서론
\(X\)와 \(Y\)를 스킴이라 하자. 이 장에서는 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)와 스킴의 사상 \(X \to Y\) 사이의 관계를 중심으로 논의한다. 더 넓게 말하면 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)와 \(X\) 사이의 관계를 연구하며, \(X\)가 뇌터 스킴이면 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)와 \(X\) 사이의 관계를 연구한다. 이 관계는 [Gabriel]에서 연구되었다.
가군 범주 위의 함자
환 \(A\)에 대하여 \(\text{Mod}^{fp}_A\)로 유한 표시 \(A\)-가군의 범주를 나타내자.
보조정리
\(A\)를 환이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 여과 여극한을 갖는 범주라 하자. \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\)를 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 여과 여극한과 가환하는 함자 \(F' : \text{Mod}_A \to \mathcal{B}\)로 유일하게 확장된다.
증명
이는 범주의 보조정리 0FWY에서 따른다. 이 보조정리를 적용할 수 있음을 보이기 위해, 유한 표시 \(A\)-가군은 대수학의 보조정리 0G8P에 의하여 \(\text{Mod}_A\)의 범주론적 콤팩트 대상임을 관찰하라. 또한 모든 \(A\)-가군은 대수학의 보조정리 00HA에 의하여 유한 표시 \(A\)-가군들의 여과 여극한이다.
범주 \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 여과 여극한을 가지면 \(\mathcal{B}\)는 임의의 직합을 갖는다. 실제로 모든 직합은 유한 직합들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다.
보조정리
\(A\), \(\mathcal{B}\), \(F\)가 보조정리 0GNJ에서와 같다고 하자. \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 \(F\)가 가법적이라고 가정하자. 그러면 \(F'\)는 가법적이고 임의의 직합과 가환한다.
증명
\(F'\)가 가법적임을 보이려면 \(F'(M) \oplus F'(M') \to F'(M \oplus M')\)가 임의의 \(A\)-가군 \(M\), \(M'\)에 대하여 동형사상임을 보이면 충분하다. 호몰로지의 보조정리 0DLP를 보라. \(M = \colim_i M_i\)와 \(M' = \colim_j M'_j\)를 유한 표시 \(A\)-가군 \(M_i\)들의 여과 여극한으로 쓰자. 그러면 \(F'(M) = \colim_i F(M_i)\), \(F'(M') = \colim_j F(M'_j)\)이고, \[\begin{align*} F'(M \oplus M') & = F'(\colim_{i, j} M_i \oplus M'_j) \\ & = \colim_{i, j} F(M_i \oplus M'_j) \\ & = \colim_{i, j} F(M_i) \oplus F(M'_j) \\ & = F'(M) \oplus F'(M') \end{align*}\] 이므로 원하는 바를 얻는다. \(F'\)가 직합과 가환함을 보이기 위해 \(M = \bigoplus_{i \in I} M_i\)라고 가정하자. 그러면 \(M = \colim_{I' \subset I\text{ finite}} \bigoplus_{i \in I'} M_i\)는 여과 여극한이다. 따라서 \[\begin{align*} F'(M) & = \colim_{I' \subset I\text{ finite}} F'(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} M_i) \\ & = \colim_{I' \subset I\text{ finite}} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} F'(M_i) \\ & = \bigoplus\nolimits_{i \in I} F'(M_i) \end{align*}\] 이다. 두 번째 등식은 이미 보인 \(F'\)의 가법성에서 따른다.
범주 \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 여과 여극한과 여핵을 가지면 \(\mathcal{B}\)는 임의의 여극한을 갖는다. 위의 논의와 범주의 보조정리 002P를 보라.
보조정리
\(A\), \(\mathcal{B}\), \(F\)가 보조정리 0GNJ에서와 같다고 하자. \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 여핵을 가지며 \(F\)가 우완전이라고 가정하자. 그러면 \(F'\)는 가법적이고 우완전이며 임의의 직합과 가환한다.
증명
\(F\)가 우완전이므로 \(F\)는 쌍의 쌍대곱과 가환하며, 이 쌍대곱은 직합으로 표현된다. 따라서 호몰로지의 보조정리 0DLP에 의하여 \(F\)는 가법적이다. 그러므로 \(F'\)는 보조정리 0GNK에 의하여 가법적이고 직합과 가환한다. 아래의 증명을 읽기보다 먼저 \(F'\)가 우완전임을 독자가 직접 증명해 보기를 권한다.
\(F'\)가 우완전임을 보이려면 \(F'\)가 쌍대등화자와 가환함을 보이면 충분하다. 범주의 보조정리 0GMN을 보라. 이제 \(a, b : K \to L\)이 \(A\)-가군의 사상이면 \(a\)와 \(b\)의 쌍대등화자는 \(a - b : K \to L\)의 여핵이다. 따라서 \(K \to L \to M \to 0\)을 \(A\)-가군의 완전열이라 하자. 우리는 \[F'(K) \to F'(L) \to F'(M) \to 0\] 에서 두 번째 화살표가 첫 번째 화살표의 \(\mathcal{B}\)에서의 여핵임을 보여야 한다(\(\mathcal{B}\)가 아벨 범주이면 표시한 열이 완전하다고 말할 것이다). \(M = \colim_{i \in I} M_i\)를 유한 표시 \(A\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰자. 대수학의 보조정리 00HA를 보라. \(L_i = L \times_M M_i\)로 놓자. 완전열 \(K \to L_i \to M_i \to 0\)의 \(I\) 위의 계를 얻는다. 범주의 보조정리 002M에 의하여 여극한끼리는 가환하고 여핵은 쌍대등화자의 한 종류이므로, \(F'(L_i) \to F(M_i)\)가 \(F'(K) \to F'(L_i)\)의 \(\mathcal{B}\)에서의 여핵임을 모든 \(i \in I\)에 대하여 보이면 충분하다. 다시 말해 \(M\)이 유한 표시라고 가정해도 된다. \(L = \colim_{i \in I} L_i\)를 유한 표시 \(A\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰되 각 \(L_i\)가 \(M\) 위로 전사하게 하자. \(K_i = K \times_L L_i\)로 놓자. 짧은 완전열 \(K_i \to L_i \to M \to 0\)의 \(I\) 위의 계를 얻는다. 앞의 논증을 되풀이하면 \(F(L_i) \to F(M_i)\)가 \(F'(K) \to F(L_i)\)의 \(\mathcal{B}\)에서의 여핵임을 모든 \(i \in I\)에 대하여 보이는 문제로 환원된다. 다시 말해 \(L\)과 \(M\)이 모두 유한 표시 \(A\)-가군이라고 가정해도 된다. 이 경우 가군 \(\Ker(L \to M)\)은 유한이다(대수학의 보조정리 0519). 따라서 \(K = \colim_{i \in I} K_i\)를 유한 표시 \(A\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰되 각 가군이 \(\Ker(L \to M)\) 위로 전사하게 할 수 있다. 짧은 완전열 \(K_i \to L \to M \to 0\)의 \(I\) 위의 계를 얻는다. 앞의 논증을 되풀이하면 \(F(L) \to F(M)\)이 \(F(K_i) \to F(L)\)의 \(\mathcal{B}\)에서의 여핵임을 모든 \(i \in I\)에 대하여 보이는 문제로 환원된다. 다시 말해 \(K\), \(L\), \(M\)이 유한 표시 \(A\)-가군이라고 가정해도 된다. 마지막 경우는 \(F\)가 우완전이라는 가정에서 따른다.
범주 \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 핵을 가지면 \(\mathcal{B}\)는 유한 극한을 갖는다. 실제로 유한 곱은 존재하는 직합이고, \(a, b : L \to M\)의 등화자는 존재하는 \(a - b : K \to L\)의 핵이다. 따라서 범주의 보조정리 002O에 의하여 모든 유한 극한이 존재한다.
보조정리
\(A\), \(\mathcal{B}\), \(F\)가 보조정리 0GNJ에서와 같다고 하자. \(A\)가 정합환(대수학의 정의 05CV)이고, \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 핵을 가지며, 여과 여극한이 핵을 취하는 것과 가환하고, \(F\)가 좌완전이라고 가정하자. 그러면 \(F'\)는 가법적이고 좌완전이며 임의의 직합과 가환한다.
증명
\(A\)가 정합환이므로 범주 \(\text{Mod}^{fp}_A\)는 아벨 범주이며 \(\text{Mod}_A\)에서와 같은 핵과 여핵을 갖는다. 대수학의 보조정리 05CX과 05CW를 보라. 따라서 \(\text{Mod}^{fp}_A\)에는 모든 유한 극한이 존재하고 범주의 정의 0034을 적용할 수 있다. \(F\)가 좌완전이므로 \(F\)는 쌍의 곱과 가환하며, 이 곱은 직합으로 표현된다. 따라서 호몰로지의 보조정리 0DLP에 의하여 \(F\)는 가법적이다. 그러므로 보조정리 0GNK에 의하여 \(F'\)는 가법적이고 직합과 가환한다. 아래의 증명을 읽기보다 먼저 \(F'\)가 좌완전임을 독자가 직접 증명해 보기를 권한다.
\(F'\)가 좌완전임을 보이려면 \(F'\)가 등화자와 가환함을 보이면 충분하다. 범주의 보조정리 0035을 보라. 이제 \(a, b : L \to M\)이 \(A\)-가군의 사상이면 \(a\)와 \(b\)의 등화자는 \(a - b : L \to M\)의 핵이다. 따라서 \(0 \to K \to L \to M\)을 \(A\)-가군의 완전열이라 하자. 우리는 \[0 \to F'(K) \to F'(L) \to F'(M)\] 에서 화살표 \(F'(K) \to F'(L)\)이 \(F'(L) \to F'(M)\)의 \(\mathcal{B}\)에서의 핵임을 보여야 한다(\(\mathcal{B}\)가 아벨 범주이면 표시한 열이 완전하다고 말할 것이다). \(M = \colim_{i \in I} M_i\)를 유한 표시 \(A\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰자. 대수학의 보조정리 00HA를 보라. \(L_i = L \times_M M_i\)로 놓자. 완전열 \(0 \to K \to L_i \to M_i\)의 \(I\) 위의 계를 얻는다. 가정에 의하여 \(\mathcal{B}\)에서 여과 여극한은 핵을 취하는 것과 가환하므로, \(F'(K) \to F'(L_i)\)가 \(F'(L_i) \to F(M_i)\)의 \(\mathcal{B}\)에서의 핵임을 모든 \(i \in I\)에 대하여 보이면 충분하다. 다시 말해 \(M\)이 유한 표시라고 가정해도 된다. \(L = \colim_{i \in I} L_i\)를 유한 표시 \(A\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰자. \(K_i = K \times_L L_i\)로 놓자. 짧은 완전열 \(0 \to K_i \to L_i \to M\)의 \(I\) 위의 계를 얻는다. 앞의 논증을 되풀이하면 \(F'(K_i) \to F(L_i)\)가 \(F(L_i) \to F(M)\)의 \(\mathcal{B}\)에서의 핵임을 모든 \(i \in I\)에 대하여 보이는 문제로 환원된다. 다시 말해 \(L\)과 \(M\)이 모두 유한 표시 \(A\)-가군이라고 가정해도 된다. \(A\)가 정합환이므로 \(A\)-가군 \(K = \Ker(L \to M)\)은 유한 표시이다. 실제로 유한 표시 \(A\)-가군의 범주는 아벨 범주이다(위에 제시한 참고문헌을 보라). 다시 말해 세 가군 \(K\), \(L\), \(M\)이 모두 유한 표시 \(A\)-가군이다. 마지막 경우는 \(F\)가 좌완전이라는 가정에서 따른다.
범주 \(\mathcal{B}\)가 가법적이고 여핵을 가지면 \(\mathcal{B}\)는 유한 여극한을 갖는다. 실제로 유한 쌍대곱은 존재하는 직합이고, \(a, b : K \to L\)의 쌍대등화자는 존재하는 \(a - b : K \to L\)의 여핵이다. 따라서 범주의 보조정리 002Q에 의하여 모든 유한 여극한이 존재한다.
보조정리
\(A\)를 환이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 여핵을 갖는 가법 범주라 하자. 다음 두 범주는 동치이다.
우완전 함자 \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\)의 범주,
쌍 \((K, \kappa)\)의 범주. 여기서 \(K \in \Ob(\mathcal{B})\)이고 \(\kappa : A \to \text{End}_\mathcal{B}(K)\)는 환 준동형이다.
이 동치는 \(F\)를 \(F(A)\)와 그 자연스러운 \(A\)-작용으로 보내는 규칙으로 주어진다.
증명
\((K, \kappa)\)가 (2)에서와 같다고 하자. 함자 \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\)로서 \(F(A) = K\)이고 주어진 \(A\)-작용 \(\kappa\)를 갖는 것을 구성하겠다. 구체적으로 정수 \(n \geq 0\)에 대하여 \[F(A^{\oplus n}) = K^{\oplus n}\] 으로 놓는다. \(A\)-선형 사상 \(\varphi : A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\)이 행렬 \((a_{ij}) \in \text{Mat}(n \times m, A)\)을 갖는다고 하자. 다음을 정의한다. \[F(\varphi) : F(A^{\oplus m}) = K^{\oplus m} \longrightarrow K^{\oplus n} = F(A^{\oplus n})\] 이는 행렬 \((\kappa(a_{ij}))\)로 주어지는 사상이다. 이로써 함자 \(F\)를 \(\text{Mod}^{fp}_A\)에서 대상이 \(0\), \(A\), \(A^{\oplus 2}\), \(\ldots\)인 충만 부분범주로 제한한 것에서 \(\mathcal{B}\)로 가는 가법 함자를 정의한다. 검증은 생략한다.
\(M\)이 \(\text{Mod}^{fp}_A\)의 대상일 때마다 표시 \[A^{\oplus m_M} \xrightarrow{\varphi_M} A^{\oplus n_M} \to M \to 0\] 를 \(M\)의 \(A\)-가군으로서의 표시로 하나씩 택한다. 자명한 표시 \(0 \to A^{\oplus n} \xrightarrow{1} A^{\oplus n} \to 0\)을 \(M = A^{\oplus n}\)일 때 사용하자 (필수는 아니지만 서술이 간단해진다). 각 사상 \(f : M \to N\)이 \(\text{Mod}^{fp}_A\)의 사상일 때 가환 그림 [0GNP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_{\psi_f} & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_{\chi_f} & M \ar[r] \ar[d]_f & 0 \\ A^{\oplus m_N} \ar[r]^{\varphi_N} & A^{\oplus n_N} \ar[r] & N \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 을 하나 택할 수 있다. 이러한 선택을 한 뒤 다음과 같이 정의한다. \(M\)이 \(\text{Mod}^{fp}_A\)의 대상이면 \[F(M) = \Coker(F(\varphi_M) : F(A^{\oplus m_M}) \to F(A^{\oplus n_M}))\] 로 놓고, \(f : M \to N\)이 \(\text{Mod}^{fp}_A\)의 사상이면 \[F(f) = \text{여핵 위의 }F(M) \to F(N)\text{인 사상으로서 } F(\psi_f)\text{와 }F(\chi_f)\text{가 유도하는 것}\] 으로 놓는다. 이 규칙은 주어진 함자 \(F\)를 자유 가군 \(A^{\oplus n}\)들로 이루어진 충만 부분범주로부터 확장함에 유의하라. 이제 \(F\)가 함자이고, \(F\)가 가법적이며, \(F\)가 우완전임을 보여야 한다.
\(f : M \to N\)을 \(\text{Mod}^{fp}_A\)의 사상이라 하자. 위에서 정의한 사상 \(F(f)\)가 (0GNP)의 \(\psi_f\)와 \(\chi_f\)의 선택에 무관하다고 주장한다. 실제로 \[\xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_\psi & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_\chi & M \ar[r] \ar[d]_f & 0 \\ A^{\oplus m_N} \ar[r]^{\varphi_N} & A^{\oplus n_N} \ar[r] & N \ar[r] & 0 }\] 도 가환한다고 하자. 사상 \(F(f)' : F(M) \to F(N)\)을 \(F(\psi)\)와 \(F(\chi)\)가 유도하는 사상으로 나타내자. 가환 그림들을 살펴보면 초등 가환대수에 의하여 사상 \(\omega : A^{\oplus n_M} \to A^{\oplus m_N}\)이 존재하여 \(\chi = \chi_f + \varphi_N \circ \omega\)이다. \(F\)를 적용하면 \(F(\chi) = F(\chi_f) + F(\varphi_N) \circ F(\omega)\)를 얻는다. \(F(N)\)은 \(F(\varphi_N)\)의 여핵이므로 \(F(A^{\oplus n_M}) \to F(M)\)은 \(F(f)\)와 \(F(f)'\)을 같게 한다. 여핵은 전사사상이므로 \(F(f) = F(f)'\)이라고 결론 내린다.
\(F\)가 함자임을 증명하자. 먼저 \(F(\text{id}_M) = \text{id}_{F(M)}\)임을 관찰하라. 실제로 위 그림의 \(\psi_f\)와 \(\chi_f\)를 \(f = \text{id}_M\)인 경우 항등사상으로 택할 수 있다. 다음으로 \(f : M \to N\)과 \(g : L \to M\)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(\psi = \psi_f \circ \psi_g\)와 \(\chi = \chi_f \circ \chi_g\)는 \(f \circ g\)에 대한 (0GNP)에 들어맞는다. 따라서 이들이 유도하는 사상이 올바른 사상이고, 이는 정확히 \(F(f) \circ F(g) = F(f \circ g)\)라는 뜻이다.
\(F\)가 가법적임을 증명하자. \(f, g : M \to N\)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(\psi = \psi_f + \psi_g\)와 \(\chi = \chi_f + \chi_g\)는 \(f + g\)에 대한 (0GNP)에 들어맞는다. 따라서 이들이 유도하는 사상이 올바른 사상이고, 이는 정확히 \(F(f) + F(g) = F(f + g)\)라는 뜻이다.
마지막으로 \(F\)가 우완전임을 증명하자. \(F\)가 쌍대등화자와 가환함을 보이면 충분하다. 범주의 보조정리 0GMN을 보라. 이를 위해서는 \(F\)가 여핵과 가환함을 증명하면 충분하다. \(K \to L \to M \to 0\)을 \(A\)-가군의 완전열이라 하고 \(K\), \(L\), \(M\)이 유한 표시라고 하자. \(F\)가 가법 함자이므로 이는 분명히 복합체 \[F(K) \to F(L) \to F(M) \to 0\] 를 주며, 우리는 두 번째 화살표가 \(\mathcal{B}\)에서 첫 번째 화살표의 여핵임을 보여야 한다. 어쨌든 사상 \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\)을 얻는다. 초등 가환대수에 의하여 가환 그림 \[\xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_\psi & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_\chi & M \ar[r] \ar[d]_1 & 0 \\ K \ar[r] & L \ar[r] & M \ar[r] & 0 }\] 이 존재한다. 이 그림에 \(F\)를 적용하고 \(F(M)\)을 \(F(\varphi_M)\)의 여핵으로 구성한 사실을 쓰면, 사상 \(F(M) \to \Coker(F(K) \to F(L))\)이 존재하여 \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\)의 오른쪽 역임을 알 수 있다. 이는 우선 \(F(L) \to F(M)\)이 언제나 전사사상임을 뜻한다. 다음으로 위의 사실에서 \[\Coker(F(K) \to F(L)) = F(M) \oplus E\] 를 얻으며, 이 직합 분해는 \(F(M) \to \Coker(F(K) \to F(L))\) 및 \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\)과 양립한다. 그러나 그러면 전사사상 \(p : F(L) \to E\)는 \(F(K) \to F(L)\)과 합성한 뒤에도, \(F(A^{n_M}) \to F(L)\)과 합성한 뒤에도 영이 된다. 한편 \(K \oplus A^{n_M} \to L\)은 전사이므로(대수적 논증은 생략한다), 위의 사실에 의하여 \(F(K \oplus A^{n_M}) \to F(L)\)은 전사이다. 따라서 \(E = 0\)이다. 이로써 증명이 끝난다.
보조정리
\(A\)를 환이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 임의의 직합과 여핵을 갖는 가법 범주라 하자. 다음 두 범주는 동치이다.
우완전이고 임의의 직합과 가환하는 함자 \(F : \text{Mod}_A \to \mathcal{B}\)의 범주,
쌍 \((K, \kappa)\)의 범주. 여기서 \(K \in \Ob(\mathcal{B})\)이고 \(\kappa : A \to \text{End}_\mathcal{B}(K)\)는 환 준동형이다.
이 동치는 \(F\)를 \(F(A)\)와 그 자연스러운 \(A\)-작용으로 보내는 규칙으로 주어진다.
증명
가군 범주 사이의 함자
다음 보조정리는 이 장의 결과들을 대표하는 전형적인 예이다.
보조정리
\(A\)와 \(B\)를 환이라 하자. \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)를 함자라 하자. 다음은 서로 동치이다.
\(F\)는 함자 \(M \mapsto M \otimes_A K\)와 동형이다. 여기서 어떤 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-가군 \(K\)를 사용한다.
\(F\)는 우완전이고 모든 직합과 가환한다.
\(F\)는 모든 여극한과 가환한다.
\(F\)는 오른쪽 수반 \(G\)를 갖는다.
증명
(1)이면 (4)이다. 실제로 \(M \mapsto M \otimes_A K\)의 오른쪽 수반은 \(N \mapsto \Hom_B(K, N)\)이다. 미분 등급 대수의 보조정리 09LN을 보라. (4)이면 범주의 보조정리 0038에 의하여 (3)이다. 함의 (3) \(\Rightarrow\) (2)는 정의에서 즉시 따른다.
(2)를 가정하고 (1)을 증명하자. 호몰로지의 절 010M의 논의에 의하여 함자 \(F\)는 가법적이다. 따라서 \(F\)는 환 사상 \(A \to \text{End}_B(F(M))\), \(a \mapsto F(a \cdot \text{id}_M)\)을 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 유도한다. 그러므로 \(F(M)\)은 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-가군이고, 이는 \(M\)에 관해 함자적이다. \(K = F(A)\)로 놓는다. 다음을 정의하자. \[M \otimes_A K = M \otimes_A F(A) \longrightarrow F(M), \quad m \otimes k \longmapsto F(\varphi_m)(k)\] 여기서 \(\varphi_m : A \to M\)은 \(a \to am\)을 보낸다. 규칙 \((m, k) \mapsto F(\varphi_m)(k)\)는 \(A\)-쌍선형이고 오른쪽에서 \(B\)-선형이므로, 표시한 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-선형 사상을 얻는다. 이 구성은 \(M\)에 관해 함자적이므로 함자의 변환 \(- \otimes_A K \to F(-)\)를 정의하며, \(A\)에서 계산하면 이 변환은 동형사상이다. 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 완전열 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \to M \to 0\] 을 택할 수 있다. 위에서 구성한 사상들을 사용하면 가환 그림 \[\xymatrix{ (\bigoplus\nolimits_{j \in J} A) \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & (\bigoplus\nolimits_{i \in I} A) \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & M \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & 0 \\ F(\bigoplus\nolimits_{j \in J} A) \ar[r] & F(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A) \ar[r] & F(M) \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 아래 행은 \(F\)가 우완전이므로 완전하다. 위 행은 \(K\)와의 텐서곱이 우완전이므로 완전하다. \(F\)가 직합과 가환하므로 왼쪽 두 수직 화살표는 전단사이다. 따라서 결론을 얻는다.
예
\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. \(K\)를 \(A \otimes_R B\)-가군이라 하자. 그러면 함자 [0GNU]\[\begin{equation} F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto M \otimes_A K \end{equation}\] 를 생각할 수 있다. 이 함자는 \(R\)-선형이고 우완전이며, 임의의 직합과 가환하고 모든 여극한과 가환하며 오른쪽 수반을 갖는다 (보조정리 0GNS).
보조정리
\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. 다음 두 범주는 동치이다.
우완전이고 임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 함자 \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)의 범주,
범주 \(\text{Mod}_{A \otimes_R B}\).
이 동치는 \(K\)를 (0GNU)의 함자 \(F\)로 보내어 주어진다.
증명
\(F\)를 첫 번째 범주의 대상이라 하자. 보조정리 0GNS에 의하여 \(F(M) = M \otimes_A K\)라고 \(M\)에 관해 함자적으로 가정해도 된다. 여기서 어떤 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-가군 \(K\)를 사용한다. \(R\)-선형인 \(F\)라는 사실에서, \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-가군 \(K\)의 구조는 \(A \otimes_R B\)-가군으로서 \(K\)의 유일한 구조로부터 옴이 즉시 따른다. 따라서 (0GNU)에서와 같이 \(K\)를 \(F\)로 보내는 함자는 본질적으로 전사이다.
이 함자가 충실충만임을 증명하려면, \(A \otimes_R B\)-가군 \(K\)와 \(K'\)가 주어졌을 때 대응하는 함자 사이의 모든 변환 \(t : F \to F'\)이 유일한 \(\varphi : K \to K'\)에서 옴을 보여야 한다. \(K = F(A)\)이고 \(K' = F'(A)\)이므로 \(\varphi\)를 \(t_A : F(A) \to F'(A)\), 즉 \(t\)의 \(A\)에서의 값으로 잡을 수 있다. 이 사상은 \(A \otimes_R B\)-선형이다. 실제로 이는 보조정리 0GNS의 증명에서 \(A \otimes B\)-가군 구조를 \(F(A)\)와 \(F'(A)\)에 부여한 정의에서 따른다.
주
\(R\)을 환이라 하고 \(A\), \(B\), \(C\)를 \(R\)-대수라 하자. \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)와 \(F' : \text{Mod}_B \to \text{Mod}_C\)를 임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 우완전 함자라 하자. 보조정리 0GNV의 동치 아래에서 대상 \(K\)가 \(\text{Mod}_{A \otimes_R B}\)에서 \(F\)에 대응하고 대상 \(K'\)가 \(\text{Mod}_{B \otimes_R C}\)에서 \(F'\)에 대응하면, \(K \otimes_B K'\)을 \(\text{Mod}_{A \otimes_R C}\)의 대상으로 볼 때 \(F' \circ F\)에 대응한다.
주
보조정리 0GNV의 상황에서 \(F\)가 \(K\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(F\)가 완전이다 \(\Leftrightarrow\) \(K\)가 \(A\) 위에서 평탄이다.
주
보조정리 0GNV의 상황에서 \(F\)가 \(K\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(F\)가 유한 \(A\)-가군을 유한 \(B\)-가군으로 보낸다 \(\Leftrightarrow\) \(K\)가 \(B\)-가군으로서 유한이다.
주
보조정리 0GNV의 상황에서 \(F\)가 \(K\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(F\)가 유한 표시 \(A\)-가군을 유한 표시 \(B\)-가군으로 보낸다 \(\Leftrightarrow\) \(K\)가 \(B\)-가군으로서 유한 표시이다.
보조정리
\(A\)와 \(B\)를 환이라 하자. 범주의 동치 \[F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B\] 가 주어지면, 환의 동형사상 \(A \to B\)와 가역 \(B\)-가군 \(L\)이 존재하여 \(F\)는 함자 \(M \mapsto (M \otimes_A B) \otimes_B L\)과 동형이다.
증명
범주의 동치는 모든 여극한과 가환하므로 보조정리 0GNS를 적용할 수 있다. \(K\)를 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-가군이라 하되, \(F\)가 함자 \(M \mapsto M \otimes_A K\)와 동형이 되게 하자. \(K'\)을 \(B \otimes_\mathbf{Z} A\)-가군이라 하되, \(F\)의 준역이 함자 \(N \mapsto N \otimes_B K'\)과 동형이 되게 하자. 주해 0GNW과 보조정리 0GNV에 의하여 동형사상 \[\psi : K \otimes_B K' \longrightarrow A\] 을 \(A \otimes_\mathbf{Z} A\)-가군의 범주에서 얻는다. 마찬가지로 동형사상 \[\psi' : K' \otimes_A K \longrightarrow B\] 를 \(B \otimes_\mathbf{Z} B\)-가군의 범주에서 얻는다. 원소 \(\xi = \sum_{i = 1, \ldots, n} x_i \otimes y_i \in K \otimes_B K'\)를 \(\psi(\xi) = 1\)이 되게 택하자. 동형사상 \[K \xrightarrow{\psi^{-1} \otimes \text{id}_K} K \otimes_B K' \otimes_A K \xrightarrow{\text{id}_K \otimes \psi'} K\] 을 생각하자. 이 합성은 동형사상이며 \[k \longmapsto \sum x_i \psi'(y_i \otimes k)\] 로 주어진다. 이 자기동형사상이 \[K \to B^{\oplus n} \to K\] 를 거쳐 \(B\)-가군의 사상으로 분해됨을 알 수 있다. 따라서 \(K\)는 유한 사영 \(B\)-가군이다.
\(K\)가 가역 \(B\)-가군이라고 주장한다. 이는 \(K\)가 \(B\)-가군으로서 갖는 계수가 상수값 \(1\)을 갖는다는 것과 동치이다. 대수학 심화의 보조정리 0B8I과 대수학의 보조정리 00NX를 보라. 그렇지 않으면 다음 중 하나가 성립하는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset B\)가 존재한다. (a) \(K \otimes_B B/\mathfrak m = 0\)이거나, (b) 전사 \(K \to (B/\mathfrak m)^{\oplus 2}\)가 \(B\)-가군의 범주에서 존재한다. \(K' \otimes_A K \otimes_B N = N\)이 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여 성립하므로 (a)는 모순이다. (b)이면 전사 \[A = K \otimes_B K' \longrightarrow (B/\mathfrak m \otimes_B K')^{\oplus 2}\] 를 (오른쪽) \(A\)-가군의 범주에서 얻게 된다. 그러나 표적은 \(A\)-가군으로서 적어도 두 개의 생성원을 필요로 하므로 이는 불가능하다. 실제로 \(B/\mathfrak m \otimes_B K'\)은 영이 아닌 가군 \(B/\mathfrak m\)을 \(F\)의 준역으로 보낸 상이므로 영이 아니다.
\(K\)가 가역 \(B\)-가군이므로 \(\Hom_B(K, K) = B\)이다. \(K = F(A)\)이므로 \(A\)의 \(K\) 위 작용은 환 동형사상 \(A \to B\)를 정의한다. 보조정리가 따른다.
보조정리
\(R\)을 환이라 하고 \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. 다음이 범주의 동치라고 하자. \[F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B\] 이 동치가 \(R\)-선형이면, 동형사상 \(A \to B\)가 \(R\)-대수 사이에 존재하고 가역 \(B\)-가군 \(L\)이 존재하여 \(F\)는 함자 \(M \mapsto (M \otimes_A B) \otimes_B L\)과 동형이다.
증명
보조정리 0GP0에서 \(A \to B\)와 \(L\)을 얻는다. 증명을 끝내려면 \(R\)-선형인 \(F\)라는 사실이 \(A \to B\)를 \(R\)-대수 사상으로 강제함을 보이면 된다. 자세한 내용은 생략한다.
주
\(A\)와 \(B\)를 환이라 하자. \(\text{Mod}_A\)와 \(\text{Mod}_B\)에 가군의 텐서곱으로 주어지는 통상적인 모노이드 구조를 부여하자. \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)를 모노이드 범주의 함자라 하자. 범주의 정의 0FFL를 보라. 다음과 같은 사실들이 있다.
\(F(A)\)는 단위원이므로(우리의 정의에 따라) \(F(A) = B\)이다.
곱셈적 사상 \(\varphi : A \to B\)를 얻는다. 이는 \(a \in A\)를 \(F(A) = B\) 위의 그 작용으로 보낸다.
\(A = B\)이고 \(F(M) = M \otimes_A M\)이라고 하자. 이 경우 \(\varphi(a) = a^2\)이다.
\(F\)가 가법적이면 \(\varphi\)는 환 사상이다.
\(A = B = \mathbf{Z}\)이고 \(F(M) = M/\text{torsion}\)이라고 하자. 그러면 \(\varphi = \text{id}_\mathbf{Z}\)이지만 \(F\)는 항등 함자가 아니다.
\(F\)가 우완전이고 직합과 가환하면 보조정리 0GNS에 의하여 \(F(M) = M \otimes_{A, \varphi} B\)이다.
다시 말해 환 사상 \(A \to B\)와, 모든 여극한과 가환하는 모노이드 범주의 함자 \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)의 동형류 사이에는 전단사 대응이 있다.
가군 범주 위 함자의 확장
환 \(A\)에 대하여 \(\text{Mod}^{fp}_A\)로 유한 표시 \(A\)-가군의 범주를 나타내자.
보조정리
\(A\)와 \(B\)를 환이라 하자. \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \text{Mod}^{fp}_B\)를 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 여과 여극한과 가환하는 함자 \(F' : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)로 유일하게 확장된다.
증명
보조정리 0GNJ의 특수한 경우이다.
주
\(A\), \(B\), \(F\), \(F'\)이 보조정리 0GP4에서와 같다고 하자. 유한 표시 가군 두 개의 텐서곱은 유한 표시임을 관찰하라. 대수학의 보조정리 05BS를 보라. 따라서 \(\text{Mod}^{fp}_A\), \(\text{Mod}^{fp}_B\), \(\text{Mod}_A\), \(\text{Mod}_B\)에 가군의 텐서곱으로 주어지는 통상적인 모노이드 구조를 부여할 수 있다. 이 경우 \(F\)가 모노이드 범주의 함자이면 \(F'\)도 그러하다. 이는 가군의 텐서곱이 여과 여극한과 가환한다는 사실에서 즉시 따른다.
보조정리
\(A\), \(B\), \(F\), \(F'\)이 보조정리 0GP4에서와 같다고 하자.
\(F\)가 가법적이면 \(F'\)도 가법적이고 임의의 직합과 가환한다.
\(F\)가 우완전이면 \(F'\)도 우완전이다.
증명
주
주해 0GP2, 0GP5과 보조정리 0GP6을 결합하면 다음을 얻는다. 환 \(A\)와 \(B\)가 주어졌을 때, 환 사상 \(A \to B\)의 집합과 우완전인 모노이드 범주의 함자 \(\text{Mod}^{fp}_A \to \text{Mod}^{fp}_B\)의 동형류의 집합 사이에는 전단사 대응이 있다.
보조정리
\(A\), \(B\), \(F\), \(F'\)이 보조정리 0GP4에서와 같다고 하자. \(A\)가 정합환(대수학의 정의 05CV)이라고 가정하자. \(F\)가 좌완전이면 \(F'\)도 좌완전이다.
증명
보조정리 0GNM의 특수한 경우이다.
환 \(A\)에 대하여 \(\text{Mod}^{fg}_A\)로 유한 생성 \(A\)-가군 (즉 유한 \(A\)-가군)의 범주를 나타내자.
보조정리
\(A\)와 \(B\)를 뇌터 환이라 하자. \(F : \text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_B\)를 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 여과 여극한과 가환하는 함자 \(F' : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)로 유일하게 확장된다. \(F\)가 가법적이면 \(F'\)도 가법적이고 임의의 직합과 가환한다. \(F\)가 완전, 좌완전 또는 우완전이면 \(F'\)도 각각 그러하다.
증명
보조정리 0GP6과 0GP8을 보라. 또한 유한 \(A\)-가군은 유한 표시 \(A\)-가군이라는 대수학의 보조정리 00FP와, 뇌터 환은 정합환이라는 대수학의 보조정리 05CY를 사용하라.
준연접 가군 범주 사이의 함자
이 절에서는 준연접 가군의 범주 사이의 함자를 간단히 연구한다.
예
\(R\)을 환이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(R\) 위의 스킴이라 하고 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. \(\mathcal{K}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-가군이라 하자. 그러면 함자 [0FZC]\[\begin{equation} F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_Y),\quad \mathcal{F} \longmapsto \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) \end{equation}\] 를 생각할 수 있다. 사상 \(\text{pr}_2\)는 준콤팩트이고 준분리이다 (스킴의 보조정리 01K5와 01KU). 따라서 이 사상을 따른 직접상은 준연접 가군을 보존한다. 스킴의 보조정리 01LC를 보라. 더 나아가 우리의 함자는 \(R\)-선형이고 임의의 직합과 가환한다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 07TB를 보라.
다음 보조정리는 보조정리 0GNV의 자연스러운 일반화이다.
보조정리
\(R\)을 환이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(R\) 위의 스킴이라 하고 \(X\)가 아핀이라고 하자. 다음 두 범주는 동치이다.
우완전이고 임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 함자 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 범주,
범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\).
이 동치는 \(\mathcal{K}\)를 (0FZC)의 함자 \(F\)로 보내어 주어진다.
증명
\(\mathcal{K}\)를 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)의 대상이라 하고 \(F_\mathcal{K}\)를 (0FZC)의 함자라 하자. 예 0FZB의 논의에서 \(F\)가 \(R\)-선형이고 임의의 직합과 가환함을 이미 알고 있다. 사상 \(\text{pr}_2 : X \times_R Y \to Y\)는 아핀이므로(사상의 보조정리 01SD), 함자 \(\text{pr}_{2, *}\)는 완전이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XC을 보라. 따라서 \(F\)도 우완전이다. 다시 말해 \(F\)는 (1)에서와 같다.
\(F\)가 (1)에서와 같다고 하자. \(X = \Spec(A)\)라고 쓰자. 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{G} = F(\mathcal{O}_X)\)를 생각하자. 함자 \(F\)는 \(R\)-선형 사상 \(A \to \text{End}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G})\), \(a \mapsto F(a \cdot \text{id})\)를 유도한다. 따라서 \(\mathcal{G}\)는 \[A \otimes_R \mathcal{O}_Y = \text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{X \times_R Y}\] 위의 가군층이다. 사상의 보조정리 01SB에 의하여 \(\mathcal{K}\)라는 유일한 준연접 가군이 \(X \times_R Y\) 위에 존재하여, 등식 \(F(\mathcal{O}_X) = \mathcal{G} = \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\)가 \(A\)와 \(\mathcal{O}_Y\)의 작용과 양립하도록 성립한다. (0FZC)로 주어지는 함자를 \(F_\mathcal{K}\)라 하자. 스킴의 보조정리 01IB에 따라 동치 \(\text{Mod}_A \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 있으며, 이는 \(A\)를 \(\mathcal{O}_X\)로 보낸다. 따라서 보조정리 0GNQ에 의하여 동형사상 \(F \cong F_\mathcal{K}\)를 얻는다. 실제로 구성에 의하여 \(F(\mathcal{O}_X) \cong F_\mathcal{K}(\mathcal{O}_X)\)이고 이는 \(A\)-작용과 양립한다.
이는 \(\mathcal{K}\)를 \(F_\mathcal{K}\)로 보내는 함자가 본질적으로 전사임을 보인다. 충실충만성의 검증은 생략한다.
주
아래에서는 아핀 사상 \(h : T \to S\)에 대하여 \(h_*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{H} = h_*(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_T} h^*\mathcal{H})\)라는 사실을 사용하겠다. 여기서 \(\mathcal{G} \in \QCoh(\mathcal{O}_T)\)이고 \(\mathcal{H} \in \QCoh(\mathcal{O}_S)\)이다. 이는 대수로 옮기면 즉시 따른다.
보조정리
보조정리 0FZD에서 \(F\)에 대응하는 \(\mathcal{K}\)가 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)에 속한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
\(f : X' \to X\)가 아핀 사상이면 \(F \circ f_*\)는 \((f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}\)에 대응한다.
\(g : Y' \to Y\)가 평탄 사상이면 \(g^* \circ F\)는 \((\text{id}_X \times g)^*\mathcal{K}\)에 대응한다.
\(j : V \to Y\)가 열린 몰입이면 \(j^* \circ F\)는 \(\mathcal{K}|_{X \times_R V}\)에 대응한다.
증명
(1)을 증명하자. 가환 그림 \[\xymatrix{ X' \times_R Y \ar[rrd]^{\text{pr}'_2} \ar[rd]_{f \times \text{id}_Y} \ar[dd]_{\text{pr}'_1} \\ & X \times_R Y \ar[r]_{\text{pr}_2} \ar[d]_{\text{pr}_1} & Y \\ X' \ar[r]^f & X }\] 을 생각하자. \(\mathcal{F}'\)을 \(X'\) 위의 준연접 가군이라 하자. 그러면 \[\begin{align*} \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*f_*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) & = \text{pr}_{2, *}((f \times \text{id}_Y)_* (\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) \\ & = \text{pr}_{2, *}(f \times \text{id}_Y)_* \left((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_R Y}} (f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K})\right) \\ & = \text{pr}'_{2, *}((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_R Y}} (f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}) \end{align*}\] 이다. 첫 번째 등식은 그림의 왼쪽 사각형에 대한 아핀 밑변환이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KG를 보라. 두 번째 등식은 주해 0FZE에 의하여 성립한다. 세 번째 등식은 가군의 직접상의 함자성이다. 이로써 (1)이 증명된다.
(2)를 증명하자. 가환 그림 \[\xymatrix{ X \times_R Y' \ar[rr]_-{\text{pr}'_2} \ar[rd]^{\text{id}_X \times g} \ar[rdd]_{\text{pr}'_1} & & Y' \ar[d]^g \\ & X \times_R Y \ar[r]_-{\text{pr}_2} \ar[d]^{\text{pr}_1} & Y \\ & X }\] 을 생각하자. 다음 등식들이 성립한다. \[\begin{align*} g^*\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) & = \text{pr}'_{2, *}( (\text{id}_X \times g)^*( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K})) \\ & = \text{pr}'_{2, *}((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y'}} (\text{id}_X \times g)^*\mathcal{K}) \end{align*}\] 첫 번째 등식은 그림의 사각형에 대한 평탄 밑변환이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH를 보라. 두 번째 등식은 당김의 함자성과 텐서곱의 당김이 당김들의 텐서곱이라는 사실에서 따른다.
(3)은 (2)의 특수한 경우이다.
보조정리
\(R\)을 환이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(R\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 대각선이 아핀이라고 가정하자. \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)를 임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 우완전 함자라 하자. 그러면 다음을 구성할 수 있다.
준연접 가군 \(\mathcal{K}\); 이는 \(X \times_R Y\) 위에 있다.
자연 변환 \(t : F \to F_\mathcal{K}\); 여기서 \(F_\mathcal{K}\)는 (0FZC)의 함자를 나타낸다.
더욱이 \(t : F \circ f_* \to F_\mathcal{K} \circ f_*\)는 원천이 아핀 스킴인 모든 사상 \(f : X' \to X\)에 대하여 동형사상이다.
증명
사상 \(f' : X' \to X\)를 생각하되 \(X'\)가 아핀이라고 하자. \(X\)의 대각선이 아핀이므로 \(f'\)도 아핀 사상이다(사상의 보조정리 01SG). 따라서 \(f'_* : \QCoh(\mathcal{O}_{X'}) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 \(R\)-선형 완전 함자이며(스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XC) 직합과 가환한다 (스킴의 코호몰로지의 보조정리 07TB). 그러므로 \(F \circ f'_*\)는 임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 우완전 함자이다. 따라서 보조정리 0FZD에 의하여 \(F \circ f'_* = F_{\mathcal{K}'}\)이다. 여기서 \(\mathcal{K}'\)은 \(X' \times_R Y\) 위의 어떤 준연접 가군이다. 더 나아가 사상 \(f'' : X'' \to X'\)이 주어지고 \(X''\)가 아핀이면, 이미 제시한 참고 결과와 보조정리 0FZF를 결합하여 정준 식별 \((f'' \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}' = \mathcal{K}''\)을 얻는다. 또 다른 사상 \(f''' : X''' \to X''\)이 주어질 때 이 식별들은 코사이클 조건을 만족한다. 그 구체적인 서술은 독자에게 맡긴다.
유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)를 택하자. \(X\)의 대각선이 아핀이므로 교집합 \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\)는 아핀이다. 위와 같이 포함 사상 \(j_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\)는 아핀이다. 준연접 가군 \(\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}\)를 \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\) 위에서 위에서처럼 \(F \circ j_{i_0 \ldots i_p *}\)에 대응하도록 잡자. 위의 구성에서 통상적인 붙이기 양립 조건을 만족하는 식별 \[\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p} = \mathcal{K}_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}|_{U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y}\] 을 얻는다. 다시 말해 유일한 준연접 가군 \(\mathcal{K}\)가 존재하며, 이는 \(X \times_R Y\) 위에 있다. \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\)에 대한 그 제한은 표시한 식별과 양립하는 \(\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}\)이다.
이제 변환 \(t\)를 구성하자. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때, \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\)로 \(\mathcal{F}\)의 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)에 대한 제한을 나타내고, \((\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0 \ldots i_p}\)로 \(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}\)의 \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\)에 대한 제한을 나타내자. 다음을 관찰하라. \[\begin{align*} F(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) & = \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2, *}( \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 1}^*\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p} \otimes \mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}) \\ & = \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 여기서 \(\text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2} : U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y \to Y\)는 사영이고 다른 사영도 마찬가지이다. 더 나아가 이 식별들은 앞 문단에서 표시한 식별들과 양립한다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XL에서 상대적 Čech 복합체 \[\bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1i_2, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 가 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\)를 계산한다는 사실을 상기하라. 따라서 차수 \(0\)의 코호몰로지 층은 \(F_\mathcal{K}(\mathcal{F})\)이다. 그러므로 다음 가환 그림을 살펴보면 원하는 사상 \(t : F(\mathcal{F}) \to F_\mathcal{K}(\mathcal{F})\)를 얻는다. \[\xymatrix{ & F(\mathcal{F}) \ar[r] \ar@{..>}[d] & \bigoplus F(j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0}) \ar[r] \ar[d] & \bigoplus F(j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1}) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & F_\mathcal{K}(\mathcal{F}) \ar[r] & \bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \ar[r] & \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} }\] 위 행은 \(F\)를 (완전) 복합체 \(0 \to \mathcal{F} \to \bigoplus j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1}\)에 적용하여 얻는다 (다만 \(F\)가 완전일 필요는 없으므로 위 행은 복합체일 뿐 반드시 완전하지는 않다). 실선 수직 화살표들은 위의 식별들이다. 이로써 점선 화살표가 원하는 대로 정의된다. 이 화살표는 \(\mathcal{F}\)에 관해 함자적이다. 자세한 내용은 생략한다.
이제 마지막 주장을 증명해야 한다. \(f : X' \to X\)가 보조정리의 진술에서와 같다고 하고, 증명의 첫 문단에서 구성한 준연접 가군 \(\mathcal{K}'\)은 \(X' \times_R Y\) 위에 있다고 하자. 사상 \(f : X' \to X\)의 상이 열린집합 \(U_i\) 중 하나에 들어가면 보조정리 0FZF에서 결과가 따른다. 실제로 이 경우 \(\mathcal{K}_i = \mathcal{K}|_{U_i \times_R Y}\)가 \(\mathcal{K}\)로 당겨짐을 알고 있다. 일반적으로는 아핀 열린 덮개 \(X' = \bigcup U'_i\)를 얻는데, 여기서 \(U'_i = f^{-1}(U_i)\)이다. 동형사상 \(\mathcal{K}'|_{U'_i} = f_i^*\mathcal{K}_i\)를 얻으며, 여기서 \(f_i : U'_i \to U_i\)는 유도된 사상이다. 이 사상들은 동형사상 \(\mathcal{K}' = f^*\mathcal{K}\)로 붙이는 데 필요한 양립 조건을 만족하므로 결론을 얻는다. 일부 세부 사항은 생략한다.
보조정리
보조정리 0FZD 또는 보조정리 0GPA에서 \(F\)가 완전 함자이면, 대응하는 대상 \(\mathcal{K}\)는 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)에 속하며 \(X\) 위에서 평탄이다.
증명
\(X\)가 아핀이라고 가정해도 되므로 보조정리 0FZD의 경우에 놓인다. 보조정리 0FZF에 의하여 \(Y\)도 아핀이라고 가정해도 된다. 아핀인 경우 진술은 주해 0GNX으로 옮겨진다.
보조정리
\(R\)을 환이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(R\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 대각선이 아핀이라고 가정하자. 다음 두 범주는 동치이다.
임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 완전 함자 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 범주,
\(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)의 충만 부분범주로서 다음을 만족하는 \(\mathcal{K}\)들로 이루어진 것.
\(\mathcal{K}\)는 \(X\) 위에서 평탄이다.
\(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대하여 \(R^q\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) = 0\)이다. 여기서 \(q > 0\)이다.
이 동치는 \(\mathcal{K}\)를 (0FZC)의 함자 \(F\)로 보내어 주어진다.
증명
\(\mathcal{K}\)가 (2)에서와 같다고 하자. (0FZC)의 함자 \(F\)는 직합과 가환한다. (1)(a)에 의하여 가군 \(\mathcal{K}\)가 \(X\)-평탄이므로 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)이 주어졌을 때 짧은 완전열 \[0 \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to 0\] 을 얻는다. (2)(b)에 의하여 첫째 항 위에서 고차 직접상 \(R^1\text{pr}_{2, *}\)가 영이므로 \(0 \to F(\mathcal{F}_1) \to F(\mathcal{F}_2) \to F(\mathcal{F}_3) \to 0\) 은 완전이다. 따라서 \(F\)는 (1)에서와 같다.
\(F\)가 (1)에서와 같다고 하자. \(\mathcal{K}\)와 \(t : F \to F_\mathcal{K}\)를 보조정리 0GPA에서와 같이 잡자. 보조정리 0FZG에 의하여 \(\mathcal{K}\)는 \(X\) 위에서 평탄이다. 증명을 끝내려면 \(t\)가 동형사상임과 고차 직접상에 관한 진술을 보여야 한다. 두 주장 모두 상대적 Čech 복합체 \[\bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1i_2, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 가 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\)를 계산한다는 사실에서 따른다. 기호와 이 사실의 이유는 보조정리 0GPA의 증명을 보라. 보조정리 0GPA의 같은 증명에서 이 복합체가 \(F\)를 복합체 \[\bigoplus j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1} \to \bigoplus j_{i_0i_1i_2*}\mathcal{F}_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 에 적용한 것과 같음도 보였다. 이 복합체는 차수 영을 제외하면 완전하고, 차수 영의 코호몰로지 층은 \(\mathcal{F}\)이다. 따라서 \(F\)가 완전 함자이므로 \(F = F_\mathcal{K}\)이고 (2)(b)가 성립한다.
\(F\)를 \(\mathcal{K}\)로 보내는 구성이 함자적이고, \(\mathcal{K}\)를 (0FZC)로 결정되는 함자 \(F_\mathcal{K}\)로 보내는 함자의 준역임을 보이는 증명은 생략한다.
주
\(R\)을 환이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(R\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 대각선이 아핀이라고 가정하자. 보조정리 0FZH는 다음과 같이 일반화할 수 있다. \(X \times_R Y\) 위의 준연접 가군에 결부된 함자 (0FZC)는 정확히 다음 성질을 갖는 함자 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)이다.
\(F\)는 \(R\)-선형이고 임의의 직합과 가환한다.
\(F \circ j_*\)는 \(j : U \to X\)가 아핀 열린집합의 포함이면 우완전이다.
\(0 \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{G}) \to F(\mathcal{H})\)는 완전열 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\)이 모든 \(x \in X\)에 대하여 줄기 위의 열 \(0 \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x \to 0\)을 분할 짧은 완전열로 만들 때마다 완전이다.
실제로 이 가정들은 보조정리 0GPA에서와 같은 변환 \(t : F \to F_\mathcal{K}\)를 구성하고 그것이 동형사상임을 보이기에 충분하다. 또한 함자 (0FZC)는 성질 (1), (2), (3)을 실제로 만족한다. 이 결과가 필요해지면 여기에서 주의 깊게 진술하고 증명하겠다.
보조정리
\(R\)을 환이라 하자. \(X\), \(Y\), \(Z\)를 \(R\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 준콤팩트이고 대각선이 아핀이라고 가정하자. \[F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y) \quad\text{and}\quad G : \QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\] 를 임의의 직합과 가환하는 \(R\)-선형 완전 함자라 하자. \(\mathcal{K}\)를 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)의 대상으로, \(\mathcal{L}\)을 \(\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_R Z})\)의 대상으로 잡고, 이들을 대응하는 “핵”이라 하자. 보조정리 0FZH을 보라. 그러면 \(G \circ F\)는 대상 \(\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y \times_R Z}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\)에 대응하며, 이 대상은 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Z})\)에 속한다.
증명
\(G \circ F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\)는 \(R\)-선형이고 완전이며 임의의 직합과 가환하므로, 보조정리 0FZH에 의하여 어떤 \(\mathcal{M}\)이 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Z})\) 안에 존재하여 \(G \circ F\)에 대응한다. 한편 \(\mathcal{E} = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\)로 놓자. 여기서부터 증명이 끝날 때까지 텐서곱의 아래첨자는 생략한다. \(U \subset X\)와 \(W \subset Z\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. 보조정리를 증명하기 위해 동형사상 \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{E}) \cong \Gamma(U \times_R W, \mathcal{M})\] 을 구성하겠다. 이는 변하는 \(U\)와 \(W\)에 대한 제한 사상과 양립한다.
먼저 구성에 의하여 \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{E}) = \Gamma(U \times_R Y \times_R W, \text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\] 임을 관찰한다. 따라서 \(\mathcal{M}\)에 대해서도 같은 사실이 성립함을 보여야 한다.
\(U = \Spec(A)\)라고 쓰고 포함 사상을 \(j : U \to X\)라 하자. 보조정리 0FZD의 증명에서 \(\mathcal{M}\)을 구성한 방식을 상기하면 \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{M}) = \Gamma(W, G(F(j_*\mathcal{O}_U)))\] 이며, 오른쪽의 \(A\)-가군 작용은 \(A\)가 \(\mathcal{O}_U\)에 작용하는 방식으로 주어진다. \(F\)와 \(\mathcal{K}\)의 대응에 따르면 \(F(j_*\mathcal{O}_U) = b_*(a^*j_*\mathcal{O}_U \otimes \mathcal{K})\)이다. 여기서 \(a : X \times_R Y \to X\)와 \(b : X \times_R Y \to Y\)는 사영 사상이다. \(j\)가 아핀 사상이므로 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KG에 의하여 \(a^*j_*\mathcal{O}_U = (j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{U \times_R Y}\)이다. 다음으로, 예를 들어 주해 0FZE에 의하여 \((j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{U \times_R Y} \otimes \mathcal{K} = (j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}\)이다. 지금까지 얻은 것을 종합하면 \[F(j_*\mathcal{O}_U) = (U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}\] 를 얻으며, 여기에는 자명한 \(A\)-작용이 있다. (이 식은 보조정리 0FZD의 증명에 내포되어 있다.) 함자 \(G\)를 적용하면 \[G(F(j_*\mathcal{O}_U)) = t_*(s^*((U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}) \otimes \mathcal{L})\] 를 얻는다. 여기서 \(s : Y \times_R Z \to Y\)와 \(t : Y \times_R Z \to Z\)는 사영 사상이다. 이번에는 사각형 \[\xymatrix{ U \times_R Y \times_R Z \ar[r] \ar[d] & U \times_R Y \ar[d] \\ Y \times_R Z \ar[r] & Y }\] 에 다시 아핀 밑변환(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KG)을 사용하면 \[s^*((U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}) = (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \text{pr}_{12}^*\mathcal{K}|_{U \times_R Y \times_R Z}\] 를 얻는다. 주해 0FZE을 다시 사용하면 \[\begin{align*} (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \text{pr}_{12}^*\mathcal{K}|_{U \times_R Y \times_R Z} \otimes \mathcal{L} \\ = (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \left(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L}\right)|_{U \times_R Y \times_R Z} \end{align*}\] 이다. 여기에 함자 \(\Gamma(W, t_*(-)) = \Gamma(Y \times_R W, -)\)를 적용하면 \[\begin{align*} \Gamma(U \times_R W, \mathcal{M}) & = \Gamma(W, G(F(j_*\mathcal{O}_U))) \\ & = \Gamma(Y \times_R W, (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* (\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})|_{U \times_R Y \times_R Z}) \\ & = \Gamma(U \times_R Y \times_R W, \text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L}) \end{align*}\] 을 얻어 원하는 바가 성립한다. 이 동형사상들이 제한 사상과 양립한다는 검증은 생략한다.
보조정리
\(R\), \(X\), \(Y\), \(\mathcal{K}\)가 보조정리 0FZH의 (2)에서와 같다고 하자. 그러면 임의의 스킴 \(T\)가 \(R\) 위에 있을 때 \[R^q\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{T \times_R X \times_R Y}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) = 0\] 이다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 \(T \times_R X\) 위에서 준연접이고 \(q > 0\)이다.
증명
문제는 \(T\) 위에서 국소적이므로 \(T\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 그림 \[\xymatrix{ T \times_R X \ar[d] & T \times_R X \times_R Y \ar[d] \ar[l] \ar[r] & T \times_R Y \ar[d] \\ X & X \times_R Y \ar[l] \ar[r] & Y }\] 을 생각할 수 있으며, 수직 화살표들은 아핀이다. 특히 \(T \times_R Y \to Y\)를 따른 직접상은 충실하고 완전이다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XC과 사상의 보조정리 01SB). 아핀 사상을 따른 고차 직접상이 사라진다는 사실(위의 참고문헌을 보라)을 사용하여 그림을 따라가면 \[R^q\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_{23, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{T \times_R X \times_R Y}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{K})) = R^q\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_{23, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}))\] 가 영임을 증명하면 충분함을 알 수 있다. 이는 \(\mathcal{K}\)에 대한 가정에 의해 참이다. 등식은 주해 0FZE에 의해 성립한다.
보조정리
보조정리 0FZH에서 \(F\)와 \(\mathcal{K}\)가 대응한다고 하자. \(X\)가 분리이고 \(R\) 위에서 평탄이면 전사사상 \(\mathcal{O}_X \boxtimes F(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{K}\)가 존재한다.
증명
\(\Delta : X \to X \times_R X\)를 대각 사상이라 하고 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X\)로 놓자. \(\Delta\)는 닫힌 몰입이므로 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X \times_R X} \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] 이 있다. \(\mathcal{K}\)가 \(X\) 위에서 평탄이므로 당김 \(\text{pr}_{23}^*\mathcal{K}\)는 \(X \times_R X \times_R Y\) 위에 놓이며 \(X \times_R X\) 위에서 평탄하다. 다음 짧은 완전열 \[0 \to \text{pr}_{12}^*\mathcal{I} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to 0\] 을 \(X \times_R X \times_R Y\) 위에서 얻는다. 가군의 보조정리 0GMU를 보라. 따라서 보조정리 0FZI에 의하여 전사사상 \[\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) \to \text{pr}_{13, *}( \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K})\] 을 얻는다. 평탄 밑변환(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH)에 의하여 이 화살표의 원천은 \(\text{pr}_2^*\text{pr}_{2, *}\mathcal{K} = \mathcal{O}_X \boxtimes F(\mathcal{O}_X)\)와 같다. 한편 표적은 \[\text{pr}_{13, *}( \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) = \text{pr}_{13, *} (\Delta \times \text{id}_Y)_* \mathcal{K} = \mathcal{K}\] 와 같으므로 증명이 끝난다. 첫 번째 등식은 예를 들어 코호몰로지의 보조정리 0B55과 \(\text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta = (\Delta \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)라는 사실에서 따른다.
Gabriel–Rosenberg 복원
이 절의 제목은 명제 0GPJ과 같은 결과를 가리킨다. Gabriel의 원 논문 [Gabriel]과 더불어, 준분리 스킴에 대한 이 결과의 증명과 관련 문헌의 논의를 담은 [Brandenburg]도 참고하라. 이 절에서는 준콤팩트 준분리 스킴에 대한 Gabriel–Rosenberg 복원만 증명한다.
보조정리
\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 범주론적 콤팩트 대상일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시인 것이다.
증명
범주에서 범주론적 콤팩트 대상이라는 우리의 개념은 범주의 정의 0FWX을 보라. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 가군의 보조정리 01BS에 의하여 범주론적으로 콤팩트이다. 역으로 모든 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)는 여과 여극한 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)로 쓸 수 있고, 그 항들은 유한 표시(따라서 준연접) \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 성질의 보조정리 01PK을 보라. \(\mathcal{F}\)가 범주론적으로 콤팩트이면 어떤 \(i\)와 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_i\)가 존재하여 주어진 사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)의 오른쪽 역이 된다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 가군의 직합인자이고, 그러므로 그 자체도 유한 표시이다.
보조정리
\(X\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 영이 아닌 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\text{Supp}(\mathcal{E}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)이면 영이 아닌 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{E}\)가 존재한다.
증명
진술을 대수로 옮기자. \(A\)를 환, \(M\)을 유한 표시 \(A\)-가군, \(N\)을 영이 아닌 \(A\)-가군이라 하자. \(\text{Supp}(N) \subset \text{Supp}(M)\)이라고 가정한다. 보일 것은 \(\Hom_A(M, N)\)이 영이 아니라는 것이다. \(N = A/I\)가 순환이라고 가정해도 된다. 즉 \(N\)을 임의의 영이 아닌 순환 부분가군으로 바꾼다. 표시 \[A^{\oplus m} \xrightarrow{T} A^{\oplus n} \to M \to 0\] 를 택하자. \(\text{Supp}(M)\)은 아이디얼 \(\text{Fit}_0(M)\)에 의하여 잘려 나옴을 상기하라. 이 아이디얼은 \(n \times n\) 소행렬식들이 행렬 \(T\)에서 생성하는 아이디얼이다. 대수학 심화의 보조정리 07ZA를 보라. 이제 가정 \(\text{Supp}(N) \subset \text{Supp}(M)\)은 \(\text{Fit}_0(M)\)의 원소들이 \(A/I\)에서 멱영이라는 뜻이다. 완전열 \[0 \to \Hom_A(M, A/I) \to (A/I)^{\oplus n} \xrightarrow{T^t} (A/I)^{\oplus m}\] 을 생각하자. \(T^t\)가 단사일 수 없음을 보여야 한다. 독자가 \(\text{Fit}_0(M)\)의 원소들이 \(A/I\)에서 멱영이라는 사실을 사용해 직접 증명해 보기를 권한다. 다음은 우리의 증명이다. \(\text{Fit}_0(M)\)이 유한 생성이므로, 멱영성은 소멸자 \(J \subset A/I\), 즉 \(\text{Fit}_0(M)\)의 \(A/I\) 안에서의 소멸자가 영이 아님을 뜻한다. \(T^t\)의 비단사성을 보이기 위해 소 아이디얼에서 국소화해도 된다. 적절한 소 아이디얼을 택하여 \(A\)가 국소환이고 \(J\)가 여전히 영이 아니라고 가정해도 된다. 그러면 대수학 심화의 보조정리 00MX에 의하여 \(T^t\)는 영이 아닌 핵을 갖는다.
보조정리
\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 두 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 부분범주는 서로 같다.
충만 부분범주 \(\mathcal{A} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\). 그 대상은 지지집합이 (집합론적으로) \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)에 포함되는 준연접 가군이다.
가장 작은 Serre 부분범주 \(\mathcal{B} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\). 이는 \(\mathcal{F}\)를 포함하고 확장과 임의의 직합에 대해 닫혀 있다.
증명
유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 준연접이므로 이 진술은 의미가 있다. \(\mathcal{A}\)는 확장과 직합에 대해 닫힌 Serre 부분범주이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{A}\)의 대상이므로 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)이다. 따라서 \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{B}\)에 포함됨만 보이면 된다.
\(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하자. 극대 부분가군 \(\mathcal{E}' \subset \mathcal{E}\)가 존재하며 이는 \(\mathcal{B}\)에 속한다. 실제로 \(\mathcal{E}_i \subset \mathcal{E}\), \(i \in I\)가 \(\mathcal{B}\)의 대상인 부분대상들의 집합이라고 하자. 그러면 \(\bigoplus \mathcal{E}_i\)는 \(\mathcal{B}\)에 속하고, 따라서 \[\mathcal{E}' = \Im(\bigoplus \mathcal{E}_i \longrightarrow \mathcal{E})\] 도 그러하다. 이것이 분명 우리가 찾는 극대 부분가군이다.
이제 영이 아닌 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}/\mathcal{E}'\)이 있고, 그 정의역 \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{B}\)에 속한다고 하자. 그러면 \(\mathcal{G}' = \mathcal{E} \times_{\mathcal{E}/\mathcal{E}'} \mathcal{G}\)는 \(\mathcal{B}\)에 속한다. 실제로 이는 \(\mathcal{E}'\)과 \(\mathcal{G}\)의 확장이다. 그런데 \(\mathcal{G}' \to \mathcal{E}\)의 상은 \(\mathcal{E}'\)보다 진정으로 크므로 \(\mathcal{E}'\)의 극대성에 모순이다. 따라서 다음 문단의 주장을 보이면 충분하다.
\(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{A}\)의 영이 아닌 대상이라 하자. 영이 아닌 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}\)가 존재한다고 주장한다. 여기서 \(\mathcal{G}\)는 \(\mathcal{B}\)에 속한다. 이를 최소 개수 \(n\)에 관한 귀납법으로 증명한다. 이 수는 아핀 열린집합 \(U_i\)들이 \(X\)에 속하면서 \(\text{Supp}(\mathcal{E}) \subset U_1 \cup \ldots \cup U_n\)이 되게 하는 최소 개수이다. \(U = U_n\)으로 놓고 포함 사상을 \(j : U \to X\)라 하자. \(\mathcal{E}' = \Im(\mathcal{E} \to j_*\mathcal{E}|_U)\)로 놓자. 핵 \(\mathcal{E}''\), 즉 전사 \(\mathcal{E} \to \mathcal{E}'\)의 핵의 지지집합은 \(U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\)에 포함된다. 따라서 \(\mathcal{E}''\)이 영이 아니면 원하는 바를 얻는다. 다시 말해 \(\mathcal{E} \subset j_*\mathcal{E}|_U\)라고 가정해도 된다. 특히 \(\mathcal{E}|_U\)가 영이 아님을 알 수 있다. 보조정리 0GPF에 의하여 영이 아닌 사상 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{E}|_U\)가 존재한다. 이는 사상 \[\varphi : \mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{E}|_U)\] 에 대응하며, 그 제한은 \(U\)에서 영이 아니다. \(\mathcal{G} = \varphi^{-1}(\mathcal{E})\)로 놓으면 결론을 얻는다.
보조정리
\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 여집합 \(U = X \setminus Z\)가 준콤팩트인 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{A} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 \(Z\) 위에 지지되는 준연접 가군들을 대상으로 하는 충만 부분범주라 하자. 그러면 제한 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\)는 동치 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)/\mathcal{A} \cong \QCoh(\mathcal{O}_U)\)를 유도한다.
증명
몫 구성의 보편 성질(호몰로지의 보조정리 02MS)에 의하여 유도 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)/\mathcal{A} \cong \QCoh(\mathcal{O}_U)\)를 분명히 얻는다. 포함 사상을 \(j : U \to X\)라 하자. \(j\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 함자 \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. 이것이 준역을 정의함은 독자가 보일 수 있다. 자세한 내용은 생략한다.
보조정리
\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 어떤 환 위의 가군 범주와 동치이면 \(X\)는 아핀이다.
증명
\(F : \text{Mod}_R \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 동치라고 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = F(R)\)은 다음 성질들을 갖는다.
유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다 (보조정리 0GPE).
\(\Hom_X(\mathcal{F}, -)\)는 완전이다.
\(\Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{F})\)는 가환환이다.
\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 모든 대상은 \(\mathcal{F}\)의 복사본들의 직합의 몫이다.
\(x \in X\)를 닫힌 점이라 하자. 전사사상 \[\mathcal{O}_X \to i_*\kappa(x)\] 을 생각하자. 그 표적은 \(\kappa(x)\)를 포함 사상 \(i : x \to X\)에 따라 직접상한 것이다. 다음 등식이 성립한다. \[\Hom_X(\mathcal{F}, i_*\kappa(x)) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \kappa(x))\] 먼저 (4)에서 \(\mathcal{F}_x\)가 영이 아님이 따른다. (2)에서 모든 사상 \(\mathcal{F}_x \to \kappa(x)\)가 사상 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{O}_{X, x}\)로 올려짐을 얻는다(심지어 대역 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{O}_X\)로 올려진다). \(\mathcal{F}_x\)는 유한 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이므로 이는 \(\mathcal{F}_x\)가 영이 아닌 유한 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군임을 뜻한다. 이제 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이므로 \(\mathcal{F}\)는 어떤 열린 근방, 곧 \(x\)의 한 열린 근방에서 양의 계수를 갖는 유한 자유 가군이다 (가군의 보조정리 0B8J). \(X\)의 모든 닫힌 부분집합은 닫힌 점을 포함하므로(위상의 보조정리 005E), 이는 \(\mathcal{F}\)가 양의 계수를 갖는 유한 국소 자유 가군임을 뜻한다. 마찬가지로 사상 \[\Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \to \Hom_X(\mathcal{F}, i_*i^*\mathcal{F}) = \Hom_{\kappa(x)}(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_x \mathcal{F}_x, \mathcal{F}_x/\mathfrak m_x \mathcal{F}_x)\] 은 전사이다. 성질 (3)에 의하여 \(\mathcal{F}_x\)의 계수는 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 그러면 함자 \[\mathcal{H} \longmapsto \Gamma(X, \mathcal{H}) = \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = \Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] 는 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 위에서도 완전이라고 결론 내릴 수 있다. 이는 첫째 \(\Ext\) 군 \[\Ext^1_{\QCoh(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = 0\] 이 아벨 범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 계산될 때 모든 \(\mathcal{H}\)에 대하여 사라짐을 뜻하며, 이들은 모두 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다. 한편 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 확장에 대해 닫혀 있으므로(스킴의 절 01LA), 준연접 가군 사이의 \(\Ext^1\)을 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 계산한 것은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에서 계산한 것과 같다. 따라서 \[H^1(X, \mathcal{H}) = \Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = 0\] 이다. 이는 모든 \(\mathcal{H}\), 곧 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상에 대하여 성립한다. 예를 들어 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XF에 의하여 이는 \(X\)가 아핀임을 뜻한다.
명제
\(X\)와 \(Y\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. 동치 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)가 주어지면, 스킴의 동형사상 \(f : Y \to X\)와 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재하여 \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)이다.
증명
물론 \(F\)는 가법적이고 완전이며 모든 극한, 모든 여극한 및 직합과 가환하는 등의 성질을 갖는다. \(U \subset X\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 택하자. 여기서 \(Z = V(\mathcal{I})\)는 \(U\)의 \(X\) 안에서의 여집합이다. 성질의 보조정리 01PH를 보라. 그러면 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 따라서 보조정리 0GPE에 의하여 \(\mathcal{G} = F(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. \(T \subset Y\)를 \(\mathcal{G}\)의 지지집합이라 하고 \(V = Y \setminus T\)로 놓자. \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이므로 \(V\)는 \(Y\)의 준콤팩트 열린 부분스킴이다. 보조정리 0GPG에 의하여 \(F\)는 다음 두 범주 사이의 동치를 유도한다.
\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 충만 부분범주로서 그 가군들이 \(Z\) 위에 지지되는 것,
\(\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 충만 부분범주로서 그 가군들이 \(T\) 위에 지지되는 것.
보조정리 0GPH에 의하여 가환 그림 \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[r]_F \ar[d] & \QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[d] \\ \QCoh(\mathcal{O}_U) \ar[r]^{F_U} & \QCoh(\mathcal{O}_V) }\] 을 얻는다. 여기서 수직 화살표들은 제한 함자이고 수평 화살표들은 동치이다. 보조정리 0GPI에 의하여 \(V\)는 아핀이다. 아핀인 경우에는 보조정리 0GP0가 있다. 따라서 동형사상 \(f_U : V \to U\)와 가역 \(\mathcal{O}_V\)-가군 \(\mathcal{L}_U\)가 존재하여 \(F_U\)는 함자 \(\mathcal{F} \mapsto f_U^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_U\)임을 알 수 있다.
위의 그림들이 \(X\)의 아핀 열린 부분스킴들의 포함에 관하여 자명한 양립성을 만족함을 관찰하면 증명을 끝낼 수 있다. 따라서 사상 \(f_U\)와 가역 가군 \(\mathcal{L}_U\)는 붙여진다. 자세한 내용은 생략한다.
연접 가군 범주 사이의 함자
다음 보조정리는 연접 가군의 범주 사이의 함자가 주어졌을 때 준연접 가군의 범주 사이의 함자에 관한 내용을 사용할 수 있음을 보장한다.
보조정리
\(X\)와 \(Y\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\)를 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 여과 여극한과 가환하는 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)로 유일하게 확장된다. \(F\)가 가법적이면 그 확장은 임의의 직합과 가환한다. \(F\)가 완전, 좌완전 또는 우완전이면 그 확장도 각각 그러하다.
증명
확장의 존재성과 유일성은 일반적인 사실이다. 범주의 보조정리 0FWY을 보라. 이 보조정리를 적용할 수 있음을 확인하기 위해, 연접 가군은 유한 표시이고(가군의 보조정리 01BW), 따라서 가군의 보조정리 01BS에 의하여 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 범주론적 콤팩트 대상임을 관찰하라. 마지막으로, 예를 들어 성질의 보조정리 01PG에 의하여 모든 준연접 가군은 연접 가군들의 여과 여극한이다.
\(F\)가 가법적이라고 가정하자. \(\mathcal{F} = \bigoplus_{j \in J} \mathcal{H}_j\)이고 \(\mathcal{H}_j\)들이 준연접이면 \(\mathcal{F} = \colim_{J' \subset J\text{ finite}} \bigoplus_{j \in J'} \mathcal{H}_j\)이다. \(F\)의 확장도 \(F\)로 나타내면 \[\begin{align*} F(\mathcal{F}) & = \colim_{J' \subset J\text{ finite}} F(\bigoplus\nolimits_{j \in J'} \mathcal{H}_j) \\ & = \colim_{J' \subset J\text{ finite}} \bigoplus\nolimits_{j \in J'} F(\mathcal{H}_j) \\ & = \bigoplus\nolimits_{j \in J} F(\mathcal{H}_j) \end{align*}\] 이다. 따라서 \(F\)는 임의의 직합과 가환한다.
\(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\)을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 짧은 완전열이라 하자. 성질의 보조정리 01PG에 따라 \(\mathcal{F}' = \bigcup \mathcal{F}'_i\)를 연접 부분가군들의 합집합으로 쓰자. \(\mathcal{F}''_i \subset \mathcal{F}''\)을 상이라 하되, 이는 \(\mathcal{F}'_i\)의 상으로 정하고, \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap \mathcal{F}'_i = \Ker(\mathcal{F}'_i \to \mathcal{F}''_i)\)로 놓자. 그러면 분명히 \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_i\)이고 \(\mathcal{F}'' = \bigcup \mathcal{F}''_i\)이며, 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i' \to \mathcal{F}_i'' \to 0\] 을 얻는다. 확장은 여과 여극한과 가환하므로 \(F(\mathcal{F}) = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}_i)\), \(F(\mathcal{F}') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}'_i)\), \(F(\mathcal{F}'') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}''_i)\)이다. 여과 여극한은 완전하므로(가군의 보조정리 01AH) \(F\)의 완전성 성질들이 그 확장으로 계승된다고 결론 내린다.
보조정리
\(X\)와 \(Y\)를 뇌터 스킴이라 하자. 범주의 동치 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\)가 주어지면, 동형사상 \(f : Y \to X\)와 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재하여 \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)이다.
증명
보조정리 0FZL에 의하여 유일한 함자 \(F' : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)를 얻으며, 이는 \(F\)를 확장한다. \(F\)의 준역도 마찬가지이고, 유일성에 의하여 \(F'\)가 동치라고 결론 내린다. 명제 0GPJ에 의하여 동형사상 \(f : Y \to X\)와 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재하여 \(F'(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)이다. 그러면 같은 \(f\)와 \(\mathcal{L}\)이 \(F\)에도 적용된다.
주
보조정리 0GPK에서 \(X\)와 \(Y\)가 공통 밑환 \(R\) 위에 정의되고 \(F\)가 \(R\)-선형이면, 동형사상 \(f\)는 \(R\) 위의 스킴 사상이다.
보조정리
\(f : V \to X\)를 뇌터 스킴의 준유한 분리 사상이라 하자. 연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군 \(\mathcal{K}\)가 존재하고 그 지지집합이 \(V\)이며, \(f_*\mathcal{K}\)가 연접이고 \(R^qf_*\mathcal{K} = 0\)이면 \(f\)는 유한이다.
증명
Zariski의 주정리에 의하여 열린 몰입 \(j : V \to Y\)를 찾을 수 있는데, 이는 \(X\) 위에 있고 \(\pi : Y \to X\)는 유한이다. 사상 심화의 보조정리 05K0를 보라. \(\pi\)가 아핀이므로 함자 \(\pi_*\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에서 완전하고 충실하다. 따라서 \(j_*\mathcal{K}\)가 연접이고 \(R^qj_*\mathcal{K}\)가 영임을 알 수 있다. 여기서 \(q > 0\)이다. 다시 말해 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원된다.
\(f\)가 열린 몰입이라고 가정하자. \(X\)를 \(V\)의 스킴론적 폐포로 바꾸어도 된다. 모순을 얻기 위해 \(X \setminus V\)가 공집합이 아니라고 가정하자. 일반점 \(\xi \in X \setminus V\)를 택하되, 이는 \(X \setminus V\)의 한 기약 성분의 일반점으로 택한다. 평탄 밑변환과 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0을 사용하여 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \to X\)로 밑변환한 뒤의 상황을 살펴보면, 다음 문단에서 논의하는 대수 문제로 환원된다.
\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하고 그 지지집합이 \(\Spec(A)\)이라고 하자. 그러면 \(H^i_\mathfrak m(M) \not = 0\)이며, 이는 어떤 \(i\)에 대하여 성립한다. 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ와, \(M\)이 영이 아니므로 깊이가 유한이라는 사실에서 따른다.
다음 보조정리는 \(k\)가 뇌터 환이고 \(X\)가 \(k\) 위에서 평탄인 경우로 일반화할 수 있다(다른 모든 가정은 그대로 둔다).
보조정리
\(k\)를 체라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하고 \(X\)가 분리라고 하자. 다음 두 범주는 동치이다.
\(k\)-선형 완전 함자 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\)의 범주,
연접 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-가군 \(\mathcal{K}\)의 범주. 여기서 이 가군은 \(X\) 위에서 평탄이고 그 지지집합은 \(Y\) 위에서 유한이다.
이 동치는 \(\mathcal{K}\)를 (0FZC)의 함자를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)에 제한한 것으로 보내어 주어진다.
증명
\(\mathcal{K}\)가 (2)에서와 같다고 하자. 보조정리 0FZH에 의하여 (0FZC)로 주어진 함자 \(F\)는 완전하고 \(k\)-선형이다. 더 나아가, 예를 들어 스킴의 코호몰로지의 보조정리 08DS에 의하여 \(F\)는 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) 안으로 보낸다.
이 구성의 준역을 만들자. \(F\)가 (1)에서와 같다고 하자. 보조정리 0FZL에 의하여 \(F\)를 준연접 가군의 범주 위의 임의의 직합과 가환하는 \(k\)-선형 완전 함자로 확장할 수 있다. 보조정리 0FZH에 의하여 이 확장에 대응하는 유일한 준연접 가군 \(\mathcal{K}\)가 존재하며, 이 가군은 \(X\) 위에서 평탄이고 \(R^q\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{K}) = 0\)이다. 여기서 \(q > 0\)이고, 이는 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 성립한다. \(F(\mathcal{O}_X)\)가 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이므로 보조정리 0FZJ에 의하여 \(\mathcal{K}\)가 연접이라고 결론 내린다.
닫힌 점 \(x \in X\)에 대하여 마천루 층 \(\mathcal{O}_x\)를 나타내자. 이는 \(x\)에서 값이 \(x\)의 잉여체인 층이다. 다음 등식이 성립한다. \[F(\mathcal{O}_x) = \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{O}_x \otimes \mathcal{K}) = (x \times Y \to Y)_*(\mathcal{K}|_{x \times Y})\] \(x \times Y \to Y\)가 유한이므로 이 사상을 따른 직접상은 충실하다. 따라서 \(y \in Y\)가 \(\mathcal{K}|_{x \times Y}\)의 지지집합의 상에 속하면 \(y\)는 \(F(\mathcal{O}_x)\)의 지지집합에 속한다.
\(Z \subset X \times Y\)를 스킴론적 지지집합 \(Z\)라 하자. 이는 \(\mathcal{K}\)의 스킴론적 지지집합이다. 사상의 정의 05JV를 보라. 먼저 닫힌 점 위의 올들이 유한임을 보여 \(Z \to Y\)가 준유한임을 증명하자. 실제로 \(Z \to Y\)의 닫힌 점 \(y \in Y\) 위의 올의 차원이 \(> 0\)이면, 서로 다른 닫힌 점 \(x_1, x_2, \ldots\)를 \(Z_y \to X\)의 상에서 무한히 많이 찾을 수 있다. 전사사상 \(\mathcal{O}_X \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{x_i}\)가 있으므로 전사사상 \[F(\mathcal{O}_X) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} F(\mathcal{O}_{x_i})\] 을 얻는다. 위에서 말한 바에 따라 점 \(y\)는 각 연접 가군 \(F(\mathcal{O}_{x_i})\)의 지지집합에 속한다. \(F(\mathcal{O}_X)\)가 연접 가군이므로, \(F(\mathcal{O}_X)\)의 \(y\)에서의 줄기는 \(< n\)개의 원소로 생성되어 모순이 된다. 여기서 \(n\)은 충분히 크게 잡는다. 따라서 \(Z \to Y\)는 준유한이다. \(\text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\)가 연접이고 \(R^q\text{pr}_{2, *}\mathcal{K} = 0\)이며 \(q > 0\)이므로, 보조정리 0FZM에 의하여 \(Z \to Y\)는 유한이다.
보조정리
\(f : X \to Y\)를 스킴의 유한형 분리 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접 가군이라 하고, 그 지지집합은 \(Y\) 위에서 유한하다고 하자. \(\mathcal{L} = f_*\mathcal{F}\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. 그러면 단면 \(s : Y \to X\)가 존재하여 \(\mathcal{F} \cong s_*\mathcal{L}\)이다.
증명
아핀 국소적으로 보면 이는 다음 대수 문제로 옮겨진다. \(A \to B\)를 환 사상이라 하고 \(N\)을 \(B\)-가군으로서 \(A\)-가군일 때 가역이라 하자. 그러면 소멸자 \(J\), 즉 \(N\)의 \(B\) 안에서의 소멸자는 \(A \to B/J\)가 동형사상이 되는 성질을 갖는다. 자세한 내용은 생략한다.
보조정리
\(f : X \to Y\)를 단면 \(s : Y \to X\)를 갖는 스킴의 유한형 분리 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접 가군이라 하고, 집합론적으로 \(s(Y)\) 위에 지지된다고 하자. \(\mathcal{L} = f_*\mathcal{F}\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. \(Y\)가 축약이면 \(\mathcal{F} \cong s_*\mathcal{L}\)이다.
증명
보조정리 0FZP에 의하여 단면 \(s' : Y \to X\)가 존재하여 \(\mathcal{F} = s'_*\mathcal{L}\)이다. \(s'(Y)\)와 \(s(Y)\)는 같은 바탕 닫힌 부분집합을 가지며 둘 다 \(X\)의 축약 닫힌 부분스킴이므로 서로 같아야 한다. 따라서 \(s = s'\)이고 보조정리가 성립한다.
보조정리
\(k\)를 체라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하고 \(X\)가 분리이고 \(Y\)가 축약이라고 하자. 범주의 \(k\)-선형 동치 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\)가 있으면, 동형사상 \(f : Y \to X\)가 존재하며 이는 \(k\) 위에 있다. 또한 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재하여 \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)이다.
증명
증명
보조정리 0FZN에 의하여 연접 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-가군 \(\mathcal{K}\)를 얻는다. 이 가군은 \(X\) 위에서 평탄이고 지지집합이 \(Y\) 위에서 유한하며, \(F\)는 (0FZC)의 함자를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)에 제한하여 주어진다. \(F(\mathcal{O}_X)\)가 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군임을 보일 수 있다면 보조정리 0FZP에 의하여 \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\)임을 알 수 있다. 여기서 \(s : Y \to X \times Y\)는 \(\text{pr}_2\)의 어떤 단면이고, 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군은 \(\mathcal{L}\)이다. 그러면 \(F\)가 표시된 꼴, 곧 \(f = \text{pr}_1 \circ s\)로 놓을 때의 꼴임을 얻는다. 일부 세부 사항은 생략한다.
\(F(\mathcal{O}_X)\)가 가역임을 보이는 일만 남았다. 증명의 개요만 설명하고 일부 세부 사항은 생략한다. 닫힌 점 \(x \in X\)에 대하여 마천루 층 \(\mathcal{O}_x\), 즉 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 대상을 나타내자. 이는 \(x\)에서 값이 \(\kappa(x)\)인 층이다. 먼저 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 단순 대상은 이 마천루 층 \(\mathcal{O}_x\)들뿐임을 관찰한다. \(Y\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 모든 닫힌 점 \(y \in Y\)에 대하여 닫힌 점 \(x \in X\)가 존재하여 \(\mathcal{O}_y \cong F(\mathcal{O}_x)\)이다. 더 나아가 자기준동형을 살펴보면 \(\kappa(x) \cong \kappa(y)\)임을 알 수 있다. 이는 \(k\)의 유한 확대체로서의 동형사상이다. 그러면 \[\Hom_Y(F(\mathcal{O}_X), \mathcal{O}_y) \cong \Hom_Y(F(\mathcal{O}_X), F(\mathcal{O}_x)) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_x) \cong \kappa(x) \cong \kappa(y)\] 이다. 이는 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(F(\mathcal{O}_X)\)의 \(y \in Y\)에서의 줄기가 \(1\)개의 생성원으로 생성될 수 있고 그보다 적게는 생성될 수 없음을 뜻하며, 모든 닫힌 점 \(y \in Y\)에 대하여 성립한다. 따라서 \(F(\mathcal{O}_X)\)는 국소적으로 \(1\)개의 원소로 생성되며 그보다 적게는 생성되지 않는다. \(Y\)가 축약이므로 이는 실제로 가역 가군임을 뜻한다.