스킴의 코호몰로지

서론

이 장에서는 먼저 준연접층의 코호몰로지에 관한 여러 결과를 증명한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다. 그런 다음 뇌터 상황에서 연접층의 코호몰로지를 자세히 다룬다. [FAC]를 보라.

준연접층의 Čech 코호몰로지

\(X\)를 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(U\)의 표준 열린 덮개란 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) 꼴의 덮개를 말한다. 여기서 \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)는 단위 아이디얼을 생성한다. Schemes의 정의 01HT를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\)를 \(X\)의 한 아핀 열린집합의 표준 열린 덮개라 하자. 그러면 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다.

증명

\(U = \Spec(A)\)라 쓰자. 여기서 \(A\)는 어떤 환이다. 다시 말해 \(f_1, \ldots, f_n\)은 \(A\)의 단위 아이디얼을 생성하는 \(A\)의 원소들이다. \(\mathcal{F}|_U = \widetilde{M}\)이라 쓰자. 여기서 어떤 \(A\)-가군을 \(M\)으로 나타냈다. 명백히 Čech 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체 \[\prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1i_2} M_{f_{i_0}f_{i_1}f_{i_2}} \to \ldots\] 와 동일시된다. 우리가 보여야 할 것은 확장 복합체 [01XA]\[\begin{equation} 0 \to M \to \prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1i_2} M_{f_{i_0}f_{i_1}f_{i_2}} \to \ldots \end{equation}\] 가 완전하다는 것이다. 그 절단은 Algebra의 보조정리 00EK에서 이미 다루었다. 복합체 (01XA)를 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에서 국소화한 뒤 완전함을 보이면 충분하다. Algebra의 보조정리 00HN을 보라. 사실 우리는 \(\mathfrak p\)에서 국소화한 확장 복합체가 영사상과 호모토픽임을 보일 것이다.

첨자 \(i\) 중 \(f_i \not \in \mathfrak p\)인 것이 존재한다. 그러한 첨자 하나를 택해 \(i_{\text{fix}}\)로 고정하자. 그러면 \(M_{f_{i_{\text{fix}}}, \mathfrak p} = M_{\mathfrak p}\)이다. 마찬가지로 곱 \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}\)에서 국소화한 뒤 다시 \(\mathfrak p\)에서 국소화할 때, 임의의 \(f_{i_j}\)는 \(i_j = i_{\text{fix}}\)이면 생략할 수 있다. 다음 호모토피를 정의하자. \[h : \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_{p + 1}} M_{f_{i_0} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p} \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} M_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}, \mathfrak p}\] 그 규칙은 \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\] 이다. 이는 Cohomology의 보조정리 01EM의 증명에 나오는 호모토피와 “쌍대”이다. 다시 말해 \(h : \prod_{i_0} M_{f_{i_0}, \mathfrak p} \to M_\mathfrak p\)는 인자 \(M_{f_{i_{\text{fix}}}, \mathfrak p} = M_{\mathfrak p}\)로의 사영이고, 일반적으로 사상 \(h\)는 인자들 \(M_{f_{i_{\text{fix}}} f_{i_1} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p} = M_{f_{i_1} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p}\)로의 사영이다. 계산하면 \[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 이다. 이는 원하는 대로 항등사상이 영사상과 호모토픽임을 증명한다.

다음 보조정리는 특히 임의의 아핀 스킴 \(X\)와 임의의 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 주어졌을 때 \[H^p(X, \mathcal{F}) = 0\] 가 모든 \(p > 0\)에 대해 성립함을 말한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다.

증명

Cohomology의 보조정리 01EW를 적용한다. 기저 \(\mathcal{B}\)로 \(X\)의 아핀 열린집합들을 사용한다. 여기서 고려하는 위상은 \(X\)의 위상이다. 열린 덮개들의 모음 \(\text{Cov}\)로 \(X\)의 아핀 열린집합들의 표준 열린 덮개들을 사용한다. 이제 Cohomology의 보조정리 01EW의 조건 (1), (2), (3)을 확인한다. 아핀 안에서 표준 열린집합들의 교집합은 다시 표준 열린집합이다. 따라서 성질 (1)이 성립한다. 이 덮개들은 \(\mathcal{B}\)의 임의의 원소의 열린 덮개들 가운데 공종계를 이룬다. Schemes의 보조정리 01HS을 보라. 따라서 (2)가 성립한다. 마지막으로 조건 (3)은 보조정리 01X9에서 따른다.

다음은 아핀 위의 준연접층 코호몰로지 소멸의 상대적 형태이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 아핀이면 \(R^if_*\mathcal{F} = 0\)이 모든 \(i > 0\)에 대해 성립한다.

증명

Cohomology의 보조정리 01E4에 따르면 층 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 전층 \(V \mapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F}|_{f^{-1}(V)})\)에 결부된 층이다. 가정에 의해 \(V\)가 아핀이면 언제나 \(f^{-1}(V)\)도 아핀이다. Morphisms의 정의 01S6를 보라. 보조정리 01XB에 의해 \(H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) = 0\)인데, 이는 \(V\)가 아핀이면 언제나 성립한다. \(S\)에는 아핀 열린집합들로 이루어진 기저가 있으므로 결론이 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(S, f_*\mathcal{F})\)가 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

보조정리 01XC과 Leray 스펙트럼 열에서 따른다. Cohomology의 보조정리 01F4를 보라.

다음 두 보조정리는 언제 Čech 코호몰로지를 사용하여 준연접 가군의 코호몰로지를 계산할 수 있는지를 설명한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 아핀 대각사상 \(\Delta : X \to X \times X\)를 갖는다.

2. 아핀 열린집합 \(U, V \subset X\)에 대해 교집합 \(U \cap V\)는 아핀이다.

3. 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 존재하여 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)가 모든 \(p \ge 0\)과 모든 \(i_0, \ldots, i_p \in I\)에 대해 아핀 열린집합이다.

특히 \(X\)가 분리적이면 이들이 성립한다.

증명

\(X\)가 아핀 대각사상을 갖는다고 가정하자. \(U, V \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\)는 아핀이다. 따라서 (2)가 성립한다. (2)가 (3)을 함의함은 즉시 알 수 있다. 거꾸로 (3)과 같은 \(X\)의 덮개가 존재하면 \(X \times X = \bigcup U_i \times U_{i'}\)는 아핀 열린 덮개이고, \(\Delta^{-1}(U_i \times U_{i'}) = U_i \cap U_{i'}\)가 아핀임을 알 수 있다. 따라서 Morphisms의 보조정리 01S8에 의해 \(\Delta\)는 아핀 사상이다. 마지막 주장은 Schemes의 보조정리 01KP에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하되, \(U_{i_0 \ldots i_p}\)가 모든 \(p \ge 0\)과 모든 \(i_0, \ldots, i_p \in I\)에 대해 아핀 열린집합이라고 하자. 이 경우 임의의 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F})\] 가 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-가군으로서 모든 \(p\)에 대해 성립한다.

증명

보조정리 01XB에 비추어 보면 이는 Cohomology의 보조정리 01ET의 특수한 경우이다.

코호몰로지의 소멸

아핀 스킴 위에서는 임의의 준연접층의 고차 코호몰로지 군이 소멸함을 보았다 (보조정리 01XB). 이 성질은 역으로 아핀 스킴을 특징짓기도 한다. 여기서는 그 두 가지 형태를 제시한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. 모든 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)에 대해 \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)이다.

그러면 \(X\)는 아핀이다.

증명

\(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. \(U \subset X\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방이라 하자. \(U = \Spec(A)\)로 쓰고, \(\mathfrak m \subset A\)를 \(x\)에 대응하는 극대 아이디얼이라 하자. \(Z = X \setminus U\) 및 \(Z' = Z \cup \{x\}\)로 둔다. Schemes의 보조정리 01J3에 의해 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\) 및 각각 \(\mathcal{I}'\)가 존재하며, 이들은 기약 닫힌 부분스킴 \(Z\) 및 각각 \(Z'\)를 잘라낸다. 다음 짧은 완전열을 생각하자. \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \to 0.\] \(x\)는 \(X\)의 닫힌점이고 \(x \not \in Z\)이므로 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}'\)는 \(x\)에서 지지된다. 실제로 \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\)를 \(U\)에 제한한 층은 \(A\)-가군 \(A/\mathfrak m\)에 대응한다. 따라서 \(\Gamma(X, \mathcal{I}/\mathcal{I'}) = A/\mathfrak m\)이다. 가정에 의해 \(H^1(X, \mathcal{I}') = 0\)이므로, 전역 단면 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{I})\)가 존재하며, 그 상은 원소 \(1 \in A/\mathfrak m\), 즉 \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\)의 단면이다. 분명히 \(x \in X_f \subset U\)이다. 이는 \(X_f = D(f_A)\)임을 뜻하며, 여기서 \(f_A\)는 \(f\)의 \(A = \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 상이다. 특히 \(X_f\)는 아핀이다.

합집합 \(W = \bigcup X_f\)를 생각하되, 이 합집합은 모든 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 중 \(X_f\)가 아핀인 것에 걸친다. 분명히 \(W\)는 \(X\)의 열린집합이다. 위 논증에 의해 \(X\)의 모든 닫힌점은 \(W\)에 들어간다. 닫힌 부분집합 \(X \setminus W\)는 \(X\) 안에서 준콤팩트이다 (Topology의 보조정리 005C 참조). 따라서 이것이 공집합이 아니면 닫힌점을 갖는다 (Topology의 보조정리 005E 참조). 이는 모든 닫힌점이 \(W\)에 들어간다는 사실에 모순된다. 따라서 \(X = W\)이다.

유한 개의 \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 택하되, \(X = X_{f_1} \cup \ldots \cup X_{f_n}\)이고 각 \(X_{f_i}\)가 아핀이 되게 한다. 위에서 본 바와 같이 이는 가능하다. Properties의 보조정리 01QF에 의해, 증명을 끝내려면 \(f_1, \ldots, f_n\)이 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)의 단위 아이디얼을 생성함을 보이면 충분하다. 다음 짧은 완전열을 생각하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{O}_X^{\oplus n} \ar[rr]^{f_1, \ldots, f_n} & & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 }\] \(f_1, \ldots, f_n\)으로 정의되는 화살표는 열린집합 \(X_{f_i}\)들이 \(X\)를 덮으므로 전사이다. 이 전사 사상의 핵을 \(\mathcal{F}\)라 하자. \(\mathcal{F}\)에는 다음과 같은 여과가 있다. \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n = \mathcal{F}\] 각 부분몫 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\)은 준연접 아이디얼 층과 동형이다. 구체적으로 \(\mathcal{F}_i\)를 \(\mathcal{F}\)와 처음 \(i\)개의 직합 인자로 이루어진 \(\mathcal{O}_X^{\oplus n}\) 부분가군의 교집합으로 택할 수 있다. 보조정리의 가정에 의해 \(H^1(X, \mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}) = 0\)이 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 이로부터 \(H^1(X, \mathcal{F}_2) = 0\)인데, 이는 \(H^1(X, \mathcal{F}_1)\)과 \(H^1(X, \mathcal{F}_2/\mathcal{F}_1)\) 사이에 놓이기 때문이다. 이를 계속하면 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)을 얻는다. 따라서 원하는 대로 다음 사상이 전사이다. \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \ar[rr]^{f_1, \ldots, f_n} & & \Gamma(X, \mathcal{O}_X) }\]

\(X\)가 뇌터 스킴이면 모든 준연접 아이디얼 층은 자동으로 연접 아이디얼 층이며 유한형 준연접 아이디얼 층이다. 따라서 이 경우에는 앞의 보조정리와 다음 보조정리를 모두 적용할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. \(X\)는 준분리이다.

3. \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)이다. 여기서 \(\mathcal{I}\)는 임의의 유한형 준연접 아이디얼 층이다.

그러면 \(X\)는 아핀이다.

증명

Properties의 보조정리 01PG에 의해 모든 준연접 아이디얼 층은 유한형 준연접 아이디얼 층들의 유향 쌍극한이다. Cohomology의 보조정리 01FF에 의해 \(X\) 위에서 코호몰로지를 취하는 것은 유향 쌍극한과 가환한다. 따라서 \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)이 \(X\) 위의 모든 준연접 아이디얼 층에 대해 성립한다. 다시 말해 보조정리 01XF을 적용할 수 있다.

위의 논증을 이용하면 가역층이 풍부할 충분조건을 얻을 수 있다. 다만 이 조건은 필요조건이 아님을 독자에게 밝혀 둔다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. 모든 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)에 대해 \(n \geq 1\)이 존재하여 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)이 된다.

그러면 \(\mathcal{L}\)은 풍부하다.

증명

보조정리 01XF과 정확히 같은 방식으로 증명한다. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. \(U \subset X\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방 중 \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\)인 것으로 택하자. \(U = \Spec(A)\)로 쓰고, \(\mathfrak m \subset A\)를 \(x\)에 대응하는 극대 아이디얼이라 하자. \(Z = X \setminus U\) 및 \(Z' = Z \cup \{x\}\)로 둔다. Schemes의 보조정리 01J3에 의해 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\) 및 각각 \(\mathcal{I}'\)가 존재하며, 이들은 기약 닫힌 부분스킴 \(Z\) 및 각각 \(Z'\)를 잘라낸다. 다음 짧은 완전열을 생각하자. \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \to 0.\] 모든 \(n \geq 1\)에 대해 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to 0.\] 가정에 의해 \(n\)을 택하여 \(H^1(X, \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)이 되게 할 수 있다. \(x\)는 \(X\)의 닫힌점이고 \(x \not \in Z\)이므로 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}'\)는 \(x\)에서 지지된다. 실제로 \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\)를 \(U\)에 제한한 층은 \(A\)-가군 \(A/\mathfrak m\)에 대응한다. \(\mathcal{L}\)은 \(U\) 위에서 자명하므로, \(\mathcal{I}/\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\)을 \(U\)에 제한한 층도 \(A\)-가군 \(A/\mathfrak m\)에 대응한다. 따라서 \(\Gamma(X, \mathcal{I}/\mathcal{I'} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = A/\mathfrak m\)이다. \(n\)의 선택에 의해 전역 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)이 존재하며, 이는 원소 \(1 \in A/\mathfrak m\)에 보내진다. 분명히 \(x \in X_s \subset U\)인데, 이는 \(s\)가 \(Z\)의 점들에서 소멸하기 때문이다. 이는 \(X_s = D(f)\)임을 뜻하며, 여기서 \(f \in A\)는 \(s\)의 \(A \cong \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 안에서의 상이다. 특히 \(X_s\)는 아핀이다.

합집합 \(W = \bigcup X_s\)를 생각하되, 이는 모든 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)와 \(n \geq 1\) 중 \(X_s\)가 아핀인 것에 걸친 합집합이다. 분명히 \(W\)는 \(X\)의 열린집합이다. 위 논증에 의해 \(X\)의 모든 닫힌점은 \(W\)에 들어간다. 닫힌 부분집합 \(X \setminus W\)는 \(X\) 안에서 준콤팩트이다 (Topology의 보조정리 005C 참조). 따라서 이것이 공집합이 아니면 닫힌점을 갖는다 (Topology의 보조정리 005E 참조). 이는 모든 닫힌점이 \(W\)에 들어간다는 사실에 모순된다. 따라서 \(X = W\)이다. Properties의 정의 01PS에 의해 이는 \(\mathcal{L}\)이 풍부하다는 뜻이다.

보조정리 0B5P에는 유한형 아이디얼 층을 사용하는 변형이 있다. 필요하게 되면 여기서 이를 정식화하고 증명할 것이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 준콤팩트 사상이라 하고 \(X\)와 \(Y\)가 준분리라고 하자. \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\)이라고 하자. 이 조건은 모든 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\), 곧 \(X\) 위의 아이디얼 층에 대해 요구한다. 그러면 \(f\)는 아핀이다.

증명

\(V \subset Y\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(U = f^{-1}(V)\)가 아핀임을 보이면 된다. 포함 사상 \(V \to Y\)는 Schemes의 보조정리 03GI에 의해 준콤팩트이다. 따라서 밑변환 \(U \to X\)는 준콤팩트이다. Schemes의 보조정리 01K5를 참조하라. 그러므로 임의의 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)가 \(U\) 위에 주어지면 \(X\) 위의 준연접 아이디얼 층으로 연장된다. Properties의 보조정리 01PE를 참조하라. \(R^1f_*\)의 형성은 \(Y\) 위에서 국소적이므로 (Cohomology의 절 01E0), 보조정리의 가정에 의해 \(R^1(U \to V)_*\mathcal{I} = 0\)이다. 따라서 르레 스펙트럼 열 (Cohomology의 보조정리 01F2)에 의해 \(H^1(U, \mathcal{I}) = H^1(V, (U \to V)_*\mathcal{I})\)이다. Schemes의 보조정리 01LC에 의해 \((U \to V)_*\mathcal{I}\)는 준연접이므로, 보조정리 01XB에 의해 \(H^1(V, (U \to V)_*\mathcal{I}) = 0\)이다. 그러므로 보조정리 01XF에 의해 \(U\)는 아핀이다.

고차 직상의 준연접성

아핀 스킴 위의 준연접 가군은 고차 코호몰로지 군이 영임을 보았다. (준)분리 준콤팩트 스킴 \(X\)의 경우에는 이로부터 어느 차수 이후 준연접층의 코호몰로지 군이 소멸함이 따른다. 그러나 \(X\)가 유한 코호몰로지 차원을 갖는다고 할 수는 없다. 코호몰로지 차원은 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 코호몰로지 소멸로 정의되기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(P\)를 \(X\)의 준콤팩트 열린집합들이 갖는 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(P\)는 \(X\)의 모든 아핀 열린집합에 대해 성립한다.

2. \(U\)가 준콤팩트 열린집합이고 \(V\)가 아핀 열린집합이며, \(P\)가 \(U\), \(V\), \(U \cap V\)에 대해 성립하면 \(P\)는 \(U \cup V\)에 대해서도 성립한다.

그러면 \(P\)는 \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합에 대해 성립하며, 특히 \(X\)에 대해 성립한다.

증명

먼저 \(P\)가 분리 준콤팩트 열린집합 \(W \subset X\)에 대해 성립함을 귀납법으로 보인다. 실제로 그러한 열린집합은 \(W = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)으로 쓸 수 있고, \(n\)에 대한 귀납법을 쓸 수 있다. 이때 성질 (2)를 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\) 및 \(V = U_n\)에 적용한다. 이는 \(U \cap V = (U_1 \cap U_n) \cup \ldots \cup (U_{n - 1} \cap U_n)\)가 \(n - 1\)개의 아핀 열린 부분스킴의 합집합이기 때문에 허용된다. 여기서는 Schemes의 보조정리 01KP를 아핀 열린집합 \(U_i\)와 \(U_n\)에 적용하였으며, 이들은 \(W\)의 열린집합들이다. 이제 임의의 준콤팩트 열린집합 \(W \subset X\)에 대해, \(W\)를 덮는 데 필요한 아핀 열린집합의 개수에 관한 귀납법을 앞과 같은 방법으로 적용할 수 있다. 이때 준콤팩트 열린집합 \(U_i \cap U_n\)은 아핀 스킴 \(U_n\)의 열린 부분스킴이므로 분리이다.

보조정리

\(X\)를 대각사상이 아핀인 준콤팩트 스킴이라 하자 (예를 들어 \(X\)가 분리이면 그러하다). \(t = t(X)\)를 \(X\)를 덮는 데 필요한 아핀 열린집합의 최소 개수라 하자. 그러면 \(H^n(X, \mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(n \geq t\)와 모든 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

증명

첫째 증명. \(t\)에 대한 귀납법을 쓴다. \(t = 1\)이면 보조정리 01XB에서 결과가 따른다. \(t > 1\)이면 \(X = U \cup V\)로 쓰되, \(V\)는 아핀 열린집합이고 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{t - 1}\)은 \(t - 1\)개의 아핀 열린집합의 합집합이게 한다. 이 경우 \(U \cap V = (U_1 \cap V) \cup \ldots (U_{t - 1} \cap V)\)도 \(t - 1\)개의 아핀 열린 부분스킴의 합집합이다. 실제로 대각사상이 아핀이므로 두 아핀 열린집합의 교집합은 아핀이다. 보조정리 0BDX을 참조하라. 다음 마이어–피토리스 긴 완전열을 적용한다. \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] Cohomology의 보조정리 01EB를 참조하라. 귀납법에 의해 군 \(H^i(U, \mathcal{F})\), \(H^i(V, \mathcal{F})\), \(H^i(U \cap V, \mathcal{F})\)는 \(i \geq t - 1\)에서 영이다. 따라서 \(H^i(X, \mathcal{F})\)는 \(i \geq t\)에서 곧바로 영이다.

둘째 증명. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i = 1}^t U_i\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. \(X\)의 대각사상이 아핀이므로 다중 교집합 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)는 모두 아핀이다. 보조정리 0BDX을 참조하라. 보조정리 01XD에 의해 체흐 코호몰로지 군 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)은 코호몰로지 군과 일치한다. Cohomology의 보조정리 01FM에 의해 체흐 코호몰로지 군은 교대 체흐 복합체 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)로 계산할 수 있다. 덮개가 \(t\)개의 원소로 이루어지므로 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(p \geq t\)에 대해 성립함이 곧바로 보인다. 따라서 결과가 따른다.

보조정리

\(X\)를 대각사상이 아핀인 준콤팩트 스킴이라 하자 (예를 들어 \(X\)가 분리이면 그러하다). 그러면 다음이 성립한다.

1. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 매입 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)가 존재한다. 이는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들 사이의 매입이며, \(H^p(X, \mathcal{F}') = 0\)이 모든 \(p \geq 1\)에 대해 성립한다.

2. \(\{H^n(X, -)\}_{n \geq 0}\)은 보편 \(\delta\)-함자로서 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 \(\textit{Ab}\)로 간다.

증명

\(X = \bigcup U_i\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. \(U = \coprod U_i\)로 두고 사상을 \(j : U \to X\)라 하되, 이 사상이 주어진 열린 몰입 \(U_i \to X\)들을 유도하게 한다. \(U\)는 아핀 스킴이고 \(X\)의 대각사상이 아핀이므로 사상 \(j\)는 아핀이다. Morphisms의 보조정리 01SG를 참조하라. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 표준 사상 \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\)가 존재한다. 이 사상이 단사임은 줄기에서 확인할 수 있다. \(x \in U_i\)이면 다음 분해가 있다. \[\mathcal{F}_x \to (j_*j^*\mathcal{F})_x \to (j^*\mathcal{F})_{x'} = \mathcal{F}_x\] 여기서 \(x' \in U\)는 \(x\)를 \(U_i \subset U\)의 점으로 본 것이다. 이제 \(\mathcal{F}\)가 준연접이면 \(j^*\mathcal{F}\)는 아핀 스킴 \(U\) 위에서 준연접이므로 보조정리 01XB에 의해 고차 코호몰로지가 소멸한다. 그러면 \(H^p(X, j_*j^*\mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다. 이는 \(j\)가 아핀이므로 보조정리 089W에서 따른다. 이로써 (1)을 보였다. 마지막으로 사상 \(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, j_*j^*\mathcal{F})\)가 영임을 알 수 있고, (2)는 Homology의 보조정리 010T에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)을 각 \(U_i\)가 준콤팩트이고 분리인 열린 덮개라 하자(예를 들어 아핀 열린집합들로 된 덮개). 다음과 같이 둔다. \[d = \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] 여기서 \(t(U)\)는 스킴 \(U\)를 덮는 데 필요한 아핀 열린집합의 최소 개수이다. 그러면 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(p \geq d\)와 모든 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

증명

\(X\)는 준분리이고 \(U_i\)는 준콤팩트이므로 수 \(t(\bigcap_{i \in I} U_i)\)들은 유한하다. \(n\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(n = 1\)이면 결과는 보조정리 01XI에서 따른다. \(n > 1\)이면 \(X = U \cup V\)로 쓰되, \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\) 및 \(V = U_n\)으로 둔다. 다음 마이어–피토리스 긴 완전열을 적용한다. \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] Cohomology의 보조정리 01EB를 참조하라. \(q \geq d\)에 대한 증명을 끝내려면 \(H^q(V, \mathcal{F})\), \(H^q(U, \mathcal{F})\), 그리고 \(H^{q - 1}(U \cap V, \mathcal{F})\)가 소멸함을 보이면 된다. \(n = 1\)인 경우에 의해 \(H^q(V, \mathcal{F}) = 0\)이 \(q \geq t(V) = t(U_n)\)에서 성립한다. \(t(V) \leq d\)이므로 원하는 바가 따른다. 귀납 가정에 의해 다음 범위에서 \(H^q(U, \mathcal{F}) = 0\)이다. \[q \geq \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n - 1\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] 오른쪽 정수는 \(d\) 이하이므로 원하는 바가 따른다. 마지막으로 열린집합 \(U \cap V = (U_1 \cap U_n) \cup \ldots \cup (U_{n - 1} \cap U_n)\)에 귀납 가정을 적용하면 다음 범위에서 \(H^q(U \cap V, \mathcal{F}) = 0\)이다. \[q \geq \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n - 1\}} \left(|I| + t(U_n \cap \bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] 오른쪽 정수는 \(d\)보다 작으므로 보조정리가 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 준분리이고 준콤팩트이라고 가정하자.

1. 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 고차 직상 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 준연접이다.

2. \(S\)가 준콤팩트이면 정수 \(n = n(X, S, f)\)가 존재하여 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이다. 이는 모든 \(p \geq n\)과 임의의 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립하며, 그 층은 \(X\) 위에 있다.

3. 실제로 \(S\)가 준콤팩트이면 \(n = n(X, S, f)\)를 택하여, 스킴의 모든 사상 \(S' \to S\)에 대해 \(R^p(f')_*\mathcal{F}' = 0\)이 되게 할 수 있다. 이는 모든 \(p \geq n\)과 임의의 준연접층 \(\mathcal{F}'\)에 대해 성립하며, 그 층은 \(X'\) 위에 있다. 여기서 \(f' : X' = S' \times_S X \to S'\)는 \(f\)의 밑변환이다.

증명

먼저 (1)을 증명한다. 보조정리의 가정 아래에서 층 \(R^0f_*\mathcal{F} = f_*\mathcal{F}\)는 Schemes의 보조정리 01LC에 의해 준연접이다. Cohomology의 보조정리 01E5를 사용하면 고차 직상의 형성은 열린 부분스킴으로의 제한과 가환함을 알 수 있다. 준연접성은 \(S\) 위에서 국소적이므로 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착된다.

\(S\)가 아핀인 경우의 (1)의 증명. 귀납 원리를 사용한다. \(f\)가 준콤팩트 준분리이므로 \(X\)도 준콤팩트 준분리이다. \(U \subset X\)가 준콤팩트 열린집합이고 \(a = f|_U\)일 때, \(P(U)\)를 \(R^pa_*\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 준연접이라는 성질로 둔다. 이 조건은 모든 준연접 가군 \(\mathcal{F}\), 곧 \(U\) 위의 가군과 모든 \(p \geq 0\)에 대해 요구한다. \(P(X)\)가 (1)이므로, 보조정리 08DR의 조건 (1), (2)가 성립함을 보이면 충분하다. \(U\)가 아핀이면 \(P(U)\)가 성립한다. 실제로 \(R^pa_*\mathcal{F} = 0\)이 \(p \geq 1\)에 대해 성립한다 (보조정리 01XC 및 Morphisms의 보조정리 01SH에 의함). \(p = 0\)인 경우에는 첫 문단에서 이미 결과를 확인하였다. 다음으로 \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합, \(V \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하고 \(P(U)\), \(P(V)\), \(P(U \cap V)\)가 성립한다고 가정하자. \(a = f|_U\), \(b = f|_V\), \(c = f|_{U \cap V}\), \(g = f|_{U \cup V}\)로 두자. 그러면 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_{U \cup V}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 다음 상대 마이어–피토리스 열이 있다. \[0 \to g_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1g_*\mathcal{F} \to \ldots\] Cohomology의 보조정리 01EC를 참조하라. \(P(U)\), \(P(V)\), \(P(U \cap V)\)에 의해 \(R^pa_*(\mathcal{F}|_U)\), \(R^pb_*(\mathcal{F}|_V)\) 및 \(R^pc_*(\mathcal{F}|_{U \cap V})\)는 모두 준연접이다. Schemes의 절 01LA에 있는 준연접층에 관한 결과를 쓰면, 각 층 \(R^pg_*\mathcal{F}\)는 준연접임이 따른다. 실제로 이 층은 왼쪽에 준연접층 사이 사상의 여핵을, 오른쪽에 준연접층 사이 사상의 핵을 둔 짧은 완전열의 가운데 놓인다. 따라서 \(P(U \cup V)\)가 성립하며 (1)의 증명이 끝난다.

이제 (3)을 증명하면 특히 (2)도 따른다. 유한 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots m} S_j\)를 택한다. 각 \(j\)에 대해 유한 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(S_j) = \bigcup_{i = 1, \ldots t_j} U_{ji}\)를 택한다. 다음 정수를 두자. \[d_j = \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, t_j\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_{ji})\right)\] 이는 보조정리 071L에서 얻은 정수이다. \(n(X, S, f) = \max d_j\)가 조건을 만족한다고 주장한다.

실제로 \(S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(\mathcal{F}'\)를 \(X' = S' \times_S X\) 위의 준연접층이라 하자. \(R^pf'_*\mathcal{F}' = 0\)이 \(p \geq n(X, S, f)\)에 대해 성립함을 보이고자 한다. 이 문제는 \(S'\) 위에서 국소적이므로 \(S'\)가 아핀이고 어떤 \(S_j\) 안으로 사상된다고 가정할 수 있다. 그 지표를 \(j\)라 하자. 그러면 \(X' = S' \times_{S_j} f^{-1}(S_j)\)는 아핀 열린집합 \(S' \times_{S_j} U_{ji}\), \(i = 1, \ldots t_j\)로 덮이고, 그 교집합은 \[\bigcap\nolimits_{i \in I} S' \times_{S_j} U_{ji} = S' \times_{S_j} \bigcap\nolimits_{i \in I} U_{ji}\] 이며 밑변환 전과 같은 개수의 아핀 열린집합으로 덮인다. 보조정리 071L를 적용하면 \(H^p(X', \mathcal{F}') = 0\)을 얻는다. 증명의 첫 부분에서 이미 각 \(R^qf'_*\mathcal{F}'\)가 준연접임을 알았으므로, 아핀 스킴 \(S'\) 위에서 이 층들의 고차 코호몰로지 군은 소멸한다. 따라서 Cohomology의 보조정리 01F4에 의해 \(H^0(S', R^pf'_*\mathcal{F}') = H^p(X', \mathcal{F}') = 0\)이다. \(R^pf'_*\mathcal{F}'\)가 준연접이므로 \(R^pf'_*\mathcal{F}' = 0\)을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 준분리이고 준콤팩트이라고 가정하자. \(S\)가 아핀이라고 가정하자. 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 모든 \(q \in \mathbf{Z}\)에서 \[H^q(X, \mathcal{F}) = H^0(S, R^qf_*\mathcal{F})\] 가 성립한다.

증명

르레 스펙트럼 열 \(E_2^{p, q} = H^p(S, R^qf_*\mathcal{F})\)을 생각하자. 이는 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다. Cohomology의 보조정리 01F2를 참조하라. 보조정리 01XJ에 의해 층 \(R^qf_*\mathcal{F}\)는 준연접이다. 보조정리 01XB에 의해 \(E_2^{p, q} = 0\)이 \(p > 0\)에서 성립한다. 따라서 스펙트럼 열은 \(E_2\)에서 퇴화하며 결론을 얻는다. 일반 원리에 대해서는 Cohomology의 보조정리 01F4 (2)도 참조하라.

코호몰로지와 밑변환, I

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. 또한 \(g : S' \to S\)를 임의의 스킴 사상이라 하자. 밑변환을 \(X' = X_{S'} = S' \times_S X\)로 쓰며, 이는 \(X\)의 밑변환이다. 또 \(f' : X' \to S'\)를 \(f\)의 밑변환이라 하자. 또 사영을 \(g' : X' \to X\)로 쓰고 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)로 둔다. 이 상황은 다음 그림으로 나타난다. [02KF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F} & X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f & \mathcal{F} \\ Rf'_*\mathcal{F}' & S' \ar[r]^g & S & Rf_*\mathcal{F} } } \end{equation}\] 염두에 둔 밑변환 성질의 가장 간단한 경우는 다음과 같다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 아핀이라고 가정하자. 이 경우 \(f_*\mathcal{F} \cong Rf_*\mathcal{F}\)는 준연접층이고, 모든 밑변환 그림 (02KF)에 대해 \[g^*f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^*\mathcal{F}.\] 가 성립한다.

증명

고차 직상의 소멸은 보조정리 01XC이다. 주장은 \(S\)와 \(S'\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X = \Spec(A)\), \(S = \Spec(R)\), \(S' = \Spec(R')\) 및 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이라고 가정할 수 있으며, 여기서 \(A\)-가군 \(M\)을 적절히 택한다. Schemes의 보조정리 01I9을 사용하여 \(\mathcal{F}\)의 역상과 직상을 기술한다. 구체적으로 \(X' = \Spec(R' \otimes_R A)\)이고, \(\mathcal{F}'\)는 \((R' \otimes_R A) \otimes_A M\)에 대응하는 준연접층이다. 따라서 보조정리는 \(R'\)-가군으로서의 다음 등식으로 귀착된다. \[(R' \otimes_R A) \otimes_A M = R' \otimes_R M\]

많은 상황에서는 다음과 같은 코호몰로지와 밑변환의 특수한 경우만 알아도 충분하다. 이는 절 071M의 더 강한 결과에서 곧바로 따르지만, 매우 중요하므로 별도의 증명을 제시할 가치가 있다.

보조정리

다음 스킴의 데카르트 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, 그 역상을 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)라 하자. \(g\)가 평탄이고 \(f\)가 준콤팩트 준분리라고 가정하자. 임의의 \(i \geq 0\)에 대해 다음이 성립한다.

1. Cohomology의 보조정리 02N7의 밑변환 사상 \[g^*R^if_*\mathcal{F} \longrightarrow R^if'_*\mathcal{F}',\] 은 동형사상이다.

2. \(S = \Spec(A)\)이고 \(S' = \Spec(B)\)이면 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(X', \mathcal{F}')\)이다.

증명

(1)에서 Cohomology의 보조정리 02N7을 사용할 수 있는 것은, Morphisms의 보조정리 01U9에 의해 \(g'\)가 평탄이기 때문이다. 이제 (1)은 (2)에서 따른다. 실제로 (1)은 \(S'\) 위에서 국소적이므로 \(S\)와 \(S'\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 즉 (2)에서처럼 \(S = \Spec(A)\) 및 \(S' = \Spec(B)\)이다. 그러면 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 준연접이므로 (보조정리 01XJ), 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이며, 여기에 대응하는 \(A\)-가군은 \(H^0(S, R^if_*\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F})\)이다 (등식은 보조정리 01XK에 의함). 마찬가지로 \(R^if'_*\mathcal{F}'\)는 준연접 \(\mathcal{O}_{S'}\)-가군이며, 여기에 대응하는 \(B\)-가군은 \(H^i(X', \mathcal{F}')\)이다. \(g\)에 의한 역상은 가군에서 \(- \otimes_A B\)에 대응하므로 (Schemes의 보조정리 01I9), (2)를 증명하면 충분하다.

\(A \to B\)를 평탄 환 준동형이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X_B = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\)로 두고, \(\mathcal{F}_B\)를 \(\mathcal{F}\)의 역상이라 하자. 다음 사상이 동형사상임을 보이고자 한다. \[H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow H^i(X_B, \mathcal{F}_B)\] 이 사상은 보조정리의 명제에 인용된 결과로 주어진다.

\(X\)가 분리인 경우에는 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = U_1 \cup \ldots \cup U_t\)를 택하고 다음을 상기하자. \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}),\] 보조정리 01XD를 참조하라. 밑변환으로 \(\mathcal{U}_B : X_B = (U_1)_B \cup \ldots \cup (U_t)_B\)를 얻으면, 여전히 각 \((U_i)_B\)는 아핀이고 \(X_B\)는 분리이다. 따라서 \[\check{H}^p(\mathcal{U}_B, \mathcal{F}_B) = H^p(X_B, \mathcal{F}_B).\] 체흐 복합체들 사이에는 다음 관계가 있다. \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_B, \mathcal{F}_B) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A B\] 이는 보조정리 02KG에서 따른다. \(A \to B\)가 평탄이므로 코호몰로지를 취한 뒤에도 같은 명제가 성립한다.

\(X\)가 준분리인 경우에는 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = U_1 \cup \ldots \cup U_t\)를 택한다. Cohomology의 보조정리 01ES의 체흐-코호몰로지 스펙트럼 열을 사용할 것이다. 이 스펙트럼 열을 피하고 싶은 독자는 보조정리 01XJ의 증명에서처럼 마이어–피토리스 열과 \(t\)에 대한 귀납법을 사용할 수 있다. 이 스펙트럼 열의 \(E_2\)-쪽은 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)이고 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다. 마찬가지로 \(E_2\)-쪽이 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}_B, \underline{H}^q(\mathcal{F}_B))\)인 스펙트럼 열이 있으며, 이는 \(H^{p + q}(X_B, \mathcal{F}_B)\)로 수렴한다. 교집합 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)들은 준콤팩트이고 분리이므로, 증명의 둘째 문단의 결과에 의해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}_B, \underline{H}^q(\mathcal{F}_B)) = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B\)이다. \(A \to B\)의 평탄성을 사용하면 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \to H^i(X_B, \mathcal{F}_B)\)가 모든 \(i\)에 대해 동형사상임을 얻고 증명이 끝난다.

보조정리

다음 스킴의 데카르트 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{g} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, 그 역상을 \(\mathcal{G} = h^*\mathcal{F}\)라 하자. \(B\)가 유한 국소 자유 \(A\)-가군이면 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(Y, \mathcal{G})\)이다.

경고: 이 보조정리와 보조정리 02KH의 차이를 이해하지 못했다면 이 보조정리를 사용하지 말라.

증명

\(X\)가 분리인 경우에는 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하고 다음을 상기하자. \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}),\] 보조정리 01XD를 참조하라. \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} g^{-1}(U_i)\)를 \(Y\)의 대응하는 아핀 열린 덮개라 하자. 열린집합 \(V_i = g^{-1}(U_i) = U_i \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\)는 아핀이고 \(Y\)는 분리이다. 따라서 \[\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = H^p(Y, \mathcal{G}).\] 다음 체흐 복합체의 사상이 동형사상이라고 주장한다. \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})\] 실제로 \(B\)는 \(A\)-가군으로서 유한 표시이므로, \(B\)와 \(A\) 위에서 텐서곱을 취하는 것은 곱과 가환한다. Algebra의 명제 059K를 참조하라. 따라서 사상 \(\Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}) \otimes_A B \to \Gamma(V_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{G})\) 이 동형사상임을 보이면 충분하며, 이는 보조정리 02KG에서 따른다. \(A \to B\)가 평탄이므로 코호몰로지를 취한 뒤에도 같은 명제가 성립한다.

일반적인 경우에도 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)와 이에 대응하는 덮개 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} V_i\)를 사용하여 정확히 같은 방식으로 논증한다. 여기서 위와 같이 \(V_i = g^{-1}(U_i)\)이다. Cohomology의 보조정리 01ES의 체흐-코호몰로지 스펙트럼 열을 사용할 것이다. 이 스펙트럼 열의 \(E_2\)-쪽은 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)이고 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다. 마찬가지로 \(E_2\)-쪽이 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{V}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\)인 스펙트럼 열이 있으며, 이는 \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\)로 수렴한다. 교집합 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)들이 분리이므로 앞 문단의 결과는 다음 동형사상을 준다. \(\Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B \to \Gamma(V_{i_0 \ldots i_p}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\). \(- \otimes_A B\)가 곱과 가환하고 완전하므로 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B \to \check{H}^p(\mathcal{V}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\)가 동형사상임을 얻는다. \(A \to B\)가 평탄임을 사용하면 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \to H^i(Y, \mathcal{G})\)가 모든 \(i\)에 대해 동형사상임을 얻고 증명이 끝난다.

쌍극한과 고차 직상

이러한 종류의 일반적인 결과는 Cohomology의 절 01FE, Sheaves의 보조정리 009F, 그리고 Modules의 보조정리 01BS에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 준콤팩트 준분리 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)를 \(X\) 위의 아벨 층들의 여과 쌍극한이라 하자. 그러면 임의의 \(p \geq 0\)에 대해 \[R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i.\]

증명

Cohomology의 보조정리 0H7A를 적용할 것이다. 아핀 열린집합들이 \(S\)의 위상에 대한 기저를 이루므로, 아핀 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 \(H^p(f^{-1}U, \mathcal{F}) = \colim H^p(f^{-1}U, \mathcal{F}_i)\)임을 보이면 충분하다. \(f^{-1}U\)는 준콤팩트 준분리이므로 Cohomology의 보조정리 01FF에서 결론이 따른다. (이는 \(f^{-1}U\)의 아핀 열린집합 기저가 그 보조정리의 가정을 만족하기 때문이다.)

코호몰로지와 밑변환, II

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 준콤팩트 준분리이면 \(Rf_*\mathcal{F}\)를 \(S\) 위의 준연접층들의 복합체로 나타내고자 한다. 이는 층 \(R^if_*\mathcal{F}\)가 준연접이라는 사실에서 따르며, 여기서 \(S\)는 준콤팩트이고 대각사상이 아핀이라고 가정한다. 여기서는 \(D_\QCoh(S)\)가 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\)와 동치임을 사용한다. Derived Categories of Schemes의 명제 08DB을 참조하라.

이 절에서는 좋은 밑변환 성질을 갖는 명시적인 복합체를 만들어 내는 다른 접근법을 사용할 것이다. \(f\)와 \(S\)가 분리이거나, 더 일반적으로 대각사상이 아핀인 경우에는 이 구성이 특히 간단하다. 실제로 가장 자주 쓰이는 경우이므로 이를 따로 다룬다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 \(X\)와 \(S\)의 대각사상이 아핀이라고 가정하자 (예를 들어 \(X\)와 \(S\)가 분리이면 그러하다). 이 경우 \(Rf_*\mathcal{F}\)를 다음과 같이 계산할 수 있다.

1. 유한 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)를 택한다.

2. \(i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}\)에 대해 \(f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to S\)를 \(f\)를 교집합 \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\)에 제한한 사상이라 하자.

3. \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\)를 \(\mathcal{F}\)를 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)에 제한한 층으로 둔다.

4. 다음과 같이 둔다. \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} f_{i_0 \ldots i_p *} \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] 그리고 미분 \(d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\)를 Cohomology의 식 (01EE)과 같이 정의한다.

그러면 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\)는 \(S\) 위의 준연접층들의 복합체이고, 다음 동형사상을 갖는다. \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \longrightarrow Rf_*\mathcal{F}\] 이는 \(D^{+}(S)\) 안의 동형사상이며, 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다.

증명

Cohomology의 보조정리 02FU의 분해 \(\mathcal{F} \to {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 생각하자. 다음 복합체의 등식이 있다. \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = f_*{\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 이는 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체로서의 등식이다. 사상 \(j_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\)와 사상 \(f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to S\)는 Morphisms의 보조정리 01SG와 보조정리 0BDX에 의해 아핀이다. 따라서 \(R^qj_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\)와 \(R^qf_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\)는 모두 \(q > 0\)에서 영이다 (보조정리 01XC). \(f \circ j_{i_0 \ldots i_p} = f_{i_0 \ldots i_p}\)와 Cohomology의 보조정리 01F6의 스펙트럼 열을 사용하면 \(R^qf_*(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) = 0\)이 \(q > 0\)에서 성립함을 얻는다. 복합체 \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)의 항들은 층 \(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\)들의 유한 직합이므로, 르레의 비순환성 보조정리 (Derived Categories의 보조정리 015E)를 사용하여 원하는 등식을 얻는다. \[Rf_* \mathcal{F} = f_*{\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\]

다음으로 밑변환을 했을 때 어떤 일이 일어나는지 살펴본다.

보조정리

그림 (02KF)의 표기를 사용하자. \(f : X \to S\)와 \(\mathcal{F}\)가 보조정리 01XL의 가정을 만족한다고 하자. 유한 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_i\)를 택하되, 이는 \(X\)의 덮개이다. 다음 표준 동형사상이 존재한다. \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \longrightarrow Rf'_*\mathcal{F}'\] 이는 \(D^{+}(S')\) 안의 동형사상이다. 더욱이 \(S' \to S\)가 아핀이면 실제로 \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\] 이고, 여기서 \(\mathcal{U}' : X' = \bigcup U_i'\)이며 \(U_i' = (g')^{-1}(U_i) = U_{i, S'}\)도 아핀이다.

증명

사실 \(U_i' = (g')^{-1}(U_i) = U_{i, S'}\)로 정의할 수 있으며, 이는 \(S'\)가 \(S\) 위에서 아핀인지와 관계없다. \(\mathcal{U}' : X' = \bigcup U_i'\)를 \(X'\)의 유도된 덮개라 하자. 이 경우 다음이 성립한다고 주장한다. \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\] 여기서 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\)는 보조정리 01XL와 정확히 같은 방식으로 정의한다. 이는 \(S'\) 위에서 국소적으로 논증하고 아핀 사상의 경우 (보조정리 02KG)를 적용하면 분명하다. 더욱이 보조정리 01XL의 증명과 정확히 같은 방식으로 다음 동형사상을 얻는다. \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}') \longrightarrow Rf'_*\mathcal{F}'\] 이는 \(D^{+}(S')\) 안의 동형사상이다. 실제로 사상 \(U_i' \to X'\)와 \(U_i' \to S'\)는 여전히 아핀이다 (아핀 사상의 밑변환이기 때문이다). 세부사항은 생략한다.

위 보조정리는 복합체 \[\mathcal{K}^\bullet = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\] 가 \(S\) 위의 준연접층들로 이루어진 아래로 유계인 복합체이며, \(f : X \to S\)의 고차 직상을 보편적으로 계산한다는 뜻이다. 이는 이 특정 복합체에 관한 성질이며, 일반적으로 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\)를 준동형인 복합체로 바꾸면 보존되지 않는다! 다시 말해 유도 범주에서 의미를 갖는 명제가 아니다. 일반적으로 역상 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\)은 유도 역상 \(Lg^*\mathcal{K}^\bullet\), 곧 \(\mathcal{K}^\bullet\)의 유도 역상과 같지 않기 때문이다!

다음은 이 명제를 증명할 수 있는 더 일반적인 경우이다. \(S\)가 분리라는 조건은 대부분의 응용에서 무해하다. 보통 전체 유도상의 어떤 국소적 성질을 증명하기 위해 이 결과를 사용하기 때문이다. 증명은 훨씬 더 복잡하고 초덮개를 사용한다. 이는 초덮개를 때때로 어떻게 활용할 수 있는지 보여 주는 좋은 예이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(f\)가 준콤팩트 준분리이고 \(S\)가 준콤팩트 분리라고 가정하자. 다음 성질을 갖는 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 존재하며, 이는 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군들의 복합체이다. 모든 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 복합체 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\)는 그림 (02KF)의 표기를 사용할 때 \(Rf'_*\mathcal{F}'\)의 대표이다.

증명

(\(f\)도 분리인 경우에는 보조정리 01XM을 참조하라.) 가정에 의해 특히 \(X\)는 스킴으로서 준콤팩트 준분리이다. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 아핀 열린집합들의 집합이라 하자. Hypercoverings의 보조정리 01H7에 의해 초덮개 \(K = (I, \{U_i\})\)를 찾을 수 있다. 여기서 각 \(I_n\)은 유한이고 각 \(U_i\)는 \(X\)의 아핀 열린집합이다. Hypercoverings의 보조정리 01GY에 의해 \(E_2\)-쪽이 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 인 스펙트럼 열이 있고, 이는 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다. \(\check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)는 다음 복합체의 \(p\)번째 코호몰로지 군임에 유의하라. \[\prod\nolimits_{i \in I_0} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \ldots\] 각 \(U_i\)가 아핀이므로 \(q = 0\)이 아니면 이것은 영이고, 나머지 경우에는 다음 복합체를 얻는다. \[\prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots\] 따라서 \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\)는 이 복합체로 계산된다.

임의의 \(n\)과 \(i \in I_n\)에 대해 \(f_i : U_i \to S\)를 \(f\)를 \(U_i\)에 제한한 사상이라 하자. \(S\)는 분리이고 \(U_i\)는 아핀이므로 이 사상은 아핀이다. 다음 준연접층의 복합체를 생각하자. \[\mathcal{K}^\bullet = ( \prod\nolimits_{i \in I_0} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \prod\nolimits_{i \in I_1} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \prod\nolimits_{i \in I_2} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \ldots )\] 이는 \(S\) 위의 복합체이다. Hypercoverings의 보조정리 01GY에서와 같이 사상 \(\mathcal{K}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}\)를 얻는데, 이는 \(D(\mathcal{O}_S)\) 안의 사상이고 \(\mathcal{F}\)의 단사 분해를 택하여 구성한다 (세부사항은 생략한다). 임의의 아핀 스킴 \(V\)와 사상 \(g : V \to S\)를 생각하자. 그러면 밑변환 \(X_V\)는 밑변환으로 얻은 초덮개 \(K_V = (I, \{U_{i, V}\})\)를 갖는다. 더욱이 \(g^*f_{i, *}\mathcal{F} = f_{i, V, *}(g')^*\mathcal{F}|_{U_{i, V}}\)이다. 따라서 위 논증에 의해 \(\Gamma(V, g^*\mathcal{K}^\bullet)\)는 \(R\Gamma(X_V, (g')^*\mathcal{F})\)를 계산한다. 복합체의 등식은 \(S'\) 위에서 자리스키 국소적으로 증명하면 충분하므로, 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 평탄 밑변환의 한 변형이다.

보조정리

다음 스킴의 데카르트 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_{S'}\)-가군이라 하고, 이 가군이 \(S\) 위에서 평탄이라고 하자. \(f\)가 준콤팩트 준분리라고 가정하자. 임의의 \(i \geq 0\)에 대해 다음 동일시가 있다. \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} g^*R^if_*\mathcal{F} = R^if'_*\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{F}\right)\]

증명

왼쪽에서 오른쪽으로 가는 사상을 구성하자. 먼저 밑변환 사상 \(Lg^*Rf_*\mathcal{F} \to Rf'_*L(g')^*\mathcal{F}\)가 있다. 또 수반 사상 \(\mathcal{G} \to Rf'_*L(f')^*\mathcal{G}\)가 있다. 상대 컵곱을 사용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*\mathcal{F} & \to Rf'_*L(f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Rf'_*L(g')^*\mathcal{F} \\ & \to Rf'_*\left(L(f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} L(g')^*\mathcal{F}\right) \\ & \to Rf'_*\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{F}\right) \end{align*}\] 가운데 화살표에는 상대 컵곱을 사용하였다. Cohomology의 주석 0B68을 참조하라. 합성의 시원은 다음과 같다. \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*\mathcal{F} = \mathcal{G} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} g^{-1}Rf_*\mathcal{F}\] 이는 Cohomology의 보조정리 08DE에서 따른다. \(\mathcal{G}\)는 \(g^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군의 층으로서 평탄이고 \(g^{-1}\)은 완전 함자이므로, 이 복합체의 \(i\)번째 코호몰로지 층은 \(\mathcal{G} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_S} g^{-1}R^if_*\mathcal{F} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} g^*R^if_*\mathcal{F}\)이다. 이렇게 하여 보조정리의 등식에서 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 전역 사상들을 얻는다. 이 사상이 동형사상임을 보이기 위해 \(S'\) 위에서 국소적으로 논증할 수 있다. 따라서 \(S\)와 \(S'\)가 아핀 스킴이라고 가정한다.

\(S\)와 \(S'\)가 아핀인 경우의 증명. \(S = \Spec(A)\) 및 \(S' = \Spec(B)\)라 하고, \(\mathcal{G}\)가 \(B\)-가군 \(N\)에 대응하며 이 가군은 \(A\)-평탄이라고 하자. \(S\)가 아핀이므로 \(X\)는 준콤팩트 준분리이다. 초덮개 논증으로 증명을 끝낼 것이다. \(X\)가 분리이거나 대각사상이 아핀이면 체흐 덮개를 사용할 수 있다. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 아핀 열린집합들의 집합이라 하자. Hypercoverings의 보조정리 01H7에 의해 초덮개 \(K = (I, \{U_i\})\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(X\)의 초덮개이고, 각 \(I_n\)은 유한이고 각 \(U_i\)는 \(X\)의 아핀 열린집합이다. Hypercoverings의 보조정리 01GY에 의해 \(E_2\)-쪽이 다음과 같은 스펙트럼 열이 있다. \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 이는 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)로 수렴한다. 각 \(U_i\)가 아핀이고 \(\mathcal{F}\)가 준연접이므로, \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\)의 \(U_i\)에서의 값은 영이며, 이는 \(q > 0\)일 때 성립한다. 따라서 스펙트럼 열은 퇴화하고, 코호몰로지 가군 \(H^q(X, \mathcal{F})\)는 다음 복합체로 계산된다. \[\prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots\] 다음으로 초덮개를 \(S'\)로 밑변환하면 \(X' = S' \times_S X\)의 초덮개가 됨에 유의하라. 스킴 \(S' \times_S U_i\)도 아핀이고 다음 등식이 성립한다. \[\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F}\right) (S' \times_S U_i) = N \otimes_A \mathcal{F}(U_i)\] 따라서 코호몰로지 가군 \(H^q(X', (f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F})\)는 다음 복합체로 계산된다. \[N \otimes_A \left( \prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots \right)\] \(N\)은 \(A\) 위에서 평탄이므로 다음 등식을 얻는다. \[H^q(X', (f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F}) = N \otimes_A H^q(X, \mathcal{F})\] 이는 증명해야 할 명제를 대수로 옮긴 것이므로 증명이 끝난다.

사영공간의 코호몰로지

이 절에서는 \(\mathbf{P}^n_S\) 위 구조층의 꼬임들의 코호몰로지를 스킴 \(S\) 위에서 계산한다. \(\mathbf{P}^n_S\)가 Constructions, Definition 01NF에서 섬유곱 \(\mathbf{P}^n_S = S \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) 으로 정의되었음을 상기하자. 또한 Constructions, Lemma 01OE에서 이것이 \[\mathbf{P}^n_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])\] 와 같음을 보였다. 특히 사영공간은 사영다발의 한 특수한 경우이다. \(S = \Spec(R)\)가 아핀이라면 \[\mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_R = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]).\] 이 모든 동일시는 서로 양립하며, 꼬인 구조층 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(d)\)의 구성과도 양립한다.

결과를 진술하기 전에 몇 가지 기호가 필요하다. \(R\)을 환이라 하자. \(R[T_0, \ldots, T_n]\)은 등급 \(R\)-대수이고, 각 \(T_i\)는 차수 \(1\)의 동차원소임을 상기하자. 그 성분 \((R[T_0, \ldots, T_n])_d\)를 차수 \(d\) 성분이라 나타내자. 이는 유한 자유 \(R\)-가군이며, 그 계수는 \(\binom{n + d}{d}\)이다 (\(d \geq 0\)일 때). 그 밖의 경우에는 영이다. 이는 단항식 \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\)들 중 \(\sum e_i = d\)를 만족하는 것들로 이루어진 기저를 갖는다. 또 다음 기호를 사용한다. \(R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\)은 \(\mathbf{Z}\)-등급 환이며, 각 \(\frac{1}{T_i}\)의 차수를 \(-1\)로 둔다. 특히 아래 진술에 등장하는 \(\mathbf{Z}\)-등급 \(R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\)-가군 \[\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\] 은 차수 \(\geq -n\)에서 영이고, 생성원 \(\frac{1}{T_0 \ldots T_n}\) 위에서 차수 \(-n - 1\)에 자유이며, 계수가 \((-1)^n\binom{n + d}{d}\)인 자유 가군이다(\(d \leq -n - 1\)일 때).

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. 그러면 \(R\)-가군으로서 \[H^q(\mathbf{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (R[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{if} & q = 0,\ d \geq 0 \\ \left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d & \text{if} & q = n,\ d < 0 \\ 0 & \text{if} & q, n, d\text{ not as above} \end{matrix} \right.\] 가 성립한다.

증명

표준 아핀 열린 덮개 \[\mathcal{U} : \mathbf{P}^n_R = \bigcup\nolimits_{i = 0}^n D_{+}(T_i)\] 와 체흐 복합체를 사용하여 코호몰로지를 계산하겠다. Lemma 01XD에 따라 이렇게 해도 된다. 실제로 유한 개의 아핀 \(D_{+}(T_i)\)들의 임의의 교집합도 표준 아핀 열린집합이다(Constructions, Section 01M3 참조). 실제로 Cohomology, Lemmas 01FJ와 01FM에 따라 교대 체흐 복합체 또는 순서화된 체흐 복합체를 사용할 수 있다.

\(\{0, \ldots, n\}\)에는 통상적인 순서를 사용한다. 따라서 우리가 살펴볼 복합체의 항들은 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p} (R[T_0, \ldots, T_n, \frac{1}{T_{i_0} \ldots T_{i_p}}])_d\] 이다. 또한 사상들은 통상적인 공식 \[d(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}\] 으로 주어진다. Cohomology, Section 01FG을 보라. 이 복합체의 각 항에는 자연스러운 \(\mathbf{Z}^{n + 1}\)-등급이 있다. 즉 단항식 \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\)의 가중치를 \((e_0, \ldots, e_n) \in \mathbf{Z}^{n + 1}\)로 정하여 이를 얻는다. 위의 미분이 이 등급을 보존함은 명백하다. 공식으로 쓰면 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] 이다. 여기서 우변의 모든 직합항이 나타나는 것은 아니다(아래 참조). 그러므로 이 복합체의 코호몰로지 가군을 계산하려면 등급 성분들의 코호몰로지를 계산한 뒤 마지막에 직합을 취하면 충분하다.

\(\vec{e} = (e_0, \ldots, e_n) \in \mathbf{Z}^{n + 1}\)를 고정하자. 이 가중치가 위 복합체에 나타나려면 \(e_0 + \ldots + e_n = d\)라고 가정해야 한다(그렇지 않으면 물론 구조층의 다른 꼬임에 나타난다). 이를 가정하고 \[NEG(\vec{e}) = \{i \in \{0, \ldots, n\} \mid e_i < 0\}.\] 로 두자. 이 기호 아래에서 위 체흐 복합체의 가중치 \(\vec{e}\) 직합항 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)의 항들은 \[\check{\mathcal{C}}^p(\vec{e}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p, \ NEG(\vec{e}) \subset \{i_0, \ldots, i_p\}} R \cdot T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\] 이다. 다시 말해 \(i_0 < \ldots < i_p\) 중에서 \(NEG(\vec{e})\)가 \(\{i_0 \ldots i_p\}\)에 포함되지 않는 것에 대응하는 항들은 영이다. 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)의 미분은 여전히 위와 완전히 같은 공식으로 주어진다.

\(NEG(\vec{e}) = \{0, \ldots, n\}\), 즉 모든 지수 \(e_i\)가 음수라고 하자. 이 경우 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)에는 한 항만 있으며, 그 항은 \(\check{\mathcal{C}}^n(\vec{e}) = R \cdot \frac{1}{T_0^{-e_0} \ldots T_n^{-e_n}}\)이다. 따라서 이 경우 \[H^q(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})) = \left\{ \begin{matrix} R \cdot \frac{1}{T_0^{-e_0} \ldots T_n^{-e_n}} & \text{if} & q = n \\ 0 & \text{if} & \text{else} \end{matrix} \right.\] 이다. 이 항들을 모두 직합하면 보조정리에서 말한 차수 \(n\)의 값 \[\left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d\] 를 얻음은 명백하다. 또한 이 항들은 다른 차수의 코호몰로지에는 기여하지 않는다(이 역시 보조정리의 진술과 일치한다).

\(NEG(\vec{e}) = \emptyset\)이라 하자. 이 경우 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)에는 직합항 \(R\)이 각 \(i_0 < \ldots < i_p\)에 대응하여 있다. 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)를 다른 복합체와 비교하자. 구체적으로, \(V_i = \Spec(R)\)로 모든 \(i\)에 대해 둔 아핀 열린 덮개 \[\mathcal{V} : \Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i \in \{0, \ldots, n\}} V_i\] 를 생각하자. 교대 체흐 복합체 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)})\] 를 생각한다. 위와 같은 논리에 따라 이는 \(\Spec(R)\) 위 구조층의 코호몰로지를 계산한다. 따라서 \(H^p( \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)}) ) = R\)은 \(p = 0\)일 때 성립하고, \(0\)은 \(p > 0\)일 때의 값이다. 이 사실들에 대해서는 Lemma 01X9과 그 증명을 보라. 또한 \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)})\)도 직합항 \(R\)을 각 \(i_0 < \ldots < i_p\)마다 가지며, \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)와 정확히 같은 미분을 갖는다. 다시 말해 두 복합체는 서로 동형인 복합체이므로 같은 코호몰로지를 갖는다. 따라서 \(NEG(\vec{e}) = \emptyset\)인 경우 \[H^q(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})) = \left\{ \begin{matrix} R \cdot T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n} & \text{if} & q = 0 \\ 0 & \text{if} & \text{else} \end{matrix} \right.\] 이다. 이 항들을 모두 직합하면 보조정리에서 말한 차수 \(0\)의 값 \[(R[T_0, \ldots, T_n])_d\] 를 얻음은 명백하다. 또한 이 항들은 다른 차수의 코호몰로지에는 기여하지 않는다(이 역시 보조정리의 진술과 일치한다).

보조정리의 증명을 끝내려면 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)가 비순환임을 보여야 한다. 여기서 \(NEG(\vec{e})\)는 공집합도 아니고 \(\{0, \ldots, n\}\)도 아니다. 지표 \(i_{\text{fix}} \not \in NEG(\vec{e})\)를 하나 택하자 (그러한 지표가 존재한다). \(i_0 < \ldots < i_p\)에 대해 다음 규칙으로 주어지는 사상 \[h : \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\vec{e}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\vec{e})\] 을 생각하자. \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & p \not \in \{0, \ldots, n - 1\} \\ 0 & \text{if} & i_{\text{fix}} \in \{i_0, \ldots, i_p\} \\ s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p} & \text{if} & i_{\text{fix}} < i_0 \\ (-1)^a s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots i_p} & \text{if} & i_{a - 1} < i_{\text{fix}} < i_a \\ (-1)^{p + 1} s_{i_0 \ldots i_p i_{\text{fix}}} & \text{if} & i_p < i_{\text{fix}} \end{matrix} \right.\] Lemma 01X9의 증명과 비교하라. 다음 동치가 성립하므로 이 정의는 타당하다. \[NEG(\vec{e}) \subset \{i_0, \ldots, i_p\} \Leftrightarrow NEG(\vec{e}) \subset \{i_{\text{fix}}, i_0, \ldots, i_p\}\] Lemma 01X9의 증명에서와 완전히 같은 조합론적 계산¹ 으로부터 \[(hd + dh)(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p}\] 를 얻는다. 따라서 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)의 항등사상은 영 사상과 호모토픽이고, 이에 따라 이 복합체는 비순환이다.

다음 보조정리에서는 자유 \(R\)-가군들의 쌍대쌍 \[R[T_0, \ldots, T_n] \times \frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}] \longrightarrow R\] 을 사용할 것이다. 이는 다음 규칙으로 정의된다. \[(f, g) \longmapsto \text{coefficient of } \frac{1}{T_0 \ldots T_n} \text{ in }fg.\] 다시 말해 기저원소 \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\)와 기저원소 \(T_0^{d_0} \ldots T_n^{d_n}\)의 쌍대값은 \(1\)인데, 이는 \(e_i + d_i = -1\)이 모든 \(i\)에 대해 성립할 때 그리고 그때에만 그러하며, 그 밖의 모든 경우에는 영이다. 이 쌍대쌍을 사용하면 다음 동일시를 얻는다. \[\left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d = \Hom_R((R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}, R)\] 따라서 Lemma 01XT의 결과를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. [01XU]\[\begin{equation} H^q(\mathbf{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (R[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{if} & q = 0 \\ 0 & \text{if} & q \not = 0, n \\ \Hom_R((R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}, R) & \text{if} & q = n \end{matrix} \right. \end{equation}\]

보조정리

Equation (01XU)의 동일시들은 환 준동형 \(R \to R'\)에 관한 밑변환과 양립한다. 또한 임의의 동차원소 \(f \in R[T_0, \ldots, T_n]\)가 차수 \(m\)이면 \(f\)를 곱하는 사상 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d + m)\] 은 Equation (01XU)의 동일시를 통해 코호몰로지군 위에 다음 사상을 유도한다. 이것은 \(f\)의 곱셈이며 \(H^0\)에 작용한다. 또한 \(f\)를 곱하는 사상의 반변 사상 \[(R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - (d + m)} \longrightarrow (R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}\] 으로 \(H^n\)에 작용한다.

증명

\(R \to R'\)이 환 준동형이라고 하자. \(\mathcal{U}\)를 \(\mathbf{P}^n_R\)의 표준 아핀 열린 덮개라 하고, \(\mathcal{U}'\)를 \(\mathbf{P}^n_{R'}\)의 표준 아핀 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{U}'\)는 덮개 \(\mathcal{U}\)의 당김이며, 이는 표준 사상 \(\mathbf{P}^n_{R'} \to \mathbf{P}^n_R\) 아래에서의 당김이다. 따라서 체흐 복합체의 사상 \[\gamma : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}', \mathcal{O}_{\mathbf{P}_{R'}}(d))\] 이 있으며, Cohomology, Lemma 01FD에 따라 이는 코호몰로지 위의 사상과 양립한다. Lemma 01XT의 증명에서 수행한 계산으로부터, 이 체흐 복합체의 사상이 해당 코호몰로지군의 동일시와 양립함은 명백하다. (즉 \(R\) 위 체흐 복합체의 기저원소들은 단순히 \(R'\) 위 체흐 복합체의 대응하는 기저원소들로 간다.) 이로써 보조정리의 첫 번째 진술을 얻는다.

이제 환 \(R\)을 고정하고 두 동차다항식 \(f, g \in R[T_0, \ldots, T_n]\)을 생각하되, 둘의 차수는 같은 \(m\)이라 하자. 코호몰로지는 가법 함자이므로 \(f + g\)를 곱하여 유도되는 사상은 \(f\)를 곱하여 유도되는 사상과 \(g\)를 곱하여 유도되는 사상의 합과 같다. 또한 코호몰로지가 함자이므로, 곱 \(fg\)를 곱하는 것에 대해서도 비슷한 결과가 성립한다. 여기서 \(f, g\)는 모두 동차원소이지만 두 차수가 같을 필요는 없다. 그러므로 보조정리의 두 번째 진술을 확인하려면 \(f = x \in R\)인 경우와 \(f = T_i\)인 경우만 증명하면 충분하다. 원소 \(x \in R\)를 곱하는 경우에는 눈앞의 각 코호몰로지군이나 복합체가 \(R\)-가군 또는 \(R\)-가군들의 복합체 구조를 가지므로 결과가 성립한다. 마지막으로 \(T_i\)를 곱하는 것을 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}\)-선형 사상 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d + 1)\] 으로 생각하자. \(H^0\)에 관한 진술은 명백하다. \(H^n\)에 관한 진술을 위해서는 \(T_i\)를 곱하는 것을 체흐 복합체 위의 사상 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d + 1))\] 으로 생각한다. Lemma 01XT의 증명에서 도입한 기호를 사용하겠다. 다음 분해들에 관하여 \(T_i\)를 곱하는 효과를 살펴본다. \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}, \ \sum e_i = d} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] 그리고 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d + 1)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}, \ \sum e_i = d + 1} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] 직합복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\)가 직합복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e} + \vec{b}_i)\)로 감은 명백하다. 여기서 \(\vec{b}_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0))\)는 \(i\)번째 기저벡터이다. 다시 말해 \(H^n\)에서 \(\vec{e}\)에 대응하고 \(e_i < 0\)이며 \(\sum e_i = d\)인 직합항을 \(H^n\)에서 \(\vec{e} + \vec{b}_i\)에 대응하는 직합항으로 보낸다 (이는 \(e_i + b_i \geq 0\)이면 영이다). 이것은 정확히 \(T_i\)를 곱하는 사상 \[(R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - (d + 1)} \longrightarrow (R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}\] 의 반변 사상의 작용에 대응함을 쉽게 알 수 있다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

상대적 형태를 진술하기 전에 몇 가지 기호가 필요하다. 즉 \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\)은 등급 \(\mathcal{O}_S\)-가군이며, 각 \(T_i\)는 차수 \(1\)의 동차원소임을 상기하자. 그 성분 \((\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_d\)를 차수 \(d\) 성분이라 나타내자. 이는 계수가 \(\binom{n + d}{d}\)인 유한 국소 자유층이며 \(S\) 위에 놓인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. 구조 사상 \[f : \mathbf{P}^n_S \longrightarrow S.\] 을 생각하자. 그러면 \[R^qf_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{if} & q = 0 \\ 0 & \text{if} & q \not = 0, n \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_S}( (\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_{- n - 1 - d}, \mathcal{O}_S) & \text{if} & q = n \end{matrix} \right.\] 가 성립한다.

증명

생략한다. 힌트: (01XU)의 동일시들이 Lemma 01XV에 따라 아핀 밑변환과 양립하므로 결과가 따라온다.

다음으로 유한 국소 자유층에 대응하는 사영다발의 형태를 진술한다. \(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하고 그 계수를 \(n + 1\)이라 하자. Modules, Section 01C5을 보라. 이 경우 \(\text{Sym}(\mathcal{E})\)를 등급 \(\mathcal{O}_S\)-가군으로 보며, \(\mathcal{E}\)는 차수 \(1\)인 등급 부분이다. 그리고 \(\text{Sym}^d(\mathcal{E})\)는 차수 \(d\) 성분이다. 이는 계수가 \(\binom{n + d}{d}\)인 유한 국소 자유층이며 \(S\) 위에 놓인다. 우리의 정규화가 \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})) \longrightarrow S\] 라는 것과, 자연스러운 사상 \(\text{Sym}^d(\mathcal{E}) \to \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\) 들이 있음을 상기하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(n \geq 1\)이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하고 그 계수를 \(n + 1\)이라 하자. 구조 사상 \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) \longrightarrow S.\] 을 생각하자. 그러면 \[R^q\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)) = \left\{ \begin{matrix} \text{Sym}^d(\mathcal{E}) & \text{if} & q = 0 \\ 0 & \text{if} & q \not = 0, n \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_S}( \text{Sym}^{- n - 1 - d}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_S} \wedge^{n + 1}\mathcal{E}, \mathcal{O}_S) & \text{if} & q = n \end{matrix} \right.\] 가 성립한다. 이 동일시들은 밑변환 및 국소 자유층 사이의 동형들과 양립한다.

증명

표준 사상 \[\pi^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\] 을 생각하고, 이를 \(1\)만큼 아래로 꼬아서 \[\pi^*(\mathcal{E})(-1) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}\] 을 얻는다. 이는 계수 \(n + 1\)인 국소 자유층에서 구조층으로 가는 전사 사상이다. 따라서 대응하는 코쥘 복합체는 완전하다(More on Algebra, Lemma 0626). 다시 말해 완전 복합체 \[0 \to \pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1) \to \ldots \to \pi^*(\wedge^i\mathcal{E})(-i) \to \ldots \to \pi^*\mathcal{E}(-1) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})} \to 0\] 가 있다. 항 \(\pi^*(\wedge^i\mathcal{E})(-i)\)를 차수 \(-i\)에 놓인 것으로 생각하겠다. Derived Categories, Lemma 015J의 첫 번째 스펙트럼열을 사용하여 이 비순환 복합체의 고차 직접상들을 계산하겠다. 즉 영으로 수렴하는, 다음 항들을 갖는 스펙트럼열이 있다. \[E_1^{p, q} = R^q\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{-p}\mathcal{E})(p)\right)\] 사영 공식(Cohomology, Lemma 01E8)에 따라 \[E_1^{p, q} = \wedge^{-p} \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^q\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(p)\right).\] \(S\) 위에서 국소적으로 층 \(\mathcal{E}\)는 자명하다. 즉 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1}\)과 동형이므로, \(S\) 위에서 국소적으로 사상 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\)를 \(\mathbf{P}^n_S \to S\)와 동일시할 수 있다. 따라서 \(S\) 위에서 국소적으로 Lemmas 01XT, 01XV, 또는 01XW의 결과를 사용할 수 있다. 따라서 \(E_1^{p, q} = 0\)은 \((p, q)\)가 \((0, 0)\) 또는 \((-n - 1, n)\)이 아닌 한 성립한다. 영이 아닌 항들은 \[\begin{align*} E_1^{0, 0} & = \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})} = \mathcal{O}_S \\ E_1^{-n - 1, n} & = R^n\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1)\right) = \wedge^{n + 1}\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\right) \end{align*}\] 이다. 그러므로 이 스펙트럼열에는 영이 아닌 미분이 하나만 있을 수 있으며, 그것은 사상 \(d_{n + 1}^{-n - 1, n} : E_{n + 1}^{-n - 1, n} \to E_{n + 1}^{0, 0}\) 이다. 스펙트럼열이 \(0\) 층으로 수렴하므로 이는 동형이어야 한다. 따라서 \(E_1^{p, q} = E_{n + 1}^{p, q}\)이고 표준 동형 \[\wedge^{n + 1}\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\right) = R^n\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1)\right) \xrightarrow{d_{n + 1}^{-n - 1, n}} \mathcal{O}_S\] 을 얻는다. \(\wedge^{n + 1}\mathcal{E}\)가 가역층이므로, 이는 \(R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\)도 가역이며 \(\wedge^{n + 1}\mathcal{E}\)의 역과 표준적으로 동형임을 뜻한다. 다시 말해 보조정리에서 \(d = - n - 1\)인 경우를 증명하였다.

\(S\) 위에서 국소적으로 작업하면 Lemmas 01XT, 01XV, 또는 01XW의 코호몰로지 계산으로부터 보조정리의 소멸 진술들이 즉시 따라온다. 또한 \(R^0\pi_*\)에 관한 결과도 명백하다. 실제로 표준 사상 \(\text{Sym}^d(\mathcal{E}) \to \pi_* \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\) 들이 모든 \(d\)에 대해 있다. 이제 \(R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\)에 대한 서술이 \(d < -n - 1\)일 때 옳음을 보이면 된다. 이를 위해 사상 \[\pi^*(\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E})) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\] 을 생각하자. \(R^n\pi_*\)를 적용하고 사영 공식(위 참조)을 사용하면 사상 \[\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)) \longrightarrow R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1) = (\wedge^{n + 1}\mathcal{E})^{\otimes -1}\] 을 얻는다(마지막 등식은 위에서 보였다). 다시 Lemmas 01XT, 01XV, 또는 01XW의 국소 계산에 따라, 이 사상은 \(R^n\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d))\)와 \(\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E}) \otimes \wedge^{n + 1}(\mathcal{E})\) 사이에 원하는 완전 쌍대쌍을 유도한다.

국소 뇌터 스킴 위의 연접층

임의의 환 달린 공간 위의 연접 가군 개념을 Modules, Section 01BU에서 정의하였다. 비뇌터 스킴 위의 연접층도 생각할 수 있지만, 여기서는 연접층을 다룰 때마다 바탕 스킴이 국소 뇌터라고 가정한다. 국소 뇌터 스킴 위 연접층의 다음 특성화를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 연접이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 준연접 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

4. 임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F}|_U = \widetilde M\)이고, 여기서 \(M\)은 유한 \(A\)-가군이다.

5. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\), \(U_i = \Spec(A_i)\)가 존재하여 각각에 대해 \(\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde M_i\)이고, 여기서 \(M_i\)는 유한 \(A_i\)-가군이다.

특히 \(\mathcal{O}_X\)는 연접이고, 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 연접이며, 더 일반적으로 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 연접이다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2) 및 (1) \(\Rightarrow\) (3)은 일반적으로 성립한다. Modules, Lemma 01BW을 보라. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 Modules, Lemma 01BO에 따라 \(\mathcal{F}\)는 준연접이다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (2)도 성립한다.

\(\mathcal{F}\)가 준연접 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. Properties, Lemma 01PB에 따라 임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\) 위에서 \(\mathcal{F}|_U = \widetilde M\)이고, 여기서 \(M\)은 유한 \(A\)-가군이다. \(A\)가 뇌터이므로 \(M\)에는 유한 분해 \[A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M \to 0.\] 가 있다. 따라서 Properties, Lemma 01PC에 의해 \(\mathcal{F}\)는 유한 표시이다. 다시 말해 (2) \(\Rightarrow\) (3)이다.

Modules, Lemma 01BZ에 따라 (3)이 (1)을 함의함을 보이려면 \(\mathcal{O}_X\)가 연접임을 보이면 충분하다. 따라서 다음을 보여야 한다. 임의의 열린집합 \(U \subset X\)와 유한한 절단들의 모음 \(f_i \in \mathcal{O}_X(U)\), \(i = 1, \ldots, n\)이 주어졌을 때 사상 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\)의 핵은 유한형이다. 유한형이라는 것은 국소 성질이므로 임의의 \(x \in U\)의 근방에서 이를 확인하면 충분하다. 따라서 \(U = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(f_1, \ldots, f_n \in A\)는 \(A\)의 원소들이다. \(A\)가 뇌터이므로(Properties, Lemma 01OW 참조), 그 핵 \(K\), 즉 사상 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} A \to A\)의 핵은 유한 \(A\)-가군이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00IK을 보라. 함자 \(\widetilde{ }\) 는 완전하므로(Schemes, Lemma 01HV 참조) 완전열 \[\widetilde K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] 을 얻는다. Properties, Lemma 01PB를 다시 적용하면 \(\widetilde K\)가 유한형임을 알 수 있다. 따라서 (1), (2), (3)은 모두 동치이다.

Properties, Lemma 01PB에 의해 (2)는 (4)를 함의한다. (4)가 (5)를 함의함은 자명하다. Schemes, Section 01LA의 논의에 의해 (5)는 \(\mathcal{F}\)가 준연접임을 함의하며, (5)가 \(\mathcal{F}\)의 유한형성을 함의함도 명백하다. 따라서 (5)는 (2)를 함의하고 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주는 아벨 범주이다. 더 정확히 말하면 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상의 핵과 여핵은 연접이다. 연접층들의 모든 확대는 연접이다.

증명

이는 Modules, Lemma 01BY을 특수한 경우에 다시 진술한 것이다.

다음 보조정리는 일반 환 달린 공간의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 범주에서 공간 \(X\)에 대해 항상 성립하지는 않는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 모든 준연접 부분가군은 연접이고, \(\mathcal{F}\)의 모든 준연접 몫가군은 연접이다.

증명

\(X\)가 아핀이라고 가정해도 되며, \(X = \Spec(A)\)라 쓰자. Properties, Lemma 01OW에 따라 \(A\)는 뇌터이다. Lemma 01XZ을 적용하면 이는 대수의 명제가 된다. 그 대수적 대응물은 유한 \(A\)-가군의 몫가군이나 부분가군이 유한 \(A\)-가군이라는 사실이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00IK을 보라.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군들 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\)와 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)는 연접이다.

증명

Modules, Lemma 01CQ에서 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)가 연접임을 보였다. 텐서곱에 관한 결과는 Modules, Lemma 01CE이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하고, \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 준동형이라 하자. \(x \in X\)라 하자.

1. \(\mathcal{F}_x = 0\)이면 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\) 주위에 존재하여 \(\mathcal{F}|_U = 0\)이다.

2. \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\)가 단사이면 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\) 주위에 존재하여 \(\varphi|_U\)는 단사이다.

3. \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\)가 전사이면 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\) 주위에 존재하여 \(\varphi|_U\)는 전사이다.

4. \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\)가 전단사이면 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\) 주위에 존재하여 \(\varphi|_U\)는 동형이다.

증명

Modules, Lemmas 01B8, 01B9, 그리고 01C0을 보라.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(\psi : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군들의 사상이라고 하자. 그러면 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\) 주위에 존재하고 사상 \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\)가 존재하여 \(\varphi_x = \psi\)이다.

증명

Lemma 01XZ을 고려하면 이는 Modules, Lemma 01CP을 다시 쓴 것이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)는 닫혀 있고, \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지 위의 연접층에서 온다. Morphisms, Definition 05JV를 보라.

증명

\(i : Z \to X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Z\) 위의 유한형 준연접층으로서 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)인 것이라 하자. \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이므로 지지는 닫혀 있다. Morphisms, Lemmas 01T5와 01T6에 따라 스킴 \(Z\)는 국소 뇌터이다. 마지막으로 Lemma 01XZ에 따라 \(\mathcal{G}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 국소 뇌터 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\)를 잘라내는 준연접 아이디얼층이라 하자. 함자 \(i_*\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들 중 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 것들의 범주와 연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군들의 범주 사이의 동치를 유도한다.

증명

Morphisms, Lemma 01QY에 따라 이 함자는 충실충만이다. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 것이라 하자. Morphisms, Lemma 01QY에 따라 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)로 쓸 수 있고, 여기서 \(\mathcal{G}\)는 \(Z\) 위의 어떤 준연접층이다. Modules, Lemma 01C4에 따라 \(\mathcal{G}\)는 유한형이다. 따라서 Lemma 01XZ에 따라 \(\mathcal{G}\)는 연접이다. 그러므로 이 함자는 원하는 대로 본질적 전사이기도 하다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴들의 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 유한이고 \(Y\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 그러면 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이며 이는 \(p > 0\)에 대해 성립하고, \(f_*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)가 연접이면 연접이다.

증명

Lemma 01XC 및 유한 사상이 정의상 아핀이라는 사실에 의해 고차 직접상들은 소멸한다. 또한 가정들로부터 \(X\)도 국소 뇌터이므로(Morphisms, Lemma 01T6 참조) 진술은 의미가 있다. \(\Spec(A) = V \subset Y\)를 아핀 열린부분집합이라 하자. Morphisms, Definition 01WH에 따라 \(f^{-1}(V) = \Spec(B)\)이고 \(A \to B\)는 유한이다. Lemma 01XZ을 적용하면 보조정리의 진술은 다음 대수적 사실이 된다. \(M\)이 유한 \(B\)-가군이면 \(M\)은 \(A\)-가군으로 보아도 유한이다. Algebra, Lemma 00GJ을 보라.

보조정리의 상황에서는 고차 직접상들이 소멸하므로 그것들 역시 연접이다. 국소 뇌터 스킴들 사이의 고유 사상에 대해서도 항상 그러함을 (Proposition 02O5) 보일 것이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq 0\)인 연접층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 대역 절단들로 생성되고, \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\)이며 이는 \(i > 0\)에 대해 성립한다.

증명

Lemma 01Y5에 따라 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)이고, 여기서 \(i : Z \to X\)는 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지의 포함이며 \(\mathcal{G}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다. \(Z\)의 차원이 \(0\)이므로 \(Z\)는 아핀들의 서로소 합집합이다(Properties, Lemma 0AAX). 따라서 \(\mathcal{G}\)는 대역적으로 생성되고 \(\mathcal{G}\)의 고차 코호몰로지군들은 영이다(Lemma 01XB). 따라서 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)는 대역적으로 생성된다. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 코호몰로지들은 일치하므로 (닫힌 몰입은 아핀이므로 Lemma 089W가 적용된다), \(\mathcal{F}\)의 고차 코호몰로지군들은 영이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(j : U \to X\)를 열린집합의 포함이라 하자. \(T \subset X\)를 \(U\)에 포함되는 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이고 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset T\)이면 \(j_*\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

열린 덮개 \(X = U \cup (X \setminus T)\)를 생각하자. 그러면 \(j_*\mathcal{F}|_U = \mathcal{F}\)는 연접이고, \(j_*\mathcal{F}|_{X \setminus T} = 0\)도 연접이다. 따라서 \(j_*\mathcal{F}\)는 연접이다.

뇌터 스킴 위의 연접층

이 절에서는 뇌터 스킴 위 연접층의 몇 가지 성질을 언급한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 준연접 부분가군들에 대해 오름사슬 조건이 성립한다. 다시 말해 준연접 부분가군들의 임의의 열 \[\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}\] 이 주어지면 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\)이고, 이는 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

유한 아핀 열린 덮개를 택하자. 덮개의 각 원소 위에서 Algebra, Lemma 00IK에 따라 안정화를 얻는다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)에 대응하는 준연접 아이디얼층이라 하자. 그러면 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\)일 필요충분조건은 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\)가 집합론적으로 성립하는 것이다.

증명

\(X\)가 뇌터 환들의 스펙트럼들로 이루어진 유한 덮개를 가지므로, 이는 Algebra, Lemma 00L6에서 즉시 따라온다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)를 준연접 부분층이라 하고, \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼층이라 하자. 그러면 어떤 \(c \geq 0\)이 존재하여 모든 \(n \geq c\)에 대해 \[\mathcal{I}^{n - c}(\mathcal{I}^c\mathcal{F} \cap \mathcal{G}) = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \cap \mathcal{G}\] 이다.

증명

\(X\)가 뇌터 환들의 스펙트럼들로 이루어진 유한 덮개를 가지므로, 이는 Algebra, Lemma 00IN에서 즉시 따라온다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 그 연접 부분가군들의 여과 쌍극한이다.

증명

이는 Properties, Lemma 01PG을 다시 쓴 것이다. 실제로 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 Lemma 01XZ에 따라 연접이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼층이라 하자. 이에 대응하는 닫힌 부분스킴을 \(Z \subset X\)로 나타내고 \(U = X \setminus Z\)로 두자. 표준 동형 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U).\] 이 있다. 특히 동형 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}).\] 을 얻는다.

증명

먼저 두 번째 사상이 동형임을 증명한다. 이는 Properties, Lemma 01PQ에 따라 단사이다. \(\mathcal{F}\)는 그 연접 부분가군들의 합집합이므로(Properties, Lemma 01PG 및 Lemma 01XZ 참조), 전사성을 증명할 때 \(\mathcal{F}\)가 연접이라고 가정해도 되고 그렇게 하겠다. \(\mathcal{F}_n\)을 \(\mathcal{F}\)의 준연접 부분층 중 \(\mathcal{I}^n\)에 의해 소멸되는 절단들로 이루어진 것이라 하자. Properties, Lemma 01PQ을 보라. \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots\)이므로 Lemma 01Y8에 따라 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\)이고, 이는 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 성립한다. \(\mathcal{H} = \mathcal{F}_n\)으로 두되 이때의 \(n\)을 사용하자. 아르틴–리스 (Lemma 01YA)에 따라 어떤 \(c \geq 0\)이 존재하여 \(\mathcal{I}^m\mathcal{F} \cap \mathcal{H} \subset \mathcal{I}^{m - c}\mathcal{H}\)이다. \(m = n + c\)를 택하면 \(\mathcal{I}^m\mathcal{F} \cap \mathcal{H} \subset \mathcal{I}^n\mathcal{H} = 0\)을 얻는다. 따라서 \(\mathcal{F}' = \mathcal{I}^m\mathcal{F}\)로 두면 \(\mathcal{F}' \cap \mathcal{F}_n = 0\)이고 \(\mathcal{F}'|_U = \mathcal{F}|_U\)이다. 특히 절단들의 부분층 \((\mathcal{F}')_N\), 즉 \(\mathcal{I}^N\)에 의해 소멸되는 것들은 모든 \(N \geq 0\)에 대해 영이다. 따라서 Properties, Lemma 01PQ에 의해 다음 가환 도표의 위쪽 수평 화살표가 전단사임을 알 수 있다. \[\xymatrix{ \colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}') \ar[r] \ar[d] & \Gamma(U, \mathcal{F}') \ar[d] \\ \colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \ar[r] & \Gamma(U, \mathcal{F}) }\] 오른쪽 수직 화살표도 전단사이므로, 아래쪽 수평 화살표가 원하는 대로 전사임을 얻는다.

다음으로 보조정리의 첫 번째 화살표가 전단사임을 증명한다. Lemma 01XZ에 따라 층 \(\mathcal{G}\)는 유한 표시이고, 따라서 층 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)는 준연접이다. Schemes, Section 01LA을 보라. 정의에 따라 \[\mathcal{H}(U) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U)\] 이다. 보조정리의 첫 번째 화살표의 우변에서 \(\psi\)를 하나 택하자. 즉 \(\psi \in \mathcal{H}(U)\)이다. 방금 증명한 결과를 \(\mathcal{H}\)에 적용하면 어떤 \(n \geq 0\)과 사상 \(\varphi : \mathcal{I}^n \to \mathcal{H}\)가 존재하여 \(\psi\)를 복원하며, 그 제한은 \(U\) 위에서 취한다. Modules, Lemma 01CN에 따라 \(\varphi\)는 사상 \[\varphi : \mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{F}.\] 에 대응한다. 이는 거의 원하는 것이지만 화살표의 원천은 \(\mathcal{I}^n\)과 \(\mathcal{G}\)의 곱이 아니라 텐서곱이다. \(n\)을 늘리는 대가로 이 차이가 무관해짐을 보이겠다. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{I}^n\mathcal{G} \to 0\] 을 생각하자. 여기서 \(\mathcal{K}\)는 핵으로 정의된다. \(\mathcal{I}^n\mathcal{K} = 0\)임에 유의하라(증명은 생략한다). 아르틴–리스를 다시 적용하면 충분히 큰 어떤 \(m\)에 대해 \[\mathcal{K} \cap \mathcal{I}^m(\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) = 0\] 임을 알 수 있다. 다시 말해 \[\mathcal{I}^m(\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{I}^{n + m}\mathcal{G}\] 은 동형이다. \(\varphi'\)를 이 부분가군에 대한 \(\varphi\)의 제한으로 두고, 이를 사상 \(\mathcal{I}^{m + n}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)로 보자. 그러면 \(\varphi'\)는 보조정리의 첫 번째 화살표의 좌변의 원소를 주며, 그 화살표 아래에서 \(\psi\)로 간다. 다시 말해 이 화살표의 전사성을 증명하였다. 단사성의 증명은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. \(U \subset X\)를 열린집합이라 하고, \(\varphi : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U\)를 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사상이라 하자. 그러면 연접 부분가군 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)가 존재하며, 이는 \(\mathcal{F}\)와 \(U\) 위에서 일치한다. 또한 \(\varphi\)는 사상 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}\)로 연장된다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(X \setminus U\) 위의 축소 유도 스킴 구조를 잘라내는 연접 아이디얼층이라 하자. \(X\)가 뇌터이면 Lemma 01YB에 따라 \(\mathcal{F}' = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\)로 택할 수 있고, 여기서 \(n\)은 어떤 정수이다. 일반적인 경우는 초른의 보조정리를 사용하여 이 경우로부터 따라온다.

삼중항 \((U', \mathcal{F}', \varphi')\)들의 집합을 생각하자. 여기서 \(U \subset U' \subset X\)는 열린집합이고, \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_{U'}\)는 \(\mathcal{F}\)와 일치하되 \(U\) 위에서 일치하는 연접 부분층이며, \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}|_{U'}\)는 \(\varphi\)로 제한되되 그 제한은 \(U\) 위에서 취한다. 다음 조건이 성립할 때 그리고 그때에만 \((U'', \mathcal{F}'', \varphi'') \geq (U', \mathcal{F}', \varphi')\)라 하자. \(U'' \supset U'\), \(\mathcal{F}''|_{U'} = \mathcal{F}'\), 그리고 \(\varphi''|_{U'} = \varphi'\). 삼중항들의 전순서화된 모음 \((U_i, \mathcal{F}_i, \varphi_i)\)가 주어지면 \(\mathcal{F}_i\)들을 붙여 부분층 \(\mathcal{F}'\)을 얻는다. 이는 \(\mathcal{F}\)의 부분층이며 \(U' = \bigcup U_i\) 위에 놓인다. 또한 \(\varphi\)를 사상 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}|_{U'}\)로 연장할 수 있음은 명백하다. 따라서 삼중항들의 모든 전순서화된 부분집합은 상계를 갖는다. 마지막으로 \((U', \mathcal{F}', \varphi')\)가 임의의 삼중항이지만 \(U' \not = X\)라고 하자. 아핀 열린집합 \(W \subset X\)를 택하되, 이는 \(U'\)에 포함되지 않도록 할 수 있다. 첫 문단의 결과에 따라 부분층 \(\mathcal{F}'|_{W \cap U'}\)와 제한 \(\varphi'|_{W \cap U'}\)를 어떤 부분층 \(\mathcal{F}'' \subset \mathcal{F}|_W\)와 사상 \(\varphi'' : \mathcal{F}'' \to \mathcal{G}|_W\)로 연장할 수 있다. \((\mathcal{F}', \varphi')\)와 \((\mathcal{F}'', \varphi'')\)의 일치가 \(W \cap U'\) 위에서 성립한다는 것은 정확히 이것을 삼중항 \((U' \cup W, \mathcal{F}''', \varphi''')\)로 연장할 수 있다는 뜻이다. 따라서 모든 극대 삼중항 \((U', \mathcal{F}', \varphi')\)은 (초른의 보조정리에 의해 존재하며) \(U' = X\)를 만족한다. 이로써 증명이 끝난다.

깊이

이 절에서는 국소 뇌터 스킴 위 연접 가군의 깊이와 성질 \((S_k)\)에 대해 조금 논한다. 이 개념은 이미 국소 뇌터 스킴에 대해 Properties, Section 033P에서 논하였다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)을 정수라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)가 깊이 \(k\)를 점 \(x\)에서 갖는다고 함은, 그 점이 \(X\)에 속하고 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) = k\)일 때이다.

2. \(X\)가 깊이 \(k\)를 점 \(x\)에서 갖는다고 함은, 이 점이 \(X\)에 속하고 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) = k\)일 때이다.

3. \(\mathcal{F}\)가 성질 \((S_k)\)를 갖는다고 함은 모든 \(x \in X\)에 대해 \[\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \geq \min(k, \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)))\] 일 때이다.

4. \(X\)가 성질 \((S_k)\)를 갖는다고 함은 \(\mathcal{O}_X\)가 성질 \((S_k)\)를 가질 때이다.

모든 연접층은 조건 \((S_0)\)를 만족한다. 조건 \((S_1)\)은 매장된 연관점을 갖지 않는 것과 동치이다. Divisors, Lemma 0346를 보라.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하고 \(x \in X\)라 하자.

1. \(\mathcal{G}_x\)의 깊이가 \(\geq 1\)이면 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\)의 깊이도 \(\geq 1\)이다.

2. \(\mathcal{G}_x\)의 깊이가 \(\geq 2\)이면 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\)의 깊이도 \(\geq 2\)이다.

증명

\(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)는 Lemma 01Y2에 따라 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 연접 가군은 유한 표시이므로(Lemma 01XZ), 싹을 취하는 것은 \(\SheafHom\) 및 \(\Hom\)을 취하는 것과 가환한다. Modules, Lemma 01CP을 보라. 따라서 국소환 위 유한 가군의 경우로 환원되며, 이는 More on Algebra, Lemma 0AV5이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자.

1. \(\mathcal{G}\)가 성질 \((S_1)\)을 가지면 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)도 성질 \((S_1)\)을 갖는다.

2. \(\mathcal{G}\)가 성질 \((S_2)\)를 가지면 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)도 성질 \((S_2)\)를 갖는다.

증명

Lemma 0EBC와 정의들에서 즉시 따라온다.

Properties, Lemma 0342에서 국소 뇌터 스킴이 코언–매콜리일 필요충분조건은 \((S_k)\)가 모든 \(k\)에 대해 성립하는 것임을 보았다. 따라서 다음 정의를 도입하는 것은 자연스럽다. 이는 모든 싹이 코언–매콜리 가군이라는 조건과 동치이다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 코언–매콜리라고 함은 \((S_k)\)가 모든 \(k \geq 0\)에 대해 성립할 때이다.

보조정리

\(X\)를 정칙 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 코언–매콜리이고 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 계수 \(> 0\)인 유한 국소 자유 가군이다.

증명

\(x \in X\)라 하자. (2)가 성립하면 \(\mathcal{F}_x\)는 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이고 그 계수는 \(> 0\)이다. 따라서 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)이다. 실제로 정칙 국소환은 코언–매콜리이다(Algebra, Lemma 00NQ). 반대로 (1)이 성립하면 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 위의 극대 코언–매콜리 가군이다 (Algebra, Definition 00NF). 따라서 Algebra, Lemma 00NT에 따라 \(\mathcal{F}_x\)는 자유이다.

연접층의 데비사주

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. 정수적 닫힌 부분스킴 \(i : Z \to X\)를 생각하자. \(i_*\mathcal{G}\) 꼴의 연접층을 생각하는 것이 흔히 편리하며, 여기서 \(\mathcal{G}\)는 \(Z\) 위의 연접층이다. 특히 \(\mathcal{G}\)가 꼬임 없는 계수 \(1\)의 층인 경우에 이러한 층들에 관심이 있다. 예를 들어 \(\mathcal{G}\)는 \(Z\) 위의 영이 아닌 아이디얼층일 수 있고, 더 구체적으로는 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\)일 수도 있다.

이 절 전체에서 연접층은 유한형 준연접층과 같은 것이며, 연접층의 준연접 부분몫이 연접이라는 사실을 사용한다. 절 01XY를 보라. 연접층의 지지집합은 닫혀 있다. Modules, Lemma 01BA를 보라.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \cup Z'\)이고 \(Z\), \(Z'\)가 닫혀 있다고 가정하자. 그러면 연접층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] 이 존재하여 \(\text{Supp}(\mathcal{G}') \subset Z'\)이고 \(\text{Supp}(\mathcal{G}) \subset Z\)이다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\) 위의 유도된 축소 닫힌 부분스킴 구조를 정의하는 아이디얼층이라 하자. Schemes, Lemma 01J3를 보라. 부분층 \(\mathcal{G}'_n = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\)와 몫 \(\mathcal{G}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)를 생각하자. 각 \(n\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G}'_n \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_n \to 0\] 이 있다. 모든 점 \(x\) 가운데 \(Z' \setminus Z\)에 속하는 것에 대해 \(\mathcal{I}_x = \mathcal{O}_{X, x}\)이고, 따라서 \(\mathcal{G}_{n, x} = 0\)이다. 그러므로 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_n) \subset Z\)임을 알 수 있다. \(X \setminus Z'\)는 뇌터 스킴임을 주목하자. 따라서 Lemma 01Y9에 의해 어떤 \(n\)이 존재하여 \(\mathcal{G}'_n|_{X \setminus Z'} = \mathcal{I}^n\mathcal{F}|_{X \setminus Z'} = 0\)이다. 그러한 \(n\)에 대해 \(\text{Supp}(\mathcal{G}'_n) \subset Z'\)임을 알 수 있다. 따라서 \(\mathcal{G}' = \mathcal{G}'_n\) 및 \(\mathcal{G} = \mathcal{G}_n\)으로 놓으면 된다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 정수적 닫힌 부분스킴이라 하고, \(\xi \in Z\)를 그 일반점이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. \(\mathcal{F}_\xi\)가 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸된다고 가정하자. 그러면 정수 \(r \geq 0\), 연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), 그리고 연접층들의 단사 사상 \[i_*\left(\mathcal{I}^{\oplus r}\right) \to \mathcal{F}\] 이 존재하며, 이 사상은 \(\xi\)의 한 근방에서 동형이다.

증명

\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\)의 아이디얼층이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면들 중 \(\mathcal{J}\)에 의해 소멸되는 것들로 이루어진 부분층이라 하자. 이는 Properties, Lemma 01PO에 의해 준연접층이다. 또한 \(\mathcal{F}'_\xi = \mathcal{F}_\xi\)이다. 실제로 \(\mathcal{J}_\xi = \mathfrak m_\xi\)이고 Properties, Lemma 01PO의 (3)을 적용한다. Lemma 01Y3에 의해 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)는 \(\xi\)의 한 근방에서 동형을 유도한다. 따라서 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{F}'\)로 바꾸어 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{J}\)에 의해 소멸된다고 가정해도 된다.

\(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\)이라 가정하자. Lemma 087T에 의해 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(\mathcal{G}\)는 \(Z\) 위의 어떤 연접층이다. 사상 \(\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G}\)를 찾아서 일반점 \(\xi\)의 한 근방에서 동형이 되게 할 수 있다고 하자. 이 일반점은 \(Z\)의 일반점이다. 그러면 \(i_*\)를 적용하여(이는 왼쪽 완전이다) 보조정리의 결론을 얻는다. 따라서 \(X = Z\)인 경우로 환원되었다.

\(Z = X\)가 일반점 \(\xi\)를 갖는 정수적 뇌터 스킴이라고 하자. 이 경우 \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \kappa(\xi)\)는 \(X\)의 함수체임을 주목하자. \(\mathcal{F}_\xi\)는 유한 \(\mathcal{O}_\xi\)-가군이므로 \(r = \dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{F}_\xi\)는 유한하다. 따라서 층 \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\)와 \(\mathcal{F}\)의 \(\xi\)에서의 싹들은 서로 동형이다. Lemma 01Y4에 의해 영이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)와 사상 \(\psi : \mathcal{O}_X^{\oplus r}|_U \to \mathcal{F}|_U\)가 존재하여 \(\xi\)에서 동형이다. 따라서 Lemma 01Y3에 의해 이는 \(\xi\)의 한 근방에서 동형이다. Schemes, Lemma 01J3에 의해 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 존재하며, 이에 연관된 닫힌 부분스킴 \(Y \subset X\)는 \(U\)의 여집합이다. Lemma 01YB에 의해 어떤 \(n \geq 0\)와 사상 \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) \to \mathcal{F}\)가 존재하여 우리의 \(\psi\)를 \(U\) 위에서 복원한다. \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) = (\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\)이므로 보조정리에서와 같은 사상을 얻는다. \(X\)가 정수적이고 이 사상이 \(X\)의 일반점에서 단사이므로, 이 사상은 단사이다 (쉬운 증명은 생략한다).

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. 연접 부분층들에 의한 여과 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 가 존재하여, 각 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z_j \subset X\)와 영이 아닌 연접 아이디얼층 \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_{Z_j}\)가 존재하고 \[\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong (Z_j \to X)_* \mathcal{I}_j\] 이다.

증명

다음 모음을 생각하자. \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X \text{ closed such that there exists a coherent sheaf } \mathcal{F} \\ \text{ with } \text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \text{ for which the lemma is wrong} \end{matrix} \right\}\] 우리는 \(\mathcal{T}\)가 공집합임을 보이려 한다. 그렇지 않다면 \(X\)가 뇌터이므로 최소 원소 \(Z \in \mathcal{T}\)를 택할 수 있다. 이는 연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 존재하여 지지집합이 \(Z\)이고 보조정리의 결론이 성립하지 않는다는 뜻이다. 지지집합이 공집합인 유일한 층은 영층이므로 분명히 \(Z \not = \emptyset\)이다. 영층에 대해서는 보조정리가 성립한다(\(m = 0\)으로 두면 된다).

\(Z\)가 기약이 아니면 \(Z = Z_1 \cup Z_2\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(Z_1, Z_2\)는 닫혀 있고 \(Z\)보다 진정으로 작다. 그러면 Lemma 01YD를 적용하여 연접층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] 을 얻으며, 여기서 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\)이다. \(Z\)의 최소성에 의해 각 \(\mathcal{G}_i\)는 보조정리의 명제에 나오는 여과를 갖는다. \(\mathcal{F}\) 위에 유도된 여과를 생각하면 모순에 이른다. 따라서 \(Z\)는 기약이다.

\(Z\)가 기약이라고 하자. \(\mathcal{J}\)를 \(Z\) 위의 유도된 축소 닫힌 부분스킴 구조를 잘라내는 아이디얼층이라 하자. Schemes, Lemma 01J3를 보라. Lemma 01Y9에 의해 어떤 \(n \geq 0\)가 존재하여 \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\)이다. 따라서 여과 \[0 = \mathcal{J}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{J}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{J}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] 를 얻으며, 그 연속하는 각 부분몫은 \(\mathcal{J}\)에 의해 소멸된다. 각 부분몫이 보조정리의 명제에 나오는 여과를 가지면 \(\mathcal{F}\)도 그러한 여과를 갖는다. 다시 말해 \(\mathcal{J}\)가 \(\mathcal{F}\)를 소멸시킨다고 가정해도 된다.

\(Z\)가 기약이고 \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\)인 경우 Lemma 01YE를 적용할 수 있다. 이로부터 짧은 완전열 \[0 \to i_*(\mathcal{I}^{\oplus r}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] 을 얻으며, 여기서 \(\mathcal{Q}\)는 몫으로 정의된다. 방금 인용한 보조정리에 의해 \(\mathcal{Q}\)는 \(\xi\)의 한 근방에서 영이므로, \(\mathcal{Q}\)의 지지집합은 \(Z\)보다 진정으로 작다. 따라서 \(\mathcal{Q}\)는 \(Z\)의 최소성에 의해 원하는 종류의 여과를 갖는다. 그러면 분명히 \(\mathcal{F}\)도 그러한 여과를 가지므로, 마지막 모순을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고, \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위 연접층들의 한 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 연접층들의 임의의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 에 대해, \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(\mathcal{F}\)도 이 성질을 갖는다.

2. 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)와 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)에 대해 \(\mathcal{P}\)가 \(i_*\mathcal{I}\)에 대해 성립한다.

그러면 성질 \(\mathcal{P}\)는 \(X\) 위의 모든 연접층에 대해 성립한다.

증명

먼저 연접층 \(\mathcal{F}\)가 연접 부분층들에 의한 여과 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 를 갖고 각 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면, \(\mathcal{F}\)도 이 성질을 가짐을 주목하자. 이는 \(\mathcal{P}\)의 성질 (1)에서 따른다. 한편 Lemma 01YF에 의해 임의의 \(\mathcal{F}\)를 (2)에서와 같은 연속 부분몫들을 갖도록 여과할 수 있다. 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(Z_0 \subset X\)를 일반점 \(\xi\)를 갖는 기약 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위 연접층들 가운데 지지집합이 \(Z_0\)에 포함되는 것들의 성질이라 하고, 다음을 가정하자.

1. 연접층들의 임의의 짧은 완전열에 대해 그 세 층 중 둘이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 나머지 하나도 이 성질을 갖는다.

2. 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\)와 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)에 대해 \(\mathcal{P}\)가 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\)에 대해 성립한다.

3. 다음을 만족하는 어떤 연접층 \(\mathcal{G}\)가 \(X\) 위에 존재한다.

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸되고,

   3. \(\dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{G}_\xi = 1\)이며,

   4. 성질 \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{G}\)에 대해 성립한다.

그러면 성질 \(\mathcal{P}\)는 모든 연접층 \(\mathcal{F}\) 가운데 \(X\) 위에서 지지집합이 \(Z_0\)에 포함되는 것에 대해 성립한다.

증명

먼저 연접층 \(\mathcal{F}\)의 지지집합이 \(Z_0\)에 포함되고 이 층이 연접 부분층들에 의한 여과 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 를 갖고 각 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면, \(\mathcal{F}\)도 이 성질을 가짐을 주목하자. 또는 \(\mathcal{F}\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖고 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 중 하나를 제외한 모두가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면, 마지막 하나도 이 성질을 갖는다. 이는 가정 (1)에서 따른다.

첫 응용으로, 지지집합이 \(Z_0\)에 진정으로 포함되는 모든 연접층이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 얻는다. 실제로 그러한 층은 여과를 가지며 (Lemma 01YF를 보라), 그 부분몫들은 (2)에 의해 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

\(\mathcal{G}\)를 (3)에서와 같이 택하자. Lemma 01YE에 의해 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)가 \(Z_0\) 위에 존재하고 정수 \(r \geq 1\)도 존재한다. 또한 짧은 완전열 \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] 이 존재하며, \(\mathcal{Q}\)의 지지집합은 \(Z_0\)에 진정으로 포함된다. (3)(c)에 의해 \(r = 1\)임을 알 수 있다. \(\mathcal{Q}\)도 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지므로 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다고 결론 내린다.

다음으로 \(\mathcal{I}' \not = 0\)을 \(Z_0\) 위의 또 다른 준연접 아이디얼층이라 하자. 교집합 \(\mathcal{I}'' = \mathcal{I}' \cap \mathcal{I}\)을 생각하면 두 짧은 완전열 \[0 \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'' \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0\] 및 \[0 \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'' \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}' \to \mathcal{Q}' \to 0.\] 을 얻는다. 연접층 \(\mathcal{Q}\)와 \(\mathcal{Q}'\)의 지지집합들은 \(Z_0\)에 진정으로 포함됨을 주목하자. 따라서 \(\mathcal{Q}\)와 \(\mathcal{Q}'\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다(위 참조). 그러므로 (1)을 사용하여 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}''\)와 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'\)도 모두 \(\mathcal{P}\)를 갖는다고 결론 내린다.

마지막으로 임의의 연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 있고 그 지지집합이 \(Z_0\)에 포함되면 이 층은 여과를 가지며(Lemma 01YF를 다시 보라), 그 모든 부분몫은 방금 보인 바에 의해 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 주목하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위 연접층들의 한 성질이라 하고, 다음을 가정하자.

1. 연접층들의 임의의 짧은 완전열에 대해 그 세 층 중 둘이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 나머지 하나도 이 성질을 갖는다.

2. 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)와 그 일반점 \(\xi\)에 대해 다음을 만족하는 어떤 연접층 \(\mathcal{G}\)가 존재한다.

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸되고,

   3. \(\dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{G}_\xi = 1\)이며,

   4. 성질 \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{G}\)에 대해 성립한다.

그러면 성질 \(\mathcal{P}\)는 \(X\) 위의 모든 연접층에 대해 성립한다.

증명

Lemma 01YG에 따라, 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)와 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)에 대해 \(\mathcal{P}\)가 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\)에 대해 성립함을 보이면 충분하다. 그렇지 않다고 하자. \(X\)가 뇌터이므로 최소 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z_0 \subset X\)가 존재하여, 성질 \(\mathcal{P}\)는 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}_0\)에 대해 성립하지 않는다. 여기서 \(\mathcal{I}_0 \subset \mathcal{O}_{Z_0}\)는 어떤 준연접 아이디얼층이다. 그러나 성질 \(\mathcal{P}\)는 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\)에 대해 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Z_0\), \(Z \not = Z_0\)와 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)마다 성립한다. (2)에 의해 \(\mathcal{G}\)가 \(Z_0\)에 대해 존재하므로, Lemma 01YH에 따르면 이러한 일은 일어날 수 없다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(Z_0 \subset X\)를 일반점 \(\xi\)를 갖는 기약 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위 연접층들의 한 성질이라 하고, 다음을 가정하자.

1. 연접층들의 임의의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 에 대해, \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(\mathcal{F}\)도 이 성질을 갖는다.

2. \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{F}^{\oplus r}\)에 대해 어떤 \(r \geq 1\)에 대하여 성립하면, 이는 \(\mathcal{F}\)에 대해서도 성립한다.

3. 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\)와 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)에 대해 \(\mathcal{P}\)가 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\)에 대해 성립한다.

4. 다음을 만족하는 어떤 연접층 \(\mathcal{G}\)가 존재한다.

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸되며,

   3. 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 가운데 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)를 만족하는 것에 대해, 준연접 부분층 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}\mathcal{G}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\)이고 성질 \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{G}'\)에 대해 성립한다.

그러면 성질 \(\mathcal{P}\)는 모든 연접층 \(\mathcal{F}\) 가운데 \(X\) 위에서 지지집합이 \(Z_0\)에 포함되는 것에 대해 성립한다.

증명

연접층 \(\mathcal{F}\)가 연접 부분층들에 의한 여과 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 를 갖고 각 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면, \(\mathcal{F}\)도 이 성질을 가짐을 주목하자. 이는 가정 (1)에서 따른다.

첫 응용으로, 지지집합이 \(Z_0\)에 진정으로 포함되는 모든 연접층이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 얻는다. 실제로 그러한 층은 여과를 가지며 (Lemma 01YF를 보라), 그 부분몫들은 (3)에 의해 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

\(i : Z_0 \to X\)로 닫힌 몰입을 나타내자. \(\mathcal{G}\)를 (4)에서와 같은 연접층이라 하자. Lemma 01YE에 의해 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)가 \(Z_0\) 위에 존재하며, 또한 짧은 완전열 \[0 \to i_*\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] 이 존재하며, \(\mathcal{Q}\)의 지지집합은 \(Z_0\)에 진정으로 포함된다. 특히 \(r > 0\)이고 \(\mathcal{I}\)는 영이 아닌데, 이는 \(\mathcal{G}\)의 지지집합이 \(Z_0\)와 같기 때문이다. \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\)를 \(Z_0\) 위의 임의의 영이 아닌 준연접 아이디얼층으로 택하되 \(\mathcal{I}\)에 포함되게 하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q}' \to 0\] 도 얻으며, \(\mathcal{Q}'\)의 지지집합은 \(Z_0\)에 진정으로 포함된다. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(\mathcal{Q}'\)의 지지집합을 잘라내는 준연접 아이디얼층이라 하자(예를 들어 \(\mathcal{Q}'\)의 지지집합 위의 유도된 축소 닫힌 부분스킴 구조에 대응하는 아이디얼). 그러면 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)이다. Lemma 01Y9에 의해 \(\mathcal{J}^n\mathcal{Q}' = 0\)인 어떤 \(n\)이 존재한다. 따라서 \(\mathcal{J}^n\mathcal{G} \subset i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r}\)이다. 보조정리의 가정 (4)(c)에 의해 준연접 부분층 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}^n\mathcal{G}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\)이고 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다. 따라서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G}' \to i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r} \to \mathcal{Q}'' \to 0\] 을 얻으며, 여기서 \(\mathcal{Q}''\)의 지지집합은 \(Z_0\)에 진정으로 포함된다. 그러므로 처음의 관찰과 보조정리의 성질 (1)에 의해 \(i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r}\)이 \(\mathcal{P}\)를 만족한다고 결론 내린다. 따라서 (2)에 의해 \(i_*\mathcal{I}'\)도 \(\mathcal{P}\)를 만족한다. 마지막으로 임의의 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I}'' \subset \mathcal{O}_{Z_0}\)에 대해 \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}'' \cap \mathcal{I}\)로 놓으면 짧은 완전열 \[0 \to i_*(\mathcal{I}') \to i_*(\mathcal{I}'') \to \mathcal{Q}''' \to 0\] 을 얻으며, \(\mathcal{Q}'''\)의 지지집합은 \(Z_0\)에 진정으로 포함된다. 따라서 성질 \(\mathcal{P}\)는 \(i_*\mathcal{I}''\)에 대해서도 성립한다.

마지막으로 임의의 연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 있고 그 지지집합이 \(Z_0\)에 포함되면 이 층은 여과를 가지며(Lemma 01YF를 다시 보라), 그 모든 부분몫은 방금 보인 바에 의해 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 주목하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위 연접층들의 한 성질이라 하고, 다음을 가정하자.

1. 연접층들의 임의의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 에 대해, \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(\mathcal{F}\)도 이 성질을 갖는다.

2. \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{F}^{\oplus r}\)에 대해 어떤 \(r \geq 1\)에 대하여 성립하면, 이는 \(\mathcal{F}\)에 대해서도 성립한다.

3. 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)와 그 일반점 \(\xi\)에 대해 다음을 만족하는 어떤 연접층 \(\mathcal{G}\)가 존재한다.

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸되며,

   3. 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 가운데 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)를 만족하는 것에 대해, 준연접 부분층 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}\mathcal{G}\)가 존재하여 \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\)이고 성질 \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{G}'\)에 대해 성립한다.

그러면 성질 \(\mathcal{P}\)는 \(X\) 위의 모든 연접층에 대해 성립한다.

증명

Lemma 01YL에서 Lemma 01YI가 Lemma 01YH에서 따라오는 것과 정확히 같은 방식으로 따라온다.

유한 사상과 아핀 스킴

이 절에서는 앞 절들의 결과를 사용하여 뇌터 아핀 스킴의 유한 사상에 의한 상이 아핀임을 보인다. 나중에 이 결과가 더 일반적으로 성립함을 볼 것이다(Limits, Lemma 01ZT 및 Proposition 05YU 참조).

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 유한이고 전사이며 \(X\)가 국소 뇌터라고 가정하자. \(Z \subset X\)를 일반점 \(\xi\)를 갖는 정수적 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에 존재하여 \(f_*\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(Z\)와 같고 \((f_*\mathcal{F})_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸된다.

증명

Morphisms, Lemma 01T6에 의해 \(Y\)는 국소 뇌터임을 주목하자. \(f\)가 전사이므로 올 \(Y_\xi\)는 공집합이 아니다. \(\xi' \in Y\)를 택하여 \(\xi\)로 가게 하고 \(Z' = \overline{\{\xi'\}}\)로 놓자. \(Z' \subset Y\)를 축소 닫힌 부분스킴으로 생각할 수 있다. Schemes, Lemma 01J3를 보라. 따라서 층 \(\mathcal{F} = (Z' \to Y)_*\mathcal{O}_{Z'}\)는 \(Y\) 위의 연접층이다 (Lemma 01Y6 참조). 다음 가환 그림을 보자. \[\xymatrix{ Z' \ar[r]_{i'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^i & X }\] \(f_*\mathcal{F} = i_*f'_*\mathcal{O}_{Z'}\)임을 알 수 있다. 따라서 \(f_*\mathcal{F}\)의 \(\xi\)에서의 싹은 \(f'_*\mathcal{O}_{Z'}\)의 \(\xi\)에서의 싹이다. \(Z'\)는 일반점 \(\xi'\)를 갖는 정수적 스킴이므로, \(\xi'\)는 \(Z'\)의 점 가운데 \(\xi\) 위에 놓이는 유일한 점임을 주목하자. Algebra, Lemmas 00GK 및 00GT을 보라. 따라서 \(f'_*\mathcal{O}_{Z'}\)의 \(\xi\)에서의 싹은 \(\mathcal{O}_{Z', \xi'} = \kappa(\xi')\)와 같다. 특히 \(f_*\mathcal{F}\)의 \(\xi\)에서의 싹은 영이 아니다. 이 사실과 \(f_*\mathcal{F}\)가 \(i_*f'_*(\text{something})\) 꼴이라는 사실을 결합하면 보조정리가 따른다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(Y\) 위의 준연접층이라 하고, \(\mathcal{I}\)를 \(X\) 위의 준연접 아이디얼층이라 하자. 사상 \(f\)가 아핀이면 \(\mathcal{I}f_*\mathcal{F} = f_*(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F})\)이다.

증명

이 표기법의 뜻은 다음과 같다. \(f^{-1}\)은 완전 함자이므로 \(f^{-1}\mathcal{I}\)는 \(f^{-1}\mathcal{O}_X\)의 아이디얼층이다. 사상 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\)를 통해 이는 \(\mathcal{F}\)에 작용한다. 이제 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F}\)는 \(as\) 꼴의 국소 단면들의 합들로 생성되는 부분층이며, 여기서 \(a\)는 \(f^{-1}\mathcal{I}\)의 국소 단면이고 \(s\)는 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면이다. 이는 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-부분가군으로서 \(\mathcal{F}\)에 포함되는데, 자연 사상 \(f^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)의 상이기도 하기 때문이다.

이렇게 표기법을 설명하면 증명은 바로 된다. 문제는 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(f\)가 아핀이므로 \(Y\)도 아핀이다. 따라서 \(Y = \Spec(B)\), \(X = \Spec(A)\), \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\), 그리고 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)로 쓸 수 있다. 이 경우 보조정리의 주장은 \[I(M_A) = ((IB)M)_A\] 라는 명제로 환원된다. 여기서 \(M_A\)는 \(A\)-가군을 나타내며, 이는 \(B\)-가군 \(M\)에 딸린 것이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한이고,

2. \(f\)는 전사이며,

3. \(Y\)는 아핀이고,

4. \(X\)는 뇌터이다.

그러면 \(X\)는 아핀이다.

증명

보조정리의 가정 아래에서 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)임을 보이겠다. 특히 \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)이고, 이는 \(\mathcal{O}_X\)의 모든 준연접 아이디얼층에 대해 성립한다. 그러면 Lemma 01XF 또는 Lemma 01XG에 의해 \(X\)가 아핀임이 따른다.

\(\mathcal{P}\)를 연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 정의하되, 이 층은 \(X\) 위에 있고 규칙은 다음과 같다. \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow H^1(X, \mathcal{F}) = 0.\] Lemma 01YM를 적용하겠다. 따라서 그 보조정리의 (1), (2), (3)이 \(\mathcal{P}\)에 대해 성립함을 확인해야 한다. 성질 (1)은 층들의 짧은 완전열에 딸린 긴 코호몰로지 완전열에서 따른다. \(H^1(X, -)\)가 가법 함자이므로 성질 (2)가 따른다. (3)을 보이기 위해 \(Z \subset X\)를 일반점 \(\xi\)를 갖는 정수적 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(Y\) 위의 연접층으로 택하여 \(f_*\mathcal{F}\)의 지지집합이 \(Z\)와 같고 \((f_*\mathcal{F})_\xi\)가 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸되게 하자. Lemma 01YO를 보라. \(\mathcal{G} = f_*\mathcal{F}\)로 택하면 된다고 주장한다. Lemma 01YM의 (3)(c)만 확인하면 된다. 따라서 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)를 만족하는 준연접 아이디얼층이라 하자. 유한 사상은 아핀이므로 Lemma 01YP에 의해 \(\mathcal{J}\mathcal{G} = f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})\)이다. 또한 Lemma 01YP의 증명에서 지적했듯이, 층 \(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. \(Y\)가 아핀이므로 \(H^1(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) = 0\)이다. Lemma 01XB를 보라. \(f\)는 유한이고 따라서 아핀이므로 \[H^1(X, \mathcal{J}\mathcal{G}) = H^1(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})) = H^1(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) = 0\] 이다. 이는 Lemma 089W에 따른다. 따라서 준연접 부분층 \(\mathcal{G}' = \mathcal{J}\mathcal{G}\)는 \(\mathcal{P}\)를 만족한다. 이로써 Lemma 01YM의 성질 (3)(c)가 원하는 대로 확인된다.

Proj 위의 연접층, I

이 절에서는 \(\text{Proj}(A)\) 위의 연접층을 논의한다. 여기서 \(A\)는 \(A_1\)에 의해 \(A_0\) 위에서 생성되는 뇌터 등급환이다. 다음 절에서는 \(A\)가 차수 \(1\)인 원소들로 생성되지 않는 경우를 논의한다. 먼저 뇌터 환 위의 사영공간에 관한 결과들을 하나로 모아 서술한다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. 모든 연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해, 그것이 \(\mathbf{P}^n_R\) 위에 있으면 다음이 성립한다.

1. 어떤 \(r \geq 0\)와 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 및 전사 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\] 가 존재한다.

2. \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) = 0\)이며, 예외는 \(0 \leq i \leq n\)인 경우뿐이다.

3. 임의의 \(i\)에 대해 코호몰로지 군 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F})\)는 유한 \(R\)-가군이다.

4. \(i > 0\)이면 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d)) = 0\)은 충분히 큰 모든 \(d\)에 대해 성립한다.

5. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 등급 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 은 유한 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군이다.

증명

\(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\)이 스킴 \(\mathbf{P}^n_R\) 위의 풍부한 가역층임을 사용하겠다. 이는 정의에서 직접 따른다. 실제로 \(\mathbf{P}^n_R\)는 표준 아핀 열린집합 \(D_{+}(T_i)\)들로 덮인다. 따라서 Properties, Proposition 01Q3에 의해 모든 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}\)-가군은 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\)의 텐서 거듭제곱들의 유한 직합의 몫이다. 한편 \(R\) 위의 사영공간에서는 Lemma 01XZ에 의해 연접층과 유한형 준연접층이 같다. 따라서 (1)을 얻는다.

사영 \(n\)-공간 \(\mathbf{P}^n_R\)는 \(n + 1\)개의 아핀, 즉 표준 열린집합 \(D_{+}(T_i)\), \(i = 0, \ldots, n\)으로 덮인다. Constructions, Lemma 01NG를 보라. 따라서 임의의 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathbf{P}^n_R\) 위에서 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) = 0\)이며, 이는 \(i \geq n + 1\)일 때 성립한다. Lemma 01XI를 보라. 그러므로 (2)가 성립한다.

\(\mathbf{P}^n_R\) 위의 모든 연접층에 대해 \(i\)에 대한 내림 귀납법으로 (3)과 (4)를 동시에 증명하자. (2)에 의해 \(i \geq n + 1\)이면 결과가 분명히 성립한다. \(i + 1\)에 대한 결과를 알고 있고 \(i\)에 대한 결과를 보이려 한다고 하자. (\(i = 0\)이면 (4)는 공허하다.) \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_R\) 위의 연접층이라 하자. (1)에서와 같은 전사를 택하고 그 핵을 \(\mathcal{G}\)로 나타내면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j) \to \mathcal{F} \to 0\] 을 얻는다. Lemma 01Y0에 의해 \(\mathcal{G}\)는 연접이다. 긴 코호몰로지 완전열은 완전열 \[H^i(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j)) \to H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}).\] 을 준다. 귀납 가정에 의해 오른쪽 \(R\)-가군은 유한이고, Lemma 01XT에 의해 왼쪽 \(R\)-가군도 유한이다. \(R\)이 뇌터이므로 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F})\)는 유한 \(R\)-가군이다. 이로써 주장 (3)의 귀납 단계를 증명했다. \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)\)는 가역이므로 \(\mathbf{P}^n_R\) 위에서 꼬임을 취하는 것은 완전 함자이다 (가역층과 텐서곱하여 얻기 때문이다. Constructions, Definition 01MN를 보라). 이는 모든 \(d \in \mathbf{Z}\)에 대해 수열 \[0 \to \mathcal{G}(d) \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d) \to \mathcal{F}(d) \to 0\] 이 짧은 완전열이라는 뜻이다. 그 결과로 얻는 코호몰로지 수열은 \[H^i(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d)) \to H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}(d)).\] 이다. 귀납 가정에 의해 오른쪽 가군은 \(d \gg 0\)일 때 영이고, Lemma 01XT의 계산에 의해 왼쪽 가군은 \(d \geq -\min\{d_j\}\)이고 \(i \geq 1\)인 순간부터 영이다. 따라서 주장 (4)의 귀납 단계가 성립한다. 이로써 (3)과 (4)의 증명이 끝난다.

(5)를 증명하기 위해, 모든 충분히 큰 \(d\)에 대해 사상 \[H^0(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d)) \to H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 이 전사임을 주목하자. 이는 방금 증명한 \(H^1(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}(d))\)의 소멸에 따른다. 다시 말해 가군 \[M_k = \bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 은 충분히 큰 \(k\)에 대해 대응하는 가군 \[N_k = \bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d) )\] 의 몫이다. \(k\)가 충분히 작으면(예를 들어 \(k < -d_j\)가 모든 \(j\)에 대해 성립하면) \[N_k = \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} R[T_0, \ldots, T_n](d_j)\] 이다. 이는 절 01XS의 계산에 따른다. 특히 이는 유한 생성이다. 이제 \(k \in \mathbf{Z}\)가 임의라고 하자. \(k_{-} \ll k \ll k_{+}\)를 택하고 그림 \[\xymatrix{ N_{k_{-}} & N_{k_{+}} \ar[d] \ar[l] \\ M_k & M_{k_{+}} \ar[l] }\] 을 생각하자. 여기서 수직 화살표는 위의 전사이고 수평 화살표들은 명백한 포함 사상들이다. 위에서 말한 바에 의해 \(N_{k_{-}}\)는 유한 생성 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군이다. 따라서 \(N_{k_{+}}\)도 유한 생성 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군이다. 실제로 이는 유한 생성 가군의 부분가군이고 환 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)은 뇌터이다. 수직 화살표가 전사이므로 \(M_{k_{+}}\)는 유한 생성 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군이다. 몫 \(M_k/M_{k_{+}}\)는 유한 \(R\)-가군이다. 이는 유한개의 유한 \(R\)-가군인 \(H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\) (\(k \leq d < k_{+}\))의 직합이기 때문이다. 여기서 \(i = 0\)인 경우의 (3)을 사용함을 주목하자. 따라서 \(M_k/M_{k_{+}}\)는 더구나 유한 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군이다. 다시 말해 \(M_k\)를 두 유한 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-가군 사이에 끼워 넣었으므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 등급환이라 하고, \(A_0\)는 뇌터이며 \(A\)는 \(A_1\)의 유한개의 원소로 \(A_0\) 위에서 생성된다고 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 놓자. 그러면 \(X\)는 뇌터 스킴이다. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 어떤 \(r \geq 0\)와 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 및 전사 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\] 가 존재한다.

2. 임의의 \(p\)에 대해 코호몰로지 군 \(H^p(X, \mathcal{F})\)는 유한 \(A_0\)-가군이다.

3. \(p > 0\)이면 \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = 0\)은 충분히 큰 모든 \(d\)에 대해 성립한다.

4. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 등급 \(A\)-가군 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(d))\] 은 유한 \(A\)-가군이다.

증명

가정에 의해 등급 \(A_0\)-대수의 전사 \[A_0[T_0, \ldots, T_n] \longrightarrow A\] 가 존재하며, 여기서 \(\deg(T_j) = 1\)이고 \(j = 0, \ldots, n\)이다. Constructions, Lemma 01N1 에 의해 이는 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_{A_0}\)를 정의하며 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_{A_0}}(1) = \mathcal{O}_X(1)\)이다. 특히 \(X\)는 뇌터 스킴 \(\mathbf{P}^n_{A_0}\)의 닫힌 부분스킴이므로 뇌터이다. \(\mathcal{F}\)에 대한 보조정리의 결과들은 연접층 \(i_*\mathcal{F}\)에 대한 Lemma 01YS의 대응하는 결과들에서 따른다고 주장한다. 여기서 Lemma 087T를 사용하며 이 층은 \(\mathbf{P}^n_{A_0}\) 위에 있다. 예를 들어 이 보조정리에 의해 전사 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_{A_0}}(d_j) \longrightarrow i_*\mathcal{F}.\] 가 존재한다. 수반성에 의해 이는 사상 \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}\) 에 대응하며, 이 사상 역시 전사이다. 코호몰로지에 관한 명제들은 Lemma 089W에 의해 \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = H^p(\mathbf{P}^n_{A_0}, i_*\mathcal{F}(d))\) 인 사실에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 등급환이라 하고, \(A_0\)는 뇌터이며 \(A\)는 \(A_1\)의 유한개의 원소로 \(A_0\) 위에서 생성된다고 하자. \(M\)을 유한 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 놓고, \(\widetilde{M}\)을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 이 가군은 \(X\) 위에 있고 \(M\)에 딸린다. Constructions, Lemma 01MT의 사상들 \[M_n \longrightarrow \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\] 은 모든 충분히 큰 \(n\)에 대해 동형이다.

증명

\(M\)은 유한 \(A\)-가군이므로 \(\widetilde{M}\)은 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 즉 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. \(N = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\)로 놓자. 사상 \(M \to N\)이 등급 \(A\)-가군의 사상으로서 모든 충분히 큰 차수에서 동형임을 보여야 한다. Properties, Lemma 0AG5에 의해 표준 동형 \(\widetilde{N} \to \widetilde{M}\)이 있고, 유도된 사상 \(N_n \to N_n = \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\)은 항등 사상이다. 따라서 사상 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N} \to \widetilde{M}\)이 있으며, 모든 \(n\)에 대해 그림 \[\xymatrix{ M_n \ar[d] \ar[r] & N_n \ar[d] \ar@{=}[rd] \\ \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \ar[r] & \Gamma(X, \widetilde{N}(n)) \ar[r]^{\cong} & \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) }\] 은 가환한다. 이는 합성 \[M_n \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \to \Gamma(X, \widetilde{N}(n)) \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\] 이 표준 사상 \(M_n \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\)과 같다는 뜻이다. 분명히 이는 합성 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N} \to \widetilde{M}\)이 항등임을 함의한다. 따라서 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N}\)은 동형이다. \(K = \Ker(M \to N)\) 및 \(Q = \Coker(M \to N)\)로 놓자. 함자 \(M \mapsto \widetilde{M}\)은 완전임을 상기하자. Constructions, Lemma 01M7를 보라. 따라서 \(\widetilde{K} = 0\)이고 \(\widetilde{Q} = 0\)이다. \(A\)는 뇌터 환이고 \(M\)은 유한 생성 \(A\)-가군이며, \(N\)은 등급 \(A\)-가군으로서 \(N' = \bigoplus_{n \geq 0} N_n\)은 Lemma 0AG6의 마지막 부분에 의해 유한 생성이다. 따라서 \(K' = \bigoplus_{n \geq 0} K_n\)과 \(Q' = \bigoplus_{n \geq 0} Q_n\)은 유한 \(A\)-가군이다. \(\widetilde{Q} = \widetilde{Q'}\)이고 \(\widetilde{K} = \widetilde{K'}\)임을 관찰하자. 그러므로 증명을 끝내려면 유한 \(A\)-가군 \(K\)가 \(\widetilde{K} = 0\)이고 영이 아닌 동차 성분 \(K_d\)를 \(d \geq 0\)에 대해 유한개만 가짐을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(x_1, \ldots, x_r \in K\)를 동차 생성원으로 택하고 그 차수를 \(d_1, \ldots, d_r\)라 하자. \(f_1, \ldots, f_n \in A_1\)을 \(A\)를 \(A_0\) 위에서 생성하는 원소들이라 하자. 각 \(i\)와 \(j\)에 대해 어떤 \(n_{ij} \geq 0\)가 존재하여 \(f_i^{n_{ij}} x_j = 0\)이고 이는 \(K_{d_j + n_{ij}}\) 안의 등식이다. 그렇지 않으면 \(x_i/f_i^{d_i} \in K_{(f_i)}\)가 영이 아니어서 \(\widetilde{K}\)가 영이 아니게 된다. 이제 \(K_d\)는 \(d > \max_j(d_j + \sum_i n_{ij})\)이면 영이다. 실제로 \(K_d\)의 모든 원소는 항들의 합이며, 각 항은 \(f_i\)들의 단항식과 \(x_j\) 중 하나의 곱이고 전체 차수는 \(d\)이다.

\(A\)를 등급환이라 하고, \(A_0\)는 뇌터이며 \(A\)는 \(A_1\)의 유한개의 원소로 \(A_0\) 위에서 생성된다고 하자. \(A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n\)이 무관 아이디얼임을 상기하자. \(M\)을 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(M\)이 \(A_+\)-거듭제곱 꼬임 가군이라는 것은, 모든 \(x \in M\)에 대해 어떤 \(n \geq 1\)이 존재하여 \((A_+)^n x = 0\)이라는 뜻이다. More on Algebra, Definition 05E6을 보라. \(M\)이 유한 생성이면 이는 \(M_n = 0\)이 \(n \gg 0\)에 대해 성립하는 것과 동치이다. 때로는 \(A_+\)-거듭제곱 꼬임 가군을 꼬임 가군이라고 부른다. 때로는 등급 \(A\)-가군 \(M\)에 대해, \(x \in M\)이고 \((A_+)^n x = 0\), \(n > 0\)이면 \(x = 0\)일 때 꼬임이 없다고 한다. \(\text{Mod}_A\)로 등급 \(A\)-가군들의 범주를, \(\text{Mod}^{fg}_A\)로 유한 생성인 것들의 충만한 부분범주를, \(\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\)으로 가군 \(M\) 중 \(M_n = 0\)이 \(n \gg 0\)에 대해 성립하는 것들의 충만한 부분범주를 나타낸다.

명제

\(A\)를 등급환이라 하고, \(A_0\)는 뇌터이며 \(A\)는 \(A_1\)의 유한개의 원소로 \(A_0\) 위에서 생성된다고 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 놓자. 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)은 동치 \[\text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, torsion} \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\] 를 유도하며, 그 준역은 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 으로 주어진다.

증명

부분범주 \(\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\)은 \(\text{Mod}^{fg}_A\)의 세르 부분범주이다. Homology, Definition 02MO를 보라. 이는 위에서 제시한 대상들의 기술로부터 분명하지만, More on Algebra, Lemma 0A6K에서도 따른다. 따라서 화살표 왼쪽의 몫 범주는 Homology, Lemma 02MS에서 정의된다. 명제의 함자를 정의하려면 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)이 꼬임 가군들을 \(0\)으로 보냄을 보이면 충분하다. 이는 분명하다. 실제로 임의의 동차 원소 \(f \in A_+\)에 대해 가군 \(M_f\)는 영이고, 따라서 값 \(M_{(f)}\)도 영이다. 이것은 \(\widetilde M\)의 \(D_+(f)\)에서의 값이다.

Lemma 0AG6에 의해 제안된 준역은 잘 정의된다. 실제로 이 보조정리는 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 이 함자 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}^{fg}_A\)임을 보인다. 이를 몫 함자 \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\) 와 합성할 수 있다.

Lemma 0AG7에 의해 왼쪽에서 오른쪽을 거쳐 다시 왼쪽으로 가는 합성은 항등 함자와 동형이다.

마지막으로 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)로 놓고 이를 등급 \(A\)-가군으로 보자. 그러면 우리의 함자는 \(\mathcal{F}\)를 \(M_{\geq 0} = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\)으로 보낸다. Properties, Lemma 0AG5에 의해 표준 사상 \(\widetilde M \to \mathcal{F}\)는 동형이다. 포함 사상 \(M_{\geq 0} \to M\)은 동형 \(\widetilde{M_{\geq 0}} \to \widetilde M\)을 정의하므로, 오른쪽에서 왼쪽을 거쳐 다시 오른쪽으로 가는 합성도 항등 함자와 동형이라고 결론 내린다.

Proj 위의 연접층, II

이 절에서는 \(\text{Proj}(A)\) 위의 연접층을 논의한다. 여기서 \(A\)는 뇌터 등급환이다. 결과 대부분은 앞 절에서 \(A\)가 차수 \(1\)인 원소들로 생성될 때 얻은 대응하는 결과로부터 약간의 기교를 써서 도출한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 등급환이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 놓자. 그러면 \(X\)는 뇌터 스킴이다. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 어떤 \(r \geq 0\)와 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 및 전사 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\] 가 존재한다.

2. 임의의 \(p\)에 대해 코호몰로지 군 \(H^p(X, \mathcal{F})\)는 유한 \(A_0\)-가군이다.

3. \(p > 0\)이면 \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = 0\)은 충분히 큰 모든 \(d\)에 대해 성립한다.

4. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 등급 \(A\)-가군 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(d))\] 은 유한 \(A\)-가군이다.

증명

이를 Lemma 0AG6로 환원하여 증명하겠다. Algebra, Lemmas 00JW와 07Z4에 의해 환 \(A_0\)는 뇌터이고, \(A\)는 \(A_0\) 위에서 양의 차수를 갖는 유한개의 동차 원소 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성된다. \(d\)를 충분히 나누어지는 정수라 하자. Algebra, Section 00JL의 표기법으로 \(A' = A^{(d)}\)라 놓는다. 그러면 \(A'\)은 \(A'_0 = A_0\) 위에서 차수 \(1\)인 원소들로 생성된다. Algebra, Lemma 0EGH를 보라. 따라서 Lemma 0AG6를 \(X' = \text{Proj}(A')\)에 적용할 수 있다.

Constructions, Lemma 0B5J에 의해 스킴의 동형 \(i : X \to X'\)와 동형들 \(\mathcal{O}_X(nd) \to i^*\mathcal{O}_{X'}(n)\)이 존재하며, 이들은 사상 \(A' \to A\) 및 사상들 \(A_n \to H^0(X, \mathcal{O}_X(n))\)과 \(A'_n \to H^0(X', \mathcal{O}_{X'}(n))\)과 양립한다. 따라서 Lemma 0AG6는 \(X\)가 뇌터이고 (1)과 (2)가 성립함을 함의한다. (3)과 (4)를 보이기 위해, 고정된 임의의 \(k\), \(p\), \(q\)에 대해 위 양립성으로부터 \[\bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^p(X, \mathcal{F}(dn + q)) = \bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^p(X', (i_*\mathcal{F}(q))(n)\] 임을 사용할 수 있다. \(p > 0\)이면 Lemma 0AG6에 의해 \(k\)가 \(q\)에 의존하여 충분히 크면 대해 우변이 소멸한다. 정수의 \(d\)를 법으로 하는 합동류는 유한개뿐이므로 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(X\) 위에서 (3)이 성립한다. \(p = 0\)이면 Lemma 0AG6에 의해 우변은 유한 \(A'\)-가군이다. 합동류의 유한성을 다시 사용하면 \(\bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(n))\)도 유한 \(A'\)-가군임을 얻는다. \(A'\)-가군 구조는 \(A\)-가군 구조에서 오므로(위에서 말한 양립성에 의해), 이것은 유한 \(A\)-가군이기도 하다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 등급환이라 하고, \(d\)를 \(A\)가 \(A_0\) 위에서 갖는 생성원들의 최소공배수라 하자. \(M\)을 유한 등급 \(A\)-가군이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 놓고, \(\widetilde{M}\)을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 이 가군은 \(X\) 위에 있고 \(M\)에 딸린다. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(N' = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \widetilde{M(n)})\)은 유한 \(A\)-가군이다.

2. \(N = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \widetilde{M}(n))\)은 유한 \(A\)-가군이다.

3. 표준 사상 \(N \to N'\)이 있다.

4. \(k\)가 충분히 작으면 표준 사상 \(M \to N'\)이 있다.

5. 사상 \(M_n \to N'_n\)은 \(n \gg 0\)에 대해 동형이다.

6. \(N_n \to N'_n\)은 \(d | n\)일 때 동형이다.

증명

(3)의 사상 \(N \to N'\)은 Constructions, Equation (01MQ)에서 대역 절단을 취하여 얻는다.

Constructions, Equation (01MR)에 의해 등급 \(A\)-가군의 사상 \(M \to \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} H^0(X, \widetilde{M(n)})\)이 있다. \(M\)의 생성원들이 차수 \(\geq k\)에 놓이면 그 상은 부분가군 \(N' \subset \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} H^0(X, \widetilde{M(n)})\)에 포함되며, (4)의 사상을 얻는다.

Algebra, Lemmas 00JW와 07Z4에 의해 환 \(A_0\)는 뇌터이고, \(A\)는 \(A_0\) 위에서 양의 차수를 갖는 유한개의 동차 원소 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성된다. \(d = \text{lcm}(\deg(f_i))\)로 놓는다. 그러면 예를 들어 Constructions, Lemma 01MU에 의해 (6)이 성립한다.

\(M\)은 유한 \(A\)-가군이므로 \(\widetilde{M}\)은 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 즉 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 따라서 (2)는 Lemma 0B5Q에서 따른다.

한 가지 기교를 써서 (2)로부터 (1)을 도출하겠다. \(q \in \{0, \ldots, d - 1\}\)에 대해 \[{}^qN = \bigoplus\nolimits_{n + q \geq k} H^0(X, \widetilde{M(q)}(n))\] 로 쓴다. (2)에 의해 이들은 유한 \(A\)-가군이다. 뇌터 환 \(A\)는 \(A^{(d)} = \bigoplus_{n \geq 0} A_{dn}\) 위에서 유한이다. 실제로 이 환은 \(f_i\)들로 \(A^{(d)}\) 위에서 생성되고 \(f_i^d \in A^{(d)}\)이다. 따라서 \({}^qN\)은 유한 \(A^{(d)}\)-가군이다. 더욱이 \(A^{(d)}\)는 뇌터이다(Algebra, Lemma 07Z2에서 따른다). 따라서 \(A^{(d)}\)-부분가군 \({}^qN^{(d)} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} {}^qN_{dn}\)은 \(A^{(d)}\) 위의 유한 가군이다. 동형들 \(\widetilde{M(dn + q)} = \widetilde{M(q)}(dn)\)을 사용하면 \[N' = \bigoplus\nolimits_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} \bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^0(X, \widetilde{M(q)}(dn)) = \bigoplus\nolimits_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} {}^qN^{(d)}\] 으로 쓸 수 있다. 따라서 \(N'\)은 \(A^{(d)}\) 위에서 유한이고, 더구나 \(A\) 위에서도 유한이다. 그러므로 (1)이 참이다.

\(K\)를 유한 \(A\)-가군이라 하고 \(\widetilde{K} = 0\)이라 하자. \(K_n = 0\)이 \(d|n\)이고 \(n \gg 0\)일 때 성립한다고 주장한다. 위와 같이 논증하면 \(K^{(d)}\)는 유한 \(A^{(d)}\)-가군이다. \(x_1, \ldots, x_m \in K\)를 \(K^{(d)}\)의 동차 생성원으로서 \(A^{(d)}\) 위에서 택하고, 이들이 차수 \(d_1, \ldots, d_m\)에 놓이며 \(d | d_j\)라고 하자. 각 \(i\)와 \(j\)에 대해 어떤 \(n_{ij} \geq 0\)가 존재하여 \(f_i^{n_{ij}} x_j = 0\)이고, 이는 \(K_{d_j + n_{ij}}\) 안의 등식이다. 그렇지 않으면 \(x_j/f_i^{d_i/\deg(f_i)} \in K_{(f_i)}\)가 영이 아니어서 \(\widetilde{K}\)가 영이 아니게 된다. 여기서 \(\deg(f_i) | d | d_j\)임을 모든 \(i, j\)에 대해 사용한다. 따라서 \(K_n\)은 \(n\)이 \(d | n\) 및 \(n > \max_j (d_j + \sum_i n_{ij} \deg(f_i))\)을 만족할 때 영이다. 실제로 \(K_n\)의 모든 원소는 항들의 합이며, 각 항은 \(f_i\)들의 단항식과 \(x_j\) 중 하나의 곱이고 전체 차수는 \(n\)이다.

증명을 끝내려면 \(M \to N'\)이 모든 충분히 큰 차수에서 동형임을 보여야 한다. 사상 \(N \to N'\)은 동형 \(\widetilde{N} \to \widetilde{N'}\)을 유도한다. 실제로 아핀 열린집합 \(D_+(f_i) = D_+(f_i^d)\) 위에서 대응하는 가군들은 (6)에 의해 동형이다: \(N_{(f_i)} \cong N_{(f_i^d)} \cong N'_{(f_i^d)} \cong N'_{(f_i)}\). Properties, Lemma 0AG5에 의해 표준 동형 \(\widetilde{N} \to \widetilde{M}\)이 있다. 합성 \(\widetilde{N} \to \widetilde{M} \to \widetilde{N'}\)은 위의 동형이다(증명은 생략한다. 힌트: 표준 아핀 열린집합에서 확인하라). 따라서 사상 \(M \to N'\)은 동형 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N'}\)을 유도한다. \(K = \Ker(M \to N')\) 및 \(Q = \Coker(M \to N')\)로 놓자. 함자 \(M \mapsto \widetilde{M}\)은 완전임을 상기하자. Constructions, Lemma 01M7를 보라. 따라서 \(\widetilde{K} = 0\)이고 \(\widetilde{Q} = 0\)이다. 앞 문단의 결과에 의해 \(K_n = 0\)이고 \(Q_n = 0\)이며, 이는 \(d | n\)이고 \(n \gg 0\)일 때 성립한다. 여기서 마침내 \(N'\)을 \(N\)보다 사용한 이점이 드러난다. 함자 \(M \leadsto N'\)은 이동과 양립한다(구성에서 곧바로 알 수 있다). 따라서 전체 논증을 \(M\) 대신 \(M(q)\)에 대해 반복하면 \(K_n = 0\)이고 \(Q_n = 0\)이며, 이는 \(n \equiv q \bmod d\)이고 \(n \gg 0\)일 때 성립한다. \(n\)을 법으로 하는 합동류는 유한개뿐이므로 증명이 끝난다.

\(A\)를 뇌터 등급환이라 하자. \(A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n\)이 무관 아이디얼임을 상기하자. Algebra, Lemmas 00JW와 07Z4에 의해 환 \(A_0\)는 뇌터이고, \(A\)는 \(A_0\) 위에서 양의 차수를 갖는 유한개의 동차 원소 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성된다. \(d = \text{lcm}(\deg(f_i))\)로 놓자. \(M\)을 등급 \(A\)-가군이라 하자. 이 상황에서 동차 원소 \(x \in M\)가 무관하다²고 하는 것은 \[(A_+ x)_{nd} = 0\text{ for all }n \gg 0\] 일 때이다. \(x \in M\)가 동차이고 무관하며 \(f \in A\)가 동차이면, \(fx\)도 무관하다. 따라서 무관한 원소들의 집합은 등급 부분가군 \(M_{irrelevant} \subset M\)을 생성한다. \(M\)이 무관하다고 하는 것은 \(M\)의 모든 동차 원소가 무관할 때, 즉 \(M_{irrelevant} = M\)일 때이다. \(M\)이 유한 생성이면 이는 \(M_{nd} = 0\)이 \(n \gg 0\)에 대해 성립하는 것과 동치이다. \(\text{Mod}_A\)로 등급 \(A\)-가군들의 범주를, \(\text{Mod}^{fg}_A\)로 유한 생성인 것들의 충만한 부분범주를, \(\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\)로 무관 가군들의 충만한 부분범주를 나타낸다.

명제

\(A\)를 뇌터 등급환이라 하자. \(X = \text{Proj}(A)\)로 놓자. 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)은 동치 \[\text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant} \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\] 를 유도하며, 그 준역은 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 으로 주어진다.

증명

먼저 \(A\)가 차수 \(1\)에서 생성되는 경우의 증명을 읽기를 독자에게 권한다. Proposition 0BXD를 보라. \(f_1, \ldots, f_r \in A\)를 양의 차수의 동차 원소들로서 \(A\)를 \(A_0\) 위에서 생성한다고 하자. \(d\)를 차수들 \(d_i\)의 최소공배수라 하자. 이들은 \(f_i\)의 차수이다. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(\widetilde{M}\)이 영일 필요충분조건이 \(M\)이 무관 등급 \(A\)-가군인 것임을(명제의 서술 앞에서 정의한 의미로) 보이자. 실제로 \(x \in M\)를 동차 원소라 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)를 충분히 작게 택하고, Lemma 0B5R에서와 같이 \(N \to N'\) 및 \(M \to N'\)을 택한다. 또한 \(l\)을 충분히 크게 택하여 \(M_n \to N_n\)이 \(n \geq l\)에 대해 동형이 되게 할 수 있다. \(\widetilde{M}\)이 영이면 \(N = 0\)이다. 따라서 임의의 동차 원소 \(f \in A_+\)에 대해 \(\deg(f) + \deg(x) = nd\)이고 \(nd > l\)이면 \(fx\)는 영이다. 실제로 \(N_{nd} \to N'_{nd}\)와 \(M_{nd} \to N'_{nd}\)가 동형이기 때문이다. 따라서 \(x\)는 무관하다. 역으로 \(M\)이 무관하다고 하자. 그러면 \(M_{nd}\)는 \(n \gg 0\)에 대해 영이다(명제 앞의 논의를 보라). 이는 분명히 \(M_{(f_i)} = M_{(f_i^{d/\deg(f_i)})} = 0\)을 함의하며, 따라서 구성에 의해 \(\widetilde{M} = 0\)이다.

따라서 부분범주 \(\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\)는 \(\text{Mod}^{fg}_A\)의 세르 부분범주이며, 완전 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)의 핵이다. Homology, Lemma 02MQ와 Constructions, Lemma 01M7를 보라. 그러므로 화살표 왼쪽의 몫 범주는 Homology, Lemma 02MS에서 정의된다. 명제의 함자를 정의하려면 함자 \(M \mapsto \widetilde M\)이 무관 가군들을 \(0\)으로 보냄을 보이면 충분하며, 이는 위에서 보였다.

Lemma 0B5Q에 의해 제안된 준역은 잘 정의된다. 실제로 이 보조정리는 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 이 함자 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}^{fg}_A\)임을 보인다. 이를 몫 함자 \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\) 와 합성할 수 있다.

Lemma 0B5R에 의해 왼쪽에서 오른쪽을 거쳐 다시 왼쪽으로 가는 합성은 항등 함자와 동형이다. 실제로 \(M\)을 유한 등급 \(A\)-가군이라 하고, \(k \in \mathbf{Z}\)를 충분히 작게 택하며, Lemma 0B5R에서와 같이 \(N \to N'\) 및 \(M \to N'\)을 택하자. 그러면 \(M \to N'\)의 핵과 여핵은 유한개의 차수에서만 영이 아니므로 무관하다. 또한 사상 \(N \to N'\)의 핵과 여핵은 \(d\)로 나누어지는 모든 충분히 큰 차수에서 영이므로 이들도 무관 가군이다. 따라서 \(M \to N'\)과 \(N \to N'\)은 모두 몫 범주에서 동형이며, 이것이 원한 바이다.

마지막으로 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)로 놓고 이를 등급 \(A\)-가군으로 보자. 그러면 우리의 함자는 \(\mathcal{F}\)를 \(M_{\geq 0} = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\)으로 보낸다. Properties, Lemma 0AG5에 의해 표준 사상 \(\widetilde M \to \mathcal{F}\)는 동형이다. 포함 사상 \(M_{\geq 0} \to M\)은 동형 \(\widetilde{M_{\geq 0}} \to \widetilde M\)을 정의하므로, 오른쪽에서 왼쪽을 거쳐 다시 오른쪽으로 가는 합성도 항등 함자와 동형이라고 결론 내린다.

사영 사상에 따른 고차 직상

먼저 밑이 아핀인 경우의 결과를 서술하고 증명한 뒤, 사영 사상에 관한 몇 가지 결과를 도출한다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(X \to \Spec(R)\)을 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 풍부한 가역층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 등급환 \(A = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)는 유한 생성 \(R\)-대수이다.

2. 어떤 \(r \geq 0\)와 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 및 전사 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{L}^{\otimes d_j} \longrightarrow \mathcal{F}.\] 가 존재한다.

3. 임의의 \(p\)에 대해 코호몰로지 군 \(H^p(X, \mathcal{F})\)는 유한 \(R\)-가군이다.

4. \(p > 0\)이면 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)은 충분히 큰 모든 \(d\)에 대해 성립한다.

5. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 등급 \(A\)-가군 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\] 은 유한 \(A\)-가군이다.

증명

Morphisms, Lemma 01VT에 의해 어떤 \(d > 0\)와 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_R\)가 존재하여 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\)이다. \(X\)가 \(R\) 위에서 고유이므로 사상 \(i\)는 닫힌 몰입이다 (Morphisms, Lemma 01W6). 따라서 \(H^i(X, \mathcal{G}) = H^i(\mathbf{P}^n_R, i_*\mathcal{G})\)이고, 이는 임의의 준연접층 \(\mathcal{G}\)에 대해 \(X\) 위에서 성립한다 (Lemma 089W 및 닫힌 몰입은 아핀이라는 사실에 의한다. Morphisms, Lemma 01SE를 보라). 더욱이 \(\mathcal{G}\)가 연접이면 \(i_*\mathcal{G}\)도 연접이다 (Lemma 087T). 이하에서는 이 사실들을 별도의 언급 없이 사용한다.

(1)의 증명. \(S = R[T_0, \ldots, T_n]\)로 놓아서 \(\mathbf{P}^n_R = \text{Proj}(S)\)가 되게 하자. \(A\)는 \(S\)-대수임을 관찰하자(다만 환 사상 \(S \to A\)는 등급환의 준동형이 아니다. \(S_n\)이 \(A_{dn}\)으로 가기 때문이다). 사영 공식(Cohomology, Lemma 01E8)에 의해 \[i_*(\mathcal{L}^{\otimes nd + q}) = i_*(\mathcal{L}^{\otimes q}) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(n)\] 이고 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립한다. 따라서 Lemma 01YS에 의해 \(\bigoplus_{n \geq 0} A_{nd + q}\)는 유한 등급 \(S\)-가군이다. 한편 \(A = \bigoplus_{q \in \{0, \ldots, d - 1} \bigoplus_{n \geq 0} A_{nd + q}\) 이므로 \(A\)는 \(S\)-대수로서 유한이다. 따라서 (1)이 참이다.

(2)의 증명. 이는 Properties, Proposition 01Q3에서 따른다.

(3)의 증명. Lemma 01YS를 적용하고 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(\mathbf{P}^n_R, i_*\mathcal{F})\)를 사용한다.

(4)의 증명. \(p > 0\)을 고정하자. 사영 공식에 의해 \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes nd + q}) = i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes q}) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(n)\] 이고 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립한다. Lemma 01YS에 의해 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{nd + q}) = 0\)은 \(n \gg 0\)에 대해 성립한다. 정수의 \(d\)를 법으로 하는 합동류는 유한개뿐이므로 이것으로 (4)가 증명된다.

(5)의 증명. 정수 \(k\)를 고정하자. \(M = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)로 놓는다. 위와 같이 논증하면 \(\bigoplus_{nd + q \geq k} M_{nd + q}\)가 유한 등급 \(S\)-가군임을 얻는다. 한편 \(M = \bigoplus_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} \bigoplus_{nd + q \geq k} M_{nd + q}\) 이므로 \(M\)은 유한 \(S\)-가군이다. \(S\)-가군 구조는 환 사상 \(S \to A\)를 통해 분해되므로, \(M\)은 유한 \(A\)-가군이라고 결론 내린다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 뇌터이다.

2. \(f\)는 고유이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 연접이다.

4. \(\mathcal{L}\)은 \(X/S\) 위에서 상대적으로 풍부하다.

그러면 어떤 \(n_0\)가 존재하여 모든 \(n \geq n_0\)에 대해 \[R^pf_*\left(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) = 0\] 이고 이는 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup V_j\)를 택하고 \(X_j = f^{-1}(V_j)\)로 놓는다. 유한개의 각 계 \((X_j \to V_j, \mathcal{L}|_{X_j}, \mathcal{F}|_{V_j})\)에 대해 문제를 풀면 결과가 따름은 분명하다. 따라서 \(S\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)의 소멸은 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)의 소멸과 동치이다. Lemma 01XK를 보라. 따라서 필요한 소멸은 Lemma 0B5T에서 따른다(이 보조정리를 적용할 수 있는 것은 Morphisms, Lemma 01VT에 의해 \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 풍부하기 때문이다).

보조정리

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 국소 사영 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이고, 이는 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

먼저 국소 사영 사상은 고유이고(Morphisms, Lemma 01WC), 따라서 유한형임을 언급해 둔다. 특히 \(X\)는 국소 뇌터이고(Morphisms, Lemma 01T6), 따라서 이 명제는 의미가 있다. 더욱이 Lemma 01XJ에 의해 층들 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 준연접이다.

이제 명제는 \(S\) 위에서 국소적이다(예를 들어 Cohomology, Lemma 01E5에 의해). 따라서 \(S = \Spec(R)\)가 뇌터 환의 스펙트럼이고, \(X\)가 \(\mathbf{P}^n_R\)의 닫힌 부분스킴이라고 가정할 수 있다. 여기서 \(n\)은 어떤 정수이다. Morphisms, Lemma 01WB를 보라. 이 경우 층들 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 \(R\)-가군들 \(H^p(X, \mathcal{F})\)에 딸린 준연접층이다. Lemma 01XK를 보라. 따라서 \(R\)-가군들 \(H^p(X, \mathcal{F})\)가 유한 \(R\)-가군임을 보이면 충분하다(Lemma 01XZ). 이는 Lemma 0B5T에서 따른다 (\(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\)을 \(X\)에 제한한 층이 \(X\) 위에서 풍부하기 때문이다).

풍부한 가역층과 코호몰로지

아핀 밑 위의 고유 스킴에서, 꼬임 뒤의 코호몰로지 소멸로 풍부성을 판정하는 기준을 제시한다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(f : X \to \Spec(R)\)을 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{L}\)은 \(X\) 위에서 풍부하다(이는 다른 많은 조건과 동치이다. Properties, Proposition 01Q3 및 Morphisms, Lemma 01VT를 보라).

2. 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 어떤 \(n_0 \geq 0\)가 존재하여 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)이고, 이는 모든 \(n \geq n_0\) 및 \(p > 0\)에 대해 성립한다.

3. 모든 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)에 대해 어떤 \(n \geq 1\)이 존재하여 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)이다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 Lemma 0B5T에서 따른다. 함의 (2) \(\Rightarrow\) (3)은 자명하다. 함의 (3) \(\Rightarrow\) (1)은 Lemma 0B5P이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(R\) 위에서 고유인 스킴들의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 유한이고 전사라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{L}\)이 풍부일 필요충분조건은 \(f^*\mathcal{L}\)이 풍부인 것이다.

증명

풍부한 가역층을 준아핀 사상으로 당겨 얻은 층은 풍부하다. Morphisms, Lemma 0892를 보라. 유한 사상은 정의에 의해 아핀이므로 이것으로 한쪽 함의가 증명된다.

\(f^*\mathcal{L}\)이 풍부하다고 가정하자. 다음 성질을 \(P\)라 하자. 이는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 관한 성질이다: 어떤 \(n_0\)가 존재하여 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)이고, 이는 모든 \(n \geq n_0\) 및 \(p > 0\)에 대해 성립한다. \(P\)가 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립함을 보이겠다. 그러면 Lemma 0B5U에 의해 \(\mathcal{L}\)이 풍부이다. Lemma 01YM를 적용하겠다. 따라서 \(P\)에 대해 그 보조정리의 (1), (2), (3)을 확인해야 한다. 성질 (1)은 층의 짧은 완전열에 딸린 긴 코호몰로지 완전열 및 가역층과의 텐서곱이 완전 함자라는 사실에서 따른다. 성질 (2)는 \(H^p(X, -)\)가 가법 함자이므로 성립한다. (3)을 보이기 위해 \(Z \subset X\)를 일반점 \(\xi\)를 갖는 정수 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(Y\) 위의 연접층으로서 \(f_*\mathcal{F}\)의 지지가 \(Z\)와 같고 \((f_*\mathcal{F})_\xi\)가 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸되는 층이라 하자. Lemma 01YO를 보라. \(\mathcal{G} = f_*\mathcal{F}\)로 택하면 된다고 주장한다. Lemma 01YM의 (3)(c)만 확인하면 된다. 따라서 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)가 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)를 만족하는 준연접 아이디얼 층이라고 가정하자. 유한 사상은 아핀이므로 Lemma 01YP에 의해 \(\mathcal{J}\mathcal{G} = f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})\)이다. 또한 Lemma 01YP의 증명에서 지적했듯이 층 \(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. \(\mathcal{L}\)이 풍부이므로 Lemma 0B5U에서 어떤 \(n_0\)가 존재하여 \[H^p(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0,\] 이고 이는 \(n \geq n_0\) 및 \(p > 0\)에 대해 성립한다. \(f\)는 유한이므로 아핀이고, 따라서 \[\begin{align*} H^p(X, \mathcal{J}\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) & = H^p(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \\ & = H^p(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0 \end{align*}\] 이다. 여기서 사영 공식(Cohomology, Lemma 01E8)과 Lemma 089W를 사용했다. 따라서 준연접 부분층 \(\mathcal{G}' = \mathcal{J}\mathcal{G}\)는 \(P\)를 만족한다. 이로써 Lemma 01YM의 성질 (3)(c)가 원하는 대로 확인된다.

코호몰로지는 함자적이다. 특히 환 달린 공간 \(X\), 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\), 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)가 주어지면 사상들 \[H^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}), \quad \xi \longmapsto s\xi\] 을 얻는다. 이는 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)에 의해 유도되며, 그 사상은 \(s\)를 곱하는 사상이다. 등급환으로 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)로 놓는다. Modules, Definition 01CV를 보라. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)와 정수 \(p \geq 0\)가 주어지면 \[H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] 로 놓는다. 이는 위에서 정의한 곱셈에 의해 등급 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-가군이다. 주의: \(H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\)라는 표기법은 표준적이지 않다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이면 표준 사상 \[H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow H^p(X_s, \mathcal{F})\] 은 동형이다. 이 사상은 \(\xi/s^n\)을 \(s^{-n}\xi\)로 보낸다.

증명

\(p = 0\)인 경우 이는 Properties, Lemma 01PW이다. 귀납 원리(Lemma 08DR)를 사용하여 명제를 증명하겠다. 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 다음 성질을 \(P(U)\)라 하자: 모든 \(p \geq 0\)에 대해 사상 \[H^p_*(U, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow H^p(U_s, \mathcal{F})\] 은 동형이다.

\(U\)가 아핀이면 위에 표시한 화살표의 양변은 \(p > 0\)에 대해 영이다. 이는 Lemma 01XB와 Properties, Lemma 01PV에 의하며, 따라서 명제가 참이다. \(P\)가 \(U\), \(V\), \(U \cap V\)에 대해 참이면 Mayer–Vietoris 수열(Cohomology, Lemma 01EB)을 사용하여 긴 완전열의 사상 \[\xymatrix{ H^{p - 1}_*(U \cap V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[r] \ar[d] & H^p_*(U \cup V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[r] \ar[d] & H^p_*(U, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \oplus H^p_*(V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[d] \\ H^{p - 1}(U_s \cap V_s, \mathcal{F}) \ar[r]& H^p(U_s \cup V_s, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(U_s, \mathcal{F}) \oplus H^p(V_s, \mathcal{F}) }\] 을 얻는다(일부만 표시했다). \(U_s \cap V_s = (U \cap V)_s\)이고 \(U_s \cup V_s = (U \cup V)_s\)임을 관찰하자. 따라서 왼쪽과 오른쪽의 수직 사상은 동형이다(그림에 표시하지 않은 오른쪽의 사상 하나와 왼쪽의 사상 하나도 동형이다). 5-보조정리(Homology, Lemma 05QB)에 의해 \(P(U \cup V)\)가 성립한다고 결론 내린다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 절단이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(X_s\)는 아핀이다.

그러면 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\), 모든 \(p > 0\), 모든 \(\xi \in H^p(X, \mathcal{F})\)에 대해 어떤 \(n \geq 0\)가 존재하여 \(s^n\xi = 0\)이고, 이는 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\) 안의 등식이다.

증명

\(H^p(X_s, \mathcal{G})\)가 모든 준연접 가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 영임을 상기하자. 이는 Lemma 01XB에 따른다. 따라서 보조정리는 Lemma 09MR에서 따른다.

다음 보조정리의 더 일반적인 형태는 Limits, Lemma 09MW를 보라.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 뇌터 스킴들의 닫힌 몰입으로서 밑 위상공간의 위상동형을 유도한다고 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. 그러면 \(i^*\mathcal{L}\)이 \(Z\) 위에서 풍부일 필요충분조건은 \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 풍부인 것이다.

증명

\(\mathcal{L}\)이 풍부이면 예를 들어 Morphisms, Lemma 0892에 의해 \(i^*\mathcal{L}\)이 풍부이다. \(i^*\mathcal{L}\)이 풍부하다고 가정하자. \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 풍부임을 보여야 한다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 닫힌 부분스킴 \(Z\)를 잘라내는 연접 아이디얼 층이라 하자. 집합론적으로 \(i(Z) = X\)이므로 Lemma 01Y9에 의해 \(\mathcal{I}^n = 0\)이고, 이를 만족하는 어떤 \(n\)이 존재한다. 닫힌 부분스킴들의 열 \[X = Z_n \supset Z_{n - 1} \supset Z_{n - 2} \supset \ldots \supset Z_1 = Z\] 을 생각하자. 이들은 \(0 = \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I}\)에 의해 잘려 나온다. 그러면 각 닫힌 몰입 \(Z_{i - 1} \to Z_{i}\)는 제곱이 영인 연접 아이디얼 층으로 정의된다. 이렇게 하여 \(\mathcal{I}^2 = 0\)인 경우로 환원한다.

준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] 을 생각하자. \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)과 텐서곱하면 짧은 완전열들 [0B8T]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{L}^{\otimes n} \to i_*i^*\mathcal{L}^{\otimes n} \to 0 \end{equation}\] 을 얻는다. \(\mathcal{I}^2 = 0\)이므로 Morphisms, Lemma 01QY를 사용하여 \(\mathcal{I}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군으로 생각할 수 있고, 명백히 표기법을 남용하면 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n}\)이다. 더욱이 이 층의 \(Z\) 위 코호몰로지는 표준적으로 이 층의 \(X\) 위 코호몰로지와 같다(\(i\)가 위상동형이므로).

\(x \in X\)를 점이라 하고, 이에 대응하는 점을 \(z \in Z\)로 나타내자. \(i^*\mathcal{L}\)이 풍부이므로 어떤 \(n\)과 절단 \(s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L}^{\otimes n})\)가 존재하여 \(z \in Z_s\)이고 \(Z_s\)는 아핀이다. \(s\)를 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)의 절단으로 \(X\) 위에서 올리는 데 대한 장애물은 경계류 \[\xi = \partial s \in H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^1(Z, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n})\] 이다. 이는 층의 짧은 완전열 (0B8T)에서 나온다. \(s\)를 \(s^{e + 1}\)로 바꾸면 \(\xi\)는 \(\partial(s^{e + 1}) = (e + 1) s^e \xi\)로 바뀌며, 이는 \(H^1(Z, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes (e + 1)n})\) 안의 등식이다. 실제로 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} i_*i^*\mathcal{L}^{\otimes m} \to 0\] 의 경계 사상은 Cohomology, Lemma 0B8S에 의해 미분이다. Lemma 01XR에 의해 \(s^e \xi\)는 충분히 큰 \(e\)에 대해 영이다. 따라서 \(s\)를 거듭제곱으로 바꾼 뒤에는 \(s\)가 어떤 절단 \(s' \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)의 상이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(X_{s'}\)은 열린 부분스킴이고 \(Z_s \to X_{s'}\)은 뇌터 스킴들의 전사 닫힌 몰입이며 \(Z_s\)는 아핀이다. 따라서 Lemma 01YQ에 의해 \(X_s\)는 아핀이고, \(\mathcal{L}\)이 풍부라고 결론 내린다.

다음 보조정리의 더 일반적인 형태는 Limits, Lemma 0B7L를 보라.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 뇌터 스킴들의 닫힌 몰입으로서 밑 위상공간의 위상동형을 유도한다고 하자. 그러면 \(X\)가 준아핀일 필요충분조건은 \(Z\)가 준아핀인 것이다.

증명

스킴이 준아핀일 필요충분조건은 구조층이 풍부인 것임을 상기하자. Properties, Lemma 01QE을 보라. 따라서 \(Z\)가 준아핀이면 \(\mathcal{O}_Z\)가 풍부이고, Lemma 09MS에 의해 \(\mathcal{O}_X\)가 풍부이며, 그러므로 \(X\)는 준아핀이다. 그 역도 방금 제시한 논증을 거꾸로 읽으면 증명되며, 초등적인 방법으로도 알 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(n_0\)를 정수라 하자. \(H^p(X, \mathcal{L}^{\otimes -n}) = 0\)이 \(n \geq n_0\) 및 \(p > 0\)에 대해 성립하면 \(X\)는 아핀이다.

증명

\(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이라고 주장한다. 이는 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군과 \(p > 0\)에 대해 성립한다. Properties, Definition 01PS에 의해 \(X\)는 준콤팩트이므로, 이 주장은 Lemma 01XF에 의해 증명을 끝낸다. Properties, Lemma 09MP에 의해 스킴 \(X\)는 분리이다. \(X\)가 \(e + 1\)개의 아핀 열린집합으로 덮인다고 하자. 그러면 Lemma 01XI에 의해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이고, 이는 \(p > e\)일 때 성립한다. 따라서 \(p\)에 대한 내림 귀납법으로 주장을 증명할 수 있다. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 가군들의 필터 여극한으로 쓰고(Properties, Lemma 01PG), Cohomology, Lemma 01FF를 사용하면 \(\mathcal{F}\)가 유한형이라고 가정할 수 있다. 그러면 어떤 \(n > n_0\)를 택하여 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\)이 대역 생성되게 할 수 있다. Properties, Proposition 01Q3을 보라. 이는 어떤 집합 \(I\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}' \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{L}^{\otimes -n} \to \mathcal{F} \to 0\] 이 있다는 뜻이다(실제로 \(I\)를 유한으로 택할 수 있다). 귀납 가정에 의해 \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}') = 0\)이고, 가정 및 이미 사용한 코호몰로지와 여극한의 교환 가능성을 함께 사용하면 \(H^p(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{L}^{\otimes -n}) = 0\)이다. 긴 코호몰로지 완전열에서 원하는 대로 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이라고 결론 내린다.

보조정리

\(X\)를 준아핀 스킴이라 하자. \(H^p(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이 \(p > 0\)에 대해 성립하면 \(X\)는 아핀이다.

증명

Properties, Lemma 01QE에 의해 \(\mathcal{O}_X\)가 풍부이므로, 이는 Lemma 0EBD에서 따른다.

Chow 보조정리

이 절에서는 뇌터인 경우의 Chow 보조정리(Lemma 0200)를 증명한다. 비뇌터인 경우의 몇 가지 변형은 Limits, Section 01ZZ에서 증명한다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 분리 유한형 사상이라 하자. 그러면 어떤 \(n \geq 0\)와 그림 \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] 이 존재한다. 여기서 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)는 몰입이고, \(\pi : X' \to X\)는 고유 전사이다. 더욱이 어떤 조밀 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(\pi^{-1}(U) \to U\)가 동형이 되도록 정할 수 있다.

증명

이하 증명에서 만나는 모든 스킴은 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 유한형이고, 따라서 뇌터이다(Morphisms, Lemma 01T6를 보라). 그 사이의 모든 사상은 자동으로 준콤팩트이고, 국소 유한형이며, 준분리이다. Morphisms, Lemma 01T8와 Properties, Lemmas 01OY 및 01P0를 보라.

스킴 \(X\)는 기약 성분을 유한개만 갖는다(Properties, Lemma 0BA8). \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_r\)를 \(X\)의 기약 성분 분해라 하자. \(\eta_i \in X_i\)를 일반점이라 하자. 모든 점 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린집합 \(U_x \subset X\)가 존재하여 \(x\)와 각 일반점 \(\eta_i\)를 포함한다. Properties, Lemma 01ZX를 보라. \(X\)는 준콤팩트이므로 유한 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)을 찾아서 각 \(U_i\)가 \(\eta_1, \ldots, \eta_r\)를 포함하게 할 수 있다. 특히 열린집합 \(U = U_1 \cap \ldots \cap U_m \subset X\)는 조밀 열린집합이다. 이 사실과 \(U_i\)들이 \(X\)를 덮는 아핀 열린집합이라는 사실만을 이하에서 사용한다.

\(X^* \subset X\)를 \(U \to X\)의 스킴론적 폐포라 하자. Morphisms, Definition 01R7를 보라. \(U_i^* = X^* \cap U_i\)로 놓자. \(U_i^*\)는 \(U_i\)의 닫힌 부분스킴임을 주목하자. 따라서 \(U_i^*\)는 아핀이다. \(U\)가 \(X\)에서 조밀하므로 사상 \(X^* \to X\)는 전사 닫힌 몰입이다. 이는 \(U\) 위에서 동형이다. 따라서 \(X\)를 \(X^*\)로, \(U_i\)를 \(U_i^*\)로 바꾸고 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다고 가정할 수 있다. Morphisms, Definition 01RB를 보라.

Morphisms, Lemma 01VS에 의해 몰입 \(j_i : U_i \to \mathbf{P}_S^{n_i}\)를 각 \(i\)에 대해 찾을 수 있다. Morphisms, Lemma 01RG에 의해 닫힌 부분스킴 \(Z_i \subset \mathbf{P}_S^{n_i}\)를 찾아서 \(j_i : U_i \to Z_i\)가 스킴론적으로 조밀한 열린 몰입이 되게 할 수 있다. \(Z_i \to S\)는 고유임을 주목하자. Morphisms, Lemma 01WC를 보라. 사상 \[j = (j_1|_U, \ldots, j_m|_U) : U \longrightarrow \mathbf{P}_S^{n_1} \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}_S^{n_m}.\] 을 생각하자. 위에서 인용한 보조정리에 의해 닫힌 부분스킴 \(Z\)를 \(\mathbf{P}_S^{n_1} \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}_S^{n_m}\) 안에서 찾아서 \(j : U \to Z\)가 열린 몰입이고 \(U\)가 \(Z\)에서 스킴론적으로 조밀하게 할 수 있다. 사상 \(Z \to S\)는 고유이다. \(i\)번째 사영 \[\text{pr}_i|_Z : Z \longrightarrow \mathbf{P}^{n_i}_S.\] 을 생각하자. 이 사상은 \(Z_i\)를 통해 분해된다(Morphisms, Lemma 01R9를 보라). 유도된 사상을 \(p_i : Z \to Z_i\)로 나타내자. 이는 고유 사상이다. 예를 들어 Morphisms, Lemma 01W6를 보라. 이제 \(U \subset U_i \subset Z_i\)는 스킴론적으로 조밀한 열린 몰입들이다. 더욱이 \(Z\)를 “대각” 사상 \(U \to Z_1 \times_S \ldots \times_S Z_m\)의 스킴론적 상으로 생각할 수 있다.

\(V_i = p_i^{-1}(U_i)\)로 놓자. \(p_i|_{V_i} : V_i \to U_i\)는 고유임을 주목하자. \(X' = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)로 놓자. 구성에 의해 \(X'\)은 스킴 \(\mathbf{P}^{n_1}_S \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}^{n_m}_S\)로의 몰입을 갖는다. 따라서 Segre 매장(Constructions, Lemma 01WD를 보라)에 의해 \(X'\)은 \(S\) 위의 사영공간으로의 몰입을 갖는다.

사상들 \(p_i|_{V_i}: V_i \to U_i\)가 사상 \(X' \to X\)로 접합된다고 주장한다. 실제로 \(p_i|_U\)가 \(U\)에서 \(U\)로 가는 항등 사상임은 분명하다. 구성에 의해 \(U \subset X'\)은 스킴론적으로 조밀하므로, 열린 부분스킴 \(V_i \cap V_j\)에서도 스킴론적으로 조밀하다. 따라서 \(p_i|_{V_i \cap V_j} = p_j|_{V_i \cap V_j}\)이다. 이들은 분리된 \(S\)-스킴 \(X\)로 가는 사상이다. Morphisms, Lemma 01RH를 보라. 그 결과로 얻는 사상을 \(\pi : X' \to X\)로 나타낸다.

\(\pi^{-1}(U_i) = V_i\)라고 주장한다. \(\pi|_{V_i} = p_i|_{V_i}\)이므로 \(V_i \subset \pi^{-1}(U_i)\)이다. 그림 \[\xymatrix{ V_i \ar[r] \ar[rd]_{p_i|_{V_i}} & \pi^{-1}(U_i) \ar[d] \\ & U_i }\] 을 생각하자. \(V_i \to U_i\)는 고유이므로 수평 화살표의 상은 닫혀 있다. Morphisms, Lemma 01W6를 보라. \(V_i \subset \pi^{-1}(U_i)\)는 \(U\)를 포함하므로 스킴론적으로 조밀하다. 따라서 주장한 대로 \(V_i = \pi^{-1}(U_i)\)이다.

이로써 \(\pi^{-1}(U_i) \to U_i\)가 고유 사상 \(p_i|_{V_i} : V_i \to U_i\)와 동일시됨을 알 수 있다. 따라서 \(X\)는 유한 아핀 덮개 \(X = \bigcup U_i\)를 가지며, 각 덮개 원소에 제한한 \(\pi\)는 고유이다. 그러므로 Morphisms, Lemma 01W2에 의해 \(\pi\)는 고유이다.

마지막으로 \(\pi^{-1}(U) = U\)임을 보여야 한다. 이를 위해 위와 마찬가지로 그림 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[rd] & \pi^{-1}(U) \ar[d] \\ & U }\] 을 사용하여 논증한다. 여기서 \(\text{id}_U : U \to U\)가 고유이고 \(U\)가 \(\pi^{-1}(U)\)에서 스킴론적으로 조밀함을 사용한다.

주

Chow Lemma 0200의 상황에서 다음이 성립한다.

1. 사상 \(\pi\)는 실제로 H-사영이다(따라서 사영이다. Morphisms, Lemma 01W9를 보라). 실제로 사상 \(X' \to \mathbf{P}^n_S \times_S X = \mathbf{P}^n_X\)는 닫힌 몰입이다 (\(\pi\)가 고유라는 사실을 사용하라. Morphisms, Lemma 01W6를 보라).

2. \(\pi^{-1}(U)\)가 \(X'\)에서 스킴론적으로 조밀하다고 가정할 수 있다. 실제로 \(X'\)을 \(\pi^{-1}(U)\)의 스킴론적 폐포로 바꾸기만 하면 된다. 이 경우 \(U\)를 \(X'\)의 스킴론적으로 조밀한 열린 부분스킴으로 생각할 수 있다. Morphisms, Section 01R5를 보라.

3. \(X\)가 축약이면 \(X'\)도 축약으로 택할 수 있다. 이는 (2)에서 분명하다.

연접층의 고차 직상

이 절에서는 고유 사상에 의한 연접층의 고차 직상이 연접이라는 기본 사실을 증명한다.

명제

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이고, 이는 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

문제는 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(S\)가 뇌터 스킴이라고 가정할 수 있다. 고유 사상은 유한형이므로 이 경우 \(X\)도 뇌터 스킴이다. 연접층의 성질 \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위에서 다음 규칙으로 정의하자: \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow R^pf_*\mathcal{F}\text{ is coherent for all }p \geq 0\] Lemma 01YI의 결과를 사용하여 \(\mathcal{P}\)가 \(X\) 위의 모든 연접층에 대해 성립함을 증명하겠다.

\(X\) 위의 연접층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 을 생각하자. 고차 직상의 긴 완전열 \[R^{p - 1}f_*\mathcal{F}_3 \to R^pf_*\mathcal{F}_1 \to R^pf_*\mathcal{F}_2 \to R^pf_*\mathcal{F}_3 \to R^{p + 1}f_*\mathcal{F}_1\] 을 생각하자. 층들 \(\mathcal{F}_i\) 가운데 셋 중 둘이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면, 셋째 층의 고차 직상은 이 완전 복합체에서 두 연접층 사이에 끼인다. 따라서 Lemmas 01Y0와 01Y1에 의해 이 고차 직상들도 연접이다. 그러므로 성질 \(\mathcal{P}\)는 셋째 층에 대해서도 성립한다.

\(Z \subset X\)를 정수 닫힌 부분스킴이라 하자. 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 찾아야 한다. 이 층의 지지는 \(Z\)에 포함되고, 그 줄기는 일반점 \(\xi\), 즉 \(Z\)의 일반점에서 \(1\)차원 \(\kappa(\xi)\)-벡터공간이며, 성질 \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립해야 한다. \(g = f|_Z : Z \to S\)로 \(f\)의 제한을 나타내자. 연접층 \(\mathcal{G}\)를 \(Z\) 위에서 찾아서 다음을 만족시킬 수 있다고 하자: (a) \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(1\)차원 \(\kappa(\xi)\)-벡터공간이다. (b) \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\)은 \(p > 0\)에 대해 성립한다. (c) \(g_*\mathcal{G}\)는 연접이다. 그러면 \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\)를 생각할 수 있다. \(Z \to X\)가 닫힌 몰입이므로 \((Z \to X)_*\mathcal{G}\)는 \(X\) 위에서 연접이고, \(R^p(Z \to X)_*\mathcal{G} = 0\)은 \(p > 0\)에 대해 성립한다 (Lemma 01Y6). 따라서 상대 Leray 스펙트럼 수열(Cohomology, Lemma 01F6)에 의해 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G} = 0\)은 \(p > 0\)에 대해 성립하고, \(f_*\mathcal{F} = g_*\mathcal{G}\)는 연접이다. 마지막으로 \(\mathcal{F}_\xi = ((Z \to X)_*\mathcal{G})_\xi = \mathcal{G}_\xi\)이므로 \(\xi\)에서의 줄기에 관한 조건이 확인된다. 따라서 모든 것은 (a), (b), (c)를 만족하는 연접층 \(\mathcal{G}\)를 \(Z\) 위에서 찾는 데 달려 있다.

Chow’s Lemma 0200를 사상 \(Z \to S\)에 적용할 수 있다. 따라서 Chow 보조정리의 서술과 같은 그림 \[\xymatrix{ Z \ar[rd]_g & Z' \ar[d]^-{g'} \ar[l]^\pi \ar[r]_i & \mathbf{P}^m_S \ar[dl] \\ & S & }\] 을 얻는다. 또한 \(U \subset Z\)를 \(\pi^{-1}(U) \to U\)가 동형이 되는 조밀 열린 부분스킴이라 하자. Remark 0201의 논의에 의해 \(i' = (i, \pi) : Z' \to \mathbf{P}^m_Z\)는 닫힌 몰입이다. 따라서 \[\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_S}(1) \cong (i')^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_Z}(1)\] 은 \(g'\)-상대적으로 풍부하고 \(\pi\)-상대적으로 풍부하다(예를 들어 Morphisms, Lemma 02NR에 의해). 따라서 Lemma 02O1에 의해 어떤 \(n \geq 0\)가 존재하여 \(R^p\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n} = 0\)이 모든 \(p > 0\)에 대해 성립하고, \(R^p(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n} = 0\)도 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다. \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)로 놓자. \(\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n}|_U\)가 가역층이므로 성질 (a)가 성립한다 (\(\pi^{-1}(U) \to U\)가 동형이기 때문이다). 상대 Leray 스펙트럼 수열(Cohomology, Lemma 01F6)에 의해 \[E_2^{p, q} = R^pg_* R^q\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n} \Rightarrow R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\] 이므로 성질 (b)와 (c)가 성립한다. 실제로 \(n\)의 선택에 의해 \(E_2^{p, q}\)에서 영이 아닌 항은 \(q = 0\)인 항뿐이고, \(R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)에서 영이 아닌 항은 \(p = q = 0\)인 항뿐이다. 이는 \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\)이 \(p > 0\)에 대해 성립하고 \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)임을 함의한다. 마지막으로 앞의 Lemma 02O4를 적용하면 \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)이 원하는 대로 연접임을 알 수 있다.

보조정리

\(S = \Spec(A)\)이고 \(A\)가 뇌터 환이라고 하자. \(f : X \to S\)를 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(H^i(X, \mathcal{F})\)는 유한 \(A\)-가군이고, 이는 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

이는 Proposition 02O5의 아핀인 경우일 뿐이다. 실제로 Lemmas 01XJ와 01XK에 의해 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 \(A\)-가군 \(H^i(X, \mathcal{F})\)에 딸린 준연접층이고, Lemma 01XZ에 의해 이것이 연접층일 필요충분조건은 \(H^i(X, \mathcal{F})\)가 유한형 \(A\)-가군인 것이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(B\)를 유한 생성 등급 \(A\)-대수라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{B} = f^*\widetilde B\)로 놓자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이라 하자.

1. 모든 \(p \geq 0\)에 대해 등급 \(B\)-가군 \(H^p(X, \mathcal{F})\)는 유한 \(B\)-가군이다.

2. \(\mathcal{L}\)이 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면, 어떤 정수 \(d_0\)가 존재하여 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)이고 이는 모든 \(p > 0\) 및 \(d \geq d_0\)에 대해 성립한다.

증명

이를 증명하기 위해 올곱 그림 \[\xymatrix{ X' = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X \ar[r]_-\pi \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] 을 생각하자. \(f'\)는 고유 사상임을 주목하자. Morphisms, Lemma 01W4를 보라. 또한 \(B\)는 유한 생성 \(A\)-대수이므로 뇌터이다(Algebra, Lemma 00FN). 이는 \(X'\)이 뇌터 스킴임을 함의한다(Morphisms, Lemma 01T6). \(X'\)은 Constructions, Lemma 01LX에 의해 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{B}\)의 상대 스펙트럼임을 주목하자. \(\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{B}\)-가군이므로 유일한 준연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)가 존재하여 \(\pi_*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\)이다. Morphisms, Lemma 01SB를 보라. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{B}\)-가군으로서 유한형이므로 \(\mathcal{F}'\)는 유한형 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이다(세부사항은 생략한다). 다시 말해 \(\mathcal{F}'\)는 연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이다(Lemma 01XZ). 사상 \(\pi : X' \to X\)는 아핀이므로 \[H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X', \mathcal{F}')\] 이다. 이는 Lemma 089W에 따른다. 따라서 (1)은 Lemma 02O6에서 따른다. (2)에서와 같은 \(\mathcal{L}\)이 주어지면 \(\mathcal{L}' = \pi^*\mathcal{L}\)로 놓는다. \(\mathcal{L}'\)은 \(X'\) 위에서 풍부임을 주목하자. 이는 Morphisms, Lemma 0892에 따른다. 사영 공식(Cohomology, Lemma 01E8)에 의해 \(\pi_*(\mathcal{F}' \otimes \mathcal{L}') = \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)이다. 따라서 위와 같은 논증과 Lemma 02O1에 의해 (2)가 따른다.

형식 함수 정리

이 절에서는 \(\{I^n\mathcal{F}\}_{n \geq 0}\) 꼴 또는 \(\{\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\}_{n \geq 0}\) 꼴인 층들의 열의 코호몰로지가 \(n\)에 따라 어떻게 변하는지 연구한다.

여기와 아래에서는 다음 표기를 사용한다. 스킴의 사상 \(f : X \to Y\), 준연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서, 그리고 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)가 주어졌을 때, \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)는 \(f^{-1}(\mathcal{I}^n)\)의 국소 단면과 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면의 곱들로 생성되는 준연접 부분층을 뜻한다. 식으로 쓰면 \[\mathcal{I}^n\mathcal{F} = \Im\left( f^*(\mathcal{I}^n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \right).\] 다음 자연스러운 사상들이 있음을 주목하자. \[f^{-1}(\mathcal{I}^n) \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{I}^m\mathcal{F} \longrightarrow f^*(\mathcal{I}^n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^m\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F}\] 따라서 \(\mathcal{I}^n\)의 한 단면은 고차 직상의 함자성에 의해 \(R^pf_*(\mathcal{I}^m\mathcal{F}) \to R^pf_*(\mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F})\)라는 사상을 준다. 국소화한 뒤 층화하면 다음 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 사상들을 얻는다. \[\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_Y} R^pf_*(\mathcal{I}^m\mathcal{F}) \longrightarrow R^pf_*(\mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F}).\] 다시 말해 \(\bigoplus_{n \geq 0} R^pf_*(\mathcal{I}^n\mathcal{F})\)는 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)-가군이다.

\(Y = \Spec(A)\)이고 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)이면 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)를 간단히 \(I^n\mathcal{F}\)로 쓴다. 위에서 도입한 사상들은 \(M = \bigoplus H^p(X, I^n\mathcal{F})\)에 등급 \(S = \bigoplus I^n\)-가군의 구조를 준다. \(f\)가 고유이고 \(A\)가 뇌터이며 \(\mathcal{F}\)가 연접이면, 이것은 유한형 가군임이 드러난다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하고 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\)으로 놓자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하고, 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 택하자. 그러면 모든 \(p \geq 0\)에 대해 등급 \(B\)-가군 \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\)는 유한 \(B\)-가군이다.

증명

\(\mathcal{B} = f^*\widetilde{B}\)로 놓자. \(\mathcal{B}\)에서 \(\bigoplus I^n\mathcal{O}_X\)로 가는 전사가 있으므로 \(\bigoplus I^n\mathcal{F}\)는 유한형 등급 \(\mathcal{B}\)-가군임이 분명하다. 따라서 결과는 Lemma 0897의 (1)에서 따른다.

보조정리

스킴의 사상 \(f : X \to Y\), 준연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서, 그리고 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)가 주어졌다고 하자. \(Y\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 고유이며, \(\mathcal{F}\)가 연접이라고 가정하자. 그러면 \[\mathcal{M} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} R^pf_*(\mathcal{I}^n\mathcal{F})\] 은 준연접이고 유한형인 등급 \(\mathcal{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)-가군이다.

증명

명제는 \(Y\) 위에서 국소적이므로 \(Y\)가 아핀인 경우로 환원된다. 아핀인 경우 결과는 Lemma 02O8에서 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. 그러면 모든 \(p \geq 0\)에 대해 어떤 정수 \(c \geq 0\)가 존재하여 다음이 성립한다.

1. 곱셈 사상 \(I^{n - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 은 모든 \(n \geq c\)에 대해 전사이다.

2. \(H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\)의 상은 부분가군 \(I^{m - e} H^p(X, I^n\mathcal{F})\)에 포함된다. 여기서 \(e = \max(0, c - n)\)이고 \(n + m \geq c\), \(n, m \geq 0\)이다.

3. 다음 등식이 성립한다. \[\Ker(H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})) = \Ker(H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F}))\] 이는 \(n \geq c\)에 대해 성립한다.

4. 사상 \(I^nH^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F})\)들이 \(n \geq c\)에 대해 존재하여, 합성 \[H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - 2c}\mathcal{F})\] 과 \[I^nH^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F}) \to I^{n - 2c}H^p(X, \mathcal{F})\] 은 \(n \geq 2c\)에 대해 표준 사상이다.

5. 역계 \((H^p(X, I^n\mathcal{F}))\)와 \((I^nH^p(X, \mathcal{F}))\)는 pro-동형이다.

증명

\(M_n = H^p(X, I^n\mathcal{F})\)로 \(n \geq 1\)에 대해 쓰고, \(M_0 = H^p(X, \mathcal{F})\)로 쓰자. 그러면 사상 \(\ldots \to M_3 \to M_2 \to M_1 \to M_0\)가 있다. \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\)으로 놓으면 \(M = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\)은 유한 등급 \(B\)-가군이다. Lemma 02O8를 보라. 곱 \(B_n \otimes M_m \to M_{m + n}\), \(a \otimes m \mapsto a \cdot m\)은 우리 역계의 사상들과 양립한다. 즉 그림 \[\xymatrix{ B_n \otimes_A M_m \ar[r] \ar[d] & M_{n + m} \ar[d] \\ B_n \otimes_A M_{m'} \ar[r] & M_{n + m'} }\] 은 \(n, m' \geq 0\) 및 \(m \geq m'\)에 대해 가환한다.

(1)의 증명. \(d_1, \ldots, d_t \geq 0\) 및 \(x_i \in M_{d_i}\)를 택하여 \(M\)이 \(x_1, \ldots, x_t\)로 \(B\) 위에서 생성되게 하자. 임의의 \(c \geq \max\{d_i\}\)에 대해 \(B_{n - c} \cdot M_c = M_n\)임을 \(n \geq c\)에 대해 얻으므로 (1)이 성립한다.

(2)의 증명. \(c\)를 (1)의 증명에서와 같이 택하고 \(n + m \geq c\)라 하자. 그러면 \(M_{n + m} = B_{n + m - c} \cdot M_c\)이다. \(c > n\)이면 \(M_c \to M_n\)과 위에서 말한 곱과 전이 사상의 양립성을 사용하여 \(M_{n + m} \to M_n\)의 상이 \(I^{n + m - c}M_n\)에 포함됨을 얻는다. \(c \leq n\)이면 \(M_{n + m} = B_m \cdot B_{n - c} \cdot M_c = B_m \cdot M_n\)으로 써서 그 상이 \(I^m M_n\)에 포함됨을 알 수 있다. 이로써 (2)가 증명되었다.

\(K_n \subset M_n\)을 사상 \(M_n \to M_0\)의 핵이라 하자. 위에서 말한 곱과 전이 사상의 양립성에 의해 \(K = \bigoplus K_n \subset M\)은 등급 \(B\)-부분가군이다. \(B\)는 뇌터이고 \(M\)은 유한 생성 등급 \(B\)-가군이므로 \(K\)는 유한 생성 등급 \(B\)-가군이다. \(d'_1, \ldots, d'_{t'} \geq 0\) 및 \(y_i \in K_{d'_i}\)를 택하여 \(K\)가 \(y_1, \ldots, y_{t'}\)로 \(B\) 위에서 생성되게 하자. \(c = \max(d'_i, d'_j)\)로 놓자. \(y_i \in \Ker(M_{d'_i} \to M_0)\)이므로 \(B_n \cdot y_i \subset \Ker(M_{n + d'_i} \to M_n)\)임을 알 수 있다. 이로부터 \(K_n = \Ker(M_n \to M_{n - c})\)가 \(n \geq c\)에 대해 성립함을 알 수 있다. 이로써 (3)이 증명되었다.

다음 가환하는 실선 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ I^n \otimes_A M_0 \ar[r] \ar[d] & I^nM_0 \ar[r] \ar@{..>}[d] & M_0 \ar[d] \\ M_n \ar[r] & M_{n - c} \ar[r] & M_0 }\] 위의 논의에 의해 전사 \(I^n \otimes_A M_0 \to I^nM_0\)의 핵은 \(K_n\)으로 사상된다. 따라서 점선 화살표를 얻고 합성 \(I^nM_0 \to M_{n - c} \to M_0\)는 표준 사상이다. 그러면 합성 \(I^nM_0 \to M_{n - c} \to I^{n - 2c}M_0\)도 \(n \geq 2c\)에 대해 분명히 표준 사상이다. 합성 \(M_n \to I^{n - c}M_0 \to M_{n - 2c}\)를 생각하자. 첫째 사상은 \(a \cdot m\) 꼴의 원소를 보낸다. 여기서 \(a \in I^{n - c}\)이고 \(m \in M_c\)이다. 그 상은 \(a m'\)인데, 여기서 \(m'\)는 \(m\)의 \(M_0\)에서의 상이다. 그러면 둘째 사상은 이것을 \(a \cdot m'\)로 \(M_{n - 2c}\) 안에서 보낸다. 따라서 (4)가 성립한다.

(5)는 (4)와 pro-대상의 사상의 정의에서 즉시 따른다.

Lemmas 02O8와 02OA의 상황에서 역계 \[\mathcal{F}/I\mathcal{F} \leftarrow \mathcal{F}/I^2\mathcal{F} \leftarrow \mathcal{F}/I^3\mathcal{F} \leftarrow \ldots\] 를 생각하자. 코호몰로지 군들에 어떤 일이 일어나는지 알고자 한다. 첫 번째 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하자. 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 택하자. \(p \geq 0\)를 고정하자. 다음을 만족하는 \(c \geq 0\)가 존재한다.

1. 모든 \(n \geq c\)에 대해 \[\Ker(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) \subset I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F}).\]

2. 역계 \[\left(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)_{n \in \mathbf{N}}\] 는 Mittag-Leffler 조건을 만족한다(Homology, Definition 02N0을 보라).

3. 모든 \(k \geq n + c\)에 대해 \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^k\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] 이다.

증명

\(c = \max\{c_p, c_{p + 1}\}\)로 놓자. 여기서 \(c_p, c_{p + 1}\)는 Lemma 02OA을 \(H^p\)와 \(H^{p + 1}\)에 적용하여 얻은 정수들이다.

(1)을 증명하자. 짧은 완전열 \[0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. 긴 코호몰로지 완전열에서 \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) = \Im( H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}) )\] 임을 알 수 있다. 따라서 Lemma 02OA의 (2)에 의해 이것은 \(I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F})\)에 포함되며, 이는 \(n \geq c\)일 때 성립한다.

(3)이 Mittag-Leffler 계의 정의에 의해 (2)를 함의함을 주목하자.

(3)을 증명하자. \(n\)을 고정하고 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 이로부터 완전한 행들을 갖는 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \ar[r]_\delta & H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \ar[r] & H^{p + 1}(X, \mathcal{F}) \\ H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^1 & H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & H^{p + 1}(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[u]^\alpha \ar[r]^-\beta & H^{p + 1}(X, \mathcal{F}) \ar[u]_1 }\] Lemma 02OA의 (4)에 의해 \(\beta\)의 핵은 \(\alpha\)의 핵과 같으며, 이는 \(m \geq c\)일 때 성립한다. 그림 추적을 하면 \(\gamma\)의 상이 \(\delta\)의 핵에 포함됨을 얻으며, 이는 (3)을 증명한다 (\(k = n + m\)로 놓으면 된다).

정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하자. 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 택하자. \(p \geq 0\)를 고정하자. 사상들의 계 \[H^p(X, \mathcal{F})/I^nH^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 는 극한의 동형사상 \[H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 을 정의한다. 여기서 왼쪽은 \(A\)-가군 \(H^p(X, \mathcal{F})\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비화한 것이다. Algebra, Section 00M9을 보라. 더 나아가 이는 실제로 극한 위상들에 관한 위상동형이다.

증명

이는 Lemma 02OB에서 다음과 같이 따른다. \(M = H^p(X, \mathcal{F})\), \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)로 놓고, \(N_n = \Im(M \to M_n)\)로 나타내자. Lemma 02OB의 (2)와 (3)에 의해 \((M_n)\)은 Mittag-Leffler 계이고 \(N_n \subset M_n\)은 \(M_k\)의 상과 같으며, 이는 모든 \(k \gg n\)에 대해 성립한다. 따라서 위상 가군으로서 \(\lim M_n = \lim N_n\)이다(극한 위상을 취한다). 한편 \(N_n\)들은 가군 \(M\)의 몫들로 이루어진 역계를 이루므로 \(\lim N_n\)은 \(M\)을 핵들 \(K_n = \Ker(M \to N_n)\)이 주는 위상에 관해 완비화한 것이다. Lemma 02OB의 (1)에 의해 \(K_n \subset I^{n - c}M\)이고, \(N_n \subset M_n\)은 \(I^n\)에 의해 소멸되므로 \(I^n M \subset K_n\)이다. 따라서 부분가군 \(K_n\)들을 \(0\)의 열린 근방의 기본계로 사용하여 정의한 위상은 \(I\)-진 위상과 같다. 그러므로 유도된 사상 \(M^\wedge = \lim M/I^nM \to \lim N_n = \lim M_n\)은 위상 가군의 동형사상이다³.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(A\)가 뇌터이고 \(I\)에 관해 완비라고 가정하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하자. 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 택하자. 그러면 모든 \(p \geq 0\)에 대해 \[H^p(X, \mathcal{F}) = \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 이다.

증명

이는 완비 뇌터 밑환의 경우에 형식 함수 정리(Theorem 02OC)를 다시 쓴 것이다. 실제로 이 경우 \(A\)-가군 \(H^p(X, \mathcal{F})\)는 유한이고(Lemma 02O6), 따라서 \(I\)-진 완비이다(Algebra, Lemma 00MA). 그러므로 왼쪽에서는 완비화가 필요하지 않음을 알 수 있다.

보조정리

스킴의 사상 \(f : X \to Y\)와 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 국소 뇌터이다.

2. \(f\)는 고유이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 연접이다.

점 \(y \in Y\)를 택하자. 올 \[\xymatrix{ X_n = \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n) \times_Y X \ar[r]_-{i_n} \ar[d]_{f_n} & X \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n) \ar[r]^-{c_n} & Y }\] \(X_1 = X_y\)의 무한소 근방들을 생각하고 \(\mathcal{F}_n = i_n^*\mathcal{F}\)로 놓자. 그러면 \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_y^\wedge \cong \lim_n H^p(X_n, \mathcal{F}_n)\] 이 \(\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)-가군의 동형으로 성립한다.

증명

이는 형식 함수 정리 Theorem 02OC의 특수한 경우를 다시 쓴 것일 뿐이다. 자세히 써 보자. \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 뇌터 국소환임을 주목하자. 표준 사상 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)를 생각하자. Schemes, Equation (02NA)을 보라. 이 사상은 국소환들을 동일시하므로 평탄하다. 잠시 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)로 \(f\)를 이 국소환으로 밑변환한 사상을 나타내자. Lemma 02KH에 의해 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)임을 알 수 있다. 또한 올 \(X_y\)와 \(X'_y\)의 무한소 근방들은 동일시된다(확인은 생략한다. 힌트: 사상 \(c_n\)들은 \(c\)를 경유한다).

따라서 \(Y = \Spec(A)\)가 뇌터 국소환 \(A\)의 스펙트럼이고, 이 환의 극대 아이디얼이 \(\mathfrak m\)이며, \(y \in Y\)는 닫힌점, 즉 \(\mathfrak m\)에 대응한다고 가정할 수 있다. 특히 \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_y = \Gamma(Y, R^pf_*\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}).\]

이 경우 사상 \(c_n\)들도 각각 닫힌 몰입이다. 따라서 그 밑변환인 \(i_n\)들도 닫힌 몰입이다. \(i_{n, *}\mathcal{F}_n = i_{n, *}i_n^*\mathcal{F} = \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F}\)임을 주목하자. \(i_n\)에 대한 Leray 스펙트럼 수열과 Lemma 01Y6에 의해 \[H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = H^p(X, i_{n, *}\mathcal{F}_n) = H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F})\] 임을 알 수 있다. 따라서 보조정리의 서술에 있는 극한을 계산하는 데 형식 함수 정리를 실제로 적용할 수 있고, 이로써 끝난다.

다음 보조정리는 나중에 차원이 \(> 0\)인 올로 일반화할 결과이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하고 \(y \in Y\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 국소 뇌터이다.

2. \(f\)는 고유이다.

3. \(f^{-1}(\{y\})\)는 유한이다.

그러면 임의의 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 택했을 때 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)이고, 이는 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다.

증명

올 \(X_y\)는 유한이고, Morphisms, Lemma 02NG에 의해 유한 이산공간이다. 또한 각 무한소 근방 \(X_n\)의 바탕 위상공간도 같다. 따라서 Schemes, Lemma 02O0에 의해 각 스킴 \(X_n\)은 아핀이다. 그러므로 \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\)이고, 이는 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다. 따라서 Lemma 02OD에 의해 \((R^pf_*\mathcal{F})_y^\wedge = 0\)임을 알 수 있다. \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 Proposition 02O5에 의해 연접이고, 따라서 \(R^pf_*\mathcal{F}_y\)는 유한 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-가군이다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 국소환 위의 유한 가군의 완비화가 영이면 그 가군도 영이다. 따라서 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하고 \(y \in Y\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 국소 뇌터이다.

2. \(f\)는 고유이다.

3. \(\dim(X_y) = d\)이다.

그러면 임의의 연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 택했을 때 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)이고, 이는 모든 \(p > d\)에 대해 성립한다.

증명

올 \(X_y\)는 \(\Spec(\kappa(y))\) 위 유한형이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01T6에 의해 \(X_y\)는 뇌터 스킴이다. 그러므로 \(X_y\)의 바탕 위상공간은 뇌터이다. Properties, Lemma 01OZ를 보라. 또한 각 무한소 근방 \(X_n\)의 바탕 위상공간은 \(X_y\)의 바탕 위상공간과 같다. 따라서 Cohomology, Proposition 02UZ에 의해 \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\)이고, 이는 모든 \(p > d\)에 대해 성립한다. 그러므로 Lemma 02OD에 의해 \((R^pf_*\mathcal{F})_y^\wedge = 0\)이고, 이는 \(p > d\)일 때 성립한다. \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 Proposition 02O5에 의해 연접이고, 따라서 \(R^pf_*\mathcal{F}_y\)는 유한 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-가군이다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 국소환 위의 유한 가군의 완비화가 영이면 그 가군도 영이다. 따라서 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)이다.

형식 함수 정리의 응용

필요에 따라 여기에 더 추가할 것이다. 지금은 뇌터인 경우의 유한 사상에 대한 다음 특징짓기가 필요하다.

보조정리

(더 일반적인 판은 More on Morphisms, Lemma 02LS를 보라.) \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(S\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 유한이다.

2. \(f\)는 고유이고 유한 올들을 갖는다.

증명

Morphisms, Lemma 01WN에 의해 유한 사상은 고유이다. Morphisms, Lemma 02NU에 의해 유한 사상은 준유한이다. Morphisms, Lemma 02NH를 보면 준유한 사상은 유한 올들을 갖는다. 따라서 유한 사상은 고유이고 유한 올들을 갖는다.

\(f\)가 고유이고 유한 올들을 갖는다고 가정하자. \(f\)가 유한임을 보이고자 한다. 실제로 \(f\)가 아핀임을 증명하면 충분하다. \(f\)가 아핀이면 Morphisms, Lemma 01WM에 의해 \(f\)가 정수적이고, 이어서 Morphisms, Lemma 01WJ에 의해 \(f\)가 유한이기 때문이다.

\(f\)가 아핀임을 보이기 위해 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 되고, 목표는 \(X\)도 아핀임을 보이는 것이다. \(f\)가 고유이므로 \(X\)는 분리이고 준콤팩트이다. 따라서 Lemma 01XG의 판정법을 사용하여 \(X\)가 아핀임을 증명할 수 있다. 이를 위해 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. 특히 \(\mathcal{I}\)는 \(X\) 위의 연접층이다. Lemma 02OE에 의해 \(R^1f_*\mathcal{I}_s = 0\)이고, 이는 모든 \(s \in S\)에 대해 성립한다. 다시 말해 \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\)이다. 따라서 \(f\)에 대한 Leray 스펙트럼 수열에서 \(H^1(X , \mathcal{I}) = H^1(S, f_*\mathcal{I})\)임을 알 수 있다. \(S\)는 아핀이고 \(f_*\mathcal{I}\)는 준연접이므로(Schemes, Lemma 01LC), Lemma 01XB에 의해 원하는 대로 \(H^1(S, f_*\mathcal{I}) = 0\)이다. 따라서 원하는 대로 \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)이다.

그 결과로 다음 유용한 명제를 얻는다.

보조정리

(더 일반적인 판은 More on Morphisms, Lemma 02UP를 보라.) \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(S\)는 국소 뇌터이다.

2. \(f\)는 고유이다.

3. \(f^{-1}(\{s\})\)는 유한집합이다.

그러면 열린 근방 \(V \subset S\)가 존재하여 \(s\)를 포함하고, \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\)는 유한이다.

증명

Morphisms, Lemma 02NG에 의해 \(f\)는 \(f^{-1}(\{s\})\)의 모든 점에서 준유한이다. Morphisms, Lemma 01TI에 의해 \(f\)가 준유한인 점들의 집합은 어떤 열린집합 \(U \subset X\)이다. \(Z = X \setminus U\)로 놓자. 그러면 \(s \not \in f(Z)\)이다. \(f\)가 고유이므로 집합 \(f(Z) \subset S\)는 닫혀 있다. 열린 근방 \(V \subset S\)를 아무거나 택하여 \(s\)를 포함하고 \(Z \cap V = \emptyset\)이 되게 하자. 그러면 \(f^{-1}(V) \to V\)는 국소 준유한이고 고유이다. 따라서 이는 준유한이고(Morphisms, Lemma 01TJ), 유한 올들을 가지며(Morphisms, Lemma 02NH), 따라서 Lemma 02OG에 의해 유한이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 고유 사상이라 하고 \(Y\)가 뇌터라고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 점 \(y \in Y\)가 주어져서 \(\mathcal{L}_y\)가 \(X_y\) 위에서 풍부하다고 하자. 그러면 어떤 \(d_0\)가 존재하여 모든 \(d \geq d_0\)에 대해 \[R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = 0 \text{ for }p > 0\] 이고 사상 \[f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y \longrightarrow H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\] 은 전사이다.

증명

\(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 뇌터 국소환임을 주목하자. 표준 사상 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)를 생각하자. Schemes, Equation (02NA)을 보라. 이 사상은 국소환들을 동일시하므로 평탄하다. 잠시 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)로 \(f\)를 이 국소환으로 밑변환한 사상을 나타내자. Lemma 02KH에 의해 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)임을 알 수 있다. 또한 올 \(X_y\)와 \(X'_y\)는 동일시된다. 따라서 \(Y = \Spec(A)\)가 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m, \kappa)\)의 스펙트럼이고 \(y \in Y\)가 \(\mathfrak m\)에 대응한다고 가정할 수 있다. 이 경우 \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)이고, 이는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다. \(f_y : X_y \to \Spec(\kappa)\)로 사영을 나타내자.

\(B = \text{Gr}_\mathfrak m(A) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)로 놓자. \(\mathcal{B} = f_y^*\widetilde{B}\)라는 준연접 등급 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-대수의 층을 생각하자. Section 02O7의 표기를 사용하되, \(I\)를 \(\mathfrak m\)으로 바꿀 것이다. \(X_y\)는 \(X\)의 닫힌 부분스킴으로서 \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\)에 의해 잘려 나오므로 \(\mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-가군으로 볼 수 있다. Lemma 087T를 보라. 그러면 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\)는 유한형 준연접 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이다. 그 이유는 이것이 \(\mathcal{B}\) 위에서 차수 영의 성분으로 생성되고, 차수 영의 성분은 \(\mathcal{F}_y = \mathcal{F}/\mathfrak m \mathcal{F}\)이며 이는 연접 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-가군이기 때문이다. 따라서 Lemma 0897의 (2)에 의해 \[H^p(X_y, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d}) = 0\] 이고, 이는 모든 \(p > 0\), \(d \geq d_0\), \(n \geq 0\)에 대해 성립한다. Lemma 089W에 의해 이것은 \(H^p(X, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 가 모든 \(p > 0\), \(d \geq d_0\), \(n \geq 0\)에 대해 성립한다는 것과 같다.

연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)와의 텐서곱은 완전 함자이므로 다음 짧은 완전열들을 얻는다. \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to 0\] 긴 코호몰로지 완전열과 위의 소멸을 사용하면 귀납법으로 다음을 얻는다.

1. \(H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)이고, 이는 모든 \(p > 0\), \(d \geq d_0\), \(n \geq 0\)에 대해 성립한다.

2. 사상 \(H^0(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 은 모든 \(d \geq d_0\) 및 \(n \geq 1\)에 대해 전사이다.

형식 함수 정리(Theorem 02OC)에 의해 \(\mathfrak m\)-진 완비화된 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)는 모든 \(d \geq d_0\) 및 \(p > 0\)에 대해 영이다. \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)는 Lemma 02O6에 의해 유한 \(A\)-가군이므로, Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)는 모든 \(d \geq d_0\) 및 \(p > 0\)에 대해 영이다. \(p = 0\)인 경우에는 Lemma 02OB의 (3)에서 사상 \(H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 이 전사임을 얻으며, 이것이 보조정리의 마지막 명제를 준다.

보조정리

(더 일반적인 판은 More on Morphisms, Lemma 0D2S를 보라.) \(f : X \to Y\)를 스킴의 고유 사상이라 하고 \(Y\)가 뇌터라고 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 점 \(y \in Y\)가 주어져서 \(\mathcal{L}_y\)가 \(X_y\) 위에서 풍부하다고 하자. 그러면 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(y\)를 포함하고, \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\)는 \(f^{-1}(V)/V\) 위에서 풍부하다.

증명

Lemma 0D2M에서 얻은 \(d_0\)를 택하되 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)인 경우에 적용하자. \(d \geq d_0\)를 택하여 어떤 \(r \geq 0\)와 단면들 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r} \in H^0(X_y, \mathcal{L}_y^{\otimes d})\)를 찾을 수 있게 하고, 이 단면들이 닫힌 몰입 \[\varphi_y = \varphi_{\mathcal{L}_y^{\otimes d}, (s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r})} : X_y \to \mathbf{P}^r_{\kappa(y)}.\] 을 정의하게 하자. Morphisms, Lemma 01VT에 의해 이는 가능하다. 다만 \(\varphi_y\)가 닫힌 몰입임을 알기 위해 Morphisms, Lemma 01W6도 사용하고, 가역층과 단면들로 사영공간으로 가는 사상을 기술하기 위해 Constructions, Section 01ND도 사용한다. \(d_0\)의 선택에 의해 \(Y\)를 \(y\)의 열린 근방으로 바꾼 뒤, \(s_0, \ldots, s_r \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)를 택하여 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r}\)로 사상되게 할 수 있다. \(X_{s_i} \subset X\)를 \(s_i\)가 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)의 생성원이 되는 열린 부분집합이라 하자. \(s_{y, i}\)들이 \(\mathcal{L}_y^{\otimes d}\)를 생성하므로 \(X_y \subset U = \bigcup X_{s_i}\)임을 알 수 있다. \(X \to Y\)가 닫힌 사상이므로 \(y \in V \subset Y\)인 열린 근방이 존재하여 \(f^{-1}(V) \subset U\)가 된다. \(Y\)를 \(V\)로 바꾼 뒤에는 \(s_i\)들이 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)를 생성한다고 가정할 수 있다. 따라서 사상 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_Y\] 을 얻고, \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\)이며 이를 \(y\)로 밑변환하면 \(\varphi_y\)를 얻는다.

약간의 요령으로 증명을 마치겠다. “올바른” 증명은 \(\varphi\)가 닫힌 몰입임을 \(y\)의 열린 근방으로 밑변환한 뒤 직접 보이는 방식으로 진행된다. 실제로 Lemma 02OH에 의해 \(\varphi\)는 올 \(\mathbf{P}^r_{\kappa(y)}\)의 열린 근방 위에서 유한이다. 여기서 이 올은 \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\)의 \(y\) 위의 올이다. \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\)가 닫힌 사상임을 사용하여 \(Y\)를 줄인 뒤에는 \(\varphi\)가 유한이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\)은 아주 일반적인 Morphisms, Lemma 0892에 의해 풍부하다.

코호몰로지와 밑변환, III

이 절에서는 매우 일반적인 현상의 가장 간단한 경우를 증명한다. 그 일반적인 현상은 Derived Categories of Schemes, Section 08ET에서 논의한다. 다음 보조정리를 대수의 언어로 옮긴 내용은 Remark 07VL를 보라.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(S = \Spec(A)\)로 놓자. \(f : X \to S\)를 스킴의 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(S\) 위에서 평탄이라고 하자. 그러면

1. \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\)는 \(D(A)\)의 완전 대상이다.

2. 임의의 환 사상 \(A \to A'\)에 대해 밑변환 사상 \[R\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A^{\mathbf{L}} A' \longrightarrow R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] 은 동형사상이다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)를 택하자. Lemmas 01XL와 01XM에 의해 Čech 복합체 \(K^\bullet = {\check C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 \[K^\bullet \otimes_A A' = R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] 을 모든 환 사상 \(A \to A'\)에 대해 만족한다. \(K_{alt}^\bullet = {\check C}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 교대 Čech 복합체라 하자. Cohomology, Lemma 01FM에 의해 호모토피 동치 \(K_{alt}^\bullet \to K^\bullet\)가 \(A\)-가군들 사이에 존재한다. 특히 \[K_{alt}^\bullet \otimes_A A' = R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] 도 성립한다. \(\mathcal{F}\)는 \(A\) 위에서 평탄이므로 각 \(K_{alt}^n\)도 \(A\) 위에서 평탄이다(Morphisms, Lemma 01U4를 보라). 또한 \(K_{alt}^\bullet\)은 위로 유계이므로(이것이 교대 Čech 복합체로 바꾼 이유이다), 유도 텐서곱의 정의에 의해 \(K_{alt}^\bullet \otimes_A A' = K_{alt}^\bullet \otimes_A^{\mathbf{L}} A'\)이다 (More on Algebra, Section 06XY을 보라). Lemma 02O6에 의해 코호몰로지 군 \(H^i(K_{alt}^\bullet)\)은 유한 \(A\)-가군이다. \(K_{alt}^\bullet\)이 유계이므로 \(K_{alt}^\bullet\)은 유사연접이다. More on Algebra, Lemma 066E를 보라. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)이 주어졌을 때 \(A' = A \oplus M\)으로 놓되 \(M\)이 제곱영 아이디얼이 되게 하자. 즉 \((a, m) \cdot (a', m') = (aa', am' + a'm)\)이다. 위의 결과에 의해 \(K_{alt}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A'\)는 차수 \(0, \ldots, n\)에서만 코호몰로지를 갖는다. 따라서 \(K_{alt}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\)도 차수 \(0, \ldots, n\)에서만 코호몰로지를 갖는다. 그러므로 \(K_{alt}^\bullet\)은 유한 Tor 차원을 갖는다. More on Algebra, Definition 0652을 보라. 이제 More on Algebra, Lemma 0658를 적용하면 끝난다.

주

Lemma 07VK의 한 결과로, 유한 사영 \(A\)-가군들의 유한 복합체 \(M^\bullet\)이 존재하여 \[H^i(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'}) = H^i(M^\bullet \otimes_A A')\] 이 \(A'\)에 대해 함자적으로 성립한다. \(\mathcal{F}\)가 \(A\) 위에서 평탄이라는 조건은 본질적이다. [Hartshorne]을 보라.

연접 형식 가군

아직 형식 스킴 이론을 쓸 수 없으므로, “뇌터 진 형식 스킴 위의 연접 가군”이라는 개념을 대신할 표현을 조금 마련한다.

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. 다음을 만족하는 역계 \((\mathcal{F}_n)\)을 생각할 것이다. 각 항은 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

1. \(\mathcal{F}_n\)은 \(\mathcal{I}^n\)에 의해 소멸된다.

2. 전이 사상들은 동형사상 \(\mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)을 유도한다.

이러한 역계들의 사상은 보통대로 정의한다. 이 역계들의 범주를 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)로 나타내자. 이제 이 범주의 대상에 관한 여러 보조정리를 증명할 것이다. 실제로 뒤따르는 보조정리 대부분은 아핀인 경우의 범주에 대한 다음 기술에서 곧바로 나온다.

보조정리

\(X = \Spec(A)\)가 뇌터 환의 스펙트럼이고 \(\mathcal{I}\)가 아이디얼 \(I \subset A\)에 결부된 준연접 아이디얼 층이면, \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)는 유한 \(A^\wedge\)-가군들의 범주와 동치이다. 여기서 \(A^\wedge\)는 \(A\)를 \(I\)에 관해 완비화한 것이다.

증명

\(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\)를 다음을 만족하는 역계 \((M_n)\)의 범주라 하자. 각 항은 유한 \(A\)-가군이다. (1) \(M_n\)은 \(I^n\)에 의해 소멸되고, (2) \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} = M_n\)이다. \(X\) 위의 연접층과 유한 \(A\)-가군 사이의 대응(Lemma 01XZ)에 의해 \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\)가 유한 \(A^\wedge\)-가군들의 범주와 동치임을 보이면 충분하다. 이를 위해 대상 \((M_n)\)이 \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\)에 주어졌을 때 가군 \[M = \lim M_n\] 이 유한 \(A^\wedge\)-가군이고 \(M/I^nM = M_n\)임을 증명하면 충분하다. 전이 사상들은 전사이므로 \(M \to M_1\)이 전사임을 알 수 있다. \(x_1, \ldots, x_t \in M\)을 택하여 그 상들이 \(M_1\)을 생성하게 하자. 그러면 계의 사상 \((A/I^n)^{\oplus t} \to M_n\)이 유도된다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 이 사상들은 전사이다. \(K_n \subset (A/I^n)^{\oplus t}\)를 그 핵이라 하자. 성질 (2)에 의해 \(K_{n + 1} \to K_n\)은 전사이고, 특히 계 \((K_n)\)은 Mittag-Leffler 조건을 만족한다. Homology, Lemma 02N1에 의해 완전열 \(0 \to K \to (A^\wedge)^{\oplus t} \to M \to 0\)을 얻으며 \(K = \lim K_n\)이다. 따라서 \(M\)은 유한 \(A^\wedge\)-가군이다. \(K \to K_n\)이 전사이므로 원하는 대로 \[M/I^nM = \Coker(K \to (A/I^n)^{\oplus t}) = (A/I^n)^{\oplus t}/K_n = M_n\] 이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자.

1. 범주 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)는 아벨 범주이다.

2. 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 제한 함자 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \to \textit{Coh}(U, \mathcal{I}|_U)\)는 완전하다.

3. \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에서의 완전성은 \(X\)의 열린 덮개의 원소들로 제한하여 확인할 수 있다.

증명

\(\alpha =(\alpha_n) : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\)를 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 사상이라 하자. \(\alpha\)의 여핵은 역계 \((\Coker(\alpha_n))\)이다(세부사항은 생략한다). 핵을 기술하기 위해 \[\mathcal{K}'_{l, m} = \Im(\Ker(\alpha_l) \to \mathcal{F}_m)\] 으로 \(l \geq m\)에 대해 놓자. 다음을 주장한다.

1. 역계 \((\mathcal{K}'_{l, m})_{l \geq m}\)은 궁극적으로 상수이고, 그 값을 \(\mathcal{K}'_m\)이라 하자.

2. 계 \((\mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m)_{m \geq n}\)은 궁극적으로 상수이고, 그 값을 \(\mathcal{K}_n\)이라 하자.

3. 계 \((\mathcal{K}_n)\)은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상을 이룬다.

4. 이 대상은 \(\alpha\)의 핵이다.

(a), (b), (c)를 보이기 위해 아핀 국소적으로 작업해도 된다. 즉 \(X = \Spec(A)\)이고 \(\mathcal{I}\)가 아이디얼 \(I \subset A\)에 대응한다고 하자. Lemma 087W에 의해 \(\alpha\)는 사상 \(f : M \to N\)에 대응하며, 이는 유한 \(A^\wedge\)-가군들의 사상이다. \(K = \Ker(f)\)로 나타내자. \(A^\wedge\)가 뇌터 환임을 주목하자(Algebra, Lemma 0316). 정수 \(c \geq 0\)를 택하여 \(K \cap I^n M \subset I^{n - c}K\)가 \(n \geq c\)에 대해 성립하게 하고(Algebra, Lemma 00IN), 사상 \(f\)와 아이디얼 \(I^\wedge = IA^\wedge\)에 대해 Algebra, Lemma 00IO도 만족하게 하자. 그러면 \(\mathcal{K}'_{l, m}\)은 다음 \(A\)-가군에 대응한다. \[K'_{l, m} = \frac{a^{-1}(I^lN) + I^mM}{I^mM} = \frac{K + I^{l - c}f^{-1}(I^cN) + I^mM}{I^mM} = \frac{K + I^mM}{I^mM}\] 여기서 마지막 등식은 \(l \geq m + c\)이면 성립한다. 따라서 \(\mathcal{K}'_m\)은 \(A\)-가군 \(K/K \cap I^mM\)에 대응하고, \(\mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m\)은 \[\frac{K}{K \cap I^mM + I^nK} = \frac{K}{I^nK}\] 에 대응한다. 이는 \(m \geq n + c\)이면 위에서 택한 \(c\)에 의해 성립한다. 따라서 \(\mathcal{K}_n\)은 \(K/I^nK\)에 대응한다.

(d)를 증명하자. 위의 아핀 기술에서 합성 \((\mathcal{K}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\)이 영임은 분명하다. \(\beta : (\mathcal{H}_n) \to (\mathcal{F}_n)\)를 \(\alpha \circ \beta = 0\)인 사상이라 하자. 그러면 \(\mathcal{H}_l \to \mathcal{F}_l\)의 상은 \(\Ker(\alpha_l)\)에 포함된다. \(\mathcal{H}_m = \mathcal{H}_l/\mathcal{I}^m\mathcal{H}_l\)이 \(l \geq m\)에 대해 성립하므로 사상들의 계 \(\mathcal{H}_m \to \mathcal{K}'_{l, m}\)을 얻는다. 따라서 사상 \(\mathcal{H}_m \to \mathcal{K}_m'\)을 얻는다. \(\mathcal{H}_n = \mathcal{H}_m/\mathcal{I}^n\mathcal{H}_m\)이므로 사상들의 계 \(\mathcal{H}_n \to \mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m\)을 얻고, 따라서 원하는 사상 \(\mathcal{H}_n \to \mathcal{K}_n\)을 얻는다.

(1)의 증명을 마치려면 \(\Coim = \Im\)임을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에서 아직 보여야 한다. 위에서 아핀인 경우 핵과 여핵을 취하는 것이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)를 가군의 범주로 기술하는 것과 가환함을 보았다. 가군의 범주에서는 \(\Im = \Coim\)이 성립하므로 이것은 \(\Coim = \Im\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에서 준다. 보조정리의 (2)와 (3)은 우리가 구성한 핵과 여핵에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에서 전사일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}_1\)이 전사인 것이다.

증명

생략한다. 힌트: 아핀 열린집합들 위에서 살펴보고, Lemma 087W와 Algebra, Lemma 00DV를 사용하라.

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. 다음 함자가 있다. [0880]\[\begin{equation} \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge \end{equation}\] 이 함자는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대상 \(\mathcal{F}^\wedge = (\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\)를 결부시키며, 이 대상은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 속한다.

보조정리

함자 (0880)는 완전하다.

증명

\(X\) 위에서 국소적으로 확인하면 충분하다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고, 즉 Lemma 087W의 상황이라고 가정해도 된다. 이 함자는 함자 \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_{A^\wedge}\)이다. 이는 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 완비화 \(M^\wedge\)를 결부시킨다. 따라서 결과는 Algebra, Lemma 00MB에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)로 놓자. 그러면 \[\lim H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge).\]

증명

이를 증명하기 위해 \(X\) 위에서 아핀 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)라고 가정하고 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)가 유한 \(A\)-가군 \(M\)과 \(N\)으로 주어진다고 하자. 그러면 \(\mathcal{H}\)는 유한 \(A\)-가군 \(H = \Hom_A(M, N)\)에 대응한다. 보조정리의 명제는 Lemma 087W의 동치를 통해 \[H^\wedge = \Hom_{A^\wedge}(M^\wedge, N^\wedge)\] 이라는 명제가 된다. Algebra, Lemma 00MB를 세 번 사용하면 \[H^\wedge = \Hom_A(M, N) \otimes_A A^\wedge = \Hom_{A^\wedge}(M \otimes_A A^\wedge, N \otimes_A A^\wedge) = \Hom_{A^\wedge}(M^\wedge, N^\wedge)\] 이다. 여기서 둘째 등식에는 \(A^\wedge\)가 \(A\) 위에서 평탄임을 사용했다 (More on Algebra, Lemma 087R를 보라). 이로써 보조정리가 증명되었다.

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. 대상 \((\mathcal{F}_n)\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 속한다고 하자. 이 대상이 \(\mathcal{I}\)-멱 비틀림 또는 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸된다고 함은 어떤 \(c \geq 1\)이 존재하여 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_c\)가 모든 \(n \geq c\)에 대해 성립한다는 뜻이다. 이 경우 \((\mathcal{F}_n)\)이 \(\mathcal{I}^c\)에 의해 소멸된다고 말한다. \(X = \Spec(A)\)가 아핀이면 Lemma 087W의 동치를 통해 이러한 대상들은 유한 \(A\)-가군 가운데 \(I\)의 한 멱 또는 \(I^c\)에 의해 소멸되는 것들과 정확히 대응한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자.

1. \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{G}^\wedge\)가 핵과 여핵이 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸되는 사상이면, 다음을 만족하는 삼중항 \((\mathcal{F}, a, \beta)\)가 유일한 동형사상까지 유일하게 존재한다.

   1. \(\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

   2. \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상이고, 그 핵과 여핵은 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸된다.

   3. \(\beta : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{F}^\wedge\)는 동형사상이다.

   4. \(\alpha = a^\wedge \circ \beta\)이다.

2. \(\alpha : \mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{F}_n)\)가 핵과 여핵이 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸되는 사상이면, 다음을 만족하는 삼중항 \((\mathcal{F}, a, \beta)\)가 유일한 동형사상까지 유일하게 존재한다.

   1. \(\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

   2. \(a : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상이고, 그 핵과 여핵은 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸된다.

   3. \(\beta : \mathcal{F}^\wedge \to (\mathcal{F}_n)\)는 동형사상이다.

   4. \(\alpha = \beta \circ a^\wedge\)이다.

증명

(1)의 증명. 유일성 때문에 \((\mathcal{F}, a, \beta)\)를 \(X\) 위에서 Zariski 국소적으로 구성하면 충분하다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)이고 \(\mathcal{I}\)가 아이디얼 \(I \subset A\)에 대응한다고 가정해도 된다. 이 상황에는 Lemma 087W가 적용된다. \(M'\)을 유한 \(A^\wedge\)-가군이라 하되 \((\mathcal{F}_n)\)에 대응하는 것으로 택하자. \(N\)을 유한 \(A\)-가군이라 하되 \(\mathcal{G}\)에 대응하는 것으로 택하자. 그러면 \(\alpha\)는 사상 \[\varphi : M' \longrightarrow N^\wedge\] 에 대응하며, 그 핵과 여핵은 \(I^t\)에 의해 소멸된다. 여기서 \(t\)는 어떤 정수이다. \(N^\wedge = N \otimes_A A^\wedge\)임을 상기하자(Algebra, Lemma 00MA). More on Algebra, Lemma 0ALK에 의해 \(A\)-가군 사상 \(\psi : M \to N\)이 존재하고 그 핵과 여핵은 \(I\)-멱 비틀림이다. 또한 동형사상 \(M \otimes_A A^\wedge = M'\)이 존재하여 \(\varphi\)와 양립한다. \(N\)과 \(M'\)은 유한 가군이므로 \(M\)도 유한 \(A\)-가군이다. More on Algebra, Remark 05EU를 보라. 따라서 \(M \otimes_A A^\wedge = M^\wedge\)이다. 이렇게 얻은 삼중항 \((M, N \to M, M^\wedge \to M')\)이 유일한 동형사상까지 유일하다는 확인은 생략한다.

(2)의 증명도 완전히 같으므로 생략한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상 가운데 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸되는 것은 모두 (0880)의 본질적 상에 속한다. 더 나아가 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)가 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(\mathcal{F}\) 또는 \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{I}\)의 한 멱에 의해 소멸되면, 사상들 \[\xymatrix{ \Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] & \Ext_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] \\ \Hom_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})}(\mathcal{F}^\wedge, \mathcal{G}^\wedge) & \Ext_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})}(\mathcal{F}^\wedge, \mathcal{G}^\wedge) }\] 은 동형사상이다.

증명

\((\mathcal{F}_n)\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이고 \(\mathcal{I}^c\)에 의해 소멸된다고 하자. 여기서 \(c \geq 1\)이다. 그러면 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_c\)는 \(n \geq c\)에 대해 동형사상이다. 따라서 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_c\)로 놓으면 \(\mathcal{F}^\wedge \cong (\mathcal{F}_n)\)임을 알 수 있다. 이로써 첫째 주장이 증명되었다.

\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(\mathcal{F}\) 또는 \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{I}^c\)에 의해 소멸된다고 하자. 여기서 \(c \geq 1\)이다. \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{I}^c\)에 의해 소멸된다. 따라서 \[\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{H}) = \lim H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge).\] 임을 알 수 있다. Lemma 0882를 보라. 이로써 준동형사상에 관한 명제가 증명되었다.

표기 \(\Ext\)는 Homology, Section 010I에서 정의한 확장을 뜻한다. \(\Ext\) 위의 사상이 단사임은 \(\Hom\) 위의 사상이 전단사임에서 즉시 따른다. 전사성을 위해 \(\mathcal{F}\)가 \(I\)의 한 멱에 의해 소멸된다고 가정하자. 그러면 Lemma 0889의 (1)에 의해 확장 \[0 \to \mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{E}_n) \to \mathcal{F}^\wedge \to 0\] 이 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 안에서 주어졌을 때, 사상 \(\mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{E}_n)\)은 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}^\wedge\)와 동형이다. 여기서 어떤 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}\)가 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U)\)에 속한다. 다른 경우도 마찬가지이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이면 \(\bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\)은 유한형 등급 준연접 \(\bigoplus \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)-가군이다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고, 즉 Lemma 087W의 상황이라고 가정해도 된다. 이 경우 \((\mathcal{F}_n)\)이 유한 \(A^\wedge\)-가군 \(M\)에 대응하면, \(\bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\)은 \(\bigoplus I^nM/I^{n + 1}M\)에 대응하고, 이는 분명 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\) 위의 유한 가군이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 뇌터 스킴들의 사상이라 하자. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_Y\)를 준연접 아이디얼 층이라 하고 \(\mathcal{I} = f^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_X\)로 놓자. 그러면 오른쪽 완전 함자 \[f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] 가 존재하고, 이는 \((\mathcal{G}_n)\)을 \((f^*\mathcal{G}_n)\)으로 보낸다. \(f\)가 평탄이면 \(f^*\)는 완전 함자이다.

증명

\(f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)는 오른쪽 완전이므로 \[f^*\mathcal{G}_n = f^*(\mathcal{G}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{G}_{n + 1}) = f^*\mathcal{G}_{n + 1}/f^{-1}\mathcal{I}^nf^*\mathcal{G}_{n + 1} = f^*\mathcal{G}_{n + 1}/\mathcal{J}^nf^*\mathcal{G}_{n + 1}\] 이다. 따라서 계의 당김은 계이다. Lemma 087X의 증명에서 여핵을 구성한 방식에 따르면 \(f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)는 언제나 오른쪽 완전이다. \(f\)가 평탄이면 \(f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)는 완전 함자이다. Lemma 087X의 증명에서 핵을 구성한 방식에 따르면 이 경우 \(f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)는 핵도 핵으로 보낸다.

보조정리

\(f : X' \to X\)를 뇌터 스킴들의 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하고 \(Z' = f^{-1}Z\)로 스킴론적 역상을 나타내자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)와 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\)을 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층들이라 하자. \(f\)가 평탄이고 유도된 사상 \(Z' \to Z\)가 동형사상이면, 당김 함자 \(f^* : \textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \to \textit{Coh}(X', \mathcal{I}')\) (Lemma 0887)는 동치이다.

증명

\(X\)와 \(X'\)이 아핀이면 More on Algebra, Lemma 05EC에서 즉시 따른다. 일반적인 경우를 증명하기 위해 \(Z_n \subset X\)와 \(Z'_n \subset X'\)을 \(n\)번째 무한소 근방이라 하자. 이들은 각각 \(Z\)와 \(Z'\)의 무한소 근방이다. 유도된 사상 \(Z_n \to Z'_n\)은 바탕 위상공간 사이의 위상동형이다. 한편 \(z' \in Z'\)가 \(z \in Z\)로 사상되면 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{X', z'}\)은 평탄이고 동형사상 \(\mathcal{O}_{X, z}/\mathcal{I}_z \to \mathcal{O}_{X', z'}/\mathcal{I}'_{z'}\)을 유도한다. 따라서 동형사상 \(\mathcal{O}_{X, z}/\mathcal{I}_z^n \to \mathcal{O}_{X', z'}/(\mathcal{I}'_{z'})^n\)을 모든 \(n \geq 1\)에 대해 유도한다. 예를 들어 More on Algebra, Lemma 05E9을 보라. 그러므로 \(Z'_n \to Z_n\)은 스킴의 동형사상이다. 따라서 \(f^*\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 가운데 \(\mathcal{I}^n\)에 의해 소멸되는 것들의 범주와 연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 가운데 \((\mathcal{I}')^n\)에 의해 소멸되는 것들의 범주 사이의 동치를 유도한다. Lemma 087T를 보라. 이것은 분명 보조정리를 함의한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층들이라 하자. \(V(\mathcal{I}) = V(\mathcal{J})\)가 \(X\)의 같은 닫힌 부분집합이면 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)와 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\)는 동치이다.

증명

먼저 \(X = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정하자. \(I, J \subset A\)를 \(\mathcal{I}, \mathcal{J}\)에 대응하는 아이디얼들이라 하자. 그러면 \(V(I) = V(J)\)에 의해 \(I^c \subset J\) 및 \(J^d \subset I\)이다. 여기서 어떤 \(c, d \geq 1\)을 택할 수 있다. 이는 Zariski 위상의 초등적인 성질에서 따른다(Algebra, Section 00DY과 Lemma 00IM를 보라). 따라서 \(I\)-진 완비화와 \(J\)-진 완비화는 \(A\)에 대해 일치한다. Algebra, Lemma 0319을 보라. 그러므로 이 경우 동치는 Lemma 087W에서 따른다.

일반적으로 위에서 말한 것과 \(X\)가 준콤팩트라는 사실을 사용하면 \(c, d \geq 1\)을 택하여 \(\mathcal{I}^c \subset \mathcal{J}\) 및 \(\mathcal{J}^d \subset \mathcal{I}\)이 되게 할 수 있다. 이제 대상 \((\mathcal{F}_n)\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 주어졌을 때 역계 \[(\mathcal{F}_{cn}/\mathcal{J}^n\mathcal{F}_{cn})\] 가 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\)에 속한다고 주장한다. 이는 아핀 덮개의 원소들 위에서 확인할 수 있다. 세부사항은 생략한다. 같은 방식으로 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상을 구성할 수 있다. 이때 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\)의 대상에서 출발한다. 이 구성들이 서로 준역인 함자들을 정의한다는 확인은 생략한다.

그로텐디크 존재 정리 I

이 절에서는 사영인 경우의 그로텐디크 존재 정리를 논한다. Section 0EHN에서 전개한 연접 형식 가군의 개념을 사용할 것이다. 형식 스킴에 익숙한 독자에게는 [EGA]에 있는 정리의 진술과 증명을 읽기를 권한다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)로 놓자. 그러면 함자 (0880)는 충실충만이다.

증명

\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. Modules, Lemma 01CQ를 보라. Lemma 0882에 의해 사상 \[\lim_n H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) \to \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 은 전단사이다. 따라서 함자 (0880)가 충실충만이라는 사실은 연접층 \(\mathcal{H}\)에 대한 형식 함수 정리 (Lemma 087U)에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 고유 사상이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 \(f\)-풍부한 가역층이라 하자. \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)로 놓자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 그러면 정수 \(d_0\)가 존재하여 \[H^1(X, \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n) \otimes \mathcal{L}^{\otimes d} ) = 0\] 이 모든 \(n \geq 0\) 및 모든 \(d \geq d_0\)에 대해 성립한다.

증명

\(B = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)로 놓고 \(\mathcal{B} = \bigoplus \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} = f^*\widetilde{B}\)로 놓자. Lemma 087Z에 의해 등급 준연접 \(\mathcal{B}\)-가군 \(\mathcal{G} = \bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\)은 유한형이다. 따라서 보조정리는 Lemma 0897의 (2)에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 사영 사상이라 하자. \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)로 놓자. 그러면 함자 (0880)는 동치이다.

증명

함자 (0880)가 충실충만임은 Lemma 0883에서 이미 보였다. 따라서 이 함자가 본질적 전사임을 보이면 충분하다.

먼저 모든 대상 \((\mathcal{F}_n)\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 속하면 함자 (0880)의 상에 속하는 어떤 대상의 몫임을 보이자. \(\mathcal{L}\)을 \(f\)-풍부한 가역층으로서 \(X\) 위에 주어진 것이라 하자. Lemma 0884에서와 같이 \(d_0\)를 택하자. \(d \geq d_0\)를 택하여 \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\)가 어떤 절단들 \(s_{1, 1}, \ldots, s_{t, 1}\)에 의해 대역적으로 생성되게 하자. 계의 전이 사상들 \[H^0(X, \mathcal{F}_{n + 1} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes d})\] 은 \(H^1\)의 소멸에 의해 전사이므로, \(s_{1, 1}, \ldots, s_{t, 1}\)을 양립하는 대역 절단들의 계 \(s_{1, n}, \ldots, s_{t, n}\)으로 올릴 수 있다. 이들은 \(\mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\)의 절단들이다. 이 절단들은 사상들의 양립하는 계 \[(s_{1, n}, \ldots, s_{t, n}) : (\mathcal{L}^{\otimes -d})^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}_n\] 를 정한다. Lemma 087Y를 사용하면 원하는 전사 사상 \[\left((\mathcal{L}^{\otimes -d})^{\oplus t}\right)^\wedge \longrightarrow (\mathcal{F}_n)\] 을 얻는다.

앞 문단의 결과와 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)가 아벨 범주라는 사실 (Lemma 087X)에 의해, \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 모든 대상은 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)에서 오는 두 대상 사이의 사상의 여핵이다. 함자 (0880)는 Lemmas 0883 및 0881에 의해 충실충만이고 완전하므로 결론을 얻는다.

그로텐디크 존재 정리 II

이 절에서는 고유인 경우의 그로텐디크 존재 정리를 논한다. 정리의 진술과 증명을 제시하기 전에 Section 0EHN에서 도입한 연접 형식 가군들의 범주 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 관한 이론을 조금 더 전개해야 한다.

주

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{I}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층들이라 하자. \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\)를 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 사상이라 하자. 아핀 열린부분집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)가 주어지고 \(\mathcal{I}|_U, \mathcal{K}|_U\)가 아이디얼들 \(I, K \subset A\)에 대응한다고 하자. 사상을 \(\alpha_U : M \to N\)으로 나타내자. 이는 유한 \(A^\wedge\)-가군들의 사상으로서 \(\alpha|_U\)에 대응한다. Lemma 087W를 보라. 다음 조건들이 동치라고 주장한다.

1. 어떤 정수 \(t \geq 1\)이 존재하여 \(\Ker(\alpha_n)\)과 \(\Coker(\alpha_n)\)이 \(\mathcal{K}^t\)에 의해 소멸된다. 이는 모든 \(n \geq 1\)에 대해 성립한다.

2. 위와 같은 임의의 아핀 열린부분집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)에 대하여, 가군들 \(\Ker(\alpha_U)\)와 \(\Coker(\alpha_U)\)은 \(K^t\)에 의해 소멸된다. 여기서 어떤 정수 \(t \geq 1\)을 택할 수 있다.

3. 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 \(\alpha_{U_i}\)에 대해 (2)의 결론이 성립한다.

이 동치 조건들이 성립하면 \(\alpha\)를 핵과 여핵이 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸되는 사상이라고 한다. 동치성을 보이기 위해 다음 가환대수 사실을 사용한다. 완전열 \[0 \to T \to M \to N \to Q \to 0\] 이 \(A\)-가군들로 이루어지고 \(T\)와 \(Q\)는 \(K^t\)에 의해 소멸된다고 하자. 여기서 어떤 아이디얼 \(K \subset A\)가 주어져 있다. 그러면 모든 \(f, g \in K^t\)에 대해 표준 사상 \("fg": N \to M\)이 존재하여 합성 \(M \to N \to M\)은 \(fg\)를 곱하는 사상과 같다. 실제로 \(y \in N\)에 대하여 \(x \in M\)을 택하되 그 상이 \(fy\)가 되게 하자. 이 상은 \(N\)에서 본 것이다. 그리고 \("fg"(y) = gx\)로 놓으면 된다. 따라서 \(\Ker(M/JM \to N/JN)\)과 \(\Coker(M/JM \to N/JN)\)이 \(K^{2t}\)에 의해 소멸됨은 분명하다. 이는 임의의 아이디얼 \(J \subset A\)에 대해 성립한다.

이 가환대수 사실을 \(\alpha_{U_i}\)와 \(J = I^n\)에 적용하면 (3)이 (1)을 함의함을 알 수 있다. 거꾸로 (1)이 성립하고 \(M \to N\)이 \(\alpha_U\)와 같다고 하자. 그러면 어떤 \(t \geq 1\)이 존재하여 \(\Ker(M/I^nM \to N/I^nN)\)과 \(\Coker(M/I^nM \to N/I^nN)\)이 \(K^t\)에 의해 소멸된다. 이는 모든 \(n\)에 대해 성립한다. 사상들 \("fg" : N/I^nN \to M/I^nM\)을 얻으며, 이 사상들은 극한에서 사상 \(N \to M\)을 유도한다. 실제로 \(N\)과 \(M\)은 \(I\)-진 완비이다. 합성 \(N \to M \to N\)은 \(fg\)를 곱하는 사상이므로 \(fg\)가 \(T\)와 \(Q\)를 소멸시킨다는 결론을 얻는다. 다시 말해 원하는 대로 \(T\)와 \(Q\)는 \(K^{2t}\)에 의해 소멸된다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{I}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층들이라 하자. \(X_e \subset X\)를 \(\mathcal{K}^e\)에 의해 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{I}_e = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X_e}\)로 놓자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 함자 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_{X_e}) \to \textit{Coh}(X_e, \mathcal{I}_e)\)는 모든 \(e \geq 1\)에 대해 동치이다.

2. 연접층 \(\mathcal{H}\)가 \(X\) 위에 주어지고, 사상 \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\)가 존재하며, 그 핵과 여핵은 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸된다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 함자 (0880)의 본질적 상에 속한다.

증명

이 증명에서는 다음 사실을 더 언급하지 않고 사용하겠다. 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)에 대해 함자 \(i_*\)는 \(Z\) 위의 연접 가군들의 범주와 \(X\) 위의 연접 가군 가운데 \(Z\)의 아이디얼 층에 의해 소멸되는 것들의 범주 사이의 동치를 준다. Lemma 087T를 보라. 특히 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_{X_e})\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 가운데 \(\mathcal{K}^e\)에 의해 소멸되는 것들의 범주와 동일시할 수 있고, \(\textit{Coh}(X_e, \mathcal{I}_e)\)를 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에서 \(\mathcal{K}^e\)에 의해 소멸되는 대상들로 이루어진 충만한 부분범주와 동일시할 수 있다. 더욱이 (1)에 따르면 이 두 범주는 완비화 함자 (0880) 아래에서 동치이다.

이 동치를 적용하면 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}_e\)를 얻으며, 이는 \(\mathcal{K}^e\)에 의해 소멸된다. 이 가군은 계 \((\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n)\)에 대응하며, 이 계는 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 속한다. 사상들 \(\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^{e + 1}\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n\)은 표준 사상들 \(\mathcal{G}_{e + 1} \to \mathcal{G}_e\)에 대응하며, 이 사상들은 동형사상 \(\mathcal{G}_{e + 1}/\mathcal{K}^e\mathcal{G}_{e + 1} \to \mathcal{G}_e\)를 유도한다. 따라서 \((\mathcal{G}_e)\)는 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\)의 대상이다. 사상 \(\alpha\)는 사상들의 계 \[\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n \longrightarrow \mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H}\] 를 유도하고, 따라서 사상들 \(\mathcal{G}_e \to \mathcal{H}/\mathcal{K}^e\mathcal{H}\)을 유도한다(범주들의 동치를 다시 사용한다). 가정 (2)에 의해 존재하는 정수 \(t \geq 1\)을 택하여 \(\mathcal{K}^t\)가 모든 사상 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}\)의 핵과 여핵을 소멸시키게 하자. 그러면 \(\mathcal{K}^{2t}\)는 사상 \(\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n \to \mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H}\)의 핵과 여핵을 소멸시킨다. Remark 0888를 보라. 따라서 사상들 \[\mathcal{G}_e \longrightarrow \mathcal{H}/\mathcal{K}^e\mathcal{H},\] 의 핵과 여핵은 \(\mathcal{K}^{4t}\)에 의해 소멸된다는 결론을 얻는다. Remark 0888를 보라. Lemma 0889를 적용하면 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\), 사상 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{H}\) 및 동형사상 \(\beta : (\mathcal{G}_e) \to (\mathcal{F}/\mathcal{K}^e\mathcal{F})\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\) 안에서 얻는다. 이제 거꾸로 추적하자. 주어진 \(n\)에 대해 삼중항 \((\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}, a \bmod \mathcal{I}^n, \beta \bmod \mathcal{I}^n)\)은 사상 \(\alpha_n \bmod \mathcal{K}^e : (\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H})\)에 대해 보조정리에 나오는 삼중항이다. 이 사상은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\)에 속한다. 따라서 Lemma 0889의 유일성은 눈앞의 모든 사상과 양립하는 표준 동형사상 \(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\)을 준다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(Y\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{J}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_Y\)를 준연접 아이디얼 층들이라 하자. \(f : X \to Y\)를 고유 사상이라 하되 \(V = Y \setminus V(\mathcal{K})\) 위에서 동형사상이라고 하자. \(\mathcal{I} = f^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_X\)로 놓자. \((\mathcal{G}_n)\)을 \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\)의 대상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하며, \(\beta : (f^*\mathcal{G}_n) \to \mathcal{F}^\wedge\)를 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 안의 동형사상이라 하자. 그러면 사상 \[\alpha : (\mathcal{G}_n) \longrightarrow (f_*\mathcal{F})^\wedge\] 가 \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) 안에 존재하고, 그 핵과 여핵은 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸된다.

증명

\(f\)가 고유 사상이므로 \(f_*\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다 (Proposition 02O5). 따라서 보조정리의 진술은 의미가 있다. 합성들을 생각하자. \[\gamma_n : \mathcal{G}_n \to f_*f^*\mathcal{G}_n \to f_*(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}).\] 여기서 첫째 사상은 수반 사상이고 둘째 사상은 \(f_*\beta_n\)이다. 보조정리의 사상 \(\alpha\)가 유일하게 존재하여 합성 \[\mathcal{G}_n \xrightarrow{\alpha_n} f_*\mathcal{F}/\mathcal{J}^nf_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\] 이 \(\gamma_n\)과 모든 \(n\)에 대해 같도록 할 수 있다고 주장한다. 유일성 때문에 \(Y = \Spec(B)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(J \subset B\)를 \(\mathcal{J}\)에 대응하는 아이디얼이라 하자. 다음과 같이 놓자. \[M_n = H^0(X, \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}) \quad\text{and}\quad M = H^0(X, \mathcal{F})\] Lemma 02OB 및 Theorem 02OC에 의해 가군들 \(M_n\)의 역극한은 완비화 \(M^\wedge = \lim M/J^nM\)과 같다. \(N_n = H^0(Y, \mathcal{G}_n)\) 및 \(N = \lim N_n\)으로 놓자. Lemma 087W의 범주 동치를 통해 유한 \(B^\wedge\)-가군들 \(N\)과 \(M^\wedge\)은 각각 \((\mathcal{G}_n)\)과 \(f_*\mathcal{F}^\wedge\)에 대응한다. 따라서 \(\alpha\)는 \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\)의 사상이어야 하며, 이는 준동형사상 \[\lim \gamma_n : N = \lim_n N_n \longrightarrow \lim M_n = M^\wedge\] 에 대응한다. 이 준동형사상은 유한 \(B^\wedge\)-가군들의 사상이다.

이제 \(\alpha\)의 핵과 여핵이 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸됨을 보여야 한다. \(Y' = \Spec(B^\wedge)\) 및 \(X' = Y' \times_Y X\)로 놓자. \(\mathcal{K}'\), \(\mathcal{J}'\), \(\mathcal{G}'_n\) 및 \(\mathcal{I}'\), \(\mathcal{F}'\)을 각각 \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{J}\), \(\mathcal{G}_n\) 및 \(\mathcal{I}\), \(\mathcal{F}\)의 \(Y'\)와 \(X'\)로의 당김이라 하자. 사영 사상 \(f' : X' \to Y'\)은 \(f\)의 \(Y' \to Y\)에 의한 밑변환이다. 사상 \(Y' \to Y\)는 스킴들의 평탄 사상임을 주목하자. 실제로 \(B \to B^\wedge\)는 Algebra, Lemma 00MB에 의해 평탄이다. 따라서 \(f'_*\mathcal{F}'\), 각각 \(f'_*(f')^*\mathcal{G}_n'\)은 Lemma 02KH에 의해 \(f_*\mathcal{F}\), 각각 \(f_*f^*\mathcal{G}_n\)의 \(Y'\)로의 당김이다. 우리 구성의 유일성에 따라 \(\alpha\)의 \(Y'\)로의 당김은 대응 사상 \(\alpha'\)이다. 이 사상은 \(Y'\) 위의 상황에서 구성한 것이다. 더욱이 \(\alpha\)의 핵과 여핵이 \(\mathcal{K}^t\)에 의해 소멸되는지를 확인하려면 \(\alpha'\)의 핵과 여핵이 \((\mathcal{K}')^t\)에 의해 소멸되는지만 확인하면 충분하다. 실제로 이를 보려면 사상들 \(\alpha_n\)과 \(\alpha'_n\)의 핵과 여핵에 대해 이 사실을 확인해야 하고(Remark 0888를 보라), 환 사상 \(B \to B^\wedge\)은 \(J^n\)에 의해 소멸되는 가군들의 범주와 \((J')^n\)에 의해 소멸되는 가군들의 범주 사이의 동치를 유도한다. More on Algebra, Lemma 05EC를 보라. 따라서 \(B\)가 \(J\)에 관해 완비라고 가정해도 된다.

\(Y = \Spec(B)\)가 아핀이고, \(\mathcal{J}\)가 아이디얼 \(J \subset B\)에 대응하며, \(B\)가 \(J\)에 관해 완비라고 가정하자. 이 경우 \((\mathcal{G}_n)\)은 함자 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\)의 본질적 상에 속한다. \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하되 \((\mathcal{G}_n) = \mathcal{G}^\wedge\)을 만족하는 것으로 택하자. \(f^*(\mathcal{G}^\wedge) = (f^*\mathcal{G})^\wedge\)임을 주목하자. 따라서 Lemma 0883에 의해 \(\beta\)는 동형사상 \(b : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)에서 오며, \(\alpha\)는 다음 사상에 완비화 함자를 적용한 것이다. \[\mathcal{G} \to f_*f^*\mathcal{G} \cong f_*\mathcal{F}\] 따라서 수반 사상 \(c : \mathcal{G} \to f_*f^*\mathcal{G}\)의 핵과 여핵이 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸됨을 확인하면 된다. 그런데 제한 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\)는 동형사상이므로 \(c|_V\)도 동형사상이다. 따라서 연접층들 \(\Ker(c)\)와 \(\Coker(c)\)의 지지는 \(V(\mathcal{K})\)에 포함되고, 그러므로 이들은 원하는 대로 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸된다(Lemma 01Y9).

다음 명제는 실제로 가장 자주 쓰이는 그로텐디크 존재 정리의 형태이다.

명제

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 스킴들의 고유 사상이라 하자. \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)로 놓자. 그러면 함자 (0880)는 동치이다.

증명

함자 (0880)가 충실충만임은 Lemma 0883에서 이미 보았다. 따라서 이 함자가 본질적 전사임을 보이면 충분하다.

모음 \(\Xi\)를 다음과 같은 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\)들로 이루어진 것으로 정의하자. 모든 대상 \((\mathcal{F}_n)\) 가운데 \(\mathcal{K}\)에 의해 소멸되는 것은 본질적 상에 속한다. \((0)\)이 \(\Xi\)에 속함을 보이고자 한다. 그렇지 않다면 \(X\)가 뇌터이므로 극대 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{K}\)가 존재하되 \(\Xi\)에 속하지 않는다. Lemma 01Y8를 보라. \(X\)를 그 안의 닫힌 부분스킴으로 대체하자. 이 부분스킴은 \(X\)에서 \(\mathcal{K}\)에 대응한다. 그러면 모든 영이 아닌 \(\mathcal{K}\)가 \(\Xi\)에 속한다고 가정해도 된다. 여기서는 \(\mathcal{K}\)에 의해 소멸되는 연접 가군들과 \(\mathcal{K}\)에 대응하는 닫힌 부분스킴 위의 연접 가군들의 대응을 사용한다. Lemma 087T를 보라. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 이 대상이 함자 (0880)의 본질적 상에 속함을 보여 명제의 증명을 끝내겠다.

Chow의 보조정리(Lemma 0200)를 적용하여 고유 전사 사상 \(f : X' \to X\)를 택하자. 이 사상은 조밀한 열린부분집합 \(U \subset X\) 위에서 동형사상이고 \(X'\)은 \(A\) 위에서 사영이다. \(\mathcal{K}\)를 축약된 여집합 \(X \setminus U\)를 정의하는 준연접 아이디얼 층이라 하자. 그로텐디크 존재 정리의 사영인 경우(Lemma 0885)에 의해 연접 가군 \(\mathcal{F}'\)이 \(X'\) 위에 존재하여 \((\mathcal{F}')^\wedge \cong (f^*\mathcal{F}_n)\)이다. Proposition 02O5에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{H} = f_*\mathcal{F}'\)은 연접이고, Lemma 088B에 의해 사상 \((\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\)가 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 안에 존재한다. 그 핵과 여핵은 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸된다. 모든 멱 \(\mathcal{K}^e\)는 \(\Xi\)에 속하므로 함자 (0880)는 닫힌 부분스킴들 \(X_e = V(\mathcal{K}^e)\)에 대해 동치이다. Lemma 088A에 의해 결론을 얻는다.

밑 위에서의 고유성

이 짧은 절에서는 밑 위에서 고유인 닫힌 부분집합과, 지지가 밑 위에서 고유인 유한형 준연접 가군의 몇 가지 유용한 성질을 지적한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 사상 \(Z \to S\)는 고유이다. 여기서 \(Z\)에는 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 준다(Schemes, Definition 01J4).

2. \(Z\) 위의 어떤 닫힌 부분스킴 구조에 대해 사상 \(Z \to S\)는 고유이다.

3. \(Z\) 위의 임의의 닫힌 부분스킴 구조에 대해 사상 \(Z \to S\)는 고유이다.

증명

(3) \(\Rightarrow\) (1) 및 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 즉시 따른다. 따라서 (2)가 (3)을 함의함을 보이면 충분하다. 독자에게 이 사실의 증명을 직접 찾아보기를 권한다. \(Z'\)과 \(Z''\)을 \(Z\) 위의 닫힌 부분스킴 구조들이라 하고 \(Z' \to S\)가 고유라고 하자. \(Z'' \to S\)가 고유임을 보여야 한다. \(Z''' = Z' \cup Z''\)을 스킴론적 합집합이라 하자. Morphisms, Definition 0C4H을 보라. 그러면 \(Z'''\)은 \(Z\) 위의 또 다른 닫힌 부분스킴 구조이다. 예를 들어 Morphisms, Lemma 0C4J에 있는 스킴론적 합집합의 기술에서 이 사실이 따른다. \(Z'' \to Z'''\)이 닫힌 몰입이므로 \(Z''' \to S\)가 고유임을 증명하면 충분하다(Morphisms, Lemmas 01W5 및 01W3를 보라). 사상 \(Z' \to Z'''\)은 전단사 닫힌 몰입이고, 특히 전사이며 보편적으로 닫혀 있다. 따라서 \(Z' \to S\)가 분리라는 사실로부터 \(Z''' \to S\)가 분리임이 따른다. Morphisms, Lemma 09MQ를 보라. 또한 \(Z''' \to S\)는 국소 유한형이다. 실제로 \(X \to S\)가 국소 유한형이다 (Morphisms, Lemmas 01T5 및 01T3). \(Z' \to S\)가 준콤팩트이고 \(Z' \to Z'''\)이 위상동형이므로 \(Z''' \to S\)도 준콤팩트이다. 마지막으로 \(Z' \to S\)가 보편적으로 닫혀 있으므로 Morphisms, Lemma 03GN에 의해 \(Z''' \to S\)도 그러하다. 이로써 증명이 끝난다.

정의

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. Lemma 0CYL의 동치 조건들이 성립하면 \(Z\)는 \(S\) 위에서 고유이다라고 한다.

위 정의에 사용한 보조정리는 사상 \(f : X \to S\)가 국소 유한형이 아니면 거짓이다. 따라서 \(f\)가 국소 유한형이 아닐 때는 이 용어를 사용하지 말기를 독자에게 강하게 권한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(Y \subset Z \subset X\)를 닫힌 부분집합들이라 하자. \(Z\)가 \(S\) 위에서 고유이면 \(Y\)도 그러하다.

증명

생략한다.

보조정리

스킴들의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 국소 유한형이다. \(Z\)가 \(X\)의 닫힌 부분집합이고 \(S\) 위에서 고유이면, \((g')^{-1}(Z)\)는 \(X'\)의 닫힌 부분집합이고 \(S'\) 위에서 고유이다.

증명

Morphisms, Lemma 01T4에 의해 \(f'\)이 국소 유한형이므로 진술은 의미가 있다. \(Z\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주자. 스킴론적 역상 \(Z' = (g')^{-1}(Z)\)으로 나타내자(Schemes, Definition 01JV). 그러면 \(Z' = X' \times_X Z = (S' \times_S X) \times_X Z = S' \times_S Z\)는 \(S'\) 위에서 고유이다. 실제로 이는 \(Z\)를 \(S\) 위에서 밑변환한 것이다 (Morphisms, Lemma 01W4).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 스킴들의 사상이라 하고, 두 스킴은 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자.

1. \(Y\)가 \(S\) 위에서 분리이고 \(Z \subset X\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이면, \(f(Z)\)는 \(Y\)의 닫힌 부분집합이고 \(S\) 위에서 고유이다.

2. \(f\)가 보편적으로 닫혀 있고 \(Z \subset X\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이면, \(f(Z)\)는 \(Y\)의 닫힌 부분집합이고 \(S\) 위에서 고유이다.

3. \(f\)가 고유이고 \(Z \subset Y\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이면, \(f^{-1}(Z)\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합이고 \(S\) 위에서 고유이다.

증명

(1)의 증명. \(Y\)가 \(S\) 위에서 분리이고 \(Z \subset X\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이라고 하자. \(Z\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주고 \(Z \to Y\)에 \(S\) 위에서 Morphisms, Lemma 0AH6를 적용하면 된다.

(2)의 증명. \(f\)가 보편적으로 닫혀 있고 \(Z \subset X\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이라고 하자. \(Z\)와 \(Z' = f(Z)\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주자. 유도된 사상 \(Z \to Z'\)을 얻는다. 스킴론적 역상 \(Z'' = f^{-1}(Z')\)으로 나타내자(Schemes, Definition 01JV). 그러면 \(Z'' \to Z'\)은 \(f\)의 밑변환이므로 보편적으로 닫혀 있다(Morphisms, Lemma 01W4). 따라서 \(Z \to Z'\)은 닫힌 몰입 \(Z \to Z''\)과 \(Z'' \to Z'\)의 합성이므로 보편적으로 닫혀 있다 (Morphisms, Lemmas 01W5 및 01W3). Morphisms, Lemma 09MQ에 의해 \(Z' \to S\)가 분리라는 결론을 얻는다. \(Z \to S\)가 준콤팩트이고 \(Z \to Z'\)이 전사이므로 \(Z' \to S\)는 준콤팩트이다. 사상 \(Z' \to S\)는 \(Z' \to Y\)와 \(Y \to S\)의 합성이다. 따라서 \(Z' \to S\)는 국소 유한형이다 (Morphisms, Lemmas 01T5 및 01T3). 마지막으로 \(Z \to S\)가 보편적으로 닫혀 있으므로 Morphisms, Lemma 03GN에 의해 \(Z' \to S\)도 그러하다. 이로써 증명이 끝난다.

(3)의 증명. \(f\)가 고유이고 \(Z \subset Y\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이라고 하자. \(Z\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주자. 스킴론적 역상 \(Z' = f^{-1}(Z)\)으로 나타내자(Schemes, Definition 01JV). 그러면 \(Z' \to Z\)은 \(f\)의 밑변환이므로 고유이다(Morphisms, Lemma 01W4). 따라서 \(Z' \to S\)는 \(Z' \to Z\)와 \(Z \to S\)의 합성이므로 고유이다(Morphisms, Lemma 01W3). 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(Z_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\)을 닫힌 부분집합들이라 하자. \(Z_i\), \(i = 1, \ldots, n\)이 \(S\) 위에서 고유이면 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\)도 그러하다.

증명

\(Z_i\)에 각각 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 주자. 사상 \[Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n \longrightarrow X\] 은 Morphisms, Lemmas 035C 및 0CYI에 의해 유한이다. 유한 사상은 보편적으로 닫혀 있고(Morphisms, Lemma 01WN), \(Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n\)은 \(S\) 위에서 고유이다. 따라서 Lemma 0CYQ의 (2)에 의해 그 상 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\)은 \(S\) 위에서 고유이다.

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 지지 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), 즉 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. Morphisms, Lemma 056J을 보라. 따라서 “\(\mathcal{F}\)의 지지는 \(S\) 위에서 고유이다”라고 말하는 것이 의미가 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(S\) 위에서 고유이다.

2. \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지는 \(S\) 위에서 고유이다 (Morphisms, Definition 05JV).

3. 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)와 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 (a) \(Z \to S\)가 고유이고, (b) \((Z \to X)_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)이다.

증명

지지 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), 즉 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. Morphisms, Lemma 056J을 보라. 따라서 Definition 0CYM를 적용할 수 있다. \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지는 그 바탕 닫힌 부분집합이 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)인 닫힌 부분스킴이므로 Definition 0CYM에 의해 (1)과 (2)는 동치이다. (2)가 (3)을 함의함은 분명하다. 거꾸로 (3)이 성립하면 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\)이고, 이는 \(X\)의 닫힌 부분집합들의 포함관계이다. 따라서 예를 들어 Lemma 0CYN에 의해 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)는 \(S\) 위에서 고유이다.

보조정리

스킴들의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 국소 유한형이다. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 지지가 \(S\) 위에서 고유이면 \((g')^*\mathcal{F}\)의 지지는 \(S'\) 위에서 고유이다.

증명

Modules, Lemma 01B6에 의해 \((g')*\mathcal{F}\)가 유한형이므로 진술은 의미가 있다. Morphisms, Lemma 056J에 의해 \(\text{Supp}((g')^*\mathcal{F}) = (g')^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)이다. 따라서 보조정리는 Lemma 0CYP에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 지지가 \(S\) 위에서 고유이면 다음 가군들의 지지도 그러하다. \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\), \(\mathcal{G}\)의 \(\mathcal{F}\)에 의한 임의의 확장, \(\Im(u)\)와 \(\Coker(u)\)가 여기에 해당한다. 여기서 후자의 두 가군은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 주어졌을 때의 것이다. 또한 \(\mathcal{F}\) 또는 \(\mathcal{G}\)의 임의의 준연접 몫이 여기에 해당한다.

2. \(S\)가 국소 뇌터이면, 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 가운데 지지가 \(S\) 위에서 고유인 것들의 범주는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 아벨 범주의 세르 부분범주이다(Homology, Definition 02MO).

증명

(1)의 증명. \(Z\), \(Z'\)을 각각 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 지지라 하자. 그러면 (1)에서 언급한 모든 층의 지지는 \(Z \cup Z'\)에 포함된다. 따라서 이 층들이 유한형이고 준연접임을 확인한다면 주장 자체는 Lemmas 0CYN 및 0CYR에서 분명히 따른다. 준연접성에 대해서는 Schemes, Section 01LA을 보라. “유한형”에 대해서는 Modules, Section 01B4을 살펴보기를 권한다.

(2)의 증명은 (1)의 증명과 같다. Morphisms, Lemma 01T6에 의해 \(X\)가 국소 뇌터이고, Section 01XY에서 연접 가군의 범주를 기술했으므로 주장들은 의미가 있음을 주목하자.

보조정리

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 그 지지는 \(S\) 위에서 고유라고 하자. 그러면 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이며, 이는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

Lemma 0CYS에 의해 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)와 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 (a) \(g = f \circ i : Z \to S\)가 고유이고, (b) \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)이다. Proposition 02O5에 의해 \(R^pg_*\mathcal{G}\)는 \(S\) 위에서 연접이다. 한편 \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\)이며 이는 \(q > 0\)에 대해 성립한다(Lemma 01Y6). Cohomology, Lemma 01F6에 의해 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\)를 얻으며, 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. 다음은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 세르 부분범주들이다.

1. \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 충만한 부분범주로서, 대상 \((\mathcal{F}_n)\) 가운데 \(\mathcal{F}_1\)의 지지가 \(S\) 위에서 고유인 것들로 이루어진 범주.

2. \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 충만한 부분범주로서, 대상 \((\mathcal{F}_n)\) 가운데 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)가 존재하고 이 부분스킴이 \(S\) 위에서 고유이며 모든 항에 대해 \(\mathcal{I}_Z \mathcal{F}_n = 0\)인 것들로 이루어진 범주. 여기서 모든 \(n \geq 1\)을 고려한다.

증명

Homology, Lemma 02MP의 판정법을 사용하겠다. 또한 \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 짧은 완전열이면 다음 사실들을 사용하겠다. (a) \(\mathcal{G}_n \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{H}_n \to 0\)은 모든 \(n \geq 1\)에 대해 완전하고, (b) \(\mathcal{G}_n\)은 \(\Ker(\mathcal{F}_m \to \mathcal{H}_m)\)의 몫이다. 여기서 어떤 \(m \geq n\)을 택할 수 있다. Lemma 087X의 증명을 보라.

(1)의 증명. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 그러면 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_n) = \text{Supp}(\mathcal{F}_1)\)이고 이는 모든 \(n \geq 1\)에 대해 성립한다. 따라서 위의 (a)와 (b)에 의해 임의의 짧은 완전열 \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\)이 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 주어지면 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_1) \cup \text{Supp}(\mathcal{H}_1) = \text{Supp}(\mathcal{F}_1)\)이다. 이것으로 (1)에서 정의한 범주가 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 세르 부분범주임이 증명된다.

(2)의 증명. 여기서도 같은 방식으로 논증한다. \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 짧은 완전열이라 하자. \(Z \subset X\)가 닫힌 부분스킴이고 \(\mathcal{I}_Z\)가 \(\mathcal{F}_n\)을 모든 \(n\)에 대해 소멸시키면, 위의 (a)와 (b)에 의해 \(\mathcal{I}_Z\)는 \(\mathcal{G}_n\)과 \(\mathcal{H}_n\)도 모든 \(n\)에 대해 소멸시킨다. 따라서 \(Z \to S\)가 고유이면 (2)에서 정의한 범주는 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 안에서 부분대상과 몫대상을 취하는 것에 대해 닫혀 있다는 결론을 얻는다. 마지막으로 \(Z \subset X\)와 \(Y \subset X\)가 \(S\) 위에서 고유인 닫힌 부분스킴들이고, \(\mathcal{I}_Z \mathcal{G}_n = 0\) 및 \(\mathcal{I}_Y \mathcal{H}_n = 0\)이라고 하자. 이는 모든 \(n \geq 1\)에 대해 성립한다고 가정한다. 그러면 위의 (a)에 의해 \(\mathcal{I}_{Z \cup Y} = \mathcal{I}_Z \cdot \mathcal{I}_Y\)는 \(\mathcal{F}_n\)을 모든 \(n\)에 대해 소멸시킨다. Lemma 0CYR에 의해 \(Z \cup Y \to S\)는 고유이다. 여기서는 Definition 0CYM에 따라 합집합에 임의의 스킴 구조를 택할 수 있다는 사실도 사용했다. 이로써 증명이 끝난다.

그로텐디크 존재 정리 III

그로텐디크 존재 정리의 일반형을 진술하기 위해 표기를 조금 더 도입한다. \(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 분리 유한형 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)로 놓자. 이 상황에서 \[\textit{Coh}_{\text{support proper over } A}(\mathcal{O}_X)\] 를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 충만한 부분범주로 정의하되, 그 대상은 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 한다. 그 지지는 \(\Spec(A)\) 위에서 고유해야 한다. 이는 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 세르 부분범주이다. Lemma 0CYU를 보라. 마찬가지로 \[\textit{Coh}_{\text{support proper over } A}(X, \mathcal{I})\] 를 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 충만한 부분범주로 정의하되, 대상 \((\mathcal{F}_n)\) 가운데 \(\mathcal{F}_1\)의 지지가 \(\Spec(A)\) 위에서 고유인 것들로 한다. Lemma 0CYV의 (1)에 의해 이는 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 세르 부분범주이다. 몫가군의 지지는 원래 가군의 지지에 포함되므로 (0880)는 함자 [088D]\[\begin{equation} \textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I}) \end{equation}\] 를 유도한다. 이제 이 절의 주정리를 진술할 준비가 되었다.

정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 분리 유한형 스킴이라 하자. 그러면 함자 (088D) \[\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\] 는 동치이다.

증명

Lemma 087T의 범주 동치를 더 언급하지 않고 사용하겠다. 이 증명에서 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)가 \(A\) 위에서 고유할 때, \(X\) 위의 연접 가군이 “\(Z\) 위에 지지된다”고 함은 그것이 \(Z\)의 아이디얼 층에 의해 소멸되는 것, 또는 동치로 \(Z\) 위의 연접 가군의 직상인 것을 뜻한다. Proposition 088C에 의해 결과가 \(Z\) 위에 지지되는 연접 가군들과 연접 가군들의 계 사이의 함자에 대해서는 참임을 안다. 따라서 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X)\)의 모든 대상과 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)의 모든 대상이 어떤 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\) 위에 지지되고 이 부분스킴이 \(A\) 위에서 고유임을 보이면 충분하다. \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X)\)의 대상에 대해서는 정의상 이 사실이 성립한다. \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)의 대상에 대해서는 Proposition 088C의 증명 방법을 사용하여 이 명제를 증명하겠다. 먼저 그 증명을 읽기를 독자에게 권한다.

모음 \(\Xi\)를 다음과 같은 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\)들로 이루어진 것으로 정의하자. 명제는 모든 대상 \((\mathcal{F}_n)\)에 대해 성립해야 하는데, 이 대상은 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)에 속하고 \(\mathcal{K}\)에 의해 소멸되어야 한다. \((0)\)이 \(\Xi\)에 속함을 보이고자 한다. 그렇지 않다면 \(X\)가 뇌터이므로 극대 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{K}\)가 존재하되 \(\Xi\)에는 속하지 않는다. Lemma 01Y8를 보라. \(X\)를 그 안의 닫힌 부분스킴으로 대체하자. 이 부분스킴은 \(X\)에서 \(\mathcal{K}\)에 대응한다. 그러면 모든 영이 아닌 \(\mathcal{K}\)가 \(\Xi\)에 속한다고 가정해도 된다. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 이 대상이 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\) 위에 지지되고 이 부분스킴이 \(A\) 위에서 고유임을 보여 정리의 증명을 끝내겠다.

Chow의 보조정리(Lemma 0200)를 적용하여 고유 전사 사상 \(f : Y \to X\)를 택하자. 이 사상은 조밀한 열린부분집합 \(U \subset X\) 위에서 동형사상이고, \(Y\)는 \(A\) 위에서 H-준사영이다. 열린 몰입 \(j : Y \to Y'\)을 택하되 \(Y'\)이 \(A\) 위에서 사영이 되게 하자. Morphisms, Lemma 01WA를 보라. 다음을 주목하자. \[\text{Supp}(f^*\mathcal{F}_n) = f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_n) = f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\] 첫째 등식은 Morphisms, Lemma 056J에서 따른다. 가정과 Lemma 0CYQ의 (3)에 의해 \(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\)은 \(A\) 위에서 고유이다. 따라서 \(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\)의 \(j\)에 의한 상은 Lemma 0CYQ의 (1)에 의해 \(Y'\)에서 닫혀 있다. 그러므로 \(\mathcal{F}'_n = j_*f^*\mathcal{F}_n\)은 Lemma 0CYJ에 의해 \(Y'\) 위에서 연접이다. 따라서 \((\mathcal{F}_n')\)은 \(\textit{Coh}(Y', I\mathcal{O}_{Y'})\)의 대상이다. 그로텐디크 존재 정리의 사영인 경우(Lemma 0885)에 의해 연접 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)과 동형사상 \((\mathcal{F}')^\wedge \cong (\mathcal{F}'_n)\)이 존재하며, 이 동형사상은 \(\textit{Coh}(Y', I\mathcal{O}_{Y'})\) 안에 있다. \(\mathcal{F}'/I\mathcal{F}' = \mathcal{F}'_1\)이므로 다음을 얻는다. \[\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap V(I\mathcal{O}_{Y'}) = \text{Supp}(\mathcal{F}'_1) = j(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1))\] 구조 사상 \(p' : Y' \to \Spec(A)\)는 고유이므로 \(p'(\text{Supp}(\mathcal{F}') \setminus j(Y))\)는 \(\Spec(A)\)에서 닫혀 있다. \(\Spec(A)\)의 영이 아닌 닫힌 부분집합은 \(V(I)\)의 점을 하나 포함한다. 실제로 Algebra, Lemma 05GI에 의해 \(I\)는 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함된다. 위 등식은 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap (p')^{-1}V(I) \subset j(Y)\)임을 보여주므로 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \subset j(Y)\)라는 결론을 얻는다. 따라서 \(\mathcal{F}'|_Y = j^*\mathcal{F}'\)은 닫힌 부분스킴 \(Z'\) 위에 지지된다. 이 부분스킴은 \(Y\)에 속하고 \(A\) 위에서 고유이다. 또한 \((\mathcal{F}'|_Y)^\wedge = (f^*\mathcal{F}_n)\)이다.

\(\mathcal{K}\)를 축약된 여집합 \(X \setminus U\)를 정의하는 준연접 아이디얼 층이라 하자. Proposition 02O5에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{H} = f_*(\mathcal{F}'|_Y)\)은 연접이고, Lemma 088B에 의해 사상 \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\)가 존재한다. 이 사상은 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)에 속하며, 그 핵과 여핵은 멱 \(\mathcal{K}^t\), 즉 \(\mathcal{K}\)의 한 멱에 의해 소멸된다. 완전열 \[0 \to \Ker(\alpha) \to (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge \to \Coker(\alpha) \to 0\] 을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 안에서 얻는다. \(Z_0 \subset X\)가 \(\mathcal{H}\)의 스킴론적 지지이면 집합론적으로 \(Z_0 \subset f(Z')\)임은 분명하다. 따라서 Lemma 0CYN 및 Lemma 0CYQ의 (2)에 의해 \(Z_0\)는 \(A\) 위에서 고유이다. 그러므로 \(\mathcal{H}^\wedge\)은 Lemma 0CYV의 (2)에서 정의한 부분범주에 속하고, 더구나 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)에도 속한다. Lemma 0CYV의 (1)에 의해 \(\Ker(\alpha)\)와 \(\Coker(\alpha)\)도 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)에 속한다는 결론을 얻는다. 귀납가정, 더 정확히는 \(\mathcal{K}^t\)가 \(\Xi\)에 속한다는 사실에 의해 \(\Ker(\alpha)\)와 \(\Coker(\alpha)\)는 Lemma 0CYV의 (2)에서 정의한 부분범주에 속한다. 이 부분범주는 그 보조정리에 의해 세르 부분범주이므로 \((\mathcal{F}_n)\)도 그러하다는 결론을 얻는다. 이것이 보이고자 한 것이다.

주

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(S = \Spec(A)\) 및 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)으로 쓰자. \(X \to S\)를 분리 유한형 사상이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(X_n = X \times_S S_n\)으로 놓자. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots & X \ar[d] \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots & S }\] 이 상황에서 다음을 만족하는 계 \((\mathcal{F}_n, \varphi_n)\)을 생각한다.

1. \(\mathcal{F}_n\)은 연접 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-가군이다.

2. \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)은 동형사상이다.

3. \(\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\)은 \(S_1\) 위에서 고유이다.

Theorem 088E은 완비화 함자 \[\begin{matrix} \text{coherent }\mathcal{O}_X\text{-modules }\mathcal{F} \\ \text{with support proper over }A \end{matrix} \quad \longrightarrow \quad \begin{matrix} \text{systems }(\mathcal{F}_n) \\ \text{as above} \end{matrix}\] 가 범주의 동치임을 말한다. 특별히 \(X\)가 \(A\) 위에서 고유이면 지지에 관한 조건들을 생략할 수 있다.

그로텐디크 대수화 정리

첫 결과는 그로텐디크 존재 정리를 닫힌 부분스킴과 유한 사상의 말로 옮긴 것이다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(S = \Spec(A)\) 및 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)으로 쓰자. \(X \to S\)를 분리 유한형 사상이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(X_n = X \times_S S_n\)으로 놓자. 데카르트 정사각형들로 이루어진 가환 도식 \[\xymatrix{ Z_1 \ar[r] \ar[d] & Z_2 \ar[r] \ar[d] & Z_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ X_1 \ar[r]^{i_1} & X_2 \ar[r]^{i_2} & X_3 \ar[r] & \ldots }\] 이 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Z_1 \to X_1\)은 닫힌 몰입이다.

2. \(Z_1 \to S_1\)은 고유이다.

그러면 스킴들의 닫힌 몰입 \(Z \to X\)가 존재하여 \(Z_n = Z \times_S S_n\)이다. 더 나아가 \(Z\)는 \(S\) 위에서 고유이다.

증명

수직 사상들을 \(j_n : Z_n \to X_n\)으로 쓰자. 진술에 나오는 정사각형들이 데카르트이므로 \(j_n\)을 \(X_1\)로 밑변환한 것은 \(j_1\)이다. 따라서 Morphisms, Lemma 0896에 의해 \(j_n\)은 닫힌 몰입이다. \(\mathcal{F}_n = j_{n, *}\mathcal{O}_{Z_n}\)으로 놓자. 그러면 \(j_n^\sharp\)은 전사 \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\)이다. 정사각형들이 데카르트라는 사실을 다시 사용하면 \(\mathcal{F}_{n + 1}\)을 \(X_n\)으로 당긴 것이 \(\mathcal{F}_n\)임을 알 수 있다. 따라서 Remark 088F에서 다시 서술한 그로텐디크 존재 정리에 의해 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)가 존재하며, 이는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이다. 이를 \(X_n\)에 제한하면 \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\)을 되찾는다. 더 나아가 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(S\) 위에서 고유이다. 완비화 함자는 완전하므로 (Lemma 0881), 여핵 \(\mathcal{Q}\)의 완비화는 영이다. 이 여핵은 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)의 여핵이다. \(\mathcal{F}\)의 지지가 \(S\) 위에서 고유이고 \(\mathcal{Q}\)의 지지도 그러하므로, 예를 들어 그로텐디크 존재 정리에 의해 함자 (088D)가 동치라는 사실로부터 \(\mathcal{Q} = 0\)이 따른다. 따라서 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)이다. 여기서 \(\mathcal{J}\)는 어떤 준연접 아이디얼 층이다. \(Z = V(\mathcal{J})\)로 놓으면 증명이 끝난다.

다음 보조정리에서는 사실 \(Y_1 \to X_1\)이 유한이라고만 가정해도 충분하다. 이 가정으로부터 \(Y_n \to X_n\)도 유한임이 따르기 때문이다 (More on Morphisms, Lemma 09ZW를 보라).

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(S = \Spec(A)\) 및 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)으로 쓰자. \(X \to S\)를 분리 유한형 사상이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(X_n = X \times_S S_n\)으로 놓자. 데카르트 정사각형들로 이루어진 가환 도식 \[\xymatrix{ Y_1 \ar[r] \ar[d] & Y_2 \ar[r] \ar[d] & Y_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ X_1 \ar[r]^{i_1} & X_2 \ar[r]^{i_2} & X_3 \ar[r] & \ldots }\] 이 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y_n \to X_n\)은 유한 사상이다.

2. \(Y_1 \to S_1\)은 고유이다.

그러면 스킴들의 유한 사상 \(Y \to X\)가 존재하여 \(Y_n = Y \times_S S_n\)이다. 더 나아가 \(Y\)는 \(S\) 위에서 고유이다.

증명

수직 사상들을 \(f_n : Y_n \to X_n\)으로 쓰자. \(\mathcal{F}_n = f_{n, *}\mathcal{O}_{Y_n}\)으로 놓자. 이는 연접 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-가군이다. 실제로 \(f_n\)은 유한이다(Lemma 01Y6). 정사각형들이 데카르트라는 사실을 사용하면 \(\mathcal{F}_{n + 1}\)을 \(X_n\)으로 당긴 것이 \(\mathcal{F}_n\)임을 알 수 있다. 따라서 Remark 088F에서 다시 서술한 그로텐디크 존재 정리에 의해 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하며, 이를 \(X_n\)에 제한하면 \(\mathcal{F}_n\)을 되찾는다. 더 나아가 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(S\) 위에서 고유이다. 완비화 함자는 충실충만이므로 (Theorem 088E), 곱셈 사상들 \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\)은 서로 맞물려 \(\mathcal{F}\) 위의 대수 구조를 준다. \(Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{F})\)로 놓으면 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(S = \Spec(A)\) 및 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)으로 쓰자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 스킴들이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(X_n = X \times_S S_n\) 및 \(Y_n = Y \times_S S_n\)으로 놓자. 서로 양립하는 가환 도식들의 계 \[\xymatrix{ & & X_{n + 1} \ar[rd] \ar[rr]_{g_{n + 1}} & & Y_{n + 1} \ar[ld] \\ X_n \ar[rru] \ar[rd] \ar[rr]_{g_n} & & Y_n \ar[rru] \ar[ld] & S_{n + 1} \\ & S_n \ar[rru] }\] 이 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X \to S\)는 고유이다.

2. \(Y \to S\)는 분리 유한형이다.

그러면 스킴 사상 \(g : X \to Y\)가 유일하게 존재하며 이는 \(S\) 위의 사상이다. 또한 \(g_n\)은 \(g\)를 \(S_n\)으로 밑변환한 것이다.

증명

사상들 \((1, g_n) : X_n \to X_n \times_S Y_n\)은 닫힌 몰입이다. 실제로 \(Y_n \to S_n\)이 분리이다(Schemes, Lemma 01KT). 따라서 Lemma 0899에 의해 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X \times_S Y\)가 존재하며 이는 \(S\) 위에서 고유이다. 또한 이를 \(S_n\)으로 밑변환하면 \(X_n \subset X_n \times_S Y_n\)을 되찾는다. 첫째 사영 \(p : Z \to X\)는 고유 사상이다. 실제로 \(Z\)는 \(S\) 위에서 고유이다. Morphisms, Lemma 01W6를 보라. 이 사상을 \(S_n\)으로 밑변환하면 모든 \(n\)에 대해 동형사상이 된다. 특히 Lemma 02OH에 의해 \(p : Z \to X\)는 \(X_0\)의 어떤 열린 근방 위에서 유한이다. \(X\)가 \(S\) 위에서 고유이므로 이 열린 근방은 \(X\) 전체이고, 따라서 \(p : Z \to X\)가 유한이라는 결론을 얻는다. Proposition 088C의 동치를 적용하면 \(p_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X\)임을 알 수 있다. 실제로 이 사실은 법 \(I^n\)으로 모든 \(n\)에 대해 참이다. 따라서 \(p\)는 동형사상이고, 사상 \(g\)를 합성 \(X \cong Z \to Y\)로 얻는다. 유일성의 증명은 생략한다.

“추상적” 대수화 정리를 증명하려면 풍부한 가역층이 존재한다고 가정해야 한다. 그러한 가정 없이는 결과가 거짓이기 때문이다.

정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(S = \Spec(A)\) 및 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)으로 놓자. 데카르트 정사각형들로 이루어진 가환 도식 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots }\] 을 생각하자. \((\mathcal{L}_n, \varphi_n)\)이 주어졌다고 하자. 여기서 각 \(\mathcal{L}_n\)은 \(X_n\) 위의 가역층이고, \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{L}_{n + 1} \to \mathcal{L}_n\)은 동형사상이다. 다음을 가정하자.

1. \(X_1 \to S_1\)은 고유이다.

2. \(\mathcal{L}_1\)은 \(X_1\) 위에서 풍부하다.

그러면 스킴들의 고유 사상 \(X \to S\), 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\) 및 동형사상들 \(X_n \cong X \times_S S_n\)과 \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{L}|_{X_n}\)이 존재하며, 이들은 사상들 \(i_n\) 및 \(\varphi_n\)과 양립한다.

증명

도식의 정사각형들이 데카르트이고 사상들 \(S_n \to S_{n + 1}\)이 닫힌 몰입이므로 사상들 \(i_n\)도 닫힌 몰입이다. 특히 \(X_m\)을 \(X_n\)의 닫힌 부분스킴으로 보아도 되며, 이는 \(m < n\)일 때 적용된다. 실제로 \(X_m\)은 준연접 아이디얼 층 \(I^m\mathcal{O}_{X_n}\)에 의해 정의되는 닫힌 부분스킴이다. 더욱이 스킴들 \(X_1, X_2, X_3, \ldots\)의 바탕 위상공간은 모두 동일시되므로, 층들 \(\mathcal{O}_{X_n}\)이 같은 바탕 위상공간 위에 놓여 있다고 볼 수 있고 실제로 그렇게 보겠다. 연접 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-가군들도 마찬가지다. 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{O}_{X_{n + 1}} \to \mathcal{O}_{X_n})\] 그러면 짧은 완전열들 \[0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{O}_{X_{n + 1}} \to \mathcal{O}_{X_n} \to 0\] 을 얻는다. 위에서 본 바에 따라 \(\mathcal{F}_n = I^n\mathcal{O}_{X_{n + 1}}\)이다. 따라서 \(\mathcal{F}_n\)은 \(X_{n + 1}\) 위의 연접층이고 \(I\)에 의해 소멸된다. 그러므로 이를 연접 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-가군으로 보아도 되며 실제로 그렇게 보겠다. \(m > n\)일 때 층 \[I^n\mathcal{O}_{X_m}/I^{n + 1}\mathcal{O}_{X_m}\] 은 \(\mathcal{F}_n\)으로 동형사상으로 사상됨을 주목하자. 여기서 쓰는 사상은 \(\mathcal{O}_{X_m} \to \mathcal{O}_{X_{n + 1}}\)이다. 따라서 \(n_1, n_2 \geq 0\)이 주어지면 \(m > n_1 + n_2\)를 만족하는 정수를 택하여 곱셈 사상 \[I^{n_1}\mathcal{O}_{X_m} \times I^{n_2}\mathcal{O}_{X_m} \longrightarrow I^{n_1 + n_2}\mathcal{O}_{X_m} \to \mathcal{F}_{n_1 + n_2}\] 을 생각할 수 있다. 이는 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-쌍선형 사상 \[\mathcal{F}_{n_1} \times \mathcal{F}_{n_2} \longrightarrow \mathcal{F}_{n_1 + n_2}\] 을 유도하고, 이 사상은 다시 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-대수 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{F}_n\) 위에 등급 대수 구조를 정의한다.

\(B = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)로 놓자. 이는 유한 생성 등급 \(A/I\)-대수이다. \(\mathcal{B} = (X_1 \to S_1)^*\widetilde{B}\)로 놓자. 위 논의는 등급 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-대수들의 표준 전사 \[\mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{F}\] 를 준다. 특히 \(\mathcal{F}\)는 유한형 준연접 등급 \(\mathcal{B}\)-가군이다. Lemma 0897에 의해 정수 \(d_0\)가 존재하여 \(H^1(X_1, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)이고, 이는 모든 \(d \geq d_0\)에 대해 성립한다. \(d \geq d_0\)를 택하여 절단들 \(s_{0, 1}, \ldots, s_{N, 1} \in \Gamma(X_1, \mathcal{L}_1^{\otimes d})\)이 존재하고 몰입 \[\psi_1 : X_1 \to \mathbf{P}^N_{S_1}\] 을 \(S_1\) 위에서 유도하게 하자. Morphisms, Lemma 01VT를 보라. \(X_1\)은 \(S_1\) 위에서 고유이므로 \(\psi_1\)은 닫힌 몰입이다. Morphisms, Lemma 01W6 및 Schemes, Lemma 01IQ를 보라. \(\psi_1\)을 \(X_n\)에서 \(\mathbf{P}^N\)으로 가는 닫힌 몰입들의 양립하는 계로 “올리겠다”.

증명의 첫 문단에 나오는 짧은 완전열들에 \(\mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d}\)를 텐서하면 짧은 완전열들 \[0 \to \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to 0\] 을 얻는다. 동형사상들 \(\varphi_n\)을 사용하면 동형사상들 \(\mathcal{L}_{n + 1} \otimes \mathcal{O}_{X_l} = \mathcal{L}_l\)을 얻으며, 이는 \(l \leq n\)에 대해 성립한다. 따라서 위 열은 다음과 같이 된다. \[0 \to \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_n^{\otimes d} \to 0\] \(H^1(X, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes d})\)의 소멸에 의해 \(s_{0, 1}, \ldots, s_{N, 1} \in \Gamma(X_1, \mathcal{L}_1^{\otimes d})\)을 절단들 \(s_{0, n}, \ldots, s_{N, n} \in \Gamma(X_n, \mathcal{L}_n^{\otimes d})\)로 귀납적으로 올릴 수 있다. 따라서 가환 도식 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{\psi_1} & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{\psi_2} & X_3 \ar[r] \ar[d]_{\psi_3} & \ldots \\ \mathbf{P}^N_{S_1} \ar[r] & \mathbf{P}^N_{S_2} \ar[r] & \mathbf{P}^N_{S_3} \ar[r] & \ldots }\] 을 얻는다. 여기서 Constructions, Section 01ND의 표기로 \(\psi_n = \varphi_{(\mathcal{L}_n, (s_{0, n}, \ldots, s_{N, n}))}\)이다. 정리의 진술에 나오는 정사각형들이 데카르트이므로 위 도식의 정사각형들도 데카르트이다. Lemma 0899를 적용하면 결론을 얻는다.