エタール・コホモロジー

序論

本章は、スキームのエタール・コホモロジーを扱う一連の章の最初のものである。 ここでは、エタール位相と、この位相におけるアーベル層のコホモロジーについて、 ごく基礎的な事柄を論じる。扱う話題の多くは初読時には安全に読み飛ばせる。 何を読み飛ばすかを決めるための指針については、次節を参照されたい。

本章の初版は、Johan de Jong が 2009 年秋に Columbia University で講義した エタール・コホモロジーの講義前半のノートをもとに作られた。 当初のノート作成者は Thibaut Pugin、Zachary Maddock、および Min Lee である。 講義の後半は跡公式を扱う章に収録されている。The Trace Formula の 第 0F5Q 節を参照されたい。

初読時に読み飛ばすべき節

本章の内容は、代数空間、Deligne–Mumford スタック、代数スタックなどに関する 理論の展開に用いることを意図している。そのため、スキームのエタール・ コホモロジーに関する当初の解説へ、かなり技術的な内容を加えた。 このような内容は、「トポス」という語の出現頻度、集合論に関する議論、あるいは スキームの射のきわめて一般的な性質を扱う証明によって見分けられる。 これらの議論の一部は初読時には読み飛ばしてよい。

とりわけ、次の各節を読み飛ばすことを勧める。

1. 大トポスと小トポスの比較、第 0757 節。

2. 射の復元、第 04JH 節。

3. 押し出しと引き戻し、第 04C6 節。

4. 性質 (A)、第 04DJ 節。

5. 性質 (B)、第 04DN 節。

6. 性質 (C)、第 04DS 節。

7. 小エタール・サイトの位相的不変性、 第 04DY 節。

8. 整かつ普遍的単射な射、 第 04FY 節。

9. 大サイトと順像、第 04E2 節。

10. 大下方シュリークの完全性、第 04CB 節。

これらの節のほかにも読み飛ばしてよい結果が散在しており、読者は上記のキーワードに よってそれらを見分けることができる。

プロローグ

この講義では、もう一つのコホモロジー理論を扱う。まず注意すべきことは、 Zariski 位相が完全には満足できるものではないということである。 期待する結果を与えない主な理由の一つは、\(X\) が複素多様体で \(\mathcal{F}\) が定数層ならば \[H^i(X, \mathcal{F}) = 0, \quad \text{すべての } i > 0.\] となることである。理由は次のとおりである。既約スキーム（とくに多様体）では、 任意の二つの空でない開部分集合が交わるため、定数層の制限写像は全射となる。 このような層を flasque であるという。この場合、すべての高次 Čech コホモロジー群が消滅し、したがってすべての高次 Zariski コホモロジー群も消滅する。言い換えると、Zariski 位相にはこの高次 コホモロジーを検出するのに「十分な数の」開集合がない。

一方、\(X\) が滑らかな射影的複素多様体ならば \[H_{Betti}^{2 \dim X}(X (\mathbf{C}), \Lambda) = \Lambda \quad \text{ただし } \Lambda = \mathbf{Z}, \ \mathbf{Z}/n\mathbf{Z},\] である。ここで \(X(\mathbf{C})\) は \(X\) の複素点全体を表す。 この性質を代数幾何学、とりわけ正標数の場合にも再現できることが望ましい。

エタール位相

Zariski 位相を細分するために、単に開集合を余分に「追加」することは非常に難しい。 位相を定義する一つの効率的な方法は、開集合だけでなく、その上にあるいくつかの スキームも考えることである。エタール位相を定義するには、エタールな射 \(\varphi : U \to X\) をすべて考える。\(X\) が \(\mathbf{C}\) 上の滑らかな射影多様体ならば、 これは次を意味する。

1. \(U\) は滑らかな多様体の非交和であり、

2. \(\varphi\) は（解析的に）局所同型である。

ここで「解析的に」とは、\(\mathbf{C}\) 上の通常の（超越的）位相に関するものである。 したがって第二の条件は、\(\varphi\) の微分が至る所で最大階数をもつことを意味する （とくに \(U\) のすべての連結成分は \(X\) と同じ次元をもつ）。

二重被覆、すなわち大まかには多様体間の次数 \(2\) の有限写像、たとえば \[\Spec(\mathbf{C}[t]) \longrightarrow \Spec(\mathbf{C}[t]), \quad t \longmapsto t^2\] は、一点のみからなるファイバーをもつならエタール射ではない。この例では \(t = 0\) のときにそうなる。\(\mathbf{C}\) 上の多様体間の有限写像がエタールであるには、 すべてのファイバーが同じ個数の点をもたなければならない。この例の写像の始域から \(t = 0\) の点を除けば、射はエタールになる。しかし始域からほかの点も除くことができ、 その後も射はエタールである。エタール位相を考えるには、このような射をすべて 調べなければならない。Zariski 位相と異なり、これら自身は単なる \(X\) の開部分集合である 必要はないが、その像は常に開である。

定義

射の族 \(\{ \varphi_i : U_i \to X\}_{i \in I}\) は、各 \(\varphi_i\) がエタール射であり、 それらの像が \(X\) を被覆する、すなわち \(X = \bigcup_{i \in I} \varphi_i(U_i)\) であるとき、エタール被覆と呼ばれる。

これによってエタール位相が「定義」される。言い換えると、これで層が何であるかを 述べられる。集合（それぞれ、アーベル群、ベクトル空間など）の エタール層 \(\mathcal{F}\) とは、\(X\) 上の次のデータである。

1. 各エタール射 \(\varphi : U \to X\) に対する集合（それぞれ、アーベル群、 ベクトル空間など）\(\mathcal{F}(U)\)、

2. エタール・スキームの各対 \(U, \ U'\)（\(X\) 上）と、各射 \(U \to U'\)（\(X\) 上の射であり、これは自動的にエタールである）に対する制限写像 \(\rho^{U'}_U : \mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(U)\)。

これらのデータは、\(\rho^U_U = \text{id}\) が恒等射 \(U \to U\) の場合に成り立ち、 \(\rho^{U'}_U \circ \rho^{U''}_{U'} = \rho^{U''}_U\) が、スキームの射 \(U \to U' \to U''\) が \(X\) 上エタールである場合に成り立つという条件に加え、 次の 層公理を満たさなければならない。

• 任意のエタール被覆 \(\{ \varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) に対し、図式 \[\xymatrix{ \mathcal{F} (U) \ar[r] & \Pi_{i \in I} \mathcal{F} (U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Pi_{i, j \in I} \mathcal{F} (U_i \times_U U_j) }\] は集合（それぞれ、アーベル群、ベクトル空間など）の圏における等化子図式である。

注意

直前の主張では \(i = j\) の場合を忘れないことが本質的である。これは一般に （Zariski 位相の場合と異なり）きわめて非自明な条件である。実際、重要な被覆が 一つの要素しかもたないこともしばしばある。

恒等射はエタール射であるから、エタール層の大域切断を計算でき、コホモロジーは 単に対応する右導来関手となる。言い換えると、理論をさらに展開して主張を厳密に 述べさえすれば、コホモロジーを定義するうえで障害はない。

エタール位相の威力

自然数 \(n \in \mathbf{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) に対して \[H_\etale^2 (\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\] が成り立つ。より一般に、\(X\) が複素多様体ならば、有限体に係数をもつその エタール Betti 数は \(X(\mathbf{C})\) の通常の Betti 数と一致する。すなわち \[\dim_{\mathbf{F}_q} H_\etale^{2i} (X, \mathbf{F}_q) = \dim_{\mathbf{F}_q} H_{Betti}^{2i} (X(\mathbf{C}), \mathbf{F}_q).\] である。これはきわめて満足のいく結果である。しかし、これらの等式が成り立つのは ねじれ係数の場合に限られ、一般には成り立たない。整数係数の場合には \[H_\etale^2 (\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}) = 0.\] となる。これに対して、\(H_{Betti}^2(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}), \mathbf{Z}) = \mathbf{Z}\) である。 これは、位相空間 \(\mathbf{P}^1(\mathbf{C})\) が \(2\) 次元球面と同相だからである。 ねじれ係数から極限操作によって非ねじれ係数へ戻る方法があり、これについては まもなく述べる。

一つの計算

\(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}\) の係数 \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) のコホモロジーをどのように計算するのだろうか。 Čech コホモロジーを用いる。\(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}\) の被覆は二つの標準開集合 \(U_0, U_1\) によって与えられる。これらはいずれも \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\) と同型であり、その共通部分は \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\} = \mathbf{G}_{m, \mathbf{C}}\) と同型である。エタール・コホモロジーでも Mayer–Vietoris 完全系列が成り立つ。 したがって、完全系列 \[H_\etale^{i-1}(U_0\cap U_1, \Lambda) \to H_\etale^i(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \Lambda) \to H_\etale^i(U_0, \Lambda) \oplus H_\etale^i(U_1, \Lambda) \to H_\etale^i(U_0\cap U_1, \Lambda).\] を得る。期待される答えを得るには、第三項に現れる直和が消滅することを示す必要がある。 実際、通常の位相の場合と同様に \[H_\etale^q (\mathbf{A}^1_\mathbf{C}, \Lambda) = 0 \quad \text{任意の } q \geq 1 \text{ に対して},\] であり、また \[H_\etale^q (\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}, \Lambda) = \left\{ \begin{matrix} \Lambda & \text{（}q = 1\text{ のとき）} \\ 0 & \text{（}q \geq 2\text{ のとき）}. \end{matrix} \right.\] が成り立つ。これらの結果はすでにかなり難しい（初等的な証明はあるだろうか）。 以下では、エタール・コホモロジーの機構を利用できるものとして、この計算をどのように 行うかを説明する。

高次コホモロジー。 これは次の一般的な事実によって処理できる。すなわち、 \(X\) が \(\mathbf{C}\) 上のアフィン曲線ならば \[H_\etale^q (X, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0 \quad \text{任意の } q \geq 2 \text{ に対して}.\] これは曲線の一般点を考え、Galois コホモロジーを用いることによって証明される。 したがって、考えるべきものは次数 1 のコホモロジーだけである。

次数 1 のコホモロジー。 次の同一視を用いる。 \[\begin{eqnarray*} H_\etale^1 (X, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \left\{ \begin{matrix} \text{集合の層 }\mathcal{F}\text{ であって、エタール・サイト }X_\etale \text{ 上で次を備えるもの} \\ \text{作用 }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F} \text{ であって }\mathcal{F}\text{ が }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\text{-トーサーとなるもの} \end{matrix} \right\} \Big/ \cong \\ = \left\{ \begin{matrix} \text{有限エタール射 }Y \to X\text{ と、次を満たす自由な} \\ \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\text{ 作用を併せたもの：} X = Y/(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}). \end{matrix} \right\} \Big/ \cong. \end{eqnarray*}\] 最初の同一視は非常に一般的であり（サイト上の任意のコホモロジー理論について成り立つ）、 エタール位相とは無関係である。第二の同一視は降下理論の帰結である。最後の集合は、 具体的に扱うことのできる幾何学的対象の集まりを記述している。

曲線 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\) には非自明な有限エタール被覆が存在しない。したがって \(H_\etale^1 (\mathbf{A}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0\). これは位相的に見ることもできるし、次の段落の議論を用いて見ることもできる。

有限エタール被覆 \(\varphi : Y \to \mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}\). を記述しよう。\(Y\) が連結な場合を考えれば十分なので、以下そう仮定する。 Riemann–Hurwitz の公式を適用して \(Y\) がどのようなものになり得るかを求める （もちろん、これは少し大げさな方法であり、望むなら次の部分は読み飛ばしてよい）。 この射が \(n\) 対 1 であるとし、射影的コンパクト化 \[\xymatrix{ {Y\ } \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]^\varphi & {\bar Y} \ar[d]^{\bar\varphi} \\ {\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}} \ar@{^{(}->}[r] & {\mathbf{P}^1_\mathbf{C}} }\] を考える。\(\varphi\) はエタールで分岐しないが、\(\bar{\varphi}\) は 0 と \(\infty\) で分岐し得る。0 の逆像が点 \(y_1, \ldots, y_r\) であり、その分岐指数が \(e_1, \ldots e_r\) であるとする。また、 \(\infty\) の逆像が点 \(y_1', \ldots, y_s'\) であり、その分岐指数が \(d_1, \ldots d_s\) であるとする。とくに \(\sum e_i = n = \sum d_j\) である。 Riemann–Hurwitz の公式を適用すると \[2 g_Y - 2 = -2n + \sum (e_i - 1) + \sum (d_j - 1)\] を得る。したがって \(g_Y = 0\)、\(r = s = 1\)、かつ \(e_1 = d_1 = n\) である。 ゆえに \(Y \cong {\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}}\) であり、 \(\varphi(z) = \lambda z^n\) がある \(\lambda \in \mathbf{C}^*\) について成り立つことが容易に分かる。 \(Y\) のパラメータを取り直せば \(\lambda = 1\) と仮定できる。したがって、この被覆は \(n\) 乗根を \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0\}\) 上の座標について取ることによって与えられる。

分類すべきなのは \({\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}}\) の被覆と、それに対する自由な \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) 作用との組であったことを思い出そう。 この場合、そのような各作用は、\(Y\) の自己同型であって \(z\) を \(\zeta_n z\) に送るものに 対応する。ここで \(\zeta_n\) は原始 \(n\) 乗根である。そのような作用は \(\phi(n)\) 個ある（ここで \(\phi(n)\) は Euler 関数を表す）。したがって、連結有限 エタール被覆はちょうど \(\phi(n)\) 個あり、各々が与えられた自由な \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) 作用をもち、原始 \(n\) 乗根に対応する。一方、次数 \(n\) の非連結有限 エタール被覆（基底は \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0\}\)）で、与えられた自由な \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) 作用を備えるものは、非原始的な \(n\) 乗根（\(1\) の根）と 一対一に対応する。この対応の確認は読者に委ねる。言い換えると、この計算は \[H_\etale^1 (\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \Hom(\mu_n(\mathbf{C}), \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\] 最初の同一視は標準的であるが、第二の同一視はそうではない。 注 0A44 を参照されたい。 Riemann–Hurwitz の公式の証明はコホモロジーの計算を用いないので、消滅などの詳細を 補えば、以上は実際に証明を与えている。

非ねじれ係数

非ねじれ係数を調べるために、次のように定義する。 \[H_\etale^i (X, \mathbf{Q}_\ell) := \left( \lim_n H_\etale^i(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}) \right) \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Q}_\ell.\] 記号 \(\lim_n\) は、コホモロジー群 \(H_\etale^i(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) の系（添字は \(n\)）の 極限を表す。Categories の第 002Z 節を参照されたい。 したがって、ある種の両立条件を満たす層の系を調べる必要がある。

層理論

ここからサイトと層について本格的に論じ始める。 続く数節に収め得る有用な抽象理論は驚くほど多い。その一部は、Sites、 Modules on Sites、Cohomology on Sites など、先行する章ですでに展開されている。 ここでは内容を増やしすぎず、本章後半の議論を理解するために必要な分だけを述べる。

前層

本節の参考文献は Sites の第 00V1 節である。

定義

\(\mathcal{C}\) を圏とする。\(\mathcal{C}\) 上の集合の前層（それぞれ、 アーベル群の前層）とは、関手 \(\mathcal{C}^{opp} \to \textit{Sets}\)（それぞれ \(\textit{Ab}\)）のことである。

用語。 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) のとき、\(\mathcal{F}(U)\) の元を \(\mathcal{F}\) の \(U\) 上の切断と呼ぶ。\(\varphi : V \to U\) を \(\mathcal{C}\) における射とすると、写像 \(\mathcal{F}(\varphi) : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) を制限写像と呼び、しばしば \(s \mapsto s|_V\)、またときには \(s \mapsto \varphi^*s\) と書く。記法 \(s|_V\) は制限写像が \(\varphi\) に依存するため曖昧であるが、これは標準的な記法の濫用である。また、記法 \(\Gamma(U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\). も用いる。

\(\mathcal{F}\) が関手であるということは、射 \(W \to V \to U\) が \(\mathcal{C}\) に属し、\(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\) ならば \((s|_V)|_W = s |_W\) が成り立つということである。ここでは今述べた記法の濫用を用いた。 さらに、恒等射 \(\text{id}_U : U \to U\) に対応する制限写像は恒等写像である。

\(\mathcal{C}\) 上の集合の前層（それぞれアーベル群の前層）の圏を \(\textit{PSh} (\mathcal{C})\)（それぞれ \(\textit{PAb} (\mathcal{C})\)）と書く。これは \(\mathcal{C}^{opp}\) から \(\textit{Sets}\)（それぞれ \(\textit{Ab}\)）への関手の圏である。言い換えると、 前層の射とは関手の自然変換である。圏 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) および \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) を考えるのは、圏 \(\mathcal{C}\) が小さい場合に限る。 （別段の断りがない限り圏は小さいものとするのが本書の規約であり、小さくない圏は Categories の注 0015 に列挙されているべきである。）

例

対象 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) が与えられたとき、次の対応を考える。 \[\begin{matrix} U & \longmapsto & h_X(U) = \Mor_\mathcal{C}(U, X) \\ V \xrightarrow{\varphi} U & \longmapsto & (\psi \mapsto \psi \circ \varphi) : h_X(U) \to h_X(V). \end{matrix}\] これは関手 \(h_X : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Sets}\)、したがって前層を定める。 これを \(X\) に付随する表現可能前層と呼ぶ。 任意のサイト上の任意の位相について、表現可能前層が層になるわけではない。

補題

\(\mathcal{C}\) を圏とし、\(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\) とする。このとき自然な全単射 \[\begin{matrix} \Mor_\mathcal{C}(X, Y) & \longrightarrow & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})} (h_X, h_Y) \\ \psi & \longmapsto & h_\psi = \psi \circ - : h_X \to h_Y. \end{matrix}\] が存在する。

証明

Categories の補題 001P を参照されたい。

サイト

定義

\(\mathcal{C}\) を圏とする。固定された終域をもつ射の族 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) とは、次のデータである。

1. 対象 \(U \in \mathcal{C}\)、

2. 集合 \(I\)（空でもよい）、および

3. 各 \(i\in I\) に対する射 \(\varphi_i : U_i \to U\) で、\(\mathcal{C}\) に属し、終域が \(U\) であるもの。

固定された終域をもつ射の族の射という概念がある。その特別な場合が 細分という概念である。この内容の参考文献は Sites の第 00VS 節である。

定義

サイト¹とは、圏 \(\mathcal{C}\) と、被覆と呼ばれる固定された終域をもつ射の族からなる集合 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) であって、次を満たすものからなる。

1. （同型）\(\varphi : V \to U\) が \(\mathcal{C}\) における同型ならば、 \(\{\varphi : V \to U\}\) は被覆である。

2. （局所性）\(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) が被覆であり、各 \(i \in I\) に対して被覆 \(\{\psi_{ij} : U_{ij} \to U_i \}_{j\in I_i}\) が与えられているならば、 \[\{ \varphi_i \circ \psi_{ij} : U_{ij} \to U \}_{(i, j)\in \prod_{i\in I} \{i\} \times I_i}\] も被覆である。

3. （基底変換）\(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) が被覆であり、 \(V \to U\) が \(\mathcal{C}\) における射ならば、次が成り立つ。

   1. 各 \(i \in I\) に対し、ファイバー積 \(U_i \times_U V\) が \(\mathcal{C}\) に存在する。

   2. \(\{U_i \times_U V \to V\}_{i\in I}\) は被覆である。

本章では、サイトの基礎にある圏は常に「小さい」、すなわちその対象全体が集合をなし、 サイトの被覆全体も（上の定義のように）集合をなすものとする。本章ではたいてい、 対象や被覆の集まりを集合へ縮小するための議論を省略する。さらに詳しくは Sites の注 00VI を参照されたい。

例

\(X\) が位相空間ならば、それに付随するサイト \(X_{Zar}\) を次のように定める。 \(X_{Zar}\) の対象は \(X\) の開部分集合、これらの間の射は包含写像、被覆は通常の位相的な （全射的な）被覆である。\(U, V \subset W \subset X\) が開部分集合ならば \(U \times_W V = U \cap V\) が存在することに注意しよう。したがって、この圏はファイバー積を もつ。すべての確認は自明であり、期待どおりに機能する。

層

定義

集合の前層 \(\mathcal{F}\)（それぞれアーベル群の前層）がサイト \(\mathcal{C}\) 上のものであるとする。任意の被覆 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\) に対して写像 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i)\] が単射であるとき、これを分離前層という。ここで、この写像は \(s \mapsto (s|_{U_i})_{i\in I}\) である。前層 \(\mathcal{F}\) が層であるとは、 任意の被覆 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\) に対して図式 [03NL]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(U_i \times_U U_j), } \end{equation}\] が集合の圏（それぞれアーベル群の圏）における等化子図式であることをいう。 ここで最初の写像は \(s \mapsto (s|_{U_i})_{i\in I}\) であり、右側の二つの写像は \((s_i)_{i\in I} \mapsto (s_i |_{U_i \times_U U_j})\) および \((s_i)_{i\in I} \mapsto (s_j |_{U_i \times_U U_j})\) である。

注意

空被覆（\(I = \emptyset\) の場合）について、これは \(\mathcal{F}(\emptyset)\) が空積、すなわち対応する圏の終対象であることを意味する （\(\textit{Sets}\) と \(\textit{Ab}\) のいずれについても一元集合である）。

例

位相空間に付随するサイト \(X_{Zar}\) についてこの定義を書き下すと、通常の層の概念が得られる。 例 03NI を参照されたい。

定義

\(\Sh(\mathcal{C})\)（それぞれ \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)）を、 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)（それぞれ \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)）の、 対象が層であるような充満部分圏とする。これは \(\mathcal{C}\) 上の 集合の層の圏（それぞれアーベル群の層の圏）である。

G-集合の例

\(G\) を群とし、サイト \(\mathcal{T}_G\) を次のように定める。その基礎圏は \(G\)-集合の圏、すなわち対象が左 \(G\)-作用を備えた集合で射が同変写像である圏とする。 \(\mathcal{T}_G\) の被覆は、族 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) であって \(U = \bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i)\) を満たすものとする。

サイト \(\mathcal{T}_G\) には特別な対象がある。それは左移動による自然な作用を備えた \(G\)-集合 \(G\) である。これを \({}_G G\) と書く。自然な群同型 \[\begin{matrix} \rho : & G^{opp} & \longrightarrow & \text{Aut}_{G\textit{-Sets}}({}_G G) \\ & g & \longmapsto & (h \mapsto hg). \end{matrix}\] が存在することに注意しよう。とくに、任意の前層 \(\mathcal{F}\) に対して、集合 \(\mathcal{F}({}_G G)\) は \(G\)-作用を \(\rho\) を介して受け継ぐ。 （\(\mathcal{F}\) の反変性により、集合 \(\mathcal{F}({}_G G)\) は再び左 \(G\)-集合になることに注意する。）実際、関手 \[\begin{matrix} \Sh(\mathcal{T}_G) & \longrightarrow & G\textit{-Sets} \\ \mathcal{F} & \longmapsto & \mathcal{F}({}_G G) \end{matrix}\] は圏同値である。その準逆は関手 \(X \mapsto h_X\) である。完全な証明は Sites の第 00VZ 節に譲り、ここではこれが成り立つ理由を説明する。

1. \(S\) が \(G\)-集合ならば、それを軌道の非交和 \(S = \coprod_{i\in I} O_i\) に分解できる。被覆 \(\{O_i \to S\}_{i\in I}\) に対する層公理は、次の図式が \[\xymatrix{ \mathcal{F}(S) \ar[r] & \prod_{i\in I} \mathcal{F}(O_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(O_i \times_S O_j) }\] 等化子であると述べている。\(G\textit{-Sets}\) におけるファイバー積が \(\textit{Sets}\) におけるファイバー積から誘導されることに注意し、 \(\mathcal{F}(\emptyset)\) が \(G\)-一元集合であることを用いると、 \[\prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(O_i \times_S O_j) = \prod_{i \in I} \mathcal{F}(O_i)\] を得る。さらに、上の二つの写像は実際には同じである。したがって層公理は単に \(\mathcal{F}(S) = \prod_{i\in I} \mathcal{F}(O_i)\) と述べている。

2. \(S\) が \(G\)-集合 \(S= G/H\) であり、\(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{T}_G\) 上の層ならば、 次が成り立つと主張する。 \[\mathcal{F}(G/H) = \mathcal{F}({}_G G)^H\] とくに \(\mathcal{F}(\{*\}) = \mathcal{F}({}_G G)^G\) である。これを見るため、 被覆 \(\{ {}_G G \to G/H \}\)（\(S\) の被覆）に層公理を用いる。このとき \[\begin{eqnarray*} {}_G G \times_{G/H} {}_G G & \cong & G \times H \\ (g_1, g_2) & \longmapsto & (g_1, g_1^{-1} g_2) \end{eqnarray*}\] は \({}_G G\) のコピーの非交和である（\(G\)-集合として）。したがって層公理は \[\xymatrix{ \mathcal{F} (G/H) \ar[r] & \mathcal{F}({}_G G) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{h\in H} \mathcal{F}({}_G G) }\] となる。ここで右側の二つの写像は \(s \mapsto (s)_{h \in H}\) および \(s \mapsto (hs)_{h \in H}\) である。したがって、主張どおり \(\mathcal{F}(G/H) = \mathcal{F}({}_G G)^H\) である。

これは主張した圏同値を完全に証明するものではないが、少なくとも層 \(\mathcal{F}\) が \({}_G G\) 上の切断によって完全に決定されることを示している。詳細（および集合論上の注意）は Sites の第 00VZ 節にある。

層化

定義

\(\mathcal{F}\) をサイト \(\mathcal{C}\) 上の前層とし、 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\) とする。 \(\mathcal{F}\) の \(\mathcal{U}\) に関する 第零 Čech コホモロジー群を次で定める。 \[\check H^0 (\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \left\{ (s_i)_{i\in I} \in \prod\nolimits_{i\in I }\mathcal{F}(U_i) \text{ であって } s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j |_{U_i \times_U U_j} \right\}.\]

次の標準的な写像が存在する： \(\mathcal{F}(U) \to \check H^0 (\mathcal{U}, \mathcal{F})\), \(s \mapsto (s |_{U_i})_{i\in I}\). 被覆 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) から \(\mathcal{U}\) への被覆の射とは、三つ組 \((\chi, \alpha, \chi_j)\) であって、\(\chi : V \to U\) が射、 \(\alpha : J \to I\) が集合の写像であり、各 \(j \in J\) に対して射 \(\chi_j\) が可換図式 \[\xymatrix{ V_j \ar[rr]_{\chi_j} \ar[d] & & U_{\alpha(j)} \ar[d] \\ V \ar[rr]^\chi & & U. }\] に入るものをいう。データ \(\chi, \alpha, \{\chi_j\}_{j \in J}\) が与えられたとき、次の写像を定める： \[\begin{eqnarray*} \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) & \longrightarrow & \check H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \\ (s_i)_{i\in I} & \longmapsto & \left(\chi_j^*\left(s_{\alpha(j)}\right)\right)_{j\in J}. \end{eqnarray*}\] このとき次を主張する。

1. この写像は定義良好である。

2. この写像は \(\chi\) のみに依存し、 \(\alpha, \{\chi_j\}_{j \in J}\) の選択には依存しない。

第一の事実の証明は省略する。第二項を見るため、別の三つ組 \((\psi, \beta, \psi_j)\) で \(\chi = \psi\) を満たすものを考える。このとき可換図式 \[\xymatrix{ V_j \ar[rrr]_{(\chi_j, \psi_j)} \ar[dd] & & & U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)} \ar[dl] \ar[dr] \\ & & U_{\alpha(j)} \ar[dr] & & U_{\beta(j)} \ar[dl] \\ V \ar[rrr]^{\chi = \psi} & & & U. }\] を得る。切断 \(s \in \mathcal{F}(\mathcal{U})\) が与えられたとする。その \(\mathcal{F}(V_j)\) での像は、三つ組 \((\chi, \alpha, \{\chi_j\}_{j \in J})\) が与える写像の下で \(\chi_j^*s_{\alpha(j)}\) であり、三つ組 \((\psi, \beta, \{\psi_j\}_{j \in J})\) が与える写像による像は \(\psi_j^*s_{\beta(j)}\) である。仮定により \(s \in \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) なので、両者は等しい。実際、いずれも共通値 \[s_{\alpha(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)}} = s_{\beta(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)}}\] を図式中の写像 \((\chi_j, \psi_j)\) によって引き戻したものである。

定理

\(\mathcal{C}\) をサイトとし、\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{C}\) 上の前層とする。

1. 対応 \[U \mapsto \mathcal{F}^+(U) := \colim_{\mathcal{U} \text{ が }U\text{ の被覆}} \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] は前層を定める。また、この余極限は有向余極限である。

2. 前層の標準的な写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) が存在する。

3. \(\mathcal{F}\) が分離前層ならば、\(\mathcal{F}^+\) は層であり、(2) の写像は単射である。

4. \(\mathcal{F}^+\) は分離前層である。

5. \(\mathcal{F}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\) は層であり、標準的な写像は関手的同型 \[\Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] を任意の \(\mathcal{G} \in \Sh(\mathcal{C})\) に対して誘導する。

証明

Sites の定理 00WB を参照されたい。

言い換えると、これは自然な写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) が忘却関手 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) の左随伴であることを意味する。

コホモロジー

次の基本結果により、サイト上のアーベル群の層に対してコホモロジーを定義できる。

定理

サイト上のアーベル群の層の圏は、十分多くの入射対象をもつアーベル圏である。

証明

Modules on Sites の補題 03CN および Injectives の定理 01DP を参照されたい。

したがって、コホモロジーを切断関手の右導来関手として定義できる。すなわち、 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) かつ \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{C})\) ならば、 \[H^p(U, \mathcal{F}) := R^p\Gamma(U, \mathcal{F}) = H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet))\] と定める。ここで \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) は入射分解である。この定義のためには、 関手 \(\Gamma(U, -)\) が左完全であることを確認すべきである。これは実際に成り立ち、圏 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) がアーベル圏となる理由の一部でもある。Modules on Sites の補題 03CN を参照されたい。大域切断関手とその右導来関手を含む、 サイト上のコホモロジーについてのより一般的な議論は、Cohomology on Sites の第 01FT 節を参照されたい。

fpqc トポロジー

エタール・コホモロジーに進む前に、準連接層に対してよく振る舞う fpqc トポロジーを 少し調べる。

定義

\(T\) をスキームとする。\(T\) の fpqc 被覆とは、次の条件を満たす族 \(\{ \varphi_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) のことである。

1. 各 \(\varphi_i\) は平坦射であり、 \(\bigcup_{i\in I} \varphi_i(T_i) = T\) である。

2. 各アフィン開集合 \(U \subset T\) に対して、有限集合 \(K\)、写像 \(\mathbf{i} : K \to I\)、およびアフィン開集合 \(U_{\mathbf{i}(k)} \subset T_{\mathbf{i}(k)}\) が存在して、 \(U = \bigcup_{k \in K} \varphi_{\mathbf{i}(k)}(U_{\mathbf{i}(k)})\). となる。

注意

第一の条件が fp に対応する。これはフランス語で忠実平坦を意味する fidèlement plat の略である。第二の条件は qc、すなわち quasi-compact に対応する。第二の条件が成り立つならば、 第一の条件の後半は不要である。

例

fpqc 被覆の例を挙げる。

1. \(T\) の任意の Zariski 開被覆は fpqc 被覆である。

2. 族 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) が fpqc 被覆であることと、 \(A \to B\) が忠実平坦な環準同型であることは同値である。

3. \(f: X \to Y\) が平坦、全射かつ準コンパクトならば、\(\{ f: X\to Y\}\) は fpqc 被覆である。

4. 射 \(\varphi : \coprod_{x \in \mathbf{A}^1_k} \Spec(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k, x}) \to \mathbf{A}^1_k\) を考える。ここで \(k\) は体である。この射は平坦かつ全射である。しかし準コンパクトではなく、実際、族 \(\{\varphi\}\) は fpqc 被覆ではない。

5. \(\mathbf{A}^2_k = \Spec(k[x, y])\) と書く。標準開集合の射を \(i_x : D(x) \to \mathbf{A}^2_k\) および \(i_y : D(y) \to \mathbf{A}^2_k\) と記す。このとき族 \(\{i_x, i_y, \Spec(k[[x, y]]) \to \mathbf{A}^2_k\}\) および \(\{i_x, i_y, \Spec(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^2_k, 0}) \to \mathbf{A}^2_k\}\) は fpqc 被覆である。

補題

スキームの圏上の fpqc 被覆全体はサイトの公理を満たす。

証明

Topologies の補題 022D を参照されたい。

この補題によってスキームの圏の fpqc サイトを定義できそうに見える。しかし、 fpqc トポロジーを考える際には集合論的な問題が生じる。Topologies の第 022A 節を参照されたい。これは、サイトが「小さい」ことを 要求している一方で、スキームからなるどの小圏も、所与の空でないスキームの fpqc 被覆の余終系を含み得ないことから生じる。厳密に言えば、このことは「部分的な」 fpqc サイトを定義する妨げにはならないが、そうするのは賢明とは思われない。 回避策は、fpqc トポロジーに関する層という概念を認める一方で（以下を参照）、 すべての fpqc 層からなる圏を考えることを禁ずることである。

定義

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上のスキームの圏を \(\Sch/S\) と記す。 関手 \(\mathcal{F} : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)、すなわち集合の前層を考える。 \(\mathcal{F}\) は、任意の fpqc 被覆 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) で \(S\) 上のスキームの被覆であるものに対して 図式 (03NL) が等化子図式となるとき、 fpqc トポロジーに関する層条件を満たすという。

同様に、\(\mathcal{F}\) は、任意の開被覆 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) に対して図式 (03NL) が等化子図式となるとき、 Zariski トポロジーに関する層条件を満たすという。Schemes の定義 01JI を参照されたい。 これは明らかに、任意のスキーム \(T\) で \(S\) 上のものに対して、\(\mathcal{F}\) を \(T\) の開集合に制限したものが（通常の）層であることと同値である。

補題

\(\mathcal{F}\) を \(\Sch/S\) 上の前層とする。このとき、\(\mathcal{F}\) が fpqc トポロジーに関する層条件を満たすための必要十分条件は次の二条件である。

1. \(\mathcal{F}\) は Zariski トポロジーに関する層条件を満たす。

2. 任意の忠実平坦射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) で、 \(S\) 上のアフィンスキームの射であるものに対して、被覆 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) に層公理が成り立つ。すなわち、図式 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(\Spec(A)) \ar[r] & \mathcal{F}(\Spec(B)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(\Spec(B \otimes_A B)) }\] は等化子図式である。

証明

Topologies の補題 022H を参照されたい。

fpqc トポロジーに関する層条件を満たす前層 \(\mathcal{F}\) で \(\Sch/S\) 上のものは、別の見方をすれば次のデータである。

1. 各 \(T/S\) に対して、通常の（すなわち Zariski）層 \(\mathcal{F}_T\) で \(T_{Zar}\) 上のもの。

2. 任意の写像 \(f : T' \to T\) で \(S\) 上のものに対して、制限写像 \(f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)

であって、次を満たすもの：

1. 制限写像は関手的である。

2. \(f : T' \to T\) が開埋め込みならば、制限写像 \(f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\) は同型である。

3. 任意の忠実平坦射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) で \(S\) 上のものに対して、図式 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{\Spec(A)}(\Spec(A)) \ar[r] & \mathcal{F}_{\Spec(B)}(\Spec(B)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}_{\Spec(B \otimes_A B)}(\Spec(B \otimes_A B)) }\] は等化子である。

データ (1)、(2) と条件 (a)、(b) は、Zariski トポロジーに関する層条件を満たす \(\Sch/S\) 上の前層のデータを与える。補題 03O1 により、 このとき条件 (c) が fpqc トポロジーに関する層条件を得るために十分である。

例

前層 \[\begin{matrix} \mathcal{F} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ & T/S & \longmapsto & \Gamma(T, \Omega_{T/S}). \end{matrix}\] を考える。微分と局所化の両立性から、\(\mathcal{F}\) は Zariski サイト上の層である。 しかし、これは fpqc トポロジーに関する層条件を満たさない。実際、 \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\) の場合と、射 \[\varphi : V = \Spec(\mathbf{F}_p[v]) \to U = \Spec(\mathbf{F}_p[u])\] を考える。この射は \(u\) を \(v^p\) に写すことで与えられる。族 \(\{\varphi\}\) は fpqc 被覆であるが、制限写像 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) は生成元 \(\text{d}u\) を \(\text{d}(v^p) = 0\) に写す。したがってこれは零写像であり、図式 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{0} & \mathcal{F}(V) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(V \times_U V) }\] は等化子ではない。後で、\(\mathcal{F}\) が実際にはエタール・サイトおよび 滑らかなサイト上の層を与えることを見る。

補題

\(\Sch/S\) 上の任意の表現可能前層は fpqc トポロジーに関する層条件を満たす。

証明

Descent の補題 023Q を参照されたい。

この事実の証明は、次節で論じる準連接層の降下を用いるので、後で再び取り上げる。 この補題を洗練された言い方で表すと、fpqc トポロジーは標準トポロジーより弱い、 あるいは fpqc トポロジーは準標準的である、となる。サイトの枠組みにおける この議論については、Sites の第 00WO 節を参照されたい。

注意

fpqc トポロジーは Zariski、エタール、滑らか、syntomic、および fppf トポロジーのいずれよりも細かい。したがって、fpqc トポロジーに関する層条件を 満たす任意の前層は、Zariski、エタール、滑らか、syntomic、および fppf サイト上の層となる。特に、例えば表現可能前層はスキームのエタール・サイト上の層となる。

例

\(S\) をスキームとする。加法群スキーム \(\mathbf{G}_{a, S} = \mathbf{A}^1_S\) で \(S\) 上のものを考える。Groupoids の例 022V を参照されたい。 対応する表現可能前層は \[h_{\mathbf{G}_{a, S}}(T) = \Mor_S(T, \mathbf{G}_{a, S}) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T).\] によって与えられる。上の議論から、これは fpqc トポロジーに関する層条件を満たす 集合の前層である。一方、明らかに環の前層でもある。したがって、これを関手 \[\begin{matrix} \mathcal{O} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Rings} \\ & T/S & \longmapsto & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \end{matrix}\] であって fpqc トポロジーに関する層条件を満たすものと考えられる。 これに対応して \(\mathcal{O}\)-加群などの概念が得られる。

忠実平坦降下

本節では準連接加群の忠実平坦降下を論じる。より正確には、準連接加群が fpqc 被覆に関して有効降下を満たすことを証明する。

定義

\(\mathcal{U} = \{ t_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) を、終域を固定した スキームの射の族とする。\(\mathcal{U}\) に関する準連接層の 降下データとは、次を満たす族 \(((\mathcal{F}_i)_{i \in I}, (\varphi_{ij})_{i, j \in I})\) のことである。

1. \(\mathcal{F}_i\) は \(T_i\) 上の準連接層である。

2. \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^* \mathcal{F}_i \to \text{pr}_1^* \mathcal{F}_j\) は \(T_i \times_T T_j\) 上の加群の同型である。

さらにコサイクル条件を満たす。すなわち、図式 \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[dr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} \ar[rr]^{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} & & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[dl]^{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} \\ & \text{pr}_2^*\mathcal{F}_k }\] は \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\) 上で可換である。この降下データが 有効であるとは、準連接層 \(\mathcal{F}\) で \(T\) 上のものと \(\mathcal{O}_{T_i}\)-加群の同型 \(\varphi_i : t_i^* \mathcal{F} \cong \mathcal{F}_i\) が存在し、 写像 \(\varphi_{ij}\) と両立すること、すなわち \[\varphi_{ij} = \text{pr}_1^* (\varphi_j) \circ \text{pr}_0^* (\varphi_i)^{-1}.\] が成り立つことをいう。

本節と次節では、次の定理の証明に用いるいくつかの材料と、それに関連する内容を論じる。

定理

\(\mathcal{V} = \{T_i \to T\}_{i\in I}\) が fpqc 被覆ならば、 \(\mathcal{V}\) に関する準連接層のすべての降下データは有効である。

証明

Descent の命題 023T を参照されたい。

言い換えれば、準連接層のファイバー圏は fpqc サイト上のスタックである。 この定理の証明は二段階からなる。第一段階では、Zariski 被覆に対する主張が、 層の標準的な貼り合わせ（Sheaves の第 00AK 節を参照）と準連接性の局所性から 容易に（または周知の結果として）従うことを確認する。第二段階は、 fpqc 被覆が \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) という形で、 \(A \to B\) が忠実平坦な環準同型である場合である。これは代数の補題であり、以下に述べる。

加群の降下。 \(A \to B\) を環準同型とし、複体 \[(B/A)_\bullet : B \to B \otimes_A B \to B \otimes_A B \otimes_A B \to \ldots\] を考える。ここで \(B\) は次数 0、\(B \otimes_A B\) は次数 1 などに置かれ、写像は \[\begin{eqnarray*} b & \mapsto & 1 \otimes b - b \otimes 1, \\ b_0 \otimes b_1 & \mapsto & 1 \otimes b_0 \otimes b_1 - b_0 \otimes 1 \otimes b_1 + b_0 \otimes b_1 \otimes 1, \\ & \text{以下同様。} \end{eqnarray*}\] で与えられる。

補題

\(A \to B\) が忠実平坦ならば、複体 \((B/A)_\bullet\) は正の次数で完全であり、 \(H^0((B/A)_\bullet) = A\) である。

証明

Descent の補題 023M を参照されたい。

Grothendieck はこれを三段階で証明する。第一に、写像 \(A \to B\) が切断をもつと仮定し、次数 0 の \(A\) だけを非零項とする複体への 明示的なホモトピーを構成する。第二に、この結果を証明するには、忠実平坦な基底変換 \(A \to A'\) の後で証明すれば十分であり、\(B\) を \(B' = B \otimes_A A'\) に 置き換えればよいことを確認する。第三に、忠実平坦な基底変換 \(A \to A' = B\) を適用し、写像 \(A' = B \to B' = B \otimes_A B\) が自然な切断をもつことを指摘する。

同じ方針によって次の補題が証明される。

補題

\(A \to B\) が忠実平坦で、\(M\) が \(A\)-加群ならば、複体 \((B/A)_\bullet \otimes_A M\) は正の次数で完全であり、 \(H^0((B/A)_\bullet \otimes_A M) = M\) である。

証明

Descent の補題 023M を参照されたい。

定義

\(A \to B\) を環準同型、\(N\) を \(B\)-加群とする。\(N\) の \(A \to B\) に関する降下データとは、同型 \(\varphi : N \otimes_A B \cong B \otimes_A N\) であって、 \(B \otimes_A B\)-加群の同型であり、 \(B \otimes_A B \otimes_A B\)-加群の図式 \[\xymatrix{ {N \otimes_A B \otimes_A B} \ar[dr]_{\varphi_{02}} \ar[rr]^{\varphi_{01}} & & {B \otimes_A N \otimes_A B} \ar[dl]^{\varphi_{12}} \\ & {B \otimes_A B \otimes_A N} }\] が可換となるものをいう。ここで \(\varphi_{01} = \varphi \otimes \text{id}_B\) であり、 \(\varphi_{12}\) と \(\varphi_{02}\) も同様に定める。

\(N' = B \otimes_A M\) がある \(A\)-加群 M によって与えられるならば、 これは写像 \[\begin{matrix} \varphi_\text{can}: & N' \otimes_A B & \to & B \otimes_A N' \\ & b_0 \otimes m \otimes b_1 & \mapsto & b_0 \otimes b_1 \otimes m. \end{matrix}\] によって定まる標準的な降下データをもつ。

定義

降下データ \((N, \varphi)\) が有効であるとは、ある \(A\)-加群 \(M\) が存在して \((N, \varphi) \cong (B \otimes_A M, \varphi_\text{can})\) となることをいう。ここでは降下データの同型を明らかな意味で用いる。

定理 03O8 は次の結果から従う。

定理

\(A \to B\) が忠実平坦ならば、\(A\to B\) に関する降下データは有効である。

証明

Descent の命題 023N を参照されたい。 証明の別の見方については、Descent の注意 039Y も参照されたい。

注意

加群の降下に関する結果には、いくつかの応用がある。

1. 被覆 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) で \(A \to B\) が 忠実平坦であるものに対して、Čech 複体が正の次数で完全であること。 これはコホモロジーのいくつかの消滅を与える。

2. \((N, \varphi)\) が忠実平坦写像 \(A \to B\) に関する降下データならば、 対応する \(A\)-加群は \[M = \Ker \left( \begin{matrix} N & \longrightarrow & B \otimes_A N \\ n & \longmapsto & 1 \otimes n - \varphi(n \otimes 1) \end{matrix} \right).\] で与えられる。Descent の命題 023N を参照されたい。

準連接層

加群の降下を準連接層の研究に応用できる。

命題

任意の準連接層 \(\mathcal{F}\) で \(S\) 上のものに対して、前層 \[\begin{matrix} \mathcal{F}^a : & \Sch/S & \to & \textit{Ab}\\ & (f: T \to S) & \mapsto & \Gamma(T, f^*\mathcal{F}) \end{matrix}\] は fpqc トポロジーに関する層条件を満たす \(\mathcal{O}\)-加群である。

証明

これは Descent の補題 03DT で証明されている。 ここでは証明の概略を示す。補題 03O1 で示したように、 Zariski 被覆とアフィンスキームの忠実平坦射に対して層条件を確認すれば十分である。 Zariski 被覆に対する層条件は標準的なスキーム論である。実際、 \(\Gamma(U, i^\ast \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\) が、 \(i : U \hookrightarrow S\) が開埋め込みならば成り立つ。

被覆 \(\left\{\Spec(B)\to \Spec(A)\right\}\) で \(A\to B\) が忠実平坦であり、 \(\mathcal{F}|_{\Spec(A)} = \widetilde{M}\) となる場合、これは \(M = H^0\left((B/A)_\bullet \otimes_A M \right)\)、すなわち \[\begin{align*} 0 \to M \to B \otimes_A M \to B \otimes_A B \otimes_A M \end{align*}\] が補題 03OA により完全であるという事実に対応する。

環付きサイト上の準連接層には抽象的な概念がある。ここで簡単に導入する。 詳しくは Modules on Sites の第 03DK 節を参照されたい。 \(\mathcal{C}\) を圏とし、\(U\) を \(\mathcal{C}\) の対象とする。このとき \(\mathcal{C}/U\) は \(U\) 上の対象の圏を表す。Categories の例 001G を参照されたい。 \(\mathcal{C}\) がサイトならば、\(\mathcal{C}/U\) もサイトである。すなわち、 \(V/U\) の被覆とは、族 \(\{V_i/U \to V/U\}\) で \(\mathcal{C}/U\) の終域を固定した射からなり、\(\{V_i \to V\}\) が \(\mathcal{C}\) の被覆となるものをいう。さらに、任意の層 \(\mathcal{F}\) で \(\mathcal{C}\) 上のものが与えられると、その制限 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\)（明らかな仕方で定義する）も層である。 詳しくは Sites の第 00XZ 節を参照されたい。

定義

\(\mathcal{C}\) を環付きサイト、すなわち環の層 \(\mathcal{O}\) を備えたサイトとする。\(\mathcal{O}\)-加群の層 \(\mathcal{F}\) で \(\mathcal{C}\) 上のものが準連接であるとは、任意の \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) に対して被覆 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) で \(\mathcal{C}\) の被覆であるものが存在し、制限 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) が自由 \(\mathcal{O}\)-加群の間の \(\mathcal{O}\)-線形写像 \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}|_{\mathcal{C}/U_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}|_{\mathcal{C}/U_i}.\] の余核と同型であることをいう。\(K\) にわたる直和は前層 \(V \mapsto \bigoplus_{k \in K} \mathcal{O}(V)\) に付随する層であり、 もう一方についても同様である。

上のような一般的定義を与えられることは有用だが、この概念は一般にはよく振る舞わない。

注意

\(\mathcal{C}\) が終対象、例えば \(S\) をもつ場合、上の定義の条件は \(U = S\) に対して確認するだけで十分である。Modules on Sites の補題 03DN を参照されたい。

定理

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{C}\) をサイトとし、次を仮定する。

1. 基礎にある圏 \(\mathcal{C}\) は \(\Sch/S\) の充満部分圏である。

2. \(T \in \Ob(\mathcal{C})\) の任意の Zariski 被覆は \(\mathcal{C}\) の被覆によって細分される。

3. \(S/S\) は \(\mathcal{C}\) の対象である。

4. \(\mathcal{C}\) のすべての被覆はスキームの fpqc 被覆である。

このとき前層 \(\mathcal{O}\) は \(\mathcal{C}\) 上の層であり、任意の準連接 \(\mathcal{O}\)-加群で \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上のものは、 \(\mathcal{F}^a\) という形をもつ。ここで \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上の準連接層である。

証明

いくつかの形式的議論を行えば、これはまさに定理 03O8 である。詳細は省略する。Descent の命題 03DX では、 大 Zariski、fppf、エタール、滑らか、および syntomic サイトで \(S\) のもの、 ならびに小 Zariski サイトと小エタール・サイトで \(S\) のものについて、 この定理のより精密な形を証明する。

言い換えれば、スキーム \(S\) 上の準連接加群と、準連接 \(\mathcal{O}\)-加群で 定理に現れるサイト \(\mathcal{C}\) 上のものとの間に違いはない。 大および小サイト \((\Sch/S)_{fppf}\)、\(S_\etale\) などについての より精密な主張は、Descent の各節 03DR, 0GN8, および 0GN9. にある。本章では、これらのどの状況でも成り立つ結果を簡潔に述べるために、 「定理 03OJ におけるサイト」と呼ぶことがある。

Čech コホモロジー

次の目標は、降下理論を用いて等式 \(H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}^a) = H_{Zar}^i(S, \mathcal{F})\) が、任意の準連接層 \(\mathcal{F}\) で \(S\) 上のものと、 定理 03OJ に現れる任意のサイト \(\mathcal{C}\) に対して成り立つことを示すことである。そのために、サイト上の Čech コホモロジーを導入する。詳しくは [ArtinTopologies] および Cohomology on Sites の各節 03AK, 03AO および 03AV を参照されたい。

定義

\(\mathcal{C}\) を圏とする。\(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) を、 \(\mathcal{C}\) の終域を固定した射の族とする。すべてのファイバー積 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) が \(\mathcal{C}\) に存在すると仮定する。 \(\mathcal{F} \in \textit{PAb}(\mathcal{C})\) をアーベル群の前層とする。 Čech 複体 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) を \[\prod_{i_0 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0}) \to \prod_{i_0, i_1 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) \to \prod_{i_0, i_1, i_2 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) \to \ldots\] によって定義する。ここで第一項は次数 0 に置かれ、写像は通常のものである。 Čech コホモロジー群を \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})).\] によって定義する。

上の定義では、添字 \((i_0, \ldots, i_p)\) に重複を許すことが本質的である。

補題

記法と仮定は定義 03OL のとおりとする。関手 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -)\) は圏 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 上で完全である。

言い換えれば、\(0\to \mathcal{F}_1\to \mathcal{F}_2\to \mathcal{F}_3\to 0\) がアーベル群の前層の短完全列ならば、 \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet\left(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1\right) \to\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_2) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3)\to 0\] は複体の短完全列である。

証明

これは前層の短完全列の定義から直ちに従う。実際、アーベル群の前層の圏は、 ある圏から \(\textit{Ab}\) への関手の圏なので、自動的にアーベル圏となる。 列 \(\mathcal{F}_1\to \mathcal{F}_2\to \mathcal{F}_3\) が \(\textit{PAb}\) で完全であるための必要十分条件は、任意の \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) に対して列 \(\mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to \mathcal{F}_3(U)\) が \(\textit{Ab}\) で完全となることである。したがって上の複体は、各次数で短完全列の 積にすぎない。Cohomology on Sites の補題 03AQ も参照されたい。

これにより \(\check{H}^\bullet(\mathcal{U}, -)\) は \(\delta\)-関手である。 次に、これが普遍 \(\delta\)-関手であることを示す。そのためには、この関手が 消去可能であることを示す必要がある。まず Yoneda の補題を思い出す。

補題

任意の前層 \(\mathcal{F}\) が圏 \(\mathcal{C}\) 上で与えられ、 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) をとると、関手的同型 \[\Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U).\] が存在する。

証明

Categories の補題 001P を参照されたい。

集合 \(E\) が与えられたとき、本節では \(\mathbf{Z}[E]\) で \(E\) 上の自由アーベル群を表す。式で書けば \(\mathbf{Z}[E] = \bigoplus_{e \in E} \mathbf{Z}\) である。すなわち \(\mathbf{Z}[E]\) は自由 \(\mathbf{Z}\)-加群であり、その基底は \(E\) の元からなる。この記法を用いて、集合の前層上の 自由アーベル前層を導入する。

定義

圏 \(\mathcal{C}\) と集合の前層 \(\mathcal{G}\) をとる。 \(\mathcal{G}\) 上の自由アーベル前層を \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}\) と書き、規則 \[\mathbf{Z}_\mathcal{G}(U) = \mathbf{Z}[\mathcal{G}(U)]\] によって定義する。ここで \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) であり、 制限写像は \(\mathcal{G}\) の制限写像から誘導される。 特別な場合 \(\mathcal{G} = h_U\) には、単に \(\mathbf{Z}_U = \mathbf{Z}_{h_U}\). と書く。

関手 \(\mathcal{G} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{G}\) は忘却関手 \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) の左随伴である。 したがって任意の前層 \(\mathcal{F}\) に対し、標準同型 \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] があり、最後の等号は Yoneda の補題による。特に次の結果を得る。

補題

記法と仮定は定義 03OL のとおりとする。 Čech 複体 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) は次のように明示的に記述できる： \[\begin{eqnarray*} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) & = & \left( \prod_{i_0 \in I} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{U_{i_0}}, \mathcal{F}) \to \prod_{i_0, i_1 \in I} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}, \mathcal{F}) \to \ldots \right) \\ & = & \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}\left( \left( \bigoplus_{i_0 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \leftarrow \ldots \right), \mathcal{F}\right) \end{eqnarray*}\]

証明

これは上の式から従う。Cohomology on Sites の補題 03AS も参照されたい。

したがって、最後の \(\Hom\) の第一引数にある複体だけを調べればよい。

補題

記法と仮定は定義 03OL のとおりとする。 アーベル群の前層の複体 \[\begin{align*} \mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet \quad : \quad \bigoplus_{i_0 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1, i_2 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}} \leftarrow \ldots \end{align*}\] は次数 \(0\) を除くすべての次数で \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) において完全である。

証明

任意の \(V\in \Ob(\mathcal{C})\) に対し、アーベル群の複体 \(\mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet(V)\) は \[\begin{matrix} \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0\in I} \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0})\right] \leftarrow \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0, i_1 \in I} \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1})\right] \leftarrow \ldots = \\ \bigoplus_{\varphi : V \to U} \left( \mathbf{Z}\left[\coprod_{i_0 \in I} \Mor_\varphi(V, U_{i_0})\right] \leftarrow \mathbf{Z}\left[\coprod_{i_0, i_1\in I} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1})\right] \leftarrow \ldots \right) \end{matrix}\] である。ここで \[\Mor_{\varphi}(V, U_i) = \{ V \to U_i \text{ であって } V \to U_i \to U \text{ が } \varphi \text{ に等しいもの}\}.\] \(S_\varphi = \coprod_{i\in I} \Mor_\varphi(V, U_i)\) とおく。このとき \[\mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet(V) = \bigoplus_{\varphi : V \to U} \left( \mathbf{Z}[S_\varphi] \leftarrow \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi] \leftarrow \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi \times S_\varphi] \leftarrow \ldots \right).\] したがって、各 \(S = S_\varphi\) に対して複体 \[\begin{align*} \mathbf{Z}[S] \leftarrow \mathbf{Z}[S \times S] \leftarrow \mathbf{Z}[S \times S \times S] \leftarrow \ldots \end{align*}\] が負の次数で完全であることを示せば十分である。このためには、明示的な ホモトピーを与えればよい。\(s\in S\) を固定し、 \(K: n_{(s_0, \ldots, s_p)} \mapsto n_{(s, s_0, \ldots, s_p)}.\) と定める。\(K\) が作用素 \[\delta : \eta_{(s_0, \ldots, s_p)} \mapsto \sum\nolimits_{i = 0}^p (-1)^p \eta_{(s_0, \ldots, \hat s_i, \ldots, s_p)}.\] の零ホモトピーであることは容易に確かめられる。詳しくは Cohomology on Sites の補題 03AT を参照されたい。

補題

記法と仮定は定義 03OL のとおりとする。 \(\mathcal{I}\) が \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) の入射対象ならば、 \(\check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\) がすべての \(p > 0\) に対して成り立つ。

証明

Čech 複体は、関手 \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) を複体 \(\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}\) に適用して得られる。すなわち、 \[\check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = H^p (\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})} (\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}, \mathcal{I})).\] いま見たように \(\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}\) は負の次数で完全であり、 関手 \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) も完全である。したがって \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})} (\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}, \mathcal{I})\) は正の次数で完全である。

定理

記法と仮定は定義 03OL のとおりとする。 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 上で、関手 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\) は \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) の右導来関手である。

証明

補題 03OR により、関手 \(\check H^p(\mathcal{U}, -)\) は消去可能なので普遍 \(\delta\)-関手である。\(\check H^0(\mathcal{U}, -)\) の右導来関手も同様である。 次数 \(0\) で一致するので、普遍 \(\delta\)-関手の普遍性により両者は一致する。 詳しくは Cohomology on Sites の補題 03AU を参照されたい。

注意

以上の主張はすべて前層に関するものであり、ここまではまだ位相を用いていないことに注意する。

Čech コホモロジーからコホモロジーへのスペクトル系列

このスペクトル系列は、層のコホモロジーに関する基礎的結果を証明するうえで 基本的な役割を果たす。

補題

忘却関手 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\to \textit{PAb}(\mathcal{C})\) は入射対象を入射対象に写す。

証明

忘却関手が左随伴をもち、その左随伴である層化が完全関手であるという事実から 形式的に従う。詳しくは Cohomology on Sites の補題 03F6 を参照されたい。

定理

\(\mathcal{C}\) をサイトとする。任意の被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) で \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) のものと、任意のアーベル群の層 \(\mathcal{F}\) で \(\mathcal{C}\) 上のものに対して、スペクトル系列 \[E_2^{p, q} = \check H^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \Rightarrow H^{p+q}(U, \mathcal{F}),\] が存在する。ここで \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\) はアーベル群の前層 \(V \mapsto H^q(V, \mathcal{F})\) である。

証明

入射分解 \(\mathcal{F}\to \mathcal{I}^\bullet\) を \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) において選び、二重複体 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) と写像 \[\xymatrix{ \Gamma(U, I^\bullet) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \\ & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[u] }\] を考える。ここで水平写像は、左端の列への自然写像 \(\Gamma(U, I^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) であり、垂直写像は \(\mathcal{F}\to \mathcal{I}^0\) から誘導され、 最下段に入る。仮定により \(\mathcal{I}^\bullet\) は \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) における入射対象の複体であるから、補題 03OV により \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) における入射対象の複体でもある。 したがって、二重複体の各行は正の次数で完全であり （補題 03OR）、写像 \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^1(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) の核は \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\) に等しい。実際、 \(\mathcal{I}^\bullet\) は層の複体である。特に、全複体のコホモロジーは 大域切断関手 \(H^0(U, \mathcal{F})\) の通常のコホモロジーである。

垂直方向については、第 \(q\) コホモロジー群で第 \(p\) 列から得られるものは \[\prod_{i_0, \ldots, i_p} H^q(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}, \mathcal{F}) = \prod_{i_0, \ldots, i_p} \underline{H}^q(\mathcal{F})(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\] であり、これは項 \(E_1^{p, q}\) に現れる。したがってこれは標準的な二重複体の スペクトル系列であり、その \(E_2\)-ページは主張どおりである。詳しくは Cohomology on Sites の補題 03AZ を参照されたい。

注意

これは関手の合成 \[\textit{Ab}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\check H^0} \textit{Ab}.\] に対する Grothendieck スペクトル系列である。

スキームの大サイトと小サイト

\(S\) をスキームとする。\(\tau\) を、以下で扱う位相の一つとする。すなわち \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) である。 もちろんエタール位相だけに関心があるなら、以下を通じて \(\tau = \etale\) と仮定すればよい。さらに、エタール射、エタール被覆、 およびエタール・サイトについては、節 03P9 以降で より詳しく論じる。準連接層のコホモロジーを論じるためには、大 \(\tau\)-サイトと、\(\tau \in \{\etale, Zariski\}\) の場合には 小 \(\tau\)-サイトで \(S\) のものとを導入するのが便利である。そのため、まず \(\tau\)-被覆の概念を導入する。

定義

(Topologies の各定義 021M, 0225, 021Z, 0215, および 020O を参照されたい。) \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) とする。 終域を固定したスキームの射の族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) が \(\tau\)-被覆であるとは、各 \(f_i\) がそれぞれ有限表示平坦、 syntomic、滑らか、エタール、または開埋め込みであり、かつ \(\bigcup f_i(T_i) = T\) が成り立つことをいう。

すべての \(\tau\)-被覆からなるクラスは、定義 03NH （本章におけるサイトの定義）の公理 (1)、(2)、(3) を満たす。 Topologies の各補題 021O, 0227, 0221, 0217, および 020P を参照されたい。

以下で用いるサイトを導入しよう。[SGA4] とは異なり、宇宙は選ばない。 その代わりに「部分宇宙」（Sets の節 000B にいう十分大きな集合）を選び、その集合に含まれるすべてのスキームを考える。 もちろん、選んだ基礎スキーム \(S\) が部分宇宙に含まれるようにする。 台となる圏を選んだ後、それをサイトにする十分大きな \(\tau\)-被覆の集合を選ぶ。 詳細はスキーム上の位相を扱う章にある。選択には大きな自由度があるが、最終的に 実際の選択は \(S\) のエタール（または他の）コホモロジーに影響しない （[SGA4] でも、最終的には宇宙の実際の選択は問題にならない）。 さらに、本文は強非可到達基数、すなわち宇宙を用いてよいと考える読者が、 それを代わりに用いられるように書かれている。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, \linebreak[0] Zariski\}\) とする。

1. 大 \(\tau\)-サイト（基礎スキーム \(S\)）とは、上で説明したように、 また Topologies の各定義 021S, 03X3, 03X0, 021B, および 020T でより詳しく構成される サイト \((\Sch/S)_\tau\) のいずれかをいう。

2. \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\) のとき、小 \(\tau\)-サイト（基礎スキーム \(S\)）とは、充満部分圏 \(S_\tau\) で \((\Sch/S)_\tau\) のものをいい、その対象はスキーム \(T\) で \(S\) 上にあり、構造射 \(T \to S\) がそれぞれエタール射または開埋め込みであるものからなる圏をいう。 \(S_\tau\) における被覆とは、被覆 \(\{U_i \to U\}\) で \((\Sch/S)_\tau\) におけるもののうち、\(U\) が \(S_\tau\) の対象であるものをいう。

サイト \((\Sch/S)_\tau\) の台となる圏は、適切な「閉性」をもつ。 すなわち、その圏のスキーム \(T\) をとると、\(T\) の任意の局所閉部分スキームは \((\Sch/S)_\tau\) のある対象と同型である。他の閉性として、スキームの ファイバー積、可算非交和、および与えられたスキーム上の有限型スキームを とる操作に関して閉じている。またアフィン・スキーム \(\Spec(R)\) が与えられれば、 圏の内部にとどまったまま \(R\) を完備化、局所化し、またはイデアルで割ることが できる、などが挙げられる。他方、例えば \((\Sch/S)_\tau\) のスキームの 任意の非交和をとると、この圏の外に出ることがある。 また、対象 \(T\) で \((\Sch/S)_\tau\) のものが与えられたとき、 \(\tau\)-被覆 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)（定義 03X8 の意味で）が存在しても、それが \((\Sch/S)_\tau\) における被覆ではないことがある。例えばスキーム \(T_i\) が圏 \((\Sch/S)_\tau\) の対象でない場合である。しかし、サイト \((\Sch/S)_\tau\) は、被覆 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) で \((\Sch/S)_\tau\) におけるものが常に存在し、それが被覆 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) を細分するように選ばれている。Topologies の各補題 03WX, 03X2, 03WZ, 03WW, および 03WV を参照されたい。 本章では、これらの問題をほとんど意識しないことにする。

\(\mathcal{F}\) が \((\Sch/S)_\tau\) または \(S_\tau\) 上の層ならば、 \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}), \text{ 特に } H^p_\tau(S, \mathcal{F})\] で、\(\mathcal{F}\) の、サイトの対象 \(U\) 上におけるコホモロジー群を表す。 節 03NT を参照されたい。したがって \(H^p_{fppf}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_{syntomic}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_{smooth}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_\etale(S, \mathcal{F})\), および \(H^p_{Zar}(S, \mathcal{F})\) が得られる。最後の二つは、大エタール・サイトと 小エタール・サイト、または大 Zariski サイトと小 Zariski サイトのいずれを 指すか曖昧になりうる。しかし、次の補題によりこの曖昧さは無害である。

補題

\(\tau \in \{\etale, Zariski\}\) とする。 \(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上で定義されたアーベル群の層とする。 \(\mathcal{F}\) の \(S\) 上のコホモロジー群は、 \(\mathcal{F}|_{S_\tau}\) の \(S\) 上のコホモロジー群と一致する。

証明

Topologies の各補題 020Z および 021G により、関手 \(S_\tau \to (\Sch/S)_\tau\) は Sites の補題 00XU の仮定を満たす。したがって本補題は Cohomology on Sites の補題 03YU から従う。

\(S\) の大または小エタール・サイト上の層の圏は、 \((\Sch/S)_\etale\) または \(S_\etale\) のアフィン対象からなる充満部分圏だけで 決まり、それらの間の標準エタール被覆（下で定義する）だけを考えればよい。 こうしてサイト \((\textit{Aff}/S)_\etale\) と \(S_{affine, \etale}\) が得られる。 Topologies の定義 021B を参照されたい。 比較結果は Topologies の各補題 021E および 04HR で証明されている。以下では、本章で扱う いくつかの位相における標準被覆を定義する。

定義

(Topologies の各定義 021Q, 0229, 0223, 0219, および 020R を参照されたい。) \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) とする。 \(T\) をアフィン・スキームとする。標準 \(\tau\)-被覆（対象 \(T\)）とは、 族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) であって、各 \(U_j\) がアフィンで、 各 \(f_j\) がそれぞれ有限表示平坦、標準 syntomic、標準滑らか、エタール、 または \(T\) の標準主開集合の埋め込みであり、かつ \(T = \bigcup f_j(U_j)\) が成り立つものをいう。

補題

\(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) とする。 アフィン・スキームの任意の \(\tau\)-被覆は、標準 \(\tau\)-被覆によって 細分できる。

証明

Topologies の各補題 021P, 0228, 0222, 0218, および 020Q を参照されたい。

完全を期すため、ここで扱っているコホモロジー群が部分宇宙の選択に依存しない ことを述べ、証明する。小エタール・トポスの不変性は、後の補題 0958 で証明する。 この補題で用いる記法と用語については、Topologies の節 022I を参照されたい。

補題

\(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) とする。 \(S\) をスキームとする。\((\Sch/S)_\tau\) と \((\Sch'/S)_\tau\) を二つの 大 \(\tau\)-サイト（基礎スキーム \(S\)）とし、前者が後者に含まれると仮定する。 このとき

1. 任意のアーベル群の層 \(\mathcal{F}'\) で \((\Sch'/S)_\tau\) 上で 定義されたものと、任意の対象 \(U\) で \((\Sch/S)_\tau\) のものに対して \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}'|_{(\Sch/S)_\tau}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}')\] が成り立つ。言い換えれば、大きい方のサイトで計算した \(\mathcal{F}'\) の \(U\) 上のコホモロジーは、小さい方のサイトに制限した \(\mathcal{F}'\) の \(U\) 上のコホモロジーと一致する。

2. 任意のアーベル群の層 \(\mathcal{F}\) で \((\Sch/S)_\tau\) 上のものに対し、 アーベル群の層 \(\mathcal{F}'\) で \((\Sch/S)_\tau'\) 上のもののうち、その \((\Sch/S)_\tau\) への制限が \(\mathcal{F}\) と同型であるものが存在する。

証明

Topologies の補題 022K により、包含関手 \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\) は Sites の補題 00XU の仮定を満たす。これから (2) が従い、(1) は Cohomology on Sites の補題 03YU から従う。

エタール・トポス

トポスとは、サイト上の集合の層の圏である。Sites の定義 00XA を参照されたい。したがって「スキームの エタール・トポス」という語で、スキームの小エタール・サイト上の層の圏を 表すのが慣例である。形式的な定義は次のとおりである。

定義

\(S\) をスキームとする。

1. \(S\) のエタール・トポス、または小エタール・トポスとは、 集合の層の圏 \(\Sh(S_\etale)\) で、小エタール・サイトで \(S\) のもの上の 層からなる圏をいう。

2. \(S\) のZariski トポス、または小 Zariski トポスとは、 集合の層の圏 \(\Sh(S_{Zar})\) で、小 Zariski サイトで \(S\) のもの上の 層からなる圏をいう。

3. \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) に対し、 大 \(\tau\)-トポスとは、大 \(\tau\)-トポスで \(S\) のものの上の 集合の層の圏をいう。

\(S\) の小 Zariski トポスは、単に \(S\) の台位相空間上の集合の層の圏である。 Topologies の補題 020X を参照されたい。 小エタール・トポスは小エタール・サイトの構成における選択に依存しないが、 一般に大トポスはそれらの選択に依存する。

大または小エタール・トポスは、\((\Sch/S)_\etale\) または \(S_\etale\) のアフィン対象からなる充満部分圏だけで決まる。 Topologies の各補題 021E および 04HR を参照されたい。例えば次の補題の証明で このことを用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(S\) のエタール・トポスは、定義 03XB における小エタール・サイトの構成に （標準同値を除いて）依存しない。

証明

二つの大エタール・サイト \(\Sch_\etale\) と \(\Sch_\etale'\) が \(S\) を含むとき、明らかな記法のもとで \(\Sh(S_\etale) \cong \Sh(S_\etale')\) となることを示せばよい。 Topologies の補題 022J により \(\Sch_\etale \subset \Sch_\etale'\) と仮定してよい。Sets の補題 000R により、\(S\) 上エタールな任意の アフィン・スキームは \(\Sch_\etale\) と \(\Sch_\etale'\) の双方の対象と 同型である。したがって誘導関手 \(S_{affine, \etale} \to S_{affine, \etale}'\) は同値である。さらに、この関手とその擬逆写像がともに標準エタール被覆を 標準エタール被覆に写すことは明らかである。ゆえに結果は Topologies の補題 04HR から従う。

準連接層のコホモロジー

まず簡単な補題から始める（実際には、述べたものより一般に成り立つ）。 これは、標準被覆の Čech 複体が、形 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) で \(A \to B\) が忠実平坦である fpqc 被覆の Čech 複体に等しいことを述べる。

補題

位相 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) をとる。 \(S\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の アーベル群の層、または \(S_\tau\) 上のアーベル群の層 （\(\tau = \etale\) の場合）とし、 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) をこのサイトの標準 \(\tau\)-被覆とする。 \(V = \coprod_{i \in I} U_i\) とおく。このとき

1. \(V\) はアフィン・スキームである。

2. \(\mathcal{V} = \{V \to U\}\) は fpqc 被覆であり、 さらに \(\tau\)-被覆でもある。ただし \(\tau = Zariski\) の場合を除く。

3. 二つの Čech 複体 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{U}, \mathcal{F})\) と \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{V}, \mathcal{F})\) は一致する。

証明

標準 \(\tau\)-被覆の定義は Topologies の各定義 020R, 0219, 0223, 0229, および 021Q にある。 定義により各スキーム \(U_i\) はアフィンで、\(I\) は有限集合である。 したがって \(V\) はアフィン・スキームである。\(V \to U\) が平坦かつ全射で あることは明らかなので、\(\mathcal{V}\) は fpqc 被覆である。例 03NY を参照されたい。Zariski の場合を除けば、 被覆 \(\mathcal{V}\) は \(\tau\)-被覆でもある。Topologies の各定義 0215, 021Z, 0225, および 021M を参照されたい。

被覆 \(\mathcal{U}\) は \(\mathcal{V}\) の細分であることに注意する。 したがって Čech 複体の写像 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{U}, \mathcal{F})\) が存在する。 Cohomology on Sites の式 (03F4) を参照されたい。 次に、\(T = \coprod_{j \in J} T_j\) が、\(\mathcal{F}\) の定義されたサイト内の スキームの非交和ならば、終域を固定した射の族 \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\) は Zariski 被覆である。したがって [03XC]\[\begin{equation} \mathcal{F}(T) = \mathcal{F}(\coprod\nolimits_{j \in J} T_j) = \prod\nolimits_{j \in J} \mathcal{F}(T_j) \end{equation}\] が成り立つ。これは \(\mathcal{F}\) の層条件による。ゆえに上の Čech 複体の写像は各次数で同型である。実際、 \[V \times_U \ldots \times_U V = \coprod\nolimits_{i_0, \ldots i_p} U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\] がスキームとして成り立つ。

等式 (03XC) は一般の前層に対しては偽であることに 注意する。層に対してさえ任意のサイトで成り立つわけではない。余積が被覆を 与えるとは限らず、また非交とは限らないからである。しかし、通常用いるサイト （少なくとも本章で調べるすべてのサイト）では成り立つ。

注意

補題 03OZ の主張では、被覆 \(\mathcal{U}\) は \(\mathcal{V}\) の細分であるが、逆は成り立たない。形 \(\{V \to U\}\) の被覆は、 \(U\) のすべての被覆からなる圏の始部分圏をなさない。それでも、Čech コホモロジー \(\check H^n(U, \mathcal{F})\)（これは、被覆 \(\mathcal{U}\) で \(U\) のものからなる圏の反対圏上で、\(\mathcal{F}\) の \(\mathcal{U}\) に関する Čech コホモロジー群の余極限として定義される）は、 被覆 \(\{V \to U\}\) を用いて計算できる。必要になれば、精密な補題 （層に対してのみ成り立つ）を定式化してここに加えることにする。

補題

\(\mathcal{C}\) をサイト、\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{C}\) 上のアーベル群の層、 \(U\) を \(\mathcal{C}\) の対象、\(p > 0\) を整数とし、\(\xi \in H^p(U, \mathcal{F})\) とする。このとき、被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) で、\(U\) のもので \(\mathcal{C}\) におけるもののうち、\(\xi |_{U_i} = 0\) がすべての \(i \in I\) に対して成り立つものが存在する。

証明

入射分解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) を選ぶ。このとき \(\xi\) はコサイクル \(\tilde{\xi} \in \mathcal{I}^p(U)\) で \(d^p(\tilde{\xi}) = 0\) を満たすものによって表される。仮定により、列 \(\mathcal{I}^{p - 1} \to \mathcal{I}^p \to \mathcal{I}^{p + 1}\) は \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) で完全である。これは、被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) で、 \(\tilde{\xi}|_{U_i} = d^{p - 1}(\xi_i)\) が、ある \(\xi_i \in \mathcal{I}^{p-1}(U_i)\) に対して成り立つものが存在することを意味する。 コホモロジー類 \(\xi|_{U_i}\) はコサイクル \(\tilde{\xi}|_{U_i}\) によって 表され、後者はコバウンダリなので、この類は消える。詳しくは Cohomology on Sites の補題 01FW を参照されたい。

定理

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。 \(\mathcal{C}\) を \((\Sch/S)_\tau\) で \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\) に対応するもの、 または \(S_\etale\) のいずれかとする。このとき \[H^p(S, \mathcal{F}) = H^p_\tau(S, \mathcal{F}^a)\] がすべての \(p \geq 0\) に対して成り立つ。ここで

1. 左辺は、層 \(\mathcal{F}\) の、スキーム \(S\) の台位相空間上における 通常のコホモロジーを表す。

2. 右辺は、アーベル群の層 \(\mathcal{F}^a\)（命題 03OG を参照）のサイト \(\mathcal{C}\) 上におけるコホモロジーを表す。

証明

次を示す： \(H^p(U, f^*\mathcal{F}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) これは、任意の対象 \(f : U \to S\) でサイト \(\mathcal{C}\) のものに対して成り立つ。 層の性質により、\(p = 0\) の場合には主張は正しい。

\(U\) がアフィンであると仮定する。このとき \(H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a) = 0\) がすべての \(p > 0\) に対して 成り立つことを示したい。\(p\) に関する帰納法を用いる。

1. \(\xi \in H^1_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) をとる。補題 03P1 により、fpqc 被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) で、 \(\xi|_{U_i} = 0\) がすべての \(i \in I\) に対して成り立つものが存在する。 \(\mathcal{U}\) を細分することにより、 \(\mathcal{U}\) が標準 \(\tau\)-被覆であると仮定してよい。定理 03OW のスペクトル系列を適用すると、\(\xi\) は コホモロジー類 \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\) から来ることが分かる。被覆 \(\mathcal{V} = \{\coprod_{i\in I} U_i \to U\}\) を考える。補題 03OZ により、 \(\check H^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = \check H^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}^a)\). 他方、\(\mathcal{V}\) は形 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) の被覆であり、 \(f^*\mathcal{F} = \widetilde{M}\) がある \(A\)-加群 \(M\) に対して 成り立つので、Čech 複体 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F})\) は複体 \((B/A)_\bullet \otimes_A M\) にほかならない。補題 03OA により \(H^p((B/A)_\bullet \otimes_A M) = 0\) が \(p > 0\) に対して成り立つ。 したがって \(\check \xi = 0\) であり、ゆえに \(\xi = 0\) である。

2. \(\xi \in H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) をとる。補題 03P1 により、fpqc 被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) で、 \(\xi|_{U_i} = 0\) がすべての \(i \in I\) に対して成り立つものが存在する。 \(\mathcal{U}\) を細分することにより、\(\mathcal{U}\) が標準 \(\tau\)-被覆であると仮定してよい。定理 03OW のスペクトル系列を適用する。 交わり \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) はアフィンであるから、 帰納法の仮定によりコホモロジー群 \[E_2^{p, q} = \check H^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}^a))\] はすべての \(0 < q < p\) に対して消える。したがって \(\xi\) は \(\check \xi \in \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\) から来なければならない。 \(\mathcal{U}\) を、ただ一つの射を含む被覆 \(\mathcal{V}\) で置き換え、再び補題 03OA を用いると、Čech コホモロジー類 \(\check \xi\) は零でなければならず、したがって \(\xi = 0\) であることが分かる。

次に、\(U\) が分離的であると仮定する。アフィン開被覆 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) を \(U\) に対して選ぶ。このとき族 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) は fpqc 被覆である。 さらに、すべての交わり \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) は、\(U\) が分離的なのでアフィンである。したがって、定理 03OW のスペクトル系列では、第零行を除くすべての行が零である。ゆえに \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a) = \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\] である。最後の等号は標準的なスキーム論から従う。Cohomology of Schemes の補題 01XD を参照されたい。

一般の場合は技術的であり、ここに与えた証明を拡張するにはスペクトル系列の射を 論じる必要があるので、ここでは扱わない。主張は Descent の命題 03DW （その証明では少し異なる方法をとる）と Cohomology on Sites の補題 03F3 を組み合わせることから従う。

注意

定理 03P2 について補足する。 \(S\) は圏 \(\mathcal{C}\) の終対象なので、右辺のコホモロジー群は単に 大域切断関手の右導来関手である。実際、証明は \(H^p(U, f^*\mathcal{F}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) が、任意の対象 \(f : U \to S\) でサイト \(\mathcal{C}\) のものに対して成り立つことを示している。

層の例

\(S\) と \(\tau\) は節 03X7 と同様のものとする。 任意の表現可能な前層が \((\Sch/S)_\tau\) または \(S_\tau\) 上の層であることは すでに見た。補題 03O3 および注意 03O4 を参照されたい。以下にいくつかの特別な場合を挙げる。

定義

節 03X7 のサイト \((\Sch/S)_\tau\) または \(S_\tau\) の いずれにおいても、次のように定める。

1. 層 \(T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) を \(\mathcal{O}_S\) または \(\mathbf{G}_a\) と書き、基礎スキームを明示したいときには \(\mathbf{G}_{a, S}\) とも書く。

2. 同様に、層 \(T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}^*_T)\) を \(\mathcal{O}_S^*\) または \(\mathbf{G}_m\) と書き、基礎スキームを明示したいときには \(\mathbf{G}_{m, S}\) とも書く。

3. 任意のサイト上の定数層 \(\underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) とは、 定数前層 \(U \mapsto \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) の層化である。

例えば第一のものが層であることは定理 03OJ から従う。 第二のものは第一のものの部分前層であり、それ自身が層であることは容易に分かる。 第三のものは定義により層である。これらの層はいずれも表現可能であることに注意する。 第一と第二は、それぞれスキーム \(\mathbf{G}_{a, S}\) と \(\mathbf{G}_{m, S}\) によって表現される。Groupoids の節 022R を参照されたい。第三は有限エタール群スキーム \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}_S\) によって表現され、これは \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_S\) と書かれることもある。このスキームは、\(n\) 個の \(S\) のコピーに \(S\) 上の明らかな群スキーム構造を備えたものにすぎない。Groupoids の例 03YW および次の注意を参照されたい。

注意

\(G\) を抽象群とする。節 03X7 のサイト \((\Sch/S)_\tau\) または \(S_\tau\) のいずれにおいても、層化 \(\underline{G}\)、すなわち \(G\) に付随する定数前層をそのサイトの Zariski 位相について層化したものは、すでに \[\Gamma(U, \underline{G}) = \{\text{Zariski 局所定数写像 }U \to G\}\] を与える。この Zariski 層は、Groupoids の例 03YW により群スキーム \(G_S\) で表現される。 補題 03O3 により、任意の表現可能な前層は \(\tau\)-位相についても層条件を満たす。したがって、上の Zariski 層化 \(\underline{G}\) は \(\tau\)-層化でもあると結論できる。

定義

\(S\) をスキームとする。\(S\) の構造層とは、環の層 \(\mathcal{O}_S\) で、上で論じたサイト \(S_{Zar}\)、\(S_\etale\)、または \((\Sch/S)_\tau\) のいずれかの上のものをいう。

どのサイト上で考えているかに混同の余地がある場合には、添字を用いて明示する。 例えば、\(\mathcal{O}_{S_\etale}\) と書くことにより、\(S\) の小エタール・サイト上で 考えていることを強調する場合がある。

注意

上で導入した用語では、定理 03P2 の特別な場合として \[H_{fppf}^p(X, \mathbf{G}_a) = H_\etale^p(X, \mathbf{G}_a) = H_{Zar}^p(X, \mathbf{G}_a) = H^p(X, \mathcal{O}_X)\] がすべての \(p \geq 0\) に対して成り立つ。さらに、記法 \(H^p_{fppf}(X, \mathcal{O}_X)\) を、\(X\) の大 fppf サイト上の 構造層のコホモロジーを表すために用いることもできる。

Picard 群

次の定理は Hilbert の定理 90 と呼ばれることもある。

定理

任意のスキーム \(X\) に対して標準的な同一視 \[\begin{align*} H_{fppf}^1(X, \mathbf{G}_m) & = H^1_{syntomic}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H^1_{smooth}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H_\etale^1(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H^1_{Zar}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = \Pic(X) \\ & = H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \end{align*}\]

証明

\(\tau\) を節 03X7 で考えた位相の一つとする。 Cohomology on Sites の補題 040E により \(H^1_\tau(X, \mathbf{G}_m) = H^1_\tau(X, \mathcal{O}_\tau^*) = \Pic(\mathcal{O}_\tau)\) であることが分かる。ここで \(\mathcal{O}_\tau\) はサイト \((\Sch/X)_\tau\) の構造層である。可逆 \(\mathcal{O}_\tau\)-加群は 準連接 \(\mathcal{O}_\tau\)-加群である。定理 03OJ、 またはより精密な Descent の命題 03DX により \(\Pic(\mathcal{O}_\tau) = \Pic(X)\) であることが分かる。 最後の等号も同じ方法で証明される。

エタール・サイト

ここからは、スキームのエタール・サイトをさらに詳しく調べる。 第一歩として、エタール射の概念を少し論じる。

エタール射

詳しくは、形式的な定義について Morphisms の節 02GH を、エタール射の興味深い性質の概観について Étale Morphisms の各節 0257, 025A, 039P, 025F, 025J, および 025L を参照されたい。

代数 \(A\) が代数閉体 \(k\) 上有限型で、その微分加群 \(\Omega_{A/k}\) が次元に等しい階数の有限局所自由加群であるとき、これを 滑らかであるということを思い出そう。スキーム \(X\) が \(k\) 上 滑らかであるとは、それが \(k\) 上局所有限型で、各アフィン開集合が 滑らかな \(k\)-代数のスペクトルであることをいう。\(k\) が代数閉でない場合、 \(k\)-代数 \(A\) が滑らかな \(k\)-代数であるとは、\(A \otimes_k \overline{k}\) が 滑らかな \(\overline{k}\)-代数であることをいう。環準同型 \(A \to B\) が滑らかで あるとは、それが平坦かつ有限表示で、任意の素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に対してファイバー環 \(\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B\) が剰余体 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上滑らかであることをいう。より一般に、スキームの射が 滑らかであるとは、それが平坦かつ局所有限表示で、幾何学的ファイバーが 滑らかであることをいう。

これらの事実については Morphisms の節 01V4 を参照されたい。これを用いてエタール射を 次のように定義できる。

定義

スキームの射がエタールであるとは、相対次元 0 の滑らかな射であることをいう。

特に、スキームの射 \(X \to S\) が滑らかで \(\Omega_{X/S} = 0\) ならば、それはエタールである。

命題

エタール射について次が成り立つ。

1. \(k\) を体とする。スキームの射 \(U \to \Spec(k)\) がエタールであるための 必要十分条件は、\(U \cong \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\) と書けて、各 \(i \in I\) に対して環 \(k_i\) が体であり、\(k\) の有限分離拡大となることである。

2. \(\varphi : U \to S\) をスキームの射とする。次の条件は同値である：

   1. \(\varphi\) はエタールである。

   2. \(\varphi\) は局所有限表示かつ平坦であり、そのすべてのファイバーは エタールである。

   3. \(\varphi\) は平坦、非分岐、かつ局所有限表示である。

3. 環準同型 \(A \to B\) がエタールであるための必要十分条件は、 \(B \cong A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) と書けて、\(\Delta = \det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)\) が \(B\) で可逆となることである。

4. エタール射の基底変換はエタールである。

5. エタール射の合成はエタールである。

6. エタール射のファイバー積および積はエタールである。

7. エタール射の相対次元は 0 である。

8. \(Y \to X\) をエタール射とする。\(X\) が被約（それぞれ正則）ならば、 \(Y\) もそうである。

9. エタール射は開写像である。

10. \(X \to S\) と \(Y \to S\) がエタールならば、任意の \(S\)-射 \(X \to Y\) もエタールである。

証明

これらの事実（およびさらに多くの事実）は前章までに証明した。 参照箇所は次のとおりである： (1) Morphisms, 補題 02GL。 (2) Morphisms, 補題 02GM および 02GV。 (3) Algebra, 補題 00U9。 (4) Morphisms, 補題 02GO。 (5) Morphisms, 補題 02GN。 (6) (4) と (5) から形式的に従う。 (7) Morphisms, 補題 03WS および 0397。 (8) Algebra, 補題 033B および 033A を参照されたい。同種の結果については Étale Morphisms の節 025L も参照されたい。 (9) Morphisms, 補題 01UA および 02GS を参照されたい。 (10) Morphisms, 補題 02GW を参照されたい。

定義

環準同型 \(A \to B\) が標準エタールであるとは、 \(B \cong \left(A[t]/(f)\right)_g\) と書けて、\(f, g \in A[t]\)、\(f\) はモニック、 かつ \(\text{d}f/\text{d}t\) が \(B\) で可逆となることをいう。

標準エタールな環準同型はエタールである。実際、 \(B = \left(A[t]/(f)\right)_g\)、\(f, g \in A[t]\) で、\(f\) はモニック、かつ \(\text{d}f/\text{d}t\) が \(B\) で可逆であると仮定する。このとき \(A[t]/(f)\) は 有限自由 \(A\)-加群であり、その階数はモニック多項式 \(f\) の次数に等しい。 したがって \(B\) は、この自由代数の局所化として \(A\) 上有限表示かつ平坦である。 \(B\) がエタールであることの証明を終えるには、ファイバー環 \[\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B \cong \kappa(\mathfrak p) \otimes_A (A[t]/(f))_g \cong \kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]/(\overline{f})\] が有限分離体拡大の有限積であることを示せば十分である。ここで \(\overline{f}, \overline{g} \in \kappa(\mathfrak p)[t]\) は \(f\) と \(g\) の像である。 互いに異なる既約モニック因子の冪への分解を \[\overline{f} = \overline{f}_1 \ldots \overline{f}_a \overline{f}_{a + 1}^{e_1} \ldots \overline{f}_{a + b}^{e_b}\] \(\overline{f}\) に対してとったものとする。ここで各因子は \(\overline{f}_i\) で、\(e_1, \ldots, e_b > 1\) とする。仮定により \(\text{d}\overline{f}/\text{d}t\) は \(\kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]\) で可逆である。したがって少なくとも すべての \(\overline{f}_i\) で \(i > a\) のものは可逆である。ゆえに \[\kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]/(\overline{f}) \cong \prod\nolimits_{i \in I} \kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\] を得る。ここで \(I \subset \{1, \ldots, a\}\) は添字 \(i\) のうち、 \(\overline{f}_i\) が \(\overline{g}\) を割らないものからなる部分集合である。さらに、 \(\text{d}\overline{f}/\text{d}t\) の因子 \(\kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\) における像は、明らかに単元と \(\text{d}\overline{f}_i/\text{d}t\) の積に等しい。したがって \(\kappa_i = \kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) の有限体拡大であり、その最小多項式が分離的な一元で 生成される。すなわち、望んだとおり体拡大 \(\kappa_i/\kappa(\mathfrak p)\) は有限分離拡大である。

任意のエタールな環準同型は局所的に標準エタールであることが分かる。 これを定式化するため、次の用語を導入する。環準同型 \(A \to B\) が、素イデアル \(\mathfrak q\) で \(B\) のものにおいてエタールであるとは、ある \(h \in B\) で \(h \not \in \mathfrak q\) を満たし、\(A \to B_h\) がエタールと なるものが存在することをいう。結果は次のとおりである。

定理

環準同型 \(A \to B\) が素イデアル \(\mathfrak q\) においてエタールであるための 必要十分条件は、ある \(g \in B\) で \(g \not \in \mathfrak q\) を満たし、 \(B_g\) が \(A\) 上標準エタールとなるものが存在することである。

証明

Algebra の命題 00UE を参照されたい。

エタール被覆

定義を思い出そう。

定義

スキーム \(U\) のエタール被覆とは、スキームの射の族 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) で、次を満たすものをいう：

1. 各 \(\varphi_i\) はエタール射である。

2. \(U_i\) は \(U\) を被覆する。すなわち \(U = \bigcup_{i\in I}\varphi_i(U_i)\) である。

補題

任意のエタール被覆は fpqc 被覆である。

証明

(Topologies の補題 022C も参照されたい。) \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) をエタール被覆とする。 エタール射は平坦であり、被覆の元はその終域を被覆するので、性質 fp （忠実平坦）が満たされる。性質 qc（準コンパクト）を確かめるため、 \(V \subset U\) をアフィン開集合とし、 \(\varphi_i^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J_i} V_{ij}\) と書く。ここで \(V_{ij} \subset U_i\) はアフィン開集合である。\(\varphi_i\) は開写像 （エタール射は開写像だから）なので、 \(V = \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j \in J_i} \varphi_i(V_{ij})\) が \(V\) の開被覆であることが分かる。さらに、\(V\) は準コンパクトなので、 この被覆は有限な細分をもつ。

したがって、fpqc 被覆について正しい任意の主張は、エタール被覆については なおさら正しい。例えば、エタール・サイトは準標準的である。

定義

(詳しくは節 03X7 または Topologies の節 0214 を参照されたい。) \(S\) をスキームとする。\(S\) 上の大エタール・サイトとはサイト \((\Sch/S)_\etale\) のことである。定義 03XB を参照されたい。 \(S\) 上の小エタール・サイトとはサイト \(S_\etale\) のことである。 定義 03XB を参照されたい。同様に、\(S\) 上の 大 Zariski サイトおよび小 Zariski サイトを定義し、それぞれ \((\Sch/S)_{Zar}\) および \(S_{Zar}\) と書く。

大まかにいえば、\(S\) の大エタール・サイトは \(S\) 上のスキームからなり、 その被覆はエタール被覆である。\(S\) の小エタール・サイトは \(S\) 上エタールな スキームからなり、その被覆はエタール被覆である。実際、命題 03PC により、\(S_\etale\) の対象間の任意の射は エタールである。したがって、\(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) が \(S_\etale\) における被覆であることを確かめるには、 \(\coprod U_i \to U\) が全射であることを確かめれば十分である。

小エタール・サイトは大エタール・サイトより対象が少なく、\(S\) 上の エタール位相の「開集合」だけを含む。これは大エタール・サイトの充満部分圏で、 その位相は大サイトの位相から誘導される。したがって、大エタール・サイトから 小エタール・サイトへの制限関手は完全で、入射対象を入射対象へ写す。 このことから次が従う。

命題

\(S\) をスキーム、\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\etale\) 上のアーベル群の層とする。 このとき \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\) は \(S_\etale\) 上の層であり、 \[H^p_\etale(S, \mathcal{F}|_{S_\etale}) = H^p_\etale(S, \mathcal{F})\] がすべての \(p \geq 0\) に対して成り立つ。

証明

これは補題 03YX の特別な場合である。

節 03X7 で導入した一般的な記法に従い、上のコホモロジー群を \(H_\etale^p(S, \mathcal{F})\) と書く。

クンマー理論

\(n \in \mathbf{N}\) とし、次で定義される関手 \(\mu_n\) を考える： \[\begin{matrix} \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ S & \longmapsto & \mu_n(S) = \{t \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \mid t^n = 1 \}. \end{matrix}\] Groupoids の例 040M により、これは 表現可能な関手であり、それを表現するスキームも \(\mu_n\) と書く。補題 03O3 により、この関手は fpqc 位相に関する 層条件を満たす（特に、エタール位相、Zariski 位相などに関する層条件も満たす）。

補題

\(n\in \mathcal{O}_S^*\) ならば、 \[0 \to \mu_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S} \xrightarrow{(\cdot)^n} \mathbf{G}_{m, S} \to 0\] は \(S\) の小エタール・サイトと大エタール・サイトの両方の上で、層の短完全列である。

証明

定義により、層 \(\mu_{n, S}\) は写像 \((\cdot)^n\) の核である。したがって、 最後の写像が全射であることを示せば十分である。\(U\) を \(S\) 上のスキームとし、 \(f \in \mathbf{G}_m(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*)\) とする。 \(U\) のエタール被覆で、その各元の上で \(f\) の制限が \(n\) 乗となるものが 見つかることを示す必要がある。次のようにおく： \[U' = \underline{\Spec}_U(\mathcal{O}_U[T]/(T^n-f)) \xrightarrow{\pi} U.\] (相対スペクトルについては Constructions の節 01LL または 01LQ を参照されたい。) \(\Spec(A) \subset U\) をアフィン開集合とし、\(f|_{\Spec(A)}\) が単元 \(a \in A^*\) に対応するとする。このとき \(\pi^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\) であり、 \(B = A[T]/(T^n - a)\) である。環準同型 \(A \to B\) は階数 \(n\) の有限自由射なので 忠実平坦である。したがって \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) は全射である。これは \(U\) の任意のアフィン開集合について成り立つので、\(\pi\) は全射である。 さらに、\(n\) と \(T^{n - 1}\) は \(B\) で可逆であるから、 \(nT^{n-1} \in B^*\) であり、環準同型 \(A \to B\) は標準エタール、特に エタールである。これは \(U\) の任意のアフィン開集合について成り立つので、 \(\pi\) はエタールである。ゆえに \(\mathcal{U} = \{\pi : U' \to U\}\) はエタール被覆である。さらに、 \(f|_{U'} = (f')^n\) であり、ここで \(f'\) は \(T\) の \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}^*)\) における類である。したがって \(\mathcal{U}\) は所望の性質をもつ。

注意

補題 03PL は「エタール」を「Zariski」に置き換えると 偽である。エタール位相は滑らかな位相より粗いので、Topologies の補題 0220 を参照すれば、この列は滑らかな 位相においても完全であることが従う。

定理 03P8、補題 03PL、および コホモロジーの一般的性質により、コホモロジーの長完全列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H_\etale^0(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_\etale^1(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Pic(S) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Pic(S) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_\etale^2(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \ldots }\] を得る。少なくとも、これは \(n\) が \(S\) 上可逆ならば成り立つ。\(n\) が \(S\) 上 可逆でないときには、次の補題を適用できる。

補題

任意の \(n \in \mathbf{N}\) に対して、列 \[0 \to \mu_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S} \xrightarrow{(\cdot)^n} \mathbf{G}_{m, S} \to 0\] はサイト \((\Sch/S)_{fppf}\) および \((\Sch/S)_{syntomic}\) 上の層の短完全列である。

証明

定義により、層 \(\mu_{n, S}\) は写像 \((\cdot)^n\) の核である。したがって、 最後の写像が全射であることを示せば十分である。syntomic 位相は fppf 位相より 弱いので、Topologies の補題 021N を参照すれば、 syntomic 位相について証明すれば十分である。\(U\) を \(S\) 上のスキームとし、 \(f \in \mathbf{G}_m(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*)\) とする。 \(U\) の syntomic 被覆で、その各元の上で \(f\) の制限が \(n\) 乗となるものが 見つかることを示す必要がある。次のようにおく： \[U' = \underline{\Spec}_U(\mathcal{O}_U[T]/(T^n-f)) \xrightarrow{\pi} U.\] (相対スペクトルについては Constructions の節 01LL または 01LQ を参照されたい。) \(\Spec(A) \subset U\) をアフィン開集合とし、\(f|_{\Spec(A)}\) が単元 \(a \in A^*\) に対応するとする。このとき \(\pi^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\) であり、 \(B = A[T]/(T^n - a)\) である。環準同型 \(A \to B\) は階数 \(n\) の有限自由射なので 忠実平坦である。したがって \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) は全射である。これは \(U\) の任意のアフィン開集合について成り立つので、\(\pi\) は全射である。 さらに、\(B\) は \(A\) 上の大域的相対完全交叉なので、環準同型 \(A \to B\) は 標準 syntomic、特に syntomic である。これは \(U\) の任意のアフィン開集合に ついて成り立つので、\(\pi\) は syntomic である。ゆえに \(\mathcal{U} = \{\pi : U' \to U\}\) は syntomic 被覆である。さらに、 \(f|_{U'} = (f')^n\) であり、ここで \(f'\) は \(T\) の \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}^*)\) における類である。したがって \(\mathcal{U}\) は所望の性質をもつ。

注意

補題 040N は、滑らかな位相、エタール位相、 または Zariski 位相に対しては偽である。

定理 03P8、補題 040N、およびコホモロジーの一般的性質により、 コホモロジーの長完全列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H_{fppf}^0(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_{fppf}^1(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Pic(S) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Pic(S) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_{fppf}^2(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \ldots }\] を任意のスキーム \(S\) と任意の整数 \(n\) に対して得る。もちろん、syntomic コホモロジーについても同様の列がある。

\(n \in \mathbf{N}\) とし、\(S\) を任意のスキームとする。\(\mu_n\) に値をとる 第一コホモロジー群を記述する、より直接的な別の方法がある。対 \((\mathcal{L}, \alpha)\) を考える。ここで \(\mathcal{L}\) は \(S\) 上の可逆層で、 \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_S\) は \(n\) 乗テンソル冪の 自明化である（このテンソル冪は可逆層 \(\mathcal{L}\) のものである）。 \((\mathcal{L}', \alpha')\) をもう一つの このような対とする。同型 \(\varphi : (\mathcal{L}, \alpha) \to (\mathcal{L}', \alpha')\) とは、図式 \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) が可逆層の同型であって、次の図式が \[\xymatrix{ \mathcal{L}^{\otimes n} \ar[d]_{\varphi^{\otimes n}} \ar[r]_\alpha & \mathcal{O}_S \ar[d]^1 \\ (\mathcal{L}')^{\otimes n} \ar[r]^{\alpha'} & \mathcal{O}_S \\ }\] 可換となるものをいう。したがって [040P]\[\begin{equation} \mathit{Isom}_S((\mathcal{L}, \alpha), (\mathcal{L}', \alpha')) = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{もし} & \text{これらが同型でないならば} \\ H^0(S, \mu_{n, S})\cdot \varphi & \text{もし} & \varphi \text{ が対の同型ならば} \end{matrix} \right. \end{equation}\] を得る。さらに、二つの対 \((\mathcal{L}, \alpha)\)、\((\mathcal{L}', \alpha')\) が 与えられたとき、そのテンソル積 \[(\mathcal{L}, \alpha) \otimes (\mathcal{L}', \alpha') = (\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}', \alpha \otimes \alpha')\] もまた対である。対 \((\mathcal{O}_S, 1)\) はこのテンソル積演算の単位元であり、 逆元は \[(\mathcal{L}, \alpha)^{-1} = (\mathcal{L}^{\otimes -1}, \alpha^{\otimes -1}).\] で与えられる。したがって、対の同型類の集合はアーベル群をなす。さらに、 \[(\mathcal{L}, \alpha)^{\otimes n} = (\mathcal{L}^{\otimes n}, \alpha^{\otimes n}) \xrightarrow{\alpha} (\mathcal{O}_S, 1)\] は同型である。したがって、この群の各元の位数は \(n\) を割る。この群は一般には \(n\)-捩れ、すなわち \(\Pic(S)\) における捩れ部分ではないことに注意されたい。

補題

\(S\) をスキームとする。標準的な同一視 \[H_\etale^1(S, \mu_n) = \text{上記の対 }(\mathcal{L}, \alpha)\text{ の同型類からなる群}\] が \(n\) が \(S\) 上可逆ならば存在する。一般には \[H_{fppf}^1(S, \mu_n) = \text{上記の対 }(\mathcal{L}, \alpha)\text{ の同型類からなる群}.\] 同じ結果は fppf を syntomic で置き換えても成り立つ。

証明

まず第二の同型を証明する。\((\mathcal{L}, \alpha)\) を上記の対とする。 アフィン開被覆 \(S = \bigcup U_i\) で \(\mathcal{L}|_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}\) となるものを選ぶ。 \(s_i \in \mathcal{L}(U_i)\) を生成元とする。このとき \(\alpha(s_i^{\otimes n}) = f_i \in \mathcal{O}_S^*(U_i)\) である。 \(U_i = \Spec(A_i)\) と書けば、大域的相対完全交叉 \(A_i \to B_i = A_i[T]/(T^n - f_i)\) で、\(f_i\) の像が \(n\) 乗として \(B_i\) に現れるものが存在することが分かる。言い換えると、 \(V_i = \Spec(B_i)\) とおけば、syntomic 被覆 \(\mathcal{V} = \{V_i \to S\}_{i \in I}\) と自明化 \(\varphi_i : (\mathcal{L}, \alpha)|_{V_i} \to (\mathcal{O}_{V_i}, 1)\) を得る。

この結果（被覆 \(\mathcal{V}\) の存在）を用いて、この対にコホモロジー類 \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) の元を対応させる。同値な二つの構成を与える。

第一の構成：Čech コホモロジーを用いる。二重交叉 \(V_i \times_S V_j\) 上で、対の同型 \[(\mathcal{O}_{V_i \times_S V_j}, 1) \xrightarrow{\text{pr}_0^*\varphi_i^{-1}} (\mathcal{L}|_{V_i \times_S V_j}, \alpha|_{V_i \times_S V_j}) \xrightarrow{\text{pr}_1^*\varphi_j} (\mathcal{O}_{V_i \times_S V_j}, 1)\] を得る。式 (040P) により、これは元 \(\zeta_{ij} \in \mu_n(V_i \times_S V_j)\) によって与えられる。これらの \(\zeta_{ij}\) が \(1\)-コサイクル、すなわち \((\zeta_{i_0i_1}) \in \check C(\mathcal{V}, \mu_n)\) で \(d(\zeta_{i_0i_1}) = 0\) を満たす元を与えることの確認は省略する。したがって、 その類は \(\check H^1(\mathcal{V}, \mu_n)\) の元であり、定理 03OW によりコホモロジー類 \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) の元へ写る。

第二の構成：トーサーを用いる。前層 \[\mu_n(\mathcal{L}, \alpha) : U \longmapsto \mathit{Isom}_U((\mathcal{O}_U, 1), (\mathcal{L}, \alpha)|_U)\] を \((\Sch/S)_{syntomic}\) 上で考える。これは \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, \mathcal{L})\) の部分前層とみなせる （内部 Hom 層については Modules on Sites の節 04TT を参照されたい）。この部分前層を 定義する条件は局所的なので、これは層である。式 (040P) により、この層には層 \(\mu_{n, S}\) が 自由に作用する。したがって確認すべきことは、局所的に切断をもつことだけである。 これは自明化被覆 \(\mathcal{V}\) が存在するので正しい。ゆえに \(\mu_n(\mathcal{L}, \alpha)\) は \(\mu_{n, S}\)-トーサーであり、Cohomology on Sites の補題 03AJ により、対応する元 \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) の元を得る。

残るのは次を示すことである：

1. 二つの構成は同じコホモロジー類を与える。

2. 同型な対は同じコホモロジー類を生じる。

3. \((\mathcal{L}, \alpha) \otimes (\mathcal{L}', \alpha')\) のコホモロジー類は、\((\mathcal{L}, \alpha)\) と \((\mathcal{L}', \alpha')\) のコホモロジー類の和である。

4. コホモロジー類が自明ならば、その対は自明である。

5. \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) の任意の元は、ある対の コホモロジー類である。

(1) の証明は省略する。(2) は第二の構成から明らかである。同型なトーサーは 同じコホモロジー類を与えるからである。(3) は第一の構成から明らかである。 得られる Čech 類が加法的だからである。(4) は第二の構成から明らかである。 トーサーが自明であるための必要十分条件は大域切断をもつことである。 Cohomology on Sites の補題 03AI を参照されたい。

(5) は次のように分かる（直接的な証明の方が望ましいが）。 \(\xi \in H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) と仮定する。このとき \(\xi\) は元 \(\overline{\xi} \in H^1_{syntomic}(S, \mathbf{G}_{m, S})\) で \(n \overline{\xi} = 0\) を満たすものへ写る。定理 03P8 により、\(\overline{\xi}\) は可逆層 \(\mathcal{L}\) で、 その \(n\) 乗テンソル冪が \(\mathcal{O}_S\) と同型となるものに対応する。したがって対 \((\mathcal{L}, \alpha')\) で、そのコホモロジー類 \(\xi'\) の像 \(\overline{\xi'}\) が \(H^1_{syntomic}(S, \mathbf{G}_{m, S})\) において同じとなる ものが存在する。ゆえに \(\xi - \xi'\) が対の類であることを示せば十分である。 構成と上のコホモロジー長完全列により、 \(\xi - \xi' = \partial(f)\) が、ある \(f \in H^0(S, \mathcal{O}_S^*)\) に対して 成り立つことが分かる。対 \((\mathcal{O}_S, f)\) を 考える。この対のコホモロジー類が \(\partial(f)\) であることの確認は省略する。 これで第一の同一視の証明が終わる（fppf を syntomic で置き換えたものについて）。

第一の同一視を見るには、\(n\) が \(S\) 上可逆ならば、証明の最初の部分で構成した 被覆 \(\mathcal{V}\) が実際にエタール被覆であることに注意すればよい （補題 03PL の証明と比較されたい）。証明の残りは位相に 依存しない。ただし最後の議論だけはクンマー列が完全であること、すなわち補題 03PL を用いる。

近傍、茎、および点

\(S\) の任意の幾何点には、完全な茎関手を対応させることができる。 \(S_\etale\) 上の層の射が同型であるための必要十分条件は、これらすべての茎上で 同型であることである。アーベル層の複体が完全であるための必要十分条件は、 すべての幾何点において茎の複体が完全であることである。まとめると、これは スキーム \(S\) の小エタール・サイトが十分な点をもつことを意味する。また、 \(S\) の小エタール・トポスの任意の点（これは抽象的な概念である）は幾何点から 与えられることも分かる。したがって、ある意味で \(S\) の小エタール・トポスは、 幾何点と近傍を用いて理解できる。

定義

\(S\) をスキームとする。

1. \(S\) の 幾何点とは、射 \(\Spec(k) \to S\) であって、 \(k\) が代数閉体であるもののことである。このような点は通常、上線を付けた小文字 \(\overline{s}\) で表す。\(\overline{s}\) は射だけでなくスキーム \(\Spec(k)\) を 表すためにも用い、\(\kappa(\overline{s})\) で \(k\) を表す。

2. \(\overline{s}\) が \(s\) の 上にあるとは、 \(s \in S\) が \(\overline{s}\) の像であることをいう。

3. 幾何点 \(\overline{s}\)（\(S\) のもの）の エタール近傍とは、可換図式 \[\xymatrix{ & U \ar[d]^\varphi \\ {\overline{s}} \ar[r]^{\overline{s}} \ar[ur]^{\bar u} & S }\] であって、\(\varphi\) がスキームのエタール射であるもののことである。 これを \((U, \overline{u}) \to (S, \overline{s})\) と書く。

4. エタール近傍の射 \((U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) とは、\(S\)-射 \(h: U \to U'\) であって \(\overline{u}' = h \circ \overline{u}\) を満たすもののことである。

注意

\(U\) と \(U'\) は \(S\) 上エタールであるから、それらの間の任意の \(S\)-射もエタールである。命題 03PC を参照。 とくに、エタール近傍の射はすべてエタールである。

注意

\(S\) をスキーム、\(s \in S\) を点とする。More on Morphisms, 定義 02LE では、 エタール近傍 \((U, u) \to (S, s)\)、すなわち \((S, s)\) の近傍という概念を定義した。 \(\overline{s}\) が \(S\) の幾何点で \(s\) の上にあるなら、任意のエタール近傍 \((U, \overline{u}) \to (S, \overline{s})\) から \((U, u)\) を \((S, s)\) のエタール近傍として得る。ここで \(u \in U\) は、\(U\) の一意な点であって \(\overline{u}\) が \(u\) の上にあるものとする。逆に、エタール近傍 \((U, u)\)、 すなわち \((S, s)\) の近傍が与えられると、 剰余体の拡大 \(\kappa(u)/\kappa(s)\) は有限分離的であり（命題 03PC を参照）、したがって埋め込み \(\kappa(u) \subset \kappa(\overline{s})\)（\(\kappa(s)\) 上のもの）を見いだせる。 言い換えれば、幾何点 \(\overline{u}\)（\(U\) のもの）で \(u\) の上にあり、 \((U, \overline{u})\) が \((S, \overline{s})\) のエタール近傍となるものを見いだせる。以下ではこれらの観察を用いて、 二種類のエタール近傍の間を行き来する。

補題

\(S\) をスキーム、\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。 エタール近傍の圏は余フィルター圏である。より正確には、次が成り立つ。

1. \((U_i, \overline{u}_i)_{i = 1, 2}\) を \(\overline{s}\) の 二つのエタール近傍（\(S\) におけるもの）とする。このとき、第三のエタール近傍 \((U, \overline{u})\) と射 \((U, \overline{u}) \to (U_i, \overline{u}_i)\), \(i = 1, 2\). が存在する。

2. \(h_1, h_2: (U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) を \(\overline{s}\) のエタール近傍の間の二つの射とする。このとき、エタール近傍 \((U'', \overline{u}'')\) と射 \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\) であって \(h_1\) と \(h_2\) を等化するもの、すなわち \(h_1 \circ h = h_2 \circ h\) を満たすものが存在する。

証明

(1) について、ファイバー積 \(U = U_1 \times_S U_2\) を考える。 エタール射は基底変換で保たれるので、これは \(U_1\) と \(U_2\) のいずれの上でも エタールである。命題 03PC を参照。 写像 \(\overline{s} \to U\)（\((\overline{u}_1, \overline{u}_2)\) により定まるもの）は、 これに \(U_1\) と \(U_2\) の双方へ写る エタール近傍の構造を与える。(2) については、\(U''\) をファイバー積 \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^{(h_1, h_2)} \\ U' \ar[r]^-\Delta & U' \times_S U'. }\] として定義する。\(\overline{u}\) と \(\overline{u}'\) は \(S\) 上で \(\overline{s}\) と一致するから、 \(\overline{u}'' = (\overline{u}, \overline{u}')\) は \(U''\) の幾何点である。 とくに \(U'' \not = \emptyset\) である。さらに、\(U'\) は \(S\) 上エタールなので、 ファイバー積 \(U'\times_S U'\) もそうである（命題 03PC を参照）。したがって、上の注意 03PP により縦の矢印 \((h_1, h_2)\) はエタールである。 ゆえに基底変換により \(U''\) は \(U'\) 上エタールであり、したがって \(S\) 上でも エタールである（エタール射の合成はエタールだからである）。 よって \((U'', \overline{u}'')\) が求める解である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。 \((U, \overline{u})\) を \(\overline{s}\) のエタール近傍とし、 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U \}_{i\in I}\) をエタール被覆とする。 このとき \(i \in I\) と \(\overline{u}_i : \overline{s} \to U_i\) であって、 \(\varphi_i : (U_i, \overline{u}_i) \to (U, \overline{u})\) が エタール近傍の射となるものが存在する。

証明

\(U = \bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i)\) なので、ファイバー積 \(\overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i\) は、ある \(i\) に対して 空でない。このとき、カルテジアン図式 \[\xymatrix{ \overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-{\text{pr}_2} & U_i \ar[d]^{\varphi_i} \\ \Spec(k) = \overline{s} \ar@/^1pc/[u]^\sigma \ar[r]^-{\overline{u}} & U }\] を見る。射影 \(\text{pr}_1\) はエタール射の基底変換なのでエタールである。 命題 03PC を参照。したがって、命題 03PC により \(\overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i\) は \(k\) の有限分離拡大の 非交和である。ここで \(\overline{s} = \Spec(k)\) である。しかし \(k\) は代数閉体なので、 これらの拡大はすべて自明であり、切断 \(\sigma\)（\(\text{pr}_1\) のもの）が存在する。 合成 \(\text{pr}_2 \circ \sigma\) が \(\overline{u}\) と整合する写像を与える。

定義

\(S\) をスキーム、\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上の前層、 \(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。\(\mathcal{F}\) の 茎 （\(\overline{s}\) におけるもの）とは、 \[\mathcal{F}_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] である。ここで \((U, \overline{u})\) は \(\overline{s}\) のすべての エタール近傍（\(S\) におけるもの）を走る。

補題 03PQ により、この余極限はフィルター圏を 添字とする。すなわち、エタール近傍の圏の反対圏を添字とする。 言い換えれば、\(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) の元は 三つ組 \((U, \overline{u}, \sigma)\)（ここで \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\)）と考えられる。二つの三つ組 \((U, \overline{u}, \sigma)\), \((U', \overline{u}', \sigma')\) が茎の同じ元を定めるための必要十分条件は、第三のエタール近傍 \((U'', \overline{u}'')\) とエタール近傍の射 \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\), \(h' : (U'', \overline{u}'') \to (U', \overline{u}')\) であって、 \(h^*\sigma = (h')^*\sigma'\) が \(\mathcal{F}(U'')\) において成り立つものが 存在することである。 Categories, 節 04AX を参照。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。関手 \[\begin{align*} u : S_\etale & \longrightarrow \textit{Sets}, \\ U & \longmapsto |U_{\overline{s}}| = \{\overline{u} \text{ であって }(U, \overline{u}) \text{ が }\overline{s}\text{ のエタール近傍であるもの}\}. \end{align*}\] を考える。ここで \(|U_{\overline{s}}|\) は幾何学的ファイバーの台集合を表す。 このとき \(u\) は点 \(p\)（サイト \(S_\etale\) のもの）を定め （Sites, 定義 00Y5）、それに付随する茎関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) （Sites, 式 04EH）は、上で定義した関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) である。

証明

補題 03PR の証明で、スキーム \(U_{\overline{s}}\) が \(\overline{s}\) と同型なスキームの非交和であることを見た。 したがって \(|U_{\overline{s}}|\) は、\(U\) の幾何点で \(\overline{s}\) の上にあるものの集合、 すなわち定義 03PO の図式に収まる射 \(\overline{u} : \overline{s} \to U\) の集まりとも考えられる。 これより \(u(S)\) は一元集合であり、さらに \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\) が、\(U \to V\) と \(W \to V\) が \(S_\etale\) の射であるたびに成り立つ。 また、被覆 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)（\(S_\etale\) におけるもの）が与えられると、 補題 03PR により \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) は全射である。したがって Sites, 命題 00YC を適用でき、\(p\) は \(S_\etale\) の点である。最後に、関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) は、Sites, 式 04EH の関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\)（\(p\) に付随するもの）と まったく同じ余極限で与えられる。 これで最後の主張が従う。

注意

\(S\) をスキームとし、\(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) および \(\overline{s}' : \Spec(k') \to S\) を \(S\) の二つの幾何点とする。 幾何点の射 \(a : \overline{s} \to \overline{s}'\)とは、単に 射 \(a : \Spec(k) \to \Spec(k')\) であって \(\overline{s}' \circ a = \overline{s}\) を満たすもののことである。 このような射が与えられると、\(\overline{s}'\) のエタール近傍の圏から \(\overline{s}\) のエタール近傍の圏への関手を、規則 \((U, \overline{u}') \mapsto (U, \overline{u}' \circ a)\) により得る。 したがって、Categories, 補題 002K から標準写像 \[\mathcal{F}_{\overline{s}'} = \colim_{(U, \overline{u}')} \mathcal{F}(U) \longrightarrow \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] を得る。茎の元を三つ組として記述すると、これは \(\mathcal{F}_{\overline{s}'}\) の元で、三つ組 \((U, \overline{u}', \sigma)\) により表されるものを \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) の元で、三つ組 \((U, \overline{u}' \circ a, \sigma)\) により表されるものへ写す。 上の関手は明らかに圏同値なので、 この標準写像は茎関手の同型である。

\(a\) に対応する茎の写像の向きが正しいことを確認しておこう。 Sites, 定義 00YI によれば、上のことは、 \(a\) が射 \(a : p \to p'\) を定めることを意味する。この射は点 \(p, p'\) の間の射であり、 これらはサイト \(S_\etale\) の点で、補題 04FM により \(\overline{s}, \overline{s}'\) に付随する。点のより一般的な射 （\(S\) の点の特殊化に対応するもの）も存在する。これらは後で記述し、 同型ではない。節 0GJ2 を参照。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。

1. 茎関手 \(\textit{PAb}(S_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) は完全である。

2. \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}} = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) が、 任意の集合の前層 \(\mathcal{F}\)（\(S_\etale\) 上のもの）に対して成り立つ。

3. 関手 \(\textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) は完全である。

4. 同様に、茎関手 \(\textit{PSh}(S_\etale) \to \textit{Sets}\) および \(\Sh(S_\etale) \to \textit{Sets}\)、 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) は完全であり （Categories, 定義 0034 を参照）、 任意の余極限と可換である。

証明

直接的な議論による証明を示す前に、この結果は Modules on Sites, 節 04EM の一般論から従うことに注意する。 実際、補題 04FM により \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) は \(S\) の小エタール・サイトの 一点から生じる。(1), (2), (3) の直接証明だけを与え、(4) の直接証明は省略する。

\(\textit{PAb}(S_\etale)\) 上の関手としての完全性は、有向余極限がすべての余極限および 有限極限と可換であることから形式的に従う。(2) の茎の同一視は、写像 \[\kappa : \mathcal{F}_{\overline{s}} \longrightarrow (\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}}\] を介して得られる。これは自然射 \(\mathcal{F}\to \mathcal{F}^\#\) により 誘導される。定理 03NS を参照。 この写像がアーベル群の同型であると主張する。単射性を示し、全射性の証明は省略する。

\(\sigma\in \mathcal{F}_{\overline{s}}\) とする。あるエタール近傍 \((U, \overline{u})\to (S, \overline{s})\) が存在し、\(\sigma\) はある切断 \(s \in \mathcal{F}(U)\) の像である。\(\kappa(\sigma) = 0\) が \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}}\) において成り立つなら、エタール近傍の射 \((U', \overline{u}')\to (U, \overline{u})\) であって、 \(s|_{U'}\) が \(\mathcal{F}^\#(U')\) において零となるものが存在する。 したがって、エタール被覆 \(\{U_i'\to U'\}_{i\in I}\) であって、 \(s|_{U_i'}=0\) が \(\mathcal{F}(U_i')\) においてすべての \(i\) に対し 成り立つものが存在する。 補題 03PR により、ある \(i \in I\) と射 \(\overline{u}_i': \overline{s} \to U_i'\) が存在して、 \((U_i', \overline{u}_i') \to (U', \overline{u}')\to (U, \overline{u})\) はいずれもエタール近傍の射となる。したがって \(\sigma = 0\) である。 実際、\((U_i', \overline{u}_i') \to (U, \overline{u})\) は \(s|_{U'_i}=0\) を満たすエタール近傍の射である。 これで \(\kappa\) が単射であることが示された。

\(\textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\) が完全な関手であることを示すため、 \(\textit{Ab}(S_\etale)\) の任意の短完全列 \(0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal H \to 0.\) を考える。これは前層の完全列 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal H \to \mathcal H/^p\mathcal{G} \to 0,\] を与える。ここで \(/^p\) は \(\textit{PAb}(S_\etale)\) における商を表す。 \(\overline{s}\) における茎をとると、 \((\mathcal H /^p\mathcal{G})_{\bar{s}} = (\mathcal H /\mathcal{G})_{\bar{s}} = 0\) であることが分かる。実際、 \(\mathcal H/^p\mathcal{G}\) の層化は \(0\) である。したがって、 \[0\to \mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}} \to \mathcal{H}_{\overline{s}} \to 0 = (\mathcal H/^p\mathcal{G})_{\overline{s}}\] は完全である。実際、茎をとる操作は前層からの関手として完全である。

定理

\(S\) をスキームとする。集合の層の射 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が単射（それぞれ全射）であるための 必要十分条件は、茎上の写像 \(a_{\overline{s}} : \mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}}\) が \(S\) のすべての幾何点に対して単射（それぞれ全射）であることである。 \(S_\etale\) 上のアーベル層の列が 完全であるための必要十分条件は、\(S\) の幾何点におけるすべての茎上で 完全であることである。

証明

茎上の完全性が必要であることは補題 03PT から従う。 逆を示すには、層の射が全射（それぞれ単射）であるための必要十分条件が、 すべての茎上で全射（それぞれ単射）であることを示せばよい。 全射の場合を証明し、単射の場合の証明は省略する。

\(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を、すべての幾何点に対して \(\mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}}\) が 全射であるような層の射とする。 \(U \in \Ob(S_\etale)\) と \(s \in \mathcal{G}(U)\) を固定する。各 \(u \in U\) に対し、 \(\overline{u} \to U\) で \(u\) の上にあるものと、エタール近傍 \((V_u , \overline{v}_u) \to (U, \overline{u})\) を選ぶ。ただし \(s|_{V_u} = \alpha(s_{V_u})\) が、ある \(s_{V_u} \in \mathcal{F}(V_u)\) に対して成り立つようにする。 \(\alpha\) は茎上で全射なので、これは可能である。このとき \(\{V_u \to U\}_{u \in U}\) はエタール被覆であり、その上で \(s\) の制限は 写像 \(\alpha\) の像に属する。したがって \(\alpha\) は全射である。 Sites, 節 00WL を参照。

注意

幾何学的サイトの点について述べる。

1. 定理 03PU は、\(S_\etale\) の点の族で \(S\) の幾何点によって与えられるもの（補題 04FM）が保守的であると 述べている。Sites, 定義 00YK を参照。 とくに \(S_\etale\) は十分な点をもつ。

2. \(\mathcal{F}\) を大エタール・サイト [04FP] \(S\) の層とする。\(T \to S\) を大エタール・サイト（\(S\) のもの）の対象とし、 \(\overline{t}\) を \(T\) の幾何点とする。このとき \(\mathcal{F}_{\overline{t}}\) を制限 \(\mathcal{F}|_{T_\etale}\) の茎として定義する。 これは \(\mathcal{F}\) の \(T\) の小エタール・サイトへの制限である。 言い換えれば、\(\mathcal{F}\) の茎を、任意のスキーム \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\) の任意の幾何点において定義できる。

3. このサイトのすべての対象のすべての幾何点を考えることにより、 \(S\) の大エタール・サイトも十分な点をもつ（04FP を参照）。

次の補題は初読時には読み飛ばすべきである。

補題

\(S\) をスキームとする。

1. \(p\) を小エタール・サイト \(S_\etale\)（\(S\) のもの）の点で、 関手 \(u : S_\etale \to \textit{Sets}\) によって与えられるものとする。 このとき、幾何点 \(\overline{s}\)（\(S\) のもの）が存在し、\(p\) は \(S_\etale\) の点で、補題 04FM において \(\overline{s}\) に付随するものと同型である。

2. \(p : \Sh(pt) \to \Sh(S_\etale)\) を \(S\) の小エタール・トポスの点とする。 このとき \(p\) は \(S\) の幾何点から生じる。すなわち、茎関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) は、定義 040R で 定義した茎関手と同型である。

証明

Sites, 補題 00YA により、サイトの点と 付随するトポスの点の間には一対一対応があるので、(1) を証明すれば十分である。 Sites, 命題 00YC により、関手 \(u\) は次の性質をもつ。 (a) \(u(S) = \{*\}\)、(b) \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\)、および (c) \(\{U_i \to U\}\) がエタール被覆なら \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) は全射である。 とくに \(U' \subset U\) が開部分スキームなら \(u(U') \subset u(U)\) である。 さらに Sites, 補題 00YA により \(u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\) と書ける。言い換えれば、\(u(U)\) は表現可能層 \(h_U\) の茎である。\(U = V \amalg W\) なら \(h_U = (h_V \amalg h_W)^\#\) であり、 \(u(U) = u(V) \amalg u(W)\) を得る。これは \(p^{-1}\) が完全だからである。

\(u\) の \(S_{Zar}\) への制限を考える。Sites, 例 00YE および 04EJ により、一意な点 \(s \in S\) が存在し、 開集合 \(S' \subset S\) に対して、\(u(S') = \{*\}\) となるのは \(s \in S'\) の場合であり、\(u(S') = \emptyset\) となるのは \(s \not \in S'\) の場合である。\(\varphi : U \to S\) が \(S_\etale\) の対象なら、 \(\varphi(U) \subset S\) は開であり（命題 03PC を参照）、 \(\{U \to \varphi(U)\}\) はエタール被覆であることに注意する。したがって \(u(U) = \emptyset \Leftrightarrow s \not \in \varphi(U)\) である。

幾何点 \(\overline{s} : \overline{s} \to S\) で \(s\) の上にあるものを選ぶ。 慣例的な記号の濫用については定義 03PO を参照。 \(\varphi : U \to S\) を \(S_\etale\) の対象で、\(U\) がアフィンであるものとする。 \(\varphi\) は分離的であり、ファイバー \(U_s\)（\(\varphi\) の \(s\) 上のもの）は \(\Spec(\kappa(s))\) 上のアフィン・スキームであって、有限分離拡大 \(k_i\) （\(\kappa(s)\) のもの）の有限積のスペクトルである。したがって Étale Morphisms, 補題 04HM を適用すると、 エタール近傍 \((V, \overline{v})\)（\((S, \overline{s})\) のもの）であって \[U \times_S V = U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \amalg W\] となるものを得る。ここで \(U_i \to V\) は同型であり、\(W\) は \(\overline{v}\) の上に点をもたない。したがって \[u(U) \times u(V) = u(U \times_S V) = u(U_1) \amalg \ldots \amalg u(U_n) \amalg u(W)\] であり、もちろん \(u(U_i) = u(V)\) でもある。\(V\) を少し縮小すれば、 \(V\) は \(s\) の上にちょうど一点をもつと仮定でき、その結果 \(W\) は \(s\) の上に点をもたない。上の議論により \(u(W) = \emptyset\) となる。 したがって \[u(U) \times u(V) = u(U_1) \amalg \ldots \amalg u(U_n) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} u(V)\] を得る。ここで等号は集合 \(u(V)\) への写像と両立する。 \(u(V) \not = \emptyset\) であることに注意する。実際、\(s\) は \(V \to S\) の像に属する。 とくに、この状況では \(u(U)\) は \(n\) 個の元をもつ有限集合である。 実際、左辺はファイバー \(u(U)\) を \(u(V)\) の任意の元上にもち、 右辺は濃度 \(n\) のファイバーをもつ。

極限 \[\lim_{(V, \overline{v})} u(V)\] を、エタール近傍 \((V, \overline{v})\)（\(\overline{s}\) のもの）の圏上で考える。 \((V, \overline{v})\) で \(V\) がアフィンであるものの部分圏上で極限をとっても、 同じ値が得られることは明らかである。前段落を \(V\) と \(U\) の役割を 入れ替えて適用すると、この場合 \(u(V)\) は常に空でない有限集合である。 さらに、補題 03PQ によりこの極限は余フィルター的である。 したがって Categories, 節 04AY により、 この極限は空でない。この極限から元 \(x\) を選ぶ。これは、 \(x_{V, \overline{v}} \in u(V)\) が各エタール近傍 \((V, \overline{v})\)（\((S, \overline{s})\) のもの）に対して得られ、 エタール近傍の任意の射 \(\varphi : (V', \overline{v}') \to (V, \overline{v})\) に対して \(u(\varphi)(x_{V', \overline{v}'}) = x_{V, \overline{v}}\) が成り立つことを意味する。

\(x\) の選択を用いて、関手的な全単射 \[c : |U_{\overline{s}}| \longrightarrow u(U)\] を \(U \in \Ob(S_\etale)\) に対して構成すれば証明は完了する。 \(|U_{\overline{s}}|\) の記述については、 補題 04FM とその証明を参照。まず、 \(U\) がアフィンの場合に写像を構成すれば十分であると主張する。 この主張の証明は省略する。\(U \to S\) が \(S_\etale\) に属し、 \(U\) がアフィンであると仮定し、 \(\overline{u} : \overline{s} \to U\) を \(|U_{\overline{s}}|\) の元とする。 \((V, \overline{v})\) を、\(U \times_S V\) が証明の第三段落のように 分解するように選ぶ。このとき対 \((\overline{u}, \overline{v})\) は \(U \times_S V\) の幾何点で \(\overline{v}\) の上にあるものを与え、 成分 \(U_i\)（\(U \times_S V\) のもの）の一つを定める。より正確には、切断 \(\sigma : V \to U \times_S V\)（射影 \(\text{pr}_U\) のもの）であって \((\overline{u}, \overline{v}) = \sigma \circ \overline{v}\) を満たすものが存在する。 \(c(\overline{u}) = u(\text{pr}_U)(u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})) \in u(U)\) と置く。これが \((V, \overline{v})\) の選択に依存しないことを確かめなければならない。 補題 03PQ により、エタール近傍の圏は余フィルター圏である。 したがって、エタール近傍の射 \(\varphi : (V', \overline{v}') \to (V, \overline{v})\) と、射影の切断 \(\sigma' : V' \to U \times_S V'\) であって \((\overline{u}, \overline{v'}) = \sigma' \circ \overline{v}'\) を満たすものが与えられたとき、 \(u(\sigma')(x_{V', \overline{v}'}) = u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})\) となることを示せば十分である。図式 \[\xymatrix{ V' \ar[d]^{\sigma'} \ar[r]_\varphi & V \ar[d]^\sigma \\ U \times_S V' \ar[r]^{1 \times \varphi} & U \times_S V }\] を考える。 この図式は可換とは限らない。その理由は、スキーム \(V'\) と \(V\) が連結とは限らず、 したがって上で \(\sigma'\) と \(\sigma\) を構成するために用いた分解が 一意とは限らないことである。しかし、構成により \(\sigma \circ \varphi \circ \overline{v}' = (1 \times \varphi) \circ \sigma' \circ \overline{v}'\) である。したがって、\(U \times_S V\) は \(S\) 上エタールなので、 開近傍 \(V'' \subset V'\)（\(\overline{v'}\) のもの）が存在し、\(V''\) に制限すると 図式は可換になる。Morphisms, 補題 04HB を参照。 つまり、上の図式を \[\xymatrix{ V'' \ar[r] \ar[d]^{\sigma'|_{V''}} & V' \ar[d]^{\sigma'} \ar[r]_\varphi & V \ar[d]^\sigma \\ U \times_S V'' \ar[r] & U \times_S V' \ar[r]^{1 \times \varphi} & U \times_S V }\] へ拡張して、左の正方形と外側の長方形を可換にできる。 \(u\) は関手なので、図式のどちらの経路を通っても \(x_{V'', \overline{v}'}\) は \(u(U \times_S V)\) の同じ元へ写る。 一方、この元は \(x_{V', \overline{v}'}\) と \(x_{V, \overline{v}}\)、 すなわちそれぞれ \(u(V')\) と \(u(V)\) の元へ写る。 したがって、求める等式 \(u(\sigma')(x_{V', \overline{v}'}) = u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})\). が従う。

同様にして、構成 \(c : |U_{\overline{s}}| \to u(U)\) が \(U\) に関して 関手的であることが示される。詳細は省略する。最後に、第三段落の結果により 写像 \(c\) が全単射であることは明らかである。これで補題の証明が完了する。

他の位相における点

この節では、スキームのエタール・サイト以外のいくつかのサイトについて、 点の存在を簡単に論じる。この節で用いる用語については Sites, 節 00YJ および Topologies, 節 020M 以下を参照。幾何学的サイトはすべて十分な点をもつ。

補題

\(S\) をスキームとする。次のサイトはすべて十分な点をもつ。 \(S_{affine, Zar}\), \(S_{Zar}\), \(S_{affine, \etale}\), \(S_\etale\), \((\Sch/S)_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), \((\Sch/S)_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), \((\Sch/S)_{smooth}\), \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\), \((\Sch/S)_{syntomic}\), \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\), \((\Sch/S)_{fppf}\) および \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)。

証明

各大サイトに付随するトポスは、サイト \((\textit{Aff}/S)_\tau\) により 定義されるトポスと同値である。Topologies, 補題 020W, 021E, 06VC, 06VD および 021V を参照。 サイト \((\textit{Aff}/S)_\tau\) に対する結果は、Deligne の結果 Sites, 補題 0DW0 から直ちに従う。

\(S_{Zar}\) に対する結果は明らかである。\(S_{affine, Zar}\) に対する結果は Deligne の結果から従う。\(S_\etale\) に対する結果は、定理 03PU（の証明）から従うか、または Topologies, 補題 04HR と \(S_{affine, \etale}\) に適用した Deligne の結果から従う。

上の補題は点の存在を保証するが、それらの点がどのようなものかは教えない。 いくつかの点は次のように明示的に構成できる。 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) を幾何点で、\(k\) が代数閉体であるものとする。 関手 \[u : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad u(U) = U(k) = \Mor_S(\Spec(k), U).\] \(U \mapsto U(k)\) は有限極限と可換することに注意する。実際、 \(S(k) = \{\overline{s}\}\) かつ \((U_1 \times_U U_2)(k) = U_1(k) \times_{U(k)} U_2(k)\) である。さらに、 \(\{U_i \to U\}\) が fppf 被覆なら \(\coprod U_i(k) \to U(k)\) は全射である。Sites, 命題 00YC により、\(u\) は点 \(p\) （\((\Sch/S)_{fppf}\) のもの）を定め、その茎は \[\mathcal{F}_p = \colim_{(U, x)} \mathcal{F}(U)\] である。ここで余極限は、通常どおり組 \(U \to S\), \(x \in U(k)\) 上でとる。 しかし、この圏には始対象 \((\Spec(k), \text{id})\) がある。したがって \[\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(\Spec(k))\] であり、これはそれほど興味深くない。実際、一般にはこれらの点は保守的な 点の族をなさない。次の注意では、より興味深い種類の点を記述する。

注意

\(S = \Spec(A)\) をアフィン・スキームとする。\((p, u)\) をサイト \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) の点とする。Sites, 節 00Y3 および 05UZ を参照。 \(B = \mathcal{O}_p\) を点 \(p\) における構造層の茎とする。次を思い出そう。 \[B = \colim_{(U, x)} \mathcal{O}(U) = \colim_{(\Spec(C), x_C)} C\] ここで \(x_C \in u(\Spec(C))\) である。\(\Spec(B)\) が \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) の対象であり、かつ元 \(x_B \in u(\Spec(B))\) で整合系 \(x_C\) へ写るものが存在することもある。 この場合、近傍の系は始対象をもち、 \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(\Spec(B))\) が任意の層 \(\mathcal{F}\) （\((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 上のもの）に対して従う。関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\) が \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{fppf})\) の点を定めるなら、 \(B\) は局所 \(A\)-代数でなければならず、任意の忠実平坦かつ有限表示な環準同型 \(B \to B'\) に対して切断 \(B' \to B\) が存在することは容易に分かる。 逆に、このような任意の \(A\)-代数 \(B\) に対し、関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\) は一点の茎関手である。 詳細は省略する。サイト \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) の一般の点が どのようなものかは明らかでない。

アーベル層の台

まず局所切断の台について述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を \(S\) のエタール・トポスの 終対象の部分層とする（Sites, 例 00W3 を参照）。 このとき一意な開集合 \(W \subset S\) で \(\mathcal{F} = h_W\) を満たすものが存在する。

証明

この条件は、\(\mathcal{F}(U)\) が一元集合または空集合であることを、 すべての \(\varphi : U \to S\)（\(\Ob(S_\etale)\) に属するもの）に対して意味する。 とくに局所切断は常に貼り合わさる。\(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\) なら、 \(\mathcal{F}(\varphi(U)) \not = \emptyset\) である。実際、 \(\{\varphi : U \to \varphi(U)\}\) は被覆である。したがって \(W = \bigcup_{\varphi : U \to S, \mathcal{F}(U) \not = \emptyset} \varphi(U)\). ととればよい。

補題

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上のアーベル層とし、 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) を局所切断とする。次を満たす開部分集合 \(W \subset U\) が存在する。

1. \(W \subset U\) は \(U\) の Zariski 開部分集合で \(\sigma|_W = 0\) を満たすもののうち最大である。

2. すべての \(\varphi : V \to U\)（\(S_\etale\) に属するもの）に対して \[\sigma|_V = 0 \Leftrightarrow \varphi(V) \subset W,\] が成り立つ。

3. すべての幾何点 \(\overline{u}\)（\(U\) のもの）に対して \[(U, \overline{u}, \sigma) = 0\text{（}\mathcal{F}_{\overline{s}}\text{ において）} \Leftrightarrow \overline{u} \in W\] が成り立つ。ここで \(\overline{s} = (U \to S) \circ \overline{u}\) である。

証明

\(\mathcal{F}\) はエタール位相に関する層なので、\(\mathcal{F}\) の \(U_{Zar}\) への 制限は \(U\) 上の Zariski 位相に関する層である。したがって性質 (1) をもつ Zariski 開集合 \(W\) が存在する。Modules, 補題 01AU を参照。 \(\varphi : V \to U\) を \(S_\etale\) の矢印とする。 \(\varphi(V) \subset U\) は開部分集合であり、 \(\{V \to \varphi(V)\}\) はエタール被覆であることに注意する。したがって \(\sigma|_V = 0\) なら、\(\mathcal{F}\) の層条件により \(\sigma|_{\varphi(V)} = 0\) である。これで (2) が示された。 (3) を示すには、\((U, \overline{u}, \sigma)\) が \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) の零元を定めるなら \(\overline{u} \in W\) であることを示さなければならない。 実際、この仮定は、エタール近傍の射 \((V, \overline{v}) \to (U, \overline{u})\) であって \(\sigma|_V = 0\) を満たすものが存在することを意味する。したがって (2) により \(V \to U\) は \(W\) の中へ写り、ゆえに \(\overline{u} \in W\) である。

\(S\) をスキームとし、\(s \in S\) とする。\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上の層とする。注意 04FN により、 層 \(\mathcal{F}\) の茎の同型類は、\(s\) の上にある幾何点においてよく定義される。

定義

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上のアーベル層とする。

1. \(\mathcal{F}\) の台とは、点 \(s \in S\) であって、 \(\mathcal{F}_{\overline{s}} \not = 0\) が任意の（ある）幾何点 \(\overline{s}\)（\(s\) の上にあるもの）に対して成り立つもの全体の集合である。

2. \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) を切断とする。\(\sigma\) の台とは、 閉部分集合 \(U \setminus W\) のことである。ここで \(W \subset U\) は \(U\) の最大の開部分集合で、その上で \(\sigma\) の制限が零となるものである （補題 04FR を参照）。

一般に、アーベル層の台は閉とは限らない。例えば \(S = \mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\) と仮定する。 \(i_t : \Spec(\mathbf{C}) \to S\) を点 \(t \in \mathbf{C}\) の包含とする。 後で \(\mathcal{F}_t = i_{t, *}(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) が、 台がちょうど \(\{t\}\) であるアーベル層だと分かる。節 04E1 を参照。このとき \[\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{F}_n\] は台 \(\{1, 2, 3, \ldots\} \subset S\) をもつアーベル層である。 これは茎をとる操作が余極限と可換だからである。補題 03PT を参照。したがって、これは台が閉でない アーベル層の例である。層と切断の台に関する基本的な事実をいくつか挙げる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上のアーベル層とし、 \(U \in \Ob(S_\etale)\) および \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) とする。

1. \(\sigma\) の台は \(U\) において閉である。

2. \(\sigma + \sigma'\) の台は \(\sigma, \sigma' \in \mathcal{F}(U)\) の台の和集合に含まれる。

3. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が \(S_\etale\) 上のアーベル層の射なら、\(\varphi(\sigma)\) の台は \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) の台に含まれる。

4. \(\mathcal{F}\) の台は、\(\mathcal{F}\) のすべての局所切断の台の像の和集合である。

5. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が全射なら、\(\mathcal{G}\) の台は \(\mathcal{F}\) の台の部分集合である。

6. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が単射なら、\(\mathcal{F}\) の台は \(\mathcal{G}\) の台の部分集合である。

証明

(1) は定義により成り立つ。(2) と (3) は、\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) の \(U_{Zar}\) への制限について成り立つため従う。 Modules, 補題 01AU を参照。 (4) は補題 04FR の (3) から直ちに従う。 (5) と (6) は他の各部分から従う。

補題

\(S_\etale\) 上の環の層の台は閉である。

証明

これは、われわれの規約では環が \(0\) であるための必要十分条件が \(1 = 0\) であり、したがって環の層の台が単位切断の台だからである。

Hensel 環

まず Stacks プロジェクトですでに何度も用いられてきた定理を述べる。 この結果には多くの版があるが、ここでは代数的な版だけを述べる。

定理

\(A\to B\) を有限型の環準同型、\(\mathfrak p \subset A\) を素イデアルとする。 このとき、エタールな環準同型 \(A \to A'\) と、素イデアル \(\mathfrak p' \subset A'\) で \(\mathfrak p\) の上にあり、次を満たすものが存在する。

1. \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\),

2. \(B \otimes_A A' = B_1\times \ldots \times B_r \times C\),

3. \(A'\to B_i\) は有限であり、一意な素イデアル \(q_i\subset B_i\) で \(\mathfrak p'\) の上にあるものが存在する。

4. ファイバー \(\Spec(C \otimes_{A'} \kappa(\mathfrak p'))\) （\(C\) の \(\mathfrak p'\) 上のもの）の既約成分はすべて次元が少なくとも 1 である。

証明

Algebra, 補題 00UK または [EGA4, Théorème 18.12.1] を参照。スキームの射によるさまざまな版については More on Morphisms, 節 04HF を参照。

Hensel の補題を思い出そう。この補題には多くの版がある。二つを挙げる。

1. \(f\in \mathbf{Z}_p[T]\) がモニックで、 \(f \bmod p = g_0 h_0\) かつ \(gcd(g_0, h_0) = 1\) なら、 \(f\) は \(f = gh\) と分解し、\(\bar g = g_0\) および \(\bar h = h_0\) を満たす。

2. \(f \in \mathbf{Z}_p[T]\) とモニックな \(a_0 \in \mathbf{F}_p\) が \(\bar f(a_0) =0\) かつ \(\bar f'(a_0) \neq 0\) を満たすなら、 \(a \in \mathbf{Z}_p\) で \(f(a) = 0\) かつ \(\bar a = a_0\) を満たすものが存在する。

いずれの版も正しい（後でこれを見る）。第一の版は互いに素な因子への分解の 持ち上げを求め、第二の版は極大イデアルを法とする単根の持ち上げを求める。 一般の局所環に対してこれらの条件を課すことは互いに同値であり、さらに多くの 他の条件とも同値であることが分かる。根の持ち上げ性はしばしば最も確認しやすいので、 これを Hensel 局所環の定義として用いる。

定義

（Algebra, 定義 04GF を参照。） 局所環 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) が Hensel 的であるとは、 任意のモニックな \(f \in R[T]\) と任意の \(a_0 \in \kappa\) で \(\bar f(a_0) = 0\) および \(\bar f'(a_0) \neq 0\) を満たすものに対して、 \(a \in R\) が存在し、\(f(a) = 0\) および \(a \bmod \mathfrak m = a_0\) が成り立つことをいう。

Hensel 局所環の代表例として完備局所環を念頭に置くとよい。 完備局所環とは、局所環 \((R, \mathfrak m)\) で \(R \cong \lim_n R/\mathfrak m^n\) を満たすもの、すなわち \(\mathfrak m\)-進位相に関して完備かつ分離的なものだった （Algebra, 定義 0324）。

定理

完備局所環は Hensel 的である。

証明

ニュートン法による。Algebra, 補題 04GM を参照。

定理

\((R, \mathfrak m, \kappa)\) を局所環とする。次は同値である。

1. \(R\) は Hensel 的である。

2. 任意の \(f\in R[T]\) と、任意の分解 \(\bar f = g_0 h_0\) （\(\kappa[T]\) におけるもので \(\gcd(g_0, h_0)=1\) を満たすもの）に対して、 分解 \(f = gh\)（\(R[T]\) におけるもの）で \(\bar g = g_0\) および \(\bar h = h_0\) を満たすものが存在する。

3. 任意の有限 \(R\)-代数 \(S\) は、\(R\) 上有限な局所環の有限積と同型である。

4. 任意の有限型 \(R\)-代数 \(A\) は積 \(A \cong A' \times C\) と同型である。 ここで \(A' \cong A_1 \times \ldots \times A_r\) は有限局所 \(R\)-代数の積であり、 \(C \otimes_R \kappa\) のすべての既約成分は次元が少なくとも 1 である。

5. \(A\) がエタールな \(R\)-代数で、\(\mathfrak n\) が \(A\) の極大イデアルで \(\mathfrak m\) の上にあり、\(\kappa \cong A/\mathfrak n\) を満たすなら、 同型 \(\varphi : A \cong R \times A'\) であって \(\varphi(\mathfrak n) = \mathfrak m \times A' \subset R \times A'\) を満たすものが存在する。

証明

これは Algebra, 補題 04GG の結果の一部に すぎない。上の (5) は Algebra, 補題 04GG の (8) に対応するが、少し異なる形で述べている。

補題

\(R\) が Hensel 的で、\(A\) が有限 \(R\)-代数なら、\(A\) は Hensel 局所環の有限積である。

証明

Algebra, 補題 04GH を参照。

定義

局所環 \(R\) が 強 Hensel 的であるとは、それが Hensel 的であり、 その剰余体が分離閉であることをいう。

例

\(R = \mathbf{C}[[t]]\) の場合、エタールな \(R\)-代数は、自明な拡大 \(R \to R\) と拡大 \(R \to R[X, X^{-1}]/(X^n-t)\) の有限積である。 後者は開集合 \(D(t) \subset \Spec(R)\) を経由するので、任意のエタール被覆は 被覆 \(\{\text{id} : \Spec(R) \to \Spec(R)\}\) により細分される。 以下で、これは Hensel 環のスペクトルのエタール被覆に関するかなり一般的な 事実であることを見る。このことから、強 Hensel 環のスペクトルの高次 エタール・コホモロジーが零であることが分かる。

定理

\((R, \mathfrak m, \kappa)\) を局所環とし、 \(\kappa\subset\kappa^{sep}\) を分離代数閉包とする。標準的な平坦局所環準同型 \(R \to R^h \to R^{sh}\) であって、次を満たすものが存在する。

1. \(R^h\), \(R^{sh}\) はエタールな \(R\)-代数のフィルター余極限である。

2. \(R^h\) は Hensel 的であり、\(R^{sh}\) は強 Hensel 的である。

3. \(\mathfrak m R^h\)（それぞれ \(\mathfrak m R^{sh}\)）は \(R^h\)（それぞれ \(R^{sh}\)）の極大イデアルである。

4. \(\kappa = R^h/\mathfrak m R^h\) であり、 \(\kappa^{sep} = R^{sh}/\mathfrak m R^{sh}\) は \(\kappa\) の拡大として成り立つ。

証明

\(R^h\) と \(R^{sh}\) の構造は Algebra, 補題 04GN および 04GP で記述されている。

定理 03QL で構成された環を、それぞれ局所環 \(R\) の Hensel 化および 強 Hensel 化という。Algebra, 定義 04GQ を参照。\(R\) の多くの性質はその（強） Hensel 化に反映される。More on Algebra, 節 07QL を参照。

構造層の茎

本節では、幾何点における構造層の茎を、対応する「通常の」点における 局所環の強 Hensel 化と同一視する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点で \(s \in S\) 上にあるものとする。\(\kappa = \kappa(s)\) とおき、 \(\kappa \subset \kappa^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) により \(\kappa\) の \(\kappa(\overline{s})\) における分離代数閉包を表す。 このとき標準的な同一視 \[(\mathcal{O}_{S, s})^{sh} \cong (\mathcal{O}_S)_{\overline{s}}\] がある。ここで左辺は定理 03QL で記述した 局所環 \(\mathcal{O}_{S, s}\) の強 Hensel 化であり、右辺は 構造層 \(\mathcal{O}_S\) の \(S_\etale\) 上の幾何点 \(\overline{s}\) における茎である。

証明

\(\Spec(A) \subset S\) を \(s\) のアフィン近傍とし、 \(\mathfrak p \subset A\) を \(s\) に対応する素イデアルとする。 これらの選択のもとで、標準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} = A_{\mathfrak p}\) および \(\kappa(s) = \kappa(\mathfrak p)\) がある。したがって \(\kappa(\mathfrak p) \subset \kappa^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\). 次を思い出そう。 \[(\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{O}(U)\] ここで余極限は \((S, \overline{s})\) のエタール近傍全体にわたる。 エタール近傍 \((U, \overline{u})\) のうち、\(U\) がアフィンであり、 \(U \to S\) が \(\Spec(A)\) を経由するものは余終系をなす。言い換えると、 \[(\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \colim_{(B, \mathfrak q, \phi)} B\] であることが分かる。ここで余極限は、エタール \(A\)-代数 \(B\) であって、 素イデアル \(\mathfrak q\)（\(\mathfrak p\) 上にあるもの）と \(\kappa(\mathfrak p)\)-代数写像 \(\phi : \kappa(\mathfrak q) \to \kappa(\overline{s})\) を備えたもの全体にわたる。 \(\kappa(\mathfrak q)\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) 上有限分離的なので、 \(\phi\) の像は \(\kappa^{sep}\) に含まれることに注意する。 以上の翻訳により、この補題の主張は Algebra, 補題 04GW の主張と同値である。

定義

\(S\) をスキームとし、\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点で 点 \(s \in S\) 上にあるものとする。

1. \(S\) の \(\overline{s}\) における エタール局所環とは、 構造層 \(\mathcal{O}_S\) の \(S_\etale\) 上の \(\overline{s}\) における 茎である。これを \(\mathcal{O}_{S, s}\) の強 Hensel 化 （幾何点 \(\overline{s}\) に関するもの）と呼ぶこともある。 記法は \(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}\) とする。

2. \(\mathcal{O}_{S, s}\) の Hensel 化とは、 \(S\) の \(s\) における局所環の Hensel 化である。 Algebra, 定義 04GQ および 定理 03QL を参照せよ。 記法は \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) とする。

3. \(S\) の \(\overline{s}\) における 強 Hensel 化とは、 スキーム \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\) のことである。

4. \(S\) の \(s\) における Hensel 化とは、 スキーム \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) のことである。

\(f : T \to S\) をスキームの射とする。\(\overline{t}\) を \(T\) の 幾何点とし、その像 \(\overline{s}\) は \(S\) にあるとする。 \(t \in T\) および \(s \in S\) をそれぞれの像とする。 このとき、標準的な可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}^{sh}_{T, \overline{t}}) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}^h_{T, t}) \ar[r] \ar[d] & T \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}^{sh}_{S, \overline{s}}) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}^h_{S, s}) \ar[r] & S }\] を得る。これは \(T\) と \(S\) の Hensel 化および強 Hensel 化からなる。 \(t\) と \(s\) のアフィン近傍を選び、 Algebra, 補題 08HU および 08HV で与えられる （強）Hensel 化の関手性を用いれば証明できる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(s \in S\) とする。このとき \[\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(U, u)} \mathcal{O}(U)\] である。ここで余極限は、エタール近傍 \((U, u)\)、すなわち \((S, s)\) の近傍で \(\kappa(s) = \kappa(u)\) を満たすものからなる フィルター圏にわたる。

証明

この補題は More on Morphisms, 補題 05KS の複製である。

注意

\(S\) をスキームとし、\(s \in S\) とする。\(S\) が局所 Noether スキームならば、\(\mathcal{O}_{S, s}^h\) も Noether 環であり、 両者の完備化は同じである： \[\widehat{\mathcal{O}_{S, s}} \cong \widehat{\mathcal{O}_{S, s}^h}.\] とくに \(\mathcal{O}_{S, s} \subset \mathcal{O}_{S, s}^h \subset \widehat{\mathcal{O}_{S, s}}\). \(\mathcal{O}_{S, s}\) の Hensel 化は一般にその完備化よりはるかに小さく、 しかも完備化の多くの性質を受け継ぐ。たとえば、 \(\mathcal{O}_{S, s}\) が被約ならば \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) も被約であるが、 完備化については一般にこれは成り立たない。 今後ここに参照を挿入する。

補題

\(S\) をスキームとする。小エタールサイト \(S_\etale\) は、 その構造層 \(\mathcal{O}_S\) を備えると局所環付きサイトである。 Modules on Sites, 定義 04EU を参照せよ。

証明

これは、茎 \((\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \mathcal{O}^{sh}_{S, \overline{s}}\) が局所環であり、かつ \(S_\etale\) が十分多くの点をもつことから従う。 補題 04HX、 定理 03PU、および 注意 040S を参照せよ。 これにより小エタールサイトが局所環付きとなることについては、 Modules on Sites, 補題 04ET および 05D8 を参照せよ。

小エタール・トポスの関手性

これまではエタールサイトの関手性、すなわちスキームの射が与えられたときに 何が起こるかを論じてこなかった。厳密で形式的な議論は Topologies, 節 0214 にある。 本節および以下の数節では、この内容を小エタールサイトの状況に限って 簡潔に論じる。

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。このとき関手 [04I1]\[\begin{equation} u : Y_\etale \longrightarrow X_\etale, \quad V/Y \longmapsto X \times_Y V/X. \end{equation}\] を得る。この関手は次の重要な性質をもつ。

1. \(u(\text{終対象}) = \text{終対象}\),

2. \(u\) はファイバー積を保つ,

3. \(\{V_j \to V\}\) が \(Y_\etale\) の被覆ならば、 \(\{u(V_j) \to u(V)\}\) は \(X_\etale\) の被覆である。

これらはいずれも容易に確認できる（省略する）。その帰結として、 サイトの射と呼ばれるもの \[f_{small} : X_\etale \longrightarrow Y_\etale,\] を得る。Sites, 定義 00X1 および Sites, 命題 00X6 を参照せよ。 エタール層やエタール・コホモロジーを扱うために、この抽象概念を 詳しく知る必要はない。通常は、エタール層上に関手 \(f_{small, *}\)（順像）および \(f_{small}^{-1}\)（逆像）が存在することと、 それらのいくつかの簡単な性質を知れば十分である。 以下の数節でこれらの性質を論じるが、証明にはより抽象的な内容を 参照することがある。そのような抽象的状況で証明するのが自然なことが 多いからである。

順像

前層の順像を定義しよう。

定義

\(f: X\to Y\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の集合の前層とする。 \(\mathcal{F}\) の（\(f\) による）順像は \[f_*\mathcal{F} : Y_\etale^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (V/Y) \longmapsto \mathcal{F}(X \times_Y V/X).\] である。\(f_* = f_{small, *}\) と書くこともあるが、これはほかの 順像関手（通常の Zariski 順像や \(f_{big, *}\) など）と区別するためである。

エタール射の基底変換は再びエタールなので、これはよく定義された エタール前層である。より圏論的に言えば、\(f_*\mathcal{F}\) は関手の合成 \(\mathcal{F} \circ u\) であり、ここで \(u\) は式 (04I1) のものである。これにより、この構成が前層 \(\mathcal{F}\) に関して関手的であることは明らかであり、したがって関手 \[f_* = f_{small, *} : \textit{PSh}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PSh}(Y_\etale)\] を得る。\(\mathcal{F}\) がアーベル群の前層ならば、 \(f_*\mathcal{F}\) もアーベル群の前層であり、 \[f_* = f_{small, *} : \textit{PAb}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PAb}(Y_\etale)\] を得ることに注意する。これは上と同じく、まったく同じ規則で定義される。

注意

層の順像は層であると主張する。実際、 \(\{V_j \to V\}\) が \(Y_\etale\) のエタール被覆ならば、 \(\{X \times_Y V_j \to X \times_Y V\}\) は \(X_\etale\) の エタール被覆である。したがって、\(\mathcal{F}\) に対する \(\{X \times_Y V_i \to X \times_Y V\}\) に関する層条件は、 \(f_*\mathcal{F}\) に対する \(\{V_i \to V\}\) に関する層条件と同値である。 ゆえに \(\mathcal{F}\) が層ならば、\(f_*\mathcal{F}\) も層である。

定義

\(f: X\to Y\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の集合の層とする。 \(\mathcal{F}\) の（\(f\) による）順像は \[f_*\mathcal{F} : Y_\etale^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (V/Y) \longmapsto \mathcal{F}(X \times_Y V/X)\] である。これは注意 03PX により層である。 \(f_* = f_{small, *}\) と書くこともあるが、これはほかの順像関手 （通常の Zariski 順像や \(f_{big, *}\) など）と区別するためである。

上とまったく同じ議論が成り立ち、関手 \[f_* = f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] および \[f_* = f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] を得る。これらも順像と呼ばれる。

アーベル層上の関手 \(f_*\) は左完全である。（アーベル圏間の関手が 左完全であることの意味については Homology, 節 010M を参照せよ。）実際、 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\) が \(X_\etale\) 上で完全ならば、任意の \(U/X \in \Ob(X_\etale)\) に対してアーベル群の列 \(0 \to \mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to \mathcal{F}_3(U)\) は完全である。したがって、任意の \(V/Y \in \Ob(Y_\etale)\) に対して アーベル群の列 \(0 \to f_*\mathcal{F}_1(V) \to f_*\mathcal{F}_2(V) \to f_*\mathcal{F}_3(V)\) は完全である。これは上の列で \(U = X \times_Y V\) としたものだからである。

定義

\(f: X \to Y\) をスキームの射とする。 右導来関手 \(\{R^pf_*\}_{p \geq 1}\)、すなわち \(f_* : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) の右導来関手を高次順像と呼ぶ。

高次順像とその導来圏版については、 （将来ここに参照を挿入）でさらに詳しく論じる。

逆像

本節では、小エタールサイト上の層の引き戻しについて簡潔に論じる。 その厳密な構成は Topologies, 節 0214 にある。

定義

\(f: X\to Y\) をスキームの射とする。逆像、または 引き戻し²関手とは、関手 \[f^{-1} = f_{small}^{-1} : \Sh(Y_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] および \[f^{-1} = f_{small}^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] であり、これらは \(f_* = f_{small, *}\) の左随伴である。したがって \(f^{-1}\) は次の性質によって特徴づけられる。 \[\Hom_{{\Sh(X_\etale)}} (f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\Sh(Y_\etale)} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] この等式は、任意の \(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\) および \(\mathcal{G} \in \Sh(Y_\etale)\) に対して関手的に成り立つ。同様に \[\Hom_{{\textit{Ab}(X_\etale)}} (f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{Ab}(Y_\etale)} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] を得る。ここで \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) および \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\) である。

このような随伴が存在することは自明ではない。一方、それはかなり一般的な 状況で存在する。下の注意 03Q2 を参照せよ。 一般論によれば、\(f^{-1}\mathcal{G}\) は前層 [04I3]\[\begin{equation} U/X \longmapsto \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V/Y) \end{equation}\] に付随する層である。ここで余極限は、対 \((V/Y, \varphi : U/X \to X \times_Y V/X)\) の圏にわたって取る。 これを見るには、Sites, 命題 00X6 を 式 (04I1) の関手 \(u\) に適用し、Sites, 節 00WU および 00VC にある \(u_s = (u_p\ )^\#\) の記述を用いればよい。引き戻しの基本的性質の いくつかを証明するため、ときどきこの公式を用いる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。

1. 関手 \(f^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) は完全である。

2. 関手 \(f^{-1} : \Sh(Y_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) は完全である。すなわち、有限極限および有限余極限と可換である。 Categories, 定義 0034 を参照せよ。

3. \(\overline{x} \to X\) を幾何学的点とし、 \(\mathcal{G}\) を \(Y_\etale\) 上の層とする。このとき標準的な同一視 \[(f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \mathcal{G}_{\overline{y}}.\] がある。ここで \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) である。

4. 任意のエタール射 \(V \to Y\) に対して \(f^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\) である。

証明

集合の層における \(f^{-1}\) の完全性は、Sites, 命題 00X6 を式 (04I1) の関手 \(u\) に適用した帰結である。 実際、引き戻しの完全性はトポス（または、そう呼びたければサイト）の 射の定義の一部である。したがって (2) が成り立つ。(1) はこれから従う。 実際、アーベル層 \(\mathcal{G}\) が \(Y_\etale\) 上に与えられたとき、 \(f^{-1}\mathcal{F}\) の台となる集合の層は、\(f^{-1}\) を \(\mathcal{F}\) の 台となる集合の層に施したものと同じだからである。Sites, 節 00YR を参照せよ。 Modules on Sites, 補題 04JC も参照せよ。文献では、(1) と (2) を (3) から定理 03PU によって導くこともある。

(3) は引き戻しの茎に関する一般的事実である。Sites, 補題 05V1 を参照せよ。 ここでは (3) を次のように直接証明する。補題 03PT により、茎を取ることは層化と可換であることに 注意する。ここで \(f^{-1}\mathcal{G}\) は前層 \[U \longrightarrow \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V),\] に付随する層であったことを思い出そう。式 (04I3) を参照せよ。したがって \[\begin{align*} (f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} & = \colim_{(U, \overline{u})} f^{-1}\mathcal{G}(U) \\ & = \colim_{(U, \overline{u})} \colim_{a : U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V) \\ & = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}(V) \\ & = \mathcal{G}_{\overline{y}} \end{align*}\] を得る。第三の等号では、対 \((U, \overline{u})\) と射 \(a : U \to X \times_Y V\) が対 \((V, a \circ \overline{u})\) に対応する。

(4) も、\(f^{-1}h_V\) を定義する余極限を同一視することにより、同様に 証明できる。あるいは、米田の補題（Categories, 補題 001P）と関手的な等式 \[\Mor_{\Sh(X_\etale)}(f^{-1}h_V, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(Y_\etale)}(h_V, f_*\mathcal{F}) = f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X \times_Y V)\] を、表現可能前層が層であるという事実と併せて用いてもよい。 完全に一般的な結果については Sites, 補題 04D3 も参照せよ。

関手の対 \((f_*, f^{-1})\) は小エタール・トポスの射 \[f_{small} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] を定める。層のコホモロジーに関する一般論の多くは、トポスおよび トポスの射に対して成り立つ。以下では、結果が一般的なものか、 エタール・トポスに固有のものかを、できるかぎり明記する。

注意

より一般に、\(\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2\) を終対象とファイバー積を もつサイトとする。\(u: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) を次を満たす 関手とする。

1. \(\{V_i \to V\}\) が \(\mathcal{C}_2\) の被覆ならば、 \(\{u(V_i) \to u(V)\}\) は \(\mathcal{C}_1\) の被覆である （このとき \(u\) は 連続であるという）。

2. \(u\) は有限極限と可換である（すなわち \(u\) は左完全であり、 言い換えれば \(u\) はファイバー積と終対象を保つ）。

このとき \(f_*: \Sh(\mathcal{C}_1) \to \Sh(\mathcal{C}_2)\) を \(f_* \mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(u(V))\) により定義できる。 さらに、完全関手 \(f^{-1}\) が存在し、これは \(f_*\) の左随伴である。 Sites, 定義 00X1 および命題 00X6 を参照せよ。注意：トポスの射を得るには、 \(u\) が連続でファイバー積と可換であることだけを仮定しても十分ではない。

大トポスの関手性

\(f : X \to Y\) をスキームの射とすると、\(f\) に付随するトポスの射は 多数ある。その一覧については Topologies, 節 03FE を参照せよ。おそらく最もよく 用いられるものは、トポスの射 \[f_{big} = f_{big, \tau} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/Y)_\tau)\] である。ここで \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) である。それぞれは連続関手 \[(\Sch/Y)_\tau \longrightarrow (\Sch/X)_\tau, \quad V/Y \longmapsto X \times_Y V/X\] に対応する。この関手は終対象、ファイバー積、および被覆を保つので、 サイトの射 \[f_{big} : (\Sch/X)_\tau \longrightarrow (\Sch/Y)_\tau.\] を定める。Topologies, 節 020N, 0214, 021Y, 0224, および 021L を参照せよ。特に、\(f_{big}\) に沿う順像は 規則 \[(f_{big, *}\mathcal{F})(V/Y) = \mathcal{F}(X \times_Y V/X)\] で与えられる。これらのトポスの射は、きわめて簡単に記述できる逆像関手 \(f_{big}^{-1}\) をもつ。すなわち \[(f_{big}^{-1}\mathcal{G})(U/X) = \mathcal{G}(U/Y)\] である。ここで \(U/Y\) の構造射は、構造射 \(U \to X\) と \(f\) の合成である。 Topologies, 補題 0210, 021H, 04HC, 04HD, および 021W を参照せよ。

関手性と加群の層

本節では、Descent, 節 03DR, 0GN8, および 0GN9 で説明した内容の一部を、エタール位相の設定で定式化し直す。 \(f : X \to Y\) をスキームの射とする。上の節 04I0, 03PV, および 03PZ で、これが小エタールサイトの射 \(f_{small}\) を誘導することを見た。 Descent, 注意 070R では、\(f\) がさらに 自然な写像 \[f_{small}^\sharp : \mathcal{O}_{Y_\etale} \longrightarrow f_{small, *}\mathcal{O}_{X_\etale}\] を誘導することも見た。これは \(Y_\etale\) 上の環の層の写像であり、 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) は環付きサイトの射となる。 環付きサイトの射の定義については Modules on Sites, 定義 03AD を参照せよ。ここでは、 \(f_{small}^\sharp\) が両立する写像系 \[\text{pr}_V^\sharp : \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}(X \times_Y V)\] によって定義されることだけを思い出しておこう。ここで \(V\) は \(Y_\etale\) の対象全体を動く。

この構成がスキームの射の合成と両立することは明らかである。より正確には、 \(f : X \to Y\) および \(g : Y \to Z\) がスキームの射ならば \[(g_{small}, g_{small}^\sharp) \circ (f_{small}, f_{small}^\sharp) = ((g \circ f)_{small}, (g \circ f)_{small}^\sharp)\] が環付きトポスの射として成り立つ。さらに Modules on Sites, 定義 03D6 により、スキームの射 \(f : X \to Y\) が与えられると、よく定義された引き戻し関手と順像関手 \[\begin{align*} f_{small}^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y_\etale}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_{X_\etale}), \\ f_{small, *} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{X_\etale}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y_\etale}) \end{align*}\] を得る。これらは通常の仕方で随伴する。\(g : Y \to Z\) が別のスキームの 射ならば、合成について上で述べたことから \((g \circ f)_{small}^* = f_{small}^* \circ g_{small}^*\) および \((g \circ f)_{small, *} = g_{small, *} \circ f_{small, *}\) が成り立つ。

すべての \(\mathcal{O}_X\) 加群からなる \(X\) 上の圏と、すべての \(\mathcal{O}_{X_\etale}\) 加群からなる \(X_\etale\) 上の圏との間には、 かなり大きな違いがある。 しかし Descent, 節 03DR, 0GN8, および 0GN9 の結果によれば、\(S\) 上の準連接加群と \(S_\etale\) 上の準連接加群を 考えることには大きな違いがない。（たとえば、これはすでに定理 03OJ で見た。）特に、\(f : X \to Y\) が任意の スキームの射ならば、準連接層に対して引き戻し関手 \(f_{small}^*\) と \(f^*\) は一致する。Descent, 命題 03LC を参照せよ。 さらに、\(f\) が準コンパクトかつ準分離的ならば、順像についても同じことが 成り立つ。Descent, 補題 071N を参照せよ。

最後に、大サイト上の構造層の関手性について少し述べる。 \(f : X \to Y\) をスキームの射とする。位相 \(\tau \in \{Zariski,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\) のいずれかを選ぶ。このとき射 \(f_{big} : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) は写像 \[f_{big}^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow f_{big, *}\mathcal{O}_X\] によって環付きサイトの射となる。Descent, 注意 070R を参照せよ。実際、これは 上で説明した小サイトの場合と同じ構成によって与えられる。

位相の比較

本節では、異なる位相に関する層を比較すると何が起こるかを調べ始める。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上の集合の層とする。 \(s, t \in \mathcal{F}(S)\) とする。このとき、次の性質によって特徴づけられる 開集合 \(W \subset S\) が存在する：射 \(f : T \to S\) が \(W\) を経由することと、 \(s|_T = t|_T\) であることは同値である（制限とは \(f_{small}\) による 引き戻しである）。

証明

\(U \in \Ob(S_\etale)\) に対し、\(s|_U \not = t|_U\) なら空集合を、そうで なければ一点集合を対応させる前層を考える。これが \(\Sh(S_\etale)\) の 終対象の部分層であることは明らかである。補題 04HV により、この前層を表現する開集合 \(W \subset S\) が得られる。幾何学的点 \(\overline{x}\)（\(S\) の点）に対し、 \(\overline{x} \in W\) であることと、\(s\) と \(t\) の \(\overline{x}\) における 茎が一致することは同値である。補題 03Q1 による 引き戻しの茎の記述から、\(W\) が所望の性質をもつことが分かる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\tau \in \{Zariski, \etale\}\) とする。射 \[\pi_S : (\Sch/S)_\tau \longrightarrow S_\tau\] を考える。これは Topologies, 補題 020Z または 021G の射である。 \(\mathcal{F}\) を \(S_\tau\) 上の層とする。このとき \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) は規則 \[(\pi_S^{-1}\mathcal{F})(T) = \Gamma(T_\tau, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] で与えられる。ここで \(f : T \to S\) である。さらに、 \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) は fpqc 被覆に関する層条件を満たす。

証明

射 \(i_f : \Sh(T_\tau) \to \Sh(\Sch/S)_\tau)\) があり、 \(\pi_S \circ i_f = f_{small}\) となることに注意する。これは射 \(T_\tau \to S_\tau\) としての等式である。Topologies, 補題 020Y, 0211, 021F, および 021I を参照せよ。 引き戻しの推移性から、所望のとおり \(i_f^{-1} \pi_S^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\) を得る。

\(\{g_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) を fpqc 被覆とする。最後の主張の意味は 次のとおりである：層 \(\mathcal{G}\) が \(T_\tau\) 上にあり、切断 \(s_i \in \Gamma(T_i, g_{i, small}^{-1}\mathcal{G})\) の \(T_i \times_T T_j\) への引き戻しが一致するとする。このとき一意な切断 \(s\) が \(\mathcal{G}\) の \(T\) 上の切断として存在し、\(T_i\) へのその 引き戻しは \(s_i\) と一致する。

\(V \to T\) を \(T_\tau\) の対象とし、\(t \in \mathcal{G}(V)\) とする。 各 \(i\) に対し、最大の開集合 \(W_i \subset T_i \times_T V\) が存在し、 \(s_i\) と \(t\) の引き戻しは、\(\mathcal{G}\) の \(W_i \subset T_i \times_T V\) への引き戻しの切断として一致する。補題 09XM を参照せよ。\(s_i\) と \(s_j\) は \(T_i \times_T T_j\) 上で一致するので、\(W_i\) と \(W_j\) は \(T_i \times_T T_j \times_T V\) 上の同じ開集合へ引き戻される。 Descent, 補題 03N0 により、開集合 \(W \subset V\) が得られ、その \(T_i \times_T V\) への逆像が \(W_i\) となる。

\(g_{i, small}^{-1}\mathcal{G}\) の構成により、\(\tau\)-被覆 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j \in J_i}\)、各 \(j\) に対する開埋め込みまたは エタール射 \(V_{ij} \to T\)、切断 \(t_{ij} \in \mathcal{G}(V_{ij})\)、および 可換図式 \[\xymatrix{ T_{ij} \ar[r] \ar[d] & V_{ij} \ar[d] \\ T_i \ar[r] & T }\] が存在して、\(s_i|_{T_{ij}}\) は \(t_{ij}\) の引き戻しとなる。言い換えれば、 被覆 \(\{T_i \to T\}\) を \(\{T_{ij} \to T\}\) で置き換えることにより、 分解 \(T_i \to V_i \to T\)（ここで \(V_i \in \Ob(T_\tau)\)）と切断 \(t_i \in \mathcal{G}(V_i)\) が存在し、それが \(s_i\) へ、\(T_i\) 上で 引き戻されると仮定して よい。前段落の結果により開集合 \(W_i \subset V_i\) が得られ、 \(t_i|_{W_i}\) はすべての \(s_j\) と \(T_j \times_T W_i\) 上で「一致する」。 \(T_i \to V_i\) は \(W_i\) を経由することに注意する。ゆえに \(\{W_i \to T\}\) は \(\tau\)-被覆であり、補題が証明された。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : T \to S\) を次を満たす射とする。

1. \(f\) は平坦かつ準コンパクトである。

2. \(f\) の幾何学的ファイバーは連結である。

\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上の層とする。このとき \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(T, f^{-1}_{small}\mathcal{F})\) である。

証明

標準写像 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) \to \Gamma(T, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). がある。\(f\) は全射である（そのファイバーが連結だからである）ので、 この写像は単射である。

写像が全射であることを示すため、 \(\alpha \in \Gamma(T, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\) とする。 \(\{T \to S\}\) は fpqc 被覆なので、補題 09XN により、二つの射影による \(\alpha\) の \(T \times_S T\) への引き戻しが同じ切断であることを示せば十分である。 \(\overline{s} \to S\) を幾何学的点とする。一致が \((T \times_S T)_{\overline{s}}\) 上で成り立つことを示せば十分である。 実際、\(T \times_S T\) の各幾何学的点はこれらの幾何学的ファイバーの 一つに含まれる。言い換えれば、\(\alpha|_{T_{\overline{s}}}\) が \[(T \times_S T)_{\overline{s}} = T_{\overline{s}} \times_{\overline{s}} T_{\overline{s}}\] 上の同じ切断へ、二つの \(T_{\overline{s}}\) への射影によって引き戻される ことを示そうとしている。しかし \(\mathcal{F}|_{T_{\overline{s}}}\) は \(\mathcal{F}|_{\overline{s}}\) の 引き戻しなので、値 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) をもつ定値層である。 仮定により \(T_{\overline{s}}\) は連結だから、定値層の任意の切断は定値である。 したがって \(\alpha|_{T_{\overline{s}}}\) は \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) の元に対応する。ゆえに \((T \times_S T)_{\overline{s}}\) への二つの引き戻しはいずれもこの同じ元に 対応し、結論を得る。

次は、射が平坦であることを仮定しない補題 0A3H の一版である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to S\) を次を満たす射とする。

1. \(f\) は商写像である。

2. \(f\) の幾何学的ファイバーは連結である。

\(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上の層とする。このとき \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(X, f^{-1}_{small}\mathcal{F})\) である。

証明

標準写像 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). がある。\(f\) は全射である（そのファイバーが連結だからである）ので、 この写像は単射である。

写像が全射であることを示すため、 \(\tau \in \Gamma(X, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\) とする。 \(\{U_i \to S\}\) をエタール被覆、\(\sigma_i \in \mathcal{F}(U_i)\) を 切断として、\(\sigma_i\) が \(\tau|_{X \times_S U_i}\) へ引き戻されるものを 十分である。実際、上で示した単射性により、\(\sigma_i\) と \(\sigma_j\) は \(\mathcal{F}\) の \(U_i \times_S U_j\) 上の同じ切断に制限される。 したがって、一意な切断 \(\sigma \in \mathcal{F}(S)\) を得て、その制限は \(\sigma_i\)（\(U_i\) 上）である。このとき \(\sigma\) の \(X\) への 引き戻しは \(\tau\) である。これは局所的に成り立つからである。

\(\overline{x}\) を \(X\) の幾何学的点とし、その像 \(\overline{s}\) を \(S\) における点とする。茎における \(\tau\) の像 \[(f_{small}^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] を考える。補題 03Q1 を参照せよ。 \(U \to S\) を \(\overline{s}\) のエタール近傍とし、茎でこの像へ写る切断 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) を見つけることができる。したがって \(S\) を \(U\) で、\(X\) を \(X \times_S U\) で置き換えることにより、切断 \(\sigma\)、すなわち \(\mathcal{F}\) の \(S\) 上の切断が存在し、その \((f_{small}^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}}\) における像は \(\tau\) と同じで あると仮定してよい。

補題 09XM により、最大の開集合 \(W \subset X\) が存在して、\(f_{small}^{-1}\sigma\) と \(\tau\) は \(W\) 上で 一致し、\(W\) の形成はさらなる引き戻しと可換である。 \(\mathcal{F}\) の幾何学的ファイバー \(X_{\overline{s}}\) への引き戻しは、 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) を \(\overline{s}\) 上の層と見なしたものの、 \(X_{\overline{s}} \to \overline{s}\) による引き戻しであることに注意する。 したがって \(\tau\) と \(\sigma\) は、値 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) をもつ 定値層の \(X_{\overline{s}}\) 上の切断を与え、それらは一点で 一致する。仮定により \(X_{\overline{s}}\) は連結なので、\(W\) は \(X_s\) を 含むと結論できる。異なる幾何学的ファイバーについて同じ議論を行うと、 \(W\) はそれが交わるすべてのファイバーを含むことが分かる。\(f\) は商写像 なので、\(W\) は \(s\) のある開近傍（\(S\) における近傍）の逆像である。これで証明が 完了する。

補題

\(K/k\) を体の拡大とし、\(k\) は可分代数閉であるとする。\(S\) を \(k\) 上の スキームとする。射影を \(p : S_K = S \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \to S\) と書く。 \(\mathcal{F}\) を \(S_\etale\) 上の層とする。このとき \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(S_K, p^{-1}_{small}\mathcal{F})\) である。

証明

補題 0A3H から従う。実際、\(p\) は \(\Spec(K) \to \Spec(k)\) の基底変換なので、平坦かつ準コンパクトである ことは明らかである。一方、\(\overline{s} : \Spec(L) \to S\) が幾何学的点 ならば、\(p\) の \(\overline{s}\) 上のファイバーは \(K \otimes_k L\) の スペクトルであり、Algebra, 補題 00I7 により既約、したがって 連結である。

射の復元

本節では、スキームにその局所環付き小エタール・トポスを対応させる規則が、 適切な意味で忠実充満であることを証明する。定理 04I7 を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。環付きサイトの射 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) は \(f\) に付随するものであり、局所環付きサイトの射である。 Modules on Sites, 定義 04HA を参照せよ。

証明

補題 04HZ で見たように、 \((X_\etale, \mathcal{O}_{X_\etale})\) と \((Y_\etale, \mathcal{O}_{Y_\etale})\) は局所環付きサイトなので、 この主張には意味がある。さらに、定理 03PU および注意 040S により、\(X_\etale\) は十分な点をもつ。 したがって、\((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) が Modules on Sites, 補題 04H9 の条件 (3) を満たすことを示せば十分である。このために点 \(p\) を取り、これを \(X_\etale\) の点とする。補題 04HU により、\(p\) は 幾何学的点 \(\overline{x}\) に対応し、これは \(X\) の点である。補題 03Q1 により、点 \(q = f_{small} \circ p\) は 幾何学的点 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) に対応し、これは \(Y\) の点である。 よって示すべきことは、誘導される茎の写像 \[(\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}} \longrightarrow (\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\] が局所環準同型であることである。\(a \in (\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}}\) を、 右辺の極大イデアルの元に写る左辺の元とする。\(a\) は三つ組 \((V, \overline{v}, a)\) の同値類であるとする。ここで \(V \to Y\) はエタール、 \(\overline{v} : \overline{x} \to V\) は \(Y\) 上の射、\(a \in \mathcal{O}(V)\) である。 これは \((X \times_Y V, \overline{x} \times \overline{v}, \text{pr}_V^\sharp(a))\) の同値類に写り、後者は局所環 \((\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\) の元である。 ところで、これが極大イデアルに属するということは、 \(\text{pr}_V^\sharp(a)\) を \(\kappa(\overline{x})\) の元へ引き戻すと零になることを 意味する。したがって \(a\) を \(\kappa(\overline{x})\) へ引き戻しても零となる。 これは \(a\) が \((\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}}\) の極大イデアルに属することを意味する。

補題

\(X\), \(Y\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(t\) を \(2\)-射であって \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) からそれ自身へのものとする （Modules on Sites, 定義 04IC 参照）。 このとき \(t = \text{id}\) である。

証明

これは、\(t : f^{-1}_{small} \to f^{-1}_{small}\) が関手の自然変換であり、図式 \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{f_{small}^\sharp} & & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{f_{small}^\sharp} \\ & \mathcal{O}_X }\] が可換であることを意味する。\(V \to Y\) がエタールで、\(V\) がアフィンであるとする。 Morphisms, 補題 04II により、はめ込み \(i : V \to \mathbf{A}^n_Y\) を選べる。これは \(Y\) 上の射である。 層の言葉では、これは \(i\) が層の単射 \(h_i : h_V \to \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y\) を誘導することを意味する。 \(i'\) を \(i\) の \(X\) への基底変換とする。これは Schemes, 補題 01JY により、はめ込みである。 したがって \(i' : X \times_Y V \to \mathbf{A}^n_X\) ははめ込みであり、これはさらに \(h_{i'} : h_{X \times_Y V} \to \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X\) が層の単射であることを意味する。補題 03Q1 の同一視 \(f_{small}^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\) のもとで、写像 \(h_{i'}\) は \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^{\prod f^\sharp} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] に等しい（検証は省略する）。したがって、写像 \(t : f_{small}^{-1}h_V \to f_{small}^{-1}h_V\) は可換図式 \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} \ar[d]^t & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} \ar[d]^{\prod t} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \ar[d]^{\text{id}}\\ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] に組み込まれる。右側の正方形の可換性は、上で説明した \(t\) に関する仮定から従う。 上の議論により横向きの射の合成は単射なので、左の縦向きの射も恒等写像である。 \(Y_\etale\) 上の任意の集合の層には、\(h_V\) という形の層（ここで \(V\) はアフィン）の （巨大な）余積からの全射が存在する（Topologies, 補題 04HR と Sites, 補題 00WS を組み合わせよ）。 よって \(t : f_{small}^{-1} \to f_{small}^{-1}\) は、望むとおり恒等自然変換である。

補題

\(X\), \(Y\) をスキームとする。任意の二つのスキームの射 \(a, b : X \to Y\) について、\(2\)-同型 \((a_{small}, a_{small}^\sharp) \cong (b_{small}, b_{small}^\sharp)\) が環付きトポスの \(2\)-圏で存在するなら、これらの射は等しい。

証明

多少紛らわしいので、注意深く論じよう。 \(t : a_{small}^{-1} \to b_{small}^{-1}\) をこの \(2\)-同型とする。 任意の開集合 \(V \subset Y\) を考える。\(h_V\) は終対象の層 \(*\) の部分層である。 したがって \(a_{small}^{-1}h_V = h_{a^{-1}(V)}\) と \(b_{small}^{-1}h_V = h_{b^{-1}(V)}\) はともに終対象の層の部分層である。 よって同型 \[t : a_{small}^{-1}h_V = h_{a^{-1}(V)} \to b_{small}^{-1}h_V = h_{b^{-1}(V)}\] は恒等射でなければならず、\(a^{-1}(V) = b^{-1}(V)\) である。 したがって \(a\) と \(b\) は台位相空間上で等しい。次に切断 \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\) を取る。これは集合の層の射 \(f : h_V \to \mathcal{O}_Y\) を定め、またそのような射によって定まる。 これを引き戻し、\(t\) を適用すると、可換図式 \[\xymatrix{ h_{b^{-1}(V)} \ar@{=}[r] & b_{small}^{-1}h_V \ar[d]^{b_{small}^{-1}(f)} & & a_{small}^{-1}h_V \ar[d]^{a_{small}^{-1}(f)} \ar[ll]^t & h_{a^{-1}(V)} \ar@{=}[l] \\ & b_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{b^\sharp} & & a_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{a^\sharp} \\ & & \mathcal{O}_X }\] を得る。ここで三角形が可換であることは、Modules on Sites, 節 04IB における \(2\)-同型の定義による。 上で見たように、上段の横向きの射の合成は恒等式 \(a^{-1}(V) = b^{-1}(V)\) から得られる。したがって図式の可換性より、 \(a_{small}^\sharp(f) = b_{small}^\sharp(f)\) が \(\mathcal{O}_X(a^{-1}(V)) = \mathcal{O}_X(b^{-1}(V))\) において成り立つ。 これは任意の開集合 \(V\) と 任意の \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\) に対して成り立つので、スキームの射として \(a = b\) である。

補題

\(X\), \(Y\) をアフィン・スキームとする。局所環付きトポスの射 \[(g, g^\#) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] を与える。このとき、一意なスキームの射 \(f : X \to Y\) が存在して、 \((g, g^\#)\) は \(2\)-同型を介して \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) と同一視される。 Modules on Sites, 定義 04IC を参照せよ。

証明

この証明では、\(\mathcal{O}_X\) と書くのは小エタール・サイト \(X_\etale\) の構造層であり、\(\mathcal{O}_Y\) についても同様とする。 \(Y = \Spec(B)\) および \(X = \Spec(A)\) と書こう。 \(B = \Gamma(Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\), \(A = \Gamma(X_\etale, \mathcal{O}_X)\) なので、\(g^\sharp\) は環準同型 \(\varphi : B \to A\) を誘導する。 \(f = \Spec(\varphi) : X \to Y\) を対応するアフィン・スキームの射とする。 この \(f\) が所要の性質を満たすことを示す。

\(V \to Y\) を \(Y\) 上エタールなアフィン・スキームとする。したがって \(V = \Spec(C)\) と書ける。ここで \(C\) はエタール \(B\)-代数である。さらに \[C = B[x_1, \ldots, x_n]/(P_1, \ldots, P_n)\] と書ける。ここで \(P_i\) は、\(\Delta = \det(\partial P_i/ \partial x_j)\) が \(C\) で可逆となるような多項式である。例えば Algebra, 補題 00U9 を参照せよ。 \(T\) が \(Y\) 上のスキームなら、\(T\)-値点としての \(V\) の点は、\(n\) 個の \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) の切断であって多項式方程式 \(P_1 = 0, \ldots, P_n = 0\) を満たすものによって与えられる。言い換えれば、層 \(h_V\) は \(Y_\etale\) 上で二つの写像 \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y \ar@<1ex>[r]^a \ar@<-1ex>[r]_b & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y }\] の等化子である。ここで \(b(h_1, \ldots, h_n) = 0\) であり、 \(a(h_1, \ldots, h_n) = (P_1(h_1, \ldots, h_n), \ldots, P_n(h_1, \ldots, h_n))\) である。 \(g^{-1}\) は完全なので、次の実線部分からなる可換図式の上段も等化子図式である： \[\xymatrix{ g^{-1}h_V \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar@<1ex>[r]^{g^{-1}a} \ar@<-1ex>[r]_{g^{-1}b} \ar[d]^{\prod g^\sharp} & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[d]^{\prod g^\sharp}\\ h_{X \times_Y V} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \ar@<1ex>[r]^{a'} \ar@<-1ex>[r]_{b'} & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \\ }\] ここで \(b'\) は零写像であり、\(a'\) は像 \(P'_i = \varphi(P_i) \in A[x_1, \ldots, x_n]\) を用いて、 \(a'(h_1, \ldots, h_n) = (P'_1(h_1, \ldots, h_n), \ldots, P'_n(h_1, \ldots, h_n))\). という、\(a\) の定義と同じ規則で定められる。図式の可換性は、大域切断上で \(\varphi = g^\sharp\) であることから従う。さらに \(X \times_Y V\) はアフィン・スキーム \(\Spec(A \otimes_B C)\) であり、 \(A \otimes_B C = A[x_1, \ldots, x_n]/(P'_1, \ldots, P'_n)\). であるから、先とまったく同じ議論により下段も等化子図式である。 したがって、この図式に組み込まれる一意な点線の射 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) を得る。

層の写像 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) が同型であると主張する。 \(X\) の小エタール・サイトは十分な点をもつので （定理 03PU）、茎について示せば十分である。 そこで \(\overline{x}\) を \(X\) の幾何学的点とし、\(p\) を \(X\) の小エタール・トポスの 対応する点とする。\(q = g \circ p\) と置く。これは \(Y\) の小エタール・トポスの点である。 補題 04HU により、\(q\) は幾何学的点 \(\overline{y}\) に対応し、これは \(Y\) の点である。茎の写像 \[(g^\sharp)_p : (\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}} = \mathcal{O}_{Y, q} = (g^{-1}\mathcal{O}_Y)_p \longrightarrow \mathcal{O}_{X, p} = (\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\] を考える。\((g, g^\sharp)\) は 局所環付きトポスの射なので、 \((g^\sharp)_p\) は強 Hensel 局所環の間の局所環準同型である。 上の大きな可換図式に局所化を適用し、Algebra, 補題 04GX を用いると、望むとおり \((g^{-1}h_V)_p \to (h_{X \times_Y V})_p\) が同型であることが分かる。

同型 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) は関手的であると主張する。 実際、\(V_1 \to V_2\) が \(Y\) 上エタールなアフィン・スキームの射であるとする。 \(V_i = \Spec(C_i)\) と書き、 \[C_i = B[x_{i, 1}, \ldots, x_{i, n_i}]/(P_{i, 1}, \ldots, P_{i, n_i})\] とする。射 \(V_1 \to V_2\) は \(B\)-代数準同型 \(C_2 \to C_1\) によって与えられ、 後者はある多項式 \(Q_j \in B[x_{1, 1}, \ldots, x_{1, n_1}]\) （\(j = 1, \ldots, n_2\)）によって与えられる。 このとき、層の図式 \[\xymatrix{ h_{V_1} \ar[d] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_1} \mathcal{O}_Y \ar[d]^{Q_1, \ldots, Q_{n_2}}\\ h_{V_2} \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_2} \mathcal{O}_Y }\] が可換であることは容易に分かる。これを \(X_\etale\) へ引き戻すと、実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ g^{-1}h_{V_1} \ar@{..>}[dd] \ar[rrd] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_1} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[dd]^{g^\sharp} \ar[rrd]^{Q_1, \ldots, Q_{n_2}} \\ & & g^{-1}h_{V_2} \ar@{..>}[dd] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_2} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[dd]^{g^\sharp} \\ h_{X \times_Y V_1} \ar[r] \ar[rrd] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n_1} \mathcal{O}_X \ar[rrd]^{Q'_1, \ldots, Q'_{n_2}} \\ & & h_{X \times_Y V_2} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n_2} \mathcal{O}_X }\] を得る。ここで \(Q'_j \in A[x_{1, 1}, \ldots, x_{1, n_1}]\) は \(Q_j\) の、\(\varphi\) による像である。点線の射は存在して二つの正方形を可換にし、 横向きの射は単射なので、図式全体が可換である。これで関手性が示された。 （また、厳密には不要だが、\(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) の構成が 表示の選択に依存しないことも示される。）

ここで \(f_{small, *} \cong g_*\) を示せる。実際、\(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の層とする。任意のアフィンな \(V \in \Ob(X_\etale)\) に対して \[\begin{align*} (g_*\mathcal{F})(V) & = \Mor_{\Sh(Y_\etale)}(h_V, g_*\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\Sh(X_\etale)}(g^{-1}h_V, \mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\Sh(X_\etale)}(h_{X \times_Y V}, \mathcal{F}) \\ & = \mathcal{F}(X \times_Y V) \\ & = f_{small, *}\mathcal{F}(V) \end{align*}\] である。第三の等号では、上で構成した同型 \(g^{-1}h_V \cong h_{X \times_Y V}\) を用いた。この同型が関手的なので、 これらの同型は明らかに \(\mathcal{F}\) に関しても \(V\) に関しても関手的である。 \(g^{-1}h_V \cong h_{X \times_Y V}\) の関手性を用いた。ところで \(Y_\etale\) 上の 任意の層は、アフィン・スキームからなる部分圏への制限によって決まる （Topologies, 補題 04HR）。 したがって、望む関手の同型 \(f_{small, *} \cong g_*\) を得る。

最後に、上の同型 \(f_{small, *} \cong g_*\) を介して写像 \(f_{small}^\sharp\) と \(g^\sharp\) が一致することを確かめなければならない。 構成により、これは \(\mathcal{O}_Y\) の大域切断、すなわち \(B\) の元については すでに成り立つ。再び Topologies, 補題 04HR により、アフィン \(V\) 上の切断についてだけ 確かめればよい。このアフィン・スキームは \(Y\) 上エタールである。先と同様に \(V = \Spec(C)\), \(C = B[x_i]/(P_j)\) と書くと、座標関数 \(x_i\) が \(\mathcal{O}_X\) の同じ切断へ写ることを確認すれば十分である。これらは \(X \times_Y V\) 上の切断である。 そしてこれはまさに図式 \[\xymatrix{ g^{-1}h_V \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[d]^{\prod g^\sharp} \\ h_{X \times_Y V} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] が可換であることを意味する。よって補題が証明された。

一般のスキームに対する形は次のとおりである。

定理

\(X\), \(Y\) をスキームとし、局所環付きトポスの射 \[(g, g^\#) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] を与える。このとき、一意なスキームの射 \(f : X \to Y\) が存在して、 \((g, g^\#)\) は \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) と同型になる。 言い換えれば、構成 \[\Sch \longrightarrow \textit{局所環付きトポス}, \quad X \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] は忠実充満である（右辺では射を \(2\)-同型を除いて考える）。

証明

補題 04I6 の証明の議論を 大域的な状況に注意深く合わせれば、この定理を証明できる。しかしここでは、補題 04IJ の結果が与える剛性を用いて、先の補題の結果を貼り合わせ、 大域的な射を得る方法を示したい。残念ながら、議論はいささか煩雑である。

まず \(Y\) がアフィンの場合に存在を証明する。この場合、アフィン開被覆 \(X = \bigcup U_i\) を選ぶ。各 \(i\) に対して、包含射 \(j_i : U_i \to X\) は、補題 04I5 により局所環付きトポスの射 \((j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) : (\Sh(U_{i, \etale}), \mathcal{O}_{U_i}) \to (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\) を誘導する。これを \((g, g^\sharp)\) と合成して、局所環付きトポスの射 \[(g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) : (\Sh(U_{i, \etale}), \mathcal{O}_{U_i}) \to (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] を得る。Modules on Sites, 補題 04IG を参照せよ。補題 04I6 により、 一意なスキームの射 \(f_i : U_i \to Y\) と \(2\)-同型 \[t_i : (f_{i, small}, f_{i, small}^\sharp) \longrightarrow (g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp).\] \(U_{i, i'} = U_i \cap U_{i'}\) と置き、包含射を \(j_{i, i'} : U_{i, i'} \to U_i\) と書く。等式 \(j_i \circ j_{i, i'} = j_{i'} \circ j_{i', i}\) が成り立つので、 \[\begin{align*} (g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) \circ (j_{i, i', small}, j_{i, i', small}^\sharp) = \\ (g, g^\sharp) \circ (j_{i', small}, j_{i', small}^\sharp) \circ (j_{i', i, small}, j_{i', i, small}^\sharp) \end{align*}\] である。一意性（補題 04LW 参照）により、 \(f_i \circ j_{i, i'} = f_{i'} \circ j_{i', i}\) を得る。言い換えれば、 スキームの射 \(f_i = f \circ j_i\) は、大域的なスキームの射 \(f : X \to Y\) の制限である。次の \(2\)-同型の図式を考える （記法を簡単にするため、成分 \({}^\sharp\) を省略する）。 \[\xymatrix{ g \circ j_{i, small} \circ j_{i, i', small} \ar[rr]^{t_i \star \text{id}_{j_{i, i', small}}} \ar@{=}[d] & & f_{small} \circ j_{i, small} \circ j_{i, i', small} \ar@{=}[d] \\ g \circ j_{i', small} \circ j_{i', i, small} \ar[rr]^{t_{i'} \star \text{id}_{j_{i', i, small}}} & & f_{small} \circ j_{i', small} \circ j_{i', i, small} }\] 記号 \(\star\) は水平合成を表す。一般には Categories, 定義 003H を、本件については Sites, 節 04I9 を参照せよ。補題 04IJ により、この図式は可換である。したがって、任意の層 \(\mathcal{G}\) を取り、それが \(Y_\etale\) 上の層であるとすると、同型 \(t_i : f_{small}^{-1}\mathcal{G}|_{U_i} \to g^{-1}\mathcal{G}|_{U_i}\) は \(U_{i, i'}\) 上で一致し、大域的な同型 \(t : f_{small}^{-1}\mathcal{G} \to g^{-1}\mathcal{G}\) を得る。 この同型が \(\mathcal{G}\) に関して関手的であり、写像 \(f_{small}^\sharp\) および \(g^\sharp\) と両立することは明らかである（局所的にこれらの写像と両立するからである）。 これで \(Y\) がアフィンの場合に定理が証明された。

一般の場合、\(V \subset Y\) をアフィン開集合とする。このとき \(h_V\) は終対象の層 \(*\) の \(Y_\etale\) 上の部分層である。\(g\) は完全なので、\(g^{-1}h_V\) は \(X_\etale\) 上の終対象の層の部分層である。よって補題 04HV により、開部分スキーム \(W \subset X\) が存在して \(g^{-1}h_V = h_W\) となる。Modules on Sites, 補題 04IH により、 局所環付きトポスの射からなる可換図式 \[\xymatrix{ (\Sh(W_\etale), \mathcal{O}_W) \ar[r] \ar[d]_{g'} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^g \\ (\Sh(V_\etale), \mathcal{O}_V) \ar[r] & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) }\] が存在する。ここで横向きの射は局所化射であり（包含射 \(V \to Y\) および \(W \to X\) によって誘導される）、\(g'\) は \(g\) から誘導される。 前段落の結果により、スキームの射 \(f' : W \to V\) と \(2\)-同型 \(t : (f'_{small}, (f'_{small})^\sharp) \to (g', (g')^\sharp)\) を得る。 先とまったく同様に、これらの射 \(f'\) は（アフィン開集合 \(V \subset Y\) を動かすとき） 一意性により重なり上で一致するので、射 \(f : X \to Y\) を得る。さらに、補題 04IJ により \(2\)-同型 \(t\) も重なり上で両立し、大域的な \(2\)-同型 \((f_{small}, (f_{small})^\sharp) \to (g, (g)^\sharp)\) を得る。 これが望む結論である。いくつかの詳細は省略する。

押し出しと引き戻し

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとる。 以下では、次の条件を考える。

1. 任意のエタール射 \(U \to X\) と \(u \in U\) に対し、 エタール射 \(V \to Y\)、非交和分解 \(X \times_Y V = W \amalg W'\)、および射 \(h : W \to U\) が存在し、これは \(X\) 上の射であって、 \(u\) は \(h\) の像に含まれる。

2. 任意のエタール射 \(V \to Y\) と任意のエタール被覆 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) に対し、エタール被覆 \(\{V_j \to V\}\) が存在して、各 \(j\) について \(X \times_Y V_j = \coprod W_{ij}\) となり、\(W_{ij} \to X \times_Y V\) は \(U_i \to X \times_Y V\) を経由する（ある \(i\) について）。

3. 任意のエタール射 \(U \to X\) に対し、エタール射 \(V \to Y\) と全射 \(X \times_Y V \to U\) が存在し、後者は \(X\) 上の射である。

これらの各性質は、関手 \(f_{small, *}\) の振る舞いによって意味づけられることが分かる。 続く数節でこれを明らかにする。

性質 (A)

性質 (A) の定義については、節 04C6 を参照せよ。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとり、(A) を仮定する。

1. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) は単射と全射を反映する。

2. \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は任意のアーベル層 \(\mathcal{F}\) に対して \(X_\etale\) 上で全射である。

3. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) は忠実である。

証明

\(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上のアーベル層とする。 \(U\) を \(X_\etale\) の対象とする。仮定により、被覆 \(\{W_i \to U\}\) を \(X_\etale\) において選べる。ただし各 \(W_i\) は \(X \times_Y V_i\) の開かつ閉な部分スキームとなるものを選べる。ここで \(V_i\) は \(Y_\etale\) のある対象である。層の条件から \[\mathcal{F}(U) \subset \prod \mathcal{F}(W_i)\] が成り立ち、さらに \(\mathcal{F}(W_i)\) は \(\mathcal{F}(X \times_Y V_i) = f_{small, *}\mathcal{F}(V_i)\) の直和因子である。 したがって \(f_{small, *}\) が単射を反映することは明らかである。

次に、\(a : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) をアーベル層の射で、 \(f_{small, *}a\) が全射であるものとする。\(s \in \mathcal{F}(U)\) をとる。 ここで \(U\) は上のようなものとする。上の \(W_i\)、\(V_i\) を用いると、 \(s|_{W_i}\) がエタール局所的に \(\mathcal{G}\) の切断の \(a\) による像であることを 示せば十分である。\(\mathcal{F}(W_i)\) は \(\mathcal{F}(X \times_Y V_i)\) の直和因子だから、任意の \(V \in \Ob(Y_\etale)\) と任意の元 \(s \in \mathcal{F}(X \times_Y V)\) に対し、 \(X \times_Y V\) 上エタール局所的に、これが \(\mathcal{G}\) の切断の \(a\) による 像であることを示せば十分である。実際、 \(\mathcal{F}(X \times_Y V) = f_{small, *}\mathcal{F}(V)\) であり、仮定により被覆 \(\{V_j \to V\}\) が存在して、\(s\) は \(s_j \in f_{small, *}\mathcal{G}(V_j) = \mathcal{G}(X \times_Y V_j)\) の像となる。 これで \(f_{small, *}\) が全射を反映することが示された。

(2)、(3) は (1) から形式的に従う。Modules on Sites, 補題 04DA を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの分離かつ局所準有限な射とする。 このとき上の性質 (A) が成り立つ。

証明

\(U \to X\) をエタール射とし、\(u \in U\) とする。 幾何学的主張 (A) は、\(U\) と \(Y\) がアフィンスキームである場合に直ちに帰着する。 点 \(x \in X\)、\(y \in Y\) を \(u\) の像とする。\(X \to Y\) は局所準有限であり、 \(U \to X\) も局所準有限なので（Morphisms, 補題 03WS を参照）、 \(U \to Y\) は局所準有限である（Morphisms, 補題 01TL を参照）。 さらに \(X \to Y\) と \(U \to Y\) はいずれも分離である。したがって More on Morphisms, 補題 02LO を両方の射に適用できる。よって、次を満たすエタール近傍 \((V, v) \to (Y, y)\) を選べる。 \[X \times_Y V = W \amalg R, \quad U \times_Y V = W' \amalg R'\] さらに点 \(w \in W\)、\(w' \in W'\) が存在して、次が成り立つ。

1. \(W\)、\(R\) は \(X \times_Y V\) の開かつ閉な部分スキームである。

2. \(W'\)、\(R'\) は \(U \times_Y V\) の開かつ閉な部分スキームである。

3. \(W \to V\) と \(W' \to V\) は有限である。

4. \(w\)、\(w'\) は \(v\) に写る。

5. \(\kappa(v) \subset \kappa(w)\) と \(\kappa(v) \subset \kappa(w')\) は純非分離である。

6. \(W\) または \(W'\) の他の点は \(v\) に写らない。

次の可換図式を得る。 \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_Y V \ar[l] \ar[d] & W' \amalg R' \ar[d] \ar[l] \\ X \ar[d] & X \times_Y V \ar[l] \ar[d] & W \amalg R \ar[l] \\ Y & V \ar[l] }\] \(V\) を縮小することにより、\(W'\) が \(W\) に写ると仮定できる。 実際、\(R\) の \(W'\) における逆像の像を取り除けばよい。これは \(W' \to V\) が有限であるため閉集合であり、\(v\) を含まない。 このとき、\(W' \to W\) は有限である。なぜなら \(W \to V\) と \(W' \to V\) がともに有限だからである。 したがって \(W' \to W\) は有限エタールであり、\(w\) 上のファイバーには \(\kappa(w) = \kappa(w')\) を満たす点がちょうど一つある。ゆえに \(W' \to W\) は、 ある開近傍 \(W^\circ\)（\(w\) を含む）上で同型である。Étale Morphisms, 補題 04DH を参照せよ。 \(W \to V\) は有限なので、\(W \setminus W^\circ\) の像は閉部分集合 \(T\) であり、これは \(V\) の部分集合で \(v\) を含まない。したがって \(V\) を \(V \setminus T\) で置き換えると、\(W' \to W\) が同型であると仮定できる。 これで分解 \(X \times_Y V = W \amalg R\) と射 \(W \to U\) は所望の性質をもち、結論を得る。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの整射とする。このとき性質 (A) が成り立つ。

証明

\(U \to X\) をエタール射とし、\(u \in U\) を点とする。 エタール射 \(V \to Y\)、非交和分解 \(X \times_Y V = W \amalg W'\)、および \(X\)-射 \(W \to U\) であって、 \(u\) がその像に含まれるものを見つければよい。 \(U\) と \(Y\) を縮小して、\(U\) と \(Y\) がアフィンであると仮定してよい。 この場合、整射は定義によりアフィンなので、\(X\) もアフィンである。 \(Y = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)、\(U = \Spec(C)\) と書く。このとき \(A \to B\) は整環準同型であり、\(B \to C\) はエタール環準同型である。 Algebra, 補題 00U2 により、有限 \(A\)-部分代数 \(B' \subset B\) とエタール環準同型 \(B' \to C'\) であって \(C = B \otimes_{B'} C'\) を満たすものが存在する。したがって問題は、エタール射 \(U' = \Spec(C') \to X' = \Spec(B')\) と有限射 \(X' \to Y\) の場合に帰着する。この場合、結論は 補題 04DL から従う。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) に付随する小エタールトポスの射を \(f_{small} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) と書く。次の少なくとも一方を仮定する。

1. \(f\) は整射である。

2. \(f\) は分離かつ局所準有限である。

このとき関手 \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) は次の性質をもつ。

1. 射 \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は常に全射である。

2. \(f_{small, *}\) は忠実である。

3. \(f_{small, *}\) は単射と全射を反映する。

証明

補題 04DL、 04DM、および 04DK を組み合わせればよい。

性質 (B)

性質 (B) の定義については、節 04C6 を参照せよ。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) に対して (B) が成り立つと仮定する。このとき関手 \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) は全射を全射に送る。

証明

これは Sites, 補題 04D7 から従う。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとり、次を仮定する。

1. \(V \to Y\) はスキームのエタール射である。

2. \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) はエタール被覆である。

3. \(v \in V\) は点である。

このような任意のデータに対し、エタール近傍 \((V', v') \to (V, v)\)、非交和分解 \(X \times_Y V' = \coprod W'_i\)、および射 \(W'_i \to U_i\) であって \(X \times_Y V\) 上のものが存在すると仮定する。このとき性質 (B) が成り立つ。

証明

省略する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限射とする。このとき性質 (B) が成り立つ。

証明

エタール射 \(V \to Y\)、エタール被覆 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)、および 点 \(v \in V\) を考える。補題 04DP にあるような \(V' \to V\)、分解、および射を見つけなければならない。 \(V\) と \(Y\) を縮小できるので、\(V\) と \(Y\) がアフィンであると仮定してよい。 \(X\) は \(Y\) 上有限だから、\(X\) もアフィンである。 証明の途中で（有限回）、\((V, v)\) をエタール近傍 \((V', v')\) で置き換え、それに応じて被覆 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) を \(\{V' \times_V U_i \to X \times_Y V'\}\) で 置き換えてよい。

\(X \times_Y V \to V\) は有限なので、相異なる点 \(x_1, \ldots, x_n \in X \times_Y V\) は有限個であり、これらは \(v\) に写る。 More on Morphisms, 補題 02LO を \(X \times_Y V \to V\) と、点 \(x_1, \ldots, x_n\)（\(v\) 上にある）に適用すると、 エタール近傍 \((V', v') \to (V, v)\) であって次を満たすものが得られる。 \[X \times_Y V' = R \amalg \coprod T_a\] ここで \(T_a \to V'\) は有限で、ちょうど一つの点 \(p_a\) をもち、これは \(v'\) 上にあり、 \(\kappa(v') \subset \kappa(p_a)\) は純非分離であり、さらに \(R \to V'\) の \(v'\) 上のファイバーは空である。 \(X \to Y\) は有限なので、\(R \to V'\) も有限である。したがって \(V'\) を縮小して \(R = \emptyset\) と仮定できる。ゆえに \(X \times_Y V = X_1 \amalg \ldots \amalg X_n\) と仮定でき、点 \(x_l \in X_l\) は \(v\) 上にちょうど一つで、さらに \(\kappa(v) \subset \kappa(x_l)\) は純非分離である。この性質はエタール近傍 \((V, v)\) を細分しても保たれることに注意する。

各 \(l\) に対して \(i_l\) と点 \(u_l \in U_{i_l}\) を選び、後者が \(x_l\) に写るようにする。 次に、有限射 \(X \times_Y V \to V\)、エタール射 \(U_{i_l} \to X \times_Y V\)、および点 \(u_l\) に性質 (A) を適用する。 これは補題 04DM により許される。 その結果、エタール近傍 \((V', v') \to (V, v)\) と分解 \[X \times_Y V' = W_l \amalg R_l\] および \(X\)-射 \(a_l : W_l \to U_{i_l}\) であって、その像が \(u_{i_l}\) を含むものを得る。 図式で表すと次のようになる。 \[\xymatrix{ & & & U_{i_l} \ar[d] & \\ W_l \ar[rrru] \ar[r] & W_l \amalg R_l \ar@{=}[r] & X \times_Y V' \ar[r] \ar[d] & X \times_Y V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & & V' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] \((V, v)\) を \((V', v')\) で置き換えると、各 \(x_l\) は開かつ閉な近傍 \(W_l\) に含まれ、包含射 \(W_l \to X \times_Y V\) は \(U_i \to X \times_Y V\) を経由する（ある \(i\) について）。\(W_l\) を \(W_l \cap X_l\) で置き換えると、 これらの開かつ閉な集合は互いに素であり、さらに \(\{x_1, \ldots, x_n\} \subset W_1 \cup \ldots \cup W_n\) となることが分かる。 \(X \times_Y V \to V\) は有限なので、\(V\) を縮小して、所望のとおり \(X \times_Y V = W_1 \amalg \ldots \amalg W_n\) と仮定できる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの整射とする。このとき性質 (B) が成り立つ。

証明

エタール射 \(V \to Y\)、エタール被覆 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)、および 点 \(v \in V\) を考える。補題 04DP にあるような \(V' \to V\)、分解、および射を見つけなければならない。 \(V\) と \(Y\) を縮小できるので、\(V\) と \(Y\) がアフィンであると仮定してよい。 \(X\) は \(Y\) 上整なので、\(X\) と \(X \times_Y V\) もアフィンである。 被覆 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) を細分できるので、 \(\{U_i \to X \times_Y V\}_{i = 1, \ldots, n}\) が標準エタール被覆であると 仮定してよい。\(Y = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)、 \(V = \Spec(C)\)、\(U_i = \Spec(B_i)\) と書く。このとき \(A \to B\) は 整環準同型であり、\(B \otimes_A C \to B_i\) はエタール環準同型である。 Algebra, 補題 00U2 により、有限 \(A\)-部分代数 \(B' \subset B\) とエタール環準同型 \(B' \otimes_A C \to B'_i\) （各 \(i = 1, \ldots, n\) に対するもの）であって、\(B_i = B \otimes_{B'} B'_i\) を 満たすものが存在する。したがって問題はエタール被覆 \(\{\Spec(B'_i) \to X' \times_Y V\}_{i = 1, \ldots, n}\) の場合に帰着する。ここで \(X' = \Spec(B')\) は \(Y\) 上有限である。 この場合、結論は補題 04DQ から従う。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとる。\(f\) は整射（たとえば有限射）であると 仮定する。このとき次が成り立つ。

1. \(f_{small, *}\) は全射を全射に送る（集合の層とアーベル層のいずれについても）。

2. \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は任意のアーベル層 \(\mathcal{F}\) に対して \(X_\etale\) 上で全射である。

3. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) は忠実であり、単射と全射を反映する。

4. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) は完全である。

証明

(2)、(3) は補題 04C9 ですでに示した。 (1) は補題 04DR と 04DO から従う。 (4) は (1) の帰結である。Modules on Sites, 補題 04DB を参照せよ。

性質 (C)

性質 (C) の定義については、節 04C6 を参照せよ。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) に対して (C) が成り立つと仮定する。このとき関手 \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) は単射と全射を反映する。

証明

Sites, 補題 04D9 から従う。 性質 (C) により関手 \(Y_\etale \to X_\etale\)、\(V \mapsto X \times_Y V\) が Sites, 補題 04D9 の仮定を満たすことの確認は省略する。

注意

\(f : X \to Y\) が開埋め込みならば性質 (C) が成り立つ。実際、 \(U \in \Ob(X_\etale)\) ならば \(U\) を \(Y_\etale\) の対象ともみなすことができ、 \(U \times_Y X = U\) である。したがって性質 (C) から \(f_{small, *}\) の完全性は従わない。一般に開埋め込みについてこれは成り立たないからである。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとる。任意のエタール射 \(V \to Y\) に対し、 次が成り立つと仮定する。

1. \(X \times_Y V \to V\) は性質 (C) をもつ。

2. \(X \times_Y V \to V\) は閉射である。

このとき関手 \(Y_\etale \to X_\etale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) はほぼ余連続である。Sites, 定義 04B7 を参照せよ。

証明

\(V \to Y\) を \(Y_\etale\) の対象とし、 \(\{U_i \to X \times_Y V\}_{i \in I}\) を \(X_\etale\) の被覆とする。 仮定 (1) により、各 \(i\) に対してエタール射 \(h_i : V_i \to V\) と全射 \(X \times_Y V_i \to U_i\) であって \(X \times_Y V\) 上のものを選べる。 \(\bigcup h_i(V_i) \subset V\) は、閉集合 \(Z = \Im(X \times_Y V \to V)\) を含む開集合であることに注意する。 \(h_0 : V_0 = V \setminus Z \to V\) を開埋め込みとする。 \(\{V_i \to V\}_{i \in I \cup \{0\}}\) がエタール被覆であって、各 \(i \in I \cup \{0\}\) に対して次のいずれかが成り立つことは明らかである。 \(V_i \times_Y X = \emptyset\)（すなわち \(i = 0\)）であるか、または \(V_i \times_Y X \to V \times_Y X\) が \(U_i \to X \times_Y V\) を経由する （\(i \not = 0\)）。したがって関手 \(Y_\etale \to X_\etale\) はほぼ余連続である。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの整射で、\(X\) から \(Y\) の閉部分集合への 同相写像を定めるものとする。このとき性質 (C) が成り立つ。

証明

\(g : U \to X\) をエタール射とする。対象 \(V \to Y\)（\(Y_\etale\) のもの）と、 全射 \(X \times_Y V \to U\) であって \(X\) 上のものを見つけなければならない。 任意の \(u \in U\) に対し、対象 \(V_u \to Y\)（\(Y_\etale\) のもの）と射 \(h_u : X \times_Y V_u \to U\) であって、\(X\) 上のもので \(u \in \Im(h_u)\) を満たすものが存在すると仮定する。このとき \(V = \coprod V_u\) および \(h = \coprod h_u\) ととればよく、結論を得る。 したがって、点 \(u \in U\) が与えられたとき、上のような組 \((V_u, h_u)\) を見つければよい。そのために \(U\) を縮小し、\(U\) が アフィンであると仮定してよい。この場合 \(g : U \to X\) は局所準有限である。 \(g^{-1}(g(\{u\})) = \{u, u_2, \ldots, u_n\}\) とおく。特殊化 \(u_i \leadsto u\) は存在しないので、\(U\) をアフィン近傍で置き換えて \(g^{-1}(g(\{u\})) = \{u\}\) とできる。

像 \(g(U) \subset X\) は開であるから、\(f(g(U))\) は \(Y\) の局所閉部分集合である。 開集合 \(V \subset Y\) を \(f(g(U)) = f(X) \cap V\) となるように選ぶ。このとき \(g\) は \(X \times_Y V\) を経由し、得られる \(\{U \to X \times_Y V\}\) はエタール被覆である。 \(f\) は性質 (B) をもつので（補題 04DR を参照）、 エタール被覆 \(\{V_j \to V\}\) であって、射 \(X \times_Y V_j \to X \times_Y V\) が \(U\) を経由するものが存在する。 したがって \(V' = \coprod V_j\) は \(Y\) 上エタールであり、射 \(h : X \times_Y V' \to U\) であって、その像が \(g(U)\) 上へ全射となるものが存在する。 \(u\) はそのファイバーにおける唯一の点なので、\(h\) の像に含まれ、結論を得る。

次の補題を、整かつ普遍的単射な射に対する \(f_{small, *}\) についての 究極の真理へ向かう旅の中継地点³と考えてほしい。

補題

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとる。\(f\) は普遍的単射かつ整である （たとえば閉埋め込みである）と仮定する。このとき次が成り立つ。

1. \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) は単射と全射を反映する。

2. \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) は押し出しおよび余等化子（より一般には有限連結余極限）と可換である。

3. \(f_{small, *}\) は全射を全射に送る（集合の層とアーベル層のいずれについても）。

4. 射 \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は任意の層（集合の層またはアーベル群の層）\(\mathcal{F}\) に対して \(X_\etale\) 上で全射である。

5. 関手 \(f_{small, *}\) は忠実である（集合の層とアーベル層のいずれについても）。

6. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) は完全である。

7. 関手 \(Y_\etale \to X_\etale\)、\(V \mapsto X \times_Y V\) は ほぼ余連続である。

証明

補題 04DM、 04DR、および 04DW により、射 \(f\) は性質 (A)、(B)、(C) をもつ。さらに補題 04DV により、関手 \(Y_\etale \to X_\etale\) はほぼ余連続である。ここで次が成り立つ。

1. 性質 (C) から (1) が従う。補題 04DT を参照せよ。

2. ほぼ余連続であることから (2) が従う。Sites, 補題 04BA を参照せよ。

3. 性質 (B) から (3) が従う。補題 04DO を参照せよ。

性質 (4)、(5)、(6) は最初の三つから形式的に従う。Sites, 補題 04D6 および Modules on Sites, 補題 04DB を参照せよ。性質 (7) は上で示した。

小エタールサイトの位相不変性

次の定理では、小エタールサイトが次の意味で位相不変であることを示す。 スキームの射 \(f : X \to Y\) が普遍同相写像ならば、サイトとして \(X_\etale \cong Y_\etale\) である。これは Étale Morphisms, 定理 039R の結果を強めるものである。 まず射について結果を証明し、その後で圏について結果を述べる。

定理

\(X\) と \(Y\) を基礎スキーム \(S\) 上の二つのスキームとする。 \(S' \to S\) を普遍同相写像とし、\(X'\)（それぞれ \(Y'\)）を \(S'\) への基底変換と書く。\(X\) が \(S\) 上エタールならば、写像 \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_{S'}(Y', X')\] は全単射である。

証明

\(Y \to S\) による基底変換の後、\(Y = S\) と仮定してよい。 したがって \(X\) と \(Y\) はともに \(S\) 上エタールであると仮定する。 言い換えれば、定理は、\(S\) 上エタールなスキームの圏から \(S'\) 上エタールなスキームの圏への基底変換関手が忠実充満であると主張している。

忘却関手 [0BTZ]\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{降下データ }(X', \varphi')\text{（}S'/S\text{ に関する）} \\ \text{ただし }X'\text{ は }S'\text{ 上エタール} \end{matrix} \longrightarrow \text{スキーム }X'\text{（}S'\text{ 上エタール）} \end{equation}\] を考える。この関手は圏同値であると主張する。一方、関手 [0BU0]\[\begin{equation} \text{スキーム }X\text{（}S\text{ 上エタール）} \longrightarrow \begin{matrix} \text{降下データ }(X', \varphi')\text{（}S'/S\text{ に関する）} \\ \text{ただし }X'\text{ は }S'\text{ 上エタール} \end{matrix} \end{equation}\] は Étale Morphisms, 補題 0BTL により 忠実充満である。したがって主張から定理が従う。

主張を証明する。普遍同相写像は、整かつ普遍的単射かつ全射な射と 同じものであることを思い出そう。Morphisms, 補題 04DF を参照せよ。 とくに、Morphisms, 補題 01S4 により 対角射 \(\Delta : S' \to S' \times_S S'\) は肥厚である。 したがって Étale Morphisms, 定理 025H により、 エタール射 \(X' \to S'\) が与えられると、一意な同型 \[\varphi' : X' \times_S S' \to S' \times_S X'\] が存在する。これは \(S' \times_S S'\) 上エタールなスキームの同型で、 \(\Delta\) により引き戻すと \(\text{id} : X' \to X'\) となり、これは \(S'\) 上の射である。 \(S' \to S' \times_S S' \times_S S'\) も肥厚である （全単射かつ閉埋め込みである）から、\((X', \varphi')\) は \(S'/S\) に関する降下データである。\(\varphi'\) の構成が標準的であることから、 これは \(S'\) 上エタールなスキーム間の射と両立する。 言い換えれば、関手 (0BTZ) の準逆 \(X' \mapsto (X', \varphi')\) を得る。これで主張、したがって定理が証明された。

定理

スキームの射 \(f : X \to Y\) をとる。\(f\) は整かつ普遍的単射かつ全射であると 仮定する（すなわち \(f\) は普遍同相写像である。Morphisms, 補題 04DF を参照せよ）。関手 \[V \longmapsto V_X = X \times_Y V\] は次の圏同値を定める。 \[\{ \text{スキーム }V\text{（}Y\text{ 上エタール）} \} \leftrightarrow \{ \text{スキーム }U\text{（}X\text{ 上エタール）} \}\]

二つの証明を与える。第一の証明は、全射整射に関する準コンパクト・分離・ エタール射の降下の有効性を用いる。第二の証明は、本章で先に論じた 性質 (A)、(B)、(C) に関する結果を用いる。

証明

定理 0BTY により、この関手は忠実充満である。 あとは本質的全射であることを示せばよい。 \(U \to X\) をスキームのエタール射とする。

\(U\) と \(Y\) がアフィンならば結果が成り立つと仮定する。この場合、アフィン開被覆 \(U = \bigcup U_i\) を選び、各 \(U_i\) が \(Y\) のあるアフィン開集合へ写るようにする。 アフィンの場合の仮定により、エタール射 \(V_i \to Y\) であって \(X \times_Y V_i \cong U_i\) が \(X\) 上のスキームとして成り立つものを選べる。 \(V_{i, i'} \subset V_i\) を、その台位相空間が \(U_i \cap U_{i'}\) に対応する 開部分スキームとする。同型 \[X \times_Y V_{i, i'} \cong U_i \cap U_{i'} \cong X \times_Y V_{i', i}\] が \(X\) 上のスキームとして存在するので、忠実充満性により同型 \(\theta_{i, i'} : V_{i, i'} \to V_{i', i}\) を得る。これは \(Y\) 上の スキームの同型である。これらの同型が Schemes, 節 01JA のコサイクル条件を満たすことの 確認は省略する。Schemes, 補題 01JC を適用し、 スキーム \(V \to Y\) を、スキーム \(V_i\) を同一視 \(\theta_{i, i'}\) に沿って 貼り合わせることで得る。構成により \(V \to Y\) がエタールで、 \(X \times_Y V \cong U\) となることは明らかである。

したがって \(U\) と \(Y\) がアフィンの場合に補題を示せば十分である。 定理 0BTY の証明で、\(U\) には一意な降下データ \((U, \varphi)\)（\(X/Y\) に関するもの）が付随することを示した。Étale Morphisms, 命題 0BTP を適用できる （アフィンの場合への帰着により \(U \to X\) はエタールであるだけでなく 準コンパクトかつ分離でもある）。したがってエタール射 \(V \to Y\) が存在し、 \(X \times_Y V \cong U\) となる。これで証明は完了した。

証明

定理 0BTY により、この関手は忠実充満である。 あとは本質的全射であることを示せばよい。 \(U \to X\) をスキームのエタール射とする。

\(U\) と \(Y\) がアフィンならば結果が成り立つと仮定する。この場合、アフィン開被覆 \(U = \bigcup U_i\) を選び、各 \(U_i\) が \(Y\) のあるアフィン開集合へ写るようにする。 アフィンの場合の仮定により、エタール射 \(V_i \to Y\) であって \(X \times_Y V_i \cong U_i\) が \(X\) 上のスキームとして成り立つものを選べる。 \(V_{i, i'} \subset V_i\) を、その台位相空間が \(U_i \cap U_{i'}\) に対応する 開部分スキームとする。同型 \[X \times_Y V_{i, i'} \cong U_i \cap U_{i'} \cong X \times_Y V_{i', i}\] が \(X\) 上のスキームとして存在するので、忠実充満性により同型 \(\theta_{i, i'} : V_{i, i'} \to V_{i', i}\) を得る。これは \(Y\) 上の スキームの同型である。これらの同型が Schemes, 節 01JA のコサイクル条件を満たすことの確認は省略する。 Schemes, 補題 01JC を適用し、スキーム \(V \to Y\) を、スキーム \(V_i\) を同一視 \(\theta_{i, i'}\) に沿って貼り合わせることで得る。 構成により \(V \to Y\) がエタールで、\(X \times_Y V \cong U\) となることは明らかである。

したがって、関手 [04E0]\[\begin{equation} \{ \text{アフィンスキーム }V\text{（}Y\text{ 上エタール）} \} \leftrightarrow \{ \text{アフィンスキーム }U\text{（}X\text{ 上エタール）} \} \end{equation}\] が、\(X\) と \(Y\) がアフィンの場合に本質的全射であることを示せば十分である。

\(U \to X\) を \(X\) 上エタールなアフィンスキームとする。 エタール（かつアフィン）射 \(V \to Y\) であって、 \(X \times_Y V\) が \(U\) と \(X\) 上で同型になるものを見つけなければならない。 アフィン間のエタール射のファイバーは普遍的に有界であることに注意する。 Morphisms, 補題 03WS および 03JA を参照せよ。 したがって、整数 \(n\)（\(U \to X\) のファイバーの次数を抑えるもの）に関して帰納法を使える。 エタール射の場合のこの整数の記述については Morphisms, 補題 03WU を参照せよ。 \(n = 1\) ならば \(U \to X\) は開埋め込みであり（Étale Morphisms, 定理 025G を参照）、結論は明らかである。 \(n > 1\) と仮定する。

補題 04DW により、スキームのエタール射 \(W \to Y\) と全射 \(W_X \to U\) であって \(X\) 上のものが存在する。 \(U\) は準コンパクトなので、\(W\) を \(W\) の有限個のアフィン開集合の 非交和で置き換え、\(W\) もアフィンであると仮定してよい。次の図式を得る。 \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_Y W \ar[l] \ar[d] & W_X \amalg R \ar@{=}[l]\\ X \ar[d] & W_X \ar[l] \ar[d] \\ Y & W \ar[l] }\] この非交和分解が生じるのは、構成によりアフィンスキームのエタール射 \(U \times_Y W \to W_X\) が切断をもつからである。ここで射 \(R \to X \times_Y W\) はアフィンスキームのエタール射であり、そのファイバーの 次数は \(n - 1\) で普遍的に抑えられる。したがって帰納法の仮定により、 エタールなスキーム \(V' \to W\) であって \(R \cong W_X \times_W V'\) を満たすものが存在する。 \(V'' = W \amalg V'\) とおくと、スキーム \(V''\)（\(W\) 上エタール）であって、 \(W_X\) への基底変換が \(U \times_Y W\) と \(X \times_Y W\) 上で同型になるものを得る。

ここで降下を用いると、\(V\) を \(Y\) 上に得ることができ、その \(X\) への基底変換は \(U\) と \(X\) 上で同型になる。実際、普遍同相写像 \(X \times_Y (W \times_Y W) \to (W \times_Y W)\) に対応する関手 (04E0) の忠実充満性により、一意な同型 \(\varphi : V'' \times_Y W \to W \times_Y V''\) が存在する。その \(X \times_Y (W \times_Y W)\) への基底変換は、\(U \times_Y W\) に対する 標準的な降下データ（\(X \times_Y W\) 上のもの）である。とくに \(\varphi\) は コサイクル条件を満たす。したがって Descent, 補題 0245 により \(\varphi\) は有効である （上のすべてのスキームがアフィンであることを思い出そう）。 よって \(V \to Y\) と同型 \(V'' \cong W \times_Y V\) を得て、 \(W \times_Y V/W/Y\) 上の標準的な降下データは \(\varphi\) と一致する。 Descent, 補題 02VN により \(V \to Y\) はエタールであることに注意する。さらに、同型 \(V_X \cong U\) が存在し、これは次の同型を降下して得られる。 \[V_X \times_X W_X = X \times_Y V \times_Y W = (X \times_Y W) \times_W (W \times_Y V) \cong W_X \times_W V'' \cong U \times_Y W\] これは構成により存在する。いくつかの詳細は省略する。

注意

定理 04DZ の状況では、\(V \mapsto V_X\) が、 エタール射 \(V \to Y\)（\(V\) がアフィンであるもの）と、エタール射 \(U \to X\)（\(U\) がアフィンであるもの）の間の圏同値を誘導することも成り立つ。これはたとえば Limits, 命題 05YU から従う。

命題

\(X_0 \to X\) をスキームの普遍同相写像とする （たとえば冪零イデアル層が定める閉埋め込み）。このとき次が成り立つ。

1. エタールサイト \(X_\etale\) と \((X_0)_\etale\) は同型である。

2. エタールトポス \(\Sh(X_\etale)\) と \(\Sh((X_0)_\etale)\) は同値である。

3. \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}) = H^q_\etale(X_0, \mathcal{F}|_{X_0})\) がすべての \(q\) と任意のアーベル層 \(\mathcal{F}\) に対して \(X_\etale\) 上で成り立つ。

証明

圏同値 \(X_\etale \to (X_0)_\etale\) は定理 04DZ によって与えられる。この同値のもとで エタール被覆が対応することの証明は省略する。したがって (1) が成り立ち、 (2) と (3) は (1) から形式的に従う。

閉埋め込みと順像

命題 04CA を正しい一般性のもとで 述べて証明する前に、まず閉埋め込みの場合について簡潔に述べ、証明する。 実際、これまでの議論のいくつかは閉埋め込みの場合にはかなり追いやすくなるので、 ここでは簡略化した形でそれらを繰り返す。

この節の以下では、\(i : Z \to X\) を閉埋め込みとする。関手 \[\Sch/X \longrightarrow \Sch/Z, \quad U \longmapsto U_Z = Z \times_X U\] を、表示のとおり \(U \mapsto U_Z\) と書く。閉埋め込みであることは任意の基底変換で 保たれるため、スキーム \(U_Z\) は \(U\) の閉部分スキームである。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(U, U'\) を \(X\) 上エタールなスキームとし、\(h : U_Z \to U'_Z\) を \(Z\) 上の射とする。このとき図式 \[\xymatrix{ U & W \ar[l]_a \ar[r]^b & U' }\] が \(X_\etale\) に存在し、\(a_Z : W_Z \to U_Z\) は同型であり、 \(h = b_Z \circ (a_Z)^{-1}\) である。

証明

スキーム \(M = U \times_X U'\) を考える。部分集合 \(\Gamma_h \subset M_Z\) は \(h\) のグラフであり、開である。たとえば、\(\Gamma_h\) はエタール射 \(\text{pr}_{1, Z} : M_Z \to U_Z\) の切断の像だからである。 エタール射、命題 024T を参照されたい。 したがって、開部分スキーム \(W \subset M\) が存在して、閉部分集合 \(M_Z\) との交わりは \(\Gamma_h\) である。\(a = \text{pr}_1|_W\) および \(b = \text{pr}_2|_W\) とおく。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの閉埋め込みとし、 \(V \to Z\) をスキームのエタール射とする。このとき、エタール射 \(U_i \to X\) と射 \(U_{i, Z} \to V\) が存在して、 \(\{U_{i, Z} \to V\}\) は \(V\) のザリスキー被覆となる。

証明

\(V\) のザリスキー被覆であって、\(U_Z\) の形のスキームからなるものを 見つければよい（ここで \(U\) は \(X\) 上エタール）ので、\(X\) と \(V\) 上で ザリスキー局所化してよい。 したがって、\(X\) と \(V\) はアフィンであると仮定できる。アフィンの場合、これは 代数、補題 04D1 である。

\(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) が \(X\) の幾何学的点ならば、 \(\overline{x}\) は閉部分スキーム \(Z\) を（ただ一通りに）経由するか、または \(Z_{\overline{x}} = \emptyset\) である。\(\overline{x}\) が \(Z\) を経由するとき、 \(\overline{x}\) は実際に \(Z\) の幾何学的点なので、そのように呼び、これを表すために 記法「\(\overline{x} \in Z\)」を用いる。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(\mathcal{G}\) を \(Z_\etale\) 上の集合の層とし、 \(\overline{x}\) を \(X\) の幾何学的点とする。このとき \[(i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \left\{ \begin{matrix} * & \text{if} & \overline{x} \not \in Z \\ \mathcal{G}_{\overline{x}} & \text{if} & \overline{x} \in Z \end{matrix} \right.\] である。ここで \(*\) は一元集合を表す。

証明

\(U = X \setminus Z\) とおく。 \(i_{small, *}\mathcal{G}|_{U_\etale} = *\) は \(U\) 上のエタール層の圏における 終対象、すなわち \(U\) 上エタールな各スキームに一元集合を対応させる層であることに 注意する。これは \((i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}}\) の値を、 \(\overline{x} \not \in Z\) の場合について説明する。

次に、\(\overline{x} \in Z\) と仮定する。このとき \[(i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{G}(U_Z)\] であり、その一方で \[\mathcal{G}_{\overline{x}} = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}(V).\] \(\mathcal{C}_1 = \{(U, \overline{u})\}^{opp}\) を \(\overline{x}\) の \(X\) におけるエタール近傍の圏の反対圏とし、 \(\mathcal{C}_2 = \{(V, \overline{v})\}^{opp}\) を \(\overline{x}\) の \(Z\) におけるエタール近傍の圏の反対圏とする。標準射 \[\mathcal{G}_{\overline{x}} \longrightarrow (i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}}\] は関手 \(F : \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\)、 \(F(U, \overline{u}) = (U_Z, \overline{x})\) に対応する。ここで補題 04FW および 04FV から、\(\mathcal{C}_1\) は \(\mathcal{C}_2\) において共終である。 圏、定義 04E6 を参照されたい。 したがって、表示された矢印は同型である。 圏、補題 04E7 を参照されたい。

命題

\(i : Z \to X\) をスキームの閉埋め込みとする。

1. 関手 \[i_{small, *} : \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] は忠実充満であり、その本質的像は、集合の層 \(\mathcal{F}\) であって \(X_\etale\) 上にあり、\(X \setminus Z\) への制限が \(*\) と同型であるものからなる。

2. 関手 \[i_{small, *} : \textit{Ab}(Z_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] は忠実充満であり、その本質的像は、\(X_\etale\) 上のアーベル層であって、 台が \(Z\) に含まれるものからなる。

いずれの場合にも、\(i_{small}^{-1}\) は関手 \(i_{small, *}\) の左逆である。

証明

集合の層の場合を論じる。任意の層 \(\mathcal{G}\) で \(Z\) 上のものに対して、射 \(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) は補題 04FX （および定理 03PU）により同型である。 これから形式的に \(i_{small, *}\) は忠実充満であることが従う。 サイト、補題 04D6 を参照されたい。 \(i_{small, *}\mathcal{G}|_{U_\etale} \cong *\) であることは明らかである。 ここで \(U = X \setminus Z\) とおいた。逆に、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の集合の層で、 \(\mathcal{F}|_{U_\etale} \cong *\) を満たすものと仮定する。随伴射 \[\mathcal{F} \longrightarrow i_{small, *}i_{small}^{-1}\mathcal{F}\] を考える。補題 04FX と 03Q1 をあわせると、これは同型であることがわかる。これで (1) の証明が完了する。 (2) の証明も同一である。

整かつ普遍的単射な射

ここで命題 04CA の一般形を与える。

命題

\(f : X \to Y\) を整かつ普遍的単射なスキームの射とする。

1. 関手 \[f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] は忠実充満であり、その本質的像は、集合の層 \(\mathcal{F}\) であって \(Y_\etale\) 上にあり、\(Y \setminus f(X)\) への制限が \(*\) と同型であるものからなる。

2. 関手 \[f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] は忠実充満であり、その本質的像は、\(Y_\etale\) 上のアーベル層であって、 台が \(f(X)\) に含まれるものからなる。

いずれの場合にも、\(f_{small}^{-1}\) は関手 \(f_{small, *}\) の左逆である。

証明

\(f\) を \[\xymatrix{ X \ar[r]^h & Z \ar[r]^i & Y }\] と分解してよい。ここで \(h\) は整、普遍的単射かつ全射であり、 \(i : Z \to Y\) は閉埋め込みである。 命題 04CA を \(i\) に適用し、 定理 04DZ を \(h\) に適用する。

大サイトと順像

この節では、特定の種類のスキームの射に対する \(f_{big, *}\) について、 いくつかの技術的結果を証明する。

補題

\(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) とする。 \(f : X \to Y\) をスキームの単射とする。このとき標準射 \(f_{big}^{-1}f_{big, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は、任意の層 \(\mathcal{F}\) で \((\Sch/X)_\tau\) 上のものに対して同型である。

証明

この場合、関手 \((\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) は連続、余連続かつ 忠実充満である。したがって、結果はサイト、補題 00XT から従う。

注意

補題 04C7 の状況では、標準射 \(\mathcal{F} \to f_{big}^{-1}f_{big!}\mathcal{F}\) は、任意の集合の層 \(\mathcal{F}\) で \((\Sch/X)_\tau\) 上のものに対して同型である。 証明は同じである。これはアーベル群の層についても成り立つ。ただし、 アーベル群の層に対する関手 \(f_{big!}\) はサイト上の加群、節 04BE で定義され、一般には 集合の層に対する \(f_{big!}\) と異なることに注意する。アーベル群の層に対する結果は、 サイト上の加群、補題 077I から従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(U \to X\) をシントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な射とする。 このとき、シントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な射 \(V_i \to Y\) と射 \(V_i \times_Y X \to U\) が存在して、 \(\{V_i \times_Y X \to U\}\) は \(U\) のザリスキー被覆となる。

証明

補題を \(\tau = syntomic\) の場合に証明する。 問題は \(U\) 上局所的である。したがって、\(U\) はアフィンスキームであり、 \(Y\) のあるアフィン開部分へ写ると仮定してよい。 よって、次の場合を証明することに帰着する： \(Y = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(A/I)\)、および \(U = \Spec(\overline{B})\) とする。ここで \(A/I \to \overline{B}\) はシントミックな環準同型である。 代数、補題 00T0 により、元 \(\overline{g}_i \in \overline{B}\) であって \(\overline{B}_{\overline{g}_i} = A_i/IA_i\) が、あるシントミックな環準同型 \(A \to A_i\) に対して成り立つものを見つけられる。ここで後者はシントミックな 環準同型である。これでシントミックの場合の補題が証明された。 滑らかな場合の証明も同じであるが、代数、補題 04B1 を用いる。エタールの場合には代数、補題 04D1 を用いる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(\{U_i \to X\}\) をシントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な被覆とする。 このとき、シントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な被覆 \(\{V_j \to Y\}\) が存在して、各 \(j\) に対し、\(V_j \times_Y X = \emptyset\) であるか、 または射 \(V_j \times_Y X \to X\) が \(U_i\) を、ある \(i\) に対して経由する。

証明

各 \(i\) に対して、シントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な射 \(g_{ij} : V_{ij} \to Y\) と射 \(V_{ij} \times_Y X \to U_i\)（\(X\) 上）を、 \(\{V_{ij} \times_Y X \to U_i\}\) がザリスキー被覆となるように選べる。 補題 04E3 を参照されたい。 これは特に、\(\bigcup_{ij} g_{ij}(V_{ij})\) が閉部分集合 \(f(X)\) を含むことを意味する。 したがって、シントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な写像 \(g_{ij}\) の族は、 開埋め込み \(Y \setminus f(X) \to Y\) とあわせて、所望の \(Y\) の シントミック（それぞれ滑らか、それぞれエタール）な被覆をなす。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(\tau \in \{syntomic, smooth, \etale\}\) とする。関手 \(V \mapsto X \times_Y V\) は、 ほぼ余連続な関手 \((\Sch/Y)_\tau \to (\Sch/X)_\tau\) を、大 \(\tau\) サイトの間に定める （サイト、定義 04B7 を参照されたい）。

証明

次を示さなければならない：射 \(V \to Y\) と任意のシントミック （それぞれ滑らか、それぞれエタール）な被覆 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) が与えられたとき、滑らか（それぞれ滑らか、 それぞれエタール）な被覆 \(\{V_j \to V\}\) が存在して、各 \(j\) に対し、 \(X \times_Y V_j\) が空であるか、または \(X \times_Y V_j \to Z \times_Y V\) が \(U_i\) の一つを経由する。このことは、上の補題 04E4 を閉埋め込み \(X \times_Y V \to V\) に適用すれば従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(\tau \in \{syntomic, smooth, \etale\}\) とする。

1. 順像 \(f_{big, *} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \to \Sh((\Sch/Y)_\tau)\) は余等化子および押し出しと可換である。

2. 順像 \(f_{big, *} : \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau)\) は完全である。

証明

これはサイト、補題 04BA、 サイト上の加群、補題 04BD、および上の補題 04C3 から従う。

注意

補題 04C4 には \(\tau = fppf\) の場合がない。 その理由は、環 \(A\)、イデアル \(I\)、および忠実平坦で有限表示な環準同型 \(A/I \to \overline{B}\) が与えられても、平坦かつ有限表示な環準同型 \(A \to B\) で、\(B/IB \not = 0\) かつ \(A/I \to B/IB\) が \(\overline{B}\) を経由するものを 一つでも 見つけられると考える理由はないからである。 したがって、補題 04C3 の証明は fppf 位相には使えない。実際、 \(f_{big, *} : \textit{Ab}((\Sch/X)_{fppf}) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_{fppf})\) が \(f\) が閉埋め込みのとき完全であるという主張は、おそらく偽である。 反例をご存じなら、 stacks.project@gmail.com まで電子メールで知らせていただきたい。

大サイトの下付き感嘆符関手の完全性

これは単に次の技術的結果である。一般には、関手 \(f_{big!}\) は コンパクト台コホモロジーとはまったく関係がないことに注意する。

補題

\(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) とする。 \(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \[f_{big} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/Y)_\tau)\] を、位相、補題 0210, 021H, 04HC, 04HD、または 021W における対応するトポスの射とする。

1. 関手 \(f_{big}^{-1} : \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau)\) は左随伴 \[f_{big!} : \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau)\] をもち、これは完全である。

2. 関手 \(f_{big}^* : \textit{Mod}((\Sch/Y)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O})\) は左随伴 \[f_{big!} : \textit{Mod}((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/Y)_\tau, \mathcal{O})\] をもち、これは完全である。

さらに、二つの関手 \(f_{big!}\) は基礎にあるアーベル群の層上で一致する。

証明

\(f_{big}\) は、連続かつ余連続な関手 \(u : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\)、\(U/X \mapsto U/Y\) に付随する トポスの射であったことを思い出す。さらに、 \(f_{big}^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}\) である。したがって、\(f_{big!}\) の存在は、 それぞれサイト上の加群、補題 04BG、および サイト上の加群、補題 0797 から従う。 \(U\) が \((\Sch/X)_\tau\) の対象ならば、関手 \(u\) は圏同値 \[u' : (\Sch/X)_\tau/U \longrightarrow (\Sch/Y)_\tau/U\] を誘導する。矢印の両側が \((\Sch/U)_\tau\) に等しいからである。 したがって、基礎にあるアーベル層上で \(f_{big!}\) が一致することは、 サイト上の加群、注意 0798 の議論から従う。 \(f_{big!}\) の完全性はサイト上の加群、補題 04BH から従う。上の関手 \(u\) は ファイバー積および等化子と可換だからである。

次に、代数スタックに付随する異なるサイト上の加群の層を比較する際に 後で有用となる技術的補題を証明する。

補題

\(X\) をスキームとし、 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) とする。 \(\mathcal{C}_1 \subset \mathcal{C}_2 \subset (\Sch/X)_\tau\) を、次の性質をもつ 充満部分圏とする：

1. 対象 \(U/X\) で \(\mathcal{C}_t\) のものに対して、

   1. \(\{U_i \to U\}\) が \((\Sch/X)_\tau\) の被覆ならば、 \(U_i/X\) は \(\mathcal{C}_t\) の対象である。

   2. \(U \times \mathbf{A}^1/X\) は \(\mathcal{C}_t\) の対象である。

2. \(X/X\) は \(\mathcal{C}_t\) の対象である。

\(\mathcal{C}_t\) に、被覆がちょうど被覆 \(\{U_i \to U\}\) で \((\Sch/X)_\tau\) のものであり、\(U \in \Ob(\mathcal{C}_t)\) を満たすものとなる サイトの構造を入れる。 このとき

1. 関手 \(\mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) は忠実充満、連続かつ余連続である。

対応するトポスの射を \(g : \Sh(\mathcal{C}_1) \to \Sh(\mathcal{C}_2)\) と書く。 \(\mathcal{O}_t\) を \(\mathcal{O}\) の \(\mathcal{C}_t\) への制限と書く。 \(g_!\) をサイト上の加群、定義 04BF の関手と書く。

1. 標準射 \(g_!\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) は同型である。

証明

主張 (a) は定義から直ちに従う。この証明では、すべてのスキームは \(X\) 上の スキームであり、スキームのすべての射は \(X\) 上のスキームの射である。 \(g^{-1}\) は制限で与えられるので、対象 \(U\) で \(\mathcal{C}_1\) のものに対して \(\mathcal{O}_1(U) = \mathcal{O}_2(U) = \mathcal{O}(U)\) となることに注意する。 \(g_!\mathcal{O}_1\) は前層 \(g_{p!}\mathcal{O}_1\) に付随する層であり、これは \(V\) で \(\mathcal{C}_2\) に属するものに群 \[\colim_{V \to U} \mathcal{O}(U)\] を対応させることを思い出す。ここで \(U\) は \(\mathcal{C}_1\) の対象を走り、 余極限はアーベル群の圏で取られる。以下では、 \[V \to U \to U'\] が \(U, U' \in \Ob(\mathcal{C}_1)\) を満たす射であり、 \(f' \in \mathcal{O}(U')\) の制限が \(f \in \mathcal{O}(U)\) ならば、 \((V \to U, f)\) と \((V \to U', f')\) は余極限の同じ元を定めることを頻繁に用いる。 また、\(g_!\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) は元 \((V \to U, f)\) を単に \(f\) の \(V\) への引き戻しに写す。

全射性。\(V\) をスキームとし、\(h \in \mathcal{O}(V)\) とする。 射 \(V \to X \times \mathbf{A}^1\) を得る。これは \(h\) および構造射 \(V \to X\) によって誘導される。 \(\mathbf{A}^1 = \Spec(\mathbf{Z}[x])\) と書けば、元 \(x \in \mathcal{O}(X \times \mathbf{A}^1)\) は \(h\) に引き戻される。 仮定 (1)(b) と (2) により \(X \times \mathbf{A}^1\) は \(\mathcal{C}_1\) の対象なので、 所望の全射性を得る。

単射性。\(V\) をスキームとする。 \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (V \to U_i, f_i)\) を上に表示した余極限の元とする。 任意の \(i\) に対して射 \(f_i : U_i \to X \times \mathbf{A}^1\) を用いると、 \((V \to U_i, f_i)\) は \((f_i : V \to X \times \mathbf{A}^1, x)\) と 余極限の同じ元を定めることがわかる。そこで \[f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n\] を考えると、\(s\) は余極限において \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n, x_i) = (f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n, x_1 + \ldots + x_n)\] と同値であることがわかる。ここで \(x_1 + \ldots + x_n\) の \(V\) への制限が零ならば、 \(f_1 \times \ldots \times f_n\) は \(X \times \mathbf{A}^{n - 1} = V(x_1 + \ldots + x_n)\) を経由することがわかる。 したがって、\(s\) は余極限において零と同値である。

エタールコホモロジー

以下の諸節では、エタールコホモロジーに関するいくつかの基本的結果を証明する。 位相空間のコホモロジーについて知られており、エタールコホモロジーについても 成り立つ事柄の一例を次に挙げる。

補題

\(X\) をスキームとする。\(X = U \cup V\) は二つの開部分の合併であると仮定する。 任意のアーベル層 \(\mathcal{F}\) で \(X_\etale\) 上のものに対して、コホモロジー長完全列 \[\begin{matrix} 0 \to H^0_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^0_\etale(U, \mathcal{F}) \oplus H^0_\etale(V, \mathcal{F}) \to H^0_\etale(U \cap V, \mathcal{F}) \phantom{\to \ldots} \\ \phantom{0} \to H^1_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^1_\etale(U, \mathcal{F}) \oplus H^1_\etale(V, \mathcal{F}) \to H^1_\etale(U \cap V, \mathcal{F}) \to \ldots \end{matrix}\] が存在する。この長完全列は \(\mathcal{F}\) に関して関手的である。

証明

\(\mathcal{I}\) が単射的アーベル層ならば、 \[0 \to \mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V) \to 0\] が完全であることに注意する。最初と中央の箇所については、\(\mathcal{I}\) が層なので 成り立つ。右端については、サイト上のコホモロジー、補題 093X により \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) が全射なので成り立つ。 別の証明方法として、写像 \(\mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) の余核が、\(\mathcal{I}\) の第一チェックコホモロジー群で、 被覆 \(X = U \cup V\) に関するものであり、これが補題 03OR および 03OV により消えることを示してもよい。 したがって、\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) が単射分解ならば、 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0\] は複体の短完全列であり、それに付随するコホモロジー長完全列が補題の主張にある列である。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(X = U \cup V\) は二つの開部分スキームの 合併であると仮定する。 \(a = f|_U : U \to Y\)、\(b = f|_V : V \to Y\)、および \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\) と書く。 任意のアーベル層 \(\mathcal{F}\) で \(X_\etale\) 上のものに対して、長完全列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1f_*\mathcal{F} \to \ldots\] が \(Y_\etale\) 上に存在する。この長完全列は \(\mathcal{F}\) に関して関手的である。

証明

\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) を、\(\mathcal{F}\) の、\(X_\etale\) 上の 単射分解とする。複体の短完全列 \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] が得られると主張する。実際、任意の \(W\) で \(Y_\etale\) に属するものと、任意の \(n \geq 0\) に対して、 \(W\) 上の切断の群の対応する列 \[0 \to \mathcal{I}^n(W \times_Y X) \to \mathcal{I}^n(W \times_Y U) \oplus \mathcal{I}^n(W \times_Y V) \to \mathcal{I}^n(W \times_Y (U \cap V)) \to 0\] は補題 0A50 の証明で短完全であることが示された。 コホモロジー層を取り、\(\mathcal{I}^\bullet|_U\) が \(\mathcal{F}|_U\) の単射分解であり、 \(\mathcal{I}^\bullet|_V\)、\(\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V}\) についても同様であることを 用いれば、補題が従う。

余極限

\((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) がサイト \(\mathcal{C}\) 上の層の図式ならば、 その（層の圏における）余極限は前層 \(U \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U)\) の 層化であることを思い出す。サイト、補題 00WI を参照されたい。 系が有向であり、\(U\) が \(\mathcal{C}\) の準コンパクト対象で、準コンパクト対象による 被覆の共終系をもつならば、\(\mathcal{F}(U) = \colim \mathcal{F}_i(U)\) である。 サイト、補題 0738 を参照されたい。 アーベル層の余極限の高次コホモロジー群を扱う結果については、サイト上のコホモロジー、補題 0739 を参照されたい。

サイト上のコホモロジー、補題 09YP では、この結果を サイトの逆系上の層の系へ一般化する。ここでは、スキームの逆系上にある エタール層の系の場合に対応する概念を与える。

定義

\(I\) を前順序集合とする。\((X_i, f_{i'i})\) を \(I\) 上のスキームの逆系とする。 層の系 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) で \((X_i, f_{i'i})\) 上のものとは、次のデータである：

1. 層 \(\mathcal{F}_i\) で \((X_i)_\etale\) 上にあり、各 \(i \in I\) に対するもの、

2. \(i' \geq i\) に対する写像 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) で、\((X_{i'})_\etale\) 上の層の写像であるもの。

ただし、\(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) とする。 これは \(i'' \geq i' \geq i\) のときは常に課す。

定義 0EZL の状況で、\(I\) は有向集合であり、 遷移射 \(f_{i'i}\) はアフィンであると仮定する。 \(X = \lim X_i\) をスキームの圏における極限とする。極限、節 01YV を参照されたい。射影を \(f_i : X \to X_i\) と書き、写像 \[f_i^{-1}\mathcal{F}_i = f_{i'}^{-1}f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i \xrightarrow{f_{i'}^{-1}\varphi_{i'i}} f_{i'}^{-1}\mathcal{F}_{i'}\] を考える。これにより \(f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) は \(X_\etale\) 上の層の \(I\) 上の系となる （これを確かめるのはよい演習である）。しばしば、同型 \[H^q_\etale(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i) = \colim H^q_\etale(X_i, \mathcal{F}_i)\] が存在するかを知りたい。\(X_i\) が準コンパクトかつ準分離であることが各 \(i\) に対して成り立てば、 これは真であることがわかる。定理 09YQ を参照されたい。

補題

\(I\) を有向集合とする。\((X_i, f_{i'i})\) を \(I\) 上のスキームの逆系で、 遷移射がアフィンであるものとする。\(X = \lim_{i \in I} X_i\) とおく。 位相、補題 04HR の記法により、 \[X_{affine, \etale} = \colim (X_i)_{affine, \etale}\] がサイト、補題 09YL の意味でサイトとして成り立つ。

証明

まず、\(X\) および \(X_i\) が、すべての \(i\) に対して準コンパクトかつ準分離である場合を 証明する（関心のあるすべての場合でこれは成り立つ）。この場合、 \(X_{affine, \etale}\)、それぞれ \((X_i)_{affine, \etale}\) の任意の対象は \(X\) 上有限表示である。さらに、\(X\) 上有限表示なスキームの圏は、 \(X_i\) 上有限表示なスキームの圏の余極限である。極限、補題 01ZM を参照されたい。 \(X\) 上エタールなアフィン対象の部分圏についても、極限、補題 01Z6 および 07RP により同じことが成り立つ。 最後に、\(\{U^j \to U\}\) が \(X_{affine, \etale}\) の被覆であり、 \(U_i^j \to U_i\) が \(X_i\) 上エタールなアフィンスキームの射で、その \(X\) への基底変換が \(U^j \to U\) ならば、\(\{U^j_i \to U_i\}\) のある \(X_{i'}\) への基底変換は、 十分大きい \(i'\) に対して被覆となることがわかる。極限、補題 07RR を参照されたい。

一般の場合、\(U\) を \(X_{affine, \etale}\) の対象とする。このとき \(U \to X\) は エタールかつ分離的である（\(U\) が分離的だからである）が、一般には準コンパクトでない。 それでも \(U \to X\) は局所有限表示であるため、極限、補題 0EY1 により、ある \(i\)、準コンパクトかつ 準分離なスキーム \(U_i\)、および局所有限表示な射 \(U_i \to X_i\) が存在して、 その \(X\) への基底変換は \(U \to X\) となる。このとき \(U = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\) であり、ここで \(U_{i'} = U_i \times_{X_i} X_{i'}\) とする。 \(i\) を大きくすれば、\(U_i\) はアフィンであると仮定してよい。極限、補題 01Z6 を参照されたい。 \(U_i \to X_i\) が十分大きい \(i\) に対してエタールであることを確かめるため、有限アフィン開被覆 \(U_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\) であって、 \(U_{i, j} \to U_i \to X_i\) がアフィン開部分 \(W_{i, j} \subset X_i\) へ写るものを選ぶ。 すると極限、補題 07RP を適用でき、 \(U_{i, j} \to W_{i, j}\) がエタールであることがわかる。ここで必要なら \(i\) を大きくする。 このようにして関手 \(\colim (X_i)_{affine, \etale} \to X_{affine, \etale}\) が本質的全射であることがわかる。 忠実充満性は、すでに用いた極限、補題 0EY1 から直接従う。 被覆に関する主張は、証明の第一段落とまったく同じ方法で証明される。

以上を用いると、余極限とコホモロジーに関する次の一般的結果を得る。

定理

\(X = \lim_{i \in I} X_i\) を、アフィンな遷移射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) をもつスキームの有向系の極限とする。 \(X_i\) はすべての \(i \in I\) に対して準コンパクトかつ準分離であると仮定する。 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) を \((X_i, f_{i'i})\) 上のアーベル層の系とする。 射影を \(f_i : X \to X_i\) と書き、\(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) とおく。 このとき \[\colim_{i\in I} H_\etale^p(X_i, \mathcal{F}_i) = H_\etale^p(X, \mathcal{F}).\] これはすべての \(p \geq 0\) に対して成り立つ。

証明

位相、補題 04HR により、\(\mathcal{F}\) のコホモロジーは \(X_{affine, \etale}\) 上で計算できる。したがって、結果は補題 0EYL とサイト上のコホモロジー、補題 09YP をあわせれば従う。

次の二つの結果は上の定理の特別な場合である。

補題

\(X\) を準コンパクトかつ準分離なスキームとする。\(I\) を有向集合とする。 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) を \(X_\etale\) 上の、\(I\) 上のアーベル層の系とする。 このとき \[\colim_{i\in I} H_\etale^p(X, \mathcal{F}_i) = H_\etale^p(X, \colim_{i\in I} \mathcal{F}_i).\]

証明

これは定理 09YQ の特別な場合である。直接の証明も概説する。 すべての \(X\) について同時に、\(p\) に関する帰納法で証明する。

1. \(X\) を任意の準コンパクトかつ準分離なスキーム、\(\mathcal{U}\) を \(X\) の任意の エタール被覆とする。細分 \(\mathcal{V} = \{V_j \to X\}_{j\in J}\) で、\(J\) が有限であり、 各 \(V_j\) が準コンパクトかつ準分離であり、すべての \(V_{j_0} \times_X \ldots \times_X V_{j_p}\) も準コンパクトかつ準分離となるものが 存在することを示す。

2. 前段階および層の圏における余極限の定義を用いて、定理が \(p = 0\) およびすべての \(X\) に対して成り立つことを示す。

3. コホモロジーの局所性（補題 03P1）、 チェックからコホモロジーへのスペクトル系列（定理 03OW）、および 上の状況におけるすべての \(V_{j_0} \times_X \ldots \times_X V_{j_p}\) に 帰納法の仮定を適用できることを用いて、帰納段階 \(p \to p + 1\) を証明する。

補題

\(A\) を環、\((I, \leq)\) を有向集合、\((B_i, \varphi_{ij})\) を \(A\)-代数の系とする。 \(B = \colim_{i\in I} B_i\) とおく。\(X \to \Spec(A)\) を準コンパクトかつ準分離な スキームの射とする。\(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上のアーベル層とする。 \(Y_i = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B_i)\)、 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\)、 \(\mathcal{G}_i = (Y_i \to X)^{-1}\mathcal{F}\)、および \(\mathcal{G} = (Y \to X)^{-1}\mathcal{F}\) と書く。このとき \[H_\etale^p(Y, \mathcal{G}) = \colim_{i\in I} H_\etale^p (Y_i, \mathcal{G}_i).\]

証明

これは定理 09YQ の特別な場合である。次のような直接の証明も概説する。

1. \(V \to Y\) がエタールで、\(V\) が準コンパクトかつ準分離であるとする。 このとき、\(i\in I\) と \(V_i \to Y_i\) が存在して、 \(V = V_i \times_{Y_i} Y\) となる。考えているすべてのスキームがアフィンならば、 これは次の代数的主張に対応する：\(B = \colim B_i\) で \(B \to C\) がエタールならば、 \(i \in I\) とエタールな \(B_i \to C_i\) が存在して、 \(C \cong B \otimes_{B_i} C_i\) となる。これは代数、補題 00U2 で証明されている。

2. (1) の状況で、 \(\mathcal{G}(V) = \colim_{i' \geq i} \mathcal{G}_{i'}(V_{i'})\) を示す。ここで \(V_{i'}\) は \(V_i\) の \(Y_{i'}\) への基底変換である。

3. (1) により、任意のエタール被覆 \(\mathcal{V} = \{V_j \to Y\}_{j\in J}\) で、\(J\) が有限で \(V_j\) が準コンパクトかつ準分離であるものに対し、\(i \in I\) およびエタール被覆 \(\mathcal{V}_i = \{V_{ij} \to Y_i\}_{j \in J}\) が存在して、 \(\mathcal{V} \cong \mathcal{V}_i \times_{Y_i} Y\) となることがわかる。

4. (2) と (3) から \[\check H^*(\mathcal{V}, \mathcal{G})= \colim_{i\in I} \check H^*(\mathcal{V}_i, \mathcal{G}_i).\] が従うことを示す。

5. チェックからコホモロジーへのスペクトル系列 （定理 03OW）を巧妙に用いる。

補題

\(f: X\to Y\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\in \textit{Ab}(X_\etale)\) とする。このとき \(R^pf_*\mathcal{F}\) は前層 \[(V \to Y) \longmapsto H_\etale^p(X \times_Y V, \mathcal{F}|_{X \times_Y V}).\] に付随する層である。より一般に、\(K \in D(X_\etale)\) に対して、\(R^pf_*K\) は前層 \[(V \to Y) \longmapsto H_\etale^p(X \times_Y V, K|_{X \times_Y V}).\] に付随する層である。

証明

この補題は位相空間についても有効であり、その場合の証明も同じである。 層の場合についてはサイト上のコホモロジー、補題 072W を、アーベル層の複体の場合についてはサイト上のコホモロジー、補題 0BKV を参照されたい。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X = \lim_{i \in I} X_i\) を \(S\) 上のスキームの有向系の極限で、 アフィンな遷移射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) をもつものとする。構造射 \(g_i : X_i \to S\) および \(g : X \to S\) は準コンパクトかつ準分離であると仮定する。 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) を \((X_i, f_{i'i})\) 上のアーベル層の系とする。 射影を \(f_i : X \to X_i\) と書き、\(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) とおく。 このとき \[\colim_{i\in I} R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i = R^p g_* \mathcal{F}\] がすべての \(p \geq 0\) に対して成り立つ。

証明

補題 03Q8 により、\(R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i\) は前層 \(U \mapsto H^p_\etale(U \times_S X_i, \mathcal{F}_i)\) に付随する層であり、 \(R^pg_*\mathcal{F}\) についても同様であることを思い出す。さらに、層の系の余極限は 前層の段階での余極限の層化である。\(S_\etale\) の各対象は、準コンパクトかつ 準分離な対象（たとえばアフィンスキーム）による被覆をもつことに注意する。 さらに、\(U\) が準コンパクトかつ準分離な対象ならば、 \[\colim H^p_\etale(U \times_S X_i, \mathcal{F}_i) = H^p_\etale(U \times_S X, \mathcal{F})\] が定理 09YQ により成り立つ。したがって補題が従う。

補題

\(I\) を有向集合とする。\(g_i : X_i \to S_i\) を \(I\) 上のスキームの射の逆系とする。 \(g_i\) は準コンパクトかつ準分離であり、\(i' \geq i\) に対する遷移射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) および \(h_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) はアフィンであると仮定する。 \(g : X \to S\) を射 \(g_i\) の極限とする。極限、節 01YV を参照されたい。 射影を \(f_i : X \to X_i\) および \(h_i : S \to S_i\) と書く。 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) を \((X_i, f_{i'i})\) 上の層の系とする。 \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) とおく。このとき \[R^p g_* \mathcal{F} = \colim_{i \in I} h_i^{-1}R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i\] がすべての \(p \geq 0\) に対して成り立つ。

証明

補題の写像はどのように構成されるのだろうか。 \(i' \geq i\) に対して、可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[r]_{f_{i'}} \ar[d]_g & X_{i'} \ar[r]_{f_{i'i}} \ar[d]_{g_{i'}} & X_i \ar[d]^{g_i} \\ S \ar[r]^{h_{i'}} & S_{i'} \ar[r]^{h_{i'i}} & S_i }\] をもつ。基底変換写像 \(h_{i'i}^{-1}Rg_{i, *}\mathcal{F}_i \to Rg_{i', *}f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i\) （サイト上のコホモロジー、補題 0736 または 注意 07A7）を写像 \(Rg_{i', *}\varphi_{i'i}\) とあわせると、 \(\psi_{i'i} : h_{i' i}^{-1} R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i \to R^pg_{i', *} \mathcal{F}_{i'}\) を得る。同様に、図式の左の正方形を用いて写像 \(\psi_i : h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i \to R^pg_*\mathcal{F}\). を得る。写像 \(h_{i'}^{-1}\psi_{i'i}\) および \(\psi_i\) が補題の主張で用いられる写像である。 これが意味をなすには、 \(\psi_{i''i} = \psi_{i''i'} \circ h_{i''i'}^{-1}\psi_{i'i}\) および \(\psi_{i'} \circ h_{i'}^{-1}\psi_{i'i} = \psi_i\) を確かめなければならない。これは サイト上のコホモロジー、注意 0E47 から従う。

等式の証明。まず、次元移動を用いる証明を与える⁴。任意の \(U\) で \(X\) 上アフィンかつエタールなものに対して、 定理 09YQ により \[g_*\mathcal{F}(U) = H^0(U \times_S X, \mathcal{F}) = \colim H^0(U_i \times_{S_i} X_i, \mathcal{F}_i) = \colim g_{i, *}\mathcal{F}_i(U_i)\] となる。ここで余極限は、十分大きい \(i\) 上で取る。すなわち、ある \(i\) と \(U_i\) が存在し、これは \(S_i\) 上アフィンかつエタールで、その基底変換が \(U\) であり、これは \(S\) 上にあるものとする（補題 0EYL を参照されたい）。 右辺はサイト、補題 09YN により \((\colim h_i^{-1}g_{i, *}\mathcal{F}_i)(U)\) に等しい。 これで \(p = 0\) に対して補題が証明された。 \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) が \(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\) を満たす系で、\(\mathcal{G}_i\) が \(X_i\) 上の単射的アーベル層であることが すべての \(i\) に対して成り立つならば、任意の \(U\) で \(X\) 上アフィンかつエタールなものに対して、 定理 09YQ により \[H^p(U \times_S X, \mathcal{G}) = \colim H^p(U_i \times_{S_i} X_i, \mathcal{G}_i) = 0\] が \(p > 0\) に対して成り立つ（余極限は先ほどと同じである）。したがって \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) であり、このような系に対して \(p > 0\) の結果を得る。 一般には、系の短完全列 \[0 \to (\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i}) \to (\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i}) \to (\mathcal{Q}_i, \varphi_{i'i}) \to 0\] で、\((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) が上のとおりであるものを選べる。 サイト上のコホモロジー、補題 0EXZ を参照されたい。 帰納法により補題は \(p - 1\) に対して成り立ち、上の議論により \(p\) と \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) に対する消滅が成り立つ。 したがって、コホモロジー長完全列により、\(p\) と \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) に対する結果が従う。

第二の証明。 \(S_{affine, \etale} = \colim (S_i)_{affine, \etale}\) であったことを思い出す。 補題 0EYL を参照されたい。したがって、\(U\) が \(S_{affine, \etale}\) の対象ならば、\(U = U_i \times_{S_i} S\) と、ある \(i\) および ある \(U_i\) で \((S_i)_{affine, \etale}\) に属するものに対して書け、 \[(\colim_{i \in I} h_i^{-1}R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i)(U) = \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\] となる。これはサイト、補題 09YN と、上で述べた系の遷移写像の 構成による。\(R^pg_{i', *}\mathcal{F}_{i'}\) は前層 \(U_{i'} \mapsto H^p(U_{i'} \times_{S_{i'}} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\) に付随する層であり、\(R^pg_*\mathcal{F}\) は前層 \(U \mapsto H^p(U \times_S X, \mathcal{F})\) に付随する層なので（補題 03Q8）、標準可換図式 \[\xymatrix{ \colim_{i' \geq i} H^p(U_i \times_{S_i} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'}) \ar[r] \ar[d] & \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'}) \ar[d] \\ H^p(U \times_S X, \mathcal{F}) \ar[r] & R^pg_*\mathcal{F}(U) }\] を得る。左の垂直矢印は定理 09YQ により同型であることに注意する。 示したいのは右の垂直矢印が同型であることである。しかし、この矢印の始域と終域が \(S_{affine, \etale}\) 上の層であることはすでにわかっている。したがって、次を示せば十分である： (1) 終域の元は局所的に始域の元から来る；(2) 始域の元で終域の零に写るものは 局所的に消える。(1) は、上の議論と、下の水平矢印が層化後に同型となる前層の写像から 来るという事実から直ちに従う。 (2) について、\(\xi \in \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\) が核に属するとする。\(i' \geq i\) と \(\xi_{i'} \in (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\) で \(\xi\) を表すものを選ぶ。標準エタール被覆 \(\{U_{i', k} \to U_i \times_{S_i} S_{i'}\}_{k = 1, \ldots, m}\) で、\(\xi_{i'}|_{U_{i', k}}\) が \(\xi_{i', k} \in H^p(U_{i', k} \times_{S_{i'}} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\). から来るものを選ぶ。\(\xi\) が局所的に消えることを証明すれば十分なので、 \(U\) をエタール被覆 \(\{U_{i', k} \times_{S_{i'}} S \to U = U_i \times_{S_i} S\}\) の 各元で置き換えてよい。この置換後、\(\xi\) は群の元 \(\xi'\) の像であることがわかる： \(\colim_{i' \geq i} H^p(U_i \times_{S_i} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\) これは上の図式における像である。\(\xi'\) は \(R^pg_*\mathcal{F}(U)\) の零に写るので、 もう一度置換を行い、\(\xi'\) が \(H^p(U \times_S X, \mathcal{F})\) の零に写ると 仮定してよい。しかし左の垂直矢印は同型なので、\(\xi' = 0\)、したがって所望のとおり \(\xi = 0\) と結論する。

補題

\(X = \lim_{i \in I} X_i\) を、アフィンな遷移射 \(f_{i'i}\) と射影 \(f_i : X \to X_i\) をもつスキームの有向極限とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の層とする。このとき

1. 標準写像 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{i', *}\mathcal{F}\) が存在して、\((f_{i, *}\mathcal{F}, \varphi_{i'i})\) は定義 0EZL における \((X_i, f_{i'i})\) 上の層の系となる。

2. \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}\) である。

証明

位相、補題 04HR および補題 0EYL を介すれば、これはサイト、補題 0EXJ の特別な場合である。

補題

\(I\) を有向集合とする。\(g_i : X_i \to S_i\) を \(I\) 上のスキームの射の逆系とする。 \(g_i\) は準コンパクトかつ準分離であり、\(i' \geq i\) に対する遷移射 \(X_{i'} \to X_i\) および \(S_{i'} \to S_i\) はアフィンであると仮定する。 \(g : X \to S\) を射 \(g_i\) の極限とする。極限、節 01YV を参照されたい。 射影を \(f_i : X \to X_i\) および \(h_i : S \to S_i\) と書く。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上のアーベル層とする。このとき \[R^pg_*\mathcal{F} = \colim_{i \in I} h_i^{-1}R^pg_{i, *}(f_{i, *}\mathcal{F})\] となる。

証明

補題 0EYM と 0EYN を 形式的に組み合わせればよい。

余極限と複体

この節では、節 03Q4 で層について始めた議論を続け、 さまざまな状況で複体の系のコホモロジーを取ることを論じる。 絶対に必要でない限り、この節を読まないよう読者に強く勧める。

補題

\(X = \lim_{i \in I} X_i\) を、アフィンな遷移射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) をもつスキームの有向系の極限とする。 \(X_i\) はすべての \(i \in I\) に対して準コンパクトかつ準分離であると仮定する。 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) を \(X_{i, \etale}\) 上のアーベル層の複体とする。 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet \to \mathcal{F}_{i'}^\bullet\) を \(X_{i, \etale}\) 上の複体の写像とし、 \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) が \(i'' \geq i' \geq i\) のときは常に成り立つとする。 ある整数 \(a\) が存在して、\(\mathcal{F}_i^n = 0\) が \(n < a\) およびすべての \(i \in I\) に対して成り立つと仮定する。このとき \[H^p_\etale(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet) = \colim H^p_\etale(X_i, \mathcal{F}^\bullet_i)\] である。ここで \(f_i : X \to X_i\) は射影である。

証明

これは定理 09YQ の帰結である。 \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\) とおく。 この定理より \[\colim_{i \in I} H_\etale^p(X_i, \mathcal{F}_i^n) = H_\etale^p(X, \mathcal{F}^n)\] がすべての \(n, p \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つ。 導来圏、補題 015J のスペクトル系列 \[E_{1, i}^{s, t} = H_\etale^t(X_i, \mathcal{F}_i^s) \Rightarrow H_\etale^{s + t}(X_i, \mathcal{F}_i^\bullet)\] および \[E_1^{s, t} = H_\etale^t(X, \mathcal{F}^s) \Rightarrow H_\etale^{s + t}(X, \mathcal{F}^\bullet)\] を用いる。\(\mathcal{F}_i^n = 0\) が \(n < a\) に対して成り立ち （\(a\) は \(i\) に依存しない）、\(E_{1, i}^{s, t}\)（\(i\) に依存しない） および \(E_1^{s, t}\) のうち、\(H^q_\etale(X_i, \mathcal{F}_i^\bullet)\) と \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}^\bullet)\) に寄与する項は、 固定された有限個だけである。また \(E_1^{s, t} = \colim E_{i, i}^{s, t}\) である。 これから所望の主張が従う。細部は省略する。 （スペクトル系列を用いず、複体の「愚直な」切断を用いる別の論証もある。）

補題

\(X\) を準コンパクトかつ準分離なスキームとする。 \(K_i \in D(X_\etale)\)、\(i \in I\) を対象の族とする。 \(a \in \mathbf{Z}\) が与えられ、\(H^n(K_i) = 0\) が \(n < a\) と \(i \in I\) に対して成り立つと仮定する。このとき \(R\Gamma(X, \bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i R\Gamma(X, K_i)\).

証明

\(H^p(X, \bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i H^p(X, K_i)\) がすべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対して 成り立つことを示せばよい。複体 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) で \(K_i\) を表し、 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) が \(n < a\) に対して成り立つものを選ぶ。 単射的対象、補題 07D9 により、 複体 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) の直和は対象 \(\bigoplus K_i\) を表す。 \(\bigoplus \mathcal{F}^\bullet\) は有限直和のフィルター余極限なので、 結果は補題 0EZM から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X = \lim_{i \in I} X_i\) を、\(S\) 上のスキームの 有向系で、アフィンな遷移射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) をもつものの極限とする。 \(X_i\) はすべての \(i \in I\) に対して準コンパクトかつ準分離であると仮定する。 \(K \in D^+(S_\etale)\) とする。このとき \[\colim_{i \in I} H_\etale^p(X_i, K|_{X_i}) = H_\etale^p(X, K|_X).\] この等式はすべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つ。ここで \(K|_{X_i}\) および \(K|_X\) は \(K\) の \(X_i\) および \(X\) への引き戻しである。

証明

\(K\) は下に有界な複体 \(\mathcal{G}^\bullet\) で、\(S_\etale\) 上の アーベル層からなるものによって表してよい。\(\mathcal{G}^n = 0\) が \(n < a\) に対して成り立つとする。\(\mathcal{F}^\bullet_i\) と \(\mathcal{F}^\bullet\) で、この複体の \(X_i\) と \(X\) への引き戻しを表す。 これらの複体は対象 \(K|_{X_i}\) と \(K|_X\) を表し、項ごとに \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\) である。したがって補題は補題 0EZM から従う。

補題

\(I\)、\(g_i : X_i \to S_i\)、\(g : X \to S\)、\(f_i\)、\(g_i\)、\(h_i\) を 補題 0EYM と同じものとする。 \(0 \in I\) および \(K_0 \in D^+(X_{0, \etale})\) とする。 \(i \geq 0\) に対し、\(K_i\) で \(K_0\) の \(X_i\) への引き戻しを表す。 \(K\) で \(K_0\) の \(X\) への引き戻しを表す。このとき \[R^pg_*K = \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}K_i\] がすべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つ。

証明

整数 \(p_0 \in \mathbf{Z}\) を固定する。 整数 \(a\) で、\(H^j(K_0) = 0\) が \(j < a\) に対して成り立つものをとる。 この公式がすべての \(p \leq p_0\) に対して成り立つことを、 \(a\) に関する下降帰納法により証明する。\(a > p_0\) ならば、自明な消滅により、 公式の左辺と右辺は \(p \leq p_0\) に対して零である。導来圏、補題 05TC を参照されたい。 \(a \leq p_0\) と仮定する。識別三角 \[H^a(K_0)[-a] \to K_0 \to \tau_{\geq a + 1}K_0\] を考える。この識別三角を \(X_i\) と \(X\) へ引き戻すと、 \(K_i\) と \(K\) に対する両立する識別三角を得る。 \(p \leq p_0\) に対して、可換図式 \[\xymatrix{ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^{p - 1}g_{i, *}(\tau_{\geq a + 1}K_i) \ar[r]_-\alpha \ar[d] & R^{p - 1}g_*(\tau_{\geq a + 1}K) \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}(H^a(K_i)[-a]) \ar[r]_-\beta \ar[d] & R^pg_*(H^a(K)[-a]) \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}K_i \ar[r]_-\gamma \ar[d] & R^pg_*K \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} R^pg_{i, *}\tau_{\geq a + 1}K_i \ar[r]_-\delta \ar[d] & R^pg_*\tau_{\geq a + 1}K \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} R^{p + 1}g_{i, *}(H^a(K_i)[-a]) \ar[r]^-\epsilon & R^{p + 1}g_*(H^a(K)[-a]) }\] を考える。その各列は完全である。矢印 \(\beta\) と \(\epsilon\) は補題 0EYM により同型である。 矢印 \(\alpha\) と \(\delta\) は帰納法の仮定により同型である。 したがって、所望のとおり \(\gamma\) は同型である。

補題

\(I\)、\(g_i : X_i \to S_i\)、\(g : X \to S\)、\(f_{ii'}\)、\(f_i\)、\(g_i\)、\(h_i\) を補題 0EYM と同じものとする。 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) を \(X_{i, \etale}\) 上のアーベル層の複体とする。 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet \to \mathcal{F}_{i'}^\bullet\) を \(X_{i, \etale}\) 上の複体の写像とし、 \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) が \(i'' \geq i' \geq i\) のときは常に成り立つとする。 ある整数 \(a\) が存在して、\(\mathcal{F}_i^n = 0\) が \(n < a\) およびすべての \(i \in I\) に対して成り立つと仮定する。このとき \[R^pg_*(\colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet) = \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i^\bullet\] がすべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つ。

証明

これは補題 0EYM の帰結である。 \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\) とおく。 この補題より \[\colim_{i \in I} h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i^n = R^pg_*\mathcal{F}^n\] がすべての \(n, p \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つ。 導来圏、補題 015J のスペクトル系列 \[E_{1, i}^{s, t} = R^tg_{i, *}\mathcal{F}_i^s \Rightarrow R^{s + t}g_{i, *}\mathcal{F}_i^\bullet\] および \[E_1^{s, t} = R^tg_*\mathcal{F}^s \Rightarrow R^{s + t}g_*\mathcal{F}^\bullet\] を用いる。\(\mathcal{F}_i^n = 0\) が \(n < a\) に対して成り立ち （\(a\) は \(i\) に依存しない）、寄与する \(E_{1, i}^{s, t}\)（\(i\) に依存しない）および \(E_1^{s, t}\) の項は、 固定された有限個だけである。また \(E_1^{s, t} = \colim E_{i, i}^{s, t}\) である。 これから所望の主張が従う。細部は省略する。 （スペクトル系列を用いず、複体の「愚直な」切断を用いる別の論証もある。）

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの準コンパクトかつ準分離な射とする。 \(K_i \in D(X_\etale)\)、\(i \in I\) を対象の族とする。 \(a \in \mathbf{Z}\) が与えられ、\(H^n(K_i) = 0\) が \(n < a\) と \(i \in I\) に対して成り立つと仮定する。このとき \(Rf_*(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i Rf_*K_i\).

証明

\(R^pf_*(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i R^pf_*K_i\) がすべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対して 成り立つことを示せばよい。複体 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) で \(K_i\) を表し、 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) が \(n < a\) に対して成り立つものを選ぶ。 単射的対象、補題 07D9 により、 複体 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) の直和は対象 \(\bigoplus K_i\) を表す。 \(\bigoplus \mathcal{F}^\bullet\) は有限直和のフィルター余極限なので、 結果は補題 0GIV から従う。

高次順像の茎

高次順像の茎は、しばしば次のように計算できる。

定理

\(f: X \to S\) をスキームの準コンパクトかつ準分離な射、 \(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上のアーベル層、\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点で \(s \in S\) 上にあるものとする。このとき \[\left(R^nf_* \mathcal{F}\right)_{\overline{s}} = H_\etale^n( X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}\mathcal{F})\] である。ここで \(p : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \to X\) は射影である。\(K \in D^+(X_\etale)\) および \(n \in \mathbf{Z}\) に対して \[\left(R^nf_*K\right)_{\overline{s}} = H_\etale^n(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\] である。実際、 \[\left(Rf_*K\right)_{\overline{s}} = R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\] が \(D^+(\textit{Ab})\) において成り立つ。

証明

\(\mathcal{I}\) を \(\overline{s}\) の \(S\) 上のエタール近傍の圏とする。 補題 03Q8 により \[(R^nf_*\mathcal{F})_{\overline{s}} = \colim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}^{opp}} H_\etale^n(X \times_S V, \mathcal{F}|_{X \times_S V}).\] である。\(\mathcal{I}\) を、\(\overline{s}\) のアフィンなエタール近傍からなる 始部分圏で置き換えてよい。補題 04HX と 極限、補題 01YW により \[\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) = \lim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}} V\] であることに注意する。ファイバー積は極限と可換なので、 \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) = \lim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}} X \times_S V\] も得る。補題 03Q6 により結論が従う。 第二の変形には、補題 0GIT を 補題 03Q6 の代わりに用いて同じ論証を行う。

最後の主張を示すには、写像 \(\left(Rf_*K\right)_{\overline{s}} \to R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\) を \(D^+(\textit{Ab})\) において構成し、それがすべての \(n\) に対して 上の次数 \(n\) のコホモロジー群の同型を実現することを示せば十分である。 そのため、下に有界な複体 \(\mathcal{J}^\bullet\) で、\(X_\etale\) 上の 単射的アーベル層からなり、\(K\) を表すものを選ぶ。複体 \(f_*\mathcal{J}^\bullet\) は \(Rf_*K\) を表す。したがって複体 \[(f_*\mathcal{J}^\bullet)_{\overline{s}} = \colim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}^{opp}} (f_*\mathcal{J}^\bullet)(V)\] は \((Rf_*K)_{\overline{s}}\) を表す。各 \(V\) に対して写像 \[(f_*\mathcal{J}^\bullet)(V) = \Gamma(X \times_S V, \mathcal{J}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}\mathcal{J}^\bullet)\] があり、その終域の複体は \(R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\) を \(D^+(\textit{Ab})\) において表す。 これらの写像の余極限を取れば結果を得る。

注意

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(K \in D(X_\etale)\) とする。 \(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。常に標準写像 \[(Rf_*K)_{\overline{s}} \longrightarrow R\Gamma(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K) \longrightarrow R\Gamma(X_{\overline{s}}, K|_{X_{\overline{s}}})\] が存在する。ここで \(p : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \to X\) は射影である。実際、可換図式 \[\xymatrix{ X_{\overline{s}} \ar[r] \ar[d]^{f_{\overline{s}}} & X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \ar[r]_-p \ar[d]^{f'} & X \ar[d]^f \\ \overline{s} \ar[r]^-i & \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \ar[r]^-j & S }\] を考える。この図式の二つの正方形に対して、基底変換写像 \[i^{-1}Rf'_*(p^{-1}K) \to Rf_{\overline{s}, *}(K|_{X_{\overline{s}}}) \quad\text{および}\quad j^{-1}Rf_*K \to Rf'_*(p^{-1}K)\] がある（サイト上のコホモロジー、注意 07A7）。 大域切断を取ると所望の写像を得る。サイト上のコホモロジー、注意 0E47 により、これら二つの写像の合成は通常の（基底変換）写像 \((Rf_*K)_{\overline{s}} \to R\Gamma(X_{\overline{s}}, K|_{X_{\overline{s}}})\). である。

ルレイ・スペクトル系列

補題

\(f: X \to Y\) を射とし、\(\mathcal{I}\) を \(\textit{Ab}(X_\etale)\) の単射的対象とする。\(V \in \Ob(Y_\etale)\) とする。このとき

1. 任意の被覆 \(\mathcal{V} = \{V_j\to V\}_{j \in J}\) に対して \(\check H^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = 0\) がすべての \(p > 0\) について成り立つ。

2. \(f_*\mathcal{I}\) は関手 \(\Gamma(V, -)\) に関して非輪状である。

3. \(g : Y \to Z\) ならば、\(f_*\mathcal{I}\) は \(g_*\) に関して非輪状である。

証明

等式 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V} \times_Y X, \mathcal{I})\) に注意する。この複体の高次コホモロジー群は補題 03OR により消滅する。これで (1) が示された。 任意の被覆に関する高次チェック・コホモロジー群が消滅する層は 高次コホモロジー群も消滅するので、第二の主張が従う。 これはチェック・コホモロジーからコホモロジーへのスペクトル系列を使う 見事な演習であるが、詳細およびより精密で一般的な主張については、 サイト上のコホモロジー、補題 03F9 を参照されたい。 (3) は (2) と、補題 03Q8 における \(R^pg_*\) の記述から従う。

グロタンディーク・スペクトル系列の形式論を用いると、次を得る。

命題

\(f: X \to Y\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上のエタール層とする。 このときスペクトル系列 \[E_2^{p, q} = H_\etale^p(Y, R^qf_*\mathcal{F}) \Rightarrow H_\etale^{p+q}(X, \mathcal{F}).\] が存在する。

証明

補題 03QB および導来圏、節 015L を参照されたい。

有限射の高次順像の消滅

次の目標は、スキームの有限射の高次順像が消滅することを証明することである。

補題

\(R\) を狭義ヘンゼル局所環とする。\(S = \Spec(R)\) とおき、 \(\overline{s}\) をその閉点とする。このとき大域切断関手 \(\Gamma(S, -) : \textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\) は完全である。実際、\(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) が任意の集合の層 \(\mathcal{F}\) に対して成り立つ。とくに \[\forall p\geq 1, \quad H_\etale^p(S, \mathcal{F})=0\] がすべての \(\mathcal{F}\in \textit{Ab}(S_\etale)\) に対して成り立つ。

証明

\(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) を示せば、 茎関手が完全なので \(\Gamma(S, -)\) も完全となる。 \((U, \overline{u})\) を \(\overline{s}\) のエタール近傍とする。 アフィン開近傍 \(\Spec(A)\) で、\(\overline{u}\) の \(U\) におけるものを選ぶ。 このとき \(R \to A\) はエタールであり、 \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{u})\) である。 定理 03QH により、\(A \cong R \times A'\) が、 \(R\)-代数として、\(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{u})\) への写像と両立して成り立つことがわかる。 したがって切断 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] & U \ar[d]\\ & S \ar[ul] }\] を得る。したがって、\(\overline{s}\) のエタール近傍の系において恒等写像 \((S, \overline{s}) \to (S, \overline{s})\) は共終である。 ゆえに \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) である。 完全関手の高次導来関手は零なので、補題の最後の主張が従う。 導来圏、補題 015F を参照されたい。

命題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限射とする。

1. 任意の幾何点 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) に対して \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \prod\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}.\] が \(\mathcal{F}\) が \(\Sh(X_\etale)\) の対象であるとき成り立ち、また \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}.\] が \(\mathcal{F}\) が \(\textit{Ab}(X_\etale)\) の対象であるとき成り立つ。

2. 任意の \(q \geq 1\) に対して \(R^q f_*\mathcal{F} = 0\) が、 \(\mathcal{F}\) が \(\textit{Ab}(X_\etale)\) の対象であるとき成り立つ。

証明

\(X_{\overline{y}}^{sh}\) でファイバー積 \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh})\) を表す。 定理 03Q9 により、 \(R^qf_*\mathcal{F}\) の \(\overline{y}\) における茎は \(H_\etale^q(X_{\overline{y}}^{sh}, \mathcal{F})\) で計算される。 \(f\) は有限なので、\(X_{\bar y}^{sh}\) は \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh})\) 上有限である。したがって、 \(X_{\bar y}^{sh} = \Spec(A)\) と、ある環 \(A\) で \(\mathcal{O}_{Y, \bar y}^{sh}\) 上有限なものに対して書ける。 後者は狭義ヘンゼルなので、補題 03QJ により、 \(A\) はヘンゼル局所環の有限積 \(A = A_1 \times \ldots \times A_r\) である。 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh}\) の剰余体は分離閉であるから、 各 \(A_i\) についても同じである。ゆえに \(A_i\) は狭義ヘンゼルである。 したがって \(X_{\overline{y}}^{sh} = \coprod_{i = 1}^r \Spec(A_i)\) である。 補題 03QO の消滅から \((R^qf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\) が \(q > 0\) に対して従い、 定理 03PU により (2) が従う。 (1) は補題 03QO の 対応する主張から従う。

補題

カルテシアン正方形 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] でスキームからなり、\(f\) が有限射であるものを考える。 任意の集合の層 \(\mathcal{F}\) で \(X_\etale\) 上にあるものに対して \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_*\mathcal{F}\). である。

証明

非常に一般的な状況で引き戻し写像 \(g^{-1}f_*\mathcal{F} \to f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) が存在する。 サイト、節 06UM を参照されたい。 茎で確かめれば十分である（定理 03PU）。 \(\overline{y}' : \Spec(k) \to Y'\) を幾何点とする。このとき \[\begin{align*} (f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} & = \prod\nolimits_{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'} ((g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}'} \\ & = \prod\nolimits_{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'} \mathcal{F}_{g' \circ \overline{x}'} \\ & = \prod\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f \circ \overline{x} = g \circ \overline{y}'} \mathcal{F}_{\overline{x}} \\ & = (f_*\mathcal{F})_{g \circ \overline{y}'} \\ & = (g^{-1}f_*\mathcal{F})_{\overline{y}'} \end{align*}\] である。第一の等式は命題 03QP から従う。 第二の等式は補題 03Q1 から従う。 第三の等式が成り立つのは、図式がカルテシアン正方形であり、したがって写像 \[\{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'\} \longrightarrow \{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f \circ \overline{x} = g \circ \overline{y}'\}\] で \(\overline{x}'\) を \(g' \circ \overline{x}'\) へ送るものが全単射だからである。 第四の等式は命題 03QP から従う。 第五の等式は補題 03Q1 から従う。

補題

カルテシアン正方形 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] でスキームからなり、\(f\) が整射であるものを考える。 任意の集合の層 \(\mathcal{F}\) で \(X_\etale\) 上にあるものに対して \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_*\mathcal{F}\). である。

証明

問題は \(Y\) 上局所的なので、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。 このとき \(X = \lim X_i\) と書け、\(f_i : X_i \to Y\) は有限である （アフィンの場合にはこれは容易であるが、参照として極限、補題 09YZ を参照されたい）。 遷移射を \(p_{i'i} : X_{i'} \to X_i\)、射影を \(p_i : X \to X_i\) と書く。\(\mathcal{F}_i = p_{i, *}\mathcal{F}\) とおくと、 補題 0EYN により、系 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) で \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\) を満たすものを得る。 \(f_*\mathcal{F} = \colim f_{i, *}\mathcal{F}_i\) は補題 09Z1 から得られる。 \(X'_i = Y' \times_Y X_i\) とおき、射影を \(f'_i\) および \(g'_i\) とする。 極限と極限が可換なので \(X' = \lim X'_i\) である。 射影を \(p'_i : X' \to X'_i\) と書く。このとき \[\begin{align*} g^{-1}f_*\mathcal{F} & = g^{-1} \colim f_{i, *}\mathcal{F}_i \\ & = \colim g^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}_i \\ & = \colim f'_{i, *}(g'_i)^{-1}\mathcal{F}_i \\ & = f'_*(\colim (p'_i)^{-1}(g'_i)^{-1}\mathcal{F}_i) \\ & = f'_*(\colim (g')^{-1}p_i^{-1}\mathcal{F}_i) \\ & = f'_*(g')^{-1} \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i \\ & = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] となり、所望の結果を得る。第一の等式については上を参照されたい。 第二の等式には、引き戻しが余極限と可換であることを用いる。 第三の等式には有限の場合、すなわち補題 0959 を用いる。 第四の等式には補題 09Z1 を用いる。 第五の等式には \(g'_i \circ p'_i = p_i \circ g'\) を用いる。 第六の等式には、引き戻しが余極限と可換であることを用いる。 第七の等式には \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\) を用いる。

次の補題は、エタール層と有限全射を扱うコホモロジー的降下の一例である。 固有基底変換定理を証明した後、この結果を大幅に一般化する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限全射とする。 \(f_n : X_n \to Y\) を、\((n + 1)\) 重ファイバー積で、 \(X\) を \(Y\) 上で取ったものに等しいものとする。 \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\) に対し \(\mathcal{F}_n = f_{n, *}f_n^{-1}\mathcal{F}\) とおく。完全列 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \ldots\] が \(Y_\etale\) 上に存在する。さらに、スペクトル系列 \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(X_p, f_p^{-1}\mathcal{F})\] が存在し、\(H^{p + q}(Y_\etale, \mathcal{F})\) に収束する。 このスペクトル系列は \(\mathcal{F}\) に関して関手的である。

証明

補題の第一の主張を証明すれば、 \(E_1^{p, q} = H^q_\etale(Y, \mathcal{F}_p)\) をもち \(H^{p + q}(Y_\etale, \mathcal{F})\) に収束するスペクトル系列を得る。 導来圏、補題 015J を参照されたい。 一方、\(R^if_{p, *}f_p^{-1}\mathcal{F} = 0\) が \(i > 0\) に対して成り立つので （命題 03QP）、 \[H^q_\etale(X_p, f_p^{-1}\mathcal{F}) = H^q_\etale(Y, f_{p, *}f_p^{-1} \mathcal{F}) = H^q_\etale(Y, \mathcal{F}_p)\] を命題 03QC により得る。したがって補題のスペクトル系列を得る。

補題の第一の主張を証明するため、\(X_n\) が \(Y\) 上の単体スキームをなすことに注意する。 単体的方法、例 016E を参照されたい。 さらに、各射影 \(d_j : X_{n + 1} \to X_n\) に対して写像 \(d_j^{-1} f_n^{-1}\mathcal{F} \to f_{n + 1}^{-1}\mathcal{F}\). が存在する。これらの写像は写像 \[\delta_j : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\] を \(j = 0, \ldots, n + 1\) に対して誘導する。これらの写像の交代和により、 微分 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\) を定める。 同様に、標準的な増大写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_0\) が存在する。 これはまさに標準写像 \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\) である。 この層の列が完全な複体であることを確かめるには、幾何点における茎で 確かめれば十分である（定理 03PU）。 そこで \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) を幾何点とする。 \(E = \{\overline{x} : \Spec(k) \to X \mid f(\overline{x}) = \overline{y}\}\) とおく。 \(E\) は有限非空集合であり、 \[(\mathcal{F}_n)_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{e \in E^{n + 1}} \mathcal{F}_{\overline{y}}\] が命題 03QP と補題 03Q1 により成り立つ。したがって、アーベル群 \(M\) が 与えられたとき、列 \[0 \to M \to \bigoplus\nolimits_{e \in E} M \to \bigoplus\nolimits_{e \in E^2} M \to \ldots\] が完全であることを示せばよい。ここで第一の写像は対角写像であり、写像 \(\bigoplus_{e \in E^{n + 1}} M \to \bigoplus_{e \in E^{n + 2}} M\) は、\((n + 2)\) 個の射影 \(E^{n + 2} \to E^{n + 1}\) が誘導する写像の 交代和である。これは直接示すこともできるし、単体的方法、補題 019P を 写像 \(E \to \{*\}\) に適用して導くこともできる。

注意

補題 09Z2 の状況で、 \(\mathcal{G}\) が \(Y_\etale\) 上の集合の層ならば \[\Gamma(Y, \mathcal{G}) = \text{等化子}( \xymatrix{ \Gamma(X_0, f_0^{-1}\mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Gamma(X_1, f_1^{-1}\mathcal{G}) } )\] である。これはまったく同じ方法で、層 \(\mathcal{G}\) が二つの写像 \(f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{G} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{G}\). の等化子であることを示して証明される。

茎上のガロア作用

この節では、点 \(s\) で \(S\) のものの剰余体の絶対ガロア群が、 \(s\) 上にある任意の幾何点での茎関手に作用することを定義する。

茎上のガロア作用。 \(S\) をスキームとする。 \(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。 \(\sigma \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\) とする。 \(\sigma\) の茎 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) への作用を、層 \(\mathcal{F}\) に対して 次のように定義する： [04JK]\[\begin{equation} \begin{matrix} \mathcal{F}_{\overline{s}} & \longrightarrow & \mathcal{F}_{\overline{s}} \\ (U, \overline{u}, t) & \longmapsto & (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma), t). \end{matrix} \end{equation}\] ここでは、定義 040R に続く議論にあるように、 茎の元を三つ組で記述している。これは左作用である。実際、 \(\sigma_i \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\) ならば \[\begin{align*} \sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot (U, \overline{u}, t)) & = \sigma_1 \cdot (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_2), t) \\ & = (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_2) \circ \Spec(\sigma_1), t) \\ & = (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_1 \circ \sigma_2), t) \\ & = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot (U, \overline{u}, t) \end{align*}\] である。この作用が層 \(\mathcal{F}\) に関して関手的であることは明らかである。 また、注意 04FN を直接参照してこの作用を定義することもできた。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(\overline{s}\) を点 \(s\) で \(S\) のものの上にある幾何点とする。 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) において、 \(\kappa(s)\) の分離代数閉包を、代数閉体 \(\kappa(\overline{s})\) の中で取ったものとする。

1. この状況で \(\kappa(s)\) の絶対ガロア群とは \(\text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/\kappa(s))\) のことである。 これは \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\) と書かれることもある。

2. 幾何点 \(\overline{s}\) は、\(\kappa(s) \subset \kappa(\overline{s})\) が \(\kappa(s)\) の代数閉包であるとき代数的であるという。

例

幾何点 \(\Spec(\mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{Q})\) は代数的でない。

\(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) を 定義のとおりとする。\(\kappa(\overline{s})\) は代数閉なので、写像 \[\text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s)) \longrightarrow \text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/\kappa(s)) = \text{Gal}_{\kappa(s)}\] は全射であることに注意する。\((U, \overline{u})\) を \(\overline{s}\) のエタール近傍とし、\(\overline{u}\) は 点 \(u\) で \(U\) のものの上にあるとする。\(U \to S\) はエタールなので、 剰余体拡大 \(\kappa(u)/\kappa(s)\) は有限分離的である。 これから次が従う。

1. \(\sigma \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s)^{sep})\) ならば、 \(\sigma\) は \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) に自明に作用する。

2. より正確には、\(\text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\) の作用は、 絶対ガロア群 \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\) の \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) への作用を 定め、またそれによって定められる。

3. \((U, \overline{u}, t)\) が元 \(\xi\) で \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) に属するものを表すとき、 \(\text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/K)\) の任意の元は自明に作用する。ここで \(\kappa(s) \subset K \subset \kappa(s)^{sep}\) は \(\overline{u}^\sharp : \kappa(u) \to \kappa(\overline{s})\) の像である。

以上より、\(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) は \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\)-集合となる （基本群、定義 04JJ を参照されたい）。 したがって、茎関手を関手 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \text{Gal}_{\kappa(s)}\textit{-Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\] とみなしてよく、以後は通常このように茎関手を考える。

定理

\(S = \Spec(K)\) とし、\(K\) は体であるとする。 \(\overline{s}\) を \(S\) の幾何点とする。 \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\) で絶対ガロア群を表す。 茎を取ることは圏同値 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow G\textit{-Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}.\] を誘導する。

証明

この関手の逆を構成しよう。基本群、補題 03QR で、\(G\)-集合 \(M\) が与えられるとエタール射 \(X \to \Spec(K)\) で、\(\Mor_K(\Spec(K^{sep}), X)\) が \(M\) と \(G\)-集合として同型となるものが 存在することを見た。層 \(\mathcal{F}\) で、\(\Spec(K)_\etale\) 上にあり、 規則 \(U \mapsto \Mor_K(U, X)\) により定義されるものを考える。 エタール位相は準標準的なので、これは層である。このとき \(\mathcal{F}_{\overline{s}} = \Mor_K(\Spec(K^{sep}), X) = M\) が \(G\)-集合として成り立つ（細部は省略する）。これで関手の逆を得て、 証明が終わる。

注意

定理 03QT と基本群、補題 03QR の結論は、\(\Spec(K)_\etale\) 上の任意の層が、 スキーム \(X\) で \(\Spec(K)\) 上エタールなものによって表現可能である、と言い換えられる。 これは、任意の層がサイト、定義 00WR の意味で表現可能だということではない。 その理由は、\(\Spec(K)_\etale\) の構成において、\(\Spec(K)\) 上エタールなスキームの 十分大きい集合を選んだのに対し、\(\Spec(K)_\etale\) 上の層は真の類をなすからである。

補題

仮定と記法を定理 03QT と同じものとする。 関手的な全単射 \[\Gamma(S, \mathcal{F}) = (\mathcal{F}_{\overline{s}})^G\] が存在する。

証明

これは形式的な議論と定理 03QT の結果を用いて、 次のように証明できる。層 \(\mathcal{F}\) で、 \(G\)-集合 \(M = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) に対応するものが与えられたとき、 \[\begin{eqnarray*} \Gamma(S, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(S_\etale)}(h_{\Spec(K)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{G\textit{-Sets}}(\{*\}, M) \\ & = & M^G \end{eqnarray*}\] である。第一の同一視はサイト、節 00V1 および 00WO で説明されている。 第二の同一視は定理 03QT から従い、 第三の同一視は明らかである。直接証明も与える⁵。

\(t \in \Gamma(S, \mathcal{F})\) を大域切断とする。 すると三つ組 \((S, \overline{s}, t)\) は \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) の元を定め、 これは明らかに \(G\) の作用で不変である。逆に、\((U, \overline{u}, t)\) が \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) の不変な元を定めるとする。 \(U\) を縮小し、\(U = \Spec(L)\) で、\(K\) のある有限分離体拡大に対して 成り立つと仮定してよい。命題 03PC を参照されたい。 この場合、写像 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_{\overline{s}}\) は単射である。 実際、エタール近傍の任意の射 \((U', \overline{u}') \to (U, \overline{u})\) に対して、制限写像 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) は単射である。これは \(U' \to U\) が \(S_\etale\) の被覆だからである。 \(L\) を少し大きくすれば、\(K \subset L\) は有限ガロア拡大であると仮定してよい。 ここで \[\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \Spec(L) = \coprod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(L/K)} \Spec(L)\] を用いる。ここで写像 \(\Spec(L) \to \Spec(L \otimes_K L)\) は環準同型 \(a \otimes b \mapsto a\sigma(b)\) から来る。したがって、 \((U, \overline{u}, t)\) が \(G\) のすべての元で不変であるという条件から、 \(t \in \mathcal{F}(\Spec(L))\) は二つの射影のいずれによる制限でも \(\mathcal{F}(\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \Spec(L))\) の同じ元へ写ることがわかる（ここでは上で述べた単射性を用いる。細部は省略する）。 したがって、層 \(\mathcal{F}\) の、エタール被覆 \(\{\Spec(L) \to \Spec(K)\}\) に対する条件を用いると、\(t\) は \(\mathcal{F}\) の \(\Spec(K)\) 上の一意な切断から来ると結論できる。

注意

\(S\) をスキームとし、\(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) を \(S\) の幾何点とする。定義により、これは \(k\) が代数閉であることを意味する。 とくに \(k\) の絶対ガロア群は自明である。したがって定理 03QT により、\(\Spec(k)_\etale\) 上の層の圏は 集合の圏と同値である。この同値は \(\Spec(k)\) 上の切断を取ることによって与えられる。 これにより、茎関手の別の定義が得られる。すなわち関手 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \textit{Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\] は関手 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \Sh(\Spec(k)_\etale) = \textit{Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \overline{s}^*\mathcal{F}\] と同型である。これを厳密に証明するには、補題 03Q1 の (3) を \(f = \overline{s}\) として用いればよい。 さらに、これがわかれば、補題 03Q1 の (3) の一般の場合は 引き戻しの関手性から従う。

群コホモロジー

以下で \(H^i(G, M)\) と書くとき、\(G\) は位相群であり、\(M\) は連続な \(G\)-作用をもつ離散 \(G\)-加群であり、\(H^i(G, -)\) は第 \(i\) 右導来関手を表す。 その定義域は圏 \(\text{Mod}_G\)、すなわちそのような \(G\)-加群の圏である。 定義 04JP および 04JR を参照されたい。これには抽象群 \(G\) の場合も含まれ、その場合は単に \(G\) を離散位相をもつ位相群とみなす。

加群が非離散位相をもつ場合には、[Tate] で導入された連続コホモロジー群を \(H^i_{cont}(G, M)\) と書く。節 0DVG を参照されたい。

定義

\(G\) を位相群とする。

1. \(G\)-加群（離散 \(G\)-加群ともいう）とは、アーベル群 \(M\) と、 群準同型による左作用 \(a : G \times M \to M\) で、\(a\) が、\(M\) に離散位相を入れたとき 連続となるものとの組である。

2. \(G\)-加群の射 \(f : M \to N\) とは、\(G\)-同変準同型で、 \(M\) から \(N\) へのものである。

3. \(G\)-加群の圏を \(\text{Mod}_G\) と書く。

\(R\) を環とする。

1. \(R\text{-}G\)-加群とは、\(R\)-加群 \(M\) と、 左作用 \(a : G \times M \to M\) で、\(R\)-線形写像によるものであり、 \(a\) が、\(M\) に離散位相を入れたとき連続となるものとの組である。

2. \(R\text{-}G\)-加群の射 \(f : M \to N\) とは、\(G\)-同変な \(R\)-加群準同型で、\(M\) から \(N\) へのものである。

3. \(R\text{-}G\)-加群の圏を \(\text{Mod}_{R, G}\) と書く。

\(a : G \times M \to M\) が連続であるという条件は、任意の \(x \in M\) の 固定部分群が \(G\) の開部分群であるという条件と同値である。 \(G\) が抽象群ならば、\(G\) に離散位相を入れることで、これは \(G\)-作用をもつアーベル群という概念に一致する。 \(\text{Mod}_{\mathbf{Z}, G} = \text{Mod}_G\) であることに注意する。

圏 \(\text{Mod}_G\) は十分な単射的対象をもつ。単射的対象、補題 04JF を参照されたい。左完全関手 \[\text{Mod}_G \longrightarrow \textit{Ab}, \quad M \longmapsto M^G = \{x \in M \mid g \cdot x = x\ \forall g \in G\}\] を考える。\(M^G = H^0(G, M)\) と書くこともあれば、 \(M^G = \Gamma_G(M)\) と書くこともある。この関手は全右導来関手 \(R\Gamma_G(M)\) および第 \(i\) 右導来関手 \(R^i\Gamma_G(M) = H^i(G, M)\) をもち、後者は任意の \(i \geq 0\) に対して定義される。

同じ構成は \(H^0(G, -) : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_R\) にも適用できる。 補題 0DVD で、これが台となる \(G\)-加群の コホモロジーと一致することを見る。

定義

\(G\) を位相群とする。\(M\) を、連続な \(G\)-作用をもつ離散 \(G\)-加群とする。 言い換えると、\(M\) は定義 04JP で導入した 圏 \(\text{Mod}_G\) の対象である。

1. 右導来関手 \(H^i(G, M)\)、すなわち \(H^0(G, M)\) の 圏 \(\text{Mod}_G\) 上での右導来関手を、\(M\) の連続群コホモロジー群という。

2. \(G\) が離散位相を入れた抽象群ならば、\(H^i(G, M)\) を \(M\) の群コホモロジー群という。

3. \(G\) がガロア群ならば、群 \(H^i(G, M)\) を \(M\) のガロアコホモロジー群という。

4. \(G\) が体 \(K\) の絶対ガロア群ならば、群 \(H^i(G, M)\) を \(K\) のガロアコホモロジー群で \(M\) を係数とするものということがある。 この場合、\(H^i(K, M)\) と書くことがあり、これは \(H^i(G, M)\) の代わりである。

補題

\(G\) を位相群とする。\(R\) を環とする。 すべての \(i \geq 0\) に対して、図式 \[\xymatrix{ \text{Mod}_{R, G} \ar[rr]_{H^i(G, -)} \ar[d] & & \text{Mod}_R \ar[d] \\ \text{Mod}_G \ar[rr]^{H^i(G, -)} & & \textit{Ab} }\] は可換である。ここで縦の矢印は忘却関手である。

証明

忘却関手を \(F : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_G\) と書く。 \(F\) は左随伴 \(H : \text{Mod}_G \to \text{Mod}_{R, G}\) をもち、 \(H(M) = M \otimes_\mathbf{Z} R\) によって与えられる。 \(\text{Mod}_G\) の任意の対象は、\(\mathbf{Z}[G/U]\) という形の加群の 直和の商である。ここで \(U \subset G\) は開部分群である。 \(\mathbf{Z}[G/U]\) は \(G\)-加群を表す。その元は有限 \(\mathbf{Z}\)-線形結合であり、 右 \(U\) 合同類を \(G\) の中で取ったものからなる。この加群には左 \(G\)-作用を入れる。 したがって、\(\text{Mod}_G\) の任意の上に有界な複体は、 \(\text{Mod}_G\) の上に有界な複体で、その各項が平坦な \(\mathbf{Z}\)-加群であるものと 擬同型である（導来圏、補題 05T7）。 ゆえに \(LH\) が \(D^-(\text{Mod}_G)\) 上に存在し、\(H\) を各項が平坦な \(\mathbf{Z}\)-加群である任意の複体に適用して計算されることは明らかである。 これは導来圏、補題 05T9 および命題 05TA から従う。 導来圏、補題 0DVC から \[\text{Ext}^i(\mathbf{Z}, F(M)) = \text{Ext}^i(R, M)\] が、\(M\) が \(\text{Mod}_{R, G}\) に属するとき成り立つことがわかる。 \(H^0(G, -) = \Hom(\mathbf{Z}, -)\) が \(\text{Mod}_G\) 上で成り立つことに注意する。 ここで \(\mathbf{Z}\) は自明な作用をもつ \(G\)-加群を表す。したがって \(H^i(G, -) = \text{Ext}^i(\mathbf{Z}, -)\) が \(\text{Mod}_G\) 上で成り立つ。 同様に、\(H^i(G, -) = \text{Ext}^i(R, -)\) が \(\text{Mod}_{R, G}\) 上で成り立つ。以上をあわせれば補題が従う。

補題

\(G\) を位相群とする。\(R\) を環とする。 \(M\)、\(N\) を \(R\text{-}G\)-加群とする。\(M\) が \(R\)-加群として有限射影的ならば \(\text{Ext}^i(M, N) = H^i(G, M^\vee \otimes_R N)\) である （記法については証明を参照されたい）。

証明

加群 \(M^\vee = \Hom_R(M, R)\) には \(G\) の反傾作用を入れる。 すなわち \((g \cdot \lambda)(m) = \lambda(g^{-1} \cdot m)\) が \(g \in G\)、\(\lambda \in M^\vee\)、\(m \in M\) に対して成り立つ。 \(G\) の \(M^\vee \otimes_R N\) への作用は対角作用、すなわち \(g \cdot (\lambda \otimes n) = g \cdot \lambda \otimes g \cdot n\). で与えられる。第三の \(R\text{-}G\)-加群 \(E\) に対して \(\Hom(E, M^\vee \otimes_R N) = \Hom(M \otimes_R E, N)\). である。実際、これは \(R\)-加群の段階では代数、補題 00DE および 0DVB により成り立ち、 \(G\)-作用の定義は、\(R\text{-}G\)-加群についても成り立つように選ばれている。 したがって、\(M^\vee \otimes_R N\) は単射的 \(R\text{-}G\)-加群である。 これは \(N\) が単射的 \(R\text{-}G\)-加群である場合に成り立つ。 ゆえに \(N \to N^\bullet\) が単射分解ならば、 \(M^\vee \otimes_R N \to M^\vee \otimes_R N^\bullet\) も単射分解である。このとき \[\Hom(M, N^\bullet) = \Hom(R, M^\vee \otimes_R N^\bullet) = (M^\vee \otimes_R N^\bullet)^G\] 左辺は \(\text{Ext}^i(M, N)\) を、右辺は \(H^i(G, M^\vee \otimes_R N)\) を計算するので、証明が完了する。

補題

\(G\) を位相群とする。\(k\) を体とする。 \(V\) を \(k\text{-}G\)-加群とする。 \(G\) が位相的に有限生成で \(\dim_k(V) < \infty\) ならば、 \(\dim_k H^1(G, V) < \infty\) である。

証明

\(g_1, \ldots, g_r \in G\) を \(G\) を位相的に生成する元とする。 すなわち、\(g_1, \ldots, g_r\) が生成する部分群は稠密である。 補題 0DVE により、\(H^1(G, V)\) は \(k\)-ベクトル空間で、 その元は拡大 \[0 \to V \to E \to k \to 0\] で \(k\text{-}G\)-加群のものによって与えられる。 \(e \in E\) で \(1 \in k\) へ写るものを選ぶ。 \[g_i \cdot e = v_i + e\] と、ある \(v_i \in V\) に対して書く。これは \(g_i \cdot 1 = 1\) だから可能である。 元の列 \(v_1, \ldots, v_r \in V\) が拡大 \(E\) の同型類を定めると主張する。 これを証明すれば補題が従う。実際、これは考えている拡大類のベクトル空間が \(k\)-ベクトル空間 \(V^{\oplus r}\) の部分商と同型であることを意味する。 細部は省略する。 \(E\) は定義 04JP で定めた圏の対象なので、 開部分群 \(U\) が存在して、\(u \cdot e = e\) がすべての \(u \in U\) に対して成り立つ。 任意の \(g \in G\) を選ぶ。すると \(gU\) は、語 \(w\) で、 元 \(g_1, \ldots, g_r\) からなるものを含む。 \(gu = w\) とする。元 \(w \cdot e\) は \(v_1, \ldots, v_r\) によって定まるので、 \(g \cdot e = (gu) \cdot e = w \cdot e\) もそうである。

補題

\(G\) を副有限位相群とする。このとき

1. \(H^i(G, M)\) は \(i > 0\) および任意の \(G\)-加群 \(M\) に対して捩れ群である。

2. \(H^i(G, M) = 0\) は、\(M\) が \(\mathbf{Q}\)-ベクトル空間ならば成り立つ。

証明

(1) の証明。次元移動により、\(H^1(G, M)\) が任意の \(G\)-加群 \(M\) に対して 捩れ群であることを示せば十分である。完全列 \(0 \to M \to I \to N \to 0\) で、\(I\) が \(G\)-加群の圏の単射的対象であるものを選ぶ。 すると \(H^1(G, M)\) の任意の元は、ある元 \(y \in N^G\) の像である。 \(x \in I\) で \(y\) へ写るものを選ぶ。安定化部分群 \(U \subset G\) で \(x\) のものは開であり、 したがって有限指数 \(r\) をもつ。\(g_1, \ldots, g_r \in G\) を \(G/U\) の代表元系とする。このとき \(\sum g_i(x)\) は \(I\) の不変元で、 \(ry\) へ写る。したがって \(r\) は、最初に取った \(H^1(G, M)\) の元を零化する。 (2) は、このとき \(H^i(G, M)\) が \(\mathbf{Q}\)-ベクトル空間であると同時に 捩れ群でもあることから従う。