스킴의 구성

서론

이 장에서는 주어진 스킴들로부터 새로운 스킴을 구성하는 방법들을 도입한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

상대적 붙이기

다음 보조정리는 스킴 \(X\)를 \(S\) 위에 구성하려 하며, \(X\)를 \(S\)의 아핀 열린집합들에 제한하는 방법을 이미 알고 있는 경우에 쓰인다. 실제 결과는 완전히 일반적이며 (국소) 환 달린 공간의 맥락에서도 성립하지만, 증명은 스킴의 언어로 서술한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(S\)의 위상의 기저라 하자. 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

1. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 스킴 \(f_U : X_U \to U\), 즉 \(U\) 위의 스킴이 주어진다.

2. \(U, V \in \mathcal{B}\)이고 \(V \subset U\)일 때, 사상 \(\rho^U_V : X_V \to X_U\), 즉 \(U\) 위의 사상이 주어진다.

다음을 가정하자.

1. 각 \(\rho^U_V\)가 동형 \(X_V \to f_U^{-1}(V)\), 즉 \(V\) 위의 스킴들의 동형을 유도하고,

2. \(W, V, U \in \mathcal{B}\)이고 \(W \subset V \subset U\)일 때 \(\rho^U_W = \rho^U_V \circ \rho ^V_W\)가 성립한다.

그러면 스킴의 사상 \(f : X \to S\)와 동형 \(i_U : f^{-1}(U) \to X_U\)가 각 \(U \in \mathcal{B}\) 위에서 존재하며, \(V, U \in \mathcal{B}\)이고 \(V \subset U\)일 때 합성 \[\xymatrix{ X_V \ar[r]^{i_V^{-1}} & f^{-1}(V) \ar[rr]^{inclusion} & & f^{-1}(U) \ar[r]^{i_U} & X_U }\] 은 사상 \(\rho^U_V\)이다. 또한 \(X\)는 \(S\) 위의 유일한 동형을 제외하고 유일하다.

증명

이를 증명하기 위해 Schemes, Lemma 01JJ를 사용한다. 먼저 스킴의 범주에서 집합의 범주로 가는 반변 함자 \(F\)를 정의한다. 즉, 스킴 \(T\)에 대해 다음과 같이 둔다. \[F(T) = \left\{ \begin{matrix} (g, \{h_U\}_{U \in \mathcal{B}}), \ g : T \to S, \ h_U : g^{-1}(U) \to X_U, \\ f_U \circ h_U = g|_{g^{-1}(U)}, \ h_U|_{g^{-1}(V)} = \rho^U_V \circ h_V \ \forall\ V, U \in \mathcal{B}, V \subset U \end{matrix} \right\}.\] 제한 사상 \(F(T) \to F(T')\)은 사상 \(T' \to T\)가 주어졌을 때 단순히 합성으로 얻는다. 임의의 \(W \in \mathcal{B}\)에 대해, 부분함자 \(F_W \subset F\)를 계 \((g, \{h_U\})\)들 중 \(g(T) \subset W\)를 만족하는 것들로 이루어지도록 정의한다.

먼저 \(F\)가 자리스키 위상에 대한 층 조건을 만족함을 보인다. \(T\)가 스킴이고 \(T = \bigcup V_i\)가 열린 덮개이며, \(\xi_i \in F(V_i)\)가 \(\xi_i|_{V_i \cap V_j} = \xi_j|_{V_i \cap V_j}\)를 만족하는 원소라고 하자. \(\xi_i = (g_i, \{h_{i, U}\})\)라 쓰자. 그러면 사상 \(g_i\)들이 유일한 전역 사상 \(g : T \to S\)로 붙는다는 것을 곧바로 알 수 있다. 또한 \(g^{-1}(U) = \bigcup g_i^{-1}(U)\)임이 분명하다. 따라서 사상 \(h_{i, U} : g_i^{-1}(U) \to X_U\)들은 유일한 사상 \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\)로 붙는다. 계 \((g, \{h_U\})\)가 \(F(T)\)의 원소임은 쉽게 확인된다. 그러므로 \(F\)는 자리스키 위상에 대한 층 조건을 만족한다.

다음으로 각 \(F_W\), \(W \in \mathcal{B}\)가 표현가능임을 확인한다. 구체적으로 함자들의 변환 \[F_W \longrightarrow \Mor(-, X_W), \ (g, \{h_U\}) \longmapsto h_W\] 이 동형이라고 주장한다. 이를 보기 위해 \(T\)가 스킴이고 \(\alpha : T \to X_W\)가 사상이라고 하자. \(g = f_W \circ \alpha\)로 둔다. 임의의 \(U \in \mathcal{B}\)가 \(U \subset W\)를 만족하면, \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\)를 합성 \((\rho^W_U)^{-1} \circ \alpha|_{g^{-1}(U)}\)로 정의할 수 있다. 이는 상 \(\alpha(g^{-1}(U))\)가 \(f_W^{-1}(U)\)에 포함되고 보조정리의 조건 (a)가 성립하기 때문이다. 관계 \(f_U \circ h_U = g|_{g^{-1}(U)}\)가 그러한 \(U\)에 대해 성립함이 분명하다. 또한 \(V \in \mathcal{B}\)가 \(V \subset U \subset W\)도 만족하면, 보조정리의 성질 (b)에 의해 \(\rho^U_V \circ h_V = h_U|_{g^{-1}(V)}\)이다. 이제 \(h_U\)를 임의의 원소 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해서도 정의해야 한다. \(\mathcal{B}\)가 \(S\)의 위상의 기저이므로 열린 덮개 \(U \cap W = \bigcup U_i\)를 찾을 수 있으며, 여기서 \(U_i \in \mathcal{B}\)이다. \(g\)의 상은 \(W\) 안에 있으므로 \(g^{-1}(U) = g^{-1}(U \cap W) = \bigcup g^{-1}(U_i)\)이다. 사상 \(h_i = \rho^U_{U_i} \circ h_{U_i} : g^{-1}(U_i) \to X_U\)들을 생각하자. 보조정리의 조건 (b)를 사용하면 \(h_i|_{g^{-1}(U_i) \cap g^{-1}(U_j)} = h_j|_{g^{-1}(U_i) \cap g^{-1}(U_j)}\) 임을 간단히 증명할 수 있다. 따라서 이 사상들은 붙어서 원하는 사상 \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\)를 준다. 계 \((g, \{h_U\})\)가 \(F_W(T)\)의 원소이고 위의 표시된 화살표 아래에서 \(\alpha\)로 가는지 확인하는 (쉬운) 과정은 생략한다.

다음으로 각 \(F_W \subset F\)가 열린 몰입으로 표현가능임을 확인한다. 이는 정의로부터 분명하다.

마지막으로 모음 \((F_W)_{W \in \mathcal{B}}\)가 \(F\)를 덮는지 확인해야 한다. 이는 구성과 \(\mathcal{B}\)가 \(S\)의 위상의 기저라는 사실로부터 분명하다.

\(X\)를 함자 \(F\)를 표현하는 스킴이라 하자. \((f, \{i_U\}) \in F(X)\)를 “보편족”이라 하자. 각 \(F_W\)가 (위에 표시된 함자들의 사상을 통해) \(X_W\)로 표현되므로, 원하는 대로 \(i_W : f^{-1}(W) \to X_W\)가 동형임을 알 수 있다. 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(S\)의 위상의 기저라 하자. 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

1. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 스킴 \(f_U : X_U \to U\), 즉 \(U\) 위의 스킴이 주어진다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 준연접 층 \(\mathcal{F}_U\), 즉 \(X_U\) 위의 층이 주어진다.

3. 모든 쌍 \(U, V \in \mathcal{B}\)가 \(V \subset U\)를 만족할 때 사상 \(\rho^U_V : X_V \to X_U\)가 주어진다.

4. 모든 쌍 \(U, V \in \mathcal{B}\)가 \(V \subset U\)를 만족할 때 사상 \(\theta^U_V : (\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_V\)가 주어진다.

다음을 가정하자.

1. 각 \(\rho^U_V\)가 동형 \(X_V \to f_U^{-1}(V)\), 즉 \(V\) 위의 스킴들의 동형을 유도하고,

2. 각 \(\theta^U_V\)가 동형이며,

3. \(W, V, U \in \mathcal{B}\)이고 \(W \subset V \subset U\)이면 \(\rho^U_W = \rho^U_V \circ \rho ^V_W\)가 성립하고,

4. \(W, V, U \in \mathcal{B}\)이고 \(W \subset V \subset U\)이면 \(\theta^U_W = \theta^V_W \circ (\rho^V_W)^*\theta^U_V\)가 성립한다.

그러면 스킴의 사상 \(f : X \to S\), 준연접 층 \(\mathcal{F}\), 즉 \(X\) 위의 층, 그리고 동형 \(i_U : f^{-1}(U) \to X_U\)와 \(\theta_U : i_U^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}|_{f^{-1}(U)}\)가 각 \(U \in \mathcal{B}\) 위에서 존재하여, \(V, U \in \mathcal{B}\)이고 \(V \subset U\)일 때 합성 \[\xymatrix{ X_V \ar[r]^{i_V^{-1}} & f^{-1}(V) \ar[rr]^{inclusion} & & f^{-1}(U) \ar[r]^{i_U} & X_U }\] 은 사상 \(\rho^U_V\)이고, 합성 [01LJ]\[\begin{equation} (\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U = (i_V^{-1})^*((i_U^*\mathcal{F}_U)|_{f^{-1}(V)}) \xrightarrow{\theta_U|_{f^{-1}(V)}} (i_V^{-1})^*(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) \xrightarrow{\theta_V^{-1}} \mathcal{F}_V \end{equation}\] 은 \(\theta^U_V\)와 같다. 또한 \((X, \mathcal{F})\)는 \(S\) 위의 유일한 동형을 제외하고 유일하다.

증명

Lemma 01LH에 의해 스킴 \(X\), 즉 \(S\) 위의 스킴과 동형 \(i_U\)들을 얻는다. \(\mathcal{F}'_U = i_U^*\mathcal{F}_U\)로 두되, \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. 이는 준연접 \(\mathcal{O}_{f^{-1}(U)}\)-가군이다. 사상들 \[\mathcal{F}'_U|_{f^{-1}(V)} = i_U^*\mathcal{F}_U|_{f^{-1}(V)} = i_V^*(\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U \xrightarrow{i_V^*\theta^U_V} i_V^*\mathcal{F}_V = \mathcal{F}'_V\] 은 동형 \((\theta')^U_V : \mathcal{F}'_U|_{f^{-1}(V)} \to \mathcal{F}'_V\)를 \(V \subset U\)인 \(\mathcal{B}\)의 원소들마다 정의한다. 조건 (d)는 세 원소 \(W \subset V \subset U\)가 \(\mathcal{B}\)에 속할 때 이들이 호환된다는 것을 정확히 말한다. 이에 따라 \[\varphi_{12} : \mathcal{F}'_{U_1}|_{f^{-1}(U_1 \cap U_2)} \longrightarrow \mathcal{F}'_{U_2}|_{f^{-1}(U_1 \cap U_2)}\] 라는 잘 정의된 동형을 임의의 \(U_1, U_2 \in \mathcal{B}\)에 대해 얻을 수 있다. 이를 위해 교집합 \(U_1 \cap U_2 = \bigcup V_j\)를 원소 \(V_j\)가 \(\mathcal{B}\)에 속하도록 덮고 다음과 같이 취한다. \[\varphi_{12}|_{V_j} = \left((\theta')^{U_2}_{V_j}\right)^{-1} \circ (\theta')^{U_1}_{V_j}.\] 이 사상들이 실제로 하나의 \(\varphi_{12}\)로 붙는다는 확인과 층을 위한 붙이기 데이터의 쌍대순환 조건(Sheaves, Section 00AK에서와 같은 조건)의 확인은 생략한다. Sheaves, Lemma 00AL에 의해 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 얻는다. (01LJ)의 확인은 생략한다.

주

Lemmas 01LH와 01LI에서 설명한 구성에는 함자성이 있다. 구체적으로 Lemma 01LH에서와 같은 두 데이터 모음 \((f_U : X_U \to U, \rho^U_V)\)와 \((g_U : Y_U \to U, \sigma^U_V)\)가 주어졌다고 하자. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 사상 \(h_U : X_U \to Y_U\), 즉 \(U\) 위의 사상이 주어지고, 제한 \(\rho^U_V\) 및 \(\sigma^U_V\)와 호환된다고 하자. 함자성이란 이들로부터 스킴의 사상 \(h : X \to Y\), 즉 \(S\) 위의 사상이 생기며, 이를 제한하면 사상 \(h_U\)들을 되찾는다는 뜻이다. 여기서 \(f : X \to S\)는 데이터 \((f_U : X_U \to U, \rho^U_V)\)에서 얻고, \(g : Y \to S\)는 데이터 \((g_U : Y_U \to U, \sigma^U_V)\)에서 얻는다.

마찬가지로 Lemma 01LI에서와 같은 두 데이터 모음 \((f_U : X_U \to U, \mathcal{F}_U, \rho^U_V, \theta^U_V)\)와 \((g_U : Y_U \to U, \mathcal{G}_U, \sigma^U_V, \eta^U_V)\)가 주어졌다고 하자. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 사상 \(h_U : X_U \to Y_U\), 즉 \(U\) 위의 사상이 주어지고 제한 \(\rho^U_V\) 및 \(\sigma^U_V\)와 호환되며, 사상 \(\tau_U : h_U^*\mathcal{G}_U \to \mathcal{F}_U\)가 사상 \(\theta^U_V\) 및 \(\eta^U_V\)와 호환되도록 주어졌다고 하자. 함자성이란 이들로부터 스킴의 사상 \(h : X \to Y\), 즉 \(S\) 위의 사상이 생겨 이를 제한하면 사상 \(h_U\)들을 되찾고, 사상 \(h^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 생겨 이를 제한하면 사상 \(h_U\)들을 되찾는다는 뜻이다. 여기서 \((f : X \to S, \mathcal{F})\)는 데이터 \((f_U : X_U \to U, \mathcal{F}_U, \rho^U_V, \theta^U_V)\)에서 얻고, \((g : Y \to S, \mathcal{G})\)는 데이터 \((g_U : Y_U \to U, \mathcal{G}_U, \sigma^U_V, \eta^U_V)\)에서 얻는다.

확인 과정과 상대적 붙이기 데이터와 상대적 대상 사이의 “범주의 동치”를 적절히 서술하는 일은 생략한다.

붙이기를 통한 상대 스펙트럼

설정

여기서 \(S\)는 스킴이고 \(\mathcal{A}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-대수이다. 이는 \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 층이며 \(\mathcal{O}_S\)-가군으로서 준연접이라는 뜻이다.

이 절에서는 스킴의 사상 \[\underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 을 스펙트럼 \(\Spec(\Gamma(U, \mathcal{A}))\)들을 붙여 구성하는 방법을 개괄한다. 여기서 \(U\)는 \(S\)의 아핀 열린집합들을 달린다. 먼저 아핀 열린집합에서 취한 \(\mathcal{A}\)의 값들의 스펙트럼이 Lemma 01LH에서와 같은 적절한 스킴 모음을 이룬다는 것을 보인다.

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. \(U \subset U' \subset S\)가 아핀 열린집합들이라고 하자. \(A = \mathcal{A}(U)\) 및 \(A' = \mathcal{A}(U')\)라 하자. 환의 사상 \(A' \to A\)는 사상 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\)를 유도하고, 도식 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A') \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] 은 당김 정사각형이다.

증명

\(R = \mathcal{O}_S(U)\) 및 \(R' = \mathcal{O}_S(U')\)라 하자. 사상 \(R \otimes_{R'} A' \to A\)가 동형임에 유의하자. 이는 \(\mathcal{A}\)가 준연접이기 때문이다(예를 들어 Schemes, Lemma 01I9을 보라). 결과는 아핀 스킴의 올곱에 대한 Schemes, Lemma 01I4의 기술로부터 따른다.

특히 이 보조정리의 사상 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\)는 열린 몰입이다.

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. \(U \subset U' \subset U'' \subset S\)가 아핀 열린집합들이라고 하자. \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\) 및 \(A'' = \mathcal{A}(U'')\)라 하자. Lemma 01LN의 사상 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\)와 \(\Spec(A') \to \Spec(A'')\)의 합성은 Lemma 01LN의 사상 \(\Spec(A) \to \Spec(A'')\)를 준다.

증명

이는 사상 \(A'' \to A\)가 \(A'' \to A'\)와 \(A' \to A\)의 합성이기 때문에 따른다(\(\mathcal{A}\)가 층이기 때문이다).

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. 다음 성질을 지닌 스킴의 사상 \[\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 가 존재한다.

1. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 동형 \(i_U : \pi^{-1}(U) \to \Spec(\mathcal{A}(U))\)가 존재하며, 이는 \(U\) 위의 동형이고,

2. 아핀 열린집합 \(U \subset U' \subset S\)에 대해 합성 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{A}(U)) \ar[r]^{i_U^{-1}} & \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{inclusion} & & \pi^{-1}(U') \ar[r]^{i_{U'}} & \Spec(\mathcal{A}(U')) }\] 은 위 Lemma 01LN의 열린 몰입이다.

또한 \(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\)는 \(S\) 위의 유일한 동형을 제외하고 유일하다.

증명

Lemmas 01LH, 01LN, 그리고 01LO에서 곧바로 따른다. 유일성은 Lemma 01LH의 마지막 문장에 서술되어 있다.

함자로서의 상대 스펙트럼

Situation 01LM의 상황, 즉 \(S\)가 스킴이고 \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층인 상황에서 생각한다.

임의의 \(f : T \to S\)에 대해 당김 \(f^*\mathcal{A}\)는 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 준연접 층이다. 이제 쌍 \((f : T \to S, \varphi)\)를 생각할 텐데, 여기서 \(f\)는 스킴의 사상이고 \(\varphi : f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\)는 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 사상이다. 이는 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수 준동형 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\)를 주는 것과 같음에 유의하자. Sheaves, Lemma 008A을 보라. 또한 이는 \(\mathcal{O}_S\)-대수 사상 \(\varphi : \mathcal{A} \to f_*\mathcal{O}_T\)를 주는 것과 같다. Sheaves, Lemma 008Y를 보라. 앞으로 별도의 언급 없이 \(\varphi\)를 생각하는 이 세 방식을 모두 사용한다.

그러한 쌍 \((f : T \to S, \varphi)\)와 사상 \(a : T' \to T\)가 주어지면 두 번째 쌍 \((f' = f \circ a, \varphi' = a^*\varphi)\)를 얻으며, 이를 \((f, \varphi)\)의 당김이라고 부른다. \(\varphi' = a^*\varphi\)를 기술하는 한 방법은 합성 \(\mathcal{A} \to f_*\mathcal{O}_T \to f'_*\mathcal{O}_{T'}\)으로 보는 것이다. 여기서 두 번째 사상은 \(f_*a^\sharp\)이고 \(a^\sharp : \mathcal{O}_T \to a_*\mathcal{O}_{T'}\)이다. 이로써 함자를 정의하였다. [01LR]\[\begin{eqnarray} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ T & \longmapsto & F(T) = \{\text{pairs }(f, \varphi) \text{ as above}\} \nonumber \end{eqnarray}\]

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. 함자를 \(F\)라 하자. 이는 위에서 \((S, \mathcal{A})\)에 결부한 함자이다. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\)로 두자. 함자 \(F'\)를 위에서 \((S', \mathcal{A}')\)에 결부한 함자라 하자. 그러면 함자들의 표준 동형 \[F' \cong h_{S'} \times_{h_S} F\] 이 존재한다.

증명

쌍 \((f' : T \to S', \varphi' : (f')^*\mathcal{A}' \to \mathcal{O}_T)\)를 주는 것은 쌍 \((f, \varphi : f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T)\)와 함께 \(f\)의 분해 \(f = g \circ f'\)를 주는 것과 같다. 실제로 이 표기에서 \((f')^* \mathcal{A}' = (f')^*g^*\mathcal{A} = f^*\mathcal{A}\)이다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. 함자 \(F\)를 위에서 \((S, \mathcal{A})\)에 결부한 함자라 하자. \(S\)가 아핀이면 \(F\)는 아핀 스킴 \(\Spec(\Gamma(S, \mathcal{A}))\)으로 표현된다.

증명

\(S = \Spec(R)\) 및 \(A = \Gamma(S, \mathcal{A})\)라 쓰자. 그러면 \(A\)는 \(R\)-대수이고 \(\mathcal{A} = \widetilde A\)이다. 환의 사상 \(R \to A\)는 표준 사상 \[f_{univ} : \Spec(A) \longrightarrow S = \Spec(R).\] 을 준다. Schemes, Lemma 01I9에 의해 \(f_{univ}^*\mathcal{A} = \widetilde{A \otimes_R A}\)이다. 따라서 표준 사상 \[\varphi_{univ} : f_{univ}^*\mathcal{A} = \widetilde{A \otimes_R A} \longrightarrow \widetilde A = \mathcal{O}_{\Spec(A)}\] 이 존재하며, 이는 \(A\)-가군 사상 \(A \otimes_R A \to A\), \(a \otimes a' \mapsto aa'\)에서 온다. 이 경우 쌍 \((f_{univ}, \varphi_{univ})\)가 \(F\)를 표현한다고 주장한다. 다시 말해 임의의 스킴 \(T\)에 대해 사상 \[\Mor(T, \Spec(A)) \longrightarrow \{\text{pairs } (f, \varphi)\},\quad a \longmapsto (f_{univ} \circ a, a^*\varphi_{univ})\] 이 전단사라고 주장한다.

역사상을 구성하자. 임의의 쌍 \((f : T \to S, \varphi)\)에서 유도되는 환의 사상 \[\xymatrix{ A = \Gamma(S, \mathcal{A}) \ar[r]^{f^*} & \Gamma(T, f^*\mathcal{A}) \ar[r]^{\varphi} & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) }\] 을 얻는다. 이는 Schemes, Lemma 01I1에 의해 스킴의 사상 \(T \to \Spec(A)\)를 유도한다.

이 사상이 위에 표시된 사상의 역이라는 확인은 생략한다.

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. 함자 \(F\)는 스킴으로 표현가능이다.

증명

Schemes, Lemma 01JJ를 사용할 것이다.

먼저 \(F\)가 자리스키 위상에 대한 층 조건을 만족함을 확인한다. 구체적으로 \(T\)가 스킴이고 \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 열린 덮개이며, \((f_i, \varphi_i) \in F(U_i)\)가 \((f_i, \varphi_i)|_{U_i \cap U_j} = (f_j, \varphi_j)|_{U_i \cap U_j}\)를 만족한다고 하자. 그러면 사상 \(f_i : U_i \to S\)들은 스킴의 사상 \(f : T \to S\)로 붙으며 \(f|_{U_i} = f_i\)를 만족한다. Schemes, Section 01JA를 보라. 따라서 \(f_i^*\mathcal{A} = f^*\mathcal{A}|_{U_i}\)이고, 가정에 의해 사상 \(\varphi_i\)들은 \(U_i \cap U_j\) 위에서 일치한다. 그러므로 Sheaves, Section 00AK에 의해 이들은 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 사상 \(f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\)로 붙는다. 이로써 \(F\)가 자리스키 위상에 대한 층 조건을 만족함을 증명하였다.

\(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 아핀 열린 덮개라 하자. \(F_i \subset F\)를 쌍 \((f : T \to S, \varphi)\)들 중 \(f(T) \subset U_i\)를 만족하는 것들로 이루어진 부분함자라 하자.

각 \(F_i\)가 표현가능임을 보여야 한다. Lemma 01LS에 의해 \(F_i\)는 \(U_i\)에 준연접 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-대수 \(\mathcal{A}|_{U_i}\)를 갖추어 결부한 함자와 동일시되므로 이는 성립한다. 따라서 결과는 Lemma 01LT에서 따른다.

다음으로 \(F_i \subset F\)가 열린 몰입으로 표현가능임을 보인다. \((f : T \to S, \varphi) \in F(T)\)라 하자. \(V_i = f^{-1}(U_i)\)를 생각하자. \(F_i\)의 정의로부터 \(a : T' \to T\)가 주어졌을 때 \(a^*(f, \varphi) \in F_i(T')\)일 필요충분조건은 \(a(T') \subset V_i\)임을 알 수 있다. 이것이 보여야 했던 내용이다.

마지막으로 모음 \((F_i)_{i \in I}\)가 \(F\)를 덮는다는 것을 보여야 한다. \((f : T \to S, \varphi) \in F(T)\)라 하자. \(V_i = f^{-1}(U_i)\)를 생각하자. \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 \(S\)의 열린 덮개이므로 \(T = \bigcup_{i \in I} V_i\)가 \(T\)의 열린 덮개임을 알 수 있다. 또한 \((f, \varphi)|_{V_i} \in F_i(V_i)\)이다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

Situation 01LM에서 생각하자. Lemma 01LP에서 구성한 스킴 \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)와 함자 \(F\)를 표현하는 스킴은 \(S\) 위의 스킴으로서 표준적으로 동형이다.

증명

\(X \to S\)를 함자 \(F\)를 표현하는 스킴이라 하자. \(\mathcal{O}_S\)-대수의 층 \(\mathcal{R} = \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\)를 생각하자. \(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\)의 구성에 의해 동형 \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{R}(U)\)가 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 존재한다. 이는 Lemma 01LP의 (1)에서 따른다. 열린집합 \(U \subset U' \subset S\)에 대해 이 동형들은 제한 사상과 호환된다. 이는 Lemma 01LP의 (2)에서 따른다. 따라서 Sheaves, Lemma 009U에 의해 이 동형들은 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 동형 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{R}\)에서 온다. 따라서 이는 원소 \((\pi, \varphi) \in F(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A}))\)를 준다. \(X\)가 함자 \(F\)를 표현하므로 이에 대응하는 스킴의 사상 \(can : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to X\), 즉 \(S\) 위의 사상을 얻는다.

\(U \subset S\)를 임의의 아핀 열린집합이라 하자. \(F_U \subset F\)를 \(F\)의 부분함자로서, 쌍 \((f, \varphi)\)들 중 스킴 \(T\) 위에 있고 \(f(T) \subset U\)를 만족하는 것들에 대응하도록 정의하자. 밑변환 \(X_U\)가 \(F_U\)를 표현함은 분명하다. 한편 Lemma 01LT에 따르면 \(F_U\)는 \(\Spec(\mathcal{A}(U)) = \pi^{-1}(U)\)로 표현된다. 다시 말해 \(X_U \cong \pi^{-1}(U)\)이다. 이 동일시가 사상 \(can\)을 \(U\)로 밑변환하여 얻어진다는 확인은 생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층이라 하자. \(\mathcal{A}\)의 \(S\) 위 상대 스펙트럼, 또는 간단히 \(\mathcal{A}\)의 \(S\) 위 스펙트럼은 Lemma 01LP에서 구성되어 함자 \(F\) (01LR)를 표현하는 스킴이다. Lemma 01LV를 보라. 이를 \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)로 나타낸다. “보편족”은 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 사상 \[\mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\] 이다.

다음 보조정리는 특히 상대 스펙트럼을 만드는 것이 밑변환과 가환함을 말한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층이라 하자. \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)를 \(\mathcal{A}\)의 \(S\) 위 상대 스펙트럼이라 하자.

1. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 역상 \(\pi^{-1}(U)\)는 아핀이다.

2. 모든 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 \(S' \times_S \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) = \underline{\Spec}_{S'}(g^*\mathcal{A})\)이다.

3. 보편 사상 \[\mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\] 은 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 동형이다.

증명

(1)은 상대 스펙트럼을 붙이기로 기술한 데서 온다. Lemma 01LP를 보라. (2)는 Lemma 01LS에서 곧바로 따른다. (3)은 \(S\) 위에서 국소적인 명제이고, \(S\)가 아핀인 경우에는 예를 들어 Lemma 01LT에 의해 분명하므로 성립한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. Schemes, Lemma 01LC에 의해 층 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층이다. \(S\) 위의 스킴의 표준 사상 \[can : X \longrightarrow \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\] 이 존재한다. 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 제한 \(can|_{f^{-1}(U)}\)은 표준 사상 \[f^{-1}(U) \longrightarrow \Spec(\Gamma(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X))\] 과 동일시된다. 이 사상은 Schemes, Lemma 01I1에서 온다.

증명

이 사상은 \(\underline{\Spec}\)를 함자 \(F\)를 표현하는 스킴으로 정의한 데 따라 표준 사상 \(\varphi : f^*f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\)에서 온다. 이 사상은 당김과 밂의 수반성에 의해 \(\text{id} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\)에 대응한다. \(f^{-1}(U)\)로 제한한 것에 관한 명제는 아핀 위의 상대 스펙트럼에 대한 기술에서 따른다. Lemma 01LT를 보라.

아핀 n-공간

상대 스펙트럼의 응용으로서, 밑 스킴 위의 아핀 \(n\)-공간을 다음과 같이 정의한다. \(S\)를 밑 스킴이라 하자. 임의의 정수 \(n \geq 0\)에 대해 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층 \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n]\)을 생각할 수 있다. 이는 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 층으로서 다중지표로 지표화된 \(\mathcal{O}_S\)의 복사본들의 직합일 뿐이므로 준연접이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(n \geq 0\)이라 하자. \(S\) 위의 스킴 \[\mathbf{A}^n_S = \underline{\Spec}_S(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n])\] 을 아핀 \(n\)-공간(\(S\) 위)이라고 부른다. \(S = \Spec(R)\)가 아핀이면 이를 아핀 \(n\)-공간(\(R\) 위)이라고도 부르고 \(\mathbf{A}^n_R\)로 나타낸다.

\(\mathbf{A}^n_R = \Spec(R[T_1, \ldots, T_n])\)임에 유의하자. 스킴의 임의의 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 \(g^*\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] = \mathcal{O}_{S'}[T_1, \ldots, T_n]\)이고, 따라서 \(\mathbf{A}^n_{S'} = S' \times_S \mathbf{A}^n_S\)는 밑변환이다. 그러므로 아핀 \(n\)-공간을 다음 공식으로 달리 정의할 수도 있다. \[\mathbf{A}^n_S = S \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}.\] 또한 \(S\)-스킴 \(f : X \to S\)에서 \(\mathbf{A}^n_S\)로 가는 사상은 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준동형 \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] \to f_*\mathcal{O}_X\)로 주어진다. 이는 분명히 \(T_i\)들의 상을 주는 것과 같다. 다시 말해 \(X\)에서 \(\mathbf{A}^n_S\)로 가는 \(S\) 위의 사상을 주는 것은 \(n\)개의 원소 \(h_1, \ldots, h_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 주는 것과 같다.

벡터 다발

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 준연접 층이라 하자. Modules, Lemma 01CL에 의해 대칭 대수 \(\text{Sym}(\mathcal{E})\), 즉 \(\mathcal{E}\)의 \(\mathcal{O}_S\) 위의 대칭 대수는 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층이다. 따라서 상대 스펙트럼을 적용하는 것이 타당하다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자¹. \(\mathcal{E}\)에 결부한 벡터 다발은 \[\mathbf{V}(\mathcal{E}) = \underline{\Spec}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})).\] 이다.

\(\mathcal{E}\)에 결부한 벡터 다발에는 구조가 조금 더 주어진다. 즉, 등급화 \[\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{V}(\mathcal{E})} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n(\mathcal{E}).\] 가 있으며, 이는 \(\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{V}(\mathcal{E})}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수로 만든다. 반대로 \(\mathcal{E}\)를 그 차수 \(1\) 부분에서 복원할 수 있다. 따라서 추상 벡터 다발을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 벡터 다발 \(\pi : V \to S\)(\(S\) 위)은 아핀 사상으로서, \(\pi_*\mathcal{O}_V\)에 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 구조 \(\pi_*\mathcal{O}_V = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{E}_n\)이 주어지고, \(\mathcal{E}_0 = \mathcal{O}_S\)이며, 사상 \[\text{Sym}^n(\mathcal{E}_1) \longrightarrow \mathcal{E}_n\] 이 모든 \(n \geq 0\)에 대해 동형인 스킴의 사상이다. \(S\) 위의 벡터 다발의 사상은 유도된 사상 \(f : V \to V'\)가 \[f^* : \pi'_*\mathcal{O}_{V'} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_V\] 로 주어진 등급화와 호환되도록 하는 사상이다.

\(S\) 위 벡터 다발의 한 예는 아핀 \(n\)-공간 \(\mathbf{A}^n_S\), 즉 \(S\) 위의 아핀 공간이다. Definition 01M0를 보라. 이는 \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] = \text{Sym}(\mathcal{O}_S^{\oplus n})\)이기 때문에 성립한다.

보조정리

스킴 \(S\) 위의 벡터 다발의 범주는 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 범주와 반동치이다.

증명

생략한다. 힌트: 한 방향에서는 함자 \(\underline{\Spec}_S(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_S}(-))\)를 사용하고, 다른 방향에서는 함자 \((\pi : V \to S) \leadsto (\pi_*\mathcal{O}_V)_1\)을 사용한다. 여기서 아래첨자는 차수 \(1\) 부분을 취한다는 뜻이다.

원뿔

대수기하학에서 원뿔은 등급 대수에 대응한다. 우리의 규약에 따르면 등급 환 또는 대수 \(A\)에는 음이 아닌 정수에 의한 등급화 \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\)가 주어진다. Algebra, Section 00JL를 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 등급 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-대수라 하자. \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{A}_0\)가 동형이라고 가정하자². \(\mathcal{A}\)에 결부한 원뿔, 또는 \(\mathcal{A}\)에 결부한 아핀 원뿔은 \[C(\mathcal{A}) = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}).\] 이다.

등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 층에 결부한 원뿔에는 구조가 조금 더 주어진다. 즉, 등급화 \[\pi_*\mathcal{O}_{C(\mathcal{A})} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\] 를 얻는다. 따라서 추상 원뿔을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 원뿔 \(\pi : C \to S\)(\(S\) 위)은 아핀 사상으로서, \(\pi_*\mathcal{O}_C\)에 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 구조 \(\pi_*\mathcal{O}_C = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\)이 주어지고 \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}_S\)를 만족하는 스킴의 사상이다. 원뿔의 사상 \(\pi : C \to S\)에서 \(\pi' : C' \to S\)로 가는 것은 사상 \(f : C \to C'\)로서, 유도된 사상 \[f^* : \pi'_*\mathcal{O}_{C'} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_C\] 이 주어진 등급화와 호환되는 것이다.

모든 벡터 다발은 원뿔의 예이다. 실제로 \(S\) 위 벡터 다발의 범주는 \(S\) 위 원뿔의 범주의 충만한 부분범주이다.

등급 환의 Proj

이 절에서는 [EGA, II, Section 2]를 따라 등급 환의 Proj를 구성한다.

\(S\)를 등급 환이라 하자. 위상공간 \(\text{Proj}(S)\)를 생각하자. 이는 \(S\)에 결부한 공간이다. Algebra, Section 00JM를 보라. 이 공간에 환의 층 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)를 주어, 얻어진 쌍 \((\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\)이 스킴이 되게 할 것이다.

\(\text{Proj}(S)\)에는 열린집합 \(D_{+}(f)\)들로 이루어진 기저가 있음을 상기하자. 여기서 \(f \in S_d\), \(d \geq 1\)이며, 이 열린집합들을 표준 열린집합이라고 부른다. Algebra, Section 00JM를 보라. 이 용어는 명시하지 않더라도 언제나 \(f\)가 양의 차수를 갖는 동차원소임을 뜻한다. 또한 두 표준 열린집합의 교집합도 표준 열린집합이며, \(D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)\)이다. 여기서 \(f, g \in S\)는 양의 차수를 갖는 동차원소들이다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(f \in S\)를 양의 차수를 갖는 동차원소라 하자.

1. \(g\in S\)가 양의 차수를 갖는 동차원소이고 \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\)이면 다음이 성립한다.

   1. \(f\)는 \(S_g\)에서 가역이고, \(f^{\deg(g)}/g^{\deg(f)}\)는 \(S_{(g)}\)에서 가역이다.

   2. \(g^e = af\)이며, 여기서 어떤 \(e \geq 1\) 및 동차원소 \(a \in S\)가 존재한다.

   3. 표준 \(S\)-대수 사상 \(S_f \to S_g\)가 존재한다.

   4. 표준 \(S_0\)-대수 사상 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\)가 존재하며, 사상 \(S_f \to S_g\)와 호환된다.

   5. 사상 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\)는 동형 \[(S_{(f)})_{g^{\deg(f)}/f^{\deg(g)}} \cong S_{(g)},\] 을 유도한다.

   6. 이 사상들은 위상공간의 가환도식 \[\xymatrix{ D_{+}(g) \ar[d] & \{\mathbf{Z}\text{-graded primes of }S_g\} \ar[l] \ar[r] \ar[d] & \Spec(S_{(g)}) \ar[d] \\ D_{+}(f) & \{\mathbf{Z}\text{-graded primes of }S_f\} \ar[l] \ar[r] & \Spec(S_{(f)}) }\] 을 유도하며, 수평 사상들은 위상동형이고 수직 사상들은 열린 몰입이다.

   7. 서로 호환되는 표준 \(S_f\)-가군 및 \(S_{(f)}\)-가군 사상 \(M_f \to M_g\) 및 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)가 임의의 등급 \(S\)-가군 \(M\)에 대해 존재한다.

   8. 사상 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)는 동형 \[(M_{(f)})_{g^{\deg(f)}/f^{\deg(g)}} \cong M_{(g)}.\] 을 유도한다.

2. \(D_{+}(f)\)의 임의의 열린 덮개는 꼴 \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\)의 유한 열린 덮개로 세분된다.

3. \(g_1, \ldots, g_n \in S\)를 양의 차수를 갖는 동차원소들이라 하자. \(D_{+}(f) \subset \bigcup D_{+}(g_i)\)일 필요충분조건은 \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\)가 \(S_{(f)}\)에서 단위원 아이디얼을 생성하는 것이다.

증명

\(D_{+}(g) = \Spec(S_{(g)})\)이며, 그 동일시는 환의 사상 \(S \to S_g \leftarrow S_{(g)}\)가 줌을 상기하자. Algebra, Lemma 00JP를 보라. 따라서 \(f^{\deg(g)}/g^{\deg(f)}\)는 \(S_{(g)}\)의 원소로서 어느 소 아이디얼에도 속하지 않으므로 가역이다. Algebra, Lemma 00E0를 보라. 이로써 (a)가 성립한다. \(f\)의 \(S_g\)에서의 역원을 \(a/g^d\)로 쓰자. \(a\)를 차수 \(d\deg(g) - \deg(f)\)인 동차성분으로 바꾸어도 된다. 이는 \(g^d - af\)가 \(g\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다는 뜻이므로 \(g^e = af\)이고, 여기서 어떤 동차원소 \(a \in S\)의 차수는 \(e\deg(g) - \deg(f)\)이다. 이로써 (b)를 증명하였다. (c)의 경우, (a)와 국소화의 보편성에 의해 사상 \(S_f \to S_g\)가 존재한다. 또는 \(b/f^n\)을 \(a^nb/g^{ne}\)로 보내어 정의할 수 있다. 이는 차수 영인 원소들의 부분환에도 사상 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\)를 분명히 유도한다. 마찬가지로 \(M_f \to M_g\)와 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)를 \(x/f^n\)을 \(a^nx/g^{ne}\)로 보내어 정의할 수 있다. \(S_{(g)}\) 및 \(M_{(g)}\)를 각각 \(S_{(f)}\) 및 \(M_{(f)}\)의 주국소화로 나타낸 명제들은 위 공식에서 분명하다. 위상공간의 가환도식에 있는 사상들은 위에서 주어진 환의 사상들에 대응한다. 수평 화살표들은 Algebra, Lemma 00JP에 의해 위상동형이다. 왼쪽 수직 화살표가 열린 부분집합의 포함이므로 수직 화살표들은 열린 몰입이다.

열린집합 \(D_{+}(f)\)는 \(\Spec(S_{(f)})\)와 위상동형이므로 준콤팩트이다. Algebra, Lemma 00E8를 보라. 따라서 표준 열린집합들이 위상의 기저를 이룬다는 사실에서 두 번째 명제가 바로 따른다.

세 번째 명제는 Algebra, Lemma 00E0에서 바로 따른다.

Sheaves, Section 009H에서 기저 위의 층이라는 개념을 정의하고, 이것이 공간 위의 층이라는 개념과 본질적으로 동치임을 보였다. Sheaves, Lemmas 009N 및 009Q를 보라. 또한 Sheaves, Lemma 009L에서 각 표준 열린집합에 대해 열린 덮개들의 공종 체계에서 층 조건을 확인하는 것으로 충분함을 보였다. 위 보조정리에 의해 표준 열린집합들로 이루어진 유한 덮개에서 확인하면 충분하다.

정의

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(D_{+}(f) \subset \text{Proj}(S)\)가 표준 열린집합이라고 하자. \(D_{+}(f)\)의 표준 열린 덮개란 덮개 \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\)를 말하며, 여기서 \(g_1, \ldots, g_n \in S\)는 양의 차수를 갖는 동차원소들이다.

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(M\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. 표준 열린집합들의 기저 위에서 앞층 \(\widetilde M\)을 정의할 것이다. \(U \subset \text{Proj}(S)\)가 표준 열린집합이라고 하자. \(f, g \in S\)가 양의 차수를 갖는 동차원소들이며 \(D_{+}(f) = D_{+}(g)\)라고 하자. 위 Lemma 01M4에 의해 서로 역인 표준 사상 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)와 \(M_{(g)} \to M_{(f)}\)가 존재한다. 따라서 임의의 \(f\)를 \(U = D_{+}(f)\)를 만족하도록 택하여 \[\widetilde M(U) = M_{(f)}.\] 로 정의할 수 있다. \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\)이면, 위 Lemma 01M4에 의해 표준 사상 \[\widetilde M(D_{+}(f)) = M_{(f)} \longrightarrow M_{(g)} = \widetilde M(D_{+}(g)).\] 이 존재함에 유의하자. 이는 표준 열린집합들의 기저 위에서 아벨군의 앞층을 분명히 정의한다. \(M = S\)이면 \(\widetilde S\)는 표준 열린집합들의 기저 위에서 환의 앞층이다. 일반적인 \(M\)에 대해서는 \(\widetilde M\)이 표준 열린집합들의 기저 위에서 \(\widetilde S\)-가군의 앞층임을 알 수 있다.

\(\widetilde M\)의 점 \(x \in \text{Proj}(S)\)에서의 줄기를 계산하자. \(x\)가 동차 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset S\)에 대응한다고 하자. 줄기의 정의에 의해 \[\widetilde M_x = \colim_{f\in S_d, d > 0, f\not\in \mathfrak p} M_{(f)}\] 이다. 여기서 집합 \(\{f \in S_d, d > 0, f \not \in \mathfrak p\}\)에는 규칙 \(f \geq f' \Leftrightarrow D_{+}(f) \subset D_{+}(f')\)으로 전순서를 준다. \(f_1, f_2 \in S \setminus \mathfrak p\)가 양의 차수를 갖는 동차원소들이면 이 순서에서 \(f_1f_2 \geq f_1\)이다. Algebra, Section 00JM에서 \(M_{(\mathfrak p)}\)를 원소가 분수 \(x/f\)인 가군으로 정의하였다. 여기서 \(x, f\)는 동차원소이고 \(\deg(x) = \deg(f)\)이며 \(f \not \in \mathfrak p\)이다. \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)이므로 양의 차수를 갖는 동차원소 \(f_0 \in S\) 중 \(f_0 \not\in \mathfrak p\)인 것이 적어도 하나 존재한다. 따라서 \(x/f = f_0x/ff_0\)이고, \(M_{(\mathfrak p)}\)의 원소의 분모는 언제나 양의 차수를 갖는다고 가정해도 됨을 알 수 있다. 이 고찰들로부터 \[\widetilde M_x = M_{(\mathfrak p)}.\] 가 쉽게 따른다.

다음으로 표준 열린 덮개에 대한 층 조건을 확인한다. \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\)이면 이 덮개에 대한 층 조건은 수열 \[0 \to M_{(f)} \to \bigoplus M_{(g_i)} \to \bigoplus M_{(g_ig_j)}.\] 의 완전성과 동치이다. \(D_{+}(g_i) = D_{+}(fg_i)\)임에 유의하자. 따라서 이 수열을 다음 수열로 다시 쓸 수 있다. \[0 \to M_{(f)} \to \bigoplus M_{(fg_i)} \to \bigoplus M_{(fg_ig_j)}.\] Lemma 01M4에 의해 \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\)는 \(S_{(f)}\)에서 단위원 아이디얼을 생성하고, 가군 \(M_{(fg_i)}\) 및 \(M_{(fg_ig_j)}\)는 \(S_{(f)}\)-가군 \(M_{(f)}\)을 이 원소들 및 그 곱에서 주국소화한 것이다. 따라서 가군 \(M_{(f)}\), 즉 \(S_{(f)}\) 위의 가군과 원소들 \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\)에 Algebra, Lemma 00EK을 적용할 수 있다. 이로부터 수열이 완전임을 얻는다. 위 고찰들에 의해 \(\widetilde M\)은 표준 열린집합들의 기저 위의 층이다.

따라서 Sheaves, Section 009H의 내용으로부터 유일한 환의 층 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)가 존재하며 표준 열린집합 위에서 \(\widetilde S\)와 일치한다고 결론 내린다. 위의 줄기 계산과 Algebra, Lemma 00JR에 의해 이 환의 층의 모든 줄기는 국소환임에 유의하자.

마찬가지로 임의의 등급 \(S\)-가군 \(M\)에 대해 유일한 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)가 존재하며, 표준 열린집합 위에서 \(\widetilde M\)과 일치한다. Sheaves, Lemma 009T을 보라.

정의

\(S\)를 등급 환이라 하자.

1. 구조층 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)(\(S\)의 동차 스펙트럼의)은 유일한 환의 층 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)이며, 표준 열린집합들의 기저 위에서 \(\widetilde S\)와 일치한다.

2. 국소 환 달린 공간 \((\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\)을 \(S\)의 동차 스펙트럼이라 부르고 \(\text{Proj}(S)\)로 나타낸다.

3. \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 층 중 \(\widetilde M\)을 \(\text{Proj}(S)\)의 모든 열린집합으로 확장하는 것을 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 층으로서 \(M\)에 결부한 층이라고 부른다. 이 층도 \(\widetilde M\)으로 나타낸다.

지금까지 얻은 결과들을 요약한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(M\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. \(\widetilde M\)을 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 층으로서 \(M\)에 결부한 층이라 하자.

1. 양의 차수를 갖는 모든 동차원소 \(f \in S\)에 대해 \[\Gamma(D_{+}(f), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(f)}.\] 이다.

2. 양의 차수를 갖는 모든 동차원소 \(f\in S\)에 대해 \(\Gamma(D_{+}(f), \widetilde M) = M_{(f)}\)이며, 이는 \(S_{(f)}\)-가군의 동일시이다.

3. \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\)일 때마다 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)와 \(\widetilde M\) 위의 제한 사상은 Lemma 01M4의 사상 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\) 및 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)이다.

4. \(\mathfrak p\)를 \(S\)의 동차 소 아이디얼로서 \(S_{+}\)를 포함하지 않는 것이라 하고, \(x \in \text{Proj}(S)\)를 이에 대응하는 점이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S), x} = S_{(\mathfrak p)}\)이다.

5. \(\mathfrak p\)를 \(S\)의 동차 소 아이디얼로서 \(S_{+}\)를 포함하지 않는 것이라 하고, \(x \in \text{Proj}(S)\)를 이에 대응하는 점이라 하자. 그러면 \((\widetilde M)_x = M_{(\mathfrak p)}\)이며, 이는 \(S_{(\mathfrak p)}\)-가군의 동일시이다.

6. 표준 환의 사상 \(S_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde S)\) 과 표준 \(S_0\)-가군 사상 \(M_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde M)\) 이 존재하며, 위의 표준 열린집합 위의 단면 및 줄기에 대한 기술과 호환된다.

또한 이 동일시들은 모두 등급 \(S\)-가군 \(M\)에 대해 함자적이다. 특히 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)은 등급 \(S\)-가군의 범주에서 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 범주로 가는 완전 함자이다.

증명

(1)–(5)는 위 논의에서 분명하다. (6)은 제한 사상과 호환되는 표준 사상 \(M_0 \to M_{(f)}\), \(x \mapsto x/1\)이 존재하기 때문에 성립한다. 여기서 제한 사상은 (3)에 기술되어 있다. 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)의 완전성은 함자 \(M \mapsto M_{(\mathfrak p)}\)가 완전이라는 사실(Algebra, Lemma 00JR를 보라)과 짧은 완전열의 완전성을 줄기에서 확인할 수 있다는 사실에서 따른다. Modules, Lemma 01AG을 보라.

주

\(M_0\)에서 \(\widetilde M\)의 전역 단면으로 가는 사상은 일반적으로 동형과는 거리가 멀다. 자명한 예로 \(S = k[x, y, z]\)를 \(1 = \deg(x) = \deg(y) = \deg(z)\)가 되게 취하고(또는 임의 개수의 변수를 취하고) \(M = S/(x^{100}, y^{100}, z^{100})\)을 취하자. 그러면 \(\widetilde M = 0\)이지만 \(M_0 = k\)임을 쉽게 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(f \in S\)를 양의 차수를 갖는 동차원소라 하자. \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\)가 표준 열린집합이라고 하자. 그러면 양의 차수를 갖는 어떤 동차원소 \(h \in S\)가 존재하여, Algebra, Lemma 00JP의 위상동형 아래 \(D(g)\)가 \(D_{+}(h) \subset D_{+}(f)\)에 대응한다. 실제로 \(h\)를 \(g = h/f^n\)을 어떤 \(n\)에 대해 만족하도록 취할 수 있다.

증명

\(g = h/f^n\)으로 쓰되, 여기서 \(h\)는 양의 차수를 갖는 어떤 동차원소이고 \(n \geq 1\)이라 하자. \(D_{+}(h)\)가 \(D_{+}(f)\)에 포함되지 않으면 \(h\)를 \(hf\)로, \(n\)을 \(n + 1\)로 바꾼다. 그러면 \(h\)는 필요한 꼴을 가지며 \(D_{+}(h) \subset D_{+}(f)\)는 \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\)에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. 국소 환 달린 공간 \(\text{Proj}(S)\)는 스킴이다. 표준 열린집합 \(D_{+}(f)\)들은 아핀 열린집합이다. 임의의 등급 \(S\)-가군 \(M\)에 대해 층 \(\widetilde M\)은 준연접 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 층이다.

증명

표준 열린집합 \(D_{+}(f) \subset \text{Proj}(S)\)를 생각하자. Lemmas 01M4 및 01M7에 의해 \(\Gamma(D_{+}(f), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(f)}\)이고, 위상동형 \(\varphi : D_{+}(f) \to \Spec(S_{(f)})\)가 존재한다. 임의의 표준 열린집합 \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\)에 대해 Lemma 01MA에서와 같은 \(h \in S_{+}\)를 택할 수 있다. 그러면 \(\varphi^{-1}(D(g)) = D_{+}(h)\)이고, Lemmas 01M7 및 01M4에 의해 \[\Gamma(D_{+}(h), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(h)} = (S_{(f)})_{h^{\deg(f)}/f^{\deg(h)}} = (S_{(f)})_g = \Gamma(D(g), \mathcal{O}_{\Spec(S_{(f)})}).\] 임을 알 수 있다. 따라서 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)를 \(D_{+}(f)\)에 제한한 것은 위상동형 \(\varphi\)를 통해 Schemes, Section 01HR에서 정의한 층 \(\mathcal{O}_{\Spec(S_{(f)})}\)에 정확히 대응한다. 이에 따라 \(D_{+}(f)\)는 \(\Spec(S_{(f)})\)와 \(\varphi\)를 통해 동형인 아핀 스킴이고, \(\text{Proj}(S)\)는 스킴이라고 결론 내린다.

똑같은 방식으로 \(\widetilde M\)이 준연접 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군의 층임을 보인다. 실제로 위 논증은 \[\widetilde M|_{D_{+}(f)} \cong \varphi^*\left(\widetilde{M_{(f)}}\right)\] 을 보여 주고, 이는 \(\widetilde M\)이 준연접임을 보인다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. 스킴 \(\text{Proj}(S)\)는 분리이다.

증명

표준 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 분리임을 보여야 한다. Schemes, Lemma 01KP를 사용할 것이다. 따라서 임의의 두 표준 열린집합 \(D_{+}(f)\)와 \(D_{+}(g)\)에 대해 \(D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)\)가 아핀임(이는 분명하다)과 환의 사상 \[S_{(f)} \otimes_{\mathbf{Z}} S_{(g)} \longrightarrow S_{(fg)}\] 이 전사임을 보이면 충분하다. 임의의 원소 \(s\)는 \(S_{(fg)}\)에서 \(s = h/(f^ng^m)\) 꼴이며, 여기서 \(h \in S\)는 차수 \(n\deg(f) + m\deg(g)\)인 동차원소이다. \(h\)에 적당한 단항식 \(f^ig^j\)를 곱하여 \(n = n' \deg(g)\)이고 \(m = m' \deg(f)\)이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(s\)를 \(s = h/f^{(n' + m')\deg(g)} \cdot f^{m'\deg(g)}/g^{m'\deg(f)}\)로 다시 쓸 수 있다. 따라서 \(s\)는 실제로 표시된 화살표의 상에 속한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. 스킴 \(\text{Proj}(S)\)가 준콤팩트일 필요충분조건은 유한 개의 동차원소 \(f_1, \ldots, f_n \in S_{+}\)가 존재하여 \(S_{+} \subset \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)를 만족하는 것이다. 이 경우 \(\text{Proj}(S) = D_+(f_1) \cup \ldots \cup D_+(f_n)\)이다.

증명

그러한 원소 모음이 주어지면 표준 아핀 열린집합 \(D_{+}(f_i)\)들이 \(\text{Proj}(S)\)를 덮는다. Algebra, Lemma 00JP를 보라. 반대로 \(\text{Proj}(S)\)가 준콤팩트이면 유한 개의 표준 열린집합 \(D_{+}(f_i)\), \(i = 1, \ldots, n\)으로 덮을 수 있고, 위에서 인용한 보조정리에 의해 \(S_{+} \subset \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. 스킴 \(\text{Proj}(S)\)에는 아핀 스킴 \(\Spec(S_0)\)로 가는 표준 사상이 있으며, 이는 Algebra, Definition 00JN에서 오는 위상공간의 사상과 일치한다.

증명

위에서 \(\widetilde S\) 및 \(\widetilde M\)의 구성이 각각 \(S_0\)-대수의 층 및 \(S_0\)-가군의 층을 준다는 것을 보았다. 따라서 Schemes, Lemma 01I1에 의해 사상을 얻는다. 이 사상을 \(D_{+}(f)\)에 제한하면 표준 환의 사상 \(S_0 \to S_{(f)}\)에서 온다. 사상 \(S \to S_f\), \(S_{(f)} \to S_f\)는 \(S_0\)-대수 사상이다. Lemma 01M4을 보라. 따라서 동차 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset S\)가 \(\mathbf{Z}\)-등급 소 아이디얼 \(\mathfrak p' \subset S_f\)와 (보통의) 소 아이디얼 \(\mathfrak p'' \subset S_{(f)}\)에 대응한다면, 이들은 각각 \(S_0\)에서 같은 역상을 갖는다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(S\)가 \(S_0\) 위의 대수로서 유한 생성이면 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\)는 값매김 판정법의 존재성과 유일성 부분을 만족한다. Schemes, Definition 01KD을 보라.

증명

유일성 부분은 \(\text{Proj}(S)\)가 분리라는 사실에서 따른다(Lemma 01MC 및 Schemes, Lemma 01KZ). 동차원소 \(x_i \in S_{+}\), \(i = 1, \ldots, n\)을 택하자. 이들은 \(S\)를 \(S_0\) 위에서 생성하도록 택한다. \(d_i = \deg(x_i)\)라 하고 \(d = \text{lcm}\{d_i\}\)로 두자. Schemes, Definition 01KD에서와 같은 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \text{Proj}(S) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(S_0) }\] 이 주어졌다고 하자. \(v : K^* \to \Gamma\)를 \(A\)의 값매김이라 나타내자. Algebra, Definition 00IE을 보라. 양의 차수를 갖는 동차원소 \(f \in S_{+}\)를 \(\Spec(K)\)의 상이 \(D_{+}(f)\)에 들어가도록 택할 수 있다. 그러면 환 사상들의 가환도식 \[\xymatrix{ K & S_{(f)} \ar[l]^{\varphi} \\ A \ar[u] & S_0 \ar[l] \ar[u] }\] 을 얻는다. 번호를 바꾸어, \(\varphi(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i})\)가 \(i = 1, \ldots, r\)에 대해서는 영이 아니고 \(i = r + 1, \ldots, n\)에 대해서는 영이라고 가정할 수 있다. 열린집합 \(D_{+}(x_i)\)들이 \(\text{Proj}(S)\)를 덮으므로 \(r \geq 1\)임을 알 수 있다. \(i_0 \in \{1, \ldots, r\}\)을 \(\gamma_i = (d/d_i)v(\varphi(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i}))\)를 \(\Gamma\)에서 최소로 만드는 지표라 하자. 편의를 위해 \(x_0 = x_{i_0}\) 및 \(d_0 = d_{i_0}\)로 둔다. 환의 사상 \(\varphi\)는 사상 \(\varphi' : S_{(fx_0)} \to K\)를 통해 분해되고, 이는 환의 사상 \(S_{(x_0)} \to S_{(fx_0)} \to K\)를 준다. 대수 \(S_{(x_0)}\)는 \(S_0\) 위에서 원소 \(x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}/x_0^{e_0}\)들로 생성된다. 여기서 \(\sum e_i d_i = e_0 d_0\)이다. \(e_i > 0\)인 어떤 \(i > r\)가 존재하면 \(\varphi'(x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}/x_0^{e_0}) = 0\)이다. \(e_i = 0\)이 \(i > r\)에 대해 성립하면 \[\begin{align*} d \deg(f) v(\varphi'(x_1^{e_1} \ldots x_r^{e_r}/x_0^{e_0})) & = d v(\varphi'(x_1^{e_1 \deg(f)} \ldots x_r^{e_r \deg(f)}/x_0^{e_0 \deg(f)})) \\ & = d \sum e_i v(\varphi'(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i})) - e_0 v(\varphi'(x_0^{\deg(f)}/f^{d_0})) \\ & = \sum e_i d_i \gamma_i - e_0 d_0 \gamma_0 \\ & \geq \sum e_i d_i \gamma_0 - e_0 d_0 \gamma_0 = 0 \end{align*}\] 이다. 이는 \(\gamma_0\)가 \(\gamma_i\)들 가운데 최소이기 때문이다. 따라서 \(S_{(x_0)}\)는 \(A\) 안으로 \(\varphi'\)를 통해 사상된다. 이에 대응하는 스킴의 사상 \(\Spec(A) \to \Spec(S_{(x_0)}) = D_{+}(x_0) \subset \text{Proj}(S)\) 은 이 증명의 첫 번째 가환도식에 맞는 사상을 제공한다.

Lemma 01MF의 증명에서 그 보조정리의 가정 아래 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\)가 준콤팩트이기도 함을 보았다. 따라서 Schemes, Proposition 01KF에 의해 보조정리의 상황에서 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\)는 보편 닫힌이다. 다음 여러 예는 등급 환 \(S\)에 어떤 가정도 두지 않으면 이 결과들이 성립하지 않음을 보여 준다.

예

\(\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots]\)를 등급 \(\mathbf{C}\)-대수로 생각하되, 각 \(X_i\)의 차수를 \(1\)로 둔다. \(X_i\)를 \(t^{1/i}\)로 보내는 환의 사상 \[\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots] \longrightarrow \mathbf{C}[t^\alpha ; \alpha \in \mathbf{Q}_{\geq 0}]\] 을 생각하자. 오른쪽 환을 국소화하면 값매김환 \(A\)가 되며, 국소화하는 아이디얼은 \(\mathfrak m = (t^\alpha ; \alpha > 0)\)이다. \(K\)를 \(A\)의 분수체라 하자. 위 사상은 \(\Spec(K) \to \text{Proj}(\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots])\)를 주지만, 이는 \(\Spec(A)\) 전체에서 정의된 사상으로 확장되지 않는다. 그 까닭은 \(\Spec(A)\)의 상이 어느 \(D_{+}(X_i)\) 안에 포함되어야 하는데, 그러면 \(X_{i + 1}/X_i\)가 \(A\)의 원소로 가야 하지만 실제로는 \(t^{1/(i + 1) - 1/i}\)로 가므로 그렇지 않기 때문이다.

예

\(R = \mathbf{C}[t]\)라 하고 \[S = R[X_1, X_2, X_3, \ldots]/(X_i^2 - tX_{i + 1}).\] 로 두자. 등급화는 \(R = S_0\)이고 \(\deg(X_i) = 2^{i - 1}\)이 되게 한다. \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)이면 \(t \not \in \mathfrak p\)임에 유의하자. 그렇지 않으면 \(\mathfrak p\)가 모든 \(X_i\)를 포함해야 하는데, 동차 스펙트럼의 원소에는 이것이 허용되지 않기 때문이다. 따라서 \(D_{+}(X_i) = D_{+}(X_{i + 1})\)가 모든 \(i\)에 대해 성립함을 알 수 있다. 그러므로 \(\text{Proj}(S)\)는 준콤팩트이고, 실제로 \(D_{+}(X_1)\)과 같으므로 아핀이다. \(\text{Proj}(S) \to \Spec(R)\)의 상이 \(D(t)\)임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(R)\)는 닫힌 사상이 아니다. 그러므로 값매김 판정법을 적용할 수 없다. 적용할 수 있다면 이 사상이 닫힌 사상임을 함의하기 때문이다(Schemes, Proposition 01KF를 보라).

예

\(A\)를 환이라 하자. \(S = A[T]\)를 등급 \(A\)-대수로서 \(T\)의 차수가 \(1\)이게 하자. 그러면 표준 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\)는 동형이다(Lemma 01ME를 보라).

예

\(X = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. \(A[T]\)를 \(\deg T = 1\)로 두어 등급화하자. \(S\)를 \(A[T]\)의 부분환으로서 \(A\)와 모든 \(fT^i\)로 생성된 것이라 정의하자. 여기서 \(i \ge 0\)이고 \(f \in A\)는 \(D(f) \subset U\)를 만족한다. \(S\)는 등급 환이고 \(S_0 = A\)이며 \(\text{Proj}(S) \cong U\)이고, 이 동형은 Lemma 01ME의 표준 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\)를 포함 \(U \subset X\)와 동일시한다고 주장한다.

\(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)가 모든 \(fT \in S_1\)을 \(\mathfrak p\)에 포함한다고 하자. 그러면 모든 생성원 \(fT^i\) 중 \(i \ge 1\)인 것이 \(\mathfrak p\)에 속한다. 실제로 \((fT^i)^2 = (fT)(fT^{2i-1}) \in \mathfrak p\)이고 \(\mathfrak p\)는 근기 아이디얼이기 때문이다. 그러나 그러면 \(\mathfrak p \supset S_+\)이며, 이는 불가능하다. 따라서 \(\text{Proj}(S)\)는 표준 아핀 열린 부분집합 \(\{D_+(fT)\}_{fT \in S_1}\)들로 덮인다.

\(fT \in S_1\)이면 포함 \(S \subset A[T]\)가 \(S[(fT)^{-1}]\)과 \(A[T, T^{-1}, f^{-1}]\) 사이의 등급 동형을 유도함에 유의하자. 따라서 표준 열린 부분집합 \(D_+(fT) \cong \Spec(S_{(fT)})\)는 \(\Spec(A[T, T^{-1}, f^{-1}]_0) = \Spec(A[f^{-1}])\)와 동형이다. 이 동형이 표준 사상 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\)의 제한임은 분명하다. 또한 \(gT \in S_1\)이면 \(S[(fT)^{-1}, (gT)^{-1}] \cong A[T, T^{-1}, f^{-1}, g^{-1}]\)이 등급 환의 동형이므로 \(D_+(fT) \cap D_+(gT) \cong \Spec(A[f^{-1}, g^{-1}])\)이다. 그러므로 \(\text{Proj}(S)\)는 열린 부분스킴 \(D_+(fT)\)들의 합집합이고, 이들은 표준 사상 아래 열린 부분스킴 \(D(f) \subset X\)와 동형이며, 이 열린 부분스킴들은 \(\text{Proj}(S)\) 안에서 \(X\) 안에서와 같은 방식으로 교차한다. 따라서 표준 사상은 \(\text{Proj}(S)\)에서 모든 \(D(f) \subset U\)의 합집합으로 가는 동형이며, 그 합집합은 \(U\)이다.

Proj 위의 준연접 층

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(M\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. Lemma 01M7에서 준연접 가군의 층 \(\widetilde{M}\), 즉 \(\text{Proj}(S)\) 위의 층과 사상 [0AG1]\[\begin{equation} M_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M}) \end{equation}\] 을 구성하는 방법을 보았다. 이 사상은 차수 \(0\) 부분, 즉 \(M\)의 그 부분에서 \(\widetilde{M}\)의 전역 단면으로 간다. 차수 \(0\) 부분은 \(n\)번째 꼬임 \(M(n)\)을 등급 가군 \(M\)에 대해 취했을 때(Algebra, Section 00JL를 보라) \(M_n\)과 같다. 따라서 사상 [0AG2]\[\begin{equation} M_n \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M(n)}). \end{equation}\] 을 얻을 수 있다. 임의의 준연접 층 \(\mathcal{F}\), 즉 \(\text{Proj}(S)\) 위의 층에 대해서도 이 연산을 수행하고 싶다. 이를 위해 구조층의 \(n\)번째 꼬임과 텐서곱을 취할 것이다. Definition 01MN를 보라. 두 개념을 관련짓기 위해 다음 보조정리를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \((X, \mathcal{O}_X) = (\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\)를 Lemma 01MB의 스킴이라 하자. \(f \in S_{+}\)를 동차원소라 하자. \(x \in X\)를 동차 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset S\)에 대응하는 점이라 하자. \(M\), \(N\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. 표준 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-가군 사상 \[\widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N \longrightarrow \widetilde{M \otimes_S N}\] 이 존재하며, 이는 표준 사상 \(M_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\) 을 \(D_{+}(f)\) 위의 단면에서 유도하고 표준 사상 \(M_{(\mathfrak p)} \otimes_{S_{(\mathfrak p)}} N_{(\mathfrak p)} \to (M \otimes_S N)_{(\mathfrak p)}\) 을 \(x\)에서의 줄기에서 유도한다. 또한 도식 \[\xymatrix{ M_0 \otimes_{S_0} N_0 \ar[r] \ar[d] & (M \otimes_S N)_0 \ar[d] \\ \Gamma(X, \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N) \ar[r] & \Gamma(X, \widetilde{M \otimes_S N}) }\] 은 가환하며, 여기서 수직 사상들은 (0AG1)로 주어진다.

증명

표시된 것과 같은 사상을 구성하는 것은 \(\mathcal{O}_X\)-쌍선형 사상 \[\widetilde M \times \widetilde N \longrightarrow \widetilde{M \otimes_S N}\] 을 구성하는 것과 같다. Modules, Section 01CA을 보라. 제한 사상들과 호환되도록 열린집합 \(D_{+}(f)\) 위의 단면에서 이를 정의하면 충분하다. \(D_{+}(f)\) 위에서는 \(S_{(f)}\)-쌍선형 사상 \(M_{(f)} \times N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\), \((x/f^n, y/f^m) \mapsto (x \otimes y)/f^{n + m}\)을 사용한다. 세부사항은 생략한다.

주

일반적으로 위 Lemma 01MK에서 구성한 사상은 동형이 아니다. 다음은 한 예이다. \(k\)를 체라 하자. \(S = k[x, y, z]\)라 하고, \(k\)는 차수 \(0\)에 두며 \(\deg(x) = 1\), \(\deg(y) = 2\), \(\deg(z) = 3\)으로 둔다. \(M = S(1)\) 및 \(N = S(2)\)라 하자. 표기법은 Algebra, Section 00JL를 보라. 그러면 \(M \otimes_S N = S(3)\)이다. 다음에 유의하자. \[\begin{eqnarray*} S_z & = & k[x, y, z, 1/z] \\ S_{(z)} & = & k[x^3/z, xy/z, y^3/z^2] \cong k[u, v, w]/(uw - v^3) \\ M_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot x + S_{(z)} \cdot y^2/z \subset S_z \\ N_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot y + S_{(z)} \cdot x^2 \subset S_z \\ S(3)_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot z \subset S_z \end{eqnarray*}\] 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = (u, v, w) \subset S_{(z)}\)를 생각하자. \(M_{(z)}/\mathfrak mM_{(z)}\)와 \(N_{(z)}/\mathfrak mN_{(z)}\)는 모두 차원 \(2\)이고, 이는 \(\kappa(\mathfrak m)\) 위에서의 차원임을 어렵지 않게 알 수 있다. 그러나 \(S(3)_{(z)}/\mathfrak mS(3)_{(z)}\)의 차원은 \(1\)이다. 따라서 사상 \(M_{(z)} \otimes N_{(z)} \to S(3)_{(z)}\)는 동형이 아니다.

Proj 위의 가역층

등급 환 위의 등급 가군에 결부한 꼬인 가군 \(M(n)\)의 구성을 Algebra, Section 00JL에서 상기하자.

정의

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)라 하자.

1. \(\mathcal{O}_X(n) = \widetilde{S(n)}\)로 정의한다. 이를 \(n\)번째 구조층의 꼬임(\(\text{Proj}(S)\)의)이라고 부른다.

2. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n)\)로 둔다.

Lemma 01MK을 사용하여 몇 가지 표준 사상을 구성한다. \(S(n) \otimes_S S(m) = S(n + m)\)이므로 표준 사상 [01MO]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X(n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(m) \longrightarrow \mathcal{O}_X(n + m). \end{equation}\] 들이 존재한다. 일반적으로 이 사상들은 동형이 아니다. Remark 01ML의 예를 보라. 같은 예는 일반적으로 \(\mathcal{O}_X(n)\)이 \(X\) 위의 가역층이 아니다라는 것도 보여 준다. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 텐서곱을 취하면 사상 [03GJ]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X(n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}(m) \longrightarrow \mathcal{F}(n + m). \end{equation}\] 을 얻는다. 전역 단면 위의 사상 (0AG2)들은 등급 환의 사상 [01MP]\[\begin{equation} S \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)). \end{equation}\] 을 준다. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해서도 사상 (03GJ)들은 등급 가군 구조 [03GK]\[\begin{equation} \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \times \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(m)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(m)) \end{equation}\] 을 주고, (01MP)을 통해 \(S\)-가군 구조도 준다. 더 일반적으로 임의의 등급 \(S\)-가군 \(M\)이 주어지면 \(M(n) = M \otimes_S S(n)\)이다. 따라서 사상 [01MQ]\[\begin{equation} \widetilde M(n) = \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n) \longrightarrow \widetilde{M(n)}. \end{equation}\] 을 얻는다. 전역 단면 위에서 (0AG2)은 등급 \(S\)-가군의 사상 [01MR]\[\begin{equation} M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M(n)}). \end{equation}\] 을 정의한다. 다음은 정의에서 거의 곧바로 따르는 중요한 사실이다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. \(f \in S\)를 차수 \(d > 0\)인 동차원소라 하자. 층 \(\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)}\)은 가역이고, 실제로 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 자명하다(Modules, Definition 01CS를 보라). \(D_{+}(f)\)에 제한한 (01MO)의 사상 \[\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{O}_X(m)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \mathcal{O}_X(nd + m)|_{D_{+}(f)},\] \(D_+(f)\)에 제한한 (03GJ)의 사상 \[\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{F}(m)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \mathcal{F}(nd + m)|_{D_{+}(f)},\] 그리고 \(D_{+}(f)\)에 제한한 (01MQ)의 사상 \[\widetilde M(nd)|_{D_{+}(f)} = \widetilde M|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \widetilde{M(nd)}|_{D_{+}(f)}\] 은 모든 \(n, m \in \mathbf{Z}\)에 대해 동형이다.

증명

등급 \(S\)-가군 사상 \(S \to S(nd)\) 및 \(M \to M(nd)\)은 \(x \mapsto f^n x\)로 주어지며, \(f\)를 가역화한 뒤 동형이 된다. 첫 번째 사상은 \(S_{(f)} \cong S(nd)_{(f)}\)임을 보여 주며, 이는 동형 \(\mathcal{O}_{D_{+}(f)} \cong \mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)}\)을 준다. 두 번째 사상은 사상 \(S(nd)_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} M_{(f)} \to M(nd)_{(f)}\)이 동형임을 보여 준다. 사상 (03GJ)의 경우는 사상 (01MO)의 경우에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(M\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. \(X\)가 표준 열린집합 \(D_+(f)\)들로 덮이고 \(f \in S_1\)이라고 가정하자. 예를 들어 \(S\)가 \(S_1\)로 \(S_0\) 위에서 생성되면 그러하다. 그러면 층 \(\mathcal{O}_X(n)\)들은 가역이고 사상 (01MO), (03GJ), 그리고 (01MQ)은 동형이다. 특히 이 사상들은 동형 \[\mathcal{O}_X(1)^{\otimes n} \cong \mathcal{O}_X(n) \quad \text{and} \quad \widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n) = \widetilde{M}(n) \cong \widetilde{M(n)}\] 을 유도한다. 따라서 (0AG2)은 사상 [0AG3]\[\begin{equation} M_n \longrightarrow \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \end{equation}\] 이 되고, (01MR)은 사상 [0AG4]\[\begin{equation} M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M}(n)). \end{equation}\] 이 된다.

증명

보조정리의 가정 아래 \(X\)는 열린 부분집합 \(D_{+}(f)\)들로 덮이며 \(f \in S_1\)이다. 따라서 이 보조정리는 위 Lemma 01MS의 결과이다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. 정수 \(d \geq 1\)을 고정하자. 다음 \(X\)의 열린 부분집합들은 서로 같다.

1. 가장 큰 열린 부분집합 \(W = W_d \subset X\)로서, 각 \(\mathcal{O}_X(dn)|_W\)가 가역이고 모든 곱셈 사상 \(\mathcal{O}_X(nd)|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(md)|_W \to \mathcal{O}_X(nd + md)|_W\) 이 동형이 되는 것. (01MO)를 보라.

2. 열린 부분집합 \(D_{+}(fg)\)들의 합집합. 여기서 \(f, g \in S\)는 동차원소이고 \(\deg(f) = \deg(g) + d\)이다.

또한 모든 사상 \(\widetilde M(nd)|_W = \widetilde M|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(nd)|_W \to \widetilde{M(nd)}|_W\) 은 동형이다. (01MQ)를 보라.

증명

\(x \in D_{+}(fg)\)이고 \(\deg(f) = \deg(g) + d\)이면 \(D_{+}(fg)\) 위에서 층 \(\mathcal{O}_X(dn)\)은 원소 \((f/g)^n = f^{2n}/(fg)^n\)로 생성된다. Lemma 01MS의 증명에서와 같이 논증하면, 이는 \(x\)가 (1)에서 정의한 열린 부분집합 \(W\)에 속함을 뜻한다.

반대로 \(\mathcal{O}_X(dn)\)이 모든 \(n\)에 대해 어떤 열린 근방 \(V\)에서 계수 1의 자유 가군이고, 이 근방은 \(x \in X\)의 근방이며, 모든 곱셈 사상 \(\mathcal{O}_X(nd)|_V \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{O}_X(md)|_V \to \mathcal{O}_X(nd + md)|_V\)가 동형이라고 하자. 양의 차수를 갖는 동차원소 \(h \in S_{+}\)를 \(x \in D_{+}(h) \subset V\)가 되게 택할 수 있다. 구조층의 꼬임의 정의로부터 원소 \(s\)가 \((S_h)_d\)에 존재하여, \(s^n\)이 \((S_h)_{nd}\)의 \(S_{(h)}\) 위 기저가 되고 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립함을 얻는다. \(s = f/h^m\)으로 쓸 수 있는데, 여기서 어떤 \(m \geq 1\) 및 \(f \in S_{d + m \deg(h)}\)가 존재한다. \(g = h^m\)로 두면 \(s = f/g\)이다. 구성에 의해 \(x \in D_{+}(g)\)임에 유의하자. 또한 \(g^d \in (S_h)_{d\deg(g)}\)임에 유의하자. 가정에 의해 이를 \(s^{\deg(g)} = f^{\deg(g)}/g^{\deg(g)}\)의 배수, 즉 \(g^d = a/g^e \cdot f^{\deg(g)}/g^{\deg(g)}\)로 쓸 수 있다. 따라서 \(g^{d + e + \deg(g)} = a f^{\deg(g)}\)이고 \(x \in D_{+}(f)\)이기도 하다. 그러므로 \(x\)는 (2)에서 정의한 집합의 원소이다.

생성 단면 \(s = f/g\)가 아핀 열린집합 \(D_{+}(fg)\) 위에 존재하고, 그 거듭제곱들이 가군의 층 \(\mathcal{O}_X(nd)\)을 자유롭게 생성한다. 이 사실은 곱셈 사상 \(\widetilde M(nd)|_W = \widetilde M|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(nd)|_W \to \widetilde{M(nd)}|_W\) 이 동형임을 쉽게 함의한다. (01MQ)를 보라. Lemma 01MS의 증명과 비교하라.

가역층 \(\mathcal{L}\)이 국소 환 달린 공간 \(X\) 위에 주어지고, 전역 단면 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)에 주어졌을 때 집합 \(X_s = \{x \in X \mid s \not \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\)가 열린집합임을 Modules, Lemma 01CY에서 상기하자.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. 정수 \(d \geq 1\)을 고정하자. \(W = W_d \subset X\)를 Lemma 01MU에서 정의한 열린 부분스킴이라 하자. \(n \geq 1\) 및 \(f \in S_{nd}\)라 하자. \(s \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W(nd))\)를 \(f\)의 상인 단면이라 나타내자. 이 상은 (01MP)을 \(W\)로 제한하여 얻는다. 그러면 \[W_s = D_{+}(f) \cap W.\] 이다.

증명

\(D_{+}(ab) \subset W\)를 표준 아핀 열린집합이라 하자. 여기서 \(a, b \in S\)는 동차원소이고 \(\deg(a) = \deg(b) + d\)이다. \(D_{+}(ab) \cap D_{+}(f) = D_{+}(abf)\)임에 유의하자. 한편 \(s\)를 \(D_{+}(ab)\)에 제한한 것은 원소 \(f/1 = b^nf/a^n (a/b)^n \in (S_{ab})_{nd}\)에 대응한다. Lemma 01MU의 증명에서 \((a/b)^n\)이 \(\mathcal{O}_W(nd)\)의 생성원임을 보았으며, 이는 \(D_{+}(ab)\) 위에서의 생성원이다. 따라서 \(W_s \cap D_{+}(ab)\)는 \(b^nf/a^n \in \mathcal{O}_X(D_{+}(ab))\)에 결부한 주 열린집합이다. 이로부터 보조정리의 결과가 분명하다.

다음 보조정리는 나중에 풍부한 가역층을 지닌 스킴을 특징짓는 데 사용할 성질들을 서술한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)라 하자. \(Y \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{O}_Y(n)\)을 \(\mathcal{O}_X(n)\)을 \(Y\)에 제한한 것으로 나타내자. 다음을 만족하는 정수 \(d \geq 1\)이 존재한다.

1. 부분스킴 \(Y\)는 Lemma 01MU에서 정의한 열린집합 \(W_d\)에 포함된다.

2. 층 \(\mathcal{O}_Y(dn)\)은 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 가역이다.

3. Equation (01MO)의 모든 사상 \(\mathcal{O}_Y(nd) \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(m) \longrightarrow \mathcal{O}_Y(nd + m)\) 은 동형이다.

4. 모든 사상 \(\widetilde M(nd)|_Y = \widetilde M|_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X(nd)|_Y \to \widetilde{M(nd)}|_Y\) 은 동형이다. (01MQ)를 보라.

5. \(f \in S_{nd}\)가 주어졌을 때 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\)를 \(f\)의 상으로 나타내자. 이는 (01MP)을 \(Y\)로 제한하여 얻는다. 그러면 \(D_{+}(f) \cap Y = Y_s\)이다.

6. \(Y\)의 위상의 기저는 열린집합 \(Y_s\)들의 모음으로 주어지며, 여기서 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\)이고 \(n \geq 1\)이다.

7. \(Y\)의 위상의 기저는 아핀인 열린집합 \(Y_s \subset Y\)들로 주어지며, 여기서 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\)이고 \(n \geq 1\)이다.

증명

\(Y\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 동차원소 \(f_i \in S_{+}\), \(i = 1, \ldots, n\)이 존재하여 표준 열린집합 \(D_{+}(f_i)\)들이 \(Y\)의 열린 덮개를 이룬다. \(d_i = \deg(f_i)\)라 하고 \(d = d_1 \ldots d_n\)으로 두자. \(D_{+}(f_i) = D_{+}(f_i^{d/d_i})\)임에 유의하자. 따라서 Lemma 01MU의 특징 (2)에 의해, 또는 Lemma 01MS을 이용한 특징 (1)에 의해 \(Y \subset W_d\)임을 곧바로 알 수 있다. (1)은 Lemma 01MU에 의해 (2), (3), (4)를 함의한다. ((3)은 (4)의 특수한 경우임에 유의하자.) (5)는 Lemma 01MV에서 따른다. (6)과 (7)은 열린 부분집합 \(D_{+}(f)\)들이 \(X\)의 위상의 기저를 이루고 아핀이기 때문에 따른다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)로 두고, 이를 등급 \(S\)-가군으로 보되, (03GK) 및 (01MP)을 사용한다. 그러면 표준 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \[\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] 이 존재한다. 이는 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이며, 유도된 사상 \(M_0 \to \Gamma(X, \mathcal{F})\)는 항등사상이다.

증명

\(f \in S\)를 차수 \(d > 0\)인 동차원소라 하자. Lemma 01M7에 의해 \(\widetilde{M}|_{D_{+}(f)}\)는 \(S_{(f)}\)-가군 \(M_{(f)}\)에 대응함을 상기하자. 따라서 표준 사상 \[M_{(f)} \longrightarrow \Gamma(D_+(f), \mathcal{F}),\quad m/f^n \longmapsto m|_{D_+(f)} \otimes f|_{D_+(f)}^{-n}\] 을 정의할 수 있다. 이는 \(f|_{D_+(f)}\)가 가역층 \(\mathcal{O}_X(d)|_{D_+(f)}\)의 자명화 단면이므로 의미가 있다. Lemma 01MS과 그 증명을 보라. \(\widetilde{M}\)이 준연접이므로 Schemes, Lemma 01I7을 통해 표준 사상 \[\widetilde{M}|_{D_+(f)} \longrightarrow \mathcal{F}|_{D_+(f)}\] 을 얻는다. 표시된 사상들이 겹침 위에서 붙는다는 것을 증명하면 전역 사상을 얻는다. 그 증명은 생략한다. 마지막 명제의 증명도 생략한다.

Proj의 함자성

등급 환의 사상 \(\psi : A \to B\)가 언제나 결부한 사영 동차 스펙트럼의 사상을 주는 것은 아니다. 그 이유는 역상 \(\psi^{-1}(\mathfrak q)\)이, 동차 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)의 역상으로서, 무관 소 아이디얼 \(A_{+}\)를 포함할 수 있기 때문이다. 이는 \(\mathfrak q\)가 \(B_{+}\)를 포함하지 않을 때도 가능하다. 올바른 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(A\), \(B\)를 두 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\) 및 \(Y = \text{Proj}(B)\)로 두자. \(\psi : A \to B\)를 등급 환의 사상이라 하자. 다음과 같이 두자. \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{f \in A_{+}\ \text{homogeneous}} D_{+}(\psi(f)) \subset Y.\] 그러면 스킴의 표준 사상 \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow X\] 과 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-대수의 사상 \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] 이 존재한다. 삼중쌍 \((U(\psi), r_\psi, \theta)\)은 다음 성질들로 특징지어진다.

1. 모든 \(d \geq 0\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ A_d \ar[d] \ar[rr]_{\psi} & & B_d \ar[d] \\ \Gamma(X, \mathcal{O}_X(d)) \ar[r]^-\theta & \Gamma(U(\psi), \mathcal{O}_Y(d)) & \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(d)) \ar[l] }\] 은 가환한다.

2. 임의의 동차원소 \(f \in A_{+}\)에 대해 \(r_\psi^{-1}(D_{+}(f)) = D_{+}(\psi(f))\)이고, \(r_\psi\)를 \(D_{+}(\psi(f))\)에 제한한 것은 환의 사상 \(A_{(f)} \to B_{(\psi(f))}\)에 대응하며, 이 사상은 \(\psi\)가 유도한다.

증명

조건 (2)가 스킴의 사상과 열린 부분집합 \(U(\psi)\)를 유일하게 결정함은 분명하다. \(f \in A_d\)를 택하되 \(d \geq 1\)이라 하자. \(\mathcal{O}_X(n)|_{D_{+}(f)}\)은 \(A_{(f)}\)-가군 \((A_f)_n\)에 대응하고, \(\mathcal{O}_Y(n)|_{D_{+}(\psi(f))}\)은 \(B_{(\psi(f))}\)-가군 \((B_{\psi(f)})_n\)에 대응함에 유의하자. 다시 말해 \(\theta\)를 \(D_{+}(\psi(f))\)에 제한하면 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(B_{(\psi(f))}\)-대수의 사상 \[A_f \otimes_{A_{(f)}} B_{(\psi(f))} \longrightarrow B_{\psi(f)}\] 에 대응한다. 조건 (1)은 \(A\)의 모든 원소의 상을 결정한다. \(f\)는 가역원이고 \(\psi(f)\)로 사상되므로, \(1/f^m\)은 \(1/\psi(f)^m\)으로 사상된다. 이로부터 \(\theta\)가 유일하게 결정되고 다음 규칙으로 주어짐이 쉽게 따른다. \[a/f^m \otimes b/\psi(f)^e \longmapsto \psi(a)b/\psi(f)^{m + e}.\] 존재성을 보이기 위해, 위의 유일성 증명이 사상 \(r\)과 사상 \(\theta\)를 꼴 \(D_{+}(\psi(f)) \subset U(\psi)\)인 모든 표준 열린집합에서 \(D_{+}(f)\)로 제한했을 때 잘 정의하는 처방도 주었음을 지적하자. 이들을 \(r_f\)와 \(\theta_f\)라 부르자. 따라서 \(D_{+}(f) \subset D_{+}(g)\)가 어떤 동차원소 \(f, g \in A_{+}\)에 대해 성립하면 \(r_g\)를 \(D_{+}(\psi(f))\)에 제한한 것이 \(r_f\)와 일치함만 확인하면 된다. 이는 위에서 \(r\)과 \(\theta\)에 대해 준 공식들로부터 분명하다.

보조정리

\(A\), \(B\), \(C\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\), \(Y = \text{Proj}(B)\) 및 \(Z = \text{Proj}(C)\)로 두자. \(\varphi : A \to B\), \(\psi : B \to C\)를 등급 환의 사상이라 하자. 그러면 \[U(\psi \circ \varphi) = r_\psi^{-1}(U(\varphi)) \quad \text{and} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] 또한 자명한 표기 아래 \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] 가 성립한다.

증명

생략한다.

보조정리

위의 Lemma 01MY와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(A_d \to B_d\)가 모든 \(d \gg 0\)에 대해 전사라고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. \(r_\psi : Y \to X\)는 닫힌 몰입이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 전사이지만 일반적으로 동형은 아니다(\(A \to B\)가 전사인 경우에도 그러하다).

증명

(1)은 \(U(\psi)\)의 정의와 \(D_{+}(f) = D_{+}(f^n)\)가 임의의 \(n > 0\)에 대해 성립한다는 사실에서 따른다. 동차원소 \(f \in A_{+}\)에 대해 \(A_{(f)} \to B_{(\psi(f))}\)가 전사임을 알 수 있다. 실제로 \(B_{(\psi(f))}\)의 임의의 원소는 분수 \(b/\psi(f)^n\)으로 나타낼 수 있고, 이때 \(n\)을 얼마든지 크게 택할 수 있다(따라서 \(b \in B\)의 차수는 커질 수밖에 없다). 이로써 (2)를 증명하였다. 같은 논증은 사상 \[A_f \to B_{\psi(f)}\] 이 전사임을 보이며, 따라서 \(\theta\)의 전사성이 따른다. 이 사상이 동형이 아닌 예로, 등급 환 \(A = k[x, y]\)를 생각하자. 여기서 \(k\)는 체이고 \(\deg(x) = 1\), \(\deg(y) = 2\)이다. \(I = (x)\)로 두면 \(B = k[y]\)이다. 이 경우 \(\mathcal{O}_Y(1) = 0\)임에 유의하자. 그러나 \(r_\psi^*\mathcal{O}_X(1)\)이 영이 아님은 쉽게 알 수 있다. (이보다 덜 인위적인 예들도 있다.)

보조정리

위의 Lemma 01MY와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(A_d \to B_d\)가 모든 \(d \gg 0\)에 대해 동형이라고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. \(r_\psi : Y \to X\)는 동형이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 동형이다.

증명

Lemma 01N0에 의해 (1)이 성립한다. \(f \in A_{+}\)를 동차원소라 하자. \(\psi\)에 대한 가정은 \(A_f \to B_f\)가 동형임을 함의한다(세부사항은 생략한다). 따라서 \(r_\psi\)와 \(\theta\)를 \(D_{+}(f)\) 위로 제한하면 동형이 됨은 분명하다. 보조정리가 따른다.

보조정리

위의 Lemma 01MY와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(A_d \to B_d\)가 \(d \gg 0\)에 대해 전사이고 \(A\)가 \(A_1\)에 의해 \(A_0\) 위에서 생성된다고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. \(r_\psi : Y \to X\)는 닫힌 몰입이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 동형이다.

증명

Lemmas 07ZE 및 01MZ에 의해 \(B\)를 \(A \to B\)의 상으로 바꾸어도 \(X\) 또는 층 \(\mathcal{O}_X(n)\)은 바뀌지 않는다. 따라서 \(A \to B\)가 전사라고 가정해도 된다. Lemma 01N0에 의해 (1), (2) 및 (3)의 전사성을 얻는다. Lemma 01MT에 의해 \(\mathcal{O}_X(n)\)과 \(\mathcal{O}_Y(n)\)은 모두 가역이다. 따라서 \(\theta\)는 동형이다.

보조정리

위의 Lemma 01MY와 같은 가정과 표기를 사용하자. 환의 사상 \(R \to A_0\)과 환의 사상 \(R \to R'\)이 존재하여 \(B = R' \otimes_R A\)가 된다고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. 도식 \[\xymatrix{ Y = \text{Proj}(B) \ar[r]_{r_\psi} \ar[d] & \text{Proj}(A) = X \ar[d] \\ \Spec(R') \ar[r] & \Spec(R) }\] 은 올곱 도식이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 동형이다.

증명

표준 열린집합 \(D_{+}(f)\) 위에서 일어나는 일을 살펴보면 곧바로 따른다. 여기서 \(f \in A_{+}\)이다.

보조정리

위의 Lemma 01MY와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(g \in A_0\)가 존재하여 \(\psi\)가 동형 \(A_g \to B\)를 유도한다고 가정하자. 그러면 \(U(\psi) = Y\)이고 \(r_\psi : Y \to X\)는 열린 몰입이며, \(Y\)를 \(D(g) \subset \Spec(A_0)\)의 역상과 동형으로 만든다. 또한 사상 \(\theta\)는 동형이다.

증명

이는 위의 Lemma 01N2의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(d \geq 1\)이라 하자. Algebra, Section 00JL의 표기를 사용하여 \(S' = S^{(d)}\)로 두자. \(X = \text{Proj}(S)\) 및 \(X' = \text{Proj}(S')\)로 두자. 다음을 만족하는 스킴의 표준 동형 \(i : X \to X'\)이 존재한다.

1. 임의의 등급 \(S\)-가군 \(M\)에 대해 \(M' = M^{(d)}\)로 두면 표준 동형 \(\widetilde{M} \to i^*\widetilde{M'}\)이 존재한다.

2. 표준 동형 \(\mathcal{O}_{X}(nd) \to i^*\mathcal{O}_{X'}(n)\)이 존재한다.

이 동형들은 Lemma 01MK의 곱셈 사상들과 호환되며, 따라서 사상 (01MO), (03GJ), (01MP), (03GK), (01MQ) 및 (01MR)과도 호환된다 (정확한 진술은 증명을 보라).

증명

단사인 환 사상 \(S' \to S\)(우리의 규약 아래 이는 등급 환의 준동형이 아니다)는 사상 \(j : \Spec(S) \to \Spec(S')\)를 유도한다. 등급 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset S\)가 주어지면 \(\mathfrak p' = j(\mathfrak p) = S' \cap \mathfrak p\)는 \(S'\)의 등급 소 아이디얼임을 알 수 있다. 또한 \(f \in S_+\)가 동차이고 \(f \not \in \mathfrak p\)이면 \(f^d \in S'_+\)이고 \(f^d \not \in \mathfrak p'\)이다. 역으로, 등급 소 아이디얼 \(\mathfrak p' \subset S'\)가 주어지고 이것이 어떤 동차원소 \(f \in S'_+\)를 포함하지 않으면, \(\mathfrak p = \{g \in S \mid g^d \in \mathfrak p'\}\)는 \(S\)의 등급 소 아이디얼이고 \(f\)를 포함하지 않으며, \(j\)에 의한 그 상은 \(\mathfrak p'\)이다. \(\mathfrak p\)가 아이디얼임을 보이기 위해 \(g, h \in \mathfrak p\)이면 이항 공식에 의해 \((g + h)^{2d} \in \mathfrak p'\)이고, 따라서 \(g + h \in \mathfrak p'\)이다. 여기서 \(\mathfrak p'\)가 소 아이디얼임을 사용하였다. 이와 같이 \(j\)가 위상동형 \(i : X \to X'\)을 유도함을 알 수 있다. 더 나아가 동차원소 \(f \in S_+\)가 주어지면 \(S_{(f)} \cong S'_{(f^d)}\)이다. 이 동형들은 Lemma 01M4의 제한 사상들과 호환되므로, 동형 \(i^\sharp : i^{-1}\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\)가 \(X\)와 \(X'\) 위의 구조층 사이에 존재한다. 따라서 \(i\)는 스킴의 동형이다.

\(M\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. 동차원소 \(f \in S_+\)가 주어지면 \(M_{(f)} \cong M'_{(f^d)}\)이므로, 위와 정확히 같은 방식으로 (1)의 동형을 얻는다. (2)의 동형들은 \(M = S(nd)\)인 경우의 (1)이며, 이때 \(M' = S'(n)\)이다. \(M\)과 \(N\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. 그러면 \[M' \otimes_{S'} N' = (M \otimes_S N)^{(d)} = (M \otimes_S N)'\] 이고, 이는 정의로부터 직접 확인할 수 있다. 이제 Lemma 01MK의 곱셈 사상과의 호환성은 도식 \[\xymatrix{ \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N \ar[d]_{(1) \otimes (1)} \ar[r] & \widetilde{M \otimes_S N} \ar[d]^{(1)} \\ i^*(\widetilde{M'} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \widetilde{N'}) \ar[r] & i^*(\widetilde{M' \otimes_{S'} N'}) }\] 의 가환성이다. 이는 열린집합 \(D_+(f) = D_+(f^d)\) 위에서 사상들의 구성을 살펴보면 알 수 있다. 위쪽 수평 화살표는 사상 \(M_{(f)} \times N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\)으로 주어지고, 아래쪽 수평 화살표는 사상 \(M'_{(f^d)} \times N'_{(f^d)} \to (M' \otimes_{S'} N')_{(f^d)}\)으로 주어진다. 이 사상들은 식별 \(M_{(f)} = M'_{(f^d)}\) 등을 통해 일치하므로 원하는 호환성을 얻는다. 다른 호환성들의 증명은 생략한다.

Proj로의 사상

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)를 \(S\)의 동차 스펙트럼이라 하자. \(d \geq 1\)을 정수라 하자. 열린 부분스킴 [01N5]\[\begin{equation} U_d = \bigcup\nolimits_{f \in S_d} D_{+}(f) \quad\subset\quad X = \text{Proj}(S) \end{equation}\] 을 생각하자. \(d | d' \Rightarrow U_d \subset U_{d'}\)이고 \(X = \bigcup_d U_d\)임에 유의하자. \(X\)와 \(U_d\) 어느 쪽도 준콤팩트일 필요가 없다. Algebra, Lemma 00JP를 보라. \(\mathcal{O}_{U_d}(n) = \mathcal{O}_X(n)|_{U_d}\)로 쓰자. Lemma 01MS에 의해 \(\mathcal{O}_{U_d}(nd)\)는 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 가역 \(\mathcal{O}_{U_d}\)-가군이고, (01MO)의 모든 곱셈 사상 \(\mathcal{O}_{U_d}(nd) \otimes_{\mathcal{O}_{U_d}} \mathcal{O}_{U_d}(m) \to \mathcal{O}_{U_d}(nd + m)\)은 동형임을 안다. 특히 \(\mathcal{O}_{U_d}(nd) \cong \mathcal{O}_{U_d}(d)^{\otimes n}\)이다. 전역 단면 위의 등급 환 사상 (01MP)과 \(U_d\)로의 제한을 합성하면 등급 환의 준동형 [01N6]\[\begin{equation} \psi^d : S^{(d)} \longrightarrow \Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)). \end{equation}\] 을 얻는다. 표기 \(S^{(d)}\)에 대해서는 Algebra, Section 00JL를 보라. 표기 \(\Gamma_*\)에 대해서는 Modules, Definition 01CV를 보라. 또한 \(U_d\)는 열린집합 \(D_{+}(f)\), \(f \in S_d\)로 덮이므로, \(\mathcal{O}_{U_d}(d)\)는 \(\psi^d_1 : S^{(d)}_1 = S_d \to \Gamma(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d))\)의 상에 속하는 단면들에 의해 전역 생성됨을 알 수 있다. Modules, Definition 01AM를 보라.

\(Y\)를 스킴이라 하고 \(\varphi : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. 상 \(\varphi(Y)\)가 열린 부분스킴 \(U_d\)에 포함된다고 가정하자. 이는 \(X\)의 열린 부분스킴이다. Modules, Definition 01CV 뒤의 논의에 의해 등급 환의 준동형 \[\Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)) \longrightarrow \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d)).\] 을 얻는다. 이를 \(\psi^d\)와 합성하면 등급 환의 준동형 [01N7]\[\begin{equation} \psi_\varphi^d : S^{(d)} \longrightarrow \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d)) \end{equation}\] 을 얻으며, 이는 가역층 \(\varphi^*\mathcal{O}_X(d)\)가 \((S^{(d)})_1 = S_d \to \Gamma(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d))\)의 상에 속하는 단면들에 의해 전역 생성된다는 성질을 가진다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하고 \(X = \text{Proj}(S)\)라 하자. \(d \geq 1\) 및 위와 같은 \(U_d \subset X\)를 택하자. \(Y\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역층이라 하자. \(\psi : S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\)를 등급 환의 준동형이라 하고, \(\mathcal{L}\)이 \(\psi|_{S_d} : S_d \to \Gamma(Y, \mathcal{L})\)의 상에 속하는 단면들에 의해 생성된다고 가정하자. 그러면 사상 \(\varphi : Y \to X\)로서 \(\varphi(Y) \subset U_d\)를 만족하는 것과 동형 \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_{U_d}(d) \to \mathcal{L}\)이 존재하여, \(\psi_\varphi^d\)가 \(\psi\)와 \(\alpha\)를 통해 일치한다. 즉, \[\xymatrix{ \Gamma_*(Y, \mathcal{L}) & \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_{U_d}(d)) \ar[l]^-\alpha & \Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)) \ar[l]^-{\varphi^*} \\ S^{(d)} \ar[u]^\psi & & S^{(d)} \ar[u]^{\psi^d} \ar[ul]^{\psi^d_\varphi} \ar[ll]_{\text{id}} }\] 은 가환한다. 또한 쌍 \((\varphi, \alpha)\)는 유일하다.

증명

\(f \in S_d\)를 택하자. \(s = \psi(f) \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)로 나타내자. \(Y_s\)를 \(s\)가 영이 되지 않는 열린집합이라 하자. 이 위에서 \(s\)에 의한 곱셈은 동형 \(\mathcal{O}_{Y_s} \to \mathcal{L}|_{Y_s}\)을 유도한다. Modules, Lemma 01CY을 보라. 이 사상의 역을 \(x \mapsto x/s\)로 나타내고, \(\mathcal{L}\)의 거듭제곱에 대해서도 같은 표기를 사용하겠다. 이를 이용하여 환의 사상 \(\psi_{(f)} : S_{(f)} \to \Gamma(Y_s, \mathcal{O}_Y)\)을 정의하되, 분수 \(a/f^n\)을 \(\psi(a)/s^n\)으로 보낸다. Schemes, Lemma 01I1에 의해 이는 사상 \(\varphi_f : Y_s \to \Spec(S_{(f)}) = D_{+}(f)\)에 대응한다. 또한 동형 \(\alpha_f : \varphi_f^*\mathcal{O}_{D_{+}(f)}(d) \to \mathcal{L}|_{Y_s}\)을 도입한다. 이는 자명화 단면 \(f\)의 \(D_{+}(f)\) 위의 당김을 자명화 단면 \(s\)로 보내며, 후자는 \(Y_s\) 위의 단면이다. 이 선택 아래 보조정리의 도식은 \(Y\)를 \(Y_s\)로, \(\varphi\)를 \(\varphi_f\)로, \(\alpha\)를 \(\alpha_f\)로 바꾸어도 가환한다. 확인은 생략한다.

\(f' \in S_d\)가 두 번째 원소라고 하고 \(s' = \psi(f') \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)로 나타내자. 그러면 \(Y_s \cap Y_{s'} = Y_{ss'}\)이고, 마찬가지로 \(D_{+}(f) \cap D_{+}(f') = D_{+}(ff')\)이다. Lemma 01MW에서 \(D_{+}(f') \cap D_{+}(f)\)는 \(D_{+}(f)\)의 점들 가운데 \(\mathcal{O}_X(d)\)의 단면 중 \(f'\)가 정의하는 것이 영이 되지 않는 점들의 집합과 같음을 보았다. 따라서 \(\varphi_f^{-1}(D_{+}(f') \cap D_{+}(f)) = Y_s \cap Y_{s'} = \varphi_{f'}^{-1}(D_{+}(f') \cap D_{+}(f))\)이다. \(D_{+}(f) \cap D_{+}(f')\) 위에서 분수 \(f/f'\)는 구조층의 가역 단면이고 그 역은 \(f'/f\)이다. 또한 \(\psi_{(f')}(f/f') = \psi(f)/s' = s/s'\)이고 \(\psi_{(f)}(f'/f) = \psi(f')/s = s'/s\)임에 유의하자. 다음 도식을 가환하게 만드는 유일한 환의 사상 \(S_{(ff')} \to \Gamma(Y_{ss'}, \mathcal{O}_Y)\)이 존재한다고 주장한다. \[\xymatrix{ \Gamma(Y_s, \mathcal{O}_Y) \ar[r] & \Gamma(Y_{ss'}, \mathcal{O}_Y) & \Gamma(Y_{s, '} \mathcal{O}_Y) \ar[l]\\ S_{(f)} \ar[r] \ar[u]^{\psi_{(f)}} & S_{(ff')} \ar[u] & S_{(f')} \ar[l] \ar[u]^{\psi_{(f')}} }\] 위의 공식들에 의해 “작동하는” 규칙 \(x/(ff')^n \mapsto \psi(x)/(ss')^n\)을 사용할 수 있으므로 이 사상은 존재한다. 유일성은 \(\text{Proj}(S)\)가 분리되어 있다는 사실에서 따른다. Lemma 01MC와 그 증명을 보라. 이로써 사상 \(\varphi_f\)와 \(\varphi_{f'}\)는 \(Y_s \cap Y_{s'}\) 위에서 일치함을 알 수 있다. \(\alpha_f\)와 \(\alpha_{f'}\)의 제한도 \(Y_s \cap Y_{s'}\) 위에서 일치한다. 이는 정칙함수 \(s/s'\)와 \(\psi_{(f')}(f/f')\)가 일치하기 때문이다. 따라서 사상 \(\psi_f\)들은 붙어서 \(Y\)에서 \(U_d \subset X\)로 가는 전역 사상을 이루고, 사상 \(\alpha_f\)들은 붙어서 보조정리의 조건을 만족하는 동형을 이룬다.

이제 쌍 \((\varphi, \alpha)\)가 유일함을 보여야 한다. \((\varphi', \alpha')\)를 그러한 두 번째 쌍이라 하자. \(f \in S_d\)라 하자. 보조정리의 도식들이 가환하므로 \(D_{+}(f)\)의 \(\varphi\)와 \(\varphi'\)에 의한 역상은 모두 \(Y_{\psi(f)}\)와 같다. 열린집합 \(D_{+}(f)\)들은 \(X\)의 위상의 기저를 이루고 \(X\)는 소버 위상공간이므로(Schemes, Lemma 01IS를 보라), 이는 사상 \(\varphi\)와 \(\varphi'\)가 바탕 위상공간 위에서 같다는 뜻이다. \(s = \psi(f)\)를 사용하여 가역층 \(\mathcal{L}\)을 \(Y_{\psi(f)}\) 위에서 자명화하자. 도식들의 가환성에 의해 \(\alpha^{\otimes n}(\psi^d_{\varphi}(x)) = \psi(x) = (\alpha')^{\otimes n}(\psi^d_{\varphi'}(x))\)가 모든 \(x \in S_{nd}\)에 대해 성립한다. \(\psi^d_{\varphi}\)와 \(\psi^d_{\varphi'}\)의 구성에 의해 \(\psi^d_{\varphi}(x) = \varphi^\sharp(x/f^n) \psi^d_{\varphi}(f^n)\)이 \(Y_{\psi(f)}\) 위에서 성립하고, \(\psi^d_{\varphi'}\)에 대해서도 마찬가지이다. 보조정리 도식들의 가환성으로부터 \(\varphi^\sharp(x/f^n) = (\varphi')^\sharp(x/f^n)\)를 얻는다. 이로써 \(\varphi\)와 \(\varphi'\)는 \(Y_{\psi(f)}\)에서 아핀 스킴 \(D_{+}(f) = \Spec(S_{(f)})\)로 가는 같은 사상을 유도함을 증명하였다. 따라서 \(\varphi\)와 \(\varphi'\)는 사상으로서 같다. 마지막으로, 보조정리의 도식 가환성이 주어진 \(\varphi\)에 대해 유일한 \(\alpha\)를 골라냄을 보여야 한다. 확인은 생략한다.

보조정리 앞의 논의를 계속하자. \(S\)를 등급 환이라 하자. \(Y\)를 스킴이라 하자. 다음 조건을 만족하는 삼중쌍 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)를 생각하겠다.

1. \(d \geq 1\)은 정수이다.

2. \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

3. \(\psi : S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\)는 등급 환의 준동형이고, \(\mathcal{L}\)은 전역 단면 \(\psi(f)\)들에 의해 생성된다. 여기서 \(f \in S_d\)이다.

사상 \(h : Y' \to Y\)와 삼중쌍 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)가 주어지고 후자가 \(Y\) 위에 있으면, 이를 삼중쌍 \((d, h^*\mathcal{L}, h^* \circ \psi)\)으로 당길 수 있다. 두 삼중쌍 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d, \mathcal{L}', \psi')\)가 같은 정수 \(d\)를 갖는다고 하자. 동형 \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)이 존재하여 \(\beta \circ \psi = \psi'\)가 등급 환의 사상 \(S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L}')\)으로서 성립하면 이들을 엄밀히 동치라고 한다.

각 정수 \(d \geq 1\)에 대해 위에서 정의한 당김을 사용하여 \[\begin{eqnarray*} F_d : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ Y & \longmapsto & \{\text{strict equivalence classes of triples } (d, \mathcal{L}, \psi) \text{ as above}\} \end{eqnarray*}\] 를 정의한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)라 하자. 열린 부분스킴 \(U_d \subset X\) (01N5)는 함자 \(F_d\)를 표현하고, 위에서 정의한 삼중쌍 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\)은 보편족이다(Schemes, Section 01JF을 보라).

증명

이는 Lemma 01N8을 다시 서술한 것이다.

보조정리

\(S\)가 \(S_0\)-대수로서 \(S_1\)의 원소들에 의해 생성되는 등급 환이라 하자. 이 경우 스킴 \(X = \text{Proj}(S)\)는 스킴 \(Y\)에 다음 조건을 만족하는 쌍 \((\mathcal{L}, \psi)\)들의 엄밀한 동치류의 집합을 대응시키는 함자를 표현한다.

1. \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

2. \(\psi : S \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\)는 등급 환의 준동형이고, \(\mathcal{L}\)은 전역 단면 \(\psi(f)\)들에 의해 생성된다. 여기서 \(f \in S_1\)이다.

여기서 엄밀한 동치는 위와 같이 정의한다.

증명

보조정리의 가정 아래 \(X = U_1\)이고, 이는 위의 Lemma 01N9을 다시 서술한 것이다.

\(\text{Proj}(S)\)에 대응하는 함자에 관한 논의를 일반 등급 환 \(S\)에 대해 이어가며 이 절을 마치겠다. 독자는 이 절의 나머지를 건너뛰어도 좋다.

임의의 등급 환 \(S\)를 고정하자. \(T\)를 스킴이라 하자. 두 삼중쌍 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d', \mathcal{L}', \psi')\)가 \(T\) 위에 있고, 그 정수 \(d\), \(d'\)는 서로 달라도 된다고 하자. 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes d'} \to (\mathcal{L}')^{\otimes d}\)가 \(T\) 위의 가역층 사이에 존재하여 \(\beta \circ \psi|_{S^{(dd')}}\)와 \(\psi'|_{S^{(dd')}}\)가 등급 환의 사상 \(S^{(dd')} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes dd'})\)으로서 일치하면 두 삼중쌍이 동치라고 한다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. \(T\)를 스킴이라 하자. \((d, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d', \mathcal{L}', \psi')\)를 \(T\) 위의 두 삼중쌍이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(n = \text{lcm}(d, d')\)로 두고 \(n = ad = a'd'\)로 쓰자. 다음 성질을 갖는 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\)가 존재한다. 즉, \(\beta \circ \psi|_{S^{(n)}}\)와 \(\psi'|_{S^{(n)}}\)는 등급 환의 사상 \(S^{(n)} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes n})\)으로서 일치한다.

2. 삼중쌍 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d', \mathcal{L}', \psi')\)는 동치이다.

3. 어떤 양의 정수 \(n = ad = a'd'\)에 대해, 다음 성질을 갖는 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\)가 존재한다. 즉, \(\beta \circ \psi|_{S^{(n)}}\)와 \(\psi'|_{S^{(n)}}\)는 등급 환의 사상 \(S^{(n)} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes n})\)으로서 일치한다.

4. 사상 \(\varphi : T \to X\)와 \(\varphi' : T \to X\)가 같으며, 이들은 각각 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d', \mathcal{L}', \psi')\)에 결부한 사상이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하고, 더 나눌 수 있는 차수와 가역층의 거듭제곱으로 제한하면 (2)가 (3)을 함의한다. 또한 Lemma 01N8의 유일성 명제에 의해 (3)은 (4)를 함의한다. 따라서 (4)가 (1)을 함의함을 증명하면 된다. (4), 다시 말해 \(\varphi = \varphi'\)라고 가정하자. 이로부터 \(\mathcal{L} = \varphi^*\mathcal{O}_X(d)\) 및 \(\mathcal{L}' = \varphi^*\mathcal{O}_X(d')\)로 쓸 수 있음에 유의하자. 또한 이 식별을 통해 등급 환의 사상 \(\psi\)와 \(\psi'\)는 표준 등급 환 사상 \[S \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n))\] 을 \(S^{(d)}\) 및 \(S^{(d')}\)에 제한한 뒤 \(\varphi\)로 당긴 것에 대응한다 (다시 Lemma 01N8에 의한다). 따라서 \(\beta\)를 동형 \[(\varphi^*\mathcal{O}_X(d))^{\otimes a} = \varphi^*\mathcal{O}_X(n) = (\varphi^*\mathcal{O}_X(d'))^{\otimes a'}\] 으로 택하면 된다.

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)라 하자. 열린 부분스킴 \(U_d \subset X = \text{Proj}(S)\) (01N5) 위에는 삼중쌍 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\)이 있다. \(d | d'\)이면 삼중쌍 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\)과 \((d', \mathcal{O}_{U_{d'}}(d'), \psi^{d'})\)은 열린집합 \(U_d\)로 제한했을 때 동치임이 분명하다(그리고 이는 \(U_{d'}\)의 부분집합이다). 이를 Lemma 01N8과 합치면, 사상 \(Y \to X\)는 대략 \(Y\) 위의 삼중쌍의 동치류에 대응한다. 하지만 \(Y\)가 준콤팩트가 아니면 작동하는 단 하나의 삼중쌍이 존재하지 않을 수도 있으므로 이는 완전히 정확하지는 않다. 따라서 대응하는 함자를 정의할 때 약간 주의해야 한다.

이를 수행하는 한 가지 방법은 다음과 같다. \(d' = ad\)라고 가정하자. 함자의 변환 \(F_d \to F_{d'}\)를 생각하자. 이는 삼중쌍 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)가 \(T\) 위에 주어지면 이를 삼중쌍 \((d', \mathcal{L}^{\otimes a}, \psi|_{S^{(d')}})\)에 대응시킨다. Lemma 01NB의 함의 중 하나는 변환 \(F_d \to F_{d'}\)가 단사라는 것이다! 준콤팩트 스킴 \(T\)에 대해 \[F(T) = \bigcup\nolimits_{d \in \mathbf{N}} F_d(T)\] 로 정의하되, 전이사상은 위에서 설명한 것을 사용한다. 이는 준콤팩트 스킴의 범주에서 집합의 범주로 가는 반변함자를 분명히 정의한다. 일반 스킴 \(T\)에 대해서는 \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ quasi-compact open}} F(V).\] 로 정의한다. 다시 말해 원소 \(\xi\)가 \(F(T)\)에 속한다는 것은 호환되는 원소 \(\xi_V \in F(V)\)들을 택하는 것에 대응한다. 여기서 \(V\)는 \(T\)의 준콤팩트 열린집합들을 달린다. 당김사상 \(F(T) \to F(T')\)의 정의는 스킴의 사상 \(T' \to T\)에 대해 생략한다. 이로써 함자 \[\begin{eqnarray*} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \end{eqnarray*}\] 를 정의하였다.

보조정리

\(S\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)라 하자. 위에서 정의한 함자 \(F\)는 스킴 \(X\)에 의해 표현가능하다.

증명

위에서 함자 \(F_d\)가 열린 부분스킴 \(U_d \subset X\)에 대응함을 보았다. 또한 위에서 정의한 함자의 변환 \(F_d \to F_{d'}\)(\(d | d'\)인 경우)은 포함사상 \(U_d \to U_{d'}\)에 대응한다(위의 논의를 보라). 따라서 \(F\)가 \(X\)에 의해 표현됨을 보이려면, 사상 \(T \to X\)가 준콤팩트 스킴 \(T\)에 대해 어떤 \(U_d\) 안으로 들어가고, 일반 스킴 \(T\)에 대해 \[\Mor(T, X) = \lim_{V \subset T\text{ quasi-compact open}} \Mor(V, X).\] 임을 보이면 충분하다. 이 확인들은 생략한다.

사영공간

사영공간은 대수기하학에서 연구하는 기본적인 대상 가운데 하나이다. 이 절에서는 다항식환의 \(\text{Proj}\)로서의 구성만 제시한다. 뒤에서 그 아름다운 성질들을 많이 발견할 것이다.

보조정리

\(S = \mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\)이고 \(\deg(T_i) = 1\)이라 하자. 스킴 \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(S)\] 은 스킴 \(Y\)에 다음 조건을 만족하는 쌍 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\)을 대응시키는 함자를 표현한다.

1. \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

2. \(s_0, \ldots, s_n\)은 \(\mathcal{L}\)의 전역 단면들이고 \(\mathcal{L}\)을 생성한다.

여기서 다음 동치로 나눈다. \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n)) \sim (\mathcal{N}, (t_0, \ldots, t_n))\) \(\Leftrightarrow\) 동형 \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{N}\)이 존재하여 \(\beta(s_i) = t_i\)가 \(i = 0, \ldots, n\)에 대해 성립한다.

증명

이는 위의 Lemma 01NA의 특수한 경우이다. 실제로 임의의 등급 환 \(A\)에 대해 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{graded rings}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n], A) & = & A_1 \times \ldots \times A_1 \\ \psi & \mapsto & (\psi(T_0), \ldots, \psi(T_n)) \end{eqnarray*}\] 이고, 차수 \(1\) 부분을 \(\Gamma_*(Y, \mathcal{L})\)에서 취하면 바로 \(\Gamma(Y, \mathcal{L})\)이다.

정의

스킴 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n])\)을 사영 \(n\)-공간(\(\mathbf{Z}\) 위)이라 한다. 그 기저변환 \(\mathbf{P}^n_S\)를 스킴 \(S\)에 대해 취한 것을 사영 \(n\)-공간(\(S\) 위)이라 한다. \(R\)이 환이면 \(\Spec(R)\)로의 기저변환을 \(\mathbf{P}^n_R\)로 나타내고 사영 \(n\)-공간(\(R\) 위)이라 한다.

스킴 \(Y\)가 \(S\) 위에 있고, Lemma 01NE에서와 같은 쌍 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\)이 주어졌을 때, 유도된 \(\mathbf{P}^n_S\)로의 사상을 \[\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))} : Y \longrightarrow \mathbf{P}^n_S\] 로 나타낸다. 이 쌍은 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\)로의 사상을 정의하고 이미 \(S\)로의 구조사상이 있으므로, 이 둘을 합치면 \(\mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \times S\)로의 사상을 얻는다. 따라서 이 표기는 의미가 있다. Lemma 01O3에 의해 \(\mathbf{P}^n_S\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수 \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\)의 상대 Proj와 식별할 수 있고, \(\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}\)를 다음을 만족하는 유일한 \(S\)-사상으로 특징지을 수 있다. \[\mathcal{L} = \varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1) \quad \text{and} \quad s_i = \varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}^*T_i\] 여기서 \(T_i\)는 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\)의 전역 단면으로 본다. 이는 Lemma 01NR의 사상 \(\psi\)를 통한다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

사영 \(n\)-공간(\(\mathbf{Z}\) 위)은 \(n + 1\)개의 표준 열린집합으로 덮인다. \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D_{+}(T_i)\] 각 \(D_{+}(T_i)\)는 \(\mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\)와 동형이며, 후자는 아핀 \(n\)-공간(\(\mathbf{Z}\) 위)이다.

증명

이는 \(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]_{+} = (T_0, \ldots, T_n)\)이고, \[\Spec \left( \mathbf{Z} \left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right] \right) \cong \mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\] 가 자명한 방식으로 성립하기 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 구조사상 \(\mathbf{P}^n_S \to S\)는

1. 분리이고,

2. 준콤팩트이며,

3. 값매김 판정법의 존재 부분과 유일성 부분을 만족하고,

4. 보편 닫힌 사상이다.

증명

이 성질들은 모두 기저변환 아래 안정적이다. 마지막 두 성질에 대해서는 분명하고, 다른 두 성질에 대해서는 Schemes, Lemmas 01KU 및 01K5를 보라. 따라서 사상 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\)에 대해 증명하면 충분하다. 분리성은 Lemma 01MC이다. 준콤팩트성은 Lemma 01NG에서 따른다. 값매김 판정법의 존재성과 유일성은 Lemma 01MF에서 따른다. 보편 닫힘은 위의 결과와 Schemes, Proposition 01KF에서 따른다.

주

위의 성질 목록에서 빠진 것은 무엇인가? 물론 유한형이라는 성질이다. 여기서 이를 열거하지 않은 까닭은 이 시점에는 아직 유한형의 개념을 정의하지 않았기 때문이다. (빠진 또 다른 성질은 “매끄러움”이다. 독자는 틀림없이 그 밖에도 많은 성질을 생각해 낼 수 있을 것이다.)

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 닫힌 몰입 \[\mathbf{P}^n_S \times_S \mathbf{P}^m_S \longrightarrow \mathbf{P}^{nm + n + m}_S\] 이 존재하며, 이를 세그레 매장이라 한다.

증명

\(S = \Spec(\mathbf{Z})\)일 때 증명하면 충분하다. 따라서 첨자 \(S\)를 생략하고 절대적인 상황에서 논하겠다. \(\mathbf{P}^n = \text{Proj}(\mathbf{Z}[X_0, \ldots, X_n])\), \(\mathbf{P}^m = \text{Proj}(\mathbf{Z}[Y_0, \ldots, Y_m])\) 및 \(\mathbf{P}^{nm + n + m} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[Z_0, \ldots, Z_{nm + n + m}])\)로 쓰자. \(\mathbf{P}^{nm + n + m}\)로 사상하려면 왼쪽 변 위의 가역층 \(\mathcal{L}\)과 이를 생성하는 \((n + 1)(m + 1)\)개의 단면 \(s_i\)를 적어야 한다. Lemma 01NE를 보라. 우리가 택하는 가역층은 \[\mathcal{L} = \text{pr}_1^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \otimes \text{pr}_2^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m}(1)\] 이다. 택하는 단면들은 \[s_0 = X_0Y_0, \ s_1 = X_1Y_0, \ldots, \ s_n = X_nY_0, \ s_{n + 1} = X_0Y_1, \ldots, \ s_{nm + n + m} = X_nY_m.\] 이다. 이 단면들은 \(\mathcal{L}\)을 생성한다. 실제로 단면 \(X_i\)들이 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)\)을 생성하고 단면 \(Y_j\)들이 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m}(1)\)을 생성한다. 유도된 사상 \(\varphi\)는 \[\varphi^{-1}(D_{+}(Z_{i + (n + 1)j})) = D_{+}(X_i) \times D_{+}(Y_j).\] 라는 성질을 가진다. 따라서 이는 아핀 사상이다. \((i, j) = (0, 0)\)인 경우 대응하는 환의 사상은 \[\mathbf{Z}[Z_1/Z_0, \ldots, Z_{nm + n + m}/Z_0] \longrightarrow \mathbf{Z}[X_1/X_0, \ldots, X_n/X_0, Y_1/Y_0, \ldots, Y_n/Y_0]\] 이며, \(Z_i/Z_0\)을 원소 \(X_i/X_0\)으로 보낸다. 여기서 \(i \leq n\)이다. 또한 \(Z_{(n + 1)j}/Z_0\)을 원소 \(Y_j/Y_0\)으로 보낸다. 따라서 전사이다. 다른 아핀 열린 부분집합에 대해서도 같은 논증이 성립한다. 그러므로 사상 \(\varphi\)는 닫힌 몰입이다(Schemes, Lemma 01HL 및 Example 01IG를 보라).

다음 두 보조정리는 뒤에서 나올 더 일반적인 결과들의 특수한 경우이지만, 여기서 직접 증명하는 편이 타당할 것이다. 첫 번째 것은 Divisors, Lemma 0801의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(Z \subset \mathbf{P}^n_R\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음과 같이 두자. \[I_d = \Ker\left( R[T_0, \ldots, T_n]_d \longrightarrow \Gamma(Z, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)|_Z)\right)\] 그러면 \(I = \bigoplus I_d \subset R[T_0, \ldots, T_n]\)은 등급 아이디얼이고 \(Z = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]/I)\)이다.

증명

\(I\)가 등급 아이디얼임은 분명하다. \(Z' = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]/I)\)로 두자. Lemma 01N1에 의해 \(Z'\)는 \(\mathbf{P}^n_R\)의 닫힌 부분스킴이다. 등식 \(Z = Z'\)를 보이려면 표준 아핀 열린집합 \(D_{+}(T_i)\) 위에서 확인하면 충분하다. 동차좌표의 번호를 다시 매겨 \(i = 0\)이라고 가정해도 된다. \(Z \cap D_{+}(T_0)\) 및 \(Z' \cap D_{+}(T_0)\)가 각각 아이디얼 \(J\) 및 \(J'\)에 의해 잘리고, 이들은 \(R[T_1/T_0, \ldots, T_n/T_0]\)의 아이디얼이라고 하자. 그러면 \(J'\)는 원소 \(F/T_0^{\deg(F)}\)들로 생성되는 아이디얼이다. 여기서 \(F \in I\)는 동차원소이다. \(F \in I\)의 차수가 \(d\)라고 가정하자. \(F\)는 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)\)의 단면으로서 \(Z\)에 제한하면 영이므로 \(F/T_0^d\)는 \(J\)의 원소이다. 따라서 \(J' \subset J\)이다.

역으로 \(f \in J\)라고 가정하자. \(f\)의 전체 차수가 \(d\)이고, 이는 \(T_1/T_0, \ldots, T_n/T_0\)에 관한 차수라고 하자. 그러면 \(f = F/T_0^d\)로 쓸 수 있는 어떤 \(F \in R[T_0, \ldots, T_n]_d\)가 존재한다. \(i \in \{1, \ldots, n\}\)를 택하자. 그러면 \(Z \cap D_{+}(T_i)\)는 어떤 아이디얼 \(J_i \subset R[T_0/T_i, \ldots, T_n/T_i]\)에 의해 잘린다. 또한 \[J \cdot R\left[ \frac{T_1}{T_0}, \ldots, \frac{T_n}{T_0}, \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right] = J_i \cdot R\left[ \frac{T_1}{T_0}, \ldots, \frac{T_n}{T_0}, \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right]\] 이다. 왼쪽은 \(J\)의 국소화로서 원소 \(T_i/T_0\)에 관한 것이고, 오른쪽은 \(J_i\)의 국소화로서 원소 \(T_0/T_i\)에 관한 것이다. 따라서 \(T_0^{d_i}F/T_i^{d + d_i}\)가 \(J_i\)의 원소인 충분히 큰 어떤 \(d_i\)가 존재한다. 이로부터 \(T_0^{\max(d_i)}F\)가 \(I\)의 원소임이 따른다. 실제로 그 제한은 각 표준 아핀 열린집합 \(D_{+}(T_i)\)에서 닫힌 부분스킴 \(Z \cap D_{+}(T_i)\) 위에 영이다. 따라서 \(f \in J'\)이고, 원하는 대로 \(J \subset J'\)를 얻는다.

다음 보조정리는 더 일반적인 Properties, Lemmas 01QJ 또는 0AG5의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_R\) 위의 준연접층이라 하자. \(d \geq 0\)에 대해 \[M_d = \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 로 두자. 그러면 \(M = \bigoplus_{d \geq 0} M_d\)는 등급 \(R[T_0, \ldots, R_n]\)-가군이고, 표준 동형 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이 존재한다.

증명

곱셈 사상 \[R[T_0, \ldots, R_n]_e \times M_d \longrightarrow M_{d + e}\] 은 자연스러운 동형 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(e) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{F}(d) \longrightarrow \mathcal{F}(e + d)\] 에서 온다. Equation (03GK)을 보라. 사상 \(c : \widetilde{M} \to \mathcal{F}\)를 구성하자. 각 표준 아핀 \(U_i = D_{+}(T_i)\) 위에서 \(\Gamma(U_i, \widetilde{M}) = (M[1/T_i])_0\)이고, 여기서 첨자 \({}_0\)은 차수 \(0\) 부분을 뜻한다. 이 원소는 \(m/T_i^d\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(m \in M_d\)이다. \(T_i\)는 \(\mathcal{O}(1)\)의 생성자이고 이는 \(U_i\) 위에서 \(m|_{U_i} = m_i \otimes T_i^d\)로 쓸 수 있고, 여기서 \(m_i \in \Gamma(U_i, \mathcal{F})\)는 유일한 단면이다. 따라서 자연스러운 추측은 \(c(m/T_i^d) = m_i\)이다. 여기서 생략하는 짧은 논증에 따르면, 이 처방이 잘 정의된 사상 \(c : \widetilde{M} \to \mathcal{F}\)를 주는지는 \[(T_i/T_j)^d m_i|_{U_i \cap U_j} = m_j|_{U_i \cap U_j}\] 가 \(M[1/T_iT_j]\)에서 성립함을 보이는 것으로 귀착된다. 그러나 겹침 위에서 생성자 \(T_i\)와 \(T_j\)는 \(\mathcal{O}(1)\)에 속하고 가역함수 \(T_i/T_j\)만큼 다르므로 이는 분명하다.

\(c\)의 단사성. 아핀 열린집합 \(U_i\)들 위에서 단사성을 확인해도 된다. \(i \in \{0, \ldots, n\}\)라 하고, 원소 \(s\)가 \(s = m/T_i^d \in \Gamma(U_i, \widetilde{M})\)를 만족하며 \(c(m/T_i^d) = 0\)을 만족한다고 하자. 위의 \(c\)에 대한 설명에 의해 이는 \(m_i = 0\)이라는 뜻이고, 따라서 \(m|_{U_i} = 0\)이다. 그러므로 \(T_i^em = 0\)이 \(M\)에서 성립하는 어떤 \(e\)가 존재한다. 따라서 원하는 대로 \(s = m/T_i^d = T_i^e/T_i^{e + d} = 0\)이다.

\(c\)의 전사성. 아핀 열린집합 \(U_i\)들 위에서 전사성을 확인해도 된다. 번호를 다시 매기면 \(U_0\) 위에서 확인하는 것으로 충분하다. \(s \in \mathcal{F}(U_0)\)라 하자. \(\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde{N_i}\)로 쓰자. 여기서 어떤 \(R[T_0/T_i, \ldots, T_0/T_i]\)-가군 \(N_i\)를 사용하며, \(\mathcal{F}\)가 준연접이므로 이렇게 쓸 수 있다. 따라서 \(s\)는 어떤 원소 \(x \in N_0\)에 대응한다. 이제 \[(N_i)_{T_j/T_i} \cong (N_j)_{T_i/T_j}\] 이고(첨자는 ‘주 아이디얼 국소화’를 뜻한다), 이는 환 \[R\left[ \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}, \frac{T_0}{T_j}, \ldots, \frac{T_n}{T_j} \right].\] 위의 가군의 동형이다. 따라서 어떤 큰 정수 \(d\)에 대해 원소 \(s_i \in N_i\), \(i = 1, \ldots, n\)이 존재하여 \[s = (T_i/T_0)^d s_i\] 가 \(U_0 \cap U_i\) 위에서 성립한다. 다음으로 \(U_i \cap U_j\) 위의 차 \[t_{ij} = s_i - (T_j/T_i)^d s_j\] 를 보자. 여기서 \(0 < i < j\)이다. \(s_i\)의 선택에 의해 \(t_{ij}|_{U_0 \cap U_i \cap U_j} = 0\)임을 안다. 따라서 어떤 큰 정수 \(e\)에 대해 \((T_0/T_i)^et_{ij} = 0\)이다. \(s_i' = (T_0/T_i)^es_i\) 및 \(s_0' = s\)로 두자. 그러면 \[s_a' = (T_b/T_a)^{e + d} s_b'\] 가 \(U_a \cap U_b\) 위에서 모든 \(a, b\)에 대해 성립한다. 이는 원소 \(s'_a\)들이 붙어서 전역 단면 \(m \in \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(e + d))\)을 이룬다는 조건과 정확히 같다. 더욱이 구성에 의해 \(c(m/T_0^{e + d}) = s\)이다. 따라서 \(c\)는 전사이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역층이라 하고, \(s_0, \ldots, s_n\)을 \(\mathcal{L}\)을 생성하는 전역 단면들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유도된 사상 \(\mathcal{O}_X^{\oplus n + 1} \to \mathcal{L}\)의 핵이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)은 전역 생성된다.

증명

실제로 \(X\)가 임의의 국소 환 달린 공간이어도 결과는 참이다. 층 \(\mathcal{F}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 그 계수는 \(n\)이다. 원소 \[s_{ij} = (0, \ldots, 0, s_j, 0, \ldots, 0, -s_i, 0, \ldots, 0) \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\oplus n + 1})\] 에서 \(s_j\)는 \(i\)번째 자리에 있고 \(-s_i\)는 \(j\)번째 자리에 있으며, 이 원소는 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\)에서 영으로 사상된다. 따라서 \(s_{ij} \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L})\)이다. 국소 계산에 의해 이 단면들이 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)을 생성한다.

다른 증명. 사상 \(\varphi : X \to \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)을 생각하자. 이는 쌍 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\)에 결부한 것이다. \(\mathcal{O}(1)\)의 당김은 \(\mathcal{L}\)이고 \(T_i\)의 당김은 \(s_i\)이므로, \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)의 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. 이 경우 층 \(\mathcal{F}\)는 등급 \(S = \mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\)-가군 \(M\)에 대응하며, 이는 짧은 완전열 \[0 \to M \to S^{\oplus n + 1} \to S(1) \to 0\] 에 놓인다. 여기서 두 번째 사상은 \(T_0, \ldots, T_n\)으로 주어진다. 이 경우 위의 명제는 원소 \[T_{ij} = (0, \ldots, 0, T_j, 0, \ldots, 0, -T_i, 0, \ldots, 0) \in M(1)_0\] 들이 등급 가군 \(M(1)\)을 \(S\) 위에서 생성한다는 명제로 옮겨진다. 세부사항은 생략한다.

가역층과 Proj로의 사상

\(T\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 \(T\) 위의 가역층이라 하자. 단면 \(s \in \Gamma(T, \mathcal{L})\)에 대해 \(T_s\)로 \(s\)가 영이 되지 않는 점들의 열린 부분집합을 나타낸다. Modules, Lemma 01CY을 보라. 다음 보조정리는 Lemma 01NA의 약간의 일반화로 볼 수 있다. 또한 Lemma 01MY의 일반화이기도 하다.

보조정리

\(A\)를 등급 환이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 두자. \(T\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군이라 하자. \(\psi : A \to \Gamma_*(T, \mathcal{L})\)를 등급 환의 준동형이라 하자. 다음과 같이 두자. \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{f \in A_{+}\text{ homogeneous}} T_{\psi(f)}\] 사상 \(\psi\)는 스킴의 표준 사상 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow X\] 과 함께 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 사상 \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}.\] 을 유도한다. 삼중쌍 \((U(\psi), r_{\mathcal{L}, \psi}, \theta)\)은 다음 성질들로 특징지어진다.

1. 동차원소 \(f \in A_{+}\)에 대해 \(r_{\mathcal{L}, \psi}^{-1}(D_{+}(f)) = T_{\psi(f)}\)이다.

2. 모든 \(d \geq 0\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ A_d \ar[d]_{(\href{constructions.html#constructions-equation-global-sections}{01MP})} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(T, \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(X, \mathcal{O}_X(d)) \ar[r]^{\theta} & \Gamma(U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] 은 가환한다.

또한 임의의 \(d \geq 1\)과 열린 부분스킴 \(V \subset T\)에 대해, \(\psi(A_d)\)의 단면들이 \(\mathcal{L}^{\otimes d}|_V\)를 생성한다고 하자. 그러면 사상 \(r_{\mathcal{L}, \psi}|_V\)는 사상 \(\varphi : V \to \text{Proj}(A)\)와 일치하고, 사상 \(\theta|_V\)는 사상 \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_X(d) \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_V\)와 일치한다. 여기서 \((\varphi, \alpha)\)는 \(\psi|_{A^{(d)}} : A^{(d)} \to \Gamma_*(V, \mathcal{L}^{\otimes d})\)에 결부한 Lemma 01N8의 쌍이다.

증명

(1)과 (2)를 만족하는 두 삼중쌍 \((U, r : U \to X, \theta)\) 및 \((U', r' : U' \to X, \theta')\)이 있다고 하자. 성질 (1)에 의해 \(U = U' = U(\psi)\)이고, 바탕 위상공간의 사상으로서 \(r = r'\)이다. 이는 열린집합 \(D_{+}(f)\)들이 \(X\)의 위상의 기저를 이루고 \(X\)가 소버 위상공간이기 때문이다(Algebra, Section 00JM 및 Schemes, Lemma 01IS를 보라). \(f \in A_{+}\)를 동차원소라 하자. \(\Gamma(D_{+}(f), \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(n)) = A_f\) 임에 유의하자. 이는 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수의 등식이다. 두 \(\mathbf{Z}\)-등급 환의 사상 \[\theta, \theta' : A_f \longrightarrow \Gamma(T_{\psi(f)}, \bigoplus \mathcal{L}^{\otimes n}).\] 을 생각하자. 왼쪽에서는 \(f\)에 의한 곱셈이, 오른쪽에서는 \(\psi(f)\)에 의한 곱셈이 동형임을 안다. 또한 (2)에 의해 \(\theta(x/1) = \theta'(x/1) = \psi(x)|_{T_{\psi(f)}}\)임을 모든 \(x \in A\)에 대해 안다. 따라서 원하는 대로 \(\theta = \theta'\)임을 쉽게 얻는다. 차수 \(0\) 부분을 생각하면 \(r^\sharp = (r')^\sharp\), 즉 스킴의 사상으로서 \(r = r'\)임을 얻는다. 이로써 유일성을 증명하였다.

이제 존재성을 보이자. 방금 증명한 유일성에 의해 쌍 \((r, \theta)\)를 \(T\) 위에서 국소적으로 구성하면 충분하다. 따라서 \(T = \Spec(R)\)이 아핀이고 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_T\)이며, 어떤 동차원소 \(f \in A_{+}\)에 대해 \(\psi(f)\)가 \(\mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T^{\otimes \deg(f)}\)를 생성한다고 가정해도 된다. 다시 말해 \(\psi(f) = u \in R^*\)는 가역원이다. 이 경우 사상 \(\psi\)는 등급 환의 사상 \[A \longrightarrow R[x] = \Gamma_*(T, \mathcal{O}_T)\] 이고, \(f\)를 \(ux^{\deg(f)}\)로 보낸다. 이는 \(\mathbf{Z}\)-등급 환의 사상 \(\theta : A_f \to R[x, x^{-1}]\)로 유일하게 확장되며, \(1/f\)를 \(u^{-1}x^{-\deg(f)}\)로 보낸다. 이 사상의 차수 영 부분은 환의 사상 \(A_{(f)} \to R\)이고, 이는 사상 \(r : T = \Spec(R) \to \Spec(A_{(f)}) = D_{+}(f) \subset X\)를 준다. 따라서 이 특수한 경우에 \((r, \theta)\)를 구성하였다.

보조정리의 마지막 명제를 보이자. Lemma 01N8에 따르면, 거기서 구성한 사상은 그 명제에 표시된 도식이 가환하도록 하는 유일한 사상이다. 이 보조정리의 도식이 가환하면 \(V\)와 \(A^{(d)}\)로 제한한 도식도 가환한다. 따라서 결과가 따른다.

주

위의 Lemma 01NK와 같은 가정을 사용하자. 사상 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\)의 상은 층 \(\mathcal{O}_X(1)\)이 가역인 자리에 포함될 필요가 없다. 다음은 그 예이다. \(k\)를 체라 하자. \(S = k[A, B, C]\)에 \(\deg(A) = 1\), \(\deg(B) = 2\), \(\deg(C) = 3\)으로 등급을 주자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 두자. \(T = \mathbf{P}^2_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2])\)로 두자. \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_T(1)\)은 가역이고 \(\mathcal{O}_T(n) = \mathcal{L}^{\otimes n}\)임을 상기하자. 사상들의 합성 \(\psi\)를 생각하자. \[S \to k[X_0, X_1, X_2] \to \Gamma_*(T, \mathcal{L}).\] 여기서 첫 번째 사상은 \(A \mapsto X_0\), \(B \mapsto X_1^2\), \(C \mapsto X_2^3\)이고, 두 번째 사상은 (01MP)이다. 보조정리에 의해 이는 사상 \(r_{\mathcal{L}, \psi} : T \to X = \text{Proj}(S)\)에 대응하며, 이 사상이 전사임은 쉽게 알 수 있다. 한편 Remark 01ML에서 층 \(\mathcal{O}_X(1)\)이 \(X\)의 모든 점에서 가역인 것은 아님을 보였다.

붙이기를 통한 상대 Proj

설정

여기서 \(S\)는 스킴이고 \(\mathcal{A}\)는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수이다.

이 절에서는 동차 스펙트럼들을 붙여서 스킴의 사상 \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 을 구성하는 방법을 개략적으로 설명한다. 붙이는 대상은 \(\text{Proj}(\Gamma(U, \mathcal{A}))\)들이고, 여기서 \(U\)는 \(S\)의 아핀 열린집합들을 달린다. 먼저 Lemma 01LH에서와 같이, 아핀 열린집합 위에서 취한 \(\mathcal{A}\)의 값들의 동차 스펙트럼이 적절한 스킴들의 모음을 이룸을 보이자.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. \(U \subset U' \subset S\)가 아핀 열린집합들이라고 가정하자. \(A = \mathcal{A}(U)\) 및 \(A' = \mathcal{A}(U')\)로 두자. 등급 환의 사상 \(A' \to A\)는 사상 \(r : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\)을 유도하고, 도식 \[\xymatrix{ \text{Proj}(A) \ar[r] \ar[d] & \text{Proj}(A') \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] 은 올곱이다. 또한 곱셈 사상들과 호환되는 표준 동형 \(\theta : r^*\mathcal{O}_{\text{Proj}(A')}(n) \to \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)\)이 존재한다.

증명

\(R = \mathcal{O}_S(U)\) 및 \(R' = \mathcal{O}_S(U')\)로 두자. 사상 \(R \otimes_{R'} A' \to A\)가 동형임에 유의하자. 이는 \(\mathcal{A}\)가 준연접이기 때문이다(예를 들어 Schemes, Lemma 01I9을 보라). 따라서 Lemma 01N2로부터 보조정리가 따른다.

특히 보조정리의 사상 \(\text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\)은 열린 몰입이다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. \(U \subset U' \subset U'' \subset S\)가 아핀 열린집합들이라고 가정하자. \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\) 및 \(A'' = \mathcal{A}(U'')\)로 두자. Lemma 01NO의 사상 \(r : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\) 및 \(r' : \text{Proj}(A') \to \text{Proj}(A'')\)의 합성은 Lemma 01NO의 사상 \(r'' : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A'')\)이다. 동형 \(\theta\)에 대해서도 비슷한 명제가 성립한다.

증명

사상 \(A'' \to A\)가 \(A'' \to A'\)와 \(A' \to A\)의 합성이므로, 이는 Lemma 01MZ에서 따른다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. 다음 성질들을 갖는 스킴의 사상 \[\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 이 존재한다.

1. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 동형 \(i_U : \pi^{-1}(U) \to \text{Proj}(A)\)가 존재하며, 여기서 \(A = \mathcal{A}(U)\)이다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset U' \subset S\)에 대해 합성 \[\xymatrix{ \text{Proj}(A) \ar[r]^{i_U^{-1}} & \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{inclusion} & & \pi^{-1}(U') \ar[r]^{i_{U'}} & \text{Proj}(A') }\] 은 \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\)일 때 위의 Lemma 01NO의 열린 몰입이다.

증명

Lemmas 01LH, 01NO 및 01NP에서 곧바로 따른다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. Lemma 01NQ의 사상 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)에는 다음 추가 구조가 주어진다. 준연접 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-대수의 층 \(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\)과 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 사상 \[\psi : \mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \pi_*\left(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\right)\] 이 존재하고, 다음 성질로 유일하게 결정된다. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)와 \(A = \mathcal{A}(U)\)에 대해 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}\)-대수의 동형 \[\theta_U : i_U^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n) \right) \longrightarrow \left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n) \right)|_{\pi^{-1}(U)}\] 이 존재하여 \[\xymatrix{ A_n \ar[rr]_\psi \ar[dr]_-{(\href{constructions.html#constructions-equation-global-sections}{01MP})} & & \Gamma(\pi^{-1}(U), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)) \\ & \Gamma(\text{Proj}(A), \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)) \ar[ru]_-{\theta_U} & }\] 이 가환한다.

증명

Lemma 01LI를 사용하여 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수의 층 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)\)들을 붙이겠다. 여기서 \(A = \mathcal{A}(U)\)이고 \(U \subset S\)는 아핀 열린집합이며, 붙이기는 스킴 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 위에서 수행한다. 이에 필요한 자료는 Lemma 01NO에서 구성했고, Lemma 01LI의 조건 (d)는 Lemma 01NP에서 확인하였다. 따라서 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-대수의 층 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\)과 동형 \(\theta_U\)를 얻는다. 이는 모든 \(U \subset S\) 아핀 열린집합 및 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 주어진다. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset S\)와 \(A = \mathcal{A}(U)\)에 대해 사상 \(A \to \Gamma(\text{Proj}(A), \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n))\)이 있다. 따라서 상대 붙이기의 함자성에 의해 사상 \(\psi\)가 존재한다. Remark 01LK을 보라. 보조정리의 도식은 구성상 가환한다. 이는 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-대수의 층 \(\bigoplus \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\)을 특징짓는다. 실제로 Lemma 01MY의 증명은 이 도식들이 가환한다는 것이 사상 \(\theta_U\)들을 유일하게 결정함을 보인다. 일부 세부사항은 생략한다.

함자로서의 상대 Proj

Situation 01NN의 상황에 놓여 있다고 하자. 따라서 \(S\)는 스킴이고, \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{A}_d\)는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수이다. 이 절에서는 상대 동차 스펙트럼이 표현할 함자를 구성함으로써 \(\text{Proj}\)의 구성을 상대화한다. 그 결과, \(S\)의 아핀 열린집합 위에서는 등급 환의 동차 스펙트럼처럼 보이는 스킴의 사상 \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 을 구성할 것이다. 논의는 Section 01LQ의 상대 스펙트럼에 관한 논의를 본뜬다. \(\text{Proj}(A)\) 꼴의 스킴들을 붙이는 더 쉬운 방법은 \(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\)이고 \(U \subset S\)가 아핀 열린집합인 경우에 Section 01NM에서 설명했으며, 이 절의 결과가 그 결과와 동형임을 보일 것이다.

당분간 정수 \(d \geq 1\)을 고정하자. Algebra, Section 00JL의 표기와 비슷하게 \(\mathcal{A}^{(d)} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{A}_{nd}\)로 쓴다. \(T\)를 스킴이라 하자. 사중항 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\)들을 \(T\) 위에서 생각하자. 여기서

1. \(d\)는 위에서 고정한 정수이고,

2. \(f : T \to S\)는 스킴의 사상이며,

3. \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군이고,

4. \(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\)는 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 준동형이며 \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\)은 전사이다.

사상 \(h : T' \to T\)와 사중항 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)가 \(T\) 위에 주어지면, 이를 사중항 \((d, f \circ h, h^*\mathcal{L}, h^*\psi)\)로 \(T'\) 위에 당겨올 수 있다. 두 사중항 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) 및 \((d, f', \mathcal{L}', \psi')\)가 \(T\) 위에 있고 같은 정수 \(d\)를 갖는다고 하자. \(f = f'\)이고 동형 \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)이 존재하여 \(\beta \circ \psi = \psi'\)이면, 여기서 이 등식은 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수 사상 \(f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes n}\) 사이의 등식이며, 이 두 사중항을 강하게 동치라고 한다.

각 정수 \(d \geq 1\)에 대해 위에서 정의한 당겨올림을 사용하여 \[\begin{eqnarray*} F_d : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ T & \longmapsto & \{\text{strict equivalence classes of } (d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi) \text{ as above}\} \end{eqnarray*}\] 로 정의한다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. \(d \geq 1\)이라 하자. \(F_d\)를 위의 \((S, \mathcal{A})\)에 결부된 함자라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\)로 두자. \(F_d'\)를 위의 \((S', \mathcal{A}')\)에 결부된 함자라 하자. 그러면 함자들의 표준 동형 \[F'_d \cong h_{S'} \times_{h_S} F_d\] 이 존재한다.

증명

사중항 \((d, f' : T \to S', \mathcal{L}', \psi' : (f')^*(\mathcal{A}')^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes n})\)은 사중항 \((d, f, \mathcal{L}, \psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n})\)과 \(f\)의 분해 \(f = g \circ f'\)를 함께 준 것과 같다. 구체적으로 이 대응은 \(f = g \circ f'\), \(\mathcal{L} = \mathcal{L}'\) 및 \(\psi = \psi'\)이고, 여기서는 식별 \((f')^*(\mathcal{A}')^{(d)} = (f')^*g^*(\mathcal{A}^{(d)}) = f^*\mathcal{A}^{(d)}\)을 사용한다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. \(F_d\)를 위의 \((d, S, \mathcal{A})\)에 결부된 함자라 하자. \(S\)가 아핀이면, \(F_d\)는 열린 부분스킴 \(U_d\) (01N5), 즉 스킴 \(\text{Proj}(\Gamma(S, \mathcal{A}))\)의 그 열린 부분스킴으로 표현된다.

증명

\(S = \Spec(R)\) 및 \(A = \Gamma(S, \mathcal{A})\)로 쓰자. 그러면 \(A\)는 등급 \(R\)-대수이고 \(\mathcal{A} = \widetilde A\)이다. 보조정리를 증명하려면 함자 \(F_d\)를 Section 01N4에서 정의한 삼중항의 함자 \(F_d^{triples}\)와 식별해야 한다.

\((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\)를 사중항이라 하자. \(\psi\)를 \(\mathcal{O}_S\)-가군 사상 \(\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)으로 생각할 수 있다. \(\mathcal{A}^{(d)}\)가 준연접이므로, 이는 등급 환의 \(R\)-선형 준동형 \(A^{(d)} \to \Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n})\)과 같다. 명백히 \(\Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}) = \Gamma_*(T, \mathcal{L})\)이다. 따라서 이 사중항에 삼중항 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)를 결부시킬 수 있다.

거꾸로 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)를 삼중항이라 하자. 합성 \(R \to A_0 \to \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)은 사상 \(f : T \to S = \Spec(R)\)를 결정한다. Schemes, Lemma 01I1을 보라. 이 \(f\)를 택하면 사상 \(A^{(d)} \to \Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n})\)은 \(R\)-선형이고, 따라서 \(\psi\)에 대응하며 이를 사중항 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\)에 사용할 수 있다. 이것이 함자들의 동형 \(F_d = F_d^{triples}\)를 정한다는 확인은 생략한다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. 함자 \(F_d\)는 스킴으로 표현 가능하다.

증명

Schemes, Lemma 01JJ를 사용할 것이다.

먼저 \(F_d\)가 자리스키 위상에 대한 층 성질을 만족함을 확인하자. 구체적으로 \(T\)가 스킴이고 \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 열린 덮개이며, \((d, f_i, \mathcal{L}_i, \psi_i) \in F_d(U_i)\)이고 \((d, f_i, \mathcal{L}_i, \psi_i)|_{U_i \cap U_j}\)와 \((d, f_j, \mathcal{L}_j, \psi_j)|_{U_i \cap U_j}\)가 강하게 동치라고 가정하자. 그러면 사상 \(f_i : U_i \to S\)들은 스킴의 사상 \(f : T \to S\)로 붙고 \(f|_{I_i} = f_i\)를 만족한다. Schemes, Section 01JA를 보라. 따라서 \(f_i^*\mathcal{A}^{(d)} = f^*\mathcal{A}^{(d)}|_{U_i}\)이다. 또한 동형 \(\beta_{ij} : \mathcal{L}_i|_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{L}_j|_{U_i \cap U_j}\)가 존재하여 \(\beta_{ij} \circ \psi_i = \psi_j\)를 \(U_i \cap U_j\) 위에서 만족한다. 동형 \(\beta_{ij}\)는 사상 \(f_i^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}_i\)가 전사이므로 이 조건으로 유일하게 결정된다는 점에 유의하자. 특히 \(\beta_{jk} \circ \beta_{ij} = \beta_{ik}\)가 \(U_i \cap U_j \cap U_k\) 위에서 성립한다. 따라서 Sheaves, Section 00AK에 의해 가역층 \(\mathcal{L}_i\)들은 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군 \(\mathcal{L}\)로 붙고, 사상 \(\psi_i\)들은 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 사상 \(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\)으로 붙는다. 이로써 \(F_d\)가 자리스키 위상에 대한 층 조건을 만족함을 증명하였다.

\(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 아핀 열린 덮개라 하자. \(F_{d, i} \subset F_d\)를 쌍 \((f : T \to S, \varphi)\)들 중 \(f(T) \subset U_i\)를 만족하는 것들로 이루어진 부분함자라 하자.

각 \(F_{d, i}\)가 표현 가능함을 보여야 한다. Lemma 01NT에 의해 \(F_{d, i}\)는 \(U_i\)에 준연접 등급 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-대수 \(\mathcal{A}|_{U_i}\)를 주어 얻는 함자와 식별되므로 그렇다. 따라서 Lemma 01NU에서 결과가 따른다.

다음으로 \(F_{d, i} \subset F_d\)가 열린 몰입들로 표현됨을 보이자. \((f : T \to S, \varphi) \in F_d(T)\)라 하고 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)를 생각하자. \(F_{d, i}\)의 정의에 의해 \(a : T' \to T\)가 주어졌을 때 \(a^*(f, \varphi) \in F_{d, i}(T')\)인 것과 \(a(T') \subset V_i\)인 것은 동치이다. 이것이 보일 명제였다.

마지막으로 모음 \((F_{d, i})_{i \in I}\)가 \(F_d\)를 덮음을 보여야 한다. \((f : T \to S, \varphi) \in F_d(T)\)라 하고 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)를 생각하자. \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 \(S\)의 열린 덮개이므로 \(T = \bigcup_{i \in I} V_i\)는 \(T\)의 열린 덮개이다. 또한 \((f, \varphi)|_{V_i} \in F_{d, i}(V_i)\)이다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

이제 Section 01N4 끝부분의 내용을 현재의 상대적 상황에서 되풀이하여 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)로 표현되는 함자를 정의할 수 있다. 이를 위해 두 사중항 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) 및 \((d', f' : T \to S, \mathcal{L}', \psi')\) 사이의 동치 개념을 도입한다. 여기서 정수 \(d, d'\)의 값은 서로 다를 수도 있다. 구체적으로 \(f = f'\)이고 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes d'} \to (\mathcal{L}')^{\otimes d}\)이 존재하여 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(dd')}} = \psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(dd')}}\)이면 이들을 동치라고 한다. 다음 보조정리는 이것이 동치관계를 정의함을 뜻한다. (이는 완전히 자명하지는 않다.)

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. \(T\)를 스킴이라 하자. \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\), \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\)를 \(T\) 위의 두 사중항이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(m = \text{lcm}(d, d')\)라 하고 \(m = ad = a'd'\)로 쓰자. \(f = f'\)이고 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\)이 존재하여 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\)과 \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\)이 등급 환 사상 \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\)으로서 일치한다.

2. 사중항 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)와 \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\)는 동치이다.

3. \(f = f'\)이고, 어떤 양의 정수 \(m = ad = a'd'\)에 대해 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\)이 존재하여 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\)과 \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\)이 등급 환 사상 \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\)으로서 일치한다.

증명

더 나누어지는 차수들과 가역층들의 거듭제곱에 제한하면 되므로, (1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의함은 명백하다. 어떤 정수 \(m = ad = a'd'\)에 대해 (3)을 가정하자. \(m_0 = \text{lcm}(d, d')\)라 하고 \(m_0 = a_0d = a'_0d'\)로 쓰자. (3)의 성질을 갖는 동형 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\)이 주어져 있다. 같은 성질을 갖는 동형 \(\beta_0 : \mathcal{L}^{\otimes a_0} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'_0}\)을 찾고자 한다. 가정에 의해 사상 \(\psi : f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) 및 \(\psi' : (f')^*\mathcal{A}_{d'} \to \mathcal{L}'\)이 전사이므로, 사상 \(\psi : f^*\mathcal{A}_{m_0} \to \mathcal{L}^{\otimes a_0}\) 및 \(\psi' : (f')^*\mathcal{A}_{m_0} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a_0}\)도 전사이다. 따라서 \(\beta_0\)가 존재한다면 조건 \(\beta_0 \circ \psi = \psi'\)로 유일하게 결정된다. 이는 \(T\) 위에서 국소적으로 작업해도 됨을 뜻한다. 그러므로 \(f = f' : T \to S\)가 어떤 아핀 열린집합으로 사상된다고 가정할 수 있고, 달리 말하면 \(S\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 결과는 삼중항에 대한 대응하는 결과(Lemma 01NB)와 아핀 밑의 경우에 삼중항과 사중항이 대응한다는 사실(Lemma 01NU의 증명 참조) 에서 따른다.

\(d' = ad\)라고 가정하자. 함자의 변환 \(F_d \to F_{d'}\)을 생각하자. 이 변환은 사중항 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)가 \(T\) 위에 주어지면 사중항 \((d', f, \mathcal{L}^{\otimes a}, \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(d')}})\)을 결부시킨다. Lemma 01NW의 함의 중 하나에 따르면 이 변환 \(F_d \to F_{d'}\)은 단사이다! 준콤팩트 스킴 \(T\)에 대해 \[F(T) = \bigcup\nolimits_{d \in \mathbf{N}} F_d(T)\] 로 정의하되, 전이 사상은 위에서 설명한 것을 사용한다. 이는 준콤팩트 스킴의 범주에서 집합의 범주로 가는 반변 함자를 명백히 정의한다. 일반 스킴 \(T\)에 대해서는 \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ quasi-compact open}} F(V).\] 로 정의한다. 다시 말해 원소 \(\xi\)가 \(F(T)\)에 속한다는 것은 원소 \(\xi_V \in F(V)\)들의 호환되는 선택계에 대응하며, 여기서 \(V\)는 \(T\)의 준콤팩트 열린집합들을 달린다. 당겨올림 사상 \(F(T) \to F(T')\)의 정의는 스킴의 사상 \(T' \to T\)에 대해 생략한다. 이로써 함자 [01NX]\[\begin{equation} F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 를 정의하였다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. 위의 함자 \(F\)는 스킴으로 표현 가능하다.

증명

\(U_d \to S\)를 위에서 정의한 함자 \(F_d\)를 표현하는 스킴이라 하자. 보편 대상을 \(\mathcal{L}_d\), \(\psi^d : \pi_d^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}_d^{\otimes n}\)로 쓰자. \(d | d'\)이면 사중항 \((d', \pi_d, \mathcal{L}_d^{\otimes d'/d}, \psi^d|_{\mathcal{A}^{(d')}})\)을 생각할 수 있고, 이는 표준 사상 \(U_d \to U_{d'}\)을 \(S\) 위에서 결정한다. 구성상 이 사상은 위에서 정의한 함자의 변환 \(F_d \to F_{d'}\)에 대응한다.

모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)에 대해 \(A = \Gamma(V, \mathcal{A})\)로 두면, 밑변환 \(U_{d, V}\)와 \(\text{Proj}(A)\)의 대응하는 열린 부분스킴 사이의 표준 식별이 있다. Lemma 01NU을 보라. 또한 위에서 구성한 사상 \(U_{d, V} \to U_{d', V}\)는 \(\text{Proj}(A)\)의 열린집합들의 포함에 대응한다. 따라서 \(U_d \to U_{d'}\)는 열린 몰입이다.

이를 통해 \(X\)를 구성할 수 있다. 즉 스킴 \(U_d\)들을 열린 몰입 \(U_d \to U_{d'}\)을 따라 붙인다. 기술적으로는 수열 \(d_1 | d_2 | d_3 | \ldots\)을 택하되 모든 양의 정수가 어느 \(d_i\)를 나누게 하고, 위의 열린 몰입을 사용하여 단순히 \(X = \bigcup U_{d_i}\)로 두는 것이 편리하다. 이제 \(X\)가 함자 \(F\)를 표현함을 증명하는 것은 간단하다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. Lemma 01NQ에서 구성한 스킴 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)와 함자 \(F\)를 표현하는 스킴은 \(S\) 위의 스킴으로서 표준적으로 동형이다.

증명

\(X\)를 함자 \(F\)를 표현하는 스킴이라 하자. \(X\)는 \(S\) 위의 스킴임에 유의하자. 실제로 함자 \(F\)에는 자연변환 \(F \to h_S\)가 주어져 있다. \(Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)로 쓰자. \(X \cong Y\)가 \(S\)-스킴의 동형임을 보여야 한다. 두 가지 논증을 제시한다.

첫 번째 논증은 Lemma 01NY의 증명에서 \(X\)를 스킴 \(U_d\), 즉 함자 \(F_d\)를 표현하는 스킴들의 합집합으로 구성한 것을 사용한다. \(S\)의 각 아핀 열린집합 위에서 \(X\)를 그 열린집합 위의 \(\mathcal{A}\)의 단면들의 동차 스펙트럼과 식별할 수 있다. 실제로 각 \(U_d\)의 열린집합에 대해 이 사실이 성립한다. 또한 이 식별들은 더 작은 아핀 열린집합으로 다시 제한하는 것과 호환된다. 한편 \(Y\)는 이 동차 스펙트럼들을 붙여 구성하였다. 따라서 이 동형들을 붙여 원하는 대로 \(X\)와 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 사이의 동형을 얻는다. 세부사항은 생략한다.

두 번째 논증은 다음과 같다. Lemma 01NR에 따르면 \(Y\) 위에서 등급 대수의 사상 \[\psi : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_Y(n)\] 이 존재하고, 이는 \(S\)의 아핀 열린집합 위의 단면에서 (01MP)와 일치한다. 따라서 모든 \(y \in Y\)에 대해 열린 근방 \(V \subset Y\)가 \(y\)를 포함하고 정수 \(d \geq 1\)이 존재하여, \(d | n\)일 때 층 \(\mathcal{O}_Y(n)|_V\)가 가역이고 곱셈 사상 \(\mathcal{O}_Y(n)|_V \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{O}_Y(m)|_V \to \mathcal{O}_Y(n + m)|_V\)가 동형이다. 따라서 \(\psi\)를 층 \(\pi^*\mathcal{A}^{(d)}|_V\)에 제한하면 \(F_d(V)\)의 원소를 얻는다. 열린집합 \(V\)들이 \(Y\)를 덮으므로 “\(\psi\)”는 \(F(Y)\)의 원소를 정한다. 따라서 표준 사상 \(Y \to X\)를 \(S\) 위에서 얻는다. 이 구성이 완전히 표준적이므로 그것이 동형임을 보이기 위해 \(S\) 위에서 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(S\)가 아핀인 경우로 환원되고, 이 경우 결과는 명백하다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층이라 하자. \(\mathcal{A}\)의 \(S\) 위 상대 동차 스펙트럼, 또는 \(\mathcal{A}\)의 \(S\) 위 동차 스펙트럼, 또는 \(\mathcal{A}\)의 \(S\) 위 상대 Proj란 Lemma 01NQ에서 구성되어 함자 \(F\) (01NX)를 표현하는 스킴이다. Lemma 01NZ를 보라. 이를 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)로 나타낸다.

상대 Proj에는 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수의 준연접층 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) (구조층의 꼬임들)과 등급 대수의 “보편” 준동형 \[\psi_{univ} : \mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n) \right)\] 이 주어진다. Lemma 01NR를 보라. 원한다면 이를 준동형 \[\psi_{univ} : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\] 으로 생각할 수도 있다. 다음 보조정리는 이 대상의 보편성을 나타낸다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. \((f : T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\)를 사중항이라 하자. 결부된 사상을 \(r_{d, \mathcal{L}, \psi} : T \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)로 쓰자. 이는 \(S\)-사상이다. \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수의 동형 \[\theta : r_{d, \mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(nd) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 이 존재하여 다음 도식이 가환한다. \[\xymatrix{ \mathcal{A}^{(d)} \ar[rr]_-{\psi} \ar[rd]_-{\psi_{univ}} & & f_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n} \right) \\ & \pi_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(nd) \right) \ar[ru]_\theta }\] 이 도식의 가환성은 \(\theta\)를 유일하게 결정한다.

증명

사중항 \((f : T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\)는 \(F_d(T)\)의 원소를 정한다는 점에 유의하자. \(U_d \subset \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)를 층 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\)가 가역이고 \(\psi_{univ} : \pi^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\)의 상으로 생성되는 자취라 하자. \(U_d\)가 함자 \(F_d\)를 표현함을 상기하자. Lemma 01NY의 증명을 보라. 따라서 사중항 \((U_d \to S, d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi_{univ}|_{\mathcal{A}^{(d)}})\)이 보편족, 즉 \(F_d(U_d)\)의 표현 대상임을 보이면 결과가 따른다. 다음 두 이유로 \(S\)의 아핀 열린집합에 제한한 뒤 이를 확인해도 된다. (a) 함자 \(F_d\)의 구성은 밑변환과 교환하고(Lemma 01NT 참조), (b) 쌍 \((\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n), \psi_{univ})\)은 \(S\)의 아핀 열린집합들 위에서 붙이기로 구성된다(Lemma 01NR 참조). 따라서 \(S\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 사중항의 함자 \(F_d\)와 삼중항의 함자 \(F_d\)는 일치하고(Lemma 01NU의 증명 참조), 또한 Lemma 01N9에 따르면 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\)는 \(U_d\) 위의 보편 삼중항이다. Lemma 01NU의 증명에 나온 식별들을 거꾸로 따라가면 \((U_d \to S, d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi_{univ}|_{\mathcal{A}^{(d)}})\)이 원하는 보편 사중항임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접층이라 하자. 사상 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)는 분리사상이다.

증명

사상이 분리사상임을 증명할 때 밑 위에서 국소적으로 작업해도 된다. Schemes, Section 01KH를 보라. 구성에 의해 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)는 모든 아핀 \(U \subset S\) 위에서 \(\text{Proj}(A)\)와 동형이며, 여기서 \(A = \mathcal{A}(U)\)이다. Lemma 01MC에 의해 \(\text{Proj}(A)\)가 분리임을 안다. 따라서 원하는 대로 \(\text{Proj}(A) \to U\)는 분리사상이다(Schemes, Lemma 01KV 참조).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접층이라 하자. \(g : S' \to S\)를 임의의 스킴의 사상이라 하자. 그러면 표준 동형 \[r : \underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A}) \longrightarrow S' \times_S \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] 과 이에 대응하는 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A})}\)-대수의 동형 \[\theta : r^*\text{pr}_2^*\left(\bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A})}(d)\] 이 존재한다.

증명

이는 Lemma 01NT와 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)를 스킴 \(U_d\), 즉 함자 \(F_d\)를 표현하는 스킴들의 합집합으로 구성한 Lemma 01NY에서 따른다. 붙이기를 통한 상대 Proj의 구성으로 표현하면 이 동형은 Lemma 01N2에서 구성한 동형들로 주어지며, 이들이 동형 \(\theta\)를 준다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 준연접층이라 하되, \(\mathcal{A}_0\)-대수로서 \(\mathcal{A}_1\)에 의해 생성된다고 하자. 이 경우 스킴 \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)는 함자 \(F_1\)을 표현한다. 이 함자는 스킴 \(f : T \to S\)가 \(S\) 위에 주어지면 다음 쌍 \((\mathcal{L}, \psi)\)들의 집합을 결부시킨다.

1. \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군이고,

2. \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\)는 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수 준동형이며 \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\)은 전사이다.

여기서 위와 같은 강한 동치까지 취한다. 또한 이 경우 모든 준연접층 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n)\)은 가역 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}\)-가군이고 곱셈 사상은 동형 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n) \otimes_{\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(m) = \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n + m)\) 을 유도한다.

증명

보조정리의 가정 아래 층 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n)\)은 가역이고, \(S\)의 아핀 열린집합들 위에서 Lemma 01NY와 Lemma 01NA에 의해 곱셈 사상들이 동형이다. 따라서 \(X\)는 실제로 함자 \(F_1\)을 표현한다. Lemma 01NY의 증명을 보라.

상대 Proj 위의 준연접층

상대적 상황에서 등급 가군을 다루는 방법을 간단히 논의한다.

Situation 01NN의 상황에 놓여 있다고 하자. 따라서 \(S\)는 스킴이고 \(\mathcal{A}\)는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수이다. \(\mathcal{M} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}_n\)을 등급 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하되, \(\mathcal{O}_S\)-가군으로서 준연접이라고 하자. \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 위의 이에 결부된 가군의 준연접층을 설명할 것이다. 먼저 이 층의 값을 상대 Proj로 사상되는 스킴 \(T\) 위에서 설명한다.

\(T\)를 스킴이라 하자. 사중항 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\)가 \(T\) 위에 주어졌다고 하자. Section 01NS에서와 같다. 준연접층 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\)를 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 층으로서 다음과 같이 정의한다. [01O6]\[\begin{equation} \widetilde{\mathcal{M}}_T = \left( f^*\mathcal{M}^{(d)} \otimes_{f^*\mathcal{A}^{(d)}} \left(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) \right)_0 \end{equation}\] 즉 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\)는 차수 \(0\)인 부분이다. 구체적으로 등급 \(f^*\mathcal{A}^{(d)}\)-가군 \(\mathcal{M}^{(d)}\)와 \(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\)의 텐서곱에서 취한 부분이다. 표기에서는 나타내지 않았지만 층 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\)는 사중항에 의존한다는 점에 유의하자. 이 구성은 임의의 사상 \(g : T' \to T\)가 주어졌을 때 \(\widetilde{\mathcal{M}}_{T'} = g^*\widetilde{\mathcal{M}}_T\)를 만족하는 좋은 성질을 갖는다. 여기서 \(\widetilde{\mathcal{M}}_{T'}\)는 당겨온 사중항 \((d, f \circ g, g^*\mathcal{L}, g^*\psi)\)에 결부된 준연접층을 나타낸다.

(01O6)의 모든 층이 준연접이므로, 아핀 열린집합 \(\Spec(C) = V \subset T\)가 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset S\)로 사상되는 경우에 이 구성을 구체적으로 쓸 수 있다. 구체적으로 \(\mathcal{A}|_U\)가 등급 \(R\)-대수 \(A\)에 대응하고, \(\mathcal{M}|_U\)가 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하며, \(\mathcal{L}|_V\)가 가역 \(C\)-가군 \(L\)에 대응한다고 하자. 사상 \(\psi\)는 등급 \(R\)-대수 사상 \(\gamma : A^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} L^{\otimes n}\)을 정한다. (\(L\)의 \(C\) 위 텐서 거듭제곱이다.) 그러면 \((\widetilde{\mathcal{M}}_T)|_V\)는 \(C\)-가군 \[N_{R, C, A, M, \gamma} = \left( M^{(d)} \otimes_{A^{(d)}, \gamma} \left(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} L^{\otimes n}\right) \right)_0\] 에 결부된 준연접층이다. 가정에 의해 \(T\)를 아핀 열린집합 \(V\)들로 덮되, 각각에 대해 어떤 \(a \in A_d\)가 존재하여 \(\gamma(a) \in L\)이 \(C\)-기저로서 가군 \(L\)을 생성하게 할 수도 있다. 그 경우 \(N_{R, C, A, M, \gamma}\)의 모든 원소는 순수 텐서들의 합 \(\sum m_i \otimes \gamma(a)^{-n_i}\)으로 쓸 수 있으며, 여기서 \(m_i \in M_{n_id}\)이다. 실제로 각 \(m_i\)에 \(a\)의 적당한 양의 거듭제곱을 곱하고 항들을 모으면 \(N_{R, C, A, M, \gamma}\)의 각 원소를 \(m \otimes \gamma(a)^{-n}\) 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 \(m \in M_{nd}\)이고 \(n \gg 0\)이다. 다시 말해 이 경우 \[N_{R, C, A, M, \gamma} = M_{(a)} \otimes_{A_{(a)}} C\] 이다. 여기서 사상 \(A_{(a)} \to C\)는 \(x/a^n \mapsto \gamma(x)/\gamma(a)^n\)인 사상이다. 달리 말하면 이는 \(\widetilde{M}\)의 \(D_{+}(a) \subset \text{Proj}(A)\) 위 값을 \(\Spec(C)\)로 당겨온 것이다. 이 당겨올림은 사상 \(\Spec(C) \to D_{+}(a)\)을 통해 취하며, 이 사상은 \(\gamma\)에서 온다.

보조정리

Situation 01NN의 상황이라 하자. 준연접 등급 \(\mathcal{A}\)-가군층 \(\mathcal{M}\)이 \(S\) 위에 주어질 때마다 이에 표준적으로 결부되고 다음 성질들을 갖는 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-가군층 \(\widetilde{\mathcal{M}}\)이 존재한다.

1. 스킴 \(T\)와 사중항 \((T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\)가 \(T\) 위에 주어지고, 이것이 사상 \(h : T \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)에 대응하면 표준 동형 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T = h^*\widetilde{\mathcal{M}}\)이 존재한다. 여기서 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\)는 (01O6)로 정의한다.

2. (1)의 동형들은 당겨올림과 호환된다.

3. 표준 사상 \[\pi^*\mathcal{M}_0 \longrightarrow \widetilde{\mathcal{M}}.\] 이 존재한다.

4. 구성 \(\mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathcal{M}}\)은 \(\mathcal{M}\)에 대해 함자적이다.

5. 구성 \(\mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathcal{M}}\)은 완전하다.

6. Lemma 01MK에서와 같은 표준 사상 \[\widetilde{\mathcal{M}} \otimes_{\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}} \widetilde{\mathcal{N}} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\] 이 존재한다.

7. (01MR)를 일반화하는 표준 사상 \[\pi^*\mathcal{M} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \widetilde{\mathcal{M}(n)}\] 이 존재한다.

8. \(\widetilde{\mathcal{M}}\)의 구성은 밑변환과 교환한다.

증명

생략한다. 이 보조정리는 여러 부분으로 나누고 각 부분을 따로 증명해야 한다.

상대 Proj의 함자성

이 절은 상대 Proj에 대한 Section 01MX의 유사물이다. \(S\)를 스킴이라 하자. 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 사상 \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)는 이에 결부된 상대 Proj 사이의 사상을 항상 주지는 않는다. 올바른 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\)를 두 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수라 하자. \(p : X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) 및 \(q : Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B}) \to S\)로 두자. \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준동형이라 하자. 표준 열린집합 \(U(\psi) \subset Y\), \(S\) 위의 표준 스킴 사상 \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow X\] 및 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-대수의 사상 \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] 이 존재한다. 삼중항 \((U(\psi), r_\psi, \theta)\)는 다음 성질로 특징지어진다. 모든 아핀 열린집합 \(W \subset S\)에 대해 삼중항 \[(U(\psi) \cap p^{-1}W,\quad r_\psi|_{U(\psi) \cap p^{-1}W} : U(\psi) \cap p^{-1}W \to q^{-1}W,\quad \theta|_{U(\psi) \cap p^{-1}W})\] 은 \(\psi : \mathcal{A}(W) \to \mathcal{B}(W)\)에 결부된 Lemma 01MY의 삼중항과 같다. 여기서는 식별 \(p^{-1}W = \text{Proj}(\mathcal{A}(W))\) 및 \(q^{-1}W = \text{Proj}(\mathcal{B}(W))\)을 사용한다. Section 01NM을 보라.

증명

국소 삼중항들을 붙이면 보조정리가 저절로 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) 및 \(\mathcal{C}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수라 하자. \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\), \(Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B})\) 및 \(Z = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{C})\)로 두자. \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), \(\psi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 사상이라 하자. 그러면 \[U(\psi \circ \varphi) = r_\varphi^{-1}(U(\psi)) \quad \text{and} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] 이다. 또한 자명한 표기 아래 \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] 이다.

증명

생략한다.

보조정리

위의 Lemma 07ZG와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\)가 \(d \gg 0\)에 대해 전사라고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. \(r_\psi : Y \to X\)는 닫힌 몰입이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 전사이지만 일반적으로 동형은 아니다(\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 전사이더라도 마찬가지이다).

증명

Lemma 07ZG와 Lemma 01N0를 결합하면 따른다.

보조정리

위의 Lemma 07ZG와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\)가 모든 \(d \gg 0\)에 대해 동형이라고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. \(r_\psi : Y \to X\)는 동형이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 동형이다.

증명

Lemma 07ZG와 Lemma 07ZE를 결합하면 따른다.

보조정리

위의 Lemma 07ZG와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\)가 \(d \gg 0\)에 대해 전사이고 \(\mathcal{A}\)가 \(\mathcal{A}_1\)에 의해 \(\mathcal{A}_0\) 위에서 생성된다고 가정하자. 그러면

1. \(U(\psi) = Y\)이고,

2. \(r_\psi : Y \to X\)는 닫힌 몰입이며,

3. 사상 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\)은 동형이다.

증명

Lemma 07ZG와 Lemma 01N1를 결합하면 따른다.

가역층과 상대 Proj로 가는 사상

다음 보조정리가 어딘가에서 필요할 듯하다. 상황은 다음과 같다.

1. \(S\)를 스킴이라 하자.

2. \(\mathcal{A}\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수라 하자.

3. \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)로 \(S\) 위의 상대 동차 스펙트럼을 나타내자.

4. \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자.

5. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

6. \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\)를 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준동형이라 하자.

이 자료가 주어지면 \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{(U, V, a)} U_{\psi(a)}\] 로 둔다. 여기서 \((U, V, a)\)는 다음을 만족한다.

1. \(V \subset S\)는 아핀 열린집합이고,

2. \(U = f^{-1}(V)\)이며,

3. \(a \in \mathcal{A}(V)_{+}\)는 동차이다.

실제로 그러면 \(\psi(a) \in \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes \deg(a)})\)이고 \(U_{\psi(a)}\)는 이에 대응하는 열린집합이다(Modules, Lemma 01CY 참조).

보조정리

위와 같은 가정과 표기를 사용하자. 사상 \(\psi\)는 \(S\) 위의 표준 스킴 사상 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] 과 등급 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-대수의 사상 \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}\] 을 유도한다. 이들은 다음 성질들로 특징지어진다.

1. 모든 열린집합 \(V \subset S\)와 모든 \(d \geq 0\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{A}_d(V) \ar[d]_{\psi} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(f^{-1}(V), \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(\pi^{-1}(V), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)) \ar[r]^{\theta} & \Gamma(f^{-1}(V) \cap U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] 은 가환한다.

2. 임의의 \(d \geq 1\)과 임의의 열린 부분스킴 \(W \subset X\)에 대해 \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\)가 전사이면, 사상 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\)의 제한은 상대 동차 스펙트럼의 구성으로부터 존재하는 사상 \(W \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)와 일치한다. Definition 01O0를 보라.

3. 임의의 아핀 열린집합 \(V \subset S\)에 대해 제한 \[(U(\psi) \cap f^{-1}(V), r_{\mathcal{L}, \psi}|_{U(\psi) \cap f^{-1}(V)}, \theta|_{U(\psi) \cap f^{-1}(V)})\] 은 \(i_V\)를 통한 식별 아래(Lemma 01NQ 참조) Lemma 01NK의 삼중항 \((U(\psi'), r_{\mathcal{L}, \psi'}, \theta')\)과 일치한다. 이는 사상 \(\psi' : A = \mathcal{A}(V) \to \Gamma_*(f^{-1}(V), \mathcal{L}|_{f^{-1}(V)})\)에 결부된 삼중항이며, 이 사상은 \(\psi\)가 유도한다.

증명

특징화 (3)을 사용하여 사상 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\)와 \(\theta\)를 \(S\) 위에서 국소적으로 구성한다. Lemma 01NK의 유일성을 사용하여 구성이 붙음을 보인다. 세부사항은 생략한다.

가역층에 의한 꼬임과 상대 Proj

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{A}_d\)를 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(S\) 위의 가역층이라 하자. 이 상황에서 또 다른 준연접 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수, 즉 \[\mathcal{B} = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{A}_d \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}^{\otimes d}\] 를 얻는다. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)의 상대 동차 스펙트럼은 동형임이 밝혀진다.

보조정리

위와 같은 표기 \(S\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{L}\) 및 \(\mathcal{B}\)를 사용하자. 다음 표준 동형이 존재한다. \[\xymatrix{ P = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \ar[rr]_g \ar[rd]_\pi & & \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B}) = P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & S & }\] 이 동형은 다음 성질들을 갖는다.

1. 동형 \(\theta_n : g^*\mathcal{O}_{P'}(n) \to \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}\) 들이 존재하고, 이들이 서로 맞물려 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수의 동형 \[\theta : g^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{P'}(n) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}\] 을 준다.

2. 모든 열린집합 \(V \subset S\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{A}_n(V) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}(V) \ar[r]_{multiply} \ar[d]^{\psi \otimes \pi^*} & \mathcal{B}_n(V) \ar[dd]^\psi \\ \Gamma(\pi^{-1}V, \mathcal{O}_P(n)) \otimes \Gamma(\pi^{-1}V, \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}) \ar[d]^{multiply} \\ \Gamma(\pi^{-1}V, \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}) & \Gamma(\pi'^{-1}V, \mathcal{O}_{P'}(n)) \ar[l]_-{\theta_n} }\] 은 가환한다.

3. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

증명

\(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_S\)일 때 이는 항등사상이다. 일반적으로 \(S\)의 열린 덮개를 택하여 각 조각 위에서 \(\mathcal{L}\)을 자명화하고, 이에 대응하는 사상들을 붙인다. 세부사항은 생략한다.

사영 다발

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 준연접층이라 하자. Modules, Lemma 01CL에 의해 대칭대수 \(\text{Sym}(\mathcal{E})\), 즉 \(\mathcal{E}\)의 \(\mathcal{O}_S\) 위 대칭대수는 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접층이다. 차수 \(1\)의 원소들로 \(\mathcal{O}_S\) 위에서 생성된다는 점에 유의하자. 따라서 앞 절의 구성, 구체적으로 Lemmas 01NY와 01O4를 여기에 적용하는 것이 의미가 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자.³ 다음과 같이 쓰고 \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})) \longrightarrow S\] 이를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라고 한다. 기호 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n)\)은 Lemma 01O4의 가역 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}\)-가군을 나타내고, \(n\)번째 구조층의 꼬임이라고 한다.

Lemma 01NR에 따르면 표준 \(\mathcal{O}_S\)-가군 준동형 \[\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n) \quad\text{equivalently}\quad \pi^*\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n)\] 이 모든 \(n \geq 0\)에 대해 존재한다. 특히 \(n = 1\)일 때 \[\mathcal{E} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1) \quad\text{equivalently}\quad \pi^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\] 이고, 사상 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)은 Lemma 01O4에 의해 전사이다. 이는 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\)의 구성을 어떻게 정규화했는지를 기억하는 좋은 방법이다.

주의: 어떤 문헌에서는 스킴 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\)를 \(\mathcal{E}\)가 \(S\) 위에서 유한 국소 자유일 때에만 정의한다. 또한 어떤 경우에는 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\)를 실제로 우리의 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}^\vee)\)로 정의하는데, 여기서 \(\mathcal{E}^\vee\)는 \(\mathcal{E}\)의 쌍대이다(그리고 이 정의는 \(\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유일 때에만 사용한다).

\(S\), \(\mathcal{E}\), \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\)가 Definition 01OB에서와 같다고 하자. \(f : T \to S\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(\psi : f^*\mathcal{E} \to \mathcal{L}\)을 전사라 하되, \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_T\)-가군이라고 하자. 유도된 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수 사상 \[f^*\text{Sym}(\mathcal{E}) = \text{Sym}(f^*\mathcal{E}) \to \text{Sym}(\mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 은 사상 \[\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : T \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E})\] 에 대응한다. 이는 \(S\) 위의 사상이며, Section 01NS에서 상대 Proj를 함자 \(F\)를 표현하는 스킴으로 구성했기 때문에 생긴다. 한편 사상 \(\varphi : T \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\)가 \(S\) 위에 주어지면 \(\mathcal{L} = \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)로 두고, \(\psi : f^*\mathcal{E} \to \mathcal{L}\)을 \(\varphi\)에 의해 표준 전사 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)를 당겨온 사상으로 둘 수 있다. Lemma 01O4에 의해 이 두 구성은 쌍 \((\mathcal{L}, \psi)\)의 동형류들의 집합과 사상 \(\varphi : T \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\)들의 집합 사이의 서로 역인 전단사이며, 뒤의 사상들은 \(S\) 위에서 취한다. 따라서 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\)는 \(f : T \to S\)에 \(\mathcal{O}_T\)-가군 몫 중 \(f^*\mathcal{E}\)의 몫이고 국소 자유 계수가 \(1\)인 것들의 집합을 결부시키는 함자를 표현한다.

예

\(k\)를 체라 하자. \(V\)를 \(k\)-벡터공간이라 하자. 이에 대응하는 사영공간은 \(k\)-스킴 \[\mathbf{P}(V) = \text{Proj}(\text{Sym}(V))\] 이다. 여기서 \(\text{Sym}(V)\)는 \(V\)의 \(k\) 위 대칭대수이다. 물론 \(\mathbf{P}(V) \cong \mathbf{P}^n_k\)이고, 이는 \(\dim(V) = n + 1\)일 때 성립한다. 실제로 이때 \(V\) 위의 대칭대수는 \(n + 1\)개 변수를 갖는 다항식환과 동형이다. \(V\)를 \(\Spec(k)\) 위의 준연접 가군으로 생각하면 \(\mathbf{P}(V)\)는 \(\Spec(k)\) 위의 이에 대응하는 사영공간 다발이다. 위의 논의에 의해 \(k\)-값점 \(p\)가 \(\mathbf{P}(V)\)에 속한다는 것은 \(k\)-벡터공간의 전사 \(V \to L_p\)가 주어지고 \(\dim(L_p) = 1\)인 것과 같다. 더 일반적으로 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\psi : V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 \(k\)-선형 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)이 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(\psi\)의 상에 있는 단면들에 의해 생성된다고 가정한다. 그러면 위의 논의는 \(k\) 위의 표준 스킴 사상 \[\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : X \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] 을 주며, 동형 \(\theta : \varphi_{\mathcal{L}, \psi}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1) \to \mathcal{L}\)이 존재하고 \(\psi\)는 합성 \[V \to \Gamma(\mathbf{P}(V), \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1)) \to \Gamma(X, \varphi_{\mathcal{L}, \psi}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1)) \to \Gamma(X, \mathcal{L})\] 과 일치한다. Lemma 01NK를 보라. \(V \subset \Gamma(X, \mathcal{L})\)가 부분공간이면 위에서 구성한 사상을 단순히 \(\varphi_{\mathcal{L}, V}\)로 나타낼 것이다. \(\dim(V) = n + 1\)이고 기저 \(v_0, \ldots, v_n\)을 \(V\)에서 택하면 도식 \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[rr]_{\varphi_{\mathcal{L}, \psi}} & & \mathbf{P}(V) \ar[d]^{\cong} \\ X \ar[rr]^{\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}} & & \mathbf{P}^n_k }\] 은 가환한다. 여기서 \(s_i = \psi(v_i) \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)이고, \(\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}\)는 Section 01ND에서와 같으며, 오른쪽 세로 화살표는 동형 \(k[T_0, \ldots, T_n] \to \text{Sym}(V)\)에 대응한다. 이 동형은 \(T_i\)를 \(v_i\)로 보낸다.

예

사상 \(\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \to \pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n))\)은 \(\mathcal{E}\)가 국소 자유이면 동형이지만, 일반적으로는 동형일 필요가 없다. 실제로 이 사상이 \(n = 1\)일 때 단사가 아닌 예를 제시하겠다. \(S = \Spec(A)\)로 두되 \[A = k[u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]/I\] 라 하자. 여기서 \(k\)는 체이고 \[I = (-us_1 + vt_1 + ut_2, vs_1 + us_2 - vt_2, vs_2, ut_1).\] \(\overline{u}\)로 \(u\)의 \(A\)에서의 류를 나타내고 다른 변수들도 같은 방식으로 나타내자. \(M = (Ax \oplus Ay)/A(\overline{u}x + \overline{v}y)\)로 두면 \[\text{Sym}(M) = A[x, y]/(\overline{u}x + \overline{v}y) = k[x, y, u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]/J\] 이고, 여기서 \[J = (-us_1 + vt_1 + ut_2, vs_1 + us_2 - vt_2, vs_2, ut_1, ux + vy).\] 이다. 이 경우 준연접층 \(\mathcal{E} = \widetilde{M}\)이 \(S = \Spec(A)\) 위에 주어질 때 이에 결부된 사영 다발은 스킴 \[P = \text{Proj}(\text{Sym}(M)).\] 이다. 이 스킴은 아핀 열린 덮개 \(P = D_{+}(x) \cup D_{+}(y)\)를 갖는다. 원소 \(m \in M\)을 생각하되, 이를 원소 \(us_1x + vt_2y\)의 상으로 택하자. 다음에 유의하자. \[x(us_1x + vt_2y) = (s_1x + s_2y)(ux + vy) \bmod I\] 그리고 \[y(us_1x + vt_2y) = (t_1x + t_2y)(ux + vy) \bmod I.\] 첫 번째 등식에 의해 \(m\)은 \(\mathcal{O}_P(1)\)의 단면으로서 \(D_{+}(x)\) 위에서 영으로 사상되고, 두 번째 등식에 의해 \(\mathcal{O}_P(1)\)의 단면으로서 \(D_{+}(y)\) 위에서 영으로 사상된다. 따라서 \(m\)은 \(\Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\)에서 영으로 사상된다. 한편 \(m \not = 0\)임을 주장한다. 그러면 \(m\)은 \(\mathcal{E}\)의 영이 아닌 대역단면이 \(\Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\)에서 영으로 사상되는 예를 준다. 모순을 얻기 위해 \(m = 0\)이라고 가정하자. 이 경우 어떤 원소 \(f \in k[u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]\)가 존재하여 \[us_1x + vt_2y = f(ux + vy) \bmod I\] 이다. \(I\)가 차수 \(2\)인 동차 다항식들로 생성되므로 \(f\)를 동차 성분들로 분해하여 차수 1인 성분을 취할 수 있다. 다시 말해 어떤 \(a, b, \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in k\)에 대해 \[f = au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2\] 라고 가정할 수 있다. 그 결과 얻는 조건들은 \[\begin{matrix} us_1 - u(au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \\ vt_2 - v(au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \end{matrix}\] 이다. 항 \(u^2, uv, v^2\)는 \(I\)의 생성자에 없으므로 \(a = b = 0\)임을 알 수 있다. 따라서 관계식 \[\begin{matrix} us_1 - u(\alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \\ vt_2 - v(\alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \end{matrix}\] 을 얻는다. \(I\)의 첫째 생성자를 사용하여 \(us_1\)이 나타날 때마다 \(vt_1 + ut_2\)로 바꾸고, \(I\)의 둘째 생성자를 사용하여 \(vs_1\)이 나타날 때마다 \(-us_2 + vt_2\)로 바꾸며, 셋째 생성자를 사용하여 \(vs_2\)가 나타나는 항을 제거하고 셋째 생성자를 사용하여 \(ut_1\)이 나타나는 항을 제거할 수 있다. 그러면 관계식 \[\begin{matrix} (1 - \alpha_1)vt_1 + (1 - \alpha_1)ut_2 - \alpha_2us_2 - \beta_2ut_2 = 0 \\ (1 - \alpha_1)vt_2 + \alpha_1us_2 - \beta_1vt_1 - \beta_2vt_2 = 0 \end{matrix}\] 을 얻는다. 이는 \(\alpha_1\)이 \(0\)과 \(1\)이어야 함을 동시에 뜻하므로, 원하는 모순을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 사영 다발의 구조사상 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\)는 \(S\) 위에서 분리사상이다.

증명

Lemma 01O2에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. 그러면 \(\mathbf{P}^n_S\)는 \(S\) 위의 사영 다발이다.

증명

다음에 유의하자. \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]) = \underline{\text{Proj}}_{\Spec(\mathbf{Z})} \left(\widetilde{\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]}\right)\] 여기서 환 \(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\)의 등급은 \(\deg(T_i) = 1\)로 주어지고 \(\mathbf{Z}\)의 원소들은 차수 \(0\)에 있다. \(\mathbf{P}^n_S\)가 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} S\)로 정의됨을 상기하자. 또한 상대 동차 스펙트럼의 구성은 밑변환과 교환한다. Lemma 01O3를 보라. 임의의 스킴 \(g : S \to \Spec(\mathbf{Z})\)에 대해 \(g^*\mathcal{O}_{\Spec(\mathbf{Z})}[T_0, \ldots, T_n] = \mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\)이다. 위의 사실들을 결합하면 \[\mathbf{P}^n_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]).\] 를 얻는다. 마지막으로 \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n] = \text{Sym}(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1})\)임에 유의하자. 따라서 \(\mathbf{P}^n_S\)는 \(S\) 위의 사영 다발이다.

그라스만 다양체

이 절에서는 표준 그라스만 다양체 함자들을 도입하고 이들이 스킴으로 표현됨을 보인다. 정수 \(k\), \(n\)을 \(0 < k < n\)이 되도록 택하자. 대략적으로 \(k\)-차원 부분공간들을 \(n\)-공간 안에서 매개화하는 함자 [089S]\[\begin{equation} G(k, n) : \Sch \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 를 구성할 것이다. 하지만 기술적인 이유로 \((n - k)\)-차원 몫들을 매개화하는 편이 더 편리하므로 그렇게 하겠다.

더 정확히 말해 \(G(k, n)\)은 스킴 \(S\)에 전사들의 동형류들의 집합 \(G(k, n)(S)\)를 결부시킨다. 여기서 전사는 \[q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{Q}\] 꼴이고 \(\mathcal{Q}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-가군이며 그 계수는 \(n - k\)이다. 이것은 실제로 집합임에 유의하자. 예를 들어 Modules, Lemma 01BC를 사용하거나, 전사 \(q\)의 동형류가 \(q\)의 핵으로 결정된다는 사실을 사용할 수 있다(그리고 층 하나가 주어지면 그 부분층들은 집합을 이룬다). 스킴의 사상 \(f : T \to S\)가 주어지면 \(G(k, n)(f) : G(k, n)(S) \to G(k, n)(T)\)는 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{Q}\)의 동형류를 \(f^*q : \mathcal{O}_T^{\oplus n} \longrightarrow f^*\mathcal{Q}\)의 동형류로 보낸다. 이는 다음 이유들로 의미가 있다. (1) \(f^*\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_T\)이고, (2) \(f^*\)는 가법적이며, (3) \(f^*\)는 국소 자유 가군을 보존하고(Modules, Lemma 01C8), (4) \(f^*\)는 오른쪽 완전하다 (Modules, Lemma 01AJ).

보조정리

\(0 < k < n\)이라 하자. (089S)의 함자 \(G(k, n)\)은 스킴으로 표현 가능하다.

증명

\(F = G(k, n)\)로 두자. 보조정리를 증명하기 위해 Schemes, Lemma 01JJ의 판정법을 사용하겠다. \(F\)가 자리스키 위상에 대한 층 성질을 만족하는 이유는 층들을 붙일 수 있기 때문이다. Sheaves, Section 00AK를 보라(일부 세부사항은 생략한다).

부분함자들의 족 \(F_i\). \(I\)를 \(\{1, \ldots, n\}\)의 원소 수 \(n - k\)인 부분집합들의 집합이라 하자. 스킴 \(S\)와 \(j \in \{1, \ldots, n\}\)가 주어지면 \(e_j\)로 대역단면 \[e_j = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\quad(1\text{ in }j\text{th spot})\] 을 나타낸다. 이는 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n}\)의 대역단면이다. 물론 이 단면들은 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n}\)을 자유롭게 생성한다. 마찬가지로 \(j \in \{1, \ldots, n - k\}\)에 대해 \(f_j\)로 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\)의 대역단면 중 \(j\)번째 성분만 \(1\)이고 나머지 성분은 모두 영인 것을 나타낸다. \(i \in I\)에 대해 \[s_i : \mathcal{O}_S^{\oplus n - k} \longrightarrow \mathcal{O}_S^{\oplus n}\] 로 두되, 이는 쌍대사영 \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S^{\oplus n}\)들 중 \(I\)의 원소들에 대응하는 것들의 직합이다. 더 정확히 \(i = \{i_1, \ldots, i_{n - k}\}\)이고 \(i_1 < i_2 < \ldots < i_{n - k}\)이면 \(s_i\)는 \(f_j\)를 \(e_{i_j}\)로 보내며, 여기서 \(j \in \{1, \ldots, n - k\}\)이다. 이 표기를 사용하여 \[F_i(S) = \{q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q} \in F(S) \mid q \circ s_i \text{ is surjective}\} \subset F(S)\] 로 둘 수 있다. 스킴의 사상 \(f : T \to S\)가 주어지면 당겨올림 \(f^*s_i\)는 \(T\) 위의 대응하는 사상이다. \(f^*\)가 오른쪽 완전하므로 (Modules, Lemma 01AJ), \(F_i\)가 \(F\)의 부분함자라고 결론짓는다.

\(F_i\)의 표현 가능성. 이를 증명할 때 (번호를 다시 매겨) \(i = \{1, \ldots, n - k\}\)라고 가정해도 된다. 이는 \(s_i\)가 첫 \(n - k\)개 성분의 포함임을 뜻한다. \(q \circ s_i\)가 전사이면 같은 계수의 유한 국소 자유 가군 사이의 전사이므로 \(q \circ s_i\)는 동형이다(Modules, Lemma 089Q). 따라서 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\)가 \(F_i(S)\)의 원소이면 \(q \circ s_i\)를 사용하여 \(\mathcal{Q}\)를 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\)와 식별할 수 있다. 그렇게 하면 \[q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\] 를 얻고, 이는 \(e_j\)를 \(f_j\)로 보내며 \(j = 1, \ldots, n - k\)이다 (표기는 위와 같다). \(q\)를 완전히 결정하려면 \(q(e_{n - k + 1}), \ldots, q(e_n)\)의 상들을 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\oplus n - k})\)에서 정해야 한다. 따라서 \(F_i\)는 함자 \[S \longmapsto \prod\nolimits_{j = n - k + 1, \ldots, n} \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\oplus n - k})\] 와 동형이다. 이 함자는 \(k(n - k)\)중 자기곱과 동형이며, 여기서 거듭제곱하는 함자는 \(S \mapsto \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)이다. Schemes, Example 01JH에 의해 뒤의 함자는 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\)로 표현된다. 따라서 \(F_i\)는 \(\mathbf{A}^{k(n - k)}_\mathbf{Z}\)로 표현된다. 실제로 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 올곱은 스킴의 범주에서의 곱이다.

포함 \(F_i \subset F\)는 열린 몰입들로 표현된다. \(S\)를 스킴이라 하고, \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\)를 \(F(S)\)의 원소라 하자. Modules, Lemma 01B8에 의해 집합 \(U_i = \{s \in S \mid (q \circ s_i)_s\text{ surjective}\}\)는 \(S\)에서 열려 있다. \(\mathcal{O}_{S, s}\)는 국소환이고 \(\mathcal{Q}_s\)는 유한 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군이므로, 나카야마 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \[s \in U_i \Leftrightarrow \left( \text{the map } \kappa(s)^{\oplus n - k} \to \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s \text{ induced by } (q \circ s_i)_s \text{ is surjective} \right)\] 이다. \(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(t \in T\)를 \(s \in S\)로 사상되는 점이라 하자. 다음이 성립한다. \((f^*\mathcal{Q})_t = \mathcal{Q}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{T, t}\) (Sheaves, Lemma 0098), 이하도 마찬가지이다. 따라서 사상 \[\kappa(t)^{\oplus n - k} \to (f^*\mathcal{Q})_t/\mathfrak m_t(f^*\mathcal{Q})_t\] 은 \((f^*q \circ f^*s_i)_t\)에 의해 유도되며, 위의 사상 \(\kappa(s)^{\oplus n - k} \to \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\)를 체의 확대 \(\kappa(t)/\kappa(s)\)로 밑변환한 것이다. 따라서 \(s \in U_i\)인 것과 \(t\)가 \(f^*q\)에 대한 대응하는 열린집합에 속하는 것은 동치이다. 특히 \(T \to S\)가 \(U_i\)를 통해 분해되는 것과 \(f^*q \in F_i(T)\)인 것은 동치이며, 이것이 원한 결과이다.

모음 \(F_i\), \(i \in I\)는 \(F\)를 덮는다. \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\)를 \(F(S)\)의 원소라 하자. 모든 점 \(s\)에 대해, 그 점이 놓인 \(S\)에서 \(i \in I\)가 존재하여 \(s_i\)가 \(s\)의 한 근방에서 전사임을 보여야 한다. 따라서 합성들 \[\kappa(s)^{\oplus n - k} \xrightarrow{s_i} \kappa(s)^{\oplus n} \rightarrow \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\] 중 하나가 전사임을 보이면 된다(앞 문단을 보라). \(\mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\)는 차원 \(n - k\)인 벡터공간이므로 이는 벡터공간 이론에서 따른다.

정의

\(0 < k < n\)이라 하자. 스킴 \(\mathbf{G}(k, n)\), 즉 함자 \(G(k, n)\)을 표현하는 스킴을 \(\mathbf{Z}\) 위의 그라스만 다양체라고 한다. 그 밑변환 \(\mathbf{G}(k, n)_S\)를 스킴 \(S\)에 대해 \(S\) 위의 그라스만 다양체라고 한다. \(R\)가 환이면 \(\Spec(R)\)로의 밑변환을 \(\mathbf{G}(k, n)_R\)로 나타내고 \(R\) 위의 그라스만 다양체라고 한다.

Lemma 089T에서 이 함자들이 실제로 표현 가능함을 보였으므로 정의는 의미가 있다.

보조정리

\(n \geq 1\)이라 하자. 표준 동형 \(\mathbf{G}(n, n + 1) = \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)이 존재한다.

증명

Lemma 01NE에 따르면 스킴 \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)는 스킴 \(S\)에 다음 쌍들의 동형류들의 집합을 결부시키는 함자를 표현한다. 이 쌍은 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) 꼴이고, 가역 가군 \(\mathcal{L}\)과 대역단면들의 \((n + 1)\)-튜플로 이루어지며, 이 단면들은 \(\mathcal{L}\)을 생성한다. 이러한 쌍이 주어지면 몫 \[\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1} \longrightarrow \mathcal{L},\quad (h_0, \ldots, h_n) \longmapsto \sum h_i s_i.\] 을 얻는다. 거꾸로 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n + 1} \to \mathcal{Q}\)가 \(G(n, n + 1)(S)\)의 원소로 주어지면 이러한 쌍, 즉 \((\mathcal{Q}, (q(e_1), \ldots, q(e_{n + 1})))\)을 얻는다. 여기서 \(e_i\), \(i = 1, \ldots, n + 1\)은 자유 가군 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1}\)의 표준 생성 단면들이다. 이 구성들이 함자들의 서로 역인 변환들을 정의한다는 확인은 생략한다.