대수적 기하와 형식기하

서론

이 장에서는 형식 대수기하에 관한 연구를 계속하며, 특히 형식적 대상이 대수적 대상의 완비화인지라는 문제를 다룬다. 기본 참고문헌은 [SGA2]이다. Stacks 프로젝트에서 이미 논의한 결과를 나열하면 다음과 같다.

1. 형식함수 정리. 스킴의 코호몰로지의 절 02O7을 보라.

2. 연접 형식 가군. 스킴의 코호몰로지의 절 0EHN을 보라.

3. Grothendieck 존재 정리. 스킴의 코호몰로지의 절 087V, 0886, 0CYW을 보라.

4. Grothendieck 대수화 정리. 스킴의 코호몰로지의 절 0898을 보라.

5. 더 일반적인 Grothendieck 존재 정리. 평탄성 심화의 절 0CTB과 0DIA를 보라.

이 장의 내용을 개관하자.

스킴 \(X\)와 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 잡자. 이 장에서 다루는 많은 문제는 역계 \((\mathcal{F}_n)\)과 관련된다. 이 역계의 항들은 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 다음을 만족한다. \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1}\). 중요한 특수한 경우는 \(X\)가 뇌터 환 \(A\) 위의 스킴이고 \(\mathcal{I} = I \mathcal{O}_X\)인 경우이다. 여기서 \(I \subset A\)는 아이디얼이다. 층 코호몰로지의 절 0GYJ, 0H38, 0H3B에는 몇 가지 일반적인 결과가 있다. 이 장의 절 0EH3과 0BLA에는 스킴과 준연접 가군에 특유한 결과가 들어 있다. 절 0EI9에서는 \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상이 \(I\)-진 위상임을 \(\text{cd}(A, I) = 1\)인 경우에 증명한다. 이 장의 한 주제는 주 아이디얼의 경우 \(I = (f)\)에 증명된 결과가 \(\text{cd}(A, I) = 1\)만을 가정해도 성립함을 보이는 것이다.

절 0995에서는 환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 가군을 유한형 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)에 관하여 유도 완비하는 것을 논의한다. 이 절은 대수학 심화의 절 091N에서 설명한 가환대수의 유도 완비 이론을 자연스럽게 잇는다. 첫째 주요 결과는 유도 완비가 존재한다는 것이다. 둘째 주요 결과는 환 달린 사이트의 사상 \(f\)에 대하여 유도 완비가 유도 직접상과 가환한다는 것이다. \[(Rf_*K)^\wedge = Rf_*(K^\wedge)\] 여기서 위쪽의 아이디얼 층이 아래쪽 아이디얼에서 오는 단면들로 국소적으로 생성된다고 가정한다. 보조정리 0A0G을 보라. 문제의 아이디얼들이 대역적으로 유한 생성이면 두 주요 결과 모두 매우 초등적임을 강조한다. 이 장에서 이 이론을 적용하는 모든 경우가 여기에 해당한다. 위에 표시한 등식은 형식함수 정리의 “올바른” 형태이다. 절 0A0H의 논의를 보라.

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I, J\)를 \(A\)의 두 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 이 장의 다음 주제는 사상 \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge\] 이다. 이는 \(M\)의 국소 코호몰로지에서 그 유도 \(I\)-진 완비로 가는 사상이다. 적절한 깊이 조건을 부과하면 이 사상은 일정한 차수 범위의 코호몰로지에서 동형사상이 된다. 절 0EFF에서는 본질적으로 방금 말한 일반성에서 작업한다. 절 0EFP에서는 \(A\)가 국소환이고 \(J = \mathfrak m\)이 극대 아이디얼이라고 가정한다. 독자에게 이 절을 이 부분의 다른 두 절보다 먼저 읽기를 권한다. 마지막으로 절 0EFT에서는 국소적인 경우를 발판으로 삼아 일반적인 경우에 대한 더 강한 결과를 얻는다.

이 장의 다음 부분에서는 국소 코호몰로지의 완비화에 관한 결과를 사용하여 연접 가군의 완비화의 코호몰로지에 관한 몇 가지 결과를 얻는다. 이 목록이 망라적이지는 않다. 더 정확히 말해 \(A\)를 뇌터 환, \(I \subset A\)를 아이디얼, \(U \subset \Spec(A)\)를 열린 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이면 다음 사상들을 생각할 수 있다. \[H^i(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 그리고 일정한 차수 범위에서 동형사상을 얻는지 물을 수 있다. 절 0DXH에서는 \(U\)가 국소환의 천공 스펙트럼인 몇 가지 예를 계산한다. 절 0EG1에서는 일반적인 경우를 논의한다. 절 0ECQ에서는 얻은 결과 가운데 일부를 대수기하의 연결성 문제에 적용한다.

이 장의 나머지 절들은 연접 형식 가군의 대수화를 논의하는 데 할애한다. 다시 말해 연접 가군의 역계 \((\mathcal{F}_n)\)을 위와 같은 \(U\) 위에 잡고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) 를 만족한다고 하자. 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)로서 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 가 모든 \(n\)에 대하여 성립하는 것이 존재하는지 묻는다. 절 0DXS을 읽기를 권한다. 거기에는 이 문제의 정확한 진술, 유용한 일반 결과(보조정리 0EHH), 그리고 자명하지 않은 응용(보조정리 0DXW)이 있다. 이 경우를 본질적으로 넘어서는 결과를 증명하려면 훨씬 더 많은 이론을 전개해야 한다. 이 장에서 얻은 이 유형의 가장 강한 결과는 절 0EJH을 보라.

형식 단면, I

먼저 층 코호몰로지의 절 0GYJ을 살펴보기를 권한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. 다음을 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하고, 다음을 만족한다고 하자. \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1}\). \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)로 놓자. 그러면

1. \(\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}_n\),

2. 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이 \(p > 0\)일 때 성립하고,

3. 각 \(p\)에 대하여 다음 짧은 완전열이 있다. \(0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}_n) \to 0\).

더욱이 \(\mathcal{I}\)가 유한형이면

1. \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)이고,

2. \(\mathcal{I}^n \mathcal{F} = \lim_{m \geq n} \mathcal{I}^n\mathcal{F}_m\).

증명

항목 (1), (2), (3)은 전이 사상이 전사인 준연접 가군의 역계에 관한 일반적인 사실이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0A0J와 층 코호몰로지의 보조정리 0D60를 보라. 이제 \(\mathcal{I}\)가 유한형이라고 가정하자. \(U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하고 \(U = \Spec(A)\)라 쓰자. 또한 \(\mathcal{I}|_U\)가 \(I \subset A\)에 대응한다고 하자. \(I\)는 유한 생성 아이디얼임을 주목하라. 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군과 \(A\)-가군 사이의 범주 동치(스킴의 보조정리 01IB)에 의해 \(M_n = \mathcal{F}_n(U)\)은 \(A\)-가군의 역계이고 \(M_n = M_{n + 1}/I^nM_{n + 1}\)을 만족한다. 따라서 \[M = \mathcal{F}(U) = \lim \mathcal{F}_n(U) = \lim M_n\] 는 대수학의 보조정리 09B8에 의해 \(I\)-진 완비 가군이며 \(M/I^nM = M_n\)을 만족한다. 이로써 (4)가 증명된다. 항목 (5)는 다음 명제로 옮겨진다. \(\lim_{m \geq n} I^nM/I^mM = I^nM\). \(I^mM = I^{m - n} \cdot I^nM\)이므로, 이는 \(I^mM\)이 \(I\)-진 완비라는 명제일 뿐이다. 이는 대수학의 보조정리 05GG와 \(M\)이 완비라는 사실에서 따른다.

형식 단면, II

먼저 층 코호몰로지의 절 0H38와 0H3B를 살펴보기를 권한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음을 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 사상 \(f : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\)은 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)을 통하여 인수분해되어 다음 짧은 완전열을 준다. \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\),

2. 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 사상 \(f^n : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) 은 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1\)을 통하여 인수분해되어 다음 짧은 완전열을 준다. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\)

3. \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하며, 이는 \(f\)-가분이고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\)을 만족한다.

4. \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하며, 이는 \(f\)-꼬임이 없고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\)을 만족한다.

증명

(1), (2), (3)의 동치와 함의 (4) \(\Rightarrow\) (1)은 층 코호몰로지의 보조정리 0H39에서 증명했다. (1)이 성립한다고 가정하자. \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)으로 놓자. 보조정리 0EI8의 항목 (4)에 의해 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\)이다. \(U \subset X\)를 열린집합이라 하고 \(s = (s_n) \in \mathcal{F}(U) = \lim \mathcal{F}_n(U)\)라 하자. \(n \geq 1\)을 택하자. \(fs = 0\)이면 조건 (1)에 의해 \(s_{n + 1}\)은 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)의 핵에 속한다. 따라서 \(s_n = 0\)이다. \(n\)이 임의였으므로 \(s = 0\)이다. 그러므로 \(\mathcal{F}\)에는 \(f\)-꼬임이 없다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(f \in A\)라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}[f^n] = \Ker(f^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F})\)가 안정화된다고 가정하자. 그러면 \[R\Gamma(X, \lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) = R\Gamma(X, \mathcal{F})^\wedge\] 이다. 여기서 오른쪽은 아이디얼 \((f) \subset A\)에 관한 유도 완비를 나타낸다. 따라서 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대하여 다음 가환도식을 얻는다. \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, \lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, \mathcal{F})[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] 이 도식의 행과 열은 완전하며, \(\widehat{H^p(X, \mathcal{F})} = \lim H^p(X, \mathcal{F})/f^n H^p(X, \mathcal{F})\) 는 통상적인 \(f\)-진 완비이고 \(T_f(-)\)는 대수학 심화의 예 0BKG에서처럼 \(f\)-진 Tate 가군을 나타낸다.

증명

보조정리 0EI8에 의해 \(\lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/f^n \mathcal{F}\). 나머지는 모두 층 코호몰로지의 예 0H3E에서 따른다.

형식 단면, III

이 절에서는 보조정리 0EH7을 증명한다. 이는 (뇌터 스킴과 연접 가군의 설정에서) 아이디얼 \(I\)가 주 아이디얼이라고 가정하지 않고 \(\text{cd}(A, I) = 1\)이라는 성질을 가정하는 경우의 층 코호몰로지의 보조정리 0EHA에 해당한다.

보조정리

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(\text{cd}(A, I) = 1\)이면, \(c \geq 1\)과 사상 \(\varphi_j : I^c \to A\)가 존재하여 \(\sum f_j \varphi_j : I^c \to I\)가 포함사상이 된다.

증명

\(\text{cd}(A, I) = 1\)이므로 여집합 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\)는 아핀이다(국소 코호몰로지의 보조정리 0DXD). \(U = \Spec(B)\)라 쓰자. 그러면 \(IB = B\)이고 \(1 = \sum_{j = 1, \ldots, r} f_j b_j\)로 쓸 수 있는데, 여기서 어떤 \(b_j \in B\)들이 존재한다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 \(b_j\)를 사상 \(\varphi_j : I^c \to A\)로 나타낼 수 있으며, 이는 어떤 \(c \geq 0\)에 대하여 성립한다. 그러면 \(\sum f_j \varphi_j : I^c \to I \subset A\)는 같은 보조정리에 따라 필요하면 \(c\)를 더 큰 정수로 바꾼 뒤 표준 매장이 된다.

보조정리

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고 \(\text{cd}(A, I) = 1\)이라 하자. \(c \geq 1\)과 \(\varphi_j : I^c \to A\), \(j = 1, \ldots, r\)를 보조정리 0EIA의 것이라 하자. 그러면 유일한 등급 \(A\)-대수 사상 \[\Phi : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc} \to A[T_1, \ldots, T_r]\] 이 존재하여 \(\Phi(g) = \sum \varphi_j(g) T_j\)를 \(g \in I^c\)에 대하여 만족한다. 더욱이 \(\Phi\)와 사상 \(A[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\), \(T_j \mapsto f_j\)의 합성은 포함사상 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc} \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\). 이다.

증명

각 \(j\)와 \(m \geq c\)에 대하여 \(\varphi_j\)를 \(I^m\)에 제한하면 사상 \(\varphi_j : I^m \to I^{m - c}\)를 얻는다. \(j_1, \ldots, j_n \in \{1, \ldots, r\}\)가 주어졌을 때 합성 \[\varphi_{j_1} \ldots \varphi_{j_n} : I^{nc} \to I^{(n - 1)c} \to \ldots \to I^c \to A\] 은 지표 \(j_1, \ldots, j_n\)의 순서와 무관하다고 주장한다. 실제로 \(g = g_1 \ldots g_n\)이고 \(g_i \in I^c\)이면, \[(\varphi_{j_1} \ldots \varphi_{j_n})(g) = \varphi_{j_1}(g_1) \ldots \varphi_{j_n}(g_n)\] 이며, \(A\)에서의 곱셈이 가환이므로 이는 순서와 무관하다. 따라서 \(\Phi\)를, \(g \in I^{nc}\)를 다음 원소로 보내도록 정의할 수 있다. \[\Phi(g) = \sum\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} (\varphi_1^{e_1} \circ \ldots \circ \varphi_r^{e_r})(g) T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] 이것이 원하는 성질을 지닌 등급 \(A\)-대수 준동형임은 직접 확인된다. 유일성과 마지막 성질도 즉시 따른다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고 \(\text{cd}(A, I) = 1\)이라 하자. \(c \geq 1\)과 \(\varphi_j : I^c \to A\), \(j = 1, \ldots, r\)를 보조정리 0EIA의 것이라 하자. \(A \to B\)를 환 준동형이라 하되 \(B\)는 뇌터 환이라 하고, \(N\)을 유한 \(B\)-가군이라 하자. 그러면 필요하면 \(c\)를 키우고 그에 따라 \(\varphi_j\)를 조정한 뒤 유일한 등급 \(B\)-가군 사상 \[\Phi_N : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}N \to N[T_1, \ldots, T_r]\] 이 존재하여 \(\Phi_N(g x) = \Phi(g) x\)를 \(g \in I^{nc}\)와 \(x \in N\)에 대하여 만족한다. 여기서 \(\Phi\)는 보조정리 0EIB의 것이다. \(\Phi_N\)과 사상 \(N[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^nN\), \(T_j \mapsto f_j\)의 합성은 포함사상 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc}N \to \bigoplus_{n \geq 0} I^nN\). 이다.

증명

공식과 보조정리 0EIB에서의 \(\Phi\)의 유일성으로부터 유일성은 명백하다. 뇌터 \(A\)-대수 \(B' = B \oplus N\)을 생각하자. 여기서 \(N\)은 제곱 영 아이디얼이다. \(\Phi_N\)의 존재를 보이려면 (보조정리 0EIA에 의해) \(\varphi_j\)가 사상 \(\varphi'_j : I^cB' \to B'\)로 확장됨을 보이면 충분하다. 이때 필요하면 \(c\)를 어떤 \(c'\)까지 키운다. 이때 \(\varphi_j\)는 포함사상 \(I^{c'} \to I^c\)와 \(\varphi_j\)의 합성으로 바꾼다. \(\varphi_j\)가 단면 \[h_j \in \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \mathcal{O}_{\Spec(A)})\] 에 대응함을 상기하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB을 보라. (실제로 보조정리 0EIA의 증명에서 \(\varphi_j\)를 바로 이렇게 택했다.) 같은 보조정리를 사용하여 다음 당김을 \[h'_j \in \Gamma(\Spec(B') \setminus V(IB'), \mathcal{O}_{\Spec(B')})\] 즉 \(h_j\)의 당김을 \(B'\)-선형 사상 \(\varphi'_j : I^{c'}B' \to B'\)로 나타내자. 이는 어떤 \(c' \geq c\)에 대하여 가능하다. 이 보조정리를 한 번 더 적용하면 \(\varphi_j\)와의 일치는 \(c'\)가 충분히 클 때 성립한다. 실제로 \(I^{c'}\)의 유한한 생성원 목록에서 일치를 검사할 수 있다. 사소한 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고 \(\text{cd}(A, I) = 1\)이라 하자. \(c \geq 1\)과 \(\varphi_j : I^c \to A\), \(j = 1, \ldots, r\)를 보조정리 0EIA의 것이라 하자. \(X\)를 \(\Spec(A)\) 위의 뇌터 스킴이라 하자. 다음을 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)을 만족한다고 하자. \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)으로 놓자. 그러면 필요하면 \(c\)를 키우고 그에 따라 \(\varphi_j\)를 조정한 뒤 유일한 등급 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \[\Phi_\mathcal{F} : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}[T_1, \ldots, T_r]\] 이 존재하여 \(\Phi_\mathcal{F}(g s) = \Phi(g) s\)를 만족한다. 여기서 \(g \in I^{nc}\)이고 \(s\)는 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면이며, \(\Phi\)는 보조정리 0EIB의 것이다. \(\Phi_\mathcal{F}\)와 사상 \(\mathcal{F}[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\mathcal{F}\), \(T_j \mapsto f_j\) 의 합성은 표준 포함사상 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc}\mathcal{F} \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\mathcal{F}\). 이다.

증명

\(\mathcal{O}_X\)-선형성과 \(\Phi_\mathcal{F}(g s) = \Phi(g) s\)라는 조건으로부터 유일성이 즉시 따른다. 여기서 \(g \in I^{nc}\)이고 \(s\)는 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면이다. 따라서 \(X = \Spec(B)\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \((\mathcal{F}_n)\)은 스킴의 코호몰로지의 절 0EHN에서 도입한 범주 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)의 대상임을 주목하라. \(B' = B^\wedge\)를 \(I\)에 관한 \(B\)의 진 완비라 하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 087W에 의해 대상 \((\mathcal{F}_n)\)은 유한 \(B'\)-가군 \(N\)에 대응한다. 이는 \(\mathcal{F}_n\)이 유한 \(B\)-가군 \(N/I^n N\)에 결부된 연접 가군이라는 뜻이다. 보조정리 0EIC을 \(I \subset A \to B'\)와 \(N\)에 적용하면, 필요하면 \(c\)를 키우고 그에 따라 \(\varphi_j\)를 조정한 뒤 유일한 사상 \[\Phi_N : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}N \to N[T_1, \ldots, T_r]\] 을 얻으며, 이는 대응하는 성질들을 만족한다. 차수 \(n\)에서 사상들의 역계 \(N/I^mN \to \bigoplus_{e_1 + \ldots + e_r = n} N/I^{m - nc}N \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\)을 \(m \geq nc\)에 대하여 얻는다는 점을 주목하라. 이를 다시 연접 층으로 옮기면 \(\Phi_N\)은 사상계 \[\Phi^n_m : I^{nc}\mathcal{F}_m \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} \mathcal{F}_{m - nc} \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] 에 대응함을 알 수 있다. 여기서 \(m \geq nc\)와 \(n \geq 1\)은 변한다. \(m\)에 관하여 이 사상들의 역극한을 취하면 \(\Phi_\mathcal{F} = \bigoplus_n \lim_m \Phi^n_m\)을 얻는다. 예를 들어 아핀 열린집합에서 계산하면 \(\lim_m I^t\mathcal{F}_m = I^t \mathcal{F}\)임을 알 수 있다. 그러나 실제로는 사상 \(I^t\mathcal{F} \to \lim_m I^t\mathcal{F}_m\)이 있음이 명백하므로 이 사실은 필요하지 않다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(X\)를 \(\Spec(A)\) 위의 뇌터 스킴이라 하자. 다음을 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)을 만족한다고 하자. \(\text{cd}(A, I) = 1\)이면, 모든 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

먼저 \(I^t \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)이 \(H^p(X, \mathcal{F}_t)\)에서 영으로 간다는 것은 명백하다. 따라서 \(I\)-진 위상은 극한 위상보다 세밀하다. 역방향을 보이기 위해 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)으로 놓고, \(f_1, \ldots, f_r\)를 택하되 이들이 \(I\)를 생성하게 하고, \(c \geq 1\)을 택한 다음, 보조정리 0EH6에서와 같이 \(\Phi_\mathcal{F}\)를 택한다. 이제부터 보조정리 0EI8의 결과를 별도로 언급하지 않고 사용한다. 특히 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}_n) \to 0\] 따라서 \(\xi\)를 \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)의 임의의 원소라 하면 이를 원소 \(\xi' \in H^p(X, \mathcal{F})\)로 올릴 수 있다. \(\xi\)가 \(H^p(X, \mathcal{F}_{nc})\)에서 영으로 가는 어떤 \(n\)이 있다고 가정하자. 다시 말해 \(\xi\)가 극한 위상에서 “작다”고 가정하자. 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to I^{nc}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_{nc} \to 0\] 따라서 이 가정은 \(\xi'\)를 원소 \(\xi'' \in H^p(X, I^{nc}\mathcal{F})\)로 올릴 수 있음을 뜻한다. \(\Phi_\mathcal{F}\)를 적용하면 \[\Phi_\mathcal{F}(\xi'') = \sum\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} \xi'_{e_1, \ldots, e_r} \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] 을 얻는다. 여기서 어떤 \(\xi'_{e_1, \ldots, e_r} \in H^p(X, \mathcal{F})\)들이 존재한다. 그 상들을 \(\xi_{e_1, \ldots, e_r} \in \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)라 하고 보조정리 0EH6의 마지막 주장을 사용하면 \[\xi = \sum f_1^{e_1} \ldots f_r^{e_r} \xi_{e_1, \ldots, e_r}\] 가 원하는 대로 \(I^n \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)에 속함을 얻는다.

예

\(k\)를 체라 하자. \(A = k[x, y][[s, t]]/(xs - yt)\)라 하자. \(I = (s, t)\) 및 \(\mathfrak a = (x, y, s, t)\)라 하자. \(X = \Spec(A) - V(\mathfrak a)\) 및 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{O}_X/I^n\mathcal{O}_X\)라 하자. 유리함수 \[g = \frac{t}{x} = \frac{s}{y}\] 는 어떤 열린집합 \(V \subset X\)에서 정칙이며, 이 열린집합은 \(V(I\mathcal{O}_X)\)의 근방이다. 따라서 각 거듭제곱 \(g^e\)는 단면 \(g^e \in M = \lim H^0(X, \mathcal{F}_n)\)을 정한다. \(g^e \to 0\)이 \(e \to \infty\)일 때 \(M\) 위의 극한 위상에서 성립함을 주목하라. 이는 \(g^e\)가 \(\mathcal{F}_e\)에서 영으로 가기 때문이다. 한편 \(g^e \not \in IM\)는 모든 \(e\)에 대하여 성립한다. 독자는 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\)을 계산하여 이를 확인할 수 있다. 계산은 생략한다. \(\text{cd}(A, I) = 2\)임을 주목하라. 따라서 보조정리 0EH7의 결과는 최선이다.

Mittag–Leffler 조건

뇌터 국소환의 극대 아이디얼에 관한 국소 코호몰로지를 취할 때에는 흔히 Mittag–Leffler 조건을 자동으로 얻는다. 이로부터 천공 스펙트럼 위에서 전이 사상이 전사인 연접 층 역계의 고차 코호몰로지 군에도 같은 사실이 성립한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자.

1. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \(A\)-가군 \(H^i_\mathfrak m(M)\)은 모든 \(i\)에 대하여 내림사슬 조건을 만족한다.

2. \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)를 \(A\)의 천공 스펙트럼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 그러면 \(A\)-가군 \(H^i(U, \mathcal{F})\)은 \(i > 0\)에 대하여 내림사슬 조건을 만족한다.

증명

항목 (1)을 \(M\)의 지지집합의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. \(M = 0\)이면 명제가 성립하므로, \(M\)은 영이 아니라고 가정한다.

귀납법의 기초 단계. \(\dim(\text{Supp}(M)) = 0\)이면 \(M\)의 지지집합은 \(\{\mathfrak m\}\)이다. 국소 코호몰로지의 구성에서 명백하듯 \(H^0_\mathfrak m(M) = M\)이고 \(H^i_\mathfrak m(M) = 0\)이며, 후자는 \(i > 0\)에 대하여 성립한다. 쌍대화 복합체의 절 0952을 보라. \(M\)은 유한 길이를 가지므로 (대수학의 보조정리 00J0) 내림사슬 조건을 만족한다.

귀납 단계. \(\dim(\text{Supp}(M)) > 0\)이라 가정하자. 기초 단계에 의해 유한 가군 \(H^0_\mathfrak m(M) \subset M\)은 내림사슬 조건을 만족한다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AW0에 의해 \(M\)을 \(M/H^0_\mathfrak m(M)\)으로 바꿀 수 있다. 그러면 \(H^0_\mathfrak m(M) = 0\)이다. 즉, \(M\)의 깊이는 \(\geq 1\)이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ를 보라. \(x \in \mathfrak m\)을 택하여 \(x : M \to M\)이 단사이게 하자. 대수학의 보조정리 0B52에 의해 \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = \dim(\text{Supp}(M)) - 1\)이고 귀납가설을 적용할 수 있다. 지표 \(i\)를 택하고 완전열 \[H^{i - 1}_\mathfrak m(M/xM) \to H^i_\mathfrak m(M) \xrightarrow{x} H^i_\mathfrak m(M)\] 을 생각하자. 이는 짧은 완전열 \(0 \to M \xrightarrow{x} M \to M/xM \to 0\)에서 나온다. 따라서 \(x\)-꼬임 \(H^i_\mathfrak m(M)[x]\)는 내림사슬 조건을 만족하는 가군의 몫가군이므로 그 자체도 내림사슬 조건을 만족한다. 그러므로 \(\mathfrak m\)-꼬임 부분가군 \(H^i_\mathfrak m(M)[\mathfrak m]\)은 내림사슬 조건을 만족한다(따라서 \(A/\mathfrak m\) 위에서 유한 차원이다). 이에 따라 \(\mathfrak m\)-멱 꼬임 가군 \(H^i_\mathfrak m(M)\)은 쌍대화 복합체의 보조정리 08Z8에 의해 내림사슬 조건을 만족한다.

항목 (2)는 항목 (1)과 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0에서 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자.

1. \((M_n)\)을 유한 \(A\)-가군의 역계라 하자. 그러면 역계 \(H^i_\mathfrak m(M_n)\)은 모든 \(i\)에 대하여 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

2. \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)를 \(A\)의 천공 스펙트럼이라 하자. \(\mathcal{F}_n\)을 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 역계라 하자. 그러면 역계 \(H^i(U, \mathcal{F}_n)\)은 \(i > 0\)에 대하여 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

증명

보조정리 0DX0에서 즉시 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \((M_n)\)을 유한 \(A\)-가군의 역계라 하자. \(M \to \lim M_n\)을 사상이라 하되, 여기서 \(M\)은 유한 \(A\)-가군이고 어떤 \(i\)에 대하여 사상 \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M_n)\) 이 동형사상이라고 하자. 그러면 역계 \(H^i_\mathfrak m(M_n)\)은 본질적으로 상수이며 그 값은 \(H^i_\mathfrak m(M)\)이다.

증명

보조정리 0DX1에 의해 역계 \(H^i_\mathfrak m(M_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다. \(E_n \subset H^i_\mathfrak m(M_n)\)을 \(H^i_\mathfrak m(M_{n'})\)의 상이라 하되 \(n' \gg n\)이라 하자. 그러면 \((E_n)\)은 전이 사상이 전사인 역계이고 \(H^i_\mathfrak m(M) = \lim E_n\)이다. \(H^i_\mathfrak m(M)\)은 보조정리 0DX0에 의해 내림사슬 조건을 만족하므로, 전사 \(H^i_\mathfrak m(M) \to E_n\) 가운데 자명하지 않은 핵을 갖는 것은 유한 개뿐이다. 따라서 원하는 대로 \(E_n \to E_{n - 1}\)은 모든 \(n \gg 0\)에 대하여 동형사상이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \[H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) = \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\] 가 모든 \(i\)에 대하여 성립한다. 여기서 \(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge\)는 유도 \(I\)-진 완비를 나타낸다.

증명

쌍대화 복합체의 보조정리 0EEW과 보조정리 0DX1을 적용하면 \(R^1\lim\) 항들이 소멸함을 알 수 있다.

환 달린 사이트 위의 유도 완비

처음 읽을 때에는 이 절을 건너뛰기를 강하게 권한다.

이 내용의 대수적 판은 대수학 심화의 절 091N에서 찾을 수 있다. \(\mathcal{O}\)를 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 환층이라 하자. \(f\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면이라 하자. \(\mathcal{O}_f\)로 나타낼 것은 국소화의 준층 \(U \mapsto \mathcal{O}(U)_f\)에 결부된 층이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(f\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면이라 하자.

1. \(L, N \in D(\mathcal{O}_f)\)에 대하여 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(L, N)\). 이다. 특히 두 \(\mathcal{O}_f\)-구조는 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N)\) 위에서 일치한다.

2. \(K \in D(\mathcal{O})\)와 \(L \in D(\mathcal{O}_f)\)에 대하여 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(L, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K))\] 이다. 특히 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\).

3. \(g\)가 \(\mathcal{O}\)의 또 다른 대역 단면이면 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, K)) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{gf}, K).\]

증명

(1)의 증명. \(\mathcal{J}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_f\)-가군의 K-단사 복합체로 잡되 \(N\)을 나타내게 하자. 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 093Y에 의해 \(\mathcal{J}^\bullet\)은 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체이기도 하다. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_f\)-가군의 복합체로 잡되 \(L\)을 나타내게 하자. 그러면 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] 이다. 이는 사이트 위의 가군의 보조정리 0930에서 따르는데, \(\mathcal{J}^\bullet\)이 \(\mathcal{O}\)-가군 및 \(\mathcal{O}_f\)-가군의 K-단사 복합체이기 때문이다.

(2)의 증명. \(\mathcal{I}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체로 잡되 \(K\)를 나타내게 하자. 그러면 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\)는 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet)\)로 나타내어진다. 이는 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 093Z와 093Y에 의해 \(\mathcal{O}_f\)-가군 및 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체이다. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_f\)-가군의 복합체로 잡되 \(L\)을 나타내게 하자. 그러면 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(\mathcal{F}^\bullet, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet))\] 이다. 이는 사이트 위의 가군의 보조정리 0932과 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet)\)이 \(\mathcal{O}_f\)-가군의 K-단사 복합체라는 사실에서 따른다.

(3)의 증명. 이는 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, \mathcal{I}^\bullet)\) 이 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로서 K-단사라는 사실과 다음 등식 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, \mathcal{H})) = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{gf}, \mathcal{H})\) 이 모든 \(\mathcal{O}\)-가군층 \(\mathcal{H}\)에 대하여 성립한다는 사실에서 따른다.

\(K \in D(\mathcal{O})\)라 하자. \(T(K, f)\)로 나타낼 것은 역계 \[\ldots \to K \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K\] 의 \(D(\mathcal{O})\) 안에서의 유도 극한이다(유도 범주의 정의 08TC).

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(f\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면이라 하자. \(K \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K) = 0\),

2. \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = 0\)이 모든 \(L\)에 대하여 성립한다. 여기서 이 대상은 \(D(\mathcal{O}_f)\)에 속한다,

3. \(T(K, f) = 0\).

증명

(2)가 (1)을 함의함은 명백하다. 함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 보조정리 0996에서 따른다. \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{O}_f\)의 자유 분해는 다음과 같다. \[0 \to \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{O} \to \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{O} \to \mathcal{O}_f \to 0\] 여기서 첫째 사상은 국소 단면 \((x_0, x_1, \ldots)\)을 \((x_0, x_1 - fx_0, x_2 - fx_1, \ldots)\)로 보내고, 둘째 사상은 \((x_0, x_1, \ldots)\)을 \(x_0 + x_1/f + x_2/f^2 + \ldots\)로 보낸다. \(\SheafHom_\mathcal{O}(-, \mathcal{I}^\bullet)\)을 적용하자. 여기서 \(\mathcal{I}^\bullet\)은 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체이며 \(K\)를 나타낸다. 그러면 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet) \to \prod \mathcal{I}^\bullet \to \prod \mathcal{I}^\bullet \to 0\] 을 얻는다. 이는 \(\mathcal{I}^n\)이 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이기 때문이다. 이 곱들은 \(D(\mathcal{O})\) 안에서의 곱이다. 단사 대상의 보조정리 07D9를 보라. 이는 대상 \(T(K, f)\)가 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\)의 한 대표이며 그 대표가 \(D(\mathcal{O})\) 안에 있음을 뜻한다. 따라서 (1)과 (3)은 동치이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(K \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 각 \(U\)에 집합 \(\mathcal{I}(U)\)을 대응시키자. 이 집합은 단면 \(f \in \mathcal{O}(U)\) 가운데 \(T(K|_U, f) = 0\)을 만족하는 것들의 집합이다. 그러면 이 규칙은 \(\mathcal{O}\) 안의 아이디얼 층을 이룬다.

증명

보조정리 0997의 결과를 더 언급하지 않고 사용한다. \(f \in \mathcal{I}(U)\)이고 \(g \in \mathcal{O}(U)\)이면 \(\mathcal{O}_{U, gf}\)는 \(\mathcal{O}_{U, f}\)-가군이므로 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{U, gf}, K|_U) = 0\)이고, 따라서 \(gf \in \mathcal{I}(U)\)이다. \(f, g \in \mathcal{O}(U)\)라 가정하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_{U, f + g} \to \mathcal{O}_{U, f(f + g)} \oplus \mathcal{O}_{U, g(f + g)} \to \mathcal{O}_{U, gf(f + g)} \to 0\] 이 있다. 이는 \(f, g\)가 \(\mathcal{O}(U)_{f + g}\) 안의 단위 아이디얼을 생성하기 때문이다. 이는 대수학의 보조정리 00EJ와 마지막 화살표가 전사라는 쉬운 사실에서 따른다. \(R\SheafHom_\mathcal{O}( - , K|_U)\)는 삼각 범주의 완전 함자이므로 다음 세 대상의 소멸은 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f(f + g)}, K|_U)\), \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, g(f + g)}, K|_U)\), 그리고 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, gf(f + g)}, K|_U)\), 다음 대상의 소멸을 함의한다. \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f + g}, K|_U)\). 층 조건의 검증은 생략한다.

임의의 환 달린 사이트에 대하여 다음 정의를 할 수 있다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 아이디얼 층이라 하자. \(K \in D(\mathcal{O})\)라 하자. \(K\)가 \(\mathcal{I}\)에 관해 유도 완비라는 것은, \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상으로 하고 \(f \in \mathcal{I}(U)\)에 대하여 \(T(K|_U, f)\)가 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 영대상이라는 뜻이다.

유도 완비 대상들로 이루어진 충만한 부분범주 \(D_{comp}(\mathcal{O}) = D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I}) \subset D(\mathcal{O})\)는 포화 삼각 부분범주임이 명백하다. 유도 범주의 정의 05QM와 05RB를 보라. 이 부분범주는 \(D(\mathcal{O})\) 안의 곱과 호모토피 극한 아래 보존된다. 그러나 일반적으로 가산 직합 아래서는 보존되지 않는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 아이디얼 층이라 하자. \(K \in D(\mathcal{O})\)이고 \(L \in D_{comp}(\mathcal{O})\)이면 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L) \in D_{comp}(\mathcal{O})\).

증명

\(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고 \(f \in \mathcal{I}(U)\)라 하자. 다음을 상기하라. \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}( K|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{U, f}, L|_U)\] 이는 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 08J9에서 따른다. 우변은 보조정리 0997와 내부 Hom 및 실제 Hom 사이의 관계에 의해 영이다. 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 08JA를 보라. 같은 소멸은 모든 \(U'/U\)에 대하여 성립한다. 따라서 대상 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U)\)은 \(D(\mathcal{O}_U)\)에 속하고, 그 \(0\)차 코호몰로지 층은 소멸한다(상기 인용). 다른 코호몰로지 층들에도 마찬가지이므로, \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U)\)는 \(D(\mathcal{O}_U)\)에서 영이다. 보조정리 0997에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)을 환층의 준동형이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 아이디얼 층이라 하자. \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)의 스칼라 제한 함자 \(D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) 아래 역상은 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\)이다.

증명

보조정리 0998을 사용하면 \(K' \in D(\mathcal{O}')\)이 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\)에 속할 필요충분조건은 \(T(K'|_U, f)\)가 모든 국소 단면 \(f \in \mathcal{I}(U)\)에 대하여 영인 것이다. \(T(K'|_U, f)\)의 코호몰로지 층들은 아벨 층의 범주에서 계산되므로, \(f\)를 \(\mathcal{O}\)의 단면으로 보든 \(f\)의 상을 \(\mathcal{O}'\)의 단면으로 보든 상관없다. 이 사실과 유도 완비 대상의 정의에서 보조정리가 즉시 따른다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)와 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\)을 아이디얼 층이라 하고, \(f^\sharp\)가 \(f^{-1}\mathcal{I}\)를 \(\mathcal{I}'\) 안으로 보낸다고 하자. 그러면 \(Rf_*\)는 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)을 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) 안으로 보낸다.

증명

\(f\)가 연속 함자 \(\mathcal{C} \to \mathcal{D}\)에 대응하는 환 달린 사이트의 사상으로 주어진다고 가정할 수 있다(사이트 위의 가군의 보조정리 03CR ). \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고 \(g\)를 \(\mathcal{I}\)의 단면이라 하되 \(U\) 위에서 잡자. 다음을 보이면 된다. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U) = 0\) 여기서는 \(K\)가 \(\mathcal{I}'\)에 관해 유도 완비라고 가정한다. 실제로 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 08JA 에 의해 이를 \(U\) 위의 모든 대상과 \(K\)의 모든 옮김에 적용하면 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U)\)가 영임을 얻는다. 이는 \(T(Rf_*K|_U, g)\)가 영임을 함의하며(보조정리 0997), 이것이 보일 바이다(정의 0999). \(V\)를 \(\mathcal{D}\) 안에서 \(U\)의 상이라 하자. 그러면 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}'_V)}(\mathcal{O}'_{V, g'}, K|_V) = 0\] 이다. 여기서 \(g' = f^\sharp(g) \in \mathcal{I}'(V)\)이다. 둘째 등식은 \(K\)가 유도 완비이므로 성립하고, 첫째 등식은 \(\mathcal{O}_{U, g}\)의 유도 당김이 \(\mathcal{O}'_{V, g'}\)라는 사실과 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 07A6에서 성립한다.

다음 보조정리는 유도 완비가 존재하는 가장 간단한 경우이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(f_1, \ldots, f_r\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 \(f_1, \ldots, f_r\)가 생성하는 아이디얼 층이라 하자. 그러면 포함 함자 \(D_{comp}(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\)는 왼쪽 수반을 갖는다. 즉, 임의의 대상 \(K\)가 \(D(\mathcal{O})\) 안에서 주어지면 사상 \(K \to K^\wedge\)가 존재하며 \(K^\wedge\)는 \(D_{comp}(\mathcal{O})\)에 속하고, 사상 \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(K^\wedge, E) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, E)\] 은 \(E\)가 \(D_{comp}(\mathcal{O})\)에 속할 때마다 전단사이다. 실제로 \[K^\wedge = R\SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}, K)\] 가 \(K\)에 대하여 함자적으로 성립한다.

증명

\(K^\wedge\)를 보조정리의 마지막 표시식으로 정의하자. 복합체의 사상 \[(\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}) \longrightarrow \mathcal{O}\] 이 있고, 이는 사상 \(K \to K^\wedge\)를 유도한다. \(K^\wedge\)가 유도 완비이며, \(K \to K^\wedge\)가 \(K\)가 유도 완비일 때 동형사상임을 보이면 충분하다.

\(f\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면이라 하자. 보조정리 0996에 의해 대상 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K^\wedge)\) 은 다음과 같다. \[R\SheafHom_\mathcal{O}( (\mathcal{O}_f \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{ff_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{ff_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{ff_1\ldots f_r}), K)\] \(f = f_i\)가 어떤 \(i\)에 대하여 성립하면 \(f_1, \ldots, f_r\)는 \(\mathcal{O}_f\) 안의 단위 아이디얼을 생성한다. 따라서 확장 교대 Čech 복합체 \[\mathcal{O}_f \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{ff_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{ff_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{ff_1\ldots f_r}\] 는 영이다(심지어 영과 호모토픽이다). 이로부터 \(K^\wedge\)가 유도 완비임을 알 수 있다.

\(K\)가 유도 완비이면 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\)는 모든 \(f = f_{i_0} \ldots f_{i_p}\), \(p \geq 0\)에 대하여 영이다. 따라서 \(K \to K^\wedge\)는 \(D(\mathcal{O})\)에서 동형사상이다.

다음으로 유도 완비가 왜 완비인지 설명한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(f_1, \ldots, f_r\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 \(f_1, \ldots, f_r\)가 생성하는 아이디얼 층이라 하자. \(K \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 유도 완비 \(K^\wedge\)는 보조정리 099B의 것이며 다음 식으로 주어진다. \[K^\wedge = R\lim K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K_n\] 여기서 \(K_n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)은 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\)에 대한 \(\mathcal{O}\) 위의 Koszul 복합체이다.

증명

대수학 심화의 보조정리 0913에서 확장 교대 Čech 복합체 \[\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}\] 가 Koszul 복합체 \(K^n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)들의 여극한임을 보았다. 이 복합체들은 차수 \(0, \ldots, r\)에 놓여 있다. \(K^n\)은 유한 자유 \(\mathcal{O}\)-가군으로 이루어진 유한 연쇄 복합체이고, 그 쌍대는 \(\SheafHom_\mathcal{O}(K^n, \mathcal{O}) = K_n\)이다. 여기서 \(K_n\)은 통상대로 차수 \(-r, \ldots, 0\)에 놓인 Koszul 공사슬 복합체이다. 보조정리 099B에 의해 함자 \(E \mapsto E^\wedge\)는 확장 교대 Čech 복합체에서 \(R\SheafHom\)을 취하여 얻으며, 그 둘째 인자는 \(E\)이다. \[E^\wedge = R\SheafHom(\colim K^n, E)\] 이는 \(R\lim (E \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K_n)\)과 같다. 이 등식은 사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 0A0A에서 따른다.

보조정리

다음을 구성하는 방법이 존재한다.

1. 각 쌍 \((A, I)\)은 환 \(A\)와 유한 생성 아이디얼 \(I \subset A\)로 이루어져 있으며, 이에 복합체 \(K(A, I)\)를 대응시킨다. 이 복합체는 \(A\)-가군들로 이루어진다,

2. 사상 \(K(A, I) \to A\)로서 \(A\)-가군 복합체들의 사상인 것,

3. 각 환 준동형 \(A \to B\)와 유한 생성 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 복합체의 사상 \(K(A, I) \to K(B, IB)\),

이들은 다음을 만족한다.

1. \(A \to B\)와 유한 생성 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 도식 \[\xymatrix{ K(A, I) \ar[r] \ar[d] & A \ar[d] \\ K(B, IB) \ar[r] & B }\] 은 가환한다,

2. \(A \to B \to C\)와 유한 생성 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 사상들의 합성 \(K(A, I) \to K(B, IB) \to K(C, IC)\)은 사상 \(K(A, I) \to K(C, IC)\)이다,

3. \(A \to B\)와 유한 생성 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 유도된 사상 \(K(A, I) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K(B, IB)\)은 \(D(B)\)에서 동형사상이다, 그리고

4. \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\)이면 가환도식 \[\xymatrix{ (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \ar[r] \ar[d] & K(A, I) \ar[d] \\ A \ar[r]^1 & A }\] 이 \(D(A)\) 안에 존재하며, 수평 화살표들은 동형사상이다.

증명

\(S\)를 다음 꼴의 환 \(A_0\)들의 집합이라 하자. \(A_0 = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/J\). 모든 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수는 \(S\)의 한 원소와 동형이다. \(\mathcal{A}_0\)를 다음 범주라 하자. 그 대상은 쌍 \((A_0, I_0)\)이며, 여기서 \(A_0 \in S\)이고 \(I_0 \subset A_0\)는 아이디얼이다. 그 사상 \((A_0, I_0) \to (B_0, J_0)\)은 환 준동형 \(\varphi : A_0 \to B_0\)로서 \(J_0 = \varphi(I_0)B_0\)를 만족하는 것이다.

\(K(A_0, I_0) \to A_0\)를 \(\mathcal{A}_0\)의 대상에 대해 함자적으로 구성하되 성질 (a), (b), (c), (d)를 만족하게 할 수 있다고 가정하자. 그러면 \[K(A, I) = \colim_{\varphi : (A_0, I_0) \to (A, I)} K(A_0, I_0)\] 로 놓는다. 여기서 여극한은 환 준동형 \(\varphi : A_0 \to A\)로서 \(\varphi(I_0)A = I\)를 만족하는 것들에 대하여 취하고, \((A_0, I_0)\)는 \(\mathcal{A}_0\)에 속한다. \((A_0, I_0) \to (A, I)\)과 \((A_0', I_0') \to (A, I)\) 사이의 사상은 \((A_0, I_0) \to (A_0', I_0')\) 꼴의 사상으로 주어진다. 이는 \(\mathcal{A}_0\) 안에 있고 \(A\)로 가는 사상들과 가환한다. 이들 \((A_0, I_0) \to (A, I)\)의 범주는 여과 범주이다(세부사항은 생략한다). 더욱이 \(\colim_{\varphi : (A_0, I_0) \to (A, I)} A_0 = A\)이므로 \(K(A, I)\)은 \(A\)-가군의 복합체이다. 마지막으로 \(\varphi : A \to B\)와 \(I \subset A\)가 주어졌다고 하자. 여극한에 등장하는 각 \((A_0, I_0) \to (A, I)\)에 대하여 합성 \((A_0, I_0) \to (B, IB)\)은 \((B, IB)\)에 대한 여극한에 등장한다. 이로부터 여극한 사이의 사상을 얻는다. 성질 (a), (b), (c), (d)는 이 사실과 복합체 \(K(A_0, I_0)\)의 대응하는 성질들에서 곧바로 따른다.

\(\mathcal{C}_0 = \mathcal{A}_0^{opp}\)에 혼돈 위상을 주자. \(\mathcal{C}_0\)에 환층 \(\mathcal{O} : (A, I) \mapsto A\)를 주자. 아이디얼 \(I\)들은 함께 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)을 이룬다. 단사 분해 \(\mathcal{O} \to \mathcal{J}^\bullet\)을 택하자. 대상 \[\mathcal{F}^\bullet = \bigcup\nolimits_n \mathcal{J}^\bullet[\mathcal{I}^n]\] 을 생각하자. \(U = (A, I) \in \Ob(\mathcal{C}_0)\)라 하자. \(\mathcal{C}_0\)의 위상은 혼돈 위상이므로 값 \(\mathcal{J}^\bullet(U)\)는 단사 \(A\)-가군들로 이루어진 \(A\)의 분해이다. 따라서 값 \(\mathcal{F}^\bullet(U)\)는 \(D(A)\)의 대상이며, \(R\Gamma_I(A)\)의 \(D(A)\) 안에서의 상을 나타낸다. 쌍대화 복합체의 절 0952을 보라. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)과 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{O} \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}^\bullet \ar[u] }\] 을 택하되 수평 화살표들이 준동형사상이 되게 하자. 이는 유도 범주 \(D(\mathcal{O})\)의 구성으로 가능하다. \(K(A, I) = \mathcal{K}^\bullet(U)\)로 놓되 여기서 \(U = (A, I)\)이다. 성질 (a), (b)는 명백하고 성질 (c), (d)는 쌍대화 복합체의 보조정리 0956와 0957에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. 사상 \(K \to \mathcal{O}\)가 \(D(\mathcal{O})\) 안에 존재하며 다음 성질을 만족한다. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{I}|_U\)가 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{I}(U)\)에 의해 생성될 때마다 동형사상 \[(\mathcal{O}_U \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{U, f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{U, f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{U, f_1\ldots f_r}) \longrightarrow K|_U\] 이 존재하고, 이는 \(\mathcal{O}_U\)로 가는 사상들과 양립한다.

증명

\(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\)를 다음 대상 \(U\)들로 이루어진 충만 부분범주라 하자. 즉 \(\mathcal{I}|_U\)가 유한 개의 단면으로 생성되는 대상들이다. 그러면 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)는 특수 쌍연속 함자이다 (사이트의 정의 03CG). 따라서 \(\mathcal{C}'\)에서 작업하는 것으로 충분하다. 사이트의 보조정리 03A0를 보라. 다시 말해 각 대상 \(U\)가 \(\mathcal{C}\)에 속할 때 유한 생성 아이디얼 \(I \subset \mathcal{I}(U)\)가 존재하여 \(\mathcal{I}|_U = \Im(I \otimes \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U)\)라고 가정해도 된다. 이때 \(I\)가 \(\mathcal{I}|_U\)를 생성한다고 말하겠다. 주의: \(\mathcal{I}(U)\)가 \(\mathcal{O}(U)\) 안의 유한 생성 아이디얼인지는 알 수 없다.

\(U\)를 대상이라 하고, \(I \subset \mathcal{O}(U)\)를 \(\mathcal{I}|_U\)를 생성하는 유한 생성 아이디얼이라 하자. 범주 \(\mathcal{C}/U\) 위의 전층 복합체 \[K_{U, I}^\bullet : U'/U \longmapsto K(\mathcal{O}(U'), I\mathcal{O}(U'))\] 를 생각하자. 여기서 \(K(-, -)\)는 보조정리 099D의 것이다. 이 복합체의 층화는 \(I\)의 선택과 무관하다고 주장한다. 실제로 \(I' \subset \mathcal{O}(U)\)가 역시 \(\mathcal{I}|_U\)를 생성하는 유한 생성 아이디얼이면, 덮개 \(\{U_j \to U\}\)가 존재하여 \(I\mathcal{O}(U_j) = I'\mathcal{O}(U_j)\)이다. (힌트: \(I\)와 \(I'\)가 모두 유한 생성이고 \(\mathcal{I}|_U\)를 생성하기 때문에 성립한다.) 따라서 \(K_{U, I}^\bullet\)과 \(K_{U, I'}^\bullet\)은 어느 \(U_j\) 위에 놓인 대상에 대해서도 동일하다. 이제 층화에 대한 주장이 따른다. 그 공통값을 \(K_U^\bullet\)로 나타내자.

\(I\)의 선택과 무관하다는 사실은 다음도 보인다. \(K_U^\bullet|_{\mathcal{C}/U'} = K_{U'}^\bullet\)이며, 이는 사상 \(U' \to U\)와 이에 따른 국소화 사상 \(\mathcal{C}/U' \to \mathcal{C}/U\)가 주어질 때마다 성립한다. 따라서 복합체들 \(K_U^\bullet\)은 이어 붙어서 잘 정의된 하나의 복합체 \(K^\bullet\)을 주며, 이는 \(\mathcal{O}\)-가군들로 이루어진다. 사상 \(K^\bullet \to \mathcal{O}\)의 존재와 보조정리의 준동형사상은 보조정리 099D에 있는 복합체 \(K(-, -)\)의 대응하는 성질들에서 곧바로 따른다.

명제

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. 포함 함자 \(D_{comp}(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\)의 왼쪽 수반이 존재한다.

증명

사상 \(K \to \mathcal{O}\)를 \(D(\mathcal{O})\) 안에서 보조정리 099E에서 구성한 것으로 택하자. \(E \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 그러면 \(E^\wedge = R\SheafHom(K, E)\)와 사상 \(E \to E^\wedge\)가 원하는 것을 준다. 실제로 사이트 \(\mathcal{C}\) 위에서 국소적으로 보조정리 099B의 수반을 되찾는다. 이로부터 \(E^\wedge\)는 항상 유도 완비이고, 사상 \(E \to E^\wedge\)는 \(E\)가 유도 완비이면 동형사상임을 알 수 있다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. \(K \mapsto K^\wedge\)를 명제 099F의 유도 완비 함자라 하자. 임의의 \(n \geq 1\)에 대하여 대상 \(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\)은 \(\mathcal{I}\)의 국소 단면들의 거듭제곱들에 의해 소멸되므로 유도 완비이다. 따라서 표준 사상의 표준 분해 \[K \to K^\wedge \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\] 가 존재한다. 여기서 표준 사상은 \(K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\)이다. 이 사상들은 \(n\)의 변화에 대해 양립하며, 비교 사상 \[K^\wedge \longrightarrow R\lim \left(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\right)\] 을 얻는다. 오른쪽 항은 어떤 종류의 완비로 더 쉽게 알아볼 수 있다. 일반적으로 이 비교 사상은 동형사상이 아니다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. \(K \mapsto K^\wedge\)를 명제 099F의 유도 완비 함자라 하자. 명제의 증명에 있는 구성으로부터 \(K^\wedge|_U\)는 \(K|_U\)의 유도 완비이며, 이는 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 성립함이 따른다. 그러나 다음과 같이 증명할 수도 있다. 유도 완비 대상의 정의로부터 \(K^\wedge|_U\)가 유도 완비임이 따른다. 따라서 표준 사상 \(a : (K|_U)^\wedge \to K^\wedge|_U\)를 얻는다. 한편 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 유도 완비 대상이면, 보조정리 099J에 의해 \(Rj_*E\)는 \(D(\mathcal{O})\)의 유도 완비 대상이다. 여기서 \(j\)는 국소화 사상이다 (사이트 위의 가군의 절 03DH). 따라서 표준 사상 \(b : K^\wedge \to Rj_*((K|_U)^\wedge)\)도 얻는다. \(b\)의 수반이 \(a\)의 역임을 확인하는 형식적인 과정은 생략한다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. \(K \mapsto K^\wedge\)로 명제 099F의 수반을 나타내자. 이제 \[K \otimes^\wedge_\mathcal{O} L = (K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)^\wedge\] 로 놓는다. 이 완비 텐서곱은 함자 \(D_{comp}(\mathcal{O}) \times D_{comp}(\mathcal{O}) \to D_{comp}(\mathcal{O})\) 를 정의하며 다음 등식을 만족한다. \[\Hom_{D_{comp}(\mathcal{O})}(K, R\SheafHom_\mathcal{O}(L, M)) = \Hom_{D_{comp}(\mathcal{O})}(K \otimes_\mathcal{O}^\wedge L, M)\] \(K, L, M \in D_{comp}(\mathcal{O})\)에 대하여 성립한다. 보조정리 099A에 의해 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, M) \in D_{comp}(\mathcal{O})\)임에 유의하자.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\varphi : \mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)가 환층들의 평탄 준동형사상이라고 가정하자. \(f_1, \ldots, f_r\)를 \(\mathcal{O}\)의 대역 단면들로서 \(\mathcal{O}/(f_1, \ldots, f_r) \cong \mathcal{O}'/(f_1, \ldots, f_r)\mathcal{O}'\)를 만족하는 것들이라 하자. 그러면 확장 교대 Čech 복합체들의 사상 \[\xymatrix{ \mathcal{O} \to \prod_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r} \ar[d] \\ \mathcal{O}' \to \prod_{i_0} \mathcal{O}'_{f_{i_0}} \to \prod_{i_0 < i_1} \mathcal{O}'_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}'_{f_1\ldots f_r} }\] 은 준동형사상이다.

증명

둘째 복합체는 첫째 복합체를 \(\mathcal{O}'\)와 텐서곱한 것임을 관찰하자. 첫째 확장 교대 Čech 복합체는 Koszul 복합체 \(K_n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)들의 여극한으로 쓸 수 있다. 대수학 심화의 보조정리 0913를 보라. 따라서 \(K_n \to K_n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\)가 준동형사상임을 보이면 충분하다. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)가 평탄하므로 \(H^i \to H^i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\)가 동형사상임을 보이면 충분하다. 여기서 \(H^i\)는 제\(i\) 코호몰로지 층 \(H^i = H^i(K_n)\)이다. 이 층들은 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\)에 의해 소멸된다. 대수학 심화의 보조정리 0663를 보라. 따라서 이 층들은 \((f_1, \ldots, f_r)^m\)에 의해 소멸되며, 여기서 \(m \gg 0\)는 적당히 택한다. 그러므로 사이트 위의 가군의 보조정리 0GLY에 의해 \(H^i \to H^i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\)는 동형사상이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)를 환층들의 준동형사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)가 평탄하고 \(\mathcal{O}/\mathcal{I} \cong \mathcal{O}'/\mathcal{I}\mathcal{O}'\)이면, 제한 함자 \(D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\)는 동치 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}') \to D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)를 유도한다.

증명

보조정리 099J에 의해 제한 함자 \(r : D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\)는 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\)를 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) 안으로 보낸다. 준역함자 \(E \mapsto E'\)를 구성하겠다.

사상 \(K \to \mathcal{O}\)를 보조정리 099E에서 구성한 \(D(\mathcal{O})\)의 사상이라 하자. \(K' = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}'\)로 \(D(\mathcal{O}')\) 안에서 놓자. 그러면 \(K' \to \mathcal{O}'\)는 \(D(\mathcal{O}')\) 안의 사상이며, 보조정리 099E의 결론을 \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}\mathcal{O}'\)에 대해 만족한다. 보조정리 099H에 의해 사상 \(K \to r(K')\)는 준동형사상이다. 이제 \(E \in D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)에 대해 \[E' = R\SheafHom_\mathcal{O}(r(K'), E)\] 로 놓고, \(D(\mathcal{O}')\)의 대상으로 본다. 이는 \(\mathcal{O}'\)-가군 구조를 사용하며 그 구조는 \(K'\) 위의 것이다. \(E\)는 유도 완비이므로 \(E = R\SheafHom_\mathcal{O}(K, E)\)이다. 명제 099F의 증명을 보라. 한편 사상 \(K \to r(K')\)는 동형사상이므로, \(E \to r(E')\)가 \(D(\mathcal{O})\) 안의 동형사상임을 알 수 있다. 증명을 끝내기 위해 다음을 보이면 된다. \(E = r(M')\)이고 \(M'\)가 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)의 대상이면 \(E' \cong M'\)이다. 사상을 얻기 위해 다음을 사용한다. \[M' = R\SheafHom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{O}', M') \to R\SheafHom_\mathcal{O}(r(\mathcal{O}'), r(M')) \to R\SheafHom_\mathcal{O}(r(K'), r(M')) = E'\] 여기서 둘째 화살표는 사상 \(K' \to \mathcal{O}'\)를 사용한다. 이것이 동형사상임을 보이려면, 이 화살표에 \(r\)을 적용한 것이 위의 동형사상 \(E \to r(E')\)와 같음을 보이면 된다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스들의 사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)와 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\)를 유한형 아이디얼 층들이라 하고, \(f^\sharp\)가 \(f^{-1}\mathcal{I}\)를 \(\mathcal{I}'\) 안으로 보낸다고 하자. 그러면 \(Rf_*\)는 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)를 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) 안으로 보내며 왼쪽 수반 \(Lf_{comp}^*\)를 갖는다. 이 수반은 \(Lf^*\)를 취한 뒤 유도 완비를 취하는 함자이다.

증명

첫째 명제는 보조정리 099J에서 보았다. 명제 099F에 의해 유도 완비 함자 \(D(\mathcal{O}') \to D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)가 있으므로 둘째 명제도 의미가 있다. 이제 \(K \in D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)와 \(M \in D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)를 택하자. 그러면 \[\Hom(K, Rf_*M) = \Hom(Lf^*K, M) = \Hom(Lf_{comp}^*K, M)\] 이며, 이는 유도 완비의 보편성에서 따른다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스들의 사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\)를 \(f^\sharp(f^{-1}\mathcal{I})\)가 생성하는 아이디얼이라 하자. 그러면 \(Rf_*\)는 유도 완비와 교환한다. 즉, \(Rf_*(K^\wedge) = (Rf_*K)^\wedge\).

증명

명제 099F에 의해 유도 완비 함자들이 존재한다. 보조정리 099J에 의해 대상 \(Rf_*(K^\wedge)\)는 유도 완비이다. 따라서 유도 완비의 보편성으로부터 표준 사상 \((Rf_*K)^\wedge \to Rf_*(K^\wedge)\)를 얻는다. 이 사상이 동형사상인지는 \(\mathcal{C}\) 위에서 국소적으로 확인할 수 있다. 유도 완비는 국소화와 교환하므로(비고 0A0F), \(\mathcal{I}\)가 대역 단면 \(f_1, \ldots, f_r\)에 의해 생성된다고 가정해도 된다. 그러면 \(\mathcal{I}'\)는 \(g_i = f^\sharp(f_i)\)에 의해 생성된다. 보조정리 0A0E에 의해 다음을 증명하면 된다. \[R\lim \left( Rf_*K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) \right) = Rf_*\left( R\lim K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}'} K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n) \right)\] \(Rf_*\)가 \(R\lim\)와 교환하므로(사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 0A07), 다음을 증명하면 충분하다. \[Rf_*K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) = Rf_*\left( K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}'} K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n) \right)\] 이는 사영 공식(사이트 위의 코호몰로지의 보조정리 0944)과 다음 사실에서 따른다. \(Lf^*K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) = K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n)\).

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{O}\)를 \(A\)-대수층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군층이라 하자. 그러면 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\wedge)\] 가 \(D(A)\) 안에서 성립한다. 여기서 \(\mathcal{F}^\wedge\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(I\mathcal{O}\)에 대한 유도 완비이고, 왼쪽 항에는 \(I\)에 대한 유도 완비를 취한다. 이로부터 두 스펙트럼 열 \[E_2^{i, j} = H^i(H^j(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge) \quad\text{그리고}\quad E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{C}, H^q(\mathcal{F}^\wedge))\] 을 얻으며, 둘 다 \(H^*(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge) = H^*(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\wedge)\) 로 수렴한다.

증명

보조정리 0A0G를 환 달린 토포스들의 사상 \((\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (pt, A)\)에 적용하고 코호몰로지를 취하면 첫째 명제를 얻는다. 둘째 스펙트럼 열은 유도 범주의 보조정리 015J에 나오는 둘째 스펙트럼 열이다. 첫째 스펙트럼 열은 대수학 심화의 예 0BKE에 나오는 스펙트럼 열을 \(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge\)에 적용한 것이다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)를 유한형 아이디얼 층이라 하자. \(K \mapsto K^\wedge\)를 명제 099F의 유도 완비라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)를 대상으로서 \(\mathcal{I}\)가 아이디얼 층으로서 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{I}(U)\)에 의해 생성되는 것이라 하자. \(A = \mathcal{O}(U)\)와 \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\)로 놓자. 주의: \(I = \mathcal{I}(U)\)가 성립하지 않을 수도 있다. 그러면 \[R\Gamma(U, K^\wedge) = R\Gamma(U, K)^\wedge\] 이다. 여기서 오른쪽 항은 대상 \(R\Gamma(U, K)\)를, 이를 \(D(A)\)의 대상으로 보아, \(I\)에 대해 유도 완비한 것이다. 이는 유도 완비가 국소화와 교환하고(비고 0A0F), 보조정리 0BLX가 성립하기 때문이다.

형식함수 정리

이 절에서는 설명의 흐름을 잠시 멈추고 스킴 위 준연접 가군의 설정에서 유도 완비를 조금 논의한다. 이를 사용하여 형식함수 정리의 다소 다른 증명을 제시한다. 관련 문헌은 비고 0AKL에서 안내한다.

보조정리 0A0G는 형식함수 정리의 매우 형식적인 유도 버전이다(스킴의 코호몰로지의 정리 02OC). 이를 더 명시적으로 쓰기 위해 \(f : X \to S\)가 스킴의 사상이고, \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\)가 유한형 준연접 아이디얼 층이며, \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 준연접 층이라고 하자. 그러면 이 보조정리는 [0A0I]\[\begin{equation} Rf_*(\mathcal{F}^\wedge) = (Rf_*\mathcal{F})^\wedge \end{equation}\] 를 말한다. 여기서 \(\mathcal{F}^\wedge\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(f^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_X\)에 대한 유도 완비이고, 오른쪽 항은 \(Rf_*\mathcal{F}\)의 \(\mathcal{I}\)에 대한 유도 완비이다. 이것이 형식함수 정리를 되돌려 준다는 것을 보이려면 약간의 작업이 필요하다.

보조정리

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 유사연접 대상이라 하고 그 유도 완비를 \(K^\wedge\)라 하자. 그러면 \[H^p(U, K^\wedge) = \lim H^p(U, K)/I^nH^p(U, K) = H^p(U, K)^\wedge\] 가 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 성립한다. 여기서 \(I = \mathcal{I}(U)\)이고, 오른쪽 항에서는 \(I\)에 대한 유도 완비를 취한다.

증명

\(U = \Spec(A)\)로 쓰자. 환 \(A\)는 Noether 환이므로 \(I \subset A\)는 유한 생성이다. 따라서 \[R\Gamma(U, K^\wedge) = R\Gamma(U, K)^\wedge\] 이다. 비고 0CQI을 보라. 이제 \(R\Gamma(U, K)\)는 \(A\)-가군들의 유사연접 복합체이다(스킴의 유도 범주의 보조정리 08E7). 대수학 심화의 보조정리 0A06에 의해 제\(p\) 코호몰로지 가군, 즉 \(R\Gamma(U, K^\wedge)\)의 그것은 \(I\)-진 완비로서 \(H^p(U, K)\)에서 얻어지는 것과 같다. 이것으로 첫째 등식을 증명했다. 둘째 등식은 덜 중요하며, 방금 사용한 보조정리를 다시 한 번 적용하면 곧바로 따른다.

보조정리

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면

1. 유도 완비 \(K^\wedge\)는 다음과 같다. \(R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)\).

\(K\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 유사연접 대상이라고 하자. 그러면

1. 코호몰로지 층 \(H^q(K^\wedge)\)는 다음과 같다. \(\lim H^q(K)/\mathcal{I}^nH^q(K)\).

\(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자¹. 그러면

1. 유도 완비 \(\mathcal{F}^\wedge\)는 다음과 같다. \(\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\),

2. \(\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n \mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n \mathcal{F}\),

3. \(H^p(U, \mathcal{F}^\wedge) = 0\)가 \(p \not = 0\)일 때 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 성립한다.

증명

(1)을 증명하자. 표준 사상 \[K \longrightarrow R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n),\] 이 존재한다. 비고 0CQH을 보라. 유도 완비는 열린 부분스킴으로의 제한과 교환한다(비고 0A0F). \(R\lim\)의 구성도 열린 부분스킴으로의 제한과 교환한다. 따라서 이 사상이 동형사상인지는 국소적으로 확인하면 된다. 그러므로 \(X = U = \Spec(A)\)라고 가정해도 된다. \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)라 쓰자. Koszul 복합체를 \(K_n = K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)라 하자. 대수학 심화의 보조정리 0921에서 전사영계 \(\{K_n\}\)와 \(\{A/I^n\}\)가 \(D(A)\) 안에서 동형임을 보았다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 06Z0에 나오는 동치 \(D(A) = D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)를 사용하면, 전사영계 \(\{K(\mathcal{O}_X, f_1^n, \ldots, f_r^n)\}\)와 \(\{\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\}\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 동형임을 알 수 있다. 이것은 다음 식의 둘째 등식을 증명한다. \[K^\wedge = R\lim \left( K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K(\mathcal{O}_X, f_1^n, \ldots, f_r^n) \right) = R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)\] 첫째 등식은 보조정리 0A0E이다.

\(K\)가 유사연접이라고 가정하자. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 보조정리 0A0L에서 \(H^q(U, K^\wedge) = \lim H^q(U, K)/\mathcal{I}^n(U)H^q(U, K)\)를 얻는다. 이것은 모든 \(U\)에 대해 성립하므로 층으로서 \(H^q(K^\wedge) = \lim H^q(K)/\mathcal{I}^nH^q(K)\)임을 알 수 있다. 이것으로 (2)를 증명했다.

(3)은 (2)의 특수한 경우이다. (4)와 (5)는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0A0J에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 Noether 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(H^p(X, \mathcal{F})\)가 유한 \(A\)-가군이라고 모든 \(p\)에 대해 가정하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] 이 존재하며, 이는 \(A\)-가군들의 열이다. 여기서 \(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge\)는 통상적인 \(I\)-진 완비이다. \(f\)가 고유이면 \(R^1\lim\) 항은 영이다.

증명

보조정리 0BLX의 두 스펙트럼 열을 생각하자. 첫째 것은 대수학 심화의 보조정리 0A06에 의해 퇴화한다. \(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge\)를 차수 \(p\)에서 얻는다. 여기서 \(H^p(X, \mathcal{F})\)가 유한 \(A\)-가군이라는 가정을 사용한다. 둘째 것은 다음 이유로 퇴화한다. \[\mathcal{F}^\wedge = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\] 가 보조정리 0A0K에 의해 층이기 때문이다. \(H^p(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)를 차수 \(p\)에서 얻는다. \(R\Gamma(X, -)\)가 유도 극한과 교환하므로(단사 대상의 보조정리 08U1), 다음도 얻는다. \[R\Gamma(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) = R\Gamma(X, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) = R\lim R\Gamma(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 대수학 심화의 비고 07KZ에 의해 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] 을 얻는다. 이는 \(A\)-가군들의 열이다. 위의 결과들을 합치면 보조정리의 첫째 명제를 얻는다. \(R^1\lim\) 항의 소멸은 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02OB에서 따른다.

주

관련 내용을 논의하는 문헌 몇 가지를 소개한다. 고유 사상에 대한 “유도 형식함수 정리”는 [lurie-thesis, 정리 6.3.1]까지 거슬러 올라가는 듯하다. [dag12]에도 논의가 있으며, 특히 제4장은 아핀 경우를 다룬다. 대수학 심화의 절 091N을 보라. [G-R, 절 2.9]에서는 (ind)-연접 가군을 사용하여 고유 밑변환과 유도 완비를 논의한다. 준연접 가군들의 복합체에 대한 (0A0I)의 유사 결과는 [HL-P, 정리 6.5]에서 찾을 수 있다.

국소 코호몰로지의 대수화 I

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(I\)와 \(J\)를 \(A\)의 두 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 이 절에서는 대상 \[R\Gamma_J(M)^\wedge \quad\text{이며 다음에 속하는}\quad D(A)\] 의 코호몰로지 군들을 연구한다. 여기서 \({}^\wedge\)는 유도 \(I\)-진 완비를 나타낸다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0EEX에서 \(A\)가 \(I\)에 관해 완비이면 동형사상 \[\colim H^0_Z(M) \longrightarrow H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge)\] 이 존재함을 보였다. 여기서 (유향) 여극한은 \(Z = V(J')\) 꼴의 닫힌 부분집합들에 대해 취하며, 이들은 \(J' \subset J\) 및 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족한다. 이 닫힌 부분집합들의 합집합은 [0EFG]\[\begin{equation} T = \{\mathfrak p \in \Spec(A) : V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\} \end{equation}\] 이다. 이는 특수화에 대해 안정적인 \(\Spec(A)\)의 부분집합이다. 위의 결과는 \[H^0_T(M) \longrightarrow H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge)\] 가 동형사상이라는 명제가 된다. 단, \(A\)가 \(I\)에 관해 완비라고 가정한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0EF1와 비고 0EF4을 보라. 이 동형사상을 더 높은 코호몰로지 군들로 확장하는 방법은 다음 보조정리에 기초한다.

보조정리

\(I, J\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 소아이디얼이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\mathfrak p \not \in V(J) \cap V(I)\),

3. \(\text{cd}(A, I) \leq d\), 그리고

4. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\)에 대해 \(\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > d + s\) 가 모든 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p') \cap V(J) \cap V(I)\)에 대해 성립한다.

그러면 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 원소가 존재하여 \(H^i(R\Gamma_J(M)^\wedge)\)를 모든 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다. 여기서 \({}^\wedge\)는 \(I\)-진 완비를 나타낸다.

증명

\(R\Gamma_J = R\Gamma_{V(J)}\)임과 \(I + J\)에 대한 유사한 사실을 사용하겠다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0955을 보라. 다음을 관찰하자. \(R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_{I + J}(M)^\wedge\)이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0A6W와 0BJC를 보라. 따라서 \(J\)를 \(I + J\)로 바꾸고 \(I \subset J\) 및 \(\mathfrak p \not \in V(J)\)를 가정해도 된다. 다음을 상기하자. \[R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Hom_A(R\Gamma_I(A), R\Gamma_J(M))\] 이는 대수학 심화의 보조정리 091V에 있는 유도 완비의 기술과 쌍대화 복합체의 보조정리 0956에 있는 국소 코호몰로지의 기술을 결합하면 얻어진다. 가정 (3)은 \(R\Gamma_I(A)\)가 차수 \(\leq d\)에서만 영이 아닌 코호몰로지를 갖는다는 뜻이다. \(R\Gamma_I(A)\)의 표준 절단을 사용하면 다음을 보이는 것으로 충분하다. \[\text{Ext}^i(N, R\Gamma_J(M))\] 이 어떤 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 의해 소멸되며, 이는 모든 \(i \leq s + d\)와 모든 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 성립함을 보이면 된다. 다시 \(R\Gamma_J(M)\)의 표준 절단을 사용하면, \(H^i_J(M)\)이 어떤 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 의해 모든 \(i \leq s + d\)에 대해 소멸됨을 보이는 것으로 충분하다. 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0EFE에서 따른다.

보조정리

\(I, J\)를 Noether 환의 아이디얼들이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. (0EFG)의 \(T\)에 관해 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\mathfrak p \in V(I)\)이면 조건이 없다,

3. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \in T\)이면, \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\)인 어떤 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)가 존재한다,

4. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \not \in T\)이면, \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 가 모든 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)에 대해 성립한다.

그러면 아이디얼 \(J_0 \subset J\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)이고, 임의의 \(J' \subset J_0\)가 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족할 때 사상 \[R\Gamma_{J'}(M) \longrightarrow R\Gamma_{J_0}(M)\] 은 차수 \(\leq s\)인 코호몰로지에서 동형사상을 유도한다. 더욱이 이 가군들은 \(J_0I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

다음 집합을 생각하자. \[B = \{\mathfrak p \not \in V(I),\ \mathfrak p \in T,\text{이고 } \text{depth}(M_\mathfrak p) \leq s\}\] \(J_0 \subset J\)를 \(V(J_0)\)가 \(B \cup V(J)\)의 폐포가 되도록 택하자.

주장 I: \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)이다.

주장 I의 증명. 포함관계 \(\supset\)는 구성에 의해 성립한다. \(\mathfrak p\)를 \(V(J_0)\)의 극소 소아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p \in B \cup V(J)\)이면 \(\mathfrak p \in T\)이거나 \(\mathfrak p \in V(J)\)이며, 어느 경우든 원하는 대로 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\)이다. \(\mathfrak p \not \in B \cup V(J)\)이면 \(V(\mathfrak p) \cap B\)는 조밀하고 따라서 무한이다. 그러므로 국소 코호몰로지의 보조정리 0DWY에 의해 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\)이다. 실제로 다음과 같이 쓰자. \(V(\mathfrak p) \cap B = \{\mathfrak p_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\). (3)에서와 같이 \(\mathfrak q_\lambda \in V(\mathfrak p_\lambda) \cap V(J) \cap V(I)\)를 택하자. \(\delta : \Spec(A) \to \mathbf{Z}\)를 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)에 결부된 \(A\)의 차원함수라 하자. \(\Lambda\)는 무한이고 \(\delta\)는 유계이므로, 무한 부분집합 \(\Lambda' \subset \Lambda\)가 존재하여 그 위에서 \(\delta(\mathfrak q_\lambda)\)가 상수이다. \(\lambda \in \Lambda'\)에 대해 다음이 성립한다. \[\text{depth}(M_{\mathfrak p_\lambda}) + \delta(\mathfrak p_\lambda) - \delta(\mathfrak q_\lambda) = \text{depth}(M_{\mathfrak p_\lambda}) + \dim((A/\mathfrak p_\lambda)_{\mathfrak q_\lambda}) \leq d + s\] 이는 (3)과 \(B\)의 정의에서 따른다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0ECM에서 증명한 함수 \(\text{depth} + \delta\)의 반연속성에 의해 다음을 얻는다. \[\text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_{\mathfrak q_\lambda}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q_\lambda) \leq d + s\] 또한 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이므로 (4)에서 \(\mathfrak p \in T\)임을 읽어 낼 수 있다. 즉, \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\)이다. 이로써 주장 I의 증명이 끝난다.

주장 II: \(H^i_{J_0}(M) \to H^i_J(M)\)은 \(i \leq s\)이고 \(J' \subset J_0\)가 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족할 때 동형사상이다.

주장 II의 증명. \(\mathfrak p \in V(J')\)이지만 \(V(J_0)\)에는 속하지 않는 것을 하나 택하자. \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)이 모든 \(i \leq s\)에 대해 성립함을 보이면 충분하다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DWV을 보라. \(\mathfrak p \in T\)임을 관찰하자. 따라서 \(\mathfrak p\)는 \(B\)에 속하지 않으므로 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)임을 알 수 있고, 이 군들은 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ에 의해 소멸한다.

주장 III. 보조정리의 마지막 명제가 참이다.

주장 II에 의해 \(i \leq s\)에 대해 다음이 성립한다. \[H^i_T(M) = H^i_{J_0}(M) = H^i_{J'}(M)\] 여기서 이는 모든 아이디얼 \(J' \subset J_0\) 중 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족하는 것에 대해 성립한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0EF1를 보라. 부분집합들 \(T \subset T \cup V(I)\), 가군 \(M\), 정수 \(s\)에 대해 국소 코호몰로지의 명제 0EFC의 가정들을 확인하자. \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)가 주어지고 \(\mathfrak p \not \in T \cup V(I)\)이며 \(\mathfrak q \in T\)일 때 다음을 보여야 한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\] \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq s\)이면 \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\)의 차원이 적어도 \(1\)이므로 이는 참이다. 따라서 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\)라고 가정해도 된다. \(\mathfrak q \in V(I)\)이면 \(\mathfrak q \in V(J) \cap V(I)\)이고 부등식은 (4)에 의해 성립한다. \(\mathfrak q \not \in V(I)\)이면 (3)을 사용하여 \(\mathfrak q' \in V(\mathfrak q) \cap V(J) \cap V(I)\)를 택하되 \(\dim((A/\mathfrak q)_{\mathfrak q'}) \leq d\)가 되게 할 수 있다. 그러면 가정 (4)에서 다음을 얻는다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_{\mathfrak q'}) > s + d\] \(A\)는 사슬적이므로 이로부터 원하는 부등식이 따른다. 국소 코호몰로지의 명제 0EFC를 적용하면 \(J'' \subset A\)를 얻는데, 이는 \(V(J'') \subset T \cup V(I)\)를 만족하고 \(J''\)가 \(H^i_T(M)\)을 모든 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다. 그러면 \(V(J'') \cup V(J_0) \cup V(I) = V(J'I)\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(J' \subset J_0\)이고 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)이다. \(J_0\)를 \(J'\)로 바꾸면 증명이 끝난다.

보조정리

보조정리 0EFI에서 아무 조건도 없는 조건 (2) 대신 다음을 가정하자.

1. \(\mathfrak p \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \not \in V(J) \cap V(I)\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\) 가 모든 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)에 대해 성립한다.

그러면 이 조건들은 \(H^i_{J_0}(M)\)이 유한 \(A\)-가군임도 함의하며, 이는 \(i \leq s\)에 대해 성립한다.

증명

보조정리 0EFI의 증명을 보면 \(H^i_{J_0}(M) = H^i_T(M)\)임을 상기하자. 따라서 \(\mathfrak p \not \in T\)이고 \(\mathfrak q \in T\)이며 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)일 때 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\)가 성립함을 확인하면 충분하다. 국소 코호몰로지의 명제 0EFD를 보라. 조건 (2’)에 따르면 이는 \(\mathfrak p \in V(I)\)일 때 성립한다. \(H^i_T(M)\)이 \(IJ_0\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 알고 있으므로, 국소 코호몰로지의 명제 0EFC에 의해 이 조건은 \(\mathfrak p \not \in V(IJ_0)\)일 때도 성립한다. 이로써 모든 경우를 다루었고 증명이 끝난다.

보조정리

보조정리 0EFI에서 다음을 추가로 가정하자.

1. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \in T\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\)이다.

그러면 \(H^i_{J_0}(M) = H^i_J(M) = H^i_{J + I}(M)\)가 \(i \leq s\)에 대해 성립하며 이 가군들은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

\(\mathfrak p \in V(J)\)이거나 \(\mathfrak p \in V(J_0)\)이지만 \(\mathfrak p \not \in V(J + I) = V(J_0 + I)\)인 것을 택하자. \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)이 \(i \leq s\)에 대해 성립함을 보이면 충분하다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DWV을 보라. 이 군들은 조건 (6)과 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ에 의해 소멸한다. 마지막 명제는 국소 코호몰로지의 명제 0EFC에서 따른다.

보조정리

\(I, J\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. (0EFG)의 \(T\)에 관해 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 \(I\)에 관해 진 완비이고 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\mathfrak p \in V(I)\)이면 조건이 없다,

3. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다,

4. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \not \in T\)이면 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 가 모든 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)에 대해 성립한다,

5. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \not \in T\)이며, \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\)이고 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\)이면 다음 중 하나가 성립한다

   ²:

   1. \(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) < s + 2\)이다³, 또는

   2. \(\delta(\mathfrak p) > d + \delta_{max} - 1\) 이다. 여기서 \(\delta\)는 차원함수이고 \(\delta_{max}\)는 \(\delta\)가 \(V(J) \cap V(I)\) 위에서 갖는 최댓값이다, 또는

   3. \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s + \delta_{max} - \delta_{min} - 2\) 가 모든 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)에 대해 성립한다.

그러면 아이디얼 \(J_0 \subset J\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)이고, 임의의 \(J' \subset J_0\)가 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족할 때 사상 \[R\Gamma_{J'}(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge\] 은 차수 \(\leq s\)인 코호몰로지에서 동형사상을 유도한다. 여기서 \({}^\wedge\)는 유도 \(I\)-진 완비를 나타낸다.

독자에게 먼저 국소 경우의 증명(보조정리 0DXP)을 읽기를 권한다. 모든 부등식을 다루지 않고도 증명의 구조를 설명해 주기 때문이다.

증명

아이디얼 \(\mathfrak a \subset A\)에 대해 \(R\Gamma_\mathfrak a = R\Gamma_{V(\mathfrak a)}\)이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0955을 보라. 다음으로 다음을 관찰하자. \[R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_{I + J}(M)^\wedge = R\Gamma_{I + J'}(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_{J'}(M))^\wedge = R\Gamma_{J'}(M)^\wedge\] 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJC와 0A6W에서 따른다. 이로써 보조정리의 명제에 나오는 화살표를 어떻게 정의하는지 설명된다.

보조정리 0EFI의 가정들은 \(M\)에 대한 현재 가정들에서 함의된다고 주장한다. 확인할 것은 가정 (3)뿐이다. 따라서 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \in T\)라 하자. \(V(\mathfrak p) \cap V(I)\)는 공집합이 아닌데, 이는 \(I\)가 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함되기 때문이다. 대수학의 보조정리 05GI을 보라. \(\mathfrak p \in T\)이므로 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)이다. \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I)\)를 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXB에 의해 \(\text{cd}(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q) \leq d\)이다. \(V(\mathfrak pA_\mathfrak q) \cap V(I_\mathfrak q) = \{\mathfrak qA_\mathfrak q\}\)인데, 이는 \(\mathfrak q\)의 선택에 의한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF에 의해 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\)를 얻는다.

\(s < 0\)일 때 보조정리가 성립함을 관찰하자. 이는 자명한 경우가 아니다. \(H^i(R\Gamma_J(M)^\wedge)\)이 \(i < 0\)일 때 영이라는 것이 선험적으로 분명하지 않기 때문이다. 그러나 이 소멸은 쌍대화 복합체의 보조정리 0EEW에서 확립되었다. 이제 \(s \geq 0\)에 대해 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다.

\(s = 0\)인 보조정리는 보조정리 0EFI의 결론과 쌍대화 복합체의 보조정리 0EEX에서 즉시 따른다.

\(s > 0\)이고 더 작은 \(s\)의 값들에 대해 보조정리가 증명되었다고 가정하자. \(M' \subset M\)을 지지집합이 \(V(I) \cup T\)에 포함되는 극대 부분가군이라 하자. 그러면 \(M'\)은 유한 \(A\)-가군이고 그 지지집합은 \(V(J') \cup V(I)\)에 포함되는데, 여기서 어떤 아이디얼 \(J' \subset J\)가 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족한다. 다음을 주장한다. \[R\Gamma_{J'}(M') \to R\Gamma_J(M')^\wedge\] 이는 \(J'\)를 어떻게 택하든 동형사상이다. 실제로 짧은 완전열 \(0 \to M_1 \oplus M_2 \to M' \to N \to 0\)을 택할 수 있는데, \(M_1\)은 \(J'\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되고, \(M_2\)는 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되며, \(N\)은 \(I + J'\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. 따라서 \(M_1\), \(M_2\), \(N\) 각각에 대해 주장이 성립함을 보이면 충분하다. \(M_1\)의 경우 \(R\Gamma_{J'}(M_1) = M_1\)이고, \(M_1\)은 유한 \(A\)-가군이면서 \(I\)에 관해 진 완비이므로 \(M_1^\wedge = M_1\)이다. 증명 첫머리의 관찰에 의해 이는 \(M_1\)에 대한 주장을 증명한다. \(M_2\)의 경우 다음을 얻는다.

\(H^i_J(M_2) = H^i_{I + J}(M) = H^i_{I + J'}(M) = H^i_{J'}(M_2)\) 이들은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되므로 유도 완비이다.

따라서 이 경우에도 주장이 성립한다. \(N\)에 대해서는 방금 제시한 두 논증 중 어느 것이든 사용할 수 있다. 짧은 완전열 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\) 을 고찰하면 \(M/M'\)에 대해 보조정리를 증명하는 것으로 충분함을 알 수 있다. 따라서 \(\text{Ass}(M) \cap (V(I) \cup T) = \emptyset\)라고 가정해도 된다.

\(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)가 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) = \emptyset\)를 만족한다고 하자. \(I\)가 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함되므로, 이는 \(V(\mathfrak p) \cap V(J') = \emptyset\)임을 함의하며, 이 명제는 임의의 \(J' \subset J\) 중 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족하는 것에 대해 성립한다. 따라서 \(N = H^0_\mathfrak p(M)\)으로 놓으면 \(R\Gamma_J(N) = R\Gamma_{J'}(N) = 0\)이 모든 \(J' \subset J\) 중 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족하는 것에 대해 성립함을 알 수 있다. 특히 \(R\Gamma_J(N)^\wedge = 0\)이다. 그러므로 \(M\)을 \(M/N\)으로 바꾸어도 된다. 이 치환은 조건 (4)나 (5)에 관여하지 않는 소아이디얼에서만 \(M\)의 구조를 바꾸기 때문이다. 이를 반복하면 다음을 가정해도 된다. \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) 가 모든 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 성립한다.

다음을 가정하자. \(\text{Ass}(M) \cap (V(I) \cup T) = \emptyset\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) 가 모든 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 성립한다. \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)라 하자. 보조정리 0EFH을 적용할 수 있음을 보이고자 한다. 이를 확인하는 과정에서 추가 조건 (5)를 사용한다. \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\)를 택하고

\(\mathfrak q' \subset V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)를 택하자.

1. \(M_{\mathfrak p'} = 0\)이면 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) = \infty\)이고 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) > d + s\)이다.

2. \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) < s\)이면 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) > d + s\)가 (4)에 의해 성립한다.

나머지 경우에는 \(M_{\mathfrak p'} \not = 0\)이고 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) \geq s\)이다. 특히 \(\mathfrak p'\)가 \(M\)의 지지집합에 속함을 알 수 있고, \(\mathfrak p'' \subset \mathfrak p'\)이면서 \(\mathfrak p'' \in \text{Ass}(M)\)인 것을 택할 수 있다.

1. 다음을 관찰하자. \(\dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_{\mathfrak p'})\) 이는 대수학의 보조정리 0BK4에서 따른다. 등호가 성립하면 다음을 얻는다. \[\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M_{\mathfrak p''}) + \dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak q'}) > s + d\] (4)를 \(\mathfrak p''\)에 적용했으며, 이로써 끝난다. 따라서 문제가 될 수 있는 경우는 다음뿐이다. \(\dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak p'}) > \text{depth}(M_{\mathfrak p'})\). 이는 \(\dim(M_\mathfrak p) \geq s + 2\)를 함의한다. 따라서 (5)(a)가 성립하면 이 경우는 일어나지 않는다.

2. (5)(b)가 성립하면 다음을 얻는다. \[\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \geq s + \delta(\mathfrak p') - \delta(\mathfrak q') \geq s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta_{max} > s + d\] 이는 원하는 바이다.

3. (5)(c)가 성립하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & \geq s + \delta(\mathfrak p') - \delta(\mathfrak q') \\ & \geq s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q') \\ & = s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q) + \delta(\mathfrak q) - \delta(\mathfrak q') \\ & > s + 1 + (s + d + \delta_{max} - \delta_{min} - 2) + \delta(\mathfrak q) - \delta(\mathfrak q') \\ & \geq 2s + d - 1 \geq s + d \end{align*}\] 이는 원하는 바이다. 이 논증이 성립하는 까닭은 소아이디얼 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)가 존재함을 알고 있기 때문이다.

이제 귀납 단계를 수행할 준비가 되었다.

\(J_0\)를 보조정리 0EFI에서와 같이 택하고, 정수 \(t > 0\)을 \((J_0I)^t\)가 \(H^s_J(M)\)을 소멸시키도록 택하자. 보조정리 0EFH의 가정들은 모든 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 만족된다(앞 문단을 보라). 따라서 \(\mathfrak a \subset A\)를 \(H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge)\)의 소멸자라 하면 이는 \(\mathfrak p\)에 포함되지 않으며, 이는 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 성립한다. 따라서 \(f \in \mathfrak a(J_0I)^t\)를 택할 수 있는데, 이는 \(M\)의 어느 결합 소아이디얼에도 속하지 않으며 \(H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge)\)과 \(H^s_J(M)\)을 모두 소멸시킨다. 그러면 \(f\)는 \(M\) 위의 영인자가 아니므로 다음 짧은 완전열을 고찰할 수 있다. \[0 \to M \xrightarrow{f} M \to M/fM \to 0\] \(f\)의 선택에 의해 다음을 얻는다. \[\xymatrix{ H^{s - 1}_{J'}(M) \ar[d] \ar[r] & H^{s - 1}_{J'}(M/fM) \ar[d] \ar[r] & H^s_{J'}(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ H^{s - 1}(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & H^{s - 1}(R\Gamma_J(M/fM)^\wedge) \ar[r] & H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & 0 }\] 이는 임의의 \(J' \subset J_0\) 중 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족하는 것에 대해 성립한다. 따라서 \(J'\)를 \(M\), \(M/fM\), \(s - 1\)에 대해 작동하도록 택하면(귀납 가정에 의해 가능하다. 다음 문단을 보라), 보조정리가 참이라는 결론을 얻는다.

증명을 끝내려면 가군 \(M/fM\)이 \(s - 1\)에 대해 가정 (4)와 (5)를 만족함을 보여야 한다. 따라서 \(\mathfrak p\)를 \(M/fM\)의 지지집합에 속하는 소아이디얼이라 하되 \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) < s - 1\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)가 공집합이 아니라고 하자. 그러면 \(\dim(M_\mathfrak p) = \dim((M/fM)_\mathfrak p) + 1\)이고 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = \text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) + 1\)이다. 특히 (4)와 (5)가 \(\mathfrak p\)와 \(M\)에 대해 원래 값 \(s\)로 성립함을 알고 있다. 이제 원하는 부등식들은 직접 확인하면 따른다.

예

보조정리 0EFL에서 역계 \(H^i_J(M/I^nM)\)이 Mittag–Leffler 조건을 만족하는지는 알 수 없다. 예를 들어 \(A = \mathbf{Z}_p[[x, y]]\), \(I = (p)\), \(J = (p, x)\)이고 \(M = A/(xy - p)\)라고 하자. 그러면 \(H^0_J(M/p^nM) \to H^0_J(M/pM)\) 의 상은 \(y^n\)으로 생성되는 아이디얼이며, 이는 \(M/pM = A/(p, xy)\) 안의 아이디얼이다.

국소 코호몰로지의 대수화 II

이 절에서는 \((A, \mathfrak m)\)이 국소환이고 국소 코호몰로지 \(R\Gamma_\mathfrak m\)을 \(\mathfrak m\)에 대해 취할 때 절 0EFF의 논증을 다시 전개한다. 앞에서와 마찬가지로 주된 도구는 다음 보조정리이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하고 \(\mathfrak p \subset A\)를 소아이디얼이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다, 그리고

3. \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\)이다.

그러면 \(f \in A \setminus \mathfrak p\)인 원소가 존재하여 \(H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\)을 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다. 여기서 \({}^\wedge\)는 \(I\)-진 완비를 나타낸다.

증명

국소 코호몰로지의 보조정리 0DWZ에 따르면 함수 \[\mathfrak p' \longmapsto \text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim(A/\mathfrak p')\] 는 \(\Spec(A)\) 위에서 아래 반연속이다. 따라서 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\)일 때 이 함수의 값은 \(> s + d\)이다. 그러므로 \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\)이면 이 보조정리는 보조정리 0EFH의 특수한 경우이다. \(\mathfrak p = \mathfrak m\)이면 깊이와 국소 코호몰로지의 관계에 의해 \(H^i_\mathfrak m(M) = 0\)이 \(i \leq s + d\)에 대해 성립한다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ를 보라. 따라서 보조정리 0EFH의 증명에 주어진 논증은 이 퇴화한 경우에 \(H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) = 0\)이 \(i \leq s\)에 대해 성립함을 보여 준다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\mathfrak p \in V(I)\)이면 조건이 없다,

3. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\dim(A/\mathfrak p) \leq d\)이다,

4. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\]

그러면 아이디얼 \(J_0 \subset A\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)이고, 임의의 \(J \subset J_0\)가 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)를 만족할 때 사상 \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_{J_0}(M)\] 은 차수 \(\leq s\)인 코호몰로지에서 동형사상을 유도한다. 더욱이 이 가군들은 \(J_0I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

이는 보조정리 0EFI의 특수한 경우이다.

보조정리

보조정리 0DXM에서 아무 조건도 없는 조건 (2) 대신 다음을 가정하자.

1. \(\mathfrak p \in V(I)\)이고 \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\)이다.

그러면 이 조건들은 \(H^i_{J_0}(M)\)이 유한 \(A\)-가군임도 함의하며, 이는 \(i \leq s\)에 대해 성립한다.

증명

이는 보조정리 0EFJ의 특수한 경우이다.

보조정리

보조정리 0DXM에서 다음을 추가로 가정하자.

1. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\)이다.

그러면 \(H^i_{J_0}(M) = H^i_J(M) = H^i_\mathfrak m(M)\)이 \(i \leq s\)에 대해 성립하고 이 가군들은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

이는 보조정리 0EFK의 특수한 경우이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 \(I\)에 관해 진 완비이고 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\mathfrak p \in V(I)\)이면 조건이 없다,

3. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다,

4. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\]

그러면 아이디얼 \(J_0 \subset A\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)이고, 임의의 \(J \subset J_0\)가 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)를 만족할 때 사상 \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge\] 은 차수 \(\leq s\)인 코호몰로지에서 동형사상을 유도한다. 여기서 \({}^\wedge\)는 유도 \(I\)-진 완비를 나타낸다.

증명

이 보조정리는 보조정리 0EFL의 특수한 경우이다. 실제로 \(\delta_{max} = \delta_{min} = \delta(\mathfrak m)\)이므로 조건 (4)는 조건 (5)(c)를 함의한다. 이 중요한 특수한 경우의 증명은 다소 더 쉽고 확인할 것도 더 적으므로 여기에서 제시한다.

현재 상황에서는 \(R\Gamma_\mathfrak a\)와 \(R\Gamma_{V(\mathfrak a)}\) 사이에 차이가 없다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0955을 보라. 다음으로 다음을 관찰하자. \[R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_J(M)^\wedge\] 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJC와 0A6W 에서 따르며, 보조정리의 명제에 있는 등호를 설명한다.

\(s < 0\)일 때 보조정리가 성립함을 관찰하자. 이는 자명한 경우가 아니다. \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\)이 음의 \(s\)에 대해 영이라는 것이 선험적으로 분명하지 않기 때문이다. 그러나 이 소멸은 보조정리 0DXJ에서 확립되었다. 이제 \(s \geq 0\)에 대해 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다.

보조정리 0DXM의 가정들은 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF에 의해 만족된다. \(s = 0\)인 보조정리는 보조정리 0DXM과 쌍대화 복합체의 보조정리 0EEX에서 따른다.

\(s > 0\)이고 더 작은 \(s\)의 값들에 대해 보조정리가 성립한다고 가정하자. \(M' \subset M\)을 원소들의 지지집합이

\(V(I) \cup V(J)\)에 포함되는 원소들로 이루어진 부분가군이라 하자. 여기서 어떤 아이디얼 \(J\)가 주어져 있으며 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)이다. 그러면 \(M'\)은 유한 \(A\)-가군이다. 다음을 주장한다. \[R\Gamma_J(M') \to R\Gamma_\mathfrak m(M')^\wedge\] 이는 \(J\)를 어떻게 택하든 동형사상이다. 실제로 이러한 임의의 가군에 대해 짧은 완전열 \(0 \to M_1 \oplus M_2 \to M' \to N \to 0\)이 존재하며, \(M_1\)은 \(J\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되고, \(M_2\)는 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되며, \(N\)은 \(\mathfrak m\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. \(M_1\)의 경우 \(R\Gamma_J(M_1) = M_1\)이고, \(M_1\)은 유한 \(A\)-가군이면서 \(I\)에 관해 진 완비이므로 \(M_1^\wedge = M_1\)이다. 따라서 \(M_1\)에 대해 주장이 성립한다. \(M_2\)의 경우 \(H^i_J(M_2)\)는 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되므로 유도 완비임을 알 수 있다.

따라서 \(M_2\)에 대해서도 주장이 성립한다. 같은 논증에 의해 \(N\)에 대해서도 주장이 성립하므로 주장이 증명된다. 짧은 완전열 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\)을 고찰하면 \(M/M'\)에 대해 보조정리를 증명하는 것으로 충분함을 알 수 있다.

따라서 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)이면 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\), 즉 \(\mathfrak p\)가 (4)에 나오는 소아이디얼이라고 가정해도 된다.

\(J_0\)를 보조정리 0DXM에서와 같이 택하고, 정수 \(t > 0\)을 \((J_0I)^t\)가 \(H^s_J(M)\)을 소멸시키도록 택하자. 여기서 \(J\)는 임의의 아이디얼 \(J \subset J_0\)를 나타내며 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)를 만족한다. 보조정리 0DXK의 가정들은 모든 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 만족된다(앞 문단을 보라). 따라서 \(\mathfrak a \subset A\)를 \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\)의 소멸자라 하면 이는 \(\mathfrak p\)에 포함되지 않으며, 이는 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 성립한다. 따라서 \(f \in \mathfrak a(J_0I)^t\)를 택할 수 있는데, 이는 \(M\)의 어느 결합 소아이디얼에도 속하지 않으며 \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\)과 \(H^s_J(M)\)을 모두 소멸시킨다. 그러면 \(f\)는 \(M\) 위의 영인자가 아니므로 다음 짧은 완전열을 고찰할 수 있다. \[0 \to M \xrightarrow{f} M \to M/fM \to 0\] \(f\)의 선택에 의해 다음을 얻는다. \[\xymatrix{ H^{s - 1}_J(M) \ar[d] \ar[r] & H^{s - 1}_J(M/fM) \ar[d] \ar[r] & H^s_J(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ H^{s - 1}(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) \ar[r] & H^{s - 1}(R\Gamma_\mathfrak m(M/fM)^\wedge) \ar[r] & H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) \ar[r] & 0 }\] 이는 임의의 \(J \subset J_0\) 중 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)를 만족하는 것에 대해 성립한다. 따라서 \(J\)를 \(M\), \(M/fM\), \(s - 1\)에 대해 작동하도록 택하면(귀납 가정에 의해 가능하다), 보조정리가 참이라는 결론을 얻는다.

국소 코호몰로지의 대수화 III

이 절에서는 절 0EFF과 0EFP의 내용을 부트스트랩하여 다음 상황에서 더 강한 결과를 얻는다.

설정

여기서 \(A\)는 Noether 환이다. 아이디얼 \(I \subset A\), 유한 \(A\)-가군 \(M\), 그리고 특수화에 대해 안정적인 부분집합 \(T \subset V(I)\)가 주어져 있다. 정수 \(s\)와 \(d\)가 주어져 있다. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다,

3. 소아이디얼들 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)가 \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\), \(\mathfrak q \in T\)를 만족하면 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\]

4. \(\mathfrak q \in T\)가 주어졌을 때,

   \(A', \mathfrak m', I', M'\)로 통상적인 \(I\)-진 완비들, 즉 \(A_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, I_\mathfrak q, M_\mathfrak q\)의 완비들을 나타내면 다음이 성립한다. \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) > s\] 이는 모든 \(\mathfrak p' \in \Spec(A') \setminus V(I')\) 중 \(V(\mathfrak p') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\)를 만족하는 것에 대해 성립한다.

다음 보조정리는 상황 0EFU에서 (4)의 소아이디얼 삼중열 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)만 살펴보면 충분한 이유를 설명한다. 실제 가정에는 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak q\)만 나타난다.

보조정리

상황 0EFU에서 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)를 \(A\)의 소아이디얼들이라 하고, \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 및 \(\mathfrak q \in T\)를 가정하자. \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\) 중 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)를 만족하는 것이 존재하지 않으면 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)이다.

증명

\(\mathfrak q' \in T\)를 택하되 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q' \subset \mathfrak q\)이고 \(T\)에는 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak q'\) 사이에 엄밀히 놓이는 소아이디얼이 없도록 하자. 보조정리를 증명할 때 \(\mathfrak q\)를 \(\mathfrak q'\)로 바꾸어도 되며 그렇게 하겠다. 다음으로 \(\mathfrak p' \subset A_\mathfrak q\)를 \(\mathfrak p\)에 대응하는 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(V(\mathfrak p') \cap V(IA_\mathfrak q) = \{\mathfrak q A_\mathfrak q\}\) 이다. 이는 보조정리에 나오는 \(\mathfrak r\)가 존재하지 않기 때문이다. \(A', I', \mathfrak m', M'\)를 각각 \(I\)-진 완비들, 즉 \(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, M_\mathfrak q\)의 완비라 하자. \(A_\mathfrak q \to A'\)는 충실하게 평탄하므로(대수학의 보조정리 00MC), \(\mathfrak p'' \subset A'\)를 택하되 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이고 \(\dim(A'_{\mathfrak p''}/\mathfrak p' A'_{\mathfrak p''}) = 0\)이 되게 할 수 있다. 그러면 다음을 알 수 있다. \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p''}) = \text{depth}((M_\mathfrak q \otimes_{A_\mathfrak q} A')_{\mathfrak p''}) = \text{depth}(M_\mathfrak p \otimes_{A_\mathfrak p} A'_{\mathfrak p''}) = \text{depth}(M_\mathfrak p)\] 이는 \(A \to A'\)의 평탄성과 \(\mathfrak p''\)의 선택에서 따른다. 대수학의 보조정리 0338를 보라. \(\mathfrak p''\)는 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이므로 \(V(\mathfrak p'') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\)이다. 따라서 상황 0EFU의 조건 (6)은 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p''}) > s\)를 함의하고 증명이 끝난다.

다음의 다소 번거로운 보조정리는 부과할 수 있는 여러 조건 묶음 사이의 관계를 설명한다.

보조정리

상황 0EFU에서 다음이 성립한다.

1. \(T' \subset T\)가 특수화에 대해 안정적인 더 작은 부분집합이면 \(A, I, T', M\)은 상황 0EFU의 가정들을 만족한다,

2. \(S \subset A\)가 곱셈적 부분집합이면 \(S^{-1}A, S^{-1}I, T', S^{-1}M\) 은 상황 0EFU의 가정들을 만족한다. 여기서 \(T' \subset V(S^{-1}I)\)는 \(T\)의 역상이다,

3. 사중항 \(A', I', T', M'\)은 상황 0EFU의 가정들을 만족한다. 여기서 \(A', I', M'\)는 통상적인 \(I\)-진 완비들, 즉 \(A, I, M\)의 완비들이고 \(T' \subset V(I')\)는 \(T\)의 역상이다.

\(I \subset \mathfrak a \subset A\)를 \(V(\mathfrak a) \subset T\)를 만족하는 아이디얼이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(I\)가 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함되면 보조정리 0EFI과 0EFK의 모든 가정이 \(A, I, \mathfrak a, M\)에 대해 만족된다,

2. \(A\)가 \(I\)에 관해 완비이면 보조정리 0EFL의 가정 중, 만족되지 않을 가능성이 있는 (5)를 제외한 모든 가정이 \(A, I, \mathfrak a, M\)에 대해 만족된다,

3. \(A\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = \mathfrak a\)를 갖는 국소환이면 보조정리 0DXM과 0EFQ의 모든 가정이 \(A, \mathfrak m, I, M\)에 대해 성립한다,

4. \(A\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = \mathfrak a\)를 갖는 국소환이고 \(I\)에 관해 진 완비이면 보조정리 0DXP의 모든 가정이 \(A, \mathfrak m, I, M\)에 대해 성립한다.

증명

(E)의 증명. 상황 0EFU의 가정 (1), (3), (4), (6)이

\(A, I, T, M\)에 대해 성립함을 증명해야 한다. \(T\)를 \(T'\)로 줄이면 가정 (6)은 약해지고 가정 (4)는 강해진다. 그러나 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)이고 \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T'\), \(\mathfrak q \in T'\)라고 하자. 이는 \(A, I, T', M\)에 대한 가정 (4)에 나오는 경우이다. 그러면 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)인 것을 택할 수 있어서 \(A, I, T, M\)에 대한 조건 (4)를 적용하거나, 그러한 \(\mathfrak r\)를 찾을 수 없어서 보조정리 0EID에 의해 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)를 얻는다. 이로써 원하는 대로 (4)가 \(A, I, T', M\)에 대해 성립함이 증명된다.

(F)의 증명. 이는 직접적이므로 세부사항을 생략한다.

(G)의 증명. 상황 0EFU의 가정 (1), (3), (4), (6)이 \(I\)-진 완비들 \(A', I', T', M'\)에 대해 성립함을 증명해야 한다. \(\Spec(A') \to \Spec(A)\)가 동형사상 \(V(I') \to V(I)\)를 유도함을 기억하자.

가정 (1): 환 \(A'\)는 쌍대화 복합체를 갖는다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR을 보라.

가정 (3): \(I' = IA'\)이므로 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXA에서 따른다.

가정 (4): 소아이디얼들 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak r' \subset \mathfrak q'\)이 \(A'\) 안에 있고 \(\mathfrak p' \not \in V(I')\), \(\mathfrak r' \in V(I') \setminus T'\), \(\mathfrak q' \in T'\)를 만족한다고 하자. 그러면 그 상들 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)는 \(A\)의 스펙트럼에서 \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\), \(\mathfrak q \in T\)를 만족한다. 따라서 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 이는 \(A, I, T, M\)에 대한 가정 (4)에서 따른다. 또한 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\)이고 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\) 가 국소 코호몰로지의 보조정리 0EHW에 의해 성립한다. 따라서 가정 (4)는 \(A', I', T', M'\)에 대해 성립한다.

가정 (6): \(\mathfrak q' \in T'\)를 소아이디얼 \(\mathfrak q \in T\) 위에 놓이도록 택하자. 그러면 \(A'_{\mathfrak q'}\)와 \(A_\mathfrak q\)의 \(I\)-진 완비들은 서로 동형이고, \(M_\mathfrak q\)와 \(M'_{\mathfrak q'}\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(A', I', T', M'\)에 대한 가정 (6)은 \(A, I, T, M\)에 대한 가정 (6)과 동치이다.

(A)의 증명. 보조정리 0EFI과 0EFK의 조건 (1), (2), (3), (4), (6)을 \((A, I, \mathfrak a, M)\)에 대해 확인해야 한다. 주의: 이 보조정리들의 명제에 나오는 집합 \(T\)는 위의 집합 \(T\)와 같지 않다.

조건 (1): 상황 0EFU에서 \(A\)가 쌍대화 복합체를 갖는다고 가정했으므로 성립한다.

조건 (2): 아무 조건도 없다.

조건 (3): \(\mathfrak p \subset A\)가 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 만족한다고 하자. \(I\)는 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함되므로 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \emptyset\)임을 알 수 있다. \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I)\)를 일반점이라 하자. \(\text{cd}(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q) \leq d\)이고(국소 코호몰로지의 보조정리 0DXB) \(V(\mathfrak p A_\mathfrak q) \cap V(I_\mathfrak q) = \{\mathfrak q A_\mathfrak q\}\)이므로 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\)를 얻는다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF를 보라. 이로써 (3)이 증명된다.

조건 (4): \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)라고 하자. 다음을 보이면 충분하다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) 중 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)인 것이 존재하면 이는 상황 0EFU의 가정 (4)에서 즉시 따른다. 존재하지 않으면 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)가 보조정리 0EID에 의해 성립한다.

조건 (6): \(\mathfrak p \not \in V(I)\)가 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 만족한다고 하자. \(I\)는 \(A\)의 Jacobson 근기에 포함되므로 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \emptyset\)임을 알 수 있다. \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 택하자. \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)를 만족하는 소아이디얼 중 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)인 것은 존재하지 않음이 분명하다. 보조정리 0EID에 의해 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)이고, 이로써 (6)이 증명된다.

(B)의 증명. 보조정리 0EFL의 조건 (1), (2), (3), (4)를 확인해야 한다. 주의: 이 보조정리의 명제에 나오는 집합 \(T\)는 위의 집합 \(T\)와 같지 않다.

조건 (1): \(A\)는 완비이고 쌍대화 복합체를 가지므로 성립한다.

조건 (2): 아무 조건도 없다.

조건 (3): 이는 상황 0EFU의 가정 (3)과 같다.

조건 (4): 이는 (A)에서 증명한 보조정리 0EFI의 가정 (4)와 같다.

(C)의 증명. 국소 경우에 보조정리 0DXM과 0EFQ의 가정들은 보조정리 0EFI과 0EFK의 가정들과 같고, 이들이 성립함을 (A)에서 증명했으므로 참이다.

(D)의 증명. 보조정리 0DXP의 가정들은 보조정리 0EFL의 가정 (1), (2), (3), (4)와 같고, 이들이 성립함을 (B)에서 증명했으므로 참이다.

보조정리

상황 0EFU에서 \(A\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 국소환이고 \(T = \{\mathfrak m\}\)라고 가정하자. 그러면 \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\) 은 \(i \leq s\)에 대해 동형사상이고 이 가군들은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

\(A', I', \mathfrak m', M'\)를 통상적인 \(I\)-진 완비들, 즉 \(A, I, \mathfrak m, M\)의 완비들이라 하자. 다음을 상기하자. \(H^i_\mathfrak m(M) \otimes_A A' = H^i_{\mathfrak m'}(M')\) 이는 \(A \to A'\)의 평탄성과 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ에서 따른다. \(H^i_\mathfrak m(M)\)은 \(\mathfrak m\)-멱 꼬임이므로 \(H^i_\mathfrak m(M) = H^i_\mathfrak m(M) \otimes_A A'\)이다. 대수학 심화의 보조정리 05EC를 보라. 따라서 \(H^i_\mathfrak m(M) = H^i_{\mathfrak m'}(M')\)이다. 완전히 같은 논증은 \(H^i_\mathfrak m(M/I^nM) = H^i_{\mathfrak m'}(M'/(I')^nM')\) 가 모든 \(n\)과 \(i\)에 대해 성립함을 보여 준다.

보조정리 0DXP, 0DXM, 그리고 0EFQ 는 보조정리 0EFV의 (C), (D)에 의해 \(A', \mathfrak m', I', M'\)에 적용된다. 따라서 동형사상 \[H^i_{\mathfrak m'}(M') \longrightarrow H^i(R\Gamma_{\mathfrak m'}(M')^\wedge)\] 을 \(i \leq s\)에 대해 얻는다. 여기서 \({}^\wedge\)는 유도 \(I'\)-진 완비이고 이 가군들은 \(I'\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. 보조정리 0DXJ에 의해 동형사상들

\[H^i_{\mathfrak m'}(M') \longrightarrow \lim H^i_{\mathfrak m'}(M'/(I')^nM'))\] 을 \(i \leq s\)에 대해 얻는다. 이를 이미 확립한 \(A\) 위의 국소 코호몰로지와 비교하면 보조정리가 참이라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다,

3. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\)이거나 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\)이다.

그러면 \(A, I, V(\mathfrak a), M, s, d\)는 상황 0EFU에서와 같다.

증명

상황 0EFU의 가정 (1), (3), (4), (6)이 성립함을 보여야 한다. (a) \(\Rightarrow\) (1), (b) \(\Rightarrow\) (3), (c) \(\Rightarrow\) (4)는 분명하다. 다음 문단에서 (6)이 성립함을 보여 증명을 끝낸다.

\(\mathfrak q \in V(\mathfrak a)\)라 하자. \(A', I', \mathfrak m', M'\)로 \(I\)-진 완비들, 즉 \(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, M_\mathfrak q\)의 완비들을 나타내자. \(\mathfrak p' \subset A'\)를 비극대 소아이디얼이라 하고 \(V(\mathfrak p') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\)라고 하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF에 의해 이로부터 \(\dim(A'/\mathfrak p') \leq d\)가 따른다. \(\mathfrak p \subset A\)로 \(\mathfrak p'\)의 상을 나타내자. 다음이 성립한다. \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\)이고 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim(A'/\mathfrak p') = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\) 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0EHW에서 따른다. 가정 (c)에 의해 다음이 성립하거나 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p) > s\) 하여 끝나거나, 다음이 성립한다. \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim(A'/\mathfrak p') > s + d\). 후자의 경우 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) > s\)가 따르는데, 이는 이미 보인 부등식 \(\dim(A'/\mathfrak p') \leq d\) 때문이다. 어느 경우든 원하는 것을 얻는다.

보조정리

상황 0EFU에서 역계 \(\{H^i_T(I^nM)\}_{n \geq 0}\)은 \(i \leq s\)에 대해 프로-영이다. 더욱이 정수 \(m_0\)가 존재하여, 모든 \(m \geq m_0\)에 대해 정수 \(m'(m) \geq m\)을 택할 수 있고, \(k \geq m'(m)\)일 때 \(H^{s + 1}_T(I^kM) \to H^{s + 1}_T(I^mM)\) 의 상은 \(H^{s + 1}_T(I^{m_0}M)\)으로 단사적으로 사상된다.

증명

\(m\)을 고정하자. \(\mathfrak q \in T\)라 하자. 보조정리 0EFV와 0EFR 에 의해 다음을 알 수 있다. \[H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \longrightarrow \lim H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q/I^nM_\mathfrak q)\] 이는 \(i \leq s\)에 대해 동형사상이다. 역계 \(\{H^i_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q)\}_{n \geq 0}\)과 \(\{H^i_\mathfrak q(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 은 모든 \(i\)에 대해 Mittag–Leffler 조건을 만족한다. 보조정리 0DX1을 보라. 따라서 긴 완전열의 역계 \[0 \to H^0_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q) \to H^0_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \to H^0_\mathfrak q(M_\mathfrak q/I^nM_\mathfrak q) \to H^1_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q) \to H^1_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \to \ldots\] 을 살펴보면, 정수 \(m'(m, \mathfrak q) \geq m\)이 존재하여 모든 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)에 대해 사상 \(H^i_\mathfrak q(I^kM_\mathfrak q) \to H^i_\mathfrak q(I^mM_\mathfrak q)\) 이 \(i \leq s\)에 대해 영이고, 사상 \(H^{s + 1}_\mathfrak q(I^kM_\mathfrak q) \to H^{s + 1}_\mathfrak q(I^mM_\mathfrak q)\) 의 상은 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)에 무관하며 \(H^{s + 1}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\)으로 단사적으로 사상된다는 결론을 얻는다(일부 세부사항은 생략한다).

\(m'(m, \mathfrak q)\)를 \(\mathfrak q \in T\)에 무관하게 택할 수 있음을 보인다고 하자. 그러면 보조정리는 국소 코호몰로지의 보조정리 0EF9와 0EFA에서 즉시 따른다.

\(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. \(\delta : \Spec(A) \to \mathbf{Z}\)를 이에 대응하는 차원함수라 하자. \(\delta\)는 유한 개의 값만 취함을 상기하자. 쌍대화 복합체의 보조정리 0A80를 보라. 주장: 각 \(d \in \mathbf{Z}\)에 대해 정수 \(m'(m, \mathfrak q)\)를 \(\mathfrak q \in T\) 중 \(\delta(\mathfrak q) = d\)를 만족하는 것에 무관하게 택할 수 있다. 위에서 말한 바에 의해 이 주장은 분명히 보조정리를 함의한다.

\(\mathfrak q \in T\)를 \(\delta(\mathfrak q) = d\)가 되도록 택하자. Ext 가군 \[E(n, j) = \text{Ext}^j_A(I^nM, \omega_A^\bullet)\] 들을 생각하자. 우리가 사용할 핵심 성질은 이들이 유한 \(A\)-가군이라는 점이다. 쌍대화 복합체에 결부된 차원함수의 정의에 의해 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-d]\)는 \(A_\mathfrak q\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. 쌍대화 복합체의 절 0A7W을 보라. 국소 쌍대성 정리, 즉 쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK에 따르면 \(\mathfrak qA_\mathfrak q\)-진 완비를 \(E(n, -d - i)_\mathfrak q\)에 취하면 \(H^i_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q)\)의 Matlis 쌍대를 얻는다. 따라서 첫 문단에서 \(m'(m, \mathfrak q)\)를 택한 결과는 \(i \leq s\)에 대해 다음을 말한다. \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)이고 \(j \geq -d - s\)일 때 사상 \[E(m, j)_\mathfrak q \to E(k, j)_\mathfrak q\] 은 영이다. 이 가군들은 유한이고 가능한 \(j\) 중 유한 개에 대해서만 영이 아니므로(작은 세부사항은 생략한다), 열린 근방 \(W \subset \Spec(A)\)를 \(\mathfrak q\)의 근방으로 찾아서 다음이 성립하게 할 수 있다. \[E(m, j)_{\mathfrak q'} \to E(m'(m, \mathfrak q), j)_{\mathfrak q'}\] 이는 \(j \geq -d - s\)이고 모든 \(\mathfrak q' \in W\)에 대해 영이다. 그러면 물론 사상 \(E(m, j)_{\mathfrak q'} \to E(k, j)_{\mathfrak q'}\)도 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)에 대해 영이다.

\(i = s + 1\)과 이에 대응하는 \(j = - d - s - 1\)에 대해서는 국소 쌍대성과 첫 문단의 결과로부터 다음을 얻는다. \[K_{k, \mathfrak q} = \Ker(E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(k, -d - s - 1)_\mathfrak q)\] 이는 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)에 무관하며, 또한 \[E(0, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q/K_{m'(m, \mathfrak q), \mathfrak q}\] 는 전사이다. \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)에 대해 다음과 같이 놓자. \[K_k = \Ker(E(m, -d - s - 1) \to E(k, -d - s - 1))\] \(K_k\)는 유한 가군 \(E(m, -d - s - 1)\)의 부분가군들로 이루어진 증가열이므로, \(m'(m, \mathfrak q)\)를 조금 늘리는 대가로 \(K_{m'(m, \mathfrak q)} = K_k\)가 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)에 대해 성립한다고 가정해도 된다. 필요하면 \(W\)를 더 줄여서 다음도 가정할 수 있다. \[E(0, -d - s - 1)_{\mathfrak q'} \to E(m, -d - s - 1)_{\mathfrak q'}/K_{m'(m, \mathfrak q), \mathfrak q'}\] 이는 모든 \(\mathfrak q' \in W\)에 대해 전사이다. 앞에서처럼 이 가군들이 유한이고 사상이 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤 전사라는 사실을 사용한다.

임의의 부분집합, 특히 \(T_d = \{\mathfrak q \in T \text{이고 }\delta(\mathfrak q) = d\}\)는 Noether 위상공간 \(\Spec(A)\)로부터 유도된 위상에 관해 Noether이고 따라서 준콤팩트하다. 위에서 모든 \(\mathfrak q \in T_d\)에 대해 열린 근방 \(W\)가 존재하여 \(m'(m, \mathfrak q)\)가 모든 \(\mathfrak q' \in T_d \cap W\)에 대해 작동함을 보았다. 따라서 정수 \(m'(m, d)\)를 찾아서 모든 \(\mathfrak q \in T_d\)에 대해 다음이 성립하게 할 수 있다. \[E(m, j)_\mathfrak q \to E(m'(m, d), j)_\mathfrak q\] 이는 \(j \geq -d - s\)에 대해 영이다. 또한 \(K_{m'(m, d)} = \Ker(E(m, -d - s - 1) \to E(m'(m, d), -d - s - 1))\) 로 놓으면 다음이 성립한다. \[K_{m'(m, d), \mathfrak q} = \Ker(E(m, -d - s - 1)_{\mathfrak q} \to E(k, -d - s - 1)_{\mathfrak q})\] 이는 모든 \(k \geq m'(m, d)\)에 대해 성립하고, 사상 \[E(0, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q/K_{m'(m, d), \mathfrak q}\] 은 전사이다. 국소 쌍대성 정리를 반대 방향으로 다시 사용하면 주장이 옳다는 결론을 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0EFU에서 다음을 만족하는 정수 \(m_0 \geq 0\)이 존재한다.

1. \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^nM)\)는 모든 \(i \leq s\)와 \(n \geq m_0\)에 대해 단사이고,

2. \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) \(i < s\)에 대해 Mittag–Leffler 조건을 만족하고,

3. \(\{H^i_T(I^{m_0}M/I^nM)\}_{n \geq m_0}\) \(i \leq s\)에 대해 Mittag–Leffler 조건을 만족하고,

4. \(H^i_T(M) \to \lim H^i_T(M/I^nM)\) \(i < s\)에 대해 동형이고,

5. \(H^s_T(I^{m_0}M) \to \lim H^s_T(I^{m_0}M/I^nM)\) \(i \leq s\)에 대해 동형이고,

6. \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\)는 단사이며 그 여핵은 \(I^{m_0}\)에 의해 소멸되고,

7. \(R^1\lim H^s_T(M/I^nM)\)는 \(I^{m_0}\)에 의해 소멸된다.

증명

(1)을 보이기 위해 \(0 \leq i \leq s\)라 하고, 정수 \(m > n > 0\)을 택하여 \(H^i_T(I^mM) \to H^i_T(I^nM)\)가 영이 되게 한다.

이는 보조정리 0EFX에 의해 가능하다. 행들이 완전한 가환 그림 \[\xymatrix{ H^i_T(I^nM) \ar[r] & H^i_T(M) \ar[r] & H^i_T(M/I^nM) \\ H^i_T(I^mM) \ar[r] \ar[u]^0 & H^i_T(M) \ar[r] \ar[u]^1 & H^i_T(M/I^mM) \ar[u] \\ }\] 은 사상 \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^mM)\)가 단사임을 보인다. 따라서 충분히 큰 \(m_0\)마다 (1)이 성립한다.

긴 완전열 \[0 \to H^0_T(I^nM) \to H^0_T(M) \to H^0_T(M/I^nM) \to H^1_T(I^nM) \to H^1_T(M) \to \ldots\] 을 생각하자. 이 열과 보조정리 0EFX로부터 (2)와 (4)가 따른다.

\(m_0\)과 \(m'(-)\)를 보조정리 0EFX에서와 같이 잡는다. \(m \geq m_0\)에 대해 긴 완전열 \[H^s_T(I^mM) \to H^s_T(I^{m_0}M) \to H^s_T(I^{m_0}M/I^mM) \to H^{s + 1}_T(I^mM) \to H^1_T(I^{m_0}M)\] 을 생각하자. 그러면 \(k \geq m'(m)\)에 대해 \(H^{s + 1}_T(I^kM) \to H^{s + 1}_T(I^mM)\) 의 상은 \(H^{s + 1}_T(I^{m_0}M)\)으로 단사적으로 사상된다. 따라서 \(H^s_T(I^{m_0}M/I^kM) \to H^s_T(I^{m_0}M/I^mM)\) 의 상은 \(H^{s + 1}_T(I^mM)\)에서 영으로 사상되며, 이는 모든 \(k \geq m'(m)\)에 대해 성립한다. 그러므로 (3)과 (5)가 성립한다.

짧은 완전열 \(0 \to I^{m_0}M \to M \to M/I^{m_0} M \to 0\)과 \(0 \to I^{m_0}M/I^nM \to M/I^nM \to M/I^{m_0} M \to 0\)을 생각하자. 그림 \[\xymatrix{ H^{s - 1}_T(M/I^{m_0}M) \ar[r] & \lim H^s_T(I^{m_0}M/I^nM) \ar[r] & \lim H^s_T(M/I^nM) \ar[r] & H^s_T(M/I^{m_0}M) \\ H^{s - 1}_T(M/I^{m_0}M) \ar[r] \ar@{=}[u] & H^s_T(I^{m_0}M) \ar[r] \ar[u]_{\cong} & H^s_T(M) \ar[r] \ar[u] & H^s_T(M/I^{m_0}M) \ar@{=}[u] }\] 을 얻으며 그 아래 행은 완전하다. 위 행도 Homology의 보조정리 070B에 의해 (가운데 두 자리에서) 완전하다. 이제 (6)이 따른다.

\(B_n = H^s_T(M/I^nM)\)라 쓰자. \(A_n \subset B_n\)을 \(H^s_T(I^{m_0}M/I^nM) \to H^s_T(M/I^nM)\)의 상이라 하자. 그러면 (3)과 Homology의 보조정리 02N1에 의해 \((A_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다. 또한 \(C_n = B_n/A_n\)은 \(I^{m_0}\)에 의해 소멸된다. 따라서 \(R^1\lim B_n \cong R^1\lim C_n\)도 \(I^{m_0}\)에 의해 소멸되고 (7)을 얻는다.

정리

상황 0EFU에서 \(i \leq s\)에 대해 역계 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)은 값 \(H^i_T(M)\)을 갖는 본질적 상수계이다. 특히 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족하고, \(H^i_T(M)\)은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되며, \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\)이다.

증명

\(0 \leq i \leq s\)라 하자. \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)이 Mittag–Leffler 조건을 만족하고 \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\)임을 보인다면, 보조정리 0EFY에서 보인 \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^nM)\)의 \(n \gg 0\)에서의 단사성으로부터 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)이 값 \(H^i_T(M)\)을 갖는 본질적 상수계임이 따른다. 작은 세부사항은 생략한다.

보조정리 0EFY에 의해 이미 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)이 Mittag–Leffler 조건을 만족하고 \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\)가 \(i < s\)에 대해 성립함을 안다. 또한 이 명제들이 \(i = s\)와 가군 \(I^{m_0}M\)에 대해 성립하도록 하는 어떤 \(m_0 > 0\)이 있음을 안다.

증명을 마치기 위해 이제 이 명제들이 실제로 \(i = s\)와 \(M\)에 대해 성립함을 보이겠다.

\(M' = H^0_I(M)\) 및 \(M'' = M/M'\)라 놓으면 짧은 완전열 \[0 \to M' \to M \to M'' \to 0\] 을 얻는다. 또한 쌍대화 복합체의 보조정리 0AW0에 의해 \(M''\)은

\(H^0_I(M') = 0\)을 만족한다. Artin–Rees 정리(대수학의 보조정리 00IN)에 의해 짧은 완전열 \[0 \to M' \to M/I^n M \to M''/I^n M'' \to 0\] 을 충분히 큰 \(n\)에 대해 얻는다. 긴 완전열 \[H^s_T(M') \to H^s_T(M/I^nM) \to H^s_T(M''/I^nM'') \to H^{s + 1}_T(M')\] 을 살펴보면, 역계 \(\{H^s_T(M''/I^nM'')\}_{n \geq 0}\)에 대해 Mittag–Leffler 조건이 성립할 경우 역계 \(\{H^s_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)에 대해서도 이 조건이 성립함을 쉽게 알 수 있다. (군들의 역계 \(G_n\)에 대한 Mittag–Leffler 조건은 충분히 큰 \(n\)에서의 역계 값들에만 의존함에 유의하라.) 더욱이 열 \[H^s_T(M') \to \lim H^s_T(M/I^nM) \to \lim H^s_T(M''/I^nM'') \to H^{s + 1}_T(M')\] 은 필요한 자리에서 Mittag–Leffler 조건이 성립하므로 완전하다. 호몰로지의 보조정리 070B를 보라. 따라서 \(H^s_T(M'') \to \lim H^s_T(M''/I^nM'')\)가 동형이면 \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\)도 오항 보조정리(호몰로지의 보조정리 05QB)에 의해 동형이다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

\(H^0_I(M) = 0\)이라 가정하자. \(f_1, \ldots, f_r\)를 \(I^{m_0}\)의 생성원으로 택하되, 여기서 \(m_0\)은 보조정리 0EFY에서 \(M\)에 대해 얻은 정수이다. 이제 완전열 \[0 \to M \xrightarrow{f_1, \ldots, f_r} (I^{m_0}M)^{\oplus r} \to Q \to 0\] 로 \(Q\)를 정의한다. 몇 가지를 관찰하자. 첫 사상은 바로 \(H^0_I(M) = 0\)이기 때문에 단사이다. 이 단사의 여핵 \(Q\)는 유한 \(A\)-가군이며, 모든 \(1 \leq j \leq r\)에 대해 \(Q_{f_j} \cong (M_{f_j})^{\oplus r - 1}\)이다. 특히 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)가 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)를 만족하면 \(Q_\mathfrak p \cong (M_\mathfrak p)^{\oplus r - 1}\)이다. 마찬가지로 \(\mathfrak q \in T\)와 \(\mathfrak p' \subset A' = (A_\mathfrak q)^\wedge\)가 주어지고 후자가 \(V(IA')\)에 포함되지 않으면 \(Q'_{\mathfrak p'} \cong (M'_{\mathfrak p'})^{\oplus r - 1}\)이며, 여기서 \(Q' = (Q_\mathfrak q)^\wedge\)이고 \(M' = (M_\mathfrak q)^\wedge\)이다. 따라서 상황 0EFU의 조건들은 \(A, I, T, Q\)에 대해 성립한다. (\(Q\)에 영이 아닌 \(H^0_I(Q)\)가 있을 수 있지만 이는 문제가 되지 않는다.)

임의의 \(n \geq 0\)에 대해 \(F^nM = M \cap I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r}\)라 놓으면 짧은 완전열 \[0 \to F^nM \to I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r} \to I^nQ \to 0\] 을 얻는다. Artin–Rees 정리(대수학의 보조정리 00IN)에 의해 \(c \geq 0\)이 존재하여 \(I^n M \subset F^nM \subset I^{n - c}M\)가 모든 \(n \geq c\)에 대해 성립한다. \(m_0\)을 정수로, \(m'(m)\)을 \(m \geq m_0\)에 대해 정의된 함수로 잡되, 이들은 보조정리 0EFX를 \(M\)에 적용하여 얻은 것이라 하자. 정수 \(m_0\)은 위에서 택한 정수 \(m_0\)과 같음에 유의하라(이를 확인할 필요는 없으며, 원한다면 두 정수의 최댓값을 택하면 된다). 마지막으로 보조정리 0EFX를 \(Q\)에 적용하면, 모든 정수 \(m\)에 대해 정수 \(m''(m) \geq m\)이 존재하여 \(H^s_T(I^kQ) \to H^s_T(I^mQ)\)가 모든 \(k \geq m''(m)\)에 대해 영이 된다.

\(m \geq m_0\)을 고정하고 \(k \geq m'(m''(m + c))\)를 택하자. \(\xi \in H^{s + 1}_T(I^kM)\)를 택하되, 그 상이 \(H^{s + 1}_T(M)\)에서 영이 되게 한다. \(\xi\)가 \(H^{s + 1}_T(I^mM)\)에서 영으로 사상됨을 보이려 한다. 실제로 이는 보조정리 0EFY의 증명에서와 꼭 같이 \(\{H^s_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)이 Mittag–Leffler 조건을 만족함을 보일 것이다. 논증을 시각화하는 데 도움이 되는 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & H^{s + 1}_T(I^kM) \ar[r] \ar[d] & H^{s + 1}_T(I^k(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[d] & \\ H^s_T(I^{m''(m + c)}Q) \ar[r]_-\delta \ar[d] & H^{s + 1}_T(F^{m''(m + c)}M) \ar[r] \ar[d] & H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \\ H^s_T(I^{m + c}Q) \ar[r] & H^{s + 1}_T(F^{m + c}M) \ar[d] & \\ & H^{s + 1}_T(I^mM) }\] \(\xi\)의 \(H^{s + 1}_T(I^k(I^{m_0}M)^{\oplus r})\)에서의 상은 \(H^{s + 1}_T((I^{m_0}M)^{\oplus r})\)에서 영으로 사상되므로, \(H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r})\)에서도 영으로 사상된다. 이는 \(m'(-)\)의 선택에 따른다. 따라서 상 \(\xi' \in H^{s + 1}_T(F^{m''(m + c)}M)\)은 \(H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r})\)에서 영으로 사상되고, 그러므로 \(\xi' = \delta(\eta)\)이다. 여기서 \(\eta \in H^s_T(I^{m''(m + c)}Q)\)이다. \(m''(-)\)의 선택에 의해 \(\eta\)는 \(H^s_T(I^{m + c}Q)\)에서 영으로 사상된다. 이는 다시 \(\xi'\)가 \(H^{s + 1}_T(F^{m + c}M)\)에서 영으로 사상됨을 뜻한다. \(F^{m + c}M \subset I^mM\)이므로 결론을 얻는다.

마지막으로 극한에 관한 명제를 증명하자. 짧은 완전열 \[0 \to M/F^nM \to (I^{m_0}M)^{\oplus r}/I^n (I^{m_0}M)^{\oplus r} \to Q/I^nQ \to 0\] 을 생각하자. 해당 역계들이 프로-동형이므로 \(\lim H^s_T(M/I^nM) = \lim H^s_T(M/F^nM)\)이다. 가환 그림 \[\xymatrix{ H^{s - 1}_T(Q) \ar[r] \ar[d] & \lim H^{s - 1}_T(Q/I^nQ) \ar[d] \\ H^s_T(M) \ar[r] \ar[d] & \lim H^s_T(M/I^nM) \ar[d] \\ H^s_T((I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[r] \ar[d] & \lim H^s_T((I^{m_0}M)^{\oplus r}/I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[d] \\ H^s_T(Q) \ar[r] & \lim H^s_T(Q/I^nQ) }\] 을 얻는다. 필요한 자리에서 Mittag–Leffler 조건이 성립하므로 오른쪽 열은 완전하다. 호몰로지의 보조정리 070B를 보라. 가장 아래 가로 화살표는 보조정리 0EFY의 (6)에 의해 단사이다(!). 그 위의 가로 화살표는 보조정리 0EFY의 (5)에 의해 전단사이다. 코호몰로지 차수 \(\leq s - 1\)에서의 화살표들은 동형이다. 따라서 \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\)가 오항 보조정리 (호몰로지의 보조정리 05QB)에 의해 동형이라는 결론을 얻는다. 이로써 정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a \subset A\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하고, \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A, I, V(\mathfrak a), M\)은 \(s\)와 \(d\)에 대해 상황 0EFU의 가정들을 만족하고,

2. \(A, I, \mathfrak a, M\)은 \(s + 1\)과 \(d\)에 대해, 그리고 \(J = \mathfrak a\)로 두었을 때 보조정리 0EFL의 조건들을 만족한다.

그러면 아이디얼 \(J_0 \subset \mathfrak a\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)를 만족하고, 임의의 \(J \subset J_0\)가 \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)를 만족하면 사상 \[H^{s + 1}_J(M) \longrightarrow \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM)\] 은 동형이다.

증명

실제로 \(J_0\)가 존재하고 동형 \(H^{s + 1}_J(M) = H^{s + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\) 을 얻으며, 이는 보조정리 0EFL에 따른다. 또한 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM) \to H^{s + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \to \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM) \to 0\] 은 쌍대화 복합체의 보조정리 0EEW에 의해 성립한다. 한편 가군 \(R^1\lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\)은 영이다. 실제로 \(\{H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\)은 정리 0EIE에 의해 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

형식적 단면의 대수화, I

이 절에서는 국소적인 경우 형식적 단면의 대수화 문제를 연구한다. \((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \[X = \Spec(A) \supset U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\]

그리고 \(Y = V(I)\)로 \(I\)에 대응하는 닫힌 부분스킴을 나타내자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 이 절에서는 극한 \[\lim_n H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 들을 생각한다. 이는 \(\mathcal{F}\)를 \(U\)의 \(Y\)를 따른 형식적 완비화로 당겨 얻는 층의 코호몰로지와 밀접하게 관련된다. 그러나 아직 형식 스킴을 도입하지 않았으므로 여기서는 이 용어를 사용할 수 없다.

보조정리

\(U\)를 Noether 국소환 \(A\)의 천공 스펙트럼이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하고, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 그러면 \[H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 가 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 여기서 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge\)는 유도 \(I\)-진 완비를 나타낸다.

증명

보조정리 0BLX와 0A0K에 의해 \[R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(U, \mathcal{F}^\wedge) = R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 이다. 따라서 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) \to \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] 을 얻는다. 이는 코호몰로지의 보조정리 0D60에 따른다. \(R^1\lim\) 항들은 영이다. 실제로 군들의 역계 \(H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)는 보조정리 0DX1에 의해 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

정리

\((A, \mathfrak m)\)을 쌍대화 복합체를 가지며 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 Noether 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\), \(Y = V(I)\), \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 연접층이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(\text{cd}(A, I) \leq d\), 즉 \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{G}) = 0\)가 \(i \geq d\)이고 \(\mathcal{G}\)가 \(X\) 위의 준연접층일 때 성립한다.

2. 임의의 \(x \in X \setminus Y\)에 대해, 그 폐포 \(\overline{\{x\}}\)가 \(X\) 안에서 \(U \cap Y\)와 만나면 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \geq s \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > d + s\]

그러면 열린집합 \(V_0 \subset U\)가 존재하여 \(U \cap Y\)를 포함하고, \(V \subset V_0\)가 \(U \cap Y\)를 포함하는 임의의 열린집합이면 사상 \[H^i(V, \mathcal{F}) \to \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 은 \(i < s\)에 대해 동형이다. 더욱이 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > s\) 가 모든 \(x \in U \cap Y\)에 대해 성립하면 이 코호몰로지 군들은 유한 \(A\)-가군이다.

증명

유한 \(A\)-가군 \(M\)을 택하여 \(\mathcal{F}\)가 \(U\)로 제한한 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 곧 \(M\)에 결부된 가군층이 되게 한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. 그러면 보조정리 0DXP의 가정들이 만족된다. 그 보조정리에서와 같이 \(J_0\)를 택하고 \(V_0 = X \setminus V(J_0)\)로 놓자. 그러면 열린집합 \(V \subset V_0\) 중 \(U \cap Y\)를 포함하는 것들은 \(1\)-대-\(1\)로 아이디얼 \(J \subset J_0\) 중 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)를 만족하는 것들과 대응한다. 더욱이 이러한 선택에 대해 구별 삼각형 \[R\Gamma_J(M) \to M \to R\Gamma(V, \mathcal{F}) \to R\Gamma_J(M)[1]\] 을 얻는다. 마찬가지로 구별 삼각형 \[R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge \to M \to R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge \to R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge[1]\] 을 얻으며, 여기에는 유도 \(I\)-진 완비가 나타난다. 보조정리 0DXI에 의해 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge\)의 코호몰로지 군들은 정리의 명제에 나온 극한들과 같다. 이 두 삼각형 사이의 표준 사상과 몇 가지 쉬운 논증으로부터 우리 정리가 주 보조정리 0DXP에서 따름을 알 수 있다(여기서는 \(i < s\)인 반면 그 보조정리에서는 \(i \leq s\)이다. 이는 밀림 때문이다). 추가 가정하에서 코호몰로지 군들의 유한성은 보조정리 0DXN에서 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 쌍대화 복합체를 가지며 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 Noether 국소환이라 하자. \(X = \Spec(A)\), \(Y = V(I)\), \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 연접층이라 하자. 임의의 결부점 \(x \in U\)가 \(\mathcal{F}\)의 결부점이면 \(\dim(\overline{\{x\}}) > \text{cd}(A, I) + 1\)이라 가정하자. 여기서 \(\overline{\{x\}}\)는 \(X\)에서의 폐포이다. 그러면 사상 \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 은 유한 \(A\)-가군들의 동형이다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap Y\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다.

증명

정리 0DXQ를 \(s = 1\)로 적용한다 (유한성도 함께 얻는다).

형식적 단면의 대수화, II

절 0EFF과 0EFT의 결과가 준아핀 스킴 위 연접층의 코호몰로지 및 아이디얼에 관한 그 완비에 미치는 가능한 귀결들을 모두 간결하게 서술하기는 다소 어렵다. 이 절에서는 \(H^0\)에 대한 응용들의 비망라적 목록을 제시한다. 다음 절에는 고차 코호몰로지에 대한 응용들이 들어 있다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\)을 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 위 연접 가군들의 짧은 완전열이라 하자. \(\mathcal{V}\)를 열린 부분스킴 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 것들의 집합에 역포함관계로 순서를 준 것이라 하자. 가환 그림 \[\xymatrix{ \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}') \ar[d] \ar[r] & \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}'') \ar[d] \\ \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}') \ar[r] & \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}) \ar[r] & \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}'') }\] 을 생각하자. 왼쪽과 오른쪽 아래 방향 화살표가 동형이면 가운데 것도 동형이다.

가운데와 왼쪽 아래 방향 화살표가 동형이면 왼쪽 것도 동형이다.

증명

그림의 열들은 가운데에서 완전하고 첫 화살표는 단사이다. 따라서 마지막 명제는 쉬운 그림 추적으로부터 따른다. 나머지 증명에서는 왼쪽과 오른쪽 아래 방향 화살표들이 동형이라고 가정한다. 그림 추적에 의해 가운데 아래 방향 화살표는 단사이다. 이제 전사임만 보이면 된다.

유한 \(A\)-가군 \(M\)과 \(M'\)을 택하여 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}'\)가 각각 \(\widetilde{M}\)과 \(\widetilde{M}'\)을 \(U\)에 제한한 것이 되게 할 수 있다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. \(M'\)을 \(\mathfrak a^n M'\)으로, 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 바꾼 뒤에는 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)가 가군 사상 \(M' \to M\)에 대응한다고 가정할 수 있다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB를 보라. \(M'\)을 \(M' \to M\)의 상으로 바꾸고 \(M'' = M/M'\)로 놓으면, 주어진 짧은 완전열은 짧은 완전열 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\)을 이루는 \(A\)-가군들에 결부된 연접 가군들의 짧은 완전열을 제한한 것에 대응함을 알 수 있다.

\(\hat s \in \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)의 상을 \(\hat s'' \in \lim H^0(U, \mathcal{F}''/I^n\mathcal{F}'')\)라 하자. 가정에 의해 어떤 \(V \in \mathcal{V}\)와 단면 \(s'' \in \mathcal{F}''(V)\)를 찾되, 후자가 \(\hat s''\)로 사상되게 한다. \(J \subset A\)를 \(V(J) = \Spec(A) \setminus V\)를 만족하는 아이디얼이라 하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 \(J\)를 한 거듭제곱으로 바꾼 뒤에는 \(A\)-선형 사상 \(\varphi : J \to M''\)이 있어 \(s''\)에 대응한다고 가정할 수 있다. 이 \(J\)의 선택을 고정한다. 나머지 증명에서는 \(V\)를 더 작은 \(V\), 곧 \(\mathcal{V}\)에 속하는 것으로 바꿀 것이다. 즉 \(V \cap V(J) = \emptyset\)가 성립한다.

표현 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to J \to 0\)을 택하자. \(g_1, \ldots, g_n \in J\)로 \(A^{\oplus n}\)의 기저벡터들의 상을 나타내면 \(J = (g_1, \ldots, g_n)\)이다. \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\)이 행렬 \((a_{ji})\)로 주어져 \(\sum a_{ji} g_i = 0\), \(j = 1, \ldots, m\)이 되게 하자. \(M \to M''\)가 전사이므로 각 \(i\)에 대해 \(m_i \in M\)을 택하여 \(\varphi(g_i) \in M''\)로 사상되게 할 수 있다. 그러면 \(g_i \hat s - m_i\)는 \(\lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)의 원소로서 부분가군 \(\lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}')\)에 속한다. 가정에 의해 \(V\)를 축소한 뒤에는 \(s'_i \in \mathcal{F}'(V)\), \(i = 1, \ldots, n\)이 존재하여 \(s'_i\)가 \(g_i \hat s - m_i\)로 사상된다고 가정할 수 있다. \(s_i = s'_i + m_i\)로 \(\mathcal{F}(V)\) 안에서 놓자. \(\sum a_{ji} s_i\)가 \(\sum a_{ji}g_i\hat s = 0\)으로 사상됨에 유의하라. 이때 사상은 \[\colim_\mathcal{V} \mathcal{F}(V') \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 이다. 이 사상은 단사이므로(위 참조), \(V\)를 축소한 뒤에는 \(\sum a_{ji}s_i = 0\)가 \(\mathcal{F}(V)\) 안에서 모든 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 성립한다고 가정할 수 있다. 따라서 \(A\)-가군 사상 \(J \to \mathcal{F}(V)\)을 얻으며, 이는 \(g_i\)를 \(s_i\)로 보낸다. \(\widetilde{J}\)의 보편 성질에 의해 이 \(A\)-가군 사상은 \(\mathcal{O}_V\)-가군 사상 \(\widetilde{J}|_V \to \mathcal{F}\)에 대응한다. 그러나 \(V(J) \cap V = \emptyset\)이므로 \(\widetilde{J}|_V = \mathcal{O}_V\)이다. 따라서 단면 \(s \in \mathcal{F}(V)\)를 구성하였다. \(s\)가 위에 표시한 사상에 의해 \(\hat s\)로 사상됨을 보이는 계산은 생략한다.

다음 보조정리는 명제 0EG2로 대체될 것이다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 위의 연접 가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)이고 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\)이다.

3. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(\mathcal{F}\)를 \(U \setminus V(I)\)에 제한한 것은 \((S_1)\)을 만족한다.

   2. \(V(\mathfrak a)\)의 차원은 많아야 \(2\)이다.⁴

그러면 동형 \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 을 얻는다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다.

증명

유한 \(A\)-가군 \(M\)을 택하여 \(\mathcal{F}\)가 \(U\)로 제한한 연접 가군, 곧 \(M\)에 결부된 가군층이 되게 한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. \(d = \text{cd}(A, I)\)로 놓자. \(\mathfrak p\)를 \(A\)의 소아이디얼 중 \(V(I)\)에 포함되지 않는 것이라 하고, \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)라 하자. 그러면 \(\mathfrak p\)가 \(M\)의 결부 소아이디얼이 아니어서 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 1\)이거나, 아니면 (2)에 의해 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + 1\)이다. 따라서 보조정리 0EFL의 가정들은 \(s = 1\)과 \(d\)에 대해 만족된다. 여기서 조건 (3)을 사용한다. 그러므로 아이디얼 \(J_0 \subset \mathfrak a\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)이고, 임의의 \(J \subset J_0\)가 \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)를 만족하면 사상 \[H^i_J(M) \longrightarrow H^i(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] 들은 \(i = 0, 1\)에 대해 동형이다. 완전 삼각형들의 사상 \[\xymatrix{ R\Gamma_J(M) \ar[d] \ar[r] & M \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma_J(M)[1] \ar[d] \\ R\Gamma_J(M)^\wedge \ar[r] & M \ar[r] & R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge \ar[r] & R\Gamma_J(M)^\wedge[1] \\ R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge \ar[r] \ar[u] & R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge[1] \ar[u] }\] 을 생각하자. 여기서 \(V = \Spec(A) \setminus V(J)\)이다. \(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge \to R\Gamma_J(M)^\wedge\)가 동형임을 상기하라. 실제로 \(\mathfrak a\), \(\mathfrak a + I\), \(J + I\)는 같은 닫힌 부분스킴을 정의한다. 예를 들어 보조정리 0EFL의 증명을 보라. 따라서 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge\)이다. 이로부터 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0_J(M) \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] \ar[r] & \Gamma(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & H^1_J(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & M \ar[r] & H^0(R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] & H^1(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^1(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻는다. 각 행은 완전하고 아래쪽 수직 화살표들은 동형이다. 따라서 동형 \(\Gamma(V, \mathcal{F}) \to H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge)\)을 얻는다. 보조정리 0BLX와 0A0K에 의해 \[R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(U, \mathcal{F}^\wedge) = R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 이고, 코호몰로지의 보조정리 0D60에 의해 \(H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)임을 얻는다.

이제 앞의 보조정리를 부트스트랩하여 조건 (3)을 없앤다.

명제

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 위의 연접 가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\), 그리고 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\)이다.

그러면 동형 \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 을 얻는다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다.

증명

\(T \subset U\)를 점 \(x\)들 중 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 만족하는 것들의 집합이라 하자. 연접 가군들의 전사 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)을 택하자. 이는 \(U\) 위에서 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX3에 따라 구성한 사상이다. 이 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 것 위에서 동형이므로, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{F}'\)로 바꾼 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(x \in U\)가 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 만족하면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\)이라고 가정해도 좋고 그렇게 한다.

\(\mathcal{V}\)를 열린 부분스킴 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 것들의 집합에 역포함관계로 순서를 준 것이라 하자. 이는 유향집합이다. 먼저 사상 \[\mathcal{F}(V) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\]

이 임의의 \(V \in \mathcal{F}\)에 대해 단사라고 주장한다(특히 보조정리의 사상은 단사이다). 실제로 결부점 \(x\)가 \(\mathcal{F}\)의 결부점이면 앞 문단에 의해

\(\overline{\{x\}} \cap U \cap Y \not = \emptyset\)를 만족해야 한다. \(y \in \overline{\{x\}} \cap U \cap Y\)이면 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{F}_y\)의 국소화이고, Krull 교차 정리(대수학의 보조정리 00IP)에 의해 \(\mathcal{F}_y \subset \lim \mathcal{F}_y/I^n \mathcal{F}_y\)이다. 이로써 주장을 증명하였다. 실제로 핵에 속하는 단면 \(s \in \mathcal{F}(V)\)의 지지집합은 공집합이어야 하므로 그 단면은 영이다.

유한 \(A\)-가군 \(M\)을 택하여 \(\mathcal{F}\)가 \(\widetilde{M}\)을 \(U\)에 제한한 것이 되게 한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. \(H^0_\mathfrak a(M) = 0\)이라고 가정해도 좋고 그렇게 한다. \(\text{Ass}(M) \setminus V(I) = \{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\)라 하자. \(n\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. 순서를 바꾸어 \(\mathfrak p_n\)이 집합 \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\)의 포함관계에 대한 극소원소라고 가정할 수 있다. 즉 \(\mathfrak p_n\)은 \(M\)의 지지집합의 일반점이다. 다음과 같이 놓자. \[M' = H^0_{\mathfrak p_1 \ldots \mathfrak p_{n - 1} I}(M)\] 그리고 \(M'' = M/M'\)라 하자. \(\mathcal{F}'\)과 \(\mathcal{F}''\)을 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군으로서 각각 \(M'\)과 \(M''\)에 대응하는 것이라 하자. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AW0에 의해 \(M''\)은 단 하나의 결부 소아이디얼, 즉 \(\mathfrak p_n\)만을 가진다. 따라서 \(\mathcal{F}''\)도 결부점이 하나뿐이고, 보조정리 0EIF의 조건 (3)(a)가 성립한다. 그러므로 사상 \(\colim H^0(V, \mathcal{F}'') \to \lim H^0(U, \mathcal{F}''/I^n\mathcal{F}'')\)는 동형이다. 한편 \(\mathfrak p_n \not \in V(\mathfrak p_1 \ldots \mathfrak p_{n - 1} I)\)이므로 \(\mathfrak p_n\)은 \(M'\)의 결부 소아이디얼이 아니다. 따라서 귀납 가정을 \(M'\)에 적용할 수 있다. 또한 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)이므로, 조건 \(\text{depth}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\)이 점 \(x\) 중 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 만족하는 것들에서 성립함에 유의하라. 대수학의 보조정리 00LX를 보라. 따라서 사상 \(\colim H^0(V, \mathcal{F}') \to \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}')\)도 동형이다. 보조정리 0H48에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 위의 연접 가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)이고 \(z \in V(\mathfrak a) \cap \overline{\{x\}}\)이면 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\)이다.

3. \(x \in U\)가 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)를 만족하면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이다.

그러면 동형 \[H^0(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 을 얻는다.

증명

\(\hat s \in \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)라 하자. 명제 0EG2에 의해 \(\hat s\)가 원소 \(s \in \mathcal{F}(V)\)의 상임을 알 수 있다. 여기서 \(V \subset U\)는 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 어떤 열린집합이다. 그러나 조건 (3)에 의해 모든 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이고, 이는 모든 \(x \in U \setminus V\)에 대해 성립한다. 따라서 인자의 보조정리 0E9I에 의해 \(\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(U)\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하고, \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(f\)는 \(M\) 위의 영인자가 아니다.

3. \(H^1_\mathfrak a(M/fM)\)은 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)로 놓을 때 사상 \[\colim_V \Gamma(V, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \widetilde{M/f^nM})\] 은 동형이다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(f)\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다.

증명

\(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)로 놓자. \(H^1_\mathfrak a(M/fM)\)의 유한성은 \(H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\)의 유한성을 함의한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. 코호몰로지의 보조정리 0BLB에 의해 (\(f\)가 \(\mathcal{F}\) 위의 영인자가 아니므로 적용할 수 있다) \(N = \lim H^0(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\)은 유한 \(A\)-가군이고, \(f\)-꼬임이 없으며, \(N/fN \subset H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\)이다. 한편 사상 \(M \to N\)과 이와 양립하는 사상 \[M/fM \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\] 을 가진다. \(g \in \mathfrak a\)에 대해 \((M/fM)_g\)는

\(H^0(U \cap D(f), \mathcal{F}/f\mathcal{F})\)로 동형적으로 사상된다. 실제로 \(\mathcal{F}/f\mathcal{F}\)는 \(\widetilde{M/fM}\)을 \(U\)에 제한한 것이다. 따라서 \(M_g \to N_g\)는 동형 \[M_g/fM_g = (M/fM)_g \to (N/fN)_g = N_g/fN_g\] 을 유도한다. \(f\)는 \(N\)과 \(M\) 모두 위에서 영인자가 아니므로 \(M_g \to N_g\)가 \(f\)-진 완비들 사이의 동형을 유도한다. 이는 다시 \(M_g \to N_g\)가 \(V(f) \cap D(g)\)의 어떤 열린 근방에서 동형임을 함의한다. \(g \in \mathfrak a\)가 임의였으므로, \(M\)과 \(N\)은 보조정리의 명제에서와 같은 어떤 열린집합 \(V\) 위에서 서로 동형인 연접 가군들을 정한다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 위의 연접 가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(f)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(f) \not \subset V(\mathfrak a)\), 그리고 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > 2\)이다.

그러면 사상 \[\colim_V \Gamma(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\] 은 동형이다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(f)\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다.

증명

\(A\)는 보편적 사슬환이고 Gorenstein 형식적 섬유를 가짐을 상기하라. 쌍대화 복합체의 보조정리들 0AWY 및 0A80를 보라. 따라서 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)을 생각할 수 있다. 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX5에서 닫힌 부분집합 \(V(f) \cap U\), 곧 \(U\)의 닫힌 부분집합에 대해 구성한 사상이다. 다음을 관찰하라.

1. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)의 핵과 여핵은 \(V(f) \cap U\) 위에 지지되어 있다.

2. \(\mathcal{F}'\)은 \(f\)-꼬임이 없다. 실제로 그 줄기들은 깊이 \(\geq 1\)이고, 이는 \(V(f) \cap U\)의 모든 점에서 성립한다. 즉 \(\mathcal{F}'\)은 \(V(f) \cap U\) 안에 결부점을 갖지 않는다.

3. \(y \in V(f) \cap U\)가 \(\mathcal{F}'/f\mathcal{F}'\)의 결부점이면 \(\text{depth}(\mathcal{F}'_y) = 1\)이고, 따라서 (\(\mathcal{F}'\)의 구성에 의해) 즉시 특수화 \(x \leadsto y\)가 존재하며 \(x \not \in V(f)\)는 \(\mathcal{F}\)의 결부점이다. 그러므로 가정 (2)에 의해 \(y\)는 \(\Spec(A)\) 안에서 점 \(z \in V(\mathfrak a)\)로의 즉시 특수화를 가질 수 없다.

4. (3)으로부터 \(H^0(U, \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')\)은 유한 \(A\)-가군이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BJY를 보라.

이 관찰들을 이용하여 증명을 마칠 수 있다.

먼저 보조정리가 \(\mathcal{F}'\)에 대해 성립한다고 주장한다. 실제로 유한 \(A\)-가군 \(M'\)을 택하여 \(\mathcal{F}'\)이 \(U\)에 제한한 연접 가군, 곧 \(M'\)에 결부된 것이 되게 한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. \(\mathcal{F}'\)은 \(f\)-꼬임이 없으므로 \(M'\)도 \(f\)-꼬임이 없다고 가정할 수 있다.

위 관찰 (4)에 의해 \(H^1_\mathfrak a(M')\)은 유한 \(A\)-가군이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라.

따라서 보조정리 0EIH에 의해 주장이 따른다.

둘째, 임의의 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 중 \(V(f) \cap U\) 위에 지지된 것에 대해 보조정리가 자명하게 성립함을 관찰한다. \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{Q}\)를 각각 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)의 핵, 상, 여핵이라 하자. 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{Q} \to 0\)과 보조정리 0H48에 의해 결과는 \(\mathcal{G}\)에 대해 성립한다. 이제 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\)에 대해 같은 논증을 다시 적용하면 증명이 끝난다.

증명

이 명제는 명제 0EG2의 특수한 경우이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하고, \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(H^1_\mathfrak a(M)\)과 \(H^2_\mathfrak a(M)\)은 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

그러면 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)로 놓을 때 사상 \[\Gamma(U, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \widetilde{M/f^nM})\] 은 동형이다.

증명

보조정리 0BLD를 \(U\)와 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)에 적용할 수 있다. 실제로 \(\mathcal{F}\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군들의 범주에서 Noether 대상이다. \(H^1(U, \mathcal{F}) = H^2_\mathfrak a(M)\)은 (국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0) \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되므로, 그 \(f\)-진 Tate 가군은 영이다. 따라서 이 보조정리에 의해 \(\lim H^0(U, \mathcal{F}/f^n \mathcal{F})\)은 통상적인 \(f\)-진 완비, 곧 \(H^0(U, \mathcal{F})\)의 완비와 같다. 짧은 완전열 \[0 \to M/H^0_\mathfrak a(M) \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_\mathfrak a(M) \to 0\] 을 생각하자. 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0에 나온다. \(M/H^0_\mathfrak a(M)\)은 유한 \(A\)-가군이므로 완비이다. 대수학의 보조정리 00MA를 보라. \(H^1_\mathfrak a(M)\)은 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되므로, 대수학의 보조정리 0BNG로부터 \(H^0(U, \mathcal{F})\)도 완비라는 결론을 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

형식적 단면의 대수화, III

다음 절에는 국소 코호몰로지의 완비에 관한 자료를, 준아핀 스킴 위 연접 가군들의 고차 코호몰로지와 아이디얼에 관한 그 완비에 적용한 결과들의 비망라적 목록이 들어 있다.

명제

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 위의 연접 가군이라 하자. \(s \geq 0\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(x \in U \setminus V(I)\)이면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) > s\)이거나 \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + s + 1\] 가 모든 \(z \in V(\mathfrak a) \cap \overline{\{x\}}\)에 대해 성립한다.

3. 다음 조건 중 하나가 성립한다.

   1. \(\mathcal{F}\)를 \(U \setminus V(I)\)에 제한한 것은 \((S_{s + 1})\)을 만족한다.

   2. \(V(\mathfrak a)\)의 차원은 많아야 \(2\)이다.⁵

그러면 사상들 \[H^i(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 은 \(i < s\)에 대해 동형이다. 더욱이 동형 \[\colim H^s(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^s(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 을 얻는다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다.

증명

\(s > 0\)이라 가정해도 좋다. 실제로 \(s = 0\)인 경우는 명제 0EG2에서 다루었다.

유한 \(A\)-가군 \(M\)을 택하여 \(\mathcal{F}\)가 \(U\)로 제한한 연접 가군, 곧 \(M\)에 결부된 것이 되게 한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. \(d = \text{cd}(A, I)\)로 놓자. \(\mathfrak p\)를 \(A\)의 소아이디얼 중

\(V(I)\)에 포함되지 않는 것이라 하고, \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)라 하자. 그러면 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq s + 1 > s\)이거나, 아니면 (2)에 의해 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s + 1\)이다. 보조정리 0EFW에 의해 상황 0EFU의 가정들이 \(A, I, V(\mathfrak a), M, s, d\)에 대해 만족된다는 결론을 얻는다. 한편 보조정리 0EFL의 가정들은 \(s + 1\)과 \(d\)에 대해 만족된다. 바로 여기서 조건 (3)을 사용한다.

보조정리 0EFL를 적용하면 아이디얼 \(J_0 \subset \mathfrak a\)가 존재하여 \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)이고, 임의의 \(J \subset J_0\)가 \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)를 만족하면 사상들 \[H^i_J(M) \longrightarrow H^i(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] 은 \(i \leq s + 1\)에 대해 동형임을 알 수 있다.

\(i \leq s\)에 대해 사상 \(H^i_\mathfrak a(M) \to H^i_J(M)\)은 보조정리들 0EFV와 0EFK에 의해 동형이다. 코호몰로지와 국소 코호몰로지의 비교(국소 코호몰로지의 보조정리 0DWR)를 사용하면 \(H^i(U, \mathcal{F}) \to H^i(V,\mathcal{F})\) 가 \(V = \Spec(A) \setminus V(J)\) 및 \(i < s\)에 대해 동형임을 얻는다.

정리 0EIE에 의해 \(H^i_\mathfrak a(M) = \lim H^i_\mathfrak a(M/I^nM)\)가 \(i \leq s\)에 대해 성립한다. 보조정리 0EG0에 의해 \(H^{s + 1}_\mathfrak a(M) = \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM)\)이다.

\(H^0(U, \mathcal{F}) = H^0(V, \mathcal{F}) = \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)라는 동형은 위 결과와 명제 0EG2에서 따른다. \(0 < i < s\)에 대해서도 원하는 동형들 \(H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(V, \mathcal{F}) = \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)을 국소 코호몰로지와 코호몰로지의 관계를 사용하여 같은 방식으로 얻는다. 이는 \(i = 0\)인 경우보다 쉽다. 실제로 \(i > 0\)이면 \[H^i(U, \mathcal{F}) = H^{i + 1}_\mathfrak a(M), \quad H^i(V, \mathcal{F}) = H^{i + 1}_J(M), \quad H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = H^{i + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\]

마지막 명제에 대한 논증도 마찬가지이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하고, \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s \geq 0\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(H^i_\mathfrak a(M)\)은 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되며, 이는 \(i \leq s + 1\)에 대해 성립한다.

그러면 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)로 놓을 때 사상 \[H^i(U, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim H^i(U, \widetilde{M/f^nM})\] 은 \(i < s\)에 대해 동형이다.

증명

\(s\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(s = 0\)이면 명제는 공허하다. \(s = 1\)이면 결과는 보조정리 0EII이다. \(s > 1\)이라 가정하자. 귀납법에 의해 \(i = s - 1 \geq 1\)인 경우를 증명하면 충분하다. 보조정리 0BLD를 \(U\)와 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)에 적용할 수 있다. 실제로 \(\mathcal{F}\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군들의 범주에서 Noether 대상이다. \(H^j(U, \mathcal{F}) = H^{j + 1}_\mathfrak a(M)\)가 모든 \(j\)에 대해 성립함을 관찰하라. 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0에 따른다. 따라서 \(j = s = (s - 1) + 1\)이면 이는 가정에 의해 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. 그러므로 보조정리 0BLD에 의해 \(\lim H^{s - 1}(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\)은 통상적인 \(f\)-진 완비, 곧 \(H^{s - 1}(U, \mathcal{F})\)의 완비이다. 다시 이 가군이 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 사용하면, 그 완비는 단순히 \(H^{s - 1}(U, \mathcal{F})\)와 같으며 이것이 원하는 바이다.

연결성에의 응용

이 절에서는 Grothendieck의 연결성 정리와 그 변형들을 논한다. 원래 판본은

[SGA2, Exposee XIII, 정리 2.1]에서 찾을 수 있다. 문헌에는 Faltings의 연결성 정리라고 불리는 판본이 있으며, 이는 [Faltings-some, 정리 6]을 가리키는 것으로 추측한다. [Varbaro, 정리 1.6]에 주어진 완비 국소환에 대한 최적 판본을 진술하고 증명하자.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 완비 국소환이라 하자. \(I\)를 \(A\)의 진아이디얼이라 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(Y = V(I)\)로 놓자. 다음과 같이 나타내자.

1. \(d\)는 \(X\)의 기약 성분들의 차원 중 최솟값이다.

2. \(c\)는 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\)들 중 \(X \setminus Z\)가 비연결이 되는 것들의 차원 중 최솟값이다.

그러면 닫힌 부분집합 \(Z \subset Y\)에 대해 \(Y \setminus Z\)는 \(\dim(Z) < \min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I)\)이면 연결이다. 특히 \(A/I\)의 천공 스펙트럼은 \(\text{cd}(A, I) < \min(c, d - 1)\)이면 연결이다.

증명

먼저 마지막 주장을 증명하자. 첫째 경우로 \(A/I\)의 천공 스펙트럼이 공집합이면, 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF에 의해 \(X\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\leq \text{cd}(A, I)\)이다. 따라서 \(\min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I) < 0\)이고, 이 경우 보조정리가 성립한다. 그러므로 \(U \cap Y\)가 공집합이 아니라고 가정해도 좋다. 여기서 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)는 \(A\)의 천공 스펙트럼이다. \(A\)를 그 축약으로 바꾸어도 좋다. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지고(쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR), 또한 \(A\)는 \(I\)에 관해 완비임을 관찰하라 (대수학의 보조정리 090T). \(d - 1 > \text{cd}(A, I)\)라 가정하면 보조정리 0DXR를 적용하여 사상 \[\colim H^0(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 이 동형임을 알 수 있다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap Y\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다. \(U \cap Y\)가 비연결이면 그 \(n\)차 무한소 근방은 \(U\) 안에서 모든 \(n\)에 대해 비연결이고, 따라서 오른쪽 항에 비자명 멱등원이 있음을 알 수 있다(여기서 \(U \cap Y\)가 공집합이 아님을 사용한다). 그러므로 비연결인 어떤 \(V\)를 찾을 수 있다. \(Z = X \setminus V\)로 놓자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF에 의해 \(Z\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\leq \text{cd}(A, I)\)이다. 따라서 \(c \leq \text{cd}(A, I)\)이고, 이로써 마지막 명제를 증명하였다.

방금 증명한 것으로부터 다음과 같이 보조정리의 명제를 도출할 수 있다. \(Z \subset Y\)가 닫혀 있고 \(Y \setminus Z\)가 비연결이며 \(\dim(Z) = e\)라고 가정하자. 관례상 연결공간은 공집합이 아님을 상기하라. 따라서 (a) \(Y = Z\)이거나, (b) \(Y \setminus Z = W_1 \amalg W_2\)이고 \(W_i\)들이 \(Y \setminus Z\) 안에서 공집합이 아닌 열린닫힌집합이다. (b)의 경우 \(w_i \in W_i\)인 점들을 택할 수 있고, 이 점들은 \(U\)에서 닫혀 있다. 사상의 보조정리 02J6를 보라. 이제 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak m\)을 찾아 \(V(f_1, \ldots, f_e) \cap Z = \{\mathfrak m\}\)가 되게 할 수 있고, (b)의 경우에는 \(w_i \in V(f_1, \ldots, f_e)\)라고 가정할 수 있다. 실제로 소아이디얼 회피를 사용하여 귀납적으로 \(f_i\)를 택하되 \(\dim V(f_1, \ldots, f_i) \cap Z = e - i\)가 되고, (b)의 경우에는 \(w_1, w_2 \in V(f_i)\)가 되게 할 수 있다. 따라서

\(A/I + (f_1, \ldots, f_e)\)의 천공 스펙트럼은 비연결이다(작은 세부사항은 생략한다). 부등식 \(\text{cd}(A, I + (f_1, \ldots, f_e)) \leq \text{cd}(A, I) + e\)은 국소 코호몰로지의 보조정리들 0ECP 및 0DX9에 의해 성립하므로 \[\text{cd}(A, I) + e \geq \min(c, d - 1)\] 라는 결론을 증명의 첫 부분으로부터 얻는다. 이는 \(e \geq \min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I)\)를 함의하며, 이것이 보일 바였다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(\mathfrak p \subset A\)가 \(V(I)\)에 포함되지 않는 극소 소아이디얼이고 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\)이다.

3. 공집합 아닌 임의의 열린집합 \(V \subset \Spec(A)\)가 \(V(I) \setminus V(\mathfrak a)\)를 포함하면 연결이다.⁶

그러면 \(V(I) \setminus V(\mathfrak a)\)는 공집합이거나 연결이다.

증명

\(A\)를 그 축약으로 바꾸어도 좋다. 그러면 (2)의 부등식은 \(A\)의 모든 결부 소아이디얼에 대해 성립한다. 명제 0EG2에 의해 \[\colim H^0(V, \mathcal{O}_V) = \lim H^0(T_n, \mathcal{O}_{T_n})\] 임을 알 수 있다. 여기서 여극한은 (3)과 같은 열린집합 \(V\) 전체에 걸쳐 취하고, \(T_n\)은 \(n\)차 무한소 근방, 곧 \(T = V(I) \setminus V(\mathfrak a)\)의 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 안에서의 근방이다. 따라서 \(T\)는 공집합이거나 연결이다. 그렇지 않다면 오른쪽 항은 비자명 멱등원을 가질 것이나, 왼쪽 항은 그렇지 않다고 가정했기 때문이다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 쌍대화 복합체를 가지며 영이 아닌 \(f \in A\)에 관해 완비인 Noether 정역이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(Z = V(\mathfrak a)\)의 모든 기약 성분이 여차원 \(> 2\)로 \(X = \Spec(A)\) 안에 놓인다고 가정하자. 즉 \(Z\)의 모든 기약 성분이 여차원 \(> 1\)로 \(Y = V(f)\) 안에 놓인다고 가정하자. 그러면 \(Y \setminus Z\)는 연결이다.

증명

이는 보조정리 0EG5의 특수한 경우이다(그 증명은 명제 0EG2에 의존한다). 아래에서는 더 쉬운 명제 0H49를 사용하여 증명한다.

\(U = X \setminus Z\)로 놓자. 명제 0H49에 의해 동형 \[\colim \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \lim_n \Gamma(U, \mathcal{O}_U/f^n \mathcal{O}_U)\] 을 얻는다. 여기서 여극한은 열린집합 \(V \subset U\) 중 \(U \cap Y\)를 포함하는 것들 전체에 걸쳐 취한다. 따라서 \(U \cap Y\)가 비연결이면 어떤 \(V\)에 대해 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) 안에 비자명 멱등원이 존재한다. 그러나 \(V\)는 \(X\)가 정역의 스펙트럼이므로 정역 스킴이고, 이는 불가능하다.

완비화 함자

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(Y \subset X\)를 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 주어지는 닫힌 부분스킴이라 하자. 이 절에서는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 역계 \((\mathcal{F}_n)\) 중 \(\mathcal{F}_n\)이 \(I^n\)에 의해 소멸되고 전이사상이 동형 \(\mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)을 유도하는 것들을 고찰한다. 이러한 역계들의 범주는 스킴의 코호몰로지의 절 \[\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] 0EHN에서 위와 같이 표기하였다. 이 범주는 \(Y\)를 따른 \(X\)의 형식적 완비 위의 연접 가군 범주와 동치이다. 그러나 아직 형식 스킴이나 그 위의 연접 가군을 도입하지 않았으므로 여기서는 이 용어를 사용할 수 없다. 특히 다음 완비화 함자에 관심을 둔다. \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 스킴의 코호몰로지의 식 (0880)을 보라.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴, \(Y \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Y_n \subset X\)를 \(X\) 안에서 \(Y\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. 다음 조건들을 고찰하자.

1. \(X\)는 준아핀이며 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\) 은 동형이다.

2. \(X\)는 풍부한 가역 가군 \(\mathcal{L}\)을 가지며 \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\) 은 모든 \(m \gg 0\)에 대해 동형이다.

3. 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대해 사상 \(\Gamma(X, \mathcal{E}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\) 은 동형이다.

4. 완비화 함자 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

그러면 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)이고 (4) \(\Rightarrow\) (3)이다.

증명

먼저 (3) \(\Rightarrow\) (4)를 증명하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 \(X\) 위에서 유한 국소 자유이면 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 를 고찰하고 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0882 를 사용하면 (3)에서 (4)가 따름을 알 수 있다.

(2) \(\rightarrow\) (3)을 증명하자. \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 풍부하고 \(\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. 어떤 \(r, s \geq 0\) 및 \(0 \ll p \ll q\)에 대해 보편적으로 완전한 열 \[0 \to \mathcal{E} \to (\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r} \to (\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}\] 을 찾을 수 있다고 주장한다. 이것이 성립하면 완전열 \[0 \to \lim \Gamma(\mathcal{E}|_{Y_n}) \to \lim \Gamma((\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r}|_{Y_n}) \to \lim \Gamma((\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}|_{Y_n})\] 과 (2)의 동형들을 사용하여 (3)의 동형을 얻는다. 주장을 증명하기 위해 쌍대 국소 자유 가군 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\) 을 고찰하고 성질의 명제 01Q3를 적용하여 전사 \[(\mathcal{L}^{\otimes -p})^{\oplus r} \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\] 를 찾는다. 쌍대를 취하면 위 완전열의 첫째 사상을 얻는다(전사라는 성질이 보편적이므로 이 사상은 보편적으로 단사이다). 여핵에 대해 이를 반복하면 둘째 사상을 얻는다. 일부 세부사항은 생략한다.

(1) \(\Rightarrow\) (2)를 증명하자. \(X\)가 준아핀이면 \(\mathcal{O}_X\)가 풍부한 가역 가군이기 때문이다. 성질의 보조정리 01QE를 보라.

(4) \(\Rightarrow\) (3)의 증명은 생략한다.

Noether 스킴과 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 주어졌다고 하자. \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상 \((\mathcal{F}_n)\)에서 각 \(\mathcal{F}_n\)이 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\)-가군이면 이를 유한 국소 자유라고 한다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴, \(Y \subset X\)를 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 주어진 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Y_n \subset X\)를 \(X\) 안에서 \(Y\)의 \(n\)차 무한소 근방이라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(Y\)를 포함하는 열린 부분스킴 \(V \subset X\)들의 집합에 포함관계의 역순으로 순서를 준 것으로 놓자.

1. \(X\)는 준아핀이며 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\] 은 동형이다.

2. \(X\)는 풍부한 가역 가군 \(\mathcal{L}\)을 가지며 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] 은 모든 \(m \gg 0\)에 대해 동형이다.

3. 모든 \(V \in \mathcal{V}\)와 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_V\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대해 사상 \[\colim_{V' \geq V} \Gamma(V', \mathcal{E}|_{V'}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] 은 동형이다.

4. 완비화 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다 (위 설명을 보라).

그러면 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)이고 (4) \(\Rightarrow\) (3)이다.

증명

\(\mathcal{V}\)는 유향 집합이므로 여극한들은 범주론의 절 04AX에서 정의한 것과 같다. 나머지 논증은 보조정리 0EKP의 증명에 나온 논증과 거의 정확히 같으므로 독자는 건너뛰어도 좋다.

먼저 (3) \(\Rightarrow\) (4)를 증명하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 \(V \in \mathcal{V}\) 위에서 유한 국소 자유이면 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 를 고찰하고 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0882 를 사용하면 (3)에서 (4)가 따름을 알 수 있다.

(2) \(\Rightarrow\) (3)을 증명하자. \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 풍부하고 어떤 \(V \in \mathcal{V}\)에 대해 \(\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_V\)-가군이라고 하자. 어떤 \(r, s \geq 0\) 및 \(0 \ll p \ll q\)에 대해 보편적으로 완전한 열 \[0 \to \mathcal{E} \to (\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r}|_{V} \to (\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}|_{V}\] 을 찾을 수 있다고 주장한다. 이것이 참이면 (2)의 동형에서 (3)의 동형이 따른다. 주장을 증명하기 위해 \(\mathcal{L}|_V\)가 풍부함을 상기하자. 성질의 보조정리 0B3E를 보라. 쌍대 국소 자유 가군 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_V)\) 을 고찰하고 성질의 명제 01Q3를 적용하여 전사 \[(\mathcal{L}^{\otimes -p})^{\oplus r}|_V \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_V)\] (전사라는 성질이 보편적이므로 이 사상은 보편적으로 단사이다). 쌍대를 취하면 완전열의 첫째 사상을 얻는다. 여핵에 대해 이를 반복하면 둘째 사상을 얻는다. 일부 세부사항은 생략한다.

(1) \(\Rightarrow\) (2)를 증명하자. \(X\)가 준아핀이면 \(\mathcal{O}_X\)가 풍부한 가역 가군이기 때문이다. 성질의 보조정리 01QE를 보라.

(4) \(\Rightarrow\) (3)의 증명은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼층이라 하자. 함자 \[\textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \longrightarrow \text{Pro-}\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 완전충실하다. 범주론의 비고 05PX를 보라.

증명

\((\mathcal{F}_n)\)과 \((\mathcal{G}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)에서 \((\mathcal{G}_n)\)으로 가는 전사영 대상의 사상 \(\alpha\)는 전이사상과 양립하는 사상계 \(\alpha_n : \mathcal{F}_{m(n)} \to \mathcal{G}_n\)으로 주어진다. 여기서 \(\mathbf{N} \to \mathbf{N}\), \(n \mapsto m(n)\)은 증가함수이다(특히 \(m(n) \geq n\)이다). 이제 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{m(n)}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{m(n)}\)이고 \(\mathcal{G}_n\)은 \(\mathcal{I}^n\)에 의해 소멸되므로 \(\alpha_n\)은 사상 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{G}_n\)을 유도한다.

다음으로 이 장 앞부분의 결과를 사용하여 증명할 수 있는 완전충실성 결과의 몇 가지 예를 덧붙인다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. 다음을 만족하는 임의의 동반 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)와 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)이며 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)에 대해 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\), 이다.

3. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)인 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\)이다.

그러면 완비화 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

증명

보조정리 0EKP에 의해 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 를 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0EIG에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(H^1_\mathfrak a(A)\)와 \(H^2_\mathfrak a(A)\)는 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

그러면 완비화 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

증명

보조정리 0EKP에 의해 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 를 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0EII에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(f\)에 관해 완비이다.

2. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해, \(f \not \in \mathfrak p\)이고 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > 2\).

그러면 완비화 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

증명

보조정리 0EKS와 국소 코호몰로지의 명제 0EFC에서 따른다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a \subset A\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 \(U\)의 열린 부분스킴들의 집합에 포함관계의 역순으로 순서를 준 것으로 놓자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. 다음을 만족하는 임의의 동반 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)와 \(I \not \subset \mathfrak p\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\) 및 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)에 대해 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\).

그러면 완비화 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

증명

보조정리 0EK2에 의해 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 를 보이면 충분하다. 이는 명제 0EG2에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a \subset A\)를 \(A\)의 아이디얼의 원소라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(U \cap V(f)\)를 포함하는 \(U\)의 열린 부분스킴들의 집합에 포함관계의 역순으로 순서를 준 것으로 놓자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

2. \(f\)는 영인자가 아니다.

3. \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 완비화 함자 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

증명

보조정리 0EK2에 의해 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 를 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0EIH에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(I \subset \mathfrak a \subset A\)를 Noether 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)라 하자. \(\mathcal{V}\)를 \(U \cap V(I)\)를 포함하는 \(U\)의 열린 부분스킴들의 집합에 포함관계의 역순으로 순서를 준 것으로 놓자. 어떤 \(V \in \mathcal{V}\)에 대해 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군이라 하자. 사상 \[\colim_{V' \geq V} \Hom_V(\mathcal{G}|_{V'}, \mathcal{F}|_{V'}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 은 다음 가정들이 성립하면 전단사이다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\)이고 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\) 또 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\).

증명

\(V\)로의 제한이 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)인 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{G}'\)을 택할 수 있다. 성질의 보조정리 0G41를 보라. \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset V\)가 되도록 \(\mathcal{F}'\)의 선택을 수정할 수 있다. 예를 들어 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX3를 보라. 따라서 \(V\)를 \(U\)로, \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{G}'\)으로 바꾸어도 되며 그렇게 한다. \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)로 놓자. 이는 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다. 다음이 성립한다. \[\Hom_V(\mathcal{G}|_V, \mathcal{F}|_V) = H^0(V, \mathcal{H}) \quad\text{이고}\quad \lim H^0(U, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0882를 보라. 따라서 \(\mathcal{H}\)에 대해 명제 0EG2의 가정들이 성립함을 보이면 증명이 끝난다. 이는 \(\text{Ass}(\mathcal{H}) \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\)이기 때문이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0EBC를 보라.

연접 형식 가군의 대수화 I

완비화 함자의 본질적 전사성(아래를 보라)은 [SGA2], [MRaynaud-book], [MRaynaud-paper]에서 체계적으로 연구되었다. 다음 아핀 상황에서 작업한다.

설정

여기서 \(A\)는 Noether 환이고 \(I \subset \mathfrak a \subset A\)는 아이디얼들이다. \(X = \Spec(A)\), \(Y = V(I) = \Spec(A/I)\) 및 \(Z = V(\mathfrak a) = \Spec(A/\mathfrak a)\)로 놓는다. 또한 \(U = X \setminus Z\)로 놓는다.

이 절에서는 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이 완비화 함자 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 상에 속함을 보장하는 조건들을 찾는다. 스킴의 코호몰로지의 절 0EHN과 절 0EKN을 보라.

보조정리

상황 0EHC에서 다음을 만족하는 \(A\)-가군의 역계 \((M_n)\)을 고찰하자.

1. \(M_n\)은 유한 \(A\)-가군이다.

2. \(M_n\)은 \(I^n\)에 의해 소멸된다.

3. \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\)의 핵과 여핵은 \(\mathfrak a\)-거듭제곱 꼬임이다.

그러면 \((\widetilde{M}_n|_U)\)는 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)에 속한다. 역으로 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 모든 대상은 이 방식으로 얻어진다.

증명

\((\widetilde{M}_n|_U)\)가 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)에 속한다는 확인은 생략한다. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0 에 의해 어떤 유한 \(A/I^n\)-가군 \(M_n\)에 대해 \(\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}\)임을 알 수 있다. \(M_n\)을 \(H^0_\mathfrak a(M_n)\)으로 나누면 \(M_n \subset H^0(U, \mathcal{F}_n)\)이라고 가정할 수 있다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AW0와 이미 인용한 보조정리를 보라. \(M_{n + 1} \to H^0(U, \mathcal{F}_{n + 1}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 아래 \(M_n\)의 역상으로 \(M_{n + 1}\)을 귀납적으로 바꾸면, \(M_{n + 1}\)이 \(M_n\)으로 사상된다고 가정할 수 있다. 이로써 (1), (2)를 만족하고 \(\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}\)인 역계 \((M_n)\)을 얻는다. (3)을 보이려면 \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\)이 유한 \(A\)-가군의 사상이며 \(\widetilde{\ }\)를 적용하고 \(U\)로 제한하면 동형을 유도한다는 사실을 사용한다(여기서 첫째로 인용한 보조정리를 다시 한 번 사용한다).

상황 0EHC에서는 스킴의 코호몰로지의 식 (0880)에 나오는 완비화 함자 [0EIK]\[\begin{equation} \textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge \end{equation}\] 를 연구할 수 있다. \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 형식적 단면의 대수화에 관한 앞선 결과들에 의해 이 함자는 적절한 부분범주들 위에서 완전충실하다. 몇 가지 예는 절 0EKN과 보조정리 0EJ7를 보라. 이제 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 여전히 \(A\)가 \(I\)-진 완비라고 가정할 때, \((\mathcal{F}_n)\)이 언제 위 완비화 함자의 본질적 상에 속하는지 물을 수 있다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음 조건들을 고찰하자.

1. \((\mathcal{F}_n)\)은 함자 (0EIK)의 본질적 상에 속한다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

3. 어떤 열린 \(U \cap Y \subset V \subset U\)에 대해 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군의 완비이다.

4. \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군을 \(U\)로 제한한 것의 완비이다.

5. \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 완비를 \(U\)로 제한한 것이다.

6. \(U\)로의 제한이 \((\mathcal{F}_n)\)인 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)의 대상 \((\mathcal{G}_n)\)이 존재한다.

그러면 조건 (1), (2), (3), (4), (5)는 동치이며 (6)을 함의한다. \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 조건 (6)은 나머지 조건들을 함의한다.

증명

(1)과 (2)는 동치이다. 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)의 완비는 정의상 함자 (0EIK) 아래 \(\mathcal{F}\)의 상이기 때문이다. \(V \subset U\)가 \(U \cap Y\)를 포함하는 열린 부분스킴이면 \[\textit{Coh}(V, I\mathcal{O}_V) = \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\] 이다. \(V \cap Y\) 위에 지지되는 연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군의 범주와 \(U \cap Y\) 위에 지지되는 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 범주가 같기 때문이다. 따라서 연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군의 완비는 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이다. 이제 함자들 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_V)\)는 본질적으로 전사이므로 (2), (3), (4), (5)는 동치이다. 성질의 보조정리 0G41를 보라.

(5)는 언제나 (6)을 함의한다. \(A\)가 \(I\)-진 완비라고 가정하자. 그러면 스킴의 코호몰로지의 보조정리 087W. 에 의해 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)의 모든 대상은 유한 \(A\)-가군에 대응한다. 따라서 이 경우 (6)은 (5)를 함의한다.

예

\(k\)를 체라 하자. \(I = (t)\) 및 \(\mathfrak a = (x, y, t)\)와 함께 \(A = k[x, y][[t]]\)로 놓고 상황 0EHC의 표기를 사용하자. \(U \cap Y = (D(x) \cap Y) \cup (D(y) \cap Y)\)는 아핀 열린 덮개이다. \(n \geq 1\)에 대해 \(A_x/t^nA_x\)와 \(A_y/t^nA_y\)를 \(A_{xy}/t^nA_{xy}\)의 가역원, 즉 다음 꼴의 임의의 거듭제곱급수의 상으로 붙여서 얻는 \(\mathcal{O}_U/t^n\mathcal{O}_U\)의 가역 가군 \(\mathcal{L}_n\)을 고찰하자. \[u = 1 + \frac{t}{xy} + \sum_{n \geq 2} a_n \frac{t^n}{(xy)^{\varphi(n)}}\] 여기서 \(a_n \in k[x, y]\)이고 \(\varphi(n) \in \mathbf{N}\)이다. 그러면 \((\mathcal{L}_n)\)은 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 가역 대상이지만 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{L}\)의 완비는 아니다. 논증의 개요만 제시하고 세부사항 대부분은 생략한다. \(y \in U \cap Y\)라 하자. 줄기 \(\mathcal{L}_y\)의 완비는 가역 가군일 것이므로 \(\mathcal{L}_y\)도 가역이다. 따라서 \(U \cap Y\)를 포함하는 어떤 열린 \(V \subset U\)가 존재하여 \(\mathcal{L}|_V\)가 가역이다. 인자의 보조정리 0BD9에 의해 \(\widetilde{M}|_V \cong \mathcal{L}|_V\)인 가역 \(A\)-가군 \(M\)을 찾는다. 그러나 환 \(A\)는 유일인수분해정역이므로 \(M \cong A\)이고, 이로부터 \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)가 따를 것이다. 구성상 \(\mathcal{L}_2 \not \cong \mathcal{O}_U/I^2\mathcal{O}_U\)이므로 원하는 모순을 얻는다.

\(n \geq 2\)에 대해 \(a_n = 0\)으로 택하면 \(\lim H^0(U, \mathcal{L}_n)\)은 영이 아님을 알 수 있다. 이 경우 \(D(x)\) 위의 함수 \(x\)와 \(D(y)\) 위의 함수 \(x + t/y\)가 붙는다. 한편 \(a_n = 1\) 및 \(\varphi(n) = 2^n\), 나아가 \(\varphi(n) = n^2\)으로 택하면 독자는 \(\lim H^0(U, \mathcal{L}_n)\)이 영임을 보일 수 있다. 이는 이 경우 \((\mathcal{L}_n)\)이 대수화 가능하지 않다는 또 다른 증명을 준다.

상황 0EHC에서 환 \(A\)가 \(I\)-진 완비가 아니면, 보조정리 0EIL는 \((\mathcal{F}_n)\)이 제한 함자 \[\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\] 의 본질적 상에 속하는지를 묻는 것이 올바름을 시사한다. 그러나 이제 이것이 \((\mathcal{F}_n)\)의 대수화 가능성을 뜻한다고 말할 수는 없다. 따라서 다음 용어를 도입한다.

정의

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(U\)로의 제한이 \((\mathcal{F}_n)\)과 동형인 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)의 대상 \((\mathcal{G}_n)\)이 존재하면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다고 한다.

이 개념은 완비 위에서 대수화 가능하다는 것과 동치이다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(A', I', \mathfrak a'\)을 \(A, I, \mathfrak a\)의 \(I\)-진 완비라 하자. \(X' = \Spec(A')\) 및 \(U' = X' \setminus V(\mathfrak a')\)로 놓자. 다음은 동치이다.

1. \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(U'\)로 당긴 것은 연접 \(\mathcal{O}_{U'}\)-가군의 완비이다.

증명

\(A \to A'\)은 동형 \(A/I \to A'/I'\)을 유도하는 평탄한 환 준동형임을 상기하자. 대수학의 보조정리 00MB과 031C를 보라. 따라서 \(X' \to X\)는 동형 \(Y' \to Y\)를 유도하는 평탄 사상이다. 그러므로 \(U' \to U\)는 동형 \(U' \cap Y' \to U \cap Y\)를 유도하는 평탄 사상이다. 이로부터 가환 그림 \[\xymatrix{ \textit{Coh}(X', I\mathcal{O}_{X'}) \ar[r] & \textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'}) \\ \textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X) \ar[u] \ar[r] & \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U) \ar[u] }\] 에서 수직 함자들은 동치이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0EHQ. 를 보라. 이 사실과 보조정리 0EIL의 결과에서 보조정리가 형식적으로 따른다.

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)이 \(X\)로 연장되는지를 알아보기 위해 \(A\)-가군 [0EHD]\[\begin{equation} M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n) \end{equation}\] 을 살펴보는 것이 자연스럽다. \(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\)은 \(I^nM\)을 소멸시키므로 \(M\)은 \(I\)-진 위상보다 (선험적으로) 더 거친 극한 위상을 가진다. 표준 사상들이 있다. \[\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M/I^nM}|_U \to \widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}|_U \to \mathcal{F}_n\] \(\widetilde{M}\)을 \(U\)로 제한하면 연접 가군이 되고 \((\mathcal{F}_n)\)이 이 가군의 완비가 되기를 기대할 수 있다. 그러나 \(A\)가 완비가 아니면 이것이 참일 가능성이 거의 없으므로 이는 순진한 기대이다. 더구나 \(A\)가 \(I\)-진 완비인 경우에도 이 개념은 다루기 매우 어렵다. 좀 더 적절한 방법은 다음 요건을 고찰하는 것이다.

정의

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안의 역계 \[\{\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}\}_{n \geq 1}\] 가 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)의 어떤 대상 \((\mathcal{G}_n)\)과 전사영 동형이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다고 한다.

보조정리 0EIR에서 정의 0EIP의 조건이 정의 0EIM의 조건보다 강함을 보게 될 것이다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)이 \(X\)로 표준적으로 연장되면 다음이 성립한다.

1. \((\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)})\)은 유일한 동형까지 유일한 \(\textit{Coh}(X, I \mathcal{O}_X)\)의 대상 \((\mathcal{G}_n)\)과 전사영 동형이다.

2. \((\mathcal{G}_n)\)을 \(U\)로 제한한 것은 \((\mathcal{F}_n)\)과 동형이다. 즉 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다.

3. 역계 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)은 Mittag-Leffler 조건을 만족한다.

4. (0EHD)의 가군 \(M\)은 \(A\)의 \(I\)-진 완비 위에서 유한이고 \(M\)의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

(1)의 \((\mathcal{G}_n)\)의 존재는 정의 0EIP에서 따른다. (1)의 \((\mathcal{G}_n)\)의 유일성은 보조정리 0EIQ에서 따른다. \(\mathcal{G}_n = \widetilde{M_n}\)으로 쓰자. 그러면 \(\{M_n\}\)은 \(M_n = M_{n + 1}/I^n M_{n + 1}\)인 유한 \(A\)-가군의 역계이다. 정의 0EIP에 의해 역계 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)은 \(\{M_n\}\)과 전사영 동형이다. 따라서 역계 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)은 Mittag-Leffler 조건을 만족하고 \(M = \lim M_n\)이다(위상 가군으로서). 이제 (4)에 나오는 \(M\)의 성질들은 대수학의 보조정리 09B8, 031D, 그리고 05GG. \(U\)가 준아핀이므로 표준 사상 \[\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}|_U \to \mathcal{F}_n\] 은 동형이다(성질의 보조정리 0EHM). 따라서 \((\mathcal{G}_n|_U)\)와 \((\mathcal{F}_n)\)은 전사영 동형이며, 보조정리 0EIQ에 의해 동형이라고 결론내린다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(A \to A'\)을 평탄한 환 준동형이라 하자. \(X' = \Spec(A')\)로 놓고, \(U' \subset X'\)를 \(U\)의 역상이라 하며, 유도된 사상을 \(g : U' \to U\)로 표기하자. \((\mathcal{F}'_n) = (g^*\mathcal{F}_n)\)로 놓는다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0887을 보라. \((\mathcal{F}_n)\)이 \(X\)로 표준적으로 연장되면 \((\mathcal{F}'_n)\)은 \(X'\)로 표준적으로 연장된다. 또한 보조정리 0EIR에서 \((\mathcal{F}_n)\)에 대해 얻은 연장을 당기면 \((\mathcal{F}'_n)\)의 연장이 된다.

증명

\(f : X' \to X\)를 유도된 사상이라 하자. 평탄 밑변환에 의해 \(H^0(U', \mathcal{F}'_n) = H^0(U, \mathcal{F}_n) \otimes_A A'\)이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH. 를 보라. 따라서 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)의 \((\mathcal{G}_n)\)이 \((\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)})\)과 전사영 동형이면 \((f^*\mathcal{G}_n)\)은 다음과 전사영 동형이다. \[(f^*\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}) = (\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n) \otimes_A A'}) = (\widetilde{H^0(U', \mathcal{F}'_n)})\] 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(M\)을 (0EHD)에서와 같이 놓자. 다음을 가정한다.

1. 역계 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag-Leffler 조건을 만족한다.

2. \(M\)의 극한 위상은 \(I\)-진 위상과 일치한다.

3. 모든 \(n\)에 대해 \(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\)의 상은 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다. 특히 \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

\(H^0(U, \mathcal{F}_n)\)이 Mittag-Leffler 조건을 만족하고 \(M\)의 극한 위상이 \(I\)-진 위상이므로, \(\{M/I^nM\}\)과 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)은 서로 전사영 동형인 \(A\)-가군의 역계이다. 따라서 \[\mathcal{G}_n = \widetilde{M/I^n M}\] 로 놓으면 정의 0EIP의 조건을 확인하기 위해 \(M\)이 \(A\)의 \(I\)-진 완비 위에서 유한 가군임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 조건 (c)와 위의 사실에 의해 \(M/I^n M\)이 유한이라는 점 및 대수학의 보조정리 031D에서 따른다.

다음은 어떤 의미에서 위 보조정리 0EHH의 가장 직접적인 응용이다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 영인자가 아닌 \(f \in \mathfrak a\)에 대해 \(I = (f)\)는 주 아이디얼이다.

2. \(\mathcal{F}_n\)은 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\)-가군이다.

3. \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\)와 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다. 특히 \(A\)가 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

보조정리 0EHH의 가정 (a), (b), (c)를 확인하여 증명하겠다.

\(\mathcal{F}_n\)은 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\) 위에서 국소 자유이므로 모든 \(n\)에 대해 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\)을 얻는다. 따라서 코호몰로지의 보조정리 0EHA에 의해 조건 (b)가 성립한다.

\(f\)가 영인자가 아니므로 짧은 완전열 \[0 \to A/f^nA \xrightarrow{f} A/f^{n + 1}A \to A/fA \to 0\] 과 이에 대응하는 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\)을 얻는다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0 를 더 언급하지 않고 사용하겠다. 가정들로부터 \(H^0(U, \mathcal{O}_U/f\mathcal{O}_U)\)와 \(H^1(U, \mathcal{O}_U/f\mathcal{O}_U)\) 은 유한 \(A\)-가군이다. 따라서 \(\mathcal{F}_1\)에 대해서도 같은 사실이 성립한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BLT. 를 보라. 귀납법과 짧은 완전열들을 사용하면 모든 \(n\)에 대해 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\)이 유한 \(A\)-가군임을 알 수 있다. 이로써 가정 (c)가 성립한다.

마지막으로 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\)은 유한 \(A\)-가군이므로 코호몰로지의 보조정리 0BLC을 적용하여 가정 (a)가 성립함을 안다.

주

보조정리 0DXW에서 \(A\)가 Cohen–Macaulay 형식 올을 갖는 보편적 사슬환이면(예를 들어 \(A\)가 쌍대화 복합체를 가지면), \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\)와 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) 이 유한 \(A\)-가군이라는 조건은 \[\text{depth}((A/f)_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > 2\] 가 모든 \(\mathfrak p \in V(f) \setminus V(\mathfrak a)\)와 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)에 대해 성립하는 것과 동치이다. 국소 코호몰로지의 정리 0BJV를 보라.

예를 들어 \(A/fA\)가 \((S_2)\)이고 \(Z = V(\mathfrak a)\)의 모든 기약 성분이 \(Y = \Spec(A/fA)\) 안에서 여차원 \(\geq 3\)이면, \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\)와 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\)의 유한성을 얻는다. 이는 보조정리 0DXU에 나오는 조금 더 약한 조건들과 대조해야 한다(비고 0DXV도 보라).

연접 형식 가군의 대수화 II

절 0DXS에서 시작한 논의를 계속한다. 처음 읽을 때에는 이 절을 건너뛰어도 된다.

보조정리

상황 0EHC에서 핵과 여핵이 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되는 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}'_n)\)을 취하자. 그러면

1. \((\mathcal{F}_n)\)이 \(X\)로 연장될 필요충분조건은 \((\mathcal{F}'_n)\)이 \(X\)로 연장되는 것이다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)이 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비일 필요충분조건은 \((\mathcal{F}'_n)\)이 그러한 것이다.

증명

(2)는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0889에서 곧바로 따른다. (1)을 보기 위해 먼저 보조정리 0EIN를 사용하여 \(A\)가 \(I\)-진 완비인 경우로 환원한다. 이 경우에는 보조정리 0EIL에 의해 (1)이 (2)로 환원된다.

다음 두 보조정리는 본래 보조정리 0EHH의 증명에서 사용되었다. 어떤 중간 결과들을 얻을 수 있는지 알고 싶은 독자를 위해 여기에 남겨 둔다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 역계 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\)이 Mittag-Leffler 조건을 만족하면 표준 사상 \[\widetilde{M/I^nM}|_U \to \mathcal{F}_n\] 은 모든 \(n\)에 대해 전사이다. 여기서 \(M\)은 (0EHD)에서와 같다.

증명

전사성은 어떤 점 \(y \in Y \setminus Z\)에서의 줄기에서 확인할 수 있다. \(y\)가 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대응하면 \(f \in \mathfrak a\), \(f \not \in \mathfrak q\)를 택할 수 있다. 그러면 \[M_f \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}_n)_f = H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] 가 전사임을 보이면 충분하다. \(D(f)\)가 아핀이기 때문이다(등식은 성질의 보조정리 01P7에 의해 성립한다). Mittag-Leffler 성질에 의해 어떤 \(m \geq n\)에 대해 \[\Im(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)) = \Im(H^0(U, \mathcal{F}_m) \to H^0(U, \mathcal{F}_n))\] 이다. 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 \[\Coker(H^0(U, \mathcal{F}_m) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)) \subset H^1(U, \Ker(\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n))\] \(U = X \setminus V(\mathfrak a)\)이므로 이 \(H^1\)은 \(\mathfrak a\)-거듭제곱 꼬임이다. 따라서 \(f\)를 가역화하면 여핵은 영이 된다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(M\)을 (0EHD)에서와 같이 놓고 \[\mathcal{G}_n = \widetilde{M/I^nM}.\] 로 놓자. \(M\)의 극한 위상이 \(I\)-진 위상과 일치하면 \(\mathcal{G}_n|_U\)는 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이고 역계의 사상 \[(\mathcal{G}_n|_U) \longrightarrow (\mathcal{F}_n)\] 은 아벨 범주 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)에서 단사이다.

증명

\(\mathcal{G}_n\)은 \(I^n\)에 의해 소멸되는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{G}_{n + 1}/I^n\mathcal{G}_{n + 1} = \mathcal{G}_n\). 이다. 다음을 고찰하자. \[M_n = \Im(M \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}_n))\] 가정에 따르면 역계 \((M_n)\)과 \((M/I^nM)\)은 \(\text{Mod}_A\)의 전사영 대상으로서 동형이다. \(D(f) \subset U\)가 아핀 열린집합이 되도록 \(f \in \mathfrak a\)를 택하자. 그러면 \[(M_n)_f \subset H^0(U, \mathcal{F}_n)_f = H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] 이다. 등식은 성질의 보조정리 01P7에 의해 성립한다. 따라서 \(\widetilde{M_n}|_U \to \mathcal{F}_n\)은 단사이고, \(\widetilde{M_n}|_U\)는 연접 가군이다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 01Y1). ). \(M \to M/I^nM\)은 전사이고 어떤 \(n' \geq n\)에 대해 \(M_{n'} \to M/I^nM\)을 통해 분해되므로, \(\mathcal{G}_n|_U\)는 연접 가군의 몫으로서 연접이다. 이를 증명 첫머리의 관찰과 결합하면 \((\mathcal{G}_n|_U)\)가 실제로 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상을 이룸을 얻는다. 마지막으로 사상의 단사성을 보이기 위해 \[\lim (M/I^nM)_f = \lim H^0(D(f), \mathcal{G}_n) \to \lim H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] 가 단사임을 보이면 충분하다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 087X과 087W. 들을 보라. \(\lim (M_n)_f \to \lim H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\)의 단사성은 명백하고(위를 보라), 전사영계에 관한 관찰에 의해 \(\lim (M_n)_f = \lim (M/I^nM)_f\)이다. 이로써 증명이 끝난다.

거리 함수

\(Y\)를 Noether 스킴, \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(Y\)의 점에서 \(Z\)까지의 “거리”를 측정하는 함수 [0EIX]\[\begin{equation} \delta^Y_Z = \delta_Z : Y \longrightarrow \mathbf{Z}_{\geq 0} \cup \{\infty\} \end{equation}\] 를 정의한다. 직관적인 논의는 비고 0EJ0을 보라. \(y \in Y\)라 하자. \(y\)가 \(Z\)와 만나지 않는 \(Y\)의 연결 성분에 속하면 \(\delta_Z(y) = \infty\)로 놓는다. \(y\)가 \(Z\)와 만나는 \(Y\)의 연결 성분에 속하면 어떤 \(k \geq 0\)와 \(Y\)의 정수적 닫힌 부분스킴들의 계 \[V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \supset V_k \subset W_k\] 를 찾을 수 있는데, 여기서 \(V_0 \subset Z\)이고 \(y \in W_k\)는 일반점이다. \(i = 0, \ldots, k\)에 대해 \(c_i = \text{codim}(V_i, W_i)\)로, \(i = 0, \ldots, k - 1\)에 대해 \(b_i = \text{codim}(V_{i + 1}, W_i)\)로 놓는다. 이러한 계에 대해 \[\delta(V_0, W_0, V_1, \ldots, W_k) = k + \max_{i = 0, 1, \ldots, k} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1})\] \(i = k\)를 택할 수 있고 \(c_k \geq 0\)이므로 이는 \(\geq k\)이다. 마지막으로 \[\delta_Z(y) = \min \delta(V_0, W_0, V_1, \ldots, W_k)\] 로 놓는다. 여기서 최솟값은 위와 같은 \(Y\)의 정수적 닫힌 부분스킴들의 모든 계에 걸쳐 취한다.

보조정리

\(Y\)를 Noether 스킴, \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분집합이라 하자.

1. \(y \in Y\)에 대해 \(\delta_Z(y) = 0 \Leftrightarrow y \in Z\)이다.

2. 부분집합 \(\{y \in Y \mid \delta_Z(y) \leq k\}\)는 특수화에 대해 안정적이다.

3. \(y \in Y\) 및 \(z \in \overline{\{y\}} \cap Z\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z}) \geq \delta_Z(y)\).

4. \(\delta\)가 \(Y\) 위의 차원 함수이면 \(\delta_Z(y) \geq \delta(y) - \delta_{max}\)이다. 여기서 \(\delta_{max}\)는 \(Z\) 위에서 \(\delta\)의 최댓값이다.

5. \(Y = \Spec(A)\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 사슬적 Noether 국소환의 스펙트럼이고 \(Z = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\delta_Z(y) = \dim(\overline{\{y\}})\).

6. \(Y' \subset Y\)가 열린 부분스킴이면 \(y' \in Y'\)에 대해 \(\delta^{Y'}_{Y' \cap Z}(y') \geq \delta^Y_Z(y')\)이다.

\(Y\)가 사슬적이라고 가정하자. 그러면

1. \(y' \leadsto y\)를 \(Y\)의 점들의 바로 다음 특수화라 하자. \(Y\)가 사슬적이면 \(\delta_Z(y') \leq \delta_Z(y) + 1\)이다.

2. 다음 특수화들의 도식이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ & y'_0 \ar@{~>}[ld] \ar@{~>}[rd] & & y'_1 \ar@{~>}[ld] & \ldots & y'_{k - 1} \ar@{~>}[rd] & \\ y_0 & & y_1 & & \ldots & & y_k = y }\] 여기서 점들은 \(Y\)에 속하고 \(y_0 \in Z\)이며 \(y_i' \leadsto y_i\)는 바로 다음 특수화이다. 그러면 \(\delta_Z(y_k) \leq k\)이다.

증명

(1)을 증명하자. \(y \in Z\)이면 \(k = 0\) 및 \(V_0 = W_0 = \overline{\{y\}}\)로 택할 수 있고 \(\delta(V_0, W_0) = 0\)을 얻으므로 \(\delta_Z(y) = 0\)이다. \(y \not \in Z\)이면 \(y\)에 대한 모든 계 \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 에서 \(k = 0\)이고 \(V_0 \not = W_0\)이거나 \(k > 0\)이다. 어느 경우든 \(\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) > 0\)이다. 따라서 \(\delta_Z(y) > 0\)이다.

(2)를 증명하자. \(y \leadsto y'\)를 비자명 특수화라 하고 \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 를 \(y\)에 대한 계라 하자. 두 경우가 있다. 경우 I: \(V_k = W_k\), 즉 \(c_k = 0\)이다. 이 경우 \(V'_k = W'_k = \overline{\{y'\}}\)로 놓을 수 있다. 간단한 계산으로 \(\delta(V_0, W_0, \ldots, V'_k, W'_k) \leq \delta(V_0, W_0, \ldots, V_k, W_k)\) 임을 안다. \(b_{k - 1}\)만 더 큰 정수로 바뀌기 때문이다. 경우 II: \(V_k \not = W_k\), 즉 \(c_k > 0\)이다. 이 경우 \(V_{k + 1} = W_{k + 1} = \overline{\{y'\}}\)로 놓으면 \(V_0 \subset W_0 \supset \ldots \subset W_k \supset V_{k + 1} \subset W_{k + 1}\)은 \(y'\)에 대한 계이다. 이제 \(c_{k + 1} = 0\)이고 \(b_k > 0\)이므로 다음을 얻는다. \[\begin{align*} & \delta(V_0, \ldots, W_{k + 1}) \\ & = k + 1 + \max_{i = 0, 1, \ldots, k + 1} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k + c_{k + 1} - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} - b_k) \\ & = k + 1 + \max_{i = 0, 1, \ldots, k + 1} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} - b_k) \\ & \leq k + \max_{i = 0, 1, \ldots, k} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1}) \\ & = \delta(V_0, \ldots, W_k) \end{align*}\] 부등식이 성립하는 까닭은 \(c_k > 0\)이고 \(b_k > 0\)이어서 특히 \(\delta(V_0, \ldots, W_k) \geq k + c_k \geq k + 1\)이기 때문이다.

(3)을 증명하자. \(y \in Y\)와 \(z \in \overline{\{y\}} \cap Z\)가 주어지면 계 \[V_0 = \overline{\{z\}} \subset W_0 = \overline{\{y\}}\] 를 얻고, 성질의 보조정리 02IZ에 의해 \(c_0 = \text{codim}(V_0, W_0) = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z})\)이다. 따라서 \(\delta(V_0, W_0) = 0 + c_0 = c_0\)이고 원하는 결론이 따른다.

(4)를 증명하자. \(\delta\)를 \(Y\) 위의 차원 함수라 하자. \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 를 \(y\)에 대한 계라 하자. \(y'_i \in W_i\)와 \(y_i \in V_i\)를 일반점들이라 하자. 그러면 \(y_0 \in Z\)이고 \(y_k = y\)이며 \[\delta(y_i) - \delta(y_{i - 1}) = \delta(y'_{i - 1}) - \delta(y_{i - 1}) - \delta(y'_{i - 1}) + \delta(y_i) = c_{i - 1} - b_{i - 1}\] 마지막으로 \(\delta(y'_k) - \delta(y_{k - 1}) = c_k\)이다. 따라서 \[\delta(y) - \delta(y_0) = c_0 + \ldots + c_k - b_0 - \ldots - b_{k - 1}\] 를 얻는다. 이로부터 \(\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) \geq k + \delta(y) - \delta(y_0)\)이고, 원하는 결론이 따른다.

(5)를 증명하자. 함수 \(\delta(y) = \dim(\overline{\{y\}})\)는 차원 함수이다. 따라서 (4)에 의해 \(\delta(y) \leq \delta_Z(y)\)이다. (3)에 의해 \(\delta_Z(y) \leq \delta(y)\)이므로 끝난다.

(6)을 증명하자. \(\delta^{Y'}_{Y' \cap Z}\)의 계산에서 고찰할 계가 더 적으므로 명백하다.

(7)을 증명하자. \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 를 \(y\)에 대한 계라 하자. \(W'_k = \overline{\{y'\}}\)로 놓는다. \(Y\)가 사슬적이므로 \(\text{codim}(V_k, W'_k) = \text{codim}(V_k, W_k) + 1\). 이로부터 \(\delta(V_0, \ldots, V_k, W'_k) \leq \delta(V_0, \ldots, V_k, W_k) + 1\)이 쉽게 따른다. 원하는 결론이다.

(8)은 (7)과 (2)를 결합하면 된다.

보조정리

\(Y\)를 보편적 사슬 Noether 스킴, \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(f : Y' \to Y\)를 모든 올의 차원이 \(\leq e\)인 유한형 사상이라 하자. \(Z' = f^{-1}(Z)\)로 놓자. 그러면 \[\delta_Z(y) \leq \delta_{Z'}(y') + e - \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\] 이다. 여기서 \(y' \in Y'\)의 상은 \(y \in Y\)이다.

증명

\(\delta_{Z'}(y') = \infty\)이면 증명할 것이 없다. \(\delta_{Z'}(y') < \infty\)이면 정수적 닫힌 부분스킴들의 계 \[V'_0 \subset W'_0 \supset V'_1 \subset W'_1 \supset \ldots \subset W'_k\] \(Y'\)의 계를 택하되 \(V'_0 \subset Z'\)이고 \(y'\)가 \(W'_k\)의 일반점이며 \(\delta_{Z'}(y') = \delta(V'_0, W'_0, \ldots, W'_k)\)가 되게 한다. 위 스킴들의 \(Y\) 안에서의 스킴론적 상을 \[V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\] 로 표기하자. \(y\)는 \(W_k\)의 일반점이고 \(V_0 \subset Z\)임을 주목하라. 각 \(i\)에 대해 그림 \[\xymatrix{ V'_i \ar[r] \ar[d] & W'_i \ar[d] & V'_{i + 1} \ar[l] \ar[d] \\ V_i \ar[r] & W_i & V_{i + 1} \ar[l] }\] \(V'_i/V_i\)의 상대차원을 \(n_i\), \(W'_i/W_i\)의 상대차원을 \(m_i\)로 표기하자. 더 정확히 말해 이들은 대응하는 함수체 확대의 초월차수이다. \(c_i = \text{codim}(V_i, W_i)\), \(c'_i = \text{codim}(V'_i, W'_i)\), \(b_i = \text{codim}(V_{i + 1}, W_i)\) 및 \(b'_i = \text{codim}(V'_{i + 1}, W'_i)\)로 놓자. 차원 공식에 의해 \[c_i = c'_i + n_i - m_i \quad\text{이고}\quad b_i = b'_i + n_{i + 1} - m_i\] 이다. 사상의 보조정리 02JU를 보라. 따라서 \(c_i - b_i = c'_i - b'_i + n_i - n_{i + 1}\)이고 다음을 얻는다. \[\begin{align*} & c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} \\ & = c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - n_k + c_k - c'_k \\ & = c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - m_k \end{align*}\] 따라서 \[\begin{align*} \max_{i = 0, \ldots, k} & (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1}) \\ & = \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - m_k) \\ & = \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i) - m_k \\ & \leq \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1}) + e - m_k \end{align*}\] \(m_k = \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\)이므로 \[\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) \leq \delta(V'_0, W'_0, \ldots, W'_k) + e - \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\] 를 얻으며, 이것이 원하는 부등식이다.

주

\(Y\)를 사슬적 Noether 스킴, \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 보조정리 0EIY에 의해 \[\delta_Z(y) \leq \min \left\{ k \middle| \begin{matrix} \text{ 다음과 같은 }Y\text{ 안의 특수화들이 존재한다} \\ y_0 \leftarrow y'_0 \rightarrow y_1 \leftarrow y'_1 \rightarrow \ldots \leftarrow y'_{k - 1} \rightarrow y_k = y \\ \text{ 여기서 }y_0 \in Z\text{이고 }y_i' \leadsto y_i \text{는 바로 다음 특수화이다} \end{matrix} \right\}\] 이다. \(Y\)가 어떤 체 위에서 유한형이면 등식이 성립한다고 주장한다. 이 결과가 필요해지면 정확한 명제를 서술하고 여기서 증명할 것이다. 그러나 일반적으로 이 부등식의 우변으로 \(\delta_Z\)를 정의하면 보조정리 0EIZ이 여전히 참인지는 알 수 없다.

예

\(k\)를 체라 하고 \(Y = \mathbf{A}^n_k\)라 하자. 통상적인 차원 함수를 \(\delta : Y \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\)로 표기하자.

1. 어떤 닫힌점 \(z\)에 대해 \(Z = \{z\}\)이면

   1. \(y \leadsto z\)이면 \(\delta_Z(y) = \delta(y)\)이고,

   2. \(y \not \leadsto z\)이면 \(\delta_Z(y) = \delta(y) + 1\)이다.

2. \(Z\)가 닫힌 부분다양체이고 \(W = \overline{\{y\}}\)이면

   1. \(W \subset Z\)이면 \(\delta_Z(y) = 0\)이다.

   2. \(Z\)가 \(W\)에 포함되면 \(\delta_Z(y) = \dim(W) - \dim(Z)\)이다.

   3. \(\dim(W) \leq \dim(Z)\)이고 \(W \not \subset Z\)이면 \(\delta_Z(y) = 1\)이다.

   4. \(\dim(W) > \dim(Z)\)이고 \(Z \not \subset W\)이면 \(\delta_Z(y) = \dim(W) - \dim(Z) + 1\)이다.

경우 (1)의 일반화로, \(Y\)가 어떤 체 위에서 유한형이고 \(Z = \{z\}\)가 닫힌점이라고 하자. 그러면 \(\delta_Z(y) = \delta(y) + t\)이다. 여기서 \(t\)는 \(z\)와 \(\overline{\{y\}}\)의 닫힌점을 잇는 곡선 사슬의 최소 길이이다.

연접 형식 가군의 대수화 III

절 0DXS과 0EIT에서 시작한 논의를 계속한다. 절 0EIW의 거리 함수를 사용하여 상황 0EHC의 연접 형식 가군에 관한 몇 가지 자연스러운 조건을 서술할 것이다.

상황 0EHC에서 점 \(y \in U \cap Y\)가 주어지면 \(I\)-진 완비 \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge = \lim \mathcal{O}_{X, y}/I^n\mathcal{O}_{X, y}\] 를 고찰할 수 있다. 이는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_y^\wedge\)을 가지며 \(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 관해 완비인 Noether 국소환이다. 대수학의 절 0BNH을 보라. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(y\)에서 \((\mathcal{F}_n)\)의 “줄기”를 다음 식으로 정의한다. \[\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\] 이는 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 위의 유한 가군이다. 대수학의 보조정리 09B8과 031D을 보라.

정의

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하고 \(a, b\)를 정수라 하자. \(\delta^Y_Z\)는 (0EIX)에서와 같이 놓는다. \(y \in U \cap Y\)와 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)인 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 대해 다음 조건들이 성립하면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \((a, b)\)-부등식들을 만족한다고 한다.

1. \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) \not = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)이면 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \geq a \quad\text{또는}\quad \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > b\]

2. \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)이면 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > a\]

다음 조건이 성립하면 \((\mathcal{F}_n)\)은 엄격한 \((a, b)\)-부등식들을 만족한다고 한다. \(y \in U \cap Y\)와 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)인 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 대해 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > a \quad\text{또는}\quad \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > b\]

몇 가지 초등적인 관찰을 제시한다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하고 \(a, b\)를 정수라 하자.

1. \((\mathcal{F}_n)\)이 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되면, 임의의 \(a, b\)에 대해 \((\mathcal{F}_n)\)은 \((a, b)\)-부등식들을 만족한다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)이 \((a + 1, b)\)-부등식들을 만족하면 엄격한 \((\mathcal{F}_n)\)은 \((a, b)\)-부등식들을 만족한다.

\(\text{cd}(A, I) \leq d\)이고 \(A\)가 쌍대화 복합체를 가지면 다음이 성립한다.

1. \((\mathcal{F}_n)\)이 \((s, s + d)\)-부등식들을 만족할 필요충분조건은 모든 \(y \in U \cap Y\)에 대해 튜플 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge, I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge, \{\mathfrak m_y^\wedge\}, \mathcal{F}_y^\wedge, s - \delta^Y_Z(y), d\) 이 상황 0EFU에서와 같은 것이다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)이 엄격한 \((s, s + d)\)-부등식들을 만족하면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \((s, s + d)\)-부등식들을 만족한다.

증명

(4)를 제외하면 즉시 알 수 있다. (4)는 보조정리 0EFW와 (3)의 번역에서 따른다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(\text{cd}(A, I) = 1\)이면 \(\mathcal{F}\)가 \((2, 3)\)-부등식들을 만족할 필요충분조건은 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > 3\] 가 모든 \(y \in U \cap Y\)와 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)인 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 대해 성립하는 것이다.

증명

소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 대해 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)이면 \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\} \Leftrightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\) 임을 주목하자. \(\text{cd}(A, I) = 1\)이기 때문이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXA과 0DXF. 이제 세 수 \(\alpha = \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) \geq 0\), \(\beta = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq 1\), 그리고 \(\gamma = \delta^Y_Z(y) \geq 1\). 를 고찰하자. 정의 0EJ3가 요구하는 것은

1. \(\beta > 1\)이면 \(\alpha + \gamma \geq 2\) 또는 \(\alpha + \beta + \gamma > 3\)이고,

2. \(\beta = 1\)이면 \(\alpha + \gamma > 2\)인 것이다.

이는 \(\alpha + \beta + \gamma > 3\)과 동치임이 자명하다.

처음 읽을 때 건너뛰기를 권하는 이 절의 나머지 부분에서는 \(A\)가 \(I\)-진 완비일 때, \(X\)로 연장되고 엄격한 \((1, 1 + \text{cd}(A, I))\)-부등식들을 만족하는 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 \((\mathcal{F}_n)\)들의 범주가 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 범주의 어떤 충만한 부분범주와 동치임을 보일 것이다.

보조정리

상황 0EHC에서 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하고 \(d \geq 1\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가지며 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)의 완비 \(\mathcal{F}^\wedge\)은 엄격한 \((1, 1 + d)\)-부등식들을 만족한다.

\(x \in X\)를 점이라 하고 \(W = \overline{\{x\}}\)로 놓자. \(W \cap Y\)가 \(Z\)에 포함되는 기약 성분과 포함되지 않는 기약 성분을 모두 가지면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\)이다.

증명

\(W \cap Y = W_1 \cup \ldots \cup W_n\)을 기약 성분 분해라 하자. 가정에 따라 번호를 다시 붙이면 어떤 \(0 < m < n\)에 대해 \(W_1, \ldots, W_m \subset Z\)이고 \(W_{m + 1}, \ldots, W_n \not \subset Z\)이 되게 할 수 있다. 그러면 \[W \cap Y \setminus \left((W_1 \cup \ldots \cup W_m) \cap (W_{m + 1} \cup \ldots \cup W_n)\right)\] 는 비연결이다. 보조정리 0EG5에 의해 \(1 \leq i \leq m < j \leq n\) 및 \(z \in W_i \cap W_j\)를 택하여 \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) \leq d + 1\)이 되게 할 수 있다. \(y \in W_j\), \(y \not \in Z\)인 바로 다음 특수화 \(y \leadsto z\)를 택하자. \(y\)의 존재는 성질의 보조정리 02IM에서 따른다. \(\delta^Y_Z(y) = 1\)이고 \(\dim(\mathcal{O}_{W, y}) \leq d\)임을 주목하라. \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}\)를 \(x\)에 대응하는 소아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)을 \(\mathfrak p\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 위의 극소 소아이디얼이라 하자. 그러면 \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_{\mathfrak p'}) \quad\text{이고}\quad \dim(\mathcal{O}_{W, y}) = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p')\] 이다. 대수학의 보조정리 0338과 국소 코호몰로지의 보조정리 0EHW을 보라. 이제 주어진 부등식들에서 결론을 읽어낸다.

보조정리

상황 0EHC에서 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하고 \(d \geq 1\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가지며 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)의 완비 \(\mathcal{F}^\wedge\)은 엄격한 \((1, 1+ d)\)-부등식들을 만족한다.

3. \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)인 \(x \in U\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이다.

그러면 \(H^0(U, \mathcal{F}) \to \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)은 동형이다.

증명

보조정리 0EIG를 적용할 수 있음을 보여 증명하겠다. \(x \not \in Y\)인 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)를 취하고 \(W = \overline{\{x\}}\)로 놓자. 조건 (3)에 의해 \(W \cap Y \not \subset Z\)이다. 보조정리 0EJ5에 의해 \(W \cap Y\)의 어떤 기약 성분도 \(Z\)에 포함되지 않는다. 따라서 \(z \in W \cap Z\)이면 \(y \in W \cap Y\), \(y \not \in Z\)인 바로 다음 특수화 \(y \leadsto z\)가 있다. \(y\)의 존재에는 성질의 보조정리 02IM를 사용한다. 그러면 \(\delta^Y_Z(y) = 1\)이고 가정으로부터 \(\dim(\mathcal{O}_{W, y}) > d\)이다. 따라서 \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) > 1 + d\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0EHC에서 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하고 \(d \geq 1\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가지며 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)의 완비 \(\mathcal{F}^\wedge\)은 엄격한 \((1, 1 + d)\)-부등식들을 만족한다.

3. \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)인 \(x \in U\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이다.

그러면 사상 \[\Hom_U(\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 은 모든 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 전단사이다.

증명

\(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)로 놓자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0EBC 또는 대수학 더 보기의 보조정리 0AV5를 사용하면 \(\mathcal{H}\)의 완비가 엄격한 \((1, 1 + d)\)-부등식들을 만족하고, \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)인 \(x \in U\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{H}_x) \geq 2\)임을 알 수 있다. 세부사항은 생략한다. 따라서 보조정리 0EJ6에 의해 \[\Hom_U(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = H^0(U, \mathcal{H}) = \lim H^0(U, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 이다. 마지막 등식은 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0882를 보라.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하고 \(d \geq 1\)이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 \(I\)-진 완비이고 쌍대화 복합체를 가지며 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

3. \((\mathcal{F}_n)\)은 엄격한 \((1, 1 + d)\)-부등식들을 만족한다.

그러면 완비가 \((\mathcal{F}_n)\)이고, \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)인 \(x \in U\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)인 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 유일하게 존재한다.

증명

완비가 \((\mathcal{F}_n)\)인 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)를 택하자. \(T = \{x \in U \mid \overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\}\)로 놓자. \(\mathcal{F}\)와 \(T\)에 국소 코호몰로지의 보조정리 0EI3를 적용하여 \(\mathcal{F}\)를 구성하겠다. 그러면 유일성은 보조정리 0EJ7의 사상 성질에서 따른다.

\(T\)는 \(U\) 안의 특수화에 대해 안정적이므로 다음만 확인하면 된다. \(x \in T\), \(x' \not \in T\)인 \(U\)의 점들의 바로 다음 특수화를 \(x' \leadsto x\)라 하면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_{x'}) \geq 1\)이다. \(W = \overline{\{x\}}\) 및 \(W' = \overline{\{x'\}}\)로 놓자. \(x' \not \in T\)이므로 \(W' \cap Y\)는 \(Z\)에 포함되지 않는다. \(W' \cap Y\)가 \(Z\)에 포함되는 기약 성분을 가지면 보조정리 0EJ5에 의해 끝난다. 그렇지 않으면 \(W \cap Y\)의 기약 성분 \(W_1\)과 \(W_1 \subset W'_1\)인 \(W' \cap Y\)의 기약 성분 \(W'_1\)을 택한다. \(z \in W_1\)을 일반점이라 하자. \(y \not \in Z\)인 바로 다음 특수화 \(y \leadsto z\), \(y \in W'_1\)을 택하자. \(y\)의 존재는 \(W'_1 \not \subset Z\)(위를 보라)와 성질의 보조정리 02IM에서 따른다. 이제 \(z \in Z\), \(x \leadsto z\), \(x' \leadsto y \leadsto z\), \(y \in Y \setminus Z\), \(\delta^Y_Z(y) = 1\)이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DXF와 \(z\)가 \(W \cap Y\)의 일반점이라는 사실에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) \leq d\)이다. \(x' \leadsto x\)가 바로 다음 특수화이므로 \(\dim(\mathcal{O}_{W', z}) \leq d + 1\)이다. \(y \not = z\)이므로 \(\dim(\mathcal{O}_{W', y}) \leq d\)를 얻는다. \(\text{depth}(\mathcal{F}_{x'}) = 0\)이면 가정 (3)과 모순이다. \(\mathcal{O}_{X, y}\)에서 그 완비로 옮기는 세부사항은 생략한다. 이로써 증명이 끝난다.

연접 형식 가군의 대수화 IV

이 절에서는 국소적인 경우에 보조정리 0DXW의 더 강한 두 버전, 즉 보조정리 0DXU과 0EJ9를 증명한다. 이 보조정리들은 더 일반적인 명제 0EJJ에 의해 대체되지만 증명은 훨씬 쉽다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 국소환이고 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)은 극대 아이디얼이다.

2. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

3. 영인자가 아닌 \(f \in \mathfrak m\)에 대해 \(I = (f)\)는 주 아이디얼이다.

4. \(\mathcal{F}_n\)은 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\)-가군이다.

5. \(\mathfrak p \in V(f) \setminus \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}((A/f)_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 1\)이다.

6. \(\mathfrak p \not \in V(f)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다. 특히 \(A\)가 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

보조정리 0EHH의 가정 (a), (b), (c)를 확인하여 증명하겠다.

\(\mathcal{F}_n\)은 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\) 위에서 국소 자유이므로 모든 \(n\)에 대해 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\)을 얻는다. 따라서 코호몰로지의 보조정리 0EHA에 의해 조건 (b)가 성립한다.

\(n\)에 관한 귀납법과 짧은 완전열 \(0 \to A/f^n \to A/f^{n + 1} \to A/f \to 0\)을 사용하면 \(A/f^nA\)의 동반 소아이디얼들은 \(A/fA\)의 것들과 일치한다. 가정 (3)에 의해 \(\mathcal{F}_n\)의 동반점들은 \(\mathfrak m\)과 다른 \(A/f^nA\)의 동반 소아이디얼들에 대응하므로, (5)와 국소 코호몰로지의 명제 0BK3에 의해 \(M_n = H^0(U, \mathcal{F}_n)\)은 유한 \(A\)-가군이다. 따라서 가정 (c)가 성립한다.

증명을 끝내려면 어떤 \(n > 1\)에 대해 \[H^1(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow H^1(U, \mathcal{F}_1)\] 의 상이 \(A\)-가군으로서 유한 길이임을 보이면 충분하다. 그러면 코호몰로지의 보조정리 0DXG에 의해 가정 (a)가 따르기 때문이다. 보조정리 0DX1에 의해 충분히 큰 \(n\)에 대해서는 이 상이 \(n\)에 무관하다. \(\omega_A^\bullet\)을 \(A\)의 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. 국소 쌍대성 정리와 Matlis 쌍대성(쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK와 명제 08Z9)에 의해 주장은 다음 사상의 상이 \[\text{Ext}^{-2}_A(M_1, \omega_A^\bullet) \to \text{Ext}^{-2}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\] \(n \gg 1\)에 대해 유한 길이를 갖는다는 것과 동치이다. 문제의 가군들은 \(V(f)\) 위에 지지되는 유한 \(A\)-가군이다. 따라서 \(f\)를 포함하고 \(\mathfrak m\)과 다른 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤 이 사상이 영임을 보이면 충분하다. \(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet\)을 \(A_\mathfrak q\) 위의 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. 쌍대화 복합체의 보조정리 0A7Z에 의해 \(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet = (\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[\dim(A/\mathfrak q)]\)임을 상기하자. (4)에 주어진 \(\mathcal{F}_n\)의 국소 구조를 사용하면 충분히 큰 \(n\)에 대해 \[\text{Ext}^{-2 + \dim(A/\mathfrak q)}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^{-2 + \dim(A/\mathfrak q)}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)\] 가 영임을 보이는 것으로 충분하다. \(\dim(A/\mathfrak q) > 3\)이면 이는 국소 코호몰로지의 보조정리 0DWZ에서 즉시 따른다. 다른 경우에는 긴 완전열 \[\ldots \xrightarrow{f^n} H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^{-1}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \xrightarrow{f^n} H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^0_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to 0\] 을 사용한다. \(\dim(A/\mathfrak q) = 2\)이면 \(H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = 0\) 이다. \(f\)가 영인자가 아니므로 \(\text{depth}(A_\mathfrak q) \geq 1\)이기 때문이다. 따라서 긴 완전열로부터 필요한 조건은 \[f^{n - 1} : H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f \to H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f^n\] 가 영인 것이다. 이제 \(H^{-1}(\omega^\bullet_\mathfrak q)\)은 다음을 만족하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A_\mathfrak q\)들 위에 지지되는 유한 가군이다. \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq 1\). \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \dim(A/\mathfrak p) - 2\)이므로 조건 (6)에 의해 이 소아이디얼들은 \(V(f)\)에 포함된다. 따라서 충분히 큰 \(n\)에 대해 원하는 소멸을 얻는다. 마지막으로 \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\)이면 조건 (5)와 \(f\)가 영인자가 아니라는 사실로부터 \(A_\mathfrak q\)의 깊이가 적어도 \(2\)임을 안다. 따라서 \(H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = 0\) 이고, 긴 완전열에 의해 주장은 \[f^{n - 1} : H^{-2}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f \to H^{-2}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f^n\] 의 소멸과 동치이다. 이제 \(H^{-2}(\omega^\bullet_\mathfrak q)\)은 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq 2\)인 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A_\mathfrak q\)들 위에 지지되는 유한 가군이다. 조건 (6)에 의해 이 소아이디얼들은 모두 \(V(f)\)에 포함된다. 따라서 충분히 큰 \(n\)에 대해 원하는 소멸을 얻는다.

주

\((A, \mathfrak m)\)을 차원 \(\geq 4\)인 완비 Noether 정규 국소 정역이라 하고 \(f \in \mathfrak m\)은 영이 아니라고 하자. 그러면 보조정리 0DXU의 가정 (1), (2), (3), (5), (6)이 성립한다. 따라서 \(U \cap V(f)\)를 따른 \(U\)의 형식적 완비 위의 벡터다발은 대수화할 수 있다. 보조정리 0EJ9에서 이를 더 일반적인 연접 형식 가군으로 일반화할 것이다. 비고 0EJC도 비교하라.

보조정리

상황 0EHC에서 \((M_n)\)을 보조정리 0DXT에서와 같은 \(A\)-가군의 역계라 하고, \((\mathcal{F}_n)\)을 이에 대응하는 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(d \geq \text{cd}(A, I)\)와 \(s \geq 0\)을 정수라 하자. 위의 표기 아래 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = \mathfrak a\)을 갖는 국소환이다.

2. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

3. \((\mathcal{F}_n)\)은 \((s, s + d)\)-부등식들을 만족한다 (정의 0EJ3).

\(E\)를 \(A\)의 잉여체의 단사 포락이라 하자. 그러면 \(i \leq s\)에 대해, \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되는 유한 \(A\)-가군 \(N\)과 \(n \gg 0\)에 대해 서로 양립하는 사상 \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N, E)\] 들이 존재한다. 그 여핵들은 유한 길이 \(A\)-가군이고, 핵들 \(K_n\)은 역계를 이루며 \(n'' \gg n' \gg 0\)에 대해 \(\Im(K_{n''} \to K_{n'})\)는 유한 길이를 갖는다.

증명

\(\omega_A^\bullet\)을 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(\delta^Y_Z = \delta\)는 이 쌍대화 복합체에 대응하는 차원 함수이다. \(\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\)은 \(I^n\)에 의해 소멸되는 유한 \(A\)-가군임을 주목하라. \(0 \leq i \leq s\)를 고정하자. 아래에서 \(n_1 > n_0 > 0\)을 찾아, 다음과 같이 놓으면 \[N = \Im(\Ext^{-i}_A(M_{n_0}, \omega_A^\bullet) \to \Ext^{-i}_A(M_{n_1}, \omega_A^\bullet))\] 사상 \[N \to \Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet),\quad n \geq n_1\] 들의 핵은 유한 길이 \(A\)-가군이고, 여핵들 \(Q_n\)은 \(n'' \gg n' \gg n_1\)에 대해 \(\Im(Q_{n'} \to Q_{n''})\)가 유한 길이를 갖는 계를 이루게 할 것이다. 이는 계 \(\{\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\}_{n \geq 1}\)이 유한 \(A\)-가군의 범주를 유한 길이 \(A\)-가군들의 Serre 부분범주로 나눈 몫에서 본질적으로 상수라는 것과 동치이다. 국소 쌍대성 정리(쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK)와 Matlis 쌍대성(쌍대화 복합체의 명제 08Z9)에 의해 \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N, E),\quad n \geq n_1\] 와 같은 사상들을 얻는다.

\(f \in \mathfrak m\)을 택하자. \(B = A_f^\wedge\)를 국소화 \(A_f\)의 \(I\)-진 완비라 하자. \(\omega_{A_f}^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A A_f\) 및 \(\omega_B^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A B\)가 쌍대화 복합체임을 상기하자(쌍대화 복합체의 보조정리 0A7G와 0DWD). \(M\)을 유한 \(B\)-가군 \(\lim M_{n, f}\)라 하자(스킴의 코호몰로지의 보조정리 087W). 그러면 \[\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)_f = \Ext^{-i}_{A_f}(M_{n, f}, \omega_{A_f}^\bullet) = \Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\] \(\mathfrak m\)은 유한 개의 \(f \in \mathfrak m\)으로 생성되므로 각 \(f\)에 대해 계 \[\{\Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\}_{n \geq 1}\] 가 본질적으로 상수임을 보이면 충분하다. 일부 세부사항은 생략한다.

\(\mathfrak q \subset IB\)를 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak q\)는 점 \(y \in U \cap Y\)에 대응한다. \(\delta(\mathfrak q) = \dim(\overline{\{y\}})\) 는 \(\omega_B^\bullet\)에 대응하는 차원 함수의 값이기도 하다(세부사항은 생략한다. \(\omega_B^\bullet\)은 \(\omega_A^\bullet\)을 \(B\)로 텐서하여 얻는다는 사실을 사용하라). 가정 (3)과 보조정리 0EJ4에 의해 보조정리 0EFR를 \(B_\mathfrak q, IB_\mathfrak q, \mathfrak qB_\mathfrak q, M_\mathfrak q\) 에 적용할 수 있는데, 여기서 \(s\)를 \(s - \delta(y)\)로 바꾼다. 그러면 \[H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) = \lim H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}( (M/I^nM)_\mathfrak q)\] 이고 이 가군은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. 보조정리 0EHB에 의해 역계 \(H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}((M/I^nM)_\mathfrak q)\) 는 값 \(H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\). 을 갖는 본질적으로 상수인 계이다. \((\omega_B^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)]\)가 \(B_\mathfrak q\) 위의 정규화된 쌍대화 복합체이므로 국소 쌍대성 정리에 의해 계 \[\Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)_\mathfrak q\] 는 값 \(\Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)_\mathfrak q\)을 갖는 본질적으로 상수인 계이다.

증명을 끝내기 위해 보조정리 0EFX의 증명에서와 같이 대역화한다. 여기서는 계의 값을 이미 알고 있으므로 논증이 더 쉽다. 즉 변화하는 \(n\)에 대해 사상 \[\alpha_n : \Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet) \longrightarrow \Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)\] 를 고찰하자. 위에서 보았듯 모든 \(\mathfrak q\)에 대해 어떤 \(n\)을 택하여 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤 \(\alpha_n\)이 전사가 되게 할 수 있다. \(B\)는 Noether 환이고 \(\Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)\)은 유한 가군이므로 어떤 \(n\)에 대해 \(\alpha_n\)이 전사가 되게 할 수 있다. \(\alpha_n\)이 전사인 임의의 \(n\)과 소아이디얼 \(\mathfrak q \in V(IB)\)가 주어지면, 어떤 \(n' > n\)을 찾아 적어도 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤 \(\Ker(\alpha_n)\)이 \(\Ext^{-i}(M/I^{n'}M, \omega_B^\bullet)\) 안에서 영으로 사상되게 할 수 있다. \(\Ker(\alpha_n)\)은 유한 \(A\)-가군이고 단면의 지지는 준콤팩트이므로, 어떤 \(n'\)에 대해 \(\Ker(\alpha_n)\)이 \(\Ext^{-i}(M/I^{n'}M, \omega_B^\bullet)\) 안에서 영으로 사상되게 할 수 있다. 이로써 \(\Ext^{-i}(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\)은 값 \(\Ext^{-i}(M, \omega_B^\bullet)\)을 갖는 본질적으로 상수인 계이다. 증명이 끝났다.

다음은 보조정리 0DXU의 더 일반적인 버전이다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 국소환이고 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)은 극대 아이디얼이다.

2. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

3. \(I = (f)\)는 주 아이디얼이다.

4. \((\mathcal{F}_n)\)은 \((2, 3)\)-부등식들을 만족한다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다. 특히 \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

\(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)가 아벨 범주임을 상기하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 087X을 보라. \(U\)의 아핀 열린집합 위에서 대상 \((\mathcal{F}_n)\)은 Noether 환 위의 유한 가군에 대응한다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 087W). 따라서 충분히 큰 \(N\)에 대해 사상 \(f^N : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n)\)의 핵은 안정화한다. 보조정리 0EIU와 0EIL에 의해 보조정리를 증명할 때 \((\mathcal{F}_n)\)을 이러한 사상의 상으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(f\)가 \((\mathcal{F}_n)\) 위에서 단사라고 가정할 수 있다. 이렇게 바꾼 뒤에는 \(U\) 위의 역계 \((\mathcal{F}_n)\)에 대해 보조정리 0EH9의 동치 조건들이 성립한다. 증명의 나머지에서는 이를 더 언급하지 않고 사용한다.

보조정리 0EHH의 가정 (a), (b), (c)를 확인하겠다. 가정 (b)는 코호몰로지의 보조정리 0EHA에 의해 성립한다.

보조정리 0DXT에서와 같은 가군의 역계 \(\{M_n\}\)을 택하자. 필요하다면 \(M_n\)을 \(M_n/H^0_\mathfrak m(M_n)\)으로 바꾸어 \(H^0_\mathfrak m(M_n) = 0\)이라고 가정할 수 있다. 그러면 모든 \(n\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to M_n \to H^0(U, \mathcal{F}_n) \to H^1_\mathfrak m(M_n) \to 0\] 을 얻는다. \(E\)를 \(A\)의 잉여체의 단사 포락이라 하자. 보조정리 0EHK와 현재 가정 (4)에 의해, 정수 \(m \geq 0\), 어떤 \(c \geq 0\)에 대해 \(f^c\)에 의해 소멸되는 유한 \(A\)-가군 \(N_1\), \(N_2\), 그리고 서로 양립하는 사상계 \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N_i, E), \quad i = 1, 2\] 를 \(n \geq m\)에 대해 택하되 보조정리에서 말한 성질들을 만족하게 할 수 있다.

\(M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n)\)은 극한 위상이 \(f\)-진 위상인 \(A\)-가군이다. 따라서 \(n\)이 주어지면 어떤 \(N \gg n\)에 대해 가군 \(M/f^nM\)은 \(H^0(U, \mathcal{F}_N)\)의 부분몫이다. 위에서 얻은 정보로부터 \(f^cM/f^nM\)은 유한 \(A\)-가군이다. \(f\)가 \(M\) 위에서 영인자가 아니므로 \(M/f^{n - c}M\)은 유한 \(A\)-가군이다. 이로써 보조정리 0EHH의 가정 (c)가 성립한다.

다음으로 가군 \[Ob = \lim H^1(U, \mathcal{F}_n) = \lim H^2_\mathfrak m(M_n)\] 을 연구한다. \(n \geq m\)에 대해 \(K_n\)을 사상 \(H^2_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N_2, E)\)의 핵이라 하고 \(K = \lim K_n\)으로 놓자. 완전열 \[0 \to K \to Ob \to \Hom_A(N_2, E)\] 을 얻는다. 위에서 보았듯 \(Ob = \lim H^2_\mathfrak m(M_n)\)의 극한 위상은 \(f\)-진 위상이다. \(N_2\)가 \(f^c\)에 의해 소멸되므로 \(K = \lim K_n\)의 극한 위상도 마찬가지이다. 따라서 \(n \gg 1\)에 대해 \(K/fK\)는 \(K_n\)의 부분몫이다. 그러나 보조정리 0EHK의 결론에 의해 \(\{K_n\}\)은 유한 길이 \(A\)-가군의 역계와 전사영 동형이므로, \(K/fK\)는 어떤 유한 길이 \(A\)-가군의 부분몫이다. 따라서 \(K\)는 유한 \(A\)-가군이다. 대수학의 보조정리 031D을 보라. (실제로 \(\dim(\text{Supp}(K)) = 1\)까지 알 수 있지만 이는 필요하지 않다.)

\(n \geq 1\)이 주어졌을 때 경계사상 \[\delta_n : H^0(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow \lim_N H^1(U, f^n\mathcal{F}_N) \xrightarrow{f^{-n}} Ob\] 을 고찰하자(둘째 사상은 동형이다). 이는 짧은 완전열 \[0 \to f^n\mathcal{F}_N \to \mathcal{F}_N \to \mathcal{F}_n \to 0\] 에서 온다. 각 \(n\)에 대해 \[P_n = \Im(H^0(U, \mathcal{F}_{n + m}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n))\] 로 놓자. 여기서 \(m\)은 위에서와 같다. \(\{P_n\}\)은 역계이고, 전역 단면 위에서 사상 \(f : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\)은 \(P_n\)을 \(P_{n + 1}\)로 보낸다. \(p \in P_n\)이면 \(\delta_n(p) \in K \subset Ob\)이다. 실제로 \(\delta_n(p)\)은 \(H^1(U, f^n\mathcal{F}_{n + m}) = H^2_\mathfrak m(M_m)\) 안에서 영으로 사상되고, \(m\)의 선택에 의해 \(\delta_n\)과 \(Ob \to \Hom_A(N_2, E)\)의 합성은 \(H^2_\mathfrak m(M_m)\)을 통해 분해된다. 따라서 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Im(P_n \to Ob)\] 은 유한 등급 \(A[T]\)-가군이다. 여기서 \(T\)는 \(f\)를 곱하는 것으로 작용한다. 실제로 이는 \(K[T]\)의 등급 부분가군이고 \(K\)는 \(A\) 위에서 유한이다. 코호몰로지의 보조정리 0GYK의 증명에서와 같이 논증하면⁷ 역계 \(\{P_n\}\)은 Mittag-Leffler 조건을 만족한다. \(\{P_n\}\)은 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)과 전사영 동형이므로 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)도 Mittag-Leffler 조건을 만족한다. 따라서 보조정리 0EHH의 가정 (a)가 성립하고 증명이 끝난다.

보조정리 0EJ9의 조건은 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)을 갖는 국소환이다.

2. \(\text{cd}(A, I) = 1\).

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)이 \((2, 3)\)-부등식들을 만족할 필요충분조건은 \(\dim(\{y\}) = 1\)인 모든 \(y \in U \cap Y\)와 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)인 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 대해 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 2\]

증명

보조정리 0EKW을 더 언급하지 않고 사용하겠다. 특히 조건이 필요함을 알 수 있다. 역으로 조건이 참이라고 하자. 보조정리 0EIY에 의해 \(\delta^Y_Z(y) = \dim(\overline{\{y\}})\)임을 주목하라. 이 함수를 \(\delta\)로 쓰자. \(y \in U \cap Y\)라 하자. \(\delta(y) > 2\)이면 보조정리 0EKW의 부등식이 성립한다. 마지막으로 \(\delta(y) = 2\)라고 하자. 다음을 보여야 한다. \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 1\] \(\delta(y') = 1\)인 특수화 \(y \leadsto y'\)를 택하자. 그러면 환 준동형 \(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge \to \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)이 존재하고, 이는 표적을 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge/\mathfrak q) = 1\)인 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 \(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge\)을 국소화한 것의 완비와 동일시한다. 또한 \[\mathcal{F}_y^\wedge = \mathcal{F}_{y'}^\wedge \otimes_{\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge} \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\] \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X, y'}^\wedge\)을 \(\mathfrak p\)의 상이라 하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0EHW에 의해 \[\begin{align*} \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) & = \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)_{\mathfrak p'}) \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p') - 1 \end{align*}\] 이다. 마지막 등식은 특수화가 바로 다음 특수화이기 때문이다. 따라서 \(y', \mathfrak p'\)에 대해 가정한 부등식으로 보조정리가 증명된다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)을 갖는 국소환이다.

2. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

3. \(\text{cd}(A, I) = 1\),

4. \(y \in U \cap Y\)에 대해 가군 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)은 \(V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 밖에서 유한 국소 자유이다. 예를 들어 \(\mathcal{F}_n\)이 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)-가군인 경우가 이에 해당한다.

5. 다음 중 하나가 참이다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고 \(Y\)에 포함되지 않는 \(X\)의 모든 기약 성분은 차원 \(\geq 4\)이다.

   2. \(\mathfrak p \not \in V(f)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \((2, 3)\)-부등식들을 만족한다.

증명

보조정리 0EJA의 판정법을 사용하겠다. \(\dim(\overline{\{y\}} = 1\)인 \(y \in U \cap Y\)와 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)인 소아이디얼 \(\mathfrak p\), 즉 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)을 취하자. 조건 (4)에 의해 \(\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) = \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p)\). 따라서 다음을 증명해야 한다. \[\text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 2\] \(\mathfrak p_0 \subset A\)를 \(\mathfrak p\)의 상이라 하고, \(\mathfrak q \subset A\)를 \(y\)에 대응하는 소아이디얼이라 하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0EHW 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) & = \text{depth}(A_{\mathfrak p_0}) + \dim((A/\mathfrak p_0)_\mathfrak q) \\ & = \text{depth}(A_{\mathfrak p_0}) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1 \end{align*}\] (5)(a)가 성립하면 이는 \[\geq \min(2, \dim(A_{\mathfrak p_0})) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1\] 이상이다. 어느 경우든 \(\dim(A/\mathfrak p_0) \geq 2\)임을 주목하라. 따라서 최솟값이 \(2\)이면 끝난다. 그렇지 않으면 \[\dim(A_{\mathfrak p_0}) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1 \geq 4 - 1\] 이다. \(\mathfrak p_0\)을 지나는 \(\Spec(A)\)의 모든 성분이 차원 \(\geq 4\)이기 때문이다. (5)(b)가 성립하면 즉시 끝난다.

주

\((A, \mathfrak m)\)을 쌍대화 복합체를 가지며 \(f \in \mathfrak m\)에 관해 완비인 Noether 국소환이라 하자. \(U\)를 \(A\)의 천공 스펙트럼이라 하고, \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \(Y = V(f) \subset X = \Spec(A)\)로 놓자. \(U\)에서 닫힌 \(y \in U \cap V(f)\), 즉 \(\dim(\overline{\{y\}}) = 1\)인 점에 대해 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)-가군 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)이 다음 두 조건을 만족한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_y^\wedge[1/f]\)는 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge[1/f]\)-가군으로서 \((S_2)\)이다.

2. \(\mathfrak p \in \text{Ass}(\mathcal{F}_y^\wedge[1/f])\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq 3\)이다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(U\) 위의 연접 가군의 완비이다. 이는 보조정리 0EJ9와 0EJA에서 따른다.

연접 형식 가군의 개선

\(X\)를 Noether 스킴, \(Y \subset X\)를 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 주어지는 닫힌 부분스킴이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 이 절에서는 국소 코호몰로지의 절 0DX2에서 연접 가군에 대해 구성한 것과 비슷한 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}'_n)\)을 구성한다. 점 \(y \in Y\)에 대해 \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge = \lim \mathcal{O}_{X, y}/\mathcal{I}^n_y, \quad \mathcal{I}_y^\wedge = \lim \mathcal{I}_y/\mathcal{I}^n_y \quad\text{이고}\quad \mathfrak m_y^\wedge = \lim \mathfrak m_y/\mathcal{I}_y^n\] 로 놓는다. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)은 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_y^\wedge\)을 가지며 \(\mathcal{I}_y^\wedge = \mathcal{I}_y\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 관해 완비인 Noether 국소환이다. 또한 \[\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\] 로 놓는다. 그러면 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)은 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 위의 유한 가군이고 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{F}_y^\wedge/(\mathcal{I}_y^\wedge)^n\mathcal{F}_y^\wedge = \mathcal{F}_{n, y}\)이다. 대수학의 보조정리 09B8과 031D.

보조정리

위 상황에서 \(X\)가 국소적으로 쌍대화 복합체를 가진다고 가정하자. \(T \subset Y\)를 특수화에 대해 안정적인 부분집합이라 하자. \(y \in T\)와 다음을 만족하는 극대가 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)에 대해 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}^\wedge_y) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\) 다음이 성립한다고 가정하자. \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 0\] 그러면 다음 성질들을 갖는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계의 표준 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n')\)이 존재한다.

1. \(y \in T\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}'_{n, y}) \geq 1\)이다.

2. \((\mathcal{F}'_n)\)은 전사영계로서 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상 \((\mathcal{G}_n)\)과 동형이다.

3. 유도된 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\)은 전사이고 그 핵은 \(\mathcal{I}\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}'_n\)을 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX3에서 구성한 전사라 하자. 이는 \(\mathcal{F}_n\)을 \(T\) 위에 지지되는 단면들의 부분층으로 나눈 몫이므로, 표준 사상 \(\mathcal{F}'_{n + 1} \to \mathcal{F}'_n\)을 얻어 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계의 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n')\)을 이룬다. 성질 (1)은 구성상 성립한다.

성질 (2), (3)을 증명할 때 \(X = \Spec(A_0)\)가 아핀이고 \(A_0\)가 쌍대화 복합체를 가진다고 가정할 수 있다. \(I_0 \subset A_0\)를 \(Y\)에 대응하는 아이디얼이라 하자. \(A, I\)를 \(A_0, I_0\)의 \(I_0\)-진 완비라 하자. 나중에 사용하기 위해 \(A\)가 쌍대화 복합체를 가짐을 주목한다(쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR). \(M\)을 \((\mathcal{F}_n)\)에 대응하는 유한 \(A\)-가군이라 하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 087W을 보라. 그러면 \(\mathcal{F}_n\)은 \(M_n = M/I^nM\)에 대응한다. \(\mathcal{F}'_n\)은 몫 \(M'_n = M_n / H^0_T(M_n)\)에 대응함을 상기하자. 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX3와 그 증명을 보라.

\(s = 0\), \(d = \text{cd}(A, I)\)로 놓자. \(A, I, T, M, s, d\)가 상황 0EFU의 가정 (1), (3), (4), (6)을 만족한다고 주장한다. (1), (3)은 위에서 즉시 따르고, \(s = 0\)이므로 (4)는 공허한 조건이며, (6)은 보조정리의 명제에서 둔 가정이다.

정리 0EIE에 의해 \(\{H^0_T(M_n)\}\)은 값 \(H^0_T(M)\)을 갖는 본질적으로 상수인 계이다. 따라서 짧은 완전열 \(0 \to H^0_T(M_n) \to M_n \to M'_n \to 0\)들의 극한은 짧은 완전열 \[0 \to H^0_T(M) \to M \to \lim M'_n \to 0\] 이다. \(M' = \lim M'_n = M/H^0_T(M)\)으로 놓자. 이는 유한 \(A\)-가군이다. \((\mathcal{G}_n)\)을 \(M'\)에 대응하는 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 증명을 끝내려면 표준 사상 \(\{M'/I^nM'\} \to \{M'_n\}\)이 전사영 동형임을 보여야 한다. 이는 \(\{H^0_T(M) + I^nM\} \to \{\Ker(M \to M'_n)\}\)이 전사영 동형이라는 것과 동치이다. \(I^nM\)으로 나누면 \(\{H^0_T(M)/H^0_T(M) \cap I^nM\} \to \{H^0_T(M_n)\}\)이 전사영 동형임을 보이면 충분하다. \(H^0_T(M)\)은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되므로 Artin–Rees에 의해 모든 \(n \gg 0\)에 대해 \(H^0_T(M) \cap I^nM = 0\)이다. 위에서 \(\{H^0_T(M_n)\}\)이 값 \(H^0_T(M)\)을 갖는 본질적으로 상수인 계임을 보았으므로 원하는 전사영 동형을 얻는다.

보조정리

위 상황에서 \(X\)가 국소적으로 쌍대화 복합체를 가진다고 가정하자. \(T' \subset T \subset Y\)를 특수화에 대해 안정적인 부분집합들이라 하고, \(d \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 가정한다.

1. 아핀 국소적으로 \(X = \Spec(A_0)\) 및 \(Y = V(I_0)\)이고 \(\text{cd}(A_0, I_0) \leq d\)이다.

2. \(y \in T\)와 다음을 만족하는 극대가 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)로서 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\) 에 대해 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 0\] 이다.

3. \(y \in T'\)와 다음을 만족하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)로서 \(\mathfrak p \not \in V(\mathcal{I}_y^\wedge)\) 및 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) \not = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)에 대해 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) \geq 1 \quad\text{또는}\quad \text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 1 + d\]

4. \(y \in T'\)와 다음을 만족하는 극대가 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)로서 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\) 에 대해 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 1\]

5. \(y \leadsto y'\)가 바로 다음 특수화이고 \(y' \in T'\)이면 \(y \in T\)이다.

그러면 다음 성질들을 갖는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계의 표준 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\)이 존재한다.

1. \(y \in T\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) \geq 1\)이다.

2. \(y' \in T'\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y'}) \geq 2\)이다.

3. \((\mathcal{F}''_n)\)은 전사영계로서 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상 \((\mathcal{H}_n)\)과 동형이다.

4. 유도된 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n)\)의 핵과 여핵은 \(\mathcal{I}\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

증명

보조정리 0EJE와 그 증명에서와 같이, 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}'_n\)을 \(T\)를 사용하여 국소 코호몰로지의 보조정리 0DX3에서 구성한 전사라 하자. 다음으로 \(\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}''_n\)을 국소 코호몰로지의 보조정리 0EI4와 그 증명에서 구성한 단사라 하자. 구성으로부터 표준 사상 \(\mathcal{F}''_{n + 1} \to \mathcal{F}''_n\)을 얻으며, 따라서 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계의 사상 \[(\mathcal{F}_n) \longrightarrow (\mathcal{F}_n') \longrightarrow (\mathcal{F}''_n)\] 을 얻는다. 성질 (1), (2)는 구성상 성립한다.

성질 (3), (4)를 증명할 때 \(X = \Spec(A_0)\)가 아핀이고 \(A_0\)가 쌍대화 복합체를 가진다고 가정할 수 있다. \(I_0 \subset A_0\)를 \(Y\)에 대응하는 아이디얼이라 하자. \(A, I\)를 \(A_0, I_0\)의 \(I_0\)-진 완비라 하자. 나중에 사용하기 위해 \(A\)가 쌍대화 복합체를 가짐을 주목한다(쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR). \(M\)을 \((\mathcal{F}_n)\)에 대응하는 유한 \(A\)-가군이라 하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 087W을 보라. 그러면 \(\mathcal{F}_n\)은 \(M_n = M/I^nM\)에 대응한다. \(\mathcal{F}'_n\)은 몫 \(M'_n = M_n / H^0_T(M_n)\)에 대응함을 상기하자. 또한 \(M' = \lim M'_n\)은 \(M\)을 \(H^0_T(M)\)으로 나눈 몫이고, \(H^0_T(M)\)은 \(I\)-거듭제곱 꼬임이며, \(\{M'_n\}\)과 \(\{M'/I^nM'\}\)은 전사영계로서 동형임을 상기하자. 마지막으로 \(\mathcal{F}''_n\)은 확대 \[0 \to M'_n \to M''_n \to H^1_{T'}(M'_n) \to 0\] 에 대응한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0EI4의 증명을 보라.

\(s = 1\)로 놓자. \(A, I, T', M', s, d\)가 상황 0EFU의 가정 (1), (3), (4), (6)을 만족한다고 주장한다. (1), (3)은 즉시 따르고, (c)는 (4)를 함의하며, (d)에서 (6)이 따른다. (c) \(\Rightarrow\) (4)와 (d) \(\Rightarrow\) (6)의 증명은 생략한다.

정리 0EIE에 의해 \(\{H^1_{T'}(M'/I^nM')\}\)은 값 \(H^1_{T'}(M')\)을 갖는 본질적으로 상수인 계이다. 따라서 \(\{H^1_{T'}(M'_n)\}\)도 값 \(H^1_{T'}(M')\)을 갖는 본질적으로 상수인 계이다. 그러므로 위에 표시한 짧은 완전열들의 극한은 짧은 완전열 \[0 \to M' \to \lim M''_n \to H^1_{T'}(M') \to 0\] 이다. \(M'' = \lim M''_n\)으로 놓자. 국소 코호몰로지의 명제 0EFD에 의해 \(H^1_{T'}(M')\)과 따라서 \(M''\)은 유한 \(A\)-가군이다(조건을 확인할 때 \(M'\)이 \(T - T'\)의 소아이디얼들에서 깊이 적어도 \(1\)임을 사용하라). \((\mathcal{H}_n)\)을 유한 \(A\)-가군 \(M''\)에 대응하는 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)의 대상이라 하자. 증명을 끝내려면 표준 사상 \(\{M''/I^nM''\} \to \{M''_n\}\)이 전사영 동형임을 보여야 한다. \(\{M'/I^nM'\}\)이 \(\{M'_n\}\)과 전사영 동형임을 이미 알고 있으므로, 이는 \(\{H^1_{T'}(M')/I^nH^1_{T'}(M')\} \to \{H^1_{T'}(M'_n)\}\)이 전사영 동형이라는 것과 동치임을 독자가 확인할 수 있다(생략한다). 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(H^1_{T'}(M')/I^nH^1_{T'}(M') = H^1_{T'}(M')\)이고, 위에서 \(\{H^1_{T'}(M'_n)\}\)이 값 \(H^1_{T'}(M')\)을 갖는 본질적으로 상수인 계임을 보았으므로 결론이 따른다.

보조정리

상황 0EHC에서 \(A\)가 쌍대화 복합체를 가진다고 가정하자. \(d \geq \text{cd}(A, I)\)라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)이 \((2, 2 + d)\)-부등식들을 만족한다고 가정하자. 정의 0EJ3를 보라. 그러면 다음 성질들을 갖는 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 역계의 표준 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\)이 존재한다.

1. 모든 \(y \in U \cap Y\)에 대해 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta^Y_Z(y) \geq 3\)이다.

2. \((\mathcal{F}''_n)\)은 전사영계로서 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상 \((\mathcal{H}_n)\)과 동형이다.

3. 유도된 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 사상 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n)\)의 핵과 여핵은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

4. 모든 \(n\)에 대해 가군 \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\)과 \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\)은 유한 \(A\)-가군이다.

증명

존재와 성질 (1), (2), (3)은 \(U\), \(U \cap Y\), \(T = \{y \in U \cap Y : \delta^Y_Z(y) \leq 2\}\), \(T' = \{y \in U \cap Y : \delta^Y_Z(y) \leq 1\}\) 및 \((\mathcal{F}_n)\)에 보조정리 0EJF를 적용하면 따른다. 가군 \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\)과 \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\)의 유한성은 국소 코호몰로지의 보조정리 0BJY와 보조정리 0EIY에서 증명한 함수 \(\delta^Y_Z(-)\)의 초등적 성질들에서 따른다.

연접 형식 가군의 대수화 V

이 절에서는 연접 형식 가군의 대수화에 관한 가장 일반적인 결과들을 증명한다. 먼저 아이디얼의 코호몰로지 차원이 \(1\)인 경우를 증명한 뒤, 이를 부풀림에 적용하여 더 일반적인 결과를 증명한다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(\text{cd}(A, I) = 1\)이다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)은 다음을 만족하는 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 역계 \((\mathcal{F}_n'')\)과 전사영 동형이다. \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta^Y_Z(y) \geq 3\) 이는 모든 \(y \in U \cap Y\)에 대해 성립한다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다. 정의 0EIP를 보라.

증명

보조정리 0EHH의 가정 (a), (b), (c)를 확인하겠다. 시작하기 전에 국소 코호몰로지의 보조정리 0BJY에 의해 모든 \(n\)에 대해 가군 \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\)과 \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\)이 유한 \(A\)-가군임을 지적해 둔다.

각 \(p \geq 0\)에 대해 보조정리 0EH7에 의해 \(\lim H^p(U, \mathcal{F}_n)\)의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다. 특히 가정 (b)가 성립한다.

\(M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n)\)은 극한 위상이 \(I\)-진 위상인 \(A\)-가군이다. 따라서 \(n\)이 주어지면 어떤 \(N \gg n\)에 대해 \(M/I^nM\)은 \(H^0(U, \mathcal{F}_N)\)의 부분몫이다. 역계 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_N)\}\)은 유한 \(A\)-가군의 역계 \(\{H^0(U, \mathcal{F}''_N)\}\)과 전사영 동형이므로 \(M/I^nM\)은 유한이다. 따라서 \(M\)도 유한이다. 대수학의 보조정리 031D을 보라. 특히 가정 (c)가 성립한다.

각 \(n \geq 0\)에 대해 \(Ob_n = \lim_N H^1(U, I^n\mathcal{F}_N)\)로 쓰자. 특히 \(Ob = Ob_0 = \lim_N H^1(U, \mathcal{F}_N)\)이다. 바로 앞 문단과 똑같이 논증하면 \(Ob\)가 유한 \(A\)-가군임을 얻는다. (실제로 \(Ob/I Ob\)가 \(\mathfrak a\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다는 사실도 알지만, 이를 사용하기는 다소 어려워 보인다.)

\(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)으로 놓고, \(I\)의 생성원 \(f_1, \ldots, f_r\)을 택하며, \(c \geq 1\)을 택하고, 보조정리 0EH6에서와 같이 \(\Phi_\mathcal{F}\)를 택한다. 보조정리 0EI8의 결과들을 더 언급하지 않고 사용하겠다. 특히 각 \(n \geq 1\)에 대해 사상 \[\delta_n : H^0(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow H^1(U, I^n\mathcal{F}) \longrightarrow Ob_n\] 들이 있다. 첫째 것은 짧은 완전열 \(0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_n \to 0\)에서, 둘째 것은 \(I^n\mathcal{F} = \lim I^n\mathcal{F}_N\)에서 온다. 나중에 \(s \in H^0(U, \mathcal{F}_n)\)에 대해 \(\delta_n(s) = 0\)이면 각 \(n' \geq n\)마다 \(s\)로 사상되는 \(s' \in H^0(U, \mathcal{F}_{n'})\)을 찾을 수 있다는 사실을 사용하겠다. 다음 가환 그림이 있다. \[\xymatrix{ H^0(U, \mathcal{F}_{nc}) \ar[r] \ar[dd] & H^1(U, I^{nc}\mathcal{F}) \ar[dd] \ar[rd]^{\Phi_\mathcal{F}} \\ & & \bigoplus_{e_1 + \ldots + e_r = n} H^1(U, \mathcal{F}) \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r} \ar[ld] \\ H^0(U, \mathcal{F}_n) \ar[r] & H^1(U, I^n\mathcal{F}) }\] 따라서 장애사상 \(H^0(U, \mathcal{F}_n) \to Ob_n\)은 \(H^0(U, \mathcal{F}_{nc}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\)의 상을 부분가군 \[Ob'_n = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} Ob \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r} \to Ob_n \right)\] 으로 보낸다. 여기서 직합항 \(Ob \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\) 위에서는 곱셈 사상 \(f_1^{e_1} \ldots f_r^{e_r} : \mathcal{F} \to I^n\mathcal{F}\)을 \(I\)의 거듭제곱들로 나눈 환원에서 오는 코호몰로지 사상을 사용한다. 구성상 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} Ob'_n\] 은 Rees 대수 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\) 위의 유한 등급 가군이다. 각 \(n\)에 대해 \[M_n = \{s \in H^0(U, \mathcal{F}_n) \mid \delta_n(s) \in Ob'_n\}\] 로 놓자. \(\{M_n\}\)은 역계이고 전역 단면 위에서 \(f_j : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\)은 \(M_n\)을 \(M_{n + 1}\)로 보낸다. 코호몰로지의 보조정리 0GYK의 증명에서와 정확히 같은 논증으로 \(\{M_n\}\)이 Mittag-Leffler 조건을 만족함을 얻는다. 실제로 Rees 대수가 Noether이므로 등급 부분가군 \(\bigoplus_{n \geq 0} \Im(M_n \to Ob'_n)\)에 대해 \(z_j \in M_{n_j}\)인 \(\delta_{n_j}(z_j)\) 꼴의 유한 개 동차 생성원을 택할 수 있다. \(k = \max(n_j)\)라 하면, \(n \geq k\) 및 임의의 \(z \in M_n\)에 대해 \(a_j \in I^{n - n_j}\)를 택하여 \(z - \sum a_j z_j\)가 \(\delta_n\)의 핵에 속하게 할 수 있고, 따라서 이는 모든 \(n' \geq n\)에 대해 \(M_{n'}\)의 상에 속한다(\(\delta_n\)의 소멸은 모든 \(n' \ge n\)에 대해 \(z - \sum a_j z_j\)를 어떤 \(z' \in H^0(U, \mathcal{F}_{n'c})\)로 올릴 수 있음을 뜻하고, 위에서 증명한 바에 따라 \(z'\)의 \(H^0(U, \mathcal{F}_{n'})\) 안의 상은 \(M_{n'}\)에 속한다). 따라서 모든 \(n' \geq n\)에 대해 \(\Im(M_n \to M_{n - k}) = \Im(M_{n'} \to M_{n - k})\)이다.

\(n\)을 택하자. 방금 증명한 \(\{M_n\}\)의 Mittag-Leffler 성질에 의해 어떤 \(n' \geq n\)을 택하여 \(M_{n'} \to M_n\)의 상이 \(M' \to M_n\)의 상과 같게 할 수 있다. 위에서 보았듯 \(M' \to M_n\)의 상은 \(H^0(U, \mathcal{F}_{n'c}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\)의 상을 포함한다. 따라서 \(\{M_n\}\)과 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)은 전사영 동형이다. 그러므로 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\)은 Mittag-Leffler 조건을 만족하고, 마침내 가정 (a)가 성립한다. 증명이 끝났다.

명제

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(\text{cd}(A, I) = 1\)이다.

2. \((\mathcal{F}_n)\)은 \((2, 3)\)-부등식들을 만족한다. 정의 0EJ3를 보라.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다. 특히 \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

보조정리 0EIU에 의해 \((\mathcal{F}_n)\)을 보조정리 0EJG에서 얻은 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상 \((\mathcal{H}_n)\)으로 바꾸어도 된다. 따라서 \((\mathcal{F}_n)\)이 보조정리 0EJG에 나온 성질들을 갖는 역계 \((\mathcal{F}_n'')\)과 전사영 동형이라고 가정할 수 있다. 보조정리 0EJI에서 \((\mathcal{F}_n)\)이 \(X\)로 표준적으로 연장됨을 증명하였다. 마지막 명제는 보조정리 0EIR에서 따른다.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

2. \(I\)에 대한 부풀림 \(b : X' \to X\)의 모든 올은 차원 \(\leq d - 1\)이다.

3. 다음 중 하나가 참이다.

   1. \((\mathcal{F}_n)\)은 \((d + 1, d + 2)\)-부등식들을 만족한다 (정의 0EJ3).

   2. \(y \in U \cap Y\)와 다음을 만족하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)로서 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 에 대해 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\]

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다.

증명

\(Y' \subset X'\)를 예외 인자라 하고 \(Z' \subset Y'\)를 \(Z \subset Y\)의 역상이라 하자. 그러면 \(U' = X' \setminus Z'\)는 \(U\)의 역상이다. \(\delta^{Y'}_{Z'}\)를 (0EIX)에서와 같이 놓고 \[T' = \{y' \in Y' \mid \delta^{Y'}_{Z'}(y') = 1\} \subset T = \{y' \in Y' \mid \delta^{Y'}_{Z'}(y') = 1\text{ 또는 }2\}\] 로 놓자. 보조정리 0EIY의 (1), (2)에 의해 이들은 \(U' \cap Y' = Y' \setminus Z'\)에서 특수화에 대해 안정적인 부분집합이다. \(\textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'})\)의 대상 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\)을 고찰하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0887을 보라. \(y' \in U' \cap Y'\)에 대해 이 당김의 \(y'\)에서의 “줄기”를 \[\mathcal{F}_{y'}^\wedge = \lim (b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)_{y'}\] 로 표기하자. \(d\)를 \(1\)로 바꾸고 부분집합 \(T' \subset T \subset U' \cap Y'\)을 취했을 때, \(U'\) 위의 대상 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\)에 대해 보조정리 0EJF의 조건 (a), (b), (c), (d), (e)가 성립한다고 주장한다. \(Y'\)가 유효 Cartier 인자이고 따라서 국소적으로 방정식 \(1\)개로 잘리므로 조건 (a)가 성립한다. 조건 (e)는 보조정리 0EIY의 (7)에 의해 성립한다. (b), (c), (d)를 증명하려면 약간의 준비가 필요하다.

\(y' \in U' \cap Y'\)와 \(V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)\)에 포함되지 않는 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\)을 취하자. \(y = b(y') \in U \cap Y\)로 표기하자. \(y'\)가 아핀 부풀림 대수 \(A[\frac{I}{f}]\)의 스펙트럼에 포함되도록 \(f \in I\)를 택하자. 인자의 보조정리 0804를 보라. 임의의 \(A\)-대수 \(B\)에 대해 대응하는 아핀 부풀림 대수를 \(B' = B[\frac{IB}{f}]\)로 표기하자. \(I\)-진 완비는 \({\ }^\wedge\)으로 표기한다. \(f\)의 선택으로부터 환 준동형 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)' \to \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\)을 얻는다. \(\mathfrak q' \subset (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'\)을 \(\mathfrak m_{y'}^\wedge\)의 역상이라 하면 \(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\mathfrak q'})^\wedge = \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\). 이다. \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)을 대응하는 소아이디얼이라 하자. 이제 다음 가환 그림이 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X, y}^\wedge \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)' \ar[d]_\alpha \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\mathfrak q'} \ar[d] \ar[r]_\beta & \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge \ar[d] \\ \mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)' \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'} \ar[r]^\gamma & ((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge \ar[d] \\ & & & \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p' }\] 여기서 수직 화살표들은 전사이다. 대수학 더 보기의 보조정리 07NV와 차원 공식(대수학의 보조정리 02IJ)에 의해 \[\dim(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge) = \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}) = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) - \text{trdeg}(\kappa(y')/\kappa(y))\] 당김, 줄기, 국소화, 완비의 정의를 따라가면 \[(\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p} \otimes_{(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p} (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'} = (\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\] 이다. 세부사항은 생략한다. 그림의 환 준동형 \(\beta\)와 \(\gamma\)는 Gorenstein(따라서 Cohen–Macaulay) 올을 갖는 평탄 사상이다. 이들은 쌍대화 복합체를 갖는 환들의 완비이기 때문이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJN과 0AWY 들과 대수학 더 보기의 절 0BIR의 논의를 보라. \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p = (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\tilde{\mathfrak p}}\)임을 주목하라. 여기서 \(\tilde{\mathfrak p}\)는 그림의 \(\alpha\)의 핵이다. 한편 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\tilde{\mathfrak p}} \to (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\) 은 위의 사실에 의해 Cohen–Macaulay 올을 갖는 평탄 사상이다. 따라서 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p \to (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\) 도 Cohen–Macaulay 올을 갖는 평탄 사상이다. 대수학의 보조정리 0338을 사용하면 \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(F_\mathfrak r)\] 이다. 여기서 \(F\)는 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}\) 의 일반 형식 올이고 \(\mathfrak r\)은 \(\mathfrak p'\)에 대응하는 소아이디얼이다. \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}\)는 보편적 사슬 국소 정역이므로, Ratliff 정리(대수학 더 보기의 명제 0AW6)에 의해 그 \(I\)-진 완비는 등차원이고 (보편적으로) 사슬적이다. 따라서 \[\dim(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge) = \dim(F_\mathfrak r) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p')\] 이다. 이를 보조정리 0EIZ과 결합하면 [0EJL]\[\begin{equation} \begin{aligned} & \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(F_\mathfrak r) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & \geq \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) + \dim(F_\mathfrak r) + \text{trdeg}(\kappa(y')/\kappa(y)) - (d - 1) \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) - (d - 1) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) - \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') \end{aligned} \end{equation}\] 다음을 유념하라. \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p')\)이다. 이를 다시 쓰면 [0EJM]\[\begin{equation} \begin{aligned} & \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & \geq \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) - (d - 1) \end{aligned} \end{equation}\] 이 부등식으로 나머지 조건들을 확인할 수 있다.

보조정리 0EJF의 조건 (b), (d)를 보자. 다음을 가정하자. \(V(\mathfrak p') \cap V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge) = \{\mathfrak m_{y'}^\wedge\}\). \(Z'\)가 유효 Cartier 인자이므로 이는 \(\dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') = 1\)을 함의한다. (b), (d)를 합친 조건은 \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') > 2\] 와 동치이다. \((\mathcal{F}_n)\)이 (3)(b)의 부등식을 만족하면 (0EJM)를 적용하여 이것이 참임을 즉시 얻는다. \((\mathcal{F}_n)\)이 (3)(a), 즉 \((d + 1, d + 2)\)-부등식들을 만족하면 어느 경우든 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) \geq d + 1 \quad\text{또는}\quad \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\] 이다. 위의 (0EJL)과 (0EJM)를 보면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\)일 가능성을 제외하고 원하는 결론을 얻는다. 그러나 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\)이면 \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)이고 실제로 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) > d + 1\] 이다. \((\mathcal{F}_n)\)이 \((d + 1, d + 2)\)-부등식들을 만족하기 때문이다. 따라서 다시 결론을 얻는다.

보조정리 0EJF의 조건 (c)를 보자. 다음을 가정하자. \(V(\mathfrak p') \cap V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge) \not = \{\mathfrak m_{y'}^\wedge\}\)이다. 그러면 조건 (c)는 \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \geq 2 \quad\text{또는}\quad \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') + \delta^{Y'}_{Z'}(y') > 3\] 와 동치이다. \((\mathcal{F}_n)\)이 (3)(b)의 부등식을 만족하면 (0EJM)를 적용하여 표시된 두 부등식 중 둘째 것이 성립함을 안다. \((\mathcal{F}_n)\)이 (3)(a), 즉 \((d + 1, d + 2)\)-부등식들을 만족하면 (0EJL)과 (0EJM)에서 즉시 따른다. 이로써 주장의 증명이 끝난다.

보조정리 0EJF에서와 같이 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\)과 \(\textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'})\)의 \((\mathcal{H}_n)\)을 택하자. 임의의 아핀 열린집합 \(W \subset X'\)에 대해 보조정리 0EIY의 (6)에 의해 \(\delta^{W \cap Y'}_{W \cap Z'}(y') \geq \delta^{Y'}_{Z'}(y')\)이다. 따라서 \((\mathcal{H}_n|_W)\)은 보조정리 0EJI의 가정들을 만족한다. 그러므로 \((\mathcal{H}_n|_W)\)은 \(W\)로 표준적으로 연장된다. \((\mathcal{G}_{W, n})\)을 보조정리 0EIR에서와 같은 \(\textit{Coh}(W, I\mathcal{O}_W)\)의 표준 연장이라 하자. 보조정리 0EIS에 의해 \(W' \subset W\)에 대해 유일한 동형 \[(\mathcal{G}_{W, n}|_{W'}) \longrightarrow (\mathcal{G}_{W', n})\] 이 존재하고, 이는 주어진 동형 \((\mathcal{G}_{W, n}|_{W \cap U}) \cong (\mathcal{H}_n|_{W \cap U})\)과 양립한다. 따라서 \(U\)로의 제한이 \((\mathcal{H}_n)\)과 동형인 \(\textit{Coh}(X', I\mathcal{O}_{X'})\)의 대상 \((\mathcal{G}_n)\)이 존재한다.

\(A\)가 \(I\)-진 완비이면 다음과 같이 증명을 끝낼 수 있다. Grothendieck 존재 정리(스킴의 코호몰로지의 보조정리 0885)에 의해 \((\mathcal{G}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군의 완비이다. 이어서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0889에 의해 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_{U'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)의 완비이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 088B에 의해 사상 \[(\mathcal{F}_n) \longrightarrow ((b|_{U'})_*\mathcal{F}')^\wedge\] 이 있고 그 핵과 여핵은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. 마지막으로 보조정리 0EIU를 적용하면 끝난다.

\(A\)가 완비가 아니면 증명을 시작하기 전에 \(A\)를 그 완비로 바꾸어도 된다. 보조정리 0EIN를 보라. 완비한 뒤에도 가정들은 여전히 성립한다. 조건 (3)은 즉시 알 수 있고, 조건 (1)은 쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR에서, 조건 (2)는 인자의 보조정리 0805에서 따른다. 따라서 완비인 경우에서 일반적인 경우가 따른다.

명제

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가진다.

2. 어떤 \(d \geq 1\) 및 \(f_1, \ldots, f_d \in A\)에 대해 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_d)\)이다.

3. 다음 중 하나가 참이다.

   1. \((\mathcal{F}_n)\)은 \((d + 1, d + 2)\)-부등식들을 만족한다 (정의 0EJ3).

   2. \(y \in U \cap Y\)와 다음을 만족하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)로서 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 에 대해 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\]

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다. 특히 \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_d)\)라고 가정할 수 있다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0EHR. 를 보라. 그러면 \(I\)에서 \(X\)를 부풀린 것의 모든 올은 차원 많아야 \(d - 1\)이다. 따라서 보조정리 0EJK에서 연장을 얻는다. 마지막 명제는 보조정리 0EIL에서 따른다.

다음 보조정리를 비고 0EHI, 0DXV, 0EJC, 그리고 0EJT와 비교하라.

보조정리

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는 국소환이다.

2. \(X\)의 모든 기약 성분은 같은 차원을 갖는다.

3. 스킴 \(X \setminus Y\)는 Cohen–Macaulay이다.

4. \(I\)는 \(d\)개의 원소로 생성된다.

5. \(\dim(X) - \dim(Z) > d + 2\)이다.

6. \(y \in U \cap Y\)에 대해 가군 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)은 \(V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 밖에서 유한 국소 자유이다. 예를 들어 \(\mathcal{F}_n\)이 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)-가군인 경우가 이에 해당한다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 연장된다. 특히 \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

명제 0EJN의 가정 (1), (2), (3)(b)가 성립함을 보이겠다. (1), (2)는 명백하다.

점 \(y \in U \cap Y\)와 소아이디얼 \(\mathfrak p\), 즉 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)이면서 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\). 을 취하자. 마지막 조건에 의해 \(\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) = \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p)\). \(X \setminus Y\)가 Cohen–Macaulay이므로 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p\)도 Cohen–Macaulay이다. 따라서 \[\begin{align*} & \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \\ & = \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \\ & = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta^Y_Z(y) \end{align*}\] 이다. 마지막 등식은 둘째 조건에 의해 \(\mathcal{O}_{X, y}\)가 등차원이기 때문이다. \(\delta(y) = \dim(\overline{\{y\}})\)로 놓자. \(A\)가 사슬적 국소환이므로 이는 차원 함수이다. 보조정리 0EIY에 의해 \(\delta^Y_Z(y) \geq \delta(y) - \dim(Z)\)이다. \(X\)가 등차원이므로 \[\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta^Y_Z(y) \geq \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta(y) - \dim(Z) = \dim(X) - \dim(Z)\] 따라서 원하는 부등식을 얻고 증명이 끝난다.

주

명제 0EJN에서 \(I\)가 \(d\)개의 생성원을 갖는다는 가정을 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)라는 가정으로 바꾼 유사 명제를 증명하거나 반증하지 못하였다. 증명을 알거나 반례가 있다면 stacks.project@gmail.com. 로 전자우편을 보내기 바란다. 또 하나의 자연스러운 질문은 명제 0EJN의 조건들이 어느 정도까지 필요한가이다.

연접 형식 가군의 대수화 VI

이 절에서는 증명이 더 쉬운 몇 가지 경우를 덧붙인다.

명제

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 어떤 \(f_1, \ldots, f_d \in I\)가 존재하여, \(y \in U \cap Y\)에 대해 아이디얼 \(I\mathcal{O}_{X, y}\)은 \(f_1, \ldots, f_d\)로 생성되고 \(f_1, \ldots, f_d\)는 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)-정칙열을 이룬다.

2. \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\)과 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\)은 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다. 특히 \(A\)가 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

보조정리 0EHH의 가정 (a), (b), (c)를 확인하여 증명하겠다. 모든 \(n\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\] 이 있다. \(f_1, \ldots, f_d\)는 각 “줄기” \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 위에서 정칙열(따라서 준정칙열, 대수학의 보조정리 00LN를 보라)을 이루고, 모든 \(n\)에 대해 \(I\mathcal{F}_n = (f_1, \ldots, f_d)\mathcal{F}_n\)이므로, 줄기에서 확인하면 \[I^n\mathcal{F}_{n + 1} = \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_d = n} \mathcal{F}_1 \cdot f_1^{e_1} \ldots f_d^{e_d}\] 이다. \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\)의 유한성 가정과 귀납법을 사용하면 먼저 모든 \(n\)에 대해 \(M_n = H^0(U, \mathcal{F}_n)\)이 유한 \(A\)-가군임을 얻는다. 이로써 보조정리 0EHH의 조건 (c)가 성립한다. 또한 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(U, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 은 유한 등급 \(R = \bigoplus I^n/I^{n +1}\)-가군이다. 코호몰로지의 보조정리 0GYK에 의해 보조정리 0EHH의 조건 (a)가 성립한다. 마지막으로 \(\bigoplus H^0(U, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)가 유한 등급 \(R\)-가군이고 보조정리 0EHH의 조건 (b)도 코호몰로지의 보조정리 0GYM을 적용할 수 있으므로 성립한다.

주

명제 0EJS의 상황에서 \(A\)가 쌍대화 복합체를 가진다고 가정하면, \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\)과 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\)이 유한이라는 조건은 \[\text{depth}(\mathcal{F}_{1, y}) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z}) > 2\] 가 모든 \(y \in U \cap Y\)와 \(z \in Z \cap \overline{\{y\}}\)에 대해 성립하는 것과 동치이다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BJY를 보라. 예를 들어 \(\mathcal{F}_1\)이 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_{U \cap Y}\)-가군이고, \(Y\)가 \((S_2)\)이며, \(Z' \subset Y'\)인 \(Y\)의 기약 성분 \(Y'\)과 \(Z\)의 기약 성분 \(Z'\)의 모든 쌍에 대해 \(\text{codim}(Z', Y') \geq 3\)이면 이 조건이 성립한다.

명제

상황 0EHC에서 \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 다음을 만족하는 Noether 국소환 \((R, \mathfrak m)\)과 환 준동형 \(R \to A\)가 존재한다고 가정하자.

1. \(I = \mathfrak m A\),

2. \(y \in U \cap Y\)에 대해 줄기 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)은 \(R\)-평탄이다.

3. \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\)과 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\)은 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 \(X\)로 표준적으로 연장된다. 특히 \(A\)가 완비이면 \((\mathcal{F}_n)\)은 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비이다.

증명

증명은 명제 0EJS의 증명과 정확히 같다. 즉 \(\kappa = R/\mathfrak m\)이라 하면 \(n \geq 0\)에 대해 동형 \[I^n \mathcal{F}_{n + 1} \cong \mathcal{F}_1 \otimes_\kappa \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\] 이 있고, 우변은 \(\mathcal{F}_1\)의 유한 직합이다. 이는 줄기에서 확인할 수 있다. 나머지는 모두 정확히 같다.

주

명제 0EJU은 [Baranovsky, 정리 2.10 (i)]의 국소적 형태이다. 국소 결과에서 대역 결과를 유도하는 것은 직접적이며, 그 논증을 개략적으로 설명하겠다. 즉 \((R, \mathfrak m)\)을 완비 Noether 국소환이라 하고 \(X \to \Spec(R)\)을 고유 사상이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(X_n = X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\mathfrak m^n)\)으로 놓는다. \(Z \subset X_1\)을 특수 올의 닫힌 부분집합이라 하자. \(U = X \setminus Z\)로 놓고 포함 사상을 \(j : U \to X\)로 나타낸다. 다음 대상이 주어졌다고 하자. \[(\mathcal{F}_n) \text{는 } \textit{Coh}(U, \mathfrak m\mathcal{O}_U)\text{의 대상}\] 여기서 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{F}_n\)이 \(R/\mathfrak m^n\) 위에서 평탄하다는 의미로 이 계는 \(R\) 위에서 평탄하다. \(j_*\mathcal{F}_1\)과 \(R^1j_*\mathcal{F}_1\)이 연접 가군이라고 가정하자. 그러면 명제 0EJU에 의해 \(X\) 위에서 아핀 국소적으로 \((\mathcal{F}_n)\)의 표준적 연장을 얻으며, 이 연장의 구성은 국소화와 가환한다(보조정리 0DXW). 따라서 그 \(U\)로의 제한이 \((\mathcal{F}_n)\)인 \(\textit{Coh}(X, \mathfrak m\mathcal{O}_X)\)의 표준적 대역 대상 \((\mathcal{G}_n)\)을 얻는다. Grothendieck 존재 정리 (스킴의 코호몰로지, 명제 088C)에 의해 완비가 \((\mathcal{G}_n)\)인 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재한다. 이로부터 \((\mathcal{F}_n)\)이 대수화 가능함, 즉 어떤 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 완비임을 알 수 있다.

\(j_*\mathcal{F}_1\)과 \(R^1j_*\mathcal{F}_1\)의 연접성은 특수 올 위의 조건임도 덧붙인다. 실제로 \(j : U \to X\)의 특수 올을 \(j_1 : U_1 \to X_1\)로 나타내면 \(\mathcal{F}_1\)을 \(U_1\) 위의 연접 층으로 볼 수 있고, \(j_*\mathcal{F}_1 = j_{1, *}\mathcal{F}_1\) 및 \(R^1j_*\mathcal{F}_1 = R^1j_{1, *}\mathcal{F}_1\)이다. 따라서 예를 들어 \(X_1\)이 \((S_2)\)이고 기약이며, \(\dim(X_1) - \dim(Z) \geq 3\)이고, \(\mathcal{F}_1\)이 국소 자유 \(\mathcal{O}_{U_1}\)-가군이면 \(j_{1, *}\mathcal{F}_1\)과 \(R^1j_{1, *}\mathcal{F}_1\)은 연접 가군이다.

완비화 함자에의 응용

이 절에서는 편리하게 인용할 수 있도록 이미 얻은 몇 가지 결과를 단순히 결합한다. 여기서 진술할 수 있는 (더 강한) 결과는 많이 있다.

보조정리

상황 0EHC에서 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 가지며 \(I\)-진 완비이다.

2. \(I = (f)\)는 하나의 원소로 생성된다.

3. \(A\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)을 갖는 국소환이다.

4. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고, \(f \not \in \mathfrak p\)인 극소 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 4\)이다. 또는

   2. \(\mathfrak p \not \in V(f)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

그러면 \(U_0 = U \cap V(f)\)로 놓을 때 완비화 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 열린 부분스킴}} \textit{Coh}(\mathcal{O}_{U'}) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\] 는 유한 국소 자유 대상들로 이루어진 충만한 부분범주 사이의 동치이다.

증명

보조정리 0EKU에서 이 함자가 완전충실임이 따른다(세부사항은 생략한다). 본질적 전사성을 증명하자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\)의 유한 국소 자유 대상이라 하자. 보조정리 0EJ9 또는 명제 0EJJ에 의해 \((\mathcal{F}_n)\)이 \(\mathcal{F}\)의 완비가 되는 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재한다. 실제로 두 결과 중 어느 것을 적용하든 확인할 것은 \((\mathcal{F}_n)\)이 \((2, 3)\)-부등식을 만족한다는 것뿐이며, 이는 보조정리 0EJB에서 확인했다. \(y \in U_0\)이면 줄기 \(\mathcal{F}_y\)의 \(f\)-진 완비는 \(\mathcal{O}_{U, y}\)의 \(f\)-진 완비 위의 유한 자유 가군과 동형이다. 따라서 \(U_0\)의 어떤 열린 근방 \(U'\)에서 \(\mathcal{F}\)는 유한 국소 자유이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0EHC에서 다음을 가정하자.

1. \(I = (f)\)는 주 아이디얼이다.

2. \(A\)는 \(f\)-진 완비이다.

3. \(f\)는 영인자가 아니다.

4. \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\)와 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) 는 유한 \(A\)-가군이다.

그러면 \(U_0 = U \cap V(f)\)로 놓을 때 완비화 함자 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 열린 부분스킴}} \textit{Coh}(\mathcal{O}_{U'}) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\] 는 유한 국소 자유 대상들로 이루어진 충만한 부분범주 사이의 동치이다.

증명

보조정리 0EKV에 의해 이 함자는 완전충실하다. 본질적 전사성은 보조정리 0DXW에서 따른다.

연접 삼중항

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하자. \(f \in \mathfrak m\)을 영인자가 아닌 원소라 하자. 다음과 같이 놓는다. \(X = \Spec(A)\), \(X_0 = \Spec(A/fA)\), \(U = X \setminus V(\mathfrak m)\), 그리고 \(U_0 = U \cap X_0\). 다음을 만족할 때 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)를 연접 삼중항이라 한다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 단사인 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다.

2. \(\mathcal{F}_0\)는 연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-가군이다.

3. \(\alpha : \mathcal{F}/f\mathcal{F} \to \mathcal{F}_0|_{U_0}\) 는 동형이다.

모든 연접 삼중항의 모임을 범주로 만드는 자명한 연접 삼중항의 사상 개념이 있다.

연접 삼중항의 범주는 가법 범주이지만 Abel 범주는 아니다. 그러나 연접 삼중항의 짧은 완전열이 무엇인지는 명백하다.

두 연접 삼중항 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)와 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)가 주어져도 \((\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}, \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}} \mathcal{G}_0, \alpha \otimes \beta)\)가 연접 삼중항일 필요는 없다⁸. 그러나 모든 \(x \in U_0\)에 대해 줄기 \(\mathcal{G}_x\)가 자유이면 이는 성립한다.

연접 삼중항 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)에서 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{G}_0\)가 각각 국소 자유 가군이면 이를 국소 자유라 하고, 각각 가역 가군이면 가역이라 한다. 이 경우 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)와의 텐서곱은 의미가 있으며(위의 논의를 보라), 연접 삼중항의 짧은 완전열을 연접 삼중항의 짧은 완전열로 보낸다.

보조정리

임의의 연접 삼중항 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)에 대해 \(f : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'\)가 단사인 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}'\), 동형 \(\alpha' : \mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}\) 및 사상 \(\alpha'_0 : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{F}_0\) 가 존재하여 \(\alpha \circ (\alpha' \bmod f) = \alpha'_0|_{U_0}\)를 만족한다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 \(U\)로의 제한이 되도록 \(M\)을 택한다. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. \(\mathcal{F}\)는 \(f\)-꼬임이 없으므로 \(M\)을 그 \(f\)-멱 꼬임에 의한 몫으로 바꾸어도 된다. 한편 \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{F}_0)\)로 놓으면 \(\mathcal{F}_0\)는 유한 \(A/fA\)-가군 \(M_0\)에 대응하는 연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-가군이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 동형 \(\alpha_0\)가 \(A/fA\)-가군 준동형 \(\mathfrak m^n M/fM \to M_0\)에 대응하는 \(n\)이 존재한다(그 핵과 여핵은 \(\mathfrak m\)의 어떤 멱에 의해 소멸하지만 여기서는 이를 쓰지 않는다). 따라서 \(M' = \mathfrak m^n M\)으로 놓고 \(\mathcal{F}'\)을 \(M'\)에 대응하는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 잡으면 보조정리는 명백하다.

\((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)를 연접 삼중항이라 하자. 보조정리 0F23와 같이 \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\)를 택하고 다음과 같이 놓는다. [0F24]\[\begin{equation} \chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) = \text{length}_A(\Coker(\alpha'_0)) - \text{length}_A(\Ker(\alpha'_0)) \end{equation}\] 우변은 의미가 있다. 실제로 \(\alpha'_0\)는 \(U_0\) 위에서 동형이므로 그 핵과 여핵은 \(\{\mathfrak m\}\)에 지지된 연접 가군이며, 따라서 길이가 유한하다 (대수학, 보조정리 00L5).

보조정리

(0F24)의 양 \(\chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)는 보조정리 0F23와 같은 \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\)의 선택에 의존하지 않는다.

증명

\(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\)와 \(\mathcal{F}'', \alpha'', \alpha''_0\)를 그러한 두 선택이라 하자. \(n > 0\)에 대해 \(\mathcal{F}'_n = \mathfrak m^n \mathcal{F}'\)로 놓는다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 어떤 \(n\)에 대해 \(\alpha'\)와 \(\alpha''\)가 정하는 식별 \(\mathcal{F}''|_U = \mathcal{F}'|_U\)와 일치하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}''\)가 존재한다. 그러면 그림식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[d]^{\alpha_0'} \\ \mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \ar[r]^{\alpha_0''} & \mathcal{F}_0 }\] 은 \(U_0\)로 제한하면 가환한다. 따라서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 어떤 \(l > 0\)에 대해 \(\mathfrak m^l(\mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n)\)으로 제한하면 가환한다. \(\mathcal{F}'_{n + l}/f\mathcal{F}'_{n + l} \to \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n\)가 \(\mathfrak m^l(\mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n)\)을 거쳐 분해되므로 \(n\)을 \(n + l\)로 바꾸면 그림식이 가환한다. 달리 말해 \(U\)와 \(X_0\) 위의 사상들과 호환되는 \(X\) 위의 사상 \(\mathcal{F}''' \to \mathcal{F}''\) 및 \(\mathcal{F}''' \to \mathcal{F}'\)가 존재하는 세 번째 선택 \(\mathcal{F}''', \alpha''', \alpha'''_0\)를 찾았다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

\(U\) 위에서 \(\alpha', \alpha''\)와 호환되고 \(X_0\) 위에서 \(\alpha'_0, \alpha''_0\)와 호환되는 \(X\) 위의 사상 \(\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'\)가 있다고 가정하자. 이 사상은 \(U\) 위에서 동형이고 \(f : \mathcal{F}'' \to \mathcal{F}''\)가 단사이므로 \(\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'\)는 단사이다. 분명히 \(\mathcal{F}'/\mathcal{F}''\)는 \(\{\mathfrak m\}\)에 지지되므로 길이가 유한하다. 다음과 같은 연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-가군의 사상들이 있다. \[\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \xrightarrow{\alpha'_0} \mathcal{F}_0\] 그 합성은 \(\alpha''_0\)이고 이 사상들은 \(U_0\) 위에서 동형이다. 초등적인 호몰로지 대수학으로부터 다음 \(6\)항 완전열을 얻는다. \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}') \to \Ker(\alpha''_0) \to \Ker(\alpha'_0) \to \\ \Coker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}') \to \Coker(\alpha''_0) \to \Coker(\alpha'_0) \to 0 \end{matrix}\] 길이의 가법성(대수학, 보조정리 00IV)에 의해 다음을 보이면 충분하다. \[\text{length}_A( \Coker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')) - \text{length}_A( \Ker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')) = 0\] 이는 다음 그림식에 뱀 보조정리를 적용하고 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'' \ar[r]_f \ar[d] & \mathcal{F}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r]^f & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] & 0 }\] \(\mathcal{F}'/\mathcal{F}''\)의 길이가 유한하다는 사실을 사용하면 따른다.

보조정리

다음 짧은 연접 삼중항 완전열이 있으면 \(\chi(\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) = \chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) + \chi(\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma)\)이다. \[0 \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) \to (\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma) \to 0\]

증명

삼중항 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)에 대해 보조정리 0F23과 같이 \(\mathcal{G}', \beta', \beta'_0\)를 택한다. 포함 사상을 \(j : U \to X\)로 나타내고, \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{G}'\)을 다음 합성의 핵이라 하자. \[\mathcal{G}' \xrightarrow{\beta'} j_*\mathcal{G} \to j_*\mathcal{H}\] \(\mathcal{H}' = \mathcal{G}'/\mathcal{F}'\)은 \(j_*\mathcal{H}\)의 연접 부분층이므로 \(f : \mathcal{H}' \to \mathcal{H}'\)는 단사이다. 따라서 뱀 보조정리에 의해 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \to \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \to 0\] 구성에 의해 다음 동형들이 있다. \(\alpha' : \mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}\), \(\beta' : \mathcal{G}'|_U \to \mathcal{G}\), 그리고 \(\gamma' : \mathcal{H}'|_U \to \mathcal{H}\). 증명을 마치려면 보조정리 0F23과 같은 사상 \(\alpha'_0 : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{F}_0\)와 \(\gamma'_0 : \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \to \mathcal{H}_0\)를 구성하여 다음 가환 그림식에 맞추어야 한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] \ar@{..>}[d]^{\alpha'_0} & \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \ar[r] \ar[d]^{\beta'_0} & \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \ar[r] \ar@{..>}[d]^{\gamma'_0} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & 0 }\] 그러나 처음 선택한 \(\mathcal{G}'\)로는 이것이 가능하지 않을 수 있다. 위 그림식에서 장애물은 정확히 다음 합성임을 알 수 있다. \[\delta : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \xrightarrow{\beta'_0} \mathcal{G}_0 \to \mathcal{H}_0\] 선택한 \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{H}'\)에 의해 \(\delta\)의 \(U_0\)로의 제한은 영이다. 따라서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 \(\delta\)가 \(\mathfrak m^k \cdot (\mathcal{F}'/f\mathcal{F}')\) 위에서 영이 되는 \(k > 0\)이 존재한다. \(n > k\)에 대해 \(\mathcal{G}'_n = \mathfrak m^n \mathcal{G}'\), \(\mathcal{F}'_n = \mathcal{G}'_n \cap \mathcal{F}'\), 그리고 \(\mathcal{H}'_n = \mathcal{G}'_n/\mathcal{F}'_n\)으로 놓는다. \(\beta'_0\)를 \(\mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}'\)와 합성하면 보조정리 0F23과 같은 사상 \(\beta'_{n, 0} : \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}_0\)를 얻는다. Artin–Rees 정리(대수학, 보조정리 00IN)에 의해 \(\mathcal{F}'_n \subset \mathfrak m^k \mathcal{F}'\)가 되도록 \(n\)을 택할 수 있다. 위와 마찬가지로 사상 \(f : \mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}'_n\), \(f : \mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}'_n\), 그리고 \(f : \mathcal{H}'_n \to \mathcal{H}'_n\)은 단사이고, 뱀 보조정리를 써서 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \to 0\] 위와 마찬가지로 다음 동형들이 있다. \(\alpha'_n : \mathcal{F}'_n|_U \to \mathcal{F}\), \(\beta'_n : \mathcal{G}'_n|_U \to \mathcal{G}\), 그리고 \(\gamma'_n : \mathcal{H}'_n|_U \to \mathcal{H}\). 앞에서와 같이 다음 장애물을 생각한다. \[\delta_n : \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \xrightarrow{\beta'_{n, 0}} \mathcal{G}_0 \to \mathcal{H}_0\] 그러나 가환 그림식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \ar[r]_{\beta'_{n, 0}} \ar[d] & \mathcal{G}_0 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}_0 \ar[d] \\ \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \ar[r]^{\beta'_0} & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 }\] 과 \(n\)의 선택 및 \(\delta\)에 관한 관찰로부터 \(\delta_n = 0\)임을 알 수 있다. 이로써 원하는 사상 \(\alpha'_{n, 0} : \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}_0\)와 \(\gamma'_{n, 0} : \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \to \mathcal{H}_0\)를 얻는다. 따라서 \(\mathcal{F}'_n, \alpha'_n, \alpha'_{n, 0}\), \(\mathcal{G}'_n, \beta'_n, \beta'_{n, 0}\), 그리고 \(\mathcal{H}'_n, \gamma'_n, \gamma'_{n, 0}\) 을 사용하여 \(\chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\), \(\chi(\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\), 그리고 \(\chi(\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma)\)를 계산해도 된다. 이제 마지막으로 다음 그림식에 뱀 보조정리를 적용하고 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & 0 }\] 길이의 가법성(대수학, 보조정리 00IV)을 쓰면 보조정리가 따른다.

명제

\((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)를 연접 삼중항이라 하고 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)를 가역 연접 삼중항이라 하자. 그러면 함수 \[\mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z},\quad n \longmapsto \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 는 차수가 \(\leq \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)인 다항식이다.

더 정확히 말해 \(\mathcal{F} = 0\)이면 이 함수는 상수이다. \(\mathcal{F}\)가 \(U\)에서 유한 지지를 가지면 이 함수는 상수이다. \(U\)에서 \(\mathcal{F}\)의 지지의 차원이 \(1\), 즉 \(X\)에서 \(\mathcal{F}\)의 지지의 폐포의 차원이 \(2\)이면 이 함수는 일차식인 식이다.

증명

\(\mathcal{F}\)의 지지의 차원에 관한 귀납법으로 증명한다.

기초 단계는 \(\mathcal{F} = 0\)인 경우이다. 이때 \(\mathcal{F}_0\)는 영이거나 그 지지가 \(\{\mathfrak m\}\)이다. 이 경우 \[(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n} = (0, \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0^{\otimes n}, 0) \cong (0, \mathcal{F}_0, 0)\] 이므로 보조정리의 함수는 상수이고 그 값은 \(\mathcal{F}_0\)의 길이와 같다.

귀납 단계로 \(\mathcal{F}\)의 지지가 공집합이 아니라고 하자. \(\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{F}_0\)를 \(\{\mathfrak m\}\)에 지지된 단면들의 부분가군이라 하면 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to (0, \mathcal{G}_0, 0) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0/\mathcal{G}_0, \alpha) \to 0\] 이 완전열은 가역 연접 삼중항 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)와 텐서곱해도 완전하다. 위의 논의를 보라. 따라서 \(\chi\)의 가법성(보조정리 0F26)과 위에서 설명한 기초 단계에 의해, 다음 삼중항에 대해 귀납 단계를 증명하면 충분하다. \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0/\mathcal{G}_0, \alpha)\). 이와 같이 하여 \(\mathfrak m\)이 \(\mathcal{F}_0\)의 연관점이 아니라고 가정해도 된다.

\(T = \text{Ass}(\mathcal{F}) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}/f\mathcal{F})\)로 놓는다. \(U\)는 준아핀이므로 어떤 \(u \in T\)에서도 영이 되지 않는 \(s \in \Gamma(U, \mathcal{L})\)를 찾을 수 있다. 성질의 보조정리 0F20를 보라. \(s\)에 \(\mathfrak m\)의 적당한 원소를 곱하여, 어떤 \(s_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0)\)에 대해 \(\lambda(s \bmod f) = s_0|_{U_0}\)라고 가정할 수 있다. 세부사항은 생략한다. 연접 삼중항의 범주에서 사상 \[(s, s_0) : (\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_{X_0}, 1) \longrightarrow (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\] 을 얻는다. 다음과 같이 놓는다. \(\mathcal{G} = \Coker(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L})\) 및 \(\mathcal{G}_0 = \Coker(s_0 : \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0)\). \(s\)의 선택에 의해 이 사상은 \(U_0\) 위에서 단사이고 \(\mathfrak m\)은 \(\mathcal{F}_0\)의 연관점이 아니므로 \(s_0 : \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0\)는 단사이다. 따라서 다음 짧은 완전열을 주는 동형 \(\beta : \mathcal{G}/f\mathcal{G} \to \mathcal{G}_0|_{U_0}\)가 존재한다. \[0 \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) \to (\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) \to 0\] 지지의 차원에 관한 귀납가정으로 명제는 연접 삼중항 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)에 대해 성립한다. 보조정리 0F26의 가법성을 쓰면 함수 \[n \longmapsto \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n + 1}) - \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 가 다항식임을 알 수 있다. 모든 정수에서 정의된 함수에 대한 대수학의 보조정리 00JZ의 변형을 적용하면 결론을 얻는다 (세부사항은 생략한다).

보조정리

\(\text{depth}(A) \geq 3\), 또는 동치로 \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\)라고 가정하자. \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)를 가역 연접 삼중항이라 하자. 그러면 \[\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = \text{length}_A \Coker(\Gamma(U, \mathcal{L}) \to \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0))\] 이며, 특히 이는 \(\geq 0\)이다. 또한 \(\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = 0\)일 필요충분조건은 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_U\)인 것이다.

증명

깊이 조건들의 동치는 대수학의 보조정리 090R에서 따른다. 깊이 조건에 의해 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\)이고 \(\Gamma(U_0, \mathcal{O}_{U_0}) = A/fA\)임을 안다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ와 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0를 보라. 국소 코호몰로지의 보조정리 0BLT 에 의해 \(M = \Gamma(U, \mathcal{L})\)은 유한 \(A\)-가군이다. 이는 다시 예컨대 국소 코호몰로지의 보조정리 0BK0 의 (4) 또는 인자의 보조정리 0EY0에 의해 \(\text{depth}(M) \geq 2\)임을 뜻한다. 또한 \(X_0\)는 국소 스킴이므로 \(\mathcal{L}_0 \cong \mathcal{O}_{X_0}\)이다. 따라서 \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0) = \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0|_{U_0})\) 이고 이 가군은 \(A/fA\)와 동형이다.

위에 의해 \(\mathcal{F}' = \widetilde{M}\)은 그 \(U\)로의 제한이 \(\mathcal{L}\)과 동형인 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 동형 \(\lambda : \mathcal{L}/f\mathcal{L} \to \mathcal{L}_0|_{U_0}\)는 전역단면 위의 사상 \(M/fM \to M_0\)를 정하며, 이는 \(U_0\) 위에서 동형이다. \(\text{depth}(M) \geq 2\)이므로 \(H^0_\mathfrak m(M/fM) = 0\)이고, 따라서 \(M/fM \to M_0\)는 단사이다. 그러므로 정의에 의해 \[\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = \text{length}_A \Coker(M/fM \to M_0)\] 이며, 이는 보조정리의 첫째 진술을 준다.

마지막으로 이 길이가 \(0\)이면 \(M \to M_0\)는 전사이다. 따라서 \(\mathcal{L}_0\)의 자명화 단면으로 가는 \(s \in M = \Gamma(U, \mathcal{L})\)를 찾을 수 있다. 다음 완전열로 정의되는 유한 \(A\)-가군 \(K\), \(Q\)를 생각하자. \[0 \to K \to A \xrightarrow{s} M \to Q \to 0\] \(s\)는 \(U_0\)의 점들에서 영이 아니므로 \(K\)와 \(Q\)의 지지는 \(U_0\)와 만나지 않는다. 대수학의 보조정리 00LX를 쓰면 \(\text{depth}(K) \geq 2\)임을 알 수 있다(\(As \subset M\)은 \(M\)의 부분가군으로서 \(\text{depth} \geq 1\)임에 유의하라). 따라서 대수학의 보조정리 00LK에 의해 \(K\)의 지지가 공집합이 아니면 그 차원은 \(\geq 2\)이다. 이는 \(K = 0\)이 아닌 한 \(\text{Supp}(M) \cap V(f) \subset \{\mathfrak m\}\)와 모순이다. \(K = 0\)일 때 \(\text{depth}(Q) \geq 2\)임을 얻고 앞에서처럼 \(Q = 0\)을 결론짓는다. 따라서 \(A \cong M\)이고 \(\mathcal{L}\)은 자명하다.

천공 스펙트럼 위의 가역 가군, I

이 절에서는 Picard 군에 대한 몇 가지 국소 Lefschetz 정리를 증명한다. 일부 발상은 [Kollar-pic], [Bhatt-local], 그리고 [Kollar-map-pic]에서 가져왔다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하자. \(f \in \mathfrak m\)은 영인자가 아니고 \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\), 또는 동치로 \(\text{depth}(A) \geq 3\)이라고 가정하자. \(U\)와 \(U_0\)를 각각 \(A\)와 \(A/fA\)의 천공 스펙트럼이라 하자. 사상 \[\Pic(U) \to \Pic(U_0)\] 은 꼬임 부분에서 단사이다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)이 \(\Pic(U_0)\)에서 \(0\)으로 가는 것은 \(\mathcal{L}\)을 절 0F22과 같은 가역 연접 삼중항 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)으로 확장할 수 있는 것과 동치이다. 명제 0F27에 의해 함수 \[n \longmapsto \chi((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 는 다항식이다. 보조정리 0F28에 의해 이 다항식의 값이 영일 필요충분조건은 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)이 자명한 것이다. 따라서 \(\mathcal{L}\)이 꼬임이면 이 다항식은 영점을 무한히 많이 가지므로 항등적으로 영이고, 따라서 \(\mathcal{L}\)은 자명하다.