판별식과\ different

서론

이 장에서는 스킴의 국소 준유한 사상에 대한 different와 판별식을 연구한다. 이 내용의 일부에 관해서는 [Kunz]가 좋은 참고문헌이다.

Noether 스킴의 준유한 사상 \(f : Y \to X\)가 주어지면 상대 쌍대화 가군 \(\omega_{Y/X}\)가 존재한다. Section 0BUK에서는 Zariski 주정리와 étale 국소화 방법을 사용하여 이 가군을 처음부터 구성한다. 핵심 성질은 다음과 같다. 도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 이 주어지고, \(g : X' \to X\)가 평탄하며, \(Y' \subset X' \times_X Y\)가 열린 부분집합이고, \(f' : Y' \to X'\)가 유한이면, \(f'_*\mathcal{O}_{Y'}\)-가군의 층으로서 표준 동형 \[f'_*(g')^*\omega_{Y/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_{X'})\] 이 존재한다. Section 0BSY에서는 \(f\)가 평탄이면 표준 대역 절단 \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, \omega_{Y/X})\)가 존재하여, 위와 같은 모든 가환도식에 대해 \((g')^*\tau_{Y/X}\)가 유한 국소 자유 사상 \(f'\)에 대한 Section 0BVH의 대각합 사상으로 보내짐을 증명한다. Section 0BTC에서는 Noether 스킴의 평탄한 준유한 사상에 대한 different를 \(\tau_{Y/X} : \mathcal{O}_X \to \omega_{Y/X}\)의 여핵의 소멸자로 정의한다.

이 장의 주된 목표는 준유한 syntomic¹ 사상 \(f\)에 대해 different가 Kähler different와 일치함을 증명하는 것이다. Kähler different는 \(\Omega_{Y/X}\)의 0차 Fitting 아이디얼이다. Section 0BVV를 보라. 이 일치는 자명하지 않으며, Section 0BWB에서 보듯이 Tate의 세련된 논증을 사용한다. 그 과정에서 Noether different와 Dedekind different도 논한다.

스킴의 쌍대성에 관한 더 고급 내용과의 연결은 이 장의 끝, Sections 0DWM과 0C14에서야 비로소 이루어진다.

준유한 환 사상의 쌍대화 가군

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 준동형이라 하자. Zariski 주정리 (Algebra, Lemma 00QB)에 의해, \(A \to B'\)가 유한이고 \(B' \to B\)가 스펙트럼의 열린 몰입을 유도하는 분해 \(A \to B' \to B\)가 존재한다. 이때 [0BSZ]\[\begin{equation} \omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \end{equation}\] 로 놓는다. 독자는 이를 일종의 상대 쌍대화 가군으로 생각할 수 있다. Lemmas 0BUL와 0C0I을 보라. 이 절에서는 초등적인 가환대수 방법을 써서 \(\omega_{B/A}\)가 분해의 선택과 무관하며, \(\omega_{B/A}\)의 형성이 평탄 기저변환과 가환함을 보인다. 분해의 선택과 무관함을 증명하기 위해 먼저 주어진 두 분해를 비교한다.

보조정리

\(A \to B\)를 준유한 환 사상이라 하자. 두 분해 \(A \to B' \to B\)와 \(A \to B'' \to B\)가 주어지고, \(A \to B'\)와 \(A \to B''\)는 유한이며, \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)와 \(\Spec(B) \to \Spec(B'')\)는 열린 몰입이라고 하자. 그러면 \(A\) 위 유한인 \(A\)-부분대수 \(B''' \subset B\)가 존재하여, \(\Spec(B) \to \Spec(B''')\)는 열린 몰입이고 \(B' \to B\)와 \(B'' \to B\)는 모두 \(B'''\)을 거친다.

증명

\(B''' \subset B\)를 \(B' \to B\)와 \(B'' \to B\)의 상들이 생성하는 \(A\)-부분대수라 하자. \(B'\)와 \(B''\)는 각각 \(A\) 위 정인 유한 개의 원소로 생성되므로, \(B'''\)도 \(A\) 위 정인 유한 개의 원소로 생성된다. 따라서 \(B'''\)은 \(A\) 위 유한이다 (Algebra, Lemma 02JJ). 사상들을 생각하자. \[B = B' \otimes_{B'} B \to B''' \otimes_{B'} B \to B \otimes_{B'} B = B\] 마지막 등식은 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)가 열린 몰입이고, 따라서 단사상이라는 사실에서 따른다. \(B' \to B\)가 평탄하므로 두 번째 화살표는 단사이다. 따라서 두 화살표 모두 동형이다. 이는 \[\xymatrix{ \Spec(B''') \ar[d] & \Spec(B) \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(B') & \Spec(B) \ar[l] }\] 가 카르테시안임을 뜻한다. 열린 몰입의 기저변환은 열린 몰입이므로 결론을 얻는다.

보조정리

가군 (0BSZ)은 잘 정의된다. 즉 분해의 선택과 무관하다.

증명

\(B', B'', B'''\)을 Lemma 0BT0에서와 같이 택한다. 표준 사상 \[\omega''' = \Hom_A(B''', A) \otimes_{B'''} B \longrightarrow \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B = \omega'\] 과 \(B''\)를 포함하는 유사한 사상을 얻는다. 이 사상들이 동형임을 보이면 보조정리가 증명된다. \(B'_g \to B_g\)가 동형이고, 따라서 \(B'_g \to (B''')_g \to B_g\)가 모두 동형이 되게 하는 원소 \(g \in B'\)을 택한다. \((\omega''')_g \to \omega'_g\)가 동형임을 보이는 것으로 충분하다. 환 사상 \(B' \to B'''\)의 핵과 여핵은 유한 \(A\)-가군이며 \(g\)-멱 꼬임이다. 따라서 이들은 \(g\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸한다. 이로부터 결론이 쉽게 따른다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 사상이라 하자.

1. 어떤 \(f \in A\)에 대해 \(A \to B\)가 \(A \to A_f \to B\)로 분해되면, \(\omega_{B/A} = \omega_{B/A_f}\)이다.

2. \(g \in B\)이면, \((\omega_{B/A})_g = \omega_{B_g/A}\)이다.

3. \(f \in A\)이면, \(\omega_{B_f/A_f} = (\omega_{B/A})_f\)이다.

증명

\(A \to B'\)는 유한이고 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)는 열린 몰입인 분해 \(A \to B' \to B\)가 있다고 하자. (1)의 경우에는 분해 \(A_f \to B'_f \to B\)를 사용하여 \(\omega_{B/A_f}\)를 계산하고, Algebra, Lemma 0583를 사용하면 된다. (2)의 경우에는 분해 \(A \to B' \to B_g\)를 사용하면 결론을 얻는다. (3)은 (1)과 (2)를 결합하면 따른다.

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 환 사상이라 하고, \(A \to A_1\)을 Noether 환의 임의의 환 사상이라 하며, \(B_1 = B \otimes_A A_1\)로 놓자. 쌍대 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ B \ar[r] & B_1 \\ A \ar[u] \ar[r] & A_1 \ar[u] }\] 을 얻는다. \(A_1 \to B_1\)도 준유한임을 관찰하자 (Algebra, Lemma 00PP). 이 상황에서 표준적인 \(B\)-선형 기저변환 사상 [0BVB]\[\begin{equation} \omega_{B/A} \longrightarrow \omega_{B_1/A_1} \end{equation}\] 을 정의한다. 구체적으로, \(\omega_{B/A}\)의 구성에서와 같은 분해 \(A \to B' \to B\)를 택한다. 그러면 \(B'_1 = B' \otimes_A A_1\)은 \(A_1\) 위 유한이며, \(\omega_{B_1/A_1}\)의 구성에서 분해 \(A_1 \to B'_1 \to B_1\)을 사용할 수 있다. 따라서 사상 \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \longrightarrow \Hom_{A_1}(B' \otimes_A A_1, A_1) \otimes_{B'_1} B_1\] 을 구성해야 한다. 그러므로 \(\varphi \mapsto \varphi_1\)로 나타낼 \(B'\)-선형 사상 \(\Hom_A(B', A) \to \Hom_{A_1}(B' \otimes_A A_1, A_1)\)을 구성하는 것으로 충분하다. 즉 \(A\)-선형 사상 \(\varphi : B' \to A\)가 주어지면, \(\varphi_1(b' \otimes a_1) = \varphi(b')a_1\)을 만족하는 사상을 \(\varphi_1\)로 둔다. 이는 명백히 \(A_1\)-선형이며 구성이 끝난다.

보조정리

기저변환 사상 (0BVB)은 분해 \(A \to B' \to B\)의 선택과 무관하다. 환 사상 \(A \to A_1 \to A_2\)가 주어지면, \(A \to A_1\)과 \(A_1 \to A_2\)에 대한 기저변환 사상의 합성은 \(A \to A_2\)에 대한 기저변환 사상이다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 0BT1의 증명과 정확히 같은 방식으로 Lemma 0BT0를 사용하여 논증하라.

보조정리

\(A \to A_1\)이 평탄이면 기저변환 사상 (0BVB)은 동형 \(\omega_{B/A} \otimes_B B_1 \to \omega_{B_1/A_1}\)을 유도한다.

증명

\(A \to A_1\)이 평탄하다고 하자. \(\omega_{B/A}\)의 구성에 의해 \(A \to B\)가 유한이라고 가정해도 된다. 그러면 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)이고 \(\omega_{B_1/A_1} = \Hom_{A_1}(B_1, A_1)\)이다. \(B_1 = B \otimes_A A_1\)이므로, 결론은 More on Algebra, Lemma 087R에서 따른다.

보조정리

\(A \to B \to C\)를 Noether 환의 준유한 준동형이라 하자. 표준 사상 \(\omega_{B/A} \otimes_B \omega_{C/B} \to \omega_{C/A}\)가 존재한다.

증명

\(A \to B'\)는 유한이고 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)는 열린 몰입이 되도록 \(A \to B' \to B\)를 택한다. 그러면 \(B' \to C\)도 준유한이다. \(B' \to C'\)는 유한이고 \(\Spec(C) \to \Spec(C')\)는 열린 몰입이 되도록 \(B' \to C' \to C\)를 택한다. 이때 화살표의 정의역은 \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \otimes_B \Hom_B(B \otimes_{B'} C', B) \otimes_{B \otimes_{B'} C'} C\] 이고, 이는 \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} \Hom_{B'}(C', B) \otimes_{C'} C\] 와 같다. 여기에 합성 \(\Hom_A(B', A) \times \Hom_{B'}(C', B) \to \Hom_A(C', A)\)에서 오는 \(\Hom_A(C', A) \otimes_{C'} C = \omega_{C/A}\)로의 표준 사상이 있다.

보조정리

\(A \to B\)와 \(A \to C\)를 Noether 환의 준유한 사상이라 하자. 그러면 \(B \times C\) 위의 가군으로서 \(\omega_{B \times C/A} = \omega_{B/A} \times \omega_{C/A}\)이다.

증명

\(A \to B'\)와 \(A \to C'\)가 유한이고, \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)와 \(\Spec(C) \to \Spec(C')\)가 열린 몰입이 되도록 분해 \(A \to B' \to B\)와 \(A \to C' \to C\)를 택한다. 그러면 \(A \to B' \times C' \to B \times C\)도 같은 종류의 분해이다. 이 분해로 \(\omega_{B \times C/A}\)를 계산하면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 준동형이라 하자. 그러면 \(\text{Ass}_B(\omega_{B/A})\)는 \(A\)의 수반 소아이디얼 위에 놓이는 \(B\)의 소아이디얼들의 집합이다.

증명

\(A \to B'\)는 유한이고 \(B' \to B\)는 스펙트럼 위의 열린 몰입을 유도하는 분해 \(A \to B' \to B\)를 택한다. \(\omega_{B/A} = \omega_{B'/A} \otimes_{B'} B\)이므로 \(\omega_{B'/A}\)에 대해 명제를 증명하면 충분하다. 따라서 \(A \to B\)가 유한이라고 가정해도 된다.

\(\mathfrak p \in \text{Ass}(A)\)라고 하고, \(\mathfrak q\)를 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 \(B\)의 소아이디얼이라 하자. 소멸자가 \(\mathfrak p\)인 원소 \(x \in A\)를 택한다. 영이 아닌 \(\kappa(\mathfrak p)\)-선형 사상 \(\lambda : \kappa(\mathfrak q) \to \kappa(\mathfrak p)\)를 택한다. \(A/\mathfrak p \subset B/\mathfrak q\)가 환의 유한 확대이므로, \(f \not \in \mathfrak p\)인 \(f \in A\)가 존재하여 \(f\lambda\)는 \(B/\mathfrak q\)를 \(A/\mathfrak p\) 안으로 보낸다. 따라서 영이 아닌 \(A\)-선형 사상 \[B \to B/\mathfrak q \to A/\mathfrak p \to A,\quad b \mapsto f\lambda(b)x\] 을 얻는다. 간단한 계산으로 \(\omega_{B/A}\)의 이 원소의 소멸자가 \(\mathfrak q\)임을 알 수 있고, 따라서 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(\omega_{B/A})\)이다.

역으로, \(\mathfrak q \subset B\)가 \(A\)의 수반 소아이디얼이 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓인다고 하자. \(\mathfrak q \not \in \text{Ass}_B(\omega_{B/A})\)임을 보여야 한다. \(A\)를 \(A_\mathfrak p\)로, \(B\)를 \(B_\mathfrak p\)로 바꾸면 \(\mathfrak p\)가 \(A\)의 극대 아이디얼이라고 가정할 수 있다. 이는 Lemma 0BT3와 Algebra, Lemma 05BZ에 의해 허용된다. 그러면 \(A\) 위의 영인자가 아닌 원소 \(f \in \mathfrak m\)이 존재한다. 이때 \(f\)는 \(\omega_{B/A}\) 위에서도 영인자가 아닌 원소이므로, \(\mathfrak q\)는 이 가군의 수반 소아이디얼이 아니다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 준동형이라 하자. 그러면 \(\omega_{B/A}\)는 평탄한 \(A\)-가군이다.

증명

\(\mathfrak q \subset B\)를 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하자. 국소화 \(\omega_{B/A, \mathfrak q}\)가 \(A_\mathfrak p\) 위에서 평탄함을 보이겠다. Algebra, Lemma 00HT에 의해 이것으로 충분하다. Algebra, Lemma 00UJ에 의해, étale 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset A'\)을 택하여 \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\)이고 \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] 이며 \(A' \to C\)는 유한이 되게 할 수 있다. 또한 \(B \otimes_A A'\)에서 \(\mathfrak q\)와 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak q'\)은 \(C\)의 한 소아이디얼에 대응한다. Lemma 0BT3와 Algebra, Lemma 00MQ에 의해, \(\omega_{B'/A', \mathfrak q'}\)가 \(A'_{\mathfrak p'}\) 위에서 평탄함을 보이면 충분하다. Lemma 0BT5에 의해 \(\omega_{B'/A'} = \omega_{C/A'} \times \omega_{D/A'}\)이므로, \(B\)가 \(A\) 위에서 유한 평탄인 경우로 환원된다. 이 경우 \(B\)는 유한 국소 자유 \(A\)-가군이고, \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)는 그 쌍대 유한 국소 자유 \(A\)-가군이다.

보조정리

\(A \to B\)가 평탄이면, 기저변환 사상 (0BVB)은 동형 \(\omega_{B/A} \otimes_B B_1 \to \omega_{B_1/A_1}\)을 유도한다.

증명

\(A \to B\)가 유한 평탄이면 \(B\)는 유한 국소 자유 \(A\)-가군이다. 이 경우 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)는 그 쌍대 유한 국소 자유 \(A\)-가군이고, 이 가군의 형성은 임의의 기저변환과 가환한다. 따라서 이 경우에는 보조정리가 성립한다. 다음 문단에서는 일반적인 준유한 평탄의 경우를 방금 논한 유한 평탄의 경우로 환원한다.

\(\mathfrak q_1 \subset B_1\)을 소아이디얼이라 하자. 주어진 사상을 \(\mathfrak q_1\)에서 국소화한 것이 동형임을 보이겠다. Algebra, Lemma 00HN에 의해 이것으로 충분하다. \(\mathfrak q \subset B\)와 \(\mathfrak p \subset A\)를 \(\mathfrak q_1\) 아래에 놓이는 소아이디얼이라 하자. Algebra, Lemma 00UJ에 의해, étale 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset A'\)을 택하여 \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\)이고 \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] 이며 \(A' \to C\)는 유한이 되게 할 수 있다. 또한 \(B \otimes_A A'\)에서 \(\mathfrak q\)와 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak q'\)은 \(C\)의 한 소아이디얼에 대응한다. \(A'_1 = A' \otimes_A A_1\)로 놓고, 다음 도식에서처럼 환 사상 \(A \to A' \to A'_1\)과 \(A \to A_1 \to A'_1\)에 대한 기저변환 사상 (0BVB)을 생각하자. \[\xymatrix{ \omega_{B'/A'} \otimes_{B'} B'_1 \ar[r] & \omega_{B'_1/A'_1} \\ \omega_{B/A} \otimes_B B'_1 \ar[r] \ar[u] & \omega_{B_1/A_1} \otimes_{B_1} B'_1 \ar[u] }\] 여기서 \(B' = B \otimes_A A'\), \(B_1 = B \otimes_A A_1\)이고, \(B_1' = B \otimes_A (A' \otimes_A A_1)\)이다. Lemma 0BVC에 의해 이 도식은 가환한다. Lemma 0BT3에 의해 수직 화살표들은 동형이다. \(B_1 \to B'_1\)은 étale이고 따라서 평탄하므로, \(\mathfrak q\) 위에 놓이는 \(B'_1\)의 소아이디얼 \(\mathfrak q'_1\)에서 국소화한 뒤 위쪽 수평 화살표가 동형임을 보이면 충분하다 (그러한 소아이디얼이 존재하며 Algebra, Lemma 00HR를 사용한다). 따라서 \(B = C \times D\)이고 \(A \to C\)는 유한이며 \(\mathfrak q\)은 \(C\)의 한 소아이디얼에 대응한다고 가정해도 된다. 이 경우 쌍대화 가군 \(\omega_{B/A}\)도 같은 방식으로 분해되므로 (Lemma 0BT5), 문제는 위에서 다룬 유한 평탄의 경우 \(A \to C\)로 환원된다.

주

\(f : Y \to X\)를 국소 Noether 스킴의 국소 준유한 사상이라 하자. Lemma 0BT2에서, \(Y\) 위에 유일한 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\omega_{Y/X}\)가 존재하여 다음을 만족함이 분명하다. \(f(V) \subset U\)를 만족하는 임의의 아핀 열린집합 쌍 \(\Spec(B) = V \subset Y\), \(\Spec(A) = U \subset X\)마다 표준 동형 \[H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A}\] 이 존재하며, 이 동형들은 제한 사상과 양립한다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 준동형이라 하자. \(\omega_{B/A}^\bullet \in D(B)\)를 Dualizing Complexes, Section 0E9M에서 논한 대수적 상대 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 비유일한 동형 \(\omega_{B/A} = H^0(\omega_{B/A}^\bullet)\)이 존재한다.

증명

\(A \to B'\)가 유한이고 \(\Spec(B') \to \Spec(B)\)가 열린 몰입인 분해 \(A \to B' \to B\)를 택한다. 그러면 Dualizing Complexes, Lemmas 0BZT와 0C0H, 그리고 \(\omega_{B/A}^\bullet\)의 정의에 의해 \(\omega_{B/A}^\bullet = \omega_{B'/A}^\bullet \otimes_B^\mathbf{L} B'\)이다. 따라서 \(A \to B\)가 유한인 경우에 동형이 존재함을 보이면 충분하다. 이 경우 Dualizing Complexes, Lemma 0C0G를 사용하면 \(\omega_{B/A}^\bullet = R\Hom(B, A)\)이고, 따라서 원하는 대로 \(H^0(\omega^\bullet_{B/A}) = \Hom_A(B, A)\)이다.

유한 국소 자유 사상의 판별식

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 표준 대각합 사상 \[\text{Trace} : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 이 존재한다. Exercises, Exercise 02DU를 보라. 이 사상은 \(\text{Trace}(\text{id})\)가 \(\mathcal{F}\)의 계수에 대응하는 \(\mathcal{O}_X\) 위의 국소 상수 함수라는 성질을 갖는다.

\(\pi : X \to Y\)를 유한 국소 자유인 스킴 사상이라 하자. 그러면 표준적인 \(\pi\)의 대각합이 존재한다. 이는 \(\mathcal{O}_Y\)-선형 사상 \[\text{Trace}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] 이며, \(\pi_*\mathcal{O}_X\)의 국소 절단 \(f\)를 \(\pi_*\mathcal{O}_X\) 위의 \(f\)에 의한 곱셈의 대각합으로 보낸다. 아핀 열린집합 위에서는 Exercises, Exercise 02DV의 구성을 얻는다. 합성 \[\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Trace}_\pi} \mathcal{O}_Y\] 은 \(\pi\)의 차수에 의한 곱셈과 같다. 이 차수는 \(Y\) 위의 국소 상수 함수이다. Fields, Section 0BIE과 유사하게, 규칙 \((f, g) \mapsto \text{Trace}_\pi(fg)\)로 대각합 쌍 \[Q_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \times \pi_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] 을 정의할 수 있다. \(Q_\pi\)를 계수가 같은 국소 자유 가군 사이의 선형 사상 \(\pi_*\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\pi_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y)\) 으로 생각하면 행렬식 \[\det(Q_\pi) : \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X) \longrightarrow \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X)^{\otimes -1}\] 을 얻고, 다시 말해 대역 절단 \[\det(Q_\pi) \in \Gamma(Y, \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X)^{\otimes -2})\] 을 얻는다. \(\pi\)의 판별식은 정의상 이 대역 절단이 잘라내는 닫힌 부분스킴 \(D_\pi \subset Y\)이다. 분명히 \(D_\pi\)는 \(Y\)의 국소 주 닫힌 부분스킴이다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 유한 국소 자유인 스킴 사상이라 하자. 그러면 \(\pi\)가 étale일 필요충분조건은 그 판별식이 공집합인 것이다.

증명

Morphisms, Lemma 02GM에 의해 \(\pi\)의 올들이 étale인지 확인하면 충분하다. 대각합 쌍의 구성은 기저변환과 가환하므로 다음 문제로 환원된다. \(k\)를 체라 하고 \(A\)를 유한차원 \(k\)-대수라 하자. \(A\)가 \(k\) 위에서 étale일 필요충분조건이 대각합 쌍 \(Q_{A/k} : A \times A \to k\), \((a, b) \mapsto \text{Trace}_{A/k}(ab)\) 이 비퇴화인 것임을 보여라.

\(Q_{A/k}\)가 비퇴화라고 하자. \(a \in A\)가 멱영원이면 모든 \(b \in A\)에 대해 \(ab\)도 멱영원이므로 \(Q_{A/k}(a, -)\)가 항등적으로 영임을 얻는다. 따라서 \(A\)는 기약이다. 그러면 각 \(K_i\)가 체인 곱으로 \(A = K_1 \times \ldots \times K_n\)이라고 쓸 수 있다 (Algebra, Lemmas 00J6, 00JB, and 00EU를 보라). 이 경우 이차공간 \((A, Q_{A/k})\)는 공간들 \((K_i, Q_{K_i/k})\)의 직교 직합이다. Fields, Lemma 0BIL에 의해 각 \(K_i\)는 \(k\) 위에서 분리가능하다. Algebra, Lemma 00U3에 의해 이는 \(A\)가 \(k\) 위에서 étale임을 뜻한다. 역은 논증을 거꾸로 읽으면 증명된다.

평탄한 준유한 환 사상의 대각합

이 절의 제목에서 말하는 대각합은 Duality for Schemes, Section 0AWG에서 논한 대각합과 전혀 다른 성격을 갖는다. 즉 Fields, Section 0BIE에서 논하고 Exercises, Exercises 02DU와 02DV에서 일반화한 대각합이다.

\(A \to B\)를 Noether 환의 유한 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(B\)는 유한 평탄 \(A\)-가군이고, 따라서 유한 국소 자유이다 (Algebra, Lemma 00NX). \(b \in B\)가 주어지면, \(B\) 위의 \(b\)에 의한 곱셈으로 주어지는 \(A\)-선형 사상 \(B \to B\)의 대각합 \(\text{Trace}_{B/A}(b)\)를 생각할 수 있다. 위의 참고문헌들에 의해 이는 \(A\)-선형 사상 \(\text{Trace}_{B/A} : B \to A\)를 정의한다. \(A \to B\)가 유한이므로 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)이고, 따라서 \(\text{Trace}_{B/A} \in \omega_{B/A}\)이다.

일반적인 평탄 준유한 환 사상에 대해서는 대각합을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 사상이라 하자. 대각합 원소란 다음 성질을 갖는 유일한² 원소 \(\tau_{B/A} \in \omega_{B/A}\)이다. 임의의 Noether \(A\)-대수 \(A_1\)에 대해, \(B_1 = B \otimes_A A_1\)이 \(B_1 = C \times D\)라는 곱 분해를 가지며 \(A_1 \to C\)가 유한이면, \(\omega_{C/A_1}\)에서의 \(\tau_{B/A}\)의 상은 \(\text{Trace}_{C/A_1}\)이다. 여기서는 기저변환 사상 (0BVB)과 Lemma 0BT5를 사용하여 \(\omega_{B/A} \to \omega_{B_1/A_1} \to \omega_{C/A_1}\)을 얻는다.

먼저 대각합 원소의 유일성을 증명한 다음 그 존재성을 증명한다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 사상이라 하자. 그러면 \(\omega_{B/A}\)에는 대각합 원소가 많아야 하나 존재한다.

증명

\(\mathfrak q \subset B\)를 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하자. Algebra, Lemma 00UJ에 의해, étale 환 사상 \(A \to A_1\)과 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak p_1 \subset A_1\)을 택하여 \(\kappa(\mathfrak p_1) = \kappa(\mathfrak p)\)이고 \[B_1 = B \otimes_A A_1 = C \times D\] 이며 \(A_1 \to C\)는 유한이 되게 할 수 있다. 또한 \(B \otimes_A A_1\)에서 \(\mathfrak q\)와 \(\mathfrak p_1\) 위에 놓이는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak q_1\)은 \(C\)의 한 소아이디얼에 대응한다. Lemmas 0BT3와 0BT5를 결합하면 \(\omega_{C/A_1} = \omega_{B/A} \otimes_B C\)이다. 이 방식으로 얻는 환 사상들 \(B \to C\)의 모음은 평탄 사상들의 공동 단사 족이고, \(\omega_{C/A_1}\)에서 \(\tau_{B/A}\)의 상이 지정되어 있으므로 유일성이 따른다.

다음은 건전성 점검이다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 유한 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(\text{Trace}_{B/A} \in \omega_{B/A}\)는 대각합 원소이다.

증명

\(A_1\)이 Noether인 \(A \to A_1\)과, \(A_1 \to C\)가 유한인 곱 분해 \(B \otimes_A A_1 = C \times D\)가 주어졌다고 하자. 물론 이 경우 \(A_1 \to D\)도 유한이다. \(B_1 = B \otimes_A A_1\)로 놓자. 대각합의 구성은 기저변환과 가환하므로 \(\text{Trace}_{B/A}\)가 \(\text{Trace}_{B_1/A_1}\)로 보내짐을 알 수 있다. 이제 Lemma 0BT5의 동형 \(\omega_{B_1/A_1} = \omega_{C/A_1} \times \omega_{D/A_1}\) 아래에서 \(\text{Trace}_{B_1/A_1} = (\text{Trace}_{C/A_1}, \text{Trace}_{D/A_1})\)임을 관찰하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 사상이라 하자. \(\tau \in \omega_{B/A}\)를 대각합 원소라 하자.

1. \(A_1\)이 Noether인 사상 \(A \to A_1\)이 주어지면, \(B_1 = A_1 \otimes_A B\)에 대해 \(\omega_{B_1/A_1}\)에서의 \(\tau\)의 상은 대각합 원소이다.

2. 어떤 환 \(R\)과 \(f \in R\)에 대해 \(A = R_f\)이면, \(\tau\)는 \(\omega_{B/R}\)의 대각합 원소이다.

3. \(g \in B\)이면, \(\omega_{B_g/A}\)에서의 \(\tau\)의 상은 대각합 원소이다.

4. \(B = B_1 \times B_2\)이면, \(\tau\)는 \(\omega_{B_1/A}\)와 \(\omega_{B_2/A}\) 모두의 대각합 원소로 보내진다.

증명

(1)은 정의의 형식적 귀결이다.

Lemma 0BT2에 의해 \(\omega_{B/R} = \omega_{B/A}\)이므로 (2)는 의미가 있다. \(\tau\)를 \(\omega_{B/R}\)의 원소로 보았을 때 이를 \(\tau'\)이라 쓰자. (2)를 보이기 위해, \(R_1\)이 Noether인 \(R \to R_1\)과 \(R_1 \to C\)가 유한인 곱 분해 \(B \otimes_R R_1 = C \times D\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(A_1 = (R_1)_f\)로 놓았을 때 \(B \otimes_A A_1 = C \times D\)이다. \(R_1 \to C\)가 유한이므로 더구나 \(A_1 \to C\)도 유한이다. 따라서 \(\tau\)의 정의 성질을 사용하여 \(\tau'\)의 대응하는 성질을 얻는다.

Lemma 0BT2에 의해 \(\omega_{B_g/A} = (\omega_{B/A})_g\)이므로 (3)은 의미가 있다. 증명은 (2)의 증명과 비슷하다. \(A_1\)이 Noether인 \(A \to A_1\)과, \(A_1 \to C\)가 유한인 곱 분해 \(B_g \otimes_A A_1 = C \times D\)가 주어졌다고 하자. \(B_1 = B \otimes_A A_1\)로 놓자. \(B_g \otimes_A A_1 = (B_1)_g\)이므로 \(\Spec(C) \to \Spec(B_1)\)는 열린 몰입이고, \(B_1 \to C\)가 유한이므로 닫힌 몰입이기도 하다. 여기서 \(A_1 \to C\)가 유한임을 썼다. 따라서 \(B_1 = C \times D_1\)이고 \(D = (D_1)_g\)임을 알 수 있다. 이제 \(\tau\)의 정의 성질을 사용하여 \(\omega_{B_g/A}\)에서 \(\tau\)의 상에 대한 대응하는 성질을 얻는다.

Lemma 0BT5에 의해 \(\omega_{B/A} = \omega_{B_1/A} \times \omega_{B_2/A}\)이므로 (4)는 의미가 있다. \(A'\)이 Noether인 \(A \to A'\)과, \(A' \to C\)가 유한인 곱 분해 \(B \otimes_A A' = C \times D\)가 주어졌다고 하자. 이 곱 분해를 \(B \otimes_A A' = C_1 \times C_2 \times D_1 \times D_2\) 로 세분할 수 있음은 분명하다. 여기서 \(A' \to C_i\)는 유한이고 \(B_i \otimes_A A' = C_i \times D_i\)이다. 이제 \(\tau\)의 정의 성질을 사용하여 \(\omega_{B_i/A}\)에서의 \(\tau\)의 상에 대한 대응하는 성질을 얻는다. 이때 분해 \(\omega_{C/A'} = \omega_{C_1/A'} \times \omega_{C_2/A'}\) 아래의 자명한 사실 \(\text{Trace}_{C/A'} = (\text{Trace}_{C_1/A'}, \text{Trace}_{C_2/A'})\) 을 사용한다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 사상이라 하자. \(g_1, \ldots, g_m \in B\)를 단위 아이디얼을 생성하는 원소들이라 하자. \(\tau \in \omega_{B/A}\)를, \(\omega_{B_{g_i}/A}\)에서의 상이 \(A \to B_{g_i}\)에 대한 대각합 원소인 원소라 하자. 그러면 \(\tau\)는 대각합 원소이다.

증명

\(A_1\)이 Noether인 \(A \to A_1\)과, \(A_1 \to C\)가 유한인 곱 분해 \(B \otimes_A A_1 = C \times D\)가 주어졌다고 하자. \(\omega_{C/A_1}\)에서 \(\tau\)의 상이 \(\text{Trace}_{C/A_1}\)임을 보여야 한다. \(g_1, \ldots, g_m\)은 \(B_1 = B \otimes_A A_1\)의 단위 아이디얼을 생성하고, Lemma 0BT9에 의해 \(\tau\)는 \(\omega_{(B_1)_{g_i}/A_1}\)의 대각합 원소로 보내진다. 따라서 \(A\)를 \(A_1\)로, \(B\)를 \(B_1\)로 바꾸어 다음 문단에서 서술하는 상황에 이를 수 있다.

여기서는 \(B = C \times D\)이고 \(A \to C\)가 유한이라고 가정한다. \(\tau_C\)를 \(\omega_{C/A}\)에서의 \(\tau\)의 상이라 하자. \(\omega_{C/A}\)에서 \(\tau_C = \text{Trace}_{C/A}\)임을 증명해야 한다. 대각합 원소가 곱과 양립함에 의해 (Lemma 0BT9), \(\tau_C\)는 \(\omega_{C_{g_i}/A}\)의 대각합 원소로 보내진다. 따라서 \(B\)를 \(C\)로 바꾸어 \(A \to B\)가 유한 평탄이라고 가정해도 된다.

\(A \to B\)가 유한 평탄이라고 하자. Lemma 0BT8에 의해 이 경우 \(\text{Trace}_{B/A}\)는 대각합 원소이다. 그러므로 Lemma 0BT9에 의해 \(\text{Trace}_{B/A}\)는 \(\omega_{B_{g_i}/A}\)의 대각합 원소로 보내진다. 대각합 원소는 유일하므로 (Lemma 0BT7), \(\text{Trace}_{B/A}\)와 \(\tau\)는 \(\omega_{B_{g_i}/A} = (\omega_{B/A})_{g_i}\)에서 같은 원소로 보내진다. \(g_1, \ldots, g_m\)이 \(B\)의 단위 아이디얼을 생성하므로 사상 \(\omega_{B/A} \to \prod \omega_{B_{g_i}/A}\)는 단사이고, 따라서 원하는 대로 \(\tau_C = \text{Trace}_{B/A}\)이다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 사상이라 하자. 대각합 원소 \(\tau \in \omega_{B/A}\)가 존재한다.

증명

\(A \to B'\)가 유한이고 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)가 열린 몰입인 분해 \(A \to B' \to B\)를 택한다. \(\Spec(B')\)의 열린집합으로서 \(\Spec(B) = \bigcup D(g_i)\)가 되게 하는 원소 \(g_1, \ldots, g_n \in B'\)을 택한다. 준유한 평탄 환 사상 \(A \to B_{g_i}\)에 대한 대각합 원소 \(\tau_i\)의 존재를 증명할 수 있다고 하자. 그러면 모든 \(i, j\)에 대해 Lemma 0BT9에 의해 \(\tau_i\)와 \(\tau_j\)는 \(\omega_{B_{g_ig_j}/A}\)의 대각합 원소로 보내진다. 대각합 원소의 유일성에 의해 (Lemma 0BT7) 이들은 같은 원소로 보내진다. 따라서 \(\omega_{B/A}\)에 연관된 준연접 가군에 대한 층 조건은 (Algebra, Lemma 00EK를 보라) 원소 \(\tau \in \omega_{B/A}\)를 준다. Lemma 0BTA에 의해 \(\tau\)는 대각합 원소이다. 이렇게 하여 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

\(A \to B'\)가 유한이고 \(g \in B'\)이며 \(B = B'_g\)가 \(A\) 위에서 평탄이라고 하자. 우리의 과제는 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\)에서 대각합 원소를 구성하는 것이다. \(B'\)의 유한 자유 \(A\)-가군 \(F_0\), \(F_1\)에 의한 해소 \(F_1 \to F_0 \to B' \to 0\)을 택한다. 그러면 완전열 \[0 \to \Hom_A(B', A) \to F_0^\vee \to F_1^\vee\] 을 얻는다. 여기서 \(F_i^\vee = \Hom_A(F_i, A)\)는 쌍대 유한 자유 가군이다. 마찬가지로 완전열 \[0 \to \Hom_A(B', B') \to F_0^\vee \otimes_A B' \to F_1^\vee \otimes_A B'\] 을 얻는다. \(\tau\)의 구성은 도식 \[B' \xrightarrow{\mu} \Hom_A(B', B') \leftarrow \Hom_A(B', A) \otimes_A B' \xrightarrow{ev} A\] 을 사용하는 것이 그 착상이다. 첫 번째 화살표는 \(b' \in B'\)을 \(b'\)에 의한 곱셈으로 주어지는 \(A\)-선형 연산자로 보내고, 마지막 화살표는 값매김 사상이다. 문제는 \(\lambda' \otimes b'\)을 사상 \(b'' \mapsto \lambda'(b'')b'\)으로 보내는 가운데 화살표가 동형이 아니라는 데 있다. \(B'\)가 \(A\) 위에서 평탄이면 위의 완전열들로부터 이 화살표가 동형임을 알 수 있고, 왼쪽에서 오른쪽으로의 합성은 통상적인 대각합 \(\text{Trace}_{B'/A}\)이다. 일반적인 경우에는 도식 \[\xymatrix{ & \Hom_A(B', A) \otimes_A B' \ar[r] \ar[d] & \Hom_A(B', A) \otimes_A B'_g \ar[d] \\ B' \ar[r]_-\mu \ar@{..>}[rru] \ar@{..>}[ru]^\psi & \Hom_A(B', B') \ar[r] & \Ker(F_0^\vee \otimes_A B'_g \to F_1^\vee \otimes_A B'_g) }\] 을 생각한다. \(A \to B'_g\)의 평탄성에 의해 오른쪽 수직 화살표는 동형이다. 따라서 장식 없는 점선 화살표를 얻는다. \(B'_g = \colim \frac{1}{g^n}B'\)이고, 여극한은 텐서곱과 가환하며, \(B'\)는 유한 표시 \(A\)-가군이므로, 어떤 \(n \geq 0\)과 (오른쪽 \(B'\)-가군 구조에 대해) \(B'\)-선형인 사상 \(\psi : B' \to \Hom_A(B', A) \otimes_A B'\)을 택하여, 그 사상과 왼쪽 수직 화살표의 합성이 \(g^n\mu\)가 되게 할 수 있다. \(ev\)와 합성하여 원소 \(ev \circ \psi \in \Hom_A(B', A)\)를 얻는다. 이제 \[\tau = (ev \circ \psi) \otimes g^{-n} \in \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B'_g = \omega_{B'_g/A} = \omega_{B/A}\] 로 놓는다. 이 원소가 위의 \(n\)과 \(\psi\)의 선택에 의존하지 않는다는 간단한 확인은 생략한다.

앞 문단에서 구성한 \(\tau\)가 한 특수한 경우에 원하는 성질을 가짐을 증명하자. 즉 \(B' = C' \times D'\)이고 \(g = (f, h)\)이며, \(A \to C'\)는 평탄하고, \(D'_h\)는 평탄하며, \(f\)는 \(C'\)의 단원이라고 하자. 보여야 할 것은 \(\tau\)가 \(\omega_{C'/A}\)에서 \(\text{Trace}_{C'/A}\)로 보내진다는 것이다. 이 경우 먼저 쌍 \((D', h)\)에 대해 위와 같은 \(n_D\)와 \(\psi_D : D' \to \Hom_A(D', A) \otimes_A D'\)를 택한다. 그리고 \(\psi_C : C' \to \Hom_A(C', A) \otimes_A C' = \Hom_A(C', C')\)를 \(c' \in C'\)을 \(c'\)에 의한 곱셈으로 보내는 사상으로 둘 수 있다. 그다음 \(n = n_D\)와 \(\psi = (f^{n_D} \psi_C, \psi_D)\)를 택한다. 위에서 언급했듯이 \(\text{Trace}_{C'/A} = ev \circ \psi_C\)이므로 원하는 양립성은 분명하다.

일반적으로 원하는 성질을 증명하기 위해, \(A_1\)이 Noether인 \(A \to A_1\)과 \(A_1 \to C\)가 유한인 곱 분해 \(B'_g \otimes_A A_1 = C \times D\)가 주어졌다고 하자. \(B'_1 = B' \otimes_A A_1\)로 놓는다. 이때 \(B'_g \otimes_A A_1 = (B'_1)_g\)이므로 \(\Spec(C) \to \Spec(B'_1)\)는 열린 몰입이고, \(A_1 \to C\)가 유한이어서 \(B'_1 \to C\)가 유한이므로 그 상은 닫혀 있다. 따라서 \(B'_1 = C \times D'\)이고 \(D'_g = D\)이다. \(B'_1 = C \times D'\)와 \(A_1\) 위의 \(g\)가 앞 문단의 상황에 놓인다는 결론을 얻는다. 위에 표시한 도식의 형성은 기저변환과 가환하므로, \(\tau\)의 형성도 기저변환 \(A \to A_1\)과 가환한다 (세부사항은 생략한다. 이를 보려면 해소 \(F_1 \otimes_A A_1 \to F_0 \otimes_A A_1 \to B'_1 \to 0\)을 사용하라). 따라서 원하는 양립성은 앞 문단의 결과에서 따른다.

주

\(f : Y \to X\)를 국소 Noether 스킴의 평탄하고 국소 준유한인 사상이라 하자. \(\omega_{Y/X}\)를 Remark 0BVG에서와 같이 두자. 대각합 원소의 유일성, 존재성, 국소화와의 양립성 (Lemmas 0BT7, 0BTB, and 0BT9)에서, 대역 절단 \[\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] 이 존재하여 다음을 만족함이 분명하다. \(f(V) \subset U\)인 임의의 아핀 열린집합 쌍 \(\Spec(B) = V \subset Y\), \(\Spec(A) = U \subset X\)에 대해 \(\tau_{Y/X}\)는 표준 동형 \(H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A}\) 아래에서 \(\tau_{B/A}\)로 보내진다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 유한 \(k\)-대수라 하자. \(A\)는 국소환이고 잉여체가 \(k'\)이라고 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\text{Trace}_{A/k}\)는 영이 아니다,

2. \(\tau_{A/k} \in \omega_{A/k}\)는 영이 아니다, 그리고

3. \(k'/k\)는 분리가능하고 \(\text{length}_A(A)\)는 \(k\)의 표수와 서로소이다.

증명

Lemma 0BT8에 의해 조건 (1)과 (2)는 동치이다. \(\mathfrak m \subset A\)라 하자. \(\dim_k(A) < \infty\)이므로 \(A\)가 \(A\) 위에서 유한 길이를 가짐은 분명하다. 아이디얼들에 의한 여과 \[A = I_0 \supset \mathfrak m = I_1 \supset I_2 \supset \ldots I_n = 0\] 를 택하여, \(A\)-가군으로서 \(I_i/I_{i + 1} \cong k'\)이 되게 하자. Algebra, Lemma 00J3를 보라. 이 보조정리는 \(n = \text{length}_A(A)\)도 보여 준다. \(a \in \mathfrak m\)이면 \(aI_i \subset I_{i + 1}\)이고, \(\text{Trace}_{A/k}(a) = 0\)임이 즉시 따른다. \(a \not \in \mathfrak m\)이고 그 상이 \(\lambda \in k'\)이면, 다음을 얻는다. \[\text{Trace}_{A/k}(a) = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n - 1} \text{Trace}_k(a : I_i/I_{i - 1} \to I_i/I_{i - 1}) = n \text{Trace}_{k'/k}(\lambda)\] Fields, Lemma 0BIL를 적용하면 보조정리의 증명이 끝난다.

유한 사상

이 절에서는 앞 절들의 구성을 유한 사상에 적용할 때의 몇 가지 관찰을 모은다. \(f : Y \to X\)를 국소 Noether 스킴의 유한 사상이라 하자. \(\omega_{Y/X}\)를 Remark 0BVG에서와 같이 두자.

첫 번째 관찰은 \(f_*\mathcal{O}_Y\)-가군의 층으로서 \[f_*\omega_{Y/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\] 라는 것이다. \(f\)는 아핀이므로 이 공식은 \(\omega_{Y/X}\)를 유일하게 특징짓는다. Morphisms, Lemma 01SB를 보라. 이 공식이 성립하는 이유는 다음과 같다. \(\Spec(A) = U \subset X\)가 아핀 열린집합이면 역상 \(V = f^{-1}(U)\)는 유한 \(A\)-대수 \(B\)의 스펙트럼이고, 따라서 구성에 의해 \[H^0(U, f_*\omega_{Y/X}) = H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A} = \Hom_A(B, A) = H^0(U, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X))\] 이다. 특히 표준 값매김 사상 \[f_*\omega_{Y/X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 을 얻는다. \(f_*\omega_{Y/X}\)를 층 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\)로 생각하면 이 사상은 \(1\)에서의 값매김으로 주어진다.

두 번째 관찰은 값매김 사상을 사용하면 \(Y\) 위의 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)와 \(X\) 위의 유한 국소 자유 가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 함자적인 표준 식별 \[\Hom_Y(\mathcal{F}, f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \Hom_X(f_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 을 얻는다는 것이다. \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\)이면 위의 사실과 Algebra, Lemma 08YP에서 즉시 따른다. 일반적인 \(\mathcal{G}\)에 대해서는 같은 보조정리와 \(f_*\mathcal{O}_Y\)-가군들의 동형 \[f_*(f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{G})\] 을 사용할 수 있다. 여기서 첫 번째 등식은 사영 공식이다 (Cohomology, Lemma 01E8). 다른 방법은 아핀 국소적으로 직접 계산하여 공식을 증명하는 것이다.

세 번째 관찰은 \(f\)가 더 나아가 평탄이면 합성 \[f_*\mathcal{O}_Y \xrightarrow{f_*\tau_{Y/X}} f_*\omega_{Y/X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 이 Section 0BVH에서 논한 대각합 사상 \(\text{Trace}_f\)와 같다는 것이다. 이는 아핀 열린집합 위에서 보면 즉시 따른다.

네 번째 관찰은 \(f\)가 평탄하고 \(X\)가 Noether이면, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 임의의 \(K\)와 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 \(M\)에 대해 \[\Hom_Y(K, Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \Hom_X(Rf_*K, M)\] 을 얻는다는 것이다. 이는 Duality for Schemes, Section 0E4H의 내용에서 따르지만, 이 경우에는 다음과 같이 직접 증명할 수 있다. 먼저 \(X\)가 아핀이면 Dualizing Complexes, Lemmas 0A70와 0BZE³, 그리고 Derived Categories of Schemes, Lemma 06Z0에 의해 성립한다. 이제 귀납 원리 (Cohomology of Schemes, Lemma 08DR)와 Mayer–Vietoris (Cohomology, Lemma 08BW의 형태)를 사용하여 증명을 마친다.

Noether different

문헌에는 서로 다른 여러 different가 있다. 이 절과 다음 절들에서 그 가운데 일부를 열거한다. 더 자세한 내용은 [Kunz]를 참조하라.

\(A \to B\)를 환 사상이라 하자. 곱셈 사상을 \[\mu : B \otimes_A B \longrightarrow B,\quad b \otimes b' \longmapsto bb'\] 로 나타내자. \(I = \Ker(\mu)\)라 하자. \(I\)가 \(b \in B\)에 대한 원소 \(b \otimes 1 - 1 \otimes b\)들로 생성됨은 분명하다. 따라서 \(I\)의 소멸자 \(J \subset B \otimes_A B\)에는 표준적으로 \(B\)-가군 구조가 주어진다. \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different는 사상 \(\mu : B \otimes_A B \to B\) 아래의 \(J\)의 상이다. 동치로, Noether different는 사상 \[J = \Hom_{B \otimes_A B}(B, B \otimes_A B) \longrightarrow B,\quad \varphi \longmapsto \mu(\varphi(1))\] 의 상이다. 먼저 몇 가지 필수적인 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(A \to B_i\), \(i = 1, 2\)를 환 사상들이라 하고 \(B = B_1 \times B_2\)로 놓자.

1. \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자 \(J\)는 \(J_1 \times J_2\)이다. 여기서 \(J_i\)는 \(\Ker(B_i \otimes_A B_i \to B_i)\)의 소멸자이다.

2. \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different \(\mathfrak{D}\)는 \(\mathfrak{D}_1 \times \mathfrak{D}_2\)이다. 여기서 \(\mathfrak{D}_i\)는 \(A\) 위의 \(B_i\)의 Noether different이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)를 유한형 환 사상이라 하자. \(A \to A'\)을 평탄한 환 사상이라 하고 \(B' = B \otimes_A A'\)로 놓자.

1. \(\Ker(B' \otimes_{A'} B' \to B')\)의 소멸자 \(J'\)은 \(J \otimes_A A'\)이다. 여기서 \(J\)는 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자이다.

2. \(A'\) 위의 \(B'\)의 Noether different \(\mathfrak{D}'\)은 \(\mathfrak{D}B'\)이다. 여기서 \(\mathfrak{D}\)는 \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different이다.

증명

\(B\)를 \(A\)-대수로서 생성하는 원소 \(b_1, \ldots, b_n\)을 택한다. 그러면 \[J = \Ker(B \otimes_A B \xrightarrow{b_i \otimes 1 - 1 \otimes b_i} (B \otimes_A B)^{\oplus n})\] 이다. 따라서 \(J\)의 형성이 평탄 기저변환과 가환함을 알 수 있다. Noether different에 관한 결과는 여기서 즉시 따른다.

보조정리

\(A \to B' \to B\)를 환 사상들이라 하고, \(A \to B'\)는 유한형이며 \(B' \to B\)는 스펙트럼의 열린 몰입을 유도한다고 하자.

1. \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자 \(J\)는 \(J' \otimes_{B'} B\)이다. 여기서 \(J'\)은 \(\Ker(B' \otimes_A B' \to B')\)의 소멸자이다.

2. \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different \(\mathfrak{D}\)는 \(\mathfrak{D}'B\)이다. 여기서 \(\mathfrak{D}'\)은 \(A\) 위의 \(B'\)의 Noether different이다.

증명

\(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\)와 \(I' = \Ker(B' \otimes_A B' \to B')\)로 쓰자. \(\Spec(B) \to \Spec(B')\)가 열린 몰입이므로 \(B = (B \otimes_A B) \otimes_{B' \otimes_A B'} B'\)임이 따른다. 따라서 \(I = I'(B \otimes_A B)\)임을 알 수 있다. \(I'\)은 유한 생성이고 \(B' \otimes_A B' \to B \otimes_A B\)는 평탄하므로 \(J = J'(B \otimes_A B)\)이다. Algebra, Lemma 07T8를 보라. \(J'\)의 \(B' \otimes_A B'\)-가군 구조는 \(B' \otimes_A B' \to B'\)을 거쳐 인수분해되므로 (1)이 성립한다. (2)는 (1)의 귀결이다.

주

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 준동형이라 하고, \(J\)를 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자라 하자. 표준적인 \(B\)-쌍선형 쌍 [0BVQ]\[\begin{equation} \omega_{B/A} \times J \longrightarrow B \end{equation}\] 이 존재하며 다음과 같이 정의된다. \(A \to B'\)가 유한이고 \(B' \to B\)가 스펙트럼의 열린 몰입을 유도하는 분해 \(A \to B' \to B\)를 택한다. \(J'\)을 \(\Ker(B' \otimes_A B' \to B')\)의 소멸자라 하자. 먼저 \[\Hom_A(B', A) \times J' \longrightarrow B',\quad (\lambda, \sum b_i \otimes c_i) \longmapsto \sum \lambda(b_i)c_i\] 를 정의한다. \(\xi \in J'\)와 \(b \in B'\)에 대해 \((b \otimes 1)\xi = (1 \otimes b)\xi\)이므로, 이것은 정확히 \(B'\)-쌍선형이다. Lemma 0BVN과 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\)라는 사실에 의해 이를 위에 표시한 \(B\)-쌍선형 쌍으로 확장할 수 있다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 준유한 준동형이라 하자.

1. \(A \to A'\)이 Noether 환의 평탄한 사상이면 \[\xymatrix{ \omega_{B/A} \times J \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ \omega_{B'/A'} \times J' \ar[r] & B' }\] 는 가환한다. 여기서 표기는 Lemma 0BVM에서와 같고, 수평 화살표들은 (0BVQ)으로 주어진다.

2. \(B = B_1 \times B_2\)이면 \[\xymatrix{ \omega_{B/A} \times J \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ \omega_{B_i/A} \times J_i \ar[r] & B_i }\] 는 \(i = 1, 2\)에 대해 가환한다. 여기서 표기는 Lemma 0BVL에서와 같고, 수평 화살표들은 (0BVQ)으로 주어진다.

증명

Remark 0BVP의 쌍의 구성에 의해 (1)과 (2)는 모두 \(A \to B\)가 유한인 경우로 환원된다. 그러면 (1)은 축약 사상 \(\Hom_A(M, A) \otimes_A M \otimes_A M \to M\), \(\lambda \otimes m \otimes m' \mapsto \lambda(m)m'\) 이 기저변환과 가환한다는 사실에서 따른다. (2)를 보이려면 \(J = J_1 \times J_2\)가 \(B \otimes_A B\)의 직합 성분 \(B_1 \otimes_A B_1\)과 \(B_2 \otimes_A B_2\) 안에 들어 있음을 사용하라.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 준동형이라 하자. Remark 0BVP의 쌍은 동형 \(J \to \Hom_B(\omega_{B/A}, B)\)를 유도한다.

증명

먼저 \(A \to B\)가 유한 평탄일 때 이를 증명한다. 이 경우 \(A\)에서 국소화하여 \(B\)가 자유 유한 \(A\)-가군이라고 가정할 수 있다. \(b_1, \ldots, b_n\)을 \(A\)-가군 \(B\)의 기저라 하고, \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\)를 \(\omega_{B/A}\)의 쌍대 기저라 하자. \(\sum b_i \otimes c_i \in J\)는 \(b_i^\vee\)를 \(c_i\)로 보내는 \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B)\)의 원소로 보내짐을 주목하자. \(\varphi : \omega_{B/A} \to B\)가 \(B\)-선형이라고 하자. 그러면 \(\xi = \sum b_i \otimes \varphi(b_i^\vee)\)가 \(J\)의 원소라고 주장한다. 실제로 \(\varphi\)의 \(B\)-선형성은 정확히 모든 \(b \in B\)에 대해 \((b \otimes 1)\xi = (1 \otimes b)\xi\)임을 뜻한다. 따라서 우리의 사상은 역을 가지며 동형이다.

\(\mathfrak q \subset B\)를 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하자. 국소화 \[J_\mathfrak q \longrightarrow \Hom_B(\omega_B/A, B)_\mathfrak q\] 가 동형임을 보이겠다. Algebra, Lemma 00HN에 의해 이것으로 충분하다. Algebra, Lemma 00UJ에 의해, étale 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset A'\)을 택하여 \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\)이고 \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] 이며 \(A' \to C\)는 유한이 되게 할 수 있다. 또한 \(B \otimes_A A'\)에서 \(\mathfrak q\)와 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak q'\)은 \(C\)의 한 소아이디얼에 대응한다. \(J'\)을 \(\Ker(B' \otimes_{A'} B' \to B')\)의 소멸자라 하자. Lemmas 0BT3, 0BVM, and 0BVR에 의해 사상 \(J' \to \Hom_{B'}(\omega_{B'/A'}, B')\)은 \(J \to \Hom_B(\omega_{B/A}, B)\)에 함자 \(- \otimes_B B'\)을 적용하여 얻어진다. \(B_\mathfrak q \to B'_{\mathfrak q'}\)은 충실 평탄이므로 \((A' \to B', \mathfrak q')\)에 대해 결과를 증명하면 충분하다. Lemmas 0BT5, 0BVL, and 0BVR에 의해 이는 증명의 첫 문단에서 증명한 경우로 환원된다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 평탄한 준유한 준동형이라 하자. 도식 \[\xymatrix{ J \ar[rr] \ar[rd]_\mu & & \Hom_B(\omega_{B/A}, B) \ar[ld]^{\varphi \mapsto \varphi(\tau_{B/A})} \\ & B }\] 는 가환한다. 여기서 수평 화살표는 Lemma 0BVS의 동형이다. 따라서 \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different는 사상 \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B) \to B\)의 상이다.

증명

Lemma 0BVS의 증명과 똑같이, 이는 유한 자유 사상 \(A \to B\)의 경우로 환원된다. 이 경우 \(\tau_{B/A} = \text{Trace}_{B/A}\)이다. \(b_1, \ldots, b_n\)을 \(A\)-가군 \(B\)의 기저라 하자. \(\xi = \sum b_i \otimes c_i \in J\)라 하자. 그러면 \(\mu(\xi) = \sum b_i c_i\)이다. 한편 \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B)\)에서 \(\xi\)의 상은 \(\text{Trace}_{B/A}\)를 \(\sum \text{Trace}_{B/A}(b_i)c_i\)로 보낸다. 따라서 \(\xi = \sum b_i \otimes c_i \in J\)일 때 \[\sum b_ic_i = \sum \text{Trace}_{B/A}(b_i)c_i\] 임을 보여야 한다. 어떤 \(a_{ij}^k \in A\)에 대해 \(b_i b_j = \sum_k a_{ij}^k b_k\)라고 쓰자. 그러면 우변은 \(\sum_{i, j} a_{ij}^j c_i\)이다. 한편 \(\xi \in J\)이면 \[(b_j \otimes 1)(\sum\nolimits_i b_i \otimes c_i) = (1 \otimes b_j)(\sum\nolimits_i b_i \otimes c_i)\] 이고, 따라서 \(b_j c_i = \sum_k a_{jk}^i c_k\)이다. 그러므로 좌변은 \(\sum_{i, j} a_{ij}^i c_j\)이다. \(a_{ij}^k = a_{ji}^k\)이므로 등식이 성립한다.

보조정리

\(A \to B\)를 유한형 환 사상이라 하고, \(\mathfrak{D} \subset B\)를 Noether different라 하자. 그러면 \(V(\mathfrak{D})\)는 \(A \to B\)가 \(\mathfrak q\)에서 비분기가 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)들의 집합이다.

증명

\(A \to B\)가 \(\mathfrak q\)에서 비분기라고 하자. 어떤 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)에 대해 \(B\)를 \(B_g\)로 바꾸어 \(A \to B\)가 비분기라고 가정할 수 있다 (Algebra, Definition 00UT과 Lemma 0BVN). 이 경우 \(\Omega_{B/A} = 0\)이다. 따라서 \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\)이면 Algebra, Lemma 00RW에 의해 \(I/I^2 = 0\)이다. \(A \to B\)가 유한형이므로 \(I\)는 유한 생성이다. 따라서 Nakayama 보조정리에 의해 (Algebra, Lemma 00DV), \(I\)를 소멸시키는 \(1 + i\) 꼴의 원소가 존재한다. 그러므로 \(\mathfrak{D} = B\)이다.

역으로 \(\mathfrak{D} \not \subset \mathfrak q\)라고 하자. 위와 같이 \(B\)를 주 국소화로 바꾸어 \(\mathfrak{D} = B\)라고 가정할 수 있다. 이는 \(I\)의 소멸자에 \(1 + i\) 꼴의 원소가 존재함을 뜻한다. 역으로 이로부터 \(I/I^2 = \Omega_{B/A}\)가 영임이 따르고, 결론을 얻는다.

Kähler different

\(A \to B\)를 유한형 환 사상이라 하자. Kähler different는 \(B\)-가군 \(\Omega_{B/A}\)의 0차 Fitting 아이디얼이다. 이 정의를 다음과 같이 대역화한다.

정의

\(f : Y \to X\)를 국소적으로 유한형인 스킴 사상이라 하자. Kähler different는 \(\Omega_{Y/X}\)의 \(0\)차 Fitting 아이디얼이다.

Kähler different는 \(Y\) 위의 준연접 아이디얼 층이다.

보조정리

스킴의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 국소적으로 유한형이다. \(R \subset Y\), 각각 \(R' \subset Y'\)을 \(f\), 각각 \(f'\)의 Kähler different가 잘라내는 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(Y' \to Y\)는 동형 \(R' \to R \times_Y Y'\)을 유도한다.

증명

\(\Omega_{Y'/X'}\)가 \(\Omega_{Y/X}\)의 당김이기 때문이다 (Morphisms, Lemma 01V0). 이제 More on Algebra, Lemma 07ZA를 적용하면 된다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 국소적으로 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(R \subset Y\)를 Kähler different가 정의하는 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(R \subset Y\)는 정확히 \(f\)가 비분기가 아닌 점들의 집합이다.

증명

Divisors, Lemma 0C3J의 사본이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(n \geq 1\)이고 \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)으로 놓는다. \(A\) 위의 \(B\)의 Kähler different는 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\)가 생성하는 \(B\)의 아이디얼이다.

증명

Algebra, Lemma 00RU에 의해 \(\Omega_{B/A}\)가 표시 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B f_i \xrightarrow{\text{d}} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, n} B \text{d}x_j \rightarrow \Omega_{B/A} \rightarrow 0\] 를 갖기 때문이다.

Dedekind different

\(A \to B\)를 환 사상이라 하자. 다음 조건들이 성립할 때 Dedekind different가 정의된다고 한다. \(A\)는 Noether 환이고, \(A \to B\)는 유한이며, \(A\) 위의 모든 영인자가 아닌 원소는 \(B\) 위에서도 영인자가 아닌 원소이고, \(K = Q(A)\)와 \(L = B \otimes_A K\)에 대해 \(K \to L\)은 étale이다. 그러면 \(K \subset L\)은 유한 étale이고, \[\mathcal{L}_{B/A} = \{x \in L \mid \text{Trace}_{L/K}(bx) \in A \text{ for all }b \in B\}\] 는 Dedekind 여가군이다. 이 상황에서 Dedekind different는 \[\mathfrak{D}_{B/A} = \{x \in L \mid x\mathcal{L}_{B/A} \subset B\}\] 이며, 이를 \(L\)의 \(B\)-부분가군으로 본다. Lemma 0BW1에 의해 \(A\)가 정규이거나 \(B\)가 \(A\) 위에서 평탄이면 Dedekind different는 \(B\)의 아이디얼이다.

보조정리

\(A \to B\)의 Dedekind different가 정의된다고 하자. 다음 명제들을 생각하자.

1. \(A \to B\)는 평탄이다.

2. \(A\)는 정규환이다.

3. \(\text{Trace}_{L/K}(B) \subset A\)이다.

4. \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)이다.

5. Dedekind different \(\mathfrak{D}_{B/A}\)는 \(B\)의 아이디얼이다.

그러면 (1) \(\Rightarrow\) (3), (2) \(\Rightarrow\) (3), (3) \(\Leftrightarrow\) (4), (4) \(\Rightarrow\) (5)가 성립한다.

증명

(3)과 (4)의 동치 및 함의 (4) \(\Rightarrow\) (5)는 즉시 성립한다.

\(A \to B\)가 평탄이면 \(\text{Trace}_{B/A} : B \to A\)가 정의되고 \(\text{Trace}_{L/K}\)가 그 기저변환임을 알 수 있다. 따라서 (3)이 성립한다.

\(A\)가 정규이면 \(A\)는 정규 정역들의 유한 곱이므로, 정규 정역인 경우로 환원된다. 그러면 \(K\)는 \(A\)의 분수체이고, \(L = \prod L_i\)는 \(K\)의 유한 분리가능 체 확대들의 유한 곱이다. 따라서 \(\text{Trace}_{L/K}(b) = \sum \text{Trace}_{L_i/K}(b_i)\)이다. 여기서 \(b_i \in L_i\)는 \(b\)의 상이다. \(B\)가 \(A\) 위에서 유한이므로 \(b\)는 \(A\) 위 정이고, 따라서 이 대각합들은 \(A\)에 속한다. 실제로 \(K\) 위의 \(b_i\)의 최소다항식은 \(A\)에 계수를 갖고 (Algebra, Lemma 00H7), \(\text{Trace}_{L_i/K}(b_i)\)는 이 계수들 가운데 하나의 정수배이기 때문이다 (Fields, Lemma 0BIH).

보조정리

\(A \to B\)의 Dedekind different가 정의되면 표준 동형 \(\mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\)가 존재한다.

증명

\(A \to B\)가 유한이므로 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)임을 상기하자. \(x \in \mathcal{L}_{B/A}\)를 사상 \(b \mapsto \text{Trace}_{L/K}(bx)\)로 보낸다. 역으로 \(A\)-선형 사상 \(\varphi : B \to A\)가 주어지면 \(K\)-선형 사상 \(\varphi_K : L \to K\)를 얻는다. \(K \to L\)은 유한 étale이므로 대각합 쌍은 비퇴화이다 (Lemma 0BJF). 따라서 모든 \(y \in L\)에 대해 \(\varphi_K(y) = \text{Trace}_{L/K}(xy)\)가 되게 하는 \(x \in L\)이 존재한다. 그러면 \(x \in \mathcal{L}_{B/A}\)는 \(\omega_{B/A}\)에서 \(\varphi\)로 보내진다.

보조정리

\(A \to B\)의 Dedekind different가 정의되고 \(A \to B\)가 평탄이면,

1. 표준 동형 \(\mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\)는 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)을 대각합 원소 \(\tau_{B/A} \in \omega_{B/A}\)로 보내고,

2. Dedekind different는 \(\mathfrak{D}_{B/A} = \{b \in B \mid b\omega_{B/A} \subset B\tau_{B/A}\}\) 이다.

증명

첫째 명제는 Lemma 0BW1의 증명과 Lemma 0BT8에서 따른다. 둘째 명제는 첫째 명제와 정의들에서 즉시 따른다.

Different

다음 정의의 동기는 아래에서 보듯이 유한 평탄의 경우에 Dedekind different를 복원한다는 데 있다.

정의

\(f : Y \to X\)를 국소 Noether 스킴의 평탄하고 국소 준유한인 사상이라 하자. \(\omega_{Y/X}\)를 상대 쌍대화 가군이라 하고, \(\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\)를 대각합 원소라 하자 (Remarks 0BVG와 0BVJ). \[\Coker(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\tau_{Y/X}} \omega_{Y/X})\] 의 소멸자를 \(Y/X\)의 different라 한다. 이는 연접 아이디얼 \(\mathfrak{D}_f \subset \mathcal{O}_Y\)이다.

아래의 Remark 0BWM에서 이를 일반화한다. \(\omega_{Y/X}\)가 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이면 \(\mathfrak{D}_f\)는 국소적으로 한 원소로 생성됨을 관찰하자. 먼저 Dedekind different와의 일치를 진술한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 평탄한 준유한 사상이라 하자. \(V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\)를 \(f(V) \subset U\)인 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(A \to B\)의 Dedekind different가 정의되면 \[\mathfrak{D}_f|_V = \widetilde{\mathfrak{D}_{B/A}}\] 가 \(V\) 위의 연접 아이디얼 층으로서 성립한다.

증명

Lemmas 0BW1과 0BW3에서 분명하다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 평탄한 준유한 사상이라 하자. \(V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\)를 \(f(V) \subset U\)인 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(\omega_{Y/X}|_V\)가 가역, 즉 \(\omega_{B/A}\)가 가역 \(B\)-가군이면 \[\mathfrak{D}_f|_V = \widetilde{\mathfrak{D}}\] 가 \(V\) 위의 연접 아이디얼 층으로서 성립한다. 여기서 \(\mathfrak{D} \subset B\)는 \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different이다.

증명

사상 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\omega_{Y/X}, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{O}_Y,\quad \varphi \longmapsto \varphi(\tau_{Y/X})\] 을 생각하자. 이 사상의 상은 아핀 열린집합 위에서 Noether different에 대응한다. Lemma 0BVT를 보라. 따라서 결과는 다음 초등적 사실에서 따른다. 가역 가군 \(\omega\)와 대역 절단 \(\tau\)가 주어지면 \(\tau : \SheafHom(\omega, \mathcal{O}) = \omega^{\otimes -1} \to \mathcal{O}\) 의 상은 \(\Coker(\tau : \mathcal{O} \to \omega)\)의 소멸자와 같다.

보조정리

Noether 스킴의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 평탄하고 준유한이다. \(R \subset Y\), 각각 \(R' \subset Y'\)을 different \(\mathfrak{D}_f\), 각각 \(\mathfrak{D}_{f'}\)가 잘라내는 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(Y' \to Y\)는 전단사 닫힌 몰입 \(R' \to R \times_Y Y'\)을 유도한다. \(g\)가 평탄하거나 \(\omega_{Y/X}\)가 가역이면 \(R' = R \times_Y Y'\)이다.

증명

\(X\), \(X'\), \(Y\), \(Y'\)이 아핀인 경우로 즉시 환원된다. 다시 말해 Noether 환의 쌍대 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ B' & B \ar[l] \\ A' \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] 을 얻으며, \(A \to B\)는 평탄하고 준유한이다. 기저변환 사상 \(\omega_{B/A} \otimes_B B' \to \omega_{B'/A'}\)은 동형이고 (Lemma 0BVF), 대각합 원소 \(\tau_{B/A}\)를 대각합 원소 \(\tau_{B'/A'}\)로 보낸다 (Lemma 0BT9). 따라서 유한 \(B\)-가군 \(Q = \Coker(\tau_{B/A} : B \to \omega_{B/A})\)는 \(Q \otimes_B B' = \Coker(\tau_{B'/A'} : B' \to \omega_{B'/A'})\)을 만족한다. 그러므로 \(\mathfrak{D}_{B/A}B' \subset \mathfrak{D}_{B'/A'}\)이고, 이는 닫힌 몰입 \(R' \to R \times_Y Y'\)을 얻는다는 뜻이다. \(R = \text{Supp}(Q)\)이고 \(R' = \text{Supp}(Q \otimes_B B')\)이므로 (Algebra, Lemma 00L2), Algebra, Lemma 0BUR에 의해 \(R' \to R \times_Y Y'\)은 전단사이다. \(B \to B'\)가 평탄이면, 예를 들어 \(A \to A'\)이 평탄이면 \(\mathfrak{D}_{B/A}B' = \mathfrak{D}_{B'/A'}\)이다. Algebra, Lemma 07T8를 보라. 마지막으로 \(\omega_{B/A}\)가 가역이면 국소화하여 \(\omega_{B/A} = B \lambda\)라고 가정할 수 있다. \(\tau_{B/A} = b\lambda\)라고 쓰면 \(Q = B/bB\)이고 \(\mathfrak{D}_{B/A} = bB\)임을 알 수 있다. \(B'\) 위에서 같은 논증을 하면 \(\mathfrak{D}_{B'/A'} = bB'\)을 얻고 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 유한 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(\text{Norm}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)는 \(f_*\mathfrak{D}_f\)를 판별식 \(D_f\)의 아이디얼 층 안으로 보낸다.

증명

노름 사상은 Divisors, Lemma 0BD2에서, \(f\)의 판별식은 Section 0BVH에서 구성했다. 문제는 아핀 국소적이므로 \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\)이고 \(f\)가 유한 국소 자유 환 사상 \(A \to B\)로 주어진다고 가정할 수 있다. 더 국소화하여 \(B\)가 유한 자유 \(A\)-가군이라고 가정할 수 있다. \(b_1, \ldots, b_n \in B\)를 \(A\)-가군 \(B\)의 기저로 택하고, \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\)를 \(A\)-가군 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)의 쌍대 기저라 하자. \(b\)의 노름은 \(A\)-선형 사상 \(b : B \to B\)의 행렬식이므로 \(\text{Norm}_{B/A}(b) = \det(b_i^\vee(bb_j))\)이다. 판별식은 \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\)가 정의하는 \(\Spec(A)\)의 주 닫힌 부분스킴이다. \(b \in \mathfrak{D}_{B/A}\)이면 \(c_i \in B\)가 존재하여 \(b \cdot b_i^\vee = c_i \cdot \text{Trace}_{B/A}\)이다. 여기서 점은 \(\omega_{B/A}\)의 \(B\)-가군 구조를 나타낸다. \(c_i = \sum a_{il} b_l\)이라고 쓰자. 그러면 \[\begin{align*} \text{Norm}_{B/A}(b) & = \det(b_i^\vee(bb_j)) \\ & = \det( (b \cdot b_i^\vee)(b_j)) \\ & = \det((c_i \cdot \text{Trace}_{B/A})(b_j)) \\ & = \det(\text{Trace}_{B/A}(c_ib_j)) \\ & = \det(a_{il}) \det(\text{Trace}_{B/A}(b_l b_j)) \end{align*}\] 이며, 이는 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 평탄한 준유한 사상이라 하자. Different \(\mathfrak{D}_f\)가 정의하는 닫힌 부분스킴 \(R \subset Y\)는 정확히 \(f\)가 étale이 아닌 (동치로 비분기가 아닌) 점들의 집합이다.

증명

\(f\)는 유한 표시이고 평탄하므로, 한 점에서 étale일 필요충분조건은 그 점에서 비분기인 것이다. 더욱이 분기점 자취의 형성은 기저변환과 가환한다. Morphisms, Section 02GH, 특히 Morphisms, Lemma 0476를 보라. Lemma 0BW7에 의해 \(R\)의 형성은 집합론적으로 기저변환과 가환한다. 따라서 \(X\)가 체의 스펙트럼인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. 한편 \((\omega_{Y/X}, \tau_{Y/X})\)의 구성은 \(Y\) 위에서 국소적이다. \(Y\)는 체 위에서 준유한이므로 유한 이산공간이다. 따라서 \(Y\)가 유일한 점을 갖는다고 가정할 수 있다.

\(X = \Spec(k)\)이고 \(Y = \Spec(B)\)라 하자. 여기서 \(k\)는 체이고 \(B\)는 유한 국소 \(k\)-대수이다. \(Y \to X\)가 étale이면 \(B\)는 \(k\)의 유한 분리가능 확대이고, Fields, Lemma 0BIL에 의해 대각합 원소 \(\text{Trace}_{B/k}\)는 \(\omega_{B/k}\)의 기저 원소이다. 따라서 이 경우 \(\mathfrak{D}_{B/k} = B\)이다. 역으로 \(\mathfrak{D}_{B/k} = B\)이면 Lemma 0BW8와 \(1\)의 노름이 \(1\)이라는 사실에서 판별식이 공집합임을 알 수 있다. 따라서 Lemma 0BJF에 의해 \(Y \to X\)는 étale이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 평탄한 준유한 사상이라 하고, \(R \subset Y\)를 \(\mathfrak{D}_f\)가 정의하는 닫힌 부분스킴이라 하자.

1. \(\omega_{Y/X}\)가 가역이면 \(R\)은 \(Y\)의 국소 주 닫힌 부분스킴이다.

2. \(\omega_{Y/X}\)가 가역이고 \(f\)가 유한이면 \(R\)의 노름은 \(f\)의 판별식 \(D_f\)이다.

3. \(\omega_{Y/X}\)가 가역이고 \(f\)가 \(Y\)의 수반점들에서 étale이면, \(R\)은 유효 Cartier 인자이고 동형 \(\mathcal{O}_Y(R) = \omega_{Y/X}\)이 존재한다.

증명

(1)의 증명. \(Y\) 위에서 국소적으로 작업할 수 있으므로 \(\omega_{Y/X}\)가 계수 \(1\)인 자유 가군이라고 가정할 수 있다. \(\omega_{Y/X} = \mathcal{O}_Y\lambda\)라 하자. 그러면 \(\tau_{Y/X} = h \lambda\)라고 쓸 수 있고, \(R\)이 \(h\)에 의해 정의됨을, 즉 \(R\)이 국소 주임을 알 수 있다.

(2)의 증명. \(Y \to X\)가 유한 자유 환 사상 \(A \to B\)로 주어지고 \(\omega_{B/A}\)가 계수 \(1\)인 자유 \(B\)-가군이라고 가정할 수 있다. \(\lambda\)를 \(\omega_{B/A}\)의 \(B\)-기저 원소로 택하고, 어떤 \(b \in B\)에 대해 \(\text{Trace}_{B/A} = b \cdot \lambda\)라고 쓰자. 그러면 \(\mathfrak{D}_{B/A} = (b)\)이고, \(D_f\)는 \(A\)-가군 \(B\)의 기저 \(b_1, \ldots, b_n\)에 대해 \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\)가 잘라낸다. \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\)를 쌍대 기저라 하자. \(b_i^\vee = c_i \cdot \lambda\)라고 쓰면 \(c_1, \ldots, c_n\)도 \(B\)의 기저이다. 따라서 \(c_i = \sum a_{il}b_l\)일 때 \(\det(a_{il})\)은 \(A\)의 단원이다. 분명히 \(b \cdot b_i^\vee = c_i \cdot \text{Trace}_{B/A}\)이므로, Lemma 0BW8의 증명에 있는 계산으로부터 \(\text{Norm}_{B/A}(b)\)가 \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\)의 단원배임을 얻는다.

(3)의 증명. 위의 표기에서 Lemma 0BW9과 가정에 의해 \(h\)가 \(Y\)의 수반점들에서 영이 아님을 알 수 있고, 따라서 \(h\)는 영인자가 아닌 원소이다. 표준 동형은 \(1\)을 \(\tau_{Y/X}\)로 보낸다. Divisors, Lemma 01X0를 보라.

준유한 syntomic 사상

이 절에서는 준유한 syntomic 사상이 가역 상대 쌍대화 가군을 갖는다는 사실을 논한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 국소적으로 준유한이고 syntomic이다.

2. \(f\)는 국소적으로 준유한이고 평탄하며 국소 완전 교차 사상이다.

3. \(f\)는 국소적으로 준유한이고 평탄하며 국소 유한 표시이고, \(f\)의 올들은 국소 완전 교차이다.

4. \(f\)는 국소적으로 준유한이고, 모든 \(y \in Y\)에 대해 아핀 열린집합 \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\)와 \(f(V) \subset U\)를 만족하는 정수 \(n\) 및 \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)이 존재하여 \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\)이다.

5. 모든 \(y \in Y\)에 대해 아핀 열린집합 \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\)가 \(f(V) \subset U\)를 만족하고, \(A \to B\)는 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 꼴의 상대 대역 완전 교차이다.

6. \(f\)는 국소적으로 준유한이고 평탄하며 국소 유한 표시이고, \(\NL_{Y/X}\)는 \([-1, 0]\) 안의 tor-진폭을 갖는다.

7. \(f\)는 평탄하고 국소 유한 표시이며, \(\NL_{Y/X}\)는 계수 \(0\)의 완전 복합체이고 \([-1, 0]\) 안의 tor-진폭을 갖는다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 More on Morphisms, Lemma 069K이다. (1)과 (3)의 동치는 Morphisms, Lemma 01UF이다.

\(A \to B\)가 (4)에서와 같으면 \(B = A[x, x_1, \ldots, x_n]/(xh - 1, f_1, \ldots, f_n)\)은 Algebra, Definition 00SP에 의해 상대 대역 완전 교차이다. 따라서 (4)는 (5)를 함의한다. (5)가 (4)를 함의함은 분명하다.

조건 (5)는 (1)을 함의한다. Algebra, Lemma 00SW에 의해 상대 대역 완전 교차는 syntomic이고, 상대 대역 완전 교차의 정의는 \(n\)개의 변수와 \(n\)개의 방정식을 갖는 상대 대역 완전 교차가 준유한임을 보장한다. Algebra, Definition 00SP과 Lemma 00PK를 보라.

Algebra, Lemma 00SY 또는 Morphisms, Lemma 01UE은 (1)이 (5)를 함의함을 보여 준다.

More on Morphisms, Lemma 0FK3는 (6)이 (1)과 동치임을 보여 준다. 동치인 조건 (1) – (6)이 성립하면, 아핀 국소적으로 \(Y \to X\)는 변수 수와 방정식 수가 같은 상대 대역 완전 교차 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)로 주어진다. 이 표시를 사용하면 \[\NL_{B/A} =\left( (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B \text{d} x_i\right)\] 임을 알 수 있다. Algebra, Lemma 00SV에 의해 가군 \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\)는 원소 \(f_1, \ldots, f_n\)의 합동류들을 생성원으로 하는 자유 가군이다. 따라서 \(\NL_{B/A}\)의 계수는 \(0\)이고 \(\NL_{Y/X}\)도 그러하다. 이로써 (1) – (6)이 (7)을 함의함을 알 수 있다.

마지막으로 (7)을 가정하자. More on Morphisms, Lemma 0FK3에 의해 \(f\)는 syntomic이다. 따라서 적당한 아핀 열린집합 위에서 \(f\)는 상대 대역 완전 교차 \(A \to B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)로 주어진다. Morphisms, Lemma 01UE을 보라. 위와 정확히 같은 방식으로 \(\NL_{B/A}\)가 계수 \(n - m\)의 완전 복합체임을 알 수 있다. 따라서 \(n = m\)이고 (5)가 성립한다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

상대 쌍대화 가군의 가역성.

1. \(A \to B\)가 Noether 환의 준유한 평탄 준동형이면, \(\omega_{B/A}\)가 가역 \(B\)-가군일 필요충분조건은 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(\omega_{B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)/\kappa(\mathfrak p)}\)가 가역 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-가군인 것이다.

2. \(Y \to X\)가 Noether 스킴의 준유한 평탄 사상이면, \(\omega_{Y/X}\)가 가역일 필요충분조건은 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\omega_{Y_x/x}\)가 가역인 것이다.

증명

(1)의 증명. \(A \to B\)가 평탄이므로 가군 \(\omega_{B/A}\)는 \(A\)-평탄이다. Lemma 0BVE을 보라. 따라서 \(\omega_{B/A}\)가 가역 \(B\)-가군일 필요충분조건은 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(\omega_{B/A} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)가 가역 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-가군인 것이다. More on Morphisms, Lemma 080Q를 보라. 여전히 \(A \to B\)의 평탄성을 사용하면 \(\omega_{B/A}\)의 형성이 기저변환과 가환한다. Lemma 0BVF을 보라. 따라서 평탄성이 있을 때 상대 쌍대화 가군의 가역성은 사상 \(\kappa(\mathfrak p) \to B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)들의 상대 쌍대화 가군의 가역성과 동치임을 알 수 있다.

(2)는 (1)과, 아핀 국소적으로 쌍대화 가군들이 그 대수적 대응물로 주어진다는 사실에서 따른다. Remark 0BVG를 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)을 \(k\) 위의 차원 \(0\)인 대역 완전 교차라 하자. 그러면 \(\omega_{B/k}\)는 가역이다.

증명

Noether 정규화에 의해, Algebra, Lemma 00OY를 보면, 유한 단사 \(k \to B\), 즉 \(\dim_k(B) < \infty\)가 존재함을 알 수 있다. 따라서 \(B\)-가군으로서 \(\omega_{B/k} = \Hom_k(B, k)\)이다. Dualizing Complexes, Lemma 0AX0에 의해 \(R\Hom(B, k)\)는 \(B\)의 쌍대화 복합체이고, Dualizing Complexes, Lemma 0A71에 의해 \(R\Hom(B, k)\)는 차수 \(0\)에 놓인 \(\omega_{B/k}\)와 같다. 따라서 \(B\)가 Gorenstein임을 보이면 충분하다 (Dualizing Complexes, Lemma 0DW9). 이는 Dualizing Complexes, Lemma 0DWA에 의해 참이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 국소 Noether 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 Lemma 0BWE의 동치 조건들을 만족하면 \(\omega_{Y/X}\)는 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

증명

\(A \to B\)가 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 꼴의 상대 대역 완전 교차라고 가정할 수 있으며, \(\omega_{B/A}\)가 가역임을 보여야 한다. 이는 Lemmas 0DWK와 0DWL를 결합하면 따른다.

예

\(n \geq 1\)과 \(d \geq 1\)을 정수라 하자. \(e_i \geq 0\)이고 \(\sum e_i \leq d\)인 다중지표 \(E = (e_1, \ldots, e_n)\)들의 집합을 \(T\)라 하자. 환 \[A = \mathbf{Z}[a_{i, E} ; 1 \leq i \leq n, E \in T]\] 를 생각하자. \(A[x_1, \ldots, x_n]\)에서 원소 \(f_i = \sum_{E \in T} a_{i, E} x^E\)를 생각하자. 여기서 관례대로 \(x^E = x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}\)이다. \(A\)-대수 \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] 를 생각하자. \(X_{n, d} = \Spec(A)\)라 쓰고, \(Y_{n, d} \subset \Spec(B)\)를 사상 \(\Spec(B) \to \Spec(A) = X_{n, d}\)의 제한이 준유한인 최대 열린 부분스킴이라 하자. Algebra, Lemma 00QA를 보라.

보조정리

Example 0FK8의 표기에서 스킴 \(X_{n, d}\)와 \(Y_{n, d}\)는 정칙이고 기약이며, 사상 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)는 국소적으로 준유한이고 syntomic이다. 또한 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)의 제한이 étale 사상 \(V \to X_{n, d}\)가 되게 하는 조밀 열린 부분스킴 \(V \subset Y_{n, d}\)가 존재한다.

증명

스킴 \(X_{n, d}\)는 다항식환 \(A\)의 스펙트럼이다. 따라서 \(X_{n, d}\)는 정칙이고 기약이다. 식 \[f_i = a_{i, (0, \ldots, 0)} + \sum\nolimits_{E \in T, E \not = (0, \ldots, 0)} a_{i, E} x^E\] 로 쓸 수 있으므로, 환 \(B\)는 \(x_1, \ldots, x_n\) 및 \(E \not = (0, \ldots, 0)\)인 원소 \(a_{i, E}\)들에 관한 다항식환과 동형이다. 따라서 \(\Spec(B)\)는 기약 정칙 스킴이고, 열린집합 \(Y_{n, d}\)도 그러하다. Lemma 0BWE에 의해 사상 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)는 국소적으로 준유한이고 syntomic이다. \(V\)를 찾으려면 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)가 étale인 점 하나를 찾으면 충분하다(étale인 점들의 자취는 정의에 의해 열려 있다). 따라서 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)의 올이 공집합이 아니고 étale인 \(X_{n, d}\)의 한 점을 찾으면 충분하다. Morphisms, Lemma 02GU를 보라. \(f_i\)를 \(x_i^d - 1\)로 보내는 환 사상 \(\chi : A \to \mathbf{Q}\)에 대응하는 점을 택한다. 그러면 \[B \otimes_{A, \chi} \mathbf{Q} = \mathbf{Q}[x_1, \ldots, x_n]/(x_1^d - 1, \ldots, x_n^d - 1)\] 이며, 이는 \(\mathbf{Q}\) 위의 영이 아닌 étale 대수이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴 사상이라 하자. \(f\)가 Lemma 0BWE의 동치 조건들을 만족하면, 모든 \(y \in Y\)에 대해 \(n, d\)와 가환도식 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y_{n, d} \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & X_{n, d} }\] 가 존재한다. 여기서 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)는 \(y \in V\)를 만족하는 열린집합이고, \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)는 Example 0FK8에서와 같으며, 오른쪽 정사각형은 카르테시안이다.

증명

Lemma 0BWE에 의해 \(U = \Spec(R)\)이고 \(V = \Spec(S)\)이며 \(S = R[y_1, \ldots, y_n]/(g_1, \ldots, g_n)\)이 되도록 아핀 \(U\)와 \(V\)를 택할 수 있다. Example 0FK8의 표기에서 \(d\)를 충분히 크게 택하면 각 \(g_i\)를 \(g_i = \sum_{E \in T} g_{i, E}y^E\), \(g_{i, E} \in R\)로 쓸 수 있다. \(a_{i, E}\)를 \(g_{i, E}\)로 보내는 사상 \(A \to R\)과 \(x_i \to y_i\)로 보내는 사상 \(B \to S\)는 환의 쌍대 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ S & B \ar[l] \\ R \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] 을 주며, 이로써 보조정리가 증명된다.

유한 syntomic 사상

이 절은 유한 syntomic 사상에 대한 Section 0DWJ의 유사판이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 유한이고 syntomic이다.

2. \(f\)는 유한이고 평탄하며 국소 완전 교차 사상이다.

3. \(f\)는 유한이고 평탄하며 국소 유한 표시이고, \(f\)의 올들은 국소 완전 교차이다.

4. \(f\)는 유한이고, 모든 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린집합 \(x \in U = \Spec(A) \subset X\), 정수 \(n\) 및 \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)이 존재하여 \(f^{-1}(U)\)는 \(A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)의 스펙트럼과 동형이다.

5. \(f\)는 유한이고 평탄하며 국소 유한 표시이고, \(\NL_{X/Y}\)는 \([-1, 0]\) 안의 tor-진폭을 갖는다.

6. \(f\)는 유한이고 평탄하며 국소 유한 표시이고, \(\NL_{X/Y}\)는 계수 \(0\)의 완전 복합체이며 \([-1, 0]\) 안의 tor-진폭을 갖는다.

증명

(1), (2), (3), (5), (6)의 동치와 함의 (4) \(\Rightarrow\) (1)은 Lemma 0BWE에서 즉시 따른다. 동치인 조건 (1), (2), (3), (5), (6)이 성립한다고 가정하자. \(x \in X\)를 택하고, \(X\) 안에서 \(x\)의 아핀 열린집합 \(U = \Spec(A)\)를 택하여 \(x\)가 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대응한다고 하자. \(f^{-1}(U) = \Spec(B)\)라 쓰고 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)라 쓰자. (6)에 의해 \(\NL_{B/A}\)는 \([-1, 0]\) 안의 tor-진폭을 갖는 완전 복합체이므로, \(I/I^2\)은 계수 \(n\)의 유한 국소 자유 \(B\)-가군이다. \(B_\mathfrak p\)는 반국소이므로 \((I/I^2)_\mathfrak p\)는 계수 \(n\)의 자유 가군이다. Algebra, Lemma 02M9를 보라. 따라서 \(\mathfrak p\)에 속하지 않는 한 원소에 의한 주 국소화로 \(A\)를 바꾼 뒤에는 \(I/I^2\)이 계수 \(n\)의 자유 \(B\)-가군이라고 가정할 수 있다. 그러면 Algebra, Lemma 07CF에 의해 변수 수와 방정식 수가 같은 \(A\) 위의 \(B\)의 표시를 찾을 수 있다. 다시 말해 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)이라고 가정할 수 있다. 이는 (4)를 증명한다.

예

\(d \geq 1\)을 정수라 하자. \(1 \leq i, j, l \leq d\)에 대한 변수 \(a_{ij}^l\)을 생각하고 \[A_d = \mathbf{Z}[a_{ij}^k]/J\] 라 쓰자. 여기서 \(J\)는 원소들 \[\left\{ \begin{matrix} \sum_l a_{ij}^la_{lk}^m - \sum_l a_{il}^ma_{jk}^l & \forall i, j, k, m \\ a_{ij}^k - a_{ji}^k & \forall i, j, k \\ a_{i1}^j - \delta_{ij} & \forall i, j \end{matrix} \right.\] 이 생성하는 아이디얼이고, \(\delta_{ij}\)는 Kronecker 델타 함수를 나타낸다. 다음과 같이 \(A_d\)-대수 \(B_d\)를 정의한다. \(A_d\)-가군으로서는 \[B_d = A_d e_1 \oplus \ldots \oplus A_d e_d\] 로 놓는다. 대수 구조는 \(1\)을 \(e_1\)로 보내는 \(A_d \to B_d\)로 주어진다. \(B_d\) 위의 곱셈은 \(A_d\)-쌍선형 사상 \[m : B_d \times B_d \longrightarrow B_d, \quad m(e_i, e_j) = \sum a_{ij}^k e_k\] 으로 주어진다. 위의 관계들이 이것을 정확히 \(A_d\)-대수 구조로 만든다는 것은 곧바로 확인할 수 있다. 사상 \[\pi_d : Y_d = \Spec(B_d) \longrightarrow \Spec(A_d) = X_d\] 은 계수 \(d\)의 ‘보편’ 유한 자유 사상이다.

보조정리

Example 0FKZ의 표기에서 다음 성질을 갖는 열린 부분스킴 \(U_d \subset X_d\)가 존재한다. 스킴 사상 \(X \to X_d\)가 \(U_d\)를 통해 인수분해될 필요충분조건은 \(Y_d \times_{X_d} X \to X\)가 syntomic인 것이다.

증명

syntomic이라는 것은 평탄한 국소 완전 교차 사상이라는 것과 같다. More on Morphisms, Lemma 069K를 보라. \(\pi_d\)가 Koszul인 점들의 집합 \(W_d \subset Y_d\)는 \(Y_d\)에서 열려 있고, 그 형성은 임의의 기저변환과 가환한다. More on Morphisms, Lemma 06B8를 보라. \(\pi_d\)는 유한이므로 닫힌 사상이고, 따라서 \(Z = \pi_d(Y_d \setminus W_d)\)는 닫혀 있다. 분명히 \(U_d = X_d \setminus Z\)이고 그 형성은 기저변환과 가환하므로 보조정리가 참이다.

보조정리

Example 0FKZ의 표기와 Lemma 0FL0의 \(U_d\)에 대해, \(U_d\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 매끄럽다.

증명

More on Morphisms, Lemma 02HX를 사용하여 \(U_d \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 매끄러움을 보이자. 실제로 \(\Spec(A) \to U_d\)가 사상이고 \(A' \to A\)가 작은 확대라고 하자. 그러면 \(B = A \otimes_{A_d} B_d\)는 \(A\) 위에서 syntomic인 유한 자유 \(A\)-대수이다(\(U_d\)의 구성에 의한다). Smoothing Ring Maps, Proposition 07M8에 의해 \(B \cong B' \otimes_{A'} A\)가 되게 하는 syntomic 환 사상 \(A' \to B'\)가 존재한다. \(e'_1 = 1 \in B'\)로 놓는다. \(1 < i \leq d\)에 대해 \(1 \otimes e_i \in A \otimes_{A_d} B_d = B\)의 올림 \(e'_i \in B'\)를 택한다. 그러면 \(e'_1, \ldots, e'_d\)는 \(A'\) 위의 \(B'\)의 기저이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 051F를 보라. 따라서 유일한 원소 \(\alpha_{ij}^l \in A'\)에 대해 \(e'_i e'_j = \sum \alpha_{ij}^l e'_l\)로 쓸 수 있고, 이들은 \(A'\)에서 \(\sum_l \alpha_{ij}^l \alpha_{lk}^m = \sum_l \alpha_{il}^m \alpha _{jk}^l\), \(\alpha_{ij}^k = \alpha_{ji}^k\), \(\alpha_{i1}^j = \delta_{ij}\)를 만족한다. 이는 \(a_{ij}^l \in A_d\)를 \(\alpha_{ij}^l \in A'\)로 보내는 사상 \(\Spec(A') \to X_d\)를 정한다. 이 사상은 주어진 사상 \(\Spec(A) \to U_d\)와 일치한다. \(\Spec(A')\)와 \(\Spec(A)\)는 같은 기저 위상공간을 가지므로, 원하는 올림 \(\Spec(A') \to U_d\)를 얻고 \(U_d\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 매끄럽다는 결론을 얻는다.

보조정리

Example 0FKZ의 표기에서 \(\pi_d\)가 étale인 열린 부분스킴 \(U'_d \subset X_d\)를 생각하자. 그러면 \(U'_d\)는 Lemma 0FL0의 열린집합 \(U_d\)에서 조밀하다.

증명

Lemma 0FL0의 증명과 정확히 같은 논증에 Morphisms, Lemma 0476를 사용하면, \(\pi_d\)가 étale인 최대 열린집합 \(U'_d \subset X_d\)가 존재한다. 또한 étale 사상은 syntomic이므로 \(U'_d \subset U_d\)이다. 증명을 마치려면 \(U'_d \subset U_d\)가 조밀함을 보여야 한다. \(k\)가 체이고 \(u : \Spec(k) \to U_d\)가 사상이라 하자. Lemma 0FL1의 증명에서처럼 \(B = k \otimes_{A_d} B_d\)라 하자. 잉여체가 \(k\)인 국소 정역 \(A'\)과 유한 syntomic \(A'\)-대수 \(B'\)가 \(B = k \otimes_{A'} B'\)를 만족하고 그 일반올이 étale임을 보이겠다. 바로 앞 문단과 정확히 같은 방식으로 이는 일반점을 \(U'_d\) 안으로, 닫힌점을 \(u\)로 보내는 사상 \(\Spec(A') \to U_d\)를 정하므로 증명이 끝난다.

Lemma 0FKY의 (4)에 의해 표시 \(B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)를 택할 수 있다. \(d'\)를 다항식 \(f_1, \ldots, f_n\)의 전체 차수들의 최댓값이라 하자. Example 0FK8에서와 같은 \(Y_{n, d'} \to X_{n, d'}\)를 택하자. 구성에 의해 \[\Spec(B) \cong Y_{n, d'} \times_{X_{n, d'}, u'} \Spec(k)\] 가 되게 하는 사상 \(u' : \Spec(k) \to X_{n, d'}\)가 존재한다. \(A = \mathcal{O}_{X_{n, d'}, u'}^h\)를 \(u'\)의 상에서 \(X_{n, d'}\)의 국소환의 Hensel화라 하자. 그러면 \[Y_{n, d'} \times_{X_{n, d'}} \Spec(A) = Z \amalg W\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(Z \to \Spec(A)\)는 유한이고 \(W \to \Spec(A)\)는 빈 닫힌올을 갖는다. Algebra, Lemma 04GG의 (13) 또는 More on Morphisms, Section 04HF의 논의를 보라. Lemma 0FK9에 의해 국소환 \(A\)는 정칙이고(여기서 More on Algebra, Lemma 06LN도 사용한다), 사상 \(Z \to \Spec(A)\)는 \(\Spec(A)\)의 일반점 위에서 étale이다 (\(X_{d, n'}\)의 일반점으로 보내지기 때문이다). 구성에 의해 \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong \Spec(B)\)이다. 이는 \(A\)의 잉여체에서 \(k\)로 가는 사상이 동형이 아닐 수도 있다는 점을 제외하면 원하는 바를 증명한다. Algebra, Lemma 03C3에 의해 \(A'\)의 잉여체가 \(k\)가 되게 하는 평탄 국소 환 사상 \(A \to A'\)이 존재한다. \(A'\)이 정역이 아니면 최소 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A'\)를 택하고 (평탄성에 의해 이는 \(A\)의 유일한 최소 소아이디얼 위에 놓인다) \(A'\)을 \(A'/\mathfrak p\)로 바꾼다. \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(A') = \Spec(B')\)가 되게 하는 유일한 \(A'\)-대수를 \(B'\)라 놓는다. 이것으로 증명이 끝난다.

주

\(\pi_d : Y_d \to X_d\)를 Example 0FKZ에서와 같이 하자. \(U_d \subset X_d\)를 Lemma 0FL0에서처럼 \(V_d = \pi_d^{-1}(U_d)\)가 유한 syntomic이 되는 최대 열린집합이라 하자. 그러면 \(V_d\)도 \(\mathbf{Z}\) 위에서 매끄럽다. (물론 \(d \geq 2\)이면 사상 \(V_d \to U_d\)는 매끄럽지 않다.) Lemma 0FL1의 증명에서처럼 논증하면 이는 다음 변형 문제에 대응한다. 작은 확대 \(C' \to C\)와 절단 \(B \to C\)를 갖는 유한 syntomic \(C\)-대수 \(B\)가 주어졌을 때, \(C\)와의 텐서곱이 \(B \to C\)를 복원하는 유한 syntomic \(C'\)-대수 \(B'\) 및 절단 \(B' \to C'\)를 찾아라. Lemma 0FKY에 의해 상대 대역 완전 교차로서 \(B = C[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)로 쓸 수 있다. 좌표변환 뒤에는 \(x_1, \ldots, x_n\)이 \(B \to C\)의 핵에 속한다고 가정할 수 있다. 그러면 다항식 \(f_i\)들의 상수항은 영이다. 상수항이 영인 \(f_i\)의 임의의 올림 \(f'_i \in C'[x_1, \ldots, x_n]\)를 택하자. 그러면 \(B' = C'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_n)\)과 \(x_i\)를 영으로 보내는 절단 \(B' \to C'\)가 원하는 조건을 만족한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴 사상이라 하자. \(f\)가 Lemma 0FKY의 동치 조건들을 만족하면, 모든 \(x \in X\)에 대해 \(d\)와 가환도식 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \ar[r] & Y_d \ar[d]^{\pi_d}\\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d \ar[r] & X_d }\] 가 존재하며 다음 성질들을 만족한다.

1. \(U \subset X\)는 열린집합이고, \(x \in U\)이며, \(V = f^{-1}(U)\)이다.

2. \(\pi_d : Y_d \to X_d\)는 Example 0FKZ에서와 같다.

3. \(U_d \subset X_d\)는 Lemma 0FL0에서와 같고 \(V_d = \pi_d^{-1}(U_d) \subset Y_d\)이다.

4. 가운데 정사각형은 카르테시안이다.

증명

\(x\)의 아핀 열린 근방 \(U = \Spec(A) \subset X\)를 택하고 \(V = f^{-1}(U) = \Spec(B)\)라 쓰자. 그러면 \(B\)는 유한 국소 자유 \(A\)-가군이고 포함 \(A \subset B\)는 국소적으로 직합인자이다. 따라서 \(U\)를 축소한 뒤 \(A\)-가군 \(B\)의 기저 \(1 = e_1, e_2, \ldots, e_d\)를 택할 수 있다. 유일한 원소 \(\alpha_{ij}^l \in A\)에 대해 \(e_i e_j = \sum \alpha_{ij}^l e_l\)로 쓰자. 이들은 \(A\)에서 관계식 \(\sum_l \alpha_{ij}^l \alpha_{lk}^m = \sum_l \alpha_{il}^m \alpha _{jk}^l\), \(\alpha_{ij}^k = \alpha_{ji}^k\), \(\alpha_{i1}^j = \delta_{ij}\)를 만족한다. 이는 \(a_{ij}^l \in A_d\)를 \(\alpha_{ij}^l \in A\)로 보내는 사상 \(\Spec(A) \to X_d\)를 정한다. 구성에 의해 \(V \cong \Spec(A) \times_{X_d} Y_d\)이다. \(U_d\)의 정의에 의해 \(\Spec(A) \to X_d\)는 \(U_d\)를 통해 인수분해된다. 이것으로 증명이 끝난다.

Different의 공식

이 절에서는 Tate에 의한 [Mazur-Roberts, Appendix A]의 내용을 논한다. 우리의 언어로 이는 평탄하고 준유한인 국소 완전 교차 사상의 경우 different가 Kähler different와 같음을 보여 준다. 먼저 특별한 경우에 Noether different를 계산한다.

보조정리

\(A \to P\)를 환 사상이라 하자. \(f_1, \ldots, f_n \in P\)를 Koszul 정칙열이라 하고, \(B = P/(f_1, \ldots, f_n)\)이 \(A\) 위에서 평탄하다고 가정하자. \(g_1, \ldots, g_n \in P \otimes_A B\)를 곱셈 사상 \(P \otimes_A B \to B\)의 핵을 생성하는 Koszul 정칙열이라 하자. \(f_i \otimes 1 = \sum g_{ij} g_j\)라 쓰자. 그러면 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자는 \(\det(g_{ij})\)의 상이 생성하는 주 아이디얼이다.

증명

Koszul 복합체 \(K_\bullet = K(P, f_1, \ldots, f_n)\)는 유한 자유 \(P\)-가군들에 의한 \(B\)의 분해이다. Koszul 복합체 \(M_\bullet = K(P \otimes_A B, g_1, \ldots, g_n)\)는 유한 자유 \(P \otimes_A B\)-가군들에 의한 \(B\)의 분해이다. 복합체 사상 \[K_\bullet \longrightarrow M_\bullet\] 가 존재하며, 차수 \(1\)에서는 행렬 \((g_{ij})\)로, 차수 \(n\)에서는 \(\det(g_{ij})\)로 주어진다. More on Algebra, Lemma 0624을 보라. \(B\)는 평탄 \(A\)-가군이므로 \(M_\bullet\)을 (\(P \to P \otimes_A B\), \(p \mapsto p \otimes 1\)을 통해) 평탄 \(P\)-가군들의 복합체로 볼 수 있다. 따라서 두 복합체를 모두 사용하여 \(\text{Tor}_*^P(B, B)\)를 계산할 수 있고, 표시된 사상은 \(B\)와 텐서곱한 뒤 준동형을 정의한다. \(H_n(K_\bullet \otimes_P B) = B\)임은 분명하다. 한편 \(H_n(M_\bullet \otimes_P B)\)는 사상 \[B \otimes_A B \xrightarrow{g_1, \ldots, g_n} (B \otimes_A B)^{\oplus n}\] 의 핵이다. \(g_1, \ldots, g_n\)은 \(B \otimes_A B \to B\)의 핵을 생성하므로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(n \geq 1\)이고 \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\)로 놓고, \(B\)가 \(A\) 위에서 준유한이라고 가정하자. 그러면

1. \(B\)는 \(A\) 위에서 평탄이고 \(A \to B\)는 상대 국소 완전 교차이다.

2. \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자 \(J\)는 \(B\) 위에서 계수 \(1\)의 자유 가군이다.

3. \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different는 \(B\) 안의 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\)가 생성한다.

증명

\(B = A[x, x_1, \ldots, x_n]/(xh - 1, f_1, \ldots, f_n)\)은 \(A\) 위의 상대 대역 완전 교차이다. Algebra, Definition 00SP을 보라. Algebra, Lemma 00SW에 의해 \(B\)는 \(A\) 위에서 평탄이다.

\(P' = A[x, x_1, \ldots, x_n]\), \(P = P'/(xh - 1) = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]\)라 쓰자. 그러면 \(P' \to P \to B\)가 있다. More on Algebra, Lemma 07D2에 의해 \(xh - 1, f_1, \ldots, f_n\)은 \(P'\) 안의 Koszul 정칙열이다. \(xh - 1\)은 \(P'\) 안의 길이 1인 Koszul 정칙열이므로 (예를 들어 같은 보조정리에 의해), More on Algebra, Lemma 068M에 의해 \(f_1, \ldots, f_n\)은 \(P\) 안의 Koszul 정칙열이다.

\(g_i \in P \otimes_A B\)를 \(x_i \otimes 1 - 1 \otimes x_i\)의 상이라 하자. \(A[x_1, \ldots, x_n] \otimes_A A[x_1, \ldots, x_n]\)에서 간단히 \(y_i = x_i \otimes 1\), \(z_i = 1 \otimes x_i\)라 쓰면, \(g_i\)는 \(y_i - z_i\)의 상이다. 다항식 \(f \in A[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해 위 텐서곱에서 \(f(y) = f \otimes 1\), \(f(z) = 1 \otimes f\)라 쓰자. 그러면 \[P \otimes_A B/(g_1, \ldots, g_n) = \frac{A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]} {(f_1(z), \ldots, f_n(z), y_1 - z_1, \ldots, y_n - z_n)}\] 이고, 이는 분명히 \(B\)와 동형이다. 따라서 위와 같은 논증으로 \(f_1(z), \ldots, f_n(z), y_1 - z_1, \ldots, y_n - z_n\)이 \(A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]\) 안의 Koszul 정칙열임을 알 수 있다. 열 \(f_1(z), \ldots, f_n(z)\)은 평탄 사상 \[P \longrightarrow A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \textstyle{\frac{1}{h(y)h(z)}}],\quad x_i \longmapsto z_i\] 와 More on Algebra, Lemma 062H에 의해 \(A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]\) 안의 Koszul 정칙열이다. More on Algebra, Lemma 068M에 의해 \(g_1, \ldots, g_n\)은 \(P \otimes_A B\) 안의 정칙열이다.

이제 위의 \(P\), \(f_1, \ldots, f_n\) 및 \(g_i \in P \otimes_A B\)에 대해 Lemma 0BWC의 모든 가정을 확인했다. 특히 \(I\)의 소멸자 \(J\)는 한 원소 \(\delta\)에 의해 \(B\) 위에서 자유롭게 생성된다. \(f_{ij} = \partial f_i/\partial x_j \in A[x_1, \ldots, x_n]\)로 놓자. 초등적 계산으로 어떤 \(F_{ijj'} \in A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n]\)에 대해 \[f_i(y) = f_i(z_1 + g_1, \ldots, z_n + g_n) = f_i(z) + \sum\nolimits_j f_{ij}(z) g_j + \sum\nolimits_{j, j'} F_{ijj'}g_jg_{j'}\] 로 쓸 수 있다. \(P \otimes_A B\) 안의 상을 취하면 \(f_i(z)\) 항들은 영으로 가고 \[f_i \otimes 1 = \sum\nolimits_j \left(1 \otimes f_{ij} + \sum\nolimits_{j'} F_{ijj'}g_{j'}\right)g_j\] 를 얻는다. 따라서 Lemma 0BWC로부터 \(\delta = \det(g_{ij})\)이고 \(g_{ij} = 1 \otimes f_{ij} + \sum_{j'} F_{ijj'}g_{j'}\)임을 얻는다. \(g_{j'}\)는 \(B\) 안에서 영으로 가므로, \(B\) 안의 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\)의 상이 \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different를 생성한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 Lemma 0BWE의 동치 조건들을 만족하면, \(f\)의 different \(\mathfrak{D}_f\)는 \(f\)의 Kähler different이다.

증명

Lemmas 0BW6와 0BWF에 의해 \(f\)의 different는 아핀 국소적으로 Noether different와 같다. 그러면 보조정리는 Lemmas 0BVZ과 0BWD에서 수행한 표준 아핀 조각 위의 Noether different와 Kähler different의 계산에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(n \geq 1\)이고 \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\)로 놓고 \(B\)가 \(A\) 위에서 준유한이라고 가정하자. 그러면 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\)를 \(\tau_{B/A}\)로 보내는 동형 \(B \to \omega_{B/A}\)가 존재한다.

증명

\(J\)를 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\)의 소멸자라 하자. Lemma 0BWD에 의해 \(A \to B\)는 평탄이고, \(J\)는 \(B\) 안에서 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\)로 가는 생성원 \(\xi\)를 갖는 자유 \(B\)-가군이다. 따라서 보조정리는 Lemma 0BVT와 \(\omega_{B/A}\)가 가역 \(B\)-가군이라는 사실 (Lemma 0BWF)에서 따른다. (주의: \(\Hom_B(M, B) \cong B\)를 만족하는 유한 \(B\)-가군 \(M\)이 자유일 필요는 없으므로 \(\omega_{B/A}\)가 가역임을 증명해야 한다.)

예

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f, h \in A[x]\)이고 \[B = (A[x]/(f))_h = A[x, 1/h]/(f)\] 가 \(A\) 위에서 준유한이라고 하자. \(f' \in A[x]\)를 \(x\)에 관한 \(f\)의 도함수라 하자. 아이디얼 \(\mathfrak{D} = (f') \subset B\)는 \(A\) 위의 \(B\)의 Noether different이고, \(A\) 위의 \(B\)의 Kähler different이며, 그에 딸린 준연접 아이디얼 층이 \(\Spec(A)\) 위의 \(\Spec(B)\)의 different가 되는 아이디얼이다.

보조정리

\(S\)를 Noether 스킴이라 하고, \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 상대 차원 \(n\)인 매끄러운 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위의 국소 준유한 사상이라 하자. 그러면 \(f\)는 평탄이고, \(f\)의 different가 잘라내는 닫힌 부분스킴 \(R \subset Y\)는 \[\wedge^n(\text{d}f) \in \Gamma(Y, (f^*\Omega^n_{X/S})^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^n_{Y/S})\] 가 잘라내는 국소 주 닫힌 부분스킴이다. \(f\)가 \(Y\)의 수반점들에서 étale이면 \(R\)은 유효 Cartier 인자이고 \(Y\) 위의 가역층으로서 \[f^*\Omega^n_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}(R) = \Omega^n_{Y/S}\] 이다.

증명

\(f\)가 평탄임을 증명하려면 모든 \(s \in S\)에 대해 \(Y_s \to X_s\)가 평탄임을 증명하면 충분하다 (More on Morphisms, Lemma 039D). \(Y_s \to X_s\)의 평탄성은 Algebra, Lemma 00R4에서 따른다. More on Morphisms, Lemma 069M에 의해 \(f\)는 국소 완전 교차 사상이다. 따라서 different에 관한 명제는 Lemma 0BWG에 의해 Kähler different에 관한 대응 명제에서 따른다. 마지막으로 Morphisms, Lemma 01UX에 의해 완전열 \[f^*\Omega_{X/S} \xrightarrow{\text{d}f} \Omega_{Y/S} \to \Omega_{Y/X} \to 0\] 이 있고, \(\Omega_{X/S}\)와 \(\Omega_{Y/S}\)는 계수 \(n\)의 유한 국소 자유 가군이므로(Morphisms, Lemma 02G1), Kähler different에 관한 명제는 제0 피팅 아이디얼의 정의에서 분명하다. \(f\)가 \(Y\)의 수반점들에서 étale이면 \(\wedge^n\text{d}f\)는 \(Y\)의 수반점들에서 영이 아니고, 따라서 \(R\)의 국소 방정식은 영인자가 아니다. 그러므로 \(R\)은 유효 Cartier 인자이다. 표준 동형은 \(1\)을 \(\wedge^n\text{d}f\)로 보낸다. Divisors, Lemma 01X0를 보라.

Tate 사상

이 절에서는 국소 Noether 스킴의 국소 준유한 syntomic 사상에 대해 상대 여접복합체의 행렬식과 상대 쌍대화 가군 사이의 동형을 만든다. [Garel, 1.4.4]을 따라 이 동형을 Tate 사상이라 부른다. 우리의 접근법은 가능한 한 국소 계산을 피하는 것이다.

\(Y \to X\)를 스킴의 국소 준유한 syntomic 사상이라 하자. 이 절에서는 더 언급하지 않고 Lemma 0BWE에 주어진 이 개념의 모든 동치 조건을 사용한다. 특히 \(\NL_{Y/X}\)는 \([-1, 0]\) 안의 tor-진폭을 갖는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이다. 따라서 \(Y\) 위에 표준 가역 가군 \(\det(\NL_{Y/X})\)와 대역 절단 \[\delta(\NL_{Y/X}) \in \Gamma(Y, \det(\NL_{Y/X}))\] 이 있다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0FJX를 보라. 스킴의 가환도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_b \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 이 주어졌고, 수직 화살표들이 국소 준유한 syntomic이며 \(Y'\)과 \(X' \times_X Y\)의 한 열린집합 사이의 동형을 유도한다고 하자. 그러면 표준 사상 \[Lb^*\NL_{Y/X} \longrightarrow \NL_{Y'/X'}\] 은 More on Morphisms, Lemma 0FK0에 의해 준동형이다. 따라서 표준 동형 \(b^*\det(\NL_{Y/X}) \to \det(\NL_{Y'/X'})\)를 얻으며, 이는 표준 절단 \(\delta(\NL_{Y/X})\)를 \(\delta(\NL_{Y'/ X'})\)로 보낸다. Derived Categories of Schemes, Remark 0FJY를 보라.

주

\(Y \to X\)를 스킴의 국소 준유한 syntomic 사상이라 하자.

쌍 \((\det(\NL_{Y/X}), \delta(\NL_{Y/X}))\)은 국소적으로 어떤 모습인가? 아핀 열린집합 \(V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\)와 \(f(V) \subset U\)를 만족하는 정수 \(n\) 및 \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)을 택하여 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)이라 하자. 그러면 \[\NL_{B/A} = \left( (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B \text{d} x_i\right)\] 이고 \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\)은 합동류 \(\overline{f}_i\)들을 생성원으로 하는 자유 가군이다. Lemma 0BWE의 증명을 보라. 따라서 \(\det(L_{B/A})\)는 생성원 \[\text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_n \otimes (\overline{f}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{f}_n)^{\otimes -1}\] 위에서 자유이고, 정의에 의해 절단 \(\delta(\NL_{B/A})\)는 원소 \[\delta(\NL_{B/A}) = \det(\partial f_j/ \partial x_i) \cdot \text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_n \otimes (\overline{f}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{f}_n)^{\otimes -1}\] 이다.

\(Y \to X\)를 국소 Noether 스킴의 국소 준유한 syntomic 사상이라 하자. Remarks 0BVG와 0BVJ에 의해 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\omega_{Y/X}\)와 표준 대역 절단 \[\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] 이 있으며, 아핀 국소적으로 쌍 \(\omega_{B/A}, \tau_{B/A}\)를 복원한다. Lemma 0BWF에 의해 가군 \(\omega_{Y/X}\)는 가역이다. 국소 Noether 스킴의 가환도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_b \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 이 주어졌고, 수직 화살표들이 국소 준유한 syntomic이며 \(Y'\)과 \(X' \times_X Y\)의 한 열린집합 사이의 동형을 유도한다고 하자. 그러면 표준 기저변환 사상 \[b^*\omega_{Y/X} \longrightarrow \omega_{Y'/X'}\] 이 있으며, 이는 \(\tau_{Y/X}\)를 \(\tau_{Y'/X'}\)로 보내는 동형이다. 실제로 아핀 경우의 기저변환 사상은 (0BVB)이고, Lemma 0BVF에 의해 동형이며, Lemma 0BT9의 (1)에 의해 \(\tau_{Y/X}\)를 \(\tau_{Y'/X'}\)로 보낸다.

명제

국소 Noether 스킴의 모든 국소 준유한 syntomic 사상 \(Y \to X\)에 다음 두 성질을 만족하는 동형 \[c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \longrightarrow \omega_{Y/X}\] 을 대응시키는 유일한 규칙이 존재한다.

1. 절단 \(\delta(\NL_{Y/X})\)는 \(\tau_{Y/X}\)로 보내진다.

2. 이 규칙은 열린집합으로의 제한 및 기저변환과 양립한다.

증명

명제를 다시 표현하자. 대상들을 국소 Noether 스킴의 국소 준유한 syntomic 사상 \(Y \to X\)로 하고 이를 \(Y/X\)라 쓰며, 사상 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)을 가환도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[d] \ar[r]_b & Y \ar[d] \\ X' \ar[r]^a & X }\] 으로 하되 이 도식이 \(Y'\)과 \(X' \times_X Y\)의 한 열린 부분스킴 사이의 동형을 유도하게 하는 범주 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. 명제의 뜻은 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(Y/X\)에 대해 \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\)를 만족하는 동형 \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\)가 있고, \(\mathcal{C}\)의 모든 사상 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)에 대해 위에서 설명한 동일시 \(b^*\det(\NL_{Y/X}) = \det(\NL_{Y'/X'})\)와 \(b^*\omega_{Y/X} = \omega_{Y'/X'}\) 아래 \(b^*c_{Y/X} = c_{Y'/X'}\)가 성립한다는 것이다.

\(\mathcal{C}\) 안의 \(Y/X\)와 \(y \in Y\)가 주어졌다고 하자. \(f(V) \subset U\)이고 \(y \in V\)인 아핀 열린집합 \(V \subset Y\), \(U \subset X\)를 찾아, 어떤 동형 \[\det(\NL_{Y/X})|_V \longrightarrow \omega_{Y/X}|_V\] 이 \(\delta(\NL_{Y/X})|_V\)를 \(\tau_{Y/X}|_V\)로 보내게 할 수 있다. 이는 Lemma 0BWE의 (5)에서와 같은 아핀 열린집합을 택하고, Remark 0FKC의 \(\delta(\NL_{Y/X})\)에 대한 아핀 국소 기술과 Lemma 0BWH를 사용하면 따른다. 절단 \(\tau_{Y/X}\)의 소멸자가 영이면 이 국소 사상들은 유일하며 자동으로 붙는다. 따라서 \(\tau_{Y/X}\)의 소멸자가 영이면 \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\)를 만족하는 유일한 동형 \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\)가 존재한다. \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이고 \(\tau_{Y'/X'}\)의 소멸자도 영이면, \(b^*c_{Y/X}\)는 \(c_{Y'/X'}(\delta(\NL_{Y'/X'})) = \tau_{Y'/X'}\)를 만족하는 유일한 동형 \(c_{Y'/X'} : \det(\NL_{Y'/X'}) \to \omega_{Y'/X'}\)이다. 이는 \(b^*\delta(\NL_{Y/X}) = \delta(\NL_{Y'/X'})\)와 \(b^*\tau_{Y/X} = \tau_{Y'/X'}\)라는 사실에서 형식적으로 따른다.

앞 문단의 결과를 다음과 같이 요약할 수 있다. \(\mathcal{C}_{nice} \subset \mathcal{C}\)를 \(\tau_{Y/X}\)의 소멸자가 영인 \(Y/X\)들로 이루어진 충만 부분범주라 하자. 그러면 \(\mathcal{C}_{nice}\) 위에서는 문제를 해결했다. \(\mathcal{C}_{nice}\) 안의 \(Y/X\)에 대해 방금 찾은 해를 계속 \(c_{Y/X}\)라 쓰겠다.

\(\mathcal{C}\) 안의 사상 \[Y_1/X_1 \xleftarrow{b_1/a_1} Y/X \xrightarrow{b_2/a_2} Y_2/X_2\] 를 생각하자. 여기서 \(Y_1/X_1\)과 \(Y_2/X_2\)는 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이다. 주장. \(b_1^*c_{Y_1/X_1} = b_2^*c_{Y_2/X_2}\)이다. 먼저 이 주장이 명제를 함의함을 보인 뒤 주장을 증명하겠다.

\(d, n \geq 1\)이라 하고 Example 0FK8에서 구성한 국소 준유한 syntomic 사상 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)를 생각하자. \(Y_{n, d}\)는 기약 정칙 스킴이고 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)는 국소 준유한 syntomic이며 조밀 열린집합 위에서 étale이다. Lemma 0FK9를 보라. 따라서 예를 들어 Lemma 0BW9에 의해 \(\tau_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\)는 영이 아니다. 기약 정칙 스킴 위의 가역 가군의 영이 아닌 절단은 소멸자가 영이다. 따라서 \(Y_{n, d}/X_{n, d}\)는 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이다.

\(Y/X\)를 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상이라 하고 \(y \in Y\)라 하자. Lemma 0FKA에 의해 \(n, d \geq 1\)과 \(\mathcal{C}\) 안의 사상 \[Y/X \leftarrow V/U \xrightarrow{b/a} Y_{n, d}/X_{n, d}\] 을 찾을 수 있다. 여기서 \(V \subset Y\)와 \(U \subset X\)는 열려 있다. 따라서 위에서 구성한 표준 사상 \(c_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\)를 \(b\)로 \(V\)에 당길 수 있다. 주장은 이 국소 동형들이 붙음을 보장한다. 따라서 \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\)를 만족하는 잘 정의된 대역 동형 \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\)를 얻는다. \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면, 주장은 같은 방식으로 구성한 사상 \(c_{Y'/X'}\)가 국소적으로 구성한 사상 \(c_{Y/X}\)의 \(b\)에 의한 당김임도 함의한다. 그러므로 주장을 증명하는 일만 남는다.

증명의 나머지에서는 주장을 증명한다. \(y \in Y\)를 택하고 \(y\)의 한 열린 근방에서 두 사상이 일치함을 증명할 수 있다. 따라서 \(Y_1\), \(Y_2\)를 \(Y_1\), \(Y_2\) 안의 \(y\)의 상의 열린 근방으로 바꿀 수 있다. 그러므로 \(Y, X, Y_1, X_1, Y_2, X_2\)가 아핀이고 각각 환 \(B, A, B_1, A_1, B_2, A_2\)의 스펙트럼이라고 가정할 수 있다. 도식은 \[\xymatrix{ B_1 \ar[r] & B & B_2 \ar[l] \\ A_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A_2 \ar[l] \ar[u] }\] 이다. 가정에 의해 \(B\)의 스펙트럼은 \(A \otimes_{A_1} B_1\)의 스펙트럼과 \(A \otimes_{A_2} B_2\)의 스펙트럼 양쪽의 아핀 열린집합이다. 더 축소하면 사상들이 동형 \((A \otimes_{A_i} B_i)_{g_i} = B\)를 주도록 하는 원소 \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\)가 존재한다고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 0H9B를 보라. 충분히 큰 변수 모음 \(x_\alpha\), \(y_\beta\)를 택하여 \(A_1\)-대수와 \(A_2\)-대수의 전사 \[A'_1 = A_1[x_\alpha] \to A \quad\text{and}\quad A'_2 = A_2[y_\beta] \to A\] 를 택할 수 있게 하자. 그러면 \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\)의 올림 \(h_i \in A'_i \otimes_{A_i} B_i\)를 택할 수 있고, 도식 \[\xymatrix{ (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \ar[r] & B & (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2} \ar[l] \\ A'_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A'_2 \ar[l] \ar[u] }\] 을 생각한다. 구성에 의해 두 정사각형은 쌍대 카르테시안이다. 다음 환 사상 \[A' = A'_1 \times_A A'_2 \longrightarrow B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \times_B (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2}\] 을 생각하자. More on Algebra, Lemma 07RU에 의해 \(A'_1 \otimes_{A'} B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\)이고 \(A'_2 \otimes_{A'} B' = (A'_2 \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\)이다. 특히 사상 \(Y' = \Spec(B') \to \Spec(A') = X'\)의 올들은 사상 \(Y_i \to X_i\)의 올들의 기저변환의 열린 부분스킴이므로 유한 국소 완전 교차이다 (Lemma 0BWE를 보라). More on Algebra, Lemma 08KQ에 의해 환 사상 \(A' \to B'\)는 평탄이고 유한 표시이다. 따라서 Lemma 0BWE의 (3)에 의해 \(Y' \to X'\)는 국소적으로 준유한이고 syntomic이다. 그러므로 가환도식 \[\xymatrix{ & & Y/X \ar[ld] \ar@/_2pc/[lldd]_{b_1/a_1} \ar[rd] \ar@/^2pc/[rrdd]^{b_2/a_2} \\ & Y'_1/X'_1 \ar[rd] \ar[ld] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \ar[rd] \\ Y_1/X_1 & & Y'/X' & & Y_2/X_2 }\] 를 얻는다. 여기서 \(Y'_i/X'_i\)는 \(A'_i \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\)에 대응한다.

이 문단에서는 극한 논증으로 \(A'\)과 \(A'_i\)가 Noether가 아닐 수 있다는 문제를 해결한다. 독자는 이 문단을 건너뛰어도 좋다. 유한 생성 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(A'' \subset A'\)과 준유한 syntomic 환 사상 \(A'' \to B''\)을 찾아 \(B' = A' \otimes_{A''} B''\)이 되게 할 수 있다. 이는 Limits, Lemmas 01ZM, 0C3L, 및 094M에서 따른다. 그러면 환 사상 \(A'' \to A'_1 = A_1[x_\alpha]\)은 유한 다항식 부분대수 \(A_i[x_1, \ldots, x_n\)을 통해 인수분해되고, 환 사상 \(A'' \to A'_2 = A_2[y_\beta]\)는 \(A_2[y_1, \ldots, y_m]\)을 통해 인수분해된다. 변수 집합들을 늘려 \(h_1 \in A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1\)과 \(h_2 \in A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2\)도 가정할 수 있다. 변수 집합들을 한 번 더 늘리면 사상 \(B'' \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\)가 \((A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\)과 \((A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\)를 통해 인수분해된다고 가정할 수 있다. \(Y'\), \(X'\), \(Y'_1\), \(X'_1\), \(Y'_2\), \(X'_2\)를 각각 \(B''\), \(A''\), \((A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\), \(A_1[x_1, \ldots, x_n]\), \((A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\), \(A_2[y_1, \ldots, y_m]\)의 스펙트럼으로 바꾸면 모든 스킴이 Noether인 위와 같은 도식을 얻는다.

\(Y'_i/X'_i\)는 아핀공간과 \(Y_i/X_i\)의 곱의 열린 부분스킴을 취하여 얻으므로 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이다. 특히 \((b_i/a_i)\)를 통한 \(c_{Y_i/X_i}\)의 당김은 \(Y/X \to Y'_i/X'_i\)를 통한 \(c_{Y'_i/X'_i}\)의 당김과 같다. \(Y'/X'\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이면 증명이 끝난다 (그러나 일반적으로 그렇지 않을 것이다). 실제로 그러면 정사각형의 두 변을 따라 \(c_{Y'/X'}\)를 당겨 원하는 결론을 얻는다. \(Y'/X'\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)에 속하지 않는 문제를 피하기 위해, 위의 논증이 필요하면 모든 스킴 \(X, Y, X'_1, Y'_1, X'_2, Y'_2, X', Y'\)을 축소한 뒤 어떤 \(n, d \geq 1\)을 찾아 도식을 다음과 같이 확장할 수 있음을 관찰한다. \[\xymatrix{ & Y/X \ar[ld] \ar[rd] \\ Y'_1/X'_1 \ar[rd] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \\ & Y'/X' \ar[d] \\ & Y_{n, d}/X_{n, d} }\] 그런 다음 \(c_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\)에서 당기는 이미 주어진 논증을 사용할 수 있다. 이것으로 증명이 끝난다.

Different의 일반화

이 절에서는 Dedekind different가 정의되고 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)인 모든 환 사상 \(A \to B\)의 경우를 포함하도록 Definition 0BW4를 일반화한다. 먼저 ‘\(A \to B\)가 영인자가 아닌 원소를 영인자가 아닌 원소로 보내고 평탄 사상 \(Q(A) \to Q(A) \otimes_A B\)를 유도한다’는 조건을 설명한다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환의 사상이라 하자. 다음 조건들을 생각하자.

1. \(A\)의 영인자가 아닌 원소들은 \(B\)의 영인자가 아닌 원소로 간다.

2. (1)이 성립하고 \(Q(A) \to Q(A) \otimes_A B\)는 평탄이다.

3. 모든 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(B)\)에 대해 \(A \to B_\mathfrak q\)는 평탄이다.

4. (3)이 성립하고, \(\text{Ass}(A)\)의 한 원소 위에 놓이는 모든 \(\mathfrak q\)에 대해 \(A \to B_\mathfrak q\)는 평탄이다.

그러면 다음 함의들이 성립한다. \[\xymatrix{ (1) & (2) \ar@{=>}[l] \ar@{=>}[d] \\ (3) \ar@{=>}[u] & (4) \ar@{=>}[l] }\] \(A \to B\)에 대해 상승정리가 성립하면 (2)와 (4)는 동치이다.

증명

도식의 수평 함의들은 자명하다. \(S \subset A\)를 영인자가 아닌 원소들의 집합이라 하면 \(Q(A) = S^{-1}A\)이고 \(Q(A) \otimes_A B = S^{-1}B\)이다. Algebra, Lemma 00LD에 의해 \(S = A \setminus \bigcup_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} \mathfrak p\) 임을 상기하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하자.

(2)를 가정하자. \(\mathfrak q \in \text{Ass}(B)\)이면 \(\mathfrak q\)는 영인자들로 이루어지므로, (1)에 의해 \(\mathfrak p\)도 그러하다. 따라서 \(\mathfrak p\)는 \(S^{-1}A\)의 한 소아이디얼에 대응한다. 그러므로 가정 (2)에 의해 \(A \to B_\mathfrak q\)는 평탄이다. \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 수반 소아이디얼 \(\mathfrak p\) 위에 놓이면 분명히 \(\mathfrak p \in \Spec(S^{-1}A)\)이고 같은 논증이 성립한다.

(3)을 가정하자. \(f \in A\)를 영인자가 아닌 원소라 하자. \(f\)가 \(B\) 위에서 영인자이면 \(f\)는 \(B\)의 한 수반 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 속한다. 가정에 의해 \(A \to B_\mathfrak q\)가 평탄이므로 Algebra, Lemma 0312에 의해 \(\mathfrak p\)는 \(A\)의 수반 소아이디얼이라는 결론을 얻는다. 이는 \(f\)가 \(A\) 위에서 영인자임을 뜻하여 모순이다.

(4)와 \(A \to B\)에 대한 상승정리를 가정하자. 이미 (1)이 성립함을 안다. \(\mathfrak q\)가 \(S^{-1}B\)의 한 소아이디얼에 대응하면 \(\mathfrak p\)는 \(A\)의 한 수반 소아이디얼 \(\mathfrak p'\)에 포함된다. 상승정리에 의해 \(\mathfrak q\)를 포함하고 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak q'\)가 존재한다. 그러면 (4)에 의해 \(A \to B_{\mathfrak q'}\)는 평탄이다. 따라서 그 국소화 \(A \to B_{\mathfrak q}\)도 평탄이다. 그러므로 \(A \to S^{-1}B\)와 \(S^{-1}A \to S^{-1}B\)는 평탄이다. Algebra, Lemma 00HT을 보라.

주

Definition 0BW4를 일반화할 수 있다. \(f : Y \to X\)가 다음 성질을 갖는 Noether 스킴의 준유한 사상이라 하자.

1. \(f\)가 평탄인 열린집합 \(V \subset Y\)는 \(\text{Ass}(\mathcal{O}_Y)\)와 \(f^{-1}(\text{Ass}(\mathcal{O}_X))\)를 포함한다.

2. 대각합 원소 \(\tau_{V/X}\)는 절단 \(\tau \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\)에서 온다.

조건 (1)은 Lemma 0BVD에 의해 \(V\)가 \(\omega_{Y/X}\)의 수반점들을 포함함을 함의한다. 특히 \(\tau\)가 존재하면 유일하다 (Divisors, Lemma 0B3L). \(\tau\)가 주어지면 \(\Coker(\tau : \mathcal{O}_Y \to \omega_{Y/X})\)의 소멸자로 different \(\mathfrak{D}_f\)를 정의할 수 있다. 이는 여러 경우에 Dedekind different와 일치한다 (Lemma 0BWN). 그러나 비정규환들 사이의 비평탄 사상에 대해서는 이 일반화가 더 이상 사상의 분기를 측정하지 않는다. Example 0BWP를 보라.

보조정리

\(A \to B\)의 Dedekind different가 정의된다고 가정하자. \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\)로 놓자. Remark 0BWM의 일반화가 사상 \(f : Y \to X\)에 적용될 필요충분조건은 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)인 것이다 (예를 들어 \(A\)가 정규이면 그러하다. Lemma 0BW1을 보라). 이 경우 \(\mathfrak{D}_{B/A}\)는 \(B\)의 아이디얼이고, \(Y\) 위의 연접 아이디얼 층으로서 \[\mathfrak{D}_f = \widetilde{\mathfrak{D}_{B/A}}\] 이다.

증명

\(A \to B\)의 Dedekind different가 정의되므로 Lemma 0BWL을 적용하면 \(Y \to X\)가 Remark 0BWM의 조건 (1)을 만족함을 알 수 있다. Lemma 0BW2에 의해 표준 동형 \(c : \mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\)가 있음을 상기하자. 위와 같이 \(K = Q(A)\), \(L = K \otimes_A B\)라 하자. 구성에 의해 사상 \(c\)는 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{L}_{B/A} \ar[r] \ar[d]_c & L \ar[d] \\ \omega_{B/A} \ar[r] & \Hom_K(L, K) }\] 에 들어간다. 여기서 오른쪽 수직 화살표는 \(x \in L\)을 사상 \(y \mapsto \text{Trace}_{L/K}(xy)\)로 보내고, 아래 수평 화살표는 \(\omega_{B/A}\)에 대한 기저변환 사상 (0BVB)이다. 아래 수평 사상을 \[\omega_{B/A} = \Gamma(Y, \omega_{Y/X}) \to \Gamma(V, \omega_{V/X}) \to \Hom_K(L, K)\] 로 인수분해할 수 있다. \(\omega_{V/X}\)의 모든 수반점은 \(A\)의 수반 소아이디얼로 가므로 (Lemma 0BVD) 둘째 사상은 단사이다. 대각합 원소의 정의 (Definition 0BT6)에 의해 \(\tau_{V/X}\)는 \(\Hom_K(L, K)\) 안의 \(\text{Trace}_{L/K}\)로 간다. 따라서 Remark 0BWM의 조건 (2)의 \(\tau\)가 존재할 필요충분조건은 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)이고, 이때 \(\tau = c(1)\)이다. 이 경우 Lemma 0BW1에 의해 \(\mathfrak{D}_{B/A} \subset B\)임을 안다. 마지막으로 \(\mathfrak{D}_f\)와 \(\mathfrak{D}_{B/A}\)의 일치는 정의와 방금 본 \(\tau = c(1)\)에서 즉시 따른다.

예

\(k\)를 체라 하자. \(A = k[x, y]/(xy)\), \(B = k[u, v]/(uv)\)라 하고, \(n, m \in \mathbf{N}\)가 \(k\)의 표수와 서로소일 때 \(x \mapsto u^n\), \(y \mapsto v^m\)으로 \(A \to B\)를 정의하자. 그러면 \(A_{x + y} \to B_{x + y}\)는 (유한) étale이므로 Dedekind different가 정의되는 상황이다. 계산하면 \[\text{Trace}_{L/K}(1) = (nx + my)/(x + y),\quad \text{Trace}_{L/K}(u^i) = 0,\quad \text{Trace}_{L/K}(v^j) = 0\] 이고, 여기서 \(1 \leq i < n\), \(1 \leq j < m\)이다. 따라서 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)일 필요충분조건은 \(n = m\)이다. 또 계산에 의해 \(n = m\)이면 \(\mathcal{L}_{B/A} = B\)이고 Dedekind different도 \(B\)이다. 다시 말해 Remark 0BWM의 different가 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)에 대해 정의될 필요충분조건은 \(n = m\)이고, 이 경우 different는 단위 아이디얼이다. 따라서 비평탄인 경우 different의 비소멸은 사상이 étale 또는 비분기임을 보장하지 않는다.

쌍대성이론과의 비교

이 절에서는 위의 초등 대수적 구성들을 스킴의 쌍대성이론 장의 구성들과 비교한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 준유한 분리 사상이라 하자. \(f(V) \subset U\)를 만족하는 모든 아핀 열린집합 쌍 \(\Spec(B) = V \subset Y\), \(\Spec(A) = U \subset X\)에 대해 동형 \[H^0(V, f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{B/A}\] 이 존재한다. 여기서 \(f^!\)는 Duality for Schemes, Section 0A9Y에서와 같다. 이 동형들은 제한 사상들과 양립하며 표준 동형 \(H^0(f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{Y/X}\)를 정의한다. 여기서 \(\omega_{Y/X}\)는 Remark 0BVG에서와 같다. 마찬가지로 \(f : Y \to X\)가 쌍대화 복합체 \(\omega_S^\bullet\)을 갖는 Noether 기저 \(S\) 위의 유한형 스킴들의 준유한 사상이면 \(H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X) = \omega_{Y/X}\)이다.

증명

Zariski 주정리에 의해 \(j : Y \to Y'\)이 열린 몰입이고 \(f' : Y' \to X\)가 유한 사상이 되도록 인수분해 \(f = f' \circ j\)를 택할 수 있다. More on Morphisms, Lemma 05K0를 보라. Duality for Schemes, Lemma 0AA0의 구성에 의해 \(f^! = j^* \circ a'\)이고, 여기서 \(a' : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'})\)는 Duality for Schemes, Lemma 0A9E의 \(Rf'_*\)의 오른쪽 수반함자이다. Duality for Schemes, Lemma 0AX2에 의해 \(D_\QCoh^+(f'_*\mathcal{O}_{Y'})\)에서 \(\Phi(a'(\mathcal{O}_X)) = R\SheafHom(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_X)\) 이다. 특히 \(a'(\mathcal{O}_X)\)의 차수 \(< 0\)인 코호몰로지 층들은 영이다. 0차 코호몰로지 층은 Morphisms, Lemma 01SB의 동치를 통해 \(f'_*\mathcal{O}_{Y'}\)-가군의 동형 \[f'_*H^0(a'(\mathcal{O}_X)) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_X)\] 으로 결정된다. \((f')^{-1}U = V' = \Spec(B')\)라 쓰면 \[H^0(V', a'(\mathcal{O}_X)) = \Hom_A(B', A).\] 를 얻는다. \(a'(\mathcal{O}_X)\)의 0차 코호몰로지 층은 준연접 가군이므로, \(V\)로의 제한은 원하는 대로 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\)로 주어진다.

제한 사상에 관한 명제의 뜻은 위의 동형들을 통해 준연접 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-가군 \(H^0(a'(\mathcal{O}_X))\)의 \(Y'\) 안의 열린집합들에 대한 제한 사상들이 Lemma 0BT2에서 가군 \(\omega_{B/A}\)에 대해 정의한 사상들과 일치한다는 것이다. 이는 분명하다.

\(f : Y \to X\)를 쌍대화 복합체 \(\omega_S^\bullet\)을 갖는 Noether 기저 \(S\) 위의 유한형 스킴들의 준유한 사상이라 하자. \(f(V) \subset U\)이고 \(V\), \(U\)가 \(S\) 위에서 분리인 열린집합 \(V \subset Y\), \(U \subset X\)를 생각하자. \(f\)의 제한을 \(f|_V : V \to U\)라 쓰자. 위의 논의와 Duality for Schemes, Lemma 0AUE에 의해 표준 동형들 \[H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X)|_V = H^0((f|_V)^!\mathcal{O}_U) = \omega_{V/U} = \omega_{Y/X}|_V\] 이 있다. 이 동형들이 붙어 대역 동형 \(H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X) \to \omega_{Y/X}\)를 이룬다는 확인은 생략한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 유한 평탄 사상이라 하자. Section 0BVH의 사상 \[\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 은 사상 \(\mathcal{O}_Y \to f^!\mathcal{O}_X\)에 대응한다 (증명을 보라). \(1\)의 상을 \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, f^!\mathcal{O}_X)\)라 쓰자. Lemma 0BUL의 동형 \(H^0(f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{X/Y}\)를 통하면 이는 Remark 0BVJ의 구성과 일치한다.

증명

함자 \(f^!\)는 Duality for Schemes, Section 0A9Y에서 정의된다. \(f\)는 유한이고 따라서 고유이므로, \(f^!\)는 \(f\)에 대한 직상함자의 오른쪽 수반함자로 주어진다. Duality for Schemes, Section 0AWZ에서 이 수반함자를 명시했다. 특히 대상 \(f^!\mathcal{O}_X\)는 차수 \(0\)에 놓인 하나의 코호몰로지 층으로 이루어지고, 이 층에 대해 \[f_*f^!\mathcal{O}_X = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\] 이다. 이를 보기 위해 \(f\)가 Noether 스킴의 유한 평탄 사상이므로 \(f_*\mathcal{O}_Y\)가 유한 국소 자유이고 모든 고차 Ext 층이 영이라는 사실도 사용한다. 일부 세부사항은 생략한다. 따라서 \[\text{Trace}_f \in \Hom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X) = \Gamma(X, f_*f^!\mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, f^!\mathcal{O}_X)\] 이다. 한편 Lemma 0BUL의 동일시에 의해 \(f^!\mathcal{O}_X = \omega_{Y/X}\)이다. 따라서 이제 \[\Gamma(Y, f^!\mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] 안에 \(\text{Trace}_f\)와 Remark 0BVJ의 \(\tau_{Y/X}\)라는 두 원소가 있고, 보조정리는 이들이 같다는 것이다.

\(U = \Spec(A) \subset X\)를 역상 \(V = \Spec(B) \subset Y\)를 갖는 아핀 열린집합이라 하자. \(f\)가 유한이므로 \(A \to B\)는 유한이고, 따라서 구성에 의해 \(\omega_{Y/X}(V) = \Hom_A(B,A)\)이다. 이 동형은 위에서 논한 \(f_*f^!\mathcal{O}_Y\)와 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\)의 동일시와 일치한다. 그러므로 \(\text{Trace}_f\)와 \(\tau_{Y/X}\)의 일치는 Lemma 0BT8에 의한 \(\tau_{B/A} = \text{Trace}_{B/A}\)에서 따른다.

준유한 Gorenstein 사상

이 절에서는 준유한 Gorenstein 사상을 논한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 준유한 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 Gorenstein이다.

2. \(f\)는 평탄이고 \(f\)의 올들은 Gorenstein이다.

3. \(f\)는 평탄이고 \(\omega_{Y/X}\)는 가역이다 (Remark 0BVG).

4. 모든 \(y \in Y\)에 대해 아핀 열린집합 \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\)가 \(f(V) \subset U\)를 만족하고, \(A \to B\)가 평탄이며 \(\omega_{B/A}\)가 가역 \(B\)-가군이다.

증명

(1)과 (2)는 정의에 의해 동치이다. (3)과 (4)는 Remark 0BVG의 \(\omega_{Y/X}\)의 구성에 의해 동치이다. 따라서 (1)-(2)와 (3)-(4)가 동치임을 보여야 한다.

첫째 증명. 아핀 국소적으로 작업하여 \(f\)가 분리 사상이라고 가정하고 Lemma 0BUL를 적용하면, \(\omega_{Y/X}\)는 \(f^!\mathcal{O}_X\)의 0차 코호몰로지 층이다. 어느 가정 아래서도 \(f\)는 평탄이고 준유한이므로 \(f^!\mathcal{O}_X\)는 \(\omega_{Y/X}[0]\)과 동형이다. Duality for Schemes, Lemma 0BV7를 보라. 따라서 동치는 Duality for Schemes, Lemma 0C08에서 따른다.

둘째 증명. Lemma 0DWK에 의해 \(X\)가 체 \(k\)의 스펙트럼인 경우에 (2)와 (3)의 동치를 증명하면 충분하다. 그러면 \(Y = \Spec(B)\)이고 \(B\)는 유한 \(k\)-대수이다. 이 경우 차수 \(0\)에 놓인 \(\omega_{B/A} = \omega_{B/k} = \Hom_k(B, k)\)는 \(B\)의 쌍대화 복합체이다. Dualizing Complexes, Lemma 0AX0를 보라. 따라서 동치는 Dualizing Complexes, Lemma 0DW9에서 따른다.

주

\(f : Y \to X\)를 Noether 스킴의 준유한 Gorenstein 사상이라 하자. \(\mathfrak D_f \subset \mathcal{O}_Y\)를 different라 하고, \(R \subset Y\)를 \(\mathfrak D_f\)가 잘라내는 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면

1. \(\mathfrak D_f\)는 국소 주 아이디얼이다.

2. \(R\)은 국소 주 닫힌 부분스킴이다.

3. \(\mathfrak D_f\)는 아핀 국소적으로 Noether different와 같다.

4. \(R\)의 형성은 기저변환과 가환한다.

5. \(f\)가 유한이면 \(R\)의 노름은 \(f\)의 판별식이다.

6. \(f\)가 \(Y\)의 수반점들에서 étale이면 \(R\)은 유효 Cartier 인자이고 \(\omega_{Y/X} = \mathcal{O}_Y(R)\)이다.

이는 Lemmas 0BW6, 0BW7, 및 0BWA에서 따른다.

주

\(S\)를 쌍대화 복합체 \(\omega_S^\bullet\)을 갖는 Noether 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위의 컴팩트화 가능한 스킴들의 준유한 Gorenstein 사상이라 하자. 또한 \(Y\)와 \(X\)가 Cohen–Macaulay이고 \(f\)가 \(Y\)의 일반점들에서 étale이라고 가정하자. 그러면 Duality for Schemes, Remark 0C10과 Remark 0C17을 결합하여 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 표준 동형 \[\omega_Y = f^*\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X} = f^*\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(R)\] 을 얻는다. 더 나아가 \(f\)가 유한이면 동형 \(\mathcal{O}_Y(R) = \omega_{Y/X}\)는 대역 절단 \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, \omega_{Y/X})\)에서 온다. 이는 쌍대성을 통해 사상 \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)에 대응한다. Lemma 0BVI를 보라.