Algèbre homologique

Introduction

L’algèbre homologique de base sera exposée dans ce document. Nous compléterons l’exposé selon les besoins des autres parties, puisqu’il existe manifestement une quantité infinie de résultats sur le sujet. On pourra consulter [Maclane].

Notions de base

Les notions suivantes sont considérées comme élémentaires et ne seront ni définies ni démontrées. Cela ne signifie pas qu’elles soient toutes nécessairement faciles ou bien connues.

1. Rien pour l’instant.

Catégories préadditives et additives

Voici la définition d’une catégorie préadditive.

Définition

Une catégorie \(\mathcal{A}\) est dite préadditive si chaque ensemble de morphismes \(\Mor_\mathcal{A}(x, y)\) est muni d’une structure de groupe abélien telle que les compositions \[\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)\] soient bilinéaires. Un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) entre catégories préadditives est dit additif si et seulement si \(F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))\) est un homomorphisme de groupes abéliens pour tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\).

En particulier, pour tous \(x, y\), il existe au moins un morphisme \(x \to y\), à savoir le morphisme nul.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{A}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(x\) est un objet initial,

2. \(x\) est un objet final, et

3. \(\text{id}_x = 0\) dans \(\Mor_\mathcal{A}(x, x)\).

De plus, si un tel objet \(0\) existe, alors un morphisme \(\alpha : y \to z\) se factorise par \(0\) si et seulement si \(\alpha = 0\).

Démonstration

Supposons d’abord que \(x\) soit soit (1) initial, soit (2) final. Dans les deux cas, \(\Mor(x,x)\) est un groupe abélien trivial contenant \(\text{id}_x\) ; ainsi \(\text{id}_x = 0\) dans \(\Mor(x, x)\), ce qui montre que (1) et (2) impliquent chacun (3).

Supposons maintenant que \(\text{id}_x = 0\) dans \(\Mor(x,x)\). Soit \(y\) un objet arbitraire de \(\mathcal{A}\) et soit \(f \in \Mor(x ,y)\). Notons \(C : \Mor(x,x) \times \Mor(x,y) \to \Mor(x,y)\) l’application de composition. Alors \(f = C(0, f)\) et, puisque \(C\) est bilinéaire, on a \(C(0, f) = 0\). Ainsi \(f = 0\). Par conséquent, \(x\) est initial dans \(\mathcal{A}\). Un argument semblable appliqué à \(f \in \Mor(y, x)\) montre que \(x\) est aussi final. Ainsi (3) implique à la fois (1) et (2).

Définition

Dans une catégorie préadditive \(\mathcal{A}\), on appelle un objet à la fois final et initial (comme dans le lemme 00ZZ) un objet nul, et on le note \(0\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive. Soient \(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\). Si le produit \(x \times y\) existe, alors le coproduit \(x \amalg y\) existe aussi. Si le coproduit \(x \amalg y\) existe, alors le produit \(x \times y\) existe aussi. Dans ce cas, on a également \(x \amalg y \cong x \times y\).

Démonstration

Supposons que \(z = x \times y\), avec projections \(p : z \to x\) et \(q : z \to y\). Notons \(i : x \to z\) le morphisme correspondant à \((1, 0)\). Notons \(j : y \to z\) le morphisme correspondant à \((0, 1)\). On a donc le diagramme commutatif \[\xymatrix{ x \ar[rr]^1 \ar[rd]^i & & x \\ & z \ar[ru]^p \ar[rd]^q & \\ y \ar[rr]^1 \ar[ru]^j & & y }\] où les compositions diagonales sont nulles. Il s’ensuit que \(i \circ p + j \circ q : z \to z\) est l’identité, car c’est un morphisme dont la composition avec \(p\) donne \(p\) et dont la composition avec \(q\) donne \(q\). Supposons donnés des morphismes \(a : x \to w\) et \(b : y \to w\). On peut alors former l’application \(a \circ p + b \circ q : z \to w\). On obtient ainsi une bijection \(\Mor(z, w) = \Mor(x, w) \times \Mor(y, w)\), ce qui montre que \(z = x \amalg y\).

Nous laissons au lecteur le soin de construire les morphismes \(p, q\) lorsqu’on part d’un coproduit \(x \amalg y\) plutôt que d’un produit.

Définition

Étant donnés deux objets \(x, y\) d’une catégorie préadditive \(\mathcal{A}\), la somme directe \(x \oplus y\) de \(x\) et \(y\) est le produit direct \(x \times y\) muni des morphismes \(i, j, p, q\) du lemme 0101 ci-dessus.

Remarque

Remarquons que la preuve du lemme 0101 montre que, si \(p\) et \(q\) sont donnés, les morphismes \(i\), \(j\) sont uniquement déterminés par les relations \(p \circ i = \text{id}_x\), \(q \circ j = \text{id}_y\), \(p \circ j = 0\), \(q \circ i = 0\). De plus, on a automatiquement \(i \circ p + j \circ q = \text{id}_{x \oplus y}\). De même, si \(i\), \(j\) sont donnés, les morphismes \(p\) et \(q\) sont uniquement déterminés. Enfin, étant donnés des objets \(x, y, z\) et des morphismes \(i : x \to z\), \(j : y \to z\), \(p : z \to x\) et \(q : z \to y\) tels que \(p \circ i = \text{id}_x\), \(q \circ j = \text{id}_y\), \(p \circ j = 0\), \(q \circ i = 0\) et \(i \circ p + j \circ q = \text{id}_z\), alors \(z\) est la somme directe de \(x\) et \(y\), les quatre morphismes étant \(i, j, p, q\).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) des catégories préadditives. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif. Alors \(F\) transforme les sommes directes en sommes directes et l’objet nul en objet nul.

Démonstration

Supposons \(F\) additif. Une somme directe \(z\) de \(x\) et \(y\) est caractérisée par l’existence de morphismes \(i : x \to z\), \(j : y \to z\), \(p : z \to x\) et \(q : z \to y\) tels que \(p \circ i = \text{id}_x\), \(q \circ j = \text{id}_y\), \(p \circ j = 0\), \(q \circ i = 0\) et \(i \circ p + j \circ q = \text{id}_z\), d’après la remarque 0103. Il est clair que \(F(x), F(y), F(z)\) et les morphismes \(F(i), F(j), F(p), F(q)\) satisfont exactement les mêmes relations (par additivité), et l’on voit que \(F(z)\) est une somme directe de \(F(x)\) et \(F(y)\). Ainsi, \(F\) transforme les sommes directes en sommes directes.

Pour voir que \(F\) transforme l’objet nul en objet nul, on utilise la caractérisation (3) de l’objet nul donnée dans le lemme 00ZZ.

Définition

Une catégorie \(\mathcal{A}\) est dite additive si elle est préadditive et si les produits finis existent ; autrement dit, elle possède un objet nul et des sommes directes.

En effet, le produit vide est un produit fini et, s’il existe, c’est un objet final.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive. Soit \(f : x \to y\) un morphisme.

1. Un noyau de \(f\) est un morphisme \(i : z \to x\) tel que (a) \(f \circ i = 0\) et (b), pour tout \(i' : z' \to x\) tel que \(f \circ i' = 0\), il existe un unique morphisme \(g : z' \to z\) tel que \(i' = i \circ g\).

2. Si le noyau de \(f\) existe, on le note \(\Ker(f) \to x\).

3. Un conoyau de \(f\) est un morphisme \(p : y \to z\) tel que (a) \(p \circ f = 0\) et (b), pour tout \(p' : y \to z'\) tel que \(p' \circ f = 0\), il existe un unique morphisme \(g : z \to z'\) tel que \(p' = g \circ p\).

4. Si un conoyau de \(f\) existe, on le note \(y \to \Coker(f)\).

5. Si un noyau de \(f\) existe, alors une coimage de \(f\) est un conoyau du morphisme \(\Ker(f) \to x\).

6. Si un noyau et une coimage existent, on note cette dernière \(x \to \Coim(f)\).

7. Si un conoyau de \(f\) existe, alors l’image de \(f\) est un noyau du morphisme \(y \to \Coker(f)\).

8. Si un conoyau et une image de \(f\) existent, on note cette dernière \(\Im(f) \to y\).

Dans la définition précédente, nous avons parlé du « noyau » et du « conoyau », en utilisant tacitement leur unicité à isomorphisme unique près. Celle-ci découle du lemme de Yoneda (Catégories, section 001L), car le noyau de \(f : x \to y\) représente le foncteur qui envoie un objet \(z\) sur l’ensemble \(\Ker(\Mor_\mathcal{A}(z, x) \to \Mor_\mathcal{A}(z, y))\). Le cas des conoyaux s’en déduit par dualité.

Commençons par relier la somme directe aux noyaux comme suit.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie préadditive. Soit \(x \oplus y\), muni des morphismes \(i, j, p, q\) du lemme 0101, une somme directe dans \(\mathcal{C}\). Alors \(i : x \to x \oplus y\) est un noyau de \(q : x \oplus y \rightarrow y\). Par dualité, \(p\) est un conoyau de \(j\).

Démonstration

Soit \(f : z' \to x \oplus y\) un morphisme tel que \(q \circ f = 0\). Nous devons montrer qu’il existe un unique morphisme \(g : z' \to x\) tel que \(f = i \circ g\). Puisque \(i \circ p + j \circ q\) est l’identité de \(x \oplus y\), on voit que \[f = (i \circ p + j \circ q) \circ f = i \circ p \circ f\] et donc \(g = p \circ f\) convient. L’unicité vient de ce que \(p \circ i\) est l’identité de \(x\). La preuve de la seconde assertion est duale.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie préadditive. Soit \(f : x \to y\) un morphisme de \(\mathcal{C}\).

1. Si un noyau de \(f\) existe, alors ce noyau est un monomorphisme.

2. Si un conoyau de \(f\) existe, alors ce conoyau est un épimorphisme.

3. Si un noyau et une coimage de \(f\) existent, alors la coimage est un épimorphisme.

4. Si un conoyau et une image de \(f\) existent, alors l’image est un monomorphisme.

Démonstration

La partie (1) résulte aisément de l’unicité exigée dans la définition d’un noyau. La preuve de (2) est duale. La partie (3) découle de (2), puisque la coimage est un conoyau. De même, (4) découle de (1).

Lemme

Soit \(f : x \to y\) un morphisme dans une catégorie préadditive tel que le noyau, le conoyau, l’image et la coimage existent tous. Alors \(f\) se factorise de manière unique sous la forme \(x \to \Coim(f) \to \Im(f) \to y\).

Démonstration

Il existe un morphisme canonique \(\Coim(f) \to y\) car \(\Ker(f) \to x \to y\) est nul. La composition \(\Coim(f) \to y \to \Coker(f)\) est nulle, car c’est l’unique morphisme qui donne naissance au morphisme \(x \to y \to \Coker(f)\), lequel est nul (l’unicité découle du lemme 0E43 (3)). Ainsi, \(\Coim(f) \to y\) se factorise de manière unique par \(\Im(f) \to y\), ce qui fournit l’application voulue.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Considérons la catégorie des espaces vectoriels filtrés sur \(k\). (Voir la définition 0121.) Considérons les espaces vectoriels filtrés \((V, F)\) et \((W, F)\) avec \(V = W = k\) et \[F^iV = \left\{ \begin{matrix} V & \text{si} & i < 0 \\ 0 & \text{si} & i \geq 0 \end{matrix} \right. \text{ et } F^iW = \left\{ \begin{matrix} W & \text{si} & i \leq 0 \\ 0 & \text{si} & i > 0 \end{matrix} \right.\] L’application \(f : V \to W\) correspondant à \(\text{id}_k\) sur les espaces vectoriels sous-jacents a un noyau et un conoyau triviaux, mais n’est pas un isomorphisme. Remarquons aussi que \(\Coim(f) = V\) et \(\Im(f) = W\). Cela signifie que la catégorie des espaces vectoriels filtrés sur \(k\) n’est pas abélienne.

Nous terminons cette section par quelques lemmes sur le scindement des images d’endomorphismes idempotents. Rappelons qu’un endomorphisme \(f\) est idempotent si \(f \circ f = f\).

Remarque

Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive, \(x\) un objet de \(\mathcal{A}\), et \(f : x \to x\) un idempotent. En posant \(g = \text{id} _ x - f\), on a \(f \circ g = 0\), \(g \circ f = 0\) et \(g \circ g = g\).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive, \(x\) un objet de \(\mathcal{A}\), et \(f : x \to x\) un idempotent. Posons \(g = \text{id} _ x - f\) et rappelons, d’après la remarque 0H9N, que \(f \circ g = g \circ f = 0\).

1. Si \(f\) a pour noyau \(i : \Ker (f) \to x\) et si \(p\) est l’unique morphisme tel que \(g = i \circ p\), alors \(p \circ i = \text{id} _ {\Ker (f)}\) et \(p\) est le conoyau de \(f\).

2. Si \(f\) a pour conoyau \(p : x \to \Coker (f)\) et si \(i\) est l’unique morphisme tel que \(g = i \circ p\), alors \(p \circ i = \text{id} _ {\Coker (f)}\) et \(i\) est le noyau de \(f\).

3. Si \(g\) a pour noyau \(j : \Ker (g) \to x\) et si \(q\) est l’unique morphisme tel que \(f = j \circ q\), alors \(q \circ j = \text{id} _ {\Ker (g)}\) et \(q\) est le conoyau de \(g\).

4. Si \(g\) a pour conoyau \(q : x \to \Coker (g)\) et si \(j\) est l’unique morphisme tel que \(f = j \circ q\), alors \(q \circ j = \text{id} _ {\Coker (g)}\) et \(j\) est le noyau de \(g\).

Démonstration

Pour (1), calculons d’abord que \(i = (f + g) \circ i = g \circ i\). Par construction de \(p\), cela entraîne \(i \circ p \circ i = g \circ i = i \circ \text{id} _ {\Ker (f)}\). Le lemme 0E43 permet d’en conclure que \(p \circ i = \text{id} _ {\Ker (f)}\).

Il reste à montrer que \(p : x \to \Ker (f)\) satisfait la propriété universelle du conoyau de \(f\), c’est-à-dire que, pour tout morphisme \(a : x \to y\) tel que \(a \circ f = 0\), il existe un unique morphisme \(b : \Ker (f) \to y\) tel que \(a = b \circ p\). Pour l’existence, on calcule d’abord que \(a = a \circ (f + g) = a \circ g\), puis on déduit de la construction de \(p\) que \(a = a \circ g = a \circ i \circ p\) (on peut donc prendre \(b = a \circ i\)). L’unicité résulte de \(b = b \circ p \circ i = a \circ i\) (ainsi \(a\) détermine \(b\)).

Par dualité, par symétrie (c’est-à-dire parce que \(g\) est lui-même idempotent ; cf. remarque 0H9N), et respectivement par dualité et symétrie, (2), (3) et (4) se déduisent comme (1).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive, \(x\) un objet de \(\mathcal{A}\), et \(f : x \to x\) un idempotent. Posons \(g = \text{id} _ x - f\). Si chacun de \(f\) et \(g\) possède au moins un noyau ou un conoyau, et si l’on construit successivement les morphismes \(i , j , p , q\) comme dans l’énoncé du lemme 0H9P, alors les quatre (co)noyaux existent et \[\begin{align*} x & \simeq \Ker (f) \oplus \Ker (g) \\ & \simeq \Coker (f) \oplus \Ker (g) \\ & \simeq \Ker (f) \oplus \Coker (g) \\ & \simeq \Coker (f) \oplus \Coker (g) \end{align*}\] la structure de chaque produit direct étant donnée par \(i , j , p , q\).

Démonstration

D’après le lemme 0H9P, \(p \circ i = \text{id} _ {\Ker (f)} = \text{id} _ {\Coker (f)}\) et \(q \circ j = \text{id} _ {\Ker (g)} = \text{id} _ {\Coker (g)}\). Par construction, \(i \circ p + j \circ q = f + g = \text{id} _ x\). L’assertion résulte de la remarque 0103.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive, \(x\) et \(y\) des objets de \(\mathcal{A}\), et \(j : y \to x\) et \(q : x \to y\) des morphismes vérifiant \(q \circ j = \text{id} _ y\). Alors :

1. \(\text{id} _ x - j \circ q\) a pour noyau \(j\).

2. \(\text{id} _ x - j \circ q\) a pour conoyau \(q\).

Démonstration

Pour (1), calculons d’abord que \((\text{id} _ x - j \circ q) \circ j = 0\). Nous devons montrer que \(j\) satisfait la propriété universelle du noyau de \(\text{id} _ {x} - j \circ q\), c’est-à-dire que, pour tout morphisme \(a : z \to x\) tel que \((\text{id} _ x - j \circ q) \circ a = 0\), il existe un unique morphisme \(b : z \to y\) tel que \(a = j \circ b\). L’existence résulte du calcul \(a = j \circ q \circ a\) (on peut donc prendre \(b = q \circ a\)). L’unicité résulte de \(b = q \circ j \circ b = q \circ a\) (ainsi \(a\) détermine \(b\)).

Par dualité, (2) se déduit comme (1).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive, \(x\) et \(y\) des objets de \(\mathcal{A}\), et \(j : y \to x\) et \(q : x \to y\) des morphismes vérifiant \(q \circ j = \text{id} _ y\). Si \(j \circ q\) possède au moins un noyau ou un conoyau, alors les deux (co)noyaux existent et \[\begin{align*} x & \simeq \Ker (j \circ q) \oplus y \\ & \simeq \Coker (j \circ q) \oplus y \end{align*}\] la structure de chacun des produits directs comprenant \(j , q\) et le morphisme canonique de (co)noyau, la dernière application étant déterminée de manière unique.

Démonstration

Posons \(f = j \circ q\), calculons que \(f \circ f = f\), et appliquons le lemme 0H9Q et le lemme 0H9R.

Catégories karoubiennes

On pourra omettre cette section lors d’une première lecture.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie préadditive. On dit que \(\mathcal{C}\) est karoubienne si tout endomorphisme idempotent d’un objet de \(\mathcal{C}\) possède un noyau.

La notion duale demanderait que tout endomorphisme idempotent d’un objet possède un conoyau. Toutefois, au vu du (dual du) lemme suivant, cette notion serait équivalente.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie préadditive. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{C}\) est karoubienne,

2. tout endomorphisme idempotent d’un objet de \(\mathcal{C}\) possède un conoyau, et

3. pour tout endomorphisme idempotent \(p : z \to z\) de \(\mathcal{C}\), il existe une décomposition en somme directe \(z = x \oplus y\) telle que \(p\) corresponde à la projection sur \(y\).

Démonstration

Cela découle immédiatement des lemmes 0H9P, 0H9Q et 09QG.

Lemme

Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie préadditive.

1. Si \(\mathcal{D}\) possède des produits dénombrables et les noyaux des applications qui admettent un inverse à droite, alors \(\mathcal{D}\) est karoubienne.

2. Si \(\mathcal{D}\) possède des coproduits dénombrables et les conoyaux des applications qui admettent un inverse à gauche, alors \(\mathcal{D}\) est karoubienne.

Démonstration

Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{D}\) et soit \(e : X \to X\) un idempotent. Le foncteur \[W \longmapsto \Ker( \Mor_\mathcal{D}(W, X) \xrightarrow{e} \Mor_\mathcal{D}(W, X) )\] est représentable si et seulement si \(e\) possède un noyau. Remarquons que, pour tout groupe abélien \(A\) et tout endomorphisme idempotent \(e : A \to A\), on a \[\Ker(e : A \to A) = \Ker(\Phi : \prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A \to \prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A )\] où \[\Phi(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (ea_1 + (1 - e)a_2, ea_2 + (1 - e)a_3, \ldots)\] De plus, \(\Phi\) possède l’inverse à droite \[\Psi(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (a_1, (1 - e)a_1 + ea_2, (1 - e)a_2 + ea_3, \ldots).\] Ainsi, (1) est vrai. La preuve de (2) est duale (en utilisant la définition duale d’une catégorie karoubienne, à savoir la condition (2) du lemme 09SH).

Catégories abéliennes

Une catégorie abélienne est une catégorie qui satisfait juste assez d’axiomes pour que le lemme du serpent soit valable. L’un de ces axiomes (parfois oublié) est que l’application canonique \(\Coim(f) \to \Im(f)\) du lemme 0107 soit toujours un isomorphisme. L’exemple 0108 montre que cet axiome est nécessaire.

Définition

Une catégorie \(\mathcal{A}\) est abélienne si elle est additive, si tous les noyaux et conoyaux existent, et si l’application naturelle \(\Coim(f) \to \Im(f)\) est un isomorphisme pour tout morphisme \(f\) de \(\mathcal{A}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive. Les additions sur les ensembles de morphismes munissent \(\mathcal{A}^{opp}\) d’une structure de catégorie préadditive. De plus, \(\mathcal{A}\) est additive si et seulement si \(\mathcal{A}^{opp}\) est additive, et \(\mathcal{A}\) est abélienne si et seulement si \(\mathcal{A}^{opp}\) est abélienne.

Démonstration

La première assertion est immédiate. Pour voir que \(\mathcal{A}\) est additive si et seulement si \(\mathcal{A}^{opp}\) est additive, rappelons que l’additivité peut se caractériser par l’existence d’un objet nul et de sommes directes, qui sont tous deux préservés par passage à la catégorie opposée. Enfin, pour voir que \(\mathcal{A}\) est abélienne si et seulement si \(\mathcal{A}^{opp}\) est abélienne, observons que les noyaux, conoyaux, images et coimages dans \(\mathcal{A}^{opp}\) correspondent respectivement aux conoyaux, noyaux, coimages et images dans \(\mathcal{A}\).

Définition

Soit \(f : x \to y\) un morphisme dans une catégorie abélienne.

1. On dit que \(f\) est injectif si \(\Ker(f) = 0\).

2. On dit que \(f\) est surjectif si \(\Coker(f) = 0\).

Si \(x \to y\) est injectif, on dit que \(x\) est un sous-objet de \(y\) et l’on emploie la notation \(x \subset y\). Si \(x \to y\) est surjectif, on dit que \(y\) est un quotient de \(x\).

Lemme

Soit \(f : x \to y\) un morphisme dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Alors :

1. \(f\) est injectif si et seulement si \(f\) est un monomorphisme,

2. \(f\) est surjectif si et seulement si \(f\) est un épimorphisme, et

3. \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \(f\) est injectif et surjectif.

Démonstration

Prouvons (1). Rappelons que \(\Ker(f)\) est un objet représentant le foncteur qui envoie \(z\) sur \(\Ker(\Mor_\mathcal{A}(z, x) \to \Mor_\mathcal{A}(z, y))\), voir la définition 0106. Ainsi, \(\Ker(f)\) vaut \(0\) si et seulement si \(\Mor_\mathcal{A}(z, x) \to \Mor_\mathcal{A}(z, y)\) est injective pour tout \(z\), si et seulement si \(f\) est un monomorphisme. La preuve de (2) est analogue. Pour prouver (3), remarquons qu’un isomorphisme est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme, ce qui, par (1) et (2), montre que \(f\) est injectif et surjectif. Si \(f\) est à la fois injectif et surjectif, alors \(x = \Coim(f)\) et \(y = \Im(f)\), d’où \(f\) est un isomorphisme.

Dans une catégorie abélienne, si \(x \subset y\) est un sous-objet, on note \[y/x = \Coker(x \to y).\]

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Toutes les limites finies et toutes les colimites finies existent dans \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Pour montrer que les limites finies existent, il suffit de montrer que les produits finis et les égalisateurs existent, voir Catégories, lemme 002O. Les produits finis existent par définition, et l’égalisateur de \(a, b : x \to y\) est le noyau de \(a - b\). L’argument pour les colimites finies est analogue, par dualité.

Exemple

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Les sommes amalgamées et les produits fibrés dans \(\mathcal{A}\) admettent les descriptions simples suivantes :

1. Si \(a : x \to y\), \(b : z \to y\) sont des morphismes de \(\mathcal{A}\), alors on a le produit fibré : \(x \times_y z = \Ker((a, -b) : x \oplus z \to y)\).

2. Si \(a : y \to x\), \(b : y \to z\) sont des morphismes de \(\mathcal{A}\), alors on a la somme amalgamée : \(x \amalg_y z = \Coker((a, -b) : y \to x \oplus z)\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Considérons une suite de morphismes \[\ldots \to x \to y \to z \to \ldots \quad\text{ou}\quad x_1 \to x_2 \to \ldots \to x_n\] dans \(\mathcal{A}\). On dit qu’une telle suite est un complexe si la composition de deux flèches consécutives quelconques (parmi celles représentées) est nulle. Si \(\mathcal{A}\) est abélienne, on dit qu’un complexe du premier type ci-dessus est exact en \(y\) si \(\Im(x \to y) = \Ker(y \to z)\), et qu’un complexe du second type est exact en \(x_i\), où \(1 < i < n\), si \(\Im(x_{i - 1} \to x_i) = \Ker(x_i \to x_{i + 1})\). On dit qu’une suite comme ci-dessus est exacte, ou est une suite exacte, ou est un complexe exact, si c’est un complexe exact en tout objet (dans le premier cas), ou exact en \(x_i\) pour tout \(1 < i < n\) (dans le second cas). Il existe des variantes de ces notions pour les suites de la forme \[\ldots \to x_{-3} \to x_{-2} \to x_{-1} \quad\text{et}\quad x_1 \to x_2 \to x_3 \to \ldots\] Une suite exacte courte est un complexe exact de la forme \[0 \to A \to B \to C \to 0.\]

Dans le lemme suivant, nous supposons que le lecteur sait ce que signifie l’exactitude d’une suite de groupes abéliens.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) un complexe de \(\mathcal{A}\).

1. \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) est exact si et seulement si \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(M_3, N) \to \Hom_\mathcal{A}(M_2, N) \to \Hom_\mathcal{A}(M_1, N)\] est une suite exacte de groupes abéliens pour tout objet \(N\) de \(\mathcal{A}\), et

2. \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\) est exact si et seulement si \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(N, M_1) \to \Hom_\mathcal{A}(N, M_2) \to \Hom_\mathcal{A}(N, M_3)\] est une suite exacte de groupes abéliens pour tout objet \(N\) de \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Omis. Indication : voir Algèbre, lemme 0582.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(i : A \to B\) et \(q : B \to C\) des morphismes de \(\mathcal{A}\) tels que \(0 \to A \to B \to C \to 0\) soit une suite exacte courte. On dit que la suite exacte courte est scindée s’il existe des morphismes \(j : C \to B\) et \(p : B \to A\) tels que \((B, i, j, p, q)\) soit la somme directe de \(A\) et \(C\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(0 \to A \to B \to C \to 0\) une suite exacte courte.

1. Étant donné un morphisme \(s : C \to B\) inverse à droite de \(B \to C\), il existe un unique \(\pi : B \to A\) tel que \((s, \pi)\) scinde la suite exacte courte au sens de la définition 010F.

2. Étant donné un morphisme \(\pi : B \to A\) inverse à gauche de \(A \to B\), il existe un unique \(s : C \to B\) tel que \((s, \pi)\) scinde la suite exacte courte au sens de la définition 010F.

Démonstration

C’est un corollaire immédiat du lemme 0H9S.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ w\ar[r]^f\ar[d]_g & y\ar[d]^h\\ x\ar[r]^k & z }\] un diagramme commutatif.

1. Le diagramme est cartésien si et seulement si \[0 \to w \xrightarrow{(g, f)} x \oplus y \xrightarrow{(k, -h)} z\] est exact.

2. Le diagramme est cocartésien si et seulement si \[w \xrightarrow{(g, -f)} x \oplus y \xrightarrow{(k, h)} z \to 0\] est exact.

Démonstration

Posons \(u = (g, f) : w \to x \oplus y\) et \(v = (k, -h) : x \oplus y \to z\). Soient \(p : x \oplus y \to x\) et \(q : x \oplus y \to y\) les projections canoniques. Soit \(i : \Ker(v) \to x \oplus y\) l’injection canonique. D’après l’exemple 05PJ, le diagramme est cartésien si et seulement s’il existe un isomorphisme \(r : \Ker(v) \to w\) tel que \(f \circ r = q \circ i\) et \(g \circ r = p \circ i\). La suite \(0 \to w \overset{u} \to x \oplus y \overset{v} \to z\) est exacte si et seulement s’il existe un isomorphisme \(r : \Ker(v) \to w\) tel que \(u \circ r = i\). Or, étant donné \(r : \Ker(v) \to w\), on a \(f \circ r = q \circ i\) et \(g \circ r = p \circ i\) si et seulement si \(q \circ u \circ r= f \circ r = q \circ i\) et \(p \circ u \circ r = g \circ r = p \circ i\), donc si et seulement si \(u \circ r = i\). Cela prouve (1), puis (2) en découle par dualité.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ w\ar[r]^f\ar[d]_g & y\ar[d]^h\\ x\ar[r]^k & z }\] un diagramme commutatif.

1. Si le diagramme est cartésien, alors le morphisme \(\Ker(f)\to\Ker(k)\) induit par \(g\) est un isomorphisme.

2. Si le diagramme est cocartésien, alors le morphisme \(\Coker(f)\to\Coker(k)\) induit par \(h\) est un isomorphisme.

Démonstration

Supposons le diagramme cartésien. Soit \(e:\Ker(f)\to\Ker(k)\) induit par \(g\). Soient \(i:\Ker(f)\to w\) et \(j:\Ker(k)\to x\) les injections canoniques. Il existe \(t:\Ker(k)\to w\) tel que \(f\circ t=0\) et \(g\circ t=j\). Il existe donc \(u:\Ker(k)\to\Ker(f)\) tel que \(i\circ u=t\). Il s’ensuit que \(g\circ i\circ u\circ e=g\circ t\circ e=j\circ e=g\circ i\) et \(f\circ i\circ u\circ e=0=f\circ i\), donc \(i\circ u\circ e=i\). Comme \(i\) est un monomorphisme, ceci implique \(u\circ e=\text{id}_{\Ker(f)}\). De plus, on a \(j\circ e\circ u=g\circ i\circ u=g\circ t=j\). Comme \(j\) est un monomorphisme, ceci implique \(e\circ u=\text{id}_{\Ker(k)}\). Cela prouve (1). L’assertion (2) en découle par dualité.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ w\ar[r]^f\ar[d]_g & y\ar[d]^h\\ x\ar[r]^k & z }\] un diagramme commutatif.

1. Si le diagramme est cartésien et si \(k\) est un épimorphisme, alors le diagramme est cocartésien et \(f\) est un épimorphisme.

2. Si le diagramme est cocartésien et si \(g\) est un monomorphisme, alors le diagramme est cartésien et \(h\) est un monomorphisme.

Démonstration

Supposons le diagramme cartésien et \(k\) épimorphique. Soit \(u = (g, f) : w \to x \oplus y\) et soit \(v = (k, -h) : x \oplus y \to z\). Comme \(k\) est un épimorphisme, \(v\) en est un également. Par conséquent, et d’après le lemme 08N2, la suite \(0\to w\overset{u}\to x\oplus y\overset{v}\to z\to 0\) est exacte. Le diagramme est donc cocartésien par le lemme 08N2. Enfin, \(f\) est un épimorphisme d’après le lemme 08N3 et le lemme 010C. Cela prouve (1), et (2) en découle par dualité.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Si \(x \to y\) est surjectif, alors, pour tout \(z \to y\), la projection \(x \times_y z \to z\) est surjective.

2. Si \(x \to y\) est injectif, alors, pour tout \(x \to z\), le morphisme \(z \to z \amalg_x y\) est injectif.

Démonstration

Cela découle immédiatement du lemme 010C et du lemme 08N4.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(f:x\to y\) et \(g:y\to z\) des morphismes tels que \(g\circ f=0\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. La suite \(x\overset{f}\to y\overset{g}\to z\) est exacte.

2. Pour tout \(h:w\to y\) tel que \(g\circ h=0\), il existe un objet \(v\), un épimorphisme \(k:v\to w\) et un morphisme \(l:v\to x\) tels que \(h\circ k=f\circ l\).

Démonstration

Soit \(i:\Ker(g)\to y\) l’injection canonique. Soit \(p:x\to\Coim(f)\) la projection canonique. Soit \(j:\Im(f)\to\Ker(g)\) l’injection canonique.

Supposons (1). Soit \(h:w\to y\) tel que \(g\circ h=0\). Il existe \(c:w\to\Ker(g)\) tel que \(i\circ c=h\). Soit \(v=x\times_{\Ker(g)}w\), avec projections canoniques \(k:v\to w\) et \(l:v\to x\), de sorte que \(c\circ k=j\circ p\circ l\). Alors \(h\circ k=i\circ c\circ k=i\circ j\circ p\circ l=f\circ l\). Comme \(j\circ p\) est un épimorphisme par hypothèse, \(k\) est un épimorphisme d’après le lemme 08N4. Cela implique (2).

Supposons (2). Alors \(g\circ i=0\). Il existe donc un objet \(w\), un épimorphisme \(k:w\to\Ker(g)\) et un morphisme \(l:w\to x\) tels que \(f\circ l=i\circ k\). Il s’ensuit que \(i\circ j\circ p\circ l=f\circ l=i\circ k\). Comme \(i\) est un monomorphisme, on voit que \(j\circ p\circ l=k\) est un épimorphisme. Ainsi, \(j\) est un épimorphisme, donc un isomorphisme. Cela implique (1).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ x \ar[r]^f \ar[d]^\alpha & y \ar[r]^g \ar[d]^\beta & z \ar[d]^\gamma\\ u \ar[r]^k & v \ar[r]^l & w }\] un diagramme commutatif.

1. Si la première ligne est exacte et si \(k\) est un monomorphisme, alors la suite induite \(\Ker(\alpha) \to \Ker(\beta) \to \Ker(\gamma)\) est exacte.

2. Si la seconde ligne est exacte et si \(g\) est un épimorphisme, alors la suite induite \(\Coker(\alpha) \to \Coker(\beta) \to \Coker(\gamma)\) est exacte.

Démonstration

Supposons la première ligne exacte et \(k\) monomorphique. Soient \(a:\Ker(\alpha)\to\Ker(\beta)\) et \(b:\Ker(\beta)\to\Ker(\gamma)\) les morphismes induits. Soient \(h:\Ker(\alpha)\to x\), \(i:\Ker(\beta)\to y\) et \(j:\Ker(\gamma)\to z\) les injections canoniques. Comme \(j\) est un monomorphisme, on a \(b\circ a=0\). Soit \(c:s\to\Ker(\beta)\) tel que \(b\circ c=0\). Alors \(g\circ i\circ c=j\circ b\circ c=0\). D’après le lemme 08N5, il existe un objet \(t\), un épimorphisme \(d:t\to s\) et un morphisme \(e:t\to x\) tels que \(i\circ c\circ d=f\circ e\). Alors \(k\circ \alpha\circ e=\beta\circ f\circ e=\beta\circ i\circ c\circ d=0\). Comme \(k\) est un monomorphisme, on obtient \(\alpha\circ e=0\). Il existe donc \(m:t\to\Ker(\alpha)\) tel que \(h\circ m=e\). Il s’ensuit que \(i\circ a\circ m=f\circ h\circ m=f\circ e=i\circ c\circ d\). Comme \(i\) est un monomorphisme, on obtient \(a\circ m=c\circ d\). Ainsi, le lemme 08N5 implique (1), puis (2) en découle par dualité.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ & x \ar[r]^f \ar[d]^\alpha & y \ar[r]^g \ar[d]^\beta & z \ar[r] \ar[d]^\gamma & 0 \\ 0 \ar[r] & u \ar[r]^k & v \ar[r]^l & w }\] un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes.

1. Il existe un unique morphisme \(\delta : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ y \ar[d]_\beta & y \times_z \Ker(\gamma) \ar[l]_{\pi'} \ar[r]^{\pi} & \Ker(\gamma) \ar[d]^\delta \\ v \ar[r]^{\iota'} & \Coker(\alpha) \amalg_u v & \Coker(\alpha) \ar[l]_\iota }\] soit commutatif, où \(\pi\) et \(\pi'\) sont les projections canoniques, et \(\iota\) et \(\iota'\) les coprojections canoniques.

2. La suite induite \[\Ker(\alpha) \xrightarrow{f'} \Ker(\beta) \xrightarrow{g'} \Ker(\gamma) \xrightarrow{\delta} \Coker(\alpha) \xrightarrow{k'} \Coker(\beta) \xrightarrow{l'} \Coker(\gamma)\] est exacte. Si \(f\) est injectif, alors \(f'\) l’est aussi, et si \(l\) est surjectif, alors \(l'\) l’est aussi.

Démonstration

Comme \(\pi\) est un épimorphisme et \(\iota\) un monomorphisme d’après le lemme 08N4, l’unicité de \(\delta\) est claire. Posons \(p = y \times_z \Ker(\gamma)\) et \(q = \Coker(\alpha) \amalg_u v\). Soient \(h : \Ker(\beta) \to y\), \(i : \Ker(\gamma) \to z\) et \(j : \Ker(\pi) \to p\) les injections canoniques. Soit \(\pi'' : u \to \Coker(\alpha)\) la projection canonique. En gardant à l’esprit le lemme 08N4, on obtient le diagramme commutatif à lignes exactes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(\pi) \ar[r]^j & p \ar[r]^{\pi} \ar[d]_{\pi'} & \Ker(\gamma) \ar[d]_i \ar[r] & 0 \\ & x \ar[r]^f \ar[d]_\alpha & y \ar[r]^g \ar[d]_\beta & z \ar[d]_\gamma \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & u \ar[r]^k \ar[d]_{\pi''} & v \ar[r]^l \ar[d]_{\iota'} & w & \\ 0 \ar[r] & \Coker(\alpha) \ar[r]^\iota & q & & }\] Comme \(l \circ \beta \circ \pi' = \gamma \circ i \circ \pi = 0\) et que la troisième ligne du diagramme ci-dessus est exacte, il existe \(a : p \to u\) tel que \(k \circ a = \beta \circ \pi'\). Comme le quadrilatère supérieur droit du diagramme ci-dessus est cartésien, le lemme 08N3 fournit un épimorphisme \(b : x \to \Ker(\pi)\) tel que \(\pi' \circ j \circ b = f\). Il s’ensuit que \(k \circ a \circ j \circ b = \beta \circ \pi' \circ j \circ b = \beta \circ f = k \circ \alpha\). Comme \(k\) est un monomorphisme, ceci implique \(a \circ j \circ b = \alpha\). Il s’ensuit que \(\pi'' \circ a \circ j \circ b = \pi'' \circ \alpha = 0\). Comme \(b\) est un épimorphisme, ceci implique \(\pi'' \circ a \circ j = 0\). Par conséquent, puisque la ligne supérieure du diagramme ci-dessus est exacte, il existe \(\delta : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\) tel que \(\delta \circ \pi = \pi'' \circ a\). Il s’ensuit que \(\iota \circ \delta \circ \pi = \iota \circ \pi'' \circ a = \iota' \circ k \circ a = \iota' \circ \beta \circ \pi'\), comme souhaité.

Comme le quadrilatère supérieur droit du diagramme ci-dessus est cartésien, il existe \(c : \Ker(\beta) \to p\) tel que \(\pi' \circ c = h\) et \(\pi \circ c = g'\). Il s’ensuit que \(\iota \circ \delta \circ g' = \iota \circ \delta \circ \pi \circ c = \iota' \circ \beta \circ \pi' \circ c = \iota' \circ \beta \circ h = 0\). Comme \(\iota\) est un monomorphisme, ceci implique \(\delta \circ g' = 0\).

Soit ensuite \(d : r \to \Ker(\gamma)\) tel que \(\delta \circ d = 0\). L’application du lemme 08N5 à la suite exacte \(p \xrightarrow{\pi} \Ker(\gamma) \to 0\) et à \(d\) fournit un objet \(s\), un épimorphisme \(m : s \to r\) et un morphisme \(n : s \to p\) tels que \(\pi \circ n = d \circ m\). Comme \(\pi'' \circ a \circ n = \delta \circ d \circ m = 0\), l’application du lemme 08N5 à la suite exacte \(x \xrightarrow{\alpha} u \xrightarrow{p} \Coker(\alpha)\) et à \(a \circ n\) fournit un objet \(t\), un épimorphisme \(\varepsilon : t \to s\) et un morphisme \(\zeta : t \to x\) tels que \(a \circ n \circ \varepsilon = \alpha \circ \zeta\). On a \(\beta \circ \pi' \circ n \circ \varepsilon = k \circ \alpha \circ \zeta = \beta \circ f \circ \zeta\). Posons \(\eta = \pi' \circ n \circ \varepsilon - f \circ \zeta : t \to y\). Alors, \(\beta \circ \eta = 0\). Il existe donc \(\vartheta : t \to \Ker(\beta)\) tel que \(\eta = h \circ \vartheta\). On a \(i \circ g' \circ \vartheta = g \circ h \circ \vartheta = g \circ \pi' \circ n \circ \varepsilon - g \circ f \circ \zeta = i \circ \pi \circ n \circ \varepsilon = i \circ d \circ m \circ \varepsilon\). Comme \(i\) est un monomorphisme, on obtient \(g' \circ \vartheta = d \circ m \circ \varepsilon\). Ainsi, puisque \(m \circ \varepsilon\) est un épimorphisme, le lemme 08N5 implique que \(\Ker(\beta) \xrightarrow{g'} \Ker(\gamma) \xrightarrow{\delta} \Coker(\alpha)\) est exacte. L’assertion découle alors du lemme 08N6 et de la dualité.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ & & & x\ar[ld]\ar[rr]\ar[dd]^(.4)\alpha & & y\ar[ld]\ar[rr]\ar[dd]^(.4)\beta & & z\ar[ld]\ar[rr]\ar[dd]^(.4)\gamma & & 0\\ & & x'\ar[rr]\ar[dd]^(.4){\alpha'} & & y'\ar[rr]\ar[dd]^(.4){\beta'} & & z'\ar[rr]\ar[dd]^(.4){\gamma'} & & 0 & \\ & 0\ar[rr] & & u\ar[ld]\ar[rr] & & v\ar[ld]\ar[rr] & & w\ar[ld] & & \\ 0\ar[rr] & & u'\ar[rr] & & v'\ar[rr] & & w' & & & }\] un diagramme commutatif à lignes exactes. Alors le diagramme induit \[\xymatrix@C=15pt{ \Ker(\alpha) \ar[r] \ar[d] & \Ker(\beta) \ar[r] \ar[d] & \Ker(\gamma) \ar[r]^(.45){\delta} \ar[d] & \Coker(\alpha) \ar[r] \ar[d] & \Coker(\beta) \ar[r] \ar[d] & \Coker(\gamma) \ar[d] \\ \Ker(\alpha') \ar[r] & \Ker(\beta') \ar[r] & \Ker(\gamma') \ar[r]^(.45){\delta'} & \Coker(\alpha') \ar[r] & \Coker(\beta') \ar[r] & \Coker(\gamma') }\] est commutatif.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ w \ar[r] \ar[d]^\alpha & x \ar[r] \ar[d]^\beta & y \ar[r] \ar[d]^\gamma & z \ar[d]^\delta \\ w' \ar[r] & x' \ar[r] & y' \ar[r] & z' }\] un diagramme commutatif à lignes exactes.

1. Si \(\alpha, \gamma\) sont surjectifs et \(\delta\) injectif, alors \(\beta\) est surjectif.

2. Si \(\beta, \delta\) sont injectifs et \(\alpha\) surjectif, alors \(\gamma\) est injectif.

Démonstration

Supposons \(\alpha, \gamma\) surjectifs et \(\delta\) injectif. On peut remplacer \(w'\) par \(\Im(w' \to x')\), c’est-à-dire supposer que \(w' \to x'\) est injectif. On peut remplacer \(z\) par \(\Im(y \to z)\), c’est-à-dire supposer que \(y \to z\) est surjectif. On peut alors appliquer le lemme 010H à \[\xymatrix{ & \Ker(y \to z) \ar[r] \ar[d] & y \ar[r] \ar[d] & z \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Ker(y' \to z') \ar[r] & y' \ar[r] & z' }\] pour conclure que \(\Ker(y \to z) \to \Ker(y' \to z')\) est surjectif. Enfin, on applique le lemme 010H à \[\xymatrix{ & w \ar[r] \ar[d] & x \ar[r] \ar[d] & \Ker(y \to z) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & w' \ar[r] & x' \ar[r] & \Ker(y' \to z') }\] pour conclure que \(x \to x'\) est surjectif. Cela prouve (1). La preuve de (2) est duale.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ v \ar[r] \ar[d]^\alpha & w \ar[r] \ar[d]^\beta & x \ar[r] \ar[d]^\gamma & y \ar[r] \ar[d]^\delta & z \ar[d]^\epsilon \\ v' \ar[r] & w' \ar[r] & x' \ar[r] & y' \ar[r] & z' }\] un diagramme commutatif à lignes exactes. Si \(\beta, \delta\) sont des isomorphismes, si \(\epsilon\) est injectif et si \(\alpha\) est surjectif, alors \(\gamma\) est un isomorphisme.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du lemme 05QA.

Extensions

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\). Une extension \(E\) de \(B\) par \(A\) est une suite exacte courte \[0 \to A \to E \to B \to 0.\] Un morphisme d’extensions entre deux extensions \(0 \to A \to E \to B \to 0\) et \(0 \to A \to F \to B \to 0\) désigne un morphisme \(f : E \to F\) dans \(\mathcal{A}\) qui rend le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & E \ar[r] \ar[d]^f & B \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & F \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] commutatif. Ainsi, les extensions de \(B\) par \(A\) forment une catégorie.

Par abus de langage, nous omettons souvent de mentionner les morphismes \(A \to E\) et \(E \to B\), bien qu’ils fassent assurément partie de la structure d’une extension.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\). L’ensemble des classes d’isomorphisme d’extensions de \(B\) par \(A\) se note \[\Ext_\mathcal{A}(B, A).\] On l’appelle le groupe \(\Ext\).

Cette définition est valide car, selon nos conventions, \(\Ob(\mathcal{A})\) est un ensemble, et donc \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) est un ensemble. Dans chacun des cas de « grandes » catégories abéliennes énumérés dans Catégories, remarque 0015, on peut aussi vérifier directement que \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) est un ensemble. Nous verrons en outre plus loin que c’est toujours le cas lorsque \(\mathcal{A}\) a suffisamment de projectifs ou suffisamment d’injectifs. Insérer ici une référence ultérieure.

En fait, on peut munir \(\Ext_\mathcal{A}(-, -)\) d’une structure de foncteur \[\mathcal{A} \times \mathcal{A}^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad (A, B) \longmapsto \Ext_\mathcal{A}(B, A)\] comme suit :

1. Étant donnés un morphisme \(B' \to B\) et une extension \(E\) de \(B\) par \(A\), on définit \(E' = E \times_B B'\). D’après le lemme 08N3, on a le diagramme commutatif suivant de suites exactes courtes : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d] & E' \ar[r] \ar[d] & B' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] L’extension \(E'\) est appelée l’image réciproque de \(E\) par \(B' \to B\).

2. Étant donnés un morphisme \(A \to A'\) et une extension \(E\) de \(B\) par \(A\), on définit \(E' = A' \amalg_A E\). D’après le lemme 08N4, on a le diagramme commutatif suivant de suites exactes courtes : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d] & E \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] L’extension \(E'\) est appelée l’image directe de \(E\) par \(A \to A'\).

Pour voir que cela définit bien le foncteur indiqué ci-dessus, il faut vérifier plusieurs choses. Tout d’abord, la fonctorialité en la variable \(B\) exige que \((E \times_B B') \times_{B'} B'' = E \times_B B''\), ce qui est une propriété générale des produits fibrés. Par dualité, on traite la fonctorialité en la variable \(A\). Enfin, étant donnés \(A \to A'\) et \(B' \to B\), il faut montrer que \[A' \amalg_A (E \times_B B') \cong (A' \amalg_A E)\times_B B'\] comme extensions de \(B'\) par \(A'\). Rappelons que \(A' \amalg_A E\) est un quotient de \(A' \oplus E\). Le membre de droite est donc un quotient de \(A' \oplus E \times_B B'\), et l’on vérifie immédiatement que le noyau est précisément celui qu’il faut pour obtenir le membre de gauche.

Remarquons que si \(E_1\) et \(E_2\) sont des extensions de \(B\) par \(A\), alors \(E_1\oplus E_2\) est une extension de \(B \oplus B\) par \(A\oplus A\). On prend l’image directe par l’application somme \(A \oplus A \to A\), puis l’image réciproque par l’application diagonale \(B \to B \oplus B\), pour obtenir une extension \(E_1 + E_2\) de \(B\) par \(A\). \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \oplus A \ar[r] \ar[d]_\Sigma & E_1 \oplus E_2 \ar[r] \ar[d] & B \oplus B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & E' \ar[r] & B \oplus B \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[u] & E_1 + E_2 \ar[r] \ar[u] & B \ar[r] \ar[u]^\Delta & 0 }\] L’extension \(E_1 + E_2\) est appelée la somme de Baer des extensions données.

Lemme

La construction \((E_1, E_2) \mapsto E_1 + E_2\) ci-dessus définit une loi de groupe commutative sur \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\), fonctorielle en les deux variables.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) une suite exacte courte dans \(\mathcal{A}\).

1. Il existe une suite exacte canonique à six termes de groupes abéliens \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(M_3, N) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(M_2, N) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(M_1, N) \ar[lld] \\ & \Ext_\mathcal{A}(M_3, N) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(M_2, N) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(M_1, N) }\] pour tout objet \(N\) de \(\mathcal{A}\), et

2. il existe une suite exacte canonique à six termes de groupes abéliens \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(N, M_1) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(N, M_2) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(N, M_3) \ar[lld] \\ & \Ext_\mathcal{A}(N, M_1) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(N, M_2) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(N, M_3) }\] pour tout objet \(N\) de \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Omis. Indication : les morphismes de bord sont définis en utilisant soit l’image directe, soit l’image réciproque de la suite exacte courte donnée.

Foncteurs additifs

Commençons par un lemme tout à fait élémentaire qui caractérise les foncteurs additifs entre catégories additives.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories additives. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F\) est additif,

2. \(F(A) \oplus F(B) \to F(A \oplus B)\) est un isomorphisme pour tous \(A, B \in \mathcal{A}\), et

3. \(F(A \oplus B) \to F(A) \oplus F(B)\) est un isomorphisme pour tous \(A, B \in \mathcal{A}\).

Démonstration

Les foncteurs additifs commutent aux sommes directes d’après le lemme 0105 ; ainsi (1) implique (2) et (3). Si (2) est vrai et si \(0\) désigne l’objet nul de \(\mathcal{A}\), alors le fait que l’application \(F(0) \oplus F(0) \to F(0 \oplus 0) \cong F(0)\) soit un isomorphisme implique que l’application diagonale \(\Hom(F(0), C) \to \Hom(F(0), C) \oplus \Hom(F(0), C)\) est bijective pour tout \(C\) dans \(\mathcal{B}\). Ainsi, \(F(0)\) est l’objet nul de \(\mathcal{B}\) et \(F\) envoie le morphisme nul entre deux objets quelconques sur le morphisme nul. On obtient de même cette conclusion si (3) est vrai. Il s’ensuit que (2) et (3) sont équivalents, car la composition \(F(A) \oplus F(B) \to F(A \oplus B) \to F(A) \oplus F(B)\) est donnée par la matrice \[\left( \begin{matrix} F(1) & F(0) \\ F(0) & F(1) \end{matrix} \right)\] et est donc l’application identité. Supposons (2) et (3) vraies. Soient \(f, g : A \to B\) des applications. Alors \(f + g\) est égal à la composition \[A \to A \oplus A \xrightarrow{\text{diag}(f, g)} B \oplus B \to B\] Appliquons le foncteur \(F\) et considérons le diagramme suivant : \[\xymatrix{ F(A) \ar[r] \ar[rd] & F(A \oplus A) \ar[rr]_{F(\text{diag}(f, g))} & & F(B \oplus B) \ar[r] \ar[d] & F(B) \\ & F(A) \oplus F(A) \ar[u] \ar[rr]^{\text{diag}(F(f), F(g))} & & F(B) \oplus F(B) \ar[ru] }\] Affirmons qu’il est commutatif. Pour le carré central, on peut le vérifier séparément pour chacune des quatre applications induites \(F(A) \to F(B)\) ; cela résulte du fait que \(F\) est un foncteur et qu’il transforme les morphismes nuls en morphismes nuls. Pour le triangle de gauche, on utilise que \(F(A \oplus A) \to F(A) \oplus F(A)\) est un isomorphisme : il suffit donc d’effectuer la vérification après composition avec cette application, et cette vérification est immédiate. Par dualité, il en va de même de l’autre triangle. Ainsi, le chemin inférieur est égal à \(F(f + g)\), ce qui permet de conclure.

Rappelons que nous avons défini, dans Catégories, définition 0034, les notions de foncteur « exact à droite », « exact à gauche » et « exact » dans le cadre d’un foncteur entre catégories possédant les (co)limites finies. Cela s’applique donc en particulier aux foncteurs entre catégories abéliennes.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur.

1. Si \(F\) est exact à gauche ou exact à droite, alors il est additif.

2. \(F\) est exact à gauche si et seulement si, pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\), la suite \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) est exacte.

3. \(F\) est exact à droite si et seulement si, pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\), la suite \(F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\) est exacte.

4. \(F\) est exact si et seulement si, pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\), la suite \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\) est exacte.

Démonstration

Si \(F\) est exact à gauche, c’est-à-dire si \(F\) commute aux limites finies, alors \(F\) envoie les produits sur les produits, donc \(F\) préserve les sommes directes, et \(F\) est donc additif d’après le lemme 0DLP. D’autre part, supposons que, pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\), la suite \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) soit exacte. Soient \(A, B\) deux objets. On a alors une suite exacte courte \[0 \to A \to A \oplus B \to B \to 0\] voir par exemple le lemme 09QG. Par hypothèse, la ligne inférieure du diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F(A) \ar[d] \ar[r] & F(A) \oplus F(B) \ar[r] \ar[d] & F(B) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & F(A) \ar[r] & F(A \oplus B) \ar[r] & F(B) }\] est exacte. Le lemme du serpent (lemme 010H) permet donc de conclure que \(F(A) \oplus F(B) \to F(A \oplus B)\) est un isomorphisme. Ainsi, \(F\) est également additif dans ce cas. Dans la suite de la preuve, on peut donc supposer \(F\) additif.

Notons \(f : B \to C\) une application de \(B\) vers \(C\). L’exactitude de \(0 \to A \to B \to C\) signifie précisément que \(A = \Ker(f)\). Il est clair que le noyau de \(f\) est l’égalisateur des deux applications \(f\) et \(0\) de \(B\) vers \(C\). Ainsi, si \(F\) commute aux limites, alors \(F(\Ker(f)) = \Ker(F(f))\), ce qui signifie exactement que \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) est exacte.

Réciproquement, supposons que \(F\) soit additif et transforme toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\) en une suite exacte \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\). Puisqu’il est additif, il commute aux sommes directes, et donc aux produits finis dans \(\mathcal{A}\). Pour montrer qu’il commute aux limites finies, il suffit donc de montrer qu’il commute aux égalisateurs. Or, dans une catégorie abélienne, les égalisateurs sont les noyaux des applications différences ; il suffit donc de montrer que \(F\) commute à la prise de noyaux. Soit \(f : A \to B\) un morphisme. Factorisons \(f\) sous la forme \(A \to I \to B\), avec \(f' : A \to I\) surjectif et \(i : I \to B\) injectif. (Cela est possible par la définition d’une catégorie abélienne.) Il est alors clair que \(\Ker(f) = \Ker(f')\). De plus, \(0 \to \Ker(f') \to A \to I \to 0\) et \(0 \to I \to B \to B/I \to 0\) sont des suites exactes courtes. La condition imposée à \(F\) montre que \(0 \to F(\Ker(f')) \to F(A) \to F(I)\) et \(0 \to F(I) \to F(B) \to F(B/I)\) sont exactes. Par conséquent, \(F(\Ker(f'))\) est aussi le noyau de l’application \(F(A) \to F(B)\), ce qui conclut la preuve.

La preuve de (3) est analogue à celle de (2). L’assertion (4) combine (2) et (3).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact. Pour toute paire d’objets \(A, B\) de \(\mathcal{A}\), le foncteur \(F\) induit un homomorphisme de groupes abéliens \[\Ext_\mathcal{A}(B, A) \longrightarrow \Ext_\mathcal{B}(F(B), F(A))\] qui envoie l’extension \(E\) sur \(F(E)\).

Démonstration

Omis.

Le lemme suivant est utilisé pour montrer que la catégorie des faisceaux abéliens sur un site est abélienne, le foncteur \(b\) étant la faisceautisation.

Lemme

Soient \(a : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(b : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs. Supposons que :

1. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) soient des catégories additives, \(a\), \(b\) des foncteurs additifs, et \(a\) un adjoint à droite de \(b\),

2. \(\mathcal{B}\) soit abélienne et \(b\) exact à gauche, et

3. \(ba \cong \text{id}_\mathcal{A}\).

Alors \(\mathcal{A}\) est abélienne.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{B}\) est abélienne, toutes les limites et colimites finies existent dans \(\mathcal{B}\) d’après le lemme 010D. Comme \(b\) est un adjoint à gauche, \(b\) est aussi exact à droite, et donc exact, voir Catégories, lemme 0039. Soit \(\varphi : B_1 \to B_2\) un morphisme de \(\mathcal{B}\). En particulier, si \(K = \Ker(B_1 \to B_2)\), alors \(K\) est l’égalisateur de \(0\) et \(\varphi\) ; par conséquent, \(bK\) est l’égalisateur de \(0\) et \(b\varphi\), et donc \(bK\) est le noyau de \(b\varphi\). De même, si \(Q = \Coker(B_1 \to B_2)\), alors \(Q\) est le coégalisateur de \(0\) et \(\varphi\) ; par conséquent, \(bQ\) est le coégalisateur de \(0\) et \(b\varphi\), et donc \(bQ\) est le conoyau de \(b\varphi\). On voit ainsi que tout morphisme de la forme \(b\varphi\) dans \(\mathcal{A}\) possède un noyau et un conoyau. Or, puisque \(ba \cong \text{id}\), tout morphisme de \(\mathcal{A}\) est de cette forme ; on conclut donc que les noyaux et les conoyaux existent dans \(\mathcal{A}\). En fait, l’argument montre que, si \(\psi : A_1 \to A_2\) est un morphisme, alors \[\Ker(\psi) = b\Ker(a\psi), \quad\text{et}\quad \Coker(\psi) = b\Coker(a\psi).\] Il reste à montrer que \(\Coim(\psi)= \Im(\psi)\). Procédons comme suit. Remarquons d’abord que, puisque \(\mathcal{A}\) possède des noyaux et des conoyaux, elle possède toutes les limites et colimites finies (voir la preuve du lemme 010D). On voit donc, par Catégories, lemme 0039, que \(a\) est exact à gauche et transforme par conséquent les noyaux (= égalisateurs) en noyaux. \[\begin{align*} \Coim(\psi) & = \Coker(\Ker(\psi) \to A_1) & \text{par définition} \\ & = b\Coker(a(\Ker(\psi) \to A_1)) & \text{par la formule ci-dessus} \\ & = b\Coker(\Ker(a\psi) \to aA_1)) & a\text{ préserve les noyaux} \\ & = b\Coim(a\psi) & \text{par définition} \\ & = b\Im(a\psi) & \mathcal{B}\text{ est abélienne} \\ & = b\Ker(aA_2 \to \Coker(a\psi)) & \text{par définition} \\ & = \Ker(baA_2 \to b\Coker(a\psi)) & b\text{ préserve les noyaux} \\ & = \Ker(A_2 \to b\Coker(a\psi)) & ba = \text{id}_\mathcal{A} \\ & = \Ker(A_2 \to \Coker(\psi)) & \text{par la formule ci-dessus} \\ & = \Im(\psi) & \text{par définition} \end{align*}\] Le lemme est donc démontré.

Localisation

Dans cette section, nous relevons comment la localisation de Gabriel-Zisman interagit avec la structure additive d’une catégorie.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie préadditive. Soit \(S\) un système multiplicatif à gauche ou à droite. Il existe une unique structure préadditive sur \(S^{-1}\mathcal{C}\) telle que le foncteur de localisation \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) soit additif.

Démonstration

Nous allons le démontrer lorsque \(S\) est un système multiplicatif à gauche. Le cas où \(S\) est un système multiplicatif à droite est dual. Supposons que \(X, Y\) soient des objets de \(\mathcal{C}\) et que \(\alpha, \beta : X \to Y\) soient des morphismes de \(S^{-1}\mathcal{C}\). D’après Catégories, lemme 04VE, on peut les représenter par des paires \(s^{-1}f, s^{-1}g\) de dénominateur commun \(s\). Supposons que \(S^{-1}\mathcal{C}\) soit muni d’une structure préadditive et que \(Q\) soit additif. Alors \[\begin{align*} s^{-1}f+s^{-1}g &=Q(s)^{-1}\circ Q(f)+Q(s)^{-1}\circ Q(g)\\ &=Q(s)^{-1}\circ(Q(f)+Q(g))\\ &=Q(s)^{-1}\circ Q(f+g)\\ &=s^{-1}(f+g). \end{align*}\] Ainsi, si la structure préadditive sur \(S^{-1}\mathcal{C}\) existe, elle est unique. En conséquence, on définit \(\alpha + \beta\) comme la classe d’équivalence de \(s^{-1}(f + g)\) ; dans la suite de la preuve, on montre que cette définition ne dépend pas des choix et que la composition est bilinéaire. Une fois cela établi, il est clair que \(Q\) est un foncteur additif.

Montrons que la construction ci-dessus ne dépend pas des choix. Une manière abstraite de l’exprimer est de dire que les colimites filtrantes de groupes abéliens coïncident avec les colimites filtrantes d’ensembles, puis d’utiliser Catégories, équation (05Q1). On peut détailler quelque peu cet argument comme suit. Soient \(s : Y \to Y_1\) et \(f, g : X \to Y_1\). Supposons disposer d’une seconde représentation de \(\alpha, \beta\) sous la forme \((s')^{-1}f', (s')^{-1}g'\), avec \(s' : Y \to Y_2\) et \(f', g' : X \to Y_2\). D’après Catégories, remarque 05Q0, on peut trouver un morphisme \(s_3 : Y \to Y_3\) et des morphismes \(a_1 : Y_1 \to Y_3\), \(a_2 : Y_2 \to Y_3\) tels que \(a_1 \circ s = s_3 = a_2 \circ s'\) et aussi \(a_1 \circ f = a_2 \circ f'\) et \(a_1 \circ g = a_2 \circ g'\). On voit ainsi que \(s^{-1}(f + g)\) est équivalent à \[\begin{align*} s_3^{-1}(a_1 \circ (f + g)) & = s_3^{-1}(a_1 \circ f + a_1 \circ g) \\ & = s_3^{-1}(a_2 \circ f' + a_2 \circ g') \\ & = s_3^{-1}(a_2 \circ (f' + g')) \end{align*}\] qui est équivalent à \((s')^{-1}(f' + g')\).

Fixons \(s : Y \to Y'\) et \(f, g : X \to Y'\) tels que \(\alpha = s^{-1}f\) et \(\beta = s^{-1}g\) comme morphismes \(X \to Y\) dans \(S^{-1}\mathcal{C}\). Pour montrer que la composition est bilinéaire, considérons d’abord le cas d’un morphisme \(\gamma : Y \to Z\) dans \(S^{-1}\mathcal{C}\). Écrivons \(\gamma = t^{-1}h\) pour certains \(h : Y \to Z'\) et \(t : Z \to Z'\) dans \(S\). En utilisant LMS2, on choisit des morphismes \(a : Y' \to Z''\) et \(t' : Z' \to Z''\) dans \(S\) tels que \(a \circ s = t' \circ h\). Représentons la situation : \[\xymatrix{ & & Z \ar[d]^t \\ & Y \ar[r]^h \ar[d]^s & Z' \ar[d]^{t'} \\ X \ar[r]^{f, g} & Y' \ar[r]^a & Z'' }\] Alors \(\gamma \circ \alpha = (t' \circ t)^{-1}(a \circ f)\) et \(\gamma \circ \beta = (t' \circ t)^{-1}(a \circ g)\). On voit donc que \(\gamma \circ (\alpha + \beta)\) est représenté par \((t' \circ t)^{-1}(a \circ (f + g)) = (t' \circ t)^{-1}(a \circ f + a \circ g)\), qui représente \(\gamma \circ \alpha + \gamma \circ \beta\).

Supposons enfin que \(\delta : W \to X\) soit un autre morphisme de \(S^{-1}\mathcal{C}\). Écrivons \(\delta = r^{-1}i\) pour certains \(i : W \to X'\) et \(r : X \to X'\) dans \(S\). Nous affirmons que l’on peut trouver un morphisme \(s' : Y' \to Y''\) dans \(S\) et des morphismes \(a'', b'' : X' \to Y''\) tels que le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ & & & Y \ar[d]^s \\ & X \ar[rr]^{f, g, f + g} \ar[d]^r & & Y' \ar[d]^{s'} \\ W \ar[r]^i & X' \ar[rr]^{a'', b'', a'' + b''} & & Y'' }\] En effet, en utilisant LMS2, on peut d’abord choisir \(s_1 : Y' \to Y_1\), \(s_2 : Y' \to Y_2\) dans \(S\) et \(a : X' \to Y_1\), \(b : X' \to Y_2\) tels que \(a \circ r = s_1 \circ f\) et \(b \circ r = s_2 \circ f\). Puis, puisque la catégorie \(Y'/S\) est filtrante (voir Catégories, remarque 05Q0), on peut trouver \(s' : Y' \to Y''\) et des morphismes \(a' : Y_1 \to Y''\), \(b' : Y_2 \to Y''\) tels que \(s' = a' \circ s_1\) et \(s' = b' \circ s_2\). Il suffit alors de poser \(a'' = a' \circ a\) et \(b'' = b' \circ b\). À ce stade, on voit que les compositions \(\alpha \circ \delta\) et \(\beta \circ \delta\) sont représentées par \((s' \circ s)^{-1}(a'' \circ i)\) et \((s' \circ s)^{-1}(b'' \circ i)\). Ainsi, \(\alpha \circ \delta + \beta \circ \delta\) est représenté par \((s' \circ s)^{-1}(a'' \circ i + b'' \circ i) = (s' \circ s)^{-1}((a'' + b'') \circ i)\), qui, toujours d’après le diagramme, est un représentant de \((\alpha + \beta) \circ \delta\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie additive. Soit \(S\) un système multiplicatif à gauche ou à droite. Alors \(S^{-1}\mathcal{C}\) est une catégorie additive et le foncteur de localisation \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) est additif.

Démonstration

D’après le lemme 05QD, \(S^{-1}\mathcal{C}\) est préadditive et \(Q\) est additif. Le lemme 0105 permet d’en conclure que \(S^{-1}\mathcal{C}\) possède un objet nul et des sommes directes.

Le lemme suivant décrit le « noyau » du foncteur de localisation lorsque l’on inverse un système multiplicatif.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie additive. Soit \(S\) un système multiplicatif. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(Q(X) = 0\) dans \(S^{-1}\mathcal{C}\),

2. il existe \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\) tel que \(0 : X \to Y\) appartienne à \(S\), et

3. il existe \(Z \in \Ob(\mathcal{C})\) tel que \(0 : Z \to X\) appartienne à \(S\).

Démonstration

Si (2) est vrai, alors \(0 = Q(0) : Q(X) \to Q(Y)\) est un isomorphisme. Dans la catégorie additive \(S^{-1}\mathcal{C}\), ceci implique que \(Q(X) = 0\). Ainsi, (2) \(\Rightarrow\) (1). De même, (3) \(\Rightarrow\) (1). Supposons que \(Q(X) = 0\). Cela implique que le morphisme \(f : 0 \to X\) est transformé en isomorphisme dans \(S^{-1}\mathcal{C}\). Par conséquent, d’après Catégories, lemme 05Q9, il existe un morphisme \(g : Z \to 0\) tel que \(fg \in S\). Cela prouve (1) \(\Rightarrow\) (3). De même, (1) \(\Rightarrow\) (2).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Si \(S\) est un système multiplicatif à gauche, alors la catégorie \(S^{-1}\mathcal{A}\) possède des conoyaux et le foncteur \(Q : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) commute avec eux.

2. Si \(S\) est un système multiplicatif à droite, alors la catégorie \(S^{-1}\mathcal{A}\) possède des noyaux et le foncteur \(Q : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) commute avec eux.

3. Si \(S\) est un système multiplicatif, alors la catégorie \(S^{-1}\mathcal{A}\) est abélienne et le foncteur \(Q : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) est exact.

Démonstration

Supposons que \(S\) soit un système multiplicatif à gauche. Soit \(a : X \to Y\) un morphisme de \(S^{-1}\mathcal{A}\). Alors \(a = s^{-1}f\) pour certains \(s : Y \to Y'\) dans \(S\) et \(f : X \to Y'\). Comme \(Q(s)\) est un isomorphisme, l’existence de \(\Coker(a : X \to Y)\) équivaut à celle de \(\Coker(Q(f) : X \to Y')\). Puisque \(\Coker(Q(f))\) est le coégalisateur de \(0\) et \(Q(f)\), on voit que \(\Coker(Q(f))\) est représenté par \(Q(\Coker(f))\), d’après Catégories, lemme 05Q2. Cela prouve (1).

La partie (2) est duale de la partie (1).

Si \(S\) est un système multiplicatif, alors \(S\) est à la fois un système multiplicatif à gauche et à droite. Ainsi, \(S^{-1}\mathcal{A}\) possède des noyaux et des conoyaux, et \(Q\) commute avec les noyaux et les conoyaux. Pour achever la preuve de (3), il faut montrer que \(\Coim = \Im\) dans \(S^{-1}\mathcal{A}\). En utilisant de nouveau le fait que toute flèche de \(S^{-1}\mathcal{A}\) est isomorphe à une flèche \(Q(f)\), on voit que le résultat découle du résultat correspondant pour \(\mathcal{A}\).

Jordan-Hölder

Le lemme de Jordan-Hölder est le lemme 0FCK. Commençons par quelques définitions.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) est dit simple s’il est non nul et si les seuls sous-objets de \(A\) sont \(0\) et \(A\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. On dit qu’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) est artinien si et seulement s’il satisfait la condition de chaîne descendante pour les sous-objets.

2. On dit que \(\mathcal{A}\) est artinienne si tout objet de \(\mathcal{A}\) est artinien.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. On dit qu’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) est noethérien si et seulement s’il satisfait la condition de chaîne ascendante pour les sous-objets.

2. On dit que \(\mathcal{A}\) est noethérienne si tout objet de \(\mathcal{A}\) est noethérien.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{A}\). Alors \(A_2\) est artinien si et seulement si \(A_1\) et \(A_3\) sont artiniens.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{A}\). Alors \(A_2\) est noethérien si et seulement si \(A_1\) et \(A_3\) sont noethériens.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est artinien et noethérien, et

2. il existe une filtration \(0 \subset A_1 \subset A_2 \subset \ldots \subset A_n = A\) par des sous-objets telle que \(A_i/A_{i - 1}\) soit simple pour \(i = 1, \ldots, n\).

Démonstration

Supposons (1). Si \(A\) est nul, alors (2) est vrai. Si \(A\) n’est pas nul, la propriété artinienne fournit un plus petit objet non nul \(A_1 \subset A\). Bien entendu, \(A_1\) est simple. Si \(A_1 = A\), la preuve est terminée. Sinon, on peut trouver \(A_1 \subset A_2 \subset A\), minimal sous la condition \(A_2 \not = A_1\). Alors \(A_2/A_1\) est simple. En poursuivant ainsi, on peut trouver une suite \(0 \subset A_1 \subset A_2 \subset \ldots\) de sous-objets de \(A\) telle que \(A_i/A_{i - 1}\) soit simple. Puisque \(A\) est noethérien, ce processus s’arrête. On en déduit (2).

Supposons (2). Nous allons prouver (1) par récurrence sur \(n\). Si \(n = 1\), alors \(A\) est simple, et donc clairement noethérien et artinien. Si le résultat est vrai pour \(n - 1\), on utilise la suite exacte courte \(0 \to A_{n - 1} \to A_n \to A_n/A_{n - 1} \to 0\) et les lemmes 0FCH et 0FCI pour conclure au rang \(n\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\) satisfaisant les conditions équivalentes du lemme 0FCJ. Étant données deux filtrations \[0 \subset A_1 \subset A_2 \subset \ldots \subset A_n = A \quad\text{et}\quad 0 \subset B_1 \subset B_2 \subset \ldots \subset B_m = A\] dont les \(S_i = A_i/A_{i - 1}\) et \(T_j = B_j/B_{j - 1}\) sont des objets simples, on a \(n = m\), et il existe une permutation \(\sigma\) de \(\{1, \ldots, n\}\) telle que \(S_i \cong T_{\sigma(i)}\) pour tout \(i \in \{1, \ldots, n\}\).

Démonstration

Soit \(j\) le plus petit indice tel que \(A_1 \subset B_j\). Alors l’application \(S_1 = A_1 \to B_j/B_{j - 1} = T_j\) est un isomorphisme. De plus, l’objet \(A/A_1 = A_n/A_1 = B_m/A_1\) possède les deux filtrations \[0 \subset A_2/A_1 \subset A_3/A_1 \subset \ldots \subset A_n/A_1\] et \[0 \subset (B_1 + A_1)/A_1 \subset \ldots \subset (B_{j - 1} + A_1)/A_1 = B_j/A_1 \subset B_{j + 1}/A_1 \subset \ldots \subset B_m/A_1\] On conclut par récurrence.

Sous-catégories de Serre

Dans [Serre_homotopie_classes, chapitre I, section 1], une notion de « classe » de groupes abéliens est définie. Cette notion a été étendue aux catégories abéliennes par de nombreux auteurs (de manières légèrement différentes). Nous utiliserons la variante suivante, qui est pratiquement identique à la définition originale de Serre.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Une sous-catégorie de Serre de \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie pleine non vide \(\mathcal{C}\) de \(\mathcal{A}\) telle que, pour toute suite exacte¹ \[A \to B \to C\] avec \(A, C \in \Ob(\mathcal{C})\), on ait aussi \(B \in \Ob(\mathcal{C})\).

2. Une sous-catégorie de Serre faible de \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie pleine non vide \(\mathcal{C}\) de \(\mathcal{A}\) telle que, pour toute suite exacte \[A_0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to A_4\] avec \(A_0, A_1, A_3, A_4\) dans \(\mathcal{C}\), on ait aussi \(A_2\) dans \(\mathcal{C}\).

Dans certaines références, la seconde notion est appelée sous-catégorie « épaisse », et dans d’autres, c’est la première notion qui porte ce nom. Il semble toutefois universellement admis que la notion de sous-catégorie de Serre est celle définie ci-dessus. Remarquons que, dans les deux cas, la catégorie \(\mathcal{C}\) est abélienne et que le foncteur d’inclusion \(\mathcal{C} \to \mathcal{A}\) est un foncteur exact pleinement fidèle. Caractérisons plus précisément ces types de sous-catégories.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie de \(\mathcal{A}\). Alors \(\mathcal{C}\) est une sous-catégorie de Serre si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(0 \in \Ob(\mathcal{C})\),

2. \(\mathcal{C}\) est une sous-catégorie strictement pleine de \(\mathcal{A}\),

3. tout sous-objet ou quotient d’un objet de \(\mathcal{C}\) est un objet de \(\mathcal{C}\),

4. si \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) est une extension d’objets de \(\mathcal{C}\), alors \(A \in \Ob(\mathcal{C})\) également.

De plus, une sous-catégorie de Serre est une catégorie abélienne et le foncteur d’inclusion est exact.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie de \(\mathcal{A}\). Alors \(\mathcal{C}\) est une sous-catégorie de Serre faible si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(0 \in \Ob(\mathcal{C})\),

2. \(\mathcal{C}\) est une sous-catégorie strictement pleine de \(\mathcal{A}\),

3. les noyaux et conoyaux dans \(\mathcal{A}\) des morphismes entre objets de \(\mathcal{C}\) appartiennent à \(\mathcal{C}\),

4. si \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) est une extension d’objets de \(\mathcal{C}\), alors \(A \in \Ob(\mathcal{C})\) également.

De plus, une sous-catégorie de Serre faible est une catégorie abélienne et le foncteur d’inclusion est exact.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact. Alors la sous-catégorie pleine des objets \(C\) de \(\mathcal{A}\) tels que \(F(C) = 0\) forme une sous-catégorie de Serre de \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Omis.

Définition

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact. La sous-catégorie pleine des objets \(C\) de \(\mathcal{A}\) tels que \(F(C) = 0\) est alors appelée le noyau du foncteur \(F\), et est parfois notée \(\Ker(F)\).

Toute sous-catégorie de Serre d’une catégorie abélienne est le noyau d’un foncteur exact. Dans Exemples, section 0B0J, nous étudions ce fait pour l’exemple original de Serre des groupes de torsion.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre. Il existe une catégorie abélienne \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) et un foncteur exact \[F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}/\mathcal{C}\] qui est essentiellement surjectif et dont le noyau est \(\mathcal{C}\). La catégorie \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) et le foncteur \(F\) sont caractérisés par la propriété universelle suivante : pour tout foncteur exact \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) tel que \(\mathcal{C} \subset \Ker(G)\), il existe une factorisation \(G = H \circ F\) par un unique foncteur exact \(H : \mathcal{A}/\mathcal{C} \to \mathcal{B}\).

Démonstration

Considérons l’ensemble de flèches de \(\mathcal{A}\) défini par la formule suivante : \[S = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{A}) \mid \Ker(f), \Coker(f) \in \Ob(\mathcal{C}) \}.\] Nous affirmons que \(S\) est un système multiplicatif. Pour le prouver, il faut vérifier MS1, MS2 et MS3, voir Catégories, définition 04VC.

Il est clair que les identités appartiennent à \(S\). Supposons que \(f : A \to B\) et \(g : B \to C\) appartiennent à \(S\). Il existe des suites exactes \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(f) \to \Ker(gf) \to \Ker(g) \\ \Coker(f) \to \Coker(gf) \to \Coker(g) \to 0 \end{matrix}\] Il s’ensuit que \(gf \in S\). Cela prouve MS1. (En fait, un argument semblable montrera que \(S\) est un système multiplicatif saturé, voir Catégories, définition 05Q8.)

Considérons un diagramme plein \[\xymatrix{ A \ar[d]_t \ar[r]_g & B \ar@{..>}[d]^s \\ C \ar@{..>}[r]^f & C \amalg_A B }\] avec \(t \in S\). Posons \(W = C \amalg_A B = \Coker((t, -g) : A \to C \oplus B)\). Alors \(\Ker(t) \to \Ker(s)\) est surjectif et \(\Coker(t) \to \Coker(s)\) est un isomorphisme. Par conséquent, \(s\) appartient à \(S\). Cela prouve LMS2 ; la preuve de RMS2 est duale.

Enfin, considérons des morphismes \(f, g : B \to C\) et un morphisme \(s : A \to B\) dans \(S\) tels que \(f \circ s = g \circ s\). Cela signifie que \((f - g) \circ s = 0\). À son tour, cela signifie que \(I = \Im(f - g) \subset C\) est un quotient de \(\Coker(s)\), donc un objet de \(\mathcal{C}\). Ainsi, \(t : C \to C' = C/I\) est un élément de \(S\) tel que \(t \circ (f - g) = 0\), c’est-à-dire tel que \(t \circ f = t \circ g\). Cela prouve LMS3 ; la preuve de RMS3 est duale.

Ayant montré que \(S\) est un système multiplicatif, on pose \(\mathcal{A}/\mathcal{C} = S^{-1}\mathcal{A}\) et l’on prend pour \(F\) le foncteur de localisation \(Q\). D’après le lemme 05QG, la catégorie \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) est abélienne et \(F\) est exact. Si \(X\) appartient au noyau de \(F = Q\), alors, d’après le lemme 05QF, on voit que \(0 : X \to Z\) appartient à \(S\), et par conséquent \(X\) est un objet de \(\mathcal{C}\), c’est-à-dire que le noyau de \(F\) est \(\mathcal{C}\). Enfin, si \(G\) est comme dans l’énoncé du lemme, alors \(G\) transforme chaque élément de \(S\) en un isomorphisme. La propriété universelle de la localisation fournit donc le foncteur \(H : \mathcal{A}/\mathcal{C} \to \mathcal{B}\), voir Catégories, lemme 04VG. Il reste à montrer que le foncteur \(H\) est exact. Il suffit pour cela de montrer que \(H\) commute à la prise de noyaux et de conoyaux, voir le lemme 010N. Soit \(A \to B\) un morphisme de \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\). On peut représenter \(A \to B\) sous la forme \(fs^{-1}\), où \(s : A' \to A\) appartient à \(S\) et \(f : A' \to B\) est un morphisme arbitraire de \(\mathcal{A}\). Puisque \(F = Q\) envoie \(s\) sur un isomorphisme dans la catégorie quotient \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\), il suffit de montrer que \(H\) commute à la prise des noyaux et conoyaux des morphismes \(f : A \to B\) de \(\mathcal{A}\). Mais ici, on a \(H(f) = G(f)\), et le résultat découle du fait que \(G\) est exact.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact. Soit \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre contenue dans le noyau de \(F\). Alors \(\mathcal{C} = \Ker(F)\) si et seulement si le foncteur induit \(\overline{F} : \mathcal{A}/\mathcal{C} \to \mathcal{B}\) (lemme 02MS) est fidèle.

Démonstration

Nous utiliserons sans plus de mention les résultats du lemme 02MS. L’implication directe est vraie car le noyau de \(\overline{F}\) est nul par construction. En effet, si \(f : X \to Y\) est un morphisme de \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) tel que \(\overline{F}(f) = 0\), alors \(\overline{F}(\Im(f)) = \Im(\overline{F}(f)) = 0\) ; ainsi, \(\Im(f) = 0\) par l’hypothèse sur le noyau de \(F\). Donc \(f = 0\).

Pour l’implication réciproque, soit \(X\) un objet de \(\mathcal{A}\) tel que \(F(X) = 0\). Alors \(\overline{F}(\text{id}_X) = \text{id}_{\overline{F}(X)} = 0\), donc \(\text{id}_X = 0\) dans \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) par fidélité de \(\overline{F}\). Par conséquent, \(X = 0\) dans \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\), c’est-à-dire \(X \in \Ob(\mathcal{C})\).

Groupes K

Quelques mots sur le groupe \(K_0\) d’une catégorie abélienne.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. On note \(K_0(\mathcal{A})\) le groupe \(K\) d’indice zéro de \(\mathcal{A}\). C’est le groupe abélien construit comme suit. On prend le groupe abélien libre sur les objets de \(\mathcal{A}\) et, pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\), on impose la relation \([B] - [A] - [C] = 0\).

Autrement dit, il existe une présentation \[\bigoplus_{A \to B \to C\text{ sec}} \mathbf{Z}[A \to B \to C] \longrightarrow \bigoplus_{A \in \Ob(\mathcal{A})} \mathbf{Z}[A] \longrightarrow K_0(\mathcal{A}) \longrightarrow 0\] avec \([A \to B \to C] \mapsto [B] - [A] - [C]\), de \(K_0(\mathcal{A})\). La suite exacte courte \(0 \to 0 \to 0 \to 0 \to 0\) donne la relation \([0] = 0\) dans \(K_0(\mathcal{A})\). Il n’y a pas de difficulté ensembliste, car toutes nos catégories sont « petites », sauf indication contraire. Quelques exemples de groupes \(K\) pour des catégories de modules sur des anneaux ont été calculés dans Algèbre, section 00JC.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact entre catégories abéliennes. Alors \(F\) induit un homomorphisme de groupes \(K\) \(K_0(F) : K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B})\), simplement défini par \(K_0(F)([A]) = [F(A)]\).

Démonstration

La preuve est immédiate.

Supposons donnés un objet \(M\) d’une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) et un complexe de la forme [02MW]\[\begin{equation} \xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r] & \ldots } \end{equation}\] Dans cette situation, on définit \[H^0(M, \varphi, \psi) = \Ker(\psi)/\Im(\varphi) , \quad\text{et}\quad H^1(M, \varphi, \psi) = \Ker(\varphi)/\Im(\psi).\]

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre et posons \(\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{C}\).

1. Les foncteurs exacts \(\mathcal{C} \to \mathcal{A}\) et \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) induisent une suite exacte \[K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B}) \to 0\] de groupes \(K\), et

2. le noyau de \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\) est égal à l’ensemble des éléments de la forme \[[H^0(M, \varphi, \psi)] - [H^1(M, \varphi, \psi)]\] où \((M, \varphi, \psi)\) est un complexe comme dans (02MW) qui devient exact dans \(\mathcal{B}\) ; autrement dit, \(H^0(M, \varphi, \psi)\) et \(H^1(M, \varphi, \psi)\) sont des objets de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Prouvons (1). Il est clair que \(K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B})\) est surjectif et que la composition \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B})\) est nulle. Soit \(x \in K_0(\mathcal{A})\) un élément envoyé sur zéro dans \(K_0(\mathcal{B})\). On peut écrire \(x = [A] - [A']\), avec \(A, A'\) dans \(\mathcal{A}\) (exercice amusant). Notons \(B, B'\) les objets correspondants de \(\mathcal{B}\). Le fait que \(x\) soit envoyé sur zéro dans \(K_0(\mathcal{B})\) signifie qu’il existe un ensemble fini \(I = I^+ \amalg I^{-}\), et, pour chaque \(i \in I\), une suite exacte courte \[0 \to B_i \to B'_i \to B''_i \to 0\] dans \(\mathcal{B}\), tels que l’on ait \[[B] - [B'] = \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([B'_i] - [B_i] - [B''_i]) - \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([B'_i] - [B_i] - [B''_i])\] dans le groupe abélien libre sur les classes d’isomorphisme d’objets de \(\mathcal{B}\). On peut réécrire cette égalité sous la forme \[[B] + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([B_i] + [B''_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} [B'_i] = [B'] + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([B_i] + [B''_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} [B'_i].\] Comme les membres de droite et de gauche doivent contenir les mêmes classes d’isomorphisme d’objets de \(\mathcal{B}\), comptées avec multiplicité, il doit donc exister une bijection \[\tau : \{B\} \amalg \{B_i, B''_i; i \in I^+\} \amalg \{B'_i; i \in I^-\} \longrightarrow \{B'\} \amalg \{B_i, B''_i; i \in I^-\} \amalg \{B'_i; i \in I^+\}\] telle que \(N\) et \(\tau(N)\) soient isomorphes dans \(\mathcal{B}\). Les preuves des lemmes 02MS et 05QG montrent que l’on peut choisir, pour \(i \in I\), une suite exacte courte \[0 \to A_i \to A'_i \to A''_i \to 0\] dans \(\mathcal{A}\) telle que \(B_i, B'_i, B''_i\) soient isomorphes aux images de \(A_i, A'_i, A''_i\) dans \(\mathcal{B}\). Cela implique que la bijection correspondante \[\tau : \{A\} \amalg \{A_i, A''_i; i \in I^+\} \amalg \{A'_i; i \in I^-\} \longrightarrow \{A'\} \amalg \{A_i, A''_i; i \in I^-\} \amalg \{A'_i; i \in I^+\}\] vérifie la propriété suivante : \(M\) et \(\tau(M)\) sont des objets de \(\mathcal{A}\) qui deviennent isomorphes dans \(\mathcal{B}\). Cela signifie que \([M] - [\tau(M)]\) appartient à l’image de \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\). En effet, l’isomorphisme dans \(\mathcal{B}\) est donné par un diagramme \(M \leftarrow M' \rightarrow \tau(M)\) dans \(\mathcal{A}\), où \(M' \to M\) et \(M' \to \tau(M)\) ont tous deux noyau et conoyau dans \(\mathcal{C}\). En remontant les étapes, on conclut que \(x = [A] - [A']\) appartient à l’image de \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\), ce qui achève la preuve de (1).

Prouvons (2). La preuve est analogue à celle de (1), mais demande un peu plus de tenue des comptes. Remarquons d’abord que toute classe de la forme \([H^0(M, \varphi, \psi)] - [H^1(M, \varphi, \psi)]\) est nulle dans \(K_0(\mathcal{A})\), comme le montre le calcul suivant : \[\begin{align*} 0 & = [M] - [M] \\ & = [\Ker(\varphi)] + [\Im(\varphi)] - [\Ker(\psi)] - [\Im(\psi)] \\ & = [\Ker(\varphi)/\Im(\psi)] - [\Ker(\psi)/\Im(\varphi)] \\ & = [H^1(M, \varphi, \psi)] - [H^0(M, \varphi, \psi)] \end{align*}\] comme souhaité. Il suffit donc de montrer que tout élément du noyau de \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\) est de cette forme.

Tout élément \(x\) de \(K_0(\mathcal{C})\) peut être représenté comme la différence \(x = [P] - [Q]\) de deux objets de \(\mathcal{C}\) (exercice amusant). Supposons que cet élément soit envoyé sur zéro dans \(K_0(\mathcal{A})\). Cela signifie qu’il existe

1. un ensemble fini \(I = I^{+} \amalg I^{-}\),

2. pour \(i \in I\), une suite exacte courte \(0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0\) dans \(\mathcal{A}\),

tels que \[[P] - [Q] = \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([B_i] - [A_i] - [C_i]) - \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([B_i] - [A_i] - [C_i])\] dans le groupe abélien libre sur les objets de \(\mathcal{A}\). On peut réécrire cette égalité sous la forme \[[P] + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([A_i] + [C_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} [B_i] = [Q] + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([A_i] + [C_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} [B_i].\] Comme les membres de droite et de gauche doivent contenir les mêmes objets de \(\mathcal{A}\), comptés avec multiplicité, il doit donc exister une bijection \(\tau\) entre les termes qui figurent ci-dessus. Posons \[T^{+} = \{p\}\ \amalg\ \{a, c\} \times I^{+}\ \amalg\ \{b\} \times I^{-}\] et \[T^{-} = \{q\}\ \amalg\ \{a, c\} \times I^{-}\ \amalg\ \{b\} \times I^{+}.\] Posons \(T = T^{+} \amalg T^{-} = \{p, q\} \amalg \{a, b, c\} \times I\). Pour \(t \in T\), définissons \[O(t) = \left\{ \begin{matrix} P & \text{si} & t = p \\ Q & \text{si} & t = q \\ A_i & \text{si} & t = (a, i) \\ B_i & \text{si} & t = (b, i) \\ C_i & \text{si} & t = (c, i) \end{matrix} \right.\] On peut ainsi considérer \(\tau : T^{+} \to T^{-}\) comme une bijection telle que \(O(t) = O(\tau(t))\) pour tout \(t \in T^{+}\). Soit \(t^{-}_0 = \tau(p)\) et soit \(t^{+}_0 \in T^{+}\) l’unique élément tel que \(\tau(t^{+}_0) = q\). Considérons l’objet \[M^{+} = \bigoplus\nolimits_{t \in T^{+}} O(t)\] En utilisant \(\tau\), on voit qu’il est égal à l’objet \[M^{-} = \bigoplus\nolimits_{t \in T^{-}} O(t)\] Considérons l’application \[\varphi : M^{+} \longrightarrow M^{-}\] qui, sur le facteur \(O(t) = A_i\) correspondant à \(t = (a, i)\), \(i \in I^{+}\), utilise l’application \(A_i \to B_i\) à valeurs dans le facteur \(O((b, i)) = B_i\) de \(M^{-}\), et qui, sur le facteur \(O(t) = B_i\) correspondant à \((b, i)\), \(i \in I^{-}\), utilise l’application \(B_i \to C_i\) à valeurs dans le facteur \(O((c, i)) = C_i\) de \(M^{-}\). L’application est nulle sur les facteurs correspondant à \(p\) et à \((c, i)\), \(i \in I^{+}\). De même, considérons l’application \[\psi : M^{-} \longrightarrow M^{+}\] qui, sur le facteur \(O(t) = A_i\) correspondant à \(t = (a, i)\), \(i \in I^{-}\), utilise l’application \(A_i \to B_i\) à valeurs dans le facteur \(O((b, i)) = B_i\) de \(M^{+}\), et qui, sur le facteur \(O(t) = B_i\) correspondant à \((b, i)\), \(i \in I^{+}\), utilise l’application \(B_i \to C_i\) à valeurs dans le facteur \(O((c, i)) = C_i\) de \(M^{+}\). L’application est nulle sur les facteurs correspondant à \(q\) et à \((c, i)\), \(i \in I^{-}\).

Remarquons que le noyau de \(\varphi\) est égal à la somme directe du facteur \(P\), des facteurs \(O((c, i)) = C_i\), \(i \in I^{+}\), et des sous-objets \(A_i\) à l’intérieur des facteurs \(O((b, i)) = B_i\), \(i \in I^{-}\). L’image de \(\psi\) est égale à la somme directe des facteurs \(O((c, i)) = C_i\), \(i \in I^{+}\), et des sous-objets \(A_i\) à l’intérieur des facteurs \(O((b, i)) = B_i\), \(i \in I^{-}\). Autrement dit, on voit que \[P \cong \Ker(\varphi)/\Im(\psi).\] De manière exactement analogue, on voit que \[Q \cong \Ker(\psi)/\Im(\varphi).\] Puisque, comme nous l’avons remarqué ci-dessus, l’existence de la bijection \(\tau\) montre que \(M^{+} = M^{-}\), le lemme en découle.

Foncteurs cohomologiques

Définition

Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Un foncteur cohomologique \(\delta\), ou simplement un foncteur \(\delta\), de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\) est constitué des données suivantes :

1. une famille \(F^n : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), \(n \geq 0\), de foncteurs additifs, et

2. pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\) de \(\mathcal{A}\), une famille \(\delta_{A \to B \to C} : F^n(C) \to F^{n + 1}(A)\), \(n \geq 0\), de morphismes de \(\mathcal{B}\).

On suppose que ces données satisfont aux axiomes suivants :

1. pour toute suite exacte courte comme ci-dessus, la suite \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F^0(A) \ar[r] & F^0(B) \ar[r] & F^0(C) \ar[lld]^{\delta_{A \to B \to C}} \\ & F^1(A) \ar[r] & F^1(B) \ar[r] & F^1(C) \ar[lld]^{\delta_{A \to B \to C}} \\ & F^2(A) \ar[r] & F^2(B) \ar[r] & \ldots }\] est exacte, et

2. pour tout morphisme \((A \to B \to C) \to (A' \to B' \to C')\) de suites exactes courtes de \(\mathcal{A}\), les diagrammes \[\xymatrix{ F^n(C) \ar[d] \ar[rr]_{\delta_{A \to B \to C}} & & F^{n + 1}(A) \ar[d] \\ F^n(C') \ar[rr]^{\delta_{A' \to B' \to C'}} & & F^{n + 1}(A') }\] sont commutatifs.

Notons que ceci implique en particulier que \(F^0\) est exact à gauche.

Définition

Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soient \((F^n, \delta_F)\) et \((G^n, \delta_G)\) des foncteurs \(\delta\) de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\). Un morphisme de foncteurs \(\delta\) de \(F\) vers \(G\) est une famille de transformations de foncteurs \(t^n : F^n \to G^n\), \(n \geq 0\), telle que, pour toute suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\) de \(\mathcal{A}\), les diagrammes \[\xymatrix{ F^n(C) \ar[d]_{t^n} \ar[rr]_{\delta_{F, A \to B \to C}} & & F^{n + 1}(A) \ar[d]^{t^{n + 1}} \\ G^n(C) \ar[rr]^{\delta_{G, A \to B \to C}} & & G^{n + 1}(A) }\] sont commutatifs.

Définition

Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F = (F^n, \delta_F)\) un foncteur \(\delta\) de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\). On dit que \(F\) est un foncteur \(\delta\) universel si et seulement si, pour tout foncteur \(\delta\) \(G = (G^n, \delta_G)\) et tout morphisme de foncteurs \(t : F^0 \to G^0\), il existe un unique morphisme de foncteurs \(\delta\) \(\{t^n\}_{n \geq 0} : F \to G\) tel que \(t = t^0\).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F = (F^n, \delta_F)\) un foncteur \(\delta\) de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\). Supposons que, pour tout \(n > 0\) et tout \(A \in \Ob(\mathcal{A})\), il existe un morphisme injectif \(u : A \to B\) (dépendant de \(A\) et de \(n\)) tel que \(F^n(u) : F^n(A) \to F^n(B)\) soit nul. Alors \(F\) est un foncteur \(\delta\) universel.

Démonstration

Soit \(G = (G^n, \delta_G)\) un foncteur \(\delta\) de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\) et soit \(t : F^0 \to G^0\) un morphisme de foncteurs. Il faut montrer qu’il existe un unique morphisme de foncteurs \(\delta\) \(\{t^n\}_{n \geq 0} : F \to G\) tel que \(t = t^0\). Construisons \(t^n\) par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 0\), posons \(t^0 = t\). Supposons déjà construite une unique famille de transformations de foncteurs \(t^i\) pour \(i \leq n\), compatible avec les applications \(\delta\) en degrés \(\leq n\).

Soit \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). Par hypothèse, nous pouvons choisir un plongement \(u : A \to B\) tel que \(F^{n + 1}(u) = 0\). Soit \(C = B/u(A)\). La suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\) et au foncteur \(\delta\) \(F\) donne \(F^{n + 1}(A) = \Coker(F^n(B) \to F^n(C))\), par notre choix de \(u\). Comme \(t^n\) est déjà défini, nous pouvons définir \[t^{n + 1}_A : F^{n + 1}(A) \to G^{n + 1}(A)\] comme l’unique application rendant commutatif le diagramme \[\xymatrix{ \Coker(F^n(B) \to F^n(C)) \ar[r]_{t^n} \ar[d]_{\delta_{F, A \to B \to C}} & \Coker(G^n(B) \to G^n(C)) \ar[d]^{\delta_{G, A \to B \to C}} \\ F^{n + 1}(A) \ar[r]^{t^{n + 1}_A} & G^{n + 1}(A) }\] Ceci est manifestement déterminé de manière unique par les conditions imposées. Nous omettons la vérification que cela définit une transformation de foncteurs.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur. S’il existe un foncteur \(\delta\) universel \((F^n, \delta_F)\) de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\) tel que \(F^0 = F\), alors il est déterminé à un unique isomorphisme de foncteurs \(\delta\) près.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Complexes

Bien entendu, les notions de complexe de chaînes et de complexe de cochaînes sont duales et il suffit de lire l’une des deux parties de cette section. Choisissez donc celle que vous préférez. (En fait, cela ne fonctionne pas tout à fait, car les conventions de numérotation ne sont pas adaptées à un passage facile des complexes de chaînes aux complexes de cochaînes.)

Un complexe de chaînes \(A_\bullet\) dans une catégorie additive \(\mathcal{A}\) est un complexe \[\ldots \to A_{n + 1} \xrightarrow{d_{n + 1}} A_n \xrightarrow{d_n} A_{n - 1} \to \ldots\] de \(\mathcal{A}\). Autrement dit, on se donne un objet \(A_i\) de \(\mathcal{A}\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\) et, pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), un morphisme \(d_i : A_i \to A_{i - 1}\) tel que \(d_{i - 1} \circ d_i = 0\) pour tout \(i\). Un morphisme de complexes de chaînes \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est constitué d’une famille de morphismes \(f_i : A_i \to B_i\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ A_i \ar[r]_{d_i} \ar[d]_{f_i} & A_{i - 1} \ar[d]^{f_{i - 1}} \\ B_i \ar[r]^{d_i} & B_{i - 1} }\] soient commutatifs. La catégorie des complexes de chaînes de \(\mathcal{A}\) est notée \(\text{Ch}(\mathcal{A})\). La sous-catégorie pleine formée des objets de la forme \[\ldots \to A_2 \to A_1 \to A_0 \to 0 \to 0 \to \ldots\] est notée \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\). Autrement dit, un complexe de chaînes \(A_\bullet\) appartient à \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) si et seulement si \(A_i = 0\) pour tout \(i < 0\).

Étant donnée une catégorie additive \(\mathcal{A}\), on identifie \(\mathcal{A}\) à la sous-catégorie pleine de \(\text{Ch}(\mathcal{A})\) formée des complexes de chaînes nuls sauf en degré \(0\), au moyen du foncteur \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Ch}(\mathcal{A}),\quad A \longmapsto (\ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots)\] Par abus de notation, on note souvent simplement \(A\) l’objet du membre de droite. Si l’on veut souligner que l’on considère \(A\) comme un complexe de chaînes, on emploiera parfois la notation \(A[0]\) ; voir la section 0119.

Une homotopie \(h\) entre deux morphismes de complexes de chaînes \(f, g : A_\bullet \to B_\bullet\) est une famille de morphismes \(h_i : A_i \to B_{i + 1}\) telle que l’on ait \[f_i - g_i = d_{i + 1} \circ h_i + h_{i - 1} \circ d_i\] pour tout \(i\). Deux morphismes \(f, g : A_\bullet \to B_\bullet\) sont dits homotopes s’il existe une homotopie entre \(f\) et \(g\). Il est clair que les notions de complexe de chaînes, de morphisme de complexes de chaînes et d’homotopie entre morphismes de complexes de chaînes ont un sens même dans une catégorie préadditive.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(f, g : B_\bullet \to C_\bullet\) des morphismes de complexes de chaînes. Supposons donnés des morphismes de complexes de chaînes \(a : A_\bullet \to B_\bullet\) et \(c : C_\bullet \to D_\bullet\). Si \(\{h_i : B_i \to C_{i + 1}\}\) définit une homotopie entre \(f\) et \(g\), alors \(\{c_{i + 1} \circ h_i \circ a_i\}\) définit une homotopie entre \(c \circ f \circ a\) et \(c \circ g \circ a\).

Démonstration

La démonstration est omise.

En particulier, cela signifie qu’il est légitime de définir la catégorie des complexes de chaînes dont les applications sont prises à homotopie près. Nous y reviendrons plus loin.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. On dit qu’un morphisme \(a : A_\bullet \to B_\bullet\) est un homotopisme s’il existe un morphisme \(b : B_\bullet \to A_\bullet\) tel qu’il existe une homotopie entre \(b \circ a\) et \(\text{id}_A\) et une homotopie entre \(a \circ b\) et \(\text{id}_B\). S’il existe un tel morphisme entre \(A_\bullet\) et \(B_\bullet\), on dit que \(A_\bullet\) et \(B_\bullet\) sont homotopiquement équivalents.

Autrement dit, deux complexes sont homotopiquement équivalents s’ils deviennent isomorphes dans la catégorie des complexes à homotopie près.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. La catégorie des complexes de chaînes dans \(\mathcal{A}\) est abélienne.

2. Un morphisme de complexes \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est injectif si et seulement si chaque \(f_n : A_n \to B_n\) est injectif.

3. Un morphisme de complexes \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est surjectif si et seulement si chaque \(f_n : A_n \to B_n\) est surjectif.

4. Une suite de complexes de chaînes \[A_\bullet \xrightarrow{f} B_\bullet \xrightarrow{g} C_\bullet\] est exacte en \(B_\bullet\) si et seulement si chaque suite \[A_i \xrightarrow{f_i} B_i \xrightarrow{g_i} C_i\] est exacte en \(B_i\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), le \(i\)-ième objet d’homologie d’un complexe de chaînes \(A_\bullet\) dans une catégorie abélienne est défini par la formule suivante : \[H_i(A_\bullet) = \Ker(d_i)/\Im(d_{i + 1}).\] Si \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est un morphisme de complexes de chaînes de \(\mathcal{A}\), on obtient un morphisme induit \(H_i(f) : H_i(A_\bullet) \to H_i(B_\bullet)\) car, manifestement, \(f_i(\Ker(d_i : A_i \to A_{i - 1})) \subset \Ker(d_i : B_i \to B_{i - 1})\), et de même pour \(\Im(d_{i + 1})\). On obtient ainsi un foncteur \[H_i : \text{Ch}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}.\]

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Un morphisme de complexes de chaînes \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est appelé un quasi-isomorphisme si l’application induite \(H_i(f) : H_i(A_\bullet) \to H_i(B_\bullet)\) est un isomorphisme pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

2. Un complexe de chaînes \(A_\bullet\) est dit acyclique si tous ses objets d’homologie \(H_i(A_\bullet)\) sont nuls.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Si les applications \(f, g : A_\bullet \to B_\bullet\) sont homotopes, alors les applications induites \(H_i(f)\) et \(H_i(g)\) sont égales.

2. Si l’application \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est un homotopisme, alors \(f\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \[0 \to A_\bullet \to B_\bullet \to C_\bullet \to 0\] soit une suite exacte courte de complexes de chaînes de \(\mathcal{A}\). Il existe alors une suite exacte longue canonique d’homologie \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots \ar[lld] \\ H_i(A_\bullet) \ar[r] & H_i(B_\bullet) \ar[r] & H_i(C_\bullet) \ar[lld] \\ H_{i - 1}(A_\bullet) \ar[r] & H_{i - 1}(B_\bullet) \ar[r] & H_{i - 1}(C_\bullet) \ar[lld] \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ }\]

Démonstration

La démonstration est omise. Les applications proviennent du lemme du serpent 010H appliqué aux diagrammes \[\xymatrix{ & A_i/\Im(d_{A, i + 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_{A, i}} & B_i/\Im(d_{B, i + 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_{B, i}} & C_i/\Im(d_{C, i + 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_{C, i}} & 0 \\ 0 \ar[r] & \Ker(d_{A, i - 1}) \ar[r] & \Ker(d_{B, i - 1}) \ar[r] & \Ker(d_{C, i - 1}) & }\]

Un complexe de cochaînes \(A^\bullet\) dans une catégorie additive \(\mathcal{A}\) est un complexe \[\ldots \to A^{n - 1} \xrightarrow{d^{n - 1}} A^n \xrightarrow{d^n} A^{n + 1} \to \ldots\] de \(\mathcal{A}\). Autrement dit, on se donne un objet \(A^i\) de \(\mathcal{A}\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\) et, pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), un morphisme \(d^i : A^i \to A^{i + 1}\) tel que \(d^{i + 1} \circ d^i = 0\) pour tout \(i\). Un morphisme de complexes de cochaînes \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) est constitué d’une famille de morphismes \(f^i : A^i \to B^i\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ A^i \ar[r]_{d^i} \ar[d]_{f^i} & A^{i + 1} \ar[d]^{f^{i + 1}} \\ B^i \ar[r]^{d^i} & B^{i + 1} }\] soient commutatifs. La catégorie des complexes de cochaînes de \(\mathcal{A}\) est notée \(\text{CoCh}(\mathcal{A})\). La sous-catégorie pleine formée des objets de la forme \[\ldots \to 0 \to 0 \to A^0 \to A^1 \to A^2 \to \ldots\] est notée \(\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\). Autrement dit, un complexe de cochaînes \(A^\bullet\) appartient à la sous-catégorie \(\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) si et seulement si \(A^i = 0\) pour tout \(i < 0\).

Étant donnée une catégorie additive \(\mathcal{A}\), on identifie \(\mathcal{A}\) à la sous-catégorie pleine de \(\text{CoCh}(\mathcal{A})\) formée des complexes de cochaînes nuls sauf en degré \(0\), au moyen du foncteur \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{CoCh}(\mathcal{A}),\quad A \longmapsto (\ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots)\] Par abus de notation, on note souvent simplement \(A\) l’objet du membre de droite. Si l’on veut souligner que l’on considère \(A\) comme un complexe de cochaînes, on emploiera parfois la notation \(A[0]\) ; voir la section 0119.

Une homotopie \(h\) entre deux morphismes de complexes de cochaînes \(f, g : A^\bullet \to B^\bullet\) est une famille de morphismes \(h^i : A^i \to B^{i - 1}\) telle que l’on ait \[f^i - g^i = d^{i - 1} \circ h^i + h^{i + 1} \circ d^i\] pour tout \(i\). Deux morphismes \(f, g : A^\bullet \to B^\bullet\) sont dits homotopes s’il existe une homotopie entre \(f\) et \(g\). Il est clair que les notions de complexe de cochaînes, de morphisme de complexes de cochaînes et d’homotopie entre morphismes de complexes de cochaînes ont un sens même dans une catégorie préadditive.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(f, g : B^\bullet \to C^\bullet\) des morphismes de complexes de cochaînes. Supposons donnés des morphismes de complexes de cochaînes \(a : A^\bullet \to B^\bullet\) et \(c : C^\bullet \to D^\bullet\). Si \(\{h^i : B^i \to C^{i - 1}\}\) définit une homotopie entre \(f\) et \(g\), alors \(\{c^{i - 1} \circ h^i \circ a^i\}\) définit une homotopie entre \(c \circ f \circ a\) et \(c \circ g \circ a\).

Démonstration

La démonstration est omise.

En particulier, cela signifie qu’il est légitime de définir la catégorie des complexes de cochaînes dont les applications sont prises à homotopie près. Nous y reviendrons plus loin.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. On dit qu’un morphisme \(a : A^\bullet \to B^\bullet\) est un homotopisme s’il existe un morphisme \(b : B^\bullet \to A^\bullet\) tel qu’il existe une homotopie entre \(b \circ a\) et \(\text{id}_A\) et une homotopie entre \(a \circ b\) et \(\text{id}_B\). S’il existe un tel morphisme entre \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\), on dit que \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\) sont homotopiquement équivalents.

Autrement dit, deux complexes sont homotopiquement équivalents s’ils deviennent isomorphes dans la catégorie des complexes à homotopie près.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. La catégorie des complexes de cochaînes dans \(\mathcal{A}\) est abélienne.

2. Un morphisme de complexes de cochaînes \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) est injectif si et seulement si chaque \(f^n : A^n \to B^n\) est injectif.

3. Un morphisme de complexes de cochaînes \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) est surjectif si et seulement si chaque \(f^n : A^n \to B^n\) est surjectif.

4. Une suite de complexes de cochaînes \[A^\bullet \xrightarrow{f} B^\bullet \xrightarrow{g} C^\bullet\] est exacte en \(B^\bullet\) si et seulement si chaque suite \[A^i \xrightarrow{f^i} B^i \xrightarrow{g^i} C^i\] est exacte en \(B^i\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), le \(i\)-ième objet de cohomologie d’un complexe de cochaînes \(A^\bullet\) est défini par la formule suivante : \[H^i(A^\bullet) = \Ker(d^i)/\Im(d^{i - 1}).\] Si \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) est un morphisme de complexes de cochaînes de \(\mathcal{A}\), on obtient un morphisme induit \(H^i(f) : H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\) car, manifestement, \(f^i(\Ker(d^i : A^i \to A^{i + 1})) \subset \Ker(d^i : B^i \to B^{i + 1})\), et de même pour \(\Im(d^{i - 1})\). On obtient ainsi un foncteur \[H^i : \text{CoCh}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}.\]

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Un morphisme de complexes de cochaînes \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) de \(\mathcal{A}\) est appelé un quasi-isomorphisme si les applications induites \(H^i(f) : H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\) sont des isomorphismes pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

2. Un complexe de cochaînes \(A^\bullet\) est dit acyclique si tous ses objets de cohomologie \(H^i(A^\bullet)\) sont nuls.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Si les applications \(f, g : A^\bullet \to B^\bullet\) sont homotopes, alors les applications induites \(H^i(f)\) et \(H^i(g)\) sont égales.

2. Si \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) est un homotopisme, alors \(f\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \[0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\] soit une suite exacte courte de complexes de cochaînes de \(\mathcal{A}\). Il existe alors une suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots \ar[lld] \\ H^i(A^\bullet) \ar[r] & H^i(B^\bullet) \ar[r] & H^i(C^\bullet) \ar[lld] \\ H^{i + 1}(A^\bullet) \ar[r] & H^{i + 1}(B^\bullet) \ar[r] & H^{i + 1}(C^\bullet) \ar[lld] \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] La construction produit des suites exactes longues de cohomologie qui sont fonctorielles en la suite exacte courte et compatibles aux décalages au sens de la définition 011H.

Démonstration

Pour les applications horizontales \(H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\) et \(H^i(B^\bullet) \to H^i(C^\bullet)\), on utilise le fait que \(H^i\) est un foncteur, comme on l’a vu ci-dessus. Pour l’« homomorphisme bord » \(H^i(C^\bullet) \to H^{i + 1}(A^\bullet)\), on utilise l’application \(\delta\) du lemme du serpent 010H appliqué au diagramme \[\xymatrix{ & A^i/\Im(d_A^{i - 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_A^i} & B^i/\Im(d_B^{i - 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_B^i} & C^i/\Im(d_C^{i - 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_C^i} & 0 \\ 0 \ar[r] & \Ker(d_A^{i + 1}) \ar[r] & \Ker(d_B^{i + 1}) \ar[r] & \Ker(d_C^{i + 1}) & }\] Cela fonctionne car le noyau de l’application verticale de droite est égal à \(H^i(C^\bullet)\) et le conoyau de l’application verticale de gauche est \(H^{i + 1}(A^\bullet)\). L’exactitude de la suite longue est l’exactitude de la partie (2) du lemme 010H. La fonctorialité est le lemme 08N7. La compatibilité aux décalages résulte immédiatement des définitions.

Homotopie et foncteur de translation

Il est fâcheux que signes et indices doivent intervenir dans toute discussion d’algèbre homologique².

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(A_\bullet\) un complexe de chaînes de différentielles \(d_{A, n} : A_n \to A_{n - 1}\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), on définit le complexe de chaînes décalé de \(k\), \(A[k]_\bullet\) comme suit :

1. on pose \(A[k]_n = A_{n + k}\), et

2. on définit \(d_{A[k], n} : A[k]_n \to A[k]_{n - 1}\) par \(d_{A[k], n} = (-1)^k d_{A, n + k}\).

Si \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) est un morphisme de complexes de chaînes, on note \(f[k] : A[k]_\bullet \to B[k]_\bullet\) le morphisme de complexes de chaînes donné par \(f[k]_n = f_{k + n}\).

Bien entendu, cela signifie que l’on dispose de foncteurs \([k] : \text{Ch}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}(\mathcal{A})\) qui commutent deux à deux (au sens strict, sans qu’interviennent d’isomorphismes de foncteurs), tels que \(A[k][l]_\bullet = A[k + l]_\bullet\) et \([0] = \text{id}_{\text{Ch}(\mathcal{A})}\).

Rappelons que l’on considère \(\mathcal{A}\) comme une sous-catégorie pleine de \(\text{Ch}(\mathcal{A})\) ; voir la section 010V. Ainsi, pour tout objet \(A\) de \(\mathcal{A}\), la notation \(A[k]\) désigne l’unique complexe de chaînes nul en tout degré sauf à avoir \(A\) en degré \(-k\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A_\bullet\) un complexe de chaînes de différentielles \(d_{A, n} : A_n \to A_{n - 1}\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), on identifie \(H_{i + k}(A_\bullet) \rightarrow H_i(A[k]_\bullet)\) au moyen de l’identification \(A_{i + k} = A[k]_i\).

Cette identification est fonctorielle en \(A_\bullet\). Notons que, puisqu’aucun signe n’intervient dans cette définition, on obtient en fait un système compatible d’identifications de tous les objets d’homologie \(H_{i - k}(A[k]_\bullet)\), qui sont en outre compatibles aux identifications \(A[k][l]_\bullet = A[k + l]_\bullet\) et à \([0] = \text{id}_{\text{Ch}(\mathcal{A})}\).

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Supposons que \(A_\bullet\) et \(B_\bullet\) soient des complexes de chaînes, que \(a, b : A_\bullet \to B_\bullet\) soient des morphismes de complexes de chaînes et que \(\{h_i : A_i \to B_{i + 1}\}\) soit une homotopie entre \(a\) et \(b\). Rappelons que cela signifie que \(a_i - b_i = d_{i + 1} \circ h_i + h_{i - 1} \circ d_i\). Que se passe-t-il si \(a = b\) ? On obtient alors la formule \(0 = d_{i + 1} \circ h_i + h_{i - 1} \circ d_i\), autrement dit \(- d_{i + 1} \circ h_i = h_{i - 1} \circ d_i\). D’après la définition ci-dessus, cela signifie que la famille \(\{h_i\}\) définit un morphisme de complexes de chaînes \[A_\bullet \longrightarrow B[1]_\bullet.\] Une telle donnée équivaut à un morphisme \(A[-1]_\bullet \to B_\bullet\) d’après les remarques précédentes. Ceci démontre le lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Supposons que \(A_\bullet\) et \(B_\bullet\) soient des complexes de chaînes. Pour tout morphisme de complexes de chaînes \(a : A_\bullet \to B_\bullet\), il existe une bijection entre l’ensemble des homotopies de \(a\) à \(a\) et \(\Mor_{\text{Ch}(\mathcal{A})}(A_\bullet, B[1]_\bullet)\). Plus généralement, l’ensemble des homotopies entre \(a\) et \(b\) est soit vide, soit un espace principal homogène sous le groupe \(\Mor_{\text{Ch}(\mathcal{A})}(A_\bullet, B[1]_\bullet)\).

Démonstration

Voir ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[0 \to A_\bullet \to B_\bullet \to C_\bullet \to 0\] une suite exacte courte de complexes. Supposons que \(\{s_n : C_n \to B_n\}\) soit une famille de morphismes scindant les suites exactes courtes \(0 \to A_n \to B_n \to C_n \to 0\). Soient \(\pi_n : B_n \to A_n\) les projections associées ; voir le lemme 010G. Alors la famille de morphismes \[\pi_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n : C_n \to A_{n - 1}\] définit un morphisme de complexes \(\delta(s) : C_\bullet \to A[-1]_\bullet\).

Démonstration

Notons \(i : A_\bullet \to B_\bullet\) et \(q : B_\bullet \to C_\bullet\) les applications de complexes de la suite exacte courte. Alors \(i_{n - 1} \circ \pi_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = d_{B, n} \circ s_n - s_{n - 1} \circ d_{C, n}\). Par conséquent, \(i_{n - 2} \circ d_{A, n - 1} \circ \pi_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = d_{B, n - 1} \circ (d_{B, n} \circ s_n - s_{n - 1} \circ d_{C, n}) = - d_{B, n - 1} \circ s_{n - 1} \circ d_{C, n}\), comme désiré.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le lemme 011D ci-dessus. Le morphisme de complexes \(\delta(s) : C_\bullet \to A[-1]_\bullet\) induit les applications \[H_i(\delta(s)) : H_i(C_\bullet) \longrightarrow H_i(A[-1]_\bullet) = H_{i - 1}(A_\bullet)\] qui interviennent dans la suite exacte longue d’homologie associée à la suite exacte courte de complexes de chaînes par le lemme 0111.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le lemme 011D ci-dessus. Supposons que \(\{s'_n : C_n \to B_n\}\) soit un second choix de scindages. Écrivons \(s'_n = s_n + i_n \circ h_n\) pour d’uniques morphismes \(h_n : C_n \to A_n\). La famille d’applications \(\{h_n : C_n \to A[-1]_{n + 1}\}\) est une homotopie entre les morphismes associés \(\delta(s), \delta(s') : C_\bullet \to A[-1]_\bullet\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(A^\bullet\) un complexe de cochaînes de différentielles \(d_A^n : A^n \to A^{n + 1}\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), on définit le complexe de cochaînes décalé de \(k\), \(A[k]^\bullet\) comme suit :

1. on pose \(A[k]^n = A^{n + k}\), et

2. on définit \(d_{A[k]}^n : A[k]^n \to A[k]^{n + 1}\) par \(d_{A[k]}^n = (-1)^k d_A^{n + k}\).

Si \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) est un morphisme de complexes de cochaînes, on note \(f[k] : A[k]^\bullet \to B[k]^\bullet\) le morphisme de complexes de cochaînes donné par \(f[k]^n = f^{k + n}\).

Bien entendu, cela signifie que l’on dispose de foncteurs \([k] : \text{CoCh}(\mathcal{A}) \to \text{CoCh}(\mathcal{A})\) qui commutent deux à deux (au sens strict, sans qu’interviennent d’isomorphismes de foncteurs) et tels que \(A[k][l]^\bullet = A[k + l]^\bullet\) et \([0] = \text{id}_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}\).

Rappelons que l’on considère \(\mathcal{A}\) comme une sous-catégorie pleine de \(\text{CoCh}(\mathcal{A})\) ; voir la section 010V. Ainsi, pour tout objet \(A\) de \(\mathcal{A}\), la notation \(A[k]\) désigne l’unique complexe de cochaînes nul en tout degré sauf à avoir \(A\) en degré \(-k\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A^\bullet\) un complexe de cochaînes de différentielles \(d_A^n : A^n \to A^{n + 1}\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), on identifie \(H^{i + k}(A^\bullet) \longrightarrow H^i(A[k]^\bullet)\) au moyen de l’identification \(A^{i + k} = A[k]^i\).

Cette identification est fonctorielle en \(A^\bullet\). Notons que, puisqu’aucun signe n’intervient dans cette définition, on obtient en fait un système compatible d’identifications de tous les objets d’homologie \(H^{i - k}(A[k]^\bullet)\), qui sont en outre compatibles aux identifications \(A[k][l]^\bullet = A[k + l]^\bullet\) et à \([0] = \text{id}_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}\).

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Supposons que \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\) soient des complexes de cochaînes, que \(a, b : A^\bullet \to B^\bullet\) soient des morphismes de complexes de cochaînes et que \(\{h^i : A^i \to B^{i - 1}\}\) soit une homotopie entre \(a\) et \(b\). Rappelons que cela signifie que \(a^i - b^i = d^{i - 1} \circ h^i + h^{i + 1} \circ d^i\). Que se passe-t-il si \(a = b\) ? On obtient alors la formule \(0 = d^{i - 1} \circ h^i + h^{i + 1} \circ d^i\), autrement dit \(- d^{i - 1} \circ h^i = h^{i + 1} \circ d^i\). D’après la définition ci-dessus, cela signifie que la famille \(\{h^i\}\) définit un morphisme de complexes de cochaînes \[A^\bullet \longrightarrow B[-1]^\bullet.\] Une telle donnée équivaut à un morphisme \(A[1]^\bullet \to B^\bullet\) d’après les remarques précédentes. Ceci démontre le lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Supposons que \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\) soient des complexes de cochaînes. Pour tout morphisme de complexes de cochaînes \(a : A^\bullet \to B^\bullet\), il existe une bijection entre l’ensemble des homotopies de \(a\) à \(a\) et \(\Mor_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}(A^\bullet, B[-1]^\bullet)\). Plus généralement, l’ensemble des homotopies entre \(a\) et \(b\) est soit vide, soit un espace principal homogène sous le groupe \(\Mor_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}(A^\bullet, B[-1]^\bullet)\).

Démonstration

Voir ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \[0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\] un complexe (!) de complexes. Supposons donnés des scindages \(B^n = A^n \oplus C^n\) compatibles avec les applications de la suite affichée. Soient \(s^n : C^n \to B^n\) et \(\pi^n : B^n \to A^n\) les applications correspondantes. Alors la famille de morphismes \[\pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n : C^n \to A^{n + 1}\] définit un morphisme de complexes \(\delta : C^\bullet \to A[1]^\bullet\).

Démonstration

Notons \(i : A^\bullet \to B^\bullet\) et \(q : B^\bullet \to C^\bullet\) les applications de complexes de la suite exacte courte. Alors \(i^{n + 1} \circ \pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n = d_B^n \circ s^n - s^{n + 1} \circ d_C^n\). Par conséquent, \(i^{n + 2} \circ d_A^{n + 1} \circ \pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n = d_B^{n + 1} \circ (d_B^n \circ s^n - s^{n + 1} \circ d_C^n) = - d_B^{n + 1} \circ s^{n + 1} \circ d_C^n\), comme désiré.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le lemme 011J ci-dessus. Supposons en outre que \(\mathcal{A}\) soit abélienne. Le morphisme de complexes \(\delta : C^\bullet \to A[1]^\bullet\) induit les applications \[H^i(\delta) : H^i(C^\bullet) \longrightarrow H^i(A[1]^\bullet) = H^{i + 1}(A^\bullet)\] qui interviennent dans la suite exacte longue d’homologie associée à la suite exacte courte de complexes de cochaînes par le lemme 0117.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le lemme 011J. Soient \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\) et \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\) les morphismes de complexes donnés. Supposons que \((s')^n : C^n \to B^n\) et \((\pi')^n : B^n \to A^n\) constituent un second choix de scindages. Écrivons \((s')^n = s^n + \alpha^n \circ h^n\) et \((\pi')^n = \pi^n + g^n \circ \beta^n\) pour d’uniques morphismes \(h^n : C^n \to A^n\) et \(g^n : C^n \to A^n\). Alors :

1. \(g^n = - h^n\), et

2. la famille d’applications \(\{g^n : C^n \to A[1]^{n - 1}\}\) est une homotopie entre \(\delta, \delta' : C^\bullet \to A[1]^\bullet\) ; plus précisément, \((\delta')^n = \delta^n + g^{n + 1} \circ d_C^n + d_{A[1]}^{n - 1} \circ g^n\).

Démonstration

Comme \((s')^n\) et \((\pi')^n\) sont des scindages, on a \((\pi')^n \circ (s')^n = 0\). Ainsi \[0 = ( \pi^n + g^n \circ \beta^n ) \circ ( s^n + \alpha^n \circ h^n ) = g^n \circ \beta^n \circ s^n + \pi^n \circ \alpha^n \circ h^n = g^n + h^n\] ce qui démontre (1). Calculons \((\delta')^n\) comme suit : \[( \pi^{n + 1} + g^{n + 1} \circ \beta^{n + 1} ) \circ d_B^n \circ ( s^n + \alpha^n \circ h^n ) = \delta^n + g^{n + 1} \circ d_C^n + d_A^n \circ h^n\] Puisque \(h^n = -g^n\) et \(d_{A[1]}^{n - 1} = -d_A^n\), on conclut que (2) est vérifié.

Troncatures des complexes

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A_\bullet\) un complexe de chaînes. Il existe plusieurs façons de tronquer le complexe \(A_\bullet\).

1. La troncature « bête » \(\sigma_{\leq n}\) est le sous-complexe \(\sigma_{\leq n} A_\bullet\) défini par la règle \((\sigma_{\leq n} A_\bullet)_i = 0\) si \(i > n\) et \((\sigma_{\leq n} A_\bullet)_i = A_i\) si \(i \leq n\). En image : \[\xymatrix{ \sigma_{\leq n}A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & A_n \ar[r] \ar[d] & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A_\bullet & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] & A_n \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r] & \ldots }\] Notons la propriété \(\sigma_{\leq n}A_\bullet / \sigma_{\leq n - 1}A_\bullet = A_n[-n]\).

2. La troncature « bête » \(\sigma_{\geq n}\) est le complexe quotient \(\sigma_{\geq n} A_\bullet\) défini par la règle \((\sigma_{\geq n} A_\bullet)_i = A_i\) si \(i \geq n\) et \((\sigma_{\geq n} A_\bullet)_i = 0\) si \(i < n\). En image : \[\xymatrix{ A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & A_n \ar[r] \ar[d] & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \sigma_{\geq n}A_\bullet & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] & A_n \ar[r] & 0 \ar[r] & \ldots }\] L’application de complexes \(\sigma_{\geq n}A_\bullet \to \sigma_{\geq n + 1}A_\bullet\) est surjective et son noyau est \(A_n[-n]\).

3. La troncature canonique \(\tau_{\geq n}A_\bullet\) est définie par l’image \[\xymatrix{ \tau_{\geq n}A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \Ker(d_n) \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A_\bullet & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] & A_n \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r] & \ldots }\] Notons que ces complexes ont la propriété suivante : \[H_i(\tau_{\geq n}A_\bullet) = \left\{ \begin{matrix} H_i(A_\bullet) & \text{si} & i \geq n \\ 0 & \text{si} & i < n \end{matrix} \right.\]

4. La troncature canonique \(\tau_{\leq n}A_\bullet\) est définie par l’image \[\xymatrix{ A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & A_n \ar[r] \ar[d] & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \tau_{\leq n}A_\bullet & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \Coker(d_{n + 1}) \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r] & \ldots }\] Notons que ces complexes ont la propriété suivante : \[H_i(\tau_{\leq n}A_\bullet) = \left\{ \begin{matrix} H_i(A_\bullet) & \text{si} & i \leq n \\ 0 & \text{si} & i > n \end{matrix} \right.\]

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A^\bullet\) un complexe de cochaînes. Il existe quatre façons de tronquer le complexe \(A^\bullet\).

1. La troncature « bête » \(\sigma_{\geq n}\) est le sous-complexe \(\sigma_{\geq n} A^\bullet\) défini par la règle \((\sigma_{\geq n} A^\bullet)^i = 0\) si \(i < n\) et \((\sigma_{\geq n} A^\bullet)^i = A^i\) si \(i \geq n\). En image : \[\xymatrix{ \sigma_{\geq n}A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & A^n \ar[r] \ar[d] & A^{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A^\bullet & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] & A^n \ar[r] & A^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] Notons la propriété \(\sigma_{\geq n}A^\bullet / \sigma_{\geq n + 1}A^\bullet = A^n[-n]\).

2. La troncature « bête » \(\sigma_{\leq n}\) est le complexe quotient \(\sigma_{\leq n} A^\bullet\) défini par la règle \((\sigma_{\leq n} A^\bullet)^i = 0\) si \(i > n\) et \((\sigma_{\leq n} A^\bullet)^i = A^i\) si \(i \leq n\). En image : \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] \ar[d] & A^n \ar[r] \ar[d] & A^{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \sigma_{\leq n}A^\bullet & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] & A^n \ar[r] & 0 \ar[r] & \ldots \\ }\] L’application de complexes \(\sigma_{\leq n}A^\bullet \to \sigma_{\leq n - 1}A^\bullet\) est surjective et son noyau est \(A^n[-n]\).

3. La troncature canonique \(\tau_{\leq n}A^\bullet\) est définie par l’image \[\xymatrix{ \tau_{\leq n}A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \Ker(d^n) \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A^\bullet & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] & A^n \ar[r] & A^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] Notons que ces complexes ont la propriété suivante : \[H^i(\tau_{\leq n}A^\bullet) = \left\{ \begin{matrix} H^i(A^\bullet) & \text{si} & i \leq n \\ 0 & \text{si} & i > n \end{matrix} \right.\]

4. La troncature canonique \(\tau_{\geq n}A^\bullet\) est définie par l’image \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] \ar[d] & A^n \ar[r] \ar[d] & A^{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \tau_{\geq n}A^\bullet & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \Coker(d^{n - 1}) \ar[r] & A^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] Notons que ces complexes ont la propriété suivante : \[H^i(\tau_{\geq n}A^\bullet) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i < n \\ H^i(A^\bullet) & \text{si} & i \geq n \end{matrix} \right.\]

Objets gradués

Posons la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. La catégorie des objets gradués de \(\mathcal{A}\), notée \(\text{Gr}(\mathcal{A})\), est la catégorie dont

1. les objets \(A = (A^i)\) sont les familles d’objets \(A^i\), \(i \in \mathbf{Z}\), de \(\mathcal{A}\), et

2. les morphismes \(f : A = (A^i) \to B = (B^i)\) sont les familles de morphismes \(f^i : A^i \to B^i\) de \(\mathcal{A}\).

Si \(\mathcal{A}\) admet les sommes directes dénombrables, on peut associer à un objet \(A = (A^i)\) de \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) l’objet \[A = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} A^i\] et poser \(k^iA = A^i\). Dans ce cas, \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) est équivalente à la catégorie des couples \((A, k)\) constitués d’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) et d’une décomposition en somme directe \[A = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} k^iA\] par des facteurs directs indexés par \(\mathbf{Z}\) ; un morphisme \((A, k) \to (B, k)\) entre de tels objets est donné par un morphisme \(\varphi : A \to B\) de \(\mathcal{A}\) tel que \(\varphi(k^iA) \subset k^iB\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Chaque fois que notre catégorie additive \(\mathcal{A}\) admet les sommes directes dénombrables, nous utiliserons cette équivalence sans autre mention.

Cependant, avec nos définitions, une catégorie additive ou abélienne n’admet pas nécessairement toutes les sommes directes (dénombrables). Dans ce cas, notre définition garde un sens. Par exemple, si \(\mathcal{A} = \text{Vect}_k\) est la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps \(k\), alors \(\text{Gr}(\text{Vect}_k)\) est la catégorie des espaces vectoriels munis d’une graduation dont toutes les composantes graduées sont de dimension finie, et non la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie munis d’une graduation.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La catégorie des objets gradués \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) est abélienne.

Démonstration

Soit \(f : A = (A^i) \to B = (B^i)\) un morphisme d’objets gradués de \(\mathcal{A}\) donné par des morphismes \(f^i : A^i \to B^i\) de \(\mathcal{A}\). On a alors \(\Ker(f) = (\Ker(f^i))\) et \(\Coker(f) = (\Coker(f^i))\) dans la catégorie \(\text{Gr}(\mathcal{A})\). Comme \(\Im = \Coim\) dans \(\mathcal{A}\), on voit qu’il en est de même dans \(\text{Gr}(\mathcal{A})\).

Remarque

Il existe des catégories abéliennes \(\mathcal{A}\) qui admettent les sommes directes dénombrables, mais dans lesquelles celles-ci ne sont pas exactes. Un exemple est la catégorie opposée à celle des faisceaux abéliens sur \(\mathbf{R}\). En effet, la catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathbf{R}\) admet les produits dénombrables, mais ceux-ci ne sont pas exacts. Pour une telle catégorie, le foncteur \(\text{Gr}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\), \((A^i) \mapsto \bigoplus A^i\), décrit ci-dessus n’est pas exact. Il reste vrai que \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) est équivalente à la catégorie des objets gradués \((A, k)\) de \(\mathcal{A}\), mais le noyau, dans la catégorie des objets gradués, d’une application \(\varphi : (A, k) \to (B, k)\) n’est pas égal à \(\Ker(\varphi)\) muni d’une décomposition en somme directe : c’est plutôt la somme directe des noyaux des applications \(k^iA \to k^iB\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Si \(A = (A^i)\) est un objet gradué, alors son \(k\)-ième décalé \(A[k]\) est l’objet gradué défini par \(A[k]^i = A^{k + i}\).

Si \(A\) et \(B\) sont des objets gradués de \(\mathcal{A}\), on a [09MH]\[\begin{equation} \Hom_{\text{Gr}(\mathcal{A})}(A, B[k]) = \Hom_{\text{Gr}(\mathcal{A})}(A[-k], B) \end{equation}\] et un élément de ce groupe est parfois appelé une application d’objets gradués homogène de degré \(k\).

Pour tout ensemble \(G\), on peut définir les objets \(G\)-gradués de \(\mathcal{A}\) comme formant la catégorie dont les objets sont les familles \(A = (A^g)_{g \in G}\) d’objets paramétrées par les éléments de \(G\). Les morphismes \(f : A \to B\) sont définis comme les familles d’applications \(f^g : A^g \to B^g\) où \(g\) parcourt les éléments de \(G\). Si \(G\) est un groupe abélien, on peut définir sans ambiguïté des foncteurs de translation \([g]\) sur la catégorie des objets \(G\)-gradués par la règle \((A[g])^{g_0} = A^{g + g_0}\). Un cas particulier de ce type de construction est celui où \(G = \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\). Les objets de la catégorie sont alors appelés des objets bigradués de \(\mathcal{A}\). La composante \((p, q)\) d’un objet bigradué \(A\) est habituellement notée \(A^{p, q}\). Pour \((a, b) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\), on écrit \(A[a, b]\) au lieu de \(A[(a, b)]\). Un morphisme \(A \to A[a, b]\) est parfois appelé une application de bidegré \((a, b)\).

Catégories monoïdales additives

Voici quelques éléments sur l’interaction entre une structure monoïdale et une structure additive sur une catégorie.

Définition

Une catégorie monoïdale additive est une catégorie additive \(\mathcal{A}\) munie d’une structure monoïdale \(\otimes, \phi\) (Catégories, définition 0FFK) telle que \(\otimes\) soit un foncteur additif en chacune des variables.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie monoïdale additive. Si \(Y_i\), \(i = 1, 2\), sont des duaux à gauche de \(X_i\), \(i = 1, 2\), alors \(Y_1 \oplus Y_2\) est un dual à gauche de \(X_1 \oplus X_2\).

Démonstration

Cela résulte de l’unicité des adjoints et de Catégories, remarque 0FFR.

Lemme

Dans une catégorie monoïdale additive karoubienne, tout facteur direct d’un objet qui admet un dual à gauche admet un dual à gauche.

Démonstration

Nous utiliserons Catégories, lemme 0FFQ, sans autre mention. Soit \(X\) un objet qui admet un dual à gauche \(Y\). On a \[\Hom(X, X) = \Hom(\mathbf{1}, X \otimes Y) = \Hom(Y, Y)\] Si \(a : X \to X\) correspond à \(b : Y \to Y\), alors \(b\) est l’unique endomorphisme de \(Y\) tel que précomposer par \(a\) dans \[\Hom(Z' \otimes X, Z) = \Hom(Z', Z \otimes Y)\] revienne à postcomposer par \(1 \otimes b\). La bijection \(\Hom(X, X) \to \Hom(Y, Y)\), \(a \mapsto b\), est donc un isomorphisme de l’algèbre opposée à \(\Hom(X, X)\) sur l’algèbre \(\Hom(Y, Y)\). En particulier, si \(X = X_1 \oplus X_2\), alors les projecteurs correspondants \(e_1, e_2\) sont envoyés sur des idempotents de \(\Hom(Y, Y)\). Si \(Y = Y_1 \oplus Y_2\) est la décomposition en somme directe correspondante de \(Y\) (section 09SF), on voit alors que, sous la bijection \(\Hom(Z' \otimes X, Z) = \Hom(Z', Z \otimes Y)\), on a \(\Hom(Z' \otimes X_i, Z) = \Hom(Z', Z \otimes Y_i)\) fonctoriellement comme sous-groupes, pour \(i = 1, 2\). Il s’ensuit que \(Y_i\) est le dual à gauche de \(X_i\), d’après la discussion de Catégories, remarque 0FFR.

Exemple

Soit \(F\) un corps. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des espaces vectoriels \(F\)-gradués. Étant donnés des espaces vectoriels gradués \(V\) et \(W\), on note \(V \otimes W\) l’espace vectoriel \(F\)-gradué dont la partie de degré \(n\) est \[(V \otimes W)^n = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} V^p \otimes_F W^q\] Pour un troisième espace vectoriel gradué \(U\), on prend comme contrainte d’associativité \(\phi : U \otimes (V \otimes W) \to (U \otimes V) \otimes W\) les isomorphismes « usuels » \[U^p \otimes_F (V^q \otimes_F W^r) \to (U^p \otimes_F V^q) \otimes_F W^r\] d’espaces vectoriels. Comme unité, on prend l’espace vectoriel \(F\)-gradué \(\mathbf{1}\) qui vaut \(F\) en degré \(0\) et est nul dans les autres degrés. Il existe deux contraintes de commutativité sur \(\mathcal{C}\) qui font de \(\mathcal{C}\) une catégorie monoïdale symétrique : l’une fait intervenir des signes et l’autre non. Nous utiliserons habituellement la première. Explicitement, si \(V\) et \(W\) sont des espaces vectoriels \(F\)-gradués, nous utiliserons l’isomorphisme \(\psi : V \otimes W \to W \otimes V\) qui, en degré \(n\), emploie \[V^p \otimes_F W^q \to W^q \otimes_F V^p,\quad v \otimes w \mapsto (-1)^{pq} w \otimes v\] Nous omettons la vérification que cela convient.

Lemme

Soit \(F\) un corps. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des espaces vectoriels \(F\)-gradués, considérée comme catégorie monoïdale ainsi que dans l’exemple 0FFX. Si \(V\) dans \(\mathcal{C}\) admet un dual à gauche \(W\), alors \(\sum_n \dim_F V^n < \infty\) et l’application \(\epsilon\) définit des accouplements non dégénérés \(W^{-n} \times V^n \to F\).

Démonstration

Pour unité, nous prenons D’après Catégories, définition 0FFP, on a des applications \[\eta : \mathbf{1} \to V \otimes W\quad \epsilon : W \otimes V \to \mathbf{1}\] Comme \(\mathbf{1} = F\) placé en degré \(0\), on peut considérer \(\epsilon\) comme une famille d’accouplements \(W^{-n} \times V^n \to F\) comme dans l’énoncé du lemme. Choisissons des bases \(\{e_{n, i}\}_{i \in I_n}\) de \(V^n\) pour tout \(n\). Écrivons \[\eta(1) = \sum e_{n, i} \otimes w_{-n, i}\] pour des éléments \(w_{-n, i} \in W^{-n}\) presque tous nuls ! La condition que \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta)\) soit l’identité sur \(W\) signifie que \[\sum\nolimits_{n, i} \epsilon(w, e_{n, i})w_{-n, i} = w\] On voit ainsi que \(W\) est engendré, comme espace vectoriel gradué, par les vecteurs non nuls \(w_{-n, i}\), qui sont en nombre fini. La condition que \((1 \otimes \epsilon) \circ (\eta \otimes 1)\) soit l’identité de \(V\) signifie que \[\sum\nolimits_{n, i} e_{n, i}\ \epsilon(w_{-n, i}, v) = v\] En particulier, en posant \(v = e_{n, i}\), on conclut que \(\epsilon(w_{-n, i}, e_{n, i'}) = \delta_{ii'}\). Ainsi, l’énoncé du lemme est vérifié et \(\{w_{-n, i}\}_{i \in I_n}\) est la base duale de \(W^{-n}\) associée à la base choisie de \(V^n\).

Complexes doubles et complexes simples associés

Nous étudions les complexes doubles et les complexes simples associés.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Un complexe double dans \(\mathcal{A}\) est la donnée d’un système \((\{A^{p, q}, d_1^{p, q}, d_2^{p, q}\}_{p, q\in \mathbf{Z}})\), où chaque \(A^{p, q}\) est un objet de \(\mathcal{A}\) et où \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) et \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) sont des morphismes de \(\mathcal{A}\) qui satisfont aux règles suivantes :

1. \(d_1^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} = 0\)

2. \(d_2^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q} = 0\)

3. \(d_1^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q} = d_2^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q}\)

pour tous \(p, q \in \mathbf{Z}\).

C’est simplement la version cochaînique de la définition. Elle dit que chaque \(A^{p, \bullet}\) est un complexe de cochaînes et que chaque \(d_1^{p, \bullet}\) est un morphisme de complexes \(A^{p, \bullet} \to A^{p + 1, \bullet}\) tel que \(d_1^{p + 1, \bullet} \circ d_1^{p, \bullet} = 0\) comme morphismes de complexes. Autrement dit, un complexe double peut être considéré comme un complexe de complexes. Ainsi, dans le diagramme \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots \ar[r] & A^{p, q + 1} \ar[r]^{d_1^{p, q + 1}} \ar[u] & A^{p + 1, q + 1} \ar[r] \ar[u] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & A^{p, q} \ar[r]^{d_1^{p, q}} \ar[u]^{d_2^{p, q}} & A^{p + 1, q} \ar[r] \ar[u]_{d_2^{p + 1, q}} & \ldots \\ \ldots & \ldots \ar[u] & \ldots \ar[u] & \ldots }\] tout carré est commutatif. Avertissement : on rencontre dans la littérature une autre définition selon laquelle les carrés du diagramme anticommutent dans un « bicomplexe » ou un « complexe double ».

Exemple

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\) des catégories additives. Supposons que \[\otimes : \mathcal{A} \times \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{C}, \quad (X, Y) \longmapsto X \otimes Y\] soit un foncteur bilinéaire sur les morphismes ; voir Catégories, définition 001K, pour la définition de \(\mathcal{A} \times \mathcal{B}\). Étant donnés un complexe \(X^\bullet\) de \(\mathcal{A}\) et un complexe \(Y^\bullet\) de \(\mathcal{B}\), on obtient un complexe double \[K^{\bullet, \bullet} = X^\bullet \otimes Y^\bullet\] dans \(\mathcal{C}\). Ici, la première différentielle \(K^{p, q} \to K^{p + 1, q}\) est le morphisme \(X^p \otimes Y^q \to X^{p + 1} \otimes Y^q\) induit par le morphisme \(X^p \to X^{p + 1}\) et l’identité de \(Y^q\). De même pour la seconde différentielle.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(A^{\bullet, \bullet}\) un complexe double. Le complexe simple associé, noté \(sA^\bullet\), également appelé souvent le complexe total associé, noté \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\), est donné par \[sA^n = \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet}) = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} A^{p, q}\] (s’il existe), avec pour différentielle \[d_{sA^\bullet}^n = d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}^n = \sum\nolimits_{n = p + q} (d_1^{p, q} + (-1)^p d_2^{p, q})\]

Si les sommes directes dénombrables existent dans \(\mathcal{A}\), ou si, pour chaque \(n\), seuls un nombre fini de \(A^{p, n - p}\) sont non nuls, alors \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) existe. Notons que la définition n’est pas symétrique en les indices \((p, q)\).

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(A^{\bullet, \bullet, \bullet}\) un complexe triple. Le complexe simple associé est le complexe de termes \[\text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet, \bullet}) = \bigoplus\nolimits_{p + q + r = n} A^{p, q, r}\] et de différentielle \[d^n_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet, \bullet})} = \sum\nolimits_{p + q + r = n} d_1^{p, q, r} + (-1)^pd_2^{p, q, r} + (-1)^{p + q}d_3^{p, q, r}\] Avec cette définition, un calcul simple montre que le complexe simple associé est égal à \[\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet, \bullet}) = \text{Tot}(\text{Tot}_{12}(A^{\bullet, \bullet, \bullet})) = \text{Tot}(\text{Tot}_{23}(A^{\bullet, \bullet, \bullet}))\] Autrement dit, on peut d’abord combiner les deux premières variables, puis combiner leur somme avec la dernière, ou bien combiner d’abord les deux dernières variables, puis la première avec la somme des deux dernières.

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(A^{\bullet, \bullet}\) un complexe double de différentielles \(d_1^{p, q}\) et \(d_2^{p, q}\). Notons \(A^{\bullet, \bullet}[a, b]\) le complexe double défini par \[(A^{\bullet, \bullet}[a, b])^{p, q} = A^{p + a, q + b}\] et par les différentielles \[d_{A^{\bullet, \bullet}[a, b], 1}^{p, q} = (-1)^a d_1^{p + a, q + b} \quad\text{et}\quad d_{A^{\bullet, \bullet}[a, b], 2}^{p, q} = (-1)^b d_2^{p + a, q + b}\] Dans cette situation, il existe un isomorphisme bien défini \[\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[a + b] \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[a, b])\] qui, en degré \(n\), est donné par l’application \[\xymatrix{ (\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[a + b])^n = \bigoplus_{p + q = n + a + b} A^{p, q} \ar[d]^{\epsilon(p, q, a, b)\text{id}_{A^{p, q}}} \\ \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[a, b])^n = \bigoplus_{p' + q' = n} A^{p' + a, q' + b} }\] pour un certain signe \(\epsilon(p, q, a, b)\). Bien entendu, le facteur \(A^{p, q}\) s’envoie sur le facteur \(A^{p' + a, q' + b}\) lorsque \(p = p' + a\) et \(q = q' + b\). Pour déterminer les conditions sur ces signes, observons que, sur la source, on a \[d|_{A^{p, q}} = (-1)^{a + b}\left(d_1^{p, q} + (-1)^pd_2^{p, q}\right)\] tandis que, sur le but, on a \[d|_{A^{p' + a, q' + b}} = (-1)^ad_1^{p' + a, q' + b} + (-1)^{p'}(-1)^bd_2^{p' + a, q' + b}\] Nos contraintes sont donc \[(-1)^a \epsilon(p, q, a, b) = \epsilon(p + 1, q, a, b)(-1)^{a + b} \Leftrightarrow \epsilon(p + 1, q, a, b) = (-1)^b \epsilon(p, q, a, b)\] et \[(-1)^{p' + b}\epsilon(p, q, a, b) = \epsilon(p, q + 1, a, b) (-1)^{a + b + p} \Leftrightarrow \epsilon(p, q, a, b) = \epsilon(p, q + 1, a, b)\] On choisit donc \(\epsilon(p, q, a, b) = (-1)^{pb}\).

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive admettant les sommes directes dénombrables. Notons \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) la catégorie des complexes doubles. On peut considérer un objet \(A^{\bullet, \bullet}\) de \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) comme un complexe de complexes de la manière suivante : \[\ldots \to A^{\bullet, -1} \to A^{\bullet, 0} \to A^{\bullet, 1} \to \ldots\] Pour la variante où les rôles des indices sont échangés, voir la remarque 0G6B. Dans cette remarque, nous montrons que prendre le complexe simple associé est compatible avec toutes les structures sur les complexes étudiées jusqu’ici dans le chapitre.

Premièrement, observons que le foncteur de translation sur les complexes doubles considérés comme complexes de complexes de la manière indiquée ci-dessus est le foncteur \([0, 1]\) défini dans la remarque 0FLG. D’après la remarque 0FLG, le foncteur \[\text{Tot} : \text{DoubleComp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{A})\] est compatible aux foncteurs de translation, au sens où l’on dispose d’un isomorphisme fonctoriel \(\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1] \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[0, 1])\).

Deuxièmement, si \[f, g : A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}\] sont homotopes lorsque \(f\) et \(g\) sont considérés comme des morphismes de complexes de complexes de la manière indiquée ci-dessus, alors \[\text{Tot}(f), \text{Tot}(g) : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})\] sont des applications homotopes de complexes. En effet, soit \(h = (h^q)\) une homotopie entre \(f\) et \(g\). Si l’on note \(h^{p, q} : A^{p, q} \to B^{p, q - 1}\) la composante en degré \(p\) de \(h^q\), alors cela signifie que \[f^{p, q} - g^{p, q} = d_2^{p, q - 1} \circ h^{p, q} + h^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q}\] Le fait que \(h^q : A^{\bullet, q} \to B^{\bullet, q - 1}\) soit une application de complexes signifie que \[d_1^{p, q - 1} \circ h^{p, q} = h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q}\] Définissons \(h' = ((h')^n)\) comme l’homotopie donnée par les applications \((h')^n : \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n - 1}(B^{\bullet, \bullet})\) qui valent \((-1)^ph^{p, q}\) sur le facteur \(A^{p, q}\) pour \(p + q = n\). On voit alors que \[d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})} \circ h' + h' \circ d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}\] restreint au facteur \(A^{p, q}\) est égal à \[d_1^{p, q - 1} \circ (-1)^p h^{p, q} + (-1)^p d_2^{p, q - 1} \circ (-1)^p h^{p, q} + (-1)^{p + 1} h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} + (-1)^p h^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q}\] ce qui donne \(f^{p, q} - g^{p, q}\) d’après les équations ci-dessus. Ceci démontre la deuxième compatibilité.

Troisièmement, supposons que \(f = g\) dans le paragraphe précédent. Alors l’affectation \(h \leadsto h'\) ci-dessus est compatible à l’identification du lemme 011I. Plus précisément, si l’on considère \(h\) comme un morphisme de complexes de complexes \(A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}[0, -1]\) au moyen de ce lemme, alors \[\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(h)} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}[0, -1]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})[-1]\] est égal à \(h'\) considéré, au moyen du lemme, comme un morphisme de complexes. Ici, \(\gamma\) est l’identification de la remarque 0FLG. La vérification de ce troisième point est immédiate.

Quatrièmement, soit \[0 \to A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet} \to C^{\bullet, \bullet} \to 0\] un complexe de complexes doubles et supposons donnés des scindages \(s^q : C^{\bullet, q} \to B^{\bullet, q}\) et \(\pi^q : B^{\bullet, q} \to A^{\bullet, q}\) comme dans le lemme 011J, lorsque l’on considère les complexes doubles comme des complexes de complexes de la manière indiquée ci-dessus. D’une part, ceci produit une application \[\delta : C^{\bullet, \bullet} \longrightarrow A^{\bullet, \bullet}[0, 1]\] par le procédé du lemme 011J. D’autre part, en prenant \(\text{Tot}\), on obtient un complexe \[0 \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \to 0\] qui est scindé degré par degré (voir ci-dessous) et qui est donc muni d’un morphisme \[\delta' : \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] bien défini à homotopie près par les lemmes 011J et 011L. Affirmation : ces applications coïncident au sens où \[\text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(\delta)} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[0, 1]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] est égal à \(\delta'\), où \(\gamma\) est comme dans la remarque 0FLG. Pour le voir, notons \(s^{p, q} : C^{p, q} \to B^{\bullet, q}\) et \(\pi^{p, q} : B^{p, q} \to A^{p, q}\) les composantes de \(s^q\) et \(\pi^q\). Comme scindages \((s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet})\) et \((\pi')^n : \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet})\), on prend les applications dont les composantes sont \(s^{p, q}\) et \(\pi^{p, q}\) pour \(p + q = n\). Rappelons que \[(\delta')^n = (\pi')^{n + 1} \circ d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})}^n \circ (s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n + 1}(A^{\bullet, \bullet})\] La restriction de ceci au facteur \(C^{p, q}\) est égale à \[\pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q} + \pi^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q} \circ s^{p, q} = \pi^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q} \circ s^{p, q}\] L’égalité vaut parce que \(s^q\) est un morphisme de complexes (de différentielle \(d_1\)) et parce que \(\pi^{p + 1, q} \circ s^{p + 1, q} = 0\), puisque \(s\) et \(\pi\) correspondent à une décomposition en somme directe de \(B\) en chaque bidegré. D’autre part, pour \(\delta\), on a \[\delta^q = \pi^q \circ d_2 \circ s^q : C^{\bullet, q} \to A^{\bullet, q + 1}\] dont la restriction au facteur \(C^{p, q}\) est égale à \(\pi^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q} \circ s^{p, q}\). La différence de signes est exactement compensée par le signe \((-1)^p\) dans l’isomorphisme \(\gamma\), ce qui démontre la quatrième affirmation.

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive admettant les sommes directes dénombrables. Notons \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) la catégorie des complexes doubles. On peut considérer un objet \(A^{\bullet, \bullet}\) de \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) comme un complexe de complexes de la manière suivante : \[\ldots \to A^{-1, \bullet} \to A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to \ldots\] Pour la variante où les rôles des indices sont échangés, voir la remarque 0G6A. Dans cette remarque, nous montrons que prendre le complexe simple associé est compatible avec toutes les structures sur les complexes étudiées jusqu’ici dans le chapitre.

Premièrement, observons que le foncteur de translation sur les complexes doubles considérés comme complexes de complexes de la manière indiquée ci-dessus est le foncteur \([1, 0]\) défini dans la remarque 0FLG. D’après la remarque 0FLG, le foncteur \[\text{Tot} : \text{DoubleComp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{A})\] est compatible aux foncteurs de translation, au sens où l’on dispose d’un isomorphisme fonctoriel \(\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1] \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[1, 0])\).

Deuxièmement, si \[f, g : A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}\] sont homotopes lorsque \(f\) et \(g\) sont considérés comme des morphismes de complexes de complexes de la manière indiquée ci-dessus, alors \[\text{Tot}(f), \text{Tot}(g) : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})\] sont des applications homotopes de complexes. En effet, soit \(h = (h^p)\) une homotopie entre \(f\) et \(g\). Si l’on note \(h^{p, q} : A^{p, q} \to B^{p - 1, q}\) la composante en degré \(p\) de \(h^q\), alors cela signifie que \[f^{p, q} - g^{p, q} = d_1^{p - 1, q} \circ h^{p, q} + h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q}\] Le fait que \(h^p : A^{p, \bullet} \to B^{p - 1, \bullet}\) soit une application de complexes signifie que \[d_2^{p - 1, q} \circ h^{p, q} = h^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q}\] Définissons \(h' = ((h')^n)\) comme l’homotopie donnée par les applications \((h')^n : \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n - 1}(B^{\bullet, \bullet})\) qui valent \(h^{p, q}\) sur le facteur \(A^{p, q}\) pour \(p + q = n\). On voit alors que \[d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})} \circ h' + h' \circ d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}\] restreint au facteur \(A^{p, q}\) est égal à \[d_1^{p - 1, q} \circ h^{p, q} + (-1)^{p - 1} d_2^{p - 1, q} \circ h^{p, q} + h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} + h^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q}\] ce qui donne \(f^{p, q} - g^{p, q}\) d’après les équations ci-dessus. Ceci démontre la deuxième compatibilité.

Troisièmement, supposons que \(f = g\) dans le paragraphe précédent. Alors l’affectation \(h \leadsto h'\) ci-dessus est compatible à l’identification du lemme 011I. Plus précisément, si l’on considère \(h\) comme un morphisme de complexes de complexes \(A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}[-1, 0]\) au moyen de ce lemme, alors \[\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(h)} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}[-1, 0]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})[-1]\] est égal à \(h'\) considéré, au moyen du lemme, comme un morphisme de complexes. Ici, \(\gamma\) est l’identification de la remarque 0FLG. La vérification de ce troisième point est immédiate.

Quatrièmement, soit \[0 \to A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet} \to C^{\bullet, \bullet} \to 0\] un complexe de complexes doubles et supposons donnés des scindages \(s^p : C^{p, \bullet} \to B^{p, \bullet}\) et \(\pi^p : B^{p, \bullet} \to A^{p, \bullet}\) comme dans le lemme 011J, lorsque l’on considère les complexes doubles comme des complexes de complexes de la manière indiquée ci-dessus. D’une part, ceci produit une application \[\delta : C^{\bullet, \bullet} \longrightarrow A^{\bullet, \bullet}[0, 1]\] par le procédé du lemme 011J. D’autre part, en prenant \(\text{Tot}\), on obtient un complexe \[0 \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \to 0\] qui est scindé degré par degré (voir ci-dessous) et qui est donc muni d’un morphisme \[\delta' : \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] bien défini à homotopie près par les lemmes 011J et 011L. Affirmation : ces applications coïncident au sens où \[\text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(\delta)} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[1, 0]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] est égal à \(\delta'\), où \(\gamma\) est comme dans la remarque 0FLG. Pour le voir, notons \(s^{p, q} : C^{p, q} \to B^{\bullet, q}\) et \(\pi^{p, q} : B^{p, q} \to A^{p, q}\) les composantes de \(s^q\) et \(\pi^q\). Comme scindages \((s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet})\) et \((\pi')^n : \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet})\), on prend les applications dont les composantes sont \(s^{p, q}\) et \(\pi^{p, q}\) pour \(p + q = n\). Rappelons que \[(\delta')^n = (\pi')^{n + 1} \circ d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})}^n \circ (s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n + 1}(A^{\bullet, \bullet})\] La restriction de ceci au facteur \(C^{p, q}\) est égale à \[\pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q} + \pi^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q} \circ s^{p, q} = \pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q}\] L’égalité vaut parce que \(s^p\) est un morphisme de complexes (de différentielle \(d_2\)) et parce que \(\pi^{p, q + 1} \circ s^{p, q + 1} = 0\), puisque \(s\) et \(\pi\) correspondent à une décomposition en somme directe de \(B\) en chaque bidegré. D’autre part, pour \(\delta\), on a \[\delta^p = \pi^p \circ d_1 \circ s^p : C^{p, \bullet} \to A^{p + 1, \bullet}\] dont la restriction au facteur \(C^{p, q}\) est égale à \(\pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q}\). On obtient donc la même chose que précédemment, conformément au fait que l’isomorphisme \(\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1] \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[1, 0])\) est défini sans intervention de signes.

Filtrations

Une bonne référence pour ces notions est [HodgeII, section 1]. (Notons que nos conventions sur les catégories abéliennes sont différentes.)

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Une filtration décroissante \(F\) sur un objet \(A\) est une famille \((F^nA)_{n \in \mathbf{Z}}\) de sous-objets de \(A\) telle que \[A \supset \ldots \supset F^nA \supset F^{n + 1}A \supset \ldots \supset 0\]

2. Un objet filtré de \(\mathcal{A}\) est un couple \((A, F)\) constitué d’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) et d’une filtration décroissante \(F\) sur \(A\).

3. Un morphisme \((A, F) \to (B, F)\) d’objets filtrés est donné par un morphisme \(\varphi : A \to B\) de \(\mathcal{A}\) tel que \(\varphi(F^iA) \subset F^iB\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

4. La catégorie des objets filtrés est notée \(\text{Fil}(\mathcal{A})\).

5. Étant donnés un objet filtré \((A, F)\) et un sous-objet \(X \subset A\), la filtration induite sur \(X\) est la filtration définie par \(F^nX = X \cap F^nA\).

6. Étant donnés un objet filtré \((A, F)\) et une surjection \(\pi : A \to Y\), la filtration quotient est la filtration définie par \(F^nY = \pi(F^nA)\).

7. Une filtration \(F\) sur un objet \(A\) est dite finie s’il existe \(n, m\) tels que \(F^nA = A\) et \(F^mA = 0\).

8. Étant donné un objet filtré \((A, F)\), on dit que \(\bigcap F^iA\) existe s’il existe un plus grand sous-objet de \(A\) contenu dans tous les \(F^iA\). On dit que \(\bigcup F^iA\) existe s’il existe un plus petit sous-objet de \(A\) contenant tous les \(F^iA\).

9. La filtration d’un objet filtré \((A, F)\) est dite séparée si \(\bigcap F^iA = 0\) et exhaustive si \(\bigcup F^iA = A\).

Par abus de notation, on dit qu’un morphisme \(f : (A, F) \to (B, F)\) d’objets filtrés est injectif si \(f : A \to B\) est injectif dans la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). De même, on dit que \(f\) est surjectif si \(f : A \to B\) est surjectif dans la catégorie \(\mathcal{A}\). Être injectif (resp. surjectif) équivaut à être un monomorphisme (resp. un épimorphisme) dans \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). D’après le lemme 0122, cela équivaut aussi à avoir un noyau nul (resp. un conoyau nul).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La catégorie des objets filtrés \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) possède les propriétés suivantes :

1. C’est une catégorie additive.

2. Elle possède un objet nul.

3. Elle possède des noyaux et des conoyaux, des images et des coimages.

4. En général, ce n’est pas une catégorie abélienne.

Démonstration

Il est clair que \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) est additive, la somme directe étant donnée par \((A, F) \oplus (B, F) = (A \oplus B, F)\), où \(F^p(A \oplus B) = F^pA \oplus F^pB\). Le noyau d’un morphisme \(f : (A, F) \to (B, F)\) d’objets filtrés est l’injection \(\Ker(f) \subset A\), où \(\Ker(f)\) est muni de la filtration induite. Le conoyau d’un morphisme \(f : A \to B\) d’objets filtrés est la surjection \(B \to \Coker(f)\), où \(\Coker(f)\) est muni de la filtration quotient. Puisque tous les noyaux et conoyaux existent, il en va de même de toutes les coimages et images. Voir l’exemple 0108 pour la dernière assertion.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un morphisme \(f : A \to B\) d’objets filtrés de \(\mathcal{A}\) est dit strict si \(f(F^iA) = f(A) \cap F^iB\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

Cela équivaut aussi à exiger que \(f^{-1}(F^iB) = F^iA + \Ker(f)\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Caractérisons les morphismes stricts comme suit.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’objets filtrés de \(\mathcal{A}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est strict,

2. le morphisme \(\Coim(f) \to \Im(f)\) du lemme 0107 est un isomorphisme.

Démonstration

Notons que \(\Coim(f) \to \Im(f)\) est un isomorphisme entre les objets de \(\mathcal{A}\), et que la partie (2) signifie que c’est un isomorphisme d’objets filtrés. D’après la description des noyaux et conoyaux dans la démonstration du lemme 0122, on voit que la filtration sur \(\Coim(f)\) est la filtration quotient provenant de \(A \to \Coim(f)\). De même, la filtration sur \(\Im(f)\) est la filtration induite provenant de l’injection \(\Im(f) \to B\). Dire que le morphisme est strict signifie exactement que la filtration quotient est la filtration induite.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(f : A \to B\) un monomorphisme strict d’objets filtrés. Soit \(g : A \to C\) un morphisme d’objets filtrés. Alors \(f \oplus g : A \to B \oplus C\) est un monomorphisme strict.

Démonstration

Cela résulte clairement des définitions.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(f : B \to A\) un épimorphisme strict d’objets filtrés. Soit \(g : C \to A\) un morphisme d’objets filtrés. Alors \(f \oplus g : B \oplus C \to A\) est un épimorphisme strict.

Démonstration

Cela résulte clairement des définitions.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \((A, F)\), \((B, F)\) des objets filtrés. Soit \(u : A \to B\) un morphisme d’objets filtrés. Si \(u\) est injectif, alors \(u\) est strict si et seulement si la filtration sur \(A\) est la filtration induite. Si \(u\) est surjectif, alors \(u\) est strict si et seulement si la filtration sur \(B\) est la filtration quotient.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(f : A \to B\), \(g : B \to C\) des morphismes stricts d’objets filtrés.

1. En général, la composée \(g \circ f\) n’est pas stricte.

2. Si \(g\) est injectif, alors \(g \circ f\) est stricte.

3. Si \(f\) est surjectif, alors \(g \circ f\) est stricte.

Démonstration

Soit \(B\) un espace vectoriel sur un corps \(k\), de base \(e_1, e_2\), muni de la filtration \(F^nB = B\) pour \(n < 0\), \(F^0B = ke_1\), et \(F^nB = 0\) pour \(n > 0\). Prenons \(A = k(e_1 + e_2)\) et \(C = B/ke_2\) avec les filtrations induites par \(B\), c’est-à-dire telles que \(A \to B\) et \(B \to C\) soient stricts (lemme 0124). Alors \(F^n(A) = A\) pour \(n < 0\) et \(F^n(A) = 0\) pour \(n \geq 0\). De plus, \(F^n(C) = C\) pour \(n \leq 0\) et \(F^n(C) = 0\) pour \(n > 0\). La composée (non nulle) \(A \to C\) n’est donc pas stricte.

Supposons \(g\) injectif. Alors \[\begin{align*} g(f(F^pA)) & = g(f(A) \cap F^pB) \\ & = g(f(A)) \cap g(F^p(B)) \\ & = (g \circ f)(A) \cap (g(B) \cap F^pC) \\ & = (g \circ f)(A) \cap F^pC. \end{align*}\] La première égalité vient de ce que \(f\) est strict, la deuxième de ce que \(g\) est injectif, la troisième de ce que \(g\) est strict, et la quatrième de ce que \((g \circ f)(A) \subset g(B)\).

Supposons \(f\) surjectif. Alors \[\begin{align*} (g \circ f)^{-1}(F^iC) & = f^{-1}(F^iB + \Ker(g)) \\ & = f^{-1}(F^iB) + f^{-1}(\Ker(g)) \\ & = F^iA + \Ker(f) + \Ker(g \circ f) \\ & = F^iA + \Ker(g \circ f) \end{align*}\] La première égalité vient de ce que \(g\) est strict, la deuxième de ce que \(f\) est surjectif, la troisième de ce que \(f\) est strict, et la dernière de ce que \(\Ker(f) \subset \Ker(g \circ f)\).

Le lemme suivant dit que les sous-objets d’un objet filtré possèdent une filtration bien définie, indépendante du choix d’une présentation de l’objet comme conoyau.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A, F)\) un objet filtré de \(\mathcal{A}\). Soient \(X \subset Y \subset A\) des sous-objets de \(A\). Sur l’objet \[Y/X = \Ker(A/X \to A/Y)\] la filtration quotient provenant de la filtration induite sur \(Y\) et la filtration induite provenant de la filtration quotient sur \(A/X\) coïncident. Chacun des morphismes \(X \to Y\), \(X \to A\), \(Y \to A\), \(Y \to A/X\), \(Y \to Y/X\), \(Y/X \to A/X\) est strict (pour les filtrations induites/quotients).

Démonstration

La filtration quotient sur \(Y/X\) est donnée par \(F^p(Y/X) = F^pY/(X \cap F^pY) = F^pY/F^pX\) car \(F^pY = Y \cap F^pA\) et \(F^pX = X \cap F^pA\). La filtration induite par l’injection \(Y/X \to A/X\) est donnée par \[\begin{align*} F^p(Y/X) & = Y/X \cap F^p(A/X) \\ & = Y/X \cap (F^pA + X)/X \\ & = (Y \cap F^pA)/(X \cap F^pA) \\ & = F^pY/F^pX. \end{align*}\] D’où la première assertion du lemme. La démonstration des autres cas est analogue.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(A, B, C \in \text{Fil}(\mathcal{A})\). Soient \(f : A \to B\) et \(g : A \to C\) des morphismes. Il existe alors une somme amalgamée \[\xymatrix{ A \ar[r]_f \ar[d]_g & B \ar[d]^{g'} \\ C \ar[r]^{f'} & C \amalg_A B }\] dans \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). Si \(f\) est strict, alors \(f'\) l’est aussi.

Démonstration

Posons \(C \amalg_A B\) égal à \(\Coker((g, -f) : A \to C \oplus B)\) dans \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). Ce conoyau existe d’après le lemme 0122. C’est une somme amalgamée ; voir l’exemple 05PJ. Notons que \(F^p(C \amalg_A B)\) est l’image de \(F^pC \oplus F^pB\). Ainsi \[(f')^{-1}(F^p(C \amalg_A B)) = g(f^{-1}(F^pB)) + F^pC\] D’où la dernière assertion.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(A, B, C \in \text{Fil}(\mathcal{A})\). Soient \(f : B \to A\) et \(g : C \to A\) des morphismes. Il existe alors un produit fibré \[\xymatrix{ B \times_A C \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & B \ar[d]^f \\ C \ar[r]^g & A }\] dans \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). Si \(f\) est strict, alors \(f'\) l’est aussi.

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 05SM.

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A, F)\) un objet filtré de \(\mathcal{A}\). On note \(\text{gr}^p_F(A) = \text{gr}^p(A)\) l’objet \(F^pA/F^{p + 1}A\) de \(\mathcal{A}\). Cela définit un foncteur additif \[\text{gr}^p : \text{Fil}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}, \quad (A, F) \longmapsto \text{gr}^p(A).\] Rappelons que nous avons défini la catégorie \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) des objets gradués de \(\mathcal{A}\) dans la section 09MF. Pour \((A, F)\) dans \(\text{Fil}(\mathcal{A})\), on peut poser \[\text{gr}(A) = \text{l'objet gradué de }\mathcal{A}\text{ dont la } p\text{-ième composante graduée est }\text{gr}^p(A)\] et, si \(\mathcal{A}\) admet les sommes directes dénombrables, on a simplement \[\text{gr}(A) = \bigoplus \text{gr}^p(A)\] Cela définit un foncteur additif \[\text{gr} : \text{Fil}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}(\mathcal{A}), \quad (A, F) \longmapsto \text{gr}(A).\]

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Soient \(A\) un objet filtré et \(X \subset A\). Alors, pour tout \(p\), la suite \[0 \to \text{gr}^p(X) \to \text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(A/X) \to 0\] est exacte (pour la filtration induite sur \(X\) et la filtration quotient sur \(A/X\)).

2. Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’objets filtrés de \(\mathcal{A}\). Alors, pour tout \(p\), les suites \[0 \to \text{gr}^p(\Ker(f)) \to \text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(\Coim(f)) \to 0\] et \[0 \to \text{gr}^p(\Im(f)) \to \text{gr}^p(B) \to \text{gr}^p(\Coker(f)) \to 0\] sont exactes.

Démonstration

On a \(F^{p + 1}X = X \cap F^{p + 1}A\), donc l’application \(\text{gr}^p(X) \to \text{gr}^p(A)\) est injective. Dualement, l’application \(\text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(A/X)\) est surjective. Le noyau de \(F^pA/F^{p + 1}A \to A/X + F^{p + 1}A\) est clairement \(F^{p + 1}A + X \cap F^pA/F^{p + 1}A = F^pX/F^{p + 1}X\), d’où l’exactitude au milieu. Les deux suites exactes courtes de (2) sont des cas particuliers de la suite exacte courte de (1).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’objets filtrés finis de \(\mathcal{A}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est strict,

2. le morphisme \(\Coim(f) \to \Im(f)\) est un isomorphisme,

3. \(\text{gr}(\Coim(f)) \to \text{gr}(\Im(f))\) est un isomorphisme,

4. la suite \(\text{gr}(\Ker(f)) \to \text{gr}(A) \to \text{gr}(B)\) est exacte,

5. la suite \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(\Coker(f))\) est exacte, et

6. la suite \[0 \to \text{gr}(\Ker(f)) \to \text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(\Coker(f)) \to 0\] est exacte.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est le lemme 05SI. D’après le lemme 05SP, on voit que (4), (5), (6) impliquent (3) et que (3) implique (4), (5), (6). Il suffit donc de montrer que (3) implique (2). Il faut ainsi montrer que si \(f : A \to B\) est une application injective et surjective d’objets filtrés finis qui induit un isomorphisme \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B)\), alors \(f\) induit un isomorphisme d’objets filtrés. Autrement dit, il faut montrer que \(f(F^pA) = F^pB\) pour tout \(p\). Comme les filtrations sont finies, on peut le démontrer par récurrence descendante sur \(p\). Supposons que \(f(F^{p + 1}A) = F^{p + 1}B\). Alors le diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F^{p + 1}A \ar[r] \ar[d]^f & F^pA \ar[r] \ar[d]^f & \text{gr}^p(A) \ar[r] \ar[d]^{\text{gr}^p(f)} & 0 \\ 0 \ar[r] & F^{p + 1}B \ar[r] & F^pB \ar[r] & \text{gr}^p(B) \ar[r] & 0 }\] et le lemme des cinq impliquent que \(f(F^pA) = F^pB\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A \to B \to C\) un complexe d’objets filtrés de \(\mathcal{A}\). Supposons que \(\alpha : A \to B\) et \(\beta : B \to C\) soient des morphismes stricts d’objets filtrés. Alors \(\text{gr}(\Ker(\beta)/\Im(\alpha)) = \Ker(\text{gr}(\beta))/\Im(\text{gr}(\alpha)))\).

Démonstration

Cela résulte formellement du lemme 05SP et du fait que \(\Coim(\alpha) \cong \Im(\alpha)\) et \(\Coim(\beta) \cong \Im(\beta)\) d’après le lemme 05SI.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A \to B \to C\) un complexe d’objets filtrés de \(\mathcal{A}\). Supposons que \(A, B, C\) aient des filtrations finies et que \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(C)\) soit exacte. Alors :

1. pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), la suite \(\text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(B) \to \text{gr}^p(C)\) est exacte,

2. pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), la suite \(F^p(A) \to F^p(B) \to F^p(C)\) est exacte,

3. pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), la suite \(A/F^p(A) \to B/F^p(B) \to C/F^p(C)\) est exacte,

4. les applications \(A \to B\) et \(B \to C\) sont strictes, et

5. \(A \to B \to C\) est exacte (comme suite dans \(\mathcal{A}\)).

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement des définitions. Démontrons (3) par récurrence sur la longueur des filtrations. Si chacun de \(A\), \(B\), \(C\) ne possède qu’une seule partie graduée non nulle, alors (3) est vrai puisque \(\text{gr}(A) = A\), etc. Soit \(n\) le plus grand entier tel que l’un au moins de \(F^nA, F^nB, F^nC\) soit non nul. Posons \(A' = A/F^nA\), \(B' = B/F^nB\), \(C' = C/F^nC\), avec les filtrations induites. Notons que \(\text{gr}(A) = F^nA \oplus \text{gr}(A')\) et de même pour \(B\) et \(C\). L’hypothèse de récurrence s’applique à \(A' \to B' \to C'\), ce qui implique que \(A/F^p(A) \to B/F^p(B) \to C/F^p(C)\) est exacte pour \(p \geq n\). Pour conclure de même pour \(p = n + 1\), c’est-à-dire pour démontrer que \(A \to B \to C\) est exacte, on utilise le diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F^nA \ar[r] \ar[d] & A \ar[r] \ar[d] & A' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & F^nB \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & B' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & F^nC \ar[r] & C \ar[r] & C' \ar[r] & 0 }\] dont les lignes sont des suites exactes courtes d’objets de \(\mathcal{A}\). La démonstration de (2) est duale. Bien entendu, (5) résulte de (2).

Pour démontrer (4), notons \(f : A \to B\) et \(g : B \to C\) les morphismes donnés. On sait par (2) que \(f(F^p(A)) = \Ker(F^p(B) \to F^p(C))\) et, par (5), que \(f(A) = \Ker(g)\). Par conséquent, \(f(F^p(A)) = \Ker(F^p(B) \to F^p(C)) = \Ker(g) \cap F^p(B) = f(A) \cap F^p(B)\), ce qui démontre que \(f\) est strict. La démonstration que \(g\) est strict est duale.

Suites spectrales

On trouvera une présentation agréable des suites spectrales dans [Eisenbud]. Voir aussi [McCleary], [Lang], etc.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Une suite spectrale dans \(\mathcal{A}\) est la donnée d’un système \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) où chaque \(E_r\) est un objet de \(\mathcal{A}\) et chaque \(d_r : E_r \to E_r\) est un morphisme tel que \(d_r \circ d_r = 0\) et \(E_{r + 1} = \Ker(d_r)/\Im(d_r)\) pour \(r \geq 1\).

2. Un morphisme de suites spectrales \(f : (E_r, d_r)_{r \geq 1} \to (E'_r, d'_r)_{r \geq 1}\) est la donnée d’une famille de morphismes \(f_r : E_r \to E'_r\) tels que \(f_r \circ d_r = d'_r \circ f_r\) et tels que \(f_{r + 1}\) soit le morphisme induit par \(f_r\) au moyen des identifications \(E_{r + 1} = \Ker(d_r)/\Im(d_r)\) et \(E'_{r + 1} = \Ker(d'_r)/\Im(d'_r)\).

Nous assouplirons parfois quelque peu cette définition en autorisant \(E_{r + 1}\) à être un objet muni d’un isomorphisme donné \(E_{r + 1} \to \Ker(d_r)/\Im(d_r)\). Il arrive également que l’on ait un système \((E_r, d_r)_{r \geq r_0}\) pour un certain \(r_0 \in \mathbf{Z}\), satisfaisant les propriétés de la définition ci-dessus pour les indices \(\geq r_0\). Nous l’appellerons aussi une suite spectrale puisque, par une simple renumérotation, il relève de toute façon de la définition. En fait, les cas \(r_0 = 0\) et \(r_0 = -1\) se rencontrent dans la littérature.

Étant donnée une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\), on définit \[0 = B_1 \subset B_2 \subset \ldots \subset B_r \subset \ldots \subset Z_r \subset \ldots \subset Z_2 \subset Z_1 = E_1\] par le procédé simple suivant. Posons \(B_2 = \Im(d_1)\) et \(Z_2 = \Ker(d_1)\). Il est alors clair que \(d_2 : Z_2/B_2 \to Z_2/B_2\). On peut donc définir \(B_3\) comme l’unique sous-objet de \(E_1\) contenant \(B_2\) tel que \(B_3/B_2\) soit l’image de \(d_2\). De même, on peut définir \(Z_3\) comme l’unique sous-objet de \(E_1\) contenant \(B_2\) tel que \(Z_3/B_2\) soit le noyau de \(d_2\). Et ainsi de suite. En particulier, on a \[E_r = Z_r/B_r\] pour tout \(r \geq 1\). Si la suite spectrale commence en \(r = r_0\), on peut construire de même \(B_i\), \(Z_i\) comme sous-objets de \(E_{r_0}\). En fait, on rencontre parfois dans la littérature la notation \[0 = B_r(E_r) \subset B_{r + 1}(E_r) \subset B_{r + 2}(E_r) \subset \ldots \subset Z_{r + 2}(E_r) \subset Z_{r + 1}(E_r) \subset Z_r(E_r) = E_r\] pour désigner la filtration décrite ci-dessus, mais en partant de \(E_r\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) une suite spectrale.

1. Si les sous-objets \(Z_{\infty} = \bigcap Z_r\) et \(B_{\infty} = \bigcup B_r\) de \(E_1\) existent, on définit la limite³ de la suite spectrale comme étant l’objet \(E_{\infty} = Z_{\infty}/B_{\infty}\).

2. On dit que la suite spectrale dégénère en \(E_r\) si les différentielles \(d_r, d_{r + 1}, \ldots\) sont toutes nulles.

Remarquons que si la suite spectrale dégénère en \(E_r\), alors on a \(E_r = E_{r + 1} = \ldots = E_{\infty}\) (et la limite existe bien entendu). En outre, presque toutes les catégories abéliennes que nous rencontrerons possèdent des sommes et des intersections dénombrables.

Remarque

Il arrive souvent que les termes d’une suite spectrale possèdent une structure supplémentaire, par exemple une graduation ou une bigraduation. Pour prendre cela en compte (et contourner certaines difficultés techniques), nous introduisons la notion suivante. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((T_r)_{r \geq 1}\) une suite de foncteurs de translation ou de décalage, c’est-à-dire que \(T_r : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) est un isomorphisme de catégories. Dans ce cadre, une suite spectrale est la donnée d’un système \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) où chaque \(E_r\) est un objet de \(\mathcal{A}\) et chaque \(d_r : E_r \to T_rE_r\) est un morphisme tel que \(T_rd_r \circ d_r = 0\), de sorte que \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & T_r^{-1}E_r \ar[r]^-{T_r^{-1}d_r} & E_r \ar[r]^-{d_r} & T_rE_r \ar[r]^{T_r d_r} & T_r^2E_r \ar[r] & \ldots }\] soit un complexe et que \(E_{r + 1} = \Ker(d_r)/\Im(T_r^{-1}d_r)\) pour \(r \geq 1\). La notion de morphisme de suites spectrales dans ce cadre est claire. On peut encore y définir \[0 = B_1 \subset B_2 \subset \ldots \subset B_r \subset \ldots \subset Z_r \subset \ldots \subset Z_2 \subset Z_1 = E_1\] ainsi que \(Z_\infty\) et \(B_\infty\) (s’ils existent), comme ci-dessus.

Suites spectrales : couples exacts

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Un couple exact est une donnée \((A, E, \alpha, f, g)\) où \(A\), \(E\) sont des objets de \(\mathcal{A}\) et \(\alpha\), \(f\), \(g\) sont des morphismes comme dans le diagramme suivant : \[\xymatrix{ A \ar[rr]_{\alpha} & & A \ar[ld]^g \\ & E \ar[lu]^f & }\] tels que le noyau de chaque flèche soit l’image de la précédente. Ainsi, \(\Ker(\alpha) = \Im(f)\), \(\Ker(f) = \Im(g)\) et \(\Ker(g) = \Im(\alpha)\).

2. Un morphisme de couples exacts \(t : (A, E, \alpha, f, g) \to (A', E', \alpha', f', g')\) est la donnée de morphismes \(t_A : A \to A'\) et \(t_E : E \to E'\) tels que \(\alpha' \circ t_A = t_A \circ \alpha\), \(f' \circ t_E = t_A \circ f\) et \(g' \circ t_A = t_E \circ g\).

Lemme

Soit \((A, E, \alpha, f, g)\) un couple exact dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Posons :

1. \(d = g \circ f : E \to E\), de sorte que \(d \circ d = 0\),

2. \(E' = \Ker(d)/\Im(d)\),

3. \(A' = \Im(\alpha)\),

4. \(\alpha' : A' \to A'\) induit par \(\alpha\),

5. \(f' : E' \to A'\) induit par \(f\),

6. \(g' : A' \to E'\) induit par « \(g \circ \alpha^{-1}\) ».

Alors :

1. \(\Ker(d) = f^{-1}(\Ker(g)) = f^{-1}(\Im(\alpha))\),

2. \(\Im(d) = g(\Im(f)) = g(\Ker(\alpha))\),

3. \((A', E', \alpha', f', g')\) est un couple exact.

Démonstration

Omis.

Il est donc clair qu’un couple exact \((A, E, \alpha, f, g)\) donne une suite spectrale en posant \(E_1 = E\), \(d_1 = d\), \(E_2 = E'\), \(d_2 = d' = g' \circ f'\), \(E_3 = E''\), \(d_3 = d'' = g'' \circ f''\), et ainsi de suite.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A, E, \alpha, f, g)\) un couple exact. La suite spectrale associée au couple exact est la suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) avec \(E_1 = E\), \(d_1 = d\), \(E_2 = E'\), \(d_2 = d' = g' \circ f'\), \(E_3 = E''\), \(d_3 = d'' = g'' \circ f''\), et ainsi de suite.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A, E, \alpha, f, g)\) un couple exact. Soit \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) la suite spectrale associée au couple exact. Dans ce cas, on a \[0 = B_1 \subset \ldots \subset B_{r + 1} = g(\Ker(\alpha^r)) \subset \ldots \subset Z_{r + 1} = f^{-1}(\Im(\alpha^r)) \subset \ldots \subset Z_1 = E\] et l’application \(d_{r + 1} : E_{r + 1} \to E_{r + 1}\) est décrite par la règle suivante : pour tout objet (test) \(T\) de \(\mathcal{A}\) et tous éléments \(x : T \to Z_{r + 1}\) et \(y : T \to A\) tels que \(f \circ x = \alpha^r \circ y\), on a \[d_{r + 1} \circ \overline{x} = \overline{g \circ y}\] où \(\overline{x} : T \to E_{r + 1}\) est le morphisme induit.

Démonstration

Omis.

Remarquons que, dans la situation du lemme, on a manifestement \[B_\infty = g\left(\bigcup\nolimits_r \Ker(\alpha^r)\right) \subset Z_\infty = f^{-1}\left(\bigcap\nolimits_r \Im(\alpha^r)\right)\] pourvu que \(\bigcup \Ker(\alpha^r)\) et \(\bigcap \Im(\alpha^r)\) existent. Cela donne pour limite \(E_\infty = Z_\infty / B_\infty\), voir la définition 011O.

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(S, T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) des foncteurs de décalage, c’est-à-dire des isomorphismes de catégories. Nous noterons leurs composées \(n\) fois par \(S^nA\) et \(T^nA\), pour \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) et \(n \in \mathbf{Z}\). Dans cette situation, un couple exact est une donnée \((A, E, \alpha, f, g)\) où \(A\), \(E\) sont des objets de \(\mathcal{A}\) et \(\alpha : A \to T^{-1}A\), \(f : E \to A\), \(g : A \to SE\) sont des morphismes tels que \[\xymatrix{ TE \ar[r]^-{Tf} & TA \ar[r]^-{T\alpha} & A \ar[r]^-{g} & SE \ar[r]^{Sf} & SA }\] soit un complexe exact. Représentons cela comme suit : \[\xymatrix{ TA \ar[rrr]_{T\alpha} & & & A \ar[ld]^g \ar[rrr]_\alpha & & & T^{-1}A \ar[ld]^{T^{-1}g} \\ & TE \ar[lu]^{Tf} \ar@{..}[r] & SE & & E \ar[lu]^f \ar@{..}[r] & T^{-1}SE }\] Posons \(d = g \circ f : E \to SE\). Alors \(d \circ S^{-1}d = g \circ f \circ S^{-1}g \circ S^{-1}f = 0\), car \(f \circ S^{-1}g = 0\). Posons \(E' = \Ker(d)/\Im(S^{-1}d)\). Posons \(A' = \Im(T\alpha)\). Soit \(\alpha' : A' \to T^{-1}A'\) le morphisme induit par \(\alpha\). Soit \(f' : E' \to A'\) induit par \(f\), ce qui est possible car \(f(\Ker(d)) \subset \Ker(g) = \Im(T\alpha)\). Enfin, soit \(g' : A' \to TSE'\) le morphisme induit par « \(Tg \circ (T\alpha)^{-1}\) »⁴.

Exactement comme ci-dessus, on obtient

1. \(\Ker(d) = f^{-1}(\Ker(g)) = f^{-1}(\Im(T\alpha))\),

2. \(\Im(d) = g(\Im(f)) = g(\Ker(\alpha))\),

3. \((A', E', \alpha', f', g')\) est un couple exact pour les foncteurs de décalage \(TS\) et \(T\).

On obtient une suite spectrale (comme dans la remarque 0AMI) avec \(E_1 = E\), \(E_2 = E'\), etc., et \(d_r : E_r \to T^{r - 1}SE_r\) pour tout \(r \geq 1\). Le lemme 011T nous dit que \[SB_{r + 1} = g(\Ker(T^{-r + 1}\alpha \circ \ldots \circ T^{-1}\alpha \circ \alpha))\] et \[Z_{r + 1} = f^{-1}(\Im(T\alpha \circ T^2\alpha \circ \ldots \circ T^r\alpha))\] dans cette situation. La description de l’application \(d_{r + 1}\) est analogue à celle donnée dans le lemme. (Il peut être plus facile d’utiliser ces descriptions explicites pour démontrer que l’on obtient une suite spectrale à partir d’un tel couple exact.)

Suites spectrales : objets différentiels

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un objet différentiel de \(\mathcal{A}\) est un couple \((A, d)\) constitué d’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) muni d’un endomorphisme \(d\) tel que \(d \circ d = 0\). Un morphisme d’objets différentiels \((A, d) \to (B, d)\) est la donnée d’un morphisme \(\alpha : A \to B\) tel que \(d \circ \alpha = \alpha \circ d\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La catégorie des objets différentiels de \(\mathcal{A}\) est abélienne.

Démonstration

Omis.

Définition

Pour un objet différentiel \((A, d)\), on note \[H(A, d) = \Ker(d)/\Im(d)\] son homologie.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(0 \to (A, d) \to (B, d) \to (C, d) \to 0\) une suite exacte courte d’objets différentiels. On obtient alors une suite exacte d’homologie \[\ldots \to H(C, d) \to H(A, d) \to H(B, d) \to H(C, d) \to \ldots\]

Démonstration

Appliquons le lemme 0117 à la suite exacte courte de complexes \[\begin{matrix} 0 & \to & A & \to & B & \to & C & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & A & \to & B & \to & C & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & A & \to & B & \to & C & \to & 0 \end{matrix}\] où les flèches verticales sont \(d\).

Nous arrivons à un exemple important de suite spectrale. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A, d)\) un objet différentiel de \(\mathcal{A}\). Soit \(\alpha : (A, d) \to (A, d)\) un endomorphisme de cet objet différentiel. Si l’on suppose \(\alpha\) injectif, on obtient une suite exacte courte \[0 \to (A, d) \to (A, d) \to (A/\alpha A, d) \to 0\] d’objets différentiels. D’après le lemme 011Y, on obtient un couple exact \[\xymatrix{ H(A, d) \ar[rr]_{\overline{\alpha}} & & H(A, d) \ar[ld]^g \\ & H(A/\alpha A, d) \ar[lu]^f & }\] où \(g\) est l’application canonique et \(f\) l’application définie dans le lemme du serpent. La section 011P fournit une suite spectrale associée. Puisque, dans ce cas, \(E_1 = H(A/\alpha A, d)\), il est naturel de définir \(E_0 = A/\alpha A\) et \(d_0 = d\). Autrement dit, on fait commencer la suite spectrale en \(r = 0\). Selon les conventions de la section 011M, on définit une suite de sous-objets \[0 = B_0 \subset \ldots \subset B_r \subset \ldots \subset Z_r \subset \ldots \subset Z_0 = E_0\] telle que \(E_r = Z_r/B_r\). Il résulte du lemme 011T que, pour \(r \geq 1\), on a :

1. \(B_r\) est l’image de \((\alpha^{r - 1})^{-1}(d A)\) par l’application naturelle \(A \to A/\alpha A\),

2. \(Z_r\) est l’image de \(d^{-1}(\alpha^r A)\) par l’application naturelle \(A \to A/\alpha A\), et

3. \(d_r : E_r \to E_r\) est donnée comme suit : étant donné un élément \(z \in Z_r\), choisissons un élément \(y \in A\) tel que \(d(z) = \alpha^r(y)\). Alors \(d_r(z + B_r + \alpha A) = y + B_r + \alpha A\).

Attention : il n’est pas nécessairement vrai que \(\alpha A \subset (\alpha^{r - 1})^{-1}(dA)\), ni que \(\alpha A \subset d^{-1}(\alpha^r A)\). En revanche, on a bien \((\alpha^{r - 1})^{-1}(dA) \subset d^{-1}(\alpha^r A)\). On a \[E_r = \frac{d^{-1}(\alpha^r A) + \alpha A}{(\alpha^{r - 1})^{-1}(dA) + \alpha A}.\] Il n’est pas difficile de vérifier directement que (1) – (3) définissent une suite spectrale.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A, d)\) un objet différentiel de \(\mathcal{A}\). Soit \(\alpha : A \to A\) un endomorphisme injectif de \(A\) qui commute à \(d\). La suite spectrale associée à \((A, d, \alpha)\) est la suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) décrite ci-dessus.

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soient \(S, T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) des foncteurs de décalage, c’est-à-dire des isomorphismes de catégories. Supposons que \(TS = ST\) comme foncteurs. Considérons les couples \((A, d)\) constitués d’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) et d’un morphisme \(d : A \to SA\) tel que \(d \circ S^{-1}d = 0\). La catégorie de ces objets est abélienne. On définit \(H(A, d) = \Ker(d)/\Im(S^{-1}d)\) et l’on observe que \(H(SA, Sd) = SH(A, d)\) (isomorphisme canonique). Étant donnée une suite exacte courte \[0 \to (A, d) \to (B, d) \to (C, d) \to 0\] on obtient une suite exacte longue d’homologie \[\ldots \to S^{-1}H(C, d) \to H(A, d) \to H(B, d) \to H(C, d) \to SH(A, d) \to \ldots\] (remarquer les décalages dans les morphismes de bord). Puisque \(ST = TS\), le foncteur \(T\) définit un foncteur de décalage sur les couples en posant \(T(A, d) = (TA, Td)\). Soit ensuite \(\alpha : (A, d) \to T^{-1}(A, d)\) injectif, de conoyau \((Q, d)\). On obtient alors un couple exact comme dans la remarque 0AMJ, avec les foncteurs de décalage \(TS\) et \(T\), donné par \[(H(A, d), S^{-1}H(Q, d), \overline{\alpha}, f, g)\] Ici, \(\overline{\alpha} : H(A, d) \to T^{-1}H(A, d)\) est induit par \(\alpha\), l’application \(f : S^{-1}H(Q, d) \to H(A, d)\) est le morphisme de bord, et \(g : H(A, d) \to TH(Q, d) = TS(S^{-1}H(Q, d))\) est induit par l’application quotient \(A \to TQ\). On obtient ainsi une suite spectrale comme ci-dessus, avec \(E_1 = S^{-1}H(Q, d)\) et les différentielles \(d_r : E_r \to T^rSE_r\). Comme ci-dessus, on pose \(E_0 = S^{-1}Q\) et \(d_0 : E_0 \to SE_0\), donné par \(S^{-1}d : S^{-1}Q \to Q\). Si, selon nos conventions, on définit \(B_r \subset Z_r \subset E_0\), alors, pour \(r \geq 1\), on a :

1. \(SB_r\) est l’image de \[(T^{-r + 1}\alpha \circ \ldots \circ T^{-1}\alpha)^{-1} \Im(T^{-r}S^{-1}d)\] par l’application naturelle \(T^{-1}A \to Q\),

2. \(Z_r\) est l’image de \[(S^{-1}T^{-1}d)^{-1} \Im(\alpha \circ \ldots \circ T^{r - 1}\alpha)\] par l’application naturelle \(S^{-1}T^{-1}A \to S^{-1}Q\).

Les différentielles peuvent être décrites comme suit : si \(x \in Z_r\), on choisit \(x' \in S^{-1}T^{-1}A\) qui s’envoie sur \(x\). Alors \(S^{-1}T^{-1}d(x')\) est égal à \((\alpha \circ \ldots \circ T^{r - 1}\alpha)(y)\) pour un certain \(y \in T^{r - 1}A\). Alors \(d_r(x) \in T^rSE_r\) est représenté par la classe de l’image de \(y\) dans \(T^rSE_0 = T^rQ\) modulo \(T^rSB_r\).

Suites spectrales : objets différentiels filtrés

On peut construire une suite spectrale à partir d’un objet différentiel filtré.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un objet différentiel filtré \((K, F, d)\) est un objet filtré \((K, F)\) de \(\mathcal{A}\) muni d’un endomorphisme \(d : (K, F) \to (K, F)\) dont le carré est nul : \(d \circ d = 0\).

Pour décrire la suite spectrale associée à un tel objet, supposons pour l’instant que \(\mathcal{A}\) soit une catégorie abélienne qui possède des sommes directes dénombrables et que celles-ci soient exactes (ce n’est pas automatique, voir la remarque 0AMH). Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). Remarquons que chaque \(F^nK\) est lui-même un objet différentiel. Considérons l’objet \(A = \bigoplus F^nK\) et munissons-le d’une différentielle \(d\) en utilisant \(d\) sur chaque facteur. Alors \((A, d)\) est un objet différentiel de \(\mathcal{A}\) muni d’une graduation. Considérons l’application \[\alpha : A \to A\] donnée par les inclusions \(F^nK \to F^{n - 1}K\). C’est manifestement un morphisme injectif d’objets différentiels \(\alpha : (A, d) \to (A, d)\). Par conséquent, la définition 011Z fournit une suite spectrale. Nous l’appellerons la suite spectrale associée à l’objet différentiel filtré \((K, F, d)\).

Déterminons les termes de cette suite spectrale. Remarquons d’abord que \(A/\alpha A = \text{gr}(K)\), muni de sa différentielle \(d = \text{gr}(d)\). On voit donc que \[E_0 = \text{gr}(K), \quad d_0 = \text{gr}(d).\] L’homologie de l’objet différentiel gradué \(\text{gr}(K)\) est donc le terme suivant : \[E_1 = H(\text{gr}(K), \text{gr}(d)).\] En outre, \(E_0\) est un objet gradué de \(\mathcal{A}\) et \(d_0\) est compatible avec la graduation. Il est donc clair que \(E_1\) est lui aussi un objet gradué. Il se trouve cependant que la différentielle \(d_1\) ne préserve pas cette graduation : elle décale le degré de \(1\).

Pour préciser cela, définissons \[Z_r^p = \frac{F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K}{F^{p + 1}K}\] et \[B_r^p = \frac{F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K}{F^{p + 1}K}.\] Cette notation, quoique fort naturelle, semble différer de celle employée dans la plupart des ouvrages. Cela n’a peut-être guère d’importance, puisque la littérature ne semble pas non plus adopter de notation cohérente. Avec ces choix, \(B_r \subset E_0\), resp. \(Z_r \subset E_0\) (tels qu’ils sont définis dans la section 011U), est égal à \(\bigoplus_p B_r^p\), resp. \(\bigoplus_p Z_r^p\). Ainsi, si l’on définit \[E_r^p = Z_r^p/B_r^p\] pour \(r \geq 0\) et \(p \in \mathbf{Z}\), alors \(E_r = \bigoplus_p E_r^p\). On peut définir une différentielle \(d_r^p : E_r^p \to E_r^{p + r}\) par la règle \[z + F^{p + 1}K \longmapsto dz + F^{p + r + 1}K\] où \(z \in F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) dans \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) associée à \((K, F, d)\) telle que \(d_r : E_r \to E_r[r]\) pour tout \(r\), et telle que les composantes graduées \(E_r^p\) et les applications \(d_r^p : E_r^p \to E_r^{p + r}\) soient celles données ci-dessus. De plus, \(E_0^p = \text{gr}^p K\), \(d_0^p = \text{gr}^p(d)\) et \(E_1^p = H(\text{gr}^pK, \text{gr}^p(d))\).

Démonstration

Si \(\mathcal{A}\) possède des sommes directes dénombrables et si celles-ci sont exactes, cela résulte de la discussion ci-dessus. Dans le cas général, procédons comme suit ; nous conseillons vivement au lecteur d’omettre cette preuve. Considérons l’objet \(A = (F^{p + 1}K)\) de \(\text{Gr}(\mathcal{A})\), c’est-à-dire que l’on place \(F^{p + 1}K\) en degré \(p\) (le décalage inhabituel de la numérotation donnera plus tard la bonne numérotation). Munissons-le d’une différentielle \(d\) en utilisant \(d\) sur chaque composante. Alors \((A, d)\) est un objet différentiel de \(\text{Gr}(\mathcal{A})\). Considérons l’application \[\alpha : A \to A[-1]\] donnée en degré \(p\) par les inclusions \(F^{p + 1}A \to F^pA\). C’est manifestement un morphisme injectif d’objets différentiels \(\alpha : (A, d) \to (A, d)[-1]\). On peut donc appliquer la remarque 0AMK avec \(S = \text{id}\) et \(T = [1]\). La suite spectrale correspondante \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) dans \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) est celle que nous cherchons. Développons quelque peu les définitions. Tout d’abord, \(E_r = (E_r^p)\) est un objet de \(\text{Gr}(\mathcal{A})\). Ensuite, puisque \(T^rS = [r]\), on a \(d_r : E_r \to E_r[r]\), ce qui signifie que \(d_r^p : E_r^p \to E_r^{p + r}\).

Pour vérifier la description des composantes graduées, raisonnons comme ci-dessus. On a d’abord \(E_0 = \Coker(\alpha : A \to A[-1])\), et notre choix de numérotation donne \(E_0^p = \text{gr}^pK\). La première différentielle est donnée par \(d_0^p = \text{gr}^pd : E_0^p \to E_0^p\). Ensuite, la description des bords \(B_r\) et des cocycles \(Z_r\) dans la remarque 0AMK se traduit directement par les formules pour \(Z_r^p\) et \(B_r^p\) données ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). La suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) associée à \((K, F, d)\) possède \[d_1^p : E_1^p = H(\text{gr}^pK) \longrightarrow H(\text{gr}^{p + 1}K) = E_1^{p + 1}\] égal au morphisme de bord en homologie associé à la suite exacte courte d’objets différentiels \[0 \to \text{gr}^{p + 1}K \to F^pK/F^{p + 2}K \to \text{gr}^pK \to 0.\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la formule de la différentielle \(d_1^p\) donnée juste avant le lemme 012C.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). La filtration induite sur \(H(K, d)\) est la filtration définie par \(F^pH(K, d) = \Im(H(F^pK, d) \to H(K, d))\).

En explicitant cette définition, on voit que \[F^pH(K, d) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)}{\Im(d)}\] et donc que \[\text{gr}^p H(K) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)}{\Ker(d) \cap F^{p + 1}K + \Im(d)} = \frac{\Ker(d) \cap F^pK}{\Ker(d) \cap F^{p + 1}K + \Im(d) \cap F^pK}\]

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). Si \(Z_\infty^p\) et \(B_\infty^p\) existent (voir la preuve), alors :

1. la limite \(E_\infty\) existe et est graduée, avec \(E_\infty^p = Z_\infty^p/B_\infty^p\) en degré \(p\), et

2. l’objet gradué associé \(\text{gr}(H(K))\) de l’homologie de \(K\) est un sous-quotient gradué de l’objet limite gradué \(E_\infty\).

Démonstration

Les objets \(Z_\infty\), \(B_\infty\) et la limite \(E_\infty = Z_\infty/B_\infty\) de la définition 011O sont des objets de \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) par notre construction de la suite spectrale dans la preuve du lemme 012C. Puisque \(Z_r^p\), resp. \(B_r^p\), est la composante graduée de degré \(p\) de \(Z_r\), resp. de \(B_r\), si l’on suppose que \[Z_\infty^p = \bigcap\nolimits_r Z_r^p = \frac{\bigcap_r (F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K)}{F^{p + 1}K}\] et \[B_\infty^p = \bigcup\nolimits_r B_r^p = \frac{\bigcup_r (F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K)}{F^{p + 1}K}.\] existent, alors \(Z_\infty\) et \(B_\infty\) existent et ont pour composantes de degré \(p\) \(Z_\infty^p\) et \(B_\infty^p\) (cela résulte d’un argument élémentaire sur les unions et intersections de sous-objets gradués). Ainsi, \[E_\infty^p = \frac{\bigcap_r (F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K)} {\bigcup_r (F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K)}.\] où le numérateur et le dénominateur existent. On a [012G]\[\begin{equation} \Ker(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K \subset \bigcap\nolimits_r \left(F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K\right) \end{equation}\] et [012H]\[\begin{equation} \bigcup\nolimits_r \left(F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K\right) \subset \Im(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K. \end{equation}\] Par conséquent, un sous-quotient de \(E_\infty^p\) est \[\frac{\Ker(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K}{\Im(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K} = \frac{\Ker(d) \cap F^pK}{\Im(d) \cap F^pK + \Ker(d) \cap F^{p + 1}K}\] La comparaison avec la formule de \(\text{gr}^pH(K)\) donnée dans la discussion qui suit la définition 012E permet de conclure.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). On dit que la suite spectrale associée à \((K, F, d)\) :

1. converge faiblement vers \(H(K)\) si \(\text{gr}H(K) = E_{\infty}\) via le lemme 012F,

2. aboutit à \(H(K)\) si elle converge faiblement vers \(H(K)\) et si l’on a \(\bigcap F^pH(K) = 0\) et \(\bigcup F^pH(K) = H(K)\).

Malheureusement, il semble difficile de trouver une terminologie cohérente pour ces notions dans la littérature.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, F, d)\) un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). La suite spectrale associée :

1. converge faiblement vers \(H(K)\) si et seulement si, pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), les inclusions des équations (012H) et (012G) sont des égalités,

2. aboutit à \(H(K)\) si et seulement si elle converge faiblement vers \(H(K)\) et \(\bigcap_p (\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)) = \Im(d)\) et \(\bigcup_p (\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)) = \Ker(d)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des discussions ci-dessus.

Suites spectrales : complexes filtrés

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un complexe filtré \(K^\bullet\) de \(\mathcal{A}\) est un complexe de \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) (voir la définition 0121).

Nous noterons \(F\) la filtration sur les objets. Ainsi, \(F^pK^n\) désigne le \(p\)-ième cran de la filtration du \(n\)-ième terme du complexe. Remarquons que chaque \(F^pK^\bullet\) est un complexe de \(\mathcal{A}\). On aurait donc aussi pu définir un complexe filtré comme un objet filtré dans la catégorie (abélienne) des complexes de \(\mathcal{A}\). En particulier, \(\text{gr} K^\bullet\) est un objet gradué de la catégorie des complexes de \(\mathcal{A}\).

Pour décrire la suite spectrale associée à un tel objet, supposons pour l’instant que \(\mathcal{A}\) soit une catégorie abélienne qui possède des sommes directes dénombrables et que celles-ci soient exactes (ce n’est pas automatique, voir la remarque 0AMH). Notons \(d\) la différentielle de \(K\). En oubliant la graduation, on peut voir \(\bigoplus K^n\) comme un objet différentiel filtré de \(\mathcal{A}\). La section 012A fournit donc une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\). Dans cette section, nous déterminons les termes de cette suite spectrale et nous les munissons d’une structure supplémentaire provenant de la graduation de \(K\).

Commençons par remarquer que \(E_0^p = \text{gr}^p K^\bullet\) est un complexe, et donc est gradué. Ainsi, \(E_0\) est naturellement bigradué. Il est d’usage d’employer la bigraduation \[E_0 = \bigoplus\nolimits_{p, q} E_0^{p, q}, \quad E_0^{p, q} = \text{gr}^p K^{p + q}\] L’idée est de considérer \(p + q\) comme le degré total des classes de (co)homologie. En outre, \(p\) est appelé le degré de filtration, et \(q\) le degré complémentaire. La différentielle \(d_0\) est compatible avec cette bigraduation de la manière suivante : \[d_0 = \bigoplus d_0^{p, q}, \quad d_0^{p, q} : E_0^{p, q} \to E_0^{p, q + 1}.\] En effet, \(d_0^p\) n’est autre que la différentielle du complexe \(\text{gr}^p K^\bullet\) (qui apparaît comme \(\text{gr}^pE_0\), simplement décalé un peu).

Pour aller plus loin, identifions les objets \(B_r^p\) et \(Z_r^p\) introduits dans la section 012A comme des objets gradués, et déterminons les décompositions correspondantes des différentielles. Nous le faisons de manière tout à fait directe, mais avertissons de nouveau le lecteur que notre notation ne coïncide pas avec celles rencontrées ailleurs. Définissons \[Z_r^{p, q} = \frac{F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] et \[B_r^{p, q} = \frac{F^pK^{p + q} \cap d(F^{p - r + 1}K^{p + q - 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] et, bien entendu, \(E_r^{p, q} = Z_r^{p, q}/B_r^{p, q}\). Avec ces définitions, il est tout à fait clair que \(Z_r^p = \bigoplus_q Z_r^{p, q}\), \(B_r^p = \bigoplus_q B_r^{p, q}\) et \(E_r^p = \bigoplus_q E_r^{p, q}\). De plus, on a \[0 \subset \ldots \subset B_r^{p, q} \subset \ldots \subset Z_r^{p, q} \subset \ldots \subset E_0^{p, q}\] L’application \(d_r^p\) se décompose également en somme directe des applications \[d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \longrightarrow E_r^{p + r, q - r + 1}, \quad z + F^{p + 1}K^{p + q} \mapsto dz + F^{p + r + 1}K^{p + q + 1}\] où \(z \in F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) dans la catégorie des objets bigradués de \(\mathcal{A}\) associée à \((K^\bullet, F)\) telle que \(d_r\) soit de bidegré \((r, - r + 1)\) et telle que \(E_r\) ait pour composantes bigraduées \(E_r^{p, q}\) et pour applications \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\) celles données ci-dessus. De plus, on a \(E_0^{p, q} = \text{gr}^p(K^{p + q})\), \(d_0^{p, q} = \text{gr}^p(d^{p + q})\) et \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(K^\bullet))\).

Démonstration

Si \(\mathcal{A}\) possède des sommes directes dénombrables et si celles-ci sont exactes, cela résulte de la discussion ci-dessus. Dans le cas général, procédons comme suit ; nous conseillons vivement au lecteur d’omettre cette preuve. Considérons l’objet bigradué \(A = (F^{p + 1}K^{p + 1 + q})\) de \(\mathcal{A}\), c’est-à-dire que l’on place \(F^{p + 1}K^{p + 1 + q}\) en degré \((p, q)\) (le décalage inhabituel de la numérotation donnera plus tard la bonne numérotation). Munissons-le d’une différentielle \(d : A \to A[0, 1]\) en utilisant \(d\) sur chaque composante. Alors \((A, d)\) est un objet différentiel bigradué. Considérons l’application \[\alpha : A \to A[-1, 1]\] donnée en degré \((p, q)\) par l’inclusion \(F^{p + 1}K^{p + 1 + q} \to F^pK^{p + 1 + q}\). C’est un morphisme injectif d’objets différentiels \(\alpha : (A, d) \to (A, d)[-1, 1]\). On peut donc appliquer la remarque 0AMK avec \(S = [0, 1]\) et \(T = [1, -1]\). La suite spectrale correspondante \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) d’objets bigradués est la suite spectrale cherchée. Développons quelque peu les définitions. Tout d’abord, on a \(E_r = (E_r^{p, q})\). Ensuite, puisque \(T^rS = [r, -r + 1]\), on a \(d_r : E_r \to E_r[r, -r + 1]\), ce qui signifie que \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\).

Pour vérifier la description des composantes graduées, raisonnons comme ci-dessus. On a d’abord \[E_0 = \Coker(\alpha : A \to A[-1, 1])[0, -1] = \Coker(\alpha[0, -1] : A[0, -1] \to A[-1, 0])\] et notre choix de numérotation donne \[E_0^{p, q} = \Coker(F^{p + 1}K^{p + q} \to F^pK^{p + q}) = \text{gr}^pK^{p + q}\] La première différentielle est donnée par \(d_0^{p, q} = \text{gr}^pd^{p + q} : E_0^{p, q} \to E_0^{p, q + 1}\). Ensuite, la description des bords \(B_r\) et des cocycles \(Z_r\) dans la remarque 0AMK se traduit directement par les formules pour \(Z_r^{p, q}\) et \(B_r^{p, q}\) données ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que \(\mathcal{A}\) possède des sommes directes dénombrables. Soit \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) la suite spectrale associée à \((K^\bullet, F)\).

1. L’application \[d_1^{p, q} : E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(K^\bullet)) \longrightarrow E_1^{p + 1, q} = H^{p + q + 1}(\text{gr}^{p + 1}(K^\bullet))\] est égale au morphisme de bord en cohomologie associé à la suite exacte courte de complexes \[0 \to \text{gr}^{p + 1}(K^\bullet) \to F^pK^\bullet/F^{p + 2}K^\bullet \to \text{gr}^p(K^\bullet) \to 0.\]

2. Supposons que \(d(F^pK) \subset F^{p + 1}K\) pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). Alors \(d\) induit la différentielle nulle sur \(\text{gr}^p(K^\bullet)\), et donc \(E_1^{p, q} = \text{gr}^p(K^\bullet)^{p + q}\). De plus, dans ce cas, \[d_1^{p, q} : E_1^{p, q} = \text{gr}^p(K^\bullet)^{p + q} \longrightarrow E_1^{p + 1, q} = \text{gr}^{p + 1}(K^\bullet)^{p + q + 1}\] est le morphisme induit par \(d\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la formule donnée pour la différentielle \(d_1^{p, q}\) juste avant le lemme 012M.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\alpha : (K^\bullet, F) \to (L^\bullet, F)\) un morphisme de complexes filtrés de \(\mathcal{A}\). Soient \((E_r(K), d_r)_{r \geq 0}\), resp. \((E_r(L), d_r)_{r \geq 0}\), les suites spectrales associées à \((K^\bullet, F)\), resp. à \((L^\bullet, F)\). Le morphisme \(\alpha\) induit un morphisme canonique de suites spectrales \(\{\alpha_r : E_r(K) \to E_r(L)\}_{r \geq 0}\) compatible avec les bigraduations.

Démonstration

Cela ressort immédiatement de la représentation explicite des termes des suites spectrales.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). La filtration induite sur \(H^n(K^\bullet)\) est la filtration définie par \(F^pH^n(K^\bullet) = \Im(H^n(F^pK^\bullet) \to H^n(K^\bullet))\).

En explicitant cette définition, on voit que [012R]\[\begin{equation} F^pH^n(K^\bullet, d) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n}{\Im(d) \cap K^n} \end{equation}\] et donc que [0BDT]\[\begin{equation} \text{gr}^p H^n(K^\bullet) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK^n}{\Ker(d) \cap F^{p + 1}K^n + \Im(d) \cap F^pK^n} \end{equation}\] (une étape intermédiaire a été omise).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Si \(Z_\infty^{p, q}\) et \(B_\infty^{p, q}\) existent (voir la preuve), alors :

1. la limite \(E_\infty\) existe et est un objet bigradué, avec \(E_\infty^{p, q} = Z_\infty^{p, q}/B_\infty^{p, q}\) en bidegré \((p, q)\),

2. la \(p\)-ième composante graduée \(\text{gr}^pH^n(K^\bullet)\) du \(n\)-ième objet de cohomologie de \(K^\bullet\) est un sous-quotient de \(E_\infty^{p, n - p}\).

Démonstration

Les objets \(Z_\infty\), \(B_\infty\) et la limite \(E_\infty = Z_\infty/B_\infty\) de la définition 011O sont des objets bigradués de \(\mathcal{A}\) par notre construction de la suite spectrale dans le lemme 012M. Puisque \(Z_r^{p, q}\), resp. \(B_r^{p, q}\), est la composante de bidegré \((p, q)\) de \(Z_r\), resp. de \(B_r\), si l’on suppose que \[Z_\infty^{p, q} = \bigcap\nolimits_r Z_r^{p, q} = \bigcap\nolimits_r \frac{F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] et \[B_\infty^{p, q} = \bigcup\nolimits_r B_r^{p, q} = \bigcup\nolimits_r \frac{F^pK^{p + q} \cap d(F^{p - r + 1}K^{p + q - 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] existent, alors \(Z_\infty\) et \(B_\infty\) existent, avec pour composantes de bidegré \((p, q)\) \(Z_\infty^{p, q}\) et \(B_\infty^{p, q}\) (cela résulte d’un argument élémentaire sur les unions et intersections d’objets bigradués). Ainsi, \[E_\infty^{p, q} = \frac{\bigcap_r (F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1}) + F^{p + 1}K^{p + q})} {\bigcup_r (F^pK^{p + q} \cap d(F^{p - r + 1}K^{p + q - 1}) + F^{p + 1}K^{p + q})}.\] où le numérateur et le dénominateur existent. Avec \(n = p + q\), on a [012S]\[\begin{equation} \Ker(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n} \subset \bigcap\nolimits_r \left( F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) + F^{p + 1}K^{n} \right) \end{equation}\] et [012T]\[\begin{equation} \bigcup\nolimits_r \left( F^pK^{n} \cap d(F^{p - r + 1}K^{n - 1}) + F^{p + 1}K^{n} \right) \subset \Im(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n}. \end{equation}\] Ainsi, un sous-quotient de \(E_\infty^{p, q}\) est \[\frac{\Ker(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^n} {\Im(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n}} = \frac{\Ker(d) \cap F^pK^n}{\Im(d) \cap F^pK^n + \Ker(d) \cap F^{p + 1}K^n}\] La comparaison avec (0BDT) permet de conclure.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((E_r, d_r)_{r \geq r_0}\) une suite spectrale d’objets bigradués de \(\mathcal{A}\), avec \(d_r\) de bidegré \((r, -r + 1)\). On dit qu’une telle suite spectrale est :

1. régulière si, pour tous \(p, q \in \mathbf{Z}\), il existe un \(b = b(p, q)\) tel que les applications \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\) soient nulles pour \(r \geq b\),

2. corégulière si, pour tous \(p, q \in \mathbf{Z}\), il existe un \(b = b(p, q)\) tel que les applications \(d_r^{p - r, q + r - 1} : E_r^{p - r, q + r - 1} \to E_r^{p, q}\) soient nulles pour \(r \geq b\),

3. bornée si, pour tout \(n\), il n’existe qu’un nombre fini de \(E_{r_0}^{p, n - p}\) non nuls,

4. bornée inférieurement si, pour tout \(n\), il existe un \(b = b(n)\) tel que \(E_{r_0}^{p, n - p} = 0\) pour \(p \geq b\).

5. bornée supérieurement si, pour tout \(n\), il existe un \(b = b(n)\) tel que \(E_{r_0}^{p, n - p} = 0\) pour \(p \leq b\).

Être bornée inférieurement signifie que, si l’on considère \(E_r^{p, q}\) sur la droite \(p + q = n\) (de pente \(-1\)), on obtient des zéros lorsque \((p, q)\) se déplace vers le bas et vers la droite. Comme nous l’avons déjà indiqué, la littérature n’emploie pas de terminologie cohérente pour ces notions.

Lemme

Dans la situation de la définition 0BDU, soient \(Z_r^{p, q}, B_r^{p, q} \subset E_{r_0}^{p, q}\) les composantes graduées de degré \((p, q)\) de \(Z_r, B_r\), définies comme dans la section 011M.

1. La suite spectrale est régulière si et seulement si, pour tous \(p, q\), il existe un \(r = r(p, q)\) tel que \(Z_r^{p, q} = Z_{r + 1}^{p, q} = \ldots\)

2. La suite spectrale est corégulière si et seulement si, pour tous \(p, q\), il existe un \(r = r(p, q)\) tel que \(B_r^{p, q} = B_{r + 1}^{p, q} = \ldots\)

3. La suite spectrale est bornée si et seulement si elle est à la fois bornée inférieurement et bornée supérieurement.

4. Si la suite spectrale est bornée inférieurement, alors elle est régulière.

5. Si la suite spectrale est bornée supérieurement, alors elle est corégulière.

Démonstration

Omis. Indication : si \(E_r^{p, q} = 0\), alors on a \(E_{r'}^{p, q} = 0\) pour tout \(r' \geq r\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). On dit que la suite spectrale associée à \((K^\bullet, F)\) :

1. converge faiblement vers \(H^*(K^\bullet)\) si \(\text{gr}^pH^n(K^\bullet) = E_{\infty}^{p, n - p}\) via le lemme 012Q, pour tous \(p, n \in \mathbf{Z}\),

2. aboutit à \(H^*(K^\bullet)\) si elle converge faiblement vers \(H^*(K^\bullet)\) et si \(\bigcap_p F^pH^n(K^\bullet) = 0\) et \(\bigcup_p F^p H^n(K^\bullet) = H^n(K^\bullet)\) pour tout \(n\),

3. converge vers \(H^*(K^\bullet)\) si elle est régulière, aboutit à \(H^*(K^\bullet)\) et si \(H^n(K^\bullet) = \lim_p H^n(K^\bullet)/F^pH^n(K^\bullet)\).

La convergence faible, l’aboutissement ou la convergence se notent \(E_r^{p, q} \Rightarrow H^{p + q}(K^\bullet)\). Comme nous l’avons déjà indiqué, la littérature n’emploie pas de terminologie cohérente pour ces notions.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). La suite spectrale associée :

1. converge faiblement vers \(H^*(K^\bullet)\) si et seulement si, pour tous \(p, q \in \mathbf{Z}\), les inclusions des équations (012T) et (012S) sont des égalités,

2. aboutit à \(H^*(K)\) si et seulement si elle converge faiblement vers \(H^*(K^\bullet)\) et si l’on a \(\bigcap_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Im(d) \cap K^n\) et \(\bigcup_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Ker(d) \cap K^n\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des discussions ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que la filtration de chaque \(K^n\) soit finie (voir la définition 0121). Alors :

1. la suite spectrale associée à \((K^\bullet, F)\) est bornée,

2. la filtration de chaque \(H^n(K^\bullet)\) est finie,

3. la suite spectrale associée à \((K^\bullet, F)\) converge vers \(H^*(K^\bullet)\),

4. si \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible et si, pour un certain \(r\), on a \(E_r^{p, q} \in \mathcal{C}\) pour tous \(p, q \in \mathbf{Z}\), alors \(H^n(K^\bullet)\) appartient à \(\mathcal{C}\).

Démonstration

La partie (1) découle de \(E_0^{p, n - p} = \text{gr}^p K^n\). La partie (2) résulte immédiatement de l’équation (012R). Nous allons utiliser le lemme 012V pour montrer que la suite spectrale converge faiblement. Fixons \(p, n \in \mathbf{Z}\). Le membre de droite de (012S) est égal à \(F^pK^n \cap \Ker(d) + F^{p + 1}K^n\), car \(F^{p + r}K^n = 0\) pour \(r \gg 0\). Ainsi, (012S) est une égalité. Le membre de gauche de (012T) est égal à \(F^pK^n \cap \Im(d) + F^{p + 1}K^n\), car \(F^{p - r + 1}K^{n - 1} = K^{n - 1}\) pour \(r \gg 0\). Ainsi, (012T) est une égalité. Puisque la filtration de \(H^n(K^\bullet)\) est finie par (2), on voit que la suite aboutit. Pour prouver la convergence, il faut montrer que la suite spectrale est régulière, ce qui découle de ce qu’elle est bornée (lemme 0BDV), et il faut montrer que \(H^n(K^\bullet) = \lim_p H^n(K^\bullet)/F^pH^n(K^\bullet)\), ce qui découle du fait, prouvé dans la partie (2), que la filtration de \(H^*(K^\bullet)\) est finie.

Prouvons (4). Supposons que, pour un certain \(r \geq 0\), on ait \(E_r^{p, q} \in \mathcal{C}\) pour une certaine sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{C}\) de \(\mathcal{A}\). Alors \(E_{r + 1}^{p, q}\) appartient aussi à \(\mathcal{C}\), voir le lemme 0754. Par la bornitude établie ci-dessus (qui implique que la suite spectrale est à la fois régulière et corégulière, voir le lemme 0BDV), on peut trouver un \(r' \geq r\) tel que \(E_\infty^{p, q} = E_{r'}^{p, q}\) pour tous les \(p, q\) tels que \(p + q = n\). Ainsi, \(H^n(K^\bullet)\) est un objet de \(\mathcal{A}\) muni d’une filtration finie dont les composantes graduées appartiennent à \(\mathcal{C}\). Cela implique que \(H^n(K^\bullet)\) appartient à \(\mathcal{C}\) d’après le lemme 0754.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que la filtration de chaque \(K^n\) soit finie (voir la définition 0121) et que, pour un certain \(r\), seuls un nombre fini de \(E_r^{p, q}\) soient non nuls. Alors seuls un nombre fini de \(H^n(K^\bullet)\) sont non nuls et l’on a \[\sum (-1)^n[H^n(K^\bullet)] = \sum (-1)^{p + q} [E_r^{p, q}]\] dans \(K_0(\mathcal{A}')\), où \(\mathcal{A}'\) est la plus petite sous-catégorie de Serre de \(\mathcal{A}\) contenant les objets \(E_r^{p, q}\).

Démonstration

Notons \(E_r^{even}\) et \(E_r^{odd}\) les parties paire et impaire de \(E_r\), définies comme les sommes directes des composantes \((p, q)\) où \(p + q\) est pair et impair. La différentielle \(d_r\) définit des applications \(\varphi : E_r^{even} \to E_r^{odd}\) et \(\psi : E_r^{odd} \to E_r^{even}\) dont les compositions dans les deux sens sont nulles. On voit alors que \[\begin{align*} [E_r^{even}] - [E_r^{odd}] & = [\Ker(\varphi)] + [\Im(\varphi)] - [\Ker(\psi)] - [\Im(\psi)] \\ & = [\Ker(\varphi)/\Im(\psi)] - [\Ker(\psi)/\Im(\varphi)] \\ & = [E_{r + 1}^{even}] - [E_{r + 1}^{odd}] \end{align*}\] Remarquons que tous les objets intermédiaires appartiennent à la plus petite sous-catégorie de Serre faible contenant les objets \(E_r^{p, q}\). En poursuivant ainsi, on voit que l’on peut augmenter \(r\) à volonté. Puisqu’il n’existe qu’un nombre fini de paires \((p, q)\) pour lesquelles \(E_r^{p, q}\) est non nul, propriété héritée par \(E_{r + 1}, E_{r + 2}, \ldots\), on voit que l’on peut supposer \(d_r = 0\). À ce stade, \(H^n(K^\bullet)\) possède une filtration finie (lemme 012W) dont les composantes graduées sont exactement les \(E_r^{p, n - p}\), et le résultat est clair.

Le lemme suivant constitue surtout une vérification de cohérence de nos définitions. Il est certain que, si l’on a un complexe filtré tel que, pour tout \(n\), \[H^n(F^pK^\bullet) = 0\text{ pour }p \gg 0 \quad\text{et}\quad H^n(F^pK^\bullet) = H^n(K^\bullet)\text{ pour }p \ll 0,\] alors la suite spectrale correspondante devrait converger.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K^\bullet, F)\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que :

1. pour tout \(n\), il existe \(p_0(n)\) tel que \(H^n(F^pK^\bullet) = 0\) pour \(p \geq p_0(n)\),

2. pour tout \(n\), il existe \(p_1(n)\) tel que \(H^n(F^pK^\bullet) \to H^n(K^\bullet)\) soit un isomorphisme pour \(p \leq p_1(n)\).

Alors :

1. la suite spectrale associée à \((K^\bullet, F)\) est bornée,

2. la filtration de chaque \(H^n(K^\bullet)\) est finie,

3. la suite spectrale associée à \((K^\bullet, F)\) converge vers \(H^*(K^\bullet)\).

Démonstration

Fixons \(n\). La suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte de complexes \[0 \to F^{p + 1}K^\bullet \to F^pK^\bullet \to \text{gr}^pK^\bullet \to 0\] montre que \(E_1^{p, n - p} = 0\) pour \(p \geq \max(p_0(n), p_0(n + 1))\) et \(p < \min(p_1(n), p_1(n + 1))\). La suite spectrale est donc bornée (définition 0BDU). Cela prouve (1).

Il résulte clairement des hypothèses et de la définition 012P que la filtration de \(H^n(K^\bullet)\) est finie. Cela prouve (2).

Montrons ensuite que la suite spectrale converge faiblement vers \(H^*(K^\bullet)\) en utilisant le lemme 012V. Montrons que l’on a égalité dans (012S). En effet, pour \(p + r > p_0(n + 1)\), l’application \[d : F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) \to F^{p + r}K^{n + 1}\] prend ses valeurs dans l’image de \(d : F^{p + r}K^n \to F^{p + r}K^{n + 1}\), car le complexe \(F^{p + r}K^\bullet\) est exact en degré \(n + 1\). On en conclut que \(F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) = d(F^{p + r}K^n) + \Ker(d) \cap F^pK^n\). Pour un tel \(r\), on a donc \[\Ker(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n} = F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) + F^{p + 1}K^{n}\] ce qui prouve l’égalité voulue. Pour montrer que l’on a égalité dans (012T), on utilise que, pour \(p - r + 1 < p_1(n - 1)\), on a \[d(F^{p - r + 1}K^{n - 1}) = \Im(d) \cap F^{p - r + 1}K^n\] car l’application \(F^{p - r + 1}K^\bullet \to K^\bullet\) induit un isomorphisme en cohomologie de degré \(n - 1\). Cela montre que l’on a \[F^pK^{n} \cap d(F^{p - r + 1}K^{n - 1}) + F^{p + 1}K^{n} = \Im(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n}\] pour un tel \(r\), ce qui prouve l’égalité voulue.

Pour voir que la suite spectrale aboutit à \(H^*(K^\bullet)\) au moyen du lemme 012V, il faut montrer que \(\bigcap_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Im(d) \cap K^n\) et \(\bigcup_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Ker(d) \cap K^n\). Pour \(p \geq p_0(n)\), on a \(\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n = \Im(d) \cap K^n\), et pour \(p \leq p_1(n)\), on a \(\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n = \Ker(d) \cap K^n\). En combinant convergence faible, aboutissement et bornitude, on voit que (2) et (3) sont vraies.

Suites spectrales : bicomplexes

Soit \(K^{\bullet, \bullet}\) un bicomplexe, voir section 0FNB. On note traditionnellement \(H^p_I(K^{\bullet, \bullet})\) le complexe dont les termes sont \(\Ker(d_1^{p, q})/\Im(d_1^{p - 1, q})\) (\(q\) variant) et dont la différentielle est induite par \(d_2\). Alors \(H^q_{II}(H^p_I(K^{\bullet, \bullet}))\) désigne sa cohomologie en degré \(q\). On note aussi traditionnellement \(H^q_{II}(K^{\bullet, \bullet})\) le complexe dont les termes sont \(\Ker(d_2^{p, q})/\Im(d_2^{p, q - 1})\) (\(p\) variant) et dont la différentielle est induite par \(d_1\). Alors \(H^p_I(H^q_{II}(K^{\bullet, \bullet}))\) désigne sa cohomologie en degré \(p\). Il s’avérera que ces groupes de cohomologie apparaissent comme les termes de la suite spectrale d’une filtration du complexe simple associé, voir Définition 012Z.

Il y a deux filtrations naturelles sur le complexe simple \(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet})\) associé au bicomplexe \(K^{\bullet, \bullet}\). Plus précisément, nous posons \[F_I^p(\text{Tot}^n(K^{\bullet, \bullet})) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n, \ i \geq p} K^{i, j} \quad \text{et} \quad F_{II}^p(\text{Tot}^n(K^{\bullet, \bullet})) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n, \ j \geq p} K^{i, j}.\] On vérifie immédiatement que \((\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}), F_I)\) et \((\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}), F_{II})\) sont des complexes filtrés. Par la section 012K, nous obtenons deux suites spectrales. On note traditionnellement \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) la suite spectrale associée à la filtration \(F_I\), et \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) la suite spectrale associée à la filtration \(F_{II}\). Voici une description de ces suites spectrales.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^{\bullet, \bullet}\) un bicomplexe. Les suites spectrales associées à \(K^{\bullet, \bullet}\) ont les termes suivants :

1. \({}'E_0^{p, q} = K^{p, q}\) avec \({}'d_0^{p, q} = (-1)^p d_2^{p, q} : K^{p, q} \to K^{p, q + 1}\),

2. \({}''E_0^{p, q} = K^{q, p}\) avec \({}''d_0^{p, q} = d_1^{q, p} : K^{q, p} \to K^{q + 1, p}\),

3. \({}'E_1^{p, q} = H^q(K^{p, \bullet})\) avec \({}'d_1^{p, q} = H^q(d_1^{p, \bullet})\),

4. \({}''E_1^{p, q} = H^q(K^{\bullet, p})\) avec \({}''d_1^{p, q} = (-1)^q H^q(d_2^{\bullet, p})\),

5. \({}'E_2^{p, q} = H^p_I(H^q_{II}(K^{\bullet, \bullet}))\),

6. \({}''E_2^{p, q} = H^p_{II}(H^q_I(K^{\bullet, \bullet}))\).

Démonstration

Omis.

Ces suites spectrales définissent deux filtrations sur \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\). Nous les noterons \(F_I\) et \(F_{II}\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^{\bullet, \bullet}\) un bicomplexe. Nous disons que la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) converge faiblement vers \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\), aboutit à \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\), ou converge vers \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) si la Définition 012U s’applique. De même, nous disons que la suite spectrale \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) converge faiblement vers \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\), aboutit à \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\), ou converge vers \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) si la Définition 012U s’applique.

Comme indiqué plus haut, la littérature n’emploie aucune terminologie uniforme pour ces notions. Dans la situation de la définition, la première suite spectrale converge faiblement si, pour tout \(n\), \[\text{gr}_{F_I}(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))) = \oplus_{p + q = n} {}'E_\infty^{p, q}\] via la comparaison canonique du Lemme 012Q. De même, la seconde suite spectrale \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) converge faiblement si, pour tout \(n\), \[\text{gr}_{F_{II}}(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))) = \oplus_{p + q = n} {}''E_\infty^{p, q}\] via la comparaison canonique du Lemme 012Q.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^{\bullet, \bullet}\) un bicomplexe. Supposons que, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), il n’y ait qu’un nombre fini de \(K^{p, q}\) non nuls tels que \(p + q = n\). Alors

1. les deux suites spectrales associées à \(K^{\bullet, \bullet}\) sont bornées,

2. les filtrations \(F_I\), \(F_{II}\) sur chaque \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) sont finies,

3. les suites spectrales \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) et \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) convergent vers \(H^*(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\),

4. si \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible et si, pour un certain \(r\), on a \({}'E_r^{p, q} \in \mathcal{C}\) pour tous \(p, q \in \mathbf{Z}\), alors \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) appartient à \(\mathcal{C}\). Il en va de même pour \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 012W.

Voici notre première application des suites spectrales.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe. Soit \(A^{\bullet, \bullet}\) un bicomplexe. Soient \(\alpha^p : K^p \to A^{p, 0}\) des morphismes. Supposons que

1. pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), il n’y ait qu’un nombre fini de \(A^{p, q}\) non nuls tels que \(p + q = n\) ;

2. on ait \(A^{p, q} = 0\) si \(q < 0\) ;

3. les morphismes \(\alpha^p\) donnent lieu à un morphisme de complexes \(\alpha : K^\bullet \to A^{\bullet, 0}\) ;

4. le complexe \(A^{p, \bullet}\) soit exact en tout degré \(q \not = 0\) et le morphisme \(K^p \to A^{p, 0}\) induise un isomorphisme \(K^p \to \Ker(d_2^{p, 0})\).

Alors \(\alpha\) induit un quasi-isomorphisme \[K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] de complexes. En outre, il existe une variante de ce lemme faisant intervenir la seconde variable \(q\) à la place de \(p\).

Démonstration

L’application est simplement celle donnée par les morphismes \(K^n \to A^{n, 0} \to \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet})\), dont on voit facilement qu’ils définissent un morphisme de complexes. Considérons la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) associée au bicomplexe \(A^{\bullet, \bullet}\). Par le Lemme 0132, cette suite spectrale converge et la filtration induite sur \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}))\) est finie pour tout \(n\). Par le Lemme 0130 et l’hypothèse (4), on a \({}'E_1^{p, q} = 0\) sauf si \(q = 0\), et \('E_1^{p, 0} = K^p\), la différentielle \({}'d_1^{p, 0}\) s’identifiant à \(d_K^p\). Ainsi \({}'E_2^{p, 0} = H^p(K^\bullet)\) et les autres termes sont nuls. Cela implique clairement, pour des raisons de degré, que \({}'d_2^{p, q} = {}'d_3^{p, q} = \ldots = 0\). Nous concluons donc que \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})) = H^n(K^\bullet)\). Nous omettons de vérifier que cette identification est donnée par le morphisme de complexes \(K^\bullet \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) introduit ci-dessus.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(M^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\). Soit \[a : M^\bullet[0] \longrightarrow \left(A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to A^{2, \bullet} \to \ldots \right)\] une équivalence d’homotopie dans la catégorie des complexes de complexes de \(\mathcal{A}\). Alors l’application \(\alpha : M^\bullet \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) induite par \(M^\bullet \to A^{0, \bullet}\) est une équivalence d’homotopie.

Démonstration

L’énoncé a un sens, puisqu’un complexe de complexes est la même chose qu’un bicomplexe. L’hypothèse signifie qu’il existe une application \[b : \left(A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to A^{2, \bullet} \to \ldots \right) \longrightarrow M^\bullet[0]\] telle que \(a \circ b\) et \(b \circ a\) soient homotopes à l’identité dans la catégorie des complexes de complexes. Cela signifie que \(b \circ a\) est l’identité de \(M^\bullet[0]\) (parce qu’il n’y a qu’un seul terme en degré \(0\)). Observons aussi que \(b\) est donnée par une application \(b^0 : A^{0, \bullet} \to M^\bullet\) et par zéro en tous les autres degrés. Ainsi \(b\) induit une application \(\beta : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to M^\bullet\) et \(\beta \circ \alpha\) est l’identité sur \(M^\bullet\). Enfin, il reste à montrer que l’application \(\alpha \circ \beta\) est homotope à l’identité. À cette fin, choisissons des applications de complexes \(h^n : A^{n, \bullet} \to A^{n - 1, \bullet}\) telles que \(a \circ b - \text{id} = d_1 \circ h + h \circ d_1\) ; elles existent par hypothèse. Ici, \(d_1 : A^{n, \bullet} \to A^{n + 1, \bullet}\) sont les différentielles du complexe de complexes. Nous noterons aussi \(d_2\) les différentielles des complexes \(A^{n, \bullet}\) pour tout \(n\). Soient \(h^{n, m} : A^{n, m} \to A^{n - 1, m}\) les composantes de \(h^n\). Nous pouvons alors considérer \[h' : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})^k = \bigoplus\nolimits_{n + m = k} A^{n, m} \to \bigoplus\nolimits_{n + m = k - 1} A^{n, m} = \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})^{k - 1}\] donnée par \(h^{n, m}\) sur le facteur direct \(A^{n, m}\). Nous calculons alors que l’application \[d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})} \circ h' + h' \circ d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}\] restreinte au facteur direct \(A^{n, m}\) est égale à \[d_1^{n - 1, m} \circ h^{n, m} + (-1)^{n - 1} d_2^{n - 1, m} \circ h^{n, m} + h^{n + 1, m} \circ d_1^{n, m} + h^{n, m + 1} \circ (-1)^nd_2^{n, m}\] Puisque \(h^n\) est une application de complexes, les termes \((-1)^{n - 1} d_2^{n - 1, m} \circ h^{n, m}\) et \(h^{n, m + 1} \circ (-1)^nd_2^{n, m}\) s’annulent mutuellement. Les deux autres termes donnent \((\alpha \circ \beta)|_{A^{n, m}} - \text{id}_{A^{n, m}}\) car \(a \circ b - \text{id} = d_1 \circ h + h \circ d_1\). Ceci achève la démonstration.

Bicomplexes de groupes abéliens

Dans cette section, nous donnons quelques résultats sur les bicomplexes de groupes abéliens dont nous ne connaissons pas (encore) les analogues pour les catégories abéliennes générales. Il faut prendre garde à n’utiliser ces lemmes que lorsque la catégorie abélienne sous-jacente est celle des groupes abéliens ou une catégorie analogue (par exemple, la catégorie des modules sur un anneau). Certains des arguments seront difficiles à suivre sans dessiner des « zigzags » sur un coin de table ; comparer avec la démonstration de Algèbre, Lemme 00M1.

Lemme

Soit \(M^\bullet\) un complexe de groupes abéliens. Soit \[0 \to M^\bullet \to A_0^\bullet \to A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots\] un complexe exact de complexes de groupes abéliens. Posons \(A^{p, q} = A_p^q\) pour obtenir un bicomplexe. Alors l’application \(M^\bullet \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) induite par \(M^\bullet \to A_0^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

S’il existe \(t \in \mathbf{Z}\) tel que \(A_0^q = 0\) pour \(q < t\), cela résulte immédiatement du Lemme 0133 (en échangeant \(p\) et \(q\) comme dans la dernière assertion de ce lemme). Bien, mais pour tout \(t \in \mathbf{Z}\), nous avons un complexe \[0 \to \sigma_{\geq t}M^\bullet \to \sigma_{\geq t}A_0^\bullet \to \sigma_{\geq t}A_1^\bullet \to \sigma_{\geq t}A_2^\bullet \to \ldots\] de troncations bêtes. Notons \(A(t)^{\bullet, \bullet}\) le bicomplexe correspondant. Tout élément \(\xi\) de \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}))\) est l’image d’un élément de \(H^n(\text{Tot}(A(t)^{\bullet, \bullet}))\) pour un certain \(t\) (considérer des représentants explicites des classes de cohomologie). Ainsi \(\xi\) appartient à l’image de \(H^n(\sigma_{\geq t}M^\bullet)\). L’application \(H^n(M^\bullet) \to H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}))\) est donc surjective. Elle est injective parce que, pour tout \(t\), l’application \(H^n(\sigma_{\geq t}M^\bullet) \to H^n(\text{Tot}(A(t)^{\bullet, \bullet}))\) est injective, et par des arguments analogues.

Lemme

Soit \(M^\bullet\) un complexe de groupes abéliens. Soit \[\ldots \to A_2^\bullet \to A_1^\bullet \to A_0^\bullet \to M^\bullet \to 0\] un complexe exact de complexes de groupes abéliens tel que, pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), les complexes \[\ldots \to \Ker(d_{A_2^\bullet}^p) \to \Ker(d_{A_1^\bullet}^p) \to \Ker(d_{A_0^\bullet}^p) \to \Ker(d_{M^\bullet}^p) \to 0\] soient également exacts. Posons \(A^{p, q} = A_{-p}^q\) pour obtenir un bicomplexe. Alors \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to M^\bullet\) induit par \(A_0^\bullet \to M^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

En utilisant les suites exactes courtes \(0 \to \Ker(d^p_{A_n^\bullet}) \to A_n^p \to \Im(d^p_{A_n^\bullet}) \to 0\) et les hypothèses, nous voyons que \[\ldots \to \Im(d_{A_2^\bullet}^p) \to \Im(d_{A_1^\bullet}^p) \to \Im(d_{A_0^\bullet}^p) \to \Im(d_{M^\bullet}^p) \to 0\] est exact pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). En répétant l’argument avec les suites exactes \(0 \to \Im(d^{p - 1}_{A_n^\bullet}) \to \Ker(d^p_{A_n^\bullet}) \to H^p(A_n^\bullet) \to 0\), nous trouvons que \[\ldots \to H^p(A_2^\bullet) \to H^p(A_1^\bullet) \to H^p(A_0^\bullet) \to H^p(M^\bullet) \to 0\] est exact pour tout \(p \in \mathbf{Z}\).

Écrivons \(T^\bullet = \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\). Nous allons montrer que \(H^0(T^\bullet) \to H^0(M^\bullet)\) est un isomorphisme. Le même argument vaut dans les autres degrés. Soit \(x \in \Ker(\text{d}_{T^\bullet}^0)\) un représentant d’un élément \(\xi \in H^0(T^\bullet)\). Écrivons \(x = \sum_{i = n, \ldots, 0} x_i\) avec \(x_i \in A_i^i\). Supposons \(n > 0\). Alors \(x_n\) appartient au noyau de \(d_{A_n^\bullet}^n\) et s’envoie sur zéro dans \(H^n(A_{n - 1}^\bullet)\), car son image est, au signe près, le bord de \(x_{n - 1}\). D’après le premier paragraphe de la démonstration, nous trouvons que \(x_n \bmod \Im(d^{n - 1}_{A_n^\bullet})\) appartient à l’image de \(H^n(A_{n + 1}^\bullet) \to H^n(A_n^\bullet)\). Nous pouvons donc modifier \(x\) par un bord et nous ramener au cas où \(x_n\) est un bord. En modifiant encore une fois \(x\), nous voyons que nous pouvons supposer \(x_n = 0\). Par récurrence, nous voyons que toute classe de cohomologie \(\xi\) est représentée par un cocycle \(x = x_0\). Enfin, la condition d’exactitude des noyaux nous dit que deux tels cocycles \(x_0\) et \(x_0'\) sont cohomologues si et seulement si leurs images dans \(H^0(M^\bullet)\) sont égales.

Lemme

Soit \(M^\bullet\) un complexe de groupes abéliens. Soit \[0 \to M^\bullet \to A_0^\bullet \to A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots\] un complexe exact de complexes de groupes abéliens tel que, pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), les complexes \[0 \to \Coker(d_{M^\bullet}^p) \to \Coker(d_{A_0^\bullet}^p) \to \Coker(d_{A_1^\bullet}^p) \to \Coker(d_{A_2^\bullet}^p) \to \ldots\] soient également exacts. Posons \(A^{p, q} = A_p^q\) pour obtenir un bicomplexe. Soit \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) le complexe simple par produits associé au bicomplexe (voir la démonstration). Alors l’application \(M^\bullet \to \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) induite par \(M^\bullet \to A_0^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

En abrégeant \(T^\bullet = \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\), nous posons \[T^n = \prod\nolimits_{p + q = n} A^{p, q} = \prod\nolimits_{p + q = n} A_p^q \quad\text{avec}\quad \text{d}_{T^\bullet}^n = \prod\nolimits_{n = p + q} (f_p^q + (-1)^pd_{A_p^\bullet}^q)\] où \(f_p^\bullet : A_p^\bullet \to A_{p + 1}^\bullet\) sont les applications de complexes du lemme.

Nous allons montrer que \(H^0(M^\bullet) \to H^0(T^\bullet)\) est un isomorphisme. Le même argument vaut dans les autres degrés. Soit \(x \in \Ker(\text{d}_{T^\bullet}^0)\) un représentant de \(\xi \in H^0(T^\bullet)\). Écrivons \(x = (x_i)\) avec \(x_i \in A_i^{-i}\). Remarquons que \(x_0\) s’envoie sur zéro dans \(\Coker(A_1^{-1} \to A_1^0)\). Nous voyons donc que \(x_0 = m_0 + d_{A_0^\bullet}^{-1}(y)\) pour certains \(m_0 \in M^0\) et \(y \in A_0^{-1}\). Alors \(d_{M^\bullet}(m_0) = 0\) parce que \(\text{d}_{A_0^\bullet}(x_0) = 0\), puisque \(\text{d}_{T^\bullet}(x) = 0\). Ainsi, après avoir remplacé \(\xi\) par un élément de l’image de \(H^0(M^\bullet) \to H^0(T^\bullet)\), nous pouvons supposer que \(x_0\) appartient à \(\Im(d^{-1}_{A_0^\bullet})\).

Supposons \(x_0 \in \Im(d^{-1}_{A_0^\bullet})\). Nous affirmons que, dans ce cas, \(\xi = 0\). Pour le prouver, construisons par récurrence sur \(n\) des éléments \(y_0, y_1, \ldots, y_n\) avec \(y_i \in A_i^{-i - 1}\) tels que \(x_0 = \text{d}_{A_0}^{-1}(y_0)\) et \(x_j = f_{j - 1}^{-j}(y_{j - 1}) + (-1)^j d^{-j - 1}_{A_j^\bullet}(y_j)\) pour \(j = 1, \ldots, n\). Cela est clair pour \(n = 0\). Démontrons l’étape de récurrence : supposons avoir trouvé \(y_0, \ldots, y_{n - 1}\). Alors \(w_n = x_n - f_{n - 1}^{-n}(y_{n - 1})\) appartient au noyau de \(d^{-n}_{A_n^\bullet}\) et s’envoie sur zéro dans \(H^{-n}(A_{n + 1}^\bullet)\) (car son image est, au signe près, le bord de \(x_{n + 1}\)). Exactement comme dans la démonstration du Lemme 09IZ, les hypothèses du lemme impliquent que \[0 \to H^p(M^\bullet) \to H^p(A_0^\bullet) \to H^p(A_1^\bullet) \to H^p(A_2^\bullet) \to \ldots\] est exact pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). Ainsi, après avoir modifié \(y_{n - 1}\) par un élément de \(\Ker(d^{n - 1}_{A_{n - 1}^\bullet})\), nous pouvons supposer que \(w_n\) s’envoie sur zéro dans \(H^{-n}(A_n^\bullet)\). Cela signifie que nous pouvons trouver \(y_n\) comme voulu. Observons que cette procédure ne modifie pas \(y_0, \ldots, y_{n - 2}\). En poursuivant ainsi indéfiniment, nous trouvons un élément \(y = (y_i)\) de \(T^{n - 1}\) tel que \(d_{T^\bullet}(y) = \xi\). Ceci montre que \(H^0(M^\bullet) \to H^0(T^\bullet)\) est surjective.

Supposons que \(m_0 \in \Ker(d^0_{M^\bullet})\) s’envoie sur zéro dans \(H^0(T^\bullet)\). Disons que son image est la différentielle appliquée à \(y = (y_i) \in T^{-1}\). Alors \(y_0 \in A_0^{-1}\) s’envoie sur zéro dans \(\Coker(d^{-2}_{A_1^\bullet})\). Par hypothèse, cela signifie que \(y_0 \bmod \Im(d^{-2}_{A_0^\bullet})\) est l’image d’un certain \(z \in M^{-1}\). Il s’ensuit que \(m_0 = d^{-1}_{M^\bullet}(z)\). Cela prouve l’injectivité et achève la démonstration.

Lemme

Soit \(M^\bullet\) un complexe de groupes abéliens. Soit \[\ldots \to A_2^\bullet \to A_1^\bullet \to A_0^\bullet \to M^\bullet \to 0\] un complexe exact de complexes de groupes abéliens. Posons \(A^{p, q} = A_{-p}^q\) pour obtenir un bicomplexe. Soit \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) le complexe simple par produits associé au bicomplexe (voir la démonstration). Alors l’application \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet}) \to M^\bullet\) induite par \(A_0^\bullet \to M^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

En abrégeant \(T^\bullet = \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\), nous posons \[T^n = \prod\nolimits_{p + q = n} A^{p, q} = \prod\nolimits_{p + q = n} A_{-p}^q \quad\text{avec}\quad \text{d}_{T^\bullet}^n = \prod\nolimits_{n = p + q} (f_{-p}^q + (-1)^pd_{A_{-p}^\bullet}^q)\] où \(f_p^\bullet : A_p^\bullet \to A_{p - 1}^\bullet\) sont les applications de complexes du lemme. Nous allons montrer que \(T^\bullet\) est acyclique lorsque \(M^\bullet\) est le complexe nul. Cela suffira grâce à l’astuce suivante. Posons \(B_n^\bullet = A_{n + 1}^\bullet\) et \(B_0^\bullet = M^\bullet\). Nous avons alors une suite exacte \[\ldots \to B_2^\bullet \to B_1^\bullet \to B_0^\bullet \to 0 \to 0\] comme dans le lemme. Soit \(S^\bullet = \text{Tot}_\pi(B^{\bullet, \bullet})\). Il existe alors une suite exacte courte évidente de complexes \[0 \to M^\bullet \to S^\bullet \to T^\bullet[1] \to 0\] et nous concluons par la suite exacte longue de cohomologie. Certains détails sont omis.

Supposons \(M^\bullet = 0\). Nous allons montrer \(H^0(T^\bullet) = 0\). Le même argument vaut dans les autres degrés. Soit \(x =(x_n) \in \Ker(d_{T^\bullet})\) d’image \(\xi \in H^0(T^\bullet)\), avec \(x_n \in A^{-n, n} = A_n^n\). Puisque \(M^0 = 0\), nous trouvons que \(x_0 = f_1^0(y_0)\) pour un certain \(y_0 \in A_1^0\). Alors \(x_1 - d^0_{A_1^\bullet}(y_0) = f_2^1(y_1)\) pour un certain \(y_1 \in A_2^1\), parce que cet élément est envoyé sur zéro par \(f_1^1\), puisque \(x\) est un cocycle. En poursuivant et en raisonnant par récurrence, nous trouvons \(y = (y_i) \in T^{-1}\) tel que \(d_{T^\bullet}(y) = x\), comme voulu.

Injectifs

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un objet \(J \in \Ob(\mathcal{A})\) est dit injectif si, pour toute injection \(A \hookrightarrow B\) et tout morphisme \(A \to J\), il existe un morphisme \(B \to J\) rendant commutatif le diagramme suivant \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\ J & }\]

Voici la caractérisation incontournable des objets injectifs.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I\) un objet de \(\mathcal{A}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. l’objet \(I\) est injectif ;

2. le foncteur \(B \mapsto \Hom_\mathcal{A}(B, I)\) est exact ;

3. toute suite exacte courte \[0 \to I \to A \to B \to 0\] dans \(\mathcal{A}\) est scindée ;

4. on a \(\Ext_\mathcal{A}(B, I) = 0\) pour tout \(B \in \Ob(\mathcal{A})\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(I_\omega\), \(\omega \in \Omega\), soit une famille d’objets injectifs de \(\mathcal{A}\). Si \(\prod_{\omega \in \Omega} I_\omega\) existe, alors il est injectif.

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous disons que \(\mathcal{A}\) possède suffisamment d’injectifs si tout objet \(A\) admet un morphisme injectif \(A \to J\) vers un objet injectif \(J\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous disons que \(\mathcal{A}\) possède des plongements injectifs fonctoriels s’il existe un foncteur \[J : \mathcal{A} \longrightarrow \text{Arrows}(\mathcal{A})\] tel que

1. \(s \circ J = \text{id}_\mathcal{A}\) ;

2. pour tout objet \(A \in \Ob(\mathcal{A})\), le morphisme \(J(A)\) soit injectif ; et

3. pour tout objet \(A \in \Ob(\mathcal{A})\), l’objet \(t(J(A))\) soit un objet injectif de \(\mathcal{A}\).

Nous noterons un tel foncteur \(A \mapsto (A \to J(A))\).

Projectifs

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un objet \(P \in \Ob(\mathcal{A})\) est dit projectif si, pour toute surjection \(A \rightarrow B\) et tout morphisme \(P \to B\), il existe un morphisme \(P \to A\) rendant commutatif le diagramme suivant \[\xymatrix{ A \ar[r] & B \\ P \ar@{-->}[u] \ar[ru] & }\]

Voici la caractérisation incontournable des objets projectifs.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(P\) un objet de \(\mathcal{A}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. l’objet \(P\) est projectif ;

2. le foncteur \(B \mapsto \Hom_\mathcal{A}(P, B)\) est exact ;

3. toute suite exacte courte \[0 \to A \to B \to P \to 0\] dans \(\mathcal{A}\) est scindée ;

4. on a \(\Ext_\mathcal{A}(P, A) = 0\) pour tout \(A \in \Ob(\mathcal{A})\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(P_\omega\), \(\omega \in \Omega\), soit une famille d’objets projectifs de \(\mathcal{A}\). Si \(\coprod_{\omega \in \Omega} P_\omega\) existe, alors il est projectif.

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous disons que \(\mathcal{A}\) possède suffisamment de projectifs si tout objet \(A\) admet un morphisme surjectif \(P \to A\) depuis un objet projectif \(P\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous disons que \(\mathcal{A}\) possède des surjections projectives fonctorielles s’il existe un foncteur \[P : \mathcal{A} \longrightarrow \text{Arrows}(\mathcal{A})\] tel que

1. \(t \circ P = \text{id}_\mathcal{A}\) ;

2. pour tout objet \(A \in \Ob(\mathcal{A})\), le morphisme \(P(A)\) soit surjectif ; et

3. pour tout objet \(A \in \Ob(\mathcal{A})\), l’objet \(s(P(A))\) soit un objet projectif de \(\mathcal{A}\).

Nous noterons un tel foncteur \(A \mapsto (P(A) \to A)\).

Injectifs et foncteurs adjoints

Voici quelques lemmes sur les foncteurs adjoints et leur relation avec les injectifs. Voir aussi le Lemme 03A3.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soient \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs additifs tels que \(u\) soit adjoint à droite de \(v\). Considérons les conditions suivantes :

1. \(v\) transforme les morphismes injectifs en morphismes injectifs ;

2. \(v\) est exact ; et

3. \(u\) transforme les injectifs en injectifs.

Alors (a) \(\Leftrightarrow\) (b) \(\Rightarrow\) (c). Si \(\mathcal{A}\) possède suffisamment d’injectifs, les trois conditions sont équivalentes.

Démonstration

Observons que \(v\) est exact à droite en tant qu’adjoint à gauche (Catégories, Lemme 0039). Conjointement au Lemme 010N, cela explique pourquoi (a) \(\Leftrightarrow\) (b).

Supposons (a). Soit \(I\) un objet injectif de \(\mathcal{A}\). Soit \(\varphi : N \to M\) un morphisme injectif dans \(\mathcal{B}\) et soit \(\alpha : N \to uI\) un morphisme. Par adjonction, nous obtenons un morphisme \(\alpha : vN \to I\), et \(v\varphi : vN \to vM\) est injectif par hypothèse. Comme \(I\) est un objet injectif, nous obtenons donc un morphisme \(\beta : vM \to I\) prolongeant \(\alpha\). Une nouvelle application de l’adjonction lui fait correspondre un morphisme \(\beta : M \to uI\) prolongeant \(\alpha\). Ainsi (c) est vraie.

Supposons que \(\mathcal{A}\) possède suffisamment d’injectifs et que (c) soit vérifiée. Soit \(f : B \to B'\) un monomorphisme dans \(\mathcal{B}\), et soit \(A = \Ker(v(f))\). Choisissons un monomorphisme \(g : A \to I\) avec \(I\) injectif (il existe par hypothèse). Alors \(g\) se prolonge en \(g' : v(B) \to I\), d’où, par adjonction, un morphisme \(B \to u(I)\). Puisque \(u(I)\) est injectif, ce morphisme se prolonge en \(h : B' \to u(I)\), d’où, par adjonction, un morphisme \(k : v(B') \to I\) prolongeant \(g'\). Mais alors \(k\) « prolonge » \(g\), ce qui force \(A = 0\) puisque \(g\) était un monomorphisme. Ainsi (a) est vraie.

Remarque

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(u : \text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\) défini par \(u(N) = N_R\), et soit \(v : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\) défini par \(v(M) = M \otimes_R S\). Alors \(u\) est adjoint à droite de \(v\), le foncteur \(u\) est exact et \(v\) est exact à droite. Mais les conditions (a), (b), (c) du Lemme 015Z ne sont pas vérifiées en général. Par exemple, si \(R = \mathbf{Z}\) et \(S = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\), alors le \(S\)-module injectif \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) n’est pas un \(\mathbf{Z}\)-module injectif. En fait, le lemme montre que tous les \(S\)-modules injectifs sont injectifs comme \(R\)-modules si et seulement si \(R \to S\) est un morphisme plat d’anneaux.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soient \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs additifs. Supposons que

1. \(u\) soit adjoint à droite de \(v\) ;

2. \(v\) transforme les morphismes injectifs en morphismes injectifs ;

3. \(\mathcal{A}\) possède suffisamment d’injectifs ; et

4. \(vB = 0\) implique \(B = 0\) pour tout \(B \in \Ob(\mathcal{B})\).

Alors \(\mathcal{B}\) possède suffisamment d’injectifs.

Démonstration

Choisissons \(B \in \Ob(\mathcal{B})\). Choisissons une injection \(vB \to I\), où \(I\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\). D’après le Lemme 015Z et les hypothèses, l’application correspondante \(B \to uI\) est l’injection de \(B\) dans un objet injectif.

Remarque

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) comme dans le Lemme 0160. En présence des conditions (1) et (2), la condition (4) équivaut à la fidélité de \(v\). En outre, la condition (4) est nécessaire. Un exemple s’obtient en considérant le cas où les foncteurs \(u\) et \(v\) sont tous deux le foncteur nul.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soient \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs additifs. Supposons que

1. \(u\) soit adjoint à droite de \(v\) ;

2. \(v\) transforme les morphismes injectifs en morphismes injectifs ;

3. \(\mathcal{A}\) possède suffisamment d’injectifs ;

4. \(vB = 0\) implique \(B = 0\) pour tout \(B \in \Ob(\mathcal{B})\) ; et

5. \(\mathcal{A}\) possède des plongements injectifs fonctoriels.

Alors \(\mathcal{B}\) possède des plongements injectifs fonctoriels.

Démonstration

Soit \(A \mapsto (A \to J(A))\) un plongement injectif fonctoriel sur \(\mathcal{A}\). Alors \(B \mapsto (B \to uJ(vB))\) est un plongement injectif fonctoriel sur \(\mathcal{B}\). Comparer avec la démonstration du Lemme 0160.

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur. S’il existe un sous-ensemble \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{B})\) tel que

1. tout objet de \(\mathcal{B}\) soit un quotient d’un élément de \(\mathcal{P}\) ; et

2. pour tout \(P \in \mathcal{P}\), il existe un objet \(Q\) de \(\mathcal{A}\) tel que \(\Hom_\mathcal{A}(Q, A) = \Hom_\mathcal{B}(P, u(A))\) fonctoriellement en \(A\),

alors il existe un adjoint à gauche \(v\) de \(u\).

Démonstration

Par le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P), l’objet \(Q\) de \(\mathcal{A}\) correspondant à \(P\) est défini à isomorphisme unique près par la formule \(\Hom_\mathcal{A}(Q, A) = \Hom_\mathcal{B}(P, u(A))\). Écrivons \(Q = v(P)\). Notons \(i_P : P \to u(v(P))\) l’application correspondant à \(\text{id}_{v(P)}\) dans \(\Hom_\mathcal{A}(v(P), v(P))\). La fonctorialité de (2) implique que la bijection est donnée par \[\Hom_\mathcal{A}(v(P), A) \to \Hom_\mathcal{B}(P, u(A)),\quad \varphi \mapsto u(\varphi) \circ i_P\] Pour toute paire d’éléments \(P_1, P_2 \in \mathcal{P}\), il existe une application canonique \[\Hom_\mathcal{B}(P_2, P_1) \to \Hom_\mathcal{A}(v(P_2), v(P_1)),\quad \varphi \mapsto v(\varphi)\] caractérisée par la règle \(u(v(\varphi)) \circ i_{P_2} = i_{P_1} \circ \varphi\) dans \(\Hom_\mathcal{B}(P_2, u(v(P_1)))\). Remarquons que \(\varphi \mapsto v(\varphi)\) est compatible à la composition ; cela se voit directement à partir de la caractérisation. Ainsi \(P \mapsto v(P)\) est un foncteur de la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{B}\) dont les objets sont les éléments de \(\mathcal{P}\).

Étant donné un objet arbitraire \(B\) de \(\mathcal{B}\), choisissons une suite exacte \[P_2 \to P_1 \to B \to 0\] ce qui est possible par l’hypothèse (1). Définissons \(v(B)\) comme l’objet de \(\mathcal{A}\) qui s’insère dans la suite exacte \[v(P_2) \to v(P_1) \to v(B) \to 0\] Alors \[\begin{align*} \Hom_\mathcal{A}(v(B), A) & = \Ker(\Hom_\mathcal{A}(v(P_1), A) \to \Hom_\mathcal{A}(v(P_2), A)) \\ & = \Ker(\Hom_\mathcal{B}(P_1, u(A)) \to \Hom_\mathcal{B}(P_2, u(A))) \\ & = \Hom_\mathcal{B}(B, u(A)) \end{align*}\] Nous voyons donc que nous pouvons prendre \(\mathcal{P} = \Ob(\mathcal{B})\), c’est-à-dire que \(v\) est défini partout.

Systèmes essentiellement constants

Dans cette section, nous étudions les systèmes essentiellement constants à valeurs dans des catégories additives.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie, soit \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive karoubienne et soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) un diagramme.

1. Supposons \(\mathcal{I}\) filtrante. Les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. \(M\) est essentiellement constant ;

   2. \(X = \colim M\) existe et il existe une sous-catégorie filtrante cofinale \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) ainsi que, pour \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\), une décomposition en somme directe \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\) telle que \(X_{i'}\) s’envoie isomorphiquement sur \(X\) et que \(Z_{i'}\) s’envoie sur zéro dans \(M_{i''}\) pour un certain \(i' \to i''\) dans \(\mathcal{I}'\).

2. Supposons \(\mathcal{I}\) cofiltrante. Les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. \(M\) est essentiellement constant ;

   2. \(X = \lim M\) existe et il existe une sous-catégorie cofiltrante initiale \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) ainsi que, pour \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\), une décomposition en somme directe \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\) telle que \(X\) s’envoie isomorphiquement sur \(X_{i'}\) et que \(M_{i''} \to Z_{i'}\) soit nul pour un certain \(i'' \to i'\) dans \(\mathcal{I}'\).

Démonstration

Supposons (1)(a), c’est-à-dire que \(\mathcal{I}\) soit filtrante et que \(M\) soit essentiellement constant. Soit \(X = \colim M_i\). Choisissons \(i\) et \(X \to M_i\) comme dans Catégories, Définition 05PU. Soit \(\mathcal{I}'\) la sous-catégorie pleine formée des objets qui sont le but d’un morphisme de source \(i\). Supposons \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\) et choisissons un morphisme \(i \to i'\). Alors la composée \(X \to M_i \to M_{i'}\) avec \(M_{i'} \to X\) est l’identité sur \(X\). Comme \(\mathcal{A}\) est karoubienne, nous obtenons une décomposition en somme directe \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\), où \(Z_{i'} = \Ker(M_{i'} \to X)\) et \(X_{i'}\) s’envoie isomorphiquement sur \(X\). Choisissons \(i \to k\) et \(i' \to k\) tels que \(M_{i'} \to X \to M_i \to M_k\) soit égal à \(M_{i'} \to M_k\), comme dans Catégories, Définition 05PU. Nous voyons alors que \(M_{i'} \to M_k\) annule \(Z_{i'}\). Ainsi (1)(b) est vérifiée.

Supposons (1)(b), c’est-à-dire que \(\mathcal{I}\) soit filtrante et que nous ayons \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) ainsi que, pour \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\), une décomposition en somme directe \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\) comme dans l’énoncé du lemme. Pour voir que \(M\) est essentiellement constant, nous pouvons remplacer \(\mathcal{I}\) par \(\mathcal{I}'\), voir Catégories, Lemme 0A1S. Choisissons un \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) quelconque et notons \(X \to M_i\) la composée de l’inverse de l’isomorphisme \(X_i \to X\) et de l’inclusion \(X_i \to M_i\). Si \(j\) est un second objet, choisissons \(j \to k\) tel que \(Z_j \to M_k\) soit nul. Comme \(\mathcal{I}\) est filtrante, nous pouvons aussi supposer qu’il existe un morphisme \(i \to k\) (quitte à agrandir \(k\)). Alors \(M_j \to X \to M_i \to M_k\) et \(M_j \to M_k\) annulent tous deux \(Z_j\). Ainsi, après composition à droite par un morphisme \(M_k \to M_l\) qui annule le facteur direct \(Z_k\), nous trouvons que \(M_j \to X \to M_i \to M_l\) et \(M_j \to M_l\) sont égaux, c’est-à-dire que \(M\) est essentiellement constant.

La démonstration de (2) est duale.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive et karoubienne. Soient \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) et \(G : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) des foncteurs. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\colim_\mathcal{I} F \oplus G\) existe ; et

2. \(\colim_\mathcal{I} F\) et \(\colim_\mathcal{I} G\) existent.

Dans ce cas, \(\colim_\mathcal{I} F \oplus G = \colim_\mathcal{I} F \oplus \colim_\mathcal{I} G\).

Démonstration

Supposons (1). Posons \(W = \colim_\mathcal{I} F \oplus G\). Remarquons que la projection sur \(F\) définit une transformation naturelle \(F \oplus G \to F \oplus G\) qui est idempotente. Nous obtenons donc un endomorphisme idempotent \(W \to W\) par Catégories, Lemme 002K. Comme \(\mathcal{A}\) est karoubienne, nous obtenons une décomposition correspondante en somme directe \(W = X \oplus Y\), voir le Lemme 09SH. Un argument immédiat (omis) montre que \(X = \colim_\mathcal{I} F\) et \(Y = \colim_\mathcal{I} G\). Ainsi (2) est vérifiée. Nous omettons la démonstration que (2) implique (1).

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie filtrante. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive et karoubienne. Soient \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) et \(G : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) des foncteurs. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F \oplus G : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) est essentiellement constant ; et

2. \(F\) et \(G\) sont essentiellement constants.

Démonstration

Supposons (1). En particulier, \(W = \colim_\mathcal{I} F \oplus G\) existe et, par le Lemme 0A2F, nous avons \(W = X \oplus Y\) avec \(X = \colim_\mathcal{I} F\) et \(Y = \colim_\mathcal{I} G\). Un argument immédiat (omis), utilisant par exemple la caractérisation de Catégories, Lemme 05PY, montre que \(F\) est essentiellement constant de valeur \(X\) et que \(G\) est essentiellement constant de valeur \(Y\). Ainsi (2) est vérifiée. La démonstration que (2) implique (1) est omise.

Systèmes projectifs

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Dans Catégories, section 002Z, nous avons défini la notion de système projectif indexé par un ensemble préordonné (à valeurs dans la catégorie \(\mathcal{C}\)). Si l’ensemble préordonné est \(\mathbf{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) muni de l’ordre usuel, un tel système projectif indexé par \(\mathbf{N}\) est souvent appelé simplement un système projectif. Il consiste tout simplement en une paire \((M_i, f_{ii'})\), où chaque \(M_i\), \(i \in \mathbf{N}\), est un objet de \(\mathcal{C}\) et, pour chaque \(i > i'\), \(i, i' \in \mathbf{N}\), on a un morphisme \(f_{ii'} : M_i \to M_{i'}\) tel que, de plus, \(f_{i'i''} \circ f_{ii'} = f_{ii''}\) chaque fois que cela a un sens. Il est clair qu’il suffit en fait de donner les morphismes \(M_2 \to M_1\), \(M_3 \to M_2\), et ainsi de suite. Un système projectif est donc souvent représenté de la manière suivante \[M_1 \xleftarrow{\varphi_2} M_2 \xleftarrow{\varphi_3} M_3 \leftarrow \ldots\] En outre, nous omettons souvent de la notation les applications de transition \(\varphi_i\) et disons simplement « soit \((M_i)\) un système projectif ».

La collection de tous les systèmes projectifs à valeurs dans \(\mathcal{C}\) forme une catégorie, avec la notion évidente de morphisme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Si \(\mathcal{C}\) est une catégorie additive, alors la catégorie des systèmes projectifs à valeurs dans \(\mathcal{C}\) est additive.

2. Si \(\mathcal{C}\) est une catégorie abélienne, alors la catégorie des systèmes projectifs à valeurs dans \(\mathcal{C}\) est abélienne. Une suite \((K_i) \to (L_i) \to (M_i)\) de systèmes projectifs est exacte si et seulement si chaque \(K_i \to L_i \to N_i\) est exacte.

Démonstration

Omis.

La limite (voir Catégories, section 002Z) d’un tel système projectif se note \(\lim M_i\), ou \(\lim_i M_i\). Si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des groupes abéliens (ou des ensembles), la limite existe toujours et peut en fait être décrite comme suit \[\lim_i M_i = \{(x_i) \in \prod M_i \mid \varphi_i(x_i) = x_{i - 1}, \ i = 2, 3, \ldots\}\] voir Catégories, section 002U. Cependant, étant donnée une suite exacte courte \[0 \to (A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to 0\] de systèmes projectifs de groupes abéliens, le système de limites associé n’est pas toujours exacte. Pour approfondir cette question, introduisons la notion suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie abélienne. Nous disons que le système projectif \((A_i)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler, ou, en abrégé, qu’il est ML, si, pour tout \(i\), il existe \(c = c(i) \geq i\) tel que \[\Im(A_k \to A_i) = \Im(A_c \to A_i)\] pour tout \(k \geq c\).

Il se trouve que la condition de Mittag-Leffler suffit à assurer l’exactitude du foncteur \(\lim\), pourvu que l’on travaille dans la catégorie abélienne des groupes abéliens, des modules sur un anneau, etc. A. Neeman montre dans un article (voir [Neeman-Counterexample]) que cette condition n’est pas assez forte dans une catégorie abélienne qui satisfait AB4* (c’est-à-dire dans laquelle les produits sont exacts).

Lemme

Soit \[0 \to (A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to 0\] une suite exacte courte de systèmes projectifs de groupes abéliens.

1. Dans tous les cas, la suite \[0 \to \lim_i A_i \to \lim_i B_i \to \lim_i C_i\] est exacte.

2. Si \((B_i)\) est ML, alors \((C_i)\) est aussi ML.

3. Si \((A_i)\) est ML, alors \[0 \to \lim_i A_i \to \lim_i B_i \to \lim_i C_i \to 0\] est exacte.

Démonstration

Bel exercice. Voir Algèbre, Lemme 03CA pour la partie (3).

Lemme

Soit \[(A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to (D_i)\] une suite exacte de systèmes projectifs de groupes abéliens. Si le système \((A_i)\) est ML, alors la suite \[\lim_i B_i \to \lim_i C_i \to \lim_i D_i\] est exacte.

Démonstration

Soient \(Z_i = \Ker(C_i \to D_i)\) et \(I_i = \Im(A_i \to B_i)\). Alors \(\lim Z_i = \Ker(\lim C_i \to \lim D_i)\) et nous obtenons une suite exacte courte de systèmes \[0 \to (I_i) \to (B_i) \to (Z_i) \to 0\] En outre, par le Lemme 02N1, nous voyons que \((I_i)\) satisfait (ML) ; une nouvelle application du Lemme 02N1 montre donc que \(\lim B_i \to \lim Z_i\) est surjective, ce qui démontre le lemme.

La caractérisation suivante des systèmes projectifs essentiellement constants montre en particulier qu’ils satisfont ML.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((A_i)\) un système projectif dans \(\mathcal{A}\) de limite \(A = \lim A_i\). Alors \((A_i)\) est essentiellement constant (voir Catégories, Définition 05PU) si et seulement s’il existe \(i\) et, pour tout \(j \geq i\), une décomposition en somme directe \(A_j = A \oplus Z_j\) telle que (a) les applications \(A_{j'} \to A_j\) soient compatibles avec les décompositions en sommes directes et (b), pour tout \(j\), il existe \(j' \geq j\) tel que \(Z_{j'} \to Z_j\) soit nul.

Démonstration

Supposons \((A_i)\) essentiellement constant. Il existe alors \(i\) et un morphisme \(A_i \to A\) tels que \(A \to A_i \to A\) soit l’identité et, pour tout \(j \geq i\), il existe \(j' \geq j\) tel que \(A_{j'} \to A_j\) se factorise sous la forme \(A_{j'} \to A_i \to A \to A_j\) (la dernière application provient de \(A = \lim A_i\)). Ainsi, il convient de poser \(Z_j = \Ker(A_j \to A)\) pour tout \(j \geq i\). La démonstration de la réciproque est omise.

Nous améliorerons le lemme suivant dans Compléments sur l’algèbre, Lemme 0CQB.

Lemme

Soit \[0 \to (A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to 0\] une suite exacte de systèmes projectifs de groupes abéliens. Si \((C_i)\) est essentiellement constant, alors \((A_i)\) satisfait ML si et seulement si \((B_i)\) satisfait ML.

Démonstration

Après renumérotation, nous pouvons supposer que \(C_i = C \oplus Z_i\) de manière compatible avec les applications de transition et que, pour tout \(i\), il existe \(i' \geq i\) tel que \(Z_{i'} \to Z_i\) soit nul, voir le Lemme 070C.

Supposons d’abord \(C = 0\), c’est-à-dire \(C_i = Z_i\). Dans ce cas, choisissons \(1 = n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\) tel que \(Z_{n_{i + 1}} \to Z_{n_i}\) soit nul. Alors \(B_{n_{i + 1}} \to B_{n_i}\) se factorise par \(A_{n_i} \subset B_{n_i}\). Il s’ensuit que, pour \(j \geq i + 1\), on a \[\Im(A_{n_j} \to A_{n_i}) \subset \Im(B_{n_j} \to B_{n_i}) \subset \Im(A_{n_{j - 1}} \to A_{n_i})\] comme sous-objets de \(A_{n_i}\). Ainsi les images \(\Im(A_{n_j} \to A_{n_i})\) se stabilisent pour \(j \geq i + 1\) si et seulement s’il en va de même des images \(\Im(B_{n_j} \to B_{n_i})\). L’équivalence en résulte (un petit détail est omis).

Si \(C \not = 0\), notons \(B'_i \subset B_i\) l’image réciproque de \(C\) par l’application \(B_i \to C \oplus Z_i\). Le paragraphe précédent montre alors que \((B'_i)\) satisfait ML si et seulement si \((B_i)\) satisfait ML. Nous pouvons donc remplacer \((B_i)\) par \((B'_i)\). Dans ce cas, nous avons des suites exactes \(0 \to A_i \to B_i \to C \to 0\) pour tout \(i\). Il s’ensuit que \(0 \to \Im(A_j \to A_i) \to \Im(B_j \to B_i) \to C \to 0\) est une suite exacte courte pour tout \(j \geq i\). Les images \(\Im(A_j \to A_i)\) se stabilisent donc pour \(j \geq i\) si et seulement s’il en va de même de \(\Im(B_j \to B_i)\), comme voulu.

La version « correcte » du lemme suivant est Compléments sur l’algèbre, Lemme 0918.

Lemme

Soit \[(A^{-2}_i \to A^{-1}_i \to A^0_i \to A^1_i)\] un système projectif de complexes de groupes abéliens, et notons \(A^{-2} \to A^{-1} \to A^0 \to A^1\) sa limite. Notons \((H_i^{-1})\), \((H_i^0)\) les systèmes projectifs de cohomologie, et \(H^{-1}\), \(H^0\) les cohomologies de \(A^{-2} \to A^{-1} \to A^0 \to A^1\). Si \((A^{-2}_i)\) et \((A^{-1}_i)\) sont ML et si \((H^{-1}_i)\) est essentiellement constant, alors \(H^0 = \lim H_i^0\).

Démonstration

Soient \(Z^j_i = \Ker(A^j_i \to A^{j + 1}_i)\) et \(I^j_i = \Im(A^{j - 1}_i \to A^j_i)\). Remarquons que \(\lim Z^0_i = \Ker(\lim A^0_i \to \lim A^1_i)\), puisque la prise de noyaux commute aux limites. Les systèmes \((I^{-1}_i)\) et \((I^0_i)\) sont ML en tant que quotients des systèmes \((A^{-2}_i)\) et \((A^{-1}_i)\), voir le Lemme 02N1. Nous avons donc une suite exacte \[0 \to (I^{-1}_i) \to (Z^{-1}_i) \to (H^{-1}_i) \to 0\] de systèmes projectifs, où \((I^{-1}_i)\) est ML et où \((H^{-1}_i)\) est essentiellement constant par hypothèse. Ainsi \((Z^{-1}_i)\) est ML par le Lemme 070D. La suite exacte \[0 \to (Z^{-1}_i) \to (A^{-1}_i) \to (I^0_i) \to 0\] et une application du Lemme 02N1 montrent que \(\lim A^{-1}_i \to \lim I^0_i\) est surjective. Enfin, la suite exacte \[0 \to (I^0_i) \to (Z^0_i) \to (H^0_i) \to 0\] et le Lemme 02N1 montrent que \(\lim I^0_i \to \lim Z^0_i \to \lim H^0_i \to 0\) est exacte. En rassemblant ces faits, nous obtenons le résultat.

Nous avons parfois besoin d’une version du lemme précédent où l’on prend des limites indexées par de grands ordinaux.

Lemme

Soit \(\alpha\) un ordinal. Soient \(K_\beta^\bullet\), \(\beta < \alpha\), un système projectif de complexes de groupes abéliens indexé par \(\alpha\). Si, pour tout \(\beta < \alpha\), le complexe \(K_\beta^\bullet\) est acyclique et si l’application \[K^n_\beta \longrightarrow \lim_{\gamma < \beta} K^n_\gamma\] est surjective, alors le complexe \(\lim_{\beta < \alpha} K_\beta^\bullet\) est acyclique.

Démonstration

Par récurrence transfinie, nous démontrons cette assertion pour tout ordinal \(\alpha\) et tout système comme dans le lemme. En particulier, pendant la démonstration du résultat pour \(\alpha\), nous pouvons supposer que les complexes \(\lim_{\gamma < \beta} K^n_\gamma\) sont acycliques.

Soit \(x \in \lim_{\beta < \alpha} K^0_\beta\) avec \(\text{d}(x) = 0\). Nous allons trouver \(y \in \lim_{\beta < \alpha} K^{-1}_\beta\) tel que \(\text{d}(y) = x\). Écrivons \(x = (x_\beta)\), où \(x_\beta \in K_\beta^0\) est l’image de \(x\) pour \(\beta < \alpha\). Nous allons construire \(y = (y_\beta)\) par récurrence transfinie.

Pour \(\beta = 0\), soit \(y_0 \in K_0^{-1}\) un élément quelconque tel que \(\text{d}(y_0) = x_0\).

Pour un ordinal successeur \(\beta = \gamma + 1\), il nous faut trouver un élément \(y_\beta\) qui s’envoie à la fois sur \(y_\gamma\) par l’application de transition \(f : K^\bullet_\beta \to K^\bullet_\gamma\) et sur \(x_\beta\) par la différentielle. Comme première approximation, choisissons \(y'_\beta\) avec \(\text{d}(y'_\beta) = x_\beta\). Alors la différence \(y_\gamma - f(y'_\beta)\) appartient au noyau de la différentielle et est donc égale à \(\text{d}(z_\gamma)\) pour un certain \(z_\gamma \in K^{-2}_\gamma\). Par hypothèse, l’application \(f^{-2} : K^{-2}_\beta \to K^{-2}_\gamma\) est surjective. Nous écrivons donc \(z_\gamma = f(z_\beta)\) et remplaçons \(y'_\beta\) par \(y_\beta = y'_\beta + \text{d}(z_\beta)\), ce qui convient.

Si \(\beta\) est un ordinal limite, nous avons l’élément \((y_\gamma)_{\gamma < \beta}\) de \(\lim_{\gamma < \beta} K^{-1}_\gamma\) dont la différentielle est l’image de \(x_\beta\). Nous pouvons donc raisonner exactement comme ci-dessus, en utilisant l’application de complexes surjective terme à terme \(f : K_\beta^\bullet \to \lim_{\gamma < \beta} K_\gamma^\bullet\) et le fait (voir le premier paragraphe de la démonstration) que nous pouvons supposer par récurrence que \(\lim_{\gamma < \beta} K_\gamma^\bullet\) est acyclique.

Exactitude des produits

Lemme

Soit \(I\) un ensemble. Pour \(i \in I\), soit \(L_i \to M_i \to N_i\) un complexe de groupes abéliens. Soit \(H_i = \Ker(M_i \to N_i)/\Im(L_i \to M_i)\) sa cohomologie. Alors \[\prod L_i \to \prod M_i \to \prod N_i\] est un complexe de groupes abéliens d’homologie \(\prod H_i\).

Démonstration

Omis.