준군 스킴

서론

이 장에서는 준군 스킴에 관한 일반론을 다룬다. 예를 들어 Keel과 Mori의 훌륭한 논문 [K-M]을 보라.

표기법

\(S\)를 스킴이라 하자. \(U\), \(T\)가 \(S\) 위의 스킴이면 \(U\)의 \(S\) 위에서의 \(T\)-값 점들의 집합을 \(U(T)\)로 쓴다. 식으로 쓰면 \(U(T) = \Mor_S(T, U)\)이다. 아래 논의에서처럼 \(S\) 위의 “시험 스킴”을 나타내는 데 문자 \(T\)를 가급적 남겨 둔다. \(X\), \(Y\)가 \(S\) 위의 스킴이고 \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위의 스킴 사상이라고 하자. \(S\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대해 집합의 사상 \[f : X(T) \longrightarrow Y(T)\] 이 유도되며, 표시한 대로 이 사상도 \(f\)라 쓴다. 실제로 이 구성은 스킴 \(T/S\)에 관해 함자적이다. 요네다 보조정리(Categories, Lemma 001P)에 따르면 \(f\)는 함자 변환 \(f : h_X \to h_Y\)를 정하며, 역으로 이 변환에 의해 정해진다. 더 일반적으로 섬유곱 사이의 사상에도 같은 표기법을 쓴다. 예를 들어 \(X\), \(Y\), \(Z\)가 \(S\) 위의 스킴이고 \(m : X \times_S Y \to Z \times_S Z\)가 \(S\) 위의 스킴 사상이면, \(m\)은 \(T\)-값 점들 사이의 다음 사상들의 모음에 대응한다고 본다. \[X(T) \times Y(T) \longrightarrow Z(T) \times Z(T).\] 이후에도 같은 방식으로 표기한다.

사영사상의 첨자를 \(0\)부터 붙이는 관례를 계속 사용한다. 따라서 \(\text{pr}_0 : X \times_S Y \to X\) 및 \(\text{pr}_1 : X \times_S Y \to Y\)로 쓴다.

동치관계

집합 \(A\) 위의 관계 \(R\)은 단지 부분집합 \(R \subset A \times A\)임을 상기하자. \((a, b) \in R\)임을 보통 \(a R b\)로 쓴다. \(a R b, b R c \Rightarrow a R c\)이면 관계가 추이적이라고 한다. 모든 \(a \in A\)에 대해 \(a R a\)이면 반사적이라고 하며, \(a R b \Rightarrow b R a\)이면 대칭적이라고 한다. 추이적이고 반사적이며 대칭적인 관계를 동치관계라고 한다.

스킴의 경우에는 관계의 개념을 조금 완화하여 \(R \to A \times A\)가 사상이기만 하도록 한다. 정확한 정의는 다음과 같다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(U\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자.

1. \(S\) 위의 \(U\)에 대한 전관계란 임의의 스킴 사상 \(j : R \to U \times_S U\)를 말한다. 이 경우 \(t = \text{pr}_0 \circ j\), \(s = \text{pr}_1 \circ j\)로 놓으므로 \(j = (t, s)\)이다.

2. \(S\) 위의 \(U\)에 대한 관계란 스킴의 단사사상 \(j : R \to U \times_S U\)를 말한다.

3. 전동치관계란 모든 \(T/S\)에 대해 \(j : R(T) \to U(T) \times U(T)\)의 상이 동치관계가 되는 전관계 \(j : R \to U \times_S U\)를 말한다.

4. 스킴 사상 \(R \to U \times_S U\)가 \(S\) 위의 \(U\)에 대한 동치관계라는 것은, \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 \(R\)의 \(T\)-값 점들이 \(U\)의 \(T\)-값 점들의 집합 위에 동치관계를 정한다는 것과 필요충분이다.

다시 말해 동치관계란 \(j\)가 관계인 전동치관계이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(U\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(j : R \to U \times_S U\)를 전관계라 하자. \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. 마지막으로 \[R' = (U' \times_S U')\times_{U \times_S U} R \xrightarrow{j'} U' \times_S U'\] 로 놓자. 그러면 \(j'\)는 \(S\) 위의 \(U'\)에 대한 전관계이다. \(j\)가 관계이면 \(j'\)도 관계이다. \(j\)가 전동치관계이면 \(j'\)도 전동치관계이다. \(j\)가 동치관계이면 \(j'\)도 동치관계이다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(U\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(j : R \to U \times_S U\)를 전관계라 하자. \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. 전관계 \(j' : R' \to U' \times_S U'\)를 전관계 \(j\)의 \(U'\)로의 제한 또는 당김이라 한다. 이 상황에서 때때로 \(R' = R|_{U'}\)라고 쓴다.

보조정리

\(j : R \to U \times_S U\)를 전관계라 하자. 다음 규칙으로 정의되는 스킴 \(U\)의 점들 위의 관계를 생각하자. \[x \sim y \Leftrightarrow \exists\ r \in R : t(r) = x, s(r) = y.\] \(j\)가 전동치관계이면 이는 동치관계이다.

증명

\(x \sim y\)이고 \(y \sim z\)라고 하자. \(t(r) = x\), \(s(r) = y\)인 \(r \in R\)과 \(t(r') = y\), \(s(r') = z\)인 \(r' \in R\)를 고르자. 다음 가환도식에 들어맞는 체 \(K\)를 고르자. \[\xymatrix{ \kappa(r) \ar[r] & K \\ \kappa(y) \ar[u] \ar[r] & \kappa(r') \ar[u] }\] 다음 사상들을 \(x_K, y_K, z_K : \Spec(K) \to U\)로 나타내자. \[\begin{matrix} \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r)) \to \Spec(\kappa(x)) \to U \\ \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r)) \to \Spec(\kappa(y)) \to U \\ \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r')) \to \Spec(\kappa(z)) \to U \end{matrix}\] 구성에 의해 \((x_K, y_K) \in j(R(K))\)이고 \((y_K, z_K) \in j(R(K))\)이다. \(j\)가 전동치관계이므로 \((x_K, z_K) \in j(R(K))\)이기도 하다. 이로부터 분명히 \(x \sim z\)이다.

\(\sim\)이 반사적이고 대칭적임을 보이는 증명은 생략한다.

보조정리

\(j : R \to U \times_S U\)를 전관계라 하고 다음을 가정하자.

1. \(s, t\)는 비분기이다.

2. \(S\) 위의 임의의 대수적으로 닫힌 체 \(k\)에 대해 사상 \(R(k) \to U(k) \times U(k)\)는 동치관계이다.

3. 다음 도식들을 가환이게 하는 사상 \(e : U \to R\), \(i : R \to R\), \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)가 존재한다. \[\xymatrix{ U \ar[r]_e \ar[d]_\Delta & R \ar[d]_j & R \ar[d]^j \ar[r]_i & R \ar[d]^j & R \times_{s, U, t} R \ar[d]^{j \times j} \ar[r]_c & R \ar[d]^j \\ U \times_S U \ar[r] & U \times_S U & U \times_S U \ar[r]^{flip} & U \times_S U & U \times_S U \times_S U \ar[r]^{\text{pr}_{02}} & U \times_S U }\]

그러면 \(j\)는 동치관계이다.

증명

조건 (1)과 Morphisms, Lemma 02GG에 의해 \(j\)는 비분기이다. 그러므로 Morphisms, Lemma 02GE에 의해 \(\Delta_j : R \to R \times_{U \times_S U} R\)는 열린 몰입이다. 한편 조건 (2)에 따르면 \(\Delta_j\)는 \(k\)-값 점들 위에서 전단사이므로 \(\Delta_j\)는 동형사상이고, 따라서 \(j\)는 단사상이다. 이제 가환도식들로부터 \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 \(R(T) \subset U(T) \times U(T)\)가 동치관계임이 쉽게 따라온다.

군 스킴

군이란 집합 \(G\)와 다음 성질들을 갖는 집합의 사상 \(m : G \times G \to G\)의 쌍 \((G, m)\)임을 상기하자.

1. (결합법칙) 모든 \(g, g', g'' \in G\)에 대해 \(m(g, m(g', g'')) = m(m(g, g'), g'')\)이다.

2. (항등원) 모든 \(g \in G\)에 대해 \(m(g, e) = m(e, g) = g\)를 만족하는 유일한 원소 \(e \in G\)가 존재한다. 이를 \(G\)의 항등원, 단위원, 또는 \(1\)이라 한다.

3. (역원) 모든 \(g \in G\)에 대해 \(m(g, i(g)) = m(i(g), g) = e\)를 만족하는 \(i(g) \in G\)가 존재한다. 여기서 \(e\)는 항등원이다.

따라서 사상 \(e : \{*\} \to G\)와 사상 \(i : G \to G\)를 얻으며, 사중항 \((G, m, e, i)\)는 위에 나열한 공리들을 만족한다.

군 준동형 \(\psi : (G, m) \to (G', m')\)이란 \(m'(\psi(g), \psi(g')) = \psi(m(g, g'))\)를 만족하는 집합의 사상 \(\psi : G \to G'\)를 말한다. 이로부터 자동으로 \(\psi(e) = e'\) 및 \(i'(\psi(g)) = \psi(i(g))\)이 따라온다. (표기법은 명백하다.) 아래에서 이를 사용한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자.

1. \(S\) 위의 군 스킴이란 \(G\)가 \(S\) 위의 스킴이고 \(m : G \times_S G \to G\)가 다음 성질을 갖는 \(S\) 위의 스킴 사상인 쌍 \((G, m)\)을 말한다. \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 쌍 \((G(T), m)\)은 군이다.

2. \(S\) 위의 군 스킴의 사상 \(\psi : (G, m) \to (G', m')\)이란, 모든 \(T/S\)에 대해 유도된 사상 \(\psi : G(T) \to G'(T)\)가 군 준동형이 되는 \(S\) 위의 스킴 사상 \(\psi : G \to G'\)를 말한다.

\((G, m)\)을 스킴 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. 위의 논의(그리고 Section 022N의 논의)에 의해 다음과 같은 \(S\) 위의 스킴 사상을 얻는다. 모든 \(T\)에 대해 사중항 \((G(T), m, e, i)\)가 위에 나열한 군의 공리들을 만족하도록 하는 (항등원) \(e : S \to G\)와 (역원) \(i : G \to G\)이다.

\((G, m)\), \((G', m')\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하고, \(f : G \to G'\)를 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. 정의에 의하면 \(f\)가 \(S\) 위의 군 스킴의 사상일 필요충분조건은 다음 도식이 가환인 것이다. \[\xymatrix{ G \times_S G \ar[r]_-{f \times f} \ar[d]_m & G' \times_S G' \ar[d]^{m'} \\ G \ar[r]^f & G' }\]

보조정리

\((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하고, \(S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 당김 \((G_{S'}, m_{S'})\)는 \(S'\) 위의 군 스킴이다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자.

1. \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이란 \(m|_{H \times_S H}\)가 \(H\)를 거쳐 인수분해되고 \(S\) 위의 \(H\)에 군 스킴 구조를 유도하는 닫힌 부분스킴 \(H \subset G\)를 말한다.

2. \(G\)의 열린 부분군 스킴이란 \(m|_{G' \times_S G'}\)가 \(G'\)를 거쳐 인수분해되고 \(S\) 위의 \(G'\)에 군 스킴 구조를 유도하는 열린 부분스킴 \(G' \subset G\)를 말한다.

다른 방식으로는, \(H\)가 \(G\)의 닫힌 부분스킴과 동일시되는 \(S\) 위의 군 스킴의 사상 \(i : H \to G\)가 주어진 \(S\) 위의 군 스킴이면, \(H\)를 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이라고 할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m, e, i)\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자.

1. 닫힌 부분스킴 \(H \subset G\)가 닫힌 부분군 스킴일 필요충분조건은 \(e : S \to G\), \(m|_{H \times_S H} : H \times_S H \to G\), \(i|_H : H \to G\)가 모두 \(H\)를 거쳐 인수분해되는 것이다.

2. 열린 부분스킴 \(H \subset G\)가 열린 부분군 스킴일 필요충분조건은 \(e : S \to G\), \(m|_{H \times_S H} : H \times_S H \to G\), \(i|_H : H \to G\)가 모두 \(H\)를 거쳐 인수분해되는 것이다.

증명

\(T\)-값 점들을 보면 이는 군의 부분집합이 부분군이 되기 위한 잘 알려진 조건들로 바뀌다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자.

1. 구조 사상 \(G \to S\)가 매끄러우면 \(G\)를 매끄러운 군 스킴이라 한다.

2. 구조 사상 \(G \to S\)가 평탄하면 \(G\)를 평탄 군 스킴이라 한다.

3. 구조 사상 \(G \to S\)가 분리이면 \(G\)를 분리 군 스킴이라 한다.

필요에 따라 더 추가한다.

군 스킴의 예

예

임의의 스킴 \(T\)에 구조층의 대역절단의 가역원들이 이루는 군 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\)를 대응시키는 함자를 생각하자. 이 함자는 다음 스킴으로 표현된다. \[\mathbf{G}_m = \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}])\] 군 구조를 주는 사상은 다음이다. \[\begin{eqnarray*} \mathbf{G}_m \times \mathbf{G}_m & \to & \mathbf{G}_m \\ \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x, x^{-1}]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}]) \\ \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x, x^{-1}] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \\ x \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] 따라서 \(\mathbf{G}_m\)은 \(\mathbf{Z}\) 위의 군 스킴이다. 임의의 스킴 \(S\)에 대해 기저변환 \(\mathbf{G}_{m, S}\)는 \(S\) 위의 군 스킴이며, 그 점 함자는 앞서와 같이 \[T/S \longmapsto \mathbf{G}_{m, S}(T) = \mathbf{G}_m(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\] 이다.

예

\(n \in \mathbf{N}\)이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)에 \(n\)차 단위근들로 이루어진 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\)의 부분군을 대응시키는 함자를 생각하자. 이 함자는 다음 스킴으로 표현된다. \[\mu_n = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)).\] 군 구조를 주는 사상은 다음이다. \[\begin{eqnarray*} \mu_n \times \mu_n & \to & \mu_n \\ \Spec( \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)) \\ \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) & \leftarrow & \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \\ x \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] 따라서 \(\mu_n\)은 \(\mathbf{Z}\) 위의 군 스킴이다. 임의의 스킴 \(S\)에 대해 기저변환 \(\mu_{n, S}\)는 \(S\) 위의 군 스킴이며, 그 점 함자는 앞서와 같이 \[T/S \longmapsto \mu_{n, S}(T) = \mu_n(T) = \{f \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T^*) \mid f^n = 1\}\] 이다.

예

임의의 스킴 \(T\)에 구조층의 대역절단이 이루는 군 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)를 대응시키는 함자를 생각하자. 이 함자는 다음 스킴으로 표현된다. \[\mathbf{G}_a = \Spec(\mathbf{Z}[x])\] 군 구조를 주는 사상은 다음이다. \[\begin{eqnarray*} \mathbf{G}_a \times \mathbf{G}_a & \to & \mathbf{G}_a \\ \Spec(\mathbf{Z}[x] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x]) \\ \mathbf{Z}[x] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x] \\ x \otimes 1 + 1 \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] 따라서 \(\mathbf{G}_a\)는 \(\mathbf{Z}\) 위의 군 스킴이다. 임의의 스킴 \(S\)에 대해 기저변환 \(\mathbf{G}_{a, S}\)는 \(S\) 위의 군 스킴이며, 그 점 함자는 앞서와 같이 \[T/S \longmapsto \mathbf{G}_{a, S}(T) = \mathbf{G}_a(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\] 이다.

예

\(n \geq 1\)이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)에 구조층의 대역절단 위의 가역 \(n \times n\) 행렬들의 군 \[\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] 를 대응시키는 함자를 생각하자. 이 함자는 다음 스킴으로 표현된다. \[\text{GL}_n = \Spec(\mathbf{Z}[\{x_{ij}\}_{1 \leq i, j \leq n}][1/d])\] 여기서 \(d = \det((x_{ij}))\)이고, \((x_{ij})\)는 \((i, j)\)-자리의 성분이 \(x_{ij}\)인 \(n \times n\) 행렬이다. 군 구조를 주는 사상은 다음이다. \[\begin{eqnarray*} \text{GL}_n \times \text{GL}_n & \to & \text{GL}_n \\ \Spec(\mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d]) \\ \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \\ \sum x_{ik} \otimes x_{kj} & \leftarrow & x_{ij} \end{eqnarray*}\] 따라서 \(\text{GL}_n\)은 \(\mathbf{Z}\) 위의 군 스킴이다. 임의의 스킴 \(S\)에 대해 기저변환 \(\text{GL}_{n, S}\)는 \(S\) 위의 군 스킴이며, 그 점 함자는 앞서와 같이 \[T/S \longmapsto \text{GL}_{n, S}(T) = \text{GL}_n(T) =\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] 이다.

예

행렬식은 \(\mathbf{Z}\) 위의 군 스킴의 사상 \[\det : \text{GL}_n \longrightarrow \mathbf{G}_m\] 을 정의한다. 기저변환에 의해 임의의 기저 스킴 \(S\) 위의 군 스킴의 사상 \(\text{GL}_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S}\)를 얻는다.

예

\(G\)를 추상군이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)에 국소상수 사상 \(T \to G\)들의 군을 대응시키는 함자를 생각하자. 여기서 \(T\)에는 Zariski 위상을, \(G\)에는 이산 위상을 준다. 이 함자는 다음 스킴으로 표현된다. \[G_{\Spec(\mathbf{Z})} = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\mathbf{Z}).\] 군 구조를 주는 사상은 다음이다. \[G_{\Spec(\mathbf{Z})} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} G_{\Spec(\mathbf{Z})} \longrightarrow G_{\Spec(\mathbf{Z})}\] 이 사상은 쌍 \((g, g')\)에 대응하는 연결성분을 \(gg'\)에 대응하는 연결성분으로 보낸다. 임의의 스킴 \(S\)에 대해 기저변환 \(G_S\)는 \(S\) 위의 군 스킴이며, 그 점 함자는 앞서와 같이 \[T/S \longmapsto G_S(T) = \{f : T \to G \text{ locally constant}\}\] 이다.

군 스킴의 성질

이 절에서는 임의의 기저 위에서 성립하는 군 스킴의 몇 가지 간단한 성질을 모은다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(G \to S\)가 분리(각각 준분리)일 필요충분조건은 항등원 사상 \(e : S \to G\)가 닫힌 몰입(각각 준콤팩트)인 것이다.

증명

Schemes, Lemma 01KT에 의하면 \(e\)는 몰입이며, \(G \to S\)가 분리(각각 준분리)이면 이 몰입은 닫힌 몰입(각각 준콤팩트)이다. 역을 보이기 위해 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ G \ar[r]_-{\Delta_{G/S}} \ar[d] & G \times_S G \ar[d]^{(g, g') \mapsto m(i(g), g')} \\ S \ar[r]^e & G }\] 이 도식이 Cartesian임을 보이는 것은 대수기하의 함자적 관점에 관한 연습문제이다. 다시 말해 \(\Delta_{G/S}\)는 \(e\)의 기저변환이다. 따라서 \(e\)가 닫힌 몰입 (각각 준콤팩트)이면 \(\Delta_{G/S}\)도 그러하다. Schemes, Lemma 01JY(각각 Schemes, Lemma 01K5)를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(T\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \(\psi : T \to G\)를 \(S\) 위의 사상이라 하자. \(T\)가 \(S\) 위에서 평탄하면 사상 \[T \times_S G \longrightarrow G, \quad (t, g) \longmapsto m(\psi(t), g)\] 는 평탄하다. 특히 \(G\)가 \(S\) 위에서 평탄하면 \(m : G \times_S G \to G\)는 평탄하다.

증명

다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ T \times_S G \ar[rrr]_{(t, g) \mapsto (t, m(\psi(t), g))} & & & T \times_S G \ar[r]_{\text{pr}} \ar[d] & G \ar[d] \\ & & & T \ar[r] & S }\] 왼쪽 위의 수평 화살표는 동형사상이고 사각형은 Cartesian이다. 따라서 보조정리는 Morphisms, Lemma 01U9에서 따라온다.

보조정리

\((G, m, e, i)\)를 스킴 \(S\) 위의 군 스킴이라 하고, 구조 사상을 \(f : G \to S\)로 나타내자. 그러면 다음 자연스러운 동형사상들이 존재한다. \[\Omega_{G/S} \cong f^*\mathcal{C}_{S/G} \cong f^*e^*\Omega_{G/S}\] 여기서 \(\mathcal{C}_{S/G}\)는 몰입 \(e\)의 쌍대법층을 나타낸다. 특히 \(S\)가 체의 스펙트럼이면 \(\Omega_{G/S}\)는 자유 \(\mathcal{O}_G\)-가군이다.

증명

Morphisms, Lemma 01V0에 의하면 \[\Omega_{G \times_S G/G} = \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] 이다. 왼쪽에서는 \(\text{pr}_1\)을 이용하여 \(G \times_S G\)를 \(G\) 위의 스킴으로 본다. \(\tau : G \times_S G \to G \times_S G\)를 점 위에서 \((g, h) \mapsto (m(g, h), h)\)로 주어지는 “전단 사상”이라 하자. 이는 사영 \(\text{pr}_1\)을 통해 \(G \times_S G\)를 \(G\) 위의 스킴으로 보았을 때의 자기동형사상이다. 이 두 사실을 결합하면 동형사상 \[\tau^*\text{pr}_0^*\Omega_{G/S} \to \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] 을 얻는다. \(\text{pr}_0 \circ \tau = m\)이므로 이를 동형사상 \[m^*\Omega_{G/S} \to \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] 으로 다시 쓸 수 있다. 이 동형사상을 \((e \circ f, \text{id}_G) : G \to G \times_S G\)로 당기고, \(m \circ (e \circ f, \text{id}_G) = \text{id}_G\) 및 \(\text{pr}_0 \circ (e \circ f, \text{id}_G) = e \circ f\)를 이용하면 원하는 동형사상 \[\Omega_{G/S} \to f^*e^*\Omega_{G/S}\] 을 얻는다. Morphisms, Lemma 0474에 의하면 \(\mathcal{C}_{S/G} \cong e^*\Omega_{G/S}\)이다. \(S\)가 체의 스펙트럼이면 \(S\) 위의 임의의 \(\mathcal{O}_S\)-가군은 자유이므로 마지막 명제가 따라온다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(s \in S\)이라 하자. 그러면 합성 \[T_{G/S, e(s)} \oplus T_{G/S, e(s)} = T_{G \times_S G/S, (e(s), e(s))} \rightarrow T_{G/S, e(s)}\] 은 접벡터의 덧셈이다. 여기서 \(=\)는 Varieties, Lemma 0BEB에서 오고, 오른쪽 화살표는 Varieties, Lemma 0B2F를 통해 \(m : G \times_S G \to G\)에서 유도된다.

증명

Varieties, Equation (0BEA)을 사용하여 섬유에서의 접벡터로 논의하겠다. 첫 번째 인자 \(T_{G_s/s, e(s)}\)의 원소 \(\theta\)는 \((1, e) : G_s \to G_s \times G_s\)에서 오는 사상 \(T_{G_s/s, e(s)} \to T_{G_s \times G_s/s, (e(s), e(s))}\)에 의한 \(\theta\)의 상이다. \(m \circ (1, e) = 1\)이므로 함자성에 의해 \(\theta\)는 \(\theta\)로 사상된다. 그리고 사상이 선형이므로 \((\theta_1, \theta_2)\)는 \(\theta_1 + \theta_2\)로 사상된다.

체 위의 군 스킴의 성질

이 절에서는 체 위의 군 스킴의 몇 가지 성질을 모은다. 체 위에서 (국소적으로) 대수적인 군 스킴에 대해서는 더 많은 것을 말할 수 있다. Section 0BF6를 보라.

보조정리

\((G, m)\)이 체 \(k\) 위의 군 스킴이면 곱셈 사상 \(m : G \times_k G \to G\)는 열린 사상이다.

증명

다음 도식이 가환이고 수평 화살표들이 동형사상이므로 곱셈 사상은 사영 사상 \(\text{pr}_0 : G \times_k G \to G\)와 동형이다. \[\xymatrix{ G \times_k G \ar[d]^m \ar[rrr]_{(g, g') \mapsto (m(g, g'), g')} & & & G \times_k G \ar[d]^{(g, g') \mapsto g} \\ G \ar[rrr]^{\text{id}} & & & G }\] Morphisms, Lemma 0383에 의해 사영은 열린 사상이다.

보조정리

\((G, m)\)을 체 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. \(U \subset G\)를 열린집합이라 하고 \(T \to G\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 합성 \(T \times_k U \to G \times_k G \to G\)의 상은 열린집합이다.

증명

임의의 체 확대 \(K/k\)에 대해 사상 \(G_K \to G\)는 열린 사상이다 (Morphisms, Lemma 0383). \(T \times_k U\)의 임의의 점 \(\xi\)는 어떤 \(K\)에 대한 사상 \((t, u) : \Spec(K) \to T \times_k U\)의 상이다. 그러면 \(T_K \times_K U_K = (T \times_k U)_K \to G_K\)의 상은 열린집합인 평행이동 \(t \cdot U_K\)를 포함한다. 이 사실들을 결합하면 \(T \times_k U \to G\)의 상은 \(\xi\)의 상의 열린 근방을 포함한다. \(\xi\)가 임의였으므로 주장이 따라온다.

보조정리

\(G\)를 체 위의 군 스킴이라 하자. 그러면 \(G\)는 분리 스킴이다.

증명

\(k\)를 체라 하고 \(S = \Spec(k)\)라 하자. \(G\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. Lemma 047G에 의해 \(e : S \to G\)가 닫힌 몰입임을 보이면 된다. Morphisms, Lemma 01TE에 의하면 \(e : S \to G\)의 상은 \(G\)의 닫힌점이다. \(e_*\mathcal{O}_S\)는 \(G\)의 항등원에 받침을 두고 값이 \(k\)인 마천루층이므로 \(\mathcal{O}_G \to e_*\mathcal{O}_S\)가 전사임은 분명하다. Schemes, Lemma 01LD에 의해 \(e\)는 닫힌 몰입이다.

보조정리

\(G\)를 체 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. 그러면

1. \(G\)의 모든 국소환 \(\mathcal{O}_{G, g}\)은 유일한 극소 소아이디얼을 갖는다.

2. \(e\)를 지나는 \(G\)의 기약성분 \(Z\)는 정확히 하나이다.

3. \(Z\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

증명

임의의 점 \(g \in G\)에 대해 \(g\)로 사상되는 \(K\)-값 점 \(g' \in G(K)\)와 체 확대 \(K/k\)가 존재한다. \(g'\)를 군 스킴 \(G_K\)의 \(K\)-유리점으로 생각하면 \(\mathcal{O}_{G, g} \to \mathcal{O}_{G_K, g'}\)는 충실히 평탄한 국소환 사상이다. 실제로 \(G_K \to G\)는 평탄하고, 평탄한 국소환 사상은 충실히 평탄하다. Algebra, Lemma 00HR를 보라. \(\mathcal{O}_{G_K, g'}\)에 대한 결과는 \(\mathcal{O}_{G, g}\)에 대한 결과를 함의한다. Algebra, Lemma 00FK를 보라. 따라서 (1)을 증명하려면 \(G\)의 \(k\)-유리점 \(g\)에 대해만 증명하면 충분하다. 이 경우 \(g\)에 의한 평행이동은 \(e\)를 \(g\)로 보내는 자기동형사상 \(G \to G\)를 정의한다. 따라서 \(\mathcal{O}_{G, g} \cong \mathcal{O}_{G, e}\)이다. \(e\)를 지나는 기약성분들은 \(\mathcal{O}_{G, e}\)의 극소 소아이디얼들과 일대일로 대응하므로, 이로부터 (2)가 (1)을 함의함을 알 수 있다.

(2)와 (3)을 증명하기 위해서는 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있을 때 (2)를 증명하면 충분하다. 이 경우 \(e\)를 지나는 \(G\)의 두 기약성분을 \(Z_1\), \(Z_2\)라 하자. \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으므로 닫힌 부분스킴 \(Z_1 \times_k Z_2 \subset G \times_k G\)도 기약이다. Varieties, Lemma 038F를 보라. 따라서 \(m(Z_1 \times_k Z_2)\)는 \(G\)의 한 기약성분에 포함된다. 한편 \(m|_{e \times G} = \text{id}_G\) 및 \(m|_{G \times e} = \text{id}_G\)이므로 이 상은 \(Z_1\)과 \(Z_2\)를 모두 포함한다. 따라서 원하는 대로 \(Z_1 = Z_2\)이다.

주

주의: Lemma 047M의 결과는 \(G/k\)의 모든 기약성분이 기하적으로 기약이라는 뜻은 아니다. 예를 들어 \(\mathbf{Q}\) 위의 군 스킴 \(\mu_{3, \mathbf{Q}} = \Spec(\mathbf{Q}[x]/(x^3 - 1))\)는 인수분해 \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)에 대응하는 두 기약성분을 갖는다. 첫 번째 인자는 항등원을 지나는 기약성분에 대응하고, 두 번째 기약성분은 \(\Spec(\mathbf{Q})\) 위에서 기하적으로 기약이 아니다.

보조정리

\(G\)를 완전체 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. 그러면 \(G\)의 축약화 \(G_{red}\)는 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이다.

증명

생략한다. 힌트: Varieties, Lemmas 020I와 035Z에 의해 \(G_{red} \times_k G_{red}\)가 축약임을 이용하라.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(\psi : G' \to G\)를 \(k\) 위의 군 스킴의 사상이라 하자. \(\psi(G')\)가 \(G\)에서 열리면 \(\psi(G')\)는 \(G\)에서 닫힌다.

증명

\(U = \psi(G') \subset G\)로 놓고, \(Z = G \setminus \psi(G') = G \setminus U\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주자. Lemma 0B7N에 의하면 \[Z \times_k G' \longrightarrow Z \times_k U \longrightarrow G\] 의 상은 열려 있다(첫 번째 화살표는 전사이다). 한편 \(\psi\)가 군 스킴의 준동형이므로 \(Z \times_k G' \to G\)의 상은 \(Z\)에 포함된다. 실제로 \(G'\)의 모든 점 \(g'\)에 대해 \(\psi(g')\)에 의한 평행이동은 \(U\)를 보존한다. 작은 세부 사항은 생략한다. 따라서 \(Z \subset G\)는 열린 부분집합이다(반드시 열린 부분스킴인 것은 아니다). 그러므로 \(U = \psi(G')\)는 닫혀 있다.

보조정리

\(i : G' \to G\)를 체 \(k\) 위의 군 스킴의 몰입이라 하자. 그러면 \(i\)는 닫힌 몰입이다. 즉 \(i(G')\)는 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이다.

증명

\(i\)가 닫힌 몰입임을 보이려면 \(i(G')\)가 \(G\)의 닫힌 부분집합임을 보이면 충분하다. \(k \subset k'\)를 \(k\)의 완전 확대라 하자. \(i(G'_{k'}) \subset G_{k'}\)가 닫혀 있으면 Morphisms, Lemma 02JY에 의해 \(i(G') \subset G\)도 닫혀 있다. 이때 \(G_{k'} \to G\)는 평탄하고 준콤팩트이며 전사이다. 따라서 \(k\)가 완전하다고 가정해도 된다. 이하에서는 \(k\) 위의 축약 스킴들의 곱이 축약임을 언급 없이 사용한다. Lemma 047R에 의해 \(G'\)과 \(G\)를 그 축약화로 대체할 수 있다. \(i(G')\)의 폐포에 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주어 \(\overline{G'} \subset G\)라 하자. Varieties, Lemma 047B에 의하면 \(\overline{G'} \times_k \overline{G'}\)는 \(G' \times_k G' \to G \times_k G\)의 상의 폐포이다. 따라서 \[m\Big(\overline{G'} \times_k \overline{G'}\Big) \subset \overline{G'}\] 이다. 이는 \(m\)이 연속이기 때문이다. 그러므로 \(\overline{G'} \subset G\)는 (축약) 닫힌 부분군 스킴이다. Lemma 047S에 의하면 \(i(G') \subset \overline{G'}\)도 닫혀 있다. 따라서 원하는 대로 \(i(G') = \overline{G'}\)이다.

보조정리

\(G\)를 체 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. \(G\)가 기약이면 \(G\)는 준콤팩트이다.

증명

\(K/k\)가 체 확대라고 하자. \(G_K\)가 준콤팩트이면 \(G_K \to G\)가 전사이므로 \(G\)도 준콤팩트이다. Lemma 047M에 의하면 \(G_K\)는 기약이다. 따라서 \(k\)를 어떤 확대로 대체한 뒤 보조정리를 증명하면 충분하다. \(K\)를 기수가 매우 큰 대수적으로 닫힌 체 확대로 택하자. Varieties, Lemma 0479에 의하면 \(G_K\)는 모든 닫힌점의 잔여체가 \(K\)인 Jacobson 스킴이다. 다시 말해 \(G\)가 모든 닫힌점의 잔여체가 \(k\)인 Jacobson 스킴이라고 가정해도 된다.

\(U \subset G\)를 공집합이 아닌 아핀 열린집합이라 하고 \(g \in G(k)\)라 하자. 그러면 \(gU \cap U \not = \emptyset\)이다. 따라서 \(g\)는 사상 \[U \times_{\Spec(k)} U \longrightarrow G, \quad (u_1, u_2) \longmapsto u_1u_2^{-1}\] 의 상에 속한다. 이 사상의 상은 열려 있다 (Lemma 047K). \(G\)가 Jacobson이고 닫힌점들이 \(k\)-유리점이므로 이 상은 \(G\) 전체이다. \(U\)가 아핀이므로 \(U \times_{\Spec(k)} U\)도 아핀이다. 따라서 \(G\)는 준콤팩트 스킴의 상이며, 그러므로 준콤팩트이다.

보조정리

\(G\)를 체 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. \(G\)가 연결이면 \(G\)는 기약이다.

증명

Varieties, Lemma 04KV에 의하면 \(G\)는 기하적으로 연결이다. 어떤 체 확대 \(K/k\)에 대해 \(G_K\)가 기약임을 보이면 보조정리가 따라온다. 따라서 Varieties, Lemma 0479을 적용하여 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있고, \(G\)가 Jacobson 스킴이며 모든 닫힌점이 \(k\)-유리점인 경우로 환원할 수 있다.

\(Z \subset G\)를 \(G\)의 항등원을 지나는 유일한 기약성분이라 하자. Lemma 047M를 보라. \(Z\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주면 \(Z \times_k Z\)는 축약이고 기약이다(Varieties, Lemmas 035Z와 038F). 따라서 \(m|_{Z \times_k Z} : Z \times_k Z \to G\)는 \(Z\)를 거쳐 인수분해된다. 그러므로 \(Z\)는 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이 된다.

모순을 얻기 위해 다른 기약성분 \(Z' \subset G\)가 존재한다고 가정하자. Lemma 047M에 의하면 \(Z \cap Z' = \emptyset\)이다. Lemma 0B7P에 의하면 \(Z\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(Z \subset U\)이고 \(U \cap Z' = \emptyset\)인 준콤팩트 열린집합 \(U \subset G\)를 택할 수 있다. Lemma 0B7N에 의하면 \(Z \times_k U \to G\)의 상 \(W\)는 \(G\)에서 열려 있다. 한편 \(W\)는 준콤팩트 공간의 상이므로 준콤팩트이다. \(W\)가 닫혀 있다고 주장한다.

주장의 증명. \(W\)는 준콤팩트이고 \(G\)는 분리이므로 (Lemma 047L), 포함사상 \(W \to G\)는 Schemes, Lemma 03GI에 의해 준콤팩트이다. 따라서 \(W\)의 폐포에 있는 점들은 \(W\)의 점들의 특수화이다(Morphisms, Lemma 02JQ). 그러므로 \(W\)와 만나는 \(G\)의 임의의 기약성분 \(Z'' \subset G\)가 \(W\)에 포함됨을 보이면 된다. \(G\)가 Jacobson이고 닫힌점들이 유리점이므로 \(Z'' \cap W\)는 유리점 \(g \in Z''(k) \cap W(k)\)를 갖고, 따라서 \(Z'' = Zg\)이다. 그런데 구성에 의해 \(W = m(Z \times_k W)\)이므로 \(Z'' \cap W \not = \emptyset\)이면 \(Z'' \subset W\)이다.

주장에 의해 \(W \subset G\)는 \(G\)의 열리고 닫힌 부분집합이다. 만약 \(W \cap Z' = \emptyset\)이 아니면 앞 문단의 논증에 의해 어떤 \(g \in W(k)\)에 대해 \(Z' = Zg\)를 얻는다. 그런데 \(Z\)가 부분군이므로 \(g \in U(k)\)로 택할 수도 있고, 이는 \(Z' \cap U = \emptyset\)와 모순이다. 따라서 \(W \subset G\)는 진열린-닫힌 부분집합이며, 이는 \(G\)가 연결이라는 가정과 모순이다.

명제

\(G\)를 체 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. 다음 성질들을 갖는 정준 닫힌 부분군 스킴 \(G^0 \subset G\)가 존재한다.

1. \(G^0 \to G\)는 평탄 닫힌 몰입이다.

2. \(G^0 \subset G\)는 항등원의 연결성분이다.

3. \(G^0\)는 기하적으로 기약이다.

4. \(G^0\)는 준콤팩트이다.

증명

\(G^0\)를 정준 스킴 구조를 갖는 항등원의 연결성분이라 하자(Morphisms, Definition 04PX). \(G^0\)가 닫힌 부분군 스킴임을 보이기 위해 Lemma 0G8L의 판정법을 사용하겠다. \(G^0\)를 \(e\)를 포함하는 \(G\)의 연결성분으로 택했으므로 사상 \(e : \Spec(k) \to G\)는 \(G^0\)를 거쳐 인수분해된다. \(i : G \to G\)는 \(e\)를 고정하는 자기동형사상이므로 \(i\)는 \(G^0\)를 자신 안으로 보낸다. Varieties, Lemma 056R에 의하면 스킴 \(G^0\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이다. 따라서 \(G^0 \times_k G^0\)는 연결이다(Varieties, Lemma 0385). 그러므로 집합론적으로 \(m(G^0 \times_k G^0) \subset G^0\)이다. Morphisms, Lemma 04PW에 의하면 \(m|_{G^0 \times_k G^0} : G^0 \times_k G^0 \to G\)는 \(G^0\)를 거쳐 인수분해된다. 따라서 \(G^0\)는 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이다. Lemma 0B7Q에 의하면 \(G^0\)는 기약이다. Lemma 047M에 의하면 \(G^0\)는 기하적으로 기약이다. Lemma 0B7P에 의하면 \(G^0\)는 준콤팩트이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(A\)가 \(k\)의 복사본들의 유한곱인 대수들의 유향 여극한이고 \(T = \Spec(A)\)라 하자. \(k\) 위의 임의의 스킴 \(X\)에 대해 위상공간으로서 \(|T \times_k X| = |T| \times |X|\)이다.

증명

아핀 열린 덮개를 취하여 \(X\)가 아핀인 경우로 환원한다. \(X = \Spec(B)\)라 하자. \(T_i\)가 유한이고 \(A_i = \prod_{t \in T_i} k\)이며 \(A = \colim A_i\)이도록 쓰자. 그러면 \(T_i = |\Spec(A_i)|\)에 이산 위상을 주고, 전이사상 \(A_i \to A_{i'}\)는 집합 사상 \(T_{i'} \to T_i\)로 주어진다. 따라서 위상공간으로서 \(|T| = \lim T_i\)이다. Limits, Lemma 01YY를 보라. 마찬가지로 \[\begin{align*} |T \times_k X| & = |\Spec(A \otimes_k B)| \\ & = |\Spec(\colim A_i \otimes_k B)| \\ & = \lim |\Spec(A_i \otimes_k B)| \\ & = \lim |\Spec(\prod\nolimits_{t \in T_i} B)| \\ & = \lim T_i \times |X| \\ & = (\lim T_i) \times |X| \\ & = |T| \times |X| \end{align*}\] 이다. 위의 보조정리와 극한들이 서로 가환한다는 사실을 사용했다.

다음 보조정리는 실제로 “점들의 대수적 프로유한족”을 아핀 열린집합 안에 넣을 수 있음을 말한다. 먼저 Lemma 0B7S를 읽기를 권한다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. \(G\)가 Jacobson이고 모든 닫힌점이 \(k\)-유리점이라고 가정하자. \(A\)가 \(k\)의 복사본들의 유한곱인 대수들의 유향 여극한이고 \(T = \Spec(A)\)라 하자. 임의의 사상 \(f : T \to G\)에 대해 \(f(T)\)를 포함하는 아핀 열린집합 \(U \subset G\)가 존재한다.

증명

\(G^0 \subset G\)를 Proposition 0B7R에서 얻은 닫힌 부분군 스킴이라 하자. 첫 두 문단은 \(G = G^0\)인 경우로 환원하는 데 쓰인다.

\(T\)는 유한 위상공간들의 유향 역극한이므로(Limits, Lemma 01YY) 위상공간으로서 프로유한이다(Topology, Definition 08ZX). \(W \subset G\)를 \(T \to G\)의 상을 포함하는 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(W\)를 \(G^0 \times W \to G \times G \to G\)의 상으로 대체하면 \(W\)가 \(G^0\)의 왼쪽 평행이동 작용에 불변이라고 가정할 수 있다. Lemma 0B7N를 보라. 합성 \[\psi = \pi \circ f : T \xrightarrow{f} W \xrightarrow{\pi} \pi_0(W)\] 을 생각하자. 공간 \(\pi_0(W)\)는 프로유한이다(Topology, Lemma 0906와 Properties, Lemma 094L). \(F_\xi \subset T\)를 \(\xi \in \pi_0(W)\) 위의 \(T \to \pi_0(W)\)의 섬유라 하자. 모든 \(\xi \in \pi_0(W)\)에 대해 \(f(F_\xi) \subset U_\xi\)인 아핀 열린집합 \(U_\xi \subset W\)를 찾았다고 하자. Topology, Lemma 08YD에 의해 \(\psi\)가 닫힌 사상이므로 \(\psi(T \setminus f^{-1}(U_\xi))\)는 \(\xi\)를 포함하지 않는 \(\pi_0(W)\)의 닫힌 부분집합이다. 따라서 그 여집합 \(V_\xi\)는 \(\xi\)의 열린 근방이고 \(\psi^{-1}(V_\xi) \subseteq f^{-1}(U_\xi)\)이다. \(V_\xi\)들이 이루는 \(\pi_0(W)\)의 열린 덮개는 서로 소인 열리고 닫힌 부분집합들이 이루는 유한 덮개 \(\pi_0(W) = V_1 \amalg \ldots \amalg V_n\)로 세분될 수 있다(Topology, Lemma 08ZZ). 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(V_i \subset V_{\xi_i}\)인 \(\xi_i \in \pi_0(W)\)를 택하자. \(V_i\)가 닫혀 있고 \(U_{\xi_i}\)가 아핀이므로 \(U_{\xi_i} \cap \pi^{-1}(V_i)\)도 아핀이다. \(U_{\xi_i}\)를 \(U_{\xi_i} \cap \pi^{-1}(V_i)\)로 대체하면 \(\psi^{-1}(V_i) = f^{-1}(U_{\xi_i})\)이다. \(V_i\)들이 \(\pi_0(W)\)를 덮으므로 \(f^{-1}(U_{\xi_i})\)들은 \(T\)를 덮고, 따라서 \(f(T) \subseteq U = \bigcup_i U_{\xi_i}\)이다. 이때 \(U\)는 유한 개의 아핀 열린집합의 서로 소인 합집합이므로 원하는 대로 아핀이다.

\(Z\)를 \(f(T)\)와 만나는 \(G\)의 연결성분이라 하자. 그러면 \(Z\)는 \(k\)-유리점 \(z\)를 갖는다. 실제로 스킴 \(T\)의 모든 잔여체는 \(k\)와 동형이다. 따라서 \(Z = G^0 z\)이다. \(W\)의 선택에 의해 \(Z \subset W\)이다. 앞 문단의 논증은 \(W\)에서 \(f(T) \cap Z\)의 아핀 열린 근방을 찾는 문제로 환원한다. 유리점에 의해 평행이동한 뒤 \(Z = G^0\)이라고 가정해도 된다(세부 사항은 생략한다). 스킴론적 역상 \(T' = f^{-1}(G^0) \subset T\)는 같은 유형의 닫힌 부분스킴이다. \(T\)를 \(T'\)로 대체하여 \(f(T) \subset G^0\)이라고 가정해도 된다. \(U \subset G\)를 \(e \in G\)의 아핀 열린 근방으로 택하자. 특히 \(U \cap G^0\)는 공집합이 아니다. \(f(T) \subset g^{-1}U\)인 \(g \in G^0(k)\)가 존재함을 보이겠다. 그러면 \(W\)가 왼쪽 \(G^0\)-평행이동에 불변이므로 \(g^{-1}U \subset W\)이고, 이로써 증명이 끝난다.

앞의 두 문단의 논증으로 \(G^0\)로 옮겨 다음 문제로 환원할 수 있다. \(G\)가 기약이고 \(U \subset G\)가 \(e\)의 아핀 열린 근방이라고 가정하자. 어떤 \(g \in G(k)\)에 대해 \(f(T) \subset g^{-1}U\)임을 보이라. 사상 \[U \times_k T \longrightarrow G \times_k T,\quad (t, u) \longrightarrow (uf(t)^{-1}, t)\] 을 생각하자. 이 사상을 \(G \times_k T \to G \times_k T\)로 확장하면 동형사상이 되므로, 위 사상은 열린 몰입이다. \(T\)에 대한 가정에 의하면 \(|U \times_k T| = |U| \times |T|\)이고 \(G \times_k T\)에 대해서도 마찬가지이다. Lemma 0B7T를 보라. 따라서 위에 표시한 열린 몰입의 상은 유한 개의 상자 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \times V_i\)의 합집합이다. 여기서 \(V_i \subset T\)이고 \(U_i \subset G\)는 준콤팩트 열린집합이다. 이는 \(t \in T\)에 따라 나오는 가능한 열린집합 \(Uf(t)^{-1}\)들이 유한 개임을 뜻한다. 이들을 \(Uf(t_1)^{-1}, \ldots, Uf(t_r)^{-1}\)라 하자. \(G\)가 기약이므로 교집합 \[Uf(t_1)^{-1} \cap \ldots \cap Uf(t_r)^{-1}\] 은 공집합이 아니다. 또한 \(G\)가 닫힌점들이 \(k\)-유리점인 Jacobson 스킴이므로 이 교집합의 \(k\)-값 점 \(g \in G(k)\)를 택할 수 있다. 그러면 모든 \(t \in T\)에 대해 \(g \in Uf(t)^{-1}\)이고, 이는 원하는 대로 \(f(t) \in g^{-1}U\)를 뜻한다.

주

\(G\)가 체 위의 군 스킴일 때 준콤팩트이며 열리고 닫힌 부분군 스킴은 항상 존재하는가? Proposition 0B7R에 의하면 이 문제는 \(G\)가 (기하적으로) 무한히 많은 연결성분을 갖는 경우에만 흥미롭다.

보조정리

\(G\)를 체 위의 군 스킴이라 하자. 아핀들의 가산 합집합인 열리고 닫힌 부분스킴 \(G' \subset G\)가 존재한다.

증명

\(e \in U(k)\)를 항등원의 준콤팩트 열린 근방으로 택하자. \(U\)를 \(U \cap i(U)\)로 대체하여 \(U\)가 역원 사상에 불변이라고 가정해도 된다. \(G\)가 분리이므로 이는 여전히 준콤팩트 집합이다. \[G' = \bigcup\nolimits_{n \geq 1} m_n(U \times_k \ldots \times_k U)\] 로 놓자. 여기서 \(m_n : G \times_k \ldots \times_k G \to G\)는 \(n\)-항 곱셈 사상 \((g_1, \ldots, g_n) \mapsto m(m(\ldots (m(g_1, g_2), g_3), \ldots ), g_n)\)이다. 이 사상들은 모두 열려 있으므로(Lemma 047K) \(G'\)는 열린 부분군 스킴이다. Lemma 047S에 의하면 이는 닫힌 부분군 스킴이기도 하다.

대수적 군 스킴의 성질

체 \(k\) 위의 스킴이 \(\Spec(k)\) 위에서 (국소적으로) 유한형이면 (국소적으로) 대수적이라고 함을 상기하자. Varieties, Definition 06LG를 보라. 이 절의 제목에서 대수적이라는 말은 이 뜻이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 군 스킴이라 하자. 그러면 \(G\)는 등차원이고 모든 \(g \in G\)에 대해 \(\dim(G) = \dim_g(G)\)이다. 임의의 닫힌점 \(g \in G\)에 대해 \(\dim(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, g})\)이다.

증명

먼저 임의의 점의 쌍 \(g, g' \in G\)에 대해 \(\dim_g(G) = \dim_{g'}(G)\)임을 보이자. Morphisms, Lemma 02FY에 의해 기초체를 자유롭게 확대할 수 있다. 따라서 \(g\)와 \(g'\)이 모두 \(k\) 위에서 정의된다고 가정해도 된다. 이때 \(g\)를 \(g'\)로 보내는 \(G\)의 자기동형사상이 존재하므로 등식이 따라온다. Morphisms, Lemma 02FX에 의하면 \(\dim_g(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, g}) + \text{trdeg}_k(\kappa(g))\) 이다. 한편 \(G\)(또는 \(G\)의 임의의 열린 부분집합)의 차원은 \(G\)의 국소환들의 차원의 상한이다. Properties, Lemma 02IZ를 보라. 이는 닫힌점 \(g\)에서 명백히 최대이며, 이 경우 \(\text{trdeg}_k(\kappa(g)) = 0\)이다. 이는 힐베르트 영점정리에 의한다. Morphisms, Section 01T9를 보라. 따라서 보조정리가 따라온다.

다음 결과를 때때로 Cartier 정리라고 부른다.

보조정리

\(k\)를 특성이 \(0\)인 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 군 스킴이라 하자. 그러면 구조 사상 \(G \to \Spec(k)\)는 매끄럽다. 즉 \(G\)는 매끄러운 군 스킴이다.

증명

Lemma 047I에 의하면 \(k\) 위의 \(G\)의 미분가군은 자유이다. 따라서 매끄러움은 Varieties, Lemma 04QN에서 따라온다.

주

특성이 \(0\)인 체 위의 모든 군 스킴은 축약이다. 다음을 보라. [Perrin-thesis, I, Theorem 1.1 and I, Corollary 3.9, and II, Theorem 2.4] 및 [Perrin, Proposition 4.2.8]. 이는 [Oort, page 80]에서 제기된 문제였다. Lemma 047N에서 군 스킴이 국소 유한형인 경우에 이 사실이 성립함을 보았다.

보조정리

\(k\)를 특성이 \(p > 0\)인 완전체라 하자(특성이 0인 경우는 Lemma 047N를 보라). \(G\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 군 스킴이라 하자. \(G\)가 축약이면 구조 사상 \(G \to \Spec(k)\)는 매끄럽다. 즉 \(G\)는 매끄러운 군 스킴이다.

증명

Lemma 047I에 의하면 층 \(\Omega_{G/k}\)는 자유이다. 따라서 보조정리는 Varieties, Lemma 04QP에서 따라온다.

주

\(k\)를 특성이 \(p > 0\)인 체라 하고 \(\alpha \in k\)를 \(p\)제곱이 아닌 원소라 하자. 닫힌 부분군 스킴 \[G = V(x^p + \alpha y^p) \subset \mathbf{G}_{a, k}^2\] 는 축약이고 기약이지만 매끄럽지 않다(정규조차 아니다).

다음 보조정리는 증명이 좀 더 쉬운 Lemma 0B7U의 특수한 경우이다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 군 스킴이라 하자. \(g_1, \ldots, g_n \in G(k)\)를 \(k\)-유리점들이라 하자. 그러면 \(g_1, \ldots, g_n\)을 포함하는 아핀 열린집합 \(U \subset G\)가 존재한다.

증명

먼저 \(n\)에 대한 귀납법을 써서 모든 \(g_i\)가 \(G\)의 같은 연결성분 위에 있다고 가정해도 됨을 보이자. 그렇지 않으면 \(W_i\)가 \(G\)에서 열려 있는 분해 \(G = W_1 \amalg W_2\)를 찾을 수 있고, 필요하면 번호를 다시 붙여서 어떤 \(0 < r < n\)에 대해 \(g_1, \ldots, g_r \in W_1\) 및 \(g_{r + 1}, \ldots, g_n \in W_2\)라고 할 수 있다. 귀납 가정에 의해 \(g_1, \ldots, g_r \in U_1\) 및 \(g_{r + 1}, \ldots, g_n \in U_2\)인 \(G\)의 아핀 열린집합 \(U_1\), \(U_2\)를 찾을 수 있다. 그러면 \[g_1, \ldots, g_n \in (U_1 \cap W_1) \cup (U_2 \cap W_2)\] 은 문제의 해답이다. 따라서 \(g_1, \ldots, g_n\)이 모두 \(G\)의 같은 연결성분 위에 있다고 가정해도 된다. \(g_1^{-1}\)에 의해 평행이동하여 \(g_1, \ldots, g_n \in G^0\)이라고 가정해도 된다. 여기서 \(G^0 \subset G\)는 Proposition 0B7R에서와 같다. \(U\)를 \(e\)의 아핀 열린 근방으로 택하자. 특히 \(U \cap G^0\)는 공집합이 아니다. \(G^0\)가 기약이므로 \[G^0 \cap (Ug_1^{-1} \cap \ldots \cap Ug_n^{-1})\] 은 공집합이 아니다. \(G \to \Spec(k)\)가 국소 유한형이므로 \(G^0 \to \Spec(k)\)도 국소 유한형이고, 따라서 공집합이 아닌 임의의 열린집합은 \(k\)-유리점을 갖는다. 그러므로 모든 \(i\)에 대해 \(g \in Ug_i^{-1}\)인 \(g \in G^0(k)\)를 택할 수 있다. 그러면 모든 \(i\)에 대해 \(g_i \in g^{-1}U\)이고, \(g^{-1}U\)가 우리가 찾던 아핀 열린집합이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 대수적 군 스킴이라 하자. 그러면 \(G\)는 \(k\) 위에서 준사영이다.

증명

Varieties, Lemma 0BDC에 의해 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정해도 된다. \(G^0 \subset G\)를 Proposition 0B7R에서와 같은 \(G\)의 연결성분이라 하자. 그러면 \(G\)의 다른 모든 연결성분은 \(k\)-유리점을 갖으므로 스킴으로서 \(G^0\)와 동형이다. \(G\)가 준콤팩트이고 Noether이므로 이런 연결성분은 유한 개이다. 따라서 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원한다.

\(G\)를 대수적으로 닫힌 체 \(k\) 위의 연결 대수적 군 스킴이라 하자. \(k\)의 특성이 0이면 Lemma 047N에 의해 \(G\)는 \(k\) 위에서 매끄럽다. \(k\)의 특성이 \(p > 0\)이면 \(H = G_{red}\)를 \(G\)의 축약화라 하자. Divisors, Proposition 0BD4에 의하면 \(H\)가 풍부한 가역층을 갖음을 보이면 충분하다. \(k\) 위의 대수적 스킴이 풍부한 가역층을 갖는 것은 \(k\) 위에서 준사영인 것과 동치이다. 예를 들어 매우 일반적인 More on Morphisms, Lemma 0B42를 보라. Lemma 047R에 의하면 \(H\)는 \(k\) 위의 군 스킴이다. Lemma 047P에 의하면 \(H\)는 \(k\) 위에서 매끄럽다. 이로써 다음 문단의 상황으로 환원된다.

\(G\)를 대수적으로 닫힌 체 \(k\) 위의 준콤팩트 기약 매끄러운 군 스킴이라 하자. \(G\)의 국소환들은 정규이므로 유일인수분해정역이다(Varieties, Lemma 056S와 More on Algebra, Lemma 0AG0). \(G\)의 공집합이 아닌 아핀 열린집합의 여집합은 유효 Cartier 인자 \(D\)의 받침이다. 이는 Divisors, Lemma 0BCW에서 따라온다. \(G\)가 분리임은 Lemma 047L를 보라. 따라서 \(G \setminus D\)가 아핀인 유효 Cartier 인자 \(D \subset G\)가 존재한다. 아래에서 임의의 \(n \geq 1\) 및 \(g_1, \ldots, g_n \in G(k)\)에 대해 \(G \setminus \bigcup D g_i\)가 아핀임을 사용할 것이다. 실제로 이는 분리 스킴 \(G\)에서 아핀 열린집합들 \(G \setminus Dg_i \cong G \setminus D\)의 교집합이다.

도식의 윗줄을 다음과 같이 택할 수 있다. \[\xymatrix{ G & U \ar[l]_j \ar[r]^\pi & \mathbf{A}^d_k \\ & W \ar[r]^{\pi'} \ar[u] & V \ar[u] }\] 여기서 \(U \not = \emptyset\)이고 \(j : U \to G\)는 열린 몰입이며 \(\pi\)는 étale이다. Morphisms, Lemma 054L를 보라. \(W = \pi^{-1}(V)\)로 놓았을 때 \(\pi' = \pi|_W : W \to V\)가 유한 étale이 되는 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(V \subset \mathbf{A}^d_k\)가 존재한다. 특히 \(\pi'\)는 유한 국소자유이며 그 차수를 \(n\)이라 하자. 유효 Cartier 인자 \[\mathcal{D} = \{(g, w) \mid m(g, j(w)) \in D\} \subset G \times W\] 를 생각하자. 이는 평탄 사상 \(m : G \times G \to G\)에 의한 \(D \subset G\)의 당김을 \(G \times W\)에 제한한 것이다. 닫힌 부분집합¹ \(T = (1 \times \pi')(\mathcal{D}) \subset G \times V\)를 생각하자. \(\pi'\)가 유한 국소자유이므로 \(T\)의 모든 기약성분은 \(G \times V\)에서 여차원이 \(1\)이다. \(G \times V\)가 \(k\) 위에서 매끄러우므로 이 성분들은 유효 Cartier 인자이다 (Divisors, Lemma 0AGA와 위에서 인용한 보조정리들). 따라서 \(T\)는 \(G \times V\)의 어떤 유효 Cartier 인자 \(E\)의 받침이다. \(v \in V(k)\)이면 \((\pi')^{-1}(v) = \{w_1, \ldots, w_n\} \subset W(k)\)이고, 집합론적으로 \(G\)에서 \[E_v = \bigcup\nolimits_{i = 1, \ldots, n} D j(w_i)^{-1}\] 이다. 특히 위에서 본 대로 \(G \setminus E_v\)는 아핀 열린집합이다. 또한 \(g \in G(k)\)이면 \(g \not \in E_v\)인 \(v \in V\)가 존재한다. 실제로 \(g \not \in Dj(w)^{-1}\)인 \(w \in W\)들의 집합 \(W'\)는 공집합이 아닌 열린집합이며, \(v\) 위의 \(W' \to V\)의 섬유가 \(n\)개의 원소를 갖도록 \(v\)를 택하면 충분하다.

\(G \times V\) 위의 가역층 \(\mathcal{M} = \mathcal{O}_{G \times V}(E)\)를 생각하자. Varieties, Lemma 0BEH에 의하면 제한 \(\mathcal{M}_v = \mathcal{O}_G(E_v)\)의 동형류 \(\mathcal{L}\)은 \(v \in V(k)\)에 무관하다. 한편 모든 \(g \in G(k)\)에 대해 \(g \not \in E_v\)이고 \(G \setminus E_v\)가 아핀인 \(v\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(\mathcal{O}_G(E_v)\)의 정준 절단 (Divisors, Definition 01WX)은 \(g\)에서 영이 아니고 \(G_{s_v}\)가 아핀이 되게 하는 \(\mathcal{L}\)의 절단 \(s_v\)에 대응한다. 정의에 의해 이는 \(\mathcal{L}\)이 풍부함을 뜻한다(Properties, Definition 01PS).

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 군 스킴이라 하자. 그러면 \(G\)의 중심은 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴이다.

증명

\(\text{Aut}(G)\)를 \(k\) 위의 스킴의 범주 위의 다음 반변 함자라 하자. 이 함자는 \(S/k\)에 기저변환 \(G_S\)의 \(S\) 위의 군 스킴으로서의 자기동형사상들의 집합을 대응시킨다. 자연변환 \[G \longrightarrow \text{Aut}(G),\quad g \longmapsto \text{inn}_g\] 이 있다. 이는 \(G\)의 \(S\)-값 점 \(g\)를 \(g\)가 정하는 \(G\)의 내부 자기동형사상으로 보낸다. 정의에 의해 \(G\)의 중심 \(C\)는 이 변환의 핵이다. 즉 \(S\)에 관련된 내부 자기동형사상이 항등인 \(g \in G(S)\)들을 대응시키는 함자이다. 보조정리의 주장은 이 함자가 \(G\)의 닫힌 부분군 스킴으로 표현된다는 것이다.

정수 \(n \geq 1\)을 택하자. \(G_n \subset G\)를 \(G\)의 항등원 \(e\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. 모든 스킴 \(S/k\)에 대해 기저변환 \(G_{n, S}\)는 \(e_S : S \to G_S\)의 \(n\)차 무한소 근방이다. 따라서 자연변환 \(\text{Aut}(G) \to \text{Aut}(G_n)\)이 있다. 오른쪽은 스킴으로서의 \(G_n\)의 자기동형사상들의 함자이다. \(G_n\)은 일반적으로 군 스킴이 아니다. \(G_n\)은 잔여체가 \(k\)이고 \(k\)-벡터공간으로서 유한차원인 Artin 국소환 \(A_n\)의 스펙트럼이다(Varieties, Lemma 06LH). \(G_n\)의 모든 자기동형사상은 특히 가역 선형사상 \(A_n \to A_n\)을 유도하므로 다음 함자의 변환들을 얻는다. \[G \to \text{Aut}(G) \to \text{Aut}(G_n) \to \text{GL}(A_n)\] 마지막 군값 함자는 표현 가능하다. Example 022W를 보라. 또한 마지막 화살표가 단사임은 명백하다. 따라서 모든 \(n\)에 대해 닫힌 부분군 스킴 \[H_n = \Ker(G \to \text{Aut}(G_n)) = \Ker(G \to \text{GL}(A_n)).\] 을 얻는다. 첫 근사로 \(H = \bigcap_{n \geq 1} H_n\)으로 놓자(스킴론적 교집합). 이는 중심 \(C\)를 포함하는 닫힌 부분군 스킴이다.

\(S\)가 국소 Noether이라 하고 \(h\)를 \(H\)의 \(S\)-값 점이라 하자. 그러면 자기동형사상 \(\text{inn}_h\)는 모든 닫힌 부분스킴 \(G_{n, S}\) 위에서 항등사상을 유도한다. 핵 \(K = \Ker(\text{inn}_h : G_S \to G_S)\)를 생각하자. 이는 모든 \(n \geq 1\)에 대해 닫힌 부분스킴 \(G_{n, S}\)를 포함하는 \(S\) 위의 \(G_S\)의 닫힌 부분군 스킴이다. 이로부터 \(K\)가 \(e(S) \subset G_S\)의 열린 근방을 포함함이 따라온다. Algebra, Remark 00IR를 보라. \(G^0 \subset G\)를 Proposition 0B7R에서와 같이 두자. \(G^0\)가 기하적으로 기약이므로 \(K\)는 \(G^0_S\)를 포함한다. 실제로 임의의 체 확대 \(k'/k\)와 공집합이 아닌 임의의 열린집합 \(U \subset G^0_{k'}\)에 대해 \(U \cdot U^{-1} = G^0_{k'}\)이다. Lemma 0B7P의 증명을 보라. 이를 \(S = H\)에 적용하면 \(G^0\)와 \(H\)는 점들이 서로 가환하는 \(G\)의 부분군 스킴임을 얻는다. 즉 임의의 스킴 \(S\)와 임의의 \(S\)-값 점 \(g \in G^0(S)\), \(h \in H(S)\)에 대해 \(G(S)\)에서 \(gh = hg\)이다.

\(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정하자. \(G\)의 각 기약성분 \(G_i\)에서 \(k\)-값 점 \(g_i\)를 택할 수 있다. 이 경우 \(G\)의 연결성분은 \(G\)의 기약성분이며, 이들은 \(g_i\)에 의한 \(G^0\)의 평행이동들임을 유의하라. 다음을 주장한다. \[C = H \cap \bigcap\nolimits_i \Ker(\text{inn}_{g_i} : G \to G) \quad (\text{scheme theoretic intersection})\] \(C\)가 오른쪽에 포함됨은 분명하다. 반대로 오른쪽의 임의의 \(S\)-값 점 \(h\)는 \(G^0\)및 \(g_i\)와 가환하므로 \(G = \bigcup G^0g_i\)의 모든 점과 가환한다.

일반적인 기저체 \(k\)의 경우는 대수적 폐포 \(\overline{k}\)에 대한 결과에서 하강에 의해 따라온다. \(A \subset G_{\overline{k}}\)를 \(G_{\overline{k}}\)의 중심을 표현하는 닫힌 부분군 스킴이라 하자. 그러면 중심의 함자적 성질에 의해 \(G_{\overline{k} \otimes_k \overline{k}}\)의 닫힌 부분스킴으로서 \[A \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} A\] 이다. 따라서 Descent, Lemma 03I0(그리고 Descent, Lemma 02L6)에 의해 \(A\)는 닫힌 부분군 스킴 \(Z \subset G\)로 하강한다. 그러면 \(Z\)는 \(C\)를 표현하며(작은 논증은 생략한다), 이로써 증명이 끝난다.

아벨 다양체

이 내용에 대한 훌륭한 참고문헌은 Mumford의 아벨 다양체에 관한 책이다. [AVar]를 보라. 독자에게 이 책을 보기를 권한다. 서로 동치인 정의가 많으며, 여기에서는 그중 하나를 제시한다.

정의

\(k\)를 체라 하자. 아벨 다양체란 \(k\) 위의 군 스킴이면서 동시에 \(k\) 위의 고유하고 기하적으로 정역인 다양체인 것을 말한다².

이 개념에 관한 몇 가지 보조정리를 증명한 뒤, Proposition 03RP에서 모든 결과를 함께 모은다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. 그러면 \(A\)는 사영이다.

증명

Lemma 0BF7와 More on Morphisms, Lemma 0B45에서 따라온다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. 임의의 체 확대 \(K/k\)에 대해 기저변환 \(A_K\)는 \(K\) 위의 아벨 다양체이다.

증명

생략한다. 바로 이 때문에 \(A\)가 기하적으로 정역이어야 한다고 요구했음을 유의하라. 그 조건이 없으면 이 보조정리와 아래의 많은 결과가 틀리게 된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. 그러면 \(A\)는 \(k\) 위에서 매끄럽다.

증명

\(k\)가 완전체이면 이는 Lemma 047N(특성 0)과 Lemma 047P(양의 특성)에서 따라온다. 일반적인 경우는 매끄러움의 하강(Descent, Lemma 02VL)과 Lemma 0BFB를 사용하여 완전폐포로 옮기는 것으로 위 경우에 환원한다.

보조정리

아벨 다양체는 아벨 군 스킴이다. 즉 군법칙은 가환이다.

증명

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. Lemma 0BFB에 의해 \(k\)를 그 대수적 폐포로 대체해도 된다. 사상 \[h : A \times_k A \longrightarrow A \times_k A,\quad (x, y) \longmapsto (x, xyx^{-1}y^{-1})\] 을 생각하자. 이는 양쪽의 첫 번째 사영을 통해 \(A\) 위의 사상이다. \(e \in A(k)\)를 단위원이라 하자. 그러면 \(h|_{e \times A}\)는 값이 \((e, e)\)인 상수사상이다. More on Morphisms, Lemma 0AH8에 의하면 \(h|_{U \times A}\)가 \(U\) 위에서 유한인 어떤 \(Z \subset U \times A\)를 거쳐 인수분해되도록 하는 \(e\)의 열린 근방 \(U \subset A\)가 존재한다. 이는 \(x \in U(k)\)에 대해 사상 \(A \to A\), \(y \mapsto xyx^{-1}y^{-1}\)이 유한 개의 값만 취함을 뜻한다. 물론 이는 값이 \(e\)인 상수사상이라는 뜻이다. 따라서 \((x, y) \mapsto xyx^{-1}y^{-1}\)은 \(U \times A\) 위에서 값이 \(e\)인 상수사상이며, 이는 \(A\)의 군법칙이 가환임을 함의한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_A\)-가군이라 하자. 그러면 \(A \times_k A \times_k A\) 위의 가역가군의 동형사상 \[m_{1, 2, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_1^*\mathcal{L} \otimes m_2^*\mathcal{L} \otimes m_3^*\mathcal{L} \cong m_{1, 2}^*\mathcal{L} \otimes m_{1, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_{2, 3}^*\mathcal{L}\] 이 존재한다. 여기서 \(m_{i_1, \ldots, i_t} : A \times_k A \times_k A \to A\)는 사상 \((x_1, x_2, x_3) \mapsto \sum x_{i_j}\)이다.

증명

다음 차에 정육면체 정리(More on Morphisms, Theorem 0BF4)를 적용하라. \[\mathcal{M} = m_{1, 2, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_1^*\mathcal{L} \otimes m_2^*\mathcal{L} \otimes m_3^*\mathcal{L} \otimes m_{1, 2}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes m_{1, 3}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes m_{2, 3}^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\] 이 적용이 가능한 이유는 \(\mathcal{M}\)을 \(A \times A \times e = A \times A\)에 제한하면 \[n_{1, 2}^*\mathcal{L} \otimes n_1^*\mathcal{L} \otimes n_2^*\mathcal{L} \otimes n_{1, 2}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes n_1^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes n_2^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \cong \mathcal{O}_{A \times_k A}\] 을 얻기 때문이다. 여기서 \(n_{i_1, \ldots, i_t} : A \times_k A \to A\)는 사상 \((x_1, x_2) \mapsto \sum x_{i_j}\)이다. \(A \times e \times A\)와 \(e \times A \times A\)에 대해서도 마찬가지이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_A\)-가군이라 하자. 그러면 \[[n]^*\mathcal{L} \cong \mathcal{L}^{\otimes n(n + 1)/2} \otimes ([-1]^*\mathcal{L})^{\otimes n(n - 1)/2}\] 이다. 여기서 \([n] : A \to A\)는 \(x\)를 \(n\)개의 항을 갖는 \(x + x + \ldots + x\)로 보내고, \([-1] : A \to A\)는 \(A\)의 역원 사상이다.

증명

사상 \(A \to A \times_k A \times_k A\), \(x \mapsto (x, x, -x)\)를 생각하자. 여기서 \(-x = [-1](x)\)이다. Lemma 0BFE의 관계를 당기면 \[\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes [-1]^*\mathcal{L} \cong [2]^*\mathcal{L}\] 을 얻는다. 이로써 \(n = 2\)인 경우가 증명된다. 귀납법으로 \(1, 2, \ldots, n\)에 대해 결과가 성립한다고 가정하자. 그러면 사상 \(A \to A \times_k A \times_k A\), \(x \mapsto (x, x, [n - 1]x)\)를 생각하자. Lemma 0BFE의 관계를 당기면 \[[n + 1]^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes [n - 1]^*\mathcal{L} \cong [2]^*\mathcal{L} \otimes [n]^*\mathcal{L} \otimes [n]^*\mathcal{L}\] 을 얻고, 초등적인 산술로부터 결과가 따라온다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. \([d] : A \to A\)를 \(d\)배 사상이라 하자. 그러면 \([d]\)는 차수가 \(d^{2\dim(A)}\)인 유한 국소자유 사상이다.

증명

Lemma 0BFA(그리고 More on Morphisms, Lemma 0B45)에 의하면 \(A\)는 풍부한 가역가군 \(\mathcal{L}\)을 갖는다. \([-1] : A \to A\)는 자기동형사상이므로 \([-1]^*\mathcal{L}\)도 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_A\)-가군이다. 따라서 \(\mathcal{N} = \mathcal{L} \otimes [-1]^*\mathcal{L}\)은 풍부하다. Properties, Lemma 0890를 보라. \(\mathcal{N} \cong [-1]^*\mathcal{N}\)이므로 Lemma 0BFF에 의해 \([d]^*\mathcal{N} \cong \mathcal{N}^{\otimes d^2}\)이다.

모순을 얻기 위해 \(C\)를 \([d]\)의 한 섬유에 포함된 고유곡선이라 하자. 그러면 \(\mathcal{N}^{\otimes d^2}|_C \cong \mathcal{O}_C\)는 차수가 \(0\)인 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_C\)-가군이고, 이는 예를 들어 Varieties, Lemma 0B5X와 모순이다. Varieties, Lemma 0BEV를 사용해도 된다. 따라서 \([d]\)의 모든 섬유의 차원은 \(0\)이고, 그러므로 예를 들어 Cohomology of Schemes, Lemma 02OG에 의해 \([d]\)는 유한이다. 또한 Lemma 0BFC에 의해 \(A\)가 \(k\) 위에서 매끄러우므로 Algebra, Lemma 00R4에 의해 \([d] : A \to A\)는 평탄하다. 여기서 체 위에서 매끄러운 스킴은 정규이고 정규환은 Cohen–Macaulay임도 사용한다. Varieties, Lemma 056S과 Algebra, Lemma 00NQ를 보라. 따라서 \([d]\)는 유한 평탄이고, Morphisms, Lemma 02KB에 의해 유한 국소자유이다.

마지막으로 차수 공식을 구하자. Varieties, Lemma 0BEX에 의하면 \[\deg_{\mathcal{N}^{\otimes d^2}}(A) = \deg([d]) \deg_\mathcal{N}(A)\] 이다. \(\mathcal{N}^{\otimes d^2}\)(각각 \(\mathcal{N}\))에 관한 \(A\)의 차수는 다항식 \[n \longmapsto \chi(A, \mathcal{N}^{\otimes nd^2}),\quad \text{respectively}\quad n \longmapsto \chi(A, \mathcal{N}^{\otimes n})\] 에서 \(n^{\dim(A)}\)의 계수이므로 \(\deg([d]) = d^{2 \dim(A)}\)이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 영이 아닌 아벨 다양체라 하자. 그러면 \([d] : A \to A\)가 étale일 필요충분조건은 \(d\)가 \(k\)에서 가역인 것이다.

증명

\([d](x + y) = [d](x) + [d](y)\)임을 유의하라. 점에 의한 평행이동은 \(A\)의 자기동형사상이므로 \([d] : A \to A\)가 étale인 점들의 집합은 공집합이거나 \(A\) 전체이다(몇 가지 세부 사항은 생략한다). 따라서 단위원 \(e \in A(k)\)에서 \([d]\)가 étale인지만 확인하면 충분하다. \([d]\)가 유한 국소자유임을 알고 있으므로 (Lemma 0BFG), \(e\)에서 étale임을 보이는 것은 \(\text{d}[d] : T_{A/k, e} \to T_{A/k, e}\)가 단사임을 보이는 것과 동치이다. Varieties, Lemma 0B2G와 Morphisms, Lemma 02GV를 보라. Lemma 0BF5에 의하면 \(\text{d}[d]\)는 \(T_{A/k, e}\) 위에서 \(d\)배 사상으로 주어진다.

보조정리

\(k\)를 특성이 \(p > 0\)인 체라 하고 \(A\)를 \(k\) 위의 차원이 \(g\)인 아벨 다양체라 하자. \([p] : A \to A\)의 \(0\) 위의 섬유는 서로 다른 점을 최대 \(p^g\)개 갖는다.

증명

증명을 위해 \(k\)를 그 대수적 폐포로 대체해도 된다. Lemma 0BF5에 의하면 \([p]\)의 미분은 \(T_{A/k, e} \to T_{A/k, e}\)로서 \(p\)배 사상이므로 영이다(Lemma 0BFH의 증명과 비교하라). \([p]\)는 평행이동과 가환하므로 \([p]\)의 미분은 모든 점에서 영이다. 즉 유도된 사상 \([p]^*\Omega_{A/k} \to \Omega_{A/k}\)는 영이다. 일반점에서 보면 대응하는 함수체의 사상 \([p]^* : k(A) \to k(A)\)이 \(\Omega_{k(A)/k}\) 위에 영사상을 유도함을 알 수 있다. \(t_1, \ldots, t_g\)를 \(k\) 위의 \(k(A)\)의 p-기저라 하자(More on Algebra, Definition 07P1와 Lemma 07P2). Algebra, Lemma 031W에 의하면 \([p]^*(t_i)\)는 \(p\)제곱근을 갖는다. 따라서 \(k(A)[x_1, \ldots, x_g]/(x_1^p - t_1, \ldots, x_g^p - t_g)\)는 \([p]^* : k(A) \to k(A)\)의 부확대이다. 그러므로 \(t_i \in \mathcal{O}_A(U)\)이고 \(x_i \in \mathcal{O}_A([p]^{-1}(U))\)인 아핀 열린집합 \(U \subset A\)를 찾을 수 있다. \(U\) 위에서 \([p]\)의 인수분해 \[[p]^{-1}(U) \xrightarrow{\pi_1} \Spec(\mathcal{O}(U)[x_1, \ldots, x_g]/(x_1^p - t_1, \ldots, x_g^p - t_g)) \xrightarrow{\pi_2} U\] 를 얻는다. \(U\)를 좁혀서 \(\pi_1\)이 유한 국소자유라고 가정해도 된다. 예를 들어 일반적 평탄성을 쓸 수 있으며, 실은 이 경우에는 이미 유한 국소자유이다. Lemma 0BFG에 의하면 \([p]\)의 차수는 \(p^{2g}\)이다. \(\pi_2\)의 차수가 \(p^g\)이므로 \(\pi_1\)의 차수도 \(p^g\)이다. \(\pi_2\)는 보편 위상동형사상이므로 섬유들은 한 점집합이다. 따라서 \([p]^{-1}(U) \to U\)의 (집합론적) 섬유들은 \(\pi_1\)의 섬유들이며 최대 \(p^g\)개의 원소를 갖는다. \([p]\)가 \(k\) 위의 군 스킴의 준동형이므로 \([p] : A(k) \to A(k)\)의 섬유는 모든 \(a \in A(k)\)에 대해 같은 기수를 갖는다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(A\)를 체 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(A\)는 \(k\) 위에서 사영적이다.

2. \(A\)는 가환 군 스킴이다.

3. 사상 \([n] : A \to A\)는 모든 \(n \geq 1\)에 대해 전사이다.

4. \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으면 \(A(k)\)는 가분 아벨군이다.

5. \(A[n] = \Ker([n] : A \to A)\)는 \(k\) 위의 차수 \(n^{2\dim A}\)인 유한 군 스킴이다.

6. \(A[n]\)가 \(k\) 위에서 étale일 필요충분조건은 \(n \in k^*\)인 것이다.

7. \(n \in k^*\)이고 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으면 \(A(k)[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2\dim(A)}\)이다.

8. \(k\)가 특성 \(p > 0\)인 대수적으로 닫힌 체이면, 모든 \(m \geq 1\)에 대해 \(A(k)[p^m] \cong (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\oplus f}\)가 되는 정수 \(0 \leq f \leq \dim(A)\)가 존재한다.

증명

(1)은 Lemma 0BFA에서 따른다. (2)는 Lemma 0BFD에서 따른다. (3)은 Lemma 0BFG에서 따른다. \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으면 \(k\) 위의 다양체 사이의 전사 사상은 \(k\)-유리점 위에 전사 사상을 유도하므로 (4)는 (3)에서 따른다. (5)는 Lemma 0BFG와, 차수 \(N\)인 유한 국소자유 사상의 기저변환이 다시 차수 \(N\)인 유한 국소자유 사상이라는 사실에서 따른다. (6)은 Lemma 0BFH에서 따른다. 실제로 \(n\)이 \(k\)에서 가역이면 \([n]\)은 étale이고, 따라서 \(A[n]\)은 \(k\) 위에서 étale이다. 반대로 \(n\)이 \(k\)에서 가역이 아니면 \([n]\)은 \(e\)에서 étale이 아니므로 \(A[n]\)도 \(e\)에서 \(k\) 위에 étale이 아니다(Morphisms, Lemmas 02GV와 0475를 사용하라).

\(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정하고 \(g = \dim(A)\)라 두자. (7)을 증명한다. \(\ell\)을 \(k\)에서 가역인 소수라 하자. 그러면 \[A[\ell](k) = A(k)[\ell]\] 은 \(\ell\)에 의해 소멸하고 위수가 \(\ell^{2g}\)인 유한 아벨군이다. 따라서 유한 아벨군의 구조론에 의해 \((\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{2g}\)와 동형이다. 다음으로 짧은 완전열 \[0 \to A(k)[\ell] \to A(k)[\ell^2] \xrightarrow{\ell} A(k)[\ell] \to 0\] 을 생각하자. 위와 같은 논증으로 \(A(k)[\ell^2] \cong (\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z})^{2g}\)를 얻는다. 지수에 관한 귀납법을 쓰면 \(A(k)[\ell^m] \cong (\mathbf{Z}/\ell^m\mathbf{Z})^{2g}\)이다. \(k\)의 특성과 서로소인 합성수 \(n\)에 대해서는 일차 성분들을 취하면 \(A(k)\)의 \(n\)-꼬임 부분의 올바른 형태를 얻는다. (8)의 증명도 완전히 같은 방식으로 진행되며, 이때 Lemma 0C0Y가 어떤 \(0 \leq f \leq g\)에 대해 \(A(k)[p] \cong (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\oplus f}\)를 준다는 사실을 사용한다.

주

\(k\)를 체라 하자. 아벨 다양체에는 \(2 \times 4 \times 2 = 16\)개의 서로 동치인 정의가 있다. 다음 세 성질의 집합을 생각하자.

• 사영적, 고유,

• 기하적으로 기약, 기약, 기하적으로 연결, 연결,

• 매끄러운, 기하적으로 축약.

각 집합에서 하나씩 고르고, \(A\)를 \(k\) 위에서 선택한 성질들을 갖는 \(k\) 위의 군 스킴이라 하자. 그러면 \(A\)는 아벨 다양체이다. “고유, 기하적으로 기약, 기하적으로 축약”을 고르면 Definition 03RO를 얻는다(Varieties, Lemma 038K를 사용하라). 가장 약한 선택은 “고유, 연결, 기하적으로 축약”이다. 예를 들어 Morphisms, Lemma 01WC와 Varieties, Lemma 056T를 보라. 실제로 \(A\)가 \(k\) 위의 고유하고 연결이며 기하적으로 축약인 군 스킴이라고 하자. 그러면 Lemmas 0B7Q와 047M에 의해 \(A\)는 기하적으로 기약이고, 따라서 아벨 다양체이다. 마지막으로 \(A/k\)가 아벨 다양체이면 \(k\) 위에서 사영적이고 매끄럽다(Proposition 03RP). 따라서 가장 강한 선택인 "사영적, 기하적으로 기약, 매끄러운"을 만족한다.

군 스킴의 작용

\((G, m)\)을 군이라 하고 \(V\)를 집합이라 하자. \(V\) 위의 \(G\)의 (왼쪽) 작용은 다음 조건을 만족하는 사상 \(a : G \times V \to V\)로 주어짐을 상기하자.

1. (결합법칙) 모든 \(g, g' \in G\)와 \(v \in V\)에 대해 \(a(m(g, g'), v) = a(g, a(g', v))\)이다.

2. (항등원) 모든 \(v \in V\)에 대해 \(a(e, v) = v\)이다.

또한 \(V\)를 \(G\)-집합이라고 한다. 이는 보통 표기에서 \(a\)를 생략한다는 뜻이며, 엄밀히 말하면 표기의 남용이다. \(G\)-집합의 사상 \(\psi : V \to V'\)은 모든 \(v \in V\)에 대해 \(\psi(a(g, v)) = a(g, \psi(v))\)를 만족하는 임의의 집합 사상이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자.

1. \(G\)의 스킴 \(X/S\) 위의 작용은, 모든 \(T/S\)에 대해 사상 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\)가 \(X(T)\) 위에 \(G(T)\)-집합의 구조를 정의하도록 하는 \(S\) 위의 사상 \(a : G \times_S X \to X\)이다.

2. \(X\), \(Y\)가 각각 \(G\)의 작용을 갖춘 \(S\) 위의 스킴이라고 하자. 등변 사상, 더 정확히는 \(G\)-등변 사상 \(\psi : X \to Y\)는, 모든 \(T/S\)에 대해 사상 \(\psi : X(T) \to Y(T)\)가 \(G(T)\)-집합의 사상이 되도록 하는 \(S\) 위의 스킴 사상이다.

(1)의 상황에서 이는 다음 두 도식이 가환임을 뜻한다. [03LD]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ G \times_S G \times_S X \ar[r]_-{1_G \times a} \ar[d]_{m \times 1_X} & G \times_S X \ar[d]^a \\ G \times_S X \ar[r]^a & X } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ G \times_S X \ar[r]_-a & X \\ X\ar[u]^{e \times 1_X} \ar[ru]_{1_X} } } \end{equation}\] (2)의 상황에서는 단지 다음 도식이 가환임을 뜻한다. \[\xymatrix{ G \times_S X \ar[r]_-{\text{id} \times \psi} \ar[d]_a & G \times_S Y \ar[d]^a \\ X \ar[r]^\psi & Y }\]

정의

\(S\), \(G \to S\), \(X \to S\)가 Definition 022Z에서와 같다고 하자. \(a : G \times_S X \to X\)를 \(X/S\) 위의 \(G\)의 작용이라 하자. 모든 \(S\) 위의 스킴 \(T\)에 대해 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\)가 집합 \(X(T)\) 위의 군 \(G(T)\)의 자유 작용이면 이 작용을 자유라고 한다.

보조정리

Definition 07S1의 상황을 생각하자. 작용 \(a\)가 자유일 필요충분조건은 \[G \times_S X \to X \times_S X, \quad (g, x) \mapsto (a(g, x), x)\] 가 단사사상인 것이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

주동차 공간

Cohomology on Sites, Definition 03AH에서 사이트 위 군의 층에 대한 토서를 정의하였다. \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)를 위상이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(\tau\)는 표준 위상보다 강하므로(Descent, Lemma 023Q를 보라), \(\underline{G}\)는(Sites, Definition 00WR를 보라) \((\Sch/S)_\tau\) 위의 군의 층이다. 따라서 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\underline{G}\)-토서가 무엇인지 이미 알고 있다. 이 층이 표현 가능하면 특별한 상황이 생긴다. 다음 정의에서는 표현 스킴이 \(G\)-토서라는 것이 무엇인지 직접 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \(a : G \times_S X \to X\)를 \(X\) 위의 \(G\)의 작용이라 하자.

1. 유도된 스킴 사상 \(G \times_S X \to X \times_S X\), \((g, x) \mapsto (a(g, x), x)\)가 \(S\) 위의 스킴의 동형사상이면, \(X\)를 유사 \(G\)-토서라 하거나 \(X\)가 \(G\) 아래에서 형식적으로 주동차라고 한다.

2. 유사 \(G\)-토서 \(X\)에 대해, \(G\)가 \(G\) 위에 왼쪽 곱셈으로 작용할 때 \(S\) 위의 \(G\)-등변 동형사상 \(G \to X\)가 존재하면 이를 자명하다고 한다.

\(S' \to S\)가 스킴의 사상이면, \(S\) 위의 유사 \(G\)-토서의 풀백 \(X_{S'}\)가 \(S'\) 위의 유사 \(G_{S'}\)-토서임은 분명하다.

보조정리

Definition 0498의 상황을 생각하자.

1. 스킴 \(X\)가 유사 \(G\)-토서일 필요충분조건은, \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 집합 \(X(T)\)가 공집합이거나 \(X(T)\) 위의 군 \(G(T)\)의 작용이 단순 추이적인 것이다.

2. 유사 \(G\)-토서 \(X\)가 자명할 필요충분조건은 사상 \(X \to S\)가 절단을 갖는 것이다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 유사 \(G\)-토서라 하자.

1. 각 \(X_{S_i} \to S_i\)가 절단을 갖도록 하는(즉 자명한 유사 \(G_{S_i}\)-토서가 되도록 하는) fpqc 덮개 ³ \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\)가 존재하면, \(X\)를 주동차 공간 또는 \(G\)-토서라고 한다.

2. \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. 각 \(X_{S_i} \to S_i\)가 절단을 갖도록 하는 \(\tau\) 덮개 \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\)가 존재하면 \(X\)를 \(\tau\) 위상의 \(G\)-토서, \(\tau\) \(G\)-토서, 또는 단순히 \(\tau\) 토서라고 한다.

3. \(X\)가 \(G\)-토서이고 étale 위상에 대한 토서이면 이를 준등자명이라고 한다.

4. \(X\)가 \(G\)-토서이고 Zariski 위상에 대한 토서이면 이를 국소 자명이라고 한다.

때로 “\(X\)를 \(S\) 위의 \(G\)-토서라 하자”라는 말로, \(X\)가 \(S\) 위의 스킴이고 \(G\)의 작용을 갖추어 \(S\) 위의 주동차 공간이 됨을 나타낸다. 다음으로 두 표기가 모두 적용될 때 이것이 앞에서 도입한 표기와 일치함을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \(a : G \times_S X \to X\)를 \(X\) 위의 \(G\)의 작용이라 하자. \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. \(X\)가 \(\tau\)-위상의 \(G\)-토서일 필요충분조건은 \(\underline{X}\)가 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\underline{G}\)-토서인 것이다.

증명

생략한다.

주

\((G, m)\)을 스킴 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. 이 상황에서는 다음과 같은 자연스러운 질문들이 있다.

1. \(X \to S\)가 유사 \(G\)-토서이고 \(X \to S\)가 전사이면, \(X\)는 반드시 \(G\)-토서인가?

2. \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 모든 \(\underline{G}\)-토서는 표현 가능한가? 다시 말해, 모든 \(\underline{G}\)-토서는 fppf \(G\)-토서에서 오는가?

3. 모든 \(G\)-토서는 fppf(각각 smooth, 각각 étale, 각각 Zariski) 토서인가?

일반적으로 이 질문들에 대한 답은 아니다. 긍정적인 답을 얻으려면 \(G \to S\)에 추가 조건을 부과해야 한다. 예를 들면 다음과 같다. \(S\)가 체의 스펙트럼이면 \(\{X \to S\}\)가 \(X\)를 자명화하는 fpqc 덮개이므로 (1)의 답은 그렇다. \(G \to S\)가 아핀이면 (2)의 답은 그렇다(Descent, Lemma 0245에서 따른다). \(G = \text{GL}_{n, S}\)이면 (3)의 답은 그렇고, 실제로 모든 \(\text{GL}_{n, S}\)-토서는 국소 자명하다 (Descent, Lemma 05B2에서 따른다).

등변 준연접층

우리는 “함수”를 “공간”의 쌍대로 생각한다. 따라서 공간 사이의 사상이 주어지면 함수 위의 사상은 반대 방향으로 간다. 또한 가군층의 절단을 “함수”로 생각한다. 이 관점은 다음 정의에서 선택한 화살표의 방향을 자연스럽게 이끈다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 스킴이라 하며, \(a : G \times_S X \to X\)를 \(X/S\) 위의 군 스킴 \(G\)의 작용이라 하자. \(G\)-등변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 또는 간단히 등변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 쌍 \((\mathcal{F}, \alpha)\)이다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, \(\alpha\)는 다음과 같은 \(\mathcal{O}_{G \times_S X}\)-가군 사상이다. \[\alpha : a^*\mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}\] 여기서 \(\text{pr}_1 : G \times_S X \to X\)는 사영이고 다음 조건을 만족한다.

1. 다음 도식이 \(\mathcal{O}_{G \times_S G \times_S X}\)-가군의 범주에서 가환이다. \[\xymatrix{ (1_G \times a)^*\text{pr}_1^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_{12}^*\alpha} & \text{pr}_2^*\mathcal{F} \\ (1_G \times a)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]^{(1_G \times a)^*\alpha} \ar@{=}[r] & (m \times 1_X)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]_{(m \times 1_X)^*\alpha} }\]

2. 풀백 \[(e \times 1_X)^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 은 항등사상이다.

설명은 Equation (03LD)의 관련 도식들과 비교하라.

첫째 도식의 가환성은 \((e \times 1_X)^*\alpha\)가 \(\mathcal{F}\) 위의 멱등 연산자임을 보장한다. 따라서 조건 (2)는 단지 이 연산자가 동형사상이라는 조건이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(G\)-작용을 갖춘 \(S\)-스킴들 사이의 \(G\)-등변 사상이라 하자. 규칙 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, (1_G \times f)^*\alpha)\)은 \(G\)-등변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에서 \(G\)-등변 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 범주로 가는 함자를 정의한다.

증명

생략한다.

한 가지 예를 들자.

예

\(A\)를 \(\mathbf{Z}\)-등급환이라 하자. 즉 \(A\)에는 직합 분해 \(A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n\)가 주어지고 \(A_n \cdot A_m \subset A_{n + m}\)이다. \(X = \Spec(A)\)로 두자. 그러면 환 준동형 \(\mu : A \to A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]\), \(f \mapsto f \otimes x^{\deg(f)}\)로부터 \(\mathbf{G}_m\)-작용 \[a : \mathbf{G}_m \times X \longrightarrow X\] 을 얻는다. 실제로 이를 확인하려면 다음 도식이 가환임을 확인해야 한다. \[\xymatrix{ A \ar[r]_\mu \ar[d]_\mu & A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \ar[d]^{\mu \otimes 1} \\ A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \ar[r]^-{1 \otimes m} & A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] }\] 여기서 \(m(x) = x \otimes x\)이다. Example 022U를 보라. 동차 원소에 대입하면 이는 즉시 분명하다. \(M\)을 등급 \(A\)-가군이라 하자. Definition 03LF의 \(\alpha\)로서 다음 \(A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]\)-가군 사상에 대응하는 것을 사용하면, \(\mathbf{G}_m\)-등변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)을 얻는다. \[M \otimes_{A, \mu} (A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]) \longrightarrow M \otimes_{A, \text{id}_A \otimes 1} (A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}])\] 이 사상은 동차인 \(m \in M\)에 대해 \(m \otimes 1 \otimes 1\)을 \(m \otimes 1 \otimes x^{\deg(m)}\)로 보낸다.

보조정리

\(a : \mathbf{G}_m \times X \to X\)를 아핀 스킴 위의 작용이라 하자. 그러면 \(X\)는 \(\mathbf{Z}\)-등급환의 스펙트럼이고, 그 작용은 Example 0EKJ에서와 같다.

증명

\(f \in A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 그러면 \[a^\sharp(f) = \sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} f_n \otimes x^n \quad\text{in}\quad A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] = \Gamma(\mathbf{G}_m \times X, \mathcal{O}_{\mathbf{G}_m \times X})\] 로 쓸 수 있으며, 이는 \(A\)의 유일하게 정해지는 \(f_n\)들로 이루어진 유한합이다. 따라서 사상 \(A \to A\), \(f \mapsto f_n\)을 얻는다. \(a\)가 작용이므로 \(x = 1\)에서 대입하면 \(f = \sum f_n\)을 얻는다. 또한 \(a\)가 작용이므로 \[\sum (f_n)_m \otimes x^m \otimes x^n = \sum f_n x^n \otimes x^n\] 을 얻는다(Example 0EKJ의 계산과 비교하라). 따라서 \(n \not = m\)이면 \((f_n)_m = 0\)이고 \((f_n)_n = f_n\)이다. 그러므로 \[A_n = \{f \in A \mid f_n = f\}\] 로 두면 \(A = \sum A_n\)을 얻는다. 한편 위 상황에서 \(f = 0\)이면 \(f_n = 0\)이므로 이 합은 직합이어야 한다.

보조정리

\(A\)를 등급환이라 하고 \(X = \Spec(A)\)에 Example 0EKJ의 작용 \(a : \mathbf{G}_m \times X \to X\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{G}_m\)-등변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\)에는 표준적인 등급이 있어서 등급 \(A\)-가군이 되며, 동형사상 \(\widetilde{M} \to \mathcal{F}\)는(Schemes, Lemma 01IA) \(\mathbf{G}_m\)-등변 가군의 동형사상이다. 여기서 \(\widetilde{M}\) 위의 \(\mathbf{G}_m\)-등변 구조는 Example 0EKJ에서 온 것이다.

증명

가군 \(M\)에 대해 Lemma 0EKK의 논증을 반복하여 이를 증명할 수 있다. 또는 \(\mathcal{F}\)를 제곱이 영인 아이디얼로 보아 스킴 \((X', \mathcal{O}_{X'}) = (X, \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F})\)을 생각할 수 있다. \(X\)와 \(\mathcal{F}\) 위의 작용을 사용하여 자연스러운 작용 \(a' : \mathbf{G}_m \times X' \to X'\)을 정의할 수 있다. 이제 Lemma 0EKK를 \(X'\)에 적용하면 결론을 얻는다. 이 논증의 좋은 점은 \(A\)와 \(M\)의 등급이 양립함을, 즉 \(M\)이 등급 \(A\)-가군임을 즉시 보여 준다는 것이다. 세부 사항은 생략한다.

준군

준군은 모든 사상이 동형사상인 범주임을 상기하자. Categories, Definition 0018를 보라. 따라서 준군에는 대상들의 집합 \(\text{Ob}\), 화살표들의 집합 \(\text{Arrows}\), 시점 사상과 종점 사상 \(s, t : \text{Arrows} \to \text{Ob}\), 그리고 합성법칙 \(c : \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \to \text{Arrows}\)가 있다. 이 사상들은 정확히 다음 공리들을 만족한다.

1. (결합법칙) 사상 \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \to \text{Arrows}\)로서 \(c \circ (1, c) = c \circ (c, 1)\)이다.

2. (항등원) 다음을 만족하는 사상 \(e : \text{Ob} \to \text{Arrows}\)가 존재한다.

   1. 사상 \(\text{Ob} \to \text{Ob}\)로서 \(s \circ e = t \circ e = \text{id}\)이다.

   2. 사상 \(\text{Arrows} \to \text{Arrows}\)로서 \(c \circ (1, e \circ s) = c \circ (e \circ t, 1) = 1\)이다.

3. (역원) 다음을 만족하는 사상 \(i : \text{Arrows} \to \text{Arrows}\)가 존재한다.

   1. 사상 \(\text{Arrows} \to \text{Ob}\)로서 \(s \circ i = t\), \(t \circ i = s\)이다.

   2. 사상 \(\text{Arrows} \to \text{Arrows}\)로서 \(c \circ (1, i) = e \circ t\)이고 \(c \circ (i, 1) = e \circ s\)이다.

이 경우 사상 \(e\)와 \(i\)는 유일하게 정해지고 \(i\)는 전단사이다. \((\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\)가 둘째 준군 범주라고 하자. 그러면 함자 \(f : (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c) \to (\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\)는 다음을 만족하는 두 집합 사상 \(f : \text{Ob} \to \text{Ob}'\)와 \(f : \text{Arrows} \to \text{Arrows}'\)로 주어진다. \(s' \circ f = f \circ s\), \(t' \circ f = f \circ t\), 그리고 \(c' \circ (f, f) = f \circ c\)이다. 항등원과 역원과의 양립성은 자동으로 따른다. 아래에서 이를 사용한다. 일반 범주의 경우에는 항등원과의 양립성을 별도로 부과해야 함에 주의하라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자.

1. \(S\) 위의 준군 스킴, 또는 간단히 \(S\) 위의 준군은 오중쌍 \((U, R, s, t, c)\)이다. 여기서 \(U\)와 \(R\)은 \(S\) 위의 스킴이고, \(s, t : R \to U\)와 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)는 \(S\) 위의 스킴 사상이며 다음 성질을 갖는다. \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 오중쌍 \[(U(T), R(T), s, t, c)\] 은 위에서 설명한 의미의 준군 범주이다.

2. \(S\) 위의 준군 스킴의 사상 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)은 스킴 사상 \(f : U \to U'\)와 \(f : R \to R'\)로 주어지며 다음 성질을 갖는다. \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 사상들 \(f\)는 준군 범주 \((U(T), R(T), s, t, c)\)에서 준군 범주 \((U'(T), R'(T), s', t', c')\)로 가는 함자를 정의한다.

\((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. 정의 앞의 설명과 Yoneda 보조정리에 의해, \(S\) 위의 유일한 스킴 사상 \(e : U \to R\)와 \(i : R \to R\)가 존재하여, \(S\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 유도된 사상 \(e : U(T) \to R(T)\)는 항등원이고 \(i : R(T) \to R(T)\)는 준군 범주의 역원이다. 칠중쌍 \((U, R, s, t, c, e, i)\)는 위 공리 (1), (2)(a), (2)(b), (3)(a), (3)(b) 각각에 대응하는 가환도식을 만족한다. 역으로 이 성질을 갖는 칠중쌍이 주어지면 오중쌍 \((U, R, s, t, c)\)는 준군 스킴이다. \(i\)는 동형사상이고 \(e\)는 \(s\)와 \(t\) 모두의 절단임을 유의하라. 또한 \(S\) 위의 준군 스킴이 주어지면 \[j = (t, s) : R \longrightarrow U \times_S U\] 로 표기한다. 이는 위 Section 022O의 규약과 양립한다. 항등원과 역원의 존재를 강조하려고 때로 “\((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자”라고 말한다.

보조정리

\(S\) 위의 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)가 주어지면 사상 \(j : R \to U \times_S U\)는 전동치관계이다.

증명

생략한다. 정의를 연습하기에 좋은 문제이다.

보조정리

\(S\) 위의 동치관계 \(j : R \to U \times_S U\)가 주어지면 이를 \(S\) 위의 준군 \((U, R, s, t, c)\)로 확장하는 방법은 유일하다.

증명

생략한다. 정의를 연습하기에 좋은 문제이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. 다음 가환도식에서 \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] 아래쪽 두 사각형은 섬유곱 사각형이다. 또한 위쪽 삼각형도(실제로는 사각형이다) Cartesian이다.

증명

생략한다. 정의와 대수기하학의 함자적 관점을 연습하는 문제이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. 다음 도식은 가환이다. [03C7]\[\begin{equation} \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{(\text{pr}_0, c \circ (i, 1))} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } \end{equation}\] 주어진 수직 사상들을 통해 위쪽 두 행은 동형이다. 왼쪽 아래의 두 사각형은 Cartesian이다.

증명

도식의 가환성은 준군의 공리에서 따른다. 준군의 언어로 보면 왼쪽 위 수직 화살표는 종점이 같은 사상들의 쌍 \((\alpha, \beta)\)를 사상들의 쌍 \((\alpha, \alpha^{-1} \circ \beta)\)로 보낸다. 임의의 준군에서 이는 \(\text{Arrows} \times_{t, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\)와 \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\) 사이의 전단사를 정의한다. 따라서 보조정리의 둘째 주장이 따른다. 마지막 주장은 Lemma 02YE에서 따른다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 스킴 \(S\) 위의 준군이라 하고 \(S' \to S\)를 사상이라 하자. 사상 \(s, t, c\)의 기저변환 \(s'\), \(t'\), \(c'\)를 갖춘 기저변환 \(U' = S' \times_S U\), \(R' = S' \times_S R\)는 \(S'\) 위의 준군 스킴 \((U', R', s', t', c')\)를 이루고, 사영들은 \(S\) 위의 준군 스킴의 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 정한다.

증명

생략한다. 힌트: \(R' \times_{s', U', t'} R' = S' \times_S (R \times_{s, U, t} R)\).

준군 위의 준연접층

화살표 방향의 선택에 관해서는 Section 03LE의 서론을 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군은 쌍 \((\mathcal{F}, \alpha)\)이다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이고, \(\alpha\)는 다음과 같은 \(\mathcal{O}_R\)-가군 사상이다. \[\alpha : t^*\mathcal{F} \longrightarrow s^*\mathcal{F}\] 또한 다음 조건을 만족한다.

1. 다음 도식이 \(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\)-가군의 범주에서 가환이다. \[\xymatrix{ & \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_1^*\alpha} & \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[rd] & \\ \text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[ru] & & & c^*s^*\mathcal{F} \\ & \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \ar[lu]^{\text{pr}_0^*\alpha} \ar@{=}[r] & c^*t^*\mathcal{F} \ar[ru]_{c^*\alpha} }\]

2. 당김 \[e^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 은 항등사상이다.

Lemma 02YE의 가환도식들과 비교하라.

첫째 도식의 가환성은 연산자 \(e^*\alpha\)가 멱등이 되도록 강제한다. 따라서 둘째 조건은 \(e^*\alpha\)가 동형사상이라는 조건으로 다시 쓸 수 있다. 실제로 이 조건은 \(\alpha\)가 동형사상임을 함의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군이면 \(\alpha\)는 동형사상이다.

증명

Definition 03LI의 가환도식을 사상 \((i, 1) : R \to R \times_{s, U, t} R\)로 당기자. 그러면 \(i^*\alpha \circ \alpha = s^*e^*\alpha\)임을 알 수 있다. 사상 \((1, i)\)로 당기면 관계 \(\alpha \circ i^*\alpha = t^*e^*\alpha\)를 얻는다. 둘째 가정에 의해 이 사상들은 항등사상이다. 따라서 \(i^*\alpha\)는 \(\alpha\)의 역이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(S\) 위의 준군 스킴의 사상 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)를 생각하자. 다음으로 주어지는 당김 \(f^*\)는 \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, f^*\alpha)\] \((U', R', s', t', c')\) 위의 준연접층의 범주에서 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접층의 범주로 가는 함자를 정의한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(S\) 위의 준군 스킴의 사상 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)를 생각하자. 다음을 가정한다.

1. \(f : U \to U'\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. 다음 사각형은 Cartesian이다. \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\]

3. \(s'\)와 \(t'\)는 평탄하다.

그러면 다음으로 주어지는 직접상 \(f_*\)는 \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f_*\mathcal{F}, f_*\alpha)\] \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접층의 범주에서 \((U', R', s', t', c')\) 위의 준연접층의 범주로 가는 함자를 정의하며, Lemma 03LJ에서 정의한 당김의 오른쪽 수반이다.

증명

\(U \to U'\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \(f_*\)는 준연접층을 준연접층으로 보낸다(Schemes, Lemma 01LC). 또한 다음 사각형들이 Cartesian이므로 \[\vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' } }\] \((t')^*f_*\mathcal{F} = f_*t^*\mathcal{F}\)와 \((s')^*f_*\mathcal{F} = f_*s^*\mathcal{F}\)를 얻는다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH를 보라. 따라서 \(f_*\alpha\)를 \((t')^*f_*\mathcal{F} \to (s')^*f_*\mathcal{F}\)인 사상으로 생각할 수 있다. 같은 논증으로 \(f_*\alpha\)가 코사이클 조건을 만족함을 알 수 있다. 환 달린 공간 위 가군의 당김과 직접상은 서로 수반이므로 이 함자는 당김 함자의 오른쪽 수반이다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주는 여극한을 갖는다.

증명

\(i \mapsto (\mathcal{F}_i, \alpha_i)\)를 지표범주 \(\mathcal{I}\) 위의 도식이라 하자. \(U\) 위의 준연접층인 여극한 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)를 만들 수 있다. Schemes, Section 01LA를 보라. 여극한은 당김과 가환하므로 \(s^*\mathcal{F} = \colim s^*\mathcal{F}_i\)이고, 마찬가지로 \(t^*\mathcal{F} = \colim t^*\mathcal{F}_i\)이다. 따라서 \(\alpha = \colim \alpha_i\)로 둘 수 있다. \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주에서 이 도식의 여극한임을 보이는 증명은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(s\), \(t\)가 평탄하면 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주는 아벨 범주이다.

증명

\(\varphi : (\mathcal{F}, \alpha) \to (\mathcal{G}, \beta)\)를 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 준동형이라 하자. \(s\)가 평탄하므로 \[0 \to s^*\Ker(\varphi) \to s^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{G} \to s^*\Coker(\varphi) \to 0\] 은 완전하고, \(t\)에 의한 당김에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 코사이클 조건을 만족하는 동형사상 \(\kappa : t^*\Ker(\varphi) \to s^*\Ker(\varphi)\)와 \(\lambda : t^*\Coker(\varphi) \to s^*\Coker(\varphi)\)를 유도한다. 이제 \((\Ker(\varphi), \kappa)\)와 \((\Coker(\varphi), \lambda)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주에서 각각 핵과 여핵임을 바로 확인할 수 있다. 또한 \(\Coim(\varphi) = \Im(\varphi)\)라는 조건은 \(U\) 위에서 성립하므로 따른다.

준연접 가군의 여극한

이 절에서는 적절한 가정 아래 준군 위의 모든 준연접 가군이 “작은” 준연접 가군들의 여과 여극한이라는 몇 가지 기술적 결과를 증명한다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(s, t\)가 평탄하고 준콤팩트이며 준분리라고 가정하자. \(U\) 위의 임의의 준연접 가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 표준 동형사상 \(\alpha : t^*s_*t^*\mathcal{G} \to s^*s_*t^*\mathcal{G}\)가 존재하여 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)를 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군으로 만든다. 이 구성은 함자 \[\QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c)\] 를 정의하며, 망각 함자 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\)의 오른쪽 수반이다.

증명

준콤팩트이고 준분리인 사상에 따른 준연접 가군의 직접상은 준연접이다. Schemes, Lemma 01LC를 보라. 따라서 \(s_*t^*\mathcal{G}\)는 준연접이다. Lemma 02YE의 표기를 쓰면 \[t^*s_*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}\text{pr}_0^*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}c^*t^*\mathcal{G} = s^*s_*t^*\mathcal{G}\] 이다. 가운데 등식은 사상 \(R \times_{s, U, t} R \to U\)로서 \(t \circ c = t \circ \text{pr}_0\)이기 때문이고, 첫째와 마지막 등식은 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의해 이 단계들에서 기저변환과 직접상이 가환하기 때문이다.

\(\alpha\)에 대한 Definition 03LI의 코사이클 조건과 수반성을 확인하기 위해 구성을 \(\mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)의 다른 방식으로 설명하자. \(R\) 위의 동치관계 \(R \times_{t, U, t} R\)에 결부된 준군 스킴 \((R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02})\)를 생각하자. Lemma 0233를 보라. 준군 스킴의 사상 \[f : (R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02}) \longrightarrow (U, R, s, t, c)\] 이 있다. 이는 \(s : R \to U\)와 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)로 주어지는 \(R \times_{t, U, t} R \to R\)에 의해 정해진다. 필요한 도식들의 가환성 확인은 생략한다. \(t, s : R \to U\)는 준콤팩트이고 준분리이며 평탄하고, Lemma 03C6에 의해 다음 사각형이 Cartesian이다. \[\xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar[d]_{\text{pr}_0} \ar[rr]_-{(r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1} & & R \ar[d]^t \\ R \ar[rr]^s & & U }\] 따라서 Lemma 09VH를 \(f\)에 적용할 수 있다. 그러므로 \(f\)에 따른 준연접 가군의 직접상과 당김은 수반 함자이다. 증명을 마치기 위해 이 함자들을 위에서 설명한 함자들과 식별하자. 먼저 \[t^* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] 는 동치이다. 실제로 \(\{t : R \to U\}\)는 fpqc 덮개이므로 준연접층의 하강 이론을 적용할 수 있다. Descent, Proposition 023T를 보라.

\(f\)에 따른 직접상 앞에 동치 \(t^*\)를 합성한 것은 \(\mathcal{G}\)를 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)로 보낸다. 이 방식으로 얻은 동형사상 \(\alpha\)가 위에서 구성한 것과 같다는 확인은 생략한다.

\(f\)에 따른 당김 뒤에 동치 \(t^*\)의 역을 합성한 것은 \((\mathcal{F}, \beta)\)를 다음 대상으로 보낸다. \(\{t : R \to U\}\)에 관하여 \(s^*\mathcal{F}\)를 하강시킨 것인데, 그 하강 데이터 \(\gamma\)는 \(R \times_{t, U, t} R\) 위에서 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)에 의한 \(\beta\)의 당김이다. 동형사상 \(\beta : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\)를 생각하자. \(\{t : R \to U\}\)에 관한 \(t^*\mathcal{F}\) 위의 표준 하강 데이터(Descent, Definition 023D)는 \(\beta\)를 통해 다음 사상으로 옮겨진다. \[\text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\beta^{-1}} \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{can} \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_1^*\beta} \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F}\] \(\beta\)가 코사이클 조건을 만족하므로 이는 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)에 의한 \(\beta\)의 당김과 같다. 이를 보려면 Definition 03LI의 실제 코사이클 관계를 사상 \((\text{pr}_0, c \circ (i, 1)) : R \times_{t, U, t} R \to R \times_{s, U, t} R\)로 당기면 된다. 이 사상은 Lemma 03C6의 가환도식에도 나타난다. 따라서 \((s^*\mathcal{F}, \gamma)\)는 \((t^*\mathcal{F}, can)\)과 동형이다. 결론적으로 \(f\)에 따른 당김 뒤에 동치 \(t^*\)의 역을 합성한 것은 망각 함자 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\)와 동형이다.

주

Lemma 07TR의 상황에서 망각 함자를 \[F : \QCoh(U, R, s, t, c) \to \QCoh(\mathcal{O}_U),\quad (\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\] 로 나타내고, 보조정리에서 구성한 오른쪽 수반을 \[G : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(U, R, s, t, c),\quad \mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\] 로 나타내자. 그러면 \((\mathcal{F}, \beta)\)에서 계산한 수반의 단위원 \(\eta : \text{id} \to G \circ F\)는 다음 사상으로 주어진다. \[\mathcal{F} \to s_*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta^{-1}} s_*t^*\mathcal{F}\] 확인은 생략한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하고, \(\varphi : \mathcal{G} \to f^*\mathcal{F}\)를 가군 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(\varphi\)는 단사이다.

2. \(f\)는 준콤팩트이고 준분리이며 평탄하고 전사이다.

3. \(X\), \(Y\)는 국소 Noetherian이다.

4. \(\mathcal{G}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

다음 당김으로 정의되는 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\)는 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & f_*f^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G} \ar[u] \ar[r] & f_*\mathcal{G} \ar[u] }\] 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ의 연접 가군의 특징과, 연접 가군들이 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 Serre 부분범주를 이룬다는 사실을 자유롭게 사용하겠다. Cohomology of Schemes, Lemma 01Y1를 보라. \(f\)가 절단 \(\sigma\)를 가지면 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\)는 \(\sigma^*\mathcal{G} \to \sigma^*f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\)의 상에 포함되므로 연접이다. 일반적으로 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\)가 연접임을 보이려면 \(f^*(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G})\)가 연접임을 보이면 충분하다 (Descent, Lemma 05AZ를 보라). \(f\)가 평탄하므로 이는 \(f^*\mathcal{F} \cap f^*f_*\mathcal{G}\)와 같다. \(f\)가 평탄하고 준콤팩트이며 준분리이므로 \(f^*f_*\mathcal{G} = p_*q^*\mathcal{G}\)이고, 여기서 \(p, q : Y \times_X Y \to Y\)는 사영들이다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH를 보라. \(p\)가 절단을 가지므로 결론을 얻는다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 스킴들로 이루어진 준군이라 하자. \(U\)가 국소 Noetherian이라고 가정하자. 다음 보조정리에서는 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접층 \((\mathcal{F}, \alpha)\)에 대해 \(\mathcal{F}\)가 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이면 이를 연접이라고 한다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(U\), \(R\)은 Noetherian이다.

2. \(s, t\)는 평탄하고 준콤팩트이며 준분리이다.

그러면 \((U, R, s, t, c)\) 위의 모든 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \beta)\)는 연접 가군들의 여과 여극한이다.

증명

국소 Noetherian 스킴 위 연접 가군에 관한 Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ의 특징을 더 언급하지 않고 사용하겠다. 연접 부분가군 \(\mathcal{H}_i \subset \mathcal{F}\)들의 여과 여극한으로 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\)와 같이 쓸 수 있다. Cohomology of Schemes, Lemma 0GN6를 보라. \(U\) 위의 준연접층 \(\mathcal{H}\)가 주어지면 Lemma 07TR의 \((U, R, s, t, c)\) 위 준연접층을 \((s_*t^*\mathcal{H}, \alpha)\)로 나타내자. Remark 0GNF의 수반 사상 \((\mathcal{F}, \beta) \to (s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)\)를 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\)에서 생각하자. 다음과 같이 두자. \[(\mathcal{F}_i, \beta_i) = (\mathcal{F}, \beta) \times_{(s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)} (s_*t^*\mathcal{H}_i, \alpha)\] 이는 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\)에서 취한 섬유곱이다. \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 위에서 \(U\)로의 제한은 Lemma 077S의 증명에 의해 완전함자이므로 당김 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*t^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 을 얻는다. 다시 말해 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap s_*t^*\mathcal{H}_i\)이다. Remark 0GNF의 수반 사상에 관한 설명에 의해 이 도식은 다음 도식과 동형이다. \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*s^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 여기서 오른쪽 수직 화살표는 다음 사상에 \(s_*\)를 적용한 결과이다. \[t^*\mathcal{H}_i \to t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta} s^*\mathcal{F}\] \(t\)가 평탄하므로 이 화살표는 단사이다. 따라서 Lemma 07TT에 의해 \(\mathcal{F}_i\)는 연접이다. 마지막으로 \(s\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \(s_*\)는 여극한과 가환한다(Cohomology of Schemes, Lemma 07TB를 보라). 따라서 \(s_*t^*\mathcal{F} = \colim s_*t^*\mathcal{H}_i\)이고, 원하는 대로 \((\mathcal{F}, \beta) = \colim (\mathcal{F}_i, \beta_i)\)이다.

체 위의 준군을 다룰 때 유용한 흥미로운 보조정리를 제시한다. 실제로 이는 대수군의 모든 표현이 유한 차원 표현들의 여극한임을 증명하는 표준 논법이다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(U\), \(R\)은 아핀이다.

2. \(e_i \in \mathcal{O}_R(R)\)들이 존재하여 모든 원소 \(g \in \mathcal{O}_R(R)\)를 어떤 \(f_i \in \mathcal{O}_U(U)\)에 대해 \(\sum s^*(f_i)e_i\)로 유일하게 쓸 수 있다.

그러면 \((U, R, s, t, c)\) 위의 모든 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \alpha)\)는 유한형 준연접 가군들의 여과 여극한이다.

증명

가정은 \(\mathcal{O}_R(R)\)가 \(s\)를 통한 \(\mathcal{O}_U(U)\)-가군으로서 기저 \(e_i\)를 갖는 자유가군이라는 뜻이다. 따라서 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \(s^*\mathcal{G}(R) = \bigoplus_i \mathcal{G}(U)e_i\)이다. 절단을 \(s\)로 당기는 것을 \(s(-)\)로 쓰고, 다른 사상들에 대해서도 마찬가지로 쓰겠다. \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \alpha)\)와 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\)를 택하자. 위의 사실에 의해 어떤 유일한 \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U)\)에 대해 \[\alpha(t(\sigma)) = \sum s(\sigma_i) e_i\] 로 쓸 수 있다(물론 유한 개를 제외하면 모두 영이다). 또한 \(R \times_{s, U, t}R\) 위의 함수로서 \[c(e_i) = \sum \text{pr}_1(f_{ij}) \text{pr}_0(e_j)\] 로 쓸 수 있다. 그러면 Definition 03LI의 도식이 가환한다는 것은 \[\sum \text{pr}_1(\alpha(t(\sigma_i))) \text{pr}_0(e_i) = \sum \text{pr}_1(s(\sigma_i)f_{ij}) \text{pr}_0(e_j)\] 를 뜻한다(계산은 생략한다). \(\text{pr}_0(e_l)\)의 계수를 뽑아내면 \(\alpha(t(\sigma_l)) = \sum s(\sigma_i)f_{il}\)임을 얻는다. 따라서 원소 \(\sigma_i\)들로 생성되는 부분가군 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)는 \(\alpha\)에 의해 보존되는 유한형 준연접 가군을 정의한다. 그러므로 이는 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\)에서 \(\mathcal{F}\)의 부분대상이다. 이 부분가군은 \(\sigma\)를 포함한다 (첫 번째 관계를 \(e\)로 당겨 보면 알 수 있다). 따라서 결론을 얻는다.

독자에게 이 절의 나머지는 건너뛸 것을 권한다. \(S\)를 스킴이라 하고, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 스킴들로 이루어진 준군이라 하자. \(\kappa\)를 기수라 하자. 이제부터 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접층 \((\mathcal{F}, \alpha)\)에 대해 \(\mathcal{F}\)가 \(\kappa\)-생성 \(\mathcal{O}_U\)-가군이면 이를 \(\kappa\)-생성이라고 하겠다. Properties, Definition 077L을 보라.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(\kappa\)를 기수라 하자. 집합 \(T\)와 \((U, R, s, t, c)\) 위의 \(\kappa\)-생성 준연접 가군들의 족 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)_{t \in T}\)가 존재하여, \((U, R, s, t, c)\) 위의 모든 \(\kappa\)-생성 준연접 가군은 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)\) 중 하나와 동형이다.

증명

\(U\) 위의 각 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)에 대해, \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군이 되게 하는 사상 \(\alpha : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\)들의 집합이 존재한다(이 집합은 공집합일 수도 있다). Properties, Lemma 077M에 의해 \(\kappa\)-생성 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 동형류들로 이루어진 집합이 존재한다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(s, t\)가 평탄하다고 가정하자. \((U, R, s, t, c)\) 위의 모든 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 자신의 \(\kappa\)-생성 준연접 부분가군들의 유향 여극한이 되게 하는 기수 \(\kappa\)가 존재한다.

증명

보조정리의 명제와 이 증명에서 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \alpha)\)의 부분가군이란 준연접 부분가군 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)로서 \(\alpha(t^*\mathcal{G}) = s^*\mathcal{G}\)가 \(s^*\mathcal{F}\)의 부분층으로서 성립하는 것을 뜻한다. \(s, t\)가 평탄하므로 당김 \(s^*\)와 \(t^*\)가 완전하며, 즉 부분층을 보존하므로 이는 의미가 있다. 증명은 Properties, Lemma 077N의 증명을 되풀이한 것이다. 먼저 그 증명을 읽을 것을 권한다.

아핀 열린 덮개 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하자. 각 쌍 \(i, j\)에 대해 아핀 열린 덮개 \[U_i \cap U_j = \bigcup\nolimits_{k \in I_{ij}} U_{ijk} \quad\text{and}\quad s^{-1}(U_i) \cap t^{-1}(U_j) = \bigcup\nolimits_{k \in J_{ij}} W_{ijk}.\] 를 택하자. \(U_i = \Spec(A_i)\), \(U_{ijk} = \Spec(A_{ijk})\), \(W_{ijk} = \Spec(B_{ijk})\)로 쓰자. 집합 \(I\), \(I_{ij}\), \(J_{ij}\) 각각의 기수보다 \(\geq\)인 임의의 무한 기수 \(\kappa\)를 택하자.

\((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \alpha)\)를 택하고 \(M_i = \mathcal{F}(U_i)\), \(M_{ijk} = \mathcal{F}(U_{ijk})\)로 두자. 그러면 \[M_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = M_{ijk} = M_j \otimes_{A_j} A_{ijk}\] 이고 \(\alpha\)는 동형사상 \[\alpha|_{W_{ijk}} : M_i \otimes_{A_i, t} B_{ijk} \longrightarrow M_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\] 을 준다. Schemes, Lemma 01I9을 보라. 선택공리를 사용하여 사상 \[(i, j, k, m) \mapsto S(i, j, k, m)\] 을 다음과 같이 택한다. 모든 \(i, j \in I\), \(k \in I_{ij}\) 또는 \(k \in J_{ij}\), 그리고 \(m \in M_i\)에 유한 부분집합 \(S(i, j, k, m) \subset M_j\)를 대응시켜, 어떤 \(a_{m'} \in A_{ijk}\) 또는 \(b_{m'} \in B_{ijk}\)에 대해 \(M_{ijk}\)에서 \[m \otimes 1 = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes a_{m'} \quad\text{or}\quad \alpha(m \otimes 1) = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes b_{m'}\] 가 성립하게 한다. 또한 \(k \in I_{ij}\)일 때 모든 \(i, j = i, k, m\)에 대해 \(S(i, i, k, m) = \{m\}\)로 정하자. 이와 같은 족 \(S(i, j, k, m)\)을 하나 고정한다.

각 \(S_i \subset M_i\)의 기수가 \(\kappa\) 이하인 부분집합들의 족 \(\mathcal{S} = (S_i)_{i \in I}\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{S}' = (S'_i)\)를 다음과 같이 정의한다. \[S'_j = \bigcup\nolimits_{(i, j, k, m)\text{ such that }m \in S_i} S(i, j, k, m)\] \(S_i \subset S'_i\)이다. 또한 \(S'_i\)는 기수가 \(\kappa\) 이하인 집합에 걸친 유한 집합들의 합집합이므로 그 기수도 \(\kappa\) 이하이다. \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\), \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\)로 두고 귀납적으로 \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\)로 두자. 이어서 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} \mathcal{S}^{(n)}\)로 둔다. \(\mathcal{S}^{(\infty)} = (S^{(\infty)}_i)\)로 쓰면, 임의의 원소 \(m \in S^{(\infty)}_i\)에 대해 \(m\)의 \(M_{ijk}\)에서의 상은 \(m' \in S_j^{(\infty)}\)인 유한합 \(\sum m' \otimes a_{m'}\)로 쓸 수 있다. 따라서 \[N_i = A_i\text{-submodule of }M_i\text{ generated by }S^{(\infty)}_i\] 로 두면 \[N_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = N_j \otimes_{A_j} A_{ijk} \quad\text{and}\quad \alpha(N_i \otimes_{A_i, t} B_{ijk}) = N_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\] 가 \(M_{ijk}\) 또는 \(M_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\)의 부분가군으로서 성립한다. 따라서 \(\mathcal{G}(U_i) = N_i\)이고 \(\alpha(t^*\mathcal{G}) = s^*\mathcal{G}\)가 \(s^*\mathcal{F}\)의 부분가군으로서 성립하는 준연접 부분가군 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)가 존재한다. 다시 말해 \((\mathcal{G}, \alpha|_{t^*\mathcal{G}})\)는 \((\mathcal{F}, \alpha)\)의 부분가군이다. 구성에 의해 \(\mathcal{G}\)는 \(\kappa\)-생성이다.

\((\mathcal{F}, \alpha)\)의 \(\kappa\)-생성 준연접 부분가군들로 이루어진 집합을 \(\{(\mathcal{G}_t, \alpha_t)\}_{t \in T}\)라 하자. \(t, t' \in T\)이면 \(\mathcal{G}_t + \mathcal{G}_{t'}\)도 \(\mathcal{G}_t \oplus \mathcal{G}_{t'} \to \mathcal{F}\)의 상이므로 \(\kappa\)-생성 준연접 부분가군이다. 따라서 포함관계로 순서화한 이 계는 유향이다. 위 논법은 \(U_i\) 위의 \(\mathcal{F}\)의 모든 절단이 어느 \(\mathcal{G}_t\)에 속함을 보인다(주어진 절단이 \(S_i\)의 원소가 되도록 \(\mathcal{S}\)에서 시작하면 된다). 따라서 원하는 대로 \(\colim_t \mathcal{G}_t \to \mathcal{F}\)는 단사이면서 전사이다.

준군과 군 스킴

집합 \(V\) 위의 군 \(G\)의 작용 \(a\)로부터 준군을 구성하는 방법은 여러 가지이다. 여기서는 원소 \(g \in G\)를 시점이 \(v\)이고 종점이 \(a(g, v)\)인 화살표로 보는 방법을 택한다. 이 관점에서 스킴의 군 작용에 대해 다음 구성을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \(Y\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \((G, m)\)을 \(Y\) 위의 군 스킴이라 하고 그 항등원을 \(e_G\), 역원을 \(i_G\)라 하자. \(X/Y\)를 \(Y\) 위의 스킴이라 하고 \(a : G \times_Y X \to X\)를 \(X/Y\) 위의 \(G\)의 작용이라 하자. 그러면 다음과 같이 \(S\) 위의 준군 스킴 \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 얻는다.

1. \(U = X\), \(R = G \times_Y X\)로 둔다.

2. \(s : R \to U\)를 \((g, x) \mapsto x\)로 둔다.

3. \(t : R \to U\)를 \((g, x) \mapsto a(g, x)\)로 둔다.

4. \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)를 \(((g, x), (g', x')) \mapsto (m(g, g'), x')\)로 둔다.

5. \(e : U \to R\)를 \(x \mapsto (e_G(x), x)\)로 둔다.

6. \(i : R \to R\)를 \((g, x) \mapsto (i_G(g), a(g, x))\)로 둔다.

증명

생략한다. 힌트: 집합 수준에서 이 구성이 성립함을 보이면 충분하다. 이를 위해 보조정리 앞에서 \(g\)를 \(v\)에서 \(a(g, v)\)로 가는 화살표로 설명한 것을 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴, \(Y\)를 \(S\) 위의 스킴, \((G, m)\)을 \(Y\) 위의 군 스킴이라 하자. \(X\)를 \(Y\) 위의 스킴이라 하고 \(a : G \times_Y X \to X\)를 \(Y\) 위에서 \(X\)에 대한 \(G\)의 작용이라 하자. Lemma 0234에서 구성한 준군 스킴을 \((U, R, s, t, c)\)라 하자. 대응 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (\mathcal{F}, \alpha)\)는 \(G\)-등변 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주와 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주 사이의 범주 동치를 정의한다.

증명

\(R = G \times_Y X \to X\)의 사상으로서 \(t = a\)이고 \(s = \text{pr}_1\)이므로 명제는 의미가 있다. Definitions 03LF과 03LI을 보라. Lemma 0234의 대응을 사용하면 두 정의의 가환성 조건이 정확히 일치한다.

안정자 군 스킴

준군 스킴이 주어지면 다음과 같이 군 스킴을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. Cartesian 사각형 \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & R \ar[d]^{j = (t, s)} \\ U \ar[r]^-{\Delta} & U \times_S U }\] 으로 정의되는 스킴 \(G\)는 \(U\) 위의 군 스킴이며, 그 합성법칙 \(m\)은 합성법칙 \(c\)로부터 유도된다.

증명

준군 범주에서 각 대상의 자기 사상들의 집합은 군을 이루기 때문이다.

\(\Delta\)가 몰입이므로 \(G = j^{-1}(\Delta_{U/S})\)는 \(R\)의 국소 닫힌 부분스킴이다. 이를 이 방식으로 보면 구조 사상 \(j^{-1}(\Delta_{U/S}) \to U\)는 \(s\) 또는 \(t\)로부터 유도되며(둘은 같다), \(m\)은 \(c\)로부터 유도된다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. 군 스킴 \(j^{-1}(\Delta_{U/S})\to U\)를 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)의 안정자라고 한다.

문헌에서는 안정자 군 스킴을 흔히 \(S\)로 나타낸다(아마 stabilizer라는 단어가 “s”로 시작하기 때문일 것이다). 그러나 여기서는 이미 \(S\)를 바탕 스킴에 사용했으므로 그렇게 할 수 없다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하고 \(G/U\)를 그 안정자라 하자. \(R\)을 사상 \(t : R \to U\)를 통해 \(U\) 위의 스킴으로 본 것을 \(R_t/U\)로 나타내자. 합성법칙 \(c\)로부터 유도되는 표준 왼쪽 작용 \[a : G \times_U R_t \longrightarrow R_t\] 이 존재한다.

증명

\(T/S\) 위의 점으로 표현하면 \(a(g, r) = c(g, r)\)로 정의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(G\)를 \(R\)의 안정자 군 스킴이라 하자. \[G_0 = G \times_{U, \text{pr}_0} (U \times_S U) = G \times_S U\] 로 두어 이를 \(U \times_S U\) 위의 군 스킴으로 보자. Lemma 0237의 \(R\) 위 \(G\)의 작용은 \(U \times_S U\) 위에서 \(R\) 위의 \(G_0\)의 작용을 유도하며, 이 작용에 의해 \(R\)은 \(U \times_S U\) 위의 유사 \(G_0\)-토서가 된다.

증명

준군 범주 \(\mathcal{C}\)에서 집합 \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\)는 군 \(\Mor_\mathcal{C}(y, y)\) 아래의 주동차 집합이기 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(p \in U \times_S U\)를 점이라 하고, \(R_p\)를 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\)의 스킴론적 섬유라 하자. \(R_p \not = \emptyset\)이면 작용 \[G_{0, \kappa(p)} \times_{\kappa(p)} R_p \longrightarrow R_p\] (Lemma 04Q2를 보라)에 의해 \(R_p\)는 \(\kappa(p)\) 위의 \(G_{\kappa(p)}\)-토서가 된다.

증명

명제에서 인용한 보조정리에 의해 이 작용은 유사 토서이다. \(R_p\)가 공스킴이 아니면 \(\{R_p \to p\}\)는 이 유사 토서를 자명화하는 fpqc 덮개이다.

준군의 제한

(보통의) 준군 \(\mathcal{C} = (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c)\)를 생각하자. 집합의 사상 \(g : \text{Ob}' \to \text{Ob}\)가 주어졌다고 하자. \(\text{Ob}'\)의 원소 \(x', y'\) 사이의 사상을 \(\mathcal{C}\)에서 \(g(x'), g(y')\) 사이의 사상으로 봄으로써 준군 \(\mathcal{C}' = (\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\)를 구성할 수 있다. 다시 말해 \[\text{Arrows}' = \text{Ob}' \times_{g, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, g} \text{Ob}'.\] 로 두고 \(s'\), \(t'\), \(c'\)는 자명한 선택을 한다. 표준 함자 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)는 충실충만이지만 반드시 본질적으로 전사인 것은 아니다. 함자 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)가 주어진 이 준군 \(\mathcal{C}'\)를 \(\text{Ob}'\)에 대한 준군 \(\mathcal{C}\)의 제한이라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U }\] 모든 사각형은 섬유곱 사각형이다. 그러면 \((U', R', s', t', c')\)가 \(S\) 위의 준군 스킴이 되게 하고 \(U' \to U\), \(R' \to R\)이 \(S\) 위 준군 스킴의 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)을 정의하게 하는 표준 합성법칙 \(c' : R' \times_{s', U', t'} R' \to R'\)이 존재한다. 또한 \(S\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대해 준군의 함자 \[(U'(T), R'(T), s', t', c') \to (U(T), R(T), s, t, c)\] 는 사상 \(U'(T) \to U(T)\)을 통한 \((U(T), R(T), s, t, c)\)의 위에서 정의한 제한이다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. Lemma 02VB에서 구성한 준군의 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)을 \(U'\)에 대한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라고 한다. 이 경우 때때로 \(R' = R|_{U'}\)라는 기호를 사용한다.

보조정리

Definitions 02VC과 02V9에서 정의한 준군과 (전)동치관계의 제한 개념은 Lemmas 0232와 0233의 구성 아래에서 일치한다.

증명

여기서 말하는 것은 Lemma 02VB의 \(R'\)가 다음 사상과도 같다는 것이다. \[R' = (U' \times_S U')\times_{U \times_S U} R \longrightarrow U' \times_S U'\] 사실 이 방식이 그 보조정리를 더 명확하게 서술했을 수도 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(g\)를 통한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)의 안정자를 \(G\), \((U', R', s', t', c')\)의 안정자를 \(G'\)라 하자. 그러면 \(G'\)는 \(g\)에 의한 \(G\)의 밑변환이다. 즉 표준 식별 \(G' = U' \times_{g, U} G\)가 존재한다.

증명

생략한다.

불변 부분스킴

이 절에서는 불변 부분스킴의 개념을 간단히 논의한다.

정의

\((U, R, s, t, c)\)를 바탕 스킴 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자.

1. 부분집합 \(W \subset U\)에 대해 \(t(s^{-1}(W)) \subset W\)이면 이를 집합론적으로 \(R\)-불변이라고 한다.

2. 열린집합 \(W \subset U\)에 대해 \(t(s^{-1}(W)) \subset W\)이면 이를 \(R\)-불변이라고 한다.

3. 닫힌 부분스킴 \(Z \subset U\)에 대해 \(t^{-1}(Z) = s^{-1}(Z)\)이면 이를 \(R\)-불변이라고 한다. 여기서는 스킴론적 역상을 사용한다. Schemes, Definition 01JV을 보라.

4. 스킴의 단사사상 \(T \to U\)에 대해 \(T \times_{U, t} R = R \times_{s, U} T\)가 \(R\) 위의 스킴으로서 성립하면 이를 \(R\)-불변이라고 한다.

부분집합과 열린 부분스킴 \(W \subset U\)에 대해서는 \(R\)-불변이라는 것이 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)가 \(R\)의 부분집합으로서 성립하는 것과도 동치이다. \(W \subset U\)가 \(R\)-등변 열린 부분스킴이면 \(W\)에 대한 \(R\)의 제한은 단순히 \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)이다. 마찬가지로 \(Z \subset U\)가 \(R\)-불변 닫힌 부분스킴이면 \(Z\)에 대한 \(R\)의 제한은 단순히 \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자.

1. 임의의 부분집합 \(W \subset U\)에 대해 부분집합 \(t(s^{-1}(W))\)는 집합론적으로 \(R\)-불변이다.

2. \(s\)와 \(t\)가 열린사상이면 모든 열린집합 \(W \subset U\)에 대해 열린집합 \(t(s^{-1}(W))\)는 \(R\)-불변 열린 부분스킴이다.

3. \(s\)와 \(t\)가 열린사상이고 준콤팩트이면 \(U\)는 \(R\)-불변 준콤팩트 열린 부분스킴들로 이루어진 열린 덮개를 갖는다.

증명

(1)은 Lemmas 022Q와 0232에서 따른다. 즉 \(t(s^{-1}(W))\)는 \(W\)의 한 점과 동치인 \(U\)의 점들의 집합이다. 다음으로 \(s\)와 \(t\)가 열린사상이고 \(W \subset U\)가 열렸다고 가정하자. \(s\)가 열린사상이므로 집합 \(W' = t(s^{-1}(W))\)는 \(U\)의 열린 부분집합이다. 마지막으로 \(s\), \(t\)가 모두 열리고 준콤팩트이라고 가정하자. \(W \subset U\)가 준콤팩트 열린집합이면 \(W' = t(s^{-1}(W))\)도 준콤팩트 열린집합이고, 위 논의에 의해 불변이다. \(W\)를 \(U\)의 모든 아핀 열린집합에 걸쳐 움직이면 (3)을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(s\)와 \(t\)가 준콤팩트이고 평탄하며 \(U\)가 준분리라고 가정하자. \(W \subset U\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면 \(t(s^{-1}(W))\)는 \(U\)의 준콤팩트 열린 부분집합들로 이루어진 공집합이 아닌 족의 교집합이다.

증명

\(s^{-1}(W)\)는 \(R\)의 준콤팩트 열린집합이다. 연속사상 \(t\)는 준콤팩트 부분집합 \(s^{-1}(W)\)를 준콤팩트 부분집합 \(t(s^{-1}(W))\)로 보낸다. \(t\)가 평탄하고 \(s^{-1}(W)\)가 일반화에 대해 닫혀 있으므로 \(t(s^{-1}(W))\)도 그러하다. (Morphisms, Lemma 03HV과 Topology, Lemma 0065)를 보라. \(t(s^{-1}(W))\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합 \(W' \subset U\)를 택하자. Properties, Lemma 094L에 의해 \(W'\)는 스펙트럴 공간이다(여기서 \(U\)가 준분리임을 사용한다). 이제 \(t(s^{-1}(W)) \subset W'\)에 Topology, Lemma 0A31를 적용하면 보조정리가 따른다.

보조정리

Lemma 0APA과 같은 가정과 기호를 사용하자. \(R\)-불변 열린집합 \(V \subset U\)와 \(W \subset V \subset W' \subset U\)를 만족하는 준콤팩트 열린집합 \(W'\)가 존재한다.

증명

\(E = t(s^{-1}(W))\)로 두자. \(E\)는 집합론적으로 \(R\)-불변임을 상기하라 (Lemma 03LO). Lemma 0APA에 의해 \(E\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합 \(W'\)가 존재한다. \(Z = U \setminus W'\)로 두고 \(T = t(s^{-1}(Z))\)를 생각하자. \(Z \subset T\)이고, \(s^{-1}(E) = t^{-1}(E)\)가 \(s^{-1}(Z)\)와 서로소이므로 \(E \cap T = \emptyset\)이다. \(T\)는 준콤팩트 사상 \(t : R \to U\)에 의한 닫힌 부분집합 \(s^{-1}(Z) \subset R\)의 상이므로, 폐포 \(\overline{T}\)의 임의의 점 \(\xi\)는 \(T\)의 한 점의 특수화이다. Morphisms, Lemma 02JQ를 보라(스킴론적 상이 상의 폐포임을 보려면 Morphisms, Lemma 01R8를 함께 사용한다). \(\xi' \leadsto \xi\)이고 \(\xi' \in T\)라고 하자. \(r \in R\)이고 \(s(r) = \xi\)라고 하자. \(s\)가 평탄하므로 \(s(r') = \xi'\)를 만족하는 \(R\)에서의 특수화 \(r' \leadsto r\)를 찾을 수 있다 (Morphisms, Lemma 03HV). 그러면 \(t(r') \leadsto t(r)\)이다. Lemma 03LO에 의해 \(T\)는 집합론적으로 불변이므로 \(t(r') \in T\)이다. 따라서 \(\overline{T}\)는 집합론적으로 \(R\)-불변인 닫힌 부분집합이고, 우리가 찾는 열린집합은 \(V = U \setminus \overline{T}\)이다. 이는 \(W'\)에 포함되므로 증명이 끝난다.

몫층

\(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)라 하고 \(S\)를 스킴이라 하자. \(j : R \to U \times_S U\)를 \(S\) 위의 전관계라 하자. \(U, R, S\)가 \(\tau\)-사이트 \(\Sch_\tau\)의 대상이라고 하자 (Topologies, Section 020M를 보라). 그러면 함자 \[h_U, h_R : (\Sch/S)_\tau^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\] 를 생각할 수 있다. 이들은 층이다. Descent, Lemma 023Q를 보라. 사상 \(j\)는 사상 \(j : h_R \to h_U \times h_U\)를 유도한다. 각 대상 \(T \in \Ob((\Sch/S)_\tau)\)에 대해 \(j(T) : R(T) \to U(T) \times U(T)\)가 생성하는 동치관계 \(\sim_T\)를 취하고 그 몫을 생각할 수 있다. 따라서 전층 [02VF]\[\begin{equation} (\Sch/S)_\tau^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto U(T)/\sim_T \end{equation}\] 을 얻는다.

정의

\(\tau\), \(S\), 전관계 \(j : R \to U \times_S U\)가 위와 같다고 하자. 이 상황에서 \(j\)에 결부된 몫층 \(U/R\)은 \(\tau\)-위상에서 전층 (02VF)을 층화한 것이다. \(j : R \to U \times_S U\)가 Lemma 0234에서처럼 \(U\) 위 군 스킴 \(G/S\)의 작용에서 나오면 몫층을 때때로 \(U/G\)로 나타낸다.

이는 정확히 도식 \[\xymatrix{ h_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_U \ar[r] & U/R }\] 이 \((\Sch/S)_\tau\) 위 집합층의 범주에서 쌍대등화자 도식이라는 뜻이다. Yoneda 매장을 사용하면 \((\Sch/S)_\tau\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위 층들의 충만부분범주로 볼 수 있으므로 스킴을 표현가능 함자와 식별할 수 있다. 이러한 기호의 남용 아래에서는 위 도식을 흔히 단순히 \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U \ar[r] & U/R }\] 로 나타낸다. 준군 또는 동치관계의 몫층을 다룰 때는 주로 fppf 위상을 사용하겠다.

정의

Definition 02VG의 상황이라 하자. 층 \(U/R\)가 표현가능이면 전관계 \(j\)가 표현가능한 몫을 갖는다고 한다. \(j = (t, s)\)에 대한 몫 \(U/R\)가 표현가능이면 준군 \((U, R, s, t, c)\)가 표현가능한 몫을 갖는다고 한다.

다음 보조정리는 몫을 표현하는 스킴 \(M\)을 특징짓는다. 예를 들어 \(\tau = fppf\)이고 \(U \to M\)이 평탄하고 유한표현이며 전사이고 \(R \cong U \times_M U\)이면 적용된다.

보조정리

Definition 02VG의 상황이라 하자. 스킴 \(M\)과 사상 \(U \to M\)이 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. 사상 \(U \to M\)은 \(s, t\)를 등화한다.

2. 사상 \(U \to M\)은 \(\tau\)-위상에서 층의 전사 \(h_U \to h_M\)을 유도한다.

3. 유도된 사상 \((t, s) : R \to U \times_M U\)은 \(\tau\)-위상에서 층의 전사 \(h_R \to h_{U \times_M U}\)을 유도한다.

그러면 \(M\)은 몫층 \(U/R\)를 표현한다.

증명

조건 (1)은 \(h_U \to h_M\)이 \(U/R\)를 통해 분해된다는 뜻이다. 조건 (2)는 층의 사상 \(U/R \to h_M\)이 전사라는 뜻이고, 조건 (3)은 층의 사상 \(U/R \to h_M\)이 단사라는 뜻이다. 따라서 보조정리가 따른다.

다음 보조정리는 \(j\)가 전동치관계라고 요구하지 않으면(가령 단지 전관계이면) 성립하지 않는다.

보조정리

\(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)라 하고 \(S\)를 스킴이라 하자. \(j : R \to U \times_S U\)를 \(S\) 위의 전동치관계라 하고, \(U, R, S\)가 \(\tau\)-사이트 \(\Sch_\tau\)의 대상이라고 가정하자. \(T \in \Ob((\Sch/S)_\tau)\) 및 \(a, b \in U(T)\)에 대해 다음은 동치이다.

1. \(a\)와 \(b\)의 상은 \((U/R)(T)\)의 같은 원소이다.

2. \(T\)의 \(\tau\)-덮개 \(\{f_i : T_i \to T\}\)와 사상 \(r_i : T_i \to R\)이 존재하여 \(a \circ f_i = s \circ r_i\)이고 \(b \circ f_i = t \circ r_i\)이다.

다시 말해 이 경우 \(\tau\)-층의 사상 \[h_R \longrightarrow h_U \times_{U/R} h_U\] 은 전사이다.

증명

생략한다. 힌트: 이 경우 전층 (02VF)은 실제로 \(T \mapsto U(T)/j(R(T))\)로 주어진다. 왜냐하면 \(j(R(T)) \subset U(T) \times U(T)\)가 동치관계이기 때문이다. Definition 022P을 보라.

보조정리

\(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)라 하고 \(S\)를 스킴이라 하자. \(j : R \to U \times_S U\)를 \(S\) 위의 전동치관계라 하고 \(g : U' \to U\)를 \(S\) 위 스킴의 사상이라 하자. \(j' : R' \to U' \times_S U'\)를 \(U'\)에 대한 \(j\)의 제한이라 하자. \(U, U', R, S\)가 \(\tau\)-사이트 \(\Sch_\tau\)의 대상이라고 가정하자. 몫층의 사상 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 은 단사이다. \(g\)가 \(\tau\)-위상에서 층의 전사 \(h_{U'} \to h_U\)를 정의하면(예를 들어 \(\{g : U' \to U\}\)가 \(\tau\)-덮개이면) \(U'/R' \to U/R\)는 동형사상이다.

증명

\(\xi, \xi' \in (U'/R')(T)\)가 \(U/R\)의 같은 절단으로 가는 절단들이라고 하자. \(T\)의 \(\tau\)-덮개 \(\mathcal{T} = \{T_i \to T\}\)를 찾아 \(\xi|_{T_i}, \xi'|_{T_i}\)가 \(a_i, a_i' \in U'(T_i)\)로 주어지게 할 수 있다. Lemma 045Y와 사이트의 공리들에 의해 \(\mathcal{T}\)를 세분한 뒤 \(g \circ a_i = s \circ r_i\), \(g \circ a_i' = t \circ r_i\)를 만족하는 사상 \(r_i : T_i \to R\)들이 존재한다고 가정할 수 있다. 구성에 의해 \(R' = R \times_{U \times_S U} (U' \times_S U')\) 이므로 \((r_i, (a_i, a_i')) \in R'(T_i)\)이다. 따라서 \(a_i\)와 \(a_i'\)는 \(T_i\) 위의 \(U'/R'\)의 같은 절단을 정의한다. 층 조건에 의해 \(\xi = \xi'\)이다.

\(h_{U'} \to h_U\)가 층의 전사이면 물론 \(U'/R' \to U/R\)도 전사이다. \(\{g : U' \to U\}\)가 \(\tau\)-덮개이면 층의 사상 \(h_{U'} \to h_U\)는 전사이다. Sites, Lemma 00WT를 보라. 따라서 이 경우에도 \(U'/R' \to U/R\)는 전사이다.

보조정리

\(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)라 하고 \(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(g : U' \to U\)를 \(S\) 위 스킴의 사상이라 하자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(U'\)에 대한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하자. \(U, U', R, S\)가 \(\tau\)-사이트 \(\Sch_\tau\)의 대상이라고 가정하자. 몫층의 사상 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 은 단사이다. 합성 \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] 이 \(\tau\)-위상에서 층의 전사를 정의하면 이 사상은 전단사이다. 예를 들어 \(\{h : U' \times_{g, U, t} R \to U\}\)가 \(\tau\)-덮개이거나, \(U' \to U\)가 \(\tau\)-위상에서 층의 전사를 정의하거나, \(\{g : U' \to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개이면 이 조건이 성립한다.

증명

단사성은 Lemmas 0232와 045Z를 결합하면 따른다. 전사성을 보이기 위해(Sites, Section 00WL의 층의 전사에 대한 특징을 보라) 다음과 같이 논증한다. \(T\)를 스킴이라 하고 \(\sigma \in U/R(T)\)라 하자. \(\sigma|_{T_i}\)가 어떤 원소 \(f_i \in U(T_i)\)의 상이 되게 하는 덮개 \(\{T_i \to T\}\)가 존재한다. 따라서 \(\sigma\)가 \(f \in U(T)\)의 상이라고 가정해도 된다. \(h\)가 층의 전사라는 가정에 의해 \(\tau\)-덮개 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\)와 사상 \(f_i : T_i \to U' \times_{g, U, t} R\)을 찾아 \(f \circ \varphi_i = h \circ f_i\)가 되게 할 수 있다. \(f'_i = \text{pr}_0 \circ f_i : T_i \to U'\)로 나타내자. 그러면 \(f'_i \in U'(T_i)\)는 \(g \circ f'_i \in U(T_i)\)로 가고, \(g \circ f'_i \sim_{T_i} h \circ f_i = f \circ \varphi_i\)이다. 기호는 (02VF)와 같다. 이 관계를 주는 \(R(T_i)\)의 원소는 \(\text{pr}_1 \circ f_i\)이다. 이는 \(T_i\)에 대한 \(\sigma\)의 제한이 \(U'/R'(T_i) \to U/R(T_i)\)의 상에 속한다는 뜻이며, 원하는 바이다.

\(\{h\}\)가 \(\tau\)-덮개이면 층의 전사를 유도한다. Sites, Lemma 00WT를 보라. \(U' \to U\)가 전사이면 \(s\)가 절단 (즉 준군 스킴의 중립원 \(e\))을 가지므로 \(h\)도 전사이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : (U, R, j) \to (U', R', j')\)를 \(S\) 위의 동치관계 사이의 사상이라 하자. 다음 도식이 \[\xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] Cartesian이라고 가정하자. 임의의 \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U/R \ar[d]^f \\ U' \ar[r] & U'/R' }\] 은 \(\tau\)-층의 섬유곱 사각형이다.

증명

Lemma 045Y에 의해 몫층들은 간단히 기술되며, 이하에서 더 언급하지 않고 이 기술을 사용하겠다. 먼저 사상 \[U \longrightarrow U' \times_{U'/R'} U/R\] 이 단사임을 보이자. \(a, b \in U(T)\)가 오른쪽의 같은 원소로 간다고 가정하자. 그러면 \(f(a) = f(b)\)이다. \(T\)를 어느 \(\tau\)-덮개의 원소들로 바꾼 뒤 \(a = s(r)\)이고 \(b = t(r)\)인 \(r \in R(T)\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 그러면 \(r' = f(r)\)는 \(s'(r') = t'(r')\)를 만족하는 \(R'\)의 \(T\)-값 점이다. 따라서 \(r' = e'(f(a))\)이다 (여기서 \(e'\)는 \(j'\)에 결부된 준군 스킴의 항등원이다. Lemma 0233를 보라). 보조정리의 첫 번째 도식이 Cartesian이므로 \(r\)는 \(e(a)\)와 같아야 한다. 따라서 \(a = b\)이다.

마지막으로 표시된 화살표가 전사임을 보이자. \(T\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \((a', \overline{b})\)를 \(T\) 위 층 \(U' \times_{U'/R'} U/R\)의 절단이라 하자. \(T\)를 어느 \(\tau\)-덮개의 원소들로 바꾼 뒤 \(\overline{b}\)가 원소 \(b \in U(T)\)의 류라고 가정할 수 있다. 다시 \(T\)를 어느 \(\tau\)-덮개의 원소들로 바꾼 뒤 \(a' = t(r')\)이고 \(s'(r') = f(b)\)인 \(r' \in R'(T)\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 보조정리의 첫 번째 도식이 Cartesian이므로 \(s(r) = b\)이고 \(f(r) = r'\)인 \(r \in R(T)\)를 찾을 수 있다. 이제 \(a = t(r) \in U(T)\)가 \((a', \overline{b})\)로 가는 절단임은 명백하다.

준군으로 표현한 내림

Cartesian 사상을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위 준군 스킴의 사상이라 하자. 다음 도식이 \[\xymatrix{ R' \ar[r]_f \ar[d]_{s'} & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U }\] 스킴의 범주에서 섬유곱 사각형이면 \(f\)가 Cartesian이라고 하며, 또는 \((U', R', s', t', c')\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위에서 Cartesian이라고 한다. \((U, R, s, t, c)\) 위에서 Cartesian인 준군 스킴의 사상은 \((U, R, s, t, c)\)로 가는 구조 사상들과 양립하는 준군 스킴의 사상이다.

Cartesian 사상은 내림 데이터와 관련된다. 먼저 고정된 준군 스킴 위에서 Cartesian인 준군 스킴들의 범주를 기술하는 일반 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\) 위에서 Cartesian인 준군 스킴들의 범주는 다음 쌍 \((V, \varphi)\)들의 범주와 동치이다. 여기서 \(V\)는 \(U\) 위의 스킴이고 \[\varphi : V \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} V\] 는 \(e^*\varphi = \text{id}_V\)를 만족하는 \(R\) 위의 동형사상이며, \[c^*\varphi = \text{pr}_1^*\varphi \circ \text{pr}_0^*\varphi\] 가 \(R \times_{s, U, t} R\) 위 스킴의 사상으로서 성립한다.

증명

보조정리의 당김 기호는 밑변환을 뜻한다. 표시된 식은 다음 등식 때문에 의미가 있다. \[(R \times_{s, U, t} R) \times_{\text{pr}_1, R, \text{pr}_1} (V \times_{U, t} R) = (R \times_{s, U, t} R) \times_{\text{pr}_0, R, \text{pr}_0} (R \times_{s, U} V)\] 이는 \(R \times_{s, U, t} R\) 위의 스킴으로서의 등식이다.

\((V, \varphi)\)가 주어지면 \(U' = V\), \(R' = V \times_{U, t} R\)로 둔다. \(t' : R' \to U'\)를 사영 \(V \times_{U, t} R \to V\)로 둔다. \(s'\)는 \(\varphi\)에 이어 사영 \(R \times_{s, U} V \to V\)를 합성한 것으로 둔다. \(c'\)는 다음 합성으로 둔다. \[\begin{align*} R' \times_{s', U', t'} R' & \xrightarrow{\varphi, 1} (R \times_{s, U} V) \times_V (V \times_{U, t} R) \\ & \xrightarrow{} R \times_{s, U} V \times_{U, t} R \\ & \xrightarrow{\varphi^{-1}, 1} V \times_{U, t} (R \times_{s, U, t} R) \\ & \xrightarrow{1, c} V \times_{U, t} R = R' \end{align*}\] 생략한 계산에 의해 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준군 스킴을 얻는다. 이 준군 스킴이 \((U, R, s, t, c)\) 위에서 Cartesian임은 명백하다.

반대로 Cartesian인 \(f : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)가 주어지면 사상 \[U' \times_{U, t} R \xleftarrow{t', f} R' \xrightarrow{f, s'} R \times_{s, U} U'\] 은 동형사상이다. \(V = U'\)로 두고 \(\varphi\)를 합성 \((f, s') \circ (t', f)^{-1}\)로 둘 수 있다. \(\varphi\)가 보조정리의 조건들을 만족한다는 증명과 이 구성들이 서로 역이라는 증명은 생략한다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(S\) 위의 준군 스킴 \((X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, c)\)를 얻는다. 실제로 \(j : X \times_Y X \to X \times_S X\)는 동치관계이며 결부된 준군을 취할 수 있다. Lemma 0233를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴의 사상이라 하자. Lemma 0APE의 구성은 동치 \[\begin{matrix} \text{category of groupoid schemes} \\ \text{cartesian over } (X, X \times_Y X, \ldots) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{ category of descent data} \\ \text{ relative to } X/Y \end{matrix}\] 를 정한다.

증명

Lemma 0APE와 Descent, Definition 023V의 스킴 위 내림 데이터의 정의에서 명백하다.

분리 조건

이는 실제로 \(S\) 위의 준군 \((U, R, s, t, c)\)가 주어졌을 때 사상 \(j : R \to U \times_S U\)에 대한 조건을 뜻한다. 앞 절과 마찬가지로 먼저 해당 도식을 정식화한다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하고 \(G \to U\)를 안정자 군 스킴이라 하자. 가환도식 \[\xymatrix{ R \ar[d]^{\Delta_{R/U \times_S U}} \ar[rrr]_{f \mapsto (f, s(f))} & & & R \times_{s, U} U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ R \times_{(U \times_S U)} R \ar[rrr]^{(f, g) \mapsto (f, f^{-1} \circ g)} & & & R \times_{s, U} G \ar[r] & G }\] 에서 왼쪽의 두 수평 화살표는 동형사상이고 오른쪽 사각형은 섬유곱 사각형이다.

증명

생략한다. 정의와 대수기하의 함자적 관점에 관한 연습문제이다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하고 \(G \to U\)를 안정자 군 스킴이라 하자.

1. 다음은 동치이다.

   1. \(j : R \to U \times_S U\)는 분리이다.

   2. \(G \to U\)는 분리이다.

   3. \(e : U \to G\)는 닫힌 몰입이다.

2. 다음은 동치이다.

   1. \(j : R \to U \times_S U\)는 준분리이다.

   2. \(G \to U\)는 준분리이다.

   3. \(e : U \to G\)는 준콤팩트이다.

증명

군 스킴 \(G \to U\)는 대각사상 \(U \to U \times_S U\)에 의한 \(R \to U \times_S U\)의 밑변환이다. Lemma 0235를 보라. 따라서 \(j\)가 분리이면(각각 준분리이면) \(G \to U\)도 분리이다(각각 준분리이다). Schemes, Lemma 01KU를 보라. 그러므로 (1)과 (2) 모두에서 (a) \(\Rightarrow\) (b)이다.

\(G \to U\)가 분리이면(각각 준분리이면), 사상 \(U \to G\)는 구조 사상 \(G \to U\)의 절단이므로 닫힌 몰입이다 (각각 준콤팩트이다). Schemes, Lemma 01KT을 보라. 그러므로 (1)과 (2) 모두에서 (b) \(\Rightarrow\) (a)이다.

Lemma 02YH의 결과와 Schemes, Lemmas 01JY과 01K5에 의해, \(e\)가 닫힌 몰입이면(각각 준콤팩트이면) \(\Delta_{R/U \times_S U}\)는 닫힌 몰입이다(각각 준콤팩트이다). 그러므로 (1)과 (2) 모두에서 (c) \(\Rightarrow\) (a)이다.

유한 평탄 준군: 아핀인 경우

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)가 아핀이라고 가정하자. 이 경우 두 환 사상 \(s^\sharp, t^\sharp : A \longrightarrow B\)를 얻는다. \(C\)를 \(s^\sharp\)와 \(t^\sharp\)의 등화자라 하자. 식으로 쓰면 [03BF]\[\begin{equation} C = \{a \in A \mid t^\sharp(a) = s^\sharp(a) \}. \end{equation}\] 이를 때때로 \(U\) 위 \(R\)-불변함수의 환이라고 부르겠다. \(M = \Spec(C)\)는 어떤 성질을 갖는가? 첫 번째 관찰은 도식 \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d] \\ U \ar[r] & M }\] 이 가환한다는 것이다. 즉 사상 \(U \to M\)은 \(s, t\)를 등화한다. 또한 \(T\)가 임의의 아핀 스킴이고 \(U \to T\)가 \(s, t\)를 등화하는 사상이면 \(U \to T\)는 \(U \to M\)을 통해 분해된다. 다시 말해 \(U \to M\)은 아핀 스킴의 범주에서 쌍대등화자이다.

사상 \(U \to M\)이 스킴의 범주에서 실제로 “몫”이 됨을 보장하는 조건을 찾고자 한다. 이 문제는 다른 곳에서 자세히 논의하겠다(향후 참조를 여기에 삽입). 여기서는 몇 가지 특수한 경우만 다룬다. 구체적으로 \(s, t\)가 유한 국소 자유인 경우에 집중한다.

예

\(k\)를 체, \(U = \text{GL}_{2, k}\)라 하자. \(B \subset \text{GL}_2\)를 상삼각행렬들로 이루어진 닫힌 부분군 스킴이라 하자. 그러면 몫층 \(\text{GL}_{2, k}/B\)는(Zariski, étale 또는 fppf 위상에서, Definition 02VG를 보라) 사영직선으로 표현된다. 즉 \(\mathbf{P}^1 = \text{GL}_{2, k}/B\)이다 (세부사항은 생략한다). 반면 이 경우 불변함수의 환은 단지 \(k\)이다. 이 경우 사상 \(s, t : R = \text{GL}_{2, k} \times_k B \to \text{GL}_{2, k} = U\)는 상대차원 \(3\)인 매끄러운 사상이다.

Exercises, Exercises 02DU과 02DV에서 유한 국소 자유 가군과 유한 국소 자유 환 확대에 대한 행렬식과 노름을 정의했음을 상기하자. \(\varphi : A \to B\)가 유한 국소 자유 환 사상이면 \(b \in B\)의 노름 \(\text{Norm}_\varphi(b) \in A\)로 나타내겠다. 스킴의 유한 국소 자유 사상에 대한 노름은 Divisors, Lemma 0BD2에서 구성했다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)가 아핀이고 \(s, t : R \to U\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. \(C\)가 (03BF)와 같다고 하자. \(f \in A\)이면 \(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f)) \in C\)이다.

증명

Lemma 02YE의 가환도식 \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] 을 생각하자. \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)로 보자. 도식 위쪽의 가환성에 의해 \(\text{pr}_0^\sharp(t^\sharp(f)) = c^\sharp(t^\sharp(f))\)가 \(\Gamma(R \times_{S, U, t} R, \mathcal{O})\)의 원소로서 성립한다. 오른쪽 아래 Cartesian 사각형을 보면 노름 구성과 밑변환의 양립성에 의해 \(s^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = \text{Norm}_{\text{pr}_1^\sharp}(c^\sharp(t^\sharp(f)))\) 이다. 마찬가지로 \(t^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = \text{Norm}_{\text{pr}_1^\sharp}(\text{pr}_0^\sharp(t^\sharp(f)))\) 를 얻는다. 따라서 이 증명의 첫 번째 등식에 의해 원하는 대로 \(s^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = t^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f)))\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(s, t : R \to U\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. 그러면 \[U = \coprod\nolimits_{r \geq 1} U_r\] 은 \(R\)-불변 열린집합들의 서로소 합이며, \(U_r\)에 대한 \(R\)의 제한 \(R_r\)에서 \(s, t : R_r \to U_r\)는 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다.

증명

Morphisms, Lemma 04MH에 의해 분해 \(U = \coprod\nolimits_{r \geq 0} U_r\)가 존재하여 \(s : s^{-1}(U_r) \to U_r\)는 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다. \(s\)가 전사이므로 \(U_0 = \emptyset\)이다. \(u \in U_r \Leftrightarrow\)인 것은 스킴론적 섬유 \(s^{-1}(u)\)가 \(\kappa(u)\) 위에서 차수 \(r\)을 갖는 것과 필요충분이다. 이제 \(z \in R\)이고 \(s(z) = u\), \(t(z) = u'\)라고 하자. Lemma 02YE의 기호를 사용하면 \[\text{pr}_1^{-1}(z) \to \Spec(\kappa(z))\] 는 인용한 보조정리에 의해 \(s^{-1}(u) \to \Spec(\kappa(u))\)와 \(s^{-1}(u') \to \Spec(\kappa(u'))\) 모두의 밑변환이다. 따라서 \(u \in U_r \Leftrightarrow u' \in U_r\)이다. 다시 말해 열린 부분집합 \(U_r\)들은 \(R\)-불변이다. 특히 \(U_r\)에 대한 \(R\)의 제한은 단순히 \(s^{-1}(U_r)\)이고, \(s : R_r \to U_r\)는 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다. \(t : R_r \to U_r\)는 \(R_r\)의 역원에 의해 \(s\)와 동형이므로 역시 계수 \(r\)을 갖는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)가 아핀이고 \(s, t : R \to U\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. \(C \subset A\)가 (03BF)와 같다고 하자. 그러면 \(A\)는 \(C\) 위에서 정수적이다.

증명

먼저 Lemma 03BI에 의해 \((U, R, s, t, c)\)는 준군 스킴 \((U_r, R_r, s, t, c)\)들의 서로소 합이며, 각 \(s, t : R_r \to U_r\)는 상수 계수 \(r\)을 갖는다. \(U\)가 준콤팩트이므로 거의 모든 \(r\)에 대해 \(U_r = \emptyset\)이다. 각 \((U_r, R_r, s, t, c)\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하므로 \(s, t\)가 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이라고 가정해도 된다.

\(s, t\)가 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이라고 가정하자. \(f \in A\)라 하고 \(x - f \in A[x]\)를 생각하자. 여기서 \(x\)는 \(\mathbf{A}^1\) 위의 좌표로 본다. 다음도 유한한 시점과 종점 사상을 갖는 준군 스킴이므로 \[(U \times \mathbf{A}^1, R \times \mathbf{A}^1, s \times \text{id}_{\mathbf{A}^1}, t \times \text{id}_{\mathbf{A}^1}, c \times \text{id}_{\mathbf{A}^1})\] 여기에 Lemma 03BH을 적용하면 \(P(x) = \text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(x - f))\)가 \(C[x]\)의 원소임을 알 수 있다. \(s^\sharp : A \to B\)가 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이므로 \(P\)는 차수 \(r\)인 monic 다항식이다. 또한 Cayley–Hamilton 정리에 의해 \(P(f) = 0\)이다(Algebra, Lemma 00DX). 더 정확히 말해 Cayley–Hamilton 정리는 다항식 \(s^\sharp(P) \in B[x]\)가 원소 \(t^\sharp(f)\)를 영으로 만든다는 뜻이다. \(P\)의 계수들이 \(C\)에 속하므로 \(t^\sharp(P(f)) = 0\)가 \(B\)에서 성립한다. \(t\)가 충실 평탄이므로 \(P(f) = 0\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)가 아핀이고 \(s, t : R \to U\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. \(C \subset A\)가 (03BF)와 같다고 하자. \(C \to C'\)를 환 사상이라 하고 \(U' = \Spec(A \otimes_C C')\), \(R' = \Spec(B \otimes_C C')\)로 두자. 그러면

1. 사상 \(s, t, c\)는 \((U', R', s', t', c')\)가 준군 스킴이 되게 하는 사상 \(s', t', c'\)를 유도한다. \(C^1 \subset A'\)를 \(U'\) 위의 \(R'\)-불변함수들이라 하자.

2. 표준사상 \(\varphi : C' \to C^1\)는 다음을 만족한다.

   1. 모든 \(f \in C^1\)에 대해 \(n > 0\)과 다항식 \(P \in C'[x]\)가 존재하여 \(C^1[x]\)에서의 상이 \((x - f)^n\)이다.

   2. 모든 \(f \in \Ker(\varphi)\)에 대해 \(f^n = 0\)인 \(n > 0\)이 존재한다.

3. \(C \to C'\)가 평탄하면 \(\varphi\)는 동형사상이다.

증명

(1)의 증명은 생략한다. \(A' = A \otimes_C C'\), \(B' = B \otimes_C C'\)로 나타내자. 그러면 \[C^1 = \{a \in A' \mid (t')^\sharp(a) = (s')^\sharp(a) \} = \{a \in A \otimes_C C' \mid t^\sharp \otimes 1(a) = s^\sharp \otimes 1(a) \}.\] 이다. 다시 말해 \(C^1\)은 차 사상 \((t^\sharp - s^\sharp) \otimes 1\)의 핵이다. 이 사상은 \(C\)-선형 사상 \(t^\sharp - s^\sharp : A \to B\)를 \(C \to C'\)로 밑변환한 것에 불과하다. 따라서 (3)이 따른다.

(2)(b)의 증명. \(C \to A\)가 정수적이고(Lemma 03BJ) 단사이므로 \(\Spec(A) \to \Spec(C)\)는 전사이다. Algebra, Lemma 00GQ를 보라. 따라서 전사의 밑변환인 \(\Spec(A') \to \Spec(C')\)도 전사이다 (Morphisms, Lemma 01S1). 그러므로 \(\Spec(C^1) \to \Spec(C')\)도 전사이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00FL에 의해 이는 (2)(b)를 함의한다.

(2)(a)의 증명. Lemma 03BI에 의해 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)는 준군 스킴 \((U_r, R_r, s, t, c)\)들의 유한 서로소 합으로 분해되며, \(s, t : R_r \to U_r\)는 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다. \(U' = \Spec(C') \to U\)로 당기면 \(U'\)와 \(U^1 = \Spec(C^1)\)의 유사한 분해를 얻는다. 다음 문단에서 해당 환들의 계 \(A_r, B_r, C_r, C'_r, C^1_r\)에 대해 \(n = r\)로 (2)(a)가 성립함을 보이겠다. 이제 \(f \in C^1\)가 주어지면 \(P_r \in C_r[x]\)를 택하여 \(C^1_r[x]\)에서의 상이 \((x - f)^r\)의 상이 되게 하자. 충분히 나누어지는 정수 \(n\)을 택하면 \(C^1[x]\)에서의 상이 \((x - f)^n\)인 다항식 \(P \in C'[x]\)가 존재한다. 구체적으로 \(C'_r[x]\)에서의 상이 \(P_r^{n/r}\)인 \(C'[x]\)의 유일한 원소를 \(P\)로 택한다.

이 문단에서는 환 사상 \(s^\sharp, t^\sharp : A \to B\)가 고정된 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상일 때 (2)(a)를 증명한다. \(f \in C^1 \subset A' = A \otimes_C C'\)라 하자. 평탄 \(C\)-대수 \(D\)와 전사 \(D \to C'\)를 택하고, \(f\)의 올림 \(g \in A \otimes_C D\)를 택하자. \((A \otimes_C D)[x]\)의 다항식 \[P = \text{Norm}_{s^\sharp \otimes 1}(t^\sharp \otimes 1(x - g))\] 을 생각하자. Lemma 03BH과 이 보조정리의 (3)에 의해 \(P\)의 계수들은 \(D\)에 속한다 (Lemma 03BJ의 증명과 비교하라). 한편 \((A \otimes_C C')[x]\)에서 \(P\)의 상은 \(t^\sharp \otimes 1(x - f) = s^\sharp(x - f)\)이고 \(s^\sharp\)가 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이므로 \((x - f)^r\)이다. 따라서 명제 (2)(a)의 \(P\)로서 우리가 택한 \(P\)의 사상 \(D[x] \to C'[x]\) 아래의 상을 취하면 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)가 아핀이고 \(s, t : R \to U\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. \(C \subset A\)가 (03BF)와 같다고 하자. 그러면 \(U \to M = \Spec(C)\)는 다음 성질들을 갖는다.

1. 점 위의 사상 \(|U| \to |M|\)는 전사이고, \(u_0, u_1 \in |U|\)가 같은 점으로 가는 것은 \(t(r) = u_0\)이고 \(s(r) = u_1\)인 \(r \in |R|\)가 존재하는 것과 동치이다. 즉, \[|M| = |U|/|R|\] 이다.

2. 대수적으로 닫힌 임의의 체 \(k\)에 대해 \[M(k) = U(k)/R(k)\] 이다.

증명

\(C \to A\)가 정수적이고(Lemma 03BJ) 단사이므로 \(\Spec(A) \to \Spec(C)\)는 전사이다. Algebra, Lemma 00GQ를 보라. 따라서 \(|U| \to |M|\)는 전사이다.

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(C \to k\)를 환 사상이라 하자. 전사 사상은 밑변환으로 보존되므로 (Morphisms, Lemma 01S1) \(A \otimes_C k\)는 영환이 아니다. 이제 \(k \subset A \otimes_C k\)는 영이 아닌 정수적 확대이다. 따라서 \(A \otimes_C k\)의 임의의 잉여체는 \(k\)의 대수적 확대이고, 따라서 \(k\)와 같다. 그러므로 \(U(k) \to M(k)\)는 전사이다.

\(a_0, a_1 : A \to k\)를 두 환 사상이라 하자. \(a_0 = b \circ t^\sharp\)이고 \(a_1 = b \circ s^\sharp\)인 환 사상 \(b : B \to k\)가 존재하면 정의에 의해 \(a_0|_C = a_1|_C\)이다. 따라서 사상 \(U(k) \to M(k)\)는 두 사상 \(R(k) \to U(k)\)를 등화한다. 역으로 \(a_0|_C = a_1|_C\)라고 가정하고 이 대수 사상을 \(c : C \to k\)라 부르자. 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ & & B \ar@{-->}[lld] \\ k & & A \ar@<0.5ex>[ll]^{a_0} \ar@<-0.5ex>[ll]_{a_1} \ar@<1ex>[u] \ar@<-1ex>[u] \\ & & C \ar[u] \ar[llu]^c }\] 그림을 가환하게 하는 점선 화살표를 구성할 수 있으면 보조정리의 (2)의 증명이 끝난다. \(s : A \to B\)가 유한이므로 \(b_i \circ s^\sharp = a_1\)인 환 사상 \(b_1, \ldots, b_n : B \to k\)가 유한 개 존재한다. 점선 화살표가 존재하지 않는다면 \(a'_i = b_i \circ t^\sharp\), \(i = 1, \ldots, n\) 가운데 어느 것도 \(a_0\)와 같지 않다. 따라서 \(A \otimes_C k\)의 극대 아이디얼 \[\mathfrak m'_i = \Ker(a_i' \otimes 1 : A \otimes_C k \to k)\] 은 \(\mathfrak m = \Ker(a_0 \otimes 1 : A \otimes_C k \to k)\)와 서로 다르다. Algebra, Lemma 00DS에 의해 \(f \in \mathfrak m\)이지만 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(f \not \in \mathfrak m_i'\)인 원소 \(f \in A \otimes_C k\)를 얻는다. 노름 \[g = \text{Norm}_{s^\sharp \otimes 1}(t^\sharp \otimes 1(f)) \in A \otimes_C k\] 을 생각하자. Lemma 03BH에 의해 이는 사상 \(c : C \to k\)를 통한 밑변환 준군의 불변원 \(C^1 \subset A \otimes_C k\)에 속한다. 한편 \(a_1\) 위에 놓인 모든 점, 즉 \(b_1, \ldots, b_n\)에 대응하는 점에서 \(t^\sharp(f)\)의 값이 가역이므로 \(a_1(g) \in k^*\)이다 (행렬식의 성질에 관한 향후 참고문헌을 여기에 넣을 것). 다른 한편 \(f \in \mathfrak m\)이므로 \(f\)는 가역원이 아니고, 따라서 \(t^\sharp(f)\)도 가역원이 아니다(\(t^\sharp \otimes 1\)이 충실 평탄이기 때문이다). 그러므로 그 노름도 가역원이 아니다(행렬식의 성질에 관한 향후 참고문헌을 여기에 넣을 것). 따라서 \(C^1\)은 멱영원도 가역원도 아닌 원소를 포함한다. 이제 이것이 모순을 낳음을 보이겠다. 실제로 사상 \(c : C \to C' = k\)에 Lemma 03BK를 적용하면 \(k\)에서 불변원 \(C^1\)로 가는 사상이 단사이고, 더욱이 임의의 원소 \(x \in C^1\)에 대해 \(x^n \in k\)인 정수 \(n > 0\)이 존재함을 알 수 있다. 따라서 \(C^1\)의 모든 원소는 가역원이거나 멱영원이다.

이제 (1)의 증명을 마치면 된다. \(|U| \to |M|\)가 전사임은 이미 알고 있으며, \(|U| \to |M|\)가 \(|R|\)-불변임은 명백하다. 끝으로 \(u_0, u_1 \in U\)가 같은 점 \(m \in M\)으로 간다고 하자. 그러면 유도된 체 확대 \(\kappa(u_0)/\kappa(m)\)와 \(\kappa(u_1)/\kappa(m)\)는 대수적이다(위에서 사용했듯이 \(A\)가 \(C\) 위에 정수적이기 때문이다). 따라서 \(k\)가 \(\kappa(m)\)의 대수적 폐포이면 \(\kappa(m)\)-매장 \(\overline{u}_0 : \kappa(u_0) \to k\)와 \(\overline{u}_1 : \kappa(u_1) \to k\)를 찾을 수 있다. 이들은 \(M(k)\)의 같은 점으로 가는 \(k\)-값 점 \(\overline{u}_0, \overline{u}_1 \in U(k)\)를 정한다. (2)에 의해 \(s(\overline{r}) = \overline{u}_0\)이고 \(t(\overline{r}) = \overline{u}_1\)인 점 \(\overline{r} \in R(k)\)가 존재한다. \(\overline{r}\)의 상 \(r \in R\)은 원하는 대로 \(s(r) = u_0\)이고 \(t(r) = u_1\)인 점이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : (U', R', s', t') \to (U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴의 사상이라 하자.

1. \(U\), \(R\), \(U'\), \(R'\)는 아핀이고,

2. \(s, t, s', t'\)는 유한 국소 자유이며,

3. 도식 \[\xymatrix{ R' \ar[d]_{s'} \ar[r]_f & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ R' \ar[d]_{t'} \ar[r]_f & R \ar[d]^t \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ G' \ar[d] \ar[r]_f & G \ar[d] \\ U' \ar[r]^f & U }\] 은 카르테시안이다. 여기서 \(G\)와 \(G'\)는 안정자 군 스킴이다. 또한

4. \(f : U' \to U\)는 étale이다.

그러면 \(U\) 위의 \(R\)-불변함수에서 \(U'\) 위의 \(R'\)-불변함수로 가는 사상 \(C \to C'\)는 étale이고 \(U' = \Spec(C') \times_{\Spec(C)} U\)이다.

증명

\(M = \Spec(C)\), \(M' = \Spec(C')\)로 두자. \(U = \Spec(A)\), \(U' = \Spec(A')\), \(R = \Spec(B)\), \(R' = \Spec(B')\)로 쓰자. 이후에는 Lemmas 03BJ, 03BK, 03BL의 결과를 따로 언급하지 않고 사용하겠다.

\(C\)가 엄밀 헨젤 국소환이라고 가정하자. \(p \in M\)을 닫힌점이라 하고 \(p\)로 가는 \(p' \in M'\)를 택하자. 주장: 이 경우 \((U, R, s, t, c)\) 위에서 서로소 합 분해 \((U', R', s', t', c') = (U, R, s, t, c) \amalg (U'', R'', s'', t'', c'')\) 가 존재하며, 이에 대응하는 \(M\) 위의 서로소 합 분해 \(M' = M \amalg M''\)에서 점 \(p'\)는 \(p \in M\)에 대응한다.

이 주장은 보조정리를 함의한다. \(M_1 \to M\)을 아핀 스킴들의 평탄 사상이라 하자. 그러면 가정 (1) – (4)에 영향을 주지 않고 모든 것을 \(M_1\)로 밑변환할 수 있다. Lemma 03BK에 의해 \(M_1\), resp. \(M_1'\)는 각각 \(U_1\) 위의 \(R_1\)-불변함수, resp. \(U'_1\) 위의 \(R'_1\)-불변함수의 스펙트럼이다. \(p' \in M'\)가 \(p \in M\)으로 간다고 하자. \(M_1\)을 \(\mathcal{O}_{M, p}\)의 엄밀 헨젤화의 스펙트럼이라 하고 그 닫힌점을 \(p_1 \in M_1\)이라 하자. \(p_1\)과 \(p'\)로 가는 점 \(p'_1 \in M'_1\)을 택한다. 주장으로부터 \[(U'_1, R'_1, s'_1, t'_1, c'_1) = (U_1, R_1, s_1, t_1, c_1) \amalg (U''_1, R''_1, s''_1, t''_1, c''_1)\] 을 얻고, 이에 따라 \(M_1\) 위의 스킴으로서 \(M'_1 = M_1 \amalg M''_1\)이다. \(M_1 = \Spec(C_1)\)로 쓰고 \(C_1 = \colim C_i\)를 étale \(C\)-대수들의 여과 여극한으로 쓰자. \(M_i = \Spec(C_i)\)로 둔다. 그러면 \(M_1 = \lim M_i\)이고 다른 스킴들도 마찬가지이다. Limits, Lemmas 01Z4, 081E에 의해 다음을 만족하는 \(i\)를 찾을 수 있다. \[(U'_i, R'_i, s'_i, t'_i, c'_i) = (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i) \amalg (U''_i, R''_i, s''_i, t''_i, c''_i)\] 따라서 \(M'_i = M_i \amalg M''_i\)이다. 특히 étale 밑변환 뒤에 \(M' \to M\)은 \(p'\) 위의 한 점에서 étale이 된다. 이는 \(M' \to M\)이 \(p'\)에서 étale임을 뜻한다(예를 들어 Morphisms, Lemma 0476에 의한다). 주장을 증명한 뒤에 \(U' \cong M' \times_M U\)를 증명하겠다.

주장의 증명. \(U_p\)와 \(U'_{p'}\)는 유한 개의 점을 갖는다. \(u \in U_p\)에 대해 \(\kappa(u)/\kappa(p)\)는 대수적이므로 \(\kappa(u)\)는 분리적으로 닫혀 있다. \(U' \to U\)가 étale이므로 사상 \(U'_{p'} \to U_p\)는 잉여체 확대들 사이에 동형사상을 유도한다. \(u \in U_p\)로 가는 \(u' \in U'_{p'}\)를 택하자. 가정 (3)에 의해 스킴론적 올의 사상 \((s')^{-1}(u') \to s^{-1}(u)\), \((t')^{-1}(u') \to t^{-1}(u)\), \(G'_{u'} \to G_u\)는 동형사상이다. 집합론적으로 \(U_p = t(s^{-1}(u))\)임을 관찰하면 \(U'_{p'}\)의 점들이 \(U_p\)의 점들 위로 전사함을 알 수 있다. \(u'_1\)과 \(u'_2\)가 \(U'_{p'}\)의 점들이고 \(U_p\)의 같은 점 \(u\)로 간다고 하자. 그러면 \(s'(r') = u'_1\)이고 \(t'(r') = u'_2\)인 점 \(r' \in R'_{p'}\)가 존재한다. 두 체 탑 \[\kappa(r')/\kappa(u'_1)/\kappa(u)/\kappa(p) \quad \kappa(r')/\kappa(u'_2)/\kappa(u)/\kappa(p)\] 의 양끝은 다음 두 체 탑의 양끝과 같다. \[\kappa(r')/\kappa(u'_1)/\kappa(p')/\kappa(p) \quad \kappa(r')/\kappa(u'_2)/\kappa(p')/\kappa(p)\] \((U'_{p'}, R'_{p'}, s', t', c')\)가 \(p'\) 위의 준군이므로 후자의 두 탑은 같은 사상 \(\kappa(p') \to \kappa(r')\)를 유도한다. \(\kappa(u)/\kappa(p)\)가 순수 비분리이므로 두 유도 사상 \(\kappa(u) \to \kappa(r')\)도 같다. 따라서 \(r'\)는 올 \(G_u\)의 한 점으로 간다. 가정 (3)에 의해 \(r' \in (G')_{u'_1}\)이다. 실제로 \(G\)를 \(s\)를 통해 \(U\) 위의 스킴으로 본 \(R\)의 닫힌 부분스킴으로 생각할 수 있고, \(U'\)로 밑변환하면 \(G' \subset R'\)를 얻는다. 특히 \(u'_1 = u'_2\)이다. 따라서 \(U'_{p'} \to U_p\)는 점 위에서 전단사이고 잉여체 위에 동형사상을 유도한다. 그러므로 \(U'_{p'}\)는 유한 개의 닫힌점으로 이루어진 집합이고 (Algebra, Lemma 00GA), 따라서 \(U'_{p'}\)는 \(U'\)에서 닫혀 있다. \(J' \subset A'\)를 집합론적으로 \(U'_{p'}\)를 잘라 내는 근기 아이디얼이라 하자.

주장의 두 번째 부분의 증명. \(\mathfrak m \subset C\)를 극대 아이디얼이라 하자. More on Algebra, Lemma 09XK에 의해 \((A, \mathfrak m A)\)는 헨젤 쌍이다. \(J = \sqrt{\mathfrak m A}\)로 두자. 그러면 \((A, J)\)는 헨젤 쌍이고 (More on Algebra, Lemma 09XJ), 위의 논의에 의해 étale 환 사상 \(A \to A'\)는 동형사상 \(A/J \to A'/J'\)를 유도한다. 따라서 More on Algebra, Lemma 09XI에 의해 \(A' = A \times A''\)이다. 이에 대응하는 서로소 합 분해 \(U' = U \amalg U''\)를 생각하자. 열린집합 \((s')^{-1}(U)\)는 \(R'_{p'}\)의 한 점으로 특수화되는 \(R'\)의 점들의 집합이다. \((t')^{-1}(U)\)도 마찬가지이다. 또한 \((s')^{-1}(U'') = (t')^{-1}(U'')\)이다. 이는 이 집합이 \(R'_{p'}\)로 특수화되지 않는 점들의 집합이기 때문이다. 따라서 서로소 합 분해 \[(U', R', s', t', c') = (U, R, s, t, c) \amalg (U'', R'', s'', t'', c'')\] 를 얻는다. 이로부터 곧바로 \(M' = M \amalg M''\)를 얻으므로 주장의 증명이 끝난다.

이제 표준사상 \(U' \to M' \times_M U\)가 동형사상임을 증명해야 한다. 이는 étale 사상이다 (Morphisms, Lemma 02GW). 다른 한편 엄밀 헨젤 국소환으로 밑변환하고 (증명의 세 번째 문단에서처럼), 주장의 증명 중에 얻은 전단사 \(U'_{p'} \to U_p\)를 사용하면 \(U' \to M' \times_M U\)가 보편적으로 전단사임을 알 수 있다(일부 세부사항은 생략한다). 그러나 보편적으로 전단사인 étale 사상은 동형사상이다(Descent, Lemma 02LC). 따라서 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)는 아핀이고,

2. \(B = \bigoplus_{i \in I} s^\sharp(A)t^\sharp(x_i)\)를 만족하는 원소 \(x_i \in A\), \(i \in I\)가 존재한다.

그러면 \(A = \bigoplus_{i\in I} Cx_i\)이고 \(B \cong A \otimes_C A\)이다. 여기서 \(C \subset A\)는 (03BF)와 같이 \(U\) 위의 \(R\)-불변함수들이다.

증명

이 증명에서는 \(s^\sharp, t^\sharp\) 대신 \(s, t : A \to B\)로 쓰고, 마찬가지로 \(c : B \to B \otimes_{s, A, t} B\)로 쓰겠다. 또한 \(p_0 : B \to B \otimes_{s, A, t} B\), \(b \mapsto b \otimes 1\) 및 \(p_1 : B \to B \otimes_{s, A, t} B\), \(b \mapsto 1 \otimes b\)로 쓰자. Lemma 03C6과 \(C\)의 정의에 의해 다음 가환도식을 얻는다. \[\xymatrix{ B \otimes_{s, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-c \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t \\ B \ar[u]^{p_1} & A \ar@<-1ex>[l]_s \ar@<1ex>[l]^t \ar[u]_s & C \ar[u] \ar[l] }\] 더욱이 왼쪽의 두 정사각형은 환의 범주에서 코카르테시안이고, 윗줄은 도식 \[\xymatrix{ B \otimes_{t, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-{p_1} \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t }\] 과 동형이다. 조건 (2)에 의해 특히 \(s\)가 충실 평탄이고, 따라서 그와 동형인 화살표 \(t\)도 충실 평탄이므로 Descent, Lemma 023M에 의해 이는 등화자 도식이다. 아랫줄은 \(C\)의 정의에 의해 등화자 도식이다. \(x_i\)들을 사용하면 다음 가환도식을 얻는다. \[\xymatrix{ B \otimes_{s, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-c \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t \\ \bigoplus_{i \in I} B x_i \ar[u]^{p_1} & \bigoplus_{i \in I} A x_i \ar@<-1ex>[l]_s \ar@<1ex>[l]^t \ar[u]_s & \bigoplus_{i \in I} C x_i \ar[u] \ar[l] }\] 여기서 오른쪽 수직 화살표는 \(x_i\)를 \(x_i\)로 보내고, 가운데 수직 화살표는 \(x_i\)를 \(t(x_i)\)로 보내며, 왼쪽 수직 화살표는 \(x_i\)를 \(c(t(x_i)) = t(x_i) \otimes 1 = p_0(t(x_i))\)로 보낸다 (등식은 Lemma 02YE의 도식 윗부분이 가환인 데서 따른다). 그러면 이 도식은 가환이다. 더욱이 가정에 의해 가운데 수직 화살표는 동형사상이다. 왼쪽의 두 정사각형이 코카르테시안이므로 왼쪽 수직 화살표도 동형사상이다. 다른 한편 두 가로줄은 완전하다. 즉, 등화자이다. 따라서 오른쪽 수직 화살표도 동형사상이다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U = \Spec(A)\)와 \(R = \Spec(B)\)는 아핀이고,

2. \(s, t : R \to U\)는 유한 국소 자유이며,

3. \(j = (t, s)\)는 동치관계이다.

이 경우 \(C \subset A\)를 (03BF)와 같이 두자. 그러면 \(U \to M = \Spec(C)\)는 유한 국소 자유이고 \(R = U \times_M U\)이다. 더욱이 \(M\)은 fppf 위상에서 몫층 \(U/R\)을 표현한다 (Definition 02VG를 보라).

증명

이 증명에서는 표기 \(s^\sharp, t^\sharp\) 대신 \(s, t : A \to B\)를 사용한다. Lemma 03C5에 의해 \(C \to A\)가 유한 국소 자유이고 사상 \[t \otimes s : A \otimes_C A \longrightarrow B\] 가 동형사상임을 보이면 충분하다. 먼저 \(j\)는 단사사상이고, \(s\)와 \(t\)가 이미 유한이므로 유한이기도 하다. 따라서 Morphisms, Lemma 03BB에 의해 \(j\)는 닫힌 몰입이다. 그러므로 \(A \otimes_C A \to B\)는 전사이다.

Lemma 03BK에서처럼 평탄 환 사상 \(C \to C'\)로 밑변환할 것이며, 불변원을 취하는 것이 평탄 밑변환과 가환한다는 인용한 보조정리의 (3)을 사용하겠다. 아래에서 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset C\)에 대해 \(C_{\mathfrak p}'\)로 밑변환한 뒤 결과가 성립하도록 하는 국소 평탄 환 사상 \(C_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}'\)가 존재함을 보이겠다. 이는 곧바로 \(A \otimes_C A \to B\)가 단사임을 뜻한다(Algebra, Lemma 00HN을 사용하라). 또한 Algebra, Lemmas 00HR, 00HT, 00HJ를 결합하면 \(C \to A\)가 평탄임을 알 수 있다. 더욱이 \(U \to \Spec(C)\)가 전사이므로(Lemma 03BL) \(C \to A\)는 충실 평탄이다. 이제 동형사상 \(B \cong A \otimes_C A\)로부터 \(A\)가 유한 표시 \(C\)-가군임을 알 수 있다 (Algebra, Lemma 03C4). 따라서 \(A\)는 \(C\) 위에서 유한 국소 자유이다 (Algebra, Lemma 00NX).

Lemma 03BI에 의해 \(A\)는 환 \(A_r\)들의 유한 곱이고 \(B\)는 환 \(B_r\)들의 유한 곱이며, 준군 스킴도 이에 따라 분해된다(Lemma 03BJ의 증명을 보라). 그러면 \(C\)도 환 \(C_r\)들의 곱이고 \(C'\)도 이에 따라 곱으로 분해된다. 따라서 환 사상 \(s, t : A \to B\)가 고정된 계수 \(r\)인 유한 국소 자유라고 가정해도 되고, 그렇게 하겠다.

우리가 사용할 국소환 사상 \(C_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}'\)는 \(C_{\mathfrak p}'\)의 잉여체가 무한이 되게 하는 임의의 국소 평탄 환 사상이다. Algebra, Lemma 03C3에 의해 이러한 사상이 존재한다.

\(C\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)과 무한 잉여체를 갖는 국소환이고, \(s, t : A \to B\)가 일정 계수 \(r > 0\)인 유한 국소 자유라고 가정하자. \(C \subset A\)가 정수적이므로(Lemma 03BJ) \(\mathfrak m\) 위에 놓인 모든 소 아이디얼은 극대이고, \(A\)의 모든 극대 아이디얼은 \(\mathfrak m\) 위에 놓인다. \(C \subset B\)도 마찬가지이다. \(\mathfrak m\) 위에 놓인 \(A\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m'\)을 택하자 (Lemma 03BL에 의해 존재한다). \(t : A \to B\)가 유한 국소 자유이므로 \(\mathfrak m'\) 위에 놓인 \(B\)의 극대 아이디얼은 많아야 유한 개이다. 따라서 다시 Lemma 03BL에 의해 \(A\)는 유한 개의 극대 아이디얼을 갖는다. 즉, \(A\)는 반국소이다. 이에 따라 \(B\)도 반국소이다. 이제 \(t \otimes s : A \otimes_C A \to B\)가 전사이므로 환 사상 \(C \to A\), \(A\)-가군 \(M = B\)(\(t\)를 통해 \(A\)-가군으로 본다), 그리고 \(C\)-부분가군 \(s(A) \subset B\)에 Algebra, Lemma 03C1을 적용할 수 있다. 이 보조정리에 의해 \(s(x_1), \ldots, s(x_r)\)를 기저로 하여 \(M\)이 \(A\) 위에서 자유가 되는 \(x_1, \ldots, x_r \in A\)가 존재한다. 따라서 Lemma 03C8를 적용하면 \(C \to A\)는 유한 자유이고 \(B \cong A \otimes_C A\)이다.

유한 평탄 준군

이 절에서는 각 동치류가 하나의 아핀 열린집합에 포함될 때 스킴을 유한 평탄 동치관계로 나눈 몫이 스킴임을 보이는 데 쓰일 보조정리를 증명한다. Properties of Spaces, Proposition 07S6을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(s\), \(t\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. \(t(s^{-1}(\{u\}))\)가 \(U\)의 한 아핀 열린집합에 포함되는 점 \(u \in U\)를 택하자. 그러면 \(U\)에서 \(u\)의 \(R\)-불변 아핀 열린 근방이 존재한다.

증명

\(s\)는 유한 국소 자유이므로 유한 올을 갖는다. 따라서 \(t(s^{-1}(\{u\})) = \{u_1, \ldots, u_n\}\)은 유한집합이다. \(u \in \{u_1, \ldots, u_n\}\)임에 유의하자. \(\{u_1, \ldots, u_n\}\)을 포함하는 아핀 열린집합 \(W \subset U\)를 택하자. 특히 \(u \in W\)이다. \(Z = R \setminus s^{-1}(W) \cap t^{-1}(W)\)를 생각하자. 이는 \(R\)의 닫힌 부분집합이다. 상 \(t(Z)\)는 \(U\)의 닫힌 부분집합이며, 대략 말하면 \(U \setminus W\)의 한 점과 \(R\)-동치인 \(U\)의 점들의 집합이다. 따라서 \(W' = U \setminus t(Z)\)는 \(W\)에 포함되는 \(U\)의 \(R\)-불변 열린 부분스킴이고 \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset W'\)이다. 그림으로 쓰면 \[\{u_1, \ldots, u_n\} \subset W' \subset W \subset U.\] 이다. \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset D(f) \subset W'\)를 만족하는 원소 \(f \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)를 택하자. 이러한 \(f\)는 Algebra, Lemma 00DS에 의해 존재한다. \(W'\)의 선택에 의해 \(s^{-1}(W') \subset t^{-1}(W)\)이므로 다음 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ s^{-1}(W') \ar[d]_s \ar[r]_-t & W \\ W' }\] 가정에 의해 수직 화살표는 유한 국소 자유이다. 다음과 같이 두자. \[g = \text{Norm}_s(t^\sharp f) \in \Gamma(W', \mathcal{O}_{W'})\] 구성에 의해 \(g\)는 \(W'\) 위의 함수이고 \(u\)에서 영이 아니다. 실제로 \(f\)가 \(u_1, \ldots, u_n\)에서 영이 아니므로 \(u\) 위에 놓인 \(R\)의 각 점에서 \(t^\sharp(f)\)는 영이 아니다. 마찬가지로 \(D(g) \subset W'\)는 \(w\)와 동치인 어느 점에서도 \(f\)가 영이 아닌 점 \(w\)들의 집합과 같다. 이는 \(D(g)\)가 \(W'\)의 \(R\)-불변 아핀 열린집합임을 뜻한다. 마지막 그림은 \[\{u_1, \ldots, u_n\} \subset D(g) \subset D(f) \subset W' \subset W \subset U\] 이고, 따라서 결론을 얻는다.

준사영 스킴의 내림

Lemma 03JE를 사용하여 특정 유형의 내림 데이터가 유효함을 보일 수 있다.

보조정리

\(X \to Y\)를 전사 유한 국소 자유 사상이라 하자. \(d\)를 양의 정수라 하자. 모든 기하학적 점 \(\bar{y} : \mathrm{Spec}(k) \to Y\)에 대해 올 \(X_{\bar{y}}\)가 많아야 \(d\)개의 점을 갖는다고 가정하자. \(V\)를 \(X\) 위의 스킴이라 하되, 모든 \((y, v_1, \ldots, v_d)\)에 대해, 여기서 \(y \in Y\)이고 \(v_1, \ldots, v_d \in V_y\)이며, \(v_1, \ldots, v_d \in U\)인 아핀 열린집합 \(U \subset V\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(V/X/Y\) 위의 임의의 내림 데이터는 유효하다.

증명

\(\varphi\)를 Descent, Definition 023V과 같은 내림 데이터라 하자. \(Y\) 위의 스킴에서 덮개 \(\{X \to Y\}\)에 대한 내림 데이터로 가는 함자가 충실충만임을 상기하자. Descent, Lemma 02W0를 보라. 따라서 Constructions, Lemma 01LH를 사용하면 \(Y\)가 아핀인 경우에 보조정리를 증명하는 것으로 충분하다. 일부 세부사항은 생략한다. \(Y\)가 분리이거나 아핀 대각선을 가지면 아핀 스킴에서 \(X\)로 가는 모든 사상이 아핀이므로 이 논증을 피할 수 있다.

\(Y\)가 아핀이라고 가정하자. \(V\)도 아핀이면 Descent, Lemma 0245에 의해 유효성을 얻는다. 따라서 Descent, Lemma 0AP4에 의해 \(V\)의 모든 점 \(v\)가 \(\varphi\)-불변 아핀 열린 근방을 가짐을 증명하면 충분하다. 준군 \((X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\)를 생각하자. Lemma 0APF에 의해 내림 데이터 \(\varphi\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 준군 스킴의 카르테시안 사상 \[(V, R, s, t, c) \longrightarrow (X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] 을 결정하며, 또한 그 사상에 의해 결정된다. \(X \to Y\)가 유한 국소 자유이므로 \(\text{pr}_i : X \times_Y X \to X\), 따라서 \(s\)와 \(t\)는 유한 국소 자유이고 그 기하학적 올들은 많아야 \(d\)개의 점을 갖는다. 특히 점 \(v \in V\)의 \(R\)-궤도 \(t(s^{-1}(\{v\}))\)는 많아야 \(d\)개의 점을 갖는다. Lemma 0APF의 범주 동치를 다시 사용하면 \(V\)의 \(\varphi\)-불변 열린집합은 \(V\)의 \(R\)-불변 열린집합과 같은 것임을 알 수 있다. 이 궤도의 모든 점이 \(Y\)의 같은 점으로 가므로 가정에 의해 궤도 \(t(s^{-1}(\{v\}))\)를 포함하는 \(V\)의 아핀 열린집합이 존재한다. 따라서 Lemma 03JE는 \(v\)를 포함하는 \(R\)-불변 아핀 열린집합을 준다.

보조정리

\(X \to Y\)를 전사 유한 국소 자유 사상이라 하자. \(V\)를 \(X\) 위의 스킴이라 하되, 모든 \((y, v_1, \ldots, v_d)\)에 대해, 여기서 \(y \in Y\)이고 \(v_1, \ldots, v_d \in V_y\)이며, \(v_1, \ldots, v_d \in U\)인 아핀 열린집합 \(U \subset V\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(V/X/Y\) 위의 임의의 내림 데이터는 유효하다.

증명

Lemma 0H8K의 증명에서처럼 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 특히 준콤팩트이다. 따라서 \(X \to Y\)의 모든 기하학적 올이 많아야 \(d\)개의 점을 갖게 하는 정수 \(d\)가 존재한다. Morphisms, Section 03J3의 논의를 보라. \(V\)에 대한 가정은 Lemma 0H8K를 적용할 수 있음을 자명하게 함의하므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(X \to Y\)를 전사 유한 국소 자유 사상이라 하자. \(V\)를 \(X\) 위의 스킴이라 하고 다음 가운데 하나가 성립한다고 하자.

1. \(V \to X\)는 사영이고,

2. \(V \to X\)는 준사영이며,

3. \(V\) 위에 풍부한 가역층이 존재하거나,

4. \(V\) 위에 \(X\)-풍부한 가역층이 존재하거나,

5. \(V\) 위에 \(X\)-매우 풍부한 가역층이 존재한다.

그러면 \(V/X/Y\) 위의 임의의 내림 데이터는 유효하다.

증명

Lemma 0CCI의 조건을 확인하자. \(y \in Y\)라 하고 \(v_1, \ldots, v_d \in V\)를 \(y\) 위의 점들이라 하자. (1)은 (2)의 특수한 경우이다. Morphisms, Lemma 07RL를 보라. (2)는 (4)의 특수한 경우이다. Morphisms, Definition 01VW를 보라. \(V\) 위에 풍부한 가역층이 존재하면 Properties, Lemma 01ZY에 의해 \(v_1, \ldots, v_d\)를 포함하는 아핀 열린집합이 존재한다. 따라서 (3)이 성립한다. (4)와 (5)의 경우에는 \(Y\)를 \(y\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어도 무방하다. 그러면 \(X\)도 아핀이다. (4)의 경우 Morphisms, Definition 01VH에 의해 \(V\)는 풍부한 가역층을 가지므로 결과는 (3)에서 따른다. (5)의 경우 \(V\)를 \(v_1, \ldots, v_d\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합으로 바꾸고 Morphisms, Lemma 01VN에 의해 (4)로 귀착한다.

보조정리

\(X \to Y\)를 근기적인 전사 유한 국소 자유 사상이라 하자. \(V\)를 \(X\) 위의 스킴이라 하자. 그러면 \(V/X/Y\) 위의 임의의 내림 데이터는 유효하다.

증명

\(d = 1\)로 Lemma 0H8K를 적용하라.