스킴의 사상

서론

이 장에서는 스킴의 몇 가지 사상 유형을 도입한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

닫힌 몰입

이 절에서는 앞서 스킴의 닫힌 몰입에 관하여 얻은 결과 몇 가지를 설명한다. 스킴의 사상 \(i : Z \to X\)가 닫힌 몰입으로 정의된다는 것은 (a) \(i\)가 \(X\)의 닫힌 부분집합으로의 위상동형을 유도하고, (b) \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)가 전사이며, (c) \(i^\sharp\)의 핵이 절단들에 의해 국소적으로 생성된다는 뜻이다. Schemes의 정의 01IO 및 01HK를 보라. \(Z\)와 \(X\)가 스킴이라는 가정 아래에서는 닫힌 몰입을 특징짓는 서로 다른 방법이 많이 존재한다.

보조정리

스킴의 사상 \(i : Z \to X\)를 잡자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(i\)는 닫힌 몰입이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)에 대하여, 아이디얼 \(I \subset R\)가 존재하여 \(i^{-1}(U) = \Spec(R/I)\)가 \(U = \Spec(R)\) 위의 스킴이 된다.

3. \(X = \bigcup_{j \in J} U_j\)인 아핀 열린 덮개가 존재하고, \(U_j = \Spec(R_j)\)이며 각 \(j \in J\)에 대하여 아이디얼 \(I_j \subset R_j\)가 존재하여 \(i^{-1}(U_j) = \Spec(R_j/I_j)\)가 \(U_j = \Spec(R_j)\) 위의 스킴이 된다.

4. 사상 \(i\)는 \(Z\)와 \(X\)의 닫힌 부분집합 사이의 위상동형을 유도하고 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)는 전사이다.

5. 사상 \(i\)는 \(Z\)와 \(X\)의 닫힌 부분집합 사이의 위상동형을 유도하고, 사상 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)는 전사이며, 핵 \(\Ker(i^\sharp)\subset \mathcal{O}_X\)는 준연접 아이디얼층이다.

6. 사상 \(i\)는 \(Z\)와 \(X\)의 닫힌 부분집합 사이의 위상동형을 유도하고, 사상 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)는 전사이며, 핵 \(\Ker(i^\sharp)\subset \mathcal{O}_X\)는 절단들에 의해 국소적으로 생성되는 아이디얼층이다.

증명

조건 (6)은 닫힌 몰입의 정의이다. Schemes의 정의 01HK 및 01IO을 보라. 따라서 (6) \(\Leftrightarrow\) (1)이다. Schemes의 보조정리 01IN에 의해 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다. (2) \(\Rightarrow\) (3)은 자명하다.

(3)을 가정하자. 각 사상 \(\Spec(R_j/I_j) \to \Spec(R_j)\)는 닫힌 몰입이다. 이는 Schemes의 예 01IG를 보라. 따라서 \(i^{-1}(U_j) \to U_j\)는 그 상으로의 위상동형이고 \(i^\sharp|_{U_j}\)는 전사이다. 그러므로 \(i\)는 그 상으로의 위상동형이며 \(i^\sharp\)는 전사이다. 이는 국소적으로 확인할 수 있기 때문이다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (4)이다.

(4) \(\Rightarrow\) (1)은 Schemes의 보조정리 01LD이다. (5) \(\Rightarrow\) (6)은 자명하다. 또한 (6) \(\Rightarrow\) (5)는 Schemes의 보조정리 01IN에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)와 \(i' : Z' \to X\)를 닫힌 몰입이라 하고, \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\)와 \(\mathcal{I}' = \Ker((i')^\sharp)\)인 \(\mathcal{O}_X\)의 아이디얼층을 생각하자.

1. 사상 \(i : Z \to X\)가 \(Z \to Z' \to X\)로 분해되며 그 첫 번째 사상이 어떤 \(a : Z \to Z'\)인 것과 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\)인 것은 동치이다. 이 경우 \(a\)는 닫힌 몰입이다.

2. \(Z \cong Z'\)가 \(X\) 위에서 성립할 필요충분조건은 \(\mathcal{I} = \mathcal{I}'\)이다.

증명

이는 닫힌 부분공간에 관한 논의에서 따른다. 특히 Schemes의 절 01HJ 및 Schemes의 보조정리 01HO와 01HP를 보라. 위의 보조정리 01QO의 특징짓기 (3)에서도 곧바로 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 아이디얼층이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군층으로서 절단들에 의해 국소적으로 생성된다.

2. \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군층으로서 준연접이며,

3. 스킴의 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)가 존재하여 대응하는 아이디얼층 \(\Ker(i^\sharp)\)가 \(\mathcal{I}\)와 같다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 Schemes의 보조정리 01IN에서 즉시 따른다. (1)이 성립하면 Schemes의 정의 01HN와 예 01HM에 의해 닫힌 부분공간 \(i : Z \to X\)가 존재하고 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\)이다. Schemes의 보조정리 01IN에 의해 이는 스킴의 닫힌 몰입이고 (3)이 성립한다. 반대로 (3)이 성립하면 Schemes의 보조정리 01IN에 의해 (2)가 성립한다. (이 보조정리는 스킴의 닫힌 몰입이 국소 환 달린 공간의 닫힌 몰입이라는 사실 때문에 적용된다.)

보조정리

닫힌 몰입의 밑변환은 닫힌 몰입이다.

증명

Schemes의 보조정리 01JY을 보라.

보조정리

닫힌 몰입들의 합성은 닫힌 몰입이다.

증명

이는 Schemes의 보조정리 02V0에서 이미 보았다. 그러나 다른 증명을 제시하자. 즉, 보조정리 01QO에서 닫힌 몰입의 특징짓기 (3)을 사용하면 따른다. 실제로 \(I \subset R\)가 아이디얼이고 \(\overline{J} \subset R/I\)가 아이디얼이면, \(\overline{J} = J/I\)가 성립하는 아이디얼 \(J \subset R\)가 존재하고 이 아이디얼은 \(I\)를 포함하며 \((R/I)/\overline{J} = R/J\)이다.

보조정리

닫힌 몰입은 준콤팩트이다.

증명

이 보조정리는 Schemes의 보조정리 01K7와 중복된다.

보조정리

닫힌 몰입은 분리이다.

증명

이는 Schemes의 보조정리 01L7의 특수한 경우이다.

몰입

이 절에서는 몰입에 관한 사실 몇 가지를 모은다.

보조정리

스킴의 사상 \(Z \to Y \to X\)를 잡자.

1. \(Z \to X\)가 몰입이면 \(Z \to Y\)도 몰입이다.

2. \(Z \to X\)가 준콤팩트 몰입이고 \(Y \to X\)가 준분리이면, \(Z \to Y\)는 준콤팩트 몰입이다.

3. \(Z \to X\)가 닫힌 몰입이고 \(Y \to X\)가 분리이면, \(Z \to Y\)는 닫힌 몰입이다.

증명

각 경우의 증명은 다음 가환 다이어그램을 살펴보는 것이다. \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & Y \times_X Z \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ & Y \ar[r] & X }\] 위쪽 수평 화살표들의 합성은 항등사상이다. (1)을 증명하자. 첫 번째 수평 화살표는 \(Y \times_X Z \to Z\)의 단면이므로 몰입이다. 이는 Schemes의 보조정리 01KT에 따른다. 화살표 \(Y \times_X Z \to Y\)는 \(Z \to X\)의 밑변환이므로 몰입이다(Schemes의 보조정리 01JY). 마지막으로 몰입들의 합성은 몰입이다 (Schemes의 보조정리 02V0). 이로써 (1)이 증명된다. 나머지 두 결과도 정확히 같은 방식으로 증명된다.

보조정리

몰입 \(h : Z \to X\)를 잡자. \(h\)가 준콤팩트이면 \(h = i \circ j\)로 분해할 수 있으며, 여기서 \(j : Z \to \overline{Z}\)는 열린 몰입이고 \(i : \overline{Z} \to X\)는 닫힌 몰입이다.

증명

\(h\)는 준콤팩트이고 준분리임을 유의하자(Schemes의 보조정리 01L7). 따라서 \(h_*\mathcal{O}_Z\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이다. 이는 Schemes의 보조정리 01LC에 따른다. 그러므로 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to h_*\mathcal{O}_Z)\)는 준연접 아이디얼층이다. Schemes의 절 01LA를 보라. 닫힌 부분스킴 \(\overline{Z} \subset X\)를 \(\mathcal{I}\)에 대응하는 것으로 잡자. 보조정리 01QQ를 보라. Schemes의 보조정리 01HP에 의해 사상 \(h\)는 \(h = i \circ j\)로 분해되며, 여기서 \(i : \overline{Z} \to X\)는 포함 사상이다. \(j\)가 열린 몰입임을 보이기 위해 \(U \subset X\)인 열린 부분스킴을 택하여 \(h\)가 \(Z\)를 \(U\) 안으로 닫힌 몰입으로 유도하게 하자. 그러면 \(\mathcal{I}|_U\)는 닫힌 몰입 \(Z \to U\)에 대응하는 아이디얼층임이 분명하다. 따라서 \(Z = \overline{Z} \cap U\)임을 얻는다.

보조정리

몰입 \(h : Z \to X\)를 잡자. \(Z\)가 축약이면 \(h = i \circ j\)로 분해할 수 있으며, 여기서 \(j : Z \to \overline{Z}\)는 열린 몰입이고 \(i : \overline{Z} \to X\)는 닫힌 몰입이다.

증명

\(\overline{Z} \subset X\)를 \(h(Z)\)의 폐포로 잡고, 축약 유도 닫힌 부분스킴 구조를 부여하자. Schemes의 정의 01J4를 보라. Schemes의 보조정리 0356에 의해 사상 \(h\)는 \(h = i \circ j\)로 분해되며, \(i : \overline{Z} \to X\)는 포함 사상이고 \(j : Z \to \overline{Z}\)이다. 몰입의 정의로부터 \(U \subset X\)인 열린 부분스킴이 존재하여 \(h\)가 그 안의 닫힌 몰입을 통과하여 분해됨을 안다. 따라서 \(U\)에서 \(\overline{Z} \cap U\)와 \(h(Z)\)는 같은 기저 닫힌집합을 갖는 \(U\)의 축약 닫힌 부분스킴이다. 그러므로 Schemes의 보조정리 01J3의 유일성에 의해 \(h(Z) \cong \overline{Z} \cap U\)임을 얻는다. 따라서 \(j\)는 \(Z\)와 \(\overline{Z} \cap U\) 사이의 동형을 유도한다. 달리 말하면 \(j\)는 열린 몰입이다.

예

다음은 열린 몰입 뒤에 닫힌 몰입을 합성한 것이 아닌 몰입의 예이다. \(k\)를 체라 하자. \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\)라 하자. \(U = \bigcup_{n = 1}^{\infty} D(x_n)\)라 하자. 그러면 \(U \to X\)는 열린 몰입이다. 아이디얼들을 생각하자. \[I_n = (x_1^n, x_2^n, \ldots, x_{n - 1}^n, x_n - 1, x_{n + 1}, x_{n + 2}, \ldots) \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n].\] \(I_n k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_nx_m] = (1)\)임을 유의하자. 임의의 \(m \not = n\)에 대하여 성립한다. 따라서 준연접 아이디얼들 \(\widetilde I_n\)은 \(D(x_n)\) 위에서 \(D(x_nx_m)\) 위로 제한할 때 일치한다. 즉, \(\widetilde I_n|_{D(x_nx_m)} = \mathcal{O}_{D(x_n x_m)}\)는 \(n \not = m\)일 때 성립한다. 따라서 이 아이디얼들은 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)로 붙는다. 닫힌 부분스킴 \(Z \subset U\)를 \(\mathcal{I}\)에 대응하는 것으로 잡자. 그러면 \(Z \to X\)는 몰입이다.

\(Z \to X\)를 \(Z \to \overline{Z} \to X\)로 분해할 수 없다고 주장하자. 여기서 \(\overline{Z} \to X\)는 닫힌 몰입이고 \(Z \to \overline{Z}\)는 열린 몰입이다. 즉, \(\overline{Z}\)는 어떤 아이디얼 \(I \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\)에 의해 정의되어야 하고 \(I_n = I k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n]\)이어야 한다. 하지만 \(f \in k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) 중 모든 \(I_n\)에 들어가는 것은 \(0\)뿐이다! 따라서 \(I\)는 존재하지 않는다.

보조정리

스킴의 사상 \(f : Y \to X\)를 잡자. 모든 \(y \in Y\)에 대하여 명제에 나타난 \(f(y) \in U \subset X\)인 열린 부분스킴이 존재하여 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\)가 몰입이면, \(f\)는 몰입이다.

증명

이 명제는 Schemes의 절 01IM 끝에 있는 닫힌 부분스킴에 관한 논의에서 곧바로 따른다. 그러나 자세한 증명도 제시하자. 폐포 \(Z \subset X\)를 \(f(Y)\)의 것으로 잡자. 폐포를 취하는 연산은 열린집합으로 제한하는 것과 가환하므로, 가정에 의해 \(f(Y) \subset Z\)는 열린집합이다. 따라서 \(Z' = Z \setminus f(Y)\)는 닫힌집합이다. 그러므로 \(X' = X \setminus Z'\)는 \(X\)의 열린 부분스킴이고, \(f\)는 포함사상에 이어지는 \(f : Y \to X'\)로 분해된다. \(y \in Y\)이고 보조정리의 명제에 나타난 \(U \subset X\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(U' = X' \cap U\)는 \(f'(y)\)의 열린 근방이고 \((f')^{-1}(U') \to U'\)는 몰입이다 (보조정리 07RK). 그 상은 닫혀 있다. 따라서 이는 닫힌 몰입이다. Schemes의 보조정리 01IQ를 보라. 닫힌 몰입이라는 성질은 표적에 대해 국소적이므로 (예를 들어 보조정리 01QO에 의해) 원하는 대로 \(f'\)가 닫힌 몰입임을 얻는다.

닫힌 몰입과 준연접층

다음 보조정리는 스킴 위의 준연접층에 대하여 Modules의 보조정리 01AX가 아벨층에 대해 하는 일을 마무리한다. Modules의 절 01C1에 있는 논의도 보라.

보조정리

스킴의 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)를 잡자. 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 잡자. 이는 \(Z\)를 정의한다. 함자 \[i_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 완전하고 충실하며, 본질적 상은 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)들 중 \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\)인 것들이다.

증명

닫힌 몰입은 준콤팩트이고 분리이다. 이는 보조정리 01QT와 01QU를 보라. 따라서 Schemes의 보조정리 01LC를 적용할 수 있고, \(Z\) 위의 준연접층의 직접상은 실제로 \(X\) 위의 준연접층이다.

Modules의 보조정리 08KS에 의해 함자 \(i_*\)는 충실하다.

이제 함자 \(i_*\)의 본질적 상을 설명하자. 예를 들어 Modules의 보조정리 08KS에 의해 \(\mathcal{I}(i_*\mathcal{F}) = 0\)이다. 이는 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군에 대하여 성립한다. 다음으로 \(\mathcal{G}\)를 생각하자. 이는 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\)을 만족한다. 표준 사상 \[\mathcal{G} \longrightarrow i_* i^*\mathcal{G}\] 이 동형임을 보이면 충분하다¹. 스킴과 준연접 가군의 경우, \(X\) 위에서 아핀 국소적으로 작업하고 보조정리 01QO 및 Schemes의 보조정리 01I9을 사용하면 다음 대수적 명제를 증명하는 것으로 충분하다. \(R\)를 환, \(I\)를 아이디얼, \(R\)-가군 \(N\)을 잡고 \(IN = 0\)이라고 하자. 표준 사상 \[N \longrightarrow N \otimes_R R/I,\quad n \longmapsto n \otimes 1\] 은 \(R\)-가군의 동형이다. 이 간단한 대수 사실의 증명은 생략한다.

\(i : Z \to X\)를 닫힌 몰입이라 하자. 위 보조정리 때문에 표기법을 약간 남용하여 \(\mathcal{F}\)를 층 \(i_*\mathcal{F}\)라고 \(X\) 위에서 쓰는 경우가 많다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군이라 하자. 다음 성질을 만족하는 유일한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\)가 존재한다. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{H}\)에 대하여 사상 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G}') \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G})\] 은 전단사이다. 특히 \(\mathcal{G}'\)는 \(\mathcal{O}_X\)-준연접 부분가군으로서 \(\mathcal{F}\)에 포함되고 \(\mathcal{G}\)에 포함된 것들 중 가장 큰 것이다.

증명

\(\mathcal{G}_a\), \(a \in A\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 중 \(\mathcal{G}\)에 포함된 것들의 모임이라 하자. 그러면 \[\bigoplus\nolimits_{a \in A} \mathcal{G}_a \longrightarrow \mathcal{F}\] 의 상 \(\mathcal{G}'\)는 준연접이다. \(X\) 위에서 준연접층 사상의 상은 준연접이고, 준연접층들의 직합도 준연접이기 때문이다. Schemes의 절 01LA를 보라. 가군 \(\mathcal{G}'\)는 \(\mathcal{G}\)에 포함된다. 따라서 이는 \(\mathcal{O}_X\)-준연접 가군 중 \(\mathcal{G}\)에 포함된 가장 큰 것이다.

공식을 증명하기 위해 준연접 \(\mathcal{H}\)인 \(\mathcal{O}_X\)-가군과 \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\)인 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상을 잡자. 합성 \(\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)의 상은 준연접층 사상의 상인 준연접층이다. 따라서 이는 \(\mathcal{G}'\)에 포함된다. 그러므로 \(\alpha\)는 \(\mathcal{G}'\)를 통하여 인수분해된다.

보조정리

스킴의 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)를 잡자. 함자² \(i^! : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\)가 존재하여 \(i_*\)의 오른쪽 수반이 된다. (Modules의 보조정리 01AZ와 비교하라.)

증명

준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})\)를 \(\mathcal{G}\)의 부분층으로 생각하자. 이는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸하는 국소 절단들로 이루어진다. 보조정리 01QZ에 의해 표준적인 최대 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})'\)가 존재한다. 구성에 의해 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{G})') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 는 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 성립한다. 따라서 \(i^!\mathcal{G} = i^*(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})')\)로 둘 수 있다. 세부사항은 생략한다.

준연접 아이디얼층과 닫힌 부분스킴 사이의 \(1\)-대-\(1\) 대응(보조정리 01QQ를 보라)을 사용하면 닫힌 부분스킴들의 스킴론적 교집합과 합집합을 정의할 수 있다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Z, Y \subset X\)를 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)에 대응하는 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Z\)와 \(Y\)의 스킴론적 교집합은 \(X\)에서 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\)로 잘라낸 닫힌 부분스킴이다. \(Z\)와 \(Y\)의 스킴론적 합집합은 \(X\)에서 \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J}\)로 잘라낸 닫힌 부분스킴이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Z, Y \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Z \cap Y\)를 \(Z\)와 \(Y\)의 스킴론적 교집합이라 하자. 그러면 \(Z \cap Y \to Z\)와 \(Z \cap Y \to Y\)는 닫힌 몰입이고 \[\xymatrix{ Z \cap Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ Y \ar[r] & X }\] 는 스킴의 카르테지안 도식이다. 즉, \(Z \cap Y = Z \times_X Y\)이다.

증명

\(Z \cap Y \to Z\)와 \(Z \cap Y \to Y\)는 보조정리 01QP에 의해 닫힌 몰입이다. \(U = \Spec(A)\)를 \(X\)의 아핀 열린집합이라 하고, \(Z \cap U\)와 \(Y \cap U\)가 아이디얼 \(I \subset A\)와 \(J \subset A\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(Z \cap Y \cap U\)는 \(I + J \subset A\)에 대응한다. \(A/I \otimes_A A/J = A/(I + J)\)이므로, Schemes의 절 01JO에서 스킴의 파이버 곱을 기술한 것에 의해 이 도식은 카르테지안임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X, Y \subset S\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(X \cup Y\)를 \(X\)와 \(Y\)의 스킴론적 합집합이라 하자. \(X \cap Y\)를 \(X\)와 \(Y\)의 스킴론적 교집합이라 하자. 그러면 \(X \to X \cup Y\)와 \(Y \to X \cup Y\)는 닫힌 몰입이고, 다음 짧은 완전열이 존재한다. \[0 \to \mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_X \times \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X \cap Y} \to 0\] 이는 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 짧은 완전열이며, 다음 도식 \[\xymatrix{ X \cap Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Y \ar[r] & X \cup Y }\] 은 스킴의 범주에서 코카르테지안이다. 즉, \(X \cup Y = X \amalg_{X \cap Y} Y\)이다.

증명

\(X \to X \cup Y\)와 \(Y \to X \cup Y\)는 보조정리 01QP에 의해 닫힌 몰입이다. 짧은 완전열에서는 보조정리 01QY의 동치를 사용하여 \(S\)의 닫힌 부분스킴 위의 준연접 가군을 \(S\) 위의 준연접 가군으로 생각한다. 열의 첫 사상에는 표준 사상 \(\mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_X\)와 \(\mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_Y\)를 사용하고, 둘째 사상에는 표준 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X \cap Y}\)와 표준 사상의 음인 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X \cap Y}\)를 사용한다. 그런 다음 완전성을 확인하기 위해 아핀 국소적으로 작업하면 된다. \(U = \Spec(A)\)를 \(S\)의 아핀 열린집합이라 하고, \(X \cap U\)와 \(Y \cap U\)가 아이디얼 \(I \subset A\)와 \(J \subset A\)에 대응한다고 하자. 그러면 \((X \cup Y) \cap U\)는 \(I \cap J \subset A\)에 대응하고 \(X \cap Y \cap U\)는 \(I + J \subset A\)에 대응한다. 따라서 완전성은 다음 열의 완전성에서 따른다. \[0 \to A/I \cap J \to A/I \times A/J \to A/(I + J) \to 0\] 도식이 코카르테지안임을 보이기 위해 스킴 \(T\)와 스킴의 사상 \(f : X \to T\), \(g : Y \to T\)가 \(X \cap Y \to T\)로서 일치한다고 하자. 유일한 사상 \(h : X \cup Y \to T\)가 존재하여 \(f\)와 \(g\)에 일치함을 보이는 것이 목표이다. \(h\)를 구성하기 위해 \(X \cup Y\)에서 아핀 국소적으로 작업하면 된다. Schemes의 절 01JA를 보라. \(s \in X\), \(s \not \in Y\)이면 \(X \to X \cup Y\)는 \(s\)의 근방에서 동형이고 \(h\)를 구성하는 방법은 자명하다. \(s \in Y\), \(s \not \in X\)인 경우도 마찬가지다. \(s \in X \cap Y\)에 대해서는 \(V = \Spec(B) \subset T\)를 \(f(s) = g(s)\)를 포함하는 아핀 열린집합으로 택할 수 있다. 그런 다음 \(U = \Spec(A) \subset S\)를 \(s\)를 포함하는 아핀 열린집합으로 택하여 \(f(X \cap U)\)와 \(g(Y \cap U)\)가 \(V\)에 포함되게 할 수 있다. \(f|_{X \cap U}\)와 \(g|_{Y \cap V}\)가 \(V\)로 가는 사상들은 다음 환 사상들에 대응한다. \[B \to A/I \quad\text{and}\quad B \to A/J\] 이 사상들은 \(A/(I + J)\)로 가는 사상으로서 일치한다. 위에서 보인 짧은 완전열에 의해 이 환 준동형들의 유일한 리프트인 \(B \to A/I \cap J\)인 환 사상이 존재한다.

가군의 지지집합

이 절에서는 스킴 위의 준연접 가군의 지지집합에 관한 몇 가지 기본 결과를 모은다. 가군층의 지지집합은 Modules의 절 01AS에서 정의했음을 상기하자. 한편 가군의 지지집합은 Algebra의 절 00KY에서 정의했다. 이 둘은 일치한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(\Spec(A) = U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하고 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)로 두자. \(x \in U\)라 하고 \(\mathfrak p \subset A\)를 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\mathfrak p\)는 \(M\)의 지지집합에 속하고,

2. \(x\)는 \(\mathcal{F}\)의 지지집합에 속한다.

증명

이는 등식 \(\mathcal{F}_x = M_{\mathfrak p}\)와 정의들에서 따른다. Schemes의 보조정리 01HV를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 특수화에 대해 닫혀 있다.

증명

\(x' \leadsto x\)가 특수화이고 \(\mathcal{F}_x = 0\)이면 \(\mathcal{F}_{x'}\)는 0이다. \(\mathcal{F}_{x'}\)는 가군 \(\mathcal{F}_x\)의 국소화이기 때문이다. 따라서 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 여집합은 일반화에 대해 닫혀 있다.

유한형 준연접 가군의 지지집합은 닫혀 있고, 파이버에서 확인할 수 있으며, 기저변환과 가환한다.

보조정리

유한형 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)를 스킴 \(X\) 위에 잡자. 그러면

1. \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 닫혀 있다.

2. \(x \in X\)에 대하여 다음이 성립한다. \[x \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{F}_x \not = 0 \Leftrightarrow \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) \not = 0.\]

3. 스킴의 임의의 사상 \(f : Y \to X\)에 대하여 당김 \(f^*\mathcal{F}\)도 유한형이고 \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}) = f^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)이다.

증명

(1)은 보조정리 Modules, 01BA의 재서술이다. 또한 보조정리 056I, Properties의 보조정리 01PB, 및 Algebra의 보조정리 00L2를 결합해도 이를 볼 수 있다. (2)의 첫 번째 동치는 지지집합의 정의이고, 두 번째 동치는 나카야마 보조정리에서 따른다. Algebra의 보조정리 00DV를 보라. \(f : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. 보조정리 Modules, 01B6에 의해 \(f^*\mathcal{F}\)는 유한형임에 유의하자. 마지막 주장을 위해 \(y \in Y\)를 잡고 그 상을 \(x \in X\)라 하자. 다음을 상기하자. \[(f^*\mathcal{F})_y = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Y, y},\] Sheaves의 보조정리 0098를 보라. 따라서 \((f^*\mathcal{F})_y \otimes \kappa(y)\)가 0이 아닌 것은 \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\)가 0이 아닌 것과 동치이다. (2)에 의해 이는 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)인 것과 \(y \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\)인 것이 동치임을 뜻하며, 이는 (3)의 내용이다.

보조정리

유한형 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)를 스킴 \(X\) 위에 잡자. \(i : Z \to X\)가 가장 작은 닫힌 부분스킴으로서, 어떤 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)가 되도록 하는 것이 존재한다. 또한:

1. \(\Spec(A) \subset X\)가 임의의 아핀 열린집합이고 \(\mathcal{F}|_{\Spec(A)} = \widetilde{M}\)이면 \(Z \cap \Spec(A) = \Spec(A/I)\)이며 \(I = \text{Ann}_A(M)\)이다.

2. 준연접층 \(\mathcal{G}\)는 유일한 동형사상까지 유일하다.

3. 준연접층 \(\mathcal{G}\)는 유한형이다.

4. \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(Z\)이다.

증명

\(i' : Z' \to X\)가 이 보조정리의 열린 아핀에 대한 기술을 만족하는 닫힌 부분스킴이라고 하자. 그러면 보조정리 01QY에 의해 어떤 유일한 준연접층이 존재하여 \(\mathcal{F} \cong i'_*\mathcal{G}'\)이고 그 층 \(\mathcal{G}'\)는 \(Z'\) 위에 있음을 알 수 있다. 더욱이 (같은 보조정리에 의해) \(Z'\)가 이 성질을 갖는 가장 작은 닫힌 부분스킴임은 자명하다. 마지막으로 Properties의 보조정리 01PB와 Algebra의 보조정리 0560를 사용하면 \(\mathcal{G}'\)가 유한형임을 얻는다. 또한 \(\text{Supp}(\mathcal{G}') = Z\)이다. Algebra의 보조정리 00L2를 보라. 따라서 보조정리를 증명하려면 (1)의 특성화가 실제로 닫힌 부분스킴을 정의한다는 것을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 주어진 규칙이 준연접 아이디얼층을 만든다는 것을 증명하면 충분하다. 보조정리 01QQ를 보라. 이는 다음 대수적 사실로 귀결된다. \(A\)가 환이고 \(f \in A\)이며 \(M\)이 유한 \(A\)-가군이면 \(\text{Ann}_A(M)_f = \text{Ann}_{A_f}(M_f)\)이다. 증명은 생략한다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. 유한형 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 잡자. \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합은 보조정리 05JU에서 구성한 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)이다.

이 상황에서 우리는 보조정리 01QY의 범주 동치를 통해 \(\mathcal{F}\)를 \(Z\) 위의 유한형 준연접층으로 생각하는 경우가 많다.

스킴론적 상

주의: 이 절의 일부 내용은 매우 일반적이며 여러분이 예상하는 것과 다르게 작동한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)인 닫힌 부분스킴이 존재하여 \(f\)가 \(Z\)를 통하여 인수분해되며, 임의의 다른 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset Y\)에 대하여 \(f\)가 \(Z'\)를 통하여 인수분해되면 \(Z \subset Z'\)이다.

증명

\(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\)로 두자. \(\mathcal{I}\)가 준연접이면 \(Z\)를 \(\mathcal{I}\)가 정하는 닫힌 부분스킴으로 택하면 된다. 보조정리 01QQ를 보라. 이는 보조정리 01QP에 의해 성립한다. 일반적으로 같은 보조정리를 적용하려면 \(\mathcal{I}'\)가 \(\mathcal{I}\)에 포함된 가장 큰 준연접 아이디얼층으로 존재함을 보여야 한다. 이는 보조정리 01QZ에서 따른다.

정의

\(f : X \to Y\)의 스킴론적 상, 즉 사상 \(f\)의 상은 가장 작은 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Y\)로서 \(f\)가 이를 통하여 인수분해되는 것이다. 위 보조정리 01R6를 보라.

스킴의 사상 \(f : X \to Y\)의 스킴론적 상이 \(Z\)일 때, 우리는 흔히 \(f : X \to Z\)를 \(f\)의 스킴론적 상을 통한 인수분해라고 쓴다. 사상 \(f\)가 준콤팩트가 아니면 (일반적으로)

1. 점들의 집합으로서의 포함 \(\overline{f(X)} \subset Z\)는 등식이 아니며, 즉 \(f(X) \subset Z\)는 조밀한 부분집합이 아니고,

2. 스킴론적 상의 구성은 \(Y\)의 열린 부분스킴으로의 제한과 가환하지 않는다.

Examples의 절 0GIK에서 독자는 두 현상 모두의 예를 볼 수 있다. 이 현상들은 몰입에 대해서도 일어날 수 있다. Examples의 절 078B을 보라. 그러나 다음 보조정리는 사상이 준콤팩트일 때 이 두 재난이 피할 수 있음을 보여준다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이면

1. 아이디얼층 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\)는 준연접이다.

2. 스킴론적 상 \(Z\)는 \(\mathcal{I}\)가 정하는 닫힌 부분스킴이다.

3. 임의의 열린집합 \(U \subset Y\)에 대하여 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\)의 스킴론적 상은 \(Z \cap U\)와 같다.

4. 상 \(f(X) \subset Z\)는 \(Z\)의 조밀한 부분집합이다. 즉, 사상 \(X \to Z\)는 우세하다 (정의 01RJ를 보라).

증명

(4)는 (3)에서 따른다. (3)을 보이려면 \(\mathcal{I}\)의 구성은 \(Y\)의 열린 부분스킴으로의 제한과 가환하므로 (1)을 증명하면 충분하다. 그리고 (1)이 성립하면 보조정리 01R6의 증명에서 (2)를 보였다. 따라서 \(\mathcal{I}\)가 준연접임을 증명하면 충분하다. 준연접이라는 성질은 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(f\)가 준콤팩트이므로 유한한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)를 잡을 수 있다. \(f'\)를 다음 합성으로 쓰자. \[X' = \coprod U_i \longrightarrow X \longrightarrow Y.\] 그러면 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 \(f'_*\mathcal{O}_{X'}\)의 부분층이고, 따라서 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f'_*\mathcal{O}_{X'})\)이다. Schemes의 보조정리 01LC에 의해 층 \(f'_*\mathcal{O}_{X'}\)는 \(Y\) 위에서 준연접이다. 따라서 끝난다.

예

\(A \to B\)가 핵이 \(I\)인 환 사상이면, \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 스킴론적 상은 닫힌 부분스킴 \(\Spec(A/I)\)이며 이는 \(\Spec(A)\) 안에 놓인다. 이는 보조정리 01R8에서 따른다.

사상이 준콤팩트이면 스킴론적 상은 상에 있는 점들의 특수화인 점들만 추가한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 준콤팩트 사상이라 하자. \(Z\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. \(z \in Z\)³라 하자. 값매김환 \(A\)와 그 분수체 \(K\), 그리고 다음 가환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \ar[ld] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] 그러한 \(\Spec(A)\)의 닫힌점은 \(z\)로 사상된다. 특히 \(Z\)의 모든 점은 \(f(X)\)의 한 점의 특수화이다.

증명

\(z \in \Spec(R) = V \subset Y\)를 \(z\)의 아핀 열린 근방이라 하자. 보조정리 01R8에 의해 \(Z \cap V\)는 \(f^{-1}(V) \to V\)의 스킴론적 상이다. 따라서 \(Y\)를 \(V\)로 바꾸고 \(Y = \Spec(R)\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(X\)는 준콤팩트이다. \(f\)가 준콤팩트이기 때문이다. \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)이 유한 아핀 열린 덮개라고 하자. \(U_i = \Spec(A_i)\)로 쓰자. \(I = \Ker(R \to A_1 \times \ldots \times A_n)\)로 두자. 보조정리 01R8를 다시 적용하면 \(Z\)는 닫힌 부분스킴 \(\Spec(R/I)\)에 대응하며 이는 \(Y\) 안에 놓인다. \(\mathfrak p \subset R\)를 \(z\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \(I_{\mathfrak p} \subset R_{\mathfrak p}\)는 등식이 아니다. 국소화가 완전하므로 (Algebra의 명제 00CS를 보라), 따라서 \(R_{\mathfrak p} \to (A_1)_{\mathfrak p} \times \ldots \times (A_n)_{\mathfrak p}\) 는 영사상이 아니다. 따라서 어떤 환 \((A_i)_{\mathfrak p}\)는 영환이 아니다. 그러므로 어떤 \(i\)와 소 아이디얼 \(\mathfrak q_i \subset A_i\)가 존재하여 \(\mathfrak p_i \subset \mathfrak p\) 위에 놓인다. Algebra의 보조정리 00IA에 의해 \(A \subset K = \kappa(\mathfrak q_i)\)인 값매김환을 택할 수 있고, 이는 국소환 \(R_{\mathfrak p}/\mathfrak p_iR_{\mathfrak p} \subset \kappa(\mathfrak q_i)\)를 지배한다. 이것이 원하는 도식을 준다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

다음과 같은 스킴의 가환 도식이 있다고 하자. \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r]^{f_2} & Y_2 }\] \(Z_i \subset Y_i\), \(i = 1, 2\)를 \(f_i\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Y_1 \to Y_2\)는 \(Z_1 \to Z_2\)를 유도하고 다음 가환 도식을 준다. \[\xymatrix{ X_1 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & Y_2 }\]

증명

\(Z_2\)의 \(Y_1\)에서의 스킴론적 역상이 \(Y_1\)의 닫힌 부분스킴이며, \(f_1\)은 이를 통하여 인수분해된다. 따라서 \(Z_1\)은 여기에 포함된다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X\)가 축약이면 \(f\)의 스킴론적 상은 \(\overline{f(X)}\)에 유도된 축약 스킴 구조이다.

증명

\(\overline{f(X)}\)에 유도된 축약 스킴 구조가 \(Y\)의 닫힌 부분스킴 중 \(f\)가 인수분해되는 가장 작은 것이기 때문이다. Schemes의 보조정리 0356를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 분리 사상이라 하자. \(V \subset Y\)를 소콤팩트 열린집합이라 하자. \(s : V \to X\)를 \(f \circ s = \text{id}_V\)를 만족하는 사상이라 하자. \(Y'\)를 \(s\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Y' \to Y\)는 \(V\) 위에서 동형이다.

증명

\(V\)가 \(Y\)에서 소콤팩트라는 가정은 (Topology의 정의 005A에 의해) \(V \to Y\)가 준콤팩트 사상이라는 뜻이다. Schemes의 보조정리 03GI에 의해 사상 \(s : V \to X\)는 준콤팩트이다. 따라서 스킴론적 상 \(Y'\)의 구성은 \(s\)에 대해 열린집합으로의 제한과 가환한다. 이는 보조정리 01R8에 따른다. 특히 \(Y' \cap f^{-1}(V)\)는 분리 사상 \(f^{-1}(V) \to V\)의 단면의 스킴론적 상이다. 분리 사상의 단면은 닫힌 몰입이므로 (Schemes의 보조정리 01KT를 보라), 원하는 대로 \(Y' \cap f^{-1}(V) \to V\)가 동형임을 얻는다.

스킴론적 폐포와 조밀성

다음 정의는 [EGA, IV, Definition 11.10.2]에서 가져온다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자.

1. 사상 \(U \to X\)의 스킴론적 상을 \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포라 한다.

2. \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다고 하는 것은 모든 열린집합 \(V \subset X\)에 대하여 \(U \cap V\)의 스킴론적 폐포가 \(V\)에서 \(V\)와 같다는 뜻이다.

이 정의에서는 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다는 것이 \(U\)의 스킴론적 폐포가 \(X\)라는 것과 동치가 아니다. 예를 들어 01RC를 보라. 이는 다소 우아하지 않지만, 아래의 보조정리 01RD와 056D를 보라. 한편 이 정의에 따르면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀한 것은 모든 열린 \(V \subset X\)에 대하여 환 사상 \(\mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U \cap V)\)가 단사인 것과 동치이다. 아래 보조정리 01RE를 보라. 특히 스킴론적 조밀성은 조밀성을 함의하며, 이는 만족스럽다.

예

스킴론적 폐포가 \(X\)라는 것이 기저 위상공간에서의 조밀성을 함의하지 않는 예를 보자. \(k\)를 체라 하자. \(A = k[x, z_1, z_2, \ldots]/(x^n z_n)\)로 두자. \(I = (z_1, z_2, \ldots) \subset A\)로 두자. 아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)와 열린 부분스킴 \(U = X \setminus V(I)\)를 생각하자. \(A \to \prod_n A_{z_n}\)가 단사이므로 \(U\)의 스킴론적 폐포는 \(X\)임을 알 수 있다. 사상 \(X \to \Spec(k[x])\)를 생각하자. 이 사상은 전사이다 (모든 \(z_n = 0\)으로 두면 이를 알 수 있다). 그러나 이 사상을 \(U\)로 제한하면 전사가 아니다. 왜냐하면 점 \(x = 0\)으로 사상되기 때문이다. 따라서 \(U\)는 \(X\)에서 위상적으로 조밀할 수 없다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 포함 사상 \(U \to X\)가 준콤팩트이면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀한 것은 \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포가 \(X\)라는 것과 동치이다.

증명

이는 보조정리 01R8의 (3)에서 따른다.

예

\(A\)를 환이라 하고 \(X = \Spec(A)\)라 하자. \(f_1, \ldots, f_n \in A\)를 잡고 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)로 두자. \(I = \Ker(A \to \prod A_{f_i})\)로 두자. 그러면 \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포는 닫힌 부분스킴 \(\Spec(A/I)\)이고, 이는 \(X\)의 부분스킴이다. \(U \to X\)가 준콤팩트임에 유의하자. 따라서 보조정리 01RD에 의해 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀한 것은 \(I = 0\)인 것과 동치이다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 스킴의 열린 몰입이라 하자. 그러면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀한 것은 \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사인 것과 동치이다.

증명

\(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사이면 임의의 열린집합 \(V\)에 대해 \(X\)에서 제한해도 단사이다. 따라서 \(U \cap V\)의 \(V\)에서의 스킴론적 폐포는 \(V\)와 같다. 스킴론적 상에 관한 보조정리 01R6의 증명을 보라. 역으로 \(U \cap V\)의 스킴론적 폐포가 \(V\)와 같다고 하자. 이는 모든 열린집합 \(V\)에 대하여 성립한다. \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사가 아니라고 가정하자. 그러면 아핀 열린집합, 즉 \(\Spec(A) = V \subset X\)와, \(f \in A\)인 0이 아닌 원소를 택할 수 있고 \(f\)는 \(\Gamma(V \cap U, \mathcal{O}_X)\)에서 0으로 사상된다. 이 경우 \(V \cap U\)의 \(V\)에서의 스킴론적 폐포는 분명히 \(\Spec(A/(f))\)에 포함되므로 모순이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(U\), \(V\)가 \(X\)의 스킴론적으로 조밀한 열린 부분스킴이면 \(U \cap V\)도 그러하다.

증명

\(W \subset X\)를 임의의 열린집합이라 하자. 다음 사상을 생각하자. \(\mathcal{O}_X(W) \to \mathcal{O}_X(W \cap V) \to \mathcal{O}_X(W \cap V \cap U)\). 보조정리 01RE에 의해 두 사상은 모두 단사이다. 따라서 합성도 단사이다. 다시 보조정리 01RE에 의해 \(U \cap V\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

보조정리

몰입 \(h : Z \to X\)가 주어졌다고 하자. \(h\)가 준콤팩트이거나 \(Z\)가 축약이라고 가정하자. \(\overline{Z} \subset X\)를 \(h\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 사상 \(Z \to \overline{Z}\)는 열린 몰입이며 \(Z\)를 \(\overline{Z}\)의 스킴론적으로 조밀한 열린 부분스킴으로 식별한다. 더 나아가 \(Z\)는 \(\overline{Z}\)에서 위상적으로 조밀하다.

증명

보조정리 01QV 또는 보조정리 03DQ에 의해 \(Z \to X\)를 \(Z \to \overline{Z}_1 \to X\)로 인수분해할 수 있다. 여기서 \(Z \to \overline{Z}_1\)은 열린 몰입이고 \(\overline{Z}_1 \to X\)는 닫힌 몰입이다. 한편 \(Z \to \overline{Z} \subset X\)를 \(Z \to X\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(\overline{Z} \subset \overline{Z}_1\)임을 얻는다. \(Z\)는 \(\overline{Z}_1\)의 열린 부분스킴이므로 \(Z\)는 \(\overline{Z}\)의 열린 부분스킴이기도 하다. \(Z\)가 축약인 경우, 보조정리 03DQ의 증명에서 \(Z \subset \overline{Z}_1\)은 \(\overline{Z}_1\)을 구성한 방식에 의해 위상적으로 조밀하다. 따라서 \(\overline{Z}_1\)과 \(\overline{Z}\)는 같은 기저 위상공간을 갖는다. 그러므로 \(\overline{Z} \subset \overline{Z}_1\)은 축약 스킴으로의 닫힌 몰입이며, 기저 위상공간에 전단사 사상을 유도하므로 동형이다. \(Z \to X\)가 준콤팩트인 경우에는 다음과 같이 논증한다. \(Z\)가 \(\overline{Z}\)에서 스킴론적으로 조밀하다는 주장은 보조정리 01R8의 (3)에서 따른다. 마지막 주장은 보조정리 01R8의 (4)에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 축약 스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(U\)는 \(X\)에서 위상적으로 조밀하다.

2. \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포는 \(X\)이고,

3. \(U\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

증명

이는 보조정리 01RG과 \(Z\)를 \(X\)의 닫힌 부분스킴이라 하자. 그 기저 위상공간이 \(X\)와 같으면 \(X\)와 스킴으로서 같아야 한다는 사실에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(U \subset X\)를 축약 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포는 \(X\)이고,

2. \(U\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

이 조건들이 성립하면 \(X\)는 축약 스킴이다.

증명

이는 보조정리 01RG과 \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포가 보조정리 056B에 의해 축약이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(f, g : X \to Y\)를 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하고 \(f|_U = g|_U\)라고 하자. \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포가 \(X\)이고 \(Y \to S\)가 분리라면 \(f = g\)이다.

증명

정의와 Schemes의 보조정리 01KM에서 따른다.

우세 사상

스킴 사상이 우세하다는 정의는 다양체의 우세 사상 개념에 익숙한 경우에 예상하는 것과 조금 다르다.

정의

스킴의 사상 \(f : X \to S\)가 우세하다고 함은 \(f\)의 상이 \(S\)의 조밀한 부분집합인 경우이다.

예를 들어 \(k\)가 무한체이고 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots\)가 \(k\)의 서로 다른 원소들의 가산 모임이라고 하자. 그러면 다음 사상 \[\coprod\nolimits_{i = 1, 2, \ldots } \Spec(k) \longrightarrow \Spec(k[x])\] 에서 \(i\)번째 인자는 점 \(x = \lambda_i\)로 사상되며 우세하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(S\)의 모든 기약 성분의 모든 일반점이 \(f\)의 상에 속하면 \(f\)는 우세하다.

증명

이는 다음 두 사실에서 직접 따르는 위상적 사실이다. 스킴의 기저 위상공간은 소버이다(스킴의 보조정리 01IS를 보라). 또한 \(S\)의 모든 점은 \(S\)의 어떤 기약 성분에 포함된다(위상의 보조정리 004W를 보라).

사상이 준콤팩트이면, 사상의 일반점이 상에 속할 때에만 우세하다는 예상이 성립한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 우세한 것은 모든 기약 성분 \(Z \subset S\)에 대해 \(Z\)의 일반점이 \(f\)의 상에 속하는 것과 동치이다.

증명

\(V \subset S\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 아핀 열린집합 \(U_i \subset f^{-1}(V)\), \(i = 1, \ldots, n\)를 택하여 \(f^{-1}(V)\)를 덮게 할 수 있다. 아핀 스킴의 사상을 생각하자. \[f' : \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} U_i \longrightarrow V.\] 아핀들의 서로소 합집합은 아핀이다(스킴의 보조정리 01I5를 보라). \(V\)의 기약 성분의 일반점은 정확히 \(S\)의 기약 성분 중 \(V\)와 만나는 것들의 일반점이다. 또한 \(f\)가 우세한 것은 \(f'\)가 우세한 것과 동치이며, 이는 위에서 \(V, n, U_i\)를 어떻게 선택하더라도 성립한다. 따라서 이 보조정리는 아핀 스킴 사상의 경우로 환원된다. 아핀의 경우는 Algebra의 보조정리 00FL이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 우세 사상이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(f' : X' \to S'\)를 \(f\)의 \(g\)에 의한 기저 변환이라 하자. 일반화가 \(g\)를 따라 올라가면 \(f'\)는 우세하다.

뒤에서 \(g\)가 열린 사상(보조정리 040F)이거나 평탄 사상(보조정리 03HV)이면 일반화가 \(g\)를 따라 올라감을 보일 것이다.

증명

스킴의 보조정리 01K5에 의해 \(f'\)가 준콤팩트임에 유의하자. \(\eta' \in S'\)를 기약 성분의 일반점이라 하자. \(S'\)의 기약 성분에 대해 일반화가 \(g\)를 따라 올라가면 \(\eta = g(\eta')\)는 \(S\)의 기약 성분의 일반점이다. 보조정리 01RL에 의해 \(\eta\)는 \(f\)의 상에 속한다. 따라서 스킴의 보조정리 01JT에 의해 \(\eta'\)는 \(f'\)의 상에 속한다. 그러므로 보조정리 01RL에 의해 \(f'\)는 우세하다.

이 결과의 일부는 임의의 (반드시 준콤팩트일 필요는 없는) 우세 사상에도 성립한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 우세 사상이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 열린 사상이라 하고, \(f' : X' \to S'\)를 \(f\)의 \(g\)에 의한 기저 변환이라 하자. 그러면 \(f'\)는 우세하다.

증명

\(f'\)가 우세하지 않다면 \(f'(X')\)가 \(B\)라는 어떤 닫힌 부분집합에 포함되며 이는 \(S'\)와 같지 않다. 그러면 \(S'-B\)는 \(S'\)에서 공집합이 아닌 열린집합이다. \(g\)가 열림에 의해 \(g(S'-B)\)는 \(S\)에서 공집합이 아닌 열린집합이다. \(f(X)\)가 \(S\)에서 조밀하므로 \(x\in X\)인 점으로서 \(f(x) \in g(S'-B)\)를 만족하는 것을 택할 수 있다. \(W = \Spec(\kappa (f(x)))\)라 하자. \(X_W\), \(S_W\), \(S'_W\)를 이 스킴들을 \(S\)에서 \(W\)로 당겨 얻은 당김들로 쓰자. 그러면 \(X_W\)와 \((S'-B)_W\)는 공집합이 아니며, \(X_W \times_W (S'-B)_W\)는 공집합이 아니다. 이는 \(W\)가 체의 스펙트럼이기 때문이다. 이는 \(f'(X \times_S S')\)가 \(B \subset S'\)에 포함된다는 것과 모순이다. 따라서 실제로 \(f'\)는 우세하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. \(\eta \in S\)를 \(S\)의 기약 성분의 일반점이라 하자. \(\eta \not \in f(X)\)이면 열린 근방 \(V \subset S\)가 존재하여 \(\eta\)를 포함하고 \(f^{-1}(V) = \emptyset\)이다.

증명

\(Z \subset S\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. \(\eta \not \in Z\)임을 보여야 한다. 이는 보조정리 02JQ에서 따르지만, 다음과 같이 볼 수도 있다. 보조정리 01R8에 의해 \(X \to Z\)는 우세하고, 보조정리 01RL에 의해 이는 \(Z\)의 모든 기약 성분의 모든 일반점이 \(X \to Z\)의 상에 속한다는 뜻이다. 가정에 의해 \(\eta \not \in Z\)이다. \(\eta\)가 \(Z\)에 속한다면 \(Z\)의 어떤 기약 성분의 일반점일 것이기 때문이다.

우세가 기약 성분의 모든 일반점이 상에 속한다는 것과 동치가 되는 또 다른 경우가 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X\)가 유한 개의 기약 성분을 가진다고 가정하자. 그러면 \(f\)는 우세하다 (그리고 우세할 필요충분조건은 다음과 같다): 모든 기약 성분 \(Z \subset S\)에 대해 \(Z\)의 일반점이 \(f\)의 상에 속한다. 그렇다면 \(S\)도 유한 개의 기약 성분을 가진다.

증명

\(f\)가 우세하다고 가정하자. \(X = Z_1 \cup Z_2 \cup \ldots \cup Z_n\)을 \(X\)를 기약 성분들로 분해한 것이라 하자. \(\xi_i \in Z_i\)를 그 일반점이라 하자. 그러면 \(Z_i = \overline{\{\xi_i\}}\)이다. \(f(Z_i)\)는 \(S\)의 기약 부분집합임에 유의하자. 따라서 \[S = \overline{f(X)} = \bigcup \overline{f(Z_i)} = \bigcup \overline{\{f(\xi_i)\}}\] 는 기약 부분집합들의 유한 합집합이며, 그 일반점들은 \(f\)의 상에 속한다. 이로부터 보조정리가 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 정수적 스킴 사이의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 우세하다.

2. \(f\)는 \(X\)의 일반점을 \(Y\)의 일반점으로 사상한다.

3. 어떤 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이면 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 단사이다.

4. 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이면 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 단사이다.

5. 어떤 \(x \in X\)에 대해 그 상 \(y = f(x) \in Y\)에서 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)가 단사이다.

6. 모든 \(x \in X\)에 대해 그 상 \(y = f(x) \in Y\)에서 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)가 단사이다.

증명

(1)과 (2)의 동치성은 보조정리 01RM에서 따른다. \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)를 공집합이 아닌 아핀 열린집합으로 잡자. \(f(U) \subset V\)라고 하자. 환 \(A = \mathcal{O}_X(U)\)와 \(B = \mathcal{O}_Y(V)\)가 정역임을 상기하자. 사상 \(f|_U : U \to V\)는 환 사상 \(\varphi : B \to A\)에 대응한다. \(X\)와 \(Y\)의 일반점은 각각 소 아이디얼 \((0) \subset A\)와 \((0) \subset B\)에 대응한다. 따라서 (2)는 \((0) = \varphi^{-1}((0))\)이라는 조건, 즉 \(\varphi\)가 단사라는 조건과 동치이다. 이로써 (2), (3), (4)가 동치임을 알 수 있다. 마찬가지로 (5)의 \(x\)와 \(y\)가 주어지면 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)와 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)는 정역이고, 소 아이디얼 \((0) \subset \mathcal{O}_{X, x}\)와 \((0) \subset \mathcal{O}_{Y, y}\)는 \(X\)와 \(Y\)의 일반점에 대응한다 (이는 \(x\)에서의 국소환의 스펙트럼을 \(x\)로 특수화되는 점들의 집합과 동일시하는 것을 통해서이다. 스킴의 보조정리 01J7를 보라). 따라서 위와 정확히 같은 방식으로 논증하여 (2), (5), (6)이 동치임을 얻는다.

전사 사상

정의

스킴의 사상이 전사라고 함은 그 기저 위상공간들 사이의 사상이 전사인 경우이다.

보조정리

전사 사상들의 합성은 전사이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)와 \(Y\)를 기저 스킴 \(S\) 위의 스킴이라 하자. 점 \(x \in X\)와 \(y \in Y\)가 주어졌다고 하자. \(X \times_S Y\)에 사영에 의해 \(x\)와 \(y\)로 가는 점이 존재하는 것은 \(x\)와 \(y\)가 \(S\)의 같은 점 위에 있을 때 그리고 그때뿐이다.

증명

이 조건이 필요하다는 것은 명백하고, 역은 스킴의 보조정리 01JT의 증명에서 따른다.

보조정리

전사 사상의 기저 변환은 전사이다.

증명

\(f: X \to Y\)를 기저 스킴 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(S' \to S\)가 스킴의 사상이라면 정준 사영 \(p: X_{S'} \to X\)와 \(q: Y_{S'} \to Y\)를 쓰자. 다음 가환 도식은 \[\xymatrix{ X_{S'} \ar[d]_{f_{S'}} \ar[r]_p & X \ar[d]^{f} \\ Y_{S'} \ar[r]^{q} & Y. }\] \(X_{S'}\)를 \(X \to Y\)와 \(Y_{S'} \to Y\)의 올곱으로 식별한다. \(Z\)를 \(X\)의 기저 위상공간의 부분집합이라 하자. 그러면 \(q^{-1}(f(Z)) = f_{S'}(p^{-1}(Z))\)이다. 왜냐하면 \(y' \in q^{-1}(f(Z))\)인 것은 \(q(y') = f(x)\)인 \(x \in Z\)가 존재하는 것과 동치이고, 보조정리 0495에 의해 이는 \(x' \in X_{S'}\)가 존재하여 \(f_{S'}(x') = y'\)이고 \(p(x') = x\)인 것과 동치이기 때문이다. 특히 \(Z = X\)로 두면 \(f\)가 전사일 때 기저 변환 \(f_{S'}: X_{S'} \to Y_{S'}\)도 전사임을 알 수 있다.

예

전단사성은 기저 변환에서 보존되지 않으므로 단사성도 보존되지 않는다. 예를 들어 전단사 \(\Spec(\mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{R})\) 를 생각하자. 그 기저 변환 \(\Spec(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{C})\) 는 단사가 아니다. 실제로 동형 \(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C} \cong \mathbf{C} \times \mathbf{C}\) 가 존재한다(이 분해는 멱등원 \(\frac{1 \otimes 1 + i \otimes i}{2}\)에서 온다). 따라서 \(\Spec(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C})\)는 두 점을 가진다.

보조정리

다음과 같은 스킴 사상들의 가환 도식이 있다고 하자. \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & Z }\] \(f\)가 전사이고 \(p\)가 준콤팩트이면 \(q\)는 준콤팩트이다.

증명

\(W \subset Z\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. 가정에 의해 \(p^{-1}(W)\)는 준콤팩트이다. 따라서 위상의 보조정리 04Z9에 의해 \(q^{-1}(W) = f(p^{-1}(W))\)도 준콤팩트이다. 이로써 보조정리가 증명된다.

순수 비분기 사상과 보편 단사 사상

이 절에서는 스킴의 사상이 순수 비분기라는 것과 스킴의 사상이 보편적으로 단사라는 것이 무엇을 뜻하는지 정의한다. 그런 다음 이 두 개념이 일치함을 보인다. 두 개를 모두 도입하는 이유는 대수적 공간의 경우 이에 대응하는 개념들이 항상 일치하지 않을 수 있기 때문이다.

정의

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자.

1. \(f\)가 보편적으로 단사라고 함은 임의의 스킴 사상 \(S' \to S\)에 대해 기저 변환 \(f' : X_{S'} \to S'\)가 (기저 위상공간에서) 단사인 경우, 그리고 그 경우뿐이다.

2. \(f\)가 순수 비분기라고 함은 \(f\)가 위상공간의 사상으로서 단사이고, 모든 \(x \in X\)에 대해 체의 확대 \(\kappa(x)/\kappa(f(x))\)가 순수 비분리인 경우이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 모든 체 \(K\)에 대해 유도된 사상 \(\Mor(\Spec(K), X) \to \Mor(\Spec(K), S)\)가 단사이다.

2. 사상 \(f\)는 보편적으로 단사이다.

3. 사상 \(f\)는 순수 비분기이다.

4. 대각 사상 \(\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X\)가 전사이다.

증명

\(K\)를 체라 하고 \(s : \Spec(K) \to S\)를 사상이라 하자. \(x : \Spec(K) \to X\)인 사상으로서 \(f \circ x = s\)를 만족하는 것을 주는 것은 사영 \(X_K = \Spec(K) \times_S X \to \Spec(K)\)의 단면을 주는 것과 동치이다. 이는 다시 점 \(x \in X_K\)로서 잉여체가 \(K\)인 것을 주는 것과 동치이다. 따라서 (2)가 (1)을 함의함을 알 수 있다.

반대로 (1)이 성립한다고 하자. \(x, x' \in X_{S'}\)가 같은 점 \(s' \in S'\)로 사상된다고 하자. 다음 가환 도식을 택하자. \[\xymatrix{ K & \kappa(x) \ar[l] \\ \kappa(x') \ar[u] & \kappa(s') \ar[l] \ar[u] }\] 이는 체들의 도식이다. 스킴의 보조정리 01J9에 의해 \(a, a' : \Spec(K) \to X_{S'}\)라는 두 사상을 얻는다. 하나는 점 \(x\)와 포함 \(\kappa(x) \subset K\)에 대응하고, 다른 하나는 점 \(x'\)와 포함 \(\kappa(x') \subset K\)에 대응한다. 또한 \(f' \circ a = f' \circ a'\)이다. 이제 (1)에서 \(a\)와 \(a'\)를 \(X_{S'} \to X\)와 합성한 것이 같음을 얻는다. \(X_{S'}\)는 \(S'\)와 \(X\)의 \(S\) 위 올곱이므로 \(a = a'\)이다. 따라서 \(x = x'\)이다. 그러므로 (1)은 (2)를 함의한다.

서로 다른 점 \(x, x' \in X\)가 \(s\)의 같은 점으로 사상되면 (2)가 깨진다. 어떤 \(s = f(x)\)에 대해 \(x \in X\)에서 체의 확대 \(\kappa(x)/\kappa(s)\)가 순수 비분리라면, 다음 조건을 만족하는 체의 확대 \(K/\kappa(s)\)를 찾을 수 있다. 즉 \(\kappa(x)\)가 \(\kappa(s)\)-준동형을 \(K\) 안으로 두 개 갖는다. 스킴의 보조정리 01J9에 의해 이는 사상 \(\Mor(\Spec(K), X) \to \Mor(\Spec(K), S)\)가 단사가 아님을 뜻하므로 (1)이 깨진다. 따라서 동치인 조건 (1)과 (2)가 \(f\)가 순수 비분기임을 함의한다. 즉 이 조건들은 (3)을 함의한다.

(3)을 가정하자. 스킴의 보조정리 01J9에 의하면 \(\Spec(K) \to X\)인 사상은 순서쌍 \((x, \kappa(x) \to K)\)로 주어진다. (3)의 성질은 순서쌍 \((x, \kappa(x) \to K)\)를 순서쌍 \((s, \kappa(s) \to \kappa(x) \to K)\)에 대응시키는 것이 단사라는 것과 정확히 같다. 다르게 말하면 (1)이 성립한다. 이제 (1), (2), (3)이 모두 동치임을 알았다.

마지막으로 (4)가 (1), (2), (3)과 동치임을 증명하자. \(X \times_S X\)의 점은 네 쌍 \((x_1, x_2, s, \mathfrak p)\)로 주어진다. 여기서 \(x_1, x_2 \in X\)이고, \(f(x_1) = f(x_2) = s\)이며 \(\mathfrak p \subset \kappa(x_1) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x_2)\)가 소 아이디얼이다. 스킴의 보조정리 01JT를 보라. \(f\)가 보편적으로 단사이면, 보편적 단사의 정의에서 \(S'=X\)로 두어 얻는 바에 의해 \(\Delta_{X/S}\)는 전사여야 한다. 이는 단사 사상 \(X \times_S X \longrightarrow X\)의 단면이기 때문이다. 반대로 \(\Delta_{X/S}\)가 전사라면 항상 \(x_1 = x_2 = x\)이고 그러한 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)는 정확히 하나뿐이다. 이는 \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\)가 순수 비분리라는 뜻이다. 따라서 \(f\)는 순수 비분기이다. 다르게는, \(\Delta_{X/S}\)가 전사라면 임의의 \(S' \to S\)에 대해 기저 변환 \(\Delta_{X_{S'}/S'}\)가 전사이고, 이는 \(f\)가 보편적으로 단사임을 함의한다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

보편적으로 단사인 사상은 분리 사상이다.

증명

보조정리 01S4와 다음 주의를 결합하자. \(X \to S\)가 분리라는 것은 대각 사상 \(\Delta_{X/S}\)의 상이 \(X \times_S X\)에서 닫힌 것과 동치이다. 스킴의 정의 01KK와 그 뒤의 논의를 보라.

보조정리

보편적으로 단사인 사상의 기저 변환은 보편적으로 단사이다.

증명

형식적인 결과이다.

보조정리

순수 비분기 사상들의 합성은 순수 비분기이며, 따라서 동치인 조건인 보편적으로 단사라는 성질에 대해서도 같은 결과가 성립한다.

증명

생략한다.

아핀 사상

정의

스킴의 사상 \(f : X \to S\)가 아핀이라고 함은 \(S\)의 모든 아핀 열린집합의 역상이 \(X\)의 아핀 열린집합인 경우이다.

보조정리

아핀 사상은 분리 사상이고 준콤팩트이다.

증명

\(f : X \to S\)를 아핀이라 하자. 준콤팩트성은 스킴의 보조정리 01K4에서 즉시 따른다. 스킴의 보조정리 01KP를 사용하여 \(f\)가 분리임을 보이자. \(x_1, x_2 \in X\)를 \(X\)의 점들 중 같은 점 \(s \in S\)로 사상되는 것이라 하자. \(W \subset S\)를 \(s\)를 포함하는 임의의 아핀 열린집합으로 택하자. 가정에 의해 \(f^{-1}(W)\)는 아핀이다. 인용한 보조정리에서 \(U = V = f^{-1}(W)\)로 두어 적용하면 된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 아핀이다.

2. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup W_j\)가 존재하여 각 \(f^{-1}(W_j)\)가 아핀이다.

3. \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층 \(\mathcal{A}\)와 \(X \cong \underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\)라는 동형이 존재한다. 이는 \(S\) 위 스킴의 동형이다. 표기는 구성의 절 01LQ을 보라.

더 나아가 이 경우 \(X = \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\)이다.

증명

(1)은 (2)를 함의한다는 것이 명백하다.

\(S = \bigcup_{j \in J} W_j\)가 아핀 열린 덮개이고 각 \(f^{-1}(W_j)\)가 아핀이라고 하자. 스킴의 보조정리 01K4에 의해 \(f\)는 준콤팩트이다. 스킴의 보조정리 01KO에 의해 사상 \(f\)는 준분리이다. 따라서 스킴의 보조정리 01LC에 의해 층 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)는 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층이다. 그러므로 스킴 \(g : Y = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)가 \(S\) 위에 있다. 항등 사상 \(\text{id} : \mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\)는 \(can : X \to Y\)라는 \(S\) 위의 사상을 상대 스펙트럼의 정의를 통해 준다. 구성의 보조정리 01LY를 보라. 가정과 방금 인용한 보조정리에 의해 제한 \(can|_{f^{-1}(W_j)} : f^{-1}(W_j) \to g^{-1}(W_j)\)는 동형이다. 따라서 \(can\)은 동형이다. 이로써 (2)가 (3)을 함의함을 보였다.

(3)을 가정하자. 구성의 보조정리 01LX에 의해 모든 아핀 열린집합의 역상은 아핀이다. 따라서 정의에 의해 이 사상은 아핀이다.

주

위 보조정리 01S8에서 (2)가 (1)을 함의한다는 것을 다음과 같이 직접 논증할 수도 있다. \(S = \bigcup W_j\)가 아핀 열린 덮개이고 각 \(f^{-1}(W_j)\)가 아핀이라고 하자. 먼저 위 증명에서와 같이 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)가 준연접임을 보이자. \(\Spec(R) = V \subset S\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(f^{-1}(V)\)가 아핀임을 보여야 한다. 다음과 같이 두자. \(A = \mathcal{A}(V) = f_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))\). 스킴의 보조정리 01I1에 의해 정준 사상 \(\psi : f^{-1}(V) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(R) = V\) 위에 존재한다. 스킴의 보조정리 01IX에 의해 정수 \(n \geq 0\), 표준 열린 덮개 \(V = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(h_i)\), \(h_i \in R\), 그리고 사상 \(a : \{1, \ldots, n\} \to J\)가 존재하여 각 \(D(h_i)\)가 아핀 스킴 \(W_{a(i)}\)의 표준 열린집합이기도 하다. 아핀 스킴의 사상에 의한 표준 열린집합의 역상은 표준 열린집합이다. Algebra의 보조정리 00E2을 보라. 따라서 \(f^{-1}(D(h_i))\)는 \(f^{-1}(W_{a(i)})\)의 표준 열린집합이고, 특히 \(f^{-1}(D(h_i))\)는 아핀이다. \(\mathcal{A}\)가 준연접이므로 \(A_{h_i} = \mathcal{A}(D(h_i)) = \mathcal{O}_X(f^{-1}(D(h_i)))\)이고, 따라서 \(f^{-1}(D(h_i))\)는 \(A_{h_i}\)의 스펙트럼이다. 사상 \(\psi\)는 열린집합 \(f^{-1}(D(h_i))\)와 \(\Spec(A_{h_i})\)의 열린집합 사이에 동형을 유도한다. 여기서 후자는 \(\Spec(A)\)의 열린집합이다. \(f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(D(h_i))\)이고 \(\Spec(A) = \bigcup \Spec(A_{h_i})\)이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 두 범주 사이에 반등가가 존재한다. \[\begin{matrix} \text{Schemes affine} \\ \text{over }S \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{quasi-coherent sheaves} \\ \text{of }\mathcal{O}_S\text{-algebras} \end{matrix}\] 이 반등가는 \(f : X \to S\)를 층 \(f_*\mathcal{O}_X\)에 대응시킨다. 더 나아가 이 등가는 임의의 기저 변환과 양립한다.

증명

오른쪽에서 왼쪽으로 가는 함자는 \(\underline{\Spec}_S\)로 주어진다. 두 함자는 보조정리 01S8와 구성의 보조정리 01LX (3)에 의해 서로 역이다. 마지막 주장은 구성의 보조정리 01LX (2)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-대수라 하자. \(\mathcal{A}\)-가군이 \(\mathcal{O}_S\)-가군으로서 준연접인 것은 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 준연접인 것과 동치이다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 준연접이면 모든 \(s \in S\)에 대해 열린 근방 \(U\)가 존재하여 \(s\)를 포함하고 정합열 \[\bigoplus\nolimits_J\mathcal{A}|_U\to \bigoplus\nolimits_I\mathcal{A}|_U\to \mathcal{F}|_U\] 인 \(\mathcal{A}|_U\)-가군의 정합열이 존재한다. 그러면 이는 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 정합열이기도 하다. 따라서 \(\mathcal{F}|_U\)는 스킴 위의 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군들의 사상의 여핵으로서 준연접이다. 그러므로 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 준연접이다.

반대로 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 준연접이라고 하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset S\)를 택하자. \(\mathcal{O}_U\)-가군의 동형 \(\mathcal{A}|_U \cong \widetilde{A}\)와 \(\mathcal{F}|_U \cong \widetilde{M}\)이 존재하며, 어떤 \(R\)-대수 \(A\)와 어떤 \(R\)-가군 \(M\)에 대응한다. \(\mathcal{A}\)-가군 구조가 \(\mathcal{F}\) 위에 주어져 있으며, 이는 \(A\)-가군 구조로 \(M\) 위에 옮겨가며 주어진 \(R\)-가군 구조와 양립한다(세부사항은 생략한다). \(A\)-가군의 정합열 \[\bigoplus\nolimits_J A \to \bigoplus\nolimits_I A \to M \to 0\] 을 택하자. 함자 \(\widetilde{\ }\)가 완전하므로 이는 \(\widetilde{A}\)-가군의 정합열 \[\bigoplus\nolimits_J \widetilde{A}\to \bigoplus\nolimits_I \widetilde{A}\to \widetilde{M} \to 0\] 을 준다. 이는 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 준연접임을 뜻한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)라 하자. 함자 \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\)는 다음 범주들의 등가를 유도한다. \[\left\{ \begin{matrix} \text{category of quasi-coherent}\\ \mathcal{O}_X\text{-modules} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{category of quasi-coherent}\\ \mathcal{A}\text{-modules} \end{matrix} \right\}\] 더 나아가 \(\mathcal{A}\)-가군이 \(\mathcal{O}_S\)-가군으로서 준연접인 것은 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 준연접인 것과 동치이다.

증명

마지막 주장은 보조정리 0H88이다. 보조정리 01S7와 스킴의 보조정리 01LC에 의해 준연접 가군의 직접상 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대응하며, 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이다. 따라서 보조정리의 서술에 나타난 함자가 존재한다.

이 함자의 준역함자 \(h\)를 구성하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{A}\)-가군이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[h(\mathcal{G}) = f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*\mathcal{A}} \mathcal{O}_X = f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X\] 설명하자면, 당김 \(f^*\mathcal{A} = f^*f_*\mathcal{O}_X\)는 \(\mathcal{O}_X\)-대수이고, 인접 사상 \(f^*f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\)는 대수 준동형이며, 당김 \(f^*\mathcal{G}\)는 \(f^*\mathcal{A}\)-가군이다. 준연접성은 당김과 환 변경에 의해 보존되므로 \(h(\mathcal{G})\)는 준연접이다. 또한 다음 함자적 사상이 있다. \[h(f_*\mathcal{F}) = f^*f_*\mathcal{F} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\] 이는 인접 사상 \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\)에서 온다. 그리고 다음 함자적 사상이 있다. \[\mathcal{G} \to f_*h(\mathcal{G}) \quad\text{adjoint to the map}\quad f^*\mathcal{G} \to f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X\] 이는 국소 단면 \(s\)를 \(f^*\mathcal{F}\)에서 \(s \otimes 1\)로 보낸다. 증명을 끝내려면 위의 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)에 대해 이 사상들이 동형임을 보이면 충분하다. 이는 아핀 덮개의 원소들에서, 즉 \(X\)와 \(S\)가 아핀인 경우에 확인할 수 있다.

이 논증을 가능하게 하는 핵심 대수 관찰은 다음과 같다. \(R \to A\)를 환 사상이라 하고 \(N\)을 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \[(N \otimes_R A) \otimes_{(A \otimes_R A)} A = N\] 이다. 실제로 이는 함자 \(h\)를 준연접 \(\widetilde{A}\)-가군 \(\widetilde{N}\)에 적용하여 \(\Spec(R)\) 위에서 얻은 결과이다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

아핀 사상들의 합성은 아핀이다.

증명

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 아핀 사상이라 하자. \(U \subset Z\)를 아핀 열린집합이라 하자. 가정에 의해 \(g^{-1}(U)\)는 \(g\)에 대한 가정에 의해 아핀이다. 따라서 \(f^{-1}(g^{-1}(U))\)도 \(f\)에 대한 가정에 의해 아핀이다. 그러므로 \((g \circ f)^{-1}(U)\)는 아핀이다.

보조정리

아핀 사상의 기저 변환은 아핀이다.

증명

\(f : X \to S\)를 아핀 사상이라 하자. \(S' \to S\)를 임의의 사상이라 하자. \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\)를 \(f\)의 기저 변환이라 하자. 모든 \(s' \in S'\)에 대해 어떤 아핀 열린 근방 \(s' \in V \subset S'\)가 존재하며, 이는 어떤 아핀 열린집합 \(U \subset S\)로 사상된다. 가정에 의해 \(f^{-1}(U)\)는 아핀이다. 스킴, 절 01JO의 내용에 의해 \(f^{-1}(U)_V = V \times_U f^{-1}(U)\)가 아핀이고 \((f')^{-1}(V)\)와 같음을 알 수 있다. 따라서 \(S'\)는 \(f'\)에 의한 역상이 아핀인 아핀 열린집합들로 열린 덮개를 갖는다. 위의 보조정리 01S8에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

닫힌 몰입은 아핀이다.

증명

이 사실의 첫 단서는 스킴, 보조정리 01IH이다. 완전한 서술은 스킴, 보조정리 01IN를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자. 포함 사상 \(j : X_s \to X\)는 아핀이다.

증명

이는 성질, 보조정리 01PV과 정의에 따른다.

보조정리

\(g : X \to Y\)가 \(S\) 위의 스킴 사상이라고 하자.

1. \(X\)가 \(S\) 위에서 아핀이고 \(\Delta : Y \to Y \times_S Y\)가 아핀이면 \(g\)는 아핀이다.

2. \(X\)가 \(S\) 위에서 아핀이고 \(Y\)가 \(S\) 위에서 분리되어 있으면 \(g\)는 아핀이다.

3. 아핀 스킴에서 아핀 대각선을 갖는 스킴으로 가는 사상은 아핀이다.

4. 아핀 스킴에서 분리된 스킴으로 가는 사상은 아핀이다.

증명

(1)의 증명. 기저 변환 \(X \times_S Y \to Y\)는 보조정리 01SD에 의해 아핀이다. 사상 \((1, g) : X \to X \times_S Y\)는 \(Y \to Y \times_S Y\)의 기저 변환이며, 이는 사상 \(X \times_S Y \to Y \times_S Y\)에 의해 취해진다. 따라서 이는 보조정리 01SD에 의해 아핀이다. 아핀 사상들의 합성은 아핀이므로 (보조정리 01SC 참조) (1)이 따른다. (2)는 (1)에서 따른다. 닫힌 몰입은 아핀이며 (보조정리 01SE 참조), \(Y/S\)가 분리되었다는 것은 \(\Delta\)가 닫힌 몰입이라는 뜻이다. (3)과 (4)는 (1)과 (2)의 특수한 경우이다.

보조정리

아핀 스킴들 사이의 사상은 아핀이다.

증명

\(S = \Spec(\mathbf{Z})\)로 두고 보조정리 01SG를 적용하면 즉시 따른다. 이는 보조정리 01S8의 (1)과 (2)의 동치에서도 직접 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(A\)를 아르틴 환이라 하자. 임의의 사상 \(\Spec(A) \to S\)는 아핀이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(j : Y \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하며 그 여집합은 \(Z = X \setminus U\)이고, 다음을 만족한다고 하자.

1. \(U \to X\)는 아핀이다.

2. \(j^{-1}(U) \to U\)는 아핀이다.

3. \(j(Y) \cap Z\)는 닫혀 있다.

그러면 \(j\)는 아핀이다. 특히 \(X\)가 아핀이면 \(Y\)도 아핀이다.

증명

스킴, 정의 01IO에 의해 열린 부분스킴 \(W \subset X\)를 통해 \(j\)가 인수분해되어 닫힌 몰입 \(i : Y \to W\) 다음에 포함 사상 \(W \to X\)가 오는 형태가 존재한다. 닫힌 몰입은 아핀이므로 (보조정리 01SE), 모든 \(x \in W\)에 대해 \(x\)의 \(X\) 안의 아핀 열린 근방이 존재하고 그 근방의 \(j\)에 의한 역상은 아핀이다. \(x \in U\)이면 가정 (2)에 의해 같은 사실이 성립한다. 이제 \(x \in Z\)이고 \(x \not \in W\)라고 하자. 그러면 \(x \not \in j(Y) \cap Z\)이다. 가정 (3)에 의해 \(V \subset X\)인 아핀 열린집합을 찾을 수 있으며, 이는 \(x\)를 포함하고 \(j(Y) \cap Z\)와 만나지 않는다. 그러면 \(j^{-1}(V) = j^{-1}(V \cap U)\)이고, 가정 (1)과 (2)에 의해 이는 아핀이다. 따라서 보조정리 01S8에 의해 \(j\)는 아핀이다.

풍부한 가역 가군의 족

가역 가군의 족이라는 개념에 관한 짧은 절이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 족이라 하자. 다음 조건을 만족하면 \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\)를 \(X\) 위의 풍부한 가역 가군의 족이라고 부른다.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. 모든 \(x \in X\)에 대해 어떤 \(i \in I\), \(n \geq 1\) 및 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}_i^{\otimes n})\)이 존재하여 \(x \in X_s\)이고 \(X_s\)가 아핀이다.

\(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\)가 스킴 \(X\) 위의 풍부한 가역 가군의 족이면, 유한 부분집합 \(I' \subset I\)가 존재하여 \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I'}\)도 \(X\) 위의 풍부한 가역 가군의 족이 된다 (이는 준콤팩트성에서 즉시 따른다). 풍부한 가역 가군의 족을 갖는 스킴은 다음 보조정리에 의해 아핀 대각선을 가지며, 따라서 특히 준분리이다.

보조정리

스킴 \(X\)에 대해 모든 점 \(x \in X\)에 대해 어떤 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)과 전역 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)가 존재하여 \(x \in X_s\)이고 \(X_s\)가 아핀이라고 하자. 그러면 \(X\)의 대각선은 아핀 사상이다.

증명

가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{M}\)과 전역 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\), \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M})\)이 주어져 \(X_s\)와 \(X_t\)가 아핀이라고 하자. \(X_s \cap X_t\)가 아핀임을 보여야 한다. 실제로 대각선 \(\Delta : X \to X \times X\)에 보조정리 01S8를 적용하고 \(\Delta^{-1}(X_s \times X_t) = X_s \cap X_t\)임을 사용하면 \(\Delta\)가 아핀임을 얻는다. \(X_s \cap X_t\)가 아핀이라는 사실은 성질, 보조정리 01PV에 따른다.

주

성질, 보조정리 01PY에서 풍부한 가역 가군을 갖는 스킴은 분리된다는 것을 알 수 있다. 그러나 풍부한 가역 가군의 족을 갖는 스킴에 대해서는 이는 틀리다. 구체적으로, 스킴, 예 01JD에 나타난 \(X\)에서 \(n = 1\)인 경우, 즉 영점이 두 개로 겹친 아핀 직선을 택하자. 그 예의 표기를 사용하되 \(x\)를 \(x_1\) 대신 쓰고, \(y\)를 \(y_1\) 대신 쓰기로 하자. 모든 정수 \(n\)에 대해 가역 층 \(\mathcal{L}_n\)이 \(X\) 위에 존재하며, 이는 \(X_1\)과 \(X_2\)에서 자명하고 그 전이함수 \(U_{12} \to U_{21}\)는 \(f(x) \mapsto y^n f(y)\)이다. \(\mathcal{L}_n\)의 전역 단면은 \((f(x), g(y)) \in k[x] \oplus k[y]\)인 쌍으로서 \(y^n f(y) = g(y)\)를 만족하는 것들이다. 단면 \(s = (1, y)\)인 \(\mathcal{L}_1\)과 단면 \(t = (x, 1)\)인 \(\mathcal{L}_{-1}\)는 \(X_s = X_1\)이고 \(X_t = X_2\)이므로 열린 아핀 덮개를 결정한다. 따라서 \(X\)는 풍부한 가역 가군의 족을 갖지만 분리되어 있지 않다.

준아핀 사상

스킴 \(X\)가 준콤팩트이고 아핀 스킴의 열린 부분스킴과 동형이면 준아핀이라고 부른다. 성질, 정의 01P6를 보라.

정의

스킴의 사상 \(f : X \to S\)가 준아핀이라는 것은 \(S\)의 모든 아핀 열린집합의 역상이 준아핀 스킴인 경우를 말한다.

보조정리

준아핀 사상은 분리되고 준콤팩트이다.

증명

\(f : X \to S\)를 준아핀이라 하자. 준콤팩트성은 스킴, 보조정리 01K4에서 즉시 따른다. \(U \subset S\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(f^{-1}(U)\)가 분리된 스킴임을 보일 수 있다면 \(f\)가 분리됨을 얻는다 (스킴, 보조정리 01KP에 의해 분리성은 기저 위에서 국소적이다). 가정에 의해 \(f^{-1}(U)\)는 아핀 스킴의 열린 부분스킴과 동형이다. 아핀 스킴은 분리되어 있으므로 아핀 스킴의 모든 열린 부분스킴도 분리되어 있고, 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 준아핀이다.

2. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup W_j\)가 존재하여 각 \(f^{-1}(W_j)\)가 준아핀이 된다.

3. 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-대수 층 \(\mathcal{A}\)와 준콤팩트 열린 몰입 \[\xymatrix{ X \ar[rr] \ar[rd] & & \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \ar[dl] \\ & S & }\] 이 \(S\) 위에 존재한다.

4. (3)과 같지만 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)이고 수평 화살표가 구성, 보조정리 01LY의 정준 사상인 경우.

증명

(1)이 (2)를 함의하고 (4)가 (3)을 함의한다는 것은 자명하다.

\(S = \bigcup_{j \in J} W_j\)가 아핀 열린 덮개이고 각 \(f^{-1}(W_j)\)가 준아핀이라고 하자. 스킴, 보조정리 01K4에 의해 \(f\)는 준콤팩트임을 알 수 있다. 스킴, 보조정리 01KO에 의해 사상 \(f\)는 준분리임을 알 수 있다. 따라서 스킴, 보조정리 01LC에 의해 층 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)는 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접 층이다. 그러므로 \(g : Y = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)인 \(S\) 위의 스킴을 갖는다. 항등 사상 \(\text{id} : \mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\)는 상대 스펙트럼의 정의를 통해 \(can : X \to Y\)인 \(S\) 위의 사상을 주며, 구성, 보조정리 01LY을 보라. 가정과 방금 인용한 보조정리 및 성질, 보조정리 01P9에 의해 제한 \(can|_{f^{-1}(W_j)} : f^{-1}(W_j) \to g^{-1}(W_j)\)는 준콤팩트 열린 몰입이다. 따라서 \(can\)은 준콤팩트 열린 몰입이다. 이로써 (2)가 (4)를 함의함을 보였다.

(3)을 가정하자. 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset S\)를 택하자. 구성, 보조정리 01LX에 의해 상대 스펙트럼에서 \(U\)의 역상은 아핀이다. 따라서 \(f^{-1}(U)\)는 준아핀이라고 결론내린다 ((3)에는 준콤팩트성도 포함되어 있음에 유의하라). 그러므로 (3)이 (1)을 함의한다.

보조정리

준아핀 사상들의 합성은 준아핀이다.

증명

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 준아핀 사상이라 하자. \(U \subset Z\)를 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 \(g^{-1}(U)\)는 \(g\)에 대한 가정에 의해 준아핀이다. \(j : g^{-1}(U) \to V\)를 아핀 스킴 \(V\)로의 준콤팩트 열린 몰입이라 하자. 위의 보조정리 01SM에 의해 \(f^{-1}(g^{-1}(U))\)는 상대 스펙트럼 \(\underline{\Spec}_{g^{-1}(U)}(\mathcal{A})\)의 준콤팩트 열린 부분스킴이며, 이는 어떤 준연접 \(\mathcal{O}_{g^{-1}(U)}\)-대수 층 \(\mathcal{A}\)에 대한 것이다. 스킴, 보조정리 01LC에 의해 층 \(\mathcal{A}' = j_*\mathcal{A}\)는 \(\mathcal{O}_V\)-대수의 준연접 층이고 \(j^*\mathcal{A}' = \mathcal{A}\)를 만족한다. 따라서 다음 가환 도표를 얻는다. \[\xymatrix{ f^{-1}(g^{-1}(U)) \ar[r] & \underline{\Spec}_{g^{-1}(U)}(\mathcal{A}) \ar[r] \ar[d] & \underline{\Spec}_V(\mathcal{A}') \ar[d] \\ & g^{-1}(U) \ar[r]^j & V }\] 이때 정사각형은 스킴의 올곱이다. 구성, 보조정리 01LX를 보라. 오른쪽 위 꼭짓점은 아핀 스킴임에 유의하라. 그러므로 \((g \circ f)^{-1}(U)\)는 준아핀이다.

보조정리

준아핀 사상의 기저 변환은 준아핀이다.

증명

\(f : X \to S\)를 준아핀 사상이라 하자. 위의 보조정리 01SM에 의해 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준연접 층 \(\mathcal{A}\)와 \(X \to \underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\)인 준콤팩트 열린 몰입을 \(S\) 위에서 찾을 수 있다. \(g : S' \to S\)를 임의의 사상이라 하자. \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\)를 \(f\)의 기저 변환이라 하자. 준콤팩트 열린 몰입의 기저 변환은 준콤팩트 열린 몰입이므로, \(X_{S'} \to \underline{\Spec}_{S'}(g^*\mathcal{A})\)가 준콤팩트 열린 몰입임을 알 수 있다 (스킴, 보조정리 01K5와 01JY, 그리고 구성, 보조정리 01LX를 사용했다). 다시 보조정리 01SM에 의해 \(X_{S'} \to S'\)가 준아핀이라고 결론내린다.

보조정리

준콤팩트 몰입은 준아핀이다.

증명

\(X \to S\)를 준콤팩트 몰입이라 하자. 모든 아핀 열린집합의 역상이 준아핀임을 보여야 한다. 따라서 \(S\)가 아핀 스킴이라고 가정하면 \(X\)가 준아핀임을 보여야 한다. 보조정리 01RG에 의해 사상 \(X \to S\)는 \(X \to Z \to S\)로 인수분해되며, 여기서 \(Z\)는 \(S\)의 닫힌 부분스킴이고 \(X \subset Z\)는 준콤팩트 열린집합이다. \(S\)가 아핀이므로 보조정리 01QO에 의해 \(Z\)는 아핀이다. 그러므로 증명되었다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 아핀 스킴이라 하자. 사상 \(f : X \to S\)가 준아핀인 것은 그것이 준콤팩트인 것과 동치이다. 특히 아핀 스킴에서 준분리 스킴으로 가는 임의의 사상은 준아핀이다.

증명

\(V \subset S\)를 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 \(f^{-1}(V)\)는 아핀 스킴 \(X\)의 열린 부분스킴이므로 준아핀인 것은 준콤팩트인 것과 동치이다. 이것이 첫째 주장을 증명한다. 임의의 \(f : X \to S\)가 준콤팩트라는 사실은 \(X\)가 아핀이고 \(S\)가 준분리일 때 스킴, 보조정리 03GI를 \(X \to S \to \Spec(\mathbf{Z})\)에 적용하면 따른다.

보조정리

\(g : X \to Y\)가 \(S\) 위의 스킴 사상이라고 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 준아핀이고 \(Y\)가 \(S\) 위에서 준분리이면 \(g\)는 준아핀이다. 특히 준아핀 스킴에서 준분리 스킴으로 가는 임의의 사상은 준아핀이다.

증명

기저 변환 \(X \times_S Y \to Y\)는 보조정리 01SO에 의해 준아핀이다. 사상 \(X \to X \times_S Y\)는 \(Y \to S\)가 준분리이므로 준콤팩트 몰입이다. 스킴, 보조정리 01KT을 보라. 준콤팩트 몰입은 보조정리 02JR에 의해 준아핀이고, 준아핀 사상들의 합성은 준아핀이다 (보조정리 01SN 참조). 따라서 증명되었다.

환 사상의 성질로 정의되는 사상의 유형

이 절에서는 환 사상의 어떤 성질이 스킴 사상의 국소적 성질을 정의하게 하는지 연구한다.

정의

\(P\)를 환 사상의 성질이라 하자.

1. 다음 조건들이 성립하면 \(P\)를 국소적이라고 부른다.

   1. 임의의 환 사상 \(R \to A\)와 임의의 \(f \in R\)에 대해 \(P(R \to A) \Rightarrow P(R_f \to A_f)\)이다.

   2. 임의의 환 \(R\), \(A\), 임의의 \(f \in R\), \(a\in A\) 및 임의의 환 사상 \(R_f \to A\)에 대해 \(P(R_f \to A) \Rightarrow P(R \to A_a)\)이다.

   3. 환 사상 \(R \to A\)와 \(a_i \in A\)가 주어지고 \((a_1, \ldots, a_n) = A\)를 만족하면 \(\forall i, P(R \to A_{a_i}) \Rightarrow P(R \to A)\)이다.

2. \(P\)를 기저 변환에 대해 안정적이라고 부르는 것은 임의의 환 사상 \(R \to A\), \(R \to R'\)에 대해 \(P(R \to A) \Rightarrow P(R' \to R' \otimes_R A)\)가 성립하는 경우이다.

3. \(P\)를 합성에 대해 안정적이라고 부르는 것은 임의의 환 사상 \(A \to B\), \(B \to C\)에 대해 \(P(A \to B) \wedge P(B \to C) \Rightarrow P(A \to C)\)가 성립하는 경우이다.

정의

\(P\)를 환 사상의 성질이라 하자. \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 사상 \(f\)가 \(P\) 유형 국소적이라고 부르는 것은 모든 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린 근방 \(U\)가 \(x\)를 포함하고, \(X\)에서 이 열린집합의 상이 아핀 열린집합 \(V \subset S\)에 포함되며, 유도된 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 성질 \(P\)를 갖는 경우이다.

이는 성질 \(P\)가 국소적이지 않으면 “좋은” 정의가 아니다. \(P\)가 국소적인 성질이라 하더라도, 다른 곳에서 정의를 명시하지 않는 한 사상이 “\(P\) 유형 국소적”이라고 말하기 위해 이 정의를 자동으로 사용하지는 않는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(P\)를 환 사상의 성질이라 하자. \(U\)를 \(X\)의 아핀 열린집합, \(V\)를 \(S\)의 아핀 열린집합으로서 \(f(U) \subset V\)가 되게 하자. \(f\)가 \(P\) 유형 국소적이고 \(P\)가 국소적이면 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\)가 성립한다.

증명

\(f\)가 \(P\) 유형 국소적이므로 모든 \(u \in U\)에 대해 \(U_u \subset X\)인 아핀 열린집합이 존재하고, 이는 \(V_u \subset S\)인 아핀 열린집합으로 사상되며 \(P(\mathcal{O}_S(V_u) \to \mathcal{O}_X(U_u))\)가 성립한다. \(U'_u \subset U \cap U_u\)인 \(u\)의 근방을 택하되, 이는 \(U\)와 \(U_u\) 모두에서 표준 아핀 열린집합이 되게 하자. 스킴, 보조정리 01IW를 보라. 정의 01SR (1)(b)에 의해 \(P(\mathcal{O}_S(V_u) \to \mathcal{O}_X(U'_u))\)가 성립한다. 따라서 \(U_u \subset U\)가 표준 아핀 열린집합이라고 가정할 수 있다. \(V'_u \subset V \cap V_u\)인 \(f(u)\)의 근방을 택하되, 이는 \(V\)와 \(V_u\) 모두에서 표준 아핀 열린집합이 되게 하자. 스킴, 보조정리 01IW를 보라. 그러면 \(U'_u = f^{-1}(V'_u) \cap U_u\)는 \(U_u\) (따라서 \(U\))의 표준 아핀 열린집합이고, 정의 01SR (1)(a)에 의해 \(P(\mathcal{O}_S(V'_u) \to \mathcal{O}_X(U'_u))\)가 성립한다. 따라서 \(U_u \subset U\)와 \(V_u \subset V\)가 모두 표준 아핀 열린집합이라고 가정할 수 있다. 정의 01SR (1)(b)를 한 번 더 적용하면 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U_u))\)가 성립한다. \(U\)가 준콤팩트이므로 \[U = U_{u_1} \cup \ldots \cup U_{u_n}.\] 가 되도록 유한 개의 점 \(u_1, \ldots, u_n \in U\)를 택할 수 있다. 정의 01SR (1)(c)에 의해 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\)가 성립한다.

보조정리

\(P\)를 환 사상의 국소적 성질이라 하자. \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 \(P\) 유형 국소적이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이면 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\)가 성립한다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)가 \(P\) 유형 국소적이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 성질 \(P(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i))\)가 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 성립한다.

더 나아가 \(f\)가 \(P\) 유형 국소적이면 임의의 열린 부분스킴 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)일 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 \(P\) 유형 국소적이다.

증명

이는 위의 보조정리 01ST에 따른다.

보조정리

\(P\)를 환 사상의 성질이라 하자. \(P\)가 국소적이고 합성에 대해 안정적이라고 가정하자. \(P\) 유형 국소적 사상들의 합성은 \(P\) 유형 국소적이다.

증명

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(P\) 유형 국소적 사상이라 하자. \(x \in X\)를 택하자. \(W \subset Z\)를 \(g(f(x))\)의 아핀 열린 근방으로 택하자. \(V \subset g^{-1}(W)\)를 \(f(x)\)의 아핀 열린 근방으로 택하자. \(U \subset f^{-1}(V)\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방으로 택하자. 보조정리 01SU에 의해 환 사상 \(\mathcal{O}_Z(W) \to \mathcal{O}_Y(V)\)와 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 모두 \(P\)를 만족한다. 따라서 합성에 대해 안정적이라는 가정에 의해 \(\mathcal{O}_Z(W) \to \mathcal{O}_X(U)\)도 \(P\)를 만족한다. 이는 \(P\)가 합성에 대해 안정적이라는 가정에 따른다.

보조정리

\(P\)를 환 사상의 성질이라 하자. \(P\)가 국소적이고 기저 변환에 대해 안정적이라고 가정하자. \(P\) 유형 국소적 사상의 기저 변환은 \(P\) 유형 국소적이다.

증명

\(f : X \to S\)를 \(P\) 유형 국소적 사상이라 하자. \(S' \to S\)를 임의의 사상이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\)를 \(f\)의 기저 변환이라 하자. 모든 \(s' \in S'\)에 대해 \(s' \in V' \subset S'\)인 아핀 열린 근방이 존재하며, 이는 어떤 아핀 열린집합 \(V \subset S\)로 사상된다. 보조정리 01SU에 의해 열린집합 \(f^{-1}(V)\)는 아핀 열린집합 \(U_i\)들의 합집합이며, 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 모두 \(P\)를 만족한다. 스킴, 절 01JO의 내용에 의해 \(f^{-1}(U)_{V'} = V' \times_V f^{-1}(V)\)는 아핀 열린집합 \(V' \times_V U_i\)들의 합집합임을 알 수 있다. 그리고 \(\mathcal{O}_{X_{S'}}(V' \times_V U_i) = \mathcal{O}_{S'}(V') \otimes_{\mathcal{O}_S(V)} \mathcal{O}_X(U_i)\) 이므로 환 사상 \(\mathcal{O}_{S'}(V') \to \mathcal{O}_{X_{S'}}(V' \times_V U_i)\)는 기저 변환에 대해 안정적이라는 \(P\)의 가정에 의해 \(P\)를 만족한다.

보조정리

환 사상 \(R \to A\)의 다음 성질들은 국소적이다.

1. (국소환에서의 동형.) \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 소 아이디얼이고 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓일 때, 환 사상 \(R \to A\)는 동형 \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\)를 유도한다.

2. (열린 몰입.) \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 모든 소 아이디얼일 때 어떤 \(f \in R\)가 존재하여 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\)이고, 환 사상 \(\varphi : R \to A\)가 동형 \(R_f \to A_f\)를 유도한다.

3. (기약인 올.) \(\mathfrak p\)가 \(R\)의 모든 소 아이디얼일 때 올 환 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)는 기약이다.

4. (차원이 \(n\) 이하인 올.) \(\mathfrak p\)가 \(R\)의 모든 소 아이디얼일 때 올 환 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 크룰 차원은 \(n\) 이하이다.

5. (표적 위에서 국소적으로 뇌터.) 환 사상 \(R \to A\)가 \(A\)가 뇌터 환이라는 성질을 갖는다.

6. 필요에 따라 더 추가한다⁴.

증명

생략한다.

보조정리

환 사상의 다음 성질들은 기저 변환에 대해 안정적이다.

1. (국소환에서의 동형.) \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 소 아이디얼이고 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓일 때, 환 사상 \(R \to A\)는 동형 \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\)를 유도한다.

2. (열린 몰입.) \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 모든 소 아이디얼일 때 어떤 \(f \in R\)가 존재하여 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\)이고, 환 사상 \(\varphi : R \to A\)가 동형 \(R_f \to A_f\)를 유도한다.

3. 필요에 따라 더 추가한다⁵.

증명

생략한다.

보조정리

환 사상의 다음 성질들은 합성에 대해 안정적이다.

1. (국소환에서의 동형.) \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 소 아이디얼이고 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓일 때, 환 사상 \(R \to A\)는 동형 \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\)를 유도한다.

2. (열린 몰입.) \(\mathfrak q\)가 \(A\)의 모든 소 아이디얼일 때 어떤 \(f \in R\)가 존재하여 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\)이고, 환 사상 \(\varphi : R \to A\)가 동형 \(R_f \to A_f\)를 유도한다.

3. (표적 위에서 국소적으로 뇌터.) 환 사상 \(R \to A\)가 \(A\)가 뇌터 환이라는 성질을 갖는다.

4. 필요에 따라 더 추가한다⁶.

증명

생략한다.

유한형 사상

환 사상 \(R \to A\)가 유한형이라고 하는 것은 \(A\)가 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)의 몫과 동형인 \(R\)-대수라는 뜻이다. 대수, 정의 00F3을 보라.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. \(f\)가 \(x \in X\)에서 유한형이라고 하는 것은 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)가 \(x\)를 포함하고, 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)가 존재하며 \(f(U) \subset V\)이고 존재하여 유도된 환 사상 \(R \to A\)가 유한형인 경우이다.

2. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 하는 것은 \(X\)의 모든 점에서 유한형인 경우이다.

3. \(f\)가 유한형이라고 하는 것은 국소적으로 유한형이고 준콤팩트인 경우이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한형이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이면 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 유한형이다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)가 국소적으로 유한형이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 유한형이다.

더 나아가 \(f\)가 국소적으로 유한형이면 임의의 열린 부분스킴 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)일 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 국소적으로 유한형이다.

증명

이는 다음 사실을 보이면 위의 보조정리 01ST에서 따른다. 즉 성질 “\(R \to A\)가 유한형이다”가 국소적임을 보이자. 정의 01SR의 조건 (a), (b), (c)를 확인한다. 대수, 보조정리 05G5에 의해 유한형이라는 성질은 기저 변환에 대해 안정적이므로 (a)가 성립한다. 대수, 보조정리 00F4에 의해 유한형이라는 성질은 합성에 대해 안정적이고, 임의의 환 \(R\)에 대해 환 사상 \(R \to R_f\)가 유한형인 것은 자명하다. 따라서 (b)가 성립한다. 마지막으로 (c)는 대수, 보조정리 00EP에 따른다.

보조정리

국소적으로 유한형인 두 사상의 합성은 국소적으로 유한형이다. 유한형 사상들에 대해서도 같은 결론이 성립한다.

증명

보조정리 01T2의 증명에서 유한형이라는 것이 환 사상의 국소적 성질임을 보였다. 따라서 첫째 주장은 보조정리 01SV와 유한형이 합성에 대해 안정적인 환 사상의 성질이라는 사실을 결합하면 따른다. 대수, 보조정리 00F4을 보라. 위의 결과와 준콤팩트 사상들의 합성이 준콤팩트라는 사실 (스킴, 보조정리 01K6 참조)에 의해 유한형 사상들의 합성은 유한형이다.

보조정리

국소적으로 유한형인 사상의 기저 변환은 국소적으로 유한형이다. 유한형 사상들에 대해서도 같은 결론이 성립한다.

증명

보조정리 01T2의 증명에서 유한형이라는 것이 환 사상의 국소적 성질임을 보였다. 따라서 첫째 주장은 보조정리 01SW와 유한형이 기저 변환에 대해 안정적인 환 사상의 성질이라는 사실을 결합하면 따른다. 대수, 보조정리 05G5를 보라. 위의 결과와 준콤팩트 사상의 기저 변환이 준콤팩트라는 사실 (스킴, 보조정리 01K5 참조)에 의해 유한형 사상의 기저 변환은 유한형 사상이다.

보조정리

닫힌 몰입은 유한형이다. 몰입은 국소적으로 유한형이다.

증명

이는 열린 몰입이 국소 동형이고 닫힌 몰입이 자명하게 유한형이기 때문이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자. \(S\)가 (국소적으로) 뇌터이고 \(f\)가 (국소적으로) 유한형이면 \(X\)는 (국소적으로) 뇌터이다.

증명

이는 뇌터 환 위의 유한형 환이 뇌터라는 사실에서 즉시 따른다. 대수, 보조정리 00FN를 보라. (또한 준콤팩트 사상의 표적이 준콤팩트이면 그 원천이 준콤팩트라는 사실을 사용하라.)

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소적으로 유한형 사상이고 \(S\)가 국소적으로 뇌터라고 하자. 그러면 \(f\)는 준분리이다.

증명

사실 \(X\)가 준분리라는 것도 성립한다. 성질, 보조정리 01OY와 위의 보조정리 01T6을 보라. 그런 다음 스킴, 보조정리 01KV를 적용하면 \(f\)가 준분리임을 결론내릴 수 있다.

보조정리

\(X \to Y\)를 기저 스킴 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이면, \(X \to Y\)는 국소적으로 유한형이다.

증명

보조정리 01T2에 의해 이는 다음 대수적 사실로 옮겨진다. 환 사상 \(A \to B \to C\)가 주어지고 \(A \to C\)가 유한형이면 \(B \to C\)도 유한형이다. (대수, 보조정리 00F4를 보라.)

유한형 점과 야콥슨 스킴

\(S\)를 스킴이라 하자. 점 \(s\)를 \(S\)의 유한형 점이라 하자. 사상 \(\Spec(\kappa(s)) \to S\)가 유한형인 점을 말한다. 이를 연구하는 이유는 어떤 의미와 어떤 상황에서 유한형 점이 닫힌 점을 대신할 수 있기 때문이다. 예를 들어 항상 충분히 많은 유한형 점이 존재한다. 더 나아가 모든 유한형 점이 닫힌 점일 필요충분조건은 스킴이 야콥슨인 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(k\)를 체라 하자. \(f : \Spec(k) \to S\)를 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 유한형이다.

2. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한형이다.

3. 아핀 열린집합 \(U = \Spec(R)\)가 \(S\) 안에 존재하여 \(f\)가 유한 환 사상 \(R \to k\)에 대응한다.

4. 아핀 열린집합 \(U = \Spec(R)\)가 \(S\) 안에 존재하여 \(f\)의 상이 닫힌점 \(u\) 하나로 이루어지고 그 점이 \(U\) 안에 있으며, 체의 확장 \(k/\kappa(u)\)가 유한이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 자명하다. \(\Spec(k)\)가 한 점만 가지므로 그로부터 나오는 모든 사상은 준콤팩트이기 때문이다.

\(f\)가 국소적으로 유한형이라고 하자. 그 사상의 상이 포함되는 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset S\)를 하나 택하자. \(f\)의 상이 이 열린집합 \(U\) 안에 포함되고, 환 사상 \(R \to k\)가 유한형이라고 하자. 핵을 \(\mathfrak p \subset R\)라 하자. 그러면 \(R/\mathfrak p \subset k\)는 유한형이다. 대수, 보조정리 00FY에 의해 \(\overline{f} \in R/\mathfrak p\)를 택할 수 있어 \((R/\mathfrak p)_{\overline{f}}\)가 체이고 \((R/\mathfrak p)_{\overline{f}} \to k\)가 유한 체 확장이 된다. \(f \in R\)가 \(\overline{f}\)의 올림이면 \(k\)가 유한 \(R_f\)-가군임을 알 수 있다. 따라서 (2) \(\Rightarrow\) (3)이다.

\(\Spec(R) = U \subset S\)가 아핀 열린집합이고 \(f\)가 유한 환 사상 \(R \to k\)에 대응한다고 하자. 그러면 보조정리 01T2에 의해 \(f\)는 국소적으로 유한형이다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (2)이다.

\(R \to k\)가 유한이라고 하자. \(R \to k\)의 상은 그 위에서 \(k\)가 유한인 체이며, 이는 대수, 보조정리 00GR에 따른다. 따라서 \(R \to k\)의 핵은 극대 아이디얼이다. 그러므로 (3) \(\Rightarrow\) (4)이다.

함의 (4) \(\Rightarrow\) (3)은 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(A\)를 잉여체가 \(\kappa\)인 아르틴 국소환이라 하자. \(f : \Spec(A) \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 유한형인 것은 합성 \(\Spec(\kappa) \to \Spec(A) \to S\)가 유한형인 것과 동치이다.

증명

사상 \(\Spec(\kappa) \to \Spec(A)\)는 유한형이므로, \(f\)가 유한형이면 합성 \(\Spec(\kappa) \to S\)도 유한형이라는 것은 자명하다 (보조정리 01T3를 보라). 역을 보이려면, \(\Spec(A) \to S\)의 상이 \(U = \Spec(B)\)인 \(S\)의 어떤 아핀 열린집합 안에 들어간다는 것을, \(\Spec(A)\)가 한 점만 가지므로 관찰하자. 마지막으로 대수, 보조정리 07DT를 \(B \to A\)에 적용하면 된다.

스킴의 점 \(s\)가 속한 \(S\)가 주어지면 표준 사상 \(\Spec(\kappa(s)) \to S\)가 존재함을 상기하자. 이는 스킴, 절 01J5를 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 점 \(s\)가 \(S\)의 유한형 점이라고 하자. 이는 표준 사상 \(\Spec(\kappa(s)) \to S\)가 유한형인 경우이다. \(S_{\text{ft-pts}}\)를 \(S\)의 유한형 점들의 집합으로 표시한다.

유한형 점들의 집합은 다음과 같이 기술할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음이 성립한다. \[S_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{U \subset S\text{ open}} U_0\] 여기서 \(U_0\)는 \(U\)의 닫힌점들의 집합이다. 여기서 \(U\)를 모든 열린집합에 걸쳐 취해도 되고 \(S\)의 모든 아핀 열린집합에 걸쳐 취해도 된다.

증명

이는 보조정리 01TA에서 즉시 따른다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(f(T_{\text{ft-pts}}) \subset S_{\text{ft-pts}}\)이다.

증명

\(T\)가 체의 스펙트럼이면 이는 보조정리 01TA이다. 일반적인 경우에는 국소적으로 유한형 사상들의 합성이 국소적으로 유한형이라는 사실(보조정리 01T3)으로부터 따른다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이고 전사이면 \(f(T_{\text{ft-pts}}) = S_{\text{ft-pts}}\)이다.

증명

보조정리 02J3에 의해 \(f(T_{\text{ft-pts}}) \subset S_{\text{ft-pts}}\)이다. \(s \in S\)를 유한형 점이라 하자. \(f\)가 전사이므로 스킴 \(T_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S T\)는 공집합이 아니다. 따라서 보조정리 02J2에 의해 이 스킴에는 유한형 점 \(t \in T_s\)가 존재한다. 이제 \(T_s \to T\)는 \(s \to S\)의 기저변환이므로 유한형 사상이다 (보조정리 01T4). 따라서 보조정리 02J3에 의해 \(t\)의 \(T\)에서의 상은 유한형 점이고, 구성에 의해 그 상은 \(s\)로 사상된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 임의의 국소 폐집합 \(T \subset S\)에 대하여 \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap S_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] 특히 임의의 닫힌집합 \(T \subset S\)에 대하여 \(T \cap S_{\text{ft-pts}}\)가 \(T\)에서 조밀함을 알 수 있다.

증명

\(T\)는 스킴 구조를 가진다는 것을 관찰하자(스킴, 보조정리 01J3 참조). 그 구조에서 \(T \to S\)는 국소 폐쇄 몰입이다. 임의의 국소 폐쇄 몰입은 국소적으로 유한형이다. 이는 보조정리 01T5를 보라. 따라서 보조정리 02J3에 의해 \(T_{\text{ft-pts}} \subset S_{\text{ft-pts}}\)임을 얻는다. 마지막으로 \(T\)의 공집합이 아닌 아핀 열린집합은 적어도 하나의 닫힌점을 가지며, 보조정리 02J2에 의해 그 점은 \(T\)의 유한형 점이다.

따라서 위상수학, 절 005T의 대부분의 내용은 닫힌점들의 집합을 유한형 점들의 집합으로 바꾸어도 성립한다. 실제로 \(S\)가 야콥슨이면 유한형 점들이 닫힌점으로 되돌아온다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(S\)는 야콥슨이다.

2. \(S_{\text{ft-pts}}\)는 \(S\)의 닫힌점들의 집합이다.

3. 국소적으로 유한형인 모든 \(T \to S\)에 대하여 닫힌점은 닫힌점으로 사상된다.

4. 국소적으로 유한형인 모든 \(T \to S\)에 대하여 닫힌점 \(t \in T\)는 닫힌점 \(s \in S\)로 사상되고 \(\kappa(s) \subset \kappa(t)\)가 유한이다.

증명

(4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2)는 자명하게 성립한다. 보조정리 02J4에 의해 (2)는 (1)을 함의한다. 그러므로 (1)이 (4)를 함의함을 보이는 것으로 충분하다. \(T \to S\)가 국소적으로 유한형이라고 하자. \(t \in T\)를 닫힌점으로 택하고 그 상을 \(s \in S\)라 하자. 아핀 열린 근방 \(\Spec(R) = U \subset S\)를 \(s\)의 근방으로, 아핀 열린 근방 \(\Spec(A) = V \subset T\)를 \(t\)의 근방으로 택하되, \(V\)가 \(U\) 안으로 사상되도록 하자. 유도된 환 사상 \(R \to A\)는 유한형이다 (보조정리 01T2를 보라). 또한 성질, 보조정리 01P4에 의해 \(R\)은 야콥슨이다. 따라서 결과는 대수, 명제 00GB로부터 따른다.

보조정리

\(S\)를 야콥슨 스킴이라 하자. \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴은 야콥슨이다.

증명

이는 대수, 명제 00GB (및 성질, 보조정리 01P4와 보조정리 01T2)로부터 자명하다.

보조정리

다음 유형의 스킴들은 야콥슨이다.

1. 체 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

2. \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

3. 무한히 많은 소수를 갖는 \(1\)차원 뇌터 환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

4. \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 꼴의 스킴이며, 여기서 \((R, \mathfrak m)\)가 뇌터 국소환이다. 그 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴도 그렇다.

증명

언급하지 않고 보조정리 02J5을 사용할 것이다. 체의 스펙트럼은 분명히 야콥슨이다. \(\mathbf{Z}\)의 스펙트럼은 야콥슨이며, 대수, 보조정리 00G4을 보라. (3)에 대해서는 대수, 보조정리 00KX을 보라. (4)에 대해서는 성질, 보조정리 02IM을 보라.

보편적으로 카테나리인 스킴

위상공간 \(X\)를 모든 기약 닫힌 부분집합의 쌍 \(T \subset T'\)에 대하여 기약 닫힌 부분집합들의 최대 사슬 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] 이 존재하고 이러한 사슬이 모두 같은 길이를 가질 때 카테나리라고 부른다. 위상수학, 정의 02I1를 보라. 스킴은 그 기저 위상공간이 카테나리일 때 카테나리라고 한다. 성질, 정의 02IW를 보라.

정의

\(S\)를 국소적으로 뇌터인 스킴이라 하자. \(S\)가 보편적으로 카테나리라고 함은 국소적으로 유한형인 \(S\)를 보편적으로 카테나리라고 하며, 모든 사상에 대하여 \(X \to S\)인 스킴 \(X\)가 카테나리인 것을 말한다.

이는 카테나리보다 “더 나은” 개념이다. 카테나리이지만 보편적으로 카테나리가 아닌 뇌터 스킴들이 존재하기 때문이다. 예, 절 02JE을 보라. 많은 스킴이 보편적으로 카테나리이다. 아래 보조정리 02JB를 보라.

환 \(A\)를 임의의 소 아이디얼 쌍 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)에 대하여 소 아이디얼들의 최대 사슬 \[\mathfrak p = \mathfrak p_0 \subset \ldots \subset \mathfrak p_e = \mathfrak q\] 이 존재하고 이 사슬들이 모두 같은 길이를 가질 때 카테나리라고 부른다. 대수, 정의 00NI를 보라. 성질, 절 02IV에서 카테나리 스킴과 카테나리 환 사이의 관계를 살펴보았다. 환 \(A\)를 \(A\)가 뇌터이고 모든 유한형 환 사상 \(A \to B\)에 대하여 환 \(B\)가 카테나리일 때 보편적으로 카테나리라고 부른다. 대수, 정의 00NL를 보라. 대수기하에서 나타나는 흥미로운 환의 대부분은 이 성질을 만족한다.

보조정리

\(S\)를 국소적으로 뇌터인 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(S\)는 보편적으로 카테나리이다.

2. \(S\)의 열린 덮개가 존재하여 그 모든 원소가 보편적으로 카테나리인 스킴이다.

3. 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset S\)에 대하여 환 \(R\)이 보편적으로 카테나리이고,

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(U_i\)가 보편적으로 카테나리인 환의 스펙트럼이다.

더 나아가 이 경우 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴도 보편적으로 카테나리이다.

증명

보조정리 01T5에 의해 열린 몰입은 국소적으로 유한형이다. 국소적으로 유한형인 사상들의 합성도 국소적으로 유한형이다(보조정리 01T3). 따라서 \(S\)가 보편적으로 카테나리이면 모든 열린집합과 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 모든 스킴도 보편적으로 카테나리라는 것은 자명하다. 이것이 보조정리의 마지막 명제와 (1)이 (2)를 함의한다는 것을 증명한다.

\(\Spec(R)\)가 보편적으로 카테나리인 스킴이면, 모든 스킴 \(\Spec(A)\)가, \(A\)가 \(R\) 위에서 유한형인 대수일 때, 카테나리이다. 따라서 이 모든 환 \(A\)는 대수, 보조정리 02IH에 의해 카테나리이다. 그러므로 \(R\)은 보편적으로 카테나리이다. 위의 관찰과 결합하면 (1)이 (3)을, (2)가 (4)를 함의함을 얻는다. 물론 (3)은 자명하게 (4)를 함의한다.

증명을 마치기 위해 (4)가 (1)을 함의함을 보인다. (4)를 가정하고 \(X \to S\)를 국소적으로 유한형인 사상이라 하자. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup V_j\)를 택할 수 있어 각 \(V_j \to S\)가 어떤 \(U_i\) 안으로 사상된다. 보조정리 01T2에 의해 유도된 환 사상 \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j)\)는 유한형이다. 따라서 \(\mathcal{O}(V_j)\)는 카테나리이다. 그러므로 성질, 보조정리 02IX에 의해 \(X\)는 카테나리이다.

보조정리

\(S\)를 국소적으로 뇌터인 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(S\)는 보편적으로 카테나리이고,

2. 모든 국소환 \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 \(S\)에서 보편적으로 카테나리이다.

증명

\(S\)의 모든 국소환이 보편적으로 카테나리라고 가정하자. \(f : X \to S\)를 국소적으로 유한형인 사상이라 하자. \(X\)가 카테나리인 것은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 카테나리인 것이 모든 \(x \in X\)에 대하여 성립하는 것과 동치임을 안다. \(f(x) = s\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 본질적으로 유한형이다. 따라서 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 카테나리이며, \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 보편적으로 카테나리라는 가정에 따른다.

역으로 \(S\)가 보편적으로 카테나리라고 가정하자. \(s \in S\)라 하자. 보조정리 02J9에 의해 \(S\)를 \(s\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어도 된다. 즉 \(S = \Spec(R)\)이고 \(s\)는 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대응한다고 하자. 유한형 \(R_{\mathfrak p}\)-대수 \(A'\)는 어떤 \(A_{\mathfrak p}\) 꼴이며, 여기서 \(R\) 위의 유한형 대수 \(A\)이다. 가정에 의해(원한다면 보조정리 02J9도 사용하여) 환 \(A\)는 카테나리이고, 따라서 \(A'\)도 \(A\)의 국소화이므로 카테나리이다. 그러므로 \(R_{\mathfrak p}\)는 보편적으로 카테나리이다.

보조정리

\(S\)를 국소적으로 뇌터인 스킴이라 하자. \(S\)가 보편적으로 카테나리인 것은 \(S\)의 기약 성분들이 보편적으로 카테나리인 것과 동치이다.

증명

생략한다. 아핀인 경우에는 대수, 보조정리 0AUP를 보라.

보조정리

다음 유형의 스킴들은 보편적으로 카테나리이다.

1. 체 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

2. 코헨–매콜리 스킴 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

3. \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

4. \(1\)차원 뇌터 정역 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

5. 기타.

증명

이 모든 결과는 코헨–매콜리 환이 보편적으로 카테나리라는 사실에서 따른다. 대수, 보조정리 00NM를 보라. 또한 보조정리 02J9의 마지막 주장을 사용한다. 세부 사항은 생략한다.

나가타 스킴의 재고찰

정의와 나가타 및 보편적으로 일본적인 스킴의 기본 성질은 성질, 절 033R를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자. \(S\)가 나가타이고 \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(X\)는 나가타이다. \(S\)가 보편적으로 일본적이고 \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(X\)는 보편적으로 일본적이다.

증명

“보편적으로 일본적”인 경우에는 대수, 보조정리 032S에서 따른다. “나가타”인 경우에는 대수, 명제 0334에서 따른다.

보조정리

다음 유형의 스킴들은 나가타이다.

1. 체 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

2. 뇌터 완비 국소환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

3. \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

4. 표수가 0인 데데킨트 환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

5. 기타.

증명

보조정리 035A에 의해 위에서 언급한 환들이 나가타 환임을 보이면 충분하다. 이는 대수, 명제 0335를 보라.

특이 궤적의 재고찰

기저 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴에 대해 정칙 궤적이 열린집합임을 보장하는 기준을 찾는다. 정의는 다음과 같다.

정의

\(X\)를 국소적으로 뇌터인 스킴이라 하자. \(X\)가 모든 국소적으로 유한형인 사상 \(Y \to X\)에 대하여 정칙 궤적 \(\text{Reg}(Y)\)가 \(Y\)에서 열린집합이면 J-2라고 한다.

이는 뇌터 환에 대한 대응 개념이다. 더 많은 대수, 정의 07P7를 보라.

보조정리

\(X\)를 국소적으로 뇌터인 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 J-2이다.

2. \(X\)의 열린 덮개가 존재하여 그 모든 원소가 J-2 스킴이다.

3. 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)에 대하여 환 \(R\)이 J-2이고,

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}(U_i)\)가 모든 \(i\)에 대하여 J-2이다.

더 나아가 이 경우 \(X\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴도 J-2이다.

증명

보조정리 01T5에 의해 열린 몰입은 국소적으로 유한형이다. 국소적으로 유한형인 사상들의 합성도 국소적으로 유한형이다 (보조정리 01T3). 따라서 \(X\)가 J-2이면 모든 열린집합과 \(X\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴도 J-2라는 것은 자명하다. 이것이 보조정리의 마지막 명제를 증명한다.

\(\Spec(R)\)가 J-2이면 모든 유한형 \(R\)-대수 \(A\)에 대하여 스킴 \(\Spec(A)\)의 정칙 궤적은 열린집합이다. 따라서 정의에 의해 \(R\)은 J-2이다(대수 추가, 정의 07P7를 보라). 위의 관찰과 결합하면 (1)이 (3)을, (2)가 (4)를 함의함을 얻는다. 물론 (1) \(\Rightarrow\) (2)와 (3) \(\Rightarrow\) (4)는 자명하다.

증명을 마치기 위해 (4)가 (1)을 함의함을 보인다. (4)를 가정하고 \(Y \to X\)를 국소적으로 유한형인 사상이라 하자. 아핀 열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)를 택할 수 있어 각 \(V_j \to X\)가 어떤 \(U_i\) 안으로 사상된다. 보조정리 01T2에 의해 유도된 환 사상 \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j)\)는 유한형이다. 따라서 \(V_j = \Spec(\mathcal{O}(V_j))\)의 정칙 궤적은 열린집합이다. \(\text{Reg}(Y) \cap V_j = \text{Reg}(V_j)\)이므로 \(\text{Reg}(Y)\)가 원하는 대로 열린집합임을 얻는다.

보조정리

다음 유형의 스킴들은 J-2이다.

1. 체 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

2. 뇌터 완비 국소환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

3. \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

4. 차원이 \(1\)인 뇌터 국소환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

5. 차원이 \(1\)인 나가타 환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

6. 표수가 0인 데데킨트 환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

7. 기타.

증명

보조정리 07R4에 의해 위에서 언급한 환들이 J-2임을 보이면 충분하다. 이는 대수 추가, 명제 07PJ를 보라.

우수 스킴

환이 G-환이고 J-2이면 준우수라고 한다. 환이 준우수이고 보편적으로 카테나리이면 우수라고 한다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(X\)를 준우수라고 함은 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(x \in U \subset X\)인 아핀 열린 근방이 존재하고 그 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 준우수인 경우이다 (대수 추가, 정의 07QT 참조).

2. \(X\)를 우수라고 함은 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(x \in U \subset X\)인 아핀 열린 근방이 존재하고 그 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 우수인 경우이다 (대수 추가, 정의 07QT 참조).

준우수 스킴은 국소적으로 뇌터이다(G-환은 뇌터이다).

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 준우수이고,

2. \(X\)는 G-스킴이고 J-2이다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 준우수 스킴의 정의 (정의 0HA7), 준우수 환의 정의 (대수 추가, 정의 07QT), G-스킴의 정의(성질, 정의 0HA3)와 보조정리 07R4를 결합하면 따른다. 역으로 \(X\)가 G-스킴이고 J-2이면 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(x \in U \subset X\)인 아핀 열린 근방을 택할 수 있고 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 G-환이다. 보조정리 07R4에 의해 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)도 J-2이므로 준우수이다.

보조정리

준우수 스킴은 나가타이다.

증명

대수 추가, 보조정리 07QV를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 우수이고,

2. \(X\)는 준우수이며 보편적으로 카테나리이다.

증명

(1)을 가정하자. 우수 환은 준우수이므로 \(X\)가 준우수인 것은 자명하다. 우수 환은 보편적으로 카테나리이므로 보조정리 02J9에 의해 \(X\)도 보편적으로 카테나리이다. (2)를 가정하자. \(x \in X\)를 택하자. \(X\)가 준우수이므로 \(x \in U \subset X\)인 아핀 열린 근방이 존재하여 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 준우수이다. \(X\)가 보편적으로 카테나리이므로 보조정리 02J9에 의해 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)도 보편적으로 카테나리이고, 따라서 우수이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 스킴 \(X\)는 (준)우수이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 (준)우수이다.

3. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 (준)우수이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup X_j\)가 존재하여 각 열린 부분스킴 \(X_j\)가 (준)우수이다.

더 나아가 \(X\)가 (준)우수이면 모든 열린 부분스킴도 (준)우수이다.

증명

보조정리 0HA8에 의해 준우수인 것은 G-스킴이고 J-2인 것과 같다. 따라서 준우수의 경우에는 보조정리 07R4와 성질, 보조정리 0HA5에서 따른다. 우수의 경우에는 보조정리 0HAA, 준우수의 경우 및 보조정리 02J9을 사용한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자. \(S\)가 (준)우수이고 \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(X\)는 (준)우수이다.

증명

대수 추가, 보조정리 07QU를 보라.

보조정리

다음 유형의 스킴들은 우수이다.

1. 체 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

2. 뇌터 완비 국소환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

3. \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

4. 표수가 0인 데데킨트 환 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 스킴.

증명

보조정리 0HAB와 0HAC에 의해 위에서 언급한 환들이 우수임을 보이면 충분하다. 이는 대수 추가, 명제 07QW를 보라.

준유한 사상

준유한 사상을 철저히 다루는 것은 이후의 많은 전개를 위한 토대이다. 이는 자리스키의 주정리의 여러 형태, 올의 차원 거동, 에탈 사상의 하강 등으로 이어진다. 이 절을 읽기 전에 대수, 절 02MK의 대수 결과를 살펴보는 것이 좋다.

유한형 환 사상 \(R \to A\)가 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 준유한하다는 것은 \(\mathfrak q\)가 그 올의 고립점을 정의한다는 뜻이다. 대수, 정의 00PL를 보라.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. 사상 \(f\)가 점 \(x \in X\)에서 준유한이라고 함은 아핀 근방 \(\Spec(A) = U \subset X\)가 \(x\)를 포함하고 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)가 존재하여 \(f(U) \subset V\)이고 환 사상 \(R \to A\)가 유한형이며, \(R \to A\)가 \(A\)의 소 아이디얼 가운데 \(x\)에 대응하는 것에서 준유한인 경우이다 (위의 정의를 보라).

2. \(f\)가 국소적으로 준유한이라고 함은 \(f\)가 각 점 \(x\)에서 준유한이고 이 점들이 \(X\)의 모든 점을 달리는 경우이다.

3. \(f\)가 준유한이라고 함은 \(f\)가 유한형이고 모든 점 \(x\)가 그 올의 고립점인 경우이다.

자명하게 국소적으로 준유한인 사상은 국소적으로 유한형이다. 아래에서 국소적으로 유한형인 사상 \(f\)가 점 \(x\)에서 준유한인 것은 \(x\)가 그 올에서 고립점인 것과 동치임을 보일 것이다. 더 나아가 사상이 준유한인 점들의 집합은 열린집합이다. 이는 자리스키의 주정리를 다루는 절 03GS에서 보인다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 점 \(x \in X\)를 택하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(\kappa(x)/\kappa(s)\)가 대수적 체 확장이면

1. \(x\)는 그 올의 닫힌점이다.

2. 추가로 \(s\)가 \(S\)의 닫힌점이면 \(x\)는 \(X\)의 닫힌점이다.

증명

두 번째 명제는 초등 위상수학에 의해 첫 번째 명제에서 따른다. 첫 번째 명제를 증명하기 위해 스킴, 보조정리 01K1에 따라 \(X\)를 \(X_s\)로, \(S\)를 \(\Spec(\kappa(s))\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(S = \Spec(k)\)가 체의 스펙트럼이라고 가정할 수 있다. 이 경우 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\) 중 \(x\)를 포함하는 것을 하나 택하자. 점 \(x\)는 \(\mathfrak q \subset A\)인 소 아이디얼에 대응하고 \(\kappa(\mathfrak q)/k\)는 대수적 체 확장이다. 대수, 보조정리 00GA에 의해 \(\mathfrak q\)는 극대 아이디얼이다. 즉 \(x \in U\)는 닫힌점이다. 아핀 열린집합들이 \(X\)의 위상의 기저를 이루므로 \(\{x\}\)가 닫힌집합임을 결론내린다.

다음 보조정리는 힐베르트 영점정리의 한 형태이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 점 \(x \in X\)를 택하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(x\)가 그 올의 닫힌점인 것은 \(\kappa(x)/\kappa(s)\)가 유한 체 확장인 것과 동치이다.

증명

확장이 유한이면 위의 보조정리 01TE에 의해 \(x\)는 올의 닫힌점이다. 역으로 \(x\)가 그 올의 닫힌점이라고 가정하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)와 \(\Spec(R) = V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)가 되도록 택하자. 보조정리 01T2에 의해 환 사상 \(R \to A\)는 유한형이다. 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)와 \(\mathfrak p \subset R\)를 각각 \(x\)와 \(s\)에 대응하도록 택하자. 올 환을 \(\overline{A} = A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)로 두자. \(\overline{\mathfrak q}\)를 \(\overline{A}\)의 소 아이디얼 중 \(\mathfrak q\)에 대응하는 것으로 두자. \(x\)가 그 올의 닫힌점이라는 가정은 \(\overline{\mathfrak q}\)가 \(\overline{A}\)의 극대 아이디얼임을 뜻한다. \(\overline{A}\)는 체 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위의 유한형 대수이므로 힐베르트 영점정리에 의해, 대수, 정리 00FV를 보라. \(\kappa(\overline{\mathfrak q})\)는 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 유한 확장이다. \(\kappa(s) = \kappa(\mathfrak p)\)이고 \(\kappa(x) = \kappa(\mathfrak q) = \kappa(\overline{\mathfrak q})\)이므로 결과를 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소적으로 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(g : S' \to S\)를 임의의 사상이라 하자. 기저변환을 \(f' : X' \to S'\)로 표시하자. \(x' \in X'\)가 점 \(x \in X\)로 사상되고 \(X_{f(x)}\)에서 닫힌점이면 \(x'\)는 \(X'_{f'(x')}\)에서 닫힌점이다.

증명

잉여체 \(\kappa(x')\)는 \(\kappa(f'(x')) \otimes_{\kappa(f(x))} \kappa(x)\)의 몫이다. 스킴, 보조정리 01JT를 보라. 따라서 \(\kappa(f'(x'))\)의 유한 확장이다. 실제로 \(\kappa(x)\)는 \(\kappa(f(x))\)의 유한 확장이다. 이는 보조정리 01TF에 따른다. 그러므로 그 보조정리를 한 번 더 적용하면 \(x'\)가 그 올에서 닫힌점임을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 점 \(x \in X\)를 택하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(f\)가 \(x\)에서 준유한이면 잉여체 확장 \(\kappa(x)/\kappa(s)\)는 유한이다.

증명

이는 대수, 정의 00PL에서 자명하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 점 \(x \in X\)를 택하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(X_s\)를 \(f\)의 \(s\)에서의 올이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다.

2. 점 \(x\)는 \(X_s\)의 고립점이다.

3. 점 \(x\)는 \(X_s\)에서 닫혀 있고, \(x' \in X_s\), \(x' \not = x\)이면서 \(x\)로 특수화되는 점은 없다.

4. \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\)인 임의의 두 아핀 열린집합이 \(f(U) \subset V\)를 만족하고, \(x \in U\)가 \(\mathfrak q \subset A\)에 대응하면 환 사상 \(R \to A\)는 \(\mathfrak q\)에서 준유한이다.

증명

\(f\)가 \(x\)에서 준유한이라고 가정하자. 가정에 따라 \(U \subset X\), \(V \subset S\)인 열린집합들이 존재하여 \(f(U) \subset V\), \(x \in U\)이고 \(x\)는 \(U_s\)의 고립점이다. 따라서 \(\{x\} \subset U_s\)는 열린 부분집합이다. \(U_s = U \cap X_s \subset X_s\) 역시 열린집합이므로 \(\{x\} \subset X_s\)도 열린 부분집합이다. 따라서 \(x\)는 \(X_s\)의 고립점이다.

\(X_s\)는 보조정리 02J6와 보조정리 01T4에 의해 야콥슨 스킴임에 유의하자. \(x\)가 \(X_s\)에서 고립되어 있다면, 즉 \(\{x\} \subset X_s\)가 열려 있다면, \(\{x\}\)는 야콥슨 성질에 의해 닫힌점을 포함한다. 따라서 \(x\)는 \(X_s\)에서 닫혀 있다. 또한 \(x' \in X_s\)가 \(x\)와 다르면서 \(x\)로 특수화되는 일은 없음이 자명하다.

\(x\)가 \(X_s\)에서 닫혀 있고 \(x' \in X_s\)가 \(x\)와 다르면서 \(x\)로 특수화되는 일은 없다고 가정하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\)가 \(f(U) \subset V\)와 \(x \in U\)를 만족한다고 하자. \(\mathfrak q \subset A\)는 \(x\)에, \(\mathfrak p \subset R\)는 \(s\)에 대응한다고 하자. 보조정리 01T2에 의해 환 사상 \(R \to A\)는 유한형이다. 올 환 \(\overline{A} = A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)를 생각하자. \(\overline{\mathfrak q}\)를 \(\overline{A}\)의 소 아이디얼 중 \(\mathfrak q\)에 대응하는 것이라 하자. \(\Spec(\overline{A})\)는 올 \(X_s\)의 열린 부분스킴이므로 \(\overline{q}\)는 \(\overline{A}\)의 극대 아이디얼이고, \(\Spec(\overline{A})\)에는 \(\overline{\mathfrak q}\)로 특수화되는 점이 없다. 이는 \(\dim(\overline{A}_{\overline{q}}) = 0\)임을 뜻한다. 따라서 대수, 정의 00PL에 의해 \(R \to A\)는 \(\mathfrak q\)에서 준유한이다. 즉 정의에 따라 \(X \to S\)는 \(x\)에서 준유한이다.

이제 조건 (1)–(3)이 모두 동치임을 보였다. (4)가 (1)을 함의함은 자명하다. 또한 (2)가 (4)를 함의함도 자명하다. 실제로 \(x\)가 \(X_s\)의 고립점이면 그 점은 \(U_s\)에서도 고립점이다. 여기서 \(U\)는 그 점을 포함하는 임의의 열린집합이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소적으로 유한형이다.

2. \(f^{-1}(\{s\})\)는 유한집합이다.

그러면 \(X_s\)는 유한 이산 위상공간이고, \(f\)는 \(X\)에서 \(s\) 위에 놓이는 각 점에서 준유한이다.

증명

\(T\)가 (a) 체 \(k\) 위에서 국소적으로 유한형이고 (b) 점이 유한개인 스킴이라고 하자. 그러면 보조정리 02J6에 의해 \(T\)는 야콥슨 스킴이다. 유한 야콥슨 공간은 이산공간이다. 위상수학, 보조정리 07JU를 보라. 이 관찰을 올 \(X_s\)에 적용하자. 이 올은 \(\Spec(\kappa(s))\) 위에서 국소적으로 유한형이므로 첫 번째 명제를 얻는다. 마지막으로 보조정리 01TH를 적용하면 두 번째 명제를 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 국소적으로 준유한이다.

2. 모든 \(s \in S\)에 대해 올 \(X_s\)는 이산 위상공간이다.

3. 모든 사상 \(\Spec(k) \to S\)에 대해, 여기서 \(k\)는 체이며, 기저변환 \(X_k\)의 바탕 위상공간은 이산공간이다.

증명

(3)이 (2)를 함의함은 즉시 알 수 있다. 보조정리 01TH에 의해 (2)와 (1)은 동치이다. (2)를 가정하고 (3)에서와 같이 \(\Spec(k) \to S\)가 주어졌다고 하자. 그 상을 \(s \in S\)라 하자. 이 점은 \(\Spec(k) \to S\)의 상이다. 그러면 \(X_k\)는 \(X_s\)를 \(\Spec(k) \to \Spec(\kappa(s))\)로 기저변환하여 얻어진다. 따라서 보조정리 053M에 의해 \(X_k\)의 모든 점은 닫혀 있다. 또한 \(X_k \to \Spec(k)\)는 보조정리 01T4에 의해 국소적으로 유한형이므로, 보조정리 01TH를 적용하면 \(X_k\)의 모든 점이 고립되어 있음을, 즉 \(X_k\)의 바탕 위상공간이 이산공간임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 준유한인 것은 \(f\)가 국소적으로 준유한이고 준콤팩트인 것과 동치이다.

증명

\(f\)가 준유한이라고 가정하자. 정의 01T1에 의해 이는 준콤팩트이다. \(x \in X\)라 하자. 보조정리 01TH에 의해 \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다. 따라서 \(f\)는 준콤팩트이고 국소적으로 준유한이다.

\(f\)가 준콤팩트이고 국소적으로 준유한이라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 유한형이다. 점 \(x \in X\)를 택하자. 보조정리 01TH에 의해 \(x\)는 그 올의 고립점이다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 준유한이다.

2. \(f\)는 국소적으로 유한형이고 준콤팩트이며 올이 유한하다.

증명

\(f\)가 준유한이라고 가정하자. 특히 \(f\)는 국소적으로 유한형이고 준콤팩트이다(유한형이기 때문이다). \(s \in S\)라 하자. 모든 \(x \in X_s\)가 \(X_s\)의 고립점이므로 \(X_s = \bigcup_{x \in X_s} \{x\}\)는 열린 덮개이다. \(f\)가 준콤팩트이므로 올 \(X_s\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(X_s\)는 유한하다.

역으로 \(f\)가 국소적으로 유한형이고 준콤팩트이며 유한한 올을 갖는다고 하자. 그러면 보조정리 02NG에 의해 국소적으로 준유한하다. 따라서 보조정리 01TJ에 의해 준유한하다.

환 사상 \(R \to A\)가 유한형이고 \(A\)의 모든 소 아이디얼에서 준유한일 때 이를 준유한이라고 한다는 것을 상기하자. 대수, 정의 00PL를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 준유한이다.

2. \(U \subset X\), \(V \subset S\)인 임의의 두 아핀 열린집합이 \(f(U) \subset V\)를 만족하면 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 준유한이다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)는 국소적으로 준유한이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 모든 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 준유한이다.

더 나아가 \(f\)가 국소적으로 준유한이면 \(U \subset X\), \(V \subset S\)인 임의의 열린 부분스킴이 \(f(U) \subset V\)를 만족할 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 국소적으로 준유한이다.

증명

환 사상 \(R \to A\)에 대해 \(P(R \to A)\)를 “\(R \to A\)는 준유한이다”라는 뜻으로 정의하자 (보조정리 앞의 주의를 보라). \(P\)가 환 사상의 국소적 성질임을 보이겠다. 정의 01SR의 조건 (a), (b), (c)를 확인한다. 보조정리 01T2의 증명에서 “유한형”이라는 성질에 대해 (a), (b), (c)가 성립함을 보였다. 유한형 환 사상 \(R \to A\)에 대해 \(R \to A\)가 \(\mathfrak q\)에서 준유한이라는 성질은 국소환 \(A_{\mathfrak q}\)의 \(R_{\mathfrak p}\)-대수 구조에만 의존한다. 여기서 \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)이다(통상적인 기호의 남용이다). 이 관찰들로부터 정의 01SR의 (a), (b), (c)가 곧바로 따른다. 예를 들어 환 사상 \(R \to A\)가 주어지고, 모든 환 사상 \(R \to A_{a_i}\)가 준유한이라고 하자. 여기서 \(a_1, \ldots, a_n \in A\)는 단위원 아이디얼을 생성한다. 그러면 \(R \to A\)는 유한형이다. 또한 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해 국소환 \(A_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-대수로서 국소환 \((A_{a_i})_{\mathfrak q_i}\)와 동형이다. 여기서 적당한 \(i\)와 \(\mathfrak q_i \subset A_{a_i}\)를 택한다. 따라서 \(R \to A\)는 \(\mathfrak q\)에서 준유한이다.

따라서 앞 단락의 \(P\)에 보조정리 01ST를 적용할 수 있다. 그러므로 \(f\)가 국소적으로 준유한인 것과 \(f\)가 국소적으로 \(P\)형인 것이 동치임을 보이면 충분하다. \(P(R \to A)\)는 “\(R \to A\)는 준유한이다”라는 뜻이며, 이는 \(R \to A\)가 \(A\)의 모든 소 아이디얼에서 준유한이라는 뜻이다. 따라서 이 동치는 보조정리 01TH에서 따른다.

보조정리

국소적으로 준유한인 두 사상의 합성은 국소적으로 준유한이다. 준유한 사상들에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

보조정리 01TK의 증명에서 \(P =\)“준유한”이 환 사상의 국소적 성질이고, 스킴의 사상이 국소적으로 준유한인 것과 정의 01SS의 의미에서 국소적으로 \(P\)형인 것이 동치임을 보였다. 따라서 보조정리의 첫 번째 명제는 보조정리 01SV와 준유한성이 합성에 대해 안정적인 환 사상의 성질이라는 사실을 함께 적용하면 따른다. 대수, 보조정리 00PO를 보라. 위의 사실, 보조정리 01TJ, 그리고 준콤팩트 사상의 합성이 준콤팩트라는 사실을 함께 적용하자. 스킴, 보조정리 01K6를 보라. 그러면 준유한 사상들의 합성이 준유한임을 알 수 있다.

뒤에서(보조정리 01TI) 다음 보조정리의 집합 \(U\)가 열린집합임을 보일 것이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f' : X' \to S'\)를 \(f\)의 \(g\)에 의한 기저변환이라 하고, \(g' : X' \to X\)를 사영이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이라고 가정하자.

1. \(U \subset X\)(각각 \(U' \subset X'\))를 \(f\)(각각 \(f'\))가 준유한인 점들의 집합이라 하자. 그러면 \(U' = U \times_S S' = (g')^{-1}(U)\)이다.

2. 국소적으로 준유한인 사상의 기저변환은 국소적으로 준유한이다.

3. 준유한 사상의 기저변환은 준유한이다.

증명

첫 번째와 두 번째 명제는 대응하는 대수 결과에서 따른다. 대수, 보조정리 00PP를 보라. 여기에는 보조정리 01T4에 의해 \(f'\)도 국소적으로 유한형이라는 사실을 함께 사용한다. 위의 사실과 보조정리 01TJ, 그리고 준콤팩트 사상의 기저변환이 준콤팩트라는 사실을 함께 적용하자. 스킴, 보조정리 01K5를 보라. 그러면 준유한 사상의 기저변환이 준유한임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \(X\)에서 \(s\) 위에 놓이고 \(f\)가 준유한인 점은 유한개 이하이다.

증명

올 \(X_s\)는 체 위의 유한형 스킴이므로 뇌터 스킴이다 (보조정리 01T6). 따라서 \(X_s\)의 위상은 뇌터 위상이고(성질, 보조정리 01OZ), 고립점은 유한개 이하일 수밖에 없다(초등 위상수학에 따른다). 그러므로 보조정리 01TH에서 이 보조정리가 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형인 모노사상이면 \(f\)는 분리이고 국소적으로 준유한이다.

증명

모노사상은 분리이다. 스킴, 보조정리 01L4를 보라. 모노사상은 단사이므로, 예를 들어 보조정리 01TH에 의해 \(f\)는 모든 \(x \in X\)에서 준유한이다.

보조정리

모든 몰입은 국소적으로 준유한이다.

증명

열린몰입은 국소 동형이고 닫힌몰입은 자명하게 준유한이므로 성립한다.

보조정리

\(X \to Y\)를 기저 스킴 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(X \to S\)가 \(x\)에서 준유한이면 \(X \to Y\)도 \(x\)에서 준유한이다. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 준유한이면 \(X \to Y\)도 국소적으로 준유한이다.

증명

보조정리 01TK를 통하면 이는 다음 대수적 사실로 옮겨진다. 환 사상 \(A \to B \to C\)가 주어지고 \(A \to C\)가 준유한이면 \(B \to C\)도 준유한이다. 이는 대수, 보조정리 00PN에서 \(R = A\), \(S = S' = C\), \(R' = B\)로 두면 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 전사이고 \(g \circ f\)가 국소적으로 준유한이며 \(g\)가 국소적으로 유한형이면 \(g : Y \to S\)는 국소적으로 준유한이다.

증명

\(x \in X\)를 택하고 그 상들을 \(y \in Y\), \(s \in S\)라 하자. \(g \circ f\)가 국소적으로 준유한이므로 보조정리 01TG에 의해 \(\kappa(x)/\kappa(s)\)는 유한 확장이다. 따라서 \(\kappa(y)/\kappa(s)\)도 유한 확장이다. 그러므로 보조정리 01TE에 의해 \(y\)는 \(Y_s\)의 닫힌점이다. \(f\)가 전사이므로 \(Y\)의 모든 점은 \(S\) 위의 자기 올에서 닫혀 있다. 따라서 보조정리 01TH에 의해 \(g\)는 모든 점에서 준유한이다.

유한 표시의 사상

환 사상 \(R \to A\)에 대해 \(A\)가 \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)과 \(R\)-대수로서 동형이고, 여기서 어떤 \(n, m\)과 어떤 다항식 \(f_j\)를 택할 수 있을 때 이를 유한 표시라고 한다는 것을 상기하자. 대수, 정의 00F3를 보라.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. \(f\)가 \(x \in X\)에서 유한 표시라고 함은, 아핀 열린 근방 \(\Spec(A) = U \subset X\)가 \(x\)를 포함하고, 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)가 존재하여 \(f(U) \subset V\)이고 유도된 환 사상 \(R \to A\)가 유한 표시인 경우이다.

2. \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 유한 표시이면 이를 국소적으로 유한 표시라고 한다.

3. \(f\)가 국소적으로 유한 표시이고 준콤팩트이며 준분리이면 이를 유한 표시라고 한다.

유한 표시인 사상은 단지 국소적으로 유한 표시인 준콤팩트 사상이 아님에 유의하자. 뒤에서 국소적으로 유한 표시인 사상을, 아핀 스킴들의 임의의 유향계 \(T_i\)가 \(S\) 위에 있을 때 \[\colim \Mor_S(T_i, X) = \Mor_S(\lim T_i, X)\] 를 만족하는 사상으로 특징지을 것이다. 극한, 명제 01ZC를 보라. 극한, 절 01ZL에서는 \(S = \lim_i S_i\)가 아핀 스킴들의 극한이고 \(X\)가 \(S\) 위에서 유한 표시이면 \(X_i\)를 \(S_i\) 위의 스킴이라 할 때 적당한 \(i\)에 대해 그 스킴으로 하강함을 보인다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)가 \(f(U) \subset V\)를 만족하면 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 유한 표시이다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)가 국소적으로 유한 표시이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 유한 표시이다.

더 나아가 \(f\)가 국소적으로 유한 표시이면 \(U \subset X\), \(V \subset S\)인 임의의 열린 부분스킴이 \(f(U) \subset V\)를 만족할 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 국소적으로 유한 표시이다.

증명

“\(R \to A\)는 유한 표시이다”라는 성질이 국소적임을 보이면 보조정리 01SU에서 따른다. 정의 01SR의 조건 (a), (b), (c)를 확인하자. 유한 표시라는 성질은 기저변환에 대해 안정적이므로 대수, 보조정리 05G5에 의해 (a)가 성립한다. 대수, 보조정리 00F4에 의해 유한 표시는 합성에 대해 안정적이고, 임의의 환 \(R\)에 대해 환 사상 \(R \to R_f\)가 유한 표시임은 자명하다. 따라서 (b)가 성립한다. 마지막으로 대수, 보조정리 00EP에 의해 성질 (c)가 성립한다.

보조정리

국소적으로 유한 표시인 두 사상의 합성은 국소적으로 유한 표시이다. 유한 표시인 사상들에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

보조정리 01TQ의 증명에서 유한 표시라는 성질이 환 사상의 국소적 성질임을 보였다. 따라서 보조정리의 첫 번째 명제는 보조정리 01SV와 유한 표시라는 성질이 합성에 대해 안정적인 환 사상의 성질이라는 사실을 함께 적용하면 따른다. 대수, 보조정리 00F4를 보라. 위의 사실과 준콤팩트이고 준분리인 사상들의 합성이 다시 준콤팩트이고 준분리라는 사실을 함께 사용하자. 스킴, 보조정리 01K6와 01KU를 보라. 그러면 유한 표시인 사상들의 합성도 유한 표시임을 알 수 있다.

보조정리

국소적으로 유한 표시인 사상의 기저변환은 국소적으로 유한 표시이다. 유한 표시인 사상에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

보조정리 01TQ의 증명에서 유한 표시라는 성질이 환 사상의 국소적 성질임을 보였다. 따라서 보조정리의 첫 번째 명제는 보조정리 01SV와 유한 표시라는 성질이 기저변환에 대해 안정적인 환 사상의 성질이라는 사실을 함께 적용하면 따른다. 대수, 보조정리 05G5를 보라. 위의 사실과 준콤팩트이고 준분리인 사상의 기저변환이 다시 준콤팩트이고 준분리라는 사실을 함께 사용하자. 스킴, 보조정리 01K5와 01KU를 보라. 그러면 유한 표시인 사상의 기저변환도 유한 표시임을 알 수 있다.

보조정리

모든 열린몰입은 국소적으로 유한 표시이다.

증명

열린몰입은 국소 동형이므로 성립한다.

보조정리

열린몰입이 유한 표시인 것은 준콤팩트인 것과 동치이다.

증명

열린몰입이 국소적으로 유한 표시임은 이미 보였다 (보조정리 01TT). 몰입이 분리이고 따라서 준분리임도 이미 보았다 (스킴, 보조정리 01L7). 이 사실들과 정의 01TP에서 보조정리가 따른다.

보조정리

닫힌몰입 \(i : Z \to X\)가 유한 표시인 것은 대응하는 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 유한형인 것과 동치이다.

증명

임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(R) \subset X\) 위에서 \(i^{-1}(\Spec(R)) = \Spec(R/I)\)이고 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)이다. 더 나아가 \(\mathcal{I}\)가 유한형인 것은 모든 이러한 아핀 열린집합에 대해 \(I\)가 유한 \(R\)-가군인 것과 동치이다 (성질, 보조정리 01PB를 보라). 또한 \(R/I\)가 \(R\) 위에서 유한 표시인 것은 \(I\)가 유한 \(R\)-가군인 것과 동치이다. 따라서 결론을 얻는다.

보조정리

국소적으로 유한 표시인 사상은 국소적으로 유한형이다. 유한 표시인 사상은 유한형이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자.

1. \(S\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다.

2. \(S\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 유한형이면 \(f\)는 유한 표시이다.

증명

첫 번째 명제는 뇌터 환 위의 유한형 환이 유한 표시라는 사실에서 따른다. 대수, 보조정리 00FP를 보라. \(f\)가 유한형이고 \(S\)가 국소 뇌터라고 하자. 그러면 (1)에 의해 \(f\)는 준콤팩트이고 국소적으로 유한 표시이다. 따라서 \(f\)가 준분리임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 01T7와 보조정리 01TW에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 유한 표시이면 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자.

1. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시이고 \(Y\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이면 \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다.

2. \(X\)가 \(S\) 위에서 유한 표시이고 \(Y\)가 준분리이며 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이면 \(f\)는 유한 표시이다.

증명

(1)을 증명하자. 보조정리 01TQ를 통하면 이는 다음 대수적 사실로 옮겨진다. 환 사상 \(A \to B \to C\)가 주어지고 \(A \to C\)가 유한 표시이며 \(A \to B\)가 유한형이면 \(B \to C\)는 유한 표시이다. 대수, 보조정리 00F4를 보라.

(2)는 (1)과 스킴, 보조정리 01KV 및 03GI에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 대각사상 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)를 갖는 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(\Delta\)는 국소적으로 유한 표시이다. \(f\)가 준분리이고 국소적으로 유한형이면 \(\Delta\)는 유한 표시이다.

증명

\(\Delta\)는 \(X\) 위의 스킴 사상임에 유의하자(두 번째 사영 \(X \times_Y X \to X\)를 통한다). \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 하자. \(X\)는 \(X\) 위에서 유한 표시이고, \(X \times_Y X\)는 \(X\) 위에서 국소적으로 유한형이다(보조정리 01T4). 따라서 첫 번째 명제는 보조정리 02FV에서 따른다. 두 번째 명제는 첫 번째 명제와 정의들, 그리고 대각사상이 모노사상이므로 분리라는 사실에서 따른다(스킴, 보조정리 01L4).

구성가능 집합

스킴의 구성가능 집합과 국소 구성가능 집합은 성질, 절 054B에서 다루었다. 이 절에서는 (국소) 구성가능 집합의 상과 역상에 관한 결과들을 증명한다. 주요 결과는 유한 표시인 사상 아래 국소 구성가능 집합의 상이 국소 구성가능임을 말하는 슈발레 정리이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(E \subset Y\)를 부분집합이라 하자. \(E\)가 \(Y\)에서 (국소) 구성가능이면 \(f^{-1}(E)\)는 \(X\)에서 (국소) 구성가능이다.

증명

모든 구성가능 부분집합의 역상이 구성가능임을 보이려면 모든 역콤팩트 열린집합 \(V\)가 \(Y\)에 있을 때 그 역상이 \(X\)에서 역콤팩트임을 보이면 충분하다. 위상수학, 보조정리 005I를 보라. \(V\)가 \(Y\)에서 역콤팩트라는 것은 열린몰입 \(V \to Y\)가 준콤팩트라는 뜻이다. 따라서 그 기저변환 \(f^{-1}(V) = X \times_Y V \to X\)도 준콤팩트이다. 스킴, 보조정리 01K5를 보라. 그러므로 \(f^{-1}(V)\)는 \(X\)에서 역콤팩트이다. \(E\)가 \(Y\)에서 국소 구성가능이라고 하자. \(x \in X\)를 택하자. 아핀 근방 \(V\)를 \(f(x)\)에 대해 택하고, 아핀 근방 \(U \subset X\)를 \(x\)에 대해 택하되 \(f(U) \subset V\)가 되도록 택하자. 따라서 \(f|_U : U \to V\)를 \(V\)로 가는 사상으로 생각한다. 성질, 보조정리 054C에 의해 \(E \cap V\)는 \(V\)에서 구성가능하다. 구성가능한 경우에 의해 \((f|_U)^{-1}(E \cap V)\)는 \(U\)에서 구성가능하다. 마지막으로 \((f|_U)^{-1}(E \cap V) = f^{-1}(E) \cap U\)이므로 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 준콤팩트이고 국소적으로 유한 표시이다.

2. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 \(X\)의 모든 구성가능 부분집합의 상은 \(Y\)에서 구성가능이다.

증명

성질, 보조정리 054E에 의해 \(Y\)가 아핀인 경우에만 이 보조정리를 증명하면 충분하다. 이 경우 \(X\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)로 쓸 수 있으며, 각 \(U_i\)는 \(X\)의 아핀 열린집합이다. \(E \subset X\)가 구성가능이면 각 \(E \cap U_i\)도 구성가능이다. 위상수학, 보조정리 005J를 보라. \(f(E) = \bigcup f(E \cap U_i)\)이고 구성가능 집합들의 유한 합집합은 구성가능이므로, \(X\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우에는 대수, 정리 00FE가 바로 그 결과이다.

정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이고 국소적으로 유한 표시라고 가정하자. 그러면 모든 국소 구성가능 부분집합의 상은 국소 구성가능이다.

증명

\(E \subset X\)를 국소 구성가능이라 하자. \(f(E)\)도 국소 구성가능임을 보여야 한다. \(f(E) \cap V\)가 임의의 아핀 열린집합 \(V \subset Y\)에 대해 구성가능임을 보이겠다. 따라서 \(Y\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우 \(X\)는 준콤팩트이다. 그러므로 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)로 쓸 수 있으며, 각 \(U_i\)는 \(X\)의 아핀 열린집합이다. \(E \subset X\)가 국소 구성가능이면 각 \(E \cap U_i\)는 구성가능이다. 성질, 보조정리 054C를 보라. \(f(E) = \bigcup f(E \cap U_i)\)이고 구성가능 집합들의 유한 합집합은 구성가능이므로, \(X\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우에는 대수, 정리 00FE가 바로 그 결과이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(E \subset X\)를 국소 구성가능 부분집합이라 하자. \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\)이면 \(E\)는 \(x\)의 열린 근방을 포함한다.

증명

\(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\)라고 가정하자. \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(E\)는 구성가능이다. 성질, 보조정리 054C를 보라. 특히 여집합 \(E^c\)도 구성가능이다. 대수, 보조정리 00F8에 의해 아핀 스킴의 사상 \(f : Y \to X\)를 \(E^c = f(Y)\)가 되도록 찾을 수 있다. \(Z \subset X\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. 보조정리 02JQ와 가정 \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\)에 의해 \(x \not \in Z\)이다. 따라서 \(X \setminus Z \subset E\)는 \(x\)의 열린 근방이며 \(E\)에 포함된다.

열린 사상

정의

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자.

1. 바탕 위상공간 사이의 사상이 열린사상이면 \(f\)를 열린 사상이라 한다.

2. \(f\)가 보편적으로 열린 사상이라고 함은 스킴의 임의의 사상 \(S' \to S\)에 대해 기저변환 \(f' : X_{S'} \to S'\)가 열린사상인 경우이다.

위상수학, 보조정리 0066에 따르면 위상공간의 특정한 열린사상을 따라 일반화를 들어 올릴 수 있다. 사실 스킴의 임의의 열린 사상을 따라서도 일반화를 들어 올릴 수 있다(보조정리 040F를 보라). 또한 스킴의 평탄 사상을 따라서도 일반화를 들어 올릴 수 있음을 보일 것이다(보조정리 03HV). 이 사실이 다시 그 사상이 열린사상임을 뜻하는 경우가 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 사상이라 하자.

1. \(f\)가 국소적으로 유한 표시이고 \(f\)를 따라 일반화를 들어 올릴 수 있으면 \(f\)는 열린사상이다.

2. \(f\)가 국소적으로 유한 표시이고 \(f\)의 모든 기저변환을 따라 일반화를 들어 올릴 수 있으면 \(f\)는 보편적으로 열린 사상이다.

증명

첫 번째 명제만 증명하면 충분하다. \(X\)와 \(S\)가 모두 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우에는 대수, 보조정리 00HW와 명제 00I1에서 결과가 따른다.

유한 표시인 평탄 사상의 경우에는 보조정리 01UA도 보라.

보조정리

(보편적으로) 열린 사상들의 합성은 (보편적으로) 열린 사상이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 구조사상 \(X \to \Spec(k)\)는 보편적으로 열린 사상이다.

증명

\(S \to \Spec(k)\)를 사상이라 하자. 기저변환 \(X_S \to S\)가 열린사상임을 보여야 한다. 이 문제는 \(S\)와 \(X\)에 대해 국소적이므로 \(S\)와 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우에는 대수, 보조정리 037G에서 결과가 따른다.

보조정리

\(\varphi : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\varphi\)가 열린사상이면 \(\varphi\)는 일반화 보존 사상이다 (즉 \(\varphi\)를 따라 일반화를 들어 올릴 수 있다). \(\varphi\)가 보편적으로 열린 사상이면 \(\varphi\)는 보편적으로 일반화 보존 사상이다.

증명

\(\varphi\)가 열린사상이라고 가정하자. 점들의 특수화 \(y' \leadsto y\)가 \(Y\)에서 주어졌다고 하자. \(x \in X\)가 \(\varphi(x) = y\)를 만족한다고 하자. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)를 \(\varphi(U) \subset V\)와 \(x \in U\)가 성립하도록 택하자. 그러면 \(y' \in V\)도 성립한다. 따라서 \(X\)를 \(U\)로, \(Y\)를 \(V\)로 바꾸어 \(X\), \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 아핀인 경우는 대수, 보조정리 0407와 대수, 보조정리 00HW에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(g : Y' \to Y\)가 열린 전사이고 기저변환 \(f' : X' \to Y'\)가 준콤팩트라고 하자. 그러면 \(f\)는 준콤팩트이다.

증명

\(V \subset Y\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(g\)가 열린 전사이므로 준콤팩트 열린집합 \(W' \subset W\)를 \(g(W') = V\)가 되도록 찾을 수 있다. 가정에 의해 \((f')^{-1}(W')\)는 준콤팩트이다. \((f')^{-1}(W')\)의 \(X\)에서의 상은 \(f^{-1}(V)\)와 같다. 보조정리 0495를 보라. 따라서 \(f^{-1}(V)\)는 준콤팩트 공간의 상이므로 준콤팩트이다. 위상수학, 보조정리 04Z9를 보라. 따라서 \(f\)는 준콤팩트이다.

몫사상

정의

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. 바탕 위상공간 사이의 연속사상이 몫사상이면 \(f\)를 몫사상⁷이라 한다. 위상수학, 정의 0406를 보라.

2. \(f\)를 보편적 몫사상이라고 함은 스킴의 모든 사상 \(Y' \to Y\)에 대해 기저변환 \(Y' \times_Y X \to Y'\)가 몫사상인 경우이다.

몫사상은 특히 전사임에 유의하자.

보조정리

스킴의 보편적 몫사상을 스킴의 임의의 사상으로 기저변환하면 다시 보편적 몫사상이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

스킴의 두 (보편적) 몫사상의 합성은 (보편적) 몫사상이다.

증명

생략한다.

평탄 사상

평탄성은 대수기하학에서 가장 중요한 기술적 도구 가운데 하나이다. 이 절에서는 이 개념을 도입한다. 보조정리 01UA을 제외하고는 의도적으로 직접적인 관찰들만 다룬다. 매우 중요한 부류의 결과인 평탄성의 판정법은 대수, 절 00MD, 051E, 00R3와 사상 추가, 절 039A에서 다룬다. 스킴의 평탄 사상에 관한 고급 내용을 전담하는 장도 있다. 평탄성 추가, 절 057N을 보라.

가군 \(M\)이 환 \(R\) 위에 있고 함자 \(-\otimes_R M : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)가 완전할 때 평탄이라고 한다는 것을 상기하자. 환 사상 \(R \to A\)는 \(A\)가 \(R\)-가군으로서 평탄일 때 평탄이라고 한다. 대수, 정의 00HB을 보라.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자.

1. \(f\)가 점 \(x \in X\)에서 평탄이라고 함은 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 국소환 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\) 위에서 평탄인 경우이다.

2. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 점 \(x \in X\)에서 평탄이라고 함은 줄기 \(\mathcal{F}_x\)가 평탄 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-가군인 경우이다.

3. \(f\)가 평탄이라고 함은 \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 평탄인 경우이다.

4. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에 평탄이라고 함은 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이고, 이를 모든 점 \(x\)가 \(X\)를 달릴 때 요구하는 경우이다.

따라서 \(f\)가 평탄인 것은 구조층 \(\mathcal{O}_X\)가 \(S\) 위에서 평탄인 것과 동치이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 층 \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 평탄이다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)가 \(f(U) \subset V\)를 만족하면 \(\mathcal{O}_S(V)\)-가군 \(\mathcal{F}(U)\)는 평탄이다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 가군 \(\mathcal{F}|_{U_i}\)가 \(V_j\) 위에서 평탄이다. 이는 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 성립한다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}(U_i)\)가 평탄 \(\mathcal{O}_S(V_j)\)-가군이다. 이는 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 성립한다.

더 나아가 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이면 \(U \subset X\), \(V \subset S\)인 임의의 열린 부분스킴이 \(f(U) \subset V\)를 만족할 때 제한 \(\mathcal{F}|_U\)는 \(V\) 위에서 평탄이다.

증명

\(R \to A\)를 환 사상이라 하고 \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. \(M\)이 \(R\)-평탄이면 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대해 \(M_{\mathfrak q}\)는 \(R_{\mathfrak p}\) 위에서 평탄이다. 여기서 \(\mathfrak p\)는 \(R\)의 소 아이디얼 중 \(\mathfrak q\) 아래에 놓이는 것이다. 역으로 \(M_{\mathfrak q}\)가 \(R_{\mathfrak p}\) 위에서 평탄이고 이것이 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)가 \(A\)를 달릴 때 성립하면 \(M\)은 \(R\) 위에서 평탄이다. 대수, 보조정리 00HT을 보라. 이 동치에서 보조정리의 명제들이 쉽게 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 평탄이다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)가 \(f(U) \subset V\)를 만족하면 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 평탄이다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)가 평탄이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 평탄이다.

더 나아가 \(f\)가 평탄이면 \(U \subset X\), \(V \subset S\)인 임의의 열린 부분스킴이 \(f(U) \subset V\)를 만족할 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 평탄이다.

증명

이는 위의 보조정리 01U4의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 기저 스킴 \(S\) 위의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄인 것은 \(f_*\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄인 것과 동치이다.

증명

보조정리 01U4와 \(f\)가 아핀 사상이라는 사실에 의해 아핀인 경우로 환원된다. \(X \to Y \to S\)가 환 사상 \(C \leftarrow B \leftarrow A\)에 대응한다고 하자. \(N\)을 \(C\)-가군 중 \(\mathcal{F}\)에 대응하는 것이라 하자. \(f_*\mathcal{F}\)는 \(N\)에 대응하며, 여기서 이를 \(B\)-가군으로 본다는 것을 상기하자. 스킴, 보조정리 01I9를 보라. 따라서 결과는 자명하다.

보조정리

\(X \to Y \to Z\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)를 택하고 그 상 \(y\)가 \(Y\)에 놓인다고 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄이고 \(Y\)가 \(Z\) 위에서 \(y\)에서 평탄이면 \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄이다.

증명

대수, 보조정리 00HC을 보라.

보조정리

평탄 사상들의 합성은 평탄하다.

증명

이는 보조정리 01U6의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(g' : X' = X_{S'} \to X\)를 사영이라 하자. \(x' \in X'\)를 택하고 그 상이 \(x = g'(x') \in X\)라고 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 \(x\)에서 평탄이면 \((g')^*\mathcal{F}\)는 \(S'\) 위에서 \(x'\)에서 평탄이다. 특히 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이면 \((g')^*\mathcal{F}\)는 \(S'\) 위에서 평탄이다.

증명

대수, 보조정리 00HI를 보라.

보조정리

평탄 사상의 기저변환은 평탄하다.

증명

이는 보조정리 01U8의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(f\)를 따라 일반화를 들어 올릴 수 있다. 위상수학, 정의 0063를 보라.

증명

대수, 절 00HU을 보라.

보조정리

국소적으로 유한 표시인 평탄 사상은 보편적으로 열린 사상이다.

증명

이는 위의 보조정리 03HV과 보조정리 01U1에서 따른다. 다음과 같이 직접 논증할 수도 있다.

\(f : X \to S\)가 평탄이고 국소적으로 유한 표시라고 하자. 보조정리 01U9과 01TS에 의해 \(f\)의 모든 기저변환은 평탄이고 국소적으로 유한 표시이다. 따라서 \(f\)가 열린사상임을 보이면 충분하다. \(f\)가 열린사상임을 보이려면 \(X\)를 아핀 열린집합들 \(X = \bigcup U_i\)로 덮어서 \(U_i \to S\)가 열린사상이 되게 하면 충분하다. \(X\)를 아핀 열린집합 \(U_i \subset X\)들로 덮되 각 \(U_i\)가 아핀 열린집합 \(V_i \subset S\) 안으로 사상되고, 유도된 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V_i) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 평탄이고 유한 표시가 되게 할 수 있다(보조정리 01U5와 01TQ). 그러면 \(U_i \to V_i\)는 열린사상이다. 대수, 명제 00I1을 보라. 이로써 증명이 완성된다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한 표시이고, \(\mathcal{F}\)가 유한형이며, \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이고, \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄이라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 보편적으로 열린 사상이다.

증명

보조정리 01U8, 01TS, 그리고 056J에 의해 가정들은 기저변환 아래 보존된다. 보조정리 01U1에 의해 \(f\)를 따라 일반화를 들어 올릴 수 있음을 보이면 충분하다. 이는 대수, 보조정리 080T에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 준콤팩트인 평탄 전사라 하자. 부분집합 \(T \subset Y\)가 열린집합(각각 닫힌집합)인 것은 \(f^{-1}(T)\)가 열린집합(각각 닫힌집합)인 것과 동치이다. 달리 말하면 \(f\)는 몫사상이다.

증명

이 문제는 \(Y\)에 대해 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(X\)는 \(f\)가 준콤팩트이므로 준콤팩트이다. \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\)를 아핀 열린집합들의 유한 합집합으로 쓰자. 그러면 \(f' : X' = X_1 \amalg \ldots \amalg X_n \to Y\)는 아핀 스킴의 평탄 전사이다. \(T \subset Y\)에 대해 \((f')^{-1}(T) = f^{-1}(T) \cap X_1 \amalg \ldots \amalg f^{-1}(T) \cap X_n\) 임에 유의하자. 따라서 \(f^{-1}(T)\)가 열린집합인 것은 \((f')^{-1}(T)\)가 열린집합인 것과 동치이다. 그러므로 \(X\)와 \(Y\)가 모두 아핀이라고 가정해도 된다.

\(f : \Spec(B) \to \Spec(A)\)를 평탄 환 사상 \(A \to B\)에 대응하는 아핀 스킴의 전사라 하자. \(f^{-1}(T)\)가 닫힌집합이라고 하자. 이를 \(f^{-1}(T) = V(J)\)로 쓰자. 여기서 \(J \subset B\)는 아이디얼이다. 그러면 \(T = f(f^{-1}(T)) = f(V(J))\)는 \(\Spec(B/J) \to \Spec(A)\)의 상이다(여기서는 \(f\)가 전사임을 사용한다). 한편 \(f\)를 따라 일반화를 들어 올릴 수 있다(보조정리 03HV). 따라서 위상수학, 보조정리 0065에 의해 \(Y \setminus T = f(X \setminus f^{-1}(T))\)는 일반화 아래 안정적이다. 따라서 \(T\)는 특수화 아래 안정적이다(위상수학, 보조정리 0062). 그러므로 대수, 보조정리 00HY에 의해 \(T\)는 닫혀 있다.

보조정리

\(h : X \to Y\)를 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in X\)를 택하고 \(y = h(x) \in Y\)라 하자. \(h\)가 \(x\)에서 평탄이면 \[\mathcal{G}\text{ flat over }S\text{ at }y \Leftrightarrow h^*\mathcal{G}\text{ flat over }S\text{ at }x.\] 특히 \(h\)가 평탄 전사이면 \(\mathcal{G}\)가 \(S\) 위에서 평탄인 것은 \(h^*\mathcal{G}\)가 \(S\) 위에서 평탄인 것과 동치이다. \(h\)가 평탄 전사이고 \(X\)가 \(S\) 위에서 평탄이면 \(Y\)도 \(S\) 위에서 평탄이다.

증명

대수, 보조정리 0584을 적용하여 증명할 수 있다. 직접적인 증명을 제시하자. \(s \in S\)를 \(y\)의 상이라 하자. 국소환 사상들 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)를 생각하자. 가정에 의해 환 사상 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 충실 평탄이다. 대수, 보조정리 00HR를 보라. \(N = \mathcal{G}_y\)로 두자. 다음에 유의하자. \(h^*\mathcal{G}_x = N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x}\). 층, 보조정리 0098를 보라. \(M' \to M\)을 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군의 단사사상이라 하자. 위에서 말한 충실 평탄성에 의해 \[\begin{align*} \Ker( M' \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \to M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x} \\ = \Ker( M' \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x} \to M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x}) \end{align*}\] 이다. 따라서 보조정리의 동치는 대수, 보조정리 00HD의 두 번째 평탄성 특징에서 따른다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 그 스킴론적 지지집합을 \(Z \subset X\)라 하자. \(f\)가 평탄이면 \(f^{-1}(Z)\)는 \(f^*\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합이다.

증명

보조정리 05JU에 주어진 아핀 위의 스킴론적 지지집합 특징을 사용하면 대수, 보조정리 07T8로 환원된다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 평탄 사상이라 하자. \(V \subset Y\)를 스킴론적으로 조밀한 역콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면 \(f^{-1}V\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

증명

보조정리 01RE의 특징을 사용한다. 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 사상 \(\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_X(U \cap f^{-1}V)\)가 단사임을 보여야 한다. \(U\)가 아핀 열린집합이고 어떤 아핀 열린집합 \(W \subset Y\) 안으로 사상되는 경우에만 증명하면 충분하다. \(W = \Spec(A)\) 및 \(U = \Spec(B)\)라고 쓰자. \(V \cap W = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)이고 여기서 \(f_i \in A\)이다. 대수, 보조정리 00F6을 보라. 따라서 \(B \to B_{f_1} \times \ldots \times B_{f_n}\)이 단사임을 보여야 한다. \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\)이 단사이고 \(A \to B\)가 평탄임이 주어졌다. \(B_{f_i} = A_{f_i} \otimes_A B\)이므로 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 평탄 사상이라 하자. \(g : V \to Y\)를 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 \(g\)의 스킴론적 상이라 하고, \(Z' \subset X\)를 기저변환 \(V \times_Y X \to X\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Z' = f^{-1}Z\)이다.

증명

\(Z\)는 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to g_*\mathcal{O}_V)\)로 잘려 나오고, \(Z'\)는 \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_X \to (V \times_Y X \to X)_*\mathcal{O}_{V \times_Y X})\)로 잘려 나옴을 상기하자. 보조정리 01R8를 보라. 따라서 문제는 \(X\)와 \(Y\)에 대해 국소적이고, \(X\)와 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(V\)를 \(\coprod V_i\)로 바꾸어도 됨에 유의하자. 여기서 \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_n\)는 유한 아핀 열린 덮개이다. 따라서 \(g\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 \((V \times_Y X \to X)_*\mathcal{O}_{V \times_Y X}\)는 \(g_*\mathcal{O}_V\)의 \(f\)에 의한 당김이다. \(f\)가 평탄이므로 \(f^*\mathcal{I} = \mathcal{I}'\)이고 보조정리가 성립한다.

평탄 닫힌몰입

스킴의 연결 성분은 항상 열린집합인 것은 아니다. 그러나 항상 표준적인 스킴 구조를 갖는다. 이 절에서 이를 설명한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)의 닫힌 부분스킴에 그 바탕 닫힌 부분집합을 대응시키는 규칙은 다음 전단사를 정의한다. \[\left\{ \begin{matrix} \text{closed subschemes }Z \subset X \\ \text{such that }Z \to X\text{ is flat} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{closed subsets }Z \subset X \\ \text{closed under generalizations} \end{matrix} \right\}\] \(Z \subset X\)가 그러한 닫힌 부분스킴이면, 스킴의 모든 사상 \(g : Y \to X\)가 집합론적으로 \(g(Y) \subset Z\)를 만족할 때 스킴론적으로 \(Z\)를 통해 분해된다.

증명

전단사의 아핀 경우는 대수, 보조정리 04PU이다. 일반 스킴 \(X\)의 경우에는 \(X\)를 아핀들로 덮고 붙이기를 하여 전단사를 얻는다. 세부사항은 생략한다. 마지막 명제를 위해 사영 \(Z \times_{X, g} Y \to Y\)를 보자. 이는 평탄인 닫힌몰입이고 (보조정리 01U9), 바탕 위상공간 사이에서 전단사이므로 증명의 첫 부분에서 확립한 전단사에 의해 동형이어야 한다.

보조정리

유한 표시인 평탄 닫힌몰입은 열린닫힌 부분스킴의 열린몰입이다.

증명

아핀인 경우는 대수, 보조정리 05KK이다. 일반적인 경우에는 \(X\)를 아핀들로 덮으면 보조정리가 따른다. 세부사항은 생략한다.

연결 성분 \(T\)가 스킴 \(X\)에 속하면 이는 일반화 아래 안정적인 닫힌 부분집합임에 유의하자. 따라서 다음 정의는 잘 정의된다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하고 \(T \subset X\)를 연결 성분이라 하자. \(T\) 위의 표준 스킴 구조란 \(T\) 위의 유일한 스킴 구조 가운데 닫힌몰입 \(T \to X\)가 평탄이 되는 것을 말한다. 보조정리 04PW를 보라.

앞의 보조정리를 사용하면 모든 유한 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 언제 유한 국소 자유 가군인지 판정할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 모든 유한 평탄 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 유한 국소 자유이다.

2. 일반화 아래 닫혀 있는 모든 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\)는 열려 있다.

증명

아핀인 경우는 대수, 보조정리 052U이다. 스킴인 경우가 아핀인 경우에서 직접 따르지는 않으므로 논증을 되풀이한다.

(1)을 가정하자. 닫힌몰입 \(i : Z \to X\)를 생각하고 \(i\)가 평탄이라고 하자. 그러면 \(i_*\mathcal{O}_Z\)는 준연접이고 평탄이므로 (1)에 의해 유한 국소 자유이다. 따라서 \(Z = \text{Supp}(i_*\mathcal{O}_Z)\)도 열려 있고 (2)가 성립한다. 그러므로 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 보조정리 04PW의 평탄 닫힌몰입 특징에서 따른다.

역으로 \(X\)가 (2)를 만족한다고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 평탄 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)는 닫혀 있다. 이는 \(\mathcal{F}\)의 지지집합이다. 가군, 보조정리 01BA를 보라. 한편 \(x \leadsto x'\)가 특수화이면 대수, 보조정리 00NZ에 의해 가군 \(\mathcal{F}_{x'}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 위에서 자유이고, \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x'}} \mathcal{O}_{X, x}.\] 따라서 \(x' \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Rightarrow x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이다. 달리 말하면 지지집합은 일반화 아래 닫혀 있다. \(X\)가 (2)를 만족하므로 \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 열린닫힌집합이다. 가군 \(\wedge^i(\mathcal{F})\), \(i = 1, 2, 3, \ldots\)도 유한 평탄 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 가군, 절 01CF를 보라. 다음에 유의하자. \(\text{Supp}(\wedge^{i + 1}(\mathcal{F})) \subset \text{Supp}(\wedge^i(\mathcal{F}))\). 따라서 열린닫힌 부분집합들에 의한 분해 \[X = U_0 \amalg U_1 \amalg U_2 \amalg \ldots\] 가 존재하여 \(\wedge^i(\mathcal{F})\)의 지지집합은 \(U_i \cup U_{i + 1} \cup \ldots\)이다. 이는 모든 \(i\)에 대해 성립한다. \(x\)를 \(X\)의 점이라 하고 \(x \in U_r\)이라 하자. 다음에 유의하자. \(\wedge^i(\mathcal{F})_x \otimes \kappa(x) = \wedge^i(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x))\). 따라서 \(x \in U_r\)이면 \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\)는 \(r\)차원 벡터공간이다. 나카야마 보조정리에 의해, 대수, 보조정리 00DV를 보라, 아핀 열린 근방 \(U \subset U_r \subset X\)를 \(x\)의 근방으로 택하고 단면 \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\)를 택하여 유도된 사상 \[\mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F}|_U, \quad (f_1, \ldots, f_r) \longmapsto \sum f_i s_i\] 이 전사가 되게 할 수 있다. 이는 \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U)\)가 유한 평탄 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이고 그 지지집합이 \(U\) 전체라는 뜻이다. 위의 사실에 의해 이는 한 원소, 곧 \(s_1 \wedge \ldots \wedge s_r\)로 생성된다. 따라서 \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U) \cong \mathcal{O}_U/\mathcal{I}\)이다. 여기서 \(\mathcal{I}\)는 어떤 준연접 아이디얼 층이다. 여기서 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_U\) 위에서 평탄이고 \(V(\mathcal{I}) = U\)이다. 보조정리 04PW를 적용하면 \(\mathcal{I} = 0\)을 얻는다. 따라서 \(s_1 \wedge \ldots \wedge s_r\)는 \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U)\)의 기저이고, 위에 표시한 사상은 전사일 뿐 아니라 단사이다. 이로써 원하는 대로 \(\mathcal{F}\)가 유한 국소 자유임을 보였다.

일반점 평탄성

정수적 기저 위의 유한형 스킴은 기저의 조밀한 열린집합 위에서 평탄하다. 대수, 절 051Q에서는 뇌터인 판본, 유한 표시 사상에 대한 판본, 그리고 일반적인 판본을 증명했다. 여기서는 일반적인 판본만 진술하고 증명한다. 하지만 기저가 축약이라는 가정만으로도 결과가 성립함을 보이는 명제 052B가 이 결과를 대체하게 된다.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(S\)는 정수적이다.

2. \(f\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

그러면 조밀한 열린 부분스킴 \(U \subset S\)가 존재하여 \(X_U \to U\)는 평탄이고 유한 표시이며, \(\mathcal{F}|_{X_U}\)는 \(U\) 위에서 평탄이고 \(\mathcal{O}_{X_U}\) 위에서 유한 표시이다.

증명

\(S\)가 정수적이므로 기약이고(성질, 보조정리 01ON을 보라), 공집합이 아닌 모든 열린집합은 조밀하다. 따라서 \(S\)를 \(S\)의 아핀 열린집합으로 바꾸어 \(S = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(S\)가 정수적이므로 \(A\)는 정역이다. \(f\)가 유한형이므로 준콤팩트이고, 따라서 \(X\)는 준콤팩트이다. 그러므로 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\)를 찾을 수 있다. \(X_i = \Spec(B_i)\)라고 쓰자. 그러면 \(B_i\)는 유한형 \(A\)-대수이다. 보조정리 01T2를 보라. 더 나아가 유한형 \(B_i\)-가군 \(M_i\)들이 존재하여 \(\mathcal{F}|_{X_i}\)는 \(B_i\)-가군 \(M_i\)에 대응하는 준연접층이다. 성질, 보조정리 01PB을 보라. 다음으로 각 지표쌍 \(i, j\)에 대해 아이디얼 \(I_{ij} \subset B_i\)를 \(X_i \setminus X_i \cap X_j = V(I_{ij})\)가 \(X_i = \Spec(B_i)\) 안에서 성립하도록 택하자. \(M_{ij} = B_i/I_{ij}\)로 두고 이를 \(B_i\)-가군으로 생각하자. 그러면 \(V(I_{ij}) = \text{Supp}(M_{ij})\)이고 \(M_{ij}\)는 유한 \(B_i\)-가군이다.

이제 대수, 보조정리 051T를 쌍 \((A \to B_i, M_{ij})\)들과 쌍 \((A \to B_i, M_i)\)들에 적용한다. 그러면 영이 아닌 \(f_{ij}, f_i \in A\)를 다음 성질을 갖도록 얻는다. (a) \(A_{f_{ij}} \to B_{i, f_{ij}}\)는 평탄이고 유한 표시이며, \(M_{ij, f_{ij}}\)는 \(A_{f_{ij}}\) 위에서 평탄이고 \(B_{i, f_{ij}}\) 위에서 유한 표시이다. 또한 (b) \(B_{i, f_i}\)는 \(A_f\) 위에서 평탄이고 유한 표시이며, \(M_{i, f_i}\)는 \(B_{i, f_i}\) 위에서 평탄이고 유한 표시이다. \(f = (\prod f_i) (\prod f_{ij})\)로 두자. \(U = D(f)\)로 두면 된다고 주장한다.

주장을 증명하기 위해 \(A\)를 \(A_f\)로 바꾸어도 된다. 즉 \(U = \Spec(A_f) \to S\)에 의해 기저변환해도 된다. 이 기저변환 뒤 각 \(A \to B_i\)는 평탄이고 유한 표시이며, \(M_i\), \(M_{ij}\)는 \(A\) 위에서 평탄이고 \(B_i\) 위에서 유한 표시이다. 이로부터 이미 \(X \to S\)가 준콤팩트이고 국소적으로 유한 표시이며 평탄이고, \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이고 \(\mathcal{O}_X\) 위에서 유한 표시임을 알 수 있다. 보조정리 01TQ와 성질, 보조정리 01PC을 보라. \(M_{ij}\)가 \(B_i\) 위에서 유한 표시이므로 \(X_i \cap X_j = X_i \setminus \text{Supp}(M_{ij})\)는 \(X_i\)의 준콤팩트 열린집합이다. 대수, 보조정리 051B를 보라. 따라서 스킴, 보조정리 01KO에 의해 \(X \to S\)는 준분리이다. 이로써 명제가 증명되었다.

사실 임의의 축약 기저 위에서도 일반점 평탄성의 판본이 성립한다. 그 판본은 다음과 같다.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(S\)는 축약이다.

2. \(f\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

그러면 조밀한 열린 부분스킴 \(U \subset S\)가 존재하여 \(X_U \to U\)는 평탄이고 유한 표시이며, \(\mathcal{F}|_{X_U}\)는 \(U\) 위에서 평탄이고 \(\mathcal{O}_{X_U}\) 위에서 유한 표시이다.

증명

성급한 독자를 위해 말하면, 이 증명은 명제 052A의 증명을 되풀이하되 대수, 보조정리 051Z를 대수, 보조정리 051T 대신 사용하는 것이다.

평탄성과 유한 표시는 기저에 대해 국소적이므로, 보조정리 01U4와 01TQ를 보라, \(S\) 위에서 아핀 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(S = \Spec(A)\)라고 가정해도 되며, 여기서 \(A\)는 축약환이다(성질, 보조정리 01OL를 보라). \(f\)가 유한형이므로 준콤팩트이고, 따라서 \(X\)는 준콤팩트이다. 그러므로 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\)를 찾을 수 있다. \(X_i = \Spec(B_i)\)라고 쓰자. 그러면 \(B_i\)는 유한형 \(A\)-대수이다. 보조정리 01T2를 보라. 더 나아가 유한형 \(B_i\)-가군 \(M_i\)들이 존재하여 \(\mathcal{F}|_{X_i}\)는 \(B_i\)-가군 \(M_i\)에 대응하는 준연접층이다. 성질, 보조정리 01PB을 보라. 다음으로 각 지표쌍 \(i, j\)에 대해 아이디얼 \(I_{ij} \subset B_i\)를 \(X_i \setminus X_i \cap X_j = V(I_{ij})\)가 \(X_i = \Spec(B_i)\) 안에서 성립하도록 택하자. \(M_{ij} = B_i/I_{ij}\)로 두고 이를 \(B_i\)-가군으로 생각하자. 그러면 \(V(I_{ij}) = \text{Supp}(M_{ij})\)이고 \(M_{ij}\)는 유한 \(B_i\)-가군이다.

이제 대수, 보조정리 051Z를 쌍 \((A \to B_i, M_{ij})\)들과 쌍 \((A \to B_i, M_i)\)들에 적용한다. 그러면 조밀한 열린집합 \(U(A \to B_i, M_{ij}) \subset S\)와 조밀한 열린집합 \(U(A \to B_i, M_i) \subset S\)를 얻는다. 기호는 대수, 식 (051V)에서와 같다. 조밀한 열린집합들의 유한 교집합은 조밀한 열린집합이므로 \[U = \bigcap\nolimits_{i, j} U(A \to B_i, M_{ij}) \quad\cap\quad \bigcap\nolimits_i U(A \to B_i, M_i)\] 는 \(S\)에서 열리고 조밀하다. \(U\)가 원하는 열린집합이라고 주장한다.

\(u \in U\)를 택하자. 자취 \(U(A \to B_i, M_{ij})\)와 \(U(A \to B, M_i)\)의 정의에 의해 \(f_{ij}, f_i \in A\)가 존재하여 (a) \(u \in D(f_i)\) 및 \(u \in D(f_{ij})\)이고, (b) \(A_{f_{ij}} \to B_{i, f_{ij}}\)는 평탄이고 유한 표시이며 \(M_{ij, f_{ij}}\)는 \(A_{f_{ij}}\) 위에서 평탄이고 \(B_{i, f_{ij}}\) 위에서 유한 표시이고, (c) \(B_{i, f_i}\)는 \(A_{f_i}\) 위에서 평탄이고 유한 표시이며 \(M_{i, f_i}\)는 \(B_{i, f_i}\) 위에서 유한 표시이고 \(A_{f_i}\) 위에서 평탄하다. 다음과 같이 두자. \(f = (\prod f_i) (\prod f_{ij})\). 이제 \(X \to S\)가 \(D(f)\) 위에서 평탄이고 유한 표시이며, \(\mathcal{F}\)를 \(X_{D(f)}\)에 제한한 것이 \(D(f)\) 위에서 평탄이고 \(X_{D(f)}\)의 구조층 위에서 유한 표시임을 보이면 충분하다.

따라서 \(A\)를 \(A_f\)로 바꾸어도 된다. 즉 \(\Spec(A_f) \to S\)에 의해 기저변환해도 된다. 이 기저변환 뒤 각 \(A \to B_i\)는 평탄이고 유한 표시이며, \(M_i\), \(M_{ij}\)는 \(A\) 위에서 평탄이고 \(B_i\) 위에서 유한 표시이다. 이로부터 이미 \(X \to S\)가 준콤팩트이고 국소적으로 유한 표시이며 평탄이고, \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이고 \(\mathcal{O}_X\) 위에서 유한 표시임을 알 수 있다. 보조정리 01TQ와 성질, 보조정리 01PC을 보라. \(M_{ij}\)가 \(B_i\) 위에서 유한 표시이므로 \(X_i \cap X_j = X_i \setminus \text{Supp}(M_{ij})\)는 \(X_i\)의 준콤팩트 열린집합이다. 대수, 보조정리 051B를 보라. 따라서 스킴, 보조정리 01KO에 의해 \(X \to S\)는 준분리이다. 이로써 명제가 증명되었다.

주

위의 결과들은 스킴 사상에 대한 더 정교한 평탄화 기법을 향한 첫걸음이다. 레이노와 그뤼종의 논문 [GruRay]에는 이 방향의 훌륭한 결과들이 많다.

사상과 올의 차원

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(\dim_x(X)\)를 \(x\)의 \(X\) 안의 열린 근방들의 차원 중 최솟값으로 정의했음을 상기하자. 위상수학, 정의 0055을 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 그러면 \[\dim_x(X_s) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)).\]

증명

이는 곧바로 \(S = s\)이고 \(X\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우 결과는 대수, 보조정리 00P1에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하고 \(y = f(x)\), \(s = g(y)\)로 두자. \(f\)와 \(g\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 그러면 \[\dim_x(X_s) \leq \dim_x(X_y) + \dim_y(Y_s).\] 더 나아가 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\) 위에서 평탄이면 등호가 성립한다. 예를 들어 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 위에서 평탄이면 이 조건이 성립한다.

증명

다음에 유의하자. \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(y))\). 따라서 보조정리 02FX에 의해 명제는 다음과 동치이다. \[\dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) \leq \dim(\mathcal{O}_{X_y, x}) + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}).\] 이에 대해서는 대수, 보조정리 00OM을 보라. 평탄인 경우에는 대수, 보조정리 00ON을 보라.

보조정리

스킴의 올곱 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. \(x' \in X'\), \(x = g'(x')\), \(s' = f'(x')\), 그리고 \(s = g(s') = f(x)\)라고 하자. 그러면

1. \(\dim_x(X_s) = \dim_{x'}(X'_{s'})\)이다.

2. \(F\)를 사상 \(X'_{s'} \to X_s\)의 \(x\) 위의 올이라 하면 \[\dim(\mathcal{O}_{F, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) - \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) - \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\] 이다. 특히 \(\dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) \geq \dim(\mathcal{O}_{X_s, x})\)이고 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) \geq \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\)이다.

3. \(s', s, x\)가 주어지면 점 \(x'\)를 택하여 \(\dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x})\) 및 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\) 를 만족하게 할 수 있다.

증명

(1)은 대수, 보조정리 00P4에서 곧바로 따른다. (2)와 (3)은 대수, 보조정리 0CWE에서 따른다.

다음 보조정리는 자명하지 않은 대수적 결과, 즉 자리스키 주정리의 대수적 판본에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 집합 \[U_n = \{x \in X \mid \dim_x X_{f(x)} \leq n\}\] 은 \(X\)에서 열린집합이다.

증명

이는 대수, 보조정리 00QH에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 유한형 사상이라 하고 \(Y\)가 준콤팩트라고 하자. 그러면 \(f\)의 올들의 차원은 유계이다.

증명

보조정리 02FZ에 의해 점들의 집합 \(U_n \subset X\)는 열려 있다. 이 집합에서는 올의 차원이 \(\leq n\)이다. \(f\)가 유한형이므로 모든 점은 어떤 \(U_n\)에 포함된다 (체 위의 유한형 대수의 차원은 유한하기 때문이다). \(Y\)가 준콤팩트이고 \(f\)가 유한형이므로 \(X\)가 준콤팩트임을 알 수 있다. 따라서 \(X = U_n\)인 어떤 \(n\)이 존재한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한 표시라고 가정하자. 보조정리 02FZ의 열린집합 \[U_n = \{x \in X \mid \dim_x X_{f(x)} \leq n\}\] 은 \(X\)에서 역콤팩트이다(위상수학, 정의 005A를 보라).

증명

위상공간 \(X\)는 아핀 열린집합 \(U \subset X\)들로 이루어진 위상 기저를 갖고, 유도된 사상 \(f|_U : U \to S\)는 어떤 아핀 열린집합 \(V \subset S\)를 통해 분해된다. 따라서 \(U \cap U_n\)이 그러한 \(U\)에 대해 준콤팩트임을 보이면 충분하다. \(U_n \cap U\)는 열린집합 \(\{x \in U \mid \dim_x U_{f(x)} \leq n\}\)와 같다. 그러므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우 보조정리는 대수, 보조정리 00QJ와 보조정리 01TQ에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \leadsto x'\)를 \(X\)에서 같은 점 \(s \in S\) 위에 놓이는 점들의 자명하지 않은 특수화라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 그러면

1. \(\dim_x(X_s) \leq \dim_{x'}(X_s)\),

2. \(\dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) < \dim(\mathcal{O}_{X_s, x'})\), 그리고

3. \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) > \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x'))\)이다.

증명

(1)은 \(X_s\)의 모든 열린집합이 \(x'\)를 포함하면 \(x\)도 포함한다는 사실에서 따른다. (2)는 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)가 \(\mathcal{O}_{X_s, x'}\)를 한 소 아이디얼에서 국소화한 것이므로, \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)의 모든 소 아이디얼 사슬이 \(\mathcal{O}_{X_s, x'}\)의 진정으로 더 긴 소 아이디얼 사슬의 일부라는 사실에서 따른다. 마지막 부등식은 대수, 보조정리 06RP에서 따른다.

주어진 상대차원의 사상

주어진 상대차원의 사상을 편리하게 말하기 위해 다음 개념을 도입한다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자.

1. \(f\)가 상대차원 \(\leq d\)인 점 \(x\)를 갖는다고 함은 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\)인 경우이다.

2. \(f\)가 상대차원 \(\leq d\)라고 함은 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\)가 모든 \(x \in X\)에 대해 성립하는 경우이다.

3. \(f\)가 상대차원 \(d\)라고 함은 공집합이 아닌 모든 올 \(X_s\)가 \(d\)차원 순수차원인 경우이다.

이 개념은 특별히 좋은 거동을 보이지는 않지만 여러 상황에서 잘 작동한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소적으로 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 상대차원 \(d\)이면 \(f\)의 모든 기저변환도 같은 상대차원을 갖는다. 상대차원 \(\leq d\)인 경우도 마찬가지이다.

증명

보조정리 02FY에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)가 국소적으로 유한형이라고 하자. \(f\)가 상대차원 \(\leq d\)이고 \(g\)가 상대차원 \(\leq e\)이면 \(g \circ f\)는 상대차원 \(\leq d + e\)이다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 상대차원 \(d\)이다.

2. \(g\)는 상대차원 \(e\)이다.

3. \(f\)는 평탄이다.

그러면 \(g \circ f\)는 상대차원 \(d + e\)이다.

증명

보조정리 02JS에서 곧바로 따른다.

일반적으로 사상을 상대차원이 각각 주어진 값인 조각들로 분해할 수는 없다. 그러나 사상이 코언–매콜리 올을 갖고 유한 표시인 평탄 사상이면 가능하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄이다.

2. \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다.

3. 모든 \(s \in S\)에 대해 올 \(X_s\)는 코언–매콜리이다 (성질, 정의 02IO).

그러면 열린닫힌 부분스킴 \(X_d \subset X\)들이 존재하여 \(X = \coprod_{d \geq 0} X_d\)이고 \(f|_{X_d} : X_d \to S\)는 상대차원 \(d\)이다.

증명

대수, 보조정리 00RL에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. \(x \in X\)를 택하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(f\)가 \(x\)에서 준유한인 것은 \(\dim_x(X_s) = 0\)인 것과 동치이다. 특히 \(f\)가 국소적으로 준유한인 것은 \(f\)가 상대차원 \(0\)인 것과 동치이다.

증명

첫 번째 증명. \(f\)가 \(x\)에서 준유한이면 \(\kappa(x)\)는 \(\kappa(s)\)의 유한 확장이고 (보조정리 01TG), \(x\)는 \(X_s\)의 고립점이다 (보조정리 01TH). 따라서 보조정리 02FX에 의해 \(\dim_x(X_s) = 0\)이다. 역으로 \(\dim_x(X_s) = 0\)이면 보조정리 02FX에 의해 \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\)는 대수적이고 \(X_s\)에서 \(x\)로 특수화되는 다른 점은 없다. 따라서 보조정리 01TE에 의해 \(x\)는 자기 올에서 닫혀 있고, 보조정리 01TH의 (3)에 의해 \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다.

두 번째 증명. 올 \(X_s\)는 체 위에서 국소적으로 유한형인 스킴이므로 국소 뇌터이다(보조정리 01T6). 이제 결과는 보조정리 01TH와 성질, 보조정리 0H7C에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 평탄이고 국소적으로 유한형이며 상대차원 \(d\)인 국소 뇌터 스킴의 사상이라 하자. 모든 점 \(x\)가 \(X\)에 있고 그 상 \(y\)가 \(Y\)에 있으면 \(\dim_x(X) = \dim_y(Y) + d\)이다.

증명

\(X\)와 \(Y\)를 \(x\)와 \(y\)의 열린 근방으로 줄인 뒤, 점에서의 스킴 차원 정의에 의해 \(\dim(X) = \dim_x(X)\) 및 \(\dim(Y) = \dim_y(Y)\)라고 가정할 수 있다(성질, 정의 04MT). 보조정리 01TX과 01UA에 의해 사상 \(f\)는 열려 있다. 따라서 \(Y\)를 줄여 \(f\)가 전사가 되게 할 수 있다. \(\dim(X) = \dim(Y) + d\)임을 보이는 일만 남았다.

\(a\)를 \(X\)의 점이라 하고 그 상 \(b\)가 \(Y\)에 있다고 하자. 대수, 보조정리 00ON에 의해 \[\dim(\mathcal{O}_{X,a}) = \dim(\mathcal{O}_{Y,b}) + \dim(\mathcal{O}_{X_b, a}).\] \(a\)가 \(X\)의 모든 점을 달릴 때 상한을 취하면 원하는 대로 \(\dim(X) = \dim(Y) + d\)를 얻는다. 성질, 보조정리 04MU을 보라.

신토믹 사상

\(A\)를 체 \(k\) 위의 대수라 하자. 이 대수가 \(k\) 위의 대역 완전교차라고 함은 \(A \cong k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)이고 \(\dim(A) = n - c\)인 경우이다. 대수 \(A\)가 체 \(k\) 위에서 국소 완전교차라고 함은 \(\Spec(A)\)가 각각 \(k\) 위의 대역 완전교차인 표준 열린집합들로 덮이는 경우이다. 대수, 절 00S8을 보라. 환 준동형 \(R \to A\)가 유한 표시이고 평탄이며 그 올들이 국소 완전교차환이면 이를 신토믹이라 한다는 것을 상기하자. 대수, 정의 00SL을 보라.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. \(f\)가 \(x \in X\)에서 신토믹이라고 함은 아핀 열린 근방 \(\Spec(A) = U \subset X\)로서 \(x\)를 포함하는 것과 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)가 존재하여 \(f(U) \subset V\)이고 유도된 환 준동형 \(R \to A\)가 신토믹인 경우이다.

2. \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 신토믹이면 이를 신토믹이라 한다.

3. \(S = \Spec(k)\)이고 \(f\)가 신토믹이면 \(X\)를 \(k\) 위의 국소 완전교차라 한다.

4. 아핀 스킴의 사상 \(f : X \to S\)에 대하여 대역 상대 완전교차 \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)가 존재하여(대수, 정의 00SP을 보라) \(X \to S\)가 \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] 와 동형이면 이를 표준 신토믹이라 한다.

문헌에서는 신토믹 사상을 때때로 평탄 국소 완전교차 사상이라고 부른다. 이는 편리한 사상류임이 드러난다. 예를 들어 이들로 신토믹 위상을 정의할 수 있는데, 이는 매끄러운 위상과 étale 위상보다 세밀하지만 그들과 같은 형식적 성질을 많이 갖는다.

대역 상대 완전교차(표준 신토믹 환 준동형을 정의하는 데 사용했다)는 특히 평탄이다. 사상의 추가 내용, 절 068E에서는 국소적으로 사상 \(X \to S\)가 \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] 꼴인 경우를 고찰할 것이다. 여기서 \(f_1, \ldots, f_r\)는 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)의 코쥘-정칙열이다. 이러한 사상을 국소 완전교차 사상이라 부를 것이다. 이 정의를 마련하고 나면, 사상이 신토믹인 것은 평탄한 국소 완전교차 사상인 것과 동치가 된다.

신토믹 사상의 정의에는 분리성이나 준콤팩트성 가정이 없다는 데 유의하자. 따라서 신토믹 여부는 원천에서 국소적인 문제이다. 정확한 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 신토믹이다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대하여 \(f(U) \subset V\)이면 환 준동형 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 신토믹이다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)가 신토믹이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 모든 환 준동형 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 신토믹이다.

또한 \(f\)가 신토믹이면 임의의 열린 부분스킴 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)일 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 신토믹이다.

증명

“\(R \to A\)가 신토믹이다”라는 성질이 국소적임을 보이면 이 결과는 보조정리 01ST에서 따른다. 정의 01SR의 조건 (a), (b), (c)를 확인하자. 대수, 보조정리 00SN에 의해 신토믹성은 기저변환으로 보존되므로 (a)가 성립한다. 대수, 보조정리 00SZ에 의해 신토믹성은 합성으로 보존되고, 임의의 환 \(R\)에 대해 환 준동형 \(R \to R_f\)가 신토믹임은 자명하다. 따라서 (b)가 성립한다. 마지막으로 대수, 보조정리 00SO에 의해 성질 (c)가 참이다.

보조정리

신토믹인 두 사상의 합성은 신토믹이다.

증명

보조정리 01UD의 증명에서 신토믹성이 환 준동형의 국소적 성질임을 보았다. 따라서 보조정리 01SV와 신토믹성이 합성으로 보존되는 환 준동형의 성질이라는 사실을 결합하면 보조정리의 첫 번째 명제를 얻는다. 대수, 보조정리 00SZ을 보라.

보조정리

신토믹 사상의 기저변환은 신토믹이다.

증명

보조정리 01UD의 증명에서 신토믹성이 환 준동형의 국소적 성질임을 보았다. 따라서 보조정리 01SV와 신토믹성이 기저변환으로 보존되는 환 준동형의 성질이라는 사실을 결합하면 결과가 따른다. 대수, 보조정리 00SN을 보라.

보조정리

모든 열린 몰입은 신토믹이다.

증명

열린 몰입은 국소 동형사상이므로 참이다.

보조정리

신토믹 사상은 국소적으로 유한 표시이다.

증명

신토믹 환 준동형은 정의상 유한 표시이므로 참이다.

보조정리

신토믹 사상은 평탄이다.

증명

신토믹 환 준동형은 정의상 평탄이므로 참이다.

보조정리

신토믹 사상은 보편 열림이다.

증명

보조정리 01UK, 01UL, 01UA을 결합하라.

\(k\)를 체라 하자. \(A\)를 \(k\) 위에서 본질적으로 유한형인 국소 \(k\)-대수라 하자. \(A\)가 \(k\) 위의 완전교차라고 함은 \(A \cong R/(f_1, \ldots, f_c)\)로 쓸 수 있고, 여기서 \(R\)은 \(k\) 위에서 본질적으로 유한형인 정칙 국소환이며 \(f_1, \ldots, f_c\)는 \(R\)의 정칙열인 경우임을 상기하자. 대수, 정의 00SD을 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 국소적으로 유한형인 스킴이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(X\)는 \(k\) 위의 국소 완전교차이다.

2. 모든 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린집합 \(U = \Spec(R) \subset X\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(R \cong k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)는 \(k\) 위의 대역 완전교차이다.

3. 모든 \(x \in X\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(k\) 위의 완전교차이다.

증명

이에 대응하는 대수적 결과는 대수, 보조정리 00SG과 00SH에 있다.

다음 보조정리는 국소적으로 모든 신토믹 사상이 표준 신토믹이라고 말한다. 따라서 표준 신토믹 사상을 신토믹 사상의 국소 모형으로 사용할 수 있다. 또한 유한 표시인 평탄 사상이 신토믹인 것은 그 올들이 국소 완전교차 스킴인 것과 동치임을 말한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 상이 \(s = f(x)\)인 점이라 하자. \(V \subset S\)를 \(s\)의 아핀 열린 근방이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 \(x\)에서 신토믹이다.

2. \(U \subset X\)인 아핀 열린집합으로서 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)이며 \(f|_U : U \to V\)가 표준 신토믹인 것이 존재한다.

3. 사상 \(f\)는 \(x\)에서 유한 표시이고, 국소환 준동형 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 평탄이며 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{X, x}\)는 \(\kappa(s)\) 위의 완전교차이다(대수, 정의 00SD을 보라).

증명

정의들과 대수, 보조정리 00SY에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄이고 국소적으로 유한 표시이며 모든 올 \(X_s\)가 국소 완전교차이면 \(f\)는 신토믹이다.

증명

보조정리 01UG, 01UE과 국소환의 동형사상 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{X, x} \cong \mathcal{O}_{X_s, x}\)에서 명백하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 집합 \[T = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x} \text{ is a complete intersection over }\kappa(f(x))\}\] 의 구성은 임의의 기저변환과 가환한다. 즉 임의의 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 \(f' : X' \to S'\)를 \(f\)의 기저변환이라 하고 사영 \(g' : X' \to X\)를 고찰하자. 그러면 대응하는 집합 \(T'\)는 사상 \(f'\)에 대해 \(T' = (g')^{-1}(T)\)와 같다. 특히 \(f\)가 평탄이고 국소적으로 유한 표시라고 가정하면, \(f\)가 신토믹인 점들의 열린집합에도 같은 결론이 성립한다.

증명

\(s' \in S'\)를 점이라 하고 \(s = g(s')\)로 두자. 그러면 \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] 이다. 다시 말해 기저변환의 올은 원래 올의 기저변환이다. 따라서 첫째 부분은 대수, 보조정리 00SI과 동치이다. 이 경우 \(T\)가 보조정리 01UE에 따라 \(f\)가 신토믹인 점들의 집합이므로 둘째 부분은 첫째 부분에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R \to A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)를 상대 대역 완전교차라 하자. \(S = \Spec(R)\) 및 \(X = \Spec(A)\)로 두자. 사상 \(f : X \to S\)를 고찰하자. 이는 환 준동형 \(R \to A\)에 대응한다. 함수 \(x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})\)는 상수이고 그 값은 \(n - c\)이다.

증명

대수, 정의 00SP에 따르면 \(R \to A\)가 상대 대역 완전교차라는 것은 영이 아닌 모든 올환의 차원이 \(n - c\)라는 뜻이다. 따라서 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)를 \(R\)에서 택하면 대한 올환 \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c)\)는 영이거나 차원 \(n - c\)인 대역 완전교차환이다. 대수, 정의 00S9 뒤의 논의에 의해 이는 차원 \(n - c\)인 순수차원환이다. 이로부터 보조정리가 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 신토믹 사상이라 하자. 함수 \(x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})\)는 \(X\) 위에서 국소상수이다.

증명

보조정리 01UE에 의해 사상 \(f\)는 국소적으로 아핀 스킴 사이의 표준 신토믹 사상처럼 보인다. 따라서 결과는 보조정리 02K0에서 따른다.

보조정리 02K1에 의해 다음 정의가 의미를 갖는다.

정의

\(d \geq 0\)을 정수라 하자. 스킴의 사상 \(f : X \to S\)가 상대차원 \(d\)인 신토믹이라고 함은 \(f\)가 신토믹이고 함수 \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\)가 모든 \(x \in X\)에 대해 성립하는 경우이다.

다시 말해 \(f\)는 신토믹이고 공집합 아닌 올들은 차원 \(d\)인 순수차원이다.

보조정리

스킴의 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] 가 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 전사이고 신토믹이다.

2. \(p\)는 신토믹이다.

3. \(q\)는 국소적으로 유한 표시이다⁸.

그러면 \(q\)는 신토믹이다.

증명

보조정리 02JZ에 의해 \(q\)는 평탄이다. 따라서 보조정리 01UF에 의해 \(Y \to S\)의 올들이 국소 완전교차임을 보이면 충분하다. \(s \in S\)라 하자. 사상 \(X_s \to Y_s\)를 고찰하자. 이는 사상 \(X \to Y\)의 기저변환이므로 전사이고 신토믹이다(보조정리 01UI). 같은 이유로 \(X_s\)는 \(\kappa(s)\) 위에서 신토믹이다. 또한 \(Y_s\)는 \(\kappa(s)\) 위에서 국소적으로 유한형이다(보조정리 01T4). 이렇게 하여 \(S\)가 체의 스펙트럼인 경우로 환원된다.

\(S = \Spec(k)\)라고 가정하자. \(y \in Y\)라 하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) \subset Y\)로서 \(y\)를 포함하는 것을 택하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(B) \subset X\)로서 \(f(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\)이고 점 \(x \in X\)를 포함하며 \(f(x) = y\)인 것을 택하자. 전사 \(k[x_1, \ldots, x_n] \to A\)를 택하고 그 핵을 \(I\)라 하자. 전사 \(A[y_1, \ldots, y_m] \to B\)를 택하면 다시 전사 \(k[x_i, y_j] \to B\)가 생기며, 그 핵을 \(J\)라 하자. \(\mathfrak q \subset k[x_i, y_j]\)를 \(y \in \Spec(B)\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하고, \(\mathfrak p \subset k[x_i]\)를 \(x \in \Spec(A)\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(x\)가 \(y\)로 가므로 \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap k[x_i]\)이다. 다음 국소환들의 가환 그림을 고찰하자. \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X, x} \ar@{=}[r] & B_{\mathfrak q} & k[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]_{\mathfrak q} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y, y} \ar@{=}[r] \ar[u] & A_{\mathfrak p} \ar[u] & k[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak p} \ar[l] \ar[u] }\] 대수, 보조정리 02JP의 가정들이 성립한다고 주장한다. 조건 (1)과 (2)는 자명하다. 조건 (4)는 \(X \to Y\)가 평탄이므로 따른다. 조건 (3)은 환 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)와 \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\)가 \(f\)와 \(p\)가 신토믹이라는 가정에 의해 완전교차환이므로 따른다. 보조정리 01UE을 보라. 대수, 보조정리 02JP의 결론은 정확히 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 완전교차환이라는 것이다! 따라서 다시 보조정리 01UE에 의해 \(Y\)는 \(k\) 위에서 \(y\)에서 신토믹이고, 이것이 원하는 결론이다.

몰입의 코노멀 층

\(i : Z \to X\)를 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(X\) 위 준연접 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^2 \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to 0\] 을 고찰하자. 층 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되므로 보조정리 01QY에 의해 \(Z\) 위의 층에 대응한다. 이 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군을 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 코노멀 층이라 하며, 절 01QX에서 언급한 표기 남용에 따라 흔히 단순히 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)로 쓴다.

\(i : Z \to X\)가 (국소 닫힌) 몰입인 경우, \(i\)의 코노멀 층을 닫힌 몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 코노멀 층으로 정의한다. 여기서 \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\)이다. 이는 흔히 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)로 쓰며, 이때 \(\mathcal{I}\)는 닫힌 몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 아이디얼 층이다.

정의

\(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. 코노멀 층 \(\mathcal{C}_{Z/X}\), 즉 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 코노멀 층 또는 \(i\)의 코노멀 층은 위에서 설명한 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)이다.

[EGA, IV Definition 16.1.2]에서는 이 층을 \(\mathcal{N}_{Z/X}\)로 쓴다. 우리는 \(\mathcal{N}_{Z/X}\)라는 표기를 몰입의 노멀 층에 남겨 두고자 하므로 이 관례를 따르지 않는다. 코노멀 층이 유한 표시인 경우 이를 \[\mathcal{N}_{Z/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X}, \mathcal{O}_Z) = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \mathcal{O}_Z)\] 로 정의한다(그렇지 않으면 노멀 층은 준연접조차 아닐 수 있다). 노멀 층은 뒤에서 다시 다룰 것이다(여기에 나중 참조를 넣을 것).

보조정리

\(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(i\)의 코노멀 층은 다음 성질을 갖는다.

1. \(U \subset X\)를 임의의 열린 부분스킴이라 하고, \(i\)가 \(Z \xrightarrow{i'} U \to X\)로 분해되며 \(i'\)가 닫힌 몰입이라고 하자. \(\mathcal{I} = \Ker((i')^\sharp) \subset \mathcal{O}_U\)로 두자. 그러면 \[\mathcal{C}_{Z/X} = (i')^*\mathcal{I}\quad\text{and}\quad i'_*\mathcal{C}_{Z/X} = \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\] 이다.

2. 임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\) 중 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\)인 것에 대해 표준 동형사상 \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X}) = I/I^2\)가 존재한다.

증명

대부분 정의에서 명백하다. 환 \(R\)과 아이디얼 \(I\)가 주어지고 후자가 \(R\)의 아이디얼이면 \(I/I^2 = I \otimes_R R/I\)임에 유의하자. 세부사항은 생략한다.

보조정리

스킴 범주에서 가환 그림 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 이 주어졌다고 하자. \(i\), \(i'\)가 몰입이라고 가정하자. 다음 표준 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 사상이 존재한다. \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X}\] 이 사상은 다음 성질로 특징지어진다. 모든 아핀 열린집합의 쌍 \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\) 중 \(g(U) \subset U'\)이고 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) 및 \(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\)인 것에 대해 유도된 사상 \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X'}) = I'/I'^2 \longrightarrow I/I^2 = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X})\] 은 환 준동형 \(g^\sharp : R' \to R\)에서 유도된 사상이며, 이 환 준동형은 \(g^\sharp(I') \subset I\)를 만족한다.

증명

\(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) 및 \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\)로 두자. 이들은 각각 \(X'\)와 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. \(X'\)를 \(X' \setminus \partial Z'\)로, \(X\)를 \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\)로 바꾸면 \(i\)와 \(i'\)가 닫힌 몰입이라고 가정할 수 있다.

\(g \circ i\)가 \(i'\)를 통해 분해된다는 사실은 \(g^*\mathcal{I}'\)가 \(\mathcal{I}\) 안으로 사상됨을 뜻한다. 여기서 사상은 표준 사상 \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\)에서 얻는다. 스킴, 보조정리 01HP와 01HQ를 보라. 따라서 준연접 층들의 유도된 사상 \(g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)를 얻는다. \(i\)로 당겨오면 \(i^*g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\)를 얻는다. \(i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) = \mathcal{C}_{Z/X}\)임에 유의하자. 한편 \(i^*g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) = f^*(i')^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X'}\)이다. 이것이 원하는 사상을 준다.

이 사상이 국소적으로 주어진 사상 \(I'/(I')^2 \to I/I^2\)로 기술됨은 정의를 풀어 확인하면 되므로 생략한다. 또 임의의 \(x \in i(Z)\)가 주어지면 아핀 열린 근방 \(U\), \(U'\)가 실제로 존재하여 \(f(U) \subset U'\)이고 \(Z \cap U\) 및 \(U' \cap Z'\)가 닫히며 \(x \in U\)이다. 증명은 생략한다. 따라서 보조정리의 조건은 정말로 이 사상을 특징짓는다(그리고 이 조건으로 사상을 정의할 수도 있었다).

보조정리

스킴 범주에서 올곱 그림 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 이 주어지고 \(i\), \(i'\)가 몰입이라고 하자. 그러면 보조정리 01R4의 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 전사이다. \(g\)가 평탄이면 이 사상은 동형사상이다.

증명

\(R' \to R\)을 환 준동형이라 하고 \(I' \subset R'\)를 아이디얼이라 하자. \(I = I'R\)로 두자. 그러면 \(I'/(I')^2 \otimes_{R'} R \to I/I^2\)는 전사이다. \(R' \to R\)이 평탄이면 \(I = I' \otimes_{R'} R\)이고 \(I^2 = (I')^2 \otimes_{R'} R\)이므로 이 사상은 동형사상이다.

보조정리

\(Z \to Y \to X\)를 스킴의 몰입들이라 하자. 그러면 표준 완전열 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 이 존재한다. 여기서 사상들은 보조정리 01R4에서 오고 \(i : Z \to Y\)는 첫째 사상이다.

증명

보조정리 01R4을 통해 이는 다음 대수적 사실로 옮겨진다. \(C \to B \to A\)가 전사인 환 준동형들이라고 하자. \(I = \Ker(B \to A)\), \(J = \Ker(C \to A)\) 및 \(K = \Ker(C \to B)\)로 두자. 그러면 완전열 \[K/K^2 \otimes_B A \to J/J^2 \to I/I^2 \to 0.\] 이 존재한다. 이는 \(I = J/K\)라는 관찰에서 곧바로 따른다.

사상의 미분층

독자에게 가환대수 장의 해당 절(대수, 절 00RM)과 가군층 장의 해당 절(가군, 절 08RL)을 살펴볼 것을 권한다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 미분층 \(\Omega_{X/S}\), 즉 \(X\)의 \(S\) 위에서의 미분층은 \(f\)를 환 달린 공간의 사상으로 보았을 때의 미분층이며(가군, 정의 08RT), 그 보편 \(S\)-미분 \[\text{d}_{X/S} : \mathcal{O}_X \longrightarrow \Omega_{X/S}.\] 과 함께 주어진다.

\(\Omega_{X/S}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군임이 드러난다. 예를 들어 이는 대각 사상 \(\Delta : X \to X \times_S X\)의 코노멀 층과 동형이다 (보조정리 08S2). 우리는 \(X\)의 \(S\) 위에서의 미분 가군을 보편 성질, 즉 보편 미분을 받아들이는 대상으로 정의했다. 상대 미분층의 다른 구성이 이 보편 성질을 만족한다면 요네다 보조정리에 의해 위에서 정의한 것과 표준적으로 동형이다. 편의를 위해 보편 성질을 다시 적는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 사상 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}),\quad \alpha \longmapsto \alpha \circ \text{d}_{X/S}\] 은 함자 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Sets}\)의 동형사상이다.

증명

이는 정의를 다시 말한 것뿐이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset X\), \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)인 열린 부분스킴이라 하자. 다음을 만족하는 동형사상 \(\Omega_{X/S}|_U = \Omega_{U/V}\)가 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사이에 유일하게 존재한다. \(\text{d}_{X/S}|_U = \text{d}_{U/V}\).

증명

표준 동일시 \(f^{-1}\mathcal{O}_S|_U = (f|_U)^{-1}\mathcal{O}_V\)를 사용하면 이는 가군, 보조정리 08RQ의 특수한 경우이다.

이제부터 이 표준 동일시들을 사용하고 \(\Omega_{U/S}\) 또는 \(\Omega_{U/V}\)로 \(\Omega_{X/S}\)의 \(U\)에 대한 제한을 간단히 나타낸다.

보조정리

\(R \to A\)를 환 준동형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층이라 하고, 이 층은 \(X = \Spec(A)\) 위에 놓인다고 하자. \(S = \Spec(R)\)로 두자. \(S\)-미분으로서 \(\mathcal{F}\) 위에 주어진 것을 그 대역 단면에 대한 작용으로 보내는 규칙은 \(S\)-미분 중 \(\mathcal{F}\) 위에 주어진 것들의 집합과 \(R\)-미분 중 \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\) 위에 주어진 것들의 집합 사이의 전단사를 정의한다.

증명

\(D : A \to M\)을 \(R\)-미분이라 하자. \(S\)-미분으로서 \(\mathcal{F}\) 위에 주어지고 대역 단면 위에서 \(D\)를 주는 것이 유일하게 존재함을 보여야 한다. \(U = D(f) \subset X\)를 표준 아핀 열린집합이라 하자. \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)의 모든 원소는 \(a/f^n\) 꼴이며, 여기서 \(a \in A\)이고 \(n \geq 0\)이다. 라이프니츠 법칙에 의해 \[D(a)|_U = a/f^n D(f^n)|_U + f^n D(a/f^n)\] 가 \(\Gamma(U, \mathcal{F})\)에서 성립한다. \(f\)는 \(\Gamma(U, \mathcal{F})\) 위에서 가역적으로 작용하므로 이는 \(D(a/f^n) \in \Gamma(U, \mathcal{F})\)의 값을 완전히 결정한다. 이로써 유일성이 증명된다. 존재성은 단순히 \[D(a/f^n) := (1/f^n) D(a)|_U - a/f^{2n} D(f^n)|_U\] 로 정의하고 이것이 원하는 모든 성질을 가짐을 (\(X\)의 표준 열린집합 기저 위에서) 보이면 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 임의의 아핀 열린집합의 쌍 \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\) 중 \(f(U) \subset V\)인 것에 대해 유일한 동형사상 \[\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}.\] 이 존재하고, 이는 \(\text{d}_{X/S}\) 및 \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\)와 호환된다.

증명

보조정리 01US에 의해 \(X\)와 \(S\)를 각각 \(U\)와 \(V\)로 바꿀 수 있다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)와 \(S = \Spec(R)\)라고 가정할 수 있고, \(U = X\) 및 \(V = S\)인 경우에 보조정리를 보이면 된다. \(A\)-가군 \(M = \Gamma(X, \Omega_{X/S})\)과 \(R\)-미분 \(\text{d}_{X/S} : A \to M\)을 고찰하자. \(N\)을 또 다른 \(A\)-가군이라 하고 \(\widetilde{N}\)으로 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 중 \(N\)에 대응하는 것을 나타내자. 스킴, 절 01I6을 보라. \(\text{d}_{X/S} : A \to M\)과 미리 합성하여 사상 \[\alpha : \Hom_A(M, N) \longrightarrow \text{Der}_R(A, N)\] 을 얻는다. 보조정리 01UR과 01UO을 사용하면 동일시 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \widetilde{N}) = \text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \widetilde{N}) = \text{Der}_R(A, N)\] 을 얻는다. 대역 단면을 취하면 사상 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \widetilde{N}) \to \Hom_R(M, N)\)이 정해진다. 이 사상과 위의 동일시들을 결합하면 사상 \[\beta : \text{Der}_R(A, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] 을 얻는다. 대역 단면에서 일어나는 일을 확인하면 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 서로 역임을 알 수 있다. 따라서 \(\text{d}_{X/S} : A \to M\)은 \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\)와 같은 보편 성질을 만족한다. 대수, 보조정리 00RO를 보라. 그러므로 요네다 보조정리(범주, 보조정리 001P)에 의해 미분과 호환되는 유일한 \(A\)-가군 동형사상 \(M \cong \Omega_{A/R}\)가 존재한다.

주

위 보조정리는 미분 가군을 구성하는 두 번째 방법을 준다. 즉 \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\) 중 \(S\)의 어떤 아핀 열린집합 안으로 사상되는 것들의 모임을 고찰하자. 이들은 \(X\)의 위상의 기저를 이룬다. 따라서 \(\Gamma(U, \Omega_{X/S})\)를 그러한 \(U\)에 대해 정의하면 충분하다. 단순히 \(\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\)로 두며, 여기서 \(A\), \(R\)은 위 보조정리 01UT에서와 같다. 이 방법은 작동하지만, 제한 사상을 구성하고 이 방안으로 층 조건을 확인하려면 대수적 준비가 조금 더 필요하다.

다음 보조정리는 미분층을 정의하는 또 다른 방법을 주며, 특히 \(\Omega_{X/S}\)가 \(X\)와 \(S\)가 스킴일 때 준연접임을 보여 준다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\Omega_{X/S}\)와 대각 사상 \(\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X\)의 코노멀 층 사이에 표준 동형사상이 존재한다.

증명

먼저 두 개의 “대역” 층과 층들의 대역 사상들이 존재함을 보이고, 뒤에서 몇몇 아핀 열린집합 위에서 이 구성들을 기술한다.

\(\Delta = \Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\)가 몰입임을 상기하자. 스킴, 보조정리 01KJ을 보라. \(\mathcal{J}\)를 이 몰입의 아이디얼 층이라 하자. 이는 어떤 열린 부분스킴 \(W\), 즉 \(X \times_S X\)의 열린 부분스킴으로서 \(\Delta(X) \subset W\)가 닫힌 것 위에 놓인다. 스킴, 보조정리 01KJ의 증명에서 찾은 것을 택하자. 환의 층 \(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2\)는 \(\Delta(X)\) 위에 지지됨에 유의하자. 또한 이는 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2 \to \Delta_*\mathcal{O}_X \to 0.\] 에 놓인다. \(\Delta^{-1}\)을 사용하면 이를 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수층의 전사로 생각할 수 있으며, 그 핵은 \(\Delta\)의 코노멀 층이다(정의 01R2와 보조정리 01R3을 보라). \[0 \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X} \to \Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2) \to \mathcal{O}_X \to 0\] 이로써 가군, 보조정리 01UP의 상황에 놓인다. 사영 사상들 \(p_i : X \times_S X \to X\), \(i = 1, 2\)는 환의 층의 사상 \((p_i)^\sharp : (p_i)^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X \times_S X}\)를 유도한다. \(W\)로 제한하고 \(\mathcal{J}^2\)로 나누면 \((p_i)^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2\)를 얻는다. \(\Delta^{-1}p_i^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X\)이므로 사상 \[s_i : \mathcal{O}_X \to \Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2).\] 을 얻는다. \(s_1\)과 \(s_2\)는 모두 가군, 보조정리 01UP에서와 같이 사상 \(\Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2) \to \mathcal{O}_X\)의 단면이다. 따라서 \(S\)-미분 \(\text{d} = s_2 - s_1 : \mathcal{O}_X \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X}\)를 얻는다. 미분 가군의 보편 성질에 의해 유일한 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상 \[\Omega_{X/S} \longrightarrow \mathcal{C}_{X/X \times_S X},\quad f\text{d}g \longmapsto fs_2(g) - fs_1(g)\] 을 얻는다. 이 사상이 동형사상임을 보이기 위해 적절한 아핀 열린집합 위에서 구체적으로 계산하자. \(X\)를 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)들로 덮을 수 있으며, 각각의 상은 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)에 포함된다. 스킴, 보조정리 01KJ의 증명에 따르면 \(U \times_V U \subset X \times_S X\)는 위에서 언급한 열린집합 \(W\)에 포함되는 아핀 열린집합이다. 또한 \(U \times_V U = \Spec(A \otimes_R A)\)이다. 층 \(\mathcal{J}\)는 아이디얼 \(J = \Ker(A \otimes_R A \to A)\)에 대응한다. 앞의 짧은 완전열은 \(A \otimes_R A\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to J/J^2 \to (A \otimes_R A)/J^2 \to A \to 0\] 이 된다. 단면 \(s_i\)는 환 준동형들 \[A \longrightarrow (A \otimes_R A)/J^2,\quad s_1 : a \mapsto a \otimes 1,\quad s_2 : a \mapsto 1 \otimes a.\] 에 대응한다. 보조정리 01R3에 의해 \(\Gamma(U, \mathcal{C}_{X/X \times_S X}) = J/J^2\)이고, 보조정리 01UT에 의해 \(\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\)이다. 위의 사상은 \(a \text{d}b \mapsto a \otimes b - ab \otimes 1\)이며, 대수, 보조정리 00RW에서 이 사상이 동형사상임을 보인다.

보조정리

스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어졌다고 하자. 표준 사상 \(\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\)와 사상 \(f_*\text{d}_{X'/S'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/S'}\)의 합성은 \(S\)-미분이다. 따라서 표준 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\Omega_{X/S} \to f_*\Omega_{X'/S'}\)를 얻고, \(f_*\)와 \(f^*\)의 수반성에 의해 표준 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 준동형 \[c_f : f^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{X'/S'}.\] 을 얻는다. 이는 \(f^*\text{d}_{X/S}(h)\)가 \(\text{d}_{X'/S'}(f^* h)\)로 사상된다는 성질로 유일하게 특징지어진다. 여기서 \(h\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 임의의 국소 단면이다.

증명

이는 가군, 보조정리 08RU의 특수한 경우이다. 스킴의 경우에는 코노멀 층의 함자성(보조정리 01R4을 보라)과 보조정리 08S2을 사용하여 \(c_f\)를 정의할 수도 있다. 또는 보조정리의 마지막 줄에 있는 특징화를 사용하여 아핀 조각 위에서 정의된 사상들을 붙일 수도 있다(대수, 식 (00RQ)을 보라).

보조정리

\(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 표준 완전열 \[f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 이 존재하며, 사상들은 보조정리 01UV를 적용하여 얻는다.

증명

이는 대수, 보조정리 00RS를 층화한 판이다. 또는 환 달린 공간의 사상에 대한 일반판은 가군, 보조정리 0H79에 있다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X' = X_{S'}\)를 \(X\)의 기저변환이라 하고, \(g' : X' \to X\)를 사영이라 하자. 그러면 보조정리 01UV의 사상 \[(g')^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X'/S'}\] 은 동형사상이다.

증명

이는 대수, 보조정리 00RV를 층화한 판이다.

보조정리

\(f : X \to S\)와 \(g : Y \to S\)를 같은 목표를 갖는 스킴의 사상이라 하자. \(p : X \times_S Y \to X\)와 \(q : X \times_S Y \to Y\)를 사영 사상이라 하자. 보조정리 01UV에서 오는 사상 \[p^*\Omega_{X/S} \oplus q^*\Omega_{Y/S} \longrightarrow \Omega_{X \times_S Y/S}\] 은 동형사상이다.

증명

보조정리 01V0에 의해 합성 \(p^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X \times_S Y/S} \to \Omega_{X \times_S Y/Y}\)는 동형사상이고, \(q\)에 대해서도 마찬가지이다. 또한 사상 \(p^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X \times_S Y/S}\)의 여핵은 보조정리 01UX에 의해 \(\Omega_{X \times_S Y/X}\)이다. 결과가 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한형이면 \(\Omega_{X/S}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

대수, 보조정리 00RZ, 보조정리 01UT, 보조정리 01T2, 성질, 보조정리 01PB에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소적으로 유한 표시이면 \(\Omega_{X/S}\)는 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

대수, 보조정리 00RY, 보조정리 01UT, 보조정리 01TQ, 성질, 보조정리 01PC에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(X \to S\)가 몰입이거나, 더 일반적으로 모노사상이면 \(\Omega_{X/S}\)는 영이다.

증명

이 경우 \(\Delta_{X/S}\)는 동형사상이어서 자명한 코노멀 층을 가지므로 참이다. 따라서 보조정리 08S2에 의해 \(\Omega_{X/S} = 0\)이다. 대수적 판은 대수, 보조정리 00RP이다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 스킴들의 몰입이라 하자. 표준 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] 이 존재한다. 첫째 화살표는 \(\text{d}_{X/S}\)에서 유도되고 둘째 화살표는 보조정리 01UV에서 온다.

증명

이는 대수, 보조정리 00RU를 층화한 판이다. 다만 첫째 화살표를 대역적으로 정의할 수 있는지 확인해야 한다. 따라서 여기서 “\(\text{d}_{X/S}\)에서 유도된다”는 말의 뜻을 설명한다. \(i\)가 닫힌 몰입이라고 가정할 수 있도록 \(X\)를 줄일 수 있다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z \subset X\)에 대응하는 아이디얼 층이라 하자. 그러면 \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{I} \to \Omega_{X/S}\)는 부분층 \(\mathcal{I}^2 \subset \mathcal{I}\)를 \(\mathcal{I}\Omega_{X/S}\)로 보낸다. 따라서 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{X/S}/\mathcal{I}\Omega_{X/S}\)인 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-선형 사상을 유도한다. 보조정리 01QY에 의해 이는 원하는 사상 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S}\)에 대응한다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 스킴들의 몰입이라 하고, \(i\)가 (국소적으로) 왼쪽 역을 갖는다고 가정하자. 보조정리 01UZ의 표준 열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] 은 (국소적으로) 분할 완전열이다. 특히 \(s : S \to X\)가 구조 사상 \(X \to S\)의 단면이면 사상 \(\mathcal{C}_{S/X} \to s^*\Omega_{X/S}\)는 \(\text{d}_{X/S}\)에서 유도되며 동형사상이다.

증명

대수, 보조정리 02HP에 의해 \(X, Z, S\)가 아핀인 경우에 결과가 성립한다. 일반적으로 이 열은 국소적으로 분할 완전열임을 얻는다. \(g : X \to Z\)가 \(i\)의 왼쪽 역이면 \(i^*c_g\)는 가군, 보조정리 01UW에 의해 사상 \(i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S}\)의 오른쪽 역이다. 그러므로 호몰로지, 보조정리 010G에 의해 열이 분할된다. 마지막으로 \(s\)가 단면이면 이는 몰입 \(s : Z = S \to X\), 즉 \(S\) 위의 몰입이고 (스킴, 보조정리 01KT을 보라), 이 경우 \(\Omega_{Z/S} = 0\)이다.

주

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 보조정리 01V1에 의해 \[\Omega_{X \times_S X/S} = \text{pr}_1^*\Omega_{X/S} \oplus \text{pr}_2^*\Omega_{X/S}\] 이다. 한편 대각 사상 \(\Delta : X \to X \times_S X\)는 국소적으로 왼쪽 역을 갖는 몰입이다. 따라서 보조정리 0474에 의해 표준 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X} \to \Omega_{X/S} \oplus \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/S} \to 0\] 을 얻는다. 오른쪽 화살표는 실제로 분할 전사인 \((1, 1)\)임에 유의하자. 한편 보조정리 08S2에 의해 동일시 \(\Omega_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X \times_S X}\)가 있다. 이 동일시에서 \(\text{d}_{X/S}(f) = s_2(f) - s_1(f)\)를 택했으므로 왼쪽 화살표는 \((-1, 1)\)이다⁹.

보조정리

스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] 이 주어지고 \(i\)와 \(j\)가 몰입이라고 하자. 그러면 표준 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] 이 존재한다. 첫째 화살표는 보조정리 01R4에서 오고, 둘째 화살표는 보조정리 01UZ에서 온다.

증명

이 명제의 대수적 판은 대수, 보조정리 065V이다.

유한 차수 미분 작용소

독자에게 가환대수 장의 해당 절(대수, 절 09CH)과 가군층 장의 해당 절 (가군, 절 0G3P)을 살펴볼 것을 권한다.

보조정리

\(R \to A\)를 환 준동형이라 하고, \(f : X \to S\)로 이에 대응하는 아핀 스킴의 사상을 나타내자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 준연접이면 미분 작용소를 그 대역 단면 위의 작용으로 보내는 사상 \[\text{Diff}^k_{X/S}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \text{Diff}^k_{A/R}(\Gamma(X, \mathcal{F}), \Gamma(X, \mathcal{G}))\] 은 전단사이다.

증명

\(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)로 쓰자. 여기서 \(A\)-가군 \(M\)을 적절히 택한다. \(N = \Gamma(X, \mathcal{G})\)로 두자. \(D : M \to N\)을 차수 \(k\)의 미분 작용소라 하자. 유일한 미분 작용소 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)로서 차수 \(k\)이고 대역 단면 위에서 \(D\)를 주는 것이 존재함을 보여야 한다. \(U = D(f) \subset X\)를 표준 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 국소화는 \(\mathcal{F}(U) = M_f\)이다. 대수, 보조정리 0G36에 의해 미분 작용소 \(D\)는 유일한 미분 작용소 \[D_f : \mathcal{F}(U) = \widetilde{M}(U) = M_f \to N_f = \widetilde{N}(U)\] 로 확장된다. 유일성에 의해 이 사상들 \(D_f\)는 서로 붙어서 층의 사상 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N}\)을 \(X\)의 모든 표준 열린집합으로 된 기저 위에서 준다. 따라서 층, 절 009H의 내용에 의해 이 사상들과 일치하는 유일한 층의 사상 \(\widetilde{D} : \widetilde{M} \to \widetilde{N}\)을 얻는다. \(\widetilde{D}\)는 표준 열린집합 위에서 차수 \(k\)의 미분 작용소들로 주어지므로 \(\widetilde{D}\)도 차수 \(k\)의 미분 작용소이다(작은 세부사항은 생략한다). 마지막으로 표준 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(c : \widetilde{N} \to \mathcal{G}\)와 뒤에서 합성하면(스킴, 보조정리 01I7을 보라) \(c \circ \widetilde{D} : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 얻으며, 이는 가군, 보조정리 0G3R에 의해 차수 \(k\)의 미분 작용소이다. 이로써 존재성이 증명된다. 유일성의 증명은 생략한다.

보조정리

\(a : X \to S\)와 \(b : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}'\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)를 차수 \(k\)이고 \(X/S\) 위에 있는 미분 작용소라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 유일한 미분 작용소 \[D' : \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] 가 차수 \(k\)로 \(X \times_S Y / Y\) 위에 존재하여 \(D'(s \otimes t) = D(s) \otimes t\) 를 만족한다. 여기서 \(s\)는 \(\mathcal{F}\)의 국소 단면이고 \(t\)는 \(\mathcal{G}\)의 국소 단면이다.

증명

\(X\), \(Y\), \(S\)가 아핀인 경우 이는 보조정리 0G44를 통해 대응하는 대수적 결과인 대수, 보조정리 0G37에서 따른다. 일반적인 경우에는 아핀 열린집합들로 된 덮개를 사용하여(예를 들어 스킴, 보조정리 01JS에서처럼) \(D'\)를 대역적으로 구성한다. 세부사항은 생략한다.

주

\(a : X \to S\)와 \(b : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(p : X \times_S Y \to X\)와 \(q : X \times_S Y \to Y\)로 사영들을 나타내자. 이 주석에서 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 주어지면 \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\] 로 두자. \(\mathcal{A}_{X/S}\)로 대상이 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 사상이 \(X/S\) 위의 유한 차수 미분 작용소인 가법 범주를 나타내자. \(\mathcal{A}_{Y/S}\)와 \(\mathcal{A}_{X \times_S Y/S}\)도 마찬가지이다. 보조정리 0G45의 구성은 함자 \[\boxtimes : \mathcal{A}_{X/S} \times \mathcal{A}_{Y/S} \longrightarrow \mathcal{A}_{X \times_S Y/S}, \quad (\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longmapsto \mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G}\] 를 결정하며, 이는 사상에 대해 쌍선형이다. \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\), \(S = \Spec(R)\)이면 준연접 층과 가군의 동일시를 통해 이 함자는 대상 위에서 \((M, N) \mapsto M \otimes_R N\)으로 주어지고, 사상 \((D, D') : (M, N) \to (M', N')\)을 \(D \otimes D' : M \otimes_R N \to M' \otimes_R N'\)으로 보낸다.

매끄러운 사상

\(f : X \to Y\)를 위상공간의 연속 사상이라 하자. 다음 조건을 고찰하자. 모든 \(x \in X\)에 대해 열린 근방 \(x \in U \subset X\), \(f(x) \in V \subset Y\)와 정수 \(d\)가 존재하여 \(f(U) \subset V\)이고 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-\pi & V \times \mathbf{R}^d \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] }\] 여기서 \(\pi\)는 어떤 열린 부분집합 위로의 위상동형사상이다. 스킴의 매끄러운 사상은 스킴 범주에서 이러한 사상에 대응하는 개념이다. 보조정리 01V7와 보조정리 054L를 보라.

(어쩌면) 예상과 달리 매끄러운 환 준동형의 개념은 미분 가군만으로 정의되지 않는다. 즉 \(R \to A\)가 매끄러운 환 준동형이라고 함은 \(A\)가 \(R\) 위에서 유한 표시이고 \(A\)의 \(R\) 위에서의 순진한 공변접 복합체가 차수 \(0\)에 놓인 사영 가군과 준동형인 경우임을 상기하자. 대수, 정의 00T2를 보라.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. \(f\)가 \(x \in X\)에서 매끄럽다고 함은 아핀 열린 근방 \(\Spec(A) = U \subset X\)로서 \(x\)를 포함하는 것과 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)가 존재하여 \(f(U) \subset V\)이고 유도된 환 준동형 \(R \to A\)가 매끄러운 경우이다.

2. \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 매끄러우면 이를 매끄럽다고 한다.

3. 아핀 스킴의 사상 \(f : X \to S\)에 대해 표준 매끄러운 환 준동형 \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)가 존재하여(대수, 정의 00T6를 보라) \(X \to S\)가 \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] 와 동형이면 이를 표준 매끄럽다고 한다.

이 정의의 좋은 점 하나는 사상이 매끄러운 점들의 집합이 자동으로 열린집합이라는 것이다.

정의에는 분리성이나 준콤팩트성 가정이 없다는 데 유의하자. 따라서 매끄러움은 원천에서 국소적인 문제이다. 정확한 결과는 다음과 같다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 매끄럽다.

2. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이면 환 준동형 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 매끄럽다.

3. 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\)가 매끄럽다.

4. 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 환 준동형 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 모든 \(j\in J, i\in I_j\)에 대해 매끄럽다.

또한 \(f\)가 매끄러우면 임의의 열린 부분스킴 \(U \subset X\), \(V \subset S\)에 대해 \(f(U) \subset V\)일 때 제한 \(f|_U : U \to V\)도 매끄럽다.

증명

“\(R \to A\)가 매끄럽다”라는 성질이 국소적임을 보이면 보조정리 01ST에서 따른다. 정의 01SR의 조건 (a), (b), (c)를 확인하자. 대수, 보조정리 00T4에 의해 매끄러움은 기저변환으로 보존되므로 (a)가 성립한다. 대수, 보조정리 00TD에 의해 매끄러움은 합성으로 보존되고, 임의의 환 \(R\)에 대해 환 준동형 \(R \to R_f\)는 (표준) 매끄럽다. 따라서 (b)가 성립한다. 마지막으로 대수, 보조정리 00TC에 의해 성질 (c)가 참이다.

다음 보조정리는 매끄러운 사상을 올이 매끄러운 평탄 유한 표시 사상으로 특징짓는다. 체 위에서 매끄러운 스킴은 다형체, 절 04QM에서 더 자세히 다룬다는 데 유의하자.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄이고 국소적으로 유한 표시이며 모든 올 \(X_s\)가 매끄러우면 \(f\)는 매끄럽다.

증명

대수, 보조정리 00TF에서 따른다.

보조정리

매끄러운 두 사상의 합성은 매끄럽다.

증명

보조정리 01V6의 증명에서 매끄러움이 환 준동형의 국소적 성질임을 보았다. 따라서 보조정리 01SV와 매끄러움이 합성으로 보존되는 환 준동형의 성질이라는 사실을 결합하면 보조정리의 첫째 명제를 얻는다. 대수, 보조정리 00TD를 보라.

보조정리

매끄러운 사상의 기저변환은 매끄럽다.

증명

보조정리 01V6의 증명에서 매끄러움이 환 준동형의 국소적 성질임을 보았다. 따라서 보조정리 01SV와 매끄러움이 기저변환으로 보존되는 환 준동형의 성질이라는 사실을 결합하면 결과가 따른다. 대수, 보조정리 00T4를 보라.

보조정리

모든 열린 몰입은 매끄럽다.

증명

열린 몰입은 국소 동형사상이므로 참이다.

보조정리

매끄러운 사상은 신토믹이다.

증명

대수, 보조정리 00TA을 보라.

보조정리

매끄러운 사상은 국소적으로 유한 표시이다.

증명

매끄러운 환 준동형은 정의상 유한 표시이므로 참이다.

보조정리

매끄러운 사상은 평탄이다.

증명

보조정리 01UL과 01VD을 결합하라.

보조정리

매끄러운 사상은 보편 열림이다.

증명

보조정리 01VF, 01VE, 01UA을 결합하라. 또는 보조정리 01VD, 056F을 결합하라.

다음 보조정리는 국소적으로 모든 매끄러운 사상이 표준 매끄럽다고 말한다. 따라서 표준 매끄러운 사상을 매끄러운 사상의 국소 모형으로 사용할 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하자. \(V \subset S\)를 \(f(x)\)의 아핀 열린 근방이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)이며, 유도된 사상 \(f|_U : U \to V\)는 표준 매끄럽다.

증명

정의들과 대수, 보조정리 00T7, 00TA에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 매끄럽다고 가정하자. 그러면 미분 가군 \(\Omega_{X/S}\), 즉 \(X\)의 \(S\) 위에서의 미분 가군은 유한 국소 자유이고 \[\text{rank}_x(\Omega_{X/S}) = \dim_x(X_{f(x)})\] 가 모든 \(x \in X\)에 대해 성립한다.

증명

명제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이다. 위 보조정리 01V7에 의해 \(f\)가 아핀 스킴 사이의 표준 매끄러운 사상이라고 가정할 수 있다. 이 경우 결과는 대수, 보조정리 00T7에서 따른다(상대 대역 완전교차의 정의, 즉 대수, 정의 00SP도 보라).

보조정리 02G1에 의해 다음 정의가 의미를 갖는다.

정의

\(d \geq 0\)을 정수라 하자. 스킴의 사상 \(f : X \to S\)가 상대차원 \(d\)로 매끄럽다고 함은 \(f\)가 매끄럽고 \(\Omega_{X/S}\)가 상수 계수 \(d\)인 유한 국소 자유인 경우이다.

다시 말해 \(f\)는 매끄럽고 공집합 아닌 올들은 차원 \(d\)인 순수차원이다. 아래 보조정리 01V9에 의해 이는 다음을 요구하는 것과 같다. (a) \(f\)는 국소적으로 유한 표시이고, (b) \(f\)는 평탄이며, (c) 공집합 아닌 모든 올은 차원 \(d\)인 순수차원이고, (d) \(\Omega_{X/S}\)는 계수 \(d\)인 유한 국소 자유이다. 단순히 \(f\)가 평탄이고 유한 표시이며 \(\Omega_{X/S}\)가 계수 \(d\)인 유한 국소 자유라고 가정하는 것으로는 충분하지 않다. 반례는 \(\Spec(\mathbf{F}_p[t]) \to \Spec(\mathbf{F}_p[t^p])\)이다.

점에서 매끄러움에 대한 미분적 판정법은 다음과 같다. 이 결과에는 여러 변형이 있고 언젠가 모두 유용할 수 있다. 필요할 때 여기에 추가하겠다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하고 \(s = f(x)\)로 두자. \(f\)가 국소적으로 유한 표시라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

2. 국소환 준동형 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 평탄이고 \(X_s \to \Spec(\kappa(s))\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

3. 국소환 준동형 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 평탄이고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 \(\Omega_{X/S, x}\)는 많아야 \(\dim_x(X_{f(x)})\)개의 원소로 생성된다.

4. 국소환 준동형 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 평탄이고 \(\kappa(x)\)-벡터공간 \[\Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 은 많아야 \(\dim_x(X_{f(x)})\)개의 원소로 생성된다.

5. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)가 존재하여 \(x \in U\), \(f(U) \subset V\)이고 유도된 사상 \(f|_U : U \to V\)는 표준 매끄럽다.

6. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)와 \(\Spec(R) = V \subset S\)가 존재하여 \(x \in U\)는 \(\mathfrak q \subset A\)에 대응하고 \(f(U) \subset V\)이며, 다음 표시가 존재한다. \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] 여기서 \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_c/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_c/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_c & \partial f_2/\partial x_c & \ldots & \partial f_c/\partial x_c \end{matrix} \right)\] 의 상은 \(A\)의 원소이고 \(\mathfrak q\)에 속하지 않는다.

증명

\(f\)가 \(x\)에서 매끄러우면 보조정리 01V7에서 (5)가 성립함을 알 수 있고, (6)은 (5)를 약간 약화한 판이다. 또한 \(f\)가 매끄러우면 환 준동형 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\)는 평탄하고(보조정리 01VF을 보라), \(\Omega_{X/S}\)는 계수가 \(\dim_x(X_s)\)와 같은 유한 국소 자유이다(보조정리 02G1를 보라). 따라서 (1)은 (3)과 (4)를 함의한다. 보조정리 01VB에 의해 (1)은 (2)도 함의한다.

보조정리 01V0에 의해 미분 가군 \(\Omega_{X_s/s}\), 즉 올 \(X_s\)의 \(\kappa(s)\) 위에서의 미분 가군은 미분 가군 \(\Omega_{X/S}\), 즉 \(X\)의 \(S\) 위에서의 미분 가군의 당김이다. 따라서 보조정리의 (4)에 표시된 등식이 성립한다. 보조정리 01V2에 의해 이 가군들은 유한형이다. 그러므로 가군 \(\Omega_{X/S, x}\)와 \(\Omega_{X_s/s, x}\)의 최소 생성원 수는 같고, 나카야마 보조정리(대수, 보조정리 00DV)에 의해 이 \(\kappa(x)\)-벡터공간의 차원과 같다. 특히 (3)과 (4)가 동치임을 보인다.

대수, 보조정리 00TF는 (2)가 (1)을 함의함을 보인다. 대수, 보조정리 00TT는 (3)과 (4)가 (2)를 함의함을 보인다. 마지막으로 예를 들어 대수, 예 00T8에 의해 (6)은 (5)를 함의하고, 대수, 보조정리 00T7에 의해 (5)는 (1)을 함의한다.

보조정리

스킴들의 카르테시안 그림 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(W \subset X\), 각각 \(W' \subset X'\)를 \(f\), 각각 \(f'\)가 매끄러운 점들의 열린 부분스킴이라 하자. 다음 중 하나가 성립하면 \(W' = (g')^{-1}(W)\)이다.

1. \(f\)는 평탄이고 국소적으로 유한 표시이다.

2. \(f\)는 국소적으로 유한 표시이고 \(g\)는 평탄이다.

증명

먼저 \(f\)가 국소적으로 유한형이라고 가정하자. 집합 \[T = \{x \in X \mid X_{f(x)}\text{ is smooth over }\kappa(f(x))\text{ at }x\}\] 과 대응하는 집합 \(T' \subset X'\)를 \(f'\)에 대해 고찰하자. 그러면 \(T' = (g')^{-1}(T)\)라고 주장한다. 실제로 \(s' \in S'\)를 점이라 하고 \(s = g(s')\)로 두자. 그러면 \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] 이다. 다시 말해 기저변환의 올은 원래 올의 기저변환이다. 따라서 주장은 대수, 보조정리 02UQ과 동치이다.

따라서 (1)의 경우 \(T\)는 보조정리 01V9에 의해 \(f\)가 매끄러운 점들의 (열린) 집합이므로 (1)이 따른다.

(2)의 경우 \(x' \in W'\)라 하자. 그러면 \(g'\)는 \(x'\)에서 평탄하고 (보조정리 01U8), \(g \circ f'\)도 \(x'\)에서 평탄하다(보조정리 01U6). 따라서 보조정리 02JZ에 의해 \(f\)는 \(x = g'(x')\)에서 평탄이다. 한편 \(x' \in T'\)이므로(보조정리 01VB) \(x \in T\)임을 알 수 있다. 따라서 보조정리 01V9에 의해 \(f\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

다음은 매끄러운 환 준동형의 순진한 공변접 복합체에서 \(H^{-1}\)의 소멸을 실제로 사용하는 보조정리이다.

보조정리

\(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 매끄럽다고 가정하자. 그러면 \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] (보조정리 01UX를 보라)은 짧은 완전열이다.

증명

이 보조정리의 대수적 판은 다음과 같다. 환 준동형 \(A \to B \to C\)가 주어지고 \(B \to C\)가 매끄러우면 대수, 보조정리 00RS의 열 \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] 은 완전하다. 이것이 대수, 보조정리 04B2이다.