대수공간의 사상에 관한 보충

서론

이 장에서는 대수공간의 사상들의 성질에 대한 연구를 계속한다. 기본 참고문헌은 [Kn]이다.

규약

모든 스킴은 큰 fppf 자리 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있다고 항상 가정한다. 또한 고려하는 모든 환 \(A\)는 \(\Spec(A)\)가 이 큰 자리의 대상과 (동형이라는 의미에서) 같다는 성질을 가진다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 이 장과 다음 장에서는 \(X \times_S X\)를 \(X\)와 자기 자신의 곱 (\(S\) 위 대수공간들의 범주에서 취한 곱)에 대한 표기로 쓰며, \(X \times X\)는 쓰지 않을 것이다.

근적 사상

스킴의 사상과 달리, 근적 사상은 보편 단사 사상과 같은 개념이 아니다. 실제로 근적이라는 조건이 조금 더 강하다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 근적이라는 것은 다음을 뜻한다. 모든 사상 \(\Spec(K) \to Y\)에 대하여, 여기서 \(K\)는 체이고, 축약 \((\Spec(K) \times_Y X)_{red}\)가 공집합이거나 \(K\)의 순수 비분리 체 확대의 스펙트럼으로 표현 가능하다.

보조정리

대수공간의 근적 사상은 보편 단사이다.

증명

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 근적 사상이라 하자. 정의로부터 사상 \(\Spec(K) \to Y\)가 주어졌을 때 이를 \(X\)로 가는 사상으로 올리는 방법이 많아야 하나임은 분명하다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 040X에 의해 \(f\)는 보편 단사이다.

예

이제 보편 단사라는 조건과 근적이라는 조건은 동치가 아니다. 예를 들어 Spaces, Example 02Z6의 사상 \[X = [\Spec(\overline{\mathbf{Q}})/ \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})] \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{Q})\] 은 보편 단사이지만 위 의미에서 근적이지 않다.

그럼에도 역함의가 성립하는 경우가 많다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 보편 단사 사상이라 하자.

1. \(f\)가 decent이면 \(f\)는 근적이다.

2. \(f\)가 준분리이면 \(f\)는 근적이다.

3. \(f\)가 국소 분리이면 \(f\)는 근적이다.

증명

대수공간의 사상들의 성질 \(\mathcal{P}\)가 밑변환과 합성에 대해 안정적이고 모든 폐몰입에 대하여 성립한다고 하자. \(f : X \to Y\)가 \(\mathcal{P}\)를 가지며 보편 단사라고 가정하자. 그러면 Definition 0481의 상황에서 사상 \((\Spec(K) \times_Y X)_{red} \to \Spec(K)\)는 보편 단사이고 \(\mathcal{P}\)를 가진다. 따라서 \[\mathcal{P} + \text{universally injective} \Rightarrow \text{radicial}\] 을 증명하는 문제는 다음 문제로 환원된다. 체 위의 공집합이 아닌 축약 대수공간 \(X\)의 구조 사상 \(X \to \Spec(K)\)가 보편 단사이고 \(\mathcal{P}\)를 가지면, 이 대수공간이 체의 스펙트럼으로 표현 가능함을 보여야 한다. 실제로 이 경우 \(X \to \Spec(K)\)는 스킴의 사상이 되고, 스킴의 사상에 대하여 근적과 보편 단사가 동치이므로 결론을 얻는다. Morphisms, Lemma 01S4를 보라.

(1)을 증명하자. \(f\)가 decent이고 보편 단사라고 가정하자. Decent Spaces, Lemmas 03L0, 03L1, 03M5에 의해 (몰입이 decent임을 확인하기 위해 마지막 보조정리를 쓴다) 첫 문단의 논의가 적용된다. \(X\)를 체 \(K\) 위의 공집합이 아닌 decent 축약 대수공간이며 보편 단사라고 하자. 특히 \(|X|\)는 한원소 집합이다. Decent Spaces, Lemma 047Z에 의해 \(X \cong \Spec(L)\)임을 얻으며, 여기서 \(K \subset L\)은 어떤 확대이다. 이는 원하는 결론이다.

준분리 사상은 decent이다. Decent Spaces, Lemma 03M5를 보라. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다.

(3)을 증명하자. 분리 공리들은 밑변환과 합성에 대해 안정적이고, 폐몰입은 분리 사상임을 상기하자. Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL, 03KQ, 042R을 보라. 따라서 증명의 첫 문단의 논의가 적용된다. \(X\)를 체 \(K\) 위의 축약 대수공간이며 보편 단사이고 국소 분리라고 하자. 특히 \(|X|\)는 한원소 집합이므로 \(X\)는 준콤팩트이다. Properties of Spaces, Lemma 03E4를 보라. 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 찾을 수 있고 \(U\)는 아핀이다. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. 스킴의 사상 \[j : U \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(K)} U\] 을 생각하자. \(X \to \Spec(K)\)가 보편 단사이므로 \(j\)는 전사이고, \(X \to \Spec(K)\)가 국소 분리이므로 \(j\)는 몰입이다. 전사 몰입은 폐몰입이다. Schemes, Lemma 01IQ를 보라. 따라서 \(R = U \times_X U\)는 아핀 스킴의 폐부분스킴이므로 아핀이다. 특히 \(R\)은 준콤팩트이다. 그러므로 \(X = U/R\)은 준분리이고, 결과는 (2)에서 따른다.

주

\(X \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하자. (근적 사상의) 어떤 응용에서는 모든 \(\Spec(K) \to Y\)에 대하여, 여기서 \(K\)는 체이고, 다음을 요구하는 것으로 충분하다.

1. 공간 \(|\Spec(K) \times_Y X|\)는 한원소 집합이다.

2. 단사 사상 \(\Spec(L) \to \Spec(K) \times_Y X\)가 존재한다.

3. \(K \subset L\)은 순수 비분리이다.

나중에 필요하면 이러한 사상을 약하게 근적이라고 부를 수도 있다. 예를 들어 \(X \to Y\)가 전사이고 약하게 근적이면 \(X(k) \to Y(k)\)는 모든 대수적으로 닫힌 체 \(k\)에 대하여 전사이다. Example 0483의 사상을 밑변환한 \(X_{\overline{\mathbf{Q}}} \to \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\)는 약하게 근적이지만 근적이지 않다. Lemma 0484의 유사 명제는 다음과 같다. \(X \to Y\)가 성질 (\(\beta\))를 가지며 보편 단사이면 약하게 근적이다 (증명은 생략한다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. 모든 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대하여 사상 \(|X \times_Y V| \to |V|\)는 단사이다.

그러면 \(f\)는 보편 단사이다.

증명

이 문제는 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이다. 이는 Morphisms of Spaces, Lemma 03MX에서 따른다. 따라서 \(Y\)가 스킴이라고 가정할 수 있다. 그러면 특히 \(Y\)는 decent이고, Decent Spaces, Lemma 0ACB에 의해 \(f\)는 국소 준유한이다. \(y \in Y\)를 한 점이라 하고 \(X_y\)를 스킴론적 올이라 하자. \(X_y\)가 공집합이 아니라고 가정하자. Spaces over Fields, Lemma 06S0에 의해 \(X_y\)는 \(\kappa(y)\) 위에서 국소 준유한인 스킴이다. \(|X_y| \subset |X|\)는 \(|X| \to |Y|\)의 \(y\) 위 올이므로, \(X_y\)는 유일한 점 \(x\)를 가진다. 같은 사실은 \(X_y \times_{\Spec(\kappa(y))} \Spec(k)\)에도 성립한다. 여기서 \(k/\kappa(y)\)는 임의의 유한 분리 확대이다. 실제로 \(k\)를 \(y\) 위에 놓이는, \(Y\) 위의 에탈 스킴의 한 점의 잉여체로 실현할 수 있다. More on Morphisms, Lemma 02LF를 보라. 따라서 Varieties, Lemma 0389에 의해 \(X_y\)는 기하적으로 연결이다. 이는 유한 확대 \(\kappa(x)/\kappa(y)\)가 순수 비분리임을 함의한다.

(이제 \(Y\)가 스킴인 경우에) 모든 \(y \in Y\)에 대하여 올 \(X_y\)가 공집합이거나, \((X_y)_{red} = \Spec(\kappa(x))\)이고 \(\kappa(y) \subset \kappa(x)\)가 순수 비분리임을 얻었다. 따라서 \(f\)는 근적이고 (몇 가지 세부사항은 생략한다), Lemma 0482에 의해 보편 단사이다.

단사 사상

이 절은 Morphisms of Spaces, Section 042K의 계속이다. 대수공간의 모든 단사 사상이 표현 가능한지 알고 싶다. 이것이 참임을 증명할 수 있거나 반례를 알고 있다면 stacks.project@gmail.com으로 전자우편을 보내기 바란다. 지금은 다음 경우에 알려져 있다.

1. 국소 유한형인 단사 사상 (더 일반적으로 모든 분리 국소 준유한 사상은 Morphisms of Spaces, Lemma 0418에 의해 표현 가능하고, 국소 유한형인 단사 사상은 Morphisms of Spaces, Lemma 0463에 의해 국소 준유한이다),

2. 공역이 0차원 국소환들의 스펙트럼들의 분리합인 경우 (Decent Spaces, Lemma 06RZ),

3. 평탄 단사 사상 (아래를 보라).

보조정리

대수공간의 평탄 단사 사상은 스킴으로 표현 가능하다.

증명

\(f : X \to Y\)를 대수공간의 평탄 단사 사상이라 하자. \(f\)가 표현 가능함을 증명하려면 \(X \times_Y V\)가 스킴임을 보여야 한다. 여기서 \(V\)는 \(Y\)로 사상되는 임의의 스킴이다. 스킴이라는 성질은 국소적이므로 (Properties of Spaces, Lemma 03JH), \(V\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 따라서 \(Y = \Spec(B)\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 다음으로 \(X\)를 준콤팩트 열린 부분공간으로 바꾸어 \(X\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. \(X\)는 분리이다. 실제로 \(X \to X \times_{\Spec(B)} X\)가 동형이다. Limits of Spaces, Lemma 0B80을 적용하여, \(B\)가 국소환이고 \(X \to \Spec(B)\)가 평탄 단사 사상이며 점 \(x \in X\)가 존재하여 \(\Spec(B)\)의 닫힌점으로 사상되는 경우로 환원한다. 그러면 분리 대수공간의 평탄 사상을 따라 일반화가 올려지므로 \(X \to \Spec(B)\)는 전사이다. Decent Spaces, Lemma 0B7W을 보라. 따라서 \(\{X \to \Spec(B)\}\)는 fpqc 덮개이다. \(X \to \Spec(B)\)는 \(X \to \Spec(B)\)에 의한 밑변환 뒤 동형이 되는 사상이다. 그러므로 fpqc 내림에 의해 동형이다. Descent on Spaces, Lemma 041Y을 보라.

다음 명제는 (어떤 의미에서) 위 보조정리의 변형이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간의 준콤팩트 단사 사상이라 하고, 모든 \(T \to Y\)에 대하여 사상 \[\mathcal{O}_T \to f_{T,*}\mathcal{O}_{X \times_Y T}\] 이 단사라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 동형이다 (따라서 스킴으로 표현 가능하다).

증명

이 문제는 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이므로 \(Y = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(X\)는 준콤팩트이고, 아핀 스킴 \(U = \Spec(B)\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택할 수 있다 (Properties of Spaces, Lemma 03H6). \(U \times_X U = \Spec(B \otimes_A B)\)임을 주목하자. 따라서 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주는 가군 내림 데이터의 범주 \(DD_{B/A}\)와 동치이다. 이 내림 데이터는 \(A \to B\)에 대한 것이다. Properties of Spaces, Proposition 03M3, Descent, Definition 023G, Descent, Subsection 08WW를 보라. 한편, \[A \to B\] 는 보편 단사 환 준동형이다. 실제로 \(A\)-가군 \(M\)이 주어지면, 보조정리의 가정에 의해 \(A \oplus M \to B \otimes_A (A \oplus M)\)은 단사이다. 따라서 Descent, Theorem 08XA에 의해 \(DD_{B/A}\)는 \(A\)-가군들의 범주와 동치이다. 그러므로 \(f : X \to \Spec(A)\)를 따른 당김은 준연접 가군들의 범주의 동치를 결정한다. 특히 \(f^*\)는 준연접 가군들 위에서 완전함자이고, 따라서 \(f\)는 평탄이다 (작은 세부사항은 생략한다). 더욱이 \(f\)가 전사임은 분명하다 (예를 들어 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 전사이기 때문이다). 따라서 \(\{X \to \Spec(A)\}\)는 fpqc 덮개이다. \(X \to \Spec(A)\)는 \(X \to \Spec(A)\)에 의한 밑변환 뒤 동형이 되는 사상이다. 그러므로 fpqc 내림에 의해 동형이다. Descent on Spaces, Lemma 041Y을 보라.

보조정리

대수공간의 준콤팩트 평탄 전사 단사 사상은 동형이다.

증명

이러한 사상은 Lemma 0B8B의 가정을 만족한다.

몰입의 여법선층

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 폐몰입이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 이에 대응하는 준연접 아이디얼층이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB를 보라. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^2 \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to 0\] 을 생각하자. 이는 \(X\) 위 준연접 층들의 완전열이다. 층 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 영멸되므로 Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ에 의해 \(Z\) 위의 층에 대응한다. 이 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군을 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 여법선층이라 하며, Morphisms of Spaces, Section 04CI에서 언급한 표기의 남용에 따라 흔히 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)로 나타낸다.

\(i : Z \to X\)가 (국소 닫힌) 몰입인 경우, \(i\)의 여법선층을 폐몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 여법선층으로 정의한다. Morphisms of Spaces, Remark 04CE을 보라. 이는 흔히 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)로 나타내며, 여기서 \(\mathcal{I}\)는 폐몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 아이디얼층이다.

정의

\(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(\mathcal{C}_{Z/X}\)를 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 여법선층, 또는 \(i\)의 여법선층이라 한다. 이는 위에서 설명한 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)이다.

[EGA, IV Definition 16.1.2]에서는 이 층을 \(\mathcal{N}_{Z/X}\)로 나타낸다. 우리는 \(\mathcal{N}_{Z/X}\)라는 표기를 몰입의 법선층을 위해 남겨 두려 하므로 이 규약을 따르지 않는다. 여법선층이 유한 표시이면 법선층을 \[\mathcal{N}_{Z/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X}, \mathcal{O}_Z) = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \mathcal{O}_Z)\] 로 정의한다 (그렇지 않으면 법선층이 준연접이 아닐 수도 있다). 법선층은 나중에 다시 다룰 것이다 (미래의 참고문헌을 여기에 삽입하라).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(\varphi : U \to X\)를 에탈 사상이라 하고, 여기서 \(U\)는 스킴이라고 하자. \(Z_U = U \times_X Z\)로 놓으면 이는 \(U\)의 국소 닫힌 부분스킴이다. 그러면 \[\mathcal{C}_{Z/X}|_{Z_U} = \mathcal{C}_{Z_U/U}\] 가 표준적으로 성립하며 \(U\)에 대하여 함자적이다.

증명

\(T \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하여 \(i\)가 \(X \setminus T\) 안의 폐몰입을 정의하게 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(X \setminus T\) 위의 준연접 아이디얼층이라 하자. 이 층은 \(Z\)를 정의한다. 그러면 이 보조정리는 단지 \(\mathcal{I}|_{U \setminus \varphi^{-1}(T)}\)가 몰입 \(Z_U \to U \setminus \varphi^{-1}(T)\)의 아이디얼층이라는 명제이다. 이는 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB에서 \(\mathcal{I}\)를 구성한 방법으로부터 분명하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 를 \(S\) 위 대수공간의 가환 그림이라 하자. \(i\), \(i'\)가 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{O}_Z\)-가군의 표준 사상 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X}\] 이 있다.

증명

먼저 열린 부분공간 \(U' \subset X'\)과 \(U \subset X\)를 찾아 \(g(U) \subset U'\)이고, \(i(Z) \subset U\)와 \(i(Z') \subset U'\)가 닫히게 하자 (존재성의 증명은 생략한다). \(X\)를 \(U\)로, \(X'\)을 \(U'\)으로 바꾸면 \(i\)와 \(i'\)가 폐몰입이라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\)과 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 각각 \(i'\)과 \(i\)에 대응하는 준연접 아이디얼층이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB를 보라. 합성 \[g^{-1}\mathcal{I}' \to g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\] 을 생각하자. \(g(i(Z)) \subset Z'\)이므로 이 합성은 영이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03MB의 분해에 관한 명제를 보라). 따라서 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & i_*\mathcal{O}_Z \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{I}' \ar[r] \ar[u] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[r] \ar[u] & g^{-1}i'_*\mathcal{O}_{Z'} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻는다. \(g^{-1}\)은 완전함자이므로 아래 행은 완전하다. 완전성에 의해 \((g^{-1}\mathcal{I}')^2 = g^{-1}((\mathcal{I}')^2)\)임도 알 수 있다. 그러므로 이 그림은 사상 \(g^{-1}(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)를 유도한다. 이를 (예를 들어 \(i^{-1}\)을 사용하여) \(Z\)로 당기면 \(i^{-1}g^{-1}(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{C}_{Z/X}\)를 얻는다. \(i^{-1}g^{-1} = f^{-1}(i')^{-1}\)이므로 이는 사상 \(f^{-1}\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)를 주고, 이 사상이 원하는 사상을 유도한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. Definition 04CN의 여법선층과 Lemma 04CP의 함자성은 다음 성질들을 만족한다.

1. \(Z \to X\)가 \(S\) 위 스킴의 몰입이면, 여법선층은 Morphisms, Definition 01R2의 것과 일치한다.

2. Lemma 04CP에서 모든 공간이 스킴이면, 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 Morphisms, Lemma 01R4에서 구성한 것과 같다.

3. 가환 그림 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} \ar[d]_{f'} & X' \ar[d]^{g'} \\ Z'' \ar[r]^{i''} & X'' }\] 이 주어지면, 사상 \((f' \circ f)^*\mathcal{C}_{Z''/X''} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)와 \(f\)에 의한 사상 \((f')^*\mathcal{C}_{Z''/X''} \to \mathcal{C}_{Z'/X'}\)의 당김을 합성한 것과 같다.

증명

생략한다. (1)은 Lemma 04CO의 특수한 경우임을 주목하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 를 \(S\) 위 대수공간의 올곱 그림이라 하자. \(i\), \(i'\)가 몰입이라고 가정하자. 그러면 Lemma 04CP의 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 전사이다. \(g\)가 평탄하면 이 사상은 동형이다.

증명

가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ U' \ar[r] & X' }\] 을 택하자. 여기서 \(U\), \(U'\)은 스킴이고 수평 화살표들은 전사 에탈 사상이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. 이제 Lemmas 04CO와 04G2를 사용하면 문제는 스킴의 사상인 경우로 환원된다. 스킴의 경우에는 Morphisms, Lemma 0473가 그 결과이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to Y \to X\)를 대수공간의 몰입들이라 하자. 그러면 표준 완전열 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 이 있다. 여기서 사상들은 Lemma 04CP에서 오고, \(i : Z \to Y\)는 첫째 사상이다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. Lemmas 04CO와 04G2를 통하여, 이 열의 완전성은 스킴의 몰입들 \(Z \times_X U \to Y \times_X U \to U\)에 대한 대응하는 열의 완전성으로 곧바로 옮겨진다. 따라서 이 보조정리는 Morphisms, Lemma 062S에서 따른다.

몰입의 법선뿔

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 폐몰입이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 이에 대응하는 준연접 아이디얼층이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB를 보라. 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 준연접 층 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)을 생각하자. 각 층 \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)은 \(\mathcal{I}\)에 의해 영멸되므로, Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ에 의해 이 등급 대수는 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수들의 준연접 층에 대응한다. 이 준연접 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수를 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 여법선 대수라 하며, Morphisms of Spaces, Section 04CI에서 언급한 표기의 남용에 따라 흔히 단순히 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)로 나타낸다.

\(i : Z \to X\)가 (국소 닫힌) 몰입인 경우, \(i\)의 여법선 대수를 폐몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 여법선 대수로 정의한다. Morphisms of Spaces, Remark 04CE을 보라. 이는 흔히 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)로 나타내며, 여기서 \(\mathcal{I}\)는 폐몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 아이디얼층이다.

정의

\(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\)를 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 여법선 대수, 또는 \(i\)의 여법선 대수라 한다. 이는 위에서 설명한 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수들의 준연접 층 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)이다.

따라서 \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\)은 몰입의 여법선층이다. 또한 \(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\)이고, \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\)은 다음 성질로 특징지어지는 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다. [09RP]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] 여기서 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)이고 \(\mathcal{I}\)는 위와 같이 \(i\)의 아이디얼층이다. 끝으로 준연접 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수의 표준 전사 사상 [09RQ]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] 이 있으며, 차수 \(0\)과 \(1\)에서는 동형임을 주목하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 몰입이라 하자. \(\varphi : U \to X\)를 에탈 사상이라 하고, 여기서 \(U\)는 스킴이라고 하자. \(Z_U = U \times_X Z\)로 놓으면 이는 \(U\)의 국소 닫힌 부분스킴이다. 그러면 \[\mathcal{C}_{Z/X, *}|_{Z_U} = \mathcal{C}_{Z_U/U, *}\] 가 표준적으로 성립하며 \(U\)에 대하여 함자적이다.

증명

\(T \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하여 \(i\)가 \(X \setminus T\) 안의 폐몰입을 정의하게 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(X \setminus T\) 위의 준연접 아이디얼층이라 하자. 이 층은 \(Z\)를 정의한다. 그러면 이 보조정리는 \(\mathcal{I}|_{U \setminus \varphi^{-1}(T)}\)가 몰입 \(Z_U \to U \setminus \varphi^{-1}(T)\)의 아이디얼층이라는 사실에서 따른다. 이는 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB에서 \(\mathcal{I}\)를 구성한 방법으로부터 분명하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 를 \(S\) 위 대수공간의 가환 그림이라 하자. \(i\), \(i'\)가 몰입이라고 가정하자. 그러면 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수의 표준 사상 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\] 이 있다.

증명

먼저 열린 부분공간 \(U' \subset X'\)과 \(U \subset X\)를 찾아 \(g(U) \subset U'\)이고, \(i(Z) \subset U\)와 \(i(Z') \subset U'\)가 닫히게 하자 (존재성의 증명은 생략한다). \(X\)를 \(U\)로, \(X'\)을 \(U'\)으로 바꾸면 \(i\)와 \(i'\)가 폐몰입이라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\)과 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 각각 \(i'\)과 \(i\)에 대응하는 준연접 아이디얼층이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB를 보라. 합성 \[g^{-1}\mathcal{I}' \to g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\] 을 생각하자. \(g(i(Z)) \subset Z'\)이므로 이 합성은 영이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03MB의 분해에 관한 명제를 보라). 따라서 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & i_*\mathcal{O}_Z \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{I}' \ar[r] \ar[u] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[r] \ar[u] & g^{-1}i'_*\mathcal{O}_{Z'} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻는다. \(g^{-1}\)은 완전함자이므로 아래 행은 완전하다. 완전성에 의해 \((g^{-1}\mathcal{I}')^n = g^{-1}((\mathcal{I}')^n)\)임도 알 수 있다. 여기서 \(n \geq 1\)이다. 그러므로 이 그림은 사상 \(g^{-1}((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)을 유도한다. 이를 (예를 들어 \(i^{-1}\)을 사용하여) \(Z\)로 당기면 \(i^{-1}g^{-1}((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{C}_{Z/X, n}\)을 얻는다. \(i^{-1}g^{-1} = f^{-1}(i')^{-1}\)이므로 이는 사상들 \(f^{-1}\mathcal{C}_{Z'/X', n} \to \mathcal{C}_{Z/X, n}\)을 주고, 이들이 원하는 사상을 유도한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 를 \(S\) 위 대수공간의 데카르트 사각형이라 하고 \(i\), \(i'\)가 몰입이라고 하자. 그러면 Lemma 09RS의 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\)는 전사이다. \(g\)가 평탄하면 이 사상은 동형이다.

증명

\(X'\) 위에서 에탈 국소화한 뒤 명제를 확인해도 된다. 이 경우 \(X' \to X\)가 스킴의 사상이라고 가정할 수 있고, 따라서 \(Z\)와 \(Z'\)은 스킴이다. 결과는 스킴의 경우인 Divisors, Lemma 0635에서 따른다.

대수공간 위의 뿔과 벡터다발에 대해서도 스킴의 경우와 같은 규약을 쓴다 (스킴의 경우에는 EGA의 규약을 쓴다). Constructions, Sections 062P와 01M1을 보라. 특히 벡터다발은 매우 일반적인 대상이다 (그리고 아핀공간 다발과 국소적으로 동형일 필요가 없다).

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 몰입이라 하자. \(C_ZX\)를 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 법선뿔이라 하며, 이는 \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] 이다. Morphisms of Spaces, Definition 081W을 보라. \(Z\)의 \(X\) 안에서의 법선다발은 벡터다발 \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\] 이다.

따라서 \(C_ZX \to Z\)는 \(Z\) 위의 뿔이고, \(N_ZX \to Z\)는 \(Z\) 위의 벡터다발이다. 더욱이 등급 대수의 표준 전사 (09RQ)는 \(Z\) 위 뿔의 표준 폐몰입 [09RV]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\] 을 정의한다.

사상의 미분층

독자는 가환대수 장의 대응하는 절 (Algebra, Section 00RM), 스킴의 사상 장의 대응하는 절 (Morphisms, Section 01UM), 그리고 Modules on Sites, Section 04BJ을 살펴보기를 권한다. 먼저 스킴의 사상에 대한 미분층이라는 개념이 대응하는 작은 에탈 (환 달린) 자리의 사상에 대한 개념과 일치함을 보인다.

다음 보조정리를 명확하게 진술하기 위하여 잠시 다음 표기로 돌아간다. \(\mathcal{F}^a\)로 \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-가군의 층을 나타낸다. 이 층은 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대응하며, 그 가군은 스킴 \(X\) 위에 있다. Descent, Definition 03DU를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f_{small} : X_\etale \to Y_\etale\)을 이에 대응하는 작은 에탈 자리의 사상이라 하자. Descent, Remark 070R를 보라. 그러면 보편 미분과 양립하는 표준 동형 \[(\Omega_{X/Y})^a = \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\] 이 있다. 여기서 첫째 가군은 \(X_\etale\) 위의 층으로, 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\Omega_{X/Y}\)에 대응한다. Morphisms, Definition 01UQ를 보라. 둘째 가군은 Modules on Sites, Definition 04BN의 가군이다.

증명

\(h : U \to X\)를 에탈 사상이라 하자. 이 경우 자연 사상 \(h^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{U/Y}\)는 동형이다. More on Morphisms, Lemma 04BX을 보라. 따라서 자연스러운 \(\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-미분 \[\text{d}^a : \mathcal{O}_{X_\etale} \longrightarrow (\Omega_{X/Y})^a\] 이 있다. 실제로 방금 \((\Omega_{X/Y})^a\)의 임의의 대상 \(U\)에서의 값을 생각했는데, 대상의 범주는 \(X_\etale\)이며 이 값을 \(\Gamma(U, \Omega_{U/Y})\)와 표준적으로 동일시하였다. 보편 미분 \(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O}_{X_\etale} \to \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\)의 보편 성질에 의해 \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-선형 사상 \(c : \Omega_{X_\etale/Y_\etale} \to (\Omega_{X/Y})^a\)가 유일하게 존재한다. 이 사상은 \(\text{d}^a = c \circ \text{d}_{X/Y}\)를 만족한다.

역으로 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-가군이고 \(D : \mathcal{O}_{X_\etale} \to \mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-미분이라고 하자. 그러면 \(D\)를 단순히 작은 자리스키 자리 \(X_{Zar}\)로 제한할 수 있다. 이 자리는 \(X\)의 작은 자리스키 자리이다. \(X_{Zar}\) 위의 층은 \(X\) 위의 층과 일치하므로 (Descent, Remark 03FG), \(D|_{X_{Zar}} : \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\)는 통상적인 \(Y\)-미분이다. 따라서 사상 \(\psi : \Omega_{X/Y} \longrightarrow \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\)를 얻으며, 이는 \(D|_{X_{Zar}} = \psi \circ \text{d}\)를 만족한다. 특히 이를 \(\mathcal{F} = \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\)에 적용하면 사상 \[c' : \Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X_\etale/Y_\etale}|_{X_{Zar}}\] 을 얻는다. Descent, Remark 070R와 Lemma 070S에서 논의한 환 달린 자리의 사상 \(\text{id}_{small, \etale, Zar} : X_\etale \to X_{Zar}\)을 생각하자. 제한 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\)는 \(\text{id}_{small, \etale, Zar, *}\)와 같고, \(\text{id}_{small, \etale, Zar}^*\)는 \(\text{id}_{small, \etale, Zar, *}\)의 왼쪽 수반이며, \((\Omega_{X/Y})^a = \text{id}_{small, \etale, Zar}^*\Omega_{X/Y}\)이므로, \(c'\)은 사상 \[c'' : (\Omega_{X/Y})^a \longrightarrow \Omega_{X_\etale/Y_\etale}.\] 에 수반된다. \(c''\)과 \(c'\)은 서로 역이라고 주장한다. 이 주장은 보조정리의 증명을 끝낸다. 이를 보이려면 \(c''(\text{d}(f)) = \text{d}_{X/Y}(f)\)이고 \(c(\text{d}_{X/Y}(f)) = \text{d}(f)\)임을 확인하면 충분하다. 여기서 \(f\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 국소 절단이며 \(X\)의 열린 부분 위에서 주어져 있다. 확인은 생략한다.

이제 다음 정의를 내릴 수 있다. 다른 정의는 Remark 04CW를 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\Omega_{X/Y}\)를 \(X\)의 \(Y\) 위의 미분층이라 하며, 이는 미분층이다 (Modules on Sites, Definition 04BQ). 구체적으로 환 달린 토포스 사상 \[(f_{small}, f^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \to (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\] 에 대한 것이며, 이 사상은 Properties of Spaces, Lemma 03G8의 사상이다. 보편 \(Y\)-미분은 \(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y}\)로 나타낸다.

Lemma 04CS에 의해 \(X\)와 \(Y\)가 표현 가능할 때 이 정의는 이미 있던 개념과 충돌하지 않는다. 이제부터 \(X\)와 \(Y\)가 표현 가능하면 위에서 정의한 미분층과 Morphisms, Definition 01UQ에서 정의한 미분층을 구별하지 않는다. 이를 스킴의 사상에 대한 통상적인 미분 가군과 연결하고자 한다. 핵심 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 임의의 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_\psi & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. 수직 화살표들은 대수공간의 에탈 사상이라고 하자. 그러면 \[\Omega_{X/Y}|_{U_\etale} = \Omega_{U/V}\] 이다. 특히 \(U\), \(V\)가 스킴이면 이는 스킴의 사상 \(U \to V\)의 통상적인 미분층과 같다.

증명

Properties of Spaces, Lemma 03LP와 Equation (03LQ)에 의해 \(X_\etale\) 위 층의 \(U_\etale\)로의 제한을 \(a_{small}\)에 의한 당김으로 생각할 수 있다. \(b\)에 대해서도 마찬가지이다. Modules on Sites, Lemma 04BO에 의해 \[\Omega_{X/Y}|_{U_\etale} = \Omega_{\mathcal{O}_{U_\etale}/ a_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}}\] 이다. 그리고 \(a_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \psi_{small}^{-1}b_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \psi_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale}\)이므로 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 \(\Omega_{X/Y}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

Lemma 04CU와 같은 그림을 택하되, \(a\)와 \(b\)가 전사이고 \(U\)와 \(V\)가 스킴이게 하자. 그러면 \(\Omega_{X/Y}|_U = \Omega_{U/V}\)이며, 이는 준연접이다 (예를 들어 Morphisms, Lemma 08S2에 의해). 따라서 Properties of Spaces, Lemma 03M0에 의해 \(\Omega_{X/Y}\)가 준연접임을 얻는다.

주

이제 \(\Omega_{X/Y}\)가 준연접임을 아니, 이를 다른 방법으로 구성해 볼 수 있다. 예를 들어 Properties of Spaces, Section 03M2의 결과를 사용하여 미분층을 붙임으로 구성할 수 있다. 예컨대 \(Y\)가 스킴이고 \(U \to X\)가 스킴에서 \(X\)로 가는 전사 에탈 사상이면, \(\Omega_{U/Y}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다. 또한 \(s, t : R \to U\)가 에탈이므로 Morphisms, Lemma 02K4를 사용하여 동형 \[\alpha : s^*\Omega_{U/Y} \to \Omega_{R/Y} \to t^*\Omega_{U/Y}\] 을 얻는다. 이것이 코사이클 조건을 만족함을 확인하면 끝난다. \(Y\)가 스킴이 아니면 \(\Omega_{U/Y}\)를 사상 \((U \to Y)^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{U/S}\)의 여핵으로 정의하고 앞과 같이 진행한다. 이 두 단계 과정은 조금 볼품없다. 또 다른 방법은 Lemma 04CU와 같은 임의의 그림에 대하여 층들 \(\Omega_{U/V}\)를 붙이는 것이지만, 이것도 그다지 우아하지 않다. 그래도 두 방법 모두 작동하며 미분층의 조금 더 초등적인 구성을 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 를 대수공간의 가환 그림이라 하자. 사상 \(f^\sharp : \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\)와 사상 \(f_*\text{d}_{X'/Y'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\)의 합성은 \(Y\)-미분이다. 따라서 표준 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\Omega_{X/Y} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\)를 얻는다. 그리고 \(f_*\)와 \(f^*\)의 수반성에 의해 표준 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 준동형 \[c_f : f^*\Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X'/Y'}.\] 을 얻는다. 이는 \(f^*\text{d}_{X/Y}(t)\)가 \(\text{d}_{X'/Y'}(f^* t)\)로 사상된다는 성질로 유일하게 특징지어진다. 여기서 \(t\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 임의의 국소 절단이다.

증명

이는 Modules on Sites, Lemma 04BR의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y'' \ar[r] & Y' \ar[r] & Y }\] 를 \(S\) 위 대수공간의 가환 그림이라 하자. 그러면 \[c_{f \circ g} = c_g \circ g^* c_f\] 가 \((f \circ g)^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X''/Y''}\)인 사상으로서 성립한다.

증명

생략한다. 힌트: 국소 절단에 미치는 작용으로 \(c_f, c_g, c_{f \circ g}\)를 특징짓는 것을 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\), \(g : Y \to B\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. 그러면 표준 완전열 \[f^*\Omega_{Y/B} \to \Omega_{X/B} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 이 있으며, 사상들은 Lemma 04CX의 적용에서 온다.

증명

에탈 국소화를 통해 이 결과의 스킴 판인 Morphisms, Lemma 01UX에서 따른다. Lemma 04CU를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y\)가 \(S\) 위 대수공간의 몰입이면 \(\Omega_{X/S}\)는 영이다.

증명

에탈 국소화를 통해 이 결과의 스킴 판인 Morphisms, Lemma 01UY에서 따른다. Lemma 04CU를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(B\) 위 대수공간의 몰입이라 하자. 표준 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] 이 있다. 첫째 화살표는 \(\text{d}_{X/B}\)가 유도하고, 둘째 화살표는 Lemma 04CX에서 온다.

증명

이는 Morphisms, Lemma 01UZ의 대수공간 판이며, Lemmas 04CU와 04CO에서 보는 것처럼 에탈 국소화를 통해 그 보조정리에서 따를 것이다. 다만 첫째 화살표를 전역적으로 정의할 수 있음을 확인해야 한다. 따라서 여기서 ‘\(\text{d}_{X/B}\)가 유도한다’의 의미를 설명한다. 즉, \(i\)가 폐몰입이라고 가정할 수 있다. 이를 위해 \(X\)를 열린 부분공간으로 바꾼다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z \subset X\)에 대응하는 준연접 아이디얼층이라 하자. 그러면 \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{I} \to \Omega_{X/S}\)는 부분층 \(\mathcal{I}^2 \subset \mathcal{I}\)를 \(\mathcal{I}\Omega_{X/S}\)로 사상한다. 따라서 사상 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{X/S}/\mathcal{I}\Omega_{X/S}\)를 유도하며, 이 사상은 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-선형이다. Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ에 의해 이는 원하는 사상 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S}\)에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(B\) 위 대수공간의 몰입이라 하고, \(i\)가 (에탈 국소적으로) 왼쪽 역을 가진다고 가정하자. 그러면 Lemma 05ZA의 표준 열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] 은 (에탈 국소적으로) 분할 완전하다.

증명

명확히 말하면 다음을 주장한다. \(g : X \to Z\)가 \(i\)의 왼쪽 역이고 이것이 \(B\) 위에서 성립하면, \(i^*c_g\)는 사상 \(i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B}\)의 오른쪽 역이다. 이제 Lemmas 04CU와 04CO에서 보는 것처럼 에탈 국소화를 통하여 스킴의 사상에 대한 대응하는 결과에서 결론이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(g : Y' \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(X' = X_{Y'}\)를 \(X\)의 밑변환이라 하고, 사영을 \(g' : X' \to X\)로 나타내자. 그러면 Lemma 04CX의 사상 \[(g')^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X'/Y'}\] 은 동형이다.

증명

스킴 판인 Morphisms, Lemma 01V0와 에탈 국소화인 Lemma 04CU에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to B\)와 \(g : Y \to B\)를 공역이 같은 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. 사영 사상들을 \(p : X \times_B Y \to X\)와 \(q : X \times_B Y \to Y\)라 하자. Lemma 04CX의 사상들은 동형 \[p^*\Omega_{X/B} \oplus q^*\Omega_{Y/B} \longrightarrow \Omega_{X \times_B Y/B}\] 을 준다.

증명

스킴 판인 Morphisms, Lemma 01V1와 에탈 국소화인 Lemma 04CU에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이면 \(\Omega_{X/Y}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

스킴 판인 Morphisms, Lemma 01V2와 에탈 국소화인 Lemma 04CU에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시이면 \(\Omega_{X/Y}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

스킴 판인 Morphisms, Lemma 01V3와 에탈 국소화인 Lemma 04CU에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 매끄러운 사상이라 하자. 그러면 미분 가군 \(\Omega_{X/Y}\)는 유한 국소 자유이다.

증명

Lemma 04CU에 의해 이 명제는 \(X\)와 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이다. 따라서 스킴의 경우인 Morphisms, Lemma 02G1에서 따른다.

에탈 자리의 위상적 불변성

자리 \(X_{spaces, \etale}\)가 ‘위상적 불변량’임을 보인다. 그러면 \(X_\etale\)도 위상적 불변량이다. 이는 \(X_{spaces, \etale}\)의 표현 가능한 대상들로 이루어진다. Lemma 07VW를 보라.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 정수적이고 보편 단사이며 전사라고 가정하자. 함자 \[V \longmapsto V_X = X \times_Y V\] 는 범주의 동치 \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\)를 정의한다.

증명

\(f\)는 표현 가능하고 보편 위상동형이다. Morphisms of Spaces, Section 05Z3를 보라.

먼저 이 함자가 충실함을 증명하자. \(V', V\)가 \(Y_{spaces, \etale}\)의 대상이고 \(a, b : V' \to V\)가 \(Y\) 위에서 서로 다른 사상이라고 하자. \(V', V\)는 \(Y\) 위에서 에탈이므로 등화자 \[E = V' \times_{(a, b), V \times_Y V, \Delta_{V/Y}} V\] 를 생각할 수 있다. 이는 \(a, b\)의 등화자이고 \(Y\) 위에서 에탈이다. 따라서 \(E \to V'\)는 에탈 단사 사상 (즉 열린 몰입)이며, 전사일 때 그리고 그때에만 동형이다. \(X \to Y\)가 보편 위상동형이므로 이것은 \(E_X = V'_X\)일 때 그리고 그때에만 성립한다. 즉, \(a_X = b_X\)일 때 그리고 그때에만 성립한다.

다음으로 함자가 충만충실함을 증명하자. \(V', V\)가 \(Y_{spaces, \etale}\)의 대상이고 \(c : V'_X \to V_X\)가 \(X\) 위의 사상이라고 하자. 사상 \(a : V' \to V\)를 구성하고자 한다. 이 사상은 \(Y\) 위이고 \(a_X = c\)를 만족해야 한다. 전사 에탈 사상 \(a' : V'' \to V'\)을 택하되 \(V''\)이 분리 대수공간이 되게 하자. 사상 \(a'' : V'' \to V\)를 구성할 수 있고 \(a''_X = c \circ a'_X\)가 성립한다면, 두 합성 \[V'' \times_{V'} V'' \xrightarrow{\text{pr}_i} V'' \xrightarrow{a''} V\] 은 첫 문단에서 증명한 함자의 충실성에 의해 같다. 따라서 \(a''\)은 유일한 사상 \(a : V' \to V\)를 통하여 분해된다. 실제로 \(V'\)은 층으로서 \(V''\)을 동치관계 \(V'' \times_{V'} V''\)로 나눈 몫이다. 그러므로 \(V'\)이 분리라고 가정할 수 있다. 이 경우 그래프 \[\Gamma_c \subset (V' \times_Y V)_X\] 는 열리고 닫혀 있다 (세부사항은 생략한다). \(X \to Y\)가 보편 위상동형이므로 열린닫힌 부분공간 \(\Gamma \subset V' \times_Y V\)가 존재하여 \(\Gamma_X = \Gamma_c\)가 된다. 사영 \(\Gamma \to V'\)은 에탈 사상이고, \(X\)로 밑변환하면 동형이다. 따라서 \(\Gamma \to V'\)은 에탈이고 보편 단사이며 전사이므로 Morphisms of Spaces, Lemma 05W5에 의해 동형이다. 그러므로 \(\Gamma\)는 원하는 사상 \(a : V' \to V\)의 그래프이다.

끝으로 함자가 본질적으로 전사임을 증명하자. \(U\)를 \(X_{spaces, \etale}\)의 대상이라 하자. 대상 \(V\)를 찾아야 한다. 이 대상은 \(Y_{spaces, \etale}\)에 속하고 \(V_X \cong U\)를 만족해야 한다. 전사 에탈 사상 \(U' \to U\)를 택하여 \(U' \cong V'_X\)이고 \(U' \times_U U' \cong V''_X\)가 되게 하자. 여기서 \(V'', V'\)은 \(Y_{spaces, \etale}\)의 대상이다. 함자의 충만충실성에 의해 사상 \(s, t : V'' \to V'\)을 얻으며, 이들은 \(t_X = \text{pr}_0\)와 \(s_X = \text{pr}_1\)을 만족한다. 이 등식은 \(U' \times_U U' \to U'\)인 사상으로서의 등식이다. \((\text{pr}_0, \text{pr}_1) : U' \times_U U' \to U' \times_S U'\) 이 에탈 동치관계라는 사실과 \(U' \to V'\) 및 \(U' \times_U U' \to V''\)이 보편 단사이고 전사라는 사실로부터 \((t, s) : V'' \to V' \times_S V'\)이 에탈 동치관계임을 얻는다. 그러면 몫 \(V = V'/V''\)은 (Spaces, Theorem 02WW을 보라) 대수공간 \(V\)이며 \(Y\) 위에 놓인다. 사상 \(V' \to V\)가 존재하여 \(V'' = V' \times_V V'\)가 된다. 따라서 사상 \(V \to Y\)를 얻는다 (Descent on Spaces, Lemma 04P2을 보라). \(X\)로 밑변환하면 사상 \(U' \to V_X\)와 양립하는 동형 \(U' \times_{V_X} U' = U' \times_U U'\)을 얻고, 이는 \(V_X \cong U\)를 함의한다 (방금 인용한 보조정리를 한 번 더 사용한다).

스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to Y\)를 택하자. 스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to U \times_X W_X\)를 택하자. \(U'\)과 \(U' \times_U U'\)은 \(X\) 위에서 에탈인 스킴이고, 이들의 \(X\)로 가는 구조 사상은 스킴 \(W_X\)를 통하여 분해됨을 주목하자. 따라서 Étale Cohomology, Theorem 04DZ에 의해 스킴들 \(V', V''\)이 존재하며 \(W\) 위에서 에탈이다. 이들을 \(W_X\)로 밑변환하면 각각 \(U'\) 및 \(U' \times_U U'\)과 동형이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

Theorem 05ZH과 같은 가정과 표기를 사용하자. 범주의 동치 \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\)는 범주의 동치들 \(Y_\etale \to X_\etale\) 및 \(Y_{affine, \etale} \to X_{affine, \etale}\)로 제한된다.

증명

이는 단지 다음 명제이다. 대상 \(V \in Y_{spaces, \etale}\)가 주어졌을 때, \(V\)가 (아핀) 스킴인 것은 \(V \times_Y X\)가 (아핀) 스킴인 것과 동치이다. \(V \times_Y X \to V\)는 \(X \to Y\)의 밑변환이므로 정수적이고 보편 단사이며 전사이다. 따라서 이는 Limits of Spaces, Lemma 07VV와 Proposition 07VT에서 따른다.

주

대수공간의 보편 위상동형은 표현 가능할 필요가 없다. Morphisms of Spaces, Example 05Z6을 보라. 실제로 Theorem 05ZH은 보편 위상동형에 대해서는 성립하지 않는다. 이를 보기 위해 대수적으로 닫힌 체 \(k\)를 택하되 표수는 \(0\)이라 하고, \[\mathbf{A}^1 \to X \to \mathbf{A}^1\] 을 Morphisms of Spaces, Example 05Z6과 같이 두자. 첫째 사상은 에탈이고 \(t\)와 \(-t\)를 동일시한다. 여기서 \(t \in \mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\)이다. 둘째 사상은 우리의 보편 위상동형임을 상기하자. \(\mathbf{A}^1_k\)에는 자명하지 않은 연결 유한 에탈 덮개가 없으므로 (\(k\)가 표수 0인 대수적으로 닫힌 체이기 때문이다. 세부사항은 생략한다), 자명하지 않은 연결 유한 에탈 덮개 \(Y \to X\)를 구성하면 충분하다. 이를 위해 \(Y\)를 원점을 두 겹으로 만든 아핀직선이라 하자 (Schemes, Example 01JD). 그러면 \(Y = Y_1 \cup Y_2\)이고 \(Y_i = \mathbf{A}^1_k\)이며, \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\)을 따라 붙인다. 사상 \(Y \to X\)를 정의하기 위해 사상들 \[Y_1 \xrightarrow{1} \mathbf{A}^1_k \to X \quad\text{and}\quad Y_2 \xrightarrow{-1} \mathbf{A}^1_k \to X.\] 을 사용한다. 이들은 \(Y_1 \cap Y_2\) 위에서 붙는다. 이는 \(X\)의 구성에서 따르므로 사상 \(Y \to X\)를 정의한다. 실제로 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & Y_1 \amalg Y_2 \ar[l] \ar[d] \\ X & \mathbf{A}^1_k \ar[l] }\] 가 데카르트 사각형이라고 주장한다. 세부사항은 생략한다. 예를 들어 Groupoids, Lemma 07S3를 사용할 수 있다. \(\mathbf{A}^1_k \to X\)가 에탈이고 전사이므로, 이로부터 \(Y \to X\)는 차수 \(2\)의 유한 에탈 사상이고 원하는 예를 얻는다.

더 간단히 다음과 같이 논할 수도 있다. 스킴 \(Y\)에는 군 \(G = \{+1, -1\}\)의 자유 작용이 있다. 여기서 \(-1\)은 \(Y_1\)과 \(Y_2\)를 서로 바꾸고 좌표의 부호를 바꾼다. 그러면 \(X = Y/G\)이고 (Spaces, Definition 02Z3을 보라), 따라서 \(Y \to X\)는 유한 에탈이다. 또한 보편 위상동형 \(X \to \mathbf{A}^1_k\)가 존재함을 직접 보일 수 있다. 이를 위해 아핀직선 위의 \(t \mapsto t^2\)를 사용한다. 실제로 이 \(X\)는 위의 \(X\)와 같다.

두껍게 하기

다음 용어는 완전히 표준적이지 않을 수도 있지만 편리하다.

정의

두껍게 하기. \(S\)를 스킴이라 하자.

1. 대수공간 \(X'\)을 대수공간 \(X\)의 두껍게 하기라 함은 \(X\)가 \(X'\)의 닫힌 부분공간이고 대응하는 위상공간들이 같다는 뜻이다.

2. \(X'\)을 \(X\)의 일차 두껍게 하기라 함은 \(X\)가 \(X'\)의 닫힌 부분공간이고 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\), 즉 \(X\)를 정의하는 아이디얼 층의 제곱이 영이라는 뜻이다.

3. \(X'\)을 \(X\)의 유한 차수 두껍게 하기라 함은 \(X\)가 \(X\)의 닫힌 부분공간이고 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\), 즉 \(X\)를 정의하는 아이디얼 층이 멱영이라는 뜻이다. 즉 어떤 정수 \(n \geq 0\)가 존재하여 \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\)이다.

4. \(X'\)을 \(n\)차 두껍게 하기라 하되 그 대상이 \(X\)라는 것은, \(X\)가 \(X\)의 닫힌 부분공간이고 \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\)이라는 뜻이다. 여기서 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\)는 \(X\)를 정의하는 준연접 아이디얼 층이다.

5. 두 두껍게 하기 \(X \subset X'\)과 \(Y \subset Y'\)가 주어졌을 때, 두껍게 하기의 사상은 사상 \(f' : X' \to Y'\)로서 \(f(X) \subset Y\)를 만족하는 것, 즉 \(f'|_X\)가 닫힌 부분공간 \(Y\)를 통해 인수분해되는 것이다. 이 상황에서 \(f = f'|_X : X \to Y\)로 놓고, \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 두껍게 하기의 사상이라 한다.

6. \(B\)를 대수공간이라 하자. 같은 방식으로 \(B\) 위의 두껍게 하기와 \(B\) 위의 두껍게 하기의 사상을 정의한다. 이는 위의 공간 \(X, X', Y, Y'\)가 \(B\)로 가는 구조 사상을 갖춘 대수공간이고, 사상 \(X \to X'\), \(Y \to Y'\) 및 \(f' : X' \to Y'\)가 \(B\) 위의 사상이라는 뜻이다.

기본 동치. \(X \subset X'\)가 두껍게 하기이면 \(X \to X'\)는 정수적이고 보편 전단사임을 주목하자. 따라서 당김 함자를 통해 [05ZL]\[\begin{equation} X_{spaces, \etale} = X'_{spaces, \etale} \end{equation}\] 를 얻는다. Theorem 05ZH을 보라. 그러므로 \(\mathcal{O}_{X'}\)를 \(X_{spaces, \etale}\) 위의 층으로 생각할 수 있다. 따라서 국소환 달린 토포스의 표준 동치 [05ZM]\[\begin{equation} (\Sh(X'_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \cong (\Sh(X_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \end{equation}\] 가 있다. 아래에서는 이를 Properties of Spaces, Theorem 04KL의 완전충실성 결과와 자주 함께 사용할 것이다. 예를 들어 닫힌 몰입 \(i_X : X \to X'\)는 전사 사상 \(i_X^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\)에 대응한다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(B\) 위의 두껍게 하기의 사상이라 하자. 연속 함자들의 도식 \[\xymatrix{ X_{spaces, \etale} & Y_{spaces, \etale} \ar[l] \\ X'_{spaces, \etale} \ar[u] & Y'_{spaces, \etale} \ar[u] \ar[l] }\] 은 가환하고 수직 화살표들은 동치이다. 따라서 \(f_{spaces, \etale}\), \(f_{small}\), \(f'_{spaces, \etale}\) 및 \(f'_{small}\)은 모두 같은 토포스의 사상을 정의한다. 그러므로 \[(f')^\sharp : f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow \mathcal{O}_{X'}\] 를 다음 가환 도식에 들어맞는 \(\mathcal{O}_B\)-대수 층의 사상으로 생각할 수 있다. \[\xymatrix{ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[r] & \mathcal{O}_X \\ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r]^-{(f')^\sharp} \ar[u]^{i_Y^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \ar[u]_{i_X^\sharp} }\] 여기서 \(i_X : X \to X'\)와 \(i_Y : Y \to Y'\)는 주어진 닫힌 몰입들의 이름이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X \subset X'\)과 \(Y \subset Y'\)를 \(B\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 만족하는 임의의 \(\mathcal{O}_B\)-대수 사상 \[\alpha : f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] 가 주어졌다고 하자. 즉 도식 \[\xymatrix{ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[r] & \mathcal{O}_X \\ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r]^-\alpha \ar[u]^{i_Y^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \ar[u]_{i_X^\sharp} }\] 이 가환한다고 하자.

그러면 두껍게 하기의 사상 \((f, f')\)가 \(B\) 위에서 유일하게 존재하며 \(\alpha = (f')^\sharp\)를 만족한다.

증명

\(f'\)을 찾기 위해 Properties of Spaces, Theorem 04KL에 의하면 환 달린 토포스의 사상 \[(f_{spaces, \etale}, \alpha) : (\Sh(X_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \longrightarrow (\Sh(Y_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{Y'})\] 이 국소환 달린 토포스의 사상임을 보이기만 하면 된다. 이는 국소환 달린 토포스의 사상의 정의(Modules on Sites, Definition 04HA), \((f, f^\sharp)\)가 국소환 달린 토포스의 사상이라는 사실(Properties of Spaces, Lemma 04KJ), \(\alpha\)가 주어진 가환 도식에 들어맞는다는 사실, 그리고 \(i_X^\sharp\)와 \(i_Y^\sharp\)의 핵이 국소적으로 멱영이라는 사실에서 곧바로 따른다. 마지막으로 \(f' \circ i_X = i_Y \circ f\)라는 사실은 도식의 가환성과 Properties of Spaces, Theorem 04KL을 한 번 더 적용하여 얻는다. \(f'\)이 \(B\) 위의 사상이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)을 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. 임의의 열린 부분공간 \(U \subset X\)에 대해 열린 부분공간 \(U' \subset X'\)이 유일하게 존재하여 \(U = X \times_{X'} U'\)을 만족한다.

증명

\(U' \to X'\)를 \(X'_{spaces, \etale}\)의 대상으로 하되, \(U \to X\)라는 \(X_{spaces, \etale}\)의 대상에 (05ZL)를 통해 대응하도록 하자. 사상 \(U' \to X'\)는 에탈이고 보편 단사이므로 열린 몰입이다. Morphisms of Spaces, Lemma 05W5을 보라.

\(i_X : X \to X'\)를 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. 핵 \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\)의 모든 국소 단면은 국소적으로 멱영이다. 이는 \(\mathcal{O}_{X'}\)의 구조층에 대한 어느 정도의 제어를 주지만, 기술적으로는 유한 차수 두껍게 하기 \(X \subset X'\)의 부류가 훨씬 다루기 쉽다. 실제로 \(X'\)이 \(n\)차 두껍게 하기이면 여과 \[0 \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] 를 가지며, \(X'\)이 닫힌 부분공간들로 여과됨을 알 수 있다.

\[X = X_0 \subset X_1 \subset \ldots \subset X_{n - 1} \subset X_{n + 1} = X'\] 여기서 각 쌍 \(X_i \subset X_{i + 1}\)는 \(B\) 위의 일차 두껍게 하기이다. 간단한 귀납 논증을 사용하면 일차 두껍게 하기에 대해 증명한 많은 결과를 유한 차수 두껍게 하기에 대한 결과로 다시 진술할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)을 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. \(U\)를 \(X_{spaces, \etale}\)의 아핀 대상이라 하자. 그러면 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_{X'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\] 는 전사이다. 여기서는 (05ZM)를 통해 \(\mathcal{O}_{X'}\)를 \(X_{spaces, \etale}\) 위의 층으로 생각한다.

증명

대수공간의 에탈 사상 \(U' \to X'\)를 택하되 \(U = X \times_{X'} U'\)을 만족하도록 하자. Theorem 05ZH을 보라. Limits of Spaces, Lemma 07VS에 의해 \(U'\)은 아핀 스킴이다. 따라서 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 는 전사이다. 실제로 \(U \to U'\)는 아핀 스킴들의 닫힌 몰입이다. 아래에서는 실제로 가장 자주 쓰이는 경우인 유한 차수 두껍게 하기에 대한 직접 증명을 준다.

증명

위에서 설명한 원리에 의해 \(X \subset X'\)이 일차 두껍게 하기라고 가정해도 된다. \(\mathcal{I}\)로 전사 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\)의 핵을 나타내자. \(\mathcal{I}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이고 일차 두껍게 하기의 정의에 의해 \(\mathcal{I}^2 = 0\)이므로, Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ을 적용하여 \(\mathcal{I}\)가 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군임을 알 수 있다. 따라서 보조정리는 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 에 딸린 긴 코호몰로지 완전열과 \(H^1_\etale(U, \mathcal{I}) = 0\)이라는 사실에서 따른다. 여기서 \(\mathcal{I}\)가 준연접이기 때문이다. Descent, Proposition 03DW과 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)을 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. \(X\)가 스킴으로 표현 가능하면 \(X'\)도 그러하다.

증명

\(X'_{red} = X_{red}\)임을 주목하자. 따라서 \(X\)가 스킴이면 \(X'_{red}\)도 스킴이다. 그러므로 결과는 Limits of Spaces, Lemma 07VU에서 따른다. 아래에서는 실제로 가장 자주 쓰이는 경우인 유한 차수 두껍게 하기에 대한 직접 증명을 준다.

증명

\(X'\)이 \(X\)의 일차 두껍게 하기인 경우를 증명하면 충분하다. Properties of Spaces, Lemma 03JH에 의해 \(X'\)에는 스킴인 가장 큰 열린 부분공간이 존재한다. 따라서 모든 점 \(x\)가 \(|X'| = |X|\) 안에서 스킴인 \(X'\)의 열린 부분공간에 들어감을 보이면 된다. Lemma 05ZP을 사용하여 \(X \subset X'\)을 \(U \subset U'\)로 바꿀 수 있다. 여기서 \(x \in U\)이고 \(U\)는 아핀 스킴이다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

\(X \subset X'\)이 일차 두껍게 하기이고 \(X\)가 아핀 스킴이라고 하자. \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 및 \(A' = \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\)로 놓자. Lemma 05ZQ에 의해 사상 \(A' \to A\)는 전사이다. 핵 \(I\)는 제곱이 영인 아이디얼이다. Properties of Spaces, Lemma 05Z1에 의해 다음 가환 도식에 들어맞는 표준 사상 \(f : X' \to \Spec(A')\)를 얻는다. \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[r] & X' \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(A') }\] 수평 화살표들이 두껍게 하기이므로 \(f\)가 보편 단사이고 전사임은 명백하다. 따라서 \(f\)가 에탈임을 보이면 충분하다. 그러면 Morphisms of Spaces, Lemma 05W5에 의해 \(f\)는 동형사상이기 때문이다.

\(f\)가 에탈임을 보이기 위해 아핀 스킴 \(U'\)과 에탈 사상 \(U' \to X'\)를 택하자. \(U' \to X' \to \Spec(A')\)가 에탈임을 보이면 충분하다. Properties of Spaces, Definition 03FR을 보라. \(U' = \Spec(B')\)라 쓰자. \(U = X \times_{X'} U'\)로 놓자. \(U\)는 \(U'\)의 닫힌 부분공간이므로 닫힌 부분스킴이고, 따라서 \(U = \Spec(B)\)이며 \(B' \to B\)는 전사이다. \(J = \Ker(B' \to B)\)라 하고 다음을 주목하자. \(J = \Gamma(U, \mathcal{I})\)이며, 여기서 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X)\)는 Lemma 05ZQ의 증명에서와 같이 \(X_{spaces, \etale}\) 위에 있다. 사상 \(U' \to X' \to \Spec(A')\)는 가환 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 유도한다. 이제 \(\mathcal{I}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이므로 \(\mathcal{I} = (\widetilde I)^a\)이다. 표기에 대해서는 Descent, Definition 03DU을, 이것이 참인 이유에 대해서는 Descent, Proposition 03DX을 보라. 따라서 \(J = I \otimes_A B\)임을 알 수 있다. 마지막으로 \(A \to B\)가 에탈임을 주목하자. 실제로 \(U \to X\)는 에탈 사상 \(U' \to X'\)의 밑변환이므로 에탈이다. Algebra, Lemma 05YT에 의해 \(A' \to B'\)가 에탈이라고 결론 내린다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)을 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. 함자 \[V' \longmapsto V = X \times_{X'} V'\] 는 범주의 동치 \(X'_\etale \to X_\etale\)를 정의한다.

증명

함자 \(V' \mapsto V\)는 범주의 동치 \(X'_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\)를 정의한다. Theorem 05ZH을 보라. 따라서 \(V\)가 스킴인 것과 \(V'\)이 스킴인 것이 동치임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 05ZR의 내용이다.

일차 두껍게 하기는 다음과 같이 기술된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to B\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 을 생각하자. 이는 \(X_\etale\) 위의 층들의 열이다. 여기서 \(\mathcal{A}\)는 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-대수의 층이고, \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\)는 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-대수 층의 전사이며, \(\mathcal{I}\)는 그 핵이다. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{A}\) 안에서 제곱이 영인 아이디얼이다.

2. \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 준연접이다.

그러면 일차 두껍게 하기 \(X \subset X'\)이 \(B\) 위에 존재하고, 동형사상 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\)가 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-대수의 동형사상으로 존재하며, 이는 \(\mathcal{O}_X\)로 가는 전사들과 양립한다.

증명

이 증명에서는 Lemmas 05ZQ와 05ZR의 증명에 사용한 논증 일부를 다시 전개한다. 먼저 \(B = S = \Spec(\mathbf{Z})\)인 경우를 다룬다. \(U\)를 아핀 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 에탈이라 하자. 그러면 \[0 \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{A}(U) \to \mathcal{O}_X(U) \to 0\] 은 완전하다. 실제로 \(H^1(U_\etale, \mathcal{I}) = 0\)인데, \(\mathcal{I}\)가 준연접이기 때문이다. Descent, Proposition 03DW과 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라. \(V \to U\)가 \(X_{spaces, \etale}\)의 아핀 대상들 사이의 사상이면 \[\mathcal{I}(V) = \mathcal{I}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{O}_X(V)\] 이다. 이는 \(\mathcal{I}\)가 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이기 때문이다. Descent, Proposition 03DX을 보라. 따라서 \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{A}(V)\)는 에탈 환 사상이다. Algebra, Lemma 05YT을 보라. 그러므로 \[U \longmapsto U' = \Spec(\mathcal{A}(U))\] 는 \(X_{affine, \etale}\)에서 아핀 스킴과 에탈 사상의 범주로 가는 함자임을 알 수 있다. 실제로 이 함자는 함자 \(U \mapsto U'\)으로 \(X_\etale\) 전체에 확장된다고 주장한다. 이를 보이기 위해 \(U\)가 \(X_\etale\)의 대상이면 \[0 \to \mathcal{I}|_{U_{Zar}} \to \mathcal{A}|_{U_{Zar}} \to \mathcal{O}_X|_{U_{Zar}} \to 0\] 이고 \(\mathcal{I}|_{U_{Zar}}\)가 \(U\) 위의 준연접 층임을 주목하자. Descent, Proposition 03LC을 보라. 따라서 More on Morphisms, Lemma 05YV에 의해 스킴들의 일차 두껍게 하기 \(U \subset U'\)을 얻으며, \(\mathcal{O}_{U'}\)는 \(\mathcal{A}|_{U_{Zar}}\)와 동형이다. 이 구성이 위의 아핀인 경우의 구성과 양립함은 명백하다.

표시 \(X = U/R\)을 택하자. Spaces, Definition 0263을 보라. 이때 \(s, t : R \to U\)는 에탈 동치관계를 정의한다. 위의 함자를 적용하면 스킴들에서의 에탈 동치관계 \(s', t' : R' \to U'\)를 얻는다. 대수공간 \(X' = U'/R'\)을 생각하자(Spaces, Theorem 02WW을 보라). 사상 \(X = U/R \to U'/R' = X'\)은 일차 두껍게 하기이다. \(\mathcal{O}_{X'}\)를 \(X_\etale\) 위의 층으로 보자. 구성에 의해 동형사상 \[\gamma : \mathcal{O}_{X'}|_{U_\etale} \longrightarrow \mathcal{A}|_{U_\etale}\] 을 얻으며, \(s^{-1}\gamma\)는 \(t^{-1}\gamma\)와 일치한다. 이 일치는 \(R_\etale\) 위에서 성립한다. 따라서 Properties of Spaces, Lemma 05YY에 의해 \(\gamma\)는 원하는 유일한 동형사상 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\)에서 온다.

일반적인 밑 대수공간 \(B\)의 경우를 다루기 위해, 먼저 위와 같이 \(X'\)을 \(\mathbf{Z}\) 위의 대수공간으로 구성한다. 그런 다음 동형사상 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\)를 사용하여 \(f^{-1}\mathcal{O}_B \to \mathcal{O}_{X'}\)를 정의한다. Lemma 05ZN에 따르면 이는 사상 \(X' \to B\)를 정의하고, 이 사상은 주어진 사상 \(X \to B\)와 양립한다. 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y \subset Y'\)을 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기라 하자. \(X' \to Y'\)를 사상이라 하고 \(X = Y \times_{Y'} X'\)로 놓자. 그러면 \((X \subset X') \to (Y \subset Y')\)는 두껍게 하기의 사상이다. \(Y \subset Y'\)가 일차 두껍게 하기(각각 유한 차수 두껍게 하기)이면 \(X \subset X'\)도 일차 두껍게 하기(각각 유한 차수 두껍게 하기)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)과 \(X' \subset X''\)이 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기이면 \(X \subset X''\)도 그러하다.

증명

생략한다.

보조정리

두껍게 하기라는 성질은 fpqc 국소적이다. 일차 두껍게 하기에 대해서도 마찬가지이다.

증명

명제의 뜻은 다음과 같다. \(S\)를 스킴이라 하고 \(X \to X'\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(\{g_i : X'_i \to X'\}\)를 대수공간의 fpqc 덮개라 하고, 밑변환 \(X_i \to X'_i\)가 모든 \(i\)에 대해 두껍게 하기라고 하자. 그러면 \(X \to X'\)는 두껍게 하기이다. 사상들 \(g_i\)가 함께 전사이므로 \(X \to X'\)는 전사이다. Descent on Spaces, Lemma 0420에 의해 \(X \to X'\)는 닫힌 몰입이다. 따라서 \(X \to X'\)는 두껍게 하기이다. 일차 두껍게 하기인 경우의 증명은 생략한다.

두껍게 하기의 사상

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)가 대수공간들의 두껍게 하기 사이의 사상이면, 사상 \(f\)의 성질을 \(f'\)이 물려받는 경우가 많다. 몇 가지 변형이 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기 사이의 사상이라 하자. 그러면

1. \(f\)가 아핀 사상인 것과 \(f'\)이 아핀 사상인 것은 동치이다.

2. \(f\)가 전사 사상인 것과 \(f'\)이 전사 사상인 것은 동치이다.

3. \(f\)가 준콤팩트인 것과 \(f'\)이 준콤팩트인 것은 동치이다.

4. \(f\)가 보편 닫힌인 것과 \(f'\)이 보편 닫힌인 것은 동치이다.

5. \(f\)가 정수적인 것과 \(f'\)이 정수적인 것은 동치이다.

6. \(f\)가 (준)분리인 것과 \(f'\)이 (준)분리인 것은 동치이다.

7. \(f\)가 보편 단사인 것과 \(f'\)이 보편 단사인 것은 동치이다.

8. \(f\)가 보편 열린인 것과 \(f'\)이 보편 열린인 것은 동치이다.

9. \(f\)가 표현 가능한 것과 \(f'\)이 표현 가능한 것은 동치이다.

10. 여기에 더 추가할 것.

증명

\(Y \to Y'\)와 \(X \to X'\)는 정수적 보편 위상동형임을 관찰하자. 이로부터 (2), (3), (4), (7), (8)이 즉시 따른다. (1)은 Limits of Spaces, Proposition 07VT에서 따른다. 이 명제는 \(X\)와 \(X'\) 위에서 에탈인 아핀 스킴들 사이, 그리고 \(Y\)와 \(Y'\) 위에서 에탈인 아핀 스킴들 사이에 일대일 대응이 있음을 말한다. (5)는 (1), (4)와 Morphisms of Spaces, Lemma 0415에서 따른다. 마지막으로 \[X \times_Y X = X \times_{Y'} X \to X \times_{Y'} X' \to X' \times_{Y'} X'\] 가 두껍게 하기임을 주목하자. 두 화살표는 Lemma 09ZX에 의해 두껍게 하기이다. 따라서 (3), (4)를 사상

\((X \subset X') \to (X \times_Y X \to X' \times_{Y'} X')\) 에 적용하면 (6)을 얻는다. 마지막으로 (9)는 스킴의 대수공간 두껍게 하기가 다시 스킴이라는 사실에서 따른다. Lemma 05ZR을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기 사이의 사상이라 하고 \(X = Y \times_{Y'} X'\)이라고 하자. \(X \subset X'\)이 유한 차수 두껍게 하기이면 다음이 성립한다.

1. \(f\)가 닫힌 몰입인 것과 \(f'\)이 닫힌 몰입인 것은 동치이다.

2. \(f\)가 국소 유한형인 것과 \(f'\)이 국소 유한형인 것은 동치이다.

3. \(f\)가 국소 준유한인 것과 \(f'\)이 국소 준유한인 것은 동치이다.

4. \(f\)가 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것과 \(f'\)이 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것은 동치이다.

5. \(\Omega_{X/Y} = 0\)인 것과 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)인 것은 동치이다.

6. \(f\)가 비분기인 것과 \(f'\)이 비분기인 것은 동치이다.

7. \(f\)가 고유인 것과 \(f'\)이 고유인 것은 동치이다.

8. \(f\)가 유한 사상인 것과 \(f'\)이 유한 사상인 것은 동치이다.

9. \(f\)가 단사상인 것과 \(f'\)이 단사상인 것은 동치이다.

10. \(f\)가 몰입인 것과 \(f'\)이 몰입인 것은 동치이다.

11. 여기에 더 추가할 것.

증명

스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to Y'\)를 택하자. 스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to X' \times_{Y'} V'\)를 택하자. \(V = Y \times_{Y'} V'\) 및 \(U = X \times_{X'} U'\)로 놓자. 그러면 사상의 에탈 국소적 성질에 대해서는 스킴들의 두껍게 하기 사이의 사상 \((U \subset U') \to (V \subset V')\)로 환원하고 More on Morphisms, Lemma 09ZW을 적용할 수 있다. 이로써 (2), (3), (4), (5), (6)이 증명된다.

(1), (7), (8), (9), (10)의 사상 성질들은 밑변환 아래 안정하다. 따라서 \(f'\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)도 그러하다. Spaces, Lemma 02YW 및 Morphisms of Spaces, Lemmas 04WP, 03ZS, 042P을 보라.

(1), (7), (8), (9), (10)에서 흥미로운 방향은 \(f\)가 해당 성질을 가진다고 가정하여 \(f'\)도 그 성질을 가짐을 보이는 것이다. 두껍게 하기의 차수에 대한 귀납법으로 \(Y \subset Y'\)이 일차 두껍게 하기라고 가정해도 된다. 위의 유한 차수 두껍게 하기에 관한 논의를 보라.

(1)의 증명. 스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to Y'\)를 택하자. \(V = Y \times_{Y'} V'\), \(U' = X' \times_{Y'} V'\) 및 \(U = X \times_Y V\)로 놓자. 그러면 \(U \to V\)는 닫힌 몰입이므로 \(U\)는 스킴이고, 다시 이로부터 \(U'\)이 스킴임을 알 수 있다 (Lemma 05ZR). 따라서 스킴인 경우의 보조정리 (More on Morphisms, Lemma 09ZW)를 \((U \subset U') \to (V \subset V')\)에 적용하여 결론을 얻는다.

(7)의 증명. (2)를 Lemma 09ZY의 결과와 결합하고, 고유가 준콤팩트 \(+\) 분리 \(+\) 국소 유한형 \(+\) 보편 닫힌과 같다는 사실을 사용하면 된다.

(8)의 증명. (2)를 Lemma 09ZY의 결과와 결합하고, 유한이 정수적 \(+\) 국소 유한형과 같다는 사실을 사용하면 된다 (Morphisms, Lemma 01WJ).

(9)의 증명. \(f\)가 단사상이므로 \(X = X \times_Y X\)이다. 지금까지 증명한 결과를 두껍게 하기의 사상 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\)에 적용할 수 있다. (1)에 의해 \(X' \to X' \times_{Y'} X'\)가 닫힌 몰입이라고 결론 내린다. 실제로 닫힌 몰입 \(X' \to X' \times_{Y'} X'\)을 정의하는 아이디얼은 아이디얼 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{Y'}\), 즉 \(Y\)를 \(Y'\) 안에서 잘라내는 아이디얼의 당김에 포함되므로, 이는 일차 두껍게 하기이다. 실제로 \(X = X \times_Y X = (X' \times_{Y'} X') \times_{Y'} Y\)는 \(X'\)에 포함된다. 닫힌 몰입 \(\Delta : X' \to X' \times_{Y'} X'\)의 여법층은 \(\Omega_{X'/Y'}\)와 같다(이는 대수공간에 대한 Morphisms, Lemma 08S2의 유사 명제이며, 에탈 국소화를 사용하거나 Lemmas 05ZB과 05ZD를 결합하여 얻을 수 있다. 몇 가지 세부사항은 생략한다). 따라서 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)임을 보이면 충분하며, 이는 (5)와 \(X/Y\)에 대한 대응 명제에서 따른다.

(10)의 증명. \(f : X \to Y\)가 몰입이면 \(X \to V \to Y\)로 인수분해된다. 여기서 \(V \to Y\)는 열린 부분공간이고 \(X \to V\)는 닫힌 몰입이다. Morphisms of Spaces, Remark 04CE을 보라. \(V' \subset Y'\)를 기저 위상공간 \(|V'|\)이 \(|V| \subset |Y| = |Y'|\)와 같은 열린 부분공간이라 하자. 그러면 \(X' \to Y'\)는 \(V'\)를 통해 인수분해되고, (1)에 의해 \(X' \to V'\)가 닫힌 몰입이라고 결론 내린다. 이로써 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 앞의 보조정리의 한 변형이다. 여기서는 관련된 두껍게 하기들이 유한 차수라고 가정하여 국소 유한형이라는 성질을 \(f\)에서 \(f'\)으로 옮기는 대신, \(f\)와 \(f'\) 각각이 국소 유한형이라는 것을 가정으로 둔다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 두껍게 하기 사이의 사상이라 하자. \(f\)와 \(f'\)이 국소 유한형이고 \(X = Y \times_{Y'} X'\)이라고 가정하자. 그러면

1. \(f\)가 국소 준유한인 것과 \(f'\)이 국소 준유한인 것은 동치이다.

2. \(f\)가 유한인 것과 \(f'\)이 유한인 것은 동치이다.

3. \(f\)가 닫힌 몰입인 것과 \(f'\)이 닫힌 몰입인 것은 동치이다.

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\)인 것과 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)인 것은 동치이다.

5. \(f\)가 비분기인 것과 \(f'\)이 비분기인 것은 동치이다.

6. \(f\)가 단사상인 것과 \(f'\)이 단사상인 것은 동치이다.

7. \(f\)가 몰입인 것과 \(f'\)이 몰입인 것은 동치이다.

8. \(f\)가 고유인 것과 \(f'\)이 고유인 것은 동치이다.

9. 여기에 더 추가할 것.

증명

스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to Y'\)를 택하자. 스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to X' \times_{Y'} V'\)를 택하자. \(V = Y \times_{Y'} V'\) 및 \(U = X \times_{X'} U'\)로 놓자. 그러면 사상의 에탈 국소적 성질에 대해서는 스킴들의 두껍게 하기 사이의 사상 \((U \subset U') \to (V \subset V')\)로 환원하고 More on Morphisms, Lemma 0BPG을 적용할 수 있다. 이로써 (1), (4), (5)가 증명된다.

(2), (3), (6), (7), (8)의 성질들은 밑변환 아래 안정하다. 따라서 \(f'\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)도 그러하다. Spaces, Lemma 02YW 및 Morphisms of Spaces, Lemmas 04WP, 03ZS, 042P을 보라. 따라서 각 경우에 \(f\)가 원하는 성질을 가지면 \(f'\)도 그 성질을 가짐만 증명하면 된다.

(2)의 경우는 Lemma 09ZY의 (5)와, 유한 사상이 정확히 국소 유한형인 정수적 사상이라는 사실에서 따른다 (Morphisms of Spaces, Lemma 0414).

(3)의 경우. 이는 Limits of Spaces, Lemma 08B2에서 즉시 따른다.

(6)의 증명. \(f\)가 단사상이므로 \(X = X \times_Y X\)이다. 지금까지 증명한 결과를 두껍게 하기의 사상 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\)에 적용할 수 있다. (3)에 의해 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)가 닫힌 몰입이라고 결론 내린다. 실제로 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 전단사 \(|X'| \to |X' \times_{Y'} X'|\)를 유도하므로 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 두껍게 하기이다. 한편 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 084P에 의해 국소 유한 표시이다. 다시 말해 \(\Delta_{X'/Y'}(X')\)는 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\)로 잘려 나온다. (5)에 의해 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)이므로 \(X' \to X' \times_{Y'} X'\)의 여법층이 영임을 알 수 있다. (닫힌 몰입 \(\Delta_{X'/Y'}\)의 여법층은 \(\Omega_{X'/Y'}\)와 같다. 이는 대수공간에 대한 Morphisms, Lemma 08S2의 유사 명제이며, 에탈 국소화를 사용하거나 Lemmas 05ZB과 05ZD를 결합하여 얻을 수 있다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.) 다시 말해 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\)이다. 이로부터 \(\Delta_{X'/Y'}\)가 동형사상임을 알 수 있다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00EH를 보라.

(7)의 증명. \(f : X \to Y\)가 몰입이면 \(X \to V \to Y\)로 인수분해된다. 여기서 \(V \to Y\)는 열린 부분공간이고 \(X \to V\)는 닫힌 몰입이다. Morphisms of Spaces, Remark 04CE을 보라. \(V' \subset Y'\)를 기저 위상공간 \(|V'|\)이 \(|V| \subset |Y| = |Y'|\)와 같은 열린 부분공간이라 하자. 그러면 \(X' \to Y'\)는 \(V'\)를 통해 인수분해되고, (3)에 의해 \(X' \to V'\)가 닫힌 몰입이라고 결론 내린다.

(8)의 경우는 Lemma 09ZY와, 고유 사상이 국소 유한형이면서 준콤팩트, 보편 닫힌, 분리인 사상이라는 정의에서 따른다.

두껍게 하기의 Picard 군

두껍게 하기의 Picard 군에 관한 몇 가지 내용이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)을 \(S\) 위의 대수공간들의 일차 두껍게 하기라 하고, 그 아이디얼 층을 \(\mathcal{I}\)라 하자. 그러면 아벨 군들의 표준 완전열 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\] 이 있다.

증명

\(X_\etale = X'_\etale\)임을 상기하자. Lemma 05ZS 및 더 일반적으로 Section 05ZJ의 논의를 보라. 보조정리의 열은 아벨 군의 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] 에 딸린 긴 코호몰로지 완전열이다. 이 열은 \(X_\etale\) 위에 있으며, 첫째 사상은 국소 단면 \(f\), 즉 \(\mathcal{I}\)의 단면을 가역 단면 \(1 + f\), 즉 \(\mathcal{O}_{X'}\)의 단면으로 보낸다. 또한 환 달린 사이트의 Picard 군과 가역함수 층의 일차 코호몰로지 군을 동일시한다. Cohomology on Sites, Lemma 040E을 보라.

무한소 근방

유한 차수 두껍게 하기의 자연스러운 구성은 다음과 같다.

\(i : Z \to X\)가 대수공간의 몰입이라고 하자. 열린 부분공간 \(U \subset X\)를 택하되, \(i\)가 \(Z\)를 닫힌 부분공간 \(Z \subset U\)와 동일시하도록 하자(Morphisms of Spaces, Remark 04CE을 보라). \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)를 \(Z\)를 \(U\) 안에서 정의하는 준연접 아이디얼 층이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB을 보라. \(n \geq 1\)에 대해 닫힌 부분공간 \(Z_n \subset U\)를 생각할 수 있으며, 이는 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}^{n + 1}\)로 정의된다.

정의

\(i : Z \to X\)를 대수공간의 몰입이라 하자.

1. \(Z\)의 \(X\) 안에서의 일차 무한소 근방은 위에서 기술한 일차 두껍게 하기 \(Z \subset Z_1\)이며, 이는 \(X\) 위에 있다.

2. \(n\)차 무한소 근방은 \(Z\)의 \(X\) 안에서 위와 같이 기술한 \(n\)차 두껍게 하기 \(Z \subset Z_n\)이며, 이는 \(X\) 위에 있다.

이 두껍게 하기는 다음 보편 성질을 가진다. 이 성질은 위의 구성이 열린집합 \(U\)의 선택에 의존할지 모른다는 모든 우려를 없애 준다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 대수공간의 몰입이라 하자.

1. \(Z'\)을 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 일차 무한소 근방이라 하자. 이는 다음 보편 성질을 가진다. 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(X\) 위의 일차 두껍게 하기이면,

   두껍게 하기 사이의 사상 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)가 \(X\) 위에서 유일하게 존재한다.

2. \(n \geq 1\)에 대해 \(n\)차 무한소 근방 \(Z_n\)을 \(Z\)의 \(X\) 안에서 취하자. 이는 다음 보편 성질을 가진다. 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(n\)차 두껍게 하기이고 \(X\) 위에 있으면,

   두껍게 하기 사이의 사상 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\)가 \(X\) 위에서 유일하게 존재한다.

증명

(1)만 증명한다. \(U \subset X\)를 \(Z'\)의 구성에 사용한 열린 부분공간, 즉 \(Z\)가 \(U\)의 닫힌 부분공간과 동일시되도록 하는 열린집합이라 하자. 이 닫힌 부분공간은 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)로 잘려 나온다. \(|T| = |T'|\)이므로 \(|b|(|T'|) \subset |U|\)임을 알 수 있다. 따라서 \(b\)를 \(U\)로 가는 사상으로 생각할 수 있다. Properties of Spaces, Lemma 03IE를 보라. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\)를 \(T\)를 잘라내는, 제곱이 영인 준연접 아이디얼 층이라 하자. 도식의 가환성에 의해 \(b|_T = i \circ a\)이며, 여기서 \(i : Z \to U\)는 닫힌 몰입이다. 그러므로 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB에 의해 \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\)이다. \(T'\)은 \(T\)의 일차 두껍게 하기이므로 \(\mathcal{J}^2 = 0\)이고, 따라서 \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\)이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB에 의해 이는 \(b\)가 \(Z'\)를 통해 인수분해됨을 뜻한다. 이 인수분해를 \(a' : T' \to Z'\)라 두면 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 대수공간의 몰입이라 하자. \(Z \subset Z'\)을 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 일차 무한소 근방이라 하자. 그러면 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 은 Lemma 04CP에 의해 여법층의 사상 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\)을 유도한다. 이 사상은 동형사상이다.

증명

이는 위의 \(Z'\)의 구성에서 명백하다.

형식적으로 매끄러운, 에탈인, 비분기인 변환

환 사상 \(R \to A\)가 형식적으로 매끄럽다, 각각 형식적으로 에탈이다, 각각 형식적으로 비분기이다라는 정의를 상기하자(Algebra, Definition 00TI, 각각 Definition 00UQ, 각각 Definition 00UN을 보라). 이는 모든 가환 실선 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] 에서 \(I \subset B\)가 제곱이 영인 아이디얼일 때, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재하는 것, 각각 유일하게 존재하는 것, 각각 많아야 하나 존재하는 것을 뜻한다. 이는 대수공간의 사상, 더 일반적으로 함자에 대한 다음 유사 개념의 동기가 된다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(a : F \to G\)를 함자들의 변환이라 하고 \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. 다음 꼴의 가환 실선 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ F \ar[d]_a & T \ar[d]^i \ar[l] \\ G & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 여기서 \(T\)와 \(T'\)은 아핀 스킴이고 \(i\)는 제곱이 영인 아이디얼로 정의된 닫힌 몰입이다.

1. 위와 같은 임의의 실선 도식이 주어졌을 때 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재하면 \(a\)가 형식적으로 매끄럽다고 한다¹.

2. 위와 같은 임의의 실선 도식이 주어졌을 때 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 정확히 하나 존재하면 \(a\)가 형식적으로 에탈이다고 한다.

3. 위와 같은 임의의 실선 도식이 주어졌을 때 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 많아야 하나 존재하면 \(a\)가 형식적으로 비분기이다고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(a : F \to G\)를 함자들의 변환이라 하고 \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. 그러면 \(a\)가 형식적으로 에탈인 것과 \(a\)가 형식적으로 매끄럽고 동시에 형식적으로 비분기인 것은 동치이다.

증명

정의에서 형식적으로 따른다.

보조정리

합성.

1. 형식적으로 매끄러운 함자 변환들의 합성은 형식적으로 매끄럽다.

2. 형식적으로 에탈인 함자 변환들의 합성은 형식적으로 에탈이다.

3. 형식적으로 비분기인 함자 변환들의 합성은 형식적으로 비분기이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 포함되는 스킴이라 하자. \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : H \to G\)를 함자들의 변환이라 하자. 섬유곱 도식 \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] 을 생각하자.

1. \(a\)가 형식적으로 매끄러우면 밑변환 \(a'\)도 형식적으로 매끄럽다.

2. \(a\)가 형식적으로 에탈이면 밑변환 \(a'\)도 형식적으로 에탈이다.

3. \(a\)가 형식적으로 비분기이면 밑변환 \(a'\)도 형식적으로 비분기이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\)를 표현 가능한 함자 변환이라 하자.

1. \(a\)가 매끄러우면 \(a\)는 형식적으로 매끄럽다.

2. \(a\)가 에탈이면 \(a\)는 형식적으로 에탈이다.

3. \(a\)가 비분기이면 \(a\)는 형식적으로 비분기이다.

증명

Definition 049S에서와 같은 가환 실선 도식 \[\xymatrix{ F \ar[d]_a & T \ar[d]^i \ar[l] \\ G & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. 그러면 \(F \times_G T'\)은 \(T'\) 위에서 매끄러운 (각각 에탈인, 각각 비분기인) 스킴이다. 따라서 More on Morphisms, Lemma 02H6 (각각 Lemma 02HM, 각각 Lemma 02HE)에 의해 도식 \[\xymatrix{ F \times_G T' \ar[d] & T \ar[d]^i \ar[l] \\ T' & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 의 점선 화살표를 채울 수 있다(각각 유일하게 채울 수 있다, 각각 많아야 한 가지 방식으로 채울 수 있다).

따라서 첫째 도식에서도 대응하는 주장을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 포함되는 스킴이라 하자. \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : G \to H\)를 함자들의 변환이라 하자. \(a\)가 표현 가능하고 전사이며 에탈이라고 가정하자.

1. \(b\)가 형식적으로 매끄러우면 \(b \circ a\)는 형식적으로 매끄럽다.

2. \(b\)가 형식적으로 에탈이면 \(b \circ a\)는 형식적으로 에탈이다.

3. \(b\)가 형식적으로 비분기이면 \(b \circ a\)는 형식적으로 비분기이다.

역으로, 가환 실선 도식 \[\xymatrix{ G \ar[d]_b & T \ar[d]^i \ar[l] \\ H & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. 여기서 \(T'\)은 \(S\) 위의 아핀 스킴이고 \(i : T \to T'\)는 제곱이 영인 아이디얼로 정의되는 닫힌 몰입이다.

1. \(b \circ a\)가 형식적으로 매끄러우면, 모든 \(t \in T\)에 대해 아핀들의 에탈 사상 \(U' \to T'\)와 사상 \(U' \to G\)가 존재하여 \[\xymatrix{ G \ar[d]_b & T \ar[l] & T \times_{T'} U' \ar[d] \ar[l]\\ H & T' \ar[l] & U' \ar[llu] \ar[l] }\] 이 가환하고 \(t\)는 \(U' \to T'\)의 상에 속한다.

2. \(b \circ a\)가 형식적으로 비분기이면 위 도식의 점선 화살표는 많아야 하나 존재한다. 즉 \(b\)는 형식적으로 비분기이다.

3. \(b \circ a\)가 형식적으로 에탈이면 위 도식의 점선 화살표는 정확히 하나 존재한다. 즉 \(b\)는 형식적으로 에탈이다.

증명

\(b\)가 형식적으로 매끄럽다(각각 형식적으로 에탈이다, 각각 형식적으로 비분기이다)고 하자. 에탈 사상은 매끄럽고 비분기이므로, \(a\)는 표현 가능하고 매끄럽다(각각 에탈이다, 각각 비분기이다). 따라서 (1), (2), (3)은 Lemma 04AL와 Lemma 049T를 결합하여 얻는다.

\(b \circ a\)가 형식적으로 매끄럽다고 하자. 보조정리의 명제에 나오는 도식을 생각하자. \(W = F \times_G T\)로 놓자. 가정에 의해 \(W\)는 \(T\) 위의 전사 에탈 스킴이다. 따라서 Étale Morphisms, Theorem 039R에 의해 스킴 \(W'\)이 존재하고 \(T'\) 위에서 에탈이며 \(W = T \times_{T'} W'\)이 된다. 아핀 열린 부분스킴 \(U' \subset W'\)를 택하되 \(t\)가 \(U' \to T'\)의 상에 속하도록 하자. \(b \circ a\)가 형식적으로 매끄러우므로,

사상 \(U' \to F\)가 존재하여 도식 \[\xymatrix{ F \ar[d]_{b \circ a} & W \ar[l] & T \times_{T'} U' \ar[d] \ar[l]\\ H & T' \ar[l] & U' \ar[llu] \ar[l] }\] 이 가환한다. 합성 \(U' \to F \to G\)를 취하면 보조정리의 (5)에 나오는 사상을 얻는다.

\(f, g : T' \to G\)가 보조정리의 도식에 들어맞는 두 점선 화살표라고 하자. \(W = F \times_G T\)로 놓자. 가정에 의해 \(W\)는 \(T\) 위의 전사 에탈 스킴이다. Étale Morphisms, Theorem 039R에 의해 스킴 \(W'\)이 존재하고 \(T'\) 위에서 에탈이며 \(W = T \times_{T'} W'\)이 된다. \(a\)가 형식적으로 에탈이므로 합성 \[W' \to T' \xrightarrow{f} G \quad\text{and}\quad W' \to T' \xrightarrow{g} G\] 은 사상 \(f', g' : W' \to F\)로 올라간다. 아핀 열린집합들 위에서 올린 뒤 유일성으로 붙이면 된다. 이제 \(b \circ a : F \to H\)가 형식적으로 비분기이면 \(f' = g'\)이고, 따라서 \(f = g\)이다. 실제로 \(W' \to T'\)은 에탈 덮개이다. 이는 보조정리의 (6)을 증명한다.

\(b \circ a\)가 형식적으로 에탈이라고 하자. 그러면 (4)에 의해 \(T'\) 위에서 에탈 국소적으로 도식에 들어맞는 점선 화살표를 찾을 수 있고, (5)에 의해 이 점선 화살표는 유일하다. 따라서 국소 해들을 붙여 (6)을 얻을 수 있다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

주

Lemma 04CY의 상황에서 “\(b\)가 형식적으로 매끄럽다” \(\Leftrightarrow\) “\(b \circ a\)가 형식적으로 매끄럽다”라고 생각하고 싶어진다. 그러나 이는 일반적으로 참이 아닐 가능성이 크다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : G \to H\)를 함자들의 변환이라 하자. \(b\)가 형식적으로 비분기라고 가정하자.

1. \(b \circ a\)가 형식적으로 비분기이면 \(a\)는 형식적으로 비분기이다.

2. \(b \circ a\)가 형식적으로 에탈이면 \(a\)는 형식적으로 에탈이다.

3. \(b \circ a\)가 형식적으로 매끄러우면 \(a\)는 형식적으로 매끄럽다.

증명

\(T \subset T'\)을 제곱이 영인 아이디얼로 정의되는 아핀 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(g' : T' \to G\)와 \(f : T \to F\)가 주어지고 \(g'|_T = a \circ f\)를 만족한다고 하자. \(b\)가 형식적으로 비분기이므로 \[\{f' : T' \to F \mid f = f'|_T\text{ and }a \circ f' = g'\}\] 와 \[\{f' : T' \to F \mid f = f'|_T\text{ and }b \circ a \circ f' = b \circ g'\}.\] 사이에 일대일 대응이 있다. 이로부터 보조정리가 형식적으로 따른다.

형식적으로 비분기인 사상

이 절에서는 대수공간의 사상이 형식적으로 비분기라는 말의 뜻을 밝힌다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위에 있고 Definition 049S에서와 같이 함자 변환으로서 형식적으로 비분기이면, 이 사상이 형식적으로 비분기이다라고 한다.

Section 04G3에서 형식적으로 비분기인 함자 변환이라는 더 일반적인 설정에서 증명한 결과들을 다시 진술하지는 않겠다. 이 성질은 상대 미분 가군의 소멸로 특징지을 수 있음이 드러난다. Lemma 04G9를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하되 \(S\) 위에 있다고 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 비분기이다.

2. 모든 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)가 스킴이고 수직 화살표들이 에탈이면, 스킴의 사상 \(\psi\)는 형식적으로 비분기이다(More on Morphisms, Definition 02H8에서와 같은 의미이다).

3. 수직 화살표들이 전사인 그러한 도식 하나에 대해 사상 \(\psi\)는 형식적으로 비분기이다.

증명

\(f\)가 형식적으로 비분기라고 하자. Lemma 04AL에 의해 사상 \(U \to X\)와 \(V \to Y\)는 형식적으로 비분기이다. 따라서 Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 비분기이다. 그러면 Lemma 04G5에 의해 \(U \to V\)가 형식적으로 비분기이다. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다. 또한 (2)는 (3)을 자명하게 함의한다.

(3)에서와 같은 도식이 주어졌다고 하자. Lemma 04AL에 의해 사상 \(V \to Y\)는 형식적으로 비분기이다. 따라서 Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 비분기이다. 그러면 Lemma 04CY에 의해 \(X \to Y\)는 형식적으로 비분기이다. 즉 (1)이 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위의 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이면, 임의의 가환 실선 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 에서 \(T \subset T'\)이 \(S\) 위의 대수공간들의 일차 두껍게 하기일 때, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표는 많아야 하나 존재한다. 다시 말해 Definition 04G7에서 \(T\)가 아핀 스킴이라는 조건을 버려도 된다.

증명

이는 전사 에탈 사상 \(U' \to T'\)가 존재하여 \(U'\)이 아핀 스킴들의 분리합이 되기 때문이다(Properties of Spaces, Lemma 03FX을 보라). 또한 사상 \(T' \to X\)는 \(U'\)에 대한 제한으로 결정된다.

보조정리

형식적으로 비분기인 사상들의 합성은 형식적으로 비분기이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

형식적으로 비분기인 사상의 밑변환은 형식적으로 비분기이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 비분기이다.

2. \(\Omega_{X/Y} = 0\)이다.

증명

이는 Lemma 04G8, More on Morphisms, Lemma 02H9 및 Lemma 04CU를 결합한 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 비분기이다.

2. 사상 \(f\)는 국소 유한형이고 \(\Omega_{X/Y} = 0\)이다.

3. 사상 \(f\)는 국소 유한형이고 형식적으로 비분기이다.

증명

도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 택하되, \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 에탈이며 전사라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.

\[\begin{align*} f\text{는 비분기} & \Leftrightarrow \psi\text{는 비분기} \\ & \Leftrightarrow \psi\text{는 국소 유한형이고 }\Omega_{U/V} = 0 \\ & \Leftrightarrow f\text{는 국소 유한형이고 }\Omega_{X/Y} = 0 \\ & \Leftrightarrow f\text{는 국소 유한형이고 형식적으로 비분기} \end{align*}\] 여기서 Morphisms, Lemma 02G5와 Lemma 04G9를 사용했다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 비분기이고 단사상이다.

2. \(f\)는 비분기이고 보편 단사이다.

3. \(f\)는 국소 유한형이고 단사상이다.

4. \(f\)는 보편 단사이고 국소 유한형이며 형식적으로 비분기이다.

더욱이 이 경우 \(f\)는 표현 가능하고 분리이며 국소 준유한이다.

증명

Lemma 04GA에서 형식적으로 비분기이고 국소 유한형이라는 것이 비분기라는 것과 같음을 보았다. 따라서 (4)는 (2)와 동치이다. 단사상은 분명히 형식적으로 비분기이므로 (3)은 (4)를 함의한다.

(1)이 (3)을 함의함은 명백하다. 마지막으로 (2)가 성립하면 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)는 열린 몰입이고(Morphisms of Spaces, Lemma 05W1), 동시에 전사이다(Morphisms of Spaces, Lemma 040X). 따라서 동형사상이다. 즉 \(f\)는 단사상이다. 이로써 (2)가 (1)을 함의함을 알 수 있다. 마지막으로 Morphisms of Spaces, Lemmas 0463와 0418에 의해 \(f\)가 표현 가능하고 분리이며 국소 준유한임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 닫힌 몰입이다.

2. \(f\)는 보편 닫힌이고 비분기이며 단사상이다.

3. \(f\)는 보편 닫힌이고 비분기이며 보편 단사이다.

4. \(f\)는 보편 닫힌이고 국소 유한형이며 단사상이다.

5. \(f\)는 보편 닫힌이고 보편 단사이며 국소 유한형이고 형식적으로 비분기이다.

증명

(2)–(5)의 동치는 Lemma 05W6에서 즉시 따른다. 더욱이 (2)–(5)가 성립하면 \(f\)는 표현 가능하다. 마찬가지로 (1)이 성립하면 \(f\)는 표현 가능하다. 따라서 결과는 스킴인 경우에서 따른다. Étale Morphisms, Lemma 04XV을 보라.

보편 일차 두껍게 하기

\(S\)를 스킴이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기는 일차 두껍게 하기 \(Z \subset Z'\)이며, 이는 \(X\) 위에 있다. 임의의 일차 두껍게 하기 \(T \subset T'\)이 \(X\) 위에 있고 가환 실선 도식 [0602]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X } } \end{equation}\] 이 주어졌을 때 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 유일하게 존재하는 것을 말한다. 이 상황에서 \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)는 \(X\) 위의 두껍게 하기 사이의 사상임을 주목하자. 따라서 보편 일차 두껍게 하기가 존재하면 유일한 동형사상까지 유일하다. 일반적으로 보편 일차 두껍게 하기는 존재하지 않지만, \(h\)가 형식적으로 비분기이면 존재한다. 이를 증명하기 전에, 스킴의 범주에서의 보편 일차 두껍게 하기가 대수공간의 범주에서도 보편 일차 두껍게 하기임을 보이자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z \subset Z'\)을 \(X\) 위의 일차 두껍게 하기라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(Z \subset Z'\)은 보편 일차 두껍게 하기이다.

2. \(T'\)이 스킴인 임의의 도식 (0602)에 대해 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 유일하게 존재한다.

3. \(T'\)이 아핀 스킴인 임의의 도식 (0602)에 대해 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 유일하게 존재한다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3)은 형식적이다.

(3)을 가정하고 임의의 도식 (0602)이 주어졌다고 하자. 표시 \(T' = U'/R'\)을 택하자. Spaces, Definition 0263을 보라. \(U' = \coprod U'_i\)가 아핀들의 분리합이라고 가정해도 된다. 따라서

\(R' = U' \times_{T'} U' = \coprod_{i, j} U'_i \times_T' U'_j\)이다. 각 쌍 \((i, j)\)에 대해 아핀 열린 덮개 \(U'_i \times_T' U'_j = \bigcup_k R'_{ijk}\)를 택하자. \(U_i, R_{ijk}\)로 \(T\)와 취한 섬유곱들을 나타내되, 그 밑은 \(T'\)이라 하자. 그러면 각각의 \(U_i \subset U'_i\)와 \(R_{ijk} \subset R'_{ijk}\)는 아핀 스킴들의 일차 두껍게 하기이다. \(a_i : U_i \to Z\), 각각 \(a_{ijk} : R_{ijk} \to Z\)로 \(a : T \to Z\)와 사상 \(U_i \to T\), 각각 \(R_{ijk} \to T\)의 합성을 나타내자. (3)을 \(a_i : U_i \to Z\)에 적용하여 유일한 사상 \(a'_i : U'_i \to Z'\)을 얻는다. (3)을 \(a_{ijk}\)에 적용하면 두 합성

\(R'_{ijk} \to R'_i \to Z'\)와 \(R'_{ijk} \to R'_j \to Z'\)가 같음을 알 수 있다. 따라서 \(a' = \coprod a'_i : U' = \coprod U'_i \to Z'\)은 몫 층 \(T' = U'/R'\)로 내려가며, 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to Y \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z \subset Z'\)이 \(Z\)의 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이고 \(Y \to X\)가 형식적으로 에탈이면, \(Z \subset Z'\)은 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다.

증명

이는 형식적이다. 실제로 Lemma 0603에 의해 \(T'\)이 아핀 스킴인 가환 실선 도식 (0602)만 고려하면 충분하다. 합성 \(T \to Z \to Y\)는 \(T' \to Y\)로 유일하게 올라간다. 이는 \(Y \to X\)가 형식적으로 에탈이라고 가정했기 때문이다. 따라서 \(Z \subset Z'\)이 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기라는 사실로부터 원하는 사상 \(a' : T' \to Z'\)을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to Y \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z \to Y\)가 에탈이라고 가정하자.

1. \(Y \subset Y'\)이 \(Y\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이면, 유일한 에탈 사상 \(Z' \to Y'\) 가운데 \(Z = Y \times_{Y'} Z'\)을 만족하는 것(Theorem 05ZH을 보라)은 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다.

2. \(Z \to Y\)가 전사이고 \((Z \subset Z') \to (Y \subset Y')\)이 \(X\) 위 일차 두껍게 하기의 에탈 사상이며, \(Z'\)이 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이면, \(Y'\)은 \(Y\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다.

증명

(1)의 증명. Lemma 0603에 의해 \(T'\)이 아핀 스킴인 가환 실선 도식 (0602)만 고려하면 충분하다. 합성 \(T \to Z \to Y\)는 \(T' \to Y'\)로 유일하게 올라간다. 이는 \(Y'\)이 보편 일차 두껍게 하기이기 때문이다. 그러면 \(Z' \to Y'\)이 에탈이라는 사실로부터(Lemma 04AL을 보라) \(T' \to Y'\)는 원하는 사상 \(a' : T' \to Z'\)로 올라간다.

(2)의 증명. \(T \subset T'\)을 \(X\) 위의 일차 두껍게 하기라 하고, \(a : T \to Y\)를 사상이라 하자. \(W = T \times_Y Z\)라 놓고

\(c : W \to Z\)로 사영을 나타내자. 유일한 에탈 사상 \(W' \to T'\) 가운데 \(W = T \times_{T'} W'\)을 만족하는 것을 취하자. Theorem 05ZH을 보라. \(W' \to T'\)은 전사이다. 이는 \(Z \to Y\)가 전사이기 때문이다. 가정에 의해 유일한 사상 \(c' : W' \to Z'\)을 얻으며, 이는 \(X\) 위의 사상이고 \(c\)로 제한되는데 그 제한은 \(W\) 위에서 취한다. 유일성에 의해 \(c'\)의 \(W' \times_{T'} W'\)로의 두 제한은 같다(이는 \(c\)의 \(W \times_T W\)로의 두 제한이 같기 때문이다). 따라서 \(c'\)은 유일한 사상 \(a' : T' \to Y'\)로 내려가며, 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자. 보편 일차 두껍게 하기 \(Z \subset Z'\)이 존재하며, 이는 \(Z\)의 \(X\) 위에 있다.

증명

임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 을 택하되, \(V\)와 \(U\)는 스킴이고 수직 화살표들은 에탈이라 하자. \(V \to U\)가 스킴의 형식적으로 비분기인 사상임을 주목하자. Lemma 04G8을 보라. Lemma 0603과 More on Morphisms, Lemma 04F3을 결합하면 보편 일차 두껍게 하기 \(V \subset V'\)이 존재하며, 이는 \(V\)의 \(U\) 위에 있음을 알 수 있다.

Lemma 0604 part (1)에 의해 \(V'\)은 \(V\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다.

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 고정하자. 위 논증은 임의의 에탈 사상 \(V \to Z\)에 대해 다음을 보인다. \(V\)가 스킴이고 \(V \to Z \to X\)가 \(U\)를 통해 인수분해되면 보편 일차 두껍게 하기 \(V \subset V'\)이 존재하며, 이는 \(V\)의 \(X\) 위에 있다(그러나 이는 \(V \to X\)를 \(U\)를 통해 인수분해하는 방식의 선택에는 의존하지 않는다). 이제 \(V\)를 택하되 \(V \to Z\)가 전사 에탈이 되게 할 수 있다(Spaces, Lemma 02X1을 보라). 그러면

\(R = V \times_Z V\)는 \(Z\) 위에서 에탈인 스킴이고, \(R \to X\)도 \(U\)를 통해 인수분해된다. 따라서 보편 일차 두껍게 하기 \(V \subset V'\)과 \(R \subset R'\)을 얻으며, 둘 다 \(X\) 위에 있다. \(V \subset V'\)이 보편 일차 두껍게 하기이므로 두 사영 \(s, t : R \to V\)는 사상 \(s', t': R' \to V'\)로 올라간다. Lemma 0605에 의해 \(R'\)이 \(R\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이므로 이 사상들은 에탈이다.

그러면 \((t', s') : R' \to V'\)는 에탈 동치관계이고 \(Z' = V'/R'\)라 놓을 수 있다. \(V' \to Z'\)이 전사 에탈이고

\(v'\)이 \(V\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이므로

Lemma 0604 part (2)에 의해 \(Z'\)은 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자.

1. \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기는 Lemma 0606에서 구성한 두껍게 하기 \(Z \subset Z'\)이다.

2. \(Z\)의 \(X\) 위의 여법선층은 \(Z\)의 보편 일차 두껍게 하기 \(Z'\) 안에서 \(X\) 위로 본 여법선층이다.

이 상황에서 여법선층은 흔히 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)로 나타낸다.

따라서 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] 이 있으며, 이는 \(Z_\etale\) 위에 있다. 또한 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다. 다음 보조정리는 이 정의가 \(Z \to X\)가 몰입인 경우의 정의와 충돌하지 않음을 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 몰입이라 하자. 그러면

1. \(i\)는 형식적으로 비분기이다.

2. \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기는 Definition 05ZV의 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 일차 무한소 근방이다.

3. Definition 04CN의 의미에서의 \(i\)의 여법선층은 Definition 0607의 의미에서의 \(i\)의 여법선층과 일치한다.

증명

대수공간의 몰입은 정의에 의해 표현 가능한 사상이다. 따라서 Morphisms, Lemmas 02GB and 02GC에 의해 몰입은 비분기이다(Spaces, Lemma 02YO의 추상 원리를 사용한다). 그러므로 Lemma 04GA에 의해 형식적으로 비분기이다. 나머지 주장들은 Lemmas 05ZW and 05ZX과 정의들을 결합하면 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자. 그러면 보편 일차 두껍게 하기 \(Z'\)은 \(X\) 위에서 형식적으로 비분기이다.

증명

\(T \subset T'\)을 \(X\) 위 아핀 스킴의 일차 두껍게 하기라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] 을 취하자. \(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\)와 \(T'_a = a^{-1}(Z)\)를 놓자(스킴론적으로 취한다). \(Z'\)이 \(Z\)의 일차 두껍게 하기이므로 \(T'\)은 \(T'_a\)의 일차 두껍게 하기이다. 더욱이 \(c = a|_T\)이므로 \(T_0 = T \cap T'_a\)이다(스킴론적으로 취한다). \(T'\)이 \(T\)의 일차 두껍게 하기이므로 \(T'_a\)는 \(T_0\)의 일차 두껍게 하기이다. 이제 \(a|_{T'_a}\)와 \(b|_{T'_a}\)는 \(T'_a\)에서 \(Z'\)으로 가는 \(X\) 위의 사상들이고, \(T_0\) 위에서는 \(Z\)으로 가는 사상으로서 일치한다. 따라서 \(Z'\)의 보편 성질에 의해 \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\)임을 얻는다.

따라서 \(a\)와 \(b\)는 일차 두껍게 하기 \(T'\)에서 출발하는 사상들이며, 이는 \(T'_a\)의 두껍게 하기이다. 이들의 \(T'_a\)로의 제한은 \(Z\)으로 가는 사상으로서 일치한다. 그러므로 \(Z'\)의 보편 성질을 다시 한 번 사용하면 \(a = b\)를 얻는다. 다시 말해 형식적으로 비분기인 사상의 정의 성질이 원하는 대로 \(Z' \to X\)에 대해 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 을 생각하되, \(h\)와 \(h'\)은 형식적으로 비분기라 하자. \(Z \subset Z'\)을 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기라 하자. \(W \subset W'\)을 \(W\)의 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기라 하자. 두껍게 하기의 표준 사상 \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\)이 존재하며, 이는 \(Y\) 위에 있고 다음 가환 도식에 들어맞는다. \[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] 특히 두껍게 하기의 사상 \((f, f')\)은 여법선층의 사상 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)를 유도한다.

증명

첫째 주장은 \(W'\)의 보편 성질에서 명백하다. 여법선층 위의 유도 사상은 \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\)에 Lemma 04CP을 적용하여 얻는 사상이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 이 \(S\) 위의 섬유곱 도식이고 \(h'\)이 형식적으로 비분기라고 하자. 그러면 \(h\)는 형식적으로 비분기이며, \(W \subset W'\)이 \(W\)의 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이면 \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\)은 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다. 특히 Lemma 060A의 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 전사이다.

증명

사상 \(h\)는 Lemma 0600에 의해 형식적으로 비분기이다. \(X \times_Y W'\)이 일차 두껍게 하기임은 명백하다. \(W'\)이 보편 성질을 가지므로 이것도 보편 성질을 가짐을 섬유곱의 사상 성질로 곧바로 확인할 수 있다. 이것이 여법선층 사상의 전사성을 함의하는 이유는 Lemma 04CQ을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 이 \(S\) 위의 섬유곱 도식이고 \(h'\)이 형식적으로 비분기이며 \(g\)가 평탄하다고 하자. 이 경우 보편 일차 두껍게 하기들의 대응하는 사상 \(Z' \to W'\)은 평탄하고, \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 동형사상이다.

증명

평탄성은 밑변환 아래 보존된다. Morphisms of Spaces, Lemma 03MO을 보라. 따라서 첫째 주장은 Lemma 060B에 나오는 \(W'\)의 서술에서 따른다. \(X \times_Y W'\)이 일차 두껍게 하기임은 명백하다. \(W'\)이 보편 성질을 가지므로 이것도 보편 성질을 가짐을 섬유곱의 사상 성질로 곧바로 확인할 수 있다. 이것이 여법선층 사상의 동형성을 함의하는 이유는 Lemma 04CQ을 보라.

보조정리

보편 일차 두껍게 하기를 취하는 것은 에탈 국소화와 가환한다. 더 정확히, \(h : Z \to X\)를 밑 스킴 \(S\) 위 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자. 수직 화살표들이 에탈인 가환 도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 을 취하자. \(Z'\)을 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기라 하자. 그러면 \(V \to U\)는 형식적으로 비분기이고, 보편 일차 두껍게 하기 \(V'\)은 \(V\)의 \(U\) 위에 있으며 \(Z'\) 위에서 에탈이다. 특히 \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\)이다.

증명

첫째 주장은 Lemma 04G8이다. 보편 일차 두껍게 하기들의 양립성은 Lemmas 0604 and 0605의 결과이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(B\) 위 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자. \(Z \subset Z'\)을 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기라 하고, 그 구조 사상을 \(h' : Z' \to X\)라 하자. 표준 사상

\[\text{d}h' : (h')^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z'/B}\] 은 동형사상 \(h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z'/B} \otimes \mathcal{O}_Z\)을 유도한다.

증명

사상 \(c_{h'}\)는 Lemma 04CX에서 정의한 사상이다. \(i : Z \to Z'\)을 주어진 폐몰입이라 하면 \(i^*c_{h'}\)는 사상

\(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\)이다. 이것이 동형사상임을 확인하는 일은 에탈 국소화에 의해 스킴의 경우로 환원된다. Lemma 060D와 Lemma 04CU를 보라. 이 경우 결과는 More on Morphisms, Lemma 04FB이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(B\) 위 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자. 표준 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0.\] 이 존재한다. 첫째 화살표는 \(\text{d}_{Z'/B}\)에 의해 유도된다.

여기서 \(Z'\)은 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 근방이다.

증명

표준 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] 이 존재함을 알고 있다.

Lemma 05ZA을 보라. 따라서 Lemma 060E를 적용하면 결과가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] 이 \(S\) 위에 있고 \(i\)와 \(j\)가 형식적으로 비분기라고 하자. 그러면 표준 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] 이 존재한다. 첫째 화살표는 Lemma 060A에서, 둘째 화살표는 Lemma 060F에서 온다.

증명

사상들이 이미 정의되었으므로 열이 완전함을 확인하는 일은 에탈 국소화에 의해 스킴의 경우로 환원된다. Lemma 060D와 Lemma 04CU를 보라. 이 경우 결과는 More on Morphisms, Lemma 067V이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to Y \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상들이라 하자.

1. \(Z \subset Z'\)이 \(Z\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이고 \(Y \subset Y'\)이 \(Y\)의 \(X\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이면, 사상 \(Z' \to Y'\)이 존재하고 \(Y \times_{Y'} Z'\)은 \(Z\)의 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기이다.

2. 표준 완전열 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 이 존재하며, 여기의 사상들은 Lemma 060A에서 온다. 여기서 \(i : Z \to Y\)는 첫째 사상이다.

증명

(1)의 사상 \(h : Z' \to Y'\)은 Lemma 060A에서 온다. \(Y \times_{Y'} Z'\)이 \(Z\)의 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기라는 주장은 \(Z'\)과 \(Y'\)의 보편 성질에서 명백하다. Lemma 06BD에 의해 완전열 \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] 이 있다. 여기서 \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\)은 주어진 사상이다. Lemma 04CQ에 의해 전사 \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\)가 존재한다. 이를 등식 \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\), \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\), 그리고 \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\)와 결합하면 보조정리를 얻는다.

형식적 에탈 사상

이 절에서는 대수공간의 사상이 형식적으로 에탈이라는 것이 무엇을 뜻하는지 살펴본다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 이 사상이 형식적으로 에탈이라는 것은 Definition 049S에서처럼 함자의 변환으로서 형식적으로 에탈이라는 뜻이다.

Section 04G3에서 함자의 형식적 에탈 변환이라는 더 일반적인 상황에서 증명한 결과들은 여기서 다시 진술하지 않는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 에탈이다.

2. 모든 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)가 스킴이고 수직 화살표들이 에탈이면, 스킴의 사상 \(\psi\)는 형식적으로 에탈이다(More on Morphisms, Definition 02HG의 의미에서).

3. 수직 화살표들이 전사인 그러한 도식 하나에 대해 사상 \(\psi\)가 형식적으로 에탈이다.

증명

\(f\)가 형식적으로 에탈이라고 가정하자. Lemma 04AL에 의해 사상 \(U \to X\)와 \(V \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. 따라서 Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. 그러면 Lemma 04G5에서 \(U \to V\)가 형식적으로 에탈임이 따른다. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다. 그리고 (2)는 (3)을 자명하게 함의한다.

(3)에서와 같은 도식이 주어졌다고 가정하자. Lemma 04AL에 의해 사상 \(V \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. 따라서 Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. 그러면 Lemma 04CY에서 \(X \to Y\)가 형식적으로 에탈임, 즉 (1)이 성립함이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 형식적으로 에탈인 사상이라 하자. 그러면 임의의 가환 실선 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]_a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(Y\) 위 대수공간의 일차 두껍게 하기이면, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다. 다시 말해 Definition 04GC에서 \(T\)가 아핀이라는 조건을 버릴 수 있다.

증명

\(U' \to T'\)을 전사 에탈 사상이라 하되, \(U' = \coprod U'_i\)가 아핀 스킴들의 분리합이라 하자. \(U_i = T \times_{T'} U'_i\)라 놓자. 그러면 \(a'_i : U'_i \to X\)라는 사상들을 얻으며, \(a'_i|_{U_i}\)는 합성 \(U_i \to T \to X\)와 같다. 유일성에 의해(Lemma 05ZY을 보라) \(a'_i\)와 \(a'_j\)는 섬유곱 \(U'_i \times_{T'} U'_j\) 위에서 일치한다. 따라서 \(\coprod a'_i : U' \to X\)는 내려가서 유일한 사상 \(a' : T' \to X\)를 준다.

보조정리

형식적으로 에탈인 사상들의 합성은 형식적으로 에탈이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

형식적으로 에탈인 사상의 밑변환은 형식적으로 에탈이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 에탈이다.

2. \(f\)는 형식적으로 비분기이고 \(X\)의 \(Y\) 위의 보편 일차 두껍게 하기가 \(X\)와 같다.

3. \(f\)는 형식적으로 비분기이고 \(\mathcal{C}_{X/Y} = 0\)이다.

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\)이고 \(\mathcal{C}_{X/Y} = 0\)이다.

증명

사실 마지막 주장은 \(\Omega_{X/Y} = 0\)이 Lemma 04G9와 Definition 0607을 통해 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)가 정의된다는 것을 함의하기 때문에만 의미가 있다. 이것으로 (3)과 (4)가 동치임도 명백해진다.

가정 (1), (2), (3) 각각은 \(f\)가 형식적으로 비분기임을 함의한다. 따라서 \(f\)가 형식적으로 비분기라고 가정해도 된다.

(1), (2), (3)의 동치는 보편 일차 두껍게 하기

\(X'\)의 보편 성질에서 따른다. 여기서 이는 \(X\)의 \(S\) 위의 것이며, 또한 \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/Y} = 0\)이라는 사실을 쓴다. 왜냐하면 정의에 의해 \(\mathcal{C}_{X/Y} = \mathcal{C}_{X/X'}\)는 결국 \(X\)의 아이디얼 층이며, 이를 \(X'\) 안에서 취하기 때문이다.

보조정리

비분기 평탄 사상은 형식적으로 에탈이다.

증명

스킴의 경우에서 따른다. More on Morphisms, Lemma 04FF을 보라. 또한 에탈 국소화에 대해서는 Lemmas 04G8 and 04GD와 Morphisms of Spaces, Lemma 03MM을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 에탈이다.

2. 사상 \(f\)는 국소 유한 표시이고 형식적으로 에탈이다.

증명

스킴의 경우에서 따른다. More on Morphisms, Lemma 02HM을 보라. 또한 에탈 국소화에 대해서는 Lemma 04GD와 Morphisms of Spaces, Lemmas 0410 and 03XT을 보라.

사상의 무한소 변형

이 절에서는 미분을 사용하여 사상을 무한소적으로 움직이는 방법을 설명한다. 이 절 전체에서 두껍게 하기 \(X'\) 위의 층을 생각하되, 이는 \(X\)의 두껍게 하기이고, 그 층을 \(X\) 위의 층으로 볼 수 있다는 사실을 사용한다. 식 (05ZL)와 (05ZM)를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X \subset X'\)과 \(Y \subset Y'\)을 \(B\) 위 대수공간의 두 일차 두껍게 하기라 하자. \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(B\) 위 두껍게 하기의 두 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(a = b\)이다.

2. 두 사상 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) (Lemma 04CP)가 같다.

그러면 사상 \((a')^\sharp - (b')^\sharp\)는 다음과 같이 인수분해된다. \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] 여기서 \(D\)는 \(\mathcal{O}_B\)-미분이다.

증명

\(Y\) 위에서 작업하는 대신 \(X\) 위에서 작업하자. 장점은 당김 함자 \(a^{-1}\)가 완전하다는 점이다. (1)과 (2)를 사용하여 행들이 완전한 가환 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻는다. 이제 이러한 상황에서 \(\mathcal{O}_B\)-대수 사상 \((a')^\sharp\)와 \((b')^\sharp\)의 차가 \(\mathcal{O}_B\)-미분이며, \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\)에서 \(\mathcal{C}_{X/X'}\)로 간다는 것은 일반적 사실이다. 함자 \(a^{-1}\)와 \(a_*\)의 수반성에 의해 이는 \(\mathcal{O}_B\)-미분으로서 \(\mathcal{O}_Y\)에서 \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\)로 가는 것과 같다. 일부 세부사항은 생략한다.

위 보조정리의 상황에서 \(D\)를 [0619]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/B} \circ \theta \end{equation}\] 로 쓸 수 있음을 주목하자. 여기서 \(\theta\)는 \(\mathcal{O}_Y\)-선형 사상 \(\theta : \Omega_{Y/B} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\)이다. 물론 다시 수반성을 사용하면 \(\theta\)를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상 \(\theta : a^*\Omega_{Y/B} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)로 볼 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(B\) 위 일차 두껍게 하기의 사상이라 하자. 사상 \[\theta : a^*\Omega_{Y/B} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] 이 \(\mathcal{O}_X\)-선형이라고 하자. 그러면 쌍들의 유일한 사상 \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)가 존재하여 Lemma 0618의 (1)과 (2)를 만족하고, 미분 \(D\)와 \(\theta\)는 식 (0619)으로 관련된다.

증명

사상 \[\alpha = (a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] 을 생각하자. 여기서 \(D\)는 식 (0619)에서와 같다. \(D\)가 \(\mathcal{O}_B\)-미분이므로 \(\alpha\)는 \(\mathcal{O}_B\)-대수들의 층의 사상이다. 구성에 의해 \(i_X^\sharp \circ \alpha = a^\sharp \circ i_Y^\sharp\)이다. 여기서 \(i_X : X \to X'\)과 \(i_Y : Y \to Y'\)은 주어진 폐몰입들이다. Lemma 05ZN에 의해 유일한 사상 \((a, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)을 얻으며, 이는 \(B\) 위 두껍게 하기의 사상이고 \(\alpha = (b')^\sharp\)이다. \(b = a\)라 놓으면 원하는 결론을 얻는다.

주

가정과 표기는 Lemma 04D0에서와 같다. 국소 절단 \(\theta\)가 \(a'\)에 작용한 결과를 때때로 \(\theta \cdot a'\)로 나타낸다. 이는 \((a')^\sharp\)와 \((\theta \cdot a')^\sharp\)의 차가 미분 \(D\)이며, 이 미분이 \(\theta\)와 식 (0619)으로 관련된다는 것 외에 아무 의미도 없다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X \subset X'\)과 \(Y \subset Y'\)을 \(B\) 위의 일차 두껍게 하기라 하자. 사상 \(a : X \to Y\)와 사상 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)가 주어졌다고 가정하자. 후자는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상이다. 대상 \(U'\)을 취하되 이는 \((X')_{spaces, \etale}\)의 대상이라 하자. \(U = X \times_{X'} U'\)이라 하고, 다음을 만족하는 사상 \(a' : U' \to Y'\)들을 생각하자.

1. \(a'\)은 \(B\) 위의 사상이다.

2. \(a'|_U = a|_U\)이다.

3. 유도 사상 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\)는 \(A\)를 \(U\)에 제한한 것이다.

그러면 규칙 [061B]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{로서 (1), (2), (3)을 만족하는 것}\} \end{equation}\] 은 \((X')_{spaces, \etale}\) 위 집합의 층을 정의한다.

증명

\(\mathcal{F}\)로 보조정리의 규칙을 나타내자. 제한 사상 \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\)을 생각하자. 이는 \(V' \subset U' \subset X'\)에 대한 \(\mathcal{F}\)의 것이고, 실제로 제한 사상 \(a' \mapsto a'|_{V'}\)이다. 이 정의 아래에서 \(\mathcal{F}\)가 층임은 명백하다. 대수공간의 사상들이 에탈 내림을 만족하기 때문이다. Descent on Spaces, Lemma 04P2를 보라.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 061A에서와 같다. 식 (05ZL)을 통해 \(X\)와 \(X'\) 위의 층들을 동일시한다. 층 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/B}, \mathcal{C}_{X/X'})\] 은 식 (061B)의 층에 작용한다. 더욱이 대상 \(U'\)을 취하되 이는 \((X')_{spaces, \etale}\)의 대상이라 하자. 이 대상 위에서 식 (061B)의 층이 절단을 가질 때마다 이 작용은 단순 추이적이다.

증명

Lemmas 0618, 04D0, and 061A를 결합하면 된다.

주

Lemmas 0618, 04D0, 061A, and 061C의 특수한 경우로 \(Y = Y'\)인 경우가 있다. 이 경우 사상 \(A\)는 항상 영이다. Lemma 061A의 층은 단지 규칙 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{는 }B\text{ 위에 있고 } a'|_U = a|_U\}\] 으로 주어지며, 여기에 층 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/B}, \mathcal{C}_{X/X'})\)이 작용한다.

주

Lemmas 0618, 04D0, 061A, and 061C의 또 다른 특수한 경우로, \(B\) 자체가 두껍게 하기 \(Z \subset Z' = B\)이고 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)인 경우가 있다. 그림으로는 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] 이다. 이 경우 사상 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)는 \(a\)에 의해 결정된다. 사상 \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\)는 전사이다 (우리가 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)이라 가정했기 때문이다). 따라서 당김 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\)은 전사이고, 합성 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)은 \(g'\)이 유도하는 표준 사상이어야 한다. 따라서 Lemma 061A의 층은 단지 규칙 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{는 }Z'\text{ 위에 있고 } a'|_U = a|_U\}\] 으로 주어지며, 여기에 층 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\)이 작용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 일차 두껍게 하기들의 가환 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{그리고 가환} \\ \text{도식} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & B_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & B_1 } }\] 을 생각하자. 이들은 \(S\) 위의 대수공간들이며, \(X_2 \to X_1\)과 \(B_2 \to B_1\)은 에탈이라 하자. 임의의 \(\mathcal{O}_{T_1}\)-선형 사상 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/B_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\)에 대해 \(\theta_2\)를 합성 \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/B_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/B_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] 이라 하자(등호는 증명에서 설명한다). 그러면 도식 \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] 은 가환한다. 여기서 작용 \(\theta_2 \cdot a_2'\)과 \(\theta_1 \cdot a_1'\)은 Remark 0CK6에서와 같다.

증명

등호는 동일시

\(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\)에서 온다. 미분층의 구성이 에탈 국소화와 양립하기 때문에 이 동일시를 얻는다(원천과 타깃 모두에 대해). Lemma 04CU를 보라. 구체적으로 이를 사용하면

\(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\)을 얻는다. 이는 \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\)이기 때문이다.

이제 도식의 가환성은 에탈 국소적으로 확인할 수 있다. 따라서 \(T'_i\), \(X'_i\), \(B_2\), \(B_1\)이 스킴이라고 가정해도 되며, 이 경우 보조정리는 More on Morphisms, Lemma 04BY에서 따른다. 다른 증명은 다음과 같다. Lemma 05ZN를 사용하면 \(X_1'\) 위 환의 층들의 어떤 도식이 가환임을 보이면 충분하다. 그런 다음 앞서 말한 More on Morphisms, Lemma 04BY의 증명과 정확히 같은 논증으로 실제로 그렇다는 것을 알 수 있다.

대수공간의 무한소 변형

다음의 간단한 보조정리는 사상의 무한소 변형이 평탄한지 확인할 때 흔히 편리한 도구가 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(S\) 위 대수공간의 일차 두껍게 하기 사이의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄하다고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f'\)은 평탄하고 \(X = Y \times_{Y'} X'\)이다.

2. 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)는 동형사상이다.

증명

스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to Y'\)을 택하자. 스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to X' \times_{Y'} V'\)을 택하자. \(U = X \times_{X'} U'\)와 \(V = Y \times_{Y'} V'\)라 놓자. 대수공간의 평탄 사상에 대한 우리의 정의에 따르면 유도 사상 \(g : U \to V\)가 스킴의 평탄 사상이고, \(f'\)이 평탄인 것과 대응하는 사상 \(g' : U' \to V'\)이 평탄인 것은 동치이다. 또한 \(X = Y \times_{Y'} X'\)인 것과

\(U = V \times_{V'} V'\)인 것은 동치이다. 마지막으로 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)가 동형사상인 것과 \(g^*\mathcal{C}_{V/V'} \to \mathcal{C}_{U/U'}\)가 동형사상인 것은 동치이다. 따라서 보조정리는 스킴 사상에 대한 유사 명제에서 따른다. More on Morphisms, Lemma 063Y을 보라.

다음 보조정리는 “섬유별 평탄성 판정법”의 “멱영” 판이다. Section 05WX를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 두껍게 하기들의 도식이다. 다음을 가정하자.

1. \(X'\)은 \(B'\) 위에서 평탄하다.

2. \(f\)는 평탄하다.

3. \(B \subset B'\)은 유한 차수 두껍게 하기이다.

4. \(X = B \times_{B'} X'\)이고 \(Y = B \times_{B'} Y'\)이다.

그러면 \(f'\)은 평탄하고, \(Y'\)은 \(B'\) 위에서 \(f'\)의 상에 속하는 모든 점에서 평탄하다.

증명

스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to B'\)을 택하자. 스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\)을 택하자. 스킴 \(W'\)과 전사 에탈 사상 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\)을 택하자. \(U, V, W\)를 \(U', V', W'\)의 밑변환이라 하되, 이 밑변환은 \(B \to B'\)에 의해 취하자. 그러면 \(f'\)의 평탄성은 \(W' \to V'\)의 평탄성과 동치이고, \(W \to V\)가 평탄하다는 것이 주어졌다. 따라서 스킴의 두껍게 하기들의 도식 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 에 스킴의 경우의 보조정리를 적용할 수 있다. More on Morphisms, Lemma 06AF를 보라. \(Y'/B'\)의 평탄성에 관한 주장도 \(f'\)의 상에 속하는 점들에서 같은 방식으로 따른다.

스킴 사상의 많은 성질은 평탄 변형 아래 보존된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 두껍게 하기들의 도식이다. \(B \subset B'\)이 유한 차수 두껍게 하기이고, \(X'\)이 \(B'\) 위에서 평탄하며, \(X = B \times_{B'} X'\)이고 \(Y = B \times_{B'} Y'\)이라고 가정하자. 그러면

1. \(f\)가 표현 가능한 것과 \(f'\)이 표현 가능한 것은 동치이다. [0CG7]

2. \(f\)가 평탄한 것과 \(f'\)이 평탄한 것은 동치이다. [0CG8]

3. \(f\)가 동형사상인 것과 \(f'\)이 동형사상인 것은 동치이다. [0CG9]

4. \(f\)가 열린 몰입인 것과 \(f'\)이 열린 몰입인 것은 동치이다. [0CGA]

5. \(f\)가 준콤팩트인 것과 \(f'\)이 준콤팩트인 것은 동치이다. [0CGB]

6. \(f\)가 보편 닫힌인 것과 \(f'\)이 보편 닫힌인 것은 동치이다. [0CGC]

7. \(f\)가 (준)분리인 것과 \(f'\)이 (준)분리인 것은 동치이다. [0CGD]

8. \(f\)가 단사상인 것과 \(f'\)이 단사상인 것은 동치이다. [0CGE]

9. \(f\)가 전사인 것과 \(f'\)이 전사인 것은 동치이다. [0CGF]

10. \(f\)가 보편 단사인 것과 \(f'\)이 보편 단사인 것은 동치이다. [0CGG]

11. \(f\)가 아핀인 것과 \(f'\)이 아핀인 것은 동치이다. [0CGH]

12. \(f\)가 국소 유한형인 것과 \(f'\)이 국소 유한형인 것은 동치이다.

13. \(f\)가 국소 준유한인 것과 \(f'\)이 국소 준유한인 것은 동치이다. [0CGJ]

14. \(f\)가 국소 유한 표시인 것과 \(f'\)이 국소 유한 표시인 것은 동치이다.

15. \(f\)가 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것과 \(f'\)이 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것은 동치이다.

16. \(f\)가 보편 열린인 것과 \(f'\)이 보편 열린인 것은 동치이다. [0CGM]

17. \(f\)가 신토믹인 것과 \(f'\)이 신토믹인 것은 동치이다. [0CGN]

18. \(f\)가 매끄러운 것과 \(f'\)이 매끄러운 것은 동치이다. [0CGP]

19. \(f\)가 비분기인 것과 \(f'\)이 비분기인 것은 동치이다. [0CGQ]

20. \(f\)가 에탈인 것과 \(f'\)이 에탈인 것은 동치이다. [0CGR]

21. \(f\)가 고유인 것과 \(f'\)이 고유인 것은 동치이다. [0CGS]

22. \(f\)가 정수적인 것과 \(f'\)이 정수적인 것은 동치이다. [0CGT]

23. \(f\)가 유한인 것과 \(f'\)이 유한인 것은 동치이다. [0CGU]

24. \(f\)가 유한 국소 자유(랭크 \(d\))인 것과 \(f'\)이 유한 국소 자유 (랭크 \(d\))인 것은 동치이다.

25. 여기에 더 추가할 것.

증명

경우 (0CG7)는 Lemma 09ZY에서 따른다.

스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to B'\)을 택하자. 스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\)을 택하자. 스킴 \(W'\)과 전사 에탈 사상 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\)을 택하자. \(U, V, W\)를 \(U', V', W'\)의 밑변환이라 하되, 이 밑변환은 \(B \to B'\)에 의해 취하자. 스킴의 두껍게 하기들의 도식 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 을 생각하자. 원천과 타깃에 대해 에탈 국소적인 성질들 각각에 대해서는, 위 도식에 스킴의 두껍게 하기 사이의 사상에 관한 대응 결과를 적용하면 결론이 즉시 따른다. 따라서 경우 (0CG8), (0CGI), (0CGJ), (0CGK), (0CGL), (0CGN), (0CGP), (0CGQ), (0CGR)는 More on Morphisms, Lemma 06AG의 대응하는 경우들에서 따른다.

\(X \to X'\)과 \(Y \to Y'\)은 보편 위상동형이므로, 사상 \(X \to Y\)와 \(X' \to Y'\)의 위상에 관한 모든 물음은 같은 답을 갖는다. 따라서 경우 (0CGB), (0CGC), (0CGF), (0CGG), and (0CGM)가 성립한다.

남은 경우 각각에서는 함의 \(f\text{가 }P \Rightarrow f'\text{이 }P\) 만 증명한다. 다른 함의는 \(P\)가 밑변환 아래 안정적이라는 사실에서 따른다. Spaces, Lemma 02YW와 Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL, 042P, 03WI, 04WP, 03ZS, and 03ZY를 보라.

경우 (0CGA). \(f\)가 열린 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(f'\)은 (0CGR)에 의해 에탈이고 (0CGG)에 의해 보편 단사이므로 \(f'\)은 열린 몰입이다. Morphisms of Spaces, Lemma 05W5을 보라. 먼저 (0CG7)을 사용하여 스킴의 경우로 환원하면 이 보조정리를 쓰지 않을 수도 있다.

경우 (0CG9). 경우 (0CGA)과 (0CGF)에서 따른다.

경우 (0CGD). Lemma 09ZY를 보라.

경우 (0CGE). \(f\)가 단사상이라고 가정하자. 대각 사상 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)을 생각하자. \(\Delta_{X'/Y'}\)의 밑변환은, 이를 \(B \to B'\)에 의해 취할 때 \(\Delta_{X/Y}\)이고, 이는 가정에 의해 동형사상이다. (0CG9)에 의해 \(\Delta_{X'/Y'}\)가 동형사상이라고 결론 내리며, 따라서 \(f'\)은 단사상이다.

경우 (0CGH). Lemma 09ZY를 보라.

경우 (0CGS). Lemma 09ZZ을 보라.

경우 (0CGT). Lemma 09ZY를 보라.

경우 (0CGU). Lemma 09ZZ을 보라.

경우 (0CGV). \(f\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. (0CGU)에 의해 \(f'\)은 유한이다. (0CG8)에 의해 \(f'\)은 평탄하다. (0CGK)에 의해 \(f'\)은 국소 유한 표시이다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 0416에 의해 \(f'\)은 유한 국소 자유이다.

다음 보조정리는 “섬유별 평탄성 판정법”의 “국소 멱영” 판이다. Section 05WX를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 두껍게 하기들의 도식이다. 다음을 가정하자.

1. \(Y' \to B'\)은 국소 유한형이다.

2. \(X' \to B'\)은 평탄하고 국소 유한 표시이다.

3. \(f\)는 평탄하다.

4. \(X = B \times_{B'} X'\)이고 \(Y = B \times_{B'} Y'\)이다.

그러면 \(f'\)은 평탄하고, 모든 \(y' \in |Y'|\)에 대해 이 점이 \(|f'|\)의 상에 속하면 사상 \(Y' \to B'\)은 \(y'\)에서 평탄하다.

증명

스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to B'\)을 택하자. 스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\)을 택하자. 스킴 \(W'\)과 전사 에탈 사상 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\)을 택하자. \(U, V, W\)를 \(U', V', W'\)의 밑변환이라 하되, 이 밑변환은 \(B \to B'\)에 의해 취하자. 그러면 \(f'\)의 평탄성은 \(W' \to V'\)의 평탄성과 동치이고, \(W \to V\)가 평탄하다는 것이 주어졌다. 따라서 스킴의 두껍게 하기들의 도식 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 에 스킴의 경우의 보조정리를 적용할 수 있다. More on Morphisms, Lemma 0CF3를 보라. \(Y'/B'\)의 평탄성에 관한 주장도 \(f'\)의 상에 속하는 점들에서 같은 방식으로 따른다.

스킴 사상의 많은 성질은 위 보조정리에서와 같은 평탄 변형 아래 보존된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 두껍게 하기들의 도식이다. \(Y' \to B'\)이 국소 유한형이고, \(X' \to B'\)이 평탄하고 국소 유한 표시이며, \(X = B \times_{B'} X'\)이고 \(Y = B \times_{B'} Y'\)이라고 가정하자. 그러면

1. \(f\)가 표현 가능한 것과 \(f'\)이 표현 가능한 것은 동치이다. [0CGY]

2. \(f\)가 평탄한 것과 \(f'\)이 평탄한 것은 동치이다. [0CGZ]

3. \(f\)가 동형사상인 것과 \(f'\)이 동형사상인 것은 동치이다. [0CH0]

4. \(f\)가 열린 몰입인 것과 \(f'\)이 열린 몰입인 것은 동치이다. [0CH1]

5. \(f\)가 준콤팩트인 것과 \(f'\)이 준콤팩트인 것은 동치이다. [0CH2]

6. \(f\)가 보편 닫힌인 것과 \(f'\)이 보편 닫힌인 것은 동치이다. [0CH3]

7. \(f\)가 (준)분리인 것과 \(f'\)이 (준)분리인 것은 동치이다. [0CH4]

8. \(f\)가 단사상인 것과 \(f'\)이 단사상인 것은 동치이다. [0CH5]

9. \(f\)가 전사인 것과 \(f'\)이 전사인 것은 동치이다. [0CH6]

10. \(f\)가 보편 단사인 것과 \(f'\)이 보편 단사인 것은 동치이다. [0CH7]

11. \(f\)가 아핀인 것과 \(f'\)이 아핀인 것은 동치이다. [0CH8]

12. \(f\)가 국소 준유한인 것과 \(f'\)이 국소 준유한인 것은 동치이다. [0CH9]

13. \(f\)가 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것과 \(f'\)이 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것은 동치이다.

14. \(f\)가 보편 열린인 것과 \(f'\)이 보편 열린인 것은 동치이다. [0CHB]

15. \(f\)가 신토믹인 것과 \(f'\)이 신토믹인 것은 동치이다. [0CHC]

16. \(f\)가 매끄러운 것과 \(f'\)이 매끄러운 것은 동치이다. [0CHD]

17. \(f\)가 비분기인 것과 \(f'\)이 비분기인 것은 동치이다. [0CHE]

18. \(f\)가 에탈인 것과 \(f'\)이 에탈인 것은 동치이다. [0CHF]

19. \(f\)가 고유인 것과 \(f'\)이 고유인 것은 동치이다. [0CHG]

20. \(f\)가 유한인 것과 \(f'\)이 유한인 것은 동치이다. [0CHH]

21. \(f\)가 유한 국소 자유(랭크 \(d\))인 것과 \(f'\)이 유한 국소 자유 (랭크 \(d\))인 것은 동치이다.

22. 여기에 더 추가할 것.

증명

경우 (0CGY)는 Lemma 09ZY에서 따른다.

스킴 \(U'\)과 전사 에탈 사상 \(U' \to B'\)을 택하자. 스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\)을 택하자. 스킴 \(W'\)과 전사 에탈 사상 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\)을 택하자. \(U, V, W\)를 \(U', V', W'\)의 밑변환이라 하되, 이 밑변환은 \(B \to B'\)에 의해 취하자. 스킴의 두껍게 하기들의 도식 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 을 생각하자. 원천과 타깃에 대해 에탈 국소적인 성질들 각각에 대해서는, 위 도식에 스킴의 두껍게 하기 사이의 사상에 관한 대응 결과를 적용하면 결론이 즉시 따른다. 따라서 경우 (0CGZ), (0CH9), (0CHA), (0CHC), (0CHD), (0CHE), (0CHF)는 More on Morphisms, Lemma 0CF4의 대응하는 경우들에서 따른다.

\(X \to X'\)과 \(Y \to Y'\)은 보편 위상동형이므로, 사상 \(X \to Y\)와 \(X' \to Y'\)의 위상에 관한 모든 물음은 같은 답을 갖는다. 따라서 경우 (0CH2), (0CH3), (0CH6), (0CH7), and (0CHB)가 성립한다.

남은 경우 각각에서는 함의 \(f\text{가 }P \Rightarrow f'\text{이 }P\) 만 증명한다. 다른 함의는 \(P\)가 밑변환 아래 안정적이라는 사실에서 따른다. Spaces, Lemma 02YW와 Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL, 042P, 03WI, 04WP, 03ZS, and 03ZY를 보라.

경우 (0CH1). \(f\)가 열린 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(f'\)은 (0CHF)에 의해 에탈이고 (0CH7)에 의해 보편 단사이므로 \(f'\)은 열린 몰입이다. Morphisms of Spaces, Lemma 05W5을 보라. 먼저 (0CGY)을 사용하여 스킴의 경우로 환원하면 이 보조정리를 쓰지 않을 수도 있다.

경우 (0CH0). 경우 (0CH1)과 (0CH6)에서 따른다.

경우 (0CH4). Lemma 09ZY를 보라.

경우 (0CH5). \(f\)가 단사상이라고 가정하자. 대각 사상 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)을 생각하자. \(\Delta_{X'/Y'}\)의 밑변환은, 이를 \(B \to B'\)에 의해 취할 때 \(\Delta_{X/Y}\)이고, 이는 가정에 의해 동형사상이다. (0CH0)에 의해 \(\Delta_{X'/Y'}\)가 동형사상이라고 결론 내리며, 따라서 \(f'\)은 단사상이다.

경우 (0CH8). Lemma 09ZY를 보라.

경우 (0CHG). Lemma 0BPJ를 보라.

경우 (0CHH). Lemma 0BPJ를 보라.

경우 (0CHI). \(f\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. (0CHH)에 의해 \(f'\)은 유한이다. (0CGZ)에 의해 \(f'\)은 평탄하다.

또한 Morphisms of Spaces, Lemma 05WT에 의해 \(f'\)은 국소 유한 표시이다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 0416에 의해 \(f'\)은 유한 국소 자유이다.

형식적으로 매끄러운 사상

이 절에서는 대수공간의 형식적으로 매끄러운 사상 \(X \to Y\)라는 개념을 도입한다. 이러한 사상은 \(T\)-값 점을 생각할 때, 이것이 \(X\)의 점이면 \(T\)의 무한소 두껍게 하기로 올라가며, 여기서 \(T\)가 아핀이라는 성질로 특징지어진다. 주요 결과는 형식적으로 매끄럽고 국소 유한 표시인 사상이 매끄럽다는 것이다. Lemma 04AM를 보라. 이 판정법은 야코비 판정법보다 사용하기 쉬운 경우가 많다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 이 사상이 형식적으로 매끄럽다는 것은 Definition 049S에서처럼 함자의 변환으로서 형식적으로 매끄럽다는 뜻이다.

형식적으로 비분기인 사상과 형식적으로 에탈인 사상의 경우에는 \(T'\)이 아핀이라는 조건을 버릴 수 있었다. Lemmas 05ZY and 0611를 보라. 형식적으로 매끄러운 사상의 경우에는 더 이상 그렇지 않다. 사실 조금 더 자연스러운 조건은 \(T'\) 위 에탈 국소적으로 점선 화살표를 채울 수 있어야 한다는 것이다. Lemma 04AM의 증명을 분석하면 이 조건이 현재 형태의 정의와 동치임을 알 수 있다. 또한 \(T'\) 위 fppf 국소적으로 점선 화살표의 존재를 요구하는 것으로도 충분하지만, 이를 증명하기는 조금 더 어렵다.

Section 04G3에서 함자의 형식적으로 매끄러운 변환이라는 더 일반적인 상황에서 증명한 결과들은 여기서 다시 진술하지 않는다.

보조정리

형식적으로 매끄러운 사상들의 합성은 형식적으로 매끄럽다.

증명

생략한다.

보조정리

형식적으로 매끄러운 사상의 밑변환은 형식적으로 매끄럽다.

증명

생략한다. 다만 대수적 판에 대해서는 Algebra, Lemma 00TJ를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 형식적으로 에탈인 것과 \(f\)가 형식적으로 매끄럽고 형식적으로 비분기인 것은 동치이다.

증명

생략한다.

다음은 Lemma 061K에 의해 대체될 보조정리이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 사상들로 이루어진다. 수직 화살표들이 에탈이고 \(f\)가 형식적으로 매끄러우면 \(\psi\)도 형식적으로 매끄럽다.

증명

Lemma 04AL에 의해 사상 \(U \to X\)와 \(V \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 매끄럽다. Lemma 04G5에 의해 \(\psi : U \to V\)가 형식적으로 매끄러움을 알 수 있다.

다음 보조정리는 이 절의 주요 결과이다. Limits of Spaces, Proposition 04AK과 결합하면, 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 매끄러운지 함자의 변환 \(X \to Y\)의 “단순한” 성질들로 판별할 수 있음을 함의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 매끄럽다.

2. 사상 \(f\)는 국소 유한 표시이고 형식적으로 매끄럽다.

증명

\(f : X \to S\)가 국소 유한 표시이며 형식적으로 매끄럽다고 가정하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 에탈 전사이다. Lemma 061H에 의해 \(\psi : U \to V\)가 형식적으로 매끄러움을 알 수 있다. Morphisms of Spaces, Lemma 0410에 의해 사상 \(\psi\)는 국소 유한 표시이다. 따라서 스킴의 경우에 의해 사상 \(\psi\)는 매끄럽다. More on Morphisms, Lemma 02H6를 보라. 그러므로 \(f\)는 매끄럽다. Morphisms of Spaces, Lemma 03ZF을 보라.

역으로 \(f : X \to Y\)가 매끄럽다고 가정하자. Definition 060G에서와 같은 실선 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. 점선 화살표가 존재함을 보여서 \(f\)가 형식적으로 매끄러움을 증명하겠다. \(\mathcal{F}\)를 \((T')_{spaces, \etale}\) 위의 Lemma 061A의 집합 층이라 하되, Remark 061D에서 논한 특별한 경우를 취하자. 또한 \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] 를 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 층이라 하며, 이는 \(T_{spaces, \etale}\) 위에 놓인다. 여기에 Lemma 061C에서와 같은 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)를 취한다. 이 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)를 유사 \(\mathcal{H}\)-토서로 만든다. Cohomology on Sites, Definition 03AH를 보라. 목표는 \(\mathcal{F}\)가 자명한 \(\mathcal{H}\)-토서임을 보이는 것이다. 두 단계가 있다. (I) \(\mathcal{F}\)가 토서임을 보이려면 \(\mathcal{F}\)가 에탈 국소적으로 단면을 가짐을 보여야 한다. (II) \(\mathcal{F}\)가 자명한 토서임을 보이려면 \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\)임을 보이면 충분하다. Cohomology on Sites, Lemma 03AJ을 보라.

먼저 (I)을 증명한다. 이를 위해 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 택하자. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 에탈 전사이다. \(f\)가 매끄럽다고 가정했으므로 \(\psi\)도 매끄럽고, 따라서 Lemma 04AL에 의해 형식적으로 매끄럽다. 같은 보조정리에 의해 사상 \(V \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. 그러므로 Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 매끄럽다. 이제 Lemma 04CY의 (4)에서 (I)이 따른다.

마지막으로 (II)를 증명한다. Lemma 05ZF에 의해

\(\Omega_{X/S}\)는 유한 표시이다. 따라서 \(a^*\Omega_{X/S}\)는 유한 표시이다(Properties of Spaces, Section 05VR를 보라). 따라서 층 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\)는 Properties of Spaces, Lemma 03M1에 의해 준연접이다. 그러므로 Descent, Proposition 03DW 및 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB에 의해 \[H^1(T_{spaces, \etale}, \mathcal{H}) = H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = H^1(T, \mathcal{H}) = 0\] 을 얻으며, 이것이 원한 바이다.

매끄러운 사상은 강한 국소 올림 성질을 만족한다. Lemma 0CHJ를 보라. 그 보조정리에서 \(T'\)이 아핀이라고 가정할 때 에탈 덮개를 취해야 하는지는 알려져 있지 않다. 더 정확히 말해, 대수공간의 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] \ar@{..>}[lu] }\] 에서 \(X \to Y\)가 매끄럽고 \(T \to T'\)이 아핀 스킴들의 두껍게 하기일 때, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 항상 존재하는가?

답이나 참고문헌을 알고 있다면 stacks.project@gmail.com으로 이메일을 보내 주기 바란다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 도식이며, 여기서 \(X \to Y\)는 매끄럽고 \(T \to T'\)은 두껍게 하기이다. 그러면 에탈 덮개 \(\{T'_i \to T'\}\)가 존재하여, 아래 도식에서 점선 화살표를 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] & T \times_{T'} T'_i \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] & T'_i \ar[l] \ar@{..>}[llu] }\] 이 화살표는 모든 \(i\)에 대해 도식을 가환으로 만든다.

증명

\(\{Y_i \to Y\}\)를 에탈 덮개로 택하되, 각 \(Y_i\)는 아핀이라 하자. \(T'\)을 유도된 에탈 덮개로 바꾸면 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

\(Y\)가 아핀이라고 가정하자. 에탈 덮개 \(\{X_i \to X\}\)를 택한다. 이로부터 \(T\)의 에탈 덮개를 얻는다. 이 \(T\)의 에탈 덮개는 \(T'\)의 에탈 덮개에서 온다(Theorem 05ZH 및 Section 05ZJ의 논의를 보라). 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

\(X\)와 \(Y\)가 아핀이라고 가정하자. \(T'\)에 에탈 덮개를 한 번 더 취하여 \(T'\)이 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 보조정리는 Algebra, Lemma 07K4에서 따른다.

형식적 매끄러움이 원천에서 에탈 국소적 성질임을 보이기 위해 조금 더 작업한다. 먼저 형식적으로 매끄러운 사상의 미분 층이 좋은 성질을 가짐을 보이자. 국소 사영 준연접 가군의 개념은 Properties of Spaces, Section 060P에서 정의된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 형식적으로 매끄러운 사상이라 하자. 그러면 \(\Omega_{X/Y}\)는 \(X\) 위에서 국소 사영이다.

증명

도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 택하자. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 아핀(!) 스킴이고 수직 화살표들은 에탈이다. Lemma 061H에 의해 \(\psi : U \to V\)는 형식적으로 매끄럽다. 따라서 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)는 형식적으로 매끄러운 환 준동형이다. More on Morphisms, Lemma 02H4를 보라. 따라서 Algebra, Lemma 031I에 의해 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-가군 \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\)는 사영이다. 그러므로 \(\Omega_{U/V}\)는 국소 사영이다. Properties, Section 05JN을 보라. \(\Omega_{X/Y}|_U = \Omega_{U/V}\)이므로 \(\Omega_{X/Y}\)도 국소 사영이다. (실제로 \(X\)를 덮으며 위와 같은 도식에 들어가는 아핀 \(U\)들의 에탈 덮개를 찾을 수 있다. 세부사항은 생략한다.)

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_T\)-가군이라 하되, 이들은 \(T_\etale\) 위에 놓인다고 하자. 내부 준동형 층 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)를 \(T_\etale\) 위에서 생각하자. \(\mathcal{F}\)가 국소 사영이면 \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\)이다.

증명

대수공간 위 국소 사영 층의 정의(Properties of Spaces, Definition 060R 참조)에 의해 \(\mathcal{F}_{Zar} = \mathcal{F}|_{T_{Zar}}\)는 스킴 \(T\) 위 국소 사영 층이다. 따라서 \(\mathcal{F}_{Zar}\)는 자유 \(\mathcal{O}_{T_{Zar}}\)-가군의 직합인자이다. 그러므로 \(\mathcal{F} = (\mathcal{F}_{Zar})^a\)임을 이용하면(Descent, Proposition 03DX 참조), \(\mathcal{F}\)가 자유 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 직합인자임을 얻으며, 이 가군은 \(T_\etale\) 위에 놓인다. 따라서 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\)인 자유 가군의 경우로 가정할 수 있다. 이 경우 \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\)는 준연접 가군들의 곱이다. Cohomology on Sites, Lemma 060L에 의해 \(H^1 = 0\)이다. 실제로 아핀 스킴 위 준연접 층의 코호몰로지는 영이다. Descent, Proposition 03DW 및 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 매끄럽다.

2. 임의의 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)가 스킴이고 수직 화살표들이 에탈이면, 스킴의 사상 \(\psi\)는 형식적으로 매끄럽다.

   (More on Morphisms, Definition 02H8의 의미에서).

3. 전사인 수직 화살표들을 갖는 이러한 도식 하나에 대해 사상 \(\psi\)가 형식적으로 매끄럽다.

증명

Lemma 061H에서 (1)이 (2)와 (3)을 함의함을 보았다. (3)을 가정하자. \(f\)가 형식적으로 매끄럽다는 증명은 Lemma 04AM의 (1) \(\Rightarrow\) (2)의 증명과 완전히 같다.

Definition 060G에서와 같은 실선 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. 점선 화살표가 존재함을 보여 \(f\)가 형식적으로 매끄러움을 증명하겠다. \(\mathcal{F}\)를 \((T')_{spaces, \etale}\) 위의 Lemma 061A의 집합 층이라 하되, Remark 061D에서 논한 특별한 경우를 취하자. \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] 를 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 층이라 하며, 이는 \(T_{spaces, \etale}\) 위에 놓인다. 여기에 Lemma 061C에서와 같은 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)를 취한다. 이 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)를 유사 \(\mathcal{H}\)-토서로 만든다. Cohomology on Sites, Definition 03AH를 보라. 목표는 \(\mathcal{F}\)가 자명한 \(\mathcal{H}\)-토서임을 보이는 것이다. 두 단계가 있다. (I) \(\mathcal{F}\)가 토서임을 보이려면 \(\mathcal{F}\)가 에탈 국소적으로 단면을 가짐을 보여야 한다. (II) \(\mathcal{F}\)가 자명한 토서임을 보이려면 \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\)임을 보이면 충분하다. Cohomology on Sites, Lemma 03AJ을 보라.

먼저 (I)을 증명한다. 이를 위해 (3)을 가정했으므로 존재하는 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 에탈 전사이며, \(\psi\)는 형식적으로 매끄럽다. Lemma 04AL에 의해 사상 \(V \to Y\)는 형식적으로 에탈이다. 따라서 Lemma 049T에 의해 합성 \(U \to Y\)는 형식적으로 매끄럽다. 이제 Lemma 04CY의 (4)에서 (I)이 따른다.

마지막으로 (II)를 증명한다. Lemma 061I에 의해

\(\Omega_{U/V}\)가 국소 사영임을 알 수 있다. 따라서 \(\Omega_{X/Y}\)는 국소 사영이다. Descent on Spaces, Lemma 060Y를 보라. 따라서 \(a^*\Omega_{X/Y}\)는 국소 사영이다. Properties of Spaces, Lemma 060S을 보라. 그러므로 \[H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = H^1(T_\etale, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'}) = 0\] 이다. 이는 Lemma 061J에 의해 성립하며, 원한 바이다.

보조정리

성질 \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\)가 형식적으로 매끄럽다”는 밑에서 fpqc 국소적이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 스킴 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 지표집합 \(I\)와 도식들 \[\xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r]_{\psi_i} & V_i \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 택하자. 여기서 수직 화살표들은 에탈이고 \(U_i\), \(V_i\)는 아핀 스킴이다. 더 나아가 \(\coprod U_i \to X\)와 \(\coprod V_i \to Y\)가 전사라고 가정하자. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라. Lemma 061K에 의해 \(f\)가 형식적으로 매끄러운

것과 사상들 \(\psi_i\)가 각각 형식적으로 매끄러운 것은 동치이다. 따라서 아핀 스킴들의 사상인 경우로 환원된다. 이 경우 결과는 Algebra, Lemma 06CM에서 따른다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(f\)가 형식적으로 매끄럽다고 가정하자. 그러면 \[0 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\]

라는 Lemma 05Z8의 열은 짧은 완전열이다.

증명

스킴의 경우에서 따른다. More on Morphisms, Lemma 06B6를 보라. 이는 에탈 국소화를 통해 적용한다. Lemmas 061K and 04CU를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(B\) 위 대수공간의 형식적으로 비분기인 사상이라 하자. \(Z\)가 \(B\) 위 형식적으로 매끄럽다고 가정하자. 그러면 Lemma 060F의 표준 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] 은 짧은 완전열이다.

증명

\(Z \to Z'\)을 \(Z\)의 보편 일차 두껍게 하기라 하되, 이는 \(X\) 위에서 취한다. Lemma 060F의 증명에서 우리 열이 다음 열과 동일시됨을 알 수 있다. \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/B} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/B} \to 0.\]

\(Z \to S\)가 형식적으로 매끄러우므로 \(Z'\) 위 에탈 국소적으로 \(Z' \to Z\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(B\) 위에서 포함 사상 \(Z \to Z'\)의 왼쪽 역이다. 따라서 이 열은 에탈 국소적으로 분할된다. Lemma 05ZB을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] 이는 \(S\) 위 대수공간의 가환 도식이며, 여기서 \(i\)와 \(j\)는 형식적으로 비분기이고 \(f\)는 형식적으로 매끄럽다고 하자. 그러면 Lemma 06BE의 표준 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] 은 완전하고 국소적으로 분할된다.

증명

\(Z \to Z'\)을 \(Z\)의 보편 일차 두껍게 하기라 하되, 이는 \(X\) 위에서 취한다. \(Z \to Z''\)을 \(Z\)의 보편 일차 두껍게 하기라 하되, 이는 \(Y\) 위에서 취한다.

Lemma 060F에 의해 표준 사상 \(Z' \to Z''\)이 존재하여 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] 위의 열은 다음 열과 동일시된다. \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] 이는 형식적으로 비분기인 사상의 여법층에 관한 정의들을 통해 얻는다. \(U'' \to Z''\)을 \(U''\)이 아핀인 에탈 사상이라 하자. \(U \to Z\)와 \(U' \to Z'\)을 각각 \(Z\)와 \(Z'\) 위 에탈인 대응하는 아핀 스킴이라 하자. \(f\)가 형식적으로 매끄러우므로 사상 \(h : U'' \to X\)가 존재한다. 이 사상은 \(i\)와 \(U\) 위에서 일치하고 \(f \circ h\)는 \(b|_{U''}\)와 같다. \(Z'\)이 보편 일차 두껍게 하기이므로 유일한 사상

\(g : U'' \to Z'\)을 얻으며 \(g = a \circ h\)이다. \(Z''\)의 보편 성질에 의해 \(k \circ g\)는 포함 사상 \(U'' \to Z''\)이다. 따라서 \(g\)는 \(k\)의 왼쪽 역이다. 그림으로는 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] 이다. 따라서 \(g\)는 사상 \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\)를 유도하며, 이는 사상 \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\)의 왼쪽 역이다. 이 진술은 \(U\) 위에서 성립한다.

뇌터 밑 위의 매끄러움

이 절은 More on Morphisms, Section 02HW의 대응물이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

2. 임의의 실선 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] 에서 \(B' \to B\)가 국소환들의 전사이고 \(\Ker(B' \to B)\)가 제곱 영이며, \(\alpha\)가 \(\Spec(B)\)의 닫힌점을 \(x\)로 보내면, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다.

3. (2)와 같되, \(B' \to B\)는 작은 확장들을 돈다(Algebra, Definition 02HS 참조).

증명

조건 (1)은 열린 부분공간 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(X' \to Y\)가 매끄럽다는 뜻이다. 따라서 Lemma 04AM에 의해 (1)은 조건 (2)와 (3)을 함의한다. 조건 (2)가 조건 (3)을 함의함은 자명하다. (3)을 가정하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ Y & V \ar[l] }\] 을 택하자. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 아핀이고 수평 화살표들은 에탈이며, 점 \(u \in U\)가 존재하여 \(x\)로 간다고 하자. 이제 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & V \ar[l] & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} }\] 을 생각하자. 이는 \(u \in U \to V\)에 대해 (3)에서와 같은 도식이다. 가정으로 얻는 화살표를 \(\gamma : \Spec(B') \to X\)라 하자. 이 화살표는 (3)이 \(X\)에 대해 성립한다는 데서 얻는다. \(U \to X\)가 에탈이고 따라서 형식적으로 에탈이므로(Lemma 0616), 사상 \(\gamma\)는 \(U\)로의 유일한 올림을 가지며, 그 올림은 \(\alpha\)와 양립한다. 이제 \(V \to Y\)도 에탈이고 따라서 형식적으로 에탈이므로 이 올림은 \(\beta\)와 양립한다. 따라서 (3)은 \(u \in U \to V\)에 대해 성립하고, More on Morphisms, Lemma 02HX에 의해 \(U \to V\)가 \(u\)에서 매끄럽다고 결론 내린다. 이로써 \(X \to Y\)가 \(x\)에서 매끄러움이 증명되어 증명이 끝난다.

때로는 유한형 점들을 “중심으로 하는” 작은 확장들에 대해서만 올림 판정법을 확인하면 된다는 사실이 유용하다(Morphisms of Spaces, Section 06EE 참조).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. 임의의 실선 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] 에서 \(B' \to B\)가 아르틴 국소환들의 작은 확장이고 \(\beta\)가 유한형(!)이면, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다.

증명

\(f\)가 매끄러우면 무한소 올림 판정법(Lemma 04AM)에 의해 \(f\)는 형식적으로 매끄럽고 (2)가 성립한다.

\(f\)가 매끄럽지 않다고 가정하자. 점들 \(x \in X\) 가운데 \(f\)가 매끄럽지 않은 것들의 집합은 닫힌 부분집합 \(T\)를 이루며, 이는 \(|X|\) 안에 있다. Morphisms of Spaces, Lemma 06EK에 의해 \(x \in T \subset X\)이고 \(x \in X_{\text{ft-pts}}\)인 점이 존재한다. 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & u \ar@{|->}[d] \\ Y & V \ar[l] & v }\] 을 택하자. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 아핀이고 수평 화살표들은 에탈이며, 점 \(u \in U\)가 존재하여 \(x\)로 간다. 그러면 \(u\)는 \(U\)의 유한형 점이다. \(U \to V\)가 점 \(u\)에서 매끄럽지 않으므로 More on Morphisms, Lemma 02HX에 의해 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & V \ar[l] & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] 이 존재한다. 여기서 \(B' \to B\)는 (아르틴) 국소환들의 작은 확장이고, \(B\)의 잉여체는 \(\kappa(v)\)와 같으며, 점선 화살표는 존재하지 않는다. \(U \to V\)가 유한형이므로 \(v\)는 \(V\)의 유한형 점이다. Morphisms, Lemma 02HV에 의해 사상 \(\beta\)는 유한형이고, 따라서 합성

\(\Spec(B) \to Y\)도 유한형이다. Lemma 0APN의 증명에서와 똑같이 논증하면(\(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 에탈이고 따라서 형식적으로 에탈임을 사용한다), 마지막 표시 도식의 바깥 직사각형에 들어맞는 화살표

\(\Spec(B) \to X\)가 존재할 수 없음을 알 수 있다. 달리 말해 (2)는 성립하지 않으며, 증명이 끝난다.

다음은 유용한 응용이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 국소 뇌터라고 가정하자. \(Z \subset Y\)를 닫힌 부분공간이라 하고, 그 \(n\)차 무한소 근방을 \(Z_n \subset Y\)라 하자. \(X_n = Z_n \times_Y X\)로 놓는다.

1. \(X_n \to Z_n\)이 모든 \(n\)에 대해 매끄러우면 \(f\)는 \(f^{-1}(Z)\)의 모든 점에서 매끄럽다.

2. \(X_n \to Z_n\)이 모든 \(n\)에 대해 에탈이면 \(f\)는 \(f^{-1}(Z)\)의 모든 점에서 에탈이다.

증명

\(X_n \to Z_n\)이 모든 \(n\)에 대해 매끄럽다고 가정하자. \(x \in X\)를 \(Z\)의 한 점 위에 놓이는 점이라 하자. Lemma 0APN의 (3)에서와 같은 작은 확장 \(B' \to B\) 및 사상 \(\alpha\), \(\beta\)가 주어졌다고 하자. \(B'\)의 극대 아이디얼은 영멱이다(\(B'\)이 아르틴이므로). 따라서 사상 \(\beta\)는 \(Z_n\)을 통해 분해되고 \(\alpha\)는 \(X_n\)을 통해 분해된다. 이는 적당한 \(n\)에 대해 성립한다. 이제 \(X_n \to Z_n\)의 올림 성질을 적용하여 도식의 원하는 점선 화살표를 얻는다. 이로써 (1)이 증명된다. (2)는 (1)과, 사상이 에탈인 것과 상대차원 \(0\)인 매끄러운 사상인 것이 동치라는 사실에서 따른다.

나이브 코탄젠트 복합체

이 절은 Modules on Sites, Section 08TT의 연속이며, 그 절은 다시 Algebra, Section 00S0의 논의를 잇는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 나이브 코탄젠트 복합체란 Modules on Sites, Definition 08U0에서 환 달린 토포스의 사상 \(f_{small}\)에 대해 정의한 복합체이다. 이 사상은 \(X\)와 \(Y\)의 작은 에탈 사이트 사이에 놓인다. Properties of Spaces, Lemma 03G8를 보라. 표기는 \(\NL_f\) 또는 \(\NL_{X/Y}\)이다.

다음 보조정리들은 이 정의가 환 준동형 및 스킴에 대한 정의와 양립하며, \(\NL_{X/Y}\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상임을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위 대수공간의 도식이며 \(p\)와 \(q\)는 에탈이라고 하자. 그러면 표준적 동일시 \(\NL_{X/Y}|_{U_\etale} = \NL_{U/V}\)가 존재하며, 이는 \(D(\mathcal{O}_U)\)에서의 동일시이다.

증명

나이브 코탄젠트 복합체의 구성은 당김과 가환하며(Modules on Sites, Lemma 08TZ), 다음 등식들이 성립한다. \(p_{small}^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U\)이고 \(g_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale} = p_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\)이다. 실제로 \(q_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \mathcal{O}_{V_\etale}\)이다. Properties of Spaces, Lemma 03LV을 보라. 정의를 추적하면 \(\NL_{X/Y}|_{U_\etale} = \NL_{U/V}\)를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

\(X\)와 \(Y\)가 스킴 \(X_0\)와 \(Y_0\)로 표현된다고 가정하자. 그러면 표준적 동일시 \(\NL_{X/Y} = \epsilon^*\NL_{X_0/Y_0}\)가 존재하며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서의 동일시이다. 여기서 \(\epsilon\)은 Derived Categories of Spaces, Section 071P에서와 같고, \(\NL_{X_0/Y_0}\)는 More on Morphisms, Definition 0D0H에서와 같다.

증명

\(f_0 : X_0 \to Y_0\)를 \(f\)에 대응하는 스킴의 사상이라 하자. 표준 사상 \(\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0} \to f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\) 이 존재하고, 이는 \(\epsilon^\sharp : \epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0} \to \mathcal{O}_X\)와 양립한다. 그 이유는 다음 가환 도식이 있기 때문이다. \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] Derived Categories of Spaces, Remark 08GH를 보라. 따라서 나이브 코탄젠트 복합체의 함자성으로부터 표준 사상 \[\epsilon^{-1}\NL_{X_0/Y_0} = \epsilon^{-1}\NL_{\mathcal{O}_{X_0}/f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} = \NL_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0}/\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} \to \NL_{\mathcal{O}_X/f^{-1}_{small}\mathcal{O}_Y} = \NL_{X/Y}\] 을 얻는다. 유도된 사상 \(\epsilon^*\NL_{X_0/Y_0} \to \NL_{X/Y}\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 동형임을 보이기 위해 기하점의 줄기에서 확인해도 충분하다(Properties of Spaces, Theorem 04K5). \(\overline{x} : \Spec(k) \to X_0\)를 \(x \in X_0\) 위에 놓이는 기하점이라 하자. 또한 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)가 \(y \in Y_0\) 위에 놓인다고 하자. 그러면 \[\NL_{X/Y, \overline{x}} = \NL_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}\] 이다. 이는 \(\overline{x}\)에서 줄기를 취하는 것이 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\)를 통한 역상을 취하는 것과 같고, Modules on Sites, Lemma 08TZ을 적용할 수 있기 때문이다. 한편 \[(\epsilon^*\NL_{X_0/Y_0})_{\overline{x}} = \NL_{X_0/Y_0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \NL_{\mathcal{O}_{X_0, x}/\mathcal{O}_{Y_0, y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 이다. 일부 세부사항은 생략한다(힌트: 당김의 줄기는 상점에서의 줄기라는 사실, 즉 Sites, Lemma 05V1와 가군에 대한 대응 결과인 Modules on Sites, Lemma 05V5을 사용하라). \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X_0, x}\)의 엄밀 헨젤화이고, \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)도 마찬가지이다(Properties of Spaces, Lemma 04KF). 따라서 결과는 More on Algebra, Lemma 0D08에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 복합체 \(\NL_{X/Y}\)의 코호몰로지 층들은 준연접이고, 차수 \(-1\), \(0\) 바깥에서는 영이며, \(\Omega_{X/Y}\)와 같다. 마지막 등식은 차수 \(0\)에서 성립한다.

증명

Modules on Sites, Section 08TT의 나이브 코탄젠트 복합체 구성에 의해 \(\NL_{X/Y}\)는 차수 \(-1\), \(0\)에 놓이는 복합체이고, 차수 \(0\)의 코호몰로지는 \(\Omega_{X/Y}\)이다(Section 04CR의 \(\Omega_{X/Y}\) 구성에 의한다). 미분 층은 준연접이다(Lemma 04CV 참조). 증명을 끝내려면 \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\)가 준연접임을 보이면 충분하다. 이는 에탈 국소적으로 확인하고(Lemma 0D0W 및 Properties of Spaces, Lemma 03M0에 의해 허용됨), 스킴의 경우로 환원한 뒤(Lemma 0D0X), 마지막으로 스킴의 경우에 대한 결과(More on Morphisms, Lemma 0D0J)를 적용하여 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시이면 \(\NL_{X/Y}\)는 \(X\) 위 에탈 국소적으로 준동형인 복합체 \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] 를 갖는다. 이 복합체는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어지고, \(\mathcal{F}^0\)는 유한 표시이며 \(\mathcal{F}^{-1}\)은 유한형이다.

증명

나이브 코탄젠트 복합체의 구성은 Lemma 0D0W에 의해 에탈 국소화와 가환한다. Lemma 0D0X에 의해 스킴의 경우로 환원된다. 스킴의 경우에 대한 결과는 More on Morphisms, Lemma 0D0K이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 매끄럽다.

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이고 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\)는 국소 사영이다.

증명

이는 Lemma 061K, Lemma 0D0W, Lemma 0D0X, 그리고 스킴의 경우인 More on Morphisms, Lemma 0D0L에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 에탈이다.

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\)이다.

증명

(1)을 가정하자. 형식적으로 에탈인 사상은 형식적으로 매끄러운 사상이다. 따라서 Lemma 0D10에 의해 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이다. 한편

형식적으로 에탈인 사상은 형식적으로 비분기이므로 Lemma 04G9에 의해 \(\Omega_{X/Y} = 0\)이다. 역으로 (2)가 성립하면 Lemma 0D10에 의해 \(f\)는 형식적으로 매끄럽고, Lemma 04G9에 의해 형식적으로 비분기이며, 따라서

Lemma 061G에 의해 형식적으로 에탈이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. \(f\)는 국소 유한 표시이고, \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이며, \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\)는 유한 국소 자유이다.

증명

이는 Lemma 061K, Lemma 0D0W, Lemma 0D0X, 그리고 스킴의 경우인 More on Morphisms, Lemma 0D0N에서 따른다.

평탄 자취의 열림성

이 절은 More on Morphisms, Section 0398의 대응물이다. 대수공간 위 준연접 가군의 평탄성은 Morphisms of Spaces, Section 05VT에서 정의했음을 기억하라.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위 준연접 층이라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시이고 \(\mathcal{F}\)가 국소 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 가정하자. 그러면 \[\{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ is flat over }Y\text{ at }x\}\] 는 \(|X|\)에서 열린집합이다.

증명

가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^a & Y }\] 을 택하자. Spaces, Lemma 02X1에서와 같이 \(U\), \(V\)는 스킴이고 \(p\), \(q\)는 전사 에탈이다. More on Morphisms, Theorem 0399에 의해 집합 \(U' = \{u \in |U| : p^*\mathcal{F}\text{ is flat over }V\text{ at }u\}\) 는 \(U\)에서 열린집합이다. Morphisms of Spaces, Definition 05VV에 의해 \(U'\)의 상은 \(|X|\) 안에서 정리에 나타난 집합이다. 따라서 끝났다. 실제로 사상 \(|U| \to |X|\)는 열린 사상이다. Properties of Spaces, Lemma 03BX를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 이는 \(S\) 위 대수공간의 카르테시안 도식이다. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(g\)가 평탄하고 \(f\)가 국소 유한 표시이며 \(\mathcal{F}\)가 국소 유한 표시라고 가정하자. 그러면 \[\{x' \in |X'| : (g')^*\mathcal{F}\text{ is flat over }Y'\text{ at }x'\}\] 는 Theorem 05WV의 열린 부분집합을 연속 사상 \(|g'| : |X'| \to |X|\)로 역상 취한 것이다.

증명

이는 Morphisms of Spaces, Lemma 05VW에서 따른다.

섬유에 의한 평탄성 판정법

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y \ar[dl]^h \\ & Z }\] 과 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)를 생각하자. 점 \(x \in |X|\)가 주어졌을 때 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄한가라는 문제를 생각한다. \(\mathcal{F}\)가 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄하면, 아래 정리는 이 문제가 \(\mathcal{F}\)를 \(X \to Z\)의 \(g(x)\) 위 섬유로 제한한 것이 \(Y \to Z\)의 \(g(x)\) 위 섬유 위에서 평탄한가라는 문제와 밀접한 관계가 있다고 말한다. 이를 의미 있게 만들기 위해 다음 예비 보조정리를 제시한다.

보조정리

위 상황에서 다음은 동치이다.

1. 기하점 \(\overline{x}\)를 택하되, 이는 \(X\)의 점이고 \(x\) 위에 놓인다고 하자. \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) 및 \(\overline{z} = g \circ \overline{x}\)로 놓는다. 그러면 가군 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{F}_{\overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 위에서 평탄하다.

2. 사상 \(x : \Spec(K) \to X\)를 택하되, 이는 \(x\)의 동치류에 속한다고 하자. \(z = g \circ x\), \(X_z = \Spec(K) \times_{z, Z} X\), \(Y_z = \Spec(K) \times_{z, Z} Y\)로 놓고, \(\mathcal{F}_z\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(X_z\)로의 당김이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}_z\)는 \(x\)에서 평탄하며, 이는 \(Y_z\) 위에서의 평탄성이다(Morphisms of Spaces, Definition 05VV에서 정의된 의미에서).

3. 가환 도식

   \[\xymatrix{ & & & U \ar[llld]_a \ar[rr] \ar[dr] & & V \ar[llld]_>>>>>>>b \ar[dl] \\ X \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y \ar[dl]^h & & W \ar[llld]_c \\ & Z }\] 을 택하자. 여기서 \(U, V, W\)는 스킴이고 \(a, b, c\)는 에탈이며, 점 \(u \in U\)를 택한다. 이 점은 \(x\)로 간다. \(w \in W\)를 \(u\)의 상이라 하자. \(\mathcal{F}_w\)를 \(\mathcal{F}\)의 당김이라 하되, 당김 대상은 섬유 \(U_w\)이고 이는 \(U \to W\)의 \(w\)에서의 섬유라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}_w\)는 \(V_w\) 위에서 \(u\)에서 평탄하다.

증명

(2)에서 사상 \(x : \Spec(K) \to X\)는 \(K\)-유리점을 정의하며, 이 점은 \(X_z\)에 놓이므로 진술은 의미가 있다. 더 나아가 (2)의 조건은 \(\Spec(K) \to X\)를 어떻게 택하는가에 의존하지 않는데, 그 선택은 \(x\)의 동치류에서 이루어진다 (세부사항은 생략한다. 다른 조건들이 이 선택에 의존하지 않으므로 아래 논증에서도 이 사실이 따른다). 또한 (3)과 같은 도식은 항상 다음처럼 택할 수 있다. 먼저 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to Z\)를 택하고, 다음으로 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to W \times_Z Y\)를 택하며, 마지막으로 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 이 선택들 아래 \(U \to W\)를 합성 \(U \to V \to W\)와 같게 놓는다. 또한 점 \(u \in U\)를 택할 수 있으며, 이 점은 \(x\)로 간다. 그 이유는 사상 \(U \to X\)가 전사이기 때문이다.

(3)과 같은 도식과 (1)에서와 같은 기하점 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\)가 모두 주어졌다고 하자. Properties of Spaces, Lemma 05VN에 의해 기하점 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\)를 택하되, 이는 \(u\) 위에 놓이고 \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\)가 되게 할 수 있다. 유도된 \(\overline{v} : \Spec(k) \to V\) 및 \(\overline{w} : \Spec(k) \to W\)라 하자. 이들은 각각 \(V\)와 \(W\)의 유도된 기하점이다. 이 상황에서 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\)이고 \(Y\)와 \(Z\)에 대해서도 마찬가지이다. Properties of Spaces, Lemma 04KF을 보라. 마찬가지로 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] 이다. Properties of Spaces, Lemma 05VP를 보라. \(\mathcal{F}_w\)의 \(u\)에서의 줄기는 \[(\mathcal{F}_w)_u = (a^*\mathcal{F})_u/\mathfrak m_w(a^*\mathcal{F})_u\] 이고, \(V_w\)의 \(v\)에서의 국소환은 \[\mathcal{O}_{V_w, v} = \mathcal{O}_{V, v}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{V, v}.\] 또한 \(\mathfrak m_{\overline{z}} = \mathfrak m_w \mathcal{O}_{Z, \overline{z}} = \mathfrak m_w \mathcal{O}_{W, w}^{sh}\)이므로 \[\begin{align*} \mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{F}_{\overline{x}} & = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (\mathcal{F}_w)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U_w, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{U, u}^{sh} \\ & = (\mathcal{F}_w)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U_w, u}} \mathcal{O}_{U_w, \overline{u}}^{sh} \\ & = (\mathcal{F}_w)_{\overline{u}} \end{align*}\] 를 얻는다. 끝에서 두 번째 등식은 Algebra, Lemma 05WS에 의하고, 마지막 등식은 Properties of Spaces, Lemma 05VP에 의한다. \(V\)와 \(Y\)의 구조층에 같은 논증을 적용하면 \[\mathcal{O}_{V_w, \overline{v}}^{sh} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}/\mathfrak m_w \mathcal{O}_{V, v}^{sh} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}.\] 이제 Morphisms of Spaces, Lemma 05VU를 사용하면 (1)과 (3)이 동치임을 알 수 있다.

마지막으로 (2)와 (3)의 동치를 증명한다. 체 \(\tilde K\)를 택하되, 이는 \(K\)의 확장이라 하자. 사상 \(\tilde x : \Spec(\tilde K) \to U\)를 택하되, 이는 \(u\) 위에 놓인다고 하자 (이는 \(u \times_{X, x} \Spec(K)\)가 공집합이 아닌 스킴이므로 가능하다).

합성 \(\tilde z : \Spec(\tilde K) \to U \to W\)를 놓자. 다음 가환 도식을 얻는다.

\[\xymatrix{ & & & U_w \times_w \tilde z \ar[llld]_a \ar[rr] \ar[dr] & & V_w \times_w \tilde z \ar[llld]_>>>>>>>b \ar[dl] \\ X_z \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y_z \ar[dl]^h & & \tilde z \ar[llld]_c \\ & z }\] 여기서 \(z = \Spec(K)\)이고 \(w = \Spec(\kappa(w))\)이다. 이제 \(\mathcal{F}_w\)와 \(\mathcal{F}_z\)를 \(U_w \times_w \tilde z\)로 당기면 같은 가군이 됨은 명백하다. 이로부터 가환 도식 \[\xymatrix{ X_z \ar[d] & U_w \times_w \tilde z \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U_w \ar[d] \\ Y_z & V_w \times_w \tilde z \ar[l] \ar[r] & V_w }\] 을 얻는다. 두 정사각형은 모두 카르테시안이고 아래쪽 수평 화살표들은 평탄하다. 아래 왼쪽 수평 화살표는 사상 \(Y \times_Z \tilde z \to Y \times_Z z = Y_z\)(평탄 사상의 밑변환), 에탈 사상 \(V \times_Z \tilde z \to Y \times_Z \tilde z\), 그리고 에탈 사상 \(V \times_W \tilde z \to V \times_Z \tilde z\)의 합성이다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 05VW에 의해 \[\mathcal{F}_z\text{ flat at }x\text{ over }Y_z \Leftrightarrow \mathcal{F}|_{U_w \times_w \tilde z} \text{ flat at }\tilde x\text{ over }V_w \times_w \tilde z \Leftrightarrow \mathcal{F}_w\text{ flat at }u\text{ over }V_w\] 이며, 이것으로 끝난다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)를 점이라 하고 그 상을 \(z \in |Z|\)로 나타내자.

1. 우리는 \(\mathcal{F}\)의 \(z\) 위 섬유로의 제한이 \(x\)에서 평탄하며, 그 밑은 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유이다라는 것은 Lemma 05WY의 동치 조건들이 성립한다는 뜻이다.

2. 우리는 \(X\)의 \(z\) 위 섬유가 \(x\)에서 평탄하며, 그 밑은 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유이다라는 것은 Lemma 05WY의 동치 조건들이 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)에 대해 성립한다는 뜻이다.

3. 우리는 \(X\)의 \(z\) 위 섬유가 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유 위에서 평탄하다라는 것은, 모든 \(x \in |X|\)에 대해 이 점이 \(z\) 위에 놓이면 \(X\)의 \(z\) 위 섬유가 \(x\)에서 평탄하며 그 밑이 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유라는 뜻이다

이 정의를 사용하면 판정법의 한 판을 다음과 같이 진술할 수 있다. 뇌터 판은 Section 08VN에 있다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 \(Z\) 위 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(Y\)는 \(Z\) 위 국소 유한형이다.

\(x \in |X|\)라 하고, \(y \in |Y|\)와 \(z \in |Z|\)를 \(x\)의 상들이라 하자.

\(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\)이면 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄하고, \(\mathcal{F}\)를 그 \(z\) 위 섬유에 제한하면 \(x\)에서 평탄하며 그 밑은 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유이다.

2. \(Y\)는 \(Z\) 위에서 \(y\)에서 평탄하고 \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄하다.

더 나아가 (1)과 (2)가 성립하는 점 \(x\)들의 집합은 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)에서 열린집합이다.

증명

Lemma 05WY의 (3)에서와 같은 도식을 택하자. 정의들로부터 스킴의 사상들 \(U \to V \to W\), 준연접 층 \(a^*\mathcal{F}\), 그리고 점 \(u \in U\)에 대한 대응 정리로 환원된다. 따라서 정리는 스킴에 대한 대응 결과인 More on Morphisms, Theorem 039C에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 \(Z\) 위 국소 유한 표시이다.

2. \(X\)는 \(Z\) 위에서 평탄하다.

3. 모든 \(z \in |Z|\)에 대해 \(X\)의 \(z\) 위 섬유는 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유 위에서 평탄하다.

4. \(Y\)는 \(Z\) 위 국소 유한형이다.

그러면 \(f\)는 평탄하다. \(f\)가 전사이기도 하면 \(Y\)는 \(Z\) 위에서 평탄하다.

증명

이는 Theorem 05X0의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 \(Z\) 위 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위에서 평탄하다.

4. \(Y\)는 \(Z\) 위 국소 유한형이다.

그러면 집합 \[A = \{x \in |X| : \mathcal{F} \text{ flat at }x \text{ over }Y\}.\]

는 \(|X|\)에서 열린집합이고 그 구성은 임의의 밑변환과 가환한다. \(Z' \to Z\)가 대수공간의 사상이고, \(A'\)가 \(X' = X \times_Z Z'\)에서 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_Z Z'\)가 \(Y' = Y \times_Z Z'\) 위에서 평탄한 점들의 집합이면, \(A'\)는 \(A\)의 역상이고 이를 주는 연속사상은 \(|X'| \to |X|\)이다.

증명

이를 증명하는 한 방법은 More on Morphisms, Lemma 039E의 증명을 대수공간의 범주로 옮기는 것이다. 대신 스킴의 경우로 환원하여 증명하겠다. 즉 Lemma 05WY의 (3)과 같은 도식에서 \(a\), \(b\), \(c\)가 전사가 되도록 택하자. 정의들로부터 스킴의 사상 \(U \to V \to W\), 준연접 층 \(a^*\mathcal{F}\), 그리고 점 \(u \in U\)에 대한 대응 정리로 환원된다. 유일하게 덧붙일 작은 점은 다음과 같다. 대수공간의 사상 \(Z' \to Z\)가 주어지면 스킴 \(W'\)와 전사 에탈 사상 \(W' \to W \times_Z Z'\)를 택한다. 그리고 \(U' = W' \times_W U\), \(V' = W' \times_W V\)로 둔다. \(a', b', c'\)를 각각 \(U', V', W'\)에서 \(X', Y', Z'\)로 가는 사상으로 쓴다. 이 경우 \(A\), 각각 \(A'\)는 \(U\), 각각 \(U'\)의 열린 부분집합들의 상이며, 이 열린 부분집합들은 \(a^*\mathcal{F}\), 각각 \((a')^*\mathcal{F}'\)에 대응한다. 이는 실제로 보조정리를 More on Morphisms, Lemma 039E로 환원한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 \(Z\) 위 국소 유한 표시이다.

2. \(X\)는 \(Z\) 위에서 평탄하다.

3. \(Y\)는 \(Z\) 위 국소 유한형이다.

그러면 집합 \[\{x \in |X| : X\text{ flat at }x \text{ over }Y\}.\]

는 \(|X|\)에서 열린집합이고 그 구성은 임의의 밑변환 \(Z' \to Z\)와 가환한다.

증명

이는 Lemma 05X2의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하고 국소 유한 표시라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in |X|\)의 상을 \(y \in |Y|\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(Y\) 위로 평탄하면 다음은 동치이다.

1. \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\)는 평탄한 \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\)-가군이다.

2. \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\)는 자유 \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\)-가군이다.

3. \(\mathcal{F}_{\overline{y}}\)는 \(\overline{x}\)의 어떤 에탈 근방 위에서 유한 자유이며, 이 근방은 \(X_{\overline{y}}\) 안에 있다.

4. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)의 어떤 에탈 근방 위에서 유한 자유이며, 이 근방은 \(X\) 안에 있다.

여기서 \(\overline{x}\)는 \(X\)의 기하학적 점으로 \(x\) 위에 놓이고 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)이다.

증명

가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)가 스킴이고 수직 화살표들이 에탈이며, 점 \(u \in U\)가 존재하여 그 상이 \(x\)가 되도록 택하자. \(v \in V\)를 \(u\)의 상이라 하자. \(\text{id} : X \to X\)를 \(Y\) 위에서 보아 Lemma 05WY를 적용하면 (1)은 “\(\mathcal{F}|_{U_v}\)가 \(U_v\) 위에서 \(u\)에서 평탄하다”라는 조건으로 옮겨진다. 달리 말해, (1)은 \((\mathcal{F}|_{U_v})_u\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_{U_v, u}\)-가군인 것과 동치이다. 스킴의 경우인 More on Morphisms, Lemma 080Q에 의해 이는 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(u\)의 어떤 열린 근방 위에서 유한 자유임을 함의한다. 이로써 (1)이 (4)를 함의함을 알 수 있다. (4) \(\Rightarrow\) (3)과 (2) \(\Rightarrow\) (1)은 즉시 따른다. (3) \(\Rightarrow\) (2)에는 국소환과 줄기의 기술인 Properties of Spaces, Lemmas 04KF와 05VP를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하고 국소 유한 표시라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(Y\) 위에서 평탄하다 하자. 그러면 집합 \[\{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ free in an \'etale neighbourhood of }x\}\] 은 \(|X|\)에서 열린집합이고 그 구성은 임의의 밑변환 \(Y' \to Y\)와 가환한다.

증명

열림성은 자명하다. \(Y' \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하고 \(X' = Y' \times_Y X\)로 두며, \(x' \in |X'|\)를 \(x \in |X|\) 위에 놓이는 점이라 하자. Lemma 0CZS에 의해 \(x\)가 우리 집합에 속하는 것은 \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\)-가군인 것과 동치이다. 마찬가지로 \(x'\)가 당김 \(\mathcal{F}'\)에 대한 대응 집합에 속한다고 하자. 여기서 이는 \(\mathcal{F}\)를 \(X'\)로 당긴 것이다. 그러면 그 조건은 \((\mathcal{F}'_{\overline{y}'})_{\overline{x}'}\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_{X'_{\overline{y}'}, \overline{x}'}\)-가군인 것과 동치이다(기호의 뜻은 명백하다). 이 두 주장은 사상 \(\text{id} : X \to X\)를 \(Y\) 위에서 보아 Lemma 05WY를 적용하면 동치이다. 따라서 밑변환에 관한 주장이 성립한다.

뇌터 밑 위의 평탄성

뇌터 경우의 “섬유에 의한 평탄성 판정법”은 다음과 같다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\), \(Y\), \(Z\)는 국소 뇌터이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

\(x \in |X|\)라 하고, \(y \in |Y|\)와 \(z \in |Z|\)를 \(x\)의 상들이라 하자.

\(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\)이면 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄하고, \(\mathcal{F}\)를 \(z\) 위 섬유에 제한하면 \(x\)에서 평탄하며 그 밑은 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유이다.

2. \(Y\)는 \(Z\) 위에서 \(y\)에서 평탄하고 \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄하다.

증명

Lemma 05WY의 (3)과 같은 도식을 택하자. 정의들로부터 스킴의 사상들 \(U \to V \to W\), 준연접 층 \(a^*\mathcal{F}\), 그리고 점 \(u \in U\)에 대한 대응 정리로 환원된다. 따라서 정리는 스킴에 대한 대응 결과인 More on Morphisms, Theorem 039B에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\), \(Y\), \(Z\)는 국소 뇌터이다.

2. \(X\)는 \(Z\) 위에서 평탄하다.

3. 모든 \(z \in |Z|\)에 대해 \(X\)의 \(z\) 위 섬유는 \(Y\)의 \(z\) 위 섬유 위에서 평탄하다.

그러면 \(f\)는 평탄하다. \(f\)가 전사이기도 하면 \(Y\)는 \(Z\) 위에서 평탄하다.

증명

이는 Theorem 0APR의 특수한 경우이다.

매끄러움을 확인할 때와 마찬가지로 밑이 뇌터이면 아르틴 환 위에서 평탄성을 확인하는 것으로 충분하다. 다음은 그 한 예이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(X\)를 \(S = \Spec(A)\) 위 국소 유한 표시인 대수공간이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(S_n = \Spec(A/I^n)\) 및 \(X_n = S_n \times_S X\)로 둔다.

\(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\mathcal{F}_n\)을 \(\mathcal{F}\)를 \(X\)로 당긴 것으로 두고 이것이 \(S_n\) 위에서 평탄하면,

\(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에서 평탄한 (열린) 자취는 \(V(I)\)의 역상을 포함하며, 그 역상은 \(X \to S\)에 의한다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄한 자취는 Theorem 05WV에 의해 \(|X|\)에서 열린집합이다. 명제는 \(X\)를 에탈 덮개의 성원들로 바꾸어도 달라지지 않으므로 \(X\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 이 경우 결과는 Algebra, Lemma 0523에서 즉시 따른다. 일부 세부사항은 생략한다.

정규화 다시 보기

정규화는 매끄러운 밑변환과 가환한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 매끄러운 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수층이라 하자. \(\mathcal{O}_Y\)를 \(f^*\mathcal{A}\) 안에서 정수적으로 닫아 얻는 폐포는 \(f^*\mathcal{A}'\)와 같다. 여기서 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)는 \(\mathcal{O}_X\)를 \(\mathcal{A}\) 안에서 정수적으로 닫아 얻는다.

증명

정수적 폐포의 구성, 즉 Morphisms of Spaces, Definition 0821에 의해 이는 \(X\)와 \(Y\)가 아핀인 경우로 즉시 환원된다. 이 경우 결과는 Algebra, Lemma 03GG이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d] & Y_1 \ar[d]^f \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] 를 \(S\) 위 대수공간의 섬유곱 정사각형이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이자 준분리이고 \(\varphi\)가 매끄럽다고 가정하자. \(Y_i \to X_i' \to X_i\)를 \(X_i\)의 정규화라 하며, 정규화를 취하는 곳은 \(Y_i\)이다. 그러면 \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\)이다.

증명

\(Y_1 \to X_1' \to X_1\)의 분해를 \(X_2\)로 밑변환하면 \(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_1\)이라는 분해가 되고, \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_1\)은 정수적이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03ZS). 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 0823의 보편 성질에 의해 사상 \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\)을 얻는다. \(X_2'\)는 \(\mathcal{O}_{X_2}\)를 \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\) 안에서 정수적으로 닫아 얻는 상대 스펙트럼임을 주목하자.

\(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\)가 \(\mathcal{O}_{X_2}\)의 정수적 폐포를 나타내면, \(X_2 \times_{X_1} X_1'\)은 \(\varphi^*\mathcal{A}'\)의 상대 스펙트럼이다. 상대 스펙트럼의 구성은 임의의 밑변환과 가환하기 때문이다. Cohomology of Spaces, Lemma 073K에 의해 \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\)임을 안다. 따라서 결과는 Lemma 082E에서 따른다.

코언-매콜리 사상

이는 More on Morphisms, Section 045Q의 대수공간 판이다.

보조정리

스킴의 싹들 사이의 사상에 대한 성질 \[\begin{align*} & \mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \\ & \text{섬유의 국소환 } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{이 뇌터이고 코언-매콜리이다} \end{align*}\] 는 원천과 목표에서 에탈 국소적이다(Descent, Definition 04NB).

증명

Descent, Definition 04NB와 같은 도식이 주어지면 섬유들의 에탈 사상 \(U'_{v'} \to U_v\)를 얻으며, 이는 \(u'\)를 \(u\)로 보낸다. Descent, Lemma 04NI를 보라. 따라서 국소환 \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\)와 \(\mathcal{O}_{U_v, u}\)의 강 헨젤화는 같다. More on Algebra, Lemma 06LM에 의해 결론을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자 (Divisors on Spaces, Definition 0CUX).

1. \(x \in |X|\)라 하고 \(y = f(x)\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 코언-매콜리이다라는 것은 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고, Morphisms of Spaces, Lemma 04NC의 동치 조건들이 Lemma 0E0U에서 기술한 성질 \(\mathcal{P}\)에 대해 성립한다는 뜻이다.

2. \(f\)가 코언-매콜리 사상이라는 것은 \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 코언-매콜리라는 뜻이다.

풀어 쓰면 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 코언-매콜리이다.

2. \(f\)는 평탄하고, 어떤 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대해, 여기서 \(V\)는 스킴이며, \(X_V \to V\)의 섬유들이 코언-매콜리 대수공간이다.

3. \(f\)는 평탄하고, 임의의 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대해, 여기서 \(V\)는 스킴이며, \(X_V \to V\)의 섬유들이 코언-매콜리 대수공간이다.

\(x \in |X|\)의 상을 \(y \in |Y|\)라 하면 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 \(x\)에서 코언-매콜리이다.

2. \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 평탄하고 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 는 코언-매콜리이다.

증명

\(V \to Y\)를 스킴 \(V\)에서 오는 에탈 사상이라 하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)를 택한다. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. \(u \in U\)의 상들을 \(x \in |X|\), \(y \in |Y|\), \(v \in V\)라 하자. 그러면 \(f\)가 \(x\)에서 코언-매콜리인 것과 \(U \to V\)가 \(u\)에서 코언-매콜리인 것은 동치이다(정의에 의해). 또한 사상 \(U_v \to X_v = (X_V)_v\)는 전사 에탈이다. 따라서 스킴 \(U_v\)가 코언-매콜리인 것과 대수공간 \(X_v\)가 코언-매콜리인 것은 동치이다. 그러므로 (1), (2), (3)의 동치는 스킴 사상들에 대한 대응 동치에서 형식적으로 따른다. More on Morphisms, Lemma 045S을 보라.

(a)와 (b)의 동치를 증명하자. 평탄성에 대한 대응 동치는 Morphisms of Spaces, Lemma 04NG이다. 따라서 동치를 증명할 때 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하다고 가정할 수 있다. 위와 같은 도식과 \(x, y, u, v\)를 생각하자. 그러면 \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 는 국소환의 강 헨젤화 사이의 사상 \[\mathcal{O}_{V, v}^{sh} \to \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] 과 같다. Properties of Spaces, Lemma 04KF를 보라. 따라서 Algebra, Lemma 05WS에 의해 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})^{sh}\] 이다. 그러므로 뇌터 국소환 \(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u}\)이 코언-매콜리인 것과 그 강 헨젤화가 코언-매콜리인 것이 동치임을 보이면 된다. 이는 More on Algebra, Lemma 06LM이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(f\), \(g\), \(g \circ f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자. \(x \in |X|\)의 상들을 \(y \in |Y|\), \(z \in |Z|\)라 하자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 코언-매콜리이고 \(g\)가 \(f(x)\)에서 코언-매콜리이면 \(g \circ f\)는 \(x\)에서 코언-매콜리이다.

2. \(f\)와 \(g\)가 코언-매콜리이면 \(g \circ f\)는 코언-매콜리이다.

3. \(g \circ f\)가 \(x\)에서 코언-매콜리이고 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하면, \(f\)는 \(x\)에서 코언-매콜리이고 \(g\)는 \(f(x)\)에서 코언-매콜리이다.

4. \(f \circ g\)가 코언-매콜리이고 \(f\)가 평탄하면, \(f\)는 코언-매콜리이고 \(g\)는 \(f\)의 상에 속하는 모든 점에서 코언-매콜리이다.

증명

에탈 국소적으로 작업하면 스킴에 대한 대응 결과인 More on Morphisms, Lemma 0C0W에서 따른다. 다른 방법으로 Lemma 0E0W의 (a)와 (b)의 동치를 사용할 수 있다. 즉 뇌터 국소환들의 국소 준동형 \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 을 생각한다. 그 섬유는 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 이고, Algebra, Lemma 045J을 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 국소 뇌터 대수공간들의 평탄한 사상이라 하자. \(X\)가 코언-매콜리이면 \(f\)는 코언-매콜리이고

\(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\)는 모든 \(x \in |X|\)에 대해 코언-매콜리이다.

증명

Lemma 0E0W을 사용하여 대수로 옮기면(Lemma 0E0X의 증명과 비교하라), 이는 Algebra, Lemma 045J에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자. \(Y' \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(f' : X' \to Y'\)를 \(f\)의 밑변환이라 하자. \(x' \in |X'|\)의 상을 \(x \in |X|\)라 하자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 코언-매콜리이면 \(f' : X' \to Y'\)는 \(x'\)에서 코언-매콜리이다.

2. \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고 \(f'\)가 \(x'\)에서 코언-매콜리이면 \(f\)는 \(x\)에서 코언-매콜리이다.

3. \(Y' \to Y\)가 \(f'(x')\)에서 평탄하고 \(f'\)가 \(x'\)에서 코언-매콜리이면 \(f\)는 \(x\)에서 코언-매콜리이다.

증명

\(y \in |Y|\)와 \(y' \in |Y'|\)를 \(x'\)의 상으로 나타내자. 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하되 \(V\)는 스킴이라 하자. 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)를 택하되 \(U\)는 스킴이라 하자.

전사 에탈 사상 \(V' \to Y' \times_Y V\)를 택하되 \(V'\)는 스킴이라 하자. 그러면 \(U' = U \times_V V'\)는 스킴이고 전사 에탈 사상 \(U' \to X'\)가 함께 주어진다. \(u' \in U'\)를 택하여 그 상이 \(x'\)가 되게 하자. \(u \in U\)를 \(u'\)의 상이라 하자. 이제 보조정리는 \(U \to V\)와 그 밑변환 \(U' \to V'\) 및 점 \(u'\), \(u\)에 대한 보조정리에서 따른다(정의에서 따른다). 따라서 보조정리는 스킴의 경우인 More on Morphisms, Lemma 045T에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하고 평탄하며 국소 유한 표시라고 하자. 다음과 같이 두자. \[W = \{x \in |X| : f\text{ is Cohen-Macaulay at }x\}\] 그러면 \(W\)는 \(|X|\)에서 열린집합이고 \(W\)의 구성은 \(f\)의 임의의 밑변환과 가환한다. 임의의 사상 \(g : Y' \to Y\)에 대해 밑변환 \(f' : X' \to Y'\)를 생각하되 이는 \(f\)에서 얻고, 사영 \(g' : X' \to X\)도 생각하자.

그러면 대응 집합 \(W'\)를 사상 \(f'\)에 대해 취했을 때 이는 \(W' = (g')^{-1}(W)\)와 같다.

증명

가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 수직 화살표들이 에탈이고 \(U\)와 \(V\)가 스킴이 되도록 택하자. \(u \in U\)의 상을 \(x \in |X|\)라 하자. 그러면 \(f\)가 \(x\)에서 코언-매콜리인 것과 \(U \to V\)가 \(u\)에서 코언-매콜리인 것은 동치이다(정의에 의해). 따라서 사상 \(U \to V\)의 경우로 환원된다. More on Morphisms, Lemma 045U을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시이고 코언-매콜리라고 가정하자.

열리고 닫힌 부분스킴 \(X_d \subset X\)들이 존재하여 \(X = \coprod_{d \geq 0} X_d\)이고 \(f|_{X_d} : X_d \to Y\)의 상대 차원은 \(d\)이다.

증명

가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 수직 화살표들이 에탈이고 \(U\)와 \(V\)가 스킴이 되도록 택하자. 그러면 \(U \to V\)는 국소 유한 표시이고 코언-매콜리이다 (우리 정의들에서 즉시 따른다). 따라서 \(U = \coprod_{d \geq 0} U_d\)라는 열리고 닫힌 부분스킴들로의 분해가 있으며,

\(f|_{U_d} : U_d \to V\)의 상대 차원은 \(d\)이다. Morphisms, Lemma 02NM를 보라. \(u \in U\)의 상을 \(x \in |X|\)라 하자. 그러면 \(f\)의 상대 차원이 \(d\)이고 이를 보는 점이 \(x\)인 것과 \(U \to V\)의 상대 차원이 \(d\)이고 이를 보는 점이 \(u\)인 것은 동치이다 (우리 정의들에서 따른다). 이로부터 \(U_d\)가 어떤 부분집합 \(X_d \subset |X|\)의 역상임을 알 수 있고, 이 부분집합은 반드시 열리고 닫혀 있다. \(X_d\)로 \(X\)의 대응하는 열리고 닫힌 대수부분공간을 나타내면 보조정리가 성립한다.

고렌슈타인 사상

이는 Duality for Schemes, Section 0C02의 대수공간 판이다.

보조정리

스킴의 싹들 사이의 사상에 대한 성질 \[\begin{align*} & \mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \\ & \text{섬유의 국소환 } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{이 뇌터이고 고렌슈타인이다} \end{align*}\] 는 원천과 목표에서 에탈 국소적이다(Descent, Definition 04NB).

증명

Descent, Definition 04NB과 같은 도식이 주어지면 섬유들의 에탈 사상 \(U'_{v'} \to U_v\)를 얻으며, 이는 \(u'\)를 \(u\)로 보낸다. Descent, Lemma 04NI를 보라. 따라서 \(\mathcal{O}_{U_v, u} \to \mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\)는 에탈 환 사상의 국소화이다. 그러므로 첫째 환이 뇌터인 것과 둘째 환이 뇌터인 것은 동치이다. More on Algebra, Lemma 0AGZ을 보라. 이제 \[\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}/\mathfrak m_u \mathcal{O}_{U'_{v'}, u'} = \kappa(u')\] 는 고렌슈타인 환이므로(Algebra, Lemma 00U4), \(\mathcal{O}_{U_v, u}\)가 고렌슈타인인 것과 \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\)가 고렌슈타인인 것은 Dualizing Complexes, Lemma 0BJL에 의해 동치이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자 (Divisors on Spaces, Definition 0CUX).

1. \(x \in |X|\)라 하고 \(y = f(x)\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 고렌슈타인이다라는 것은 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고, Morphisms of Spaces, Lemma 04NC의 동치 조건들이 Lemma 0E13에서 기술한 성질 \(\mathcal{P}\)에 대해 성립한다는 뜻이다.

2. \(f\)가 고렌슈타인 사상이라는 것은 \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 고렌슈타인이라는 뜻이다.

풀어 쓰면 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 고렌슈타인이다.

2. \(f\)는 평탄하고, 어떤 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대해, 여기서 \(V\)는 스킴이며, \(X_V \to V\)의 섬유들이 고렌슈타인 대수공간이다.

3. \(f\)는 평탄하고, 임의의 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대해, 여기서 \(V\)는 스킴이며, \(X_V \to V\)의 섬유들이 고렌슈타인 대수공간이다.

\(x \in |X|\)의 상을 \(y \in |Y|\)라 하면 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 \(x\)에서 고렌슈타인이다.

2. \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 평탄하고 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 는 고렌슈타인이다.

증명

\(V \to Y\)를 스킴 \(V\)에서 오는 에탈 사상이라 하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)를 택한다. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. \(u \in U\)의 상들을 \(x \in |X|\), \(y \in |Y|\), \(v \in V\)라 하자. 그러면 \(f\)가 \(x\)에서 고렌슈타인인 것과 \(U \to V\)가 \(u\)에서 고렌슈타인인 것은 동치이다(정의에 의해). 또한 사상 \(U_v \to X_v = (X_V)_v\)는 전사 에탈이다. 따라서 스킴 \(U_v\)가 고렌슈타인인 것과 대수공간 \(X_v\)가 고렌슈타인인 것은 동치이다. 그러므로 (1), (2), (3)의 동치는 스킴 사상들에 대한 대응 동치에서 형식적으로 따른다. Duality for Schemes, Lemma 0BFQ을 보라.

(a)와 (b)의 동치를 증명하자. 평탄성에 대한 대응 동치는 Morphisms of Spaces, Lemma 04NG이다. 따라서 동치를 증명할 때 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하다고 가정할 수 있다. 위와 같은 도식과 \(x, y, u, v\)를 생각하자. 그러면 \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 는 국소환의 강 헨젤화 사이의 사상 \[\mathcal{O}_{V, v}^{sh} \to \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] 과 같다. Properties of Spaces, Lemma 04KF를 보라. 따라서 Algebra, Lemma 05WS에 의해 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})^{sh}\] 이다. 그러므로 뇌터 국소환 \(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u}\)이 고렌슈타인인 것과 그 강 헨젤화가 고렌슈타인인 것이 동치임을 보이면 된다. 이는 Dualizing Complexes, Lemma 0DWD와 자기 자신 위의 쌍대화 복합체인 뇌터 국소환이라는 고렌슈타인 국소환의 정의에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(f\), \(g\), \(g \circ f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자. \(x \in |X|\)의 상들을 \(y \in |Y|\), \(z \in |Z|\)라 하자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 고렌슈타인이고 \(g\)가 \(f(x)\)에서 고렌슈타인이면 \(g \circ f\)는 \(x\)에서 고렌슈타인이다.

2. \(f\)와 \(g\)가 고렌슈타인이면 \(g \circ f\)는 고렌슈타인이다.

3. \(g \circ f\)가 \(x\)에서 고렌슈타인이고 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하면, \(f\)는 \(x\)에서 고렌슈타인이고 \(g\)는 \(f(x)\)에서 고렌슈타인이다.

4. \(f \circ g\)가 고렌슈타인이고 \(f\)가 평탄하면, \(f\)는 고렌슈타인이고 \(g\)는 \(f\)의 상에 속하는 모든 점에서 고렌슈타인이다.

증명

에탈 국소적으로 작업하면 스킴에 대한 대응 결과인 Duality for Schemes, Lemma 0C11에서 따른다. 다른 방법으로 Lemma 0E15의 (a)와 (b)의 동치를 사용할 수 있다. 즉 뇌터 국소환들의 국소 준동형 \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 을 생각한다. 그 섬유는 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 이고, Dualizing Complexes, Lemma 0BJL을 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 국소 뇌터 대수공간들의 평탄한 사상이라 하자. \(X\)가 고렌슈타인이면 \(f\)는 고렌슈타인이고

\(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\)는 모든 \(x \in |X|\)에 대해 고렌슈타인이다.

증명

Lemma 0E15을 사용하여 대수로 옮기면(Lemma 0E16의 증명과 비교하라), 이는 Dualizing Complexes, Lemma 0BJL에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 섬유들이 국소 뇌터라고 가정하자. \(Y' \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(f' : X' \to Y'\)를 \(f\)의 밑변환이라 하자. \(x' \in |X'|\)의 상을 \(x \in |X|\)라 하자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 고렌슈타인이면 \(f' : X' \to Y'\)는 \(x'\)에서 고렌슈타인이다.

2. \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고 \(f'\)가 \(x'\)에서 고렌슈타인이면 \(f\)는 \(x\)에서 고렌슈타인이다.

3. \(Y' \to Y\)가 \(f'(x')\)에서 평탄하고 \(f'\)가 \(x'\)에서 고렌슈타인이면 \(f\)는 \(x\)에서 고렌슈타인이다.

증명

\(y \in |Y|\)와 \(y' \in |Y'|\)를 \(x'\)의 상으로 나타내자. 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하되 \(V\)는 스킴이라 하자. 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)를 택하되 \(U\)는 스킴이라 하자.

전사 에탈 사상 \(V' \to Y' \times_Y V\)를 택하되 \(V'\)는 스킴이라 하자. 그러면 \(U' = U \times_V V'\)는 스킴이고 전사 에탈 사상 \(U' \to X'\)가 함께 주어진다. \(u' \in U'\)를 택하여 그 상이 \(x'\)가 되게 하자. \(u \in U\)를 \(u'\)의 상이라 하자. 이제 보조정리는 \(U \to V\)와 그 밑변환 \(U' \to V'\) 및 점 \(u'\), \(u\)에 대한 보조정리에서 따른다(정의에서 따른다). 따라서 보조정리는 스킴의 경우인 Duality for Schemes, Lemma 0C07에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하고 평탄하며 국소 유한 표시라고 하자. 다음과 같이 두자. \[W = \{x \in |X| : f\text{ is Gorenstein at }x\}\] 그러면 \(W\)는 \(|X|\)에서 열린집합이고 \(W\)의 구성은 \(f\)의 임의의 밑변환과 가환한다. 임의의 사상 \(g : Y' \to Y\)에 대해 밑변환 \(f' : X' \to Y'\)를 생각하되 이는 \(f\)에서 얻고, 사영 \(g' : X' \to X\)도 생각하자.

그러면 대응 집합 \(W'\)를 사상 \(f'\)에 대해 취했을 때 이는 \(W' = (g')^{-1}(W)\)와 같다.

증명

가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 을 택하자. \(u \in U\)의 상을 \(x \in |X|\)라 하자. 그러면 \(f\)가 \(x\)에서 고렌슈타인인 것과 \(U \to V\)가 \(u\)에서 고렌슈타인인 것은 동치이다(정의에 의해). 따라서 스킴 사상 \(U \to V\)의 경우로 환원된다. 열림성은 Duality for Schemes, Lemma 0C09에서 증명되었고 밑변환과의 호환성은 Duality for Schemes, Lemma 0E0Q에서 증명되었다.

코언-매콜리 사상의 절단

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 이 경우 \(V(f_1, \ldots, f_r)\)로 \(X\)의 닫힌 부분공간, 즉 \(f_1, \ldots, f_r\)가 잘라내는 부분공간을 나타낸다. 더 정확히 말하면, \(V(f_1, \ldots, f_r)\)를 \(X\)의 닫힌 부분공간으로 정의하되 이는 \(f_1, \ldots, f_r\)가 생성하는 준연접 아이디얼층에 대응한다. Morphisms of Spaces, Lemma 03MB를 보라. 다른 방법으로 표시 \(X = U/R\)을 택하고 닫힌 부분스킴 \(Z \subset U\)를 생각할 수 있으며, 이는 \(f_1|U, \ldots, f_r|_U\)가 잘라낸다. \(Z\)가 \(R\)-불변인 닫힌 부분스킴임은 명백하고(Groupoids, Definition 03BC을 보라), \(V(f_1, \ldots, f_r) = Z/R_Z\)로 둘 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ Y & \Spec(k) \ar[l] }\] 을 생각하자. 여기서 \(X \to Y\)는 \(S\) 위 대수공간의 사상으로 평탄하고 국소 유한 표시이며, \(k\)는 \(S\) 위 체이다. \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하고

\(z \in |F|\)에서 \(f_1, \ldots, f_r\)의 상들이 국소환 \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\)에서 정칙열을 이룬다고 하자. 그러면 \(X\)를 \(p(z)\)를 포함하는 열린 부분공간으로 바꾼 뒤 사상 \[V(f_1, \ldots, f_r) \longrightarrow Y\] 은 평탄하고 국소 유한 표시이다.

증명

\(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)로 두자. \(Z \to X\)가 국소 유한 표시임은 명백하므로 합성 \(Z \to Y\)도 국소 유한 표시이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03XQ를 보라. 따라서 \(Z \to Y\)가 \(p(z)\)의 어떤 근방에서 평탄함을 보이면 충분하다. \(k'/k\)를 체의 확대라 하자.

\(F' = F \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\)은 \(F\) 위에서 전사이고 평탄하다. 따라서 점 \(z' \in |F'|\)를 찾아 그것이 \(z\)로 가게 할 수 있고 국소환 사상 \[\mathcal{O}_{F, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\] 은 평탄하다. Morphisms of Spaces, Lemma 04NG를 보라. 따라서 \(f_1, \ldots, f_r\)의 \(\mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\)에서의 상들도 정칙열을 이룬다. Algebra, Lemma 00LM를 보라. 그러므로 증명 중에 \(k\)를 확대체로 바꾸어도 된다. 특히 \(z \in |F|\)가 절단 \(z : \Spec(k) \to F\)에서 온다고 가정할 수 있으며, 이 절단이 놓이는 구조사상은 \(F \to \Spec(k)\)이다.

스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)를 택하자. 필요하면 \(k\)를 한 번 더 확대하여 \(\Spec(k) \to F \to X\)가 \(U\)를 통해 분해된다고 가정할 수 있다(\(U \to X\)가 전사이므로). 그러한 분해를 \(u : \Spec(k) \to U\)라 하고 \(v \in V\)를 \(u\)의 상이라 하자. 사상들 \[U_v \times_{\Spec(\kappa(v))} \Spec(k) = U \times_V \Spec(k) \to U \times_Y \Spec(k) \to F\] 은 에탈임을 주목하자. 첫째는 \(V \to V \times_Y V\)의 밑변환이고, 둘째는 \(U \to X\)의 밑변환이기 때문이다. 또한 구성에 의해 점

\(u : \Spec(k) \to U\)는 가장 왼쪽 공간의 점을 주며 오른쪽의 \(z\)로 간다. 따라서 원소 \(f_1, \ldots, f_r\)는 다음 사상의 오른쪽 국소환에서 정칙열로 간다.

\[\mathcal{O}_{U_v, u} \longrightarrow \mathcal{O}_{U_v \times_{\Spec(\kappa(v)} \Spec(k), \overline{u}} = \mathcal{O}_{U \times_V \Spec(k), \overline{u}}.\] 그러나 표시된 화살표는 평탄하다(More on Flatness, Lemma 05VL와 Morphisms of Spaces, Lemma 04NG를 함께 사용한다). 따라서 Algebra, Lemma 00LM에 의해

\(f_1, \ldots, f_r\)가 \(\mathcal{O}_{U_v, u}\)에서 정칙열로 감을 알 수 있다. More on Morphisms, Lemma 06LI에 의해 스킴의 사상 \[V(f_1, \ldots, f_r) \times_X U = V(f_1|_U, \ldots, f_r|_U) \to V\] 은 어떤 열린 근방 \(U'\)에서 평탄하며 이 근방은 \(u\)를 포함한다. \(X' \subset X\)를 \(|U'| \to |X|\)의 상에 대응하는 열린 부분공간이라 하자 (Properties of Spaces, Lemmas 03BX와 03BZ를 보라). 그러면 \(V(f_1, \ldots, f_r) \cap X' \to Y\)는 평탄하다 (Morphisms of Spaces, Definition 03ML을 보라). 실제로 가환 도식 \[\xymatrix{ V(f_1, \ldots, f_r) \times_X U' \ar[d]_a \ar[r] & V \ar[d]^b \\ V(f_1, \ldots, f_r) \cap X' \ar[r] & Y }\] 에서 \(a, b\)는 에탈이고 \(a\)는 전사이다.

축약 섬유

이 절은 More on Morphisms, Section 0574의 대수공간 판이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. 어떤 사상 \(\Spec(k) \to Y\)가 \(y\)의 동치류에 속하고 대수공간 \(X_k\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이다.

2. 모든 사상 \(\Spec(k) \to Y\)가 \(y\)의 동치류에 속할 때 대수공간 \(X_k\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이다.

3. 모든 사상 \(\Spec(k) \to Y\)가 \(y\)의 동치류에 속할 때 대수공간 \(X_k\)가 축약이다.

증명

이는 Spaces over Fields, Lemma 0E04와

\(|X|\)를 정의하는 동치관계의 정의에서 즉시 따른다. Properties of Spaces, Section 03BT에 그 정의가 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. Lemma 0E07의 동치 조건들이 성립하면 \(f : X \to Y\)의 섬유가 \(y\)에서 기하학적으로 축약이다라고 한다.

필수적인 보조정리들은 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y' \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(f' : X' \to Y'\)로 \(f\)의 밑변환을 나타내되, 이 밑변환은 \(g\)에 의한다. 그러면 \[\begin{align*} \{y' \in |Y'| : \text{the fibre of }f' : X' \to Y'\text{ at }y' \text{ is geometrically reduced}\} \\ = g^{-1}(\{y \in |Y| : \text{the fibre of }f : X \to Y\text{ at }y \text{ is geometrically reduced}\}). \end{align*}\]

증명

\(y' \in |Y'|\)에 대해 사상 \(\Spec(k) \to Y'\)를 택하여 이것이 \(y'\)의 동치류에 속하게 하자. 그러면 \(g(y')\)는 합성 \(\Spec(k) \to Y' \to Y\)로 표시된다. 따라서 \(X' \times_{Y'} \Spec(k) = X \times_Y \Spec(k)\)이고 결과는 정의에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하고 준콤팩트이며 국소 유한 표시라고 하자. 그러면 집합 \[E = \{y \in |Y| : \text{the fibre of }f : X \to Y\text{ at }y \text{ is geometrically reduced}\}\] 은 에탈 국소적으로 구성가능하다.

증명

아핀 스킴 \(V\)와 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자. 명제의 뜻은 \(E\)의 \(|V|\)에서의 역상이 구성가능하다는 것이다. Lemma 0E09에 의해 \(Y\)를 \(V\)로 바꿀 수 있다. 즉 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(X\)는 준콤팩트이다. 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 사상 \(\Spec(k) \to Y\)에 대해 섬유 사이의 사상 \(U_k \to X_k\)는 전사 에탈이다. 따라서 \(U_k\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약인 것과 \(X_k\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약인 것은 동치이다. Spaces over Fields, Lemma 0E05을 보라. 그러므로 집합 \(E\)는 \(X \to Y\)에 대해 취하나, 집합 \(E\)는 \(U \to Y\)에 대해 취하나 같다. 이로써 보조정리는 스킴의 경우인 More on Morphisms, Lemma 0579에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 이산 값매김환 \(R\) 위 대수공간이라 하고 구조사상 \(X \to \Spec(R)\)이 고유하고 평탄하다고 하자. 특수섬유가 축약이면 \(X\)와 일반섬유 \(X_\eta\)는 모두 축약이다.

증명

\(U \to X\)를 에탈 사상이라 하되 \(U\)는 아핀 스킴이라 하자. 그러면 \(U\)는 \(R\) 위 유한형이다. \(u \in U\)를 특수섬유에 속하는 점이라 하자. 국소환 \(A = \mathcal{O}_{U, u}\)는 \(R\) 위 본질적으로 유한형이므로 뇌터이다. \(\pi \in R\)를 균등화원이라 하자. \(X\)가 \(R\) 위에서 평탄하므로 \(\pi \in \mathfrak m_A\)는 \(A\) 위 영인자가 아니고, \(X\)의 특수섬유가 축약이므로 \(A/\pi A\)는 축약이다. \(a \in A\), \(a \not = 0\)이면 어떤 \(n \geq 0\)과 원소 \(a' \in A\)가 존재하여 \(a = \pi^n a'\)이고 \(a' \not \in \pi A\)이다. 이는 크룰 교차 정리(Algebra, Lemma 00IP)에서 따른다. \(a\)가 멱영이면 \(a'\)도 멱영인데, 이는 \(\pi\)가 영인자가 아니기 때문이다. 그러나 \(a'\)는 축약환 \(A/\pi A\)의 영이 아닌 원소로 가므로 이는 불가능하다. 따라서 \(A\)는 축약이다. 그러므로 \(u\)의 어떤 열린 근방이 축약이고 이 근방은 \(U\) 안에 있다.

(작은 세부사항은 생략한다. \(U\)가 뇌터임을 사용하라.) 따라서 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하여 \(U\)가 축약 스킴이고 \(X\)의 특수섬유의 모든 점이 그 상에 속하게 할 수 있다. \(X\)가 \(R\) 위에서 고유하므로 \(U \to X\)는 전사이다. 따라서 \(X\)는 축약이다. \(U \to \Spec(R)\)의 일반섬유도 축약이므로(아핀 조각에서는 국소화를 취하여 계산된다), 일반섬유에 대해서도 같은 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄하고 고유하며 유한 표시이면 집합 \[E = \{y \in |Y| : \text{the fibre of }f : X \to Y\text{ at }y \text{ is geometrically reduced}\}\] 은 \(|Y|\)에서 열린집합이다.

증명

Lemma 0E09에 의해 \(E\)의 구성은 밑변환과 가환한다. \(|Y|\)의 부분집합이 열린지 확인할 때 \(Y\)를 에탈 덮개의 성원들로 바꿀 수 있다. 따라서 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(Y\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형 아핀 스킴들의 여과 여극한이다. 따라서 \(X \to Y\)가 \(X_0 \to Y_0\)의 밑변환이라고 가정할 수 있다. 여기서 \(Y_0\)는 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수의 스펙트럼이고 \(X_0 \to Y_0\)는 평탄하고 고유하다. Limits of Spaces, Lemmas 07SK, 08K0, 그리고 08K1를 보라. \(E\)의 구성은 밑변환과 가환하므로(위 참조), 밑이 뇌터라고 가정할 수 있다.

\(Y\)가 뇌터라고 가정하자. 집합은 Lemma 0E0A에 의해 구성가능하다. 따라서 집합이 일반화에 대해 안정함을 보이면 충분하다 (Topology, Lemma 0542). Properties, Lemma 054F에 의해 \(Y = \Spec(R)\)이고 \(R\)가 이산 값매김환이며 닫힌 섬유 \(X_y\)가 기하학적으로 축약인 경우로 환원된다. 보일 것은 일반섬유 \(X_\eta\)가 기하학적으로 축약이라는 것이다.

그렇지 않으면 어떤 유한 확대 \(L\)이 존재하며, 이는 \(R\)의 분수체를 확대하고 \(X_L\)은 축약이 아니다. Spaces over Fields, Lemmas 0E02(표수가 영인 경우)와 0E03 (양의 표수인 경우)를 보라. 이산 값매김환 \(R' \subset L\)이 존재하며 그 분수체가 \(L\)이고 \(R\)를 지배한다. Algebra, Lemma 09IG를 보라. \(R\)를 \(R'\)로 바꾸면 Lemma 0E0B로 환원된다.

섬유의 연결성분

이 절은 More on Morphisms, Section 055C의 대수공간 판이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \[n_{X/Y} : |Y| \to \{0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\}\] 를 다음 함수라 하자.

\(y \in Y\)에 대응시키는 값은 \(X_k\)의 연결성분 개수이다. 여기서 \(\Spec(k) \to Y\)는 \(y\)의 동치류에 속하고 \(k\)는 대수적으로 닫힌 체이다. 이는 잘 정의되며 사상 \(g : Y' \to Y\)가 주어지면

\[n_{X'/Y'} = n_{X/Y} \circ g\] 이다. 여기서 \(X' \to Y'\)는 \(f\)의 밑변환이다.

증명

\(y' \in Y'\)의 상이 \(y \in Y\)라고 하자. 사상 \(\Spec(k') \to Y'\)가 \(y'\)의 동치류에 속하고 \(k'\)가 대수적으로 닫혔다고 하자. 그러면 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[rd] & \Spec(k') \ar[r] & Y' \ar[d] \\ & \Spec(k) \ar[r] & Y }\] 을 택할 수 있다. 여기서 \(K\)는 대수적으로 닫힌 체이다. 스킴의 사상들 \[\xymatrix{ X'_{k'} & (X'_{k'})_K = (X_k)_K \ar[l] \ar[r] & X_k }\] 은 연결성분들 사이의 전단사를 유도하므로 결과가 따른다. Spaces over Fields, Lemma 0A12를 보라. 이를 사용하여 함수가 잘 정의됨을 보일 때는 \(Y' = Y\)로 취한다.

섬유의 차원

이 절은 More on Morphisms, Section 05F6의 대수공간 판이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 유한형 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. 다음 양들은 같다.

1. \(d = -\infty\)이며, 이는 \(y\)가 \(|f|\)의 상에 속하지 않을 때이다. 그렇지 않으면 최소 정수 \(d\)로서, \(f\)의 상대 차원이 \(\leq d\)인 조건이 모든 \(x \in |X|\)에서 성립하고 이 점은 \(y\)로 간다.

2. 대수공간 \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\)의 차원. 여기서 임의의 사상 \(\Spec(k) \to Y\)는 \(y\)를 정의하는 동치류에 속한다.

증명

이 명제를 해석하려면 Morphisms of Spaces, Definition 04NM, Properties of Spaces, Definition 04N6, 그리고 Properties of Spaces, Definition 04N5를 참고해야 한다. 고정된 사상 \(\Spec(k) \to Y\)에 대해 (1)과 (2)의 수가 같음을 보이겠다. 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하되 \(V\)는 아핀 스킴이고, 점 \(v \in V\)를 택하여 그 상이 \(y\)가 되게 하자. \(V \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\)는 전사 에탈이므로(Properties of Spaces, Lemma 03H4), 유한 분리 확대 \(k'/k\)와(Morphisms, Lemma 02GL) 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & Y }\] 을 찾을 수 있다. \(X \to Y\)를 \(V \times_Y X \to V\)로 바꾸고 \(X_k\)를 \(X_{k'} = \Spec(k') \times_V (V \times_Y X)\)로 바꾸어도 문제의 차원들은 달라지지 않는다. Properties of Spaces, Lemma 0A4H와 Morphisms of Spaces, Lemma 04NS에 의한다. 따라서 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(k = \kappa(y)\)라고 가정할 수 있다. 실제로 \(X_{\kappa(y)}\)와 \(X_k\)의 차원은 앞서 든 Morphisms of Spaces, Lemma 04NS와 다음 사실에 의해 같다. 대수공간 \(Z\)가 체 \(K\) 위에 있을 때, \(Z\)의 상대 차원을 점 \(z \in |Z|\)에서 보면 정의에 의해 \(\dim_z(Z)\)와 같다. \(Y\)가 아핀이고 \(k = \kappa(y)\)라고 가정하자. 그러면

\(X\)는 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(U\)와

전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택할 수 있다. 그러면

\[\dim(X_k) = \dim(U_k) = \max \dim_u(U_k)\] 는 정의에 의해 (1)의 수와 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 유한형 사상이라 하자. \[n_{X/Y} : |Y| \to \{-\infty, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\] 를 \(y \in |Y|\)에 Lemma 0D4M에서 논한 정수를 대응시키는 함수라 하자. \(g : Y' \to Y\)가 사상이면 \[n_{X'/Y'} = n_{X/Y} \circ |g|\] 이다. 여기서 \(X' \to Y'\)는 \(f\)의 밑변환이다.

증명

이는 Lemma 0D4M에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 평탄한 유한 표시 사상이라 하자. \(n_{X/Y}\)를 Lemma 0D4N에서 도입한, \(Y\) 위에서 \(f\)의 섬유 차원을 주는 함수라 하자. 그러면 \(n_{X/Y}\)는 아래쪽 반연속이다.

증명

전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하되 \(V\)는 스킴이라 하자.

합성 \(n_{X/Y} \circ |g|\)가 아래쪽 반연속임을 보일 수 있으면 \(|g|\)가 열린사상이므로 보조정리가 따른다. 따라서 \(Y\)가 스킴이라고 가정할 수 있다.

국소적으로 작업하여 \(V\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 그러면 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택할 수 있다. 이때 \(n_{X/Y} = n_{U/Y}\)이다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 모두 스킴이라고 가정할 수 있다. 이 경우 보조정리는 More on Morphisms, Lemma 0D4H에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 고유 사상이라 하자. \(n_{X/Y}\)를 Lemma 0D4N에서 도입한, \(Y\) 위에서 \(f\)의 섬유 차원을 주는 함수라 하자. 그러면 \(n_{X/Y}\)는 위쪽 반연속이다.

증명

\[Z_d = \{x \in |X| : \text{the fibre of }f\text{ at }x\text{ has dimension }> d\}\] 로 두자. 그러면 \(Z_d\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 04NT에 의해 \(|X|\)의 닫힌 부분집합이다. \(f\)가 고유하므로 \(f(Z_d)\)는 \(|Y|\)에서 닫혀 있다. \(y \in f(Z_d) \Leftrightarrow n_{X/Y}(y) > d\)이므로 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 고유하고 평탄한 유한 표시 사상이라 하자. \(n_{X/Y}\)를 Lemma 0D4N에서 도입한, \(Y\) 위에서 \(f\)의 섬유 차원을 주는 함수라 하자. 그러면 \(n_{X/Y}\)는 국소 상수이다.

증명

Lemmas 0D4P과 0D4Q의 즉각적인 귀결이다.

카테나리 대수공간

이 절에서는 Decent Spaces, Section 0ED3에서 시작한 논의를 이어간다. 다음 보조정리의 증명에는 아래 보조정리를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 정수적 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)를 닫힌 몰입 \(y : \Spec(k) \to Y\)로 나타낼 수 있는 점이라 하자. 그러면 분해 \(X \to X' \to Y\), 즉 \(f\)의 분해로서 다음을 만족하는 것이 존재한다.

1. \(X' \to Y\)는 정수적이다.

2. \(X \to X'\)은 \(X' \setminus X'_y\) 위에서 동형이다.

3. \(X'_y\)에는 유일한 점 \(x'\)이 있고 \(\kappa(x') = k\)이다.

더욱이 \(f\)가 유한이고 \(Y\)가 국소 뇌터이면 \(X' \to Y\)는 유한이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 03M9에 의해 층 \(f_*\mathcal{O}_X\), \((X_y \to Y)_*\mathcal{O}_{X_y}\), \(y_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-대수의 층이다. 사상 \[f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow (X_y \to Y)_*\mathcal{O}_{X_y} \longleftarrow y_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\] 을 생각하자. 그 섬유곱은 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-대수층 \(\mathcal{A}'\)이고, \(X' \to Y\)를 \(\mathcal{A}'\)의 \(Y\) 위 상대 스펙트럼으로 정의할 수 있다. Morphisms, Lemma 01SA를 보라. 이 구성은 임의의 밑변환과 가환한다. 특히 열린 부분공간 \(|Y| \setminus \{y\}\) 위에서 사상 \(X \to X'\)이 동형이고, \(|Y| \setminus \{y\}\) 위에서 사상 \(X' \to Y\)가 정수적임은 명백하다. 이제 \(y\)의 작은 근방에서 명제들을 증명하면 된다. 아핀 스킴 \(V = \Spec(R)\)와 에탈 사상 \(\varphi : V \to Y\)로서 \(y\)가 \(\varphi\)의 상에 속하는 것을 택하자. 그러면 \(V_y\)는 \(V\)의 닫힌 부분스킴이고 \(k\) 위 에탈이므로, 유한 개의 점들로 이루어지며 각 점의 잉여체는 \(k\) 위에서 분리적이다 (Decent Spaces, Remark 03II 참조). \(V\)를 줄인 뒤, 유일한 닫힌점 \(v = \Spec(l) \to V\)가 존재하여 \(y\)로 가고 \(l/k\)가 유한 분리라고 가정할 수 있다. \(V \times_Y X = \Spec(C)\)로 쓸 수 있고 \(R \to C\)는 정수적 환 사상이다. 위의 밑변환과의 양립성에 의해

\(U \times_X Y' = \Spec(C')\)이며, 여기서 \[C' = C \times_{C \otimes_R l} l\] 이다. \(R \to l\)이 전사이므로 \(C \to C \otimes_R l\)도 전사이고, 이는 More on Algebra, Situation 08KH에서 연구한 종류의 섬유곱임을 알 수 있다 (\(A, A', B, B'\)는 각각 \(C \otimes_R l, C, l, C'\)에 대응한다). \(C'\)은 \(R\)-부분대수, 즉 \(C\)의 부분대수이므로 \(R\) 위에서 정수적이다. 이로써 (1)을 증명했다. 끝으로 More on Algebra, Lemma 0B7J에 의해

\(V \times_X Y' = \Spec(C')\)에는 유일한 점 \(y''\)이 있으며, 이는 \(v\) 위에 놓이고 잉여체가 \(l\)이다 (이는 명백한 전사 \(C' \to l\)에 대응한다). 따라서

\(X_y \times_{\Spec(k)} \Spec(l)\)에는 잉여체가 \(l\)인 유일한 점이 있다. \(l/k\)가 유한 분리이므로, 이는 \(X'_y\)에 잉여체가 \(k\)인 유일한 점이 있음을 뜻한다. 즉 (3)이 성립한다.

마지막 명제를 증명하자. \(Y\)가 국소 뇌터이면 \(R\)은 뇌터 환이고, \(f\)가 유한이면 \(R \to C\)는 유한임을 관찰하자. 그러면 More on Algebra, Lemma 00IT에 의해 \(C'\)은 유한형 \(R\)-대수이다. 이로써 \(X' \to Y\)가 유한임을 증명했다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\delta : |B| \to \mathbf{Z}\)를 함수라 하자. \(B\)가 decent이고 국소 뇌터이며 보편적으로 카테나리이고, \(\delta\)가 차원함수라고 가정하자. \(X\)가 \(B\) 위의 decent 대수공간이고 그 구조사상 \(f : X \to B\)가 국소 유한형이면, 다음 규칙으로 \(\delta_X : |X| \to \mathbf{Z}\)를 정의한다. \[\delta_X(x) = \delta(f(x)) + \text{초월차수 }x/f(x)\] (Morphisms of Spaces, Definition 04NM). 그러면 \(\delta_X\)는 차원함수이다.

증명

문제는 \(B\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(B\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. Decent Spaces, Lemma 0BB6에 의해 \(B\)는 준분리이다. Limits of Spaces, Proposition 09YC에 의해

유한 전사 사상 \(\pi : Y \to X\)를 택할 수 있고, \(Y\)는 스킴이다. 주장: \(\delta_Y\)는 차원함수이다.

이 주장은 보조정리를 함의한다. 보조정리에서와 같은 \(X \to B\)에 대해 \(Z = Y \times_B X\)로 놓고 사영을 \(p : Z \to Y\)와 \(q : Z \to X\)로 쓰자. 그러면 \[\delta_Z(z) = \delta_Y(p(z)) + \text{초월차수 }z/p(z)\] 이고 \(\delta_Z(z) = \delta_X(q(z))\)이다. 이는 Morphisms of Spaces, Lemma 04NR와 유한 사상에 대해서는 이 초월차수들이 영이라는 사실에서 따른다. Decent Spaces, Lemma 0ED5 및 위 주장에 의해 \(\delta_Z\)가 차원함수임을 얻는다. 이어서 Decent Spaces, Lemma 0ED9에 의해 \(\delta_X\)가 차원함수임을 얻는다.

주장을 증명하자. 특수화 \(y \leadsto y'\), \(y \not = y'\)을 생각하자. 이는 뇌터 스킴 \(Y\)의 점들 사이의 특수화이다. 그러면 \(\delta_Y(y) > \delta_Y(y')\)이다. 실제로 \(Y\)의 섬유 안에 있는 점들 사이에는 특수화가 없다 (Decent Spaces, Lemma 0ACK 참조). 이를 특수화의 사슬에 적용하면 \[\delta_Y(y) - \delta_Y(y') \geq \text{여차원}(\overline{\{y'\}}, \overline{\{y\}})\] 을 얻는다. 등호를 보이는 것이 목표이다. Properties, Lemma 02IL에 의해 특수화 \(y' \leadsto y_0\)를 택할 수 있다. \[\delta_Y(y) - \delta_Y(y_0) = \text{여차원}(\overline{\{y_0\}}, \overline{\{y\}})\] 을 보이면 충분하다. 실제로 이 등식은 \(y \leadsto y'\) 및 \(y' \leadsto y_0\) 모두에 대한 등식을 함의한다.

\(y = y_c \leadsto y_{c - 1} \leadsto \ldots \leadsto y_0\)를 \(Y\) 안의 특수화의 극대사슬로 택하자. \(b = \pi(y)\) 및 \(b_0 = \pi(y_0)\)로 놓는다. 특수화의 극대사슬 \(b = b_e \leadsto b_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto b_0\)를 \(|B|\) 안에서 택하자. \(e = c\)임을 보여야 한다. \(\pi\)가 닫힌사상이므로 (Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ), 특수화의 열 \(y = y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\)로서 \(b = b_e \leadsto b_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto b_0\)로 가는 것을 찾을 수 있다. \(y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) 또한 극대사슬임을 관찰하자. \(y_0 = y'_0\)이면 \(Y\)가 카테나리이므로 원하는 대로 \(e = c\)를 얻는다. 다음 단락에서는 약간의 기교로 이 경우로 귀착시키고 같은 방식으로 결론을 얻는다.

\(\pi\)가 닫힌사상이므로 \(b_0\)는 \(|B|\)의 닫힌점이다. Decent Spaces, Lemma 0AHB에 의해 \(b_0\)를 닫힌 몰입 \(b_0 : \Spec(k) \to B\)로 나타낼 수 있다. Lemma 0EDM에 의해 다음 분해를 얻을 수 있다. \[Y \to Y' \to X\] 여기서 \(\pi' : Y' \to X\)는 유한이고, \(Y \to Y'\)는 \(y_0\)와 \(y'_0\)를 같은 점으로 보내며 \(b_0\)의 역상 밖에서는 동형인 사상이다.

(물론 \(Y'\)은 스킴이 아니지만, 이는 이어지는 논증에 문제가 되지 않는다.) 특수화의 두 극대사슬 \(y_c \leadsto y_{c - 1} \leadsto \ldots \leadsto y_0\)와 \(y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\)는 \(Y'\) 안에서 같은 시작점과 끝점을 갖는 특수화의 극대사슬들로 감을 알 수 있다. \(B\)가 보편적으로 카테나리이므로 \(|Y'|\)도 카테나리이고, 앞과 같이 결론을 얻는다.

사상의 에탈 국소화

이 절은 More on Morphisms, Section 04HF의 대응물이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. \(x_1, \ldots, x_n \in |X|\)를 택하자. 이 점들은 \(y\)로 간다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. \(f\)는 분리이다.

3. \(f\)는 \(x_1, \ldots, x_n\)에서 준유한이다.

4. \(f\)는 준콤팩트이거나 \(Y\)가 decent이다.

그러면 점이 표시된 대수공간의 에탈 사상 \((U, u) \to (Y, y)\)와 열린닫힌 부분공간들로의 분해 \[U \times_Y X = W \amalg V\] 가 존재하여, 사상 \(V \to U\)가 유한이고, \(|V| \to |U|\)의 \(u\) 위 섬유에 있는 모든 점은 어떤 \(x_i\)로 가며, \(|W| \to |U|\)의 \(u\) 위 섬유에는 어떤 \(x_i\)로 가는 점도 없다.

증명

점이 표시된 대수공간의 에탈 사상 \((U, u) \to (Y, y)\)를 택하고, \(w \in |U \times_Y X|\)들 중 \(u \in |U|\)로 가면서 어떤 \(x_i \in |X|\)로 가는 것들의 집합을 생각하자. Decent Spaces, Lemma 0AC6 (\(f\)가 유한형인 경우) 또는 Decent Spaces, Lemma 0AC7 (\(Y\)가 decent인 경우)에 의해 이 집합은 유한이다. 따라서 \(f\)를 밑변환 \(U \times_Y X \to U\)로 바꾸고, \(x_1, \ldots, x_n\)을 이 \(w\)들의 집합으로 바꿀 수 있다. 특히 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있고 그렇게 하며, 그러면 \(X\)는 분리 대수공간이다.

아핀 스킴 \(Z\)와 에탈 사상 \(Z \to X\)를 택하여 \(x_1, \ldots, x_n\)이 \(|Z| \to |X|\)의 상에 속하게 하자. \(|Z| \to |X|\)의 섬유들은 유한하다. Properties of Spaces, Lemma 03IJ (또는 Decent Spaces, Section 03I7의 더 일반적인 논의)을 보라. \(\{z_1, \ldots, z_m\} \subset |Z|\)를 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\)의 역상이라 하자. More on Morphisms, Lemma 02LN에 의해 에탈 사상 \((U, u) \to (Y, y)\)가 존재하여 \(U \times_Y Z = Z_1 \amalg Z_2\)이고 \(Z_1 \to U\)는 유한이며,

\((Z_1)_y = \{z_1, \ldots, z_m\}\)이다. \(U\)가 아핀이라고 가정할 수 있고, 따라서 \(Z_1\)도 아핀이다.

\(f\)가 분리이므로 \(V\), 즉 \(Z_1 \to X\)의 상은 열린 동시에 닫혀 있다

(Morphisms of Spaces, Lemma 04NX). \(W = X \setminus V\)로 놓으면 보조정리와 같은 분해를 얻는다. 증명을 끝내려면 \(V \to U\)가 유한임을 보여야 한다. \(Z_1 \to V\)가 전사 에탈이므로 \(V\)는 \(Z_1\)의 몫이고, 그 에탈 동치관계는 \(R = Z_1 \times_V Z_1\)이다. Spaces, Lemma 0262를 보라. \(f\)가 분리이므로 \(V \to U\)는 분리이고 \(R\)은 \(Z_1 \times_U Z_1\) 안에서 닫혀 있다. \(Z_1 \to U\)가 유한이므로 사영들 \(s, t : R \to Z_1\)은 유한이다. 따라서 Groupoids, Proposition 03BM에 의해 \(V\)는 아핀 스킴이다. Morphisms, Lemma 03GN에 의해 \(V \to U\)가 고유임을 얻고, Morphisms, Lemma 01WN에 의해 \(V \to U\)가 유한임을 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)의 상을 \(y \in |Y|\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. \(f\)는 분리이다.

3. \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다.

그러면 점이 표시된 대수공간의 에탈 사상 \((U, u) \to (Y, y)\)와 열린닫힌 부분공간들로의 분해 \[U \times_Y X = W \amalg V\] 가 존재하여, 사상 \(V \to U\)가 유한이고, 점 \(v \in |V|\)가 존재한다. 이 점은 \(x\)로 가는데 이는 \(|X|\)에서이며, \(u\)로 가는데 이는 \(|U|\)에서이다.

증명

스킴 \(U\), 점 \(u \in U\), 그리고 에탈 사상 \(U \to Y\)를 택하자. 이 사상은 \(u\)를 \(y\)로 보낸다. 점 \(x' \in |U \times_Y X|\)이 존재하며, 이 점은 \(x\)로 가는데 이는 \(|X|\)에서이고, \(u\)로 가는데 이는 \(|U|\)에서이다 (Properties of Spaces, Lemma 03H4). 증명을 끝내기 위해 Lemma 082H를 사상 \(U \times_Y X \to U\)와 점 \(x'\)에 적용하자. \(U\)가 스킴이고 따라서 \(u\)가 단사상 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)에서 오기 때문에 이를 적용할 수 있다.

자리스키의 주정리

이 절에서는 앞 절의 결과들을 적용하여 대수공간의 사상에 대한 자리스키의 주정리를 증명한다. 이 절은 More on Morphisms, Section 02LQ의 대응물이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 유한형 분리 사상이라 하자. \(Y'\)을 \(Y\)의 \(X\) 안에서의 정규화라 하자. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & Y' \ar[ld]^\nu \\ & Y & }\] 그러면 열린 부분공간 \(U' \subset Y'\)가 존재하여 다음이 성립한다.

1. \((f')^{-1}(U') \to U'\)는 동형이다.

2. \((f')^{-1}(U') \subset X\)는 \(f\)가 준유한인 점들의 집합이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 04NW에 의해, 열린 부분공간 \(U \subset X\)가 있고, 이는 \(|X|\)에서 \(f\)가 준유한인 점들에 대응한다. 다음을 증명해야 한다.

1. \(|U| \to |Y'|\)의 상은 \(|U'|\)이다. 여기서 \(U'\)은 \(Y'\)의 어떤 열린 부분공간이다.

2. \(U = f^{-1}(U')\)이다.

3. \(U \to U'\)는 동형이다.

\(U\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환하고 (Morphisms of Spaces, Lemma 04NW), 정규화 \(Y'\)의 형성은 매끄러운 밑변환과 가환하며 (Lemma 082F), 에탈 사상은 열린사상이고, “동형인 것”은 밑 위 fpqc 국소적이므로 (Descent on Spaces, Lemma 041Y), (a), (b), (c)를 \(Y\) 위에서 에탈 국소적으로 증명하면 충분하다 (일부 세부사항은 생략한다). 따라서 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 이는 \(Y'\)도 (아핀) 스킴임을 함의한다.

\(x \in |U|\)라 하자. 주장: 열린 근방 \(f'(x) \in V \subset Y'\)로서 \((f')^{-1}V \to V\)가 동형인 것이 존재한다. 먼저 이 주장이 보조정리를 함의함을 증명하자. 실제로 \((f')^{-1}V \cong V\)는 스킴이고 (\(Y'\)의 열린 부분으로서), \(Y\) 위에서 국소 유한형이며 (\(X\)의 열린 부분공간으로서), \(v \in V\)에 대해 잉여체 확대 \(\kappa(v)/\kappa(\nu(v))\)는 대수적이다 (\(V \subset Y'\)이고 \(Y'\)은 \(Y\) 위에서 정수적이므로). 따라서 \(V \to Y\)의 섬유들은 이산적이고 (Morphisms, Lemma 01TE), \((f')^{-1}V \to Y\)는 국소 준유한이다 (Morphisms, Lemma 06RT). 이는 \((f')^{-1}V \subset U\) 및

\(V \subset U'\)을 함의한다. \(x\)가 임의였으므로 (a), (b), (c)가 성립한다.

\(y = f(x) \in |Y|\)로 놓자. 점이 표시된 스킴의 에탈 사상 \((T, t) \to (Y, y)\)를 택하자. 아래첨자 \({}_T\)로 \(T\)로의 밑변환을 나타낸다.

\(z \in X_T\)를 섬유 \(X_t\)의 점이라 하자. 이 점은 \(x\) 위에 놓인다. \(U_T \subset X_T\)는 \(f_T\)가 준유한인 점들의 집합임을 관찰하자. Morphisms of Spaces, Lemma 04NW를 보라. 또한 \[X_T \xrightarrow{f'_T} Y'_T \xrightarrow{\nu_T} T\] 는 \(T\)의 \(X_T\) 안에서의 정규화이다. Lemma 082F을 보라.

주장이 \(z \in U_T \subset X_T \to Y'_T \to T\)에 대해 성립한다고 하자. 즉, 열린 근방 \(f'_T(z) \in V' \subset Y'_T\)로서 \((f'_T)^{-1}V' \to V'\)가 동형인 것을 찾을 수 있다고 하자. 사상 \(Y'_T \to Y'\)은 에탈이므로 \(V \subset Y'\), 즉 \(V'\)의 상은 열려 있다. \(f'(x) \in V\)임을 관찰하자. 이는 \(f'_T(z) \in V'\)이기 때문이다. 또한 \[\xymatrix{ (f'_T)^{-1}V' \ar[r] \ar[d] & (f')^{-1}(V) \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] 는 섬유곱 정사각형이다 (\(Y'_T \times_{Y'} X = X_T\)이므로). 왼쪽 수직 화살표가 동형이고 \(\{V' \to V\}\)가 에탈 덮개이므로, Descent on Spaces, Lemma 041Y에 의해 오른쪽 수직 화살표가 동형이라고 결론내린다. 달리 말하면 주장은

\(x \in U \subset X \to Y' \to Y\)에 대해 성립한다.

앞 단락의 결과에 의해 \(x \in |U|\)에 대한 주장을 증명하기 위해 \(Y\)를 에탈 근방 \(T\), 즉 \(y = f(x)\)의 근방으로 바꾸고, \(x\)를

\(x\) 위에 놓이는 임의의 점으로 바꿀 수 있다. 이 점은 \(T \times_Y X\) 안에 있다. 따라서 열린닫힌 부분공간들로의 분해 \[X = V \amalg W\] 가 존재하여 \(V \to Y\)가 유한이고 \(x \in V\)라고 가정할 수 있다. Lemma 082H를 보라. \(X\)가 \(V\)와 \(W\)의 서로소 합이고 이는 \(Y\) 위의 합이며, \(V \to Y\)가 유한이므로, \(Y\)의 \(X\) 안에서의 정규화는 다음 사상임을 알 수 있다. \[X = V \amalg W \longrightarrow V \amalg W' \longrightarrow S\] 여기서 \(W'\)은 \(Y\)의 \(W\) 안에서의 정규화이다. Morphisms of Spaces, Lemmas 0824, 0414, 0825을 보라. 주장이 따르고 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 Morphisms of Spaces, Lemma 0ABS와 중복된다. 같은 보조정리를 두 번 싣는 이유는 증명들이 다소 다르기 때문이다. 아래 증명은 위에서 제시한 대수공간의 비표현가능 사상에 대한 자리스키 주정리에 의존하는 반면, Morphisms of Spaces, Lemma 0ABS의 증명은 Morphisms of Spaces, Proposition 03XX을 사용하여 스킴 사상의 경우로 귀착한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 준유한이고 분리라고 가정하자. \(Y'\)을 \(Y\)의 \(X\) 안에서의 정규화라 하자. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & Y' \ar[ld]^\nu \\ & Y & }\] 그러면 \(f'\)은 준콤팩트 열린 몰입이고 \(\nu\)는 정수적이다. 특히 \(f\)는 준아핀이다.

증명

Lemma 082I에서 따른다. 실제로 그 보조정리에 의해 열린 부분공간 \(U' \subset Y'\)가 존재하여 \((f')^{-1}(U') = X\)이고 (!) \(X \to U'\)는 동형이다! 달리 말하면 \(f'\)은 열린 몰입이다. \(f'\)이 준콤팩트임을 관찰하자. 실제로 \(f\)는 준콤팩트이고 \(\nu : Y' \to Y\)는 분리이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03KS). 따라서 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대해 섬유곱 \(Z \times_Y X\)는 아핀 스킴 \(Z \times_Y Y'\)의 준콤팩트 열린 부분스킴이다. 그러므로 정의에 의해 \(f\)는 준아핀이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 준유한이고 분리이며, \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 다음 분해가 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & Y & }\] 여기서 \(j\)는 준콤팩트 열린 몰입이고 \(\pi\)는 유한이다.

증명

\(X \to Y' \to Y\)를 Lemma 082J의 결론에 나오는 것으로 잡자. Limits of Spaces, Lemma 082C에 의해 \[\nu_*\mathcal{O}_{Y'} = \colim_{i \in I} \mathcal{A}_i\] 를 유한 준연접

\(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}_i \subset \nu_*\mathcal{O}_{Y'}\)들의 유향 여극한으로 쓸 수 있다. 그러면 \(\pi_i : T_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i) \to Y\)는 각 \(i\)에 대해 유한 사상이다. 전이사상 \(T_{i'} \to T_i\)가 아핀이고 \(Y' = \lim T_i\)임을 관찰하자.

Limits of Spaces, Lemma 0827에 의해 어떤 \(i\)와 준콤팩트 열린 부분공간 \(U_i \subset T_i\)가 존재하여, \(Y'\) 안에서 그 역상이 \(f'(X)\)와 같다. \(i' \geq i\)에 대해 \(U_{i'}\)를 \(U_i\)의 \(T_{i'}\) 안에서의 역상이라 하자. 그러면 \(X \cong f'(X) = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\)이다. Limits of Spaces, Lemma 07SF를 보라. Limits of Spaces, Lemma 0828에 의해 \(X \to U_{i'}\)가 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 닫힌 몰입임을 알 수 있다. (사실 \(X \cong U_{i'}\)는 충분히 큰 \(i'\)에 대해 성립하지만, 이것은 필요 없다.) 따라서 \(X \to T_{i'}\)는 몰입이다. Morphisms of Spaces, Lemma 081U에 의해 이를 \(X \to T \to T_{i'}\)로 분해할 수 있다. 첫째 화살표는 열린 몰입이고 둘째 화살표는 닫힌 몰입이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

Lemma 082K와 같은 표기와 가정을 사용하자. 더욱이 \(f\)가 국소 유한 표시라고 가정하자. 그러면 \(T\)가 \(Y\) 위에서 유한이고 유한 표시가 되도록 분해를 택할 수 있다.

증명

Limits of Spaces, Lemma 07VR에 의해 \(T = \lim T_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 모든 \(T_i\)는 \(Y\) 위에서 유한이고 유한 표시이며, 전이사상 \(T_{i'} \to T_i\)는 닫힌 몰입이다. Limits of Spaces, Lemma 0827에 의해 어떤 \(i\)와 열린 부분스킴

\(U_i \subset T_i\)가 존재하여, \(T\) 안에서 그 역상은 \(X\)이다. Limits of Spaces, Lemma 0828에 의해 \(X \cong U_i\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 성립함을 알 수 있다. \(T\)를 \(T_i\)로 바꾸면 증명이 끝난다.

자리스키 주정리의 응용, I

첫째 응용은 유한 사상을 섬유가 유한인 고유 사상으로 특징짓는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 유한이다.

2. \(f\)는 고유이고 국소 준유한이다.

3. \(f\)는 고유이고, \(|X_k|\)는 모든 사상 \(\Spec(k) \to Y\)에 대해 이산공간이다. 여기서 \(k\)는 체이다.

4. \(f\)는 보편 닫힌사상이고 분리이며 국소 유한형이고, \(|X_k|\)는 모든 사상 \(\Spec(k) \to Y\)에 대해 이산공간이다. 여기서 \(k\)는 체이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemmas 04NZ, 04NY에 의해 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다. Morphisms of Spaces, Lemma 06RW에 의해 (2) \(\Rightarrow\) (3)이다. 정의에 의해 (3)은 (4)를 함의한다.

(4)를 가정하자. \(f\)가 보편 닫힌사상이므로 준콤팩트이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 04XW). 점 \(y\)를 \(|Y|\)에서 택하자. \(y\)를 사상 \(\Spec(k) \to Y\)로 나타내자. \(|X_k|\)는 준콤팩트 이산공간이므로 유한 이산공간이다. 사상 \(|X_k| \to |X|\)는 \(|X| \to |Y|\)의 \(y\) 위 섬유로 전사한다 (Properties of Spaces, Lemma 03H4). Morphisms of Spaces, Lemma 06LS에 의해 \(X \to Y\)는 \(|X| \to |Y|\)의 \(y\) 위 섬유의 모든 점에서 준유한이다. 점이 표시된 기본 에탈 근방 \((U, u) \to (Y, y)\)와 분해 \(X_U = V \amalg W\)를 Lemma 082H에서와 같이 택하되, \(|X|\)에서 \(y\) 위에 놓이는 모든 점에 맞추어 택하자. \(W_u = \emptyset\)임을 관찰하자. 실제로 \(|X| \to |Y|\)의 \(y\) 위 섬유에 있는 모든 점을 사용했다. \(f\)가 보편 닫힌사상이므로 \(|W|\)의 \(|U|\)에서의 상은 \(u\)를 포함하지 않는 닫힌집합이다. \(U\)를 줄인 뒤 \(W = \emptyset\)이라고 가정할 수 있다. 달리 말하면 \(X_U = V\)는 \(U\) 위에서 유한이다. \(y \in |Y|\)가 임의였으므로, 에탈 사상의 족 \(\{U_i \to Y\}\)가 존재하고 그 상들은 \(Y\)를 덮으며 밑변환 \(X_{U_i} \to U_i\)는 유한이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03ZQ에 의해 \(f\)가 유한이라고 결론내린다.

그 결과 다음과 같은 유용한 명제를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 고유이다.

2. \(f\)는 모든 \(x \in |X|\)에서 준유한이고, 이 점들은 \(y\) 위에 놓인다 (Decent Spaces, Lemma 0ACK).

그러면 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(y\)의 근방이고, \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\)가 유한이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 04NW에 의해 \(f\)가 준유한인 점들의 집합은 열린집합 \(U \subset X\)이다. \(Z = X \setminus U\)로 놓자. 그러면 \(y \not \in f(Z)\)이다. \(f\)가 고유이므로 \(f(Z) \subset Y\)는 닫힌집합이다. 임의의 열린집합 \(V \subset Y\)로서 \(y\)의 근방이고

\(Z \cap V = \emptyset\)인 것을 택하자. 그러면 \(f^{-1}(V) \to V\)는 국소 준유한이고 고유이다. 따라서 Lemma 0A4X에 의해 \(f^{-1}(V) \to V\)는 유한이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 가환도를 생각하자. \[\xymatrix{ X \ar[rr]_h \ar[rd]_f & & Y \ar[ld]^g \\ & B }\] 이는 \(S\) 위 대수공간의 사상들로 이루어진다.

\(b \in B\)라 하고, 사상 \(\Spec(k) \to B\)를 택하자. 이 사상은 \(b\)의 동치류에 속한다. 다음을 가정하자.

1. \(X \to B\)는 고유 사상이다.

2. \(Y \to B\)는 분리이고 국소 유한형이다.

3. 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(|X_k| \to |Y_k|\)의 상은 유한이다.

   2. \(|f|^{-1}(\{b\})\)의 \(|Y|\) 안에서의 상은 유한이고 \(B\)는 decent이다.

그러면 열린 부분공간 \(B' \subset B\)가 존재하여 \(b\)를 포함하고, \(X_{B'} \to Y_{B'}\)는 닫힌 부분공간 \(Z \subset Y_{B'}\)를 통해 분해되며 이 부분공간은 \(B'\) 위에서 유한이다.

증명

\(Z \subset Y\)를 \(h\)의 스킴 이론적 상이라 하자. Morphisms of Spaces, Section 082W를 보라. Morphisms of Spaces, Lemma 0AGD에 의해 \(X \to Z\)는 전사이고 \(Z \to B\)는 고유이다. 따라서 \[\{x \in |X|\text{ 중 밑의 점이 }b\} \to \{z \in |Z|\text{ 중 밑의 점이 }b\}\] 및 \(|X_k| \to |Z_k|\)는 전사이다. (3)(a) 또는 (3)(b) 어느 쪽이든

\(Z \to B\)가 \(|Z|\)의 모든 점에서 준유한임을 함의하며, 이 점들은 \(b\) 위에 놓인다. 이는 Decent Spaces, Lemma 0ACK에 의한 것이다. 따라서 Lemma 0A4Y에 의해 \(Z \to B\)는 \(b\)의 어떤 열린 근방에서 유한이다.