)가 여극한과 가환하는 것, 즉 임의의 도식 \(\mathcal{I} \to \mathcal{A}\), \(i \in \mathcal{I}\)에 대해 \[F(\colim_i N_i) = \lim F(N_i)\] 가 성립하는 것이다.

증명

\(F\)가 표현가능이면 여극한의 정의에 의해 여극한과 가환한다.

\(F\)가 여극한과 가환한다고 가정하자. 그러면 \(F(M \oplus N) = F(M) \times F(N)\)이고, 이를 이용하여 \(F(M)\) 위에 군 구조를 정의할 수 있다. 따라서 가법이고 오른쪽 완전한 함자 \(F : \mathcal{A} \to \textit{Ab}\)를 얻는다. 즉 짧은 완전열 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)을 완전열 \(F(K) \leftarrow F(L) \leftarrow F(M) \leftarrow 0\)으로 보낸다 (Homology, Section 010M와 비교하라).

\(U\)를 \(\mathcal{A}\)의 생성자라 하고 \(A = \bigoplus_{s \in F(U)} U\)로 두자. \(s_{univ} = (s)_{s \in F(U)} \in F(A) = \prod_{s \in F(U)} F(U)\)로 두자. \(s_{univ}\)를 \(A'\)에 제한하면 영이 되도록 하는 가장 큰 부분대상을 \(A' \subset A\)라 하자. \(\mathcal{A}\)가 Grothendieck 범주이고 \(F\)가 여극한과 가환하므로 이것은 존재한다. \(F\)가 여극한과 가환하므로 \(F(A)\)에서 \(s_{univ}\)로 가는 유일한 원소 \(\overline{s}_{univ} \in F(A/A')\)가 존재한다. \(A/A'\)가 \(F\)를 표현함, 다시 말해 Yoneda 사상 \[\overline{s}_{univ} : h_{A/A'} \longrightarrow F\] 이 동형사상임을 보이자. \(M \in \Ob(\mathcal{A})\), \(s \in F(M)\)이라 하자. 전사 사상 \[c_M : A_M = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Hom_\mathcal{A}(U, M)} U \longrightarrow M.\] 을 생각하자. 이는 \(F(c_M)(s) = (s_\varphi) \in \prod_\varphi F(U)\)를 준다. 사상 \[\psi : A_M = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Hom_\mathcal{A}(U, M)} U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{s \in F(U)} U = A\] 을 생각하자. 이 사상은 \(\varphi\)에 대응하는 직합 성분을 \(U\) 위의 항등사상으로 \(s_\varphi\)에 대응하는 직합 성분에 보낸다. 그러면 구성에 의해 \(s_{univ}\)는 \((s_\varphi)_\varphi\)로 간다. 다시 말해 도식의 오른쪽 사각형 \[\xymatrix{ A' \ar[r] & A \ar@{..>}[r]_{s_{univ}} & F \\ K \ar[r] \ar[u]^{?} & A_M \ar[u]^\psi \ar[r] & M \ar@{..>}[u]_s }\] 은 가환한다. \(K = \Ker(A_M \to M)\)로 두자. \(s\)를 \(K\)에 제한하면 영이므로 \(A'\)의 정의에 의해 \(\psi(K) \subset A'\)이다. 따라서 유도된 사상 \(M \to A/A'\)이 존재한다. 이 구성은 사상 \(h_{A/A'}(M) \to F(M)\)의 역을 준다(세부사항은 생략한다).

보조정리

Grothendieck 아벨 범주는 AB3*을 만족한다.

증명

\(M_i\), \(i \in I\)를 집합 \(I\)로 첨자화된 \(\mathcal{A}\)의 대상들의 족이라 하자. 함자 \(F = \prod_{i \in I} h_{M_i}\)는 여극한과 가환한다. 따라서 보조정리 07D7을 적용할 수 있다.

주

유도범주 장에서는 Stacks project의 규약에 따라 일관되게 “작은” 아벨 범주를 다룬다. “큰” 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 경우 유도범주의 사상들이 집합인지 분명하지 않으므로 유도범주 \(D(\mathcal{A})\)가 존재하는지도 분명하지 않다. 일반적으로 이는 참이 아니다. Examples, Lemma 07JT를 보라. 그러나 \(\mathcal{A}\)가 Grothendieck 아벨 범주이고 \(K(\mathcal{A})\)의 \(K^\bullet, L^\bullet\)이 주어졌다면, 정리 079P에 의해 K-단사 복합체 \(I^\bullet\)로 가는 준동형사상 \(L^\bullet \to I^\bullet\)이 존재하고, Derived Categories, Lemma 070I에 의해 \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, L^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\] 이며 이는 집합이다. Grothendieck 아벨 범주의 예로는 환 위의 가군 범주, 더 일반적으로는 환 달린 사이트 위의 가군층 범주가 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

\(D(\mathcal{A})\)에는 직합과 직접곱이 모두 존재한다.

직합은 임의의 복합체들의 항별 직합을 취해 얻는다.

직접곱은 K-단사 복합체들의 항별 직접곱을 취해 얻는다.

증명

\(K^\bullet_i\), \(i \in I\)를 집합 \(I\)로 첨자화된 \(D(\mathcal{A})\)의 대상들의 족이라 하자. 항별 직합 \(\bigoplus_{i \in I} K^\bullet_i\)가 \(D(\mathcal{A})\)에서 직합임을 보이자. \(I^\bullet\)을 K-단사 복합체라 하자. 그러면 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A})}(\bigoplus\nolimits_{i \in I} K^\bullet_i, I^\bullet) & = \Hom_{K(\mathcal{A})}(\bigoplus\nolimits_{i \in I} K^\bullet_i, I^\bullet) \\ & = \prod\nolimits_{i \in I} \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet_i, I^\bullet) \\ & = \prod\nolimits_{i \in I} \Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet_i, I^\bullet) \end{align*}\] 이므로 원하는 결과를 얻는다. 정리 079P에 의해 모든 복합체를 K-단사 복합체로 표현할 수 있으므로 이것으로 충분하다. 직접곱을 구성하기 위해 각 \(i\)에 대해 K-단사 분해 \(K_i^\bullet \to I_i^\bullet\)을 택하자. 그러면 \(\prod_{i \in I} I_i^\bullet\)은 \(D(\mathcal{A})\)에서 직접곱이다. 이는 Derived Categories, Lemma 0BK6에서 따른다.

주

\(R\)을 환이라 하고 \(M_n\), \(n \in \mathbf{Z}\)를 \(R\)-가군이라 하자. \(E_n = M_n[-n] \in D(R)\)로 나타내자. \(E = \bigoplus M_n[-n]\)은 \(D(R)\)에서 대상 \(E_n\)들의 직합인 동시에 직접곱이다. 직합임은 보조정리 07D9의 증명에서 알 수 있다. 직접곱임을 보이기 위해 단사 분해 \(M_n \to I_n^\bullet\)을 택하자. 보조정리 07D9의 증명에 의해 \(D(R)\)에서 \[\prod E_n = \prod I_n^\bullet[-n]\] 이다. \(\text{Mod}_R\)에서 직접곱은 완전하므로 \(\prod I_n^\bullet[-n]\)은 \(E\)와 준동형이다. 더 일반적으로 \(\mathcal{A}\)가 AB4*을 만족하는 Grothendieck 아벨 범주일 때 \(D(\mathcal{A})\)에서도 같은 논증이 성립한다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주 사이의 가법 함자라 하자. 다음을 가정하자.

\(\mathcal{A}\)는 Grothendieck 아벨 범주이다.

\(\mathcal{B}\)에는 완전한 가산 직접곱이 존재한다.

\(F\)는 가산 직접곱과 가환한다.

그러면 \(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)는 유도극한과 가환한다.

증명

\(\mathcal{A}\)에는 K-단사 복합체가 충분히 많으므로 \(RF\)가 존재함에 유의하라(정리 079P 및 Derived Categories, Lemma 070Y). 이 명제는 \(K = R\lim K_n\)이면 \(RF(K) = R\lim RF(K_n)\)이라는 뜻이다. 표기는 Derived Categories, Definition 08TC을 보라. \(RF\)는 삼각범주의 완전 함자이므로 \(RF\)가 \(D(\mathcal{A})\)의 대상들의 가산 직접곱과 가환함을 보이면 충분하다. 보조정리 07D9의 증명에서 \(D(\mathcal{A})\)의 직접곱은 K-단사 복합체들의 직접곱을 취해 계산되고, K-단사 복합체들의 직접곱도 K-단사임을 보았다. 또한 Derived Categories, Lemma 07KC에서 \(D(\mathcal{B})\)의 직접곱은 항별 직접곱을 취해 계산됨을 보았다. \(RF\)는 K-단사 대표에 \(F\)를 적용하여 계산되고 \(F\)가 가산 직접곱과 가환한다고 가정했으므로 보조정리가 따른다.

다음 보조정리는 Cartan–Eilenberg 분해의 존재성(Derived Categories, Section 015G)을 일반화한 결과의 일종이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 여과 복합체라 하자. Homology, Definition 012L를 보라. 그러면 \(\mathcal{A}\)의 여과 복합체의 사상 \(j : K^\bullet \to J^\bullet\)이 존재하여 다음을 만족한다.

\(J^n\), \(F^pJ^n\), \(J^n/F^pJ^n\) 및 \(F^pJ^n/F^{p'}J^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이다.

\(J^\bullet\), \(F^pJ^\bullet\), \(J^\bullet/F^pJ^\bullet\) 및 \(F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\)은 K-단사 복합체이다.

\(j\)는 다음 준동형사상들을 유도한다. \(K^\bullet \to J^\bullet\), \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\), \(K^\bullet/F^pK^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet\), and \(F^pK^\bullet/F^{p'}K^\bullet \to F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\).

증명

정리 079P에 의해 준동형사상 \(i : K^\bullet \to I^\bullet\)과 \(i^p : F^pK^\bullet \to I^{p, \bullet}\) 및 가환 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ K^\bullet \ar[d]_i & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^\bullet & I^{p, \bullet} \ar[l]_{\alpha^p} } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ F^{p'}K^\bullet \ar[d]_{i^{p'}} & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^{p', \bullet} & I^{p, \bullet} \ar[l]_{\alpha^{p p'}} } } \quad\text{for }p' \leq p\] 을 얻으며, 여기서 \(\alpha^p \circ \alpha^{p' p} = \alpha^{p'}\)이고 \(\alpha^{p'p''} \circ \alpha^{pp'} = \alpha^{pp''}\)이다. 문제는 사상 \(\alpha^p : I^{p, \bullet} \to I^\bullet\)이 단사일 필요가 없다는 것이다. 각 \(p\)에 대해, 항들이 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상인 비순환 K-단사 복합체 \(J^{p, \bullet}\)로 가는 단사 사상 \(t^p : I^{p, \bullet} \to J^{p, \bullet}\)을 택한다(먼저 항등사상의 원뿔로 보내고 나서 정리를 사용한다). 다음 도식이 가환하도록 복합체의 사상 \(s^p : I^\bullet \to J^{p, \bullet}\)을 택하자. \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[d]_i & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^\bullet \ar[rd]_{s^p} & I^{p, \bullet} \ar[d]^{t^p} \\ & J^{p, \bullet} }\] 이는 가능하다. \(J^{p, \bullet}\)이 비순환 K-단사이므로 합성 \(F^pK^\bullet \to J^{p, \bullet}\)은 영과 호모토픽이다(Derived Categories, Lemma 070I). 대상 \(J^{p, n - 1}\)들이 단사 대상이고 \(F^pK^n \to K^n \to I^n\)이 단사 사상이므로, 이 호모토피를 주는 사상 \(F^pK^n \to J^{p, n - 1}\)을 사상 \(h^n : I^n \to J^{p, n - 1}\)로 올릴 수 있다. 이제 \(s^p\)를 \(h \circ \text{d} + \text{d} \circ h\)와 같게 둔다. (주의: \(t^p = s^p \circ \alpha^p\)는 성립하지 않으므로 아래에서 이를 사용하지 않도록 조심해야 한다.)

다음을 생각하자. \[J^\bullet = I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet}\] \(D(\mathcal{A})\)의 직접곱은 K-단사 복합체들의 직접곱을 취하여 주어지고 (보조정리 07D9), \(J^{p, \bullet}\)은 \(D(\mathcal{A})\)에서 \(0\)과 동형이므로 \(J^\bullet \to I^\bullet\)은 \(D(\mathcal{A})\)에서 동형사상이다. 사상 \[j = i \times (s^p \circ i)_{p \in \mathbf{Z}} : K^\bullet \longrightarrow I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet} = J^\bullet\] 을 생각하자. 위의 설명에 의해 이는 준동형사상이고 또한 단사이다. \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(F^pJ^\bullet \subset J^\bullet\)을 다음으로 둔다. \[\Im\left( \alpha^p \times (t^{p'} \circ \alpha^{pp'})_{p' \leq p} : I^{p, \bullet} \to I^\bullet \times \prod\nolimits_{p' \leq p} J^{p', \bullet} \right) \times \prod\nolimits_{p' > p} J^{p', \bullet}\] \(\alpha^{pp} = \text{id}\)이고 \(t^p\)가 단사이므로 이 복합체는 복합체 \(I^{p, \bullet} \times \prod_{p' > p} J^{p, \bullet}\)과 동형이다. 따라서 \(F^pJ^\bullet\)은 \(I^{p, \bullet}\)과 준동형이다(위와 같이 논증하라). 위 도식의 가환성에 의해 \(j(F^pK^\bullet) \subset F^pJ^\bullet\)이다. 방금 말한 바에 따라 이에 대응하는 복합체의 사상 \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\)은 준동형사상이다. 마지막으로 \(F^{p + 1}J^\bullet \subset F^pJ^\bullet\)임을 보이려면 \(\alpha^{p + 1p} \circ \alpha^{pp'} = \alpha^{p + 1p'}\)와 증명의 첫 문단에 있는 첫 번째 표시 도식의 가환성을 사용한다.

\(j : K^\bullet \to J^\bullet\)가 보조정리에서 제기한 문제의 해임을 보이자. \(F^pJ^n\)은 \(I^{p, n} \times \prod_{p' > p} J^{p', n}\)과 동형이고 단사 대상들의 직접곱은 단사 대상이므로 이는 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이다. 그러면 단사 사상 \(F^pJ^n \to J^n\)은 분할되고, 따라서 몫 \(J^n/F^pJ^n\)도 단사 대상 \(J^n\)의 직합인자로서 단사 대상이다. \(F^pJ^n/F^{p'}J^n\)도 마찬가지이다. 특히 이는 \(0 \to F^pJ^\bullet \to J^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet \to 0\)이 항별로 분할되는 복합체의 짧은 완전열이고, 따라서 정의에 의해 \(K(\mathcal{A})\)의 특수 삼각형을 정의한다는 뜻이다. \(J^\bullet\)과 \(F^pJ^\bullet\)이 K-단사 복합체이므로 Derived Categories, Lemma 090X에 의해 \(J^\bullet/F^pJ^\bullet\)도 K-단사이다. 비슷한 논증으로 \(F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\)도 K-단사임을 알 수 있다. 구성에 의해 \(j : K^\bullet \to J^\bullet\)와 유도된 사상 \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\)은 준동형사상이다. 관련된 복합체들의 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 \(K^\bullet/F^pK^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet\)과 \(F^pK^\bullet/F^{p'}K^\bullet \to F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\)에 대해서도 마찬가지임을 알 수 있다.

주

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 여과 복합체라 하자. Homology, Definition 012L를 보라. 표기를 간단히 하기 위해 \(K^\bullet\), \(F^pK^\bullet\), \(\text{gr}^pK^\bullet\)이 표현하는 \(D(\mathcal{A})\)의 대상을 각각 \(K\), \(F^pK\), \(\text{gr}^pK\)로 나타내자. \(M \in D(\mathcal{A})\)라 하자. 보조정리 0BKI을 사용하면 \(\mathcal{A}\)의 쌍등급 대상들의 스펙트럼열 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\)을 구성할 수 있다. \(d_r\)의 쌍차수는 \((r, -r + 1)\)이고 \[E_1^{p, q} = \Ext^{p + q}(M, \text{gr}^pK)\] 이다. 모든 \(n\)에 대해 \[\Ext^n(M, F^pK) = 0 \text{ for } p \gg 0 \quad\text{and}\quad \Ext^n(M, F^pK) = \Ext^n(M, K) \text{ for } p \ll 0\] 이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)로 수렴한다. 실제로 \(M\)을 표현하는 임의의 복합체 \(M^\bullet\)과 보조정리에서와 같은 \(j : K^\bullet \to J^\bullet\)을 택하고, More on Algebra, Section 0A8H에서와 정확히 같이 정의되는 복합체 \[\Hom^\bullet(M^\bullet, J^\bullet)\] 을 생각하자. \(F^p\Hom^\bullet(M^\bullet, J^\bullet) = \Hom^\bullet(M^\bullet, F^pJ^\bullet)\)로 두면 여과 복합체를 얻는다. Homology, Section 012K의 스펙트럼열은 위에서 설명한 미분과 항들을 갖는다. 세부사항은 생략한다. 유계성과 수렴성은 Homology, Lemma 0BK5에서 따른다.

주

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(M, K\)를 \(D(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(K\)를 표현하는 복합체 \(K^\bullet\)을 어떻게 택하든, 여과 \(F^pK^\bullet = \tau_{\leq -p}K^\bullet\)과 주석 0G1X의 논의를 사용하여 다음 항을 갖는 스펙트럼열을 얻는다. \[E_1^{p, q} = \Ext^{2p + q}(M, H^{-p}(K))\] 이 스펙트럼열은 \(K\)를 표현하는 복합체 \(K^\bullet\)의 선택과 무관하다. \(p = -j\), \(q = i + 2j\)로 번호를 다시 매기면 \(d'_r\)의 쌍차수가 \((r, -r + 1)\)이고 다음 항을 갖는 스펙트럼열 \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\)을 얻는다. \[(E'_2)^{i, j} = \Ext^i(M, H^j(K))\] \(M \in D^-(\mathcal{A})\)이고 \(K \in D^+(\mathcal{A})\)이면 \(E_r\)와 \(E'_r\)는 모두 유계이고 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)로 수렴한다. 여과 \(F^pK^\bullet = \sigma_{\geq p}K^\bullet\)을 사용하면 \[E_1^{p, q} = \Ext^q(M, K^p)\] \(M \in D^-(\mathcal{A})\)이고 \(K^\bullet\)이 아래로 유계이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)로 수렴한다.

주

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(K \in D(\mathcal{A})\)라 하자. \(M^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 여과 복합체라 하자. Homology, Definition 012L을 보라. 표기를 간단히 하기 위해 \(M^\bullet\), \(M^\bullet/F^pM^\bullet\), \(\text{gr}^pM^\bullet\)이 표현하는 \(D(\mathcal{A})\)의 대상을 각각 \(M\), \(M/F^pM\), \(\text{gr}^pM\)으로 나타내자. 주석 0G1X의 쌍대 논증으로 \(\mathcal{A}\)의 쌍등급 대상들의 스펙트럼열 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\)을 구성할 수 있다. \(d_r\)의 쌍차수는 \((r, -r + 1)\)이고 \[E_1^{p, q} = \Ext^{p + q}(\text{gr}^{-p}M, K)\] 이다. 모든 \(n\)에 대해 \[\begin{aligned} \Ext^n(M/F^pM, K) &= 0 \text{ for } p \ll 0\\ &\quad\text{and}\quad \Ext^n(M/F^pM, K) = \Ext^n(M, K) \text{ for } p \gg 0 \end{aligned}\] 이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)로 수렴한다. 정리 079P에 따라, 단사 대상인 항들을 가지며 \(K\)를 표현하는 K-단사 복합체 \(I^\bullet\)을 택하자. More on Algebra, Section 0A8H에서와 정확히 같이 정의되는 복합체 \[\Hom^\bullet(M^\bullet, I^\bullet)\] 을 생각하자. 다음과 같이 두면 \[F^p\Hom^\bullet(M^\bullet, I^\bullet) = \Hom^\bullet(M^\bullet/F^{-p + 1}M^\bullet, I^\bullet)\] 여과 복합체를 얻는다(여과의 부호와 이동에 유의하라). Homology, Section 012K의 스펙트럼열은 위에서 설명한 미분과 항들을 갖는다. 세부사항은 생략한다. 유계성과 수렴성은 Homology, Lemma 0BK5에서 따른다.

주

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(M, K\)를 \(D(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(M\)을 표현하는 복합체 \(M^\bullet\)을 어떻게 택하든, 여과 \(F^pM^\bullet = \tau_{\leq -p}M^\bullet\)과 주석 0G1X의 논의를 사용하여 다음 항을 갖는 스펙트럼열을 얻는다. \[E_1^{p, q} = \Ext^{2p + q}(H^p(M), K)\] 이 스펙트럼열은 \(M\)을 표현하는 복합체 \(M^\bullet\)의 선택과 무관하다. \(p = -j\), \(q = i + 2j\)로 번호를 다시 매기면 \(d'_r\)의 쌍차수가 \((r, -r + 1)\)이고 다음 항을 갖는 스펙트럼열 \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\)을 얻는다. \[(E'_2)^{i, j} = \Ext^i(H^{-j}(M), K)\] \(M \in D^-(\mathcal{A})\)이고 \(K \in D^+(\mathcal{A})\)이면 \(E_r\)와 \(E'_r\)는 유계이고 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)로 수렴한다. 여과 \(F^pM^\bullet = \sigma_{\geq p}M^\bullet\)을 사용하면 \[E_1^{p, q} = \Ext^q(M^{-p}, K)\] \(K \in D^+(\mathcal{A})\)이고 \(M^\bullet\)이 위로 유계이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)로 수렴한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 대상 \(E \in D(\mathcal{A})\), \(\mathbf{Z}\) 위의 \(D(\mathcal{A})\)의 대상들의 역계 \(\{E^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\), 그리고 양립하는 사상계 \(E^i \to E\)가 주어졌다고 하자. 도식으로 쓰면 다음과 같다. \[\ldots \to E^{i + 1} \to E^i \to E^{i - 1} \to \ldots \to E\] 그러면 \(\mathcal{A}\)의 여과 복합체 \(K^\bullet\)이 존재하고(Homology, Definition 012L), \(K^\bullet\)은 \(E\)를 표현하며 \(F^iK^\bullet\)은 주어진 사상들과 양립하게 \(E^i\)를 표현한다.

증명

정리 079P에 의해 \(E\)를 표현하고 모든 항 \(I^n\)이 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상인 K-단사 복합체 \(I^\bullet\)을 택할 수 있다. \(E^0\)을 표현하는 복합체 \(G^{0, \bullet}\)과 \(E^0 \to E\)를 표현하는 복합체의 사상 \(\varphi^0 : G^{0, \bullet} \to I^\bullet\)을 택하자. \(i > 0\)에 대해서는 귀납적으로 \(E^i \to E^{i - 1}\)을 복합체의 사상 \(\delta : G^{i, \bullet} \to G^{i - 1, \bullet}\)로 표현하고 \(\varphi^i = \delta \circ \varphi^{i - 1}\)로 둔다. \(i < 0\)에 대해서는 귀납적으로 \(E^{i + 1} \to E^i\)를 복합체의 항별 단사 사상 \(\delta : G^{i + 1, \bullet} \to G^{i, \bullet}\)로 표현한다(예를 들어 Derived Categories, Lemma 013N를 사용할 수 있다). 이제 사상 \(E^i \to E\)를 표현하고 다음 가환 도식에 들어맞는 복합체의 사상 \(\varphi^i : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\)을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ G^{i + 1, \bullet} \ar[r]_\delta \ar[d]_{\varphi^{i + 1}} & G^{i, \bullet} \ar[ld]^{\varphi^i} \\ I^\bullet }\] 실제로 먼저 사상 \(E^i \to E\)를 표현하는 임의의 복합체의 사상 \(\varphi : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\)을 택한다. 그러면 어떤 호모토피 \(h^p : G^{i + 1, p} \to I^{p - 1}\)에 의해 \(\varphi \circ \delta\)와 \(\varphi^{i + 1}\)은 호모토픽이다. \(I^\bullet\)의 항들이 단사 대상이고 \(\delta\)가 항별 단사이므로 \(h^p\)를 \((h')^p : G^{i, p} \to I^{p - 1}\)로 올릴 수 있다. 이제 \(\varphi^i = \varphi + h' \circ d + d \circ h'\)로 두면 주장한 바를 얻는다.

다음으로 각 \(i\)에 대해 복합체의 항별 단사 사상 \(a^i : G^{i, \bullet} \to J^{i, \bullet}\)을 택하자. 여기서 \(J^{i, \bullet}\)은 비순환 K-단사이고 \(J^{i, p}\)는 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이다. 이를 위해 먼저 \(G^{i, \bullet}\)을 항등사상의 원뿔로 보낸 뒤 위에서 인용한 정리를 적용한다. 위와 같이 논증하면 다음 도식들이 가환하도록 복합체의 사상 \(\delta' : J^{i, \bullet} \to J^{i - 1, \bullet}\)을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ G^{i, \bullet} \ar[r]_\delta \ar[d]_{a^i} & G^{i - 1, \bullet} \ar[d]^{a^{i - 1}} \\ J^{i, \bullet} \ar[r]^{\delta'} & J^{i - 1, \bullet} }\] (원뿔의 함자성과 정리에 나오는 함자성을 함께 사용해도 이를 얻을 수 있다.) 이제 다음 사상들을 생각한다. \[\xymatrix{ G^{i + 1, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i + 1} J^{p, \bullet} \ar[r] \ar[rd] & G^{i, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i} J^{p, \bullet} \ar[r] \ar[d] & G^{i - 1, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i - 1} J^{p, \bullet} \ar[ld] \\ & I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet} }\] 여기서 \(J^{p, \bullet}\) 위의 화살표들은 자명한 것들(항등 또는 영)이다. 인자 \(G^{i, \bullet}\) 위에서는 사상 \(\delta : G^{i, \bullet} \to G^{i - 1, \bullet}\), \(\varphi^i : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\), \(p > i\)일 때의 영사상 \(0 : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\), \(p = i\)일 때의 사상 \(a^i : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\), 그리고 사상 \((\delta')^{i - p} \circ a^i = a^p \circ \delta^{i - p} : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\)를 \(p < i\)일 때 사용한다. 도식의 모든 화살표가 항별 단사임을 확인하는 일은 생략한다. 이로써 여과 복합체를 얻는다. \(D(\mathcal{A})\)의 직접곱은 K-단사 복합체들의 직접곱을 취하여 주어지고(보조정리 07D9), \(J^{p, \bullet}\)은 \(D(\mathcal{A})\)에서 영이므로 이 도식은 유도범주에서 주어진 도식을 표현한다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

보조정리 0ESJ의 상황에서 두 번째 역계 \(\{(E')^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\)와 양립하는 사상계 \((E')^i \to E\)도 주어졌다고 하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)의 이중 여과 복합체 \(K^\bullet\)이 존재하여 \(K^\bullet\)은 \(E\)를, \(F^iK^\bullet\)은 \(E^i\)를, \((F')^iK^\bullet\)은 \((E')^i\)를 주어진 사상들과 양립하게 표현한다.

증명

먼저 이 보조정리를 사용하여 \(K^\bullet\)과 \(F\)를 택할 수 있다. 다음으로 \(\{(E')^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\)와 사상 \((E')^i \to E\)에 맞는 \((K')^\bullet\)과 \(F'\)를 택할 수 있다. 보조정리 0BKI을 사용하여 \(K^\bullet\)이 K-단사 복합체라고 가정할 수 있다. 그러면 주어진 동일시 \((K')^\bullet \cong E \cong K^\bullet\)에 대응하는 복합체의 사상 \((K')^\bullet \to K^\bullet\)을 택할 수 있다. 또한 \(J^\bullet\)이 비순환 K-단사이도록 항별 단사 사상 \((K')^\bullet \to J^\bullet\)을 택할 수 있다. (이를 위해 먼저 \((K')^\bullet\)을 항등사상의 원뿔로 보낸 다음 정리 079P을 적용한다.) 그러면 \((K')^\bullet \to K^\bullet \times J^\bullet\)과 \(K^\bullet \to K^\bullet \times J^\bullet\)은 둘 다 항별 단사인 준동형사상이다(보조정리 07D9에 의해 그 직접곱이 \(E\)를 표현하기 때문이다). 이제 이 사상들 아래에서 \(K^\bullet\)과 \((K')^\bullet\) 위의 여과들의 상을 취하면 결론을 얻는다.

Gabriel–Popescu 정리

이 절에서는 [GP]의 주정리를 논한다. 증명 방법은 Jacob Lurie의 글과 Akhil Mathew의 글을 따르며, 이들은 다시 [Kuhn]에 있는 Kuhn의 서술을 따른다. [Takeuchi]도 보라.

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(U\)를 \(\mathcal{A}\)의 생성자라 하자. 정의 079B를 보라. \(R = \Hom_\mathcal{A}(U, U)\)로 두자. 다음으로 주어지는 함자 \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\)를 생각하자. \[G(A) = \Hom_\mathcal{A}(U, A)\] 여기에는 표준적인 오른쪽 \(R\)-가군 구조를 준다.

보조정리

위의 함자 \(G\)는 왼쪽 수반 \(F : \text{Mod}_R \to \mathcal{A}\)를 갖는다.

증명

이 보조정리의 두 가지 증명을 제시한다.

첫 번째 증명에서는 수반함자 정리를 사용한다. Categories, Theorem 0AHQ을 보라. 함자 \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\)는 왼쪽 완전하고 직접곱을 직접곱으로 보냄에 유의하라. 따라서 \(G\)는 극한과 가환한다. 정리의 집합론적 조건을 확인하기 위해 \(M\)을 \(\text{Mod}_R\)의 대상이라 하자. 충분히 큰 기수 \(\kappa\)와 \(\mathcal{A}\)의 대상들의 집합 \(E\)를, \(|A| \leq \kappa\)인 모든 대상 \(A\)가 \(E\)의 한 원소와 동형이 되도록 택한다. 이는 보조정리 079E에 의해 가능하다. 다음과 같이 두자. \(I = \coprod_{A \in E} \Hom_R(M, G(A))\). 원소 \(i \in I\)를 쌍 \((A_i, f_i)\)로 생각한다. 마지막으로 \(A\)를 \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상, \(f : M \to G(A)\)를 임의의 사상이라 하자. \(\Im(f) \subset G(A) = \Hom_\mathcal{A}(U, A)\)의 원소들을 사상 \(u : U \to A\)로 생각한다. 다음과 같이 두자. \[A' = \Im(\bigoplus\nolimits_{u \in \Im(f)} U \xrightarrow{u} A)\] \(G\)가 왼쪽 완전이므로 \(G(A') \subset G(A)\)는 \(\Im(f)\)를 포함하고, \(f\)를 분해하는 \(f' : M \to G(A')\)를 얻는다. 한편 대상 \(A'\)는 \(U\)를 \(|M|\)개 이하 직합한 대상의 몫이다. 따라서 \(\kappa = |\bigoplus_{|M|} U|\)이면 \((A', f')\)는 \(E\)의 원소 \((A_i, f_i)\)와 동형이고, 원하는 대로 \(f\)는 \(M \xrightarrow{f_i} G(A_i) \to G(A)\)로 분해된다.

두 번째 증명에서는 어떤 의미에서 “\(F(M) = M \otimes_R U\)”임을 보여 주는 \(F\)의 구성을 제시한다. 임의의 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 분해 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} R \to M \to 0\] 를 택할 수 있다. 이에 대응하는 완전열 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} U \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} U \to F(M) \to 0\] 로 \(F(M)\)을 정의한다. 이 구성은 분해의 선택과 무관하고 함자적이다. 세부사항은 생략한다. \(\mathcal{A}\)의 임의의 \(A\)에 대해 완전열 \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(F(M), A) \to \prod\nolimits_{i \in I} G(A) \to \prod\nolimits_{j \in J} G(A)\] 을 얻으며, 이는 열 \[0 \to \Hom_R(M, G(A)) \to \Hom_R(\bigoplus\nolimits_{i \in I} R, G(A)) \to \Hom_R(\bigoplus\nolimits_{j \in J} R, G(A))\] 과 동형이다. 이로써 \(F\)가 \(G\)의 왼쪽 수반임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : M \to G(A)\)를 \(\text{Mod}_R\)의 단사 사상이라 하자. 그러면 수반 사상 \(f' : F(M) \to A\)도 단사이다.

증명

사상 \(R^{\oplus n} \to M\)을 택하고 이에 대응하는 사상 \(U^{\oplus n} \to F(M)\)을 생각하자. 합성 \(U \to U^{\oplus n} \to F(M) \to A\)가 \(0\)이 되도록 사상 \(v : U \to U^{\oplus n}\)을 택하자. 그러면 이 화살표 \(v : U \to U^{\oplus n}\)은 \(G(A)\)에서 영으로 가는 \(R^{\oplus n}\)의 원소 \(v\)이다. \(f\)가 단사이므로 \(v\)는 \(M\)에서 영으로 간다. 보조정리 0F5S의 증명에서 \(F(M)\)을 구성한 방법에 따라 이는 \(U \to U^{\oplus n} \to F(M)\)이 영이라는 뜻이다. \(U\)가 생성자이므로 \[\Ker(U^{\oplus n} \to F(M) \to A) = \Ker(U^{\oplus n} \to F(M))\] 이다. 증명을 끝내기 위해 전사 \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\)을 택하고 이에 대응하는 전사 \[\pi : \bigoplus\nolimits_{i \in I} U \longrightarrow F(M)\] 를 생각하자. \(f'\)가 단사임을 보이려면 \(\bigoplus_{i \in I} U\)의 부분대상으로서 \(\Ker(\pi) = \Ker(f' \circ \pi)\)임을 보이면 충분하다. 이제 \(\bigoplus_{i \in I} U\)를, \(I' \subset I\)가 유한 부분집합들을 달릴 때의 부분대상 \(\bigoplus_{i \in I'} U\)들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. \(\mathcal{A}\)에서 AB5에 의해 여과 여극한은 완전하므로 \[\Ker(\pi) = \colim_{I' \subset I\text{ finite}} \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} U\right) \bigcap \Ker(\pi)\] 이고 \[\Ker(f' \circ \pi) = \colim_{I' \subset I\text{ finite}} \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} U\right) \bigcap \Ker(f' \circ \pi)\] 이다. 위의 첫 번째 표시 등식에 의해 각 \(I'\)에 대해 같은 등식이 성립하므로 원하는 등식을 얻는다.

정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 그러면 (비가환) 환 \(R\)과 함자 \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\) 및 \(F : \text{Mod}_R \to \mathcal{A}\)가 존재하여 다음을 만족한다.

\(F\)는 \(G\)의 왼쪽 수반이다.

\(G\)는 충만충실하다.

\(F\)는 완전하다.

더욱이 이 함자들은 위에서 구성한 것들이다.

증명

먼저 \(G\)가 충만충실함, 동치로 \(F \circ G \to \text{id}\)가 동형사상임을 증명한다. Categories, Lemma 07RB를 보라. 먼저 대상 \(A\)가 주어지면, 구성에 의해 모든 사상 \(U \to A\)는 \(F(G(A))\)을 거쳐 분해되므로 사상 \(F(G(A)) \to A\)는 전사이다. 한편 사상 \(F(G(A)) \to A\)는 사상 \(\text{id} : G(A) \to G(A)\)의 수반이므로 보조정리 0F5T에 의해 단사이다.

함자 \(F\)는 왼쪽 수반이므로 오른쪽 완전하다. \(\text{Mod}_R\)에는 사영 대상이 충분히 많으므로 \(F\)가 완전임을 보이려면 첫 번째 왼쪽 유도함자 \(L_1F\)가 영임을 보이면 충분하다. 어떤 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 \(L_1F(M) = 0\)임을 보이기 위해 \(P\)가 자유인 \(R\)-가군의 완전열 \(0 \to K \to P \to M \to 0\)을 택하자. \(F(K) \to F(P)\)가 단사임을 보이면 충분하다. 이제 이 열을 \(P_i\)가 유한 자유 \(R\)-가군인 열 \(0 \to K_i \to P_i \to M_i \to 0\)들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 실제로 \(P\)를 그러한 방식으로 쓰고 \(K_i = K \cap P_i\) 및 \(M_i = \Im(P_i \to M)\)로 두면 된다. \(F\)는 왼쪽 수반이므로 여극한과 가환하고 \(\mathcal{A}\)는 Grothendieck 아벨 범주이므로, 각 \(F(K_i) \to F(P_i)\)가 단사이면 \(F(K) \to F(P)\)도 단사이다. 따라서 \(K \subset P = R^{\oplus n}\)인 경우 \(F(K) \to F(P)\)가 단사임을 확인하면 충분하다. 이 경우 보조정리 0F5T를 적용하면 \(F(K) \to U^{\oplus n}\)이 단사이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하고 \(R\), \(F\), \(G\)를 Gabriel–Popescu 정리(정리 0F5U)에서와 같이 두자. 그러면 유도함자 \[RG : D(\mathcal{A}) \to D(\text{Mod}_R) \quad\text{and}\quad F : D(\text{Mod}_R) \to D(\mathcal{A})\] 를 얻으며, \(F\)는 \(RG\)의 왼쪽 수반이고 \(RG\)는 충만충실하며 \(F \circ RG = \text{id}\)이다.

증명

함자들의 존재성과 수반성은 정리 0F5U, 079P 및 Derived Categories, Lemmas 070Y, 015F, 09T5에서 따른다. 실제로 \(D(\mathcal{A})\)의 대상 위의 \(RG\)는 적절한 대표 복합체 \(I^\bullet\)(예를 들어 K-단사 복합체)에 \(G\)를 적용하여 계산할 수 있고, \(F \circ G = \text{id}\)이므로 \(F(G(I^\bullet)) = I^\bullet\)이다. 따라서 \(F \circ RG = \text{id}\)이다. 이제 Categories, Lemma 07RB에 의해 \(RG\)가 충만충실함도 따른다.

Brown 표현가능성과 Grothendieck 아벨 범주

이 절에서는 Grothendieck 아벨 범주의 유도범주에 대한 표현가능성 정리를 빠르게 증명한다. 독자는 먼저 Derived Categories, Section 0A8E에 있는 콤팩트 생성 삼각범주의 경우를 읽어야 한다. 그 다음에는 이 절을 읽기보다 이러한 종류의 더 일반적인 결과를 문헌에서 찾아보는 것이 좋다. 예를 들어 [Franke], [Neeman], [Krause] 또는 Derived Categories, Section 0GYF를 보라.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주라 하자. 직합을 직접곱으로 보내는 반변 코호몰로지 함자 \(H : D(\mathcal{A}) \to \textit{Ab}\)를 택하자. 그러면 \(H\)는 표현가능이다.

증명

\(R, F, G, RG\)를 보조정리 0F5V에서와 같이 두고 함자 \(H \circ F : D(\text{Mod}_R) \to \textit{Ab}\)를 생각하자. \(F\)는 왼쪽 수반이므로 직합을 직합으로 보내고, 따라서 \(H \circ F\)는 직합을 직접곱으로 보냄에 유의하라. 한편 유도범주 \(D(\text{Mod}_R)\)은 하나의 콤팩트 대상, 즉 \(R\)로 생성된다. Derived Categories, Lemma 0A8F에 의해 \(H \circ F\)는 표현가능이며, 이를 표현하는 대상을 \(L \in D(\text{Mod}_R)\)이라 하자. 특수 삼각형 \[M \to L \to RG(F(L)) \to M[1]\] 을 \(D(\text{Mod}_R)\)에서 택하자. \(F \circ RG = \text{id}\)이므로 \(F(M) = 0\)이다. 따라서 \(H(F(M)) = 0\)이고, 따라서 \(\Hom(M, L) = 0\)이다. 그러므로 \(L \to RG(F(L))\)은 직합인자의 포함사상이다. Derived Categories, Lemma 05QT을 보라. \(D(\mathcal{A})\)의 \(A\)에 대해 \[\begin{align*} H(A) & = H(F(RG(A)) \\ & = \Hom(RG(A), L) \\ & \to \Hom(RG(A), RG(F(L))) \\ & = \Hom(F(RG(A)), F(L)) \\ & = \Hom(A, F(L)) \end{align*}\] 을 얻으며, 여기서 화살표는 \(A\)에 대해 함자적인 왼쪽 역을 갖는다. 다시 말해 \(H\)는 표현가능 함자의 직합인자이다. \(D(\mathcal{A})\)는 Karoubi 완비이므로(Derived Categories, Lemma 05QW) 결론이 따른다.

명제

\(\mathcal{A}\)를 Grothendieck 아벨 범주, \(\mathcal{D}\)를 삼각범주라 하자. \(F : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\)를 직합을 직합으로 보내는 삼각범주의 완전 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 완전한 오른쪽 수반을 갖는다.

증명

\(\mathcal{D}\)의 대상 \(Y\)에 대해 반변 함자 \[D(\mathcal{A}) \to \textit{Ab},\quad W \mapsto \Hom_\mathcal{D}(F(W), Y)\] 를 생각하자. \(F\)가 완전하므로 이는 코호몰로지 함자이고, \(F\)가 직합을 직합으로 보내므로 직합을 직접곱으로 보낸다. 따라서 보조정리 0F5X에 의해 \(D(\mathcal{A})\)의 대상 \(X\)가 존재하여 \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(W, X) = \Hom_\mathcal{D}(F(W), Y)\)를 만족한다. 수반의 존재성은 Categories, Lemma 0A8B에서 따른다. 완전성은 Derived Categories, Lemma 0A8D에서 따른다.