Cohomologie cristalline

Introduction

Ce chapitre s’appuie sur une série de cours donnés par Johan de Jong en 2012 à l’université Columbia. L’objectif de ce chapitre est de donner une introduction rapide à la cohomologie cristalline. Le livre [Berthelot] fournit une référence.

Nous avons placé l’étude purement algébrique et plus élémentaire des anneaux à puissances divisées dans un chapitre préliminaire, car elle sert aussi à étudier les résolutions de Tate en algèbre commutative. Voir Algèbre à puissances divisées, section 09PE.

Enveloppe à puissances divisées

La construction du lemme suivant sera appelée l’enveloppe à puissances divisées. Elle jouera plus loin un rôle important.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(J \subset B\) un idéal tel que \(IB \subset J\). Il existe un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées \[(A, I, \gamma) \longrightarrow (D, \bar J, \bar \gamma)\] tel que \[\Hom_{(A, I, \gamma)}((D, \bar J, \bar \gamma), (C, K, \delta)) = \Hom_{(A, I)}((B, J), (C, K))\] fonctoriellement en l’algèbre à puissances divisées \((C, K, \delta)\) sur \((A, I, \gamma)\). Ici, le membre de gauche désigne les morphismes d’anneaux à puissances divisées sur \((A, I, \gamma)\), et celui de droite les morphismes de couples (anneau, idéal) sur \((A, I)\).

Démonstration

Notons \(\mathcal{C}\) la catégorie des anneaux à puissances divisées \((C, K, \delta)\). Considérons le foncteur \(F : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Ens}\) défini par \[F(C, K, \delta) = \left\{ (\varphi, \psi) \middle| \begin{matrix} \varphi : (A, I, \gamma) \to (C, K, \delta) \text{ homomorphisme d'anneaux à puissances divisées} \\ \psi : (B, J) \to (C, K)\text{ un homomorphisme de } A\text{-algèbres tel que }\psi(J) \subset K \end{matrix} \right\}\] Nous allons montrer que le lemme 07GW d’Algèbre à puissances divisées s’applique à ce foncteur, ce qui démontrera le lemme. Supposons \((\varphi, \psi) \in F(C, K, \delta)\). Soit \(C' \subset C\) le sous-anneau engendré par \(\varphi(A)\), \(\psi(B)\) et les \(\delta_n(\psi(f))\) pour tout \(f \in J\). Soit \(K' \subset K \cap C'\) l’idéal de \(C'\) engendré par \(\varphi(I)\) et les \(\delta_n(\psi(f))\), pour \(f \in J\). Alors \((C', K', \delta|_{K'})\) est un anneau à puissances divisées et le cardinal de \(C'\) est majoré par le cardinal \(\kappa = |A| \otimes |B|^{\aleph_0}\). De plus, \(\varphi\) se factorise sous la forme \(A \to C' \to C\) et \(\psi\) sous la forme \(B \to C' \to C\). Cela démontre que l’hypothèse (1) du lemme 07GW d’Algèbre à puissances divisées est satisfaite. L’hypothèse (2) est claire, car le foncteur d’oubli de la catégorie des anneaux à puissances divisées, \((C, K, \delta) \mapsto (C, K)\), commute aux limites ; voir le lemme 07GV d’Algèbre à puissances divisées et sa démonstration.

Définition

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(J \subset B\) un idéal tel que \(IB \subset J\). L’algèbre à puissances divisées \((D, \bar J, \bar\gamma)\) construite dans le lemme 07H8 est appelée l’enveloppe à puissances divisées de \(J\) dans \(B\) relative à \((A, I, \gamma)\) et se note \(D_B(J)\) ou \(D_{B, \gamma}(J)\).

Soit \((A, I, \gamma) \to (C, K, \delta)\) un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées. La propriété universelle de \(D_{B, \gamma}(J) = (D, \bar J, \bar \gamma)\) est \[\begin{matrix} \text{homomorphismes d'anneaux }B \to C \\ \text{ qui envoient }J\text{ dans }K \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{homomorphismes à puissances divisées} \\ (D, \bar J, \bar \gamma) \to (C, K, \delta) \end{matrix}\] et la correspondance s’obtient par précomposition avec l’application \(B \to D\) qui correspond à \(\text{id}_D\). Voici quelques propriétés de \((D, \bar J, \bar \gamma)\) qui découlent directement de la propriété universelle. Il existe des homomorphismes de \(A\)-algèbres [07HA]\[\begin{equation} B \longrightarrow D \longrightarrow B/J \end{equation}\] La première flèche envoie \(J\) dans \(\bar J\), et \(\bar J\) est le noyau de la seconde. Les éléments \(\bar\gamma_n(x)\), où \(n > 0\) et où \(x\) appartient à l’image de \(J \to D\), engendrent \(\bar J\) comme idéal de \(D\) et engendrent \(D\) comme \(B\)-algèbre.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(\varphi : B' \to B\) une surjection de \(A\)-algèbres de noyau \(K\). Soit \(IB \subset J \subset B\) un idéal. Soit \(J' \subset B'\) l’image réciproque de \(J\). Écrivons \(D_{B', \gamma}(J') = (D', \bar J', \bar\gamma)\). Alors \(D_{B, \gamma}(J) = (D'/K', \bar J'/K', \bar\gamma)\) où \(K'\) est l’idéal engendré par les éléments \(\bar\gamma_n(k)\) pour \(n \geq 1\) et \(k \in K\).

Démonstration

Écrivons \(D_{B, \gamma}(J) = (D, \bar J, \bar \gamma)\). La propriété universelle de \(D'\) fournit un homomorphisme \(D' \to D\) d’algèbres à puissances divisées. Puisque \(B' \to B\) et \(J' \to J\) sont surjectifs, l’homomorphisme \(D' \to D\) est surjectif (voir les remarques ci-dessus). Il est clair que \(\bar\gamma_n(k)\) appartient au noyau pour \(n \geq 1\) et \(k \in K\) ; autrement dit, nous obtenons un homomorphisme \(D'/K' \to D\). Réciproquement, il existe une structure de puissances divisées sur \(\bar J'/K' \subset D'/K'\) ; voir le lemme 07H2 d’Algèbre à puissances divisées. La propriété universelle de \(D\) fournit donc un inverse \(D \to D'/K'\), ce qui achève la démonstration.

Dans la situation de la définition 07H9, nous pouvons choisir une surjection \(P \to B\), où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(A\), et prendre pour \(J' \subset P\) l’image réciproque de \(J\). Le lemme précédent décrit \(D_{B, \gamma}(J)\) en fonction de \(D_{P, \gamma}(J')\). Notons que \(\gamma\) se prolonge en une structure de puissances divisées \(\gamma'\) sur \(IP\) d’après le lemme 07H1 d’Algèbre à puissances divisées. Ainsi, \(D_{P, \gamma}(J') = D_{P, \gamma'}(J')\) est un exemple du cas particulier d’enveloppes à puissances divisées que décrit le lemme suivant.

Lemme

Soit \((B, I, \gamma)\) une algèbre à puissances divisées. Soit \(I \subset J \subset B\) un idéal. Soit \((D, \bar J, \bar \gamma)\) l’enveloppe à puissances divisées de \(J\) relativement à \(\gamma\). Choisissons des éléments \(f_t \in J\), \(t \in T\), tels que \(J = I + (f_t)\). Il existe alors une surjection \[\Psi : (B\langle x_t \rangle, IB\langle x_t \rangle + B\langle x_t \rangle_+, \delta) \longrightarrow (D, \bar J, \bar \gamma)\] d’anneaux à puissances divisées qui envoie \(x_t\) sur l’image de \(f_t\) dans \(D\). Le noyau de \(\Psi\) est engendré par les éléments \(x_t - f_t\) et par tous les éléments \[\delta_n\left(\sum r_t x_t - r_0\right)\] dès que \(\sum r_t f_t = r_0\) dans \(B\) pour certains \(r_t \in B\), \(r_0 \in I\).

Démonstration

Dans l’énoncé du lemme, nous considérons \(B\langle x_t \rangle\) comme un anneau à puissances divisées d’idéal \(J' = IB\langle x_t \rangle + B\langle x_t \rangle_{+}\) ; voir la remarque 07H6 d’Algèbre à puissances divisées. L’existence de \(\Psi\) résulte de la propriété universelle des algèbres polynomiales à puissances divisées. La surjectivité de \(\Psi\) résulte du fait que son image est un sous-anneau à puissances divisées de \(D\), donc égale à \(D\) par la propriété universelle de \(D\). Il est clair que \(x_t - f_t\) appartient au noyau. Posons \[\mathcal{R} = \{(r_0, r_t) \in I \oplus \bigoplus\nolimits_{t \in T} B \mid \sum r_t f_t = r_0 \text{ dans }B\}\] Si \((r_0, r_t) \in \mathcal{R}\), il est clair que \(\sum r_t x_t - r_0\) appartient au noyau. Puisque \(\Psi\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées et que \(\sum r_tx_t - r_0 \in J'\), il s’ensuit que \(\delta_n(\sum r_t x_t - r_0)\) appartient aussi au noyau. Soit \(K \subset B\langle x_t \rangle\) l’idéal engendré par \(x_t - f_t\) et les éléments \(\delta_n(\sum r_t x_t - r_0)\) pour \((r_0, r_t) \in \mathcal{R}\). Pour montrer que \(K = \Ker(\Psi)\), il suffit de montrer que \(\delta\) se prolonge à \(B\langle x_t \rangle/K\). En effet, la propriété universelle de \(D\) fournit alors une application \(D \to B\langle x_t \rangle/K\) inverse de \(\Psi\). Nous devons donc montrer que \(K \cap J'\) est stable par \(\delta_n\) ; voir le lemme 07H2 d’Algèbre à puissances divisées. Soit \(K' \subset B\langle x_t \rangle\) l’idéal engendré par les éléments suivants :

1. \(\delta_m(\sum r_t x_t - r_0)\), où \(m > 0\) et \((r_0, r_t) \in \mathcal{R}\),

2. \(x_{t'}^{[m]}(x_t - f_t)\), où \(m > 0\) et \(t', t \in I\).

Nous affirmons que \(K' = K \cap J'\). Cette affirmation prouve que \(K \cap J'\) est stable par \(\delta_n\), \(n > 0\), d’après le critère du lemme 07H2 (2)(c) d’Algèbre à puissances divisées et le calcul de \(\delta_n\) sur les éléments énumérés, que nous laissons au lecteur. Pour démontrer l’affirmation, notons que \(K' \subset K \cap J'\). Réciproquement, si \(h \in K \cap J'\), nous pouvons écrire modulo \(K'\) \[h = \sum r_t (x_t - f_t)\] pour certains \(r_t \in B\). Puisque \(h \in K \cap J' \subset J'\), nous avons \(r_0 = \sum r_t f_t \in I\). Ainsi \((r_0, r_t) \in \mathcal{R}\), et nous constatons que \[h = \sum r_t x_t - r_0\] appartient à \(K'\), comme voulu.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre et \(IB \subset J \subset B\) un idéal. Soit \(x_i\) une famille d’indéterminées. Alors \[D_{B[x_i], \gamma}(JB[x_i] + (x_i)) = D_{B, \gamma}(J) \langle x_i \rangle\]

Démonstration

Une démonstration possible consiste à déduire ceci du lemme 07HC, car toute relation entre les \(x_i\) dans \(B[x_i]\) est triviale. D’autre part, le lemme résulte de la propriété universelle de l’algèbre polynomiale à puissances divisées et de celle des enveloppes à puissances divisées.

Les conditions (1) et (2) du lemme suivant sont satisfaites si \(B \to B'\) est plat en tout point de \(V(IB') \subset \Spec(B')\) et sont très étroitement liées à cette condition ; voir Algèbre, lemme 051C. Il affirme notamment que la formation de l’enveloppe à puissances divisées commute à la localisation.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(B \to B'\) un homomorphisme de \(A\)-algèbres. Supposons que

1. \(B/IB \to B'/IB'\) soit plat, et

2. \(\text{Tor}_1^B(B', B/IB) = 0\).

Alors, pour tout idéal \(IB \subset J \subset B\), l’application canonique \[D_B(J) \otimes_B B' \longrightarrow D_{B'}(JB')\] est un isomorphisme.

Démonstration

Posons \(D = D_B(J)\) et notons \(\bar J \subset D\) son idéal à puissances divisées, muni de la structure de puissances divisées \(\bar\gamma\). La propriété universelle de \(D\) fournit un homomorphisme de \(B\)-algèbres \(D \to D_{B'}(JB')\), donc l’application du lemme. Il suffit de montrer que les puissances divisées \(\bar\gamma\) se prolongent à \(D \otimes_B B'\), car alors la propriété universelle de \(D_{B'}(JB')\) fournira une application \(D_{B'}(JB') \to D \otimes_B B'\) inverse de celle du lemme.

Choisissons une surjection \(P \to B'\), où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(B\). En particulier, \(B \to P\) est plat, donc \(D \to D \otimes_B P\) est plat d’après le lemme 00HI d’Algèbre. Alors \(\bar\gamma\) se prolonge à \(D \otimes_B P\) d’après le lemme 07H1 d’Algèbre à puissances divisées ; nous noterons encore ce prolongement \(\bar\gamma\). Posons \(\mathfrak a = \Ker(P \to B')\), de sorte que nous avons la suite exacte courte \[0 \to \mathfrak a \to P \to B' \to 0\] Ainsi, \(\text{Tor}_1^B(B', B/IB) = 0\) implique \(\mathfrak a \cap IP = I\mathfrak a\). Nous avons maintenant le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ B/J \otimes_B \mathfrak a \ar[r]_\beta & B/J \otimes_B P \ar[r] & B/J \otimes_B B' \\ D \otimes_B \mathfrak a \ar[r]^\alpha \ar[u] & D \otimes_B P \ar[r] \ar[u] & D \otimes_B B' \ar[u] \\ \bar J \otimes_B \mathfrak a \ar[r] \ar[u] & \bar J \otimes_B P \ar[r] \ar[u] & \bar J \otimes_B B' \ar[u] }\] Ce diagramme est exact, même après ajout de \(0\) en haut et à droite. Nous devons montrer que les puissances divisées sur l’idéal \(\bar J \otimes_B P\) préservent l’idéal \(\Im(\alpha) \cap \bar J \otimes_B P\) ; voir le lemme 07H2 d’Algèbre à puissances divisées. Considérons la suite exacte \[0 \to \mathfrak a/I\mathfrak a \to P/IP \to B'/IB' \to 0\] (qui utilise \(\mathfrak a \cap IP = I\mathfrak a\), comme on l’a vu ci-dessus). Puisque \(B'/IB'\) est plat sur \(B/IB\), cette suite reste exacte après application de \(B/J \otimes_{B/IB} -\) ; voir le lemme 00HL d’Algèbre. Ainsi, \[\Ker(B/J \otimes_{B/IB} \mathfrak a/I\mathfrak a \to B/J \otimes_{B/IB} P/IP) = \Ker(\mathfrak a/J\mathfrak a \to P/JP)\] est nul. Ainsi \(\beta\) est injectif. Il s’ensuit que \(\Im(\alpha) \cap \bar J \otimes_B P\) coïncide avec l’image de \(\bar J \otimes \mathfrak a\). Si maintenant \(f \in \bar J\) et \(a \in \mathfrak a\), alors \(\bar\gamma_n(f \otimes a) = \bar\gamma_n(f) \otimes a^n\) et le résultat est donc clair.

Le lemme suivant est un cas particulier de [dJ-crystalline, Proposition 2.1.7], qui est elle-même une généralisation de [Berthelot, Proposition 2.8.2].

Lemme

Soit \((B, I, \gamma) \to (B', I', \gamma')\) un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées. Soient \(I \subset J \subset B\) et \(I' \subset J' \subset B'\) des idéaux. Supposons

1. \(B/I \to B'/I'\) soit plat, et

2. \(J' = JB' + I'\).

Alors l’application canonique \[D_{B, \gamma}(J) \otimes_B B' \longrightarrow D_{B', \gamma'}(J')\] est un isomorphisme.

Démonstration

Posons \(D = D_{B, \gamma}(J)\). Choisissons des éléments \(f_t \in J\) engendrant \(J/I\). Posons \(\mathcal{R} = \{(r_0, r_t) \in I \oplus \bigoplus\nolimits_{t \in T} B \mid \sum r_t f_t = r_0 \text{ dans }B\}\) comme dans la démonstration du lemme 07HC. Ce lemme montre que \[D = B\langle x_t \rangle/ K\] où \(K\) est engendré par les éléments \(x_t - f_t\) et \(\delta_n(\sum r_t x_t - r_0)\) pour \((r_0, r_t) \in \mathcal{R}\). Nous voyons ainsi que [07HF]\[\begin{equation} D \otimes_B B' = B'\langle x_t \rangle/K' \end{equation}\] où \(K'\) est engendré par les images dans \(B'\langle x_t \rangle\) des générateurs de \(K\) énumérés ci-dessus. Soit \(f'_t \in B'\) l’image de \(f_t\). Par l’hypothèse (1), les éléments \(f'_t \in J'\) engendrent \(J'/I'\), et \(x_t - f'_t \in K'\). Posons \[\mathcal{R}' = \{(r'_0, r'_t) \in I' \oplus \bigoplus\nolimits_{t \in T} B' \mid \sum r'_t f'_t = r'_0 \text{ dans }B'\}\] Pour achever la démonstration, nous devons montrer que \(\delta'_n(\sum r'_t x_t - r'_0) \in K'\) pour \((r'_0, r'_t) \in \mathcal{R}'\), car alors la présentation (07HF) de \(D \otimes_B B'\) est identique à la présentation de \(D_{B', \gamma'}(J')\) obtenue dans le lemme 07HC à partir des générateurs \(f'_t\). Supposons que \((r'_0, r'_t) \in \mathcal{R}'\). Alors \(\sum r'_t f'_t = 0\) dans \(B'/I'\). Puisque \(B/I \to B'/I'\) est plat par l’hypothèse (1), nous pouvons appliquer le critère équationnel de platitude (Algèbre, lemme 00HK) et constater qu’il existe un entier \(m > 0\) ainsi que des éléments \(r_{jt} \in B\) et \(c_j \in B'\), \(j = 1, \ldots, m\), tels que \[r_{j0} = \sum\nolimits_t r_{jt} f_t \in I \text{ pour } j = 1, \ldots, m\] et \[i'_t = r'_t - \sum\nolimits_j c_j r_{jt} \in I' \text{ pour tout }t\] Notons que cela implique aussi \(r'_0 = \sum_t i'_t f_t + \sum_j c_j r_{j0}\). Nous avons alors \[\begin{align*} \delta'_n(\sum\nolimits_t r'_t x_t - r'_0) & = \delta'_n( \sum\nolimits_t i'_t x_t + \sum\nolimits_{t, j} c_j r_{jt} x_t - \sum\nolimits_t i'_t f_t - \sum\nolimits_j c_j r_{j0}) \\ & = \delta'_n( \sum\nolimits_t i'_t(x_t - f_t) + \sum\nolimits_j c_j (\sum\nolimits_t r_{jt} x_t - r_{j0})) \end{align*}\] Puisque \(\delta_n(a + b) = \sum_{m = 0, \ldots, n} \delta_m(a) \delta_{n - m}(b)\) et que \(\delta_m(\sum i'_t(x_t - f_t))\) appartient à l’idéal engendré par les \(x_t - f_t \in K'\) pour \(m > 0\), il suffit de prouver que \(\delta_n(\sum c_j (\sum r_{jt} x_t - r_{j0}))\) appartient à \(K'\). Pour cela, nous utilisons \[\delta_n(\sum\nolimits_j c_j (\sum\nolimits_t r_{jt} x_t - r_{j0})) = \sum c_1^{n_1} \ldots c_m^{n_m} \delta_{n_1}(\sum r_{1t} x_t - r_{10}) \ldots \delta_{n_m}(\sum r_{mt} x_t - r_{m0})\] où la somme porte sur \(n_1 + \ldots + n_m = n\). Cela démontre l’assertion voulue.

Quelques épaississements explicites à puissances divisées

Les constructions de cette section nous aideront à définir la connexion sur un cristal en modules sur le site cristallin.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(B = A \oplus M\) comme \(A\)-algèbre, où \(M\) est un idéal de carré nul, et posons \(J = I \oplus M\). Posons \[\delta_n(x + z) = \gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)z\] pour \(x \in I\) et \(z \in M\). Alors \(\delta\) est une structure de puissances divisées et \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées de \((A, I, \gamma)\) vers \((B, J, \delta)\).

Démonstration

Nous devons vérifier les conditions (1) – (5) de la définition 07GL d’Algèbre à puissances divisées. Nous le démontrerons directement dans ce cas ; la démonstration du lemme suivant donne toutefois une méthode qui évite les calculs. Les conditions (1) et (3) sont claires. La condition (2) résulte de \[\begin{align*} \delta_n(x + z)\delta_m(x + z) & = (\gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)z)(\gamma_m(x) + \gamma_{m - 1}(x)z) \\ & = \gamma_n(x)\gamma_m(x) + \gamma_n(x)\gamma_{m - 1}(x)z + \gamma_{n - 1}(x)\gamma_m(x)z \\ & = \frac{(n + m)!}{n!m!} \gamma_{n + m}(x) + \left(\frac{(n + m - 1)!}{n!(m - 1)!} + \frac{(n + m - 1)!}{(n - 1)!m!}\right) \gamma_{n + m - 1}(x) z \\ & = \frac{(n + m)!}{n!m!}\delta_{n + m}(x + z) \end{align*}\] La condition (5) résulte de \[\begin{align*} \delta_n(\delta_m(x + z)) & = \delta_n(\gamma_m(x) + \gamma_{m - 1}(x)z) \\ & = \gamma_n(\gamma_m(x)) + \gamma_{n - 1}(\gamma_m(x))\gamma_{m - 1}(x)z \\ & = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x) + \frac{((n - 1)m)!}{(n - 1)! (m!)^{n - 1}} \gamma_{(n - 1)m}(x) \gamma_{m - 1}(x) z \\ & = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n}(\gamma_{nm}(x) + \gamma_{nm - 1}(x) z) \end{align*}\] par un calcul élémentaire d’arithmétique. Pour prouver (4), nous devons voir que \[\delta_n(x + x' + z + z') = \gamma_n(x + x') + \gamma_{n - 1}(x + x')(z + z')\] est égal à \[\sum\nolimits_{i = 0}^n (\gamma_i(x) + \gamma_{i - 1}(x)z) (\gamma_{n - i}(x') + \gamma_{n - i - 1}(x')z')\] Cela résulte aisément du regroupement des coefficients de \(1\), \(z\) et \(z'\), et de l’emploi de la condition (4) pour \(\gamma\).

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soient \(M\), \(N\) des \(A\)-modules. Soit \(q : M \times M \to N\) une application \(A\)-bilinéaire. Munissons \(B = A \oplus M \oplus N\) de la structure de \(A\)-algèbre dont le produit est \[(x, z, w)\cdot (x', z', w') = (xx', xz' + x'z, xw' + x'w + q(z, z') + q(z', z))\] et posons \(J = I \oplus M \oplus N\). Posons \[\delta_n(x, z, w) = (\gamma_n(x), \gamma_{n - 1}(x)z, \gamma_{n - 1}(x)w + \gamma_{n - 2}(x)q(z, z))\] pour \((x, z, w) \in J\). Alors \(\delta\) est une structure de puissances divisées et \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées de \((A, I, \gamma)\) vers \((B, J, \delta)\).

Démonstration

Supposons que nous voulions démontrer la propriété (4) de la définition 07GL d’Algèbre à puissances divisées. Choisissons \((x, z, w)\) et \((x', z', w')\) dans \(J\). Choisissons une application \[A_0 = \mathbf{Z}\langle s, s'\rangle \longrightarrow A,\quad s \longmapsto x, s' \longmapsto x'\] ce qui est possible par la propriété universelle des algèbres polynomiales à puissances divisées. Posons \(M_0 = A_0 \oplus A_0\) et \(N_0 = A_0 \oplus A_0 \oplus M_0 \otimes_{A_0} M_0\). Soit \(q_0 : M_0 \times M_0 \to N_0\) l’application évidente. Définissons \(M_0 \to M\) comme l’application \(A_0\)-linéaire qui envoie les vecteurs de base de \(M_0\) sur \(z\) et \(z'\). Définissons \(N_0 \to N\) comme l’application \(A_0\)-linéaire qui envoie les deux premiers vecteurs de base de \(N_0\) sur \(w\) et \(w'\) et qui utilise \(M_0 \otimes_{A_0} M_0 \to M \otimes_A M \xrightarrow{q} N\) sur le dernier facteur direct. Il suffit alors de démontrer l’identité (4) dans la situation \((A_0, M_0, N_0, q_0)\). On procède de même pour les autres identités. Nous sommes ainsi ramenés au cas d’un anneau \(A\) sans \(\mathbf{Z}\)-torsion et de modules sans torsion sur \(A\). Dans ce cas, il suffit de montrer que \[n! \delta_n(x, z, w) = (x, z, w)^n\] dans l’anneau \(A\) ; voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07GM. Pour le voir, notons que \[(x, z, w)^2 = (x^2, 2xz, 2xw + 2q(z, z))\] et, par récurrence, \[(x, z, w)^n = (x^n, nx^{n - 1}z, nx^{n - 1}w + n(n - 1)x^{n - 2}q(z, z))\] D’autre part, \[n! \delta_n(x, z, w) = (n!\gamma_n(x), n!\gamma_{n - 1}(x)z, n!\gamma_{n - 1}(x)w + n!\gamma_{n - 2}(x) q(z, z))\] ce qui coïncide avec l’expression précédente. La démonstration est achevée.

Compatibilité

La lecture de cette section n’est pas indispensable ; elle explique comment notre étude s’articule avec celle de [Berthelot]. Considérons la notion technique suivante.

Définition

Soient \((A, I, \gamma)\) et \((B, J, \delta)\) des anneaux à puissances divisées. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Nous disons que \(\delta\) est compatible avec \(\gamma\) s’il existe une structure de puissances divisées \(\bar\gamma\) sur \(J + IB\) telle que \[(A, I, \gamma) \to (B, J + IB, \bar \gamma)\quad\text{et}\quad (B, J, \delta) \to (B, J + IB, \bar \gamma)\] soient des homomorphismes d’anneaux à puissances divisées.

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(A \to C\) un homomorphisme d’anneaux tel que \(p\) soit nilpotent dans \(C\). Supposons que \(\gamma\) se prolonge à \(IC\) (voir le lemme 07H1 d’Algèbre à puissances divisées). Dans cette situation, le (gros) site cristallin affine de \(\Spec(C)\) sur \(\Spec(A)\), tel qu’il est défini dans [Berthelot], est l’opposé de la catégorie des systèmes \[(B, J, \delta, A \to B, C \to B/J)\] où

1. \((B, J, \delta)\) est un anneau à puissances divisées tel que \(p\) soit nilpotent dans \(B\),

2. \(\delta\) est compatible avec \(\gamma\), et

3. le diagramme \[\xymatrix{ B \ar[r] & B/J \\ A \ar[u] \ar[r] & C \ar[u] }\] est commutatif.

Les conditions « \(\gamma\) se prolonge à \(C\) et \(\delta\) est compatible avec \(\gamma\) » sont utilisées dans [Berthelot] afin d’assurer que la cohomologie cristalline de \(\Spec(C)\) est la même que celle de \(\Spec(C/IC)\). Nous éviterons cette difficulté en travaillant exclusivement avec des \(C\) tels que \(IC = 0\)¹. Dans ce cas, pour un système \((B, J, \delta, A \to B, C \to B/J)\) comme ci-dessus, la commutativité du diagramme affiché implique \(IB \subset J\), et la compatibilité équivaut à la condition que \((A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) soit un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées.

Site cristallin affine

Dans cette section, nous étudions la variante algébrique du site cristallin. La situation de base dans laquelle nous mènerons cette étude sera la suivante.

Situation

Ici, \(p\) est un nombre premier, \((A, I, \gamma)\) est un anneau à puissances divisées tel que \(A\) soit une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre, et \(A \to C\) est un homomorphisme d’anneaux tel que \(IC = 0\) et que \(p\) soit nilpotent dans \(C\).

En général, le nombre premier \(p\) appartiendra à l’idéal à puissances divisées \(I\).

Définition

Dans la situation 07MD :

1. Un épaississement à puissances divisées de \(C\) sur \((A, I, \gamma)\) est un homomorphisme d’algèbres à puissances divisées \((A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) tel que \(p\) soit nilpotent dans \(B\), muni d’un homomorphisme d’anneaux \(C \to B/J\) tel que \[\xymatrix{ B \ar[r] & B/J \\ & C \ar[u] \\ A \ar[uu] \ar[r] & A/I \ar[u] }\] soit commutatif.

2. Un homomorphisme d’épaississements à puissances divisées \[(B, J, \delta, C \to B/J) \longrightarrow (B', J', \delta', C \to B'/J')\] est un homomorphisme \(\varphi : B \to B'\) de \(A\)-algèbres à puissances divisées tel que \(C \to B/J \to B'/J'\) soit l’application donnée \(C \to B'/J'\).

3. Nous notons \(\text{CRIS}(C/A, I, \gamma)\), ou simplement \(\text{CRIS}(C/A)\), la catégorie des épaississements à puissances divisées de \(C\) sur \((A, I, \gamma)\).

4. Nous notons \(\text{Cris}(C/A, I, \gamma)\), ou simplement \(\text{Cris}(C/A)\), la sous-catégorie pleine formée des \((B, J, \delta, C \to B/J)\) tels que \(C \to B/J\) soit un isomorphisme. Nous notons souvent un tel objet \((B \to C, \delta)\), en sous-entendant \(J = \Ker(B \to C)\).

Notons que, pour un épaississement à puissances divisées \((B, J, \delta)\) comme ci-dessus, l’idéal \(J\) est localement nilpotent ; voir le lemme 07GR d’Algèbre à puissances divisées. Il existe un foncteur canonique [07KF]\[\begin{equation} \text{CRIS}(C/A) \longrightarrow C\text{-algèbres},\quad (B, J, \delta) \longmapsto B/J \end{equation}\] Cette catégorie n’admet en général ni égalisateurs ni produits fibrés. Elle n’admet pas non plus, en général, d’objet initial (\(=\) colimite vide).

Lemme

Dans la situation 07MD.

1. \(\text{CRIS}(C/A)\) admet les produits finis (mais non les produits infinis),

2. \(\text{CRIS}(C/A)\) admet toutes les colimites finies non vides et (07KF) commute à celles-ci, et

3. \(\text{Cris}(C/A)\) admet toutes les colimites finies non vides et \(\text{Cris}(C/A) \to \text{CRIS}(C/A)\) commute à celles-ci.

Démonstration

Le produit vide, c’est-à-dire l’objet final de la catégorie des épaississements à puissances divisées de \(C\) sur \((A, I, \gamma)\), est l’anneau nul considéré comme une \(A\)-algèbre, muni de l’idéal nul et de l’unique structure de puissances divisées sur cet idéal, puis de l’unique homomorphisme de \(C\) vers l’anneau nul. Si \((B_t, J_t, \delta_t)_{t \in T}\) est une famille d’objets de \(\text{CRIS}(C/A)\), nous pouvons former le produit \((\prod_t B_t, \prod_t J_t, \prod_t \delta_t)\) comme dans le lemme 07GV d’Algèbre à puissances divisées. L’application \(C \to \prod B_t/\prod J_t = \prod B_t/J_t\) est évidente. Toutefois, \(p\) n’est nécessairement nilpotent dans \(\prod_t B_t\) que si \(T\) est fini.

Étant donnés deux objets \((B, J, \gamma)\) et \((B', J', \gamma')\) de \(\text{CRIS}(C/A)\), nous pouvons former un diagramme cocartésien \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] dans la catégorie des anneaux à puissances divisées. Nous avons alors \[B''/J'' = B/J \otimes_{A/I} B'/J' \longleftarrow C \otimes_{A/I} C\] voir Algèbre à puissances divisées, remarque 0H86. Notons \(J'' \subset K \subset B''\) l’idéal tel que \[\xymatrix{ B''/J'' \ar[r] & B''/K \\ C \otimes_{A/I} C \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] soit cocartésien, c’est-à-dire \(B''/K \cong B/J \otimes_C B'/J'\). Soit \(D_{B''}(K) = (D, \bar K, \bar \delta)\) l’enveloppe à puissances divisées de \(K\) dans \(B''\) relativement à \((B'', J'', \delta'')\). On vérifie alors aisément que \((D, \bar K, \bar \delta)\) est un coproduit de \((B, J, \delta)\) et \((B', J', \delta')\) dans \(\text{CRIS}(C/A)\).

Passons maintenant aux coégalisateurs. Soient \(\alpha, \beta : (B, J, \delta) \to (B', J', \delta')\) des morphismes de \(\text{CRIS}(C/A)\). Considérons \(B'' = B'/ (\alpha(b) - \beta(b))\). Soit \(J'' \subset B''\) l’image de \(J'\). Soit \(D_{B''}(J'') = (D, \bar J, \bar\delta)\) l’enveloppe à puissances divisées de \(J''\) dans \(B''\) relativement à \((B', J', \delta')\). On vérifie alors aisément que \((D, \bar J, \bar \delta)\) est le coégalisateur de \((B, J, \delta)\) et \((B', J', \delta')\) dans \(\text{CRIS}(C/A)\).

D’après Catégories, lemme 04AW, \(\text{CRIS}(C/A)\) admet toutes les colimites finies non vides. Les constructions ci-dessus montrent que (07KF) commute à celles-ci. Cela implique formellement (3), puisque \(\text{Cris}(C/A)\) est la catégorie-fibre de (07KF) au-dessus de \(C\).

Remarque

Dans la situation 07MD, nous notons \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) la catégorie dont les objets sont les couples \((B \to C, \delta)\) tels que

1. \(B\) est une \(A\)-algèbre \(p\)-adiquement complète,

2. \(B \to C\) est une surjection de \(A\)-algèbres,

3. \(\delta\) est une structure de puissances divisées sur \(\Ker(B \to C)\),

4. \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées.

Les morphismes sont définis comme dans la définition 07HM. Alors \(\text{Cris}(C/A) \subset \text{Cris}^\wedge(C/A)\) est la sous-catégorie pleine formée des \(B\) tels que \(p\) soit nilpotent dans \(B\). Réciproquement, tout objet \((B \to C, \delta)\) de \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) est égal à la limite \[(B \to C, \delta) = \lim_e (B/p^eB \to C, \delta)\] où, pour \(e \gg 0\), l’objet \((B/p^eB \to C, \delta)\) appartient à \(\text{Cris}(C/A)\) ; voir le lemme 07KD d’Algèbre à puissances divisées. En particulier, \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) est une sous-catégorie pleine de la catégorie des pro-objets de \(\text{Cris}(C/A)\) ; voir Catégories, remarque 05PX.

Lemme

Dans la situation 07MD. Soit \(P \to C\) une surjection de \(A\)-algèbres de noyau \(J\). Écrivons \(D_{P, \gamma}(J) = (D, \bar J, \bar\gamma)\). Soit \((D^\wedge, J^\wedge, \bar\gamma^\wedge)\) le complété \(p\)-adique de \(D\) ; voir le lemme 07KD d’Algèbre à puissances divisées. Pour tout \(e \geq 1\), posons \(P_e = P/p^eP\) et désignons par \(J_e \subset P_e\) l’image de \(J\), puis écrivons \(D_{P_e, \gamma}(J_e) = (D_e, \bar J_e, \bar\gamma)\). Alors, pour tout \(e\) assez grand, nous avons :

1. \(p^eD \subset \bar J\) et \(p^eD^\wedge \subset \bar J^\wedge\) sont stables par les puissances divisées,

2. \(D^\wedge/p^eD^\wedge = D/p^eD = D_e\) comme anneaux à puissances divisées,

3. \((D_e, \bar J_e, \bar\gamma)\) est un objet de \(\text{Cris}(C/A)\),

4. \((D^\wedge, \bar J^\wedge, \bar\gamma^\wedge)\) est égal à \(\lim_e (D_e, \bar J_e, \bar\gamma)\), et

5. \((D^\wedge, \bar J^\wedge, \bar\gamma^\wedge)\) est un objet de \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte du lemme 07KD d’Algèbre à puissances divisées. Une propriété générale de la complétion \(p\)-adique donne \(D/p^eD = D^\wedge/p^eD^\wedge\). Puisque \(D/p^eD\) est un anneau à puissances divisées et que \(P \to D/p^eD\) se factorise par \(P_e\), la propriété universelle de \(D_e\) fournit une application \(D_e \to D/p^eD\). Réciproquement, la propriété universelle de \(D\) fournit une application \(D \to D_e\) qui se factorise par \(D/p^eD\). Nous omettons la vérification que ces applications sont inverses l’une de l’autre. Cela prouve (2). Si \(e\) est assez grand, alors \(p^eC = 0\), d’où (3). L’assertion (4) résulte du lemme 07KD d’Algèbre à puissances divisées. L’assertion (5) est claire d’après les définitions.

Lemme

Dans la situation 07MD. Soit \(P\) une algèbre polynomiale sur \(A\) et soit \(P \to C\) une surjection de \(A\)-algèbres de noyau \(J\). Avec \((D_e, \bar J_e, \bar\gamma)\) comme dans le lemme 07KG, pour tout objet \((B, J_B, \delta)\) de \(\text{CRIS}(C/A)\), il existe un \(e\) et un morphisme \(D_e \to B\) dans \(\text{CRIS}(C/A)\).

Démonstration

Nous pouvons trouver un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(P \to B\) relevant l’application \(C \to B/J_B\). D’après notre définition de \(\text{CRIS}(C/A)\), nous avons \(p^eB = 0\) pour un certain \(e\) ; ainsi \(P \to B\) se factorise sous la forme \(P \to P_e \to B\). La propriété universelle de l’enveloppe à puissances divisées montre alors que \(P_e \to B\) se factorise par \(D_e\).

Lemme

Dans la situation 07MD. Soit \(P\) une algèbre polynomiale sur \(A\) et soit \(P \to C\) une surjection de \(A\)-algèbres de noyau \(J\). Soit \((D, \bar J, \bar\gamma)\) le complété \(p\)-adique de \(D_{P, \gamma}(J)\). Pour tout objet \((B \to C, \delta)\) de \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\), il existe un morphisme \(D \to B\) dans \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\).

Démonstration

Nous pouvons trouver un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(P \to B\) compatible avec les applications vers \(C\). D’après notre définition de \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\), l’application \(P \to B\) se factorise sous la forme \(P \to D_{P, \gamma}(J) \to B\). Puisque \(B\) est \(p\)-adiquement complet, nous pouvons factoriser cette application par \(D\).

Module des différentielles

Dans cette section, nous développons une théorie des modules de différentielles pour les anneaux à puissances divisées.

Définition

Soit \(A\) un anneau. Soit \((B, J, \delta)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(B\)-module. Une \(A\)-dérivation à puissances divisées à valeurs dans \(M\) est une application \(\theta : B \to M\) additive, qui annule les éléments de \(A\), vérifie la règle de Leibniz \(\theta(bb') = b\theta(b') + b'\theta(b)\) et satisfait \[\theta(\delta_n(x)) = \delta_{n - 1}(x)\theta(x)\] pour tout \(n \geq 1\) et tout \(x \in J\).

Dans la situation de la définition, comme pour les dérivations usuelles, il existe une \(A\)-dérivation universelle à puissances divisées \[\text{d}_{B/A, \delta} : B \to \Omega_{B/A, \delta}\] telle que toute \(A\)-dérivation à puissances divisées \(\theta : B \to M\) s’écrive \(\theta = \xi \circ d_{B/A, \delta}\) pour une unique application \(B\)-linéaire \(\xi : \Omega_{B/A, \delta} \to M\). Si \((A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées, nous pouvons oublier les puissances divisées sur \(A\) et considérer les dérivations à puissances divisées de \(B\) sur \(A\). Voici quelques propriétés fondamentales du module universel des différentielles (à puissances divisées).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \((B, J, \delta)\) un anneau à puissances divisées et \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux.

1. Considérons \(B[x]\) muni de l’idéal à puissances divisées \((JB[x], \delta')\), où \(\delta'\) est le prolongement de \(\delta\) à \(B[x]\). Alors \[\Omega_{B[x]/A, \delta'} = \Omega_{B/A, \delta} \otimes_B B[x] \oplus B[x]\text{d}x.\]

2. Considérons \(B\langle x \rangle\) muni de l’idéal à puissances divisées \((JB\langle x \rangle + B\langle x \rangle_{+}, \delta')\). Alors \[\Omega_{B\langle x\rangle/A, \delta'} = \Omega_{B/A, \delta} \otimes_B B\langle x \rangle \oplus B\langle x\rangle \text{d}x.\]

3. Soit \(K \subset J\) un idéal stable par \(\delta_n\) pour tout \(n > 0\). Posons \(B' = B/K\) et notons \(\delta'\) la structure de puissances divisées induite sur \(J/K\). Alors \(\Omega_{B'/A, \delta'}\) est le quotient de \(\Omega_{B/A, \delta} \otimes_B B'\) par le sous-\(B'\)-module engendré par les \(\text{d}k\), pour \(k \in K\).

Démonstration

Ces assertions se déduisent directement de la construction de \(\Omega_{B/A, \delta}\) comme le \(B\)-module libre sur les éléments \(\text{d}b\), modulo les relations

1. \(\text{d}(b + b') = \text{d}b + \text{d}b'\), \(b, b' \in B\),

2. \(\text{d}a = 0\), \(a \in A\),

3. \(\text{d}(bb') = b \text{d}b' + b' \text{d}b\), \(b, b' \in B\),

4. \(\text{d}\delta_n(f) = \delta_{n - 1}(f)\text{d}f\), \(f \in J\), \(n > 1\).

Notons que la dernière relation explique pourquoi nous obtenons « la même » réponse pour l’algèbre polynomiale à puissances divisées et l’algèbre polynomiale usuelle : dans le premier cas, \(x\) appartient à l’idéal à puissances divisées, donc \(\text{d}x^{[n]} = x^{[n - 1]}\text{d}x\).

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Dans ce cadre, la bonne notion de puissances de \(I\) est donnée par les puissances divisées \[I^{[n]} = \text{idéal engendré par } \gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_t}(x_t) \text{ avec }\sum e_j \geq n\text{ et }x_j \in I.\] Bien entendu, \(I^n \subset I^{[n]}\). Notons que \(I^{[1]} = I\). Nous posons parfois aussi \(I^{[0]} = A\).

Lemme

Soit \((A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées. Soit \((B(1), J(1), \delta(1))\) le coproduit de \((B, J, \delta)\) avec lui-même sur \((A, I, \gamma)\), c’est-à-dire tel que \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B(1), J(1), \delta(1)) \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B, J, \delta) \ar[u] }\] est cocartésien. Notons \(K = \Ker(B(1) \to B)\). Alors \(K \cap J(1) \subset J(1)\) est stable par la structure de puissances divisées et \[\Omega_{B/A, \delta} = K/ \left(K^2 + (K \cap J(1))^{[2]}\right)\] canoniquement.

Démonstration

Le fait que \(K \cap J(1) \subset J(1)\) soit stable par la structure de puissances divisées résulte de ce que \(B(1) \to B\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées.

Rappelons que \(K/K^2\) possède une structure canonique de \(B\)-module. Notons \(s_0, s_1 : B \to B(1)\) les deux coprojections et considérons l’application \(\text{d} : B \to K/(K^2 +(K \cap J(1))^{[2]})\) donnée par \(b \mapsto s_1(b) - s_0(b)\). Il est clair que \(\text{d}\) est additive, s’annule sur \(A\) et satisfait à la règle de Leibniz. Nous affirmons que \(\text{d}\) est une \(A\)-dérivation à puissances divisées. Soit \(x \in J\). Posons \(y = s_1(x)\) et \(z = s_0(x)\). Nous écrirons \(\delta\) au lieu de \(\delta(1)\) pour la structure de puissances divisées sur \(J(1)\). Il faut montrer que \(\delta_n(y) - \delta_n(z) = \delta_{n - 1}(y)(y - z)\) modulo \(K^2 +(K \cap J(1))^{[2]}\) pour \(n \geq 1\). L’égalité vaut pour \(n = 1\). Supposons \(n > 1\). Notons que \(\delta_i(y - z)\) appartient à \((K \cap J(1))^{[2]}\) si \(i > 1\). En calculant modulo \(K^2 + (K \cap J(1))^{[2]}\), nous obtenons \[\delta_n(z) = \delta_n(z - y + y) = \sum\nolimits_{i = 0}^n \delta_i(z - y)\delta_{n - i}(y) = \delta_{n - 1}(y) \delta_1(z - y) + \delta_n(y)\] Cela démontre l’égalité voulue.

Soit \(M\) un \(B\)-module. Soit \(\theta : B \to M\) une \(A\)-dérivation à puissances divisées. Posons \(D = B \oplus M\), où \(M\) est un idéal de carré nul. Définissons une structure de puissances divisées sur \(J \oplus M \subset D\) en posant \(\delta_n(x + m) = \delta_n(x) + \delta_{n - 1}(x)m\) pour \(n > 1\) ; voir le lemme 07HH. Il existe deux homomorphismes d’algèbres à puissances divisées \(B \to D\) : le premier est l’inclusion et le second est l’application \(b \mapsto b + \theta(b)\). On obtient donc un homomorphisme canonique \(B(1) \to D\) d’algèbres à puissances divisées sur \((A, I, \gamma)\). Il induit une application \(K \to M\) qui s’annule sur \(K^2\) (car \(M\) est un idéal de carré nul) ainsi que sur \((K \cap J(1))^{[2]}\), puisque \(M^{[2]} = 0\). Par construction, le composé \(B \to K/K^2 + (K \cap J(1))^{[2]} \to M\) est égal à \(\theta\). Il s’ensuit que \(\text{d}\) est une \(A\)-dérivation universelle à puissances divisées, ce qui achève la démonstration.

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et soit \((J, \delta)\) une structure de puissances divisées sur \(B\). Le module universel \(\Omega_{B/A, \delta}\) est muni d’une structure supplémentaire : le \(B\)-sous-module \(N\) de \(\Omega_{B/A, \delta}\) engendré par \(\text{d}_{B/A, \delta}(J)\). Au moyen de l’isomorphisme donné dans le lemme 07HT, celui-ci correspond à l’image de \(K \cap J(1)\) dans \(\Omega_{B/A, \delta}\). Considérons l’\(A\)-algèbre \(D = B \oplus \Omega^1_{B/A, \delta}\), munie de l’idéal \(\bar J = J \oplus N\) et des puissances divisées \(\bar \delta\) définies comme dans la démonstration du lemme. Alors \((D, \bar J, \bar \delta)\) est un anneau à puissances divisées et les deux applications \(B \to D\) données par \(b \mapsto b\) et \(b \mapsto b + \text{d}_{B/A, \delta}(b)\) sont des homomorphismes d’anneaux à puissances divisées sur \(A\). De plus, \(N\) est le plus petit sous-module de \(\Omega_{B/A, \delta}\) pour lequel il en soit ainsi.

Lemme

Dans la situation 07MD. Soit \((B, J, \delta)\) un objet de \(\text{CRIS}(C/A)\). Soit \((B(1), J(1), \delta(1))\) le coproduit de \((B, J, \delta)\) avec lui-même dans \(\text{CRIS}(C/A)\). Notons \(K = \Ker(B(1) \to B)\). Alors \(K \cap J(1) \subset J(1)\) est stable par la structure de puissances divisées et \[\Omega_{B/A, \delta} = K/ \left(K^2 + (K \cap J(1))^{[2]}\right)\] canoniquement.

Démonstration

La démonstration est mot pour mot celle du lemme 07HT. Le seul point à vérifier est que l’anneau à puissances divisées \(D = B \oplus M\) est un objet de \(\text{CRIS}(C/A)\) et que les deux applications \(B \to D\) sont des morphismes de \(\text{CRIS}(C/A)\). Comme \(D/(J \oplus M) = B/J\), l’application \(C \to B/J\) permet de considérer \(D\) comme un objet de \(\text{CRIS}(C/A)\), et l’assertion concernant les morphismes résulte immédiatement de la construction.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et soit \(IB \subset J \subset B\) un idéal. Soit \(D_{B, \gamma}(J) = (D, \bar J, \bar \gamma)\) l’enveloppe à puissances divisées. Alors on a \[\Omega_{D/A, \bar\gamma} = \Omega_{B/A} \otimes_B D\]

Démonstration

Soit \(M\) un \(D\)-module. Nous affirmons que la donnée d’une \(A\)-dérivation \(\vartheta : B \to M\) équivaut à celle d’une \(A\)-dérivation à puissances divisées \(\theta : D \to M\). Le lemme de Yoneda montre que cette assertion implique l’énoncé.

Considérons l’épaississement de carré nul \(D \oplus M\) de \(D\). Il existe une structure de puissances divisées \(\delta\) sur \(\bar J \oplus M\) si l’on annule sur \(M\) les opérations supérieures de puissances divisées. Autrement dit, on pose \(\delta_n(x + m) = \bar\gamma_n(x) + \bar\gamma_{n - 1}(x)m\) pour tout \(x \in \bar J\) et tout \(m \in M\) ; voir le lemme 07HH. Considérons l’homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \to D \oplus M\) dont la première composante est l’application \(B \to D\) et dont la seconde composante est \(\vartheta\). La propriété universelle fournit un homomorphisme correspondant \(D \to D \oplus M\) d’algèbres à puissances divisées, dont la seconde composante est la \(A\)-dérivation à puissances divisées \(\theta\) correspondant à \(\vartheta\).

Démonstration

Démontrons d’abord l’assertion lorsque \(B\) est plat sur \(A\). Dans ce cas, \(\gamma\) se prolonge en une structure de puissances divisées \(\gamma'\) sur \(IB\) ; voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07H1. Ainsi \(D = D_{B, \gamma'}(J)\) est un quotient de l’anneau à puissances divisées \((D', J', \delta)\), où \(D' = B\langle x_t \rangle\) et \(J' = IB\langle x_t \rangle + B\langle x_t \rangle_{+}\), par les éléments \(x_t - f_t\) et \(\delta_n(\sum r_t x_t - r_0)\) ; voir le lemme 07HC pour les notations et les explications. Notons \(\text{d} : D' \to \Omega_{D'/A, \delta}\) la dérivation universelle. On a \[\Omega_{D'/A, \delta} = \Omega_{B/A} \otimes_B D' \oplus \bigoplus D' \text{d}x_t,\] voir le lemme 07HS. On en déduit que \(\Omega_{D/A, \bar\gamma}\) est le quotient de \(\Omega_{D'/A, \delta} \otimes_{D'} D\) par le sous-module engendré par les images sous \(\text{d}\) des générateurs du noyau de \(D' \to D\) énumérés ci-dessus ; voir le lemme 07HS. Comme \(\text{d}(x_t - f_t) = - \text{d}f_t + \text{d}x_t\), on a \(\text{d}x_t = \text{d}f_t\) dans le quotient. En particulier, \(\Omega_{B/A} \otimes_B D \to \Omega_{D/A, \gamma}\) est surjectif, de noyau engendré par les images sous \(\text{d}\) des éléments \(\delta_n(\sum r_t x_t - r_0)\). Or, étant donnée une relation \(\sum r_tf_t - r_0 = 0\) dans \(B\), avec \(r_t \in B\) et \(r_0 \in IB\), on a \[\begin{align*} \text{d}\delta_n(\sum r_t x_t - r_0) & = \delta_{n - 1}(\sum r_t x_t - r_0)\text{d}(\sum r_t x_t - r_0) \\ & = \delta_{n - 1}(\sum r_t x_t - r_0) \left( \sum r_t\text{d}(x_t - f_t) + \sum (x_t - f_t)\text{d}r_t \right) \end{align*}\] car \(\sum r_tf_t - r_0 = 0\) dans \(B\). Cette expression est donc déjà nulle dans \(\Omega_{B/A} \otimes_A D\), ce qui achève la démonstration lorsque \(B\) est plat sur \(A\).

Dans le cas général, écrivons \(B\) comme quotient d’un anneau de polynômes \(P \to B\) et soit \(J' \subset P\) l’image réciproque de \(J\). Alors \(D = D'/K'\), avec les notations du lemme 07HB. D’après le cas traité au premier paragraphe de la démonstration, on a \(\Omega_{D'/A, \bar\gamma'} = \Omega_{P/A} \otimes_P D'\). Alors \(\Omega_{D/A, \bar \gamma}\) est le quotient de \(\Omega_{P/A} \otimes_P D\) par le sous-module engendré par les \(\text{d}\bar\gamma_n'(k)\), où \(k\) parcourt le noyau de \(P \to B\) ; voir le lemme 07HS et la description de \(K'\) donnée au lemme 07HB. Comme \(\text{d}\bar\gamma_n'(k) = \bar\gamma'_{n - 1}(k)\text{d}k\), on voit qu’il suffit encore de quotienter par le sous-module engendré par les \(\text{d}k\) avec \(k \in \Ker(P \to B)\) ; puisque \(\Omega_{B/A}\) est le quotient de \(\Omega_{P/A} \otimes_A B\) par ces éléments (Algèbre, lemme 00RU), ce qui achève la démonstration.

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et soit \((J, \delta)\) une structure de puissances divisées sur \(B\). Posons \(\Omega_{B/A, \delta}^i = \wedge^i_B \Omega_{B/A, \delta}\) où \(\Omega_{B/A, \delta}\) est le but de la dérivation universelle à puissances divisées sur \(A\), \(\text{d} = \text{d}_{B/A} : B \to \Omega_{B/A, \delta}\). Notons que \(\Omega_{B/A, \delta}\) est le quotient de \(\Omega_{B/A}\) par le \(B\)-sous-module engendré par les éléments \(\text{d}\delta_n(x) - \delta_{n - 1}(x)\text{d}x\) pour \(x \in J\). Nous affirmons que le lemme 07HY d’Algèbre s’applique. Pour le voir, il suffit de vérifier que les éléments \(\text{d}\delta_n(x) - \delta_{n - 1}(x)\text{d}x\) de \(\Omega_B\) ont une image nulle dans \(\Omega^2_{B/A, \delta}\). On observe que \[\text{d}(\delta_{n - 1}(x)) \wedge \text{d}x = \delta_{n - 2}(x) \text{d}x \wedge \text{d}x = 0\] dans \(\Omega^2_{B/A, \delta}\), ce qui donne l’annulation voulue. On obtient donc un complexe de de Rham à puissances divisées \[\Omega^0_{B/A, \delta} \to \Omega^1_{B/A, \delta} \to \Omega^2_{B/A, \delta} \to \ldots\] qui jouera un rôle important dans la suite.

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\Omega_{B/A} \to \Omega\) un quotient satisfaisant aux hypothèses du lemme 07HY d’Algèbre. Soit \(M\) un \(B\)-module. Une connexion est une application additive \[\nabla : M \longrightarrow M \otimes_B \Omega\] telle que \(\nabla(bm) = b \nabla(m) + m \otimes \text{d}b\) pour \(b \in B\) et \(m \in M\). Dans cette situation, on peut définir des applications \[\nabla : M \otimes_B \Omega^i \longrightarrow M \otimes_B \Omega^{i + 1}\] par la règle \(\nabla(m \otimes \omega) = \nabla(m) \wedge \omega + m \otimes \text{d}\omega\). Celle-ci est bien définie car, si \(b \in B\), alors \[\begin{align*} \nabla(bm \otimes \omega) - \nabla(m \otimes b\omega) & = \nabla(bm) \wedge \omega + bm \otimes \text{d}\omega - \nabla(m) \wedge b\omega - m \otimes \text{d}(b\omega) \\ & = b\nabla(m) \wedge \omega + m \otimes \text{d}b \wedge \omega + bm \otimes \text{d}\omega \\ & \ \ \ \ \ \ - b\nabla(m) \wedge \omega - bm \otimes \text{d}(\omega) - m \otimes \text{d}b \wedge \omega = 0 \end{align*}\] Comme il est d’usage, on dit que la connexion est intégrable si et seulement si le composé \[M \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^1 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^2\] est nul. Dans ce cas, on obtient un complexe \[M \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^1 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^2 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^3 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^4 \to \ldots\] appelé complexe de de Rham de la connexion.

Remarque

Considérons un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ B \ar[r]_\varphi & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] }\] Soient \(\Omega_{B/A} \to \Omega\) et \(\Omega_{B'/A'} \to \Omega'\) des quotients satisfaisant aux hypothèses du lemme 07HY d’Algèbre. Supposons donnée une application \(\varphi : \Omega \to \Omega'\) qui s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Omega_{B/A} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{B'/A'} \ar[d] \\ \Omega \ar[r]^{\varphi} & \Omega' }\] où la flèche horizontale supérieure est l’application canonique \(\Omega_{B/A} \to \Omega_{B'/A'}\) induite par \(\varphi : B \to B'\). Dans cette situation, pour toute paire \((M, \nabla)\) où \(M\) est un \(B\)-module et \(\nabla : M \to M \otimes_B \Omega\) une connexion, on obtient par changement de base la paire \((M \otimes_B B', \nabla')\), où \[\nabla' : M \otimes_B B' \longrightarrow (M \otimes_B B') \otimes_{B'} \Omega' = M \otimes_B \Omega'\] est définie par la règle \[\nabla'(m \otimes b') = \sum m_i \otimes b'\text{d}\varphi(b_i) + m \otimes \text{d}b'\] si \(\nabla(m) = \sum m_i \otimes \text{d}b_i\). Si \(\nabla\) est intégrable, alors \(\nabla'\) l’est aussi et il existe dans ce cas une application canonique de complexes de de Rham (remarque 07I0) [07PY]\[\begin{equation} M \otimes_B \Omega^\bullet \longrightarrow (M \otimes_B B') \otimes_{B'} (\Omega')^\bullet = M \otimes_B (\Omega')^\bullet \end{equation}\] qui envoie \(m \otimes \eta\) sur \(m \otimes \varphi(\eta)\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et soit \((J, \delta)\) une structure de puissances divisées sur \(B\). Soit \(p\) un nombre premier. Supposons que \(A\) soit une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre et que \(p\) soit nilpotent dans \(B/J\). Alors on a \[\lim_e \Omega_{B_e/A, \bar\delta} = \lim_e \Omega_{B/A, \delta}/p^e\Omega_{B/A, \delta} = \lim_e \Omega_{B^\wedge/A, \delta^\wedge}/p^e \Omega_{B^\wedge/A, \delta^\wedge}\] Pour les notations et les explications, voir la démonstration.

Démonstration

D’après Algèbre à puissances divisées, lemme 07KD, la structure \(\delta\) se prolonge à \(B_e = B/p^eB\) pour tout \(e\) assez grand. La première limite est donc bien définie. Le lemme fournit aussi une structure de puissances divisées \(\delta^\wedge\) sur le complété \(B^\wedge = \lim_e B_e\) ; la dernière limite est donc elle aussi bien définie. D’après le lemme 07HS et le fait que \(\text{d}p^e = 0\) (toujours), on voit que la surjection \(\Omega_{B/A, \delta} \to \Omega_{B_e/A, \bar\delta}\) a pour noyau \(p^e\Omega_{B/A, \delta}\). Il en va de même du noyau de \(\Omega_{B^\wedge/A, \delta^\wedge} \to \Omega_{B_e/A, \bar\delta}\). Le lemme en résulte.

Schémas à puissances divisées

Quelques remarques sur la globalisation des notions précédentes.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux. Une structure de puissances divisées \(\gamma\) sur \(\mathcal{I}\) est une suite d’applications \(\gamma_n : \mathcal{I} \to \mathcal{I}\), \(n \geq 1\), telle que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), le triplet \[(\mathcal{O}(U), \mathcal{I}(U), \gamma)\] soit un anneau à puissances divisées.

Bien entendu, cela s’applique en particulier aux faisceaux d’anneaux sur les espaces topologiques. Il est toutefois utile de se placer dans ce cadre plus général, car le faisceau structural du site cristallin vit sur un... site ! Dans ce chapitre, un triplet \((\mathcal{C}, \mathcal{I}, \gamma)\) comme dans la définition précédente est parfois appelé topos à puissances divisées. Étant donnés un second triplet \((\mathcal{C}', \mathcal{I}', \gamma')\) et un morphisme de topos annelés \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) on dit que \((f, f^\sharp)\) induit un morphisme de topos à puissances divisées si \(f^\sharp(f^{-1}\mathcal{I}') \subset \mathcal{I}\) et si les diagrammes \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{I}' \ar[d]_{f^{-1}\gamma'_n} \ar[r]_{f^\sharp} & \mathcal{I} \ar[d]^{\gamma_n} \\ f^{-1}\mathcal{I}' \ar[r]^{f^\sharp} & \mathcal{I} }\] sont commutatifs pour tout \(n \geq 1\). Si \(f\) provient d’un morphisme de sites induit par un foncteur \(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\), cela signifie simplement que \[(\mathcal{O}'(U'), \mathcal{I}'(U'), \gamma') \longrightarrow (\mathcal{O}(u(U')), \mathcal{I}(u(U')), \gamma)\] est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées pour tout \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\).

Dans le cas des schémas, on exige que l’idéal à puissances divisées soit quasi-cohérent. À cela près, la définition est exactement la même que dans le cas des topos. La voici.

Définition

Un schéma à puissances divisées est un triplet \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) où \(S\) est un schéma, \(\mathcal{I}\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux et \(\gamma\) une structure de puissances divisées sur \(\mathcal{I}\). Un morphisme de schémas à puissances divisées \((S, \mathcal{I}, \gamma) \to (S', \mathcal{I}', \gamma')\) est un morphisme de schémas \(f : S \to S'\) tel que \(f^{-1}\mathcal{I}'\mathcal{O}_S \subset \mathcal{I}\) et que \[(\mathcal{O}_{S'}(U'), \mathcal{I}'(U'), \gamma') \longrightarrow (\mathcal{O}_S(f^{-1}U'), \mathcal{I}(f^{-1}U'), \gamma)\] soit un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées pour tout ouvert \(U' \subset S'\).

Rappelons qu’il existe une correspondance bijective entre les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux et les immersions fermées ; voir Morphismes, section 01QN. Ainsi, tout schéma à puissances divisées \((T, \mathcal{J}, \gamma)\) détermine une immersion fermée canonique \(U \to T\) définie par \(\mathcal{J}\). Réciproquement, une immersion fermée \(U \to T\) et une structure de puissances divisées \(\gamma\) sur le faisceau d’idéaux \(\mathcal{J}\) associé à \(U \to T\) déterminent un schéma à puissances divisées \((T, \mathcal{J}, \gamma)\). Dans nombre de situations, on ne considère de tels triplets \((U, T, \gamma)\) que lorsque le morphisme \(U \to T\) est un épaississement ; voir Compléments sur les morphismes, définition 04EX.

Définition

Un triplet \((U, T, \gamma)\) comme ci-dessus est appelé épaississement à puissances divisées si \(U \to T\) est un épaississement.

Les produits fibrés de schémas à puissances divisées existent lorsque l’un des trois est un épaississement à puissances divisées. Voici un énoncé précis.

Lemme

Soient \(f : (T, \mathcal{J}, \delta) \to (S, \mathcal{I}, \gamma)\) et \(f' : (T', \mathcal{J}', \delta') \to (S, \mathcal{I}, \gamma)\) des morphismes de schémas à puissances divisées. Il existe un schéma à puissances divisées \((T'', \mathcal{J}'', \delta'')\) et un diagramme cartésien \[\xymatrix{ T \ar[d]_f & T'' \ar[d] \ar[l] \\ S & T' \ar[l]_{f'} }\] dans la catégorie des schémas à puissances divisées. Le morphisme \(T'' \to T \times_S T'\) est une immersion fermée et le morphisme \(T''_0 \to T_0 \times_{S_0} T'_0\) est un isomorphisme.

Démonstration

Esquisse. Notons que, par l’intermédiaire de \(\Spec(-)\), les deux dernières assertions sont compatibles avec ce que nous avons vu des coproduits d’algèbres à puissances divisées dans Algèbre à puissances divisées, remarque 0H86. On construit donc \(T''\) comme sous-schéma fermé de \(T \times_S T'\) de la façon suivante : pour tous ouverts affines \(U \subset S\), \(V \subset T\) et \(V' \subset T'\) tels que \(f(V), f'(V') \subset U\), on considère le sous-schéma fermé de \(V \times_U V'\) déterminé par la construction de la remarque 0H86 d’Algèbre à puissances divisées. Comme les schémas \(V \times_U V'\) sont les membres d’un recouvrement ouvert de \(T \times_S T'\), on procède ainsi : (1) on montre que ces sous-schémas fermés se recollent, (2) que les structures de puissances divisées ainsi obtenues se recollent, et (3) que le résultat du recollement est le produit fibré dans la catégorie des schémas à puissances divisées. Pour établir (1), il suffit de montrer que la construction du coproduit dans la catégorie des anneaux à puissances divisées commute à la localisation (avec une formulation appropriée) ; cela résulte du lemme 07H1 d’Algèbre à puissances divisées, qui implique que les puissances divisées se prolongent aux localisations (par platitude).

Faisons l’observation suivante. Supposons que \((U, T, \gamma)\) soit un schéma à puissances divisées. Supposons que \(T\) soit un schéma sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\) et que \(p\) soit localement nilpotent sur \(U\). Alors

1. \(p\) est localement nilpotent sur \(T \Leftrightarrow U \to T\) est un épaississement (voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07GR), et

2. \(p^e\mathcal{O}_T\) est, localement sur \(T\), stable par \(\gamma\) pour \(e \gg 0\) (voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07KD).

Cela suggère que l’on disposera de bons résultats sur les épaississements à puissances divisées sous les hypothèses suivantes.

Situation

Ici, \(p\) est un nombre premier et \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) est un schéma à puissances divisées sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\). On pose \(S_0 = V(\mathcal{I}) \subset S\). Enfin, \(X \to S_0\) est un morphisme de schémas tel que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\).

C’est dans cette situation que nous définirons le gros et le petit site cristallin.

Le gros site cristallin

Définissons d’abord le gros site. Étant donné un schéma à puissances divisées \((S, \mathcal{I}, \gamma)\), on dit que \((T, \mathcal{J}, \delta)\) est un schéma à puissances divisées sur \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) si \(T\) est muni d’un morphisme \(T \to S\) de schémas à puissances divisées. De même, on dit qu’un épaississement à puissances divisées \((U, T, \delta)\) est un épaississement à puissances divisées sur \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) si \(T\) est muni d’un morphisme \(T \to S\) de schémas à puissances divisées.

Définition

Plaçons-nous dans la situation 07MF.

1. Un épaississement à puissances divisées de \(X\) relativement à \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) est la donnée d’un épaississement à puissances divisées \((U, T, \delta)\) sur \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) et d’un \(S\)-morphisme \(U \to X\).

2. Un morphisme d’épaississements à puissances divisées de \(X\) relativement à \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) se définit de la manière évidente.

La catégorie des épaississements à puissances divisées de \(X\) relativement à \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) est notée \(\text{CRIS}(X/S, \mathcal{I}, \gamma)\) ou simplement \(\text{CRIS}(X/S)\).

Pour tout \((U, T, \delta)\) dans \(\text{CRIS}(X/S)\), \(p\) est localement nilpotent sur \(T\) ; voir la discussion précédant la situation 07MF. On peut représenter commodément toutes les données associées à \((U, T, \delta)\) par le diagramme commutatif \[\xymatrix{ T \ar[dd] & U \ar[l] \ar[d] \\ & X \ar[d] \\ S & S_0 \ar[l] }\] où \(S_0 = V(\mathcal{I}) \subset S\). Les morphismes de \(\text{CRIS}(X/S)\) se représentent de même par de grands diagrammes commutatifs. En particulier, il existe un foncteur d’oubli canonique [07I7]\[\begin{equation} \text{CRIS}(X/S) \longrightarrow \Sch/X,\quad (U, T, \delta) \longmapsto U \end{equation}\] ainsi que son inverse à droite (et adjoint à gauche) [07I8]\[\begin{equation} \Sch/X \longrightarrow \text{CRIS}(X/S),\quad U \longmapsto (U, U, \emptyset) \end{equation}\] qui est parfois utile.

Lemme

Dans la situation 07MF. La catégorie \(\text{CRIS}(X/S)\) admet toutes les limites finies non vides, en particulier les produits de deux objets et les produits fibrés. Le foncteur (07I7) commute aux limites.

Démonstration

Omis. Indication : voir le lemme 07HN pour le cas affine. Voir également Algèbre à puissances divisées, remarque 0H86.

Lemme

Dans la situation 07MF. Soit \[\xymatrix{ (U_3, T_3, \delta_3) \ar[d] \ar[r] & (U_2, T_2, \delta_2) \ar[d] \\ (U_1, T_1, \delta_1) \ar[r] & (U, T, \delta) }\] un carré cartésien dans la catégorie des épaississements à puissances divisées de \(X\) relativement à \((S, \mathcal{I}, \gamma)\). Si \(T_2 \to T\) est plat et \(U_2 = T_2 \times_T U\), alors \(T_3 = T_1 \times_T T_2\) (comme schémas).

Démonstration

Cela résulte de ce qu’une structure de puissances divisées se prolonge de manière unique le long d’un homomorphisme d’anneaux plat. Voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07H1.

Le lemme précédent signifie que le changement de base d’un morphisme plat d’épaississements à puissances divisées est encore un morphisme plat et qu’il s’agit en fait du changement de base « usuel » du morphisme. Il en résulte que la définition suivante est bien définie.

Définition

Dans la situation 07MF.

1. Une famille de morphismes \(\{(U_i, T_i, \delta_i) \to (U, T, \delta)\}\) d’épaississements à puissances divisées de \(X/S\) est un recouvrement de Zariski, étale, lisse, syntomique ou fppf si et seulement si

   1. \(U_i = U \times_T T_i\) pour tout \(i\), et

   2. \(\{T_i \to T\}\) est un recouvrement de Zariski, étale, lisse, syntomique ou fppf.

2. Le gros site cristallin de \(X\) sur \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) est la catégorie \(\text{CRIS}(X/S)\) munie de la topologie de Zariski.

3. Le topos des faisceaux sur \(\text{CRIS}(X/S)\) est noté \((X/S)_{\text{CRIS}}\) ou parfois \((X/S, \mathcal{I}, \gamma)_{\text{CRIS}}\)².

On dispose de quelques fonctorialités évidentes pour ces topos.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((S, \mathcal{I}, \gamma) \to (S', \mathcal{I}', \gamma')\) un morphisme de schémas à puissances divisées sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\). Posons \(S_0 = V(\mathcal{I})\) et \(S'_0 = V(\mathcal{I}')\). Soit \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d] & Y \ar[d] \\ S_0 \ar[r] & S'_0 }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas et supposons que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\) et \(Y\). On obtient alors un foncteur continu et cocontinu \[\text{CRIS}(X/S) \longrightarrow \text{CRIS}(Y/S')\] en faisant correspondre à \((U, T, \delta)\) le triplet \((U, T, \delta)\) où \(U \to X \to Y\) est le \(S'\)-morphisme de \(U\) vers \(Y\). On obtient donc un morphisme de topos \[f_{\text{CRIS}} : (X/S)_{\text{CRIS}} \longrightarrow (Y/S')_{\text{CRIS}}\] voir Sites, section 00XN.

Remarque

Dans la situation 07MF. Le foncteur (07I7) est cocontinu (détails omis) et commute aux produits et aux produits fibrés (lemme 07I9). On obtient donc un morphisme de topos \[U_{X/S} : (X/S)_{\text{CRIS}} \longrightarrow \Sh((\Sch/X)_{Zar})\] du gros topos cristallin de \(X/S\) vers le gros topos de Zariski de \(X\). Voir Sites, section 00XN.

Remarque

Dans la situation 07MF. Considérons le sous-schéma fermé \(S_0 = V(\mathcal{I}) \subset S\). Si l’on suppose que \(p\) est localement nilpotent sur \(S_0\) (ce qui est toujours le cas en pratique), on obtient une situation comme dans la définition 07I6, avec \(S_0\) au lieu de \(X\). On obtient donc un site \(\text{CRIS}(S_0/S)\). Si \(f : X \to S_0\) est le morphisme structural de \(X\) sur \(S\), on obtient un diagramme commutatif de morphismes de topos annelés \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{CRIS}} \ar[r]_{f_{\text{CRIS}}} \ar[d]_{U_{X/S}} & (S_0/S)_{\text{CRIS}} \ar[d]^{U_{S_0/S}} \\ \Sh((\Sch/X)_{Zar}) \ar[r]^{f_{big}} & \Sh((\Sch/S_0)_{Zar}) \ar[rd] \\ & & \Sh((\Sch/S)_{Zar}) }\] d’après la remarque 07IC. On considère le composé \((X/S)_{\text{CRIS}} \to \Sh((\Sch/S)_{Zar})\) comme le morphisme structural du gros site cristallin. Même si \(p\) n’est pas localement nilpotent sur \(S_0\), le morphisme structural \[(X/S)_{\text{CRIS}} \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] est défini, puisque l’on peut emprunter la voie inférieure du diagramme ci-dessus. C’est donc le morphisme de topos correspondant au foncteur cocontinu \(\text{CRIS}(X/S) \to (\Sch/S)_{Zar}\) donné par la règle \((U, T, \delta)/S \mapsto U/S\) ; voir Sites, section 00XN.

Remarque

Les morphismes définis ci-dessus satisfont à de nombreuses compatibilités. Par exemple, dans la situation de la remarque 07IC, on obtient un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{CRIS}} \ar[d] \ar[r] & (Y/S')_{\text{CRIS}} \ar[d] \\ \Sh((\Sch/S)_{Zar}) \ar[r] & \Sh((\Sch/S')_{Zar}) }\] où les flèches verticales sont les morphismes structuraux.

Le site cristallin

Comme (07I7) commute aux produits et aux produits fibrés, les \((U, T, \delta)\) tels que \(U \to X\) soit une immersion ouverte forment une sous-catégorie pleine stable par produits fibrés (et, plus généralement, par limites finies non vides). La définition suivante est donc bien définie.

Définition

Dans la situation 07MF.

1. Le (petit) site cristallin de \(X\) sur \((S, \mathcal{I}, \gamma)\), noté \(\text{Cris}(X/S, \mathcal{I}, \gamma)\) ou simplement \(\text{Cris}(X/S)\), est la sous-catégorie pleine de \(\text{CRIS}(X/S)\) formée des \((U, T, \delta)\) de \(\text{CRIS}(X/S)\) tels que \(U \to X\) soit une immersion ouverte. Elle est munie de la topologie de Zariski.

2. Le topos des faisceaux sur \(\text{Cris}(X/S)\) est noté \((X/S)_{\text{cris}}\) ou parfois \((X/S, \mathcal{I}, \gamma)_{\text{cris}}\)³.

Pour tout \((U, T, \delta)\) dans \(\text{Cris}(X/S)\), le morphisme \(U \to X\) définit un objet du petit site de Zariski \(X_{Zar}\) de \(X\). D’où On obtient donc un foncteur d’oubli canonique [07IH]\[\begin{equation} \text{Cris}(X/S) \longrightarrow X_{Zar},\quad (U, T, \delta) \longmapsto U \end{equation}\] et un adjoint à gauche [07II]\[\begin{equation} X_{Zar} \longrightarrow \text{Cris}(X/S),\quad U \longmapsto (U, U, \emptyset) \end{equation}\] qui est parfois utile.

On peut comparer le petit et le gros site cristallin, de même que l’on compare le petit et le gros site de Zariski d’un schéma ; voir Topologies, lemme 020Z.

Lemme

Sous les hypothèses de la définition 07I6. Le foncteur d’inclusion \[\text{Cris}(X/S) \to \text{CRIS}(X/S)\] commute aux limites finies non vides et est pleinement fidèle, continu et cocontinu. Il existe des morphismes de topos \[(X/S)_{\text{cris}} \xrightarrow{i} (X/S)_{\text{CRIS}} \xrightarrow{\pi} (X/S)_{\text{cris}}\] dont le composé est l’identité et dont le premier est induit par le foncteur d’inclusion. De plus, \(\pi_* = i^{-1}\).

Démonstration

Pour la première assertion, voir le lemme 07I9. Cela fournit un morphisme de topos \(i : (X/S)_{\text{cris}} \to (X/S)_{\text{CRIS}}\) et un adjoint à gauche \(i_!\) tel que \(i^{-1}i_! = i^{-1}i_* = \text{id}\) ; voir Sites, lemmes 00XR, 00XS et 00XT. Nous affirmons que \(i_!\) est exact. Si tel est le cas, on peut définir \(\pi\) par les formules \(\pi^{-1} = i_!\) et \(\pi_* = i^{-1}\), et tout est clair. Pour démontrer l’assertion, rappelons que l’on sait déjà que \(i_!\) est exact à droite et préserve les produits fibrés (voir les références indiquées). Il suffit donc de montrer que \(i_! * = *\), où \(*\) désigne l’objet final de la catégorie des faisceaux d’ensembles. Pour cela, il suffit de produire un ensemble d’objets \((U_i, T_i, \delta_i)\), \(i \in I\), de \(\text{Cris}(X/S)\) tel que \[\coprod\nolimits_{i \in I} h_{(U_i, T_i, \delta_i)} \to *\] soit surjectif dans \((X/S)_{\text{CRIS}}\) (détails omis ; indication : utiliser le fait que \(\text{Cris}(X/S)\) admet des produits et que le foncteur \(\text{Cris}(X/S) \to \text{CRIS}(X/S)\) commute aux produits). Dans le cas affine, cela résulte du lemme 07HP. Nous omettons la démonstration dans le cas général.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((S, \mathcal{I}, \gamma) \to (S', \mathcal{I}', \gamma')\) un morphisme de schémas à puissances divisées sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\). Soit \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d] & Y \ar[d] \\ S_0 \ar[r] & S'_0 }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas et supposons que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\) et \(Y\). Par analogie avec Topologies, lemme 0211, on définit \[f_{\text{cris}} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow (Y/S')_{\text{cris}}\] par la formule \(f_{\text{cris}} = \pi_Y \circ f_{\text{CRIS}} \circ i_X\), où \(i_X\) et \(\pi_Y\) sont ceux du lemme 07IJ pour \(X\) et \(Y\), et où \(f_{\text{CRIS}}\) est celui de la remarque 07IC.

Remarque

Dans la situation 07MF. Le foncteur (07IH) est continu, cocontinu et commute aux produits et aux produits fibrés. On obtient donc un morphisme de topos \[u_{X/S} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow \Sh(X_{Zar})\] reliant le petit topos cristallin de \(X/S\) au petit topos de Zariski de \(X\). Voir Sites, section 00XN.

Lemme

Dans la situation 07MF. Soient \(X' \subset X\) et \(S' \subset S\) des sous-schémas ouverts tels que l’image de \(X'\) soit contenue dans \(S'\). Il existe alors un foncteur pleinement fidèle \(\text{Cris}(X'/S') \to \text{Cris}(X/S)\) qui donne naissance à un morphisme de topos s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X'/S')_{\text{cris}} \ar[r] \ar[d]_{u_{X'/S'}} & (X/S)_{\text{cris}} \ar[d]^{u_{X/S}} \\ \Sh(X'_{Zar}) \ar[r] & \Sh(X_{Zar}) }\] De plus, ce diagramme est un exemple de localisation de morphismes de topos au sens de Sites, lemme 04H1.

Démonstration

Le foncteur pleinement fidèle consiste à considérer les objets de \(\text{Cris}(X'/S')\) comme des épaississements à puissances divisées \((U, T, \delta)\) de \(X\) pour lesquels \(U \to X\) se factorise par \(X' \subset X\) (alors \(T \to S\) se factorise automatiquement par \(S'\)). Ce foncteur est manifestement cocontinu, d’où le morphisme de topos indiqué. Soit \(h_{X'} \in \Sh(X_{Zar})\) le faisceau représentable associé à \(X'\), considéré comme objet de \(X_{Zar}\). Il est clair que \(\Sh(X'_{Zar})\) est le topos localisé \(\Sh(X_{Zar})/h_{X'}\). D’autre part, la catégorie \(\text{Cris}(X/S)/u_{X/S}^{-1}h_{X'}\) (voir Sites, lemme 0791) s’identifie canoniquement à \(\text{Cris}(X'/S')\) par le foncteur précédent. Cela achève la démonstration.

Remarque

Dans la situation 07MF. Considérons le sous-schéma fermé \(S_0 = V(\mathcal{I}) \subset S\). Si l’on suppose que \(p\) est localement nilpotent sur \(S_0\) (ce qui est toujours le cas en pratique), on obtient une situation comme dans la définition 07I6, avec \(S_0\) au lieu de \(X\). On obtient donc un site \(\text{Cris}(S_0/S)\). Si \(f : X \to S_0\) est le morphisme structural de \(X\) sur \(S\), on obtient un diagramme commutatif de topos \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{cris}} \ar[r]_{f_{\text{cris}}} \ar[d]_{u_{X/S}} & (S_0/S)_{\text{cris}} \ar[d]^{u_{S_0/S}} \\ \Sh(X_{Zar}) \ar[r]^{f_{small}} & \Sh(S_{0, Zar}) \ar[rd] \\ & & \Sh(S_{Zar}) }\] voir la remarque 07IK. On considère le composé \((X/S)_{\text{cris}} \to \Sh(S_{Zar})\) comme le morphisme structural du site cristallin. Même si \(p\) n’est pas localement nilpotent sur \(S_0\), le morphisme structural \[\tau_{X/S} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow \Sh(S_{Zar})\] est défini, car on peut suivre le chemin inférieur du diagramme ci-dessus.

Remarque

Les morphismes définis ci-dessus satisfont à de nombreuses compatibilités. Par exemple, dans la situation de la remarque 07IK, on obtient un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{cris}} \ar[d] \ar[r] & (Y/S')_{\text{cris}} \ar[d] \\ \Sh((\Sch/S)_{Zar}) \ar[r] & \Sh((\Sch/S')_{Zar}) }\] où les flèches verticales sont les morphismes structuraux.

Faisceaux sur le site cristallin

On reprend les notations et les hypothèses de la situation 07MF. Afin de traiter simultanément les petits et gros sites cristallins de \(X/S\) dans cette section, posons \[\mathcal{C} = \text{CRIS}(X/S) \quad\text{ou}\quad \mathcal{C} = \text{Cris}(X/S).\] Un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) détermine une restriction \(\mathcal{F}_T\) pour tout objet \((U, T, \delta)\) de \(\mathcal{C}\). Plus précisément, \(\mathcal{F}_T\) est le faisceau de Zariski sur le schéma \(T\) défini par la règle \[\mathcal{F}_T(W) = \mathcal{F}(U \cap W, W, \delta|_W)\] pour tout ouvert \(W \subset T\). De plus, si \(f : T \to T'\) est un morphisme entre les objets \((U, T, \delta)\) et \((U', T', \delta')\) de \(\mathcal{C}\), il existe un morphisme canonique de comparaison [07IP]\[\begin{equation} c_f : f^{-1}\mathcal{F}_{T'} \longrightarrow \mathcal{F}_T. \end{equation}\] En effet, si \(W' \subset T'\) est ouvert, alors \(f\) induit un morphisme \[f|_{f^{-1}W'} : (U \cap f^{-1}(W'), f^{-1}W', \delta|_{f^{-1}W'}) \longrightarrow (U' \cap W', W', \delta|_{W'})\] de \(\mathcal{C}\) ; on peut donc utiliser l’application de restriction \((f|_{f^{-1}W'})^*\) de \(\mathcal{F}\) pour définir une application \(\mathcal{F}_{T'}(W') \to \mathcal{F}_T(f^{-1}W')\). Ces applications sont manifestement compatibles avec les restrictions ultérieures et définissent donc un \(f\)-morphisme de \(\mathcal{F}_{T'}\) vers \(\mathcal{F}_T\) (voir Faisceaux, section 008C, et en particulier Faisceaux, définition 008J). On obtient ainsi un morphisme \(c_f\) comme dans (07IP). Notons que, si \(f\) est une immersion ouverte, alors \(c_f\) est un isomorphisme, car \(\mathcal{F}_T\) n’est dans ce cas que la restriction de \(\mathcal{F}_{T'}\) à \(T\).

Réciproquement, si l’on se donne des faisceaux de Zariski \(\mathcal{F}_T\) pour tout objet \((U, T, \delta)\) de \(\mathcal{C}\) et des morphismes de comparaison \(c_f\) comme ci-dessus qui (a) sont des isomorphismes pour les immersions ouvertes et (b) satisfont à une condition de cocycle convenable, on obtient un faisceau sur \(\mathcal{C}\). La démonstration est exactement celle de Topologies, lemme 0213.

Le faisceau structural sur \(\mathcal{C}\) est le faisceau \(\mathcal{O}_{X/S}\) défini par la règle \[\mathcal{O}_{X/S} : (U, T, \delta) \longmapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\] C’est un faisceau par définition des recouvrements dans \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau de \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules. Dans ce cas, les applications de comparaison (07IP) définissent un morphisme de comparaison [07IQ]\[\begin{equation} c_f : f^*\mathcal{F}_{T'} \longrightarrow \mathcal{F}_T \end{equation}\] de \(\mathcal{O}_T\)-modules.

Un autre type d’exemple s’obtient en partant d’un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \((\Sch/X)_{Zar}\) ou sur \(X_{Zar}\) (suivant que \(\mathcal{C} = \text{CRIS}(X/S)\) ou \(\mathcal{C} = \text{Cris}(X/S)\)). Alors \(\underline{\mathcal{G}}\), défini par la règle \[\underline{\mathcal{G}} : (U, T, \delta) \longmapsto \mathcal{G}(U)\] est un faisceau sur \(\mathcal{C}\). En particulier, si l’on prend \(\mathcal{G} = \mathbf{G}_a = \mathcal{O}_X\), on obtient \[\underline{\mathbf{G}_a} : (U, T, \delta) \longmapsto \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] Il existe un morphisme surjectif de faisceaux \(\mathcal{O}_{X/S} \to \underline{\mathbf{G}_a}\) défini par les morphismes canoniques \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) pour les objets \((U, T, \delta)\). Le noyau de ce morphisme est noté \(\mathcal{J}_{X/S}\), d’où une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{J}_{X/S} \to \mathcal{O}_{X/S} \to \underline{\mathbf{G}_a} \to 0\] Notons que \(\mathcal{J}_{X/S}\) est muni d’une structure canonique de puissances divisées. En effet, pour chaque objet \((U, T, \delta)\), la troisième composante \(\delta\) est une structure de puissances divisées sur le noyau de \(\mathcal{O}_T \to \mathcal{O}_U\). Ainsi, le (gros) topos cristallin est un topos à puissances divisées.

Cristaux en modules

Un cristal est en fait un objet très général. Toutefois, sa définition peut être un peu délicate à analyser ; nous la donnons donc d’abord dans le cas des modules sur les sites cristallins.

Définition

Dans la situation 07MF. Soit \(\mathcal{C} = \text{CRIS}(X/S)\) ou \(\mathcal{C} = \text{Cris}(X/S)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules sur \(\mathcal{C}\).

1. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent si, pour tout objet \((U, T, \delta)\) de \(\mathcal{C}\), la restriction \(\mathcal{F}_T\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module quasi-cohérent.

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent s’il est quasi-cohérent au sens de Modules sur les sites, définition 03DL.

3. On dit que \(\mathcal{F}\) est un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules si tous les morphismes de comparaison (07IQ) sont des isomorphismes.

Ces notions sont reliées de la manière suivante.

Lemme

Avec les notations \(X/S, \mathcal{I}, \gamma, \mathcal{C}, \mathcal{F}\) de la définition 07IS, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, et

2. \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent et est un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(f : (U', T', \delta') \to (U, T, \delta)\) un objet de \(\mathcal{C}\). Il faut montrer (a) que \(\mathcal{F}_T\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module quasi-cohérent et (b) que \(c_f : f^*\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\) est un isomorphisme. L’hypothèse signifie qu’il existe un recouvrement \(\{(T_i, U_i, \delta_i) \to (T, U, \delta)\}\) tel que, pour chaque \(i\), la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/(T_i, U_i, \delta_i)\) admette une présentation globale. Comme il suffit de prouver (a) et (b) localement pour la topologie de Zariski, on peut remplacer \(f : (T', U', \delta') \to (T, U, \delta)\) par son changement de base à \((T_i, U_i, \delta_i)\) et supposer que la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/(T, U, \delta)\) admet une présentation globale \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_{X/S}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{X/S}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)} \longrightarrow \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)} \longrightarrow 0\] Il est clair que cela donne une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_T \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_T \longrightarrow \mathcal{F}_T \longrightarrow 0\] et donc (a) est vérifiée. De plus, cette présentation se restreint à \(T'\) en une présentation analogue de \(\mathcal{F}_{T'}\), ce qui établit (b).

Supposons (2). Soit \((U, T, \delta)\) un objet de \(\mathcal{C}\). Il faut trouver un recouvrement de \((U, T, \delta)\) tel que \(\mathcal{F}\) admette une présentation globale après restriction aux localisations de \(\mathcal{C}\) associées aux membres du recouvrement. On peut donc supposer \(T\) affine. Dans ce cas, on peut choisir une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_T \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_T \longrightarrow \mathcal{F}_T \longrightarrow 0\] puisque \(\mathcal{F}_T\) est supposé être un \(\mathcal{O}_T\)-module quasi-cohérent. La propriété de cristal de \(\mathcal{F}\) montre alors que l’image réciproque de cette présentation donne une présentation de \(\mathcal{F}_{T'}\) pour tout morphisme \(f : (U', T', \delta') \to (U, T, \delta)\) de \(\mathcal{C}\). On obtient ainsi la présentation voulue de \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)}\).

Définition

Si \(\mathcal{F}\) satisfait aux conditions équivalentes du lemme 07IT, on dit que \(\mathcal{F}\) est un cristal en modules quasi-cohérents. On dit que \(\mathcal{F}\) est un cristal en modules localement libres de type fini si, de plus, \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini.

Bien entendu, comme le montre le lemme 07IT, cette terminologie est quelque peu lourde, puisqu’un module quasi-cohérent est toujours un cristal. Mais c’est la terminologie usuelle dans la littérature.

Remarque

Pour formuler la notion générale de cristal, on utilise le langage des champs et des morphismes fortement cartésiens ; voir Champs, définition 026F et Catégories, définition 02XK. Dans la situation 07MF, soit \(p : \mathcal{C} \to \text{Cris}(X/S)\) un champ. Un cristal en objets de \(\mathcal{C}\) sur \(X\) relativement à \(S\) est une section cartésienne \(\sigma : \text{Cris}(X/S) \to \mathcal{C}\), c’est-à-dire un foncteur \(\sigma\) tel que \(p \circ \sigma = \text{id}\) et tel que \(\sigma(f)\) soit fortement cartésien pour tout morphisme \(f\) de \(\text{Cris}(X/S)\). De même pour le gros site cristallin.

Faisceau des différentielles

Dans cette section, nous nous en tiendrons au (petit) site cristallin, qui paraît plus naturel. On globalise la définition 07HR comme suit.

Définition

Dans la situation 07MF, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules sur \(\text{Cris}(X/S)\). Une \(S\)-dérivation \(D : \mathcal{O}_{X/S} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de faisceaux tel que, pour tout objet \((U, T, \delta)\) de \(\text{Cris}(X/S)\), l’application \[D : \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \longrightarrow \Gamma(T, \mathcal{F})\] soit une \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)-dérivation à puissances divisées, où \(V \subset S\) est un ouvert quelconque tel que \(T \to S\) se factorise par \(V\).

Cela signifie que \(D\) est additive, satisfait à la règle de Leibniz, s’annule sur les fonctions provenant de \(S\) et vérifie \(D(f^{[n]}) = f^{[n - 1]}D(f)\) pour toute section locale \(f\) de l’idéal à puissances divisées \(\mathcal{J}_{X/S}\). C’est un cas particulier d’une notion très générale que nous allons maintenant décrire.

Comparons la discussion qui suit avec Modules sur les sites, section 04BJ. Soit \(\mathcal{C}\) un site, soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\), soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{B}\) un faisceau d’idéaux, soit \(\delta\) une structure de puissances divisées sur \(\mathcal{J}\) et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{B}\)-modules. Il existe alors une notion de \(\mathcal{A}\)-dérivation à puissances divisées \(D : \mathcal{B} \to \mathcal{F}\). Cela signifie que \(D\) est \(\mathcal{A}\)-linéaire, satisfait à la règle de Leibniz et vérifie \(D(\delta_n(x)) = \delta_{n - 1}(x)D(x)\) pour les sections locales \(x\) de \(\mathcal{J}\). Dans cette situation, il existe une \(\mathcal{A}\)-dérivation universelle à puissances divisées \[\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta} : \mathcal{B} \longrightarrow \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta}\] De plus, \(\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta}\) est le composé \[\mathcal{B} \longrightarrow \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta}\] où le premier morphisme est la dérivation universelle construite dans la démonstration de Modules sur les sites, lemme 04BL, et le second est le morphisme quotient par le sous-module engendré par les sections locales \(\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\delta_n(x)) - \delta_{n - 1}(x)\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(x)\).

Passons à la version relative. Supposons que \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) soit un morphisme de topos annelés, que \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}\) soit un faisceau d’idéaux, que \(\delta\) soit une structure de puissances divisées sur \(\mathcal{J}\) et que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Dans cette situation, on dit que \(D : \mathcal{O} \to \mathcal{F}\) est une \(\mathcal{O}'\)-dérivation à puissances divisées si \(D\) est une \(f^{-1}\mathcal{O}'\)-dérivation à puissances divisées au sens défini ci-dessus. En outre, on écrit \[\Omega_{\mathcal{O}/\mathcal{O}', \delta} = \Omega_{\mathcal{O}/f^{-1}\mathcal{O}', \delta}\] qui reçoit la \(\mathcal{O}'\)-dérivation universelle à puissances divisées.

En appliquant cette construction au morphisme structural \[(X/S)_{\text{Cris}} \longrightarrow \Sh(S_{Zar})\] (voir la remarque 07IM), on retrouve la notion définie dans la définition 07IX. En particulier, il existe une dérivation universelle à puissances divisées \[d_{X/S} : \mathcal{O}_{X/S} \to \Omega_{X/S}\] Notons que nous omettons dans la notation l’indication de la compatibilité du module des différentielles avec les puissances divisées (il paraît en effet peu probable que l’on considère jamais le module usuel des différentielles du faisceau structural sur le site cristallin).

Lemme

Soit \((T, \mathcal{J}, \delta)\) un schéma à puissances divisées. Soit \(T \to S\) un morphisme de schémas. Le quotient \(\Omega_{T/S} \to \Omega_{T/S, \delta}\) décrit ci-dessus est un \(\mathcal{O}_T\)-module quasi-cohérent. Pour tout ouvert affine \(W \subset T\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(V \subset S\), on a \[\Gamma(W, \Omega_{T/S, \delta}) = \Omega_{\Gamma(W, \mathcal{O}_W)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V), \delta}\] où le second membre est celui construit dans la section 07HQ.

Démonstration

Omis.

Lemme

Dans la situation 07MF. Pour \((U, T, \delta)\) dans \(\text{Cris}(X/S)\), la restriction \((\Omega_{X/S})_T\) à \(T\) est \(\Omega_{T/S, \delta}\) et la restriction \(\text{d}_{X/S}|_T\) est égale à \(\text{d}_{T/S, \delta}\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Dans la situation 07MF. Pour tout objet affine \((U, T, \delta)\) de \(\text{Cris}(X/S)\) s’envoyant dans un ouvert affine \(V \subset S\), on a \[\Gamma((U, T, \delta), \Omega_{X/S}) = \Omega_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V), \delta}\] où le second membre est celui construit dans la section 07HQ.

Démonstration

Cela résulte des lemmes 07IY et 07IZ.

Lemme

Dans la situation 07MF. Soit \((U, T, \delta)\) un objet de \(\text{Cris}(X/S)\). Soit \[(U(1), T(1), \delta(1)) = (U, T, \delta) \times (U, T, \delta)\] dans \(\text{Cris}(X/S)\). Soit \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_{T(1)}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à l’immersion fermée \(\Delta : T \to T(1)\). Alors \(\mathcal{K} \subset \mathcal{J}_{T(1)}\) est stable par la structure de puissances divisées sur \(\mathcal{J}_{T(1)}\) et l’on a \[(\Omega_{X/S})_T = \mathcal{K}/\mathcal{K}^{[2]}\]

Démonstration

Notons que \(U = U(1)\), puisque \(U \to X\) est une immersion ouverte et que le foncteur (07IH) commute aux produits. On en déduit que \(\mathcal{K} \subset \mathcal{J}_{T(1)}\). Cela étant, le lemme s’obtient en travaillant localement sur des ouverts affines de \(T\) et en utilisant les lemmes 07J0 et 07HV.

Le faisceau \(\Omega_{X/S}\) n’est pas un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents. Il satisfait néanmoins à deux propriétés étroitement apparentées (comparer avec le lemme 07IT).

Lemme

Dans la situation 07MF. Le faisceau des différentielles \(\Omega_{X/S}\) possède les deux propriétés suivantes :

1. \(\Omega_{X/S}\) est localement quasi-cohérent, et

2. pour tout morphisme \((U, T, \delta) \to (U', T', \delta')\) de \(\text{Cris}(X/S)\) tel que \(f : T \to T'\) soit une immersion fermée, le morphisme \(c_f : f^*(\Omega_{X/S})_{T'} \to (\Omega_{X/S})_T\) est surjectif.

Démonstration

L’assertion (1) résulte de la combinaison des lemmes 07IY et 07IZ. L’assertion (2) résulte du fait que \((\Omega_{X/S})_T = \Omega_{T/S, \delta}\) est un quotient de \(\Omega_{T/S}\) et que \(f^*\Omega_{T'/S} \to \Omega_{T/S}\) est surjectif.

Deux épaississements universels

Les constructions de cette section nous aideront à définir une connexion sur un cristal en modules sur le site cristallin. En quelque sorte, les constructions présentées ici sont les versions « faisceautisées et universelles » de celles de la section 07HG.

Remarque

Dans la situation 07MF. Soit \((U, T, \delta)\) un objet de \(\text{Cris}(X/S)\). Notons \(\Omega_{T/S, \delta} = (\Omega_{X/S})_T\) ; voir le lemme 07IZ. Décrivons explicitement un épaississement du premier ordre \(T'\) de \(T\). Plus précisément, posons \[\mathcal{O}_{T'} = \mathcal{O}_T \oplus \Omega_{T/S, \delta}\] muni de la structure d’algèbre pour laquelle \(\Omega_{T/S, \delta}\) est un idéal de carré nul. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_T\) le faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(U \to T\). Posons \(\mathcal{J}' = \mathcal{J} \oplus \Omega_{T/S, \delta}\). Définissons une structure de puissances divisées sur \(\mathcal{J}'\) en posant \[\delta_n'(f, \omega) = (\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\omega),\] voir le lemme 07HH. Il existe deux homomorphismes d’anneaux \[p_0, p_1 : \mathcal{O}_T \to \mathcal{O}_{T'}\] Le premier est donné par \(f \mapsto (f, 0)\) et le second par \(f \mapsto (f, \text{d}_{T/S, \delta}f)\). Notons que tous deux sont compatibles avec les structures de puissances divisées sur \(\mathcal{J}\) et \(\mathcal{J}'\), de même que le morphisme quotient \(\mathcal{O}_{T'} \to \mathcal{O}_T\). On obtient ainsi un objet \((U, T', \delta')\) de \(\text{Cris}(X/S)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & T \ar[ld]_{\text{id}} \ar[d]^i \ar[rd]^{\text{id}} \\ T & T' \ar[l]_{p_0} \ar[r]^{p_1} & T }\] dans \(\text{Cris}(X/S)\) tel que \(i\) soit un épaississement du premier ordre dont le faisceau d’idéaux s’identifie à \(\Omega_{T/S, \delta}\) et tel que \(p_1 - p_0 : \mathcal{O}_T \to \mathcal{O}_{T'}\) s’identifie à la dérivation universelle \(\text{d}_{T/S, \delta}\) composée avec l’inclusion \(\Omega_{T/S, \delta} \to \mathcal{O}_{T'}\).

Remarque

Dans la situation 07MF. Soit \((U, T, \delta)\) un objet de \(\text{Cris}(X/S)\). Notons \(\Omega_{T/S, \delta} = (\Omega_{X/S})_T\) ; voir le lemme 07IZ. Notons également \(\Omega^2_{T/S, \delta}\) sa seconde puissance extérieure. Décrivons explicitement un épaississement du second ordre \(T''\) de \(T\). Plus précisément, posons \[\mathcal{O}_{T''} = \mathcal{O}_T \oplus \Omega_{T/S, \delta} \oplus \Omega_{T/S, \delta} \oplus \Omega^2_{T/S, \delta}\] muni de la structure d’algèbre définie de la manière suivante : \[(f, \omega_1, \omega_2, \eta) \cdot (f', \omega_1', \omega_2', \eta') = (ff', f\omega_1' + f'\omega_1, f\omega_2' + f'\omega_2, f\eta' + f'\eta + \omega_1 \wedge \omega_2' + \omega_1' \wedge \omega_2).\] Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_T\) le faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(U \to T\). Soit \(\mathcal{J}''\) l’image réciproque de \(\mathcal{J}\) par la projection \(\mathcal{O}_{T''} \to \mathcal{O}_T\). Définissons une structure de puissances divisées sur \(\mathcal{J}''\) en posant \[\delta_n''(f, \omega_1, \omega_2, \eta) = (\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\omega_1, \delta_{n - 1}(f)\omega_2, \delta_{n - 1}(f)\eta + \delta_{n - 2}(f)\omega_1 \wedge \omega_2)\] voir le lemme 07HI. Il existe trois homomorphismes d’anneaux \(q_0, q_1, q_2 : \mathcal{O}_T \to \mathcal{O}_{T''}\) donnés par \[\begin{align*} q_0(f) & = (f, 0, 0, 0), \\ q_1(f) & = (f, \text{d}f, 0, 0), \\ q_2(f) & = (f, \text{d}f, \text{d}f, 0) \end{align*}\] où \(\text{d} = \text{d}_{T/S, \delta}\). Notons que tous trois sont compatibles avec les structures de puissances divisées sur \(\mathcal{J}\) et \(\mathcal{J}''\). Il existe trois homomorphismes d’anneaux \(q_{01}, q_{12}, q_{02} : \mathcal{O}_{T'} \to \mathcal{O}_{T''}\) où \(\mathcal{O}_{T'}\) est défini comme dans la remarque 07J2. Plus précisément, posons \[\begin{align*} q_{01}(f, \omega) & = (f, \omega, 0, 0), \\ q_{12}(f, \omega) & = (f, \text{d}f, \omega, \text{d}\omega), \\ q_{02}(f, \omega) & = (f, \omega, \omega, 0) \end{align*}\] Ces homomorphismes sont eux aussi compatibles avec les structures de puissances divisées données. Vérifions ces assertions pour \(q_{12}\). Notons que \(q_{12}\) est un homomorphisme d’anneaux, puisque \[\begin{align*} q_{12}(f, \omega)q_{12}(g, \eta) & = (f, \text{d}f, \omega, \text{d}\omega)(g, \text{d}g, \eta, \text{d}\eta) \\ & = (fg, f\text{d}g + g \text{d}f, f\eta + g\omega, f\text{d}\eta + g\text{d}\omega + \text{d}f \wedge \eta + \text{d}g \wedge \omega) \\ & = q_{12}(fg, f\eta + g\omega) = q_{12}((f, \omega)(g, \eta)) \end{align*}\] Notons que \(q_{12}\) est compatible avec les puissances divisées, car \[\begin{align*} \delta_n''(q_{12}(f, \omega)) & = \delta_n''((f, \text{d}f, \omega, \text{d}\omega)) \\ & = (\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\text{d}f, \delta_{n - 1}(f)\omega, \delta_{n - 1}(f)\text{d}\omega + \delta_{n - 2}(f)\text{d}(f) \wedge \omega) \\ & = q_{12}((\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\omega)) = q_{12}(\delta'_n(f, \omega)) \end{align*}\] Les vérifications pour \(q_{01}\) et \(q_{02}\) sont plus faciles. Notons que \(q_0 = q_{01} \circ p_0\), \(q_1 = q_{01} \circ p_1\), \(q_1 = q_{12} \circ p_0\), \(q_2 = q_{12} \circ p_1\), \(q_0 = q_{02} \circ p_0\) et \(q_2 = q_{02} \circ p_1\). Ainsi \((U, T'', \delta'')\) est un objet de \(\text{Cris}(X/S)\) et l’on obtient des morphismes \[\xymatrix{ T'' \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & T' \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & T }\] de \(\text{Cris}(X/S)\) satisfaisant aux relations décrites ci-dessus. Dans les applications, les notations \(q_i : T'' \to T\) et \(q_{ij} : T'' \to T'\) désigneront les morphismes associés aux homomorphismes d’anneaux décrits ci-dessus.

Le complexe de de Rham

Dans la situation 07MF. Sur le (petit) site cristallin, on définit \(\Omega^i_{X/S} = \wedge^i_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega_{X/S}\) pour \(i \geq 0\). La \(S\)-dérivation universelle \(\text{d}_{X/S}\) définit le complexe de de Rham \[\mathcal{O}_{X/S} \to \Omega^1_{X/S} \to \Omega^2_{X/S} \to \ldots\] sur \(\text{Cris}(X/S)\) ; voir le lemme 07J0 et la remarque 07HZ.

Connexions

Dans la situation 07MF. Étant donné un \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module \(\mathcal{F}\) sur \(\text{Cris}(X/S)\), une connexion est un morphisme de faisceaux abéliens \[\nabla : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega_{X/S}\] tel que \(\nabla(f s) = f\nabla(s) + s \otimes \text{d}f\) pour les sections locales \(s, f\) de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{O}_{X/S}\), respectivement. Une connexion détermine des morphismes canoniques \(\nabla : \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^{i + 1}_{X/S}\) définis par la règle \(\nabla(s \otimes \omega) = \nabla(s) \wedge \omega + s \otimes \text{d}\omega\) comme dans la remarque 07I0. On dit que la connexion est intégrable si \(\nabla \circ \nabla = 0\). Si \(\nabla\) est intégrable, on obtient le complexe de de Rham \[\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^1_{X/S} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^2_{X/S} \to \ldots\] sur \(\text{Cris}(X/S)\). Tout cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules est en fait muni d’une connexion intégrable canonique.

Lemme

Dans la situation 07MF. Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules sur \(\text{Cris}(X/S)\). Alors \(\mathcal{F}\) est muni d’une connexion intégrable canonique.

Démonstration

Soit \((U, T, \delta)\) un objet de \(\text{Cris}(X/S)\). Soit \((U, T', \delta')\) l’épaississement infinitésimal de \(T\) par \((\Omega_{X/S})_T = \Omega_{T/S, \delta}\) construit dans la remarque 07J2. Il est muni de projections \(p_0, p_1 : T' \to T\) et d’une diagonale \(i : T \to T'\). Par hypothèse, on obtient des isomorphismes \[p_0^*\mathcal{F}_T \xrightarrow{c_0} \mathcal{F}_{T'} \xleftarrow{c_1} p_1^*\mathcal{F}_T\] de \(\mathcal{O}_{T'}\)-modules. L’image réciproque de \(c = c_1^{-1} \circ c_0\) sur \(T\) par \(i\) est l’identité de \(\mathcal{F}_T\). Par conséquent, si \(s \in \Gamma(T, \mathcal{F}_T)\), alors \(\nabla(s) = p_1^*s - c(p_0^*s)\) est une section de \(p_1^*\mathcal{F}_T\) dont l’image réciproque par \(i\) est nulle. Ainsi, \(\nabla(s)\) est une section de \[\mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \Omega_{T/S, \delta}\] car il s’agit du noyau de \(p_1^*\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_T\), puisque \(\mathcal{O}_{T'} = \mathcal{O}_T \oplus \Omega_{T/S, \delta}\) par construction. On vérifie aisément que \(\nabla(fs) = f\nabla(s) + s \otimes \text{d}(f)\) en utilisant la description de \(\text{d}\) dans la remarque 07J2.

La famille d’applications \[\nabla : \Gamma(T, \mathcal{F}_T) \to \Gamma(T, \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \Omega_{T/S, \delta})\] ainsi obtenue est fonctorielle en \(T\), car la construction de \(T'\) est fonctorielle en \(T\). On obtient donc une connexion.

Pour montrer que la connexion est intégrable, considérons l’objet \((U, T'', \delta'')\) construit dans la remarque 07J3. Comme \(\mathcal{F}\) est un faisceau, on voit que \[\xymatrix{ q_0^*\mathcal{F}_T \ar[rr]_{q_{01}^*c} \ar[rd]_{q_{02}^*c} & & q_1^*\mathcal{F}_T \ar[ld]^{q_{12}^*c} \\ & q_2^*\mathcal{F}_T }\] est un diagramme commutatif de \(\mathcal{O}_{T''}\)-modules. Pour \(s \in \Gamma(T, \mathcal{F}_T)\), on a \(c(p_0^*s) = p_1^*s - \nabla(s)\). Écrivons \(\nabla(s) = \sum p_1^*s_i \cdot \omega_i\), où \(s_i\) est une section locale de \(\mathcal{F}_T\) et \(\omega_i\) une section locale de \(\Omega_{T/S, \delta}\). On considère \(\omega_i\) comme une section locale du faisceau structural \(\mathcal{O}_{T'}\) et l’on écrit donc un produit plutôt qu’un produit tensoriel. D’une part, \[\begin{align*} q_{12}^*c \circ q_{01}^*c(q_0^*s) & = q_{12}^*c(q_1^*s - \sum q_1^*s_i \cdot q_{01}^*\omega_i) \\ & = q_2^*s - \sum q_2^*s_i \cdot q_{12}^*\omega_i - \sum q_2^*s_i \cdot q_{01}^*\omega_i + \sum q_{12}^*\nabla(s_i) \cdot q_{01}^*\omega_i \end{align*}\] et, d’autre part, \[q_{02}^*c(q_0^*s) = q_2^*s - \sum q_2^*s_i \cdot q_{02}^*\omega_i.\] Les formules de la remarque 07J3 montrent que \(q_{01}^*\omega_i + q_{12}^*\omega_i - q_{02}^*\omega_i = \text{d}\omega_i\). La différence des deux expressions ci-dessus est donc \[\sum q_2^*s_i \cdot \text{d}\omega_i - \sum q_{12}^*\nabla(s_i) \cdot q_{01}^*\omega_i\] Notons que \(q_{12}^*\omega \cdot q_{01}^*\omega' = \omega' \wedge \omega = - \omega \wedge \omega'\) par définition de la multiplication sur \(\mathcal{O}_{T''}\). L’expression ci-dessus est donc \(\nabla^2(s)\), considérée comme une section du sous-faisceau \(\mathcal{F}_T \otimes \Omega^2_{T/S, \delta}\) de \(q_2^*\mathcal{F}\). On obtient ainsi la condition d’intégrabilité.

Algèbre cosimpliciale

Cette section devrait être déplacée ailleurs. Un anneau cosimplicial est un objet cosimplicial de la catégorie des anneaux. Étant donné un anneau \(R\), une \(R\)-algèbre cosimpliciale est un objet cosimplicial de la catégorie des \(R\)-algèbres. Un idéal cosimplicial d’un anneau cosimplicial \(A_*\) est la donnée d’idéaux \(I_n \subset A_n\), pour tout \(n\), tels que \(A(f)(I_n) \subset I_m\) pour tout \(f : [n] \to [m]\) dans \(\Delta\).

Soit \(A_*\) un anneau cosimplicial. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des couples \((A, M)\) où \(A\) est un anneau et \(M\) un module sur \(A\). Un morphisme \((A, M) \to (A', M')\) consiste en un homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\) et un homomorphisme \(A\)-linéaire \(M \to M'\), où \(M'\) est considéré comme un \(A\)-module par l’intermédiaire de \(A \to A'\) et de la structure de \(A'\)-module sur \(M'\). Cela étant, on définit un module cosimplicial \(M_*\) sur \(A_*\) comme un objet cosimplicial \((A_*, M_*)\) de \(\mathcal{C}\) dont la première composante est \(A_*\). Un homomorphisme \(\varphi_* : M_* \to N_*\) de modules cosimpliciaux sur \(A_*\) est un morphisme \((A_*, M_*) \to (A_*, N_*)\) d’objets cosimpliciaux de \(\mathcal{C}\) dont la première composante est \(1_{A_*}\).

Une homotopie entre des homomorphismes \(\varphi_*, \psi_* : M_* \to N_*\) de modules cosimpliciaux sur \(A_*\) est une homotopie entre les morphismes associés \((A_*, M_*) \to (A_*, N_*)\) dont la première composante est l’homotopie triviale (duale de Objets simpliciaux, exemple 07KA). Explicitons cette définition. Une telle homotopie est une homotopie \[h : M_* \longrightarrow \Hom(\Delta[1], N_*)\] entre \(\varphi_*\) et \(\psi_*\) comme homomorphismes de groupes abéliens cosimpliciaux, telle que, pour chaque \(n\), l’application \(h_n : M_n \to \prod_{\alpha \in \Delta[1]_n} N_n\) soit \(A_n\)-linéaire. Le lemme suivant est, pour les modules cosimpliciaux, une version du lemme 019Y d’Objets simpliciaux.

Lemme

Soit \(A_*\) un anneau cosimplicial. Soient \(\varphi_*, \psi_* : K_* \to M_*\) des homomorphismes de modules cosimpliciaux sur \(A_*\).

1. Si \(\varphi_*\) et \(\psi_*\) sont homotopes, alors \[\varphi_* \otimes 1, \psi_* \otimes 1 : K_* \otimes_{A_*} L_* \longrightarrow M_* \otimes_{A_*} L_*\] sont homotopes pour tout \(A_*\)-module cosimplicial \(L_*\).

2. Si \(\varphi_*\) et \(\psi_*\) sont homotopes, alors \[\wedge^i(\varphi_*), \wedge^i(\psi_*) : \wedge^i(K_*) \longrightarrow \wedge^i(M_*)\] sont homotopes.

3. Si \(\varphi_*\) et \(\psi_*\) sont homotopes et si \(A_* \to B_*\) est un homomorphisme d’anneaux cosimpliciaux, alors \[\varphi_* \otimes 1, \psi_* \otimes 1 : K_* \otimes_{A_*} B_* \longrightarrow M_* \otimes_{A_*} B_*\] sont homotopes comme homomorphismes de modules cosimpliciaux sur \(B_*\).

4. Si \(I_* \subset A_*\) est un idéal cosimplicial, alors les applications induites \[\varphi^\wedge_*, \psi^\wedge_* : K_*^\wedge \longrightarrow M_*^\wedge\] entre les complétés sont homotopes.

5. Ajouter ici d’autres assertions au besoin, par exemple sur les puissances symétriques.

Démonstration

Soit \(h : M_* \longrightarrow \Hom(\Delta[1], N_*)\) l’homotopie donnée. En degré \(n\), on a \[h_n = (h_{n, \alpha}) : K_n \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha \in \Delta[1]_n} K_n\] voir Objets simpliciaux, section 019U. Pour qu’une famille de \(h_{n, \alpha}\) constitue une homotopie, il faut et il suffit que, pour tout \(f : [n] \to [m]\), on ait \[h_{m, \alpha} \circ M_*(f) = N_*(f) \circ h_{n, \alpha \circ f}\] voir Objets simpliciaux, équation (07KB). On doit aussi avoir \(\psi_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\) et \(\varphi_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\).

Dans chacun des cas du lemme, on peut construire les morphismes correspondants. Cas (07KR). On peut utiliser l’homotopie \(h \otimes 1\) définie en degré \(n\) en posant \[(h \otimes 1)_{n, \alpha} = h_{n, \alpha} \otimes 1_{L_n} : K_n \otimes_{A_n} L_n \longrightarrow M_n \otimes_{A_n} L_n.\] Cas (07KS). On peut utiliser l’homotopie \(\wedge^ih\) définie en degré \(n\) en posant \[\wedge^i(h)_{n, \alpha} = \wedge^i(h_{n, \alpha}) : \wedge_{A_n}(K_n) \longrightarrow \wedge^i_{A_n}(M_n).\] Cas (07KT). On peut utiliser l’homotopie \(h \otimes 1\) définie en degré \(n\) en posant \[(h \otimes 1)_{n, \alpha} = h_{n, \alpha} \otimes 1 : K_n \otimes_{A_n} B_n \longrightarrow M_n \otimes_{A_n} B_n.\] Cas (07KU). On peut utiliser l’homotopie \(h^\wedge\) définie en degré \(n\) en posant \[(h^\wedge)_{n, \alpha} = h_{n, \alpha}^\wedge : K_n^\wedge \longrightarrow M_n^\wedge.\] Cette construction convient, car chaque \(h_{n, \alpha}\) est \(A_n\)-linéaire.

Cristaux en modules quasi-cohérents

Dans la situation 07MD. Posons \(X = \Spec(C)\) et \(S = \Spec(A)\). Nous allons classifier les cristaux en modules quasi-cohérents sur \(\text{Cris}(X/S)\). Auparavant, fixons quelques notations.

Choisissons un anneau de polynômes \(P = A[x_i]\) sur \(A\) et une surjection \(P \to C\) de \(A\)-algèbres, de noyau \(J = \Ker(P \to C)\). Posons [07J8]\[\begin{equation} D = \lim_e D_{P, \gamma}(J) / p^eD_{P, \gamma}(J) \end{equation}\] pour désigner l’enveloppe à puissances divisées complétée \(p\)-adiquement. Cet anneau est muni d’un idéal à puissances divisées \(\bar J\) et d’une structure de puissances divisées \(\bar \gamma\) ; voir le lemme 07KG. Posons \(D_e = D/p^eD\) et notons \(\bar J_e\) l’image de \(\bar J\) dans \(D_e\). Nous emploierons l’abréviation [07J9]\[\begin{equation} \Omega_D = \lim_e \Omega_{D_e/A, \bar\gamma} = \lim_e \Omega_{D/A, \bar\gamma}/p^e\Omega_{D/A, \bar\gamma} \end{equation}\] pour le complété \(p\)-adique du module des différentielles à puissances divisées ; voir le lemme 07KK. C’est aussi le complété \(p\)-adique de \(\Omega_{D_{P, \gamma}(J)/A, \bar\gamma}\) qui est libre, ayant pour base les \(\text{d}x_i\) ; voir le lemme 07HW. Ainsi, tout élément de \(\Omega_D\) s’écrit de manière unique comme une somme \(\sum f_i\text{d}x_i\) telle que, pour tout \(e\), seuls un nombre fini de \(f_i\) n’appartiennent pas à \(p^eD\). De plus, les applications \(\text{d}_{D_e/A, \bar\gamma} : D_e \to \Omega_{D_e/A, \bar\gamma}\) sont compatibles et définissent une \(A\)-dérivation à puissances divisées [07JA]\[\begin{equation} \text{d} : D \longrightarrow \Omega_D \end{equation}\] après complétion \(p\)-adique.

Nous aurons également besoin des « produits \(\Spec(D(n))\) de \(\Spec(D)\) » ; voir la proposition 07JN et sa démonstration pour une explication. Formellement, ils sont définis comme suit. Pour \(n \geq 0\), soit \(J(n) = \Ker(P \otimes_A \ldots \otimes_A P \to C)\), où le produit tensoriel comporte \(n + 1\) facteurs. On pose [07JF]\[\begin{equation} D(n) = \lim_e D_{P \otimes_A \ldots \otimes_A P, \gamma}(J(n))/ p^eD_{P \otimes_A \ldots \otimes_A P, \gamma}(J(n)) \end{equation}\] qui est le complété \(p\)-adique de l’enveloppe à puissances divisées. On note \(\bar J(n)\) son idéal à puissances divisées et \(\bar \gamma(n)\) sa structure de puissances divisées. On introduit aussi \(D(n)_e = D(n)/p^eD(n)\) ainsi que le module des différentielles complété \(p\)-adiquement [07L0]\[\begin{equation} \Omega_{D(n)} = \lim_e \Omega_{D(n)_e/A, \bar\gamma} = \lim_e \Omega_{D(n)/A, \bar\gamma}/p^e\Omega_{D(n)/A, \bar\gamma} \end{equation}\] et la dérivation [07L1]\[\begin{equation} \text{d} : D(n) \longrightarrow \Omega_{D(n)} \end{equation}\] Bien entendu, \(D = D(0)\). Notons que les anneaux \(D(0), D(1), D(2), \ldots\) forment un objet cosimplicial de la catégorie des anneaux à puissances divisées.

Lemme

Soient \(D\) et \(D(n)\) comme dans (07J8) et (07JF). La coprojection \(P \to P \otimes_A \ldots \otimes_A P\), \(f \mapsto f \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1\) induit un isomorphisme [07L3]\[\begin{equation} D(n) = \lim_e D\langle \xi_i(j) \rangle/p^eD\langle \xi_i(j) \rangle \end{equation}\] de \(D\)-algèbres, où \[\xi_i(j) = x_i \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1 - 1 \otimes \ldots \otimes 1 \otimes x_i \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1\] pour \(j = 1, \ldots, n\), le second \(x_i\) étant placé dans le facteur numéro \(j + 1\) facteur ; rappelons que la construction de \(D(n)\) part du produit tensoriel de \(n + 1\) copies de \(P\) sur \(A\).

Démonstration

On a \[P \otimes_A \ldots \otimes_A P = P[\xi_i(j)]\] et \(J(n)\) est engendré par \(J\) et les éléments \(\xi_i(j)\). Le lemme résulte donc du lemme 07KE.

Lemme

Soient \(D\) et \(D(n)\) comme dans (07J8) et (07JF). Alors \((D, \bar J, \bar\gamma)\) et \((D(n), \bar J(n), \bar\gamma(n))\) sont des objets de \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) (voir la remarque 07KH), et \[D(n) = \coprod\nolimits_{j = 0, \ldots, n} D\] dans \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\).

Démonstration

La première assertion est claire. Pour la seconde, si \((B \to C, \delta)\) est un objet de \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\), alors on a \[\Mor_{\text{Cris}^\wedge(C/A)}(D, B) = \Hom_A((P, J), (B, \Ker(B \to C)))\] et de même pour \(D(n)\) en remplaçant \((P, J)\) par \((P \otimes_A \ldots \otimes_A P, J(n))\). La propriété relative aux coproduits en résulte, puisque \(P \otimes_A \ldots \otimes_A P\) est un coproduit.

Dans le lemme ci-dessous, nous considérerons des couples \((M, \nabla)\) satisfaisant aux conditions suivantes :

1. \(M\) est \(p\)-adiquement complet en tant que \(D\)-module,

2. \(\nabla : M \to M \otimes^\wedge_D \Omega_D\) est une connexion, c’est-à-dire \(\nabla(fm) = m \otimes \text{d}f + f\nabla(m)\),

3. \(\nabla\) est intégrable (voir la remarque 07I0), et

4. \(\nabla\) est topologiquement quasi-nilpotente : si l’on écrit \(\nabla(m) = \sum \theta_i(m)\text{d}x_i\) pour des opérateurs \(\theta_i : M \to M\), alors, pour tout \(m \in M\), il n’existe qu’un nombre fini de couples \((i, k)\) tels que \(\theta_i^k(m) \not \in pM\).

Dans la littérature, les opérateurs \(\theta_i\) sont parfois notés \(\nabla_{\partial/\partial x_i}\). Dans le lemme suivant, nous construisons un foncteur de la catégorie des cristaux en modules quasi-cohérents sur \(\text{Cris}(X/S)\) vers la catégorie de ces couples. Nous montrerons que ce foncteur est une équivalence dans la proposition 07JH.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe un foncteur \[\begin{matrix} \text{cristaux en} \\ \mathcal{O}_{X/S}\text{-modules quasi-cohérents sur }\text{Cris}(X/S) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{couples }(M, \nabla)\text{ vérifiant} \\ \text{(\href{crystalline.html#crystalline-item-complete}{07JB}), (\href{crystalline.html#crystalline-item-connection}{07JC}), (\href{crystalline.html#crystalline-item-integrable}{07JD}) et (\href{crystalline.html#crystalline-item-topologically-quasi-nilpotent}{07JE})} \end{matrix}\]

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en modules quasi-cohérents sur \(X/S\). Posons \(T_e = \Spec(D_e)\), de sorte que \((X, T_e, \bar\gamma)\) est un objet de \(\text{Cris}(X/S)\) pour \(e \gg 0\). On dispose de morphismes \[(X, T_e, \bar\gamma) \to (X, T_{e + 1}, \bar\gamma) \to \ldots\] qui sont des immersions fermées. Posons \[M = \lim_e \Gamma((X, T_e, \bar\gamma), \mathcal{F}) = \lim_e \Gamma(T_e, \mathcal{F}_{T_e}) = \lim_e M_e\] Notons que, puisque \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent, on a \(\mathcal{F}_{T_e} = \widetilde{M_e}\). Puisque \(\mathcal{F}\) est un cristal, on a \(M_e = M_{e + 1}/p^eM_{e + 1}\). On voit donc que \(M_e = M/p^eM\) et que \(M\) est complet \(p\)-adiquement ; voir Algèbre, lemme 09B8.

Par le lemme 07J6, on sait que \(\mathcal{F}\) est muni d’une connexion intégrable canonique \(\nabla : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \Omega_{X/S}\). En évaluant cette connexion sur les objets \(T_e\) construits ci-dessus, on obtient une connexion intégrable canonique \[\nabla : M \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega_D\] Pour voir qu’elle est topologiquement quasi-nilpotente, explicitons ce que cela signifie.

On peut maintenant appliquer le même procédé aux anneaux \(D(n)\). On obtient ainsi un module \(p\)-adiquement complet sur \(D(n)\), noté \(M(n)\). En utilisant encore la propriété de cristal de \(\mathcal{F}\), on obtient des isomorphismes \[M \otimes^\wedge_{D, p_0} D(1) \rightarrow M(1) \leftarrow M \otimes^\wedge_{D, p_1} D(1)\] voir la démonstration du lemme 07J6. Notons \(c\) le composé de gauche à droite. Prenons \(m \in M\). Posons \(\xi_i = x_i \otimes 1 - 1 \otimes x_i\). D’après (07L3), on peut écrire de manière unique \[c(m \otimes 1) = \sum\nolimits_K \theta_K(m) \otimes \prod \xi_i^{[k_i]}\] avec \(\theta_K(m) \in M\), où la somme porte sur les multi-indices \(K = (k_i)\) tels que \(k_i \geq 0\) et \(\sum k_i < \infty\). Posons \(\theta_i = \theta_K\), où \(K\) a un \(1\) à la \(i\)-ième place et des zéros ailleurs. On a \[\nabla(m) = \sum \theta_i(m) \text{d}x_i.\] Cela se voit en comparant avec la définition de \(\nabla\). En effet, l’équation qui le définit est \(p_1^*m = \nabla(m) - c(p_0^*m)\) dans le lemme 07J6, mais le signe convient parce que, dans le projet Champs, on utilise systématiquement \(\text{d}f = p_1(f) - p_0(f)\) modulo le carré de l’idéal de la diagonale, et que \(\xi_i = x_i \otimes 1 - 1 \otimes x_i\) s’envoie donc sur \(-\text{d}x_i\) modulo le carré de l’idéal de la diagonale.

Notons \(q_i : D \to D(2)\) et \(q_{ij} : D(1) \to D(2)\) les coprojections correspondant aux indices \(i, j\). Comme dans le dernier paragraphe de la démonstration du lemme 07J6, on voit que \[q_{02}^*c = q_{12}^*c \circ q_{01}^*c.\] Cela signifie que \[\sum\nolimits_{K''} \theta_{K''}(m) \otimes \prod {\zeta''_i}^{[k''_i]} = \sum\nolimits_{K', K} \theta_{K'}(\theta_K(m)) \otimes \prod {\zeta'_i}^{[k'_i]} \prod \zeta_i^{[k_i]}\] dans \(M \otimes^\wedge_{D, q_2} D(2)\), où \[\begin{align*} \zeta_i & = x_i \otimes 1 \otimes 1 - 1 \otimes x_i \otimes 1,\\ \zeta'_i & = 1 \otimes x_i \otimes 1 - 1 \otimes 1 \otimes x_i,\\ \zeta''_i & = x_i \otimes 1 \otimes 1 - 1 \otimes 1 \otimes x_i. \end{align*}\] En particulier, \(\zeta''_i = \zeta_i + \zeta'_i\), et \(D(2)\) est le complété \(p\)-adique de l’anneau de polynômes à puissances divisées en \(\zeta_i, \zeta'_i\) sur \(q_2(D)\) ; voir le lemme 07L2. En comparant les coefficients dans l’expression ci-dessus, on obtient immédiatement \(\theta_i \circ \theta_j = \theta_j \circ \theta_i\) (ce qui fournit une autre démonstration de l’intégrabilité de \(\nabla\)) et \[\theta_K(m) = (\prod \theta_i^{k_i})(m).\] En particulier, puisque la somme exprimant \(c(m \otimes 1)\) ci-dessus doit converger \(p\)-adiquement, on conclut que, pour tout \(i\) et tout \(m \in M\), les termes \(\theta_i^k(m)\) non nuls modulo \(p\) sont en nombre fini.

Proposition

Le foncteur \[\begin{matrix} \text{cristaux en} \\ \mathcal{O}_{X/S}\text{-modules quasi-cohérents sur }\text{Cris}(X/S) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{couples }(M, \nabla)\text{ vérifiant} \\ \text{(\href{crystalline.html#crystalline-item-complete}{07JB}), (\href{crystalline.html#crystalline-item-connection}{07JC}), (\href{crystalline.html#crystalline-item-integrable}{07JD}) et (\href{crystalline.html#crystalline-item-topologically-quasi-nilpotent}{07JE})} \end{matrix}\] du lemme 07JG est une équivalence de catégories.

Démonstration

Soit \((M, \nabla)\) donné. Construisons un cristal en modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\). Écrivons \(\nabla(m) = \sum \theta_i(m)\text{d}x_i\). Alors \(\theta_i \circ \theta_j = \theta_j \circ \theta_i\), et l’on peut poser \(\theta_K(m) = (\prod \theta_i^{k_i})(m)\) pour tout multi-indice \(K = (k_i)\) tel que \(k_i \geq 0\) et \(\sum k_i < \infty\).

Soit \((U, T, \delta)\) un objet quelconque de \(\text{Cris}(X/S)\) avec \(T\) affine. Écrivons \(T = \Spec(B)\) ; l’idéal de \(U \to T\) sera noté \(J_B \subset B\). Par le lemme 07HP, il existe un entier \(e\) et un morphisme \[f : (U, T, \delta) \longrightarrow (X, T_e, \bar\gamma)\] où \(T_e = \Spec(D_e)\), comme dans la démonstration du lemme 07JG. Choisissons de tels \(e\) et \(f\) ; notons encore \(f : D \to B\) l’homomorphisme correspondant de \(A\)-algèbres à puissances divisées. On définit \(\mathcal{F}_T\) comme le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_T\)-modules associé au \(B\)-module \[M \otimes_{D, f} B.\] Il faut toutefois montrer que cette définition ne dépend pas du choix de \(f\). Supposons que \(g : D \to B\) soit un second morphisme de ce type. Puisque \(f\) et \(g\) sont des morphismes de \(\text{Cris}(X/S)\), on voit que l’image de \(f - g : D \to B\) est contenue dans l’idéal à puissances divisées \(J_B\). Posons \(\xi_i = f(x_i) - g(x_i) \in J_B\). Par analogie avec la démonstration du lemme 07JG, on définit un isomorphisme \[c_{f, g} : M \otimes_{D, f} B \longrightarrow M \otimes_{D, g} B\] par la formule \[m \otimes 1 \longmapsto \sum\nolimits_K \theta_K(m) \otimes \prod \xi_i^{[k_i]}\] qui a un sens d’après les remarques ci-dessus et le fait que \(\nabla\) est topologiquement quasi-nilpotente (la somme est donc finie !). Un calcul montre que \[c_{g, h} \circ c_{f, g} = c_{f, h}\] si l’on se donne un troisième morphisme \(h : (U, T, \delta) \longrightarrow (X, T_e, \bar\gamma)\). On a aussi \(c_{f, f} = 1\). Ces applications sont donc toutes des isomorphismes, et l’on voit que le module \(\mathcal{F}_T\) ne dépend pas du choix de \(f\).

Si \(a : (U', T', \delta') \to (U, T, \delta)\) est un morphisme entre objets affines de \(\text{Cris}(X/S)\), alors, en choisissant \(f' = f \circ a\), il est clair qu’il existe un isomorphisme canonique \(a^*\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\). On omet de vérifier que cette application ne dépend pas du choix de \(f\). En prenant ces applications comme applications de restriction, il est clair que l’on obtient un cristal en modules quasi-cohérents sur la sous-catégorie pleine de \(\text{Cris}(X/S)\) formée des objets affines. On omet de montrer que celui-ci s’étend en un cristal sur tout \(\text{Cris}(X/S)\). On omet aussi de montrer que ce procédé est un foncteur et qu’il est quasi-inverse du foncteur construit dans le lemme 07JG.

Lemme

Dans la situation 07MD. Soient \(A \to P' \to C\) des homomorphismes d’anneaux tels que \(A \to P'\) soit lisse et \(P' \to C\) surjectif de noyau \(J'\). Soit \(D'\) le complété \(p\)-adique de \(D_{P', \gamma}(J')\). Alors il existe un choix de données \(A \to P \to C\) comme ci-dessus et des homomorphismes de \(A\)-algèbres à puissances divisées \[a : D \longrightarrow D',\quad b : D' \longrightarrow D\] compatibles avec les applications \(D \to C\) et \(D' \to C\) tels que \(a \circ b = \text{id}_{D'}\). Ces applications induisent une équivalence entre la catégorie des couples \((M, \nabla)\) vérifiant (07JB), (07JC), (07JD) et (07JE) sur \(D\) et celle des couples \((M', \nabla')\) vérifiant (07JB), (07JC), (07JD) et (07JE)⁴ sur \(D'\). En particulier, l’équivalence de catégories de la proposition 07JH vaut aussi pour le foncteur correspondant à valeurs dans la catégorie des couples sur \(D'\).

Démonstration

Choisissons une algèbre polynomiale \(P = A[y_1, \ldots, y_m]\) sur \(A\) et une surjection \(P \to P'\). Définissons \(P \to C\) comme le composé \(P \to P' \to C\). On obtient un homomorphisme surjectif \(a : D \to D'\) par fonctorialité des enveloppes à puissances divisées et de la complétion. Prenons \(e\) assez grand pour que \(D_e\) soit un épaississement à puissances divisées de \(C\) sur \(A\). Alors \(D_e \to C\) est une surjection dont le noyau est localement nilpotent ; voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07GR. En posant \(D'_e = D'/p^eD'\), on voit que le noyau de \(D_e \to D'_e\) est localement nilpotent. Par conséquent, d’après Algèbre, lemme 07K4, on peut trouver un relèvement \(\beta_e : P' \to D_e\) de l’application \(P' \to D'_e\). Notons que \(D_{e + i + 1} \to D_{e + i} \times_{D'_{e + i}} D'_{e + i + 1}\) est surjectif de noyau de carré nul pour tout \(i \geq 0\), puisque \(p^{e + i}D \to p^{e + i}D'\) est surjectif. En appliquant successivement la propriété usuelle de relèvement (Algèbre, proposition 00TN) aux diagrammes \[\xymatrix{ P' \ar[r] & D_{e + i} \times_{D'_{e + i}} D'_{e + i + 1} \\ A \ar[u] \ar[r] & D_{e + i + 1} \ar[u] }\] on voit qu’il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\beta : P' \to D\) dont le composé avec \(a\) est l’application donnée \(P' \to D'\). Par la propriété universelle de l’enveloppe à puissances divisées, on obtient un homomorphisme \(D_{P', \gamma}(J') \to D\). Comme \(D\) est \(p\)-adiquement complet, on obtient \(b : D' \to D\) tel que \(a \circ b = \text{id}_{D'}\).

Considérons les foncteurs de changement de base \[F : (M, \nabla) \longmapsto (M \otimes^\wedge_{D, a} D', \nabla') \quad\text{et}\quad G : (M', \nabla') \longmapsto (M' \otimes^\wedge_{D', b} D, \nabla)\] sur les modules à connexion vérifiant (07JB), (07JC) et (07JD). Voir la remarque 07KJ. Puisque \(a \circ b = \text{id}_{D'}\), on voit que \(F \circ G\) est le foncteur identité. Disons que \((M', \nabla')\) possède la propriété (07JE) si elle est satisfaite par \(G(M', \nabla')\). Un argument formel montre alors que, pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(G(F(M, \nabla))\) est isomorphe à \((M, \nabla)\) lorsque \((M, \nabla)\) satisfait les quatre conditions (07JB), (07JC), (07JD) et (07JE). Pour cela, on utilise l’isomorphisme fonctoriel \[c_{\text{id}_D, b \circ a} : M \otimes_{D, \text{id}_D} D \longrightarrow M \otimes_{D, b \circ a} D\] de la démonstration de la proposition 07JH (qui requiert la quasi-nilpotence topologique de \(\nabla\), supposée ici). Il reste à montrer que ce morphisme est horizontal, c’est-à-dire compatible avec les connexions, ce que l’on omet.

La dernière assertion de l’énoncé en résulte.

Remarque

L’équivalence de la proposition 07JH vaut si l’on part d’une surjection \(P \to C\) telle que \(P/A\) satisfasse à la propriété forte de relèvement du lemme 07K4 d’Algèbre. Pour le montrer, on peut raisonner comme dans la démonstration du lemme 07L5. (On ajoutera ici les détails si le besoin s’en fait sentir.) Il existe vraisemblablement aussi une démonstration directe de ce résultat, mais l’avantage d’utiliser des anneaux de polynômes est que les anneaux \(D(n)\) sont les complétés \(p\)-adiques d’anneaux de polynômes à puissances divisées, ce qui simplifie l’algèbre.

Remarques générales sur la cohomologie

Dans cette section, on effectue quelques préparatifs pour ramener la cohomologie des modules sur le site cristallin d’un schéma affine à une question algébrique.

Lemme

Dans la situation 07MF. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module localement quasi-cohérent sur \(\text{Cris}(X/S)\). Alors on a \[H^p((U, T, \delta), \mathcal{F}) = 0\] pour tout \(p > 0\) et tout \((U, T, \delta)\) tel que \(T\) ou \(U\) soit affine.

Démonstration

Comme \(U \to T\) est un épaississement, on voit que \(U\) est affine si et seulement si \(T\) est affine ; voir Limites, lemme 01ZT. Cela étant, appliquons le lemme 03F9 de Cohomologie sur les sites à la collection \(\mathcal{B}\) des objets affines \((U, T, \delta)\) et à la collection \(\text{Cov}\) des recouvrements ouverts affines \(\mathcal{U} = \{(U_i, T_i, \delta_i) \to (U, T, \delta)\}\). Le complexe de Čech \({\check C}^*(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) associé à un tel recouvrement est simplement le complexe de Čech du \(\mathcal{O}_T\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_T\) (on utilise ici l’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent) relativement au recouvrement ouvert affine \(\{T_i \to T\}\) du schéma affine \(T\). La cohomologie de Čech est donc nulle par Cohomologie des schémas, lemmes 01XD et 01XB. Ainsi, les hypothèses du lemme 03F9 de Cohomologie sur les sites sont satisfaites, ce qui conclut.

Lemme

Dans la situation 07MF. Supposons en outre que \(X\) et \(S\) soient des schémas affines. Considérons la sous-catégorie pleine \(\mathcal{C} \subset \text{Cris}(X/S)\) formée des épaississements à puissances divisées \((X, T, \delta)\) et munie de la topologie chaotique (voir Sites, exemple 07GE). Pour tout \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module localement quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}|_\mathcal{C}) = R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\]

Démonstration

Notons \(\text{AffineCris}(X/S)\) la sous-catégorie pleine de \(\text{Cris}(X/S)\) formée des objets \((U, T, \delta)\) tels que \(U\) et \(T\) soient affines. On en fait un site en déclarant qu’une famille de morphismes \(\{(U_i, T_i, \delta_i) \to (U, T, \delta)\}_{i \in I}\) de \(\text{AffineCris}(X/S)\) est un recouvrement si et seulement si elle en est un dans \(\text{Cris}(X/S)\). Avec cette définition, le foncteur d’inclusion \[\text{AffineCris}(X/S) \longrightarrow \text{Cris}(X/S)\] est un foncteur cocontinu spécial au sens de Sites, définition 03CG. La démonstration est exactement la même que celle du lemme 020W de Topologies. On voit ainsi que le topos des faisceaux sur \(\text{Cris}(X/S)\) est le même que celui des faisceaux sur \(\text{AffineCris}(X/S)\) par restriction le long du foncteur d’inclusion affiché. Il faut donc montrer l’énoncé correspondant pour l’inclusion \(\mathcal{C} \subset \text{AffineCris}(X/S)\).

On utilisera sans autre mention le fait que \(\mathcal{C}\) et \(\text{AffineCris}(X/S)\) admettent des produits et des produits fibrés (on omet les détails ; voir le lemme 07I9). Le foncteur d’inclusion \(u : \mathcal{C} \to \text{AffineCris}(X/S)\) est pleinement fidèle, continu et commute aux produits et aux produits fibrés. On affirme qu’il définit un morphisme de sites annelés \[f : (\text{AffineCris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{X/S}|_\mathcal{C})\] Pour le voir, on utilisera Sites, lemme 00X5. Notons que \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés et que \(u\) y commute ; les catégories \(\mathcal{I}^u_{(U, T, \delta)}\) sont donc des réunions disjointes de catégories filtrantes (par Sites, lemme 00X4, et Catégories, lemme 002X). Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{I}^u_{(U, T, \delta)}\) est connexe. Le fait qu’elle soit non vide résulte du lemme 07HP : puisque \(U\) et \(T\) sont affines, ce lemme affirme qu’il existe au moins un objet \((X, T', \delta')\) de \(\mathcal{C}\) et un morphisme \((U, T, \delta) \to (X, T', \delta')\) d’épaississements à puissances divisées. La connexité résulte du fait que \(\mathcal{C}\) admet des produits et que \(u\) y commute (comparer avec la démonstration du lemme 00X3 de Sites).

Notons que \(f_*\mathcal{F} = \mathcal{F}|_\mathcal{C}\). Pour démontrer le lemme, il suffit donc d’établir que \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 0733. Par Cohomologie sur les sites, lemme 072W, il suffit de montrer que \(H^p(\text{AffineCris}(X/S)/(X, T, \delta), \mathcal{F}) = 0\) pour tout \((X, T, \delta)\). Cela résulte du lemme 07JJ, car le topos du site \(\text{AffineCris}(X/S)/(X, T, \delta)\) est équivalent au topos du site \(\text{Cris}(X/S)/(X, T, \delta)\) utilisé dans ce lemme.

Lemme

Dans la situation 07MD. Posons \(\mathcal{C} = (\text{Cris}(C/A))^{opp}\) et \(\mathcal{C}^\wedge = (\text{Cris}^\wedge(C/A))^{opp}\) munis de la topologie chaotique ; pour les notations, voir la remarque 07KH. Il existe un morphisme de topos \[g : \Sh(\mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}^\wedge)\] tel que, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\), alors \[R^pg_*\mathcal{F}(B \to C, \delta) = \left\{ \begin{matrix} \lim_e \mathcal{F}(B_e \to C, \delta) & \text{si }p = 0 \\ R^1\lim_e \mathcal{F}(B_e \to C, \delta) & \text{si }p = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] où \(B_e = B/p^eB\) pour \(e \gg 0\).

Démonstration

Tout foncteur entre catégories définit, dans le même sens, un morphisme de topos chaotiques ; en effet, un tel foncteur peut être considéré comme un foncteur cocontinu entre sites ; voir Sites, section 00XN. On omet la démonstration de la description de \(g_*\mathcal{F}\). Notons que, dans l’énoncé, \((B_e \to C, \delta)\) n’est un objet de \(\text{Cris}(C/A)\) que pour \(e\) assez grand. Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(\mathcal{C}\). Alors les applications de transition \[\mathcal{I}(B_e \to C, \delta) \leftarrow \mathcal{I}(B_{e + 1} \to C, \delta)\] sont surjectives, car les morphismes \[(B_e \to C, \delta) \longrightarrow (B_{e + 1} \to C, \delta)\] sont des monomorphismes dans la catégorie \(\mathcal{C}\). Ainsi, pour un faisceau abélien injectif, les deux membres de la formule affichée dans le lemme coïncident. En prenant une résolution injective de \(\mathcal{F}\), on obtient aisément le résultat (les faisceaux sont des préfaisceaux, de sorte que l’exactitude se mesure au niveau des groupes de sections sur les objets).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie munie de la topologie chaotique. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\) tel que tout objet de \(\mathcal{C}\) admette un morphisme vers \(X\). Supposons que \(\mathcal{C}\) admette les produits de deux objets. Alors, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), la cohomologie totale \(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})\) est représentée par le complexe \[\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(X \times X) \to \mathcal{F}(X \times X \times X) \to \ldots\] associé au groupe abélien cosimplicial \([n] \mapsto \mathcal{F}(X^n)\).

Démonstration

Notons que \(H^q(X^p, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(q > 0\), puisque tout préfaisceau est un faisceau sur \(\mathcal{C}\). L’hypothèse sur \(X\) signifie que \(h_X \to *\) est surjectif. En utilisant \(H^q(X, \mathcal{F}) = H^q(h_X, \mathcal{F})\) et \(H^q(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^q(*, \mathcal{F})\), on voit que notre énoncé résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 079Z.

Préparatifs cosimpliciaux

Dans cette section, on compare la cohomologie cristalline à la cohomologie de de Rham. On suit [Bhatt].

Exemple

Supposons que \(A_*\) soit un anneau cosimplicial quelconque. Considérons le module cosimplicial \(M_*\) défini par la règle \[M_n = \bigoplus\nolimits_{i = 0, ..., n} A_n e_i\] Pour une application \(f : [n] \to [m]\), définissons \(M_*(f) : M_n \to M_m\) comme l’unique application \(A_*(f)\)-linéaire envoyant \(e_i\) sur \(e_{f(i)}\). On affirme que l’identité de \(M_*\) est homotope à \(0\). En effet, une homotopie est donnée par un morphisme de modules cosimpliciaux \[h : M_* \longrightarrow \Hom(\Delta[1], M_*)\] voir la section 07KP. Pour \(j \in \{0, \ldots, n + 1\}\), notons \(\alpha^n_j : [n] \to [1]\) l’application définie par \(\alpha^n_j(i) = 0 \Leftrightarrow i < j\). Alors \(\Delta[1]_n = \{\alpha^n_0, \ldots, \alpha^n_{n + 1}\}\) et, par conséquent, \(\Hom(\Delta[1], M_*)_n = \prod_{j = 0, \ldots, n + 1} M_n\) ; voir Objets simpliciaux, sections 019J et 019U. Plutôt que d’utiliser cette écriture comme produit, on considère un élément de \(\Hom(\Delta[1], M_*)_n\) comme une fonction \(\Delta[1]_n \to M_n\). Avec cette notation, on définit \(h\) en degré \(n\) par la règle \[h_n(e_i)(\alpha^n_j) = \left\{ \begin{matrix} e_{i} & \text{si} & i < j \\ 0 & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] Vérifions d’abord que \(h\) est un morphisme de modules cosimpliciaux. Pour \(f : [n] \to [m]\), on va montrer que [07L8]\[\begin{equation} h_m \circ M_*(f) = \Hom(\Delta[1], M_*)(f) \circ h_n \end{equation}\] Le membre de gauche de (07L8), évalué en \(e_i\), puis en \(\alpha^m_j\), vaut \[h_m(e_{f(i)})(\alpha^m_j) = \left\{ \begin{matrix} e_{f(i)} & \text{si} & f(i) < j \\ 0 & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] Notons que \(\alpha^m_j \circ f = \alpha^n_{j'}\), où \(0 \leq j' \leq n + 1\) est l’unique indice tel que \(f(i) < j\) si et seulement si \(i < j'\). Ainsi, le membre de droite de (07L8), évalué en \(e_i\), puis en \(\alpha^m_j\), vaut \[M_*(f)(h_n(e_i)(\alpha^m_j \circ f) = M_*(f)(h_n(e_i)(\alpha^n_{j'})) = \left\{ \begin{matrix} e_{f(i)} & \text{si} & i < j' \\ 0 & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] Notre description de \(j'\) montre que les deux résultats sont égaux. Ainsi, \(h\) est un morphisme de modules cosimpliciaux. Soient \(0 : \Delta[0] \to \Delta[1]\) et \(1 : \Delta[0] \to \Delta[1]\) les applications évidentes, et notons \(ev_0, ev_1 : \Hom(\Delta[1], M_*) \to M_*\) les applications d’évaluation correspondantes. Le lecteur vérifie aisément que les composés \[ev_0 \circ h, ev_1 \circ h : M_* \longrightarrow M_*\] sont respectivement \(1\) et \(0\) ; ainsi, \(h\) est l’homotopie cherchée entre \(1\) et \(0\).

Lemme

Avec les notations de (07L0), le complexe \[\Omega_{D(0)} \to \Omega_{D(1)} \to \Omega_{D(2)} \to \ldots\] est homotope à zéro comme \(D(*)\)-module cosimplicial.

Démonstration

On va utiliser le principe de Objets simpliciaux, lemme 019Y, et, plus précisément, le lemme 07KQ, qui affirme que tout foncteur transforme des applications homotopes entre objets (co)simpliciaux en applications homotopes. Le complexe du lemme est égal au complété \(p\)-adique du changement de base du module cosimplicial \[M_* = \left( \Omega_{P/A} \to \Omega_{P \otimes_A P/A} \to \Omega_{P \otimes_A P \otimes_A P/A} \to \ldots \right)\] par l’homomorphisme d’anneaux cosimpliciaux \(P\otimes_A \ldots \otimes_A P \to D(n)\). Cela résulte du lemme 07HW ; voir les commentaires après (07J9). Il suffit donc de montrer que le module cosimplicial \(M_*\) est homotope à zéro (on utilise le changement de base et la complétion \(p\)-adique). On peut même supposer que \(A = \mathbf{Z}\) et \(P = \mathbf{Z}[\{x_i\}_{i \in I}]\), car on peut effectuer le changement de base par \(\mathbf{Z} \to A\). Dans ce cas, \(P^{\otimes n + 1}\) est l’algèbre polynomiale engendrée par les éléments \[x_i(e) = 1 \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes 1\] où \(x_i\) occupe la \(e\)-ième place. Les modules du complexe sont libres, ayant pour base les \(\text{d}x_i(e)\). Notons que, si \(f : [n] \to [m]\) est une application, alors \[M_*(f)(\text{d}x_i(e)) = \text{d}x_i(f(e))\] On voit donc que \(M_*\) est une somme directe, indexée par \(I\), de copies du module étudié dans l’exemple 07L7, ce qui conclut.

Lemme

Avec les notations de (07JF) et (07L0), pour tout module cosimplicial \(M_*\) sur \(D(*)\) et tout \(i > 0\), le module cosimplicial \[M_0 \otimes^\wedge_{D(0)} \Omega^i_{D(0)} \to M_1 \otimes^\wedge_{D(1)} \Omega^i_{D(1)} \to M_2 \otimes^\wedge_{D(2)} \Omega^i_{D(2)} \to \ldots\] est homotope à zéro, où \(\Omega^i_{D(n)}\) est le complété \(p\)-adique de la \(i\)-ième puissance extérieure de \(\Omega_{D(n)}\).

Démonstration

Par le lemme 07L9, les endomorphismes \(0\) et \(1\) de \(\Omega_{D(*)}\) sont homotopes. En appliquant le foncteur \(\wedge^i\), on voit qu’il en va de même pour le module cosimplicial \(\wedge^i\Omega_{D(*)}\) ; voir le lemme 07KQ. Une autre application du même lemme montre que le complété \(p\)-adique \(\Omega^i_{D(*)}\) est homotopiquement équivalent à zéro. En tensorisant par \(M_*\), on voit que \(M_* \otimes_{D(*)} \Omega^i_{D(*)}\) est homotope à zéro ; voir encore le lemme 07KQ. Une dernière application du foncteur de complétion \(p\)-adique achève la démonstration.

Lemme de Poincaré à puissances divisées

Nous ne considérons que la version la plus simple possible.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(P = A\langle x_i \rangle\) un anneau de polynômes à puissances divisées sur \(A\). Pour tout \(A\)-module \(M\), le complexe \[0 \to M \to M \otimes_A P \to M \otimes_A \Omega^1_{P/A, \delta} \to M \otimes_A \Omega^2_{P/A, \delta} \to \ldots\] est exact. Soit \(D\) le complété \(p\)-adique de \(P\). Soit \(\Omega^i_D\) le complété \(p\)-adique de la \(i\)-ième puissance extérieure de \(\Omega_{D/A, \delta}\). Pour tout module complet pour la topologie \(p\)-adique sur \(A\), noté \(M\), le complexe \[0 \to M \to M \otimes^\wedge_A D \to M \otimes^\wedge_A \Omega^1_D \to M \otimes^\wedge_A \Omega^2_D \to \ldots\] est exact.

Démonstration

Il suffit de montrer que le complexe \[E : (0 \to A \to P \to \Omega^1_{P/A, \delta} \to \Omega^2_{P/A, \delta} \to \ldots)\] est homotopiquement équivalent à zéro comme complexe de \(A\)-modules. Pour tout multi-indice \(K = (k_i)\), on peut considérer le sous-complexe \(E(K)\) qui, en degré \(j\), est formé de \[\bigoplus\nolimits_{I = \{i_1, \ldots, i_j\} \subset \text{Supp}(K)} A \prod\nolimits_{i \not \in I} x_i^{[k_i]} \prod\nolimits_{i \in I} x_i^{[k_i - 1]} \text{d}x_{i_1} \wedge \ldots \wedge \text{d}x_{i_j}\] Puisque \(E = \bigoplus E(K)\), il suffit de prouver que chacun des complexes \(E(K)\) est homotope à zéro. Si \(K = 0\), alors \(E(K) : (A \to A)\) est homotope à zéro. Si \(K\) a un support (fini) non vide \(S\), alors le complexe \(E(K)\) est isomorphe au complexe \[0 \to A \to \bigoplus\nolimits_{s \in S} A \to \wedge^2(\bigoplus\nolimits_{s \in S} A) \to \ldots \to \wedge^{\# S}(\bigoplus\nolimits_{s \in S} A) \to 0\] qui est homotope à zéro, par exemple par Compléments d’algèbre, lemme 0626.

Une autre approche, plus directe, du lemme suivant est expliquée dans l’exemple 07Q8.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \((B, I, \delta)\) un anneau à puissances divisées tel que \(B\) soit une \(A\)-algèbre. Soit \(P = B\langle x_i \rangle\) un anneau de polynômes à puissances divisées sur \(B\), muni comme d’habitude de l’idéal à puissances divisées \(J = IP + B\langle x_i \rangle_{+}\). Soit \(M\) un \(B\)-module muni d’une connexion intégrable \(\nabla : M \to M \otimes_B \Omega^1_{B/A, \delta}\). Alors le morphisme de complexes de de Rham \[M \otimes_B \Omega^*_{B/A, \delta} \longrightarrow M \otimes_P \Omega^*_{P/A, \delta}\] est un quasi-isomorphisme. Soient \(D\), resp. \(D'\), les complétés \(p\)-adiques de \(B\), resp. \(P\), et soient \(\Omega^i_D\), resp. \(\Omega^i_{D'}\), les complétés \(p\)-adiques de \(\Omega^i_{B/A, \delta}\), resp. \(\Omega^i_{P/A, \delta}\). Soit \(M\) un module \(p\)-adiquement complet sur \(D\), muni d’une connexion intégrale \(\nabla : M \to M \otimes^\wedge_D \Omega^1_D\). Alors le morphisme de complexes de de Rham \[M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega^*_{D'}\] est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Considérons la filtration décroissante \(F^*\) de \(\Omega^*_{B/A, \delta}\) donnée par les sous-complexes \(F^i(\Omega^*_{B/A, \delta}) = \sigma_{\geq i}\Omega^*_{B/A, \delta}\). Voir Homologie, section 0118. Elle induit une filtration décroissante \(F^*\) de \(\Omega^*_{P/A, \delta}\) en posant \[F^i(\Omega^*_{P/A, \delta}) = F^i(\Omega^*_{B/A, \delta}) \wedge \Omega^*_{P/A, \delta}.\] On a une suite exacte courte scindée \[0 \to \Omega^1_{B/A, \delta} \otimes_B P \to \Omega^1_{P/A, \delta} \to \Omega^1_{P/B, \delta} \to 0\] et le dernier module est libre, ayant pour base les \(\text{d}x_i\). Il en résulte que \(F^i(\Omega^*_{P/A, \delta}) \to \Omega^*_{P/A, \delta}\) est, en chaque degré, une injection scindée et que \[\text{gr}^i_F(\Omega^*_{P/A, \delta}) = \Omega^i_{B/A, \delta} \otimes_B \Omega^*_{P/B, \delta}\] comme complexes. On peut donc définir une filtration \(F^*\) de \(M \otimes_B \Omega^*_{B/A, \delta}\) en posant \[F^i(M \otimes_B \Omega^*_{P/A, \delta}) = M \otimes_B F^i(\Omega^*_{P/A, \delta})\] et l’on a \[\text{gr}^i_F(M \otimes_B \Omega^*_{P/A, \delta}) = M \otimes_B \Omega^i_{B/A, \delta} \otimes_B \Omega^*_{P/B, \delta}\] comme complexes. Par le lemme 07LC, chacun de ces complexes est quasi-isomorphe à \(M \otimes_B \Omega^i_{B/A, \delta}\) placé en degré \(0\). On voit donc que la première flèche affichée dans l’énoncé est un morphisme de complexes filtrés qui induit un quasi-isomorphisme sur les gradués associés. Cela implique qu’il s’agit d’un quasi-isomorphisme, par exemple par la suite spectrale associée à un complexe filtré ; voir Homologie, section 012K.

La démonstration du second quasi-isomorphisme est exactement la même.

Cohomologie dans le cas affine

Revenons à la situation étudiée dans la section 07J7. On part de \((A, I, \gamma)\) et de \(A/I \to C\), et l’on pose \(X = \Spec(C)\) et \(S = \Spec(A)\). On choisit ensuite un anneau de polynômes \(P\) sur \(A\) et une surjection \(P \to C\) de noyau \(J\). On obtient \(D\) et \(D(n)\) ; voir (07J8) et (07JF). Posons \(T(n)_e = \Spec(D(n)/p^eD(n))\), de sorte que \((X, T(n)_e, \delta(n))\) soit un objet de \(\text{Cris}(X/S)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules, et posons \[M(n) = \lim_e \Gamma((X, T(n)_e, \delta(n)), \mathcal{F})\] pour \(n = 0, 1, 2, 3, \ldots\). La famille ainsi obtenue forme un module cosimplicial sur l’anneau cosimplicial \(D(0), D(1), D(2), \ldots\).

Proposition

Avec les notations ci-dessus, supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit localement quasi-cohérent, et

2. pour tout morphisme \((U, T, \delta) \to (U', T', \delta')\) de \(\text{Cris}(X/S)\) tel que \(f : T \to T'\) soit une immersion fermée, le morphisme \(c_f : f^*\mathcal{F}_{T'} \to \mathcal{F}_T\) soit surjectif.

Alors le complexe \[M(0) \to M(1) \to M(2) \to \ldots\] calcule \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\).

Démonstration

L’hypothèse (1) et le lemme 07JK montrent que \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\) est isomorphe à \(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})\). Notons que les catégories \(\mathcal{C}\) utilisées dans les lemmes 07JK et 07JL coïncident. Soit \(f : T \to T'\) une immersion fermée comme en (2). La surjectivité de \(c_f : f^*\mathcal{F}_{T'} \to \mathcal{F}_T\) équivaut à celle de \(\mathcal{F}_{T'} \to f_*\mathcal{F}_T\). Ainsi, si \(\mathcal{F}\) satisfait (1) et (2), on obtient une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}_{T'} \to f_*\mathcal{F}_T \to 0\] de \(\mathcal{O}_{T'}\)-modules quasi-cohérents sur \(T'\) ; voir Schémas, section 01LA, et en particulier le lemme 01LC. Ainsi, si \(T'\) est affine, on conclut que l’application de restriction \(\mathcal{F}(U', T', \delta') \to \mathcal{F}(U, T, \delta)\) est surjective par l’annulation de \(H^1(T', \mathcal{K})\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XB. Les applications de transition des systèmes inverses du lemme 07JL sont donc surjectives. On en déduit que \(R^pg_*(\mathcal{F}|_\mathcal{C}) = 0\) pour tout \(p \geq 1\), où \(g\) est comme dans le lemme 07JL. L’objet \(D\) de la catégorie \(\mathcal{C}^\wedge\) satisfait l’hypothèse du lemme 07JM par le lemme 07KI, avec \[D \times \ldots \times D = D(n)\] dans \(\mathcal{C}\), car \(D(n)\) est le coproduit de \(n + 1\) copies de \(D\) dans \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) ; voir le lemme 07L4. Cela conclut.

Lemme

On se place sous les hypothèses et avec les notations de la proposition 07JN. Alors \[H^j(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}) = 0\] pour tout \(i > 0\) et tout \(j \geq 0\).

Démonstration

Il résulte du lemme 07KM que \(\mathcal{H} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}\) satisfait aussi les hypothèses (1) et (2) de la proposition 07JN. Posons \(M(n)_e = \Gamma((X, T(n)_e, \delta(n)), \mathcal{F})\), de sorte que \(M(n) = \lim_e M(n)_e\). Alors \[\begin{align*} \lim_e \Gamma((X, T(n)_e, \delta(n)), \mathcal{H}) & = \lim_e M(n)_e \otimes_{D(n)_e} \Omega_{D(n)}/p^e\Omega_{D(n)} \\ & = \lim_e M(n)_e \otimes_{D(n)} \Omega_{D(n)} \end{align*}\] Par le lemme 07LA, les modules cosimpliciaux \[M(0)_e \otimes_{D(0)} \Omega^i_{D(0)} \to M(1)_e \otimes_{D(1)} \Omega^i_{D(1)} \to M(2)_e \otimes_{D(2)} \Omega^i_{D(2)} \to \ldots\] sont homotopes à zéro. Comme les applications de transition \(M(n)_{e + 1} \to M(n)_e\) sont surjectives, on voit que la limite inverse des complexes associés est acyclique⁵. La cohomologie de \(\mathcal{H}\) s’annule donc, d’après la proposition 07JN.

Proposition

Sous les hypothèses de la proposition 07JN, supposons maintenant que \(\mathcal{F}\) soit un cristal en modules quasi-cohérents. Soit \((M, \nabla)\) le \(D\)-module à connexion correspondant ; voir la proposition 07JH. Alors le complexe \[M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D\] calcule \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\).

Démonstration

On va le démontrer à l’aide des deux suites spectrales associées au complexe double \(K^{*, *}\) de termes \[K^{a, b} = M \otimes_D^\wedge \Omega^a_{D(b)}\] Que sait-on jusqu’ici ? Le lemme 07LA affirme que chaque colonne \(K^{a, *}\), pour \(a > 0\), est acyclique. La proposition 07JN affirme que la première colonne \(K^{0, *}\) est quasi-isomorphe à \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\). La première suite spectrale associée au complexe double montre donc qu’il existe un quasi-isomorphisme canonique de \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\) vers \(\text{Tot}(K^{*, *})\).

Considérons ensuite les lignes \(K^{*, b}\). Par le lemme 07L2, chacun des \(b + 1\) homomorphismes \(D \to D(b)\) présente \(D(b)\) comme le complété \(p\)-adique d’une algèbre polynomiale à puissances divisées sur \(D\). Le lemme 07LD montre donc que le morphisme \[M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D \longrightarrow M \otimes^\wedge_{D(b)} \Omega^*_{D(b)} = K^{*, b}\] est un quasi-isomorphisme. Notons que chacun de ces morphismes induit le même morphisme en cohomologie (et même le même morphisme dans la catégorie dérivée), car l’inverse est donné par le morphisme codiagonal \(D(b) \to D\) (correspondant au morphisme de multiplication \(P \otimes_A \ldots \otimes_A P \to P\)). Ainsi, en considérant la page \(E_1\) de la seconde suite spectrale, on obtient \[E_1^{a, b} = H^a(M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D)\] avec les différentielles \[E_1^{a, 0} \xrightarrow{0} E_1^{a, 1} \xrightarrow{1} E_1^{a, 2} \xrightarrow{0} E_1^{a, 3} \xrightarrow{1} \ldots\] car chacune est la somme alternée des identifications données \(H^a(M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D) = E_1^{a, 0} = E_1^{a, 1} = \ldots\). On voit donc que la page \(E_2\) est égale à \(H^a(M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D)\) sur la première ligne et à zéro ailleurs. Il s’ensuit que l’identification de \(M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D\) avec la première ligne induit un quasi-isomorphisme de \(M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D\) vers \(\text{Tot}(K^{*, *})\).

Lemme

On se place sous les hypothèses de la proposition 07LG. Soient \(A \to P' \to C\) des homomorphismes d’anneaux tels que \(A \to P'\) soit lisse et \(P' \to C\) surjectif de noyau \(J'\). Soit \(D'\) le complété \(p\)-adique de \(D_{P', \gamma}(J')\). Soit \((M', \nabla')\) le couple sur \(D'\) correspondant à \(\mathcal{F}\) ; voir le lemme 07L5. Alors le complexe \[M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'}\] calcule \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\).

Démonstration

Choisissons \(a : D \to D'\) et \(b : D' \to D\) comme dans le lemme 07L5. Notons que le module obtenu par le changement de base \(M = M' \otimes_{D', b} D\), muni de sa connexion \(\nabla\), correspond à \(\mathcal{F}\). Nous savons donc que \(M \otimes^\wedge_D \Omega_D^*\) calcule la cohomologie cristalline de \(\mathcal{F}\), voir la proposition 07LG. Il suffit donc de montrer que les morphismes de changement de base (induits par \(a\) et \(b\)) \[M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'} \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \quad\text{et}\quad M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \longrightarrow M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'}\] sont des quasi-isomorphismes. Puisque \(a \circ b = \text{id}_{D'}\), on voit que la composée dans un sens est l’identité du complexe \(M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'}\). Il suffit donc de montrer que le morphisme \[M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D\] induit par \(b \circ a : D \to D\) est un quasi-isomorphisme. (Notons que nous avons le même complexe des deux côtés puisque \(M = M' \otimes^\wedge_{D', b} D\), d’où \(M \otimes^\wedge_{D, b \circ a} D = M' \otimes^\wedge_{D', b \circ a \circ b} D = M' \otimes^\wedge_{D', b} D = M\).) En fait, nous affirmons que, pour tout homomorphisme de \(A\)-algèbres à puissances divisées \(\rho : D \to D\) compatible avec l’augmentation vers \(C\), le morphisme induit \(M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \to M \otimes^\wedge_{D, \rho} \Omega^*_D\) est un quasi-isomorphisme.

Écrivons \(\rho(x_i) = x_i + z_i\). Les éléments \(z_i\) appartiennent à l’idéal à puissances divisées de \(D\) car \(\rho\) est compatible avec l’augmentation vers \(C\). On peut donc factoriser le morphisme \(\rho\) en une composée \[D \xrightarrow{\sigma} D\langle \xi_i \rangle^\wedge \xrightarrow{\tau} D\] où le premier morphisme est donné par \(x_i \mapsto x_i + \xi_i\) et le second est le morphisme de \(D\)-algèbres à puissances divisées qui envoie \(\xi_i\) sur \(z_i\). (Cela utilise les propriétés universelles des algèbres polynomiales, des algèbres polynomiales à puissances divisées, des enveloppes à puissances divisées et de la complétion \(p\)-adique.) Notons qu’il existe un automorphisme \(\alpha\) de \(D\langle \xi_i \rangle^\wedge\) avec \(\alpha(x_i) = x_i - \xi_i\) et \(\alpha(\xi_i) = \xi_i\). En appliquant le lemme 07LD à \(\alpha \circ \sigma\) (qui envoie \(x_i\) sur \(x_i\)) et en utilisant le fait que \(\alpha\) est un isomorphisme, on conclut que \(\sigma\) induit un quasi-isomorphisme de \(M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D\) vers \(M \otimes^\wedge_{D, \sigma} \Omega^*_{D\langle x_i \rangle^\wedge}\). D’autre part, le morphisme \(\tau\) admet pour inverse à gauche le morphisme \(D \to D\langle x_i \rangle^\wedge\), \(x_i \mapsto x_i\), et l’on conclut (en utilisant encore une fois le lemme 07LD) que \(\tau\) induit un quasi-isomorphisme de \(M \otimes^\wedge_{D, \sigma} \Omega^*_{D\langle x_i \rangle^\wedge}\) vers \(M \otimes^\wedge_{D, \tau \circ \sigma} \Omega^*_D\). En composant ces deux quasi-isomorphismes, on obtient que \(\rho\) induit un quasi-isomorphisme \(M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \to M \otimes^\wedge_{D, \rho} \Omega^*_D\) ce qu’il fallait démontrer.

Deux contre-exemples

Avant de passer à quelques résultats positifs de la cohomologie cristalline, donnons deux exemples qui expliquent pourquoi la cohomologie cristalline fonctionne assez mal lorsque les schémas considérés ne sont pas propres sur la base ou sont singuliers. Le premier exemple se trouve dans [BO].

Exemple

Soit \(A = \mathbf{Z}_p\), avec l’idéal à puissances divisées \((p)\) muni de son unique structure de puissances divisées \(\gamma\). Soit \(C = \mathbf{F}_p[x, y]/(x^2, xy, y^2)\). Choisissons la présentation \[C = P/J = \mathbf{Z}_p[x, y]/(x^2, xy, y^2, p)\] Soit \(D = D_{P, \gamma}(J)^\wedge\), avec pour idéal à puissances divisées \((\bar J, \bar \gamma)\) comme à la section 07J7. Nous noterons encore \(x, y\) les images de \(x\) et \(y\) dans \(D\). Considérons l’élément \[\tau = \bar\gamma_p(x^2)\bar\gamma_p(y^2) - \bar\gamma_p(xy)^2 \in D\] On remarque que \(p\tau = 0\) car \[p! \bar\gamma_p(x^2) \bar\gamma_p(y^2) = x^{2p} \bar\gamma_p(y^2) = \bar\gamma_p(x^2y^2) = x^py^p \bar\gamma_p(xy) = p! \bar\gamma_p(xy)^2\] dans \(D\). On remarque aussi que \(\text{d}\tau = 0\) dans \(\Omega_D\) car \[\begin{align*} \text{d}(\bar\gamma_p(x^2) \bar\gamma_p(y^2)) & = \bar\gamma_{p - 1}(x^2)\bar\gamma_p(y^2)\text{d}x^2 + \bar\gamma_p(x^2)\bar\gamma_{p - 1}(y^2)\text{d}y^2 \\ & = 2 x \bar\gamma_{p - 1}(x^2)\bar\gamma_p(y^2)\text{d}x + 2 y \bar\gamma_p(x^2)\bar\gamma_{p - 1}(y^2)\text{d}y \\ & = 2/(p - 1)!( x^{2p - 1} \bar\gamma_p(y^2)\text{d}x + y^{2p - 1} \bar\gamma_p(x^2)\text{d}y ) \\ & = 2/(p - 1)! (x^{p - 1} \bar\gamma_p(xy^2)\text{d}x + y^{p - 1} \bar\gamma_p(x^2y)\text{d}y) \\ & = 2/(p - 1)! (x^{p - 1}y^p \bar\gamma_p(xy)\text{d}x + x^py^{p - 1} \bar\gamma_p(xy)\text{d}y) \\ & = 2 \bar\gamma_{p - 1}(xy) \bar\gamma_p(xy)(y\text{d}x + x \text{d}y) \\ & = \text{d}(\bar\gamma_p(xy)^2) \end{align*}\] Enfin, nous affirmons que \(\tau \not = 0\) dans \(D\). Pour le voir, il suffit de construire un objet \((B \to \mathbf{F}_p[x, y]/(x^2, xy, y^2), \delta)\) de \(\text{Cris}(C/S)\) tel que l’image de \(\tau\) dans \(B\) ne soit pas nulle. Pour cela, prenons \[B = \mathbf{F}_p[x, y, u, v]/(x^3, x^2y, xy^2, y^3, xu, yu, xv, yv, u^2, v^2)\] muni de la surjection évidente vers \(C\). Soit \(K = \Ker(B \to C)\) et considérons l’application \[\delta_p : K \longrightarrow K,\quad ax^2 + bxy + cy^2 + du + ev + fuv \longmapsto a^pu + c^pv\] On vérifie qu’elle satisfait aux hypothèses (1), (2), (3) du lemme 07GS d’Algèbre à puissances divisées et définit donc une structure de puissances divisées. De plus, l’image de \(\tau\) est \(uv\), qui est non nul dans \(B\). Posons \(X = \Spec(C)\) et \(S = \Spec(A)\). Nous en tirons les conclusions suivantes :

1. \(H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) a de la \(p\)-torsion, et

2. l’endomorphisme d’image réciproque par Frobenius \(F^* : H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S}) \to H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) n’est pas injectif.

En effet, \(\tau\) définit un élément de torsion non nul de \(H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) d’après la proposition 07LG. De même, \(F^*(\tau) = \sigma(\tau)\), où \(\sigma : D \to D\) est le morphisme induit par tout relèvement de Frobenius sur \(P\). Si l’on choisit \(\sigma(x) = x^p\) et \(\sigma(y) = y^p\), un calcul simple montre que \(F^*(\tau) = 0\).

L’exemple suivant montre que, même pour l’espace affine de dimension \(n\), la cohomologie cristalline ne donne pas le résultat attendu.

Exemple

Soit \(A = \mathbf{Z}_p\), avec l’idéal à puissances divisées \((p)\) muni de son unique structure de puissances divisées \(\gamma\). Soit \(C = \mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_r]\). Choisissons la présentation \[C = P/J = P/pP\quad\text{avec}\quad P = \mathbf{Z}_p[x_1, \ldots, x_r]\] Notons que \(pP\) est muni de puissances divisées d’après Algèbre à puissances divisées, lemme 07H1. Ainsi, en posant \(D = P^\wedge\) avec l’idéal à puissances divisées \((p)\), on obtient une situation comme à la section 07J7. On conclut que \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) est représenté par le complexe \[D \to \Omega^1_D \to \Omega^2_D \to \ldots \to \Omega^r_D\] voir la proposition 07LG. En supposant \(r > 0\), on obtient les conclusions suivantes :

1. La cohomologie cristalline du faisceau structural cristallin de \(X = \mathbf{A}^r_{\mathbf{F}_p}\) sur \(S = \Spec(\mathbf{Z}_p)\) est nulle sauf en degrés \(0, \ldots, r\).

2. On a \(H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S}) = \mathbf{Z}_p\).

3. Le groupe de cohomologie \(H^r(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) est infini et n’est pas un groupe abélien de torsion.

4. Le groupe de cohomologie \(H^r(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) n’est pas séparé pour la topologie \(p\)-adique.

Si les deux premiers énoncés sont raisonnables, les assertions (3) et (4) sont déconcertants ! Ces énoncés se vérifient immédiatement en explicitant le complexe affiché ci-dessus. Faisons-le simplement dans le cas \(r = 1\). Nous considérons alors le complexe à deux termes de modules \(p\)-adiquement complets \[\text{d} : D = \left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathbf{Z}_p x^n \right)^\wedge \longrightarrow \Omega^1_D = \left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{Z}_p x^{n - 1}\text{d}x \right)^\wedge\] Le morphisme est donné par \(\text{diag}(0, 1, 2, 3, 4, \ldots)\), à ceci près que le premier facteur de la somme directe manque au membre de droite. Il est alors clair que \(\bigoplus_{n > 0} \mathbf{Z}_p/n\mathbf{Z}_p\) est un sous-groupe du conoyau, lequel est donc infini. En fait, l’élément \[\omega = \sum\nolimits_{e > 0} p^e x^{p^{2e} - 1}\text{d}x\] n’est manifestement pas un élément de torsion du conoyau. Mais la situation est pire. En effet, considérons l’élément \[\eta = \sum\nolimits_{e > 0} p^e x^{p^e - 1}\text{d}x\] Pour tout \(t > 0\), l’élément \(\eta\) est congru à \(\sum_{e > t} p^e x^{p^e - 1}\text{d}x\) modulo l’image de \(\text{d}\) ; cette somme est divisible par \(p^t\). Ainsi, la classe de cohomologie de \(\eta\) dans \(H^1(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) appartient à \(\bigcap p^tH^1(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\). Mais \(\eta\) n’appartient pas à l’image de \(\text{d}\) car il devrait être l’image de \(a + \sum_{e > 0} x^{p^e}\) pour un certain \(a \in \mathbf{Z}_p\), mais cette somme n’appartient pas au module figurant à gauche. Ainsi, la classe de cohomologie de \(\eta\) est non nulle et l’on voit que l’assertion (4) est vérifiée. (En fait, la classe de cohomologie de \(\eta\) n’est pas de torsion.) En revanche, les groupes de cohomologie \(H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) sont des \(\mathbf{Z}_p\)-modules complets au sens dérivé : ce sont les groupes de cohomologie d’un complexe de modules \(p\)-adiquement complets, voir Compléments d’algèbre, section 091N.

Applications

Dans cette section, nous rassemblons quelques applications des résultats des sections précédentes.

Proposition

Dans la situation 07MF. Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en modules quasi-cohérents sur \(\text{Cris}(X/S)\). La flèche de troncation de complexes \[(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^1_{X/S} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^2_{X/S} \to \ldots) \longrightarrow \mathcal{F}[0],\] bien qu’il ne soit pas un quasi-isomorphisme, le devient après application du foncteur \(Ru_{X/S, *}\). En fait, pour tout \(i > 0\), on a \[Ru_{X/S, *}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}) = 0.\]

Démonstration

Le lemme 07J6 fournit un complexe de de Rham comme indiqué dans l’énoncé. Abrégeons \(\mathcal{H} = \mathcal{F} \otimes \Omega^i_{X/S}\). Soit \(X' \subset X\) un sous-schéma ouvert affine dont l’image est contenue dans un sous-schéma ouvert affine \(S' \subset S\). Alors \[(Ru_{X/S, *}\mathcal{H})|_{X'_{Zar}} = Ru_{X'/S', *}(\mathcal{H}|_{\text{Cris}(X'/S')}),\] voir le lemme 07KL. Ainsi, le lemme 07LF montre que \(Ru_{X/S, *}\mathcal{H}\) est un complexe de faisceaux sur \(X_{Zar}\) dont la cohomologie est nulle sur tout ouvert affine. Comme la topologie de \(X\) possède une base formée d’ouverts affines, cela implique que \(Ru_{X/S, *}\mathcal{H}\) est quasi-isomorphe à zéro.

Remarque

La démonstration de la proposition 07LM montre que la conclusion \[Ru_{X/S, *}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}) = 0\] pour \(i > 0\) vaut pour tout \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module \(\mathcal{F}\) qui vérifie les conditions (1) et (2) de la proposition 07JN. Cela s’applique aux faisceaux suivants, qui ne sont pas des cristaux : \(\Omega^i_{X/S}\) pour tout \(i\), ainsi qu’à tout faisceau de la forme \(\underline{\mathcal{F}}\), où \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. En particulier, cela s’applique au faisceau \(\underline{\mathcal{O}_X} = \underline{\mathbf{G}_a}\). Notons toutefois qu’un résultat tel que le lemme 07J6 est nécessaire pour produire un complexe de de Rham, ce qui exige que \(\mathcal{F}\) soit un cristal. Par conséquent, à l’heure actuelle, la classe des faisceaux de modules pour lesquels l’énoncé complet de la proposition 07LM est vérifié est exactement la catégorie des cristaux en modules quasi-cohérents.

Plaçons-nous dans la situation 07MF. Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en modules quasi-cohérents sur \(\text{Cris}(X/S)\). Soit \((U, T, \delta)\) un objet de \(\text{Cris}(X/S)\). La proposition 07LM permet de construire un morphisme canonique [07LP]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \longrightarrow R\Gamma(T, \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \Omega^*_{T/S, \delta}) \end{equation}\] En effet, on a \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F} \otimes \Omega^*_{X/S})\), on peut restreindre les classes de cohomologie globale à \(T\), et \(\Omega_{X/S}\) se restreint à \(\Omega_{T/S, \delta}\) par le lemme 07IZ.

Quelques résultats supplémentaires

Dans cette section, nous mentionnons certains résultats dont nous ne donnons pas encore la démonstration. Nous les formulons sous forme d’une suite de remarques et ne les transformerons en véritables lemmes et propositions que lorsque nous ajouterons des démonstrations détaillées.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((S, \mathcal{I}, \gamma) \to (S', \mathcal{I}', \gamma')\) un morphisme de schémas à puissances divisées sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\). Soit \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d] & X' \ar[d] \\ S_0 \ar[r] & S'_0 }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas, et supposons que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\) et \(X'\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module sur \(\text{Cris}(X/S)\). Alors \(Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F}\) se calcule comme suit.

Étant donné un objet \((U', T', \delta')\) de \(\text{Cris}(X'/S')\), posons \(U = X \times_{X'} U' = f^{-1}(U')\) (un sous-schéma ouvert de \(X\)). Notons \((T_0, T, \delta)\) le schéma à puissances divisées sur \(S\) tel que \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] soit cartésien dans la catégorie des schémas à puissances divisées ; voir le lemme 07ME. Il existe un morphisme induit \(U \to T_0\), et l’on obtient un morphisme \((U/T)_{\text{cris}} \to (X/S)_{\text{cris}}\) ; voir la remarque 07IK. Soit \(\mathcal{F}_U\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\). Soit \(\tau_{U/T} : (U/T)_{\text{cris}} \to T_{Zar}\) le morphisme structural. Alors on a [07MK]\[\begin{equation} \left(Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F}\right)_{T'} = R(T \to T')_*\left(R\tau_{U/T, *} \mathcal{F}_U \right) \end{equation}\] où le membre de gauche est la restriction (voir la section 07IN).

Indications : montrer d’abord que \(\text{Cris}(U/T)\) est le topos obtenu en localisant \(\text{Cris}(X/S)\) (au sens du lemme 0791 de Sites) par rapport au faisceau d’ensembles \(f_{\text{cris}}^{-1}h_{(U', T', \delta')}\). Réduire ensuite l’énoncé au cas où \(\mathcal{F}\) est un module injectif et où l’on considère l’image directe de modules, en utilisant le fait que l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module injectif est un \(\mathcal{O}_{U/T}\)-module injectif sur \(\text{Cris}(U/T)\). Enfin, vérifier le résultat pour l’image directe ordinaire.

Remarque

Dans la situation de la remarque 07MJ, supposons donné un recouvrement ouvert \(X = X' \cup X''\). Notons \(X''' = X' \cap X''\). Soient \(f'\), \(f''\) et \(f''\) les restrictions de \(f\) à \(X'\), \(X''\) et \(X'''\). De plus, soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{F}''\) et \(\mathcal{F}'''\) les restrictions de \(\mathcal{F}\) aux sites cristallins de \(X'\), \(X''\) et \(X'''\). Il existe alors un triangle distingué \[Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_{\text{cris}, *}\mathcal{F}' \oplus Rf''_{\text{cris}, *}\mathcal{F}'' \longrightarrow Rf'''_{\text{cris}, *}\mathcal{F}''' \longrightarrow Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F}[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_{X'/S'})\).

Indications : c’est une conséquence formelle du fait que les sous-catégories \(\text{Cris}(X'/S)\), \(\text{Cris}(X''/S)\), \(\text{Cris}(X'''/S)\) correspondent à des sous-objets ouverts du faisceau final sur \(\text{Cris}(X/S)\) et que la dernière est l’intersection des deux premières.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées, \(A\) étant une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(X\) un schéma séparé⁶ sur \(S_0\), tel que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents.

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda\) de \(X\). Écrivons \(U_\lambda = \Spec(C_\lambda)\). Choisissons une algèbre de polynômes \(P_\lambda\) sur \(A\) et une surjection \(P_\lambda \to C_\lambda\). Ces choix étant fixés, on peut construire un complexe de Čech qui calcule \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\).

Pour \(n \geq 0\) et \(\lambda_0, \ldots, \lambda_n \in \Lambda\), posons \(U_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} = U_{\lambda_0} \cap \ldots \cap U_{\lambda_n}\). Ce schéma est affine par hypothèse. Écrivons \(U_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} = \Spec(C_{\lambda_0 \ldots \lambda_n})\). Posons \[P_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} = P_{\lambda_0} \otimes_A \ldots \otimes_A P_{\lambda_n}\] qui est muni d’une surjection canonique vers \(C_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\). Notons son noyau \(J_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) et notons \(D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) l’enveloppe à puissances divisées, complétée \(p\)-adiquement, de \(J_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) dans \(P_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) relativement à \(\gamma\). Soit \(M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) le \(P_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\)-module correspondant à la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\text{Cris}(U_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}/S)\) d’après la proposition 07JH. Par construction, on obtient un anneau cosimplicial à puissances divisées \(D(*)\) dont le terme de degré \(n\) est l’anneau \[D(n) = \prod\nolimits_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\] (on utilise la fonctorialité des enveloppes à puissances divisées et la structure cosimpliciale triviale sur l’anneau \(P(*)\) défini de même). Comme \(M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) est la « valeur » de \(\mathcal{F}\) sur les objets \(\Spec(D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n})\), on voit que \(M(*)\) défini par la règle \[M(n) = \prod\nolimits_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\] définit un module cosimplicial sur \(D(*)\). Nous affirmons maintenant que \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = s(M(*))\] Ici, \(s(-)\) désigne le complexe de cochaînes associé à un module cosimplicial (voir Objets simpliciaux, section 019H).

Indications : la démonstration est semblable à celle de la proposition 07JN (en particulier, le résultat vaut pour tout module qui vérifie les hypothèses de cette proposition).

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées, \(A\) étant une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(X\) un schéma séparé quasi-compact sur \(S_0\), tel que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents.

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda\) de \(X\) et un ordre total sur \(\Lambda\). Écrivons \(U_\lambda = \Spec(C_\lambda)\). Choisissons une algèbre de polynômes \(P_\lambda\) sur \(A\) et une surjection \(P_\lambda \to C_\lambda\). Ces choix étant fixés, on peut construire un complexe de Čech alterné qui calcule \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\).

Nous allons utiliser les notations introduites dans la remarque 07MM. Notons \(\Omega_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) le module des différentielles, complété \(p\)-adiquement, de \(D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) sur \(A\) compatible avec la structure à puissances divisées. Soit \(\nabla\) la connexion intégrable sur \(M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\) provenant de la proposition 07JH. Considérons le complexe double \(M^{\bullet, \bullet}\) dont les termes sont \[M^{n, m} = \bigoplus\nolimits_{\lambda_0 < \ldots < \lambda_n} M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} \otimes^\wedge_{D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}} \Omega^m_{D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}}.\] Pour la différentielle \(d_1\) (qui augmente \(n\)), utilisons la différentielle de Čech usuelle et, pour la différentielle \(d_2\), la connexion, c’est-à-dire la différentielle du complexe de de Rham. Nous affirmons que \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = \text{Tot}(M^{\bullet, \bullet})\] Ici, \(\text{Tot}(-)\) désigne le complexe total associé à un complexe double ; voir Homologie, définition 012Z.

Indications : on a \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega_{X/S}^\bullet)\] par la proposition 07LM. Le membre de droite de la formule n’est autre que le complexe de Čech alterné du recouvrement \(X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda\) (qui induit un recouvrement ouvert du faisceau final de \(\text{Cris}(X/S)\)) et du complexe \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega_{X/S}^\bullet\) ; voir la proposition 07LG. Le résultat découle alors d’un résultat général sur la cohomologie des sites, selon lequel le complexe de Čech alterné calcule la cohomologie dès lors qu’il la calcule correctement sur tous les morceaux (insérer ici une référence ultérieure).

Remarque

Dans la situation de la remarque 07MJ, supposons que \(S \to S'\) soit quasi-compact et quasi-séparé et que \(X \to S_0\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Alors, pour un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), les faisceaux \(R^if_{\text{cris}, *}\mathcal{F}\) sont localement quasi-cohérents.

Indications : il faut montrer que les restrictions à \(T'\) sont des \(\mathcal{O}_{T'}\)-modules quasi-cohérents, où \((U', T', \delta')\) est un objet quelconque de \(\text{Cris}(X'/S')\). Il suffit de le faire lorsque \(T'\) est affine. On utilise la formule (07MK), le fait que \(T \to T'\) est quasi-compact et quasi-séparé (car \(T\) est affine au-dessus du changement de base de \(T'\) le long de \(S \to S'\)), ainsi que le lemme de Cohomologie des schémas 01XJ pour voir qu’il suffit de montrer que les faisceaux \(R^i\tau_{U/T, *}\mathcal{F}_U\) sont quasi-cohérents. Notons que \(U \to T_0\) est aussi quasi-compact et quasi-séparé ; voir Schémas, lemmes 03GI et 03GI.

On est ainsi ramené à prouver que \(R^i\tau_{X/S, *}\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur \(S\) dans le cas où \(p\) est localement nilpotent sur \(S\). Ici, \(\tau_{X/S}\) est le morphisme structural ; voir la remarque 07IM. On peut travailler localement sur \(S\), et donc supposer \(S\) affine (voir le lemme 07KL). Une récurrence sur le nombre d’ouverts affines recouvrant \(X\) et Mayer–Vietoris (remarque 07ML) ramènent la question au cas où \(X\) est lui aussi affine (comme dans la démonstration du lemme de Cohomologie des schémas 01XJ). Écrivons \(X = \Spec(C)\) et \(S = \Spec(A)\), de sorte que \((A, I, \gamma)\) et \(A \to C\) soient comme dans la situation 07MD. Choisissons une algèbre de polynômes \(P\) sur \(A\) et une surjection \(P \to C\) comme dans la section 07J7. Soit \((M, \nabla)\) le module correspondant à \(\mathcal{F}\) ; voir la proposition 07JH. En appliquant la proposition 07LG, on voit que \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\) est représenté par \(M \otimes_D \Omega_D^*\). Notons que la complétion n’est pas nécessaire, car \(p\) est nilpotent dans \(A\) ! Il faut montrer que cela est compatible avec le passage aux ouverts principaux de \(S = \Spec(A)\). Supposons que \(g \in A\). On conclut de même que \(R\Gamma(\text{Cris}(X_g/S_g), \mathcal{F})\) est calculé par \(M_g \otimes_{D_g} \Omega_{D_g}^*\) (on utilise encore le fait que la complétion \(p\)-adique n’est pas nécessaire). La conclusion s’ensuit puisque la localisation est un foncteur exact dans la catégorie des \(A\)-modules.

Remarque

Dans la situation de la remarque 07MJ, supposons que \(S \to S'\) soit quasi-compact et quasi-séparé et que \(X \to S_0\) soit de type fini et quasi-séparé. Alors il existe un entier \(i_0\) tel que, pour tout cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), on ait \(R^if_{\text{cris}, *}\mathcal{F} = 0\) pour tout \(i > i_0\).

Indications : en raisonnant comme dans la remarque 07MP (à l’aide du lemme de Cohomologie des schémas 01XJ) on se ramène à prouver que \(H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = 0\) pour \(i \gg 0\) dans la situation de la proposition 07LG, lorsque \(C\) est une \(A\)-algèbre de type fini. C’est clair, car on peut choisir une algèbre de polynômes en un nombre fini de variables et l’on a \(\Omega^i_D = 0\) pour \(i \gg 0\).

Remarque

Dans la situation 07MF, soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents. Supposons que \(S_0\) ait un unique point et que \(X \to S_0\) soit de présentation finie.

1. Si \(\dim X = d\) et si \(X/S_0\) est de dimension de plongement \(e\), alors \(H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = 0\) pour \(i > d + e\).

2. Si \(X\) est séparé et peut être recouvert par \(q\) ouverts affines, et si \(X/S_0\) est de dimension de plongement \(e\), alors \(H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = 0\) pour \(i > q + e\).

Indications : dans le cas (1), on peut utiliser l’égalité \[H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = H^i(X_{Zar}, Ru_{X/S, *}\mathcal{F})\] et le fait que \(Ru_{X/S, *}\mathcal{F}\) se calcule localement par un complexe de de Rham construit à l’aide d’une immersion de \(X\) dans un schéma lisse de dimension \(e\) sur \(S\) (voir le lemme 07LH). Ces complexes de de Rham sont nuls en tout degré \(> e\). Ainsi, (1) résulte de Cohomologie, proposition 02UZ. Dans le cas (2), on utilise le complexe de Čech alterné (voir la remarque 07MN) pour se ramener au cas où \(X\) est affine. Dans le cas affine, on démontre le résultat à l’aide du complexe de de Rham associé à une immersion de \(X\) dans un schéma lisse de dimension \(e\) sur \(S\) (la construction d’un tel objet demande un peu de travail).

Remarque

Dans la situation de la remarque 07MJ, supposons que \(S = \Spec(A)\) et \(S' = \Spec(A')\) soient affines. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}_{X'/S'}\)-module. Soit \(\mathcal{F}\) l’image inverse de \(\mathcal{F}'\). Il existe alors un morphisme canonique de changement de base \[L(S' \to S)^*R\tau_{X'/S', *}\mathcal{F}' \longrightarrow R\tau_{X/S, *}\mathcal{F}\] où \(\tau_{X/S}\) et \(\tau_{X'/S'}\) sont les morphismes structuraux ; voir la remarque 07IM. Après passage aux sections globales, on obtient un morphisme de changement de base [07MT]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X'/S'), \mathcal{F}') \otimes^\mathbf{L}_{A'} A \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \end{equation}\] dans \(D(A)\).

Indication : on compose le morphisme très général de changement de base de Cohomologie sur les sites, remarque 07A7, avec le morphisme canonique \(Lf_{\text{cris}}^*\mathcal{F}' \to f_{\text{cris}}^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\).

Remarque

Le morphisme (07MT) est un isomorphisme pourvu que toutes les conditions suivantes soient satisfaites :

1. \(p\) est nilpotent dans \(A'\),

2. \(\mathcal{F}'\) est un cristal en \(\mathcal{O}_{X'/S'}\)-modules quasi-cohérents,

3. \(X' \to S'_0\) est un morphisme quasi-compact et quasi-séparé,

4. \(X = X' \times_{S'_0} S_0\),

5. \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'/S'}\)-module plat,

6. \(X' \to S'_0\) est un morphisme d’intersection complète locale (voir Compléments sur les morphismes, définition 069F ; c’est par exemple le cas si \(X' \to S'_0\) est syntomique ou lisse),

7. \(X'\) et \(S_0\) sont Tor-indépendants sur \(S'_0\) (voir Compléments d’algèbre, définition 0660 ; c’est par exemple le cas si \(S_0 \to S'_0\) ou \(X' \to S'_0\) est plat).

Indications : la condition (1) signifie que, dans les arguments ci-dessous, la complétion \(p\)-adique n’a aucun effet et peut être ignorée. À l’aide de la condition (3) et de Mayer–Vietoris (voir la remarque 07ML), on se ramène au cas où \(X'\) est affine. En fait, par la condition (6), quitte à restreindre encore, on peut supposer que \(X' = \Spec(C')\) et que l’on dispose d’une présentation \(C' = A'/I'[x_1, \ldots, x_n]/(\bar f'_1, \ldots, \bar f'_c)\) où \(\bar f'_1, \ldots, \bar f'_c\) est une suite Koszul-régulière dans \(A'/I'\). (Cela signifie que, localement pour la topologie lisse, \(\bar f'_1, \ldots, \bar f'_c\) forment une suite régulière ; voir Compléments d’algèbre, lemme 068Q.) Choisissons un relèvement de \(\bar f'_i\) en un élément \(f'_i \in A'[x_1, \ldots, x_n]\). D’après (4), on voit que \(X = \Spec(C)\), où \(C = A/I[x_1, \ldots, x_n]/(\bar f_1, \ldots, \bar f_c)\), où \(f_i \in A[x_1, \ldots, x_n]\) est l’image de \(f'_i\). La propriété (7) montre que \(\bar f_1, \ldots, \bar f_c\) est une suite Koszul-régulière dans \(A/I[x_1, \ldots, x_n]\). L’enveloppe à puissances divisées de \(I'A'[x_1, \ldots, x_n] + (f'_1, \ldots, f'_c)\) dans \(A'[x_1, \ldots, x_n]\) relativement à \(\gamma'\) est \[D' = A'[x_1, \ldots, x_n]\langle \xi_1, \ldots, \xi_c \rangle/(\xi_i - f'_i)\] voir le lemme 07HC. On vérifie alors que \(\xi_1 - f'_1, \ldots, \xi_n - f'_n\) est une suite Koszul-régulière dans l’anneau \(A'[x_1, \ldots, x_n]\langle \xi_1, \ldots, \xi_c\rangle\). De même, l’enveloppe à puissances divisées de \(IA[x_1, \ldots, x_n] + (f_1, \ldots, f_c)\) dans \(A[x_1, \ldots, x_n]\) relativement à \(\gamma\) est \[D = A[x_1, \ldots, x_n]\langle \xi_1, \ldots, \xi_c\rangle/(\xi_i - f_i)\] et \(\xi_1 - f_1, \ldots, \xi_n - f_n\) est une suite Koszul-régulière dans l’anneau \(A[x_1, \ldots, x_n]\langle \xi_1, \ldots, \xi_c\rangle\). Il s’ensuit que \(D' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A = D\). La condition (2) implique que \(\mathcal{F}'\) correspond à un couple \((M', \nabla)\) formé d’un \(D'\)-module muni d’une connexion ; voir la proposition 07JH. Alors \(M = M' \otimes_{D'} D\) correspond à l’image inverse \(\mathcal{F}\). La condition (5) montre que \(M'\) est un \(D'\)-module plat, donc \[M = M' \otimes_{D'} D = M' \otimes_{D'} D' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A = M' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A\] Comme les modules des différentielles \(\Omega_{D'}\) et \(\Omega_D\) (tels que définis dans la section 07J7) sont des \(D'\)-modules libres sur les mêmes générateurs, on voit que \[M \otimes_D \Omega^\bullet_D = M' \otimes_{D'} \Omega^\bullet_{D'} \otimes_{D'} D = M' \otimes_{D'} \Omega^\bullet_{D'} \otimes_{A'}^\mathbf{L} A\] ce qui démontre l’assertion en vertu de la proposition 07LG.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées tel que \(A\) soit une algèbre sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\) et que \(p\) soit nilpotent dans \(A/I\). Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(X\) un schéma sur \(S_0\), tel que \(p\) soit localement nilpotent sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_{X/S}\)-module quelconque. Pour \(e \gg 0\), l’idéal \((p^e) \subset I\) est stable par \(\gamma\) ; voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07KD. Posons \(S_e = \Spec(A/p^eA)\) pour \(e \gg 0\). Alors \(\text{Cris}(X/S_e)\) est une sous-catégorie pleine de \(\text{Cris}(X/S)\), et notons \(\mathcal{F}_e\) la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\text{Cris}(X/S_e)\). Alors \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\lim_e R\Gamma(\text{Cris}(X/S_e), \mathcal{F}_e)\]

Indications : il suffit de le prouver lorsque \(\mathcal{F}\) est injectif. Dans ce cas, les faisceaux \(\mathcal{F}_e\) sont eux aussi des modules injectifs, les morphismes de transition \(\Gamma(\mathcal{F}_{e + 1}) \to \Gamma(\mathcal{F}_e)\) sont surjectives, et l’on a \(\Gamma(\mathcal{F}) = \lim_e \Gamma(\mathcal{F}_e)\), car tout objet de \(\text{Cris}(X/S)\) est localement un objet de l’une des catégories \(\text{Cris}(X/S_e)\), par définition de \(\text{Cris}(X/S)\).

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées, avec \(p\) nilpotent dans \(A\). Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(Y\) un schéma lisse sur \(S\), et posons \(X = Y \times_S S_0\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents. Alors

1. \(\gamma\) s’étend en une structure à puissances divisées sur l’idéal de \(X\) dans \(Y\), de sorte que \((X, Y, \gamma)\) soit un objet de \(\text{Cris}(X/S)\),

2. la restriction \(\mathcal{F}_Y\) (voir la section 07IN) est munie d’une connexion intégrable canonique \(\nabla : \mathcal{F}_Y \to \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega_{Y/S}\), et

3. on a \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(Y, \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^\bullet_{Y/S})\] dans \(D(A)\).

Indications : voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07H1, pour (1). Voir le lemme 07J6 pour (2). Pour la partie (3), considérons le morphisme de (07LP). Ce morphisme est un isomorphisme lorsque \(X\) est affine ; voir le lemme 07LH. Il en résulte que \(Ru_{X/S, *}\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}_Y \otimes \Omega^\bullet_{Y/S}\) sont quasi-isomorphes comme complexes sur \(Y_{Zar} = X_{Zar}\). Puisque \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(X_{Zar}, Ru_{X/S, *}\mathcal{F})\), le résultat en découle.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées, avec \(p\) nilpotent dans \(A\). Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(X\) un schéma propre et lisse sur \(S_0\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents localement libres de type fini. Alors \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\) est un complexe parfait dans \(D(A)\).

Indications : la remarque 07MU donne \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} A/I \cong R\Gamma(\text{Cris}(X/S_0), \mathcal{F}|_{\text{Cris}(X/S_0)})\] La remarque 07MW donne \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S_0), \mathcal{F}|_{\text{Cris}(X/S_0)}) = R\Gamma(X, \mathcal{F}_X \otimes \Omega^\bullet_{X/S_0})\] En utilisant la filtration bête du complexe de de Rham, on voit que le dernier complexe affiché est parfait dans \(D(A/I)\) dès que les complexes \[R\Gamma(X, \mathcal{F}_X \otimes \Omega^q_{X/S_0})\] sont des complexes parfaits dans \(D(A/I)\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 066R. Cela résulte des arguments usuels de cohomologie cohérente, car \(\mathcal{F}_X \otimes \Omega^q_{X/S_0}\) est un faisceau localement libre de type fini et \(X \to S_0\) est propre et plat (référence à insérer). En appliquant le lemme 07LU de Compléments d’algèbre, on voit que \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n\] est un complexe parfait dans \(D(A/I^n)\) pour tout \(n\). Cela ne suffit pas tout à fait, sauf si \(A\) est noethérien. En effet, bien que \(I\) soit localement nilpotent par l’hypothèse de nilpotence de \(p\) ; voir Algèbre à puissances divisées, lemme 07GR, on ne peut conclure que \(I^n = 0\) pour un certain \(n\). Un contre-exemple est fourni par \(\mathbf{F}_p\langle x \rangle\). Pour le démontrer en général lorsque \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_{X/S}\), l’argument de https://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=2227 convient. Lorsque les coefficients \(\mathcal{F}\) sont non triviaux, l’argument de [Faltings-very] semble être le suivant. On se ramène au cas \(pA = 0\) par le lemme de Compléments d’algèbre 07LU. Dans ce cas, le morphisme de Frobenius \(A \to A\), \(a \mapsto a^p\), se factorise en \(A \to A/I \xrightarrow{\varphi} A\) (car \(x^p = 0\) pour \(x \in I\)). Posons \(X^{(1)} = X \otimes_{A/I, \varphi} A\). Le morphisme de Frobenius absolu de \(X\) se factorise par un morphisme \(F_X : X \to X^{(1)}\) (une sorte de Frobenius relatif). Localement sur les ouverts affines, si \(X = \Spec(C)\), alors \(X^{(1)} = \Spec( C \otimes_{A/I, \varphi} A)\) et \(F_X\) correspond à \(C \otimes_{A/I, \varphi} A \to C\), \(c \otimes a \mapsto c^pa\). Cela définit des morphismes de topos annelés \[(X/S)_{\text{cris}} \xrightarrow{(F_X)_{\text{cris}}} (X^{(1)}/S)_{\text{cris}} \xrightarrow{u_{X^{(1)}/S}} \Sh(X^{(1)}_{Zar})\] dont le composé est noté \(\text{Frob}_X\). On montre alors que \(R\text{Frob}_{X, *}\mathcal{F}\) est représenté par un complexe parfait de \(\mathcal{O}_{X^{(1)}}\)-modules (!) par un calcul local.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées tel que \(A\) soit complet \(p\)-adiquement et que \(p\) soit nilpotent dans \(A/I\). Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(X\) un schéma propre et lisse sur \(S_0\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents localement libres de type fini. Alors \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\) est un complexe parfait dans \(D(A)\).

Indications : on sait que \(K = R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\) est la limite dérivée \(K = R\lim K_e\) des cohomologies sur \(A/p^eA\) ; voir la remarque 07MV. Chaque \(K_e\) est un complexe parfait dans \(D(A/p^eA)\) d’après la remarque 07MX. Comme \(A\) est complet \(p\)-adiquement, le résultat résulte du lemme 09AW de Compléments d’algèbre.

Remarque

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées tel que \(A\) soit un anneau noethérien complet \(p\)-adiquement et que \(p\) soit nilpotent dans \(A/I\). Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_0 = \Spec(A/I)\). Soit \(Y\) un schéma propre et lisse sur \(S\), et posons \(X = Y \times_S S_0\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal de type fini en \(\mathcal{O}_{X/S}\)-modules quasi-cohérents. Alors

1. il existe un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent \(\mathcal{F}_Y\) muni d’une connexion intégrable \[\nabla : \mathcal{F}_Y \longrightarrow \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega_{Y/S}\] tel que \(\mathcal{F}_Y/p^e\mathcal{F}_Y\) soit le module muni de sa connexion sur \(A/p^eA\) obtenu dans la remarque 07MW, et

2. on a \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(Y, \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^\bullet_{Y/S})\] dans \(D(A)\).

Indications : l’existence de \(\mathcal{F}_Y\) résulte du théorème d’existence de Grothendieck (référence à insérer). L’isomorphisme des cohomologies résulte du fait que les deux membres sont calculés par \(R\lim\) à partir des versions modulo \(p^e\) (voir la remarque 07MV pour le membre de gauche ; utiliser le théorème des fonctions formelles, voir le théorème 02OC de Cohomologie des schémas pour le membre de droite). La remarque 07MW identifie les deux versions modulo \(p^e\).

Image inverse par des morphismes purement inséparables

Par revêtement \(\alpha_p\), on entend un morphisme de la forme \[X' = \Spec(C[z]/(z^p - c)) \longrightarrow \Spec(C) = X\] où \(C\) est une \(\mathbf{F}_p\)-algèbre et \(c \in C\). De manière équivalente, \(X'\) est un \(\alpha_p\)-torseur sur \(X\). Un revêtement \(\alpha_p\) itéré⁷ est un morphisme de schémas en caractéristique \(p\) qui, localement sur la cible, s’écrit comme un composé fini de revêtements \(\alpha_p\). Dans cette section, nous montrons que l’image inverse par un tel morphisme induit un quasi-isomorphisme en cohomologie cristalline après inversion du nombre premier \(p\). En fait, nous démontrons une version précise de ce résultat. Commençons par un lemme préliminaire dont la formulation nécessite quelques notations.

Supposons donné un homomorphisme d’anneaux \(B \to B'\) et des quotients \(\Omega_B \to \Omega\) et \(\Omega_{B'} \to \Omega'\) vérifiant les hypothèses de la remarque 07KJ. Ainsi, (07PY) fournit un morphisme canonique de complexes \[c_M^\bullet : M \otimes_B \Omega^\bullet \longrightarrow M \otimes_B (\Omega')^\bullet\] pour tout \(B\)-module \(M\) muni d’une connexion intégrable \(\nabla : M \to M \otimes_B \Omega_B\).

Supposons donnés \(a \in B\), \(z \in B'\) et une application \(\theta : B' \to B'\) vérifiant les hypothèses suivantes :

1. \(\text{d}(a) = 0\),

2. \(\Omega' = B' \otimes_B \Omega \oplus B'\text{d}z\) ; nous écrivons \(\text{d}(f) = \text{d}_1(f) + \partial_z(f) \text{d}z\) où \(\text{d}_1(f) \in B' \otimes \Omega\) et \(\partial_z(f) \in B'\) pour tout \(f \in B'\),

3. \(\theta : B' \to B'\) est \(B\)-linéaire,

4. \(\partial_z \circ \theta = a\),

5. \(B \to B'\) est universellement injectif (et donc \(\Omega \to \Omega'\) est injectif),

6. \(af - \theta(\partial_z(f)) \in B\) pour tout \(f \in B'\),

7. \((\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) - \text{d}_1(\theta(f)) \in \Omega\) pour tout \(f \in B'\), où \(\theta \otimes 1 : B' \otimes \Omega \to B' \otimes \Omega\)

Ces conditions ne sont pas logiquement indépendantes. Par exemple, l’hypothèse (07Q3) implique que \(\partial_z(af - \theta(\partial_z(f))) = 0\). Ainsi, si l’image de \(B \to B'\) est l’ensemble des éléments annulés par \(\partial_z\), alors (07Q5) en découle. Un raisonnement analogue s’applique à la condition (07Q6).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe un morphisme de complexes \[e_M^\bullet : M \otimes_B (\Omega')^\bullet \longrightarrow M \otimes_B \Omega^\bullet\] tel que \(c_M^\bullet \circ e_M^\bullet\) et \(e_M^\bullet \circ c_M^\bullet\) soient homotopes à la multiplication par \(a\).

Démonstration

Dans cette démonstration, tous les produits tensoriels sont pris sur \(B\). L’hypothèse (07Q1) implique que \[M \otimes (\Omega')^i = (B' \otimes M \otimes \Omega^i) \oplus (B' \text{d}z \otimes M \otimes \Omega^{i - 1})\] pour tout \(i \geq 0\). Le groupe additif sous-jacent à \(M \otimes (\Omega')^i\) est engendré par les éléments de la forme \(f \omega\) et d’éléments de la forme \(f \text{d}z \wedge \eta\), où \(f \in B'\), \(\omega \in M \otimes \Omega^i\), et \(\eta \in M \otimes \Omega^{i - 1}\).

Pour \(f \in B'\), écrivons \[\epsilon(f) = af - \theta(\partial_z(f)) \quad\text{et}\quad \epsilon'(f) = (\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) - \text{d}_1(\theta(f))\] de sorte que \(\epsilon(f) \in B\) et \(\epsilon'(f) \in \Omega\) en vertu des hypothèses (07Q5) et (07Q6). Définissons \(e_M^\bullet\) par les formules \(e^i_M(f\omega) = \epsilon(f) \omega\) et \(e^i_M(f \text{d}z \wedge \eta) = \epsilon'(f) \wedge \eta\). Nous verrons ci-dessous que les applications \(e^i_M\) définissent un morphisme de complexes.

Définissons \[h^i : M \otimes_B (\Omega')^i \longrightarrow M \otimes_B (\Omega')^{i - 1}\] par les formules \(h^i(f \omega) = 0\) et \(h^i(f \text{d}z \wedge \eta) = \theta(f) \eta\) pour les éléments ci-dessus. Nous affirmons que \[\text{d} \circ h + h \circ \text{d} = a - c_M^\bullet \circ e_M^\bullet\] Notons que la multiplication par \(a\) est un morphisme de complexes d’après (07Q0). Ainsi, puisque \(c_M^\bullet\) est un morphisme injectif de complexes en vertu de l’hypothèse (07Q4), on conclut que \(e_M^\bullet\) est un morphisme de complexes. Pour démontrer l’affirmation, calculons \[\begin{align*} (\text{d} \circ h + h \circ \text{d})(f \omega) & = h\left(\text{d}(f) \wedge \omega + f \nabla(\omega)\right) \\ & = \theta(\partial_z(f)) \omega \\ & = a f\omega - \epsilon(f)\omega \\ & = a f \omega - c^i_M(e^i_M(f\omega)) \end{align*}\] La deuxième égalité vient de ce que \(\text{d}z\) n’intervient pas dans \(\nabla(\omega)\), et la troisième résulte de l’hypothèse (6). De même, on a \[\begin{align*} (\text{d} \circ h + h \circ \text{d})(f \text{d}z \wedge \eta) & = \text{d}(\theta(f) \eta) + h\left(\text{d}(f) \wedge \text{d}z \wedge \eta - f \text{d}z \wedge \nabla(\eta)\right) \\ & = \text{d}(\theta(f)) \wedge \eta + \theta(f) \nabla(\eta) - (\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) \wedge \eta - \theta(f) \nabla(\eta) \\ & = \text{d}_1(\theta(f)) \wedge \eta + \partial_z(\theta(f)) \text{d}z \wedge \eta - (\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) \wedge \eta \\ & = a f \text{d}z \wedge \eta - \epsilon'(f) \wedge \eta \\ & = a f \text{d}z \wedge \eta - c^i_M(e^i_M(f \text{d}z \wedge \eta)) \end{align*}\] La deuxième égalité vient de ce que \(\text{d}(f) \wedge \text{d}z \wedge \eta = - \text{d}z \wedge \text{d}_1(f) \wedge \eta\). La quatrième égalité résulte de l’hypothèse (07Q3). D’autre part, il résulte immédiatement des définitions que \(e^i_M(c^i_M(\omega)) = \epsilon(1) \omega = a \omega\). Cela démontre le lemme.

Exemple

Un exemple standard de la situation ci-dessus se présente lorsque \(B' = B\langle z \rangle\) est l’algèbre de polynômes à puissances divisées sur un anneau à puissances divisées \((B, J, \delta)\), munie des puissances divisées \(\delta'\) sur \(J' = B'_{+} + JB' \subset B'\). Plus précisément, prenons \(\Omega = \Omega_{B, \delta}\) et \(\Omega' = \Omega_{B', \delta'}\). Dans ce cas, on peut prendre \(a = 1\) et \[\theta( \sum b_m z^{[m]} ) = \sum b_m z^{[m + 1]}\] Notons que \[f - \theta(\partial_z(f)) = f(0)\] est égal au terme constant. Il s’ensuit que, dans ce cas, le lemme 07Q7 redonne le lemme de Poincaré cristallin (lemme 07LD).

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 07MD. Supposons que \(D\) et \(\Omega_D\) soient comme dans (07J8) et (07J9). Soit \(\lambda \in D\). Soit \(D'\) le complété \(p\)-adique de \[D[z]\langle \xi \rangle/(\xi - (z^p - \lambda))\] et soit \(\Omega_{D'}\) le complété \(p\)-adique du module des différentielles à puissances divisées de \(D'\) sur \(A\). Pour tout couple \((M, \nabla)\) sur \(D\) vérifiant (07JB), (07JC), (07JD) et (07JE), le morphisme canonique de complexes (07PY) \[c_M^\bullet : M \otimes_D^\wedge \Omega^\bullet_D \longrightarrow M \otimes_D^\wedge \Omega^\bullet_{D'}\] a la propriété suivante : il existe un morphisme \(e_M^\bullet\) dans le sens opposé tel que \(c_M^\bullet \circ e_M^\bullet\) et \(e_M^\bullet \circ c_M^\bullet\) soient toutes deux homotopes à la multiplication par \(p\).

Démonstration

Nous allons le démontrer à l’aide du lemme 07Q7 avec \(a = p\). Il nous faut donc trouver \(\theta : D' \to D'\) et vérifier (07Q0), (07Q1), (07Q2), (07Q3), (07Q4), (07Q5), (07Q6). Commençons par rassembler quelques informations sur les anneaux \(D\) et \(D'\) et les modules \(\Omega_D\) et \(\Omega_{D'}\).

En écrivant \[D[z]\langle \xi \rangle/(\xi - (z^p - \lambda)) = D\langle \xi \rangle[z]/(z^p - \xi - \lambda)\] on voit que \(D'\) est le complété \(p\)-adique du \(D\)-module libre \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, p - 1} \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} z^i \xi^{[n]} D\] où \(\xi^{[0]} = 1\). Il s’ensuit que \(D \to D'\) admet une section \(D\)-linéaire continue ; en particulier, \(D \to D'\) est universellement injectif, c’est-à-dire que (07Q4) est vérifiée. Considérons \(D'\) comme une algèbre à puissances divisées sur \(A\), d’idéal à puissances divisées \(\overline{J}' = \overline{J}D' + (\xi)\). Alors \(D'\) est aussi le complété \(p\)-adique de l’enveloppe à puissances divisées de l’idéal engendré par \(z^p - \lambda\) dans \(D\), voir le lemme 07HC. Ainsi, \[\Omega_{D'} = \Omega_D \otimes_D^\wedge D' \oplus D'\text{d}z\] d’après le lemme 07HW. Cela démontre (07Q1). Notons que (07Q0) est évidente.

À ce stade, construisons \(\theta\). (Nous avons écrit un script PARI/gp theta.gp qui vérifie certaines des formules de cette démonstration et se trouve dans le sous-répertoire scripts du projet Champs.) Avant cela, calculons la différentielle des éléments \(z^i \xi^{[n]}\). On a \(\text{d}z^i = i z^{i - 1} \text{d}z\). Pour \(n \geq 1\), on a \[\text{d}\xi^{[n]} = \xi^{[n - 1]} \text{d}\xi = - \xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + p z^{p - 1} \xi^{[n - 1]}\text{d}z\] car \(\xi = z^p - \lambda\). Pour \(0 < i < p\) et \(n \geq 1\), on a \[\begin{align*} \text{d}(z^i\xi^{[n]}) & = iz^{i - 1}\xi^{[n]}\text{d}z + z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\xi \\ & = iz^{i - 1}\xi^{[n]}\text{d}z + z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}(z^p - \lambda) \\ & = - z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + (iz^{i - 1}\xi^{[n]} + pz^{i + p - 1}\xi^{[n - 1]})\text{d}z \\ & = - z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + (iz^{i - 1}\xi^{[n]} + pz^{i - 1}(\xi + \lambda)\xi^{[n - 1]})\text{d}z \\ & = - z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + ((i + pn)z^{i - 1}\xi^{[n]} + p\lambda z^{i - 1}\xi^{[n - 1]})\text{d}z \end{align*}\] la dernière égalité résultant de \(\xi \xi^{[n - 1]} = n\xi^{[n]}\). On voit donc que \[\begin{align*} \partial_z(z^i) & = i z^{i - 1} \\ \partial_z(\xi^{[n]}) & = p z^{p - 1} \xi^{[n - 1]} \\ \partial_z(z^i\xi^{[n]}) & = (i + pn) z^{i - 1} \xi^{[n]} + p \lambda z^{i - 1}\xi^{[n - 1]} \end{align*}\] Motivés par ces formules, définissons \(\theta\) par les règles \[\begin{matrix} \theta(z^j) & = & p\frac{z^{j + 1}}{j + 1} & j = 0, \ldots p - 1, \\ \theta(z^{p - 1}\xi^{[m]}) & = & \xi^{[m + 1]} & m \geq 1, \\ \theta(z^j \xi^{[m]}) & = & \frac{p z^{j + 1} \xi^{[m]} - \theta(p\lambda z^j \xi^{[m - 1]})}{(j + 1 + pm)} & 0 \leq j < p - 1, m \geq 1 \end{matrix}\] où, dans la dernière ligne, nous procédons par récurrence sur \(m\) pour définir \(\theta\). En développant, on obtient (pour \(0 \leq j < p - 1\) et \(1 \leq m\)) \[\theta(z^j \xi^{[m]}) = \textstyle{\frac{p z^{j + 1} \xi^{[m]}}{(j + 1 + pm)} - \frac{p^2 \lambda z^{j + 1} \xi^{[m - 1]}}{(j + 1 + pm)(j + 1 + p(m - 1))} + \ldots + \frac{(-1)^m p^{m + 1} \lambda^m z^{j + 1}} {(j + 1 + pm) \ldots (j + 1)}}\] bien que nous n’utilisions pas cette expression ci-dessous. Il est clair que \(\theta\) se prolonge de manière unique en une application \(p\)-adiquement continue et \(D\)-linéaire sur \(D'\). Par construction, on a (07Q2) et (07Q3). Il reste à démontrer (07Q5) et (07Q6).

Démonstration de (07Q5) et (07Q6). Puisque \(\theta\) est \(D\)-linéaire et continue, il suffit de montrer que \(p - \theta \circ \partial_z\), resp. \((\theta \otimes 1) \circ \text{d}_1 - \text{d}_1 \circ \theta\) prend ses valeurs dans \(D\), resp. dans \(\Omega_D\), lorsqu’on l’évalue sur les éléments \(z^i\xi^{[n]}\)⁸. Posons \(D_0 = \mathbf{Z}_{(p)}[\lambda]\) et \(D_0' = \mathbf{Z}_{(p)}[z, \lambda]\langle \xi \rangle/(\xi - z^p + \lambda)\). Observons que chacune des expressions ci-dessus est un élément de \(D_0'\) ou de \(\Omega_{D_0'}\). Il suffit donc de démontrer le résultat dans le cas de \(D_0 \to D_0'\). Notons que \(D_0\) et \(D_0'\) sont des anneaux sans torsion et que \(D_0 \otimes \mathbf{Q} = \mathbf{Q}[\lambda]\) et \(D'_0 \otimes \mathbf{Q} = \mathbf{Q}[z, \lambda]\). Ainsi, \(D_0 \subset D'_0\) est le sous-anneau des éléments annulés par \(\partial_z\), et (07Q5) résulte de (07Q3) ; voir la discussion qui précède immédiatement le lemme 07Q7. De même, on a \(\text{d}_1(f) = \partial_\lambda(f)\text{d}\lambda\), donc \[\left((\theta \otimes 1) \circ \text{d}_1 - \text{d}_1 \circ \theta\right)(f) = \left(\theta(\partial_\lambda(f)) - \partial_\lambda(\theta(f))\right) \text{d}\lambda\] En appliquant \(\partial_z\) au coefficient, on obtient \[\begin{align*} \partial_z\left( \theta(\partial_\lambda(f)) - \partial_\lambda(\theta(f)) \right) & = p \partial_\lambda(f) - \partial_z(\partial_\lambda(\theta(f))) \\ & = p \partial_\lambda(f) - \partial_\lambda(\partial_z(\theta(f))) \\ & = p \partial_\lambda(f) - \partial_\lambda(p f) = 0 \end{align*}\] de sorte que le coefficient ne dépend pas de \(z\), comme souhaité. Cela achève la démonstration du lemme.

Notons qu’un revêtement \(\alpha_p\) itéré \(X' \to X\) (tel que défini dans l’introduction de cette section) est fini localement libre. Ainsi, si \(X\) est connexe, le degré de \(X' \to X\) est constant et est une puissance de \(p\).

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((S, \mathcal{I}, \gamma)\) un schéma à puissances divisées sur \(\mathbf{Z}_{(p)}\) tel que \(p \in \mathcal{I}\). Posons \(S_0 = V(\mathcal{I}) \subset S\). Soit \(f : X' \to X\) un revêtement \(\alpha_p\) itéré de schémas sur \(S_0\), de degré constant \(q\). Soit \(\mathcal{F}\) un cristal quelconque en faisceaux quasi-cohérents sur \(X\), et posons \(\mathcal{F}' = f_{\text{cris}}^*\mathcal{F}\). Dans le triangle distingué \[Ru_{X/S, *}\mathcal{F} \longrightarrow f_*Ru_{X'/S, *}\mathcal{F}' \longrightarrow E \longrightarrow Ru_{X/S, *}\mathcal{F}[1]\] les faisceaux de cohomologie de \(E\) sont annulés par \(q\).

Démonstration

Notons que \(X' \to X\) est un homéomorphisme ; on peut donc identifier les espaces topologiques sous-jacents à \(X\) et \(X'\). La question est manifestement locale sur \(X\) ; on peut donc supposer \(X\), \(X'\) et \(S\) affines, et que \(X' \to X\) s’écrit comme le composé \[X' = X_n \to X_{n - 1} \to X_{n - 2} \to \ldots \to X_0 = X\] où chaque morphisme \(X_{i + 1} \to X_i\) est un revêtement \(\alpha_p\). Notons \(\mathcal{F}_i\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\). Il suffit de démontrer que chacune des applications \[R\Gamma(\text{Cris}(X_i/S), \mathcal{F}_i) \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X_{i + 1}/S), \mathcal{F}_{i + 1})\] s’insère dans un triangle dont les groupes de cohomologie du troisième terme sont annulés par \(p\). (On utilise ici l’axiome TR4 de la catégorie triangulée \(D(X)\). Les détails sont omis.)

On peut donc supposer que \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(C)\), \(X' = \Spec(C')\) et \(C' = C[z]/(z^p - c)\) pour un certain \(c \in C\). Choisissons une algèbre de polynômes \(P\) sur \(A\) et une surjection \(P \to C\). Soit \(D\) le complété \(p\)-adique de l’enveloppe à puissances divisées de \(\Ker(P \to C)\) dans \(P\), comme dans (07J8). Posons \(P' = P[z]\), muni de la surjection \(P' \to C'\) qui envoie \(z\) sur la classe de \(z\) dans \(C'\). Choisissons un relèvement \(\lambda \in D\) de \(c \in C\). On voit alors que le complété \(p\)-adique, noté \(D'\), de l’enveloppe à puissances divisées de \(\Ker(P' \to C')\) dans \(P'\) est isomorphe au complété \(p\)-adique de \(D[z]\langle \xi \rangle/(\xi - (z^p - \lambda))\) ; voir le lemme 07N1 et sa démonstration. On voit donc que le résultat découle de ce lemme par le calcul de la cohomologie des cristaux en modules quasi-cohérents de la proposition 07LG.

La borne du lemme suivant n’est probablement pas optimale.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 07Q9, l’application \[f^* : H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \longrightarrow H^i(\text{Cris}(X'/S), \mathcal{F}')\] a un noyau et un conoyau annulés par \(q^{i + 1}\).

Démonstration

Cela résulte du fait que \(E\) n’a de faisceaux de cohomologie non nuls qu’en degrés \(-1\) et supérieurs, de sorte que la suite spectrale \(H^a(\mathcal{H}^b(E)) \Rightarrow H^{a + b}(E)\) converge. En combinant cela avec la suite exacte longue de cohomologie associée à un triangle distingué, on obtient la borne.

Dans la situation 07MF, supposons que \(p \in \mathcal{I}\). Posons \[X^{(1)} = X \times_{S_0, F_{S_0}} S_0.\] Notons \(F_{X/S_0} : X \to X^{(1)}\) le morphisme de Frobenius relatif.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(X \to S_0\) soit lisse de dimension relative \(d\). Alors \(F_{X/S_0}\) est un revêtement \(\alpha_p\) itéré de degré \(p^d\). Les lemmes 07Q9 et 07QA s’appliquent donc à cette situation. En particulier, pour tout cristal en modules quasi-cohérents \(\mathcal{G}\) sur \(\text{Cris}(X^{(1)}/S)\), l’application \[F_{X/S_0}^* : H^i(\text{Cris}(X^{(1)}/S), \mathcal{G}) \longrightarrow H^i(\text{Cris}(X/S), F_{X/S_0, \text{cris}}^*\mathcal{G})\] a un noyau et un conoyau annulés par \(p^{d(i + 1)}\).

Démonstration

Il suffit de démontrer le premier énoncé. Pour cela, on peut supposer que \(X\) est étale sur \(\mathbf{A}^d_{S_0}\) ; voir Morphismes, lemme 054L. Notons \(\varphi : X \to \mathbf{A}^d_{S_0}\) ce morphisme étale. Dans ce cas, le Frobenius relatif de \(X/S_0\) s’insère dans un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X^{(1)} \ar[d] \\ \mathbf{A}^d_{S_0} \ar[r] & \mathbf{A}^d_{S_0} }\] où la flèche horizontale inférieure est le morphisme de Frobenius relatif de \(\mathbf{A}^d_{S_0}\) sur \(S_0\). C’est le morphisme qui élève toutes les coordonnées à la puissance \(p\)-ième ; c’est donc un revêtement \(\alpha_p\) itéré. La démonstration s’achève en observant que le diagramme est un carré cartésien ; voir Morphismes étales, lemme 0EBS.

Action de Frobenius sur la cohomologie cristalline

Dans cette section, nous démontrons que l’image inverse par Frobenius induit un quasi-isomorphisme sur la cohomologie cristalline après inversion de \(p\). Mais, ne serait-ce que pour formuler ce résultat, nous devons nous placer dans une situation particulière.

Situation

Dans la situation 07MF, supposons ce qui suit :

1. \(S = \Spec(A)\) pour un certain anneau à puissances divisées \((A, I, \gamma)\) avec \(p \in I\),

2. on se donne un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées \(\sigma : A \to A\) tel que \(\sigma(x) = x^p \bmod pA\) pour tout \(x \in A\).

Dans la situation 07N2, le morphisme \(\Spec(\sigma) : S \to S\) est un relèvement du Frobenius absolu \(F_{S_0} : S_0 \to S_0\), et le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_{F_X} & X \ar[d] \\ S_0 \ar[r]^{F_{S_0}} & S_0 }\] est commutatif, où \(F_X : X \to X\) est le morphisme de Frobenius absolu de \(X\). On obtient donc un morphisme de topos cristallins \[(F_X)_{\text{cris}} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow (X/S)_{\text{cris}}\] Ce morphisme est décrit dans la remarque 07IK. Voici la terminologie relative aux \(F\)-cristaux, suivant la notation de Saavedra ; voir [Saavedra].

Définition

Dans la situation 07N2, un \(F\)-cristal sur \(X/S\) (relatif à \(\sigma\)) est un couple \((\mathcal{E}, F_\mathcal{E})\) formé d’un cristal en modules localement libres de type fini sur \(\mathcal{O}_{X/S}\), noté \(\mathcal{E}\), et d’un morphisme \[F_\mathcal{E} : (F_X)_{\text{cris}}^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{E}\] Un \(F\)-cristal est dit non-dégénéré s’il existe un entier \(i \geq 0\) et un morphisme \(V : \mathcal{E} \to (F_X)_{\text{cris}}^*\mathcal{E}\) tel que \(V \circ F_{\mathcal{E}} = p^i \text{id}\).

Remarque

Soit \((\mathcal{E}, F)\) un \(F\)-cristal comme dans la définition 07N3. Dans la littérature, la condition de non-dégénérescence fait souvent partie de la définition d’un \(F\)-cristal. En outre, on suppose aussi souvent que \(F \circ V = p^n\text{id}\). Ce qui est nécessaire pour le résultat ci-dessous, c’est qu’il existe un entier \(j \geq 0\) tel que \(\Ker(F)\) et \(\Coker(F)\) soient annulés par \(p^j\). Si le rang de \(\mathcal{E}\) est borné (par exemple si \(X\) est quasi-compact), ces deux conditions résultent de la condition de non-dégénérescence telle qu’elle est formulée dans la définition. En effet, soient \(R\) un anneau, \(r \geq 1\) un entier et \(K, L \in \text{Mat}(r \times r, R)\) des matrices telles que \(K L = p^i 1_{r \times r}\). Alors \(\det(K)\det(L) = p^{ri}\). Soit \(L'\) la comatrice de \(L\), c’est-à-dire \(L' L = L L' = \det(L)\). Posons \(K' = p^{ri} K\) et \(j = ri + i\). On a alors \(K' L = p^j 1_{r \times r}\) puisque \(K L = p^i\), et \[L K' = L K \det(L) \det(M) = L K L L' \det(M) = L p^i L' \det(M) = p^j 1_{r \times r}\] Il s’ensuit que, si \(V\) est comme dans la définition 07N3, alors, en posant \(V' = p^N V\), où \(N > i \cdot \text{rang}(\mathcal{E})\), on obtient \(V' \circ F = p^{N + i}\) et \(F \circ V' = p^{N + i}\).

Théorème

Dans la situation 07N2, soit \((\mathcal{E}, F_\mathcal{E})\) un \(F\)-cristal non dégénéré. Supposons que \(A\) soit un anneau complet pour la topologie \(p\)-adique et noethérien, et que \(X \to S_0\) soit propre et lisse. Alors le morphisme canonique \[F_\mathcal{E} \circ (F_X)_{\text{cris}}^* : R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E}) \otimes^\mathbf{L}_{A, \sigma} A \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E})\] devient un isomorphisme après inversion de \(p\).

Démonstration

Écrivons d’abord la flèche comme le composé de trois flèches. Plus précisément, posons \[X^{(1)} = X \times_{S_0, F_{S_0}} S_0\] et notons \(F_{X/S_0} : X \to X^{(1)}\) le morphisme de Frobenius relatif. Notons \(\mathcal{E}^{(1)}\) le cristal déduit de \(\mathcal{E}\) par changement de base par \(\Spec(\sigma)\), autrement dit l’image inverse de \(\mathcal{E}\) sur \(\text{Cris}(X^{(1)}/S)\) par le morphisme de topos cristallins associé au diagramme commutatif \[\xymatrix{ X^{(1)} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ S \ar[r]^{\Spec(\sigma)} & S }\] On a alors le morphisme de changement de base [07QC]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E}) \otimes^\mathbf{L}_{A, \sigma} A \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X^{(1)}/S), \mathcal{E}^{(1)}) \end{equation}\] Ce morphisme est celui de la remarque 07MS. Notons que la composée de \(F_{X/S_0} : X \to X^{(1)}\) avec la projection \(X^{(1)} \to X\) est le morphisme de Frobenius absolu \(F_X\). On voit donc que \(F_{X/S_0}^*\mathcal{E}^{(1)} = (F_X)_{\text{cris}}^*\mathcal{E}\). Ainsi, l’image inverse par \(F_{X/S_0}\) donne un morphisme [07N6]\[\begin{equation} F_{X/S_0}^* : R\Gamma(\text{Cris}(X^{(1)}/S), \mathcal{E}^{(1)}) \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), (F_X)^*_{\text{cris}}\mathcal{E}) \end{equation}\] Enfin, on peut utiliser \(F_\mathcal{E}\) pour obtenir un morphisme [07QD]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X/S), (F_X)^*_{\text{cris}}\mathcal{E}) \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E}) \end{equation}\] Le morphisme du théorème est la composée des trois morphismes (07QC), (07N6) et (07QD) ci-dessus. Le premier est un quasi-isomorphisme modulo chaque puissance de \(p\) d’après la remarque 07MU. C’est donc un quasi-isomorphisme puisque les complexes en jeu sont parfaits dans \(D(A)\) ; voir la remarque 07MY. Le troisième morphisme est un quasi-isomorphisme après inversion de \(p\), simplement parce que \(F_\mathcal{E}\) admet un inverse à une puissance de \(p\) près ; voir la remarque 07N4. Enfin, le deuxième est un isomorphisme après inversion de \(p\) d’après le lemme 07QB.