적정 가군

서론

임의의 스킴 \(X\)에 대해 준연접 가군의 범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 아벨 범주이며, 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 아벨 범주의 약한 Serre 부분범주이다. 대수공간 \(X\) 위의 준연접 가군의 범주를 \(X\)의 작은 étale 사이트 위의 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 범주의 부분범주로 볼 때도 같은 사실이 성립한다. 또한 준콤팩트이고 준분리인 사상 \(f : X \to Y\)에 대해 직접상 \(f_*\)와 고차 직접상은 준연접성을 보존한다.

다음으로 \(X\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{O}\)를 \(X\)의 큰 사이트 가운데 하나, 예를 들어 큰 fppf 사이트 위의 구조층이라 하자. 준연접 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주는 아벨 범주이다 (실제로 이는 위에서 말한 스킴 \(X\) 위의 보통의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주와 동치이다). 그러나 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)로의 포함은 완전하지 않다. 예를 들어 \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\) 위에서 \(x\)를 곱하여 주어지는 준연접 가군의 사상 \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k}\] 을 생각하자. 준연접층의 아벨 범주에서는 이 사상이 단사이지만, \(\mathbf{A}^1_k\)의 큰 사이트 위의 모든 \(\mathcal{O}\)-가군의 아벨 범주에서는 비자명한 핵을 가진다. 이는 \(\Spec(k[x]/(x)) = \Spec(k)\) 위의 절단에서 평가하면 알 수 있다. 또한 준콤팩트이고 준분리인 사상 \(f : X \to Y\)에 대해 함자 \(f_{big, *}\)는 준연접성을 보존하지 않는다.

이 장에서는 준연접 가군과 밀접히 관련되고 위의 두 문제를 “해결하는” 이른바 적정 가군의 범주를 도입한다. 대수적 스택 위의 준연접 가군을 논할 때 사용할 또 다른 해법은 국소적으로 준연접이고 평탄 기저변환 성질을 만족하는 \(\mathcal{O}\)-가군을 고려하는 것이다. Cohomology of Stacks, Section 0GQG, Cohomology of Stacks, Remark 07B2, 그리고 Derived Categories of Stacks, Section 07B5를 보라.

규약

이 장에서는 \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)를 고정하고, Topologies, Section 020M에서와 같이 큰 \(\tau\)-사이트 \(\Sch_\tau\)를 하나 고정한다. 모든 스킴은 \(\Sch_\tau\)의 대상이라 하겠다. 특히 스킴 \(S\)가 주어지면 사이트 \((\textit{Aff}/S)_\tau \subset (\Sch/S)_\tau\)를 얻는다. 이 사이트들 위의 구조층 \(\mathcal{O}\)는 규칙 \(\mathcal{O}(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)로 정의된다.

모든 환 \(A\)는 \(\Spec(A)\)가 \(\Sch_\tau\)의 대상과 동형인 것으로 한다. 환 \(A\)가 주어졌을 때 \(\textit{Alg}_A\)를 다음 \(A\)-대수들의 범주라 하자. 그 대상은 \(U\)가 \(\Sch_\tau\)의 아핀 대상일 때 \(B = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 꼴인 \(A\)-대수 \(B\)이다. 따라서 아핀 스킴 \(S = \Spec(A)\)가 주어지면 함자 \[(\textit{Aff}/S)_\tau \longrightarrow \textit{Alg}_A, \quad U \longmapsto \mathcal{O}(U)\] 는 동치이다.

적정 함자

이 절에서는 준연접층의 직접상과 밀접히 관련된 주제를 논한다. 내용의 대부분은 논문 [Jaffe]에서 가져왔다.

정의

\(A\)를 환이라 하자. 가군값 함자란 다음 조건을 만족하는 함자 \(F : \textit{Alg}_A \to \textit{Ab}\)이다.

1. \(\textit{Alg}_A\)의 모든 대상 \(B\)에 대해 군 \(F(B)\)에는 \(B\)-가군 구조가 주어지고,

2. \(\textit{Alg}_A\)의 임의의 사상 \(B \to B'\)에 대해 사상 \(F(B) \to F(B')\)는 \(B\)-선형이다.

가군값 함자의 사상은 모든 \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)에 대해 \(F(B) \to G(B)\)가 \(B\)-선형인 함자의 변환 \(\varphi : F \to G\)이다.

\(S = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자의 범주는 \(\mathcal{O}\)-가군의 전층 범주 \(\textit{PMod}((\textit{Aff}/S)_\tau, \mathcal{O})\)와 동치이다. 이 동치는 가군값 함자 \(F\)에 규칙 \(\mathcal{F}(U) = F(\mathcal{O}(U))\)로 정의되는 전층 \(\mathcal{F}\)를 대응시킨다. 이는 Section 06Z3에서 주어진 동치 \((\textit{Aff}/S)_\tau \to \textit{Alg}_A\), \(U \mapsto \mathcal{O}(U)\)로부터 분명하다. 준역함자는 \(F(B) = \mathcal{F}(\Spec(B))\)로 둔다.

가군값 함자의 중요한 특수한 경우는 다음과 같이 얻어진다. \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 자명한 \(B\)-가군 구조를 갖는 가군값 함자 \(B \mapsto M \otimes_A B\)를 \(\underline{M}\)으로 표시하겠다. \(M \to N\)이 \(A\)-가군의 사상이면 이에 대응하는 가군값 함자의 사상 \(\underline{M} \to \underline{N}\)이 있음을 주의하자. 역으로, 가군값 함자의 임의의 사상 \(\underline{M} \to \underline{N}\)은 \(B = A\)에서 평가하면 알 수 있듯이 \(A\)-가군 사상 \(M \to N\)에서 온다. 달리 말하면 \(\text{Mod}_A\)는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자 범주의 충만한 부분범주이다.

\(A\)-가군 사상 \(\varphi : M \to N\)이 주어지면 \(Q = \Coker(M \to N)\)일 때 \(\Coker(\underline{M} \to \underline{N}) = \underline{Q}\)이다. 이는 \(\otimes\)가 오른쪽 완전하기 때문이다. 그러나 일반적으로 핵에 대해서는 그렇지 않다. 예를 들어 \(A\)-가군의 단사사상이 기저변환 뒤에도 단사일 필요는 없다. 따라서 다음 정의는 자연스럽다.

정의

\(A\)를 환이라 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자 \(F\)를 다음과 같이 부른다.

1. \(F\)가 어떤 \(A\)-가군 사상 \(M \to N\)에 대해 \(\Ker(\underline{M} \to \underline{N})\)과 동형이면 적정이라 한다.

2. \(F\)가 어떤 사상 \(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\)의 핵과 동형이면 선형 적정이라 한다.

\(F\)가 적정일 필요충분조건은 완전열 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\)이 존재하는 것이며, \(F\)가 선형 적정일 필요충분조건은 완전열 \(0 \to F \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\) 이 존재하는 것이다.

\(A\)를 환이라 하자. 이 절에서는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 범주가 아벨 범주임을 보이고 (Lemmas 06V2 and 06V3), 생성원들의 집합을 가짐을 보일 것이다 (Lemma 06UX). 또한 이 범주가 \(\textit{Alg}_A\) 위의 모든 가군값 함자 범주의 약한 Serre 부분범주임을 보이고 (Lemma 06V8), 임의의 여극한을 가짐도 보일 것이다(Lemma 06V4).

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(F\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자라 하자. \(B = \colim B_i\)가 \(A\)-대수들의 여과 여극한이면 \(F(B) = \colim F(B_i)\)이다.

증명

임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \(M \otimes_A B = \colim M \otimes_A B_i\)이고 (Algebra, Lemma 00DD를 보라), 여과 여극한이 완전열과 가환하기 때문이다. Algebra, Lemma 00DB를 보라.

주

대상이 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 꼴인 \(A\)-대수 \(B\)이고 사상이 \(A\)-대수 사상인 범주 \(\textit{Alg}_{fp, A}\)를 생각하자. 모든 \(A\)-대수 \(B\)는 유한표현 \(A\)-대수들의 여과 여극한, 즉 \(\textit{Alg}_{fp, A}\)의 대상들의 여과 여극한이다. Lemma 06UU에 의해 모든 적정 함자 \(F\)는 \(\textit{Alg}_{fp, A}\)로의 제한으로 결정된다. 따라서 어떤 문제들에 대해서는 \(\textit{Alg}_{fp, A}\) 위의 함자들로 제한할 수 있다. 예를 들어 적정 함자들의 범주는 Section 06Z3에서 택한 큰 \(\tau\)-사이트의 선택에 의존하지 않는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(F\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자라 하자. \(B \to B'\)가 평탄하면 \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\)는 동형사상이다.

증명

완전열 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\)을 택하자. 이로부터 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F(B) \otimes_B B' \ar[r] \ar[d] & (M \otimes_A B)\otimes_B B' \ar[r] \ar[d] & (N \otimes_A B)\otimes_B B' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & F(B') \ar[r] & M \otimes_A B' \ar[r] & N \otimes_A B' }\] 을 얻는다. 두 행은 완전하다(위 행은 \(B \to B'\)가 평탄하기 때문이다). 오른쪽 두 수직 화살표가 동형사상이므로 왼쪽 화살표도 그러하다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(F\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자라 하자. 그러면 선형 적정 함자들의 직합인 \(L\)과 전사사상 \(L \to F\)가 존재한다.

증명

\(\varphi : M \to N\)에 의해 \(\underline{M} \to \underline{N}\)이 주어지는 완전열 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\)을 택하자. Lemma 06UU에 의해 모든 유한표현 \(A\)-대수 \(B\)에 대해 \(L(B) \to F(B)\)가 전사인 \(L \to F\)를 구성하면 충분하다. 따라서 유한표현 \(A\)-대수 \(B\)와 원소 \(\xi \in F(B)\)가 주어졌을 때, \(\xi\)가 \(L(B) \to F(B)\)의 상에 속하도록 하는 선형 적정 함자 \(L\)과 사상 \(L \to F\)를 구성하면 충분하다. (동형을 제외하면 그러한 쌍 \((B, \xi)\)은 하나의 집합을 이루기 때문이다.)

\(\underline{M}(B) = M \otimes_A B\)에서 \(\xi\)의 상을 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} m_i \otimes b_i\)로 쓰자. \(N \otimes_A B\)에서 \(\sum \varphi(m_i) \otimes b_i = 0\)임을 안다. \(N\)은 유한표현 \(A\)-가군들의 여과 여극한이므로, 유한표현 \(A\)-가군 \(N'\)과 \(A\)-가군의 가환도식 \[\xymatrix{ A^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]_{m_1, \ldots, m_n} & N' \ar[d] \\ M \ar[r] & N }\] 을 택하여 \((b_1, \ldots, b_n)\)이 \(N' \otimes_A B\)에서 영으로 가게 할 수 있다. 표시 \(A^{\oplus l} \to A^{\oplus k} \to N' \to 0\)을 택하고, 도식의 사상 \(A^{\oplus n} \to N'\)의 상승 \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus k}\)을 택하자. 그러면 \((c_1, \ldots, c_l) \in B^{\oplus l}\)을 택하여 \((b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_l)\)이 \(B^{\oplus k}\)에서 사상 \(B^{\oplus n} \oplus B^{\oplus l} \to B^{\oplus k}\) 아래 영으로 가게 할 수 있다. 가환도식 \[\xymatrix{ A^{\oplus n} \oplus A^{\oplus l} \ar[r] \ar[d] & A^{\oplus k} \ar[d] \\ M \ar[r] & N }\] 을 생각하자. 여기서 왼쪽 수직 화살표는 직합 성분 \(A^{\oplus l}\)에서 영이다. 이제 \(L\)을 \(\underline{A^{\oplus n + l}} \to \underline{A^{\oplus k}}\)의 핵으로 두면 된다. 실제로 원소 \((b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_l) \in L(B)\)는 \(\xi\)로 간다.

차수화된 \(A\)-대수 \(B = \bigoplus_{d \geq 0} B_d\)를 생각하자. 그러면 두 \(A\)-대수 사상 \(p, a : B \to B[t, t^{-1}]\)가 있다. 구체적으로 \(p : b \mapsto b\)이고, 동차원소 \(b\)에 대해 \(a : b \mapsto t^{\deg(b)} b\)이다. \(F\)가 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자이면 다음과 같이 정의한다. [06UY]\[\begin{equation} F(B)^{(k)} = \{\xi \in F(B) \mid t^k F(p)(\xi) = F(a)(\xi)\}. \end{equation}\] 평탄 환 확장에 대해 잘 거동하는 함자들에서는 이 정의가 직합 분해를 준다. 이는 \(\mathbf{G}_m\)의 표현이 완전가약이라는 사실에 해당한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(F\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자라 하자. 평탄 사상 \(B \to B'\)에 대해 사상 \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\)가 동형이라고 가정하자. \(B\)를 차수화된 \(A\)-대수라 하자. 그러면

1. \(F(B) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} F(B)^{(k)}\)이고,

2. 사상 \(B \to B_0 \to B\)가 유도하는 사상 \(F(B) \to F(B)\)의 상은 \(F(B)^{(0)}\)에 포함된다.

증명

\(x \in F(B)\)라 하자. 사상 \(p : B \to B[t, t^{-1}]\)는 자유이므로 다음을 안다. \[F(B[t, t^{-1}]) = \bigoplus\nolimits_{k \in \mathbf{Z}} F(p)(F(B)) \cdot t^k = \bigoplus\nolimits_{k \in \mathbf{Z}} F(B) \cdot t^k\] 표시한 대로 이후의 증명에서는 \(F(p)\)를 생략한다. 어떤 \(x_k \in F(B)\)에 대해 \(F(a)(x) = \sum t^k x_k\)로 쓰자. \(B\)-대수 사상 \(t \mapsto 1\)을 \(\epsilon : B[t, t^{-1}] \to B\)로 표시하자. 합성 \(\epsilon \circ p, \epsilon \circ a : B \to B[t, t^{-1}] \to B\)는 항등사상이다. 따라서 \[x = F(\epsilon)(F(a)(x)) = F(\epsilon)(\sum t^k x_k) = \sum x_k.\] 한편 \(x_k \in F(B)^{(k)}\)라고 주장한다. 실제로 가환도식 \[\xymatrix{ B \ar[r]_a \ar[d]_{a'} & B[t, t^{-1}] \ar[d]^f \\ B[s, s^{-1}] \ar[r]^-g & B[t, s, t^{-1}, s^{-1}] }\] 을 생각하자. 여기서 \(a'(b) = s^{\deg(b)}b\), \(f(b) = b\), \(f(t) = st\)이고 \(g(b) = t^{\deg(b)}b\)이며 \(g(s) = s\)이다. 그러면 \[F(g)(F(a'))(x) = F(g)(\sum s^k x_k) = \sum s^k F(a)(x_k)\] 이고, 다른 경로로 가면 \[F(f)(F(a))(x) = F(f)(\sum t^k x_k) = \sum (st)^k x_k.\] \(B \to B[s, t, s^{-1}, t^{-1}]\)가 자유이므로 \(F(B[t, s, t^{-1}, s^{-1}]) = \bigoplus_{k, l \in \mathbf{Z}} F(B) \cdot t^ks^l\)이다. 위 두 식의 계수를 비교하면 원하는 대로 \(F(a)(x_k) = t^k x_k\)를 얻는다.

마지막으로 \(B_0 \to B \xrightarrow{a} B[t, t^{-1}]\)가 \(B_0 \to B \xrightarrow{p} B[t, t^{-1}]\)와 같으므로 \(F(B_0) \to F(B)\)의 상은 \(F(B)^{(0)}\)에 포함된다.

Lemma 06UZ의 특수한 경우로서 \[\underline{M}(B)^{(k)} = M \otimes_A B_k\] 임을 주의하자. 여기서 \(B_k\)는 차수화된 \(A\)-대수 \(B\)의 차수 \(k\) 부분이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 실선 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & L \ar[d]_\varphi \ar[r] & \underline{A^{\oplus n}} \ar[r] \ar@{..>}[ld] & \underline{A^{\oplus m}} \\ & \underline{M} }\] 이 주어지고 그 행이 완전하다고 하자. 그러면 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 존재한다.

증명

사상 \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus m}\)이 \(m \times n\) 행렬 \((a_{ij})\)로 주어진다고 하자. 환 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\)를 생각하자. 원소 \((x_1, \ldots, x_n) \in \underline{A^{\oplus n}}(B)\)는 \(\underline{A^{\oplus m}}(B)\)에서 영으로 가므로 유일한 원소 \(\xi \in L(B)\)의 상이다. \(\xi\)는 다음 보편성질을 갖는다. 임의의 \(A\)-대수 \(C\)와 임의의 \(\xi' \in L(C)\)에 대해 \(L(B) \to L(C)\) 아래 \(\xi\)가 \(\xi'\)로 가도록 하는 \(A\)-대수 사상 \(B \to C\)가 존재한다.

\(B\)가 차수화된 \(A\)-대수이므로 Lemmas 06UZ and 06UW을 사용하여 우리 함자들의 \(B\)에서의 값을 차수별 성분으로 분해할 수 있다. \((x_1, \ldots, x_n)\)이 \(\underline{A^{\oplus n}}(B)\)의 차수 일인 원소이므로 \(\xi \in L(B)^{(1)}\)임을 주의하자. 따라서 \(\varphi(\xi) \in \underline{M}(B)^{(1)} = M \otimes_A B_1\)이다. \(B_1\)은 \(A\)-가군으로서 \(x_1, \ldots, x_n\)에 의해 생성되므로 \(\varphi(\xi) = \sum m_i \otimes x_i\)로 쓸 수 있다. \(i\)번째 기저벡터를 \(m_i\)로 보내는 사상 \(A^{\oplus n} \to M\)을 생각하자. 구성에 의해 이에 대응하는 사상 \(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{M}\)은 원소 \(\xi\)를 \(\varphi(\xi)\)로 보낸다. 위에서 말한 보편성질로부터 도식이 가환함을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\varphi : F \to \underline{M}\)을 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 사상이라 하고 \(F\)가 적정이라고 하자. 그러면 \(\Coker(\varphi)\)는 적정이다.

증명

Lemma 06UX에 의해 \(F = \bigoplus L_i\)가 선형 적정 함자들의 직합인 경우를 가정해도 된다. 완전열 \(0 \to L_i \to \underline{A^{\oplus n_i}} \to \underline{A^{\oplus m_i}}\)를 택하자. 각 \(i\)에 대해 Lemma 06V0에서와 같이 사상 \(A^{\oplus n_i} \to M\)을 택한다. 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus L_i \ar[r] \ar[d] & \bigoplus \underline{A^{\oplus n_i}} \ar[r] \ar[ld] & \bigoplus \underline{A^{\oplus m_i}} \\ & \underline{M} }\] 을 생각하자. \(A\)-가군 \[Q = \Coker(\bigoplus A^{\oplus n_i} \to M \oplus \bigoplus A^{\oplus m_i}) \quad\text{and}\quad P = \Coker(\bigoplus A^{\oplus n_i} \to \bigoplus A^{\oplus m_i}).\] 를 생각하면 \(\Coker(\varphi)\)가 \(\underline{Q} \to \underline{P}\)의 핵과 동형임을 알 수 있다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\varphi : F \to G\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 사상이라 하자. 그러면 \(\Coker(\varphi)\)는 적정이다.

증명

단사사상 \(G \to \underline{M}\)을 택하자. 그러면 단사사상 \(G/F \to \underline{M}/F\)가 있다. Lemma 06V1에 의해 \(\underline{M}/F\)는 적정이므로 단사사상 \(\underline{M}/F \to \underline{N}\)을 찾을 수 있다. 합성하여 단사사상 \(G/F \to \underline{N}\)을 얻는다. 다시 Lemma 06V1에 의해 유도된 사상 \(G \to \underline{N}\)의 여핵은 적정이므로 단사사상 \(\underline{N}/G \to \underline{K}\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(0 \to G/F \to \underline{N} \to \underline{K}\)는 완전하고 결론을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\varphi : F \to G\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 사상이라 하자. 그러면 \(\Ker(\varphi)\)는 적정이다.

증명

단사사상 \(F \to \underline{M}\)과 단사사상 \(G \to \underline{N}\)을 택하자. 도식 \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \\ \underline{M \oplus N} \ar[r] & \underline{N} }\] 이 가환하도록 대각사상을 \(F \to \underline{M \oplus N}\)으로 표시하자. Lemma 06V2에 의해 \(F\)가 \(\underline{M \oplus N} \to \underline{K}\)의 핵이 되도록 하는 가군 사상 \(M \oplus N \to K\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(\Ker(\varphi)\)는 \(\underline{M \oplus N} \to \underline{K \oplus N}\)의 핵이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 임의의 직합은 적정이다. 적정 함자들의 여극한도 적정이다.

증명

직합에 관한 명제는 자명하다. 일반적인 여극한은 직합들 사이 사상의 핵으로 쓸 수 있다. Categories, Lemma 002P를 보라. 따라서 Lemma 06V3로부터 결론이 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(F, G\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자라 하자. \(\varphi : F \to G\)를 함자의 변환이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(\varphi\)는 가법적이다.

2. 모든 \(A\)-대수 \(B\), \(\xi \in F(B)\), 가역원 \(u \in B^*\)에 대해 \(G(B)\)에서 \(\varphi(u\xi) = u\varphi(\xi)\)이다.

3. 임의의 평탄 환 사상 \(B \to B'\)에 대해 \(G(B) \otimes_B B' = G(B')\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 가군값 함자의 사상이다.

증명

\(B\)를 \(A\)-대수라 하고 \(\xi \in F(B)\), \(b \in B\)라 하자. \(\varphi(b \xi) = b \varphi(\xi)\)임을 보여야 한다. 환 사상 \[B \to B' = B[x, y, x^{-1}, y^{-1}]/(x + y - b).\] 을 생각하자. 이 환 사상은 충실하게 평탄하므로 \(G(B) \subset G(B')\)이다. 한편 \(x, y\)가 \(B'\)의 가역원이므로 \[\varphi(b\xi) = \varphi((x + y)\xi) = \varphi(x\xi) + \varphi(y\xi) = x\varphi(\xi) + y\varphi(\xi) = (x + y)\varphi(\xi) = b\varphi(\xi)\] 이다. 따라서 결론을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(0 \to \underline{M} \to G \to L \to 0\)을 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 짧은 완전열이라 하고 \(L\)이 선형 적정이라고 하자. 그러면 \(G\)는 적정이다.

증명

먼저 임의의 평탄 \(A\)-대수 사상 \(B \to B'\)에 대해 사상 \(G(B) \otimes_B B' \to G(B')\)가 동형임을 지적하자. 실제로 이는 \(\underline{M}\)과 \(L\)에 대해 성립하고, Lemma 06UW를 보라. 따라서 오보조정리에 의해 \(G\)에 대해서도 성립한다. 특히 Lemma 06UZ에 의해 임의의 차수화된 \(A\)-대수 \(B\)에 대해 \(G(B) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} G(B)^{(k)}\)이다.

완전열 \(0 \to L \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\)을 택하자. 사상 \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus m}\)이 \(m \times n\) 행렬 \((a_{ij})\)로 주어진다고 하자. 차수화된 \(A\)-대수 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\)를 생각하자. 원소 \((x_1, \ldots, x_n) \in \underline{A^{\oplus n}}(B)\)는 \(\underline{A^{\oplus m}}(B)\)에서 영으로 가므로 유일한 원소 \(\xi \in L(B)\)의 상이다. \(\xi \in L(B)^{(1)}\)임을 관찰하자. 사상 \[\Hom_A(B, C) \longrightarrow L(C), \quad f \longmapsto L(f)(\xi)\] 은 함자의 동형을 정의한다. 실제로 \(f\)는 관계식 \(\sum a_{ij}c_j = 0\)을 만족해야 하는 상들 \(c_i = f(x_i) \in C\)에 의해 결정된다. 한편 \(L(C)\)는 관계식 \(\sum a_{ij} c_j = 0\)을 만족하는 \(n\)-튜플 \((c_1, \ldots, c_n)\)들의 집합이다.

각 함자 \(\underline{M}\), \(G\), \(L\)의 \(B\)에서의 값은 위 보조정리에 의해 가중치 공간들의 직합이므로, \(0 \to \underline{M} \to G \to L \to 0\)의 완전성으로부터 완전열 \(0 \to \underline{M}(B)^{(1)} \to G(B)^{(1)} \to L(B)^{(1)} \to 0\)을 얻는다. 따라서 \(\xi\)로 가는 원소 \(\theta \in G(B)^{(1)}\)를 택할 수 있다.

차수화된 \(A\)-대수 \[C = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]/ (\sum a_{ij}x_j, \sum a_{ij}y_j)\] 를 생각하자. 규칙 \[p_1(x_i) = x_i, \quad p_1(x_i) = y_i, \quad m(x_i) = x_i + y_i.\] 로 정의되는 세 차수보존 \(A\)-대수 준동형 \(p_1, p_2, m : B \to C\)가 있다. 원소 \[\tau = G(m)(\theta) - G(p_1)(\theta) - G(p_2)(\theta) \in G(C)\] 가 영임을 보이겠다. 먼저 직접 계산하면 \(\tau\)는 \(L(C)\)에서 영으로 간다. 따라서 \(\tau\)는 \(\underline{M}(C)\)의 원소이다. 또한 \(m\), \(p_1\), \(p_2\)가 차수보존 대수 사상이므로 \(\tau \in G(C)^{(1)}\)이다. \(\underline{M} \subset G\)이므로 \[\tau \in \underline{M}(C)^{(1)} = M \otimes_A C_1.\] \(C_1 = p_1(B_1) \oplus p_2(B_1)\)이므로 유일하게 \(\tau = \underline{M}(p_1)(\tau_1) + \underline{M}(p_2)(\tau_2)\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(\tau_i \in M \otimes_A B_1 = \underline{M}(B)^{(1)}\)이다. \(x_i \mapsto x_i\), \(y_i \mapsto 0\)으로 정의되는 환 사상 \(q_1 : C \to B\)를 생각하자. 그러면 \(\underline{M}(q_1)(\tau) = \underline{M}(q_1)(\underline{M}(p_1)(\tau_1) + \underline{M}(p_2)(\tau_2)) = \tau_1\)이다. 한편 \(q_1 \circ m = q_1 \circ p_1\)이므로 \(G(q_1)(\tau) = - G(q_1 \circ p_2)(\tau)\)이다. \(q_1 \circ p_2\)는 \(B \to A \to B\)로 분해되므로 \(G(q_1 \circ p_2)(\tau)\)는 \(G(B)^{(0)}\)에 속한다. Lemma 06UZ를 보라. 따라서 \(G(B)^{(0)} \cap \underline{M}(B)^{(1)} \subset G(B)^{(0)} \cap G(B)^{(1)} = 0\)이므로 \(\tau_1 = 0\)이다. 마찬가지로 \(\tau_2 = 0\)이고, 따라서 \(\tau = 0\)이다.

\(\theta \in G(B)\)이므로 \(f : B \to C\)를 \(G(f)(\theta)\)로 보내어 함자의 변환 \[\psi : L(-) = \Hom_A(B, - ) \longrightarrow G(-)\] 를 얻는다. \(\theta\)가 \(\xi\)의 상승이므로 \(\psi\)는 \(G \to L\)의 오른쪽 역이다. 위에서 증명한 명제들을 \(\psi\)의 말로 표현하면 다음과 같다. \(\tau = 0\)이라는 것은 \(\psi\)가 가법적이라는 뜻이고, \(\theta \in G(B)^{(1)}\)이라는 것은 임의의 \(A\)-대수 \(D\), 원소 \(l \in L(D)\), 가역원 \(u \in D^*\)에 대해 \(G(D)\)에서 \(\psi(ul) = u\psi(l)\)임을 뜻한다. Lemma 06V5에 의해 \(\psi\)는 가군값 함자의 사상이다. 명백히 이로부터 \(G \cong \underline{M} \oplus L\)이고 결론을 얻는다.

주

\(A\)를 환이라 하자. Lemma 06V6의 증명은 \(L\)이 선형 적정일 때 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 임의의 확대 \(0 \to \underline{M} \to E \to L \to 0\)이 분열함을 보인다. 그 증명은 가군값 함자 \(F = \underline{M}\)의 다음 성질들만 사용한다.

1. 평탄 환 사상 \(B \to B'\)에 대해 \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\)는 동형이다.

2. \(F(C)^{(1)} = F(p_1)(F(B)^{(1)}) \oplus F(p_2)(F(B)^{(1)})\)이다. 여기서 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\)이고 \(C = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]/ (\sum a_{ij}x_j, \sum a_{ij}y_j)\)이다.

이 두 성질은 임의의 적정 함자 \(F\)에 대해 성립한다. 세부사항은 생략한다. 따라서 \(L\)은 적정 함자들의 아벨 범주의 사영대상이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(0 \to F \to G \to H \to 0\)을 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 짧은 완전열이라 하자. \(F\)와 \(H\)가 적정이면 \(G\)도 적정이다.

증명

완전열 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\)을 택하자. \((\underline{M} \oplus G)/F\)가 적정임을 보일 수 있다면 \(G\)는 적정 함자들의 사상 \((\underline{M} \oplus G)/F \to \underline{N}\)의 핵이므로 Lemma 06V3에 의해 적정이다. 따라서 \(F = \underline{M}\)인 경우를 가정해도 된다.

\(L\)이 선형 적정 함자들의 직합이고 \(L \to H\)가 전사이도록 택할 수 있다. Lemma 06UX을 보라. 당김 \(G \times_H L\)이 적정임을 보일 수 있다면 \(G\)는 사상 \(\Ker(L \to H) \to G \times_H L\)의 여핵이므로 Lemma 06V2에 의해 적정이다. 따라서 \(H = \bigoplus L_i\)가 선형 적정 함자들의 직합인 경우를 가정해도 된다. Lemma 06V6에 의해 각 당김 \(G \times_H L_i\)는 적정이다. Lemma 06V4에 의해 \(\bigoplus G \times_H L_i\)가 적정임을 알 수 있다. 이제 \(G\)는 \[\bigoplus\nolimits_{i \not = i'} F \longrightarrow \bigoplus G \times_H L_i\] 의 여핵이다. 여기서 직합성분 \((i, i')\)의 \(\xi\)는 \(i\)번째와 \(i'\)번째 직합성분에 영이 아닌 항을 갖는 \((0, \ldots, 0, \xi, 0, \ldots, 0, -\xi, 0, \ldots, 0)\)으로 간다. 따라서 Lemma 06V2에 의해 \(G\)는 적정이다.

보조정리

\(A \to A'\)를 환 준동형이라 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 \(F\)가 적정 함자이면, \(\textit{Alg}_{A'}\)로 제한한 함자 \(F'\)도 적정이다.

증명

완전열 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\)을 택하자. 그러면 \(F'(B') = F(B') = \Ker(M \otimes_A B' \to N \otimes_A B')\)이다. \(M \otimes_A B' = M \otimes_A A' \otimes_{A'} B'\)이고 \(N\)에 대해서도 마찬가지이므로, \(F'\)는 \(\underline{M \otimes_A A'} \to \underline{N \otimes_A A'}\)의 핵이다.

보조정리

\(A \to A'\)를 환 준동형이라 하자. \(\textit{Alg}_{A'}\) 위의 \(F'\)가 적정 함자이면, \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자 \(F : B \mapsto F'(A' \otimes_A B)\)도 적정이다.

증명

완전열 \(0 \to F' \to \underline{M'} \to \underline{N'}\)을 택하자. 그러면 \[\begin{align*} F(B) & = F'(A' \otimes_A B) \\ & = \Ker(M' \otimes_{A'} ( A' \otimes_A B) \to N' \otimes_{A'} (A' \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M' \otimes_A B \to N' \otimes_A B) \end{align*}\] 따라서 \(F\)는 \(M = M'\)와 \(N = N'\)를 \(A\)-가군으로 보았을 때의 \(\underline{M} \to \underline{N}\)의 핵이다.

보조정리

\(A = A_1 \times \ldots \times A_n\)을 환들의 곱이라 하자. \(A\) 위의 적정 함자를 주는 것은 각 \(A_i\) 위의 적정 함자 \(F_i\)들의 열 \(F_1, \ldots, F_n\)을 주는 것과 같다.

증명

이는 \(A\)-대수 \(B\)가 표준적으로 곱 \(B_1 \times \ldots \times B_n\)이고 \(A\)-가군에 대해서도 같은 사실이 성립하기 때문이다. \(F(B) = \coprod F_i(B_i)\)로 놓으면 이 대응을 얻는다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(A \to A'\)를 환 준동형이라 하고, \(F\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(F\)를 \(A'\)-대수들의 범주로 제한한 함자 \(F'\)는 적정이고,

2. 임의의 \(A\)-대수 \(B\)에 대해 열 \[0 \to F(B) \to F(B \otimes_A A') \to F(B \otimes_A A' \otimes_A A')\] 은 완전하다.

그러면 \(F\)는 적정이다.

증명

함자 \(B \to F(B \otimes_A A')\)와 \(B \mapsto F(B \otimes_A A' \otimes_A A')\)는 적정이다. Lemma 06VA와 06V9를 보라. 따라서 \(F\)는 적정 함자들 사이의 사상의 핵이므로 적정이다. Lemma 06V3를 보라.

적정 함자의 고차 Ext

\(A\)를 환이라 하자. Lemma 06V8에서 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 범주에서 적정 함자들의 임의의 확대가 적정임을 보았다. 이 절에서는 고차 Ext 군에 대해서도 같은 사실이 성립함을 보인다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 모든 가군값 함자 \(F\)에 대해, 다음 두 성질을 갖는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 사상 \(Q(F) \to F\)가 존재한다. (1) \(Q(F)\)는 적정이고, (2) 모든 적정 함자 \(G\)에 대해 사상 \(\Hom(G, Q(F)) \to \Hom(G, F)\)는 전단사이다.

증명

모든 선형 적정 함자가 \(L_i\) 중 하나와 동형이 되도록 선형 적정 함자들의 집합 \(\{L_i\}_{i \in I}\)를 택하자. 이러한 선택은 가능하다. (1)과, 모든 \(i \in I\)에 대해 사상 \(\Hom(L_i, Q(F)) \to \Hom(L_i, F)\)가 전단사라는 성질 (2)’를 갖는 \(Q(F) \to F\)를 찾을 수 있다고 하자. 그러면 (2)가 성립한다. 실제로 Lemma 06UX와 Lemma 06V3를 함께 적용하면, 모든 적정 함자 \(G\)는 완전열 \[K \to L \to G \to 0\] 에 놓이며, 여기서 \(K\)와 \(L\)은 선형 적정 함자들의 직합이다. 따라서 (2)’에 의해 \(\Hom(L, Q(F)) \to \Hom(L, F)\)와 \(\Hom(K, Q(F)) \to \Hom(K, F)\)는 전단사이고, 그로부터 \(G\)에 대해서도 같은 결론을 얻는다.

대상을 \(i \in I\)와 사상 \(\varphi : L_i \to F\)의 쌍 \((i, \varphi)\)로 하는 범주 \(\mathcal{I}\)를 생각하자. 사상 \((i, \varphi) \to (i', \varphi')\)은 \(\varphi' \circ \psi = \varphi\)를 만족하는 사상 \(\psi : L_i \to L_{i'}\)이다. 다음과 같이 놓자. \[Q(F) = \colim_{(i, \varphi) \in \Ob(\mathcal{I})} L_i\] 자연스러운 사상 \(Q(F) \to F\)가 있다. Lemma 06V4에 의해 이는 적정이고, 구성상 성질 (2)’를 갖는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 범주라 하고, \(\mathcal{A}\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 범주라 하자. 포함함자를 \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{P}\)로 쓰고, Lemma 06Z6의 구성을 \(Q : \mathcal{P} \to \mathcal{A}\)로 쓰자. 그러면

1. \(i\)는 충실충만하고 완전하며, 그 상은 약한 Serre 부분범주이다.

2. \(\mathcal{P}\)에는 단사대상이 충분히 많다.

3. 함자 \(Q\)는 \(i\)의 오른쪽 수반이므로 왼쪽 완전이다.

4. \(Q\)는 단사대상을 단사대상으로 보낸다.

5. \(\mathcal{A}\)에는 단사대상이 충분히 많다.

증명

이 보조정리는 지금까지 이미 본 몇 가지 사실을 모은 것뿐이다. (1)은 정의, 약한 Serre 부분범주의 특성화(Homology, Lemma 0754를 보라), 그리고 Lemmas 06V2, 06V3, 및 06V8로부터 명백하다. \(\mathcal{P}\)가 범주 \(\textit{PMod}((\textit{Aff}/\Spec(A))_\tau, \mathcal{O})\)와 동치임을 상기하자. 따라서 (2)는 Injectives, Proposition 01DV로부터 따른다. (3)은 Lemma 06Z6와 Categories, Lemma 0038로부터 따른다. (4)와 (5)는 Homology, Lemmas 015Z 및 0160로부터 따른다.

\(A\)를 환이라 하자. Formal Deformation Theory, Section 06I2에서와 같이, \(A\)-대수 \(B\)와 \(B\)-가군 \(N\)이 주어졌을 때 \(B[N]\)을 다음과 같이 정한다. 이는 바탕 \(B\)-가군이 \(B \oplus N\)이고 곱셈이 \((b, m)(b', m ') = (bb', bm' + b'm)\)으로 주어지는 \(R\)-대수이다. 이 구성은 쌍 \((B, N)\)에 대해 함자적이다. 여기서 사상 \((B, N) \to (B', N')\)은 \(A\)-대수 준동형 \(B \to B'\)와 \(B\)-가군 준동형 \(N \to N'\)로 주어진다. 어떤 의미에서 다음 보조정리에 정의되는 쌍들의 함자 \(TF\)는 \(F\)의 접공간이다. 이하에서는 \(B[N]\)이 \(\textit{Alg}_A\)의 대상인 쌍 \((B, N)\)만을 고려한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고, \(F\)를 가군값 함자라 하자. 모든 \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)와 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 다음 성질들로 특징지어지는 표준 분해가 있다. \[F(B[N]) = F(B) \oplus TF(B, N)\]

1. \(TF(B, N) = \Ker(F(B[N]) \to F(B))\).

2. \(F(B[N])\) 위의 \(B[N]\)-가군 구조와 양립하는 \(B\)-가군 구조가 \(TF(B, N)\) 위에 존재한다.

3. \(TF\)는 쌍 \((B, N)\)들의 범주에서 정의된 함자이다.

4. 쌍 \((B, N)\)들의 범주에 정의된 함자들 사이의 변환을 유도하는 표준 사상 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\)들이 있다.

5. \(TF(B, 0) = 0\)이고, \(N \to N'\)가 영 사상이면 사상 \(TF(B, N) \to TF(B, N')\)도 영 사상이다.

증명

\(B \to B[N] \to B\)의 합성이 항등사상이므로 \(F(B) \to F(B[N])\)는 직접인자이고, 그 여인자는 (1)에서 정의한 \(TF(N, B)\)이다. 이 구성은 쌍 \((B, N)\)에 대해 함자적이다. 실제로 쌍의 사상 \((B, N) \to (B', N')\)이 주어지면 \(\textit{Alg}_A\)에서 가환 그림 \[\xymatrix{ B' \ar[r] & B'[N'] \ar[r] & B' \\ B \ar[r] \ar[u] & B[N] \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] 을 얻는다. \(B\)-가군 구조는 \(B[N]\)-가군 구조와 환 준동형 \(B \to B[N]\)으로부터 온다. (4)의 사상은 합성 \[N \otimes_B F(B) \longrightarrow B[N] \otimes_{B[N]} F(B[N]) \longrightarrow F(B[N])\] 이며, 그 상은 \(TF(B, N)\)에 포함된다. (첫 번째 화살표는 포함 \(N \to B[N]\)과 \(F(B) \to F(B[N])\)을 사용하고, 두 번째 화살표는 곱셈 사상이다.) \(N = 0\)이면 \(B = B[N]\)이므로 \(TF(B, 0) = 0\)이다. \(N \to N'\)가 영 사상이면 \(N \to 0 \to N'\)로 분해되므로, \(TF(B, 0) = 0\)에 의해 유도된 사상도 영 사상이다.

\(A\)를 환, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 가군값 함자 \(\underline{M}\)의 접공간 \(T\underline{M}\)은 \(T\underline{M}(B, N) = N \otimes_A M\)으로 주어진다. 특히 \(B\)가 주어졌을 때 함자 \(N \mapsto T\underline{M}(B, N)\)은 가법적이고 오른쪽 완전이다. 단사 가군값 함자에 대해서도 같은 사실이 성립한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고, \(I\)를 가군값 함자들의 범주의 단사대상이라 하자. 임의의 \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)와 \(B\)-가군들의 짧은 완전열 \(0 \to N_1 \to N \to N_2 \to 0\)에 대해 열 \[TI(B, N_1) \to TI(B, N) \to TI(B, N_2) \to 0\] 은 완전하다.

증명

이하에서는 Lemma 06Z8의 결과들을 별도의 언급 없이 사용한다. \(h : \textit{Alg}_A \to \textit{Sets}\)를 \(h(C) = \Mor_A(B[N], C)\)로 주어지는 함자라 하자. \(h_1\)과 \(h_2\)도 마찬가지로 정의한다. 전사 \(N \to N_2\)에 대응하는 사상 \(B[N] \to B[N_2]\)는 전사이다. 이는 모든 \(A\)-대수 \(C\)에 대해 \(h_2(C) \to h(C)\)가 단사인 사상 \(h_2 \to h\)에 대응한다. 한편 영 사상 \(N_1 \to N\)과 단사 \(N_1 \to N\)에 대응하는 두 사상 \(p, q : h \to h_1\)이 있다. 다음이 등화자 그림임에 유의하자. \[\xymatrix{ h_2 \ar[r] & h \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_1 }\] \(\mathcal{O}_h\)를 \(C \mapsto \bigoplus_{h(C)} C\)로 주어지는 가군값 함자라 하자. \(\mathcal{O}_{h_1}\)과 \(\mathcal{O}_{h_2}\)도 마찬가지로 정의한다. 다음에 유의하자. \[\Hom_\mathcal{P}(\mathcal{O}_h, F) = F(B[N])\] 여기서 \(\mathcal{P}\)는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 범주이다. 우리는 \(\mathcal{P}\)에서 등화자 그림 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{h_2} \ar[r] & \mathcal{O}_h \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{O}_{h_1} }\] 이 있음을 주장한다. 실제로 \(C \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)이고 \(\xi = \sum_{i = 1, \ldots, n} c_i \cdot f_i\)라 하자. 여기서 \(c_i \in C\)이고 \(f_i : B[N] \to C\)는 \(\mathcal{O}_h(C)\)의 원소이다. \(p(\xi) = q(\xi)\)이면 \[\sum c_i \cdot f_i \circ z = \sum c_i \cdot f_i \circ y\] 임을 알 수 있다. 여기서 \(z, y : B[N_1] \to B[N]\)는 \(z : (b, m_1) \mapsto (b, 0)\)와 \(y : (b, m_1) \mapsto (b, m_1)\)로 주어지는 사상이다. 이는 모든 \(i\)에 대해 \(f_j \circ z = f_i \circ y\)를 만족하는 \(j\)가 존재한다는 뜻이다. 명백히 이로부터 \(f_i(N_1) = 0\), 즉 \(f_i\)가 유일한 사상 \(\overline{f}_i : B[N_2] \to C\)를 통해 분해됨을 얻는다. 따라서 \(\xi\)는 \(\overline{\xi} = \sum c_i \cdot \overline{f}_i\)의 상이다. \(I\)가 단사이므로 이 등화자 그림은 공등화자 그림 \[\xymatrix{ I(B[N_1]) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & I(B[N]) \ar[r] & I(B[N_2]) }\] 으로 보내진다. 이 그림은 직접합 분해 \(I(B[N]) = I(B) \oplus TI(B, N)\) 및 \(I(B[N_i]) = I(B) \oplus TI(B, N_i)\)와 양립한다. 영 사상 \(N \to N_1\)은 영 사상 \(TI(B, N) \to TI(B, N_1)\)을 유도한다. 따라서 위 공등화자 성질은 원하는 완전열 \(TI(B, N_1) \to TI(B, N) \to TI(B, N_2) \to 0\)을 준다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(F\)를 다음 성질을 갖는 가군값 함자라 하자. 임의의 \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)에 대해 \(B\)-가군 위의 함자 \(TF(B, -)\)는 \(B\)-가군들의 짧은 완전열을 오른쪽 완전열로 보낸다. 그러면

1. \(TF(B, N_1 \oplus N_2) = TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2)\)이다.

2. \(TF(B, N)\) 위에 두 번째 함자적 \(B\)-가군 구조가 있다. 이는 \(x \in TF(B, N)\)와 \(b \in B\)에 대해 \(x \cdot b = TF(B, b\cdot 1_N)(x)\)로 정의된다.

3. Lemma 06Z8의 표준 사상 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\)은 두 번째 \(B\)-가군 구조에 대해서도 \(B\)-선형이다.

4. 유한표시 \(B\)-가군 \(N\)이 주어지면 표준 동형 \(TF(B, B) \otimes_B N \to TF(B, N)\)이 있다. 여기서 텐서곱은 \(TF(B, B)\) 위의 두 번째 \(B\)-가군 구조를 사용한다.

증명

이하에서는 Lemma 06Z8의 결과들을 별도의 언급 없이 사용한다. 사상 \(N_1 \to N_1 \oplus N_2\)와 \(N_2 \to N_1 \oplus N_2\)는 사상 \(TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2) \to TF(B, N_1 \oplus N_2)\)를 준다. 이는 단사이다. 실제로 사상 \(N_1 \oplus N_2 \to N_1\)과 \(N_1 \oplus N_2 \to N_2\)가 역을 유도한다. \(TF\)가 오른쪽 완전이므로 \(TF(B, N_1) \to TF(B, N_1 \oplus N_2) \to TF(B, N_2) \to 0\)은 완전하다. 따라서 \(TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2) \to TF(B, N_1 \oplus N_2)\)는 동형이다. 이로써 (1)이 증명되었다.

(2)를 위해 보일 것은 \(x \cdot (b_1 + b_2) = x \cdot b_1 + x \cdot b_2\)뿐이다. (결합법칙과 가법성은 명백하다.) 이를 보려면 \[N \xrightarrow{(b_1, b_2)} N \oplus N \xrightarrow{+} N\] 을 생각하고 \(TF(B, -)\)를 적용한다.

(3)은 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\)이 쌍 \((B, N)\)에 대해 함자적이라는 사실로부터 바로 따른다.

\(N\)을 유한표시 \(B\)-가군이라 하자. 표시 \(B^{\oplus m} \to B^{\oplus n} \to N \to 0\)을 택한다. 그러면 \(TF(B, -)\)의 오른쪽 완전성에 의해 완전열 \[TF(B, B^{\oplus m}) \to TF(B, B^{\oplus n}) \to TF(B, N) \to 0\] 을 얻는다. (1)에 의해 \(TF(B, B^{\oplus m}) = TF(B, B)^{\oplus m}\) 및 \(TF(B, B^{\oplus n}) = TF(B, B)^{\oplus n}\)으로 쓸 수 있다. 이제 \(B^{\oplus m} \to B^{\oplus n}\)이 행렬 \(T = (b_{ij})\)로 주어진다고 하자. 그러면 유도된 사상 \(TF(B, B)^{\oplus m} \to TF(B, B)^{\oplus n}\)은 성분이 \(TF(B, b_{ij} \cdot 1_B)\)인 행렬로 주어진다. 이를 \(\otimes\)의 오른쪽 완전성과 결합하면 (4)를 얻는다.

예

\(F\)를 Lemma 06ZB의 가군값 함자라 하자. \(TF(B, N)\) 위의 두 가군 구조가 항상 일치하는 것은 아니다. 다음은 한 예이다. \(p\)가 소수이고 \(A = \mathbf{F}_p\)라고 하자. \(F(B) = B\)로 놓되, \(B\)-가군 구조를 \(b \cdot x = b^px\)로 준다. 그러면 \(TF(B, N) = N\)이고, 그 \(B\)-가군 구조는 \(x \in N\)에 대해 \(b \cdot x = b^px\)로 주어진다. 그러나 두 번째 \(B\)-가군 구조는 \(x \cdot b = bx\)로 주어진다. 이 경우 표준 사상 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\)은 영 사상임에 유의하자. 실제로 \(n \in B[N]\)의 \(p\)제곱은 영이다.

다음 보조정리에서는 다음 관찰을 자주 사용한다. \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 완전열 \(0 \to F \to G \to H \to 0\)이 주어지면, 임의의 쌍 \((B, N)\)에 대해 열 \(0 \to TF(B, N) \to TG(B, N) \to TH(B, N) \to 0\)은 완전하다. 이는 \(0 \to F(B[N]) \to G(B[N]) \to H(B[N]) \to 0\)이 완전하다는 사실로부터 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(F\)가 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자일 때, 모든 \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)에 대해 \(B\)-가군 위의 함자 \(TF(B, -)\)가 \(B\)-가군들의 짧은 완전열을 오른쪽 완전열로 보내면 \((*)\)가 성립한다고 하자. \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 짧은 완전열 \(0 \to F \to G \to H \to 0\)을 택하자.

1. \(F, G\)에 대해 \((*)\)가 성립하면 \(H\)에 대해서도 \((*)\)가 성립한다.

2. \(F, H\)에 대해 \((*)\)가 성립하면 \(G\)에 대해서도 \((*)\)가 성립한다.

3. \(H' \to H\)가 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 사상이고 \(F\), \(G\), \(H\), \(H'\)에 대해 \((*)\)가 성립하면 \(G \times_H H'\)에 대해서도 \((*)\)가 성립한다.

증명

\(B\)가 주어졌다고 하자. \(B\)-가군들의 짧은 완전열 \(0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0\)을 택하자. (1)은 다음 그림에서의 그림쫓기로부터 따른다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & TF(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_3) \ar[r] & 0 \\ & 0 & 0 }\] 여기서 가로 행들은 완전하고, \(TF\)와 \(TG\)를 포함하는 열들은 완전하다. (2)를 증명하려면 다음 그림에서 그림쫓기를 한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & TF(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_3) \ar[r] & TH(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & 0 & & 0 }\] 여기서 가로 행들은 완전하고, \(TF\)와 \(TH\)를 포함하는 열들은 완전하다. (3)은 \(G \times_H H'\)가 완전열 \(0 \to F \to G \times_H H' \to H' \to 0\)에 놓이므로 (2)로부터 따른다.

이 절의 작업 대부분은 다음의 핵심적인 소멸 결과를 증명하기 위해 수행되었다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(M\), \(P\)를 \(A\)-가군이라 하고 \(P\)는 유한표시라고 하자. 그러면 \(i > 0\)에 대해 \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M}) = 0\)이다. 여기서 \(\mathcal{P}\)는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 범주이다.

증명

\(\mathcal{P}\)에서 단사 분해 \(\underline{M} \to I^\bullet\)을 택한다. Lemma 06Z7를 보라. Derived Categories, Lemma 06XR에 의해 \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\)의 임의의 원소는 \(d^i \circ \varphi = 0\)을 만족하는 사상 \(\varphi : \underline{P} \to I^i\)로부터 온다. \(\varphi\)에 대응하는 \(\underline{P}\)의 \(\underline{M}\)에 의한 Yoneda 확장 \[E : 0 \to \underline{M} \to I^0 \to \ldots \to I^{i - 1} \times_{\Ker(d^i)} \underline{P} \to \underline{P} \to 0\] 이 자명함을 보이겠다. 그러면 Derived Categories, Lemma 06XU에 의해 보조정리가 증명된다.

\(F\)가 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자일 때, 모든 \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\)에 대해 \(B\)-가군 위의 함자 \(TF(B, -)\)가 \(B\)-가군들의 짧은 완전열을 오른쪽 완전열로 보내면 \((*)\)가 성립한다고 하자. 가군값 함자 \(\underline{M}, I^n, \underline{P}\)는 각각 성질 \((*)\)를 갖는다. Lemma 06ZA와 그 앞의 논의를 보라. \(0 \to \underline{M} \to I^\bullet\)을 짧은 완전열들로 나누고 Lemma 06ZF를 적용하면, 각 함자 \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n) \subset I^n\)가 성질 \((*)\)를 가지며 \(I^{i - 1} \times_{\Ker(d^i)} \underline{P}\)도 성질 \((*)\)를 가짐을 알 수 있다.

따라서 Yoneda 확장이 \[E : 0 \to \underline{M} \to F_{i - 1} \to \ldots \to F_0 \to \underline{P} \to 0\] 으로 주어지고, 각 가군값 함자 \(F_j\)가 성질 \((*)\)를 갖는다고 가정해도 된다. \(G_j(B) = TF_j(B, B)\)로 놓고 이를 Lemma 06ZB에서 정의한 두 번째 \(B\)-가군 구조를 통해 \(B\)-가군으로 본다. \(TF_j\)는 쌍들의 함자이므로 \(G_j\)는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자이다. 또한 \(E\)가 완전열이므로 열 \(G_{j + 1} \to G_j \to G_{j - 1}\)은 완전하다(Lemma 06ZF 앞의 논의를 보라). \(T\underline{M}(B, B) = M \otimes_A B = \underline{M}(B)\)이고 여기서 두 \(B\)-가군 구조가 일치함에 유의하자. 따라서 Yoneda 확장 \[E' : 0 \to \underline{M} \to G_{i - 1} \to \ldots \to G_0 \to \underline{P} \to 0\] 을 얻는다. 더욱이 표준 사상 \[F_j(B) = B \otimes_B F_j(B) \longrightarrow TF_j(B, B) = G_j(B)\] 은 Lemma 06Z8 (06Z9)의 사상이며, Lemma 06ZB (06ZC)에 의해 \(B\)-선형이고 \(B\)에 대해 함자적이다. 따라서 Yoneda 확장들의 사상 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] \ar[d]^1 & F_{i - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & F_0 \ar[r] \ar[d] & \underline{P} \ar[r] \ar[d]^1 & 0 \\ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] & G_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & G_0 \ar[r] & \underline{P} \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 특히 위에서 언급한 Yoneda Ext에 관한 보조정리에 의해 \(E\)와 \(E'\)는 \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\)에서 같은 동치류를 갖는다. 마지막으로 \(N\)을 유한표시 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \[0 \to T\underline{M}(A, N) \to TF_{i - 1}(A, N) \to \ldots \to TF_0(A, N) \to T\underline{P}(A, N) \to 0\] 은 완전하다. Lemma 06ZB (06ZD)에 \(B = A\)를 대입하면, 이는 \(A\)-가군들의 열 \[0 \to M \otimes_A N \to G_{i - 1}(A) \otimes_A N \to \ldots \to G_0(A) \otimes_A N \to P \otimes_A N \to 0\] 이 완전하다는 뜻이다. 따라서 \(A\)-가군들의 열 \(0 \to M \to G_{i - 1}(A) \to \ldots \to G_0(A) \to P \to 0\)은 보편 완전하다. 즉 임의의 유한표시 \(A\)-가군 \(N\)과 텐서곱한 뒤에도 완전하다. \(K = \Ker(G_0(A) \to P)\)로 놓으면 다음 완전열들이 있다. \[0 \to K \to G_0(A) \to P \to 0 \quad\text{and}\quad G_2(A) \to G_1(A) \to K \to 0\] 두 번째 열을 \(N\)과 텐서곱하면 \(K \otimes_A N = \Coker(G_2(A) \otimes_A N \to G_1(A) \otimes_A N)\)을 얻는다. 이어서 \(G_2(A) \otimes_A N \to G_1(A) \otimes_A N \to G_0(A) \otimes_A N\)의 완전성으로부터 \(K \otimes_A N \to G_0(A) \otimes_A N\)이 단사임을 얻는다. Algebra, Theorem 058K에 의해 이는 \(A\)-가군 확장 \(0 \to K \to G_0(A) \to P \to 0\)이 완전하다는 뜻이다. \(P\)가 유한표시라고 가정했으므로 이 열은 분할된다. Algebra, Lemma 058L을 보라. 임의의 분할 \(P \to G_0(A)\)은 전사 \(G_0 \to \underline{P}\)를 분할하는 사상 \(\underline{P} \to G_0\)를 정의한다. 따라서 Yoneda 확장 \(E'\)는 자명한 Yoneda 확장과 동치이고, 증명이 끝났다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(M\)을 \(A\)-가군이라 하고, \(L\)을 \(\textit{Alg}_A\) 위의 선형 적정 함자라 하자. 그러면 \(i > 0\)에 대해 \(\Ext^i_\mathcal{P}(L, \underline{M}) = 0\)이다. 여기서 \(\mathcal{P}\)는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 범주이다.

증명

\(L\)이 선형 적정이므로 완전열 \[0 \to L \to \underline{A^{\oplus m}} \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P} \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(P = \Coker(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n})\)는 선형 적정 함자의 정의에 나타나는 유한 자유 \(A\)-가군들의 사상의 여핵이다. Lemma 06ZG에 의해 \(i > 0\)에 대해 \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\)와 \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{A}, \underline{M})\)가 소멸한다. \(K = \Ker(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P})\)로 놓자. 완전열 \(0 \to K \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P} \to 0\)에 따르는 Ext 군들의 긴 완전열에 의해 \(i > 0\)에 대해 \(\Ext^i_\mathcal{P}(K, \underline{M}) = 0\)을 얻는다. 열 \(0 \to L \to \underline{A^{\oplus m}} \to K \to 0\)에 대해 같은 논증을 반복하면 증명이 끝난다.

보조정리

Lemma 06Z7의 표기를 사용하자. 임의의 적정 함자 \(F\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 \(R^pQ(F) = 0\)이다.

증명

완전열 \(0 \to F \to \underline{M^0} \to \underline{M^1}\)을 택한다. \(M^2 = \Coker(M^0 \to M^1)\)로 놓으면 \(0 \to F \to \underline{M^0} \to \underline{M^1} \to \underline{M^2} \to 0\)은 분해이다. Derived Categories, Lemma 015J에 의해 스펙트럼 열 \[R^pQ(\underline{M^q}) \Rightarrow R^{p + q}Q(F)\] 을 얻는다. \(Q(\underline{M^q}) = \underline{M^q}\)이므로 임의의 \(A\)-가군 \(M\)과 \(p > 0\)에 대해 \(R^pQ(\underline{M}) = 0\)임을 보이면 충분하다.

범주 \(\mathcal{P}\)에서 단사 분해 \(\underline{M} \to I^\bullet\)을 택한다. \(R^iQ(\underline{M})\)이 영이 아니라고 하자. 그러면 \(\Ker(Q(I^i) \to Q(I^{i + 1}))\)는 \(Q(I^{i - 1}) \to Q(I^i)\)의 상보다 엄밀히 크다. 따라서 Lemma 06UX에 의해 선형 적정 함자 \(L\)과 사상 \(\varphi : L \to Q(I^i)\)가 존재하여, 그 상은 \(Q(I^i) \to Q(I^{i + 1})\)의 핵에 놓이지만 \(Q(I^{i - 1}) \to Q(I^i)\)의 상을 통해 분해되지 않는다. \(Q\)가 포함함자의 왼쪽 수반이므로 사상 \(\varphi\)는 같은 성질을 갖는 사상 \(\varphi' : L \to I^i\)에 대응한다. 따라서 \(\varphi'\)는 \(\Ext^i_\mathcal{P}(L, \underline{M})\)의 영이 아닌 원소를 주며, 이는 Lemma 06ZH와 모순이다.

적정 가군

Descent, Section 03DR에서 스킴 \(S\) 위의 준연접 가군은 \(S\)에 딸린 임의의 큰 사이트 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 준연접 가군과 같음을 보았다. 이 동일시에는 두 가지 문제가 있음도 보았다.

1. \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\)는 일반적으로 완전하지 않다 (Descent, Lemma 06VE).

2. 준콤팩트이고 준분리인 사상 \(f : X \to S\)가 주어져도 함자 \(f_*\)는 일반적으로 큰 사이트 위의 준연접층을 보존하지 않는다 (Descent, Proposition 03LC).

(1)은 코호몰로지층이 준연접인 복합체들로 이루어진 \(D(\mathcal{O})\)의 삼각 부분범주를 정의할 수 없음을 뜻한다. (2)는 \(\mathcal{F}\)가 준연접이고 \(f\)가 준콤팩트이면서 준분리이더라도 \(Rf_*\mathcal{F}\)가 준연접 코호몰로지층을 갖는 복합체가 아님을 뜻한다. 더욱이 Descent, Lemma 06VE와 Descent, Proposition 03LC의 증명에 나오는 예들은 병적인 성격의 예가 아니다.

이 절에서는 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군 가운데 준연접 가군을 포함하고, 아벨 범주를 이루며, \(f\)가 준콤팩트이고 준분리일 때 \(f_*\)에 의해 보존되는 조금 더 큰 범주를 논한다. 이를 위해 \(S\)가 스킴이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 전층이라 하자. \((\Sch/S)_\tau\)의 임의의 아핀 대상 \(U = \Spec(A)\)에 대해 \(\mathcal{F}\)를 \((\textit{Aff}/U)_\tau\)에 제한하면 이 사이트 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 전층을 얻는다. Section 06US에서 본 대응하는 가군값 함자를 \[F = F_{\mathcal{F}, A} : \textit{Alg}_A \longrightarrow \textit{Ab}, \quad B \longmapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\] 로 나타내겠다. 대응 \(\mathcal{F} \mapsto F_{\mathcal{F}, A}\)는 아벨 범주들의 완전 함자이다.

정의

\((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)가 적정하다는 것은, 모든 \(i \in I\)에 대해 \(F_{\mathcal{F}, A_i}\)가 적정이 되게 하는 \(\tau\)-피복 \(\{\Spec(A_i) \to S\}_{i \in I}\)가 존재한다는 뜻이다.

아래에서 적정 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주가 선택한 위상 \(\tau\)에 의존하지 않음을 보일 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. \(S\) 위의 임의의 아핀 스킴 \(\Spec(A)\)에 대해 함자 \(F_{\mathcal{F}, A}\)는 적정이다.

증명

모든 \(i \in I\)에 대해 \(F_{\mathcal{F}, A_i}\)가 적정이 되게 하는 \(\tau\)-피복 \(\{\Spec(A_i) \to S\}_{i \in I}\)를 택하자. \(\Spec(A'_j) \to \Spec(A) \to S\)가 어떤 \(i(j) \in I\)에 대해 \(\Spec(A_{i(j)})\)를 통해 분해되도록 하는 표준 아핀 \(\tau\)-피복 \(\{\Spec(A'_j) \to \Spec(A)\}_{j = 1, \ldots, m}\)을 찾을 수 있다. 그러면 \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\)는 \(F_{\mathcal{F}, A_{i(j)}}\)를 \(A'_j\)-대수의 범주에 제한한 것이다. 따라서 Lemma 06V9에 의해 \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\)는 적정이다. Lemma 06VB에 의해 \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\)들의 족은 \(A' = A'_1 \times \ldots \times A'_m\) 위의 적정 “곱” 함자 \(F'\)에 대응한다. \(\mathcal{F}\)가 (Zariski 위상에 대한) 층이므로 이 곱 함자 \(F'\)는 \(F_{\mathcal{F}, A'}\)와 같다. 즉 \(F\)를 \(A'\)-대수에 제한한 것이다. 끝으로 \(\{\Spec(A') \to \Spec(A)\}\)는 \(\tau\)-피복이다. 따라서 Lemma 06VH에 의해 \(F_{\mathcal{F}, A}\)는 적정이다.

보조정리

\(S = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 가군값 함자의 범주와 동치이다.

증명

적정 가군 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 Lemma 06VI에 의해 함자 \(F_{\mathcal{F}, A}\)는 적정이다. 적정 함자 \(F\)가 주어지면 완전열 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\)을 택하고 \(\mathcal{F} = \Ker(M^a \to N^a)\)인 \(\mathcal{O}\)-가군을 생각한다. 여기서 \(M^a\)는 \(S\) 위의 준연접층 \(\widetilde{M}\)에 딸린 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 준연접 \(\mathcal{O}\)-가군을 나타낸다. \(F = F_{\mathcal{F}, A}\)이므로 특히 가군 \(\mathcal{F}\)는 정의에 의해 적정이다. 이 구성들이 서로 역인 범주의 동치를 정의한다는 증명은 생략한다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)의 당김 \(f^*\mathcal{F}\)는 \((\Sch/T)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

증명

당김 사상 \(f^* : \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/T)_\tau, \mathcal{O})\)는 제한으로 주어진다. 즉 \(T\) 위의 임의의 스킴 \(V\)에 대해 \(f^*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V)\)이다. 따라서 이 보조정리는 Lemma 06VI과 정의로부터 바로 따른다.

적정 \(\mathcal{O}\)-가군 범주의 한 특징화를 제시하겠다. 그 의미를 이해하기 위해 스킴 \(S\) 위의 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\)를 생각하자. 이에 딸린 \(\mathcal{O}\)-가군의 사상 \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\)의 여핵은 \((\mathcal{H}/\mathcal{G})^a\)와 같으므로 준연접이다. 그러나 \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\)의 핵은 일반적으로 준연접이 아니다. 그럼에도 이는 적정이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 적정이다.

2. 아핀 열린 피복 \(S = \bigcup S_i\)와 준연접 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-가군의 사상 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\)가 \(\mathcal{G}_i^a \to \mathcal{H}_i^a\)의 핵이다.

3. \(\tau\)-피복 \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\)와 준연접 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-가군의 사상 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\)가 \(\mathcal{G}_i^a \to \mathcal{H}_i^a\)의 핵이다.

4. 각 \(f_i^*\mathcal{F}\)가 적정이 되게 하는 \(\tau\)-피복 \(\{f_i : S_i \to S\}_{i \in I}\)가 존재한다.

5. \(S\) 위의 임의의 아핀 스킴 \(U\)에 대해 제한 \(\mathcal{F}|_{(\Sch/U)_\tau}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 사상 \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\)의 핵이다.

증명

\(U = \Spec(A)\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하자. \(F = F_{\mathcal{F}, A}\)로 놓는다. 정의에 의해 함자 \(F\)가 적정일 필요충분조건은 \(F = \Ker(\underline{M} \to \underline{N})\)이 되게 하는 \(A\)-가군의 사상 \(M \to N\)이 존재하는 것이다. 이를 Lemma 06VI 및 06ZJ과 결합하면 (1)과 (5)가 동치임을 알 수 있다.

(5)가 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의함은 명백하다. (3)이 성립하면 각 \(S_i = \Spec(A_i)\)가 아핀이 되도록 피복 \(\{S_i \to S\}\)를 세분할 수 있다. 그러면 증명 첫머리의 관찰로부터 \(F_{\mathcal{F}, A_i}\)가 적정임을 알 수 있다. 따라서 정의에 의해 \(\mathcal{F}\)는 적정이다. 이로써 (3)이 (1)을 함의한다.

끝으로 한 방향에는 Lemma 06VJ를 사용하고, 다른 방향에는 \(\tau\)-피복의 합성이 \(\tau\)-피복이라는 사실을 사용하면 (4)와 (1)이 동치이다.

준연접층의 경우와 마찬가지로 적정 가군의 범주는 위상에 의존하지 않는다.

보조정리

\(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. \(S\) 위의 아핀 스킴들의 임의의 전사 평탄 사상 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)에 대해 증대된 Čech 복합체 \[0 \to \mathcal{F}(\Spec(A)) \to \mathcal{F}(\Spec(B)) \to \mathcal{F}(\Spec(B \otimes_A B)) \to \ldots\] 는 완전하다. 특히 \(\mathcal{F}\)는 fpqc 피복에 대한 층 조건을 만족하고 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이다.

증명

보조정리에서와 같은 \(A \to B\)에 대해 \(F = F_{\mathcal{F}, A}\)로 놓자. Lemma 06VI에 의해 이 함자는 적정이다. \(A \to B\), \(A \to B \otimes_A B\) 등이 평탄하므로 Lemma 06UW에 의해 \(F(B) = F(A) \otimes_A B\), \(F(B \otimes_A B) = F(A) \otimes_A B \otimes_A B\) 등을 얻는다. 완전성은 Descent, Lemma 023M에서 따른다.

따라서 \(\mathcal{F}\)는 \(\tau\)-피복(특히 Zariski 피복)과 아핀의 충실히 평탄한 단일 아핀 피복에 대한 층 조건을 만족한다. Descent, Lemma 023S과 Descent, Proposition 023T의 증명에서와 같이 논증하면 \(\mathcal{F}\)가 (\((\Sch/S)_\tau\)의 대상들로 이루어진) 모든 fpqc 피복에 대한 층 조건을 만족한다고 결론내릴 수 있다. 세부사항은 생략한다.

특히 Lemma 06VL는 임의의 두 위상 \(\tau, \tau'\)에 대해 \(\tau\)-위상의 적정 가군과 \(\tau'\)-위상의 적정 가군의 모임이 (바탕 범주 \(\Sch/S\) 위의 가군 전층으로서) 같음을 보여 준다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주를 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) 또는 \(\textit{Adeq}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\)로 나타낸다. 위상을 선택하지 않고 적정 가군의 아벨 범주만 생각하고자 할 때는 간단히 \(\textit{Adeq}(S)\)라고 쓴다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자.

1. 제한 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\)는 스킴 \(S\) 위의 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이다.

2. 제한 \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\)은 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\)에 딸린 준연접 가군이다.

3. \(S\) 위의 임의의 아핀 스킴 \(U\)에 대해 모든 \(q > 0\)에 대해 \(H^q(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

4. 표준 동형 \[H^q(S, \mathcal{F}|_{S_{Zar}}) = H^q((\Sch/S)_\tau, \mathcal{F}).\] 이 있다.

증명

Lemma 06UW과 Lemma 06VI에 의해 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 임의의 평탄 사상 \(U \to V\)에 대해 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)\) 이다. 특히 \(U \subset V \subset S\)가 \(S\)의 아핀 열린집합이면 이 사실을 적용할 수 있으므로 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\)는 준연접이다. 따라서 (1)이 성립한다.

\(S' \to S\)를 스킴의 étale 사상이라 하자. 아핀 열린집합 \(V \subset S\)로 사상되는 아핀 열린집합 \(U \subset S'\)에 대해 \(U \to V\)가 étale, 따라서 평탄이므로 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)\) 이다. 그러므로 \(\mathcal{F}|_{S'_{Zar}}\)는 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\)의 당김이다. 이로써 (2)가 증명된다.

Cohomology on Sites, Lemma 03F9을 사이트 \((\Sch/S)_\tau\)에 적용하겠다. 여기서 \(\mathcal{B}\)는 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 집합이고, \(\text{Cov}\)는 표준 아핀 \(\tau\)-피복들의 집합이다. 그 보조정리의 가정 (3)은 Descent, Lemma 03FI에 의해, 그리고 단일 아핀에 의한 피복의 경우에는 Lemma 06VL에 의해 성립한다. 따라서 \(S\) 위의 모든 아핀 스킴 \(U\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이라고 결론내린다. 이로써 (3)이 증명된다. Descent, Proposition 03DW의 증명과 완전히 같은 방식으로 이 사실은 코호몰로지의 등식 (4)를 함의한다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 함자들이 있다. \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) 및 \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\). 구체적으로 함자 \(u : \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\)는 Lemma 06VK에 의해 적정인, 딸린 \(\mathcal{O}\)-가군을 취하여 얻는다. 역으로 함자 \(v\)는 제한 \(v : \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}|_{S_{Zar}}\)에서 얻는다. Lemma 06VM를 보라. \(\mathcal{F}^a\)는 환 달린 토포스의 사상 \(((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to (S_{Zar}, \mathcal{O}_S)\) 아래의 \(\mathcal{F}\)의 당김으로 서술할 수 있다. Descent, Remark 03FH를 보라. 또한 제한은 직접상이므로 \(u\)와 \(v\)는 다음과 같이 수반이다. \[\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, v\mathcal{G}) = \SheafHom_\mathcal{O}(u\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 여기서 \(\mathcal{O}\)는 큰 사이트 위의 구조층을 나타낸다. 이 서술로부터 모든 준연접층에 대해 수반 사상 \(\mathcal{F} \to vu\mathcal{F}\)가 동형임이 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 전층이라 하자. \(S\) 위의 모든 아핀 스킴 \(\Spec(A)\)에 대해 함자 \(F_{\mathcal{F}, A}\)가 적정이면 \(\mathcal{F}\)의 층화는 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

증명

\(U = \Spec(A)\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하자. \(F = F_{\mathcal{F}, A}\)로 놓는다. Sites, Section 00W1을 참조하면 층화는 \(\mathcal{F}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\)이다. 구성에 의해 \[(\mathcal{F})^+(U) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이다. 여기서 여극한은 사이트 \((\Sch/S)_\tau\)의 피복들에 걸쳐 취한다. \(U\)가 아핀이므로 \(U\)의 표준 아핀 \(\tau\)-피복 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I} = \{\Spec(A_i) \to \Spec(A)\}_{i \in I}\)들만 취해도 충분하다. 각 \(A \to A_i\)와 \(A \to A_i \otimes_A A_j\)가 평탄하므로 Lemma 06UW에 의해 \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \Ker(\prod F(A) \otimes_A A_i \to \prod F(A) \otimes_A A_i \otimes_A A_j)\] 이다. \(A \to \prod A_i\)가 충실히 평탄하므로 Descent, Lemma 023M에 의해 이는 언제나 \(F(A)\)와 표준적으로 동형이다. 따라서 전층 \((\mathcal{F})^+\)는 \(S\) 위의 모든 아핀 스킴에서 \(\mathcal{F}\)와 같은 값을 갖는다. 이 논증을 한 번 더 반복하면 \(\mathcal{F}^\# = ((\mathcal{F})^+)^+\)에 대해서도 같은 결론을 얻는다. 따라서 \(F_{\mathcal{F}, A} = F_{\mathcal{F}^\#, A}\)이고, \(\mathcal{F}^\#\)가 적정이라고 결론내린다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

1. 범주 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)는 아벨 범주이다.

2. 함자 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\)는 완전하다.

3. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)이 \(\mathcal{O}\)-가군들의 짧은 완전열이고 \(\mathcal{F}_1\)과 \(\mathcal{F}_3\)가 적정이면 \(\mathcal{F}_2\)도 적정이다.

4. 범주 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)는 여극한들을 가지며, \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\)는 이들과 가환한다.

증명

\(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 적정 \(\mathcal{O}\)-가군들의 사상이라 하자. (1)과 (2)를 증명하려면 \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\)에서 계산한 \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\)와 \(\mathcal{Q} = \Coker(\varphi)\)가 적정임을 보이면 충분하다. \(U = \Spec(A)\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하자. \(F = F_{\mathcal{F}, A}\) 및 \(G = F_{\mathcal{G}, A}\)라 하자. Lemma 06V3와 06V2에 의해 유도된 사상 \(F \to G\)의 핵 \(K\)와 여핵 \(Q\)는 적정 함자이다. 핵은 전층의 수준에서 계산되므로 \(K = F_{\mathcal{K}, A}\)이고, 따라서 \(\mathcal{K}\)는 적정이다. 여핵에 관한 결과를 증명하기 위해 \(\mathcal{Q}'\)를 \(\varphi\)의 전층 여핵이라 하자. 그러면 \(Q = F_{\mathcal{Q}', A}\)이고 \(\mathcal{Q} = (\mathcal{Q}')^\#\)이다. 따라서 Lemma 06VP에 의해 \(\mathcal{Q}\)는 적정이다.

\(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)을 \(\mathcal{O}\)-가군들의 짧은 완전열이라 하고 \(\mathcal{F}_1\)과 \(\mathcal{F}_3\)가 적정이라고 하자. \(U = \Spec(A)\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하고, \(F_i = F_{\mathcal{F}_i, A}\)라 하자. 함자들의 열 \[0 \to F_1 \to F_2 \to F_3 \to 0\] 은 완전하다. 실제로 \(U\) 위의 아핀 스킴 \(V = \Spec(B)\)에 대해 Lemma 06VM에 의해 \(H^1(V, \mathcal{F}_1) = 0\)이다. Lemma 06VI에 의해 \(F_1\)과 \(F_3\)는 적정 함자이므로 Lemma 06V8에 의해 \(F_2\)도 적정이다. 따라서 \(\mathcal{F}_2\)는 적정이다.

\(\mathcal{I} \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\)를 도표라 하자. \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\)를 \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\)에서 계산한 여극한이라 하자. (4)를 증명하려면 \(\mathcal{F}\)가 적정임을 보이면 충분하다. \(\mathcal{F}' = \colim_i \mathcal{F}_i\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 전층에서 계산한 여극한이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = (\mathcal{F}')^\#\)이다. \(U = \Spec(A)\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하고, \(F_i = F_{\mathcal{F}_i, A}\)라 하자. Lemma 06V4에 의해 함자 \(\colim_i F_i = F_{\mathcal{F}', A}\)는 적정이다. Lemma 06VP는 \(\mathcal{F}\)가 적정임을 보여 준다.

다음 보조정리는 준콤팩트이고 준분리인 사상 아래에서 적정 가군의 전체 직접상 \(Rf_*\mathcal{F}\)가 적정 코호몰로지층을 갖는 복합체임을 알려 준다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 준콤팩트이고 준분리인 사상이라 하자. \((\Sch/T)_\tau\) 위의 임의의 적정 \(\mathcal{O}_T\)-가군에 대해 직접상 \(f_*\mathcal{F}\)와 고차 직접상 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}_S\)-가군이다.

증명

먼저 고차 직접상을 계산하는 방법을 설명하자. 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택한다. 그러면 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 복합체 \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)의 \(i\)번째 코호몰로지층이다. 따라서 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 \((\Sch/S)_\tau\)의 대상 \(U/S\)에 다음 가군을 대응시키는 전층에 딸린 층이다. \[\begin{align*} \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(U) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(U))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(U) \to f_*\mathcal{I}^i(U))} & = \frac{\Ker(\mathcal{I}^i(U \times_S T) \to \mathcal{I}^{i + 1}(U \times_S T))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(U \times_S T) \to \mathcal{I}^i(U \times_S T))} \\ & = H^i(U \times_S T, \mathcal{F}) \\ & = H^i((\Sch/U \times_S T)_\tau, \mathcal{F}|_{(\Sch/U \times_S T)_\tau}) \\ & = H^i(U \times_S T, \mathcal{F}|_{(U \times_S T)_{Zar}}) \end{align*}\] 첫 번째 등식은 Topologies, Lemma 021W(및 다른 위상들에 대한 그 유사 명제)에서 따르고, 두 번째 등식은 \((\Sch/T)_\tau\)의 대상 위에서 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지를 정의하는 방식에서 따르며, 세 번째 등식은 Cohomology on Sites, Lemma 03F3에서, 마지막 등식은 Lemma 06VM에서 따른다. 따라서 Lemma 06VP에 의해 다음 문단의 주장을 증명하면 충분하다.

\(A\)를 환이라 하자. \(T\)를 \(A\) 위에서 준콤팩트이고 준분리인 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/T)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}_T\)-가군이라 하자. \(A\)-대수 \(B\)에 대해 \(T_B = T \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\)로 놓고, \(\mathcal{F}_B = \mathcal{F}|_{(T_B)_{Zar}}\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(T_B\)의 작은 Zariski 사이트로의 제한이라 하자. (이는 스킴 \(T_B\) 위의 “보통의” 준연접층임을 상기하자. Lemma 06VM를 보라.) 주장: 함자 \[B \longmapsto H^q(T_B, \mathcal{F}_B)\] 는 적정이다. \(T\)를 조각들로 나누는 통상적인 절차로 보조정리를 증명하겠다.

경우 I: \(T\)가 아핀인 경우. 이때 스킴 \(T_B\)들은 모두 아핀이며 모든 \(q \geq 1\)에 대해 \(H^q(T_B, \mathcal{F}_B) = 0\)이다. 함자 \(B \mapsto H^0(T_B, \mathcal{F}_B)\)는 Lemma 06VA에 의해 적정이다.

경우 II: \(T\)가 분리인 경우. \(T\)를 덮는 데 필요한 아핀들의 최소 개수를 \(n\)이라 하자. \(n\)에 대한 귀납법을 쓴다. 기초 단계는 경우 I이다. 아핀 열린 피복 \(T = V_1 \cup \ldots \cup V_n\)을 택한다. \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_{n - 1}\) 및 \(U = V_n\)으로 놓는다. \(T\)가 분리이므로 \[U \cap V = (V_1 \cap V_n) \cup \ldots \cup (V_{n - 1} \cap V_n)\] 도 \(n - 1\)개의 아핀 열린집합의 합집합임에 유의하자. Schemes, Lemma 01KP를 보라. 각 \(B\)에 대해 기저변환 \(U_B\), \(V_B\)와 \((U \cap V)_B = U_B \cap V_B\)도 같은 방식으로 거동한다. 따라서 각 \(B\)에 대해 \(B\)에 함자적인 긴 완전열 \[0 \to H^0(T_B, \mathcal{F}_B) \to H^0(U_B, \mathcal{F}_B) \oplus H^0(V_B, \mathcal{F}_B) \to H^0((U \cap V)_B, \mathcal{F}_B) \to H^1(T_B, \mathcal{F}_B) \to \ldots\] 을 얻는다. Cohomology, Lemma 01EB를 보라. 귀납가정에 의해 함자들 \(B \mapsto H^q(U_B, \mathcal{F}_B)\), \(B \mapsto H^q(V_B, \mathcal{F}_B)\) 및 \(B \mapsto H^q((U \cap V)_B, \mathcal{F}_B)\)는 적정이다. Lemma 06V3와 06V2를 사용하면 우리 함자 \(B \mapsto H^q(T_B, \mathcal{F}_B)\)가 바깥 항들이 적정인 짧은 완전열의 가운데 놓임을 알 수 있다. 따라서 주장은 Lemma 06V8에서 따른다.

경우 III: 일반적인 준콤팩트 준분리 경우. 증명은 다시 \(T\)를 덮는 데 필요한 아핀들의 개수 \(n\)에 대한 귀납법이다. 기초 단계 \(n = 1\)은 경우 I이다. 아핀 열린 피복 \(T = V_1 \cup \ldots \cup V_n\)을 택하고, \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_{n - 1}\) 및 \(U = V_n\)으로 놓는다. \(T\)가 준분리이므로 \(U \cap V\)는 아핀 스킴의 준콤팩트 열린집합이다. 따라서 경우 II를 적용할 수 있다. 나머지 논증은 바로 위 문단과 완전히 같은 방식으로 진행되므로 생략한다.

기생 적정 가군

이 절에서는 스킴 \(S\) 위의 적정 가군과 준연접 가군을 비교하기 시작한다. 함자 \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) 및 \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\)가 있고, 이들은 수반 \[\SheafHom_{\QCoh(\mathcal{O}_S)}(\mathcal{F}, v\mathcal{G}) = \SheafHom_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(u\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 을 만족하며, 모든 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{F} \to vu\mathcal{F}\)가 동형임을 상기하자. Remark 06VN를 보라. 따라서 \(u\)는 충실충만 매장이며 \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\)를 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)의 충만한 부분범주와 동일시할 수 있다. 함자 \(v\)는 완전하지만 \(u\)는 일반적으로 왼쪽 완전하지 않다. \(v\)의 핵은 기생 적정 가군들의 부분범주이다.

Descent, Definition 06ZL에서 기생 가군을 정의하였다. 적정 가군의 경우 이 개념은 선택한 위상에 의존하지 않는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(v\mathcal{F} = 0\),

2. \(\mathcal{F}\)는 기생이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(\tau\)-위상에 대해 기생이다.

4. 모든 열린집합 \(U \subset S\)에 대해 \(\mathcal{F}(U) = 0\)이다.

5. 모든 \(i\)에 대해 \(\mathcal{F}(U_i) = 0\)이 되게 하는 아핀 열린 피복 \(S = \bigcup U_i\)가 존재한다.

증명

함의 (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5)는 정의로부터 바로 따른다. (5)를 가정하자. 모든 \(i\)에 대해 \(\mathcal{F}(U_i) = 0\)인 아핀 열린 피복 \(S = \bigcup U_i\)가 있다고 하자. \(V \to S\)를 평탄 사상이라 하자. 각 \(V_j\)가 어떤 \(U_i\)로 사상되는 아핀 열린 피복 \(V = \bigcup V_j\)가 존재한다. 사상 \(V_j \to S\)가 평탄하므로 \(V_j \to U_i\)도 평탄하다. 따라서 대응하는 환 사상 \(A_i = \mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j) = B_j\)는 평탄하다. 그러므로 Lemma 06VI과 Lemma 06UW에 의해 \(\mathcal{F}(U_i) \otimes_{A_i} B_j \to \mathcal{F}(V_j)\)는 동형이다. 따라서 \(\mathcal{F}(V_j) = 0\)이다. \(\mathcal{F}\)는 Zariski 위상에 대한 층이므로 \(\mathcal{F}(V) = 0\)이라고 결론내린다. 이로써 (5)가 (2)를 함의함을 알 수 있다.

이는 (2), (3), (4), (5)의 동치를 증명한다. (1)은 (3)과 동치이므로(Remark 06VN를 보라), 다섯 조건이 모두 동치라고 결론내린다.

\(S\)를 스킴이라 하자. 기생 적정 가군들의 부분범주는 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)의 Serre 부분범주이다. 그 몫은 준연접 가군의 범주이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 기생 적정 가군들의 부분범주 \(\mathcal{C} \subset \textit{Adeq}(\mathcal{O})\)는 Serre 부분범주이다. 더욱이 함자 \(v\)는 범주의 동치 \[\textit{Adeq}(\mathcal{O}) / \mathcal{C} = \QCoh(\mathcal{O}_S).\] 를 유도한다.

증명

범주 \(\mathcal{C}\)는 완전 함자 \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\)의 핵이다. Lemma 06ZM를 보라. 따라서 Homology, Lemma 02MQ에 의해 이는 Serre 부분범주이다. Homology, Lemma 02MS에 의해 유도된 완전 함자 \(\overline{v} : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) / \mathcal{C} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\)를 얻는다. \(u\)가 \(v\)의 오른쪽 역이므로 \(\overline{v}\)가 본질적으로 전사임을 곧바로 알 수 있다. Homology, Lemma 06XK에 의해 \(\overline{v}\)는 충실하다. 끝으로 \(u\)가 \(v\)의 오른쪽 역이라는 사실로부터 \(\overline{v}\)가 충실충만이라고 결론내린다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 준콤팩트이고 준분리인 사상이라 하자. \((\Sch/T)_\tau\) 위의 임의의 기생 적정 \(\mathcal{O}_T\)-가군에 대해 직접상 \(f_*\mathcal{F}\)와 고차 직접상 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 기생 적정 \(\mathcal{O}_S\)-가군이다.

증명

Lemma 06VR에서 이 고차 직접상들이 적정임을 이미 보았다. 따라서 임의의 열린 \(\tau\)-피복 \(\{U_i \to S\}\)에 대해 \((R^if_*\mathcal{F})(U_i) = 0\)임을 보이면 충분하다. 그런데 \(R^if_*\mathcal{F}\)가 기생이라는 것은 Descent, Lemma 07AG에서 따른다.

적정 가군의 유도 범주 I

\(S\)를 스킴이라 하자. Section 06ZK에서 시작한 논의를 계속한다. 완전 함자 \(v\)는 함자 \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\] 를 유도하며, 유계 버전들에 대해서도 마찬가지이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{C} \subset \textit{Adeq}(\mathcal{O})\)를 기생 적정 가군들로 이루어진 충만한 부분범주라 하자. 그러면 \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))/D_\mathcal{C}(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) = D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\] 이며, 유계 버전들에 대해서도 마찬가지이다.

증명

Derived Categories, Lemma 06XM에서 바로 따른다.

다음으로 함자들 \[K^+(\QCoh(\mathcal{O}_S)) \longrightarrow K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+(\QCoh(\mathcal{O}_S)).\] 을 살펴보아 반대 방향의 서술을 찾는다. 어떤 경우에는 적정 가군의 유도 범주가 준연접 가군의 복합체들의 호모토피 범주를 보편 준동형들에 대해 국소화한 범주이다. \(S\)를 스킴이라 하자. 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체들의 사상 \(\varphi : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)가 보편 준동형이라는 것은 스킴의 모든 사상 \(f : T \to S\)에 대해 당김 \(f^*\varphi\)가 준동형이라는 뜻이다.

보조정리

\(U = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. 아래로 유계인 유도 범주 \(D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\)는 \(K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U))\)를 보편 준동형들의 곱셈적 부분집합에 대해 국소화한 범주이다.

증명

\(\varphi : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)가 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 복합체들의 사상이면, \(u\varphi : u\mathcal{F}^\bullet \to u\mathcal{G}^\bullet\)가 준동형일 필요충분조건은 \(\varphi\)가 보편 준동형인 것이다. 따라서 보편 준동형들의 모임 \(S\)는 Derived Categories, Lemma 05R4에 의해 삼각 구조와 양립하는 포화 곱셈계이다. 그러므로 \(S^{-1}K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U))\)가 존재하고 삼각 범주이다. Derived Categories, Proposition 05R6을 보라. Derived Categories, Lemma 05R7에 의해 표준 함자 \(can : S^{-1}K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D^{+}(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\)를 얻는다.

거의 정의에 의해 \(U\) 위의 모든 적정 가군은 준연접층 안으로 매장된다. Lemma 06VK를 보라. 따라서 Derived Categories, Lemma 05T6에 의해 \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})))\)가 주어지면 준동형 \(\mathcal{F}^\bullet \to u\mathcal{G}^\bullet\)가 존재하며, 여기서 \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U)))\)이다. 이는 \(can\)이 본질적으로 전사임을 증명한다.

마찬가지로 \(\mathcal{F}^\bullet\)과 \(\mathcal{G}^\bullet\)이 아래로 유계인 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 복합체라고 하자. \(D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\)에서 이들 사이의 사상은 \(f : u\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\)과 \(s : u\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\)의 쌍으로 이루어지며, 여기서 \(s\)는 준동형이다. 준동형 \(s' : \mathcal{H}^\bullet \to u\mathcal{E}^\bullet\)을 택하자. 그러면 \(s' \circ f : \mathcal{F} \to \mathcal{E}^\bullet\)와 보편 준동형 \(s' \circ s : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\)은 주어진 사상으로 보내지는 \(S^{-1}K^{+}(\QCoh(\mathcal{O}_U))\)의 사상을 준다. 이는 충실충만성 가운데 “충만” 부분을 증명한다. 충실성도 마찬가지로 증명한다.

보조정리

\(U = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. 포함 함자 \[\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/U)_\tau, \mathcal{O})\] 는 오른쪽 수반 \(A\)¹를 갖는다. 더욱이 모든 적정 가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 수반 사상 \(A(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)는 동형이다.

증명

Topologies, Lemma 021V(그리고 다른 위상들에 대해서도 마찬가지)에 의해 \((\textit{Aff}/U)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군을 다루어도 된다. \(\mathcal{P}\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 가군값 함자들의 범주, \(\mathcal{A}\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 범주라 하자. 포함 함자를 \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{P}\)로 나타내고, Lemma 06Z6의 구성을 \(Q : \mathcal{P} \to \mathcal{A}\)로 나타내자. 다음 가환 그림이 있다. [06ZT]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \ar[r]_-k \ar@{=}[d] & \textit{Mod}((\textit{Aff}/U)_\tau, \mathcal{O}) \ar[r]_-j & \textit{PMod}((\textit{Aff}/U)_\tau, \mathcal{O}) \ar@{=}[d] \\ \mathcal{A} \ar[rr]^-i & & \mathcal{P} } } \end{equation}\] 왼쪽 세로 등식은 Lemma 06ZJ이고, 오른쪽 세로 등식은 Section 06US에서 설명하였다. \(A(\mathcal{F}) = Q(j(\mathcal{F}))\)로 정의한다. \(j\)가 충실충만이므로 \(A\)가 포함 함자 \(k\)의 오른쪽 수반임이 곧바로 따른다. 또한 \(k\)도 충실충만이므로 마지막 주장은 형식적으로 따른다.

함자 \(A\)는 오른쪽 수반이므로 왼쪽 완전이다. 포함 함자가 완전이므로(Lemma 06VQ를 보라), \(A\)는 단사대상을 단사대상으로 보내며 범주 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)는 충분한 단사대상을 갖는다고 결론내린다. Homology, Lemma 0160와 Injectives, Theorem 01DU를 보라. 이는 (06ZT)의 동치와 Lemma 06Z7에서도 따른다.

보조정리

\(U = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. Lemma 06ZS에서와 같은 \(A\)에 대해 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)의 모든 대상 \(\mathcal{F}\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 \(R^pA(\mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

Lemma 06ZS의 증명에서와 같은 표기법을 사용하자. \((\textit{Aff}/U)_\tau\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주에서 단사 분해 \(k(\mathcal{F}) \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택한다. Cohomology on Sites, Lemma 06YK와 Lemma 06VM에 의해 복합체 \(j(\mathcal{I}^\bullet)\)은 완전하다. 한편 각 \(j(\mathcal{I}^n)\)은 Cohomology on Sites, Lemma 03FB에 의해 가군 전층 범주의 단사대상이다. 따라서 \(R^pA(\mathcal{F}) = R^pQ(j(k(\mathcal{F})))\)이다. 이제 결과는 Lemma 06ZI에서 따른다.

\(S\)를 스킴이라 하자. Section 06VF의 논의에 의해 매장 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \subset \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\)는 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)를 모든 \(\mathcal{O}\)-가군의 범주의 약한 Serre 부분범주로 나타낸다. 코호몰로지층이 적정인 복합체들의 삼각 부분범주를 \[D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \subset D(\mathcal{O}) = D(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}))\] 로 나타낸다. Derived Categories, Section 06UP를 보라. 표준 함자 \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\] 를 얻는다. Derived Categories, Equation (06UR)을 보라.

보조정리

\(U = \Spec(A)\)가 아핀 스킴이면 위 함자의 아래로 유계인 버전 [06VV]\[\begin{equation} D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \end{equation}\] 은 동치이다.

증명

\(A : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\)를 Lemma 06ZS에서 구성한 포함 함자의 오른쪽 수반이라 하자. \(A\)가 왼쪽 완전이고 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)가 충분한 단사대상을 가지므로 \(A\)는 오른쪽 유도함자 \(RA : D^+_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) 를 갖는다. \(RA\)가 (06VV)의 준역함자라고 주장한다. 이를 보이는 핵심 사실은 \(\mathcal{F}\)가 적정 가군이면 수반 사상 \(\mathcal{F} \to RA(\mathcal{F})\)가 Lemma 06ZU에 의해 준동형이라는 것이다.

구체적으로 보조정리를 완전히 증명하려면 다음을 보이면 충분하다.

1. \(\mathcal{F}^\bullet \in K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\)가 주어지면 표준 사상 \(\mathcal{F}^\bullet \to RA(\mathcal{F}^\bullet)\)는 준동형이다.

2. \(\mathcal{G}^\bullet \in K^+(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\)가 주어지면 표준 사상 \(RA(\mathcal{G}^\bullet) \to \mathcal{G}^\bullet\)은 준동형이다.

(1)과 (2)는 모두 Derived Categories, Lemma 015J의 스펙트럼 열 가운데 하나를 사용하는 스펙트럼 열 논증으로 핵심 사실에서부터 따른다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(U = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 적정 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 임의의 \(i \geq 0\)에 대해 자연 사상 \[\Ext^i_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 은 동형이다.

증명

정의에 의해 이 Ext 군들은 유도 범주에서의 Hom 집합으로 계산된다. 따라서 Lemma 06ZV에서 바로 따른다.

순수 확장

아핀 스킴의 큰 사이트 위의 준연접층들의 확장을 대수적으로 특징짓고자 한다. 이를 위해 다음 개념을 도입한다.

정의

\(A\)를 환이라 하자.

1. \(A\)-가군 \(P\)가 순수 사영이라는 것은 \(A\)-가군들의 모든 보편 완전열 \(0 \to K \to M \to N \to 0\)에 대해 열 \(0 \to \Hom_A(P, K) \to \Hom_A(P, M) \to \Hom_A(P, N) \to 0\)이 완전하다는 뜻이다.

2. \(A\)-가군 \(I\)가 순수 단사라는 것은 \(A\)-가군들의 모든 보편 완전열 \(0 \to K \to M \to N \to 0\)에 대해 열 \(0 \to \Hom_A(N, I) \to \Hom_A(M, I) \to \Hom_A(K, I) \to 0\)이 완전하다는 뜻이다.

순수 사영 가군들을 특징짓자.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자.

1. 한 가군이 순수 사영일 필요충분조건은 유한표현 \(A\)-가군들의 직합의 직합인자인 것이다.

2. 임의의 가군 \(M\)에 대해 \(P\)가 순수 사영인 보편 완전열 \(0 \to N \to P \to M \to 0\)이 존재한다.

증명

먼저 Algebra, Theorem 058K에 의해 유한표현 \(A\)-가군은 순수 사영이다. 따라서 유한표현 \(A\)-가군들의 직합의 직합인자는 실제로 순수 사영이다. \(M\)을 임의의 \(A\)-가군이라 하자. \(M = \colim_{i \in I} P_i\)를 유한표현 \(A\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰고 열 \[0 \to N \to \bigoplus P_i \to M \to 0.\] 을 생각하자. 임의의 유한표현 \(A\)-가군 \(P\)에 대해 사상 \(\Hom_A(P, \bigoplus P_i) \to \Hom_A(P, M)\)는 전사이다. 실제로 모든 사상 \(P \to M\)은 어떤 \(P_i\)를 통해 분해된다. 따라서 Algebra, Theorem 058K에 의해 이 열은 보편 완전하다. 이로써 (2)가 증명된다. 이제 \(M\)이 순수 사영이면 이 열은 분할되고, \(M\)이 \(\bigoplus P_i\)의 직합인자임을 알 수 있다.

순수 단사 가군들을 특징짓자.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \(M^\vee = \Hom_\mathbf{Z}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\)로 놓자.

1. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \(A\)-가군 \(M^\vee\)는 순수 단사이다.

2. \(A\)-가군 \(I\)가 순수 단사일 필요충분조건은 사상 \(I \to (I^\vee)^\vee\)가 분할되는 것이다.

3. 임의의 가군 \(M\)에 대해 \(I\)가 순수 단사인 보편 완전열 \(0 \to M \to I \to N \to 0\)이 존재한다.

증명

More on Algebra, Section 01D8에 있는 함자 \(M \mapsto M^\vee\)의 성질들을 별도의 언급 없이 사용하겠다. (1)은 \(\Hom_A(N, M^\vee) = \Hom_\mathbf{Z}(N \otimes_A M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\)이고 \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\)가 아벨 군의 범주에서 단사대상이므로 성립한다. 따라서 \(I \to (I^\vee)^\vee\)가 분할되면 \(I\)는 순수 단사이다. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 평가 사상 \(ev : M \to (M^\vee)^\vee\)가 보편 단사라고 주장한다. 이를 보려면 \(ev^\vee : ((M^\vee)^\vee)^\vee \to M^\vee\)가 오른쪽 역 \(ev' : M^\vee \to ((M^\vee)^\vee)^\vee\)을 가짐에 유의하자. 그러면 임의의 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 완전하고 충실한 함자 \({}^\vee\)를 사상 \(N \otimes_A M \to N \otimes_A (M^\vee)^\vee\)에 적용하면 \[\Hom_A(N, ((M^\vee)^\vee)^\vee) = \Big(N \otimes_A (M^\vee)^\vee\Big)^\vee \to \Big(N \otimes_A M\Big)^\vee = \Hom_A(N, M^\vee)\] 을 얻는데, 오른쪽 역의 존재에 의해 이는 전사이다. 따라서 주장이 성립한다. 이 주장은 (3)과 (2)의 조건이 필요함을 함의한다.

계속하기 전에 이 절의 나머지에서 자주 사용할 다음 관찰을 해 두자.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자.

1. \(L \to M \to N\)을 \(A\)-가군들의 보편 완전열이라 하고 \(K = \Im(M \to N)\)라 하자. 그러면 \(K \to N\)은 보편 단사이다.

2. 모든 보편 완전 복합체는 보편 완전한 짧은 완전열들로 분할할 수 있다.

증명

(1)의 증명. 임의의 \(A\)-가군 \(T\)에 대해 \(\otimes\)의 오른쪽 완전성에 의해 열 \(L \otimes_A T \to M \otimes_A T \to K \otimes_A T \to 0\)은 완전하다. 가정에 의해 열 \(L \otimes_A T \to M \otimes_A T \to N \otimes_A T\)도 완전하다. 두 사실을 결합하면 \(K \otimes_A T \to N \otimes_A T\)가 단사임을 알 수 있다.

(2)는 다음을 뜻한다. \(M^\bullet\)을 \(A\)-가군들의 보편 완전 복합체라 하고 \(K^i = \Ker(d^i) \subset M^i\)로 놓자. 그러면 짧은 완전열 \(0 \to K^i \to M^i \to K^{i + 1} \to 0\)은 보편 완전하다. 이는 (1)에서 바로 따른다.

정의

\(A\)를 환이라 하고, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자.

1. 순수 사영 분해 \(P_\bullet \to M\)은 각 \(P_i\)가 순수 사영인 보편 완전열 \[\ldots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0\] 이다.

2. 순수 단사 분해 \(M \to I^\bullet\)은 각 \(I^i\)가 순수 단사인 보편 완전열 \[0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \ldots\] 이다.

이 분해들은 보편 완전한 모든 왼쪽 또는 오른쪽 분해의 부류 안에서 통상적인 유일성 성질을 만족한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자.

1. 모든 \(A\)-가군은 순수 사영 분해를 갖는다.

\(M \to N\)을 \(A\)-가군의 사상이라 하자. \(P_\bullet \to M\)을 순수 사영 분해, \(N_\bullet \to N\)을 보편 완전 분해라 하자.

1. 주어진 사상 \[M = \Coker(P_1 \to P_0) \to \Coker(N_1 \to N_0) = N\] 을 유도하는 복합체의 사상 \(P_\bullet \to N_\bullet\)이 존재한다.

2. 같은 사상 \(M \to N\)을 유도하는 두 사상 \(\alpha, \beta : P_\bullet \to N_\bullet\)은 서로 호모토픽이다.

증명

(1)은 Lemma 06ZZ에서 바로 따른다. (2)와 (3)을 증명하기 전에 Lemma 0701에 의해 보편 완전 복합체 \(N_\bullet \to N \to 0\)을 보편 완전한 짧은 완전열 \(0 \to K_0 \to N_0 \to N \to 0\)과 \(0 \to K_i \to N_i \to K_{i - 1} \to 0\)들로 분할할 수 있음에 유의하자.

(2)의 증명. \(P_0\)가 순수 사영이므로 사상 \(P_0 \to M \to N\)을 올리는 사상 \(P_0 \to N_0\)을 찾을 수 있다. 이에 따라 \(K_0\)에 상을 갖는 사상 \(P_1 \to F_0 \to N_0\)을 얻는다. \(P_1\)이 순수 사영이므로 이를 사상 \(P_1 \to N_1\)로 올릴 수 있다. 이는 다시 \(N_0\)에서 영으로 가는, 즉 \(K_1\)에 상을 갖는 사상 \(P_2 \to P_1 \to N_1\)을 유도한다. 따라서 올려서 사상 \(P_2 \to N_2\)를 얻을 수 있다. 이 과정을 반복한다.

(3)의 증명. \(\alpha, \beta\)가 호모토픽임을 보이려면 차 \(\gamma = \alpha - \beta\)가 영 사상과 호모토픽임을 보이면 충분하다. \(\gamma_0 : P_0 \to N_0\)의 상은 \(K_0\)에 포함된다. 따라서 \(\gamma_0\)를 사상 \(h_0 : P_0 \to N_1\)로 올릴 수 있다. 사상 \(\gamma_1' = \gamma_1 - h_0 \circ d_{P, 1} : P_1 \to N_1\)을 생각하자. \(h_0\)의 선택에 의해 \(\gamma_1'\)의 상은 \(K_1\)에 포함된다. \(P_1\)이 순수 사영이므로 \(\gamma_1'\)를 사상 \(h_1 : P_1 \to N_2\)로 올릴 수 있다. 이 시점에서 \(\gamma_1 = h_0 \circ d_{F, 1} + d_{N, 2} \circ h_1\)이다. 이 과정을 반복한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자.

1. 모든 \(A\)-가군은 순수 단사 분해를 갖는다.

\(M \to N\)을 \(A\)-가군의 사상이라 하자. \(M \to M^\bullet\)을 보편 완전 분해, \(N \to I^\bullet\)을 순수 단사 분해라 하자.

1. 주어진 사상 \[M = \Ker(M^0 \to M^1) \to \Ker(I^0 \to I^1) = N\] 을 유도하는 복합체의 사상 \(M^\bullet \to I^\bullet\)이 존재한다.

2. 같은 사상 \(M \to N\)을 유도하는 두 사상 \(\alpha, \beta : M^\bullet \to I^\bullet\)은 서로 호모토픽이다.

증명

이 보조정리는 Lemma 0703의 쌍대이다. 모든 화살표를 뒤집어야 한다는 점을 제외하면 증명은 같다.

위의 내용을 사용하여 순수 확장군을 다음과 같이 정의할 수 있다. \(A\)를 환이라 하고 \(M\), \(N\)을 \(A\)-가군이라 하자. 순수 단사 분해 \(N \to I^\bullet\)을 택한다. Lemma 0704에 의해 복합체 \[\Hom_A(M, I^\bullet)\] 는 호모토피까지 잘 정의된다. 따라서 그 \(i\)번째 코호몰로지 가군은 \(M\)과 \(N\)의 잘 정의된 불변량이다.

정의

\(A\)를 환이라 하고 \(M\), \(N\)을 \(A\)-가군이라 하자. \(i\)번째 순수 확장 가군 \(\text{Pext}^i_A(M, N)\)은 \(N\)의 순수 단사 분해 \(I^\bullet\)에 대한 복합체 \(\Hom_A(M, I^\bullet)\)의 \(i\)번째 코호몰로지 가군이다.

주의: \(A\)-가군들의 완전열이 순수 확장군들의 긴 완전열을 유도한다는 명제는 참이 아니다. (이를 위해서는 보편 완전열이 필요하다.) 위의 내용에서 명백히 따르는 몇 가지 사실을 모아 두자.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자.

1. \(N\)이 순수 단사이면 \(i > 0\)에 대해 \(\text{Pext}^i_A(M, N) = 0\)이다.

2. \(M\)이 순수 사영이면 \(i > 0\)에 대해 \(\text{Pext}^i_A(M, N) = 0\)이다. 특히 \(M\)이 유한표현 \(A\)-가군이면 그러하다.

3. \(\text{Pext}^i_A(M, N)\)은 \(M\)의 순수 사영 분해 \(P_\bullet\)에 대한 복합체 \(\Hom_A(P_\bullet, N)\)의 \(i\)번째 코호몰로지 가군이기도 하다.

증명

(3)을 보이기 위해 이중복합체 \[A^{\bullet, \bullet} = \Hom_A(P_\bullet, I^\bullet)\] 를 생각하자. 각 행은 차수 \(0\)을 제외하면 완전하고, 그 차수에서의 코호몰로지는 \(\Hom_A(M, I^q)\)이다. 각 열은 차수 \(0\)을 제외하면 완전하고, 그 차수에서의 코호몰로지는 \(\Hom_A(P_p, N)\)이다. 따라서 Homology, Section 012X에서 이 복합체에 딸린 두 스펙트럼 열이 퇴화하여 원하는 등식을 준다.

큰 사이트 위 준연접층의 고차 Ext

순수 단사 가군 \(I\)에 딸린 가군값 함자 \(\underline{I}\)는 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 범주에서 단사대상을 준다. 주의: 순수 사영 가군이 적정 함자들의 범주에서 사영대상을 준다는 명제는 참이 아니다. 사영대상은 많이 존재하며, 바로 선형 적정 함자들이 그러하다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)의 단사대상들은 정확히 순수 단사 \(A\)-가군 \(I\)에 대한 함자 \(\underline{I}\)들이다.

증명

\(I\)를 \(\mathcal{A}\)의 단사대상이라 하자. 어떤 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 매장 \(I \to \underline{M}\)을 택하자. \(I\)가 단사이므로 어떤 가군값 함자 \(F\)에 대해 \(\underline{M} = I \oplus F\)이다. 그러면 \(M = I(A) \oplus F(A)\)이고, 따라서 \(I = \underline{I(A)}\)이다. 이로부터 모든 단사대상이 어떤 \(A\)-가군 \(I\)에 대한 \(\underline{I}\)의 꼴임을 알 수 있다. 모든 보편 완전열 \(0 \to M \to N \to L \to 0\)이 \(\mathcal{A}\)의 완전열 \(0 \to \underline{M} \to \underline{N} \to \underline{L} \to 0\)을 유도하므로 가군 \(I\)는 순수 단사여야 한다.

끝으로 \(I\)가 순수 단사 \(A\)-가군이라고 하자. \(\mathcal{A}\)의 단사대상 안으로의 매장 \(\underline{I} \to J\)를 택한다(Lemma 06Z7를 보라). 위에서 어떤 순수 단사 \(A\)-가군 \(I'\)에 대해 \(J = \underline{I'}\)임을 보았다. \(\underline{I} \to \underline{I'}\)가 단사이므로 사상 \(I \to I'\)는 보편 단사이다. \(I\)에 관한 가정에 의해 이는 분할된다. 따라서 \(\underline{I}\)는 \(J = \underline{I'}\)의 직합인자이고, 그러므로 범주 \(\mathcal{A}\)의 단사대상이다.

\(U = \Spec(A)\)를 아핀 스킴, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. \(U\) 위의 준연접층 \(\widetilde{M}\)에 딸린 \((\Sch/U)_\tau\) 위의 준연접 \(\mathcal{O}\)-가군을 \(M^a\)로 나타내겠다. 이제 다음 보조정리를 서술하는 데 필요한 표기법이 모두 갖추어졌다.

보조정리

\(U = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하고, \(M\), \(N\)을 \(A\)-가군이라 하자. 모든 \(i\)에 대해 \(M\)과 \(N\)에 함자적인 표준 동형 \[\Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(M^a, N^a) = \text{Pext}^i_A(M, N)\] 이 있다.

증명

오른쪽에서 왼쪽으로 가는 표준 화살표를 구성하자. 구체적으로 \(N \to I^\bullet\)이 순수 단사 분해이면 \(M^a \to (I^\bullet)^a\)는 (적정) \(\mathcal{O}\)-가군의 완전 복합체이다. 따라서 \(\text{Pext}^i_A(M, N)\)의 임의의 원소는 \(D(\mathcal{O})\)의 사상 \(N^a \to M^a[i]\), 즉 왼쪽 군의 원소를 준다.

이 사상이 동형임을 증명하기 위해 Lemma 06ZW에 따라 \(\Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(M^a, N^a)\)를 \(\Ext^i_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(M^a, N^a)\)로 바꾸어도 됨에 유의하자. \(\mathcal{A}\)를 \(\textit{Alg}_A\) 위의 적정 함자들의 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)는 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\)와 동치임을 이미 보았다. Lemma 06ZJ 및 Lemma 06ZS의 증명을 보라. 따라서 이제 \[\Ext^i_\mathcal{A}(\underline{M}, \underline{N}) = \text{Pext}^i_A(M, N)\] 을 증명하면 충분하다. 그러나 이는 순수 단사 분해 \(N \to I^\bullet\)이 \(\mathcal{A}\)에서 \(\underline{N}\)의 단사 분해와 정확히 대응하므로 Lemma 0708에서 명백히 따른다.

적정 가군의 유도 범주 II

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{O}_S\)를 \(S\)의 구조층, \(\mathcal{O}\)를 큰 사이트 \((\Sch/S)_\tau\)의 구조층이라 하자. Descent, Remark 070R에서 환 달린 사이트의 사상 [070U]\[\begin{equation} f : ((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \longrightarrow (S_{Zar}, \mathcal{O}_S). \end{equation}\] 을 구성하였다. 앞 절들에서 함자 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_S)\)가 적정층을 준연접층으로 보내고 완전 함자 \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\)를 유도함을 보았다. 실제로 \(f_* = v\)는 동치 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})/\mathcal{C} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\)를 유도하며, 여기서 \(\mathcal{C}\)는 기생 적정 가군들의 부분범주이다. 더욱이 함자 \(f^*\)는 준연접 가군을 적정 가군으로 보내며, \(v\)의 왼쪽 수반인 함자 \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\)를 유도한다.

\(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\)와 \(D_\QCoh(S)\) 사이에도 매우 비슷한 관계가 있다. 먼저 범주 \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\)가 선택한 위상에 의존하지 않는 이유를 설명한다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\tau, \tau' \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. 구조층 \(\mathcal{O}\)를 \((\Sch/S)_\tau\)와 \((\Sch/S)_{\tau'}\) 위의 층으로 보았을 때 이를 각각 \(\mathcal{O}_\tau\)와 \(\mathcal{O}_{\tau'}\)로 나타내자. 그러면 \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}_\tau)\)와 \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}_{\tau'})\)는 표준적으로 동형이다. 이는 Cohomology on Sites, Lemma 07A8에서 따른다. 구체적으로 \(\tau\)가 위상 \(\tau'\)보다 강하다고 가정하고, \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_{fppf}\)라 하며, \(\mathcal{B}\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 모임이라 하자. 가정 (1)과 (2)는 위에서 보았다. 가정 (3)은 명백하고, 가정 (4)는 Lemma 06VM에서 따른다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. (070U)의 사상 \(f\)는 서로 수반인 함자 \(Rf_* : D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D_\QCoh(S)\) 및 \(Lf^* : D_\QCoh(S) \to D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\)를 유도한다. 더욱이 \(Rf_* Lf^* \cong \text{id}_{D_\QCoh(S)}\)이다.

증명을 개략적으로 제시하자. Remark 070V에 의해 위상 \(\tau\)가 Zariski 위상이라고 가정해도 된다. \(\mathcal{O}\)-가군 위의 비유계 전체 유도함자 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)의 존재 및 이들의 수반성을 사용한다. Cohomology on Sites, Lemma 07A6를 보라. 이 경우 \(f_*\)는 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 부분범주 \(S_{Zar}\)로의 제한일 뿐이다. 따라서 \(Rf_* = f_*\)가 \(Rf_* : D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D_\QCoh(S)\)를 유도함은 명백하다. \(\mathcal{G}^\bullet\)을 \(D_\QCoh(S)\)의 대상이라 하자. 항별 분할 단사인 전이 사상을 갖는, 위로 유계인 평탄 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체들의 계 \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\)와 그림 \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] 을 택할 수 있다. 이들은 Derived Categories, Lemma 06XX에 열거된 성질 (1), (2), (3)을 만족하며, 여기서 \(\mathcal{P}\)는 평탄 \(\mathcal{O}_S\)-가군들의 모임이다. 그러면 \(Lf^*\mathcal{G}^\bullet\)은 \(\colim f^*\mathcal{K}_n^\bullet\)로 계산된다. Cohomology on Sites, Lemma 0G7E과 06YY를 보라(우리 사이트들은 Étale Cohomology, Lemma 06VX에 의해 충분한 점을 갖는다). 각 \(i\)에 대해 \(H^i(Lf^*\mathcal{G}^\bullet) = \colim H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\)가 적정임을 보여야 한다. Lemma 06VQ에 의해 각 \(H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\)가 적정임을 보이면 충분하다.

\(H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\)의 적정성은 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(S = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(S\)가 아핀이므로 \(D_\QCoh(S) = D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\)이다. Derived Categories of Schemes, Section 06YZ의 논의를 보라. 따라서 준동형 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet\)이 존재하며, 여기서 \(\mathcal{F}^\bullet\)은 위로 유계인 평탄 준연접 가군의 복합체이다. 그러면 \(f^*\mathcal{F}^\bullet \to f^*\mathcal{K}_n^\bullet\)은 준동형이고 \(f^*\mathcal{F}^\bullet\)의 코호몰로지층들은 적정이다.

마지막 주장 \(Rf_* Lf^* \cong \text{id}_{D_\QCoh(S)}\)은 위 함자들의 명시적 서술에서 따른다. (평이하게 말하면, \(\mathcal{F}\)가 준연접이고 \(p > 0\)이면 \(L_pf^*\mathcal{F}\)는 기생 적정 가군이다.)

주

위의 Remark 070W는 유도 범주들의 동치 \[D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O}) \longrightarrow D_\QCoh(S)\] 가 있음을 함의한다. 여기서 \(\mathcal{C}\)는 기생 적정 가군들의 범주이다. 실제로 \(D_\mathcal{C}(\mathcal{O})\)가 \(Rf_*\)의 핵임은 명백하므로 표시된 함자를 얻는다. \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\)의 임의의 대상 \(X\)에 대해 사상 \(Lf^*Rf_*X \to X\)는 \(D_\QCoh(S)\)에서 준동형으로 보내진다. 따라서 \(Lf^*Rf_*X \to X\)는 \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O})\)에서 동형이다. 끝으로 \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\)의 대상 \(X, Y\)에 대해 사상 \[Rf_* : \Hom_{D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O})}(X, Y) \to \Hom_{D_\QCoh(S)}(Rf_*X, Rf_*Y)\] 은 전단사이다. 위의 비고에 의해 \(Lf^*\)가 그 역을 주기 때문이다.