대수공간의 유도 범주

서론

이 장에서는 대수공간 위 가군의 유도 범주를 논한다. 이 주제를 다루는 좋은 입문 문헌은 없는 듯하다. 문헌에서는 대수 스택 위 가군의 유도 범주를 다룬 논문을 인용하는 방식으로 이 주제를 다루며, 예를 들어 [olsson_sheaves]를 보라.

규약

\(\mathcal{A}\)가 아벨 범주이고 \(M\)이 \(\mathcal{A}\)의 대상이면, \(M\)을 \(K(\mathcal{A})\) 및/또는 \(D(\mathcal{A})\)의 대상으로도 쓴다. 이는 \(M\)이 차수 \(0\)에 있고 그 밖의 모든 차수에서 영인 복합체에 대응하는 대상이다.

환 \(A\)가 주어지면 \(K(A)\)는 \(A\)-가군 복합체의 호모토피 범주를 나타내고 \(D(A)\)는 대응하는 유도 범주를 나타낸다. 마찬가지로 환 달린 공간 \((X,\mathcal{O}_X)\)가 주어지면 \(K(\mathcal{O}_X)\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 호모토피 범주를 나타내고 \(D(\mathcal{O}_X)\)는 대응하는 유도 범주를 나타낸다.

일반론

이 절에서는 대수공간 위 가군의 비유계 복합체의 코호몰로지에 관한 몇 가지 일반 결과를 제시한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 에탈 사상 \(V\to Y\)가 주어졌을 때 \(U=V\times_YX\)라 두고, 사영 사상을 \(g:U\to V\)라 쓰자. 그러면 \((Rf_*E)|_V=Rg_*(E|_U)\)이다. 여기서 \(E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이다.

증명

\(E\)를 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타내자. 이는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체이다. 그러면 \(Rf_*(E)=f_*\mathcal{I}^\bullet\)이고, Cohomology on Sites, Lemma 08FI에 의해 \(Rg_*(E|_U)=g_*(\mathcal{I}^\bullet|_U)\)이다. 따라서 결론은 Properties of Spaces, Lemma 03LX에서 따른다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(T\subset|X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(E\)가 \(T\) 위에 지지된다고 하는 것은 코호몰로지 층 \(H^i(E)\)가 \(T\) 위에 지지될 때이다.

작은 에탈 사이트 위 준연접 가군의 유도 범주

\(X\)를 스킴이라 하자. 이 절에서는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 작은 에탈 사이트 \(X_\etale\)로 정의할 수 있음을 보인다. 이는 \(X\)의 작은 에탈 사이트이다. \(\mathcal{O}_\etale\)를 \(X_\etale\) 위 구조층이라 쓰자. 환 달린 사이트의 사상 [08H7]\[\begin{equation} \epsilon : (X_\etale, \mathcal{O}_\etale) \longrightarrow (X_{Zar}, \mathcal{O}_X). \end{equation}\] 을 생각하자. 이는 Descent, Lemma 070S에서 \(\text{id}_{small, \etale, Zar}\)로 쓰는 사상이다.

보조정리

(08H7)의 사상 \(\epsilon\)은 환 달린 사이트의 평탄 사상이다. 특히 함자 \(\epsilon^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\etale)\) 는 완전하다. 더 나아가 \(\epsilon^*\mathcal{F}=0\)이면 \(\mathcal{F}=0\)이다.

증명

사상 \(\epsilon\)의 평탄성은 Descent, Lemma 0GNA이다. 다른 증명을 주자. \(\mathcal{O}_\etale\)가 평탄한 \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_X\)-가군임을 보여야 한다. 이를 위해서는 사상 \(\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{\etale,\overline{x}}\)가 임의의 기하점 \(\overline{x}\)가 \(X\)의 점일 때 평탄임을 확인하면 충분하다. Modules on Sites, Lemma 05VC, Sites, Lemma 05V1, 그리고 Étale Cohomology, Remarks 040S를 보라. Étale Cohomology, Lemma 04HX에 의해 \(\mathcal{O}_{\etale,\overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 강 Hensel화이다. 따라서 \(\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{\etale,\overline{x}}\)는 More on Algebra, Lemma 07QM에 의해 충실 평탄이다.

\(\epsilon^*\)의 완전성은 Modules on Sites, Lemma 04JC에 의해 \(\epsilon\)의 평탄성에서 따른다.

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\epsilon^*\mathcal{F}=0\)이라면 위의 기호 아래 \[0 = \epsilon^*\mathcal{F}_{\overline{x}} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\] 이다(Modules on Sites, Lemma 05V5). 이는 모든 기하점 \(\overline{x}\)에 대해 성립한다. 사상 \(\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{\etale,\overline{x}}\)의 충실 평탄성에 의해 \(\mathcal{F}_x=0\)임을 모든 \(x\in X\)에 대해 얻는다.

\(X\)를 스킴이라 하고 (08H7)의 기호를 쓰자. Descent, Proposition 03DX과 Remark 03FH에 의해 \(\epsilon^*:\QCoh(\mathcal{O}_X)\to\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\)가 동치임을 상기하자. 더 나아가 Descent, Lemma 06VE에 의해 \(\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\etale)\)의 Serre 부분범주를 이룬다. 따라서 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\)를 \(D(\mathcal{O}_\etale)\)의 삼각 부분범주로 둘 수 있으며, 그 대상은 준연접 코호몰로지 층을 갖는 복합체들이다. Derived Categories, Section 06UP을 보라. 함자 \(\epsilon^*\)는 완전하므로(Lemma 08H8) \[\epsilon^* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_\etale)\] 를 유도한다. 또한 준연접 가군의 당김은 준연접이므로 \[\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\] 도 유도한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 위에서 정의한 함자 \(\epsilon^*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\)는 동치이다.

증명

함자 \(R\epsilon_*:D(\mathcal{O}_\etale)\to D(\mathcal{O}_X)\)가 준역함자를 유도함을 보여 증명하겠다. 여기서는 \(\epsilon_*\)가 \(X_{Zar}\subset X_\etale\)로의 제한으로 주어진다는 사실과 Descent, Lemma 070S에서의 \(\epsilon^*=\text{id}_{small,\etale,Zar}^*\)의 기술을 자유롭게 쓴다.

준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대한 수반 사상 \(\mathcal{F}\to\epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}\)는 동형이다. 실제로 \(\mathcal{F}^a\)가 층이라는 사실은 Descent, Definition 03DU과 Descent, Lemma 03DT에서 증명되었다. 반대로 모든 준연접 \(\mathcal{O}_\etale\)-가군 \(\mathcal{H}\)는 \(\epsilon^*\mathcal{F}\)의 꼴이다. 여기서 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)는 준연접이다. Descent, Proposition 03DX을 보라. 위에서 말한 바에 의해 \(\mathcal{F}=\epsilon_*\mathcal{H}\)이고, 따라서 수반 사상 \(\epsilon^*\epsilon_*\mathcal{H}\to\mathcal{H}\)는 모든 준연접 \(\mathcal{O}_\etale\)-가군 \(\mathcal{H}\)에 대해 동형이다.

\(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\)의 대상이라 하고, \(\mathcal{H}^q=H^q(E)\)를 그 \(q\)차 코호몰로지 층이라 쓰자. \(\mathcal{B}\)를 \(X_\etale\)의 아핀 대상들의 집합이라 하자. \(H^p(U,\mathcal{H}^q)=0\)이 모든 \(p>0\), 모든 \(q\in\mathbf{Z}\), 모든 \(U\in\mathcal{B}\)에 대해 성립한다. Descent, Proposition 03DW과 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라. Cohomology on Sites, Lemma 0BKZ에 의해 이는 \[H^q(U, E) = H^0(U, \mathcal{H}^q)\] 를 뜻하며, 모든 \(U\in\mathcal{B}\)에 대해 성립한다. 특히 아핀 열린집합 \(U\subset X\)에 대해 성립한다. 따라서 \(q\)차 코호몰로지는 \(R\epsilon_*E\)에 대해 \(U\) 위에서 층 \(\epsilon_*\mathcal{H}^q\)의 \(U\)에서의 값이다. 층화하면 \[H^q(R\epsilon_*E)=\epsilon_*\mathcal{H}^q\] 를 얻는다. 특히 \(R\epsilon_*\)는 함자 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 유도한다. \(\epsilon^*\)가 완전하므로 \(H^q(\epsilon^*R\epsilon_*E)=\epsilon^*\epsilon_*\mathcal{H}^q= \mathcal{H}^q\)를 얻는다(위의 논의를 보라). 따라서 수반 사상 \(\epsilon^*R\epsilon_*E\to E\)는 동형이다.

반대로 \(F\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대한 수반 사상 \(F\to R\epsilon_*\epsilon^*F\)도 같은 이유로 동형이다. 즉 \(R\epsilon_*\epsilon^*F\)의 코호몰로지 층들은 \(\epsilon_*H^m(\epsilon^*F)=\epsilon_*\epsilon^*H^m(F)=H^m(F)\)와 동형이다.

준연접 가군의 유도 범주

\(S\)를 스킴이라 하자. Lemma 071Q에 의해 범주 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)는 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체로 스킴 \(S\) 위에서 정의할 수도 있고, \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체로 \(S\)의 작은 에탈 사이트 위에서 정의할 수도 있다. 따라서 다음 정의는 스킴의 경우의 정의와 양립한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. 준연접 코호몰로지 층을 갖는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유도 범주를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)로 쓴다.

이는 Properties of Spaces, Lemma 03M1와 Derived Categories, Section 06UP에 의해 의미가 있다. 따라서 표준 함자 [08F1]\[\begin{equation} D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] 를 얻는다. Derived Categories, Equation (06UR)을 보라.

대수공간의 평탄 사상 \(f:Y\to X\)는 완전 함자 \(f^*:\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\to\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\)를 유도한다. Morphisms of Spaces, Lemma 073C와 Modules on Sites, Lemma 04JC를 보라. 특히 \(Lf^*:D(\mathcal{O}_X)\to D(\mathcal{O}_Y)\)는 임의의 대표 복합체 위에서 계산된다(Derived Categories, Lemma 015F). \(Lf^*=f^*\)로 쓰는 것은 \(f\)가 평탄할 때이며, 이 경우 \(H^i(f^*E)=f^*H^i(E)\)가 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 성립한다. \(f\)가 에탈일 때 이를 자주 쓸 것이다. 물론 에탈인 경우 당김 함자는 단지 \(Y_\etale\)로의 제한이다. Properties of Spaces, Equation (03LW)을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(E\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

2. 임의의 에탈 사상 \(\varphi:U\to X\)에서 \(U\)가 아핀 스킴이면 \(\varphi^*E\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)의 대상이다.

3. 임의의 에탈 사상 \(\varphi:U\to X\)에서 \(U\)가 스킴이면 \(\varphi^*E\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)의 대상이다.

4. 전사 에탈 사상 \(\varphi:U\to X\)가 존재하여 \(U\)가 스킴이고 \(\varphi^*E\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)의 대상이다.

5. 대수공간의 전사 에탈 사상 \(f:Y\to X\)가 존재하여 \(Lf^*E\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이다.

증명

보조정리 앞의 논의와 Properties of Spaces, Lemma 03M0에서 바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. 그러면 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에는 직합이 존재한다.

증명

Injectives, Lemma 07D9에 의해 유도 범주 \(D(\mathcal{O}_X)\)에는 직합이 존재하고, 이는 임의의 대표에서 항별 직합을 취하여 계산된다. 따라서 직합을 취하는 것이 완전 함자이므로 (임의의 Grothendieck 아벨 범주에서) 직합의 코호몰로지 층은 코호몰로지 층들의 직합임이 분명하다. 준연접 층들의 직합은 준연접이므로 보조정리가 따른다. Properties of Spaces, Lemma 03M1를 보라.

유도 극한에 관한 몇 가지 정보가 필요하다. 아래 보조정리에서 유도 극한은 일반적으로 \(D_\QCoh\)의 대상이 아님을 주의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \((K_n)\)을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 역계라 하고, 그 유도 극한을 \(K=R\lim K_n\)이라 하자. 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 취한다. \(H^q(K_{n+1})\to H^q(K_n)\)이 모든 \(q\in\mathbf{Z}\)와 \(n\geq1\)에 대해 전사라고 가정하자. 그러면

1. \(H^q(K)=\lim H^q(K_n)\)이다.

2. \(R\lim H^q(K_n)=\lim H^q(K_n)\)이다.

3. 모든 아핀 열린집합 \(U\subset X\)에 대해 \(H^p(U,\lim H^q(K_n))=0\)이고 이는 \(p>0\)일 때 성립한다.

증명

\(\mathcal{B}\subset\Ob(X_\etale)\)를 아핀 대상들의 집합이라 하자. \(H^q(K_n)\)이 준연접이므로 \(H^p(U,H^q(K_n))=0\)이 \(U\in\mathcal{B}\)에 대해 성립한다. Cohomology of Spaces, Section 071Y의 논의와 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라. 더 나아가 같은 이유로 사상 \(H^0(U,H^q(K_{n+1}))\to H^0(U,H^q(K_n))\)은 \(U\in\mathcal{B}\)에 대해 전사이다. 방금 확인한 조건을 Cohomology on Sites, Lemma 0A09에 적용하면 (1)이 따른다. (2)와 (3)은 Cohomology on Sites, Lemma 0BKY에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:Y\to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 함자 \(Lf^*\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 안으로 보낸다.

증명

다음 도식을 택하자. \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 에탈이며, \(a\)는 전사이다. \(a^*\circ Lf^*=Lh^*\circ b^*\)이므로, 결론은 Lemma 08F2과 스킴의 경우, 즉 Derived Categories of Schemes, Lemma 08DW에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. 대상 \(K,L\)을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 택하면 유도 텐서곱 \(K\otimes^\mathbf{L}L\)은 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

증명

\(\varphi:U\to X\)를 스킴 \(U\)로부터의 전사 에탈 사상이라 하자. \[\varphi^*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = \varphi^*K \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \varphi^*L\] 이므로 Lemma 08F2에 의해 스킴의 경우에서 결론이 따른다. 스킴의 경우는 Derived Categories of Schemes, Lemma 08DX이다.

다음 보조정리는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상 위에서 우유도 함자를 계산하는 데 도움이 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E\to R\lim\tau_{\geq-n}E\)는 동형이다.¹

증명

\(\mathcal{H}^i=H^i(E)\)를 \(i\)차 코호몰로지 층, 즉 \(E\)의 코호몰로지 층이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X_\etale\)의 아핀 대상들의 집합이라 하자. \(H^p(U,\mathcal{H}^i)=0\)이 모든 \(p>0\), 모든 \(i\in\mathbf{Z}\), 모든 \(U\in\mathcal{B}\)에 대해 성립한다. 이는 \(U\)가 아핀 스킴이기 때문이다. Cohomology of Spaces, Section 071Y의 논의와 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라. 따라서 \(d=0\)인 Cohomology on Sites, Lemma 0D6P에서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(F:\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\to\textit{Ab}\)를 함자라 하고 \(N\geq0\)을 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(F\)는 좌완전이다.

2. \(F\)는 가산 직적과 가환한다.

3. \(R^pF(\mathcal{F})=0\)이 모든 \(p\geq N\)과 준연접 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

그러면 \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 다음이 성립한다.

1. \(H^i(RF(\tau_{\leq a}E)\to H^i(RF(E))\)는 \(i\leq a\)일 때 동형이다.

2. \(H^i(RF(E))\to H^i(RF(\tau_{\geq b-N+1}E))\)는 \(i\geq b\)일 때 동형이다.

3. \(H^i(E)=0\)이 \(i\not\in[a,b]\)에 대해 성립한다고 하자. 여기서 어떤 \(-\infty\leq a\leq b\leq\infty\)를 택한다. 그러면 \(H^i(RF(E))=0\)이 \(i\not\in[a,b+N-1]\)에 대해 성립한다.

증명

(1)은 Derived Categories, Lemma 05TC이다.

(2)를 증명하자. \(E_n=\tau_{\geq-n}E\)라 쓰자. Lemma 08F6에 의해 \(E=R\lim E_n\)이다. 따라서 Injectives, Lemma 08U1에 의해 \(RF(E)=R\lim RF(E_n)\)가 \(D(\textit{Ab})\)에서 성립한다. 그러므로 모든 \(i\in\mathbf{Z}\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(RF(E_n)) \to H^i(RF(E)) \to \lim H^i(RF(E_n)) \to 0\] 이 있다. More on Algebra, Remark 08U5을 보라. (2)를 증명하기 위해 왼쪽 항이 영이고 오른쪽 항이 \(H^i(RF(E_{-b+N-1})\)와 같음을 보이겠다. 여기서 \(b\)는 \(i\geq b\)를 만족하는 임의의 수이다.

모든 \(n\)에 대해 구별 삼각형 \[H^{-n}(E)[n] \to E_n \to E_{n - 1} \to H^{-n}(E)[n + 1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 있다(Derived Categories, Remark 08J5). \(H^{-n}(E)\)가 준연접이므로 \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n])) = R^{i + n}F(H^{-n}(E)) = 0\] 이 \(i+n\geq N\)일 때 성립하고, \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n + 1])) = R^{i + n + 1}F(H^{-n}(E)) = 0\] 이 \(i+n+1\geq N\)일 때 성립한다. 따라서 \[H^i(RF(E_n)) \to H^i(RF(E_{n - 1}))\] 은 \(n\geq N-i\)일 때 동형이다. 그러므로 계 \(H^i(RF(E_n))\)들은 모두 ML 조건을 만족하고, 위 짧은 완전열의 \(R^1\lim\) 항은 영이다(More on Algebra, Section 07KV의 논의를 보라). 더 나아가 계 \(H^i(RF(E_n))\)은 원하는 대로 \(n=N-i-1\)부터 상수이다.

(3)을 증명하자. \(E\)에 대한 가정 아래 \(\tau_{\leq a-1}E=0\)이고, (1)에 의해 \(H^i(RF(E))\)의 소멸을 \(i\leq a-1\)에 대해 얻는다. 마찬가지로 \(\tau_{\geq b+1}E=0\)이므로 (2)에 의해 \(H^i(RF(E))\)의 소멸을 \(i\geq b+n\)에 대해 얻는다.

전체 직접상

다음 보조정리는 Cohomology of Spaces, Lemma 073G에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준분리이고 준콤팩트인 사상이라 하자.

1. 함자 \(Rf_*\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 안으로 보낸다.

2. \(Y\)가 준콤팩트이면 정수 \(N=N(X,Y,f)\)가 존재하여, 대상 \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 택하고 \(H^m(E)=0\)이 \(m>0\)에 대해 성립할 때 \(H^m(Rf_*E)=0\)이 \(m\geq N\)에 대해 성립한다.

3. 실제로 \(Y\)가 준콤팩트이면 \(N=N(X,Y,f)\)를 택하여, 대수공간의 모든 사상 \(Y'\to Y\)에 대해 같은 결론이 함자 \(R(f')_*\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 여기서 \(f':X'\to Y'\)는 \(f\)의 밑변환이다.

증명

\(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. (1)을 증명하려면 \(Rf_*E\)가 준연접 코호몰로지 층을 가짐을 보여야 한다. 이 문제는 \(Y\) 위에서 국소적이므로 \(Y\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다. Cohomology of Spaces, Lemma 073G에서처럼 \(N=N(X,Y,f)\)를 택하자. 그러면 \(R^pf_*\mathcal{F}=0\)이 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 모든 \(p\geq N\)에 대해 성립한다. 또한 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 모든 \(p\)에 대해 준연접이다(Cohomology of Spaces, Lemma 0720). 이 명제들은 밑변환 뒤에도 참이다.

먼저 \(E\)가 아래로 유계라고 가정하자. 이렇게 주어진 \(E\)에 대해서는 우리가 택한 \(N\)으로 (1), (2), (3)이 성립함을 보이겠다. 이 경우 예를 들어 스펙트럼 열 \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] (Derived Categories, Lemma 015J)과 \(R^pf_*H^q(E)\)의 준연접성 및 \(R^pf_*H^q(E)\)가 \(p\geq N\)일 때 소멸한다는 사실을 사용하면 (1), (2), (3)이 성립함을 알 수 있다.

다음으로 (2)와 (3)을 증명하자. \(H^m(E)=0\)이 \(m>0\)에 대해 성립한다고 하자. \(V\)를 \(Y_\etale\)의 아핀 대상이라 하자. \(H^p(V\times_YX,\mathcal{F})=0\)이 \(p\geq N\)에 대해 성립한다. Cohomology of Spaces, Lemma 08EX 을 보라. 따라서 함자 \(\Gamma(V\times_YX,-)\)에 Lemma 08F7를 적용하여 \[R\Gamma(V, Rf_*E) = R\Gamma(V \times_Y X, E)\] 의 코호몰로지가 차수 \(\geq N\)에서 소멸함을 얻는다. 이는 모든 아핀 \(V\)가 \(Y_\etale\)에 속할 때 성립하므로, \(H^m(Rf_*E)=0\)이 \(m\geq N\)에 대해 성립함을 얻는다.

이제 일반적인 경우에 (1)을 증명하자. 구별 삼각형 \[\tau_{\leq -n - 1}E \to E \to \tau_{\geq -n}E \to (\tau_{\leq -n - 1}E)[1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 있음을 상기하자. Derived Categories, Remark 08J5을 보라. (2)에 의해 \(Rf_*\tau_{\leq-n-1}E\)의 코호몰로지 층은 차수 \(\geq-n+N\)에서 소멸한다. 따라서 정수 \(q\)가 주어지면 \(R^qf_*E\)가 \(R^qf_*\tau_{\geq-n}E\)와 같도록 하는 어떤 \(n\)이 존재하고, 위의 결과를 적용할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준분리이고 준콤팩트인 사상이라 하자. 그러면 \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 직합과 가환한다.

증명

\(E_i\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상족이라 하고 \(E=\bigoplus E_i\)라 두자. 사상 \[\bigoplus Rf_*E_i \longrightarrow Rf_*E\] 이 동형임을 보이고자 한다. 이것이 차수 \(0\)의 코호몰로지 층 위에서 동형을 유도함을 보이면 보조정리가 따른다. Lemma 08FA에서처럼 정수 \(N\)을 택하자. 인용한 보조정리에 의해 \(R^0f_*E=R^0f_*\tau_{\geq-N}E\)이고 \(R^0f_*E_i=R^0f_*\tau_{\geq-N}E_i\)이다. 또한 \(\tau_{\geq-N}E=\bigoplus\tau_{\geq-N}E_i\)이다. 따라서 모든 \(E_i\)의 코호몰로지 층이 차수 \(<-N\)에서 소멸한다고 가정해도 된다. 이제 스펙트럼 열 \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E \quad\text{and}\quad R^pf_*H^q(E_i) \Rightarrow R^{p + q}f_*E_i\] (Derived Categories, Lemma 015J)을 사용하면 문제는 준연접 층들의 직합인 경우로 환원된다. 이 경우는 Cohomology of Spaces, Lemma 07U6에서 다룬다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 표현가능한 대수공간 \(X\)와 \(Y\)의 사상이라 하자. 이 두 공간은 \(S\) 위에 있다. \(f_0:X_0\to Y_0\)를 \(f\)를 나타내는 스킴의 사상이라 하자(어색하지만 임시적인 기호이다). 그러면 도식 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar[u]^{Lf^*_0} \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[u]_{Lf^*} }\] 은 가환한다(Lemma 08F4과 Derived Categories of Schemes, Lemma 08DW). 실제로 Lemma 071Q의 동치 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)와 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0})\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 환 달린 사이트의 평탄 사상 \(\epsilon:X_\etale\to X_{0,Zar}\)와 \(\epsilon:Y_\etale\to Y_{0,Zar}\)를 따라 당겨오면서 생기며, 환 달린 사이트의 도식 \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] 은 가환하기 때문이다(세부사항은 생략한다). \(f\)가 준콤팩트이고 준분리라는 것, 동치로 \(f_0\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. 그러면 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar[d]_{Rf_{0, *}} \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] 도 가환한다고 주장한다(Lemma 08FA와 Derived Categories of Schemes, Lemma 08D5). 이 또한 위에 표시한 사이트의 가환도식에서 따른다. 실제로 Lemma 071Q의 증명은 함자 \(R\epsilon_*\)가 동치 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)와 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0})\)를 줌을 보여준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 아핀 사상이라 하자. 그러면 \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 동형을 반영한다.

증명

이 명제는 사상 \(\alpha:E\to F\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(Rf_*\alpha\)가 동형이면 이 사상 자체가 동형이라는 뜻이다. 이는 코호몰로지 층 위에서 확인할 수 있다. 특히 문제는 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이다. 따라서 \(Y\)와 그에 따라 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 문제는 스킴의 경우(Derived Categories of Schemes, Lemma 08I8)로 환원된다. 이 환원에는 Lemma 071Q와 Remark 08GH를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 아핀 사상이라 하자. \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)에서 택하면 \(Rf_*Lf^*E=E\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y}f_*\mathcal{O}_X\)이다.

증명

\(f\)가 아핀이므로 사상 \(f_*\mathcal{O}_X\to Rf_*\mathcal{O}_X\)는 동형이다(Cohomology of Spaces, Lemma 073H). 표준 사상 \(E\otimes^\mathbf{L}f_*\mathcal{O}_X= E\otimes^\mathbf{L}Rf_*\mathcal{O}_X\to Rf_*Lf^*E\) 가 존재한다. 이는 사상 \[Lf^*(E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X) = Lf^*E \otimes^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \longrightarrow Lf^* E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_X = Lf^* E\] 에 수반되고, 이 사상은 \(1:Lf^*E\to Lf^*E\)와 표준 사상 \(Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X\)에서 생긴다. 이렇게 구성한 사상이 동형임을 확인하려면 \(Y\) 위에서 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(Y\)와 그에 따라 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 문제는 스킴의 경우(Derived Categories of Schemes, Lemma 08I9)로 환원된다. 이 환원에는 Lemma 071Q와 Remark 08GH를 사용한다.

기저 위에서 고유함

이 절은 Cohomology of Schemes, Section 0CYK에 대응한다. 점들의 집합 위 위상과 관련된 내용에서 늘 그렇듯, 이를 대수공간으로 옮길 때에는 주의해야 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(T\subset|X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 사상 \(Z\to Y\)는, \(Z\)가 \(T\) 위의 유도된 축약 대수공간 구조이면 고유이다(Properties of Spaces, Definition 047X).

2. 어떤 닫힌 부분공간 \(Z\subset X\)가 \(|Z|=T\)를 만족하고 사상 \(Z\to Y\)가 고유이다.

3. 임의의 닫힌 부분공간 \(Z\subset X\)가 \(|Z|=T\)를 만족하면 사상 \(Z\to Y\)는 고유이다.

증명

(3) \(\Rightarrow\) (1)과 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 바로 따른다. 따라서 (2)가 (3)을 함의함을 보이면 충분하다. 독자에게 이 사실의 증명을 직접 찾아보기를 권한다. \(Z'\)와 \(Z''\)를 \(T=|Z'|=|Z''|\)를 만족하는 닫힌 부분공간이라 하고, \(Z'\to Y\)가 대수공간의 고유 사상이라고 하자. \(Z''\to Y\)도 고유임을 보여야 한다. \(Z'''=Z'\cup Z''\)를 스킴 이론적 합집합이라 하자. Morphisms of Spaces, Definition 0CYZ을 보라. 그러면 \(Z'''\)은 \(|Z'''|=T\)를 만족하는 또 다른 닫힌 부분공간이다. 이는 예를 들어 Morphisms of Spaces, Lemma 0CZ1의 스킴 이론적 합집합의 기술에서 따른다. \(Z''\to Z'''\)이 닫힌 몰입이므로 \(Z'''\to Y\)가 고유임을 보이면 충분하다(Morphisms of Spaces, Lemmas 04XZ와 04XY를 보라). 사상 \(Z'\to Z'''\)은 전단사 닫힌 몰입이고, 특히 전사이며 보편적으로 닫혀 있다. 이제 \(Z'\to Y\)가 분리라는 사실에 의해 \(Z'''\to Y\)도 분리이다(Morphisms of Spaces, Lemma 05Z2). 또한 \(Z'''\to Y\)도 국소 유한형이다. 이는 \(X\to Y\)가 국소 유한형이기 때문이다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 06ED와 03XG). \(Z'\to Y\)가 준콤팩트이고 \(Z'\to Z'''\)이 보편 위상동형이므로 \(Z'''\to Y\)가 준콤팩트임을 알 수 있다. 마지막으로 \(Z'\to Y\)가 보편적으로 닫혀 있으므로 Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ에 의해 \(Z'''\to Y\)도 그러하다. 이로써 증명이 끝난다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(T\subset|X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. Lemma 0CZC의 서로 동치인 조건들이 성립하면 \(T\)가 \(Y\) 위에서 고유하다고 한다.

위 정의에 사용한 보조정리는 사상 \(f:X\to Y\)가 국소 유한형이 아니면 거짓이다. 따라서 \(f\)가 국소 유한형이 아닐 때에는 이 용어를 사용하지 말기를 권한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(T'\subset T\subset|X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(T\)가 \(Y\) 위에서 고유이면 \(T'\)도 그러하다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 Cartesian 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 국소 유한형이다. \(T\)가 \(|X|\)의 닫힌 부분집합이고 \(Y\) 위에서 고유이면, \(|g'|^{-1}(T)\)는 \(|X'|\)의 닫힌 부분집합이고 \(Y'\) 위에서 고유이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 03XH에 의해 \(f'\)가 국소 유한형이므로 명제는 의미가 있다. \(Z\subset X\)를 \(T\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하자. 스킴 이론적 역상을 \(Z'=(g')^{-1}(Z)\)라 쓰자. 그러면 \(Z'=X'\times_XZ=(Y'\times_YX)\times_XZ=Y'\times_YZ\)는 \(Y'\) 위에서 고유이다. 이는 \(Z\)를 \(Y\) 위에서 밑변환한 것이기 때문이다(Morphisms of Spaces, Lemma 04WP). 한편 \(T'=|Z'|\)이다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(B\) 위 국소 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자.

1. \(Y\)가 \(B\) 위에서 분리이고 \(T\subset|X|\)가 \(B\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이면, \(|f|(T)\)는 \(|Y|\)의 닫힌 부분집합이고 \(B\) 위에서 고유이다.

2. \(f\)가 보편적으로 닫혀 있고 \(T\subset|X|\)가 \(B\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이면, \(|f|(T)\)는 \(Y\)의 닫힌 부분집합이고 \(B\) 위에서 고유이다.

3. \(f\)가 고유이고 \(T\subset|Y|\)가 \(B\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이면, \(|f|^{-1}(T)\)는 \(|X|\)의 닫힌 부분집합이고 \(B\) 위에서 고유이다.

증명

(1)을 증명하자. \(Y\)가 \(B\) 위에서 분리이고 \(T\subset|X|\)가 \(B\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이라고 가정하자. \(Z\)를 \(T\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하고, Morphisms of Spaces, Lemma 0AGD를 \(Z\to Y\)에 \(B\) 위에서 적용하면 된다.

(2)를 증명하자. \(f\)가 보편적으로 닫혀 있고 \(T\subset|X|\)가 \(B\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이라고 가정하자. \(Z\)를 \(T\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하고, \(Z'\)를 \(|f|(T)\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하자. 유도된 사상 \(Z\to Z'\)를 얻는다. \(Z''=f^{-1}(Z')\)를 스킴 이론적 역상이라 쓰자. 그러면 \(Z''\to Z'\)는 \(f\)의 밑변환이므로 보편적으로 닫혀 있다(Morphisms of Spaces, Lemma 04WP). 따라서 \(Z\to Z'\)는 닫힌 몰입 \(Z\to Z''\)과 \(Z''\to Z'\)의 합성이므로 보편적으로 닫혀 있다(Morphisms of Spaces, Lemmas 04XZ와 04XY). Morphisms of Spaces, Lemma 05Z2에 의해 \(Z'\to B\)가 분리임을 얻는다. \(Z\to B\)가 준콤팩트이고 \(Z\to Z'\)가 전사이므로 \(Z'\to B\)도 준콤팩트이다. \(Z'\to B\)는 \(Z'\to Y\)와 \(Y\to B\)의 합성이므로 \(Z'\to B\)가 국소 유한형이다(Morphisms of Spaces, Lemmas 06ED와 03XG). 마지막으로 \(Z\to B\)가 보편적으로 닫혀 있으므로 Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ에 의해 \(Z'\to B\)도 그러하다. 이로써 증명이 끝난다.

(3)을 증명하자. \(f\)가 고유이고 \(T\subset|Y|\)가 \(B\) 위에서 고유인 닫힌 부분집합이라고 가정하자. \(Z\)를 \(T\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하자. \(Z'=f^{-1}(Z)\)를 스킴 이론적 역상이라 쓰자. 그러면 \(Z'\to Z\)는 \(f\)의 밑변환이므로 고유이다(Morphisms of Spaces, Lemma 04WP). 따라서 \(Z'\to B\)는 \(Z'\to Z\)와 \(Z\to B\)의 합성이므로 고유이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 04XY). 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(T_i \subset |X|\), \(i = 1, \ldots, n\)을 닫힌 부분집합이라 하자. \(T_i\), \(i = 1, \ldots, n\)이 \(Y\) 위에서 고유이면 \(T_1 \cup \ldots \cup T_n\)도 그러하다.

증명

\(Z_i\)를 \(T_i\) 위의 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조라 하자.

사상 \[Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n \longrightarrow X\] 은 Morphisms of Spaces, Lemmas 081Y와 0CZ2에 의해 유한이다. 유한 사상은 보편적으로 닫혀 있고 (Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ), \(Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n\)은 \(S\) 위에서 고유이므로

Lemma 0CZG의 (2)에 의해 상 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\)은 \(S\) 위에서 고유이다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 지지 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), 즉 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(|X|\)의 닫힌 부분집합이다. Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ를 보라. 따라서 “\(\mathcal{F}\)의 지지는 \(Y\) 위에서 고유이다”라고 말하는 것이 의미가 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)의 지지가 \(Y\) 위에서 고유이다.

2. \(\mathcal{F}\)의 스킴 이론적 지지 (Morphisms of Spaces, Definition 07U1)가 \(Y\) 위에서 고유이다.

3. 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)와 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 (a) \(Z \to Y\)가 고유이고, (b) \((Z \to X)_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)이다.

증명

지지 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), 즉 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(|X|\)의 닫힌 부분집합이다. Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ를 보라. 따라서 Definition 0CZD를 적용할 수 있다. \(\mathcal{F}\)의 스킴 이론적 지지는 그 기저 닫힌 부분집합이 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)인 닫힌 부분공간이므로 Definition 0CZD에 의해 (1)과 (2)는 서로 동치이다. (2)가 (3)을 함의하는 것은 명백하다. 반대로 (3)이 참이면 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset |Z|\)이고, 따라서 예를 들어 Lemma 0CZE에 의해 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)는 \(Y\) 위에서 고유이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 Cartesian 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 국소 유한형이다. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 지지가 \(Y\) 위에서 고유이면 \((g')^*\mathcal{F}\)의 지지는 \(Y'\) 위에서 고유이다.

증명

Modules on Sites, Lemma 03DO에 의해 \((g')*\mathcal{F}\)가 유한형이므로 이 명제는 의미가 있다.

Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ에 의해 \(\text{Supp}((g')^*\mathcal{F}) = |g'|^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)이다. 따라서 이 보조정리는 Lemma 0CZF에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 지지가 \(Y\) 위에서 고유이면, \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\), \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{F}\)로 확대한 임의의 확대, \(\Im(u)\)와 \(\Coker(u)\) (임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)에서 나오는 것), 그리고 \(\mathcal{F}\) 또는 \(\mathcal{G}\)의 임의의 준연접 몫의 지지도 그러하다.

2. \(Y\)가 국소 Noether이면 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들 가운데 지지가 \(Y\) 위에서 고유인 것들의 범주는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 아벨 범주의 Serre 부분범주이다(Homology, Definition 02MO).

증명

(1)의 증명. \(T\), \(T'\)을 각각 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 지지라 하자. 그러면 (1)에서 언급한 모든 층의 지지는 \(T \cup T'\)에 포함된다. 따라서 이 층들이 유한형이고 준연접임을 확인하면, 주장 자체는 Lemmas 0CZE와 0CZH에서 명백하다. 준연접성에 대해서는 Properties of Spaces, Section 03G5를 보라. “유한형”에 대해서는 Properties of Spaces, Section 05VR를 보라.

(2)의 증명. 증명은 (1)의 증명과 같다. Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK과 Cohomology of Spaces, Section 07U9의 연접 가군 범주에 대한 설명에 의해 \(X\)가 국소 Noether이므로 각 주장이 의미가 있음에 유의하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)는 국소 유한형이고 \(Y\)는 국소 Noether이라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 그 지지가 \(Y\) 위에서 고유이라고 하자. 그러면 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. 이는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다.

증명

Lemma 0CZI에 의해 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)가 존재하여 \(g = f \circ i : Z \to Y\)가 고유이고, \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)가 되는 어떤 연접 가군 \(\mathcal{G}\)가 \(Z\) 위에 존재한다. Cohomology of Spaces, Lemma 08AR에 의해 \(R^pg_*\mathcal{G}\)는 \(S\) 위에서 연접이다. 한편 \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\)이다(\(q > 0\)에 대해) (Cohomology of Spaces, Lemma 07UH). Cohomology on Sites, Lemma 0734에 의해 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\)를 얻고 보조정리가 따른다.

연접 가군의 유도 범주

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 대수공간이라 하자. 이 경우 범주 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), 즉 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주는 약한 Serre 부분범주이다. Homology, Section 02MN와 Cohomology of Spaces, Lemma 07UC을 보라. 코호몰로지 층들이 연접인 복합체들의 부분범주를 \[D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \subset D(\mathcal{O}_X)\] 로 나타낸다. Derived Categories, Section 06UP를 보라. 따라서 표준 함자 [08GJ]\[\begin{equation} D(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] 를 얻는다. Derived Categories, Equation (06UR)을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 Noether이라고 가정하자. \(E\)를 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(H^i(E)\)의 지지가 \(Y\) 위에서 고유이라고 하자(모든 \(i\)에 대해). 그러면 \(Rf_*E\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이다.

증명

스펙트럼 열 \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] 을 생각하자. Derived Categories, Lemma 015J를 보라. 가정과 Lemma 08GC에 의해 층 \(R^pf_*H^q(E)\)는 연접이다. 따라서 \(R^{p + q}f_*E\)는 연접이다. 즉, \(E \in D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)이다. 아래로 유계인 것은 명백하다. 위로 유계인 것은 Cohomology of Spaces, Lemma 073G 또는 Lemma 08FA에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 Noether이라고 가정하자. \(E\)를 \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(H^i(E)\)의 지지가 \(S\) 위에서 고유이라고 하자(모든 \(i\)에 대해).

그러면 \(Rf_*E\)는 \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이다.

증명

증명은 Lemma 08GK의 증명과 같다. 또는 완전 함자 \(Rf_*\)가 구별 삼각형 \(\tau_{\leq a}E \to E \to \tau_{\geq a + 1}E \to \tau_{\leq a}E[1]\) 에 무엇을 하는지 생각하여 Lemma 08GK에서 이를 도출할 수도 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 대수공간이라 하자. \(L\)이 \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(K\)가 \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속하면, \(R\SheafHom(K, L)\)은 \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

증명

\(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속하는지는 \(X\) 위에서 ètale 국소적으로 확인할 수 있다. Cohomology of Spaces, Lemma 07UB을 보라. 따라서 이 보조정리는 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0D0C을 보라.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 고유 대수공간이라 하자. \(L\)이 \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(K\)가 \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속하면 \(A\)-가군 \(\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L)\)은 유한이다.

증명

다음을 상기하자. \[\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L) = H^n(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L)) = H^n(\Spec(A), Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L))\] Cohomology on Sites, Lemma 08JA와 Cohomology on Sites, Section 072X를 보라. 따라서 결과는 Lemmas 0D0S과 0D0R에서 따른다.

귀납 원리

이 절에서는 스킴에 대한 Cohomology of Schemes, Lemma 08DR와 유사한 대수공간의 귀납 원리를 논한다. 이를 정식화하기 위해 기본 구별 정사각형의 개념을 도입한다. 이 용어는 [MV]에서 빌려왔다. 여기서 정식화한 원리는 Raynaud와 Gruson의 논문 [GruRay]에 암묵적으로 들어 있다. 대수 스택에 대한 관련 원리는 David Rydh의 [rydh_etale_devissage, Theorem D]이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \times_W V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d]^f \\ U \ar[r]^j & W }\] 을 생각하자. 이 도식이 \(S\) 위 대수공간의 도식이고 다음을 만족할 때 이를 기본 구별 정사각형이라 한다.

1. \(U\)는 \(W\)의 열린 부분공간이고 \(j\)는 포함 사상이다.

2. \(f\)는 ètale이다.

3. \(T = W \setminus U\)라 두면(유도된 축약 부분공간 구조를 부여하여) 사상 \(f^{-1}(T) \to T\)는 동형이다.

이를 “\((U \subset W, f : V \to W)\)를 기본 구별 정사각형이라 하자”라고 나타내겠다.

\((U \subset W, f : V \to W)\)가 기본 구별 정사각형이면 \(W = U \cup f(V)\)임에 유의하라. 따라서 \(\{U \to W, V \to W\}\)는 \(W\)의 ètale 피복이다. 이 ètale 피복들은 좋은 성질을 가지며, 어떤 의미에서는 그러한 피복이 “충분히 많이” 있음이 밝혀진다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset W, f : V \to W)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자.

1. \(V' \subset V\)와 \(U \subset U' \subset W\)가 열린 부분공간이고 \(W' = U' \cup f(V')\)이면 \((U' \subset W', f|_{V'} : V' \to W')\)는 기본 구별 정사각형이다.

2. \(p : W' \to W\)가 대수공간의 사상이면 \((p^{-1}(U) \subset W', V \times_W W' \to W')\)는 기본 구별 정사각형이다.

3. \(S' \to S\)가 스킴의 사상이면 \((S' \times_S U \subset S' \times_S W, S' \times_S V \to S' \times_S W)\)는 기본 구별 정사각형이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(P\)를 \(X_{spaces, \etale}\)의 준콤팩트 준분리 대상들의 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(P\)는 \(X_{spaces, \etale}\)의 모든 아핀 대상에 대해 성립한다.

2. 다음 조건을 만족하는 모든 기본 구별 정사각형 \((U \subset W, f : V \to W)\)에 대해,

   1. \(W\)는 \(X_{spaces, \etale}\)의 준콤팩트 준분리 대상이다.

   2. \(U\)는 준콤팩트이다.

   3. \(V\)는 아핀이다.

   4. \(P\)는 \(U\), \(V\), \(U \times_W V\)에 대해 성립한다.

   그러면 \(P\)는 \(W\)에 대해 성립한다.

그러면 \(P\)는 \(X_{spaces, \etale}\)의 모든 준콤팩트 준분리 대상에 대해 성립하며, 특히 \(X\)에 대해 성립한다.

증명

먼저 \(P\)가 \(X_{spaces, \etale}\)의 표현 가능한 모든 준콤팩트 준분리 대상에 대해 성립한다고 주장한다. 실제로 \(U \to X\)가 ètale이고 \(U\)가 준콤팩트 준분리 스킴이라고 하자. 가정 (1)에 의해 성질 \(P\)는 \(U\)의 모든 아핀 열린집합에 대해 성립한다. 더욱이 \(W, V \subset U\)가 준콤팩트 열린집합이고 \(V\)가 아핀이며 \(P\)가 \(W\), \(V\), \(W \cap V\)에 대해 성립하면, (2)에 의해 \(P\)는 \(W \cup V\)에 대해 성립한다(쌍 \((W \subset W \cup V, V \to W \cup V)\)가 기본 구별 정사각형이기 때문이다). 따라서 스킴에 대한 귀납 원리, 즉 Cohomology of Schemes, Lemma 08DR에 의해 \(P\)는 \(U\)에 대해 성립한다.

증명을 끝내려면 \(P\)가 \(X\)에 대해 성립함을 증명하면 충분하다 (\(X\)를 결과를 증명하고 싶은 \(X_{spaces, \etale}\)의 임의의 준콤팩트 준분리 대상으로 바꾸면 되기 때문이다). Decent Spaces, Lemma 07ST의 여과 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] 와 사상 \(f_p : V_p \to U_p\)를 사용하겠다. \(P\)가 \(U_p\)에 대해 성립함을 \(p\)에 대한 하향 귀납법으로 증명한다. 공 대수공간은 아핀이므로 (1)에 의해 \(P\)는 \(U_{n + 1}\)에 대해 성립함에 유의하라. \(P\)가 \(U_{p + 1}\)에 대해 성립한다고 가정하자. \((U_{p + 1} \subset U_p, f_p : V_p \to U_p)\)는 기본 구별 정사각형이지만, \(V_p\)가 아핀이 아닐 수 있으므로 (2)를 적용하지 못할 수 있다. 그러나 \(V_p\)는 준콤팩트 스킴이므로 유한 아핀 열린 피복 \(V_p = V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, m}\)을 택할 수 있다. \(W_{p, 0} = U_{p + 1}\)이라 두고 \[W_{p, i} = U_{p + 1} \cup f_p(V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, i})\] 라 두자(\(i = 1, \ldots, m\)에 대해). 이들은 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이다. 그러면 \[U_{p + 1} = W_{p, 0} \subset W_{p, 1} \subset \ldots \subset W_{p, m} = U_p\] 이고, 쌍들 \[(W_{p, 0} \subset W_{p, 1}, f_p|_{V_{p, 1}}), (W_{p, 1} \subset W_{p, 2}, f_p|_{V_{p, 2}}),\ldots, (W_{p, m - 1} \subset W_{p, m}, f_p|_{V_{p, m}})\] 은 Lemma 08GN에 의해 기본 구별 정사각형이다. \(P\)는 각 \(V_{p, 1}\)에 대해 성립하고(아핀 스킴이므로), \(W_{p, i} \times_{W_{p, i + 1}} V_{p, i + 1}\)에 대해서도 성립한다. 후자는 \(V_{p, i + 1}\)의 준콤팩트 열린집합이므로 이 증명의 첫 문단에 의해 \(P\)가 성립하기 때문이다. 따라서 이들 각각에 (2)를 적용하고 귀납적으로 \(P\)가 \(W_{p, 1}, \ldots, W_{p, m} = U_p\)에 대해 성립함을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\)라 하고 \(P\)를 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 모든 \(W \in \mathcal{B}\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(W \in \mathcal{B}\)이고 \(U \subset W\)가 준콤팩트 열린집합이면 \(U \in \mathcal{B}\)이다.

3. \(V \in \Ob(X_{spaces, \etale})\)가 아핀이면 (a) \(V \in \mathcal{B}\)이고 (b) \(P\)는 \(V\)에 대해 성립한다.

4. 다음 조건을 만족하는 모든 기본 구별 정사각형 \((U \subset W, f : V \to W)\)에 대해,

   1. \(W \in \mathcal{B}\)이다.

   2. \(U\)는 준콤팩트이다.

   3. \(V\)는 아핀이다.

   4. \(P\)는 \(U\), \(V\), \(U \times_W V\)에 대해 성립한다.

   그러면 \(P\)는 \(W\)에 대해 성립한다.

그러면 \(P\)는 모든 \(W \in \mathcal{B}\)에 대해 성립한다.

증명

이는 Lemma 08GP의 증명과 정확히 같은 방식으로 증명된다. ((4)(d)가 의미를 가지는 것은 \(U \times_W V\)가 \(V\)의 준콤팩트 열린집합이고, 따라서 조건 (2)와 (3)에 의해 \(\mathcal{B}\)의 원소이기 때문이다.)

주

\(\mathcal{B}\)라는 모음을 Lemma 08GQ에서 어떻게 택할 것인가? 몇 가지 예는 다음과 같다.

1. \(X\)가 준콤팩트이고 분리이면, \(\mathcal{B}\)를 \(X_{spaces, \etale}\)의 준콤팩트 분리 대상들의 집합으로 택할 수 있다. 그러면 \(X \in \mathcal{B}\)이고 \(\mathcal{B}\)는 (1), (2), (3)(a)를 만족한다. 이 \(\mathcal{B}\)의 선택으로 Lemma 08GQ는 Lemma 08GP를 재현한다.

2. \(X\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 아핀 대각사상을 갖는 준콤팩트 공간이면(Properties of Spaces, Definition 03BS에서와 같이), \(\mathcal{B}\)를 \(X_{spaces, \etale}\)의 대상들 가운데 준콤팩트이고 \(\mathbf{Z}\) 위에서 아핀 대각사상을 갖는 것들의 집합으로 택할 수 있다. 다시 \(X \in \mathcal{B}\)이고 \(\mathcal{B}\)는 (1), (2), (3)(a)를 만족한다.

3. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이면, 가장 작은 부분집합 \(\mathcal{B}\), 즉 \(X\)를 포함하고 (1), (2), (3)(a)를 만족하는 것은 다음 규칙으로 주어진다. \(W \in \mathcal{B}\)일 필요충분조건은 \(W\)가 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이거나, \(W\)가 \(X_{spaces, \etale}\)의 어떤 아핀 대상의 준콤팩트 열린집합인 것이다.

다음은 열린집합에서 더 큰 열린집합으로 참을 확장하는 변형이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(W \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자. \(P\)를 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간들의 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(P\)는 \(W\)에 대해 성립한다.

2. 모든 기본 구별 정사각형 \((W_1 \subset W_2, f : V \to W_2)\)에 대해

   다음이 성립한다고 하자.

   1. \(W_1\), \(W_2\)는 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이다.

   2. \(W \subset W_1\)이다.

   3. \(V\)는 아핀이다.

   4. \(P\)는 \(W_1\)에 대해 성립한다.

   그러면 \(P\)는 \(W_2\)에 대해 성립한다.

그러면 \(P\)는 \(X\)에 대해 성립한다.

증명

이를 Lemma 08GQ에서 도출할 수 있지만, 대신 Lemma 08GP의 증명을 명시적으로 다시 수행하여 직접 논증하겠다. Decent Spaces, Lemma 07ST의 여과 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] 와 사상 \(f_p : V_p \to U_p\)를 사용하겠다. \(P\)가 \(W_p = W \cup U_p\)에 대해 성립함을 \(p\)에 대한 하향 귀납법으로 증명하겠다. \(W_1 = X\)이므로 이것으로 증명이 끝난다. (1)에 의해 \(P\)는 \(W_{n + 1} = W \cap U_{n + 1} = W\)에 대해 성립한다.

\(P\)가 \(W_{p + 1}\)에 대해 성립한다고 가정하자. \(W_p \setminus W_{p + 1}\)은(유도된 축약 부분공간 구조를 부여하여) \(U_p \setminus U_{p + 1}\)의 닫힌 부분공간이다. \((U_{p + 1} \subset U_p, f_p : V_p \to U_p)\)가 기본 구별 정사각형이므로 \((W_{p + 1} \subset W_p, f_p : V_p \to W_p)\)도 그러하다. 그러나 \(V_p\)가 아핀이 아닐 수 있으므로 (2)를 적용하지 못할 수 있다. 하지만 \(V_p\)는 준콤팩트 스킴이므로 유한 아핀 열린 피복 \(V_p = V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, m}\)을 택할 수 있다. \(W_{p, 0} = W_{p + 1}\)이라 두고 \[W_{p, i} = W_{p + 1} \cup f_p(V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, i})\] 라 두자(\(i = 1, \ldots, m\)에 대해). 이들은 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이며 \(W\)를 포함한다. 그러면 \[W_{p + 1} = W_{p, 0} \subset W_{p, 1} \subset \ldots \subset W_{p, m} = W_p\] 이고, 쌍들 \[(W_{p, 0} \subset W_{p, 1}, f_p|_{V_{p, 1}}), (W_{p, 1} \subset W_{p, 2}, f_p|_{V_{p, 2}}),\ldots, (W_{p, m - 1} \subset W_{p, m}, f_p|_{V_{p, m}})\] 은 Lemma 08GN에 의해 기본 구별 정사각형이다. 이제 이들 각각에 (2)를 적용하고 귀납적으로 \(P\)가 \(W_{p, 1}, \ldots, W_{p, m} = W_p\)에 대해 성립함을 얻는다.

Mayer–Vietoris

이 절에서는 기본 구별 삼각형이 여러 Mayer–Vietoris 열을 준다는 것을 증명한다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(U \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 ètale 사상이라 하자. Properties of Spaces, Section 04LX에서 구조층과 양립하는 등식 \(U_{spaces, \etale} = X_{spaces, \etale}/U\)을 증명하였다. 따라서 이 상황에서는 흔히 사상 \(j_U : U \to X\)를 국소화 사상으로 생각한다 (Modules on Sites, Definition 04IX를 보라). 특히 당김 \(j_U^*\)을 \(U\)로의 제한으로 생각하고 흔히 \({}|_U\)로 나타낸다. 이는 Properties of Spaces, Equation (03LW)과 양립한다. 특히 다음을 얻는다. [08GT]\[\begin{equation} (\mathcal{F}|_U)_{\overline{u}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \end{equation}\] 여기서 \(\overline{u}\)는 \(U\)의 기하점이고 \(\overline{x}\)는 \(\overline{u}\)의 \(X\)에서의 상이다. 더욱이 제한은 완전한 왼쪽 수반함자 \(j_{U!}\)를 갖는다. Modules on Sites, Lemmas 03DI와 03DJ를 보라. 마지막으로 \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 [08GU]\[\begin{equation} (j_{U!}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{G}_{\overline{u}} \end{equation}\] 이다. 이는 임의의 기하점 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\)에 대해 성립하며, 직합은 사상 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\)들 가운데 \(j_U \circ \overline{u} = \overline{x}\)를 만족하는 것들에 걸쳐 취한다. Modules on Sites, Lemma 0710와 Properties of Spaces, Lemma 04K6를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자.

1. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{F}|_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V!}\mathcal{F}|_V \to \mathcal{F} \to 0\] 이 있다.

2. 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 구별 삼각형 \[j_{U \times_X V!}E|_{U \times_X V} \to j_{U!}E|_U \oplus j_{V!}E|_V \to E \to j_{U \times_X V!}E|_{U \times_X V}[1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재한다.

증명

(1)의 열이 완전임을 보이기 위해 Properties of Spaces, Theorem 04K5에 의해 기하점에서의 줄기를 확인하면 된다. \(\overline{x}\)를 \(X\)의 기하점이라 하자. Equations (08GT)과 (08GU)에 의해 \(\overline{x}\)에서 줄기를 취하면 다음 열을 얻는다. \[0 \to \bigoplus\nolimits_{(\overline{u}, \overline{v})} \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \oplus \bigoplus\nolimits_{\overline{v}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}} \to 0\] 이 열은 완전이다. 실제로 모든 \(\overline{x}\)에 대해 정확히 하나의 \(\overline{u}\)가 \(\overline{x}\)로 가거나, \(\overline{u}\)는 없고 정확히 하나의 \(\overline{v}\)가 \(\overline{x}\)로 간다.

(2)의 증명. Cohomology on Sites, Section 08FH에서 유도 범주의 제한 함자와 영 연장 함자는 임의의 복합체에 그 함자를 단순히 적용하여 계산됨을 보았다. \(\mathcal{E}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하되 \(E\)를 나타내는 것으로 택하자. 보조정리의 구별 삼각형은 Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{E}^\bullet|_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{E}^\bullet|_U \oplus j_{V!}\mathcal{E}^\bullet|_V \to \mathcal{E}^\bullet \to 0\] 에 결부된 구별 삼각형이다. 이 열은 (1)에 의해 짧은 완전열이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자.

1. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to j_{U, *}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{F}|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{F}|_{U \times_X V} \to 0\] 이 있다.

2. 임의의 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 구별 삼각형 \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V} \to E[1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재한다.

증명

\(W\)를 \(X_\etale\)의 대상이라 하자. 열 \[0 \to \mathcal{F}(W) \to \mathcal{F}(W \times_X U) \oplus \mathcal{F}(W \times_X V) \to \mathcal{F}(W \times_X U \times_X V)\] 이 완전이고 마지막 군의 원소가 \(W\) 위에서 국소적으로 가운데 군의 원소로 올려진다고 주장한다. Lemma 08GN에 의해 쌍 \((W \times_X U \subset W, V \times_X W \to W)\)는 기본 구별 정사각형이다. 따라서 \(W = X\)라고 가정할 수 있고 다음 열에 대해 같은 것을 증명하면 충분하다. \[0 \to \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U \times_X V)\] Lemma 08GV에서 \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{O}_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{O}_U \oplus j_{V!}\mathcal{O}_V \to \mathcal{O}_X \to 0\] 이 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 완전열임을 보았다. 오른쪽 완전 함자 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(- , \mathcal{F})\)를 적용하면 위의 열을 얻는다. 이는 또한 \(s \in \mathcal{F}(U \times_X V)\)를 \(\mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V)\)의 원소로 올리는 데 대한 장애물이 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^1(X, \mathcal{F})\)에 놓인다는 뜻이다. 코호몰로지의 국소성 (Cohomology on Sites, Lemma 01FW)에 의해 이 장애물은 \(X\) 위에서 ètale 국소적으로 사라지며, (1)의 증명이 완료된다.

(2)의 증명. K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)을 택하여 \(E\)를 나타내게 하되, 그 항 \(\mathcal{I}^n\)은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이 되게 하자. Injectives, Theorem 079P를 보라. 그러면 \(\mathcal{I}^\bullet|U\)는 K-단사 복합체이다(Cohomology on Sites, Lemma 08FI). 따라서 \(Rj_{U, *}E|_U\)는 \(j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U\)로 나타내어진다. \(V\)와 \(U \times_X V\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 보조정리의 구별 삼각형은 Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의해 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0.\] 에 결부된 구별 삼각형이다. 이 열은 (1)에 의해 완전이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \((U \subset X, V \to X)\)를 기본 구별 정사각형이라 하자. 제한 사상들을 \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\), 그리고 \(c = f|_{U \times_X V} : U \times_X V \to Y\)로 나타내자. 모든 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 구별 삼각형 \[Rf_*E \to Ra_*(E|_U) \oplus Rb_*(E|_V) \to Rc_*(E|_{U \times_X V}) \to Rf_*E[1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안에 존재한다. 이 삼각형은 \(E\)에 대해 함자적이다.

증명

K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)을 택하여 \(E\)를 나타내게 하자. \(\mathcal{I}^n\)이 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이라고 가정할 수 있으며, 이는 모든 \(n\)에 대해 그러하다. Injectives, Theorem 079P를 보라. 그러면 \(Rf_*E\)는 \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)으로 계산된다. \(U\), \(V\), \(U \cap V\)에 대해서도 Cohomology on Sites, Lemma 08FI에 의해 마찬가지이다. 따라서 보조정리의 구별 삼각형은 Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의해 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0.\] 에 결부된 구별 삼각형이다. 이것이 복합체의 짧은 완전열임을 보이기 위해 다음과 같이 논증하자. \(\mathcal{I}\)를 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상으로 택한다. \(f_*\)를 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to j_{U, *}\mathcal{I}|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}|_{U \times_X V} \to 0\] 에 적용하자. 이 열은 Lemma 08GW의 열이다. 이제 \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\)임을 사용하면 짧은 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{I} \to f_*j_{U, *}\mathcal{I}|_U \oplus f_*j_{V, *}\mathcal{I}|_V \to f_*j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}|_{U \times_X V} \to 0\] 을 얻는다. 이제 \(a_* = f_*j_{U, *}\)이고 \(b_*\)와 \(c_*\)에 대해서도 마찬가지임을 관찰하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자. \(E\), \(F\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하면 Mayer–Vietoris 열 \[\xymatrix{ & \ldots \ar[r] & \Ext^{-1}(E_{U \times_X V}, F_{U \times_X V}) \ar[lld] \\ \Hom(E, F) \ar[r] & \Hom(E_U, F_U) \oplus \Hom(E_V, F_V) \ar[r] & \Hom(E_{U \times_X V}, F_{U \times_X V}) }\] 을 얻는다. 아래첨자는 해당 열린집합으로의 제한을 뜻하고, \(\Hom\)들은 해당 유도 범주에서 취한다.

증명

Lemma 08GV의 구별 삼각형을 사용하여 \(\Hom\)들의 긴 완전열을 얻고(Derived Categories, Lemma 0149에서), Cohomology on Sites, Lemma 08FJ에 의해 \(\Hom(j_{U!}E|_U, F) = \Hom(E|_U, F|_U)\)임을 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자. 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 구별 삼각형 \[R\Gamma(X, E) \to R\Gamma(U, E) \oplus R\Gamma(V, E) \to R\Gamma(U \times_X V, E) \to R\Gamma(X, E)[1]\] 과, 특히 코호몰로지의 긴 완전열 \[\ldots \to H^n(X, E) \to H^n(U, E) \oplus H^n(V, E) \to H^n(U \times_X V, E) \to H^{n + 1}(X, E) \to \ldots\] 을 얻는다. 구별 삼각형과 긴 완전열의 구성은 \(E\)에 대해 함자적이다.

증명

K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)을 택하여 \(E\)를 나타내게 하되, 그 항 \(\mathcal{I}^n\)은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이 되게 하자. Injectives, Theorem 079P를 보라. Lemma 08GW의 증명에서 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0\] 을 얻었다. \(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\)이므로 대역 단면을 취하면 복합체의 완전열 \[0 \to \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \oplus \Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U \times_X V, \mathcal{I}^\bullet) \to 0\] 을 얻는다. 이 복합체들은 \(R\Gamma(X, E)\), \(R\Gamma(U, E)\), \(R\Gamma(V, E)\), 그리고 \(R\Gamma(U \times_X V, E)\)를 나타내므로 Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의해 구별 삼각형을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 ètale 사상이라 하자. Ètale 사상 \(V \to Y\)가 주어졌을 때

\(W = V \times_X U\)라 두고 사영 사상을 \(j_W : W \to V\)로 나타내자. 그러면 \((j_!E)|_V = j_{W!}(E|_W)\)이다. 여기서 \(E\)는 \(D(\mathcal{O}_U)\)에 속한다.

증명

이는 \((j_!\mathcal{F})|_V = j_{W!}(\mathcal{F}|_W)\)이기 때문이다. 이 등식은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립하고, 함자 \(j_!\)와 \(j_{W!}\)의 구성에서 곧바로 따른다. Modules on Sites, Lemma 03DI를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, j : V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자. \(T = |X| \setminus |U|\)라 두자.

1. \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이고 \(T\) 위에 지지되면, (a) \(E \to Rj_*(E|_V)\)와 (b) \(j_!(E|_V) \to E\)는 동형이다.

2. \(F\)가 \(D(\mathcal{O}_V)\)의 대상이고 \(j^{-1}T\) 위에 지지되면, (a) \(F \to (j_!F)|_V\), (b) \((Rj_*F)|_V \to F\), 그리고 (c) \(j_!F \to Rj_*F\)는 동형이다.

증명

\(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고 그 코호몰로지 층들이 \(T\) 위에 지지된다고 하자. 그러면 \(E|_U = 0\)이고 \(E|_{U \times_X V} = 0\)임을 알 수 있다. \(T\)는 \(U\)와 만나지 않고 \(j^{-1}T\)는 \(U \times_X V\)와 만나지 않기 때문이다. 따라서 (1)(a)는 Lemma 08GW에서 따른다. 정확히 같은 방식으로 (1)(b)는 Lemma 08GV에서 따른다.

\(F\)를 \(D(\mathcal{O}_V)\)의 대상이라 하고 그 코호몰로지 층들이 \(j^{-1}T\) 위에 지지된다고 하자. Lemma 08GE에 의해 \((Rj_*F)|_U = Rj_{W, *}(F|_W) = 0\)이다. 이는 가정에 의해 \(F|_W = 0\)이기 때문이다. 마찬가지로 Lemma 08HA에 의해 \((j_!F)|_U = j_{W!}(F|_W) = 0\)이다. 따라서 \(j_!F\)와 \(Rj_*F\)는 \(T\) 위에 지지되고, \((j_!F)|_V\)와 \((Rj_*F)|_V\)는 \(j^{-1}(T)\) 위에 지지된다. 유도 범주에서 사상 (2)(a), (b), (c)가 동형인지 확인하려면, 이 사상들이 \(T\)와 \(j^{-1}(T)\)의 기하점에서 코호몰로지 층의 줄기에 동형을 유도하는지 확인하면 충분하다. Properties of Spaces, Theorem 04K5를 보라. 이를 위해 \(X\)를 \(V\)로, \(U\)를 \(U \times_X V\)로, \(V\)를 \(V \times_X V\)로, \(F\)를 \(F|_{V \times_X V}\)로 바꿀 수 있다(첫째 사영에 의한 제한). Lemmas 08GE, 08HA, 그리고 08GN를 보라. \(V \times_X V \to V\)가 단면을 가지므로 (2)는 \(j : V \to X\)가 단면을 가지는 경우로 환원된다.

\(j\)가 단면 \(\sigma : X \to V\)를 가진다고 가정하자. \(V' = \sigma(X)\)라 두자. 이는 \(V\)의 열린 부분공간이다. \(U' = j^{-1}(U)\)라 두자. 이는 \(V\)의 또 다른 열린 부분공간이다. 그러면 \((U' \subset V, V' \to V)\)는 기본 구별 정사각형이다. \(F|_{U'} = 0\)이고 \(F|_{V' \cap U'} = 0\)임을 관찰하라. 이는 \(F\)가 \(j^{-1}(T)\) 위에 지지되기 때문이다. 열린 몰입을 \(j' : V' \to V\)라 하고, \(j_{V'} : V' \to X\)를 합성 \(V' \to V \to X\)로 나타내자. 이 합성은 \(\sigma\)의 역이다. \(F' = \sigma^*F\)라 두자. Lemmas 08GV와 08GW의 구별 삼각형에 의해 \(F = j'_!(F|_{V'})\)이고 \(F = Rj'_*(F|_{V'})\)이다. 따라서 \(j_!F = j_!j'_!(F|_{V'}) = j_{V'!}F = F'\)이다. 실제로 \(j_{V'} : V' \to X\)는 동형이고 \(\sigma\)의 역이다. 마찬가지로 \(Rj_*F = Rj_*Rj'_*F = Rj_{V', *}F = F'\)이다. 이것으로 (2)(c)가 증명된다. (2)(a)와 (2)(b)를 증명하려면 \(F = F'|_V\)임을 보이면 충분하다. 이는 명백하다. 실제로 \(F\)와 \(F'|_V\)는 모두 \(U'\)와 \(U' \cap V'\) 위에서 영으로 제한되고, \(V'\) 위에서는 같은 대상으로 제한된다.

복합체를 접합할 수 있다!

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자. 다음이 주어졌다고 하자.

1. 대상 \(A\)가 \(D(\mathcal{O}_U)\)에 속하고,

2. 대상 \(B\)가 \(D(\mathcal{O}_V)\)에 속하며, 그리고

3. 동형 \(c : A|_{U \times_X V} \to B|_{U \times_X V}\).

그러면 대상 \(F\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 존재하고 동형 \(f : F|_U \to A\), \(g : F|_V \to B\)가 존재하여 \(c = g|_{U \times_X V} \circ f^{-1}|_{U \times_X V}\)이다. 더욱이 다음이 주어졌다고 하자.

1. 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속하고,

2. 사상 \(a : A \to E|_U\)가 \(D(\mathcal{O}_U)\)에 속하며,

3. 사상 \(b : B \to E|_V\)가 \(D(\mathcal{O}_V)\)에 속하고,

그리고 다음이 성립한다고 하자. \[a|_{U \times_X V} = b|_{U \times_X V} \circ c.\] 그러면 사상 \(F \to E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재하며, 그 \(U\)로의 제한은 \(a \circ f\)이고 \(V\)로의 제한은 \(b \circ g\)이다.

증명

사상들을 \(j_U\), \(j_V\), \(j_{U \times_X V}\)로 나타내자. 이들은 대응하는 \(X\)로 향하는 사상들이다. 구별 삼각형 \[F \to Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}) \to F[1]\] 을 택하자. 여기서 사상 \(Rj_{V, *}B \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V})\)는 명백한 것이다. 사상 \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V})\)는 \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \times_X V, *}(A|_{U \times_X V})\)와 \(Rj_{U \times_X V, *}c\)의 합성이다. \(U\)로 제한하면 \[F|_U \to A \oplus (Rj_{V, *}B)|_U \to (Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}))|_U \to F|_U[1]\] 을 얻는다. \(j : U \times_X V \to U\)라 하자. 제한과 전체 직접상의 양립성(Lemma 08GE)에 의해 \((Rj_{V, *}B)|_U\)와 \((Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}))|_U\)는 둘 다 표준적으로 \(Rj_*(B|_{U \times_X V})\)와 동형이다. 따라서 마지막 표시식의 둘째 화살표는 단면을 가지며, 사상 \(F|_U \to A\)가 동형임을 얻는다.

사상 \(F|_V \to B\)가 동형임을 보기 위해 한 가지 기법을 사용하겠다. 즉, 구별 삼각형 \[F|_V \to B \to B' \to F[1]|_V\] 을 \(D(\mathcal{O}_V)\) 안에서 택하자. \(F|_U \to A\)가 동형이고 동형 \(c : A|_{U \times_X V} \to B|_{U \times_X V}\)가 있으므로, \(F|_V \to B\)의 제한은 \(U \times_X V\) 위에서 동형이다. 따라서 \(B'\)는 \(j_V^{-1}(T)\) 위에 지지되며, 여기서 \(T = |X| \setminus |U|\)이다. 한편 구별 삼각형의 사상 \[\xymatrix{ F \ar[r] \ar[d] & Rj_{U, *}F|_U \oplus Rj_{V, *}F|_V \ar[r] \ar[d] & Rj_{U \times_X V, *}F|_{U \times_X V} \ar[r] \ar[d] & F[1] \ar[d] \\ F \ar[r] & Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \ar[r] & Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}) \ar[r] & F[1] }\] 이 있다. 이 도식의 모든 수직 사상은 \(Rj_{V, *}F|_V \to Rj_{V, *}B\)를 제외하고 동형이므로, 그 사상도 동형이다(Derived Categories, Lemma 014A). 이는 \(Rj_{V, *}B' = 0\)임을 함의한다. 따라서 Lemma 08GG에 의해 \(B' = 0\)이다.

사상 \(F \to E\)의 존재는 \(\Hom\)에 대한 Mayer–Vietoris 열, 즉 Lemma 08H9에서 따른다.

코히레이터

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. 코히레이터(coherator)는 함자 \[Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] 로서 포함 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반이다. 이는 모든 대수공간 \(X\)에 대해 존재하며, 더욱이 수반 사상 \(Q_X(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)는 모든 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 동형이다. Properties of Spaces, Proposition 077V를 보라. \(Q_X\)는 (오른쪽 수반이므로) 왼쪽 완전이어서 그 오른쪽 유도 확장 \[RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_X)).\] 을 생각할 수 있다. \(Q_X\)가 포함 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반이므로, Derived Categories, Lemma 09T5에 의해 \(RQ_X\)는 표준 함자 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반이다.

이 절에서는 함자 \(RQ_X\)를 연구한다. Section 0CR3에서는 포함 함자 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 (존재할 경우) 오른쪽 수반을 연구한다. 이는 전자와 밀접하게 관련되어 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 아핀 사상이라 하자. 그러면 \(f_*\)는 유도 함자 \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\)를 정의한다. 이 함자에 대해 도식 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{f_*} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] 은 가환이다.

증명

함자 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 완전이다. Cohomology of Spaces, Lemma 073H를 보라. 따라서 Derived Categories, Lemma 015F에 의해 \(f_*\)는 유도 함자 \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\)를 정의하며, 이는 임의의 대표 복합체에 \(f_*\)를 단순히 적용하여 얻는다. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 표준 사상 \(f_*\mathcal{F}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}^\bullet\)이 있다. 증명을 끝내기 위해 \(\mathcal{F}^\bullet\)이 각 \(\mathcal{F}^n\)이 준연접인 복합체일 때 이 사상이 준동형임을 보이자. 명제는 \(Y\) 위에서 ètale 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 아핀 사상은 표현 가능하므로 Remark 08GH의 양립성에 의해 스킴의 경우로 환원된다. 스킴의 경우는 Derived Categories of Schemes, Lemma 08D7이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트, 준분리이고 평탄이라고 가정하자. 다음으로 나타낸다고 하자. \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] 이는 함자 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 오른쪽 유도 함자이다. 그러면 \(RQ_Y \circ Rf_* = \Phi \circ RQ_X\)이다.

증명

\(RQ_Y \circ Rf_*\)와 \(\Phi \circ RQ_X\)가 같은 함자 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반임을 보여 이를 증명하겠다.

\(f\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \(f_*\)는 준연접성을 보존한다. Morphisms of Spaces, Lemma 03M9를 보라. \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 Grothendieck 아벨 범주임을 상기하자 (Properties of Spaces, Proposition 077V). 따라서 임의의 \(K\)가 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)에 속하면 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타낼 수 있으며, 이 복합체는 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안에 있다. Injectives, Theorem 079P를 보라. 이제 \(\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\)로 정의할 수 있다.

\(f\)가 평탄하므로 함자 \(f^*\)는 완전이다. 따라서 \(f^*\)는 \(f^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\)와 \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)를 정의한다. 함자 \(f^* = Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\)는 \(Rf_* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Y)\)의 왼쪽 수반이다. Cohomology on Sites, Lemma 07A6를 보라. 마찬가지로 함자 \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)는 Derived Categories, Lemma 09T5에 의해 \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\)의 왼쪽 수반이다.

\(A\)를 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\)의 대상이라 하고, \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면 \[\begin{align*} \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, RQ_Y(Rf_*E)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(A, Rf_*E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(f^*A, E) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(f^*A, RQ_X(E)) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, \Phi(RQ_X(E))) \end{align*}\] 이다. 이는 원하는 바를 함의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 아핀 대수공간이라 하자. \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 두자. 그러면

1. \(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 보내는 함자이다. 이 가군은 \(A\)-가군 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)에 결부된 것이다.

2. \(RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)는 \(E\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체로 보내는 함자이다. 이 복합체는 대상 \(R\Gamma(X, E)\)에 결부되며, 이 대상은 \(D(A)\)에 속한다.

3. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)로 제한하면 함자 \(RQ_X\)는 (08F1)의 준역함자를 정의한다.

증명

\(X_0 = \Spec(A)\)를 \(X\)를 나타내는 아핀 스킴이라 하자. 환 달린 사이트의 사상 \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\)가 존재하여 동치 \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar@<1ex>[r]^{{\epsilon_*}} & \QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@<1ex>[l]^{{\epsilon^*}} }\] 를 유도함을 상기하자. Lemma 071Q를 보라. 따라서 수반함자의 유일성에 의해 \(Q_X = \epsilon^* \circ Q_{X_0} \circ \epsilon_*\)이다. 그러므로 (1)은 Derived Categories of Schemes, Lemma 08D9의 \(Q_{X_0}\)에 대한 설명과 등식 \(\Gamma(X_0, \epsilon_*\mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{F})\)에서 따른다. (2)는 (1)과 \(A\)-가군에서 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 가는 함자가 완전이라는 사실에서 따른다. 이제 셋째 주장은 스킴에 대한 결과 (Derived Categories of Schemes, Lemma 08D9)와 Lemma 071Q에서 따른다.

다음으로 함자 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 언제 동치인지 판정하는 기준을 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 모든 ètale 사상 \(j : V \to W\)에 대해 다음을 가정하자. 여기서 \(W \subset X\)는 준콤팩트 열린집합이고 \(V\)는 아핀이다. 오른쪽 유도 함자 \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_W))\] 가 다음 왼쪽 완전 함자의 유도 함자라고 가정하자.

\(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_V) \to \QCoh(\mathcal{O}_W)\) 또한 이 함자가 가환 도식 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_V)) \ar[d]_\Phi \ar[r]_{i_V} & D_\QCoh(\mathcal{O}_V) \ar[d]^{Rj_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_W)) \ar[r]^{i_W} & D_\QCoh(\mathcal{O}_W) }\] 에 맞는다고 하자. 그러면 함자 (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 동치이고, 그 준역함자는 \(RQ_X\)로 주어진다.

증명

먼저 귀납 원리를 사용하여 \(i_X\)가 충실충만임을 증명한다. 더 정확히는 Lemma 09IT를 사용하겠다. \((U \subset W, V \to W)\)를 기본 구별 정사각형이라 하고, 여기서 \(V\)는 아핀이며 \(U, W\)는 \(X\)의 준콤팩트 열린집합이라고 하자. \(i_U\)가 충실충만이라고 가정한다. \(i_W\)가 충실충만임을 보여야 한다. \(X\)를 \(W\)로 바꿀 수 있다. 즉, \(W = X\)라고 가정할 수 있다 (이는 표기를 단순화하기 위한 것이며, 보조정리의 명제에 있는 조건은 이 연산 아래 보존됨에 유의하라).

\(A, B\)가 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)의 대상이라고 하자. 사상 \[\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B))\] 이 전단사임을 보이고자 한다. \(T = |X| \setminus |U|\)라 두자.

먼저 \(i_X(B)\)가 \(T\) 위에 지지된다고 가정하자. 이 경우 사상 \[i_X(B) \to Rj_{V, *}(i_X(B)|_V) = Rj_{V, *}(i_V(B|_V))\] 은 준동형이다(Lemma 08GG). 가정에 의해 동형 \(i_X(\Phi(B|_V)) \to Rj_{V, *}(i_V(B|_V))\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재한다. 더욱이 \(\Phi\)와 \({-}|_V\)는 준연접 가군의 유도 범주에서 수반함자이다(Derived Categories, Lemma 09T5에 의해). 수반 사상 \(B \to \Phi(B|_V)\)는 \(i_X\)를 적용한 뒤 동형이 되므로 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) 안에서도 동형이다. 따라서 \[\begin{align*} \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) & = \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, \Phi(B|_V)) \\ & = \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_V))}(A|_V, B|_V) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_V)}(i_V(A|_V), i_V(B|_V)) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), Rj_{V, *}(i_V(B|_V))) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B)) \end{align*}\] 이다. 여기서는 \(i_V\)가 충실충만임을 사용하였다(Lemma 08H0).

일반적으로 임의의 복합체 \(\mathcal{B}^\bullet\)을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진 것으로 택하여 \(B\)를 나타내게 하자. 다음으로 임의의 준동형 \(s : \mathcal{B}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\)을 택하자. 이는 \(U\) 위 준연접 가군의 복합체에 대한 것이다. \(j_U : U \to X\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 함자 \(j_{U, *}\)는 준연접 가군을 준연접 가군으로 보낸다(Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). 따라서 표준 사상 \(\mathcal{B}^\bullet \to j_{U, *}(\mathcal{B}^\bullet|_U) \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\)이 \(X\) 위 준연접 가군의 복합체 사이에 존재한다. \(B'' = j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\)라 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)에서 두고 구별 삼각형 \[B \to B'' \to B' \to B[1]\] 을 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) 안에서 택하자. 이 삼각형의 첫 화살표는 \(U\) 위로 제한하면 동형이므로 \(B'\)는 \(T\) 위에 지지된다. 따라서 도식 \[\xymatrix{ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'[-1]) \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')[-1]) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B)) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'') \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B'')) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B') \ar[r] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')) }\] 에서 열들은 완전이고 맨 위와 맨 아래의 수평 화살표는 전단사이다. 마지막으로 준연접 가군의 복합체 \(\mathcal{A}^\bullet\)을 택하여 \(A\)를 나타내게 하자.

\(\alpha : i_X(A) \to i_X(B)\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 사상이라 하자. 제한 \(\alpha|_U\)는 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) 안의 사상에서 온다. 이는 \(i_U\)가 충실충만이기 때문이다. 따라서 위와 같은 \(s : \mathcal{B}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\)을 택하되 \(\alpha|_U\)가 복합체의 실제 사상 \(\mathcal{A}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\)으로 나타내어지게 할 수 있다. 이는 복합체의 사상 \(\mathcal{A} \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\)에 대응한다. 다시 말해 \(\alpha\)의 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B''))\)에서의 상은 \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'')\)의 한 원소에서 온다. 이제 도식 추적을 하면 \(\alpha\)가 사상 \(A \to B\)에서 옴을 알 수 있다. 이 사상은 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) 안에 있다. 마지막으로 \(a : A \to B\)가 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)의 사상이고 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서는 영이 된다고 하자. \(\mathcal{B}^\bullet\)을 알맞게 택한 뒤 \(a\)가 복합체의 사상 \(a^\bullet : \mathcal{A}^\bullet \to \mathcal{B}^\bullet\)으로 나타내어진다고 가정할 수 있다. \(i_U\)가 충실충만이므로

제한 \(a^\bullet|_U\)는 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) 안에서 영이다. 따라서 \(s\)를 택하여 \(s \circ a^\bullet|_U : \mathcal{A}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\)이 영과 호모토픽이 되게 할 수 있다. 함자 \(j_{U, *}\)를 적용하면 \(\mathcal{A}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\)이 영과 호모토픽임을 얻는다. 따라서 \(a\)는 \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'')\)에서 영으로 간다. 그러므로 \(a\)가 어떤 원소 \(b \in \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'[-1])\)의 상이라고 가정할 수 있다. \(b\)의 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')[-1])\)에서의 상은 어떤 \(\gamma \in \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(A, B''[-1])\)에서 온다.

(이는 \(a\)가 오른쪽 군에서 영으로 가기 때문이다.) 위에서 수평 화살표들이 전사임을 보았으므로 \(\gamma\)는 어떤 \(c\)에서 오며, 이는 \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B''[-1])\)에 속한다. 이것은 원하는 대로 \(a = 0\)을 함의한다.

이제 \(i_X\)가 원래의 \(X\)에 대해 충실충만임을 안다. \(RQ_X\)가 그 오른쪽 수반이므로 \(RQ_X \circ i_X = \text{id}\)이다(Categories, Lemma 07RB). 증명을 끝내기 위해 임의의 \(E\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 사상 \(i_X(RQ_X(E)) \to E\)가 동형임을 보이자. 구별 삼각형 \[i_X(RQ_X(E)) \to E \to E' \to i_X(RQ_X(E))[1]\] 을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안에서 택하자. 위의 결과를 사용하는 형식적 논증으로 \(i_X(RQ_X(E')) = 0\)을 얻는다. 따라서 \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 조건 \(i_X(RQ_X(E)) = 0\)이 \(E = 0\)을 함의함을 증명하면 충분하다. Ètale 사상 \(j : V \to X\)를 생각하되 \(V\)가 아핀이라고 하자. Lemmas 08H0와 08GZ, 그리고 우리의 가정에 의해 \[Rj_*(E|_V) = Rj_*(i_V(RQ_V(E|_V))) = i_X(\Phi(RQ_V(E|_V))) = i_X(RQ_X(Rj_*(E|_V)))\] 이다. 구별 삼각형 \[E \to Rj_*(E|_V) \to E' \to E[1]\] 을 택하자. \(RQ_X\)를 적용하여 구별 삼각형 \[0 \to RQ_X(Rj_*(E|_V)) \to RQ_X(E') \to 0[1]\] 을 얻는다. 다시 말해 가운데 사상은 동형이다. 이를 위의 등식들과 결합하면 첫 구별 삼각형이 구별 삼각형 \[E \to i_X(RQ_X(E')) \to E' \to E[1]\] 이 됨을 알 수 있다. 여기서 가운데 사상은 수반 사상이다. 그러나 합성 \(E \to E'\)는 영이므로 수반성에 의해 \(E \to i_X(RQ_X(E'))\)도 영이다! 이 사상은 사상 \(E \to Rj_*(E|_V)\)와 동형이고, 후자는 \(\text{id} : E|_V \to E|_V\)에 수반한다. 따라서 \(E|_V\)가 영임을 얻는다. 이는 모든 아핀 \(V\)가 \(X\) 위에서 ètale일 때 성립한다. 따라서 원하는 대로 \(E\)가 영임을 얻는다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 대수공간이라 하고, \(\mathbf{Z}\) 위에서 아핀 대각사상을 갖는다고 하자(Properties of Spaces, Definition 03BS에서와 같이). 그러면 함자 (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 동치이고, 그 준역함자는 \(RQ_X\)로 주어진다.

증명

\(V \to W\)를 ètale 사상이라 하자. 여기서 \(V\)는 아핀이고 \(W\)는 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이다. 그러면 사상 \(V \to W\)는 아핀이다. 실제로 \(W\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 아핀 대각사상을 가지고 \(V\)는 아핀이다(Morphisms of Spaces, Lemma 08GB). 그러면 Lemma 08GY가 Lemma 09TG의 가정이 성립함을 보장한다. 따라서 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 준콤팩트이고 \(\mathbf{Z}\) 위에서 아핀 대각사상을 갖는다고 가정하자(Properties of Spaces, Definition 03BS에서와 같이). 다음으로 나타낸다고 하자. \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] 이는 다음 함자의 오른쪽 유도 함자이다. \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)

도식 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_\Phi \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] 은 가환이다.

증명

도식의 수평 화살표들은 Proposition 08H1에 의해 범주의 동치임을 관찰하라. 따라서 이 범주들을 동일시할 수 있으며(아핀 대각사상을 갖는 다른 준콤팩트 대수공간에 대해서도 마찬가지이다), 그러면 보조정리의 명제는 표준 사상 \(\Phi(K) \to Rf_*(K)\)가 모든 \(K\)에 대해 동형이라는 것이다. 여기서 그 대상은 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)에 속한다. 만일 \(K_1 \to K_2 \to K_3 \to K_1[1]\)이 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) 안의 구별 삼각형이고 세 대상 가운데 둘에 대해 명제가 참이면 셋째 대상에 대해서도 참임에 유의하라.

\(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\)를 준콤팩트이고 아핀 대각사상을 갖는 대상들의 집합이라 하자. \(U \in \mathcal{B}\)이고 임의의 사상 \(g : U \to Z\)가 주어졌다고 하자. 여기서 \(Z\)는 \(S\) 위의, 아핀 대각사상을 갖는 준콤팩트 대수공간이다. 다음으로 나타내자. \[\Phi_g : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Z))\] 이는 \(g_*\)의 유도 확장이다. \(P(U) =\) “임의의 \(K\)가 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\)에 속하고 위와 같은 임의의 \(g : U \to Z\)가 주어졌을 때 사상 \(\Phi_g(K) \to Rg_*K\)가 동형이다”라고 두자. Remark 08GR에 의해 Lemma 08GQ의 조건 (1), (2), (3)(a)는 성립하며, (3)(b)와 (4)를 증명하는 일만 남는다.

조건 (3)(b)를 확인하자. \(U\)를 아핀 스킴이라 하고 \(X\) 위에서 ètale이라고 하자. \(g : U \to Z\)를 위와 같은 사상이라 하자. \(Z\)의 대각사상이 아핀이므로 \(g : U \to Z\)는 아핀이다(Morphisms of Spaces, Lemma 08GB). 따라서 Lemma 08GY에 의해 \(P(U)\)가 성립한다.

조건 (4)를 확인하자. \((U \subset W, V \to W)\)를 기본 구별 정사각형이라 하자. 이는 \(X_{spaces, \etale}\) 안에 있고 \(U, W, V\)는 \(\mathcal{B}\)에 속하며 \(V\)는 아핀이다. \(P\)가 \(U\), \(V\), \(U \times_W V\)에 대해 성립한다고 가정한다. \(P\)가 \(W\)에 대해 성립함을 보여야 한다. \(g : W \to Z\)를 아핀 대각사상을 갖는 준콤팩트 대수공간으로 가는 사상이라 하자. \(K\)를 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_W))\)의 대상이라 하자. 구별 삼각형 \[K \to Rj_{U, *}K|_U \oplus Rj_{V, *}K|_V \to Rj_{U \times_W V, *}K|_{U \times_W V} \to K[1]\] 을 \(D(\mathcal{O}_W)\) 안에서 생각하자. 위에서 언급한 세 항 중 둘 성질에 의해 \(\Phi_g(Rj_{U, *}K|_U) \to Rg_*(Rj_{U, *}K|_U)\)가 동형임을 보이면 충분하며, \(V\)와 \(U \times_W V\)에 대해서도 마찬가지이다. 이는 다음 문단에서 논한다.

\(j : U \to W\)를 사상이라 하자. 이 사상은 \(X_{spaces, \etale}\)에 속한다. \(U, W\)는 \(\mathcal{B}\)에 속하고 \(P\)는 \(U\)에 대해 성립한다고 하자. \(g : W \to Z\)를 아핀 대각사상을 갖는 준콤팩트 대수공간으로 가는 사상이라 하자. 증명을 끝내려면 \(\Phi_g(Rj_*K) \to Rg_*(Rj_*K)\)가 임의의 \(K\)에 대해 동형임을 보여야 한다. 여기서 그 대상은 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\)에 속한다. \(\mathcal{I}^\bullet\)을 \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) 안의 K-단사 복합체라 하여 \(K\)를 나타내게 하자. \(P(U)\)를 \(j\)에 적용하면 \(j_*\mathcal{I}^\bullet\)이 \(Rj_*K\)를 나타냄을 알 수 있다. 함자 \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 완전한 왼쪽 수반 \(j^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\)를 가지므로, \(j_*\mathcal{I}^\bullet\)은 \(\QCoh(\mathcal{O}_W)\) 안의 K-단사 복합체이다. Derived Categories, Lemma 08BJ를 보라. 따라서 \(\Phi_g(Rj_*K)\)는 \(g_*j_*\mathcal{I}^\bullet = (g \circ j)_*\mathcal{I}^\bullet\)로 나타내어진다. \(P(U)\)를 \(g \circ j\)에 적용하면 이것이 \(R_{g \circ j, *}(K) = Rg_*(Rj_*K)\)를 나타냄을 알 수 있다. 이것으로 증명이 끝난다.

Noether 공간의 코히레이터

Noether 대수공간의 경우를 다루려면 단사 가군에 관해 조금 더 알아야 한다.

보조정리

\(S\)를 Noether 아핀 스킴이라 하자. \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\)의 모든 단사 대상은 다음 꼴의 준연접 층들로 이루어진 여과 쌍대극한 \(\colim_i \mathcal{F}_i\)이다. \[\mathcal{F}_i = (Z_i \to S)_*\mathcal{G}_i\] 여기서 \(Z_i\)는 Artin 환의 스펙트럼이고 \(\mathcal{G}_i\)는 \(Z_i\) 위의 연접 가군이다.

증명

\(S = \Spec(A)\)라 하자. \(\mathcal{J}\)를 \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\)의 단사 대상이라 하자. \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\)는 \(A\)-가군들의 범주와 동치이므로, \(\mathcal{J}\)가 \(\widetilde{J}\)와 같음을 알 수 있다. 여기서 어떤 단사 \(A\)-가군을 \(J\)라 쓴다. Dualizing Complexes, Proposition 08YA에 의해 \(J = \bigoplus E_\alpha\)로 쓸 수 있으며, 각 \(E_\alpha\)는 직분해 불가능하고 따라서 한 점에서의 reside 체의 단사 포락과 동형이다. 그러므로 Artin 스킴들의 유한 분리합은 Artin이므로, \(J\)가 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 단사 포락이라고 가정해도 된다. 여기서 \(\mathfrak p\)는 \(A\)의 소 아이디얼이다. 그러면 \(J = \bigcup J[\mathfrak p^n]\)이고, \(J[\mathfrak p^n]\)은 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 \(A_\mathfrak/\mathfrak p^nA_\mathfrak p\) 위 단사 포락이다. Dualizing Complexes, Lemma 08Z4를 보라. 따라서 \(\widetilde{J}\)는 층 \((Z_n \to X)_*\mathcal{G}_n\)들의 쌍대극한이다. 여기서 \(Z_n = \Spec(A_\mathfrak p/\mathfrak p^nA_\mathfrak p)\)이고 \(\mathfrak G_n\)은 유한 \(A_\mathfrak/\mathfrak p^nA_\mathfrak p\)-가군 \(J[\mathfrak p^n]\)에 연관된 연접 층이다. 유한성은 Dualizing Complexes, Lemma 08YX에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 아핀 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 Noether 대수공간이라 하자. \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 모든 단사 대상은 다음 꼴의 준연접 층들로 이루어진 여과 쌍대극한 \(\colim_i \mathcal{F}_i\)의 직합 성분이다. \[\mathcal{F}_i = (Z_i \to X)_*\mathcal{G}_i\] 여기서 \(Z_i\)는 Artin 환의 스펙트럼이고 \(\mathcal{G}_i\)는 \(Z_i\) 위의 연접 가군이다.

증명

아핀 스킴 \(U\)와 전사 ètale 사상 \(j : U \to X\)를 택하자(Properties of Spaces, Lemma 03H6). 그러면 \(U\)는 Noether 아핀 스킴이다. 단사 대상 \(\mathcal{J}'\)을 \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) 안에서 택하여 단사 사상 \(\mathcal{J}|_U \to \mathcal{J}'\)이 존재하게 하자. 그러면 \[\mathcal{J} \to j_*\mathcal{J}'\] 은 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안의 단사 사상이므로, \(\mathcal{J}\)를 \(j_*\mathcal{J}'\)의 직합 성분과 동일시한다. 따라서 결과는 Lemma 09TI에서 증명한 \(\mathcal{J}'\)에 대한 해당 결과로부터 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 평탄하고 준콤팩트이며 준분리인 사상이라 하자. \(\mathcal{J}\)가 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이면, \(f_*\mathcal{J}\)는 \(\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 단사 대상이다.

증명

\(f\)가 준콤팩트이고 준분리이므로, 함자 \(f_*\)는 준연접 층을 준연접 층으로 보낸다(Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). 함자 \(f^*\)는 \(f_*\)의 왼쪽 수반이며 단사 사상을 단사 사상으로 보낸다. 따라서 결과는 Homology, Lemma 015Z에서 따른다

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 Noether 대수공간이라 하자. \(\mathcal{J}\)가 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이면 다음이 성립한다.

1. \(H^p(U, \mathcal{J}|_U) = 0\)이다. 여기서 \(p > 0\)이고, \(U\)는 \(X\) 위에서 ètale인 임의의 준콤팩트 준분리 대수공간이다.

2. \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위 대수공간들의 임의의 사상이고 \(Y\)가 준분리이면 \(R^pf_*\mathcal{J} = 0\)이다. 여기서 \(p > 0\)이다.

증명

(1)의 증명. Lemma 09TJ에서와 같이 \(\mathcal{J}\)를 \(\colim \mathcal{F}_i\)의 직합 성분으로 쓰자. 여기서 \(\mathcal{F}_i = (Z_i \to X)_*\mathcal{G}_i\)이다. 소멸을 \(\colim \mathcal{F}_i\)에 대해 증명하면 충분함은 분명하다. 당김은 쌍대극한과 가환하고 \(U\)는 준콤팩트이고 준분리이므로, \(H^p(U, \mathcal{F}_i|_U) = 0\)임을 증명하면 충분하다. 여기서 \(p > 0\)이다. Cohomology of Spaces, Lemma 073E를 보라. \(Z_i \to X\)가 아핀 사상임을 관찰하라(Morphisms of Spaces, Lemma 09TF). 따라서 \[\mathcal{F}_i|_U = (Z_i \times_X U \to U)_*\mathcal{G}'_i = R(Z_i \times_X U \to U)_*\mathcal{G}'_i\] 이다. 여기서 \(\mathcal{G}'_i\)는 \(\mathcal{G}_i\)를 \(Z_i \times_X U\)로 당긴 것이다. Cohomology of Spaces, Lemma 07U8를 보라. \(Z_i \times_X U\)가 아핀이므로, \(\mathcal{G}'_i\)는 \(Z_i \times_X U\) 위에서 고차 코호몰로지가 없다. Leray 스펙트럼 열에 의해 \(\mathcal{F}_i|_U\)에도 같은 사실이 성립한다(Cohomology on Sites, Lemma 0733).

(2)의 증명. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(V \to Y\)를 ètale 사상이라 하고 \(V\)가 아핀이라고 하자. 그러면 \(V \times_Y X \to X\)는 ètale 사상이고, \(V \times_Y X\)는 \(X\) 위에서 ètale인 준콤팩트 준분리 대수공간이다(세부사항은 생략한다). 따라서 (1)에 의해 \(H^p(V \times_Y X, \mathcal{J})\)는 영이다. \(R^pf_*\mathcal{J}\)는 준층 \(V \mapsto H^p(V \times_Y X, \mathcal{J})\)에 연관된 층이므로 결과가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 Noether 대수공간들의 사상이라 하자. 그러면 준연접 층 위의 \(f_*\)는 오른쪽 유도 확장 \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\)를 가지며, 도식 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{\Phi} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] 은 가환이다.

증명

\(X\)와 \(Y\)가 Noether이므로 이 사상은 준콤팩트이고 준분리이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 073B를 보라). 따라서 \(f_*\)는 준연접성을 보존한다. Morphisms of Spaces, Lemma 03M9를 보라. 다음으로 \(K\)를 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\)의 대상이라 하자. \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 Grothendieck 아벨 범주이므로(Properties of Spaces, Proposition 077V), \(K\)를 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타낼 수 있고, 각 \(\mathcal{I}^n\)은 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이 되게 할 수 있다. Injectives, Theorem 079P을 보라. 따라서 함자 \(\Phi\)는 다음과 같이 정의된다. \[\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\] 여기서 오른쪽 항은 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\)의 대상으로 본다. 보조정리의 증명을 끝내려면 표준 사상 \[f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow Rf_*\mathcal{I}^\bullet\] 이 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안에서 동형임을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 그 사상이 코호몰로지 층들 위에 동형을 유도함을 보이면 충분하다. 임의의 \(m \in \mathbf{Z}\)를 택하자. \(N = N(X, Y, f)\)를 Lemma 08FA에서와 같이 두자. 다음 짧은 완전열 \[0 \to \sigma_{\geq m - N - 1}\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \to \sigma_{\leq m - N - 2}\mathcal{I}^\bullet \to 0\] 을 생각하자. 이것은 \(X\) 위 준연접 층들의 복합체로 이루어진 열이다. Lemma 08FA에 의해 \(Rf_*\sigma_{\leq m - N - 2}\mathcal{I}^\bullet\)의 코호몰로지 층들은 \(\geq m - 1\) 차수에서 영이다. 따라서 \(R^mf_*\mathcal{I}^\bullet\)은 \(R^mf_*\sigma_{\geq m - N - 1}\mathcal{I}^\bullet\)과 동형이다. 다시 말해 \(\mathcal{I}^\bullet\)이 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라고 가정해도 된다. 이 경우는 Leray의 비순환성 보조정리(Derived Categories, Lemma 015E)에서 따르며, 필요한 소멸은 Lemma 09TL가 준다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 Noether 대수공간이라 하자. 그러면 함자 ( 08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 동치이고, 그 준역함자는 \(RQ_X\)로 주어진다.

증명

Lemmas 09TM와 09TG에서 곧바로 따른다.

유사연접 복합체와 완전 복합체

이 절에서는 대수공간의 ètale 사이트에 대해 Cohomology on Sites, Sections 08FK, 08FS, 08FY, 그리고 08G4에서 정의한 일반 개념들을 연구한다. 특히 이를 스킴에서 일어나는 현상과 맞춘다.

먼저 스킴 위의 유사연접 복합체 개념과 그에 연관된 작은 ètale 사이트 위의 개념을 비교한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 유한형이다.

2. \(\epsilon^*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_\etale\)-가군으로서 유한형이다. 여기서 가군은 \(X\)의 작은 ètale 사이트 위에 있다.

여기서 \(\epsilon\)은 (08H7)에서와 같다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 일반적인 사실이다. Modules on Sites, Lemma 03DO을 보라. (2)를 가정하자. 가정에 의해 ètale 덮개 \(\{f_i : X_i \to X\}\)가 존재하여 \(\epsilon^*\mathcal{F}|_{(X_i)_\etale}\)가 유한 개의 단면으로 생성된다. \(x \in X\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)의 근방에서 유한 개의 단면으로 생성됨을 보이겠다. \(x\)가 \(X_i \to X\)의 상에 속한다고 하고 \(X' = X_i\)라 쓰자. 생성 단면들을 \(s_1, \ldots, s_n \in \Gamma(X', \epsilon^*\mathcal{F}|_{X'_\etale})\)라 하자. 등식 \[\epsilon^*\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{F} \otimes_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_\etale\] 에 의해 ètale 사상 \(X'' \to X'\)을 찾을 수 있어서, \(x\)가 \(X' \to X\)의 상에 속하며 \(s_i|_{X''} = \sum s_{ij} \otimes a_{ij}\)가 성립한다. 여기서 단면들은 \(s_{ij} \in \epsilon^{-1}\mathcal{F}(X'')\)와 \(a_{ij} \in \mathcal{O}_\etale(X'')\)이다. \(U \subset X\)를 \(X'' \to X\)의 상이라 하자. \(f'' : X'' \to X\)가 ètale이므로 이는 열린 부분스킴이다(Morphisms, Lemma 03WT). 필요하다면 \(X''\)을 더 줄여서, \(s_{ij}\)들이 원소 \(t_{ij} \in \mathcal{F}(U)\)에서 온다고 가정할 수 있다. 이는 역상 함자 \(\epsilon^{-1}\)의 구성에서 따른다. 이제 \(t_{ij}\)들이 \(\mathcal{F}|_U\)를 생성한다고 주장하면 보조정리의 증명이 끝난다. 즉, 해당 사상 \(\mathcal{O}_U^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_U\)는 \(f''\)에 의해 \(X''\)으로 당겼을 때 전사이다. \(f'' : X'' \to U\)가 스킴들의 전사 평탄 사상이므로, 이는 \(\mathcal{O}_U^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_U\)가 전사임을 함의한다. 실제로 줄기들을 살펴보고 \(\mathcal{O}_{U, f''(z)} \to \mathcal{O}_{X'', z}\)가 모든 \(z \in X''\)에 대해 충실히 평탄함을 사용하면 된다.

위 상황에서 사이트의 사상 \(\epsilon\)은 평탄하므로 가군의 복합체에 대한 당김을 정의한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(E\)는 \(m\)-유사연접이다.

2. \(\epsilon^*E\)는 \(m\)-유사연접이고, 이는 \(X\)의 작은 ètale 사이트 위에서의 명제이다.

여기서 \(\epsilon\)은 (08H7)에서와 같다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 일반적인 사실이다. Cohomology on Sites, Lemma 08H4을 보라. \(\epsilon^*E\)가 \(m\)-유사연접이라고 가정하자. 이하에서는 \(\epsilon^*\)가 완전 함자이고 따라서 \[\epsilon^*H^i(E) = H^i(\epsilon^*E).\] 임을 따로 언급하지 않고 사용한다. \(E\)가 \(m\)-유사연접임을 보이기 위해 \(X\) 위에서 국소적으로 작업할 수 있으므로, \(X\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다(예를 들어 아핀이라고 할 수 있다). \(X\)가 준콤팩트이므로 모든 ètale 덮개 \(\{U_i \to X\}\)에는 유한 세분이 있다. 따라서 \(\epsilon^*E\)는 \(D^{-}(\mathcal{O}_\etale)\)의 대상이다. Cohomology on Sites, Definition 08FT 뒤의 설명을 보라. Lemma 08H8에 의해 \(E\)는 \(D^-(\mathcal{O}_X)\)의 대상이다.

\(n \in \mathbf{Z}\)를 \(H^n(E)\)가 영이 아닌 가장 큰 정수라 하자. 그러면 \(n\)은 \(H^n(\epsilon^*E)\)가 영이 아닌 가장 큰 정수이기도 하다. \(n - m\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. \(n < m\)이면 보조정리는 분명히 참이다. \(n \geq m\)이면 \(H^n(\epsilon^*E)\)는 유한 \(\mathcal{O}_\etale\)-가군이다. Cohomology on Sites, Lemma 08FX를 보라. 따라서 Lemma 08HD에 의해 \(H^n(E)\)는 유한 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. \(X\)를 열린 덮개의 원소들로 바꾼 뒤에는 전사 \(\mathcal{O}_X^{\oplus t} \to H^n(E)\)가 존재한다고 가정할 수 있다. \(X\) 위에서 국소적으로 이를 복합체의 사상 \(\alpha : \mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n] \to E\)로 올릴 수 있다 (세부사항은 생략한다). 구별 삼각형 \[\mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n] \to E \to C \to \mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n + 1]\] 을 택하자. 그러면 \(C\)의 코호몰로지는 \(\geq n\) 차수에서 영이다. 한편 복합체 \(\epsilon^*C\)는 \(m\)-유사연접이다. Cohomology on Sites, Lemma 08FV를 보라. 따라서 귀납 가정에 의해 \(C\)는 \(m\)-유사연접이다. Cohomology on Sites, Lemma 08FV를 한 번 더 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면

1. \(E\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 가질 필요충분조건은 \(\epsilon^*E\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 갖는 것이다.

2. \(E\)가 유한 tor 차원을 가질 필요충분조건은 \(\epsilon^*E\)가 유한 tor 차원을 갖는 것이다.

여기서 \(\epsilon\)은 (08H7)에서와 같다.

증명

쉬운 함의는 Cohomology on Sites, Lemma 08H5에서 따른다. 역으로 \(\epsilon^*E\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 갖는다고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\epsilon\)은 환 달린 사이트의 평탄 사상이므로(Lemma 08H8), \[\epsilon^*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = \epsilon^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_\etale} \epsilon^*\mathcal{F}\] 이다. 따라서 오른쪽 항의 코호몰로지 층이 소멸한다는 가정은 Lemma 08H8에 의해 \(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\)의 코호몰로지 층에 대한 원하는 소멸을 함의한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면

1. \(E\)가 \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\)의 대상으로서 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 가질 필요충분조건은 \(\epsilon^*E\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 \(D(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})\)의 대상으로서 갖는 것이다.

2. \(E\)가 국소적으로 \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\)의 대상으로서 유한 tor 차원을 가질 필요충분조건은 \(\epsilon^*E\)가 국소적으로 \(D(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})\)의 대상으로서 유한 tor 차원을 갖는 것이다.

여기서 \(\epsilon\)은 (08H7)에서와 같다.

증명

(1)의 쉬운 방향은 Cohomology on Sites, Lemma 08H5에서 따른다. \(x \in X\)를 한 점이라 하고, \(\overline{x}\)를 \(x\) 위에 놓인 기하적 점이라 하자. \(y = f(x)\)라 두고, \(\overline{y}\)를 \(Y\)의 기하적 점이라 하되 \(\overline{x}\)에서 오는 점으로 택하자. 그러면 \((f^{-1}\mathcal{O}_Y)_x = \mathcal{O}_{Y, y}\)이고(Sheaves, Lemma 008H), \[(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{Y_\etale, \overline{y}} = \mathcal{O}_{Y, y}^{sh}\] 는 엄밀 Hensel화이다(Ètale Cohomology, Lemmas 03Q1와 04HX에 의해). \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)의 \(X\)에서의 줄기는 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)이므로, 당김의 추이성에 의해 \[(\epsilon^*E)_{\overline{x}} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\] 를 얻는다. \(\epsilon^*E\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 가지며 이를 \(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-가군의 복합체로 보면, \((\epsilon^*E)_{\overline{x}}\)는 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 가지며, 이를 \(\mathcal{O}_{Y, y}^{sh}\)-가군의 복합체로 보아도 그러하다(줄기를 취하는 것은 당김이고 위에서 인용한 보조정리를 사용한다). More on Flatness, Lemma 0DK0에 의해 \((\epsilon^*E)_{\overline{x}}\)를 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-가군의 복합체로 보아도 tor 진폭은 \([a, b]\) 안에 있다. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)는 충실히 평탄하고(More on Algebra, Lemma 07QM), 또한 \((\epsilon^*E)_{\overline{x}} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)이므로, More on Algebra, Lemma 0DJF를 적용하면 \(E_x\)를 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-가군의 복합체로 본 tor 진폭이 \([a, b]\) 안에 있음을 얻는다. Cohomology, Lemma 09U9에 의해 \(E\)를 \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\)의 대상으로 본 tor 진폭은 \([a, b]\) 안에 있다. 이것이 (1)의 역함의를 준다. (2)는 (1)에서 형식적으로 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상일 필요충분조건은 \(\epsilon^*E\)가 \(D(\mathcal{O}_\etale)\)의 완전 대상인 것이다. 여기서 \(\epsilon\)은 (08H7)에서와 같다.

증명

쉬운 함의는 Cohomology on Sites, Lemma 08H6에 포함된 일반 결과에서 따른다. 역으로 Cohomology on Sites, Lemma 08G8의 동치와, 유사연접 복합체 및 유한 tor 차원 복합체에 대한 해당 결과인 Lemmas 08HE와 08HF를 사용할 수 있다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(E\)가 \(m\)-유사연접인 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이면, \(H^i(E)\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 여기서 \(i > m\)이다. \(E\)가 유사연접이면 \(E\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이다.

증명

국소적으로 \(H^i(E)\)는 \(H^i(\mathcal{E}^\bullet)\)과 동형이고, \(\mathcal{E}^\bullet\)은 엄밀 완전 복합체이다. 층 \(\mathcal{E}^i\)들은 유한 자유 가군의 직합 성분이므로 준연접이다. 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 Noether 대수공간이라 하자. \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(m \in \mathbf{Z}\)에 대해 다음은 동치이다.

1. \(H^i(E)\)는 \(i \geq m\)일 때 연접이고 \(i \gg 0\)일 때 영이다.

2. \(E\)는 \(m\)-유사연접이다.

특히 \(E\)가 유사연접일 필요충분조건은 \(E\)가 \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)의 대상인 것이다.

증명

\(X\)가 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(U\)와 전사 ètale 사상 \(U \to X\)를 찾을 수 있다(Properties of Spaces, Lemma 03H6). \(U\)가 Noether임을 관찰하라. \(E\)가 \(m\)-유사연접일 필요충분조건은 \(E|_U\)가 \(m\)-유사연접인 것이다(정의 또는 Cohomology on Sites, Lemma 08FU에서 따른다). 마찬가지로 \(H^i(E)\)가 연접일 필요충분조건은 \(H^i(E)|_U = H^i(E|_U)\)가 연접인 것이다(Cohomology of Spaces, Lemma 07UB를 보라). 따라서 \(X\)가 표현 가능하다고 가정할 수 있다.

\(X\)가 스킴 \(X_0\)로 표현되면(Lemma 071Q), \(E = \epsilon^*E_0\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(E_0\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)의 대상이고, \(\epsilon : X_\etale \to (X_0)_{Zar}\)은 (08H7)에서와 같다. 이 경우 Lemma 08HE에 의해 \(E\)가 \(m\)-유사연접일 필요충분조건은 \(E_0\)가 그러한 것이다. 마찬가지로 Lemma 08HD에 의해 \(H^i(E_0)\)가 유한형(즉 연접)일 필요충분조건은 \(H^i(E)\)가 그러한 것이다. 마지막으로 Lemma 08H8에 의해 \(H^i(E_0) = 0\)일 필요충분조건은 \(H^i(E) = 0\)인 것이다. 따라서 스킴의 경우로 환원되며, 이는 Derived Categories of Schemes, Lemma 08E8이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준분리 대수공간이라 하자. \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(a \leq b\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(E\)는 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 갖는다.

2. 모든 \(\mathcal{F}\)가 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}) = 0\)이고, 여기서 \(i \not \in [a, b]\)이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하자. \(j : U \to X\)를 ètale 사상이라 하고 \(U\)가 아핀이라고 하자. \(X\)가 준분리이므로 \(j\)는 준콤팩트이고 분리이다. 따라서 \(j_*\)는 준연접 가군을 준연접 가군으로 보낸다(Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). 임의의 준연접 가군 \(\mathcal{G}\)를 \(U\) 위에서 택하자. 가정에 의해 \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} j_*\mathcal{G})\)는 \(i \not \in [a, b]\)일 때 소멸한다. 평탄 사상 \(j\)로 당기면 \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} j^*j_*\mathcal{G})\)가 \(i \not \in [a, b]\)일 때 소멸함을 얻는다. Cohomology of Spaces, Lemma 0HAP에 의해 \(\mathcal{G}\)는 \(j^*j_*\mathcal{G}\)의 직합 성분이다. 따라서 조건 (2)는 \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{G})\)가 \(i \not \in [a, b]\)일 때 소멸함을 함의하며, 이는 모든 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 성립한다. \(E|_U\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 가짐을 증명하면 충분하므로, \(X\)가 표현 가능한 경우로 환원된다.

\(X\)가 스킴 \(X_0\)로 표현되면(Lemma 071Q), \(E = \epsilon^*E_0\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(E_0\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)의 대상이고, \(\epsilon : X_\etale \to (X_0)_{Zar}\)은 (08H7)에서와 같다. 모든 준연접 가군 \(\mathcal{F}_0\)에 대해, 이를 \(X_0\) 위에서 보면 \(\epsilon^*\mathcal{F}_0\)는 \(X\) 위에서 준연접이고 \[H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \epsilon^*\mathcal{F}_0) = \epsilon^*H^i(E_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_0)\] 이다. 이는 \(\epsilon\)이 평탄하기 때문이다(Lemma 08H8). 또한 이 층들이 \(i \not \in [a, b]\)일 때 소멸하면, 같은 보조정리에 의해 \(H^i(E_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_0)\)도 그러하다. 따라서 문제를 스킴의 경우로 환원했으며, 이는 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EA에서 다룬다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(E, F\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음 가운데 하나를 가정하자.

1. \(E\)는 유사연접이고 \(F\)는 \(D^+(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

2. \(E\)는 완전이고 \(F\)는 임의적이다.

그러면 표준 동형 \[\epsilon^*R\SheafHom(E, F) \longrightarrow R\SheafHom(\epsilon^*E, \epsilon^*F)\] 이 존재한다. 여기서 \(\epsilon\)은 (08H7)에서와 같다.

증명

\(\epsilon\)이 평탄하고(Lemma 08H8), 따라서 \(\epsilon^* = L\epsilon^*\)임을 상기하라. Cohomology on Sites, Remark 08JF에 의해 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 표준 사상이 있다. 이것이 동형임을 보이기 위해 국소적으로 작업할 수 있으므로, \(X\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다.

(1)의 경우 \(E\)를 위로 유계인 복합체 \(\mathcal{E}^\bullet\)로 나타낼 수 있고, 이 복합체는 유한 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진다. Derived Categories of Schemes, Lemma 08EE를 보라. 또한 \(F\)를 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)로 나타낼 수 있고, 이 복합체는 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진다. Cohomology, Lemma 08I5를 적용하면 \(R\SheafHom(E, F)\)는 다음을 항으로 갖는 복합체로 나타내어진다. \[\bigoplus\nolimits_{n = - p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}^p, \mathcal{F}^q)\] Cohomology on Sites, Lemma 08JI를 적용하면 \(R\SheafHom(\epsilon^*E, \epsilon^*F)\)는 다음을 항으로 갖는 복합체로 나타내어진다. \[\bigoplus\nolimits_{n = - p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_\etale} (\epsilon^*\mathcal{E}^p, \epsilon^*\mathcal{F}^q)\] 따라서 보조정리의 명제는 표준 사상 \[\epsilon^*\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{F}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_\etale} (\epsilon^*\mathcal{E}, \epsilon^*\mathcal{F})\] 이 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 유한 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대해 동형이라는 참인 사실로 귀착된다.

(2)의 경우 \(E\)를 엄밀 완전 복합체 \(\mathcal{E}^\bullet\)로 나타낼 수 있고, 이 복합체는 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진다. Derived Categories of Schemes, Lemmas 06Z0와 08EB, 그리고 가군의 완전 복합체가 유한 생성 사영 가군들로 이루어진 유한 복합체로 나타내어진다는 사실을 사용하라. 그러면 위와 정확히 같은 증명을 할 수 있는데, Cohomology, Lemma 08I5의 인용을 Cohomology, Lemma 08DM의 인용으로 바꾸면 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(L, K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음 가운데 하나가 성립한다고 하자.

1. \(L\)은 \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(K\)는 유사연접이다.

2. \(L\)은 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(K\)는 완전이다.

그러면 \(R\SheafHom(K, L)\)은 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

증명

이는 스킴에 대한 유사한 명제(Derived Categories of Schemes, Lemma 0A6H)에서 따른다. 여기에는 Lemma 08F2의 판정법, Lemmas 08HE와 08HG의 판정법, 그리고 Lemma 08JP의 결과를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(K, L, M\)을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 사상 \[K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 은 Cohomology on Sites, Lemma 0BYU에서 주어지며, 다음 경우에 동형이다.

1. \(M\)이 완전인 경우,

2. \(K\)가 완전인 경우,

3. \(M\)이 유사연접이고 \(L \in D^+(\mathcal{O}_X)\)이며 \(K\)가 유한 tor 차원을 갖는 경우.

증명

사상이 동형인지 여부는 ètale 국소적으로 확인할 수 있으므로 \(X\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(K, L, M\)을 \(\epsilon^*K_0, \epsilon^*L_0, \epsilon^*M_0\)로 쓸 수 있다. 여기서 어떤 \(K_0, L_0, M_0\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다. 이는 Lemma 071Q에서 따른다. 그러면 Lemma 08JP이 (1)과 (3)을 스킴의 경우로 환원하며, 이는 Derived Categories of Schemes, Lemma 0ATN이다. \(K\)가 완전이지만 다른 가정이 없으면 화살표의 어느 쪽도 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다는 것을 알 수 없다. 그러나 더 국소화한 뒤 \(K\)가 유한 자유 가군들로 이루어진 유한 복합체로 나타내어질 것이므로 결과는 여전히 참이며, 이 경우에는 분명하다.

완전 복합체에 의한 근사

이 절에서는 Derived Categories of Schemes, Section 08EL에서 시작한 논의를 계속한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 다음 조건의 삼중항 \((T, E, m)\)을 생각하자.

1. \(T \subset |X|\)는 닫힌 부분집합이다.

2. \(E\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이다.

3. \(m \in \mathbf{Z}\)이다.

삼중항 \((T, E, m)\)에 대해 근사가 성립한다고 하는 것은 완전 대상 \(P\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(T\) 위에 지지되며, 사상 \(\alpha : P \to E\)가 존재하여 동형 \(H^i(P) \to H^i(E)\)를 \(i > m\)일 때 유도하고 전사 \(H^m(P) \to H^m(E)\)를 유도할 때이다.

모든 삼중항에 대해 근사가 성립할 수는 없다. 그 이유는 Derived Categories of Schemes, Definition 08EM 뒤의 설명을 읽어 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\) 위에서 완전 복합체에 의한 근사가 성립한다고 하는 것은, 임의의 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)에 대해 사상 \(X \setminus T \to X\)가 준콤팩트이면 다음 성질의 정수 \(r\)이 존재한다고 하자. 즉, Definition 08HI에서와 같은 모든 삼중항 \((T, E, m)\) 가운데 다음을 만족하는 것에 대해

1. \(E\)는 \((m - r)\)-유사연접이다.

2. \(H^i(E)\)는 \(T\) 위에 지지되며, 여기서 \(i \geq m - r\)이다.

근사가 성립하는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, j : V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_V)\)의 완전 대상으로 하되, \(j^{-1}(T)\) 위에 지지된다고 하자. 여기서 \(T = |X| \setminus |U|\)이다. 그러면 \(Rj_*E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이다.

증명

완전성은 \(X_\etale\) 위에서 국소적인 성질이다. 따라서 \(Rj_*E\)를 \(U\)와 \(V\)에 제한했을 때 완전임을 확인하면 충분하다. Lemma 08GG에 의해 \(Rj_*E|_V = E\)이고 이는 완전이다. 또한 \(Rj_*E|_U = 0\)인데, 이는 \(E|_{V \setminus j^{-1}(T)} = 0\)이기 때문이다(Lemma 08GE을 사용하라).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, j : V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간들의 기본 구별 정사각형이라 하자. \(T\)를 \(|X| \setminus |U|\)의 닫힌 부분집합이라 하고, \((T, E, m)\)을 Definition 08HI에서와 같은 삼중항이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \((j^{-1}T, E|_V, m)\)에 대해 근사가 성립한다.

2. \(H^i(E)\)는 \(i \geq m\)일 때 \(T\) 위에 지지된다.

그러면 \((T, E, m)\)에 대해 근사가 성립한다.

증명

\(P \to E|_V\)를 삼중항 \((j^{-1}T, E|_V, m)\)의 근사라 하자. 이 근사는 \(V\) 위에 있다. 그러면 Lemma 08HK에 의해 \(Rj_*P\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이다. 한편 Lemma 08GG에 의해 \(Rj_*P = j_!P\)이다. 예를 들어 (08GU)에 의해 \(j_!P\)는 \(T\) 위에 지지된다. 따라서 근사 \(Rj_*P = j_!P \to j_!(E|_V) \to E\)를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 아핀 스킴으로 표현되는 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. Definition 08HI에서와 같은 모든 삼중항 \((T, E, m)\) 가운데 다음 조건을 만족하는 정수 \(r \geq 0\)가 존재하는 것에 대해 근사가 성립한다.

1. \(E\)는 \(m\)-유사연접이다.

2. \(H^i(E)\)는 \(T\) 위에 지지되며, 여기서 \(i \geq m - r + 1\)이다.

3. \(X \setminus T\)는 \(r\)개의 아핀 열린집합의 합집합이다.

특히 아핀 스킴에 대해서는 완전 복합체에 의한 근사가 성립한다.

증명

\(X_0\)를 \(X\)를 표현하는 아핀 스킴이라 하자. \(T_0 \subset X_0\)를 \(T\)에 대응하는 닫힌 부분집합이라 하자. \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\)을 (08H7)의 사상이라 하자. \(E = \epsilon^*E_0\)로 쓸 수 있다. 여기서 어떤 대상 \(E_0\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)에 속한다. Lemma 071Q를 보라. 그러면 \(E_0\)는 \(m\)-유사연접이다(Lemma 08HE를 보라). 코호몰로지 층의 줄기를 비교하면(Lemma 08H8의 증명을 보라), \(H^i(E_0)\)는 \(T_0\) 위에 지지되며 여기서 \(i \geq m - r + 1\)이다. Derived Categories of Schemes, Lemma 08EQ에 의해 근사 \(P_0 \to E_0\)가 존재하며, 이는 \((T_0, E_0, m)\)의 근사이다. Lemma 08HG에 의해 \(P = \epsilon^*P_0\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이다. 당기면 원하는 근사 \(P = \epsilon^*P_0 \to \epsilon^*E_0 = E\)를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, j : V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간들의 기본 구별 정사각형이라 하자. \(U\)는 준콤팩트이고 \(V\)는 아핀이며 \(U \times_X V\)는 준콤팩트이라고 가정하자. 완전 복합체에 의한 근사가 \(U\) 위에서 성립하면, 완전 복합체에 의한 근사는 \(X\) 위에서도 성립한다.

증명

\(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(X \setminus T \to X\)가 준콤팩트이라고 하자. \(r_U\)를 Definition 08HJ의 정수로서 쌍 \((U, T \cap |U|)\)에 맞는 것으로 택하자. \(T' = T \setminus |U|\)라 두고 \(T'\)에 유도된 기약 부분공간 구조를 주자. \(|T'|\)가 \(|X| \setminus |U|\)에 포함되므로 \(j^{-1}(T') \to T'\)는 동형이다. 또한 \(V \setminus j^{-1}(T')\)는 준콤팩트이다. 실제로 이것은 \(U \times_X V\)와 \(X \setminus T\)의 \(X\) 위 올곱이고, 우리는 \(U \times_X V\)가 준콤팩트이며 \(X \setminus T \to X\)가 준콤팩트이라고 가정했다. \(r'\)을 \(V \setminus j^{-1}(T')\)를 덮는 데 필요한 아핀들의 개수라 하자. \(r = \max(r_U, r')\)가 쌍 \((X, T)\)에 대해 적합하다고 주장한다.

이를 보기 위해 삼중항 \((T, E, m)\)을 택하되, \(E\)가 \((m - r)\)-유사연접이고 \(H^i(E)\)가 \(T\) 위에 지지되며 \(i \geq m - r\)이라고 하자. \(t\)를 \(H^t(E)|_U\)가 영이 아닌 가장 큰 정수라 하자. 이러한 정수는 \(U\)가 준콤팩트이고 \(E|_U\)가 \((m - r)\)-유사연접이므로 존재한다. \(E\)를 근사할 수 있음을 \(t\)에 대한 귀납법으로 증명하겠다.

기초 단계: \(t \leq m - r'\)라 하자. 이는 \(H^i(E)\)가 \(T'\) 위에 지지되며 \(i \geq m - r'\)임을 뜻한다. 따라서 Lemma 08HM는 근사 \(P \to E|_V\)가 존재함을 보장한다. 이는 삼중항 \((T', E|_V, m)\)의 근사이며 \(V\) 위에 있다. Lemma 08HL을 적용하면 \((T', E, m)\)을 근사할 수 있다. 그러한 근사는 \((T, E, m)\)의 근사이기도 하다.

귀납 단계. 근사 \(P \to E|_U\)를 \((T \cap |U|, E|_U, m)\)의 근사로 택하자. 이는 특히 전사 \(H^t(P) \to H^t(E|_U)\)를 준다. 이하의 증명에서는 표현 가능한 대수공간 \(V\)와 \(U \times_X V\)에 대해 Lemma 071Q의 동치와 Remark 08GH의 호환성을 사용하겠다. 또한 Zariski 사이트와 étale 사이트 위에서 \((m - r)\)-유사연접성 및 각각 완전성이 일치한다는 사실을 사용하겠다. Lemmas 08HE와 08HG를 보라. 따라서 열린 매장 \(U \times_X V \subset V\)에 대해 Derived Categories of Schemes, Section 08EC의 결과를 사용할 수 있다. 이 방법으로 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EK는 완전 대상 \(Q\)가 \(D(\mathcal{O}_V)\)에 속하고 \(j^{-1}(T)\) 위에 지지되며, 동형 \(Q|_{U \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{U \times_X V}\)가 존재함을 함의한다. Derived Categories of Schemes, Lemma 08EH에 의해 \(Q\)를 \(Q \otimes^\mathbf{L} I\)로 바꾸어 사상 \[Q|_{U \times_X V} \longrightarrow (P \oplus P[1])|_{U \times_X V} \longrightarrow P|_{U \times_X V} \longrightarrow E|_{U \times_X V}\] 이 \(Q \to E|_V\)로 올라간다고 가정할 수 있다. Lemma 08HB에 의해 사상 \(a : R \to E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 찾을 수 있어서, \(a|_U\)는 \(P \oplus P[1] \to E|_U\)와 동형이고 \(a|_V\)는 \(Q \to E|_V\)와 동형이다. 따라서 \(R\)은 완전이고 \(T\) 위에 지지되며, 사상 \(H^t(R) \to H^t(E)\)는 \(U\)로 제한하면 전사이다. 구별 삼각형 \[R \to E \to E' \to R[1]\] 을 택하자. 그러면 \(E'\)은 \((m - r)\)-유사연접이고(Cohomology on Sites, Lemma 08FV), \(H^i(E')|_U = 0\)은 \(i \geq t\)일 때 성립하며, \(H^i(E')\)는 \(T\) 위에 지지되고 여기서 \(i \geq m - r\)이다. 귀납 가정에 의해 근사 \(R' \to E'\)을 찾을 수 있고, 이는 \((T, E', m)\)의 근사이다. 합성 \(R' \to E' \to R[1]\)을 구별 삼각형 \(R \to R'' \to R' \to R[1]\)에 넣고, 사상 \(R' \to E'\)과 \(R[1] \to R[1]\)을 TR3을 사용하여 다음 구별 삼각형의 사상으로 확장하자. \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & R'' \ar[d] \ar[r] & R' \ar[d] \ar[r] & R[1] \ar[d] \\ R \ar[r] & E \ar[r] & E' \ar[r] & R[1] }\] 그러면 \(R''\)은 완전 복합체이고(Cohomology on Sites, Lemma 08G9) \(T\) 위에 지지된다. 쉬운 도식 추적을 하면 \(R'' \to E\)가 원하는 근사임을 알 수 있다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 그러면 \(X\) 위에서 완전 복합체에 의한 근사가 성립한다.

증명

이는 Lemma 08GP의 귀납 원리와 Lemmas 08HN 및 08HM에서 따른다.

유도 범주의 생성

이 절은 Derived Categories of Schemes, Section 09IP에 해당한다. 그러나 먼저 Derived Categories of Schemes, Lemma 09IM에 해당하는 다음 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(W \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(X \setminus T \to X\)가 준콤팩트 사상이라고 하자. \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(\alpha : P \to E|_W\)를 사상이라 하되, \(P\)가 \(D(\mathcal{O}_W)\)의 완전 대상이고 \(T \cap W\) 위에 지지된다고 하자. 그러면 사상 \(\beta : R \to E\)가 존재하여, \(R\)은 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고 \(T\) 위에 지지되며, \(P\)는 \(R|_W\)의 직합 성분이고 이는 \(D(\mathcal{O}_W)\) 안에서의 명제이며 이 포함은 \(\alpha\) 및 \(\beta|_W\)와 호환된다.

증명

Lemma 09IT의 귀납 원리를 사용해 이를 증명하겠다. 따라서 기본 구별 정사각형 \((W \subset X, f : V \to X)\)이 있고, \(V\)가 아핀이며 \(P \to E|_W\)가 보조정리의 명제에서와 같은 경우로 즉시 환원된다. 이하의 증명에서는 표현 가능한 대수공간 \(V\)와 \(W \times_X V\)에 대해 Lemma 071Q와 Remark 08GH의 호환성을 사용하겠다. 또한 Zariski 사이트와 étale 사이트 위의 완전성이 일치한다는 사실을 사용한다. Lemma 08HG를 보라.

Derived Categories of Schemes, Lemma 08EK에 의해 완전 대상 \(Q\)를 \(D(\mathcal{O}_V)\) 안에서 택할 수 있어서, 이는 \(f^{-1}T\) 위에 지지되고 동형 \(Q|_{W \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{W \times_X V}\)가 존재한다. Derived Categories of Schemes, Lemma 08EH에 의해 \(Q\)를 \(Q \otimes^\mathbf{L} I\)로 바꾸어도 되며, 여전히 \(f^{-1}T\) 위에 지지된다. 그리고 사상 \[Q|_{W \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{W \times V} \longrightarrow P|_{W \times_X V} \longrightarrow E|_{W \times_X V}\]

이 \(Q \to E|_V\)로 올라간다고 가정할 수 있다. Lemma 08HB에 의해 사상 \(a : R \to E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 찾을 수 있어서, \(a|_W\)는 \(P \oplus P[1] \to E|_W\)와 동형이고 \(a|_V\)는 \(Q \to E|_V\)와 동형이다. 따라서 \(R\)은 원하는 대로 완전이고 \(T\) 위에 지지된다.

주

Lemma 09IV의 증명은 \[R|_W = P \oplus P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m]\] 임을 보인다. 여기서 \(m \geq 0\)이고 \(n_j \geq 0\)이다. 따라서 \(R|_W\)의 최고 차수 코호몰로지 층은 \(P\)의 것과 같다. 사상 \(P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m] \to R|_W\)에 대해 이 구성을 반복하고, 원뿔을 취하고, 귀납법을 사용하면 임의로 주어진 차수보다 위에서 \(R|_W\)와 \(P\)의 코호몰로지 층들이 같게 할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(W\)를 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자. \(P\)를 \(D(\mathcal{O}_W)\)의 완전 대상이라 하자. 그러면 \(P\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 어떤 완전 대상을 제한한 것의 직합 성분이다.

증명

Lemma 09IV의 특수한 경우이다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 범주 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 하나의 완전 대상으로 생성될 수 있다. 더 정확히는 완전 대상 \(P\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 존재하여, \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 다음은 동치이다.

1. \(E = 0\)이다.

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[n], E) = 0\)이고, 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립한다.

증명

Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 이를 증명하겠다.

\(X\)가 아핀이면 \(\mathcal{O}_X\)는 완전 생성자이다. 이는 Lemma 071Q와 Derived Categories of Schemes, Lemma 06Z0에서 따른다.

\((U \subset X, f : V \to X)\)가 기본 구별 정사각형이라고 가정하자. \(U\)는 준콤팩트이고 정리는 \(U\)에 대해 성립하며 \(V\)는 아핀 스킴이라고 하자. \(P\)를 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 완전 대상이라 하고 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)의 생성자라고 하자. Lemma 09IX을 사용하여 완전 대상 \(Q\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 택할 수 있으며, 이를 \(U\)에 제한하면 직합이고 그 직합 성분 가운데 하나가 \(P\)이다. \(V = \Spec(A)\)라 하자. \(Z \subset V\)를 \(X \setminus U\)의 역상인 기약 닫힌 부분스킴이라 하자. 이는 그 역상에 동형으로 사상한다(Definition 08GM을 보라). 이는 \(V\)의 역콤팩트 닫힌 부분집합이다. 다음을 만족하는 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)를 택하자. \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\). \(K \in D(\mathcal{O}_V)\)를 \(f_1, \ldots, f_r\)에 대한 \(A\) 위의 Koszul 복합체에 대응하는 완전 대상이라 하자. \(K\)는 \(Z\) 위에 지지되므로 직접상 \(K' = Rf_*K\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고, 이를 \(V\)에 제한하면 \(K\)이다(Lemmas 08HK와 08GG을 보라). 우리는 \(Q \oplus K'\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 생성자라고 주장한다.

\(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(Q \oplus K'\)의 어떤 이동에서도 \(E\)로 가는 영이 아닌 사상이 없다고 하자. Lemma 08GG에 의해 \(K' = f_! K\)이고, 따라서 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] 이다. 그러므로 Derived Categories of Schemes, Lemma 09IR와 Lemma 071Q에 의해, 이 군들의 소멸은 \(E|_V\)가 \(R(U \times_X V \to V)_*E|_{U \times_X V}\)와 동형임을 함의한다. 이는 \(E = R(U \to X)_*E|_U\)임을 함의한다(작은 세부사항은 생략한다). 이 경우 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] 이고, 이는 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n], E|_U)\)를 직합 성분으로 포함한다. 따라서 \(P\)의 선택에 의해 이 군들의 소멸은 \(E|_U\)가 영임을 함의한다. 그러므로 \(E\)는 영이다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간들의 사상이라 하자. \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)를 생성자라 하자(Theorem 09IY를 보라). 그러면 다음은 동치이다.

1. \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \(Rf_*K = 0\)일 필요충분조건은 \(K = 0\)인 것이다.

2. \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 동형을 반영한다.

3. \(Lf^*E\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 생성자이다.

(1)과 (2)의 동치는 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)가 삼각 범주의 완전 함자라는 사실의 형식적 귀결이다. 마찬가지로 (1)과 (3)의 동치는 \(Lf^*\)가 \(Rf_*\)의 왼쪽 수반이라는 사실에서 형식적으로 따른다. 이 조건들은 \(f\)가 아핀일 때(Lemma 08II), 또는 \(f\)가 열린 매장일 때, 또는 \(f\)가 그러한 사상들의 합성일 때 성립한다.

다음 결과는 Theorem 09IY의 강화이고 정확히 같은 방법으로 증명된다. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 여기서 \(X\)는 대수공간이다. \(D_T(\mathcal{O}_X)\)로 코호몰로지 층들이 \(T\) 위에 지지되는 복합체들로 이루어진 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주를 나타내자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(|X| \setminus T\)가 준콤팩트이라고 하자. 위 표기 아래 범주 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)는 하나의 완전 대상으로 생성된다.

증명

Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 이를 증명하겠다. 이 성질은 사이트 \(X_{spaces, \etale}\)의 표현 가능한 준콤팩트 준분리 대상들에 대해 참이다. 이는 Derived Categories of Schemes, Lemma 0A9A에서 따른다.

\((U \subset X, f : V \to X)\)가 기본 구별 정사각형이라고 가정하자. 보조정리는 \(U\)에 대해 성립하고 \(V\)는 아핀이라고 하자. 증명을 끝내려면 결과가 \(X\)에 대해 성립함을 보여야 한다. \(P\)를 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 완전 대상이라 하되 \(T \cap U\) 위에 지지되고 \(D_{\QCoh, T \cap U}(\mathcal{O}_U)\)의 생성자라고 하자. Lemma 09IV를 사용하여 완전 대상 \(Q\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 택할 수 있으며, 이는 \(T\) 위에 지지되고 \(U\)로 제한하면 직합이고 그 직합 성분 가운데 하나가 \(P\)이다. \(V = \Spec(B)\)라 쓰자. \(Z = X \setminus U\)라 하자. 그러면 \(f^{-1}Z\)는 \(V\)의 닫힌 부분집합이고 \(V \setminus f^{-1}Z\)는 준콤팩트이다. \(X\)가 준분리이므로 \(f^{-1}Z \cap f^{-1}T = f^{-1}(Z \cap T)\)는 \(V\)의 닫힌 부분집합이고 \(W = V \setminus f^{-1}(Z \cap T)\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(g_1, \ldots, g_s \in B\)를 택하여 \(f^{-1}(Z \cap T) = V(g_1, \ldots, g_r)\)가 되게 할 수 있다. \(K \in D(\mathcal{O}_V)\)를 \(g_1, \ldots, g_s\)에 대한 \(B\) 위의 Koszul 복합체에 대응하는 완전 대상이라 하자. \(K\)는 닫힌 부분집합 \(f^{-1}(Z \cap T) \subset V\) 위에 지지되므로, 직접상 \(K' = R(V \to X)_*K\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고, 이를 \(V\)에 제한하면 \(K\)이다(Lemmas 08HK와 08GG을 보라). 우리는 \(Q \oplus K'\)가 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)의 생성자라고 주장한다.

\(E\)를 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(Q \oplus K'\)의 어떤 이동에서도 \(E\)로 가는 영이 아닌 사상이 없다고 하자. Lemma 08GG에 의해 \(K' = R(V \to X)_! K\)이고, 따라서 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] 이다. 그러므로 Derived Categories of Schemes, Lemma 09IR에 의해 \(E|_V = Rj_*E|_W\)이다. 여기서 \(j : W \to V\)는 포함 사상이다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ W \ar[r]_j & V & Z \cap T \ar[l] \ar[d] \\ V \setminus f^{-1}Z \ar[u]^{j'} \ar[ru]_{j''} & & Z \ar[lu] }\] \(E\)는 \(T\) 위에 지지되므로 \(E|_W\)는 \(f^{-1}T \cap W = f^{-1}T \cap (V \setminus f^{-1}Z)\) 위에 지지되고, 이는 \(W\) 안에서 닫혀 있다. 따라서 \[E|_V = Rj_*(E|_W) = Rj_*(Rj'_*(E|_{U \cap V})) = Rj''_*(E|_{U \cap V})\] 이다. 둘째 등식은 Cohomology, Lemma 08DF의 (1)이며, \(V\)가 스킴이고 \(E\)가 준연접 코호몰로지 층을 가져 준콤팩트 열린 매장 \(j'\)을 따른 직접상이 바탕 스킴 위의 직접상과 일치하므로 적용할 수 있다. Remark 08GH를 보라. 이는 \(E = R(U \to X)_*E|_U\)임을 함의한다(작은 세부사항은 생략한다). 이 경우 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] 이고, 이는 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n], E|_U)\)를 직합 성분으로 포함한다. 따라서 \(P\)의 선택에 의해 이 군들의 소멸은 \(E|_U\)가 영임을 함의한다. 그러므로 \(E\)는 영이다.

콤팩트 대상과 완전 대상

이 절은 Derived Categories of Schemes, Section 09M0에 해당한다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이 콤팩트일 필요충분조건은 그것이 완전인 것이다.

증명

\(K\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고 그 쌍대가 \(K^\vee\)이면 (Cohomology on Sites, Lemma 08JJ), 다음이 성립한다. \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, M) = H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 이는 \(M\)에 함자적이다. \(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} -\)는 직합과 가환하고, Lemma 08FB에 의해 \(H^0(X, -)\)도 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 위에서 직합과 가환한다. 따라서 \(K\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안에서 콤팩트이다.

역으로 \(K\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 콤팩트 대상이라 하자. \(K\)가 완전임을 보이려면 \(K|_U\)가 완전임을 보이면 충분하다. 여기서 \(U\)는 \(X\) 위에서 étale인 임의의 아핀 스킴이다. Cohomology on Sites, Lemma 08G6를 보라. \(j : U \to X\)가 준콤팩트 분리 사상임을 관찰하라. 따라서 \[Rj_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 직합과 가환한다. Lemma 08FB를 보라. 그러므로 \(U\)로의 제한과 \(Rj_*\)의 수반성은 \(K|_U\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)의 완전 대상임을 함의한다. 따라서 \(X\)가 아핀인 경우, 특히 준콤팩트 준분리 스킴인 경우로 환원된다. Lemmas 071Q와 08HG를 통해 스킴의 경우, 즉 Derived Categories of Schemes, Proposition 09M1로 환원된다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이자 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 생성자라고 하자. Theorem 09IY에 의해 이러한 대상이 적어도 하나 있다. Lemma 08F3, Proposition 09M8, 그리고 Derived Categories, Proposition 09SR를 결합하면 \(G\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 고전적 생성자임을 알 수 있다.

다음 결과는 Proposition 09M8의 강화이다. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 여기서 \(X\)는 대수공간이다. 앞에서와 같이 \(D_T(\mathcal{O}_X)\)는 코호몰로지 층이 \(T\) 위에 지지되는 복합체들로 이루어진 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주를 나타낸다. 직합을 취하는 것은 코호몰로지 층을 취하는 것과 가환하므로 \(D_T(\mathcal{O}_X)\)에는 직합이 있고, 이 직합은 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 직합과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(|X| \setminus T\)가 준콤팩트이라고 하자. \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이 콤팩트일 필요충분조건은 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서 완전인 것이다.

증명

보조정리 앞의 remark에 의해 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)는 직합을 갖는 삼각 범주이다. Proposition 09M8에 의해 완전 대상들은 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 콤팩트 대상을 정의하므로, 더욱이 직합을 취하는 것 아래 보존되는 임의의 부분범주의 콤팩트 대상을 정의한다. 역으로 생성자 \(E \in D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)가 존재하고 이는 완전 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라는 사실을 사용하겠다. Lemma 0AEC를 보라. 따라서 위에 의해 \(E\)는 콤팩트이다. 그러면 Derived Categories, Proposition 09SR에 의해 \(E\)는 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)의 콤팩트 대상들로 이루어진 충만 부분범주의 고전적 생성자이다. 따라서 임의의 콤팩트 대상은 \(E\)에서 다음 연산들로 이루어진 유한한 열을 통해 구성할 수 있다. (a) 이동, (b) 유한 직합, (c) 원뿔, (d) 직합 성분. 이 연산들은 각각 완전성을 보존하므로 결과가 따른다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(|X| \setminus T\)가 준콤팩트이라고 하자. \(G\)를 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이자 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)의 생성자라고 하자. Lemma 0AEC에 의해 이러한 대상이 적어도 하나 있다. \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)가 직합을 갖는다는 사실과 Lemma 0AED 및 Derived Categories, Proposition 09SR를 결합하면 \(G\)가 \(D_{perf, T}(\mathcal{O}_X)\)의 고전적 생성자임을 알 수 있다.

다음 보조정리는 앞 보조정리의 증명에 들어가는 발상들의 응용이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고, 그 여집합 \(U \subset X\)가 준콤팩트이라고 하자. \(\alpha : P \to E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 사상이라 하고 다음 가운데 하나를 가정하자.

1. \(P\)는 완전이고 \(E\)는 \(T\) 위에 지지된다.

2. \(P\)는 유사연접이고 \(E\)는 \(T\) 위에 지지되며 \(E\)는 아래로 유계이다.

그러면 완전 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(I\)와 사상 \(I \to \mathcal{O}_X[0]\)가 존재하여, \(I \otimes^\mathbf{L} P \to E\)는 영이고 \(I|_U \to \mathcal{O}_U[0]\)는 동형이다.

증명

\(\mathcal{D} = D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)라 두자. 두 경우 모두 복합체 \(K = R\SheafHom(P, E)\)는 \(\mathcal{D}\)의 대상이다. 준연접성은 Lemma 0A8A을 보라. \(K\)가 \(T\) 위에 지지됨은 분명하다. 이는 \(R\SheafHom\)의 구성이 열린집합으로의 제한과 가환하기 때문이다. 사상 \(\alpha\)는 \(H^0(K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[0], K)\)의 한 원소를 정의한다. 그러면 사상 \(\alpha : \mathcal{O}_X[0] \to K\)에 대해 결과를 증명하면 충분하다.

\(E \in \mathcal{D}\)를 완전 생성자라 하자. Lemma 0AEC를 보라. 다음처럼 쓰자. \[K = \text{hocolim} K_n\] 이는 Derived Categories, Lemma 09SN에서 생성자 \(E\)를 사용한 표현이다. 함자 \(\mathcal{D} \to D(\mathcal{O}_X)\)가 직합과 가환하므로 \(K = \text{hocolim} K_n\)은 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서도 성립한다. \(\mathcal{O}_X\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 콤팩트 대상이므로, 어떤 \(n\)과 사상 \(\alpha_n : \mathcal{O}_X \to K_n\)을 찾을 수 있고, 이 사상은 \(\alpha\)를 준다. Derived Categories, Lemma 094A를 보라. Derived Categories, Lemma 09SP을 사상 \(\mathcal{O}_X[0] \to K_n\)에 적용하자. 이는 주위 범주 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 사상이다. 그러면 \(\alpha_n\)이 \(\mathcal{O}_X[0] \to Q \to K_n\)으로 분해됨을 알 수 있다. 여기서 \(Q\)는 \(\langle E \rangle\)의 대상이다. 따라서 \(Q\)는 \(T\) 위에 지지되는 완전 복합체이다.

구별 삼각형 \[I \to \mathcal{O}_X[0] \to Q \to I[1]\] 을 택하자. 구성에 의해 \(I\)는 완전이고, 사상 \(I \to \mathcal{O}_X[0]\)는 \(U\) 위로 제한하면 동형이며, 합성 \(I \to K\)는 \(\alpha\)가 \(Q\)를 통해 분해되므로 영이다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

가군 범주로서의 유도 범주

이 절은 Derived Categories of Schemes, Section 09M2에 해당한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(K^\bullet\)을 코호몰로지 층들이 준연접인 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하자. 미분 등급 자기준동형 대수를 \((E, d) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\)라 하자. 그러면 Differential Graded Algebra, Lemma 09LX의 함자 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] 의 상은 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 포함된다.

증명

\(P\)를 미분 등급 \(E\)-가군이라 하되 성질 \(P\)를 갖는다고 하자. \(F_\bullet\)을 Differential Graded Algebra, Section 09KK에서와 같이 \(P\) 위의 여과라 하자. 그러면 \[P \otimes_E K^\bullet = \text{hocolim}\ F_iP \otimes_E K^\bullet\] 이다. 각 \(F_iP\)에는 유한 여과가 있고 그 등급 조각들은 \(E[k]\)들의 직합이다. 결과는 쉽게 따른다.

다음 보조정리는 강화할 수 있다 (영이 아닌 코호몰로지 층들이 고정된 범위에만 놓이는 모든 \(L\)에 대하여 소멸을 일양적으로 택할 수 있다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이라 하자. 그러면

1. 정수 \(a \leq b\)가 존재하여 다음이 성립한다: \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = 0\)은 \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 \(H^i(L) = 0\)을 모든 \(i \in [a, b]\)에 대해 만족할 때 성립하고,

2. \(L\)이 유계이면 \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\)은 유한 개의 경우를 제외한 모든 \(n\)에 대해 영이다.

증명

\(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L[n])\)이므로 (2)는 (1)에서 따른다. (1)을 증명하자. \(K\)가 완전이므로 \[\Ext^i_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 이다. 여기서 \(K^\vee\)는 \(K\)의 “쌍대” 완전 복합체이다. Cohomology on Sites, Lemma 08JJ을 보라. Lemmas 08F5 and 08JL에 의해 \(P = K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\)은 \(D_\QCoh(X)\)에 속한다 (완전 복합체가 준연접 코호몰로지 층들을 가짐을 보려면 뒤의 보조정리를 사용한다). \(K^\vee\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 갖는다고 하자. 그러면 스펙트럴 열 \[E_1^{p, q} = H^p(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} H^q(L)) \Rightarrow H^{p + q}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 은 \(H^j(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\)이 \(H^q(L) = 0\)이 모든 \(q \in [j - b, j - a]\)에 대해 성립할 때 영임을 보인다. \(N\)을 Cohomology of Spaces, Lemma 072C의 정수 \(\max(d_p + p)\)라 하자. 그러면 \(H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\)은 코호몰로지 층들 \[H^{-N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ H^{-N + 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ \ldots, \ H^0(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 이 영이면 영이다. 실제로 인용한 보조정리와 Lemma 08F7에 의해 \[H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = H^0(X, \tau_{\geq -N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L))\] 이고, 코호몰로지 층들의 소멸에 의해 이는 \(H^0(X, \tau_{\geq 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L))\)와 같다. 후자는 Derived Categories, Lemma 05TC에 의해 영이다. 따라서 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\)은 \(H^i(L) = 0\)이 모든 \(i \in [-b - N, -a]\)에 대해 성립하면 영이다.

다음은 Derived Categories of Schemes, Theorem 09M5의 유사이다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 그러면 미분 등급 대수 \((E, \text{d})\)가 존재하여 그 비영 코호몰로지 군 \(H^i(E)\)은 유한 개뿐이고, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 \(D(E, \text{d})\)와 동치이다.

증명

\(K^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체로서 완전이고 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 생성하는 것이라 하자. 그런 것은 Theorem 09IY와 K-단사 분해의 존재성에 의해 존재한다. 다음을 택하면 정리가 성립함을 보이겠다. \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] 여기서 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)\)는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 미분 등급 범주이다. Differential Graded Algebra, Section 09LU을 보라. \(K^\bullet\)이 K-단사이므로 [09MD]\[\begin{equation} H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet) \end{equation}\] 은 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립한다. Lemma 09MB에 의해 이 Ext들 가운데 비영인 것은 유한 개뿐이다. Differential Graded Algebra, Lemma 09LX의 함자 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] 를 생각하자. \(K^\bullet\)은 완전이므로 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 콤팩트 대상을 정의한다. Proposition 09M8을 보라. 이를 (09MD)와 합치면, 위 함자는 Differential Graded Algebra, Lemma 09LZ에 의해 완전충실하다. 이 함자는 Differential Graded Algebra, Lemma 09LY에 의해 우수반 \[R\Hom(K^\bullet, - ) : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(E, \text{d})\] 을 가지며, 수반 함자에 관한 일반론에 의해 이는 좌준역함자이다. 한편 Lemma 09MA에 의해 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 를 얻는다. \(K^\bullet\)을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 생성자로 택했으므로, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 제한한 수반의 핵은 영이다. 형식적 논증은 원하는 동치를 얻음을 보인다. Derived Categories, Lemma 09J1를 보라.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 \(|X| \setminus T\)가 준콤팩트인 닫힌 부분집합이라 하자. Theorem 09MC의 유사는 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 성립한다. 이는 정리의 증명과 완전히 같은 논증에서 Lemmas 0AEC와 0AED, 그리고 지지를 갖는 Lemma 09MA의 변형을 사용하면 따른다. 이 결과가 필요하게 되면 여기서 이를 정확히 진술하고 상세한 증명을 제시하겠다.

주

\(X\)를 환 \(R\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. Theorem 09MC의 증명에 쓰인 구성에 의해, 미분 등급 대수 \((A, \text{d})\)가 \(R\) 위에 존재하여 삼각 범주로서 \(D_\QCoh(X)\)는 \(R\)-선형으로 \(D(A, \text{d})\)와 동치이다. 다음과 같이 물을 수 있다: \((A, \text{d})\)는 얼마나 유일한가? 그 답은 \((A, \text{d})\)가 유도 동치까지 잘 정의된다고 말하는 것보다 (단지) 조금 더 낫다. 실제로 \((B, \text{d})\)가 두 번째 그러한 쌍이라고 하자. 그러면 \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] 이고 \[(B, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, L^\bullet)\] 이다. 여기서 \(K^\bullet\)과 \(L^\bullet\)은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체들로서 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 완전 생성자들에 대응한다. 다음처럼 두자. \[\Omega = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, L^\bullet) \quad \Omega' = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, K^\bullet)\] 그러면 \(\Omega\)는 미분 등급 \(B^{opp} \otimes_R A\)-가군이고, \(\Omega'\)는 미분 등급 \(A^{opp} \otimes_R B\)-가군이다. 또한 동치 \[D(A, \text{d}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(B, \text{d})\] 는 함자 \(- \otimes_A^\mathbf{L} \Omega'\)로 주어지고, 준역함자도 마찬가지이다. 따라서 우리는 Differential Graded Algebra, Remark 09ST의 상황에 있다. 이 비고가 필요하게 되면 여기서 상세한 증명과 함께 정확한 진술을 제시하겠다.

유사연접 복합체의 특성화, I

이 내용은 More on Morphisms of Spaces, Section 0CTP에서 계속된다. 유사연접 대상을 완전 대상에 의한 근사들의 유도 호모토피 극한으로 특성화할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(K \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(K\)는 유사연접이고,

2. \(K = \text{hocolim} K_n\)이며, \(K_n\)은 완전이고 \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\)는 모든 \(n\)에 대해 동형이다.

증명

함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)은 임의의 환 달린 사이트에서 참이다. 실제로 (2)가 성립한다고 하자. 유도 범주의 완전 대상은 유사연접임을 상기하자. Cohomology on Sites, Lemma 08G8을 보라. 그러면 정의에서 \(\tau_{\geq -n}K_n\)은 \((-n + 1)\)-유사연접이고, 따라서 \(\tau_{\geq -n}K\)도 \((-n + 1)\)-유사연접이며, 따라서 \(K\)는 \((-n + 1)\)-유사연접임이 따른다. 이는 모든 \(n\)에 대해 참이므로 \(K\)는 유사연접이다. Cohomology on Sites, Definition 08FT을 보라.

(1)을 가정하자. 먼저 \(K_1 \to K\)를 택한다. 이는 \((X, K, -2)\)의 근사이고 \(K_1\)은 완전 복합체이다. Definitions 08HI와 08HJ, 그리고 Theorem 08HP을 보라. 귀납적으로 \[K_1 \to K_2 \to \ldots \to K_n \to K\] 를 얻었다고 하자. 여기서 \(K_i\)는 완전이고 \(\tau_{\geq -i}K_i \to \tau_{\geq -i}K\)가 모든 \(1 \leq i \leq n\)에 대해 동형이다.

그러면 Lemma 09MB에서와 같이 \(a \leq b\)를 완전 대상 \(K_n\)에 대해 택한다. \(K_{n + 1} \to K\)를 택하자. 이는 \((X, K, \min(a - 1, -n - 1))\)의 근사이다. 구별 삼각형 \[K_{n + 1} \to K \to C \to K_{n + 1}[1]\] 을 택한다. 그러면 \(C \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)이고 \(H^i(C) = 0\)은 \(i \geq a\)에 대해 성립한다. 따라서 \(a, b\)의 선택에 의해 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K_n, C) = 0\)이다. 그러므로 합성 \(K_n \to K \to C\)는 영이다. 따라서 Derived Categories, Lemma 0149에 의해 \(K_n \to K\)를 \(K_{n + 1}\)을 통해 분해할 수 있다. 이로써 귀납 단계가 증명된다.

이제 \(K = \text{hocolim} K_n\)임을 증명해야 한다. 이는 함자 \(H^i( - ) : D(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)와 \(K_n\)의 선택에 Derived Categories, Lemma 0CRK을 적용하면 따른다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(T \subset X\)를 \(X \setminus T\)가 준콤팩트인 닫힌 부분집합이라 하자. \(K \in D(\mathcal{O}_X)\)가 \(T\) 위에 지지된다고 하자. 다음은 동치이다.

1. \(K\)는 유사연접이고,

2. \(K = \text{hocolim} K_n\)이며, \(K_n\)은 완전이고 \(T\) 위에 지지되며, \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\)는 모든 \(n\)에 대해 동형이다.

증명

이 보조정리의 증명은 Lemma 0DKB의 증명과 완전히 같다. 다만 근사들을 택할 때 삼중항 \((T, K, m)\)을 사용한다.

코히레이터의 재고찰

Section 08GX에서 우리는 우수반 \(RQ_X\)를 구성하고 연구하였다. 이는 표준 함자 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 우수반이다. 그것은 코히레이터 \(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 우유도 연장으로 구성되었다. 이 절에서는 포함 함자 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] 가 언제 우수반을 갖는지 연구한다. 이 우수반이 존재하면 이를 ² \[DQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 로 표기하겠다. 준콤팩트 준분리 대수공간은 그러한 우수반을 갖는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 포함 함자 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\)는 우수반을 갖는다.

증명

이를 증명하기 위해 Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하겠다. \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 동치라면, Section 08GX의 함자 \(RQ_X\)가 함자 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 우수반이므로 보조정리는 참이다. 특히 Lemma 08H0에 의해 보조정리는 아핀 대수공간에 대해 참이다. 따라서 다음을 보이면 충분하다: \((U \subset X, f : V \to X)\)가 기본 구별 정사각형이고 \(U\)는 준콤팩트이며 \(V\)는 아핀이고, 보조정리가 \(U\), \(V\), \(U \times_X V\)에 대해 성립한다면, 보조정리는 \(X\)에 대해서도 성립한다.

우수반이 존재할 필요충분조건은 \(K\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 대상일 때 다음 구별 삼각형을 찾을 수 있는 것이다.

\[E' \to E \to K \to E'[1]\] 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 삼각형이고, \(E'\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하며, \(\Hom(M, K) = 0\)이 모든 \(M\) 가운데 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하는 것에 대해 성립한다. Derived Categories, Lemma 0CQS를 보라. 구별 삼각형 \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V} \to E[1]\] 을 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 생각하자. 이는 Lemma 08GW의 삼각형이다. Derived Categories, Lemma 0CQR에 의해 \(Rj_{U, *}E|_U\), \(Rj_{V, *}E|_V\)와 \(Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V}\)에 대해 원하는 구별 삼각형들을 구성하면 충분하다. 이로써 다음 문단에서 논의하는 명제로 환원된다.

\(j : U \to X\)를 에탈 사상이라 하되, \(U\)는 준콤팩트 준분리이고 보조정리는 \(U\)에 대해 참이라고 하자. \(L\)을 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 대상이라 하자. 그러면 구별 삼각형 \[E' \to Rj_*L \to K \to E'[1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재하여, \(E'\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하고, \(\Hom(M, K) = 0\)이 모든 \(M\) 가운데 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하는 것에 대해 성립한다. 이를 보이기 위해 구별 삼각형 \[L' \to L \to Q \to L'[1]\] 을 \(D(\mathcal{O}_U)\) 안에서 택하되, \(L'\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)에 속하고, \(\Hom(N, Q) = 0\)이 모든 \(N\) 가운데 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)에 속하는 것에 대해 성립한다고 하자. Derived Categories, Lemma 0CQS의 명제가 필요충분조건이므로 이는 가능하다. 다음 구별 삼각형을 얻는다. \[Rj_*L' \to Rj_*L \to Rj_*Q \to Rj_*L'[1]\] 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 삼각형이다. \(Rj_*L'\)는 Lemma 08FA에 의해 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속한다. 한편 \(M\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하면, \[\Hom(M, Rj_*Q) = \Hom(Lj^*M, Q) = 0\] 이다. 이는 Lemma 08F4에 의해 \(Lj^*M\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)에 속하기 때문이다. 이것으로 증명이 끝난다.

증명

우수반은 Derived Categories, Proposition 0A8G에 의해 존재한다. 가정들은 만족된다. 먼저 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 직합을 가지며 직합은 포함 함자와 가환한다 (Lemma 08F3). 한편 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 콤팩트 생성된다. 실제로 Theorem 09IY에 의해 완전 생성자를 가지며

Proposition 09M8에 의해 완전 대상은 콤팩트이기 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. 우수반 \(DQ_X\)와 \(DQ_Y\)가 포함 함자 \(D_\QCoh \to D\)에 대해 각각 \(X\)와 \(Y\)에 존재한다면, \[Rf_* \circ DQ_X = DQ_Y \circ Rf_*\] 이다.

증명

Lemma 08FA에 의해 \(Rf_*\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 안으로 보내므로 이 명제는 뜻이 있다. 마찬가지로 Lemma 08F4에 의해 \(Lf^*\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안으로 보낸다. 따라서 \(Rf_* \circ DQ_X\)와 \(DQ_Y \circ Rf_*\)는 둘 다 \(Lf^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 우수반이므로 명제가 참이다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U \subset X, f : V \to X)\)를 \(S\) 위 대수공간의 기본 구별 정사각형이라 하자. \(X\), \(U\), \(V\)가 준콤팩트 준분리라고 가정하자. Lemma 0CR4에 의해 함자 \(DQ_X\), \(DQ_U\), \(DQ_V\), \(DQ_{U \times_X V}\)가 존재한다. 또한 표준 구별 삼각형 \[DQ_X(K) \to Rj_{U, *}DQ_U(K|_U) \oplus Rj_{V, *}DQ_V(K|_V) \to Rj_{U \times_X V, *}DQ_{U \times_X V}(K|_{U \times_X V}) \to\] 이 모든 \(K \in D(\mathcal{O}_X)\)에 대해 존재한다.

이는 Lemma 08GW의 구별 삼각형에 완전 함자 \(DQ_X\)를 적용하고 Lemma 0CR5를 세 번 사용하면 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. Lemma 0CR4의 함자 \(DQ_X\)는 다음 유계성을 갖는다. 정수 \(N = N(X)\)가 존재하여, \(K\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(H^i(U, K) = 0\)이 \(U\)가 \(X\) 위 아핀 에탈이고 \(i \not \in [a, b]\)에 대해 성립하면, 코호몰로지 층 \(H^i(DQ_X(K))\)는 \(i \not \in [a, b + N]\)에 대해 영이다.

증명

Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 이를 증명하겠다.

\(X\)가 아핀이면 보조정리는 \(N = 0\)으로 참이다. 이 경우 \(RQ_X = DQ_X\)가 \(R\Gamma(X, K)\)에 결부된 준연접 층의 복합체를 취하는 것으로 주어지기 때문이다. Lemma 08H0를 보라.

\((U \subset W, f : V \to W)\)를 기본 구별 정사각형이라 하자. \(W\)는 준콤팩트 준분리이고, \(U \subset W\)는 준콤팩트 열린집합이며, \(V\)는 아핀이고, 보조정리는 \(U\), \(V\), \(U \times_W V\)에 대해 성립한다고 하자. 해당 정수들을 \(N(U)\), \(N(V)\), \(N(U \times_W V)\)라 하자. 이제 \(K\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속하고

\(H^i(W, K) = 0\)이 모든 \(W\)가 \(X\) 위 아핀 에탈이고 모든 \(i \not \in [a, b]\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 \(K|_U\), \(K|_V\), \(K|_{U \times_W V}\)도 같은 성질을 갖는다. 따라서 \(RQ_U(K|_U)\)와 \(RQ_V(K|_V)\), \(RQ_{U \cap V}(K|_{U \times_W V})\)의 코호몰로지 층들은

\([a, b + \max(N(U), N(V), N(U \times_W V))\) 밖에서 영이다.

함자 \(Rj_{U, *}\), \(Rj_{V, *}\), \(Rj_{U \times_W V, *}\)는 Lemma 08FA에 의해 \(D_\QCoh\) 위에서 유한 코호몰로지 차원을 가지므로, 정수 \(N\)이 존재하여 \(Rj_{U, *}DQ_U(K|_U)\), \(Rj_{V, *}DQ_V(K|_V)\), \(Rj_{U \cap V, *}DQ_{U \times_W V}(K|_{U \times_W V})\)의 코호몰로지 층들은 \([a, b + N]\) 밖에서 영이다. 이제 Remark 0CR6의 구별 삼각형으로 결론을 얻는다.

예

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \((\mathcal{F}_n)\)을 \(X\) 위의 준연접 층들의 역계라 하자. \(DQ_X\)는 우수반이므로 곱과 가환하고, 따라서 유도 극한과도 가환한다. 그러므로 \[DQ_X(R\lim \mathcal{F}_n) = (R\lim\text{ in }D_\QCoh(\mathcal{O}_X))(\mathcal{F}_n)\] 이다. 여기서 첫 번째 \(R\lim\)은 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 취한다. 이를 위해 실제로 \(K = R\lim \mathcal{F}_n\)이라 쓰자. 임의의 \(U\)가 \(X\) 위 아핀 에탈이면 \[H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim R\Gamma(U, \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim \Gamma(U, \mathcal{F}_n))\] 이다. 이는 코호몰로지가 유도 극한과 가환하고 준연접 층 \(\mathcal{F}_n\)이 아핀에서 고차 코호몰로지를 갖지 않기 때문이다. 아벨 군의 범주에서 \(R\lim\)을 계산하면, \(H^i(U, K) = 0\)은 \(i \in [0, 1]\)이 아닐 때 성립함을 알 수 있다. 따라서 위의 \(R\lim\), 즉 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 안에서 취하여 위에 의해 \(DQ_X(K)\)인 것은 \(D^b_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하며, Lemma 0CSS에 의해 음의 차수에서 코호몰로지 층들이 영이다.

코호몰로지와 밑변환, IV

이 절은 Derived Categories of Schemes, Section 08ET의 유사이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(E\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 속하고 \(K\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)에 속하면 \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K)\] 이다.

증명

아무 가정 없이도 사상 \(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K \to Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K)\)가 존재한다. 실제로 이는 표준 사상 \[Lf^*(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K) = Lf^*(Rf_*(E)) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K \longrightarrow E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K\] 의 수반인데, 이 표준 사상은 \(Lf^*Rf_*E \to E\)에서 유도된다. Cohomology on Sites, Lemmas 07A4와 07A6를 보라. 이것이 동형인지 확인할 때 \(Y\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(Y\)가 아핀 스킴인 경우로 환원된다.

\(K = \bigoplus K_i\)가 어떤 복합체들 \(K_i \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 직합이라고 하자. 명제가 각 \(K_i\)에 대해 성립하면 \(K\)에 대해서도 성립한다. 실제로 함자 \(Lf^*\)와 \(\otimes^\mathbf{L}\)는 구성에 의해 직합을 보존하고, \(Rf_*\)는 Lemma 08FB에 의해 (준연접 코호몰로지 층들을 갖는 복합체들에 대해) 직합과 가환한다. 또한 \(K \to L \to M \to K[1]\)이 \(D_\QCoh(Y)\) 안의 구별 삼각형이라고 하자. 보조정리의 명제가 \(K, L, M\) 중 둘에 대해 성립하면 나머지 하나에 대해서도 성립한다 (여기 관련된 함자들은 삼각 범주의 완전 함자들이기 때문이다).

\(Y\)가 아핀이고 \(Y = \Spec(A)\)라고 하자. 함자 \(\widetilde{\ } : D(A) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 Lemma 071Q와 Derived Categories of Schemes, Lemma 06Z0에 의해 동치이다. \(T\)를 다음과 같은 \(K \in D(A)\)의 성질이라 하자: 보조정리의 명제가 \(\widetilde{K}\)에 대해 성립한다. 위 논의와 More on Algebra, Remark 09PB에 의해 \(T\)가 \(A[k]\)에 대해 성립함만 증명하면 충분하다. 구조층의 이동들에 대해서는 보조정리의 명제가 명백하므로 이것으로 증명이 끝난다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 \(B\) 위에서 Tor 독립이라고 하는 것은, 모든 기하점의 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[d]_{\overline{y}} \ar[dr]_{\overline{b}} \ar[r]_-{\overline{x}} & X \ar[d] \\ Y \ar[r] & B }\] 에 대하여 환 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)와 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)가 \(\mathcal{O}_{B, \overline{b}}\) 위에서 Tor 독립인 것과 같다 (More on Algebra, Definition 0660을 보라).

다음 보조정리는 특히 표현가능한 대수공간의 경우에 이 정의가 우리의 정의와 일치함을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(X\)와 \(Y\)는 \(B\) 위에서 Tor 독립이다.

2. 모든 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \\ X \ar[r] & B & Y \ar[l] }\] 에서 수직 화살표들이 에탈이면, \(U\)와 \(V\)는 \(W\) 위에서 Tor 독립이다.

3. (2)에서와 같은 어떤 가환 도식에 대하여 (a) \(W \to B\)는 에탈 전사이고, (b) \(U \to X \times_B W\)는 에탈 전사이고, (c) \(V \to Y \times_B W\)는 에탈 전사이며, 공간 \(U\)와 \(V\)는 \(W\) 위에서 Tor 독립이다.

4. (3)에서와 같은 어떤 가환 도식에 대하여 \(U\), \(V\), \(W\)가 스킴이고, 스킴 \(U\)와 \(V\)는 Derived Categories of Schemes, Definition 08IA의 의미에서 \(W\) 위에서 Tor 독립이다.

증명

대수공간의 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)와 기하점 \(\overline{u}\)에 대하여 국소환의 사상 \(\mathcal{O}_{X, \varphi(\overline{u})} \to \mathcal{O}_{U, \overline{u}}\)는 동형이다. 따라서 (1)과 (2)의 동치가 따른다. 함의 (1) \(\Rightarrow\) (3)도 마찬가지로 따른다. (3)을 가정하고 Definition 08IP에서와 같은 기하점의 도식을 택하자. 가정에 의해 먼저 \(\overline{b}\)를 기하점 \(\overline{w}\)로 올리되 이 점은 \(W\)에 놓이게 하고, 이어서 기하점 \((\overline{x}, \overline{b})\)를 기하점 \(\overline{u}\)로 올리되 이 점은 \(U\)에 놓이게 하고, 마지막으로 기하점 \((\overline{y}, \overline{b})\)를 기하점 \(\overline{v}\)로 올리되 이 점은 \(V\)에 놓이게 할 수 있다. 이러한 올림을 찾으려면 Properties of Spaces, Lemma 05VN를 사용한다. 위의 국소환에 관한 비고를 사용하면 주어진 도식에 대해 정의의 조건이 만족됨을 알 수 있다.

이러한 사전 관찰을 했으므로, (4)는 Definition 08IP이 Derived Categories of Schemes, Definition 08IA과 \(X\), \(Y\), \(B\)가 스킴인 경우에 일치한다는 명제로 귀착된다.

\(\overline{x}, \overline{b}, \overline{y}\)가 Definition 08IP에서와 같고 점 \(x, y, b\) 위에 놓인다고 하자. 다음을 상기하자. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) (Properties of Spaces, Lemma 04KF). 다른 두 환도 마찬가지이다. Algebra, Lemma 08HV에 의해 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\)의 엄밀 Hensel화임을 알 수 있다. 특히 환 사상 \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{B, \overline{b}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 은 평탄하다 (More on Algebra, Lemma 07QM). More on Algebra, Lemma 08HW에 의해 다음을 얻는다. \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, b}}(\mathcal{O}_{X, x}, \mathcal{O}_{Y, y}) \otimes_{\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y}} (\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}} \mathcal{O}_{Y, \overline y}) = \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}}( \mathcal{O}_{X, \overline{x}}, \mathcal{O}_{Y, \overline{y}})\] 따라서 스킴으로서 \(X\)와 \(Y\)가 \(B\) 위에서 Tor 독립이면, 대수공간으로서 \(X\)와 \(Y\)도 \(B\) 위에서 Tor 독립이다.

역을 위해서는 \(X\), \(Y\), \(B\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 위의 관찰에 의해 환 사상 \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}} \mathcal{O}_{Y, \overline y}\] 은 평탄하다. 또한 스펙트럼 상의 사상의 상은 \(\mathfrak s \subset \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y}\)이면서 \(\mathfrak m_x\)와 \(\mathfrak m_y\) 위에 놓이는 모든 소아이디얼을 포함한다. 따라서 이것과 위에 표시한 Tor 공식에서, 대수공간으로서 \(X\)와 \(Y\)가 \(B\) 위에서 Tor 독립이면 \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, b}} (\mathcal{O}_{X, x}, \mathcal{O}_{Y, y})_\mathfrak s = 0\] 이 모든 \(i > 0\)과 위와 같은 모든 \(\mathfrak s\)에 대해 성립함을 알 수 있다. More on Algebra, Lemma 08HX을 환 사상 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)와 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)에 적용하면,

이는 \(X\)와 \(Y\)가 \(B\) 위에서 Tor 독립임을 함의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(g : Y' \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. 밑변환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. \(X\)와 \(Y'\)가 \(Y\) 위에서 Tor 독립이면, 모든 \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \(Rf'_*L(g')^*E = Lg^*Rf_*E\)이다.

증명

임의의 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속할 때 Cohomology on Sites, Remark 07A7을 사용하여 표준 밑변환 사상 \(Lg^*Rf_*E \to Rf'_*L(g')^*E\)를 얻는다. 이것이 동형인지 확인할 때 \(Y'\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(g : Y' \to Y\)가 아핀 스킴들의 사상이라고 가정해도 된다. 특히 \(g\)는 아핀이고, 다음 사상이 동형임을 보이면 충분하다. \[Rg_*Lg^*Rf_*E \to Rg_*Rf'_*L(g')^*E = Rf_*(Rg'_* L(g')^* E)\] Lemma 08II를 보라 (대상 \(Rf'_*L(g')^*E\)와 \(Lg^*Rf_*E\)가 준연접 코호몰로지 층들을 가짐을 보려면 Lemmas 08F4, 08F5, 그리고 08FA을 사용한다). \(g'\)도 아핀임에 유의하자 (Morphisms of Spaces, Lemma 03WI). Lemma 08IJ에 의해 이 사상은 \[Rf_*E \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} g_*\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] 가 된다. \(g'_*\mathcal{O}_{X'} = f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\)임을 관찰하자. 따라서 Lemma 08IN에 의해 \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{Y'} = f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\)임을 증명하면 충분하다. 이는 \(X\)와 \(Y'\)가 \(Y\) 위에서 Tor 독립이라는 가정에서 따른다. 실제로 이를 확인할 때 \(X\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 되므로 \(X\)가 아핀이라고도 가정할 수 있다. \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(R)\), \(Y' = \Spec(R')\)라 하자. 우리의 가정은 \(A\)와 \(R'\)가 \(R\) 위에서 Tor 독립임을 함의한다 (Lemma 08IQ와 More on Algebra, Lemma 08HX를 보라). 즉 \(\text{Tor}_i^R(A, R') = 0\)이 \(i > 0\)에 대해 성립한다. 다시 말해 \(A \otimes_R^\mathbf{L} R' = A \otimes_R R'\)이고, 이는 정확히 \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{Y'} = f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\)를 뜻한다.

다음 보조정리는 쌍대화 복합체에 관한 장에서 사용될 것이다.

보조정리

\(g : S' \to S\)를 아핀 스킴들의 사상이라 하자. 준콤팩트 준분리 대수공간의 카르테시안 정사각형 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 생각하자. \(g\)와 \(f\)가 Tor 독립이라고 가정하자. \(S = \Spec(R)\) 및 \(S' = \Spec(R')\)라 쓰자. \(M, K \in D(\mathcal{O}_X)\)에 대하여 표준 사상 \[R\Hom_X(M, K) \otimes^\mathbf{L}_R R' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\] 은 다음 두 경우에 \(D(R')\) 안의 동형이다.

1. \(M \in D(\mathcal{O}_X)\)는 완전이고 \(K \in D_\QCoh(X)\)이다.

2. \(M \in D(\mathcal{O}_X)\)는 유사연접이고, \(K \in D_\QCoh^+(X)\)이며, \(R'\)는 \(R\) 위에서 유한 tor 차원을 갖는다.

증명

전역 Hom 복합체의 표준 사상 \(R\Hom_X(M, K) \to R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\)가 \(D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) 안에 존재한다. Cohomology on Sites, Section 0B6E을 보라. 스칼라를 제한하면 이를 \(D(R)\) 안의 사상으로 볼 수 있다. 그러면 제한의 수반성과 \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\)를 사용하여 보조정리에 표시한 사상을 얻는다. 사상을 정의했으므로, 이것이 아벨 군의 유도 범주에서 동형임을 증명하면 충분하다.

우변은 Lemma 08IJ에 의해 \[R\Hom_X(M, R(g')_*L(g')^*K) = R\Hom_X(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] 와 같다. 두 경우 모두 복합체 \(R\SheafHom(M, K)\)는 Lemma 0A8A에 의해 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이다. 자연스러운 사상 \[R\SheafHom(M, K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] 이 있고, 이는 두 경우 모두 Lemma 0E4Q에 의해 동형이다. 이 보조정리가 경우 (2)에 적용됨을 보이기 위해 \[g'_*\mathcal{O}_{X'} = Rg'_*\mathcal{O}_{X'} = Lf^*g_*\mathcal{O}_X\] 임에 유의하자. 여기서 두 번째 등식은 Lemma 08IR에 의한다. Derived Categories of Schemes, Lemma 08E9, Lemma 08HF, 그리고 Cohomology on Sites, Lemma 08H5을 사용하면 \(g'_*\mathcal{O}_{X'}\)가 유한 Tor 차원을 가짐을 알 수 있다. 따라서 두 경우 모두 \(K\)를 \(R\SheafHom(M, K)\)로 바꾸면 다음이 동형임을 증명하는 문제로 환원된다. \[R\Gamma(X, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} g'_*\mathcal{O}_{X'})\]

좌변은 Lemma 08IJ에 의해 \(R\Gamma(X', L(g')^*K)\)와 같다. 따라서 결과는 Lemma 08IR에서 따른다.

주

Lemma 0E4S의 표기를 사용하자. 도식 \[\xymatrix{ R\Hom_X(M, Rg'_*L) \otimes_R^\mathbf{L} R' \ar[r] \ar[d]_\mu & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*Rg'_*L) \ar[d]^a \\ R\Hom_X(M, R(g')_*L) \ar@{=}[r] & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L) }\] 은 가환한다. 여기서 위쪽 수평 화살표는 보조정리의 사상이고, \(\mu\)는 곱셈 사상이며, \(a\)는 수반 사상 \(L(g')^*Rg'_*L \to L\)에서 유도된다. 곱셈 사상은 \(K' \otimes_R^\mathbf{L} R' \to K'\)라는 수반 사상이며, 이는 임의의 \(K' \in D(R')\)에 대해 취한 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 카르테시안 정사각형 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 \(S\) 위에서 생각하자. \(g\)와 \(f\)가 Tor 독립이라고 가정하자.

1. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-가군의 복합체로서 가지면, \(L(g')^*E\)는 \([a, b]\) 안의 tor 진폭을 \(f^{-1}\mathcal{O}_{Y'}\)-가군의 복합체로서 갖는다.

2. \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(Y\) 위에서 평탄하면 \(L(g')^*\mathcal{G} = (g')^*\mathcal{G}\)이다.

증명

tor 차원은 줄기에서 계산할 수 있다. Cohomology on Sites, Lemma 0DJJ와 Properties of Spaces, Theorem 04K5를 보라. \(\overline{x}'\)가 \(X'\)의 기하점이고 그 상이 \(\overline{x}\)이며 이 점이 \(X\)에 놓이면, \[(L(g')^*E)_{\overline{x}'} = E_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] 이다. \(\overline{y}'\)가 \(Y'\)에 놓이고 \(\overline{y}\)가 \(Y\)에 놓이며 이들이 각각 \(\overline{x}'\)와 \(\overline{x}\)의 상이라고 하자. \(X\)와 \(Y'\)가 \(Y\) 위에서 tor 독립이므로 More on Algebra, Lemma 0661을 적용하여 표시된 공식의 우변이 \(E_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\)와 \(D(\mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})\) 안에서 같음을 알 수 있다. 따라서 (1)은 More on Algebra, Lemma 066L에서 따른다. (2)를 보려면 \(\mathcal{G}\)의 평탄성이 \(\mathcal{G}[0]\)이 \([0, 0]\) 안의 tor 진폭을 갖는 조건과 동치임을 관찰하자. (1)을 적용하면 결론을 얻는다.

코호몰로지와 밑변환, V

이 절은 Derived Categories of Schemes, Section 0DJ6의 유사이다. Section 08IM에서 우리는 사상들이 tor 독립이면 밑변환 정리가 성립함을 보았다. 그러한 조건 없이는 아핀인 경우에도 밑변환 정리가 성립할 수 없다. More on Algebra, Section 065Y를 보라. 이 절에서는 “한 번에 하나의 복합체”에 대해 밑변환 결과를 얻을 수 있는 때를 분석한다.

이를 가능하게 하기 위해 \(S\)를 밑 스킴이라 하고 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 도식이다 (보통 우리는 이것이 카르테시안이라고 가정할 것이다). \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하고, \(L(g')^*K \to K'\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) 안의 사상이라 하자. 기하점 \(\overline{x}'\)가 \(X'\)에 놓일 때 기하점들 \(\overline{x} = g'(\overline{x}')\), \(\overline{y}' = f'(\overline{x}')\), \(\overline{y} = f(\overline{x}) = g(\overline{y}')\)를 생각하자. 이들은 각각 \(X\), \(Y'\), \(Y\)에 놓인다. 그러면 사상들 \[K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'} \to K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \to K'_{\overline{x}'}\] 을 생각할 수 있다. 여기서 첫 화살표는 More on Algebra, Equation (065Z)이고, 둘째 화살표는 \((L(g')^*K)_{\overline{x}'} = K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\)와 주어진 사상 \(L(g')^*K \to K'\)에서 유도된다. 각 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\)-가군 구조가 \(H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})\) 위에 생긴다. 모두 합치면 표준 사상 [0DKF]\[\begin{equation} H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \longrightarrow H^i(K'_{\overline{x}'}) \end{equation}\] 을 \(\mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\)-가군의 사상으로 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 \(S\) 위에서 생각하자. \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하고 \(L(g')^*K \to K'\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) 안의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 임의의 \(x' \in X'\)와 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 (0DKF)는 동형이다.

2. 가환 도식 \[\xymatrix{ & U \ar[d] \ar[rd]^a \\ V' \ar[r] \ar[rd]^c & V \ar[rd]^b & X \ar[d]^f \\ & Y' \ar[r]^g & Y }\] 에서 \(a, b, c\)가 에탈이고, \(U, V, V'\)가 스킴이며 \(U' = V' \times_V U\)일 때, Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ8의 동치인 조건들이 \((U \to X)^*K\)와 \((U' \to X')^*K'\)에 대해 성립한다.

3. (2)에서와 같은 어떤 도식에서 \(U' \to X'\)가 전사이다.

증명

(1)은 \(X'\) 위에서 에탈 국소적임을 관찰하자. 알려진 형식적 함의들을 따라가면 다음을 증명하면 충분함을 알 수 있다: \(X, Y, Y', X'\)가 각각 스킴 \(X_0, Y_0, Y'_0, X'_0\)으로 표현될 때, 이 보조정리의 조건 (1)은 Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ8의 조건 (1)과 동치이다. \(f_0, g_0, g'_0, f'_0\)로 이 스킴들 사이의 사상들 가운데 각각 \(f, g, g', f'\)에 대응하는 것을 표기하자.

Lemma 071Q에 의해 \(K = \epsilon^*K_0\) 및 \(K' = \epsilon^*K'_0\)라고 가정해도 된다. 여기서 \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)와 \(K'_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'_0})\)는 어떤 대상들이다. 또한 사상 \(Lg^*K \to K'\)는 Remark 08GH의 표기에서 어떤 사상 \(L(g_0)^*K_0 \to K'_0\)의 당김이다. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 엄밀 Hensel화임을 상기하자 (Properties of Spaces, Lemma 04KF). 또한 \[K_{\overline{x}} = K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \quad\text{and}\quad K'_{\overline{x}'} = K'_{0, x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X', x'}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] 이다 (Properties of Spaces, Lemma 05VP와 비슷하다). 가환 도식 \[\xymatrix{ H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \ar[r] & H^i(K'_{\overline{x}'}) \\ H^i(K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', y'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y', y'})} \mathcal{O}_{X', x'} \ar[u] \ar[r] & H^i(K'_{0, x'}) \ar[u] }\] 을 생각하자. 아래쪽 수평 화살표가 동형일 필요충분조건이 위쪽 수평 화살표가 동형인 것임을 보여야 한다. \(\mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\)가 충실히 평탄하므로 (More on Algebra, Lemma 07QM), 위쪽 화살표가 이 사상에 의한 아래쪽 화살표의 밑변환임을 보이면 충분하다. 오른쪽의 대상들에 대해서는 위에서 준 줄기 사이의 관계에서 곧바로 따른다. 왼쪽의 대상들에 대해서는 다음을 보이면 충분하다. \[\begin{align*} & H^i\left( (K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\right) \\ & = H^i(K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', y'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y', y'})} (\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \end{align*}\] 이는 More on Algebra, Lemma 0DJD에서 따른다. 이 보조정리의 평탄성 가정들은 위에서 말한 사실들과 Algebra, Lemma 08HV에 의해 성립한다. 마지막 보조정리에 의해 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)의 엄밀 Hensel화이고, \(\mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\)는 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)의 엄밀 Hensel화이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 \(S\) 위에서 생각하자. \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하고 \(L(g')^*K \to K'\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) 안의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. Lemma 0DKG의 동치인 조건들이 성립한다.

2. \(f\)는 준콤팩트 준분리이다.

그러면 합성 \(Lg^*Rf_*K \to Rf'_*L(g')^*K \to Rf'_*K'\)는 동형이다.

증명

사상이 동형인지 확인할 때 \(Y'\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(g : Y' \to Y\)가 아핀 스킴들의 사상이라고 가정해도 된다. 이 경우 Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 다음을 증명하겠다. \(U\)가 \(X\) 위 에탈인 준콤팩트 준분리 대수공간이면, 같은 방식으로 구성한 사상 \(Lg^*R(U \to Y)_*K|_U \to R(U' \to Y')_*K'|_{U'}\)는 동형이다. 여기서 \(U' = X' \times_{g', X} U = Y' \times_{g, Y} U\)이다.

\(U\)가 스킴이면 (예를 들어 아핀이면) 결과가 성립한다. 실제로 이 경우 \(Y, Y', U, U'\)는 스킴이고, \(K\)와 \(K'\)는 Lemma 071Q에 의해 밑에 놓인 스킴들의 유도 범주의 대상에서 유도된다. 또한 Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ8의 조건은 Lemma 0DKG에 의해 이 복합체들에 대해 성립한다. 따라서 Remark 08GH에서 설명한 호환성에 의해, 스킴의 경우의 결과인 Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ9를 적용할 수 있다.

귀납 단계를 보자. \((U \subset W, V \to W)\)를 기본 구별 정사각형이라 하자. 여기서 \(W\)는 \(X\) 위 에탈인 준콤팩트 준분리 대수공간이고, \(U\)는 준콤팩트이며, \(V\)는 아핀이고, 결과는 \(U\), \(V\), \(U \times_W V\)에 대해 성립한다고 하자. 표기를 간단히 하기 위해 \(W\)를 \(X\)로 바꾸어 쓰겠다 (이 시점에서는 허용된다).

\(a : U \to Y\), \(b : V \to Y\), \(c : U \times_X V \to Y\)로 자명한 사상들을 표기하자. \(a' : U' \to Y'\), \(b' : V' \to Y'\)와 \(c' : U' \times_{X'} V' \to Y'\)를 각각 \(a\), \(b\), \(c\)의 밑변환이라 하자. 상대 Mayer–Vietoris의 구별 삼각형들 (Lemma 08JK)을 사용하면 가환 도식 \[\xymatrix{ Lg^*Rf_*K \ar[r] \ar[d] & Rf'_*K' \ar[d] \\ Lg^*Ra_*K|_U \oplus Lg^*Rb_*K|_V \ar[r] \ar[d] & Ra'_* K'|_{U'} \oplus Rb'_* K'|_{V'} \ar[d] \\ Lg^*Rc_*K|_{U \times_X V} \ar[r] \ar[d] & Rc'_*K'|_{U' \times_{X'} V'} \ar[d] \\ Lg^*Rf_* K[1] \ar[r] & Rf'_* K'[1] }\] 을 얻는다. 둘째와 셋째 수평 화살표가 동형이므로 첫째도 동형이다 (Derived Categories, Lemma 014A). 이것으로 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 \(S\) 위에서 생각하자. \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하고 \(L(g')^*K \to K'\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) 안의 사상이라 하자. Lemma 0DKG의 동치인 조건들이 성립하면 다음이 참이다.

1. \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대하여 Lemma 0DKG의 동치인 조건들은 \(L(g')^*(E \otimes^\mathbf{L} K) \to L(g')^*E \otimes^\mathbf{L} K'\)에 대해 성립한다.

2. \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 완전 대상이면, Lemma 0DKG의 동치인 조건들은 \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\)에 대해 성립한다.

3. \(K\)가 아래로 유계이고 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 유사연접 대상이면, Lemma 0DKG의 동치인 조건들은 \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\)에 대해 성립한다.

증명

관련된 복합체들은 Lemmas 08F4, 08F5, 0A8A과 Cohomology on Sites, Lemmas 08H4, 08H6에 의해 준연접 코호몰로지 층들을 가지므로 명제는 뜻이 있다. 이제 사상들 (0DKF)이 (1)의 경우에 동형임은 (0DKF)의 원천과 표적을 텐서곱의 추이성을 사용하여 계산하면 확인할 수 있다. More on Algebra, Lemma 0BYJ을 보라. (2)와 (3)의 사상은 합성 \[L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, L(g')^*K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\] 이다. 여기서 첫 화살표는 Cohomology on Sites, Remark 08JF이고, 둘째 화살표는 주어진 사상 \(L(g')^*K \to K'\)에서 유도된다. 사상들 (0DKF)이 동형임을 증명하기 위해, 경우 (2)에는 \(E_x\)를 유한 생성 사영 \(\mathcal{O}_{X. x}\)-가군의 유계 복합체로 표현하고, 경우 (3)에는 유한 생성 자유 가군의 위로 유계 복합체로 표현한 뒤 화살표의 원천과 표적을 계산한다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 위로 유계 복합체로서 \(Y\) 위에서 평탄한 것이라 하자. 그러면 \[Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\] 의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다 (정확한 진술은 증명을 보라).

증명

명제의 뜻은 다음과 같다. \(g : Y' \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하고 밑변환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. 다시 말해 \(X' = Y' \times_Y X\)이다. 보조정리는 \[Lg^*Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow Rf'_*(L(g')^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] 가 동형이라고 주장한다. 우변에서는 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 유도 당김을 사용하지 않음을 관찰하자. 이를 증명하기 위해 Lemmas 0DKH와 0DKI을 적용하면, 표준 사상 \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] 이 Lemma 0DKG의 동치인 조건들을 만족함을 증명하면 충분하다. 이는 줄기에서 조건을 확인하면 따른다. 그곳에서는 \(\mathcal{G}^\bullet_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\)가 유도 텐서곱을 계산한다는 사실에서 곧바로 따른다. 이는 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대한 가정 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하자. 다음 중 하나를 가정하자.

1. \(E\)는 완전이고, \(\mathcal{G}^\bullet\)은 위로 유계이며, \(\mathcal{G}^n\)은 \(Y\) 위에서 평탄하다.

2. \(E\)는 유사연접이고, \(\mathcal{G}^\bullet\)은 유계이며, \(\mathcal{G}^n\)은 \(Y\) 위에서 평탄하다.

그러면 \[Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] 의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다 (정확한 진술은 증명을 보라).

증명

명제의 뜻은 다음과 같다. \(g : Y' \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하고 밑변환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_h \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. 다시 말해 \(X' = Y' \times_Y X\)이다. 보조정리는 \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] 가 동형이라고 주장한다. 우변에서는 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 유도 당김을 사용하지 않음을 관찰하자. 이를 증명하기 위해 Lemmas 0DKH와 0DKI을 적용하면, 표준 사상 \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] 이 Lemma 0DKG의 동치인 조건들을 만족함을 증명하면 충분하다. 이는 Lemma 0A1K의 증명에서 보였다.

완전 복합체의 구성

다음 보조정리는 완전 복합체를 구성하는 데 쓰이는 주된 기술적 도구이다. 이 결과의 후속 판본들은 뇌터 근사를 통해 이 결과로 귀착될 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 뇌터 대수공간이라 하자. \(f : X \to Y\)를 국소 유한형이고 준분리인 대수공간의 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 다음 조건들을 만족한다고 하자.

1. \(E \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이다.

2. \(H^i(E)\)의 지지가 \(Y\) 위에서 고유인 것은 모든 \(i\)에 대하여 성립한다.

3. \(E\)는 \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\)의 대상으로서 유한 Tor 차원을 가진다.

그러면 \(Rf_*E\)는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이다.

증명

Lemma 08GK에 의해 \(Rf_*E\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이다. 따라서 \(Rf_*E\)는 유사연접이다 (Lemma 08IK). 그러므로 \(Rf_*E\)가 유한 Tor 차원을 가짐을 보이면 충분하다. Cohomology on Sites, Lemma 08G8을 보라. Lemma 08IL에 의해 \(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}\)가 모든 준연접 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(Y\) 위에서 보편적으로 유계인 코호몰로지를 가짐을 확인하면 충분하다. \(Rf_*(E)\)가 위로 유계이므로 위로 유계라는 것은 명백하다. \(T \subset |X|\)를 \(H^i(E)\)의 지지들을 모든 \(i\)에 걸쳐 합친 합집합이라 하자. 그러면 가정 (1), (2)와 Lemma 0CZH에 의해 \(T\)는 \(Y\) 위에서 고유이다. 특히 \(X' \subset X\)인 준콤팩트 열린 부분공간이 존재하며, 이것은 \(T\)를 포함한다. \(f' = f|_{X'}\)로 놓으면 \(Rf_*(E) = Rf'_*(E|_{X'})\)이다. 이는 \(E\)가 \(X \setminus T\) 위에서 영으로 제한되기 때문이다. 따라서 \(X\)를 \(X'\)로 바꾸어 \(f\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. \(f\)가 준분리라고 이미 가정하였다. 그러므로 \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F} = Rf_*\left(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}\right) = Rf_*\left(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\right)\] 이다. 이는 Lemma 08IN와 Cohomology on Sites, Lemma 08I6에서 따른다. 가정 (3)에 의해 복합체 \(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\)의 코호몰로지 층들은 어떤 주어진 유한 범위, 이를테면 \([a, b]\) 안에 놓인다. 그러면 여기에 \(Rf_*\)를 적용한 것은 범위 \([a, \infty)\) 안에 코호몰로지를 가지며, 이로써 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 뇌터 대수공간이라 하자. \(f : X \to B\)를 국소 유한형이고 준분리인 대수공간의 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)를 완전 대상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유계 복합체로서 \(B\) 위에서 평탄하고 지지가 \(B\) 위에서 고유인 것이라 하자. 그러면 \(K = Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\)는 \(D(\mathcal{O}_B)\)의 완전 대상이다.

증명

Lemma 08IS에 의해 대상 \(K\)는 완전이다. 그 보조정리를 적용할 수 있음을 확인하자. 국소적으로 \(E\)는 유한 생성 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유한 복합체와 동형이다. 따라서 국소적으로 \(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet\)은 그 항들이 \[\bigoplus\nolimits_{i = a, \ldots, b} (\mathcal{G}^i)^{\oplus r_i}\] 꼴인 유한 복합체와 동형이다. 여기서 \(a, b, r_a, \ldots, r_b\)는 어떤 정수들이다. 이로부터 코호몰로지 층들 \(H^i(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\)이 연접임이 곧바로 따른다. 또한 \(\mathcal{G}^i\)가 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\) 위에서 평탄하므로 Tor 차원에 관한 가정도 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 뇌터 대수공간이라 하자. \(f : X \to B\)를 국소 유한형이고 준분리인 대수공간의 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)를 완전 대상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유계 복합체로서 \(B\) 위에서 평탄하고 지지가 \(B\) 위에서 고유인 것이라 하자. 그러면 \(K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G})\)는 \(D(\mathcal{O}_B)\)의 완전 대상이다.

증명

\(E\)가 완전 복합체이므로 쌍대 완전 복합체 \(E^\vee\)가 존재한다. Cohomology on Sites, Lemma 08JJ을 보라. \(R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) = E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet\)임을 관찰하자. 따라서 \(K\)의 완전성은 Lemma 0DKJ에서 따른다.

Ext에 대한 사영 공식

Lemma 08JR (또는 문헌의 유사한 결과들)는 때때로 Quot 함자, 힐베르트 스킴 및 그 밖의 모듈라이 문제에 대한 아르틴의 판정 기준 가운데 하나를 확인하는 데 필요한 장애 이론의 성질들을 확인할 때 유용하다. \(f : X \to Y\)가 고유이고 평탄하며 유한 표시인 대수공간의 사상이고 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전이라고 하자. 여기서 보조정리는 \[\Ext^i_X(E, f^*\mathcal{F}) = \Ext^i_Y((Rf_*E^\vee)^\vee, \mathcal{F})\] 라고 말한다. 단, \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 준연접이다. 이와 같이 쓰면 Ext에 대한 사영 공식처럼 보이며, 실제로 그 결과는 Lemma 08IN에서 비교적 쉽게 따른다.

보조정리

가정과 표기는 Lemma 0DKJ에서와 같다. 그러면 함자적인 동형사상들 \[H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \longrightarrow H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] 이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 \(B\) 위에서 준연접이고, 이 동형사상들은 경계 사상들과 양립한다 (증명을 보라).

증명

다음 등식들이 성립한다. \[\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_B}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_B} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}\] 첫째 등식은 Cohomology on Sites, Lemma 08I6에서 따르고, 둘째 등식은 \(\mathcal{G}^n\)이 평탄한 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-가군이기 때문에 성립하며, 셋째 등식은 당김의 정의에서 따른다. 따라서 \[\begin{align*} H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})) & = H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}) \\ & = H^i(B, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*\mathcal{F})) \\ & = H^i(B, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \\ & = H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \end{align*}\] 를 얻는다. 첫째 등식은 위의 계산에서, 둘째 등식은 Leray (Cohomology on Sites, Remark 08J6)에서, 셋째 등식은 Lemma 08IN에서 따른다. 경계 사상에 관한 진술의 뜻은 다음과 같다. 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)이 주어지면 이 동형사상들은 가환 도식 \[\xymatrix{ H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3)) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1) \ar[r] & H^{i + 1}(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1)) }\] 에 들어맞는다. 여기서 경계 사상들은 구별 삼각형 \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1[1]\] 과 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0\] 에 결부된 구별 삼각형에서 나온다. 이는 복합체들의 짧은 완전열이다. 이 열은 \(\mathcal{G}^n\)이 \(B\) 위에서 평탄하기 때문에 완전하다. 위에 표시한 도식의 가환성에 대한 확인은 생략한다.

보조정리

가정과 표기는 Lemma 0DKK에서와 같다. 그러면 함자적인 동형사상들 \[H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] 이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 \(B\) 위에서 준연접이고, 이 동형사상들은 경계 사상들과 양립한다 (증명을 보라).

증명

Lemma 0DKK의 증명에서와 같이 \(E^\vee\)를 쌍대 완전 복합체라 하자. 또한 \(K = Rf_*(E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\) 임을 상기하자. 한편 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) = H^i(X, E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] 이기도 하므로, \(E^\vee\)의 구성에 의해 동형사상들의 존재는 \(E^\vee\)와 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 Lemma 0A1M을 적용하면 따른다. 경계 사상에 관한 진술의 뜻은 다음과 같다. 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)이 주어지면 이 동형사상들은 가환 도식 \[\xymatrix{ H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1) \ar[r] & \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1) }\] 에 들어맞는다. 여기서 경계 사상들은 구별 삼각형 \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1[1]\] 과 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0\] 에 결부된 구별 삼각형에서 나온다. 이는 복합체들의 짧은 완전열이다. 이 열은 \(\mathcal{G}^n\)이 \(B\) 위에서 평탄하기 때문에 완전하다. 위에 표시한 도식의 가환성에 대한 확인은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to B\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하고, \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하며, \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하자.

다음을 가정하자.

1. \(B\)는 뇌터이다.

2. \(f\)는 국소 유한형이고 준분리이다.

3. \(E \in D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이다.

4. \(\mathcal{G}^\bullet\)은 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유계 복합체로서 \(B\) 위에서 평탄하고 지지가 \(B\) 위에서 고유이다.

그러면 다음 두 명제가 참이다.

1. 모든 \(m \in \mathbf{Z}\)에 대하여 완전 대상 \(K\)가 \(D(\mathcal{O}_B)\)에 존재하고, 함자적인 사상들 \[\alpha^i_\mathcal{F} : \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F})\] 이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 \(B\) 위에서 준연접이고, 사상들은 경계 사상들과 양립하며 (증명을 보라), \(\alpha^i_\mathcal{F}\)는 \(i \leq m\)에 대하여 동형이다.

2. 유사연접 대상 \(L \in D(\mathcal{O}_B)\)과 함자적인 동형사상들 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_B}(L, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] 이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 \(B\) 위에서 준연접이고, 동형사상들은 경계 사상들과 양립한다.

증명

(A)의 증명. \(\mathcal{G}^i\)가 \(i \in [a, b]\)에 대해서만 영이 아니라고 하자. \(X\)를 \(\mathcal{G}^i\)의 지지들의 합집합의 준콤팩트 열린 근방으로 바꿀 수 있다. 따라서 \(X\)가 뇌터라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(X\)와 \(f\)는 준콤팩트이고 준분리이다. 근사 \(P \to E\)를 택하되, 이를 완전 복합체 \(P\)에 의한 \((X, E, -m - 1 + a)\)의 근사라 하자 (Theorem 08HP에 의해 가능하다). 그러면 유도된 사상 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] 은 \(i \leq m\)에 대하여 동형이다. 실제로 이 사상의 핵과 여핵은 각각 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \quad\text{resp.}\quad \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] 의 몫가군과 부분가군이다. 여기서 \(C\)는 \(P \to E\)의 원뿔이다. \(C\)의 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq -m - 1 + a\)에서 영이므로, Derived Categories, Lemma 06XS에 의해 이 \(\Ext\)-군들은 \(i \leq m + 1\)에 대하여 영이다. 이로써 \(E\)가 완전 복합체인 경우로 귀착되며, 그 경우는 Lemma 08JN이다. 경계 사상에 관한 진술은 Lemma 08JN의 증명에서 설명하였다.

(B)의 증명. (A)의 증명에서와 같이 \(X\)가 뇌터라고 가정할 수 있다. Lemma 08IK에 의해 \(E\)는 유사연접임을 관찰하자. Lemma 0DKB에 의해 \(E = \text{hocolim} E_n\)으로 쓸 수 있다. 여기서 \(E_n\)은 완전이고 \(E_n \to E\)는 절단 \(\tau_{\geq -n}\) 위에서 동형을 유도한다. \(E_n^\vee\)를 쌍대 완전 복합체라 하자 (Cohomology on Sites, Lemma 08JJ). 그러면 완전 대상들의 역계 \(\ldots \to E_3^\vee \to E_2^\vee \to E_1^\vee\)를 얻는다. 이로부터 다시 역계 \[\ldots \to K_3 \to K_2 \to K_1\quad\text{with}\quad K_n = Rf_*(E_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] 를 얻으며, 이는 \(Y\) 위에서 완전하다. Lemma 0DKJ을 보라. Lemma 08JN과 그 증명, 그리고 앞 단락의 논증 (\(P = E_n\)으로 둔다)에 의해, 임의의 준연접 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에 주어졌을 때 함자적인 표준 사상들 \[\xymatrix{ & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \ar[ld] \ar[rd] \\ H^i(Y, K_{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[rr] & & H^i(Y, K_n \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] 을 얻는다. 이들은 \(i \leq n + a\)에 대하여 동형이다.

\(L_n = K_n^\vee\)를 쌍대 완전 복합체라 하자. 그러면 \(L_1 \to L_2 \to L_3 \to \ldots\)는 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안의 완전 대상들의 계이며, 임의의 준연접 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에 주어졌을 때 사상들 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_{n + 1}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_n, \mathcal{F})\] 은 \(i \leq n + a - 1\)에 대하여 동형이다. 이는 \(L_n \to L_{n + 1}\)이 절단 \(\tau_{\geq -n - a + 2}\) 위에서 동형을 유도함을 뜻한다 (힌트: \(L_n \to L_{n + 1}\)의 원뿔을 잡아 그 마지막 영이 아닌 코호몰로지 층을 살펴보라). 따라서 \(L = \text{hocolim} L_n\)은 유사연접이다. Lemma 0DKB을 보라. 호모토피 여극한의 사상 성질에 의해 \(\Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L, \mathcal{F}) = \Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_n, \mathcal{F})\)가 \(i \leq n + a - 3\)에 대하여 성립하며, 이것으로 증명이 끝난다.

주

Lemma 08JR의 (B)에서 나온 유사연접 복합체 \(L\)은 이 상황에 표준적으로 결부된다. 예를 들어 (B)에서와 같은 \(L\)의 형성은 밑변환과 양립한다. 다시 말해 스킴의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 이 주어지면 표준적이고 함자적인 동형사상들 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{Y'}}(Lg^*L, \mathcal{F}') \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{F}')\] 이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}'\)는 \(Y'\) 위에서 준연접이다.

우변에서는 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 유도 당김을 사용하지 않음을 관찰하자. 이 결과가 필요해지면 여기에 정확한 결과를 정식화하고 상세한 증명을 제시할 것이다.

극한과 유도 범주

이 절에서는 대수공간들의 역계의 극한인 대수공간의 유도 범주에 관한 몇 가지 결과를 모은다. 더 정확히 말하면 다음 설정에서 작업할 것이다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim_{i \in I} X_i\)를 \(S\) 위 대수공간들의 유향계의 극한이라 하며, 그 전이 사상 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\)는 아핀이라고 하자. 사영을 \(f_i : X \to X_i\)로 나타낸다. \(X_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대하여 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. 또한 원소 \(0 \in I\)를 하나 택한다.

보조정리

Situation 09RH의 설정에서 \(E_0\)와 \(K_0\)를 \(D(\mathcal{O}_{X_0})\)의 대상들이라 하자. \(E_i = Lf_{i0}^*E_0\)와 \(K_i = Lf_{i0}^*K_0\)로 놓되 이는 \(i \geq 0\)에 대하여 정하고, \(E = Lf_0^*E_0\)와 \(K = Lf_0^*K_0\)로 놓자. 그러면 사상 \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_i})}(E_i, K_i) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(E, K)\] 은 다음 중 하나가 성립하면 동형이다.

1. \(E_0\)는 완전이고 \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)이다.

2. \(E_0\)는 유사연접이고 \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\)는 유한 Tor 차원을 가진다.

증명

모든 준콤팩트 준분리 대상 \(U_0\)를 \((X_0)_{spaces, \etale}\)에서 잡고, 조건 \(P\)를 생각하자. 이는 표준 사상 \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{U_i})}(E_i|_{U_i}, K_i|_{U_i}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E|_U, K|_U)\] 이 동형이라는 조건이다. 여기서 \(U = X \times_{X_0} U_0\)이고 \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)이다. Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 \(P\)가 모든 \(U_0\)에 대해 성립함을 증명할 것이다. 이 보조정리의 조건 (2)는 유도 범주에서의 Hom에 대한 Mayer–Vietoris로부터 곧바로 따른다. Lemma 08H9을 보라. 따라서 \(X_0\)가 아핀인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

\(X_0\)가 아핀이면 결과는 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 09RE을 보라. 이를 확인하려면 Lemma 071Q의 동치와 Lemmas 08HE, 08HF, 08HG에서 설명한 성질들의 대응을 사용한다.

보조정리

Situation 09RH에서 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상들의 범주는 \(D(\mathcal{O}_{X_i})\)의 완전 대상들의 범주들의 여극한이다.

증명

모든 준콤팩트 준분리 대상 \(U_0\)를 \((X_0)_{spaces, \etale}\)에서 잡고, 조건 \(P\)를 생각하자. 이는 함자 \[\colim_{i \geq 0} D_{perf}(\mathcal{O}_{U_i}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_U)\] 가 동치라는 조건이다. 여기서 \({}_{perf}\)는 완전 대상들로 이루어진 충만 부분범주를 뜻하며, \(U = X \times_{X_0} U_0\)이고 \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)이다. Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 \(P\)가 모든 \(U_0\)에 대해 성립함을 증명할 것이다. 우선 Lemma 09RI에 의해 이 함자가 이미 충만충실임을 알고 있다. 따라서 본질적 전사성을 증명하면 충분하다.

먼저 귀납 원리의 조건 (2)를 확인하자. 따라서 기본 구별 정사각형 \((U_0 \subset X_0, V_0 \to X_0)\)이 주어지고, \(P\)가 \(U_0\), \(V_0\), \(U_0 \times_{X_0} V_0\)에 대해 성립한다고 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이라 하자. \(i \geq 0\)과 완전 대상 \(E_{U, i}\)를 \(U_i\) 위에서, 완전 대상 \(E_{V, i}\)를 \(V_i\) 위에서 찾아서, 이들을 \(U\)와 \(V\)로 당긴 것들이 \(E|_U\)와 \(E|_V\)에 각각 동형이 되게 할 수 있다. 다음 사상들을 각각 \[a : E_{U, i} \to (R(X \to X_i)_*E)|_{U_i} \quad\text{and}\quad b : E_{V, i} \to (R(X \to X_i)_*E)|_{V_i}\] 로 나타내자. 이들은 동형사상 \(L(U \to U_i)^*E_{U, i} \to E|_U\)와 \(L(V \to V_i)^*E_{V, i} \to E|_V\)에 수반한 사상들이다. 충만충실성에 의해 \(i\)를 늘린 뒤, 동형사상 \(c : E_{U, i}|_{U_i \times_{X_i} V_i} \to E_{V, i}|_{U_i \times_{X_i} V_i}\) 를 찾을 수 있으며, 이것을 당기면 식별 \[L(U \to U_i)^*E_{U, i}|_{U \times_X V} \to E|_{U \times_X V} \to L(V \to V_i)^*E_{V, i}|_{U \times_X V}.\] 이 된다. Lemma 08HB를 적용하여 대상 \(E_i\)를 \(X_i\) 위에 얻고, 사상 \(d : E_i \to R(X \to X_i)_*E\)를 얻자. 이 사상은 사상 \(a\)와 \(b\)로 제한되는데, 각각 \(U_i\)와 \(V_i\) 위에서 그러하다. 그러면 \(E_i\)가 완전이고 \(d\)가 동형사상 \(L(X \to X_i)^*E_i \to E\)에 수반한 사상임은 명백하다.

마지막으로 귀납 원리의 조건 (1), 즉 \(X_0\)가 아핀일 때 보조정리가 성립함을 확인하자. 이는 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 09RF을 보라. 이를 확인하려면 Lemma 071Q의 동치와 Lemma 08HG의 대응을 사용한다.

코호몰로지와 밑변환, VI

Sections 08IM, 0DKE, 0A1L의 논의를 이어가는 코호몰로지와 밑변환에 관한 마지막 절이다. 이해하기 쉬운 특수한 경우는 Remark 0A1Q에 제시되어 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들 사이의 유한 표시 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)를 완전 대상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유계 복합체로서 \(Y\) 위에서 평탄하고 지지가 \(Y\) 위에서 고유인 것이라 하자. 그러면 \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] 는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

증명

밑변환에 관한 진술은 Lemma 0A1K이다. 따라서 \(K\)가 완전 대상임을 보이면 충분하다. \(Y\)가 뇌터이면 이는 Lemma 0DKJ에서 따른다. 뇌터 근사를 통해 이 경우로 귀착시킬 것이다. 독자는 이 증명의 나머지 부분을 건너뛰어도 좋다.

문제는 \(Y\) 위에서 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(Y = \Spec(R)\)이라 하자. \(R = \colim R_i\)를 뇌터 환들 \(R_i\)의 여과 여극한으로 쓴다. Limits of Spaces, Lemma 07SK에 의해 어떤 \(i\)와 대수공간 \(X_i\)가 존재하며, 이는 \(R_i\) 위에서 유한 표시이고 이를 \(R\)로 밑변환한 것은 \(X\)이다. Limits of Spaces, Lemma 07V7에 의해 \(i\)를 늘린 뒤, 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군의 유계 복합체 \(\mathcal{G}_i^\bullet\)이 존재하고 이를 \(X\)로 당긴 것은 \(\mathcal{G}^\bullet\)이라고 가정할 수 있다. \(i\)를 늘린 뒤 \(\mathcal{G}_i^n\)이 \(R_i\) 위에서 평탄하다고 가정할 수 있다. Limits of Spaces, Lemma 08K0을 보라. \(i\)를 늘린 뒤 \(\mathcal{G}_i^n\)의 지지가 \(R_i\) 위에서 고유라고 가정할 수 있다. Limits of Spaces, Lemma 08K2를 보라. 마지막으로 Lemma 09RJ에 의해 \(i\)를 늘린 뒤 완전 대상 \(E_i\)가 \(D(\mathcal{O}_{X_i})\)에 존재하고, 이를 \(X\)로 당긴 것이 \(E\)라고 가정할 수 있다. Lemma 0DKJ에 의해 \[K_i = Rf_{i, *}(E_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i}}^\mathbf{L} \mathcal{G}_i^\bullet)\] 는 \(\Spec(R_i)\) 위에서 완전이다. 여기서 \(f_i : X_i \to \Spec(R_i)\)는 구조 사상이다. 밑변환 결과 (Lemma 0A1K)에 의해 \(K_i\)를 \(Y = \Spec(R)\)로 당긴 것은 \(K\)이며, 이로써 결론을 얻는다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(X\)를 \(R\) 위에서 유한 표시인 대수공간이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(R\) 위에서 평탄하고 지지가 \(R\) 위에서 고유인 것이라 하자. Lemma 0A1P에 의해 유한 생성 사영 \(R\)-가군의 유한 복합체 \(M^\bullet\)이 존재하여 \[R\Gamma(X_{R'}, \mathcal{G}_{R'}) = M^\bullet \otimes_R R'\] 이 \(R\)-대수 \(R'\)에 대하여 함자적으로 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들 사이의 유한 표시 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)를 유사연접 대상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 위로 유계인 복합체로서 \(Y\) 위에서 평탄하고 지지가 \(Y\) 위에서 고유인 것이라 하자. 그러면 \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] 는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 유사연접 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

증명

밑변환에 관한 진술은 Lemma 0A1K이다. 따라서 \(K\)가 유사연접 대상임을 보이면 충분하다. 이는 완전 복합체들에 의한 근사를 사용하여 Lemma 0A1P에서 따를 것이다. 독자는 이 증명의 나머지 부분을 건너뛰어도 좋다.

문제는 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다. 더욱이 정수 \(N\)이 존재하여 총직상 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)가 코호몰로지 차원 \(N\)을 가진다. 이는 Lemma 08FA에서 설명되어 있다. 정수 \(b\)를 택하여 \(\mathcal{G}^i = 0\)이 \(i > b\)에 대하여 성립하게 하자. \(K\)가 모든 \(m\)에 대하여 \(m\)-유사연접임을 보이면 충분하다. 근사 \(P \to E\)를 택하되, 이를 완전 복합체 \(P\)에 의한 \((X, E, m - N - 1 - b)\)의 근사라 하자. 이는 Theorem 08HP에 의해 가능하다. 구별 삼각형 \[P \to E \to C \to P[1]\] 을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 택하자. \(C\)의 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq m - N - 1 - b\)에서 영이다. 따라서 \(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\)의 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq m - N - 1\)에서 영이다. 그러므로 \(Rf_*(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G})\)의 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq m - 1\)에서 영이다. 따라서 \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}) \to Rf_*(E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G})\] 는 차수 \(\geq m\)의 코호몰로지 층들 위에서 동형이다. 다음으로 \(H^i(P) = 0\)이 \(i > a\)에 대하여 성립한다고 하자. 그러면 \(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet \longrightarrow P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) 는 차수 \(\geq m - N - 1\)의 코호몰로지 층들 위에서 동형이다. 따라서 다시 \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] 가 차수 \(\geq m\)의 코호몰로지 층들 위에서 동형임을 얻는다. Lemma 0A1P에 의해 원천은 완전 복합체이다. 결론적으로 \(K\)는 원하는 대로 \(m\)-유사연접이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 고유 유한 표시 사상이라 하자.

1. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전이고 \(f\)가 평탄하다고 하자. 그러면 \(Rf_*E\)는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

2. \(\mathcal{G}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(S\) 위에서 평탄한 것이라 하자. 그러면 \(Rf_*\mathcal{G}\)는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

증명

Lemma 0A1P을 적용한 특수한 경우들이다. (1)에서는 \(\mathcal{G}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)와 같게 두고 이를 차수 \(0\)에 놓는다. (2)에서는 \(E = \mathcal{O}_X\)로 두며 \(\mathcal{G}^\bullet\)은 \(\mathcal{G}\)만으로 이루어지게 하고 이를 차수 \(0\)에 놓는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 평탄하고 고유인 유한 표시 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 유사연접이라고 하자. 그러면 \(Rf_*E\)는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 유사연접 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

더 일반적으로 \(f : X \to Y\)가 고유이고 \(E\)가 \(X\) 위에 있으면서 \(Y\)에 대해 상대적으로 유사연접이면 (More on Morphisms of Spaces, Definition 0CSY), \(Rf_*E\)는 유사연접이다 (그러나 이 일반성에서는 그 형성이 밑변환과 가환하지 않는다). 스킴에 대한 이 결과는 [Kiehl]에서 증명되어 있다.

증명

\(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\)로 두고 Lemma 0CTL을 적용한 특수한 경우이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(X\)를 대수공간이라 하고 \(f : X \to \Spec(R)\)을 고유이고 평탄하며 유한 표시인 사상이라 하자. \((M_n)\)을 전이 사상들이 전사인 \(R\)-가군의 역계라 하자. 그러면 표준 사상 \[\mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n) \longrightarrow \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\] 은 원천에서 표적에 \(DQ_X\)를 적용한 것으로 가는 동형을 유도한다.

증명

진술의 뜻은 임의의 대상 \(E\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 주어졌을 때 유도된 사상 \[\Hom(E, \mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n)) \longrightarrow \Hom(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] 이 동형이라는 것이다. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 완전 생성자를 가지므로 (Theorem 09IY), 완전 \(E\)에 대해서만 이를 확인하면 충분하다. Lemma 0D3E에 의해 \(\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n = R\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\)이다. Cohomology on Sites, Section 0B6E의 완전함자 \(R\Hom_X(E, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(R)\)는 곱과 가환하고, 따라서 유도 극한과도 가환한다. 그러므로 \[R\Hom_X(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\lim R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] 이다. \(E^\vee\)를 쌍대 완전 복합체라 하자. Cohomology on Sites, Lemma 08JJ을 보라. 다음 등식들이 성립한다. \[R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\Gamma(X, E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*M_n) = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n\] 이는 Lemma 08IN에서 따른다. Lemma 0CTM에 의해 \(R\Gamma(X, E^\vee)\)는 \(R\)-가군의 완전 복합체이다. 특히 이는 유사연접 복합체이므로 More on Algebra, Lemma 0D2L에 의해 \[R\lim R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} \lim M_n\] 을 얻으며, 이것이 원하는 결과이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(K \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하자. \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\)가 \(D(A)\)에서 유사연접이라고 가정하되, 이를 모든 완전 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 주어졌을 때 가정한다. 그러면 \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\)는 \(D(A)\)에서 유사연접이며, 이는 모든 유사연접 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 주어졌을 때 성립한다.

증명

정수 \(N\)이 존재하여 \(R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\)가 코호몰로지 차원 \(N\)을 가진다. 이는 Lemma 08FA에서 설명되어 있다. \(b \in \mathbf{Z}\)를 \(H^i(K) = 0\)이 \(i > b\)에 대해 성립하도록 택하자. \(E\)가 \(X\) 위에서 유사연접이라고 하자. \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\)가 모든 \(m\)에 대하여 \(m\)-유사연접임을 보이면 충분하다. 근사 \(P \to E\)를 택하되, 이를 완전 복합체 \(P\)에 의한 \((X, E, m - N - 1 - b)\)의 근사라 하자. 이는 Theorem 08HP에 의해 가능하다. 구별 삼각형 \[P \to E \to C \to P[1]\] 을 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 택하자. \(C\)의 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq m - N - 1 - b\)에서 영이다. 따라서 \(C \otimes^\mathbf{L} K\)의 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq m - N - 1\)에서 영이다. 그러므로 \(R\Gamma(X, C \otimes^\mathbf{L} K)\)의 코호몰로지는 차수 \(\geq m - 1\)에서 영이다. 따라서 \[R\Gamma(X, P \otimes^\mathbf{L} K) \to R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\] 는 차수 \(\geq m\)의 코호몰로지 위에서 동형이다. 가정에 의해 원천은 유사연접이다. 결론적으로 \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\)는 원하는 대로 \(m\)-유사연접이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들 사이의 유한 표시 사상이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)를 완전 대상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유계 복합체로서 \(Y\) 위에서 평탄하고 지지가 \(Y\) 위에서 고유인 것이라 하자. 그러면 \[K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] 는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

증명

밑변환에 관한 진술은 Lemma 08JQ이다. 따라서 \(K\)가 완전 대상임을 보이면 충분하다. \(Y\)가 뇌터이면 이는 Lemma 0DKK에서 따른다. 뇌터 근사를 통해 이 경우로 귀착시킬 것이다. 독자는 이 증명의 나머지 부분을 건너뛰어도 좋다.

문제는 \(Y\) 위에서 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(Y = \Spec(R)\)이라 하자. \(R = \colim R_i\)를 뇌터 환들 \(R_i\)의 여과 여극한으로 쓴다. Limits of Spaces, Lemma 07SK에 의해 어떤 \(i\)와 대수공간 \(X_i\)가 존재하며, 이는 \(R_i\) 위에서 유한 표시이고 이를 \(R\)로 밑변환한 것은 \(X\)이다. Limits of Spaces, Lemma 07V7에 의해 \(i\)를 늘린 뒤, 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군의 유계 복합체 \(\mathcal{G}_i^\bullet\)이 존재하고 이를 \(X\)로 당긴 것은 \(\mathcal{G}\)이라고 가정할 수 있다. \(i\)를 늘린 뒤 \(\mathcal{G}_i^n\)이 \(R_i\) 위에서 평탄하다고 가정할 수 있다. Limits of Spaces, Lemma 08K0을 보라. \(i\)를 늘린 뒤 \(\mathcal{G}_i^n\)의 지지가 \(R_i\) 위에서 고유라고 가정할 수 있다. Limits of Spaces, Lemma 08K2를 보라. 마지막으로 Lemma 08HG에 의해 \(i\)를 늘린 뒤 완전 대상 \(E_i\)가 \(D(\mathcal{O}_{X_i})\)에 존재하고, 이를 \(X\)로 당긴 것이 \(E\)라고 가정할 수 있다. Lemma 08JN을 \(X_i \to \Spec(R_i)\), \(E_i\), \(\mathcal{G}_i^\bullet\)에 적용하고 앞서 보인 밑변환 성질을 사용하면 결과를 얻는다.

완전 복합체

먼저 완전 복합체의 베티 수가 뛰는 자취를 논한다. 우선 베티 수를 정의해야 한다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(\beta_i(x) \in \{0, 1, 2, \ldots \} \cup \{\infty\}\)를 정의하고자 한다. 이를 위해 사상 \(f : \Spec(k) \to X\)를 택하되, 이는 \(x\)의 동치류에 속하게 한다. 그러면 \(Lf^*E\)는 \(D(\Spec(k)_\etale, \mathcal{O})\)의 대상이다. Étale Cohomology, Lemma 0D1W와 Theorem 03OJ에 의해 \(D(\Spec(k)_\etale, \mathcal{O}) = D(k)\)는 \(k\)-벡터공간의 유도 범주이다. 따라서 \(Lf^*E\)는 \(k\)-벡터공간의 복합체이고 \(\beta_i(x) = \dim_k H^i(Lf^*E)\)로 둘 수 있다. 이것이 \(x\) 안의 대표원의 선택에 의존하지 않음은 쉽게 알 수 있다. 더욱이 \(X\)가 스킴이면 이는 Derived Categories of Schemes, Section 0BDH에서 사용한 개념과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 유사연접이라고 하자 (예를 들어 완전이라고 하자). 임의의 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대하여 위에서 정의한 함수 \[\beta_i : |X| \longrightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}\] 를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\beta_i\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

2. 함수들 \(\beta_i\)는 위 반연속이다.

3. \(\beta_i\)의 준위집합들은 에탈 국소적으로 구성 가능하다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)를 택하자. 그러면 \(L\varphi^*E\)는 스킴 \(U\) 위의 유사연접 복합체이고 (Lemma 08HE을 사용한다), 스킴에 대한 결과를 적용할 수 있다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDI를 보라. (3)의 뜻은 준위집합들의 \(U\)로의 역상이 국소적으로 구성 가능하다는 것이다. Properties of Spaces, Definition 0ECU을 보라.

보조정리

\(Y\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(Y\) 위의 대수공간이라 하자. 구조 사상 \(f : X \to Y\)가 평탄하고 고유이며 유한 표시라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(Y\) 위에서 평탄한 것이라 하자. 고정된 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대하여 함수 \[\beta_i : |Y| \to \{0, 1, 2, \ldots\},\quad y \longmapsto \dim_{\kappa(y)} H^i(X_y, \mathcal{F}_y)\] 를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\beta_i\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

2. 함수들 \(\beta_i\)는 위 반연속이다.

3. \(\beta_i\)의 준위집합들은 \(Y\)에서 국소적으로 구성 가능하다.

증명

코호몰로지와 밑변환, 더 정확히는 Lemma 0CTM에 의해 대상 \(K = Rf_*\mathcal{F}\)는 \(Y\)의 유도 범주의 완전 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. 특히 \[H^i(X_y, \mathcal{F}_y) = H^i(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y))\] 이다. 따라서 보조정리는 Lemma 0D1Y에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전이라고 하자. 함수 \[\chi_E : |X| \longrightarrow \mathbf{Z},\quad x \longmapsto \sum (-1)^i \beta_i(x)\] 는 \(X\) 위에서 국소 상수이다.

증명

생략한다. 힌트: 에탈 국소화를 사용하여 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDJ를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전이라고 하자. \(i, r \in \mathbf{Z}\)가 주어지면 다음 성질로 특징지어지는 열린 부분공간 \(U \subset X\)가 존재한다.

1. \(E|_U \cong H^i(E|_U)[-i]\)이고 \(H^i(E|_U)\)는 국소 자유 \(\mathcal{O}_U\)-가군이며 그 계수는 \(r\)이다.

2. 사상 \(f : Y \to X\)가 \(U\)를 경유하는 것은 \(Lf^*E\)가 계수 \(r\)인 국소 자유 가군을 차수 \(i\)에 놓은 것과 동형인 것과 동치이다.

증명

생략한다. 힌트: 에탈 국소화를 사용하여 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDK을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 고유하고 평탄한 유한 표시 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(Y\) 위에서 평탄한 것이라 하자. \(i, r \in \mathbf{Z}\)를 고정하자. 그러면 다음 성질을 갖는 열린 부분공간 \(V \subset Y\)가 존재한다. 사상 \(T \to Y\)가 \(V\)를 경유하는 것은 \(Rf_{T, *}\mathcal{F}_T\)가 계수 \(r\)인 유한 국소 자유 가군을 차수 \(i\)에 놓은 것과 동형인 것과 동치이다.

증명

코호몰로지와 밑변환 (Lemma 0CTM)에 의해 대상 \(K = Rf_*\mathcal{F}\)는 \(Y\)의 유도 범주의 완전 대상이고, 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. 따라서 이 보조정리는 Lemma 0D20에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전이고, Tor-진폭이 \([a, b]\) 안에 있다고 하자. 여기서 \(a, b \in \mathbf{Z}\)이다. \(r \geq 0\)이라 하자. 그러면 다음 성질로 특징지어지는 국소 닫힌 부분공간 \(j : Z \to X\)가 존재한다.

1. \(H^a(Lj^*E)\)는 국소 자유 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이며 그 계수는 \(r\)이다.

2. 사상 \(f : Y \to X\)가 \(Z\)를 경유하는 것은 모든 사상 \(g : Y' \to Y\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-가군 \(H^a(L(f \circ g)^*E)\)가 계수 \(r\)인 국소 자유 가군인 것과 동치이다.

더욱이 \(j : Z \to X\)는 유한 표시이고 다음이 성립한다.

1. \(f : Y \to X\)가 \(Y \xrightarrow{g} Z \to X\)로 분해되면 \(H^a(Lf^*E) = g^*H^a(Lj^*E)\)이다.

2. \(\beta_a(x) \leq r\)가 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 성립하면 \(j\)는 닫힌 몰입이고, \(f : Y \to X\)가 주어졌을 때 다음은 동치이다.

   1. \(f : Y \to X\)는 \(Z\)를 경유한다.

   2. \(H^0(Lf^*E)\)는 국소 자유 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이며 그 계수는 \(r\)이다.

   또한 \(r = 1\)이면 이들은 다음과도 동치이다.

   1. \(\mathcal{O}_Y \to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(H^0(Lf^*E), H^0(Lf^*E))\) 는 단사이다.

증명

생략한다. 힌트: 에탈 국소화를 사용하여 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDL를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 고유이고 평탄하며 유한 표시이다.

2. 사상 \(\Spec(k) \to Y\)가 주어지고 \(k\)가 체이면 \(k = H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\)이다.

그러면 다음이 성립한다.

1. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\)이고, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립한다.

2. \(Y\) 위에서 에탈 국소적으로 \[Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \oplus P\] 가 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안에서 성립한다. 여기서 \(P\)는 Tor-진폭이 \([1, \infty)\) 안에 있는 완전 대상이다.

증명

(a)와 (b)를 \(Y\) 위에서 에탈 국소적으로 증명하면 충분하므로 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있고 실제로 그렇게 하자. 코호몰로지와 밑변환 (Lemma 0CTM)에 의해 복합체 \(E = Rf_*\mathcal{O}_X\)는 완전이고 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. 특히 \(y \in Y\)에 대하여 \[H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(y)) = H^0(X_y, \mathcal{O}_{X_y}) = \kappa(y)\] 임을 안다. 따라서 Lemma 0D1Y의 표기를 쓰면 \(\beta_0(y) \leq 1\)이 모든 \(y \in Y\)에 대하여 성립한다. Lemma 0D21를 \(a = 0\)과 \(r = 1\)로 적용하자. 그러면 보편 닫힌 부분스킴 \(j : Z \to Y\)를 얻으며, 여기서 \(H^0(Lj^*E)\)가 가역이다. 이는 그 보조정리의 (4)(a), (b), (c)의 동치로 특징지어진다. \(E\)의 형성은 밑변환과 가환하므로 \[Lf^*E = R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X}\] 이다. 사상 \(\text{pr}_1 : X \times_Y X\)는 절단면을 가지며, 그것은 대각 사상 \(\Delta\)이다. 이는 \(X\)의 \(Y\) 위 대각이다. 사상들 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 을 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 얻고 그 합성은 항등이다. 따라서 \(R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X} = \mathcal{O}_X \oplus E'\) 가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 성립한다. 따라서 \(\mathcal{O}_X\)는 \(H^0(Lf^*E)\)의 직합 인자이고, 위에서 인용한 보조정리의 (4)(c)와 (4)(a)의 동치에 의해 \(X \to Y\)가 \(Z\)를 경유한다고 결론짓는다. \(\{X \to Y\}\)가 fppf 덮개이므로 \(Z = Y\)이다. 따라서 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. 따라서 \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\)가 동형이라고 결론짓는다. 실제로 환 사상 \(A \to B\)에서 \(B\)가 \(A\)-가군으로 가역이면 그 사상은 동형이다. 가정들은 밑변환 아래에서 보존되므로 (a)가 참이다.

(b)의 증명. 위에서 모든 \(y \in Y\)에 대하여 사상 \(\mathcal{O}_Y \to H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(y))\)가 전사임을 보였다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0A1U를 적용하면 \(y\)의 어떤 열린 근방에서 분해 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \oplus P\)를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 고유이고 평탄하며 유한 표시이다.

2. \(f\)의 기하학적 올들은 축약이고 연결이다.

그러면 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\)이고, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립한다.

증명

Lemma 0E6B에 의해 \(k = H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\)임을 모든 사상 \(\Spec(k) \to Y\)에 대하여 보이면 충분하다. 여기서 \(k\)는 체이다. 이는 Spaces over Fields, Lemma 0DMY와 \(X_k\)가 기하학적으로 연결이고 기하학적으로 축약이라는 사실에서 따른다.

그 밖의 응용

이 절에서는 위에서 전개한 이론으로부터 도출할 수 있는 몇 가지 결과를 진술하고 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(K\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서, 그 코호몰로지 층 \(H^i(K)\)의 절단들의 집합이 \(X\) 위에서 에탈인 아핀 스킴들 위에서 가산인 것이라 하자. 그러면 임의의 준콤팩트 준분리 에탈 사상 \(U \to X\)와 임의의 완전 대상 \(E\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 주어졌을 때 집합들 \[H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E),\quad \Ext^i(E|_U, K|_U)\] 은 가산이다.

증명

Cohomology on Sites, Lemma 08JJ을 사용하면 군들 \(H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E)\)에 대해 결과를 증명하는 것으로 충분함을 알 수 있다. 귀납 원리를 사용하여 보조정리를 증명할 것이다. Lemma 08GP을 보라.

\(U = \Spec(A)\)가 아핀이면 결과는 스킴의 경우에서 따른다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0CRP를 보라.

증명을 끝내려면 다음을 보이면 충분하다. 기본 구별 삼각형 \((U \subset W, V \to W)\)이 주어지고 결과가 \(U\), \(V\), \(U \times_W V\)에 대하여 성립하면, 결과는 \(W\)에 대하여도 성립한다. 이는 Mayer–Vietoris 열의 즉각적인 귀결이다. Lemma 0CRS를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)의 절단들의 집합이 \(X\) 위에서 에탈인 아핀들 위에서 가산이라고 가정하자. \(K\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(K = \text{hocolim} E_n\)이고, \(E_n\)은 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이다.

2. 코호몰로지 층들 \(H^i(K)\)의 절단들의 집합은 \(X\) 위에서 에탈인 아핀들 위에서 가산이다.

증명

(1)이 참이면 (2)도 참이다. 실제로 호모토피 여극한은 코호몰로지 층을 취하는 것과 가환하고 (Derived Categories, Lemma 0CRK에 의해), 완전 복합체는 국소적으로 유한 생성 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유한 복합체와 동형이어서 \(X\)에 관한 가정에 의해 (2)를 만족한다.

(2)를 가정하자. K-단사 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)을 택하여 \(K\)를 표현하게 하자. 완전 생성자 \(E\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 택하고, 이를 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 표현하자. Theorem 09MC와 그 증명에 따르면 삼각 범주들의 동치 \(F : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A, \text{d})\)가 존재한다. 여기서 \((A, \text{d})\)는 미분 등급 대수 \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 이다. 이 동치는 \(K\)를 미분 등급 가군 \[M = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] 으로 보낸다. \(H^i(A) = \Ext^i(E, E)\)이고 \(H^i(M) = \Ext^i(E, K)\)임을 주목하자. 더욱이 \(F\)는 동치이므로 그것과 그 준역은 호모토피 여극한과 가환한다. 따라서 \(M\)을 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 대상들의 호모토피 여극한으로 쓰면 충분하다. Differential Graded Algebra, Lemma 0CRM에 의해 \(\Ext^i(E, E)\)와 \(\Ext^i(E, K)\)가 각 \(i\)에 대하여 가산임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0CRU에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(f : U \to X\)를 \(A\) 위 대수공간의 평탄한 유한 표시 사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 완전 대상들 \(L_n\)이 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 놓이는 역계가 존재하여 \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Hom_X(L_n, K)\] 가 \(D(A)\) 안에서, \(K\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 주어졌을 때 함자적으로 성립한다.

2. 완전 대상들 \(E_n\)이 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 놓이는 계가 존재하여 \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Gamma(X, E_n \otimes^\mathbf{L} K)\] 가 \(D(A)\) 안에서, \(K\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 주어졌을 때 함자적으로 성립한다.

증명

Lemma 08IN에 의해 \[R\Gamma(U, Lf^*K) = R\Gamma(X, Rf_*\mathcal{O}_U \otimes^\mathbf{L} K)\] 가 \(K\)에 대해 함자적으로 성립한다. \(R\Gamma(X, -)\)는 호모토피 여극한과 가환한다. 실제로 Lemma 08FB에 의해 직합과 가환한다. 마찬가지로 \(- \otimes^\mathbf{L} K\)는 유도 여극한과 가환한다. 이는 \(- \otimes^\mathbf{L} K\)가 직합과 가환하기 때문이다 (\(D(\mathcal{O}_X)\)의 직합은 대표 복합체들의 직합으로 주어지기 때문이다). 따라서 (2)를 증명하려면 \(Rf_*\mathcal{O}_U = \text{hocolim} E_n\)을 완전 대상들 \(E_n\)이 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 놓이는 계로 쓰면 충분하다. 그렇게 한 뒤 \(L_n = E_n^\vee\)로 놓으면 (1)을 얻는다. Cohomology on Sites, Lemma 08JJ을 보라.

\(A = \colim A_i\)로 쓰되 \(A_i\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이게 하자. Limits of Spaces, Lemma 07SK에 의해 어떤 \(i\)와 유한 표시 사상들 \(U_i \to X_i \to \Spec(A_i)\)를 찾을 수 있고, 이들을 \(\Spec(A)\)로 밑변환하면 \(U \to X \to \Spec(A)\)를 되찾는다. \(i\)를 늘린 뒤 \(f_i : U_i \to X_i\)가 평탄하다고 가정할 수 있다. Limits of Spaces, Lemma 08K0을 보라. Lemma 08IR에 의해 \(Rf_{i, *}\mathcal{O}_{U_i}\)를 \(g : X \to X_i\)로 유도 당긴 것은 \(Rf_*\mathcal{O}_U\)와 같다. \(Lg^*\)는 유도 여극한과 가환하므로 \(f_i\)에 대해 원하는 결과를 증명하면 충분하다. 따라서 \(U\)와 \(X\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이라고 가정할 수 있다.

\(f : U \to X\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형인 대수공간의 사상이라고 하자. 증명을 끝내기 위해 \(Rf_*\mathcal{O}_U\)가 완전 복합체들의 호모토피 여극한임을 보일 것이다. 이를 위해 Lemma 0CRV을 적용한다. 따라서 \(R^if_*\mathcal{O}_U\)의 절단들의 집합이 \(X\) 위에서 에탈인 아핀들 위에서 가산임을 보이면 충분하다. 이는 구조층에 Lemma 0CRU를 적용하면 따른다.

해소 성질

이 절은 대수공간에 대한 Derived Categories of Schemes, Section 0F85의 유사물이다. 먼저 그 절을 읽기를 권한다. 체 위의 매끄럽고 고유한 대수공간이 항상 해소 성질을 가지는지, 아니면 그렇지 않은지는 현재 알려져 있지 않다. 이 질문의 답을 알고 있다면 stacks.project@gmail.com으로 전자우편을 보내기 바란다.

일반 대수공간에 대하여 이를 생각하는 것은 별 의미가 없지만 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\)가 해소 성질을 가진다는 것은 모든 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 몫이라는 뜻이다.

\(X\)가 준콤팩트 준분리 대수공간이면, 유한 표시인 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 (자동으로 준연접이다) 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 몫임을 확인하면 충분하다. Limits of Spaces, Lemma 086Y를 보라. \(X\)가 뇌터 대수공간이면 유한형 준연접 가군들은 정확히 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이다. Cohomology of Spaces, Lemma 07UB을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이며 해소 성질을 가진다.

2. \(f\)-풍부 가역 가군이 \(X\) 위에 존재한다 (Divisors on Spaces, Definition 0D31).

그러면 \(X\)는 해소 성질을 가진다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(f\)-풍부 가역 가군이라 하자. 아핀 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자. \(U = V \times_Y X\)로 놓자. 그러면 \(\mathcal{L}|_U\)는 \(U\) 위에서 풍부하다. Properties, Proposition 01Q3에 의해 유한 개의 사상 \(s_i : \mathcal{L}^{\otimes n_i}|_U \to \mathcal{F}|_U\)가 존재하며 이들은 함께 전사이다. 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군들 \[\mathcal{H}_n = f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] 을 생각하자. \(s_i\)를 \(V\) 위에서 층 \(\mathcal{H}_{-n_i}\)의 절단으로 생각할 수 있다. 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{E}_i\)와 사상 \(\mathcal{E}_i \to \mathcal{H}_{-n_i}\)를 찾아서 \(s_i\)가 그 상에 속하게 할 수 있다고 하자. 그러면 대응하는 사상들 \[f^*\mathcal{E}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n_i} \longrightarrow \mathcal{F}\] 은 함께 전사이며 보조정리가 증명된다. Limits of Spaces, Lemma 0829에 의해 각 \(i\)에 대하여 유한형 준연접 부분가군 \(\mathcal{H}'_i \subset \mathcal{H}_{-n_i}\)를 찾을 수 있고, 이것은 절단 \(s_i\)를 \(V\) 위에서 포함한다. 따라서 \(Y\)의 해소 성질은 전사 \(\mathcal{E}_i \to \mathcal{H}'_i\)를 주며, 이로써 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 아핀 또는 준아핀 사상이라 하고, \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. \(Y\)가 해소 성질을 가지면 \(X\)도 그러하다.

증명

Divisors on Spaces, Lemma 0GUQ에 의해 이는 Lemma 0GUT의 특수한 경우이다.

해소 성질이 아래로 내려감을 증명할 수 있는 한 경우는 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 전사 유한 국소 자유 사상이라 하자. \(X\)가 해소 성질을 가지면 \(Y\)도 그러하다.

증명

이 조건은 \(f\)가 아핀이고 \(f_*\mathcal{O}_X\)가 양의 계수를 가진 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라는 뜻이다. \(\mathcal{G}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 가정에 의해 전사 \(\mathcal{E} \to f^*\mathcal{G}\)가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)는 유한 국소 자유이다. \(f_*\)가 완전함자이므로 (Cohomology of Spaces, Section 0DK2), 전사 \[f_*\mathcal{E} \longrightarrow f_*f^*\mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{O}_X\] 를 얻는다. 쌍대를 취하면 전사 \[f_*\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(f_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{G}\] 를 얻는다. \(f_*\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유이므로 결론을 얻는다.

대수공간의 해소 성질에 관해서는 More on Morphisms of Spaces, Section 0GUX도 보라.

유계성의 검출

이 절에서는 Section 09IU에서 구성한 준콤팩트 준분리 스킴의 \(D_\QCoh\)의 콤팩트 생성자들이 특별한 성질을 가짐을 보인다. 이 절과 매우 비슷하므로 먼저 그 절을 읽기를 권한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)이고 \(E \in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)라 하자. \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], E) = 0\)이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다.

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{\geq a} E) = 0\)이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다.

증명

삼각형 \(\tau_{< a} E \to E \to \tau_{\geq a} E \to\)를 쓰면, \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{< a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{< a} E)[i]) = 0\] 임을 \(i \gg 0\)에 대하여 보일 수 있으면 이 동치가 따름을 알 수 있다. \(P\)가 완전하므로 이는 Lemma 09MB에 의해 참이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)이고 \(E \in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)라 하자. \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], E) = 0\)이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다.

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{\leq a} E) = 0\)이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다.

증명

삼각형 \(\tau_{\leq a} E \to E \to \tau_{> a} E \to\)를 쓰면, \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{> a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{> a} E)[i]) = 0\] 임을 \(i \ll 0\)에 대하여 보일 수 있으면 이 동치가 따름을 알 수 있다. \(P\)가 완전하므로 이는 Lemma 09MB에 의해 참이다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(G \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)를 생성하는 완전 복합체라 하자. \(E \in D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(E \in D^-_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)이다.

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = 0\)이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다.

3. \(\Ext^i_X(G, E) = 0\)이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다.

4. \(R\Hom_X(G, E)\)는 \(D^-(\mathbf{Z})\)에 속한다.

5. \(H^i(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\)이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다.

6. \(R\Gamma(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\)는 \(D^-(\mathbf{Z})\)에 속한다.

7. \(P\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 완전 대상으로 두면

   1. (2), (3), (4)의 명제들에서 \(G\)를 \(P\)로 바꾼 것이 성립한다.

   2. \(H^i(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\)이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다.

   3. \(R\Gamma(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\)는 \(D^-(\mathbf{Z})\)에 속한다.

증명

(1)을 가정하자. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G, E[i])\) 이므로 Lemma 09MB에 의해 \(i \gg 0\)일 때 이것은 영이다. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다.

Cohomology on Sites, Section 0B6E의 논의에 의해 (2), (3), (4)는 서로 동치이다. 정의에 의해 \(H^i(X, -) = H^i(R\Gamma(X, -))\)이므로 (5)와 (6)은 동치이다. 동치인 조건 (2), (3), (4)는 Cohomology on Sites, Lemma 08JJ과 등식 \((G[-i])^\vee = G^\vee[i]\)에 의해 동치인 조건 (5), (6)과 동치이다.

(7)이 (2)를 함의함은 분명하다. 역으로 동치인 조건 (2)–(6)이 (7)을 함의함을 증명하자. Remark 0GFC에 의해 \(G\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 고전적 생성자임을 상기하자. \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대하여 \(T(P)\)를 \(R\Hom_X(P, E)\)가 \(D^-(\mathbf{Z})\)에 속한다는 명제라 하자. \(T\)는 분명히 직합에 의해 유전되고, 구별 삼각형에 대한 셋 중 둘 성질을 만족하며, 직합인자에 의해 유전되고, 시프트에 의해 보존된다. 따라서 Derived Categories, Remark 0ATH에 의해 (4)는 \(T\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 전체에서 성립함을 함의한다. 같은 논증이 다른 모든 성질에도 적용되는데, 성질 (7)(b)와 (7)(c)에 대해서는 \(P \mapsto P^\vee\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 자기동치라는 사실도 사용한다. 작은 세부사항은 생략한다.

동치인 조건 (2)–(7)이 (1)을 함의함을 Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 증명할 것이다.

먼저 (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1)임을 증명하자. 여기서 \(X\)는 아핀이라고 가정한다. 이는 스킴의 경우인 Derived Categories of Schemes, Proposition 0GEN에서 따른다.

이제 \((U \subset X, j : V \to X)\)가 \(S\) 위 준콤팩트 준분리 대수공간들의 기본 구별 사각형이고, (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1)이 \(U\), \(V\), \(U \times_X V\)에 대하여 알려져 있다고 가정하자. 증명을 끝내려면 (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1)을 \(X\)에 대하여 보여야 한다. \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 (2)–(7)을 만족한다고 하자. Lemma 09IX와 Theorem 09IY에 의해 완전 복합체 \(Q\)가 \(X\) 위에 존재하여 \(Q|_U\)는 \(D_\QCoh (\mathcal{O}_U)\)를 생성한다.

\(V = \Spec(A)\)라 하자. \(Z \subset V\)를 \(X \setminus U\)의 역상이며 그곳으로 동형으로 사상되는 축약 폐부분스킴이라 하자 (Definition 08GM을 보라). 이는 \(V\)의 역콤팩트 폐부분집합이다. \(f_1, \ldots, f_r \in A\)를 택하여 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)가 되게 하자. \(K \in D(\mathcal{O}_V)\)를 \(f_1, \ldots, f_r\)에 대한 \(A\) 위 코쥘 복합체에 대응하는 완전 대상이라 하자. \(K\)는 \(Z\) 위에서 지지되므로 그 직상 \(K' = Rj_*K\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고 \(V\)로 제한하면 \(K\)이다 (Lemmas 08HK와 08GG을 보라). 가정에 의해 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q, E)\)와 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K', E)\)는 위로 유계이다.

Lemma 08GG에 의해 \(K' = j_!K\)이고, 따라서 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = 0\] 이다. 여기서 \(i \gg 0\)이다. 그러므로 Derived Categories of Schemes, Lemma 0GEJ를 \(E|_V\)에 적용하면 정수 \(a\)가 존재하여 \(\tau_{\geq a}(E|_V) = \tau_{\geq a} R (U \times_X V \to V)_* (E|_{U \times_X V})\)가 된다. 그러면 \(\tau_{\geq a} E = \tau_{\geq a} R (U \to X)_* (E |_U)\)이다 (표준 사상을 \(U\)와 \(V\)로 제한한 뒤 동형임을 확인하라). 따라서 Lemma 0GFF을 두 번 사용하면 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] 임을 알 수 있다. 여기서 \(i \gg 0\)이다. 이 Proposition은 \(U\)와 생성자 \(Q|_U\)에 대해 성립하므로 \(E|_U \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)이다. 그런데 함자 \(R (U \to X)_*\)는 \(D^-_\QCoh\)를 보존하므로 (Lemma 08FA에 의해) \(\tau_{\geq a}E \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. 따라서 \(E \in D^-_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)이다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(G \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)를 생성하는 완전 복합체라 하자. \(E \in D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(E \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)이다.

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = 0\)이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다.

3. \(\Ext^i_X(G, E) = 0\)이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다.

4. \(R\Hom_X(G, E)\)는 \(D^+(\mathbf{Z})\)에 속한다.

5. \(H^i(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\)이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다.

6. \(R\Gamma(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\)는 \(D^+(\mathbf{Z})\)에 속한다.

7. \(P\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 완전 대상으로 두면

   1. (2), (3), (4)의 명제들에서 \(G\)를 \(P\)로 바꾼 것이 성립한다.

   2. \(H^i(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\)이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다.

   3. \(R\Gamma(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\)는 \(D^+(\mathbf{Z})\)에 속한다.

증명

(1)을 가정하자. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G, E[i])\) 이므로 Lemma 09MB에 의해 \(i \ll 0\)일 때 이것은 영이다. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다.

Cohomology on Sites, Section 0B6E의 논의에 의해 (2), (3), (4)는 서로 동치이다. 정의에 의해 \(H^i(X, -) = H^i(R\Gamma(X, -))\)이므로 (5)와 (6)은 동치이다. 동치인 조건 (2), (3), (4)는 Cohomology on Sites, Lemma 08JJ과 등식 \((G[-i])^\vee = G^\vee[i]\)에 의해 동치인 조건 (5), (6)과 동치이다.

(7)이 (2)를 함의함은 분명하다. 역으로 동치인 조건 (2)–(6)이 (7)을 함의함을 증명하자. Remark 0GFC에 의해 \(G\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 고전적 생성자임을 상기하자. \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대하여 \(T(P)\)를 \(R\Hom_X(P, E)\)가 \(D^+(\mathbf{Z})\)에 속한다는 명제라 하자. \(T\)는 분명히 직합에 의해 유전되고, 구별 삼각형에 대한 셋 중 둘 성질을 만족하며, 직합인자에 의해 유전되고, 시프트에 의해 보존된다. 따라서 Derived Categories, Remark 0ATH에 의해 (4)는 \(T\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 전체에서 성립함을 함의한다. 같은 논증이 다른 모든 성질에도 적용되는데, 성질 (7)(b)와 (7)(c)에 대해서는 \(P \mapsto P^\vee\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 자기동치라는 사실도 사용한다. 작은 세부사항은 생략한다.

동치인 조건 (2)–(7)이 (1)을 함의함을 Lemma 08GP의 귀납 원리를 사용하여 증명할 것이다.

먼저 (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1)임을 증명하자. 여기서 \(X\)는 아핀이라고 가정한다. 이는 스킴의 경우인 Derived Categories of Schemes, Proposition 0GEQ에서 따른다.

이제 \((U \subset X, j : V \to X)\)가 \(S\) 위 준콤팩트 준분리 대수공간들의 기본 구별 사각형이고, (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1)이 \(U\), \(V\), \(U \times_X V\)에 대하여 알려져 있다고 가정하자. 증명을 끝내려면 (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1)을 \(X\)에 대하여 보여야 한다. \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)가 (2)–(7)을 만족한다고 하자. Lemma 09IX와 Theorem 09IY에 의해 완전 복합체 \(Q\)가 \(X\) 위에 존재하여 \(Q|_U\)는 \(D_\QCoh (\mathcal{O}_U)\)를 생성한다.

\(V = \Spec(A)\)라 하자. \(Z \subset V\)를 \(X \setminus U\)의 역상이며 그곳으로 동형으로 사상되는 축약 폐부분스킴이라 하자 (Definition 08GM을 보라). 이는 \(V\)의 역콤팩트 폐부분집합이다. \(f_1, \ldots, f_r \in A\)를 택하여 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)가 되게 하자. \(K \in D(\mathcal{O}_V)\)를 \(f_1, \ldots, f_r\)에 대한 \(A\) 위 코쥘 복합체에 대응하는 완전 대상이라 하자. \(K\)는 \(Z\) 위에서 지지되므로 그 직상 \(K' = Rj_*K\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고 \(V\)로 제한하면 \(K\)이다 (Lemmas 08HK와 08GG을 보라). 가정에 의해 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q, E)\)와 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K', E)\)는 아래로 유계이다.

Lemma 08GG에 의해 \(K' = j_!K\)이고, 따라서 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = 0\] 이다. 여기서 \(i \ll 0\)이다. 그러므로 Derived Categories of Schemes, Lemma 0GEK를 \(E|_V\)에 적용하면 정수 \(a\)가 존재하여 \(\tau_{\leq a}(E|_V) = \tau_{\leq a} R (U \times_X V \to V)_* (E|_{U \times_X V})\)가 된다. 그러면 \(\tau_{\leq a} E = \tau_{\leq a} R (U \to X)_* (E |_U)\)이다 (표준 사상을 \(U\)와 \(V\)로 제한한 뒤 동형임을 확인하라). 따라서 Lemma 0GFG을 두 번 사용하면 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] 임을 알 수 있다. 여기서 \(i \ll 0\)이다. 이 Proposition은 \(U\)와 생성자 \(Q|_U\)에 대해 성립하므로 \(E|_U \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_U)\)이다. 그런데 함자 \(R (U \to X)_*\)는 \(D^+_\QCoh\)를 보존하므로 (Lemma 08FA에 의해) \(\tau_{\leq a}E \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. 따라서 \(E \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_X)\)이다.

유도범주의 준연접 대상

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X_{affine, \etale}\)는 \(X_\etale\)의 아핀 대상들로 이루어진 범주에 표준 에탈 덮개들이 주는 위상을 부여한 것임을 상기하자. Properties of Spaces, Definition 0H01을 보라. \(X_{affine, \etale}\)의 토포스는 \(X\)의 작은 에탈 토포스이다. Properties of Spaces, Lemma 04JS를 보라. 자리 \(X_\etale\)에는 구조층 \(\mathcal{O}_X\)가 주어져 있고, 그 \(X_{affine, \etale}\)로의 제한도 \(\mathcal{O}_X\)로 나타낸다. 그러면 환 달린 토포스들의 동치 \[(\Sh(X_{affine, \etale}), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\] 가 있다. Descent on Spaces, Equation (0H03)과 Descent on Spaces, Section 0H02의 논의를 보라.

이 절에서는 \(X_{affine}\)으로 \(X_{affine, \etale}\)의 바탕 범주에 혼돈 위상을 부여한 것을 나타낸다. 즉, 층과 전층이 일치하도록 한다. 특히 구조층 \(\mathcal{O}_X\)는 \(X_{affine}\) 위에서도 층이 된다. 이로부터 환 달린 자리들의 사상 \[\epsilon : (X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (X_{affine}, \mathcal{O}_X)\] 을 얻는다. 이는 Cohomology on Sites, Section 0EWK의 사상이다. 이 절에서는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 Cohomology on Sites, Section 0GYU에서 도입한 범주 \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\)와 동일시할 것이다.

보조정리

위 상황에서 다음 삼각범주들 사이에는 표준 완전동치들이 있다.

1. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

2. \(D_\QCoh(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\),

3. \(D_\QCoh(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\),

4. \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\).

증명

\(U \to V \to X\)가 에탈 사상들이고 \(U\)와 \(V\)가 아핀이면, 환 사상 \(\mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)은 평탄하다. 따라서 (3)과 (4)의 동치는 Cohomology on Sites, Lemma 0GZR의 특수한 경우이다 (그 증명은 명제의 의미도 명확히 한다).

보조정리 앞의 논의는 환 달린 토포스들의 동치 \((\Sh(X_{affine, \etale}), \mathcal{O}_X) \to (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\)가 있고, 따라서 가군들의 아벨 범주 사이에 동치가 있음을 보여준다. 준연접 가군이라는 개념은 내재적이므로 (Modules on Sites, Lemma 03DM), 이 동치는 준연접 가군들의 부분범주를 보존한다. 따라서 (1)과 (2)의 삼각범주 사이에 표준 완전동치를 얻는다.

(2)와 (3)의 삼각범주 사이의 완전동치를 얻기 위해 위 사상 \(\epsilon : (X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) \to (X_{affine}, \mathcal{O}_X)\)에 Cohomology on Sites, Lemma 07A8를 적용할 것이다. \(\mathcal{B} = \Ob(X_{affine})\)로 놓고, \(\mathcal{A} \subset \textit{PMod}(X_{affine}, \mathcal{O})\)를 전층 \(\mathcal{F}\)들 가운데 \(\mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}_X(V)} \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{F}(U)\)가 동형이 되는 것들로 이루어진 충만한 부분범주로 놓는다. Descent on Spaces, Lemma 0H04에 의해 \(\mathcal{A}\)의 대상들은 정확히 에탈 위상에서 층이며 \((X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\) 위의 준연접 가군인 것들이다. 한편 Modules on Sites, Lemma 0GZN에 의해 \(\mathcal{A}\)의 대상들은 정확히 \((X_{affine}, \mathcal{O}_X)\), 즉 혼돈 위상 위의 준연접 가군들이다. 그러므로 Cohomology on Sites, Lemma 07A8가 적용됨을 보이면, \(\epsilon^*\)와 \(R\epsilon_*\)를 사용하여 실제로 (2)와 (3)의 범주 사이의 표준 동치를 얻는다.

다음 네 조건을 확인해야 한다.

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상은 에탈 위상에 대한 층이다. 이는 위에서 보았다.

2. \(\mathcal{A}\)는 \(\textit{Mod}(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\)의 약한 세르 부분범주이다. 위에서 \(\mathcal{A} = \QCoh(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\)임을 보았고, 또한 이들이 동치 \(\textit{Mod}(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}) = \textit{Mod}(X_\etale, \mathcal{O}_X)\)를 통해 \(X\) 위의 준연접 가군들에 대응함을 보았다. 따라서 이 결과는 Properties of Spaces, Lemma 03M1와 Homology, Lemma 0754에서 따른다.

3. \(X_{affine}\)의 모든 대상은 혼돈 위상에서 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 가진다. 이는 \(\mathcal{B}\)가 모든 대상을 포함하기 때문에 성립한다.

4. \(U\)가 \(X_{affine}\)의 임의의 대상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{A}\)에 속하면 \(H^p_{Zar}(U, \mathcal{F}) = 0\)이다. 여기서 \(p > 0\)이다. 이는 아핀 위 준연접 가군의 코호몰로지가 소멸하기 때문이다. Cohomology of Spaces, Section 071Y의 논의와 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라.

이로써 증명이 끝난다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 나중에 \(\mathit{QC}((\textit{Aff}/X), \mathcal{O})\)도 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)와 표준적으로 동치임을 보일 것이다. Sheaves on Stacks, Proposition 0H0K를 보라.