스택의 예

서론

여기서는 대수기하학에 나타나는 스택의 예들을 논의한다. 그중 일부는 대수 스택이고 일부는 그렇지 않다. 어느 것이 대수 스택인지는 뒤의 장에서 논의한다. 따라서 이 장에서는 주로 하강 조건을 다룬다. 예를 들어 [Vis2]를 보라.

이 장의 표기, 규약, 용어 중 일부는 어색하며 숙련된 독자에게는 거꾸로인 것처럼 보일 수도 있다. 이는 의도된 것이다. 설명은 Quot, 절 05X6를 보라.

표기

이 장에서는 위상, 정의 021R에서와 같이 적절한 큰 fppf 자리 \(\Sch_{fppf}\)를 고정한다. 따라서 명시적으로 달리 말하지 않는 한 모든 스킴은 \(\Sch_{fppf}\)의 대상이다. 항상 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있는 바탕 \(S\)에 상대하여 작업하고, 큰 fppf 자리 \((\Sch/S)_{fppf}\)를 사용한다. 위상, 정의 021S를 보라. \(S = \Spec(\mathbf{Z})\)로 두면 절대적인 경우를 얻는다.

스택의 예

먼저 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택에 대한 몇 가지 중요한 예를 제시한다.

준연접층

범주 \(\QCohstack\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\QCohstack\)의 대상은 쌍 \((X, \mathcal{F})\)이다. 여기서 \(X/S\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고, \(\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

2. 사상 \((f, \varphi) : (Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\)는 \(S\) 위의 스킴의 사상 \(f : Y \to X\)와 \(f\)-사상(층, 절 0094를 보라) \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)로 이루어진 쌍이다.

3. 사상들의 합성 \[(Z, \mathcal{H}) \xrightarrow{(g, \psi)} (Y, \mathcal{G}) \xrightarrow{(f, \phi)} (X, \mathcal{F})\] 은 \((f \circ g, \psi \circ \phi)\)이다. 여기서 \(\psi \circ \phi\)는 \(f\)-사상들의 합성이다.

따라서 \(\QCohstack\)는 범주이고 \[p : \QCohstack \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (X, \mathcal{F}) \mapsto X\] 는 함자이다. 스킴 \(X\) 위의 \(\QCohstack\)의 섬유범주는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 반대범주임에 유의하자. 뒤에서 사용할 다음 사실도 기록해 둔다. \((X, \mathcal{F}), (Y, \mathcal{G}) \in \Ob(\QCohstack)\) 가 주어지면 [04U2]\[\begin{equation} \Mor_{\QCohstack}((Y, \mathcal{G}), (X, \mathcal{F})) = \coprod\nolimits_{f \in \Mor_S(Y, X)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Y)}(f^*\mathcal{F}, \mathcal{G}) \end{equation}\] 이다. 가군의 \(f\)-사상에 대한 논의는 층, 절 0094를 보라.

범주 \(\QCohstack\)는 대상들의 모임이 진클래스이므로 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택이 아니다. 한편 스택의 모든 공리를 만족함은 보게 될 것이다. 집합론적 문제는 절 0404에서 해결한다.

보조정리

\(\QCohstack\)의 사상 \((f, \varphi) : (Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\)가 강하게 데카르트일 필요충분조건은 사상 \(\varphi\)가 동형 \(f^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 유도하는 것이다.

증명

\((X, \mathcal{F}) \in \Ob(\QCohstack)\)라 하고, \(f : Y \to X\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 사상이라 하자. 표준적인 \(f\)-사상 \(c : \mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}\)가 있으므로 사상 \((f, c) : (Y, f^*\mathcal{F}) \to (X, \mathcal{F})\)를 얻는다. \((f, c)\)가 강하게 데카르트라고 주장한다. 실제로 \(\QCohstack\)의 임의의 대상 \((Z, \mathcal{H})\)에 대하여 \[\begin{align*} \Mor_{\QCohstack}((Z, \mathcal{H}), (Y, f^*\mathcal{F})) & = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(Z, Y)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Z)}(g^*f^*\mathcal{F}, \mathcal{H}) \\ & = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(Z, Y)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Z)}((f \circ g)^*\mathcal{F}, \mathcal{H}) \\ & = \Mor_{\QCohstack}((Z, \mathcal{H}), (X, \mathcal{F})) \times_{\Mor_S(Z, X)} \Mor_S(Z, Y) \end{align*}\] 이고, 여기서 식 (04U2)을 두 번 사용하였다. 이로써 \((f, c)\)가 범주, 정의 02XK의 조건을 만족하므로 주장이 성립한다. 이제 범주, 보조정리 02XL에 의해 동형은 강하게 데카르트이고 강하게 데카르트인 사상들의 합성도 강하게 데카르트이다. 따라서 보조정리의 “충분” 부분이 증명된다. 역으로 \((X, \mathcal{F})\)와 \(f : Y \to X\)가 주어졌을 때, 목표가 \((X, \mathcal{F})\)이고 \(f\)를 올리는 강하게 데카르트인 사상이 존재하면 이는 \((f, c)\)와 동형이어야 한다. 범주, 정의 02XK 뒤의 논의를 보라. 따라서 보조정리의 “필요” 부분도 성립한다.

보조정리

함자 \(p : \QCohstack \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 스택, 정의 026F의 조건 (1), (2), (3)을 만족한다.

증명

보조정리 04U3에서 \(\QCohstack\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 섬유화된 범주임이 명백하다. \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복 \(\mathcal{U} = \{X_i \to X\}_{i \in I}\)가 주어지면 함자 \[\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] 는 충실충만이고 본질적으로 전사이다. 하강, 명제 023T를 보라. 따라서 스택, 보조정리 02ZF를 적용하면 \(\QCohstack\)가 스택의 모든 공리를 만족함을 알 수 있다.

유한 생성 준연접층의 스택

유한형 준연접 가군만을 고려하면 준연접층의 스택을 얻을 수 있다. \[p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\] 를 \(\mathcal{F}\)가 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_T\)-가군인 쌍 \((T, \mathcal{F})\)들로 이루어진, \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 \(\QCohstack\)의 충만한 부분범주로 나타내자.

보조정리

함자 \(p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 스택, 정의 026F의 조건 (1), (2), (3)을 만족한다.

증명

이를 증명하기 위해 스택, 보조정리 04TU의 가정 (1), (2), (3)을 확인한다. 보조정리 04U3에 의해 사상 \((Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\)가 강하게 데카르트일 필요충분조건은 동형 \(f^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 유도하는 것이다. 가군, 보조정리 01B6에 의해 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 당김은 유한형이다. 따라서 스택, 보조정리 04TU의 가정 (1)이 성립한다. 가정 (2)는 자명하다. 마지막으로 가정 (3)을 증명하려면 다음을 보여야 한다. \(\mathcal{F}\)가 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\{f_i : X_i \to X\}\)가 각 \(f_i^*\mathcal{F}\)가 유한형이 되게 하는 fppf 피복이면, \(\mathcal{F}\)도 유한형이다. \(X\)의 아핀 열린집합에 대한 \(\mathcal{F}\)의 제한을 생각하면 이는 다음 대수 명제로 환원된다. \(R \to S\)가 유한 제시이고 충실하게 평탄한 환 준동형이며 \(M\)이 \(R\)-가군이라고 하자. \(M \otimes_R S\)가 유한 생성 \(S\)-가군이면 \(M\)은 유한 생성 \(R\)-가군이다. 이 대수 사실의 더 강한 형태는 대수, 보조정리 03C4에 있다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)가 환 달린 공간이라고 하자.

1. 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주의 동형류들은 집합을 이룬다.

2. 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주의 동형류들은 집합을 이룬다.

증명

(2)의 범주는 (1)의 범주의 충만한 부분범주이므로 (2)는 (1)에서 따른다. 임의의 열린 피복 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 생각하자. 포함사상을 \(j_i : U_i \to X\)로 쓰자. 임의의 사상 \(r : I \to \mathbf{N}\)을 생각하자. \(\mathcal{F}\)가 각 \(U_i\)에 대한 제한이 \(\mathcal{F}(U_i)\)의 단면을 많아야 \(r(i)\)개 사용하여 생성되는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면, \(\mathcal{F}\)는 층 \[\mathcal{H}_{\mathcal{U}, r} = \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{i, !}\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus r(i)}\] 의 몫이다. 정의상 \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 지표집합이 \(I = X\)인 어떤 열린 피복 \(\mathcal{U}\)가 존재하여 이 조건이 성립한다. 따라서 가능한 \(\mathcal{U}\)의 선택들이 집합을 이루고(명백하다), 가능한 \(r : I \to \mathbf{N}\)의 선택들이 집합을 이루며(명백하다), 각 \(\mathcal{U}\)와 \(r\)에 대하여 \(\mathcal{H}_{\mathcal{U}, r}\)의 가능한 몫 가군들이 집합을 이룸을 보이면 충분하다. 다시 말해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{H}\)가 주어졌을 때 그 몫의 동형류들이 많아야 집합을 이룸을 보이면 충분하다. 이 마지막 주장은 몫사상 \(\mathcal{H} \to \mathcal{F}\)의 핵들이 \(\prod_{U \subset X\text{ open}} \mathcal{H}(U)\)의 멱집합의 부분집합으로 매개화된다고 생각하면 명백하다.

보조정리

다음 성질들을 갖는 부분범주 \(\QCohstack_{fg, small} \subset \QCohstack_{fg}\) 가 존재한다.

1. 포함 함자 \(\QCohstack_{fg, small} \to \QCohstack_{fg}\)는 충실충만이고 본질적으로 전사이다.

2. 함자 \(p_{fg, small} : \QCohstack_{fg, small} \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 \(\QCohstack_{fg, small}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택으로 만든다.

증명

보조정리 04U4와 04U5에서 \(p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\)가 스택, 정의 026F의 (1), (2), (3)과 스택, 주 03ZZ의 추가 조건 (4)를 만족함을 보았다. 따라서 그 주의 논의에서 \(\QCohstack_{fg, small}\)를 얻는다.

뒤에서 종종 더 언급하지 않고 치환 \[\QCohstack_{fg} \leadsto \QCohstack_{fg, small}\] 을 시행하고, 표기를 남용하여 이 치환 결과도 단순히 \(\QCohstack_{fg}\)로 나타낼 것이다.

주

이 절의 논의 전체는 어떤 무한 기수 \(\kappa\), 예를 들어 \(\kappa = \aleph_0\)에 대하여 국소적으로 많아야 \(\kappa\)개의 단면으로 생성되는 준연접층들을 고려할 때에도 성립한다.

유한 étale 피복

범주 \(\textit{F\'Et}\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\textit{F\'Et}\)의 대상은 스킴의 유한 étale 사상 \(Y \to X\)이다. 우리의 규약에 따르면 이는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 안의 유한 étale 사상을 뜻한다.

2. \(\textit{F\'Et}\)의 사상 \((b, a) : (Y \to X) \to (Y' \to X')\)는 스킴의 범주에서의 가환 도표 \[\xymatrix{ Y \ar[d] \ar[r]_b & Y' \ar[d] \\ X \ar[r]_a & X' }\] 이다.

따라서 \(\textit{F\'Et}\)는 범주이고 \[p : \textit{F\'Et} \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (Y \to X) \mapsto X\] 는 함자이다. 스킴 \(X\) 위의 \(\textit{F\'Et}\)의 섬유범주는 기본군, 절 0BL6에서 연구한 범주 \(\textit{F\'Et}_X\)와 같음에 유의하자.

보조정리

함자 \[p : \textit{F\'Et} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택을 정의한다.

증명

유한 étale 사상의 fppf 하강은 하강, 보조정리 0245, 02LA, 및 02VN에서 따른다. 세부사항은 생략한다.

대수공간

범주 \(\Spacesstack\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\Spacesstack\)의 대상은 \(S\) 위의 대수공간의 사상 \(X \to U\)이다. 여기서 \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상으로 표현가능하다.

2. 사상 \((f, g) : (X \to U) \to (Y \to V)\)는 \(S\) 위의 대수공간의 사상들로 이루어진 가환 도표 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ U \ar[r]^g & V }\] 이다.

따라서 \(\Spacesstack\)는 범주이고 \[p : \Spacesstack \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (X \to U) \mapsto U\] 는 함자이다. 스킴 \(U\) 위의 \(\Spacesstack\)의 섬유범주는 \(U\) 위의 대수공간의 범주 \(\textit{Spaces}/U\)와 같다. 대수공간의 위상, 절 03Y6를 보라. 따라서 때로 \(\Spacesstack\)의 대상을 스킴 \(U\)와 \(U\) 위의 대수공간 \(X\)로 이루어진 쌍 \(X/U\)로 생각한다. 뒤에서 사용할 다음 사실도 기록해 둔다. \((X/U), (Y/V) \in \Ob(\Spacesstack)\) 가 주어지면 [04U8]\[\begin{equation} \Mor_{\Spacesstack}(X/U, Y/V) = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(U, V)} \Mor_{\textit{Spaces}/U}(X, U \times_{g, V} Y) \end{equation}\] 이다. 범주 \(\Spacesstack\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택에 거의 가깝지만 정확히 스택은 아니다. 아래에서 설명하듯 문제는 집합론적이다.

보조정리

\(\Spacesstack\)의 사상 \((f, g) : X/U \to Y/V\)가 강하게 데카르트일 필요충분조건은 사상 \(f\)가 동형 \(X \to U \times_{g, V} Y\)를 유도하는 것이다.

증명

\(Y/V \in \Ob(\Spacesstack)\)라 하고, \(g : U \to V\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 사상이라 하자. 사영 \(p : U \times_{g, V} Y \to Y\)는 \(\Spacesstack\)의 사상 \((p, g) : U \times_{g, V} Y/U \to Y/V\)를 준다. \((p, g)\)가 강하게 데카르트라고 주장한다. 실제로 \(\Spacesstack\)의 임의의 대상 \(Z/W\)에 대하여 \[\begin{align*} \Mor_{\Spacesstack}(Z/W, U \times_{g, V} Y/U) & = \coprod\nolimits_{h \in \Mor_S(W, U)} \Mor_{\textit{Spaces}/W}(Z, W \times_{h, U} U \times_{g, V} Y) \\ & = \coprod\nolimits_{h \in \Mor_S(W, U)} \Mor_{\textit{Spaces}/W}(Z, W \times_{g \circ h, V} Y) \\ & = \Mor_{\Spacesstack}(Z/W, Y/V) \times_{\Mor_S(W, V)} \Mor_S(W, U) \end{align*}\] 이고, 여기서 식 (04U8)을 두 번 사용하였다. 이로써 \((p, g)\)가 범주, 정의 02XK의 조건을 만족하므로 주장이 성립한다. 이제 범주, 보조정리 02XL에 의해 동형은 강하게 데카르트이고 강하게 데카르트인 사상들의 합성도 강하게 데카르트이다. 따라서 보조정리의 “충분” 부분이 증명된다. 역으로 \(Y/V\)와 \(g : U \to V\)가 주어졌을 때, 목표가 \(Y/V\)이고 \(g\)를 올리는 강하게 데카르트인 사상이 존재하면 이는 \((p, g)\)와 동형이어야 한다. 범주, 정의 02XK 뒤의 논의를 보라. 따라서 보조정리의 “필요” 부분도 성립한다.

보조정리

함자 \(p : \Spacesstack \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 스택, 정의 026F의 조건 (1), (2)를 만족한다.

증명

보조정리 04U9에서 \(\Spacesstack\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 섬유화된 범주임이 따르므로 (1)이 증명된다. \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복이라고 하자. \(X, Y\)가 \(U\) 위의 대수공간이라고 하자. 마지막으로 \(\varphi_i : X_{U_i} \to Y_{U_i}\)가 \(\textit{Spaces}/U_i\)의 사상들이고, \(\varphi_i\)와 \(\varphi_j\)의 \(U_i \times_U U_j\) 위로의 제한이 같은 대수공간의 사상 \(X_{U_i \times_U U_j} \to Y_{U_i \times_U U_j}\)라고 하자. (2)를 증명하려면 \(U_i\)로의 밑변환이 \(\varphi_i\)와 같은 \(U\) 위의 유일한 사상 \(\varphi : X \to Y\)가 존재함을 보여야 한다. \(X\)에서 \(Y\)로의 사상은 층의 사상과 같으므로 이는 자리, 보조정리 04TQ에서 곧바로 따른다.

주

집합론적 어려움을 무시하면¹ \(\Spacesstack\)는 대상에 대한 하강도 만족하므로 스택이다. 즉, 다음이 주어지면

1. fppf 피복 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\),

2. 각 \(i \in I\)에 대하여 대수공간 \(X_i/U_i\),

3. 각 \(i, j \in I\)에 대하여 \(U_i \times_U U_j\) 위의 대수공간의 동형 \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\)로서 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 위에서 쌍대순환 조건을 만족하는 것,

대수공간 \(X/U\)와 \(U_i\) 위의 동형 \(X_{U_i} \cong X_i\)가 존재하여 동형 \(\varphi_{ij}\)를 복원함을 보여야 한다. 먼저 자리, 보조정리 04TR에 의해 \(X_i\)와 \(\varphi_{ij}\)를 복원하는 \((\Sch/U)_{fppf}\) 위의 층 \(X\)가 존재한다. 그러면 부트스트랩, 보조정리 04SK에 의해, 그 보조정리의 집합론적 조건을 무시하면 \(X\)가 대수공간임을 알 수 있다. 다음 절에서는 이 논증을 사용하여 유한형 대수공간만을 고려하면 스택을 얻음을 보인다.

유한형 대수공간의 스택

유한형 대수공간만을 고려하면 대수공간의 스택을 얻을 수 있다. \[p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\] 를 \(X \to U\)가 유한형 사상인 쌍 \(X/U\)들로 이루어진, \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 \(\Spacesstack\)의 충만한 부분범주로 나타내자.

보조정리

함자 \(p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 는 스택, 정의 026F의 조건 (1), (2), (3)을 만족한다.

증명

무슨 일이 일어나는지 오히려 알아보기 어려울 만큼 지나치게 자세히 적겠다.

보조정리 04U9에서 \(\Spacesstack\)의 사상 \((f, g) : X/U \to Y/V\)가 강하게 데카르트일 조건은 유도된 사상 \(f : X \to U \times_V Y\)가 동형인 것임을 보았다. \(Y \to V\)가 유한형이면 \(U \times_V Y \to U\)도 유한형임에 유의하자. 대수공간의 사상, 보조정리 03XH를 보라. 따라서 \(\Spacesstack\)의 \((f, g) : X/U \to Y/V\)가 \(\Spacesstack\)에서 강하게 데카르트이고 \(Y/V\)가 \(\Spacesstack_{ft}\)의 대상이면, 자동으로 \(X/U\)도 \(\Spacesstack_{ft}\)의 대상이며 물론 \((f, g)\)도 \(\Spacesstack_{ft}\)에서 강하게 데카르트이다. 이로써 \(\Spacesstack_{ft}\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 섬유화된 범주임을 알 수 있다. 이것으로 (1)이 증명된다.

위의 논증은 포함 함자 \(\Spacesstack_{ft} \to \Spacesstack\)가 강하게 데카르트인 사상을 강하게 데카르트인 사상으로 보냄도 보여 준다. 다시 말해 \(\Spacesstack_{ft} \to \Spacesstack\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이다.

\(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)라 하고, \(X, Y\)를 \(U\) 위의 유한형 대수공간이라 하자. 스택, 보조정리 042V에 의해 준층의 사상 \[\mathit{Mor}_{\Spacesstack_{ft}}(X, Y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\Spacesstack}(X, Y)\] 을 얻는다. \(\Spacesstack_{ft}\)가 \(\Spacesstack\)의 충만한 부분범주이므로 이는 동형이다. 보조정리 04UA에서 오른쪽이 층임을 보였으므로 왼쪽도 층이다. 이것으로 (2)가 증명된다.

스택, 정의 026F의 조건 (3)을 증명하려면 다음을 보여야 한다. 다음이 주어졌다고 하자.

1. \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\),

2. 각 \(i \in I\)에 대하여 \(U_i\) 위의 유한형 대수공간 \(X_i\),

3. 각 \(i, j \in I\)에 대하여 \(U_i \times_U U_j\) 위의 대수공간의 동형 \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\)로서 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 위에서 쌍대순환 조건을 만족하는 것.

그러면 \(U\) 위의 유한형 대수공간 \(X\)와 \(U_i\) 위의 동형 \(X_{U_i} \cong X_i\)가 존재하여 동형 \(\varphi_{ij}\)를 복원해야 한다. 이는 부트스트랩, 보조정리 0ADV의 (2)에서 따른다. 대수공간 위의 하강, 보조정리 041T에 의해 \(X \to U\)가 유한형임을 알 수 있으며, 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

다음 성질들을 갖는 부분범주 \(\Spacesstack_{ft, small} \subset \Spacesstack_{ft}\) 가 존재한다.

1. 포함 함자 \(\Spacesstack_{ft, small} \to \Spacesstack_{ft}\)는 충실충만이고 본질적으로 전사이다.

2. 함자 \(p_{ft, small} : \Spacesstack_{ft, small} \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 \(\Spacesstack_{ft, small}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택으로 만든다.

증명

보조정리 04UD에서 \(p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\)가 스택, 정의 026F의 (1), (2), (3)을 만족함을 보았다. 모든 \(S\) 위의 대수공간 \(X\)는 어떤 \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)에 대하여 \(U/R\) 꼴이므로 스택, 주 03ZZ의 추가 조건 (4)도 성립한다. 대수공간, 보조정리 0262을 보라. 따라서 대상의 동형류들은 집합을 이룬다. 그러므로 그 주의 논의에서 \(\Spacesstack_{ft, small}\)를 얻는다.

뒤에서 종종 더 언급하지 않고 치환 \[\Spacesstack_{ft} \leadsto \Spacesstack_{ft, small}\] 을 시행하고, 표기를 남용하여 이 치환 결과도 단순히 \(\Spacesstack_{ft}\)로 나타낼 것이다.

주

이 절의 논의 전체는 다음과 같은 국소 유한형 대수공간 \(X/U\)를 고려할 때에도 성립한다. 즉, \(U\)의 아핀 열린집합의 \(X\) 안에서의 역상이 가산개의 아핀으로 덮이는 경우이다. 필요하다면 기수 \(\kappa\)에 대하여 \(\kappa\)-형 사상이라는 개념도 도입할 수 있다. 이는 환 확대의 생성자 수에 대한 어떤 상계와, 바탕의 주어진 아핀 위에 놓인 아핀들의 기수에 대한 어떤 상계를 뜻한다. 그러면 위와 정확히 같은 방식으로 스택 \[\Spacesstack_\kappa \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 를 만들 수 있다. 단, \(\Sch\)가 \(\kappa\)에 따라 충분히 크도록 해야 한다.

준군 스택의 예

위의 예들은 준군 스택이 아닌 스택의 예이다. 이 장의 나머지에서는 준군 스택의 대수기하적 예들을 제시한다.

층에 결부된 스택

\(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 준층이라 하자. 집합들로 섬유화된 범주 \[p_F : \mathcal{S}_F \to (\Sch/S)_{fppf},\] 를 얻는다. 범주, 예 04TM를 보라. 이는 \(F\)가 층일 필요충분조건으로 집합 스택이다. 스택, 보조정리 0432를 보라.

유한 생성 준연접층의 준군 스택

\(p : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\)를 절 0404에서 도입한 스택이라 하자(그곳에서 도입한 표기법의 남용을 사용한다). 범주, 보조정리 03WQ의 절차로 이를 준군 스택 \(p' : \QCohstack_{fg}' \to (\Sch/S)_{fppf}\)로 바꿀 수 있다. 스택, 보조정리 03YI를 보라. 이 특별한 경우 이는 단지 \(\QCohstack_{fg}'\)가 \(\QCohstack_{fg}\)와 같은 대상들을 가지되, 사상은 쌍 \((f, g) : (U, \mathcal{F}) \to (U', \mathcal{F}')\)이고 여기서 \(g\)는 동형사상 \(g : f^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)라는 뜻이다.

유한형 대수공간의 준군 스택

\(p : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\)를 절 04UC에서 도입한 스택이라 하자 (그곳에서 도입한 표기법의 남용을 사용한다). 범주, 보조정리 03WQ의 절차로 이를 준군 스택 \(p' : \Spacesstack_{ft}' \to (\Sch/S)_{fppf}\)로 바꿀 수 있다. 스택, 보조정리 03YI를 보라. 이 특별한 경우 이는 단지 \(\Spacesstack_{ft}'\)가 \(\Spacesstack_{ft}\)와 같은 대상들, 즉 \(X\)가 \(S\) 위의 대수공간이고 \(U\)가 \(S\) 위의 스킴인 유한형 사상 \(X \to U\)들을 가진다는 뜻이다. 그러나 이제 사상 \((f, g) : X/U \to Y/V\)는 다음 가환 도표이며 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ U \ar[r]^g & V }\] 이 도표는 데카르트이다.

몫 스택

\((U, R, s, t, c)\)가 \(S\) 위 대수공간의 준군이라고 하자. 이 경우 몫 스택 \[[U/R] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 구성상 준군 스택이다. 대수공간의 준군, 정의 044Q를 보라. 나아가 \(\mathit{Isom}\)-층들은 대수공간으로 표현가능하다. 부트스트랩, 보조정리 04TB를 보라. 이러한 몫 스택들은 대수 스택 이론에서 근본적으로 중요하다.

위 구성의 특별한 경우는 데이터 \((B, G/B, m, X/B, a)\)에 결부된 몫 스택 \[[X/G] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 이다. 여기서

1. \(B\)는 \(S\) 위의 대수공간이고,

2. \((G, m)\)은 \(B\) 위의 대수군 공간이며,

3. \(X\)는 \(B\) 위의 대수공간이고,

4. \(a : G \times_B X \to X\)는 \(B\) 위에서 \(X\)에 대한 \(G\)의 작용이다.

실제로 대수공간의 준군, 정의 044Q에 의해 준군 스택 \([X/G]\)는 위에서 주어진 몫 스택 \([X/G \times_B X]\)이다. 범주 \([X/G]\)가 실제로 어떤 모습인지 명시할 필요가 있다. 이는 절 04UV에서 하겠다.

토서의 분류

대수군 공간 \(G\) 또는 군 층 \(\mathcal{G}\)에 대한 토서의 스택을 연구한다는 것이 무엇을 뜻할 수 있는지 몇 가지 변형을 세심하게 설명하고자 한다.

군 층 토서

\(\mathcal{G}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 군 층이라 하자. \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)에 대하여 \(\mathcal{G}\)의 \((\Sch/U)_{fppf}\)로의 제한을 \(\mathcal{G}|_U\)로 나타낸다. 범주 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)의 대상은 쌍 \((U, \mathcal{F})\)이다. 여기서 \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{G}|_U\)-토서이다. 사이트 위의 코호몰로지, 정의 03AH를 보라.

2. 사상 \((U, \mathcal{F}) \to (V, \mathcal{H})\)는 쌍 \((f, \alpha)\)로 주어진다. 여기서 \(f : U \to V\)는 \(S\) 위의 스킴 사상이고 \(\alpha : f^{-1}\mathcal{H} \to \mathcal{F}\)는 \(\mathcal{G}|_U\)-토서의 동형사상이다.

따라서 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)는 범주이고 \[p : \mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, \mathcal{F}) \longmapsto U\] 는 함자이다. \(U\) 위의 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)의 섬유범주는 \(\mathcal{G}|_U\)-토서의 범주이며, 이는 준군임에 유의하자.

보조정리

스택, 주의 03ZZ에서와 같이 대체하면 함자 \[p : \mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의한다.

증명

증명에서 가장 어려운 부분은 대상의 내림이 성립함을 보이는 것이다. \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복이라 하자. 각 \(i\)에 대해 \(\mathcal{G}|_{U_i}\)-토서 \(\mathcal{F}_i\)가 주어지고, 각 \(i, j \in I\)에 대해 동형사상 \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \times_U U_j} \to \mathcal{F}_j|_{U_i \times_U U_j}\) 이 주어졌다고 하자. 이는 \(\mathcal{G}|_{U_i \times_U U_j}\)-토서의 동형사상이고 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 위에서 적절한 코사이클 조건을 만족한다. 그러면 사이트, 절 04TP에 의해 \((\Sch/U)_{fppf}\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)를 얻으며, 이를 각 \(U_i\)로 제한하면 \(\mathcal{F}_i\)와 내림 데이터를 모두 되찾는다. 사이트, 보조정리 04TS의 범주 동치에 의해 작용 사상들 \(\mathcal{G}|_{U_i} \times \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\)는 이어 붙어서 사상 \(a : \mathcal{G}|_U \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)를 준다. 이제 \(a\)가 작용이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{G}|_U\)-토서가 됨을 보여야 한다. 두 성질 모두 국소적으로 확인할 수 있으므로, 작용 \(\mathcal{G}|_{U_i} \times \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\)의 대응하는 성질에서 따른다. 이로써 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)에서 대상의 내림이 성립한다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

층에 대한 토서의 변형

소절 04UJ의 구성을 조금 일반화할 수 있다. 구체적으로 \(\mathcal{G} \to \mathcal{B}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층 사상이라 하고 \[m : \mathcal{G} \times_\mathcal{B} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}\] 을 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\) 위의 군 법칙이라 하자. 다시 말해 쌍 \((\mathcal{G}, m)\)은 토포스 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})/\mathcal{B}\)의 군 대상이다. 토포스의 국소화에 관해서는 사이트, 절 04GY를 보라. 이 상황에서 범주 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\)를 다음과 같이 정의할 수 있다 (Yoneda 매장을 사용하여 스킴을 층으로 생각한다).

1. \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\)의 대상은 삼중항 \((U, b, \mathcal{F})\)이며, 여기서

   1. \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고,

   2. \(b : U \to \mathcal{B}\)는 \(U\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 절단이며,

   3. \(\mathcal{F}\)는 \(U\) 위의 \(U \times_{b, \mathcal{B}}\mathcal{G}\)-토서이다.

2. 사상 \((U, b, \mathcal{F}) \to (U', b', \mathcal{F}')\)는 쌍 \((f, g)\)로 주어진다. 여기서 \(f : U \to U'\)는 \(b = b' \circ f\)를 만족하는 \(S\) 위의 스킴 사상이고, \(g : f^{-1}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)는 \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-토서의 동형사상이다.

따라서 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\)는 범주이고 \[p : \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, \mathcal{F}) \longmapsto U\] 는 함자이다. \(U\) 위의 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\)의 섬유범주는 모든 \(b : U \to \mathcal{B}\)에 대한 \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-토서의 범주들의 서로소 합이며, 따라서 준군이다.

특별한 경우 \(\mathcal{B} = S\)에는 소절 04UJ에서 도입한 범주 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)를 되찾는다.

보조정리

스택, 주의 03ZZ에서와 같이 대체하면 함자 \[p : \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의한다.

증명

이 증명은 보조정리 04UK의 증명을 되풀이한다. 그 증명의 표기법이 덜 번거로우므로 독자는 먼저 그것을 읽기를 권한다. 가장 어려운 부분은 대상의 내림이 성립함을 보이는 것이다. \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복이라 하자. 각 \(i\)에 대해 사상 \(b_i : U_i \to \mathcal{B}\)와 \(U_i \times_{b_i, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-토서 \(\mathcal{F}_i\)로 이루어진 쌍 \((b_i, \mathcal{F}_i)\)가 주어졌다고 하자. 또한 각 \(i, j \in I\)에 대해 \(b_i|_{U_i \times_U U_j} = b_j|_{U_i \times_U U_j}\)이고 동형사상 \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \times_U U_j} \to \mathcal{F}_j|_{U_i \times_U U_j}\) 이 주어졌다고 하자. 이는 \((U_i \times_U U_j) \times_\mathcal{B} \mathcal{G}\)-토서의 동형사상이고 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 위에서 적절한 코사이클 조건을 만족한다. 그러면 사이트, 절 04TP에 의해 \((\Sch/U)_{fppf}\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)를 얻으며, 이를 각 \(U_i\)로 제한하면 \(\mathcal{F}_i\)와 내림 데이터를 모두 되찾는다. \(\mathcal{B}\)의 층 공리에 의해 사상들 \(b_i\)는 유일한 사상 \(b : U \to \mathcal{B}\)에서 온다. 사이트, 보조정리 04TS의 범주 동치에 의해 작용 사상들 \((U_i \times_{b_i, \mathcal{B}} \mathcal{G}) \times_{U_i} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\) 은 이어 붙어서 사상 \((U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}) \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\). 를 준다. 이제 이것이 작용이고 \(\mathcal{F}\)가 \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-토서가 됨을 보여야 한다. 두 성질 모두 국소적으로 확인할 수 있으므로 \(\mathcal{F}_i\) 위 작용들의 대응하는 성질에서 따른다. 이로써 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\)에서 대상의 내림이 성립한다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

주동차 공간

\(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(G\)를 \(B\) 위의 대수군 공간이라 하자. 범주 \(G\textit{-Principal}\)을 다음과 같이 정의한다.

1. \(G\textit{-Principal}\)의 대상은 삼중항 \((U, b, X)\)이며, 여기서

   1. \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고,

   2. \(b : U \to B\)는 \(S\) 위의 사상이며,

   3. \(X\)는 \(U\) 위의 주동차 \(G_U\)-공간이고 \(G_U = U \times_{b, B} G\)이다.

   대수공간의 준군, 정의 04TY를 보라.

2. 사상 \((U, b, X) \to (U', b', X')\)는 쌍 \((f, g)\)로 주어진다. 여기서 \(f : U \to U'\)는 \(B\) 위의 스킴 사상이고 \(g : X \to U \times_{f, U'} X'\)는 주동차 \(G_U\)-공간의 동형사상이다.

따라서 \(G\textit{-Principal}\)은 범주이고 \[p : G\textit{-Principal} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, X) \longmapsto U\] 는 함자이다. \(U\) 위의 \(G\textit{-Principal}\)의 섬유범주는 모든 \(b : U \to B\)에 대한 주동차 \(U \times_{b, B} G\)-공간의 범주들의 서로소 합이며, 따라서 준군이다.

특별한 경우 \(S = B\)에 대상들은 단지 쌍 \((U, X)\)이다. 여기서 \(U\)는 \(S\) 위의 스킴이고 \(X\)는 \(U\) 위의 주동차 \(G_U\)-공간이다. 또한 사상들은 단지 다음 데카르트 도표들이며 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] 여기서 \(g\)는 \(G\)-등변이다.

주

스택, 주의 03ZZ에서와 같이 대체하면 함자 \[p : G\textit{-Principal} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의할 것이라고 추측한다. 이는 다음 데이터가 주어졌을 때

1. \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\),

2. \(U\) 위의 대수군 공간 \(H\),

3. 모든 \(i\)에 대해 \(U_i\) 위의 주동차 \(H_{U_i}\)-공간 \(X_i\), 그리고

4. 코사이클 조건을 만족하는 \(H\)-등변 동형사상 \(\varphi_{ij} : X_{i, U_i \times_U U_j} \to X_{j, U_i \times_U U_j}\)

\((X_i, \varphi_{ij})\)를 되찾는 \(U\) 위의 주동차 \(H\)-공간 \(X\)가 존재함을 보일 수 있다면 따른다. 부트스트랩, 보조정리 04U1의 증명 기법은 이를 집합론적 문제로 환원한다. 따라서 집합론적 문제를 무시하는 독자는 이 결과가 참임을 “알게” 될 것이다. 다음에는 이 문제에 접근하는 방법에 대한 제안이 있다. https://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=591

주동차 공간의 변형

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B = S\)라 하자. \(G\)를 \(B = S\) 위의 군 스킴이라 하자. 이 상황에서 충만 부분범주 \(G\textit{-Principal-Schemes} \subset G\textit{-Principal}\) 를 정의할 수 있다. 그 대상은 쌍 \((U, X)\)이며, 여기서 \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고 \(X \to U\)는 \(U\) 위의 표현가능한, 즉 스킴인 주동차 \(G\)-공간이다.

일반적으로 \(G\textit{-Principal-Schemes}\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택이 아니다. 실제로 일반적으로 스킴이 아닌 주동차 공간이 존재하므로 대상에 대한 내림이 일반적으로 성립하지 않기 때문이다.

fppf 위상에서의 토서

\(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(G\)를 \(B\) 위의 대수군 공간이라 하자. 범주 \(G\textit{-Torsors}\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(G\textit{-Torsors}\)의 대상은 삼중항 \((U, b, X)\)이며, 여기서

   1. \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고,

   2. \(b : U \to B\)는 사상이며,

   3. \(X\)는 \(U\) 위의 fppf \(G_U\)-토서이고 \(G_U = U \times_{b, B} G\)이다.

   대수공간의 준군, 정의 04TY를 보라.

2. 사상 \((U, b, X) \to (U', b', X')\)는 쌍 \((f, g)\)로 주어진다. 여기서 \(f : U \to U'\)는 \(B\) 위의 스킴 사상이고 \(g : X \to U \times_{f, U'} X'\)는 \(G_U\)-토서의 동형사상이다.

따라서 \(G\textit{-Torsors}\)는 범주이고 \[p : G\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, a, X) \longmapsto U\] 는 함자이다. \(U\) 위의 \(G\textit{-Torsors}\)의 섬유범주는 모든 \(b : U \to B\)에 대한 fppf \(U \times_{b, B} G\)-토서 범주들의 서로소 합이며, 따라서 준군이다.

특별한 경우 \(S = B\)에 대상들은 단지 쌍 \((U, X)\)이다. 여기서 \(U\)는 \(S\) 위의 스킴이고 \(X\)는 \(U\) 위의 fppf \(G_U\)-토서이다. 또한 사상들은 단지 다음 데카르트 도표들이며 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] 여기서 \(g\)는 \(G\)-등변이다.

보조정리

스택, 주의 03ZZ에서와 같이 대체하면 함자 \[p : G\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의한다.

증명

증명에서 가장 어려운 부분은 대상의 내림이 성립함을 보이는 것이며, 이는 부트스트랩, 보조정리 04U1이다. 스택, 정의 02ZI의 공리 (1)과 (2)의 증명은 생략한다.

보조정리

\(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(G\)를 \(B\) 위의 대수군 공간이라 하자. 대수공간 \(G\), 각각 \(B\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층으로 본 것을 \(\mathcal{G}\), 각각 \(\mathcal{B}\)로 나타내자. 함자 \[G\textit{-Torsors} \longrightarrow \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\] 는 삼중항 \((U, b, X)\)에 삼중항 \((U, b, \mathcal{X})\)를 대응시킨다. 여기서 \(\mathcal{X}\)는 \(X\)를 층으로 본 것이다. 이 함자는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 준군 스택들의 동치이다.

증명

이를 증명하기 위해 스택, 보조정리 046N의 결과를 사용한다. \(S\) 위 대수공간의 범주는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층의 범주의 충만 부분범주이므로 이 함자는 완전충실하다. 또한 양쪽의 모든 대상은 국소 자명 토서이므로 위에서 인용한 보조정리의 조건 (2)가 성립한다. 따라서 이 함자는 동치이다.

fppf 위상에서 토서의 변형

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B = S\)라 하자. \(G\)를 \(B = S\) 위의 군 스킴이라 하자. 이 상황에서 충만 부분범주 \(G\textit{-Torsors-Schemes} \subset G\textit{-Torsors}\) 를 정의할 수 있다. 그 대상은 쌍 \((U, X)\)이며, 여기서 \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고 \(X \to U\)는 \(U\) 위의 표현가능한, 즉 스킴인 fppf \(G\)-토서이다.

일반적으로 \(G\textit{-Torsors-Schemes}\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택이 아니다. 실제로 일반적으로 스킴이 아닌 fppf \(G\)-토서가 존재하므로 대상에 대한 내림이 일반적으로 성립하지 않기 때문이다.

군 작용에 의한 몫

이제 충분한 표기법을 도입했으므로 절 04UI의 스택 \([X/G]\)가 어떤 모습인지 더 자세히 알아볼 수 있다.

설정

다음을 가정한다.

1. \(S\)는 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있는 스킴이고,

2. \(B\)는 \(S\) 위의 대수공간이며,

3. \((G, m)\)은 \(B\) 위의 대수군 공간이고,

4. \(\pi : X \to B\)는 \(B\) 위의 대수공간이며,

5. \(a : G \times_B X \to X\)는 \(B\) 위에서 \(X\)에 대한 \(G\)의 작용이다.

이 상황에서 범주 \([[X/G]]\)²를 다음과 같이 구성한다.

1. \([[X/G]]\)의 대상은 사중항 \((U, b, P, \varphi : P \to X)\)이며, 여기서

   1. \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고,

   2. \(b : U \to B\)는 \(S\) 위의 사상이며,

   3. \(P\)는 \(U\) 위의 fppf \(G_U\)-토서이고 \(G_U = U \times_{b, B} G\)이며,

   4. \(\varphi : P \to X\)는 다음 가환 도표에 들어맞는 \(G\)-등변 사상이다. \[\xymatrix{ P \ar[d] \ar[r]_{\varphi} & X \ar[d] \\ U \ar[r]^b & B }\]

2. \([[X/G]]\)의 사상은 쌍 \((f, g) : (U, b, P, \varphi) \to (U', b', P', \varphi')\) 이다. 여기서 \(f : U \to U'\)는 \(B\) 위의 스킴 사상이고 \(g : P \to P'\)는 \(f\) 위의 \(G\)-등변 사상으로서 동형사상 \(P \cong U \times_{f, U'} P'\)를 유도하며 \(\varphi = \varphi' \circ g\)를 만족한다. 다시 말해 \((f, g)\)는 다음 가환 도표에 들어맞는다. \[\xymatrix{ P \ar[d] \ar[rrrd]_\varphi \ar[r]^g & P' \ar[d] \ar[rrd]^{\varphi'} \\ U \ar[rrrd]_b \ar[r]^f & U' \ar[rrd]^{b'} & & X \ar[d] \\ & & & B }\]

따라서 \([[X/G]]\)는 범주이고 \[p : [[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, P, \varphi) \longmapsto U\] 는 함자이다. \(U\) 위의 \([[X/G]]\)의 섬유범주는 모든 \(b \in \Mor_S(U, B)\)에 대해 \(X\)로 가는 \(G\)-등변 사상이 갖추어진 fppf \(U \times_{b, B} G\)-토서 \(P\)들의 서로소 합이다. 따라서 \([[X/G]]\)의 섬유범주들은 준군이다.

함자 \[[[X/G]] \longrightarrow G\textit{-Torsors}, \quad (U, b, P, \varphi) \longmapsto (U, b, P)\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 범주들의 \(1\)-사상임에 유의하자.

보조정리

스택, 주의 03ZZ에서와 같이 대체하면 함자 \[p : [[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의한다.

증명

증명에서 가장 어려운 부분은 대상의 내림이 성립함을 보이는 것이다. \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복이라고 하자. \(\xi_i = (U_i, b_i, P_i, \varphi_i)\)를 \(U_i\) 위의 \([[X/G]]\)의 대상이라 하고 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\)를 내림 데이터라 하자. 특히 위의 함자 \([[X/G]] \to G\textit{-Torsors}\)를 적용하면 준군 스택 \(G\textit{-Torsors}\)에서 삼중항 \((U_i, b_i, P_i)\)에 대한 내림 데이터를 얻는다. \(G\textit{-Torsors}\)가 준군 스택임은 이미 보았다(보조정리 04US). 따라서 어떤 사상 \(b : U \to B\)에 대하여 \(b_i = b|_{U_i}\)이고, \(U\) 위의 어떤 fppf \(G_U = U \times_{b, B} G\)-토서 \(P\)에 대하여 \(P_i = U_i \times_U P\)라고 가정할 수 있다. 사상들 \(\varphi_i\)는 제한들 \(U_i \times_U P\) 위의 표준 내림 데이터와 양립하므로 사상 \(\varphi : P \to X\)를 정의한다. (예를 들어 \(\varphi\)를 얻기 위해 사이트, 보조정리 04TS 또는 대수공간 위의 내림, 보조정리 04P2를 사용할 수 있다.) 이로써 대상의 내림이 증명된다. 스택, 정의 02ZI의 공리 (1)과 (2)의 증명은 생략한다.

명제

상황 04WL에서 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 준군 스택들의 표준 동치 \[[X/G] \longrightarrow [[X/G]]\] 가 존재한다.

증명

모든 정의가 정확히 올바르게 작동하는지 확인하기 위해 이를 자세히 적는다. \([X/G]\)는 대수공간의 준군 \((X, G \times_B X, s, t, c)\)에 결부된 몫 스택임을 상기하자. 대수공간의 준군, 정의 044Q를 보라. 이는 \([X/G]\)가 함자 \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Groupoids}, \quad U \longmapsto (X(U), G(U) \times_{B(U)} X(U), s, t, c)\] 에 결부된 준군들로 섬유화된 범주 \([X/_{\!p}G]\)의 스택화라는 뜻이다. 여기서 \(s(g, x) = x\), \(t(g, x) = a(g, x)\)이고 \(c((g, x), (g', x')) = (m(g, g'), x')\)이다. 범주, 예 0049의 구성에 의해 \([X/_{\!p}G]\)의 대상은 \(x \in X(U)\)인 쌍 \((U, x)\)이고, \([X/_{\!p}G]\)의 사상 \((f, g) : (U, x) \to (U', x')\)는 스킴 사상 \(f : U \to U'\)와 \(a(g, x) = x' \circ f\)를 만족하는 원소 \(g \in G(U)\)로 주어진다. 따라서 준군 스택들의 \(1\)-사상 \[F_p : [X/_{\!p}G] \longrightarrow [[X/G]]\] 을 다음 규칙으로 정의할 수 있다. 대상에 대해서는 \[F_p(U, x) = (U, \pi \circ x, G \times_{B, \pi \circ x} U, a \circ (\text{id}_G \times x))\] 로 둔다. 다음 도표는 가환하고 \[\xymatrix{ G \times_{B, \pi \circ x} U \ar[d] \ar[r]_{\text{id}_G \times x} & G \times_{B, \pi} X \ar[r]_-a & X \ar[d]^\pi \\ U \ar[rr]^{\pi \circ x} & & B }\] 섬유곱들을 각각 \(U\), \(X\) 위의 자명한 \(G\)-토서로 생각하면 두 수평 화살표는 \(G\)-등변이므로 이 정의는 타당하다. 사상 \((f, g) : (U, x) \to (U', x')\)에 대해서는 \(F_p(f, g) = (f, R_{g^{-1}})\)로 둔다. 여기서 \(R_{g^{-1}}\)는 \(g\)의 역원에 의한 오른쪽 평행이동을 뜻한다. 더 정확히 말해 사상 \(F_p(f, g) : F_p(U, x) \to F_p(U', x')\)는 다음 데카르트 도표로 주어진다. \[\xymatrix{ G \times_{B, \pi \circ x} U \ar[d] \ar[r]_{R_{g^{-1}}} & G \times_{B, \pi \circ x'} U' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] \(T\)-값 점들에서 \(R_{g^{-1}}\)는 다음과 같이 주어진다. \[R_{g^{-1}}(g', u) = (m(g', i(g(u))), f(u))\] 이것이 잘 정의됨을 보이려면 \[a \circ (\text{id}_G \times x) = a \circ (\text{id}_G \times x') \circ R_{g^{-1}}\] 를 확인해야 한다. 오른쪽을 \(T\)-값 점 \((g', u)\)에 적용하면 원하는 등식 \[\begin{align*} a((\text{id}_G \times x')(m(g', i(g(u))), f(u))) & = a(m(g', i(g(u))), x'(f(u))) \\ & = a(g', a(i(g(u)), x'(f(u)))) \\ & = a(g', x(u)) \end{align*}\] 을 얻기 때문이다. 실제로 \(a(g, x) = x' \circ f\)이므로 \(a(i(g), x' \circ f) = x\)이다.

스택, 보조정리 0436의 스택화의 보편 성질에 의해 위의 \(1\)-사상 \(F_p\)의 표준 연장 \(F : [X/G] \to [[X/G]]\)를 얻는다. 먼저 \(F\)가 완전충실함을 증명한다. 출발점과 도착점이 모두 준군 스택이므로, 이를 위해서는 \(F\) 아래에서 \(\mathit{Isom}\)-층들이 동일시됨을 증명하면 충분하다. 스킴 \(U\)와 \(U\) 위의 \([X/G]\)의 대상들 \(\xi, \xi'\)를 택하자. 다음 사상이 층의 동형사상임을 보이고자 한다. \[F : \mathit{Isom}_{[X/G]}(\xi, \xi') \longrightarrow \mathit{Isom}_{[[X/G]]}(F(\xi), F(\xi'))\] 이를 위해서는 \(U\) 위에서 국소적으로 작업하면 충분하므로 \(\xi, \xi'\)가 \(U\) 위의 \([X/_{\!p}G]\)의 대상들 \((U, x)\), \((U, x')\)에서 온다고 가정할 수 있다. 이는 스택화의 구성에서 바로 따르며, 대수공간의 준군, 절 04MB에도 자세히 설명되어 있다. 위의 \([X/_{\!p}G]\)의 사상에 대한 기술을 직접 사용하거나 대수공간의 준군, 보조정리 044V를 사용하면 이 경우 \[\mathit{Isom}_{[X/G]}(\xi, \xi') = U \times_{(x, x'), X \times_S X, (s, t)} (G \times_B X)\] 임을 알 수 있다. 이 섬유곱의 \(T\)-값 점은 \(u \in U(T)\)이고 \(g \in G(T)\)이며 \(a(g, x \circ u) = x' \circ u\)를 만족하는 쌍 \((u, g)\)에 대응한다. (이는 \(\pi \circ x \circ u = \pi \circ x' \circ u\)를 함의함에 유의하자.) 한편 정의에 따라 \(\mathit{Isom}_{[[X/G]]}(F(\xi), F(\xi'))\)의 \(T\)-값 점은 \(\pi \circ x \circ u = \pi \circ x' \circ u : T \to B\)를 만족하는 사상 \(u : T \to U\)와 동형사상 \[R : G \times_{B, \pi \circ x \circ u} T \longrightarrow G \times_{B, \pi \circ x' \circ u} T\] 으로 이루어진다. 이 동형사상은 자명한 \(G_T\)-토서의 동형사상이며 주어진 \(X\)로 가는 사상들과 양립한다. 토서들이 자명하므로 어떤 \(g \in G(T)\)에 대하여 \(R = R_{g^{-1}}\)(오른쪽 곱셈)이다. 사상들 \(a \circ (1_G, x \circ u), a \circ (1_G, x' \circ u) : G \times_B T \to X\) 와의 양립성은 조건 \(a(g, x \circ u) = x' \circ u\)와 동치이다. 따라서 원하는 \(\mathit{Isom}\)-층의 등식을 얻는다.

이제 \(F\)가 완전충실함을 알았으므로 스택, 보조정리 046N를 적용할 수 있다. 따라서 \(F\)가 동치임을 보이려면 \([[X/G]]\)의 대상들이 fppf 국소적으로 \(F\)의 본질적 상에 들어감을 보이면 충분하다. fppf 토서는 fppf 국소적으로 자명하므로 이는 명백하며, 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(B\) 위의 대수군 공간이라 하자. 그러면 준군 스택들 \[[B/G],\quad [[B/G]],\quad G\textit{-Torsors},\quad \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\] 은 모두 표준적으로 동치이다. \(G \to B\)가 평탄하고 국소 유한 표시이면 이들은 \(G\textit{-Principal}\)과도 동치이다.

증명

동치 \(G\textit{-Torsors} \to \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\)는 보조정리 04UT에 주어져 있다. 동치 \([B/G] \to [[B/G]]\)는 명제 04WM에 주어져 있다. 절 04UV에 주어진 \([[B/G]]\)의 정의를 풀어 쓰면 \([[B//G]] = G\textit{-Torsors}\)임을 알 수 있다.

마지막으로 \(G \to B\)가 평탄하고 국소 유한 표시라고 가정하자. 자연스러운 함자 \(G\textit{-Torsors} \to G\textit{-Principal}\)이 동치임을 보이려면 \(B\) 위의 스킴 \(U\)에 대하여 주동차 \(G_U\)-공간 \(X \to U\)가 fppf 국소적으로 자명함을 보이면 충분하다. 주동차 공간의 정의(대수공간의 준군, 정의 04TY)에 의해 \(U_i\) 위의 대수공간으로서 \(U_i \times_U X \cong G \times_B U_i\)인 fpqc 피복 \(\{U_i \to U\}\)가 존재한다. 이는 \(X \to U\)가 전사이고 평탄하며 국소 유한 표시임을 함의한다. 대수공간 위의 내림, 보조정리 041Q, 041W 및 041T를 보라. 스킴 \(W\)와 전사 étale 사상 \(W \to X\)를 택하자. 방금 말한 것으로부터 \(\{W \to U\}\)는 \(X_W \to W\)가 절단을 갖는 fppf 피복이다. 따라서 \(X\)는 fppf \(G_U\)-토서이다.

주

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 추상군이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(G \to \text{Aut}_S(X)\)를 군 준동형이라 하자. 이 상황에서 위와 비슷하게 \([[X/G]]\)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

1. \([[X/G]]\)의 대상은 삼중항 \((U, P, \varphi : P \to X)\)이며, 여기서

   1. \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고,

   2. \(P\)는 \((\Sch/U)_{fppf}\) 위의 층이며, 값이 \(G\)인 상수층 아래의 토서로 만드는 \(G\)의 작용이 갖추어져 있고,

   3. \(\varphi : P \to X\)는 층의 \(G\)-등변 사상이다.

2. 사상 \((f, g) : (U, P, \varphi) \to (U', P', \varphi')\) 은 스킴 사상 \(f : T \to T'\)와 \(\varphi = \varphi' \circ g\)를 만족하는 \(G\)-등변 동형사상 \(g : P \to f^{-1}P'\)로 주어진다.

위와 정확히 같은 방식으로 함자 \[[[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 를 얻으며, 이는 \([[X/G]]\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택으로 만든다. 상수층 \(\underline{G}\)는 (\(G\)의 기수가 지나치게 크지 않다면) \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에서 \(G_S\)로 표현가능하고, 이 버전의 \([[X/G]]\)는 위에서 도입한 스택 \([[X/G_S]]\)와 동치이다.

Picard 스택

이 절에서는 Picard 스택을 완전히 일반적으로 도입한다. Quot 및 Hilb 장에서 적절한 가정 아래 이것이 대수 스택임을 보일 것이다. Quot, 절 0D02를 보라.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\pi : X \to B\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 범주 \(\Picardstack_{X/B}\)를 다음과 같이 정의한다.

1. 대상은 삼중항 \((U, b, \mathcal{L})\)이며, 여기서

   1. \(U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고,

   2. \(b : U \to B\)는 \(S\) 위의 사상이며,

   3. \(\mathcal{L}\)은 밑변환 \(X_U = U \times_{b, B} X\) 위의 가역층이다.

2. 사상 \((f, g) : (U, b, \mathcal{L}) \to (U', b', \mathcal{L}')\)는 \(B\) 위의 스킴 사상 \(f : U \to U'\)와 동형사상 \(g : f^*\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\)로 주어진다.

사상 \((f, g) : (U, b, \mathcal{L}) \to (U', b', \mathcal{L}')\) 과 사상 \((f', g') : (U', b', \mathcal{L}') \to (U'', b'', \mathcal{L}'')\) 의 합성은 \((f' \circ f, g \circ f^*(g'))\)로 주어진다. 따라서 범주 \(\Picardstack_{X/B}\)를 얻고 \[p : \Picardstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, \mathcal{L}) \longmapsto U\] 는 함자이다. \(U\) 위의 \(\Picardstack_{X/B}\)의 섬유범주는 모든 \(b \in \Mor_S(U, B)\)에 대한 \(X_U = U \times_{b, B} X\) 위 가역층의 범주들의 서로소 합이다. 따라서 섬유범주들은 준군이다.

보조정리

스택, 주의 03ZZ에서와 같이 대체하면 함자 \[\Picardstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의한다.

증명

언제나처럼 가장 어려운 부분은 대상의 내림을 보이는 것이다. \(\{U_i \to U\}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복이라 하자. \(\xi_i = (U_i, b_i, \mathcal{L}_i)\)를 \(U_i\) 위에 놓인 \(\Picardstack_{X/B}\)의 대상이라 하고 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\)를 내림 데이터라 하자. 특히 사상들 \(b_i\)는 어떤 사상 \(b : U \to B\)의 제한임이 따른다. \(X_U = U \times_{b, B} X\) 및 \(X_i = U_i \times_{b_i, B} X = U_i \times_U U \times_{b, B} X = U_i \times_U X_U\). 로 쓰자. \(\mathcal{L}_i\)는 가역 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군이다. \(\{X_i \to X_U\}\)도 fppf 피복을 이룸에 유의하자. 더욱이 내림 데이터 \(\varphi_{ij}\)는 fppf 피복 \(\{X_i \to X_U\}\)에 관한 가역층들 \(\mathcal{L}_i\) 위의 내림 데이터로 옮겨진다. 따라서 대수공간 위의 내림, 명제 04W8에 의해 \(X_i\) 위에서 \(\mathcal{L}_i\)와 내림 데이터를 되찾는 \(X_U\) 위의 유일한 가역층 \(\mathcal{L}\)을 얻는다. 그러므로 삼중항 \((U, b, \mathcal{L})\)은 우리가 찾던 \(U\) 위의 \(\Picardstack_{X/B}\)의 대상이다. 세부사항은 생략한다.

관성 스택의 예

관성 스택의 몇 가지 예를 살펴보자.

예

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 가환군이라 하자. \(X \to S\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \(a : G \times X \to X\)를 \(X\)에 대한 \(G\)의 작용이라 하자. \(g \in G\)에 대응하는 자기동형사상 \(g : X \to X\)로 나타내자. 이 경우 \([X/G]\)의 관성 스택(주의 0371를 보라)은 다음과 같다. \[I_{[X/G]} = \coprod\nolimits_{g\in G} [X^g/G],\] 여기서 \(G\)의 원소 \(g\)가 주어졌을 때 기호 \(X^g\)는 스킴 \(X^g = \{x \in X \mid g(x) = x\}\)를 나타낸다. 식으로 쓰면 \(X^g\)는 실제로 다음 섬유곱이다. \[X^g = X \times_{(1, 1), X \times_S X, (g, 1)} X.\] \(S\)-스킴 \(T\)에 대해 \([X/G]\)의 관성 스택 위 \(T\)-점은 삼중항 \((P/T, \phi, \alpha)\)이다. 즉 fppf \(G\)-토서 \(P \to T\), \(G\)-등변 사상 \(\phi : P \to X\), 그리고 \(\phi \circ \alpha = \phi\)를 만족하는 \(T\) 위의 \(P\)의 자기동형사상 \(\alpha\)로 이루어진다. \(G\)는 가환군의 층이므로 \(\alpha\)는 \(T\) 위 fppf 위상에서 국소적으로 \(G\)의 어떤 원소 \(g\)에 의한 곱셈으로 주어진다. \(\phi \circ \alpha = \phi\)라는 조건은 \(\phi\)가 \(X^g\)의 \(X\)로의 포함을 통해 인수분해됨을 뜻한다. 즉 이 포함과 사상 \(P \to X^g\)의 합성으로 \(\phi\)가 얻어진다. 위 논의로부터 \(T\)-점에서 위와 같이 주어지는 섬유화 범주의 사상 \(I_{[X/G]} \to \coprod_{g\in G} [X^g/G]\)를 정의할 수 있다. 이것이 동치임을 보이는 것은 생략한다.

예

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 임의의 \(T \to S\)에 대해 밑변환 \(f_T : X_T \to T\)가 사상 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\)가 동형사상이라는 성질을 갖는다고 가정하자. (이는 \(f\)가 차원 \(0\)에서 코호몰로지적으로 평탄함을 함의하지만, 그보다 강한 조건이다. 미래의 참고문헌을 삽입할 것.) Picard 스택 \(\Picardstack_{X/S}\)를 생각하자. 절 0372을 보라. 그 관성 스택의 \(S\)-스킴 \(T\) 위 점은 쌍 \((\mathcal{L}, \alpha)\)로 이루어진다. 여기서 \(\mathcal{L}\)은 \(X_T\) 위의 선다발이고 \(\alpha\)는 그 선다발의 자기동형사상이다. 위 가정에 의해 \(\alpha\)를 \(H^0(X_T, \mathcal{O}_{X_T})^\times = H^0(T, \mathcal{O}_T^*)\)의 원소로 생각할 수 있다. \(H^0(T, \mathcal{O}_T^*) = \mathbf{G}_{m, S}(T)\)임에 유의하자. 군 준군, 예 022U를 보라. 따라서 \(\Picardstack_{X/S}\)의 관성 스택은 \[I_{\Picardstack_{X/S}} = \mathbf{G}_{m, S} \times_S \Picardstack_{X/S}.\] \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 스택으로서 주어진다.

유한 Hilbert 스택

여기서는 꼭 필요한 것보다 조금 더 일반적인 형태로 정식화한다. 준군 스택들 사이의 \(1\)-사상 \[F : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Y}\] 을 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에서 고정하자. 각 정수 \(d \geq 1\)에 대해 범주 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)를 다음과 같이 정의한다.

1. 대상 \((U, Z, y, x, \alpha)\)는 다음 데이터이다. \(U, Z\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이고 \(Z\)는 \(U\) 위에서 차수 \(d\)인 유한 국소 자유이며, \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), \(x \in \Ob(\mathcal{X}_Z)\)이고 \(\alpha : y|_Z \to F(x)\)는 동형사상³.

2. 사상 \((U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\)는 스킴 사상 \(f : U \to U'\), \(Z \to Z' \times_U U'\)의 동형사상을 유도하는 스킴 사상 \(g : Z \to Z'\), 그리고 다음 가환 도표를 유도하는 동형사상 \(b : y \to f^*y'\), \(a : x \to g^*x'\)로 주어진다. \[\xymatrix{ y|_Z \ar[rr]_\alpha \ar[d]_{b|_Z} & & F(x) \ar[d]^{F(a)} \\ f^*y'|_Z \ar[rr]^{\alpha'} & & F(g^*x') \\ }\]

정의로부터 표준 망각 함자 \[p : \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 가 존재함은 명백하다. 이 함자는 오중항 \((U, Z, y, x, \alpha)\)에 스킴 \(U\)를 대응시키고, 사상 \((f, g, b, a) : (U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) 에 사상 \(f : U \to U'\)를 대응시킨다.

보조정리

범주 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)에 위의 함자 \(p\)를 갖추면 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택을 정의한다.

증명

언제나처럼 가장 어려운 부분은 대상의 내림을 보이는 것이다. \(\{U_i \to U\}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 피복이라 하자. \(\xi_i = (U_i, Z_i, y_i, x_i, \alpha_i)\)를 \(U_i\) 위에 놓인 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)의 대상이라 하고 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\)를 내림 데이터라 하자. 먼저 \(\varphi_{ij}\)가 \((Z_i/U_i, \varphi_{ij})\) 위의 내림 데이터를 유도하며, 이는 내림, 보조정리 0245에 의해 유효함에 유의하자. 내림, 보조정리 02VO에 의해 이는 차수 \(d\)인 유한 국소 자유인 스킴 \(Z/U\)를 준다. 이제부터 \(Z_i\)를 \(Z \times_U U_i\)와 동일시한다. 다음으로 섬유범주 \(\mathcal{Y}_{U_i}\)의 대상 \(y_i\)들은 \(\mathcal{Y}\)가 준군 스택이므로 \(\mathcal{Y}_U\)의 대상 \(y\)로 내린다. 마찬가지로 섬유범주 \(\mathcal{X}_{Z_i}\)의 대상 \(x_i\)들은 \(\mathcal{X}\)가 준군 스택이므로 \(\mathcal{X}_Z\)의 대상 \(x\)로 내린다. 마지막으로 주어진 동형사상들 \[\alpha_i : (y|_Z)_{Z_i} = y_i|_{Z_i} \longrightarrow F(x_i) = F(x|_{Z_i})\] 은 \(\mathcal{Y}\)가 스택이고 따라서 \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y|_Z, F(x))\)가 층이므로 사상 \(\alpha : y|_Z \to F(x)\)로 이어 붙는다. 세부사항은 생략한다.

정의

위에서 구성한 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)를 \(\mathcal{Y}\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 차수 \(d\) 유한 Hilbert 스택이라 부르기로 하자. \(\mathcal{Y} = S\)이면 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)로 쓴다. \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} = S\)이면 이를 \(\mathcal{H}_d\)로 나타낸다.

위와 같이 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)가 주어지면 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 준군 스택들의 다음 자연스러운 \(1\)-사상들이 있음에 유의하자. [05WD]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \ar[rd] & \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \ar[d] \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Y} \\ & \mathcal{H}_d } } \end{equation}\] 각 화살표는 “망각 함자”로 주어진다.

보조정리

\(1\)-사상 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\)는 충실하다.

증명

이를 확인하려면 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\)가 섬유범주들 위에서 충실함을 증명하면 충분하다. 스킴 \(U\) 위의 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)의 두 대상 \(\xi = (U, Z, y, x, \alpha)\)와 \(\xi' = (U, Z', y', x', \alpha')\)를 택하자. \(U\) 위 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)의 섬유범주에서 두 사상 \((g, b, a), (g', b', a') : \xi \to \xi'\)를 택하자. 이 사상들의 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X})\)에서의 상이 일치하는 것은 \(g = g'\) 및 \(a = a'\)일 때이고 그때뿐이다. 그러면 다음 가환 도표는 \[\xymatrix{ y|_Z \ar[rr]_\alpha \ar[d]_{b|_Z, \ b'|_Z} & & F(x) \ar[d]^{F(a) = F(a')} \\ y'|_Z \ar[rr]^-{\alpha'} & & F(g^*x') = F((g')^*x') \\ }\] 로부터 \(b|_Z = b'|_Z\)를 함의한다. \(Z \to U\)가 차수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이므로 \(\{Z \to U\}\)는 fppf 피복이다. 따라서 \(b = b'\)이다.