유도 범주

서론

먼저 삼각 범주와 삼각 범주의 국소화를 논의한다. 다음으로 가법 범주 안의 복합체들의 호모토피 범주가 삼각 범주임을 증명한다. 이를 마친 뒤 아벨 범주의 유도 범주를 준동형사상들에 관한 호모토피 범주의 국소화로 정의한다. 좋은 참고문헌으로 Verdier의 학위논문 [Verdier]가 있다.

삼각 범주

삼각 범주는 아벨 범주의 유도 범주에 내재하는 구조의 유형을 기술하는 데 편리한 도구이다. 참고문헌으로 [Verdier], [KS], [Neeman] 등이 있다.

삼각 범주의 정의

이 절에서는 삼각 범주와 전삼각 범주에 관한 정의 대부분을 모아 둔다.

정의

\(\mathcal{D}\)를 가법 범주라 하자. \([1] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\), \(E \mapsto E[1]\)이 \(\mathcal{D}\)의 자기 동치인 가법 함자라 하자.

1. 삼각형은 \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D})\)이고 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), \(h : Z \to X[1]\)가 \(\mathcal{D}\)의 사상인 육중항 \((X, Y, Z, f, g, h)\)이다.

2. 삼각형의 사상 \((X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\)은 \(b \circ f = f' \circ a\), \(c \circ g = g' \circ b\), \(a[1] \circ h = h' \circ c\)를 만족하는 \(\mathcal{D}\)의 사상 \(a : X \to X'\), \(b : Y \to Y'\), \(c : Z \to Z'\)로 주어진다.

삼각형의 사상은 다음 가환 그림으로 나타낼 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^a & Y \ar[r] \ar[d]^b & Z \ar[r] \ar[d]^c & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] }\] 정의 0144의 상황에서 \([0] = \text{id}\)로 쓴다. \(n > 0\)일 때 \([n]\)은 \([1]\)의 \(n\)중 합성을 나타내고, \([1]\)의 준역 \([-1]\)을 하나 택하며, \([-n]\)은 \([-1]\)의 \(n\)중 합성과 같다고 둔다. 그러면 \(\{[n]\}_{n \in \mathbf{Z}}\)는 \(n \in \mathbf{Z}\)로 지표화된 \(\mathcal{D}\)의 가법 자기 동치들의 모음이고, 함자 동형사상 \([n] \circ [m] \cong [n + m]\)이 주어져 있다.

다음은 Verdier의 학위논문에 제시된 삼각 범주의 정의이다.

정의

삼각 범주는 삼중항 \((\mathcal{D}, \{[n]\}_{n\in \mathbf{Z}}, \mathcal{T})\)로 이루어지며, 여기서

1. \(\mathcal{D}\)는 가법 범주이고,

2. \([1] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\), \(E \mapsto E[1]\)은 가법 자기 동치이며, \(n \in \mathbf{Z}\)에 대한 \([n]\)은 위에서 논의한 바와 같고,

3. \(\mathcal{T}\)는 완전 삼각형이라 부르는 삼각형들의 (정의 0144) 집합이다.

이 자료에는 다음 조건을 부과한다.

1. 완전 삼각형과 동형인 모든 삼각형은 완전 삼각형이다. \((X, X, 0, \text{id}, 0, 0)\) 꼴의 모든 삼각형은 완전하다. \(\mathcal{D}\)의 임의의 사상 \(f : X \to Y\)에 대하여 \((X, Y, Z, f, g, h)\) 꼴의 완전 삼각형이 존재한다.

2. 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)이 완전할 필요충분조건은 삼각형 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)이 완전한 것이다.

3. 실선으로 표시된 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r]^f \ar[d]^a & Y \ar[r]^g \ar[d]^b & Z \ar[r]^h \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ X' \ar[r]^{f'} & Y' \ar[r]^{g'} & Z' \ar[r]^{h'} & X'[1] }\] 이 주어지고, 두 행이 완전 삼각형이며 \(b \circ f = f' \circ a\)를 만족한다고 하자. 그러면 \((a, b, c)\)가 삼각형의 사상이 되게 하는 사상 \(c : Z \to Z'\)가 존재한다.

4. \(\mathcal{D}\)의 대상 \(X\), \(Y\), \(Z\)와 사상 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), 그리고 완전 삼각형 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\), \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\), 및 \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\)가 주어졌다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 사상 \(a : Q_1 \to Q_2\)와 \(b : Q_2 \to Q_3\)가 존재한다.

   1. \((Q_1, Q_2, Q_3, a, b, p_1[1] \circ d_3)\)은 완전 삼각형이다.

   2. 삼중항 \((\text{id}_X, g, a)\)는 삼각형의 사상 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1) \to (X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\)이다.

   3. 삼중항 \((f, \text{id}_Z, b)\)는 삼각형의 사상 \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2) \to (Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\)이다.

TR1, TR2, TR3이 성립하면 \((\mathcal{D}, [\ ], \mathcal{T})\)를 전삼각 범주라 부른다.¹

TR4를 다음과 같이 설명할 수 있다. \(Q_1\)을 \(Y/X\), \(Q_2\)를 \(Z/X\), \(Q_3\)를 \(Z/Y\)로 생각하면, TR4(a)는 동형사상 \((Z/X)/(Y/X) \cong Z/Y\)를 나타내고, TR4(b)와 TR4(c)는 삼각형의 사상으로 \(X \to Y \to Q_1 \to X[1]\) 등의 삼각형을 비교할 수 있음을 나타낸다. 이 생각을 더 정확히 다시 서술한 내용은 보조정리 014R의 증명을 보라.

TR2의 부호는 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 완전 삼각형이면 긴 열 [05QL]\[\begin{equation} \ldots \to Z[-1] \xrightarrow{-h[-1]} X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1] \xrightarrow{-f[1]} Y[1] \xrightarrow{-g[1]} Z[1] \to \ldots \end{equation}\] 의 각 네 항짜리 열이 완전 삼각형을 이룬다는 뜻이다.

통상적인 표기의 남용에 따라 추가 자료의 표기를 명시적으로 도입하지 않고 단순히 (전)삼각 범주 \(\mathcal{D}\)라고 말한다. 전삼각 범주의 개념은 TR4와 동치인 명제들을 찾는 데 유용하다.

삼각 함자를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(\mathcal{D}\)와 \(\mathcal{D}'\)를 전삼각 범주라 하자. \(\mathcal{D}\)에서 \(\mathcal{D}'\)로 가는 완전 함자, 또는 삼각 함자는 함자 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)와, \(\mathcal{D}\)의 모든 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)에 대하여 \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), \xi_X \circ F(h))\)가 \(\mathcal{D}'\)의 완전 삼각형이 되게 하는 주어진 함자적 동형사상 \(\xi_X : F(X[1]) \to F(X)[1]\)로 이루어진다.

완전 함자는 가법이다. 보조정리 05QY를 보라. 두 삼각 범주가 동치라고 할 때에는 삼각 범주들의 \(2\)-범주에서 동치라는 뜻이다. 이 \(2\)-범주의 \(2\)-사상 \(a : (F, \xi) \to (F', \xi')\)는 \(\xi\) 및 \(\xi'\)와 양립하는 함자 변환 \(a : F \to F'\), 즉 그림 \[\xymatrix{ F \circ [1] \ar[r]_\xi \ar[d]_{a \star 1} & [1] \circ F \ar[d]^{1 \star a} \\ F' \circ [1] \ar[r]^{\xi'} & [1] \circ F' }\] 을 가환이게 하는 함자 변환일 뿐이다.

정의

\((\mathcal{D}, [\ ], \mathcal{T})\)를 전삼각 범주라 하자. 전삼각 부분범주²는 다음을 만족하는 쌍 \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\)이다.

1. \(\mathcal{D}'\)는 \([1]\) 아래 보존되는 \(\mathcal{D}\)의 가법 부분범주이고, \([1] : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}'\)은 자기 동치이다.

2. \(\mathcal{T}' \subset \mathcal{T}\)이고, 모든 \((X, Y, Z, f, g, h) \in \mathcal{T}'\)에 대하여 \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D}')\) 및 \(f, g, h \in \text{Arrows}(\mathcal{D}')\)이다.

3. \((\mathcal{D}', [\ ], \mathcal{T}')\)는 전삼각 범주이다.

\(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면, 이 쌍이 전삼각 부분범주이고 \((\mathcal{D}', [\ ], \mathcal{T}')\)가 삼각 범주일 때 \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\)를 삼각 부분범주라 부른다.

이 상황에서 포함 함자 \(\mathcal{D}' \to \mathcal{D}\)는 \(X[1]\) 위의 항등사상으로 주어진 \(\xi_X : X[1] \to X[1]\)을 갖는 완전 함자이다.

보조정리 0146에서 전삼각 범주의 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)에 대해 합성 \(g \circ f : X \to Z\)가 영임을 보일 것이다. 따라서 열 (05QL)은 복합체이다. 호몰로지적 함자는 이 복합체를 긴 완전열로 보내는 함자이다.

정의

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. 가법 함자 \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)는 모든 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)에 대하여 열 \[H(X) \to H(Y) \to H(Z)\] 이 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)에서 완전하면 호몰로지적이라 부른다. 가법 함자 \(H : \mathcal{D}^{opp} \to \mathcal{A}\)는 대응하는 함자 \(\mathcal{D} \to \mathcal{A}^{opp}\)가 호몰로지적이면 코호몰로지적이라 부른다.

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)가 호몰로지적 함자이면 흔히 \(H^n(X) = H(X[n])\)로 써서 \(H(X) = H^0(X)\)가 되게 한다. 위에서 논의한 TR2에 따라 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)은 긴 완전열 [0148]\[\begin{equation} \xymatrix@C=3pc{ H^{-1}(Z) \ar[r]^{H(h[-1])} & H^0(X) \ar[r]^{H(f)} & H^0(Y) \ar[r]^{H(g)} & H^0(Z) \ar[r]^{H(h)} & H^1(X) } \end{equation}\] 을 정한다. 이를 완전 삼각형과 호몰로지적 함자에 결부된 긴 완전열이라 부른다. 표시된 바와 같이 긴 완전열의 사상들에는 어떠한 부호도 쓰지 않을 것이다. 그 결과 완전 삼각형을 회전하여(TR2) 얻는 긴 완전열의 사상들은 위 열의 사상들과 몇몇 부호만큼 다르다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고 \(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)에서 \(\mathcal{D}\)로 가는 \(\delta\)-함자는 함자 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\)와, 각 짧은 완전열 \[0 \to A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C \to 0\] 에 사상 \(\delta = \delta_{A \to B \to C} : G(C) \to G(A)[1]\)을 대응시키는 규칙으로 주어지며, 다음을 만족한다.

1. 위와 같은 모든 짧은 완전열에 대하여 삼각형 \((G(A), G(B), G(C), G(a), G(b), \delta_{A \to B \to C})\)은 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이다.

2. 짧은 완전열의 모든 사상 \((A \to B \to C) \to (A' \to B' \to C')\)에 대하여 그림 \[\xymatrix{ G(C) \ar[d] \ar[rr]_{\delta_{A \to B \to C}} & & G(A)[1] \ar[d] \\ G(C') \ar[rr]^{\delta_{A' \to B' \to C'}} & & G(A')[1] }\] 은 가환이다.

이 상황에서 \((G(A), G(B), G(C), G(a), G(b), \delta_{A \to B \to C})\)을 주어진 \(\delta\)-함자 아래 짧은 완전열의 상이라 부른다.

\(\delta\)-함자에는 추가 구조가 갖추어져 있음에 유의하라. 엄밀히 말해 주어진 함자 \(\mathcal{A} \to \mathcal{D}\)가 \(\delta\)-함자라고 말하는 것은 타당하지 않지만, 흔히 그렇게 말할 것이다.

삼각 범주에 관한 기본 결과

이 절의 결과 대부분은 전삼각 범주에 대하여 증명되므로, 특히 모든 삼각 범주에서도 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 완전 삼각형이라 하자. 그러면 \(g \circ f = 0\), \(h \circ g = 0\), \(f[1] \circ h = 0\)이다.

증명

TR1에 의해 \((X, X, 0, 1, 0, 0)\)은 완전 삼각형이다. 다음 그림에 TR3을 적용한다. \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^1 & X \ar[r] \ar[d]^f & 0 \ar[r] \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{1[1]} \\ X \ar[r]^f & Y \ar[r]^g & Z \ar[r]^h & X[1] }\] 물론 점선 화살표는 영사상이다. 따라서 그림의 가환성으로부터 \(g \circ f = 0\)을 얻는다. 나머지 경우에는 삼각형을 회전하면 된다. 즉, TR2를 적용한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \(\mathcal{D}\)의 임의의 대상 \(W\)에 대하여 함자 \(\Hom_\mathcal{D}(W, -)\)는 호몰로지적이고, 함자 \(\Hom_\mathcal{D}(-, W)\)는 코호몰로지적이다.

증명

완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 생각하자. 보조정리 0146에서 이미 \(g \circ f = 0\)임을 보였다. \(g \circ a = 0\)을 만족하는 사상 \(a : W \to Y\)가 있다고 하자. 그러면 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ W \ar[r]_1 \ar@{..>}[d]^b & W \ar[r] \ar[d]^a & 0 \ar[r] \ar[d]^0 & W[1] \ar@{..>}[d]^{b[1]} \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] }\] 두 행은 모두 완전 삼각형이다(위 행에는 TR1을 사용한다). 따라서 점선 화살표 \(b\)를 채울 수 있다(먼저 TR2로 회전하고, TR3을 적용한 뒤, 다시 회전한다). 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] 를 완전 삼각형들의 사상이라 하자. \(a, b, c\) 중 둘이 동형사상이면 나머지 하나도 동형사상이다.

증명

\(a\)와 \(c\)가 동형사상이라고 하자. \(\mathcal{D}\)의 임의의 대상 \(W\)에 대하여 \(H_W( - ) = \Hom_\mathcal{D}(W, -)\)로 쓰자. 그러면 아벨 군들의 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ H_W(Z[-1]) \ar[r] \ar[d] & H_W(X) \ar[r] \ar[d] & H_W(Y) \ar[r] \ar[d] & H_W(Z) \ar[r] \ar[d] & H_W(X[1]) \ar[d] \\ H_W(Z'[-1]) \ar[r] & H_W(X') \ar[r] & H_W(Y') \ar[r] & H_W(Z') \ar[r] & H_W(X'[1]) }\] 가정에 따라 오른쪽 두 수직 화살표와 왼쪽 두 수직 화살표는 전단사이다. 보조정리 0149에 의해 \(H_W\)는 호몰로지적이므로, 다섯 보조정리 (호몰로지 대수학, 보조정리 05QB)에 의해 가운데 수직 화살표는 동형사상이다. 따라서 Yoneda 보조정리 (범주론, 보조정리 001P)에 의해 \(b\)는 동형사상이다. 다른 경우들은 TR2를 사용하여 회전하면 이 경우로부터 따른다.

주

\(\mathcal{D}\)를 정의 0144에서와 같은 평행이동 함자 \([n]\)을 갖는 가법 범주라 하자. 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 \(\mathcal{D}\)의 모든 대상 \(W\)에 대하여 아벨 군들의 긴 열 \[\ldots \to \Hom_\mathcal{D}(W, X) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Z) \to \Hom_\mathcal{D}(W, X[1]) \to \ldots\] 을 완전열로 만들면 그 삼각형을 특수하다고 부르자.³ 보조정리 014A의 증명은 \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] 가 특수 삼각형들의 사상이고 \(a, b, c\) 중 둘이 동형사상이면 나머지 하나도 동형사상임을 보여 준다. 이에 대한 쌍대 명제는 쌍대 특수 삼각형, 즉 함자 \(\Hom_\mathcal{D}(-, W)\)를 적용했을 때 긴 완전열이 되는 삼각형에 대하여 성립한다. 따라서 완전 삼각형은 특수이면서 쌍대 특수이지만, 일반적으로 (쌍대) 특수 삼각형은 완전 삼각형보다 훨씬 많다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \[(0, b, 0), (0, b', 0) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X, Y, Z, f, g, h)\] 를 완전 삼각형의 자기 사상이라 하자. 그러면 \(bb' = 0\)이다.

증명

다음 그림을 보자. \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^0 & Y \ar[r] \ar[d]^{b, b'} \ar@{..>}[ld]^\alpha & Z \ar[r] \ar[d]^0 \ar@{..>}[ld]^\beta & X[1] \ar[d]^0 \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] }\] 보조정리 0149를 적용하면 \(b' = f \circ \alpha\) 및 \(b = \beta \circ g\)가 되게 하는 점선 화살표 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 찾을 수 있다. 보조정리 0146에 의해 \(g \circ f = 0\)이므로 \(bb' = \beta \circ g \circ f \circ \alpha = 0\)이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 완전 삼각형이라 하자. 그림 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_c & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ Z \ar[r]^h & X[1] }\] 이 가환이고 \(a^2 = a\), \(c^2 = c\)이면, \(b^2 = b\)를 만족하며 \((a, b, c)\)가 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)의 자기 사상이 되게 하는 사상 \(b : Y \to Y\)가 존재한다.

증명

TR3에 의해 \((a, b', c)\)가 \((X, Y, Z, f, g, h)\)의 자기 사상이 되게 하는 사상 \(b'\)이 존재한다. 그러면 \((0, (b')^2 - b', 0)\)도 자기 사상이다. 보조정리 05QP에 따라 \((b')^2 - b'\)의 제곱은 영이다. \(b = b' - (2b' - 1)((b')^2 - b') = 3(b')^2 - 2(b')^3\)로 두자. 계산하면 \((a, b, c)\)가 자기 사상이고 \(b^2 - b = (4(b')^2 - 4b' - 3)((b')^2 - b')^2 = 0\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하자. 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)이 존재하며, 이는 삼각형의 (유일할 필요는 없는) 동형사상을 제외하면 유일하다. 더 정확히 말해, 이와 같은 두 번째 완전 삼각형 \((X, Y, Z', f, g', h')\)가 주어지면 동형사상 \[(1, 1, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X, Y, Z', f, g', h')\] 이 존재한다.

증명

존재성은 TR1에서 따른다. 동형사상을 제외한 유일성은 TR3과 보조정리 014A에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] 를 완전 삼각형들의 사상이라 하자. 다음 조건 중 하나가 성립한다고 하자.

1. \(\Hom(Y, X') = 0\),

2. \(\Hom(Z, Y') = 0\),

3. \(\Hom(X, X') = \Hom(Z, X') = 0\),

4. \(\Hom(Z, X') = \Hom(Z, Z') = 0\), 또는

5. \(\Hom(X[1], Z') = \Hom(Z, X') = 0\).

그러면 \((a, b, c)\)가 삼각형들의 사상이 되게 하는 사상 \(Y \to Y'\)로서 \(b\)는 유일하다.

증명

삼각형들의 두 번째 사상 \((a, b', c)\)가 있으면 \((0, b - b', 0)\)도 삼각형들의 사상이다. 따라서 다음을 보이면 된다. \(X \to Y \to Y'\)와 \(Y \to Y' \to Z'\)가 영이 되게 하는 사상 \(b : Y \to Y'\)는 \(0\)뿐이다. 보조정리 0149는 더 언급하지 않고 사용하겠다. 특히 조건 (3)은 (1)을 함의한다. 조건 (1)이 주어졌을 때 합성 \(g' \circ b : Y \to Y' \to Z'\)가 영이면 \(b\)는 사상 \(Y \to X'\)로 올려지며, 이 사상은 영일 수밖에 없다. 이로써 (1)이 증명된다.

(2)와 (4)의 증명은 이 논증의 쌍대이다.

(5)를 가정하자. 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d]^0 & Y \ar[r]_g \ar[d]^b & Z \ar[r]_h \ar[d]^0 \ar@{..>}[ld]^\epsilon & X[1] \ar[d]^0 \\ X' \ar[r]^{f'} & Y' \ar[r]^{g'} & Z' \ar[r]^{h'} & X'[1] }\] 을 생각하자. \(b = \epsilon \circ g\)가 되도록 \(\epsilon\)을 택할 수 있다. 그러면 \(g' \circ \epsilon \circ g = 0\)이므로 어떤 \(\delta \in \Hom(X[1], Z')\)에 대하여 \(g' \circ \epsilon = \delta \circ h\)이다. \(\Hom(X[1], Z') = 0\)이므로 \(g' \circ \epsilon = 0\)이다. 따라서 어떤 \(\gamma \in \Hom(Z, X')\)에 대하여 \(\epsilon = f' \circ \gamma\)이다. \(\Hom(Z, X') = 0\)이므로 \(\epsilon = 0\)이고, 따라서 원하는 대로 \(b = 0\)이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 동형사상이다.

2. \((X, Y, 0, f, 0, 0)\)은 완전 삼각형이다.

3. 임의의 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)에 대하여 \(Z = 0\)이다.

증명

TR1에 의해 삼각형 \((X, X, 0, 1, 0, 0)\)은 완전하다. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 완전 삼각형이라 하자. TR3에 의해 완전 삼각형들의 사상 \((1, f, 0) : (X, X, 0) \to (X, Y, Z)\)가 존재한다. \(f\)가 동형사상이면 보조정리 014A에 의해 \((1, f, 0)\)은 삼각형들의 동형사상이고 \(Z = 0\)이다. 역으로 \(Z = 0\)이면 \((1, f, 0)\) 역시 삼각형들의 동형사상이므로 \(f\)는 동형사상이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \((X, Y, Z, f, g, h)\)와 \((X', Y', Z', f', g', h')\)를 삼각형이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h')\)는 완전 삼각형이다.

2. \((X, Y, Z, f, g, h)\)와 \((X', Y', Z', f', g', h')\)는 둘 다 완전 삼각형이다.

증명

(2)를 가정하자. TR1에 의해 완전 삼각형 \((X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\)을 택할 수 있다. TR3에 의해 완전 삼각형들의 사상 \((X, Y, Z, f, g, h) \to (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\) 및 \((X', Y', Z', f', g', h') \to (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\) 을 찾을 수 있다. 이 사상들의 직합을 취하면 삼각형들의 사상 \[\xymatrix{ (X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h') \ar[d]^{(1, 1, c)} \\ (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h''). }\] 을 얻는다. 비고 09WA의 용어로 이는 특수 삼각형들의 사상이다(특수 삼각형들의 직합은 특수이기 때문이다). 따라서 \(c\)가 동형사상임을 얻으므로 (1)이 성립한다.

(1)을 가정하자. \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 완전 삼각형임을 보이겠다. 먼저 \((X, Y, Z, f, g, h)\)는 완전하여 특수인 삼각형 \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h')\)의 직합인자이므로 특수 삼각형이다 (비고 09WA의 용어를 사용하였다). TR1을 사용하여 \((X, Y, Q, f, g'', h'')\)를 완전 삼각형으로 택하자. TR3에 의해 완전 삼각형들의 사상 \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h') \to (X, Y, Q, f, g'', h'')\) 이 존재한다. 이를 포함사상과 합성하면 삼각형들의 사상 \[(1, 1, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X, Y, Q, f, g'', h'')\] 을 얻는다. 비고 09WA에 따라 \(c\)는 동형사상이고, 따라서 (2)가 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 완전 삼각형이라 하자.

1. \(h = 0\)이면 \(g\)의 오른쪽 역 \(s : Z \to Y\)가 존재한다.

2. \(g\)의 임의의 오른쪽 역 \(s : Z \to Y\)에 대하여 사상 \(f \oplus s : X \oplus Z \to Y\)는 동형사상이다.

3. \(\mathcal{D}\)의 임의의 대상 \(X', Z'\)에 대하여 삼각형 \((X', X' \oplus Z', Z', (1, 0), (0, 1), 0)\)은 완전하다.

증명

(1)을 보이려면 보조정리 0149에 의해 \(\Hom_\mathcal{D}(Z, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(Z, Z) \to \Hom_\mathcal{D}(Z, X[1])\)가 완전하다는 사실을 사용한다. 마찬가지로 \(s\)가 (2)에서와 같으면 \(h = 0\)이고 열 \[0 \to \Hom_\mathcal{D}(W, X) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Z) \to 0\] 은 분할 완전하다(\(s : Z \to Y\)에 의해 분할된다). 따라서 Yoneda 보조정리에 의해 \(X \oplus Z \to Y\)가 동형사상임을 알 수 있다. 마지막 주장은 TR1과 보조정리 05QS에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 핵을 갖는다.

2. \(f\)는 여핵을 갖는다.

3. \(f\)는 \(\mathcal{D}\)의 어떤 대상 \(K, Z, Q\)에 대하여 사영과 여사영의 합성 \(K \oplus Z \to Z \to Z \oplus Q\)와 동형이다.

증명

\(X' \oplus Z \to Z \oplus Y'\) 꼴의 사상과 동형인 모든 사상은 핵과 여핵을 모두 갖는다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (1), (2)이다. 이제 (1) \(\Rightarrow\) (3)을 증명한다. 먼저 \(f : X \to Y\)가 단사사상, 즉 그 핵이 영이라고 하자. TR1에 의해 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)이 존재한다. 보조정리 0146에 의해 합성 \(f \circ h[-1] = 0\)이다. \(f\)가 단사사상이므로 \(h[-1] = 0\)이고 따라서 \(h = 0\)이다. 그러면 보조정리 05QT에 의해 \(Y = X \oplus Z\)이므로 (3)이 성립한다. 이제 \(f\)가 핵 \(K\)를 갖는다고 하자. \(K \to X\)는 단사사상이므로 \(X = K \oplus X'\)이고 \(f|_{X'} : X' \to Y\)는 단사사상이다. 따라서 \(Y = X' \oplus Y'\)이고 결론을 얻는다. 함의 (2) \(\Rightarrow\) (3)은 이 논증의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(I\)를 집합이라 하자.

1. \(X_i\), \(i \in I\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상들의 족이라 하자.

   1. \(\prod X_i\)가 존재하면 \((\prod X_i)[1] = \prod X_i[1]\)이다.

   2. \(\bigoplus X_i\)가 존재하면 \((\bigoplus X_i)[1] = \bigoplus X_i[1]\)이다.

2. \(X_i \to Y_i \to Z_i \to X_i[1]\)를 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형들의 족이라 하자.

   1. \(\prod X_i\), \(\prod Y_i\), \(\prod Z_i\)가 존재하면 \(\prod X_i \to \prod Y_i \to \prod Z_i \to \prod X_i[1]\)은 완전 삼각형이다.

   2. \(\bigoplus X_i\), \(\bigoplus Y_i\), \(\bigoplus Z_i\)가 존재하면 \(\bigoplus X_i \to \bigoplus Y_i \to \bigoplus Z_i \to \bigoplus X_i[1]\)은 완전 삼각형이다.

증명

(1)은 \([1]\)이 \(\mathcal{D}\)의 자기 동치이고, 직합과 곱이 범주 구조로 정의되므로 참이다. (2)(a)를 증명하자. 완전 삼각형 \(\prod X_i \to \prod Y_i \to Z \to \prod X_i[1]\)을 택한다. 각 \(j\)에 대하여 TR3을 사용하면 사영사상 \(\prod X_i \to X_j\) 및 \(\prod Y_i \to Y_j\)와 함께 완전 삼각형들의 사상을 이루는 사상 \(p_j : Z \to Z_j\)를 택할 수 있다. 곱의 정의를 사용하면 완전 삼각형에서 곱들로 이루어진 삼각형으로 가는 삼각형들의 사상에 들어맞는 사상 \(\prod p_i : Z \to \prod Z_i\)를 얻는다. 아벨 군들의 완전열들의 곱은 완전하므로 “곱” 삼각형 \(\prod X_i \to \prod Y_i \to \prod Z_i \to \prod X_i[1]\)은 비고 09WA의 용어로 특수하다. 따라서 비고 09WA에 의해 이 삼각형들의 사상은 동형사상이고, TR1로 결론을 얻는다. (2)(b)의 증명은 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \(\mathcal{D}\)가 가산 곱을 가지면 \(\mathcal{D}\)는 카루비 범주이다. \(\mathcal{D}\)가 가산 쌍대곱을 가지면 \(\mathcal{D}\)는 카루비 범주이다.

증명

\(\mathcal{D}\)가 가산 곱을 갖는다고 하자. 호몰로지 대수학, 보조정리 05QV에 따라 오른쪽 역을 갖는 사상들이 핵을 갖는지만 확인하면 충분하다. 오른쪽 역을 갖는 모든 사상은 전사사상이므로 보조정리 05QU에 의해 핵을 갖는다. 두 번째 명제는 첫 번째 명제의 쌍대이다.

다음 보조정리를 사용하면 전삼각 범주가 삼각 범주임을 증명하기가 조금 더 쉬워진다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. TR4를 증명하려면 임의의 합성 가능한 사상 \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)가 주어졌을 때 다음 자료가 존재함을 보이면 충분하다.

1. 동형사상 \(i : X' \to X\), \(j : Y' \to Y\), \(k : Z' \to Z\)가 존재하고, \(f' = j^{-1}fi : X' \to Y'\) 및 \(g' = k^{-1}gj : Y' \to Z'\)로 두었을 때,

2. 완전 삼각형 \((X', Y', Q_1, f', p_1, d_1)\), \((X', Z', Q_2, g' \circ f', p_2, d_2)\), 및 \((Y', Z', Q_3, g', p_3, d_3)\)가 존재하며, 이에 대하여 TR4의 주장이 성립한다.

증명

완전 삼각형과 그 동형사상에 대한 정의에 따라 \(X, Y, Z\)를 \(X', Y', Z'\)로 바꾸어도 무방하다. 보조정리 014B에 의해 완전 삼각형 \((X', Y', Q_1, f', p_1, d_1)\), \((X', Z', Q_2, g' \circ f', p_2, d_2)\), 및 \((Y', Z', Q_3, g', p_3, d_3)\)가 동형사상을 제외하면 유일하다는 사실에서 결론이 따른다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고, \(\mathcal{D}'\)가 \(\mathcal{D}\)의 가법 충만 부분범주라고 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\)가 \(\mathcal{D}\)의 전삼각 부분범주가 되게 하는 삼각형들의 집합 \(\mathcal{T}'\)가 존재한다.

2. \(\mathcal{D}'\)는 \([1]\) 아래 보존되고, \([1] : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}'\)은 자기 동치이며, \(\mathcal{D}'\) 안의 임의의 사상 \(f : X \to Y\)에 대하여 \(Z\)가 \(\mathcal{D}'\)의 어떤 대상과 동형이 되게 하는 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 존재한다.

이 경우 (1)의 \(\mathcal{T}'\)는 \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D}')\)를 만족하는 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)들의 집합이다. 마지막으로 \(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면, (1)과 (2)는 다음 조건과도 동치이다.

1. \(\mathcal{D}'\)는 삼각 부분범주이다.

증명

생략한다.

보조정리

전삼각 범주 사이의 완전 함자는 가법이다.

증명

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 전삼각 범주 사이의 완전 함자라 하자. \((0, 0, 0, 1_0, 1_0, 0)\)은 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이므로 삼각형 \[(F(0), F(0), F(0), 1_{F(0)}, 1_{F(0)}, F(0))\] 은 \(\mathcal{D}'\)에서 완전하다. 보조정리 0146에 의해 \(1_{F(0)} \circ 1_{F(0)}\)은 영이다. 따라서 \(F(0)\)은 \(\mathcal{D}'\)의 영대상이다. 이로부터 \(F\)를 임의의 영사상에 적용한 결과도 영임을 알 수 있다(가법 범주의 사상이 영일 필요충분조건은 영대상을 통해 분해되는 것이다). 다음으로 보조정리 05QT의 (3)에 의해 \((X, X \oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0)\)이 완전 삼각형이라는 사실을 사용하면 \((F(X), F(X \oplus Y), F(Y), F(1, 0), F(0, 1), 0)\)도 완전 삼각형임을 알 수 있다. 보조정리 05QT의 (2)에 의해 사상 \(F(X) \oplus F(Y) \to F(X \oplus Y)\)는 동형사상이다. 마지막으로 호몰로지 대수학, 보조정리 0DLP를 적용한다.

보조정리

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 전삼각 범주 사이의 충실충만한 완전 함자라 하자. \(\mathcal{D}\)의 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 완전할 필요충분조건은 \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h))\)가 \(\mathcal{D}'\)에서 완전한 것이다.

증명

“인 경우에만” 부분은 자명하다. \((F(X), F(Y), F(Z))\)가 \(\mathcal{D}'\)에서 완전하다고 하자. \(\mathcal{D}\)에서 완전 삼각형 \((X, Y, Z', f, g', h')\)을 택한다. 보조정리 014B에 의해 삼각형들의 동형사상 \[(1, 1, c') : (F(X), F(Y), F(Z)) \longrightarrow (F(X), F(Y), F(Z')).\] 이 존재한다. \(F\)는 충실충만하므로 \(F(c) = c'\)가 되게 하는 사상 \(c : Z \to Z'\)가 존재한다. 그러면 \((1, 1, c)\)는 \((X, Y, Z)\)와 \((X, Y, Z')\) 사이의 동형사상이다. 따라서 TR1에 의해 \((X, Y, Z)\)는 완전하다.

보조정리

\(\mathcal{D}, \mathcal{D}', \mathcal{D}''\)를 전삼각 범주라 하자. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)와 \(F' : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}''\)를 완전 함자라 하자. 그러면 \(F' \circ F\)는 완전 함자이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)를 호몰로지적 함자라 하자.

1. \(\mathcal{D}'\)를 전삼각 범주라 하고 \(F : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\)를 완전 함자라 하자. 그러면 합성 \(H \circ F\) 역시 호몰로지적 함자이다.

2. \(\mathcal{A}'\)를 아벨 범주라 하고 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)를 완전 함자라 하자. 그러면 \(G \circ H\) 역시 호몰로지적 함자이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\)를 \(\delta\)-함자라 하자.

1. \(\mathcal{D}'\)를 삼각 범주라 하고 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 완전 함자라 하자. 그러면 합성 \(F \circ G\) 역시 \(\delta\)-함자이다.

2. \(\mathcal{A}'\)를 아벨 범주라 하고 \(H : \mathcal{A}' \to \mathcal{A}\)를 완전 함자라 하자. 그러면 \(G \circ H\) 역시 \(\delta\)-함자이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 아벨 범주라 하자. \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\)를 \(\delta\)-함자라 하고, \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{B}\)를 호몰로지적 함자라 하자. \(\mathcal{A}\)의 모든 \(A\)에 대하여 \(H^{-1}(G(A)) = 0\)이라고 하자. 그러면 모음 \[\{H^n \circ G, H^n(\delta_{A \to B \to C})\}_{n \geq 0}\] 은 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)인 \(\delta\)-함자이다. 호몰로지 대수학, 정의 010Q를 보라.

증명

이 표기는 다음을 뜻한다. \(\mathcal{A}\) 안의 짧은 완전열 \(0 \to A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C \to 0\)이 주어지면, \[\delta = \delta_{A \to B \to C} : G(C) \to G(A)[1]\] 는 \((G(A), G(B), G(C), a, b, \delta)\)가 완전 삼각형이 되게 하는 \(\mathcal{D}\)의 사상이다. 정의 0150를 보라. 그러면 \(H^n(\delta) : H^n(G(C)) \to H^n(G(A)[1]) = H^{n + 1}(G(A))\)은 짧은 완전열에 대해 명백히 함자적이다. 마지막으로 긴 코호몰로지 완전열 (0148)과 \(H^{-1}(G(C))\)의 소멸을 함께 사용하면 원하는 대로 \(\mathcal{B}\) 안의 긴 완전열 \[0 \to H^0(G(A)) \to H^0(G(B)) \to H^0(G(C)) \xrightarrow{H^0(\delta)} H^1(G(A)) \to \ldots\] 을 얻는다.

다음 결과의 증명은 TR4를 사용한다.

명제

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하자. 임의의 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & Y' }\] 은 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[r] \ar[d] & X[1] \ar[d] \\ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & X'[1] \ar[d] \\ X'' \ar[r] \ar[d] & Y'' \ar[r] \ar[d] & Z'' \ar[r] \ar[d] & X''[1] \ar[d] \\ X[1] \ar[r] & Y[1] \ar[r] & Z[1] \ar[r] & X[2] }\] 으로 확장할 수 있다. 오른쪽 아래 사각형은 반가환이고, 이를 제외한 모든 사각형은 가환이다. 또한 각 행과 각 열은 완전 삼각형이다. 마지막으로 아래 행(각각 오른쪽 열)의 사상들은 위 행(각각 왼쪽 열)의 사상들에 \([1]\)을 적용하여 얻는다.

증명

증명을 읽기 쉽도록 이 증명에서는 화살표를 쓰지 않는다. 완전 삼각형 \((X, Y, Z)\), \((X', Y', Z')\), \((X, X', X'')\), \((Y, Y', Y'')\), 및 \((X, Y', A)\)를 택한다. 사상 \(X \to Y'\)는 합성 \(X \to Y \to Y'\)와 같고 동시에 합성 \(X \to X' \to Y'\)와 같다. 따라서 TR4에서와 같은 사상

1. \(a : Z \to A\) 및 \(b : A \to Y''\), 그리고

2. \(a' : X'' \to A\) 및 \(b' : A \to Z'\)

을 찾을 수 있다. \(c : Y'' \to Z[1]\)를 합성 \(Y'' \to Y[1] \to Z[1]\)라 하고, \(c' : Z' \to X''[1]\)를 합성 \(Z' \to X'[1] \to X''[1]\)라 하자. TR4를 적용한 결론은 다음과 같다.

1. \((Z, A, Y'', a, b, c)\)와 \((X'', A, Z', a', b', c')\)는 완전 삼각형이다.

2. \((X, Y, Z) \to (X, Y', A)\), \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\), \((X, X', X'') \to (X, Y', A)\), \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) 는 삼각형들의 사상이다.

먼저 \((X, X', X'') \to (X, Y', A)\)와 \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\)가 삼각형들의 사상이라는 사실을 사용하면 다음 두 그림 중 첫 번째 그림이 가환임을 알 수 있다.

\[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ X'' \ar[r]^{b \circ a'} \ar[d] & Y'' \ar[d] \\ X[1] \ar[r] & Y[1] } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d]^{b' \circ a} \ar[r] & X[1] \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] } }\] 두 번째 그림도 \((X, Y, Z) \to (X, Y', A)\)와 \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\)가 삼각형들의 사상이라는 사실을 사용하면 가환임을 알 수 있다. 이제 사상 \(b \circ a' : X'' \to Y''\)로 시작하는 완전 삼각형 \((X'', Y'' , Z'')\)을 택한다.

다음으로 사상 \(X'' \to A \to Y''\)와 삼각형 \((X'', A, Z', a', b', c')\), \((X'', Y'', Z'')\), 및 \((A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\)에 TR4를 한 번 더 적용하여 사상 \(a'' : Z' \to Z''\)와 \(b'' : Z'' \to Z[1]\)을 얻는다. 그러면 \((Z', Z'', Z[1], a'', b'', - b'[1] \circ a[1])\)은 완전 삼각형이고, 따라서 \((Z, Z', Z'', -b' \circ a, a'', -b'')\)도, 더 나아가 \((Z, Z', Z'', b' \circ a, a'', b'')\)도 완전 삼각형이다. 또한 \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\)와 \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\)는 삼각형들의 사상이다. 이로써 모든 완전 삼각형과 모든 사상을 정의하였다. 이제 몇 가지 가환 관계만 확인하면 된다.

큰 그림의 가운데 사각형이 가환임을 보이자. \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\)가 삼각형들의 사상이므로 화살표 \(Y' \to Z'\)는 \(Y' \to A \to Z'\)로 분해된다. 마찬가지로 \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\)가 삼각형들의 사상이므로 사상 \(Y' \to Y''\)는 \(Y' \to A \to Y''\)로 분해된다. 따라서 \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\)가 TR4에 의해 삼각형들의 사상이므로 변이 \((A, Z', Z'', Y'')\)인 사각형이 가환하고, 이에 따라 가운데 사각형도 가환이다. 변이 \((Y'', Z'', Y[1], Z[1])\)인 사각형은 \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\)가 삼각형들의 사상이고 \(c : Y'' \to Z[1]\)가 합성 \(Y'' \to Y[1] \to Z[1]\)이므로 가환이다. 변이 \((Z', X'[1], X''[1], Z'')\)인 사각형은 \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\)가 삼각형들의 사상이고 \(c' : Z' \to X''[1]\)가 합성 \(Z' \to X'[1] \to X''[1]\)이므로 가환이다. 마지막으로 변이 \((Z'', X''[1], Z[1], X[2])\)인 사각형이 반가환임을 보여야 한다. 이는 \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\)가 삼각형들의 사상이므로 성립하며, 증명이 끝난다.

삼각 범주의 국소화

복합체들의 호모토피 범주에서 시작하여 유도 범주를 구성하기 위해 국소화 과정을 사용할 것이다.

정의

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. 곱셈계 \(S\)가 다음 두 조건을 만족하면 그 곱셈계가 삼각 구조와 양립한다고 한다.

1. \(\mathcal{D}\)의 사상 \(f\)에 대하여 \(f \in S \Leftrightarrow f[1] \in S\)이다.⁴

2. 실선으로 표시된 가환 사각형 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^s & Y \ar[r] \ar[d]^{s'} & Z \ar[r] \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{s[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] }\] 이 주어지고, 두 행이 완전 삼각형이며 \(s, s' \in S\)라고 하자. 그러면 \((s, s', s'')\)가 삼각형들의 사상이 되게 하는 \(S\)의 사상 \(s'' : Z \to Z'\)가 존재한다.

이 공리들은 곱셈계를 정의하는 공리들과 독립적이지 않음이 드러난다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(S \subset \text{Arrows}(\mathcal{D})\)라 하자.

1. \(S\)가 모든 항등사상을 포함하고 MS6이 성립하면 (정의 05R2), \(\mathcal{D}\)의 모든 동형사상은 \(S\)에 속한다.

2. MS1, MS5(범주론, 정의 04VC)와 MS6이 성립하면 MS2가 성립한다.

증명

\(S\)가 모든 항등사상을 포함하고 MS6이 성립한다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 동형사상이라 하고 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] \ar[d]^1 & X \ar[r]_1 \ar[d]^1 & X \ar[r] \ar@{-->}[d] & 0[1] \ar[d]^{1[1]} \\ 0 \ar[r] & X \ar[r]^f & Y \ar[r] & 0[1] }\] 을 생각하자. 보조정리 05QR에 의해 두 행은 완전 삼각형이다. MS6에 의해 점선 화살표가 존재하며 \(S\)에 속한다. 따라서 \(f\)는 \(S\)에 속한다.

MS1, MS5, MS6을 가정하자. \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하고 \(t : X \to X'\)을 \(S\)의 원소라 하자. 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)을 택한다. 다음으로 완전 삼각형 \((X', Y', Z, f', g', t[1] \circ h)\)을 택한다(여기서는 TR1과 TR2를 사용한다). MS5와 MS6을 사용하고 TR2로 회전하면 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^t & Y \ar[r] \ar@{..>}[d]^{s'} & Z \ar[r] \ar[d]^1 & X[1] \ar[d]^{t[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z \ar[r] & X'[1] }\] 의 점선 화살표를 찾을 수 있고, 더 나아가 \(s' \in S\)이다. 이는 LMS2를 증명한다. RMS2의 증명은 쌍대이다.

주

MS1과 MS6이 있는 경우, 조건 MS5는 모든 \(s \in S\)와 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(s[n] \in S\)를 요구하는 것과 동치이다. 예를 들어 MS5가 성립하고 \(s \in S\)이며 \(s[-1] \in S\)임을 보이려 한다고 하자. \(s[-1][1]\)은 \(s\)와 같지 않고 \(\mathcal{D}\)의 화살표로서 \(s\)와 동형일 뿐이므로 이는 즉시 따르지 않는다. 그래도 이 사실은 어떤 동형사상 \(f\), \(g\)에 대하여 \(s[-1][1] = f \circ s \circ g\)임을 뜻한다. 보조정리 05R3의 (1)에 의해 \(f, g \in S\)이므로 MS1에 의해 \(s[-1][1] \in S\)이고, 다시 MS5에 의해 \(s[-1] \in S\)이다. 완전한 증명은 연습문제로 독자에게 남긴다.

보조정리

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 전삼각 범주 사이의 완전 함자라 하고 \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid F(f)\text{ is an isomorphism}\}\] 로 두자. 그러면 \(S\)는 \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계이다(범주론, 정의 05Q8 참조).

증명

범주론, 정의 04VC, 05Q8 및 정의 05R2의 공리 MS1–MS6을 증명해야 한다. MS1, MS4, MS5는 정의에서 곧바로 따른다. MS6은 TR3과 보조정리 014A에서 따른다. 보조정리 05R3에 의해 MS2가 성립한다. 증명을 끝내려면 MS3을 보여야 한다. 이를 위해 \(f, g : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하고, \(t : Z \to X\)를 \(f \circ t = g \circ t\)를 만족하는 \(S\)의 원소라 하자. \(\mathcal{D}\)는 가법이므로 이는 \(a = f - g\)에 대하여 \(a \circ t = 0\)이라는 뜻일 뿐이다. TR1을 사용하여 완전 삼각형 \((Z, X, Q, t, d, h)\)을 택한다. \(a \circ t = 0\)이므로 보조정리 0149에 의해 \(i \circ d = a\)를 만족하는 사상 \(i : Q \to Y\)가 존재한다. 마지막으로 TR1을 다시 사용하여 삼각형 \((Q, Y, W, i, j, k)\)를 택한다. 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_d \ar[d]^1 & Q \ar[r] \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^j \\ & & W }\] 이제 이 그림에 함자 \(F\)를 적용한다. \(t \in S\)이므로 보조정리 05QR에 의해 \(F(Q) = 0\)이다. 같은 보조정리에 의해 \(F(j)\)는 동형사상, 즉 \(j \in S\)이다. 마지막으로 \(j \circ i = 0\)이므로 \(j \circ a = j \circ i \circ d = 0\)이다. 따라서 \(j \circ f = j \circ g\)이고 LMS3이 성립한다. RMS3의 증명은 쌍대이다.

보조정리

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)를 전삼각 범주에서 아벨 범주로 가는 호몰로지적 함자라 하고 \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid H^i(f)\text{ is an isomorphism for all }i \in \mathbf{Z}\}\] 로 두자. 그러면 \(S\)는 \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계이다(범주론, 정의 05Q8 참조).

증명

범주론, 정의 04VC, 05Q8 및 정의 05R2의 공리 MS1–MS6을 증명해야 한다. MS1, MS4, MS5는 정의에서 곧바로 따른다. MS6은 TR3과 긴 코호몰로지 완전열 (0148)에서 따른다. 보조정리 05R3에 의해 MS2가 성립한다. 증명을 끝내려면 MS3을 보여야 한다. 이를 위해 \(f, g : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하고, \(t : Z \to X\)를 \(f \circ t = g \circ t\)를 만족하는 \(S\)의 원소라 하자. \(\mathcal{D}\)는 가법이므로 이는 \(a = f - g\)에 대하여 \(a \circ t = 0\)이라는 뜻일 뿐이다. TR1과 TR2를 사용하여 완전 삼각형 \((Z, X, Q, t, u, v)\)를 택한다. \(a \circ t = 0\)이므로 보조정리 0149에 의해 \(i \circ g = a\)를 만족하는 사상 \(i : Q \to Y\)가 존재한다.

마지막으로 TR1을 다시 사용하여 삼각형 \((Q, Y, W, i, j, k)\)를 택한다. 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_u \ar[d]^1 & Q \ar[r]_v \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^j \\ & & W }\] 이제 이 그림에 함자들 \(H^i\)를 적용한다. \(t \in S\)이므로 긴 코호몰로지 완전열 (0148)에 의해 \(H^i(Q) = 0\)이다. 같은 논증에 의해 모든 \(i\)에 대하여 \(H^i(j)\)는 동형사상, 즉 \(j \in S\)이다. 마지막으로 \(j \circ i = 0\)이므로 \(j \circ a = j \circ i \circ u = 0\)이다. 따라서 \(j \circ f = j \circ g\)이고 LMS3이 성립한다. RMS3의 증명은 쌍대이다.

명제

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고 \(S\)를 삼각 구조와 양립하는 곱셈계라 하자. 그러면 \([1] \circ Q = Q \circ [1]\)이고 국소화 함자 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\)가 완전 함자가 되게 하는 \(S^{-1}\mathcal{D}\) 위의 전삼각 범주 구조가 유일하게 존재한다. 더 나아가 \(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 \(S^{-1}\mathcal{D}\)도 삼각 범주이다.

증명

호몰로지 대수학, 보조정리 05QE에서 \(S^{-1}\mathcal{D}\)가 가법 범주이고 국소화 함자 \(Q\)가 가법임을 보았다. MS5에 의해 \(Q \circ [1] = [1] \circ Q\)가 성립하게 하는(함자들의 등식) 가법 자기 동치 \([1] : S^{-1}\mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\)가 유일하게 존재한다. 자세한 내용은 생략한다. \(S^{-1}\mathcal{D}\)의 삼각형이 국소화 함자 \(Q\) 아래 완전 삼각형의 상과 동형이면 그 삼각형을 완전하다고 한다.

TR1의 증명. 여기서 증명할 것은 \(a : Q(X) \to Q(Y)\)가 \(S^{-1}\mathcal{D}\)의 사상이면 \(a\)가 완전 삼각형에 들어간다는 것뿐이다. \(S\)의 어떤 \(s : Y \to Y'\)와 어떤 \(f : X \to Y'\)에 대하여 \(a = Q(s)^{-1} \circ Q(f)\)로 쓰자. \(\mathcal{D}\)에서 완전 삼각형 \((X, Y', Z, f, g, h)\)을 택한다. 그러면 \((Q(X), Q(Y), Q(Z), a, Q(g) \circ Q(s), Q(h))\)가 \(S^{-1}\mathcal{D}\)의 완전 삼각형임을 알 수 있다.

TR2의 증명. 이는 정의에서 즉시 따른다.

TR3의 증명. 존재해야 하는 점선 화살표의 존재성은 두 삼각형을 동형인 삼각형들로 바꾼 뒤 증명해도 됨에 유의하라. 따라서 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\) 및 \((X', Y', Z', f', g', h')\)와 \(S^{-1}\mathcal{D}\) 안의 가환 그림 \[\xymatrix{ Q(X) \ar[r]_{Q(f)} \ar[d]_a & Q(Y) \ar[d]^b \\ Q(X') \ar[r]^{Q(f')} & Q(Y') }\] 이 주어졌다고 가정해도 된다. 이제 범주론, 보조정리 05Q3를 적용하여 \(\mathcal{D}\)의 사상 \(f'' : X'' \to Y''\)와 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_k & X'' \ar[d]^{f''} & X' \ar[d]^{f'} \ar[l]^s \\ Y \ar[r]^l & Y'' & Y' \ar[l]_t }\] 을 찾을 수 있으며, 여기서 \(s, t \in S\)이고 \(a = s^{-1}k\), \(b = t^{-1}l\)이다. 이제 \(\mathcal{D}\)에 TR3과 MS6을 사용하면 \(r \in S\)인 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^k & Y \ar[r] \ar[d]^l & Z \ar[r] \ar[d]^m & X[1] \ar[d]^{g[1]} \\ X'' \ar[r] & Y'' \ar[r] & Z'' \ar[r] & X''[1] \\ X' \ar[r] \ar[u]_s & Y' \ar[r] \ar[u]_t & Z' \ar[r] \ar[u]_r & X'[1] \ar[u]_{s[1]} }\] 을 찾을 수 있다.

따라서 \(c = Q(r)^{-1}Q(m)\)로 두면 원하는 삼각형들의 사상 \[\xymatrix{ (Q(X), Q(Y), Q(Z), Q(f), Q(g), Q(h)) \ar[d]^{(a, b, c)} \\ (Q(X'), Q(Y'), Q(Z'), Q(f'), Q(g'), Q(h')) }\] 을 얻는다.

이는 명제의 첫 번째 주장을 증명한다. \(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 \(S^{-1}\mathcal{D}\)도 삼각 범주임을 보이기 위해 TR4를 더 증명해야 한다. 보조정리 014C에 따라 다음 명제로 환원한다. 합성 가능한 사상 \(a : Q(X) \to Q(Y)\)와 \(b : Q(Y) \to Q(Z)\)가 주어졌을 때, 필요하다면 \(Q(X), Q(Y), Q(Z)\)를 동형인 대상들로 바꾸고 팔면체를 만들어야 한다. 먼저 \(\mathcal{D}\)의 어떤 사상 \(f : X \to Y\)에 대하여 \(a = Q(f)\)가 되게 하는 대상으로 \(Y\)를 바꿀 수 있다. (더 정확히 말해 \(S\)의 \(s : Y \to Y'\)와 \(f : X \to Y'\)를 사용하여 \(a = s^{-1}f\)로 쓴 뒤, \(Y\)를 \(Y'\)로 바꾼다.) 그 다음 마찬가지로 \(\mathcal{D}\)의 어떤 사상 \(g : Y \to Z\)에 대하여 \(b = Q(g)\)가 되게 하는 대상으로 \(Z\)를 바꾼다. 이제 TR1에 의해 \(\mathcal{D}\) 안의 완전 삼각형 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\), \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\), 및 \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\)를 찾을 수 있고, TR4에서와 같은 사상 \(a : Q_1 \to Q_2\)와 \(b : Q_2 \to Q_3\)도 찾을 수 있다. 이 모든 자료에 함자 \(Q\)를 적용하면 \(S^{-1}\mathcal{D}\) 안에서 대응하는 구조를 얻는다는 것은 즉시 확인된다.

삼각 범주의 국소화가 갖는 보편 성질은 다음과 같다. 이를 전삼각 범주에 대하여 서술하므로, 특히 삼각 범주에 대해서도 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고, \(S\)를 삼각 구조와 양립하는 곱셈계라 하자. 명제 05R6의 국소화 함자를 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\)라 하자.

1. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)가 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)로 가는 호몰로지적 함자이고, 모든 \(s \in S\)에 대하여 \(H(s)\)가 동형사상이라고 하자. 그러면 \(H = H' \circ Q\)를 만족하는 유일한 분해 \(H' : S^{-1}\mathcal{D} \to \mathcal{A}\)도 호몰로지적 함자이다 (범주론, 보조정리 04VG 참조).

2. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)가 전삼각 범주 \(\mathcal{D}'\)로 가는 완전 함자이고, 모든 \(s \in S\)에 대하여 \(F(s)\)가 동형사상이라고 하자. 그러면 \(F = F' \circ Q\)를 만족하는 유일한 분해 \(F' : S^{-1}\mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)도 완전 함자이다 (범주론, 보조정리 04VG 참조).

증명

이 보조정리는 스스로를 증명한다. 자세한 내용은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고, \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\)를 충만 전삼각 부분범주라 하자. \(S\)를 \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계라 하자. \(\mathcal{D}\)의 각 \(X\)에 대하여 \(X'\)가 \(\mathcal{D}'\)의 대상이고 \(s : X' \to X\)가 \(S\)에 속하게 하는 사상이 존재한다고 가정하자. 그러면 \(S' = S \cap \text{Arrows}(\mathcal{D}')\)는 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계이고, 함자 \[(S')^{-1}\mathcal{D}' \longrightarrow S^{-1}\mathcal{D}\] 는 전삼각 범주들의 동치이다.

증명

명제 05R6의 몫함자 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\)를 생각하자. \(S\)가 포화이므로 사상 \(f : X \to Y\)가 \(S\)에 속할 필요충분조건은 \(Q(f)\)가 가역인 것이다. 범주론, 보조정리 05Q9를 보라. 따라서 \(S'\)는 합성 \(\mathcal{D}' \to \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\)에 의해 동형사상으로 보내지는 화살표들의 모음이다. 그러므로 보조정리 05R4에 의해 \(S'\)는 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계이다.

보조정리 05R7에 의해 전삼각 범주들의 완전 함자 \((S')^{-1}\mathcal{D}' \to S^{-1}\mathcal{D}\)를 얻는다. 가정에 의해 이 함자는 본질적으로 전사이다. \(X', Y'\)를 \(\mathcal{D}'\)의 대상이라 하자. 범주론, 비고 05Q4에 의해 \[\Mor_{S^{-1}\mathcal{D}}(X', Y') = \colim_{s : X \to X'\text{ in }S} \Mor_\mathcal{D}(X, Y')\] 이다. 우리의 가정에 의해 \(S\)의 임의의 \(s : X \to X'\)에 대하여 \(X''\)가 \(\mathcal{D}'\)에 속하고 \(s' : X'' \to X\)가 \(S\)에 속하게 하는 사상을 찾을 수 있다. 그러면 \(s \circ s' : X'' \to X'\)는 \(S'\)에 속한다. 따라서 위의 쌍대극한은 \[\colim_{s'' : X'' \to X'\text{ in }S'} \Mor_{\mathcal{D}'}(X'', Y') = \Mor_{(S')^{-1}\mathcal{D}'}(X', Y')\] 과 같다. 이는 우리 함자가 충실충만함도 증명하므로 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 국소화 함자의 핵(정의 05RF 참조)을 기술한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고, \(S\)를 삼각 구조와 양립하는 곱셈계라 하자. \(Z\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(S^{-1}\mathcal{D}\)에서 \(Q(Z) = 0\)이다.

2. 어떤 \(Z' \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대하여 \(0 : Z \to Z'\)가 \(S\)의 원소이다.

3. 어떤 \(Z' \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대하여 \(0 : Z' \to Z\)가 \(S\)의 원소이다.

4. \(f \in S\)이고 \((X, Y, Z \oplus Z', f, g, h)\)가 완전 삼각형이 되게 하는 대상 \(Z'\)가 존재한다.

\(S\)가 포화이면 이 조건들은 다음 조건들과도 동치이다.

1. 사상 \(0 \to Z\)가 \(S\)의 원소이다.

2. 사상 \(Z \to 0\)이 \(S\)의 원소이다.

3. \(f \in S\)인 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 존재한다.

증명

(1), (2), (3)의 동치성은 호몰로지 대수학, 보조정리 05QF이다. (2)가 성립하면 \((Z'[-1], Z'[-1] \oplus Z, Z, (1, 0), (0, 1), 0)\)은 “\(0 \in S\)”인 완전 삼각형이다(보조정리 05QT 참조). 회전하면 (4)가 성립한다. \((X, Y, Z \oplus Z', f, g, h)\)가 \(f \in S\)인 완전 삼각형이면 \(Q(f)\)는 동형사상이므로 \(Q(Z \oplus Z') = 0\)이고, 따라서 \(Q(Z) = 0\)이다. 그러므로 (1)–(4)는 모두 동치이다.

이제 \(S\)가 포화라고 가정하자. (5), (6), (7)은 각각 동치인 조건 (1)–(4) 중 하나를 함의한다. \(Q(Z) = 0\)이라고 하자. 그러면 \(0 \to Z\)는 \(\mathcal{D}\)의 사상이며 \(S^{-1}\mathcal{D}\)에서 동형사상이 된다. 범주론, 보조정리 05Q9에 따르면 \(S\)가 포화라는 사실로부터 \(0 \to Z\)가 \(S\)에 속한다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (5)이다. 쌍대적으로 (1) \(\Rightarrow\) (6)이다. 마지막으로 \(0 \to Z\)가 \(S\)에 속하면 삼각형 \((0, Z, Z, 0, \text{id}_Z, 0)\)은 TR1과 TR2에 의해 완전하고, (7)에서와 같은 삼각형이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하고, \(S\)를 \(\mathcal{D}\) 안의 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계라 하자. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이라 하자. 삼각형들의 사상들의 범주 \[\mathcal{I} = \{(s, s', s'') : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h') \mid s, s', s'' \in S\}\] 를 생각하자. 그러면 \(\mathcal{I}\)는 여과 범주이고 함자 \(\mathcal{I} \to X/S\), \(\mathcal{I} \to Y/S\), \(\mathcal{I} \to Z/S\)는 공종이다.

증명

독자에게 이 보조정리의 증명을 건너뛰고 대신 냅킨 위에서 직접 풀어 보기를 강력히 권한다.

첫 번째로, 완전 삼각형의 회전(TR2)을 사용하면 \(\mathcal{I}\)와 완전 삼각형 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)에 대응하는 범주 사이의 동치를 얻는다. 이를 사용하면 예를 들어 함자 \(\mathcal{I} \to X/S\)가 공종임을 증명할 경우 함자 \(\mathcal{I} \to Y/S\)와 \(\mathcal{I} \to Z/S\)도 공종임을 알 수 있다.

\(s : X \to X'\)가 \(S\)의 사상이면 MS2를 사용하여 \(f' \circ s = s' \circ f\)가 되게 하는 \(s' : Y \to Y'\)와 \(f' : X' \to Y'\)를 찾을 수 있고, 이어서 MS6을 사용하여 이를 \(\mathcal{I}\)의 대상으로 완성할 수 있다. 따라서 함자 \(\mathcal{I} \to X/S\)는 대상에 대해 전사이다. 위와 같이 회전하면 함자 \(\mathcal{I} \to Y/S\)와 \(\mathcal{I} \to Z/S\)도 대상에 대해 전사임을 얻는다.

\(X/S\)의 대상 \(s_1 : X \to X_1\)와 \(s_2 : X \to X_2\), 그리고 \(X/S\) 안의 사상 \(a : X_1 \to X_2\)가 주어졌다고 하자. \(S\)는 포화이므로 범주론, 보조정리 05Q9에 의해 \(a \in S\)이다. 앞 문단의 논증으로 \(s_1 : X \to X_1\)을 \(\mathcal{I}\)의 대상 \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) 로 완성할 수 있다. 이어 같은 과정을 반복하여 주어진 \(a : X_1 \to X_2\)를 완성하는 \((a, b, c) : (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) 를 \(a, b, c \in S\)가 되도록 찾을 수 있다. 그러면 \((a, b, c)\)는 \(\mathcal{I}\)의 사상이다. 이로써 함자 \(\mathcal{I} \to X/S\)가 화살표에 대해서도 전사임을 얻는다. 위와 같이 회전하면 함자 \(\mathcal{I} \to Y/S\)와 \(\mathcal{I} \to Z/S\)에도 같은 사실이 성립한다.

항등사상이 대상을 주므로 범주 \(\mathcal{I}\)는 공집합이 아니다. 이는 여과 범주 정의의 조건 (1)을 증명한다. 범주론, 정의 002V를 보라.

범주 \(\mathcal{I}\)에 대하여 범주론, 정의 002V의 조건 (2)를 확인하자. \(\mathcal{I}\)의 대상 \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) 및 \((s_2, s'_2, s''_2) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) 가 주어졌다고 하자. \((X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\)와 \((X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) 양쪽으로부터 화살표를 받는 \(\mathcal{I}\)의 대상을 찾고자 한다. 범주론, 비고 05Q0에 의해 범주 \(X/S\), \(Y/S\), \(Z/S\)는 여과된다. 따라서 \(X/S\)에서 \(X \to X_3\)와 사상 \(s : X_2 \to X_3\), \(a : X_1 \to X_3\)를 찾을 수 있다. 위 결과에 의해 \(s', s'' \in S\)인 삼각형들의 사상 \((s, s', s'') : (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\)을 찾을 수 있다. \((X_2, Y_2, Z_2)\)를 \((X_3, Y_3, Z_3)\)로 바꾸면 \(X/S\) 안의 사상 \(a : X_1 \to X_2\)가 존재한다고 가정해도 된다. \(Y\)와 \(Z\)에 대하여 위와 같은 논증을 반복하면(위와 같이 회전한다) \(X/S\) 안의 \(a : X_1 \to X_2\), \(Y/S\) 안의 \(b : Y_1 \to Y_2\), \(Z/S\) 안의 \(c : Z_1 \to Z_2\)가 존재한다고 가정해도 된다. 그러나 이 사상들이 반드시 완전 삼각형들의 사상을 이루는 것은 아니다. 한편 필요한 그림들은 \(S^{-1}\mathcal{D}\)에서 가환한다. 따라서 예를 들어 \(s'_2 \circ f_2 \circ a = s'_2 \circ b \circ f_1\)이 되게 하는 \(S\)의 사상 \(s'_2 : Y_2 \to Y_3\)가 존재한다. 위와 같이 \((X_2, Y_2, Z_2)\)를 한 번 더 바꾸면 \(f_2 \circ a = b \circ f_1\)인 상황에 도달한다. 회전하고 같은 논증을 두 번 더 적용하면 \((a, b, c)\)가 삼각형들의 사상이라고 가정할 수 있다. 이는 조건 (2)를 증명한다.

다음으로 범주론, 정의 002V의 조건 (3)을 확인하자. \((s_1, s_1', s_1'') : (X, Y, Z) \to (X_1, Y_1, Z_1)\)와 \((s_2, s_2', s_2'') : (X, Y, Z) \to (X_2, Y_2, Z_2)\)를 \(\mathcal{I}\)의 대상이라 하고, \((a, b, c), (a', b', c')\)를 이들 사이의 두 사상이라 하자. \(a \circ s_1 = a' \circ s_1\)이므로 \(s_3 \circ a = s_3 \circ a'\)가 되게 하는 사상 \(s_3 : X_2 \to X_3\)가 존재한다. 전사성에 관한 위 명제를 사용하면 이를 \(s_3, s_3', s_3'' \in S\)인 삼각형들의 사상 \((s_3, s_3', s_3'') : (X_2, Y_2, Z_2) \to (X_3, Y_3, Z_3)\)로 완성할 수 있다. 따라서 \((s_3 \circ s_2, s_3' \circ s_2', s_3'' \circ s_2'') : (X, Y, Z) \to (X_3, Y_3, Z_3)\)도 \(\mathcal{I}\)의 대상이다. 사상 \((a, b, c), (a', b', c')\)를 \((s_3, s_3', s_3'')\)와 합성하면 \(a = a'\)를 얻는다. 회전하면 같은 과정을 수행하여 \(b = b'\)와 \(c = c'\)도 얻을 수 있다.

마지막으로 \(\mathcal{I} \to X/S\)가 공종임을 확인하자. 범주론, 정의 04E6을 보라. 함자가 전사이므로 첫 번째 조건은 성립한다. \(X/S\)의 대상 \(s : X \to X'\)와 \(\mathcal{I}\)의 두 대상 \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) 및 \((s_2, s'_2, s''_2) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\), 그리고 \(X/S\) 안의 사상 \(t_1 : X' \to X_1\) 및 \(t_2 : X' \to X_2\)가 주어졌다고 하자. 위에서 증명한 \(\mathcal{I}\)의 성질 (2)에 의해 \(\mathcal{I}\) 안의 사상 \((s_3, s'_3, s''_3) : (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) 및 \((s_4, s'_4, s''_4) : (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\)을 찾을 수 있다. 합성 \(X' \to X_1 \to X_3\)와 \(X' \to X_2 \to X_3\)가 같다면 증명이 끝난다(범주론, 정의 04E6의 표시식을 보라). 같지 않다면 \(X/S\)가 여과되므로 두 합성 \(X' \to X_1 \to X_3 \to X_4\)와 \(X' \to X_2 \to X_3 \to X_4\)가 같아지게 하는 \(X/S\) 안의 사상 \(X_3 \to X_4\)를 택할 수 있다. 마지막으로 \(X_3 \to X_4\)를 \(\mathcal{I}\) 안의 사상 \((X_3, Y_3, Z_3) \to (X_4, Y_4, Z_4)\)로 완성하고 그 사상과 합성하면 원하는 결과를 얻는다.

삼각 범주의 몫

삼각 범주와 그 삼각 부분범주가 주어지면 ‘몫’을 취하여 또 하나의 삼각 범주를 구성할 수 있다. 이 구성에는 국소화를 사용한다. 이는 아벨 범주를 Serre 부분범주로 나눈 몫과 비슷하다. 호몰로지, 절 02MN를 보라. 실제 구성을 하기 전에 완전 함자의 핵을 간단히 논의한다.

정의

\(\mathcal{D}\)를 전삼각 범주라 하자. \(\mathcal{D}\)의 충만한 전삼각 부분범주 \(\mathcal{D}'\)에 대하여, \(X \oplus Y\)가 \(\mathcal{D}'\)의 어떤 대상과 동형일 때마다 \(X\)와 \(Y\)가 모두 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이면 그 부분범주를 포화라고 한다.

포화 삼각 부분범주는 때로 두꺼운 삼각 부분범주라고 불린다. 어떤 문헌에서는 이 용어를 엄밀히 충만한 삼각 부분범주에 대해서만 사용한다(때로는 정의 자체가 엄밀한 충만성을 함의하도록 쓰인다). épaisse 삼각 부분범주라는 또 다른 개념도 있다. 그 정의는 다음 가환 그림이 주어졌을 때 \[\xymatrix{ & S \ar[rd] \\ X \ar[ru] \ar[rr] & & Y \ar[r] & T \ar[r] & X[1] }\] 두 번째 줄이 완전 삼각형이고 \(S\)와 \(T\)가 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이면 \(X\)와 \(Y\)도 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이라는 것이다. 이는 포화라는 조건과 동치임이 알려져 있으며(이는 초등적인 사실이고 [Rickard-derived]에서 찾을 수 있다), 포화 범주라는 개념이 다루기 더 쉽다.

보조정리

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 전삼각 범주들의 완전 함자라 하자. \(\mathcal{D}''\)를 대상이 \[\Ob(\mathcal{D}'') = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid F(X) = 0\}\] 인 \(\mathcal{D}\)의 충만한 부분범주라 하자. 그러면 \(\mathcal{D}''\)는 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 전삼각 부분범주이다. \(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 \(\mathcal{D}''\)는 삼각 부분범주이다.

증명

\(\mathcal{D}''\)가 \([1]\)과 \([-1]\) 아래 보존됨은 명백하다. \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이고 \(F(X) = F(Y) = 0\)이면, \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h))\)가 완전 삼각형이므로 \(F(Z) = 0\)이기도 하다. 따라서 보조정리 05QX를 적용하면 \(\mathcal{D}''\)가 전삼각 부분범주임을 알 수 있다(\(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 삼각 부분범주이다). 포화라는 마지막 명제는 \(F(X) \oplus F(Y) = 0 \Rightarrow F(X) = F(Y) = 0\)에서 따른다.

보조정리

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)를 전삼각 범주에서 아벨 범주로 가는 호몰로지적 함자라 하자. \(\mathcal{D}'\)을 대상이 \[\Ob(\mathcal{D}') = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }n \in \mathbf{Z}\}\] 인 \(\mathcal{D}\)의 충만한 부분범주라 하자. 그러면 \(\mathcal{D}'\)은 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 전삼각 부분범주이다. \(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 \(\mathcal{D}'\)은 삼각 부분범주이다.

증명

\(\mathcal{D}'\)이 \([1]\)과 \([-1]\) 아래 보존됨은 명백하다. \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이고 모든 \(n\)에 대해 \(H(X[n]) = H(Y[n]) = 0\)이면, 긴 완전열 (0148)에 의해 모든 \(n\)에 대해 \(H(Z[n]) = 0\)이기도 하다. 따라서 보조정리 05QX를 적용하면 \(\mathcal{D}'\)이 전삼각 부분범주임을 알 수 있다(\(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 삼각 부분범주이다). 포화라는 명제는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대한 \[\begin{align*} H((X \oplus Y)[n]) = 0 & \Rightarrow H(X[n] \oplus Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) \oplus H(Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) = H(Y[n]) = 0 \end{align*}\] 에서 따른다.

보조정리

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)를 전삼각 범주에서 아벨 범주로 가는 호몰로지적 함자라 하자. \(\mathcal{D}_H^{+}, \mathcal{D}_H^{-}, \mathcal{D}_H^b\)를 각각 대상이 \[\begin{matrix} \Ob(\mathcal{D}_H^{+}) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }n \ll 0\} \\ \Ob(\mathcal{D}_H^{-}) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }n \gg 0\} \\ \Ob(\mathcal{D}_H^b) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }|n| \gg 0\} \end{matrix}\] 인 \(\mathcal{D}\)의 충만한 부분범주라 하자. 이들은 각각 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 전삼각 부분범주이다. \(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 이들은 각각 삼각 부분범주이다.

증명

\(\mathcal{D}_H^{+}\)에 대해 증명하자. 이것이 \([1]\)과 \([-1]\) 아래 보존됨은 명백하다. \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이고 모든 \(n \ll 0\)에 대해 \(H(X[n]) = H(Y[n]) = 0\)이면, 긴 완전열 (0148)에 의해 모든 \(n \ll 0\)에 대해 \(H(Z[n]) = 0\)이기도 하다. 따라서 보조정리 05QX를 적용하면 \(\mathcal{D}_H^{+}\)가 전삼각 부분범주임을 알 수 있다 (\(\mathcal{D}\)가 삼각 범주이면 삼각 부분범주이다). 포화라는 명제는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대한 \[\begin{align*} H((X \oplus Y)[n]) = 0 & \Rightarrow H(X[n] \oplus Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) \oplus H(Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) = H(Y[n]) = 0 \end{align*}\] 에서 따른다.

정의

\(\mathcal{D}\)를 (전)삼각 범주라 하자.

1. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 완전 함자라 하자. \(F\)의 핵은 보조정리 05RC에서 기술한 엄밀히 충만한 포화 (전)삼각 부분범주이다.

2. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)를 호몰로지적 함자라 하자. \(H\)의 핵은 보조정리 05RD에서 기술한 엄밀히 충만한 포화 (전)삼각 부분범주이다.

이들은 때로 \(\Ker(F)\) 또는 \(\Ker(H)\)로 표기한다.

다음 보조정리의 증명은 TR4를 사용한다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\)을 충만한 삼각 부분범주라 하자. 다음과 같이 놓자. [05RH]\[\begin{equation} S = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished triangle }\\ (X, Y, Z, f, g, h) \text{ of }\mathcal{D}\text{ with } Z\text{ isomorphic to an object of }\mathcal{D}' \end{matrix} \right\} \end{equation}\] 그러면 \(S\)는 \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 곱셈계이다. 이 상황에서 다음 두 조건은 동치이다.

1. \(S\)는 포화 곱셈계이다.

2. \(\mathcal{D}'\)은 포화 삼각 부분범주이다.

증명

첫 번째 명제를 증명하려면 MS1, MS2, MS3, MS5, MS6이 성립함을 보이면 된다.

MS1의 증명. \(\mathcal{D}\)의 모든 대상 \(X\)에 대해 \((X, X, 0, 1, 0, 0)\)이 완전 삼각형이고 \(0\)이 \(\mathcal{D}'\)의 대상이므로 항등사상들이 \(S\)에 속함은 명백하다. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\)에 속하는 합성 가능한 사상이라 하자. 완전 삼각형 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\), \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\), \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\)를 택한다. 가정에 의해 \(Q_1\)과 \(Q_3\)은 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이다. TR4에 의해 완전 삼각형 \((Q_1, Q_2, Q_3, a, b, c)\)가 존재한다. \(\mathcal{D}'\)은 삼각 부분범주이므로 \(Q_2\)가 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이라고 결론내릴 수 있다. 따라서 \(g \circ f \in S\)이다.

MS3의 증명. \(a : X \to Y\)를 사상이라 하고 \(t : Z \to X\)를 \(a \circ t = 0\)을 만족하는 \(S\)의 원소라 하자. 보조정리 05R4의 증명과 비교하면, LMS3을 증명하려면 \(s \circ a = 0\)을 만족하는 \(s \in S\)를 찾으면 충분하다. TR1과 TR2를 사용하여 완전 삼각형 \((Z, X, Q, t, g, h)\)를 택한다. \(a \circ t = 0\)이므로 보조정리 0149에 의해 \(i \circ g = a\)인 사상 \(i : Q \to Y\)가 존재한다. 마지막으로 TR1을 다시 사용하여 삼각형 \((Q, Y, W, i, s, k)\)를 택할 수 있다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_g \ar[d]^1 & Q \ar[r] \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^s \\ & & W }\] \(t \in S\)이므로 \(Q\)가 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형임을 알 수 있다. 따라서 \(s \in S\)이다. 마지막으로 보조정리 0146에 의해 \(s \circ i = 0\)이므로 \(s \circ a = s \circ i \circ g = 0\)이다. 이로써 LMS3이 성립한다. RMS3의 증명은 쌍대적이다.

MS5의 증명. 완전 삼각형들과 \(\mathcal{D}'\)이 평행이동 아래 안정적이므로 성립한다.

MS6의 증명. \(s, s' \in S\)인 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^s & Y \ar[d]^{s'} \\ X' \ar[r] & Y' }\] 이 주어졌다고 하자. 명제 05R0에 의해 이를 아홉 칸 그림으로 확장할 수 있다. \(s, s'\)가 \(S\)의 원소이므로 \(X'', Y''\)가 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형임을 알 수 있다. \(\mathcal{D}'\)은 충만한 삼각 부분범주이므로 \(Z''\)도 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형임을 알 수 있다. 따라서 사상 \(Z \to Z'\)는 \(S\)의 원소이다. 이로써 MS6이 증명된다.

MS2는 MS1, MS5, MS6의 형식적 귀결이다. 보조정리 05R3를 보라. 이로써 보조정리의 첫 번째 명제의 증명이 끝난다.

\(S\)가 포화라고 가정하자. (이하에서는 더 말하지 않고 완전 삼각형을 회전시켜 사용한다.) \(X \oplus Y\)가 \(\mathcal{D}'\)의 어떤 대상과 동형인 대상이라 하자. 사상 \(f : 0 \to X\)를 생각하자. 합성 \(0 \to X \to X \oplus Y\)는 \((0, X \oplus Y, X \oplus Y, 0, 1, 0)\)이 완전 삼각형이므로 \(S\)의 원소이다. 합성 \(Y[-1] \to 0 \to X\)는 \((X, X \oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0)\)이 완전 삼각형이므로 \(S\)의 원소이다. 보조정리 05QT을 보라. 따라서 \(S\)가 포화이므로 \(0 \to X\)는 \(S\)의 원소이다. 그러므로 원하는 대로 \(X\)는 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이다.

마지막으로 \(\mathcal{D}'\)이 포화 삼각 부분범주라고 가정하자. 합성 가능한 \(\mathcal{D}\)의 사상 \[W \xrightarrow{h} X \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} Z\] 가 \(fg, gh \in S\)를 만족한다고 하자. 아래 그림과 같은 대상들의 그림을 차례로 구성할 것이다. \[\xymatrix{ & & Q_{12} \ar[rd] & & Q_{23} \ar[rd] \\ & Q_1 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ru] & & Q_2 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ll]_{\! + \! 1} \ar[ru] & & Q_3 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ll]_{\! + \! 1} \\ W \ar[rr] & & X \ar[lu] \ar[rr] & & Y \ar[lu] \ar[rr] & & Z \ar[lu] }\] 먼저 완전 삼각형 \((W, X, Q_1)\), \((X, Y, Q_2)\), \((Y, Z, Q_3)\), \((W, Y, Q_{12})\), \((X, Z, Q_{23})\)를 택한다. \(s : Q_2 \to Q_1[1]\)을 합성 \(Q_2 \to X[1] \to Q_1[1]\)로 표기한다. \(t : Q_3 \to Q_2[1]\)을 합성 \(Q_3 \to Y[1] \to Q_2[1]\)로 표기한다. 합성 \(W \to X \to Y\)와 합성 \(X \to Y \to Z\)에 TR4를 적용하면 사상 \(s\)와 \(t\)를 사용하는 완전 삼각형 \((Q_1, Q_{12}, Q_2)\)와 \((Q_2, Q_{23}, Q_3)\)가 존재한다. \(W \to Y\)와 \(X \to Z\)가 \(S\)에 속한다고 가정했으므로 대상 \(Q_{12}\)와 \(Q_{23}\)은 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이다. \(S\)는 합성과 평행이동 아래 닫혀 있으므로 \(s[1]t\)도 \(S\)의 원소이다. \(Y[1] \to Q_2[1] \to X[2]\)가 영이므로 \(s[1]t = 0\)임을 주목하자. 보조정리 0146를 보라. 따라서 보조정리 05QT에 의해 \(Q_3[1] \oplus Q_1[2]\)는 \(\mathcal{D}'\)의 어떤 대상과 동형이다. \(\mathcal{D}'\)에 대한 가정으로부터 \(Q_3\)과 \(Q_1\)이 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이라고 결론내린다. 완전 삼각형 \((Q_1, Q_{12}, Q_2)\)를 보면 \(Q_2\)도 \(\mathcal{D}'\)의 대상과 동형이라고 결론내릴 수 있다. 완전 삼각형 \((X, Y, Q_2)\)를 보면 마침내 \(g \in S\)라고 결론내린다.

(또한 \(h, f \in S\)라는 사실도 따르지만 여기서는 필요하지 않다.)

정의

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(\mathcal{B}\)를 충만한 삼각 부분범주라 하자. 보조정리 05RG에 의해 \(\mathcal{B}\)에 대응하는 \(\mathcal{D}\)의 곱셈계를 \(S\)라 할 때, 공식 \(\mathcal{D}/\mathcal{B} = S^{-1}\mathcal{D}\)로 몫범주 \(\mathcal{D}/\mathcal{B}\)를 정의한다. 이 경우 국소화 함자 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\)를 몫함자라고 한다.

몫함자 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\)는 삼각 범주들의 완전 함자임을 주목하자. 명제 05R6을 보라. 이 구성의 보편 성질은 다음과 같다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(\mathcal{B}\)를 \(\mathcal{D}\)의 충만한 삼각 부분범주라 하자. \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\)를 몫함자라 하자.

1. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)가 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)로 가는 호몰로지적 함자이고 \(\mathcal{B} \subset \Ker(H)\)이면, \(H = H' \circ Q\)를 만족하는 유일한 분해 \(H' : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)가 존재하며 \(H'\)도 호몰로지적 함자이다.

2. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)가 전삼각 범주 \(\mathcal{D}'\)으로 가는 완전 함자이고 \(\mathcal{B} \subset \Ker(F)\)이면, \(F = F' \circ Q\)를 만족하는 유일한 분해 \(F' : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{D}'\)이 존재하며 \(F'\)도 완전 함자이다.

증명

이 보조정리는 보조정리 05R7에서 따른다. 실제로 \(f : X \to Y\)가 \(\mathcal{D}\)의 사상이고, 어떤 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)에 대하여 대상 \(Z\)가 \(\mathcal{B}\)의 대상과 동형이면, 각각 (1)과 (2)의 가정 아래에서 \(H(f)\)와 \(F(f)\)는 동형사상이다. 세부 사항은 생략한다.

몫함자의 핵은 다음과 같이 기술할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(\mathcal{B}\)를 충만한 삼각 부분범주라 하자. 몫함자 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\)의 핵은 대상이 \[\Ob(\Ker(Q)) = \left\{ \begin{matrix} Z \in \Ob(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a }Z' \in \Ob(\mathcal{D}) \\ \text{ such that }Z \oplus Z'\text{ is isomorphic to an object of }\mathcal{B} \end{matrix} \right\}\] 인 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 부분범주이다. 다시 말해 이는 \(\mathcal{B}\)를 포함하는 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주 가운데 가장 작은 것이다.

증명

먼저 핵은 자동으로 엄밀히 충만한 삼각 부분범주이고 그 대상들의 모든 직합인자를 포함한다. 보조정리 05RC를 보라. 대상에 대한 기술은 정의와 보조정리 05R8의 (4)에서 따른다.

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하자. 이제 다음 두 부분순서 집합 사이에 순서를 보존하는 사상을 유도하는 구성들이 있다.

1. \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 \(\mathcal{D}\) 안의 곱셈계 \(S\)들의 부분순서 집합.

2. 충만한 삼각 부분범주 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{D}\)들의 부분순서 집합.

구체적으로 이 구성들은 \(S \mapsto \mathcal{B}(S) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D})\) 와 \(\mathcal{B} \mapsto S(\mathcal{B})\)이다. 여기서 \(S(\mathcal{B})\)는 (05RH)의 곱셈집합, 즉 \[S(\mathcal{B}) = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished triangle }\\ (X, Y, Z, f, g, h) \text{ of }\mathcal{D}\text{ with } Z\text{ isomorphic to an object of }\mathcal{B} \end{matrix} \right\}\] 이다. 이 두 연산이 서로 역연산인 것은 아님을 주목하자.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하자. 위에서 기술한 연산들은 다음 성질을 갖는다.

1. \(S(\mathcal{B}(S))\)는 \(S\)의 ‘포화’, 즉 \(S\)를 포함하는 \(\mathcal{D}\)의 포화 곱셈계 가운데 가장 작은 것이다.

2. \(\mathcal{B}(S(\mathcal{B}))\)는 \(\mathcal{B}\)의 ‘포화’, 즉 \(\mathcal{B}\)를 포함하는 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주 가운데 가장 작은 것이다.

특히 이 구성들은 \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 \(\mathcal{D}\)의 포화 곱셈계들의 (부분순서) 집합과 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주들의 (부분순서) 집합 사이에 서로 역인 사상들을 정의한다.

증명

먼저 충만한 삼각 부분범주 \(\mathcal{B}\)에서 시작하자. 그러면 \(\mathcal{B}(S(\mathcal{B})) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B})\)이고, 따라서 (2)는 보조정리 05RK의 내용이다.

다음으로 \(S\)가 \(\mathcal{D}\)의 삼각 구조와 양립하는 \(\mathcal{D}\)의 곱셈계라고 하자. 그러면 \(\mathcal{B}(S) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D})\)이다. 따라서 국소화된 범주에서 보조정리 05QR를 사용하면 \[\begin{align*} S(\mathcal{B}(S)) & = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished}\\ \text{triangle }(X, Y, Z, f, g, h) \text{ of }\mathcal{D}\text{ with }Q(Z) = 0 \end{matrix} \right\}. \\ & = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid Q(f)\text{ is an isomorphism}\} \\ & = \hat S = S' \end{align*}\] 이다. 여기서는 범주론, 보조정리 05Q9의 표기법을 사용했다. 그 보조정리의 마지막 명제가 증명을 끝낸다.

보조정리

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\)를 삼각 범주 \(\mathcal{D}\)에서 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)로 가는 호몰로지적 함자라 하자. 정의 0147를 보라. \(\mathcal{D}\)의 부분범주 \(\Ker(H)\)는 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이고, 이에 대응하는 포화 곱셈계(보조정리 05RL를 보라)는 집합 \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid H^i(f)\text{ is an isomorphism for all }i \in \mathbf{Z}\}.\] 이다. 함자 \(H\)는 몫함자 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\Ker(H)\)를 통해 분해된다.

증명

보조정리 05RD에 의해 범주 \(\Ker(H)\)는 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 보조정리 05R5에 의해 집합 \(S\)는 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계이다. \(\Ker(H)\)에 대응하는 곱셈계가 집합 \[\left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished triangle }\\ (X, Y, Z, f, g, h)\text{ with } H^i(Z) = 0 \text{ for all }i \end{matrix} \right\}.\] 임을 상기하자. 긴 코호몰로지 완전열 (0148)에 의해 \(f\)가 이 집합의 원소일 필요충분조건은 \(f\)가 \(S\)의 원소인 것이다. 마지막으로 \(H\)가 \(Q\)를 통해 분해된다는 사실은 보조정리 05RJ의 귀결이다.

완전 함자의 수반

삼각 범주들 사이의 수반 함자에 관한 결과들을 제시한다.

보조정리

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 삼각 범주들 사이의 완전 함자라 하자. \(F\)가 오른쪽 수반 \(G: \mathcal{D'} \to \mathcal{D}\)를 가지면 \(G\)도 완전 함자이다.

증명

\(\xi_X : F(X[1]) \to F(X)[1]\)를 정의 014V에 나오는 것이라 하자. \(\epsilon_A : F(G(A)) \to A\)를 수반 사상이라 하자. 합성 \[F(G(A)[1]) \xrightarrow{\xi_{G(A)}} F(G(A))[1] \xrightarrow{\epsilon_A[1]} A[1]\] 을 생각하자. 이 사상에 수반되는 사상 \(G(A)[1] \to G(A[1])\)가 동형사상이라고 주장한다. 이를 보이려면 Yoneda 보조정리에 의해 \(\mathcal{D}\)의 모든 대상 \(X\)에 대해 \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], -)\)를 적용했을 때 전단사를 얻음을 보이면 충분하다. 이제 모든 사상 \(f : X[1] \to G(A)[1]\)은 유일한 \(g : X \to G(A)\)에 대해 \(g[1]\)의 꼴이고, 모든 \(g\)에는 유일한 \(h : F(X) \to A\)가 수반되며, 다시 \(h[1] \circ \xi_X\)에는 유일한 \(i : X[1] \to G(A[1])\)가 수반된다. \(f\)를 \(i\)로 보내는 규칙은 \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], G(A)[1])\)와 \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], G(A[1]))\) 사이의 전단사를 준다. 이 전단사가 위의 사상으로 주어진다는 것은 범주론, 절 0036의 논의와 다음 계산에서 따른다. \[\begin{align*} \epsilon_A[1] \circ \xi_{G(A)} \circ F(f) & = \epsilon_A[1] \circ \xi_{G(A)} \circ F(g[1]) \\ & = \epsilon_A[1] \circ F(g)[1] \circ \xi_X \\ & = (\epsilon_A \circ F(g))[1] \circ \xi_X \\ & = h[1] \circ \xi_X \end{align*}\] 일부 세부 사항은 생략한다. 동형사상 \(G(A)[1] \to G(A[1])\)의 역을 사용하여 \(G\)가 완전 함자임을 보일 것이다. 이 동형사상들은 \(A\)에 대해 함자적이다 (세부 사항은 생략한다).

\(A \to B \to C \to A[1]\)을 \(\mathcal{D}'\)의 완전 삼각형이라 하자. \(\mathcal{D}\)에서 완전 삼각형 \[G(A) \to G(B) \to X \to G(A)[1]\] 을 택한다. 그러면 \(F(G(A)) \to F(G(B)) \to F(X) \to F(G(A))[1]\)은 \(\mathcal{D}'\)의 완전 삼각형이다. TR3에 의해 완전 삼각형들의 사상 \[\xymatrix{ F(G(A)) \ar[r] \ar[d]^{\epsilon_A} & F(G(B)) \ar[r] \ar[d]^{\epsilon_B} & F(X) \ar[r] \ar[d] & F(G(A))[1] \ar[d]^{\epsilon_A[1]} \\ A \ar[r] & B \ar[r] & C \ar[r] & A[1] }\] 을 택할 수 있다. 화살표 \(F(X) \to F(G(A))[1]\)은 \(F(X) \to F(G(A)[1])\)와 \(\xi_{G(A)}\)의 합성임을 상기하자. \(G\)가 \(F\)의 오른쪽 수반이라는 사실과 위 논의를 사용하면, 그림 \[\xymatrix{ G(A) \ar[r] \ar[d] & G(B) \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar[d] & G(A)[1] \ar[d] \\ G(A) \ar[r] & G(B) \ar[r] & G(C) \ar[r] & G(A[1]) }\] 이 가환하고 오른쪽 수직 화살표가 위에서 구성한 사상이 되게 하는 사상 \(X \to G(C)\)가 존재한다고 결론내린다.

\(\mathcal{D}'\)의 대상 \(W\)에 대해 호몰로지적 함자 \(\Hom_{\mathcal{D}'}(W, -)\)를 적용하면 \(5\) 보조정리에 의해 \[\Hom_{\mathcal{D}'}(W, X) \to \Hom_{\mathcal{D}'}(W, G(C))\] 가 전단사임을 얻는다. Yoneda 보조정리를 한 번 더 사용하면 \(X \to G(C)\)가 동형사상이라고 결론내린다. 따라서 \(G(A) \to G(B) \to G(C) \to G(A)[1]\)은 완전 삼각형이다. 이것이 보이려던 바이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)와 \(\mathcal{D}'\)을 삼각 범주라 하자. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)와 \(G : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\)를 함자라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(F\)와 \(G\)는 완전 함자이다.

2. \(F\)는 충실충만하다.

3. \(G\)는 \(F\)의 오른쪽 수반이다.

4. \(G\)의 핵은 영이다.

그러면 \(F\)는 범주의 동치이다.

증명

\(F\)가 충실충만하므로 수반 사상 \(\text{id} \to G \circ F\)는 동형사상이다(범주론, 보조정리 07RB). \(X\)를 \(\mathcal{D}'\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{D}'\)에서 완전 삼각형 \[F(G(X)) \to X \to Y \to F(G(X))[1]\] 을 택한다. \(G\)를 적용하고 \(G(F(G(X))) = G(X)\)임을 사용하면 완전 삼각형 \[G(X) \to G(X) \to G(Y) \to G(X)[1]\] 을 얻는다. 따라서 \(G(Y) = 0\)이고, 그러므로 \(Y = 0\)이다. 따라서 \(F(G(X)) \to X\)는 동형사상이다.

호모토피 범주

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 호모토피 범주 \(K(\mathcal{A})\)는 \(\mathcal{A}\)의 복합체들을 대상으로 하고 호모토피를 법으로 한 복합체 사상들을 사상으로 하는 범주이다. 형식적 정의는 다음과 같다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자.

1. \(\text{Comp}(\mathcal{A}) = \text{CoCh}(\mathcal{A})\)를 (코체인) 복합체들의 범주라 한다.

2. 복합체 \(K^\bullet\)에 대하여 모든 \(n \ll 0\)에서 \(K^n = 0\)이면 아래로 유계라고 한다.

3. 복합체 \(K^\bullet\)에 대하여 모든 \(n \gg 0\)에서 \(K^n = 0\)이면 위로 유계라고 한다.

4. 복합체 \(K^\bullet\)에 대하여 모든 \(|n| \gg 0\)에서 \(K^n = 0\)이면 유계라고 한다.

5. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Comp}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{Comp}^b(\mathcal{A})\)를 대상이 각각 아래로 유계, 위로 유계, 유계 복합체인 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 충만한 부분범주라 한다.

6. \(K(\mathcal{A})\)를 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)와 같은 대상을 가지되 사상은 복합체 사상의 호모토피류인 범주라 한다(호몰로지, 보조정리 0112를 보라).

7. \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\mathcal{A})\)를 대상이 각각 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계, 위로 유계, 유계 복합체인 \(K(\mathcal{A})\)의 충만한 부분범주라 한다.

범주 \(K(\mathcal{A})\), \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), \(K^b(\mathcal{A})\)가 삼각 범주임을 보이게 될 것이다. 이를 증명하기 위해 먼저 원뿔과 분할 완전열에 관련된 기법을 전개한다.

원뿔과 항별 분할 열

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고, \(K(\mathcal{A})\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체들을 대상으로 하며 호모토피를 법으로 한 복합체 사상들을 사상으로 하는 범주라 하자. 복합체의 평행이동 함자 \([n]\)(호몰로지, 정의 011G를 보라)는 \([n] \circ [m] = [n + m]\) 및 \([0] = \text{id}\)를 만족하는 함자 \([n] : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})\)를 유도함을 주목하자.

정의

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 사상이라 하자. \(f\)의 원뿔은 \(C(f)^n = L^n \oplus K^{n + 1}\)이고 미분이 \[d_{C(f)}^n = \left( \begin{matrix} d^n_L & f^{n + 1} \\ 0 & -d_K^{n + 1} \end{matrix} \right)\] 인 복합체 \(C(f)^\bullet\)이다. 이는 자명한 사상 \(L^n \to C(f)^n \to K^{n + 1}\)에서 유도되는 복합체들의 표준 사상 \(i : L^\bullet \to C(f)^\bullet\)와 \(p : C(f)^\bullet \to K^\bullet[1]\)을 갖춘다.

다시 말해 \((K, L, C(f), f, i, p)\)는 삼각형 \[K^\bullet \to L^\bullet \to C(f)^\bullet \to K^\bullet[1]\] 을 이룬다. 이 삼각형의 구성은 다음 의미에서 함자적이다.

보조정리

복합체 사상들의 그림 \[\xymatrix{ K_1^\bullet \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & L_1^\bullet \ar[d]^b \\ K_2^\bullet \ar[r]^{f_2} & L_2^\bullet }\] 이 호모토피까지 가환한다고 하자. 그러면 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 사상 \((a, b, c) : (K_1^\bullet, L_1^\bullet, C(f_1)^\bullet, f_1, i_1, p_1) \to (K_2^\bullet, L_2^\bullet, C(f_2)^\bullet, f_2, i_2, p_2)\) 를 유도하는 사상 \(c : C(f_1)^\bullet \to C(f_2)^\bullet\)가 존재한다.

증명

\(b \circ f_1 - f_2 \circ a= d \circ h + h \circ d\)를 만족하는 사상족 \(h^n : K_1^n \to L_2^{n - 1}\)을 택한다. \(c^n\)을 행렬 \[c^n = \left( \begin{matrix} b^n & h^{n + 1} \\ 0 & a^{n + 1} \end{matrix} \right) : L_1^n \oplus K_1^{n + 1} \to L_2^n \oplus K_2^{n + 1}\] 로 정의한다.

행렬 계산으로 \(c\)가 복합체 사상임을 알 수 있다. \(c \circ i_1 = i_2 \circ b\)임은 자명하고, \(p_2 \circ c = a \circ p_1\)임도 곧바로 확인된다.

보조정리 014F의 증명에서 구성한 사상 \(c : C(f_1)^\bullet \to C(f_2)^\bullet\)는 일반적으로 \(f_2 \circ a\)와 \(b \circ f_1\) 사이에 택한 호모토피 \(h\)에 의존함을 주목하자.

보조정리

\(f: K^\bullet \to L^\bullet\)와 \(g : L^\bullet \to M^\bullet\)가 복합체 사상이고 \(g \circ f\)가 영과 호모토픽이라고 하자. 그러면

1. \(g\)는 사상 \(C(f)^\bullet \to M^\bullet\)을 통해 분해되고,

2. \(f\)는 사상 \(K^\bullet \to C(g)^\bullet[-1]\)을 통해 분해된다.

증명

가정은 그림 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_f \ar[d] & L^\bullet \ar[d]^g \\ 0 \ar[r] & M^\bullet }\] 이 호모토피까지 가환한다는 뜻이다. \(0 \to M^\bullet\)의 원뿔은 \(M^\bullet\)이므로 보조정리 014F의 사상 \(C(f)^\bullet \to C(0 \to M^\bullet) = M^\bullet\)이 (1)의 사상이다. \(K^\bullet \to 0\)의 원뿔은 \(K^\bullet[1]\)이고, 보조정리 014F를 적용하면 사상 \(K^\bullet[1] \to C(g)^\bullet\)을 얻는다. \([-1]\)을 적용하면 (2)의 사상을 얻는다.

보조정리 08RI의 증명에서 구성한 사상 \(C(f)^\bullet \to M^\bullet\)과 \(K^\bullet \to C(g)^\bullet[-1]\)은 일반적으로 택한 호모토피에 의존함을 주목하자.

정의

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. 항별 분할 단사 \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\)란 각 \(A^n \to B^n\)이 직합인자의 포함과 동형인 복합체 사상이다. 항별 분할 전사 \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\)란 각 \(B^n \to C^n\)이 직합인자 위로의 사영과 동형인 복합체 사상이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. 복합체 사상들의 그림 \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[r]_f \ar[d]_a & B^\bullet \ar[d]^b \\ C^\bullet \ar[r]^g & D^\bullet }\] 이 호모토피까지 가환한다고 하자. \(f\)가 항별 분할 단사이면 \(b\)는 이 그림을 가환하게 하는 사상과 호모토픽이다. \(g\)가 항별 분할 전사이면 \(a\)는 이 그림을 가환하게 하는 사상과 호모토픽이다.

증명

\(bf - ga = dh + hd\)를 만족하는 사상족 \(h^n : A^n \to D^{n - 1}\)을 택한다. \(\pi^n : B^n \to A^n\)을 사상 \(f^n\)의 분할을 주는 사상들이라 하자. \(b' = b - dh\pi - h\pi d\)로 잡는다. \(s^n : D^n \to C^n\)을 사상 \(g^n : C^n \to D^n\)의 분할을 주는 사상들이라 하자. \(a' = a + dsh + shd\)로 잡는다. 계산은 생략한다.

다음 보조정리를 사용하면 복합체 사상을 각 차수에서 직합인자의 포함인 사상으로 바꿀 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 사상이라 하자. 다음 조건을 만족하는 분해 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]^{\tilde \alpha} \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde L^\bullet \ar[r]^\pi & L^\bullet }\] 가 존재한다.

1. \(\tilde \alpha\)는 항별 분할 단사이다(정의 014G를 보라).

2. \(\pi \circ s = \text{id}_{L^\bullet}\)이고 \(s \circ \pi\)가 \(\text{id}_{\tilde L^\bullet}\)과 호모토픽이 되게 하는 복합체 사상 \(s : L^\bullet \to \tilde L^\bullet\)가 존재한다.

더욱이 \(K^\bullet\)과 \(L^\bullet\)이 모두 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 또는 \(K^b(\mathcal{A})\)에 속하면 \(\tilde L^\bullet\)도 그러하다.

증명

다음과 같이 놓는다. \[\tilde L^n = L^n \oplus K^n \oplus K^{n + 1}\] 그리고 \[d^n_{\tilde L} = \left( \begin{matrix} d^n_L & 0 & 0 \\ 0 & d^n_K & \text{id}_{K^{n + 1}} \\ 0 & 0 & -d^{n + 1}_K \end{matrix} \right)\] 로 정의한다. 다시 말해 \(\tilde L^\bullet = L^\bullet \oplus C(1_{K^\bullet})\)이다. 또한 \[\tilde \alpha = \left( \begin{matrix} \alpha \\ \text{id}_{K^n} \\ 0 \end{matrix} \right)\] 로 놓는다. 이는 명백히 분할 단사이고 복합체 사상을 정의함도 명백하다. \[\pi = \left( \begin{matrix} \text{id}_{L^n} & 0 & 0 \end{matrix} \right)\] 로 정의하면 명백히 \(\pi \circ \tilde \alpha = \alpha\)이다. 또 \[s = \left( \begin{matrix} \text{id}_{L^n} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] 로 놓으면 \(\pi \circ s = \text{id}_{L^\bullet}\)이다. 마지막으로 \(h^n : \tilde L^n \to \tilde L^{n - 1}\)을 \(\tilde L^n\)의 직합인자 \(K^n\)을 항등사상으로 \(\tilde L^{n - 1}\)의 직합인자 \(K^n\)에 보내는 사상이라 하자. 그러면 다음 비고의 계산을 보면 \[\text{id}_{\tilde L^\bullet} - s \circ \pi = d \circ h + h \circ d\] 임을 곧바로 증명할 수 있다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

주

위 증명의 마지막 표시식을 확인하려면 다음과 같이 원소로 논증할 수 있다. \(s\pi(l, k, k^{+}) = (l, 0, 0)\)이다. 따라서 좌변의 사상은 \((l, k, k^{+})\)를 \((0, k, k^{+})\)로 보낸다. 한편 \(h(l, k, k^{+}) = (0, 0, k)\)이고 \(d(l, k, k^{+}) = (dl, dk + k^{+}, -dk^{+})\)이다. 그러므로 원하는 대로 \((dh + hd)(l, k, k^{+}) = d(0, 0, k) + h(dl, dk + k^{+}, -dk^{+}) = (0, k, -dk) + (0, 0, dk + k^{+}) = (0, k, k^{+})\)이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 사상이라 하자. 다음 조건을 만족하는 분해 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]^i \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde K^\bullet \ar[r]^{\tilde \alpha} & L^\bullet }\] 가 존재한다.

1. \(\tilde \alpha\)는 항별 분할 전사이다(정의 014G를 보라).

2. \(s \circ i = \text{id}_{K^\bullet}\)이고 \(i \circ s\)가 \(\text{id}_{\tilde K^\bullet}\)과 호모토픽이 되게 하는 복합체 사상 \(s : \tilde K^\bullet \to K^\bullet\)가 존재한다.

더욱이 \(K^\bullet\)과 \(L^\bullet\)이 모두 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 또는 \(K^b(\mathcal{A})\)에 속하면 \(\tilde K^\bullet\)도 그러하다.

증명

보조정리 013N의 쌍대이다. 다음과 같이 잡는다. \[\tilde K^n = K^n \oplus L^{n - 1} \oplus L^n\] 그리고 \[d^n_{\tilde K} = \left( \begin{matrix} d^n_K & 0 & 0 \\ 0 & - d^{n - 1}_L & \text{id}_{L^n} \\ 0 & 0 & d^n_L \end{matrix} \right)\] 로 정의한다. 다시 말해 \(\tilde K^\bullet = K^\bullet \oplus C(1_{L^\bullet[-1]})\)이다. 또한 \[\tilde \alpha = \left( \begin{matrix} \alpha & 0 & \text{id}_{L^n} \end{matrix} \right)\] 로 놓는다. 이는 명백히 분할 전사이고 복합체 사상을 정의함도 명백하다. \[i = \left( \begin{matrix} \text{id}_{K^n} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] 로 정의하면 명백히 \(\tilde \alpha \circ i = \alpha\)이다. 또 \[s = \left( \begin{matrix} \text{id}_{K^n} & 0 & 0 \end{matrix} \right)\] 로 놓으면 \(s \circ i = \text{id}_{K^\bullet}\)이다. 마지막으로 \(h^n : \tilde K^n \to \tilde K^{n - 1}\)을 \(\tilde K^n\)의 직합인자 \(L^{n - 1}\)을 항등사상으로 \(\tilde K^{n - 1}\)의 직합인자 \(L^{n - 1}\)에 보내는 사상이라 하자. 그러면 \[\text{id}_{\tilde K^\bullet} - i \circ s = d \circ h + h \circ d\] 임을 곧바로 증명할 수 있다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 항별 분할 완전열이란 복합체들의 복합체 \[0 \to A^\bullet \xrightarrow{\alpha} B^\bullet \xrightarrow{\beta} C^\bullet \to 0\] 와 \(\alpha^n\) 및 \(\beta^n\)과 양립하는 지정된 직합 분해 \(B^n = A^n \oplus C^n\)을 함께 말한다. 직합 분해에서 유도되는 사상은 흔히 \(s^n : C^n \to B^n\)와 \(\pi^n : B^n \to A^n\)로 쓴다. 호몰로지, 보조정리 011J에 따라, 차수 \(n\)에서 \(\pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n\)인 대응하는 복합체 사상 \[\delta : C^\bullet \longrightarrow A^\bullet[1]\] 을 얻는다. 다시 말해 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\)는 삼각형 \[A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]\] 을 이룬다. 이를 복합체들의 항별 분할 열에 대응하는 삼각형이라고 할 것이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\)을 정의 014I에서와 같은 항별 분할 완전열이라 하자.

\((\pi')^n\), \((s')^n\)을 두 번째 분할족이라 하자. 이 두 번째 분할족에 대응하는 사상을 \(\delta' : C^\bullet \longrightarrow A^\bullet[1]\)로 표기하자. 그러면 \[(1, 1, 1) : (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta) \longrightarrow (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta')\] 은 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 동형사상이다.

증명

이 명제는 단순히 \(\delta\)와 \(\delta'\)가 호모토픽인 복합체 사상이라는 뜻이다. 이는 호몰로지, 보조정리 011L이다.

주

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(0 \to A_i^\bullet \to B_i^\bullet \to C_i^\bullet \to 0\), \(i = 1, 2\)를 항별 분할 완전열이라 하자. \(a : A_1^\bullet \to A_2^\bullet\), \(b : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\), \(c : C_1^\bullet \to C_2^\bullet\)가 복합체 사상이고 \[\xymatrix{ A_1^\bullet \ar[d]_a \ar[r] & B_1^\bullet \ar[r] \ar[d]_b & C_1^\bullet \ar[d]_c \\ A_2^\bullet \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] & C_2^\bullet }\] 가 \(K(\mathcal{A})\)에서 가환한다고 하자. 일반적으로 \(b\)와 호모토픽이면서 위 그림을 복합체 범주에서 가환하게 하는 사상 \(b' : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\)는 존재하지 않는다. 실제로 예, 식 (087K)을 생각하자. 그 가운데 사상을 그림이 가환하도록 호모토픽인 사상으로 바꿀 수 있다면, 실제로는 성립하지 않는 대각합의 가법성을 얻게 된다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(0 \to A_i^\bullet \to B_i^\bullet \to C_i^\bullet \to 0\), \(i = 1, 2, 3\)을 복합체들의 항별 분할 완전열이라 하자. \(b : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\)와 \(b' : B_2^\bullet \to B_3^\bullet\)를 복합체 사상이라 하고 \[\vcenter{ \xymatrix{ A_1^\bullet \ar[d]_0 \ar[r] & B_1^\bullet \ar[r] \ar[d]_b & C_1^\bullet \ar[d]_0 \\ A_2^\bullet \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] & C_2^\bullet } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_2^\bullet \ar[d]^0 \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] \ar[d]^{b'} & C_2^\bullet \ar[d]^0 \\ A_3^\bullet \ar[r] & B_3^\bullet \ar[r] & C_3^\bullet } }\] 가 \(K(\mathcal{A})\)에서 가환한다고 하자. 그러면 \(K(\mathcal{A})\)에서 \(b' \circ b = 0\)이다.

증명

보조정리 014H에 의해 \(b\)와 \(b'\)을 각각 호모토픽인 사상으로 바꾸어 왼쪽 그림의 오른쪽 사각형과 오른쪽 그림의 왼쪽 사각형이 가환하게 할 수 있다. 다시 말해 \(\Im(b^n) \subset \Im(A_2^n \to B_2^n)\)이고 \(\Ker((b')^n) \supset \Im(A_2^n \to B_2^n)\)이다. 그러면 복합체 사상으로서 \(b' \circ b = 0\)이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(f_1 : K_1^\bullet \to L_1^\bullet\)과 \(f_2 : K_2^\bullet \to L_2^\bullet\)를 복합체 사상이라 하자. \[(a, b, c) : (K_1^\bullet, L_1^\bullet, C(f_1)^\bullet, f_1, i_1, p_1) \longrightarrow (K_2^\bullet, L_2^\bullet, C(f_2)^\bullet, f_2, i_2, p_2)\] 를 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 임의의 사상이라 하자. \(a\)와 \(b\)가 호모토피 동치이면 \(c\)도 그러하다.

증명

\(a^{-1} : K_2^\bullet \to K_1^\bullet\)을 \(K(\mathcal{A})\)에서 \(a\)의 역인 복합체 사상이라 하자. \(b^{-1} : L_2^\bullet \to L_1^\bullet\)을 \(K(\mathcal{A})\)에서 \(b\)의 역인 복합체 사상이라 하자. \(c' : C(f_2)^\bullet \to C(f_1)^\bullet\)을 \(f_1 \circ a^{-1} = b^{-1} \circ f_2\)에 보조정리 014F를 적용하여 얻는 사상이라 하자. \(c \circ c'\)와 \(c' \circ c\)가 \(K(\mathcal{A})\)에서 동형사상임을 보이면 충분하다. 따라서 다음을 증명하면 된다. \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 사상 \((1, 1, c) : (K^\bullet, L^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, p)\)가 주어지면 \(c\)는 \(K(\mathcal{A})\)에서 동형사상이다. 가정에 의해 그림 \[\xymatrix{ L^\bullet \ar[r] \ar[d]_1 & C(f)^\bullet \ar[r] \ar[d]_c & K^\bullet[1] \ar[d]_1 \\ L^\bullet \ar[r] & C(f)^\bullet \ar[r] & K^\bullet[1] }\] 의 두 사각형은 호모토피까지 가환한다. \(C(f)^\bullet\)의 구성에 의해 각 행은 복합체들의 항별 분할 열을 이룬다. 따라서 보조정리 086L에 의해 \(K(\mathcal{A})\)에서 \((c - 1)^2 = 0\)이다. 그러므로 \(c\)는 \(K(\mathcal{A})\)에서 동형사상이고 그 역은 \(2 - c\)이다.

따라서 \(a\)와 \(b\)가 호모토피 동치이면 그 결과로 얻는 삼각형들의 사상은 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 동형사상이다. \(K(\mathcal{A})\)의 원뿔로 주어지는 삼각형족과 \(K(\mathcal{A})\)의 복합체들의 항별 분할 열로 주어지는 삼각형족은 적어도 부호를 제외하면 동형사상까지 같다는 사실이 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자.

1. 복합체들의 항별 분할 열 \((\alpha : A^\bullet \to B^\bullet, \beta : B^\bullet \to C^\bullet, s^n, \pi^n)\)가 주어지면, 그림 \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[d] \ar[r] & C(\alpha)^\bullet \ar[r]_{-p} \ar[d] & A^\bullet[1] \ar[d] \\ A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r]^\delta & A^\bullet[1] }\] 이 \(K(\mathcal{A})\)에서 삼각형들의 동형사상을 정의하게 하는 호모토피 동치 \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet\)가 존재한다.

2. 복합체 사상 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\)가 주어지면 삼각형들의 동형사상 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tilde L^\bullet \ar[d] \ar[r] & M^\bullet \ar[r]_{\delta} \ar[d] & K^\bullet[1] \ar[d] \\ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \ar[r] & C(f)^\bullet \ar[r]^{-p} & K^\bullet[1] }\] 이 존재한다. 여기서 위 삼각형은 항별 분할 완전열 \(K^\bullet \to \tilde L^\bullet \to M^\bullet\)에 대응하는 삼각형이다.

증명

(1)의 증명. \(C(\alpha)^n = B^n \oplus A^{n + 1}\)이고, \(C(\alpha)^n \to C^n\)을 \(B^n\) 위로 사영한 뒤 \(\beta^n\)을 적용하는 것으로 정의한다. 합성 \(A^{n + 1} \to B^{n + 1} \to C^{n + 1}\)들이 영이므로 이는 복합체 사상을 정의한다. 호모토피 역으로는 차수 \(n\)에서 \((s^n , -\delta^n)\)으로 주어지는 \(C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\)을 취한다. 이는 복합체 사상이다. 실제로 사상 \(\delta^n\)은 \(d \circ s^n - s^{n + 1} \circ d = \alpha \circ \delta^n\)을 만족하는 유일한 사상 \(C^n \to A^{n + 1}\)로 특징지어진다. 호몰로지, 보조정리 011J의 증명을 보라. 합성 \(C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet\)은 항등사상이다. 합성 \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\)은 사상 \[\left( \begin{matrix} s^n \circ \beta^n & 0 \\ -\delta^n \circ \beta^n & 0 \end{matrix} \right)\] 이 사상이 항등사상과 호모토픽임을 보이기 위해, 행렬 \[\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^n & 0 \end{matrix} \right) : C(\alpha)^n = B^n \oplus A^{n + 1} \to B^{n - 1} \oplus A^n = C(\alpha)^{n - 1}\] 로 주어지는 호모토피 \(h^n : C(\alpha)^n \to C(\alpha)^{n - 1}\)을 사용한다. 다음을 확인하는 것은 곧바르다. \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} s^n \\ -\delta^n \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta^n & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d & \alpha^n \\ 0 & -d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^n & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^{n + 1} & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} d & \alpha^{n + 1} \\ 0 & -d \end{matrix} \right)\] (1)의 증명을 끝내려면 사상 \(-p : C(\alpha)^\bullet \to A^\bullet[1]\)(정의 014E을 보라)과 \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]\)이 호모토피까지 일치함을 보이면 된다. 이는 위에서 명백하다. 실제로 호모토피 역 \((s, -\delta) : C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\)을 사용하여 대신 두 사상 \(C^\bullet \to A^\bullet[1]\)이 일치함을 확인할 수 있다. 그리고 원하는 대로 \(p \circ (s, -\delta) = -\delta\)이다.

(2)의 증명. \(\tilde f : K^\bullet \to \tilde L^\bullet\), \(s : L^\bullet \to \tilde L^\bullet\), \(\pi : \tilde L^\bullet \to L^\bullet\)를 보조정리 013N에 나오는 것이라 하자. 보조정리 014F와 014K에 의해

삼각형 \((K^\bullet, L^\bullet, C(f), i, p)\)와 \((K^\bullet, \tilde L^\bullet, C(\tilde f), \tilde i, \tilde p)\)는 동형이다. 삼각형들의 동형사상은 합성할 수 있음을 주목하자. 따라서 \(L^\bullet\)을 \(\tilde L^\bullet\)로, \(f\)를 \(\tilde f\)로 바꿀 수 있다. 다시 말해 \(f\)가 항별 분할 단사라고 가정할 수 있다. 이 경우 결과는 (1)에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots \to A_n^\bullet\)을 복합체들의 합성 가능한 사상열이라 하자. 다음 조건을 만족하는 가환 그림 \[\xymatrix{ A_1^\bullet \ar[r] & A_2^\bullet \ar[r] & \ldots \ar[r] & A_n^\bullet \\ B_1^\bullet \ar[r] \ar[u] & B_2^\bullet \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & B_n^\bullet \ar[u] }\] 이 존재한다. 각 사상 \(B_i^\bullet \to B_{i + 1}^\bullet\)은 항별 분할 단사이고 각 \(B_i^\bullet \to A_i^\bullet\)은 호모토피 동치이다. 더욱이 모든 \(A_i^\bullet\)이 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 또는 \(K^b(\mathcal{A})\)에 속하면 \(B_i^\bullet\)들도 그러하다.

증명

\(n = 1\)인 경우에는 증명할 내용이 없다. 보조정리 013N가 \(n = 2\)인 경우이다. \(B_n^\bullet\)을 제외한 그림을 구성했다고 하자. 합성 \(B_{n - 1}^\bullet \to A_{n - 1}^\bullet \to A_n^\bullet\)에 보조정리 013N를 적용한다. 그 결과는 원하는 분해 \(B_{n - 1}^\bullet \to B_n^\bullet \to A_n^\bullet\)이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \((\alpha : A^\bullet \to B^\bullet, \beta : B^\bullet \to C^\bullet, s^n, \pi^n)\)을 복합체들의 항별 분할 열이라 하자. \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\)를 대응하는 삼각형이라 하자. 그러면 삼각형 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, \delta[-1], \alpha, \beta)\)는 삼각형 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, p)\)와 동형이다.

증명

\(B^n = A^n \oplus C^n\)로 쓰고 \(\alpha^n\)과 \(\beta^n\)을 각각 자연스러운 포함 및 사영 사상과 동일시한다. \(\delta\)의 구성에 의해 \[d_B^n = \left( \begin{matrix} d_A^n & \delta^n \\ 0 & d_C^n \end{matrix} \right)\] 이다. 한편 \(\delta[-1] : C^\bullet[-1] \to A^\bullet\)의 원뿔은 \(C(\delta[-1])^n = A^n \oplus C^n\)로 주어지고 미분은 위 행렬과 동일하다. 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\)를 복합체 사상이라 하자. 삼각형 \((L^\bullet, C(f)^\bullet, K^\bullet[1], i, p, f[1])\)은 \(f\)의 원뿔 정의에서 나오는 항별 분할 열 \[0 \to L^\bullet \to C(f)^\bullet \to K^\bullet[1] \to 0\] 에 대응하는 삼각형이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

호모토피 범주의 완전 삼각형

호몰로지 긴 완전열의 경계 사상이 부호가 없는 뱀 보조정리의 사상으로 주어지기를 원하므로, 호모토피 범주의 완전 삼각형을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(K(\mathcal{A})\)의 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 어떤 복합체의 항별 분할 완전열에 대응하는 삼각형(정의 014I를 보라)과 동형이면 이를 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이라고 한다. \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), \(K^b(\mathcal{A})\)에도 같은 정의를 적용한다.

보조정리 014L에 따르면 \((K^\bullet, L^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, -p)\) 꼴의 삼각형은 완전 삼각형임을 주목하자. 이는 실제로 삼각 범주를 이루며, 명제 014S를 보라. 이 명제를 증명하기 전에 TR4를 증명할 수 있도록 보조정리 하나가 더 필요하다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\)와 \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\)가 복합체들의 분할 단사라고 하자. 그러면 TR4가 성립하는 완전 삼각형 \((A^\bullet, B^\bullet, Q_1^\bullet, \alpha, p_1, d_1)\), \((A^\bullet, C^\bullet, Q_2^\bullet, \beta \circ \alpha, p_2, d_2)\), \((B^\bullet, C^\bullet, Q_3^\bullet, \beta, p_3, d_3)\)가 존재한다.

증명

\(\pi_1^n : B^n \to A^n\)과 \(\pi_3^n : C^n \to B^n\)을 분할 사상이라 하자. 그러면 \(A^\bullet \to C^\bullet\)도 분할 단사이고 그 분할은 \(\pi_2^n = \pi_1^n \circ \pi_3^n\)이다. \(Q_1^\bullet\), \(Q_2^\bullet\), \(Q_3^\bullet\)을 ‘몫’ 복합체로 쓰자. 즉 \(Q_1^n = \Ker(\pi_1^n)\), \(Q_3^n = \Ker(\pi_3^n)\), \(Q_2^n = \Ker(\pi_2^n)\)이다. 이 핵들이 존재함을 주목하자. 그러면 \(A^n\)을 \(B^n\)의 부분대상으로 보는 등의 관점에서 \(B^n = A^n \oplus Q_1^n\), \(C^n = B^n \oplus Q_3^n\)이다. 따라서 \(C^n = A^n \oplus Q_1^n \oplus Q_3^n\)이다. \(\pi_2^n = \pi_1^n \circ \pi_3^n\)은 \(Q_1^n\)과 \(Q_3^n\)에서 모두 영이므로 \(Q_2^n = Q_1^n \oplus Q_3^n\)이다. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\begin{matrix} 0 & \to & A^\bullet & \to & B^\bullet & \to & Q_1^\bullet & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & A^\bullet & \to & C^\bullet & \to & Q_2^\bullet & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & B^\bullet & \to & C^\bullet & \to & Q_3^\bullet & \to & 0 \end{matrix}\] 이 그림의 각 행은 항별 분할 완전열이므로 정의에 따라 완전 삼각형을 결정한다. 또한 그림의 아래쪽 사상들은 선택한 분할과 양립하므로 삼각형들의 사상을 정의한다. \[(A^\bullet \to B^\bullet \to Q_1^\bullet \to A^\bullet[1]) \longrightarrow (A^\bullet \to C^\bullet \to Q_2^\bullet \to A^\bullet[1])\] 및 \[(A^\bullet \to C^\bullet \to Q_2^\bullet \to A^\bullet[1]) \longrightarrow (B^\bullet \to C^\bullet \to Q_3^\bullet \to B^\bullet[1]).\] 그림의 아래쪽 분할열의 분할 \(Q_3^n \to C^n\)을 \(C^n \to Q_2^n\)과 합성하면 분할열 \(0 \to Q_1^\bullet \to Q_2^\bullet \to Q_3^\bullet \to 0\)의 분할을 얻는다. 따라서 대응하는 완전 삼각형 \[(Q_1^\bullet \to Q_2^\bullet \to Q_3^\bullet \to Q_1^\bullet[1])\] 에서 사상 \(\delta : Q_3^\bullet \to Q_1^\bullet[1]\)은 합성 \(Q_3^\bullet \to B^\bullet[1] \to Q_1^\bullet[1]\)과 같다. 그러므로 공리 TR4의 결론에 나타나는 구조를 얻는다.

명제

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. 복합체를 호모토피로 나눈 범주 \(K(\mathcal{A})\)에 자연스러운 평행이동 함자와 위에서 정의한 완전 삼각형을 갖추면 이는 삼각 범주이다.

증명

TR1의 증명. 정의에 의해 완전 삼각형과 동형인 모든 삼각형은 완전 삼각형이다. 또한 삼각형 \((A^\bullet, A^\bullet, 0, 1, 0, 0)\)은 \(0 \to A^\bullet \to A^\bullet \to 0 \to 0\)이 복합체들의 항별 분할열이므로 완전 삼각형이다. 마지막으로 복합체 사상 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\)가 주어지면 삼각형 \((K, L, C(f), f, i, -p)\)은 보조정리 014L에 의해 완전 삼각형이다.

TR2의 증명. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 삼각형이라 하자. \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)이 완전 삼각형이라고 가정하자. 그러면 복합체들의 항별 분할열 \(A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet\)가 존재하여 그 대응 삼각형 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\)가 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)과 동형이다. 역으로 회전하면 \((X, Y, Z, f, g, h)\)는 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, -\delta[-1], \alpha, \beta)\)와 동형이다. 보조정리 014N에 의해 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, \delta[-1], \alpha, \beta)\)는 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, p)\)와 동형이다. 앞의 삼각형 동형사상을 \(Y\) 위의 \(-1\)과 합성하면 \((X, Y, Z, f, g, h)\)는 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, -p)\)와 동형이다. 따라서 보조정리 014L에 의해 완전 삼각형이다. 반대로 \((X, Y, Z, f, g, h)\)가 완전 삼각형이라고 하자. 보조정리 014L에 의해 이는 어떤 복합체 사상 \(f\)에 대한 \((K^\bullet, L^\bullet, C(f), f, i, -p)\) 꼴의 삼각형과 동형이다. 회전한 삼각형 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)은 \((L^\bullet, C(f), K^\bullet[1], i, -p, -f[1])\)과 동형이고, 이는 다시 \((L^\bullet, C(f), K^\bullet[1], i, p, f[1])\)과 동형이다. 보조정리 014O에 의해 후자는 완전 삼각형이다. 따라서 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)도 완전 삼각형이다.

TR3의 증명. \((X, Y, Z, f, g, h)\)와 \((X', Y', Z', f', g', h')\)를 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이라 하고 \(f' \circ a = b \circ f\)를 만족하는 사상 \(a : X \to X'\), \(b : Y \to Y'\)가 주어졌다고 하자. 보조정리 014L에 의해 \((X, Y, Z, f, g, h) = (X, Y, C(f), f, i, -p)\), \((X', Y', Z', f', g', h') = (X', Y', C(f'), f', i', -p')\)라고 가정할 수 있다. 이제 \(f, f', a, b\)가 주는 가환 그림에 보조정리 014F를 적용하면 된다.

TR4의 증명. 이제 \(K(\mathcal{A})\)가 전삼각 범주임을 안다. 따라서 보조정리 014C를 사용할 수 있다. \(A^\bullet \to B^\bullet\)와 \(B^\bullet \to C^\bullet\)를 \(K(\mathcal{A})\)에서 합성 가능한 사상이라 하자. 보조정리 014M에 의해 \(A^\bullet \to B^\bullet\)와 \(B^\bullet \to C^\bullet\)인 이 두 사상이 분할 단사라고 가정할 수 있다. 이 경우 결론은 보조정리 014R에서 따른다.

주

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. 명제 014S의 증명과 정확히 같은 증명으로 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), \(K^b(\mathcal{A})\)가 모두 삼각 범주임을 알 수 있다. 실제로 유계(위로 유계, 아래로 유계) 복합체 사이의 사상의 원뿔은 여전히 유계(위로 유계, 아래로 유계)이다. 그러나 다음에서는 이들이 \(K(\mathcal{A})\)의 삼각 부분범주임을 증명하여 또 다른 증명을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하자. \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), \(K^b(\mathcal{A})\)는 \(K(\mathcal{A})\)의 충만한 삼각 부분범주이다.

증명

언급한 각 범주는 충만한 가법 부분범주이다. 이들이 삼각 부분범주임을 보이기 위해 보조정리 05QX의 판정법을 사용한다. \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), \(K^b(\mathcal{A})\)가 평행이동 함자 \([1], [-1]\) 아래 보존됨은 명백하다. 마지막으로 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\)가 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 또는 \(K^b(\mathcal{A})\) 중 하나에서의 사상이라고 하자. 그러면 \((A^\bullet, B^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, -p)\)는 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이고, 원뿔의 구성에서 \(C(f)^\bullet \in K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 또는 \(K^b(\mathcal{A})\)에 속함이 명백하다. 따라서 보조정리가 증명된다. (또는

\(K^\bullet \to L^\bullet\)이 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 또는 \(K^b(\mathcal{A})\)에서 복합체의 항별 분할 단사와 동형임을 보조정리 013N로 보이고, 대응하는 완전 삼각형을 직접 취할 수도 있다.)

보조정리

\(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)를 가법 범주라 하고 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 가법 함자라 하자. 유도되는 함자 \[\begin{matrix} F : K(\mathcal{A}) \longrightarrow K(\mathcal{B}) \\ F : K^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{B}) \\ F : K^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{-}(\mathcal{B}) \\ F : K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow K^b(\mathcal{B}) \end{matrix}\] 는 모두 삼각 범주들의 완전 함자이다.

증명

\(A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet\)가 \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 항별 분할열이고 분할이 \((s^n, \pi^n)\), 대응하는 사상이 \(\delta : C^\bullet \to A^\bullet[1]\)이라고 하자. 정의 014I를 보라. 그러면 \(F(A^\bullet) \to F(B^\bullet) \to F(C^\bullet)\)는 분할이 \((F(s^n), F(\pi^n))\)이고 대응하는 사상이 \(F(\delta) : F(C^\bullet) \to F(A^\bullet)[1]\)인 복합체들의 항별 분할열이다. 따라서 \(F\)는 완전 삼각형을 완전 삼각형으로 보낸다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가법 범주라 하고 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, a, b, c)\)를 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이라 하자. 그러면 \((A^\bullet, (B')^\bullet, C^\bullet, a', b', c)\)와 동형인 완전 삼각형이 존재하여 모든 \(n\)에 대해 \(0 \to A^n \to (B')^n \to C^n \to 0\)이 분할 짧은 완전열이 된다.

증명

명제 014S에 의해 \(K(\mathcal{A})\)가 삼각 범주라는 사실을 사용한다. \(c : C^\bullet \to A^\bullet[1]\)의 원뿔을 \(W^\bullet\)라 하고 그 사상을 \(i : A^\bullet[1] \to W^\bullet\), \(p : W^\bullet \to C^\bullet[1]\)로 쓰자. 그러면 보조정리 014L에 의해 \((C^\bullet, A^\bullet[1], W^\bullet, c, i, -p)\)는 완전 삼각형이다. 이를 두 번 뒤로 회전하면 \((A^\bullet, W^\bullet[-1], C^\bullet, -i[-1], p[-1], c)\)가 완전 삼각형임을 얻는다. TR3에 의해 완전 삼각형들의 사상 \((\text{id}, \beta, \text{id}) : (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, a, b, c) \to (A^\bullet, W^\bullet[-1], C^\bullet, -i[-1], p[-1], c)\)가 존재한다. 이는 보조정리 014A에 의해 동형사상이다. 원뿔의 구성으로 Section 014D의 바로 그 구성에 의해 \[0 \to A^\bullet \to W^\bullet[-1] \to C^\bullet \to 0\] 이 복합체들의 항별 분할 짧은 완전열이므로 증명이 끝난다.

주

\(\mathcal{A}\)를 가산 직합을 갖는 가법 범주라 하자. \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\)를 \(\mathcal{A}\)의 이중 복합체 범주라고 하자. 호몰로지, 절 0FNB를 보라. 이 범주를 사용하여 두 삼각 범주를 구성할 수 있다.

1. \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\)의 대상 \(A^{\bullet, \bullet}\)을 다음과 같이 복합체들의 복합체로 볼 수 있다. \[\ldots \to A^{\bullet, -1} \to A^{\bullet, 0} \to A^{\bullet, 1} \to \ldots\] 그리고 대응하는 삼각 구조를 명제 014S로 주어 호모토피 범주 \(K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A}))\)를 취한다. 호몰로지, 비고 0G6A에 의해 함자 \[\text{Tot} : K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})) \longrightarrow K(\mathcal{A})\] 는 삼각 범주들의 완전 함자이다.

2. 같은 대상 \(A^{\bullet, \bullet}\)을 \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\)의 복합체들의 복합체로 다음과 같이 복합체로 볼 수도 있다. \[\ldots \to A^{-1, \bullet} \to A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to \ldots\] 그리고 \(K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A}))\)를 취한다. 이 범주의 삼각 구조도 명제 014S로 주어진다. 호몰로지, 비고 0G6B에 의해 \[\text{Tot} : K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})) \longrightarrow K(\mathcal{A})\] 도 삼각 범주들의 완전 함자이다.

주

\(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\)를 가법 범주라 하고 \(\mathcal{C}\)가 가산 직합을 갖는다고 하자. 사상에 대해 쌍선형인 함자 \[\otimes : \mathcal{A} \times \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{C}, \quad (X, Y) \longmapsto X \otimes Y\] 가 주어졌다고 하자. 이는 함자 \[\text{Comp}(\mathcal{A}) \times \text{Comp}(\mathcal{B}) \longrightarrow \text{DoubleComp}(\mathcal{C}), \quad (X^\bullet, Y^\bullet) \longmapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\] 를 결정한다. 호몰로지, 예 0A5J를 보라.

1. \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)의 고정된 대상 \(X^\bullet\)에 대해 함자 \[K(\mathcal{B}) \longrightarrow K(\mathcal{C}), \quad Y^\bullet \longmapsto \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)\] 는 삼각 범주들의 완전 함자이다.

2. \(\text{Comp}(\mathcal{B})\)의 고정된 대상 \(Y^\bullet\)에 대해 함자 \[K(\mathcal{A}) \longrightarrow K(\mathcal{C}), \quad X^\bullet \longmapsto \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)\] 도 삼각 범주들의 완전 함자이다.

이는 비고 0G6D에서 따른다. 왜냐하면 함자 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{DoubleComp}(\mathcal{C})\), \(Y^\bullet \mapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\)와 \(\text{Comp}(\mathcal{B}) \to \text{DoubleComp}(\mathcal{C})\), \(X^\bullet \mapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\)가 호모토피와 항별 분할 짧은 완전열에 즉시 양립하고, 따라서 삼각 범주들의 완전 함자 \[K(\mathcal{B}) \to K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{C})) \quad\text{and}\quad K(\mathcal{A}) \to K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{C}))\] 를 유도하기 때문이다. 두 함자 중 첫 번째의 동형 \[\text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet[1]) \cong \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)[1]\] 에는 부호가 들어감을 주목하자. 이는 호몰로지, 비고 0FLG에서 선택한 부호로 거슬러 올라간다.

유도 범주

이 절에서는 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 유도 범주를 구성한다. 이를 위해 \(K(\mathcal{A})\)에서 준동형사상들을 역으로 만든다. 이에 앞서 함자 \(H^i : \text{Comp}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\)가 \(K(\mathcal{A})\)를 통해 인수분해된다는 사실을 상기하자. 호몰로지, 보조정리 0116를 보라. 또한 호몰로지, 정의 011H에서 \(H^i(K^\bullet[n]) = H^{i + n}(K^\bullet)\)라는 식별을 정의하였다. 이제 혼동과 가능한 부호 오류를 피하기 위해 다음과 같이 다시 정의하는 것이 타당하다. \[H^i(K^\bullet) = H^0(K^\bullet[i])\]

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)가 주어졌다고 하자. 함자 \[H^0 : K(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}\] 는 호몰로지적이다.

증명

\(H^0\)가 함자이고 완전 삼각형의 정의에 따르므로, 복합체들의 항별 분할 짧은 완전열 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\)가 주어졌을 때 수열 \(H^0(A^\bullet) \to H^0(B^\bullet) \to H^0(C^\bullet)\)가 완전함을 보이면 충분하다. 이는 호몰로지, 보조정리 0117에서 따른다.

특히 이 보조정리에 의해 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)는 다음 긴 코호몰로지 완전열을 준다. [05ST]\[\begin{equation} \xymatrix{ \ldots \ar[r] & H^i(X) \ar[r]^{H^i(f)} & H^i(Y) \ar[r]^{H^i(g)} & H^i(Z) \ar[r]^{H^i(h)} & H^{i + 1}(X) \ar[r] & \ldots } \end{equation}\] 0148를 보라. 또한 짧은 복합체 완전열에 붙는 긴 코호몰로지 완전열과의 양립성이 있다(

향후 참조를 삽입할 것). 예를 들어 복합체들의 항별 분할 완전열에 대응하는 완전 삼각형 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\)가 주어졌다고 하자(정의 014I 참조). 그러면 위의 코호몰로지 수열은 뱀 보조정리를 사용해 정의한 수열과 일치한다. 호몰로지, 보조정리 0117 및 수열의 일치에 관한 호몰로지, 보조정리 011K을 보라.

복합체 \(K^\bullet\)가 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^i(K^\bullet) = 0\)이면 이를 ‘비순환‘이라고 한다. 또한 복합체 사상 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\)가 준동형사상인 것은 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(f)\)가 동형사상일 때, 그리고 그때뿐이다. 호몰로지, 정의 0115을 보라.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(K(\mathcal{A})\)의 전순환 복합체들로 이루어진 충만한 부분범주 \(\text{Ac}(\mathcal{A})\)는 \(K(\mathcal{A})\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 이에 대응하는 포화 곱셈계(보조정리 05RL 참조)는 \(K(\mathcal{A})\)의 준동형사상들의 집합 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\)이다. 특히 국소화 함자 \(Q : K(\mathcal{A}) \to \text{Qis}(\mathcal{A})^{-1}K(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{Ac}(\mathcal{A})\)이고 함자 \(H^0\)는 \(Q\)를 통해 인수분해된다.

증명

보조정리 05RS에 의해 \(H^0\)가 호몰로지적 함자임을 이미 알고 있다. 따라서 이 보조정리는 보조정리 05RM의 특수한 경우이다.

정의

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡고, \(\text{Ac}(\mathcal{A})\)와 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\)를 보조정리 05RT에서와 같이 두자. \(\mathcal{A}\)의 ‘유도 범주‘를 다음 삼각 범주로 정의한다. \[D(\mathcal{A}) = K(\mathcal{A})/\text{Ac}(\mathcal{A}) = \text{Qis}(\mathcal{A})^{-1} K(\mathcal{A}).\] 몫 함자와 합성하면 위에서 정의한 \(H^0\)가 되도록 하는 유일한 함자를 \(H^0 : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\)로 쓴다. 보조정리 05RE를 사용하여, 대상들의 집합이 다음과 같은 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주 \(D^{+}(\mathcal{A}), D^{-}(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\)를 도입한다. \[\begin{matrix} \Ob(D^{+}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ for all }n \ll 0\} \\ \Ob(D^{-}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ for all }n \gg 0\} \\ \Ob(D^b(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ for all }|n| \gg 0\} \end{matrix}\] \(D^b(\mathcal{A})\)를 \(\mathcal{A}\)의 ‘유계 유도 범주‘라고 한다.

\(K^\bullet\)와 \(L^\bullet\)이 \(\mathcal{A}\)의 복합체이면, 때때로 “\(K^\bullet\)가 \(L^\bullet\)와 ‘준동형적이다‘”라고 말하는데, 이는 \(K^\bullet\)와 \(L^\bullet\)이 \(D(\mathcal{A})\)에서 동형인 대상임을 뜻한다.

주

이 장에서는 스택스 프로젝트의 관례에 따라 일관되게 ‘작은‘ 아벨 범주를 다룬다. ‘큰‘ 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)에 대해서는 유도 범주 \(D(\mathcal{A})\)가 존재하는지가 명확하지 않다. 유도 범주의 사상들이 집합인지 명확하지 않기 때문이다. 실제로 일반적으로 집합이 아니며, 예를 들어 예제, 보조정리 07JT를 보라. 그러나 \(\mathcal{A}\)가 그로텐디크 아벨 범주이고 \(K^\bullet, L^\bullet\)가 \(K(\mathcal{A})\)의 대상이면, 주입적 대상, 정리 079P에 의해 준동형사상 \(L^\bullet \to I^\bullet\)가 존재하여 \(I^\bullet\)는 K-주입 복합체가 된다. 보조정리 070I에 의해 \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, L^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\] 는 집합이다. 그로텐디크 아벨 범주의 예로 환 위의 가군 범주, 더 일반적으로 환 붙임 공간 위의 가군 층 범주가 있다.

\(D^{+}(\mathcal{A}), D^{-}(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\) 각각은 대응하는 호모토피 범주의 국소화로 구성할 수 있다. 이는 다음의 간단한 보조정리에 의존한다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡고 \(K^\bullet\)를 복합체라 하자.

1. 모든 \(n \ll 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면, \(L^\bullet\)가 아래로 유계인 복합체이고 \(K^\bullet \to L^\bullet\)가 준동형사상인 준동형사상이 존재한다.

2. 모든 \(n \gg 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면, \(M^\bullet\)가 위로 유계인 복합체이고 \(M^\bullet \to K^\bullet\)가 준동형사상인 준동형사상이 존재한다.

3. 모든 \(|n| \gg 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면 복합체 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \\ M^\bullet \ar[u] \ar[r] & N^\bullet \ar[u] }\] 이 존재하며, 모든 화살표는 준동형사상이고 \(L^\bullet\)는 아래로 유계, \(M^\bullet\)는 위로 유계, \(N^\bullet\)는 유계 복합체이다.

증명

\(a \ll 0 \ll b\)를 택하고 \(M^\bullet = \tau_{\leq b}K^\bullet\), \(L^\bullet = \tau_{\geq a}K^\bullet\), \(N^\bullet = \tau_{\leq b}L^\bullet = \tau_{\geq a}M^\bullet\)로 둔다. 절단 함자에 대해서는 호몰로지, 절 0118을 보라.

다음 보조정리를 서술하기 위해 \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\)를 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\mathcal{A})\)와 \(\text{Ac}(\mathcal{A})\)의 교집합이라고 하자. 또한 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Qis}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})\)를 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\mathcal{A})\)와 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\)의 교집합이라고 하자.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 부분범주 \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\)는 각각 \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\mathcal{A})\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 이에 대응하는 포화 곱셈계(보조정리 05RL 참조)는 각각 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Qis}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})\)이다.

1. 함자 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\)이고, 이 함자는 다음 삼각 범주 동치를 유도한다. \[K^{+}(\mathcal{A})/\text{Ac}^{+}(\mathcal{A}) = \text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{A})\]

2. 함자 \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\)이고, 이 함자는 다음 삼각 범주 동치를 유도한다. \[K^{-}(\mathcal{A})/\text{Ac}^{-}(\mathcal{A}) = \text{Qis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{-}(\mathcal{A})\]

3. 함자 \(K^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\)이고, 이 함자는 다음 삼각 범주 동치를 유도한다. \[K^b(\mathcal{A})/\text{Ac}^b(\mathcal{A}) = \text{Qis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow D^b(\mathcal{A})\]

증명

첫 번째 주장들은 호몰로지적 함자 \(H^0\)를 제한하여 얻는 보조정리 05RM에서 따른다. (1), (2), (3)의 핵에 관한 주장은 각 경우의 정의의 결과이다. 각 함자는 보조정리 05RV에 의해 본질적으로 전사이다. 이제 함자들이 충실충만함을 보이면 증명이 끝난다. 먼저 아래로 유계인 경우를 다룬다.

\(K^\bullet, L^\bullet\)가 아래로 유계인 복합체라고 하자. \(D(\mathcal{A})\)에서 이 둘 사이의 사상은 다음 꼴이다. 즉 \(f : K^\bullet \to (L')^\bullet\), \(s : L^\bullet \to (L')^\bullet\)인 쌍 \(s^{-1}f\)이며, 여기서 \(s\)는 준동형사상이다. 이는 \((L')^\bullet\)의 코호몰로지가 아래로 유계임을 뜻한다. 따라서 보조정리 05RV에 의해 아래로 유계인 \((L'')^\bullet\)로 가는 준동형사상 \(s' : (L')^\bullet \to (L'')^\bullet\)를 택할 수 있다. 그러면 쌍 \((s' \circ f, s' \circ s)\)는 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\)에서 사상을 정의한다. 따라서 이 함자는 ‘충만하다‘. 마지막으로 쌍 \(f : K^\bullet \to (L')^\bullet\), \(s : L^\bullet \to (L')^\bullet\)가 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\)에서 사상을 정의하고 이를 \(D(\mathcal{A})\)에서 영사상이라고 하자. 그러면 \(s' : (L')^\bullet \to (L'')^\bullet\)인 준동형사상이 존재하여 \(s' \circ f = 0\)이다. 보조정리 05RV를 다시 사용하면 아래로 유계인 \((L''')^\bullet\)로 가는 준동형사상 \(s'' : (L'')^\bullet \to (L''')^\bullet\)를 얻는다. 따라서 \(s'' \circ s' \circ f = 0\)이고, 이는 \(s^{-1}f\)가 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\)에서 영임을 뜻한다. 이로써 (1)의 함자가 동치임이 증명된다.

(2)의 증명은 (1)의 증명과 쌍대이다. (3)을 증명할 때에는 (2)의 결과를 사용할 수 있다. 따라서 함자 \[\text{Qis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\mathcal{A}) \to \text{Qis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\mathcal{A})\] 가 충실충만함을 보이면 충분하다. 앞 단락의 논증을 그대로 적용할 수 있으며, 여기서는 일관되게 이미 위로 유계인 복합체를 사용한다.

정준 델타 함자

유도 범주는 보편 코호몰로지 함자를 받아들이는 대상이어야 한다. 이 결과를 서술하기 위해 아벨 범주에서 삼각 범주로 가는 \(\delta\)-함자의 개념을 사용한다. 정의 0150를 보라.

함자 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})\)를 생각하자. 이 함자는 일반적으로 \(\delta\)-함자가 아니다. 이를 보는 가장 쉬운 방법은 아벨 범주의 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 대상들의 분할되지 않는 짧은 완전열 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)를 생각하는 것이다. \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(C[0], A[1]) = 0\)이므로, 이 짧은 완전열에서 나오는 완전 삼각형은 \((A[0], B[0], C[0], a, b, 0)\) 꼴이어야 한다. 그러나 \(K(\mathcal{A})\)에서 그러한 완전 삼각형이 존재한다는 것은 확장이 분할됨을 뜻한다. 이는 모순이다.

함자 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\)는 \(\delta\)-함자라는 사실이 밝혀진다. 이를 위해 짧은 완전열에 대응하는 사상 \(\delta\)를 정의해야 한다. \[0 \to A^\bullet \xrightarrow{a} B^\bullet \xrightarrow{b} C^\bullet \to 0\] 를 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 복합체들의 완전열이라고 하자. 사상 \(a\)의 원뿔 \(C(a)^\bullet\)를 생각한다. \(C(a)^n = B^n \oplus A^{n + 1}\)이고, 사영 \(B^n\) 뒤에 \(b^n\)을 합성하여 \(q^n : C(a)^n \to C^n\)을 정의한다. 따라서 복합체 사상 \[q : C(a)^\bullet \longrightarrow C^\bullet.\] 를 얻는다. 정의 014E에서와 같은 \(i\)에 대해 \(q \circ i = b\)임은 명백하다. \(a^\bullet\)가 각 차수에서 단사이므로 \(q\)의 핵은 \(\text{id}_{A^\bullet}\)의 원뿔로 식별되고, 이는 비순환이다. 따라서 \(q\)는 준동형사상이다. 보조정리 014L에 의해 \[(A, B, C(a), a, i, -p)\] 는 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이다. 국소화 함자 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\)가 완전하므로 \((A, B, C(a), a, i, -p)\)는 \(D(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이다. \(q\)가 준동형사상이므로 \(q\)는 \(D(\mathcal{A})\)에서 동형사상이다. 따라서 \[(A, B, C, a, b, -p \circ q^{-1})\] 가 \(D(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형임을 얻는다. 이는 다음 보조정리를 시사한다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 함자 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\)에는 다음과 같은 자연스러운 \(\delta\)-함자 구조가 있다. \[\delta_{A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet} = - p \circ q^{-1}\] 여기서 \(p\)와 \(q\)는 위에서 설명한 사상이다. 같은 구성으로 함자 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Comp}^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{A})\), 그리고 \(\text{Comp}^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\)도 \(\delta\)-함자가 된다.

증명

복합체들의 짧은 완전열이 주어졌을 때 이 선택이 완전 삼각형을 준다는 것은 이미 보았다. 정의 0150 (2)의 원하는 가환 그림을 얻으려면 다음 가환 그림이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r]_a \ar[d]_f & B^\bullet \ar[r]_b \ar[d]_g & C^\bullet \ar[r] \ar[d]_h & 0 \\ 0 \ar[r] & (A')^\bullet \ar[r]^{a'} & (B')^\bullet \ar[r]^{b'} & (C')^\bullet \ar[r] & 0 }\] 보조정리 014F에 의해 쌍 \((f, g)\)는 정준적인 복합체 사상 \(c : C(a)^\bullet \to C(a')^\bullet\)를 유도한다. \(q' \circ c = h \circ q\) 및 \(f[1] \circ p = p' \circ c\)임을 보이는 것은 간단한 계산이다. 이로부터 결과가 바로 따른다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 다음을 복합체 사상들의 가환 그림이라고 하자. 각 행은 복합체들의 짧은 완전열이고 세로 사상들은 준동형사상이라고 하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & D^\bullet \ar[r] & E^\bullet \ar[r] & F^\bullet \ar[r] & 0 }\] 보조정리 0152의 \(\delta\)-함자는 짧은 완전열 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\)와 \(0 \to D^\bullet \to E^\bullet \to F^\bullet \to 0\)를 동형인 완전 삼각형으로 보낸다.

증명

\(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\)가 준동형사상을 동형사상으로 보내고, 대응하는 완전 삼각형들이 함자적이라는 사실에서 자명하다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 다음을 복합체들의 짧은 완전열이라고 하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] 이 짧은 완전열이 항별로 분할되었다고 가정하자. 이 열에 대응하는 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형을 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\)라고 하자. 보조정리 0152의 \(\delta\)-함자는 짧은 완전열 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\)를 다음 완전 삼각형과 동형인 삼각형으로 보낸다. \[(A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta).\]

증명

보조정리 014L에서 따른다.

주

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(\mathcal{A}\)의 복합체 \(K^\bullet\)를 잡자. \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(D(\mathcal{A})\)에서 다음과 같은 정준 완전 삼각형이 존재한다고 주장한다. \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] 여기서 Homology, Section 0118의 정준 절단 함자 \(\tau\)를 사용했다. 구체적으로, 먼저 짧은 완전열 \[0 \to \tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to K^\bullet/\tau_{\leq a}K^\bullet \to 0\] 에 대해 우리의 \(\delta\)-함자 (보조정리 0152)가 주는 완전 삼각형을 취한다. 다음으로 Homology, Section 0118에서 코호몰로지 군을 기술한 결과에 의해, \(K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet\) 사상은 준동형사상 \(K^\bullet/\tau_{\leq a}K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet\)를 통해 인수분해됨을 사용한다. 같은 방식으로 다음의 정준 완전 삼각형들을 얻는다. \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to \tau_{\leq a + 1}K^\bullet \to H^{a + 1}(K^\bullet)[-a-1] \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] 및 \[H^a(K^\bullet)[-a] \to \tau_{\geq a}K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to H^a(K^\bullet)[-a + 1]\]

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 다음과 같은 복합체 사상들의 열을 생각하자. \[K_0^\bullet \to K_1^\bullet \to \ldots \to K_n^\bullet\] 다음 조건을 만족한다고 하자.

1. \(i > 0\)일 때 \(H^i(K_0^\bullet) = 0\)이다,

2. \(H^{-j}(K_j^\bullet) \to H^{-j}(K_{j + 1}^\bullet)\)는 영사상이다.

그러면 합성 \(K_0^\bullet \to K_n^\bullet\)은 \(D(\mathcal{A})\)에서 \(\tau_{\leq -n}K_n^\bullet \to K_n^\bullet\)를 통해 인수분해된다. 쌍대적으로, 다음과 같은 복합체 사상들이 주어졌다고 하자. \[K_n^\bullet \to K_{n - 1}^\bullet \to \ldots \to K_0^\bullet\] 다음 조건을 만족한다고 하자.

1. \(i < 0\)일 때 \(H^i(K_0^\bullet) = 0\)이다,

2. \(H^j(K_{j + 1}^\bullet) \to H^j(K_j^\bullet)\)는 영사상이다,

그러면 합성 \(K_n^\bullet \to K_0^\bullet\)은 \(D(\mathcal{A})\)에서 \(K_n^\bullet \to \tau_{\geq n}K_n^\bullet\)를 통해 인수분해된다.

증명

\(n = 1\)인 경우. \(\tau_{\leq 0}K_0^\bullet = K_0^\bullet\)가 \(D(\mathcal{A})\)에서 성립하므로 \(K_0^\bullet\)를 \(\tau_{\leq 0}K_0^\bullet\)로, \(K_1^\bullet\)를 \(\tau_{\leq 0}K_1^\bullet\)로 바꾸어도 된다. 완전 삼각형 \[\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to K_1^\bullet \to H^0(K_1^\bullet)[0] \to (\tau_{\leq -1}K_1^\bullet)[1]\] 을 생각하자 (비고 08J5). 합성 \(K_0^\bullet \to K_1^\bullet \to H^0(K_1^\bullet)[0]\)은 \(K_0^\bullet \to H^0(K_0^\bullet)[0] \to H^0(K_1^\bullet)[0]\)와 같고, 가정에 의해 영이다. \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(K_0^\bullet, -)\)가 호몰로지적 함자라는 사실 (보조정리 0149)로부터 원하는 인수분해를 얻을 수 있다. \(n = 2\)인 경우에는 \(n = 1\)인 경우에 의해 \(K_0^\bullet \to \tau_{\leq -1}K_1^\bullet\)로의 인수분해를 얻고, 복합체 사상 \(\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to \tau_{\leq -1}K_2^\bullet\)에 \(n = 1\)인 경우를 적용하여 \(\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to \tau_{\leq -2}K_2^\bullet\)로의 인수분해를 얻는다. 일반적인 경우도 정확히 같은 방식으로 증명된다.

여과 유도 범주

이 절의 참고문헌은 [cotangent, I, Chapter V]이다. 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 이 절에서는 \(\mathcal{A}\)의 여과 유도 범주 \(DF(\mathcal{A})\)를 정의한다. 간단히 말하면, 유한 여과가 주어진 \(\mathcal{A}\)의 대상들로 이루어진 완전 범주의 유도 범주로 정의한다. (따라서 우리의 구성은 완전 범주의 유도 범주에 대한 더 일반적인 구성의 특수한 경우이다. 예를 들어 [Buhler], [Keller]를 보라.) Illusie의 여과 유도 범주는 여과가 유한한 대상들로 이루어진 우리 범주의 충만한 부분범주이다. (우리 범주에서도 여과는 각 차수마다 유한하지만, 전체적으로 균일하게 유계일 필요는 없다.) 이 선택을 하는 이유는 구성이 더 어렵지 않으면서 보조정리 015J의 스펙트럼 열들에 논의를 적용할 수 있기 때문이다. 비고 015K도 보라.

Homology, Section 0120에서 도입한 여과 대상에 관한 표기법을 사용한다. \(\mathcal{A}\)의 여과 대상들의 범주를 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\)로 나타낸다. 모든 여과는 약속에 따라 감소 여과이다.

정의

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(\mathcal{A}\)의 유한 여과 대상들의 범주는 여과 \(F\)가 유한한 \(\mathcal{A}\)의 여과 대상 \((A, F)\)들의 범주이다. 이를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)로 나타낸다.

따라서 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)는 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\)의 충만한 부분범주이다. 각 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 함자 \(\text{gr}^p : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\)가 있다. 또한 함자 \[\text{gr} = \bigoplus\nolimits_{p \in \mathbf{Z}} \text{gr}^p : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \text{Gr}(\mathcal{A})\] 가 있다. 여기서 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\)는 \(\mathcal{A}\)의 등급 대상들의 범주이다. Homology, Definition 0125를 보라. 마지막으로 함자 \[(\text{forget }F) : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}\] 가 있으며, 이는 여과 대상 \((A, F)\)에 \(\mathcal{A}\)의 바탕 대상을 대응시킨다. 범주 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주는 아니다. Homology, Example 0108을 보라.

함자 \(\text{gr}^p\), \(\text{gr}\), \((\text{forget }F)\)는 가법이므로 보조정리 014X에 의해 다음과 같은 삼각 범주들의 완전 함자들을 유도한다. \[\text{gr}^p, (\text{forget }F) : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to K(\mathcal{A}) \quad\text{and}\quad \text{gr} : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to K(\text{Gr}(\mathcal{A}))\] 아벨 범주의 호모토피 범주와 유사하게 다음과 같이 정의한다.

정의

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자.

1. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 사상이라고 하자. 사상 \(\text{gr}(\alpha)\)가 준동형사상이면 \(\alpha\)를 여과 준동형사상이라고 한다.

2. \(K^\bullet\)를 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 대상이라고 하자. 복합체 \(\text{gr}(K^\bullet)\)가 비순환이면 \(K^\bullet\)를 여과 비순환이라고 한다.

\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)가 여과 준동형사상인 것과 각 \(\text{gr}^p(\alpha)\)가 준동형사상인 것은 동치이다. 마찬가지로 복합체 \(K^\bullet\)가 여과 비순환인 것과 각 \(\text{gr}^p(K^\bullet)\)가 비순환인 것은 동치이다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자.

1. 함자 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \text{Gr}(\mathcal{A})\), \(K^\bullet \longmapsto H^0(\text{gr}(K^\bullet))\)는 호몰로지적이다.

2. 함자 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \rightarrow \mathcal{A}\), \(K^\bullet \longmapsto H^0(\text{gr}^p(K^\bullet))\)는 호몰로지적이다.

3. 함자 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \mathcal{A}\), \(K^\bullet \longmapsto H^0((\text{forget }F)K^\bullet)\)는 호몰로지적이다.

증명

이는 \(H^0 : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\)가 호몰로지적이라는 사실 (보조정리 05RS)과 함자 \(\text{gr}, \text{gr}^p, (\text{forget }F)\)가 삼각 범주들의 완전 함자라는 사실에서 따른다. 보조정리 05QZ를 보라.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 여과 비순환 복합체들로 이루어진 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 충만한 부분범주 \(\text{FAc}(\mathcal{A})\)는 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 이에 대응하는 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 포화 곱셈계 (보조정리 05RL를 보라)는 여과 준동형사상들의 집합 \(\text{FQis}(\mathcal{A})\)이다. 특히 국소화 함자 \[Q : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \text{FQis}(\mathcal{A})^{-1}K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\] 의 핵은 \(\text{FAc}(\mathcal{A})\)이고, 함자 \(H^0 \circ \text{gr}\)는 \(Q\)를 통해 인수분해된다.

증명

보조정리 05S0에 의해 \(H^0 \circ \text{gr}\)는 호몰로지적 함자임을 안다. 따라서 이 보조정리는 보조정리 05RM의 특수한 경우이다.

정의

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(\text{FAc}(\mathcal{A})\)와 \(\text{FQis}(\mathcal{A})\)를 보조정리 05S1에서와 같이 잡자. \(\mathcal{A}\)의 여과 유도 범주는 다음 삼각 범주이다. \[DF(\mathcal{A}) = K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))/\text{FAc}(\mathcal{A}) = \text{FQis}(\mathcal{A})^{-1} K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})).\]

보조정리

함자 \(\text{gr}^p, \text{gr}, (\text{forget }F)\)는 다음의 정준 완전 함자들을 유도한다. \[\text{gr}^p, (\text{forget }F): DF(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\mathcal{A})\] 및 \[\text{gr}: DF(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\text{Gr}(\mathcal{A}))\] 이 함자들은 국소화 함자들과 가환한다.

증명

각 함자 \(\text{gr}^p, \text{gr}, (\text{forget }F)\)가 여과 준동형사상을 준동형사상으로 보냄을 보일 수 있다면, 국소화의 보편 성질 (보조정리 05R7)에서 따른다. 앞의 두 함자에 대해서는 정의에 의해 참이다. 마지막 함자에 대해서는 약간의 작업이 필요하다. \(f : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 여과 준동형사상이라고 하자. \(f\)를 포함하는 완전 삼각형 \((K^\bullet, L^\bullet, M^\bullet, f, g, h)\)를 택한다. 그러면 보조정리 05S1에 의해 \(M^\bullet\)는 여과 비순환이다. 따라서 \(K(\mathcal{A})\)에 대한 대응 보조정리에 의해, 여과를 잊었을 때 여과 비순환 복합체가 비순환 복합체임을 보이면 충분하다. 이는 Homology, Lemma 05QH에서 따른다.

정의

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 유계 여과 유도 범주 \(DF^b(\mathcal{A})\)는 \(\text{gr}(X) \in D^b(\mathcal{A})\)를 만족하는 대상 \(X\)들로 이루어진 \(DF(\mathcal{A})\)의 충만한 부분범주이다. 아래로 유계인 여과 유도 범주 \(DF^{+}(\mathcal{A})\)와 위로 유계인 여과 유도 범주 \(DF^{-}(\mathcal{A})\)도 마찬가지로 정의한다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(K^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)라 하자.

1. 모든 \(n < a\)에 대해 \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\)이면, 모든 \(n < a\)에 대해 \(L^n = 0\)인 여과 준동형사상 \(K^\bullet \to L^\bullet\)가 존재한다.

2. 모든 \(n > b\)에 대해 \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\)이면, 모든 \(n > b\)에 대해 \(M^n = 0\)인 여과 준동형사상 \(M^\bullet \to K^\bullet\)가 존재한다.

3. 모든 \(|n| \gg 0\)에 대해 \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\)이면, 다음과 같은 복합체 사상들의 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \\ M^\bullet \ar[u] \ar[r] & N^\bullet \ar[u] }\] 여기서 모든 화살표는 여과 준동형사상이고, \(L^\bullet\)는 아래로 유계, \(M^\bullet\)는 위로 유계이며, \(N^\bullet\)는 유계 복합체이다.

증명

모든 \(n < a\)에 대해 \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\)이라고 하자. Homology, Lemma 05QH에 의해 열 \[K^{a - 2} \xrightarrow{d^{a - 2}} K^{a - 1} \xrightarrow{d^{a - 1}} K^a\] 은 \(\mathcal{A}\)의 대상들의 완전열이고, 사상 \(d^{a - 2}\)와 \(d^{a - 1}\)는 엄밀하다. 따라서 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)에서 \(\Coim(d^{a - 1}) = \Im(d^{a - 1})\)이고, 사상 \(\text{gr}(\Im(d^{a - 1})) \to \text{gr}(K^a)\)는 단사이며 그 상은 \(\text{gr}(K^{a - 1}) \to \text{gr}(K^a)\)의 상과 같다. Homology, Lemma 0127를 보라. 이는 절단으로 가는 사상 \(K^\bullet \to \tau_{\geq a}K^\bullet\)이 \[\tau_{\geq a}K^\bullet = (\ldots \to 0 \to K^a/\Im(d^{a - 1}) \to K^{a + 1} \to \ldots)\] 여과 준동형사상임을 뜻한다. 이로써 (1)이 증명된다. (2)의 증명은 (1)의 증명과 쌍대이다. (3)은 (1)과 (2)에서 형식적으로 따른다.

다음 보조정리를 서술하기 위해 \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\)를 \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)와 \(\text{FAc}(\mathcal{A})\)의 교집합으로 나타낸다. \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FQis}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{FQis}^b(\mathcal{A})\)를 \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)와 \(\text{FQis}(\mathcal{A})\)의 교집합으로 나타낸다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. 부분범주 \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\)는 \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), 각각 \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 이에 대응하는 포화 곱셈계 (보조정리 05RL를 보라)는 집합 \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FQis}^{-}(\mathcal{A})\), 각각 \(\text{FQis}^b(\mathcal{A})\)이다.

1. 함자 \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\)이고, 이는 삼각 범주들의 동치 \[K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^{+}(\mathcal{A}) = \text{FQis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{A})\] 를 유도한다.

2. 함자 \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^{-}(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\)이고, 이는 삼각 범주들의 동치 \[K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^{-}(\mathcal{A}) = \text{FQis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{-}(\mathcal{A})\] 를 유도한다.

3. 함자 \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^b(\mathcal{A})\)의 핵은 \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\)이고, 이는 삼각 범주들의 동치 \[K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^b(\mathcal{A}) = \text{FQis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^b(\mathcal{A})\] 를 유도한다.

증명

이는 위의 결과들, 특히 보조정리 05S5에서, 보조정리 05RW의 증명에 사용한 것과 정확히 같은 논증으로 따른다.

일반적인 유도 함자

이 절의 참고문헌은 [SGA4]에 실린 Deligne의 exposé XVII이다. 삼각 범주들 사이의 완전 함자와 원천 범주의 곱셈계가 주어지고, 완전 함자를 국소화된 범주로 “올바르게” 확장하고자 할 때 사용할 수 있는 매우 일반적인 오른쪽 및 왼쪽 유도 함자의 개념이 있다.

설정

여기서 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)는 삼각 범주들의 완전 함자이고, \(S\)는 \(\mathcal{D}\)의 삼각 범주 구조와 양립하는 \(\mathcal{D}\)의 포화 곱셈계이다.

\(X \in \Ob(\mathcal{D})\)라 하자. Categories, Remark 05Q0에서 정의한, 원천이 \(X\)인 \(S\)의 화살표 \(s : X \to X'\)들로 이루어진 여과 범주 \(X/S\)를 상기하자. 쌍대적으로 Categories, Remark 05Q4에서는 목표가 \(X\)인 \(S\)의 화살표 \(s : X' \to X\)들로 이루어진 쌍대여과 범주 \(S/X\)를 정의했다.

정의

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)라 하자.

1. ind-대상 \[(X/S) \longrightarrow \mathcal{D}', \quad (s : X \to X') \longmapsto F(X')\] 이 본질적으로 상수이면⁵ 오른쪽 유도 함자 \(RF\)가 \(X\)에서 정의된다고 한다. 이 경우 \(\mathcal{D}'\)의 값 \(Y\)를 \(X\)에서의 \(RF\)의 값이라고 한다.

2. pro-대상 \[(S/X) \longrightarrow \mathcal{D}', \quad (s: X' \to X) \longmapsto F(X')\] 이 본질적으로 상수이면 왼쪽 유도 함자 \(LF\)가 \(X\)에서 정의된다고 한다. 이 경우 \(\mathcal{D}'\)의 값 \(Y\)를 \(X\)에서의 \(LF\)의 값이라고 한다.

표기법을 남용하여 이 값들을 흔히 단순히 \(RF(X)\) 또는 \(LF(X)\)로 나타낸다.

\(RF\)가 정의되는 대상들로 이루어진 \(\mathcal{D}\)의 충만한 부분범주는 삼각 부분범주이고, \(RF\)는 이 부분범주 위의 함자를 정의하며 \(S\)의 사상들을 동형사상으로 보낸다는 사실이 밝혀질 것이다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라고 하자.

1. \(RF\)가 \(X\)와 \(Y\)에서 정의되면 값들 사이에 유일한 사상 \(RF(f) : RF(X) \to RF(Y)\)가 존재하며, \(s, s' \in S\)인 임의의 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] 에 대해 다음 그림이 가환한다. \[\xymatrix{ F(X) \ar[d] \ar[r] & F(X') \ar[d] \ar[r] & RF(X) \ar[d] \\ F(Y) \ar[r] & F(Y') \ar[r] & RF(Y) }\]

2. \(LF\)가 \(X\)와 \(Y\)에서 정의되면 값들 사이에 유일한 사상 \(LF(f) : LF(X) \to LF(Y)\)가 존재하며, \(S\)의 \(s, s'\)를 갖는 임의의 가환 그림 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_s & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^{s'} & Y }\] 에 대해 다음 그림이 가환한다. \[\xymatrix{ LF(X) \ar[d] \ar[r] & F(X') \ar[d] \ar[r] & F(X) \ar[d] \\ LF(Y) \ar[r] & F(Y') \ar[r] & F(Y) }\]

증명

(1)은 다음 여극한들이 존재한다는 가정만으로도 성립한다. \[RF(X) = \colim_{s : X \to X'} F(X') \quad\text{and}\quad RF(Y) = \colim_{s' : Y \to Y'} F(Y')\] 실제로 여극한들 사이의 사상 \(RF(X) \to RF(Y)\)를 준다는 것은 \(\Ob(X/S)\)의 각 \(s : X \to X'\)에 대해 범주 \(X/S\)의 사상들과 양립하는 사상 \(F(X') \to RF(Y)\)를 주는 것과 같다. 이 사상을 얻기 위해 MS2에 의해 가능한, \(S\)의 \(s, s'\)를 갖는 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] 을 택하고, \(F(X') \to RF(Y)\)를 합성 \(F(X') \to F(Y') \to RF(Y)\)로 둔다. 이 정의가 위 그림의 선택과 무관함은 MS3을 사용하면 알 수 있다. 세부사항은 생략한다. (2)의 증명은 쌍대이다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(s : X \to Y\)를 \(S\)의 원소라고 하자.

1. \(RF\)가 \(X\)에서 정의되는 것과 \(Y\)에서 정의되는 것은 동치이다. 이 경우 값들 사이의 사상 \(RF(s) : RF(X) \to RF(Y)\)는 동형사상이다.

2. \(LF\)가 \(X\)에서 정의되는 것과 \(Y\)에서 정의되는 것은 동치이다. 이 경우 값들 사이의 사상 \(LF(s) : LF(X) \to LF(Y)\)는 동형사상이다.

증명

생략한다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(X\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상이라 하고 \(n \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(RF\)가 \(X\)에서 정의되는 것과 \(X[n]\)에서 정의되는 것은 동치이다. 이 경우 값들 사이에 정준 동형사상 \(RF(X)[n]= RF(X[n])\)이 있다.

2. \(LF\)가 \(X\)에서 정의되는 것과 \(X[n]\)에서 정의되는 것은 동치이다. 이 경우 값들 사이에 정준 동형사상 \(LF(X)[n] \to LF(X[n])\)이 있다.

증명

생략한다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이라고 하자. \(RF\)가 \(X, Y, Z\) 중 둘에서 정의되면 나머지 하나에서도 정의된다. 또한 이 경우 \[(RF(X), RF(Y), RF(Z), RF(f), RF(g), RF(h))\] 는 \(\mathcal{D}'\)의 완전 삼각형이다. \(LF\)에 대해서도 마찬가지이다.

증명

\(RF\)가 \(X, Y\)에서 정의되고 그 값들이 \(A, B\)라고 하자. 보조정리 05SA의 유도된 사상을 \(RF(f) : A \to B\)라 하자. \(\mathcal{D}'\)에서 완전 삼각형 \((A, B, C, RF(f), b, c)\)를 택할 수 있다. \(C\)가 \(Z\)에서의 \(RF\)의 값이라고 주장한다.

이를 보기 위해 Categories, Definition 05PU에서와 같은 사상 \(\alpha : A \to F(X')\)가 존재하도록 \(S\)의 \(s : X \to X'\)를 택한다. MS2에 의해 \(s' \in S\)인 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] 을 택할 수 있다. \(Y/S\)가 여과되어 있다는 사실을 사용하면 (\(s'\)를 \(S\)의 어떤 \(s'' : Y \to Y''\)로 바꾼 뒤) Categories, Definition 05PU에서와 같은 사상 \(\beta : B \to F(Y')\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ A \ar[d]_{RF(f)} \ar[r]_-\alpha & F(X') \ar[r] \ar[d]^{F(f')} & A \ar[d]^{RF(f)} \\ B \ar[r]^-\beta & F(Y') \ar[r] & B }\] 왼쪽 정사각형은 가환하지 않을 수도 있지만, 바깥 정사각형과 오른쪽 정사각형은 가환한다.

ind-대상 \(\{F(Y')\}_{s' : Y' \to Y}\)가 본질적으로 상수라는 가정은, \(S\)의 어떤 \(s'' : Y \to Y''\)와 \(s'' = h \circ s'\)를 만족하는 사상 \(h : Y' \to Y''\)가 존재하며 \(F(h)\)가 \(F(Y') \to B \to F(Y') \to F(Y'')\)와 같음을 뜻한다. 따라서 \(Y'\)를 \(Y''\)로, \(\beta\)를 \(F(h) \circ \beta\)로 바꾸면 (화살표들을 직접 계산하여) 그림이 가환하게 된다.

MS6을 사용하여 \(s'' \in S\)인 삼각형들의 사상 \[(s, s', s'') : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X', Y', Z', f', g', h')\] 을 택한다. TR3에 의해 삼각형들의 사상 \[(\alpha, \beta, \gamma) : (A, B, C, RF(f), b, c) \longrightarrow (F(X'), F(Y'), F(Z'), F(f'), F(g'), F(h'))\] 을 택한다.

보조정리 05SB에 의해 \(RF(Z')\)가 정의되고 화살표 \(\gamma : C \to F(Z')\)가 동형사상 \(C \to RF(Z')\)을 유도함을 보이는 것으로 충분하다. 실제로 그러면 삼각형들의 동형사상 \[(A, B, C, RF(f), b, c) \longrightarrow (RF(X'), RF(Y'), RF(Z'), RF(f'), RF(g'), RF(h'))\] 을 얻고, TR1에 의해 목표 삼각형이 완전 삼각형이라고 결론짓는다. 보조정리 05R9의 삼각형들로 이루어진 범주 \(\mathcal{I}\)를 생각하자. \[\mathcal{I} = \{(t, t', t'') : (X', Y', Z', f', g', h') \to (X'', Y'', Z'', f'', g'', h'') \mid (t, t', t'') \in S\}\] 범주 \(Z'/S\) 위의 계 \(F(Z'')\)가 본질적으로 상수임을 보이는 것과 \(\mathcal{I}\) 위의 \(F(Z'')\)의 계가 본질적으로 상수임을 보이는 것은 동치이다. 이는 \(\mathcal{I} \to Z'/S\)가 공종말이기 때문이다. Categories, Lemma 0A1S를 보라 (공종말성은 보조정리 05R9에서 증명했다). \(\mathcal{D}'\)의 임의의 대상 \(W\)에 대해 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(X'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, A) \ar[l] \ar[d] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Y'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, B) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Z'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, C) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(X''[1])) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, A[1]) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Y''[1])) & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, B[1]) \ar[l] }\] 여기서 가로 화살표들은 \((\alpha, \beta, \gamma)\)와의 합성으로 주어진다. 여과 여극한은 완전하므로 (Algebra, Lemma 00DB) 왼쪽 열은 완전열이다. 따라서 \(5\) 보조정리 (Homology, Lemma 05QB)에 의해 사상 \[\colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Z'')) \longrightarrow \Mor_{\mathcal{D}'}(W, C)\] 은 전단사이다. Categories, Lemma 05PY의 (4)에 의해 \(\mathcal{I}\) 위의 \(F(Z'')\)가 값 \(C\)를 갖는 본질적으로 상수인 계라고 결론짓는다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(X, Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상들이라고 하자.

1. \(RF\)가 \(X\)와 \(Y\)에서 정의되면 \(RF\)는 \(X \oplus Y\)에서도 정의된다.

2. \(\mathcal{D}'\)가 카루비 범주이고 \(RF\)가 \(X \oplus Y\)에서 정의되면, \(RF\)는 \(X\)와 \(Y\) 모두에서 정의된다.

어느 경우든 \(RF(X \oplus Y) = RF(X) \oplus RF(Y)\)이다. \(LF\)에 대해서도 마찬가지이다.

증명

\(RF\)가 \(X\)와 \(Y\)에서 정의되면 완전 삼각형 \(X \to X \oplus Y \to Y \to X[1]\) (보조정리 05QT)과 보조정리 05SC에 의해 \(RF\)는 \(X \oplus Y\)에서 정의되고, 다음 완전 삼각형을 얻는다. \(RF(X) \to RF(X \oplus Y) \to RF(Y) \to RF(X)[1]\). 여기에 보조정리 05QT을 다시 적용하면 \(RF(X \oplus Y) = RF(X) \oplus RF(Y)\)임을 알 수 있다. 이로써 (1)과 마지막 주장이 증명된다.

반대로 \(RF\)가 \(X \oplus Y\)에서 정의되고 \(\mathcal{D}'\)가 카루비 범주라고 가정하자. \(S\)는 포화 곱셈계이므로, \(S\)는 가법 국소화 함자 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) 아래에서 가역이 되는 화살표들의 집합이다. Categories, Lemma 05Q9를 보라. 따라서 \(S\)의 임의의 \(s : X \to X'\)와 \(s' : Y \to Y'\)에 대해 사상 \(s \oplus s' : X \oplus Y \to X' \oplus Y'\)는 \(S\)의 원소이다. 이로써 함자 \[X/S \times Y/S \longrightarrow (X \oplus Y)/S\] 를 얻는다. 범주 \(X/S, Y/S, (X \oplus Y)/S\)가 여과되어 있음을 상기하자 (Categories, Remark 05Q0). Categories, Lemma 0A2C에 의해 \(X/S \times Y/S\)는 여과되어 있고,

\(F|_{X/S} : X/S \to \mathcal{D}'\) (각각 \(G|_{Y/S} : Y/S \to \mathcal{D}'\))가 본질적으로 상수인 것과 \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\) (각각 \(G|_{Y/S} \circ \text{pr}_2 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\))가 본질적으로 상수인 것은 동치이다. 아래에서 표시된 함자가 공종말임을 보일 것이다. 따라서 Categories, Lemma 0A1S에 의해 \(F|_{(X \oplus Y)/S}\)가 본질적으로 상수라는 사실은 \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 \oplus F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\)가 본질적으로 상수임을 뜻한다. Homology, Lemma 0A2G에 의해 (여기서 \(\mathcal{D}'\)가 카루비 범주임을 사용한다) \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 \oplus F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2\)가 본질적으로 상수라는 사실은 \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1\)과 \(F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2\)가 본질적으로 상수임을 뜻한다. 따라서 \(RF\)는 \(X\)와 \(Y\)에서 정의된다.

표시된 함자가 공종말임을 증명하자. 이를 위해 \(S\)의 임의의 \(t : X \oplus Y \to Z\)를 택한다. MS2를 사용하면 \(S\)의 \(s : X \to X'\), \(s' : Y \to Y'\)와 사상 \(Z \to X'\), \(Z \to Y'\)를 찾아 다음 그림이 가환하게 할 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[d]^s & X \oplus Y \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d]_{s'} \\ X' & Z \ar[l] \ar[r] & Y' }\] 이는 \((X \oplus Y)/S\)에서 사상 \(Z \to X' \oplus Y'\)를 얻는다는 뜻이므로 Categories, Definition 04E6의 (1)을 얻는다. (2)를 증명하려면 \(t : X \oplus Y \to Z\)와 \((X \oplus Y)/S\)의 사상들 \(s_i \oplus s'_i : Z \to X'_i \oplus Y'_i\), \(i = 1, 2\)가 주어졌을 때, \(S\)의 사상 \(a : X'_1 \to X'\), \(b : X'_2 \to X'\), \(c : Y'_1 \to Y'\), \(d : Y'_2 \to Y'\)를 찾아 \(a \circ s_1 = b \circ s_2\) 및 \(c \circ s'_1 = d \circ s'_2\)가 성립하게 하면 충분하다. 먼저 \(S\)의 임의의 \(X'\), \(Y'\)와 사상 \(a, b, c, d\)를 택한다. 이는 \(X/S\)와 \(Y/S\)가 여과되어 있으므로 가능하다. 그러면 두 사상 \(a \circ s_1, b \circ s_2 : Z \to X'\)는 \(S^{-1}\mathcal{D}\)에서 같아진다. 따라서 둘을 같게 하는 \(S\)의 사상 \(X' \to X''\)를 찾을 수 있다. 마찬가지로 \(c \circ s'_1\)과 \(d \circ s'_2\)를 같게 하는 \(S\)의 사상 \(Y' \to Y''\)를 찾을 수 있다. \(X'\)를 \(X''\)로, \(Y'\)를 \(Y''\)로 바꾸면 \(a \circ s_1 = b \circ s_2\) 및 \(c \circ s'_1 = d \circ s'_2\)를 얻는다.

\(LF\)에 대한 대응하는 명제들의 증명은 쌍대이다.

명제

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자.

1. \(RF\)가 정의되는 대상들로 이루어진 \(\mathcal{D}\)의 충만한 부분범주 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{D}\)의 엄밀히 충만한 삼각 부분범주이다.

2. 삼각 범주들의 완전 함자 \(RF : \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{D}'\)를 얻는다.

3. 원천이나 목표가 \(\mathcal{E}\)에 속하는 \(S\)의 원소들은 \(\mathcal{E}\)의 사상이다.

4. \(S_\mathcal{E} = \text{Arrows}(\mathcal{E}) \cap S\)의 모든 원소는 \(RF\)에 의해 동형사상으로 보내진다.

5. 집합 \(S_\mathcal{E}\)는 삼각 구조와 양립하는 \(\mathcal{E}\)의 포화 곱셈계이다.

6. 함자 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to S^{-1}\mathcal{D}\)는 삼각 범주들의 충실충만한 완전 함자이다.

7. 완전 함자 \[RF : S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{D}'.\] 를 얻는다.

8. \(\mathcal{D}'\)가 카루비 범주이면 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{D}\)의 포화 삼각 부분범주이다.

\(LF\)에 대해서도 비슷한 결과가 성립한다.

증명

\(S\)는 포화되어 있으므로 모든 동형사상을 포함한다 (Categories, Definition 05Q8 다음의 비고를 보라). 따라서 (1)은 보조정리 05SB, 05SC, 05SU에서 따른다. (2)는 보조정리 05SA, 05SU, 05SC에서 얻는다. (3)은 보조정리 05SB에서 얻는다. (4)는 보조정리 05SB에서 따른다. (5)는 정의들과 (3)에서 따른다. (6)의 충실충만성은 (3)과 정의들에서 따른다. 함자 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to S^{-1}\mathcal{D}\)가 완전하다는 사실은 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E}\)의 삼각형이 완전 삼각형인 것과 \(\mathcal{E}\)의 완전 삼각형의 상과 동형인 것이 동치라는 사실에서 따른다. 명제 05R6의 증명을 보라. \(RF : \mathcal{E} \to \mathcal{D}'\)가 완전 함자 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to \mathcal{D}'\)를 통해 인수분해된다는 사실은 보조정리 05R7에서 따른다. 마지막으로 (8)은 보조정리 05SD에서 따른다.

명제 05SE는 \(RF\)가 \(S^{-1}\mathcal{D}\)의 최대 엄밀히 충만한 삼각 부분범주 위에 놓이며, 이 삼각 범주에서 완전 함자임을 알려 준다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ \mathcal{D} \ar[d]_Q \ar[rrr]_F & & & \mathcal{D}' \\ S^{-1}\mathcal{D} & & S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \ar[ll]_{\text{fully faithful}}^{\text{exact}} \ar[ur]_{RF} }\]

정의

상황 05S8에서, \(F\)가 오른쪽 유도 가능하다고, 또는 \(RF\)가 모든 곳에서 정의된다고 함은 \(RF\)가 \(\mathcal{D}\)의 모든 대상에서 정의된다는 뜻이다. \(F\)가 왼쪽 유도 가능하다고, 또는 \(LF\)가 모든 곳에서 정의된다고 함은 \(LF\)가 \(\mathcal{D}\)의 모든 대상에서 정의된다는 뜻이다.

이 경우 다음 오른쪽 (각각 왼쪽) 유도 함자를 얻는다. [05SW]\[\begin{equation} RF : S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}', \quad\text{(resp. } LF : S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}'), \end{equation}\] 명제 05SE를 보라. 대부분의 흥미로운 상황에서 \(RF \circ Q\)는 \(F\)와 같지 않다. 실제로 정준 사상 \(F(X) \to RF(X)\)가 한 번도 동형사상이 아닐 수도 있다. 실전에서는 그런 일이 일어나지 않는데, 이는 대개 삼각 범주 \(\mathcal{D}\)의 신중하게 선택한 대상에서 \(F\)를 계산하여 \(RF\)를 계산할 수 있음을 보이는 방식으로만 \(F\)가 오른쪽 유도 가능함을 증명하기 때문이다. 이에 따라 다음과 같이 정의한다.

정의

상황 05S8에서 다음과 같이 정의한다.

1. \(\mathcal{D}\)의 대상 \(X\)에서 \(RF\)가 정의되고 정준 사상 \(F(X) \to RF(X)\)가 동형사상이면 \(X\)가 \(RF\)를 계산한다고 한다.

2. \(\mathcal{D}\)의 대상 \(X\)에서 \(LF\)가 정의되고 정준 사상 \(LF(X) \to F(X)\)가 동형사상이면 \(X\)가 \(LF\)를 계산한다고 한다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(X\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상이라 하고 \(n \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(X\)가 \(RF\)를 계산하는 것과 \(X[n]\)이 \(RF\)를 계산하는 것은 동치이다.

2. \(X\)가 \(LF\)를 계산하는 것과 \(X[n]\)이 \(LF\)를 계산하는 것은 동치이다.

증명

생략한다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \((X, Y, Z, f, g, h)\)를 \(\mathcal{D}\)의 완전 삼각형이라고 하자. \(X, Y\)가 \(RF\)를 계산하면 \(Z\)도 그러하다. \(LF\)에 대해서도 마찬가지이다.

증명

보조정리 05SC에 의해 \(RF\)가 \(Z\)에서 정의되고, \(RF\)를 삼각형에 적용하면 완전 삼각형을 얻는다는 것을 안다. 완전 삼각형들의 사상 \[\xymatrix{ (F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h)) \ar[d] \\ (RF(X), RF(Y), RF(Z), RF(f), RF(g), RF(h)) }\] 을 생각하자. 세 사상 중 둘이 동형사상이므로 세 번째도 동형사상이다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. \(X, Y\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상들이라고 하자. \(X \oplus Y\)가 \(RF\)를 계산하면 \(X\)와 \(Y\)도 \(RF\)를 계산한다. \(LF\)에 대해서도 마찬가지이다.

증명

\(X \oplus Y\)가 \(RF\)를 계산하면 \(RF(X \oplus Y) = F(X) \oplus F(Y)\)이다. 보조정리 05SD의 증명에서 함자 \(X/S \times Y/S \to (X \oplus Y)/S\), \((s, s') \mapsto s \oplus s'\)가 공종말임을 보았다. 따라서 Categories, Lemma 0A1S와 Categories, Lemma 05PY의 특성화 (4)에 의해, \(\mathcal{D}'\)의 임의의 대상 \(W\)에 대해 사상 \[\Hom_{\mathcal{D}'}(F(X \oplus Y), W) \longrightarrow \colim_{s : X \to X', s' : Y \to Y'} \Hom_{\mathcal{D}'}(F(X' \oplus Y'), W)\] 은 전단사이다. 이 화살표는 양변의 직합 분해와 명백히 양립하므로 사상 \[\Hom_{\mathcal{D}'}(F(X), W) \longrightarrow \colim_{s : X \to X'} \Hom_{\mathcal{D}'}(F(X'), W)\] 도 전단사라고 결론짓는다 (사소한 세부사항은 생략한다). 따라서 Categories, Lemma 05PY에 의해 \(RF\)는 \(X\)에서 정의되고 그 값은 \(F(X)\)라고 결론짓는다. \(Y\)에 대해서도 마찬가지이다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자.

1. 모든 대상 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 \(X'\)가 \(RF\)를 계산하는 \(S\)의 화살표 \(s : X \to X'\)가 존재하면, \(RF\)는 모든 곳에서 정의된다.

2. 모든 대상 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 \(X'\)가 \(LF\)를 계산하는 \(S\)의 화살표 \(s : X' \to X\)가 존재하면, \(LF\)는 모든 곳에서 정의된다.

증명

정의에서 명백하다.

보조정리

상황 05S8의 가정과 표기법을 사용하자. 다음을 만족하는 부분집합 \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{D})\)가 존재한다고 하자.

1. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 \(X' \in \mathcal{I}\)인 \(S\)의 사상 \(s : X \to X'\)가 존재한다,

2. \(X, X' \in \mathcal{I}\)인 \(S\)의 모든 화살표 \(s : X \to X'\)에 대해 사상 \(F(s) : F(X) \to F(X')\)는 동형사상이다.

그러면 \(RF\)는 모든 곳에서 정의되고 모든 \(X \in \mathcal{I}\)는 \(RF\)를 계산한다. 쌍대적으로 다음을 만족하는 부분집합 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\)가 존재한다고 하자.

1. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 \(X' \in \mathcal{P}\)인 \(S\)의 사상 \(s : X' \to X\)가 존재한다,

2. \(X, X' \in \mathcal{P}\)인 \(S\)의 모든 화살표 \(s : X \to X'\)에 대해 사상 \(F(s) : F(X) \to F(X')\)는 동형사상이다.

그러면 \(LF\)는 모든 곳에서 정의되고 모든 \(X \in \mathcal{P}\)는 \(LF\)를 계산한다.

증명

\(X\)를 \(\mathcal{D}\)의 대상이라고 하자. 가정 (1)은 \(X' \in \mathcal{I}\)인 \(S\)의 화살표 \(s : X \to X'\)들이 범주 \(X/S\)에서 공종말임을 뜻한다. 가정 (2)는 \(F\)가 이 공종말 부분범주에서 상수임을 뜻한다. 이는 \(X' \in \mathcal{I}\)인 \(S\)의 임의의 \(s : X \to X'\)에 대해 \(F : (X/S) \to \mathcal{D}'\)가 값 \(F(X')\)를 갖는 본질적으로 상수인 함자임을 명백히 뜻한다.

보조정리

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\)를 삼각 범주들이라고 하자. \(S\), 각각 \(S'\)를 삼각 구조와 양립하는 \(\mathcal{A}\), 각각 \(\mathcal{B}\)의 포화 곱셈계라고 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)와 \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)를 완전 함자들이라고 하자. \(F\)와 국소화 함자의 합성을 \(F' : \mathcal{A} \to (S')^{-1}\mathcal{B}\)로 나타내자.

1. \(RF'\), \(RG\), \(R(G \circ F)\)가 모든 곳에서 정의되면 정준 함자 변환 \(t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF'\)가 존재한다.

2. \(LF'\), \(LG\), \(L(G \circ F)\)가 모든 곳에서 정의되면 정준 함자 변환 \(t : LG \circ LF' \to L(G \circ F)\)가 존재한다.

증명

이 증명에서는 세심하게 진행한다. 따라서 유도 함자들을 다음 함자들로 생각하자. \[RF' : S^{-1}\mathcal{A} \to (S')^{-1}\mathcal{B}, \quad R(G \circ F) : S^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{C}, \quad RG : (S')^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{C}.\] 국소화 함자들을 \(Q_A : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\)와 \(Q_B : \mathcal{B} \to (S')^{-1}\mathcal{B}\)로 나타내자. 그러면 \(F' = Q_B \circ F\)이다. \(\mathcal{B}\)의 모든 대상 \(Y\)에 대해 정준 사상 \[G(Y) \longrightarrow RG(Q_B(Y))\] 이 있음에 주의하자. 다시 말해 함자 변환 \(t' : G \to RG \circ Q_B\)가 있다. \(X\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라고 하자. 다음을 얻는다. \[\begin{align*} R(G \circ F)(Q_A(X)) & = \colim_{s : X \to X' \in S} G(F(X')) \\ & \xrightarrow{t'} \colim_{s : X \to X' \in S} RG(Q_B(F(X'))) \\ & = \colim_{s : X \to X' \in S} RG(F'(X')) \\ & = RG(\colim_{s : X \to X' \in S} F'(X')) \\ & = RG(RF'(X)). \end{align*}\] 계 \(F'(X')\)는 범주 \((S')^{-1}\mathcal{B}\)에서 본질적으로 상수이다. 따라서 위 그림의 세 번째 등식에서 여극한을 함자 \(RG\) 안으로 옮길 수 있다. Categories, Lemma 05SH와 그 증명을 보라. 이것이 함자 변환을 정의한다는 증명은 생략한다. 왼쪽 유도 함자의 경우도 비슷하다.

유도 범주 위의 유도 함자

실전에서 유도 함자는 아벨 범주들 사이의 가법 함자가 주어졌을 때 가장 흔히 나타난다.

설정

여기서 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)는 아벨 범주들 사이의 가법 함자이다. 이는 다음의 완전 함자들을 유도한다. \[F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).\] 보조정리 014X를 보라. 또한 \(F\)와 국소화 함자 \(K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})\) 등의 합성 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\), \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\), 그리고 \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})\)도 \(F\)로 나타낸다. 이 상황에서 다음에 다룰 네 유도 함자를 얻는다.

1. 곱셈계 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\)에 대한 \(F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)의 오른쪽 유도 함자.

2. 곱셈계 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)에 대한 \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)의 오른쪽 유도 함자.

3. 곱셈계 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\)에 대한 \(F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)의 왼쪽 유도 함자.

4. 곱셈계 \(\text{Qis}^-(\mathcal{A})\)에 대한 \(F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\)의 왼쪽 유도 함자.

각 경우는 상황 05S8의 한 예이다.

생길 수 있는 모호함의 일부는 다음 결과로 해소된다.

보조정리

상황 05T4에서 다음이 성립한다.

1. \(X\)를 \(K^{+}(\mathcal{A})\)의 대상이라고 하자. \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)의 오른쪽 유도 함자가 \(X\)에서 정의되는 것과 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)의 오른쪽 유도 함자가 \(X\)에서 정의되는 것은 동치이다. 또한 그 값들은 정준적으로 동형이다.

2. \(X\)를 \(K^{+}(\mathcal{A})\)의 대상이라고 하자. \(X\)가 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)의 오른쪽 유도 함자를 계산하는 것과 \(X\)가 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)의 오른쪽 유도 함자를 계산하는 것은 동치이다.

3. \(X\)를 \(K^{-}(\mathcal{A})\)의 대상이라고 하자. \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)의 왼쪽 유도 함자가 \(X\)에서 정의되는 것과 \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\)의 왼쪽 유도 함자가 \(X\)에서 정의되는 것은 동치이다. 또한 그 값들은 정준적으로 동형이다.

4. \(X\)를 \(K^{-}(\mathcal{A})\)의 대상이라고 하자. \(X\)가 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)의 왼쪽 유도 함자를 계산하는 것과 \(X\)가 \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\)의 왼쪽 유도 함자를 계산하는 것은 동치이다.

증명

\(X\)를 \(K^{+}(\mathcal{A})\)의 대상이라고 하자. \(K(\mathcal{A})\)의 준동형사상 \(s : X \to X'\)를 생각하자. 보조정리 05RV에 의해, \(X''\)가 아래로 유계인 준동형사상 \(X' \to X''\)가 존재한다. 따라서 \(X/\text{Qis}^+(\mathcal{A})\)는 \(X/\text{Qis}(\mathcal{A})\)에서 공종말이다. 이로부터 (1)이 성립함은 명백하다. (2)는 (1)에서 바로 따른다. (3)과 (4)는 (1)과 (2)에 쌍대이다.

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 대상 \(A\)가 주어지면 복합체 \[A[0] = ( \ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots )\] 를 얻는다. 여기서 \(A\)는 차수 영에 놓인다. 따라서 함자 \(\mathcal{A} \to K(\mathcal{A})\), \(A \mapsto A[0]\)를 얻는다. 잠정적으로, 부분범주 위에서 정의된 함자를 부분 함자라고 하자.

정의

상황 05T4에서 다음과 같이 정의한다.

1. \(F\)의 오른쪽 유도 함자들은 상황 05T4의 (1)과 (2)에 대응하는 부분 함자 \(RF\)이다.

2. \(F\)의 왼쪽 유도 함자들은 상황 05T4의 (3)과 (4)에 대응하는 부분 함자 \(LF\)이다.

3. \(\mathcal{A}\)의 대상 \(A\)에 대해 \(A[0]\)이 \(RF\)를 계산하면, 그 대상을 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환 또는 \(RF\)에 대해 비순환이라고 한다.

4. \(\mathcal{A}\)의 대상 \(A\)에 대해 \(A[0]\)이 \(LF\)를 계산하면, 그 대상을 \(F\)에 대해 왼쪽 비순환 또는 \(LF\)에 대해 비순환이라고 한다.

다음 몇 보조정리는 충분히 많은 비순환 대상이 존재하기 위한 몇 가지 판정법을 준다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(0\)을 포함하고 \(\mathcal{A}\)의 모든 대상이 \(\mathcal{P}\)의 원소의 몫인 부분집합 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\)를 잡자. \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(n > a\)일 때 \(K^n = 0\)인 \(K^\bullet\)가 주어지면, 모든 \(n\)에 대해 \(P^n \in \mathcal{P}\)이고 \(P^n \to K^n\)이 전사이며, \(n > a\)일 때 \(P^n = 0\)인 준동형사상 \(P^\bullet \to K^\bullet\)가 존재한다.

2. \(n > a\)일 때 \(H^n(K^\bullet) = 0\)인 \(K^\bullet\)가 주어지면, 모든 \(n\)에 대해 \(P^n \in \mathcal{P}\)이고 \(n > a\)일 때 \(P^n = 0\)인 준동형사상 \(P^\bullet \to K^\bullet\)가 존재한다.

증명

(1)을 증명하자. 다음 귀납 가설 \(IH_n\)을 생각하자. \(j \geq n\)에 대해 \(P^j \in \mathcal{P}\)이고 \(j > a\)에 대해 \(P^j = 0\)인 그런 대상들이 있고, \(j \geq n\)에 대해 사상 \(d^j : P^j \to P^{j + 1}\)들이 있으며, \(j \geq n\)에 대해 전사 \(\alpha^j : P^j \to K^j\)들이 있어 다음 그림이 가환한다고 하자. \[\xymatrix{ & & P^n \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 2} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[r] & K^n \ar[r] & K^{n + 1} \ar[r] & K^{n + 2} \ar[r] & \ldots }\] 또한 \(j \geq n\)에 대해 \(d^{j + 1} \circ d^j = 0\)이고, \(j > n\)에 대해 \(\alpha\)가 동형사상 \(\Ker(d^j)/\Im(d^{j - 1}) \to H^j(K^\bullet)\)를 유도하며, \(\alpha : \Ker(d^n) \to \Ker(d_K^n)\)가 전사라고 하자. 그러면 \(\mathcal{P}\)에 속하는 \(P^{n - 1}\)과 전사 \[P^{n - 1} \longrightarrow K^{n - 1} \times_{K^n} \Ker(d^n) = K^{n - 1} \times_{\Ker(d_K^n)} \Ker(d^n)\] 를 택한다. 이로써 위 그림을 다음과 같이 확장할 수 있다. \[\xymatrix{ & P^{n - 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^n \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 2} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[r] & K^n \ar[r] & K^{n + 1} \ar[r] & K^{n + 2} \ar[r] & \ldots }\] 이 선택으로 \(IH_{n - 1}\)이 성립함을 독자가 쉽게 확인할 수 있다.

다음과 같이 (1)의 증명을 마친다. \(j > a\)에 대해 \(P^j = 0\)으로 두면 되므로 \(n = a + 1\)일 때 \(IH_n\)이 성립함에 먼저 주의하자. 따라서 내림 귀납법으로 \(\mathcal{P}\)의 대상들로 이루어지고 \(n > a\)에 대해 \(P^n = 0\)인 복합체 \(P^\bullet\)와, 원하는 항별 전사 준동형사상 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\)를 만든다.

(2)를 증명하자. 가정은 사상 \(\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet\) (Homology, Section 0118)가 준동형사상임을 뜻한다. (1)을 적용하여 \(P^\bullet \to \tau_{\leq a}K^\bullet\)를 찾는다. 합성 \(P^\bullet \to K^\bullet\)가 원하는 준동형사상이다.

보조정리

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)를 잡자. \(0\)을 포함하고 \(\mathcal{A}\)의 모든 대상이 \(\mathcal{I}\)의 원소의 부분대상인 부분집합 \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\)를 잡자. \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(n < a\)일 때 \(K^n = 0\)인 \(K^\bullet\)가 주어지면, 모든 \(n\)에 대해 \(K^n \to I^n\)이 단사이고 \(I^n \in \mathcal{I}\)이며 \(n < a\)일 때 \(I^n = 0\)인 준동형사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)가 존재한다,

2. \(n < a\)일 때 \(H^n(K^\bullet) = 0\)인 \(K^\bullet\)가 주어지면, \(I^n \in \mathcal{I}\)이고 \(n < a\)일 때 \(I^n = 0\)인 준동형사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)가 존재한다.

증명

이 보조정리는 보조정리 05T7에 쌍대이다.

보조정리

상황 05T4에서 다음을 만족하는 부분집합 \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\)를 잡자.

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상은 \(\mathcal{I}\)의 원소의 부분대상이다,

2. \(P, Q \in \mathcal{I}\)인 \(\mathcal{A}\)의 임의의 짧은 완전열 \(0 \to P \to Q \to R \to 0\)에 대해 \(R \in \mathcal{I}\)이고, \(0 \to F(P) \to F(Q) \to F(R) \to 0\)은 완전열이다.

그러면 \(\mathcal{I}\)의 모든 대상은 \(RF\)에 대해 비순환이다.

증명

\(A \in \mathcal{I}\)를 택하자. \(K^\bullet\)가 아래로 유계인 준동형사상 \(A[0] \to K^\bullet\)를 잡자. 그러면 \(I^\bullet\)가 아래로 유계이고 각 \(I^n \in \mathcal{I}\)인 준동형사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)를 찾을 수 있다. 보조정리 05T6을 보라.⁶ 따라서 이러한 분해들은 범주 \(A[0]/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)에서 공종말이다. 그러므로 증명을 마치려면 \(I^\bullet\)가 아래로 유계이고 \(I^n \in \mathcal{I}\)인 임의의 준동형사상 \(A[0] \to I^\bullet\)에 대해 \(F(A)[0] \to F(I^\bullet)\)가 준동형사상임을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(n < n_0\)일 때 \(I^n = 0\)이라고 하자. 물론 \(n_0 < 0\)이라고 가정해도 된다. \(n = n_0\)에서 시작하여 성질 (2)와 완전열들 \[0 \to \Ker(d^n) \to I^n \to \Im(d^n) \to 0.\] 을 사용하면 \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n)\) 및 \(\Im(d^{-1})\)가 \(\mathcal{I}\)의 원소임을 귀납적으로 증명할 수 있다. 또한 성질 (2)는 복합체 \[0 \to F(I^{n_0}) \to F(I^{n_0 + 1}) \to \ldots \to F(I^{-1}) \to F(\Im(d^{-1})) \to 0\] 가 완전함도 보장한다. 완전열 \(0 \to \Im(d^{-1}) \to I^0 \to I^0/\Im(d^{-1}) \to 0\)은 \(I^0/\Im(d^{-1})\)가 \(\mathcal{I}\)의 원소임을 뜻한다.

그러면 완전열 \(0 \to A \to I^0/\Im(d^{-1}) \to \Im(d^0) \to 0\)은 \(\Im(d^0) = \Ker(d^1)\)가 \(\mathcal{I}\)의 원소임을 뜻하고, 이후에는 앞과 같이 계속하여 모든 \(n > 0\)에 대해 \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n)\)가 \(\mathcal{I}\)의 원소임을 보인다. 위에서 언급한 각 짧은 완전열에 \(F\)를 적용하고 (2)를 사용하면

\(F(A)[0] \to F(I^\bullet)\)가 원하는 대로 동형사상임을 알 수 있다.

보조정리

상황 05T4에서 다음을 만족하는 부분집합 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\)를 잡자.

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상은 \(\mathcal{P}\)의 원소의 몫이다,

2. \(Q, R \in \mathcal{P}\)인 \(\mathcal{A}\)의 임의의 짧은 완전열 \(0 \to P \to Q \to R \to 0\)에 대해 \(P \in \mathcal{P}\)이고, \(0 \to F(P) \to F(Q) \to F(R) \to 0\)은 완전열이다.

그러면 \(\mathcal{P}\)의 모든 대상은 \(LF\)에 대해 비순환이다.

증명

보조정리 05T8의 증명에 쌍대이다.

고차 유도 함자

다음 간단한 보조정리는 오른쪽 유도 함자가 “오른쪽으로 이동”함을 보인다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하자. \(K^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체라 하고 \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. 모든 \(i < a\)에 대해 \(H^i(K^\bullet) = 0\)이고 \(RF\)가 \(K^\bullet\)에서 정의되면, 모든 \(i < a\)에 대해 \(H^i(RF(K^\bullet)) = 0\)이다.

2. \(RF\)가 \(K^\bullet\)와 \(\tau_{\leq a}K^\bullet\)에서 정의되면, 모든 \(i \leq a\)에 대해 \(H^i(RF(\tau_{\leq a}K^\bullet)) = H^i(RF(K^\bullet))\)이다.

증명

\(K^\bullet\)가 (1)의 가정들을 만족한다고 하자. \(s : K^\bullet \to L^\bullet\)를 임의의 준동형사상이라고 하자. 그러면 \(K^\bullet\)에 대한 가정에 의해 \(K^\bullet \to \tau_{\geq a}L^\bullet\)도 준동형사상이다. 따라서 범주 \(K^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)에서 \(n < a\)에 대해 \(L^n = 0\)인 준동형사상 \(s : K^\bullet \to L^\bullet\)들이 공종말이다. Categories, Lemma 0A1S에 의해 \(RF\)는 이러한 \(s\)에 대한 본질적으로 상수인 ind-대상 \(F(L^\bullet)\)의 값이다. 이는 어떤 복합체 \(L^\bullet\)에 대해 \(\text{id} : RF(K^\bullet) \to RF(K^\bullet)\)가 \(F(L^\bullet)\)를 통해 인수분해됨을 뜻한다. 여기서 \(n < a\)에 대해 \(L^n = 0\)이다. 따라서 \(i < a\)에 대해 \(H^i(RF(K^\bullet)) = 0\)이다.

(2)를 증명하기 위해 비고 08J5의 완전 삼각형 \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] 을 사용한다. 보조정리 05SC에 의해 \(RF\)가 \(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet\)에서도 정의되고, \(D(\mathcal{B})\)에서 완전 삼각형 \[RF(\tau_{\leq a}K^\bullet) \to RF(K^\bullet) \to RF(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet) \to RF(\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] 을 얻는다. (1)에 의해 \(RF(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet)\)의 코호몰로지는 차수 \(< a + 1\)에서 사라진다. 이 완전 삼각형의 긴 완전 코호몰로지 열에서 원하는 결과가 따른다.

정의

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하자. \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)가 모든 곳에서 정의된다고 가정하자. \(i \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(F\)의 \(i\)번째 오른쪽 유도 함자 \(R^iF\)는 다음 함자이다. \[R^iF = H^i \circ RF : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}\]

다음 보조정리는 함자가 왼쪽 완전하지 않다면 오른쪽 유도 함자를 취하는 것이 실제로 큰 의미가 없음을 보인다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하고 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)가 모든 곳에서 정의된다고 가정하자.

1. \(i < 0\)에 대해 \(R^iF = 0\)이다,

2. \(R^0F\)는 왼쪽 완전하다,

3. 사상 \(F \to R^0F\)가 동형사상인 것과 \(F\)가 왼쪽 완전한 것은 동치이다.

증명

\(A\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라고 하자. 보조정리 05TC에 의해

\(i < 0\)에 대해 \(H^i(RF(A[0]) = 0\)이다. 이로써 (1)이 증명된다.

\(0 \to A \to B \to C \to 0\)를 \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열이라고 하자. 보조정리 0152에 의해 \(D^{+}(\mathcal{A})\)에서 완전 삼각형 \((A[0], B[0], C[0], a, b, c)\)를 얻는다. 긴 완전 코호몰로지 열과 위에서 증명한 \(i < 0\)에서의 소멸로부터 \(0 \to R^0F(A) \to R^0F(B) \to R^0F(C)\)가 완전함을 얻는다. 따라서 \(R^0F\)는 왼쪽 완전하다. 물론 이는 \(F \to R^0F\)가 동형사상이면 \(F\)가 왼쪽 완전함도 증명한다.

\(F\)가 왼쪽 완전하다고 가정하자. \(RF(A[0])\)는 준동형사상 \(s : A[0] \to K^\bullet\)에 대한 본질적으로 상수인 계 \(F(K^\bullet)\)의 값임을 상기하자. 따라서 Categories, Lemma 05SH에 의해 \(R^0F(A)\)는 이러한 준동형사상 \(s : A[0] \to K^\bullet\)에 대한 본질적으로 상수인 계 \(H^0(F(K^\bullet))\)의 값이다. 그러나 \(s : A[0] \to K^\bullet\)가 준동형사상이면 \(A[0] \to \tau_{\geq 0}K^\bullet\)도 준동형사상이다. 따라서 범주 \(A[0]/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)에서 \(n < 0\)에 대해 \(K^n = 0\)인 준동형사상 \(s : A[0] \to K^\bullet\)들이 공종말이다. Categories, Lemma 0A1S에 의해 이러한 \(s\)들로 제한할 수 있다. 또한 그러한 \(s\)에 대해 열 \[0 \to A \to K^0 \to K^1\] 은 완전하다. \(F\)가 왼쪽 완전하므로 \(0 \to F(A) \to F(K^0) \to F(K^1)\)도 완전하다. 따라서 \(F(A) \to H^0(F(K^\bullet))\)는 동형사상이고, 이 계는 실제로 값 \(F(A)\)를 갖는 상수인 계이다. 원하는 대로 \(R^0F = F\)라고 결론짓는다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하고 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)가 모든 곳에서 정의된다고 가정하자. \(A\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라고 하자.

1. \(A\)가 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환인 것과 \(F(A) \to R^0F(A)\)가 동형사상이고 모든 \(i > 0\)에 대해 \(R^iF(A) = 0\)인 것은 동치이다.

2. \(F\)가 왼쪽 완전이면, \(A\)가 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환인 것과 모든 \(i > 0\)에 대해 \(R^iF(A) = 0\)인 것은 동치이다.

증명

\(A\)가 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환이면 \(RF(A[0]) = F(A)[0]\)이고, 특히 \(F(A) \to R^0F(A)\)는 동형사상이며 \(i \not = 0\)에 대해 \(R^iF(A) = 0\)이다. 반대로 \(F(A) \to R^0F(A)\)가 동형사상이고 모든 \(i > 0\)에 대해 \(R^iF(A) = 0\)이면, 보조정리 05TD의 (1)에 의해 \(F(A[0]) \to RF(A[0])\)가 준동형사상이므로 \(A\)는 비순환이다. \(F\)가 왼쪽 완전이면 \(F = R^0F\)이다. 보조정리 05TD를 보라.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 왼쪽 완전 함자라고 하고 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)가 모든 곳에서 정의된다고 가정하자. \(0 \to A \to B \to C \to 0\)를 \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열이라고 하자.

1. \(A\)와 \(C\)가 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환이면 \(B\)도 그러하다.

2. \(A\)와 \(B\)가 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환이면 \(C\)도 그러하다.

3. \(B\)와 \(C\)가 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환이고 \(F(B) \to F(C)\)가 전사이면 \(A\)는 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환이다.

세 경우 모두 \[0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\] 은 \(\mathcal{B}\)의 짧은 완전열이다.

증명

보조정리 0152에 의해 \(D^{+}(\mathcal{A})\)에서 완전 삼각형 \((A[0], B[0], C[0], a, b, c)\)를 얻는다. \(RF\)가 완전 함자이고 \(i < 0\)에 대해 \(R^iF = 0\)이며 \(R^0F = F\)이므로 (보조정리 05TD), 아벨 범주 \(\mathcal{B}\)에서 완전 코호몰로지 열 \[0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to R^1F(A) \to \ldots\] 을 얻는다. 따라서 보조정리 015C의 비순환 대상에 대한 특징짓기로부터 이 보조정리가 따른다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하고 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)가 모든 곳에서 정의된다고 가정하자.

1. 함자들 \(R^iF\), \(i \geq 0\)에는 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)인 \(\delta\)-함자의 정준 구조가 주어진다. Homology, Definition 010Q을 보라.

2. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상이 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환인 대상의 부분대상이면, \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\)는 보편 \(\delta\)-함자이다. Homology, Definition 010S을 보라.

증명

함자 \(\mathcal{A} \to \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), \(A \mapsto A[0]\)는 완전하다. 함자 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)는 \(\delta\)-함자이다. 보조정리 0152을 보라. 함자 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)는 완전하다. 마지막으로 함자 \(H^0 : D^{+}(\mathcal{B}) \to \mathcal{B}\)는 호몰로지적 함자이다. 정의 05RU를 보라. 따라서 보조정리 05SR과 보조정리 0151로부터 \(\delta\)-함자의 구조를 얻는다. (2)는 Homology, Lemma 010T과 보조정리 015C의 비순환 대상에 대한 기술로부터 따른다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하자. \(A^\bullet\)를 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환인 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하고, \(RF\)가 \(A^\bullet\)에서 정의된다고 하자.⁷ 정준 사상 \[F(A^\bullet) \longrightarrow RF(A^\bullet)\] 은 \(D^{+}(\mathcal{B})\)에서 동형사상이다. 즉, \(A^\bullet\)는 \(RF\)를 계산한다.

증명

\(A^\bullet\)를 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환인 대상들로 이루어진 유계 복합체라고 하자. \(RF\)가 \(A^\bullet\)에서 정의되고 \(F(A^\bullet) \to RF(A^\bullet)\)가 \(D^+(\mathcal{B})\)에서 동형사상이라고 주장한다. 실제로 0이 아닌 오른쪽 \(F\)-비순환 대상이 기껏해야 하나인 복합체에 대해서는 정의 0157에 의해 성립한다. 다음으로 \(A^n = 0\)이 \(n \not \in [a, b]\)에 대해 성립한다고 하자. ‘stupid’ 절단을 사용하면 항별 분할 짧은 완전열 \[0 \to \sigma_{\geq a + 1} A^\bullet \to A^\bullet \to \sigma_{\leq a} A^\bullet \to 0\] 을 얻는다. Homology, Section 0118를 보라. 따라서 완전 삼각형 \((\sigma_{\geq a + 1} A^\bullet, A^\bullet, \sigma_{\leq a} A^\bullet)\) 을 얻는다. 귀납 가정에 의해 \(RF\)는 양 끝의 두 복합체에서 정의되고, 이 복합체들은 \(RF\)를 계산한다. 그러면 보조정리 05SZ에 의해 가운데 복합체도 그러하다.

\(A^\bullet\)가 비순환 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체이고 \(RF\)가 \(A^\bullet\)에서 정의된다고 하자. \(F(A^\bullet) \to RF(A^\bullet)\)가 \(D^{+}(\mathcal{B})\)에서 동형사상임을 보이려면 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(F(A^\bullet)) \to H^i(RF(A^\bullet))\)가 동형사상임을 보이면 충분하다. \(i\)를 택하자. 복합체들의 항별 분할 짧은 완전열 \[0 \to \sigma_{\geq i + 2} A^\bullet \to A^\bullet \to \sigma_{\leq i + 1} A^\bullet \to 0.\] 을 생각하자. 이는 항별 분할 짧은 완전열 \[0 \to \sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet) \to F(A^\bullet) \to \sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet) \to 0.\] 도 유도함에 유의하자. 따라서 완전 삼각형들 \[(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet, A^\bullet, \sigma_{\leq i + 1} A^\bullet) \quad\text{and}\quad (\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet), F(A^\bullet), \sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet))\] 을 얻는다. \(RF\)는 가정에 의해 \(A^\bullet\)에서 정의되고, 첫 번째 문단에 의해 \(\sigma_{\leq i + 1}A^\bullet\)에서도 정의되므로, \(RF\)가 \(\sigma_{\geq i + 2}A^\bullet\)에서도 정의됨을 알 수 있고 완전 삼각형 \[(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet), RF(A^\bullet), RF(\sigma_{\leq i + 1} A^\bullet))\] 을 얻는다. 보조정리 05SC를 보라. 이 완전 삼각형들을 사용하면 완전열들의 사상 \[\xymatrix{ H^i(\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d] & H^i(F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d]^\alpha & H^i(\sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d]^\beta & H^{i + 1}(\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet)) \ar[d] \\ H^i(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) \ar[r] & H^i(RF(A^\bullet)) \ar[r] & H^i(RF(\sigma_{\leq i + 1} A^\bullet)) \ar[r] & H^{i + 1}(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) }\] 을 얻는다. 첫 번째 문단의 결과에 의해 사상 \(\beta\)는 동형사상이다. 살펴보면 왼쪽 위와 오른쪽 위의 대상들은 0이다. 따라서 증명을 마치려면 \(H^i(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) = 0\)과 \(H^{i + 1}(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) = 0\)을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 05TC에서 곧바로 따른다.

명제

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 가법 함자라고 하자.

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상이 \(RF\)에 대해 비순환인 대상에 단사로 들어가면, \(RF\)는 \(K^{+}(\mathcal{A})\) 전체에서 정의되고 완전 함자 \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})\] 를 얻는다. (05SW)를 보라. 더 나아가, 각 항이 \(RF\)에 대해 비순환인 임의의 아래로 유계인 복합체 \(A^\bullet\)는 \(RF\)를 계산한다.

2. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상이 \(LF\)에 대해 비순환인 대상의 몫이면, \(LF\)는 \(K^{-}(\mathcal{A})\) 전체에서 정의되고 완전 함자 \[LF : D^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{-}(\mathcal{B})\] 를 얻는다. (05SW)를 보라. 더 나아가, 각 항이 \(LF\)에 대해 비순환인 임의의 위로 유계인 복합체 \(A^\bullet\)는 \(LF\)를 계산한다.

증명

\(\mathcal{A}\)의 모든 대상이 \(RF\)에 대해 비순환인 대상에 단사로 들어간다고 가정하자. \(\mathcal{I}\)를 \(RF\)에 대해 비순환인 대상들의 집합이라고 하자. \(K^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계인 복합체라고 하자. 보조정리 05T6에 의해 \(I^\bullet\)가 아래로 유계이고 \(I^n \in \mathcal{I}\)인 준동형사상 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)가 존재한다. 따라서 (1)을 증명하려면 \(s : I^\bullet \to (I')^\bullet\)가 \(\mathcal{I}\)의 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체들의 준동형사상일 때 \(F(I^\bullet) \to F((I')^\bullet)\)가 준동형사상임을 보이면 충분하다. 보조정리 06XN를 보라. 원뿔 \(C(s)^\bullet\)는 모든 항이 \(\mathcal{I}\)에 속하는 비순환인 아래로 유계인 복합체임에 유의하자. 그러므로 모든 항이 \(\mathcal{I}\)에 속하는 비순환인 아래로 유계인 복합체 \(I^\bullet\)가 주어졌을 때 \(F(I^\bullet)\)가 비순환임을 보이면 충분하다.

\(n < n_0\)에 대해 \(I^n = 0\)이라고 하자. \(J^n = \Im(d^n)\)으로 놓아 \(I^\bullet\)를 \(n \geq n_0\)에 대한 짧은 완전열들 \(0 \to J^n \to I^{n + 1} \to J^{n + 1} \to 0\)으로 분해한다. 보조정리 0152에 의해 이 열들은 \(D^+(\mathcal{A})\)에서 완전 삼각형 \((J^n, I^{n + 1}, J^{n + 1})\)을 유도한다. 각 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 다음 명제를 \(H_k\)로 나타내자. 모든 \(n \leq k\)에 대해 대상 \(J^n\)은 \(\mathcal{I}\)에 속한다. 그러면 \(k < n_0\)에 대해서는 \(H_k\)가 자명하게 성립한다. \(H_n\)이 성립하면 보조정리 05SZ에 의해 \(J^{n + 1}\)은 \(\mathcal{I}\)에 속하고 \(H_{n + 1}\)이 성립한다. 명제 05SE에 의해 완전 삼각형 \((RF(J^n), RF(I^{n + 1}), RF(J^{n + 1}))\)을 얻는다. \(J^n, I^{n + 1}, J^{n + 1}\)이 \(\mathcal{I}\)에 속하므로, 이 완전 삼각형에 결합된 긴 완전 코호몰로지 열 (05ST)은 완전열 \[0 \to F(J^n) \to F(I^{n + 1}) \to F(J^{n + 1}) \to 0\] 로 축약된다. 이는 다시 \(F(I^\bullet)\)가 완전함을 증명한다.

\(LF\)의 경우의 증명은 쌍대이다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 완전 함자라고 하자. 그러면

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상은 \(F\)에 대해 오른쪽 비순환이다,

2. \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)는 모든 곳에서 정의된다,

3. \(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)는 모든 곳에서 정의된다,

4. 모든 복합체는 \(RF\)를 계산한다. 다시 말해 모든 복합체에 대해 정준 사상 \(F(K^\bullet) \to RF(K^\bullet)\)가 동형사상이다,

5. \(i \not = 0\)에 대해 \(R^iF = 0\)이다.

증명

\(F\)가 비순환 복합체를 비순환 복합체로, 준동형사상을 준동형사상으로 보내므로 참이다. 자세한 내용은 생략한다.

유도 범주의 삼각 부분범주

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 이 절에서는 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주들 가운데 특정한 \(\mathcal{D}' \subset D(\mathcal{A})\)를 살펴본다.

\(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)를 약한 Serre 부분범주라고 하자. Homology, Definition 02MO와 보조정리 0754를 보라.

\(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)를 \(D(\mathcal{A})\)의 다음 대상들을 갖는 충만한 부분범주로 둔다. \[\Ob(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) \text{ is an object of }\mathcal{B}\text{ for all }n\}\] 또한 \(D^{+}_\mathcal{B}(\mathcal{A}) = D^{+}(\mathcal{A}) \cap D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) 로 정의하고, 다른 유계 버전들도 마찬가지로 정의한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)를 약한 Serre 부분범주라고 하자. 범주 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)는 \(D(\mathcal{A})\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주이다. 유계 버전들도 마찬가지이다.

증명

\(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)가 평행이동 함자들 아래 보존되는 가법 부분범주임은 분명하다. \(X \oplus Y\)가 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)에 속하면, \(H^n(X \oplus Y) = H^n(X) \oplus H^n(Y)\)이므로

\(H^n(X)\)와 \(H^n(Y)\)는 둘 다 \(\mathcal{B}\)의 대상들 사이 사상의 핵이다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)는 둘 다 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)에 속한다. 그러므로 보조정리 05QX에 의해 \(X\)와 \(Y\)가 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)에 속하는 완전 삼각형 \((X, Y, Z, f, g, h)\)이 주어졌을 때 \(Z\)가 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)의 대상임을 보이면 충분하다. 긴 완전 코호몰로지 열 (05ST)과 약한 Serre 부분범주의 정의(Homology, Definition 02MO 참조)는 모든 \(n\)에 대해 \(H^n(Z)\)가 \(\mathcal{B}\)의 대상임을 보인다. 따라서 \(Z\)는 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)의 대상이다.

계속해서 \(\mathcal{B}\)가 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)의 약한 Serre 부분범주라고 가정한다. 그러면 \(\mathcal{B}\)는 아벨 범주이고 포함 함자 \(\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)는 완전하다. 따라서 유도 함자 \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\)를 얻는다. 보조정리 015F를 보라. 분명 함자 \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\)는 정준 완전 함자 [06UR]\[\begin{equation} D(\mathcal{B}) \longrightarrow D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) \end{equation}\] 를 통해 인수분해된다. 실제로 \(\mathcal{B}\)의 대상들로 이루어진 복합체는 분명 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)의 대상을 주며, \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형들은 꼭짓점들이 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)에 속하는 \(D(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형들과 정확히 같으므로, \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\)가 완전함에서 이 함자가 완전함을 알 수 있다. 마찬가지로 유계 버전들에 대해 \(D^+(\mathcal{B}) \to D^+_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), \(D^-(\mathcal{B}) \to D^-_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), 그리고 \(D^b(\mathcal{B}) \to D^b_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) 를 얻는다. 많은 경우 중요한 문제는 위에 표시한 함자가 동치인지이다.

이제 \(\mathcal{B}\)가 \(\mathcal{A}\)의 Serre 부분범주라고 가정하자. 이 경우 몫함자 \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}/\mathcal{B}\)가 있다. Homology, Lemma 02MS을 보라. 이 경우 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)는 함자 \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\)의 핵이다. 따라서 보조정리 05RJ에 의해 정준 함자 \[D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\] 를 얻는다. 유계 버전들도 마찬가지이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)를 Serre 부분범주라고 하자. 그러면 \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\)는 본질적으로 전사이다.

증명

Homology, Lemma 02MS의 증명에서 범주 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)를 기술한 방식을 사용한다. \((X^\bullet, d^\bullet)\)를 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)의 복합체라고 하자. 이는 \(X^i\)가 \(\mathcal{A}\)의 대상이고 \(d^i : X^i \to X^{i + 1}\)이 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)의 사상이며 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)에서 \(d^i \circ d^{i - 1} = 0\)임을 뜻한다.

\(i \geq 0\)에 대해 \(d^i = (s^i, f^i)\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(s^i : Y^i \to X^i\)는 핵과 여핵이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 \(\mathcal{A}\)의 사상이고(동치로, \(s^i\)는 몫범주에서 동형사상이 된다), \(f^i : Y^i \to X^{i + 1}\)는 \(\mathcal{A}\)의 사상이다. 귀납적으로 가환 그림 \[\xymatrix{ & (X')^1 \ar@{..>}[r] & (X')^2 \ar@{..>}[r] & \ldots \\ X^0 \ar@{..>}[ru] & X^1 \ar@{..>}[u] & X^2 \ar@{..>}[u] & \ldots \\ Y^0 \ar[u]_{s^0} \ar[ru]_{f^0} & Y^1 \ar[u]_{s^1} \ar[ru]_{f^1} & Y^2 \ar[u]_{s^2} \ar[ru]_{f^2} & \ldots }\] 을 구성할 것이다. 여기서 수직 화살표 \(X^i \to (X')^i\)는 몫범주에서 동형사상이 된다. 실제로 먼저 \((X')^1 = \Coker(Y^0 \to X^0 \oplus X^1)\)로 둔다(더 정확히는 화살표 \(s^0\)와 \(f^0\)를 갖는 그림의 밂으로 둔다). 그러면 첫 번째 가환 그림을 얻는다. 다음으로 \((X')^2 = \Coker(Y^1 \to (X')^1 \oplus X^2)\)로 둔다. 이와 같이 계속한다. 또한 \(n \leq 0\)에 대해 \((X')^n = X^n\)으로 두면 사상 \((X^\bullet, d^\bullet) \to ((X')^\bullet, (d')^\bullet)\)가 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)의 복합체들의 동형사상임을 알 수 있다. 따라서 \(n \geq 0\)에 대해 \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\)이 \(\mathcal{A}\)의 사상 \(X^n \to X^{n + 1}\)로 주어진다고 가정할 수 있다.

쌍대적으로 \(i < 0\)에 대해 \(d^i = (g^i, t^{i + 1})\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(t^{i + 1} : X^{i + 1} \to Z^{i + 1}\)은 몫범주에서 동형사상이고, \(g^i : X^i \to Z^{i + 1}\)은 사상이다. 귀납적으로 가환 그림

\[\xymatrix{ \ldots & Z^{-2} & Z^{-1} & Z^0 \\ \ldots & X^{-2} \ar[u]_{t_{-2}} \ar[ru]_{g_{-2}} & X^{-1} \ar[u]_{t_{-1}} \ar[ru]_{g_{-1}} & X^0 \ar[u]_{t^0} \\ \ldots & (X')^{-2} \ar@{..>}[u] \ar@{..>}[r] & (X')^{-1} \ar@{..>}[u] \ar@{..>}[ru] }\] 을 구성할 것이다. 여기서 수직 화살표 \((X')^i \to X^i\)는 몫범주에서 동형사상이 된다. 실제로 \((X')^{-1} = X^{-1} \times_{Z^0} X^0\)로 둔다. 그다음 \((X')^{-2} = X^{-2} \times_{Z^{-1}} (X')^{-1}\)로 둔다. 이와 같이 계속한다. 또한 \(n \geq 0\)에 대해 \((X')^n = X^n\)으로 두면 사상 \(((X')^\bullet, (d')^\bullet) \to (X^\bullet, d^\bullet)\)가 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)의 복합체들의 동형사상임을 알 수 있다. 따라서 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\)이 \(\mathcal{A}\)의 사상 \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\)로 주어진다고 가정할 수 있다.

이 경우 합성들 \(d^n \circ d^{n - 1}\)이 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)에서 0임을 안다. \(n > 0\)에 대해 \(X^n\)을 \[(X')^n = X^n/\sum\nolimits_{0 < k \leq n} \Im(\Im(X^{k - 2} \to X^k) \to X^n)\] 으로 바꾸면, \(n \geq 0\)에 대해 합성들 \(d^n \circ d^{n - 1}\)이 0이다. (위의 두 번째 문단과 마찬가지로 복합체들의 동형사상 \((X^\bullet, d^\bullet) \to ((X')^\bullet, (d')^\bullet)\)을 얻는다.) 마지막으로 \(n < 0\)에 대해 \(X^n\)을 \[(X')^n = \bigcap\nolimits_{n \leq k < 0} (X^n \to X^k)^{-1}\Ker(X^k \to X^{k + 2})\] 으로 바꾸고 같은 방식으로 논증하여, \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\)에서의 상이 주어진 복합체와 동형인 \(\mathcal{A}\)의 복합체를 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)를 Serre 부분범주라고 하자. 함자 \(v : \mathcal{A} \to \mathcal{A}/\mathcal{B}\)가 \(vu \cong \text{id}\)를 만족하는 왼쪽 수반 \(u : \mathcal{A}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\)를 갖는다고 가정하자. 그러면 \[D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) = D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\] 이고 유계 버전들도 마찬가지이다.

증명

함자 \(D(v) : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\)는 보조정리 06XL에 의해 본질적으로 전사이다. \(D(\mathcal{A})\)의 대상 \(X\)에 대해 수반 사상 \(c_X : uvX \to X\)는 \(D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\)에서 동형사상으로 보내진다. 실제로 \(vu \cong \text{id}\)라는 가정에 의해 \(vuv \cong v\)이다. 따라서 완전 삼각형 \((uvX, X, Z, c_X, g, h)\)에서 긴 완전 코호몰로지 열을 살펴보면 대상 \(Z\)가 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)의 대상임을 알 수 있다. 그러므로 \(c_X\)는 몫범주 \(D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)를 정의하는 데 사용되는 곱셈계의 원소이다. 따라서 \(D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)에서 \(uvX \cong X\)이다.

\(X, Y \in \Ob(\mathcal{A}))\)에 대해 사상 \[\Hom_{D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})}(X, Y) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{A}/\mathcal{B})}(vX, vY)\] 은 전단사이다. 위의 논평에 의해 \(u\)가 그 역을 주기 때문이다.

특정한 Serre 부분범주 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)에 대해서는 함자 \(D(\mathcal{B}) \to D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)가 충만충실임을 증명할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)를 Serre 부분범주라고 하자. \(X \in \Ob(\mathcal{A})\)이고 \(Y \in \Ob(\mathcal{B})\)인 모든 전사 \(X \to Y\)에 대해, \(Y\) 위로 전사하는 \(X' \subset X\), \(X' \in \Ob(\mathcal{B})\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 (06UR)의 함자 \(D^-(\mathcal{B}) \to D^-_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)는 동치이다.

증명

\(X^\bullet\)를 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^i(X^\bullet) \in \Ob(\mathcal{B})\)인 \(\mathcal{A}\)의 위로 유계인 복합체라고 하자. 더욱이 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(B^i \subset X^i\), \(B^i \in \Ob(\mathcal{B})\)가 주어졌다고 가정하자. 주장: 다음을 만족하는 부분복합체 \(Y^\bullet \subset X^\bullet\)가 존재한다.

1. \(Y^\bullet \to X^\bullet\)는 준동형사상이다,

2. 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(Y^i \in \Ob(\mathcal{B})\)이다,

3. 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(B^i \subset Y^i\)이다.

주장을 증명하기 위해 먼저 보조정리의 가정을 사용하여 \(H^i(X^\bullet)\) 위로 전사하는 \(C^i \subset \Ker(d^i : X^i \to X^{i + 1})\), \(C^i \in \Ob(\mathcal{B})\)를 택한다. \(D^i = C^i + d^{i - 1}(B^{i - 1}) + B^i\)로 놓으면, (2)와 (3)을 만족하고 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^i(D^\bullet) \to H^i(X^\bullet)\)가 전사인 부분복합체 \(D^\bullet\)를 얻는다. \(E^i \subset X^i\)이고 \(E^i \in \Ob(\mathcal{B})\)이며 \(d^i(E^i) \subset D^{i + 1} + E^{i + 1}\)인 임의의 선택에 대해, \(Y^i = D^i + E^i\)로 두면 각 항이 \(\mathcal{B}\)에 속하고 코호몰로지가 \(X^\bullet\)의 코호몰로지 위로 전사하는 부분복합체를 얻는다. 분명 \(d^i(E^i) = (D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\)이면 코호몰로지 위의 사상도 단사임을 알 수 있다. \(n \gg 0\)에 대해서는 \(E^n\)을 \(0\)으로 잡을 수 있다. 하강 귀납법으로 원하는 성질을 갖는 모든 \(i\)에 대한 \(E^i\)를 택할 수 있다. 실제로 \(E^{i + 1}, E^{i + 2}, \ldots\)가 주어지면 \(d^i(E^i) = (D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\)를 만족하는 \(E^i \subset X^i\)를 택한다. 이는 보조정리의 가정과 \(\mathcal{B}\)가 \(\mathcal{A}\)의 Serre 부분범주이므로 \((D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\)가 \(\mathcal{B}\)에 속한다는 사실을 결합하면 가능하다.

위의 주장은 보조정리를 함의한다. 본질적 전사성은 주장으로부터 즉시 따른다. 충실성을 증명하자. 즉, \(\mathcal{B}\)의 위로 유계인 복합체들의 사상 \(f : U^\bullet \to V^\bullet\)가 주어지고 \(D(\mathcal{A})\)에서 그 상이 0이라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)의 위로 유계인 복합체로 가는 준동형사상 \(s : V^\bullet \to X^\bullet\)가 존재하여 \(s \circ f\)가 0과 호모토픽이다. \(0\)과 \(s \circ f\) 사이의 호모토피 \(h^i : U^i \to X^{i - 1}\)를 택하자. \(B^i = h^{i + 1}(U^{i + 1}) + s^i(V^i)\)로 놓고 주장을 적용한다. 그 결과로 얻는 사상 \(s' : V^\bullet \to Y^\bullet\)도 준동형사상이고, \(h^i\)가 \(Y^{i - 1}\)을 통해 인수분해된다는 사실에서 분명하듯이 \(s' \circ f\)는 0과 호모토픽이다. 이로써 충실성을 증명했다.

충만충실성도 정확히 같은 방식으로 증명된다.

단사 분해

이 절에서는 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주에서 단사 분해의 존재에 관한 몇 가지 보조정리를 증명한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)라고 하자. \(A\)의 단사 분해란 복합체 \(I^\bullet\)과 사상 \(A \to I^0\)의 다음 조건들을 만족하는 쌍을 말한다.

1. \(n < 0\)에 대해 \(I^n = 0\)이다.

2. 각 \(I^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이다.

3. 사상 \(A \to I^0\)은 \(\Ker(d^0)\) 위로 동형사상이다.

4. \(i > 0\)에 대해 \(H^i(I^\bullet) = 0\)이다.

따라서 \(A[0] \to I^\bullet\)는 준동형사상이다. 다시 말해 복합체 \[\ldots \to 0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \ldots\] 는 비순환이다. \(K^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체라고 하자. \(K^\bullet\)의 단사 분해란 복합체 \(I^\bullet\)과 복합체들의 사상 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)의 다음 조건들을 만족하는 쌍을 말한다.

1. \(n \ll 0\)에 대해 \(I^n = 0\)이다. 즉, \(I^\bullet\)는 아래로 유계이다.

2. 각 \(I^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이다.

3. 사상 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)는 준동형사상이다.

다시 말해 단사 분해 \(K^\bullet \to I^\bullet\)는 그림 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[d] \ar[r] & K^n \ar[d] \ar[r] & K^{n + 1} \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & I^{n - 1} \ar[r] & I^n \ar[r] & I^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] 을 주며, 이는 각 차수의 코호몰로지 대상 위에서 동형사상을 유도한다. \(\mathcal{A}\)의 대상 \(A\)의 단사 분해는 복합체 \(A[0]\)의 단사 분해와 거의 같은 것이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(K^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체라고 하자.

1. \(K^\bullet\)가 단사 분해를 가지면 \(n \ll 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이다.

2. 모든 \(n \ll 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면, \(L^\bullet\)가 아래로 유계인 준동형사상 \(K^\bullet \to L^\bullet\)가 존재한다.

증명

생략한다. 두 번째 명제에는 어떤 \(n \ll 0\)에 대해 \(L^\bullet = \tau_{\geq n}K^\bullet\)를 사용한다. 절단 \(\tau_{\geq n}\)의 정의는 Homology, Section 0118를 보라.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 충분한 단사 대상을 갖는다고 가정하자.

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상은 단사 분해를 갖는다.

2. 모든 \(n \ll 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면 \(K^\bullet\)는 단사 분해를 갖는다.

3. \(n < a\)에 대해 \(K^n = 0\)인 복합체 \(K^\bullet\)에 대해서는, \(n < a\)에 대해 \(I^n = 0\)이고 각 \(\alpha^n : K^n \to I^n\)이 단사인 단사 분해 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)가 존재한다.

증명

(1)의 증명. 먼저 \(A\)를 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상에 넣는 단사 \(A \to I^0\)를 택한다. 다음으로

\(I_0/A \to I^1\)을 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상에 넣는 단사로 택한다. \(d^0\)로 유도된 사상 \(I^0 \to I^1\)을 나타내자. 다음으로 \(I^1/\Im(d^0) \to I^2\)를 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상에 넣는 단사로 택한다. \(d^1\)로 유도된 사상 \(I^1 \to I^2\)를 나타내자. 이와 같이 계속한다. 보조정리 013J에 의해 (2)는 (3)에서 따른다. (3)은 보조정리 05T6의 특수한 경우이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(K^\bullet\)를 비순환 복합체라고 하자. \(I^\bullet\)가 아래로 유계이고 단사 대상들로 이루어졌다고 하자. 모든 사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)는 0과 호모토픽이다.

증명

\(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)를 복합체들의 사상이라고 하자. \(I^\bullet\)가 아래로 유계이므로 \(j \ll 0\)에 대해 \(\alpha^j = 0\)임에 유의하자. 특히 \(j \leq n\)에 대해 \(h^j : K^j \to I^{j - 1}\)들이 존재하고 \(j < n\)에 대해 \(\alpha^j = d^{j - 1} \circ h^j + h^{j + 1} \circ d^j\)가 성립하는 \(n\)을 찾을 수 있다. 다음을 만족하는 사상 \(h^{n + 1} : K^{n + 1} \to I^n\)이 존재함을 보일 것이다. \(\alpha^n = d^{n - 1} \circ h^n + h^{n + 1} \circ d^n\). 다음에 유의하자.

\[\begin{align*} (\alpha^n - d^{n - 1} \circ h^{n - 1}) \circ d^{n - 1} & = \alpha^{n - 1} \circ d^{n - 1} - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = d^{n - 1} \circ \alpha^{n - 1} - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = d^{n - 1} \circ (d^{n - 2} \circ h^{n - 1} + h^n \circ d^{n - 1}) - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = 0 \end{align*}\] \(K^\bullet\)가 비순환이므로 \(d^{n - 1}(K^{n - 1}) = \Ker(K^n \to K^{n + 1})\)이다. 따라서 \(\alpha^n - d^{n - 1} \circ h^{n - 1}\)를 \(K^{n + 1}\)의 부분대상 \(\Im(K^n \to K^{n + 1})\) 위에서 정의된 \(I^n\)으로 가는 사상으로 생각할 수 있다. 대상 \(I^n\)의 단사성에 의해 이를 사상 \(h^{n + 1} : K^{n + 1} \to I^n\)으로 확장할 수 있다. 이렇게 택하면 실제로 \(\alpha^n = d^{n - 1} \circ h^n + h^{n + 1} \circ d^n\)임을 독자가 확인할 수 있다.

\(n\)에 대한 귀납법으로 \(\alpha\)와 \(0\) 사이의 호모토피를 이루는 \(h = (h^j)_{j \in \mathbf{Z}}\)를 찾을 수 있다고 결론짓는다.

주

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(K(\mathcal{A})\)가 삼각 범주라는 사실을 사용하면, 보통 그림 추적으로 증명되는 아래의 몇몇 보조정리를 보조정리 013R를 사용하여 증명할 수 있다. 실제로 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)가 복합체들의 준동형사상이라고 가정하자. 그러면 \[(K^\bullet, L^\bullet, C(\alpha)^\bullet, \alpha, i, -p)\] 는 \(K(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이고 (보조정리 014L), \(C(\alpha)^\bullet\)는 비순환 복합체이다 (보조정리 05RT). 다음으로 \(I^\bullet\)를 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라고 하자. 그러면 \[\xymatrix{ \Hom_{K(\mathcal{A})}(C(\alpha)^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) \ar[lld] \\ \Hom_{K(\mathcal{A})}(C(\alpha)^\bullet[-1], I^\bullet) }\] 은 아벨 군들의 완전열이다. 보조정리 0149을 보라. 이때 보조정리 013R는 양 끝의 두 군이 0임을 보장하므로 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\)이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 실선 그림 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^\beta \\ I^\bullet }\] 을 생각하자. 여기서 \(I^\bullet\)는 아래로 유계이고 단사 대상들로 이루어졌으며, \(\alpha\)는 준동형사상이다.

1. 그림을 호모토피까지 가환하게 하는 복합체들의 사상 \(\beta\)가 존재한다.

2. \(\alpha\)가 각 차수에서 단사이면 그림을 가환하게 하는 \(\beta\)를 찾을 수 있다.

증명

(1)의 ‘올바른’ 증명은 주석 05TF에 설명되어 있다. 여기서는 직접 증명도 제시한다.

먼저 (2)가 (1)을 함의함을 보이자. 즉, 보조정리 013N에서와 같은

\(\tilde \alpha : K \to \tilde L^\bullet\), \(\pi\), \(s\)를 잡자. \(\tilde \alpha\)가 단사이므로 (2)에 의해 \(\gamma = \tilde \beta \circ \tilde \alpha\)를 만족하는 사상 \(\tilde \beta : \tilde L^\bullet \to I^\bullet\)가 존재한다. \(\beta = \tilde \beta \circ s\)로 놓자. 그러면 원하는 대로 \[\beta \circ \alpha = \tilde \beta \circ s \circ \pi \circ \tilde \alpha \sim \tilde \beta \circ \tilde \alpha = \gamma\] 이다.

\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)가 단사라고 가정하자. 모든 차수 \(\leq n - 1\)에서 미분과 양립하도록 \(\beta\)를 이미 정의했고, 모든 \(j \leq n - 1\)에 대해 \(\gamma^j = \beta^j \circ \alpha^j\)라고 가정하자. 가환하는 실선 그림 \[\xymatrix{ K^{n - 1} \ar[r] \ar@/_2pc/[dd]_\gamma \ar[d]^\alpha & K^n \ar@/^2pc/[dd]^\gamma \ar[d]^\alpha \\ L^{n - 1} \ar[r] \ar[d]^\beta & L^n \ar@{-->}[d] \\ I^{n - 1} \ar[r] & I^n }\] 을 생각하자. 점선 화살표는 부분대상들 \(\alpha(K^n)\)과 \(d^{n - 1}(L^{n - 1})\) 위에서 정해져 있음을 알 수 있다. 더욱이 이 두 화살표는 \(\alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1}))\) 위에서 일치한다. 따라서 [013Q]\[\begin{equation} \alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1})) = \alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1}) \end{equation}\] 이면 이 사상들은 사상 \(\alpha(K^n) + d^{n - 1}(L^{n - 1}) \to I^n\)으로 붙고, \(I^n\)의 단사성을 사용하여 이를 \(L^n\) 전체에서 \(I^n\)으로 가는 사상으로 확장할 수 있다. 그 뒤 귀납법으로 모든 \(n\)에 대한 사상 \(\beta\)를 동시에 얻는다. 여기서 \(I^\bullet\)가 아래로 유계이므로 모든 \(n \ll 0\)에 대해 \(\beta^n = 0\)으로 놓아 귀납법을 시작할 수 있다.

등식 (013Q)을 증명하는 일만 남았다. 적절한 그림 추적으로 독자가 직접 논증해 보기를 권한다. 그래도 우리의 논증은 다음과 같다. 포함관계 \(\alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1})) \subset \alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1})\) 는 분명하다. \(\mathcal{A}\)의 대상 \(T\)와, 상이 부분대상 \(\alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1})\)에 포함되는 사상 \(x : T \to L^n\)을 택하자. \(\alpha\)가 단사이므로 어떤 \(x' : T \to K^n\)에 대해 \(x = \alpha \circ x'\)임을 알 수 있다. 더욱이 \(x\)가 \(d^{n - 1}(L^{n - 1})\)에 속하므로 \(d^n \circ x = 0\)임을 알 수 있다. 따라서 \(\alpha\)의 단사성을 다시 사용하면 \(d^n \circ x' = 0\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(x'\)는 사상 \([x'] : T \to H^n(K^\bullet)\)를 준다. 한편 \(x\)가 유도하는 대응하는 사상 \([x] : T \to H^n(L^\bullet)\)는 가정에 의해 0이다. \(\alpha\)가 준동형사상이므로 \([x'] = 0\)이라고 결론짓는다. 물론 이는 정확히 \(x'\)의 상이 \(d^{n - 1}(K^{n - 1})\)에 포함됨을 뜻하며, 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 실선 그림 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^{\beta_i} \\ I^\bullet }\] 을 생각하자. 여기서 \(I^\bullet\)는 아래로 유계이고 단사 대상들로 이루어졌으며, \(\alpha\)는 준동형사상이다. 그림을 호모토피까지 가환하게 하는 임의의 두 사상 \(\beta_1, \beta_2\)는 서로 호모토픽이다.

증명

이는 주석 05TF에서 따른다. 여기서는 직접 논증도 제시한다.

보조정리 013N에서와 같은 \(\tilde \alpha : K \to \tilde L^\bullet\), \(\pi\), \(s\)를 잡자. \(\beta_1 \circ\pi\)가 \(\beta_2 \circ \pi\)와 호모토픽임을 보일 수 있으면, \(\pi \circ s\)가 항등사상이므로 \(\beta_1 \sim \beta_2\)라고 결론지을 수 있다. 따라서 모든 \(n\)에 대해 \(\alpha^n : K^n \to L^n\)이 직합인자의 포함이라고 가정할 수 있다. 그러면 항별 분할되고 \(M^\bullet\)가 비순환인 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to K^\bullet \to L^\bullet \to M^\bullet \to 0\] 을 얻는다. 분할 \(L^n = K^n \oplus M^n\)을 택하면 \(\beta_i^n : K^n \oplus M^n \to I^n\)과 \(\gamma^n : K^n \to I^n\)이 있다. 이 경우 \(\beta_i\)에 대한 조건은 다음을 만족하는 사상들 \(h_i^n : K^n \to I^{n - 1}\)이 존재한다는 것이다. \[\gamma^n - \beta_i^n|_{K^n} = d \circ h_i^n + h_i^{n + 1} \circ d\] 따라서 \[\beta_1^n|_{K^n} - \beta_2^n|_{K^n} = d \circ (h_1^n - h_2^n) + (h_1^{n + 1} - h_2^{n + 1}) \circ d\] 임을 알 수 있다. 첫 번째 직합인자 위에서는 \(h_1^n - h_2^n\)이고 두 번째 직합인자 위에서는 0인 사상 \(h^n : K^n \oplus M^n \to I^{n - 1}\)을 생각하자. 그러면

\[\beta_1^n - \beta_2^n - (d \circ h^n + h^{n + 1}) \circ d\] 는 부분복합체 \(K^\bullet\) 위에서 항등적으로 0인 복합체들의 사상 \(L^\bullet \to I^\bullet\)임을 알 수 있다. 따라서 이는 \(L^\bullet \to M^\bullet \to I^\bullet\)을 통해 인수분해된다. 그러므로 보조정리 013R에서 이 보조정리의 결론이 따른다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(I^\bullet\)를 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라고 하자. \(L^\bullet \in K(\mathcal{A})\)라고 하자. 그러면 \[\Mor_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Mor_{D(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet).\]

증명

\(a\)를 우변의 원소라고 하자. 여기서 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)는 준동형사상이고 \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\)는 복합체들의 사상인 \(a = \gamma\alpha^{-1}\)로 나타낼 수 있다. 보조정리 013P에 의해 \(\beta \circ \alpha\)가 \(\gamma\)와 호모토픽인 사상 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\)를 찾을 수 있다. 이는 사상이 전사임을 증명한다. \(b\)를 우변에서 0으로 보내지는 좌변의 원소라고 하자. 그러면 \(b\)는 어떤 준동형사상 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)에 대해 \(\beta \circ \alpha\)가 0과 호모토픽인 사상 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\)의 호모토피류이다. 그러면 보조정리 013S는 \(\beta\)도 0과 호모토픽임을, 즉 \(b = 0\)임을 보인다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 충분한 단사 대상을 갖는다고 가정하자. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)의 임의의 짧은 완전열 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\)에 대해, \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)에서 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_1^\bullet \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & I_3^\bullet \ar[r] & 0 }\] 이 존재한다. 여기서 수직 화살표들은 단사 분해이고 각 행은 복합체들의 짧은 완전열이다. 또한

1. 임의의 단사 분해 \(A^\bullet \to I^\bullet\)가 주어지면 \(I_1^\bullet = I^\bullet\)라고 가정할 수 있다,

2. \(n < 0\)에 대해 \(A^n = B^n = C^n = 0\)이면 \(n < 0\)에 대해 \(I_j^n = 0\)이라고 가정할 수 있다,

3. \(n < 0\)에 대해 \(I^n = 0\)도 성립하면 (1)과 (2)를 결합할 수 있다,

4. 여기에 더 추가한다.

증명

1단계. 단사 분해 \(A^\bullet \to I^\bullet\)를 택하거나(보조정리 013K 참조) 주어진 것을 사용한다. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)가 아벨 범주임을 상기하자. Homology, Lemma 0114을 보라. 따라서 사상 \(A^\bullet \to I^\bullet\)을 따라 밂을 만들어 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^\bullet \ar[r] & E^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] 을 얻을 수 있다. \(5\)-보조정리와 Homology, Lemma 0117의 마지막 명제에 의해 사상 \(B^\bullet \to E^\bullet\)는 준동형사상이다. 아래의 짧은 완전열은 항별 분할됨에 유의하자. Homology, Lemma 0136를 보라. 따라서 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\)이 항별 분할인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

2단계. 분할들을 택한다. 다시 말해 \(B^n = A^n \oplus C^n\)으로 쓴다. Homology, Lemma 011J에서와 같은 사상을 \(\delta : C^\bullet \to A^\bullet[1]\)로 나타내자. 단사 분해들 \(f_1 : A^\bullet \to I_1^\bullet\)과 \(f_3 : C^\bullet \to I_3^\bullet\)을 택한다. (\(A^\bullet\)가 단사 대상들의 복합체이면 \(I_1^\bullet = A^\bullet\)을 사용한다. \(n < 0\)에 대해 \(A^n = C^n = 0\)이면, 보조정리 013K에 의해 \(n < 0\)에 대해 \(I_1^n = I_3^n = 0\)이 되도록 이들을 택한다.) \(f_3\)이 각 차수에서 단사라고 가정할 수 있다. 보조정리 013P에 의해 \(\delta' \circ f_3 = f_1[1] \circ \delta\)를 만족하는 사상 \(\delta' : I_3^\bullet \to I_1^\bullet[1]\)을 찾을 수 있다 (복합체들의 사상으로서의 등식). \(I_2^n = I_1^n \oplus I_3^n\)으로 놓고 \[d_{I_2}^n = \left( \begin{matrix} d_{I_1}^n & (\delta')^n \\ 0 & d_{I_3}^n \end{matrix} \right)\] 로 정의하며, 사상들 \(A^n \to I_1^n\)과 \(C^n \to I_3^n\)의 합으로 사상들 \(B^n \to I_2^n\)을 정의한다. 모든 것이 분명하다.

사영 분해

이 절은 절 013G의 쌍대이다. 정의를 제시하고 결과를 진술하지만 보조정리들을 다시 증명하지는 않는다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)라고 하자. \(A\)의 사영 분해란 복합체 \(P^\bullet\)과 사상 \(P^0 \to A\)로 이루어져 다음을 만족하는 것이다.

1. \(n > 0\)이면 \(P^n = 0\)이다.

2. 각 \(P^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 사영 대상이다.

3. 사상 \(P^0 \to A\)는 \(\Coker(d^{-1}) \to A\)의 동형사상을 유도한다.

4. \(i < 0\)이면 \(H^i(P^\bullet) = 0\)이다.

따라서 \(P^\bullet \to A[0]\)은 준동형사상이다. 다시 말해 복합체 \[\ldots \to P^{-1} \to P^0 \to A \to 0 \to \ldots\] 는 비순환이다. \(\mathcal{A}\)의 복합체 \(K^\bullet\)를 잡자. \(K^\bullet\)의 사영 분해란 복합체 \(P^\bullet\)과 복합체들의 사상 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\)로 이루어져 다음을 만족하는 것이다.

1. \(P^n = 0\)인 \(n \gg 0\)가 존재한다. 즉 \(P^\bullet\)는 위로 유계이다.

2. 각 \(P^n\)은 \(\mathcal{A}\)의 사영 대상이다.

3. 사상 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\)는 준동형사상이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(K^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 복합체라고 하자.

1. \(K^\bullet\)가 사영 분해를 가지면 \(n \gg 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이다.

2. \(n \gg 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면 \(L^\bullet \to K^\bullet\)인 준동형사상으로서 \(L^\bullet\)가 위로 유계인 것이 존재한다.

증명

보조정리 013J의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 충분한 사영 대상을 갖는다고 하자.

1. \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상은 사영 분해를 갖는다.

2. \(n \gg 0\)에 대해 \(H^n(K^\bullet) = 0\)이면 \(K^\bullet\)는 사영 분해를 갖는다.

3. \(K^\bullet\)가 \(n > a\)이면 \(K^n = 0\)인 복합체라면, 각 \(\alpha^n : P^n \to K^n\)이 전사이고 \(n > a\)이면 \(P^n = 0\)인 사영 분해 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\)가 존재한다.

증명

보조정리 013K의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(K^\bullet\)를 비순환 복합체라고 하자. \(P^\bullet\)를 위로 유계이고 사영 대상들로 이루어진 복합체라고 하자. 임의의 사상 \(P^\bullet \to K^\bullet\)는 영사상과 호모토픽이다.

증명

보조정리 013R의 쌍대이다.

주

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 복합체들의 준동형사상 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)를 생각하자. \(P^\bullet\)를 사영 대상들로 이루어진 위로 유계인 복합체라고 하자. 그러면 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) \longrightarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet)\] 는 동형사상이다. 이는 주석 05TF의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 다음과 같은 가환하지 않을 수도 있는 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ K^\bullet & L^\bullet \ar[l]^\alpha \\ P^\bullet \ar[u] \ar@{-->}[ru]_\beta }\] \(P^\bullet\)가 위로 유계이고 사영 대상들로 이루어져 있으며 \(\alpha\)가 준동형사상이라고 하자.

1. 도표가 호모토피까지 가환하도록 하는 복합체들의 사상 \(\beta\)가 존재한다.

2. \(\alpha\)가 모든 차수에서 전사이면 도표를 가환하게 하는 \(\beta\)를 찾을 수 있다.

증명

보조정리 013P의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 다음과 같은 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ K^\bullet & L^\bullet \ar[l]^\alpha \\ P^\bullet \ar[u] \ar@{-->}[ru]_{\beta_i} }\] \(P^\bullet\)가 위로 유계이고 사영 대상들로 이루어져 있으며 \(\alpha\)가 준동형사상이라고 하자. 도표를 호모토피까지 가환하게 하는 임의의 두 사상 \(\beta_1, \beta_2\)는 호모토픽이다.

증명

보조정리 013S의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(P^\bullet\)를 사영 대상들로 이루어진 위로 유계인 복합체라고 하자. \(L^\bullet \in K(\mathcal{A})\)라고 하자. 그러면 \[\Mor_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet) = \Mor_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet).\]

증명

보조정리 05TG의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 충분한 사영 대상을 갖는다고 하자. 임의의 짧은 완전열 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) 에 대해 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)에서 가환 도표 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & P_1^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_2^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_3^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] 가 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)에서 존재하며, 여기서 수직 화살표들은 사영 분해이고 행들은 복합체들의 짧은 완전열이다.

사실 임의의 사영 분해 \(P^\bullet \to C^\bullet\)가 주어지면 \(P_3^\bullet = P^\bullet\)라고 가정할 수 있다.

증명

보조정리 013T의 쌍대이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(P^\bullet\), \(K^\bullet\)를 복합체라고 하자. \(n \in \mathbf{Z}\)라고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(P^\bullet\)는 사영 대상들로 이루어진 유계 복합체이다.

2. \(i < n\)이면 \(P^i = 0\)이다.

3. \(i \geq n\)이면 \(H^i(K^\bullet) = 0\)이다.

그러면 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = 0\)이다.

증명

첫 번째 등식은 보조정리 064B에서 따른다. 이제 다음과 같은 완전 삼각형이 있음을 관찰하자. \[(\tau_{\leq n - 1}K^\bullet, K^\bullet, \tau_{\geq n}K^\bullet, f, g, h)\] 이는 주석 08J5에 의해 성립한다. 따라서 보조정리 0149에 의해 다음을 증명하는 것으로 충분하다. \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, \tau_{\leq n - 1}K^\bullet) = 0\] 및 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, \tau_{\geq n} K^\bullet) = 0\] 첫 번째 소거는 자명하고 두 번째 소거는 보조정리 0647이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. 복합체들의 사상 \(\beta : P^\bullet \to L^\bullet\) 및 \(\alpha : E^\bullet \to L^\bullet\)를 잡자. \(n \in \mathbf{Z}\)라고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(P^\bullet\)는 사영 대상들의 유계 복합체이고 \(i < n\)이면 \(P^i = 0\)이다.

2. \(i > n\)이면 \(H^i(\alpha)\)는 동형사상이고 \(i = n\)이면 전사이다.

그러면 \(\alpha \circ \gamma\)와 \(\beta\)가 호모토픽인 복합체들의 사상 \(\gamma : P^\bullet \to E^\bullet\)가 존재한다.

증명

사상 \(i : L^\bullet \to C^\bullet\)를 갖는 원뿔 \(C^\bullet = C(\alpha)^\bullet\)를 생각하자. 보조정리 064D에 의해 \(i \circ \beta\)는 영사상이다. 따라서 보조정리 0149에 의해 \(\beta\)를 \(E^\bullet\)로 올릴 수 있다.

오른쪽 유도 함자와 단사 분해

이제 위에서 얻은 재료를 사용하여 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주와 일반 아벨 범주 사이의 가법 함자의 오른쪽 유도 함자를 정의할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(I \in \Ob(\mathcal{A})\)를 단사 대상이라고 하자. \(I^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라고 하자.

1. \(I^\bullet\)는 임의의 삼각 함자 \(\mathcal{D}\)로 가는 \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\)에 대해 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)에 상대적으로 \(RF\)를 계산한다.

2. \(I\)는 임의의 아벨 범주 \(\mathcal{B}\)로 가는 가법 함자 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)에 대해 오른쪽 비순환이다.

증명

(2)는 (1)과 정의 0157의 직접적인 결과이다. (1)을 증명하자. \(\alpha : I^\bullet \to K^\bullet\)를 어떤 복합체로 가는 준동형사상이라고 하자. 보조정리 013P에 의해 \(\alpha\)는 왼쪽 역원을 갖는다. 따라서 \(I^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)는 \(\text{id} : I^\bullet \to I^\bullet\)를 값으로 갖는 본질적으로 상수인 범주이다. 그러므로 ind-대상 \[I^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}, \quad (I^\bullet \to K^\bullet) \longmapsto F(K^\bullet)\] 도 \(F(I^\bullet)\)를 값으로 갖는 본질적으로 상수인 대상이다. 이로써 (1)이 증명된다. 정의 05S9와 05SX를 보라.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라고 하자.

1. 삼각 범주 \(\mathcal{D}\)로 가는 임의의 완전 함자 \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\)에 대해 오른쪽 유도 함자 \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] 는 모든 곳에서 정의된다.

2. 아벨 범주 \(\mathcal{B}\)로 가는 임의의 가법 함자 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)에 대해 오른쪽 유도 함자 \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})\] 는 모든 곳에서 정의된다.

증명

두 번째 명제에 대해서는 보조정리 05TH과 명제 05TA를 결합한다. 첫 번째 명제를 보이려면 보조정리 013K, 05TH, 05T1 및 식 (05SW)를 결합한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라고 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 가법 함자라고 하자.

1. 함자 \(RF\)는 \(D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)인 완전 함자이다.

2. 함자 \(RF\)는 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)인 완전 함자를 유도한다.

3. 함자 \(RF\)는 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)인 \(\delta\)-함자를 유도한다.

4. 함자 \(RF\)는 \(\mathcal{A} \to D^{+}(\mathcal{B})\)인 \(\delta\)-함자를 유도한다.

증명

이 보조정리는 지금까지 얻은 결과 몇 가지를 단순히 요약한다. 보조정리 05TI에 의해 \(RF\)는 모든 곳에서 정의됨을 주의하자. 몇 가지 근거는 다음과 같다.

1. 유도 함자가 완전이라는 것은 보조정리 05SC로 귀결된다.

2. 이는 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)가 완전하고 완전 함자들의 합성이 완전하기 때문이다.

3. 이는 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)가 \(\delta\)-함자이기 때문이다. 보조정리 0152를 보라.

4. 이는 \(\mathcal{A} \to \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)가 완전하고, 완전 함자로 \(\delta\)-함자를 앞에서 합성하면 \(\delta\)-함자가 되기 때문이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라고 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 왼쪽 완전 함자라고 하자.

1. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)의 복합체들의 임의의 짧은 완전열 \[0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\] 에 대해 다음과 같은 연관된 긴 완전열이 존재한다. \[\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots\]

2. 함자 \(R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)는 \(i < 0\)이면 영함자이다. 또한 \(R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)이다.

3. \(i > 0\)이고 \(I\)가 단사이면 \(R^iF(I) = 0\)이다.

4. 수열 \((R^iF, \delta)\)는 \(\mathcal{A}\)에서 \(\mathcal{B}\)로 가는 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다 (호몰로지, 정의 010S 참조).

증명

이 보조정리는 지금까지 얻은 결과 몇 가지를 단순히 요약한다. 보조정리 05TI에 의해 \(RF\)는 모든 곳에서 정의됨을 주의하자. 몇 가지 근거는 다음과 같다.

1. 이는 보조정리 0159의 (3)과 \(D^{+}(\mathcal{B})\)에서의 긴 코호몰로지 완전열 (05ST)을 결합하면 따른다.

2. 이는 보조정리 05TD이다.

3. 이는 단사 대상들이 비순환이라는 사실이다.

4. 이는 보조정리 05TE이다.

카르탕-에일렌베르크 분해

이 절은 확장될 수 있다. 이 재료는 더 많은 경우로 일반화하고 적용할 수 있다. 분해에서 단사 대상을 사용할 필요는 없으며, 어떤 경우에는 무계인 경우에도 이 방법이 작동한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라고 하자. \(K^\bullet\)를 아래로 유계인 복합체라고 하자. \(K^\bullet\)의 카르탕-에일렌베르크 분해는 이중 복합체 \(I^{\bullet, \bullet}\)와 복합체들의 사상 \(\epsilon : K^\bullet \to I^{\bullet, 0}\)으로 주어지며 다음 성질을 갖는다.

1. 어떤 \(i \ll 0\)가 존재하여 모든 \(p < i\) 및 모든 \(q\)에 대해 \(I^{p, q} = 0\)이다.

2. \(q < 0\)이면 \(I^{p, q} = 0\)이다.

3. 복합체 \(I^{p, \bullet}\)는 \(K^p\)의 단사 분해이다.

4. 복합체 \(\Ker(d_1^{p, \bullet})\)는 \(\Ker(d_K^p)\)의 단사 분해이다.

5. 복합체 \(\Im(d_1^{p, \bullet})\)는 \(\Im(d_K^p)\)의 단사 분해이다.

6. 복합체 \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\)는 \(H^p(K^\bullet)\)의 단사 분해이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라고 하자. \(K^\bullet\)를 아래로 유계인 복합체라고 하자. \(K^\bullet\)의 카르탕-에일렌베르크 분해가 존재한다.

증명

\(p < n\)이면 \(K^p = 0\)이라고 하자. 다음과 같이 \(K^\bullet\)를 짧은 완전열들로 분해한다. \(Z^p = \Ker(d^p)\), \(B^p = \Im(d^{p - 1})\), \(H^p = Z^p/B^p\)로 놓고 다음을 생각하자. \[\begin{matrix} 0 \to Z^n \to K^n \to B^{n + 1} \to 0 \\ 0 \to B^{n + 1} \to Z^{n + 1} \to H^{n + 1} \to 0 \\ 0 \to Z^{n + 1} \to K^{n + 1} \to B^{n + 2} \to 0 \\ 0 \to B^{n + 2} \to Z^{n + 2} \to H^{n + 2} \to 0 \\ \ldots \end{matrix}\] \(p < n\)이면 \(I^{p, q} = 0\)으로 놓는다. 다음과 같이 귀납적으로 단사 분해들을 택한다.

1. \(Z^n \to J_Z^{n, \bullet}\)인 단사 분해를 택한다. \(m < 0\)이면 \(J_Z^{n, m} = 0\)이 되도록 택하며, 보조정리 013K를 보라.

2. 보조정리 013T를 사용하여 \(K^n \to I^{n, \bullet}\) 및 \(B^{n + 1} \to J_B^{n + 1, \bullet}\)인 단사 분해들을 택한다. \(m < 0\)이면 \(I^{n, m} = 0\) 및 \(m < 0\)이면 \(J_B^{n + 1, m} = 0\)이 되도록 하고, 다음의 복합체들의 완전열을 택한다. \[0 \to J_Z^{n, \bullet} \to I^{n, \bullet} \to J_B^{n + 1, \bullet} \to 0\] 이는 짧은 완전열 \[0 \to Z^n \to K^n \to B^{n + 1} \to 0\] 과 양립한다.

3. 보조정리 013T를 사용하여 \(Z^{n + 1} \to J_Z^{n + 1, \bullet}\) 및 \(H^{n + 1} \to J_H^{n + 1, \bullet}\)인 단사 분해들을 택한다. \(m < 0\)이면 \(J_Z^{n + 1, m} = 0\) 및 \(m < 0\)이면 \(J_H^{n + 1, m} = 0\)이 되도록 하고, 다음의 복합체들의 완전열을 택한다. \[0 \to J_B^{n + 1, \bullet} \to J_Z^{n + 1, \bullet} \to J_H^{n + 1, \bullet} \to 0\] 이는 짧은 완전열 \[0 \to B^{n + 1} \to Z^{n + 1} \to H^{n + 1} \to 0\] 과 양립한다.

4. 등.

사상 \(d_1^\bullet : I^{p, \bullet} \to I^{p + 1, \bullet}\)는 다음 합성으로 택한다. \[I^{p, \bullet} \to J_B^{p + 1, \bullet} \to J_Z^{p + 1, \bullet} \to I^{p + 1, \bullet}\] 그러면 모든 것이 분명하다.

보조정리

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들 사이의 왼쪽 완전 함자라고 하자. \(K^\bullet\)를 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계인 복합체라고 하자. \(I^{\bullet, \bullet}\)를 \(K^\bullet\)의 카르탕-에일렌베르크 분해라고 하자. 이중 복합체 \(F(I^{\bullet, \bullet})\)에 연관된 스펙트럴 수열 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) 및 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\)는 다음 관계를 만족한다. \[{}'E_1^{p, q} = R^qF(K^p) \quad \text{and} \quad {}''E_2^{p, q} = R^pF(H^q(K^\bullet))\] 더욱이 이 스펙트럴 수열들은 유계이고 \(H^*(RF(K^\bullet))\)로 수렴하며, \(H^n(RF(K^\bullet))\) 위에 유도되는 연관 여과들은 유한하다.

증명

다음 주석들을 더 이상 언급하지 않고 사용한다.

1. \(I^{p, \bullet}\)가 \(K^p\)의 단사 분해이므로 \(RF\)는 \(K^p[0]\)에서 정의되고 그 값은 \(F(I^{p, \bullet})\)임을 알 수 있다.

2. \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\)가 \(H^p(K^\bullet)\)의 단사 분해이므로 유도 함자 \(RF\)는 \(H^p(K^\bullet)[0]\)에서 정의되고 그 값은 \(F(H^p_I(I^{\bullet, \bullet}))\)이다.

3. 호몰로지, 보조정리 0133에 의해 전체 복합체 \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\)는 \(K^\bullet\)의 단사 분해이다. 따라서 \(RF\)는 \(K^\bullet\)에서 정의되고 그 값은 \(F(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\)이다.

이중 복합체 \(L^{\bullet, \bullet} = F(I^{\bullet, \bullet})\)에 연관된 두 스펙트럴 수열을 생각하자. 호몰로지, 보조정리 0130를 보라. 이 둘은 유계이고 \(H^*(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}))\)로 수렴하며, \(H^n(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}))\)에 유한 여과를 유도한다. 호몰로지, 보조정리 0132를 보라. 다음 등식에 주의하자. \[\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}) = \text{Tot}(F(I^{\bullet, \bullet})) = F(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\] 이는 \(RF(K^\bullet)\)를 계산하므로 보조정리의 마지막 주장이 성립한다.

첫 번째 스펙트럴 수열의 계산. 다음을 갖는다. \({}'E_1^{p, q} = H^q(L^{p, \bullet})\), 즉 \[{}'E_1^{p, q} = H^q(F(I^{p, \bullet})) = R^qF(K^p)\] 원하는 결과이다. 나중에 사용할 수 있도록 사상 \({}'d_1^{p, q} : {}'E_1^{p, q} \to {}'E_1^{p + 1, q}\)가 \(K^p \to K^{p + 1}\)에 의해 유도된 사상 \(R^qF(K^p) \to R^qF(K^{p + 1})\)이고 \(R^qF\)가 함자라는 사실에서 오는 사상임을 관찰하자.

두 번째 스펙트럴 수열의 계산. 다음을 갖는다. \({}''E_1^{p, q} = H^q(L^{\bullet, p}) = H^q(F(I^{\bullet, p}))\). 복합체 \(I^{\bullet, p}\)는 아래로 유계이고 단사 대상들로 이루어져 있으며, 더욱이 미분의 각 핵, 상, 코호몰로지 군은 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상임에 주의하자. 따라서 미분들을 분할할 수 있다. 즉 각 미분은 직합인자 위로의 분할 전사이다. 이는 \(F\)를 적용한 뒤에도 성립한다. 따라서 \({}''E_1^{p, q} = F(H^q(I^{\bullet, p})) = F(H^q_I(I^{\bullet, p}))\)이다.

이 위의 미분들은 복합체 \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\)의 미분에 \((-1)^q\)를 곱한 뒤 \(F\)를 적용한 것이다. 이 복합체는 \(H^p(K^\bullet)\)의 단사 분해이다. 따라서 \(E_2\) 항들의 설명을 얻는다.

주

보조정리 015J의 스펙트럴 수열들은 복합체 \(K^\bullet\)에 대해 함자적이다. 이는 카르탕-에일렌베르크 분해의 함자성 성질에서 따른다. 한편 이 둘은 \(\mathcal{A}\)의 여과된 복합체에 연관될 수 있는 더 일반적인 스펙트럴 수열의 예이다. 함자성은 그 구성에서 따른다. 여과 유도 범주에 관한 절에서 이 문제로 돌아오겠다. 주석 015X을 보라.

오른쪽 유도 함자의 합성

때때로 합성의 오른쪽 유도 함자를 계산할 수 있다.

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\)가 아벨 범주라 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 및 \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)가 왼쪽 완전 함자라 하자. 오른쪽 유도 함자 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\), \(RG : D^{+}(\mathcal{B}) \to D^{+}(\mathcal{C})\), 그리고 \(R(G \circ F) : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{C})\)가 어디에서나 정의되어 있다고 가정하자. 그러면 \[t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF\] 라는 \(D^{+}(\mathcal{A})\)에서 \(D^{+}(\mathcal{C})\)로 가는 함자들의 정준 변환이 존재한다. 보조정리 05T2을 보라. 이 변환은 항상 동형사상일 필요는 없다.

보조정리

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\)를 아벨 범주라 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 및 \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)를 왼쪽 완전 함자라 하자. \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)에는 충분한 단사 대상이 있다고 가정하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{A}\)의 각 단사 대상 \(I\)에 대해 \(F(I)\)는 \(G\)에 대해 오른쪽 비순환이고,

2. 정준 사상

   \[t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF.\] 은 \(D^{+}(\mathcal{A})\)에서 \(D^{+}(\mathcal{C})\)로 가는 함자들의 동형사상이다.

증명

(2)가 성립하면 동형사상 \(t\)를 \(RF(I) = F(I)\)에서 계산하여 (1)을 얻는다. 역으로 (1)이 성립한다고 가정하자. \(A^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계인 복합체라 하자. 단사 분해 \(A^\bullet \to I^\bullet\)을 택하자. 사상 \(t\)는 보조정리 05T2의 증명을 보면 다음 사상들로 주어진다.

\[R(G \circ F)(A^\bullet) = (G \circ F)(I^\bullet) = G(F(I^\bullet))) \to RG(F(I^\bullet)) = RG(RF(A^\bullet))\] 여기서 화살표는 보조정리 015E에 의해 동형사상이다.

보조정리

보조정리 015M와 같은 가정을 하고 그 동치 조건 (1)과 (2)가 성립한다고 하자. \(X\)를 \(D^{+}(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{C}\)의 이중등급 대상 \(E_r\)들로 이루어지고 \(d_r\)의 이중차수가 \((r, - r + 1)\)이며 \[E_2^{p, q} = R^pG(H^q(RF(X)))\] 를 만족하는 스펙트럴 수열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 존재한다. 더욱이 이 스펙트럴 수열은 유계이고 \(H^*(R(G \circ F)(X))\)로 수렴하며, 각 \(H^n(R(G \circ F)(X))\) 위에 유한 여과를 유도한다.

\(\mathcal{A}\)의 대상 \(A\)에 대해서는 \(R^{p + q}(G \circ F)(A)\)로 수렴하는 \(E_2^{p, q} = R^pG(R^qF(A))\)를 얻는다.

증명

\(X\)를 아래로 유계인 복합체 \(A^\bullet\)로 나타낼 수 있다. 단사 분해 \(A^\bullet \to I^\bullet\)을 택하자. 보조정리 015I를 사용하여 카르탕-에일렌베르크 분해 \(F(I^\bullet) \to I^{\bullet, \bullet}\)을 택한다. 보조정리 015J의 두 번째 스펙트럴 수열을 적용한다.

분해 함자

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{I}\)는 그 대상들이 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상들인 \(\mathcal{A}\)의 충만 가법 부분범주를 나타낸다고 하자. 이 경우 \(K^{+}(\mathcal{I})\)와 \(D^{+}(\mathcal{A})\)는 동치임이 밝혀진다(명제 013V을 보라). 따라서 많은 목적에서 \(D^{+}(\mathcal{A})\)를 이 경우 더 이해하기 쉬운 범주 \(K^{+}(\mathcal{I})\)로 생각하는 것이 자연스럽다.

명제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)에는 충분한 단사 대상이 있다고 가정하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\)는 그 대상들이 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상들인 엄밀히 충만한 가법 부분범주를 나타낸다고 하자. 함자 \[K^{+}(\mathcal{I}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{A})\] 는 완전하고 충만충실하며 본질적으로 전사이다. 즉 삼각 범주들의 동치이다.

증명

이 함자가 완전함은 자명하다. 본질적 전사성은 보조정리 013K에서 따른다.

충만충실성은 보조정리 05TG의 귀결이다.

명제 013V은 분해 함자를 찾을 수 있음을 함의한다. 나아가 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)가 대상들의 모임을 갖는 “큰” 범주인 몇몇 경우에도 분해 함자가 존재함을 증명할 수 있다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 it 분해 함자⁸는 다음 데이터로 주어진다.

1. 모든 \(K^\bullet \in \Ob(K^{+}(\mathcal{A}))\)에 대해 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체 \(j(K^\bullet)\), 그리고

2. 모든 \(K^\bullet \in \Ob(K^{+}(\mathcal{A}))\)에 대해 준동형사상 \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\).

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. 분해 함자 \((j, i)\)가 주어지면 \(j\)를 함자로, \(i\)를 \(2\)-동형사상으로 만들어 다음 \(2\)-가환 그림을 얻는 방법이 유일하게 존재한다. \[\xymatrix{ K^{+}(\mathcal{A}) \ar[rd] \ar[rr]_j & & K^{+}(\mathcal{I}) \ar[ld] \\ & D^{+}(\mathcal{A}) }\] 여기서 \(\mathcal{I}\)는 단사 대상들로 이루어진 \(\mathcal{A}\)의 충만 가법 부분범주이다.

증명

\(K^{+}(\mathcal{A})\)의 각 사상 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)에 대해 다음 그림이 \(K^{+}(\mathcal{A})\)에서 가환하도록 하는 \(K^{+}(\mathcal{I})\)의 사상 \(j(\alpha) : j(K^\bullet) \to j(L^\bullet)\)가 유일하게 존재한다. \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_{i_{K^\bullet}} & L^\bullet \ar[d]^{i_{L^\bullet}} \\ j(K^\bullet) \ar[r]^{j(\alpha)} & j(L^\bullet) }\] 이를 보이려면 보조정리 013P와 013S를 사용하거나, 그와 동치인 보조정리 05TG를 사용하면 된다. 유일성은 \(j\)가 함자임을 함의하고, 그림의 가환성은 \(i\)가 보조정리의 명제에 있는 범주 그림의 \(2\)-가환성을 실현하는 \(2\)-사상을 준다는 것을 함의한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)에는 충분한 단사 대상이 있다고 가정하자. 그러면 분해 함자 \(j\)가 존재하며, 함자들의 유일한 동형사상까지 유일하다.

증명

\(K^{+}(\mathcal{A})\)의 모든 대상 \(K^\bullet\)의 집합을 생각하자. (달리 언급하지 않는 한 모든 범주는 대상들의 집합을 갖는다는 우리의 관례를 상기하자.) 보조정리 013K에 의해 각 대상은 단사 분해를 갖는다. 선택 공리에 의해 각 \(K^\bullet\)에 대해 단사 분해 \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\)을 택할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. 임의의 분해 함자 \(j : K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\)는 완전하다.

증명

정의 013W의 정준 사상들을 \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\)로 나타내자. 먼저 함자적 동형사상 \(j(K^\bullet[1]) \to j(K^\bullet)[1]\)의 존재를 논하자. 그림 \[\xymatrix{ K^\bullet[1] \ar[d]^{i_{K^\bullet[1]}} \ar@{=}[rr] & & K^\bullet[1] \ar[d]^{i_{K^\bullet}[1]} \\ j(K^\bullet[1]) \ar@{..>}[rr]^{\xi_{K^\bullet}} & & j(K^\bullet)[1] }\] 을 생각하자. 보조정리 013P와 013S에 의해 이 그림을 \(K^{+}(\mathcal{A})\)에서 가환하게 하는 점선 화살표 \(\xi_{K^\bullet}\)가 \(K^{+}(\mathcal{I})\)에 유일하게 존재한다. 이것이 함자적 동형사상을 준다는 확인은 생략한다. (힌트: 보조정리 013S를 다시 사용하라.)

\((K^\bullet, L^\bullet, M^\bullet, f, g, h)\)를 \(K^{+}(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형이라 하자. \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\)가 \(K^{+}(\mathcal{I})\)의 완전 삼각형임을 보여야 한다. 다음은 가환 그림이다. \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_f \ar[d] & L^\bullet \ar[r]_g \ar[d] & M^\bullet \ar[rr]_h \ar[d] & & K^\bullet[1] \ar[d] \\ j(K^\bullet) \ar[r]^{j(f)} & j(L^\bullet) \ar[r]^{j(g)} & j(M^\bullet) \ar[rr]^{\xi_{K^\bullet} \circ j(h)} & & j(K^\bullet)[1] }\] 이는 \(K^{+}(\mathcal{A})\)의 그림이며, 그 수직 화살표들은 준동형사상 \(i_K, i_L, i_M\)이다. 따라서 \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\)의 \(D^{+}(\mathcal{A})\)에서의 상은 완전 삼각형과 동형이고, 따라서 TR1에 의해 완전 삼각형이다. 그러므로 보조정리 05SQ에서 \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\)가 \(K^{+}(\mathcal{I})\)의 완전 삼각형임을 알 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(j\)를 분해 함자라 하자. 자연스러운 함자를 \(Q : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)로 쓰자. 그러면 유일한 함자 \(j' : D^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\)에 대해 \(j = j' \circ Q\)이고, 이 함자는 정준 함자 \(K^{+}(\mathcal{I}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)의 준역이다.

증명

보조정리 05RW에 의해 함자 \(Q\)는 국소화이다. \(j'\)의 존재를 증명하려면 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)의 모든 원소가 함자 \(j\) 아래 동형사상으로 보내짐을 보이면 충분하다. 보조정리 05R7을 보라. 보조정리 014W의 증명에 있는 가환 사각형을 생각하자. 이 사각형에서 \(\alpha\)가 준동형사상이면 \(i_{L^\bullet}\circ\alpha=j(\alpha)\circ i_{K^\bullet}\)도 준동형사상이므로 \(j(\alpha)\)도 그러하다. 따라서 명제 013V에 의해 사상 \(j(\alpha)\)는 \(K^+(\mathcal{I})\)에서 동형사상이다. \(j'\)가 \(K^{+}(\mathcal{I}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)의 준역이라는 확인은 생략한다.

주

\(\mathcal{A}\)가 아벨 군의 범주처럼 충분한 단사 대상을 갖는 “큰” 아벨 범주라고 하자. 이 경우 모임 위를 달리는 한정자를 갖고 선택 공리를 사용할 수 없으므로 분해 함자를 구성할 때 조금 더 주의해야 한다. 그러나 보조정리의 증명은 임의의 두 국소화 함자가 정준적으로 동형임을 실제로 보여 준다는 점에 주의하자. 구체적으로, 아래로 유계인 복합체 \(K^\bullet\)에서 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체들로 가는 준동형사상 \(i : K^\bullet \to I^\bullet\)와 \(i' : K^\bullet \to J^\bullet\)가 주어지면 \(K^{+}(\mathcal{I})\)의 사상 \(a : I^\bullet \to J^\bullet\) 가운데 \(K^{+}(\mathcal{I})\)의 사상으로서 \(i' = i \circ a\)를 만족하는 것이 유일하게(!) 존재한다.

따라서 유일한 문제는 존재성이고, 다음 절에서 이를 다루는 방법을 보겠다.

함자적 단사 매장과 분해 함자

이 절에서는 범주 \(\mathcal{A}\)가 함자적 단사 매장을 갖는 경우 분해 함자 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\)의 구성을 다시 한다. 그 이유는 두 가지이다. (1) 증명이 더 쉽고, (2) \(\mathcal{A}\)가 “큰” 아벨 범주인 경우에도 이 구성이 작동한다. 아래의 주석 0142을 보라.

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. 앞에서처럼 \(\mathcal{I}\)는 단사 대상들로 이루어진 \(\mathcal{A}\)의 충만 가법 부분범주를 나타낸다. \(K^\bullet\)이 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계인 복합체이고, \(I^\bullet\)이 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체이며, \(\alpha\)가 준동형사상인 화살표 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)들의 범주 \(\text{InjRes}(\mathcal{A})\)를 생각하자. 다시 말해 \(\alpha\)는 단사 분해이고 \(K^\bullet\)은 아래로 유계이다. 다음과 같은 자명한 함자가 있다. \[s : \text{InjRes}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\] 이는 \((\alpha : K^\bullet \to I^\bullet) \mapsto K^\bullet\)로 정의된다. 또한 함자 \[t : \text{InjRes}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] 가 있으며, 이는 \((\alpha : K^\bullet \to I^\bullet) \mapsto I^\bullet\)로 정의된다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)가 함자적 단사 매장을 갖는다고 가정하자. 호몰로지, 정의 0139를 보라.

1. \(s \circ inj = \text{id}\)를 만족하는 함자 \(inj : \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to \text{InjRes}(\mathcal{A})\)가 존재한다.

2. \(s \circ inj = \text{id}\)를 만족하는 임의의 함자 \(inj : \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to \text{InjRes}(\mathcal{A})\)에서 분해 함자를 얻는다. 정의 013W를 보라.

증명

\(A \mapsto (A \to J(A))\)를 함자적 단사 매장이라 하자. 호몰로지, 정의 0139를 보라. 먼저 \(J(0) = 0\)이라 가정해도 됨을 주목하자. 실제로 그렇지 않다면 임의의 대상 \(A\)에 대해 \(0 \to A \to 0\)가 있으므로 직합 분해 \(J(A) = J(0) \oplus \Ker(J(A) \to J(0))\)를 얻는다. 함자적 사상 \(A \to J(A)\)는 두 번째 직합인자 안으로 사상될 수밖에 없음에 주의하자. 따라서 필요하면 우리 함자를 \(J'(A) = \Ker(J(A) \to J(0))\)로 바꿀 수 있다.

\(K^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계인 복합체라 하자. \(p < B\)이면 \(K^p = 0\)이라고 하자. 단사 대상들의 이중 복합체 \(I^{\bullet, \bullet}\)과 사상 \(\alpha : K^\bullet \to I^{\bullet, 0}\)를 구성할 것인데, \(\alpha\)는 \(K^\bullet\)에서 \(I^{\bullet, \bullet}\)의 연관 전체 복합체로 가는 준동형사상을 유도해야 한다. 먼저 \(q < 0\)일 때마다 \(I^{p, q} = 0\)으로 둔다. 다음으로 \(I^{p, 0} = J(K^p)\)로 두고, \(\alpha^p : K^p \to I^{p, 0}\)를 함자적 매장으로 둔다. \(J\)가 함자이므로 \(I^{\bullet, 0}\)은 복합체이고 \(\alpha\)는 복합체의 사상이다. 각 \(\alpha^p\)는 단사이다. 또한 \(J(0) = 0\)이므로 \(p < B\)일 때 \(I^{p, 0} = 0\)이다. 이어서 \(I^{p, 1} = J(\Coker(K^p \to I^{p, 0}))\)로 둔다. 다시 함자성에 의해 \(I^{\bullet, 1}\)은 복합체이다. 그리고 다시 \(p < B\)일 때 \(I^{p, 1} = 0\)을 얻는다. 또한 \(K^p\)가 \(\Ker(I^{p, 0} \to I^{p, 1})\) 위로 동형으로 사상됨은 분명하다. 세 번째 단계로 \(I^{p, 2} = J(\Coker(I^{p, 0} \to I^{p, 1}))\)를 택한다. 이 과정을 계속한다.

이제 호몰로지, 보조정리 0133를 적용하여 사상 \[\alpha : K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\] 이 준동형사상임을 얻는다.

함자 \(inj\)를 얻음을 증명하려면 위 구성이 함자적임을 보이기만 하면 된다. 이 확인은 생략한다.

\(s \circ inj = \text{id}\)를 만족하는 함자 \(inj\)가 있다고 하자. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)의 각 대상 \(K^\bullet\)에 대해 \[inj(K^\bullet) = (i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet))\] 로 쓸 수 있다. 이는 정의 013W에서와 같은 분해 함자를 준다.

주

보조정리 0141의 (2)에서처럼 \(s \circ inj = \text{id}\)를 만족하는 함자 \(inj\)가 있다고 하자. 그 보조정리의 증명에서처럼 \(inj(K^\bullet) = (i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet))\)로 쓰자. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)을 아래로 유계인 복합체들의 사상이라 하자. 범주 \(\text{InjRes}(\mathcal{A})\)에서 사상 \(inj(\alpha)\)를 생각하자. 이는 복합체 사상들의 다음 가환 그림을 유도한다.

\[\xymatrix{ K^\bullet \ar[rr]^-{\alpha} \ar[d]_{i_K} & & L^\bullet \ar[d]^{i_L} \\ j(K)^\bullet \ar[rr]^-{inj(\alpha)} & & j(L)^\bullet }\] 따라서 보조정리 05TJ의 증명을 보면 함자 \(j : K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\)는 다음 규칙으로 주어짐을 알 수 있다. \[j(\alpha\text{ up to homotopy}) = inj(\alpha)\text{ up to homotopy}\in \Hom_{K^{+}(\mathcal{I})}(j(K^\bullet), j(L^\bullet))\] 그러므로 이 경우 \(j\)는 \(t \circ inj\)와 일치한다. 즉 그림 \[\xymatrix{ \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \ar[rr]_{t \circ inj} \ar[rd] & & K^{+}(\mathcal{I}) \\ & K^{+}(\mathcal{A}) \ar[ru]_j }\] 은 가환이다.

주

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간 \((X, \mathcal{O}_X)\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주라 하자(더 일반적으로는 환 달린 사이트 위의 범주라 하자). 뒤에서 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)가 충분한 단사 대상을 가지며 실제로 함자적 단사 매장을 가짐을 볼 것이다. 단사 대상, 정리 01DU를 보라. 보조정리 013X의 증명은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에 적용되지 않음에 주의하자. 그러나 보조정리 0141의 증명은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에 적용된다. 따라서 \[j : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] 를 얻으며, 이는 \(\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 가법 범주일 때의 분해 함자이다. 이 논증은 다음 경우에도 작동한다.

1. 환 \(R\) 위의 \(R\)-가군들의 범주 \(\text{Mod}_R\).

2. 환의 준층이 주어진 사이트 위의 \(\mathcal{O}\)-가군 준층들의 범주 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\).

3. 환 달린 사이트 위의 \(\mathcal{O}\)-가군 층들의 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

4. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

분해 함자를 통한 오른쪽 유도 함자

다음 보조정리의 내용은 분해 함자 \(j\)가 주어졌을 때 단순히 \(RF(K^\bullet) = F(j(K^\bullet))\)로 정의할 수 있다는 것이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주로 가는 가법 함자라 하자. \((i, j)\)를 분해 함자라 하자. 정의 013W를 보라. \(F\)의 오른쪽 유도 함자 \(RF\)는 다음 \(2\)-가환 그림에 들어맞는다. \[\xymatrix{ D^{+}(\mathcal{A}) \ar[rd]_{RF} \ar[rr]^{j'} & & K^{+}(\mathcal{I}) \ar[ld]^F \\ & D^{+}(\mathcal{B}) }\] 여기서 \(j'\)는 보조정리 05TK의 함자이다.

증명

보조정리 05TH에 의해 \(RF(K^\bullet) = F(j(K^\bullet))\)이다.

주

보조정리 05TN의 상황에서는 실제로 오른쪽 유도 함자를 완전 함자 \(F \circ j' : D^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B})\)로 올렸음을 알 수 있다. 이러한 인수분해를 사용하는 것이 때때로 유용하다.

여과 유도 범주와 단사 분해

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. 이 절에서는 \(\mathcal{A}\)가 충분한 단사 대상을 가지면 어떤 의미에서 범주 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)도 그러함을 보이겠다. 이 관찰을 사용하여 \(\mathcal{A}\)의 여과 유도 범주에서 계산할 수 있다.

범주 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)는 완전 범주의 예이다. 단사 대상, 주석 05SF을 보라. 엄밀한 사상들이 특별한 역할을 한다. 호몰로지, 정의 0123를 보라. 즉 이는 \(\Coim(f) = \Im(f)\)를 만족하는 사상 \(f\)이다. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 복합체 \(A \to B \to C\)에 대해 수열 \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(C)\)가 \(\mathcal{A}\)에서 완전이면 그 복합체가 완전하다고 하겠다. 이는 \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 엄밀한 사상임을 함의한다. 호몰로지, 보조정리 05QH을 보라.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 대상 \(I\)에 대해 각 \(\text{gr}^p(I)\)가 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이면 이를 여과 단사 대상이라 한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 대상 \(I\)가 여과 단사일 필요충분조건은 다음과 같다. \(a \leq b\)와 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상들 \(I_n\), \(a \leq n \leq b\), 그리고 \(F^pI = \bigoplus_{n \geq p} I_n\)을 만족하는 동형사상 \(I \cong \bigoplus_{a \leq n \leq b} I_n\)이 존재한다.

증명

\(J\)가 단사 대상이면 \(\mathcal{A}\)의 임의의 단사 사상 \(J \to M\)이 분할된다는 사실에서 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(I\)가 여과 단사 대상일 때 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 임의의 엄밀 단사 사상 \(u : I \to A\)는 분할 단사이다.

증명

\(F^pI \not = 0\)을 만족하는 가장 큰 정수를 \(p\)라 하자. 특히 \(\text{gr}^p(I) = F^pI\)이다. \(I'\)를 그 기저 \(\mathcal{A}\)-대상이 \(F^pI\)이고, 여과가 \(n > p\)에 대해 \(F^nI' = 0\), \(n \leq p\)에 대해 \(F^nI' = I' = F^pI\)로 주어지는 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(I' \to I\)도 엄밀 단사 사상임에 주의하자. \(u\)가 엄밀 단사라는 사실은 \(F^pI \to A/F^{p + 1}(A)\)가 단사임을 함의한다. 호몰로지, 보조정리 0127를 보라. \(\mathcal{A}\)에서 분할 \(s : A/F^{p + 1}A \to F^pI\)를 택하자. 유도된 사상 \(s' : A \to I'\)는 합성 \(I' \to I \to A\)를 분할하는 여과 대상들의 엄밀한 사상이다. 따라서 \(A = I' \oplus \Ker(s')\) 및 \(I = I' \oplus \Ker(s'|_I)\)로 쓸 수 있다. \(\Ker(s'|_I) \to \Ker(s')\)는 엄밀 단사 사상이고 \(\Ker(s'|_I)\)는 여과 단사 대상임에 주의하자. \(I\)의 여과 길이에 관한 귀납법에 의해 사상 \(\Ker(s'|_I) \to \Ker(s')\)는 분할 단사이다. 이로써 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(u : A \to B\)를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 엄밀 단사 사상이라 하고, \(f : A \to I\)를 \(A\)에서 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 여과 단사 대상으로 가는 사상이라 하자. 그러면 \(f = g \circ u\)를 만족하는 사상 \(g : B \to I\)가 존재한다.

증명

\(u\)에 의한 \(f\)의 밂 \(f' : I \to I \amalg_A B\)는 엄밀 단사 사상이다. 호몰로지, 보조정리 05SM를 보라. 따라서 결과는 보조정리 05TQ에서 형식적으로 따른다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 임의의 대상 \(A\)에 대해 엄밀 단사 사상 \(A \to I\)가 존재하며, 여기서 \(I\)는 여과 단사 대상이다.

증명

\(p \in \{a, a + 1, \ldots, b\}\)가 아니면 \(\text{gr}^p(A) = 0\)이 되도록 \(a \leq b\)를 택하자. 각 \(n \in \{a, a + 1, \ldots, b\}\)에 대해 \(I_n\)이 단사 대상인 단사 사상 \(u_n : A/F^{n + 1}A \to I_n\)을 택하자. \(I = \bigoplus_{a \leq n \leq b} I_n\)에 여과 \(F^pI = \bigoplus_{n \geq p} I_n\)을 주고, \(u : A \to I\)를 사상들 \(u_n\)의 직합으로 둔다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 임의의 대상 \(A\)에 대해 여과 준동형사상 \(A[0] \to I^\bullet\)이 존재하며, 여기서 \(I^\bullet\)은 여과 단사 대상들의 복합체이고 \(n < 0\)이면 \(I^n = 0\)이다.

증명

먼저 \(A\)에서 여과 단사 대상으로 가는 엄밀 단사 사상 \(u_0 : A \to I^0\)을 택하자. 보조정리 05TS를 보라. 다음으로 \(\mathcal{A}\)의 여과 단사 대상 안으로 가는 엄밀 단사 사상 \(u_1 : \Coker(u_0) \to I^1\)을 택한다.

유도된 사상 \(I^0 \to I^1\)을 \(d^0\)으로 나타내자. 이어서 \(\mathcal{A}\)의 여과 단사 대상 안으로 가는 엄밀 단사 사상 \(u_2 : \Coker(u_1) \to I^2\)를 택한다. 유도된 사상 \(I^1 \to I^2\)를 \(d^1\)로 나타내자. 이 과정을 계속한다. 이는 각 수열 \[0 \to \Coker(u_n) \to I^{n + 1} \to \Coker(u_{n + 1}) \to 0\] 이 짧은 완전열, 즉 \(\text{gr}\)을 적용했을 때 짧은 완전열을 유도하기 때문에 작동한다. 이를 보려면 호몰로지, 보조정리 0127를 사용하라.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(f : A \to B\)를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 사상이라 하자. \(I^\bullet, J^\bullet\)이 여과 단사 대상들의 복합체이고 \(n < 0\)일 때 \(I^n = J^n = 0\)이며, 여과 준동형사상 \(A[0] \to I^\bullet\)과 \(B[0] \to J^\bullet\)이 주어졌다고 하자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ A[0] \ar[r] \ar[d] & B[0] \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & J^\bullet }\] 이 존재한다.

증명

\(A[0] \to I^\bullet\)과 \(C[0] \to J^\bullet\)이 여과 준동형사상이므로 \(a : A \to I^0\), \(b : B \to J^0\) 및 모든 사상 \(d_I^n\), \(d_J^n\)은 엄밀하다는 결론을 얻는다. 호몰로지, 보조정리 05QH을 보라. 다음 가환 그림의 사상들 \(f^n\)을 귀납적으로 구성하겠다. \[\xymatrix{ A \ar[r]_a \ar[d]_f & I^0 \ar[r] \ar[d]^{f^0} & I^1 \ar[r] \ar[d]^{f^1} & I^2 \ar[r] \ar[d]^{f^2} & \ldots \\ B \ar[r]^b & J^0 \ar[r] & J^1 \ar[r] & J^2 \ar[r] & \ldots }\] \(A \to I^0\)이 엄밀 단사이고 \(J^0\)이 여과 단사이므로 \(f^0 \circ a = b \circ f\)를 만족하는 사상 \(f^0 : I^0 \to J^0\)을 찾을 수 있다. 보조정리 05TR를 보라. 합성 \(d_J^0 \circ b \circ f\)는 영이므로 \(d_J^0 \circ f^0 \circ a = 0\)이고, 따라서 \(d_J^0 \circ f^0\)는 유일한 사상 \[\Coker(a) = \Coim(d_I^0) = \Im(d_I^0) \longrightarrow J^1.\] 을 통해 인수분해된다. \(\Im(d_I^0) \to I^1\)은 엄밀 단사이므로 보조정리 05TR를 다시 사용하여 표시된 화살표를 사상 \(f^1 : I^1 \to J^1\)로 연장할 수 있다. 이 과정을 계속한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(0 \to A \to B \to C \to 0\)을 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 짧은 완전열이라 하자. \(I^\bullet, J^\bullet\)이 여과 단사 대상들의 복합체이고 \(n < 0\)일 때 \(I^n = J^n = 0\)이며, 여과 준동형사상 \(A[0] \to I^\bullet\)과 \(C[0] \to J^\bullet\)이 주어졌다고 하자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A[0] \ar[r] \ar[d] & B[0] \ar[r] \ar[d] & C[0] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^\bullet \ar[r] & M^\bullet \ar[r] & J^\bullet \ar[r] & 0 }\] 이 존재하며, 아래 행은 복합체들의 항별 분할열이다.

증명

\(A[0] \to I^\bullet\)과 \(C[0] \to J^\bullet\)이 여과 준동형사상이므로 \(a : A \to I^0\), \(c : C \to J^0\) 및 모든 사상 \(d_I^n\), \(d_J^n\)은 엄밀하다는 결론을 얻는다.

보조정리 05S1을 보라. 다음 가환 그림의 남동쪽 및 남쪽 화살표들을 단계별로 구성하겠다. \[\xymatrix{ B \ar[r]_\beta \ar[rd]^b & C \ar[r]_c \ar[rd]^{\overline{b}} & J^0 \ar[d]^{\delta^0} \ar[r] & J^1 \ar[d]^{\delta^1} \ar[r] & \ldots \\ A \ar[u]^\alpha \ar[r]^a & I^0 \ar[r] & I^1 \ar[r] & I^2 \ar[r] & \ldots }\] \(A \to B\)는 엄밀 단사 사상이므로 \(b \circ \alpha = a\)를 만족하는 사상 \(b : B \to I^0\)을 찾을 수 있다. 보조정리 05TR를 보라. \(A\)는 엄밀한 사상 \(I^0 \to I^1\)의 핵이고 \(\beta = \Coker(\alpha)\)이므로 그림에 들어맞는 유일한 사상 \(\overline{b} : C \to I^1\)을 얻는다. \(c\)는 엄밀 단사이고 \(I^1\)은 여과 단사이므로 \(\delta^0 : J^0 \to I^1\)을 찾을 수 있다. 보조정리 05TR를 보라. \(B \to C\)가 엄밀 전사이고 \(B \to I^0 \to I^1 \to I^2\)가 영이므로 \(C \to I^1 \to I^2\)가 영임을 알 수 있다. 따라서 \(d_I^1 \circ \delta^0\)은 \(C \cong \Im(c)\) 위에서 영이다. 그러므로 \(d_I^1 \circ \delta^0\)은 유일한 사상 \[\Coker(c) = \Coim(d_J^0) = \Im(d_J^0) \longrightarrow I^2.\] 을 통해 인수분해된다. \(I^2\)가 여과 단사이고 \(\Im(d_J^0) \to J^1\)이 엄밀 단사이므로 표시된 사상을 사상 \(\delta^1 : J^1 \to I^2\)로 연장할 수 있다. 보조정리 05TR를 보라. 이 과정을 계속한다. \(M^\bullet = I^\bullet \oplus J^\bullet\)로 두고 미분을 \[d_M^n = \left( \begin{matrix} d_I^n & (-1)^{n + 1}\delta^n \\ 0 & d_J^n \end{matrix} \right)\] 로 둔다. 마지막으로 사상 \(B[0] \to M^\bullet\)은 \(b \oplus c \circ \beta : M \to I^0 \oplus J^0\)로 주어진다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. 모든 \(K^\bullet \in K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)에 대해 여과 준동형사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)이 존재하며, \(I^\bullet\)은 아래로 유계이고 각 \(I^n\)은 여과 단사 대상이며 각 \(K^n \to I^n\)은 엄밀 단사 사상이다.

증명

\(K^\bullet\)을 이동으로 바꾼 뒤(이는 증명에 무해하다) \(n < 0\)일 때 \(K^n = 0\)이라고 가정할 수 있다. 완전 범주 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 짧은 완전열들 \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(d_K^0) \to K^0 \to \Coim(d_K^0) \to 0 \\ 0 \to \Ker(d_K^1) \to K^1 \to \Coim(d_K^1) \to 0 \\ 0 \to \Ker(d_K^2) \to K^2 \to \Coim(d_K^2) \to 0 \\ \ldots \end{matrix}\] 과 사상들 \(u_i : \Coim(d_K^i) \to \Ker(d_K^{i + 1})\)를 생각하자. 각 \(i \geq 0\)에 대해 여과 준동형사상들 \[\begin{matrix} \Ker(d_K^i)[0] \to I_{ker, i}^\bullet \\ \Coim(d_K^i)[0] \to I_{coim, i}^\bullet \end{matrix}\] 을 택할 수 있으며, \(I_{ker, i}^n, I_{coim, i}^n\)은 여과 단사이고 \(n < 0\)일 때 영이다. 보조정리 05TT를 보라. 보조정리 05TU에 의해 \(u_i\)를 복합체의 사상 \(u_i^\bullet : I_{coim, i}^\bullet \to I_{ker, i + 1}^\bullet\)로 올릴 수 있다. 마지막으로 각 \(i \geq 0\)에 대해 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(d_K^i)[0] \ar[r] \ar[d] & K^i[0] \ar[r] \ar[d] & \Coim(d_K^i)[0] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_{ker, i}^\bullet \ar[r]^{\alpha_i} & I_i^\bullet \ar[r]^{\beta_i} & I_{coim, i}^\bullet \ar[r] & 0 }\] 을 완성할 수 있고, 아래 수열은 항별 분할 완전열이다. 보조정리 05TV를 보라. \(i \geq 0\)에 대해 \(d_i : I_i^\bullet \to I_{i + 1}^\bullet\)를 \(d_i = \alpha_{i + 1} \circ u_i^\bullet \circ \beta_i\)로 둔다. \(\beta_i \circ \alpha_i = 0\)이므로 \(d_i \circ d_{i - 1} = 0\)임에 주의하자. 따라서 가환 그림 \[\xymatrix{ I_0^\bullet \ar[r] & I_1^\bullet \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & \ldots \\ K^0[0] \ar[r] \ar[u] & K^1[0] \ar[r] \ar[u] & K^2[0] \ar[r] \ar[u] & \ldots }\] 을 구성하였다. 여기서 수직 화살표들은 여과 준동형사상이다. 위 행은 복합체들의 복합체이며, 각 복합체는 여과 단사 대상들로 이루어지고 차수 \(< 0\)에서 영이 아닌 대상을 갖지 않는다. 그러므로 \(I^{a, b} = I_a^b\)로 두고, \[d_1^{a, b} : I^{a, b} = I_a^b \to I_{a + 1}^b = I^{a + 1, b}\] 에는 사상 \(d_a^b\)를 사용하고, \[d_2^{a, b} : I^{a, b} = I_a^b \to I_a^{b + 1} = I^{a, b + 1}\] 에는 사상 \(d_{I_a}^b\)를 사용하여 이중 복합체를 얻는다. 이 이중 복합체에 연관된 전체 복합체를 \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\)로 나타내자. 호몰로지, 정의 012Z를 보라. 사상 \(K^n[0] \to I_n^\bullet\)은 복합체의 사상 \[K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\] 을 유도하는 사상 \(K^n \to I^{n, 0}\)에서 옴을 관찰하자. 이것이 여과 준동형사상이라고 주장한다. \(\text{gr}(-)\)은 가법 함자이므로 \(\text{gr}(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})) = \text{Tot}(\text{gr}(I^{\bullet, \bullet}))\)임을 알 수 있다. 따라서 호몰로지, 보조정리 0133를 사용하여 원하는 대로 \(\text{gr}(K^\bullet) \to \text{gr}(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\)가 준동형사상이라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(K^\bullet, I^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)라 하자. \(K^\bullet\)은 여과 비순환이고 \(I^\bullet\)은 아래로 유계이며 여과 단사 대상들로 이루어졌다고 가정하자. 임의의 사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)은 영과 호모토픽이다. \(\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet) = 0\).

증명

\(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)를 복합체의 사상이라 하자. \(j < n\)일 때 \(\alpha^j = 0\)이라고 가정하자. \(\alpha^n = h \circ d\)를 만족하는 사상 \(h : K^{n + 1} \to I^n\)이 존재함을 보이겠다. 그러면 \(\alpha\)는 다음과 같이 정의된 복합체의 사상 \(\beta\)와 호모토픽이다. \[\beta^j = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & j \leq n \\ \alpha^{n + 1} - d \circ h & \text{if} & j = n + 1 \\ \alpha^j & \text{if} & j > n + 1 \end{matrix} \right.\] 이는 귀납법에 의해 보조정리를 분명히 증명한다. \(h\)의 존재를 보이기 위해 \(\alpha^{n - 1} = 0\)이므로 \(\alpha^n \circ d_K^{n - 1} = 0\)임에 주의하자. \(K^\bullet\)은 여과 비순환이므로 \(d_K^{n - 1}\)과 \(d_K^n\)은 엄밀하고 \[0 \to \Im(d_K^{n - 1}) \to K^n \to \Im(d_K^n) \to 0\] 은 완전 범주 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 완전열임을 알 수 있다. 호몰로지, 보조정리 05QH을 보라. 따라서 \(\alpha^n\)을 \(\Im(d_K^n)\) 위에 정의된 \(I^n\)으로 가는 사상으로 생각할 수 있다. \(\Im(d_K^n) \to K^{n + 1}\)이 엄밀 단사이고 \(I^n\)이 여과 단사라는 사실을 사용하면 원하는 대로 이 사상을 \(h : K^{n + 1} \to I^n\)으로 올릴 수 있다. 보조정리 05TR를 보라.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(I^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)를 여과 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하자.

1. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)을 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 여과 준동형사상이라 하자. 그러면 사상 \[\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) \to \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet)\] 은 전단사이다.

2. \(L^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)라 하자. 그러면 \[\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{DF(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet).\]

증명

(1)의 증명. 다음은 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 완전 삼각형이고 (보조정리 014L), \[(K^\bullet, L^\bullet, C(\alpha)^\bullet, \alpha, i, -p)\] \(C(\alpha)^\bullet\)은 여과 비순환 복합체이다 (보조정리 05S1). 그러면 \[\xymatrix{ \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(C(\alpha)^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet) \ar[lld] \\ \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(C(\alpha)^\bullet[-1], I^\bullet) }\] 은 아벨 군들의 완전열이다. 보조정리 0149을 보라. 이제 보조정리 05TX는 양 끝의 두 군이 영임을 보장하며, 따라서

\(\Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\)이다.

(2)의 증명. 오른쪽 변의 원소를 \(a\)라 하자. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)이 여과 준동형사상이고 \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\)이 복합체의 사상일 때 \(a = \gamma\alpha^{-1}\)로 나타낼 수 있다. (1)에 의해 \(\beta \circ \alpha\)가 \(\gamma\)와 호모토픽이 되도록 하는 사상 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\)을 찾을 수 있다. 이는 사상이 전사임을 증명한다. 왼쪽 변의 원소 \(b\)가 오른쪽 변에서 영으로 사상된다고 하자. 그러면 \(b\)는 \(\beta \circ \alpha\)가 영과 호모토픽이 되도록 하는 여과 준동형사상 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)이 존재하는 사상 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\)의 호모토피류이다. 그러면 (1)에 의해 \(\beta\)도 영과 호모토픽이다. 즉 \(b = 0\)이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{I}^f \subset \text{Fil}^f(\mathcal{A})\)는 그 대상들이 여과 단사 대상들인 엄밀히 충만한 가법 부분범주를 나타낸다고 하자. 정준 함자 \[K^{+}(\mathcal{I}^f) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{A})\] 는 완전하고 충만충실하며 본질적으로 전사이다. 즉 삼각 범주들의 동치이다. 더 나아가 그림들 \[\xymatrix{ K^{+}(\mathcal{I}^f) \ar[d]_{\text{gr}^p} \ar[r] & DF^{+}(\mathcal{A}) \ar[d]_{\text{gr}^p} \\ K^{+}(\mathcal{I}) \ar[r] & D^{+}(\mathcal{A}) } \quad \xymatrix{ K^{+}(\mathcal{I}^f) \ar[d]^{\text{forget }F} \ar[r] & DF^{+}(\mathcal{A}) \ar[d]^{\text{forget }F} \\ K^{+}(\mathcal{I}) \ar[r] & D^{+}(\mathcal{A}) }\] 은 가환이다. 여기서 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\)는 그 대상들이 단사 대상들인 엄밀히 충만한 가법 부분범주이다.

증명

함자 \(K^{+}(\mathcal{I}^f) \to DF^{+}(\mathcal{A})\)는 보조정리 05TW에 의해 본질적으로 전사이다. 보조정리 05TY에 의해 충만충실하다. 완전 삼각형에 관한 우리의 정의에 의해 완전 함자이다. 사각형들의 가환성은 즉시 따른다.

주

\(\mathcal{A}\)가 우리의 의미에서 범주, 즉 대상들의 집합을 가질 때에만 보조정리의 화살표를 역으로 돌릴 수 있다. 그러나 예를 들어 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)처럼 충분한 단사 대상을 갖는 큰 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 주어진 임의의 대상 집합 \(\{A_i\}_{i\in I}\)에 대해 이들을 모두 포함하고 충분한 단사 대상을 갖는 아벨 부분범주 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)가 존재한다. 집합, 보조정리 0010를 보라. 따라서 위 보조정리를 \(\mathcal{A}'\)에 사용할 수 있다. 이는 본질적으로 한 집합 분량의 그림 등을 사용하는 한 보조정리를 적용할 때 결코 문제가 생기지 않는다는 뜻이다.

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}\)를 아벨 범주라 하자. \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 왼쪽 완전 함자라 하자. (여과를 나타내는 문자 \(F\)의 사용과 너무 충돌하므로 함자에 문자 \(F\)를 사용할 수 없다.) \(T\)는 규칙 \(T(A, F) = (T(A), F)\)에 의해 가법 함자 \[T : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \text{Fil}^f(\mathcal{B})\] 를 유도함에 주의하자. 여기서 \(F^pT(A) = T(F^pA)\)이며, \(T\)가 왼쪽 완전이므로 이는 의미가 있다. (경고: 반드시 \(\text{gr}(T(A)) = T(\text{gr}(A))\)인 것은 아니다.) 이는 삼각 범주의 함자들 [05TZ]\[\begin{equation} T : K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \end{equation}\] 을 유도한다. \(T\)의 여과 오른쪽 유도 함자는 이 완전 함자와 완전 함자 \(K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \to DF^{+}(\mathcal{B})\)의 합성 및 곱셈적 집합 \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\)에 대한 정의 05S9의 오른쪽 유도 함자이다. \(\mathcal{A}\)에는 충분한 단사 대상이 있다고 가정하자. 이제 절 0156의 논의를 다시 하여 우리 함자 \(T\)의 여과 오른쪽 유도 함자들 [015S]\[\begin{equation} RT : DF^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\] 을 정의할 수 있다.

그러나 그 대신 절 05TM에서처럼 진행하겠다. 그러면 \(T\)가 단지 가법일 때에도 \(RT\)를 정의할 수 있음이 밝혀질 것이다. 먼저 보조정리 015Q의 동치의 준역 \(j' : DF^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I}^f)\)를 택한다. 보조정리 05SQ에 의해 \(j'\)가 삼각 범주들의 완전 함자임을 알 수 있다. 다음으로 여과 단사 대상 \(I\)에 대해 보조정리 05TP에 의한 (비정준) 분해 [015T]\[\begin{equation} I \cong \bigoplus\nolimits_{p \in \mathbf{Z}} I_p, \quad\text{with}\quad F^pI = \bigoplus\nolimits_{q \geq p} I_q \end{equation}\] 가 있음에 주의하자. 따라서 \(T\)가 임의의 가법 함자 \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)라면 \(T_{ext}(I) = \bigoplus T(I_p)\) 및 \(F^pT_{ext}(I) = \bigoplus_{q \geq p} T(I_q)\)로 두어 가법 함자 [05U0]\[\begin{equation} T_{ext} : \mathcal{I}^f \to \text{Fil}^f(\mathcal{B}) \end{equation}\] 를 얻는다. 구성에 의해 성질 \(\text{gr}(T_{ext}(I)) = T(\text{gr}(I))\)를 가짐에 주의하자. 따라서 \(\text{gr}\)과 가환하는 함자 [05U1]\[\begin{equation} T_{ext} : K^{+}(\mathcal{I}^f) \to K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \end{equation}\] 를 얻는다. 이제 합성 [05U2]\[\begin{equation} RT = T_{ext} \circ j'. \end{equation}\] 으로 (015S)을 정의한다. \(RT : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)도 단사 분해로 계산되므로 (보조정리 05TH를 보라), \(T\)와 \(\text{gr}\)의 가환성 및 보조정리 015Q의 가환 그림들에서 [015U]\[\begin{equation} \text{gr}^p \circ RT \cong RT \circ \text{gr}^p \end{equation}\] 및 [015V]\[\begin{equation} (\text{forget }F) \circ RT \cong RT \circ (\text{forget }F) \end{equation}\] 를 \(DF^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)의 함자들로서 얻는다.

여과 유도 함자 \(RT\) (015S)는 함자들 \[\begin{matrix} RT : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{B}), \\ RT : \text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to DF^{+}(\mathcal{B}), \\ RT : KF^{+}(\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{B}). \end{matrix}\] 을 유도한다. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)와 \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)는 더 이상 아벨 범주가 아니므로 \(RT\)가 그 위에서 \(\delta\)-함자로 제한된다고 말하는 것은 의미가 없음에 주의하자. (이 범주들을 완전 범주로 생각하고 완전 범주에서 삼각 범주로 가는 \(\delta\)-함자의 개념을 정식화하면 이를 고칠 수 있다.) 그러나 삼각 범주 \(KF^{+}(\mathcal{A})\) 위에서 \(RT\)가 완전 함자라고 말하는 것은 의미가 있으며, 구성에 의해 실제로 그러하다.

보조정리

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}\)를 아벨 범주라 하고 \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 왼쪽 완전 함자라 하자. \(\mathcal{A}\)에는 충분한 단사 대상이 있다고 가정하자. \((K^\bullet, F)\)를 \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{B}\)의 이중등급 대상 \(E_r\)들로 이루어지고 \(d_r\)의 이중차수가 \((r, - r + 1)\)이며 \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(\text{gr}^p(K^\bullet))\] 를 만족하는 스펙트럴 수열 \((E_r, d_r)_{r\geq 0}\)이 존재한다. 더욱이 이 스펙트럴 수열은 유계이고 \(R^*T(K^\bullet)\)로 수렴하며, 각 \(R^nT(K^\bullet)\) 위에 유한 여과를 유도한다. 이 스펙트럴 수열의 구성은 \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 대상 \(K^\bullet\)에 대해 함자적이며, \(r \geq 1\)일 때 항 \((E_r, d_r)\)은 어떤 선택에도 의존하지 않는다.

증명

보조정리 05TW를 사용하여 \(I^\bullet\)이 여과 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체인 여과 준동형사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)을 택하자. (05U2)를 참조하여 복합체 \(RT(K^\bullet) = T_{ext}(I^\bullet)\)를 생각하자. 따라서 이를 \(\mathcal{B}\)의 여과 복합체로 보고 연관된 스펙트럴 수열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)을 생각할 수 있다. 호몰로지, 절 012K를 보라. 호몰로지, 보조정리 012M에 의해 \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(T(I^\bullet)))\)이다. 식 (015T)에 의해 \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(T(\text{gr}^p(I^\bullet)))\)이고, 여과 단사 분해의 정의에 의해 사상 \(\text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(I^\bullet)\)은 단사 분해이다. 따라서 \(E_1^{p, q} = R^{p + q}T(\text{gr}^p(K^\bullet))\)이다.

한편 각 \(I^n\)은 유한 여과를 가지므로 각 \(T(I^n)\)도 유한 여과를 갖는다. 따라서 호몰로지, 보조정리 012W를 적용하여 스펙트럴 수열이 유계이고 \(H^n(T(I^\bullet)) = R^nT(K^\bullet)\)로 수렴하며, 더 나아가 각 항 위에 유한 여과를 유도한다는 결론을 얻는다.

\(K^\bullet \to L^\bullet\)이 \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)의 사상이라고 하자. 보조정리 05TW를 사용하여 \(J^\bullet\)이 여과 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체인 여과 준동형사상 \(L^\bullet \to J^\bullet\)을 택하자. 위의 결과들, 예를 들어 보조정리 05TY에 의해 호모토피까지 가환하는 그림 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d] & L^\bullet \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & J^\bullet }\] 이 존재한다. 따라서 스펙트럴 수열의 사상을 유도하는 여과 복합체의 사상 \(T(I^\bullet) \to T(J^\bullet)\)을 얻는다. 호몰로지, 보조정리 012O을 보라. 마지막 명제는 이로부터 따른다.

주

주석 015K에서 약속한 대로 위 보조정리와 카르탕-에일렌베르크 분해를 사용하는 구성 사이의 관계를 논하겠다. 구체적으로 \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 아벨 범주들의 왼쪽 완전 함자라 하고, \(\mathcal{A}\)에는 충분한 단사 대상이 있다고 가정하며, \(K^\bullet\)을 \(\mathcal{A}\)의 아래로 유계인 복합체라 하자. 보조정리 015J의 스펙트럴 수열 \({}'E\)와 \({}''E\)의 대안적 구성을 제시한다.

첫 번째 스펙트럴 수열. \(F^p(K^\bullet) = \sigma_{\geq p}(K^\bullet)\)로 두어 얻는 \(K^\bullet\) 위의 “어리석은” 여과를 생각하자. 호몰로지, 절 0118를 보라.

이는 \(d(F^p(K^\bullet)) \subset F^{p + 1}(K^\bullet)\)라는 의미에서 어리석은 여과임에 주의하자. 호몰로지, 보조정리 012N과 비교하라. 이 여과에 대해 \(\text{gr}^p(K^\bullet) = K^p[-p]\)임에 주의하자. 보조정리 015W에 의해 스펙트럴 수열 \({}'E_r\)에서와 같은 \(E_1\) 항 \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(K^p[-p]) = R^qT(K^p)\] 을 갖는 스펙트럴 수열이 존재한다. 더 나아가 미분 \(E_1^{p, q} \to E_1^{p + 1, q}\)가 \('{}E_1\)의 미분들과 일치함을 관찰하자. 호몰로지, 보조정리 012N의 (2)와 보조정리 015J의 증명에서 \({}'d_1\)에 대한 설명을 보라.

두 번째 스펙트럴 수열. \(F^p(K^\bullet) = \tau_{\leq -p}(K^\bullet)\)로 두어 얻는 복합체 \(K^\bullet\) 위의 여과를 생각하자. 호몰로지, 절 0118를 보라. 감소 여과를 얻으려면 음의 부호가 필요하다. 이 여과에 대해 \(\text{gr}^p(K^\bullet)\)은 \(H^{-p}(K^\bullet)[p]\)와 준동형임에 주의하자. 보조정리 015W에 의해 \(E_1\) 항 \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(H^{-p}(K^\bullet)[p]) = R^{2p + q}T(H^{-p}(K^\bullet)) = {}''E_2^{i, j}\] 을 갖는 스펙트럴 수열이 존재하며, 여기서 \(i = 2p + q\)이고 \(j = -p\)이다. (이는 부자연스러워 보이지만 여과 복합체의 전체 이론을 증가 여과를 사용하여 전개할 수도 있었음을 주의하자. 그러면 이쪽은 자연스러워 보이지만 다른 쪽이 그렇지 않다.) 미분들이 서로 일치한다는 확인은 독자에게 맡긴다.

실제로 카르탕-에일렌베르크 분해 \(K^\bullet \to I^{\bullet, \bullet}\)이 주어지면 연관 전체 복합체로 가는 유도된 사상 \(K^\bullet \to \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\)은 \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) 위에 적절한 여과를 사용했을 때 두 여과 각각에 대한 여과 단사 분해가 된다. 이를 사용하여 스펙트럴 수열들을 정확히 일치시킬 수 있다.

Ext 군

이 절에서는 아벨 범주의 대상들의 Ext 군을 설명하기 시작한다. 먼저 다음의 매우 일반적인 정의가 있다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고 \(i \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(X, Y\)를 \(D(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(Y\)에 의한 \(X\)의 \(i\)번째 확대군은 군 \[\Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(X, Y[i]) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(X[-i], Y).\] 이다. \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\)이면 \(\Ext^i_\mathcal{A}(A, B) = \text{Ext}^i_\mathcal{A}(A[0], B[0])\)로 둔다.

\(\Hom_{D(\mathcal{A})}(X, -)\)와 각각 \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(-, Y)\)는 각각 호몰로지적 함자와 코호몰로지적 함자이므로(보조정리 0149을 보라), 완전 삼각형 \((Y, Y', Y'')\)과 각각 \((X, X', X'')\)는 긴 완전열 \[\ldots \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y') \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y'') \to \Ext^{i + 1}_\mathcal{A}(X, Y) \to \ldots\] 과 각각 \[\ldots \to \Ext^i_\mathcal{A}(X'', Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X', Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \to \Ext^{i + 1}_\mathcal{A}(X'', Y) \to \ldots\] 을 준다. \(D^+(\mathcal{A})\), \(D^-(\mathcal{A})\), \(D^b(\mathcal{A})\)는 충만 부분범주이므로 \(X\), \(Y\)가 이들 안에 들어 있으면 이 범주들의 Hom 군으로 Ext 군을 계산할 수 있음에 주의하자.

범주 \(\mathcal{A}\)에 충분한 단사 대상 또는 충분한 사영 대상이 있는 경우 단사 분해 또는 사영 분해를 사용하여 Ext 군을 계산할 수 있다. 혼동을 피하기 위해 단사 분해(각각 사영 분해)를 가지면 모든 낮은 차수(각각 높은 차수)에서 호몰로지가 소거됨을 상기하자. 보조정리 013J와 0645를 보라.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(X^\bullet, Y^\bullet \in \Ob(K(\mathcal{A}))\)라 하자.

1. \(Y^\bullet \to I^\bullet\)을 단사 분해라 하자 (정의 013I). 그러면 \[\Ext^i_\mathcal{A}(X^\bullet, Y^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(X^\bullet, I^\bullet[i]).\]

2. \(P^\bullet \to X^\bullet\)을 사영 분해라 하자 (정의 0644). 그러면 \[\Ext^i_\mathcal{A}(X^\bullet, Y^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet[-i], Y^\bullet).\]

증명

보조정리 05TG와 보조정리 064B에서 즉시 따른다.

이 절의 나머지에서는 아벨 범주 자체의 대상들의 확대를 논한다. 먼저 다음을 관찰하자.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자.

1. \(X\), \(Y\)를 \(D(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(i > a\)일 때 \(H^i(X) = 0\)이고 \(j < b\)일 때 \(H^j(Y) = 0\)이 되도록 하는 \(a, b \in \mathbf{Z}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(n < b - a\)일 때 \(\Ext^n_\mathcal{A}(X, Y) = 0\)이고 \[\Ext^{b - a}_\mathcal{A}(X, Y) = \Hom_\mathcal{A}(H^a(X), H^b(Y))\] 이다.

2. \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\)라 하자. \(i < 0\)일 때 \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\)이다. 또한 \(\Ext^0_\mathcal{A}(B, A) = \Hom_\mathcal{A}(B, A)\)이다.

증명

\(X\)와 \(Y\)를 나타내는 복합체 \(X^\bullet\)과 \(Y^\bullet\)을 택하자. \(Y^\bullet \to \tau_{\geq b}Y^\bullet\)은 준동형사상이므로 \(j < b\)일 때 \(Y^j = 0\)이라고 가정할 수 있다. \(L^\bullet \to X^\bullet\)을 임의의 준동형사상이라 하자. 그러면 \(\tau_{\leq a}L^\bullet \to X^\bullet\)은 준동형사상이다. 따라서 \(D(\mathcal{A})\)의 사상 \(X \to Y[n]\)은 \(s : L^\bullet \to X^\bullet\)이 준동형사상이고 \(f : L^\bullet \to Y^\bullet[n]\)이 사상이며 \(i < a\)일 때 \(L^i = 0\)인 \(fs^{-1}\)로 나타낼 수 있다.

\(f\)가 \(L^i\)를 \(Y^{i + n}\)으로 사상함에 주의하자. 항상 \(L^i\) 또는 \(Y^{i + n}\)이 영이므로 \(n < b - a\)이면 \(f = 0\)이다. \(n = b - a\)이면 \(f\)는 정확히 사상 \(H^a(X) \to H^b(Y)\)에 대응한다. (2)는 (1)의 특별한 경우이다.

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(0 \to A \to A' \to A'' \to 0\)이 \(\mathcal{A}\)의 대상들의 짧은 완전열이라고 하자. 그러면 \(0 \to A[0] \to A'[0] \to A''[0] \to 0\)은 \(D(\mathcal{A})\)의 완전 삼각형을 유도하고(보조정리 0152를 보라), 따라서 Ext 군들의 긴 완전열 \[0 \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A') \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A'') \to \Ext^1_\mathcal{A}(B, A) \to \ldots\] 을 유도한다. 마찬가지로 짧은 완전열 \(0 \to B \to B' \to B'' \to 0\)이 주어지면 Ext 군들의 긴 완전열 \[0 \to \Ext^0_\mathcal{A}(B'', A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B', A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A) \to \Ext^1_\mathcal{A}(B'', A) \to \ldots\] 을 얻는다. 이 Ext 군들을 유도 범주 구성의 응용으로 볼 수 있다. 이는 충분한 단사 대상이나 사영 대상의 존재를 요구하지 않고도 Ext 군을 정의하고 Ext 군의 긴 완전열을 구성할 수 있음을 보여 준다. 유도 범주의 사용을 피하는 Yoneda에 의한 Ext 군의 대안적 구성이 있다. [Yoneda]를 보라.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고 \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\)라 하자. \(i \geq 1\)에 대해 \(A\)에 의한 \(B\)의 차수 \(i\)인 Yoneda 확대는 \(\mathcal{A}\)의 완전열 \[E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] 이다. 같은 차수의 두 Yoneda 확대 \(E\)와 \(E'\)에 대해 가운데 행도 Yoneda 확대인 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] & Z_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & Z_0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[u]^{\text{id}} \ar[d]_{\text{id}} & Z''_{i - 1} \ar[r] \ar[u] \ar[d] & \ldots \ar[r] & Z''_0 \ar[r] \ar[u] \ar[d] & B \ar[r] \ar[u]_{\text{id}} \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & Z'_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & Z'_0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] 이 존재하면 둘이 동치라고 한다.

정의의 동치성이 동치관계라는 것은 즉시 분명하지 않다. 이를 직접 증명하는 것이 유익하지만, 아래의 보조정리 06XU에서도 따를 것이다.

\(\mathcal{A}\)를 대상 \(A\), \(B\)를 갖는 아벨 범주라 하자. Yoneda 확대 \(E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\) 이 주어졌을 때, 연관 원소 \(\delta(E) \in \Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\)를 사상 \(\delta(E) = fs^{-1} : B[0] \to A[i]\)로 정의한다. 여기서 \(s\)는 준동형사상 \[(\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots) \longrightarrow B[0]\] 이고 \(f\)는 복합체의 사상 \[(\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots) \longrightarrow A[i]\] 이다. \(\delta(E) = fs^{-1}\)를 Yoneda 확대의 류라고 한다. 이 류가 Yoneda 확대의 동치류를 특징짓는다는 것이 밝혀진다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 대상 \(A\), \(B\)를 갖는 아벨 범주라 하고 \(i \geq 1\)이라 하자. \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\)의 임의의 원소는 \(A\)에 의한 \(B\)의 차수 \(i\)인 어떤 Yoneda 확대에 대한 \(\delta(E)\)이다. 같은 차수의 두 Yoneda 확대 \(E\), \(E'\)가 주어졌을 때 \(E\)와 \(E'\)가 동치일 필요충분조건은 \(\delta(E) = \delta(E')\)이다.

증명

\(\xi : B[0] \to A[i]\)를 \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\)의 원소라 하자. 어떤 준동형사상 \(s : L^\bullet \to B[0]\)과 사상 \(f : L^\bullet \to A[i]\)에 대해 \(\xi = f s^{-1}\)로 쓸 수 있다. \(L^\bullet\)을 \(\tau_{\leq 0}L^\bullet\)로 바꾼 뒤 \(j > 0\)일 때 \(L^j = 0\)이라고 가정할 수 있다. 그림을 그리면 \[\xymatrix{ L^{- i - 1} \ar[r] & L^{-i} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & L^0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ & A }\] 이다. 이제 \(Z_{i - 1} = (L^{- i + 1} \oplus A)/L^{-i}\) 및 \(j = i - 2, \ldots, 0\)에 대해 \(Z_j = L^{-j}\)로 두면, 그 류 \(\delta(E)\)가 \(\xi\)와 같은 \(A\)에 의한 \(B\)의 차수 \(i\)인 확대 \(E\)를 얻음을 알 수 있다.

동치인 Yoneda 확대들이 같은 류를 갖는 것은 정의에서 즉시 따른다. Yoneda 확대들 \(E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\) 과 \(E' : 0 \to A \to Z'_{i - 1} \to Z'_{i - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to B \to 0\) 이 같은 류를 갖는다고 하자. \(D(\mathcal{A})\)를 \(K(\mathcal{A})\)에서 준동형사상들의 집합에 대한 국소화로 구성하는 방식에 의해, 이는 복합체 \(L^\bullet\)과 준동형사상들 \[t : L^\bullet \to (\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots)\] 및 \[t' : L^\bullet \to (\ldots \to 0 \to A \to Z'_{i - 1} \to \ldots \to Z'_0 \to 0 \to \ldots)\] 이 존재하여 \(s \circ t = s' \circ t'\) 및 \(f \circ t = f' \circ t'\)를 만족한다는 뜻이다. 범주, 절 04VB을 보라. 증명의 첫 문단에서 쌍 \(L^\bullet \to B[0]\)과 \(L^\bullet \to A[i]\)로부터 구성한 \(A\)에 의한 \(B\)의 차수 \(i\)인 확대를 \(E''\)라 하자. 그러면 독자는 동치인 Yoneda 확대의 정의에서와 같은 차수 \(i\)인 Yoneda 확대들의 “사상들” \(E'' \to E\) 및 \(E'' \to E'\)가 존재함을 쉽게 확인할 수 있다(세부사항은 생략한다). 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고 \(A\), \(B\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하자. 그러면 \(\Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\)는 호몰로지, 정의 010K에서 구성한 군 \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\)이다.

증명

이는 보조정리 06XU에서 \(i = 1\)인 경우이다.

아벨 범주 \(\mathcal{A}\)와 \(D(\mathcal{A})\)의 대상 \(X, Y, Z\)가 주어졌을 때 쌍선형이고 결합적인 합성법칙 \[\Ext^j_\mathcal{A}(Y, Z) \times \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \longrightarrow \Ext^{i + j}_\mathcal{A}(X, Z),\quad (\eta, \xi) \longmapsto \eta \circ \xi\] 이 있다. 구체적으로 \(\xi : X \to Y[i]\)이고 \(\eta : Y \to Z[j]\)이면, \(\eta \circ \xi\)를 \(\xi\)와 \(\eta[i] : Y[i] \to Z[i + j]\)의 합성으로 정의한다. \(A, B, C\)가 \(\mathcal{A}\)의 대상이고 \(i, j \geq 1\)이면 이 합성법칙 \[\Ext^j_\mathcal{A}(B, C) \times \Ext^i_\mathcal{A}(A, B) \longrightarrow \Ext^{i + j}_\mathcal{A}(A, C)\] 은 Yoneda 확대를 사용하여 다음과 같이 설명할 수 있다. 즉 \[0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] 과 \[0 \to B \to Z'_{j - 1} \to Z'_{j - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to C \to 0\] 의 합성은 Yoneda 확대 \[0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to Z'_{j - 1} \to Z'_{j - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to C \to 0\] 이다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(0 \to A \to Z \to B \to 0\)과 \(0 \to B \to Z' \to C \to 0\)을 \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열이라 하자. 그 류를 각각 \([Z] \in \Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) 및 \([Z'] \in \Ext^1_\mathcal{A}(C, B)\)로 나타내자. 그러면 \([Z] \circ [Z'] \in \Ext^2_\mathcal{A}(C, A)\)가 \(0\)일 필요충분조건은 \(\mathcal{A}\)에서 행과 열이 완전한 가환 그림 \[\xymatrix{ & & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]^1 & Z \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & W \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & & C \ar[r]^1 \ar[d]& C \ar[d]\\ & & 0 & 0 }\] 이 존재하는 것이다.

증명

생략한다. 힌트: 보조정리 06XU의 결과를 사용하고 \(2\)-확대류가 영이라는 뜻을 풀어서 논증할 수 있다. 또는 \([Z] \circ [Z'] \in \Ext^2_\mathcal{A}(C, A)\)가 영이면 \(\Ext\)의 긴 완전 코호몰로지 수열에 의해 원소 \([Z] \in \Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\)가 \(\Ext^1_\mathcal{A}(Z', A)\)의 어떤 원소의 상이라는 사실을 사용할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고 \(p \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상쌍 \(A\), \(B\)에 대해 \(\Ext^p_\mathcal{A}(B, A) = 0\)이면, \(i \geq p\) 및 \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상쌍 \(A\), \(B\)에 대해 \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\)이다.

증명

\(i > p\)에 대해 임의의 류 \(\xi\)를 \(\delta(E)\)로 쓰자. 여기서 \(E\)는 Yoneda 확대 \[E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] 이다. 이는 보조정리 06XU에 의해 가능하다. \(C = \Ker(Z_{p - 1} \to Z_{p - 2}) = \Im(Z_p \to Z_{p - 1})\)로 두자. 그러면 \(\delta(E)\)는 \(\delta(E')\)와 \(\delta(E'')\)의 합성이고, 여기서 \[E' : 0 \to C \to Z_{p - 1} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] 이며 \[E'' : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_p \to C \to 0\] 이다. \(\delta(E') \in \Ext^p_\mathcal{A}(B, C) = 0\)이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(K\)를 \(D^b(\mathcal{A})\)의 대상으로 서 모든 \(p \geq 2\) 및 \(i > j\)에 대해 \(\Ext^p_\mathcal{A}(H^i(K), H^j(K)) = 0\)을 만족한다고 하자. 그러면 \(K\)는 그 코호몰로지들의 직합과 동형이다. \(K \cong \bigoplus H^i(K)[-i]\).

증명

\(i \not \in [a, b]\)이면 \(H^i(K) = 0\)이 되도록 \(a, b\)를 택하자. \(b - a\)에 관한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. \(b - a \leq 0\)이면 결과는 분명하다. \(b - a > 0\)이면 절단의 완전 삼각형 \[\tau_{\leq b - 1}K \to K \to H^b(K)[-b] \to (\tau_{\leq b - 1}K)[1]\] 을 보자. 주석 08J5을 보라. 마지막 화살표가 영이면 보조정리 05QT에 의해 \(K \cong \tau_{\leq b - 1}K \oplus H^b(K)[-b]\)이고 귀납법으로 결론을 얻는다. 귀납법을 다시 사용하면 \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(H^b(K)[-b], (\tau_{\leq b - 1}K)[1]) = \bigoplus\nolimits_{i < b} \Ext_\mathcal{A}^{b - i + 1}(H^b(K), H^i(K))\] 임을 알 수 있다. 가정에 의해 이 직합은 영이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상쌍 \(A\), \(B\)에 대해 \(\Ext^2_\mathcal{A}(B, A) = 0\)이라고 가정하자. 그러면 \(D^b(\mathcal{A})\)의 임의의 대상 \(K\)는 그 코호몰로지들의 직합과 동형이다. \(K \cong \bigoplus H^i(K)[-i]\).

증명

가정과 보조정리 0EWW에 의해 \(i \geq 2\) 및 \(\mathcal{A}\)의 임의의 대상쌍 \(A, B\)에 대해 \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\)이다. 따라서 이 보조정리는 보조정리 0GM4의 특별한 경우이다.

K-군

삼각 범주의 \(K_0\)에 관해 조금만 논한다.

정의

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하자. \(K_0(\mathcal{D})\)로 \(\mathcal{D}\)의 제0 \(K\)-군을 나타낸다. 이는 다음과 같이 구성되는 아벨 군이다. \(\mathcal{D}\)의 대상들로 생성되는 자유 아벨 군을 취하고, 각 완전 삼각형 \(X \to Y \to Z\)마다 관계 \([Y] - [X] - [Z] = 0\)을 부과한다.