서론
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. Sites, 정의 00VH를 보라. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때, 그 코호몰로지 군 \[H^i(X, \mathcal{F}).\] 을 계산하고자 한다. 일반적인 정의(Cohomology on Sites, 절 01FT)에 따르면, 단사 분해 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I}^0 \to \mathcal{I}^1 \to \ldots\) 를 택하고 \[H^i(X, \mathcal{F}) = H^i( \Gamma(X, \mathcal{I}^0) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^1) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^2)\to \ldots)\] 로 놓아서 이 코호몰로지 군을 계산한다. 이 장의 목표는 \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가질 때에는 단사 분해를 택하지 않고도 이 코호몰로지 군들을 계산할 수 있음을 보이는 것이다. 이를 위해 초덮개를 사용한다.
사이트에서 초덮개는 덮개의 일반화이다. [SGA4, Exposé V, Sec. 7]을 보라. 대상 \(X\)의 초덮개 \(K\)가 주어지면, \(X\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지를 \(K\)의 성분 \(K_n\) 위에서 그 층이 갖는 코호몰로지로 나타내는 체흐-코호몰로지 스펙트럼 열이 있다. 항상 충분히 많은 초덮개가 존재함이 드러난다. 따라서 모든 초덮개에 걸쳐 여극한을 취하면 스펙트럼 열이 퇴화하고, \(X\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지는 체흐 코호몰로지 군들의 여극한으로 계산된다.
더 일반적으로는 코호몰로지 강하를 갖는 단체적 확대를 고려할 수 있다. [SGA4, Exposé Vbis]을 보라. 코호몰로지 강하를 다룬 좋은 원고로 Brian Conrad의 글이 있다. 다음을 보라. https://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf. 단체적 공간을 다루는 장에서 이 문제들로 돌아와, 예를 들어 “국소 콤팩트” 위상공간의 고유 초덮개가 코호몰로지 강하를 이룸을 보일 것이다(Simplicial Spaces, 절 09XA). 증명 전략은 이 명제를 이 장에서 구성하는 체흐-코호몰로지 스펙트럼 열로 귀착시키는 것이다.
반표현 가능 대상
먼저 다음 정의를 둔다. 문자 “SR”은 Semi-Representable의 머리글자이다.
정의
\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. 다음과 같이 정의되는 반표현 가능 대상의 범주를 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)로 나타낸다.
대상은 대상들의 족 \(\{U_i\}_{i \in I}\)이고,
사상 \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\)는 사상 \(\alpha : I \to J\)와 각 \(i \in I\)에 대한 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\)로 주어진다.
\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(X\) 위의 반표현 가능 대상의 범주는 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\).
이 정의는 본질적으로 [SGA4, Exposé V, Subsection 7.3.0]의 정의와 동치이다. 이는 “큰” 범주임에 유의하자. 나중에 \(X\)의 초덮개에 필요한 첨자 집합 \(I\)의 크기를 “제한”한다. 그러면 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)가 범주가 되도록 다시 정의할 수 있다. \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 대상과 사상을 명시하면 다음과 같다.
대상은 사상들의 족 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)이고,
사상 \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\)는 사상 \(\alpha : I \to J\)와 각 \(i \in I\)에 대한 \(X\) 위의 사상 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\)로 주어진다.
망각 함자 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \text{SR}(\mathcal{C})\)가 있다.
정의
\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. 반표현 가능 대상에 준층을 대응시키는 함자를 \(F\)로 나타낸다. 식으로 쓰면 \[\begin{eqnarray*} F : \text{SR}(\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(\mathcal{C}) \\ \{U_i\}_{i \in I} & \longmapsto & \amalg_{i\in I} h_{U_i} \end{eqnarray*}\] 이며, 여기서 \(h_U\)는 대상 \(U\)에 대응하는 표현 가능 준층을 나타낸다.
사상 \(U \to X\)가 주어지면 표현 가능 준층의 사상 \(h_U \to h_X\)를 얻는다. 따라서 흔히 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 위의 \(F\)를 \(h_X\) 위의 집합 값 준층의 범주, 즉 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\)로 가는 함자로 생각한다. 다음은 그 도표이다. \[\xymatrix{ \text{SR}(\mathcal{C}, X) \ar[r]_F \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X \ar[d] \\ \text{SR}(\mathcal{C}) \ar[r]^F & \textit{PSh}(\mathcal{C}) }\] 이제 반표현 가능 대상의 범주에서 극한의 존재를 논한다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자.
범주 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)는 쌍대곱을 가지며 \(F\)는 쌍대곱과 가환한다.
함자 \(F : \text{SR}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\)는 극한과 가환한다.
\(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가지면 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)도 섬유곱을 가진다.
\(\mathcal{C}\)가 이항곱을 가지면 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)도 이항곱을 가진다.
\(\mathcal{C}\)가 등화자를 가지면 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)도 등화자를 가진다.
\(\mathcal{C}\)가 끝 대상을 가지면 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)도 끝 대상을 가진다.
\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자.
범주 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)는 쌍대곱을 가지며 \(F\)는 쌍대곱과 가환한다.
\(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가지면 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)는 유한 극한을 가지며 \(F : \text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) 는 이들과 가환한다.
증명
\(\text{SR}(\mathcal{C})\)에 관한 결과부터 증명한다. (1)의 증명. \(\{U_i\}_{i \in I}\)와 \(\{V_j\}_{j \in J}\)의 쌍대곱은 \(\{U_i\}_{i \in I} \amalg \{V_j\}_{j \in J}\)이다. 다시 말해, 첨자 집합이 \(I \amalg J\)이고 원소 \(k \in I \amalg J\)에 대해 \(k = i \in I\)이면 \(U_i\)를, \(k = j \in J\)이면 \(V_j\)를 주는 대상들의 족이다. 대상들의 족으로 이루어진 족의 쌍대곱도 마찬가지이다. \(F\)가 이들과 가환함은 명백하다.
(2)의 증명. \(U\)가 \(\Ob(\mathcal{C})\)에 속할 때, \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 대상 \(\{U\}\)를 생각하자. 분명히 \(\Mor_{\text{SR}(\mathcal{C})}(\{U\}, K)) = F(K)(U)\) 가 \(K \in \Ob(\text{SR}(\mathcal{C}))\)에 대해 성립한다. 준층의 극한은 단면 수준에서 계산되므로(Sites, 절 00VB), \(F\)는 극한과 가환한다.
(3)의 증명. 사상 \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 와 사상 \((\beta, g_k) : \{W_k\}_{k \in K} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 가 주어졌다고 하자. 이 사상들의 섬유곱은 \[\{ U_i \times_{f_i, V_j, g_k} W_k\}_{(i, j, k) \in I \times J \times K \text{ such that } j = \alpha(i) = \beta(k)}\] 로 주어진다. \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가지면 이 섬유곱들이 존재한다.
(4)의 증명. \(\{U_i\}_{i \in I}\)와 \(\{V_j\}_{j \in J}\)의 곱은 \(\{U_i \times V_j\}_{i \in I, j \in J}\)이다. \(\mathcal{C}\)가 곱을 가지면 이 곱들이 존재한다.
(5)의 증명. 두 사상 \((\alpha, f_i), (\alpha', f'_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 의 등화자는 \[\{ \text{Eq}(f_i, f'_i : U_i \to V_{\alpha(i)}) \}_{i \in I,\ \alpha(i) = \alpha'(i)}\] \(\mathcal{C}\)가 등화자를 가지면 이 등화자들이 존재한다.
(6)의 증명. \(X\)가 \(\mathcal{C}\)의 끝 대상이면 \(\{X\}\)는 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 끝 대상이다.
이제 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)에 관한 명제들을 증명한다. 위의 결과를 범주 \(\mathcal{C}/X\)에 적용하고 \(\text{SR}(\mathcal{C}/X) = \text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 및 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/X) = \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) (혼돈 위상을 갖춘 \(\mathcal{C}\)에 Sites, 보조정리 00Y1를 적용한다)를 사용하면 따른다. 그러나 다음과 같이 직접 논증할 수도 있다. 분명히 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)와 \(\{V_j \to X\}_{j \in J}\) 의 쌍대곱은 \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \amalg \{V_j \to X\}_{j \in J}\)이고, 공역이 \(X\)인 사상들의 족으로 이루어진 족의 쌍대곱도 마찬가지이다. 대상 \(\{X \to X\}\)는 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 끝 대상이다. 사상 \((\alpha, f_i) : \{U_i \to X\}_{i \in I} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\) 와 사상 \((\beta, g_k) : \{W_k \to X\}_{k \in K} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\) 가 주어졌다고 하자. 이 사상들의 섬유곱은 \[\{ U_i \times_{f_i, V_j, g_k} W_k \to X \}_{(i, j, k) \in I \times J \times K \text{ such that } j = \alpha(i) = \beta(k)}\] 로 주어진다. \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가진다는 가정에 의해 이 섬유곱들이 존재한다. 따라서 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)는 유한 극한을 가진다. Categories, 보조정리 002O를 보라. 이 경우 함자 \(F\)에 관한 명제의 확인은 생략한다.
초덮개
우리 범주가 사이트라고 가정하면 다음 정의를 둘 수 있다.
정의
사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(f = (\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 를 범주 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 사상이라 하자. 모든 \(j \in J\)에 대해 사상의 족 \(\{U_i \to V_j\}_{i \in I, \alpha(i) = j}\)가 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개이면 \(f\)를 덮개라고 한다. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 사상 \(K \to L\)의 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)에서의 상이 덮개이면 이 사상을 덮개라고 한다.
보조정리
사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자.
\(\text{SR}(\mathcal{C})\)에서 덮개들의 합성은 덮개이다.
\(K \to L\)이 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 덮개이고 \(L' \to L\)이 사상이면 \(L' \times_L K\)가 존재하며, \(L' \times_L K \to L'\)은 덮개이다.
\(\mathcal{C}\)가 두 대상의 곱을 가지고 \(A \to B\)와 \(K \to L\)이 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 덮개이면, \(A \times K \to B \times L\)은 덮개이다.
\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. 그러면 (1)과 (2)는 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)에 대해 성립하고, \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가지면 (3)도 성립한다.
증명
(1)은 사이트의 공리에서 곧바로 따른다. (2)는 보조정리 01G2의 증명에서 주어진 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 섬유곱 구성과, \(\mathcal{C}\)의 덮개를 이루는 사상들이 표현 가능해야 한다는 조건에서 따른다. \(A \times K \to B \times L\)을 합성 \(A \times K \to B \times K \to B \times L\)로 보면 덮개들의 밑변환을 합성한 것이므로 (3)이 따른다. 마지막 명제는 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\)이기 때문에 성립한다.
보조정리 01G2와 Simplicial, 보조정리 0183에 의해 \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가지면 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 절단 단체적 대상의 여골격이 존재한다. 따라서 다음 정의는 의미를 가진다.
정의
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가진다고 가정하자. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(X\)의 초덮개란 다음을 만족하는 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상 \(K\)를 말한다.
대상 \(K_0\)은 사이트 \(\mathcal{C}\)에서 \(X\)의 덮개이다.
모든 \(n \geq 0\)에 대해 표준 사상 \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] 은 위에서 정의한 의미의 덮개이다.
\(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 각 대상은 결국 공역이 \(X\)인 사상들의 족이므로 조건 (1)은 의미를 가진다. 이 조건은 \(K_0\)에서 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 끝 대상으로 가는 사상이 덮개라고 표현할 수도 있다.
예
섬유곱을 갖는 사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하고 \(K_0 = \{U_i \to X\}_{i \in I}\)로 두자. 그러면 \(K_0\)은 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 \(0\)-절단 단체적 대상이므로 \[K = \text{cosk}_0 K_0.\] 를 만들 수 있다. \(K\)가 정의 01G5의 조건 (1)을 만족함은 분명하다. Simplicial, 보조정리 018B에 의해 모든 사상 \(K_{n + 1} \to (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\)이 동형이므로 조건 (2)도 만족한다. 각 항 \(K_n\)은 통상적인 \[K_n = \{ U_{i_0} \times_X U_{i_1} \times_X \ldots \times_X U_{i_n} \to X \}_{(i_0, i_1, \ldots, i_n) \in I^{n + 1}}\] 임에 유의하자. 이 형태의 \(X\)의 초덮개를 \(X\)의 체흐 초덮개라고 한다.
예
섬유곱을 갖는 사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 단체적 대상이라 하고, 통상적으로 \(U_n = U([n])\)라 쓰자. 마지막으로 증대 \[a : U \to X\] 가 주어졌다고 가정하자. 이 상황에서는 각 항이 \(K_n = \{U_n \to X\}\)인 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상 \(K\)를 생각할 수 있다. \(K\)가 정의 01G5의 의미에서 \(X\)의 초덮개일 필요충분조건은 다음 세 조건1 이 성립하는 것이다.
\(\{U_0 \to X\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다.
\(\{U_1 \to U_0 \times_X U_0\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다.
\(\{U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\}\) 는 \(n \geq 1\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다.
직접적인 확인은 생략한다.
예
섬유곱을 갖는 사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(U \to X\)를 \(\{U \to X\}\)가 \(\mathcal{C}\)의 덮개가 되는 \(\mathcal{C}\)의 사상이라 하자2. 각 항이 \[K_n = \{U \times_X U \times_X \ldots \times_X U \to X\} \quad (n + 1 \text{ factors})\] 인 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상 \(K\)를 생각하자. 그러면 \(K\)는 \(X\)의 초덮개이다. 이 예는 예 01G6와 예 0GM9 모두의 특수한 경우이다.
보조정리
섬유곱을 갖는 사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(X\)의 모든 초덮개로 이루어진 모임은 집합을 이룬다.
증명
\(\mathcal{C}\)가 사이트이므로 \(X\)의 모든 덮개로 이루어진 모임은 집합을 이룬다. 따라서 가능한 \(K_0\)들의 모임은 집합이다. 가능한 모든 \(K_0, \ldots, K_n\)의 모임이 집합임을 보였다고 하자. 그러면 \(K_0, \ldots, K_n\)이 주어졌을 때 가능한 모든 \(K_{n + 1}\)의 모임이 집합임을 보이면 충분하다. 이는 분명하다. 실제로 \(K_{n + 1}\)은 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\)의 가능한 모든 덮개 중에서 택해야 한다.
주
이 보조정리는 집합을 이루는 초덮개들의 선택으로 된 공종계가 존재한다고만 말하는 것이 아니라, 초덮개들 자체가 실제로 집합을 이룬다고 말한다.
\(\mathcal{C}\) 위의 준층 범주는 유한 극한과 쌍대극한을 가진다. 따라서 집합 값 준층에 대해 함자 \(\text{cosk}_n\)이 존재한다.
보조정리
섬유곱을 갖는 사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고, \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. 상수 단체적 준층 \(h_X\)로 가는 증대가 주어진 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(F(K)\)를 생각하자.
준층의 사상 \(F(K)_0 \to h_X\)는 층화하면 전사가 된다.
사상 \[(d^1_0, d^1_1) : F(K)_1 \longrightarrow F(K)_0 \times_{h_X} F(K)_0\] 은 층화하면 전사가 된다.
모든 \(n \geq 1\)에 대해 사상 \[F(K)_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K))_{n + 1}\] 은 층화하면 전사가 된다.
증명
다음 사실을 사용한다. \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개이면 사상 \[\amalg_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\] 은 층화하면 전사가 된다. Sites, 보조정리 00WT를 보라. 따라서 첫 번째 명제는 곧바로 따른다.
두 번째 명제에 대해서는 Simplicial, 예 0182에 따라 단체적 대상 \(\text{cosk}_0 \text{sk}_0 K\)의 각 항이 \(K_0 \times \ldots \times K_0\)임에 유의하자. 따라서 초덮개의 정의에 의해 \((d^1_0, d^1_1) : K_1 \to K_0 \times K_0\)은 덮개이다. 위의 명제와 \(F\)가 곱을 \(h_X\) 위의 섬유곱으로 보낸다는 사실에서 (2)가 따른다.
세 번째 명제에 대해서는 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K) = F(\text{cosk}_n \text{sk}_n K)\)가 \(n \geq 1\)에 대해 성립한다고 주장한다. 이를 증명하기 위해 함자 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\)를 잠시 \(F'\)로 나타내자. 보조정리 01G2에 의해 함자 \(F'\)는 유한 극한과 가환한다. Simplicial, 절 017Z에서 함자 \(\text{cosk}_n\)을 서술한 방식에 따라 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F'(K) = F'(\text{cosk}_n \text{sk}_n K)\)임을 알 수 있다. Simplicial, 보조정리 0183에서 \((\text{cosk}_n U)_m\)을 서술할 때 쓰인 범주는 \((\Delta/[m])^{opp}_{\leq n}\)임을 상기하자. \(n \geq 1\)이면 \((\Delta/[m])_{\leq n}\)이 연결 범주임을 보이는 것은 재미있는 연습이다(Categories, 정의 002S를 보라). 따라서 Categories, 보조정리 002T에 의해 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F'(K) = \text{cosk}_n \text{sk}_n F(K)\)이고, 주장이 따른다. 이제 (2)의 사상은 정의 01G3에서 말하는 덮개에 함자 \(F\)를 적용하여 얻은 것이므로, 이로부터 성질 (2)가 따르고 결론은 이 증명의 첫머리에서 언급한 첫 번째 사실로부터 따른다.
비순환성
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)에 대해 다음 규칙으로 정의되는 아벨 군의 준층을 \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}\)로 나타낸다. \[\mathbf{Z}_\mathcal{F}(U) = \text{free abelian group on }\mathcal{F}(U).\] 이를 때로 \(\mathcal{F}\) 위의 자유 아벨 준층이라고 한다. 물론 구성 \(\mathcal{F} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{F}\)는 함자이며 망각 함자 \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\)의 왼쪽 수반이다. 층화 \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\)는 아벨 군의 층이고, 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) 역시 왼쪽 수반이다. \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\)를 때로 \(\mathcal{F}\) 위의 자유 아벨 층이라고 한다.
사이트 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(X\)에 대해 \(h_X\) 위의 자유 아벨 준층을 \(\mathbf{Z}_X\)로 나타내고, 그 층화를 \(\mathbf{Z}_X^\#\)로 나타낸다.
정의
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(K\)를 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상이라 하자. 위의 구성으로 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(\mathbf{Z}_K^\#\)를 얻는다. 이에 결부된 아벨 준층의 복합체 \(s(\mathbf{Z}_K^\#)\)를 취할 수 있다. Simplicial, 절 0194를 보라. \(K\)의 호몰로지란 아벨 층의 복합체 \(s(\mathbf{Z}_K^\#)\)의 호몰로지이다.
다시 말해, \(K\)의 \(i\)차 호몰로지 \(H_i(K)\)란 아벨 군의 층 \(H_i(K) = H_i(s(\mathbf{Z}_K^\#))\)이다. 이 절에서는 \(K\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(X\)의 초덮개인 경우의 호몰로지를 다룬다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 집합의 준층 사이의 사상이라 하자. \(K\)를 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 중에서 그 \(n\)차 항이 \(\mathcal{F}\)의 \(\mathcal{G}\) 위 \((n + 1)\)중 섬유곱인 것으로 나타내자. Simplicial, 예 016E를 보라. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 층화하면 전사가 된다면 \[H_i(K) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i > 0\\ \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\# & \text{if} & i = 0 \end{matrix} \right.\] 이다. 차수 \(0\)에서의 동형은 사상 \(H_0(K) \to \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)로 주어지며, 이 사상은 사상 \((\mathbf{Z}_K^\#)_0 = \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\# \to \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)에서 유도된다.
증명
\(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\)를 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)의 상이라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)를 택하고 \(A = \mathcal{F}(U)\)와 \(B = \mathcal{G}'(U)\)로 두자. 그러면 단체 집합 \(K(U)\)는 \(n\)-단체가 \[A \times_B A \times_B \ldots \times_B A\ (n + 1 \text{ factors)}.\] 로 주어지는 단체 집합과 같다. Simplicial, 보조정리 01AB에 의해 사상 \(K(U) \to B\)는 자명한 Kan 파이브레이션이다. 따라서 호모토피 동치이다 (Simplicial, 보조정리 08NS). 여기에 “자유 아벨 군” 함자를 적용하면 \[\mathbf{Z}_K(U) \longrightarrow \mathbf{Z}_B\] 도 호모토피 동치임을 얻는다. \(s(\mathbf{Z}_B)\)는 복합체 \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{0} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{1} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{0} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \to 0\] 임에 유의하자. Simplicial, 보조정리 0197를 보라. 따라서 \(i > 0\)에 대해 \(H_i(s(\mathbf{Z}_K(U))) = 0\)이고, \(H_0(s(\mathbf{Z}_K(U))) = \bigoplus_{b \in B}\mathbf{Z} = \bigoplus_{s \in \mathcal{G}'(U)} \mathbf{Z}\). 이 식별들은 제한 사상과 호환된다.
\(i > 0\)에 대해 \(H_i(s(\mathbf{Z}_K)) = 0\)이고 \(H_0(s(\mathbf{Z}_K)) = \mathbf{Z}_{\mathcal{G}'}\)라고 결론짓는다. 여기서는 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 안에서 호몰로지군을 계산한다. 층화가 완전 함자이므로 보조정리의 결과가 따른다. 구체적으로 완전성은 \(H_0(s(\mathbf{Z}_K))^\# = H_0(s(\mathbf{Z}_K^\#))\)를 함의하며, 다른 지표도 마찬가지이다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(f : L \to K\)를 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 사이의 사상이라 하고, \(n \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 가정하자.
\(i < n\)에 대해 사상 \(L_i \to K_i\)는 동형이다.
사상 \(L_n \to K_n\)은 층화하면 전사가 된다.
표준 사상 \(L \to \text{cosk}_n \text{sk}_n L\)은 동형이다.
표준 사상 \(K \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K\)은 동형이다.
그러면 \(H_i(f) : H_i(L) \to H_i(K)\)는 동형이다.
증명
이 증명은 위의 보조정리 01GC의 증명과 완전히 같다. 먼저 \(K_n' \subset K_n\)을 사상 \(L_n \to K_n\)의 상인 부분 준층이라 하자. 가정 (2)는 \(K_n'\)의 층화가 \(K_n\)의 층화와 같다는 뜻이다. 또한 모든 \(i < n\)에 대해 \(L_i = K_i\)이므로 \(U_0 = L_0 = K_0, \ldots, U_{n - 1} = L_{n - 1} = K_{n - 1}, U_n = K'_n\). 로 취하여 \(n\)-절단 단체적 준층 \(U\)를 얻는다. 단체적 준층 \(K' = \text{cosk}_n U\)로 두자. \(K'_m\)을 유한 극한으로 구성할 수 있고 층화는 완전하므로 \((K'_m)^\# = K_m\)임을 알 수 있다. 다시 말해 \((K')^\# = K^\#\)이다. 층화의 완전성으로 다시 한번 \(H_i(K) = H_i(K')\)라고 결론짓는다. 따라서 사상 \(L \to K'\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 즉, \(L_n \to K_n\)이 준층의 전사라고 가정해도 된다!
이 경우 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에 대해 단체 집합의 사상 \[L(U) \longrightarrow K(U)\] 은 Simplicial, 보조정리 01A6의 모든 가정을 만족한다. 따라서 자명한 Kan 파이브레이션이고, 특히 호모토피 동치이다(Simplicial, 보조정리 08NS). 그러므로 \[\mathbf{Z}_L(U) \longrightarrow \mathbf{Z}_K(U)\] 도 호모토피 동치이다. 이는 모든 \(U\)에 대해 성립하므로 결론이 따른다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(K\)를 단체적 준층, \(\mathcal{G}\)를 준층이라 하자. \(K \to \mathcal{G}\)를 \(K\)에서 \(\mathcal{G}\)로 가는 증대라 하자. 다음을 가정하자.
준층의 사상 \(K_0 \to \mathcal{G}\)는 층화하면 전사가 된다.
사상 \[(d^1_0, d^1_1) : K_1 \longrightarrow K_0 \times_\mathcal{G} K_0\] 은 층화하면 전사가 된다.
모든 \(n \geq 1\)에 대해 사상 \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] 은 층화하면 전사가 된다.
그러면 \(i > 0\)에 대해 \(H_i(K) = 0\)이고 \(H_0(K) = \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)이다.
증명
\(n \geq 1\)에 대해 \(K^n = \text{cosk}_n \text{sk}_n K\)로 나타내자. \(K^0\)을 각 항 \((K^0)_n\)이 \((n + 1)\)중 섬유곱 \(K_0 \times_\mathcal{G} \ldots \times_\mathcal{G} K_0\)과 같은 단체적 대상으로 정의하자. Simplicial, 예 016E를 보라. 다음 사상들이 있다. \[K \longrightarrow \ldots \to K^n \to K^{n - 1} \to \ldots \to K^1 \to K^0.\] 사상 \(K \to K^i\)와 \(j \geq i \geq 1\)일 때의 \(K^j \to K^i\)는 함자 \(\text{cosk}_n\)들의 보편 성질에서 유도된다. 사상 \(K^1 \to K^0\)은 Simplicial, 주석 018J의 표준 사상이다. 또한 \(K^0 \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 K^0\)이 동형임을 상기하자. Simplicial, 보조정리 018I를 보라.
보조정리 01GC에 의해 \(i > 0\)에 대해 \(H_i(K^0) = 0\)이고 \(H_0(K^0) = \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)임을 알 수 있다.
\(n \geq 1\)을 택하고 사상 \(K^n \to K^{n - 1}\)을 생각하자. 이는 차수 \(< n\)인 항들에서 동형이다. 사상 \(K^n \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K^n\)과 \(K^{n - 1} \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K^{n - 1}\) 은 동형이다. 또한 \((K^n)_n = K_n\)이고 \((K^{n - 1})_n = (\text{cosk}_{n - 1} \text{sk}_{n - 1} K)_n\)이다. 따라서 가정에 의해 \((K^n)_n \to (K^{n - 1})_n\)은 층화하면 전사가 되는 준층의 사상이다. 보조정리 01GD에 의해 \(H_i(K^n) = H_i(K^{n - 1})\)라고 결론짓는다. 이를 위의 결과와 결합하면 보조정리가 증명된다.
보조정리
섬유곱을 갖는 사이트 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고, \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. 단체적 준층 \(F(K)\)의 호몰로지는 차수 \(> 0\)에서 \(0\)이고 차수 \(0\)에서는 \(\mathbf{Z}_X^\#\)과 같다.
증명
Čech 코호몰로지와 초덮개
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군 준층 \(\mathcal{F}\)를 생각하자. 이는 다음 함자를 정의한다. \[\begin{eqnarray*} \mathcal{F} : \text{SR}(\mathcal{C})^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ \{U_i\}_{i \in I} & \longmapsto & \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}(U_i) \end{eqnarray*}\] 따라서 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(K\)는 \(\textit{Ab}\)의 코심플렉셜 대상 \(\mathcal{F}(K)\)로 옮겨진다. \(\mathcal{F}(K)\)에 결부된 코체인 복합체 \(s(\mathcal{F}(K))\)를 (Simplicial, 절 019H) 단체적 대상 \(K\)에 관한 \(\mathcal{F}\)의 Čech 복합체라 한다. 다음과 같이 놓는다. \[\check{H}^i(K, \mathcal{F}) = H^i(s(\mathcal{F}(K))).\] 이를 \(K\)에 관한 \(\mathcal{F}\)의 \(i\)차 Čech 코호몰로지군이라 한다. 이 절에서는 Cohomology, 절 01ED, 01EH, 01EO에서 증명한 열린 덮개의 Čech 코호몰로지에 관한 몇몇 결과의 유사물을 증명한다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층이라 하자. 그러면 \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(X)\)이다.
증명
다음이 성립한다. \[\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \Ker(\mathcal{F}(K_0) \longrightarrow \mathcal{F}(K_1))\] \(K_0 = \{U_i \to X\}\)로 쓰자. 이는 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다. 또한 \(K_1 \to K_0 \times K_0\)은 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 덮개이다. 따라서 \(K_1 = \amalg_{i_0, i_1 \in I} \{V_{i_0i_1j} \to X\}\)로 쓸 수 있고, 사상 \(K_1 \to K_0 \times K_0\)은 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개들 \(\{V_{i_0i_1j} \to U_{i_0} \times_X U_{i_1}\}\)로 주어진다. 그러므로 다시 다음과 같이 식별할 수 있다. \[\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \Ker( \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0i_1 j} \mathcal{F}(V_{i_0i_1j}) )\] 여기서 사상은 명백하다. \(\mathcal{F}\)의 층 조건은 \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{F})\)를 함의한다.
실제로 이 성질은 물론 \(\mathcal{C}\) 위의 모든 아벨 준층 가운데 아벨 층을 특징짓는다. 이 경우 Cohomology, 보조정리 01GW의 유사물은 다음과 같다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 단사 아벨 군층이라 하자. 그러면 \[\check{H}^p(K, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(X) & \text{if} & p = 0 \\ 0 & \text{if} & p > 0 \end{matrix} \right.\]
증명
\(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 임의의 대상 \(Z = \{U_i \to X\}\)와 \(\mathcal{C}\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 다음이 성립함에 유의하자. \[\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(Z) & = & \prod \mathcal{F}(U_i) \\ & = & \prod \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_{U_i}, \mathcal{F})\\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(F(Z), \mathcal{F})\\ & = & \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{F(Z)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{F(Z)}^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 따라서 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 임의의 단체적 대상 \(K\)에 대해 다음이 성립한다. [01GX]\[\begin{equation} s(\mathcal{F}(K)) = \Hom_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F}) \end{equation}\] 기호는 정의 01GB을 보라. \(K\)가 초덮개이면 층의 복합체 \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\)는 \(\mathbf{Z}_X^\#\)와 유사동형이다. 보조정리 01GF을 보라. 따라서 \(\mathcal{I}\)가 단사 아벨 층이고 \(K\)가 초덮개이면, 복합체 \(s(\mathcal{I}(K))\)는 차수 \(0\)을 제외하고 비순환이다. 다시 말해 다음이 성립한다. \[\check{H}^i(K, \mathcal{I}) = 0\] \(i > 0\)에 대해 그러하다. 이를 보조정리 01GV와 결합하면 보조정리가 증명된다.
다음으로 Cohomology on Sites, 보조정리 03AZ의 유사물을 다룬다. \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층이라 하자. \(\underline{H}^i(\mathcal{F})\)는 규칙 \(\underline{H}^i(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^i(U, \mathcal{F})\)로 정의되는 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군 준층을 나타냄을 상기하자. 이 절의 도입부에서와 같이 이를 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)로 확장한다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층이라 하자. \(D^{+}(\textit{Ab})\) 안에는 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적인 사상 \[s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\] 이 있으며, 이는 함자 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\) 사이의 자연 변환 \[\check{H}^i(K, -) \longrightarrow H^i(X, -)\] 을 유도한다. 또한 다음을 만족하는 스펙트럼 열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 존재한다. \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 이는 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다. 이 스펙트럼 열은 \(\mathcal{F}\)와 초덮개 \(K\)에 대해 함자적이다.
증명
코호몰로지 장의 대응하는 보조정리에서 쓴 것과 같은 방법으로 증명할 수도 있다. 여기서는 대신 이중 복합체 논증으로 증명하자.
\(\mathcal{C}\) 위 아벨 층의 범주에서 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 항들이 \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(K_p)\] 인 이중 복합체 \(A^{\bullet, \bullet}\)를 생각하자. 여기서 미분 \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\)는 코심플렉셜 아벨 군 \(\mathcal{I}^p(K)\)에 결부된 복합체 \(s(\mathcal{I}^q(K))\)의 미분에서 오고, 미분 \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\)는 미분 \(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1}\)에서 온다. \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)로 이중 복합체 \(A^{\bullet, \bullet}\)에 결부된 전체 복합체를 나타내자. Homology, 절 0FNB을 보라. 이 이중 복합체에 결부된 두 스펙트럼 열 \(({}'E_r, {}'d_r)\)과 \(({}''E_r, {}''d_r)\)을 사용할 것이다. Homology, 절 012X을 보라.
보조정리 01GW에 의해 복합체 \(s(\mathcal{I}^q(K))\)는 양의 차수에서 비순환이고, 그 \(H^0\)는 \(\mathcal{I}^q(X)\)와 같다. 따라서 Homology, 보조정리 0133에 의해 자연 사상 \[\mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] 은 아벨 군 복합체의 유사동형이다. 특히 \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})) = H^n(X, \mathcal{F})\)임을 얻는다.
보조정리의 사상 \(s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\)는 사상 \(s(\mathcal{F}(K)) \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)에 이어서 위에 표시한 유사동형의 역을 합성한 것이다. 이는 \(\mathcal{I}^\bullet(X)\)가 \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\)의 대표이기 때문이다.
스펙트럼 열 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\)을 생각하자. Homology, 보조정리 0130에 의해 다음이 성립한다. \[{}'E_2^{p, q} = H^p_I(H^q_{II}(A^{\bullet, \bullet}))\] 다시 말해 먼저 \(d_2\)에 관해 코호몰로지를 취하면 군 \({}'E_1^{p, q} = \underline{H}^q(\mathcal{F})(K_p)\)를 얻는다. 따라서 미분 \({}'d_1\)의 서술에 의해 실제로 \({}'E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)이다. 위의 결과와 Homology, 보조정리 0132에 의해 이는 원하는 대로 \(H^n(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다.
위 구성들이 아벨 층 \(\mathcal{F}\)와 초덮개 \(K\)에 대해 함자적이라는 명제의 증명은 생략한다.
베르디에식 초덮개
통찰력 있는 독자라면 대상 \(X\)의 초덮개에 대한 체흐-코호몰로지에서 코호몰로지로 가는 스펙트럼 열을 얻는 데 필요한 것은 보조정리 01G9의 결론뿐임을 알아차렸을 것이다. 따라서 다음 정의는 의미가 있다.
정의
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\)가 등화자와 섬유곱을 갖는다고 가정하자. \(\mathcal{G}\)를 집합의 준층이라 하자. \(\mathcal{G}\)의 초덮개란 다음 조건을 만족하는 증대 \(F(K) \to \mathcal{G}\)가 주어진 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(K\)를 말한다.
\(F(K_0) \to \mathcal{G}\)는 층화한 뒤 전사가 된다.
\(F(K_1) \to F(K_0) \times_\mathcal{G} F(K_0)\) 는 층화한 뒤 전사가 된다.
\(F(K_{n + 1}) \longrightarrow F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})\) 는 \(n \geq 1\)에 대해 층화한 뒤 전사가 된다.
\(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(K\)가 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)의 끝대상 \(*\)의 초덮개이면 \(K\)를 초덮개라 한다.
\(\mathcal{C}\)가 섬유곱과 등화자를 갖는다는 가정은 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)도 섬유곱과 등화자를 가지며 \(F\)가 이들과 가환함을 보장한다(보조정리 01G2). 이는 사용하는 여골격 함자들을 정의하기에 충분하다(Simplicial, 주석 09VS과 Categories, 보조정리 04AT을 보라). \(\mathcal{C}\)가 일반적인 경우에는 조건 (3)을 다음 조건으로 바꾸어도 이 절의 결과들이 그대로 성립한다. \(F(K_{n + 1}) \longrightarrow ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K))_{n + 1})\) 는 \(n \geq 1\)에 대해 층화한 뒤 전사가 된다.
\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층이라 하자. 앞 절에서 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(K\)에 관한 \(\mathcal{F}\)의 Čech 복합체를 정의했다. 이제 준층 \(\mathcal{G}\)가 주어졌을 때 다음과 같이 놓는다. \[H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F})\] 기호는 Cohomology on Sites, 절 079X에서와 같다. 이는 왼쪽 완전 함자이고, 그 고차 유도 함자들(Cohomology on Sites, 절 079X에서 간단히 연구했다)은 \(H^i(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)로 나타낸다. \(\mathcal{G}\)의 초덮개 \(K\)가 주어지면 코호몰로지 \(H^i(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)로 수렴하는 체흐-코호몰로지에서 코호몰로지로 가는 스펙트럼 열이 있음을 보일 것이다. \(\mathcal{G} = *\)이면 \(H^i(*, \mathcal{F}) = H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F})\)가 사이트 \(\mathcal{C}\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지를 되찾음에 유의하자.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 등화자와 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 준층이라 하자. \(K\)를 \(\mathcal{G}\)의 초덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층이라 하자. 그러면 \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)이다.
증명
\(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)의 정의와 다음 도식이 층화한 뒤 쌍대등화자 도식이 된다는 사실에서 따른다. \[\xymatrix{ F(K_1) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(K_0) \ar[r] & \mathcal{G} }\]
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 등화자와 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 준층이라 하자. \(K\)를 \(\mathcal{G}\)의 초덮개라 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 단사 아벨 군층이라 하자. 그러면 \[\check{H}^p(K, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}) & \text{if} & p = 0 \\ 0 & \text{if} & p > 0 \end{matrix} \right.\]
증명
(01GX)에 의해 다음이 성립한다. \[s(\mathcal{F}(K)) = \Hom_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F})\] 복합체 \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\)는 \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)와 유사동형이다. 보조정리 01GE를 보라. 따라서 \(\mathcal{I}\)가 단사 아벨 층이면 복합체 \(s(\mathcal{I}(K))\)는 차수 \(0\)을 제외하고 비순환이다. 다시 말해 \(i > 0\)에 대해 \(\check{H}^i(K, \mathcal{I}) = 0\)이다. 이를 보조정리 09VV와 결합하면 보조정리가 증명된다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 등화자와 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 준층이라 하자. \(K\)를 \(\mathcal{G}\)의 초덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층이라 하자. \(D^{+}(\textit{Ab})\) 안에는 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적인 사상 \[s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] 이 있으며, 이는 함자 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\) 사이의 자연 변환 \[\check{H}^i(K, -) \longrightarrow H^i(\mathcal{G}, -)\] 을 유도한다. 또한 다음을 만족하는 스펙트럼 열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 존재한다. \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 이는 \(H^{p + q}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)로 수렴한다. 이 스펙트럼 열은 \(\mathcal{F}\)와 초덮개 \(K\)에 대해 함자적이다.
증명
\(\mathcal{C}\) 위 아벨 층의 범주에서 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 항들이 \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(K_p)\] 인 이중 복합체 \(A^{\bullet, \bullet}\)를 생각하자. 여기서 미분 \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\)는 미분 \(\mathcal{I}^p \to \mathcal{I}^{p + 1}\)에서 오고, 미분 \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\)는 위에서 설명했듯이 코심플렉셜 아벨 군 \(\mathcal{I}^p(K)\)에 결부된 복합체 \(s(\mathcal{I}^p(K))\)의 미분에서 온다. 이 이중 복합체에 결부된 두 스펙트럼 열 \(({}'E_r, {}'d_r)\)과 \(({}''E_r, {}''d_r)\)을 사용할 것이다. Homology, 절 012X을 보라.
보조정리 09VW에 의해 복합체 \(s(\mathcal{I}^p(K))\)는 양의 차수에서 비순환이고, 그 \(H^0\)는 \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^p)\)와 같다. 따라서 Homology, 보조정리 0133와 그 증명에 의해 스펙트럼 열 \(({}'E_r, {}'d_r)\)은 퇴화하며, 자연 사상 \[H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] 은 아벨 군 복합체의 유사동형이다. 보조정리의 사상 \(s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)는 자연 사상 \(s(\mathcal{F}(K)) \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)에 이어서 위에 표시한 유사동형의 역을 합성한 것이다. 이는 \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^\bullet)\)이 \(R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)의 대표이기 때문이다.
스펙트럼 열 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\)을 생각하자. Homology, 보조정리 0130에 의해 다음이 성립한다. \[{}''E_2^{p, q} = H^p_{II}(H^q_I(A^{\bullet, \bullet}))\] 다시 말해 먼저 \(d_1\)에 관해 코호몰로지를 취하면 군 \({}''E_1^{p, q} = \underline{H}^p(\mathcal{F})(K_q)\)를 얻는다. 따라서 미분 \({}''d_1\)의 서술에 의해 실제로 \({}''E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)이다. 이 스펙트럼 열은 \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)의 코호몰로지로 수렴하므로 증명이 끝난다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 등화자와 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(K\)를 초덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 아벨 층이라 하자. 다음을 만족하는 스펙트럼 열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 존재한다. \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 이는 대역 코호몰로지군 \(H^{p + q}(\mathcal{F})\)로 수렴한다.
증명
이는 보조정리 09VX의 특수한 경우이다.
덮개에 의한 초덮개의 세분
초덮개를 구성하는 몇 가지 방법을 제시한다. 범주 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)가 섬유곱을 가지므로 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상들의 범주도 섬유곱을 가진다는 점에 유의하자. Simplicial, 보조정리 016U을 보라.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K, L, M\)을 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상들이라 하고, \(a : K \to L\), \(b : M \to L\)을 사상들이라 하자. 다음을 가정하자.
\(K\)는 \(X\)의 초덮개이다.
사상 \(M_0 \to L_0\)은 덮개이다.
모든 \(n \geq 0\)에 대해 다음 도식에서 \[\xymatrix{ M_{n + 1} \ar[dd] \ar[rr] \ar[rd]^\gamma & & (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1} \ar[dd] \\ & L_{n + 1} \times_{(\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}} (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1} \ar[ld] \ar[ru] & \\ L_{n + 1} \ar[rr] & & (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1} }\] 화살표 \(\gamma\)는 덮개이다.
그러면 섬유곱 \(K \times_L M\)은 \(X\)의 초덮개이다.
증명
(2)에 의해 사상 \((K \times_L M)_0 = K_0 \times_{L_0} M_0 \to K_0\)은 덮개의 밑변환이므로 덮개이다. 보조정리 01G4을 보라. 또한 (1)에 의해 \(K_0 \to \{X \to X\}\)는 덮개이다. 따라서 보조정리 01G4에 의해 \((K \times_L M)_0 \to \{X \to X\}\)는 덮개이다. 그러므로 \(K \times_L M\)은 정의 01G5의 첫 번째 조건을 만족한다.
이제 모든 \(n \geq 0\)에 대해 \[K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} = (K \times_L M)_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n (K \times_L M))_{n + 1}\] 가 덮개임을 확인해야 한다. 다음과 같이 줄여 쓰자. \(A = (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\), \(B = (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}\), 그리고 \(C = (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1}\). 함자 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n\)은 섬유곱과 가환한다. Simplicial, 보조정리 018D을 보라. 따라서 위의 오른쪽 항은 \(A \times_B C\)와 같다. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & M_{n + 1} \ar[d] \ar[rd]_\gamma \ar[rrd] & & \\ K_{n + 1} \ar[r] \ar[rd] & L_{n + 1} \ar[rrd] & L_{n + 1} \times_B C \ar[l] \ar[r] & C \ar[d] \\ & A \ar[rr] & & B }\] 이 도식은 \[K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} = (K_{n + 1} \times_B C) \times_{(L_{n + 1} \times_B C), \gamma} M_{n + 1}\] 임을 보여 준다. 이제 \(K_{n + 1} \times_B C \to A \times_B C\)는 덮개 \(K_{n + 1} \to A\)의 사상 \(A \times_B C \to A\)에 의한 밑변환이므로 덮개이다. 가정 (3)에 의해 사상 \(\gamma\)는 덮개이다. 따라서 사상 \[(K_{n + 1} \times_B C) \times_{(L_{n + 1} \times_B C), \gamma} M_{n + 1} \longrightarrow K_{n + 1} \times_B C\] 은 덮개의 밑변환이므로 덮개이다. 덮개들의 합성은 덮개이므로 보조정리가 따른다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K, L\)이 \(X\)의 초덮개들이면 \(K \times L\)은 \(X\)의 초덮개이다.
증명
직접 확인해도 되고, 위의 보조정리 01GH를 사용하여 \(L \to \{X \to X\}\)가 성질 (3)을 가짐을 확인해도 된다.
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 범주 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)가 쌍대곱과 유한 극한을 가지므로, 어떤 단체 집합 \(U\)(예를 들어 비퇴화 단체를 유한 개만 가지는 것)와 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 임의의 단체적 대상 \(K\)에 대해 대상 \(U \times K\)와 \(\Hom(U, K)\)을 말할 수 있다. Simplicial, 절 017A와 017H을 보라.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하고, \(k \geq 0\)을 정수라 하자. \(u : Z \to K_k\)를 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 덮개라 하자. 그러면 \(L_k \to K_k\)가 \(u\)를 거쳐 인수분해되는 초덮개들의 사상 \(f: L \to K\)가 존재한다.
증명
\(Y = K_k\)로 나타내자. \(C[k]\)를 Simplicial, 예 0B13에서 정의한 코심플렉셜 집합이라 하자. Simplicial, 보조정리 017M에 주어진 \(\Hom(C[k], Y)\)와 \(\Hom(C[k], Z)\)의 기술을 사용하겠다. \(\text{id} : K_k = Y \to Y\)에 대응하는 정준 사상 \(K \to \Hom(C[k], Y)\)가 있다. 사상 \(\Hom(C[k], Z) \to \Hom(C[k], Y)\)을 생각하자. 그 \(n\)차 항에서의 사상은 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [n]} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [n]} Y\] 이며, 각 인자에서 주어진 사상 \(Z \to Y\)를 사용한다. 다음과 같이 두자. \[L = K \times_{\Hom(C[k], Y)} \Hom(C[k], Z).\] 사상 \(L_k \to K_k\)는 다음 가환 도식에 놓인다. \[\xymatrix{ L_k \ar[r] \ar[d] & \prod_{\alpha : [k] \to [k]} Z \ar[r]^-{\text{pr}_{\text{id}_{[k]}}} \ar[d] & Z \ar[d] \\ K_k \ar[r] & \prod_{\alpha : [k] \to [k]} Y \ar[r]^-{\text{pr}_{\text{id}_{[k]}}} & Y }\] 아래쪽 두 화살표의 합성이 항등사상이므로, 원하는 인수분해를 얻는다.
이제 \(L\)이 \(X\)의 초덮개임을 보여야 한다. 이를 위해 보조정리 01GH를 사용하겠다. 조건 (1)은 가정에 의해 만족된다. (2)에 대해서는 사상 \[\Hom(C[k], Z)_0 \to \Hom(C[k], Y)_0\] 이 덮개이다. 실제로 사상 \([k] \to [0]\)은 하나뿐이므로 이는 \(Z \to Y\)와 동형이다.
이제 \(n = 0\)에 대한 조건 (3)을 생각하자. 이때 \((\text{cosk}_0 T)_1 = T \times T\) (Simplicial, 예 0182)이고 \(\Hom(C[k], Z)_1 = \prod_{\alpha : [k] \to [1]} Z\)이므로 다음 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Z \ar[r] \ar[d] & Z \times Z \ar[d] \\ \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Y \ar[r] & Y \times Y }\] 여기서 가로 화살표들은 두 비전사 \(\alpha\)에 대응하는 인자들로의 사영에 대응한다. 따라서 화살표 \(\gamma\)는 사상 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]\text{ not onto}} Z \times \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]\text{ onto}} Y\] 이며, 이는 덮개들의 곱이므로 보조정리 01G4에 의해 덮개이다.
이제 \(n > 0\)에 대한 조건 (3)을 생각하자. 유한 집합들의 단사 사상 \(\tau : S' \to S\)로서, \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 임의의 대상 \(T\)에 대해 사상 [0B16]\[\begin{equation} \Hom(C[k], T)_{n + 1} \to (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(C[k], T))_{n + 1} \end{equation}\] 이 \(T\)에 대해 함자적으로 사영 \(\prod_{s \in S} T \to \prod_{s' \in S'} T\)와 동형이 되게 하는 것이 존재한다고 주장한다. 이것이 참이면 앞 문단과 같은 논증으로 화살표 \(\gamma\)가 사상 \[\prod\nolimits_{s \in S} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{s \in S'} Z \times \prod\nolimits_{s \not\in \tau(S')} Y\] 임을 알 수 있다. 이는 덮개들의 곱이므로 보조정리 01G4에 의해 덮개이다. 구성에 의해 \(\Hom(C[k], T)_{n + 1} = \prod_{\alpha : [k] \to [n + 1]} T\) (Simplicial, 보조정리 017M을 보라). 따라서 \(S = \text{Map}([k], [n + 1])\)로 취한다. 한편 Simplicial, 보조정리 0186은 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(C[k], T))_{n + 1}\) 의 점들을 \(\Hom(C[k], T)_n\)의 점들의 열 \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\)로 기술한다. 여기서 \(0 \leq i < j \leq n + 1\)에 대해 \(d^n_{j - 1} f_i = d^n_i f_j\)이다. \(f_i = (f_{i, \alpha})\)로 쓸 수 있는데, 여기서 \(f_{i, \alpha}\)는 \(T\)의 점이고 \(\alpha \in \text{Map}([k], [n])\)이다. 이 조건들은 \[f_{i, \delta^n_{j - 1} \circ \beta} = f_{j, \delta_i^n \circ \beta}\] 가 임의의 \(0 \leq i < j \leq n + 1\)과 \(\beta : [k] \to [n - 1]\)에 대해 성립한다는 조건으로 바뀐다. 따라서 \[S' = \{0, \ldots, n + 1\} \times \text{Map}([k], [n]) / \sim\] 이며, 여기서 동치 관계는 다음 동치들로 생성된다. \[(i, \delta^n_{j - 1} \circ \beta) \sim (j, \delta_i^n \circ \beta)\] 여기서 \(0 \leq i < j \leq n + 1\)이고 \(\beta : [k] \to [n - 1]\)이다. 계산(생략됨)에 의하면 사상 (0B16)은 \((i, \alpha)\)를 \(\delta^{n + 1}_i \circ \alpha \in S\)로 보내는 사상 \(S' \to S\)에 대응한다. (Simplicial, 보조정리 0167의 (1)에 의해 이 사상이 잘 정의됨을 확인할 수 있으므로 독자는 안심할 수 있을 것이다.) 증명을 끝내기 위해서는 \(\alpha, \alpha' : [k] \to [n]\)와 \(0 \leq i < j \leq n + 1\) 가 \[\delta^{n + 1}_i \circ \alpha = \delta^{n + 1}_j \circ \alpha'\] 을 만족하면 어떤 \(\beta : [k] \to [n - 1]\)에 대해 \(\alpha = \delta^n_{j - 1} \circ \beta\)이고 \(\alpha' = \delta_i^n \circ \beta\)임을 보이면 충분하다. 이는 쉽게 확인할 수 있으므로 생략한다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하고, \(n \geq 0\)을 정수라 하자. \(u : \mathcal{F} \to F(K_n)\)를 층화하면 전사가 되는 준층들의 사상이라 하자. 그러면 \(F(f_n) : F(L_n) \to F(K_n)\)이 \(u\)를 거쳐 인수분해되는 초덮개들의 사상 \(f: L \to K\)가 존재한다.
증명
\(K_n = \{U_i \to X\}_{i \in I}\)로 쓰자. 그러면 사상 \(u\)는 집합의 준층들의 사상 \(u : \mathcal{F} \to \amalg h_{u_i}\)이다. \(u\)에 관한 가정은 모든 \(i \in I\)에 대해 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_{ij} \to U_i\}_{j \in I_i}\)와 준층들의 사상 \(t_{ij} : h_{U_{ij}} \to \mathcal{F}\)가 존재하여, \(u \circ t_{ij}\)가 사상 \(U_{ij} \to U_i\)에서 오는 사상 \(h_{U_{ij}} \to h_{U_i}\)가 된다는 뜻이다. \(J = \amalg_{i \in I} I_i\)로 두고, \(\alpha : J \to I\)를 자명한 사상이라 하자. \(j \in J\)에 대해 \(V_j = U_{\alpha(j)j}\)로 나타내고, \(Z = \{V_j \to X\}_{j \in J}\)로 두자. 마지막으로 \(\alpha : J \to I\)와 위의 사상들 \(V_j = U_{\alpha(j)j} \to U_{\alpha(j)}\)로 주어지는 사상 \(u' : Z \to K_n\)을 생각하자. 이것은 분명 범주 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 덮개이고, 구성에 의해 \(F(u') : F(Z) \to F(K_n)\)은 \(u\)를 거쳐 인수분해된다. 따라서 결과는 위의 보조정리 01GJ에서 따른다.
단체의 첨가
이 절에서는 뒤에 필요할 몇 가지 기술적인 보조정리를 증명한다. \(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 위의 절 01GG에서 지적했듯이, 어떤 단체 집합 \(U\)와 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 임의의 단체적 대상 \(K\)에 대해 대상 \(U \times K\)와 \(\Hom(U, K)\)가 정의된다. Simplicial, 절 017A와 017H을 보라.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. \(U \subset V\)를 단체 집합들이라 하고, 모든 \(n\)에 대해 \(U_n, V_n\)이 유한하고 공집합이 아니라고 하자. \(U\)가 비퇴화 단체를 유한 개만 가진다고 가정하자. \(n \geq 0\), \(x \in V_n\), \(x \not \in U_n\)이 다음을 만족한다고 하자.
\(i < n\)에 대해 \(V_i = U_i\)이다.
\(V_n = U_n \cup \{x\}\)이다.
\(j > n\)이고 \(z \in V_j\), \(z \not \in U_j\)이면 그 원소는 퇴화되어 있다.
그러면 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 사상 \[\Hom(V, K)_0 \longrightarrow \Hom(U, K)_0\] 은 덮개이다.
증명
\(n = 0\)이면 \(V = U \amalg \Delta[0]\)임이 쉽게 따른다(아래를 보라). 이 경우 \(\Hom(V, K)_0 = \Hom(U, K)_0 \times K_0\)이다. 따라서 이 경우의 결과는 보조정리 01G4에서 따른다.
\(a : \Delta[n] \to V\)를 Simplicial, 보조정리 0177에서와 같이 \(x\)에 결부된 사상이라 하자. \(\partial \Delta[n] = i_{(n-1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n]\)로 쓰고, 이를 \(\Delta[n]\)의 \((n - 1)\)-골격이라 하자. \(b : \partial \Delta[n] \to U\)를 \(a\)의 \(\Delta[n]\)의 \((n - 1)\)-골격으로의 제한이라 하자. Simplicial, 보조정리 018R에 의해 \(V = U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n]\)이다. Simplicial, 보조정리 017N에 의해 \[\xymatrix{ \Hom(V, K)_0 \ar[r] \ar[d] & \Hom(U, K)_0 \ar[d] \\ \Hom(\Delta[n], K)_0 \ar[r] & \Hom(\partial \Delta[n], K)_0 }\] 은 섬유곱 정사각형이다. 따라서 아래쪽 가로 화살표가 덮개임을 보이면 충분하다. Simplicial, 보조정리 018V에 의해 이 화살표는 \[K_n \to (\text{cosk}_{n - 1} \text{sk}_{n - 1} K)_n\] 와 동일시되므로, 초덮개의 정의에 의해 덮개이다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. \(U \subset V\)를 단체 집합들이라 하고, 모든 \(n\)에 대해 \(U_n, V_n\)이 유한하고 공집합이 아니라고 하자. \(U\)와 \(V\)가 비퇴화 단체를 유한 개만 가진다고 가정하자. 그러면 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 사상 \[\Hom(V, K)_0 \longrightarrow \Hom(U, K)_0\] 은 덮개이다.
증명
위의 보조정리 01GM에 의해, 이 보조정리에서와 같은 단체 집합들의 포함 \(U \subset V\)에 관한 간단한 보조정리를 증명하면 충분하다. 이것은 바로 Simplicial, 보조정리 018S의 결과이다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. 그러면
각 \(n \geq 0\)에 대해 \(K_n\)은 \(X\)의 덮개이다.
모든 \(n \geq 1\)과 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 \(d^n_i : K_n \to K_{n - 1}\)은 덮개이다.
증명
\(K_0\)은 정의 01G5에 의해 \(X\)의 덮개임을 상기하자. 이는 \(K_0 \to \{X \to X\}\)가 정의 01G3의 의미에서 덮개라는 것과 동치이다. 따라서 (1)은 (2)에서 따른다. 실제로 (2)는 합성 \(K_n \to K_{n - 1} \to \ldots \to K_0 \to \{X \to X\}\) 이 보조정리 01G4에 의해 덮개임을 보인다.
(2)의 증명. Simplicial, 보조정리 017L에 의해 \(\Mor(\Delta[n], K)_0 = K_n\)임에 유의하자. 따라서 보조정리 01GN를 \(n + 1\)개의 서로 다른 포함 \(\Delta[n - 1] \to \Delta[n]\)에 적용하면 (2)가 따른다.
주
보조정리 01GN와 0DEQ의 유용한 특수한 경우는 다음과 같다. \(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 범주라 하자. \(P \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\)를 밑변환과 합성에 대해 안정적이고 모든 동형사상을 포함하는 부분집합이라 하자. 이때 \(P\)-초덮개란 \(\mathcal{C}\)의 단체적 대상에서 오는 증대 \(a : U \to X\)로서 다음을 만족하는 것을 말한다.
\(U_0 \to X\)는 \(P\)에 속한다.
\(U_1 \to U_0 \times_X U_0\)은 \(P\)에 속한다.
\(U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\) 은 \(n \geq 1\)에 대해 \(P\)에 속한다.
범주 \(\mathcal{C}/X\)는 모든 유한 극한을 가지므로 위의 정식화에서 사용한 여골격들이 존재한다(Categories, 보조정리 002O을 보라). 이제 사상들 \(U_n \to X\)와 \(d^n_i : U_n \to U_{n - 1}\)이 \(P\)에 속한다고 주장한다. \(\mathcal{C}\)를 \(f \in P\)인 \(\{f : V \to U\}\)들을 덮개로 가지는 사이트로 만들고, \(K_n = \{U_n \to X\}\)로 주어지는 \(K\)를 취하면, 이 주장은 앞서 말한 보조정리들에서 따른다.
호모토피
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(L\)을 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상이라 하자. Simplicial, 보조정리 017L에 의해 함자 \[T \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\text{SR}(\mathcal{C}, X))}(\Delta[1] \times T, L)\] 를 표현하는 대상 \(\Hom(\Delta[1], L)\)이 범주 \(\text{Simp}(\text{SR}(\mathcal{C}, X))\)에 존재한다. \(e_i : \Delta[0] \to \Delta[1]\)와 동일시 \(\Hom(\Delta[0], L) = L\)에서 오는 정준 사상 \[\Hom(\Delta[1], L) \to L \times L\] 이 있다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(L\)을 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 단체적 대상이라 하고, \(n \geq 0\)이라 하자. 위에서 정의한 사상으로부터 오는 가환 도식 [01GQ]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Hom(\Delta[1], L)_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(\Delta[1], L))_{n + 1} \ar[d] \\ (L \times L)_{n + 1} \ar[r] & (\text{cosk}_n \text{sk}_n (L \times L))_{n + 1} } \end{equation}\] 을 생각하자. 이 도식의 항들은 다음과 같이 동일시할 수 있다. 여기서 \(\partial \Delta[n + 1] = i_{n!}\text{sk}_n \Delta[n + 1]\) 은 \((n + 1)\)-단체의 \(n\)-골격이다. \[\begin{eqnarray*} \Hom(\Delta[1], L)_{n + 1} & = & \Hom(\Delta[1] \times \Delta[n + 1], L)_0 \\ (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(\Delta[1], L))_{n + 1} & = & \Hom(\Delta[1] \times \partial \Delta[n + 1], L)_0 \\ (L \times L)_{n + 1} & = & \Hom( (\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1], L)_0 \\ (\text{cosk}_n \text{sk}_n (L \times L))_{n + 1} & = & \Hom( \partial \Delta[n + 1] \amalg \partial \Delta[n + 1], L)_0 \end{eqnarray*}\] 또한 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 이 대상들 사이의 사상들은 단체 집합들의 가환 도식 [01GR]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Delta[1] \times \Delta[n + 1] & \Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1] \ar[l] \\ \Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1] \ar[u] & \partial\Delta[n + 1] \amalg \partial\Delta[n + 1] \ar[l] \ar[u] } \end{equation}\] 에서 온다. 더욱이 도식 (01GQ)의 아래쪽 화살표와 오른쪽 화살표의 섬유곱은 \[\Hom(U, L)_0\] 와 같다. 여기서 \(U \subset \Delta[1] \times \Delta[n + 1]\)는 \(\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1]\)와 \(\Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1]\)가 모두 그 안으로 사상되는 가장 작은 단체적 부분집합이다.
증명
첫 번째와 세 번째 등식은 Simplicial, 보조정리 017L이다. 두 번째와 네 번째 등식은 인용한 보조정리와 Simplicial, 보조정리 018V를 함께 적용하면 따른다. 마지막 주장은 \(U\)가 도식 (01GR)의 아래쪽 화살표와 오른쪽 화살표의 밀어내기라는 사실에서 Simplicial, 보조정리 017N를 통해 따른다. \(U\)가 이 밀어내기와 같음을 보이려면, \(\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1]\)와 \(\Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1]\) 의 \(\Delta[1] \times \Delta[n + 1]\) 안에서의 교집합이 \(\partial\Delta[n + 1] \amalg \partial\Delta[n + 1]\). 와 같음을 보면 충분하다. 이는 독자에게 맡긴다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(K, L\)을 \(X\)의 초덮개들이라 하고, \(a, b : K \to L\)을 초덮개들의 사상들이라 하자. 그러면 \(a \circ c\)가 \(b \circ c\)와 호모토픽이 되게 하는 초덮개들의 사상 \(c : K' \to K\)가 존재한다.
증명
다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ K' \ar@{=}[r]^-{def} \ar[rd]_c & K \times_{(L \times L)} \Hom(\Delta[1], L) \ar[r] \ar[d] & \Hom(\Delta[1], L) \ar[d] \\ & K \ar[r]^{(a, b)} & L \times L }\] \(\Hom(\Delta[1], L)\)의 함자성에 의해 가로 사상들의 합성은 사상 \(K' \times \Delta[1] \to L\)에 대응하며, 이 사상은 \(c \circ a\)와 \(c \circ b\) 사이의 호모토피를 정의한다. 따라서 \(K'\)이 \(X\)의 초덮개임을 보이면 보조정리를 얻는다. 이를 위해 보조정리 01GH를 사상들의 쌍 \(K \to L \times L\)와 \(\Hom(\Delta[1], L) \to L \times L\)에 적용하겠다. 보조정리 01GH의 조건 (1)은 만족된다. 보조정리 01GH의 조건 (2)도 참이다. 실제로 \(\Hom(\Delta[1], L)_0 = L_1\)이고, \(L\)이 초덮개라는 가정에 의해 사상 \((d^1_0, d^1_1) : L_1 \to L_0 \times L_0\) 은 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 덮개이기 때문이다. 보조정리 01GH의 조건 (3)을 증명하기 위해 위의 보조정리 01GP을 사용한다. 이 보조정리에 따르면, 보조정리 01GH의 조건 (3)에 나오는 사상 \(\gamma\)는 \[\Hom(\Delta[1] \times \Delta[n + 1], L)_0 \longrightarrow \Hom(U, L)_0\] 이다. 여기서 \(U \subset \Delta[1] \times \Delta[n + 1]\)이다. 보조정리 01GN에 의해 이는 덮개이므로 주장이 증명되었다.
주
증명의 핵심은 보조정리 01GN를 사용하는 데 있음에 유의하자. 이 보조정리는 완전히 일반적이며, 단체 집합들이 비퇴화 단체를 유한 개만 가지는 한 그 정확한 모양과 무관하다. 따라서 다음과 같은 결과를 기대하는 것은 매우 합리적이다. \(K\)와 \(L\)이 초덮개일 때 임의의 사상 \(a : K \times \partial \Delta[k] \to L\)이 주어졌다고 하자. 그러면 초덮개들의 사상 \(c : K' \to K\)와 사상 \(g : K' \times \Delta[k] \to L\)가 존재하고, 다음 등식이 성립한다. \(g|_{K' \times \partial \Delta[k]} = a \circ (c \times \text{id}_{\partial \Delta[k]})\). 다시 말해 초덮개들의 범주는 적절한 의미에서 축약 가능하다.
코호몰로지와 초덮개
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군의 층이라 하자. \(K, L\)을 \(X\)의 초덮개라 하자. \(a, b : K \to L\)이 호모토픽 사상이면, \(\mathcal{F}(a), \mathcal{F}(b) : \mathcal{F}(K) \to \mathcal{F}(L)\)도 호모토픽 사상이다. Simplicial, Lemma 019Y를 보라. 따라서 결부된 코체인 복합체들의 코호몰로지 군에 같은 작용을 한다. Simplicial, Lemma 01A0를 보라. 이를 사용하여 모든 초덮개에 걸친 여극한을 정의할 것이다.
\(X\)의 초덮개들을 대상으로 하고, \(X\)의 초덮개 사이의 사상들을 호모토피로 나눈 것을 사상으로 하는 범주를 잠시 \(\text{HC}(\mathcal{C}, X)\)라 쓰자. 이것이 범주이며 “큰” 범주가 아님을 이미 보았다. Lemma 01G7를 보라. \(\text{HC}(\mathcal{C}, X)\)의 반대 범주를 다음 도식의 첨자 범주로 사용한다. 용어에 대해서는 Categories, Section 002D를 보라. 도식 \[\check{H}^i(-, \mathcal{F}) : \text{HC}(\mathcal{C}, X)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab}.\] 을 생각하자. Lemmas 01GI와 01GS, 그리고 위의 호모토피에 관한 설명에 의해 이 도식은 유향이다. Categories, Definition 002V를 보라. 따라서 여극한 \[\check{H}^i_{\text{HC}}(X, \mathcal{F}) = \colim_{K \in \text{HC}(\mathcal{C}, X)} \check{H}^i(K, \mathcal{F})\] 은 특히 간단히 기술된다(인용된 곳을 보라).
정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 갖는 사이트라 하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고 \(i \geq 0\)이라 하자. 함자들 \[\begin{eqnarray*} \textit{Ab}(\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ \mathcal{F} & \longmapsto & H^i(X, \mathcal{F}) \\ \mathcal{F} & \longmapsto & \check{H}^i_{\text{HC}}(X, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 은 표준 동형이다.
증명
어떤 \(p \geq 0\)에 대해 \(\xi \in H^p(X, \mathcal{F})\)라 하자. \(X\)의 어떤 초덮개 \(K\)에 대해 \(\xi\)가 Lemma 01GY의 사상 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\)의 상에 속함을 보이자.
\(p = 0\)이면 Lemma 01GV에 의해 성립한다. \(p = 1\)이면 \(\xi|_{U_i} = 0\)을 만족하는 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(K_0 = \{U_i \to X\}\)에서 시작하여 Example 01G6에서와 같은 \(X\)의 Čech 초덮개 \(K\)를 택한다. Cohomology on Sites, Lemma 01FW를 보라. 이 경우 Lemma 01GY의 스펙트럼 열에서 \(\xi\)가 \(\check{H}^1(K, \mathcal{F})\)의 한 원소에서 온다는 것이 곧바로 따른다. 일반적으로는 \(\xi\)가 \(\underline{H}^p(\mathcal{F})(K_0)\)에서 0으로 가도록 하는 \(X\)의 임의의 초덮개 \(K\)를 택한다(여기서도 Example 01G6와 Cohomology on Sites, Lemma 01FW를 사용한다). Lemma 01GY의 스펙트럼 열에 따르면, \(\xi\)가 \(\check{H}^p(K, \mathcal{F})\)의 한 원소에서 오는 데 대한 장애물은 다음을 만족하는 원소들의 열 \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 1}\)이다. \(\xi_q \in \check{H}^{p - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) (더 정확히는 이 군들의 어떤 부분몫에서 \(\xi_q\)의 상들이다.)
초덮개 \(K\)를 세분들로 귀납적으로 바꾸어 장애물 \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 1}\)의 제한이 0이 되게 할 수 있다 (부분몫에서의 상들만 0이 되는 것이 아니므로 여기에는 미묘한 점이 없다). 실제로 이미 \(\xi_{q + 1}, \ldots, \xi_{p - 1}\)이 0인 상황에 도달했다고 하자. \(\xi_q \in \check{H}^{p - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)는 어떤 원소 \[\tilde \xi_q \in \underline{H}^q(\mathcal{F})(K_{p - q}) = \prod H^q(U_i, \mathcal{F})\] 의 류임에 유의하자. 여기서 \(K_{p - q} = \{U_i \to X\}_{i \in I}\)이다. \(\xi_{q, i}\)를 \(\tilde \xi_q\)의 \(H^q(U_i, \mathcal{F})\)에서의 성분이라 하자. \(q \geq 1\)이므로 다시 Cohomology on Sites, Lemma 01FW를 사용하여, 각 제한 \(\xi_{q, i}|_{U_{i, j}} = 0\)이 되도록 하는 사이트의 덮개들 \(\{U_{i, j} \to U_i\}\)를 택할 수 있다. 범주 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 대상 \(Z = \{U_{i, j} \to X\}\)와 그 명백한 사상 \(u : Z \to K_{p - q}\)를 생각하자. Definition 01G3에 의해 \(u\)는 분명히 덮개이다. Lemma 01GJ에 의해 \(L_{p - q} \to K_{p - q}\)가 \(u\)를 거쳐 인수분해되는 \(X\)의 초덮개 사상 \(L \to K\)가 존재한다. 그러면 \(\xi_q\)의 \(\underline{H}^q(\mathcal{F})(L_{p - q})\)에서의 상은 분명히 0이다. Lemma 01GY의 스펙트럼 열은 함자적이므로, \(K\)를 \(L\)로 바꾼 뒤에는 \(\xi_q, \ldots, \xi_{p - 1}\)이 모두 0인 상황에 도달한다. 이 과정을 계속하면 마침내 이들이 모두 0인 초덮개를 얻고, 따라서 \(\xi\)는 사상 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\)의 상에 속한다.
\(K\)가 \(X\)의 초덮개이고 \(\xi \in \check{H}^p(K, \mathcal{F})\)이며, Lemma 01GY의 사상 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\) 아래에서 \(\xi\)의 상이 0이라고 하자. 정리의 증명을 마치려면 \(\xi\)의 \(\check{H}^p(L, \mathcal{F})\)로의 제한이 0이 되게 하는 초덮개의 사상 \(L \to K\)가 존재함을 보여야 한다. Lemma 01GY의 스펙트럼 열에 따르면, \(\xi\)의 \(H^p(X, \mathcal{F})\)에서의 상이 소멸한다는 것은 다음을 만족하는 원소들 \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 2}\)가 존재한다는 뜻이다. \(\xi_q \in \check{H}^{p - 1 - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) (더 정확히는 이들의 어떤 부분몫에서의 상들)이고, 스펙트럼 열에서 상들 \(d_{q + 1}^{p - 1 - q, q}\xi_q\)의 합이 \(\xi\)이다. 따라서 위와 완전히 같은 방법으로, 원소들 \(\xi_q\), \(q = 1, \ldots, p - 2\)의 \(\check{H}^{p - 1 - q}(L, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)에서의 제한이 0이 되게 하는 초덮개의 사상 \(L \to K\)를 찾을 수 있다. Lemma 01GY에 따라 사상 \(L \to K\)가 스펙트럼 열의 사상을 유도하므로, 이제 \(\xi\)는 0이다.
증명
\(i = 0\)인 경우의 결과는 이미 보았다. Lemma 01GV를 보라. 함자들 \(H^i(X, -)\)가 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다는 것을 알고 있다. Derived Categories, Lemma 015B를 보라. 정리를 증명하려면 함자들의 열 \(\check{H}^i_{HC}(X, -)\)가 \(\delta\)-함자를 이룬다는 것을 보이면 충분하다. 실제로 Čech 코호몰로지가 단사층에서 0임을 알고 있으므로(Lemma 01GW), Homology, Lemma 010T를 적용할 수 있다.
다음을 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층들의 짧은 완전열이라 하자. \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] \(\xi \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{H})\)라 하자. \(X\)의 초덮개 \(K\)와 코호몰로지에서 \(\xi\)를 나타내는 원소 \(\sigma \in \mathcal{H}(K_p)\)를 택하자. 이에 대응하는 복합체의 완전열 \[0 \to s(\mathcal{F}(K)) \to s(\mathcal{G}(K)) \to s(\mathcal{H}(K))\] 이 있지만, 오른쪽에도 0이 있다고 보장되지는 않는다. 이것만이 뱀 보조정리를 단순히 적용하여 \(\delta(\xi)\)를 정의하는 일을 막는다. \(K_p = \{U_i \to X\}\)이면 \[\mathcal{H}(K_p) = \prod \mathcal{H}(U_i)\] 임을 상기하자. \(\sigma =\prod \sigma_i\)라 쓰자. 여기서 \(\sigma_i \in \mathcal{H}(U_i)\)이다. \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\)가 층의 전사이므로, \(\sigma_i|_{U_{i, j}}\)가 어떤 원소 \(\tau_{i, j} \in \mathcal{G}(U_{i, j})\)의 상이 되게 하는 덮개들 \(\{U_{i, j} \to U_i\}\)가 존재한다. 범주 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)의 대상 \(Z = \{U_{i, j} \to X\}\)와 그 명백한 사상 \(u : Z \to K_p\)를 생각하자. Definition 01G3에 의해 \(u\)는 분명히 덮개이다. Lemma 01GJ에 의해 \(L_p \to K_p\)가 \(u\)를 거쳐 인수분해되는 \(X\)의 초덮개 사상 \(L \to K\)가 존재한다. 따라서 \(K\)를 \(L\)로 바꾼 뒤에는 \(\sigma\)가 어떤 원소 \(\tau \in \mathcal{G}(K_p)\)의 상이라고 가정해도 된다. \(d(\sigma) = 0\)이지만 반드시 \(d(\tau) = 0\)인 것은 아님에 유의하자. 따라서 \(d(\tau) \in \mathcal{F}(K_{p + 1})\)는 코사이클이다. 이 상황에서 \(\delta(\xi)\)를 코사이클 \(d(\tau)\)의 \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\)에서의 류로 정의한다.
이제 몇 가지를 확인해야 한다. (a) \(\delta(\xi)\)가 \(\tau\)의 선택에 의존하지 않는다는 것, (b) \(\delta(\xi)\)가 \(\sigma\)를 들어 올릴 수 있게 하는 초덮개 사상 \(L \to K\)의 선택에 의존하지 않는다는 것, 그리고 (c) \(\delta(\xi)\)가 \(\xi\)를 나타내기 위해 처음 택한 초덮개와 \(\sigma\)에 의존하지 않는다는 것이다. (a), (b), (c)의 확인은 생략한다. 초덮개의 선택과 무관하다는 것은 실제로 Lemmas 01GI와 01GS로 귀착된다. 또한 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층들의 짧은 완전열 사이의 사상에 관해 \(\delta\)가 함자적이라는 확인도 생략한다.
끝으로 이 \(\delta\)의 정의를 사용하면 위의 아벨 층들의 짧은 완전열이 Čech 코호몰로지 군들의 긴 완전열을 낳는다는 것을 확인해야 한다. 먼저 \(\delta(\xi) = 0\)이면(여기서 \(\xi\)는 위와 같다) \(\xi\)가 어떤 원소 \(\xi' \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{G})\)의 상임을 보이자. 실제로 \(\delta(\xi) = 0\)이면, 위의 표기 아래 \(d(\tau)\)의 류는 \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\)에서 0이다. 따라서 \(d(\tau)\)를 \(\mathcal{F}(L_{p + 1})\)의 원소로 제한한 것이 어떤 \(\upsilon \in \mathcal{F}(L_p)\)에 대한 \(d(\upsilon)\)과 같아지게 하는 초덮개의 사상 \(L \to K\)가 존재한다. 이는 \(\tau|_{L_p} + \upsilon\)이 코사이클을 이루고, 원하는 대로 \(\xi\)로 가는 류 \(\xi' \in \check{H}^p(L, \mathcal{G})\)를 정한다는 뜻이다.
\(\xi' \in \check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\)가 \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{G})\)에서 0으로 가면, 어떤 \(\xi \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{H})\)에 대해 그 원소가 \(\delta(\xi)\)와 같다는 것의 증명은 생략한다.
다음으로 약간의 기교를 써서 Theorem 01H0의 Verdier 경우를 도출한다.
명제
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱과 두 대상의 곱을 갖는 사이트라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층이라 하고 \(i \geq 0\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
모든 \(\xi \in H^i(\mathcal{F})\)에 대해, \(\xi\)가 표준 사상 \(\check{H}^i(K, \mathcal{F}) \to H^i(\mathcal{F})\)의 상에 속하게 하는 초덮개 \(K\)가 존재한다.
\(K, L\)이 초덮개이고 \(\xi_K \in \check{H}^i(K, \mathcal{F})\), \(\xi_L \in \check{H}^i(L, \mathcal{F})\)가 \(H^i(\mathcal{F})\)의 같은 원소로 가면, 초덮개 \(M\)과 사상들 \(M \to K\), \(M \to L\)이 존재하여 \(\xi_K\)와 \(\xi_L\)이 \(\check{H}^i(M, \mathcal{F})\)의 같은 원소로 간다.
다시 말해 집합론적 문제를 제외하면, \(\mathcal{C}\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지 군들은 모든 초덮개에 걸친 \(\mathcal{F}\)의 Čech 코호몰로지 군들의 여극한이다.
증명
이 결과는 Theorem 01H0의 자명한 귀결이다. 실제로 \(\mathcal{C}\)를 인위적으로 조금 더 큰 사이트 \(\mathcal{C}'\)로 바꿀 수 있는데, 이때 (I) \(\mathcal{C}'\)는 끝 대상 \(X\)를 갖고, (II) \(\mathcal{C}\)의 초덮개는 대체로 \(\mathcal{C}'\)에서 \(X\)의 초덮개와 같은 것이다. 그러나 사정의 성질상 상당한 정리 작업이 필요하다.
\(\mathcal{C}\)에서 공통 끝점을 갖는 사상족 \(\{U_i \to U\}\)를, 사상 \(\coprod_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\)가 층화 뒤 전사가 될 때 약한 덮개라 하자. 새 사이트 \(\mathcal{C}'\)를 다음과 같이 구성한다.
범주로서 \(\Ob(\mathcal{C}') = \Ob(\mathcal{C}) \amalg \{X\}\)로 두고, \(\mathcal{C}'\)의 각 대상에서 \(X\)로 가는 유일한 사상을 덧붙인다.
\(\mathcal{C}\)에 섬유곱과 두 대상의 곱이 존재하므로 \(\mathcal{C}'\)는 섬유곱을 갖는다.
\(\mathcal{C}'\)의 덮개는 \(\mathcal{C}\)의 약한 덮개들과 다음 조건을 만족하는 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)들이다. 어떤 \(i\)에 대해 \(U_i = X\)이거나, 모든 \(i\)에 대해 \(U_i \not = X\)이고 \(\mathcal{C}\) 위의 전층 사상 \(\coprod h_{U_i} \to *\)가 \(\mathcal{C}\) 위에서 층화한 뒤 전사가 된다.
Sets, Lemma 000X를 적용하여 덮개들을 제한하고 사이트 \(\mathcal{C}'\)를 얻는다.
포함 함자 \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)는 특수 쌍대연속 함자이므로 \(\Sh(\mathcal{C}') = \Sh(\mathcal{C})\)이다(Sites, Definition 03CG를 보라). 직접적인 확인은 생략한다.
모든 \(i\)에 대해 \(U_i\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이 되는 \(\mathcal{C}'\)의 덮개 \(\{U_i \to X\}\)를 택하자 (\(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)가 특수 쌍대연속이므로 가능하다). 그러면 \(K_0 = \{U_i \to X\}\)는 위에서 구성한 사이트 \(\mathcal{C}'\)의 덮개이다. \(K_0\)를 \(\text{SR}(\mathcal{C}', X)\)의 대상으로 보고 \(K_{init} = \text{cosk}_0(K_0)\)로 둔다. Example 01G6에 의해 \(K_{init}\)는 \(X\)의 초덮개이다. 모든 \(K_{init, n}\)은 \(W_j \in \Ob(\mathcal{C})\)인 \(\{W_j \to X\}\) 꼴임에 유의하자.
(1)의 증명. \(\xi \in H^i(\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F}')\)를 택하자. 여기서 \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 \(\mathcal{F}\)에 대응하는 \(\mathcal{C}'\) 위의 아벨 층이다. Theorem 01H0에 의해, \(\xi\)가 \(\check{H}^i(K', \mathcal{F})\)의 한 원소에서 오게 하는 \(\mathcal{C}'\)에서 \(X\)의 초덮개 사상 \(K' \to K_{init}\)가 존재한다. \(K'_n = \{U_{n, j} \to X\}\)라 쓰자. 이제 \(K'_n\)이 \(K_{init, n}\)으로 가므로 \(U_{n, j}\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. 따라서 \(K_n = \{U_{n, j}\}\)로 두어 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상 \(K\)를 정의할 수 있다. \(\mathcal{C}\)의 사상족들로 이루어진 \(\mathcal{C}'\)의 덮개는 약한 덮개이므로, \(K\)는 Definition 09VU의 의미에서 초덮개이다. 끝으로 \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{C}'\) 위에서 그 \(\mathcal{C}\)로의 제한이 \(\mathcal{F}\)와 같은 유일한 층이므로, Čech 복합체들 \(s(\mathcal{F}(K))\)와 \(s(\mathcal{F}'(K'))\)는 동일하다. 따라서 (1)이 따른다. (코호몰로지 군으로 가는 사상과의 양립성은 생략한다.)
(2)의 증명. \(K\)와 \(L\)을 \(\mathcal{C}\)의 초덮개라 하자. \(K'\)와 \(L'\)을 함자 \(\text{SR}(\mathcal{C}) \to \text{SR}(\mathcal{C}', X)\), \(\{U_i\} \mapsto \{U_i \to X\}\)로 \(K\)와 \(L\)에서 얻는 \(\text{SR}(\mathcal{C}', X)\)의 단체적 대상들이라 하자. 위와 같이 Čech 복합체들이 같으므로, \(\mathcal{C}'\) 위에서 \(\mathcal{F}'\)의 같은 코호몰로지 류로 가는 \(\xi_{K'}\)와 \(\xi_{L'}\)를 얻는다. 집합론적 문제 때문에 필요하다면 \(\mathcal{C}'\)에서 선택한 덮개들을 늘린 뒤, \(K'\)와 \(L'\)이 \(\mathcal{C}'\)에서 \(X\)의 초덮개라고 가정해도 된다. 이는 Definition 09VU의 초덮개 정의와 \(\mathcal{C}\)의 약한 덮개가 \(\mathcal{C}'\)의 덮개를 준다는 사실에 의해 성립한다. Theorem 01H0에 의해 \(\mathcal{C}'\)에서 \(X\)의 초덮개 \(M'\)과 사상들 \(M' \to K'\), \(M' \to L'\), \(M' \to K_{init}\)가 존재하여, \(\xi_{K'}\)와 \(\xi_{L'}\)가 \(\check{H}^i(M', \mathcal{F})\)의 같은 원소로 제한된다. 이 명제를 위와 같이 풀어 쓰면 (2)가 성립함을 얻는다.
공간의 초덮개
위의 이론은 위상공간의 경우에도 어느 정도 흥미롭다. 이 경우에는 초덮개가 무엇인지 구체적으로 풀어 쓰고 그 결과가 실제로 무엇을 말하는지 볼 수 있다.
\(X\)를 위상공간이라 하자. Sites, Example 00VJ의 사이트 \(X_{Zar}\)를 생각하자. \(X_{Zar}\)의 대상은 단순히 \(X\)의 열린집합이고, \(X_{Zar}\)의 사상은 단순히 포함에 대응함을 상기하자. 그렇다면 사이트 \(X_{Zar}\)에서 \(X\)의 초덮개란 무엇인가?
먼저 Definition 01G0을 풀어 쓰자. \(\text{SR}(X_{Zar}, X)\)의 대상은 단순히 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대한 열린집합 \(U_i \subset X\)로 주어진다. 사상 \(U_i \to X\)에 혼동의 여지가 없으므로 이를 \(\{U_i\}_{i \in I}\)로 쓰자. 이러한 두 대상 사이의 사상 \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\)는 모든 \(i \in I\)에 대해 \(U_i \subset V_{\alpha(i)}\)를 만족하는 집합의 사상 \(\alpha : I \to J\)로 주어진다. 이러한 사상이 덮개인 것은 언제인가? 모든 \(j \in J\)에 대해 \(V_j = \bigcup_{i\in I, \ \alpha(i) = j} U_i\)일 때 그리고 그때에만 그러하다(또한 이는 사이트 \(X_{Zar}\)의 덮개이다).
위의 내용을 사용하면 사이트 \(X_{Zar}\)의 초덮개를 다음과 같이 기술할 수 있다. \(X_{Zar}\)에서 \(X\)의 초덮개는 다음 자료로 주어진다.
단체 집합 \(I\)(Simplicial, Section 0174를 보라),
각 \(n \geq 0\)과 모든 \(i \in I_n\)에 대한 열린집합 \(U_i \subset X\).
이러한 자료의 모음을 \((I, \{U_i\})\)로 나타내자. 이것이 \(X\)의 초덮개가 되려면 다음 성질들을 요구한다.
\(i \in I_n\)이고 \(0 \leq a \leq n\)이면 \(U_i \subset U_{d^n_a(i)}\)이다.
\(i \in I_n\)이고 \(0 \leq a \leq n\)이면 \(U_i = U_{s^n_a(i)}\)이다.
다음이 성립한다. [01H2]\[\begin{equation} X = \bigcup\nolimits_{i \in I_0} U_i, \end{equation}\]
모든 \(i_0, i_1 \in I_0\)에 대해 다음이 성립한다. [01H3]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap U_{i_1} = \bigcup\nolimits_{i \in I_1, \ d^1_0(i) = i_0, \ d^1_1(i) = i_1} U_i, \end{equation}\]
모든 \(n \geq 1\)과, 모든 \(0\leq a < b\leq n + 1\)에 대해 \(d^n_{b - 1}(i_a) = d^n_a(i_b)\)를 만족하는 모든 \((i_0, \ldots, i_{n + 1}) \in (I_n)^{n + 2}\)에 대해 다음이 성립한다. [01H4]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}} = \bigcup\nolimits_{i \in I_{n + 1}, \ d^{n + 1}_a(i) = i_a, \ a = 0, \ldots, n + 1} U_i, \end{equation}\]
열린 덮개들 (01H2), (01H3), (01H4)은 각각 \(\text{Cov}(X_{Zar})\)의 원소이다(이는 덮개의 첨자집합 크기에 상계를 주는 집합론적 조건이다).
예를 들어 조건들 (01H2)와 (01H3)는 공간 위의 층을 다룬 장에서 익숙할 것이고, 조건 (01H4)은 그 자연스러운 일반화이다.
주
이 기술의 한 특징은 다중 교집합들 \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}}\) 가운데 하나가 공집합이면 오른쪽의 덮개가 빈 덮개일 수 있다는 점이다. 따라서 사상들 \(I_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n I)_{n + 1}\)이 자동으로 전사가 되는 것은 아니다. 이는 \(I\)의 기하학적 실현이 흥미로운 (축약 가능하지 않은) 공간일 수 있음을 뜻한다.
실제로 \(I'_n \subset I_n\)을 \(U_i \not = \emptyset\)을 만족하는 단체 \(i \in I_n\)들로 이루어진 부분집합이라 하자. \(I' \subset I\)가 단체적 부분집합이고 \((I', \{U_i\})\)가 초덮개임은 쉽게 알 수 있다. 따라서 어떤 초덮개도 모든 열린집합 \(U_i\)가 공집합이 아닌 초덮개로 세분할 수 있다.
주
이 정보를 다시 다른 방식으로 묶어 보자. \((I, \{U_i\})\)가 위상공간 \(X\)의 초덮개라고 하자. 이 자료가 주어지면 \[U_n = \coprod\nolimits_{i \in I_n} U_i,\] 로 두어 단체적 위상공간 \(U_\bullet\)을 구성할 수 있다. 또한 주어진 \(\varphi : [n] \to [m]\)에 대해 사상 \(U(\varphi) : U_n \to U_m\)을 각 \(i \in I_n\)에 대한 포함 \(U_i \subset U_{\varphi(i)}\)에서 오는 사상으로 둔다. 이 단체적 위상공간에는 증대 \(\epsilon : U_\bullet \to X\)가 딸려 있다. 이 사상에 의해 단체적 공간 \(U_\bullet\)은 \(X\)의 초덮개가 되고, 이를 따라 [SGA4, Exposé Vbis]의 의미에서 코호몰로지 강하가 성립한다. 다시 말해 \(H^n(U_\bullet, \epsilon^*\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\)이다. (단체적 공간 위의 코호몰로지와 그 용어로 정식화된 코호몰로지 강하에 관한 참고문헌을 나중에 여기에 삽입할 것.) \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. 이 경우 Lemma 01GY의 스펙트럼 열은 다음 \(E_1\)-항을 갖는 스펙트럼 열이 된다. \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \epsilon_q^*\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(U_\bullet, \epsilon^*\mathcal{F}) = H^{p + q}(X, \mathcal{F})\] 이는 \(\epsilon^*\mathcal{F}\)의 전체 코호몰로지를 \(U_\bullet\)의 각 조각 위에서 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지 군들과 비교한다. (이 스펙트럼 열에 관한 참고문헌을 나중에 여기에 삽입할 것.)
위상수학에서는 모든 \(U_i\)가 \(X\)의 위상의 주어진 기저에서 나오고, 모든 덮개 (01H3)와 (01H4)이 덮개들의 주어진 공종 모음에서 나온다는 성질을 갖는 \(X\)의 초덮개를 찾고 싶을 때가 많다. 다음은 두 가지 예시 보조정리이다.
보조정리
\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. 각 \(U_i\)가 \(\mathcal{B}\)의 원소가 되는 \(X\)의 초덮개 \((I, \{U_i\})\)가 존재한다.
증명
\(n \geq 0\)이라 하자. \(X\)의 \(n\)-절단 초덮개란 \(n\)-절단 단체 집합 \(I\)와, 각 \(i \in I_a\), \(0 \leq a \leq n\)에 대한 \(X\)의 열린집합 \(U_i\)로 주어지며, 초덮개를 정의하는 조건들이 의미가 있을 때마다 성립하는 것이라 하자. 다시 말해 그 안에 나타나는 모든 단체가 \(a \leq n\)인 \(a\)-단체일 때에만 포함 관계와 덮개 조건을 요구한다. 모든 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 \(n\)-절단 초덮개 \((I, \{U_i\})\)가 주어졌을 때, \(a \leq n\)인 \(a\)-단체를 하나도 더하지 않고 이를 \((n + 1)\)-절단 초덮개로 확장할 수 있음을 보이면 보조정리가 따른다. 이는 다음과 같이 한다. 먼저 다음으로 정의되는 \((n + 1)\)-절단 단체 집합 \(I'\)을 생각하자. \(I' = \text{sk}_{n + 1}(\text{cosk}_n I)\). 다음을 상기하자. \[I'_{n + 1} = \left\{ \begin{matrix} (i_0, \ldots, i_{n + 1}) \in (I_n)^{n + 2} \text{ such that}\\ d^n_{b - 1}(i_a) = d^n_a(i_b) \text{ for all }0\leq a < b\leq n + 1 \end{matrix} \right\}\] \(i' \in I'_{n + 1}\)이 퇴화되어 있고 이를테면 \(i' = s^n_a(i)\)이면 \(U_{i'} = U_i\)로 둔다(어차피 두 번째 조건이 이를 강제한다). 이 경우 \(J_{i'} = \{i'\}\)로도 둔다. \(i' \in I'_{n + 1}\)이 비퇴화이고 이를테면 \(i' = (i_0, \ldots, i_{n + 1})\)이면 집합 \(J_{i'}\)와 열린 덮개 [071K]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}} = \bigcup\nolimits_{i \in J_{i'}} U_i, \end{equation}\] 를 택하되, 각 \(i \in J_{i'}\)에 대해 \(U_i \in \mathcal{B}\)가 되게 한다. 다음과 같이 두자. \[I_{n + 1} = \coprod\nolimits_{i' \in I'_{n + 1}} J_{i'}\] 표준 사상 \(\pi : I_{n + 1} \to I'_{n + 1}\)이 있으며, 구성에 의해 \(I'_{n + 1}\)의 퇴화 단체들의 집합 위에서 전단사이다. \(i \in I_{n + 1}\)에 대해 \(d^{n + 1}_a(i) = d^{n + 1}_a(\pi(i))\)로 정의한다. \(i \in I_n\)에 대해 \(s^n_a(i) \in I_{n + 1}\)을 퇴화 단체 \(s^n_a(i) \in I'_{n + 1}\) 위에 놓인 유일한 단체로 정의한다. 이것이 \(X\)의 \((n + 1)\)-절단 초덮개를 정의한다는 확인은 생략한다.
보조정리
\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. 다음을 가정하자.
\(X\)는 준콤팩트이다.
각 \(U \in \mathcal{B}\)는 준콤팩트 열린집합이다.
\(X\)의 임의의 두 준콤팩트 열린집합의 교집합은 준콤팩트이다.
그러면 다음 성질들을 갖는 \(X\)의 초덮개 \((I, \{U_i\})\)가 존재한다.
증명
Lemma 01H6의 증명에 나온 구성에서 (071K)의 덮개를 \(\mathcal{B}\)의 원소들로 이루어진 유한 덮개로 택하면 곧바로 따른다. 세부 사항은 생략한다.
초덮개의 구성
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 이 절에서는 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상을 다음과 같이 생각한다. 평소처럼 \(K_n = K([n])\)으로 놓고, \(\varphi : [m] \to [n]\)에 결부된 사상을 \(K(\varphi) : K_n \to K_m\)으로 나타낸다. \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)으로 쓸 수 있다. \(\varphi : [m] \to [n]\)에 대해 사상 \(K(\varphi) : K_n \to K_m\)은 사상 \(\alpha(\varphi) : I_n \to I_m\)과, \(i \in I_n\)마다 주어진 사상 \(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\)로 정해진다. \(K\)가 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 단체적 대상이라는 사실로부터 \((I_n, \alpha(\varphi))\)이 단체 집합이고, \(\psi : [l] \to [m]\)일 때 \(f_{\psi, \alpha(\varphi)(i)} \circ f_{\varphi, i} = f_{\varphi \circ \psi, i}\)임을 알 수 있다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(K\)를 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 \(r\)-절단 단체적 대상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.
\(K\)는 분할되어 있다(Simplicial, Definition 017P).
\(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\) 는 \(r \geq n \geq 0\), 전사 \(\varphi : [m] \to [n]\), \(i \in I_n\)에 대해 동형사상이다.
\(f_{\sigma^n_j, i} : U_{n, i} \to U_{n + 1, \alpha(\sigma^n_j)(i)}\) 는 \(0 \leq j \leq n < r\), \(i \in I_n\)에 대해 동형사상이다.
단체적 대상의 경우에도 같은 명제가 성립하며, 이때에는 (2)와 (3)에서 \(r = \infty\)로 놓으면 된다.
증명
단체 집합의 분할은 유일하며 각 차수 \(n\)에서 비퇴화 첨자 \(N(I_n)\)으로 주어진다. Simplicial, Lemma 017R를 보라. \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 두 대상 \(\{U_i\}_{i \in I}\)와 \(\{U_j\}_{j \in J}\)의 쌍대곱은 명백한 표기법 아래 \(\{U_l\}_{l \in I \amalg J}\)로 주어진다. 따라서 \(K\)의 분할은 \(N(K_n) = \{U_i\}_{i \in N(I_n)}\)으로 주어져야 한다. 이제 정의를 풀어 쓰면 (1)과 (2)의 동치가 따른다. (2)와 (3)의 동치는 임의의 전사 \(\varphi : [m] \to [n]\)이 \(k = n, n + 1, \ldots, m - 1\)에 대한 사상 \(\sigma^k_j\)들의 합성이라는 사실에서 따른다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.
\(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에는 \(U_j \in \mathcal{B}\)인 덮개 \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\)가 있다.
\(\{U_j \to U\}_{j \in J}\)가 \(U_j \in \mathcal{B}\)인 덮개이고 \(\{U' \to U\}\)가 \(U' \in \mathcal{B}\)인 사상이면, \(\{U_j \to U\}_{j \in J} \amalg \{U' \to U\}\)는 덮개이다.
그러면 \(\mathcal{C}\)의 임의의 \(X\)에 대해 \(X\)의 초덮개 \(K\)가 존재하여, \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)이고 모든 \(i \in I_n\)에 대해 \(U_{n, i} \in \mathcal{B}\)이다.
증명
Lemma 01H6의 증명은 이 증명의 준비 연습이므로, 독자에게 먼저 그 증명을 읽기를 권한다.
먼저 \(\mathcal{C}\)를 사이트 \(\mathcal{C}/X\)로 바꾼다. 그러면 \(X\)가 \(\mathcal{C}\)의 끝 대상이고 \(\mathcal{C}\)가 모든 유한 극한을 가진다고 가정할 수 있다(Categories, Lemma 002O).
\(n \geq 0\)이라 하자. \(X\)의 \(n\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개란 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 \(n\)-절단 단체적 대상 \(K\)로서, \(i \in I_a\), \(0 \leq a \leq n\)에 대해 \(U_{a, i} \in \mathcal{B}\)이고, \(K_0\)가 \(X\)의 덮개이며, \(K_{a + 1} \to (\text{cosk}_a \text{sk}_a K)_{a + 1}\) 이 \(a = 0, \ldots, n - 1\)에 대해 Definition 01G3의 의미에서 덮개인 것을 말한다.
가정에 의해 \(X\)는 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 덮개 \(\{U_{0, i} \to X\}_{i \in I_0}\)를 가지므로, \(X\)의 \(0\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개를 얻는다. \(X\)의 임의의 \(0\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개는 분할되어 있음에 유의하자. Lemma 0DAU를 보라.
\(n \geq 0\)에 대해 \(X\)의 분할된 \(n\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개 \(K\)가 주어지면 이를 \(X\)의 분할된 \((n + 1)\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개로 확장할 수 있음을 보이면 보조정리가 따른다.
이 확장을 구성하자. \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 \((n + 1)\)-절단 단체적 대상 \(K' = \text{sk}_{n + 1}(\text{cosk}_n K)\)를 생각하고 다음과 같이 쓰자. \[K'_{n + 1} = \{U'_{n + 1, i}\}_{i \in I'_{n + 1}}\] \(K = \text{sk}_n K'\)이므로 \(0 \leq a \leq n\)에 대해 \(K_a = K'_a\)이다. 모든 \(i' \in I'_{n + 1}\)에 대해 덮개 [0DAW]\[\begin{equation} \{g_{n + 1, j} : U_{n + 1, j} \to U'_{n + 1, i'}\}_{j \in J_{i'}} \end{equation}\] 를 \(j \in J_{i'}\)에 대해 \(U_{n + 1, j} \in \mathcal{B}\)가 되도록 택한다. 이는 보조정리의 \(\mathcal{B}\)에 관한 가정으로 가능하다. \(0 \leq m \leq n\)에 대해 비퇴화 첨자들의 부분집합을 \(N_m \subset I_m\)으로 나타내고 다음과 같이 놓는다. \[I_{n + 1} = \coprod\nolimits_{\varphi : [n + 1] \to [m]\text{ surjective, }0\leq m \leq n} N_m \amalg \coprod\nolimits_{i' \in I'_{n + 1}} J_{i'}\] \(j \in I_{n + 1}\)에 대해 다음과 같이 놓는다. \[U_{n + 1, j} = \left\{ \begin{matrix} U_{m, i} & \text{이면} & j = (\varphi, i) & \text{여기서} & \varphi : [n + 1] \to [m], i \in N_m \\ U_{n + 1, j} & \text{이면} & j \in J_{i'} & \text{여기서} & i' \in I'_{n + 1} \end{matrix} \right.\] 으로 놓으며 표기법은 명백하다. \(K_{n + 1} = \{U_{n + 1, j}\}_{j \in I_{n + 1}}\)으로 놓자. 구성에 의해 모든 \(j \in I_{n + 1}\)에 대해 \(U_{n + 1, j}\)는 \(\mathcal{B}\)의 원소이다. 서로 양립하는 사상 \[I_{n + 1} \to I'_{n + 1} \quad\text{and}\quad K_{n + 1} \to K'_{n + 1}\] 을 정의하자. 구체적으로 첫 번째 사상은 \((\varphi, i) \mapsto \alpha'(\varphi)(i)\)와 \((j \in J_{i'}) \mapsto i'\)로 주어진다. 두 번째 사상에는 다음 사상들을 사용한다. \[f'_{\varphi, i} : U_{m, i} \to U'_{n + 1, \alpha'(\varphi)(i)} \quad\text{and}\quad g_{n + 1, j} : U_{n + 1, j} \to U'_{n + 1, i'}\] 사상 \[K_{n + 1} \to K'_{n + 1} = (\text{cosk}_n \text{sk}_n K')_{n + 1} = (\text{cosk}_n K)_{n + 1}\] 은 Definition 01G3의 의미에서 덮개라고 주장한다. 실제로 \(i' \in I'_{n + 1}\)이라 하자. \(i'\)이 비퇴화이면 \(I_{n + 1}\)에서 \(i'\)의 역상은 \(J_{i'}\)와 같고, 선택 (0DAW)에 의해 \(U'_{n + 1, i'}\)의 덮개를 얻는다. 반면 \(i'\)이 퇴화이면 유일한 쌍 \((\varphi, i)\)에 대해 \(I_{n + 1}\)에서 \(i'\)의 역상은 \(J_{i'} \amalg \{(\varphi, i)\}\)이며, 선택 (0DAW)과 보조정리의 가정 (2)에 의해 덮개를 얻는다.
증명을 마치려면 사상 \(\varphi : [m] \to [n + 1]\), \(0 \leq m \leq n\)에 대응하는 사상 \(K(\varphi) : K_{n + 1} \to K_m\)과, 사상 \(\varphi : [n + 1] \to [m]\), \(0 \leq m \leq n\)에 대응하는 사상 \(K(\varphi) : K_m \to K_{n + 1}\)을 적절한 합성 관계를 만족하도록 정의해야 한다. 첫 번째 종류에는 합성 \[K_{n + 1} \to K'_{n + 1} \xrightarrow{K'(\varphi)} K'_m = K_m\] 을 사용하여 \(K(\varphi) : K_{n + 1} \to K_m\)을 정의한다. 두 번째 종류에 대해 \(\varphi : [n + 1] \to [m]\), \(0 \leq m \leq n\)이 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 사상 \(K(\varphi) : K_m \to K_{n + 1}\)을 다음과 같이 정의한다.
\(i \in I_m\)에 대해 \(\alpha(\psi)(i_0) = i\)를 만족하는 유일한 전사 \(\psi : [m] \to [m_0]\)과 유일한 비퇴화 원소 \(i_0 \in I_{m_0}\)가 존재한다3.
\(\varphi_0 = \psi_0 \circ \varphi : [n + 1] \to [m_0]\)으로 놓고 \(i \in I_m\)을 \((\varphi_0, i_0) \in I_{n + 1}\)로 보낸다. 다시 말해 \(\alpha(\varphi)(i) = (\varphi_0, i_0)\)으로 놓는다.
사상 \(f_{\varphi, i} : U_{m, i} \to U_{n + 1, \alpha(\varphi)(i)} = U_{m_0, i_0}\) 은 동형사상 \(f_{\psi, i_0} : U_{m_0, i_0} \to U_{m, i}\)의 역이다 (Lemma 0DAU를 보라).
이것이 주어진 \(n\)-절단 초덮개를 확장하는 \(X\)의 분할된 \((n + 1)\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개를 정의한다는 직접적이지만 번거로운 확인은 생략한다. 실제로 모든 \(0 \leq a, b \leq n + 1\)과 \(\varphi : [a] \to [b]\)에 대해 사상 \(K(\varphi)\)들이 올바르게 합성된다는 확인을 제외하면 위 구성에서 모든 것이 명백하다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 등화자와 섬유곱을 가지는 사이트라 하고, \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상이 그 구성원들이 \(\mathcal{B}\)의 원소인 덮개를 가진다고 가정하자. 그러면 모든 \(i \in I_n\)에 대해 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 \(K_n = \{U_i\}_{i \in I_n}\)을 만족하는 초덮개 \(K\)가 존재한다.
증명
이 증명은 Lemma 0DAV의 증명과 거의 같다. 차이점만 설명하겠다.
\(n \geq 1\)이라 하자. \(n\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개란 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 \(n\)-절단 단체적 대상 \(K\)로서, \(i \in I_a\), \(0 \leq a \leq n\)에 대해 \(U_{a, i} \in \mathcal{B}\)이고 다음을 만족하는 것을 말한다.
\(F(K_0)^\# \to *\)는 전사이다.
\(F(K_1)^\# \to F(K_0)^\# \times F(K_0)^\#\)는 전사이다.
\(F(K_{a + 1})^\# \to F((\text{cosk}_a \text{sk}_a K)_{a + 1})^\#\) 은 \(a = 1, \ldots, n - 1\)에 대해 전사이다.
먼저 분할된 \(1\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개를 명시적으로 구성한다.
\(I_0 = \mathcal{B}\)와 \(K_0 = \{U\}_{U \in \mathcal{B}}\)로 놓자. \(\mathcal{B}\)에 관한 가정으로 (1)이 성립한다. 다음과 같이 놓는다. \[\Omega = \{(U, V, W, a, b) \mid U, V, W \in \mathcal{B}, a : U \to V, b : U \to W\}\] 이제 \(I_1 = I_0 \amalg \Omega\)로 놓는다. \(i \in I_1\)에 대해 \(i \in I_0\)이면 \(U_{1, i} = U_{0, i}\)로 놓고, \(i = (U, V, W, a, b) \in \Omega\)이면 \(U_{1, i} = U\)로 놓는다. 사상 \(K(\sigma^0_0) : K_0 \to K_1\)은 포함 \(\alpha(\sigma^0_0) : I_0 \to I_1\)과 대상들 위의 항등사상 \(f_{\sigma^0_0, i} : U_{0, i} \to U_{1, i}\)에 대응한다. 사상 \(K(\delta^1_0), K(\delta^1_1) : K_1 \to K_0\)은 \(I_0 \subset I_1\) 위에서 항등이고 \((U, V, W, a, b) \in \Omega \subset I_1\)을 각각 \(V\), \(W\)로 보내는 두 사상 \(I_1 \to I_0\)에 대응한다. 이에 대응하는 사상 \(f_{\delta^1_0, i}, f_{\delta^1_1, i} : U_{1, i} \to U_{0, i}\)는 \(i \in I_0\)이면 항등사상이고, \(i = (U, V, W, a, b) \in \Omega\)이면 각각 \(a,b\)이다. (2)가 성립하는 이유는 다음과 같다. \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에서 \(F(K_0)^\# \times F(K_0)^\#\)의 임의의 단면은 \(U\)를 어떤 덮개의 구성원들로 바꾸고 나면 사상 \(U \to F(K_0) \times F(K_0)\)에서 온다. 이는 다시 \(V, W \in \mathcal{B}\)와 두 사상 \(U \to V\), \(U \to W\)가 있음을 뜻한다. \(U\)를 다시 어떤 덮개의 구성원들로 바꾸면 원하는 대로 \(U \in \mathcal{B}\)라고 가정할 수 있다.
\(n \geq 1\)에 대해 분할된 \(n\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개 \(K\)가 주어지면 이를 분할된 \((n + 1)\)-절단 \(\mathcal{B}\)-초덮개로 확장할 수 있음을 보이면 보조정리가 따른다. 여기서 논증은 Lemma 0DAV의 증명과 정확히 같은 방식으로 진행된다. 다음 설명을 제외한 정확한 세부 사항은 생략한다. 첫째, 사상 \(K_{n + 1} \to (\text{cosk}_n K)_{n + 1}\) 자체가 덮개일 필요가 없으므로 현재 보조정리의 증명에서는 가정 (2)가 필요하지 않다. 이 사상이 상응하는 집합의 층들 위에서 전사를 유도하기만 하면 충분하며, 이는 Sites, Lemma 00WT에서 따른다. 둘째, \(\mathcal{C}\)가 섬유곱과 등화자를 가진다는 가정은 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)도 섬유곱과 등화자를 가지며 \(F\)가 이들과 가환함을 보장한다(Lemma 01G2). 이는 사용한 여골격 함자들이 존재함을 보장하기에 충분하다(Simplicial, Remark 09VS와 Categories, Lemma 04AT를 보라).
보조정리
\(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)로 주어지는 사이트의 사상이라 하자. \(\mathcal{D}\)와 \(\mathcal{C}\)가 등화자와 섬유곱을 가지며 \(u\)가 이들과 가환한다고 가정하자. \(\text{SR}(\mathcal{D})\)의 단체적 대상 \(K\)가 초덮개이면 \(u(K)\)도 초덮개이다.
증명
이 절의 도입부에서와 같이 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)으로 쓰면, \(u(K)\)는 \(u(K_n) = \{u(U_i)\}_{i \in I_n}\)으로 주어지는 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 대상이다. Sites, Lemma 04D3에 의해 \(U \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 \(f^{-1}h_U^\# = h_{u(U)}^\#\)이다. 이는 모든 \(n\)에 대해 \(f^{-1}F(K_n)^\# = F(u(K_n))^\#\)임을 뜻한다. \(u(K)\)가 초덮개가 되기 위한 Definition 09VU의 조건 (1), (2), (3)을 확인하자. \(f^{-1}\)가 완전 함자이므로 \[F(u(K_0))^\# = f^{-1}F(K_0)^\# \to f^{-1}* = *\] 는 전사인 사상의 당김이므로 전사이고, (1)을 얻는다. 마찬가지로 \[F(u(K_1))^\# = f^{-1}F(K_1)^\# \to f^{-1} (F(K_0) \times F(K_0))^\# = F(u(K_0))^\# \times F(u(K_0))^\#\] 는 당김이므로 전사이고, (2)를 얻는다. 조건 (3)에 대해 같은 방법으로 결론을 얻으려면 다음이 성립하면 충분하다. \[F((\text{cosk}_n \text{sk}_n u(K))_{n + 1})^\# = f^{-1}F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})^\#\] 위 논의는 \(f^{-1}F(-) = F(u(-))\)임을 보인다. 따라서 \(n \geq 1\)에 대해 \(u\)가 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\)을 정의할 때 쓰이는 극한들과 가환함을 보이면 충분하다. Simplicial, Remark 09VS에 의해 이 극한들은 유한 연결 극한들이며, 가정에 의해 \(u\)는 이들과 가환한다.
보조정리
\(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\)를 사이트라 하고 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)를 연속 함자라 하자. \(\mathcal{D}\)와 \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가지며 \(u\)가 이들과 가환한다고 가정하자. \(Y \in \mathcal{D}\)라 하고 \(K \in \text{SR}(\mathcal{D}, Y)\)를 \(Y\)의 초덮개라 하자. 그러면 \(u(K)\)는 \(u(Y)\)의 초덮개이다.
증명
대상의 초덮개라는 개념이 더 강하므로 이는 Lemma 0DAY의 증명보다 쉽다. Definitions 01G5과 01G3을 보라. 실제로 사이트의 사상의 정의에 의해 \(u\)는 덮개를 덮개로 보낸다. \(n \geq 1\)에 대해 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\)을 정의할 때 쓰이는 극한들과 \(u\)가 가환함을 확인하면 충분하다. 유도된 함자 \(\mathcal{D}/Y \to \mathcal{C}/X\)가 모든 유한 극한과 가환하므로 이는 명백하다(그리고 Categories, Lemma 002O에 의해 정의역과 공역은 모든 유한 극한을 가진다).
보조정리
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.
\(\mathcal{C}\)는 섬유곱을 가진다.
모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 유한 덮개 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)가 존재한다.
\(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)가 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 유한 덮개이고 \(U \to X\)가 \(U \in \mathcal{B}\)인 사상이면, \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \amalg \{U \to X\}\)는 덮개이다.
그러면 모든 \(X\)에 대해 \(X\)의 초덮개 \(K\)가 존재하여, 각 \(K_n = \{U_{n, i} \to X\}_{i \in I_n}\)에서 \(I_n\)은 유한하고 \(U_{n, i} \in \mathcal{B}\)이다.
증명
이 보조정리는 사이트에 대한 Lemma 01H7의 유사 명제이다. 다음 두 가지에 유의하면서 Lemma 0DAV의 증명을 그대로 따르면 된다.
처음 덮개 \(\{U_{0, i} \to X\}_{i \in I_0}\)를 \(U_{0, i} \in \mathcal{B}\)이고 첨자 집합 \(I_0\)가 유한하도록 택한다.
덮개 (0DAW)를 택할 때 \(J_{i'}\)를 유한하게 택한다.
이렇게 바꾸면 모든 \(n\)에 대해 유한 첨자 집합 \(I_n\)을 얻게 됨은 쉽게 알 수 있다.
주
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(K\)와 \(L\)을 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 대상이라 하자. \(K = \{U_i\}_{i \in I}\)와 \(L = \{V_j\}_{j \in J}\)로 쓰자. \(U = \coprod_{i \in I} U_i\)와 \(V = \coprod_{j \in J} V_j\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 다음을 얻는다. \[\Mor_{\text{SR}(\mathcal{C})}(K, L) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(U, V)\] 구성은 다음과 같다. \(\alpha : I \to J\)와 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\)로 주어진 \(f : K \to L\)에 대해 함자들의 변환 \[\Mor_\mathcal{C}(V, -) = \prod\nolimits_{j \in J} \Mor_\mathcal{C}(V_j, -) \to \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_\mathcal{C}(U_i, -) = \Mor_\mathcal{C}(U, -)\] 을 얻는데, 이는 \((g_j)_{j \in J}\)를 \((g_{\alpha(i)} \circ f_i)_{i \in I}\)로 보낸다. 따라서 요네다 보조정리는 이에 대응하는 사상 \(U \to V\)를 준다. 물론 \(U \to V\)는 사상 \(f_i\)를 통해 쌍대곱 성분 \(U_i\)를 쌍대곱 성분 \(V_{\alpha(i)}\)로 보낸다.
주
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\)가 섬유곱과 등화자를 가진다고 가정하고 \(K\)를 초덮개라 하자. \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)으로 쓰자. 다음을 가정하자.
\(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\)가 존재한다.
\(\coprod_{i \in I_n} h_{U_{n, i}} \to h_{U_n}\)는 층화한 뒤 동형사상을 유도한다.
그러면 \(L_n = \{U_n\}\)인 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 또 다른 단체적 대상 \(L\)을 얻는다. Remark 0DB0를 보라. 이제 \(L\)이 초덮개라고 주장한다. 이를 위해 Definition 09VU의 조건 (1), (2), (3)을 확인한다. 조건 (1)은 (b)와 \(K\)에 대한 (1)에서 따르고, 조건 (2)도 정확히 같은 방식으로 따른다. 조건 (3)은 다음 등식에서 따른다. \[\begin{align*} F((\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1})^\# & = ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(L)^\#)_{n + 1}) \\ & = ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K)^\#)_{n + 1}) \\ & = F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})^\# \end{align*}\] 여기서 \(n \geq 1\)이다. 따라서 (1)과 (2)에서와 정확히 같은 방식으로 \(K\)에 대한 조건이 \(L\)에 대한 조건을 함의한다. \(F\)가 연결 극한과 가환하고 층화가 완전하다는 사실이 첫 번째와 마지막 등식을 보인다. 가운데 등식은 (b)에 의해 \(F(K)^\# = F(L)^\#\)인 데서 따른다.
주
\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(\mathcal{C}\)가 섬유곱을 가진다고 가정하고 \(K\)를 \(X\)의 초덮개라 하자. \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)으로 쓰자. 다음을 가정하자.
\(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\)가 존재한다.
\(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 사상 \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\)과 \((\beta, g_k) : \{W_k\}_{k \in K} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 가 주어지고 \(U = \coprod U_i\), \(V = \coprod V_j\), \(W = \coprod W_j\)가 존재하면 \(U \times_V W = \coprod_{(i, j, k), \alpha(i) = j = \beta(k)} U_i \times_{V_j} W_k\)이다.
\((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 가 Definition 01G3의 의미에서 덮개이고, \(U = \coprod U_i\)와 \(V = \coprod V_j\)가 존재하면 Remark 0DB0의 이에 대응하는 사상 \(U \to V\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다.
그러면 \(L_n = \{U_n\}\)인 \(\text{SR}(\mathcal{C})\)의 또 다른 단체적 대상 \(L\)을 얻는다. Remark 0DB0를 보라. 이제 \(L\)이 \(X\)의 초덮개라고 주장한다. 이를 위해 Definition 01G5의 조건 (1), (2)를 확인한다. 조건 (1)은 (c)와 \(K\)에 대한 (1)에서 따른다. 실제로 \(K\)에 대한 (1)은 \(K_0 = \{U_{0, i}\}_{i \in I_0}\)가 Definition 01G3의 의미에서 \(\{X\}\)의 덮개라고 말한다. 조건 (2)가 따르는 이유는 \(\mathcal{C}/X\)가 모든 유한 극한을 가지므로 \(\text{SR}(\mathcal{C}/X)\)도 모든 유한 극한을 가지며, 조건 (b)가 “서로소 합을 취하는” 구성이 이 유한 극한들과 가환한다고 말하기 때문이다. 따라서 사상 \[L_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}\] 은 “서로소 합을 취하는” 함자를 사상 \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] 에 적용한 결과이므로 덮개이다. 뒤의 사상은 \(K\)에 대한 (2)에 의해 Definition 01G3의 의미에서 덮개라고 가정되어 있다. 이는 의미가 있다. 실제로 성질 (b)는 특히 서로소 합을 취할 수 있는 \(X\) 위의 반표현 가능 대상들로 이루어진 유한 도식에서 시작하면, 그 도식의 \(\text{SR}(\mathcal{C}/X)\)에서의 극한도 여전히 서로소 합을 취할 수 있는 \(X\) 위의 반표현 가능 대상임을 보장한다.