미분 등급 대수

도입

이 장에서는 미분 등급 대수, 가군, 범주 등을 다룬다. 기본 참고문헌은 [Keller-Deriving]이고, 개관 논문은 [Keller-survey]이다.

Stacks 프로젝트에서는 서술의 길이를 염려하지 않으므로, 먼저 미분 등급 가군들의 범주라는 배경에서 내용을 전개한다. 그다음 미분 등급 범주 위의 미분 등급 가군이라는 배경에서 이 구성들을 다시 수행한다.

규약

이 장에서는 환이 \(1\)을 갖는 가환환을 뜻한다는 규약을 유지한다. \(R\)이 환이면, \(R\)-대수 \(A\)란 곱셈이라 불리는 \(R\)-쌍선형 사상 \(A \times A \to A\)가 주어져서 곱셈이 결합적이고 단위원을 갖는 \(R\)-가군 \(A\)를 뜻한다. 다시 말해, 이는 구조 사상 \(R \to A\)의 상이 \(A\)의 중심에 들어가는 단위원을 갖는 결합 \(R\)-대수이다.

부호 규칙. 이 장에서는 흔히 미분을 갖춘 등급 대수와 등급 가군을 다룬다. 바탕 복합체의 부호 규칙은 항상 More on Algebra, Section 0FNG에서 도입한 규칙과 양립한다. 이 때문에 특히 왼쪽 가군이나 왼쪽 가군과 오른쪽 가군 사이의 관계를 고려할 때 곱셈 구조가 때때로 예상하지 못한 방식으로 꼬인다.

미분 등급 대수

정의만 제시한다.

정의

\(R\)을 가환환이라 하자. \(R\) 위의 미분 등급 대수란 다음 둘 중 하나이다.

1. \(R\)-쌍선형 사상 \(A_n \times A_m \to A_{n + m}\), \((a, b) \mapsto ab\)가 주어진 \(R\)-가군의 사슬 복합체 \(A_\bullet\)로서 \[\text{d}_{n + m}(ab) = \text{d}_n(a)b + (-1)^n a\text{d}_m(b)\] 를 만족하고 \(\bigoplus A_n\)이 단위원을 갖는 결합 \(R\)-대수가 되는 것, 또는

2. \(R\)-쌍선형 사상 \(A^n \times A^m \to A^{n + m}\), \((a, b) \mapsto ab\)가 주어진 \(R\)-가군의 쌍대사슬 복합체 \(A^\bullet\)로서 \[\text{d}^{n + m}(ab) = \text{d}^n(a)b + (-1)^n a\text{d}^m(b)\] 를 만족하고 \(\bigoplus A^n\)이 단위원을 갖는 결합 \(R\)-대수가 되는 것.

흔히 \(A = \bigoplus A_n\) 또는 \(A = \bigoplus A^n\)이라고만 쓰고, 이를 \(\mathbf{Z}\)-등급과 제곱이 영이며 위에서 설명한 라이프니츠 법칙을 만족하는 \(R\)-선형 연산자 \(\text{d}\)를 갖춘 단위원을 갖는 결합 \(R\)-대수로 생각한다. 이 경우 흔히 “\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자”라고 말한다.

미분 등급 \(R\)-대수 \(A\)에서 미분과 곱셈을 잇는 라이프니츠 법칙은 곱셈 사상이 쌍대사슬 복합체의 사상 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \to A^\bullet\] 을 정의한다는 것과 정확히 같다. 여기서 \(A^\bullet\)은 \(A\)의 바탕 쌍대사슬 복합체를 나타낸다.

정의

미분 등급 대수의 준동형 \(f : (A, \text{d}) \to (B, \text{d})\)란 등급 및 \(\text{d}\)와 양립하는 대수 준동형 \(f : A \to B\)이다.

정의

미분 등급 대수 \((A, \text{d})\)는 차수가 \(n\)인 \(a\)와 차수가 \(m\)인 \(b\)에 대하여 \(ab = (-1)^{nm}ba\)이면 가환이라고 한다. 이에 더하여 \(\deg(a)\)가 홀수일 때 \(a^2 = 0\)이면 \(A\)를 엄밀히 가환이라고 한다.

다음 정의는 일반적으로도 의미가 있지만, 가환 미분 등급 대수들의 텐서곱을 취할 때에만 아마 “올바른” 정의일 것이다.

정의

\(R\)을 환이라 하고, \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(A\)와 \(B\)의 텐서곱 미분 등급 대수란 곱셈이 \[(a \otimes b)(a' \otimes b') = (-1)^{\deg(a')\deg(b)} aa' \otimes bb'\] 로 정의된 대수 \(A \otimes_R B\)에 다음 규칙으로 정의되는 미분 \(\text{d}\)를 갖춘 것이다. \(\text{d}(a \otimes b) = \text{d}(a) \otimes b + (-1)^m a \otimes \text{d}(b)\) 여기서 \(m = \deg(a)\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고, \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. 그 바탕 쌍대사슬 복합체를 각각 \(A^\bullet\), \(B^\bullet\)이라 쓰자. \(R\)-가군의 쌍대사슬 복합체로서 \[(A \otimes_R B)^\bullet = \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R B^\bullet).\] 이다.

증명

전체 복합체의 미분은 \(A^p \otimes_R B^q\) 위에서 \(\text{d}_1^{p, q} + (-1)^p \text{d}_2^{p, q}\)로 주어진다는 것을 상기하자. 이는 정의 065W에서 \(A \otimes_R B\) 위의 미분에 주어진 규칙과 정확히 같다.

미분 등급 가군

이 장에서는 오른쪽 가군을 기본으로 한다. 왼쪽 가군은 제 0FPZ절에서 다룬다.

정의

\(R\)을 환이라 하고, \((A, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(A\) 위의 (오른쪽) 미분 등급 가군 \(M\)이란 등급 \(M = \bigoplus M^n\)과 미분 \(\text{d}\)를 갖춘 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\)으로서 \(M^n A^m \subset M^{n + m}\) 및 \(\text{d}(M^n) \subset M^{n + 1}\)을 만족하고 \[\text{d}(ma) = \text{d}(m)a + (-1)^n m\text{d}(a)\] 가 \(a \in A\)와 \(m \in M^n\)에 대해 성립하는 것을 말한다. 미분 등급 가군의 준동형 \(f : M \to N\)이란 등급과 미분에 양립하는 \(A\)-가군 사상이다. (오른쪽) 미분 등급 \(A\)-가군의 범주를 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)로 나타낸다.

\(M\)을 (오른쪽) \(R\)-가군의 쌍대사슬 복합체 \(M^\bullet\)로 생각할 수 있음에 유의하자. 실제로 \(r \in R\)에 대해 \(\text{d}(r) = 0\)이고 \(r\)은 \(A\)의 차수 \(0\)인 원소로 사상되므로 \(\text{d}(mr) = \text{d}(m)r\)이다.

미분 등급 \(R\)-대수 \(A\) 위의 미분 등급 \(R\)-가군 \(M\)에서 미분과 곱셈을 잇는 라이프니츠 법칙은 곱셈 사상이 쌍대사슬 복합체의 사상 \[\text{Tot}(M^\bullet \otimes_R A^\bullet) \to M^\bullet\] 을 정의한다는 것과 정확히 같다. 여기서 \(A^\bullet\)과 \(M^\bullet\)은 각각 \(A\)와 \(M\)의 바탕 쌍대사슬 복합체를 나타낸다.

보조정리

\((A, d)\)를 미분 등급 대수라 하자. 범주 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)는 아벨 범주이고 임의의 극한과 여극한을 가진다.

증명

핵과 여핵을 취하는 것은 바탕 \(A\)-가군을 취하는 것과 가환한다. 직합과 여극한도 마찬가지이다. 다시 말해 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)에서 이 연산들은 \(A\)-가군의 범주로 가는 망각 함자와 가환한다. 곱과 극한은 그렇지 않다. 즉, \(N_i\), \(i \in I\)가 미분 등급 \(A\)-가군의 족이면 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)에서 곱 \(\prod N_i\)는 \((\prod N_i)^n = \prod N_i^n\) 및 \(\prod N_i = \bigoplus_n (\prod N_i)^n\)으로 주어진다. 따라서 곱은 등급 \(A\)-가군의 범주로 가는 망각 함자와 가환한다. 곱과 등화자를 갖는 범주는 극한을 가진다. Categories, Lemma 002N를 보라.

따라서 \((A, \text{d})\)가 \(R\) 위의 미분 등급 대수이면 아벨 범주들의 완전 함자 \[\text{Mod}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}(R)\] 가 존재한다. 미분 등급 가군 \(M\)의 코호몰로지군 \(H^n(M)\)은 이에 대응하는 \(R\)-가군 복합체의 코호몰로지로 정의한다. 그러므로 미분 등급 가군의 짧은 완전열 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)은 코호몰로지 가군들의 긴 완전열 [09JK]\[\begin{equation} H^n(K) \to H^n(L) \to H^n(M) \to H^{n + 1}(K) \end{equation}\] 을 유도한다. Homology, Lemma 0117를 보라.

이제부터는 가군 복합체에 쓰는 모든 용어도 빌려 쓴다. 예를 들어 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^k(M) = 0\)이면 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)을 비순환이라 한다. 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(M \to N\)이 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 동형 \(H^k(M) \to H^k(N)\)을 유도하면 이를 유사동형이라 한다. 그 밖의 용어도 같은 방식으로 쓴다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 바탕 \(R\)-가군 복합체가 \(M^\bullet\)인 미분 등급 가군이라 하자. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(k\)-시프트 가군 \(M[k]\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(M[k]\)의 바탕 \(R\)-가군 복합체는 \(M^\bullet[k]\)이다. 즉, \(M[k]^n = M^{n + k}\)이고 \(\text{d}_{M[k]} = (-1)^k\text{d}_M\)이다.

2. \(A\)-가군으로서의 곱셈 \[(M[k])^n \times A^m \longrightarrow (M[k])^{n + m}\] 은 주어진 곱셈 \(M^{n + k} \times A^m \to M^{n + k + m}\)과 같다.

미분 등급 \(A\)-가군의 사상 \(f : M \to N\)에 대해 \(f[k] : M[k] \to N[k]\)를 바탕 \(A\)-가군 위에서 \(f\)와 같은 사상으로 정한다. 이는 함자 \([k] : \text{Mod}_{(A, \text{d})} \to \text{Mod}_{(A, \text{d})}\)를 정의한다.

이 선택으로 라이프니츠 법칙이 성립함을 확인하자. \(x \in M[k]^n = M^{n + k}\), \(a \in A^m\)라 하고 \(M[k]\)의 곱을 \(\cdot_{M[k]}\)로 나타내면 \[\begin{align*} \text{d}_{M[k]}(x \cdot_{M[k]} a) & = (-1)^k \text{d}_M(xa) \\ & = (-1)^k \text{d}_M(x) a + (-1)^{k + n + k} x \text{d}(a) \\ & = \text{d}_{M[k]}(x) a + (-1)^n x \text{d}(a) \\ & = \text{d}_{M[k]}(x) \cdot_{M[k]} a + (-1)^n x \cdot_{M[k]} \text{d}(a) \end{align*}\] 을 얻는다. \(x\)는 \(M[k]\)의 동차원소로서 차수가 \(n\)이므로 이것이 바로 원하는 식이다. 또한 이 선택 아래에서 곱셈 사상을 복합체의 사상 \[\text{Tot}(M^\bullet[k] \otimes _R A^\bullet) \to \text{Tot}(M^\bullet \otimes _R A^\bullet)[k] \to M^\bullet[k]\] 으로 생각할 수도 있다. 여기서 첫 번째 화살표는 More on Algebra, Section 0FNG의 (0FNH)이고, 이 경우에는 부호를 수반하지 않는다. (사실 이 관찰로부터 라이프니츠 법칙이 성립함을 유도할 수도 있었다.)

Homology, Section 0119의 설명을 적용할 수 있다. 특히 모든 시프트 \(M[k]\)의 코호몰로지군을 부호의 개입 없이 동일시할 것이다.

이제 삼각형을 말할 수 있을 만큼 충분한 구조가 갖추어졌다. Derived Categories, Definition 0144을 보라. 다음 목표는 미분 등급 가군의 호모토피 범주가 삼각범주임을 진술하고 증명할 수 있을 만큼 이론을 전개하는 것이다. 먼저 호모토피 범주를 정의한다.

호모토피 범주

우리의 호모토피는 \(A\)-가군 구조와 등급을 고려하지만, (물론) 미분은 고려하지 않는다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(f, g : M \to N\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. \(f\)와 \(g\) 사이의 호모토피란 다음을 만족하는 \(A\)-가군 사상 \(h : M \to N\)이다.

1. 모든 \(n\)에 대해 \(h(M^n) \subset N^{n - 1}\)이고,

2. 모든 \(x \in M\)에 대해 \(f(x) - g(x) = \text{d}_N(h(x)) + h(\text{d}_M(x))\)이다.

호모토피가 존재하면 \(f\)와 \(g\)가 호모토픽이라고 한다.

따라서 \(h\)는 \(A\)-가군 구조 및 등급과 양립하지만 미분과는 양립하지 않는다. \(f = g\)이고 \(h\)가 정의에서와 같은 호모토피이면, \(h\)는 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 안의 사상 \(h : M \to N[-1]\)을 정의한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(f, g : L \to M\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하고, 준동형 \(a : K \to L\) 및 \(c : M \to N\)도 주어졌다고 하자. \(h : L \to M\)이 \(f\)와 \(g\) 사이의 호모토피를 정의하는 \(A\)-가군 사상이면, \(c \circ h \circ a\)는 \(c \circ f \circ a\)와 \(c \circ g \circ a\) 사이의 호모토피를 정의한다.

증명

Homology, Lemma 0112에서 바로 따른다.

이 보조정리로 호모토피 범주를 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 호모토피 범주 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)란 그 대상이 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)의 대상이고, 그 사상이 미분 등급 \(A\)-가군 준동형의 호모토피류인 범주이다.

표기 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)는 표준적이지 않지만, 적어도 Stacks 프로젝트의 다른 곳에서 쓰는 \(K(-)\)와는 양립한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 호모토피 범주 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)는 직합과 곱을 가진다.

증명

생략한다. 힌트: 보조정리 09JJ에서와 같은 직합과 곱을 쓰면 된다. 이 함자들이 등급 \(A\)-가군의 범주로 가는 망각 함자와 가환함을 보았고, \(\prod\)가 아벨군의 족들로 이루어진 범주 위의 완전 함자이기 때문이다.

원뿔

미분 등급 가군의 범주에 원뿔을 도입한다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(f : K \to L\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. \(f\)의 원뿔은 \(C(f) = L \oplus K\), 등급 \(C(f)^n = L^n \oplus K^{n + 1}\), 미분 \[d_{C(f)} = \left( \begin{matrix} \text{d}_L & f \\ 0 & -\text{d}_K \end{matrix} \right)\] 로 주어지는 미분 등급 \(A\)-가군 \(C(f)\)이다. 여기에는 자명한 사상 \(L \to C(f)\)와 \(C(f) \to K\)가 유도하는 복합체의 표준 사상 \(i : L \to C(f)\)와 \(p : C(f) \to K[1]\)이 갖추어져 있다.

원뿔 삼각형의 구성은 다음 의미에서 함자적이다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 다음 도식이 \[\xymatrix{ K_1 \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & L_1 \ar[d]^b \\ K_2 \ar[r]^{f_2} & L_2 }\] 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형들로 이루어지고 호모토피까지 가환한다고 하자. 그러면 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 안에서 삼각형의 사상 \[(a, b, c) : (K_1, L_1, C(f_1), f_1, i_1, p_1) \to (K_1, L_1, C(f_1), f_2, i_2, p_2)\] 을 유도하는 사상 \(c : C(f_1) \to C(f_2)\)가 존재한다.

증명

\(h : K_1 \to L_2\)를 \(f_2 \circ a\)와 \(b \circ f_1\) 사이의 호모토피라 하자. \(c\)를 행렬 \[c = \left( \begin{matrix} b & h \\ 0 & a \end{matrix} \right) : L_1 \oplus K_1 \to L_2 \oplus K_2\] 로 정의한다. 행렬 계산에 의해 \(c\)가 미분 등급 가군의 사상임을 알 수 있다. \(c \circ i_1 = i_2 \circ b\)는 자명하고, \(p_2 \circ c = a \circ p_1\)도 바로 확인된다.

허용 짧은 완전열

허용 짧은 완전열은 미분 등급 가군의 상황에서 항별 분할 완전열에 대응하는 개념이다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자.

1. 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(K \to L\)에 대해, \(K \to L\)의 왼쪽 역인 등급 \(A\)-가군 사상 \(L \to K\)가 존재하면 이를 허용 단사상이라 한다.

2. 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(L \to M\)에 대해, \(L \to M\)의 오른쪽 역인 등급 \(A\)-가군 사상 \(M \to L\)이 존재하면 이를 허용 전사상이라 한다.

3. 미분 등급 \(A\)-가군의 짧은 완전열 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)이 등급 \(A\)-가군의 열로서 분할되면 이를 허용 짧은 완전열이라 한다.

따라서 이 분할들은 미분을 제외한 모든 자료와 양립한다. 허용 짧은 완전열이 주어지면 삼각형을 얻는다. 이것이 분할에 \(A\)-가군 구조와의 양립성을 요구하는 이유이다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(0 \to K \to L \to M \to 0\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열이라 하자. \(s : M \to L\)과 \(\pi : L \to K\)를 \(\Ker(\pi) = \Im(s)\)를 만족하는 분할이라 하자. 그러면 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 안의 사상 \[\delta = \pi \circ \text{d}_L \circ s : M \to K[1]\] 을 얻으며, 이는 코호몰로지 긴 완전열 (09JK)의 경계 사상들을 유도한다.

증명

사상 \(\pi \circ \text{d}_L \circ s\)는 구성에 의해 \(A\)-가군 구조 및 등급과 양립한다. Homology, Lemma 011J에 의해 미분과도 양립한다. \(R\)을 \(A\)가 그 위의 미분 등급 대수인 환이라 하자. 사상들의 등식은 \(R\)-가군에 관한 명제이므로, Homology, Lemmas 011J 및 011K에서 결론이 따른다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ K \ar[r]_f \ar[d]_a & L \ar[d]^b \\ M \ar[r]^g & N }\] 이는 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형들로 이루어지고 호모토피까지 가환한다고 하자.

1. \(f\)가 허용 단사상이면, \(b\)는 도식을 가환하게 만드는 준동형과 호모토픽이다.

2. \(g\)가 허용 전사상이면, \(a\)는 도식을 가환하게 만드는 사상과 호모토픽이다.

증명

\(h : K \to N\)을 \(bf\)와 \(ga\) 사이의 호모토피라 하자. 즉, \(bf - ga = \text{d}h + h\text{d}\)라 하자. \(\pi : L \to K\)가 \(f\)의 왼쪽 역인 등급 \(A\)-가군 사상이라고 가정하고 \(b' = b - \text{d}h\pi - h\pi \text{d}\)로 둔다. \(s : N \to M\)이 \(g\)의 오른쪽 역인 등급 \(A\)-가군 사상이라고 가정하고 \(a' = a + \text{d}sh + sh\text{d}\)로 둔다. 계산은 생략한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(\alpha : K \to L\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. 다음 분해가 존재한다. \[\xymatrix{ K \ar[r]^{\tilde \alpha} \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde L \ar[r]^\pi & L }\] 이는 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 안에서 다음을 만족한다.

1. \(\tilde \alpha\)는 허용 단사상이고(정의 09JT 참조),

2. \(\pi \circ s = \text{id}_L\)이고 \(s \circ \pi\)가 \(\text{id}_{\tilde L}\)과 호모토픽인 사상 \(s : L \to \tilde L\)이 존재한다.

증명

증명은 Derived Categories, Lemma 013N의 증명과 같다. 즉, \(\tilde L = L \oplus C(1_K)\)로 두고 원뿔 구성의 기본 성질들을 사용한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(L_1 \to L_2 \to \ldots \to L_n\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 합성 가능한 준동형들의 열이라 하자. \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 안에 가환 도식 \[\xymatrix{ L_1 \ar[r] & L_2 \ar[r] & \ldots \ar[r] & L_n \\ M_1 \ar[r] \ar[u] & M_2 \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & M_n \ar[u] }\] 이 존재하여, 각 \(M_i \to M_{i + 1}\)은 허용 단사상이고 각 \(M_i \to L_i\)는 호모토피 동치이다.

증명

\(n = 1\)인 경우에는 주장할 것이 없다. 보조정리 09JW가 \(n = 2\)인 경우이다. \(M_n\)을 제외한 도식이 구성되었다고 가정하자. 합성 \(M_{n - 1} \to L_{n - 1} \to L_n\)에 보조정리 09JW를 적용하면 원하는 분해 \(M_{n - 1} \to M_n \to L_n\)을 얻는다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(0 \to K_i \to L_i \to M_i \to 0\), \(i = 1, 2, 3\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열이라 하자. \(b : L_1 \to L_2\)와 \(b' : L_2 \to L_3\)를 다음 두 도식이 호모토피까지 가환하도록 하는 미분 등급 가군의 준동형이라 하자. \[\vcenter{ \xymatrix{ K_1 \ar[d]_0 \ar[r] & L_1 \ar[r] \ar[d]_b & M_1 \ar[d]_0 \\ K_2 \ar[r] & L_2 \ar[r] & M_2 } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ K_2 \ar[d]^0 \ar[r] & L_2 \ar[r] \ar[d]^{b'} & M_2 \ar[d]^0 \\ K_3 \ar[r] & L_3 \ar[r] & M_3 } }\] 그러면 \(b' \circ b\)는 \(0\)과 호모토픽이다.

증명

보조정리 09JV에 의해 \(b\)와 \(b'\)를 각각 호모토픽인 사상으로 바꾸어 왼쪽 도식의 오른쪽 정사각형과 오른쪽 도식의 왼쪽 정사각형을 가환하게 할 수 있다. 다시 말해 \(\Im(b) \subset \Im(K_2 \to L_2)\)이고 \(\Ker(b') \supset \Im(K_2 \to L_2)\)이다. 따라서 가군의 사상으로서 \(b' \circ b = 0\)이다.

특수 삼각형

다음 보조정리로 특수 삼각형을 얻는다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(0 \to K \to L \to M \to 0\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열이라 하자. 삼각형 [09K7]\[\begin{equation} K \to L \to M \xrightarrow{\delta} K[1] \end{equation}\] 에서 \(\delta\)를 보조정리 09JU와 같이 택하자. 이 삼각형은 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 안의 표준 동형까지 보조정리 09JU에서 한 선택들에 무관하다.

증명

\((s', \pi')\)를 보조정리 09JU에서와 같은 또 다른 분할의 선택이라 하자. 그러면 \(\delta\)와 \(\delta'\)가 호모토픽임을 보이겠다.

유일한 차수 \(-1\)의 \(A\)-가군 준동형 \(h : M \to K\)와 \(g : M \to K\)에 대해 \(s' = s + \alpha \circ h\) 및 \(\pi' = \pi + g \circ \beta\)로 쓸 수 있다. 그러면 \(g = -h\)이고 \(g\)는 \(\delta\)와 \(\delta'\) 사이의 호모토피이다. 계산은 Homology, Lemma 011L의 증명에 들어 있다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자.

1. \(0 \to K \to L \to M \to 0\)이 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열이면, \(0 \to K \to L \to M \to 0\)에 딸린 삼각형이란 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 삼각형 (09K7)을 말한다.

2. \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 삼각형이 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열에 딸린 삼각형과 동형이면 이를 특수 삼각형이라 한다.

원뿔과 특수 삼각형

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(f : K \to L\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. 그러면 \((K, L, C(f), f, i, p)\)는 삼각형 \[K \to L \to C(f) \to K[1]\] 을 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)에서, 따라서 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서도 이룬다. 일반적으로 원뿔은 특수 삼각형이 아니지만, 둘의 차이는 부호 또는 회전이다(어느 쪽으로 보아도 된다). 다음은 이를 정밀하게 나타내는 두 명제이다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하고, \(f : K \to L\)을 미분 등급 가군의 준동형이라 하자. 삼각형 \((L, C(f), K[1], i, p, f[1])\)는 허용 짧은 완전열 \[0 \to L \to C(f) \to K[1] \to 0\] 에 결부된 삼각형이며, 이 완전열은 \(f\)의 원뿔의 정의에서 나온다.

증명

정의에서 바로 따른다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(\alpha : K \to L\)과 \(\beta : L \to M\)이 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열 \[0 \to K \to L \to M \to 0\] 을 정의한다고 하자. \((K, L, M, \alpha, \beta, \delta)\)를 이에 결부된 삼각형이라 하자. 그러면 삼각형 \[(M[-1], K, L, \delta[-1], \alpha, \beta) \quad\text{and}\quad (M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\] 은 서로 동형이다.

증명

분할을 하나 선택하여 \(L = K \oplus M\)이라 쓰고, \(\alpha\)와 \(\beta\)를 각각 자연 포함 사상과 사영 사상으로 동일시한다. \(\delta\)의 구성에 의해

\[d_B = \left( \begin{matrix} d_K & \delta \\ 0 & d_M \end{matrix} \right)\] 를 얻는다. 한편 \(\delta[-1] : M[-1] \to K\)의 원뿔은 \(C(\delta[-1]) = K \oplus M\)으로 주어지며 그 미분은 위 행렬과 동일하다! 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(f_1 : K_1 \to L_1\)과 \(f_2 : K_2 \to L_2\)를 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. 다음을 생각하자.

\[(a, b, c) : (K_1, L_1, C(f_1), f_1, i_1, p_1) \longrightarrow (K_1, L_1, C(f_1), f_2, i_2, p_2)\] 이것을 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 삼각형들의 임의의 사상이라 하자. \(a\)와 \(b\)가 호모토피 동치이면 \(c\)도 호모토피 동치이다.

증명

\(a^{-1} : K_2 \to K_1\)을 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 \(a\)의 역인 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. 마찬가지로 \(b^{-1} : L_2 \to L_1\)을 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 \(b\)의 역인 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. 등식 \(f_1 \circ a^{-1} = b^{-1} \circ f_2\)에 보조정리 09KD를 적용하여 얻는 사상을 \(c' : C(f_2) \to C(f_1)\)이라 하자. \(c \circ c'\)과 \(c' \circ c\)이 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 동형임을 보이면 충분하다. 따라서 다음을 보이면 된다. \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 \((1, 1, c) : (K, L, C(f), f, i, p)\)와 같은 삼각형의 사상이 주어지면, \(c\)는 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 동형이다. 가정에 의해 도식 \[\xymatrix{ L \ar[r] \ar[d]_1 & C(f) \ar[r] \ar[d]_c & K[1] \ar[d]_1 \\ L \ar[r] & C(f) \ar[r] & K[1] }\] 의 두 사각형은 호모토피까지 가환한다. \(C(f)\)의 구성에 의해 두 행은 허용 짧은 완전열을 이룬다. 따라서 보조정리 09JY에 의해 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 \((c - 1)^2 = 0\)이다. 그러므로 \(c\)는 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 동형이고 그 역은 \(2 - c\)이다.

다음 보조정리는 호모토피 범주에서 원뿔로 주어지는 삼각형들의 모임과 특수 삼각형들의 모임이, 적어도 부호를 무시하면 동형까지 서로 같음을 보인다!

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자.

1. 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열 \(0 \to K \xrightarrow{\alpha} L \to M \to 0\) 이 주어지면, 도식 \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d] & L \ar[d] \ar[r] & C(\alpha) \ar[r]_{-p} \ar[d] & K[1] \ar[d] \\ K \ar[r]^\alpha & L \ar[r]^\beta & M \ar[r]^\delta & K[1] }\] 이 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)에서 삼각형들의 동형을 정의하도록 하는 호모토피 동치 \(C(\alpha) \to M\)이 존재한다.

2. 복합체의 사상 \(f : K \to L\)이 주어지면, 삼각형들의 동형 \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d] & \tilde L \ar[d] \ar[r] & M \ar[r]_{\delta} \ar[d] & K[1] \ar[d] \\ K \ar[r] & L \ar[r] & C(f) \ar[r]^{-p} & K[1] }\] 이 존재한다. 여기서 위쪽 삼각형은 허용 짧은 완전열 \(K \to \tilde L \to M\)에 결부된 삼각형이다.

증명

(1)의 증명. \(C(\alpha) = L \oplus K\)이다. \(L\)로의 사영 다음에 \(\beta\)를 합성하여 \(C(\alpha) \to M\)을 정의한다. 합성 \(K^{n + 1} \to L^{n + 1} \to M^{n + 1}\)이 영이므로 이것은 미분 등급 가군의 사상을 정의한다. \(\Ker(\pi) = \Im(s)\)를 만족하는 분할 \(s : M \to L\)과 \(\pi : L \to K\)를 선택하고, 평소와 같이 \(\delta = \pi \circ \text{d}_L \circ s\)로 둔다. 호모토피 역으로 \((s , -\delta)\)로 주어지는 \(M \to C(\alpha)\)를 취한다. \(\delta^n\)은 \(\text{d} \circ s^n - s^{n + 1} \circ \text{d} = \alpha \circ \delta^n\), 을 만족하는 유일한 사상 \(M^n \to K^{n + 1}\)로 특징지어지므로, 이 사상은 미분과 양립한다. Homology, Lemma 011J의 증명을 보라.

합성 \(M \to C(f) \to M\)은 항등 사상이다. 합성 \(C(f) \to M \to C(f)\)은 다음 사상과 같다. \[\left( \begin{matrix} s \circ \beta & 0 \\ -\delta \circ \beta & 0 \end{matrix} \right)\] 이 사상이 항등 사상과 호모토픽임을 보이기 위해 행렬 \[\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) : C(\alpha) = L \oplus K \to L \oplus K = C(\alpha)\] 로 주어지는 호모토피 \(h : C(\alpha) \to C(\alpha)\)를 사용한다. 다음 등식은 바로 확인할 수 있다. \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} s \\ -\delta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \text{d} & \alpha \\ 0 & -\text{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \text{d} & \alpha \\ 0 & -\text{d} \end{matrix} \right)\] (1)의 증명을 끝내려면 사상 \(-p : C(\alpha) \to K[1]\)(정의 09KA 참조)과 합성 \(C(\alpha) \to M \to K[1]\)이 호모토피까지 일치함을 보여야 한다. 이는 위에서 명백하다. 즉, 호모토피 역 \((s, -\delta) : M \to C(\alpha)\)를 사용하여 대신 두 사상 \(M \to K[1]\)이 일치함을 확인할 수 있다. 그리고 원하는 대로 \(p \circ (s, -\delta) = -\delta\)임을 주목하라.

(2)의 증명. \(\tilde f : K \to \tilde L\), \(s : L \to \tilde L\), 그리고

\(\pi : L \to L\)을 보조정리 09JW의 것이라 하자. 보조정리 09KD와 09KE에 의해 삼각형 \((K, L, C(f), i, p)\)와 \((K, \tilde L, C(\tilde f), \tilde i, \tilde p)\)는 동형이다. 삼각형들의 동형은 합성할 수 있음을 주목하라. 따라서 \(L\)을 \(\tilde L\)로, \(f\)를 \(\tilde f\)로 바꾸어도 된다. 다시 말해 \(f\)가 허용 단사상이라고 가정해도 된다. 이 경우 결과는 (1)에서 따른다.

호모토피 범주는 삼각범주이다

먼저 이것이 전삼각범주임을 증명한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 자연 이동 함자들과 특수 삼각형들을 갖춘 호모토피 범주 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)는 전삼각범주이다.

증명

TR1의 증명. 정의에 따라 특수 삼각형과 동형인 모든 삼각형은 특수 삼각형이다. 또한 \(0 \to K \to K \to 0 \to 0\)이 허용 짧은 완전열이므로 임의의 삼각형 \((K, K, 0, 1, 0, 0)\)은 특수 삼각형이다. 마지막으로 미분 등급 \(A\)-가군의 임의의 준동형 \(f : K \to L\)이 주어지면, 보조정리 09KF에 의해 삼각형 \((K, L, C(f), f, i, -p)\)는 특수 삼각형이다.

TR2의 증명. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 삼각형이라 하고 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)가 특수 삼각형이라고 가정하자. 그러면 허용 짧은 완전열 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)이 존재하여, 이에 결부된 삼각형 \((K, L, M, \alpha, \beta, \delta)\)는 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)와 동형이다. 역으로 회전하면 \((X, Y, Z, f, g, h)\)는 \((M[-1], K, L, -\delta[-1], \alpha, \beta)\)와 동형이다. 보조정리 09KC에 의해 삼각형 \((M[-1], K, L, \delta[-1], \alpha, \beta)\)는 \((M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\)와 동형이다. 앞의 삼각형 동형에 \(Y\) 위의 \(-1\)을 선합성하면, \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 \((M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, -p)\)와 동형임을 얻는다. 따라서 보조정리 09KF에 의해 이것은 특수 삼각형이다. 반대로 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 특수 삼각형이라고 하자. 보조정리 09KF에 의해 이는 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)의 어떤 사상 \(f\)에 대한 삼각형 \((K, L, C(f), f, i, -p)\)와 동형이다. 그러면 회전한 삼각형 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)는 \((L, C(f), K[1], i, -p, -f[1])\)와 동형이고, 이는 다시 삼각형 \((L, C(f), K[1], i, p, f[1])\)와 동형이다. 보조정리 09KB에 의해 이 삼각형은 특수 삼각형이다. 따라서 원하는 대로 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)는 특수 삼각형이다.

TR3의 증명. \((X, Y, Z, f, g, h)\)와 \((X', Y', Z', f', g', h')\)를

\(K(\mathcal{A})\)의 특수 삼각형이라 하고, \(a : X \to X'\)와 \(b : Y \to Y'\)를 \(f' \circ a = b \circ f\)를 만족하는 사상이라 하자. 보조정리 09KF에 의해 \((X, Y, Z, f, g, h) = (X, Y, C(f), f, i, -p)\)이고 \((X', Y', Z', f', g', h') = (X', Y', C(f'), f', i', -p')\)라고 가정해도 된다. 이제 \(f, f', a, b\)가 주는 가환 도식에 보조정리 09KD를 적용하면 된다.

TR4를 일반적으로 증명하기 전에 특별한 경우를 먼저 증명한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(\alpha : K \to L\)과 \(\beta : L \to M\)이 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 단사상이라고 하자. 그러면 TR4가 성립하는 특수 삼각형 \((K, L, Q_1, \alpha, p_1, d_1)\), \((K, M, Q_2, \beta \circ \alpha, p_2, d_2)\), 그리고 \((L, M, Q_3, \beta, p_3, d_3)\)가 존재한다.

증명

\(\pi_1 : L \to K\)와 \(\pi_3 : M \to L\)을 각각 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 왼쪽 역인 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. 그러면 \(K \to M\)도 왼쪽 역 \(\pi_2 = \pi_1 \circ \pi_3\)을 갖는 허용 단사상이다. \(K \to L\), \(K \to M\), \(L \to M\)의 여핵을 각각 \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\)라 쓰자. 그러면 등급 \(A\)-가군으로서 \(Q_1 = \Ker(\pi_1)\), \(Q_3 = \Ker(\pi_3)\), 그리고 \(Q_2 = \Ker(\pi_2)\)라는 동일시를 얻는다. 또한 등급 \(A\)-가군으로서 \(L = K \oplus Q_1\)이고 \(M = L \oplus Q_3\)이므로 \(M = K \oplus Q_1 \oplus Q_3\)이다. \(\pi_2 = \pi_1 \circ \pi_3\)이 \(Q_1\)과 \(Q_3\) 모두에서 영임을 주목하라. 따라서 \(Q_2 = Q_1 \oplus Q_3\)이다. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\begin{matrix} 0 & \to & K & \to & L & \to & Q_1 & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & K & \to & M & \to & Q_2 & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & L & \to & M & \to & Q_3 & \to & 0 \end{matrix}\] 이 도식의 각 행은 허용 짧은 완전열이므로 정의에 따라 특수 삼각형을 정한다. 더욱이 위 도식의 아래쪽 화살표들은 선택한 분할들과 양립하므로 삼각형들의 사상 \[(K \to L \to Q_1 \to K[1]) \longrightarrow (K \to M \to Q_2 \to K[1])\] and \[(K \to M \to Q_2 \to K[1]) \longrightarrow (L \to M \to Q_3 \to L[1]).\] 을 정한다. 도식의 맨 아래 열의 분할 \(Q_3 \to M\)을 \(M \to Q_2\)와 합성하면 분할 완전열 \(0 \to Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to 0\)의 분할을 얻음을 주목하라. 이로부터 대응하는 특수 삼각형 \[(Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to Q_1[1])\] 의 사상 \(\delta : Q_3 \to Q_1[1]\)가 합성 \(Q_3 \to L[1] \to Q_1[1]\)와 같음을 쉽게 얻는다. 따라서 공리 TR4의 결론과 같은 구조를 얻는다.

이제 최종 결과를 제시한다.

명제

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 자연 이동 함자들과 특수 삼각형들을 갖춘 미분 등급 \(A\)-가군의 호모토피 범주 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)는 삼각범주이다.

증명

\(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)가 전삼각범주임을 알고 있다. 따라서 TR4만 증명하면 충분하며, 그 증명에는 Derived Categories, Lemma 014C를 사용할 수 있다. \(K \to L\)과 \(L \to M\)을 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 합성 가능한 사상이라 하자. 보조정리 09JX에 의해 \(K \to L\)과 \(L \to M\)이 허용 단사상이라고 가정해도 된다. 이 경우 결과는 보조정리 09KI에서 따른다.

왼쪽 가군

지금까지 말한 모든 내용에는 왼쪽 미분 등급 가군의 설정에서도 대응물이 있지만, 몇 가지 부호 규칙에 주의해야 한다.

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 오른쪽 가군의 경우와 완전히 유사하게, 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)을 등급 \(M = \bigoplus M^n\)과 미분 \(\text{d}\)를 갖는 왼쪽 \(A\)-가군 \(M\)으로 정의하되, \(A^n M^m \subset M^{n + m}\) 및 \(\text{d}(M^n) \subset M^{n + 1}\)을 만족하고 \[\text{d}(am) = \text{d}(a) m + (-1)^{\deg(a)}a \text{d}(m)\] 이 모든 동차 원소 \(a \in A\)와 \(m \in M\)에 대해 성립한다고 한다. 앞에서와 마찬가지로 이 라이프니츠 법칙은 곱셈이 복합체의 사상 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] 을 정의한다는 뜻과 정확히 같다. 여기서 \(A^\bullet\)과 \(M^\bullet\)은 각각 \(A\)와 \(M\)의 밑에 놓인 \(R\)-가군 복합체를 나타낸다.

정의

\(R\)을 환이라 하고, \((A, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. 반대 미분 등급 대수란 등급 \(R\)-가군으로서 \(A^{opp} = A\)이고 \(\text{d} = \text{d}\)이며 곱셈이 \[a \cdot_{opp} b = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} b a\] 로 주어지는 \(R\) 위의 미분 등급 대수 \((A^{opp}, \text{d})\)를 말한다. 여기서 \(a, b \in A\)는 동차 원소이다.

이는 원하는 대로 다음이 성립하므로 잘 정의된다. \[\begin{align*} \text{d}(a \cdot_{opp} b) & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} \text{d}(b a) \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} \text{d}(b) a + (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(b)}b\text{d}(a) \\ & = (-1)^{\deg(a)}a \cdot_{opp} \text{d}(b) + \text{d}(a) \cdot_{opp} b \end{align*}\] 밑의 \(R\)-가군 복합체로 표현하면 이는 도식 \[\xymatrix{ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]_-{A^{opp}\text{의 곱셈}} \ar[d]_{\text{가환성 제약}} & & & A^\bullet \ar[d]^{\text{id}} \\ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]^-{A\text{의 곱셈}} & & & A^\bullet }\] 이 가환한다는 뜻이다. 여기서 \(R\)-가군 복합체의 대칭 모노이드 범주에 대한 가환성 제약은 More on Algebra, Section 0FNG에 주어져 있다.

\((A, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하고, \(M\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(M\)을 곱셈 \(\cdot_{opp}\)이 규칙 \[m \cdot_{opp} a = (-1)^{\deg(a)\deg(m)} a m\] 으로 정의된 오른쪽 \(A^{opp}\)-가군으로 보았을 때 \(M^{opp}\)라 쓰겠다. 여기서 \(a\)와 \(m\)은 동차 원소이다. 이 곱셈은 미분과 양립한다. 실제로 \(M^{opp}\) 위의 곱셈 \(\cdot_{opp}\)을 정의할 때 도식 \[\xymatrix{ \text{Tot}(M^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]_-{M^{opp}\text{ 위의 곱셈}} \ar[d]_{\text{가환성 제약}} & & & M^\bullet \ar[d]^{\text{id}} \\ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \ar[rrr]^-{M\text{ 위의 곱셈}} & & & M^\bullet }\] 을 사용할 수도 있었다. 이것이 결합적인 곱셈임을 보이기 위해 동차 원소 \(a, b \in A\)와 \(m \in M\)에 대해 계산하면 \[\begin{align*} m \cdot_{opp} (a \cdot_{opp} b) & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} m \cdot_{opp} (ba) \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m)} bam \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m) + \deg(b)\deg(am)} (am) \cdot_{opp} b \\ & = \begin{aligned} &(-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m) + \deg(b)\deg(am) + \deg(a)\deg(m)} \\ &(m \cdot_{opp} a) \cdot_{opp} b \end{aligned} \\ & = (m \cdot_{opp} a) \cdot_{opp} b \end{align*}\] 를 얻는다. 물론 \(R\)-가군 복합체의 대칭 모노이드 범주에서 결합성 제약과 가환성 제약 사이의 양립성을 사용해서도 이를 보일 수 있었다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 범주에서 오른쪽 미분 등급 \(A^{opp}\)-가군의 범주로 가는 함자 \(M \mapsto M^{opp}\)는 동치이다.

증명

생략한다.

다음으로 시프트를 다룬다. \((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하고, \(M\)을 그 밑의 \(R\)-가군 복합체를 \(M^\bullet\)이라 쓰는 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(k\)-시프트 가군 \(M[k]\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(M[k]\)의 밑 \(R\)-가군 복합체는 \(M^\bullet[k]\)이다.

2. \(A\)-가군으로서의 곱셈 \[A^n \times (M[k])^m \longrightarrow (M[k])^{n + m}\] 은 주어진 곱셈 \(A^n \times M^{m + k} \to M^{n + m + k}\)의 \((-1)^{nk}\)배이다.

이 선택에서 라이프니츠 법칙이 성립함을 확인하자. \(a \in A^n\)이고 \(x \in M[k]^m = M^{m + k}\)라 하며, \(M[k]\)의 곱을 \(\cdot_{M[k]}\)로 쓰면 \[\begin{align*} \text{d}_{M[k]}(a \cdot_{M[k]} x) & = (-1)^{k + nk} \text{d}_M(ax) \\ & = (-1)^{k + nk} \text{d}(a) x + (-1)^{k + nk + n} a \text{d}_M(x) \\ & = \text{d}(a) \cdot_{M[k]} x + (-1)^{nk + n} a \text{d}_{M[k]}(x) \\ & = \text{d}(a) \cdot_{M[k]} x + (-1)^n a \cdot_{M[k]} \text{d}_{M[k]}(x) \end{align*}\] 를 얻는다. \(a\)는 \(A\)의 동차 원소로서 차수 \(n\)을 가지므로 이것이 원하는 식이다. 또한 이 선택 아래에서 곱셈 사상을 복합체의 사상 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet[k]) \to \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet)[k] \to M^\bullet[k]\] 으로 볼 수 있다. 여기서 첫째 화살표는 More on Algebra, Section 0FNG의 (0FNH)이며, 이 경우에는 위에서 선택한 부호가 정확히 나타난다. (사실 이 관찰에서 라이프니츠 법칙이 성립함을 도출할 수도 있었다.)

위 규칙에 의해 오른쪽 미분 등급 \(A^{opp}\)-가군들의 표준적 동일시 \[(M[k])^{opp} = M^{opp}[k]\] 를 부호의 개입 없이 얻는다. 다시 말해 보조정리 0FQ0의 동치는 시프트 함자들과 양립한다.

위 선택 때문에 다음 정의가 필요하다.

정의

\(R\)을 환이라 하고, \(A\)를 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(R\)-대수라 하자.

1. 오른쪽 등급 \(A\)-가군 \(M\)이 주어지면, 제 \(k\) 시프트 \(A\)-가군 \(M[k]\)를 오른쪽 \(A\)-가군으로서는 같고 등급이 \((M[k])^n = M^{n + k}\)인 것으로 정의한다.

2. 왼쪽 등급 \(A\)-가군 \(M\)이 주어지면, 제 \(k\) 시프트 \(A\)-가군 \(M[k]\)를 등급 \((M[k])^n = M^{n + k}\)을 가지며 곱셈 \(A^n \times (M[k])^m \to (M[k])^{n + m}\) 이 주어진 곱셈 \(A^n \times M^{m + k} \to M^{n + m + k}\)의 \((-1)^{nk}\)배인 가군으로 정의한다.

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하고, \(f, g : M \to N\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. \(f\)와 \(g\) 사이의 호모토피란 다음을 만족하는 등급 \(A\)-가군 사상 \(h : M \to N[-1]\)(시프트에 주의하라!)이다. \[f(x) - g(x) = \text{d}_N(h(x)) + h(\text{d}_M(x))\] 이 식은 모든 \(x \in M\)에 대해 성립한다. 호모토피가 존재하면 \(f\)와 \(g\)가 호모토픽이라고 한다. 따라서 \(h\)는 \(A\)-가군 구조(\(N\)에서는 시프트된 구조) 및 등급(\(N\)에서는 시프트된 등급)과 양립하지만 미분과는 양립하지 않는다. \(f = g\)이고 \(h\)가 호모토피이면, \(h\)는 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 사상 \(h : M \to N[-1]\)을 정의한다.

위 규칙에 의해 \(f, g : M \to N\)이 호모토픽인 것은 유도된 사상 \(f^{opp}, g^{opp} : M^{opp} \to N^{opp}\)가 오른쪽 미분 등급 \(A^{opp}\)-가군의 준동형으로서 (같은 호모토피에 의해) 호모토픽인 것과 동치이다.

호모토피 범주, 원뿔, 허용 짧은 완전열, 특수 삼각형은 모두 오른쪽 미분 등급 가군의 경우와 정확히 같은 방식으로 정의한다(그리고 밑 \(R\)-가군 복합체 위에서 모든 것은 \(R\)-가군 복합체에 대한 구성과 일치한다). 이 방식으로 왼쪽 가군에 대해서도 명제 09KJ의 대응물을 얻거나, 반대대수 위의 오른쪽 가군을 다루어 이를 도출할 수 있다.

텐서곱

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 \(R\)-대수라 하자 (절 09JF 참조). 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\)과 왼쪽 \(A\)-가군 \(N\)이 주어지면 텐서곱 \[M \otimes_A N\] 이 있다. 이 텐서곱은 \(R\)-가군이다. \(R\)-가군으로서 \(M \otimes_A N\)은 \(x \in M\) 및 \(y \in N\)에 대한 기호 \(x \otimes y\)들로 생성되며 다음 관계들을 만족한다. \[\begin{matrix} (x_1 + x_2) \otimes y - x_1 \otimes y - x_2 \otimes y, \\ x \otimes (y_1 + y_2) - x \otimes y_1 - x \otimes y_2, \\ xa \otimes y - x \otimes ay \end{matrix}\] 여기서 \(a \in A\), \(x, x_1, x_2 \in M\)이고 \(y, y_1, y_2 \in N\)이다. 텐서곱의 몇 가지 성질을 열거하자.

텐서곱은 각 변수에 대해 우완전이며, 실제로 직합 및 임의의 여극한과 가환한다.

텐서곱 \(M \otimes_A N\)은 보편 \(A\)-쌍선형 사상 \(M \times N \to M \otimes_A N\), \((x, y) \mapsto x \otimes y\)의 보편 대상이다. 공식으로 쓰면 임의의 \(R\)-가군 \(Q\)에 대해 \[\text{쌍선형}_A(M \times N, Q) = \Hom_R(M \otimes_A N, Q)\] 이다.

\(A\)가 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수이고 \(M\), \(N\)이 등급 \(A\)-가군이면, \(M \otimes_A N\)은 등급 \(R\)-가군이다. 이때 \(M \otimes_A N\)의 \(n\)번째 등급 성분 \((M \otimes_A N)^n\)은 \[\Coker\left( \bigoplus\nolimits_{r + t + s = n} M^r \otimes_R A^t \otimes_R N^s \to \bigoplus\nolimits_{p + q = n} M^p \otimes_R N^q \right)\] 와 같다. 여기서 사상은 \(r + s + t = n\)인 \(x \in M^r\), \(y \in N^s\), \(a \in A^t\)에 대해 \(x \otimes a \otimes y\)를 \(x \otimes ay - xa \otimes y\)로 보낸다. 이 경우 사상 \(M \times N \to M \otimes_A N\)은 \(A\)-쌍선형이고 등급과 양립하며, 임의의 등급 \(R\)-가군 \(Q\)에 대해 \[\text{등급 쌍선형}_A(M \times N, Q) = \Hom_{\text{등급 }R\text{-가군}}(M \otimes_A N, Q)\] 라는 의미에서 보편적이다. 여기서는 자명한 의미의 등급 쌍선형 사상을 사용한다.

\((A, \text{d})\)가 미분 등급 대수이고 \(M\)과 \(N\)이 각각 왼쪽 및 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이면, \(M \otimes_A N\)은 다음 미분을 갖는 미분 등급 \(R\)-가군이다. \[\text{d}(x \otimes y) = \text{d}(x) \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x \otimes \text{d}(y)\] 여기서 \(x \in M\)과 \(y \in N\)은 동차 원소이다. 이 경우 사상 \(M \times N \to M \otimes_A N\)은 \(A\)-쌍선형이고 등급 및 미분과 양립하며, 임의의 미분 등급 \(R\)-가군 \(Q\)에 대해 \[\text{미분 등급 쌍선형}_A(M \times N, Q) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M \otimes_A N, Q)\] 라는 의미에서 보편적이다. 여기서는 자명한 의미의 미분 등급 쌍선형 사상을 사용한다.

Hom 복합체와 미분 등급 가군

독자에게 이 절을 건너뛸 것을 권한다.

\(R\)을 환이라 하고 \(M^\bullet\)을 \(R\)-가군의 복합체라 하자. More on Algebra, Section 0A8H에서 도입한 \(R\)-가군의 복합체 \[E^\bullet = \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\] 를 생각하자. More on Algebra, Lemma 0A8I에 의해 복합체 사상인 표준 합성 법칙 \[\text{Tot}(E^\bullet \otimes_R E^\bullet) \to E^\bullet\] 이 있다. 따라서 이 곱셈을 갖춘 \(E^\bullet\)은 미분 등급 \(R\)-대수이며, 이를 \((E, \text{d})\)로 나타내기로 한다. 또한 \(M^\bullet\)을 \(\Hom^\bullet(R, M^\bullet)\)로 보면 합성이 곱셈 \[\text{Tot}(E^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] 을 정의함을 알 수 있다. 이 곱셈은 \(M^\bullet\)을 왼쪽 미분 등급 \(E\)-가군으로 만들며, 이를 \(M\)으로 나타내기로 한다.

보조정리

위의 상황에서 \(A\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M\) 위에 왼쪽 \(A\)-가군 구조를 주는 것은 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형 \(A \to E\)를 주는 것과 같다.

증명

증명은 생략한다. 이 대응에는 아무 부호도 개입하지 않음에 유의하라.

위의 논의를 계속하고 \(R\)-가군의 또 다른 복합체 \(N^\bullet\)이 주어졌다고 하자. More on Algebra, Section 0A8H에서 도입한 \(R\)-가군의 복합체 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)를 생각하자. 위와 마찬가지로 합성 \[\text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R E^\bullet) \to \Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\] 은 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)을 오른쪽 미분 등급 \(E\)-가군으로 만드는 곱셈을 정의한다. 보조정리 0FQ3를 사용하면, 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)과 \(R\)-가군의 복합체 \(N^\bullet\)이 주어졌을 때 바탕 \(R\)-가군 복합체가 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)인 표준 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이 있음을 얻는다. 그 곱셈 \[\Hom^n(M^\bullet, N^\bullet) \times A^m \longrightarrow \Hom^{n + m}(M^\bullet, N^\bullet)\] 은 \(f_{p, q} \in \Hom(M^{-q}, N^p)\)인 \(f = (f_{p, q})_{p + q = n}\)과 \(a \in A^m\)을 원소 \(f \cdot a = (f_{p, q} \circ a)\)로 보낸다. 여기서 \(f_{p, q} \circ a\)는 사상 \[M^{-q - m} \xrightarrow{a} M^{-q} \xrightarrow{f_{p, q}} N^p, \quad x \longmapsto f_{p, q}(ax)\] 이며 부호는 개입하지 않는다. 이 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군을 \(\Hom(M, N^\bullet)\)로 나타내자.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M'\)을 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군, \(M\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하고, \(N^\bullet\)을 \(R\)-가군의 복합체라 하자. 그러면 \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, d)}}(M', \Hom(M, N^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M' \otimes_A M, N^\bullet)\] 이다. 여기서 \(M \otimes_A M\)은 절 09LL에서와 같이 \(R\)-가군의 복합체로 본다.

증명

양변이 미분과 양립하는 등급 \(A\)-쌍선형 사상 \[M' \times M \longrightarrow N^\bullet\] 에 대응함을 보이자. 우변에 대해서는 절 09LL에서 이미 이를 보았다. 좌변의 원소 \(g\)가 주어지면 More on Algebra, Lemma 0A5Y의 등식이 \(R\)-가군 복합체의 사상 \(g' : \text{Tot}(M' \otimes_R M) \to N^\bullet\)을 결정한다. 달리 말해, 미분과 양립하는 등급 \(R\)-쌍선형 사상 \(g'' : M' \times M \to N^\bullet\)을 얻는다. \(g\)의 \(A\)-선형성은 곧 \(g''\)의 \(A\)-쌍선형성으로 옮겨진다.

\(R\), \(M^\bullet\), \(E^\bullet\), \(E\), \(M\)을 위와 같이 두자. 다만 이제 미분 등급 \(R\)-대수 \(A\)와 \(M\) 위의 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조가 주어졌다고 하자. 그러면 사상 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] 을 생각할 수 있다. 여기서 첫째 화살표는 \(R\)-가군 복합체의 미분 등급 범주에 주어진 가환성 제약이다. 이는 \(R\)-가군 복합체의 사상 \[\tau : A^\bullet \longrightarrow E^\bullet\] 에 대응한다. \(E^n = \prod_{p + q = n} \Hom_R(M^{-q}, M^p)\)임을 상기하고, \(a \in A^n\)에 대해 \(\tau(a) = (\tau_{p, q}(a))_{p + q = n}\)으로 쓰자. 그러면 \[\tau_{p, q}(a) : M^{-q} \longrightarrow M^p,\quad x \longmapsto (-1)^{\deg(a)\deg(x)}x a = (-1)^{-nq}xa\] 임을 알 수 있다. 절 0FPZ의 논의에서 독자가 예상하듯이, 이것은 \(A\)의 곱과 양립하지 않는다. 즉, \[\tau(a a') = (-1)^{\deg(a)\deg(a')}\tau(a') \tau(a)\] 이다. 따라서 다음 보조정리를 얻는다.

보조정리

위의 상황에서 \(A\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M\) 위에 오른쪽 \(A\)-가군 구조를 주는 것은 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형 \(\tau : A \to E^{opp}\)를 주는 것과 같다.

증명

위의 논의를 보라. 곱셈 사상 \(M^n \times A^m \to M^{n + m}\)으로부터 \(\tau\)를 구성할 때에는 부호를 사용함에 유의하라.

\(R\), \(M^\bullet\), \(E^\bullet\), \(E\), \(A\), \(M\)을 위와 같이 두고, 보조정리에서와 같이 \(M\) 위에 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조가 주어졌다고 하자. 이 경우 바탕 \(R\)-가군 복합체가 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)인 표준 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이 있다. 구체적으로 곱셈에는 다음을 사용할 수 있다.

\[\begin{align*} \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R \Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)) & \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R A^\bullet) \\ & \xrightarrow{\tau} \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)) \\ & \to \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \end{align*}\] 첫째 화살표는 \(R\)-가군 복합체 범주의 가환성 제약을 사용하고, 둘째 화살표는 위에서 설명했으며, 셋째 화살표는 Hom 복합체의 합성 법칙이다. 각 사상이 복합체의 사상이므로 결과도 복합체의 사상이다. 실제로 이 구성은 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군으로 만든다. 곱셈의 결합성은 대칭 모노이드 구조를 사용하거나 아래 공식으로 직접 계산하여 보일 수 있다. 곱셈을 명시하면 \[A^n \times \Hom^m(M^\bullet, N^\bullet) \longrightarrow \Hom^{n + m}(M^\bullet, N^\bullet)\] 이다. 이는 \(a \in A^n\)과 \(f_{p, q} \in \Hom(M^{-q}, N^p)\)인 \(f = (f_{p, q})_{p + q = m}\)을 다음 성분들을 갖는 원소 \(a \cdot f\)로 보낸다. \[(-1)^{nm}f_{p, q} \circ \tau_{-q, q + n}(a) = (-1)^{nm - n(q + n)}f_{p, q} \circ a = (-1)^{np + n} f_{p, q} \circ a\] 이 성분은 \(\Hom_R(M^{-q - n}, N^p)\)에 속하며, \(f_{p, q} \circ a\)는 사상 \[M^{-q - n} \xrightarrow{a} M^{-q} \xrightarrow{f_{p, q}} N^p,\quad x \longmapsto f_{p, q}(xa)\] 이다. 여기서는 \((-1)^{np + n}\)이라는 부호가 실제로 개입한다. 이 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군을 \(\Hom(M, N^\bullet)\)로 나타내자.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M\)을 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군, \(M'\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하고, \(N^\bullet\)을 \(R\)-가군의 복합체라 하자. 그러면 \[\Hom_{\text{왼쪽 미분 등급 }A\text{-가군}}(M', \Hom(M, N^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M \otimes_A M', N^\bullet)\] 이다. 여기서 \(M \otimes_A M'\)은 절 09LL에서와 같이 \(R\)-가군의 복합체로 본다.

증명

양변이 미분과 양립하는 등급 \(A\)-쌍선형 사상 \[M \times M' \longrightarrow N^\bullet\] 에 대응함을 보이자. 우변에 대해서는 절 09LL에서 이미 이를 보았다. 좌변의 원소 \(g\)가 주어지면 More on Algebra, Lemma 0A5Y의 등식이 복합체의 사상 \(g' : \text{Tot}(M' \otimes_R M) \to N^\bullet\)을 결정한다. 가환성 제약을 앞에 합성하여 \[\text{Tot}(M \otimes_R M') \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(M' \otimes_R M) \xrightarrow{g'} N^\bullet\] 을 얻는다. 이는 미분과 양립하는 등급 \(R\)-쌍선형 사상 \(g'' : M \times M' \to N^\bullet\)에 대응한다. \(g\)의 \(A\)-선형성은 곧 \(g''\)의 \(A\)-쌍선형성으로 옮겨진다. 구체적으로 \(x \in M^e\), \(x' \in (M')^{e'}\), \(a \in A^n\)이라 하자. 한편으로 \[\begin{align*} g''(x, ax') & = (-1)^{e(n + e')} g'(ax' \otimes x) \\ & = (-1)^{e(n + e')} g(ax')(x) \\ & = (-1)^{e(n + e')} (a \cdot g(x'))(x) \\ & = (-1)^{e(n + e') + n(n + e + e') + n} g(x')(xa) \end{align*}\] 이고, 다른 한편으로 \[g''(xa, x') = (-1)^{(e + n)e'} g'(x' \otimes xa) = (-1)^{(e + n)e'} g(x')(xa)\] 이다. 지수들에 대한 자명한 모듈로 \(2\) 계산에 의해 이 둘은 같다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(N^\bullet\)을 \(R\)-가군의 복합체라 하자. 위의 구성들은 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군 \(\Hom(M, N^\bullet)\)을 만들고, 이어서 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 \(\Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\)을 만든다. 다음 평가 사상 \[ev : M \longrightarrow \Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\] 이 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 범주에 존재한다고 주장한다. 이를 정의하기 위해 보조정리 0FQ4에 따라 등급 및 미분과 양립하는 \(A\)-쌍선형 짝짓기 \[\Hom(M, N^\bullet) \times M \longrightarrow N^\bullet\] 를 구성하면 충분하다. 이를 위해 \[(f, x) \longmapsto f(x)\] 로 둔다. 이것이 등급 및 미분과 양립하고 \(A\)-쌍선형이라는 검증은 독자에게 맡긴다. 바탕 \(R\)-가군 복합체 위에서 사상 \(ev\)는 More on Algebra, Item (0FNM)이다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M\)을 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(N^\bullet\)을 \(R\)-가군의 복합체라 하자. 위의 구성들은 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 \(\Hom(M, N^\bullet)\)을 만들고, 이어서 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군 \(\Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\)을 만든다. 다음 평가 사상 \[ev : M \longrightarrow \Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\] 이 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 범주에 존재한다고 주장한다. 이를 정의하기 위해 보조정리 0FQ4에 따라 등급 및 미분과 양립하는 \(A\)-쌍선형 짝짓기 \[M \times \Hom(M, N^\bullet) \longrightarrow N^\bullet\] 를 구성하면 충분하다. 이를 위해 \[(x, f) \longmapsto (-1)^{\deg(x)\deg(f)}f(x)\] 로 둔다. 이것이 등급 및 미분과 양립하고 \(A\)-쌍선형이라는 검증은 독자에게 맡긴다. 바탕 \(R\)-가군 복합체 위에서 사상 \(ev\)는 More on Algebra, Item (0FNM)이다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M^\bullet\)과 \(N^\bullet\)을 \(R\)-가군의 복합체라 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하고, More on Algebra, Item (0FNN)에서 정의한 \(R\)-가군 복합체의 동형사상 \[\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)[-k] \longrightarrow \Hom^\bullet(M^\bullet[k], N^\bullet)\] 을 생각하자. \(M^\bullet\)이 왼쪽, 각각 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조를 가지면, 이는 오른쪽, 각각 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 사상이다. 여기서 가군 구조는 이 절에서 정의한 것을 사용한다. 검증은 생략한다. 왼쪽 등급 \(A\)-가군의 시프트 위의 \(A\)-가군 구조는 부호를 사용하여 정의된다는 점을 독자에게 경고한다. 정의 0FQ1를 보라.

대수 위의 사영 가군

이 절에서는 Algebra, Section 05CD와 유사하게 대수 위의 사영 가군을 논의한다. 이 절은 아마 다른 곳으로 옮겨야 할 것이다.

\(R\)을 환이라 하고 \(A\)를 \(R\)-대수라 하자. 우리의 규약은 절 09JF를 보라. 임의의 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \(\Hom_A(A, M) = M\)이므로 \(A\)는 사영 오른쪽 \(A\)-가군임이 분명하다 (따라서 \(\Hom_A(A, -)\)는 완전하다). 역으로, \(P\)를 사영 오른쪽 \(A\)-가군이라 하자. \(P\)의 \(A\) 위의 생성원 집합 \(\{p_i\}_{i \in I}\)를 택하여 전사 \(\bigoplus_{i \in I} A \to P\)를 택할 수 있다. \(P\)가 사영이므로 이 전사에는 왼쪽 역이 있다. 따라서 가환인 경우와 정확히 마찬가지로 \(P\)는 자유 가군의 직합인자와 동형이다(Algebra, Lemma 05CF).

다음을 얻는다.

1. \(A\)-가군의 범주는 충분한 사영 대상을 가진다.

2. \(A\)는 사영 \(A\)-가군이다.

3. 모든 \(A\)-가군은 \(A\)의 복사본들의 직합의 몫이다.

4. 모든 사영 \(A\)-가군은 \(A\)의 복사본들의 직합의 직합인자이다.

등급 대수 위의 사영 가군

이 절에서는 Algebra, Section 05CD와 유사하게 등급 대수 위의 사영 등급 가군을 논의한다.

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 \(R\) 위의 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수라 하자. 우리의 규약은 절 09JF를 보라. 등급 오른쪽 \(A\)-가군의 범주를 \(\text{Mod}_A\)로 나타내자. 정수 \(k\)에 대해 \(A\)의 시프트를 \(A[k]\)로 나타내자. 등급 오른쪽 \(A\)-가군에 대해 \[\Hom_{\text{Mod}_A}(A[k], M) = M^{-k}\] 이다. 함자 \(M \mapsto M^{-k}\)가 \(\text{Mod}_A\) 위에서 완전하므로 \(A[k]\)는 \(\text{Mod}_A\)의 사영 대상이다. 역으로, \(P\)가 \(\text{Mod}_A\)의 사영 대상이라고 하자. \(P\)를 \(A\)-가군으로 보아 동차 생성원들의 집합을 택하면 전사 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} A[k_i] \longrightarrow P\] 를 얻을 수 있다. 따라서 \(\text{Mod}_A\)의 사영 대상은 시프트 \(A[k]\)들의 직합의 직합인자이다.

다음을 얻는다.

1. 등급 \(A\)-가군의 범주는 충분한 사영 대상을 가진다.

2. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(A[k]\)는 사영 \(A\)-가군이다.

3. 모든 등급 \(A\)-가군은 \(k\)가 변할 때의 가군 \(A[k]\)들의 복사본들의 직합의 몫이다.

4. 모든 사영 \(A\)-가군은 \(k\)가 변할 때의 가군 \(A[k]\)들의 복사본들의 직합의 직합인자이다.

사영 가군과 미분 등급 대수

\((A, \text{d})\)가 미분 등급 대수이고 \(P\)가 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)의 대상이면, \(P\)가 등급 \(A\)-가군들의 아벨 범주 \(\text{Mod}_A\)에서 사영 대상이라는 뜻으로 \(P\)는 등급 \(A\)-가군으로서 사영이다라고 하거나, 때로 \(P\)는 등급 사영이다라고 한다. 여기서 이 아벨 범주는 절 0FQA에서와 같다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M \to P\)를 미분 등급 \(A\)-가군의 전사 준동형이라 하자. \(P\)가 등급 \(A\)-가군으로서 사영이면 \(M \to P\)는 허용 전사상이다.

증명

이는 정의에서 바로 따른다.

보조정리

\((A, d)\)를 미분 등급 대수라 하자. 그러면 임의의 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(A[k], M) = \Ker(\text{d} : M^{-k} \to M^{-k + 1})\] 이고 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(A[k], M) = H^{-k}(M)\] 이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

대수 위의 단사 가군

이 절에서는 More on Algebra, Section 01D8와 유사하게 대수 위의 단사 가군을 논의한다. 이 절은 아마 다른 곳으로 옮겨야 할 것이다.

\(R\)을 환이라 하고 \(A\)를 \(R\)-대수라 하자. 우리의 규약은 절 09JF를 보라. 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \[M^\vee = \Hom_\mathbf{Z}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] 로 둔다. 곱셈 \((a f)(x) = f(xa)\)에 의해 이를 왼쪽 \(A\)-가군으로 생각한다. 즉, \(((ab)f)(x) = f(xab) = (bf)(xa) = (a(bf))(x)\)이다. 역으로, \(M\)이 왼쪽 \(A\)-가군이면 \(M^\vee\)는 오른쪽 \(A\)-가군이다. \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\)가 단사 아벨 군이므로(More on Algebra, Lemma 01D7) 함자 \(M \mapsto M^\vee\)는 완전하다(More on Algebra, Lemma 01DA). 또한 모든 가군 \(M\)에 대해 평가 사상 \(M \to (M^\vee)^\vee\)는 단사이다(More on Algebra, Lemma 01DB).

\(A^\vee\)가 단사 오른쪽 \(A\)-가군이라고 주장한다. 실제로 오른쪽 \(A\)-가군 \(N\)이 주어지면 \[\Hom_A(N, A^\vee) = \Hom_A(N, \Hom_\mathbf{Z}(A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = N^\vee\] 이고, 함자 \(N \mapsto N^\vee\)가 완전하므로 결론을 얻는다. 둘째 등식은 Algebra, Lemma 00DE에 의해 \[\Hom_\mathbf{Z}(N, \Hom_\mathbf{Z}(A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = \Hom_\mathbf{Z}(N \otimes_\mathbf{Z} A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] 이므로 성립한다. 이 가군 안에서 \(A\)-선형성은 \(\varphi : N \times A \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) 중 \(x \otimes a\)와 \(xa \otimes 1\)에서 같은 값을 갖는 쌍선형 사상들, 즉 \(N^\vee\)의 원소에서 오는 것들을 정확히 골라낸다.

마지막으로 모든 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 전사 \(\bigoplus_{i \in I} A \to M^\vee\)를 택하여 단사 \(M \to (M^\vee)^\vee \to \prod_{i \in I} A^\vee\)를 얻을 수 있다.

다음을 얻는다.

1. \(A\)-가군의 범주는 충분한 단사 대상을 가진다.

2. \(A^\vee\)는 단사 \(A\)-가군이다.

3. 모든 \(A\)-가군은 \(A^\vee\)의 복사본들의 곱 안으로 단사된다.

등급 대수 위의 단사 가군

이 절에서는 More on Algebra, Section 01D8와 유사하게 등급 대수 위의 단사 등급 가군을 논의한다.

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 \(R\) 위의 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수라 하자. 우리의 규약은 절 09JF를 보라. \(M\)이 등급 \(R\)-가군이면 등급 \(R\)-가군으로서 \[M^\vee = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathbf{Z}(M^{-n}, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} (M^{-n})^\vee\] 로 둔다(\(R\)이 동차 성분들에 작용할 때에는 부호를 쓰지 않는다). \(M\)이 왼쪽 등급 \(A\)-가군 구조를 가지면 \(a \in A^m\)의 작용을 \[(M^{-n})^\vee \to (M^{-n - m})^\vee, \quad f \mapsto f \circ a\] 로 두어 \(M^\vee\) 위에 오른쪽 등급 \(A\)-가군 구조를 정의한다. 이는 절 0FQ2에서와 같다. \(M\)이 오른쪽 등급 \(A\)-가군 구조를 가지면 \(a \in A^n\)의 작용을 \[(M^{-m})^\vee \to (M^{-m - n})^\vee, \quad f \mapsto (-1)^{nm}f \circ a\] 로 두어 \(M^\vee\) 위에 왼쪽 등급 \(A\)-가군 구조를 정의한다. 이 역시 절 0FQ2에서와 같다. 부호를 쓰는 이유는 미분 등급 가군에서도 같은 공식을 사용하려 하기 때문이다. 등급 가군에만 관심이 있다면 여기서 부호를 생략할 수 있다. (왼쪽 또는 오른쪽) 등급 \(A\)-가군의 범주에서 함자 \(M \mapsto M^\vee\)는 완전하다 (각 등급 성분에서 확인하라). 또한 등급 \(R\)-가군의 단사 평가 사상 \[ev : M \longrightarrow (M^\vee)^\vee, \quad ev^n = (-1)^n \text{ 배의 평가 사상 }M^n \to ((M^n)^\vee)^\vee\] 이 있다. More on Algebra, Item (0FNM)을 보라. \(M\)이 왼쪽, 각각 오른쪽 \(A\)-가군이면 이 평가 사상은 왼쪽, 각각 오른쪽 \(A\)-가군 준동형이다. 평주 0FQ7와 0FQ8를 보라. 마지막으로 \(k \in \mathbf{Z}\)가 주어지면 부호를 사용하는 등급 \(R\)-가군의 표준 동형사상 \[M^\vee[-k] \longrightarrow (M[k])^\vee\] 이 있다. \(M\)이 왼쪽, 각각 오른쪽 \(A\)-가군이면 이는 오른쪽, 각각 왼쪽 \(A\)-가군의 동형사상이다. 평주 0FQ9를 보라.

\(A^\vee\)가 등급 오른쪽 \(A\)-가군의 범주 \(\text{Mod}_A\)의 단사 대상이라고 주장한다. 실제로 등급 오른쪽 \(A\)-가군 \(N\)이 주어지면 \[\Hom_{\text{Mod}_A}(N, A^\vee) = \Hom_{\text{Comp}(\mathbf{Z})}(N \otimes_A A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = (N^0)^\vee\] 이다. 이는 보조정리 0FQ4을 모든 미분이 영인 경우에 적용한 것이다. 함자 \(N \mapsto (N^0)^\vee = (N^\vee)^0\)가 완전하므로 결론을 얻는다.

마지막으로 모든 등급 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 등급 왼쪽 \(A\)-가군의 전사 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} A[k_i] \to M^\vee\] 를 택할 수 있다. 여기서 \(A[k_i]\)는 \(k_i \in \mathbf{Z}\)만큼의 \(A\)의 시프트이다. 이는 \(M^\vee\)의 동차 생성원들을 택하여 얻는다. 이 방법으로 단사 \[M \to (M^\vee)^\vee \to \prod A[k_i]^\vee = \prod A^\vee[-k_i]\] 를 얻는다. 위 공식의 곱들은 등급 가군의 범주에서의 곱들이다. 다시 말해, 각 차수에서 곱을 취한 뒤 성분들의 직합을 취한다.

다음을 얻는다.

1. 등급 \(A\)-가군의 범주는 충분한 단사 대상을 가진다.

2. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 가군 \(A^\vee[k]\)는 단사이다.

3. 모든 \(A\)-가군은 등급 가군의 범주에서 \(A^\vee[k]\)의 시프트 복사본들의 곱 안으로 단사된다.

단사 가군과 미분 등급 대수

\((A, \text{d})\)가 미분 등급 대수이고 \(I\)가 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)의 대상이면, \(I\)가 등급 \(A\)-가군들의 아벨 범주 \(\text{Mod}_A\)에서 단사 대상이라는 뜻으로 \(I\)는 등급 \(A\)-가군으로서 단사이다라고 하거나, 때로 \(I\)는 등급 단사이다라고 한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(I \to M\)을 미분 등급 \(A\)-가군의 단사 준동형이라 하자. \(I\)가 등급 단사이면 \(I \to M\)은 허용 단사상이다.

증명

이는 정의에서 바로 따른다.

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)이 왼쪽, 각각 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이면 \[M^\vee = \Hom^\bullet(M^\bullet, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] 와 절 0FQC에서 구성한 \(A\)-가군 구조는 절 0FQ2의 논의에 의해 오른쪽, 각각 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군을 이룬다. 평주 0FQ7와 0FQ8에 의해 절 0FQC의 평가 사상 \[M \longrightarrow (M^\vee)^\vee\] 은 왼쪽, 각각 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)이 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이고 \(N\)이 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이면 \[\begin{align*} \Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(N, M^\vee) & = \Hom_{\text{Comp}(\mathbf{Z})}(N \otimes_A M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) \\ & = \text{미분 등급 쌍선형}_A(N \times M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) \end{align*}\] 이다.

증명

첫째 등식은 보조정리 0FQ4이고, 둘째 등식은 절 09LL에서 보였다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 그러면 \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(M, A^\vee[k]) = \Ker(\text{d} : (M^\vee)^k \to (M^\vee)^{k + 1})\] 이고 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(M, A^\vee[k]) = H^k(M^\vee)\] 이다. 이 등식들은 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대한 함자 등식이다.

증명

이는 위의 논의에서 분명하다.

P-분해

이 절은 Derived Categories, Section 06XW의 대응물이다.

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(P\)를 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 다음 조건을 만족하는 미분 등급 부분가군들에 의한 여과 \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] 가 존재하면 \(P\)가 성질 (P)를 갖는다고 한다.

1. \(P = \bigcup F_pP\)이다.

2. 포함 \(F_iP \to F_{i + 1}P\)는 허용 단사상이다.

3. 몫 \(F_{i + 1}P/F_iP\)는 미분 등급 \(A\)-가군으로서 \(A[k]\)들의 직합과 동형이다.

실제로 조건 (2)는 조건 (3)의 귀결이다. 보조정리 09K0를 보라. 또한 독자는 등급 \(A\)-가군으로서 \(P\)가 \(A\)의 시프트들의 직합과 동형임을 확인할 수 있다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(P\)를 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(F_\bullet\)이 성질 (P)에서와 같은 여과이면 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iP \to \bigoplus\nolimits F_iP \to P \to 0\] 을 얻는다.

증명

둘째 사상은 포함 사상들의 직합이다. 첫째 사상의 정의역에서 직합인자 \(F_iP\) 위의 사상은 항등사상 \(F_iP \to F_iP\)와 포함 사상 \(F_iP \to F_{i + 1}P\)의 음의 합이다. 포함 사상들의 왼쪽 역인 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(s_i : F_{i + 1}P \to F_iP\)들을 택하자. 이들을 합성하여 모든 \(j > i\)에 대한 사상 \(s_{j, i} : F_jP \to F_iP\)를 얻는다. 그러면 첫째 화살표의 왼쪽 역은 \(x \in F_jP\)를 \(\bigoplus F_iP\) 안의 \((s_{j, 0}(x), s_{j, 1}(x), \ldots, s_{j, j - 1}(x), 0, \ldots)\)로 보낸다.

다음 보조정리는 성질 (P)를 갖는 미분 등급 가군이 K-단사 가군의 쌍대 개념임을 보인다(즉, 어떤 의미에서는 K-사영이다). Derived Categories, Definition 070H을 보라.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(P\)를 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 모든 비순환 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, N) = 0\] 이다.

증명

\(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)가 삼각범주라는 사실을 사용할 것이다 (명제 09KJ). \(F_\bullet\)을 성질 (P)에서와 같은 \(P\) 위의 여과라 하자. 보조정리 09KL의 짧은 완전열은 특수 삼각형을 만든다. 따라서 Derived Categories, Lemma 0149에 의해 모든 비순환 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)과 모든 \(i\)에 대해 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(F_iP, N) = 0\] 임을 보이면 충분하다. 각 미분 등급 가군 \(F_iP\)에는 허용 단사상들에 의한 유한 여과가 있고, 그 등급 조각들은 시프트 \(A[k]\)들의 직합이다. 따라서 모든 비순환 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)과 모든 \(k\)에 대해 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(A[k], N) = 0\] 임을 증명하면 충분하다. 이는 보조정리 09K1에서 따른다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 다음 성질들을 갖는 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(P \to M\)이 존재한다.

1. \(P \to M\)은 전사이다.

2. \(\Ker(\text{d}_P) \to \Ker(\text{d}_M)\)은 전사이다.

3. \(P\)는 허용 짧은 완전열 \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\)에 들어가며, 여기서 \(P'\), \(P''\)는 \(A\)의 시프트들의 직합이다.

증명

\(P_k\)를 차수 \(k\)와 \(k + 1\)의 생성원 \(x, y\)를 갖는 자유 \(A\)-가군이라 하자. \(\text{d}(x) = y\)와 \(\text{d}(y) = 0\)으로 두어 \(P_k\) 위에 미분 등급 \(A\)-가군 구조를 정의한다. 모든 원소 \(m \in M^k\)에 대해 \(x\)를 \(m\)으로, \(y\)를 \(\text{d}(m)\)으로 보내는 준동형 \(P_k \to M\)이 있다. 따라서 \(P_k\)의 복사본들의 직합에서 \(M\)으로 가는 전사가 있음을 알 수 있다. 이는 성질 (1)과 (3)을 갖는 \(P \to M\)을 분명히 만든다. 성질 (2)를 얻기 위해 \(m \in \Ker(\text{d}_M)\)의 차수가 \(k\)이면 \(1\)을 \(m\)으로 보내는 사상 \(A[k] \to M\)이 있음에 유의하라. 따라서 \(A\)의 시프트들의 복사본들의 직합을 더하여 (2)를 얻을 수 있다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 다음을 만족하는 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(P \to M\)이 존재한다.

1. \(P \to M\)은 유사동형이다.

2. \(P\)는 성질 (P)를 갖는다.

증명

\(M = M_0\)으로 둔다. 보조정리 09KN에서와 같이 사상 \(P_i \to M_i\)를 택하여 짧은 완전열 \[0 \to M_{i + 1} \to P_i \to M_i \to 0\] 들을 귀납적으로 택한다. 이로부터 “분해” \[\ldots \to P_2 \xrightarrow{f_2} P_1 \xrightarrow{f_1} P_0 \to M \to 0\] 를 얻는다. 이제 \(A\)-가군으로서 \[P = \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} P_i\] 로 둔다. 등급은 \(P^n = \bigoplus_{a + b = n} P_{-a}^b\)로 주고, 미분은 이중복합체에 결부된 전체 복합체의 구성에서와 같이 \(x \in P_{-a}^b\)에 대해 \[\text{d}_P(x) = f_{-a}(x) + (-1)^a \text{d}_{P_{-a}}(x)\] 로 준다. 이 규약에 따라 \(P\)는 실제로 미분 등급 \(A\)-가군이다. 각 \(P_i\)가 두 단계 여과 \(0 \to P_i' \to P_i \to P_i'' \to 0\)를 가짐을 상기하고, \[F_{2i}P = \bigoplus\nolimits_{i \geq j \geq 0} P_j \subset \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} P_i = P\] 로 둔다. 그리고 \(P'_{i + 1}\)을 \(F_{2i}P\)에 더하여 \(F_{2i + 1}\)을 얻는다. 이들은 미분 등급 부분가군들이고 연속하는 몫들은 \(A\)의 시프트들의 직합이다. 보조정리 09K0에 의해 포함 \(F_iP \to F_{i + 1}P\)가 허용 단사상임을 알 수 있다. 마지막으로 증대 \(P_0 \to M\)으로 주어진 사상 \(P \to M\)이 유사동형임을 보여야 한다. 이는 Homology, Lemma 09IZ에서 따른다.

I-분해

이 절은 P-분해에 관한 절의 쌍대이다.

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(I\)를 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 다음 조건을 만족하는 미분 등급 부분가군들에 의한 여과 \[I = F_0I \supset F_1I \supset F_2I \supset \ldots \supset 0\] 가 존재하면 \(I\)가 성질 (I)를 갖는다고 한다.

1. \(I = \lim I/F_pI\)이다.

2. 사상 \(I/F_{i + 1}I \to I/F_iI\)는 허용 전사상이다.

3. 몫 \(F_iI/F_{i + 1}I\)는 미분 등급 \(A\)-가군으로서 절 0FQD에서 구성한 가군 \(A^\vee[k]\)들의 곱과 동형이다.

실제로 조건 (2)는 조건 (3)의 귀결이다. 보조정리 09K2를 보라. 독자는 등급 가군으로서 \(I\)가 \(A^\vee[k]\)들의 곱과 동형임을 확인할 수 있다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(I\)를 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(F_\bullet\)이 성질 (I)에서와 같은 여과이면 미분 등급 \(A\)-가군의 허용 짧은 완전열 \[0 \to I \to \prod\nolimits I/F_iI \to \prod\nolimits I/F_iI \to 0\] 을 얻는다.

증명

생략한다. 힌트: 이는 보조정리 09KL의 쌍대이다.

다음 보조정리는 성질 (I)를 갖는 미분 등급 가군이 K-단사 가군의 대응물임을 보인다. Derived Categories, Definition 070H을 보라.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(I\)를 성질 (I)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 모든 비순환 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, I) = 0\] 이다.

증명

\(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)가 삼각범주라는 사실을 사용할 것이다 (명제 09KJ). \(F_\bullet\)을 성질 (I)에서와 같은 \(I\) 위의 여과라 하자. 보조정리 09KR의 짧은 완전열은 특수 삼각형을 만든다. 따라서 Derived Categories, Lemma 0149에 의해 모든 비순환 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)과 모든 \(i\)에 대해 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, I/F_iI) = 0\] 임을 보이면 충분하다. 각 미분 등급 가군 \(I/F_iI\)에는 허용 단사상들에 의한 유한 여과가 있고, 그 등급 조각들은 \(A^\vee[k]\)들의 곱이다. 따라서 모든 비순환 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)과 모든 \(k\)에 대해 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, A^\vee[k]) = 0\] 임을 증명하면 충분하다. 이는 보조정리 09K4와 \((-)^\vee\)가 완전 함자라는 사실에서 따른다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 다음 성질들을 갖는 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(M \to I\)가 존재한다.

1. \(M \to I\)는 단사이다.

2. \(\Coker(\text{d}_M) \to \Coker(\text{d}_I)\)는 단사이다.

3. \(I\)는 허용 짧은 완전열 \(0 \to I' \to I \to I'' \to 0\)에 들어가며, 여기서 \(I'\), \(I''\)는 \(A^\vee\)의 시프트들의 곱이다.

증명

절 0FQD에서 구성한 함자 \(N \mapsto N^\vee\)(왼쪽 미분 등급 가군에서 오른쪽 미분 등급 가군으로, 또 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 함자)와 그 모든 성질을 사용할 것이다. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(Q_k\)를 차수 \(k\)와 \(k + 1\)의 생성원 \(x, y\)를 갖는 자유 왼쪽 \(A\)-가군이라 하자. \(\text{d}(x) = y\)와 \(\text{d}(y) = 0\)으로 두어 \(Q_k\) 위에 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조를 정의한다. 보조정리 09KN의 증명과 정확히 같은 논증으로 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 전사 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} Q_{k_i} \longrightarrow M^\vee\] 를 얻는다. 그러면 단사 \[M \to (M^\vee)^\vee \to (\bigoplus\nolimits_{i \in I} Q_{k_i})^\vee = \prod\nolimits_{i \in I} I_{k_i}\] 를 생각할 수 있다. 여기서 \(I_k = Q_{-k}^\vee\)는 “쌍대” 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이다. 또 짧은 완전열 \(0 \to A[-k - 1] \to Q_k \to A[-k] \to 0\)은 짧은 완전열 \(0 \to A^\vee[k] \to I_k \to A^\vee[k + 1] \to 0\)을 만든다.

앞 단락의 결과는 성질 (1)과 (3)을 갖는 \(M \to I\)를 만든다. 성질 (2)를 얻기 위해 차수 \(k\)의 영이 아닌 원소 \(\overline{m} \in \Coker(\text{d}_M)\)이 주어졌다고 하자. 사상 \(\Im(M^{k - 1} \to M^k)\) 위에서는 영이지만 \(m\)에서는 영이 아닌 \(\lambda : M^k \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\)를 택하자. 보조정리 09K4에 의해 이는 \(m\)에서 영이 아닌 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(M \to A^\vee[k]\)에 대응한다. 따라서 \(A^\vee\)의 시프트들의 복사본들의 곱을 더하여 (2)를 얻을 수 있다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 다음을 만족하는 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(M \to I\)가 존재한다.

1. \(M \to I\)는 유사동형이다.

2. \(I\)는 성질 (I)를 갖는다.

증명

\(M = M_0\)으로 둔다. 보조정리 09KT에서와 같이 사상 \(M_i \to I_i\)를 택하여 짧은 완전열 \[0 \to M_i \to I_i \to M_{i + 1} \to 0\] 들을 귀납적으로 택한다. 이로부터 “분해”

\[0 \to M \to I_0 \xrightarrow{f_0} I_1 \xrightarrow{f_1} I_1 \to \ldots\] 를 얻는다. \(I\)를 등급 성분 \[I^n = \prod\nolimits_{i \geq 0} I^{n - i}_i\] 과 \(x \in I_i^{n - i}\)에 대해 \[\text{d}_I(x) = f_i(x) + (-1)^i \text{d}_{I_i}(x)\] 로 정의된 미분을 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 이 규약에 따라 \(I\)는 실제로 미분 등급 \(A\)-가군이다. 각 \(I_i\)가 두 단계 여과 \(0 \to I_i' \to I_i \to I_i'' \to 0\)를 가짐을 상기하고, \[F_{2i}I^n = \prod\nolimits_{j \geq i} I^{n - j}_j \subset \prod\nolimits_{i \geq 0} I^{n - i}_i = I^n\] 로 둔다. 그리고 인자 \(I'_{i + 1}\)을 \(F_{2i}I\)에 더하여 \(F_{2i + 1}I\)를 얻는다. 이들은 미분 등급 부분가군들이고 연속하는 몫들은 \(A^\vee\)의 시프트들의 곱이다. 보조정리 09K2에 의해 포함 \(F_{i + 1}I \to F_iI\)가 허용 단사상임을 알 수 있다. 마지막으로 증대 \(M \to I_0\)으로 주어진 사상 \(M \to I\)가 유사동형임을 보여야 한다. 이는 Homology, Lemma 09J0에서 따른다.

유도범주

비순환 미분 등급 가군과 미분 등급 가군의 유사동형이라는 개념이 정의되어 있음을 상기하자(09JH절 참조).

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 비순환 가군들로 이루어진 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 충만한 부분범주 \(\text{Ac}\)는 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 이에 대응하는 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 포화 곱셈계 (Derived Categories, Lemma 05RL 참조)는 유사동형들의 모임 \(\text{Qis}\)이다. 특히 국소화 함자 \[Q : K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to \text{Qis}^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] 의 핵은 \(\text{Ac}\)이다. 또한 함자 \(H^0\)는 \(Q\)를 통해 인수분해된다.

증명

호몰로지 긴 완전열 (09JK)에 의해 \(H^0\)가 호몰로지적 함자임을 안다. \(H^0\)의 핵은 비순환 대상들의 부분범주이고, 모든 \(H^i\)에서 동형을 유도하는 화살표들은 유사동형이다. 따라서 이 보조정리는 Derived Categories, Lemma 05RM의 특수한 경우이다.

집합론적 주석. Derived Categories, Proposition 05R6의 국소화 구성은 주어진 삼각범주가 “작다”, 즉 그 대상들의 기저 모임이 집합을 이룬다고 가정한다. \((A, \text{d})\)를 포함하고 \(\alpha\)의 공종성이 \(\aleph_0\)보다 큰 부분 우주 \(V_\alpha\)를 택하자 (Sets, Section 000B 및 Sets, Proposition 05N3 참조). 그러면 \(V_\alpha\)에 들어 있는 미분 등급 \(A\)-가군들의 범주 \(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}\)를 생각할 수 있다. 직접 확인하면 Proposition 09KJ의 증명에 쓰인 모든 구성이 \(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}\) 안에서 작동함을 알 수 있다 (최악의 경우에도 미분 등급 가군들의 유한 직합만 취하기 때문이다). 따라서 삼각범주 \(\text{Qis}_\alpha^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha})\)를 얻는다. 아래에서 \(\beta > \alpha\)이면 전이 함자 \[\text{Qis}_\alpha^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}) \longrightarrow \text{Qis}_\beta^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \beta})\] 들이 충실충만함을 보게 될 것이다. 실제로 몫범주의 사상 집합은 P-분해에서 나오는 호모토피 범주의 사상들로 계산된다 (Lemma 09KP의 증명에서 P-분해를 구성할 때는 가산 직합뿐 아니라 주어진 가군의 부분집합들로 지표화된 직합도 취한다). 따라서 독자는 보조정리의 범주를 이 부분범주들의 합집합으로 생각해야 한다.

앞 보조정리의 증명 끝에 있는 집합론적 주석을 고려하여 유도범주를 다음과 같이 정의한다.

정의

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(\text{Ac}\)와 \(\text{Qis}\)는 Lemma 09KW에서와 같이 둔다. \((A, \text{d})\)의 유도범주는 삼각범주 \[D(A, \text{d}) = K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})/\text{Ac} = \text{Qis}^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}).\] 몫함자와 합성하면 위에서 정의한 함자 \(H^0\)가 되는 유일한 함자를 \(H^0 : D(A, \text{d}) \to \text{Mod}_R\)로 나타낸다.

다음은 앞서 예고한, 유도범주의 사상 집합을 계산하는 보조정리이다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하고, \(M\)과 \(N\)을 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자.

1. \(P \to M\)을 Lemma 09KP에서와 같은 P-분해라 하자. 그러면 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) = \Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, N)\]

2. \(N \to I\)를 Lemma 09KU에서와 같은 I-분해라 하자. 그러면 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) = \Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(M, I)\]

증명

(1)에서와 같이 \(P \to M\)을 택하자. \(P \to M\)은 유사동형이므로 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(P, N) = \Hom_{D(A, \text{d})}(M, N)\] 임을 유도범주의 정의에서 알 수 있다. \(D(A, \text{d})\)의 사상 \(f : P \to N\)은 \(s^{-1}f'\)와 같다. 여기서 \(f' : P \to N'\)은 사상이고 \(s : N \to N'\)은 유사동형이다. 특수 삼각형 \[N \to N' \to Q \to N[1]\] 을 택하자. \(s\)가 유사동형이므로 \(Q\)는 비순환이다. 따라서 Lemma 09KM에 의해 모든 \(k\)에 대하여 \(\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, Q[k]) = 0\)이다. 또한 \(\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, -)\) 가 코호몰로지적 함자이므로 \(f' : P \to N'\)을 사상 \(f : P \to N\)으로 유일하게 올릴 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.

(2)의 증명은 Lemma 09KS을 쓰는 (1)의 쌍대이며, 여기서는 Lemma 09KM을 대신한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 그러면

1. \(D(A, \text{d})\)에는 직합과 곱이 모두 존재한다.

2. 직합은 미분 등급 가군들의 직합을 취하여 얻는다.

3. 곱은 미분 등급 가군들의 곱을 취하여 얻는다.

증명

\(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)가 임의의 직합과 곱을 갖는 아벨 범주이고, 이들이 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 직합과 곱을 준다는 사실을 사용한다. Lemmas 09JJ 및 09JR를 보라.

\(M_j\)를 미분 등급 \(A\)-가군들의 족이라 하자. 자명한 구조를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군인 등급 직합 \(M = \bigoplus M_j\)를 생각하자. 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)에 대하여, \(I\)가 성질 (I)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이 되도록 유사동형 \(N \to I\)를 택하자. Lemma 09KU를 보라. Lemma 09KY를 쓰면 \[\begin{align*} \Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) & = \Hom_{K(A, \text{d})}(M, I) \\ & = \prod \Hom_{K(A, \text{d})}(M_j, I) \\ & = \prod \Hom_{D(A, \text{d})}(M_j, N) \end{align*}\] 을 얻는다. 따라서 보조정리의 (2)에 적힌 대로 \(D(A, \text{d})\)에 직합이 존재한다.

\(M_j\)를 미분 등급 \(A\)-가군들의 족이라 하자. 미분 등급 \(A\)-가군들의 곱 \(M = \prod M_j\)를 생각하자. 미분 등급 \(A\)-가군 \(N\)에 대하여, \(P\)가 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이 되도록 유사동형 \(P \to N\)을 택하자. Lemma 09KP를 보라. Lemma 09KY를 쓰면 \[\begin{align*} \Hom_{D(A, \text{d})}(N, M) & = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) \\ & = \prod \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M_j) \\ & = \prod \Hom_{D(A, \text{d})}(N, M_j) \end{align*}\] 을 얻는다. 따라서 보조정리의 (3)에 적힌 대로 \(D(A, \text{d})\)에 직합이 존재한다.

주

\(R\)을 환이라 하고 \((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. P-분해를 사용하면 때때로 \(D(A, \text{d})\)의 일반적인 대상에 관한 명제를 \(A[k]\)에 관한 명제로 환원할 수 있다. 구체적으로 \(T\)를 \(D(A, \text{d})\)의 대상들의 성질이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(K_i\), \(i \in I\)가 \(D(A, \text{d})\)의 대상들의 족이고 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(T(K_i)\)가 성립하면 \(T(\bigoplus K_i)\)가 성립한다.

2. \(K \to L \to M \to K[1]\)이 \(D(A, \text{d})\)의 특수 삼각형이고 두 대상에 대하여 \(T\)가 성립하면 셋째 대상에도 \(T\)가 성립한다.

3. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(T(A[k])\)가 성립한다.

그러면 \(D(A, \text{d})\)의 모든 대상에 대하여 \(T\)가 성립한다. 이는 Lemmas 09KL 및 09KP에서 명백하다.

표준 델타 함자

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 함자 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)를 생각하자. 일반적으로 이 함자는 \(\delta\)-함자가 아니다. 그러나 함자 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to D(A, \text{d})\)는 \(\delta\)-함자임이 밝혀진다. 이를 보이려면 아벨 범주 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)의 짧은 완전열 \[0 \to K \xrightarrow{a} L \xrightarrow{b} M \to 0\] 에 결부되는 사상 \(\delta\)를 정의해야 한다. 사상 \(a\)의 원뿔 \(C(a)\)를 생각하자. \(C(a) = L \oplus K\)이고, \(L\)로의 사영 다음에 \(b\)를 합성하여 \(q : C(a) \to M\)을 정의한다. 이로써 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \[q : C(a) \longrightarrow M.\] 을 얻는다. 여기서 \(i\)는 Definition 09KA에서와 같으며, \(q \circ i = b\)임은 명백하다. \(a\)가 단사이므로 \(q\)의 핵은 비순환인 \(\text{id}_K\)의 원뿔과 동일시된다. 따라서 \(q\)가 유사동형임을 알 수 있다. Lemma 09KF에 따르면 삼각형 \[(K, L, C(a), a, i, -p)\] 은 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)의 특수 삼각형이다. 국소화 함자 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to D(A, \text{d})\)가 완전하므로 \((K, L, C(a), a, i, -p)\)는 \(D(A, \text{d})\)의 특수 삼각형이다. \(q\)가 유사동형이므로 \(q\)는 \(D(A, \text{d})\)에서 동형이다. 따라서 \[(K, L, M, a, b, -p \circ q^{-1})\] 이 \(D(A, \text{d})\)의 특수 삼각형임을 얻는다. 이는 다음 보조정리를 제시한다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 위에서 정의한 함자 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to D(A, \text{d})\)에는 다음으로 주어지는 \(\delta\)-함자의 자연스러운 구조가 있다. \[\delta_{K \to L \to M} = - p \circ q^{-1}\] 여기서 \(p\)와 \(q\)는 위에서 설명한 것과 같다.

증명

이 선택이 복합체의 짧은 완전열마다 특수 삼각형을 준다는 것은 이미 보았다. 이 구성의 함자성을 보여야 한다. Derived Categories, Definition 0150을 보라. 이는 약간의 계산과 함께 Lemma 09KD에서 따른다. Derived Categories, Lemma 0152과 비교하라.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하고 \(M_n\)을 미분 등급 가군들의 계라 하자. 그러면 \(D(A, \text{d})\)의 유도 여극한 \(\text{hocolim} M_n\)은 미분 등급 가군 \(\colim M_n\)으로 표현된다.

증명

\(M = \colim M_n\)이라 두자. 미분 등급 가군의 완전열 \[0 \to \bigoplus M_n \to \bigoplus M_n \to M \to 0\] 을 얻는다. 이는 아벨 군의 기저 복합체에 적용한 Derived Categories, Lemma 093W에서 따른다.

Lemma 09QI에 의해 이 직합들은 \(D(\mathcal{A})\)에서의 직합이다. 따라서 Derived Categories, Definition 090Z의 유도 여극한 정의와 복합체의 짧은 완전열이 특수 삼각형을 준다는 사실 (Lemma 09L0)에서 결론이 따른다.

선형 범주

정의만 제시한다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)-선형 범주 \(\mathcal{A}\)란 각 사상 집합에 \(R\)-가군 구조가 주어져 있고, \(x, y, z \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대한 합성법칙 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \times \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 이 \(R\)-쌍선형인 범주를 말한다.

따라서 합성은 \(R\)-가군의 \(R\)-선형 사상 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 을 결정한다. \(R\)-선형 범주가 가법적이라고는 가정하지 않음에 유의하라.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)-선형 범주들의 함자, 또는 \(R\)-선형 함자란 \(\mathcal{A}\)의 모든 대상 \(x, y\)에 대하여 사상 \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{B}(F(x), F(y))\)가 \(R\)-가군 준동형인 함자 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 말한다.

등급 범주

몇 가지 정의만 제시한다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\) 위의 등급 범주 \(\mathcal{A}\)란 각 사상 집합에 등급 \(R\)-가군 구조가 주어져 있고, \(x, y, z \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대하여 합성이 \(R\)-쌍선형이며 등급 \(R\)-가군의 준동형 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 을 유도하는 범주를 말한다(즉, 차수를 보존한다).

이 상황에서 등급 대상 \(\Hom_\mathcal{A}(x, y)\)의 차수 \(i\) 부분을 \(\Hom_\mathcal{A}^i(x, y)\)로 나타낸다. 따라서 \[\Hom_\mathcal{A}(x, y) = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathcal{A}^i(x, y)\] 는 등급 부분들로의 직합 분해이다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\) 위의 등급 범주들의 함자, 또는 등급 함자란 \(\mathcal{A}\)의 모든 대상 \(x, y\)에 대하여 사상

\(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{A}(F(x), F(y))\) 이 등급 \(R\)-가군의 준동형인 함자 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 말한다.

등급 범주가 주어지면 흔히 차수 \(0\)인 사상들의 대응하는 “보통” 범주에 관심을 둔다. 이를 형식적으로 정의하자.

정의

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 \(R\) 위의 등급 범주라 하자. \(\mathcal{A}^0\)를 \(\mathcal{A}\)와 같은 대상들을 가지며 \[\Hom_{\mathcal{A}^0}(x, y) = \Hom^0_\mathcal{A}(x, y)\] 를 사상 집합으로 갖는 범주라 하자. 우변은 \(\mathcal{A}\)의 사상들로 이루어진 등급 가군의 차수 \(0\) 등급 부분이다.

정의

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 \(R\) 위의 등급 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 직합 \((x, y, z, i, j, p, q)\)가 (표기는 Homology, Remark 0103에서와 같다) 등급 직합이라는 것은 \(i, j, p, q\)가 차수 \(0\)인 동차 사상임을 뜻한다.

예

\(\mathcal{B}\)를 가법 범주라 하자. Homology, Definition 0125에서 \(\mathcal{B}\)의 등급 대상들의 범주 \(\text{Gr}(\mathcal{B})\)를 정의했음을 상기하자. 이 예에서는 \(R = \mathbf{Z}\) 위의 등급 범주 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)를 구성하여, 그에 결부된 범주 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})^0\)가 \(\text{Gr}(\mathcal{B})\)를 복원하도록 한다. \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)의 대상으로는 \(\mathcal{B}\)의 등급 대상들을 취한다. 이제 \(\mathcal{B}\)의 등급 대상 \(A = (A^i)\)와 \(B = (B^i)\)가 주어지면 \[\Hom_{\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})}(A, B) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(A, B)\] 로 둔다. 여기서 차수 \(n\)인 등급 부분은 \(A\)에서 \(B\)로 가는 차수 \(n\)의 동차 사상들로 이루어진 아벨 군이다. 구체적으로 \[\Hom^n(A, B) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^p)\] 이다(지표가 뒤집혔음과 여기에는 직합이 아니라 곱이 쓰였음에 유의하라). 다시 말해 \(A\)에서 \(B\)로 가는 차수 \(n\)의 사상 \(f\)는 \(p, q \in \mathbf{Z}\)이고 \(p + q = n\)이며 \(f_{p, q} : A^{-q} \to B^p\)가 \(\mathcal{B}\)의 사상이 되도록 하는 계 \(f = (f_{p, q})\)로 볼 수 있다. \(\mathcal{B}\)의 등급 대상 \(A\), \(B\), \(C\)가 주어지면 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)에서 사상의 합성은 사상 \[\Hom^m(B, C) \times \Hom^n(A, B) \longrightarrow \Hom^{n + m}(A, C)\] 을 등급 대상의 동차 사상들의 보통 합성 \((g, f) \mapsto g \circ f\)로 정의한다. 성분으로 쓰면 \[(g \circ f)_{p, r} = g_{p, q} \circ f_{-q, r}\] 이며, 여기서 \(q\)는 \(p + q = m\)이고 \(-q + r = n\)이 되도록 택한다.

예

\(A\)를 환 \(R\) 위의 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수라 하자. 그에 결부된 범주 \((\text{Mod}^{gr}_A)^0\)가 등급 \(A\)-가군들의 범주가 되도록 \(R\) 위의 등급 범주 \(\text{Mod}^{gr}_A\)를 구성한다. \(\text{Mod}^{gr}_A\)의 대상으로 오른쪽 등급 \(A\)-가군들을 취한다 (Section 09JZ 참조).

등급 \(A\)-가군 \(L\)과 \(M\)이 주어지면 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_A}(L, M) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(L, M)\] 로 둔다. 여기서 \(\Hom^n(L, M)\)은 차수 \(n\)의 동차 사상인 오른쪽 \(A\)-가군 사상 \(L \to M\)들의 집합이다. 즉 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(f(L^i) \subset M^{i + n}\)이다. 성분으로 쓰면 \[\Hom^n(L, M) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_R(L^{-q}, M^p)\] 는 (지표가 뒤집혔음에 유의하라) 다음을 만족하는 \(f = (f_{p, q})\)들로 이루어진 부분집합이다. \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] 여기서 \(a \in A^i\)이고 \(m \in L^{-q - i}\)이다. 등급 \(A\)-가군 \(K\), \(L\), \(M\)에 대하여 \(\text{Mod}^{gr}_A\)의 합성은 사상 \[\Hom^m(L, M) \times \Hom^n(K, L) \longrightarrow \Hom^{n + m}(K, M)\] 을 오른쪽 \(A\)-가군 사상들의 보통 합성 \((g, f) \mapsto g \circ f\)로 정의한다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(\mathcal{D}\)를 \(R\)-선형 범주라 하고, \(n \in \mathbf{Z}\)로 지표화된 \(R\)-선형 함자들의 모임 \([n] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\), \(x \mapsto x[n]\)이 주어졌다고 하자. 이들은 \([n] \circ [m] = [n + m]\) 및 \([0] = \text{id}_\mathcal{D}\)를 만족한다(함자로서의 등식이다). 그러면 \(\mathcal{D}\)와 같은 대상들을 갖는 \(R\) 위의 등급 범주 \(\mathcal{D}^{gr}\)를 다음과 같이 구성할 수 있다. \[\Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathcal{D}(x, y[n])\] 이는 \(\mathcal{D}\)의 \(x, y\)에 대하여 정의한다. \((\mathcal{D}^{gr})^0 = \mathcal{D}\)임에 유의하라 (Definition 09ML 참조). 또한 등급 범주 \(\mathcal{D}^{gr}\)는 \([n] \circ [m] = [n + m]\) 및 \([0] = \text{id}_{\mathcal{D}^{gr}}\)를 만족하는 \(R\)-선형 등급 함자 \([n]\)들을 이어받으며, 이들은 \[\Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y[n]) = \Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y)[n]\] 이라는 성질을 갖는다. 이는 사상의 합성과 양립하는 등급 \(R\)-가군으로서의 등식이다.

역으로, \(R\) 위의 등급 범주 \(\mathcal{A}\)와 \(R\)-선형 등급 함자들의 모임 \([n]\)이 주어졌다고 하자. 이들은 \([n] \circ [m] = [n + m]\) 및 \([0] = \text{id}_\mathcal{A}\)를 만족하고, 더 나아가 동형 \[\Hom_\mathcal{A}(x, y[n]) = \Hom_\mathcal{A}(x, y)[n]\] 을 갖춘다고 하자. 이 동형은 사상의 합성과 양립하는 등급 \(R\)-가군의 동형이다. 그러면 독자는 \(\mathcal{A} = (\mathcal{A}^0)^{gr}\)임을 쉽게 보일 수 있다.

위에서 확립한 대응 \(\mathcal{D} \leftrightarrow \mathcal{A}\)의 두 예를 들자.

1. \(\mathcal{B}\)를 가법 범주라 하자. \(\mathcal{D} = \text{Gr}(\mathcal{B})\)이면 Example 09MM에서와 같이 \(\mathcal{A} = \text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)이다.

2. \(A\)가 등급 환이고 \(\mathcal{D} = \text{Mod}_A\)가 등급 오른쪽 \(A\)-가군들의 범주이면 \(\mathcal{A} = \text{Mod}^{gr}_A\)이다. Example 09MN을 보라.

미분 등급 범주

\(R\)이 환이면 \(R\) 자체는 (물론 \(R = R^0\)로 두어) 자기 자신 위의 미분 등급 대수임에 유의하라. 이 경우 미분 등급 \(R\)-가군은 \(R\)-가군들의 복합체와 같은 것이다. 특히 두 미분 등급 \(R\)-가군 \(M\)과 \(N\)이 주어졌을 때, \(M\)과 \(N\)에 결부된 \(R\)-가군 복합체들의 텐서곱으로 얻는 이중 복합체에 결부된 전체 복합체에 대응하는 미분 등급 \(R\)-가군을 \(M \otimes_R N\)으로 나타낸다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\) 위의 미분 등급 범주 \(\mathcal{A}\)란 각 사상 집합에 미분 등급 \(R\)-가군 구조가 주어져 있고, \(x, y, z \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대하여 합성이 \(R\)-쌍선형이며 미분 등급 \(R\)-가군의 준동형 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 을 유도하는 범주를 말한다.

정의의 마지막 조건은 다음을 뜻한다. 차수 \(n\)과 \(m\)의 동차 원소 \(f \in \Hom_\mathcal{A}^n(x, y)\)와 \(g \in \Hom_\mathcal{A}^m(y, z)\)에 대하여 \[\text{d}(g \circ f) = \text{d}(g) \circ f + (-1)^mg \circ \text{d}(f)\] 가 \(\Hom_\mathcal{A}^{n + m + 1}(x, z)\)에서 성립한다. 이는 이중 복합체의 전체 복합체 위의 미분에 대한 부호 규칙에서 따른다. Homology, Definition 012Z을 보라.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\) 위의 미분 등급 범주들의 함자란 \(\mathcal{A}\)의 모든 대상 \(x, y\)에 대하여 사상

\(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{A}(F(x), F(y))\) 이 미분 등급 \(R\)-가군의 준동형인 함자 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 말한다.

미분 등급 범주가 주어지면 흔히 이에 대응하는 복합체 범주와 호모토피 범주에 관심을 둔다. 이를 형식적으로 정의하자.

정의

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 \(R\) 위의 미분 등급 범주라 하자. 다음과 같이 둔다.

1. \(\mathcal{A}\)의 복합체 범주¹를 \(\mathcal{A}\)와 같은 대상들을 가지며 \[\Hom_{\text{Comp}(\mathcal{A})}(x, y) = \Ker(d : \Hom^0_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom^1_\mathcal{A}(x, y))\] 를 사상 집합으로 갖는 범주 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)라 한다.

2. \(\mathcal{A}\)의 호모토피 범주를 \(\mathcal{A}\)와 같은 대상들을 가지며 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(x, y) = H^0(\Hom_\mathcal{A}(x, y))\] 를 사상 집합으로 갖는 범주 \(K(\mathcal{A})\)라 한다.

기호 \(K(\mathcal{A})\)의 이러한 사용은 비표준이지만, 적어도 Stacks project의 다른 장에서 \(K(-)\)를 사용하는 방식과 양립한다.

정의

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 \(R\) 위의 미분 등급 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 직합 \((x, y, z, i, j, p, q)\)가 (표기는 Homology, Remark 0103에서와 같다) 미분 등급 직합이라는 것은 \(i, j, p, q\)가 차수 \(0\)인 닫힌 동차 사상, 즉 \(\text{d}(i) = 0\) 등을 만족하는 사상임을 뜻한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R\) 위의 미분 등급 범주들의 함자 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)는 함자 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{B})\) 와 \(K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B})\)를 유도한다.

증명

생략한다.

예

\(\mathcal{B}\)를 가법 범주라 하자. 이에 결부된 복합체 범주는 \(\text{Comp}(\mathcal{B})\)이고 이에 결부된 호모토피 범주는 \(K(\mathcal{B})\)인, \(R = \mathbf{Z}\) 위의 미분 등급 범주 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\)를 구성하겠다. \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\)의 대상으로 \(\mathcal{B}\)의 복합체들을 취한다. \(\mathcal{B}\)의 복합체 \(A^\bullet\)과 \(B^\bullet\)이 주어지면, 때때로 \(\mathcal{B}\)의 대응하는 등급 대상들도 \(A^\bullet\)과 \(B^\bullet\)로 나타낸다(즉 미분을 잊는다). 이 표기 남용 아래 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) = \Hom_{\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(A, B)\] 로 둔다. 이는 Example 09MM의 표기와 정의를 사용한 등급 \(\mathbf{Z}\)-가군이다. 다시 말해 차수 \(n\)인 등급 부분은 등급 대상들의 차수 \(n\) 동차 사상들로 이루어진 아벨 군 \[\Hom^n(A^\bullet, B^\bullet) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^p)\] 이다. 지표가 뒤집혔고 직합이 아니라 곱을 취한다는 점에 유의하라. 차수 \(n\)인 원소 \(f \in \Hom^n(A^\bullet, B^\bullet)\)에 대하여 \[\text{d}(f) = \text{d}_B \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_A\] 로 둔다. 부호는 More on Algebra, Section 0FNG에서와 정확히 같다. 이를 해석하기 위해 \(\text{d}_B\)와 \(\text{d}_A\)를 \(\mathcal{B}\)의 등급 대상들의 차수 \(1\) 동차 사상으로 보고, 우변에서는 범주 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)의 합성을 사용한다. 성분으로 쓰면, \(f = (f_{p, q})\)이고 \(f_{p, q} : A^{-q} \to B^p\)일 때 [09LA]\[\begin{equation} \text{d}(f_{p, q}) = \text{d}_B \circ f_{p, q} - (-1)^{p + q} f_{p, q} \circ \text{d}_A \end{equation}\] 이다. 이 식의 첫째 항은 \(\Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^{p + 1})\)에 속하고 둘째 항은 \(\Hom_\mathcal{B}(A^{-q - 1}, B^p)\)에 속함에 유의하라. 독자는 다음을 확인한다.

1. \(\text{d}\)의 제곱은 영이다.

2. \(\Hom^n(A^\bullet, B^\bullet)\)의 원소 \(f\)에 대하여 \(\text{d}(f) = 0\)일 필요충분조건은 \(\mathcal{B}\)의 등급 대상들의 사상 \(f : A^\bullet \to B^\bullet[n]\)가 실제로 복합체의 사상인 것이다.

3. 특히 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\)의 복합체 범주는 \(\text{Comp}(\mathcal{B})\)와 같다.

4. (2)에서와 같이 \(f\)가 정의하는 복합체의 사상이 영과 호모토피 동치일 필요충분조건은 어떤 \(g \in \Hom^{n - 1}(A^\bullet, B^\bullet)\)에 대하여 \(f = \text{d}(g)\)인 것이다.

5. 특히 표준 동형 \[\Hom_{K(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow H^0(\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet))\] 을 얻으며, \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\)의 호모토피 범주는 \(K(\mathcal{B})\)와 같다.

복합체 \(A^\bullet\), \(B^\bullet\), \(C^\bullet\)이 주어지면 합성 \[\Hom^m(B^\bullet, C^\bullet) \times \Hom^n(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow \Hom^{n + m}(A^\bullet, C^\bullet)\] 을 등급 범주 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)의 합성 \((g, f) \mapsto g \circ f\)로 정의한다. Example 09MM을 보라. 이는 미분 등급 가군의 사상 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(B^\bullet, C^\bullet) \otimes_R \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, C^\bullet)\] 을 정의하며, 이는 Definition 09L5에서 요구하는 사상이다. 실제로 \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_C \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_A \\ & = \left(\text{d}_C \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_B\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_B \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_A\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] 이므로 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(F : \mathcal{B} \to \mathcal{B}'\)를 가법 범주들 사이의 가법 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 미분 등급 범주들의 함자 \[F : \text{Comp}^{dg}(\mathcal{B}) \to \text{Comp}^{dg}(\mathcal{B}')\] 를 유도한다. 이는 Example 09L9의 미분 등급 범주들 사이의 함자이며 복합체 범주와 호모토피 범주 위의 통상적인 함자들을 유도한다.

증명

생략한다.

예

\((A, \text{d})\)를 환 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. 복합체 범주는 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)이고 호모토피 범주는 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)인, \(R\) 위의 미분 등급 범주 \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\)를 구성하겠다. \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\)의 대상으로 미분 등급 \(A\)-가군들을 취한다. 미분 등급 \(A\)-가군 \(L\)과 \(M\)이 주어지면

\[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M) = \Hom_{\text{Mod}^{gr}_A}(L, M) = \bigoplus \Hom^n(L, M)\] 로 둔다. 이는 우변을 Example 09MN에서와 같이 정의한 등급 \(R\)-가군이다. 다시 말해 차수 \(n\)인 등급 부분 \(\Hom^n(L, M)\)은 차수 \(n\)의 동차 오른쪽 \(A\)-가군 사상들로 이루어진 \(R\)-가군이다. 원소 \(f \in \Hom^n(L, M)\)에 대하여 \[\text{d}(f) = \text{d}_M \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_L\] 로 둔다. 이를 해석하기 위해 \(\text{d}_M\)과 \(\text{d}_L\)을 등급 \(R\)-가군 사상으로 보고 등급 \(R\)-가군 사상들의 합성을 사용한다. \(\text{d}(f)\)가 등급 \(R\)-가군 사상으로서 차수 \(n + 1\)의 동차 사상임은 명백하며, 다음 계산에 의해 \(A\)-선형이다. \[\begin{align*} \text{d}(f)(xa) & = \text{d}_M(f(x) a) - (-1)^n f (\text{d}_L(xa)) \\ & = \begin{aligned} &\text{d}_M(f(x)) a + (-1)^{\deg(x) + n} f(x) \text{d}(a) \\ &- (-1)^n f(\text{d}_L(x)) a - (-1)^{n + \deg(x)} f(x) \text{d}(a) \end{aligned} \\ & = \text{d}(f)(x) a \end{align*}\] 원하는 식을 얻었다(\(\Hom\) 위의 미분 정의에 들어 있는 부호가 없으면 이 계산은 성립하지 않음에 유의하라). \(f\)의 미분을 성분으로 쓴 식에 대해서는 Example 09L9의 식들과 유사한 공식들이 성립한다. 독자는 Example 09L9에서와 같은 방식으로 다음을 확인한다.

1. \(\text{d}\)의 제곱은 영이다.

2. \(\Hom^n(L, M)\)의 원소 \(f\)에 대하여 \(\text{d}(f) = 0\)일 필요충분조건은 \(f : L \to M[n]\)이 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형인 것이다.

3. 특히 \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\)의 복합체 범주는 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)이다.

4. (2)에서와 같이 \(f\)가 정의하는 준동형이 영과 호모토피 동치일 필요충분조건은 어떤 \(g \in \Hom^{n - 1}(L, M)\)에 대하여 \(f = \text{d}(g)\)인 것이다.

5. 특히 표준 동형 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(L, M) \longrightarrow H^0(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M))\] 을 얻으며, \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\)의 호모토피 범주는 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)이다.

미분 등급 \(A\)-가군 \(K\), \(L\), \(M\)에 대하여 합성 \[\Hom^m(L, M) \times \Hom^n(K, L) \longrightarrow \Hom^{n + m}(K, M)\] 을 동차 오른쪽 \(A\)-가군 사상들의 합성 \((g, f) \mapsto g \circ f\)로 정의한다. 이는 미분 등급 가군의 사상 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M) \otimes_R \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(K, L) \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(K, M)\] 을 정의하며, 이는 Definition 09L5에서 요구하는 사상이다. 실제로 \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_M \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_K \\ & = \left(\text{d}_M \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_L\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_L \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_K\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] 이므로 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(\varphi : (A, \text{d}) \to (E, \text{d})\)를 미분 등급 대수의 준동형이라 하자. 그러면 \(\varphi\)는 미분 등급 범주들의 함자 \[F : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\] 를 유도한다. 이는 Example 09LC의 미분 등급 범주들 사이의 함자이며, 미분 등급 가군의 범주들과 호모토피 범주들 위의 자명한 제한 함자들을 유도한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 \(R\) 위의 미분 등급 범주라 하자. \(x\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하고 \[(E, \text{d}) = \Hom_\mathcal{A}(x, x)\] 를 \(x\)의 자기 사상들로 이루어진 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(\mathcal{A}\)에서의 합성을 통해 \(E\)가 \(\Hom_\mathcal{A}(x, y)\)에 작용하도록 하면 미분 등급 범주들의 함자 \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})},\quad y \longmapsto \Hom_\mathcal{A}(x, y)\] 를 얻는다. 이 함자는 Lemma 09L8을 적용하여 함자

\[\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{Mod}_{(A, \text{d})} \quad\text{and}\quad K(\mathcal{A}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] 를 유도한다.

증명

이 보조정리의 주장이 곧 증명이다.

삼각범주를 얻는 방법

이 절에서는 Derived Categories, Proposition 014S과 Proposition 09KJ을 증명하는 논증이 적용되는 가장 일반적인 설정을 논의한다.

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 \(R\) 위의 미분 등급 범주라 하자. 논증이 성립하도록 \(\mathcal{A}\)에 다음 공리들을 부과한다.

1. \(\mathcal{A}\)는 영대상과 두 대상의 미분 등급 직합을 갖는다 (Definition 09P4에서와 같다).

2. \([0] = \text{id}_\mathcal{A}\) 및 \([n + m] = [n] \circ [m]\)을 만족하는 미분 등급 범주들의 함자 \([n] : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}\)가 있고, 합성과 양립하는 미분 등급 \(R\)-가군의 동형 \[\Hom_\mathcal{A}(x, y[n]) = \Hom_\mathcal{A}(x, y)[n]\] 이 주어져 있다.

이 미분 등급 범주 \(\mathcal{A}\)에 대하여 다음과 같이 말한다.

1. \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상들의 열 \(x \to y \to z\)가 허용 짧은 완전열이라는 것은, 바탕 등급 범주에서 동형 \(y \cong x \oplus z\)가 존재하여

   \(x \to z\)와 \(y \to z\)가 (여)사영이 됨을 뜻한다.

2. \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상 \(x\to y\)가 허용 단사상이라는 것은 허용 짧은 완전열 \(x\to y\to z\)로 연장됨을 뜻한다.

3. \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상 \(y\to z\)가 허용 전사상이라는 것은 허용 짧은 완전열 \(x\to y\to z\)로 연장됨을 뜻한다.

다음 보조정리는 공리 (A)와 (B)가 성립할 때 허용 짧은 완전열이 삼각형을 준다는 것을 말한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 공리 (A)와 (B)를 만족하는 미분 등급 범주라 하자. 허용 짧은 완전열 \(x \to y \to z\)가 주어지면 (증명을 보라) 삼각형 \[x \to y \to z \to x[1]\] 을 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)에서 얻으며, \(z[-1] \to x \to y \to z \to x[1]\)에서 연속한 두 사상의 합성은 모두 \(K(\mathcal{A})\)에서 영이다.

증명

허용 짧은 완전열의 정의에서와 같이 등급 대상들의 동형 \(y \cong x \oplus z\)를 주는 도식 \[\xymatrix{ x \ar[rr]_1 \ar[rd]_a & & x \\ & y \ar[ru]_\pi \ar[rd]^b & \\ z \ar[rr]^1 \ar[ru]^s & & z }\] 을 택하자. 이 상황에서는 다음 등식들이 성립한다.

1. \(1 = \pi a\)이고, 따라서 \(\text{d}(\pi) a = 0\)이다.

2. \(1 = b s\)이고, 따라서 \(b \text{d}(s) = 0\)이다.

3. \(1 = a \pi + s b\)이고, 따라서 \(a \text{d}(\pi) + \text{d}(s) b = 0\)이다.

4. \(\pi s = 0\)이고, 따라서 \(\text{d}(\pi)s + \pi \text{d}(s) = 0\)이다.

5. \(\text{d}(s) = (a \pi + s b)\text{d}(s)\) 및 \(b\text{d}(s) = 0\)이므로 \(\text{d}(s) = a \pi \text{d}(s)\)이다.

6. \(\text{d}(\pi) = \text{d}(\pi)(a \pi + s b)\) 및 \(\text{d}(\pi)a = 0\)이므로 \(\text{d}(\pi) = \text{d}(\pi) s b\)이다.

7. \(\text{d}(\pi \text{d}(s)) = 0\)이다. 실제로 이를 단사상 \(a\)와 뒤에서 합성하면 \(\text{d}(a\pi \text{d}(s)) = \text{d}(\text{d}(s)) = 0\)을 얻는다.

8. \(\text{d}(\text{d}(\pi)s) = 0\)이다. 실제로 (4)에 의해 이는 \(\text{d}(\pi\text{d}(s))\)의 음수이고, 후자는 (7)에 의해 \(0\)이다.

\(\text{d}(a) = 0\), \(\text{d}(b) = 0\), \(\text{d}(1) = 0\)을 반복해서 사용하였다. (7)에 의해 \[\delta = \pi \text{d}(s) = - \text{d}(\pi) s : z \to x[1]\] 가 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상임을 알 수 있다. (5)에 의해 합성 \(a \delta = a \pi \text{d}(s) = \text{d}(s)\)는 영과 호모토픽이다. (6)에 의해 합성 \(\delta b = - \text{d}(\pi)sb = \text{d}(-\pi)\)도 영과 호모토픽이다.

공리 (A)와 (B) 외에도 원뿔의 존재에 관한 공리가 필요하다. 모든 자료를 다음과 같이 형식화한다.

설정

여기서 \(R\)은 환이고 \(\mathcal{A}\)는 공리 (A), (B), 그리고 다음 공리를 만족하는 \(R\) 위의 미분 등급 범주이다.

1. \(\text{d}(f) = 0\)인 차수 \(0\)의 화살표 \(f : x \to y\)가 주어지면, Lemma 09P6의 사상 \(x[1] \to y[1]\)이 \(f[1]\)과 같아지도록 하는 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 허용 짧은 완전열 \(y \to c(f) \to x[1]\)이 존재한다.

\(c(f)\)를 사상 \(f\)의 원뿔이라 부르겠다. (A), (B), (C)가 성립하면 원뿔은 약한 의미에서 함자적이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 도식 \[\xymatrix{ x_1 \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & y_1 \ar[d]^b \\ x_2 \ar[r]^{f_2} & y_2 }\] 이 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)에서 호모토피까지 가환한다고 하자. 그러면 삼각형들의 사상

\[(a, b, c) : (x_1, y_1, c(f_1)) \to (x_1, y_1, c(f_1))\] 을 \(K(\mathcal{A})\)에서 주는 사상 \(c : c(f_1) \to c(f_2)\)가 존재한다.

증명

가정은 \(\text{d}(h) = b f_1 - f_2 a\)를 만족하는 차수 \(-1\)의 사상 \(h : x_1 \to y_2\)가 존재한다는 뜻이다. 사상 \(y_i \to c(f_i) \to x_i[1]\)과 양립하는 등급 대상들의 동형 \(c(f_i) = y_i \oplus x_i[1]\)을 택하자. 주어진 사상들을 \(a_i : y_i \to c(f_i)\), \(b_i : c(f_i) \to x_i[1]\), \(s_i : x_i[1] \to c(f_i)\), \(\pi_i : c(f_i) \to y_i\)로 나타내자. \(x_i[1] \to y_i[1]\)은 \(\pi_i \text{d}(s_i)\)로 주어진다. 공리 (C)에 의해 이는 \[f_i = \pi_i \text{d}(s_i) = - \text{d}(\pi_i) s_i\] 라는 뜻이다(시프트 함자 \([1]\)을 사용하여 \(\Hom(x_i, y_i)\)와 \(\Hom(x_i[1], y_i[1])\)을 동일시한다). \(c = a_2 b \pi_1 + s_2 a b_1 + a_2hb\)로 두자. Lemma 09P6의 증명에서 얻은 등식들을 사용하면 \[\begin{align*} \text{d}(c) & = a_2 b \text{d}(\pi_1) + \text{d}(s_2) a b_1 + a_2 \text{d}(h) b_1 \\ & = - a_2 b f_1 b_1 + a_2 f_2 a b_1 + a_2 (b f_1 - f_2 a) b_1 \\ & = 0 \end{align*}\] 을 얻는다(특히 \(\text{d}(\pi_1) = \text{d}(\pi_1) s_1 b_1 = f_1 b_1\) 및 \(\text{d}(s_2) = a_2 \pi_2 \text{d}(s_2) = a_2 f_2\)를 사용하였다). 따라서 \(c\)는 주어진 사상들 \(y_i \to c(f_i) \to x_i[1]\)과 양립하는 \(\mathcal{A}\)의 차수 \(0\) 사상 \(c : c(f_1) \to c(f_2)\)이다.

Situation 09QJ에서 \(K(\mathcal{A})\)의 삼각형 \((x, y, z, f, g, h)\)가 특수 삼각형이라는 것은, 허용 짧은 완전열 \(x' \to y' \to z'\)가 존재하여 \((x, y, z, f, g, h)\)가 \(K(\mathcal{A})\)의 삼각형으로서 Lemma 09P6에서 구성한 삼각형 \((x', y', z', x' \to y', y' \to z', \delta)\)와 동형임을 뜻한다. 아래에서 \[\boxed{ K(\mathcal{A})\text{ is a triangulated category} }\] 임을 보이겠다. 이 결과는 생각만큼 일반적이지는 않지만 Stacks project에서 지금까지 다룬 경우들의 여러 자연스러운 일반화에 적용된다. 몇 가지 예를 들자.

1. \((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고 \((A, d)\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 층이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(A\)-가군들의 미분 등급 범주라 하면 \(K(\mathcal{A})\)는 삼각범주이다.

2. \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고 \((A, d)\)를 미분 등급 \(\mathcal{O}\)-대수들의 층이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 미분 등급 \(A\)-가군들의 미분 등급 범주라 하면 \(K(\mathcal{A})\)는 삼각범주이다. Differential Graded Sheaves, Proposition 0FS7을 보라.

3. 성격이 다른 두 예는 Examples, Section 09R6에서 찾을 수 있다.

다음의 간단한 보조정리가 구성의 핵심이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상 \(x\)와 항등 사상 \(1_x : x \to x\)의 원뿔 \(C(1_x)\)가 주어지면, \(C(1_x)\) 위의 항등 사상은 영과 호모토픽이다.

증명

공리 (C)가 주는 허용 짧은 완전열을 생각하자. \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r]^a & C(1_x) \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^b & x[1]\ar@<0.5ex>[l]^s }\] 그러면 시프트 아래에서 Hom 집합들을 동일시할 때 Lemma 09P6에 의해 \(1_x=\pi d(s)=-d(\pi)s\)이다. 여기서 \(s\)는 \(\Hom_{\mathcal{A}}^{-1}(x,C(1_x))\)의 사상으로 본다. 따라서 Lemma 09P6의 공식 (5)를 사용하면 \(a=a\pi d(s)=d(s)\)이고, Lemma 09P6의 공식 (6)에 의해 \(b=-d(\pi)sb=-d(\pi)\)이다. 그러므로 \[1_{C(1_x)} = a\pi + sb = d(s)\pi - sd(\pi) = d(s\pi)\] 이다. 여기서 \(s\)의 차수는 \(-1\)이다.

위 보조정리의 더 일반적인 판은 Lemma 09QU에 나온다. 다음 보조정리는 Lemma 09JV의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 도식 \[\xymatrix{x\ar[r]^f\ar[d]_a & y\ar[d]^b\\ z\ar[r]^g & w}\] 이 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)에서 호모토피까지 가환한다고 하자. 그러면

1. \(f\)가 허용 단사상이면 \(b\)는 이 도식을 가환하게 만드는 사상 \(b'\)와 호모토픽이다.

2. \(g\)가 허용 전사상이면 \(a\)는 이 도식을 가환하게 만드는 사상 \(a'\)와 호모토픽이다.

증명

(1)을 증명하자. 가정에 의해 차수 \(-1\)인 어떤 \(h\in\Hom_{\mathcal{A}}(x,w)\)가 존재하여 \(bf-ga=d(h)\)이다. \(f\)가 허용 단사상이므로 범주 \(\mathcal{A}\)에 차수 \(0\)의 사상 \(\pi : y \to x\)가 존재한다. \(b' = b - d(h\pi)\)로 두자. 그러면 \[\begin{align*} b'f = bf - d(h\pi)f = & bf - d(h\pi f) \quad (\text{since }d(f) = 0) \\ = & bf-d(h) \\ = & ga \end{align*}\] 이므로 원하는 결론을 얻는다. (2)의 증명은 생략한다.

다음 보조정리는 Lemma 09JW의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(\alpha : x \to y\)를 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상이라 하자. 그러면 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)에 분해 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar@<0.5ex>[r]^{\pi} & y\ar@<0.5ex>[l]^s }\] 가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(\tilde{\alpha}\)는 허용 단사상이고 \(\pi\tilde{\alpha}=\alpha\)이다.

2. \(\pi s=1_y\)이고 \(s\pi\)가 \(1_{\tilde{y}}\)와 호모토픽인 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상 \(s:y\to\tilde{y}\)가 존재한다.

증명

공리 (A)에 의해 \(\tilde{y}\)를 \(y\)와 \(C(1_x)\)의 미분 등급 직합으로 택할 수 있다. 즉 도식 \[\xymatrix@C=3pc{ y \ar@<0.5ex>[r]^s & y\oplus C(1_x) \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^{p} & C(1_x)\ar@<0.5ex>[l]^t }\] 이 존재하며 모든 사상은 차수 영이고 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)에 속한다. \(\tilde{y} = y \oplus C(1_x)\)로 두자. 그러면 \(1_{\tilde{y}} = s\pi + tp\)이다. 이제 도식 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar@<0.5ex>[r]^{\pi} & y\ar@<0.5ex>[l]^s }\] 을 생각하자. 여기서 \(\tilde{\alpha}\)는 사상 \(x\xrightarrow{\alpha}y\)와 허용 짧은 완전열 \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r] & C(1_x) \ar@<0.5ex>[l] \ar@<0.5ex>[r] & x[1]\ar@<0.5ex>[l] }\] 에 들어가는 자연 사상 \(x\to C(1_x)\)가 유도한다. 따라서 이 도식의 차수 0 사상 \(C(1_x)\to x\)와 영사상 \(y\to x\)는 차수 0 사상 \(\beta : \tilde{y} \to x\)를 유도한다. \(\tilde{\alpha}\)는 허용 짧은 완전열 \[\xymatrix{ x\ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar[r] & x[1] }\] 에 들어가므로 허용 단사상이다. 또한 \(\tilde{\alpha}\)의 구성에 의해 \(\pi\tilde{\alpha} = \alpha\)이고, 첫째 도식에 의해 \(\pi s = 1_y\)이다. \(s\pi\)가 \(1_{\tilde{y}}\)와 호모토픽임을 보이는 일만 남았다.

어떤 차수 \(-1\) 사상에 대하여 \(1_x\)를 \(d(h)\)로 쓰자. 그러면 마지막 주장은 \[\begin{align*} 1_{\tilde{y}} - s\pi = & tp \\ = & t(dh)p\quad\text{(by Lemma \href{dga.html#dga-lemma-id-cone-null}{09QK})} \\ = & d(thp) \end{align*}\] 에서 따른다. 실제로 \(dt = dp = 0\)이고 \(t\)의 차수는 영이다.

다음 보조정리는 Lemma 09JX의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(x_1 \to x_2 \to \ldots \to x_n\)을 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 합성 가능한 사상들의 열이라 하자. 그러면 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)에 가환 도식 \[\xymatrix{x_1\ar[r] & x_2\ar[r] & \ldots\ar[r] & x_n\\ y_1\ar[r]\ar[u] & y_2\ar[r]\ar[u] & \ldots\ar[r] & y_n\ar[u]}\] 이 존재하여, 각 \(y_i\to y_{i+1}\)은 허용 단사상이고 각 \(y_i\to x_i\)는 호모토피 동치이다.

증명

\(n=1\)인 경우는 자명하다. 단순히 \(y_1 = x_1\)로 두면 \(x_1\)의 항등 사상은 특히 호모토피 동치이다. \(n = 2\)인 경우는 Lemma 09QM가 준다. \(x_{n - 1}\)까지 도식을 구성했다고 하자. 합성 \(y_{n - 1} \to x_{n-1} \to x_n\)에 Lemma 09QM를 적용하여 \(y_n\)을 얻는다. 그러면 \(y_{n - 1} \to y_n\)은 허용 단사상이고 \(y_n \to x_n\)은 호모토피 동치이다.

다음 보조정리는 Lemma 09JY의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(x_i \to y_i \to z_i\)를 \(\mathcal{A}\)의 사상들이라 하자(\(i=1,2,3\)). 이때 \(x_2 \to y_2\to z_2\)는 허용 짧은 완전열이라고 하자. \(b : y_1 \to y_2\)와 \(b' : y_2\to y_3\)를 다음 두 도식이 호모토피까지 가환하도록 하는 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상들이라 하자. \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \ar[d]_0 \ar[r] & y_1 \ar[r] \ar[d]_b & z_1 \ar[d]_0 \\ x_2 \ar[r] & y_2 \ar[r] & z_2 } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x_2 \ar[d]^0 \ar[r] & y_2 \ar[r] \ar[d]^{b'} & z_2 \ar[d]^0 \\ x_3 \ar[r] & y_3 \ar[r] & z_3 } }\] 그러면 \(b'\circ b\)는 \(0\)과 호모토픽이다.

증명

Lemma 09QL에 의해 \(b\)와 \(b'\)을 각각 호모토픽인 사상 \(\tilde{b}\)와 \(\tilde{b}'\)로 바꾸어, 왼쪽 도식의 오른쪽 사각형과 오른쪽 도식의 왼쪽 사각형이 가환하게 할 수 있다. \(\mathcal{A}\)의 차수 \(-1\) 사상 \(h\)와 \(h'\)에 대하여 \(b = \tilde{b} + d(h)\) 및 \(b'=\tilde{b}'+d(h')\)라고 쓰자. 그러면 \[b'b = \tilde{b}'\tilde{b} + d(\tilde{b}'h + h'\tilde{b} + h'd(h))\] 이다. 실제로 \(d(\tilde{b})=d(\tilde{b}')=0\)이다. 즉 \(b'b\)는 \(\tilde{b}'\tilde{b}\)와 호모토픽이다. 이제 \(\tilde{b}'\tilde{b}=0\)임을 보이자. \(x_2\xrightarrow{f} y_2\xrightarrow{g} z_2\) 가 허용 짧은 완전열이므로 \(\text{id}_{y_2} = f\pi + sg\)를 만족하는 차수 \(0\) 사상 \(\pi : y_2 \to x_2\)와 \(s : z_2 \to y_2\)가 존재한다. 따라서 \[\tilde{b}'\tilde{b} = \tilde{b}'(f\pi + sg)\tilde{b} = 0\] 이다. 두 가환 사각형으로부터 \(g\tilde{b} = 0\) 및 \(\tilde{b}'f = 0\)이 따르기 때문이다.

다음 보조정리는 Lemma 09K6의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(0 \to x \to y \to z \to 0\)을 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 허용 짧은 완전열이라 하자. Lemma 09P6에서 정의한 \(\delta : z \to x[1]\)를 갖는 삼각형 \[\xymatrix{x\ar[r] & y\ar[r] & z\ar[r]^{\delta} & x[1]}\] 은 \(K(\mathcal{A})\)에서 표준 동형까지 Lemma 09P6에서 한 선택들과 무관하다.

증명

\(\delta\)가 분할 \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r]^{a} & y \ar@<0.5ex>[r]^b\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} & z \ar@<0.5ex>[l]^s }\] 로 정의되고 \(\delta'\)가 \(\pi,s\) 대신 \(\pi',s'\)을 사용한 분할로 정의된다고 하자. 그러면 \[s'-s = (a\pi + sb)(s'-s) = a\pi s'\] 이다. 실제로 \(bs' = bs = 1_z\)이고 \(\pi s = 0\)이다. 마찬가지로 \[\pi' - \pi = (\pi' - \pi)(a\pi + sb) = \pi'sb\] 이다. Lemma 09P6에서 구성한 바와 같이 \(\delta = \pi d(s)\)이고 \(\delta' = \pi'd(s')\)이므로 다음과 같이 계산할 수 있다. \[\delta' = \pi'd(s') = (\pi + \pi'sb)d(s + a\pi s') = \delta + d(\pi s')\] 여기서 \(\pi a = 1_x\), \(ba = 0\), 그리고 Lemma 09P6의 공식 (5)에 의한 \(\pi'sbd(s') = \pi'sba\pi d(s') = 0\)을 사용하였다.

다음 보조정리는 Lemma 09KB의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(f: x \to y\)를 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상이라 하자. 삼각형 \((y, c(f), x[1], i, p, f[1])\)은 허용 짧은 완전열 \[\xymatrix{y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1]}\] 에 결부된 삼각형이며, 원뿔 \(c(f)\)는 Lemma 09P6에서와 같이 정의한다.

증명

이는 공리 (C)에서 따른다.

다음 보조정리는 Lemma 09KC의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(\alpha : x \to y\)와 \(\beta : y \to z\)가 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 허용 짧은 완전열 \[\xymatrix{ x \ar[r] & y\ar[r] & z }\] 을 정의한다고 하자. \((x, y, z, \alpha, \beta, \delta)\)를 \(K(\mathcal{A})\)에서 이에 결부된 삼각형이라 하자. 그러면 두 삼각형 \[(z[-1], x, y, \delta[-1], \alpha, \beta) \quad\text{and}\quad (z[-1], x, c(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\] 은 동형이다.

증명

다음 꼴의 도식이 있다. \[\xymatrix{ z[-1]\ar[r]^{\delta[-1]}\ar[d]^1 & x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha}\ar[d]^1 & y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta}\ar@{.>}[d]\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde{\alpha}} & z\ar[d]^1\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde\beta} \\ z[-1] \ar[r]^{\delta[-1]} & x\ar@<0.5ex>[r]^i & c(\delta[-1]) \ar@<0.5ex>[r]^p\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde i} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde p} }\] 여기서 \(\alpha, \beta, i\)와 \(p\)의 분할은 각각 \(\tilde{\alpha}, \tilde{\beta}, \tilde{i},\)와 \(\tilde{p}\)로 주어진다. \(y \to c(\delta[-1])\)를 \(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta\)로, \(c(\delta[-1]) \to y\)를 \(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p\)로 정의하자. 먼저 이것들이 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상을 정의함을 확인하자. Lemma 09P6의 등식들에 의해 관계식 \(\delta[-1] = \tilde{\alpha}d(\tilde{\beta}) = -d(\tilde{\alpha})\tilde{\beta}\) 및 \(\delta[-1] = \tilde{i}d(\tilde{p})\)가 성립한다. 그러면 \[\begin{align*} d(\tilde{\alpha}) & = d(\tilde{\alpha})\tilde{\beta}\beta \\ & = -\delta[-1]\beta \end{align*}\] 이다. 첫째 등식에는 Lemma 09P6의 식 (6)을, 둘째 등식에는 앞의 관찰을 사용하였다. 마찬가지로 \(d(\tilde{p}) = i\delta[-1]\)을 얻는다. 따라서 \[\begin{align*} d(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta) & = d(i)\tilde{\alpha} + id(\tilde{\alpha}) + d(\tilde{p})\beta + \tilde{p}d(\beta) \\ & = id(\tilde{\alpha}) + d(\tilde{p})\beta \\ & = -i\delta[-1]\beta + i\delta[-1]\beta \\ & = 0 \end{align*}\] 이므로 \(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta\)는 실제로 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상이다. 비슷한 계산에 의해 \(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p\)도 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상이다. 이 사상들이 가환 도식에 들어감은 자명하다. 다음을 계산한다. \[\begin{align*} (i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta)(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p) & = i\tilde{\alpha}\alpha\tilde{i} + i\tilde{\alpha}\tilde{\beta}p + \tilde{p}\beta\alpha\tilde{i} + \tilde{p}\beta\tilde{\beta}p \\ & = i\tilde{i} + \tilde{p}p \\ & = 1_{c(\delta[-1])} \end{align*}\] 여기서 Lemma 09P6의 등식들을 자유롭게 사용하였다. 마찬가지로 \((\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p)(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta) = 1_y\), 를 계산하므로 \(y \cong c(\delta[-1])\)이다. 따라서 문제의 두 삼각형은 동형이다.

다음 보조정리는 Lemma 09KE의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(f_1 : x_1 \to y_1\)과 \(f_2 : x_2 \to y_2\)를 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상들이라 하자.

\[(a,b,c): (x_1,y_1,c(f_1), f_1, i_1, p_1) \to (x_2,y_2, c(f_2), f_2, i_1, p_1)\] 를 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 임의의 사상이라 하자. \(a\)와 \(b\)가 호모토피 동치이면 \(c\)도 호모토피 동치이다.

증명

\(a\)와 \(b\)는 호모토피 동치이므로 \(K(\mathcal{A})\)에서 가역이다. \(a^{-1}\)와 \(b^{-1}\)를 \(K(\mathcal{A})\)에서의 역이라 하면 가환 도식 \[\xymatrix{ x_2\ar[d]^{a^{-1}}\ar[r]^{f_2} & y_2\ar[d]^{b^{-1}}\ar[r]^{i_2} & c(f_2)\ar[d]^{c'} \\ x_1\ar[r]^{f_1} & y_1 \ar[r]^{i_1} & c(f_1) }\] 을 얻는다. 여기서 사상 \(c'\)은 위 도식의 왼쪽 가환 사각형에 Lemma 09P7을 적용하여 정의한다. 도식은 \(K(\mathcal{A})\)에서 가환하므로 Lemma 09QP에 의해 다음을 보이면 충분하다. \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 사상 \((1,1,c): (x,y,c(f),f,i,p)\to (x,y,c(f),f,i,p)\) 가 주어지면 사상 \(c\)는 \(K(\mathcal{A})\)의 동형이다. \(K(\mathcal{A})\)에 가환 도식들이 있다. \[\vcenter{ \xymatrix{ y\ar[d]^{1}\ar[r] & c(f)\ar[d]^{c}\ar[r] & x[1]\ar[d]^{1} \\ y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1] } } \quad\Rightarrow\quad \vcenter{ \xymatrix{ y\ar[d]^{0}\ar[r] & c(f)\ar[d]^{c-1}\ar[r] & x[1]\ar[d]^{0} \\ y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1] } }\] 각 행은 허용 짧은 완전열이므로 Lemma 09QP에 의해 등식 \((c-1)^2 = 0\)을 얻는다. 이로부터 \(2-c\)가 \(K(\mathcal{A})\)에서 \(c\)의 역임을 알 수 있으므로 \(c\)는 동형이다.

다음 보조정리는 Lemma 09KF의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 다음이 성립한다.

1. 허용 짧은 완전열 \(x\xrightarrow{\alpha} y\xrightarrow{\beta} z\)가 주어졌다고 하자. 그러면 도식 [09QV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ x\ar[r]^{\alpha}\ar[d] & y\ar[r]^{b}\ar[d] & C(\alpha)\ar[r]^{-c}\ar@{.>}[d]^{e} & x[1]\ar[d] \\ x\ar[r]^{\alpha} & y\ar[r]^{\beta} & z\ar[r]^{\delta} & x[1] } } \end{equation}\] 이 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 동형을 정의하도록 하는 호모토피 동치 \(e:C(\alpha)\to z\)가 존재한다. 여기서 \(y\xrightarrow{b}C(\alpha)\xrightarrow{c}x[1]\)은 공리 (C)에서와 같이 주어진 허용 짧은 완전열이다.

2. \(\alpha : x \to y\)를 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상이라 하고, \(x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to y\)를 Lemma 09QM에서와 같이 주어진 분해라 하자. 여기서 허용 단사상

   \(x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} y\)는 허용 짧은 완전열 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar[r] & z }\] 로 연장된다. 그러면 삼각형들의 동형 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} \ar[d] & \tilde{y} \ar[r] \ar[d] & z \ar[r]^{\delta} \ar@{.>}[d]^{e} & x[1] \ar[d] \\ x \ar[r]^{\alpha} & y \ar[r] & C(\alpha) \ar[r]^{-c} & x[1] }\] 이 존재한다. 여기서 위쪽 삼각형은 열 \(x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to z\)에 결부된 삼각형이다.

증명

(1)에 대하여 \(c\)의 부호를 바꾸지 않은 다음의 더 완전한 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} \ar[d] & y\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^{b}\ar[d] & C(\alpha)\ar@<0.5ex>[l]^{p} \ar@<0.5ex>[r]^{c}\ar@{.>}@<0.5ex>[d]^{e} & x[1]\ar@<0.5ex>[l]^{\sigma} \ar[d]\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y[1]\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \\ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta} \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} & z\ar[r]^{\delta}\ar@<0.5ex>[l]^{s} \ar@{.>}@<0.5ex>[u]^{f} & x[1] }\] 여기서 허용 짧은 완전열 \(x\xrightarrow{\alpha} y\xrightarrow{\beta} z\)에는 분할 \(\pi\), \(s\)가 주어져 있고, 허용 짧은 완전열 \(y\xrightarrow{b}C(\alpha)\xrightarrow{c}x[1]\)에는 분할 \(p\), \(\sigma\)가 주어져 있다. 시프트 아래에서 Hom 집합들을 동일시하면 Lemma 09P6의 구성에 의해 \[\alpha = pd(\sigma) = -d(p)\sigma,\quad \delta = \pi d(s) = -d(\pi)s\] 임에 유의하라.

\(e=\beta p\) 및 \(f=bs-\sigma\delta\)로 정의한다. 먼저 이들이 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상임을 확인하자. \(d(e)=\beta d(p)\)가 영임을 보이려면 \(\beta d(p)b\)와 \(\beta d(p)\sigma\)가 모두 영임을 보이면 충분하다. 그런데 \[\beta d(p)b = \beta d(pb) = \beta d(1_y) = 0,\quad \beta d(p)\sigma = -\beta\alpha = 0\] 이다. 마찬가지로 \(d(f)=bd(s)-d(\sigma)\delta\)가 영임을 확인하려면 \(p\) 및 \(c\)와의 뒤쪽 합성이 모두 영임을 확인하면 충분하다. 그런데 \[\begin{align*} pbd(s) - pd(\sigma)\delta = & d(s)-\alpha\delta = d(s)-\alpha\pi d(s) = 0 \\ cbd(s)-cd(\sigma)\delta = & -cd(\sigma)\delta = -d(c\sigma)\delta = 0 \end{align*}\] 이다. 도식 09QV의 왼쪽 두 사각형의 가환성은 정의에서 곧바로 따른다. 오른쪽 사각형이 호모토피까지 가환함을 증명하기 전에 먼저 \(e\)가 호모토피 동치임을 확인하자. 명백히 \[ef=\beta p (bs-\sigma\delta)=\beta s=1_z\] 이다. \(fe\)가 \(1_{C(\alpha)}\)와 호모토픽임을 확인하기 위해 먼저 다음을 관찰한다.

\[b\alpha = bpd(\alpha) = d(\sigma),\quad \alpha c = -d(p)\sigma c = -d(p),\quad d(\pi)p = d(\pi)s\beta p = -\delta\beta p\] 이 등식들을 사용하면 \[\begin{align*} 1_{C(\alpha)} = & bp + \sigma c \quad (\text{from }y \xrightarrow{b} C(\alpha) \xrightarrow{c} x[1]) \\ = & b(\alpha\pi + s\beta)p + \sigma(\pi\alpha)c \quad (\text{from }x \xrightarrow{\alpha} y \xrightarrow{\beta} z) \\ = & d(\sigma)\pi p + bs\beta p - \sigma\pi d(p) \quad (\text{by the first two identities above}) \\ = & d(\sigma)\pi p + bs\beta p - \sigma\delta\beta p + \sigma\delta\beta p - \sigma\pi d(p) \\ = & (bs - \sigma\delta)\beta p + d(\sigma)\pi p - \sigma d(\pi)p - \sigma\pi d(p)\quad (\text{by the third identity above}) \\ = & fe + d(\sigma \pi p) \end{align*}\] 을 계산한다. 여기서 \(\sigma \in \Hom^{-1}(x, C(\alpha))\)이다 (Lemma 09QK의 증명을 비교하라). 따라서 \(e\)와 \(f\)는 서로 호모토피 역이다. 마지막으로 도식 09QV의 오른쪽 사각형이 호모토피까지 가환함을 확인하려면 \(-cf=\delta\)임을 확인하면 충분하다. 이는 \[-cf = -c(bs-\sigma\delta) = c\sigma\delta = \delta\] 에서 따른다. 실제로 \(cb=0\)이다.

(2)에 대하여 Lemma 09QM에서와 같이 주어진 분해 \(x\xrightarrow{\tilde{\alpha}}\tilde{y}\to y\)를 생각하자. 따라서 둘째 사상은 호모토피 동치이다. Lemmas 09P7 및 09QT에 의해 두 삼각형 \[x \xrightarrow{\alpha} y \to C(\alpha) \to x[1] \quad\text{and}\quad x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to C(\tilde{\alpha}) \to x[1]\] 사이에 동형이 존재한다. 삼각형들의 동형을 합성할 수 있으므로 \(\alpha\)를 \(\tilde{\alpha}\)로, \(y\)를 \(\tilde{y}\)로, \(C(\alpha)\)를 \(C(\tilde{\alpha})\)로 바꾸어 \(\alpha\)가 허용 단사상이라고 가정해도 된다. 이 경우 결과는 (1)에서 따른다.

다음 보조정리는 Lemma 09KH의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 호모토피 범주 \(K(\mathcal{A})\)는 그 자연 이동 함자들과 특수 삼각형들을 갖춘 전삼각범주이다.

증명

TR1, TR2, TR3을 각각 확인하겠다.

TR1의 증명. 정의에 의해 특수 삼각형과 동형인 모든 삼각형은 특수 삼각형이다. \[\xymatrix{x\ar[r]^{1_x} & x\ar[r] & 0}\] 가 허용 짧은 완전열이므로 \((x, x, 0, 1_x, 0, 0)\)은 특수 삼각형이다. 또한 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상 \(\alpha : x \to y\)가 주어지면 \((x, y, c(\alpha), \alpha, i, -p)\)가 주는 삼각형은 Lemma 09QU에 의해 특수 삼각형이다.

TR2의 증명. \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\)를 삼각형이라 하고 \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\)이 특수 삼각형이라고 하자. 그러면 허용 짧은 완전열 \(0 \to x' \to y' \to z' \to 0\)이 존재하여 이에 결부된 삼각형 \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')\)이 \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\)과 동형이다. 회전하면 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\)가 \((z'[-1],x',y', \gamma'[-1], \alpha',\beta')\)와 동형임을 알 수 있다. Lemma 09QS에 의해 \((z'[-1],x',y', \gamma'[-1], \alpha',\beta')\)는 \((z'[-1],x',c(\gamma'[-1]), \gamma'[-1], i, p)\)와 동형이다. 다음 도식에 나타낸 부호 변경과 함께 두 동형을 합성한다.

\[\xymatrix@C=3pc{ x\ar[r]^{\alpha}\ar[d] & y\ar[r]^{\beta}\ar[d] & z\ar[r]^{\gamma}\ar[d] & x[1]\ar[d] \\ z'[-1]\ar[r]^{-\gamma'[-1]}\ar[d]_{-1_{z'[-1]}} & x \ar[r]^{\alpha'}\ar@{=}[d] & y' \ar[r]^{\beta'} \ar[d] & z'\ar[d]^{-1_{z'}} \\ z'[-1]\ar[r]^{\gamma'[-1]} & x \ar[r]^{\alpha'} & c(\gamma'[-1]) \ar[r]^{-p} & z' }\] Lemma 09QU (2)에 의해 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\)가 특수 삼각형임을 얻는다. 역으로 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\)가 특수 삼각형이라고 하자. 그러면 Lemma 09QU (1)에 의해 이는 어떤 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상 \(\alpha': x' \to y'\)에 대하여 \((x',y', c(\alpha'), \alpha', i, -p)\) 꼴의 삼각형과 동형이다.

회전된 삼각형 \((y,z,x[1],\beta,\gamma, -\alpha[1])\)은 삼각형 \((y',c(\alpha'), x'[1], i, -p, -\alpha[1])\)과 동형이고, 이는 다시 \((y',c(\alpha'), x'[1], i, p, \alpha[1])\)과 동형이다. Lemma 09QR에 의해 이 삼각형은 특수 삼각형이므로 \((y,z,x[1], \beta,\gamma, -\alpha[1])\)도 특수 삼각형이다.

TR3의 증명. \((x,y,z, \alpha,\beta,\gamma)\)와 \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')\)가

\(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 특수 삼각형들이라고 하자. 또한 \(f: x \to x'\)와 \(g: y \to y'\)가 \(\alpha' \circ f = g \circ \alpha\)를 만족하는 사상들이라 하자. Lemma 09QU에 의해 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)= (x,y,c(\alpha),\alpha, i, -p)\) 및 \((x',y',z', \alpha',\beta',\gamma')= (x',y',c(\alpha'), \alpha',i',-p')\) 이라고 가정해도 된다. 이제 Lemma 09P7을 적용하면 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 Lemma 09KI의 유사물이다.

보조정리

Situation 09QJ에서 \(\mathcal{A}\)의 허용 단사상

\(x \xrightarrow{\alpha} y\), \(y \xrightarrow{\beta} z\)가 주어졌다고 하자. 그러면 TR4가 성립하는 특수 삼각형 \((x,y,q_1,\alpha,p_1,\delta_1)\), \((x,z,q_2,\beta\alpha,p_2,\delta_2)\) 및 \((y,z,q_3,\beta,p_3,\delta_3)\)가 존재한다.

증명

허용 단사상 \(x\xrightarrow{\alpha} y\)와 \(y\xrightarrow{\beta}z\)가 주어지면, 이들을 허용 짧은 완전열로 연장하여 다음 특수 삼각형들을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1} \ar@<0.5ex>[r]^{p_1} & q_1 \ar[r]^{\delta_1} \ar@<0.5ex>[l]^{s_1} & x[1] }\] \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\beta\alpha} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1\pi_3} \ar@<0.5ex>[r]^{p_2} & q_2 \ar[r]^{\delta_2} \ar@<0.5ex>[l]^{s_2} & x[1] }\]

\[\xymatrix{ y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_3} \ar@<0.5ex>[r]^{p_3} & q_3 \ar[r]^{\delta_3} \ar@<0.5ex>[l]^{s_3} & x[1] }\] 이 도식들에서 사상 \(\delta_i\)는 Lemma 09P6에서 정의한 사상들과 마찬가지로

\(\delta_i = \pi_i d(s_i)\)로 정의한다. 이들은 다음 실선 가환 도식에 들어간다. \[\xymatrix@C=5pc@R=3pc{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} \ar@<0.5ex>[dr]^{\beta\alpha} & y\ar@<0.5ex>[d]^{\beta} \ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1} \ar@<0.5ex>[r]^{p_1} & q_1 \ar[r]^{\delta_1} \ar@<0.5ex>[l]^{s_1} \ar@{.>}[dd]^{p_2\beta s_1} & x[1] \\ & z \ar@<0.5ex>[u]^{\pi_3}\ar@<0.5ex>[d]^{p_3} \ar@<0.5ex>[dr]^{p_2} \ar@<0.5ex>[ul]^{\pi_1\pi_3} & & \\ & q_3\ar@<0.5ex>[u]^{s_3} \ar[d]^{\delta_3} & q_2 \ar@{.>}[l]^{p_3s_2} \ar@<0.5ex>[ul]^{s_2} \ar[dr]^{\delta_2} \\ & y[1] & & x[1]}\] 여기서 점선 화살표들은 표시된 대로 정의하였다. 분명히 이들의 합성은 \(p_3s_2p_2\beta s_1 = 0\)이다.

실제로 \(s_2p_2 = 0\)이다. 두 점선 화살표가 모두 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 사상임을 주장한다. Lemma 09P6의 등식들을 사용하여 이를 확인할 수 있다. \[d(p_2\beta s_1) = p_2\beta d(s_1) = p_2\beta\alpha\pi_1 d(s_1) = 0\] 이는 \(p_2\beta\alpha = 0\)이기 때문이고, \[d(p_3s_2) = p_3d(s_2) = p_3\beta\alpha\pi_1\pi_3 d(s_2) = 0\] 이는 \(p_3\beta = 0\)이기 때문이다. \(q_1\to q_2\to q_3\)가 허용 짧은 완전열임을 확인하려면, 바탕 등급 범주에서 \(q_2 = q_1\oplus q_3\)이고 위의 두 사상이 각각 여사영과 사영임을 보이는 일만 남았다. 이를 위해 바탕 등급 범주 \(\mathcal{C}\)에서 \[y = x\oplus q_1,\quad z = y\oplus q_3 = x\oplus q_1\oplus q_3\] 가 성립함을 관찰하자. 여기서 \(\pi_1\pi_3\)는 첫째 인자로의 사영 사상

\(x\oplus q_1\oplus q_3\to z\)를 준다. \(\mathcal{A}\)에 대한 공리 (A)에 의해 \(\mathcal{C}\)는 가법 범주이므로 Homology, Lemma 09QG을 적용하여 \[\Ker(\pi_1\pi_3) = q_1\oplus q_3\] 를 \(\mathcal{C}\)에서 얻는다. \(z = x\oplus q_2\)에 Homology, Lemma 09QG을 다시 적용하면 \(\Ker(\pi_1\pi_3) = q_2\)를 얻는다. 따라서 \(\mathcal{C}\)에서 \(q_2\cong q_1\oplus q_3\)이다. 위에서 정의한 점선 사상들이 여사영과 사영을 준다는 것은 명백하다.

마지막으로 허용 짧은 완전열 \(q_1\to q_2\to q_3\)가 유도하는 사상 \(\delta : q_3 \to q_1[1]\)이 \(p_1\delta_3\)와 일치함을 확인해야 한다. Lemma 09P6의 구성에 의해 사상 \(\delta\)는 \[\begin{align*} p_1\pi_3s_2d(p_2s_3) = & p_1\pi_3s_2p_2d(s_3) \\ = & p_1\pi_3(1-\beta\alpha\pi_1\pi_3)d(s_3) \\ = & p_1\pi_3d(s_3)\quad (\text{since }\pi_3\beta = 0) \\ = & p_1\delta_3 \end{align*}\] 로 주어진다. 이것이 원하는 등식이므로 증명이 끝났다.

모든 결과를 종합하면 마침내 Proposition 09KJ의 유사물을 얻는다.

명제

Situation 09QJ에서 호모토피 범주 \(K(\mathcal{A})\)는 그 자연 이동 함자들과 특수 삼각형들을 갖춘 삼각범주이다.

증명

Lemma 09QW에 의해 \(K(\mathcal{A})\)는 전삼각범주이다. Lemmas 09QN 및 09QX를 Derived Categories, Lemma 014C와 결합하면 \(K(\mathcal{A})\)가 삼각범주라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 공리 (A), (B), (C)를 만족하는 \(R\) 위의 미분 등급 범주들 사이의 함자라 하고 \(F(x[1]) = F(x)[1]\)이라고 하자. 그러면 \(F\)는 삼각범주들의 완전 함자 \(K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B})\)를 유도한다.

증명

실제로 \(x \to y \to z\)가 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 허용 짧은 완전열이면 \(F(x) \to F(y) \to F(z)\)는 \(\text{Comp}(\mathcal{B})\)의 허용 짧은 완전열이다. 또한 Lemma 09P6에서 구성한 “경계” 사상 \(\delta = \pi\text{d}(s) : z \to x[1]\)은 사상 \(F(\delta) : F(z) \to F(x[1]) = F(x)[1]\)을 주며, 이는 허용 짧은 완전열 \(F(x) \to F(y) \to F(z)\)의 경계 사상 \(F(\pi) \text{d}(F(s))\)와 같다.

쌍가군

Section 09LL에서 시작한 논의를 계속한다.

정의

쌍가군을 정의한다. \(R\)을 환이라 하자.

1. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. \((A, B)\)-쌍가군이란 다음 \(R\)-쌍선형 사상들을 갖춘 \(R\)-가군 \(M\)로서

   \[A \times M \to M, (a, x) \mapsto ax \quad\text{및}\quad M \times B \to M, (x, b) \mapsto xb\] 다음을 만족하는 것을 말한다.

   1. \(a'(ax) = (a'a)x\) 및 \((xb)b' = x(bb')\),

   2. \(a(xb) = (ax)b\),

   3. \(1 x = x = x 1\).

2. \(A\)와 \(B\)를 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(R\)-대수라 하자. 등급 \((A, B)\)-쌍가군이란 등급 \(M = \bigoplus M^n\)을 가지며 \(A^n M^m \subset M^{n + m}\) 및 \(M^n B^m \subset M^{n + m}\)을 만족하는 \((A, B)\)-쌍가군 \(M\)을 말한다.

3. \(A\)와 \(B\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이란 차수 \(1\)인 동차 미분 \(\text{d} : M \to M\)을 갖추고, 동차 원소 \(a \in A\), \(x \in M\), \(b \in B\)에 대하여 \(\text{d}(ax) = \text{d}(a)x + (-1)^{\deg(a)}a\text{d}(x)\) 및 \(\text{d}(xb) = \text{d}(x)b + (-1)^{\deg(x)}x\text{d}(b)\)을 만족하는 등급 \((A, B)\)-쌍가군을 말한다.

미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군 \(M\)은 등급과 미분이 일치하고 \(A\)-가군 구조와 \(B\)-가군 구조가 서로 가환하는, 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군이기도 한 오른쪽 미분 등급 \(B\)-가군과 같은 것임을 주목하자. 정확한 명제는 다음과 같다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 오른쪽 미분 등급 \(B\)-가군이라 하자. 주어진 미분 등급 \(B\)-가군 구조와 양립하는 \(M\) 위의 \((A, B)\)-쌍가군 구조와 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형 \[A \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, M)\] 사이에는 일대일(\(1\) 대 \(1\)) 대응이 있다.

증명

\(\mu : A \times M \to M\)가 \(M\)의 바탕 \(R\)-가군 복합체 \(M^\bullet\) 위에 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조를 정의한다고 하자. Lemma 0FQ3에 의하면 구조 \(\mu\)는 미분 등급 \(R\)-대수의 사상 \(\gamma : A \to \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\)에 대응한다. 이 보조정리의 주장은 \(\mu\)가 \(B\)의 작용과 가환하는 것과 \(\gamma\)의 상이 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, M) \subset \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\] 에 포함되는 것이 동치라는 말이다. 자세한 계산은 생략한다.

\(M\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. Section 0FPZ에서 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조는 오른쪽 미분 등급 \(A^{opp}\)-가군 구조에 대응함을 상기하자. \(A\)-가군 구조와 \(B\)-가군 구조가 서로 가환하므로, 이는 \(M\)에 미분 등급 \(A^{opp} \otimes_R B\)-가군 구조를 준다. \[x \cdot (a \otimes b) = (-1)^{\deg(a)\deg(x)} axb\] 역으로 미분 등급 \(A^{opp} \otimes_R B\)-가군 \(M\)이 주어지면, 위 식을 사용하여 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군을 얻을 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. 위 구성은 다음 범주의 동치를 정의한다. \[\begin{matrix} \text{미분 등급}\\ (A, B)\text{-쌍가군} \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{오른쪽 미분 등급 }\\ A^{opp} \otimes_R B\text{-가군} \end{matrix}\]

증명

위의 논의에서 곧바로 따른다.

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(P\)를 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. \(P\)가 성질 (P)를 갖는다고 함은 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군들에 의한 필트레이션

\[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] 이 존재하여 다음을 만족하는 것을 말한다.

1. \(P = \bigcup F_pP\),

2. 포함사상 \(F_iP \to F_{i + 1}P\)는 등급 \((A, B)\)-쌍가군 사상으로서 분할되고,

3. 몫 \(F_{i + 1}P/F_iP\)는 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군으로서 \((A \otimes_R B)[k]\)들의 직합과 동형이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. \(P\)가 위에서 정의한 성질 (P)를 가지며, 유사동형인 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군 준동형 \(P \to M\)이 존재한다.

증명

Lemmas 0FQJ와 09KP에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(P\)를 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고, 대응하는 필트레이션을 \(F_\bullet\)이라 하자. 그러면 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군들의 짧은 완전열

\[0 \to \bigoplus\nolimits F_iP \to \bigoplus\nolimits F_iP \to P \to 0\] 을 얻으며, 이는 등급 \((A, B)\)-쌍가군들의 열로서 분할된다.

증명

Lemmas 0FQJ와 09KL에서 곧바로 따른다.

쌍가군과 텐서곱

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. \(M\)을 오른쪽 \(A\)-가군이라 하자. \(N\)을 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 \(M \otimes_A N\)은 오른쪽 \(B\)-가군이다.

앞 단락의 상황에서 \(A\)와 \(B\)가 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수이고, \(M\)이 등급 \(A\)-가군이며, \(N\)이 등급 \((A, B)\)-쌍가군이면, \(M \otimes_A N\)은 오른쪽 등급 \(B\)-가군이다. 이 구성은 \(M\)에 대하여 함자적이며 다음 함자를 정의한다. \[- \otimes_A N : \text{Mod}^{gr}_A \longrightarrow \text{Mod}^{gr}_B\] 이는 Example 09MN에서와 같은 등급 범주들의 함자이다. 실제로 \(M\)과 \(M'\)이 등급 \(A\)-가군이고 \(f : M \to M'\)가 차수 \(n\)인 동차 \(A\)-가군 준동형이면, \(f \otimes \text{id}_N : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N\)은 차수 \(n\)인 동차 \(B\)-가군 준동형이다.

앞 단락의 상황에서 \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)가 미분 등급 대수이고, \(M\)이 미분 등급 \(A\)-가군이며, \(N\)이 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이면, \(M \otimes_A N\)은 오른쪽 미분 등급 \(B\)-가군이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 \(M \mapsto M \otimes_A N\)은 다음 함자를 정의한다. \[- \otimes_A N : \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\] 이는 미분 등급 범주들의 함자이다. Lemma 09L8을 적용하면 이 함자는 다음 함자들을 유도한다. \[\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to \text{Mod}_{(B, \text{d})} \quad\text{및}\quad K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\]

증명

위에서 이 구성이 바탕 등급 범주들의 함자를 어떻게 정의하는지 보았다. 따라서 이 구성이 미분과 양립함을 보이면 충분하다. \(M\)과 \(M'\)을 미분 등급 \(A\)-가군이라 하고, \(f : M \to M'\)를 차수 \(n\)인 동차 \(A\)-가군 준동형이라 하자. 그러면 \[\text{d}(f) = \text{d}_{M'} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_M\] 이다. 한편, \[\text{d}(f \otimes \text{id}_N) = \text{d}_{M' \otimes_A N} \circ (f \otimes \text{id}_N) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_N) \circ \text{d}_{M \otimes_A N}\] 이다. 이를 \(x \in M\)과 \(y \in N\)이 동차인 원소 \(x \otimes y\)에 적용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \text{d}(f \otimes \text{id}_N)(x \otimes y) = & \text{d}_{M'}(f(x)) \otimes y + (-1)^{n + \deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_N(y) \\ & - (-1)^n f(\text{d}_M(x)) \otimes y - (-1)^{n + \deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_N(y) \\ = & \text{d}(f) (x \otimes y) \end{align*}\]

따라서 \(\text{d}(f) \otimes \text{id}_N = \text{d}(f \otimes \text{id}_N)\)임을 알 수 있고, 증명이 끝난다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고, \(M\)을 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 동형 \[(M \otimes_A N)[k] \longrightarrow M[k] \otimes_A N\] 이 있으며, 이는 부호를 도입하지 않고 정의되는 오른쪽 미분 등급 \(B\)-가군의 동형이다. More on Algebra, Section 0FNG을 보라.

환 \(R\), \(R\)-대수 \(A\), \(B\), \(C\), 오른쪽 \(A\)-가군 \(M\), \((A, B)\)-쌍가군 \(N\), 그리고 \((B, C)\)-쌍가군 \(N'\)이 주어지면, \(N \otimes_B N'\)은 \((A, C)\)-쌍가군이고 다음이 성립한다. \[(M \otimes_A N) \otimes_B N' = M \otimes_A (N \otimes_B N')\] 이 등식은 등급의 경우와 미분 등급의 경우에도 계속 성립한다.

부호 규칙은 More on Algebra, Section 0FNG을 보라.

쌍가군과 내부 Hom

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)가 \(R\)-대수이고(Section 09JF의 관례를 보라) \(M\), \(M'\)이 오른쪽 \(A\)-가군이면, 통상적으로 다음과 같이 정의한다. \[\Hom_A(M, M') = \{f : M \to M' \mid f \text{는 }A\text{-선형이다}\}\]

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고 \(N'\)을 오른쪽 \(B\)-가군이라 하자.

이 상황에서 전합성을 이용하여 \[\Hom_B(N, N')\] 을 오른쪽 \(A\)-가군으로 생각한다.

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고, \(N'\)을 오른쪽 등급 \(B\)-가군이라 하자. 이 상황에서 Example 09MN에 정의된 등급 \(R\)-가군 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N')\] 을 전합성을 이용하여 오른쪽 등급 \(A\)-가군으로 생각한다. 이 구성은 \(N'\)에 대하여 함자적이며 다음 함자를 정의한다. \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, -) : \text{Mod}^{gr}_B \longrightarrow \text{Mod}^{gr}_A\] 이는 Example 09MN에서와 같은 등급 범주들의 함자이다. 실제로 \(N_1\)과 \(N_2\)가 등급 \(B\)-가군이고 \(f : N_1 \to N_2\)가 차수 \(n\)인 동차 \(B\)-가군 준동형이면, 유도된 사상 \(\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N_1) \to \Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N_2)\) 은 차수 \(n\)인 동차 \(A\)-가군 준동형이다.

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 미분 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고, \(N'\)을 오른쪽 미분 등급 \(B\)-가군이라 하자. 이 상황에서 Example 09LC에 정의된 미분 등급 \(R\)-가군 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N')\] 을 등급의 경우와 같이 전합성을 이용하여 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군으로 생각한다. 곱셈은 다음 합성이므로 이는 미분과 양립한다.

\[\begin{aligned} & \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \otimes_R A \to \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \otimes_R \\ & \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N) \to \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \end{aligned}\] 첫 번째 화살표는 Lemma 0FQI의 사상을 사용하고, 두 번째 화살표는 미분 등급 범주 \(\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\)에서의 합성이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 위 구성은 다음 함자를 정의한다. \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\] 이는 미분 등급 범주들의 함자이다. Lemma 09L8을 적용하면 이 함자는 다음 함자들을 유도한다. \[\text{Mod}_{(B, \text{d})} \to \text{Mod}_{(A, \text{d})} \quad\text{및}\quad K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\]

증명

위에서 이 구성이 바탕 등급 범주들의 함자를 어떻게 정의하는지 보았다. 따라서 이 구성이 미분과 양립함을 보이면 충분하다. \(N_1\)과 \(N_2\)를 미분 등급 \(B\)-가군이라 하자. 다음과 같이 쓰자. \[\begin{aligned} & H_{12} = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N_1, N_2),\quad H_1 = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N_1),\quad \\ & H_2 = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N_2) \end{aligned}\] 미분 등급 범주 \(\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\)에서의 합성 \[c : H_{12} \otimes_R H_1 \longrightarrow H_2\] 을 생각하자. \(f : N_1 \to N_2\)를 차수 \(n\)인 동차 \(B\)-가군 준동형이라 하자. 다시 말해 \(f \in H_{12}^n\)이다. 보조정리의 함자는 \(f\)를 \(c_f : H_1 \to H_2\), \(g \mapsto c(f, g)\)로 보낸다. \(\text{d}(f)\)에 대해서도 마찬가지이다. 한편, \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(H_1, H_2)\] 위의 미분은 \(c_f\)를 \(\text{d}_{H_2} \circ c_f - (-1)^n c_f \circ \text{d}_{H_1}\)로 보낸다. \(c\)는 \(R\)-가군 복합체의 사상이므로 \(\text{d} c(f, g) = c(\text{d}f, g) + (-1)^n c(f, \text{d}g)\)이다. 따라서 \[\begin{align*} (\text{d}c_f)(g) & = \text{d}c(f,g) - (-1)^n c(f, \text{d}g) \\ & = c(\text{d}f, g) + (-1)^n c(f, \text{d}g) - (-1)^n c(f, \text{d}g) \\ & = c(\text{d}f, g) = c_{\text{d}f}(g) \end{align*}\] 이고, 증명이 끝난다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고, \(N'\)을 오른쪽 미분 등급 \(B\)-가군이라 하자. 그러면 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 동형 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N')[k] \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N'[k])\] 이 있으며, 이는 부호를 도입하지 않고 정의되는 오른쪽 미분 등급 \(A\)-가군의 동형이다. More on Algebra, Section 0FNG을 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. \(M\)을 오른쪽 \(A\)-가군, \(N\)을 \((A, B)\)-쌍가군, \(N'\)을 오른쪽 \(B\)-가군이라 하자. 그러면 표준 동형 \[\Hom_B(M \otimes_A N, N') = \Hom_A(M, \Hom_B(N, N'))\] 인 \(R\)-가군의 동형이 있다. \(A\), \(B\), \(M\), \(N\), \(N'\)이 서로 양립하게 등급지어졌다면 표준 동형 \[\Hom_{\text{Mod}_B^{gr}}(M \otimes_A N, N') = \Hom_{\text{Mod}_A^{gr}}(M, \Hom_{\text{Mod}_B^{gr}}(N, N'))\] 인 등급 \(R\)-가군의 동형이 있다.

\(A\), \(B\), \(M\), \(N\), \(N'\)이 서로 양립하게 미분 등급지어졌다면 표준 동형 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M \otimes_A N, N') = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(M, \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N'))\] 인 \(R\)-가군 복합체의 동형이 있다.

증명

생략한다. 힌트: 등급 없는 경우에는 양변을 오른쪽에서 \(B\)-선형인 \(A\)-쌍선형 사상 \(\psi : M \times N \to N'\)로 해석하라.

(미분) 등급의 경우에는 More on Algebra, Lemma 0A5Y의 동형을 사용하고, 그것이 가군 구조와 양립함을 확인하라. 또는 Lemma 0FQ4의 동형을 사용하여 그것이 \(B\)-가군 구조와 양립함을 보여라.

유도 Hom

이 절은 More on Algebra, Section 0A5W과 유사하다.

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. Section 0FQP의 함자 [09LG]\[\begin{equation} \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : \text{Mod}_{(B, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}_{(A, \text{d})} \end{equation}\] 를 생각하자.

보조정리

함자 (09LG)은 삼각범주들의 완전 함자 \(K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 를 정의한다.

증명

Lemma 0FQQ과 Remark 0FQR을 통하여, 이는 Lemma 0FQF의 일반 원리에서 따른다.

Lemma 09LH에 의하면 삼각범주들의 완전 함자 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] 가 있음을 상기하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \ar[d] \ar[rr]_{\text{위 참조}} \ar[rrd]_F & & K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \ar[d] \\ D(B, \text{d}) \ar@{..>}[rr] & & D(A, \text{d}) }\] 합성 \(F\)의 오른쪽 유도함자로서 점선 화살표를 구성하고자 한다. (주의: 흥미로운 대부분의 경우 이 도식은 가환하지 않는다.) 즉 Derived Categories, Section 05S7의 일반적 설정에서, \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 안의 유사동형들로 이루어진 곱셈적 계에 관하여 \(F\)의 오른쪽 유도함자를 계산하고자 한다.

보조정리

위 상황에서 \(F\)의 오른쪽 유도함자가 존재한다. 이를 \(R\Hom(N, -) : D(B, \text{d}) \to D(A, \text{d})\)로 나타낸다.

증명

이를 증명하기 위해 Derived Categories, Lemma 06XN를 사용한다. 객체들의 모음 \(\mathcal{I}\)로 성질 (I)를 갖는 객체들을 사용한다. 성질 (1)은 Lemma 09KU에서 보였다. 성질 (2)도 성립한다. 실제로 \(s : I \to I'\)가 성질 (I)를 갖는 가군들의 유사동형이면, Lemma 09KY에 의해 \(s\)는 호모토피 동치이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(f : N \to N'\)를 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군의 준동형이라 하자. 그러면 \(f\)는 함자들의 사상 \[- \circ f : R\Hom(N', -) \longrightarrow R\Hom(N, -)\] 을 유도한다. \(f\)가 유사동형이면 \(f \circ -\)는 함자들의 동형이다.

증명

미분 등급 \(B\)-가군들의 미분 등급 범주를 \(\mathcal{B} = \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\)로 쓰자. Example 09LC를 보라.

\(I\)를 성질 (I)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군이라 하자. 그러면 \(f \circ - : \Hom_\mathcal{B}(N', I) \to \Hom_\mathcal{B}(N, I)\)는 미분 등급 \(A\)-가군의 사상이다. 더욱이 이는 \(I\)에 대하여 함자적이다. 함자 \(R\Hom(N', -)\)와 \(R\Hom(N, -)\)는 성질 (I)를 갖는 객체에 \(\Hom_\mathcal{B}\)를 적용하여 계산되므로(Lemma 09LI), 표시한 함자 변환을 얻는다.

\(f\)가 유사동형이라고 가정하자. \(F_\bullet\)을 \(I\) 위의 주어진 필트레이션이라 하자. \(I = \lim I/F_pI\)이므로 \(\Hom_\mathcal{B}(N', I) = \lim \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\) 및 \(\Hom_\mathcal{B}(N, I) = \lim \Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\)임을 알 수 있다. 계 \(I/F_pI\)의 전이 사상들은 등급 가군으로서 분할되므로, 계 \(\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\)와 \(\Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\)의 전이 사상들은 전사이다. 따라서 \(\Hom_\mathcal{B}(N', I)\) 및 각각 \(\Hom_\mathcal{B}(N, I)\)를 아벨군의 복합체로 보면 복합체 계 \(\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\) 및 각각 \(\Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\)의 \(R\lim\)을 계산한다. More on Algebra, Lemma 07KW를 보라. 그러므로 각 사상 \[\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI) \to \Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\] 이 유사동형임을 보이면 충분하다. 전사 \(I/F_{p + 1}I \to I/F_pI\)는 등급 \(B\)-가군의 사상으로서 분할되므로 \[0 \to \Hom_\mathcal{B}(N', F_pI/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI) \to 0\] 은 미분 등급 \(A\)-가군들의 짧은 완전열이다. \(N\)에 대해서도 유사한 열이 있고, \(f\)는 짧은 완전열들의 사상을 유도한다. 따라서 \(p\)에 대한 귀납법을 사용하면(\(I/F_0I = 0\)인 \(p = 0\)에서 시작한다), 사상 \(\Hom_\mathcal{B}(N', F_pI/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N, F_pI/F_{p + 1}I)\) 이 유사동형임을 보이면 충분하다는 결론을 얻는다. \(F_pI/F_{p + 1}I\)는 \(A^\vee\)의 이동들의 곱이므로

\(\Hom_\mathcal{B}(N', B^\vee[k]) \to \Hom_\mathcal{B}(N, B^\vee[k])\) 이 유사동형임을 보이면 충분하다. Lemma 09K4에 의하면 \((N')^\vee \to N^\vee\)가 유사동형임을 보이면 충분하다. 이는 \(f\)가 유사동형이고 \((\ )^\vee\)가 완전 함자이므로 참이다.

보조정리

\((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 환 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대하여 동형 \[H^n(R\Hom(N, M)) = \Ext^n_{D(B, \text{d})}(N, M)\] 인 \(R\)-가군의 동형이 있으며, 이는 \(M\)에 대하여 함자적이다. 또한 Lemma 0BYV에 기술된 연산에 관하여 \(N\)에 대해서도 함자적이다.

증명

Lemma 09LI의 증명에서 \[R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\] 임을 미분 등급 \(A\)-가군으로서 보았다. 여기서 \(M \to I\)는 \(M\)에서 성질 (I)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군으로 가는 유사동형이다. 따라서 Lemma 09KY에 의해 이 복합체는 올바른 코호몰로지 가군들을 갖는다. 이러한 동일시의 함자적 성질에 대한 논의는 생략한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 모든 \(N' \in K(B, \text{d})\)에 대하여 \(\Hom_{D(B, \text{d})}(N, N') = \Hom_{K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})}(N, N')\) 이면, 예를 들어 \(N\)이 미분 등급 \(B\)-가군으로서 성질 (P)를 가지면,

\[R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, M)\] 가 \(D(B, \text{d})\) 안의 \(M\)에 대하여 함자적으로 성립한다.

증명

구성에 따라(Lemma 09LI), \(R\Hom(N, M)\)을 구하기 위해 성질 (I)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군 \(I\)로 가는 유사동형 \(M \to I\)를 택하고 \(R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\)로 둔다. 가정에 의하면 \(M \to I\)가 유도하는 사상 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, M) \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\] 은 유사동형이다. Example 09LC의 논의를 보라. 이로써 보조정리가 증명된다. \(N\)이 \(B\)-가군으로서 성질 (P)를 가지면, Lemma 09KY에 의해 가정이 만족됨을 알 수 있다.

유도 Hom의 변형

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 복합체들로 이루어진 미분 등급 범주 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})\)를 생각하자. Example 09L9를 보라. \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 복합체라 하자. 다음과 같이 두자. \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, K^\bullet)\] 그리고 Lemma 09LE의 미분 등급 범주들의 함자 \[\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})}, \quad X^\bullet \longmapsto \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, X^\bullet)\] 를 생각하자.

보조정리

위의 상황을 가정하자. \(\Hom(K^\bullet, -) : K(\mathcal{A}) \to D(\textit{Ab})\)의 오른쪽 유도함자 \(R\Hom(K^\bullet, -)\)가 \(D(\mathcal{A})\) 전체에서 정의되면, 삼각범주들의 표준 완전 함자

\[R\Hom(K^\bullet, -) : D(\mathcal{A}) \longrightarrow D(E, \text{d})\] 를 얻으며, 연관된 아벨군 복합체를 취하면 통상적인 함자로 환원된다.

증명

Lemma 09LE에 의해 연관된 함자 \(K(\mathcal{A}) \to K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})\)가 있음에 주목하자. 이 함자가 삼각범주들의 완전 함자임을 주장한다. 실제로 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 사상이라 하자. 그러면 계산으로 다음을 알 수 있다. \[\begin{aligned} & \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, C(f)^\bullet) \\ &= C\left( \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, A^\bullet) \to \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, B^\bullet) \right) \end{aligned}\] 여기서 우변은 이 장의 앞부분에서 정의한 \(\text{Mod}_{(E, \text{d})}\)의 원뿔이다. 이는 우리의 함자가 원뿔과 양립하고, 따라서 특수 삼각형과 양립함을 보인다. \(X^\bullet\)을 \(K(\mathcal{A})\)의 객체라 하자. 유사동형 \(s : X^\bullet \to Y^\bullet\)들의 범주를 생각하자. 함자 \((s : X^\bullet \to Y^\bullet) \mapsto \Hom_\mathcal{A}(K^\bullet, Y^\bullet)\) 가 \(D(\textit{Ab})\)에서 보았을 때 본질적으로 상수임이 주어져 있다.

그런데 망각 함자 \(D(E, \text{d}) \to D(\textit{Ab})\)는 코호몰로지를 취하는 것과 양립하므로, \(D(E, \text{d})\)에서도 마찬가지이다. 이로써 보조정리가 증명된다.

주의: 이 보조정리는 서술된 그대로 성립하며 그 형태로 유용할 수 있지만, 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, K^\bullet)\) 가 성립하지 않는 한 미분 대수 \(E\)는 “올바른” 것이 아니다.

유도 텐서곱

이 절은 More on Algebra, Section 06Y5와 유사하다.

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 \(R\) 위의 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. Section 0FQM에서 정의한 함자 [09LQ]\[\begin{equation} \text{Mod}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}_{(B, \text{d})},\quad M \longmapsto M \otimes_A N \end{equation}\] 를 생각하자.

보조정리

함자 (09LQ)은 삼각범주들의 완전 함자 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\). 를 정의한다.

증명

Lemma 09LM와 Remark 0FQN을 통하여, 이는 Lemma 0FQF의 일반 원리에서 따른다.

이제 다음 도식을 생각할 수 있다. \[\xymatrix{ K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \ar[d] \ar[rr]_{- \otimes_A N} \ar[rrd]_F & & K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \ar[d] \\ D(A, \text{d}) \ar@{..>}[rr] & & D(B, \text{d}) }\] 아래에서 구성할 점선 화살표는 합성 \(F\)의 왼쪽 유도함자가 된다. (주의: 이 도식은 가환하지 않는다.) 즉 Derived Categories, Section 05S7의 일반적 설정에서, \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 안의 유사동형들로 이루어진 곱셈적 계에 관하여 \(F\)의 왼쪽 유도함자를 계산하고자 한다.

보조정리

위 상황에서 \(F\)의 왼쪽 유도함자가 존재한다. 이를 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\). 로 나타낸다.

증명

이를 증명하기 위해 Derived Categories, Lemma 06XN를 사용한다. 객체들의 모음 \(\mathcal{P}\)로 성질 (P)를 갖는 객체들을 사용한다. 성질 (1)은 Lemma 09KP에서 보였다. 성질 (2)도 성립한다. 실제로 \(s : P \to P'\)가 성질 (P)를 갖는 가군들의 유사동형이면, Lemma 09KY에 의해 \(s\)는 호모토피 동치이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(f : N \to N'\)를 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군의 준동형이라 하자. 그러면 \(f\)는 함자들의 사상 \[1\otimes f : - \otimes_A^\mathbf{L} N \longrightarrow - \otimes_A^\mathbf{L} N'\] 을 유도한다. \(f\)가 유사동형이면 \(1 \otimes f\)는 함자들의 동형이다.

증명

\(M\)을 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \(1 \otimes f : M \otimes_A N \to M \otimes_A N'\)는 미분 등급 \(B\)-가군의 사상이다. 더욱이 이는 \(M\)에 대하여 함자적이다. 함자 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N\)과 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N'\)는 성질 (P)를 갖는 객체에서 텐서곱을 취하여 계산되므로(Lemma 09LS), 표시한 함자 변환을 얻는다.

\(f\)가 유사동형이라고 가정하자. \(F_\bullet\)을 \(M\) 위의 주어진 필트레이션이라 하자. 다음을 주목하자. \(M \otimes_A N = \colim F_i(M) \otimes_A N\) 및 \(M \otimes_A N' = \colim F_i(M) \otimes_A N'\). 따라서 \(F_n(M) \otimes_A N \to F_n(M) \otimes_A N'\) 이 유사동형임을 보이면 충분하다(필터 여극한은 완전하다. Algebra, Lemma 00DB를 보라). 포함사상 \(F_n(M) \to F_{n + 1}(M)\)은 등급 \(A\)-가군의 사상으로서 분할되므로 \[0 \to F_n(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N \to 0\] 은 미분 등급 \(B\)-가군들의 짧은 완전열이다. \(N'\)에 대해서도 유사한 열이 있고, \(f\)는 짧은 완전열들의 사상을 유도한다. 따라서 \(n\)에 대한 귀납법을 사용하면(\(F_{-1}(M) = 0\)인 \(n = -1\)에서 시작한다), 사상 \(F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N'\) 이 유사동형임을 보이면 충분하다는 결론을 얻는다. \(F_{n + 1}(M)/F_n(M)\)는 \(A\)의 이동들의 직합이고 \(f : N \to N'\)가 유사동형이므로 \(A[k]\)에 대해서는 그 결과가 참이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군으로서 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 모든 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\)은 \(M \otimes_A N\)으로 계산된다.

증명

\(f : M \to M'\)를 유사동형인 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. \(f \otimes \text{id} : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N\)이 유사동형임을 주장한다. 이것이 참이면 Lemma 09LS의 증명에서 유도 텐서곱을 구성한 방식에 의해 원하는 결과를 얻는다. 사상 \(f \otimes \text{id}\)의 구성은 \(N\) 위의 왼쪽 미분 등급 \(A\)-가군 구조에만 의존한다. 더욱이 \(N\)이 미분 등급 \(A^{opp}\)-가군으로서 성질 (P)를 가지므로 \(M \otimes_A N = N \otimes_{A^{opp}} M = N \otimes_{A^{opp}}^\mathbf{L} M\)이다. 따라서 주장은 Lemma 09S3에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 Lemma 09LS의 함자 \[- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] 는 Lemma 09LI의 함자 \[R\Hom(N, -) : D(B, \text{d}) \longrightarrow D(A, \text{d})\] 의 왼쪽 수반이다.

증명

이는 Derived Categories, Lemma 0FND와, Lemma 09LN에 의해 \(- \otimes_A N\)과 \(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -)\)가 수반이라는 사실에서 따른다.

예

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d}) \to (B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형이라 하자. 그러면 \(B\)를 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군으로 볼 수 있고, 다음 함자를 얻는다.

\[- \otimes_A B : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] Lemma 09LT에 의해 이것의 왼쪽 수반은 함자 \(R\Hom(B, -)\)이다.

미분 등급 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여, \(A \to B\)를 통한 제한으로 얻는 미분 등급 \(A\)-가군을 \(N_A\)로 나타내자.

그러면 분명히 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여 함자적인 표준 동형 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(B, N) \longrightarrow N_A,\quad f \longmapsto f(1)\] 이 있다. 따라서 \(R\Hom(B, -)\)가 제한 함자임을 알 수 있고, \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N_A) = \Hom_{D(B, \text{d})}(M \otimes^\mathbf{L}_A B, N)\] 을 가환환의 경우와 꼭 마찬가지로 \(M\)과 \(N\)에 대하여 이중함자적으로 얻는다. 마지막으로 \({}_BB_A\)가 \(B\)를 미분 등급 \((B, A)\)-쌍가군으로 본 것일 때 \(N_A = N \otimes_B {}_BB_A = N \otimes_B^\mathbf{L} {}_BB_A\)이므로, 제한 역시 텐서 함자임을 주목하자.

보조정리

Lemma 09LT의 표기와 가정을 사용하고 다음을 가정하자.

1. \(N\)은 \(D(B, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 정의하고,

2. 사상 \(H^k(A) \to \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\)는 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 동형이다.

그러면 함자 \(-\otimes_A^\mathbf{L} N\)은 충실충만하다.

증명

Lemma 09LT에 의해 우리의 함자는 \(R\Hom(N, -)\)로 주어지는 왼쪽 수반을 갖는다.

Categories, Lemma 07RB에 의해, 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 사상 \[M \longrightarrow R\Hom(N, M \otimes_A^\mathbf{L} N)\] 이 \(D(A, \text{d})\)에서 동형임을 보이면 충분하다. 이를 위해 \[H^n(M) \longrightarrow \text{Ext}^n_{D(B, \text{d})}(N, M \otimes_A^\mathbf{L} N)\] 이 동형임을 보이면 충분하다. Lemma 0CS5를 보라. \(N\)은 콤팩트 객체이므로 우변은 직합과 가환한다. 따라서 Remark 0FQE에 의해 \(M = A[k]\)일 때 이 사상이 동형임을 증명하면 충분하다. Remark 0FQN에 의해 \((A[k] \otimes_A^\mathbf{L} N) = N[k]\)이므로, \(N\)에 대한 가정 (2)는 바로 이들에 대해 결과가 성립한다는 것이다.

보조정리

\(R \to R'\)을 환 사상이라 하자. \((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하고, \((A', \text{d})\)를 기저변환, 즉 \(A' = A \otimes_R R'\)이라 하자. \(A\)가 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄이면 다음이 성립한다.

1. \(- \otimes_A^\mathbf{L} A' : D(A, \text{d}) \to D(A', \text{d})\) 은 다음 함자의 오른쪽 유도함자와 같다.

   \[K(A, \text{d}) \longrightarrow K(A', \text{d}),\quad M \longmapsto M \otimes_R R'\]

2. 도식 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[r]_{- \otimes_A^\mathbf{L} A'} \ar[d]_{restriction} & D(A', \text{d}) \ar[d]^{restriction} \\ D(R) \ar[r]^{- \otimes_R^\mathbf{L} R'} & D(R') }\] 은 가환하고,

3. \(M\)이 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄이면, 미분 등급 \(A'\)-가군 \(M \otimes_R R'\)은 \(M \otimes_A^\mathbf{L} A'\)을 나타낸다.

증명

임의의 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 표준 사상 \[c_M : M \otimes_R R' \longrightarrow M \otimes_A A'\] 이 있다. \(P\)를 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(c_P\)가 동형이고 \(P\)가 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄임을 주장한다. Lemma 09LS의 유도 텐서곱 정의와 More on Algebra, Section 06XY를 사용하는 형식적 논증으로부터, 이는 보조정리에 서술된 모든 결과를 증명한다.

\(F_\bullet\)을 \(P\) 위의 필트레이션으로서, \(P\)가 성질 (P)를 가짐을 보이는 것이라 하자. 가정에 의해 \(c_A\)는 동형이고 \(A\)는 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄이다. 따라서 \(A\)의 이동들의 직합에 대해서도 마찬가지이다(원한다면 직합을 다루기 위해 More on Algebra, Lemma 06Y3을 사용할 수 있다). 그러므로 복합체 \(F_{p + 1}P/F_pP\)에 대해서도 성립한다. 짧은 완전열 \[0 \to F_pP \to F_{p + 1}P \to F_{p + 1}P/F_pP \to 0\] 은 등급 가군의 열로서 분할 완전하므로, 귀납법으로 모든 \(p\)에 대하여 \(c_{F_pP}\)가 동형이고 \(F_pP\)가 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄임을 보일 수 있다(More on Algebra, Lemma 06Y2을 사용하라). 마지막으로 \(P = \colim F_pP\)임을 사용하면, \(c_P\)가 동형이고 \(P\)가 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄이라는 결론을 얻는다(More on Algebra, Lemma 06Y3을 사용하라).

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(T\)를 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(T\)는 \(D(B, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 정의하고,

2. \(S = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(T, B)\) 는 \(D(A, \text{d})\)에서 \(R\Hom(T, B)\)를 나타낸다.

그러면 \(S\)는 미분 등급 \((B, A)\)-쌍가군 구조를 가지며, 동형 \[N \otimes_B^\mathbf{L} S \longrightarrow R\Hom(T, N)\] 이 있고 이는 \(D(B, \text{d})\) 안의 \(N\)에 대하여 함자적이다.

증명

다음과 같이 쓰자: \(\mathcal{B} = \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\). \(S\) 위의 오른쪽 \(A\)-가군 구조는 사상 \(A \to \Hom_\mathcal{B}(T, T)\)과 Example 09LC에서 정의한 합성 \(\Hom_\mathcal{B}(T, B) \otimes \Hom_\mathcal{B}(T, T) \to \Hom_\mathcal{B}(T, B)\)에서 온다. 이 곱셈을 한 번 더 사용하면 사상 \[c_N : N \otimes_B S = \Hom_\mathcal{B}(B, N) \otimes_B \Hom_\mathcal{B}(T, B) \longrightarrow \Hom_\mathcal{B}(T, N)\] 이 있고 이는 \(N\)에 대하여 함자적이다. \(N\)이 주어지면 유사동형 \(P \to N \to I\)를 택할 수 있는데, \(P\) 및 각각 \(I\)는 성질 (P) 및 각각 (I)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군이다. 그러면 \(c_N\)을 사용하여 사상 \(P \otimes_B S \to \Hom_\mathcal{B}(T, I)\)을 얻는데, 이는 \(S \otimes_B^\mathbf{L} N\)과 \(R\Hom(T, N)\)을 나타내는 객체들 사이의 사상이다.

이는 분명히 보조정리에서와 같은 함자 변환 \(c\)를 정의한다.

\(c\)가 함자들의 동형임을 증명하기 위해, \(N\)이 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군이라고 가정해도 된다. \(T\)는 \(D(B, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 정의하고 화살표의 양변은 삼각범주들의 완전 함자를 정의하므로, Lemma 09KL을 사용하여 \(N\)이 유한 필트레이션을 갖고 그 등급 조각들이 \(B[k]\)들의 직합인 경우로 환원한다. 화살표의 양변이 삼각범주들의 완전 함자라는 것과 \(T\)의 콤팩트성을 다시 사용하면 \(N = B[k]\)인 경우로 환원된다. 가정 (2)는 바로 이 경우 \(c\)가 동형이라는 가정이다.

유도 텐서곱의 합성

독자에게 이 절을 건너뛰기를 권한다.

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) 및 \((C, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자.

\(N'\)을 미분 등급 \((B, C)\)-가군이라 하자.

\(A\)-구조를 잊고 미분 등급 \(B\)-가군으로 본 쌍가군 \(N\)을 \(N_B\)로 쓰자. 그러면 표준 사상 [0BZ2]\[\begin{equation} N_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (N \otimes_B N')_C \end{equation}\] 이 \(D(C, \text{d})\)에 있다. 여기서 \((N \otimes_B N')_C\)는 \((A, C)\)-쌍가군 \(N \otimes_B N'\)을 미분 등급 \(C\)-가군으로 본 것을 뜻한다. 즉, 이 사상은 유도 텐서곱에서 보통 텐서곱으로 가는 사상이 항상 존재한다는 사실에서 온다(유도 텐서곱은 왼쪽 유도함자이기 때문이다).

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) 및 \((C, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자.

\(N'\)을 미분 등급 \((B, C)\)-가군이라 하자. (0BZ2)가 동형이라고 가정하자. 그러면 합성 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] 은 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\)과 동형이다. 여기서 \(N'' = N \otimes_B N'\)은 \((A, C)\)-쌍가군으로 본다.

증명

함자 변환 \[(- \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow - \otimes_A^\mathbf{L} N''\] 을 정의하자. 이를 위해 \(M\)을 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. Lemma 09LS의 증명에서 함자 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\)을 구성한 방식에 따르면, 보통 텐서곱 \(M \otimes_A N''\)은 \(D(C, \text{d})\)에서 \(M \otimes_A^\mathbf{L} N''\)을 표현한다. 또한 \[M \otimes_A N'' = M \otimes_A (N \otimes_B N') = (M \otimes_A N) \otimes_B N'\] 으로 쓸 수 있다. 가군 \(M \otimes_A N\)은 \(D(B, \text{d})\)에서 \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\)을 표현한다. \(Q\)가 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군이 되도록 유사동형 \(Q \to M \otimes_A N\)을 택하자. 그러면 \(Q \otimes_B N'\)은 \(D(C, \text{d})\)에서 \((M \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N'\)을 표현한다. 따라서 사상을 \[(M \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N' = Q \otimes_B N' \to M \otimes_A N \otimes_B N' = M \otimes_A^\mathbf{L} N''\] 으로 정의할 수 있다. 이 사상의 구성은 \(M\)에 대해 함자적이고 특수 삼각형 및 직합과 양립한다. 세부사항은 생략한다. 이 사상이 동형이라는 것을 나타내는 \(D(A, \text{d})\)의 대상 \(M\)의 성질을 \(T\)라 하자. 그러면

1. 각 \(M_i\)에 대해 \(T\)가 성립하면 \(\bigoplus M_i\)에 대해서도 \(T\)가 성립하고,

2. 특수 삼각형에서 셋 중 \(2\)에 대해 \(T\)가 성립하면 \(3\)번째에도 성립하며,

3. \(A[k]\)에 대해 \(T\)가 성립한다. 실제로 이 경우에는 동형이라고 가정한 사상 (0BZ2)의 시프트를 얻는다.

따라서 Remark 0FQE에 의해 성질 \(T\)는 항상 성립하며 증명이 끝난다.

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) 및 \((C, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자.

미분 등급 대수 \(A \otimes_R B\)를 (오른쪽) 미분 등급 \(B\)-가군으로 본 것을 잠시 \((A \otimes_R B)_B\)로 쓰고, 미분 등급 대수 \(B \otimes_R C\)를 미분 등급 \((B, C)\)-쌍가군으로 본 것을 \({}_B(B \otimes_R C)_C\)로 쓰자. 그러면 표준 사상 [0BZ4]\[\begin{equation} (A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} {}_B(B \otimes_R C)_C \longrightarrow (A \otimes_R B \otimes_R C)_C \end{equation}\] 이 \(D(C, \text{d})\)에 있다. 여기서 \((A \otimes_R B \otimes_R C)_C\)는 미분 등급 \(R\)-대수 \(A \otimes_R B \otimes_R C\)를 (오른쪽) 미분 등급 \(C\)-가군으로 본 것을 뜻한다. 즉, 이 사상은 동일시 \[(A \otimes_R B)_B \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C = (A \otimes_R B \otimes_R C)_C\] 와 유도 텐서곱에서 보통 텐서곱으로 가는 사상이 항상 존재한다는 사실에서 온다(유도 텐서곱은 왼쪽 유도함자이기 때문이다).

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) 및 \((C, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. (0BZ4)가 동형이라고 가정하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군, \(N'\)을 미분 등급 \((B, C)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 합성 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] 은 증명에서 설명할 미분 등급 \((A, C)\)-쌍가군 \(N''\)에 대한 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\)과 동형이다.

증명

Lemma 09S3에 의해 \(N\)과 \(N'\)을 유사동형인 쌍가군으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(N\) 및 각각 \(N'\)이 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군 및 각각 \((B, C)\)-쌍가군으로서 성질 (P)를 갖는다고 가정해도 된다. Lemma 0FQK를 보라. \((A, C)\)-쌍가군 \(N'' = N \otimes_B N'\)에 대해 보조정리가 성립한다고 주장한다. 이를 증명하려면 \[N_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (N \otimes_B N')_C\] 이 \(D(C, \text{d})\)에서 동형임을 보이면 충분하다. Lemma 0BZ3을 보라.

\(F_\bullet\)을 쌍가군에 대한 성질 (P)에서와 같은 \(N\) 위의 필트레이션이라 하자. Lemma 0FQL에 의해 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군의 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iN \to \bigoplus\nolimits F_iN \to N \to 0\] 이 있고, 이는 등급 \((A, B)\)-쌍가군의 열로서 분할된다. 특히 이는 미분 등급 \(B\)-가군의 허용 짧은 완전열이며, \(D(B, \text{d})\)에서 특수 삼각형 \[\bigoplus\nolimits F_iN_B \to \bigoplus\nolimits F_iN_B \to N_B \to \bigoplus\nolimits F_iN_B[1]\] 을 준다. \(- \otimes_B^\mathbf{L} N'\)이 삼각범주들의 완전 함자이고 직합과 가환한다는 것, 그리고 \(- \otimes_B N'\)이 허용 완전열을 허용 완전열로 보내며 직합과 가환한다는 것을 사용하면, 모든 \(p\)에 대해 \[(F_pN)_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (F_pN)_B \otimes_B N'\] 이 유사동형임을 보이는 것으로 환원된다. 등급 \((A, B)\)-쌍가군으로서 분할되는 \((A, B)\)-쌍가군의 짧은 완전열 \[0 \to F_pN \to F_{p + 1}N \to F_{p + 1}N/F_pN \to 0\] 을 사용해 논증을 반복하면 \(F_{p + 1}N/F_pN\)에 대한 같은 명제를 보이는 것으로 환원된다. 이 가군들은 \((A \otimes_R B)_B\)의 시프트들의 직합이므로, \[(A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (A \otimes_R B)_B \otimes_B N'\] 이 유사동형임을 보이는 것으로 환원된다.

\(F_\bullet\)을 쌍가군에 대한 성질 (P)에서와 같은 \(N'\) 위의 필트레이션으로 택하자. \(P\)가 성질 (P)를 갖도록 미분 등급 \(B\)-가군의 유사동형 \(P \to (A \otimes_R B)_B\)를 택하자. Lemma 09LS의 구성에 의해 \(P \otimes_B N'\)은 \(D(C, \text{d})\)에서 \((A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} N'\)을 표현하므로, \(P \otimes_B N' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B N'\)이 유사동형임을 보여야 한다. \(N' = \colim F_pN'\)이므로, \(P \otimes_B F_pN' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B F_pN'\)이 유사동형임을 보이면 충분하다. 등급 \((B, C)\)-쌍가군으로서 분할되는 짧은 완전열 \(0 \to F_pN' \to F_{p + 1}N' \to F_{p + 1}N'/F_pN' \to 0\)을 사용하면 \(P \otimes_B F_{p + 1}N'/F_pN' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B F_{p + 1}N'/F_pN'\) 이 모든 \(p\)에 대해 유사동형임을 보이는 것으로 환원된다. 마지막으로 \(F_{p + 1}N'/F_pN'\)이 \({}_B(B \otimes_R C)_C\)의 시프트들의 직합이라는 것을 사용하면, \[P \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C\] 이 유사동형임을 보이면 충분하다는 결론을 얻는다. \(P \to (A \otimes_R B)_B\)는 성질 (P)를 만족하는 가군에 의한 분해이므로, 이 미분 등급 \(C\)-가군의 사상은 \(D(C, \text{d})\)에서 사상 (0BZ4)을 표현한다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) 및 \((C, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(C\)가 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄이면, (0BZ4) 는 동형이고 Lemma 0BZ5의 결론이 성립한다.

증명

\(P\)가 성질 (P)를 갖도록 미분 등급 \(B\)-가군의 유사동형 \(P \to (A \otimes_R B)_B\)를 택하자. 그러면 \[P \otimes_B (B \otimes_R C) \longrightarrow (A \otimes_R B) \otimes_B (B \otimes_R C)\] 이 유사동형임을 보여야 한다. 동치로 사상 \[P \otimes_R C \longrightarrow A \otimes_R B \otimes_R C\] 을 살펴보는 것이다. More on Algebra, Lemma 06Y0에 의해 \(C\)가 \(R\)-가군 복합체로서 K-평탄이면 이는 유사동형이다.

유도 텐서곱의 변형

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 그러면 함자들 \[\text{Comp}(\mathcal{O}) \to K(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\] 이 있고, 위에서 본 바와 같이 미분 등급 향상 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\)가 있다. 즉, 이는 아벨 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에 결부된 Example 09L9의 미분 등급 범주이다. \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체, 다시 말해 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. 다음과 같이 두자. \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(K^\bullet, K^\bullet)\] 이는 미분 등급 \(\mathbf{Z}\)-대수이다. 이 상황에도 유도 기저변환의 유사체가 있다고 주장한다.

보조정리

위 상황에는 미분 등급 범주들의 함자 \[- \otimes_E K^\bullet : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] 가 있다. 이 함자는 \(E\)를 \(K^\bullet\)로 보내고 직합과 가환한다.

증명

\(M\)을 미분 등급 \(E\)-가군이라 하자. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대해 복합체 \(K^\bullet(U)\)는 왼쪽 미분 등급 \(E\)-가군인 동시에 오른쪽 \(\mathcal{O}(U)\)-가군이다. 두 작용은 가환하므로 쌍가군을 얻는다. 따라서 Sections 09LL와 0FQG의 구성에 의해 텐서곱 \[M \otimes_E K^\bullet(U)\] 을 만들 수 있다. 이는 미분 등급 \(\mathcal{O}(U)\)-가군, 즉 \(\mathcal{O}(U)\)-가군의 복합체이다. 이 구성은 \(U\)에 대해 함자적이므로 층화하여 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체를 얻을 수 있고, 이를 \[M \otimes_E K^\bullet\] 로 쓴다. 더욱이 각 \(U\)에 대해 이 구성은 Lemma 09LM에 의해 미분 등급 범주들의 함자 \(\text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \to \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}(U))\)를 정한다. 따라서 보조정리에 서술된 함자를 얻음이 명백하다.

보조정리

Lemma 09LV의 함자는 삼각범주들의 완전 함자 \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})}) \to K(\mathcal{O})\)를 정한다.

증명

Lemma 09L8에 의해 이 함자는 호모토피 범주들 사이의 함자를 유도한다. \(- \otimes_E K^\bullet\)이 특수 삼각형을 특수 삼각형으로 보냄을 보여야 한다. \(0 \to K \to L \to M \to 0\)이 미분 등급 \(E\)-가군의 허용 짧은 완전열이라고 가정하자.

\(s : M \to L\)을 \(L \to M\)의 왼쪽 역인 등급 \(E\)-가군 준동형이라 하자. 그러면 \(s\)는 등급 \(\mathcal{O}\)-가군의 사상 \(M \otimes_E K^\bullet \to L \otimes_E K^\bullet\)을 정한다 (즉, \(\mathcal{O}\)-가군 구조와 등급은 보존하지만 미분은 보존하지 않을 수 있다). 이는 \(L \otimes_E K^\bullet \to M \otimes_E K^\bullet\)의 왼쪽 역이다. 따라서 \[0 \to K \otimes_E K^\bullet \to L \otimes_E K^\bullet \to M \otimes_E K^\bullet \to 0\]

은 항별로 분할되는 복합체의 짧은 완전열, 즉 \(K(\mathcal{O})\)에서 특수 삼각형을 정한다.

보조정리

Lemma 09LW의 함자 \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})}) \to K(\mathcal{O})\)에는 \(D(E, \text{d})\) 전체에 정의된 왼쪽 유도형이 있다. 이를 \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \to D(\mathcal{O})\)로 쓴다.

증명

이를 증명하기 위해 Derived Categories, Lemma 06XN를 사용한다. 대상들의 모음 \(\mathcal{P}\)로는 성질 (P)를 갖는 대상들을 사용한다. 성질 (1)은 Lemma 09KP에서 증명되었다. 성질 (2)는 \(s : P \to P'\)가 성질 (P)를 갖는 가군들의 유사동형이면 Lemma 09KY에 의해 \(s\)가 호모토피 동치이므로 성립한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{O}\)를 가환 \(R\)-대수의 층이라 하자. \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체라 하자. Lemma 09LX의 함자는 다음 성질을 갖는다. \(D(E, \text{d})\)의 모든 \(M\), \(N\)에 대해 표준 사상 \[R\Hom(M, N) \longrightarrow R\Hom_\mathcal{O}(M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet, N \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] 이 \(D(R)\)에 있으며, 이는 코호몰로지 가군 위에서 함자 \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet\)가 유도하는 사상 \[\Ext^n_{D(E, \text{d})}(M, N) \to \Ext^n_{D(\mathcal{O})} (M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet, N \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] 을 준다.

증명

화살표의 오른쪽은 Cohomology on Sites, Section 0B6E에서 도입한 대역 유도 Hom이며, 이는 올바른 코호몰로지 가군들을 갖는다.

왼쪽에 대해서는 \(M\)을 \((R, A)\)-쌍가군으로 보고, Section 09LF에서 도입한 유도 \(\Hom\)을 사용한다. 이 역시 올바른 코호몰로지 가군들을 갖는다. 보조정리를 증명하기 위해 \(M\)과 \(N\)이 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(E\)-가군이라고 가정해도 된다. Lemma 0BYV에 의해 이는 화살표의 왼쪽을 바꾸지 않는다. Lemma 0BYW에 의해 이때 화살표의 왼쪽은

\(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, N)\) 이 된다. Lemmas 09LV, 09LW 및 09LX에서 미분 등급 범주들의 함자 \[- \otimes_E K^\bullet : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] 를 구성했고, \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet\)이 이 함자를 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(E\)-가군에서 평가함으로써 계산됨을 보였다. 따라서 \(R\)-가군 복합체의 사상 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, N) \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})} (M \otimes_E K^\bullet, N \otimes_E K^\bullet)\] 을 얻는다. \(\mathcal{O}\)-가군의 임의의 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\), \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 표준 사상 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})} (\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet)) \longrightarrow R\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet).\] 이 있다. 이 사상들을 합성하여 보조정리의 원하는 사상을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체라 하자. 그러면 Lemma 09LX의 함자 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 는 Lemma 09LK의 함자 \[R\Hom(K^\bullet, -) : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(E, \text{d})\] 의 왼쪽 수반이다.

증명

이 명제는 \[\Hom_{D(E, \text{d})}(M, R\Hom(K^\bullet, L^\bullet)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(M \otimes^\mathbf{L}_E K^\bullet, L^\bullet)\] 가 \(M\)과 \(L^\bullet\)에 대해 쌍함자적으로 성립한다는 뜻이다. 이를 보기 위해 \(M\)을 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(E\)-가군 \(P\)로 바꾸어도 된다. 또한 \(L^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체 \(I^\bullet\)로 바꾸어도 된다. 명제에서 인용한 보조정리들이 주는 유도함자의 계산을 Lemma 09KY와 결합하면 위 등식은 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})} (P, \Hom_\mathcal{B}(K^\bullet, I^\bullet)) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(P \otimes_E K^\bullet, I^\bullet)\] 이 된다. 여기서 \(\mathcal{B} = \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\)이다. 오른쪽에서 왼쪽으로 가며 \(P\)와 \(I^\bullet\)에 대해 함자적인 평가 사상이 있다(세부사항은 생략한다). \(F_\bullet\)을 성질 (P)의 정의에서와 같은 \(P\) 위의 필트레이션으로 택하자. Lemma 09KL와 등식 양변이 \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})\) 위에서 \(P\)에 대한 호몰로지 함자라는 사실에 의해, \(P\)를 미분 등급 \(E\)-가군 \(\bigoplus F_iP\)로 바꾼 경우로 환원된다. 양변은 변수 \(P\)의 직합을 직곱으로 바꾸므로, \(P\)가 미분 등급 \(E\)-가군들 \(F_iP\) 중 하나인 경우로 환원된다. 각 \(F_iP\)에는 허용 단사상들로 주어지고 그 등급 조각들이 등급 사영 \(E\)-가군인 유한 필트레이션이 있으므로, \(P\)가 등급 사영 \(E\)-가군인 경우로 환원된다. 이 경우에는 명백히 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})}} (P, \Hom_\mathcal{B}(K^\bullet, I^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(P \otimes_E K^\bullet, I^\bullet)\] 가 등급 \(\mathbf{Z}\)-가군으로서 성립한다(이 명제는 명백한 경우 \(P = E[k]\)로 환원되기 때문이다). 이 동형은 미분과 양립하므로 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(K^\bullet\)은 \(D(\mathcal{O})\)의 콤팩트 객체를 표현하고,

2. \(E = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(K^\bullet, K^\bullet)\) 는 \(D(\mathcal{O})\)에서 \(K^\bullet\)의 Ext 군들을 계산한다.

그러면 Lemma 09LX의 함자 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 는 충실충만하다.

증명

Lemma 09LY에 의해 우리 함자는 \(R\Hom(K^\bullet, -)\)로 주어지는 왼쪽 수반을 가지므로, 미분 등급 \(E\)-가군 \(M\)에 대해 사상 \[H^0(M) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(K^\bullet, M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] 이 동형임을 보이면 충분하다. \(M = P\)가 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(E\)-가군이라고 가정해도 된다. \(K^\bullet\)이 콤팩트 객체를 정하므로, Lemma 09KL를 사용하여 \(P\)가 유한 필트레이션을 갖고 그 등급 조각들이 \(E[k]\)들의 직합인 경우로 환원된다. 다시 콤팩트성을 사용하면 \(P = E[k]\)인 경우로 환원된다. \(K^\bullet\)에 대한 가정은 바로 이 경우들에 결론이 성립한다는 것이다.

콤팩트 객체의 특징짓기

가법 범주의 콤팩트 객체는 Derived Categories, Definition 07LS에서 정의된다. 이 절에서는 미분 등급 대수의 유도범주에서 콤팩트 객체들을 특징짓는다.

주

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 모든 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \[\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{D(A, \text{d})}(P, M)\] 가 성립하는 미분 등급 \(A\)-가군 \(P\)들을 특징지을 수 있는가? 위 조건을 만족하는 대상 \(P\)들을 대상으로 하는 충만 부분범주를 \(\mathcal{D} \subset K(A, \text{d})\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{D}\)는 \(K(A, \text{d})\)의 엄밀 충만 포화 삼각부분범주이다.

\(P\)가 등급 \(A\)-가군으로서 사영이면, \(P\)가 \(\mathcal{D}\)의 대상인지 확인하기 위해서는 \(M\)이 비순환일 때마다 \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = 0\)임을 확인하면 충분하다. 그러나 일반적으로 \(P\)가 등급 \(A\)-가군으로서 사영이라고 가정하는 것만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 \(k\)를 체라 하고 \(A = R = k[\epsilon]\)로 두자. 여기서 \(k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\)는 쌍대수의 환이다. \(P\)를 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(P^n = R\)이고 미분이 \(\epsilon\)에 의한 곱셈으로 주어지는 대상으로 하자. 그러면 \(\text{id}_P \in \Hom_{K(A, \text{d})}(P, P)\)는 영이 아닌 원소이지만 \(P\)는 비순환이다.

주

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)이 오른쪽 \(A\)-가군으로서 유한 개의 원소로 생성되면 \(M\)을 유한이라 하자. \(P\)가 유한 등급 사영인 미분 등급 \(A\)-가군이면 \(P\)가 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 주는가를 물을 수 있다. 아마도 일반적으로 참이 아니겠지만 우리는 반례를 알지 못한다. 그러나 \(P\)가 Remark 09R0의 범주 \(\mathcal{D}\)의 대상이기도 하면 이는 참이다(이는 \(D(A, \text{d})\)에서 직합이 가군들의 직합으로 주어진다는 사실에서 따른다. 세부사항은 생략한다).

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(E\)를 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체라 하자. \(P\)를 미분 등급 부분가군들에 의한 유한 필트레이션 \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset F_nP = P\] 을 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 어떤 집합들 \(J_i\)와 정수들 \(k_{i, j}\)에 대해 미분 등급 \(A\)-가군으로서 \[F_{i + 1}P/F_iP \cong \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} A[k_{i, j}]\] 라고 하자. \(E \to P\)를 \(D(A, \text{d})\)의 사상이라 하자. 그러면 어떤 유한 부분집합들 \(J'_i \subset J_i\)에 대해 \(F_{i + 1}P \cap P'/(F_iP \cap P')\)이 \(\bigoplus_{j \in J'_i} A[k_{i, j}]\)와 같고, \(E \to P\)가 \(P'\)을 통해 분해되도록 하는 미분 등급 부분가군 \(P' \subset P\)가 존재한다.

증명

\(-1 \leq m \leq n\)에 대한 귀납법으로 다음을 만족하는 미분 등급 부분가군 \(P' \subset P\)가 존재함을 증명한다.

1. \(F_mP \subset P'\)이다.

2. \(i \geq m\)에 대해 몫 \(F_{i + 1}P \cap P'/(F_iP \cap P')\)은 어떤 유한 부분집합 \(J'_i \subset J_i\)에 대해 \(\bigoplus_{j \in J'_i} A[k_{i, j}]\)와 동형이다.

3. \(E \to P\)는 \(P'\)을 통해 분해된다.

기초 단계 \(m = n\)에서는 \(P' = P\)로 택할 수 있다.

귀납 단계. \(P'\)이 \(m\)에 대해 조건을 만족한다고 가정하자. \(i \geq m\) 및 \(j \in J'_i\)에 대해 \(x_{i, j} \in F_{i + 1}P \cap P'\)를, \(k_{i, j}\)차의 동차 원소이면서 \(F_{i + 1}P \cap P'/(F_iP \cap P')\)에서의 상이 \(j \in J_i\)에 대응하는 직합인자의 생성원이 되도록 택하자. \(x_{i, j}\)들은 \(P'/F_mP\)를 \(A\)-가군으로서 생성한다. 다음과 같이 쓰자. \[\text{d}(x_{i, j}) = \sum x_{i', j'} a_{i, j}^{i', j'} + y_{i, j}\] 여기서 \(y_{i, j} \in F_mP\)이고 \(a_{i, j}^{i', j'} \in A\)이다. 각 \(y_{i, j}\)가 \(F_mP/F_{m - 1}P\)의 부분가군 \(\bigoplus_{j \in J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\)의 원소로 사상되도록 하는 유한 부분집합 \(J'_{m - 1} \subset J_{m - 1}\)이 존재한다. \(P'' \subset F_mP\)를 사상 \(F_mP \to F_mP/F_{m - 1}P\)에 의한 \(\bigoplus_{j \in J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\)의 역상이라 하자. 그러면 \(A\)-부분가군 \[P'' + \sum x_{i, j}A\] 은 우리가 찾는 유형의 미분 등급 부분가군이다. 더욱이 \[P'/(P'' + \sum x_{i, j}A) = \bigoplus\nolimits_{j \in J_{m - 1} \setminus J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\] 이다. \(E\)가 콤팩트이므로 주어진 사상 \(E \to P'\)과 몫사상의 합성은 위에 표시한 가군의 유한 부분직합을 통해 분해된다. 따라서 \(J'_{m - 1}\)을 확대하면, 원하는 대로 \(E \to P'\)이 \(P'' + \sum x_{i, j}A\)를 통해 분해된다고 가정할 수 있다.

\(D(A, \text{d})\)의 모든 콤팩트 객체가 유한 등급 사영 미분 등급 \(A\)-가군에서 오는 것은 아니다. Examples, Section 09R4를 보라.

명제

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하고 \(E\)를 \(D(A, \text{d})\)의 대상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(E\)는 콤팩트 객체이다.

2. \(E\)는 \(D(A, \text{d})\)의 어떤 대상의 직합인자이고, 그 대상은 미분 등급 부분가군들에 의한 유한 필트레이션 \(F_\bullet\)을 가지며 각 \(F_iP/F_{i - 1}P\)가 \(A\)의 시프트들의 유한 직합인 미분 등급 가군 \(P\)로 표현된다.

증명

\(E\)가 콤팩트 객체라고 가정하자. Lemma 09KP에 의해 \(E\)가 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군 \(P\)로 표현된다고 가정해도 된다. Lemma 09KL의 허용 짧은 완전열에서 오는 특수 삼각형 \[\bigoplus F_iP \to \bigoplus F_iP \to P \xrightarrow{\delta} \bigoplus F_iP[1]\] 을 생각하자. \(E\)가 콤팩트이므로 어떤 \(\delta_i : P \to F_iP[1]\)들에 대해 \(\delta = \sum_{i = 1, \ldots, n} \delta_i\)이다. \(\delta\)와 사상 \(\bigoplus F_iP[1] \to \bigoplus F_iP[1]\)의 합성은 영이므로 (Derived Categories, Lemma 0146), \(\delta = 0\)이다(이는 \(\bigoplus F_iP \to \bigoplus F_iP\)가 직합인자 \(F_iP\)를 \(\text{id}\)와 \(F_{i - 1}P\)로 가는 포함사상의 차를 통해 보내는 데서 따른다). 따라서 \(E\) 위의 항등사상은 \(D(A, \text{d})\)에서 \(\bigoplus F_iP\)를 통해 분해된다 (Derived Categories, Lemma 05QT). 다음으로 \(P\)의 콤팩트성을 다시 사용하면, 사상 \(E \to \bigoplus F_iP\)는 어떤 \(n\)에 대해 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} F_iP\)를 통해 분해된다. 다시 말해 \(E\) 위의 항등사상은 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} F_iP\)를 통해 분해된다. Lemma 09R2에 의해 \(E\)의 항등사상은 \(E \to P \to E\)로 분해되며, 여기서 \(P\)는 보조정리 명제의 (2)에 나오는 것과 같다. 따라서 (1)이 (2)를 함의함을 증명했다.

(2)를 가정하자. Derived Categories, Lemma 09QH에 의해 \(P\)가 콤팩트 객체를 줌을 보이면 충분하다. \(P\)는 성질 (P)를 가지므로 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\] 가 임의의 미분 등급 가군 \(M\)에 대해 성립한다(Lemma 09KY). \(D(A, \text{d})\)의 직합은 등급 가군들의 직합으로 주어지므로(Lemma 09QI), \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\)이 직합과 가환함을 보이는 것으로 환원된다. \(K(A, \text{d})\)가 삼각범주라는 것, \(\Hom\)이 첫째 변수에 대한 코호몰로지 함자라는 것, 그리고 \(P\) 위의 필트레이션을 사용하면 \(P\)가 \(A\)의 시프트들의 유한 직합인 경우로 환원된다. 따라서 명백한 경우 \(P = A[k]\)로 환원된다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(D(A, \text{d})\)의 모든 콤팩트 객체 \(E\)에 대해 다음 성질을 갖는 정수 \(a \leq b\)가 존재한다. \(i \in [a, b]\)에 대해 \(H^i(M) = 0\)이면 \(\Hom_{D(A, \text{d})}(E, M) = 0\)이다.

증명

그러한 정수 쌍이 존재하는 \(D(A, \text{d})\)의 대상들의 모음은 \(D(A, \text{d})\)의 포화된 엄밀 충만 삼각부분범주임을 주목하자. 따라서 Proposition 09R3에 의해, \(E\)가 미분 등급 부분가군들에 의한 유한 필트레이션 \(F_\bullet\)을 가지며 \(F_iP/F_{i - 1}P\)가 \(A\)의 시프트들의 유한 직합인 미분 등급 가군 \(P\)로 표현되는 경우를 증명하면 충분하다. 삼각형과의 양립성을 사용하면 \(P = A\)인 경우를 증명하면 충분하다. 이 경우 \(\Hom_{D(A, \text{d})}(A, M) = H^0(M)\)이고 \(a = b = 0\)으로 결론이 성립한다.

\((A, \text{d})\)가 미분이 영이고 \(0\)차에 놓인 대수이거나, 더 일반적으로 유한 개의 차수에만 놓여 있으면 콤팩트 객체들을 더 정밀하게 기술할 수 있다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(|n| \gg 0\)일 때 \(A^n = 0\)이라고 가정하자. \(E\)를 \(D(A, \text{d})\)의 대상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(E\)는 콤팩트 객체이다.

2. \(E\)는 등급 \(A\)-가군으로서 유한 사영이고, 모든 미분 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{D(A, \text{d})}(P, M)\) 을 만족하는 미분 등급 \(A\)-가군 \(P\)로 표현될 수 있다.

증명

\(\mathcal{D} \subset K(A, \text{d})\)를 Remark 09R0에서 논한 삼각부분범주라 하자. \(P\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상이면서 등급 \(A\)-가군으로서 유한 사영인 대상이라 하자. 그러면 Remark 09R1에 의해 \(P\)는 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 표현한다.

역을 증명하기 위해 \(E\)를 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체라 하자. Lemma 09RA에서와 같은 \(a \leq b\)를 고정하자. 필요하다면 \(a\)를 줄이고 \(b\)를 늘려 \(i \not \in [a, b]\)에 대해 \(H^i(E) = 0\)이라고 가정해도 된다 (이는 Proposition 09R3와 \(A\)에 대한 가정에서 따른다). 더욱이 \(|n| \geq c\)이면 \(A^n = 0\)이 되도록 하는 정수 \(c > 0\)을 고정하자.

Proposition 09R3에 의해 \(E\)는 \(D(A, \text{d})\)에서 다음 미분 등급 \(A\)-가군 \(P\)의 직합인자이다. 그 가군에는 미분 등급 부분가군들에 의한 유한 필트레이션 \(F_\bullet\)이 있고, \(F_iP/F_{i - 1}P\)들은 \(A\)의 시프트들의 유한 직합이다. 특히 \(P\)는 성질 (P)를 가지며, Lemma 09KY에 의해 임의의 미분 등급 가군 \(M\)에 대해 \(\Hom_{D(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\)이다. 다시 말해 \(P\)는 Remark 09R0에서 논한 삼각부분범주 \(\mathcal{D} \subset K(A, \text{d})\)의 대상이다. \(P\)가 등급 \(A\)-가군으로서 유한 자유임을 주목하자.

\(b + 4c - n < a\)가 되도록 \(n > 0\)을 택하자. \(E\) 위로의 사영자를 미분 등급 \(A\)-가군의 자기준동형 \(\varphi : P \to P\)로 표현하자. \(K(A, \text{d})\)에서 첫째 화살표의 원뿔을 \(C\)라 할 때의 특수 삼각형 \[P \xrightarrow{1 - \varphi} P \to C \to P[1]\] 을 생각하자. 그러면 \(C\)는 \(\mathcal{D}\)의 대상이고, \(D(A, \text{d})\)에서 \(C \cong E \oplus E[1]\)이며, \(C\)는 유한 등급 자유 \(A\)-가군이다. 다음으로 \(K(A, \text{d})\)에서 특수 삼각형 \[C[1] \to C \to C' \to C[2]\] 을 생각하자. 여기서 \(C'\)은 \(D(A, \text{d})\)에서 합성 \[C[1] \cong E[1] \oplus E[2] \to E[1] \to E \oplus E[1] \cong C\] 을 표현하는 사상 \(C[1] \to C\)의 원뿔이다. 그러면 \(C'\)은 \(E \oplus E[2]\)를 표현한다. 이와 같이 계속하면 \(\mathcal{D}\)의 대상이고,

등급 \(A\)-가군으로서 유한 자유이며 \(E \oplus E[n]\)을 표현하는 미분 등급 \(A\)-가군 \(P\)를 찾을 수 있다.

\(P\)의 \(A\)-가군으로서의 동차 원소 기저 \(x_i\), \(i \in I\)를 택하고, \(d_i = \deg(x_i)\)라 하자. \(P_1\)을 \(d_i \leq a - c - 1\)인 \(x_i\)와 \(\text{d}(x_i)\)로 생성되는 \(P\)의 \(A\)-부분가군이라 하자. \(P_2\)를 \(d_i \geq b - n + c\)인 \(x_i\)와 \(\text{d}(x_i)\)로 생성되는 \(P\)의 \(A\)-부분가군이라 하자. 다음을 알 수 있다.

1. \(P_1\)과 \(P_2\)는 \(P\)의 미분 등급 부분가군이다.

2. \(t \geq a\)이면 \(P_1^t = 0\)이다.

3. \(t \leq a - 2c\)이면 \(P_1^t = P^t\)이다.

4. \(t \leq b - n\)이면 \(P_2^t = 0\)이다.

5. \(t \geq b - n + 2c\)이면 \(P_2^t = P^t\)이다.

\(n\)의 선택에 의해 \(b - n + 2c \geq a - 2c\)이므로, 미분 등급 \(A\)-가군의 짧은 완전열 \[0 \to P_1 \cap P_2 \to P_1 \oplus P_2 \xrightarrow{\pi} P \to 0\] 을 얻는다. \(P\)는 등급 \(A\)-가군으로서 사영이므로 이는 허용 짧은 완전열이다(Lemma 09K0). 따라서 \(K(A, \text{d})\)에서 경계사상 \(\delta : P \to (P_1 \cap P_2)[1]\)을 얻는다. Lemma 09JU를 보라. \(P = E \oplus E[n]\)이고 \(P_1 \cap P_2\)가 차수 \((b - n, a)\)에 놓이므로 \(\Hom_{D(A, \text{d})}(E \oplus E[n], (P_1 \cap P_2)[1])\)은 영이다. 따라서 \(P\)가 \(\mathcal{D}\)의 대상이므로 \(\delta = 0\)은 \(K(A, \text{d})\)의 사상으로서 영이다. Derived Categories, Lemma 05QT에 의해 어떤 \(-1\)차 사상 \(h : P \to P\)에 대해 \(\pi \circ s = \text{id}_P + \text{d}h + h\text{d}\)가 되도록 하는 사상 \(s : P \to P_1 \oplus P_2\)를 찾을 수 있다. \(P_1 \oplus P_2 \to P\)가 전사이고 \(P\)가 등급 \(A\)-가군으로서 사영이므로 \(h\)의 동차 리프트 \(\tilde h : P \to P_1 \oplus P_2\)를 택할 수 있다. 이제 \(s\)를 \(s + \text{d} \tilde h + \tilde h \text{d}\)로 바꾸면 \(\pi \circ s = \text{id}_P\)를 얻는다. 즉, 직합분해 \(P = s^{-1}(P_1) \oplus s^{-1}(P_2)\)를 얻는다. \(s^{-1}(P_2)\)는 차수 \(\geq b - n + 2c\)에서 \(P\)와 같으므로 \(s^{-1}(P_2) \to P \to E\)는 유사동형, 즉 \(D(A, \text{d})\)의 동형이다. 이로써 증명이 끝난다.

유도범주의 동치

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 자연스럽게 생기는 질문은 \(D(A, \text{d})\)와 \(D(B, \text{d})\)가 \(R\)-선형 삼각범주로서 동치라는 것이 무엇을 뜻하는가이다. 이는 상당히 미묘한 질문이며, 언제나 올바른 질문은 아님이 드러날 것이다.

그럼에도 이 절에서는 이를 보장하는 조건을 몇 가지 모은다.

독자에게 이 주제에 관한 획기적인 논문 [Rickard]를 반드시 살펴보기를 강력히 권한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d}) \to (B, \text{d})\)를 코호몰로지 대수의 동형을 유도하는 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형이라 하자. 그러면 \[- \otimes_A^\mathbf{L} B : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] 는 삼각범주의 \(R\)-선형 동치를 주며, 그 준역함자는 제한 함자 \(N \mapsto N_A\)이다.

증명

Lemma 09R9에 의해 함자 \(M \longmapsto M \otimes_A^\mathbf{L} B\)는 충실충만이다. Lemma 09LT에 의해 함자 \(N \longmapsto R\Hom(B, N) = N_A\)는 오른쪽 수반이다. Example 0BYX를 보라. \(R\Hom(B, -)\)의 핵이 영임은 자명하다. 따라서 결과는 Derived Categories, Lemma 09J1에서 따른다.

위 증명을 분석하면 다음 일반화도 즉시 얻어진다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(N\)은 \(D(B, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 정의한다.

2. \(N' \in D(B, \text{d})\)이고 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom_{D(B, \text{d})}(N, N'[n]) = 0\)이면 \(N' = 0\)이다.

3. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 \(H^k(A) \to \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\)는 동형이다.

그러면 \[- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] 는 삼각범주의 \(R\)-선형 동치를 준다.

증명

Lemma 09R9에 의해 함자 \(M \longmapsto M \otimes_A^\mathbf{L} N\)은 충실충만이다. Lemma 09LT에 의해 함자 \(N' \longmapsto R\Hom(N, N')\)는 오른쪽 수반이다.

가정 (3)에 의해 \(R\Hom(N, -)\)의 핵은 영이다. 따라서 결과는 Derived Categories, Lemma 09J1에서 따른다.

주

Lemma 09S7에서 조건 (2)를 \(N\)이 \(D_{compact}(B, d)\)의 고전적 생성자라는 조건으로 바꿀 수 있다. Derived Categories, Proposition 09SR을 보라. 또한 \(R\Hom(N, B)\)가 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체임을 알고 있다면, \(N\)이 \(D_{compact}(B, \text{d})\)의 약한 생성자임을 확인하는 것으로 충분하다. 증명은 생략한다. Stacks project에서 이 결과가 필요하게 되면 여기에 증명을 추가할 것이다.

아래 보조정리의 \(B\)-가군 \(P\)를 때때로 “\((A, B)\)-틸팅 복합체”라고 부른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(A = H^0(A)\)라고 가정하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(D(A, \text{d})\)와 \(D(B, \text{d})\)는 \(R\)-선형 삼각범주로서 동치이다.

2. 다음을 만족하는 \(D(B, \text{d})\)의 객체 \(P\)가 존재한다.

   1. \(P\)는 \(D(B, \text{d})\)의 콤팩트 객체이다.

   2. \(N \in D(B, \text{d})\)이고 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom_{D(B, \text{d})}(P, N[i]) = 0\)이면 \(N = 0\)이다.

   3. \(i \not = 0\)이면 \(\Hom_{D(B, \text{d})}(P, P[i]) = 0\)이고, \(i = 0\)이면 \(A\)와 같다.

(2)에서 구성한 동치 \(D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\)는 \(A\)를 \(P\)로 보낸다.

증명

\(F : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\)를 동치라 하자. 그러면 \(F\)는 콤팩트 객체를 콤팩트 객체로 보낸다. 따라서 \(P = F(A)\)는 콤팩트하므로 (2)(a)가 성립한다. 조건 (2)(b)와 (2)(c)는 \(F\)가 동치라는 사실에서 즉시 따른다.

\(P\)를 (2)의 객체라 하자. \(P\)를 성질 (P)를 갖는 미분 등급 가군으로 나타내자. 다음과 같이 놓는다. \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(P, P)\] 그러면 Lemma 09KY와 가정 (2)(c)에 의해 \(H^0(E) = A\)이고 \(k \not = 0\)이면 \(H^k(E) = 0\)이다. \(P\)를 \((E, B)\)-쌍가군으로 보고 Lemma 09S7와 가정 (2)(b)를 사용하면, \(E\)를 \(P\)로 보내는 동치 \[D(E, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] 를 얻는다. \(E' \subset E\)를 다음을 만족하는 미분 등급 \(R\)-부분대수라 하자. \[(E')^i = \left\{ \begin{matrix} E^i & \text{if }i < 0 \\ \Ker(E^0 \to E^1) & \text{if }i = 0 \\ 0 & \text{if }i > 0 \end{matrix} \right.\] 그러면 미분 등급 대수의 유사동형 \((A, \text{d}) \leftarrow (E', \text{d}) \rightarrow (E, \text{d})\)가 존재한다. 따라서 Lemma 09S6에 의해 동치들 \[D(A, \text{d}) \leftarrow D(E', \text{d}) \rightarrow D(E, \text{d}) \rightarrow D(B, \text{d})\] 을 얻는다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 삼각범주의 \(R\)-선형 동치 \[F : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] 가 주어졌다고 하자. \(N = F(A)\)로 놓자. 그러면 \(N\)은 미분 등급 \(B\)-가군이다. \(F\)가 동치이고 \(A\)가 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체이므로, \(N\)은 \(D(B, \text{d})\)의 콤팩트 객체이다. \(A\)가 \(D(A, \text{d})\)를 생성하고 \(F\)가 동치이므로, \(N\)은 \(D(B, \text{d})\)를 생성한다.

마지막으로 \(H^k(A) = \Hom_{D(A, \text{d})}(A, A[k])\)이고 \(F\)가 동치이므로, 모든 \(k\)에 대해 \(F\)는 동형 \(H^k(A) = \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\)를 유도한다. Lemma 09S7의 구성에서 생기는 동치 \(D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\)가 존재한다고 결론내리기 위해 필요한 것은 \(N\) 위의 왼쪽 \(A\)-가군 구조가 미분과 양립하고 주어진 오른쪽 \(B\)-가군 구조와 가환한다는 것뿐이다. 사실 \(N\)을 유사동형인 미분 등급 \(B\)-가군으로 바꾼 뒤 이를 구성하는 것으로 충분하다. 이 가군 구조는 특정한 경우에 구성할 수 있다. 예를 들어 \(F\)가 결합된 미분 등급 범주들 사이의 미분 등급 함자 \[F^{dg} : \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\] 로 올라간다고 가정하면(표기는 Example 09LC 참조), 이 조건이 성립한다. 다른 경우는 아래 명제에서 다룬다.

명제

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(F : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\)를 삼각범주의 \(R\)-선형 동치라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A = H^0(A)\)이다.

2. \(B\)는 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄이다.

그러면 Lemma 09S7에서와 같은 \((A, B)\)-쌍가군 \(N\)이 존재한다.

증명

위 Remark 09S9에서와 같이 \(D(B, \text{d})\)에서 \(N = F(A)\)로 놓는다. \(N\)이 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(B\)-가군이라고 가정해도 된다. 다음과 같이 놓는다. \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N)\] 그러면 Lemma 09KY에 의해 \(H^0(E) = A\)이고 \(k \not = 0\)이면 \(H^k(E) = 0\)이다. 또한 Remark 09S9의 논의와 Lemma 09S7에 의해, \((E, B)\)-쌍가군으로서의 \(N\)은 동치 \(- \otimes_E^\mathbf{L} N : D(E, \text{d}) \to D(B, \text{d})\)를 유도한다. \(E' \subset E\)를 다음을 만족하는 미분 등급 \(R\)-부분대수라 하자. \[(E')^i = \left\{ \begin{matrix} E^i & \text{if }i < 0 \\ \Ker(E^0 \to E^1) & \text{if }i = 0 \\ 0 & \text{if }i > 0 \end{matrix} \right.\] 그러면 미분 등급 대수의 유사동형 \((A, \text{d}) \leftarrow (E', \text{d}) \rightarrow (E, \text{d})\)가 존재한다. 따라서 Lemma 09S6에 의해 동치들 \[D(A, \text{d}) \leftarrow D(E', \text{d}) \rightarrow D(E, \text{d}) \rightarrow D(B, \text{d})\] 을 얻는다.

왼쪽 수직 화살표의 준역함자 \(D(A, \text{d}) \to D(E', \text{d})\)는, \(A\)를 \((A, E')\)-쌍가군으로 보았을 때 \(M \mapsto M \otimes_A^\mathbf{L} A\)로 주어진다. Example 0BYX를 보라. 한편 함자 \(D(E', \text{d}) \to D(B, \text{d})\)는 위의 \(N\)을 사용하여 \(M \mapsto M \otimes_{E'}^\mathbf{L} N\)으로 주어진다. Lemma 09S4에 의해 결론이 따른다.

주

\(A, B, F, N\)을 Proposition 09SA에서와 같이 두자. \(F\)와 함자 \(G(-) = - \otimes_A^\mathbf{L} N\)이 동형인지는 분명하지 않다. 구성에 의해 \(D(B, \text{d})\) 안의 동형 \(N = G(A) \to F(A)\)가 존재한다.

\(M\)이 등급 사영인 미분 등급 \(A\)-가군인 경우(예를 들어 \(A\)의 시프트들의 합인 경우), 이를 함자적 동형 \(G(M) \to F(M)\)으로 확장하는 일은 어렵지 않다. 이어서 \(M\)이 그러한 가군들 사이 사상의 원뿔이면 \(G(M) \cong F(M)\)라고 결론낼 수 있다. 일반적으로 더 강한 사실이 성립하는지는 알지 못한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 삼각범주의 \(R\)-선형 동치 \(D(A) \to D(B)\)가 존재한다.

2. 다음을 만족하는 \(D(B)\)의 객체 \(P\)가 존재한다.

   1. \(P\)는 유한 사영 \(B\)-가군들의 유한 복합체로 나타낼 수 있다.

   2. \(K \in D(B)\)이고 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Ext^i_B(P, K) = 0\)이면 \(K = 0\)이다.

   3. \(i \not = 0\)이면 \(\Ext^i_B(P, P) = 0\)이고, \(i= 0\)이면 \(A\)와 같다.

더 나아가 \(B\)가 \(R\)-가군으로서 평탄하면, 이는 다음 조건과도 동치이다.

1. \(- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A) \to D(B)\)가 동치가 되게 하는 \((A, B)\)-쌍가군 \(N\)이 존재한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 Lemma 09S8의 특수한 경우와 \(D(B)\)의 콤팩트 객체를 특징짓는 Lemma 09RB의 결과를 결합하면 따른다(작은 세부사항은 생략한다). \(B\)가 \(R\)-평탄인 경우 (3)과의 동치는 Proposition 09SA에서 따른다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)와 \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. \(D(A)\)와 \(D(B)\)가 \(R\)-선형 삼각범주로서 동치이면, \(A\)와 \(B\)의 중심들은 \(R\)-대수로서 동형이다. 특히 \(A\)와 \(B\)가 가환이면 \(A \cong B\)이다. 상당히 까다로운 증명은 [Rickard, Proposition 9.2] 또는 [KZ, Proposition 6.3.2]에서 찾을 수 있다. 다른 접근으로는 호흐실트 코호몰로지를 사용할 수도 있다 (아래 주석 참조).

주

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 유도 동치인 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 즉, 삼각범주의 \(R\)-선형 동치 \(D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\)가 존재한다고 하자. 우리는 \((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)의 특정 불변량들이 일치함을 보이고자 한다. 많은 상황에서는 이 사정을 더 잘 통제할 수 있다. 예를 들어 어떤 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군 \(\Omega\)에 대해 다음 꼴의 동치가 존재할 수 있다.

\[- \otimes_A \Omega : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] (Proposition 09SA의 상황에서 이런 일이 일어나며, 동치가 기하적 구성에서 나오는 경우에도 흔히 그러하다.)

또한 우리 함자의 준역함자가 어떤 미분 등급 \((B, A)\)-쌍가군 \(\Omega'\)에 대해 \[- \otimes_B^\mathbf{L} \Omega' : D(B, \text{d}) \longrightarrow D(A, \text{d})\] 로 주어진다고 하자(앞에서와 마찬가지로 실제 상황에서 그러한 가군 \(\Omega'\)이 존재하는 경우가 많다). 이 경우 쌍가군의 유도범주 위의 함자 \[D(A^{opp} \otimes_R A, \text{d}) \longrightarrow D(B^{opp} \otimes_R B, \text{d}),\quad M \longmapsto \Omega' \otimes^\mathbf{L}_A M \otimes_A^\mathbf{L} \Omega\] 를 생각할 수 있다(쌍가군을 오른쪽 가군으로 바꾸려면 Lemma 0FQJ를 사용하라). 이 함자는 \((A, A)\)-쌍가군 \(A\)를 \((B, B)\)-쌍가군 \(B\)로 보낸다. 적절한 조건(예를 들어 \(R\) 위에서 \(A\), \(B\), \(\Omega\)의 평탄성 등) 아래에서는 이 함자도 동치가 된다. 이 경우 호흐실트 코호몰로지 군들의 동형 \[\begin{aligned} HH^i(A, \text{d}) = &\Hom_{D(A^{opp} \otimes_R A, \text{d})}(A, A[i]) \\ & \longrightarrow \Hom_{D(B^{opp} \otimes_R B, \text{d})}(B, B[i]) \\ &= HH^i(B, \text{d}). \end{aligned}\] 을 얻는다. 예를 들어 \(A = H^0(A)\)이면 \(HH^0(A, \text{d})\)는 \(A\)의 중심과 같고, 이는 Remark 09SD에서 언급한 결과의 개념적 증명을 준다. 이 주석이 필요하게 되면 여기에 정확한 명제와 자세한 증명을 제시할 것이다.

미분 등급 대수의 분해

\(R\)을 환이라 하자. 우리의 가정 아래 집합 \(S\) 위의 자유 \(R\)-대수 \(R\langle S \rangle\)는 다음 식들을 \(R\)-기저로 갖는 대수이다. \[s_1 s_2 \ldots s_n\]

여기서 \(n \geq 0\)이고 \(s_1, \ldots, s_n \in S\)는 \(S\)의 원소들로 이루어진 열이다. 곱셈은 이어붙이기로 주어진다. \[(s_1 s_2 \ldots s_n) \cdot (s'_1 s'_2 \ldots s'_m) = s_1 \ldots s_n s'_1 \ldots s'_m\] 이 대수는 모든 \(R\)-대수 \(A\)에 대해 사상 \[\Mor_{R\text{-alg}}(R\langle S \rangle, A) \to \text{Map}(S, A),\quad \varphi \longmapsto (s \mapsto \varphi(s))\] 이 전단사라는 성질로 특징지어진다.

등급 \(R\)-대수의 범주에서는 집합 \(S\)에 등급이 주어져야 하며, 이를 사상 \(\deg : S \to \mathbf{Z}\)로 생각한다. 그러면 \(R\langle S\rangle\)는 단항식의 차수가 \[\deg(s_1 s_2 \ldots s_n) = \deg(s_1) + \ldots + \deg(s_n)\] 이 되도록 하는 등급을 갖는다.

이 상황에서는 모든 등급 \(R\)-대수 \(A\)에 대해 사상 \[\Mor_{\text{graded }R\text{-alg}}(R\langle S \rangle, A) \to \text{Map}_{\text{graded sets}}(S, A),\quad \varphi \longmapsto (s \mapsto \varphi(s))\] 이 전단사이다.

\(A\)가 등급 \(R\)-대수이고 \(S\)가 등급 집합이면, 마찬가지로 \(A\langle S \rangle\)를 만들 수 있다. \(A\langle S \rangle\)의 원소들은 다음 꼴 원소들의 합이다. \[a_0 s_1 a_1 s_2 \ldots a_{n - 1} s_n a_n\] 여기서 \(a_i \in A\)이고, 이 식들이 \((a_0, \ldots, a_n)\)에 대해 \(R\)-다중선형이라는 관계들로 나눈다. 따라서 \(S\)의 원소들로 이루어진 각 열 \(s_1, \ldots, s_n\)에 대해 포함 \[A \otimes_R \ldots \otimes_R A \subset A\langle S \rangle\] 이 존재하며, 이 대수는 이들의 직합이다. 이 정의로부터 독자는 \(\varphi\)를 \((\varphi|_A, (s \mapsto \varphi(s)))\)로 보내는 사상 \[\Mor_{\text{graded }R\text{-alg}}(A\langle S \rangle, B) \to \Mor_{\text{graded }R\text{-alg}}(A, B) \times \text{Map}_{\text{graded sets}}(S, B),\]

이 사상은 모든 등급 \(R\)-대수 \(A\)에 대해 전단사임을 보일 수 있다. \(A\)가 자유 등급 \(R\)-대수였다면 \(A\langle S \rangle\)도 그러함을 관찰한다.

\(A\)가 미분 등급 \(R\)-대수이고 \(S\)가 등급 집합이라고 하자. 또한 각 \(s \in S\)에 대해 동차 원소 \(f_s \in A\)가 주어져 있고, \(\deg(f_s) = \deg(s) + 1\)이며 \(\text{d}f_s = 0\)이라고 하자. 그러면 \(\text{d}(s) = f_s\)가 되게 하는 \(A\langle S \rangle\) 위의 미분 등급 대수 구조가 유일하게 존재한다. 예를 들어 \(a, b, c \in A\)와 \(s, t \in S\)가 주어지면 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align*} \text{d}(asbtc) & = \text{d}(a)sbtc + (-1)^{\deg(a)}a f_s b t c + (-1)^{\deg(a) + \deg(s)} as\text{d}(b)tc \\ & + (-1)^{\deg(a) + \deg(s) + \deg(b)} asb f_t c + (-1)^{\deg(a) + \deg(s) + \deg(b) + \deg(t)} asbt\text{d}(c) \end{align*}\] 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((B, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. 다음 성질을 갖는 미분 등급 \(R\)-대수의 유사동형 \((A, \text{d}) \to (B, \text{d})\)가 존재한다.

1. \(A\)는 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄이다.

2. \(A\)는 자유 등급 \(R\)-대수이다.

증명

먼저 (1)과 (2)를 가지며 코호몰로지 위의 전사를 유도하는 \((A_0, \text{d}) \to (B, \text{d})\)를 찾을 수 있다고 주장한다. 실제로 등급 집합 \(S\)를 택하고, 각 \(s \in S\)에 대해 차수가 \(\deg(s)\)인 동차 원소 \(b_s \in \Ker(d : B \to B)\)를 택하여, \(H^*(B)\) 안의 동치류 \(\overline{b}_s\)들이 \(H^*(B)\)를 \(R\)-가군으로서 생성하게 한다. 이제 \(A_0 = R\langle S \rangle\)에 영 미분을 주고, \(s\)를 \(b_s\)로 보내는 사상 \(A_0 \to B\)를 정의하면 된다.

코호몰로지 위의 전사를 유도하는 \(A_0 \to B\)가 주어졌다고 하자. 귀납적으로 열

\[A_0 \to A_1 \to A_2 \to \ldots B\] 을 구성한다. \(A_n \to B\)가 주어졌을 때 \(S_n\)을 등급 집합으로 잡고, 각 \(s \in S_n\)에 대해 차수가 \(\deg(s) + 1\)인 동차 원소 \(a_s \in \Ker(\text{d} : A_n \to A_n)\)를 택한다. 그 상 \(\overline{a}_s\)는 \(H^*(A_n)\) 안의 동치류이고 \(H^*(B)\)에서 영으로 간다. 원소 \(\overline{a}_s\)들이 \(\Ker(H^*(A_n) \to H^*(B))\)를 \(R\)-가군으로서 생성하도록 \(S_n\)을 충분히 크게 택한다. 그런 다음 \[A_{n + 1} = A_n\langle S_n \rangle\] 으로 놓고, 위 논의에서처럼 미분을 \(\text{d}(s) = a_s\)로 정의한다.

그러면 각 \((A_n, \text{d})\)는 (1)과 (2)를 만족한다. 세부사항은 생략한다. \(H^*(A_n) \to H^*(B)\)는 \(n = 0\)일 때 전사였으므로 전사이다.

\(A = \colim A_n\)이 자유 등급 \(R\)-대수임은 자명하다. More on Algebra, Lemma 06Y3에 의해 이는 K-평탄이다. 사상 \(H^*(A) \to H^*(B)\)는 전사이면서 단사이므로 동형이다. 실제로 \(H^*(A)\)의 모든 원소는 어떤 \(n\)에 대한 \(H^*(A_n)\)의 원소에서 오며, 그것이 \(H^*(B)\)에서 사라지면 \(H^*(A_{n + 1})\)에서 사라지고 따라서 \(H^*(A)\)에서도 사라진다.

응용으로 Lemma 0BZ5의 “올바른” 판을 증명한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\), \((C, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(D(R)\)에서 \(A \otimes_R C\)가 \(A \otimes^\mathbf{L}_R C\)를 나타낸다고 가정하자. \(N\)을 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군, \(N'\)을 미분 등급 \((B, C)\)-쌍가군이라 하자. 그러면 합성 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] 은 어떤 미분 등급 \((A, C)\)-쌍가군 \(N''\)에 대한 \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\)과 동형이다.

증명

Lemma 0BZ7을 사용하여 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄인 \(B'\)과 유사동형 \((B', \text{d}) \to (B, \text{d})\)를 택한다. Lemma 09S6에 의해 함자 \(-\otimes^\mathbf{L}_{B'} B : D(B', \text{d}) \to D(B, \text{d})\)는 동치이고, 그 준역함자는 제한으로 주어진다. 제한은 \(B\)를 \((B, B')\)-쌍가군으로 보았을 때의 함자 \(- \otimes^\mathbf{L}_B B : D(B, \text{d}) \to D(B', \text{d})\)와 표준적으로 동형이다. 따라서 다음 합성들에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. \[D(A) \to D(B) \to D(B'),\quad D(B') \to D(B) \to D(C),\quad D(A) \to D(B') \to D(C).\] 첫 번째는 \(B'\)이 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄이므로 Lemma 09S4이다. 두 번째는 \(B \otimes_B^\mathbf{L} N' = N' = B \otimes_B N'\)이고 따라서 Lemma 0BZ3을 적용할 수 있으므로 참이다. 이로써 \(B\)가 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄인 경우로 환원된다.

\(B\)가 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄이라고 가정하자. (0BZ4)이 동형임을 보이는 것으로 충분하다. Lemma 0BZ5를 보라. \(L\)이 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(R\)-가군인 유사동형 \(L \to A\)를 택하자. 그러면 \(P = L \otimes_R B\)가 미분 등급 \(B\)-가군으로서 성질 (P)를 가짐은 자명하다. 따라서 \(P \to A \otimes_R B\)가 유사동형 \[P \otimes_B (B \otimes_R C) \longrightarrow (A \otimes_R B) \otimes_B (B \otimes_R C)\] 을 유도함을 보여야 한다. 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

\[P \otimes_R B \otimes_R C \longrightarrow A \otimes_R B \otimes_R C\] \(B\)가 \(R\)-가군의 복합체로서 K-평탄이므로, More on Algebra, Lemma 06Y0에 의해 \[P \otimes_R C \to A \otimes_R C\] 가 유사동형임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 정확히 우리의 가정이다.

다음 보조정리는 실제로 이 절에 속하지 않지만, 이를 둘 만한 자연스럽고 좋은 위치가 없는 듯하다.

보조정리

\((A, \text{d})\)를 각 \(i\)에 대해 \(H^i(A)\)가 가산인 미분 등급 대수라 하자. \(M\)을 \(D(A, \text{d})\)의 객체라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(D(A, \text{d})\)에서 \(E_n\)이 콤팩트인 \(M = \text{hocolim} E_n\)이다.

2. 각 \(i\)에 대해 \(H^i(M)\)은 가산이다.

증명

(1)이 성립한다고 가정하자. Derived Categories, Lemma 0CRK에 의해 \(H^i(M) = \colim H^i(E_n)\)이다. 따라서 각 \(n\)에 대해 \(H^i(E_n)\)이 가산임을 증명하면 충분하다. Proposition 09R3에 의해 \(E_n\)은 \(D(A, \text{d})\)에서, 미분 등급 부분가군들에 의한 유한 필트레이션 \(F_\bullet\)을 갖고 \(F_jP/F_{j - 1}P\)가 \(A\)의 시프트들의 유한 직합인 미분 등급 가군 \(P\)의 직합인자와 동형이다. 가정에 의해 군 \(H^i(F_jP/F_{j - 1}P)\)는 가산이다. 필트레이션의 길이에 관해 귀납하고 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 (2)가 성립한다. 흥미로운 함의는 그 역방향이다.

포함 사상 \(A' \to A\)가 코호몰로지 위의 동형을 정의하도록 하는 가산 미분 등급 부분대수 \(A' \subset A\)가 존재한다고 주장한다. \(A'\)를 구성하기 위해 가산 미분 등급 부분대수들 \[A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots\] 을 다음과 같이 택한다. (a) \(H^i(A_1) \to H^i(A)\)는 전사이고, (b) \(n > 1\)이면 사상 \(H^i(A_{n - 1}) \to H^i(A_n)\)의 핵은 사상 \(H^i(A_{n - 1}) \to H^i(A)\)의 핵과 같다. \(A_1\)을 구성하려면 \(A\)의 코호몰로지를 (환으로서 또는 등급 아벨군으로서) 생성하는 가산 쌍대사슬 모음 \(S \subset A\)를 아무거나 택하고, \(S\)가 생성하는 \(A\)의 미분 등급 부분대수를 \(A_1\)이라 한다.

\(A_{n - 1}\)에서 \(A_n\)을 구성하려면, \(H^i(A)\)에서 영으로 가는 각 쌍대사슬 \(a \in A_{n - 1}^i\)에 대해 \(\text{d}(s_a) = a\)인 \(s_a \in A^{i - 1}\)를 택하고, \(A_{n - 1}\)과 원소들 \(s_a\)가 생성하는 \(A\)의 미분 등급 부분대수를 \(A_n\)이라 한다. 마지막으로 \(A' = \bigcup A_n\)으로 놓는다.

Lemma 09S6에 의해 제한 사상 \(D(A, \text{d}) \to D(A', \text{d})\), \(M \mapsto M_{A'}\)는 동치이다. \(M\)과 \(M_{A'}\)의 코호몰로지 군들이 같으므로, \((A', \text{d})\)에 대해 함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)을 증명하면 충분하다.

\(A\)가 가산이라고 가정하자. 위와 정확히 같은 유형의 논증으로, \(D(A, \text{d})\)의 \(M\)에 대해 다음 두 조건이 서로 동치임을 알 수 있다. 각 \(i\)에 대해 \(H^i(M)\)이 가산이다. 그리고 \(M\)은 가산 미분 등급 가군으로 나타낼 수 있다. 따라서 함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)을 증명하기 위해 다음 문단의 상황으로 환원된다.

\(A\)가 가산이고 \(M\)이 \(A\) 위의 가산 미분 등급 가군이라고 가정하자. 다음을 만족하는 미분 등급 \(A\)-가군의 준동형 \(P \to M\)이 존재한다고 주장한다.

1. \(P \to M\)은 유사동형이다.

2. \(P\)는 성질 (P)를 갖는다.

3. \(P\)는 가산이다.

Lemma 09KP의 P-분해 구성 증명을 살펴보면, 가산 미분 등급 가군의 상황에서 Lemma 09KN를 증명할 수 있음을 보이는 것으로 충분하다. 이는 그 증명에서 즉시 따른다.

\(A\)가 가산이고 \(M\)이 성질 (P)를 갖는 가산 미분 등급 가군이라고 가정하자. 다음과 같은 미분 등급 부분가군들에 의한 필트레이션을 택하자. \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] 이 필트레이션은 다음을 만족한다.

1. \(P = \bigcup F_pP\)이다.

2. \(F_iP \to F_{i + 1}P\)는 허용 단사사상이다.

3. 어떤 집합들 \(J_i\)와 정수들 \(k_j\)에 대한 미분 등급 가군의 동형 \(F_iP/F_{i - 1}P \to \bigoplus_{j \in J_i} A[k_j]\)가 존재한다.

물론 각 \(i\)에 대해 \(J_i\)는 가산이다. 각 \(i\)와 \(j \in J_i\)에 대해, \(F_iP/F_{i - 1}P\) 안에서 \(j\)에 대응하는 직합인자를 생성하는 상을 갖는 차수 \(k_j\)의 원소 \(x_{i, j} \in F_iP\)를 택한다.

주장: \(n\)과 유한 부분집합 \(S_i \subset J_i\), \(i = 1, \ldots, n\)이 주어지면, \(P\)의 미분 등급 부분가군이 되는 \(P' = \bigoplus_{i \leq n} \bigoplus_{j \in T_i} Ax_{i, j}\)가 존재하도록 하는 유한 부분집합 \(S_i \subset T_i \subset J_i\), \(i = 1, \ldots, n\)이 존재한다. 이는 Lemma 09R2의 증명에서 보였지만 직접 보이기도 쉽다. 원소들 \(x_{i, j}\)는 오른쪽 \(A\)-가군으로서 \(P\)를 자유롭게 생성한다. \(P\)의 구조로부터

\[\text{d}(x_{i, j}) = \sum\nolimits_{i' < i} x_{i', j'}a_{i', j'}\] 이고, 물론 이 합은 유한하다. 따라서 \(S_0, \ldots, S_n\)이 주어지면, 먼저 모든 \(j \in S_n\)에 대해 \(\text{d}(x_{n, j}) \in \bigoplus_{i' < n, j' \in S'_{i'}} x_{i', j'}A\)가 되도록 \(S_0 \subset S'_0, \ldots, S_{n - 1} \subset S'_{n - 1}\)을 택할 수 있다. 그런 다음 \(n\)에 관한 귀납법으로, \(\bigoplus_{i' < n, j' \in T_{i'}} x_{i', j'}A\)가 미분 등급 \(A\)-부분가군이 되도록 \(S'_0 \subset T_0, \ldots, S'_{n - 1} \subset T_{n - 1}\)을 택할 수 있다. \(T_n = S_n\)으로 놓으면 \(P' = \bigoplus_{i \leq n, j \in T_i} x_{i, j}A\)가 원하는 가군임을 알 수 있다.

이 주장으로부터 \(P = \bigcup P'_n\)이 위와 같은 \(P'_n\)들의 가산 증가 합집합임은 자명하다. 구성상 각 \(P'_n\)은 성질 (P)를 갖는 미분 등급 가군이고, 필트레이션은 유한하며 연이은 몫들은 \(A\)의 시프트들의 유한 직합이다. 따라서 \(P'_n\)은 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 객체를 정의한다. 예를 들어 Proposition 09R3을 보라. Lemma 0CRL에 의해 \(D(A, \text{d})\)에서 \(P = \text{hocolim} P'_n\)이므로 함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)의 증명이 끝난다.