체

서론

이 장에서는 체 이론을 다룬다. 체란 모든 영이 아닌 원소가 가역인 영환이 아닌 환임을 상기하자. 동치로, 영이 아닌 모든 원소가 단원이므로 체의 이데알은 \((0)\)과 \((1)\)뿐이다. 따라서 뒤에서 전개할 이론의 많은 부분에서 체는 가장 단순한 경우가 된다.

예를 들어 체의 사상은 모두 단사이므로, 체 확대 이론은 표준적인 가환대수와는 성격이 다르다. 그럼에도 환에 관한 문제를 체에 관한 문제로 환원할 수 있는 경우가 많다. 예를 들어 모든 정역은 하나의 체 (그 분수체)에 매입될 수 있고, 모든 국소환(즉 유일한 극대 이데알을 갖는 환; 이 용어는 아직 정의하지 않았다)에는 그 잉여체 (즉 극대 이데알에 의한 몫)이 결부된다. 그러므로 체 확대에 관한 지식은 유용할 것이다.

기본 정의

이 장을 가환대수를 논하는 장보다 앞에 두었으므로, 뒤의 대수 장에서 더 자세히 다룰 몇 가지 기본 정의를 여기에서 먼저 도입해야 한다.

정의

체란 모든 영이 아닌 원소가 가역인 영환이 아닌 환이다. 주어진 체의 부분체란 그 자체가 체인 부분환이다.

체 \(k\)에 대하여 부분집합 \(k \setminus \{0\}\)을 \(k^*\)로 쓴다. 이는 환 \(R\)의 가역원들의 군을 나타내는 통상적인 기호 \(R^*\)를 일반화한 것이다.

정의

정역 또는 정수환이란 영인자가 \(0\)뿐인 영환이 아닌 환이다.

체의 예

먼저 체의 몇 가지 예를 들자. 환 \(R\)과 이데알 \(I \subset R\)에 대하여 \(R/I\)가 체일 필요충분조건은 \(I\)가 극대 이데알인 것임을 상기하자.

예

유리수들은 하나의 체를 이룬다. 이를 유리수체라 하며 \(\mathbf{Q}\)로 나타낸다.

예

\(p\)가 소수이면 \(\mathbf{Z}/(p)\)는 체이고, 이를 \(\mathbf{F}_p\)로 나타낸다. 실제로 \((p)\)는 \(\mathbf{Z}\)의 극대 이데알이다. 따라서 체는 유한할 수도 있으며, \(\mathbf{F}_p\)는 \(p\)개의 원소를 갖는다.

예

주 아이디얼 정역에서 기약원 하나가 생성하는 이데알은 극대이다. 이제 \(k\)가 체이면 다항식환 \(k[x]\)는 주 아이디얼 정역이다. 따라서 \(P \in k[x]\)가 기약다항식(즉 차수가 더 작은 항들의 곱으로 인수분해되지 않는 비상수 다항식)이면 \(k[x]/(P)\)는 체이다. 이 체는 자연스럽게 \(k\)의 한 복사본을 포함한다. 이는 체를 구성하는 매우 일반적인 방법이다. 예를 들어 복소수체 \(\mathbf{C}\)는 \(\mathbf{R}[x]/(x^2 + 1)\)로 구성할 수 있다.

예

정역 \(A\)가 주어지면, \(\mathbf{Q}\)를 \(\mathbf{Z}\)로부터 구성하는 것과 정확히 같은 방식으로 \(A\)에서 구성한 체 \(F\)로의 매입 \(A \to F\)가 있음을 상기하자. 형식적으로 \(F\)의 원소들은 분수 \(a/b\)의 동치류이며, 여기서 \(a, b \in A\), \(b \not = 0\)이다. 통상대로 \(a/b = a'/b'\)일 필요충분조건은 \(ab' = ba'\)이다. 체 \(F\)를 \(A\)의 몫체, 분수들의 체, 또는 분수체라 한다. 분수체에는 다음 보편 성질이 있다. 체 \(K\)로 가는 단사 환 사상 \(\varphi : A \to K\)가 주어지면 다음 도표를 가환하게 하는 유일한 사상 \(\psi : F \to K\)가 존재한다. \[\xymatrix{ F \ar[r]_\psi & K \\ A \ar[u] \ar[ru]_\varphi }\] 실제로 그러한 사상을 정의하는 법은 명백하다. \(\psi(a/b) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1}\)로 두면 된다. \(b \not = 0\)일 때 \(\varphi(b) \not = 0\)임은 \(\varphi\)의 단사성으로 보장된다.

예

\(k\)가 체이면 \(k\) 위의 유리함수체 \(k(x)\)를 생각할 수 있다. 이는 다항식환 \(k[x]\)의 분수체이다. 다시 말해, 자명한 동치관계를 준 \(F, G \in k[x]\), \(G \not = 0\)인 몫 \(F/G\)들의 집합이다.

예

\(X\)를 리만 곡면이라 하고, \(X\) 위의 유리형 함수들의 집합을 \(\mathbf{C}(X)\)로 나타내자. 함수의 곱셈과 덧셈에 관하여 \(\mathbf{C}(X)\)는 환이다. 실제로 \(\mathbf{C}(X)\)는 체임을 알 수 있다. 곧, 영이 아닌 함수 \(f(z)\)가 유리형이면 \(1/f(z)\)도 유리형이다. 예를 들어 \(S^2\)를 리만 구면이라 하자. 복소해석학에 의해 유리형 함수환 \(\mathbf{C}(S^2)\)가 유리함수체 \(\mathbf{C}(z)\)임을 안다.

벡터공간

체가 다루기 좋은 한 가지 이유는 체 위 가군, 즉 벡터공간의 이론이 매우 단순하기 때문이다.

보조정리

\(k\)가 체이면 모든 \(k\)-가군은 자유이다.

증명

실제로 선형대수학에 의해 \(k\)-가군, 즉 벡터공간 \(V\)에는 기저 \(\mathcal{B} \subset V\)가 있고, 이 기저는 \(\mathcal{B}\) 위의 자유 벡터공간에서 \(V\)로 가는 동형사상을 정한다.

보조정리

체 위 가군들의 모든 완전열은 분할된다.

증명

모든 벡터공간이 사영 가군이므로 이는 Lemma 09FN에서 따른다.

뒤의 장에서 전개할 이론이 체에 관해 많은 말을 하지 않는 또 다른 이유도 가군이 이처럼 단순하게 행동하기 때문이다. Lemma 09FP는 \(k\)가 체일 때 \(k\)-가군들의 범주에 관한 명제임에 유의하자. 완전성이라는 개념은 본질적으로 화살표론적, 즉 순전히 범주론적인 개념을 사용하며, 실제로 이른바 아벨 범주 안에서 서술할 수 있기 때문이다.

이제부터 체 위 가군의 연구는 선형대수학이고 체의 이데알 이론은 그다지 흥미롭지 않으므로, 이 장의 실제 주제인 체의 확대를 연구한다.

체의 표수

환의 범주에는 초기 대상 \(\mathbf{Z}\)가 있다. 즉 모든 환 \(R\)에는 \(\mathbf{Z}\)에서 오는 사상이 정확히 하나 있다. 체의 범주에는 그러한 초기 대상이 없다. 그럼에도 다음과 같은 대상들의 족이 있다. 모든 체는 그들 중 정확히 하나에 의해 정확히 한 가지 방식으로 사상되고, 나머지 대상들에 의해서는 어떤 방식으로도 사상되지 않는다.

\(F\)를 체라 하자. \(F\)를 환으로 보아 환 사상 \(f : \mathbf{Z} \to F\)를 얻는다. 이 환 사상의 상은 체의 부분환이므로 정역이고, 따라서 \(f\)의 핵은 \(\mathbf{Z}\)의 소 이데알이다. 그러므로 \(f\)의 핵은 \((0)\)이거나 어떤 소수 \(p\)에 대한 \((p)\)이다.

첫 번째 경우에는 \(f\)가 단사이므로 \(\mathbf{Z}\)를 \(F\)의 부분환으로 본다. 더구나 \(F\)의 영이 아닌 모든 원소는 가역이므로 \(p, q \in \mathbf{Z}\), \(q \not = 0\)에 대하여 \(p/q \in F\)라고 말할 수 있다. 따라서 이 경우 \(\mathbf{Q}\)를 \(F\)의 부분환으로 볼 수 있고 실제로 그렇게 한다. 이것이 이 경우 \(F\)의 가장 작은 부분체임은 쉽게 알 수 있다.

두 번째 경우, 즉 \(\Ker(f) = (p)\)이면 \(\mathbf{Z}/(p) = \mathbf{F}_p\)가 \(F\)의 부분환이다. 명백히 이는 \(F\)의 가장 작은 부분체이다.

이와 같이 논하면 모든 체에는 가장 작은 부분체가 있으며, 이는 \(\mathbf{Q}\)이거나 어떤 소수 \(p\)에 대해 유한하고 \(\mathbf{F}_p\)와 같다.

정의

체 \(F\)의 표수는 \(\mathbf{Z} \subset F\)이면 \(0\)이고, \(F\)에서 \(p = 0\)인 소수 \(p\)가 있으면 그 소수이다. \(F\)의 소부분체란 \(F\)의 가장 작은 부분체로, 표수가 영이면 \(\mathbf{Q} \subset F\)이고 표수가 \(p > 0\)이면 \(\mathbf{F}_p \subset F\)이다.

\(E \subset F\)가 부분체이면 \(E\)의 표수와 \(F\)의 표수가 같음은 쉽게 알 수 있다.

예

\(\mathbf{F}_p\)의 표수는 \(p\)이고 \(\mathbf{Q}\)의 표수는 \(0\)이다.

체 확대

일반적으로 우리는 체 자체보다 체의 확대에 더 관심이 있다. 이는 고정된 환 위에서 환 자체가 아니라 대수를 연구하는 것과 비슷할 수 있다. 다음 결과에 의해 “다른 체 위의 체”라는 개념이 바로 체 확대라는 개념으로 귀착된다는 점이 체에서는 편리하다.

보조정리

\(F\)가 체이고 \(R\)이 영환이 아닌 환이면, 모든 환 준동형 \(\varphi : F \to R\)은 단사이다.

증명

실제로 \(a \in \Ker(\varphi)\)를 영이 아닌 원소라 하자. 그러면 \(\varphi(1) = \varphi(a^{-1} a) = \varphi(a^{-1}) \varphi(a) = 0\)이다. 따라서 \(1 = \varphi(1) = 0\)이고 \(R\)은 영환이다.

정의

체 \(F\)가 체 \(E\)에 포함되어 있으면 \(E\)를 \(F\)의 체 확대라고 한다. \(E\)가 \(F\)의 확대임을 \(E/F\)로 나타낸다.

따라서 \(F, F'\)가 체이고 \(F \to F'\)가 임의의 환 준동형이면, Lemma 09FU에 의해 이는 단사이고, 약간 용어를 남용하여 \(F'\)를 \(F\)의 확대라고 볼 수 있다. 달리 말해 \(F\)의 체 확대란 우연히 체인 \(F\)-대수일 뿐이다. 일반적인 환의 경우에는 환 준동형이 반드시 단사인 것은 아니므로 상황이 전혀 다르다.

\(k\)를 체라 하자. \(k\)의 체 확대들의 범주가 있다. 이 범주의 대상은 확대 \(E/k\), 즉 (반드시 단사인) 체의 사상 \[k \to E,\] 이고, 확대 \(E/k\)와 \(E'/k\) 사이의 사상은 \(k\)-대수 사상 \(E \to E'\)이다. 달리 말해 이는 가환 도표 \[\xymatrix{ E \ar[rr] & & E' \\ & k \ar[ru] \ar[lu] & }\] 이다. \(k\)의 확대들의 범주에서 \(E \to E'\)로 가는 사상들의 집합은 \(\Mor_k(E, E')\)로 나타낸다.

정의

체의 탑 \(E_n/E_{n - 1}/\ldots/E_0\)은 체 확대들의 열 \(E_n/E_{n - 1}\), \(E_{n - 1}/E_{n - 2}\), \(\ldots\), \(E_1/E_0\)로 이루어진다.

체 확대의 몇 가지 예를 들자.

예

\(k\)를 체라 하고 \(P \in k[x]\)를 기약다항식이라 하자. \(k[x]/(P)\)가 체임을 이미 보았다 (Example 09FI). 이는 자명한 방식으로 \(k\)-대수이기도 하므로 \(k\)의 확대이다.

예

\(X\)가 리만 곡면이면 유리형 함수체 \(\mathbf{C}(X)\) (Example 09FL)는 \(\mathbf{C}\)의 확대체이다. 실제로 \(\mathbf{C}\)의 각 원소는 \(X\) 위의 유리형이고, 더 나아가 정칙인 상수함수를 유도한다.

\(F/k\)를 체 확대라 하고 \(S \subset F\)를 임의의 부분집합이라 하자. 그러면 \(S\)를 포함하는 \(F\)의 가장 작은 부분확대, 즉 \(k\)를 포함하는 \(F\)의 부분체가 있다. 이를 보려면 \(S\)와 \(k\)를 포함하는 \(F\)의 부분체들의 족을 생각하여 그 교집합을 취하라. 이것이 체임을 확인할 수 있다. 실제로 표준적인 논증에 의해 이것은 \(k\)와 \(S\)의 원소들을 사용한 유한 번의 기본 대수 연산(덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈)으로 얻을 수 있는 \(F\)의 원소들의 집합이다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(F/k\)가 체 확대이고 \(S \subset F\)이면, \(k\)와 \(S\)를 포함하는 \(F\)의 가장 작은 부분체를 \(k(S)\)로 쓴다. \(S\)가 체 확대 \(k(S)/k\)를 생성한다고 한다. \(S = \{\alpha\}\)가 한원소집합이면 \(k(\{\alpha\})\) 대신 \(k(\alpha)\)로 쓴다. \(F = k(S)\)인 유한 부분집합 \(S \subset F\)가 존재하면 \(F/k\)를 유한생성 체 확대라고 한다.

예를 들어 \(\mathbf{C}\)는 \(\mathbf{R}\) 위에서 \(i\)에 의해 생성된다.

연습문제

\(\mathbf{C}\)가 \(\mathbf{Q}\) 위에서 가산 생성집합을 갖지 않음을 보여라.

이제 하나의 원소로 생성되는 확대들을 분류하자.

보조정리

체 확대 \(F/k\)가 하나의 원소로 생성되면, 이는 유리함수체 \(k(t)/k\) 또는 기약인 \(P \in k[t]\)에 대한 확대 \(k[t]/(P)\) 중 하나와 \(k\)-동형이다.

가장 중요한 체 확대의 많은 경우가 하나의 원소로 생성됨을 뒤에서 볼 것이므로, 이 결과는 실제로 유용하다.

증명

\(F = k(\alpha)\)인 \(\alpha \in F\)를 택하자. 가정에 의해 그러한 \(\alpha\)가 존재한다. 미정원 \(t\)를 \(\alpha\)로 보내는 환 사상 \[k[t] \to F\] 가 있다. 그 상은 정역이므로 핵은 소 이데알이다. 따라서 핵은 \((0)\)이거나 기약인 \(P \in k[t]\)에 대한 \((P)\)이다.

핵이 기약인 \(P \in k[t]\)에 대한 \((P)\)이면, 사상은 \(k[t]/(P)\)를 통해 분해되고 체의 사상 \(k[t]/(P) \to F\)를 유도한다. 상이 \(\alpha\)를 포함하므로 이 사상은 쉽게 전사임을 알 수 있고, 따라서 동형사상이다. 이 경우 \(k[t]/(P) \simeq F\)이다.

핵이 자명하면 단사사상 \(k[t] \to F\)를 얻는다. 따라서 분수체 \(k(t)\)에서 \(F\)로 가는 사상을 정의할 수 있다. \(R(t), Q(t) \in k[t]\)인 몫 \(R(t)/Q(t)\)를 \(R(\alpha)/Q(\alpha)\)로 보낸다. \(k[t] \to F\)가 단사라는 가정에 의해 \(Q\)가 영다항식이 아닌 한 \(Q(\alpha) \neq 0\)이다. \(k[t]\)의 분수체는 유리함수체 \(k(t)\)이므로 상이 \(\alpha\)를 포함하는 사상 \(k(t) \to F\)를 얻는다. 따라서 이는 전사이고, 그러므로 동형사상이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(E/k\)와 \(F/k\)를 체 확대라 하자. 그러면 공통 체 확대 \(M/k\), 즉 \(k\)의 확대의 사상 \(E \to M\)과 \(F \to M\)이 존재하는 확대체가 있다.

증명

\(E\)가 \(k\)의 유한생성 체 확대인 경우만 증명한다. 일반적인 경우는 초른 보조정리 유형의 논증으로 이 경우에서 따른다(세부사항은 생략한다).

먼저 \(E\)가 \(k\)의 단순 확대라고 하자. Lemma 09G1에 의해 이는 \(E = k(t)\)가 유리함수체인 경우이거나, 어떤 기약다항식 \(P \in k[t]\)에 대해 \(E = k[t]/(P)\)인 경우이다. 첫 번째 경우에는 \(M = F(t)\)를 유리함수체로 택하고 자명한 사상 \(E \to M\)과 \(F \to M\)을 취한다. 두 번째 경우에는 \(F[t]\)에서 \(P\)의 상의 기약인 인수 \(Q\)를 택하고, 자명한 사상 \(E \to M\)과 \(F \to M\)을 갖는 \(M = F[t]/(Q)\)를 취한다.

\(E = k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)이면 \(n\)에 대한 귀납법으로 확대 \(M/k\)와 사상 \(F \to M\) 및 \(k(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1}) \to M\)을 찾을 수 있다. 앞 단락에서 다룬 단순 확대의 경우에 의해 확대 \(M'/k(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1})\)와 사상 \(M \to M'\) 및 \(k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \to M'\)을 찾을 수 있다. \(M'\)을 \(k\)의 확대라고 보면 원하는 성질을 갖는다.

유한 확대

\(F/E\)가 체 확대이면 \(F\)는 분명히 \(E\) 위의 벡터공간이기도 하다 (스칼라 작용은 단지 \(F\)에서의 곱셈이다).

정의

\(F/E\)를 체 확대라 하자. \(F\)를 \(E\)-벡터공간으로 보았을 때의 차원을 확대의 차수라 하며 \([F : E]\)로 나타낸다. \([F : E] < \infty\)이면 \(F\)를 \(E\)의 유한 확대라고 한다.

예

체 \(\mathbf{C}\)는 기저 \(1, i\)를 갖는 \(\mathbf{R}\) 위의 2차원 벡터공간이다. 따라서 \(\mathbf{C}\)는 \(\mathbf{R}\)의 차수 2인 유한 확대이다.

보조정리

\(K/E/F\)를 대수적 체 확대들의 탑이라 하자. \(K\)가 \(F\) 위에서 유한이면 \(K\)는 \(E\) 위에서도 유한이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

이제 가장 중요한 특수한 예, 즉 Lemma 09G1가 주는 경우의 차수를 다음 두 예에서 살펴보자.

예

\(k\)가 임의의 체이면 유리함수체 \(k(t)\)는 유한 확대가 아니다. 예를 들어 원소들 \(\left\{t^n, n \in \mathbf{Z}\right\}\)은 \(k\) 위에서 선형독립이다.

실제로 \(k\)가 비가산이면 \(k(t)\)는 \(k\)-벡터공간으로서 비가산 차원이다. 이를 보이기 위해 원소들의 족 \(\{1/(t- \alpha), \alpha \in k\} \subset k(t)\)가 \(k\) 위에서 선형독립임을 주장한다. 이들 사이의 자명하지 않은 관계는 모순을 낳는다. 예를 들어 \(\mathbf{C}\) 위에서 생각하면, 유리형 함수로 본 \(\frac{1}{t-\alpha}\)는 \(\mathbf{C}\)의 \(\alpha\)에서만 극을 가지므로 이를 알 수 있다. 따라서 \(c_i \in k^*\)이고 \(\alpha_i \in k\)들이 서로 다를 때 합 \(\sum c_i \frac{1}{t - \alpha_i}\)는 각 \(\alpha_i\)에서 극을 갖는다. 특히 영일 수 없다.

흥미롭게도 이는 복소수체 위의 힐베르트 영점정리에 대한 짧은 증명을 준다. 조금 더 일반적인 결과는 Algebra, Theorem 00FU를 보라.

보조정리

체의 유한 확대는 유한생성 체 확대이다. 역은 참이 아니다.

증명

\(F/E\)를 체의 유한 확대라 하자. \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)을 \(E\) 위의 벡터공간 \(F\)의 기저라 하자. 그러면 \(F = E(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)이므로 \(F/E\)는 유한생성 체 확대이다. 역이 참이 아님은 Example 09G6에서 따른다.

예

Example 09FX에서 다룬 형태의 단일생성 체 확대 \(E/k\)를 생각하자. 다시 말해, \(P \in k[t]\)가 기약다항식일 때 \(E = k[t]/(P)\)이다. 그러면 차수 \([E : k]\)는 다항식 \(P\)의 차수 \(d = \deg(P)\)이다. 실제로 [09G8]\[\begin{equation} P = a_d t^d + a_{d - 1} t^{d - 1} + \ldots + a_0. \end{equation}\] 이고 \(a_d \not = 0\)이라고 하자. \(k[t]/(P)\)에서 \(1, t, \ldots, t^{d - 1}\)의 상들은 \(k\) 위에서 선형독립이다. 이들 사이의 관계는 \(P\)보다 차수가 엄밀히 작을 것이지만 \(P\)가 이데알 \((P)\)에서 차수가 가장 작은 원소이기 때문이다.

거꾸로, 집합 \(S = \{1, t, \ldots, t^{d - 1}\}\)(더 정확히는 그 상들)는 벡터공간 \(k[t]/(P)\)를 생성한다. 실제로 (09G8)에 의해 \(a_d t^d\)는 \(S\)의 선형생성에 속한다. \(a_d\)가 가역이므로 \(t^d\)도 \(S\)의 선형생성에 속한다. 마찬가지로 관계 \(t P(t) = 0\)은 \(t^{d + 1}\)의 상이 \(\{1, t, \ldots, t^d\}\)의 선형생성에 속함을 보여 주며, 방금 보인 바에 의해 이는 \(S\)의 선형생성에 속한다. 위로 귀납하면 \(n \geq d\)인 \(t^n\)의 상은 \(S\)의 선형생성에 속한다.

예를 들어 이는 \([\mathbf{C}: \mathbf{R}] = 2\)라는 관찰을 확인한다. 더 일반적으로 \(k\)가 체이고 \(\alpha \in k\)가 제곱이 아니면 기약다항식 \(x^2 - \alpha \in k[x]\)를 사용하여 차수 2인 확대 \(k[x]/(x^2 - \alpha)\)를 구성할 수 있다. 이를 \(k(\sqrt{\alpha})\)로 쓴다. 명백한 이유로 이러한 확대를 이차라고 한다.

차수에 관한 기본 사실은 탑에서 곱셈적이라는 것이다.

보조정리

체의 탑 \(F/E/k\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \[[F:k] = [F:E][E:k]\] 이다.

증명

\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\)를 \(F\)의 \(E\)-기저라 하고, \(\beta_1, \ldots, \beta_m \in E\)를 \(E\)의 \(k\)-기저라 하자. 주장하는 바는 곱들의 집합 \(\{\alpha_i \beta_j, 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\}\)이 \(F\)의 \(k\)-기저라는 것이다. 먼저 이들이 \(k\) 위에서 \(F\)를 생성함을 확인하자.

가정에 의해 \(\{\alpha_i\}\)는 \(E\) 위에서 \(F\)를 생성한다. 따라서 \(f \in F\)이면 어떤 \(a_i \in E\)가 있어 \[f = \sum\nolimits_i a_i \alpha_i,\] 이고, 각 \(i\)에 대하여 어떤 \(b_{ij} \in k\)를 사용하여 \(a_i = \sum b_{ij} \beta_j\)로 쓸 수 있다. 이를 합치면 \[f = \sum\nolimits_{i,j} b_{ij} \alpha_i \beta_j,\] 이므로 \(\{\alpha_i \beta_j\}\)가 \(k\) 위에서 \(F\)를 생성한다.

이제 \(c_{ij} \in k\)에 대해 자명하지 않은 관계 \[\sum\nolimits_{i,j} c_{ij} \alpha_i \beta_j = 0\] 가 존재한다고 하자. 그러면 \[\sum\nolimits_i \alpha_i \left( \sum\nolimits_j c_{ij} \beta_j \right) = 0,\] 이고 \(\beta_j\)들이 그러하듯 괄호 안의 항들은 \(E\)에 속한다. \(\{\alpha_i\}\)의 \(E\)-선형독립성에 의해 괄호 안의 합들은 모두 영이다. 이어서 \(\{\beta_j\}\)의 \(k\)-선형독립성에 의해 모든 \(c_{ij}\)가 영이다.

잠시 곁가지인 정의를 하나 들자.

정의

체 \(K\)의 표수가 \(0\)이고 확대 \(K/\mathbf{Q}\)가 유한이면 그 체를 수체라고 한다.

수체는 대수적 수론의 기본 대상이다. 뒤에서 수체 안의 정수 \(\mathbf{Z}\)의 유사물에 대해서도 일종의 유일인수분해가 여전히 성립함을 볼 것이다(엄밀한 유일인수분해는 일반적으로 성립하지 않는다!).

대수적 확대

중요한 확대의 한 부류는 모든 원소가 유한 확대를 생성하는 경우이다.

정의

체 확대 \(F/E\)를 생각하자. 원소 \(\alpha \in F\)가 계수가 \(E\)에 있는 어떤 영이 아닌 다항식의 근이면 \(\alpha\)가 \(E\) 위에서 대수적이라고 한다. \(F\)의 모든 원소가 대수적이면 \(F\)를 \(E\)의 대수적 확대라고 한다.

Lemma 09G1에 의해 부분확대 \(E(\alpha)\)는 유리함수체 \(E(t)\) 또는 기약다항식 \(P \in E[t]\)에 대한 몫환 \(E[t]/(P)\)와 동형이다. 뒤의 경우에는 \(\alpha\)가 \(E\) 위에서 대수적이고(실제로 Lemma 09G1의 증명은 \(\alpha\)가 \(P\)의 근이 되도록 \(P\)를 택할 수 있음을 보여 준다), 앞의 경우에는 대수적이지 않다.

예

체 \(\mathbf{C}\)는 \(\mathbf{R}\) 위에서 대수적이다. 실제로 \(\mathbf{C}\)의 \(\alpha = a + ib\)에 대하여 \(\alpha^2 - 2a\alpha + a^2 + b^2 = 0\)은 \(\alpha\)가 \(\mathbf{R}\) 위에서 만족하는 다항식 방정식이다.

예

\(X\)를 콤팩트 리만 곡면이라 하고, \(f \in \mathbf{C}(X) - \mathbf{C}\)를 \(X\) 위의 임의의 비상수 유리형 함수라 하자(Example 09FL를 보라). 그러면 \(\mathbf{C}(X)\)가 \(f\)에 의해 생성되는 부분확대 \(\mathbf{C}(f)\) 위에서 대수적임이 알려져 있다. 여기서는 증명하지 않는다.

보조정리

\(K/E/F\)를 체 확대들의 탑이라 하자.

1. \(\alpha \in K\)가 \(F\) 위에서 대수적이면 \(\alpha\)는 \(E\) 위에서도 대수적이다.

2. \(K\)가 \(F\) 위에서 대수적이면 \(K\)는 \(E\) 위에서도 대수적이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

이제 유한성과 대수성 사이에 깊은 관계가 있음을 보이자.

보조정리

유한 확대는 대수적이다. 실제로 확대 \(E/k\)가 대수적일 필요충분조건은 어떤 \(\alpha \in E\)가 생성하는 모든 부분확대 \(k(\alpha)/k\)가 유한인 것이다.

일반적으로 대수적 확대가 유한이라는 명제는 전혀 참이 아니다.

증명

\(E/k\)를 차수가 \(n\)인 유한 확대라 하고 \(\alpha \in E\)를 택하자. 원소 \(1, \alpha, \ldots, \alpha^n\)은 \(k\) 위에서 선형종속이다. 그렇지 않으면 반드시 \([E : k] > n\)이기 때문이다. 이제 하나의 선형종속 관계가 \(\alpha\)가 만족해야 하는 다항식을 준다.

마지막 명제에 대해서는, Examples 09G6와 09G7에 의해 단일생성 확대 \(k(\alpha)/k\)가 유한일 필요충분조건이 \(\alpha\)가 \(k\) 위에서 대수적인 것임에 유의하자. 따라서 \(E/k\)가 대수적이면 각 \(k(\alpha)/k\), \(\alpha \in E\)는 유한 확대이고, 그 역도 성립한다.

앞의 증명(실제로는 Examples 09G6와 09G7)에서 다음 보조정리를 추출할 수 있다. 단일생성 확대가 유한일 필요충분조건은 그것이 대수적인 것이다. 다음 결과에서 이 관찰을 사용한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)을 어떤 확대체의 원소들이라 하자. 각 \(\alpha_i\)가 \(k\) 위에서 대수적이면 확대 \(k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)/k\)는 유한이다. 즉 유한생성 대수적 확대는 유한이다.

증명

실제로 각 확대 \(k(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i+1})/k(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i})\) 는 한 원소로 생성되고 대수적이므로 유한이다. 차수의 곱셈성 (Lemma 09G9)에 의해 결론을 얻는다.

\(\mathbf{Q}\) 위에서 대수적인 복소수들을 단순히 대수적 수라고 한다. 예를 들어 \(\sqrt{2}\)는 대수적이고 \(i\)도 대수적이지만 \(\pi\)는 그렇지 않다. 대수적 수들이 체를 이룬다는 것은 기본적인 사실이다. 그러나 수가 유리수 계수의 영이 아닌 다항식 방정식을 만족할 때 정확히 대수적이라는 정의만으로부터 이를 어떻게 증명할지는 명백하지 않다(예를 들어 다항식 방정식을 이용해서 말이다).

보조정리

\(E/k\)를 체 확대라 하자. \(E\)에서 \(k\) 위에 대수적인 원소들은 \(E/k\)의 부분확대를 이룬다.

증명

\(\alpha, \beta \in E\)가 \(k\) 위에서 대수적이라 하자. Lemma 09GH에 의해 \(k(\alpha, \beta)/k\)는 유한 확대이다. 따라서 \(k(\alpha + \beta) \subset k(\alpha, \beta)\)는 유한 확대이고, Lemma 09GG에 의해 \(\alpha + \beta\)는 대수적이다. \(\alpha\)와 \(\beta\)의 차, 곱, 몫도 마찬가지이다.

환의 경우와 마찬가지로, 체 확대의 여러 좋은 성질은 체의 탑과 합성체에 의해 보존된다.

보조정리

\(E/k\)와 \(F/E\)를 체의 대수적 확대라 하자. 그러면 \(F/k\)는 체의 대수적 확대이다.

증명

\(\alpha \in F\)를 택하자. 그러면 \(\alpha\)는 \(E\) 위에서 대수적이다. 핵심 관찰은 \(\alpha\)가 \(k\)의 어떤 유한생성 확대 위에서 대수적이라는 것이다.

즉, \(\alpha\)가 \(k(S)\) 위에서 대수적이 되게 하는 유한집합 \(S \subset E\)가 존재한다. 실제로 대수적이라는 것은 \(\alpha\)가 만족하는 어떤 다항식이 \(E[x]\)에 존재한다는 뜻이고, 그 다항식의 계수들을 \(S\)로 택할 수 있으므로 이는 명백하다. 따라서 \(\alpha\)는 \(k(S)\) 위에서 대수적이다. 특히 확대 \(k(S, \alpha)/ k(S)\)는 유한이다. \(S\)가 유한집합이고 \(k(S)/k\)가 대수적이므로 Lemma 09GH에 의해 \(k(S)/k\)는 유한이다. 곱셈성(Lemma 09G9)을 사용하면 \(k(S,\alpha)/k\)가 유한임을 얻으므로 \(\alpha\)는 \(k\) 위에서 대수적이다.

앞의 논증에서 사용한 증명 방법, 즉 \(E\) 위에서 대수적이라는 성질이 \(E\)의 유한생성 부분확대로 하강했다는 생각은 대수학 전체에서 거듭 나타난다. 예를 들어 이를 통해 일반적인 가환대수 문제를 뇌터인 경우로 환원할 수 있는 일이 많다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 대수적 확대라 하자. 그러면 \(E\)의 기수 \(|E|\)는 기껏해야 \(\max(\aleph_0, |F|)\)이다.

증명

\(S\)를 계수가 \(F\)에 있는 비상수 다항식들의 집합이라 하자. 각 \(P \in S\)에 대하여 근들의 집합 \(r(P, E) = \{\alpha \in E \mid P(\alpha) = 0\}\)은 유한이다 (세부사항은 생략한다). 또한 \(E\)가 \(F\) 위에서 대수적이므로 \(E = \bigcup_{P \in S} r(P, E)\)이다. \(S\)는 \(F\)의 복사본들의 유한곱들의 가산 합집합이므로 그 기수가 \(\max(\aleph_0, |F|)\)로 제한됨은 명백하다. 따라서 \(E\)의 기수도 그러하다.

보조정리

\(E/F\)를 유한 확대, 더 일반적으로는 체의 대수적 확대라 하자. 임의의 부분환 \(F \subset R \subset E\)는 체이다.

증명

\(\alpha \in R\)을 영이 아닌 원소라 하자. 그러면 \(1, \alpha, \alpha^2, \ldots\)는 \(R\)에 속한다. Lemma 09GG에 의해 \(a_i \in F\)인 자명하지 않은 관계 \(a_0 + a_1 \alpha + \ldots + a_d \alpha^d = 0\)를 얻는다. \(a_0 \not = 0\)이라고 가정해도 된다. 그렇지 않으면 관계를 \(\alpha\)로 나누어 \(d\)를 줄일 수 있기 때문이다. 그러면 \[a_0 = \alpha (- a_1 - \ldots - a_d \alpha^{d - 1})\] 이고, 이는 \(\alpha\)의 역원이 \(R\)의 원소 \(a_0^{-1} (- a_1 - \ldots - a_d \alpha^{d - 1})\)임을 증명한다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 대수적 확대라 하자. 임의의 \(F\)-대수 사상 \(f : E \to E\)는 자기동형사상이다.

증명

\(E/F\)가 유한이면 \(f : E \to E\)는 유한차원 벡터공간들의 \(F\)-선형 단사사상(Lemma 09FU)이므로 전단사이다. 일반적인 경우에도 \(f\)가 단사임을 알 수 있다. \(\alpha \in E\)라 하고 \(P \in F[x]\)를 \(P(\alpha) = 0\)인 다항식이라 하자. \(E' \subset E\)를 \(P\)의 \(E\) 안의 근들 \(\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_n\)이 생성하는 \(E\)의 부분체라 하자. Lemma 09GH에 의해 \(E'\)은 \(F\) 위에서 유한이다. \(f\)가 근들의 집합을 보존하므로 \(f|_{E'} : E' \to E'\)임을 얻는다. 따라서 증명의 첫 부분에 의해 \(f|_{E'}\)는 동형사상이고, \(\alpha\)가 \(f\)의 상에 속한다는 결론을 얻는다.

최소다항식

\(E/k\)를 체 확대라 하고 \(\alpha \in E\)가 \(k\) 위에서 대수적이라 하자. 그러면 \(\alpha\)는 \(k[x]\) 안의 (자명하지 않은) 다항식 방정식을 만족한다. \(P(\alpha) = 0\)인 다항식 \(P \in k[x]\)들의 집합을 생각하자. 가정에 의해 이 집합은 영다항식만 포함하지는 않는다. 이 집합이 이데알임은 쉽게 알 수 있다. 실제로 이는 사상 \[k[x] \to E, \quad x \mapsto \alpha\] 의 핵이다. \(k[x]\)는 주 아이디얼 정역이므로 이 이데알의 생성원 \(P \in k[x]\)가 존재한다. 일반성을 잃지 않고 \(P\)가 모닉이라고 가정하면 \(P\)는 유일하게 결정된다.

정의

위의 다항식 \(P\)를 \(\alpha\)의 \(k\) 위 최소다항식이라 한다.

최소다항식은 다음과 같이 특징지어진다. 이는 \(\alpha\)를 영이 되게 하는 가장 낮은 차수의 모닉 다항식이다. \(P\)의 임의의 비상수 배수는 더 높은 차수를 가지며, \(P\)의 배수만이 \(\alpha\)를 영이 되게 할 수 있다. 이것이 최소라는 이름을 설명한다.

최소다항식은 명백히 기약이다. 이는 \(k[x]\)에서 \(\alpha\)를 영이 되게 하는 다항식들로 이루어진 이데알이 소 이데알이라는 명제와 동치이다. 사상 \(k[x] \to E, x \mapsto \alpha\)는 정역(심지어 체)으로 가는 사상이므로 그 핵이 소 이데알이라는 사실에서 이를 얻는다.

보조정리

최소다항식의 차수는 \([k(\alpha) : k]\)이다.

증명

이는 Lemma 09G1의 논증을 다시 말한 것일 뿐이다. \(P\)가 \(\alpha\)의 최소다항식이면 앞서 언급한 증명에서와 같이 사상 \[k[x]/(P) \to k(\alpha), \quad x \mapsto \alpha\] 는 동형사상이고, 그러한 확대의 차수는 이미 계산했다(Example 09G7를 보라).

따라서 위 증명의 관찰은 \(\alpha \in E\)가 대수적이면 \(k(\alpha) \subset E\)가 \(k[x]/(P)\)와 동형이라는 것이다.

대수적 폐포

“대수학의 기본정리”는 \(\mathbf{C}\)가 대수적으로 닫혀 있다고 말한다. 이 결과의 아름다운 증명은 복소해석학의 리우빌 정리를 사용한다. 여기서는 다른 증명을 제시한다(Lemma 09I5를 보라).

정의

체 \(F\)의 모든 대수적 확대 \(E/F\)가 자명한, 즉 \(E = F\)인 경우 그 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.

모든 문헌에서 이 정의를 쓰는 것은 아닐 수 있다. 다음 보조정리는 이 정의를 다른 정의와 비교한다.

보조정리

\(F\)를 체라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(F\)는 대수적으로 닫혀 있다.

2. \(F\) 위의 모든 기약다항식은 일차이다.

3. \(F\) 위의 모든 비상수 다항식은 근을 갖는다.

4. \(F\) 위의 모든 비상수 다항식은 일차 인수들의 곱이다.

증명

\(F\)가 대수적으로 닫혀 있으면 모든 기약다항식은 일차이다. 실제로 차수가 \(> 1\)인 기약다항식이 존재하면 이는 자명하지 않은 유한 (따라서 대수적) 체 확대를 생성한다. Example 09G7를 보라. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다. 모든 기약다항식이 일차이면 모든 기약다항식은 근을 가지므로 모든 비상수 다항식이 근을 갖는다. 따라서 (2)는 (3)을 함의한다.

모든 비상수 다항식이 근을 갖는다고 하자. \(P \in F[x]\)를 비상수라 하자. \(P(\alpha) = 0\)이고 \(\alpha \in F\)이면 나머지 있는 나눗셈에 의해 어떤 \(Q \in F[x]\)에 대하여 \(P = (x - \alpha)Q\)이다. 따라서 차수에 대한 귀납법으로 임의의 비상수 다항식을 \(c \prod (x - \alpha_i)\)라는 곱으로 쓸 수 있다.

마지막으로 \(F\) 위의 모든 비상수 다항식이 일차 인수들의 곱이라고 하자. \(E/F\)를 대수적 확대라 하자. 그러면 \(E\)의 모든 단순 부분확대 \(F(\alpha)/F\)는 반드시 자명하다(가정에 의해 기약다항식은 일차뿐이기 때문이다). 따라서 \(E = F\)이다. (4)가 (1)을 함의함을 보였으므로 증명이 끝났다.

이제 체의 “보편적인” 대수적 확대를 정의하고자 한다. 실제로는 주의해야 한다. 대수적 폐포는 보편 대상이 아니다. 즉 대수적 폐포는 유일한 동형사상을 제외하고 유일한 것이 아니라, 단지 동형사상을 제외하고 유일할 뿐이다. 그럼에도 함자적이지는 않지만 매우 편리하다.

정의

\(F\)를 체라 하자. \(F\)의 대수적 폐포란 \(F\)를 포함하고 다음을 만족하는 체 \(\overline{F}\)이다.

1. \(\overline{F}\)는 \(F\) 위에서 대수적이다.

2. \(\overline{F}\)는 대수적으로 닫혀 있다.

\(F\)가 대수적으로 닫혀 있으면 \(F\)는 자신의 대수적 폐포이다. 이제 기본적인 존재 결과를 증명한다.

정리

모든 체는 대수적 폐포를 갖는다.

이 증명은 이 장의 나머지 부분에는 대체로 곁가지이다. 그러나 체를 대수적으로 닫힌 체에 매입하는 것이 가능하다는 사실은 알아야 하며, 우리는 흔히 그러한 매입이 이미 이루어졌다고 가정할 것이다.

증명

\(F\)를 체라 하자. Lemma 09GK에 의해 \(F\)의 대수적 확대의 기수는 \(\max(\aleph_0, |F|)\)로 제한된다. \(F\)를 포함하면서 \(|S| > \max(\aleph_0, |F|)\)인 집합 \(S\)를 택하자. 다음 삼중항 \((E, \sigma_E, \mu_E)\)들을 생각한다.

1. \(E\)는 \(F \subset E \subset S\)인 집합이다.

2. \(\sigma_E : E \times E \to E\)와 \(\mu_E : E \times E \to E\)는 \((E, \sigma_E, \mu_E)\)가 \(F\)의 체 확대 구조를 정의하게 하는 집합의 사상들이다(특히 \(a, b \in F\)에 대하여 \(\sigma_E(a, b) = a +_F b\)이고 \(\mu_E\)에 대해서도 마찬가지이다).

3. \(E/F\)는 대수적 체 확대이다.

모든 삼중항 \((E, \sigma_E, \mu_E)\)들의 모임은 집합 \(I\)를 이룬다. \(i \in I\)에 대하여 대응하는 \(F\)의 체 확대를 \(E_i = (E_i, \sigma_i, \mu_i)\)로 나타낸다.

\(I\)에 다음과 같이 부분순서를 정의한다. \(i \leq i'\)일 필요충분조건은 \(E_i \subset E_{i'}\)이고(이는 \(E_i\)와 \(E_{i'}\)가 같은 집합 \(S\)의 부분집합이므로 의미가 있다), \(\sigma_i = \sigma_{i'}|_{E_i \times E_i}\) 및 \(\mu_i = \mu_{i'}|_{E_i \times E_i}\)인 것이다. 다시 말해 \(E_{i'}\)는 \(E_i\)의 체 확대이다.

\(T \subset I\)를 전순서 부분집합이라 하자. 그러면 유도된 사상 \(\sigma_T = \bigcup \sigma_i\)와 \(\mu_T = \bigcup \mu_i\)를 갖춘 \(E_T = \bigcup_{i \in T} E_i\)가 \(I\)의 또 다른 원소임은 명백하다. 다시 말해 \(I\)의 모든 전순서 부분집합은 \(I\) 안에서 상계를 갖는다.

초른 보조정리에 의해 \(I\)에는 극대원 \((E, \sigma_E, \mu_E)\)가 존재한다. \(E\)가 대수적 폐포라고 주장한다. \(I\)의 정의에 의해 확대 \(E/F\)가 대수적이므로 \(E\)가 대수적으로 닫혀 있음을 보이면 충분하다.

이를 보이기 위해 모순을 이끌어 낸다. \(E\)가 대수적으로 닫혀 있지 않다고 하자. 그러면 Lemma 09GR에 의해 \(E\) 위에 차수가 \(> 1\)인 기약다항식 \(P\)가 존재한다. Lemma 09GG에 의해 자명하지 않은 유한 확대 \(E' = E[x]/(P)\)를 얻는다. Lemma 09GJ에 의해 \(E'/F\)가 대수적임에 유의하자. 따라서 \(E'\)의 기수는 \(\leq \max(\aleph_0, |F|)\)이다. 초등적인 집합론에 의해 주어진 단사 \(E \subset S\)를 단사 \(E' \to S\)로 확장할 수 있다. 다시 말해 \(E'\)을 우리 집합 \(I\)의 원소로 볼 수 있는데, 이는 \(E\)의 극대성과 모순이다. 이 모순으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(F\)를 체라 하자. \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 폐포라 하고, \(M/F\)를 대수적 확대라 하자. 그러면 \(F\)-확대의 사상 \(M \to \overline{F}\)가 존재한다.

증명

\(F \subset E \subset M\)가 부분확대이고 \(\varphi : E \to \overline{F}\)가 \(F\)-확대의 사상인 순서쌍 \((E, \varphi)\)들의 집합을 \(I\)라 하자. \(E \subset E'\)이고 \(\varphi'|_E = \varphi\)일 필요충분조건으로 \((E, \varphi) \leq (E', \varphi')\)를 정의하여 집합 \(I\)에 부분순서를 준다. \(T = \{(E_t, \varphi_t)\} \subset I\)가 전순서 부분집합이면 \(\bigcup \varphi_t : \bigcup E_t \to \overline{F}\)는 \(I\)의 원소이다. 따라서 \(I\)의 모든 전순서 부분집합은 상계를 갖는다. 초른 보조정리에 의해 \(I\)에는 극대원 \((E, \varphi)\)가 존재한다. \(E = M\)이라고 주장한다. 그러면 증명이 끝난다. 그렇지 않으면 \(\alpha \in M\), \(\alpha \not \in E\)를 택하자. 그러면 \(\alpha\)는 \(E\) 위에서 대수적이다. Lemma 09GF를 보라.

\(P\)를 \(\alpha\)의 \(E\) 위 최소다항식이라 하자. \(P^\varphi\)를 \(\varphi\)에 의한 \(P\)의 \(\overline{F}[x]\) 안의 상이라 하자. \(\overline{F}\)가 대수적으로 닫혀 있으므로 \(P^\varphi\)는 \(\overline{F}\) 안에 근 \(\beta\)를 갖는다. 그러면 \(x\)를 \(\beta\)로 보내어 \(\varphi\)를 \(\varphi' : E(\alpha) = E[x]/(P) \to \overline{F}\)로 확장할 수 있다. 이는 원하는 대로 \((E, \varphi)\)의 극대성과 모순이다.

보조정리

한 체의 임의의 두 대수적 폐포는 동형이다.

증명

\(F\)를 체라 하자. \(M\)과 \(\overline{F}\)가 \(F\)의 대수적 폐포이면 Lemma 09GU에 의해 \(F\)-확대의 사상 \(\varphi : M \to \overline{F}\)가 존재한다. 이제 상 \(\varphi(M)\)은 대수적으로 닫혀 있다. 한편 Lemma 09GF에 의해 확대 \(\varphi(M) \subset \overline{F}\)는 대수적이다. 따라서 \(\varphi(M) = \overline{F}\)이다.

서로소 다항식

\(K\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. 그러면 Lemma 09GR에서 본 것처럼 환 \(K[x]\)의 이데알 구조는 매우 단순하다. 특히 모든 다항식 \(P \in K[x]\)는 \[P = c(x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n),\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(c\)는 상수항이고 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k\)는 \(P\)의 근들이다(중복도까지 세었다).

명백히 \(K[x]\)의 기약다항식은 일차다항식 \(c(x - \alpha)\), \(c, \alpha \in K\)뿐이다(그리고 \(c \neq 0\)이다).

정의

\(k\)가 임의의 체일 때 \(k[x]\) 안의 두 다항식이 \(k[x]\)의 단위 이데알을 생성하면 두 다항식이 서로소라고 한다.

위의 논의를 계속하자. \(K\)가 대수적으로 닫힌 체이면 \(K[x]\) 안의 두 다항식이 서로소일 필요충분조건은 공통근이 없는 것이다. 이는 \(K[x]\)의 극대 이데알들이 \((x - \alpha)\), \(\alpha \in K\)의 꼴이기 때문이다. 따라서 \(F, G \in K[x]\)가 공통근을 갖지 않으면 \((F, G)\)는 어떤 \((x - \alpha)\)에도 포함될 수 없다(포함되면 \(\alpha\)가 공통근이 될 것이기 때문이다).

\(k\)가 대수적으로 닫힌 체가 아니어도, 위의 논의는 \(k[x]\) 안의 두 다항식이 언제 단위 이데알을 생성하는지에 관한 정보를 준다.

보조정리

\(k[x]\) 안의 두 다항식이 서로소일 필요충분조건은 \(k\)의 대수적 폐포 \(\overline{k}\)에서 공통근을 갖지 않는 것이다.

증명

주장은 임의의 두 다항식 \(P, Q\)가 \(k[x]\)에서 \((1)\)을 생성할 필요충분조건이 \(\overline{k}[x]\)에서 \((1)\)을 생성하는 것이라는 것이다. 이는 선형대수학의 한 사실이다. 계수가 \(k\)에 있는 연립 일차방정식이 해를 가질 필요충분조건은 \(k\)의 임의의 확대에서 해를 갖는 것이다. 따라서 대수적으로 닫힌 체의 경우로 환원할 수 있고, 그 경우에는 이미 증명한 사실에서 결과가 명백하다.

분리 대수적 확대

표수 \(p\)에서는 체 위의 기약다항식에 특이한 일이 일어난다. 다음 보조정리에서 이를 설명한다.

보조정리

\(F\)를 체라 하고 \(P \in F[x]\)를 \(F\) 위의 기약다항식이라 하자. \(P' = \text{d}P/\text{d}x\)를 \(P\)의 \(x\)에 대한 도함수라 하자. 그러면 다음 두 경우 중 하나가 성립한다.

1. \(P\)와 \(P'\)가 서로소이다. 또는

2. \(P'\)가 영다항식이다.

두 번째 경우는 \(F\)의 표수가 \(p > 0\)일 때만 일어날 수 있다. 이 경우 \(q = p^f\)가 \(p\)의 거듭제곱이고 \(Q \in F[x]\)가 \(Q\)와 \(Q'\)가 서로소인 기약다항식일 때 \(P(x) = Q(x^q)\)이다.

증명

\(P'\)의 차수는 \(< \deg(P)\)임에 유의하자. 따라서 \(P\)와 \(P'\)가 서로소가 아니면 \((P, P') = (R)\)이고, 여기서 \(R\)은 차수가 \(< \deg(P)\)인 다항식이어서 \(P\)의 기약성과 모순이다. 이로써 (1)과 (2)의 양자택일을 얻는다.

(2)의 경우이고 \(P = a_d x^d + \ldots + a_0\)이라고 하자. 그러면 \(P' = da_d x^{d - 1} + \ldots + a_1\)이다. 표수 \(0\)에서는 이것이 \(a_d, \ldots, a_1 = 0\)을 강제하여 \(P\)가 상수가 되므로 모순이다. 따라서 표수 \(p\)가 양수라는 결론을 얻는다. 이 경우 조건 \(P' = 0\)은 \(p\)가 \(i\)를 나누지 않을 때마다 \(a_i = 0\)을 강제한다. 다시 말해, 어떤 비상수 다항식 \(P_1\)에 대하여 \(P(x) = P_1(x^p)\)이다. 명백히 \(P_1\)도 기약이다. 차수에 대한 귀납법에 의해 보조정리의 명제와 같이 \(P_1(x) = Q(x^q)\)임을 알 수 있고, 따라서 \(P(x) = Q(x^{pq})\)이다. 보조정리가 증명되었다.

정의

\(F\)를 체라 하고 \(K/F\)를 체 확대라 하자.

1. \(F\) 위의 기약다항식 \(P\)가 그 도함수와 서로소이면 그것이 분리 가능하다고 한다.

2. \(F\) 위에서 대수적인 \(\alpha \in K\)가 주어졌을 때, 그 최소다항식이 \(F\) 위에서 분리 가능하면 \(\alpha\)가 \(F\) 위에서 분리 가능하다고 한다.

3. \(K\)가 \(F\)의 대수적 확대일 때 \(K\)의 모든 원소가 \(F\) 위에서 분리 가능하면 \(K\)가 \(F\) 위에서 분리 가능¹하다고 한다.

Lemma 09H0에 의해 표수 \(0\)에서는 모든 기약다항식이 분리 가능하고, 확대의 모든 대수적 원소가 분리 가능하며, 모든 대수적 확대가 분리 가능하다.

보조정리

\(K/E/F\)를 대수적 체 확대들의 탑이라 하자.

1. \(\alpha \in K\)가 \(F\) 위에서 분리 가능하면 \(\alpha\)는 \(E\) 위에서도 분리 가능하다.

2. \(K\)가 \(F\) 위에서 분리 가능하면 \(K\)는 \(E\) 위에서도 분리 가능하다.

증명

이하에서 Lemma 09H0를 따로 언급하지 않고 사용한다. \(P\)를 \(\alpha\)의 \(F\) 위 최소다항식이라 하고, \(Q\)를 \(\alpha\)의 \(E\) 위 최소다항식이라 하자. 그러면 \(Q\)는 다항식환 \(E[x]\)에서 \(P\)를 나누므로 \(P = QR\)이라고 쓸 수 있다. 이때 \(P' = Q'R + QR'\)이다. 따라서 \(Q' = 0\)이면 \(Q\)가 \(P\)와 \(P'\)를 모두 나누고, 보조정리에 의해 \(P' = 0\)이다. 이는 (1)을 증명한다. (2)는 (1)과 정의에서 바로 따른다.

보조정리

\(F\)를 체라 하자. \(F\) 위의 기약다항식 \(P\)가 분리 가능할 필요충분조건은 \(F\)의 대수적 폐포에서 \(P\)가 서로 다른 근들을 갖는 것이다.

증명

\(\alpha \in \overline{F}\)가 \(P\)와 \(P'\)의 공통근이라고 하자. 그러면 어떤 다항식 \(Q\)에 대하여 \(P = (x - \alpha)Q\)이다. 미분하면 \(P' = Q + (x - \alpha)Q'\)을 얻는다. 따라서 \(\alpha\)는 \(Q\)의 근이다. 그러므로 \(P\)와 \(P'\)가 공통근을 가지면 \(P\)는 서로 다른 근들만 갖지 않는다. 거꾸로 \(P\)가 중근을 갖는, 즉 \((x - \alpha)^2\)이 \(P\)를 나누는 경우 \(\alpha\)는 \(P\)와 \(P'\)의 공통근이다. Lemma 09GY와 결합하면 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(F\)를 체라 하고 \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 폐포라 하자. \(F\)의 표수를 \(p > 0\)이라 하고 \(P\)를 \(F\) 위의 다항식이라 하자. 그러면 \(\overline{F}\)에서 \(P\)의 근들의 집합과 \(P(x^p)\)의 근들의 집합은 같은 기수를 갖는다(중복도는 세지 않는다).

증명

명백히 \(\alpha\)가 \(P(x^p)\)의 근일 필요충분조건은 \(\alpha^p\)가 \(P\)의 근인 것이다. 다시 말해 \(P(x^p)\)의 근들은, \(\beta\)가 \(P\)의 근일 때 \(x^p - \beta\)의 근들이다. 따라서 사상 \(\overline{F} \to \overline{F}\), \(\alpha \mapsto \alpha^p\)가 전단사임을 보이면 충분하다. \(\overline{F}\)가 대수적으로 닫혀 있어서 모든 원소가 \(p\)제곱근을 가지므로 이 사상은 전사이다. 표수가 \(p\)이므로 \(\alpha^p = \beta^p\)이면 \((\alpha - \beta)^p = 0\)이고, 따라서 단사이다. 물론 체에서는 \(x^p = 0\)이면 \(x = 0\)이다.

\(F\)를 체라 하고 \(P\)를 \(F\) 위의 기약다항식이라 하자. 그러면 어떤 분리 가능한 기약다항식 \(Q\)에 대하여 \(P = Q(x^q)\)임을 안다(Lemma 09H0). 여기서 \(q\)는 표수 \(p\)의 거듭제곱이다(표수가 영이면 \(q = 1\)²이고 \(Q = P\)이다). Lemma 09H4에 의해 \(F\)의 임의의 대수적 폐포에서 \(P\)와 \(Q\)의 근의 수는 같다. Lemma 09H3에 의해 이 수는 \(Q\)의 차수와 같다.

정의

\(F\)를 체라 하고 \(P\)를 \(F\) 위의 기약다항식이라 하자. \(P\)의 분리차수란 \(F\)의 임의의 대수적 폐포에서 \(P\)의 근들의 집합이 갖는 기수이다(위의 논의를 보라). 기호는 \(\deg_s(P)\)이다.

\(P\)의 분리차수는 항상 그 차수를 나누며, 그 몫은 표수의 거듭제곱이다. 표수가 영이면 \(\deg_s(P) = \deg(P)\)이다.

설정

여기서 \(F\)는 체이고 \(K/F\)는 원소 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\)에 의해 생성되는 유한확대이다.

\(K_0 = F\)로 놓고 \[K_i = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\] 로 두면 유한확대들의 탑 \(K = K_n / K_{n - 1} / \ldots / K_0 = F\)를 얻는다. \(P_i\)를 \(\alpha_i\)의 \(K_{i - 1}\) 위 최소다항식이라 하자. 마지막으로 \(F\)의 대수적 폐포 \(\overline{F}\)를 하나 고정한다.

\(F\), \(K\), \(\alpha_i\), \(\overline{F}\)는 Situation 09H6에서와 같다고 하자. \(\varphi : K \to \overline{F}\)가 \(F\)-확대의 사상이라고 가정하자. 그러면 사상 \(\varphi_i : K_i \to \overline{F}\)를 얻는다. \(P_i \in K_{i - 1}[x]\)의 \(\varphi_{i - 1}\)에 의한 상은 다항식 \(P_i^{\varphi_{i - 1}} \in \overline{F}[x]\)이고, \(\varphi(\alpha_i)\)는 이 다항식의 근이다.

보조정리

Situation 09H6에서 대응 \[\Mor_F(K, \overline{F}) \longrightarrow \{(\beta_1, \ldots, \beta_n)\text{ as below}\}, \quad \varphi \longmapsto (\varphi(\alpha_1), \ldots, \varphi(\alpha_n))\] 은 전단사이다. 여기서 오른쪽은 다음 성질을 갖는 \(\overline{F}\)의 원소들의 \(n\)-튜플 \((\beta_1, \ldots, \beta_n)\)의 집합이다.

1. \(\beta_1 \in \overline{F}\)는 \(P_1\)의 근이다. \(\varphi_1 : K_1 \to \overline{F}\)를 \(\alpha_1\)을 \(\beta_1\)로 보내는 \(F\) 위의 준동형이라 하자.

2. \(\beta_2 \in \overline{F}\)는 \(P_2^{\varphi_1}\)의 근이다. \(\varphi_2 : K_2 \to \overline{F}\)를 \(\varphi_1\)을 연장하고 \(\alpha_2\)를 \(\beta_2\)로 보내는 준동형이라 하자.

3. 이와 같이 계속하여 마지막에는

4. \(\beta_n \in \overline{F}\)가 \(P_n^{\varphi_{n - 1}}\)의 근이다.

각 단계에서 준동형 \(\varphi_i\)가 존재하고 유일한 것은 \(K_i = K_{i - 1}[x]/(P_i)\)이고 \(\beta_i\)가 \(P_i^{\varphi_{i - 1}}\)의 근이기 때문이다.

증명

왼쪽에서 오른쪽으로 가는 사상은 보조정리 앞에서 설명하였다. \((\beta_1, \ldots, \beta_n)\)을 오른쪽의 원소라 하자. 그러면 \(\varphi : K = K_n \to \overline{F}\)를 \(\varphi_{n - 1}\)을 연장하고 \(\alpha_n\)을 \(\beta_n\)으로 보내는 유일한 준동형으로 둔다. 유일성으로부터 두 구성이 서로 역임을 알 수 있다.

보조정리

Situation 09H6에서 \(|\Mor_F(K, \overline{F})| = \prod_{i = 1}^n \deg_s(P_i)\)이다.

증명

이는 Lemma 09H7에서 즉시 따른다. 여기서 암묵적으로 사용하는 핵심 사실은 Definition 09H5 바로 앞에서 확인한 기약다항식의 분리차수가 잘 정의된다는 것이다.

이제 위의 결과를 사용하여 분리 가능 체확대를 특징지을 수 있다.

보조정리

가정과 표기는 Situation 09H6에서와 같다. 각 \(P_i\)가 분리 가능, 즉 각 \(\alpha_i\)가 \(K_{i - 1}\) 위에서 분리 가능하면 \[|\Mor_F(K, \overline{F})| = [K : F]\] 이고 체확대 \(K/F\)는 분리 가능하다. 어느 \(\alpha_i\)가 \(K_{i - 1}\) 위에서 분리 가능하지 않으면 \(|\Mor_F(K, \overline{F})| < [K : F]\)이다.

증명

\(\alpha_i\)가 \(K_{i - 1}\) 위에서 분리 가능하면 \(\deg_s(P_i) = \deg(P_i) = [K_i : K_{i - 1}]\)이다 (마지막 등식은 Lemma 09GN에 따른다). 곱셈성(Lemma 09G9)에 의해 \[[K : F] = \prod [K_i : K_{i - 1}] = \prod \deg(P_i) = \prod \deg_s(P_i) = |\Mor_F(K, \overline{F})|\] 이다. 마지막 등식은 Lemma 09H8에 따른다. 똑같은 논증으로, 어느 \(\alpha_i\)가 \(K_{i - 1}\) 위에서 분리 가능하지 않으면 \(|\Mor_F(K, \overline{F})| < [K : F]\)라는 진부등식을 얻는다.

마지막으로 다시 각 \(\alpha_i\)가 \(K_{i - 1}\) 위에서 분리 가능하다고 가정하자. \(K/F\)가 분리 가능함을 보이겠다. 임의의 \(\gamma = \gamma_1 \in K\)를 택하자. 그러면 \(K = F(\gamma_1, \ldots, \gamma_m)\)이 되도록 원소 \(\gamma_2, \ldots, \gamma_m\)을 더 택할 수 있다(예를 들어 \(\gamma_2 = \alpha_1, \ldots, \gamma_{n + 1} = \alpha_n\)으로 택할 수 있다). 이미 위에서 증명한 보조정리의 마지막 부분에 따르면, \(\gamma\)가 \(F\) 위에서 분리 가능하지 않을 경우 \(|\Mor_F(K, \overline{F})| < [K : F]\)라는 진부등식을 얻는다. 이는 역시 이미 위에서 증명한 보조정리의 첫 부분과 모순이다.

보조정리

\(K/F\)를 체의 유한확대라 하고 \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 폐포라 하자. 그러면 \[|\Mor_F(K, \overline{F})| \leq [K : F]\] 이고, 등식이 성립할 필요충분조건은 \(K\)가 \(F\) 위에서 분리 가능한 것이다.

증명

이는 Lemma 09H9의 따름정리이다. 실제로 \(K/F\)가 유한이므로 \(F\) 위에서 \(K\)를 생성하는 유한개의 원소 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\)를 찾을 수 있다(예를 들어 \(\alpha_i\)들을 \(F\) 위에서 \(K\)의 기저로 택할 수 있다). \(K/F\)가 분리 가능하면 Lemma 09H2에 의해 각 \(\alpha_i\)가 \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\) 위에서 분리 가능하고, Lemma 09H9에 의해 등식을 얻는다. 한편 등식이 성립하면 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)을 어떻게 택하더라도 Lemma 09H9에 의해 \(\alpha_1\)은 \(F\) 위에서 분리 가능하다. 이 열을 \(K\)의 임의의 원소로 시작할 수 있으므로 \(K\)는 \(F\) 위에서 분리 가능하다.

보조정리

\(E/k\)와 \(F/E\)를 분리 가능 대수적 체확대라 하자. 그러면 \(F/k\)는 분리 가능 체확대이다.

증명

\(\alpha \in F\)를 택하자. 그러면 \(\alpha\)는 \(E\) 위에서 분리 가능하고 대수적이다. \(P = x^d + \sum_{i < d} a_i x^i\)를 \(\alpha\)의 \(E\) 위 최소다항식이라 하자. 각 \(a_i\)는 \(k\) 위에서 분리 가능하고 대수적이다. 체들의 탑 \[k \subset k(a_0) \subset k(a_0, a_1) \subset \ldots \subset k(a_0, \ldots, a_{d - 1}) \subset k(a_0, \ldots, a_{d - 1}, \alpha)\] 을 생각하자. \(a_i\)가 \(k\) 위에서 분리 가능하고 대수적이므로 Lemma 09H2에 의해 \(k(a_0, \ldots, a_{i - 1})\) 위에서도 분리 가능하고 대수적이다. 끝으로 \(\alpha\)는 \(k(a_0, \ldots, a_{d - 1})\) 위에서 분리 가능하고 대수적이다. 실제로 이는 \(P\)의 근이며, 이 다항식은 기약이고(더 클 수도 있는 체 \(E\) 위에서도 기약이므로) 분리 가능하다(\(E\) 위에서 분리 가능하므로). 따라서 Lemma 09H9에 의해 \(k(a_0, \ldots, a_{d - 1}, \alpha)\)는 \(k\) 위에서 분리 가능하며, 원하는 대로 \(\alpha\)가 \(k\) 위에서 분리 가능하다는 결론을 얻는다.

보조정리

\(E/k\)를 체확대라 하자. 그러면 \(E\)에서 \(k\) 위에 분리 가능한 원소들은 \(E/k\)의 부분확대를 이룬다.

증명

\(\alpha, \beta \in E\)가 \(k\) 위에서 분리 가능하다고 하자. Lemma 09H2에 의해 \(\beta\)는 \(k(\alpha)\) 위에서 분리 가능하다. Lemma 09H9를 \(n = 2\), \(\alpha_1 = \alpha\), \(\alpha_2 = \beta\)로 적용하면 \(k(\alpha, \beta)\)가 \(k\) 위에서 분리 가능함을 알 수 있다.

지표의 선형독립성

필요한 명제는 다음과 같다.

보조정리

\(L\)을 체라 하고 \(G\)를 모노이드, 예를 들어 군이라 하자. \(\chi_1, \ldots, \chi_n : G \to L\)을 서로 다른 모노이드 준동형이라 하자. 여기서 \(L\)은 곱셈에 의해 모노이드로 여긴다. 그러면 \(\chi_1, \ldots, \chi_n\)은 \(L\) 위에서 선형독립이다. 즉 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\)이 모두 영은 아니면, 어떤 \(g \in G\)에 대하여 \(\sum \lambda_i\chi_i(g) \not = 0\)이다.

증명

\(n = 1\)일 때는 \(e \in G\)가 중립원(항등원)이면 \(\chi_1(e) = 1\)이므로 참이다. \(n > 1\)에 대하여 귀납법으로 결과를 증명하자. \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\)이 모두 영은 아니라고 하자. 어떤 항에 대하여 \(\lambda_i = 0\)이면 \(n\)에 관한 귀납법으로 결론을 얻는다. 어떤 \(g \in G\)에 대하여 \(\sum \lambda_i\chi_i(g) \not = 0\)임을 보이려는 것이므로 \(-\lambda_n\)으로 나누어 \(\lambda_n = -1\)이라 가정할 수 있다. 문제가 생길 수 있는 유일한 경우는 \[\chi_n(g) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i\chi_i(g)\] 가 모든 \(g \in G\)에 대하여 성립하는 때이다. \(h \in G\)를 고정하자. 그러면 또한 \[\begin{align*} \chi_n(h)\chi_n(g) & = \chi_n(hg) \\ & = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i\chi_i(hg) \\ & = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i\chi_i(h) \chi_i(g) \end{align*}\] 를 얻는다. 앞의 관계에 \(\chi_n(h)\)를 곱하고 빼면 \[0 = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i (\chi_n(h) - \chi_i(h)) \chi_i(g)\] 를 모든 \(g \in G\)에 대하여 얻는다. \(\lambda_i \not = 0\)이므로 귀납법에 의해 모든 \(i\)에 대하여 \(\chi_n(h) = \chi_i(h)\)라는 결론을 얻는다. 위에서 \(h\)는 임의로 택했으므로 \(i \leq n - 1\)에 대하여 \(\chi_i = \chi_n\)이다. 이는 지표 \(\chi_i\)들이 서로 다르다는 가정과 모순이다.

보조정리

\(L\)을 체라 하자. \(n \geq 1\)이고 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in L\)이 \(L\)의 서로 다른 원소들이라고 하자. 그러면 어떤 \(e \geq 0\)에 대하여 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} \alpha_i^e \not = 0\)이다.

증명

지표의 선형독립성(Lemma 0CKL)을 모노이드 준동형 \(\mathbf{Z}_{\geq 0} \to L\), \(e \mapsto \alpha_i^e\)에 적용한다.

보조정리

\(K/F\)와 \(L/F\)를 체확대라 하자. \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n : K \to L\)을 서로 다른 \(F\)-확대의 사상이라 하자. 그러면 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\)은 \(L\) 위에서 선형독립이다. 즉 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\)이 모두 영은 아니면, 어떤 \(\alpha \in K\)에 대하여 \(\sum \lambda_i\sigma_i(\alpha) \not = 0\)이다.

증명

Lemma 0CKL를 단위원군에 대한 \(\sigma_i\)들의 제한에 적용한다.

보조정리

\(K/F\)와 \(L/F\)를 체확대라 하고, \(K/F\)는 유한 분리 가능 확대이며 \(L\)은 대수적으로 닫혀 있다고 하자. 그러면 사상 \[K \otimes_F L \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \Hom_F(K, L)} L,\quad \alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma(\alpha)\beta)_\sigma\] 은 \(L\)-대수의 동형사상이다.

증명

\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)을 \(F\) 위의 벡터공간으로서 \(K\)의 기저로 택하자. Lemma 09HA와 생략된 짧은 논증에 의해 집합 \(\Hom_F(K, L)\)은 \(n\)개의 원소, 이를테면 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\)을 갖는다. 특히 양변은 \(L\) 위의 벡터공간으로서 같은 차원 \(n\)을 갖는다. 따라서 이 사상이 동형사상이 아니면 핵을 갖는다. 다시 말해, \(\mu_j \in L\), \(j = 1, \ldots, n\) 중 모두가 영은 아니면서 \(\sum \alpha_j \otimes \mu_j\)가 핵에 속하는 것들이 존재한다. 즉 모든 \(i\)에 대하여 \(\sum \sigma_i(\alpha_j)\mu_j = 0\)이다. 이는 성분이 \(\sigma_i(\alpha_j)\)인 \(n \times n\) 행렬이 가역이 아님을 뜻한다. 따라서 모두가 영은 아닌 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\)을 찾아 모든 \(j\)에 대하여 \(\sum \lambda_i\sigma_i(\alpha_j) = 0\)이 되게 할 수 있다. 이제 임의의 원소 \(\alpha \in K\)는 \(\beta_j \in F\)를 사용하여 \(\alpha = \sum \beta_j \alpha_j\)로 쓸 수 있고, 그러면 \[\sum \lambda_i\sigma_i(\alpha) = \sum \lambda_i\sigma_i(\sum \beta_j \alpha_j) = \sum \beta_j \sum \lambda_i\sigma_i(\alpha_j) = 0\] 을 얻는다. 이는 Lemma 0CKM와 모순이다.

순수 비분리 확대

순수 비분리 확대는 앞 절에서 정의한 분리 가능 확대와 반대되는 것이다. 이러한 확대는 양의 표수에서만 나타난다.

정의

\(F\)를 표수가 \(p > 0\)인 체라 하고 \(K/F\)를 확대라 하자.

1. 어떤 \(p\)의 거듭제곱 \(q\)에 대하여 \(\alpha^q \in F\)이면 원소 \(\alpha \in K\)가 \(F\) 위에서 순수 비분리라고 한다.

2. 확대 \(K/F\)가 순수 비분리라는 것은 \(K\)의 모든 원소가 \(F\) 위에서 순수 비분리라는 것과 동치이다.

체확대 \(L/M\)이 주어졌다고 하자(여기서는 \(M\)의 표수에 아무 조건도 없다). \(L = M\)이거나 \(M\)의 표수가 소수 \(p\)이고 \(L/M\)이 위에서 정의한 의미로 순수 비분리이면 이 확대를 순수 비분리라고 한다.

순수 비분리 확대는 반드시 대수적임에 유의하자. \(F\)를 표수가 \(p > 0\)인 체라 하자. 아직 \(p\)제곱근을 갖지 않는 원소 \(t \in F\)에 그 근을 첨가하면 순수 비분리 확대의 한 예를 얻는다. 실제로 아래 보조정리는 \(P = x^p - t\)가 기약임을 보이며, 따라서 \[K = F[x]/(P) = F[t^{1/p}]\] 는 체이다. 또한 \(K\)는 \(F\) 위에서 순수 비분리이다. 왜냐하면 \(K\)의 모든 원소 \[a_0 + a_1t^{1/p} + \ldots + a_{p - 1}t^{(p - 1)/p},\quad a_i \in F\] 의 \(p\)제곱은 \[(a_0 + a_1t^{1/p} + \ldots + a_{p - 1}t^{(p - 1)/p})^p = a_0^p + a_1^p t + \ldots + a_{p - 1}^pt^{p - 1} \in F\] 와 같기 때문이다. 이러한 상황은 \(\mathbf{F}_p\) 위의 유리함수체 \(\mathbf{F}_p(t)\)에서 일어난다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \(F\)를 표수가 \(p\)인 체라 하자. \(t \in F\)가 \(F\) 안에서 \(p\)제곱근을 갖지 않는 원소라고 하자. 그러면 다항식 \(x^p - t\)는 \(F\) 위에서 기약이다.

증명

이를 보이기 위해 인수분해 \(x^p - t = f g\)가 있다고 가정하자. 미분하면 \(f' g + f g' = 0\)을 얻는다. \(f\)와 \(g\)의 차수는 \(p\)보다 작으므로 \(f' = 0\)도 \(g' = 0\)도 아님에 유의하자. 더욱이 \(\deg(f') < \deg(f)\)이고 \(\deg(g') < \deg(g)\)이다. 따라서 \(f\)와 \(g\)는 공통인수를 갖는다. 그러므로 \(x^p - t\)가 가약이면 어떤 기약다항식 \(f\), \(c \in F^*\), \(n > 1\)에 대하여 \(x^p - t = c f^n\)의 꼴이다. \(p\)가 소수이므로 이는 \(n = p\)이고 \(f\)가 일차임을 뜻하며, 따라서 \(x^p - t\)가 \(F\) 안에 근을 가져야 한다. 이는 모순이다.

표수 \(p\)에서 \(p\)제곱근을 취하는 일이 매우 중요한 연산임을 보게 될 것이다.

보조정리

\(E/k\)와 \(F/E\)를 순수 비분리 체확대라 하자. 그러면 \(F/k\)는 순수 비분리 체확대이다.

증명

\(k\)의 표수가 \(p\)라고 하자. \(\alpha \in F\)를 택하자. 어떤 \(p\)의 거듭제곱 \(q\)에 대하여 \(\alpha^q \in E\)이다. 그러면 어떤 \(p\)의 거듭제곱 \(q'\)에 대하여 \((\alpha^q)^{q'} \in k\)이다. 따라서 \(\alpha^{qq'} \in k\)이다.

보조정리

\(E/k\)를 체확대라 하자. 그러면 \(E\)에서 \(k\) 위에 순수 비분리인 원소들은 \(E/k\)의 부분확대를 이룬다.

증명

\(p\)를 \(k\)의 표수라 하자. \(\alpha, \beta \in E\)가 \(k\) 위에서 순수 비분리라고 하자. 어떤 \(p\)의 거듭제곱 \(q, q'\)에 대하여 \(\alpha^q \in k\)이고 \(\beta^{q'} \in k\)이라고 하자. \(q''\)이 \(p\)의 거듭제곱이면 \((\alpha + \beta)^{q''} = \alpha^{q''} + \beta^{q''}\)이다. 따라서 \(q'' \geq q, q'\)이면 \(\alpha + \beta\)가 \(k\) 위에서 순수 비분리이다. \(\alpha\)와 \(\beta\)의 차, 곱, 몫도 마찬가지이다.

보조정리

\(E/F\)를 표수가 \(p > 0\)인 유한 순수 비분리 체확대라 하자. 그러면 원소들의 열 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in E\)가 존재하여 체들의 탑 \[E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1}) \supset \ldots \supset F(\alpha_1) \supset F\] 을 얻는다. 각 중간 확대의 차수는 \(p\)이고 \(p\)제곱근 하나를 첨가하여 얻어진다. 구체적으로 \(\alpha_i^p \in F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\)는 \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\) 안에서 \(p\)제곱근을 갖지 않는 원소이다. 여기서 \(i = 1, \ldots, n\)이다.

증명

\(E/F\)의 차수에 관한 귀납법을 사용한다. 확대의 차수가 \(1\)이면 결과는 자명하다(\(n = 0\)으로 둔다). 그렇지 않으면 \(\alpha \in E\), \(\alpha \not \in F\)를 택하자. 어떤 \(r > 0\)에 대하여 \(\alpha^{p^r} \in F\)라고 하자. \(r\)을 최소로 택하고 \(\alpha\)를 \(\alpha^{p^{r - 1}}\)로 대체한다. 그러면 \(\alpha \not \in F\)이지만 \(\alpha^p \in F\)이다. 이제 \(t = \alpha^p\)는 \(F\) 안의 \(p\)제곱이 아니다(그렇다면 \(\alpha \in F\)가 되기 때문이다. Lemma 09H4 또는 그 증명을 보라). 따라서 \(F \subset F(\alpha)\)는 차수가 \(p\)인 부분확대이다 (Lemma 09HF). 귀납법에 의해 보조정리의 결론을 만족하면서 \(E/F(\alpha)\)를 생성하는 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in E\)를 찾을 수 있다. 열 \(\alpha, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\)이 확대 \(E/F\)에 대하여 원하는 역할을 한다.

보조정리

\(E/F\)를 대수적 체확대라 하자. \(E_{sep}/F\)가 분리 가능하고 \(E/E_{sep}\)가 순수 비분리인 유일한 부분확대 \(E/E_{sep}/F\)가 존재한다.

증명

표수가 영이면 \(E_{sep} = E\)로 둔다. 표수가 \(p > 0\)이라고 가정하자. \(E_{sep}\)를 \(E\)에서 \(F\) 위에 분리 가능한 원소들의 집합이라 하자. Lemma 09HC에 의해 이는 부분확대이고, 물론 \(E_{sep}\)는 \(F\) 위에서 분리 가능하다. \(E\)의 원소 \(\alpha\)가 주어지면 어떤 \(p\)의 거듭제곱 \(q\)에 대하여 \(\alpha^q\)는 \(F\) 위에서 분리 가능하다. 구체적으로 \(q\)는 \(\alpha\)의 최소다항식이 \(P(x^q)\)의 꼴이고 \(P\)가 분리 가능한 대수적 대상이 되게 하는 \(p\)의 거듭제곱이다.

Lemma 09H0를 보라. 따라서 \(E/E_{sep}\)는 순수 비분리이다. 유일성은 자명하다.

정의

\(E/F\)를 대수적 체확대라 하고 \(E_{sep}\)를 Lemma 030K에서 얻은 부분확대라 하자.

1. 정수 \([E_{sep} : F]\)를 이 확대의 분리차수라 한다. 표기는 \([E : F]_s\)이다.

2. 정수 \([E : E_{sep}]\)를 이 확대의 비분리차수, 또는 비분리도라 한다. 표기는 \([E : F]_i\)이다.

물론 표수 \(0\)에서는 \([E : F] = [E : F]_s\)이고 \([E : F]_i = 1\)이다. 곱셈성(Lemma 09G9)에 의해 \[[E : F] = [E : F]_s [E : F]_i\] 이다. 이 등식은 이들 차수 가운데 일부가 무한인 경우에도 성립한다. 실제로 분리차수와 비분리차수 역시 곱셈적이다(Lemma 09HK를 보라).

보조정리

\(K/F\)를 유한확대라 하고 \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 폐포라 하자. 그러면 \([K : F]_s = |\Mor_F(K, \overline{F})|\)이다.

증명

먼저 \(K/F\)가 순수 비분리인 경우를 증명한다. 이 경우에는 유일한 사상 \(K \to \overline{F}\)가 있다고 주장한다. 이는 Lemma 09HI에서와 같은 원소들의 열 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\)를 택함으로써 알 수 있다. \(\alpha_i\)의 \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\) 위 기약다항식은 \(x^p - \alpha_i^p\)이다. Lemma 09H8를 적용하면 \(|\Mor_F(K, \overline{F})| = 1\)임을 알 수 있다. 한편 이 경우 \([K : F]_s = 1\)이므로 등식이 성립한다.

일반적인 유한확대 \(K/F\)로 돌아가자. 이 경우 Lemma 030K에서와 같이 \(F \subset K_s \subset K\)를 택한다. Lemma 09HA에 의해 \(|\Mor_F(K_s, \overline{F})| = [K_s : F] = [K : F]_s\)이다. 한편 앞 단락의 결과에 의해 모든 체 사상 \(\sigma' : K_s \to \overline{F}\)는 유일한 체 사상 \(\sigma : K \to \overline{F}\)로 연장된다. 다시 말해 \(|\Mor_F(K, \overline{F})| = |\Mor_F(K_s, \overline{F})|\)이고, 증명이 끝난다.

보조정리

대수적 체확대들의 탑 \(K/E/F\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \[[K : F]_s = [K : E]_s [E : F]_s \quad\text{and}\quad [K : F]_i = [K : E]_i [E : F]_i\] 이다.

증명

먼저 \(K\)가 \(F\) 위에서 유한인 경우를 증명한다. 보통 차수의 곱셈성(Lemma 09G9)이 있으므로 두 공식 가운데 하나만 증명하면 충분하다. Lemma 09HJ에 의해 \([K : F]_s = |\Mor_F(K, \overline{F})|\)이다. 같은 보조정리에 의해 임의의 \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\)가 주어졌을 때, \(\sigma\)를 사상 \(\tau : K \to \overline{F}\)로 연장하는 방법의 수는 \([K : E]_s\)이다. 실제로 \(E \cong \sigma(E) \subset \overline{F}\)를 통하여 \(\overline{F}\)를 \(E\)의 대수적 폐포로 볼 수 있다. \(\sigma\)를 택하는 방법이 \([E : F]_s = |\Mor_F(E, \overline{F})|\)개라는 사실과 합치면 결과를 얻는다.

확대가 무한인 경우의 증명은 생략한다.

정규확대

\(P \in F[x]\)를 체 \(F\) 위의 비상수다항식이라 하자. 어떤 \(c \in F^*\), \(n \geq 1\), \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\)에 대하여 \[P = c(x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\] 가 \(F[x]\)에서 성립하면 \(P\)가 \(F\) 위에서 일차인수들로 완전히 분해된다 또는 \(F\) 위에서 완전히 분해된다고 한다. 정규확대는 다음과 같이 정의한다.

정의

\(E/F\)를 대수적 체확대라 하자. 모든 \(\alpha \in E\)에 대하여 \(\alpha\)의 \(F\) 위 최소다항식 \(P\)가 \(E\) 위에서 일차인수들로 완전히 분해되면 \(E\)가 \(F\) 위에서 정규라고 한다.

분리 가능 확대의 경우와 마찬가지로, 이 개념의 기본 성질을 확립하려면 약간의 작업이 필요하다.

보조정리

\(K/E/F\)를 대수적 체확대들의 탑이라 하자. \(K\)가 \(F\) 위에서 정규이면 \(K\)는 \(E\) 위에서도 정규이다.

증명

\(\alpha \in K\)라 하자. \(P\)를 \(\alpha\)의 \(F\) 위 최소다항식, \(Q\)를 \(\alpha\)의 \(E\) 위 최소다항식이라 하자. 그러면 \(Q\)는 다항식환 \(E[x]\)에서 \(P\)를 나누므로 \(P = QR\)이라 쓸 수 있다. 따라서 \(P\)가 \(K\) 위에서 완전히 분해되면 \(Q\)도 그러하다.

보조정리

\(F\)를 체라 하고 \(M/F\)를 대수적 확대라 하자. \(M/E_i/F\), \(i \in I\)를 \(E_i/F\)가 정규인 부분확대들이라 하자. 그러면 \(\bigcap E_i\)는 \(F\) 위에서 정규이다.

증명

정의에서 바로 따른다.

보조정리

\(E/F\)를 정규 대수적 체확대라 하자. 그러면 Lemma 030K의 부분확대 \(E/E_{sep}/F\)는 정규이다.

증명

표수가 영이면 \(E_{sep} = E\)이고 결과는 자명하다. 표수가 \(p > 0\)이면 \(E_{sep}\)는 \(E\)에서 \(F\) 위에 분리 가능한 원소들의 집합이다. 이제 \(\alpha \in E_{sep}\)의 최소다항식을 \(P\)라 하고 \(P = c(x - \alpha)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_d)\)로 쓰자. 여기서 \(\alpha_2, \ldots, \alpha_d \in E\)이다. \(P\)가 분리 가능 다항식이고 \(\alpha_i\)가 \(P\)의 근이므로, 원하는 대로 \(\alpha_i \in E_{sep}\)라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 대수적 확대라 하고 \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 폐포라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(E\)는 \(F\) 위에서 정규이다.

2. 모든 쌍 \(\sigma, \sigma' \in \Mor_F(E, \overline{F})\)에 대하여 \(\sigma(E) = \sigma'(E)\)이다.

증명

\(\mathcal{P}\)를 \(E\)의 모든 원소들의 \(F\) 위 최소다항식 전체의 집합이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[T = \{\beta \in \overline{F} \mid P(\beta) = 0\text{ for some }P \in \mathcal{P}\}\] \(E\)가 \(F\) 위에서 정규이면 모든 \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\)에 대하여 \(\sigma(E) = T\)임은 자명하다. 따라서 (1)은 (2)를 함의한다.

거꾸로 (2)를 가정하고 \(\beta \in T\)를 택하자. 최소다항식 \(P \in \mathcal{P}\)가 \(\beta\)를 영으로 만드는 해당 원소 \(\alpha \in E\)를 찾을 수 있다. \(F(\alpha) = F[x]/(P)\)이므로 \(\alpha\)를 \(\beta\)로 보내는 원소 \(\sigma_0 \in \Mor_F(F(\alpha), \overline{F})\)를 찾을 수 있다. Lemma 09GU에 의해 \(\sigma_0\)를 \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\)로 연장할 수 있다. 따라서 \(\beta\)는 모든 매입 \(\sigma : E \to \overline{F}\)의 공통 상에 속한다. 그러므로 임의의 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(E) = T\)이다. 하나의 \(\sigma\)를 고정하자. 이제 \(P \in \mathcal{P}\)라 하자. Lemma 09GR에 의해 어떤 \(n\)과 \(\beta_i \in \overline{F}\)에 대하여 \[P = (x - \beta_1) \ldots (x - \beta_n)\] 으로 쓸 수 있다. \(\beta_i \in T\)임에 유의하자. 따라서 어떤 \(\alpha_i \in E\)에 대하여 \(\beta_i = \sigma(\alpha_i)\)이다. 그러므로 \(P = (x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\)은 \(E\) 위에서 완전히 분해된다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 대수적 확대라 하자. \(E\)가 \(F\) 위에서 \(\alpha_i \in E\), \(i \in I\)에 의해 생성되고, 각 \(i\)에 대하여 \(\alpha_i\)의 \(F\) 위 최소다항식이 \(E\)에서 완전히 분해된다고 하자. 그러면 \(E/F\)는 정규이다.

증명

\(P_i\)를 \(\alpha_i\)의 \(F\) 위 최소다항식이라 하자. \(\alpha_i = \alpha_{i, 1}, \alpha_{i, 2}, \ldots, \alpha_{i, d_i}\)를 \(P_i\)의 \(E\) 위 근들이라 하자. \(F\) 위의 두 매입 \(\sigma, \sigma' : E \to \overline{F}\)가 주어지면 \[\{\sigma(\alpha_{i, 1}), \ldots, \sigma(\alpha_{i, d_i})\} = \{\sigma'(\alpha_{i, 1}), \ldots, \sigma'(\alpha_{i, d_i})\}\] 이다. 양변이 모두 \(\overline{F}\)에서 \(P_i\)의 근들의 집합과 같기 때문이다. 원소들 \(\alpha_{i, j}\)가 \(F\) 위에서 \(E\)를 생성하므로 \(\sigma(E) = \sigma'(E)\)이다. 따라서 Lemma 09HQ에 의해 \(E/F\)는 정규이다.

보조정리

\(L/M/K\)를 대수적 확대들의 탑이라 하자.

1. \(M/K\)가 정규이면 \(L/K\)의 모든 자기동형사상 \(\tau\)는 자기동형사상 \(\tau|_M : M \to M\)을 유도한다.

2. \(L/K\)가 정규이면 모든 \(K\)-대수 사상 \(\sigma : M \to L\)은 \(L\)의 자기동형사상으로 연장된다.

증명

\(L\)의 대수적 폐포 \(\overline{L}\)을 택한다 (Theorem 09GT).

\(\tau\)가 (1)에서와 같다고 하자. Lemma 09HQ에 의해 \(\overline{L}\)의 부분체들로서 \(\tau(M) = M\)이고, 따라서 \(\tau|_M : M \to M\)은 자기동형사상이다.

\(\sigma : M \to L\)이 (2)에서와 같다고 하자. Lemma 09GU에 의해 \(\sigma\)를 사상 \(\tau : L \to \overline{L}\)로 연장할 수 있다. 즉 \[\xymatrix{ L \ar[r]_\tau & \overline{L} \\ M \ar[u] \ar[ru]_\sigma & K \ar[l] \ar[u] }\] 가 가환이다. Lemma 09HQ에 의해 \(\tau(L) = L\)이다. 따라서 \(\tau : L \to L\)은 \(\sigma\)를 연장하는 자기동형사상이다.

정의

\(E/F\)를 체확대라 하자. \(\text{Aut}(E/F)\) 또는 \(\text{Aut}_F(E)\)는 \(F\)-확대의 범주의 대상으로서 \(E\)의 자기동형사상군을 나타낸다. \(\text{Aut}(E/F)\)의 원소들을 \(F\) 위의 \(E\)의 자기동형사상 또는 \(E/F\)의 자기동형사상이라 한다.

자기동형사상을 사용한 정규확대의 특징짓기는 다음과 같다.

보조정리

\(E/F\)를 유한확대라 하자. 그러면 \[|\text{Aut}(E/F)| \leq [E : F]_s\] 이고, 등식이 성립할 필요충분조건은 \(E\)가 \(F\) 위에서 정규인 것이다.

증명

\(F\)의 대수적 폐포 \(\overline{F}\)를 택하자. \([E : F]_s = |\Mor_F(E, \overline{F})|\)임을 상기하자. 원소 \(\sigma_0 \in \Mor_F(E, \overline{F})\)를 택한다. 그러면 사상 \[\text{Aut}(E/F) \longrightarrow \Mor_F(E, \overline{F}),\quad \tau \longmapsto \sigma_0 \circ \tau\] 은 단사이다. 이로써 부등식을 얻는다. 등식이 성립하면 모든 \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\)는 \(\sigma_0\)에 자기동형사상을 앞합성하여 얻어진다. 따라서 \(\sigma(E) = \sigma_0(E)\)이다. 그러므로 Lemma 09HQ에 의해 \(E\)는 \(F\) 위에서 정규이다.

거꾸로 \(E/F\)가 정규라고 가정하자. 그러면 Lemma 09HQ에 의해 모든 \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\)에 대하여 \(\sigma(E) = \sigma_0(E)\)이다. 따라서 \(\tau = \sigma_0^{-1} \circ \sigma\)로 놓으면 \(F\) 위의 \(E\)의 자기동형사상을 얻는다. 그러므로 위에 표시한 사상은 전사이다.

보조정리

\(L/K\)를 체의 대수적 정규확대라 하고 \(E/K\)를 체확대라 하자. 그러면 \(L\)에서 \(E\)로 가는 \(K\)-매입이 존재하지 않거나, 하나의 \(\tau : L \to E\)가 존재하고 다른 모든 매입은 \(\sigma \in \text{Aut}(L/K)\)에 대하여 \(\tau \circ \sigma\)의 꼴이다.

증명

\(\tau\)가 주어지면 \(L\)을 \(\tau(L) \subset E\)로 대체하고 Lemma 0BME를 적용한다.

분해체

다음 보조정리는 정규 체확대를 구성하는 데 유용한 도구이다.

보조정리

\(F\)를 체라 하고 \(P \in F[x]\)를 비상수다항식이라 하자. \(P\)가 \(E\) 위에서 완전히 분해되게 하는 가장 작은 체확대 \(E/F\)가 존재한다. 더욱이 체확대 \(E/F\)는 정규이고 (유일하지 않을 수 있는) 동형사상까지 유일하다.

증명

대수적 폐포 \(\overline{F}\)를 택하자. 그러면 \(P = c (x - \beta_1) \ldots (x - \beta_n)\)으로 \(\overline{F}[x]\) 안에서 쓸 수 있다. Lemma 09GR를 보라. \(c \in F^*\)임에 유의하자. \(E = F(\beta_1, \ldots, \beta_n)\)으로 놓는다. 그러면 \(P\)가 \(E\) 위에서 완전히 분해된다는 조건 아래 \(E\)가 최소임은 자명하다.

다음으로 \(E'\)를 \(P\)가 \(E'\) 위에서 완전히 분해되게 하는 \(F\)의 또 다른 최소 체확대라 하자. \(P = c (x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\)으로 쓰자. 여기서 \(c \in F\)이고 \(\alpha_i \in E'\)이다. 최소성으로부터 다시 \(E' = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)임이 따른다. 더욱이 임의의 \(\sigma : E' \to \overline{F}\)를 택하면 (Lemma 09GU) 어떤 순열 \(\tau : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\}\)에 대하여 \(\sigma(\alpha_i) = \beta_{\tau(i)}\)임을 곧 알 수 있다. 따라서 \(\sigma(E') = E\)이다. Lemma 09HQ에 의해 이는 \(E'\)가 \(F\)의 정규확대이고, \(F\)의 확대들로서 \(E \cong E'\)임을 뜻한다. 이로써 증명이 끝난다.

정의

\(F\)를 체라 하고 \(P \in F[x]\)를 비상수다항식이라 하자. Lemma 09HU에서 구성한 체확대 \(E/F\)를 \(F\) 위의 \(P\)의 분해체라고 한다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 유한확대라 하자. \(K\)가 \(F\) 위에서 정규가 되게 하는 가장 작은 유한확대 \(K/E\)가 유일하게 존재한다.

증명

\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)을 \(F\) 위에서 \(E\)를 생성하는 원소들로 택하자. \(P_1, \ldots, P_n\)을 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)의 \(F\) 위 최소다항식들이라 하자. \(P = P_1 \ldots P_n\)으로 놓는다. 각 \((x - \alpha_i)\)가 \(P_i\)를 나누므로 \((x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\)은 \(P\)를 나눈다. 다음과 같이 쓰자. \(P = (x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)Q\). \(K/E\)를 \(P\)의 \(E\) 위 분해체라 하자. \(K\)가 \(P\)의 \(F\) 위 분해체이기도 하다고 주장한다(그러면 \(K\)가 \(F\) 위에서 정규임이 따른다). 이는 자명하다. 실제로 \(K/E\)는 \(E\) 위에서 \(Q\)의 근들로 생성되고, \(E\)는 \(F\) 위에서 \((x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\)의 근들로 생성되므로 \(K\)는 \(F\) 위에서 \(P\)의 근들로 생성된다.

유일성. \(K'/E\)가 \(K'/F\)가 정규가 되게 하는 두 번째 최소 확대라고 하자. 대수적 폐포 \(\overline{F}\)와 매입 \(\sigma_0 : E \to \overline{F}\)를 택하자. Lemma 09GU에 의해 \(\sigma_0\)를 \(\sigma : K \to \overline{F}\) 및 \(\sigma' : K' \to \overline{F}\)로 연장할 수 있다. Lemma 09HP에 의해 \(\sigma(K) \cap \sigma'(K')\)는 \(F\) 위에서 정규이다. 최소성으로부터 \(\sigma(K) = \sigma'(K')\)라는 결론을 얻는다. 따라서 \(\sigma^{-1} \circ \sigma' : K' \to K\)는 \(E\)의 확대들의 동형사상을 준다.

정의

\(E/F\)를 체의 유한확대라 하자. Lemma 09DT에서 구성한 체확대 \(K/E\)를 \(F\) 위의 \(E\)의 정규폐포라고 한다.

주어진 임의의 정규확대 안에서 정규폐포를 구성할 수 있다.

보조정리

\(L/K\)를 대수적 정규확대라 하자.

1. \(L/M/K\)가 \(M/K\)가 유한인 부분확대이면, \(M'/K\)가 유한이고 정규인 탑 \(L/M'/M/K\)가 존재한다.

2. \(L/M'/M/K\)가 \(M/K\)가 정규이고 \(M'/M\)이 유한인 탑이면, \(M''/M\)이 유한이고 \(M''/K\)가 정규인 탑 \(L/M''/M'/M/K\)가 존재한다.

증명

(1)의 증명. \(M'\)를 \(M\)을 포함하고 \(K\) 위에서 정규인 \(L/K\)의 가장 작은 부분확대라 하자. Lemma 09DT에 의해 이는 \(M/K\)의 정규폐포이고 \(K\) 위에서 유한이다.

(2)의 증명. \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in M'\)이 \(M\) 위에서 \(M'\)을 생성한다고 하자. \(P_1, \ldots, P_n\)을 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)의 \(K\) 위 최소다항식들이라 하자. \(\alpha_{i, j}\)를 \(P_i\)의 \(L\) 안의 근들이라 하자. \(M'' = M(\alpha_{i, j})\)로 놓는다. Lemma 0BR3를 생성원 집합 \(M \cup \{\alpha_{i, j}\}\)에 적용하면 \(M''\)가 \(K\) 위에서 정규임이 따른다.

다음 보조정리는 때때로 정규폐포의 성질을 증명하는 데 사용할 수 있다.

보조정리

\(L/K\)를 유한확대라 하고 \(M/L\)을 \(K\) 위에서 \(L\)의 정규폐포라 하자. 그러면 \(K\)-대수들의 전사사상 \[L \otimes_K L \otimes_K \ldots \otimes_K L \longrightarrow M\] 이 존재하며, 텐서인자의 수는 \([L : K]_s \leq [L : K]\)로 택할 수 있다.

증명

\(K\)의 대수적 폐포 \(\overline{K}\)를 택하자. Lemma 09HJ의 등식에 따라 \(n = [L : K]_s = |\Mor_K(L, \overline{K})|\)로 놓는다. \(\Mor_K(L, \overline{K}) = \{\sigma_1, \ldots, \sigma_n\}\)이라고 하자. \(M' \subset \overline{K}\)를 \(\sigma_i(L)\), \(i = 1, \ldots, n\)으로 생성되는 \(K\)-부분대수라 하자. \(\overline{K}\)의 모든 \(K\)-부분대수는 체이므로 \(M'\)는 체이다. \(M'\)에서 \(\overline{K}\)로 가는 모든 \(K\)-대수 사상은 \(\sigma_i\)들을 치환하므로 \(M'\)를 \(M'\) 안으로, 그리고 그 위로 보낸다. 구성에 의해 체 \(M'\)는 \(\sigma_1(L)\)의 원소들의 켤레들로 생성된다. 그러므로 Lemma 09HQ에서 \(M'\)가 \(K\) 위에서 정규이고, \(\sigma_1(L)\)을 포함하는 \(\overline{K}\)의 가장 작은 정규 부분확대임이 따른다. 정규폐포의 유일성에 의해 \(M \cong M'\)이다. 끝으로 전사사상 \[L \otimes_K L \otimes_K \ldots \otimes_K L \longrightarrow M', \quad \lambda_1 \otimes \ldots \otimes \lambda_n \longmapsto \sigma_1(\lambda_1) \ldots \sigma_n(\lambda_n)\] 이 있고, 정의에 의해 \(n \leq [L : K]\)임에 유의하자.

1의 거듭제곱근

\(F\)를 체라 하자. 정수 \(n \geq 1\)에 대하여 \[\mu_n(F) = \{\zeta \in F \mid \zeta^n = 1\}\] 로 놓는다. 이를 \(n\)차 단위근의 군 또는 \(1\)의 \(n\)제곱근들이라고 한다. 이는 곱셈에 관하여 가환군이고 중립원은 \(1\)이다. 체에서 차수가 \(d\)인 다항식의 근의 수는 언제나 많아야 \(d\)임에 유의하자. 따라서 차수가 \(n\)인 다항방정식으로 정의되므로 \(|\mu_n(F)| \leq n\)이다. 물론 \(\mu_n(F)\)의 모든 원소의 위수는 \(n\)을 나눈다. 더욱이 부분군들 \[\mu_d(F) \subset \mu_n(F),\quad d | n\] 각각의 원소 수는 많아야 \(d\)이다. 이는 \(\mu_n(F)\)가 순환군임을 뜻한다.

보조정리

\(A\)를 지수가 \(n\)의 약수인 가환군이라 하자. 모든 \(d | n\)에 대하여 \(\{x \in A \mid dx = 0\}\)의 기수가 많아야 \(d\)라고 하자. 그러면 \(A\)는 위수가 \(n\)의 약수인 순환군이다.

증명

조건들로부터 \(|A| \leq n\)이므로, 특히 \(A\)는 유한이다. 유한가환군의 구조에 의해 어떤 정수들 \(1 < e_1 | e_2 | \ldots | e_r\)에 대하여 \(A = \mathbf{Z}/e_1\mathbf{Z} \oplus \ldots \oplus \mathbf{Z}/e_r\mathbf{Z}\) 이다. 이는 \(\{x \in A \mid e_1 x = 0\}\)의 기수가 \(e_1^r\)임을 뜻한다. 따라서 \(r = 1\)이다.

이를 체 \(\mathbf{F}_p\)에 적용하면 군 \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\)가 순환군이라는 유명한 결과를 얻는다. 이에 관해서는 유한체 절에서 더 다룬다.

흔히 유용한 관찰이 하나 더 있다. \(F\)의 표수가 \(p > 0\)이면 \(\mu_{p^n}(F) = \{1\}\)이다. Lemma 09H4의 증명에서 보았듯이 표수가 \(p\)인 체에서 \(p\)제곱을 취하는 사상이 단사이기 때문이다. (물론 그 보조정리의 명제 자체로부터도 따른다.)

유한체

\(F\)를 유한체라 하자. 단사사상 \(\mathbf{Q} \to F\)는 있을 수 없으므로 \(F\)의 표수가 양수임은 자명하다. \(F\)의 표수를 \(p\)라 하자. 확대 \(\mathbf{F}_p \subset F\)는 유한이다. 따라서 어떤 \(f \geq 1\)에 대하여 \(F\)는 \(q = p^f\)개의 원소를 갖는다.

단위원군 \(F^*\)를 생각하자. 이는 유한가환군이므로 어떤 지수 \(e\)를 갖는다. 그러면 \(F^* = \mu_e(F)\)이고, Section 09HW의 논의에서 \(F^*\)가 위수 \(q - 1\)인 순환군임을 알 수 있다. (사후적으로 \(e = q - 1\)도 따른다.) 특히 \(\alpha \in F^*\)가 생성원이면 \[F = \mathbf{F}_p(\alpha)\] 임이 자명하다. 다시 말해 확대 \(F/\mathbf{F}_p\)는 한 원소로 생성된다. 물론 유한체들의 모든 확대 \(E/F\)도 마찬가지이다 (\(E\)가 이미 소체 위에서 한 원소로 생성되기 때문이다).

원시원소

\(E/F\)를 체의 유한확대라 하자. \(E = F(\alpha)\)이면 원소 \(\alpha \in E\)를 \(F\) 위의 \(E\)의 원시원소라고 한다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 유한확대라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(F\) 위의 \(E\)의 원시원소가 존재한다.

2. 부분확대 \(E/K/F\)가 유한개뿐이다.

더욱이 \(E/F\)가 분리 가능하면 (1)과 (2)가 성립한다.

증명

\(\alpha \in E\)를 원시원소라 하자. \(P\)를 \(\alpha\)의 \(F\) 위 최소다항식이라 하자. 다음으로 \(E/K/F\)를 부분확대라 하자. \(Q\)를 \(\alpha\)의 \(K\) 위 최소다항식이라 하자. \(\deg(Q) = [E : K]\)임에 유의하자. \(Q = x^d + \sum_{i < d} a_i x^i\)로 쓰고, \(K\)가 \(L = F(a_0, \ldots, a_{d - 1})\)과 같다고 주장하자. 실제로 \(\alpha\)의 \(L\) 위 차수는 \(d\)이고 \(L \subset K\)이다. 따라서 \([E : L] = [E : K]\)이고, 이로부터 \([K : L] = 1\), 즉 \(K = L\)이 따른다. 그러므로 다항식 \(Q\)의 가능성이 유한개뿐임을 보이면 충분하다. 이는 자명하다. 실제로 \(K[x]\)에서, 따라서 특히 \(E[x]\)에서 인수분해 \(P = QR\)가 있다. \(E[x]\)에서 유일인수분해가 성립하므로 \(E[x]\)에서 \(P\)의 최고차항 계수가 1인 인수는 유한개뿐이다.

\(F\)가 유한체이면(동치로 \(E\)가 유한체이면) Section 09HY의 논의에 의해 \(E/F\)는 원시원소를 갖는다. 다음으로 \(F\)가 무한이고 진부분체 \(E/K/F\)가 유한개 이하라고 가정하자. 이를 \(K_1, \ldots, K_N\)이라 쓰자. 각 \(K_i \subset E\)는 진 \(F\)-벡터부분공간이다. \(F\)가 무한이므로 모든 \(i\)에 대하여 \(\alpha \not \in K_i\)인 벡터 \(\alpha \in E\)를 찾을 수 있다(벡터공간은 유한개의 진벡터부분공간의 합집합과 같을 수 없다. 자세한 내용은 생략한다). 그러면 \(\alpha\)는 \(F\) 위의 \(E\)의 원시원소이다.

(1)과 (2)의 동치를 확립했으므로 이제 보조정리의 마지막 명제로 넘어가자. \(F\)의 대수적 폐포 \(\overline{F}\)를 택한다. 원소들을 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n \in \Mor_F(E, \overline{F})\)로 열거하자. \(E/F\)가 분리 가능하므로 Lemma 09HA에 의해 \(n = [E : F]\)이다. \(i \not = j\)이면 \[V_{ij} = \Ker(\sigma_i - \sigma_j : E \longrightarrow \overline{F})\] 가 \(E\)와 같지 않음에 유의하자. 따라서 앞 단락에서와 같이 모든 \(i \not = j\)에 대하여 \(\alpha \not \in V_{ij}\)인 \(\alpha \in E\)를 찾을 수 있다. 이로부터 \(|\Mor_F(F(\alpha), \overline{F})| \geq n\)이 따른다. 한편 \([F(\alpha) : F] \leq [E : F]\)이다. 따라서 Lemma 09HA에 의해 등식이 성립하고, \(E = F(\alpha)\)라는 결론을 얻는다.

대각합과 노름

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. Lemma 09FN에 의해 \(K\)-가군의 동형사상 \(L \cong K^{\oplus n}\)을 택할 수 있다. 물론 \(n = [L : K]\)은 체확대의 차수이다. 이 동형사상을 사용하여 \(K\)-대수 사상 \[L \longrightarrow \text{Mat}(n \times n, K),\quad \alpha \longmapsto \text{matrix of multiplication by }\alpha\] 을 얻는다. 따라서 \(\alpha \in L\)이 주어지면 해당 행렬의 대각합과 행렬식을 취할 수 있다. 물론 이 양들은 위에서 택한 기저의 선택과 무관하다. 더 표준적으로는 \(L\)을 유한차원 \(K\)-벡터공간으로 보기만 하면 \(\text{Trace}_K(\alpha : L \to L)\)와 행렬식 \(\det_K(\alpha : L \to L)\)을 얻는다.

정의

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. \(\alpha \in L\)에 대하여 대각합 \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha) = \text{Trace}_K(\alpha : L \to L)\) 과 노름 \(\text{Norm}_{L/K}(\alpha) = \det_K(\alpha : L \to L)\) 을 정의한다.

정의에서 \(\text{Trace}_{L/K}\)가 \(K\)-선형이고 \(\alpha \in K\)에 대하여 \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha) = [L : K]\alpha\)를 만족함은 자명하다. 마찬가지로 \(\text{Norm}_{L/K}\)는 곱셈적이고 \(\alpha \in K\)에 대하여 \(\text{Norm}_{L/K}(\alpha) = \alpha^{[L : K]}\)이다. 이는 Exercises의 Exercises 02DU와 02DV에서 논의한 더 일반적인 구성의 특수한 경우이다.

보조정리

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. \(\alpha \in L\)이고 \(P\)가 \(\alpha\)의 \(K\) 위 최소다항식이라 하자. 그러면 \(K\)-선형사상 \(\alpha : L \to L\)의 특성다항식은 \(P^e\)와 같다. 여기서 \(e \deg(P) = [L : K]\)이다.

증명

\(\beta_1, \ldots, \beta_e\)를 \(K(\alpha)\) 위에서 \(L\)의 기저라 하자. 그러면 \(e\)는 Lemma 09GN와 09G9에 의해 \(e \deg(P) = [L : K]\)이다. 이제 \(L = \bigoplus K(\alpha) \beta_i\)는 \(\alpha\)-불변 부분공간들로 직합분해되므로, \(\alpha : L \to L\)의 특성다항식은 \(\alpha : K(\alpha) \to K(\alpha)\)의 특성다항식의 \(e\)제곱과 같다.

증명을 끝내기 위해 \(L = K(\alpha)\)라고 가정해도 된다. 이 경우 케일리–해밀턴 정리에 의해 \(\alpha\)는 특성다항식의 근이다. 그리고 특성다항식과 최소다항식의 차수가 같으므로 두 다항식은 같다.

보조정리

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. \(\alpha \in L\)이고 \(P = x^d + a_1 x^{d - 1} + \ldots + a_d\)가 \(\alpha\)의 \(K\) 위 최소다항식이라 하자. 그러면 \[\text{Norm}_{L/K}(\alpha) = (-1)^{[L : K]} a_d^e \quad\text{and}\quad \text{Trace}_{L/K}(\alpha) = - e a_1\] 이다. 여기서 \(e d = [L : K]\)이다.

증명

Lemma 0BIG와 정의들에서 즉시 따른다.

보조정리

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. \(V\)를 \(L\) 위의 유한차원 벡터공간이라 하고 \(\varphi : V \to V\)를 \(L\)-선형사상이라 하자. 그러면 \[\text{Trace}_K(\varphi : V \to V) = \text{Trace}_{L/K}(\text{Trace}_L(\varphi : V \to V))\] 이고 \[\det\nolimits_K(\varphi : V \to V) = \text{Norm}_{L/K}(\det\nolimits_L(\varphi : V \to V))\] 이다.

증명

\(V = L^{\oplus n}\)인 동형사상을 택하여 \(\varphi\)가 \(n \times n\) 행렬에 대응하게 하자. 대각합의 경우 공식의 양변은 \(\varphi\)에 대하여 가법적이다. 따라서 \(\varphi\)가 \((i, j)\) 위치에 정확히 하나의 영이 아닌 성분만 갖는 행렬에 대응한다고 가정할 수 있다. 이 경우 직접 계산하면 양변이 같음을 알 수 있다.

노름의 경우 \(\varphi\)가 영이 아닌 핵을 가지면 양변이 모두 영이다. 따라서 \(\varphi\)가 \(\text{GL}_n(L)\)의 원소에 대응한다고 가정할 수 있다. 공식의 양변은 \(\varphi\)에 대하여 곱셈적이다. \(\text{GL}_n(L)\)의 모든 원소는 기본행렬들의 곱이므로 \(\varphi\)가 다음 두 꼴 가운데 하나라고 가정할 수 있다. \[E_{12}(\lambda) = \left( \begin{matrix} 1 & \lambda & \ldots \\ 0 & 1 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix} \right) \quad\text{or}\quad E_1(a) = \left( \begin{matrix} a & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] (원하면 기저원들을 치환할 수도 있기 때문이다). 두 경우 모두 직접 계산으로 공식을 쉽게 확인할 수 있다.

보조정리

\(M/L/K\)를 체의 유한확대들의 탑이라 하자. 그러면 \[\text{Trace}_{M/K} = \text{Trace}_{L/K} \circ \text{Trace}_{M/L} \quad\text{and}\quad \text{Norm}_{M/K} = \text{Norm}_{L/K} \circ \text{Norm}_{M/L}\] 이다.

증명

\(M\)을 \(L\) 위의 벡터공간으로 보고 Lemma 0BII를 적용한다.

대각합 짝지음은 대각합을 사용하여 정의한다.

정의

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. \(L/K\)의 대각합 짝지음은 대칭 \(K\)-쌍선형형식 \[Q_{L/K} : L \times L \longrightarrow K,\quad (\alpha, \beta) \longmapsto \text{Trace}_{L/K}(\alpha\beta)\] 이다.

체의 유한확대가 분리 가능일 필요충분조건은 대각합 짝지음이 비퇴화인 것임이 드러난다.

보조정리

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(L/K\)는 분리 가능이다.

2. \(\text{Trace}_{L/K}\)는 항등적으로 영이지 않다.

3. 대각합 짝지음 \(Q_{L/K}\)는 비퇴화이다.

증명

(3)이 (2)를 함의함은 자명하다. (2)가 성립하면 \(\text{Trace}_{L/K}(\gamma) \not = 0\)인 \(\gamma \in L\)을 택하자. 그러면 \(\alpha \in L\)가 영이 아닐 때 \(Q_{L/K}(\alpha, \gamma/\alpha) \not = 0\)이다. 따라서 \(Q_{L/K}\)는 비퇴화이다. 이로써 (2)와 (3)의 동치를 증명했다.

\(K\)의 표수가 \(p\)이고, \(\alpha \not \in K\), \(\alpha^p \in K\)인 \(L = K(\alpha)\)라고 하자. 그러면 \(\text{Trace}_{L/K}(1) = p = 0\)이다. \(i = 1, \ldots, p - 1\)에 대하여 \(x^p - \alpha^{pi}\)는 \(\alpha^i\)의 \(K\) 위 최소다항식이고, Lemma 0BIH에 의해 \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha^i) = 0\)이다. 따라서 이와 같은 순수 비분리 차수 \(p\)의 확대에서는 \(\text{Trace}_{L/K}\)가 항등적으로 영이다.

\(L/K\)가 분리 가능하지 않다고 가정하자. 그러면 앞 단락에서와 같은 순수 비분리 차수 \(p\)의 확대 \(L/K'\)을 갖는 부분체 \(L/K'/K\)가 존재한다. Lemma 030K와 09HI를 보라. 따라서 Lemma 0BIJ에 의해 \(\text{Trace}_{L/K}\)가 항등적으로 영임을 알 수 있다.

반대로 \(L/K\)가 분리 가능하다고 가정하자. 차수에 관한 귀납법으로 \(\text{Trace}_{L/K}\)가 항등적으로 영이지 않음을 보이겠다. 따라서 Lemma 0BIJ에 의해 \(L/K\)가 한 원소 \(\alpha\)로 생성된다고 가정할 수 있다(대각합이 영이 아니면 전사임을 사용하라). 어떤 \(e \geq 0\)에 대하여 \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha^e)\)가 영이 아님을 보여야 한다. \(P = x^d + a_1 x^{d - 1} + \ldots + a_d\)를 \(\alpha\)의 \(K\) 위 최소다항식이라 하자. 그러면 \(P\)는 선형사상 \(\alpha : L \to L\)의 특성다항식이기도 하다. Lemma 0BIG를 보라. \(L/k\)가 분리 가능하므로 Lemma 09H3에서 \(P\)가 \(K\)의 대수적 폐포 \(\overline{K}\) 안에 서로 다른 \(d\)개의 근 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_d\)를 가짐을 알 수 있다.

따라서 이들은 \(\alpha : L \to L\)의 고윳값들이다. 선형대수학에 의해 \(\alpha^e\)의 대각합은 \(\alpha_1^e + \ldots + \alpha_d^e\)와 같다. 그러므로 Lemma 0EM9에 의해 결론을 얻는다.

\(K\)를 체라 하고 \(Q : V \times V \to K\)를 \(K\) 위의 유한차원 벡터공간 위 쌍선형형식이라 하자. \(\dim_K(V) = n\)이라고 하자. 그러면 \(Q\)는 선형사상 \(Q : V \to V^*\), \(v \mapsto Q(v, -)\)을 정의한다. 여기서 \(V^* = \Hom_K(V, K)\)는 쌍대벡터공간이다. 따라서 선형사상 \[\det(Q) : \wedge^n(V) \longrightarrow \wedge^n(V)^*\] 을 얻는다. 기저원 \(\omega \in \wedge^n(V)\)를 택하면 \(\det(Q)(\omega) = \lambda \omega^*\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(\omega^*\)는 \(\wedge^n(V)^*\)의 쌍대기저원이다. \(\omega\)의 선택을 어떤 \(c \in K^*\)에 대하여 \(c \omega\)로 바꾸면 \(\omega^*\)는 \(c^{-1} \omega^*\)로 바뀌고, 따라서 \(\lambda\)는 \(c^2 \lambda\)로 바뀐다. 그러므로 \(K/(K^*)^2\) 안의 \(\lambda\)의 류가 잘 정의되며, 이를 \(Q\)의 판별식이라 한다. 정의를 풀어 쓰면 \[\lambda = \det(Q(v_i, v_j)_{1 \leq i, j \leq n})\] 이다. 여기서 \(\{v_1, \ldots, v_n\}\)은 \(K\) 위에서 \(V\)의 기저이다. 판별식이 영이 아닐 필요충분조건은 \(Q\)가 비퇴화인 것임에 유의하자.

정의

\(L/K\)를 체의 유한확대라 하자. \(L/K\)의 판별식은 대각합 짝지음 \(Q_{L/K}\)의 판별식이다.

위의 논의와 Lemma 0BIL에 의해 판별식이 영이 아닐 필요충분조건은 \(L/K\)가 분리 가능한 것임을 알 수 있다. \(a \in K\)에 대하여 더 정확하게는 판별식이 \(K/(K^*)^2\) 안의 \(a\)의 류라고 말해야 하지만, 흔히 “판별식은 \(a\)이다”라고 말한다.

연습문제

\(L/K\)를 차수가 \(2\)인 확대라 하자. 다음 가운데 정확히 하나만 일어남을 보여라.

1. 판별식이 \(0\)이고 \(K\)의 표수가 \(2\)이며, \(L/K\)는 \(K\)의 한 원소의 제곱근을 취하여 얻는 순수 비분리 확대이다.

2. 판별식이 \(1\)이고 \(K\)의 표수가 \(2\)이며, \(L/K\)는 차수 \(2\)의 분리 가능 확대이다.

3. 판별식이 제곱이 아니고 \(K\)의 표수가 \(2\)가 아니며, \(L\)은 \(K\)에 판별식의 제곱근을 첨가하여 얻는다.

갈루아 이론

정의는 다음과 같다.

정의

체확대 \(E/F\)가 대수적이고 분리 가능하며 정규이면 갈루아 확대라고 한다.

유한확대가 갈루아 확대일 필요충분조건은 “올바른” 수의 자기동형사상을 갖는 것임이 드러난다.

보조정리

\(E/F\)를 체의 유한확대라 하자. \(E\)가 \(F\) 위의 갈루아 확대일 필요충분조건은 \(|\text{Aut}(E/F)| = [E : F]\)인 것이다.

증명

\(|\text{Aut}(E/F)| = [E : F]\)라고 가정하자. Lemma 09HS에 의해 이는 \(E/F\)가 분리 가능하고 정규임을, 따라서 갈루아 확대임을 뜻한다. 거꾸로 \(E/F\)가 분리 가능하면 \([E : F] = [E : F]_s\)이고, \(E/F\)가 더 나아가 정규이면 Lemma 09HS에 의해 \(|\text{Aut}(E/F)| = [E : F]\)이다.

위 보조정리에 동기를 받아 갈루아군을 다음과 같이 도입한다.

정의

\(E/F\)가 갈루아 확대이면 군 \(\text{Aut}(E/F)\)를 갈루아군이라 하고 \(\text{Gal}(E/F)\)로 나타낸다.

\(L/K\)가 무한 갈루아 확대이면 갈루아군을 위상군으로 보아야 한다. Section 0BMI에서 이 문제로 돌아온다.

보조정리

\(K/E/F\)를 대수적 체확대들의 탑이라 하자. \(K\)가 \(F\) 위의 갈루아 확대이면 \(K\)는 \(E\) 위에서도 갈루아 확대이다.

증명

Lemma 09HN와 09H2를 결합한다.

보조정리

\(L/K\)를 체의 유한 분리 가능 확대라 하자. \(M\)을 \(K\) 위에서 \(L\)의 정규폐포라 하자(Definition 0BMF). 그러면 \(M/K\)는 갈루아 확대이다.

증명

Lemma 030K의 부분확대 \(M/M_{sep}/K\)는 Lemma 0EXK에 의해 정규이다. \(L/K\)가 분리 가능하므로 \(L \subset M_{sep}\)이다. 최소성에 의해 \(M = M_{sep}\)이고 증명이 끝난다.

\(G\)를 체 \(K\)에 작용하는 군이라 하자(체의 자기동형사상들로 작용한다고 한다). 흔히 다음 표기를 사용할 것이다. \[K^G = \{x \in K \mid \sigma(x) = x \ \forall \sigma \in G\}\] 이를 \(K\) 위의 \(G\)의 작용에 대한 고정체라고 한다.

보조정리

\(K\)를 체라 하고 \(G\)를 \(K\)에 충실하게 작용하는 유한군이라 하자. 그러면 확대 \(K/K^G\)는 갈루아 확대이고 \([K : K^G] = |G|\)이며, 이 확대의 갈루아군은 \(G\)이다.

증명

\(\alpha \in K\)가 주어졌을 때 군의 작용에 의한 \(\alpha\)의 궤도 \(G \cdot \alpha \subset K\)를 생각하자. 다항식 \[P = \prod\nolimits_{\beta \in G \cdot \alpha} (x - \beta) \in K[x]\] 을 생각한다. 보조정리 전체의 핵심은 이 다항식이 \(G\)의 작용 아래 불변이므로 \(K^G\)에 계수를 갖는다는 것이다. 실제로 \(\tau \in G\)에 대하여 \[P^\tau = \prod\nolimits_{\beta \in G \cdot \alpha} (x - \tau(\beta)) = \prod\nolimits_{\beta \in G \cdot \alpha} (x - \beta) = P\] 이다. 사상 \(\beta \mapsto \tau(\beta)\)가 궤도 \(G \cdot \alpha\)의 치환이기 때문이다. 따라서 \(P \in K^G[x]\)이다. 또한 \(\alpha\)가 그 궤도의 원소이므로 \(P(\alpha) = 0\)이다. 그러므로 확대 \(K/K^G\)는 대수적이다. 더욱이 \(\alpha\)의 \(K^G\) 위 최소다항식 \(Q\)는 방금 구성한 다항식 \(P\)를 나눈다. 따라서 \(Q\)는 분리 가능이고(예를 들어 Lemma 09H3에 의해), \(K/K^G\)가 분리 가능하다는 결론을 얻는다. 그러므로 \(K/K^G\)는 갈루아 확대이다. 증명을 끝내려면 \([K : K^G] = |G|\)임을 보이면 충분하다. 그러면 Lemma 09I1에 의해 \(G\)가 갈루아군이 되기 때문이다.

\(\alpha_i \in K\), \(i = 1, \ldots, n\)을 다음 성질을 갖도록 유한개 택하자. \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(\sigma(\alpha_i) = \alpha_i\)이면 \(\sigma\)는 \(G\)의 중립원이다. 다음과 같이 놓는다. \[L = K^G(\{\sigma(\alpha_i); 1 \leq i \leq n, \sigma \in G\}) \subset K\] \(K\) 위의 \(G\)의 작용이 \(L\) 위의 \(G\)의 작용을 유도함에 유의하자. \(L\)의 \(K^G\) 위 차수가 \(|G|\)임을 보이겠다. 이것으로 증명이 끝난다. 실제로 \(L \subset K\)가 진부분체이면 원소들의 목록 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)에 \(\alpha \in K\), \(\alpha \not \in L\)을 더해도 \(L\)이 커지지 않으므로 모순이다. 따라서 \(K/K^G\)가 유한인 경우로 환원되며, 이는 다음 단락에서 다룬다.

\(K/K^G\)가 유한이라고 가정하자. Lemma 030N에 의해 \(K = K^G(\alpha)\)가 되는 \(\alpha \in K\)를 찾을 수 있다. 이 증명의 첫 단락의 구성으로부터 \(\alpha\)의 \(K\) 위 차수가 많아야 \(|G|\)임을 알 수 있다.

그러나 구성에 의해 \(G\)가 \(K^G(\alpha) = L\)에 충실하게 작용하고 Lemma 09HS의 부등식이 있으므로 그 차수는 \(|G|\)보다 작을 수 없다.

정리

\(L/K\)를 갈루아군이 \(G\)인 유한 갈루아 확대라 하자. 그러면 \(K = L^G\)이고 사상 \[\{\text{subgroups of }G\} \longrightarrow \{\text{subextensions }L/M/K\},\quad H \longmapsto L^H\] 은 전단사이다. 그 역은 \(M\)을 \(\text{Gal}(L/M)\)로 보낸다. \(G\)의 정규부분군 \(H\)들은 정확히 \(M/K\)가 갈루아 확대인 부분확대 \(M\)들에 대응한다.

증명

Lemma 09I2에 의해 부분확대 \(L/M/K\)가 주어지면 확대 \(L/M\)은 갈루아 확대이다. 물론 \(L/M\)은 유한이기도 하다(Lemma 09G5). 따라서 Lemma 09I1에 의해 \(|\text{Gal}(L/M)| = [L : M]\)이다. 거꾸로 \(H \subset G\)가 유한부분군이면 Lemma 09I3에 의해 \([L : L^H] = |H|\)이다. 이 두 관찰로부터 정리에 주어진 전단사 대응을 형식적으로 얻는다.

\(H \subset G\)가 정규이면 \(L^H\)는 \(G\)의 작용에 의해 고정되고, 표준사상 \(G/H \to \text{Aut}(L^H/K)\)을 얻는다. \(\text{Gal}(L/L^H) = H\)이므로 이 사상은 단사여야 한다. 따라서 \(|G/H| = [L^H : K]\)이고, Lemma 09I1에 의해 \(L^H\)는 갈루아 확대이다.

거꾸로 \(K \subset M \subset L\)이고 \(M/K\)가 갈루아 확대라고 가정하자. Lemma 0BME에 의해 모든 원소 \(\tau \in \text{Gal}(L/K)\)는 원소 \(\tau|_M \in \text{Gal}(M/K)\)를 유도한다. 이는 갈루아군의 준동형 \(\text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\)을 유도하며, 그 핵은 \(H\)이다. 따라서 \(H\)는 정규부분군이다.

보조정리

\(L/M/K\)를 체들의 탑이라 하자. \(L/K\)와 \(M/K\)가 유한 갈루아 확대라고 가정하자. 그러면 유한군들의 짧은 완전열 \[1 \to \text{Gal}(L/M) \to \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] 을 얻는다.

증명

실제로 Lemma 0BME에 의해 모든 원소 \(\tau \in \text{Gal}(L/K)\)는 원소 \(\tau|_M \in \text{Gal}(M/K)\)를 유도하며, 이것이 오른쪽의 준동형을 준다. 왼쪽 사상은 왼쪽 군을 오른쪽 화살표의 핵과 동일시한다. 유한확대들의 탑에서 차수의 곱셈성 (Lemma 09G9)에 의해 군들의 크기가 정확히 맞으므로 이 열은 완전하다. 오른쪽 사상이 전사임을 보이기 위해 Lemma 0BME를 직접 사용할 수도 있다.

무한 갈루아 이론

갈루아군에는 표준 위상이 주어진다.

보조정리

\(E/F\)를 갈루아 확대라 하자. \(E\)에 이산위상을 주었을 때 \[\text{Gal}(E/F) \times E \longrightarrow E\] 가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상을 \(\text{Gal}(E/F)\)에 주자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 임의의 위상공간 \(X\)와 사상 \(X \to \text{Gal}(E/F)\)에 대하여, 작용 \(X \times E \to E\)가 연속이면 유도된 사상 \(X \to \text{Gal}(E/F)\)도 연속이다.

2. 이 위상에 의해 \(\text{Gal}(E/F)\)는 프로유한 위상군이 된다.

증명

이 증명 전체에서 \(E\)를 이산 위상공간으로 생각한다. 자기 사상들의 집합 \(\text{Map}(E, E)\) 위의 콤팩트-열린 위상은 작용 \(\text{Map}(E, E) \times E \to E\)가 연속이 되게 하는 보편 위상임을 상기하자. 정확한 명제는 Topology, Example 0BMC을 보라. 보조정리에서 \(\text{Gal}(E/F)\)에 준 위상은 단사사상 \(\text{Gal}(E/F) \to \text{Map}(E, E)\)로부터 유도되는 위상이다. 따라서 보편성 (1)은 콤팩트-열린 위상의 해당 보편성에서 따른다. 가역 자기 사상들의 집합 \(\text{Aut}(E)\)는 콤팩트-열린 위상을 주면 위상군을 이루고(Topology, Example 0BMC 참조), \(\text{Gal}(E/F) = \text{Aut}(E/F) \to \text{Map}(E, E)\)는 \(\text{Aut}(E)\)를 통해 분해되므로 위상군을 얻는다. 달리 말해 단사 \[\text{Gal}(E/F) \subset \text{Aut}(E)\] 를 사용하여 \(\text{Gal}(E/F)\)에 유도된 위상군 구조를 준 것이다 (Topology, Section 0B1Y 참조). 구성에 의해 이는 작용 \(\text{Gal}(E/F) \times E \to E\)가 연속이 되게 하는 가장 약한 위상군 구조이다.

\(\text{Gal}(E/F)\)가 프로유한임을 보이기 위해 다음과 같이 논증한다 (갈루아군이 유한군들의 역극한임을 보이기 전에 위상을 정의했으므로 우리의 논증은 필연적으로 표준적이지 않다). Topology, Lemma 0BR1에 의해 \(\text{Gal}(E/F)\)의 바탕 위상공간이 프로유한임을 보이면 충분하다. 임의의 부분집합 \(S \subset E\)에 대하여 다음 집합을 생각하자. \[G(S) = \{ f : S \to E \mid \begin{matrix} f(\alpha)\text{ is a root of the minimal polynomial}\\ \text{of }\alpha\text{ over }F\text{ for all }\alpha \in S \end{matrix} \}\] 다항식은 유한개의 근만 가지므로 유한인 모든 \(S \subset E\)에 대해 \(G(S)\)가 유한임을 알 수 있다. \(S \subset S'\)이면 제한으로 사상 \(G(S') \to G(S)\)를 얻는다. 또한 \(\alpha \in S \cap F\)이고 \(f \in G(S)\)이면 이 경우 최소다항식이 일차이므로 \(f(\alpha) = \alpha\)임을 관찰하자. 프로유한 위상공간 \[G = \lim_{S \subset E\text{ finite}} G(S)\] 를 생각한다. 표준사상 \[c : \text{Gal}(E/F) \longrightarrow G,\quad \sigma \longmapsto (\sigma|_S : S \to E)_S\] 을 생각하자. 이 사상은 단사이고, 정의를 풀어 쓰면 위에서 정의한 \(\text{Gal}(E/F)\)의 위상이 \(G\)로부터 유도된 위상임을 알 수 있다. 원소 \((f_S) \in G\)가 \(c\)의 상에 속할 필요충분조건은 의미가 통할 때마다(즉 \(\alpha, \beta, \alpha + \beta, \alpha\beta \in S\)일 때마다) (A) \(f_S(\alpha) + f_S(\beta) = f_S(\alpha + \beta)\)와 (M) \(f_S(\alpha)f_S(\beta) = f_S(\alpha\beta)\)가 성립하는 것이다. 실제로 이는 \(\lim f_S : E \to E\)가 \(F\)-대수 사상이 됨을 뜻하고, 따라서 Lemma 0BMD에 의해 자기동형사상이 된다. 주어진 삼중항 \((S, \alpha, \beta)\)에 대한 조건 (A)와 (M)은 \(G\)의 닫힌 부분집합을 정의한다. 그러므로 \(\text{Gal}(E/F)\)는 프로유한 공간의 닫힌 부분집합과 위상동형이고, 따라서 그 자체가 프로유한이다.

보조정리

\(L/M/K\)를 체들의 탑이라 하자. \(L/K\)와 \(M/K\)가 모두 갈루아라고 가정하자. 그러면 표준적인 전사 연속 준동형 \(c : \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\)이 존재한다.

증명

Lemma 0BME에 의해 \(\text{Gal}(L/K)\)의 원소 \(\tau : L \to L\)가 주어지면 제한 \(\tau|_M : M \to M\)은 \(\text{Gal}(M/K)\)의 원소이다. 이로써 준동형 \(c\)가 정의된다. 연속성은 위상의 보편성에서 따른다. 즉 작용 \[\text{Gal}(L/K) \times M \longrightarrow M,\quad (\tau, x) \longmapsto \tau(x) = c(\tau)(x)\] 은 \(M \subset L\)이고 작용 \(\text{Gal}(L/K) \times L \to L\)이 연속이므로 연속이다. 따라서 Lemma 0BMJ의 (1)에 의해 \(c\)는 연속이다. Lemma 0BME는 이 사상이 전사임도 보인다.

무한 갈루아 확대의 갈루아군을 생각하는 더 표준적인 방법은 다음과 같다.

보조정리

\(L/K\)를 갈루아군이 \(G\)인 갈루아 확대라 하자. \(\Lambda\)를 유한 갈루아 부분확대들의 집합이라 하자. 즉 \(\lambda \in \Lambda\)는 \(L/L_\lambda/K\)에 대응하고, \(L_\lambda/K\)는 갈루아군이 \(G_\lambda\)인 유한 갈루아 확대이다. \(\lambda \geq \lambda'\)일 필요충분조건을 \(L_\lambda \supset L_{\lambda'}\)로 정하여 \(\Lambda\)에 부분순서를 정의하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\Lambda\)는 유향 부분순서집합이다.

2. \(L_\lambda\)는 \(\Lambda\) 위의 \(K\)-확대들의 계이고 \(L = \colim L_\lambda\)이다.

3. \(G_\lambda\)는 \(\Lambda\) 위의 유한군들의 역계이고, 전이사상들은 전사이며 \[G = \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\] 가 프로유한군으로서 성립한다.

4. 각 사영 \(G \to G_\lambda\)는 연속이고 전사이다.

증명

\(K\)를 포함하는 \(L\)의 모든 부분체는 \(K\) 위에서 분리 가능하다 (이는 정의에서 즉시 따른다). \(S \subset L\)을 유한 부분집합이라 하자. 그러면 \(K(S)/K\)는 유한이고, \(E/K\)가 유한 갈루아가 되는 탑 \(L/E/K(S)/K\)가 존재한다. Lemma 0BMG를 보라. 따라서 어떤 \(\lambda \in \Lambda\)에 대하여 \(E = L_\lambda\)이다. 특히 집합 \(\Lambda\)는 공집합이 아니다. 또한 \(\lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda\)가 주어지면 유한집합들 \(S_1, S_2 \subset L\)에 대하여 \(L_{\lambda_i} = K(S_i)\)로 쓸 수 있다 (Lemma 0BU1). 그러면 \(K(S_1 \cup S_2) \subset L_\lambda\)인 \(\lambda \in \Lambda\)가 존재한다. 따라서 \(\lambda \geq \lambda_1, \lambda_2\)이고 \(\Lambda\)는 유향이다 (Categories, Definition 0031). 마지막으로 \(L\)의 모든 원소는 어떤 \(\lambda \in \Lambda\)에 대한 \(L_\lambda\)에 들어가므로, Categories, Section 04AX의 여과 여극한에 대한 기술에서 \(\colim L_\lambda = L\)이 따른다.

\(\Lambda\)에서 \(\lambda \geq \lambda'\)이면 Lemma 0BMH에 의해 표준 전사사상 \(G_\lambda \to G_{\lambda'}\), \(\sigma \mapsto \sigma|_{L_{\lambda'}}\)를 얻는다. 따라서 전이사상들이 전사인 유한군들의 역계를 얻는다.

\(G = \text{Aut}(L/K)\)임을 상기하자. Lemma 0BMK에 의해 \(\sigma \in G\)의 \(L_\lambda\)로의 제한 \(\sigma|_{L_\lambda}\)는 \(G_\lambda\)의 원소이다. 더욱이 이 절차는 연속 전사사상 \(G \to G_\lambda\)를 준다. \(G_\lambda\)의 역계에서 전이사상들도 제한으로 주어지므로 표준 연속사상 \[G \longrightarrow \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\] 을 얻음이 분명하다. 위상군의 범주에서 극한의 정의에 의해 이는 연속이다. 이 극한들이 집합 및 위상공간의 범주로 가는 망각함자와 교환함은 Topology, Lemma 0B20를 상기하자. 한편 \(L = \colim L_\lambda\)이므로 역극한의 임의의 원소를 집합으로 보면 \(L\)의 자기동형사상을 정의함이 분명하다. 따라서 이 사상은 전단사이다. 양변의 위상이 프로유한이고 프로유한 공간 사이의 전단사 연속사상은 위상동형이므로(Topology, Lemma 08YE), 증명이 끝난다.

정리

\(L/K\)를 갈루아 확대라 하자. \(G = \text{Gal}(L/K)\)를 프로유한 위상군으로 본 갈루아군이라 하자(Lemma 0BMJ). 그러면 \(K = L^G\)이고 사상 \[\{\text{closed subgroups of }G\} \longrightarrow \{\text{subextensions }L/M/K\},\quad H \longmapsto L^H\] 은 전단사이며, 그 역은 \(M\)을 \(\text{Gal}(L/M)\)으로 보낸다. 유한 부분확대 \(M\)은 정확히 열린 부분군 \(H \subset G\)에 대응한다. \(G\)의 닫힌 정규부분군 \(H\)는 정확히 \(K\) 위의 갈루아 부분확대 \(M\)에 대응한다.

증명

유한 갈루아 이론의 결과(Theorem 09DW)를 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(S \subset L\)을 유한 부분집합이라 하자. \(K(S) \subset E\)이고 \(E/K\)가 유한 갈루아가 되는 탑 \(L/E/K\)가 존재한다. Lemma 0BMG를 보라. 달리 말해 \(L/K\)는 그 유한 갈루아 부분확대들의 합집합이다. 그러한 \(E\)에 대하여 Lemma 0BMK에 의해 사상 \(\text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(E/K)\)은 전사이고 연속이다. 즉 \(\text{Gal}(E/K)\)의 위상이 이산이므로 그 핵은 열린집합이다. 특히 \(E^{\text{Gal}(E/K)} = K\)이므로 \(L \setminus K\)의 어떤 원소도 \(\text{Gal}(L/K)\)에 의해 고정되지 않음을 알 수 있다. 이로써 \(L^G = K\)가 증명된다.

Lemma 09I2에 의해 부분확대 \(L/M/K\)가 주어지면 확대 \(L/M\)은 갈루아이다. \(G\)에 주어진 위상의 정의에서 부분군 \(\text{Gal}(L/M)\)이 닫혀 있음은 즉시 따른다. 위의 논증을 \(L/M\)에 적용하면 \(L^{\text{Gal}(L/M)} = M\)임을 알 수 있다.

거꾸로 \(H \subset G\)를 닫힌 부분군이라 하자. 다음을 보이겠다. \(H = \text{Gal}(L/L^H)\). 포함관계 \(H \subset \text{Gal}(L/L^H)\)는 분명하다. \(g \in \text{Gal}(L/L^H)\)라고 하자. \(S \subset L\)을 유한 부분집합이라 하자. \(g\)의 열린근방 \(U_S(g) = \{g' \in G \mid g'(s) = g(s)\}\)가 \(H\)와 만남을 보이겠다. 그러면 \(H\)가 닫혀 있으므로 \(g \in H\)이다. 증명의 첫 단락에서처럼 \(K(S)\)를 포함하는 유한 갈루아 부분확대 \(L/E/K\)를 택하고 준동형 \(c : \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(E/K)\)를 생각하자. 그러면 \(L^H \cap E = E^{c(H)}\)이다. \(g\)는 \(L^H\)를 고정하므로 \(E^{c(H)}\)를 고정하고, 따라서 유한 갈루아 이론에 의해 \(c(g) \in c(H)\)이다. \(c(h) = c(g)\)인 \(h \in H\)를 택하자. 그러면 원하는 대로 \(h \in U_S(g)\)이다.

이로써 닫힌 부분군들과 부분확대들 사이의 대응을 확립했다.

\(H \subset G\)가 열린집합이라고 가정하자. 위와 같이 논증하면 충분히 큰 유한 갈루아 부분확대 \(E\)에 대해 \(H\)가 \(\text{Gal}(L/E)\)를 포함함을 알 수 있다. 따라서 \(L^H\)는 \(E\)에 포함되고, 이에 따라 \(K\) 위에서 유한이다. 거꾸로 \(M\)이 유한 부분확대이면 \(M\)은 유한 부분집합 \(S\)에 의해 생성되며, 대응하는 부분군은 중립원 \(e \in G\)에 대한 열린집합 \(U_S(e)\)이다.

\(K \subset M \subset L\)이고 \(M/K\)가 갈루아라고 가정하자. Lemma 0BMK에 의해 갈루아군들의 전사 연속 준동형 \(\text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\)이 존재하며 그 핵은 \(\text{Gal}(L/M)\)이다. 따라서 \(\text{Gal}(L/M)\)은 닫힌 정규부분군이다.

마지막으로 \(N \subset G\)가 닫힌 정규부분군이라고 가정하자. 증명의 첫 단락에서와 같은 임의의 \(L/E/K\)에 대하여 상 \(c(N) \subset \text{Gal}(E/K)\)은 정규부분군이다. 그러므로 \(L^N = \bigcup E^{c(N)}\)은 \(K\)의 갈루아 확대들의 합집합이고 (유한 갈루아 이론에 의해), 따라서 \(K\) 위에서 갈루아이다.

보조정리

\(L/M/K\)를 체들의 탑이라 하자. \(L/K\)와 \(M/K\)가 갈루아라고 가정하자. 그러면 프로유한 위상군들의 짧은 완전열 \[1 \to \text{Gal}(L/M) \to \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] 을 얻는다.

증명

이는 Lemma 0BMK를 다시 표현한 것이다.

복소수

대수학의 기본정리는 복소수체가 대수적으로 닫힌 체라고 말한다. 이 절에서는 이를 간단히 논의한다.

먼저 지적할 것은 이를 증명하려면 미적분학의 결과를 조금 사용해야 한다는 점이다. 실수 위의 모든 홀수차 다항식은 실근을 갖는다는 직관적으로 분명한 사실을 사용하겠다. 즉 어떤 \(k \geq 0\)과 \(a_{2k + 1} \not = 0\)에 대하여 \(P(x) = a_{2k + 1} x^{2k + 1} + \ldots + a_0 \in \mathbf{R}[x]\)라 하자. \(a_{2k + 1} > 0\)이라고 가정해도 좋고 그렇게 하겠다. \(x \in \mathbf{R}\)가 매우 크고 양수이면 항 \(a_{2k + 1} x^{2k + 1}\)이 다른 모든 항을 지배하므로 \(P(x) > 0\)이다. 마찬가지로 \(x \ll 0\)이면 같은 이유로 \(P(x) < 0\)이다(여기서 차수가 홀수라는 사실을 사용한다). 따라서 중간값정리에 의해 \(P(x) = 0\)인 \(x \in \mathbf{R}\)가 존재한다.

위에서 얻을 수 있는 한 결론은 \(\mathbf{R}\)에는 자명하지 않은 홀수차 체확대가 없다는 것이다. 그러한 확대의 원소들은 홀수차 최소다항식을 가질 것이기 때문이다.

이제 \(K/\mathbf{R}\)를 갈루아군이 \(G\)인 유한 갈루아 확대라 하자. \(P \subset G\)를 \(2\)-Sylow 부분군이라 하자. 그러면 \(K^P/\mathbf{R}\)는 홀수차 확대이므로 위에 의해 \(K^P = \mathbf{R}\)이고, 이는 다시 \(G = P\)를 함의한다. (물론 이 모든 논증은 갈루아 이론에 의존한다.) 따라서 \(G\)는 \(2\)-군이다. \(G\)가 자명하지 않으면 \(\mathbf{C}\)가 동형을 제외하면 \(\mathbf{R}\)의 유일한 차수 \(2\) 확대이므로 \(\mathbf{C} \subset K\)이다. \(G\)가 \(2\)개보다 많은 원소를 가지면 \(\mathbf{C}\)의 이차확대를 얻게 된다. 모든 복소수가 제곱근을 가지므로 이는 모순이다.

결론은 \(\mathbf{C}\)가 대수적으로 닫혀 있다는 것이다. 실제로 그렇지 않다면 자명하지 않은 유한확대 \(K/\mathbf{C}\)를 얻게 되고, Lemma 09DT에 의해 이를 \(\mathbf{R}\) 위에서 정규인 (따라서 갈루아인) 확대라고 가정할 수 있다. 그러나 위에서 이 경우 \(K = \mathbf{C}\)임을 보았다.

보조정리

체 \(\mathbf{C}\)는 대수적으로 닫혀 있다.

증명

위의 논의를 보라.

쿠머 확대

\(K\)를 체라 하자. \(n \geq 2\)를 \(K\)가 \(1\)의 원시 \(n\)제곱근을 포함하는 정수라 하자. \(a \in K\)라 하자. \(L\)을 방정식 \(x^n = a\)의 근 \(b\)를 첨가하여 얻는 \(K\)의 확대라 하자. 그러면 \(L/K\)는 갈루아 확대이다. \(G = \text{Gal}(L/K)\)가 갈루아군이면 사상 \[G \longrightarrow \mu_n(K),\quad \sigma \longmapsto \sigma(b)/b\] 은 군들의 단사 준동형이다. 특히 \(G\)는 순환군 \(\mu_n(K)\)의 부분군으로서 그 위수가 \(n\)을 나누는 순환군이다. 쿠머 이론은 그 역을 준다.

보조정리

\(L/K\)를 갈루아군이 \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)인 체의 갈루아 확대라 하자. 더 나아가 \(K\)의 표수가 \(n\)과 서로소이고 \(K\)가 \(1\)의 원시 \(n\)제곱근을 포함한다고 가정하자. 그러면 \(L = K[z]\)이고 \(z^n \in K\)이다.

증명

\(\zeta \in K\)를 \(1\)의 원시 \(n\)제곱근이라 하자. \(\sigma\)를 \(\text{Gal}(L/K)\)의 생성원이라 하자. \(\sigma : L \to L\)을 \(K\)-선형 연산자로 생각한다. 선형 연산자로서 \(\sigma^n - 1 = 0\)임에 유의하자. 지표들의 선형독립성(Lemma 0CKL)을 적용하면 \(\sigma\)를 소멸시키는 차수 \(< n\)인 \(K\) 위의 다항식이 존재할 수 없음을 알 수 있다. 따라서 선형 연산자로서 \(\sigma\)의 최소다항식은 \(x^n - 1\)이다. \(\zeta\)는 \(x^n - 1\)의 근이므로 선형대수학에 의해 \(\sigma(z) = \zeta z\)인 \(0 \neq z \in L\)이 존재한다. 이 \(z\)는 \(\sigma(z^n) = (\zeta z)^n = z^n\)이므로 \(z^n \in K\)를 만족한다. 더 나아가 \(z, \sigma(z), \ldots, \sigma^{n - 1}(z) = z, \zeta z, \ldots \zeta^{n - 1} z\)는 서로 다르므로 \(z\)가 \(K\) 위에서 \(L\)을 생성함이 보장된다. 따라서 원하는 대로 \(L = K[z]\)이다.

보조정리

\(K\)를 대수적 폐포가 \(\overline{K}\)인 체라 하자. \(p\)를 \(K\)의 표수와 다른 소수라 하자. \(\zeta \in \overline{K}\)를 \(1\)의 원시 \(p\)제곱근이라 하자. 그러면 \(K(\zeta)/K\)는 차수가 \(p - 1\)을 나누는 갈루아 확대이다.

증명

다항식 \(x^p - 1\)의 근들은 \(1, \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{p - 1}\)이므로 이 다항식은 \(K(\zeta)\) 위에서 완전히 분해된다. 따라서 \(K(\zeta)/K\)는 분해체이고 이에 따라 정규이다. \(x^p - 1\)이 분리 가능 다항식이므로 이 확대는 분리 가능하다. 따라서 이 확대는 갈루아이다. \(K\) 위의 \(K(\zeta)\)의 임의의 자기동형사상은 어떤 \(1 \leq i \leq p - 1\)에 대하여 \(\zeta\)를 \(\zeta^i\)로 보낸다. 따라서 갈루아군은 \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\)의 부분군이다.

보조정리

\(K\)를 체라 하자. \(L/K\)를 \(a = \alpha^e \in K\)인 원소 \(\alpha\)에 의해 생성되는 차수 \(e\)의 유한확대라 하자. \(L\)에 있는 1의 모든 \(e\)제곱근이 \(K\)에 포함되면,

임의의 부분확대 \(L/L'/K\)는 어떤 \(d | e\)에 대하여 \(\alpha^d\)에 의해 생성된다.

증명

\(d | e\)에 대하여 부분체 \(K(\alpha^d)\)는 \([K(\alpha^d) : K] = e/d\)와 \([L : K(\alpha^d)] = d\)를 만족함을 관찰하자. \(L/L'/K\)를 부분확대라 하고 \(d = [L : L']\)이라 하자. \(\alpha^d \in L'\)이면 차수 때문에 \(L' = K(\alpha^d)\)이다. \(P \in L'[x]\)를 \(L'\) 위의 \(\alpha\)의 최소다항식이라 하자. 그러면 \(P\)는 \(x^e - a\)를 나누고 \(P\)의 차수가 \(d\)이다. \(L\) 위에서 \(x^e - a\)의 분해체 안에서 다음과 같이 쓰자. \[x^e - a = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, e} (x - \zeta_i \alpha)\] \(\zeta_i\)들은 1의 \(e\)제곱근들이고, 번호를 다시 매기면 \[P = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} (x - \zeta_i \alpha)\] 이다. \(P\)의 상수항은

\[c = (\prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} \zeta_i) \alpha^d\] 와 같고 \(L' \subset L\)에 속한다. \(\alpha \in L\)이므로 \(\zeta = \prod_{i = 1, \ldots, d} \zeta_i\)는 \(L\)에 속하고, 가정에 의해 \(K\)에 속한다. 따라서 \(\alpha^d = \zeta^{-1}c \in L'\)이고 결론을 얻는다.

아르틴–슈라이어 확대

\(K\)를 표수가 \(p > 0\)인 체라 하자. \(a \in K\)라 하자. \(L\)을 방정식 \(x^p - x = a\)의 근 \(b\)를 첨가하여 얻는 \(K\)의 확대라 하자. 그러면 \(L/K\)는 갈루아 확대이다. \(G = \text{Gal}(L/K)\)가 갈루아군이면 사상 \[G \longrightarrow \mathbf{Z}/p\mathbf{Z},\quad \sigma \longmapsto \sigma(b) - b\] 은 군들의 단사 준동형이다. 특히 \(G\)는 \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\)의 부분군으로서 위수가 \(p\)를 나누는 순환군이다. 아르틴–슈라이어 확대 이론은 그 역을 준다.

보조정리

\(L/K\)를 표수가 \(p > 0\)이고 갈루아군이 \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\)인 체들의 갈루아 확대라 하자. 그러면 \(L = K[z]\)이고 \(z^p - z \in K\)이다.

증명

\(\sigma\)를 \(\text{Gal}(L/K)\)의 생성원이라 하자. \(\sigma : L \to L\)을 \(K\)-선형 연산자로 생각한다. 선형 연산자로서 \(\sigma^p - 1 = 0\)임을 관찰하자. 지표들의 선형독립성(Lemma 0CKL)을 적용하면 \(\sigma\)를 소멸시키는 차수 \(< p\)인 다항식이 존재할 수 없다. 따라서 \(\sigma\)의 최소다항식은 \(x^p - 1 = (x - 1)^p\)이다. 이는 \((\sigma - 1)^{p - 1}(w) = y\)가 영이 아닌 원소가 되는 \(w \in L\)이 존재함을 함의한다. 그러면 \(\sigma(y) = y\), 즉 \(y \in K\)이다. 따라서 \(z = y^{-1}(\sigma - 1)^{p - 2}(w)\)는 \(\sigma(z) = z + 1\)을 만족한다. \(z \not \in K\)이므로 \(L = K[z]\)이다. 더 나아가 \(\sigma(z^p - z) = (z + 1)^p - (z + 1) = z^p - z\)이므로 \(z^p - z \in K\)이고 증명이 끝난다.

초월성

표준 정의들을 상기한다.

정의

\(K/k\)를 체확대라 하자.

1. \(K\)의 원소들의 모임 \(\{x_i\}_{i \in I}\)를 생각하자. \(X_i\)를 \(x_i\)로 보내는 사상 \[k[X_i; i\in I] \longrightarrow K\] 이 단사이면 이 모임은 \(k\) 위에서 대수적으로 독립이라고 한다.

2. 다항식환 \(k[x_i; i \in I]\)의 분수체를 \(k(x_i; i\in I)\)로 나타낸다.

3. \(k\)의 순수 초월 확대란 \(k\) 위의 다항식환의 분수체와 동형인 임의의 체확대 \(K/k\)이다.

4. \(K/k\)의 초월기저란 \(k\) 위에서 대수적으로 독립이고 확대 \(K/k(x_i; i\in I)\)가 대수적인 원소들의 모임 \(\{x_i\}_{i \in I}\)이다.

예

\(\pi\)는 유리수 계수를 갖는 영이 아닌 다항식의 근이 아니므로 체 \(\mathbf{Q}(\pi)\)는 순수 초월 확대이다. 특히 \(\mathbf{Q}(\pi) \cong \mathbf{Q}(x)\)이다.

보조정리

\(E/F\)를 체확대라 하자. \(F\) 위의 \(E\)의 초월기저가 존재한다. 임의의 두 초월기저는 같은 기수를 갖는다.

증명

\(A\)를 \(E\)의 대수적으로 독립인 부분집합이라 하자. \(G\)를 \(A\)를 포함하고 \(E/F\)를 생성하는 \(E\)의 부분집합이라 하자. \(A \subset B \subset G\)인 초월기저 \(B\)를 찾을 수 있음을 보이겠다. 이를 위해 \(A\)를 포함하는 \(G\)의 부분집합들 가운데 대수적으로 독립인 것들의 모임 \(\mathcal{B}\)를 생각한다. 포함관계로 \(\mathcal{B}\)에 부분순서를 정의한다. 그러면 \(\mathcal{B}\)는 적어도 한 원소 \(A\)를 포함한다. \(\mathcal{B}\)의 전순서 부분집합 \(T\)의 원소들의 합집합은 \(F\) 위의 \(E\)의 대수적으로 독립인 부분집합이다. 실제로 대수적 종속관계가 있다면 그것은 \(T\)의 어떤 원소에서 이미 나타났을 것이다(다항식은 유한개의 변수만 사용하기 때문이다). 이 합집합은 또한 \(A\)를 포함하고 \(G\)에 포함된다. 조른의 보조정리에 의해 극대원소 \(B \in \mathcal{B}\)가 존재한다. 이제 \(E\)가 \(F(B)\) 위에서 대수적임을 보이겠다. 그렇지 않다면 \(F(G) = E\)이므로 \(F(B)\) 위에서 초월적인 원소 \(f \in G\)가 존재할 것이다. 그러면 \(B \cup\{f\}\)가 대수적으로 독립이 되어 \(B\)의 극대성에 모순이다. 따라서 \(B\)가 원하는 초월기저이다.

\(B\)와 \(B'\)를 두 초월기저라 하자. 일반성을 잃지 않고 \(|B'| \leq |B|\)라고 가정할 수 있다. 이제 증명을 두 경우로 나눈다. 첫째로 \(B\)가 무한집합이라고 하자. 각 \(\alpha \in B'\)에 대하여 대수적 종속관계에는 유한개의 부정원만 쓰이므로 \(\alpha\)가 \(F(B_{\alpha})\) 위에서 대수적이 되는 유한집합 \(B_{\alpha} \subset B\)가 존재한다. 다음과 같이 정의한다. \(B^* = \bigcup_{\alpha\in B'} B_{\alpha}\). 구성에 의해 \(B^* \subset B\)이지만, 실제로 두 집합이 같음을 보이겠다. 같지 않다고 하고 원소 \(\beta \in B \setminus B^*\)가 있다고 하자. \(\beta\)는 \(F(B')\) 위에서 대수적이고, 후자는 \(F(B^*)\) 위에서 대수적이다. 따라서 \(\beta\)는 \(F(B^*)\) 위에서 대수적이며 이는 모순이다. 그러므로 \(|B| \leq |\bigcup_{\alpha \in B'} B_{\alpha}|\)이다. 이제 \(B'\)가 유한이면 \(B\)도 유한이므로 \(B'\)가 무한이라고 가정할 수 있다. 따라서 \[|B| \leq |\bigcup\nolimits_{\alpha \in B'} B_{\alpha}| = |B'|\] 이다. 각 \(B_\alpha\)가 유한이고 \(B'\)가 무한이기 때문이다. 그러므로 무한인 경우 \(|B| = |B'|\)이다.

이제 \(B\)가 유한인 경우를 보아야 한다. 이 경우 \(B'\)도 유한이므로 \(B = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\)이고 \(B' = \{\beta_1, \ldots, \beta_m\}\)이며 \(m \leq n\)이라고 하자. \(m\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(m = 0\)이면 \(E/F\)가 대수적이므로 \(B = \emptyset\)이고 따라서 \(n = 0\)이다. \(m > 0\)이면 \(f\)에 \(x\)가 실제로 나타나고 \(f(\beta_1, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) = 0\)인 기약다항식 \(f \in F[x, y_1, \ldots, y_n]\)이 존재한다. \(\beta_1\)은 \(F\) 위에서 대수적이지 않으므로 \(f\)에는 어떤 \(y_i\)가 나타나야 한다. 일반성을 잃지 않고 \(f\)에 \(y_1\)이 나타난다고 가정한다. \(B^* = \{\beta_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}\)이라 하자. \(B^*\)가 \(E/F\)의 기저임을 보이겠다. 이를 위해 \(\alpha_1\)이 \(F(B^*)\) 위에서 대수적이므로 대수적 확대들의 탑 \[E/ F(B^*, \alpha_1) / F(B^*)\] 을 얻음을 관찰한다. 이제 \(B^*\)가(원소들의 중복도를 세어) \(F\) 위에서 대수적으로 독립임을 보이겠다. 그렇지 않다면 \(g(\beta_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = 0\)이고 \(g\in F[x, y_2, \ldots, y_n]\)인 기약다항식이 존재할 것이다. 이 다항식에는 \(x\)가 나타나야 하므로 \(\beta_1\)은 \(F(\alpha_2, \ldots, \alpha_n)\) 위에서 대수적이다. 그러면 \(\alpha_1\)도 \(F(\alpha_2, \ldots, \alpha_n)\) 위에서 대수적이 되며, 이는 불가능하다. 따라서 \(\{\alpha_2, \ldots, \alpha_n\}\)와 \(\{\beta_2, \ldots, \beta_m\}\)는 \(F(\beta_1)\) 위의 \(E\)의 기저들이다. 귀납가정에 의해 \(m = n\)이다.

정의

\(K/k\)를 체확대라 하자. \(k\) 위의 \(K\)의 초월차수란 \(k\) 위의 \(K\)의 초월기저의 기수이다. 이를 \(\text{trdeg}_k(K)\)로 나타낸다.

보조정리

\(L/K/k\)를 체확대들이라 하자. 그러면 \[\text{trdeg}_k(L) = \text{trdeg}_K(L) + \text{trdeg}_k(K).\]

증명

\(A \subset K\)를 \(k\) 위의 \(K\)의 초월기저로 택한다. \(B \subset L\)을 \(K\) 위의 \(L\)의 초월기저로 택한다. 그러면 \(A \cup B\)가 \(k\) 위의 \(L\)의 초월기저임을 쉽게 알 수 있다.

예

수 \(e\)와 \(\pi\)를 첨가하여 만든 체확대 \(\mathbf{Q}(e, \pi)\)를 생각하자. \(e\)와 \(\pi\)가 모두 유리수체 위에서 초월적이므로 이 체확대의 초월차수는 적어도 \(1\)이다. 그러나 \(e\)와 \(\pi\)가 대수적으로 독립이면 이 체확대의 초월차수는 \(2\)일 수 있다. 이 명제가 참인지 여부는 알려져 있지 않으며, 따라서 \(\text{trdeg}(\mathbf{Q}(e, \pi))\)를 결정하는 문제는 미해결이다.

예

\(F\)를 체라 하고 \(E = F(t)\)라 하자. \(E = F(t)\)이므로 \(\{t\}\)는 초월기저이다. 그러나 \(F(t)/F(t^2)\)가 대수적이므로 \(\{t^2\}\)도 초월기저이다. 이는 확대 \(E/F\)를 대수적 확대 \(E/F'\)와 순수 초월 확대 \(F'/F\)로 언제나 분해할 수 있지만, 그 분해는 유일하지 않고 초월기저의 선택에 의존함을 보여 준다.

예

\(X\)를 콤팩트 리만곡면이라 하자. 그러면 함수체 \(\mathbf{C}(X)\) (Example 09FL 참조)는 \(\mathbf{C}\) 위에서 초월차수 1을 갖는다. 실제로 \(\mathbf{C}\)의 초월차수 1인 임의의 유한생성 확대는 리만곡면에서 나온다. 더 나아가 콤팩트 리만곡면들과 상수가 아닌 정칙사상들의 범주와, \(\mathbf{C}\)의 초월차수 \(1\)인 유한생성 확대들과 \(\mathbf{C}\)-대수 사상들의 범주의 반대범주는 서로 동치이다. [Forster]를 보라.

위 명제에는 대수적인 판본도 있다. 대수적으로 닫힌 체 \(k\)(예를 들어 복소수체) 위의 사영공간 안에 있는 (기약) 대수곡선이 주어지면 그 “유리함수체”를 생각할 수 있다. 대략 말해 이는 분모가 곡선 위에서 항등적으로 영이 아닌 다항식들의 몫처럼 보이는 함수들이다. 매끄러운 사영곡선들과 상수가 아닌 곡선 사상들의 범주와, \(k\)의 초월차수 1인 유한생성 확대들의 범주 사이에도 비슷한 반동치가 있다(Algebraic Curves, Theorem 0BY1). [H]를 보라.

정의

\(K/k\)를 체확대라 하자.

1. \(K\)에서 \(k\)의 대수적 폐포란 \(k\) 위에서 대수적인 \(K\)의 원소들로 이루어진 \(K\)의 부분체 \(k'\)이다.

2. \(k\) 위에서 대수적인 \(K\)의 모든 원소가 \(k\)에 포함되면 \(k\)가 \(K\)에서 대수적으로 닫혀 있다고 한다.

보조정리

\(k'/k\)를 체의 유한확대라 하자. 순수 초월 확대들 사이에 유도된 확대를 생각하자. 이 확대는 \(k'(x_1, \ldots, x_r)/k(x_1, \ldots, x_r)\)이다. 그러면 \([k'(x_1, \ldots, x_r) : k(x_1, \ldots, x_r)] = [k' : k] < \infty\)이다.

증명

확대 차수의 곱셈성(Lemma 09G9)에 의해 \(k'\)가 \(k\) 위에서 한 원소 \(\alpha \in k'\)에 의해 생성되는 경우를 증명하면 충분하다. \(f \in k[T]\)를 \(k\) 위의 \(\alpha\)의 최소다항식이라 하자. 그러면 \(k'(x_1, \ldots, x_r)\)는 \(k\) 위에서 \(\alpha, x_1, \ldots, x_r\)에 의해 생성되고, 따라서 \(k'(x_1, \ldots, x_r)\)는 \(k(x_1, \ldots, x_r)\) 위에서 \(\alpha\)에 의해 생성된다. 그러므로 \(f\)가 여전히 \(k(x_1, \ldots, x_r)[T]\)의 원소로서 기약임을 보이면 충분하다. 증명을 개략적으로만 설명한다. \(f\)는 \(T\)에 관한 일계수 다항식이고 \(k[x_1, \ldots, x_r, T]\)에서 가능한 인수분해가 있으면 \(x_i\)를 \(0\)으로 놓아 \(k[T]\)에서의 인수분해를 얻게 되므로, \(f\)가 \(k[x_1, \ldots, x_r, T]\)의 원소로서 기약임은 분명하다. 가우스의 보조정리로 결론을 얻는다.

보조정리

\(K/k\)를 유한생성 체확대라 하자. \(K\)에서 \(k\)의 대수적 폐포는 \(k\) 위에서 유한이다.

증명

\(x_1, \ldots, x_r \in K\)를 \(k\) 위의 \(K\)의 초월기저라 하자. 그러면 \(n = [K : k(x_1, \ldots, x_r)] < \infty\)이다. \(k'/k\)가 유한인 \(k \subset k' \subset K\)를 가정하자. 이 경우 \([k'(x_1, \ldots, x_r) : k(x_1, \ldots, x_r)] = [k' : k] < \infty\)이다. Lemma 0G1M를 보라. 따라서 \[[k' : k] = [k'(x_1, \ldots, x_r) : k(x_1, \ldots, x_r)] \leq [K : k(x_1, \ldots, x_r)] = n.\] 달리 말해 유한 부분확대들의 차수는 유계이고, 보조정리가 따른다.

선형적으로 서로소인 확대

\(k\)를 체라 하고 \(K\)와 \(L\)을 \(k\)의 체확대들이라 하자. 또한 \(K\)와 \(L\)이 어떤 더 큰 체 \(\Omega\)에 매입되어 있다고 가정하자.

정의

체확대들의 도표 [09IE]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ L \ar[r] & \Omega \\ k \ar[r] \ar[u] & K \ar[u] } } \end{equation}\] 을 생각하자. \(K\)와 \(L\)을 모두 포함하는 가장 작은 \(\Omega\)의 부분체를 \(\Omega\) 안에서 \(K\)와 \(L\)의 합성체라 하고, \(KL\)로 나타낸다.

\(KL\)은 \(k\) 위에서 집합 \(K \cup L\)에 의해 생성되고, \(L\) 위에서 집합 \(K\)에 의해 생성되며, \(K\) 위에서 집합 \(L\)에 의해 생성됨이 분명하다.

주의: 합성체의 (동형류는) \(K\)와 \(L\)을 \(\Omega\)에 매입하는 선택에 의존한다. 예를 들어 수체 \(K = \mathbf{Q}(2^{1/8}) \subset \mathbf{R}\)와 \(L = \mathbf{Q}(2^{1/12}) \subset \mathbf{R}\)를 생각하자. \(\mathbf{R}\) 안에서의 합성체는 \(\mathbf{Q}\) 위에서 차수가 \(24\)인 체 \(\mathbf{Q}(2^{1/24})\)이다. 그러나 \(x\)를 \(2^{1/8}e^{2\pi i/8}\)로 보내어 \(K = \mathbf{Q}[x]/(x^8 - 2)\)를 \(\mathbf{C}\)에 매입하면 합성체 \(\mathbf{Q}(2^{1/12}, 2^{1/8}e^{2\pi i/8})\)는 \(i = e^{2\pi i/4}\)를 포함하고 \(\mathbf{Q}\) 위에서 차수 \(48\)을 갖는다 (차수가 \(48\)임을 보이는 것은 생략하지만, \(i\)의 존재만으로도 두 합성체가 동형이 아님이 확실히 증명된다).

정의

(09IE)와 같은 체들의 도표를 생각하자. 사상 \[K \otimes_k L \longrightarrow KL,\quad \sum x_i \otimes y_i \longmapsto \sum x_i y_i\] 이 단사이면 \(K\)와 \(L\)이 \(\Omega\) 안에서 \(k\) 위에 선형적으로 서로소라고 한다.

다음 보조정리는 다른 적당한 위치에 들어맞지 않는 듯하다.

보조정리

\(E/F\)를 정규 대수적 체확대라 하자. 다음을 만족하는 부분확대 \(E / E_{sep} /F\)와 \(E / E_{insep} / F\)가 존재한다.

1. \(F \subset E_{sep}\)는 갈루아이고 \(E_{sep} \subset E\)는 순수 비분리 확대이다.

2. \(F \subset E_{insep}\)는 순수 비분리 확대이고 \(E_{insep} \subset E\)는 갈루아이다.

3. \(E = E_{sep} \otimes_F E_{insep}\)이다.

증명

부분체 \(E_{sep}\)는 Lemma 030K에서 얻었다. \(E_{insep} = E^{\text{Aut}(E/F)}\)로 놓는다. 세부사항은 생략한다.

복습

이 절에서는 위에서 전개된 내용을 간단히 복습한다.

\(K/k\)를 체확대라 하고 \(\alpha \in K\)라 하자. 그러면 다음 두 경우가 가능하다.

1. 원소 \(\alpha\)는 \(k\) 위에서 초월적이다.

2. 원소 \(\alpha\)는 \(k\) 위에서 대수적이다.

   그 최소다항식을 \(P(T) \in k[T]\)로 나타내자. 이는 계수가 \(k\)에 속하는 모닉 다항식 \(P(T) = T^d + a_1 T^{d - 1} + \ldots + a_d\)이다. 이 다항식은 기약이고 \(P(\alpha) = 0\)을 만족한다. 이러한 성질들은 \(P\)를 유일하게 결정하며, 정수 \(d\)를 \(\alpha\)의 \(k\) 위 차수라 한다. 다시 두 경우로 나뉜다.

   1. 다항식 \(\text{d}P/\text{d}T\)가 항등적으로 영이 아니다. 이는 \(k\)의 대수적 폐포에 있는 서로 다른 원소 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_d\)에 대하여 \(P(T) = \prod_{i = 1, \ldots, d} (T - \alpha_i)\)로 쓸 수 있다는 조건과 동치이다. 이 경우 \(\alpha\)가 \(k\) 위에서 분리 가능하다고 한다.

   2. \(\text{d}P/\text{d}T\)가 항등적으로 영이다. 이 경우

      \(k\)의 표수 \(p\)는 \(> 0\)이고, \(P\)는 실제로 \(T^p\)에 관한 다항식이다. \(P\)가 \(T^q\)에 관한 다항식이 되게 하는 가장 큰 거듭제곱 \(q = p^e\)가 존재함은 분명하다. 그러면 원소 \(\alpha^q\)는 \(k\) 위에서 분리 가능하다.

정의

대수적 체확대.

1. \(K\)의 모든 원소가 \(k\) 위에서 대수적이면 체확대 \(K/k\)를 대수적이라 한다.

2. 모든 \(\alpha \in k'\)가 \(k\) 위에서 분리 가능하면 대수적 확대 \(k'/k\)를 분리 가능이라 한다.

3. \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이고 모든 원소 \(\alpha \in k'\)에 대하여 \(\alpha^q \in k\)가 되게 하는 \(p\)의 거듭제곱 \(q\)가 존재하면 대수적 확대 \(k'/k\)를 순수 비분리라 한다.

4. 모든 \(\alpha \in k'\)에 대하여 \(\alpha\)의 \(k\) 위 최소다항식 \(P(T) \in k[T]\)가 \(k'\) 위에서 일차인수들로 완전히 분해되면 대수적 확대 \(k'/k\)를 정규라 한다.

5. 대수적 확대 \(k'/k\)가 분리 가능하고 정규이면 갈루아라고 한다.

다음 보조정리는 다른 적당한 위치에 들어맞지 않는 듯하다.

보조정리

\(K\)를 표수가 \(p > 0\)인 체라 하자. \(L/K\)를 분리 가능 대수적 확대라 하고 \(\alpha \in L\)이라 하자.

1. \(\alpha\)의 \(K\) 위 최소다항식의 계수들이 \(K\)에서 모두 \(p\)제곱이면 \(\alpha\)는 \(L\)에서 \(p\)제곱이다.

2. 더 일반적으로, \(P \in K[T]\)가 (a) \(\alpha\)가 \(P\)의 근이고, (b) \(P\)가 대수적 폐포에서 서로 다른 근들을 가지며, (c) \(P\)의 모든 계수가 \(p\)제곱이라는 조건을 만족하는 다항식이면, \(\alpha\)는 \(L\)에서 \(p\)제곱이다.

증명

정의로부터 (2)가 (1)을 함의한다. \(P\)가 (2)와 같다고 가정하자. \(P(T) = \sum\nolimits_{i = 0}^d a_i T^{d - i}\) 및 \(a_i = b_i^p\)로 쓰자. 다항식 \(Q(T) = \sum\nolimits_{i = 0}^d b_i T^{d - i}\)도 대수적 폐포에서 서로 다른 근들을 갖는다. 실제로 \(Q\)의 근들은 \(P\)의 근들의 \(p\)제곱근이다. \(\alpha\)가 \(p\)제곱이 아니면 \(T^p - \alpha\)는 \(L\) 위의 기약다항식이다 (Lemma 09HF). 또한 \(Q\)와 \(T^p - \alpha\)는 대수적 폐포 \(\overline{L}\)에서 공통근을 갖는다. 따라서 \(Q\)와 \(T^p - \alpha\)는 서로소가 아니며, 이는 \(L[T]\)에서 \(T^p - \alpha | Q\)임을 뜻한다. 이는 \(Q\)의 근들이 서로 다르다는 사실에 모순된다.