변형 이론

서론

이 장의 목표는 가군과 사상 등의 변형 이론을 비교적 쉽게 소개하는 것이다. 여기서는 소박한 코탄젠트 복합체를 사용하여 증명할 수 있는 결과들을 다룬다. 코탄젠트 복합체를 다루는 다음 장에서는 이 결과들을 조금 더 확장한다. 더 깊이 공부하려는 독자는 이 주제에 관한 Illusie의 논저 [cotangent]를 참고할 수 있다.

환의 변형과 소박한 코탄젠트 복합체

이 절에서는 소박한 코탄젠트 복합체를 사용하여 약간의 변형 이론을 전개한다. 먼저 핵이 제곱이 영인 아이디얼 \(I\)인 전사 환 준동형 \(A' \to A\)를 잡는다. 또한 환 준동형 \(A \to B\), \(B\)-가군 \(N\), 그리고 \(A\)-가군 준동형 \(c : I \to N\)이 주어졌다고 하자. 다음 도표의 물음표 자리를 채우는 대상을 찾을 수 있는지가 이 절의 첫 번째 문제이다. [08S4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u]^c \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 또 그러한 해가 존재할 때 얼마나 유일한지도 묻는다. 더 정확히 말하면, 핵이 제곱이 영인 아이디얼이며 \(N\)과 동일시되고, \(A' \to B'\)가 주어진 준동형 \(c\)를 유도하는 \(A'\)-대수의 전사 준동형 \(B' \to B\)를 찾는다. 이러한 \(B'\)를 (08S4)의 해라고 부른다.

보조정리

다음과 같은 가환 도표가 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & N_2 \ar[r] & B'_2 \ar[r] & B_2 \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & I_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & A'_2 \ar[u] \ar[r]|\hole & A_2 \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N_1 \ar[ruu] \ar[r] & B'_1 \ar[r] & B_1 \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & A'_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 앞쪽과 뒤쪽이 (08S4)의 해이면 다음이 성립한다.

1. 다음 군에는 표준적인 원소가 존재한다. \(\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}, N_2)\) 이 원소가 영이라는 것은 도표를 가환시키는 환 준동형 \(B'_1 \to B'_2\)가 존재하기 위한 필요충분조건이다.

2. 도표를 가환시키는 준동형 \(B'_1 \to B'_2\)가 존재하면, 그러한 모든 준동형의 집합은 \(\Hom_{B_1}(\Omega_{B_1/A_1}, N_2)\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

\(E=B_1\)을 집합으로 보자. 핵이 \(J\)인 전사 준동형 \(A_1[E] \to B_1\)을 생각하자. 이는 다음 식으로 소박한 코탄젠트 복합체를 정의할 때 사용하는 전사 준동형이다. \[\NL_{B_1/A_1} = (J/J^2 \to \Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes_{A_1[E]} B_1)\] 가환대수학, 절 00S0를 보라. \(\Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1\)은 자유 \(B_1\)-가군이므로 \[\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}, N_2) = \frac{\Hom_{B_1}(J/J^2, N_2)} {\Hom_{B_1}(\Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1, N_2)}\] 이다. 오른쪽 가군 안에 장애 원소를 구성하자. \(J'=\Ker(A'_1[E]\to B_1)\)로 놓는다. 핵이 \(I_1A'_1[E]\)인 전사 준동형 \(J'\to J\)가 있음에 유의하자. 각 \(e\in E\)에 대응하는 변수를 \(x_e\in A_1[E]\)라 쓰자. \(B_1\)에서 \(x_e\)의 상을 들어 올린 \(y_e\in B'_1\)과, \(B_2\)에서 \(x_e\)의 상을 들어 올린 \(z_e\in B'_2\)를 택한다. 이 선택들은 다음 \(A'_1\)-대수 준동형들을 정한다. \[A'_1[E] \to B'_1 \quad\text{그리고}\quad A'_1[E] \to B'_2\] 첫 번째 준동형은 \(J'\to N_1\), \(f'\mapsto f'(y_e)\)를 주고, 두 번째 준동형은 \(J'\to N_2\), \(f'\mapsto f'(z_e)\)를 준다. 계산하면 이 두 준동형은 \((J')^2\)을 영으로 보낸다. 도표에서 \(c_1\)과 \(c_2\)가 들어 있는 왼쪽 정사각형이 가환하므로, \(N_2\)로 가는 준동형으로 보았을 때 둘은 \(I_1A'_1[E]\) 위에서 일치한다. \(B'_1\)은 \(J'\to A'_1[E]\)와 \(J'\to N_1\)의 밀어내기임에 유의하자. 따라서 \(J'\to N_1\to N_2\)와 \(J'\to N_2\)가 일치하면 도표를 가환시키는 준동형 \(B'_1\to B'_2\)를 얻는다. 이제 다음 준동형의 동치류를 장애 원소로 삼는다. \[J/J^2 \to N_2,\quad f \mapsto f'(z_e) - \nu(f'(y_e))\] 여기서 \(\nu:N_1\to N_2\)는 주어진 준동형이고 \(f'\in J'\)는 \(f\)의 한 올림이다. 위의 논의로부터 이는 잘 정의된다. 어떤 \(\delta_{i,e}\in N_i\)에 대하여 \(z_e\)를 \(z_e+\delta_{2,e}\)로, \(y_e\)를 \(y_e+\delta_{1,e}\)로 바꿀 자유가 있다. 그러면 위 준동형은 다음과 같이 바뀐다. \[f \mapsto f'(z_e + \delta_{2, e}) - \nu(f'(y_e + \delta_{1, e})) = f'(z_e) - \nu(f'(z_e)) + \sum (\delta_{2, e} - \nu(\delta_{1, e}))\frac{\partial f}{\partial x_e}\] 이는 정확히 \(J/J^2\to N_2\)를 합성 준동형 \(J/J^2\to\Omega_{A_1[E]/A_1}\otimes B_1\to N_2\)만큼 바꾸는 것이다. 여기서 두 번째 준동형은 \(\text{d}x_e\)를 \(\delta_{2,e}-\nu(\delta_{1,e})\)로 보낸다. 따라서 장애 원소는 잘 정의되며, 그 값이 영인 것과 올림이 존재하는 것은 동치이다.

(2)는 다음 관찰에서 따른다. 도표를 가환시키는 두 준동형 \(\varphi,\psi:B'_1\to B'_2\)가 주어지면 \(\varphi-\psi\)는 \(A_1\)-미분 \(D:B_1\to N_2\)를 거쳐 분해된다. \[\begin{align*} D(fg) & = \varphi(f'g') - \psi(f'g') \\ & = \varphi(f')\varphi(g') - \psi(f')\psi(g') \\ & = (\varphi(f') - \psi(f'))\varphi(g') + \psi(f')(\varphi(g') - \psi(g')) \\ & = gD(f) + fD(g) \end{align*}\] 따라서 \(D\)는 유일한 \(B_1\)-선형 준동형 \(\Omega_{B_1/A_1}\to N_2\)에 대응한다. 역으로 그러한 선형 준동형에서 미분 \(D\)를 얻는다. 도표를 가환시키는 환 준동형 \(\psi:B'_1\to B'_2\)가 하나 주어지면 \(\psi+D\) 역시 도표를 가환시키는 또 다른 환 준동형이다.

보조정리

(08S4)의 해가 존재하면, 해의 동형류들의 집합은 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

(08S4)의 두 해 \(B'_1\), \(B'_2\)가 주어지면 보조정리 08S5에 의해 준동형 \(B'_1\to B'_2\)의 존재에 대한 장애 원소 \(o(B'_1,B'_2)\in\Ext^1_B(\NL_{B/A},N)\)을 얻는다. 이 원소는 분명히 동형의 존재에 대한 장애이므로 동형류들을 구별한다. 따라서 증명을 끝내기 위해서는 해 \(B'\)와 원소 \(\xi\in\Ext^1_B(\NL_{B/A},N)\)가 주어졌을 때 \(o(B',B'_\xi)=\xi\)를 만족하는 두 번째 해 \(B'_\xi\)를 찾을 수 있음을 보이면 충분하다.

\(E=B\)를 집합으로 보자. 핵이 \(J\)인 전사 준동형 \(A[E]\to B\)를 생각하자. 이는 다음 식으로 소박한 코탄젠트 복합체를 정의할 때 쓰인다. \[\NL_{B/A} = (J/J^2 \to \Omega_{A[E]/A} \otimes_{A[E]} B)\] 가환대수학, 절 00S0를 보라. \(\Omega_{A[E]/A}\otimes B\)는 자유 \(B\)-가군이므로 \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N) = \frac{\Hom_B(J/J^2, N)} {\Hom_B(\Omega_{A[E]/A} \otimes B, N)}\] 따라서 \(\xi\)를 준동형 \(\delta:J/J^2\to N\)의 동치류로 나타낼 수 있다.

각 \(e\in E\)에 대응하는 변수를 \(x_e\in A[E]\)라 쓰자. \(B\)에서 \(x_e\)의 상을 들어 올린 \(y_e\in B'\)를 택한다. 이 선택들은 \(A'\)-대수 준동형 \(\varphi:A'[E]\to B'\)를 정한다. \(J'=\Ker(A'[E]\to B)\)로 놓는다. \(\varphi\)는 준동형 \(\varphi|_{J'}:J'\to N\)을 유도하며, 다음 도표와 같이 \(B'\)는 밀어내기이다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & J' \ar[u]^{\varphi|_{J'}} \ar[r] & A'[E] \ar[u] \ar[r] & B \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] \(\psi:J'\to N\)을 \(\varphi|_{J'}\)와 다음 합성 준동형의 합으로 둔다. \[J' \to J'/(J')^2 \to J/J^2 \xrightarrow{\delta} N.\] 그러면 \(\psi\)에 따른 밀어내기는 위와 같은 도표를 이루는 또 하나의 환 확대 \(B'_\xi\)이다. 계산하면 원하는 대로 \(o(B',B'_\xi)=\xi\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(A\)를 환, \(B\)를 \(A\)-대수, \(N\)을 \(B\)-가군이라 하자. 다음과 같은 \(A\)-대수 확대들의 동형류 집합을 생각하자. \[0 \to N \to B' \to B \to 0\] 여기서 \(N\)은 제곱이 영인 아이디얼이다. 이 집합은 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A},N)\)과 표준적으로 전단사 대응한다.

증명

이를 보이기 위해 (08S4)이 다음 도표로 주어지는 경우에 앞의 결과들을 적용한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & A \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 그러면 이 보조정리는 보조정리 08S7와 해 \(N\oplus B\)가 존재한다는 사실에서 따른다. 전단사 대응의 직접적인 구성은 다음 주를 보라.

주

\(A\to B\)와 \(N\)은 보조정리 0GPT에서와 같다고 하자. \(\alpha:P\to B\)를 \(A\) 위에서의 \(B\)의 표시라 하자. 가환대수학, 절 00S0를 보라. \(J=\Ker(\alpha)\)로 놓으면, \(\alpha\)에 딸린 소박한 코탄젠트 복합체 \(\NL(\alpha)\)는 복합체 \(J/J^2\to\Omega_{P/A}\otimes_P B\)이다. 또한 \[\Ext^1_B(\NL(\alpha), N) = \Coker\left(\Hom_B(\Omega_{P/A} \otimes_P B, N) \to \Hom_B(J/J^2, N)\right)\] 이다. 이는 \(\Omega_{P/A}\)가 자유 가군이기 때문이다. 보조정리에 나오는 확대 \(0\to N\to B'\to B\to0\)을 생각하자. \(P\)는 \(A\) 위의 다항식 대수이므로 \(\alpha\)를 \(A\)-대수 준동형 \(\alpha':P'\to B'\)로 들어 올릴 수 있다. \(N\)은 \(B'\) 안에서 제곱이 영이므로 \(\alpha'|_J:J\to N\)은 \(J\to J/J^2\to N\)으로 분해된다. 보조정리의 대응은 이 확대를 위에 표시한 여핵 안의 준동형 \(J/J^2\to N\)의 동치류로 보낸다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\to C\), \(B\)-가군 \(M\), \(C\)-가군 \(N\), \(B\)-선형 준동형 \(c:M\to N\), 그리고 핵의 제곱이 영인 다음 \(A\)-대수 확대들이 주어졌다고 하자.

1. \(\xi\in\Ext^1_B(\NL_{B/A},M)\)에 대응하는 \(0\to M\to B'\to B\to0\),

2. \(\zeta\in\Ext^1_C(\NL_{C/A},N)\)에 대응하는 \(0\to N\to C'\to C\to0\).

보조정리 0GPT를 보라. 이때 \(B\to C\)와 \(c\)에 양립하는 \(A\)-대수 준동형 \(B'\to C'\)가 존재하는 것과 \(\xi\), \(\zeta\)가 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A},N)\)의 같은 원소로 가는 것은 동치이다.

증명

이 주장은 다음 준동형들이 있으므로 의미가 있다. \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}, M) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\] 첫 번째 것은 준동형 \(M\to N\)을 사용한다. 또한 \[\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\] 도 있다. 여기서 첫 번째 화살표는 제한 준동형 \(D(C)\to D(B)\)를, 두 번째 화살표는 복합체의 표준 준동형 \(\NL_{B/A}\to\NL_{C/A}\)를 사용한다. 보조정리 08S5을 다음 도표에 적용하면 본 보조정리의 주장을 얻을 수 있다. \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & C \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r]|\hole & A \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[ruu] \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 여기에 보조정리 0GPT와 08S5의 증명에 나오는 구성들의 양립성을 사용한다. 그 양립성의 정확한 진술과 증명은 생략한다. 직접적인 논증은 다음 주를 보라.

주

\(A\to B\to C\), \(M\), \(N\), \(c:M\to N\), \(0\to M\to B'\to B\to0\), \(\xi\in\Ext^1_B(\NL_{B/A},M)\), \(0\to N\to C'\to C\to0\), \(\zeta\in\Ext^1_C(\NL_{C/A},N)\)은 보조정리 0GPV에서와 같다고 하자. \(c:M\to N\)에 따른 밀어내기로 다음 확대를 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & B'_1 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[u]^c \ar[r] & B' \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 여기서 \(M\)은 반대각선으로 매장되며 \(B'_1=(N\times B')/M\)이다. \(B\to C\)에 따른 당김으로 다음 확대를 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & C \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[u] \ar[r] & B'_2 \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 여기서 \(B'_2=C'\times_C B\)는 환의 섬유곱이다. 간단한 도표 추적에 따르면 \(B\to C\)와 \(c\)에 양립하는 \(A\)-대수 준동형 \(B'\to C'\)가 존재하는 것과, \(B\)를 \(N\)으로 확대한 \(A\)-대수 확대들로서 \(B'_1\)과 \(B'_2\)가 동형인 것은 동치이다. 따라서 보조정리 0GPV을 보이려면, 보조정리 0GPT의 전단사 대응 아래에서 \(B'_1\)이 다음 준동형에 의한 \(\xi\)의 상에 대응하고 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, M) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) 또 \(B'_2\)가 다음 준동형에 의한 \(\zeta\)의 상에 대응함을 보이면 충분하다. \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\). 첫 번째 주장은 주 0GPU에서 동치류를 구성한 방법으로부터 곧바로 따른다. 두 번째 주장을 위해 다음과 같은 \(A\)-대수의 가환 도표를 택하자. \[\xymatrix{ Q \ar[r]_\beta & C \\ P \ar[u]^\varphi \ar[r]^\alpha & B \ar[u] }\] 여기서 \(\alpha\)는 \(A\) 위에서의 \(B\)의 표시이고 \(\beta\)는 \(A\) 위에서의 \(C\)의 표시이다. 주 0GPU와 거기에 적힌 참고 문헌을 보라. \(J=\Ker(\alpha)\), \(K=\Ker(\beta)\)로 놓는다. \(\varphi\)는 복합체의 준동형 \(\NL(\alpha)\to\NL(\beta)\), 특히 \(\bar\varphi:J/J^2\to K/K^2\)를 유도한다. \(\beta\)의 올림인 \(A\)-대수 준동형 \(\beta':Q\to C'\)를 택한다. 그러면 \(\alpha' = (\beta' \circ \varphi, \alpha) : P \to B'_2 = C' \times_C B\) 는 \(\alpha\)의 올림이다. 이 선택 아래에서 \(\beta'\)가 유도하는 준동형 \(K/K^2\to N\)과 \(\bar\varphi:J/J^2\to K/K^2\)의 합성은 \(\alpha'\)를 \(J/J^2\)에 제한한 준동형이다. 주 0GPU에서 동치류를 구성한 방법을 풀어 쓰면, \(B'_2\)가 다음 준동형에 의한 \(\zeta\)의 상에 대응함을 알 수 있다. \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\).

보조정리

\(0\to I\to A'\to A\to0\), \(A\to B\), \(c:I\to N\)은 (08S4)에서와 같다고 하자. 보조정리 0GPT에 의해 \(A\)를 \(I\)로 확대한 확대 \(A'\)에 대응하는 원소를 \(\xi\in\Ext^1_A(\NL_{A/A'},I)\)라 쓰자. 해의 동형류 집합은 다음 준동형의 \(\xi\)의 상 위의 섬유와 표준적으로 전단사 대응한다. \[\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N) \to \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N)\]

증명

\(A'\to B\)와 \(B\)-가군 \(N\)에 보조정리 0GPT를 적용하면, \(\Ext^1_B(\NL_{B/A'},N)\)의 원소 \(\zeta\)들이 \(A'\)-대수 확대 \(0\to N\to B'\to B\to0\)을 매개화함을 알 수 있다. \(A'\to A\to B\)와 \(c:I\to N\)에 보조정리 0GPV을 적용하면, \(c\)와 \(A\to B\)에 양립하는 \(A'\)-대수 준동형 \(A'\to B'\)가 존재하는 것과 \(\zeta\)가 \(\xi\)로 가는 것은 동치이다. 이는 물론 \(B'\)가 (08S4)의 해라는 것과 같은 말이다.

주

보조정리 0GPX의 상황에서는 \[\Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A B, N)\] 임에 유의하자. 첫 번째 등식은 대수학 심화, 보조정리 0GMT에서, 두 번째 등식은 대수학 심화, 보조정리 0FUY에서 따른다. 다음과 같은 복합체의 준동형들이 있다. \[\NL_{A/A'} \otimes_A B \to \NL_{B/A'} \to \NL_{B/A}\] 이는 완전 삼각형에 매우 가깝다. 가환대수학, 보조정리 00S2을 보라. 만약 이것이 완전 삼각형이라면 \(\Ext^2_B(\NL_{B/A},N)\)에서 \(\xi\)의 상이 (08S4)의 해가 존재하는 데 대한 장애 원소라고 결론 내릴 수 있을 것이다.

환 준동형 \(A\to B\)가 국소 완전 교차이면 해가 존재한다. 이는 일종의 올림 결과이다. 신토믹 환 준동형에 대해서는 환 준동형의 평활화, 명제 07M8에서 이미 상당히 강한 올림 결과를 증명했음에 유의하자.

보조정리

\(A\to B\)가 국소 완전 교차 환 준동형이면 (08S4)의 해가 존재한다.

증명

\(B=A[x_1,\ldots,x_n]/J\)로 쓰자. 대수학 심화, 정의 07D0 에 의해 아이디얼 \(J\)는 Koszul-정칙이다. 따라서 \(J\)는 \(H_1\)-정칙이고 준정칙이다. 대수학 심화, 절 07CU를 보라. \(J'\subset A'[x_1,\ldots,x_n]\)를 \(J\)의 역상이라 하고, \(I[x_1,\ldots,x_n]\)을 \(A'[x_1,\ldots,x_n]\to A[x_1,\ldots,x_n]\)의 핵이라 쓰자. 대수학 심화, 보조정리 07CX에 의해 \(I[x_1, \ldots, x_n] \cap (J')^2 = J'I[x_1, \ldots, x_n] = JI[x_1, \ldots, x_n]\)이다. 따라서 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to I \otimes_A B \to J'/(J')^2 \to J/J^2 \to 0\] 또 \(J/J^2\)은 사영 가군이므로(대수학 심화, 보조정리 08RK) 이 완전열의 분할을 택할 수 있다. \[J'/(J')^2 = I \otimes_A B \oplus J/J^2\] \((J')^2\subset J''\subset J'\)를 위 분해의 두 번째 직합 인자로 가는 원소들의 집합이라 하자. 그러면 \[0 \to I \otimes_A B \to A'[x_1, \ldots, x_n]/J'' \to B \to 0\] 는 \(N=I\otimes_A B\)인 경우의 (08S4)의 해이다. 일반적인 경우는 주어진 준동형 \(I\otimes_A B\to N\)에 따른 밀어내기를 취하여 얻는다.

증명

이 증명을 읽기 전에 주 0GPY를 읽어 두자. 대수학 심화, 보조정리 07D4에 의해 준동형들 \(\NL_{A/A'}\otimes_A B\to\NL_{B/A'}\to\NL_{B/A}\)는 \(D(B)\)에서 실제로 완전 삼각형을 이룬다. 따라서 \(\Ext^2_B(\NL_{B/A},N)\)이 영임을 보이면 충분하다. 대수학 심화, 보조정리 0FV0에 의해 복합체 \(\NL_{B/A}\)는 Tor-진폭이 \([-1,0]\)에 놓이는 완전 복합체이다. 예를 들어 대수학 심화, 보조정리 0BCG의 (1)에 의해 이 사실은 위 \(\Ext^2\)가 영임을 뜻한다.

환 달린 공간의 두꺼워짐

이 절과 이어지는 몇 절에서는 다음 개념들을 사용한다.

1. 환 달린 공간 \((X',\mathcal{O}_{X'})\) 위의 아이디얼층 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_{X'}\)의 모든 국소 단면이 국소적으로 멱영이면 \(\mathcal{I}\)를 국소 멱영이라고 한다. 가환대수학, 항목 0543와 비교하라.

2. 환 달린 공간의 두꺼워짐은 다음 조건들을 만족하는 환 달린 공간의 사상 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) 이다.

   1. \(i\)는 위상 동형 \(X\to X'\)를 유도한다.

   2. 준동형 \(i^\sharp:\mathcal{O}_{X'}\to i_*\mathcal{O}_X\)는 전사이다.

   3. \(i^\sharp\)의 핵은 국소 멱영 아이디얼층이다.

3. 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐은 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) 중 \(\Ker(i^\sharp)\)의 제곱이 영인 두꺼워짐이다.

4. 두꺼워짐의 사상, 주어진 환 달린 공간 위의 두꺼워짐의 사상 등은 자명한 방식으로 정의한다.

\(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)가 환 달린 공간의 두꺼워짐이면 두 바탕 위상 공간을 동일시하고 \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{O}_{X'}\), \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\)를 모두 \(X=X'\) 위의 층으로 생각한다. 그러면 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 을 얻는다. 가군층, 보조정리 08KS에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군의 범주와 동치이다. 특히 \(i\)가 1차 두꺼워짐이면 \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

설정

두꺼워짐의 사상 \((f,f')\)은 다음과 같은 환 달린 공간의 가환 도표로 주어진다. [08L0]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]_i \ar[d]_f & (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[d]^{f'} \\ (S, \mathcal{O}_S) \ar[r]^t & (S', \mathcal{O}_{S'}) } } \end{equation}\] 여기서 가로 화살표들은 두꺼워짐이다. 이 상황에서는 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\) 및 \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{S'}\)로 놓는다. 바탕 위상 공간에서 \(f=f'\)이므로 위상적 역상 함자 \(f^{-1}\)과 \((f')^{-1}\)을 동일시한다. 특히 \((f')^\sharp:f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\to\mathcal{O}_{X'}\)은 준동형 \(f^{-1}\mathcal{J}\to\mathcal{I}\)를 유도하고, 따라서 다음 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 준동형을 유도한다. \[(f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\] \(i\)와 \(t\)가 1차 두꺼워짐이면 \((f')^*\mathcal{J}=f^*\mathcal{J}\)이고, 위 준동형은 \(f^*\mathcal{J}\to\mathcal{I}\)가 된다.

정의

상황 08KZ에서 준동형 \((f')^*\mathcal{J}\longrightarrow\mathcal{I}\)가 전사이면 \((f,f')\)을 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 한다.

특히 다음 보조정리는 스킴의 두꺼워짐 사이의 사상 \((f,f'):(X\subset X')\to(S\subset S')\)이 엄격인 것과 \(X=S\times_{S'}X'\)인 것이 동치임을 보인다.

보조정리

상황 08KZ에서 사상 \((f,f')\)이 두꺼워짐의 엄격 사상인 것과 (08L0)이 환 달린 공간의 범주에서 데카르트 도표인 것은 동치이다.

증명

생략한다.

환 달린 공간의 1차 두꺼워짐 위의 가군

이 절에서는 가군의 변형 이론에 필요한 몇 가지 준비 사항을 다룬다. \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. 절 08KY에서 도입한 표기를 자유롭게 사용하며, 특히 바탕 위상 공간들을 동일시한다. 이 절에서는 다음과 같은 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군의 짧은 완전열을 다룬다. [08L4]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] 여기서 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{K}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{F}'\)은 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이다. 이 상황에서는 표준적인 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준동형 \[c_{\mathcal{F}'} : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{K}\] 이 있다. 여기서 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\)이다. 구체적으로, \(\mathcal{I}\)의 국소 단면 \(f\)와 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면 \(s\)에 대해 \(s\)를 들어 올리는 \(\mathcal{F}'\)의 국소 단면을 \(s'\)라 하고 \(c_{\mathcal{F}'}(f\otimes s)=fs'\)로 둔다.

보조정리

\(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. 다음 확대들과 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] (08L4)에서와 같은 준동형 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 및 \(\psi:\mathcal{K}\to\mathcal{L}\)이 주어졌다고 하자.

1. \(\varphi\)와 \(\psi\)에 양립하는 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 준동형 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)이 존재하면 다음 도표는 가환한다. \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\]

2. \(\varphi\)와 \(\psi\)에 양립하는 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 준동형 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)들의 집합은 공집합이 아니면 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{L})\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

(1)은 준동형들의 정의에서 곧바로 따른다. (2)를 보자. \(\varphi'\)과 \(\varphi''\)가 \(\varphi\), \(\psi\)에 양립하는 두 준동형 \(\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)이면 \(\varphi'-\varphi''\)는 다음과 같이 분해된다. \[\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}'\] 가운데 준동형은 가군층, 보조정리 08KS에 의해 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{L})\)의 유일한 원소에서 온다. 역으로 이 군의 원소 \(\alpha\)가 주어지면 위 합성에서 가운데에 \(\alpha\)를 넣어 얻은 준동형을 \(\varphi'\)에 더할 수 있다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. 다음 확대들과 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] (08L4)에서와 같은 준동형 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 및 \(\psi:\mathcal{K}\to\mathcal{L}\)이 주어졌다고 하자. 다음 도표가 가환한다고 가정한다. \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] 그러면 다음 원소가 존재한다. \[o(\varphi, \psi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 이 원소가 영이라는 것은 \(\varphi\)와 \(\psi\)에 양립하는 준동형 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)이 존재하기 위한 필요충분조건이다.

증명

다음 확대를 명시적으로 구성할 수 있다. \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{H} \to \mathcal{F} \to 0\] \(\mathcal{H}\)는 다음 복합체의 가운데 코호몰로지로 잡는다. \[\mathcal{K} \xrightarrow{1, - \psi} \mathcal{F}' \oplus \mathcal{G}' \xrightarrow{\varphi, 1} \mathcal{G}\] 표기는 자명하다. 보조정리의 도표가 가환한다는 가정을 사용하여 국소 단면으로 계산하면 \(\mathcal{H}\)가 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. 따라서 \(\mathcal{H}\)는 다음 군의 동치류를 정한다. \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L}) \subset \Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 끝으로 \(\mathcal{H}\)의 동치류는 \(\psi\)에 따른 확대 \(\mathcal{F}'\)의 밀어내기와 \(\varphi\)에 따른 확대 \(\mathcal{G}'\)의 당김의 차이다. 계산은 생략한다. 따라서 \(\mathcal{H}\)의 동치류가 영인 것과 다음과 같은 가환 도표가 존재하는 것은 동치이다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d]_{\psi} & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_\varphi & 0\\ 0 \ar[r] & \mathcal{L} \ar[r] & \mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] 이는 원하는 결론이다.

보조정리

\(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\)와 \(\mathcal{O}_X\)-선형 준동형 \(c : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). 이 주어졌다고 하자. \(c_{\mathcal{F}'}=c\)인 완전열 (08L4)이 하나라도 존재하면, 그러한 확대들의 동형류 집합은 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{K})\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

다음 확대들이 주어졌다고 하자. \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] \(c_{\mathcal{F}'_1}=c_{\mathcal{F}'_2}=c\)라 하자. 확대군에서 두 확대의 차를 취하면(호몰로지 대수학, 절 010I 참조) 다음 확대를 얻는다. \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 여기서 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸된다. 국소 계산은 생략한다. 따라서 이 완전열은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 확대이다. 가군층, 보조정리 08KS를 보라. 역으로 이러한 확대 \(\mathcal{E}\)가 주어지면 \(c_{\mathcal{F}'}\)를 바꾸지 않고 \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-확대 \(\mathcal{F}'\)에 더할 수 있다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\)와 \(\mathcal{O}_X\)-선형 준동형 \(c : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). 이 주어졌다고 하자. 그러면 다음 원소가 존재한다. \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 이 원소가 영이라는 것은 \(c_{\mathcal{F}'}=c\)인 완전열 (08L4)이 존재하기 위한 필요충분조건이다.

증명

먼저 \(\mathcal{K}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 \(c_{\mathcal{F}'}=c\)인 완전열 (08L4)이 실제로 존재함을 보이자. 평탄 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{H}'\)과 전사 준동형 \(\mathcal{H}' \to \mathcal{F}\) 을 택한다. 가군층, 보조정리 05NI를 보라. 그 핵을 \(\mathcal{J}\subset\mathcal{H}'\)라 하자. \(\mathcal{H}'\)은 평탄하므로 \[\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{H}' = \mathcal{I}\mathcal{H}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\] 이다. 다음 준동형은 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)를 영으로 보낸다. \[\mathcal{I}\mathcal{H}' = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{H}' \longrightarrow \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{F} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 실제로 \(f\)가 \(\mathcal{I}\)의 국소 단면이고 \(s\)가 \(\mathcal{H}\)의 국소 단면이면 \(fs\)는 \(f\otimes\overline{s}\)로 간다. 여기서 \(\overline{s}\)는 \(\mathcal{F}\)에서 \(s\)의 상이다. 따라서 다음과 같은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 도표를 얻는다. \[\xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{H}'/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{..>}[d]_\gamma \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-c & \mathcal{K} }\] \(\mathcal{K}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 점선 화살표를 얻는다. \(\gamma\)와 \(\mathcal{J}\to\mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J}\)의 합성을 \(\gamma':\mathcal{J}\to\mathcal{K}\)라 쓰자. 국소 계산에 따르면 다음 밀어내기는 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[r] \ar[d]_{\gamma'} & \mathcal{H}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 보조정리에서 제기한 문제의 해이다.

이제 일반적인 경우를 다루자. \(\mathcal{K}'\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 되도록 매장 \(\mathcal{K}\subset\mathcal{K}'\)을 택한다. 그 몫을 \(\mathcal{Q}\)라 하면 완전열 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{Q} \to 0\] 을 얻는다. 합성 준동형을 \(c':\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}'\)라 쓰자. 앞 문단에 의해 다음과 같은 완전열이 존재한다. \[0 \to \mathcal{K}' \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F} \to 0\] 이는 (08L4)에서와 같고 \(c_{\mathcal{E}'}=c'\)이다. \(c'\)와 \(\mathcal{K}'\to\mathcal{Q}\)의 합성은 영이므로, \(\mathcal{K}'\to\mathcal{Q}\)에 따른 \(\mathcal{E}'\)의 밀어내기는 다음 확대이다. \[0 \to \mathcal{Q} \to \mathcal{D}' \to \mathcal{F} \to 0\] 이는 (08L4)에서와 같고 \(c_{\mathcal{D}'}=0\)이다. 이는 정확히 \(\mathcal{D}'\)가 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸됨을 뜻한다. 다시 말해 \(\mathcal{D}'\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 확대이며 다음 원소를 정한다. \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{Q}) = \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 등식은 위 완전열에 딸린 긴 완전 코호몰로지 열과 단사 가군 \(\mathcal{K}'\)로 가는 고차 Ext 군들의 소멸에서 따른다. \(o(\mathcal{F},\mathcal{K},c)=0\)이면 분할 \(s:\mathcal{F}\to\mathcal{D}'\)를 택하고 \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{E}' \to \mathcal{D}'/s(\mathcal{F}))\] 로 놓을 수 있다. 그러면 완전한 두 행을 가진 다음 도표를 얻으며, \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] & \mathcal{E}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 이는 \(c_{\mathcal{F}'}=c\)임을 보인다. 역으로 \(\mathcal{F}'\)가 존재하면 보조정리 08L7와 단사 가군 \(\mathcal{K}'\)로 가는 고차 Ext 군들의 소멸에 의해, \(\mathcal{K}\to\mathcal{K}'\)에 따른 \(\mathcal{F}'\)의 밀어내기는 \(\mathcal{E}'\)와 동형이다. 이로부터 위와 같은 도표를 얻고, \(\mathcal{D}'\)가 확대로서 분할됨을 알 수 있다. 즉 동치류 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K},c)\)는 영이다.

주

\((X,\mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 1차 두꺼워짐 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)에 대하여 그 왼쪽 역인 환 달린 공간의 사상 \(\pi:(X',\mathcal{O}_{X'})\to(X,\mathcal{O}_X)\)가 존재하면 \(i\)를 자명하다고 한다. 그러한 사상 \(\pi\)의 선택을 이 1차 두꺼워짐의 자명화라고 한다. \(\pi\)가 주어지면 다음 분할을 얻는다. [08LA]\[\begin{equation} \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{I} \end{equation}\] \(\pi^\sharp\)로 전사 준동형 \(\mathcal{O}_{X'}\to\mathcal{O}_X\)를 분할하여 얻은 \(X\) 위의 대수층의 분할이다. 역으로 이러한 분할은 사상 \(\pi\)를 정한다. \((X,\mathcal{O}_X)\)의 자명화된 1차 두꺼워짐들의 범주는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주와 동치이다.

주

\(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 자명한 1차 두꺼워짐이라 하고 \(\pi:(X',\mathcal{O}_{X'})\to(X,\mathcal{O}_X)\)를 그 자명화라 하자. 두 \(\mathcal{O}_X\)-가군과 준동형 \(c : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\) 으로 이루어진 임의의 삼중항 \((\mathcal{F},\mathcal{K},c)\)에 대하여 다음과 같이 놓을 수 있다. \[\mathcal{F}'_{c, triv} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{K}\] \(\pi\)에 딸린 분할 (08LA)과 준동형 \(c\)를 사용하여 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 구조를 정의하면 확대 (08L4)을 얻는다. \(\mathcal{F}'_{c,triv}\)를 \(c\)와 자명화 \(\pi\)에 대응하는, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{K}\)로 확대한 자명한 확대라고 부른다. (08L4)과 같은 임의의 확대 \(\mathcal{F}'\)에 대하여 \(\pi^\sharp:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_{X'}\)를 사용하면 \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 확대로 볼 수 있고, 따라서 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{K})\)의 동치류 \(\xi_{\mathcal{F}'}\)를 얻는다. 보조정리 08L7에 의해 \(\mathcal{F}' \mapsto \xi_{\mathcal{F}'}\) 는 전단사 대응 \[\left\{ \begin{matrix} \text{확대의 동형류}\\ \mathcal{F}'\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4})과 같고 }c = c_{\mathcal{F}'} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 를 유도한다. 또한 자명한 확대 \(\mathcal{F}'_{c,triv}\)는 영 동치류로 간다.

주

\((X,\mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \((X,\mathcal{O}_X)\to(X'_i,\mathcal{O}_{X'_i})\), \(i=1,2\)를 아이디얼층이 \(\mathcal{I}_i\)인 1차 두꺼워짐이라 하자. \(h:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X'_2,\mathcal{O}_{X'_2})\)를 \((X,\mathcal{O}_X)\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. 도표는 \[\xymatrix{ & (X, \mathcal{O}_X) \ar[ld] \ar[rd] & \\ (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \ar[rr]^h & & (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) }\] 와 같다. 특히 \(h^\sharp:\mathcal{O}_{X'_2}\to\mathcal{O}_{X'_1}\)은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준동형 \(\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1\)을 유도한다. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 각 \(i=1,2\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 또한 다음 도표를 가환시키는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준동형 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 그러면 다음과 같은 표준적인 함자성이 있다. \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_2\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4})과 같고 }\\ c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_1\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4})과 같고 }\\ c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1 \end{matrix} \right\}\] 구체적으로 모든 층 \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{O}_{X'_i}\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}_i\) 등을 \(X\) 위의 층으로 본다. \(\mathcal{F}'_2\)가 주어지면 \(\mathcal{F}'_1\)을 다음 확대 도표에 들어가는 밀어내기로 정의한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1 \ar[r] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 이 밀어내기 위의 \(\mathcal{O}_{X'_1}\)-가군 구조의 구성은 생략한다. 이 구성에는 \(c_1\), \(c_2\)가 들어가는 도표의 가환성이 사용된다.

주

\((X,\mathcal{O}_X)\), \((X,\mathcal{O}_X)\to(X'_i,\mathcal{O}_{X'_i})\), \(\mathcal{I}_i\), \(h:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to (X'_2,\mathcal{O}_{X'_2})\)는 주 08LC에서와 같다고 하자. \(\pi_1=h\circ\pi_2\)를 만족하는 자명화 \(\pi_i:X'_i\to X\)가 주어졌다고 하자. 다시 말해 \(h\)가 \((X,\mathcal{O}_X)\)의 자명화된 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라고 가정한다. 각 \(i=1,2\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 또한 다음 도표를 가환시키는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준동형 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 이 상황에서 주 08LB의 구성은 다음 가환 도표를 유도한다. \[\xymatrix{ \{\mathcal{F}'_2\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4})과 같고 } c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\} \ar[d] \ar[rr] & & \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \ar[d] \\ \{\mathcal{F}'_1\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4})과 같고 } c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1\} \ar[rr] & & \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) }\] 여기서 오른쪽 세로 준동형은 \(\Ext\)의 함자성과 준동형 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)로 주어지고, 왼쪽 세로 준동형은 주 08LC에서 구성한 것이다.

주

\((X,\mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \((X,\mathcal{O}_X)\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상열 \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] 에서 아이디얼층 \(\mathcal{I}_i\) 사이의 대응하는 준동형들이 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{I}_3\to\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1\), 즉 합성이 영인 열을 이루면, 주어진 두꺼워짐의 열을 복합체라고 한다. 이 경우 합성 \((X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X_3',\mathcal{O}_{X'_3})\)은 \((X,\mathcal{O}_X)\to(X'_3,\mathcal{O}_{X'_3})\)을 거쳐 분해된다. 즉 \((X,\mathcal{O}_X)\)의 1차 두꺼워짐 \((X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\)은 자명하며 표준 자명화 \(\pi:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X,\mathcal{O}_X)\)를 갖는다.

\((X,\mathcal{O}_X)\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상열 \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] 에서 아이디얼층 사이의 대응하는 준동형들이 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1 \to 0\] 을 이루면, 주어진 두꺼워짐의 열을 짧은 완전열이라고 한다.

주

\((X,\mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 열을 \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] \((X,\mathcal{O}_X)\)의 1차 두꺼워짐의 복합체라 하자. 주 08LE를 보라. 각 \(i=1,2,3\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 다음과 같은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자. \[0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\] 또 다음 두 도표가 가환한다고 가정한다. \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 } } \quad\text{그리고}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_3} \ar[d] & \mathcal{K}_3 \ar[d] \\ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_2} & \mathcal{K}_2 } }\] 끝으로 \(\mathcal{O}_{X'_2}\)-가군의 확대 \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 이 주어졌다고 하자. 이는 \(\mathcal{K}=\mathcal{K}_2\)인 (08L4)과 같고 \(c_{\mathcal{F}'_2}=c_2\)이다. 주 08LC의 함자성을 적용하여 \(X'_1\) 위의 확대 \(\mathcal{F}'_1\)을 얻을 수 있다. 이 특별한 경우의 \(\mathcal{F}'_1\)은 아래에서 설명한다. 주 08LB에 따라, 주 08LE의 표준 자명화 \(\pi : (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 를 사용하면 \(\xi_{\mathcal{F}'_1} \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\)을 얻는다. 마지막으로 다음 장애 원소가 있다. \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 보조정리 08L8를 보라. 이 상황에서 짧은 완전열 \(0\to\mathcal{K}_3\to\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\to0\)에서 오는 표준 준동형 \[\partial : \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) \longrightarrow \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 이 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\)을 장애 동치류 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_3,c_3)\)로 보낸다고 주장한다.

이 주장을 증명하기 위해 \(\mathcal{K}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 되도록 매장 \(j:\mathcal{K}_3\to\mathcal{K}\)를 택한다. \(j\)를 준동형 \(j':\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}\)로 들어 올릴 수 있다. \(\mathcal{E}'_2=j'_*\mathcal{F}'_2\)를 \(j'\)에 따른 \(\mathcal{F}'_2\)의 밀어내기로 놓는다. 그러면 \(c_{\mathcal{E}'_2}=j'\circ c_2\)이다. 도표로 쓰면 다음과 같다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d]_{j'} & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{E}'_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] \(\mathcal{E}'_3=\mathcal{E}'_2\)로 놓되, \(\mathcal{O}_{X'_3}\to\mathcal{O}_{X'_2}\)를 통해 \(\mathcal{O}_{X'_3}\)-가군으로 본다. 그러면 \(c_{\mathcal{E}'_3}=j\circ c_3\)이다. 보조정리 08L8의 증명은 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_3,c_3)\)를 다음 \(\mathcal{O}_X\)-가군 확대의 동치류의 경계로 구성한다. \[0 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 한편 \(\mathcal{F}'_1=\mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3\)임에 유의하자. 따라서 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\)은 다음 확대의 동치류이다. \[0 \to \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 여기서는 표준 자명화 \(\pi:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X,\mathcal{O}_X)\)의 \(\pi^\sharp\)를 사용하여 이를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 열로 본다. 이제 다음 가환 도표가 있으므로 주장이 따른다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 이 도표는 위에서 주어진 \(\mathcal{O}_X\)-가군 구조들에 대해 \(\mathcal{O}_X\)-선형이다.

환 달린 공간 위 가군의 무한소 변형

\(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. 절 08KY에서 도입한 표기를 자유롭게 사용한다. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)라 놓자. 이 상황에서는 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] 이는 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군의 열이다. \(\mathcal{I}^2 = 0\)이므로 \(\mathcal{I}\mathcal{F}'\) 위의 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 구조는 유일한 \(\mathcal{O}_X\)-가군 구조에서 온다. 따라서 위의 열은 (08L4)과 같은 확대이다. 특히 \(\mathcal{F}' = \mathcal{O}_{X'}\)이면 \(i^*\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X\)이고 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{I}\)이므로 다음 구조층의 열을 되찾는다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\]

보조정리

\(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 준동형이라 하자. \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올리는 방법들의 집합은 공집합이 아니면 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}')\).

증명

이는 보조정리 08L5의 특수한 경우이지만 직접 증명도 제시한다. 다음 가군의 짧은 완전열들이 있다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{I}\mathcal{G}' \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] \(\mathcal{F}'\)에 대해서도 마찬가지이다. \(\mathcal{I}\)의 제곱이 영이므로 \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{I}\mathcal{G}'\) 위의 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 구조는 유일한 \(\mathcal{O}_X\)-가군 구조에서 온다. 따라서 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}') \quad\text{그리고}\quad \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 이고, 이제 보조정리는 다음 완전열에서 따른다. \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G})\] 호몰로지, 보조정리 05AA를 보라.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08KZ에서와 같은 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)라 놓자. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자 (정의 08L1). 그러면 다음 조건들이 동치이다.

1. \(\mathcal{F}'\)는 \(S'\) 위에서 평탄하다.

2. 표준 준동형 \(f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 은 동형사상이다.

더욱이 이 경우 다음 준동형들은 동형사상이다. \[f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\]

증명

\((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이므로 준동형 \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\)은 전사이다. 따라서 마지막 명제는 (2)에서 따른다.

(1)과 (2)의 동치를 증명하자. 이 조건들은 줄기에서 확인해도 된다. \(x \in X \subset X'\)를 상이 \(s = f(x) \in S \subset S'\)인 점이라 하자. \(A' = \mathcal{O}_{S', s}\), \(B' = \mathcal{O}_{X', x}\), \(A = \mathcal{O}_{S, s}\), 그리고 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\)라 놓자. 어떤 제곱이 영인 아이디얼들에 대하여 \(A = A'/J\)이고 \(B = B'/I\)이다. \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이므로 \(I = JB'\)이다. \(M' = \mathcal{F}'_x\) 및 \(M = \mathcal{F}_x\)라 놓자. 그러면 \(M'\)는 \(B'\)-가군이고 \(M\)은 \(B\)-가군이다. \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)이므로 전사 준동형 \(M' \to M\)의 핵은 \(IM' = JM'\)이다. 따라서 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to JM' \to M' \to M \to 0\] 층, 보조정리 0098와 가군, 보조정리 01CB를 사용하여 당김과 텐서곱의 줄기들을 식별하면, 보조정리에 나오는 표준 준동형의 \(x\)에서의 줄기는 다음 준동형임을 알 수 있다. \[(J \otimes_A B) \otimes_B M = J \otimes_A M = J \otimes_{A'} M' \longrightarrow JM'\] \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하다는 가정은 \(M\)이 평탄한 \(A\)-가군이라는 뜻이다.

(1)을 가정하자. 대수학, 보조정리 00M5에 의하면 평탄성으로부터 \(\text{Tor}_1^{A'}(M', A) = 0\)을 얻는다. 대수학, 주 00M6에 의하면 이는 \(J \otimes_{A'} M' \to M'\)가 단사라는 뜻이다. 따라서 \(J \otimes_A M \to JM'\)은 동형사상이다.

(2)를 가정하자. 그러면 \(J \otimes_{A'} M' \to M'\)는 단사이다. 따라서 대수학, 주 00M6에 의해 \(\text{Tor}_1^{A'}(M', A) = 0\)이다. 그러므로 대수학, 보조정리 051C에 의해 \(M'\)는 \(A'\) 위에서 평탄하다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08KZ에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 준동형이라 하자. \(\mathcal{G}'\)가 \(S'\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자. \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올리는 방법들의 집합은 공집합이 아니면 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\]

증명

보조정리 08LH과 08LI을 결합하면 된다.

보조정리

\(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\)를 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 준동형이라 하자. 다음 원소가 존재한다. \[o(\varphi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 이 원소가 영인 것은 \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올릴 수 있기 위한 필요충분조건이다.

증명

보조정리 08LH의 증명으로부터, 다음 준동형에 따른 \(\varphi\)의 경계가 영인 것이 올림의 존재를 위한 필요충분조건임을 알 수 있다. \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 한편 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 는 유도 범주에서의 \(i_* = Ri_*\)와 \(Li^*\)의 수반성에서 따른다 (코호몰로지, 보조정리 079W).

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08KZ에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 준동형이라 하자. \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{G}'\)가 \(S'\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자. 다음 원소가 존재한다. \[o(\varphi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\] 이 원소가 영인 것은 \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올릴 수 있기 위한 필요충분조건이다.

증명

보조정리의 가정 아래 다음 등식이 성립한다고 주장하면, 결과는 보조정리 08LK에서 따른다. \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\] 실제로 보조정리 08LI에 의해 \(\mathcal{I}\mathcal{G}' = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J}\)이다. 한편 다음에 유의하자. \[H^{-1}(Li^*\mathcal{F}') = \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{O}_X)\] (국소 계산은 생략한다). 다음 짧은 완전열을 사용하면 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 이 \(\text{Tor}_1\)은 준동형 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 의 핵으로 계산됨을 알 수 있다. 이 핵은 보조정리 08LI의 마지막 명제에 의해 영이다. 따라서 \(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\)이다. 한편 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 는 유도 범주, 보조정리 05TC의 쌍대형에서 따른다.

증명

보조정리 08L6을 다음과 같이 적용할 수 있다. 보조정리 08LI에 의해 \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\)이고 \(\mathcal{L} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\)이며, \(c_{\mathcal{F}'} = 1 \otimes 1\)이고 \(c_{\mathcal{G}'} = 1 \otimes 1\)이다. \(\psi = 1 \otimes \varphi\)로 택하면 보조정리의 도표가 가환한다. 따라서 \(o(\varphi) = o(\varphi, 1 \otimes \varphi)\)로 택하면 된다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08KZ에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하다고 가정하자. \(S'\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)와 동형사상 \(\alpha : i^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)로 이루어진 쌍 \((\mathcal{F}', \alpha)\)가 하나라도 존재하면, 그러한 쌍들의 동형류 집합은 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

증명

그러한 가군이 하나 존재한다고 가정하면, 보조정리 08LI에 의해 표준 준동형 \[f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 은 동형사상이다. \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) 및 \(c = 1\)로 놓고 보조정리 08L7를 적용하자. 보조정리 08LI에 의해 대응하는 확대 \(\mathcal{F}'\)는 모두 \(S'\) 위에서 평탄하다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08KZ에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하다고 가정하자. \(S'\) 위에서 평탄하며 \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\)를 만족하는 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)가 존재하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

1. 표준 준동형 \(f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) 은 동형사상이다.

2. 보조정리 08L8의 동치류 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 는 영이다.

증명

이는 보조정리 08LI에 주어진 \(S'\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군의 특징짓기와 보조정리 08L8에서 바로 따른다.

환 달린 공간의 평탄한 두꺼워짐 위 평탄한 가군에 대한 응용

다음 환 달린 공간의 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]_i \ar[d]_f & (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[d]^{f'} \\ (S, \mathcal{O}_S) \ar[r]^t & (S', \mathcal{O}_{S'}) }\] 가로 화살표들은 상황 08KZ에서와 같은 1차 두꺼워짐이다. \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\) 및 \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{S'}\)라 놓자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 다음을 가정하자.

1. \((f, f')\)는 두꺼워짐의 엄격 사상이다.

2. \(f'\)는 평탄하다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

(1) \(+\) (2)로부터 \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\)가 따름에 유의하자 (보조정리 08LI을 \(\mathcal{O}_{X'}\)에 적용한다). 이 가정들 아래에서는 앞 절의 이론이 특히 간결해진다. 지금까지 얻은 결과를 다음 보조정리로 요약한다.

보조정리

위 상황에서 다음이 성립한다.

1. \(S'\) 위에서 평탄하고 \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\)를 만족하는 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)가 존재하기 위한 필요충분조건은 보조정리 08L8의 동치류 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 가 영인 것이다.

2. 그러한 가군이 존재하면 올림들의 동형류 집합은 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

3. 올림 \(\mathcal{F}'\)가 주어졌을 때, 당기면 \(\text{id}_\mathcal{F}\)가 되는 \(\mathcal{F}'\)의 자기동형사상들의 집합은 다음 군과 표준적으로 동형이다. \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

증명

위에서 \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\)임을 보았으므로 (1)은 보조정리 08LN에서 따른다. (2)는 보조정리 08LM에서, (3)은 보조정리 08LJ에서 따른다.

설정

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 다음 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ (X'_1, \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (X'_2, \mathcal{O}'_2) \ar[r] \ar[d]_{f'_2} & (X'_3, \mathcal{O}'_3) \ar[d]_{f'_3} \\ (S'_1, \mathcal{O}_{S'_1}) \ar[r] & (S'_2, \mathcal{O}_{S'_2}) \ar[r] & (S'_3, \mathcal{O}_{S'_3}) }\] 여기서 (a) 윗행은 \(X\)의 1차 두꺼워짐들의 짧은 완전열이고, (b) 아랫행은 \(S\)의 1차 두꺼워짐들의 짧은 완전열이며, (c) 각 \(f'_i\)의 제한은 \(f\)이고, (d) 각 쌍 \((f, f_i')\)는 두꺼워짐의 엄격 사상이며, (e) 각 \(f'_i\)는 평탄하다. 끝으로 \(\mathcal{F}'_2\)를 \(S'_2\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}'_2\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'_2|_X\)라 놓자. \(\pi : X'_1 \to X\)를 표준 분할이라 하자 (주 08LE).

보조정리

상황 08VS에서 가군 \(\pi^*\mathcal{F}\)와 \(h^*\mathcal{F}'_2\)는 \(S'_1\) 위에서 평탄하고 \(X\) 위로 제한하면 \(\mathcal{F}\)가 되는 \(\mathcal{O}'_1\)-가군이다. 이 둘의 차이(보조정리 08VR)는 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 의 원소 \(\theta\)이고, 그 경계는 \(\Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 에서 \(\mathcal{F}\)를 \(S'_3\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}'_3\)-가군으로 올리는 데 대한 장애 원소(보조정리 08VR)와 같다.

증명

\(\pi^*\mathcal{F}\)와 \(h^*\mathcal{F}'_2\)는 모두 \(X\) 위로 제한하면 \(\mathcal{F}\)가 되고, \(\pi^*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\)와 \(h^*\mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}\)의 핵은 \(f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\)로 주어진다. 따라서 보조정리 08LI에 의해 평탄하다. 다음 가군의 열이 짧은 완전열이므로 경계를 취할 수 있다. \[0 \to f^*\mathcal{J}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to 0\] 이는 상황 08VS의 가정들과 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하다는 사실에서 따른다. 장애 동치류에 대한 명제는 주 08LF의 결과를 이 특수한 상황에 그대로 옮긴 것이다.

환 달린 공간의 변형과 소박한 코탄젠트 복합체

이 절에서는 소박한 코탄젠트 복합체를 사용하여 변형 이론의 일부를 다룬다. 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐 \(t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})\)에서 시작하자. \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\)라 쓰고 \(S\)와 \(S'\)의 바탕 위상공간을 동일시한다. 또한 환 달린 공간의 사상 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\), 그리고 가군층의 \(f\)-사상 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)가 주어졌다고 가정하자 (층, 정의 008J 및 절 0094). 이 절에서는 다음 도표의 물음표를 채울 수 있는지를 묻는다. [08U7]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] (세로 화살표들은 \(f\)-사상이다.) 또한 해가 존재할 때 얼마나 유일한지도 묻는다. 더 정확히는, 1차 두꺼워짐 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\)과 (08L0)에서와 같은 두꺼워짐의 사상 \((f, f')\)를 찾는다. 여기서 \(\Ker(i^\sharp)\)를 \(\mathcal{G}\)와 동일시하며 \((f')^\sharp\)가 주어진 사상 \(c\)를 유도해야 한다. 이때 \(X'\)를 (08U7)의 해라고 부른다.

보조정리

다음 환 달린 공간의 사상들의 가환 도표가 주어졌다고 가정하자. [08U9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & (X_2, \mathcal{O}_{X_2}) \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{f_2} \ar[ddl]_g & (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \ar[d]^{f'_2} \\ & (S_2, \mathcal{O}_{S_2}) \ar[r]^{t_2} \ar[ddl]|\hole & (S'_2, \mathcal{O}_{S'_2}) \ar[ddl] \\ (X_1, \mathcal{O}_{X_1}) \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{f_1} & (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \ar[d]^{f'_1} \\ (S_1, \mathcal{O}_{S_1}) \ar[r]^{t_1} & (S'_1, \mathcal{O}_{S'_1}) } } \end{equation}\] 가로 화살표들은 1차 두꺼워짐이다. \(\mathcal{G}_j = \Ker(i_j^\sharp)\)라 놓고, 다음 가환 도표를 유도하는 가군의 \(g\)-사상 \(\nu : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\)가 주어졌다고 가정하자. [08UA]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[r] & \mathcal{O}_{X'_2} \ar[r] & \mathcal{O}_{X_2} \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & \mathcal{J}_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & \mathcal{O}_{S'_2} \ar[u] \ar[r]|\hole & \mathcal{O}_{S_2} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G}_1 \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{X'_1} \ar[r] & \mathcal{O}_{X_1} \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J}_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & \mathcal{O}_{S'_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{S_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 이 도표의 앞면과 뒷면은 (08U7)의 해이다.

1. 다음 군에는 표준 원소가 존재한다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2)\) 이 원소가 영인 것은 \(\nu\)와 양립하며 (08U9)에 들어맞는 환 달린 공간의 사상 \(X'_2 \to X'_1\)이 존재하기 위한 필요충분조건이다.

2. \(\nu\)와 양립하며 (08U9)에 들어맞는 사상 \(X'_2 \to X'_1\)이 존재하면, 그러한 모든 사상의 집합은 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_1}}(\Omega_{X_1/S_1}, g_*\mathcal{G}_2) = \Hom_{\mathcal{O}_{X_2}}(g^*\Omega_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2) = \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2).\]

증명

소박한 코탄젠트 복합체 \(\NL_{X_1/S_1}\)은 가군, 정의 08TN에서 정의한다. 보조정리의 마지막 명제에 나오는 등식들은 \(g^*\)가 \(g_*\)의 왼쪽 수반이라는 사실, \(H^0(\NL_{X_1/S_1}) = \Omega_{X_1/S_1}\)이라는 사실(소박한 코탄젠트 복합체의 구성에 의한다), 그리고 \(Lg^*\)가 \(g^*\)의 왼쪽 유도 함자라는 사실에서 따른다. 따라서 증명의 나머지에서는 다음 군들을 사용한다. \(\Ext^k_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\). 먼저 보조정리에 나오는 모든 환 달린 공간의 바탕 위상공간이 같은 경우로 환원할 수 있음을 보이자.

이를 위해 \(g^{-1}\NL_{X_1/S_1}\)이 환층의 준동형 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S_1} \to g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}\)의 소박한 코탄젠트 복합체와 같음에 유의하자. 가군, 보조정리 08TM를 보라. 더욱이 \(\NL_{X_1/S_1}\)의 차수 \(0\)인 항은 평탄한 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-가군이다. 따라서 표준 준동형 \[Lg^*\NL_{X_1/S_1} \longrightarrow g^{-1}\NL_{X_1/S_1} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}} \mathcal{O}_{X_2}\] 은 차수 \(0\)과 \(-1\)의 코호몰로지층에서 동형사상을 유도한다. 따라서 보조정리의 Ext 군들을 다음 군들로 바꾸어도 된다. \[\Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}}(g^{-1}\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2) = \Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}/g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S_1}}, \mathcal{G}_2)\] (08U9)에 들어맞고 \(\nu\)와 양립하는 환 달린 공간의 사상 \(X'_2 \to X'_1\)들의 집합은 \(f^\sharp\) 및 \(\nu\)와 양립하는 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S'_1}\)-대수 준동형 \(g^{-1}\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\)들의 집합과 일대일 대응한다. 따라서 \(X\) 위의 층들로 이루어진 도표 (08UA)가 주어졌고, 그 도표에 들어맞는 환층의 준동형 \(\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\)를 찾는 경우를 가정해도 된다.

보조정리의 증명의 나머지에서는 모든 바탕 위상공간이 같다고 가정한다. 즉 공간 \(X\) 위의 층들로 이루어진 도표 (08UA)가 주어졌고, 그 도표에 들어맞는 환층의 준동형 \(\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\)를 찾는다. Ext 군으로는 \(\Ext^k_{\mathcal{O}_{X_1}}( \NL_{\mathcal{O}_{X_1}/\mathcal{O}_{S_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\).

1단계. 장애 동치류의 구성. 다음 집합층을 생각하자. \[\mathcal{E} = \mathcal{O}_{X'_1} \times_{\mathcal{O}_{X_2}} \mathcal{O}_{X'_2}\] 여기에는 전사 사상 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{X_1}\)이 따라오므로 \(\NL_{\mathcal{O}_{X_1}/\mathcal{O}_{S_1}}\) 대신 \(\NL(\alpha)\)를 사용할 수 있다. 가군, 보조정리 08TL를 보라. 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X_1}) \quad\text{그리고}\quad \mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X_1})\] 핵이 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\)인 전사 준동형 \(\mathcal{I}' \to \mathcal{I}\)이 있다. 두 개의 \(\mathcal{O}_{S'_1}\)-대수 준동형 \[a : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_1} \quad\text{그리고}\quad b : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_2}\] 를 얻는다. 이들은 각각 준동형 \(a|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_1\)과 \(b|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_2\)를 유도한다. \(a\)와 \(b\)는 모두 \((\mathcal{I}')^2\)을 영으로 보낸다. 더욱이 (08UA)의 왼쪽 정사각형이 가환하므로 \(\mathcal{G}_2\)로 가는 사상으로서 \(a\)와 \(b\)는 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) 위에서 일치한다. 따라서 차 \(b|_{\mathcal{I}'} - \nu \circ a|_{\mathcal{I}'}\) 는 잘 정의된 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-선형 준동형 \[\xi : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \mathcal{G}_2\] 를 유도한다. 이 준동형은 \(\mathcal{I}\)의 국소절단 \(f\)의 동치류를 \(\nu(a(f')) - b(f')\)로 보내는데, 여기서 \(f'\)는 \(f\)를 \(\mathcal{I}'\)의 국소절단으로 올린 것이다. 그 상을 \([\xi] \in \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_1}}(\NL(\alpha), \mathcal{G}_2)\) 라 하자(아래를 보라).

2단계. \([\xi]\)의 소멸은 필요하다. 다음과 같이 쓰자. \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]/\mathcal{O}_{S_1}} \otimes_{\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_{X_1}\). \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\)가 다음 완전 삼각형에 들어맞음에 유의하자. \[\Omega[0] \to \NL(\alpha) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2[1] \to \Omega[1]\] 따라서 어떤 준동형 \(\Omega \to \mathcal{G}_2\)에 대하여 \(\xi\)가 합성 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega \to \mathcal{G}_2\)일 때, 그리고 그때에만 \([\xi]\)가 영이다. (08UA)에 들어맞는 환층의 준동형 \(\varphi : \mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\)가 존재한다고 하자. 이 경우 준동형 \(\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\), \(f' \mapsto b(f') - \varphi(a(f'))\)를 생각하자. 계산하면 이 준동형은 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\)을 영으로 보내며 미분 \(\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\)를 유도함을 알 수 있다. 그 결과 얻는 선형 준동형 \(\Omega \to \mathcal{G}_2\)는 이 경우 \([\xi] = 0\)임을 보인다.

3단계. \([\xi]\)의 소멸은 충분하다. \(\theta : \Omega \to \mathcal{G}_2\)를 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-선형 준동형이라 하자. 이때 \(\xi\)는 \(\theta \circ (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\)와 같다고 가정한다. 계산하면 \[b + \theta \circ d : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_2}\] 의 \(\mathcal{I}'\) 위 제한은 \(\nu \circ a : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_2\)와 일치한다. \(\mathcal{O}_{X'_1}\)은 \(\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\)과 \(\mathcal{I}' \to \mathcal{G}_1\)의 밀어내기이므로, 준동형 \(b + \theta \circ d\)와 \(a\)는 (08UA)에 들어맞는 준동형 \(\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\)를 정한다.

위의 특수한 경우에서 (2)의 증명. 생략한다. 도움말: 이는 보조정리 08S5의 (2)의 증명과 완전히 같다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 환층의 준동형이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}, \mathcal{G})\). 라 하자. 집합층의 사상 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\)를 적절히 택하면, \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL(\alpha), \mathcal{G})\)는 준동형 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류로 표현된다(표기는 증명을 보라).

증명

사상 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\)가 주어지고 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\)가 핵이 \(\mathcal{I}\)인 전사 준동형이면, 복합체 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B})\)는 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)와 표준적으로 동형임을 상기하자. 가군, 보조정리 08TL를 보라. 더욱이 \(\Omega = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\)는 다음 준층에 연관된 층이다. \(U \mapsto \bigoplus_{e \in \mathcal{E}(U)} \mathcal{B}(U)\). 다시 말해 \(\Omega\)는 집합층 \(\mathcal{E}\) 위의 자유 \(\mathcal{B}\)-가군이고, 특히 표준 사상 \(\mathcal{E} \to \Omega\)가 있다.

이제 어떤 \(\mathcal{E}\)를 택하자(예를 들어 소박한 코탄젠트 복합체의 정의에서처럼 \(\mathcal{E} = \mathcal{B}\)로 택한다). \(\xi\)를 준동형 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류로 표현하는 데 대한 장애 원소는 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega, \mathcal{G})\)에 속한다. 이 원소가 \(\mathcal{B}\)-가군의 확대 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \Omega \to 0\)로 표현된다고 하자. 유도된 사상 \(\alpha' : \mathcal{E}' \to \mathcal{B}\)를 갖는 집합층 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_\Omega \mathcal{H}\)를 생각하자. \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}'] \to \mathcal{B})\) 및 \(\Omega' = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']} \mathcal{B}\)라 놓자. 준동형 \(\Omega' \to \Omega\)에 따라 확대 \(\mathcal{H}\)를 당기면 분할된다. 실제로 \(\Omega'\)은 집합층 \(\mathcal{E}'\) 위의 자유 \(\mathcal{B}\)-가군이고, 구성상 다음 가환 도표가 있기 때문이다. \[\xymatrix{ \mathcal{E}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E} \ar[d] \\ \mathcal{H} \ar[r] & \Omega }\] 따라서 준동형 \(\NL(\alpha') \to \NL(\alpha)\)에 따른 \(\xi\)의 당김은 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega', \mathcal{G})\)에서 영으로 간다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

(08U7)의 해가 존재하면, 해들의 동형류 집합은 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

(08U7)의 두 해 \(X'_1\)과 \(X'_2\)가 주어지면, 보조정리 08U8에 의해 사상 \(X'_1 \to X'_2\)의 존재에 대한 장애 원소 \(o(X'_1, X'_2) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) 를 곧바로 얻는다. 이 원소는 동형사상의 존재에 대한 장애 원소이므로 동형류들을 구별한다. 따라서 증명을 끝내려면 해 \(X'\)와 원소 \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) 가 주어졌을 때 \(o(X', X'_\xi) = \xi\)를 만족하는 두 번째 해 \(X'_\xi\)를 찾을 수 있음을 보이면 충분하다.

동치류 \(\xi\)에 대하여 보조정리 08UB에서와 같이 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X\)를 택하자. 핵이 \(\mathcal{I}\)인 전사 준동형 \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_X\)과 그에 대응하는 소박한 코탄젠트 복합체 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]/f^{-1}\mathcal{O}_S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_X)\)를 생각하자. 이 보조정리에 의해 \(\xi\)는 준동형 \(\delta : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류이다. \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{E} \times_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}\)로 바꾸면, \(\alpha\)가 사상 \(\alpha' : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{X'}\)를 거쳐 분해된다고 가정할 수도 있다.

이 선택들은 \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-대수 준동형 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'}\)를 정한다. \(\mathcal{I}' = \Ker(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_X)\)라 놓자. \(\varphi\)는 준동형 \(\varphi|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\) 를 유도하고 \(\mathcal{O}_{X'}\)은 다음 도표에서와 같은 밀어내기이다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}' \ar[u]^{\varphi|_{\mathcal{I}'}} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] \(\psi : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\)를 \(\varphi|_{\mathcal{I}'}\)와 다음 합성의 합이라 하자. \[\mathcal{I}' \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{\delta} \mathcal{G}.\] 그러면 \(\psi\)에 따른 밀어내기는 위와 같은 도표에 들어맞는 또 다른 환의 확대 \(\mathcal{O}_{X'_\xi}\)이다. 계산하면(생략한다) \(o(X', X'_\xi) = \xi\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수의 확대들의 동형류 집합을 생각하자. \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 여기서 \(\mathcal{G}\)는 제곱이 영인 아이디얼이다.¹ 이 집합은 다음 군과 표준적으로 전단사이다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\).

증명

이를 증명하기 위해, (08U7)이 다음 도표로 주어지는 경우에 앞의 결과들을 적용하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 해 \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{O}_X\)가 존재하므로, 보조정리는 보조정리 08UC에서 따른다. 전단사의 직접 구성은 아래의 주를 보라.

주

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)와 \(\mathcal{G}\)를 보조정리 0GPZ에서와 같이 택하자. 보조정리에서와 같은 확대 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) 를 생각하자. 집합층 \(\mathcal{E}\)와 다음 가환 도표를 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X }\] 여기서 \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_X\)은 핵이 \(\mathcal{J}\)인 전사 준동형이다. 예를 들어 \(\mathcal{O}_{X'}\)로 전사하는 임의의 집합층을 택할 수 있다. 그러면 \[\NL_{X/S} \cong \NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]/f^{-1}\mathcal{O}_S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_X\right)\] 이다. 가군, 절 08TG, 특히 보조정리 08TL를 보라. 물론 \(\alpha'\)는 준동형 \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'}\) 를 정하고, 이는 다시 준동형 \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \mathcal{G}\] 를 정하며, 이는 다시 다음 군의 원소를 정한다.

\(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL(\alpha), \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) 보조정리의 전단사에서 이 원소는 \(\mathcal{O}_{X'}\)에 대응한다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)와 \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하고 \(c : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(g\)-사상이라 하자. 끝으로 다음을 생각하자.

1. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) 은 \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F})\)에 대응하는 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수의 확대이다.

2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \to 0\) 은 \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G})\)에 대응하는 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수의 확대이다.

보조정리 0GPZ를 보라. \(g\) 및 \(c\)와 양립하는 \(S\)-사상 \(g' : Y' \to X'\)가 존재할 필요충분조건은 \(\xi\)와 \(\zeta\)의 상이 다음 군에서 같은 원소인 것이다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\).

증명

다음 준동형들이 있으므로 명제는 의미가 있다. \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, Lg^*\mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] 첫 준동형들은 사상 \(Lg^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{F} \xrightarrow{c} \mathcal{G}\)를 사용하고, 다음 준동형은 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] 사상 \(Lg^*\NL_{X/S} \to \NL_{Y/S}\)를 사용한다. 보조정리 08U8을 다음 도표에 적용하면 보조정리의 명제를 얻을 수 있다. \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r]|\hole & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 여기에 보조정리 0GPZ와 08U8의 증명에 나오는 구성들 사이의 양립성을 함께 사용한다. 그 양립성의 명제와 증명은 생략한다. 직접 논증은 아래의 주를 보라.

주

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(c : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\), \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F})\), \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \to 0\), 그리고 \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G})\)를 보조정리 0GQ1에서와 같이 택하자. \(c : g^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)에 따른 밀어내기를 사용하여 다음 확대를 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{F} \ar[u]^c \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar@{=}[u] \ar[r] & 0 }\] \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\)에 따른 당김을 사용하여 다음 확대를 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar@{=}[u] \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 도표 추적에 따르면, \(g\) 및 \(c\)와 양립하는 \(S\)-사상 \(Y' \to X'\)가 존재할 필요충분조건은 \(g^{-1}\mathcal{O}_X\)의 \(\mathcal{G}\)에 의한 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수 확대들로서 \(\mathcal{O}'_1\)과 \(\mathcal{O}'_2\)가 동형인 것이다. 보조정리 0GPZ에 의해 이 확대들은 다음 등식의 왼쪽 항으로 분류된다. \[\Ext^1_{g^{-1}\mathcal{O}_X}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] 여기서 등식은 텐서-Hom 수반성과 다음 등식들에서 따른다. \[\NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S} = g^{-1}\NL_{X/S} \quad\text{그리고}\quad Lg^*\NL_{X/S} = g^{-1}\NL_{X/S} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_Y\] 첫째 등식은 가군, 보조정리 08TM를 보라. 둘째 등식은 유도 당김의 정의에서 따른다. 따라서 보조정리 0GQ1을 보이려면 \(\mathcal{O}'_1\)이 \(\xi\)의 상에 대응하고 \(\mathcal{O}'_2\)가 \(\zeta\)의 상에 대응함을 보이면 충분하다. \(\xi\)와 \(\mathcal{O}'_1\) 사이의 대응은 주 0GQ0에서 동치류 \(\xi\)를 구성한 방법에서 바로 알 수 있다. \(\zeta\)와 \(\mathcal{O}'_2\) 사이의 대응을 위해 먼저 다음 가환 도표를 택한다. \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} \ar[rd]^\beta \\ \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y }\] 여기서 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_Y\)는 핵이 \(\mathcal{K}\)인 전사 준동형이다. 다음으로 가환 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} & \mathcal{E}' \ar[l]^\varphi \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{Y'} & \mathcal{O}'_2 \ar[l] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X }\] 를 택한다. 여기서 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}'] \to g^{-1}\mathcal{O}_X\)는 핵이 \(\mathcal{J}\)인 전사 준동형이다. 예를 들어 집합층으로서 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \amalg \mathcal{O}'_2\)로 택하면 된다. 사상 \(\varphi\)는 복합체의 사상 \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\)를 유도하고(표기는 가군, 절 08TG에서와 같다), 특히 \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). 를 유도한다. 이때 \(\NL(\alpha) \cong \NL_{Y/S}\)이고 \(\NL(\beta) \cong \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S}\) 이다. 복합체의 사상 \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\)는 보조정리 0GQ1의 명제에서 사용한 사상 \(Lg^*\NL_{X/S} \to \NL_{Y/S}\)를 나타낸다(그 증명의 첫 부분을 보라). 이제 \(\zeta\)는 \(\beta'\)가 유도하는 준동형 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류에 대응한다. 주 0GQ0를 보라. 마찬가지로 확대 \(\mathcal{O}'_2\)는 \(\alpha'\)가 유도하는 준동형 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{G}\)에 대응한다. 위의 가환 도표에 의해 이 준동형은 \(\beta'\)가 유도하는 준동형 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\)와 다음 준동형의 합성이다. \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). 이것이 필요한 양립성을 증명한다.

보조정리

\(t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})\), \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(\mathcal{G}\), 그리고 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)를 (08U7)에서와 같이 택하자. 보조정리 0GPZ에 의해 \(\mathcal{O}_S\)의 \(\mathcal{J}\)에 의한 확대 \(\mathcal{O}_{S'}\)에 대응하는 원소를 \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/S'}, \mathcal{J})\)라 쓰자. 해들의 동형류 집합은 다음 준동형에서 \(\xi\)의 상 위의 올과 표준적으로 전단사이다. \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/S'}, \mathcal{G})\]

증명

보조정리 0GPZ를 \(X \to S'\)와 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 적용하면, 다음 군의 원소 \(\zeta\)들이 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S'}, \mathcal{G})\) 다음 \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-대수의 확대들을 매개화함을 알 수 있다. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) 보조정리 0GQ1을 \(X \to S \to S'\)와 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)에 적용하면, \(c\) 및 \(f : X \to S\)와 양립하는 \(S'\)-사상 \(X' \to S'\)가 존재할 필요충분조건은 \(\zeta\)가 \(\xi\)로 가는 것임을 알 수 있다. 이는 정확히 \(\mathcal{O}_{X'}\)이 (08U7)의 해라는 뜻이다.

주

보조정리 0GQ3의 상황에서는 다음 복합체의 사상들이 있다. \[Lf^*\NL_{S'/S} \to \NL_{X/S'} \to \NL_{X/S}\] 이 사상들은 완전 삼각형을 이루는 것에 가깝다. 가군, 보조정리 0E1Z를 보라. 만일 이것이 완전 삼각형이라면, \(\Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\)에서 \(\xi\)의 상이 (08U7)의 해의 존재에 대한 장애 원소라고 결론 내릴 수 있을 것이다.

스킴의 변형

이 절에서는 절 08U6의 결과들이 스킴의 변형에 대하여 무엇을 뜻하는지 명시한다.

보조정리

\(S \subset S'\)를 스킴의 1차 두꺼워짐이라 하고 \(f : X \to S\)를 스킴의 평탄 사상이라 하자. 스킴의 평탄 사상 \(f' : X' \to S'\)와 \(S\) 위의 동형사상 \(a : X \to X' \times_{S'} S\)가 존재하면 다음이 성립한다.

1. 쌍 \((f' : X' \to S', a)\)들의 동형류 집합은 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, f^*\mathcal{C}_{S/S'})\) 아래의 주동차 공간이다.

2. \(X' \times_{S'} S\) 위에서 항등사상으로 환원되는 \(S'\) 위의 자기동형사상 \(\varphi : X' \to X'\)들의 집합은 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, f^*\mathcal{C}_{S/S'})\)이다.

증명

먼저 사상의 심화, 절 04EW에서 정의한 스킴의 두꺼워짐은 절 08KY의 의미에서 두꺼워짐인 스킴의 사상과 같은 것임을 관찰하자. \(X\)를 \(X'\)의 닫힌 부분스킴으로 볼 수 있으며, 이때 \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\)는 1차 두꺼워짐 사이의 사상이다. 그러면 사상의 심화, 보조정리 063Y(또는 더 일반적인 보조정리 08LI)에 의해 \(X'\) 안의 \(X\)의 아이디얼층은 \(f^*\mathcal{C}_{S/S'}\)와 같다. 따라서 다음 가환 도표가 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{S/S'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{S/S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 여기서 세로 화살표들은 \(f\)-사상이다. (08U7)와 비교하라. 따라서 (1)은 보조정리 08UC에서, (2)는 보조정리 08U8의 (2)에서 따른다. 사상의 심화, 절 0D0G에서 스킴의 사상에 대해 정의한 \(\NL_{X/S}\)는 절 08U6에서 사용한 \(\NL_{X/S}\)와 일치함에 유의하라.

환 달린 토포스의 두꺼워짐

이 절은 환 달린 토포스에 대한 절 08KY의 유사형이다. 이어지는 몇 절에서는 다음 개념들을 사용한다.

1. 환 달린 토포스 \((\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 위의 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}'\)에서 \(\mathcal{I}\)의 모든 국소절단이 국소적으로 멱영이면, 이 아이디얼층을 국소 멱영이라고 한다.

2. 환 달린 토포스의 두꺼워짐은 환 달린 토포스의 사상 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 으로서 다음을 만족하는 것이다.

   1. \(i_*\)는 동치 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)이다.

   2. 사상 \(i^\sharp : \mathcal{O}' \to i_*\mathcal{O}\)은 전사이다.

   3. \(i^\sharp\)의 핵은 국소 멱영 아이디얼층이다.

3. 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐은 환 달린 토포스의 두꺼워짐 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 으로서 \(\Ker(i^\sharp)\)의 제곱이 영인 것이다.

4. 환 달린 토포스의 두꺼워짐 사이의 사상, 바탕 환 달린 토포스 위의 환 달린 토포스의 두꺼워짐 사이의 사상 등의 정의는 명백하다.

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 가 환 달린 토포스의 두꺼워짐이면 바탕 토포스들을 동일시하고 \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{O}'\), 그리고 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 층으로 본다. 다음 \(\mathcal{O}'\)-가군의 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 사이트 위의 가군, 보조정리 08M3에 의해 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 \(\mathcal{O}'\)-가군의 범주와 동치이다. 특히 \(i\)가 1차 두꺼워짐이면 \(\mathcal{I}\)은 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

설정

환 달린 토포스의 두꺼워짐 사이의 사상 \((f, f')\)는 다음 가환 도표로 주어진다. [08M8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[r]_i \ar[d]_f & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \ar[d]^{f'} \\ (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[r]^t & (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) } } \end{equation}\] 가로 화살표들은 두꺼워짐이다. 이 상황에서 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}'\) 및 \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)라 놓는다. 바탕 토포스 위에서 \(f = f'\)이므로 당김 함자 \(f^{-1}\)과 \((f')^{-1}\)을 동일시한다. 준동형 \((f')^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}'\) 는 특히 준동형 \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{I}\)을 유도하고, 따라서 다음 \(\mathcal{O}'\)-가군의 준동형을 유도함에 유의하자. \[(f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\] \(i\)와 \(t\)가 1차 두꺼워짐이면 \((f')^*\mathcal{J} = f^*\mathcal{J}\)이고, 위 준동형은 \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\)이 된다.

정의

상황 08M7에서 준동형 \((f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\)이 전사이면 \((f, f')\)를 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 한다.

환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐 위의 가군

이 절에서는 가군의 변형 이론을 위한 몇 가지 준비 사항을 다룬다. \(i : (\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. 절 08M6에서 도입한 표기를 자유롭게 사용하며, 특히 바탕 토포스들을 동일시한다. 이 절에서는 다음 짧은 완전열을 생각한다. [08MB]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] 이는 \(\mathcal{O}'\)-가군의 열이며, \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{K}\)는 \(\mathcal{O}\)-가군이고 \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{O}'\)-가군이다. 이 상황에서는 표준 \(\mathcal{O}\)-가군 준동형 \[c_{\mathcal{F}'} : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{K}\] 가 있다. 여기서 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\)이다. 구체적으로 \(\mathcal{I}\)의 국소절단 \(f\)와 \(\mathcal{F}\)의 국소절단 \(s\)가 주어졌을 때, \(s\)를 올리는 \(\mathcal{F}'\)의 국소절단을 \(s'\)라 하고 \(c_{\mathcal{F}'}(f \otimes s) = fs'\)로 놓는다.

보조정리

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. 다음 확대들과 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] (08MB)에서와 같은 준동형 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 및 \(\psi : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\)이 주어졌다고 가정하자.

1. \(\varphi\) 및 \(\psi\)와 양립하는 \(\mathcal{O}'\)-가군 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)가 존재하면 다음 도표는 가환한다. \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\]

2. \(\varphi\) 및 \(\psi\)와 양립하는 \(\mathcal{O}'\)-가군 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)들의 집합은 공집합이 아니면 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\).

증명

(1)은 준동형들의 설명에서 바로 따른다. (2)를 위해 \(\varphi'\)와 \(\varphi''\)가 \(\varphi\) 및 \(\psi\)와 양립하는 두 준동형 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)이라 하자. 그러면 \(\varphi' - \varphi''\)는 다음과 같이 분해된다. \[\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}'\] 사이트 위의 가군, 보조정리 08M3에 의해 가운데 준동형은 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\)의 유일한 원소에서 온다. 역으로 이 군의 원소 \(\alpha\)가 주어지면 위의 합성에서 가운데 준동형을 \(\alpha\)로 택하여 \(\varphi'\)에 더할 수 있다. 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. 다음 확대들과 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] (08MB)에서와 같은 준동형 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 및 \(\psi : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\)이 주어졌다고 하자. 다음 도표가 가환한다고 가정한다. \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] 그러면 다음 원소가 존재한다. \[o(\varphi, \psi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 이 원소가 영이라는 것은 \(\varphi\)와 \(\psi\)에 양립하는 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)가 존재하기 위한 필요충분조건이다.

증명

다음 확대를 명시적으로 구성할 수 있다. \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{H} \to \mathcal{F} \to 0\] \(\mathcal{H}\)는 다음 복합체의 가운데 코호몰로지로 잡는다. \[\mathcal{K} \xrightarrow{1, - \psi} \mathcal{F}' \oplus \mathcal{G}' \xrightarrow{\varphi, 1} \mathcal{G}\] 표기는 자명하다. 보조정리의 도표가 가환한다는 가정을 사용하여 국소 절단으로 계산하면 \(\mathcal{H}\)가 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. 따라서 \(\mathcal{H}\)는 다음 군의 동치류를 정한다. \[\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L}) \subset \Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 끝으로 \(\mathcal{H}\)의 동치류는 \(\psi\)에 따른 확대 \(\mathcal{F}'\)의 밀어내기와 \(\varphi\)에 따른 확대 \(\mathcal{G}'\)의 당김의 차이다. 계산은 생략한다. 따라서 \(\mathcal{H}\)의 동치류가 영인 것과 다음과 같은 가환 도표가 존재하는 것은 동치이다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d]_{\psi} & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_\varphi & 0\\ 0 \ar[r] & \mathcal{L} \ar[r] & \mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] 이는 원하는 결론이다.

보조정리

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\)와 \(\mathcal{O}\)-선형 준동형 \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). 이 주어졌다고 하자. \(c_{\mathcal{F}'} = c\)인 완전열 (08MB)이 하나라도 존재하면, 그러한 확대들의 동형류 집합은 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

다음 확대들이 주어졌다고 하자. \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] \(c_{\mathcal{F}'_1} = c_{\mathcal{F}'_2} = c\)라 하자. 확대군에서 두 확대의 차를 취하면(호몰로지 대수학, 절 010I 참조) 다음 확대를 얻는다. \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 여기서 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸된다. 국소 계산은 생략한다. 따라서 이 완전열은 \(\mathcal{O}\)-가군의 확대이다. 사이트 위의 가군, 보조정리 08M3를 보라. 역으로 이러한 확대 \(\mathcal{E}\)가 주어지면 \(c_{\mathcal{F}'}\)를 바꾸지 않고 \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{O}'\)-확대 \(\mathcal{F}'\)에 더할 수 있다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\)와 \(\mathcal{O}\)-선형 준동형 \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). 이 주어졌다고 하자. 그러면 다음 원소가 존재한다. \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 이 원소가 영이라는 것은 \(c_{\mathcal{F}'} = c\)인 완전열 (08MB)이 존재하기 위한 필요충분조건이다.

증명

먼저 \(\mathcal{K}\)가 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이면 \(c_{\mathcal{F}'} = c\)인 완전열 (08MB)이 실제로 존재함을 보이자. 평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군 \(\mathcal{H}'\)과 전사 준동형 \(\mathcal{H}' \to \mathcal{F}\) 을 택한다. 사이트 위의 가군, 보조정리 03EW를 보라. 그 핵을 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\)라 하자. \(\mathcal{H}'\)은 평탄하므로 \[\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{H}' = \mathcal{I}\mathcal{H}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\] 이다. 다음 준동형은 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)를 영으로 보낸다. \[\mathcal{I}\mathcal{H}' = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{H}' \longrightarrow \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] 실제로 \(f\)가 \(\mathcal{I}\)의 국소절단이고 \(s\)가 \(\mathcal{H}\)의 국소절단이면 \(fs\)는 \(f \otimes \overline{s}\)로 간다. 여기서 \(\overline{s}\)는 \(\mathcal{F}\)에서 \(s\)의 상이다. 따라서 다음과 같은 \(\mathcal{O}\)-가군의 도표를 얻는다. \[\xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{H}'/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{..>}[d]_\gamma \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-c & \mathcal{K} }\] \(\mathcal{K}\)가 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이면 점선 화살표를 얻는다. \(\gamma\)와 \(\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J}\)의 합성을 \(\gamma' : \mathcal{J} \to \mathcal{K}\)라 쓰자. 국소 계산에 따르면 다음 밀어내기는 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[r] \ar[d]_{\gamma'} & \mathcal{H}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 보조정리에서 제기한 문제의 해이다.

이제 일반적인 경우를 다루자. \(\mathcal{K}'\)가 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이 되도록 매장 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{K}'\)을 택한다. 그 몫을 \(\mathcal{Q}\)라 하면 완전열 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{Q} \to 0\] 을 얻는다. 합성 준동형을 \(c' : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}'\)라 쓰자. 앞 문단에 의해 다음과 같은 완전열이 존재한다. \[0 \to \mathcal{K}' \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F} \to 0\] 이는 (08MB)에서와 같고 \(c_{\mathcal{E}'} = c'\)이다. \(c'\)와 \(\mathcal{K}' \to \mathcal{Q}\)의 합성은 영이므로, \(\mathcal{K}' \to \mathcal{Q}\)에 따른 \(\mathcal{E}'\)의 밀어내기는 다음 확대이다. \[0 \to \mathcal{Q} \to \mathcal{D}' \to \mathcal{F} \to 0\] 이는 (08MB)에서와 같고 \(c_{\mathcal{D}'} = 0\)이다. 이는 정확히 \(\mathcal{D}'\)가 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸됨을 뜻한다. 다시 말해 \(\mathcal{D}'\)는 \(\mathcal{O}\)-가군의 확대이며 다음 원소를 정한다. \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{Q}) = \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 등식은 위 완전열에 딸린 긴 완전 코호몰로지 열과 단사 가군 \(\mathcal{K}'\)로 가는 고차 Ext 군들의 소멸에서 따른다. \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) = 0\)이면 분할 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{D}'\)를 택하고 \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{E}' \to \mathcal{D}'/s(\mathcal{F}))\] 로 놓을 수 있다. 그러면 완전한 두 행을 가진 다음 도표를 얻으며, \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] & \mathcal{E}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 이는 \(c_{\mathcal{F}'} = c\)임을 보인다. 역으로 \(\mathcal{F}'\)가 존재하면 보조정리 08ME와 단사 가군 \(\mathcal{K}'\)로 가는 고차 Ext 군들의 소멸에 의해, \(\mathcal{K} \to \mathcal{K}'\)에 따른 \(\mathcal{F}'\)의 밀어내기는 \(\mathcal{E}'\)와 동형이다. 이로부터 위와 같은 도표를 얻고, \(\mathcal{D}'\)가 확대로서 분할됨을 알 수 있다. 즉 동치류 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c)\)는 영이다.

주

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스라 하자. 1차 두꺼워짐 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\)에 대하여 그 왼쪽 역인 환 달린 토포스의 사상 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 가 존재하면 \(i\)를 자명하다고 한다. 그러한 사상 \(\pi\)의 선택을 이 1차 두꺼워짐의 자명화라고 한다. \(\pi\)가 주어지면 다음 분할을 얻는다. [08MH]\[\begin{equation} \mathcal{O}' = \mathcal{O} \oplus \mathcal{I} \end{equation}\] \(\pi^\sharp\)로 전사 준동형 \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\)를 분할하여 얻은 \(\mathcal{C}\) 위의 대수층의 분할이다. 역으로 이러한 분할은 사상 \(\pi\)를 정한다. \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 자명화된 1차 두꺼워짐들의 범주는 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주와 동치이다.

주

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 자명한 1차 두꺼워짐이라 하고 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 그 자명화라 하자. 두 \(\mathcal{O}\)-가군과 준동형 \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\) 으로 이루어진 임의의 삼중항 \((\mathcal{F}, \mathcal{K}, c)\)에 대하여 다음과 같이 놓을 수 있다. \[\mathcal{F}'_{c, triv} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{K}\] \(\pi\)에 딸린 분할 (08MH)과 준동형 \(c\)를 사용하여 \(\mathcal{O}'\)-가군 구조를 정의하면 확대 (08MB)을 얻는다. \(\mathcal{F}'_{c, triv}\)를 \(c\)와 자명화 \(\pi\)에 대응하는, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{K}\)로 확대한 자명한 확대라고 부른다. (08MB)과 같은 임의의 확대 \(\mathcal{F}'\)에 대하여 \(\pi^\sharp : \mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)를 사용하면 \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 확대로 볼 수 있고, 따라서 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\)의 동치류 \(\xi_{\mathcal{F}'}\)를 얻는다. 보조정리 08ME에 의해 \(\mathcal{F}' \mapsto \xi_{\mathcal{F}'}\) 는 전단사 대응 \[\left\{ \begin{matrix} \text{확대의 동형류}\\ \mathcal{F}'\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB})과 같고 } c = c_{\mathcal{F}'} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 를 유도한다. 또한 자명한 확대 \(\mathcal{F}'_{c, triv}\)는 영 동치류로 간다.

주

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스라 하자. \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(i = 1, 2\)를 아이디얼층이 \(\mathcal{I}_i\)인 1차 두꺼워짐이라 하자. \(h : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\) 를 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. 도표는 \[\xymatrix{ & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[ld] \ar[rd] & \\ (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \ar[rr]^h & & (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) }\] 와 같다. 특히 \(h^\sharp : \mathcal{O}'_2 \to \mathcal{O}'_1\)은 \(\mathcal{O}\)-가군 준동형 \(\mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\)을 유도한다. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 각 \(i = 1, 2\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i, c_i)\)는 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 또한 다음 도표를 가환시키는 \(\mathcal{O}\)-가군 준동형 \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 그러면 다음과 같은 표준적인 함자성이 있다. \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_2\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB})과 같고 }\\ c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_1\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB})과 같고 }\\ c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1 \end{matrix} \right\}\] 구체적으로 모든 층 \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{O}'_i\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}_i\) 등을 \(\mathcal{C}\) 위의 층으로 본다. \(\mathcal{F}'_2\)가 주어지면 \(\mathcal{F}'_1\)을 다음 확대 도표에 들어가는 밀어내기로 정의한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1 \ar[r] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 이 밀어내기 위의 \(\mathcal{O}'_1\)-가군 구조의 구성은 생략한다. 이 구성에는 \(c_1\)과 \(c_2\)가 들어가는 도표의 가환성이 사용된다.

주

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(\mathcal{I}_i\), \(h : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\)는 주 08MJ에서와 같다고 하자. \(\pi_1 = h \circ \pi_2\)를 만족하는 자명화 \(\pi_i : (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)가 주어졌다고 하자. 다시 말해 \(h\)가 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 자명화된 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라고 가정한다. 각 \(i = 1, 2\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i, c_i)\)는 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 또한 다음 도표를 가환시키는 \(\mathcal{O}\)-가군 준동형 \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 이 상황에서 주 08MI의 구성은 다음 가환 도표를 유도한다. \[\xymatrix{ \{\mathcal{F}'_2\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB})과 같고 } c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\} \ar[d] \ar[rr] & & \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \ar[d] \\ \{\mathcal{F}'_1\text{는 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB})과 같고 } c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{이며 }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1\} \ar[rr] & & \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) }\] 여기서 오른쪽 세로 준동형은 \(\Ext\)의 함자성과 준동형 \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\)로 주어지고, 왼쪽 세로 준동형은 주 08MJ에서 구성한 것이다.

주

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(\mathcal{I}_i\), \(h : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\)는 주 08MJ에서와 같다고 하자. 특히 \(h^\sharp : \mathcal{O}'_2 \to \mathcal{O}'_1\)은 \(\mathcal{O}\)-가군 준동형 \(\mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\)을 유도한다. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 각 \(i = 1, 2\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i, c_i)\)는 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 또한 다음 도표를 가환시키는 \(\mathcal{O}\)-가군 준동형 \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 그러면 준동형 \[\Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \longrightarrow \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\] 이 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2, c_2)\)를 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1, c_1)\)로 보낸다고 주장한다.

이 주장을 증명하기 위해 매장 \(j_2 : \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_2'\) 을 택하되 \(\mathcal{K}_2'\)이 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이 되게 한다. 보조정리 08MF의 증명에서와 같이 다음 \(\mathcal{O}_2\)-가군의 확대를 택할 수 있다. \[0 \to \mathcal{K}_2' \to \mathcal{E}_2 \to \mathcal{F} \to 0\] \(c_{\mathcal{E}_2} = j_2 \circ c_2\)를 만족하도록 택한다. 보조정리 08MF의 증명은 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2, c_2)\) 를 다음 \(\mathcal{O}\)-가군 완전열의 Yoneda 확대 동치류로 구성한다. 여기서 Yoneda 확대는 유도 범주, 절 06XP의 의미이다. \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_2' \to \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \to \mathcal{F} \to 0\] \(\mathcal{K}_1'\)을 \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \oplus \mathcal{K}_2'\)의 여핵이라 하자. 가환 정사각형을 이루는 단사 준동형 \(j_1 : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{K}_1'\)과 준동형 \(\mathcal{K}_2' \to \mathcal{K}_1'\)이 있다. 다음 밀어내기를 취한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1' \ar[r] & \mathcal{E}_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] \(\mathcal{E}_1\) 위에는 표준 \(\mathcal{O}_1\)-가군 구조가 있고, 이 구조에 대해 \(c_{\mathcal{E}_1} = j_1 \circ c_1\)이다. 여기에는 위의 \(c_1\)과 \(c_2\)가 들어가는 도표의 가환성이 사용된다. 보조정리 08MF의 절차에 따르면 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1, c_1)\)은 다음 \(\mathcal{O}\)-가군 완전열의 Yoneda 확대 동치류이다. \[0 \to \mathcal{K}_1 \to \mathcal{K}_1' \to \mathcal{E}_1/\mathcal{K}_1 \to \mathcal{F} \to 0\] 다음 완전열 사이의 준동형들이 있으므로 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[r] & \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 주장이 참임을 알 수 있다.

주

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스라 하자. \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상열 \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] 에서 아이디얼층 \(\mathcal{I}_i\) 사이의 대응하는 준동형들이 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\), 즉 합성이 영인 열을 이루면, 주어진 두꺼워짐의 열을 복합체라고 한다. 이 경우 합성 \((\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\)은 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\)을 거쳐 분해된다. 즉 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐 \((\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1)\)은 자명하며 표준 자명화 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\).

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상열 \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] 에서 아이디얼층 사이의 대응하는 준동형들이 \(\mathcal{O}\)-가군의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1 \to 0\] 을 이루면, 주어진 두꺼워짐의 열을 짧은 완전열이라고 한다.

주

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 다음 열을 \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐의 복합체라 하자. 주 08ML를 보라. 각 \(i = 1, 2, 3\)에 대하여 \((\mathcal{K}_i, c_i)\)는 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{K}_i\)와 준동형 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)로 이루어졌다고 하자. 다음과 같은 \(\mathcal{O}\)-가군의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자. \[0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\] 또 다음 두 도표가 가환한다고 가정한다. \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 } } \quad\text{그리고}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_3} \ar[d] & \mathcal{K}_3 \ar[d] \\ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_2} & \mathcal{K}_2 } }\] 끝으로 \(\mathcal{O}'_2\)-가군의 확대 \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 이 주어졌다고 하자. 이는 \(\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\)인 (08MB)과 같고 \(c_{\mathcal{F}'_2} = c_2\)이다. 주 08MJ의 함자성을 적용하여 \(\mathcal{O}'_1\)-가군의 확대 \(\mathcal{F}'_1\)을 얻을 수 있다. 이 특별한 경우의 \(\mathcal{F}'_1\)은 아래에서 설명한다. 주 08MI에 따라, 주 08ML의 표준 자명화 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 사용하면 \(\xi_{\mathcal{F}'_1} \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\)을 얻는다. 마지막으로 다음 장애 원소가 있다. \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3) \in \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 보조정리 08MF를 보라. 이 상황에서 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\)에서 오는 표준 준동형 \[\partial : \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) \longrightarrow \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 이 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\)을 장애 동치류 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3)\)로 보낸다고 주장한다.

이 주장을 증명하기 위해 \(\mathcal{K}\)가 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이 되도록 매장 \(j : \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}\)를 택한다. \(j\)를 준동형 \(j' : \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}\)로 들어 올릴 수 있다. \(\mathcal{E}'_2 = j'_*\mathcal{F}'_2\)를 \(j'\)에 따른 \(\mathcal{F}'_2\)의 밀어내기로 놓는다. 그러면 \(c_{\mathcal{E}'_2} = j' \circ c_2\)이다. 도표로 쓰면 다음과 같다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d]_{j'} & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{E}'_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] \(\mathcal{E}'_3 = \mathcal{E}'_2\)로 놓되, \(\mathcal{O}'_3 \to \mathcal{O}'_2\)를 통해 \(\mathcal{O}'_3\)-가군으로 본다. 그러면 \(c_{\mathcal{E}'_3} = j \circ c_3\)이다. 보조정리 08MF의 증명은 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3)\) 를 다음 \(\mathcal{O}\)-가군 확대의 동치류의 경계로 구성한다. \[0 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 한편 \(\mathcal{F}'_1 = \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3\)임에 유의하자. 따라서 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\)은 다음 확대의 동치류이다. \[0 \to \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 여기서는 표준 자명화 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 \(\pi^\sharp\)를 사용하여 이를 \(\mathcal{O}\)-가군의 열로 본다. 이제 다음 가환 도표가 있으므로 주장이 따른다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 이 도표는 위에서 주어진 \(\mathcal{O}\)-가군 구조들에 대해 \(\mathcal{O}\)-선형이다.

환 달린 토포스 위 가군의 무한소 변형

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. 절 08M6에서 도입한 표기를 자유롭게 사용한다. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)라 놓자. 이 상황에서는 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] 이는 \(\mathcal{O}'\)-가군의 열이다. \(\mathcal{I}^2 = 0\)이므로 \(\mathcal{I}\mathcal{F}'\) 위의 \(\mathcal{O}'\)-가군 구조는 유일한 \(\mathcal{O}\)-가군 구조에서 온다. 따라서 위의 열은 (08MB)과 같은 확대이다. 특히 \(\mathcal{F}' = \mathcal{O}'\)이면 \(i^*\mathcal{O}' = \mathcal{O}\)이고 \(\mathcal{I}\mathcal{O}' = \mathcal{I}\)이므로 다음 구조층의 열을 되찾는다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\]

보조정리

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-선형 준동형이라 하자. \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}'\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올리는 방법들의 집합은 공집합이 아니면 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}')\).

증명

이는 보조정리 08MC의 특수한 경우이지만 직접 증명도 제시한다. 다음 가군의 짧은 완전열들이 있다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{I}\mathcal{G}' \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] \(\mathcal{F}'\)에 대해서도 마찬가지이다. \(\mathcal{I}\)의 제곱이 영이므로 \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{I}\mathcal{G}'\) 위의 \(\mathcal{O}'\)-가군 구조는 유일한 \(\mathcal{O}\)-가군 구조에서 온다. 따라서 \[\Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}') \quad\text{그리고}\quad \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 이고, 이제 보조정리는 다음 완전열에서 따른다. \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G})\] 호몰로지 대수학, 보조정리 05AA를 보라.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08M7에서와 같은 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)라 놓자. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자(정의 08M9). 그러면 다음 조건들이 동치이다.

1. \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하다.

2. 표준 준동형 \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 은 동형사상이다.

더욱이 이 경우 다음 준동형들은 동형사상이다. \[f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\] 는 모두 동형사상이다.

증명

\((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이므로 준동형 \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\)은 전사이다. 따라서 마지막 명제는 (2)에서 따른다.

(1)과 (2)의 동치를 증명하자. 정의상 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위의 평탄성은 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위의 평탄성을 뜻한다. \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위의 평탄성도 마찬가지이다. \((f, f')\)의 엄격성과 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)이라는 가정으로부터 \[\mathcal{F} = \mathcal{F}'/(f^{-1}\mathcal{J})\mathcal{F}'\] 라는 \(\mathcal{C}\) 위의 층의 등식이 따른다. 또한 \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{J} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \mathcal{F}\)이다. 따라서 (1)과 (2)의 동치는 사이트 위의 가군, 보조정리 08M4에서 따른다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08M7에서와 같은 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)라 놓자. \(\mathcal{F}'\)가 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자. 그러면 다음 조건들이 동치이다.

1. \(\mathcal{F}'\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}'\)-가군이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 사이트 위의 가군, 보조정리 03DO에서 따른다. 역으로 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시라고 가정하자. \(\mathcal{C} = \mathcal{C}'\)라고 가정해도 좋고 그렇게 한다. 보조정리 08MQ에 의해 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] \(U\)를 \(\mathcal{F}|_U\)가 다음 표시를 갖는 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] 덮개의 원소들로 \(U\)를 대체하여 준동형 \(\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U\)가 준동형 \((\mathcal{O}'_U)^{\oplus n} \to \mathcal{F}'|_U\)로 올라간다고 가정할 수 있다. 유도된 준동형 \(\mathcal{I}^{\oplus n} \to \mathcal{I} \otimes \mathcal{F}\)는 \(\otimes\)의 오른쪽 완전성에 의해 전사이다. 따라서 덮개의 원소들로 \(U\)를 다시 대체하면, 주어진 준동형 \(\mathcal{O}_U^{\oplus m} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n}\)의 올림 \((\mathcal{O}'|_U)^{\oplus m} \to (\mathcal{O}'|_U)^{\oplus n}\) 을 택하여 \[(\mathcal{O}'_U)^{\oplus m} \to (\mathcal{O}'_U)^{\oplus n} \to \mathcal{F}'|_U \to 0\] 이 복합체가 되도록 할 수 있다. \(\otimes\)의 오른쪽 완전성을 다시 사용하면 이 복합체가 완전함을 알 수 있다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08M7에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-선형 준동형이라 하자. \(\mathcal{G}'\)가 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자. \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}'\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올리는 방법들의 집합은 공집합이 아니면 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\]

증명

보조정리 08MP와 08MQ을 결합하면 된다.

보조정리

\(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-선형 준동형이라 하자. 다음 원소가 존재한다. \[o(\varphi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 이 원소가 영인 것은 \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}'\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올릴 수 있기 위한 필요충분조건이다.

증명

보조정리 08MP의 증명으로부터, 다음 준동형에 따른 \(\varphi\)의 경계가 영인 것이 올림의 존재를 위한 필요충분조건임을 알 수 있다. \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 한편 \[\Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 는 유도 범주에서의 \(i_* = Ri_*\)와 \(Li^*\)의 수반성에서 따른다 (사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07A6).

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08M7에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) 및 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\)라 놓자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-선형 준동형이라 하자. \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{G}'\)가 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하고 \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이라고 가정하자. 다음 원소가 존재한다. \[o(\varphi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\] 이 원소가 영인 것은 \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}'\)-선형 준동형 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\)로 올릴 수 있기 위한 필요충분조건이다.

증명

보조정리의 가정 아래 다음 등식이 성립한다고 주장하면, 결과는 보조정리 08MS에서 따른다. \[\Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\] 실제로 보조정리 08MQ에 의해 \(\mathcal{I}\mathcal{G}' = \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J}\) 이다. 한편 다음에 유의하자. \[H^{-1}(Li^*\mathcal{F}') = \text{Tor}_1^{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{O})\] (국소 계산은 생략한다). 다음 짧은 완전열을 사용하면 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 이 \(\text{Tor}_1\)은 준동형 \(\mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 의 핵으로 계산됨을 알 수 있다. 이 핵은 보조정리 08MQ의 마지막 명제에 의해 영이다. 따라서 \(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\)이다. 한편 \[\Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 는 유도 범주, 보조정리 05TC의 쌍대형에서 따른다.

증명

보조정리 08MD를 다음과 같이 적용할 수 있다. 보조정리 08MQ에 의해 \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\)이고 \(\mathcal{L} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) 이고 \(c_{\mathcal{F}'} = 1 \otimes 1\)이고 \(c_{\mathcal{G}'} = 1 \otimes 1\)이다. \(\psi = 1 \otimes \varphi\)로 택하면 보조정리의 도표가 가환한다. 따라서 \(o(\varphi) = o(\varphi, 1 \otimes \varphi)\)로 택하면 된다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08M7에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위에서 평탄하다고 가정하자. \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}'\)-가군 \(\mathcal{F}'\)와 동형사상 \(\alpha : i^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)로 이루어진 쌍 \((\mathcal{F}', \alpha)\)가 하나라도 존재하면, 그러한 쌍들의 동형류 집합은 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Ext^1_\mathcal{O}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

증명

그러한 가군이 하나 존재한다고 가정하면, 보조정리 08MQ에 의해 표준 준동형 \[f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] 은 동형사상이다. \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) 및 \(c = 1\)로 놓고 보조정리 08ME를 적용하자. 보조정리 08MQ에 의해 대응하는 확대 \(\mathcal{F}'\)는 모두 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하다.

보조정리

\((f, f')\)를 상황 08M7에서와 같은 1차 두꺼워짐 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. \((f, f')\)가 두꺼워짐의 엄격 사상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위에서 평탄하다고 가정하자. \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하며 \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\)를 만족하는 \(\mathcal{O}'\)-가군 \(\mathcal{F}'\)가 존재하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

1. 표준 준동형 \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) 은 동형사상이다.

2. 보조정리 08MF의 동치류 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 는 영이다.

증명

이는 보조정리 08MQ에 주어진 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}'\)-가군의 특징짓기와 보조정리 08MF에서 바로 따른다.

환 달린 토포스의 평탄한 두꺼워짐 위 평탄한 가군에 대한 응용

다음 환 달린 토포스의 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[r]_i \ar[d]_f & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \ar[d]^{f'} \\ (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[r]^t & (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) }\] 가로 화살표들은 상황 08M7에서와 같은 1차 두꺼워짐이다. \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}'\) 및 \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)라 놓자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하고 다음을 가정하자.

1. \((f, f')\)는 두꺼워짐의 엄격 사상이다.

2. \(f'\)는 평탄하다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위에서 평탄하다.

(1) \(+\) (2)로부터 \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\)가 따름에 유의하자 (보조정리 08MQ를 \(\mathcal{O}'\)에 적용한다). 이 가정들 아래에서는 앞 절의 이론이 특히 간결해진다. 지금까지 얻은 결과를 다음 보조정리로 요약한다.

보조정리

위 상황에서 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 위에서 평탄하고 \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\)를 만족하는 \(\mathcal{O}'\)-가군 \(\mathcal{F}'\)가 존재하기 위한 필요충분조건은 보조정리 08MF의 동치류 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 가 영인 것이다.

2. 그러한 가군이 존재하면 올림들의 동형류 집합은 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \(\Ext^1_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

3. 올림 \(\mathcal{F}'\)가 주어졌을 때, 당기면 \(\text{id}_\mathcal{F}\)가 되는 \(\mathcal{F}'\)의 자기동형사상들의 집합은 다음 군과 표준적으로 동형이다. \(\Ext^0_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

증명

위에서 \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\)임을 보았으므로 (1)은 보조정리 08MV에서 따른다. (2)는 보조정리 08MU에서, (3)은 보조정리 08MR에서 따른다.

설정

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 다음 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[d]_{f'_2} \\ (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) }\] 여기서 \(h\)는 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이고, 아래 가로 화살표는 \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)의 1차 두꺼워짐 사이의 사상이며, 각 \(f'_i\)의 제한은 \(f\)이고, 두 쌍 \((f, f_i')\)는 모두 두꺼워짐의 엄격 사상이며, 두 \(f'_i\)는 모두 평탄하다. 끝으로 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자.

보조정리

상황 0CYD에서 장애 동치류 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1)\) 는 장애 동치류 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1)\) 로 가며, 이때 표준 준동형은 다음과 같다. \[\Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}) \to \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\]

증명

주 0CYC에서 따른다.

설정

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 다음 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[r] \ar[d]_{f'_2} & (\Sh(\mathcal{C}'_3), \mathcal{O}'_3) \ar[d]_{f'_3} \\ (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_3), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_3}) }\] 여기서 (a) 윗행은 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)의 1차 두꺼워짐들의 짧은 완전열이고, (b) 아랫행은 \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)의 1차 두꺼워짐들의 짧은 완전열이며, (c) 각 \(f'_i\)의 제한은 \(f\)이고, (d) 각 쌍 \((f, f_i')\)는 두꺼워짐의 엄격 사상이며, (e) 각 \(f'_i\)는 평탄하다. 끝으로 \(\mathcal{F}'_2\)를 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}'_2\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'_2 \otimes \mathcal{O}\)라 놓자. \(\pi : (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 표준 분할이라 하자 (주 08ML).

보조정리

상황 08VX에서 가군 \(\pi^*\mathcal{F}\)와 \(h^*\mathcal{F}'_2\)는 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}\) 위에서 평탄하고 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 위로 제한하면 \(\mathcal{F}\)가 되는 \(\mathcal{O}'_1\)-가군이다. 이 둘의 차이(보조정리 08VW)는 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 의 원소 \(\theta\)이고, 그 경계는 \(\Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 에서 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_3}\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}'_3\)-가군으로 올리는 데 대한 장애 원소(보조정리 08VW)와 같다.

증명

\(\pi^*\mathcal{F}\)와 \(h^*\mathcal{F}'_2\)는 모두 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 위로 제한하면 \(\mathcal{F}\)가 되고, \(\pi^*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\)와 \(h^*\mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}\)의 핵은 \(f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\)로 주어진다. 따라서 보조정리 08MQ에 의해 두 가군은 평탄하다. 다음 가군의 열이 짧은 완전열이므로 경계를 취할 수 있다. \[0 \to f^*\mathcal{J}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to 0\] 이는 상황 08VX의 가정들과 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 위에서 평탄하다는 사실에서 따른다. 장애 동치류에 대한 명제는 주 08MM의 결과를 이 특수한 상황에 그대로 옮긴 것이다.

환 달린 토포스의 변형과 소박한 코탄젠트 복합체

이 절에서는 소박한 코탄젠트 복합체를 사용하여 변형 이론의 일부를 다룬다. 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐 \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\)에서 시작하자. \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\)라 쓰고 \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{B}'\)의 바탕 토포스를 동일시한다. 또한 환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\), 그리고 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-가군층의 준동형 \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\)가 주어졌다고 가정하자. 이 절에서는 다음 도표의 물음표를 채울 수 있는지를 묻는다. [08UF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f^{-1}\mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 또한 해가 존재하면 얼마나 유일한지도 묻는다. 더 정확히는, 1차 두꺼워짐 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 과 (08M8)에서와 같은 두꺼워짐의 사상 \((f, f')\)를 찾는다. 여기서 \(\Ker(i^\sharp)\)를 \(\mathcal{G}\)와 동일시하며 \((f')^\sharp\)가 주어진 사상 \(c\)를 유도해야 한다. 이때 \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)을 (08UF)의 해라고 부른다.

보조정리

다음 환 달린 토포스의 사상들의 가환 도표가 주어졌다고 가정하자. [08UH]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{f_2} \ar[ddl]_g & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[d]^{f'_2} \\ & (\Sh(\mathcal{B}_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}_2}) \ar[r]^{t_2} \ar[ddl]|\hole & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) \ar[ddl] \\ (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{f_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[d]^{f'_1} \\ (\Sh(\mathcal{B}_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}) \ar[r]^{t_1} & (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) } } \end{equation}\] 가로 화살표들은 1차 두꺼워짐이다. \(\mathcal{G}_j = \Ker(i_j^\sharp)\)라 놓고, 다음 가환 도표를 유도하는 \(g^{-1}\mathcal{O}_1\)-가군의 준동형 \(\nu : g^{-1}\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 가 주어졌다고 가정하자. [08UI]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[r] & \mathcal{O}_2 \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & f_2^{-1}\mathcal{J}_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & f_2^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2} \ar[u] \ar[r]|\hole & f_2^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_2} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G}_1 \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & \mathcal{O}_1 \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{J}_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 이 도표의 앞면과 뒷면은 (08UF)의 해이다. (북북서 방향의 화살표들은 정의역에 \(g^{-1}\)을 적용한 뒤 \(\mathcal{C}_2\) 위에서 얻는 사상들이다.)

1. 다음 군에는 표준 원소가 존재한다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\) 이 원소가 영인 것은 \(\nu\)와 양립하며 (08UH)에 들어맞는 환 달린 토포스의 사상 \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\)이 존재하기 위한 필요충분조건이다.

2. \(\nu\)와 양립하며 (08UH)에 들어맞는 사상 \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) 이 존재하면, 그러한 모든 사상의 집합은 다음 군 아래의 주동차 공간이다. \[\Hom_{\mathcal{O}_1}( \Omega_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, g_*\mathcal{G}_2) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( g^*\Omega_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2) = \Ext^0_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2).\]

증명

이 보조정리의 증명은 보조정리 08U8의 증명과 같다. 독자에게 이 증명 대신 그 증명을 읽기를 권한다. 등장하는 각 두꺼워짐의 바탕 토포스를 동일시하겠다(이미 명제에서 이 관례를 사용했다). 보조정리의 마지막 명제에 나오는 등식들은 정의에서 바로 따른다. 따라서 증명의 나머지에서는 다음 군들을 사용한다. \(\Ext^k_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\). 먼저 보조정리에 나오는 모든 환 달린 토포스의 바탕 토포스가 같은 경우로 환원할 수 있음을 보이자.

이를 위해 \(g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\)이 환층의 준동형 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1} \to g^{-1}\mathcal{O}_1\)의 소박한 코탄젠트 복합체와 같음에 유의하자. 사이트 위의 가군, 보조정리 08TQ를 보라. 더욱이 \(\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\)의 차수 \(0\)인 항은 평탄한 \(\mathcal{O}_1\)-가군이므로 표준 준동형 \[Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \longrightarrow g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2\] 은 차수 \(0\)과 \(-1\)의 코호몰로지층에서 동형사상을 유도한다. 따라서 보조정리의 Ext 군들을 다음 군들로 바꾸어도 된다. \[\Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_1}( g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2) = \Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_1}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_1/g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\] (08UH)에 들어맞고 \(\nu\)와 양립하는 환 달린 토포스의 사상 \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\)들의 집합은 \(f^\sharp\) 및 \(\nu\)와 양립하는 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}\)-대수 준동형 \(g^{-1}\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\)들의 집합과 일대일 대응한다. 따라서 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 층들로 이루어진 도표 (08UI)가 주어졌고(바탕 토포스에서 \(f_1 = f_2 = \text{id}\)), 그 도표에 들어맞는 환층의 준동형 \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\)를 찾는 경우를 가정해도 된다.

보조정리의 증명의 나머지에서는 모든 바탕 위상공간이 같다고 가정한다. 즉 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 층들로 이루어진 도표 (08UI)가 주어졌고(바탕 토포스에서 \(f_1 = f_2 = \text{id}\)), 그 도표에 들어맞는 환층의 준동형 \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\)를 찾는다. Ext 군으로는 \(\Ext^k_{\mathcal{O}_1}( \NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\).

1단계. 장애 동치류의 구성. 다음 집합층을 생각하자. \[\mathcal{E} = \mathcal{O}'_1 \times_{\mathcal{O}_2} \mathcal{O}'_2\] 여기에는 전사 사상 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_1\)이 따라오므로 \(\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\) 대신 \(\NL(\alpha)\)를 사용할 수 있다. 사이트 위의 가군, 보조정리 08TY를 보라. 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_1) \quad\text{그리고}\quad \mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_1)\] 핵이 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\)인 전사 준동형 \(\mathcal{I}' \to \mathcal{I}\)이 있다. 두 개의 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}\)-대수 준동형 \[a : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'_1 \quad\text{그리고}\quad b : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'_2\] 를 얻는다. 이들은 각각 준동형 \(a|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_1\)과 \(b|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_2\)를 유도한다. \(a\)와 \(b\)는 모두 \((\mathcal{I}')^2\)을 영으로 보낸다. 더욱이 (08UI)의 왼쪽 정사각형이 가환하므로 \(\mathcal{G}_2\)로 가는 사상으로서 \(a\)와 \(b\)는 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\) 위에서 일치한다. 따라서 차 \(b|_{\mathcal{I}'} - \nu \circ a|_{\mathcal{I}'}\) 는 잘 정의된 \(\mathcal{O}_1\)-선형 준동형 \[\xi : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \mathcal{G}_2\] 를 유도한다. 이 준동형은 \(\mathcal{I}\)의 국소절단 \(f\)의 동치류를 \(a(f') - \nu(b(f'))\)로 보내는데, 여기서 \(f'\)는 \(f\)를 \(\mathcal{I}'\)의 국소절단으로 올린 것이다. 그 상을 \([\xi] \in \Ext^1_{\mathcal{O}_1}(\NL(\alpha), \mathcal{G}_2)\) 라 하자(아래를 보라).

2단계. \([\xi]\)의 소멸은 필요하다. 다음과 같이 쓰자. \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_1\). \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\)가 다음 완전 삼각형에 들어맞음에 유의하자. \[\Omega[0] \to \NL(\alpha) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2[1] \to \Omega[1]\] 따라서 어떤 준동형 \(\Omega \to \mathcal{G}_2\)에 대하여 \(\xi\)가 합성 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega \to \mathcal{G}_2\)일 때, 그리고 그때에만 \([\xi]\)가 영이다. (08UI)에 들어맞는 환층의 준동형 \(\varphi : \mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\)가 존재한다고 하자. 이 경우 준동형 \(\mathcal{O}'_1[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\), \(f' \mapsto b(f') - \varphi(a(f'))\)를 생각하자. 계산하면 이 준동형은 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\)을 영으로 보내며 미분 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\)를 유도함을 알 수 있다. 그 결과 얻는 선형 준동형 \(\Omega \to \mathcal{G}_2\)는 이 경우 \([\xi] = 0\)임을 보인다.

3단계. \([\xi]\)의 소멸은 충분하다. \(\theta : \Omega \to \mathcal{G}_2\)를 \(\mathcal{O}_1\)-선형 준동형이라 하자. 이때 \(\xi\)는 \(\theta \circ (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\)와 같다고 가정한다. 계산하면 \[b + \theta \circ d : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \longrightarrow \mathcal{O}'_2\] 은 \(\mathcal{I}'\)을 영으로 보내므로, (08UI)에 들어맞는 준동형 \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\)를 정한다.

위의 특수한 경우에서 (2)의 증명. 생략한다. 도움말: 이는 보조정리 08S5의 (2)의 증명과 완전히 같다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위 환층의 준동형이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자. \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}, \mathcal{G})\)라 하자. 집합층의 사상 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\)를 적절히 택하면, \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL(\alpha), \mathcal{G})\)는 준동형 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류로 표현된다 (표기는 증명을 보라).

증명

사상 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\)가 주어지고 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\)가 핵이 \(\mathcal{I}\)인 전사 준동형이면, 복합체 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B})\)는 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)와 표준적으로 동형임을 상기하자. 사이트 위의 가군, 보조정리 08TY를 보라. 더욱이 \(\Omega = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\)는 다음 준층에 연관된 층이다. \(U \mapsto \bigoplus_{e \in \mathcal{E}(U)} \mathcal{B}(U)\). 다시 말해 \(\Omega\)는 집합층 \(\mathcal{E}\) 위의 자유 \(\mathcal{B}\)-가군이고, 특히 표준 사상 \(\mathcal{E} \to \Omega\)가 있다.

이제 어떤 \(\mathcal{E}\)를 택하자(예를 들어 소박한 코탄젠트 복합체의 정의에서처럼 \(\mathcal{E} = \mathcal{B}\)로 택한다). \(\xi\)를 준동형 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류로 표현하는 데 대한 장애 원소는 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega, \mathcal{G})\)에 속한다. 이 원소가 \(\mathcal{B}\)-가군의 확대 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \Omega \to 0\)로 표현된다고 하자. 유도된 사상 \(\alpha' : \mathcal{E}' \to \mathcal{B}\)를 갖는 집합층 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_\Omega \mathcal{H}\) 를 생각하자. \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}'] \to \mathcal{B})\) 및 \(\Omega' = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']} \mathcal{B}\)라 놓자. 준동형 \(\Omega' \to \Omega\)에 따라 확대 \(\mathcal{H}\)를 당기면 분할된다. 실제로 \(\Omega'\)은 집합층 \(\mathcal{E}'\) 위의 자유 \(\mathcal{B}\)-가군이고, 구성상 다음 가환 도표가 있기 때문이다. \[\xymatrix{ \mathcal{E}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E} \ar[d] \\ \mathcal{H} \ar[r] & \Omega }\] 따라서 준동형 \(\NL(\alpha') \to \NL(\alpha)\)에 따른 \(\xi\)의 당김은 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega', \mathcal{G})\)에서 영으로 간다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

(08UF)의 해가 존재하면, 해들의 동형류 집합은

\(\Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 아래의 주동차 공간이다.

증명

(08UF)의 두 해 \(\mathcal{O}'_1\)과 \(\mathcal{O}'_2\)가 주어지면, 보조정리 08UG에 의해 준동형 \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\)의 존재에 대한 장애 원소 \(o(\mathcal{O}'_1, \mathcal{O}'_2) \in \Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 를 곧바로 얻는다. 이 원소는 동형사상의 존재에 대한 장애 원소이므로 동형류들을 구별한다. 따라서 증명을 끝내려면 해 \(\mathcal{O}'\)과 원소 \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 가 주어졌을 때 \(o(\mathcal{O}', \mathcal{O}'_\xi) = \xi\)를 만족하는 두 번째 해 \(\mathcal{O}'_\xi\)를 찾을 수 있음을 보이면 충분하다.

동치류 \(\xi\)에 대하여 보조정리 08UJ에서와 같이 \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}\)를 택하자. 핵이 \(\mathcal{I}\)인 전사 준동형 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}\)과 그에 대응하는 소박한 코탄젠트 복합체 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]/ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]} \mathcal{O})\). 이 보조정리에 의해 \(\xi\)는 준동형 \(\delta : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\). 의 동치류이다. \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{E} \times_\mathcal{O} \mathcal{O}'\)로 바꾸면, \(\alpha\)가 사상 \(\alpha' : \mathcal{E} \to \mathcal{O}'\)를 거쳐 분해된다고 가정할 수도 있다.

이 선택들은 \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)-대수 준동형 \(\varphi : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'\). 를 정한다. \(\mathcal{I}' = \Ker(\varphi)\)라 놓자. \(\varphi\)는 준동형 \(\varphi|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\) 를 유도하고 \(\mathcal{O}'\)은 다음 도표에서와 같은 밀어내기이다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}' \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}' \ar[u]^{\varphi|_{\mathcal{I}'}} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}[\mathcal{E}] \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O} \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] \(\psi : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\)를 \(\varphi|_{\mathcal{I}'}\)와 다음 합성의 합이라 하자. \[\mathcal{I}' \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{\delta} \mathcal{G}.\] 그러면 \(\psi\)에 따른 밀어내기는 위와 같은 도표에 들어맞는 또 다른 환의 확대 \(\mathcal{O}'_\xi\)이다. 계산하면(생략한다) \(o(\mathcal{O}', \mathcal{O}'_\xi) = \xi\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 다음 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-대수의 확대들의 동형류 집합을 생각하자. \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 여기서 \(\mathcal{G}\)는 제곱이 영인 아이디얼이다.² 이 집합은 다음 군과 표준적으로 전단사이다. \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\).

증명

이를 증명하기 위해, (08UF)이 다음 도표로 주어지는 경우에 앞의 결과들을 적용하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 해 \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{O}\)가 존재하므로, 이 보조정리는 보조정리 08UK에서 따른다. 전단사의 직접 구성은 아래의 주를 보라.

주

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\mathcal{B}, \mathcal{O}_\mathcal{B})\)와 \(\mathcal{G}\)를 보조정리 0GQ5에서와 같이 택하자. 보조정리에서와 같은 확대 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) 를 생각하자. 집합층 \(\mathcal{E}\)와 다음 가환 도표를 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}' \ar[r] & \mathcal{O} }\] 여기서 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}\)은 핵이 \(\mathcal{J}\)인 전사 준동형이다. 예를 들어 \(\mathcal{O}'\)로 전사하는 임의의 집합층을 택할 수 있다. 그러면 \[\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \cong \NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]/ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}\right)\] 이다. 사이트 위의 가군, 절 08TT, 특히 보조정리 08TY를 보라. 물론 \(\alpha'\)는 준동형 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'\) 를 정하고, 이는 다시 준동형 \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \mathcal{G}\] 를 정하며, 이는 다시 다음 군의 원소를 정한다.

\(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL(\alpha), \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 보조정리의 전단사에서 이 원소는 \(\mathcal{O}'\)에 대응한다.

보조정리

환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)와 \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\)를 생각하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군이라 하고 \(c : g^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-선형 준동형이라 하자. 끝으로 다음을 생각하자.

1. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{C} \to 0\) 은 \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F})\)에 대응하는 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-대수의 확대이다.

2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{D} \to 0\) 은 \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\)에 대응하는 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-대수의 확대이다.

보조정리 0GQ5를 보라. 다음 환 달린 토포스의 사상 \[g' : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'})\] 이 \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) 위에서 존재하고 \(g\) 및 \(c\)와 양립할 필요충분조건은 \(\xi\)와 \(\zeta\)의 상이 다음 군에서 같은 원소인 것이다. \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\).

증명

다음 준동형들이 있으므로 명제는 의미가 있다. \[\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, Lg^*\mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} (Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 첫 준동형들은 사상 \(Lg^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{F} \xrightarrow{c} \mathcal{G}\)를 사용하고, 다음 준동형은 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 사상 \(Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \to \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\)를 사용한다. 보조정리 08UG을 다음 도표에 적용하면 보조정리의 명제를 얻을 수 있다. \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r]|\hole & g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 여기에 보조정리 0GQ5와 08UG의 증명에 나오는 구성들 사이의 양립성을 함께 사용한다. 그 양립성의 명제와 증명은 생략한다. 직접 논증은 아래의 주를 보라.

주

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(c : g^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{C} \to 0\), \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F})\), \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{D} \to 0\), 그리고 \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 를 보조정리 0GQ7에서와 같이 택하자. \(c : g^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)에 따른 밀어내기를 사용하여 다음 확대를 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{F} \ar[u]^c \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar@{=}[u] \ar[r] & 0 }\] \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{O}_\mathcal{D}\)에 따른 당김을 사용하여 다음 확대를 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar@{=}[u] \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 도표 추적에 따르면, 환 달린 토포스의 사상 \(g' : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'})\) 이 \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) 위에서 존재하고 \(g\) 및 \(c\)와 양립할 필요충분조건은 \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\)의 \(\mathcal{G}\)에 의한 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-대수 확대들로서 \(\mathcal{O}'_1\)과 \(\mathcal{O}'_2\)가 동형인 것이다. 보조정리 0GQ5에 의해 이 확대들은 다음 등식의 왼쪽 항으로 분류된다. \[\Ext^1_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 여기서 등식은 텐서-Hom 수반성과 다음 등식들에서 따른다. \[\vcenter{\halign{\hfil\ensuremath{\displaystyle #}\hfil\cr \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} = g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\cr \text{그리고}\cr Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} = g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_Y\cr}}\] 첫째 등식은 사이트 위의 가군, 보조정리 08TZ를 보라. 둘째 등식은 유도 당김의 정의에서 따른다. 따라서 보조정리 0GQ7을 보이려면 \(\mathcal{O}'_1\)이 \(\xi\)의 상에 대응하고 \(\mathcal{O}'_2\)가 \(\zeta\)의 상에 대응함을 보이면 충분하다. \(\xi\)와 \(\mathcal{O}'_1\) 사이의 대응은 주 0GQ6에서 동치류 \(\xi\)를 구성한 방법에서 바로 알 수 있다. \(\zeta\)와 \(\mathcal{O}'_2\) 사이의 대응을 위해 먼저 다음 가환 도표를 택한다. \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} \ar[rd]^\beta \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} }\] 여기서 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_\mathcal{D}\)는 핵이 \(\mathcal{K}\)인 전사 준동형이다. 다음으로 가환 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} & \mathcal{E}' \ar[l]^\varphi \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} & \mathcal{O}'_2 \ar[l] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} }\] 를 택한다. 여기서 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}'] \to g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\)는 핵이 \(\mathcal{J}\)인 전사 준동형이다. 예를 들어 집합층으로서 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \amalg \mathcal{O}'_2\)로 택하면 된다. 사상 \(\varphi\)는 복합체의 사상 \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\)를 유도하고(표기는 가군, 절 08TG에서와 같다), 특히 \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). 를 유도한다. 이때 \(\NL(\alpha) \cong \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) 이고 \(\NL(\beta) \cong \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) 이다. 복합체의 사상 \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\)는 사상 \(Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \to \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) 를 나타낸다. 이 사상은 보조정리 0GQ7의 명제에서 사용한 것이다(그 증명의 첫 부분을 보라). 이제 \(\zeta\)는 \(\beta'\)가 유도하는 준동형 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\)의 동치류에 대응한다. 주 0GQ6를 보라. 마찬가지로 확대 \(\mathcal{O}'_2\)는 \(\alpha'\)가 유도하는 준동형 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{G}\)에 대응한다. 위의 가환 도표에 의해 이 준동형은 \(\beta'\)가 유도하는 준동형 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\)와 다음 준동형의 합성이다. \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). 이것이 필요한 양립성을 증명한다.

보조정리

\(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\), \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(\mathcal{G}\), 그리고 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)를 (08UF)에서와 같이 택하자. 보조정리 0GQ5에 의해 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\)의 \(\mathcal{J}\)에 의한 확대 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)에 대응하는 원소를 \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{J})\) 라 쓰자. 해들의 동형류 집합은 다음 준동형에서 \(\xi\)의 상 위의 올과 표준적으로 전단사이다. \[\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\to \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\]

증명

보조정리 0GQ5를 \(t \circ f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) 와 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 적용하면, 다음 군의 원소 \(\zeta\)들이 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\) 다음 \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)-대수의 확대들을 매개화함을 알 수 있다. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) 보조정리 0GQ7을 다음에 적용하자. \[(\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \xrightarrow{f} (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \xrightarrow{t} (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\] 그리고 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)를 함께 사용한다. 그러면 다음 사상 \[f' : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \longrightarrow (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\] 이 \((\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) 위에서 존재하고 \(c\) 및 \(f\)와 양립할 필요충분조건은 \(\zeta\)가 \(\xi\)로 가는 것이다. 이는 정확히 \(\mathcal{O}'\)이 (08UF)의 해라는 뜻이다.

대수공간의 변형

이 절에서는 절 08UE의 결과들이 대수공간의 변형에 대하여 무엇을 뜻하는지 자세히 설명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to Z'\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(i\)는 공간의 사상의 심화, 절 05ZJ에서 정의한 대수공간의 두꺼워짐이다.

2. 연관된 환 달린 토포스의 사상 \(i_{small} : (\Sh(Z_\etale), \mathcal{O}_Z) \to (\Sh(Z'_\etale), \mathcal{O}_{Z'})\) 은(공간의 성질, 보조정리 03G8) 절 08M6의 의미에서 두꺼워짐이다.

증명

이것이 자명한 사실이 아님을 강조한다.

(1)을 가정하자. 공간의 사상의 심화, 보조정리 05ZS 에 의해 사상 \(i\)는 작은 에탈 사이트들의 동치, 따라서 토포스들의 동치를 유도한다. 물론 두꺼워짐의 정의에 의해 \(i^\sharp\)는 국소 멱영인 핵을 갖는 전사 준동형이다.

(2)를 가정하자. (이 방향은 덜 중요하고 호기심에 가깝다.) 임의의 에탈 사상 \(Y' \to Z'\)에 대하여 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)와 \(Y'\)은 같은 에탈 토포스를 갖는다. 특히 준콤팩트성은 토포스 이론적 개념이므로 (사이트, 보조정리 0D06) \(Y'\)이 준콤팩트일 필요충분조건은 \(Y\)가 준콤팩트인 것이다. 더 나아가 \(Y'\)이 준콤팩트이고 준분리일 필요충분조건은 \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리인 것이다. 실제로 \(Y'\) 위 에탈인 모든 준콤팩트 대수공간 \(Y'_1, Y'_2\)에 대하여 \(Y'_1 \times_{Y'} Y'_2\)가 준콤팩트이라는 조건으로 \(Y'\)의 준분리성을 특징지을 수 있다. \(Y'\)이 아핀이라고 하자. 그러면 대수공간 \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다. 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(H^q(Y, \mathcal{F}) = H^q(Y', (Y \to Y')_*\mathcal{F})\) 이다. 이는 에탈 토포스들이 같기 때문이다. 한편 직접상은 준연접이고 (공간의 사상, 보조정리 03M9) \(Y\)는 아핀이므로 \(H^q(Y', (Y \to Y')_*\mathcal{F}) = 0\)이다. 공간의 코호몰로지, 명제 07V6 에 의해 \(Y'\)은 아핀이다(이 보조정리의 이 방향에는 이 인용을 피하는 증명이 틀림없이 있을 것이다). 따라서 \(i\)는 아핀 사상이다. 아핀인 경우에는 절 08M6의 조건들로부터 \(i\)가 대수공간의 두꺼워짐임이 쉽게 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y \subset Y'\)을 \(S\) 위 대수공간의 1차 두꺼워짐이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 평탄한 사상이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 평탄한 사상 \(f' : X' \to Y'\)과 \(Y\) 위의 동형사상 \(a : X \to X' \times_{Y'} Y\)가 존재하면 다음이 성립한다.

1. 쌍 \((f' : X' \to Y', a)\)의 동형류 집합은 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/Y}, f^*\mathcal{C}_{Y/Y'})\) 아래의 주동차 공간이다.

2. \(X' \times_{Y'} Y\) 위에서 항등사상으로 환원되는 \(Y'\) 위의 자기동형사상 \(\varphi : X' \to X'\)들의 집합은 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/Y}, f^*\mathcal{C}_{Y/Y'})\)이다.

증명

환 달린 토포스의 변형에 관한 결과를 보조정리의 대수공간들의 작은 에탈 토포스에 적용하겠다. \(X\)를 \(X'\)의 닫힌 부분공간으로 생각할 수 있으며, 그러면 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)는 1차 두꺼워짐들의 사상이다. 보조정리 0D16에 의해 이는 환 달린 토포스의 두꺼워짐들의 사상으로 옮겨진다. 공간의 사상의 심화, 보조정리 06BH (또는 더 일반적인 보조정리 08MQ)에 의해 \(X'\)에서 \(X\)의 아이디얼층은 \(f^*\mathcal{C}_{Y'/Y}\)와 같으며, 이는 실제로 \(Y'\) 위에서 \(X'\)의 평탄성과 동치이다. 따라서 다음 가환 도표가 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[u] \ar[r] & 0 }\] (08UF)와 비교하라. (2)에서와 같은 자기동형사상 \(\varphi\)는 위의 도표에 들어맞는 자기동형사상 \(\varphi^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{X'}\)를 준다. 거꾸로, 위의 층들의 도표에 들어맞는 자기동형사상 \(\alpha : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{X'}\) 는 공간의 사상의 심화, 보조정리 05ZN 에 의해 (2)에서와 같은 어떤 자기동형사상 \(\varphi\)에 대한 \(\varphi^\sharp\)와 같다. 끝으로 공간의 사상의 심화, 보조정리 05ZT 에 의해, 다음 도표에 들어맞는 \(X_\etale\) 위의 또 다른 환층 \(\mathcal{A}\)를 찾으면 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] & \mathcal{A} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 1차 두꺼워짐 \(X \subset X''\)이 존재하고 \(\mathcal{O}_{X''} = \mathcal{A}\)이다. 공간의 사상의 심화, 보조정리 05ZN 를 한 번 더 적용하면, 원하는 성질을 모두 갖는 사상 \((f, f'') : (X \subset X'') \to (Y \subset Y')\)를 얻는다. 따라서 (1)은 보조정리 08UK에서, (2)는 보조정리 08UG의 (2)에서 따른다. 공간의 사상의 심화, 절 0D0U 에서 대수공간의 사상에 대하여 정의한 \(\NL_{X/Y}\)는 절 08UE에서 사용한 \(\NL_{X/Y}\)와 일치함에 유의하라.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to B\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준동형이라 하자 (준연접일 필요는 없다). 다음 함자를 생각하자. \[F : \left\{ \begin{matrix} \text{다음 }f^{-1}\mathcal{O}_B\text{-대수의 확대}\\ 0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\\ \mathcal{F}\text{는 제곱이 영인 아이디얼} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{다음 }f^{-1}\mathcal{O}_B\text{-대수의 확대}\\ 0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\\ \mathcal{G}\text{는 제곱이 영인 아이디얼} \end{matrix} \right\}\] 이 함자는 밀어내기로 주어진다.

보조정리

위의 상황에서 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이며 \(DQ_X(\mathcal{F}) \to DQ_X(\mathcal{G})\)가 동형사상이라고 가정하자 (공간의 유도 범주, 절 0CR3). 그러면 함자 \(F\)는 범주들의 동치이다.

증명

\(\NL_{X/B}\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상임을 상기하자. 공간의 사상의 심화, 보조정리 0D0Y를 보라. 따라서 우리의 가정으로부터 모든 \(i\)에 대하여 다음 준동형들이 동형사상임이 따른다. \[\Ext^i_X(\NL_{X/B}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_X(\NL_{X/B}, \mathcal{G})\] 보조정리 08UG에 의해 이는 함자가 충실충만임을 뜻한다. 한편 두 범주에 각각 해 \(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F}\)와 \(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{G}\)가 있으므로, 보조정리 08UK에 의해 이 함자는 본질적으로 전사적이다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B \subset B'\)을 \(S\) 위 대수공간의 1차 두꺼워짐이라 하고 그 아이디얼층을 \(\mathcal{J}\)라 하자. 이를 준연접 \(\mathcal{O}_B\)-가군 또는 \(B'\) 위의 준연접 아이디얼층으로 본다. 공간의 사상의 심화, 절 05ZJ를 보라. \(f : X \to B\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준동형이라 하자(준연접일 필요는 없다). \(c : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{F}\)를 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-가군의 준동형이라 하고, 그 합성을 \(c' : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\)라 쓰자. 다음 함자를 생각하자. \[FT : \{(\href{defos.html#defos-equation-to-solve-ringed-topoi}{08UF})\text{의 } \mathcal{F}\text{와 }c\text{에 대한 해}\} \longrightarrow \{(\href{defos.html#defos-equation-to-solve-ringed-topoi}{08UF})\text{의 } \mathcal{G}\text{와 }c'\text{에 대한 해}\}\] 이 함자는 밀어내기로 주어진다.

보조정리

위의 상황에서 \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이며 \(DQ_X(\mathcal{F}) \to DQ_X(\mathcal{G})\)가 동형사상이라고 가정하자 (공간의 유도 범주, 절 0CR3). 그러면 함자 \(FT\)는 범주들의 동치이다.

증명

(08UF)의 \(\mathcal{F}\)에 대한 해는 특히 다음 \(f^{-1}\mathcal{O}_{B'}\)-대수의 확대를 준다. \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\] 여기서 \(\mathcal{F}\)는 제곱이 영인 아이디얼이다. \(\mathcal{G}\)에 대해서도 마찬가지이다. 더욱이 그러한 확대가 주어지면 준동형 \(c_{\mathcal{O}'} : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{F}\)를 얻는다. 따라서 \(c = c_{\mathcal{O}'}\)를 만족하는 그러한 \(f^{-1}\mathcal{O}_{B'}\)-대수 확대들의 충만 부분범주를 살펴보는 것이다. 이제 \(\mathcal{O}'' = F(\mathcal{O}')\)이고, 여기서 \(F\)가 보조정리 0D3P의 동치 (이번에는 \(X \to B'\)에 적용한다)라면, \(c_{\mathcal{O}''}\)은 \(c_{\mathcal{O}'}\)와 준동형 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)의 합성임이 분명하다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

복합체의 변형

이 절은 다음 절을 위한 준비이다. 가환대수학 장들의 내용을 가능한 한 많이 사용하겠다.

보조정리

\(R' \to R\)을 핵이 제곱이 영인 아이디얼 \(I\)인 환의 전사 준동형이라 하자. 모든 \(K \in D^-(R)\)에 대하여 다음 표준 사상이 존재한다. \[\omega(K) : K \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} I[2]\] 이는 \(D(R)\)에서 정의되며 다음 성질들을 갖는다.

1. \(K' \otimes_{R'}^\mathbf{L} R = K\)를 만족하는 \(K' \in D(R')\)가 존재할 필요충분조건은 \(\omega(K) = 0\)인 것이다.

2. \(D^-(R)\)에서 \(K \to L\)이 주어지면 다음 도표는 가환한다. \[\xymatrix{ K \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K)} & & K \otimes^\mathbf{L}_R I[2] \ar[d] \\ L \ar[rr]^-{\omega(L)} & & L \otimes^\mathbf{L}_R I[2] }\]

3. \(\omega(K)\)의 구성은 환 준동형 \(R' \to S'\)와 양립한다 (정확한 명제는 증명을 보라).

증명

\(K\)를 나타내는 자유 \(R\)-가군의 위로 유계인 복합체 \(K^\bullet\)을 택하자. 그러면 \(K^n\)을 올리는 자유 \(R'\)-가군 \((K')^n\)을 택할 수 있다. 또한 \(K^\bullet\)의 미분 \(d^n_K : K^n \to K^{n + 1}\)을 올리는 \(R'\)-가군 준동형 \((d')^n_K : (K')^n \to (K')^{n + 1}\)을 택할 수 있다. 합성 \[(d')^{n + 1}_K \circ (d')^n_K : (K')^n \to (K')^{n + 2}\] 은 영이 아닐 수도 있지만 다음과 같이 분해된다. \[(K')^n \to K^n \xrightarrow{\omega^n_K} K^{n + 2} \otimes_R I = I(K')^{n + 2} \to (K')^{n + 2}\] 이는 \(d^{n + 1} \circ d^n = 0\)이기 때문이다. 계산하면 \(\omega^n_K\)가 복합체의 사상을 정함을 알 수 있다. 이 복합체의 사상이 \(\omega(K)\)를 정한다.

이 구성이 위로 유계인 자유 \(R\)-가군 복합체의 사상 \(\alpha^\bullet : K^\bullet \to L^\bullet\) 및 주어진 올림 \((K')^n, (L')^n, (d')^n_K, (d')^n_L\)과 양립함을 증명하자. 구체적으로 성분 \(\alpha^n : K^n \to L^n\)을 올리는 \((\alpha')^n : (K')^n \to (L')^n\)을 택한다. 앞에서와 같이 다음 합성의 분해를 얻는다. \[(K')^n \to K^n \xrightarrow{h^n} L^{n + 1} \otimes_R I = I(L')^{n + 1} \to (L')^{n + 2}\] 이는 \((d')^n_L \circ (\alpha')^n - (\alpha')^{n + 1} \circ (d')_K^n\)의 분해이다. 간단한 계산으로 다음을 보일 수 있다. \[\omega^n_L \circ \alpha^n = (d_L^{n + 1} \otimes \text{id}_I) \circ h^n + h^{n + 1} \circ d_K^n + (\alpha^{n + 2} \otimes \text{id}_I) \circ \omega^n_K\] 이는 이 특수한 경우에 보조정리 (2)의 도표가 가환함을 증명한다. \(K\)를 나타내는 위로 유계인 자유 복합체를 서로 다르게 두 번 택하고 이 결과를 적용하면 \(\omega(K)\)가 잘 정의됨을 알 수 있다. 물론 (2)도 일반적으로 성립한다.

\(K\)가 \(D^-(R')\)의 \(K'\)로 올라가면, \(K'\)를 자유 \(R'\)-가군의 위로 유계인 복합체로 나타낼 수 있으므로 \(\omega(K) = 0\)임을 곧바로 알 수 있다. 거꾸로 우리의 선택 \(K^\bullet\), \((K')^n\), \((d')^n_K\)로 돌아가자. \(\omega(K) = 0\)이면 다음을 만족하는 준동형 \(g^n : K^n \to K^{n + 1} \otimes_R I\)를 찾을 수 있다. \[\omega^n = (d_K^{n + 1} \otimes \text{id}_I) \circ g^n + g^{n + 1} \circ d_K^n\] 이는 미분을 \((d')^n_K - g^n : (K')^n \to (K')^{n + 1}\) 로 택하면 \(K^\bullet\)을 올리는 자유 \(R'\)-가군의 복합체를 얻는다는 뜻이다. 이로써 (1)을 증명했다.

끝으로 (3)은 다음을 뜻한다. \(R' \to S'\)을 환 준동형이라 하자. \(S = S' \otimes_{R'} R\)라 놓고, \(S' \to S\)의 제곱이 영인 핵 \(J = IS' \subset S'\)라 쓰자. 그러면 \(K \in D^-(R)\)가 주어졌을 때 다음 가환 도표를 얻는다. \[\xymatrix{ K \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K) \otimes \text{id}} & & (K \otimes^\mathbf{L}_R I[2]) \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[d] \\ K \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[rr]^-{\omega(K \otimes_R^\mathbf{L} S)} & & (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes^\mathbf{L}_S J[2] }\] 여기서 오른쪽 세로 화살표는 다음 사상에서 온다. \[(K \otimes^\mathbf{L}_R I[2]) \otimes_R^\mathbf{L} S = (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes_S^\mathbf{L} (I \otimes_R^\mathbf{L} S)[2] \longrightarrow (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes_S^\mathbf{L} J[2]\] 위에서와 같이 \(K^\bullet\), \((K')^n\), \((d')^n_K\)를 택하자. 그러면 \(\omega(K \otimes_R^\mathbf{L} S)\)의 구성에 \(K^\bullet \otimes_R S\), \((K')^n \otimes_{R'} S'\), \((d')^n_K \otimes \text{id}_{S'}\)를 사용할 수 있다. 이 선택들에 대해서는 복합체의 사상 수준에서 가환성을 곧바로 확인할 수 있다.

환 달린 토포스 위 복합체의 변형

이 절의 내용은 [lieblich-complexes]에서 가져왔다.

이 절의 내용은 절 08M6에서 정의한 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐이라는 설정에서 성립한다. 다만 표기를 단순하게 하기 위해 바탕 사이트 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\)가 같다고 가정하겠다. 또한 문헌의 통상적인 표기에 맞추어 환층의 전사 준동형 \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\)를 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)로 나타내겠다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)를 환층의 전사 준동형이라 하자. 다음 자료가 주어졌다고 가정하자.

1. 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}^n\),

2. \(\mathcal{O}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{G}^{n + 1}\),

3. \(\mathcal{O}_0\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}_0^\bullet\),

4. \(\mathcal{O}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{K}_0^n\).

이 자료는 다음을 만족한다.

1. \(n \gg 0\)일 때 \(H^n(\mathcal{K}_0^\bullet) = 0\)이다.

2. \(n \gg 0\)일 때 \(\mathcal{G}^n = 0\)이다.

3. 다음과 같이 놓자. \(\mathcal{G}^n_0 = \mathcal{G}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) 그러면 유도된 준동형들은 복합체 \(\mathcal{G}_0^\bullet\)과 복합체의 사상 \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)를 정한다.

그러면 다음이 존재한다.

1. 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}^n\),

2. \(\mathcal{O}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\),

3. \(\mathcal{O}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n\),

4. \(\mathcal{O}\)-가군의 준동형 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n\).

이들은 \(n \gg 0\)일 때 \(\mathcal{F}^n = 0\)이고, 모든 \(n\)에 대하여 다음 도표가 가환하며, \[\xymatrix{ \mathcal{G}^n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}^{n + 1} \ar[d] \\ \mathcal{F}^n \ar[r] & \mathcal{F}^{n + 1} }\] 합성 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n\)은 주어진 준동형 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{K}_0^n\)이다. 또한 \(\mathcal{F}^n_0 = \mathcal{F}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) 라 놓으면 복합체 \(\mathcal{F}_0^\bullet\)과 준동형사상인 복합체의 사상 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)을 얻는다.

증명

\(e\)에 관한 내림 귀납법으로, \(n \geq e\)에 대하여 다음 가환 도표에 들어맞는 \(\mathcal{F}^n\), \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n\), \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)을 찾을 수 있음을 증명하겠다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{G}^{e - 1} \ar[r] \ar@/_2pc/[dd] & \mathcal{G}^e \ar[d] \ar[r] \ar@/_2pc/[dd] & \mathcal{G}^{e + 1} \ar[d] \ar[r] \ar@/_2pc/[dd]|\hole & \ldots \\ & & \mathcal{F}^e \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}^{e + 1} \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{K}_0^{e - 1} \ar[r] & \mathcal{K}_0^e \ar[r] & \mathcal{K}_0^{e + 1} \ar[r] & \ldots }\] 여기서 \(\mathcal{F}_0^\bullet\)은 복합체이고, 유도된 준동형 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)은 \(n > e\)일 때 \(H^n\)에서 동형사상을, \(n = e\)일 때 전사 준동형을 유도한다. \(e \gg 0\)이면 가정 (a), (b)에 의해 \(n \geq e\)에 대하여 \(\mathcal{F}^n = 0\)으로 택할 수 있으므로 이는 참이다.

귀납 단계. \(\mathcal{F}^{e - 1}\)과 준동형들 \(\mathcal{G}^{e - 1} \to \mathcal{F}^{e - 1}\), \(\mathcal{F}^{e - 1} \to \mathcal{F}^e\), \(\mathcal{F}^{e - 1} \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\)을 구성해야 한다. \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B \oplus C\)를 세 부분의 직합으로 택하겠다.

첫째 부분으로 \(A = \mathcal{G}^{e - 1}\)를 택하고, \(\mathcal{G}^{e - 1} \to \mathcal{F}^{e - 1}\)은 첫 번째 직합 성분의 포함사상으로 택한다. 준동형 \(A \to \mathcal{K}^{e - 1}_0\)과 \(A \to \mathcal{F}^e\)은 명백한 것들로 택한다.

\(B\)를 택하기 위해 귀납 가정으로부터 얻는 다음 전사 준동형을 생각하자. \[\gamma : \Ker(\mathcal{F}^e_0 \to \mathcal{F}^{e + 1}_0) \longrightarrow \Ker(\mathcal{K}^e_0 \to \mathcal{K}^{e + 1}_0)/ \Im(\mathcal{K}^{e - 1}_0 \to \mathcal{K}^e_0)\] 집합 \(I\), 각 \(i \in I\)에 대하여 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U_i\), 그리고 다음 절단들을 택할 수 있다. \(s_i \in \mathcal{F}^e(U_i)\), \(t_i \in \mathcal{K}^{e - 1}_0(U_i)\) 이들은 다음을 만족한다.

1. \(s_i\)는 \(\Ker(\gamma) \subset \Ker(\mathcal{F}^e_0 \to \mathcal{F}^{e + 1}_0)\)의 절단으로 간다.

2. \(s_i\)와 \(t_i\)는 \(\mathcal{K}^e_0\)의 같은 절단으로 간다.

3. 절단들 \(s_i\)는 \(\mathcal{O}_0\)-가군으로서 \(\Ker(\gamma)\)를 생성한다.

이에 대한 자세한 설명은 생략한다. 여기서는 \(\mathcal{F}^e \to \mathcal{F}^e_0\)가 집합층의 전사 사상이라는 사실을 사용한다. 이제 다음과 같이 놓는다. \[B = \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\] 그리고 \(s_i\)와 \(t_i\)를 사용하여 직합 성분 \(j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\)의 상을 정함으로써 준동형 \(B \to \mathcal{F}^e\)과 \(B \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\)을 정의한다.

\(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B\)와 위의 준동형들을 사용하면, \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)이 \(n \geq e\)일 때 \(H^n\)에서 동형사상을 유도하는 \(e - 1\)에 대한 위와 같은 도표를 얻는다. \(H^{e - 1}\)에서 이 준동형이 전사이도록 하기 위해 직합 성분 \(C\)를 다음과 같이 택한다. 집합 \(J\), 각 \(j \in J\)에 대한 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U_j\), 그리고 \(U_j\) 위의 \(\Ker(\mathcal{K}^{e - 1}_0 \to \mathcal{K}^e_0)\)의 절단 \(t_j\)를 택하되, 이 절단들이 \(\mathcal{O}_0\) 위에서 이 핵을 생성하도록 한다. 이제 다음과 같이 놓는다. \[C = \bigoplus\nolimits_{j \in J} j_{U_j!}\mathcal{O}_{U_j}\] 그리고 \(C \to \mathcal{F}^e\)는 영 준동형으로, 준동형 \(C \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\)은 \(s_j\)를 사용하여 직합 성분 \(j_{U_j!}\mathcal{O}_{U_j}\)의 상을 정함으로써 정의한다. \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B \oplus C\)와 위에서 지정한 준동형들을 택하면 귀납 단계가 끝난다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)를 핵이 제곱이 영인 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)인 환층의 전사 준동형이라 하자. \(D^-(\mathcal{O}_0)\)의 모든 대상 \(K_0\)에 대하여 다음 표준 사상이 존재한다. \[\omega(K_0) : K_0 \longrightarrow K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}[2]\] 이는 \(D(\mathcal{O}_0)\)에서 정의되며, \(D^-(\mathcal{O}_0)\)의 임의의 사상 \(K_0 \to L_0\)에 대하여 다음 도표가 가환한다. \[\xymatrix{ K_0 \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K_0)} & & (K_0 \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ L_0 \ar[rr]^-{\omega(L_0)} & & (L_0 \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\]

증명

\(K_0\)를 \(\mathcal{O}_0\)-가군의 임의의 복합체 \(\mathcal{K}_0^\bullet\)로 나타내자. 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{G}^n = 0\)으로 놓고 보조정리 0DIT를 적용한다. 보조정리가 만드는 준동형을 \(d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)라 쓰자. 그러면 \(d \circ d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 2}\) 는 \(\mathcal{I}\)을 법으로 영이다. \(\mathcal{F}^n\)이 평탄하므로 \(\mathcal{I}\mathcal{F}^n = \mathcal{F}^n \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{I} = \mathcal{F}^n_0 \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}\)이다. 따라서 복합체의 표준 사상 \[d \circ d : \mathcal{F}_0^\bullet \longrightarrow (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2]\] 을 얻는다. \(\mathcal{F}_0^\bullet\)은 평탄한 \(\mathcal{O}_0\)-가군의 위로 유계인 복합체이므로 K-평탄하고, 유도 텐서곱을 계산하는 데 사용할 수 있다. 또한 구성상 복합체의 사상 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)은 준동형사상이다. 따라서 방금 구성한 사상의 정의역과 공역은 각각 \(K_0\)와 \(K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}[2]\)를 나타내며, 원하는 사상 \(\omega(K_0)\)를 얻는다.

이 절차가 복합체의 사상과 양립함을 보이자. \(\mathcal{L}_0^\bullet\)이 \(D^-(\mathcal{O}_0)\)의 다른 대상을 나타내고, 다음이 복합체의 사상이라고 가정하자. \[\mathcal{K}_0^\bullet \longrightarrow \mathcal{L}_0^\bullet\] 복합체 \(\mathcal{L}_0^\bullet\), 평탄한 가군 \(\mathcal{F}^n\), 준동형 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\), 그리고 합성 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n \to \mathcal{L}_0^n\) 에 보조정리 0DIT를 적용한다(사용한 글자의 순서가 뒤집힌 점을 양해해 주기 바란다). 그러면 보조정리의 모든 성질을 갖는 평탄한 가군 \(\mathcal{G}^n\), 준동형 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{G}^n\), \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{G}^{n + 1}\), \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{L}_0^n\)을 얻는다. 그러면 다음이 복합체의 가환 도표임은 분명하다. \[\xymatrix{ \mathcal{F}_0^\bullet \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & (\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\]

이제 \(\omega(K_0)\)가 잘 정의됨을 보이기 위해, \(K_0\)를 나타내는 두 \(\mathcal{O}_0\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}_0^\bullet\)과 \((\mathcal{K}'_0)^\bullet\) 와 다음 두 체계가 주어졌다고 가정하자. \((\mathcal{F}^n, d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}, \mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n)\) 그리고 \(((\mathcal{F}')^n, d : (\mathcal{F}')^n \to (\mathcal{F}')^{n + 1}, (\mathcal{F}')^n \to \mathcal{K}_0^n)\) 이다. 그러면 복합체 \((\mathcal{K}''_0)^\bullet\)과 준동형사상들 \(\mathcal{K}_0^\bullet \to (\mathcal{K}''_0)^\bullet\) 및 \((\mathcal{K}'_0)^\bullet \to (\mathcal{K}''_0)^\bullet\) 을 택할 수 있다. 이들은 두 복합체가 유도 범주에서 모두 \(K_0\)를 나타낸다는 사실을 실현한다. 다음으로 앞 문단의 결과를 \[(\mathcal{K}_0)^\bullet \oplus (\mathcal{K}'_0)^\bullet \longrightarrow (\mathcal{K}''_0)^\bullet\] 에 적용한다. 그러면 다음 가환 도표를 얻는다. \[\xymatrix{ \mathcal{F}_0^\bullet \oplus (\mathcal{F}'_0)^\bullet \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \oplus ((\mathcal{F}'_0)^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & (\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] 세로 화살표들은 각 직합 성분에서 준동형사상을 주므로 \(D(\mathcal{O}_0)\)에서 원하는 가환성을 얻는다.

잘 정의됨을 보였으므로 사상과의 양립성에 관한 명제는 두 번째 문단의 결과에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\alpha : K \to L\)을 \(D^-(\mathcal{O})\)의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군층이라 하고 \(n \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(i \geq n\)일 때 \(H^i(\alpha)\)가 동형사상이면, \(i \geq n\)일 때 \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\)도 동형사상이다.

2. \(i > n\)일 때 \(H^i(\alpha)\)가 동형사상이고 \(i = n\)일 때 전사 준동형이면, \(i > n\)일 때 \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\)가 동형사상이고 \(i = n\)일 때 전사 준동형이다.

증명

완전 삼각형 \[K \to L \to C \to K[1]\] 을 택하자. (2)의 경우 \(i \geq n\)일 때 \(H^i(C) = 0\)이다. 따라서 유도 범주, 보조정리 05TC의 쌍대에 의해 \(i \geq n\)일 때 \(H^i(C \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) = 0\)이다. 이는 다시 \(i > n\)일 때 \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) 가 동형사상이고 \(i = n\)일 때 전사 준동형임을 보인다. (1)의 경우에는 더 나아가 \(H^{n - 1}(L) \to H^{n - 1}(C)\)가 전사 준동형이다. 다음 도표를 생각하면 \[\xymatrix{ H^{n - 1}(L) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & H^{n - 1}(C) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ H^{n - 1}(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[r] & H^{n - 1}(C \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] 아래쪽 가로 화살표가 전사 준동형임을 알 수 있다. 이를 앞에서 말한 것과 합치면 \(H^n(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) 가 동형사상임을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)를 핵이 제곱이 영인 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)인 환층의 전사 준동형이라 하자. \(D^-(\mathcal{O}_0)\)의 모든 대상 \(K_0\)에 대하여 다음은 서로 동치이다.

1. 보조정리 0DIU에서 구성한 동치류 \(\omega(K_0) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})\) 는 영이다.

2. \(D(\mathcal{O}_0)\)에서 \(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 = K_0\) 를 만족하는 \(K \in D^-(\mathcal{O})\)가 존재한다.

증명

\(K\)를 (2)에서와 같이 택하자. 그러면 \(K\)를 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군의 위로 유계인 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)로 나타낼 수 있다. 이때 \(\mathcal{F}_0^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{O}_0\) 은 \(D(\mathcal{O}_0)\)에서 \(K_0\)를 나타낸다. \(\mathcal{F}^\bullet\)은 복합체이므로 \(d_{\mathcal{F}^\bullet} \circ d_{\mathcal{F}^\bullet} = 0\)이다. 따라서 \(\omega(K_0)\)의 구성 자체에서 이것이 영임을 알 수 있다.

(1)을 가정하자. \(\mathcal{F}^n\)과 \(d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)을 \(\omega(K_0)\)의 구성에서와 같이 택하자. \(\omega(K_0)\)가 영이라는 사실은 사상 \[\omega = d \circ d : \mathcal{F}_0^\bullet \longrightarrow (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2]\] 이 \(D(\mathcal{O}_0)\)에서 영임을 뜻한다. 유도 범주를 \(\mathcal{O}_0\)-가군 복합체의 호모토피 범주의 국소화로 정의하는 것에 의해, 준동형사상 \(\alpha : \mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) 과 다음을 만족하는 \(\mathcal{O}_0\)-가군 준동형 \(h^n : \mathcal{G}_0^n \to \mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}\) 가 존재한다. \[\omega \circ \alpha = d_{\mathcal{F}_0^\bullet \otimes \mathcal{I}} \circ h + h \circ d_{\mathcal{G}_0^\bullet}\] 다음과 같이 놓는다. \[\mathcal{H}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}^n_0} \mathcal{G}_0^n\] 그리고 다음을 정의한다. \[d' : \mathcal{H}^n \longrightarrow \mathcal{H}^{n + 1},\quad (f^n, g_0^n) \longmapsto (d(f^n) - h^n(g_0^n), d(g_0^n))\] 여기서는 다음 등식을 사용한 명백한 표기를 썼다. \(\mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} = \mathcal{F}^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} = \mathcal{I}\mathcal{F}^{n + 1} \subset \mathcal{F}^{n + 1}\). \(h^n\)의 선택과 \(\omega\)의 정의를 사용하면 \(d' \circ d' = 0\)임을 확인할 수 있다. 따라서 \(\mathcal{H}^\bullet\)은 \(D(\mathcal{O})\)의 대상을 정한다. 한편 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \to \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{G}_0^\bullet \to 0\] 이제 \(\mathcal{H}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) 가 \(K_0\)와 동형임을 보이면 된다. 준동형사상 \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) 을 택하되, \(\mathcal{E}^\bullet\)은 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군의 위로 유계인 복합체로 택한다. 그러면 다음 가환 도표를 얻는다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} \ar[d]^\beta \ar[r] & \mathcal{E}^\bullet \ar[d]^\gamma \ar[r] & \mathcal{E}_0^\bullet \ar[d]^\delta \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{H}^\bullet \ar[r] & \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & 0 }\] \(\delta\)가 준동형사상이라고 주장한다. \(i \gg 0\)일 때 \(H^i(\delta)\)가 동형사상이므로, \(i \geq n\)일 때 \(H^i(\delta)\)가 동형사상이라는 \(n\)에 관한 내림 귀납법을 사용할 수 있다. 다음에 유의하자. \(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}\) 은 \(\mathcal{E}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}\), 를 나타내고, \(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}\) 은 \(\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}\), 를 나타내며, \(\beta = \delta \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{I}\) 는 \(D(\mathcal{O}_0)\)에서의 사상으로서 성립한다. 마지막 주장은 다음 등식에서 따른다. \(\beta = (\alpha \otimes \text{id}_\mathcal{I}) \circ (\delta \otimes \text{id}_\mathcal{I})\). \(H^i(\delta)\)가 차수 \(\geq n\)에서 동형사상이라고 가정하자. 방금 말한 것과 보조정리 0DIV에 의해 \(\beta\)에 대해서도 같은 것이 참이다. 이제 다음 도표를 보자. \[\xymatrix@C=1.2em{ H^{n - 1}(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] \ar[d]^{H^{n - 1}(\beta)} & H^{n - 1}(\mathcal{E}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & H^{n - 1}(\mathcal{E}_0^\bullet) \ar[r] \ar[d]^{H^{n - 1}(\delta)} & H^n(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] \ar[d]^{H^n(\beta)} & H^n(\mathcal{E}^\bullet) \ar[d] \\ H^{n - 1}(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] & H^{n - 1}(\mathcal{H}^\bullet) \ar[r] & H^{n - 1}(\mathcal{G}_0^\bullet) \ar[r] & H^n(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] & H^n(\mathcal{H}^\bullet) }\] 호몰로지, 보조정리 05QA를 사용하면 \(H^{n - 1}(\delta)\)가 전사 준동형임을 알 수 있다. 이는 다시 보조정리 0DIV에 의해 \(H^{n - 1}(\beta)\)가 전사 준동형임을 뜻한다. 호몰로지, 보조정리 05QA를 다시 사용하면 \(H^{n - 1}(\delta)\)가 동형사상임을 알 수 있다. 따라서 귀납법으로 주장이 성립하며, \(\delta\)는 준동형사상이다. 이것이 보이고자 한 것이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)를 환층의 전사 준동형이라 하자. 다음 자료가 주어졌다고 가정하자.

1. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\),

2. \(\mathcal{O}_0\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}_0^\bullet\),

3. 준동형사상 \(\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\).

그러면 준동형사상 \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)이 존재하여, 복합체의 사상 \(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0 \to \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) 은 \(\mathcal{O}_0\)-가군 복합체의 호모토피 범주에서 \(\mathcal{K}_0^\bullet\)을 거쳐 분해된다.

증명

다음과 같이 놓자. \(\mathcal{F}_0^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\). 유도 범주, 보조정리 0642에 의해 주어진 사상의 다음 분해가 존재한다. \[\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{L}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\] 여기서 첫 번째 화살표는 호모토피까지 역을 가지며 두 번째 화살표는 각 항에서 분할 전사 준동형이다. 따라서 \(\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\)이 각 항에서 전사라고 가정해도 된다. 이 경우 다음과 같이 택한다. \[\mathcal{G}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}^n_0} \mathcal{K}_0^n\] 그러면 모든 것이 분명하다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)를 커널이 제곱 영 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)인 환층의 전사 준동형이라 하자. \(K, L \in D^-(\mathcal{O})\)라 하자. \(D^-(\mathcal{O}_0)\)에서 \(K_0 = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) 및 \(L_0 = L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\)로 놓자. \(D(\mathcal{O}_0)\)의 사상 \(\alpha_0 : K_0 \to L_0\)가 주어지면 정준 원소 \[o(\alpha_0) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, L_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] 가 존재한다. 이 원소가 소멸하는 것은 \(\alpha_0 = \alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}\)를 만족하는 \(D(\mathcal{O})\)의 사상 \(\alpha : K \to L\)가 존재하기 위한 필요충분조건이다.

증명

\(\alpha_0\)를 올리는 \(\alpha : K \to L\)를 찾는 것은 합성 \(K \xrightarrow{\alpha} L \to L_0\)가 합성 \(K \to K_0 \xrightarrow{\alpha_0} L_0\)와 같도록 하는 \(\alpha : K \to L\)를 찾는 것과 같다. 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}_0 \to 0\) 은 \(D(\mathcal{O})\)에서 정준 완전 삼각형 \[L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I} \to L \to L_0 \to (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] 을 준다. 유도 범주, 보조정리 0149에 의해 합성 \[K \to K_0 \xrightarrow{\alpha_0} L_0 \to (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] 이 영인 것은 \(\alpha_0\)를 올리는 \(\alpha : K \to L\)를 찾을 수 있기 위한 필요충분조건이다. 이 합성은 수반성에 의해 \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(K, (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]) = \Hom_{D(\mathcal{O}_0)}(K_0, (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]) = \Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, L_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] 의 원소이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)를 커널이 제곱 영 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)인 환층의 전사 준동형이라 하자. \(K_0 \in D^-(\mathcal{O})\)라 하자. \(K_0\)의 올림이란 \(D^-(\mathcal{O})\)의 대상 \(K\)와 동형사상 \(\alpha_0 : K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to K_0\) \(D(\mathcal{O}_0)\)로 이루어진 쌍 \((K, \alpha_0)\)을 말한다.

1. 올림 \((K, \alpha)\)가 주어지면 이 쌍의 자기동형군은 정준적으로 다음 사상의 여핵이다. \[\Ext^{-1}_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\]

2. 올림이 존재하면, 올림의 동형류 집합은 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\)의 작용에 대한 주동차 공간을 이룬다.

증명

\((K, \alpha)\)의 자기동형은 \(\varphi \otimes_\mathcal{O} \text{id}_{\mathcal{O}_0} = \text{id}\). 를 만족하는 \(D(\mathcal{O})\)의 사상 \(\varphi : K \to K\)이다. 이는 \[K \xrightarrow{\varphi - \text{id}} K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\] 가 영이라는 것과 같다. 따라서 자기동형군은 다음 사상의 여핵이다. \[\Hom_\mathcal{O}(K, K_0[-1]) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}(K, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] 실제로 이는 \(D(\mathcal{O})\)의 완전 삼각형 \[K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I} \to K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to (K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] 과 유도 범주, 보조정리 0149에서 따른다. 이를 보조정리에 나타난 군으로 옮기려면 제한 함자 \(D(\mathcal{O}_0) \to D(\mathcal{O})\)와 \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0 : D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_0)\) 사이의 수반성을 사용한다. 이로써 (1)이 증명되었다.

(2)의 증명. \(D(\mathcal{O})\)에서 \(K_0 = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\)라고 가정하자. 보조정리 0DIY에 의해 올림 \((K', \alpha_0)\)을 \(\alpha_0\)를 올리는 데 대한 장애 \(o(\alpha_0)\)로 보내는 사상은 쌍들의 동형류 집합에서 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\)로 가는 정준 단사 사상을 정의한다. 증명을 마치기 위해 이 사상이 전사임을 보이자. 보조정리에 나오는 \(\Ext^1\)의 원소 \(\xi : K_0 \to (K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\)를 택하자. \(K\)를 나타내는 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군의 위로 유계인 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)을 택하자. 사상 \(\xi\)는 \(t \circ s^{-1}\)로 나타낼 수 있다. 여기서 \(s : \mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\)은 준동형사상이고 \(t : \mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}[1]\) 는 복합체의 사상이다. 보조정리 0DIX에 의해 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 준동형사상 \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)이 존재하고, \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\)이 호모토피까지 \(s\)를 거쳐 분해된다고 가정할 수 있다. 또한 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군의 위로 유계인 복합체에서 \(\mathcal{G}^\bullet\)로 가는 준동형사상을 택하여 대체함으로써, \(\mathcal{G}^\bullet\)이 그런 복합체라고 가정해도 된다. 그러면 \(\xi\)는 복합체의 사상 \(t : \mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}[1]\) 과 준동형사상 \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\)로 나타남을 알 수 있다. 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{H}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}_0^n} \mathcal{G}_0^n\] 그 미분은 다음과 같다. \[\mathcal{H}^n \to \mathcal{H}^{n + 1},\quad (f^n, g_0^n) \mapsto (d(f^n) + t(g_0^n), d(g_0^n))\] 이는 \(\mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} = \mathcal{F}^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} = \mathcal{I}\mathcal{F}^{n + 1} \subset \mathcal{F}^{n + 1}\)이므로 잘 정의된다. \(\mathcal{H}^\bullet\)이 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체임을 보이는 계산은 생략한다. 구성에 의해 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \to \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{G}_0^\bullet \to 0\] 이 존재한다. 보조정리 0DIW의 증명과 똑같이, 이 열이 동형사상 \(\alpha_0 : \mathcal{H}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to \mathcal{G}_0^\bullet\)를 \(D(\mathcal{O}_0)\)에서 유도함을 보일 수 있다. 다시 말해 쌍 \((\mathcal{H}^\bullet, \alpha_0)\)을 구성했다. \(o(\alpha_0) = \xi\)의 확인은 생략한다. 힌트는 다음과 같다. 이 경우 \(\alpha_0\)의 각 성분을 올리는 사상 \(\mathcal{H}^n \to \mathcal{F}^n\)이 있으므로(이들은 미분과 양립하지 않는다), \(o(\alpha_0)\)를 명시적으로 계산할 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.