서론
이 장은 기본적으로 스택 프로젝트에 넣고 싶은 것들을 나열한 목록일 뿐이다. 스택 프로젝트에 자료를 계속 추가하고 있으므로, 이 목록은 언제나 스택 프로젝트의 현재 상태보다 어느 정도 뒤처져 있다. 사실 추가해야 할 것들을 목록으로 만들려 한 것 자체가 실수였을지도 모른다. 이 목록을 최신 상태로 유지하는 것은 불가능해 보이기 때문이다.
마지막 갱신: 2017년 8월 31일 목요일.
규약
이 문서에서 사용하는 규약을 짧게 나열한 장이 있어야 한다. 그러한 장은 이미 존재한다. 『규약』의 절 0003을 보라. 하지만 그곳에는 훨씬 더 많은 내용을 추가할 수 있다. 특히 “숨겨진” 규약과 암묵적인 가정을 찾아 그곳에 기록하면 유용할 것이다.
사이트와 토포스
사이트와 층을 다루는 장이 있다. 『사이트와 층』의 절 00V0을 보라. 환 달린 사이트(및 토포스)와 그 위의 가군을 다루는 장도 있다. 『사이트 위의 가군』의 절 03A5을 보라. 이러한 상황에서의 코호몰로지를 다루는 장도 있다. 『사이트 코호몰로지』의 절 01FR을 보라. 하지만 특히 코호몰로지를 다루는 장에는 훨씬 더 많은 내용을 추가할 수 있다.
스택
(추상적) 스택을 다루는 장이 있다. 『스택』의 절 0267을 보라. 다음과 같이 개선하면 좋을 것이다.
“스택화”에 관한 논의를 개선한다.
스택화의 예를 제시한다.
전반적으로 더 많은 예를 제시한다.
거브에 관한 논의를 개선한다.
아직 추가되지 않은 결과의 예를 하나 들자. 아벨 군층 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{C}\) 위에 주어졌을 때, \(\mathcal{F}\)를 밴드로 갖는 거브들의 동치류 집합은 \(H^2(\mathcal{C}, \mathcal{F})\)와 일대일 대응한다.
단체적 방법
단체적 방법을 다루는 장이 있다. 『단체적 방법』의 절 0163을 보라. 이 장은 검토하고 개선해야 한다. 단체적 호모토피(조합적 호모토피라고도 한다)와 Kan 복합체 사이의 관계에 관한 논의를 개선해야 한다. 단체적 공간을 다루는 장도 있다. 『단체적 대수공간』의 절 09VJ을 보라. 이 장에서는 단체적 위상 공간, 단체적 사이트, 단체적 토포스를 간략히 논한다. “단체적 대수기하학”을 더 발전시켜 단체적 스킴(또는 단체적 대수공간이나 단체적 대수적 스택)을 논하고, 기하학적 문제와 그 코호몰로지 등을 다룰 수 있다.
스킴의 코호몰로지
준연접 층의 코호몰로지를 다루는 장은 이미 있다. 『스킴의 코호몰로지』의 절 01X7을 보라. 스킴 위의 준연접 층의 유도 범주를 논하는 장도 있다. 『스킴의 유도 범주』의 절 08CV을 보라. 뇌터 스킴의 쌍대성과 스킴의 사상에 대한 상대 쌍대성을 논하는 장도 있다. 『스킴의 쌍대성』의 절 0DWF을 보라. 또한 스킴의 에탈 코호몰로지와 결정 코호몰로지를 다루는 장들도 있다. 그러나 이 장들에 있는 내용은 대부분 매우 기초적이며, 훨씬 더 많은 내용을 추가할 수 있고 또 추가해야 한다.
Schlessinger 방식의 변형 이론
이 내용을 다루는 장이 있다. 『형식 변형 이론』의 절 06G8을 보라. 일반 이론의 예들을 논하는 장도 있다. 『변형 문제』의 절 0DVL을 보라. 또한 『변형 이론』의 절 08KX에서는 환(및 가군)의 변형, 환 달린 공간(및 가군층)의 변형, 환 달린 토포스(및 가군층)의 변형을 논한다. 이 장에서는 단순 코탄젠트 복합체를 사용하여 장애, 일차 변형, 무한소 자기동형을 기술한다. 이 내용은 뒤쪽 장들에서 모듈라이 스택의 대수성을 밝히는 데 몇 차례 응용되었다. 완전한 코탄젠트 복합체를 논하는 장도 있다. 『코탄젠트 복합체』의 절 08P6을 보라.
대수적 스택의 정의
대수적 스택이란 fppf 위상을 갖춘 스킴의 범주 위의 준군 스택으로서, 대각사상이 대수공간으로 표현가능하고 어떤 스킴에서 오는 전사 매끄러운 사상의 공역이 되는 것을 말한다. 『대수적 스택』의 절 026N을 보라. “Deligne-Mumford 스택”이란 어떤 스킴과 그 스킴에서 해당 스택으로 가는 전사 에탈 사상이 존재하는 대수적 스택을 말한다. 이는 Deligne과 Mumford의 논문 [DM]에서와 같다. 『대수적 스택』의 정의 03YO를 보라. “Artin 스택”이라는 용어는 Artin의 논문들에 나오는 종류의 스택을 가리키는 데 쓰기로 한다. [ArtinI], [ArtinII], [ArtinVersal]을 보라. 한 가지 가능한 정의는, 대수적 스택 \(\mathcal{X}\)가 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에 있고 \(\mathcal{X} \to S\)가 국소적으로 유한형인 것1을 Artin 스택이라 하는 것이다.
스킴, 대수공간, 대수적 스택의 예
현재 스택 프로젝트에는 모듈라이 스택과 그 성질을 논하는 장이 두 개 있다. 『모듈라이 스택』의 절 0DLU과 『곡선의 모듈라이』의 절 0DMH을 보라. 시간이 지나면서 다음과 같은 예를 더 추가하려 한다.
\(\mathcal{A}_g\), 즉 종수 \(g\)인 주극성 아벨 스킴,
\(\mathcal{A}_1 = \mathcal{M}_{1, 1}\), 즉 \(1\)점이 표시된 매끄러운 사영 종수 \(1\) 곡선,
\(\mathcal{M}_{g, n}\), 즉 매끄러운 사영 종수 \(g\) 곡선으로서 서로 다른 표지된 점 \(n\)개를 갖는 것,
\(\overline{\mathcal{M}}_{g, n}\), 즉 점 \(n\)개가 표시된 안정적인 마디 사영 종수 \(g\) 곡선,
\(\SheafHom_S(\mathcal{X}, \mathcal{Y})\), 즉 사상들의 모듈라이 (스택 \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\)와 바탕 스킴 \(S\)에 적절한 조건을 둔다),
\(\textit{Bun}_G(X) = \SheafHom_S(X, BG)\), 즉 기하 Langlands 프로그램의 \(G\)-다발 스택(스킴 \(X\), 군 스킴 \(G\), 바탕 스킴 \(S\)에 적절한 조건을 둔다),
\(\Picardstack_{\mathcal{X}/S}\), 즉 바탕 스킴(또는 공간) 위의 대수적 스택에 결부된 Picard 스택.
더 일반적으로 말해, 스택 프로젝트에는 기하학적으로 의미 있는 예가 다소 부족하다.
대수적 스택의 성질
기본 이론이 이제 대부분 갖추어졌으므로, 이는 아마 작업하기 더 쉬운 프로젝트 가운데 하나일 것이다. 물론 이러한 것들은 실제로 스택의 사상의 성질이다. 매끄러운 인자를 무시하고 특이점 등을 정의할 수 있다. 연결된 정규 스택이 기약임을 증명하는 등의 일을 할 수 있다.
대수적 스택의 lisse-étale 사이트
이는 『대수적 스택의 코호몰로지』의 절 0786에서 도입되었다. 대수적 스택의 \(1\)-사상에 대해 함자적이지 않음을 보여 주는 예는 『예』의 절 07BF에서 논한다. 물론 이에 관해 훨씬 더 많은 이야기를 할 수 있지만, 가능한 한 “큰” 에탈 사이트를 사용하여 명제를 증명하는 것이 매우 유용하다는 사실이 드러난다.
늘 알고 싶었지만 감히 묻지 못했던 것들
되풀이해서 사용하는 유용한 보조정리 가운데 문헌에서 따로 언급되지 않거나 참고문헌을 찾기 쉽지 않은 것들이 아주 많을 것이다. 기법 모음이다.
예: 스킴의 두 준군 \(R\Rightarrow U\)와 \(R' \Rightarrow U'\)가 주어졌을 때, 스킴의 준군만을 사용하여 \(1\)-사상 \([U/R] \to [U'/R']\)을 갖는다는 것은 정확히 무슨 뜻인가?
스택 위의 준연접 층
이들은 『대수적 스택의 코호몰로지』의 절 073Q에서 정의하고 논한다. 가군의 유도 범주는 『스택의 유도 범주』의 절 08MX에서 논한다. 이 장들에는 훨씬 더 많은 내용을 추가할 수 있다.
평탄성과 매끄러움
스킴에서 오는 평탄 전사를 갖는 것이 매끄러운 전사 조건을 대신한다는 Artin의 정리. 이 결과는 이제 『표현가능성의 판정 조건』의 정리 06DC로 수록되어 있다.
Artin의 표현가능성 정리
이는 『Artin의 공리』의 절 07T0에서 논한다. 응용도 하나 있다. 『Quot 공간과 Hilbert 공간』의 정리 08WC를 보라. 응용이 훨씬 더 많이 있어야 하며, 이 장 자체도 정리해야 한다.
DM 스택은 스킴으로 유한 피복된다
대수공간에 대한 대응하는 결과는 이미 있다. 『대수공간의 극한』의 절 0ACX을 보라. 빠져 있는 것은 DM 스택과 준-DM 스택에 대한 결과이다.
고유성에 관한 Martin Olsson의 논문
이 논문은 고유성의 두 개념이 같음을 증명한다. 이 논문의 첫 부분은 이제 대수적 스택에 대한 Chow의 보조정리라는 형태로 수록되어 있다. 『스택의 사상 심화』의 정리 0CQ8를 보라. 그 결과, 어떤 경우에는 대수적 스택의 고유성에 대한 값 판정법을 확인할 때 DVR만 사용해도 충분함을 보인다. 『스택의 사상 심화』의 절 0CQL을 보라.
고유 사상에 의한 연접층의 직상
이제 대수적 스택에 대한 Chow의 보조정리가 있으므로 이 주제에 관한 작업을 시작할 수 있다. 앞 절을 보라.
Keel과 Mori
[K-M]을 보라. 이들의 결과는 『스택의 사상 심화』의 절 0DUK에 추가되었다.
여기에 더 추가하기
사실 아니다. 스택 프로젝트 자체의 일부로 이 목록을 시작해서는 안 되었다! 다른 곳에 할 일 목록이 하나 있으며, 그것은 훨씬 쉽게 갱신할 수 있다.