곡면의 특이점 해소

서론

이 장에서는 Lipman [Lipman]을 따르고, 주로 [Artin-Lipman]에 나오는 Artin의 설명을 따라 곡면의 특이점 해소를 논한다. 주정리 (정리 0BGP)는 Noether \(2\)차원 스킴 \(Y\)가 유한 정규화 \(Y^\nu \to Y\)를 가지며, 그 정규화의 특이점 \(y_i \in Y^\nu\)가 유한 개이고 각 \(i\)에 대해 완비화 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^\wedge\)가 정규이면 이 스킴이 특이점 해소를 가진다는 것을 말한다.

좀 더 구체적으로, \(Y\)가 준우수 기초환 \(R\) 위 유한형인 \(2\)차원 스킴이라고 하자. 예컨대 이 기초환은 체이거나, \(\mathbf{Z}\)처럼 분수체의 표수가 \(0\)인 Dedekind 정역일 수 있다. 그러면 \(Y\)의 정규화는 유한이고 특이점은 유한 개이며, 그 국소환들의 완비화는 정규이다. 대수학 심화의 절 07P6, 07GG, 07QS 및 대수학 심화의 보조정리 0BFK의 논의를 보라. 따라서 이러한 \(Y\)는 특이점 해소를 가진다.

증명의 개략은 다음과 같다. \(A\)를 차원 \(2\)인 Noether 국소정역이라 하자. 증명은 다음 단계로 이루어진다.

1. \(A\)를 그 정규화로 바꾼다.

2. Grauert–Riemenschneider 정리를 증명한다.

3. 모든 정규 변형 \(X \to \Spec(A)\)에 걸쳐 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)의 길이에 최댓값 \(g\)가 있음을 보이고 \(g = 0\)인 경우로 환원한다.

4. \(g = 0\)이면 \(A\)가 유리 특이점을 정의한다고 한다. 이 경우 유한 번 부풀리기를 한 뒤 \(A\)가 Gorenstein이고 \(g = 0\)이라고 가정할 수 있다.

5. \(g = 0\)이고 \(A\)가 Gorenstein이면 \(A\)가 유리 이중점을 정의한다고 한다. 이 경우 특이점을 명시적으로 해소한다.

각 단계에는 환 \(A\)에 관한 가정이 필요하다. 이제 이를 차례로 논한다.

N에 관하여: 여기서는 \(A\)가 유한 정규화를 가진다고 가정해야 한다 (이는 자동적이지 않다). 이 장의 대부분에서는 어떤 정규화가 유한임을 알아야 할 때 해당 스킴이 Nagata라고 가정한다. 그러나 Nagata 조건은 정리의 명제에 주어진 조건보다 조금 더 강하다. 이 작은 문제를 해결하는 한 방법은 환 \(A\)가 형식적 비분기, 즉 그 완비화가 기약이라는 사실과 보조정리 0BG8을 사용하는 것이다. 하지만 여기의 증명 방식에서는 보조정리 0BG9을 사용하여 완비화 위 정규화의 유한성을 \(A\) 위 정규화의 유한성으로 올리는 편이 더 쉽다.

V에 관하여: 이는 명제 0AXD이며, 대략적으로 정규 변형 \(f : X \to \Spec(A)\)에 대해 \(R^1f_*\omega_X = 0\)이라는 명제이다. 여기서 \(\omega_X\)는 \(X/A\)의 쌍대화 가군이다(비고 0B4R). 실제로 쌍대성에 의해 이 결과는 유도 범주 \(D(A)\)의 대상 \(Rf_*\mathcal{O}_X\)에 관한 명제(보조정리 0AXC)와 동치이다. 한편 그 증명에는 특수 올의 성분들이 양의 여법선층을 가진다는 표준 사실(보조정리 0AXA)을 사용한다.

B에 관하여: 이는 어떤 의미에서는 증명의 가장 미묘한 부분이다. 서술은 조금 더 일반적이지만, 끝내는 \(A\)가 완비 Noether 국소환일 때에만 이 단계의 결론을 사용한다. 용어는 정의 0B4N에서 정한다. 위에서 정의한 \(g\)가 유계이면, 간단한 논증으로 \(X\)의 모든 특이점이 유리 특이점인 정규 변형 \(X \to \Spec(A)\)를 찾을 수 있다. 보조정리 0B4P을 보라. 유한 확대 \(A \subset B\)가 주어졌을 때, 다음 두 경우에는 \(g\)가 \(A\)에 대해 유계이면 \(B\)에 대해서도 유계임을 보인다. (1) 분수체 확대가 분리인 경우 (보조정리 0B4P), (2) 분수체 확대의 차수가 \(p\)이고 표수가 \(p\)이며 \(A\)가 정칙 완비인 경우(보조정리 0B4U).

R에 관하여: 여기서는 \(g = 0\)인 경우를 Gorenstein 경우로 환원한다. 모든 것이 성립하게 하는 놀라운 사실은 유리 곡면 특이점의 부풀리기가 정규라는 것이다. 보조정리 0B4Z을 보라.

D에 관하여: 유리 이중점의 해소는 거의 직접 계산으로 진행한다. 절 0BGB을 보라. 유리 이중점은 초곡면 특이점이다 (이는 참이지만 필요하지 않으므로 증명하지 않는다). 국소 방정식은 다음과 같다. \[a_{11} x_1^2 + a_{12} x_1x_2 + a_{13}x_1x_3 + a_{22} x_2^2 + a_{23} x_2x_3 + a_{33} x_3^2 = \sum a_{ijk} x_ix_jx_k\] 중복도가 \(2\)이고 임의의 부풀리기 뒤에도 \(2\)로 남으므로 이차 부분은 영일 수 없다는 사실과 모든 부풀리기가 정규라는 사실을 이용하면 곧 해소를 얻는다. 한 가지 까다로운 점은 매 부풀리기마다 감소하는 불변량이 없다는 것이다. 대신 절 0BG1의 형식 호에 관한 내용을 이용하여 과정이 끝남을 보인다.

이 모든 것을 종합하려면 몇 가지 작업이 더 필요하다. 주된 난점은 완비화 \(A^\wedge\)의 해소를 \(\Spec(A)\)의 해소로 올리고자 한다는 점이다. 이를 위해 먼저 해소가 존재하면 정규화 부풀리기들로 이루어진 해소도 존재함을 보인다 (보조정리 0BGM). 보조정리 0BGA에 의해 정규화 부풀리기의 열은 완비화에서 올릴 수 있다. 정칙인 \(A_0\)에 대한 유한 포함 \(A_0 \subset A\)의 차수에 관한 귀납법으로 전략이 진행되므로, 완비 국소환 \(A\)의 해소를 증명할 때도 이를 사용한다. 보조정리 0BGN을 보라. B에서 더 강한 결과(예컨대 Lipman의 논문에서 증명한 결과)를 사용하면 이 단계는 피할 수 있다.

양의 표수에서의 대각합 사상

이 절의 몇몇 결과는 드람 코호몰로지의 절 0FK6에서 미분형식의 대각합을 훨씬 일반적으로 논한 내용으로부터 유도할 수 있다. 비고 0FLF을 보라.

소수 \(p\)를 고정한다. \(R\)을 \(\mathbf{F}_p\)-대수라 하자. \(a \in R\)가 주어지면 \(S = R[x]/(x^p - a)\)로 둔다. \(R\)-선형 사상 \[\text{Tr}_x : \Omega_{S/R} \longrightarrow \Omega_R\] 을 다음 규칙으로 정의한다. \[x^i\text{d}x \longmapsto \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & 0 \leq i \leq p - 2, \\ \text{d}a & \text{if} & i = p - 1 \end{matrix} \right.\] \(\Omega_{S/R}\)는 \(x^i\text{d}x\), \(0 \leq i \leq p - 1\)을 기저로 하는 자유 \(R\)-가군이므로 이는 잘 정의된다. 다음 보조정리는 이 대각합 사상이 좌표 \(x\)의 선택과 무관하여 잘 정의됨을 뜻한다.

보조정리

\(\varphi : R[x]/(x^p - a) \to R[y]/(y^p - b)\)를 \(R\)-대수 준동형이라 하자. 그러면 \(\text{Tr}_x = \text{Tr}_y \circ \varphi\)이다.

증명

\(\lambda_i \in R\)이고 \(\varphi(x) = \lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1}\)라 하자. \(x\)를 \(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1}\) 로 보내는 것이 \(R\)-대수 준동형 \(R[x]/(x^p - a) \to R[y]/(y^p - b)\)를 유도할 조건은 \[a = \lambda_0^p + \lambda_1^p b + \ldots + \lambda_{p - 1}^pb^{p - 1}\] 가 환 \(R\)에서 성립할 조건과 동치이다. 다항식환 \[R_{univ} = \mathbf{F}_p[b, \lambda_0, \ldots, \lambda_{p - 1}]\] 과 그 원소 \(a = \lambda_0^p + \lambda_1^p b + \ldots + \lambda_{p - 1}^pb^{p - 1}\) 를 생각하자. \(x\)를 \(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1}\)로 보내는 보편 대수 사상 \(\varphi_{univ} : R_{univ}[x]/(x^p - a) \to R_{univ}[y]/(y^p - b)\)를 생각하자. \(b, \lambda_i\)를 각각 \(b, \lambda_i\)로 보내는 표준 사상 \[R_{univ} \longrightarrow R\] 을 얻는다. 구성에 의해 가환 도식 \[\xymatrix{ R_{univ}[x]/(x^p - a) \ar[r] \ar[d]_{\varphi_{univ}} & R[x]/(x^p - a) \ar[d]^\varphi \\ R_{univ}[y]/(y^p - b) \ar[r] & R[y]/(y^p - b) }\] 을 얻고, 수평 화살표들은 대각합 사상과 호환된다. 따라서 사상 \(\varphi_{univ}\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 이에 따라 \(R = \mathbf{F}_p[b, \lambda_0, \ldots, \lambda_{p - 1}]\)가 다항식환이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(i = 0 , \ldots, p - 1\)에 대해 \(\text{Tr}_y(\varphi(x)^i\text{d}\varphi(x))\)를 계산하여 보조정리를 확인한다.

\(0 \leq i \leq p - 2\)인 경우. 환 \(R[y]/(y^p - b)\)에서 \[(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^i (\lambda_1 + 2 \lambda_2 y + \ldots + (p - 1)\lambda_{p - 1}y^{p - 2})\] 를 전개한다. \(y^{p - 1}\)의 계수가 영임을 보여야 한다. 이를 위해서는 위 식을 \(y\)의 다항식으로 보았을 때 모든 거듭제곱 \(y^{pk - 1}\)의 계수가 영임을 보이면 충분하다. 이 다항식을 \[\frac{\text{d}}{(i + 1)\text{d}y} (\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^{i + 1}\] 로 쓰면 실제로 모든 \(y^{kp - 1}\)의 계수는 영이다.

\(i = p - 1\)인 경우. 환 \(R[y]/(y^p - b)\)에서 \[(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^{p - 1} (\lambda_1 + 2 \lambda_2 y + \ldots + (p - 1)\lambda_{p - 1}y^{p - 2})\] 를 전개한다. 증명을 끝내려면 \(y^{p - 1}\)의 계수에 \(\text{d}b\)를 곱한 것이 \(\text{d}a\)임을 보여야 한다. 여기서 \(S = \mathbf{Z}[b, \lambda_0, \ldots, \lambda_{p - 1}]\)일 때 \(R\)은 \(S/pS\)임을 사용한다. 그러면 위 식은 \(y\)의 다항식으로서 \[\frac{\text{d}}{p\text{d}y} (\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^p\] 와 같다. \(\frac{\text{d}}{\text{d}y}(y^{pk}) = pk y^{pk - 1}\)이므로 다항식 \((\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^p\) 에서 \(y^{pk}\)의 계수를 법 \(p\)로 알면 충분하다. 이 항들의 합은 \[\lambda_0^p + \lambda_1^py^p + \ldots + \lambda_{p - 1}^py^{p(p - 1)} \bmod p\] 이다. 따라서 연산자 \(\frac{\text{d}}{p\text{d}y}\)를 적용하고 법 \(y^p - b\)로 축약한 뒤, 계산하려는 \(y^{p - 1}\)의 계수로 \[\lambda_1^p + 2\lambda_2^pb + \ldots + (p - 1)\lambda_{p - 1}b^{p - 2}\] 를 얻는다. 이제 \(R\)에서 \(a = \lambda_0^p + \lambda_1^p b + \ldots + \lambda_{p - 1}^pb^{p - 1}\)이므로 \[\text{d}a = (\lambda_1^p + 2 \lambda_2^p b + \ldots + (p - 1) \lambda_{p - 1}^p b^{p - 2}) \text{d}b\] 를 \(R\)에서 얻는다. 이로써 \(y^{p - 1}\)의 계수가 원하는 값임이 증명되었다.

보조정리

\(\mathbf{F}_p \subset \Lambda \subset R \subset S\)를 환 확대들이라 하고, 어떤 \(a \in R\)에 대해 \(S\)가 \(R[x]/(x^p - a)\)와 동형이라고 하자. 그러면 \(t \geq 0\)마다 표준 \(R\)-선형 사상 \[\text{Tr} : \Omega^{t + 1}_{S/\Lambda} \longrightarrow \Omega_{R/\Lambda}^{t + 1}\] 이 존재하며, \[\eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_t \wedge x^i\text{d}x \longmapsto \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & 0 \leq i \leq p - 2, \\ \eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_t \wedge \text{d}a & \text{if} & i = p - 1 \end{matrix} \right.\] 가 모든 \(\eta_i \in \Omega_{R/\Lambda}\)에 대해 성립한다. 또한 \(\text{Tr}\)는 \(S \otimes_R \Omega_{R/\Lambda}^{t + 1} \to \Omega_{S/\Lambda}^{t + 1}\)의 상을 소멸시킨다.

증명

\(t = 0\)일 때는 합성 \[\Omega_{S/\Lambda} \to \Omega_{S/R} \to \Omega_R \to \Omega_{R/\Lambda}\] 을 사용한다. 둘째 사상은 보조정리 0ADZ의 사상이다. 완전열 \[H_1(L_{S/R}) \xrightarrow{\delta} \Omega_{R/\Lambda} \otimes_R S \to \Omega_{S/\Lambda} \to \Omega_{S/R} \to 0\] 이 있다(대수학의 보조정리 00S2). \(\Omega_{S/R}\)는 \(\text{d}x\)를 기저로 하는 자유 \(S\)-가군이고, \(H_1(L_{S/R})\)는 \(x^p - a\)를 기저로 하는 자유 \(S\)-가군이다. \(\delta\)는 이를 \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R S\)의 \(-\text{d}a \otimes 1\)로 보낸다. 특히 \[M = \Coker(R \to \Omega_{R/\Lambda}, 1 \mapsto -\text{d}a)\] 로 두면 \(\Coker(\delta) = M \otimes_R S\)이다. 표준 사상 \[\Omega^{t + 1}_{S/\Lambda} \to \wedge_S^t(\Coker(\delta)) \otimes_S \Omega_{S/R} = \wedge^t_R(M) \otimes_R \Omega_{S/R}\] 을 얻는다. 이제 보조정리 0ADZ의 사상 \(\text{Tr} : \Omega_{S/R} \to \Omega_{R/\Lambda}\) 의 상은 \(R\text{d}a\)에 포함되므로, 그 상의 원소와 외적을 취하면 \(\text{d}a\)가 소멸한다. 따라서 표준 사상 \[\wedge^t_R(M) \otimes_R \Omega_{S/R} \to \Omega_{R/\Lambda}^{t + 1}\] 이 있으며, \(\overline{\eta}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{\eta}_t \wedge \omega\) 를 \(\eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_t \wedge \text{Tr}(\omega)\)로 보낸다.

주

\(\mathbf{F}_p \subset \Lambda \subset R \subset S\)와 \(\text{Tr}\)를 보조정리 0AX5에서와 같이 잡자. 드람 코호몰로지의 명제 0FLC에 의해 복합체의 표준 사상 \[\Theta_{S/R} : \Omega_{S/\Lambda}^\bullet \longrightarrow \Omega_{R/\Lambda}^\bullet\] 이 있다. 드람 코호몰로지의 예제 0FLD의 계산에 따르면 모든 \(i\)에 대해 \(\Theta_{S/R}(x^i \text{d}x) = \text{Tr}_x(x^i\text{d}x)\)이다. \(\text{Trace}_{S/R} = \Theta^0_{S/R}\)는 항등적으로 영이고, \[\Theta_{S/R}(a \wedge b) = a \wedge \Theta_{S/R}(b)\] 가 \(a \in \Omega^i_{R/\Lambda}\)와 \(b \in \Omega^j_{S/\Lambda}\)에 대해 성립하므로 \(\text{Tr} = \Theta_{S/R}\)이다. \(\text{Tr}\)를 사용하는 장점은 그 구성이 훨씬 초등적이라는 점이다.

보조정리

\(S\)를 \(\mathbf{F}_p\) 위 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 Noether 정규 정역 스킴들의 유한 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 함수체의 확대는 차수 \(p\)인 순수 비분리 확대이다.

2. \(\Omega_{X/S}\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다(예컨대 \(X\)가 \(S\) 위 유한형인 경우).

\(i \geq 1\)에 대해 표준 사상 \[\text{Tr} : f_*\Omega^i_{Y/S} \longrightarrow (\Omega_{X/S}^i)^{**}\] 이 존재하며, \(X\)의 일반점에서 그 줄기는 보조정리 0AX5의 대각합 사상을 복원한다.

증명

완전열 \(f^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Y/S} \to \Omega_{Y/X} \to 0\)에 의해 \(\Omega_{Y/S}\)와 따라서 \(f_*\Omega_{Y/S}\)도 연접 가군이다. 그러므로 일반점의 대각합 사상이 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)인 \(x \in X\)에서 줄기로 확장됨을 증명하면 충분하다. 인자의 보조정리 0AY7을 보라. 따라서 다음 문단의 경우로 환원된다.

\(X = \Spec(A)\)와 \(Y = \Spec(B)\)이고, \(A\)는 이산 값매김환이며 \(B\)는 \(A\) 위 유한이라고 하자. 유도된 분수체 확대 \(L/K\)가 순수 비분리이므로 \(B\)도 국소환이며, 따라서 \(B\)도 이산 값매김환이다. 이제 다음 두 경우 중 하나이다.

1. \(B/A\)의 분기지수가 \(p\)이고, 따라서 어떤 균일화원 \(a \in A\)에 대해 \(B = A[x]/(x^p - a)\)이다.

2. \(\mathfrak m_B = \mathfrak m_A B\)이고, 잉여체 \(B/\mathfrak m_A B\)는 \(\kappa_A = A/\mathfrak m_A\) 위 차수 \(p\)인 순수 비분리 확대이다. 잉여류가 \(\kappa_A\)에 속하지 않는 아무 \(x \in B\)를 택하면, 어떤 단위원 \(a \in A\)에 대해 \(B = A[x]/(x^p - a)\)이다.

아핀 열린집합 \(\Spec(\Lambda) \subset S\)를 잡되, \(X\)가 \(\Spec(\Lambda)\) 안으로 보내지게 하자. 그러면 보조정리 0AX5에 의해 대각합 사상이 모든 \(i \geq 1\)에 대해 \(\Omega^i_{B/\Lambda} \to \Omega^i_{A/\Lambda}\) 로 확장된다.

이차 변환

이 절에서는 곡면의 비특이점을 부풀릴 때 일어나는 일을 연구한다. 한편으로는 다른 이름들이 흔히 쓰이고, 다른 한편으로는 “이차 변환”이라는 말이 때때로 다른 의미로 쓰이므로, 이러한 사상을 형식적으로 이차 변환이라고 정의하지는 않겠다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(f : X \to S = \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(A\)의 부풀리기라 하고, \(E\)를 예외 인자라 하자. \(S\) 위 닫힌 몰입 \[r : X \longrightarrow \mathbf{P}^1_S\] 이 존재하며 다음이 성립한다.

1. \(r|_E : E \to \mathbf{P}^1_\kappa\)는 동형사상이다.

2. \(\mathcal{O}_X(E) = \mathcal{O}_X(-1) = r^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\)이다.

3. \(\mathcal{C}_{E/X} = (r|_E)^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(1)\)이고 \(\mathcal{N}_{E/X} = (r|_E)^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\)이다.

증명

\(A\)는 차원 \(2\)인 정칙환이므로 \(\mathfrak m = (x, y)\)로 쓸 수 있다. 차수 \(1\)에 놓인 \(x\)와 \(y\)는 \(A\) 위 Rees 대수 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\)을 생성한다. \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n)\)임을 상기하자. 인자의 보조정리 0804을 보라. 따라서 등급 \(A\)-대수의 전사 \[A[T_0, T_1] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak m^n, \quad T_0 \mapsto x,\ T_1 \mapsto y\] 는 \(\mathcal{O}_X(1) = r^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_S}(1)\)을 만족하는 닫힌 몰입 \(r : X \to \mathbf{P}^1_S = \text{Proj}(A[T_0, T_1])\)을 유도한다. 구성의 보조정리 01N1. 인자의 보조정리 02OS. 에 의해 \(\mathcal{O}_X(E) = \mathcal{O}_X(-1)\)이므로 (2)가 증명된다.

(1)을 증명하기 위해 \[\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak m^n\right) \otimes_A \kappa = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1} \cong \kappa[\overline{x}, \overline{y}]\] 가 다항식 대수임을 주목하자. 대수학의 보조정리 00NO을 보라. 따라서 구성의 보조정리 01N2에 의해 \(\Spec(\kappa)\) 위에서 \(X \to S\)의 올은 \(\text{Proj}(\kappa[\overline{x}, \overline{y}]) = \mathbf{P}^1_\kappa\)이다. \(E\)는 \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\)로 정의되는 \(X\)의 닫힌 부분스킴, 즉 \(E = X_\kappa\)임을 상기하자. 사상 \(r\)의 선택에 의해 \(r|_E\)는 실제로 \(E = X_\kappa\)를 \(\mathbf{P}^1_S \to S\)의 특수 올과 식별한다.

(3)은 (1), (2), 그리고 인자의 보조정리 0B3P. 에서 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(f : X \to S = \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(A\)의 부풀리기라 하자. 그러면 \(X\)는 기약 정칙 스킴이다.

증명

인자의 보조정리 02ND와 대수학의 보조정리 00NP에 의해 \(X\)는 정역 스킴이다. \(X\)가 정칙임을 보이려면 모든 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정칙임을 확인하면 충분하다. 성질의 보조정리 02IT을 보라. 닫힌점 \(x \in X\)를 잡자. \(f\)가 고유이므로 \(x\)는 \(\mathfrak m\)으로 가며, 즉 \(x\)는 예외 인자 \(E\)의 점이다. 이때 \(E\)는 유효 Cartier 인자이고 \(E \cong \mathbf{P}^1_\kappa\)이다. 따라서 \(g \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)가 \(E\)의 국소 방정식이면 \(\mathcal{O}_{X, x}/(g) \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_\kappa, x}\)이다. \(\mathbf{P}^1_\kappa\)는 \(\kappa\) 위 다항식환의 스펙트럼인 두 아핀 열린집합으로 덮이므로, 대수학의 보조정리 00OP에 의해 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_\kappa, x}\)는 정칙이다. 이제 대수학의 보조정리 00NU를 적용하면 된다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(f : X \to S = \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(A\)의 부풀리기라 하자. 그러면 \(\Pic(X) = \mathbf{Z}\)이고 \(\mathcal{O}_X(E)\)가 이를 생성한다.

증명

\(E = \mathbf{P}^1_\kappa\)의 Picard 군은 \(\mathcal{O}(1)\)이 생성하는 \(\mathbf{Z}\)임을 상기하자. 인자의 보조정리 0BXJ을 보라. 보조정리 0AGQ에 의해 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{O}_X(E)\)의 제한은 \(\mathcal{O}(-1)\)이다. 따라서 \(\mathcal{O}_X(E)\)는 \(\Pic(X)\)에서 무한 순환군을 생성한다. \(A\)는 정칙이므로 유일인수분해정역이다. 대수학 심화의 보조정리 0AG0을 보라. 따라서 천공 스펙트럼 \(U = S \setminus \{\mathfrak m\} = X \setminus E\)의 Picard 군은 자명하다. 인자의 보조정리 0BDA을 보라. 그러므로 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대해 동형사상 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{L}|_U\)가 있다. 이때 \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절이며, 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = nE\)이다(인자의 정의 0BE6). 인자의 보조정리 0BE8와 보조정리 0AGR에 의해 \(X\)가 정규라는 사실로부터 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(nE)\)를 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(f : X \to S = \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(A\)의 부풀리기라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(p \not \in \{0, 1\}\)이면 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

2. \(n \geq -1\)이면 \(H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = 0\)이다.

3. \(\mathcal{F}\) 또는 \(\mathcal{F}(1)\)이 대역 생성이면 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

4. \(H^0(X, \mathcal{O}_X(n)) = \mathfrak m^{\max(0, n)}\),

5. \(\text{length}_A H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = -n(-n - 1)/2\) \(n < 0\)이면 위 등식이 성립한다.

증명

\(\mathfrak m = (x, y)\)라 하자. 차수 \(1\)에 놓인 \(x\)와 \(y\)가 \(A\) 위 Rees 대수 \(\bigoplus \mathfrak m^n\)을 생성하므로 \(X\)는 아핀 부풀리기 대수 \(A[\frac{\mathfrak m}{x}]\)와 \(A[\frac{\mathfrak m}{y}]\)의 스펙트럼으로 덮인다. 인자의 보조정리 0804과 구성의 보조정리 01MD을 보라. 구성의 보조정리 01MC에 의해 \(X\)는 분리이고, 따라서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XI에 의해 준연접층의 코호몰로지는 차수 \(\geq 2\)에서 사라진다.

\(i : E \to X\)를 예외 인자라 하자. 인자의 정의 01OG을 보라. \(\mathcal{O}_X(-E) = \mathcal{O}_X(1)\)은 \(f\)-상대적으로 풍부하다. 인자의 보조정리 02OS을 보라. 따라서 어떤 \(n > 0\)에 대해 \(H^1(X, \mathcal{O}_X(-nE)) = 0\)이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02O1을 보라. 여과 \[\mathcal{O}_X(-nE) \subset \mathcal{O}_X(-(n - 1)E) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_X(-E) \subset \mathcal{O}_X \subset \mathcal{O}_X(E)\] 의 연속 몫들은 다음 층들이다. \[\mathcal{O}_X(-t E)/\mathcal{O}_X(-(t + 1)E) = \mathcal{O}_X(t)/\mathcal{I}(t) = i_*\mathcal{O}_E(t)\] 여기서 \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-E)\)는 \(E\)의 아이디얼 층이다. 보조정리 0AGQ에 의해 \(E = \mathbf{P}^1_\kappa\)이고, \(\mathcal{O}_E(1)\)은 \(\mathbf{P}^1\) 위 구조층의 통상적인 Serre 꼬임과 대응한다. 따라서 \(t \geq -1\)이면 \(\mathcal{O}_E(t)\)의 차수 \(1\) 코호몰로지는 사라진다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XT. 을 보라. 이는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 089W에 의해 \(H^1(X, i_*\mathcal{O}_E(t))\)와 같으므로, \(t \geq -1\)일 때 \(H^1(X, \mathcal{O}_X(-(t + 1)E)) \to H^1(X, \mathcal{O}_X(-tE))\)가 전사이다. 따라서 \[0 = H^1(X, \mathcal{O}_X(-nE)) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{O}_X(-tE)) = H^1(X, \mathcal{O}_X(t))\] 는 \(t \geq -1\)일 때 전사이고, 이것이 (2)를 증명한다.

\(\mathcal{F}\)가 대역 생성이라고 하자. 이는 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \to 0\] 이 존재한다는 뜻이다. 코호몰로지의 보조정리 01FF에 의해 \(H^1(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X) = \bigoplus_{i \in I} H^1(X, \mathcal{O}_X)\)임을 주목하자. (2)에 의해 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이다. \(\mathcal{F}(1)\)이 대역 생성이면 전사 \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X(-1) \to \mathcal{F}\)를 찾아 같은 방식으로 논증할 수 있다. 즉 (3)은 (2)에서 따른다.

(4)를 위해 충분히 큰 모든 \(n\)에 대해 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) = \mathfrak m^n\)임을 주목하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0AG7을 보라. \(n \geq 0\)이면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_X(n - 1) \to i_*\mathcal{O}_E(n - 1) \to 0\] 과 왼쪽 층의 \(H^1\) 소멸을 사용하여 가환 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathfrak m^{\max(0, n)} \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m^{\max(0, n - 1)} \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m^{\max(0, n)}/\mathfrak m^{\max(0, n - 1)} \ar[r] \ar[d] & 0\\ 0 \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n - 1)) \ar[r] & \Gamma(E, \mathcal{O}_E(n - 1)) \ar[r] & 0 }\] 을 얻으며, 두 행은 완전하다. 사실 \(n < 0\)일 때는 오른쪽 군들이 영이므로 이 경우에도 행들은 완전하다. 보조정리 0AGQ의 증명에서 오른쪽 수직 화살표가 동형사상임을 보았다(세부 사항은 생략한다). 따라서 왼쪽 수직 화살표가 동형사상이면 가운데 화살표도 그러하다. 이 방식으로 \(n\)에 대한 내림귀납법을 적용하면 (4)를 얻는다.

마지막으로 \(n\)에 대한 내림귀납법과 완전열들 \[0 \to \mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_X(n - 1) \to i_*\mathcal{O}_E(n - 1) \to 0\] 을 사용하여 (5)를 증명한다. \(n \geq -1\)이면 이미 \(H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = 0\)임을 안다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XT에 의해 \[H^1(X, i_*\mathcal{O}_E(-2)) = H^1(E, \mathcal{O}_E(-2)) = H^1(\mathbf{P}^1_\kappa, \mathcal{O}(-2)) \cong \kappa\] 이고, 이는 \(A\)-가군으로서 길이 \(1\)이다. 그러므로 긴 완전 코호몰로지 열에서 \(n = -2\)일 때 (5)가 성립함을 얻는다. 이후도 같은 방식이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 차원 \(2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(f : X \to S = \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(A\)의 부풀리기라 하고, \(\mathfrak m^n \subset I \subset \mathfrak m\)을 아이디얼이라 하자. \(d \geq 0\)을 \[I \mathcal{O}_X \subset \mathcal{O}_X(-dE)\] 가 성립하게 하는 가장 큰 정수라 하자. 여기서 \(E\)는 예외 인자이다. \(\mathcal{I}' = I\mathcal{O}_X(dE) \subset \mathcal{O}_X\)로 둔다. 그러면 \(d > 0\)이고, 층 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}'\)의 지지는 \(X\)의 유한 개 닫힌점 \(x_1, \ldots, x_r\)에 포함되며, \[\begin{align*} \text{length}_A(A/I) & > \text{length}_A \Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{I}') \\ & \geq \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, r} \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x_i}} (\mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i}) \end{align*}\]

증명

\(I \subset \mathfrak m\)이므로 \(I\)의 모든 원소는 \(E\) 위에서 사라진다. 따라서 \(d \geq 1\)이다. 한편 \(\mathfrak m^n \subset I\)이므로 \(d \leq n\)이다. 짧은 완전열 \[0 \to I\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X \to 0\] 을 생각하자. \(I\mathcal{O}_X\)는 대역 생성이므로 보조정리 0AGS에 의해 \(H^1(X, I\mathcal{O}_X) = 0\)이다. 따라서 전사 \(A/I \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-dE) \to 0\] 을 생각하자. 인자의 보조정리 0AGB에 의해 \(\mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X\)의 지지는 \(X\)의 유한 개 닫힌점에 포함된다. 특히 이 연접층의 고차 코호몰로지 군들은 사라진다(세부 사항은 생략한다). 따라서 다음 도식에서 \[\xymatrix{ & & A/I \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X) \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X) \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-dE)) \ar[r] & 0 }\] 아래 행은 완전하고 수직 화살표는 전사이다. 또한 \[\text{length}_A \Gamma(X, \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X) < \text{length}_A(A/I)\] 이다. 실제로 \(d > 0\)이므로 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)의 상이 영이 아니며, 따라서 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-dE))\)는 영이 아니다.

증명을 끝내기 위해 위 결과들을 보조정리의 명제로 옮기자. \(\mathcal{O}_X(dE)\)가 가역이므로 \[\mathcal{O}_X/\mathcal{I}' = \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(dE).\] 이다. 따라서 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}'\)과 \(\mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X\)의 지지는 같은 유한 개 닫힌점, 이를테면 \(x_1, \ldots, x_r \in E \subset X\)에 포함된다. 더 나아가 \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X) = \bigoplus \mathcal{O}_X(-dE)_{x_i}/I\mathcal{O}_{X, x_i} \cong \bigoplus \mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i} = \Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{I}')\] 이다. 국소환 위 가역 가군은 자명하기 때문이다. 이로써 엄격한 부등식을 얻는다. 또한 길이의 정의에서 곧바로 \[\text{length}_A(\mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i}) \geq \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x_i}}(\mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i})\] 이므로 둘째 부등식도 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정칙 국소환이라 하자. \(f : X \to S = \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(A\)의 부풀리기라 하자. 그러면 \(\Omega_{X/S} = i_*\Omega_{E/\kappa}\)이다. 여기서 \(i : E \to X\)는 예외 인자의 몰입이다.

증명

\(\mathbf{P}^1 = \mathbf{P}^1_S\)로 쓰고, \(r : X \to \mathbf{P}^1\)을 보조정리 0AGQ에서와 같이 잡자. 완전열 \[\mathcal{C}_{X/\mathbf{P}^1} \to r^*\Omega_{\mathbf{P}^1/S} \to \Omega_{X/S} \to 0\] 이 있다. 스킴의 사상의 보조정리 01UZ을 보라. 스킴의 사상의 보조정리 01V0에 의해 \(\Omega_{\mathbf{P}^1/S}|_E = \Omega_{E/\kappa}\)이므로, 첫 화살표가 표준 사상 \(r^*\Omega_{\mathbf{P}^1/S} \to i_*\Omega_{E/\kappa}\)의 핵 위로 전사임을 보이면 충분하다. 이는 국소적으로 확인할 수 있다. 보조정리 0AGQ의 증명에서와 같은 표기 아래, \(X\)의 한 아핀 열린집합에서 사상 \(f\)는 환 사상 \[A \to A[t]/(xt - y)\] 에 대응한다. 여기서 \(x, y \in \mathfrak m\)은 생성원이다. 따라서 \(\text{d}(xt - y) = x\text{d}t\)이고 \(y\text{d}t = t \cdot x \text{d}t\) 이고, 이는 원하는 바를 증명한다.

이차 변환에 의한 지배

위 결과를 사용하면 점들에서의 부풀리기가 정칙 \(2\)차원 스킴의 임의의 변형을 지배함을 증명할 수 있다.

\(X\)를 스킴, \(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. 평소처럼 \(i : x = \Spec(\kappa(x)) \to X\)를 닫힌 부분스킴으로 본다. \(x\)에서의 \(X\)의 부풀리기 \(X' \to X\)란 닫힌 부분스킴 \(x \subset X\)에서의 \(X\)의 부풀리기이다. \(X\)가 국소 Noether이면 인자의 보조정리 02NS에 의해 \(X' \to X\)는 사영이고, 특히 고유이다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(T \subset X\)를 닫힌점 \(x\)들의 유한 집합이라 하고, 각 \(x \in T\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 차원 \(2\)인 정칙환이 되는 닫힌점들의 유한 집합이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)의 지지가 \(T\)에 포함되는 준연접 아이디얼 층이라 하자. 그러면 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 이 존재한다. 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(T\)의 한 점 위에 놓이는 닫힌점에서 \(X_i\)를 부풀린 사상이고, \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\)은 가역 아이디얼 층이다.

증명

\(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\)라 하자. \(I_i\)로 \(x_i\)에서 \(\mathcal{I}\)의 줄기를 나타내고 \[n_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x_i}}(\mathcal{O}_{X, x_i}/I_i)\] 로 둔다. \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)의 지지가 \(T\)에 포함되므로 \(\mathcal{O}_{X, x_i}/I_i\)의 지지는 \(\{\mathfrak m_{x_i}\}\)와 같고, 따라서 이 길이는 유한이다(대수학의 보조정리 00L5). \(\sum n_i\)에 대한 귀납법을 사용한다. 모든 \(i\)에 대해 \(n_i = 0\)이면 \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X\)이므로 끝난다.

\(n_i > 0\)이라고 하자. \(X' \to X\)를 \(x_i\)에서의 \(X\)의 부풀리기라 하자 (보조정리 앞의 논의를 보라). \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}) \to X\)는 평탄이므로, \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\)는 극대 아이디얼에서의 환 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\)의 부풀리기이다. 인자의 보조정리 0805. 을 보라. 따라서 가환 도식 \[\xymatrix{ \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathfrak m_{x_i}^d) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}) \ar[r] & X }\] 의 사각형은 데카르트이다. \(E \subset X'\)와 \(E' \subset \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathfrak m_{x_i}^d)\) 를 예외 인자라 하자. \(d \geq 1\)을 아이디얼 \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_{X, x_i}\)에 대해 보조정리 0AGT에서 얻은 정수라 하자. 도식의 수평 화살표들이 평탄이고, \(E' \to E\)가 전사이며, \(E'\)이 \(E\)의 당김이므로 \[\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'} \subset \mathcal{O}_{X'}(-dE)\] 이다(몇몇 세부 사항은 생략한다). \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X'}(dE) \subset \mathcal{O}_{X'}\)로 두자. \(X \setminus \{x_i\}\) 위에서도, 또 \(\text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathfrak m_{x_i}^d)\)로 당긴 뒤에도 그러하므로, \(\mathcal{O}_{X'}/\mathcal{I}'\)의 지지는 유한 개 닫힌점 \(T' \subset |X'|\)에 포함된다. 보조정리 0AGT의 마지막 명제에 따르면 \(x_i\) 위에 놓이는 \(x'\)들에 대한 줄기 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathcal{I}'\mathcal{O}_{X', x'}\)의 길이의 합은 \(< n_i\)이다. 따라서 길이의 합이 감소했다.

귀납 가정에 의해 닫힌점에서의 부풀리기들의 열 \[X'_n \to \ldots \to X'_1 \to X'\] 이 존재하고, 그 중심들은 \(T'\) 위에 놓이며 \(\mathcal{I}'\mathcal{O}_{X'_n}\)은 가역이다. \(\mathcal{I}'\mathcal{O}_{X'}(-dE) = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X'}\)이므로 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'_n} = \mathcal{I}'\mathcal{O}_{X'_n}(-d(f')^{-1}E)\)이다. 여기서 \(f' : X'_n \to X'\)는 합성이다. 인자의 보조정리 0809에 의해 \((f')^{-1}E\)는 유효 Cartier 인자이다. 이제 인자의 보조정리 01WU를 적용하면 된다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하자. \(T \subset X\)를 닫힌점 \(x\)들의 유한 집합이라 하고, 각 점에서 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 차원 \(2\)인 정칙 국소환이 되는 유한 집합이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(U = X \setminus T\) 위에서 동형사상인 스킴의 고유 사상이라 하자. 그러면 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 이 존재한다. 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(T\)의 한 점 위에 놓이는 닫힌점 \(x_i\)에서의 \(X_i\)의 부풀리기이고, 합성은 \(X_n \to Y \to X\)로 분해된다.

증명

평탄성 심화의 보조정리 081T에 의해 \(Y \to X\)를 지배하는 \(U\)-허용 부풀리기 \(X' \to X\)가 존재한다. 따라서 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)의 지지가 \(T\)에 포함되고 \(Y\)가 \(\mathcal{I}\)에서의 \(X\)의 부풀리기가 되는 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 존재한다고 가정해도 된다. 보조정리 0AHH에 의해 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 이 존재한다. 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(T\)의 한 점 위에 놓이는 닫힌점 \(x_i\)에서의 \(X_i\)의 부풀리기이고, \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\)은 가역 아이디얼 층이다. 부풀리기의 보편 성질 (인자의 보조정리 0806)에 의해 원하는 분해를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 정칙이고 차원이 \(2\)인 \(S\) 위 스킴이라 하고, \(Y\)를 \(S\) 위 고유 스킴이라 하자. \(X\)에서 \(Y\)로 가는 \(S\)-유리 사상 \(f : U \to Y\)가 주어지면 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 과 \(S\)-사상 \(f_n : X_n \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(U\) 위에 놓이지 않는 닫힌점에서의 \(X_i\)의 부풀리기이고, \(f_n\)과 \(f\)는 일치한다.

증명

\(U\)가 여차원 \(1\)인 모든 점을 포함한다고 가정해도 된다. 스킴의 사상의 보조정리 0BX7을 보라. 따라서 \(U\)의 여집합 \(T \subset X\)는 국소환이 차원 \(2\)인 정칙환인 닫힌점들의 유한 집합이다. 인자의 보조정리 0C4V을 적용하면 \(U\) 위에서 동형사상인 고유 사상 \(p : X' \to X\)와 \(U\) 위에서 \(f\)와 일치하는 사상 \(f' : X' \to Y\)를 얻는다. 사상 \(p : X' \to X\)에 보조정리 0AHI를 적용한다. 합성 \(X_n \to X' \to Y\)가 원하는 사상이다.

정규화 부풀리기에 의한 지배

이 절에서는 곡면의 변형이 점들에서의 정규화 부풀리기의 열에 의해 지배됨을 증명한다.

정의

\(X\)를 모든 준콤팩트 열린집합이 유한 개의 기약성분을 가지는 스킴이라 하고, \(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. \(x\)에서의 \(X\)의 정규화 부풀리기란 합성 \(X'' \to X' \to X\)를 말한다. 여기서 \(X' \to X\)는 \(x\)에서의 \(X\)의 부풀리기이고, \(X'' \to X'\)는 \(X'\)의 정규화이다.

인자의 보조정리 0BFM에 의해 \(X'\)는 유한 개의 기약성분을 가지는 열린집합들로 덮이므로, 여기서 정규화 \(X'' \to X'\)는 정의된다. 정규화의 정의는 스킴의 사상의 정의 035N를 보라.

일반적으로 \(X\)가 Noether인 경우에도 정규화 부풀리기는 고유일 필요가 없다. 스킴이 Nagata라는 것은 Nagata 환들의 스펙트럼인 아핀 열린집합들로 덮인다는 뜻이다(성질의 정의 033S).

보조정리

정의 0BBS에서 \(X\)가 Nagata이면 \(x\)에서의 \(X\)의 정규화 부풀리기는 정규이고 Nagata이며 \(X\) 위 고유이다.

증명

부풀리기 사상 \(X' \to X\)는 고유이다. 실제로 \(X\)가 국소 Noether이므로 인자의 보조정리 02NS을 적용할 수 있다. 따라서 \(X'\)는 Nagata이다(스킴의 사상의 보조정리 035A). 그러므로 정규화 \(X'' \to X'\)는 유한이고(스킴의 사상의 보조정리 035S), 이에 따라 \(X'' \to X\)도 고유이다(스킴의 사상의 보조정리 01WN과 01W3). 따라서 정규화 부풀리기는 정규 (스킴의 사상의 보조정리 035Q) Nagata 대수공간이다.

다음 보조정리에서는 유한 개의 기약성분을 가짐을 보장하기 위해 \(X\)가 Noether라고 가정해야 한다. 그러면 \(f : Y \to X\)의 고유성에 의해 \(Y\)도 유한 개의 기약성분을 가지므로 \(f\)가 쌍유리라고 요구하는 것이 의미가 있다(스킴의 사상의 정의 01RO).

보조정리

\(X\)를 Noether이고 Nagata이며 차원이 \(2\)인 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 고유 쌍유리 사상이라 하자. 그러면 가환 도식 \[\xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & X_1 \ar[r] & X_0 \ar[d] \\ Y \ar[rrrr] & & & & X }\] 이 존재한다. 여기서 \(X_0 \to X\)는 정규화이고, \(X_{i + 1} \to X_i\)는 한 닫힌점에서의 \(X_i\)의 정규화 부풀리기이다.

증명

스킴의 사상의 절 0359, 02JT, 및 035E의 결과를 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(Y\)를 그 정규화로 바꾸어도 된다. \(X_0 \to X\)를 정규화라 하자. 사상 \(Y \to X\)는 \(X_0\)를 통해 분해된다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 모두 정규라고 가정해도 된다.

\(X\)와 \(Y\)가 정규라고 하자. 다형체의 보조정리 0BFP에 의해 \(f : Y \to X\)는 \(Y\)의 여차원 \(0\), \(1\)인 모든 점과 올이 유한인 \(Y\)의 모든 점을 포함하는 열린집합 위에서 동형사상이다. 따라서 \(f\)가 \(X \setminus T\) 위에서 동형사상이 되는 닫힌점들의 유한 집합 \(T \subset X\)가 존재한다. 각 \(x \in T\)에 대해 올 \(Y_x\)는 \(\kappa(x)\) 위 차원 \(1\)인 고유 기하연결 스킴이다. 스킴의 사상 심화의 보조정리 0AY8을 보라. 따라서 \[BadCurves(f) = \{C \subset Y\text{ closed} \mid \dim(C) = 1, f(C) = \text{a point}\}\] 는 유한 집합이다. \(BadCurves(f)\)의 원소 수에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. \(BadCurves(f)\)가 공집합인 기초 경우에는 \(f\)가 동형사상이다.

\(x \in T\)를 고정한다. \(X' \to X\)를 \(x\)에서의 \(X\)의 정규화 부풀리기라 하고, \(Y'\)을 \(Y \times_X X'\)의 정규화라 하자. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{f'} \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r]^f & X }\] \(x\) 위에 놓이고 올 \(Y'_{x'}\)의 차원이 \(\geq 1\)인 닫힌점 \(x' \in X'\)를 잡자. \(C' \subset Y'\)을 \(Y'_{x'}\)의 기약성분, 즉 \(C' \in BadCurves(f')\)라 하자. \(Y' \to Y \times_X X'\)가 유한이므로 \(C'\)은 한 기약성분 \(C \subset Y_x\)로 가야 한다. 분명히 \(C \in BadCurves(f)\)이다. \(Y' \to Y\)는 쌍유리이고 따라서 \(Y\)의 여차원 \(1\)인 점들 위에서 동형사상이므로 단사 사상 \[BadCurves(f') \longrightarrow BadCurves(f)\] 을 얻는다. 따라서 이러한 정규화 부풀리기를 유한 번 한 뒤 나쁜 곡선 중 적어도 하나가 사라짐, 즉 표시된 사상이 전사가 아님을 보이면 충분하다.

Zariski의 논증을 사용하여 나쁜 곡선을 없앤다. \(x\) 위에 놓이는 \(C \in BadCurves(f)\)를 택한다. \(\mathcal{O}_{Y, C}\)로 \(C\)의 일반점에서 \(Y\)의 국소환을 나타내자. 잉여체 \(R(C)\)에서의 상이 \(\kappa(x)\) 위 초월인 원소 \(u \in \mathcal{O}_{X, C}\)를 택한다. 이는 다형체의 보조정리 0A21에 의해 \(R(C)\)의 \(\kappa(x)\) 위 초월차수가 \(1\)이므로 가능하다. \(\mathcal{O}_{Y, C}\)와 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 분수체가 같으므로 \(a, b \in \mathcal{O}_{X, x}\)인 \(u = a/b\)로 쓸 수 있다. \(u\)의 선택에 의해 \(a, b \in \mathfrak m_x\)여야 한다. 따라서 \[N_{u, a, b} = \min \{\text{ord}_{\mathcal{O}_{Y, C}}(a), \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y, C}}(b)\} > 0\] 이다. 이 정수에 대해 내림귀납법을 적용할 수 있다. \(X' \to X\)를 \(x\)의 정규화 부풀리기라 하고, 위와 같이 \(Y'\)을 \(X' \times_X Y\)의 정규화라 하자. \(C\)가 어떤 \(x' \in X'\) 위에 놓이는 나쁜 곡선 \(C' \subset Y'\)의 상이라면, \(N_{u, a', b'} < N_{u, a, b}\)가 되도록 \(a', b' \mathcal{O}_{X', x'}\)를 택할 수 있음을 보이겠다. 이것으로 증명이 끝난다. 실제로 \(X' \to X\)는 부풀리기를 통해 분해되므로, \(a = a' d\)와 \(b = b' d\)가 되는 영이 아닌 원소 \(d \in \mathfrak m_{x'}\)가 존재한다. 즉 \(d\)를 부풀리기의 예외 인자의 국소 방정식으로 택하면 된다. 위에서 보았듯 \(Y' \to Y\)는 \(C\)의 일반점을 포함하는 열린집합 위에서 동형사상이므로 \(\mathcal{O}_{Y', C'} = \mathcal{O}_{Y, C}\)이다. 따라서 \[\text{ord}_{\mathcal{O}_{Y, C}}(a) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(a' d) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(a') + \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(d) > \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(a')\] \(b\)에 대해서도 마찬가지이며 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 Noether이고 Nagata이며 차원이 \(2\)인 \(S\) 위 스킴이라 하고, \(Y\)를 \(S\) 위 고유 스킴이라 하자. \(X\)에서 \(Y\)로 가는 \(S\)-유리 사상 \(f : U \to Y\)가 주어지면 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 \to X\] 과 \(S\)-사상 \(f_n : X_n \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(X_0 \to X\)는 정규화이고, \(X_{i + 1} \to X_i\)는 한 닫힌점에서의 \(X_i\)의 정규화 부풀리기이며, \(f_n\)과 \(f\)는 일치한다.

증명

인자의 보조정리 0C4V을 적용하면 \(U\) 위에서 동형사상인 고유 사상 \(p : X' \to X\)와 \(U\) 위에서 \(f\)와 일치하는 사상 \(f' : X' \to Y\)를 얻는다. 사상 \(p : X' \to X\)에 보조정리 0BBT을 적용한다. 합성 \(X_n \to X' \to Y\)가 원하는 사상이다.

국소환 위의 변형

\(S\)를 스킴이라 하고, \(s_1, \ldots, s_n \in S\)를 서로 다른 닫힌점들이라 하자. 열린 매장 \[U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \longrightarrow S\] 이 준콤팩트라고 가정한다. \(FP_{S, \{s_1, \ldots, s_n\}}\)으로 동형사상 \(f^{-1}(U) \to U\)를 유도하는 유한 표시 사상 \(f : X \to S\)들의 범주를 나타내자. 사상은 \(S\) 위 스킴의 사상이다. 각 \(i\)에 대해 \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\)로 두고 \(V_i = S_i \setminus \{s_i\}\)라 하자. \(FP_{S_i, s_i}\)로 동형사상 \(g_i^{-1}(V_i) \to V_i\)를 유도하는 유한 표시 사상 \(g_i : Y_i \to S_i\)들의 범주를 나타내자. 사상은 \(S_i\) 위 사상이다. 기저변환은 함자 [0BFU]\[\begin{equation} F : FP_{S, \{s_1, \ldots, s_n\}} \longrightarrow FP_{S_1, s_1} \times \ldots \times FP_{S_n, s_n} \end{equation}\] 를 정의한다. 이 장의 문제 중 적어도 일부를 국소환의 경우로 환원하기 위해 다음 보조정리를 사용한다.

보조정리

함자 \(F\) (0BFU)는 동치이다.

증명

\(n = 1\)인 경우에는 극한의 보조정리 0B3X이다. \(n > 1\)인 경우에도 정확히 같은 방식으로 증명하거나 이 결과에서 유도할 수 있다. 예를 들어 \(g_i : Y_i \to S_i\)가 \(FP_{S_i, s_i}\)의 대상들이라고 하자. \(n = 1\)인 경우에 의해, \(S \setminus \{s_i\}\) 위에서 동형사상이고 \(S_i\)로의 기저변환이 \(g_i\)인 유한 표시 사상 \(f'_i : X'_i \to S\)를 찾을 수 있다. 이제 \[f : X = X'_1 \times_S \ldots \times_S X'_n \to S\] 로 두면 이는 \(FP_{S, \{s_1, \ldots, s_n\}}\)의 대상이고, \(S_i \to S\)에 의한 기저변환은 \(g_i\)를 복원한다. 따라서 함자는 본질적으로 전사이다. 완전충실성의 증명은 생략한다.

보조정리

\(S, s_i, S_i\)를 (0BFU)에서와 같이 잡자. \(F\) 아래에서 \(f : X \to S\)가 \(g_i : Y_i \to S_i\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 각각 분리, 고유, 유한일 필요충분조건은 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(g_i\)가 각각 그러한 것이다.

증명

극한의 보조정리 0BFN에서 따른다.

보조정리

\(S, s_i, S_i\)를 (0BFU)에서와 같이 잡자. \(F\) 아래에서 \(f : X \to S\)가 \(g_i : Y_i \to S_i\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(\kappa(s_i)\) 위 스킴으로서 \(X_{s_i} \cong (Y_i)_{s_i}\)이다.

증명

이는 명백하다.

보조정리

\(S, s_i, S_i\)를 (0BFU)에서와 같이 잡고, \(F\) 아래에서 \(f : X \to S\)가 \(g_i : Y_i \to S_i\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 분해 \[X = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = S\] 를 가질 필요충분조건은 각 \(i\)에 대해 \(g_i\)가 분해 \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = S_i\] 를 가지는 것이다. 여기서 \(Z_{j + 1} \to Z_j\)는 \(\{s_1, \ldots, s_n\}\) 위에 놓이는 닫힌점 \(z_j\)에서의 \(Z_j\)의 부풀리기이고, \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\)는 \(s_i\) 위에 놓이는 닫힌점 \(z_{i, j}\)에서의 \(Z_{i, j}\)의 부풀리기이다.

증명

먼저 부풀리기의 열 \(Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = S\). 로 시작하자. 첫 사상 \(Z_1 \to S\)는 \(s_i\) 중 하나, 이를테면 \(s_1\)을 부풀려서 얻는다. \(Z_1 \to S\)에 \(F\)를 적용하면 \(s_1\)에서의 부풀리기 \(Z_{1, 1} \to S_1\)을 얻으며, 이는 \(s_1\)에서의 부풀리기이고 \(i > 1\)에 대해서는 \(Z_{i, 0} = S_i\)이다. 다음 단계에서는 \(Z_1\) 위의 \(s_i\) 중 하나(\(i \geq 2\))를 부풀리거나, \(s_1\) 위에서 \(Z_1 \to S\)의 올의 닫힌점 \(z_1\)을 택한다. 첫 경우에는 무엇을 해야 하는지가 분명하다. 둘째 경우에는 \((Z_1)_{s_1} \cong (Z_{1, 1})_{s_1}\)(보조정리 0BFX)을 사용하여 \(z_1\)에 대응하는 닫힌점 \(z_{1, 1} \in Z_{1, 1}\)을 얻고, \(Z_{1, 2} \to Z_{1, 1}\)을 \(z_{1, 1}\)에서의 부풀리기로 둔다. 이 과정을 계속하여 각 \(g_i\)의 분해를 구성한다.

반대로 부풀리기의 열들 \(Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = S_i\) 이 주어지면 정확히 같은 방식으로 \(S\)의 부풀리기 열을 구성한다.

다음은 정규화 부풀리기에 대한 보조정리 0BFY의 유사 명제이다.

보조정리

\(S, s_i, S_i\)를 (0BFU)에서와 같이 잡고, \(F\) 아래에서 \(f : X \to S\)가 \(g_i : Y_i \to S_i\)에 대응한다고 하자. \(S\)의 모든 준콤팩트 열린집합이 유한 개의 기약성분을 가진다고 가정한다. 그러면 \(f\)가 분해 \[X = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = S\] 를 가질 필요충분조건은 각 \(i\)에 대해 \(g_i\)가 분해 \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = S_i\] 를 가지는 것이다. 여기서 \(Z_{j + 1} \to Z_j\)는 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 위에 놓이는 닫힌점 \(z_j\)에서의 \(Z_j\)의 정규화 부풀리기이고, \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\)는 \(s_i\) 위에 놓이는 닫힌점 \(z_{i, j}\)에서의 \(Z_{i, j}\)의 정규화 부풀리기이다.

증명

\(S\)에 관한 가정은 정규화하는 스킴들이 국소적으로 유한 개의 기약성분을 가짐을 단계마다 보장하여 명제가 의미 있게 되도록 한다. 이 점을 확인하면 보조정리는 보조정리 0BFY의 증명과 정확히 같은 논증으로 따른다.

소멸

이 절에서는 다음 설정에서 자주 작업한다. 변형은 정역 스킴들 사이의 고유 쌍유리 사상임을 상기하자(스킴의 사상의 정의 0AAZ).

설정

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 Noether 정규 국소정역이라 하자. \(s\)를 \(S = \Spec(A)\)의 닫힌점이라 하고 \(U = S \setminus \{s\}\)로 두자. \(f : X \to S\)를 변형이라 하자. \(f\)의 특수 올 \(X_s\)의 기약성분들을 \(C_1, \ldots, C_r\)로 나타낸다.

다형체의 보조정리 0BFP에 의해 \(f\)는 동형사상 \(f^{-1}(U) \to U\)를 정의한다. 다형체의 보조정리 0B2K에 의해 특수 올 \(X_s\)는 \(\Spec(\kappa)\) 위 고유이고 차원이 많아야 \(1\)이다. Stein 분해 (스킴의 사상 심화의 보조정리 0AY8)에 의해 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이고 특수 올 \(X_s\)는 \(\kappa\) 위 기하연결이다. \(X_s\)의 차원이 \(0\)이면 \(f\)는 유한이고(스킴의 사상 심화의 보조정리 02UP), 따라서 동형사상이다(스킴의 사상의 보조정리 0AB1). 이 흥미롭지 않은 경우를 제외하면 모든 \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 \(\dim(C_i) = 1\)이다.

보조정리

상황 0AX8에서 \(X\)를 지배하는 \(U\)-허용 부풀리기 \(X' \to S\)가 존재한다.

증명

이는 평탄성 심화의 보조정리 081T의 특수한 경우이다.

보조정리

상황 0AX8에서 영이 아닌 \(f \in \mathfrak m\)이 존재하며, 모든 \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 다음이 존재한다.

1. 모든 \(j \not = i\)에 대해 \(x_i \not \in C_j\)인 닫힌점 \(x_i \in C_i\),

2. \(\mathcal{O}_{X, x_i}\)에서의 \(f\)의 분해 \(f = g_i f_i\). 여기서 \(g_i \in \mathfrak m_{x_i}\)의 상은 \(\mathcal{O}_{C_i, x_i}\)에서 영이 아니다.

증명

상황 0AX8 뒤의 관찰들을 더 언급하지 않고 사용한다. \(j \not = i\)일 때 \(C_j\)에 속하지 않는 닫힌점 \(x_i \in C_i\)를 택하고, \(\mathcal{O}_{C_i, x_i}\)에서의 상이 영이 아닌 \(g_i \in \mathfrak m_{x_i}\)를 택한다. \(A\)의 분수체는 \(\mathcal{O}_{X_i, x_i}\)의 분수체이므로 어떤 \(a_i, b_i \in A\)에 대해 \(g_i = a_i/b_i\)로 쓸 수 있다. \(f = \prod a_i\)로 택한다.

보조정리

상황 0AX8에서 \(X\)가 정규라고 하자. \(Z \subset X\)를 집합론적으로 \(Z \subset X_s\)인 공집합이 아닌 유효 Cartier 인자라 하자. 그러면 \(Z\)의 여법선층은 자명하지 않다. 더 정확히 말하면 \(C_i \subset Z\)이고 \(\deg(\mathcal{C}_{Z/X}|_{C_i}) > 0\)인 \(i\)가 존재한다.

증명

상황 0AX8 뒤의 관찰들을 더 언급하지 않고 사용한다. \(f\)를 보조정리 0AX9의 함수라 하자. \(\xi_i \in C_i\)를 일반점이라 하고, \(\mathcal{O}_i\)를 \(\xi_i\)에서 \(X\)의 국소환이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_i\)는 이산 값매김환이다. \(e_i\)를 \(\mathcal{O}_i\)에서 \(f\)의 값매김이라 하면 \(e_i > 0\)이다. \(h_i \in \mathcal{O}_i\)를 \(Z\)의 국소 방정식, \(d_i\)를 그 값매김이라 하면 \(d_i \geq 0\)이다. \(d_i/e_i\)가 최대가 되는 \(i\)를 택하여 고정한다. \(Z\)가 공집합이 아니므로 \(d_i > 0\)이다. \(f\)를 \(f^{d_i}\)로, \(Z\)를 \(e_iZ\)로 바꾼다. 이는 관계 \(\mathcal{O}_X(e_i Z) = \mathcal{O}_X(Z)^{\otimes e_i}\), 와 여법선층과 \(\mathcal{O}_X(Z)\) 사이의 관계(인자의 보조정리 02OP 와 0B3P), 그리고 차수가 \(e_i\)배 된다는 사실(다형체의 보조정리 0AYX)에 의해 허용된다. \(\mathcal{I}\)를 \(Z\)의 아이디얼 층이라 하면 \(\mathcal{C}_{Z/X} = \mathcal{I}|_Z\)이다. \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\)에서 \(f\)의 상을 \(\overline{f}\)라 하자. 위 선택에 의해 \(\overline{f}\)는 \(Z\)의 기약성분들의 일반점에서 사라진다. \(Z\)가 특수 올에 포함되므로 이 점들은 모두 \(C_j\)들의 일반점이다. 한편 인자의 보조정리 0B3S에 의해 \(Z\)는 \((S_1)\)이다. 따라서 스킴 \(Z\)는 매장 수반점을 가지지 않으며, \(\overline{f} = 0\)이다(인자의 보조정리 0346 및 0B3M). 따라서 \(f\)는 \(\mathcal{I}\)의 대역 절이고, 구성에 의해 \(\mathcal{I}_{\xi_i}\)를 생성한다. 그러므로 \(\Gamma(C_i, \mathcal{I}|_{C_i})\)에서 \(f\)의 상 \(s_i\)는 영이 아니다. 그러나 \(f\)의 선택에 의해 \(s_i\)는 \(x_i\)에서 영점을 가진다. 따라서 다형체의 보조정리 0B40에 의해 \(\mathcal{I}|_{C_i}\)의 차수는 \(> 0\)이다.

보조정리

상황 0AX8에서 \(X\)가 정규이고 \(A\)가 Nagata라고 하자. 사상 \[H^1(X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow H^1(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X)\] 은 단사이다.

증명

\(0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X \to 0\)를 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)의 자명하지 않은 원소 \(\xi\)에 대응하는 확대라 하자 (코호몰로지의 보조정리 0B3A). \(\pi : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 전사 \(\mathcal{E} \to \mathcal{O}_X\)는 여법선층이 \(\mathcal{O}_X\)와 동형인 절 \(\sigma : X \to P\)를 정의한다(인자의 보조정리 0B3V). \(f^{-1}(U)\)로의 \(\xi\)의 제한이 자명하면, 단사 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{E}\)를 분할하는 사상 \(\mathcal{E}|_{f^{-1}(U)} \to \mathcal{O}_{f^{-1}(U)}\)를 얻는다. 이는 \(\sigma\)와 서로소인 둘째 절 \(\sigma' : f^{-1}(U) \to P\)를 정의한다. \(\xi\)가 자명하지 않으므로 \(\sigma'\)가 \(X\) 전체로 확장되면서 \(\sigma\)와 서로소일 수는 없다. \(X' \subset P\)를 \(\sigma'\)의 스킴론적 상이라 하자 (스킴의 사상의 정의 01R7). 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & X' \ar[rd]_g \ar[r] & P \ar[d]_\pi \\ f^{-1}(U) \ar[ru]_{\sigma'} \ar[rr] & & X \ar@/_/[u]_\sigma }\] 사상 \(P \setminus \sigma(X) \to X\)는 아핀이다. \(X' \cap \sigma(X) = \emptyset\)이면 \(X' \to X\)는 아핀이면서 고유이고, 따라서 유한이다(스킴의 사상의 보조정리 01WN). \(X\)가 정규이므로 이는 동형사상이다(스킴의 사상의 보조정리 0AB1). 앞서 말했듯 이는 불가능하다.

\(X^\nu\)를 \(X'\)의 정규화라 하자. \(A\)가 Nagata이므로 \(X^\nu \to X'\)는 유한이다(스킴의 사상의 보조정리 035S과 035B). \(Z \subset X^\nu\)를 유효 Cartier 인자 \(\sigma(X) \subset P\)의 당김이라 하자. 위에서 보았듯 \(Z\)는 공집합이 아니고 \(X^\nu \to S\)의 닫힌 올에 포함된다. \(P \to X\)가 매끄러우므로 \(\sigma(X)\)는 유효 Cartier 인자이다(인자의 보조정리 067R). 따라서 \(Z \subset X^\nu\)도 유효 Cartier 인자이다. \(P\)에서 \(\sigma(X)\)의 여법선층이 \(\mathcal{O}_X\)이므로, 스킴의 사상의 보조정리 0473에 의해 \(X^\nu\)에서 \(Z\)의 여법선층(선험적으로 가역)은 \(\mathcal{O}_Z\)이다. 이는 보조정리 0AXA에 모순이며 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0AX8에서 \(X\)가 정규이고 \(A\)가 Nagata라고 하자. 그러면 \[\Hom_{D(A)}(\kappa[-1], Rf_*\mathcal{O}_X)\] 은 영이다. 여기서는 \(D(A) = D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)를 사용하여 \(Rf_*\mathcal{O}_X\)를 \(D(A)\)의 대상으로 본다.

증명

\(Rf_*\)와 \(Lf^*\)의 수반성에 의해 이러한 사상은 사상 \(\alpha : Lf^*\kappa[-1] \to \mathcal{O}_X\)와 같다. 다음을 주목하자. \[H^i(Lf^*\kappa[-1]) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i > 1 \\ \mathcal{O}_{X_s} & \text{if} & i = 1 \\ \text{some }\mathcal{O}_{X_s}\text{-module} & \text{if} & i \leq 0 \end{matrix} \right.\] \(\mathcal{O}_X\)가 꼬임이 없으므로 \(\Hom(H^0(Lf^*\kappa[-1]), \mathcal{O}_X) = 0\)이다. 따라서 \(\Ext\)의 스펙트럼열(사이트 위 코호몰로지의 예제 07AA)에 의해 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Lf^*\kappa[-1], \mathcal{O}_X)\)는 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_{X_s}, \mathcal{O}_X)\)와 같다. 따라서 \(\alpha : Lf^*\kappa[-1] \to \mathcal{O}_X\)는 확대 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{X_s} \to 0\] 로 주어진다. 보조정리 0AXB에 의해 전사 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X_s}\)를 통한 이 확대의 당김은 영이다. 실제로 이 당김은 \(f^{-1}(U)\) 위에서 분명히 분할된다. 따라서 \(1 \in \mathcal{O}_{X_s}\)은 \(\mathcal{E}\)의 대역 절 \(s\)로 올라간다. \(s\)에 \(X_s\)의 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)를 곱하면 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(c_s : \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\)를 얻는다. \(f_*\)를 적용하면 \(A\)-선형 사상 \(f_*c_s : \mathfrak m \to A\)를 얻는다. \(A\)가 Noether 정규 국소정역이므로 이 사상은 어떤 \(a \in A\)를 곱하는 사상이다. \(s\)를 \(s - a\)로 바꾸면 \(s\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되고 확대는 원하는 대로 자명해진다.

주

\(X\)를 차원 \(2\)인 Noether 정규 정역 스킴이라 하자. 이 경우 다음은 동치이다.

1. \(X\)는 쌍대화 복합체 \(\omega_X^\bullet\)을 가진다.

2. 어떤 정수 \(n\)에 대해 \(\omega_X[n]\)가 쌍대화 복합체가 되는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\omega_X\)가 존재한다.

이는 \(X\)가 Cohen–Macaulay라는 사실(성질의 보조정리 0B3D)과 스킴의 쌍대성의 보조정리 0AWT에서 따른다. 이 상황에서는 스킴의 쌍대성의 절 0AWH에 따라 \(\omega_X\)를 쌍대화 가군이라 한다. 특히 \(A\)가 차원 \(2\)인 Noether 정규 국소정역일 때 위 조건이 성립하면 \(A\)가 쌍대화 가군 \(\omega_A\)를 가진다고 한다. 이 경우 \(X \to \Spec(A)\)가 정규 변형이면 \(X\)도 쌍대화 가군을 가진다. 스킴의 쌍대성의 예제 0AWI을 보라. 이 상황에서 \(\omega_X\)는 항상 \(\omega_A\)에 관해 정규화된 쌍대화 가군, 즉 \(\omega_X[2]\)가 \(\omega_A[2]\)에 관해 정규화된 쌍대화 복합체가 되도록 택한다. 스킴의 쌍대성의 절 0AU5를 보라.

다음 명제의 Grauert–Riemenschneider 소멸은 보조정리 0AXC와 일반 쌍대성 이론의 형식적 귀결이다.

명제

상황 0AX8에서 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 정규 스킴이다.

2. \(A\)는 Nagata이고 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가진다.

\(\omega_X\)를 \(X\)의 쌍대화 가군이라 하자(비고 0B4R). 그러면 \(R^1f_*\omega_X = 0\)이다.

증명

이 증명에서는 식별 \(D(A) = D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)를 사용하여 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군과 \(A\)-가군을 식별한다. 또한 \(\omega_A^\bullet\)이 정규화되어 있다고 가정해도 된다. 쌍대화 복합체의 절 0A7M을 보라. \(X\)는 차원 \(2\)인 Noether 정규 스킴이므로 Cohen–Macaulay이다(성질의 보조정리 0B3D). 따라서 \(\omega_X^\bullet = \omega_X[2]\)이다(스킴의 쌍대성의 보조정리 0AWT과 예제 0AWI의 정규화). 명제가 거짓이면 영이 아닌 사상 \(R^1f_*\omega_X \to \kappa\)를 찾을 수 있다. 즉 영이 아닌 사상 \(\alpha : Rf_*\omega_X^\bullet \to \kappa[1]\)을 얻는다. \(R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)\)를 적용하면 영이 아닌 사상 \[\beta : \kappa[-1] \longrightarrow Rf_*\mathcal{O}_X\] 을 얻는데, 이는 보조정리 0AXC에 의해 불가능하다. \(R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)\)가 주장한 작용을 하는지 확인하기 위해 먼저 \[R\Hom_A(\kappa[1], \omega_A^\bullet) = R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet)[-1] = \kappa[-1]\] 임을 주목하자. \(\omega_A^\bullet\)이 정규화되어 있기 때문이다. 또한 \[R\Hom_A(Rf_*\omega_X^\bullet, \omega_A^\bullet) = Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\omega_X^\bullet, \omega_X^\bullet) = Rf_*\mathcal{O}_X\] 이다. 첫 등식은 스킴의 쌍대성의 예제 0GEW와 구성에 의해 \(\omega_X^\bullet = f^!\omega_A^\bullet\)이라는 사실에서 따르고, 둘째 등식은 \(\omega_X^\bullet\)이 \(X\)의 쌍대화 복합체라는 사실에서 따른다. 이는 스킴의 쌍대성의 보조정리 0AA3까지 거슬러 올라간다.

유계성

이 절에서는 \(2\)차원 스킴의 문제를 유리 특이점의 경우로 환원하는 논의를 시작한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 Noether 정규 국소정역이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[rd]_{f'} \ar[rr]_g & & X \ar[ld]^f \\ & \Spec(A) }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)와 \(f'\)은 상황 0AX8에서와 같은 변형이고 \(X\)는 정규이다. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(X', \mathcal{O}_{X'}) \to H^0(X, R^1g_*\mathcal{O}_{X'}) \to 0\] 이 있다. 또한 \(\dim(\text{Supp}(R^1g_*\mathcal{O}_{X'})) = 0\)이고 \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'}\)은 대역 절들로 생성된다.

증명

상황 0AX8 뒤의 관찰들을 더 언급하지 않고 사용한다. \(X\)가 정규이고 \(g\)가 우세 쌍유리이므로 \(g_*\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X\)이다. 예컨대 스킴의 사상 심화의 보조정리 0AY8을 보라. \(g\)의 올들의 차원이 \(\leq 1\)이므로 \(p > 1\)에 대해 \(R^pg_*\mathcal{O}_{X'} = 0\)이다. 예컨대 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02V7를 보라. \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'}\)의 지지는 \(g'\)의 올 차원이 \(\geq 1\)인 \(X\)의 점들의 집합에 포함된다. 따라서 이는 기약성분들 중 \(X_s\)의 점으로 가는 성분 \(C' \subset X'_s\)들의 상의 집합에 포함되며, 후자는 유한 개의 닫힌점으로 이루어진다. 여기서 \(X'_s \to X_s\)가 \(\kappa\) 위 고유 \(1\)차원 스킴들의 사상임을 상기하자. 그러므로 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0B3J에 의해 \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'}\)은 대역 생성이다. 사상 \(f : X \to S\)와 위 결과들을 사용하면 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(p > 1\)이면 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)임을 얻는다. 따라서 보조정리의 짧은 완전열은 \(g\)와 \(\mathcal{O}_{X'}\)에 대한 Leray 스펙트럼열에서 따른다. 코호몰로지의 보조정리 01F2를 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정규 Nagata 국소정역이라 하고, \(a \in A\)가 영이 아니라고 하자. \(X\)가 정규인 모든 변형 \(f : X \to \Spec(A)\)에 대해 \(A\)-가군 \[M_{X, a} = \Coker(A \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{O}_Z))\] 의 길이가 \(N\) 이하가 되는 정수 \(N\)이 존재한다. 여기서 \(Z \subset X\)는 \(a\)로 잘라낸 부분스킴이다.

증명

짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{a} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z \to 0\) 에 의해 [0AXK]\[\begin{equation} M_{X, a} = H^1(X, \mathcal{O}_X)[a] \end{equation}\] 이다. \(A\)-가군 \(N\)에 대해 여기서 \(N[a] = \{n \in N \mid an = 0\}\)이다. 따라서 \(a\)가 \(b\)를 나누면 \(M_{X, a} \subset M_{X, b}\)이다. 어떤 \(c \in A\)에 대해 가군 \(M_{X, c}\)들의 길이가 유계라고 하자. 그러면 모든 \(X\)에 대해 완전열 \[0 \to M_{X, c} \to M_{X, c^2} \to M_{X, c}\] 이 있고, 둘째 화살표는 \(c\)를 곱하는 사상이다. 따라서 \(M_{X, c^2}\)의 길이도 유계이다. 그러므로 어떤 \(n > 0\)에 대해 \(a\)가 \(c^n\)을 나누고 보조정리가 성립하는 \(c \in A\)를 찾으면 충분하다. 대수학 심화의 보조정리 0AXI에 의해 \(A/(a)\)가 기약환이라고 가정해도 된다.

\(A/(a)\)가 기약이라고 하자. \(A/(a) \subset B\)를 그 전분수환 안에서 \(A/(a)\)의 정규화라 하자. \(A\)가 Nagata이므로 \(\Coker(A \to B)\)는 유한이다. 이 유한 가군의 길이가 원하는 상계라고 주장한다. 이를 위해 보조정리에서와 같은 \(f : X \to \Spec(A)\)를 잡고, \(Z' \subset Z\)를 \(Z \cap f^{-1}(U)\)의 스킴론적 폐포라 하자. 예컨대 다형체의 보조정리 0AB7에 의해 \(Z' \to \Spec(A/(a))\)는 유한이다. 따라서 \(A/(a) \subset B' \subset B\)인 \(Z' = \Spec(B')\)로 쓸 수 있다. 한편 사상 \[H^0(Z, \mathcal{O}_Z) \to H^0(Z', \mathcal{O}_{Z'})\] 이 단사라고 주장한다. 실제로 \(s \in H^0(Z, \mathcal{O}_Z)\)가 핵에 속하면 \(f^{-1}(U) \cap Z\)로의 \(s\)의 제한은 영이다. 따라서 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)에서 \(s\)의 상은 \(H^1(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X)\)에서 사라진다. 보조정리 0AXB에 의해 \(s\)는 \(A\)의 원소 \(\tilde s\)에서 온다. 그러나 가정에 의해 \(\tilde s\)는 \(B'\)에서 영으로 가므로 \(s = 0\)이다. 이를 종합하면 \(M_{X, a}\)는 \(B'/A\)의 부분몫이다. 즉 \(B'\)의 모든 원소가 \(\mathcal{O}_Z\)의 대역 절로 확장되지는 않지만, 어쨌든 \(M_{X, a}\)의 길이는 \(B/A\)의 길이로 유계이다.

어떤 경우에는 특이점 해소가 유리 특이점의 경우로 환원된다.

정의

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정규 Nagata 국소정역이라 하자.

1. 모든 정규 변형 \(X \to \Spec(A)\)에 대해 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이면 \(A\)가 유리 특이점을 정의한다고 한다.

2. \(X\)가 정규인 모든 변형 \(X \to \Spec(A)\)에 대해 \(A\)-가군 \[H^1(X, \mathcal{O}_X)\] 의 길이가 유계이면 \(A\)에 대해 유리 특이점으로의 환원이 가능하다고 한다.

(2)의 표현은 보조정리 0B4P에서 설명된다. 다음 보조정리는 대략적으로, \(A\)가 유리 특이점을 정의할 때 \(\Spec(A)\)의 변형의 국소환들도 유리 특이점을 정의한다는 것이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 유리 특이점을 정의하는 차원 \(2\)의 정규 Nagata 국소정역이라 하자. \(A \subset B\)를 같은 분수체를 가지는 정역들의 본질적으로 유한형인 국소 확대라 하고, \(\dim(B) = 2\)이며 \(B\)가 정규라고 하자. 그러면 \(B\)는 유리 특이점을 정의한다.

증명

\(B = C_\mathfrak q\)가 되는 유한형 \(A\)-대수 \(C\)와 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset C\)를 택한다. \(C\)를 \(B\)에서의 \(C\)의 상으로 바꾸어 \(C\)가 \(A\)와 같은 분수체를 가지는 정역이라고 가정해도 된다. 닫힌 몰입 \(\Spec(C) \to \mathbf{A}^n_A\)를 택하고 \(\mathbf{P}^n_A\)에서 폐포를 취하면, 어떤 사영 변형 \(X \to \Spec(A)\)의 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 \(B\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)와 동형임을 얻는다. 실제로 스킴의 사상의 보조정리 02JU는 \(\kappa(x)\)가 \(\kappa\) 위 유한임을 보이고, 보조정리 01TE는 \(x\)가 닫힌점임을 보인다. \(\nu : X^\nu \to X\)를 정규화라 하자. \(A\)가 Nagata이므로 \(\nu\)는 유한이다(스킴의 사상의 보조정리 035S). 따라서 스킴의 사상 심화의 보조정리 0B46에 의해 \(X^\nu\)는 \(A\) 위 사영이다. \(B = \mathcal{O}_{X, x}\)가 정규이므로 \(\mathcal{O}_{X, x} = (\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\)이다. 따라서 \(x\) 위에 놓이는 유일한 점 \(x^\nu \in X^\nu\)가 있고 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x^\nu} = \mathcal{O}_{X, x}\)이다. 그러므로 \(X\)가 정규이고 \(A\) 위 사영이라고 가정해도 된다. \(Y\)가 정규인 변형 \(Y \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \Spec(B)\)를 잡자. \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)임을 보여야 한다. 극한의 보조정리 0B3X에 의해 \(X \setminus \{x\}\) 위에서 동형사상이고 \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)가 \(Y\)와 동형인 스킴의 사상 \(g : X' \to X\)를 찾을 수 있다. 극한의 보조정리 0BFN에 의해 \(g\)가 고유이므로 이는 변형이다. \(X'\)의 한 점 \(x'\)에서의 국소환은 \(g(x') \not = x\)이면 \(g(x')\)에서 \(X\)의 국소환과 동형이고, \(g(x') = x\)이면 \(X'\)의 \(x'\)에서의 국소환이 대응하는 점에서 \(Y\)의 국소환과 동형이다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 정규이므로 \(X'\)도 정규이다. \(A\)에 관한 가정에 의해 \(H^1(X', \mathcal{O}_{X'}) = 0\)이다. 보조정리 0AXF에 의해 \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'} = 0\)이고, 이는 원하는 대로 \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)임을 뜻한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 정규 Nagata 국소정역이라 하자. \(A\)에 대해 유리 특이점으로의 환원이 가능하면, 닫힌점에서의 정규화 부풀리기의 유한 열 \[X = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] 이 존재하여, 임의의 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 유리 특이점을 정의한다. 특히 \(X \to \Spec(A)\)는 변형이고 \(X\)는 \(A\) 위 사영인 정규 스킴이다.

증명

\(X\)가 정규이고 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)의 길이가 최대가 되는 변형 \(X \to \Spec(A)\)를 택한다. 보조정리 0AXF에 의해 \(X'\)가 정규인 모든 추가 변형 \(g : X' \to X\)에 대해 \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'} = 0\)이고 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = H^1(X', \mathcal{O}_{X'})\)이다.

닫힌점 \(x \in X\)를 잡고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 유리 특이점을 정의함을 보이자. \(Y\)가 정규인 변형 \(Y \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)를 잡는다. \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)임을 보여야 한다. 극한의 보조정리 0B3X에 의해 \(X \setminus \{x\}\) 위에서 동형사상이고 \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)가 \(Y\)와 동형인 스킴의 사상 \(g : X' \to X\)를 찾을 수 있다. 극한의 보조정리 0BFN에 의해 \(g\)는 고유이므로 변형이다. \(X'\)의 한 점 \(x'\)에서의 국소환은 \(g(x') \not = x\)이면 \(g(x')\)에서 \(X\)의 국소환과 동형이고, \(g(x') = x\)이면 \(X'\)의 \(x'\)에서의 국소환이 대응하는 점에서 \(Y\)의 국소환과 동형이다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 정규이므로 \(X'\)도 정규이다. 최대성에 의해 \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'} = 0\)이다(첫 문단을 보라). 이는 원하는 대로 \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)임을 뜻한다.

결론적으로, \(X\)의 닫힌점에서 모든 국소환이 유리 특이점을 정의하는 \(\Spec(A)\)의 정규 변형 \(X\)를 찾았다. 이제 \(X_n\)이 \(X\)를 지배하도록 정규화 부풀리기의 열 \(X_n \to \ldots \to X_1 \to \Spec(A)\)를 택한다. 보조정리 0BBT을 보라. \(x \in X\)로 가는 닫힌점 \(x' \in X_n\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_n, x'}\)에 보조정리 0BG0를 적용하면 \(\mathcal{O}_{X_n, x'}\)가 유리 특이점을 정의함을 알 수 있다.

보조정리

\(A \to B\)를 차원 \(2\)인 정규 Nagata 국소정역들의 유한 단사 국소 환 사상이라 하자. 유도된 분수체 확대가 분리라고 가정한다. \(A\)에 대해 유리 특이점으로의 환원이 가능하면 \(B\)에 대해서도 가능하다.

증명

\(n\)을 분수체 확대 \(L/K\)의 차수라 하고, \(\text{Trace}_{L/K} : L \to K\)를 대각합이라 하자. 확대가 유한 분리이므로 대각합 쌍대쌍 \((h, g) \mapsto \text{Trace}_{L/K}(fg)\)는 \(K\) 위 \(L\)의 비퇴화 쌍선형 형식이다. 체의 보조정리 0BIL을 보라. \(K\) 위 \(L\)의 기저를 이루는 \(b_1, \ldots, b_n \in B\)를 택한다. 위 결과에 의해 \(d = \det(\text{Trace}_{L/K}(b_ib_j)) \in A\)는 영이 아니다.

\(Y\)가 정규인 변형 \(Y \to \Spec(B)\)를 잡자. 평탄성 심화의 보조정리 0B49에 의해 \(Y\)의 엄밀 변환 \(Y'\)이 \(X'\) 위 유한이 되는 \(\Spec(A)\)의 \(U\)-허용 부풀리기 \(X'\)을 찾을 수 있다. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ Y' \ar[d] \ar[r] & Y \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ X' \ar[rr] & & \Spec(A) }\] \(X'\)과 \(Y'\)을 각각 그 정규화로 바꾸어, \(X'\)과 \(Y'\)이 \(\Spec(A)\)와 \(\Spec(B)\)의 정규 변형이라고 가정해도 된다. 이로써 다음 가환 도식이 존재하는 경우로 환원된다. \[\xymatrix{ Y \ar[d]_\pi \ar[r]_-g & \Spec(B) \ar[d] \\ X \ar[r]^-f & \Spec(A) }\] 여기서 \(X\)와 \(Y\)는 각각 \(\Spec(A)\)와 \(\Spec(B)\)의 정규 변형이고 \(\pi\)는 유한이다.

\(K\) 위 \(L\)의 대각합 사상은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상 \(\text{Trace} : \pi_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)로 확장된다. 사상 \[\Phi : \pi_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_X^{\oplus n},\quad s \longmapsto (\text{Trace}(b_1s), \ldots, \text{Trace}(b_ns))\] 을 생각하자. 이 사상은 일반점에서 단사이므로 단사이다. 또한 사상 \[\mathcal{O}_X^{\oplus n} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_Y,\quad (s_1, \ldots, s_n) \longmapsto \sum b_i s_i\] 이 있고, 이를 \(\Phi\)와 합성한 사상의 행렬은 \(\text{Trace}(b_ib_j)\)이다. 따라서 \(\Phi\)의 여핵은 \(d\)에 의해 소멸한다. 그러므로 완전열 \[H^0(X, \Coker(\Phi)) \to H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^1(X, \mathcal{O}_X)^{\oplus n}\] 이 있다. 가정에 의해 오른쪽 항이 유계이므로, \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\)의 \(d\)-꼬임이 유계임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0AXJ과 (0AXK)의 내용이다.

보조정리

\(A\)를 차원 \(2\)인 Nagata 정칙 국소환이라 하자. 그러면 \(A\)는 유리 특이점을 정의한다.

증명

(이 증명에는 \(A\)가 Nagata라는 가정이 필요하지 않지만, 유리 특이점의 개념은 차원 \(2\)인 정규 Nagata 국소정역에 대해서만 정의하였다.) \(X\)가 정규인 변형 \(X \to \Spec(A)\)를 잡자. 보조정리 0AHI에 의해 닫힌점에서의 부풀리기 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] 의 마지막 스킴 \(X_n\)으로 \(X\)를 지배할 수 있다. 보조정리 0AGR에 의해 스킴 \(X_i\)들은 정칙이고, 특히 정규이다 (대수학의 보조정리 0567). 보조정리 0AXF에 의해 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \subset H^1(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\)이다. 따라서 \(H^1(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) = 0\)을 증명하면 충분하다. 보조정리 0AXF를 다시 사용하면 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(R^1(X_i \to X_{i - 1})_*\mathcal{O}_{X_i} = 0\)임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0AGS에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가지는 차원 \(2\)의 정규 Nagata 국소정역이라 하자. 영이 아닌 \(d \in A\)가 존재하여 모든 정규 변형 \(X \to \Spec(A)\)에 대해 대각합 사상 \[\Gamma(X, \omega_X) \to \omega_A\] 의 여핵이 \(d\)에 의해 소멸하면, \(A\)에 대해 유리 특이점으로의 환원이 가능하다.

증명

명제에서와 같은 \(X \to \Spec(A)\)에 대해 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)를 유계로 해야 한다. \(\omega_X\)를 Grauert–Riemenschneider 명제(명제 0AXD)에서와 같은 \(X\)의 쌍대화 가군이라 하자. 대각합 사상은 스킴의 쌍대성의 절 0AWG에서 설명한 사상 \(Rf_*\omega_X \to \omega_A\)이다. Grauert–Riemenschneider에 의해 \(Rf_*\omega_X = f_*\omega_X\)이므로 대각합 사상은 실제로 사상 \(\Gamma(X, \omega_X) \to \omega_A\)를 준다. 쌍대성에 의해 \(Rf_*\omega_X = R\Hom_A(Rf_*\mathcal{O}_X, \omega_A)\)이다. 여기서는 \(\omega_X[2]\)가 \(\omega_A[2]\)에 관해 정규화된 \(X\) 위 쌍대화 복합체라는 사실을 사용한다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0AUE, 더 직접적으로 절 0AU3, 또는 더욱 직접적으로 예제 0GEW을 보라. 특수 삼각형 \[A \to Rf_*\mathcal{O}_X \to R^1f_*\mathcal{O}_X[-1] \to A[1]\] 은 \(R\Hom_A(-, \omega_A)\)에 의해 짧은 완전열 \[0 \to f_*\omega_X \to \omega_A \to \Ext_A^2(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) \to 0\] 로 옮겨진다. 또한 \(i \not = 2\)이면 \(\Ext_A^i(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) = 0\)인데, 이는 아래 논의에서도 따른다. \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)의 지지가 \(\{\mathfrak m\}\)에 포함되므로 국소 쌍대성 정리에 의해 \[\Ext_A^2(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) = \Ext_A^0(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A[2]) = \Hom_A(R^1f_*\mathcal{O}_X, E)\] 은 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)의 Matlis 쌍대이고, 다른 Ext 군들은 영이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK를 보라. Matlis 쌍대성에 내재한 범주의 동치(쌍대화 복합체의 명제 08Z9)에 의해 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)가 \(d\)에 의해 소멸하지 않으면 위 \(\Ext^2\)도 소멸하지 않는다. 따라서 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)는 \(d\)에 의해 소멸한다. 이제 필요한 유계성은 보조정리 0AXJ과 (0AXK)에서 따른다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하자. \(A\)를 차원 \(2\), 표수 \(p\)인 정칙 국소환이라 하자. \(A_0 \subset A\)를 \(\Omega_{A/A_0}\)가 계수 \(r < \infty\)의 자유 가군이 되는 부분환이라 하자. \(\omega_A = \Omega^r_{A/A_0}\)로 둔다. \(X \to \Spec(A)\)가 닫힌점에서의 부풀리기 열의 결과이면 사상 \[\varphi_X : (\Omega^r_{X/\Spec(A_0)})^{**} \longrightarrow \omega_X\] 이 존재하며 일반점에서 주어진 식별을 확장한다.

증명

\(A\)는 Gorenstein이다(쌍대화 복합체의 보조정리 0AWX). 따라서 가역 가군 \(\omega_A\)는 실제로 쌍대화 가군이다. 또한 보조정리에서와 같은 \(X\)는 \(X\)가 정칙이고 따라서 Gorenstein이며 \(A\) 위 고유이므로 가역 쌍대화 가군 \(\omega_X\)를 가진다. 비고 0B4R과 보조정리 0AGR을 보라. 사상 \(\varphi_X : (\Omega^r_{X/A_0})^{**} \to \omega_X\)를 구성했다고 하고, \(b : X' \to X\)가 한 닫힌점에서의 부풀리기라고 하자. \(\Omega^r_X = (\Omega^r_{X/A_0})^{**}\)와 \(\Omega^r_{X'} = (\Omega^r_{X'/A_0})^{**}\)로 둔다. \(\omega_{X'} = b^!(\omega_X)\)이므로 사상 \(\Omega^r_{X'} \to \omega_{X'}\)는 사상 \(Rb_*(\Omega^r_{X'}) \to \omega_X\)와 같다. 비고 0B4R과 스킴의 쌍대성의 절 0AU3의 논의를 보라. 따라서 사상 \[Rb_*(\Omega^r_{X'}) \longrightarrow \Omega^r_X\] 을 만들면 충분하다. 층 \(\Omega^r_{X'}\)과 \(\Omega^r_X\)는 가역이다. 인자의 보조정리 0B3N를 보라. 완전열 \[b^*\Omega_{X/A_0} \to \Omega_{X'/A_0} \to \Omega_{X'/X} \to 0\] 을 생각하자. 국소 계산에 의해 \(\Omega_{X'/X}\)는 예외 인자 \(E\) 위 가역 가군과 동형이다. 보조정리 0B4L을 보라. 따라서 다음 둘 중 하나이다. \[\Omega^r_{X'} \cong (b^*\Omega^r_X)(E) \quad\text{or}\quad \Omega^r_{X'} \cong b^*\Omega^r_X\] 인자의 보조정리 0B3T를 보라. 둘째 경우는 표수 영에서는 일어나지 않지만 표수 \(p\)에서는 일어날 수 있다. 어느 경우든 보조정리 0AGS에 의해 \(R^1b_*(\Omega^r_{X'}) = 0\)이고 \(b_*(\Omega^r_{X'}) = \Omega^r_X\)이다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하자. \(A\)를 차원 \(2\), 표수 \(p\)인 완비 정칙 국소환이라 하자. \(L/K\)를 \(A\)의 분수체 \(K\)의 차수 \(p\)인 비분리 확대라 하고, \(B \subset L\)을 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. 그러면 \(B\)에 대해 유리 특이점으로의 환원이 가능하다.

증명

\(A = k[[x, y]]\)이다. 어떤 \(f \in A\)에 대해 \(L = K[x]/(x^p - f)\)로 쓰고, \(g \in B\)로 \(x\)의 합동류, 즉 \(g^p = f\)를 만족하는 원소를 나타내자. 대수학의 보조정리 031W에 의해 \(\text{d}f\)는 \(\Omega_{K/\mathbf{F}_p}\)에서 영이 아니다. 대수학 심화의 보조정리 07P5에 의해 \(p^e = [k : k'] < \infty\)이고, \(K_0\)가 \(A_0 = k'[[x^p, y^p]] \subset A\)의 분수체일 때 \(\text{d}f\)가 \(\Omega_{K/K_0}\)에서 영이 아닌 부분체 \(k^p \subset k' \subset k\)가 존재한다. 이때 \[\Omega_{A/A_0} = A \otimes_k \Omega_{k/k'} \oplus A \text{d}x \oplus A \text{d}y\] 는 계수 \(e + 2\)인 유한 자유 가군이다. \(\omega_A = \Omega^{e + 2}_{A/A_0}\)로 두고, 보조정리 0AX6의 표준 사상 \[\text{Tr} : \Omega^{e + 2}_{B/A_0} \longrightarrow \Omega^{e + 2}_{A/A_0} = \omega_A\] 을 생각하자. 쌍대성에 의해 이는 사상 \[c : \Omega^{e + 2}_{B/A_0} \to \omega_B = \Hom_A(B, \omega_A)\] 을 결정한다. 주장: \(c\)의 여핵은 \(B\)의 어떤 영이 아닌 원소에 의해 소멸한다.

\(\text{d}f\)가 \(\Omega_{A/A_0}\)에서 영이 아니므로 \(\theta = \eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_{e + 1} \wedge \text{d}f\)가 \(\omega_A = \Omega^{e + 2}_{A/A_0}\)에서 영이 되지 않도록 \(\eta_1, \ldots, \eta_{e + 1} \in \Omega_{A/A_0}\)를 택할 수 있다. 주장을 증명하기 위해, \(j = 0, \ldots, p - 1\)에 대해 \(\varphi_i(g^j) = \delta_{ij}\theta\)를 만족하는 \(\varphi_i \in \omega_B = \Hom_A(B, \omega_A)\)로 가는 원소 \(\omega_i\)를 \(\Omega^{e + 2}_{B/A_0}\) 안에서 \(i = 0, \ldots, p - 1\)에 대하여 구성한다. \(\{1, g, \ldots, g^{p - 1}\}\)가 \(L/K\)의 기저이므로 이것으로 주장이 증명된다. \(\eta = \eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_{e + 1}\)로 두어 \(\theta = \eta \wedge \text{d}f\)가 되게 한다. \(\omega_i = \eta \wedge g^{p - 1 - i}\text{d}g\)로 두면 구성에 의해 \[\varphi_i(g^j) = \text{Tr}(g^j \eta \wedge g^{p - 1 - i}\text{d}g) = \text{Tr}(\eta \wedge g^{p - 1 - i + j}\text{d}g) = \delta_{ij} \theta\] 이다. 이는 보조정리 0AX5에 제시된 대각합 사상의 명시적 서술에서 따른다.

\(Y \to \Spec(B)\)를 정규 변형이라 하자. 보조정리 0AXL의 증명과 정확히 같이, \(Y\)가 \(\Spec(A)\)의 한 변형 \(X\) 위 유한인 경우로 환원할 수 있다. 보조정리 0AHI에 의해 더 나아가 \(X \to \Spec(A)\)가 닫힌점에서의 부풀리기 열의 결과라고 가정할 수 있다. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ Y \ar[d]_\pi \ar[r]_-g & \Spec(B) \ar[d] \\ X \ar[r]^-f & \Spec(A) }\] \(\pi\)에 보조정리 0AX6를 적용하면 \[\pi_*(\Omega^{e + 2}_{Y/A_0}) \xrightarrow{\text{Tr}} (\Omega^{e + 2}_{X/A_0})^{**} \xrightarrow{\varphi_X} \omega_X\] 의 첫 화살표를 얻고, 둘째 화살표는 보조정리 0B4T에서 온다. 여기서는 \(f\)가 닫힌점에서의 부풀리기 열임을 사용한다. 유한 사상 \(\pi\)에 대한 쌍대성에 의해 이는 사상 \[c_Y : \Omega^{e + 2}_{Y/A_0} \longrightarrow \omega_Y\] 에 대응하며 위의 사상 \(c\)를 확장한다. 따라서 \(\Gamma(Y, \omega_Y) \to \omega_B\)의 상은 \(c\)의 상을 포함한다. 주장에 의해 그 여핵은 \(B\)의 고정된 영이 아닌 원소에 의해 소멸한다. 이제 보조정리 0B4S을 적용하면 된다.

유리 특이점

이 절에서는 유리 특이점의 경우를 Gorenstein 유리 특이점의 경우로 환원한다. [Lipman-rational]과 [Mattuck]을 보라.

설정

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 유리 특이점을 정의하는 차원 \(2\)의 정규 Nagata 국소정역이라 하자. \(s\)를 \(S = \Spec(A)\)의 닫힌점이라 하고 \(U = S \setminus \{s\}\)로 둔다. \(f : X \to S\)를 \(X\)가 정규인 변형이라 하자. \(f\)의 특수 올 \(X_s\)의 기약성분들을 \(C_1, \ldots, C_r\)로 나타낸다.

보조정리

상황 0B4W에서 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면

1. \(p \not \in \{0, 1\}\)이면 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이고,

2. \(\mathcal{F}\)가 대역 생성이면 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

(1)은 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02V7에서 따른다. \(\mathcal{F}\)가 대역 생성이면 전사 \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)가 있다. (1)과 긴 완전 코호몰로지 열에 의해 이는 \(H^1\) 위 전사를 유도한다. \(S\)가 유리 특이점을 가지므로 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이고, \(H^1(X, -)\)는 직합과 가환하므로 (코호몰로지의 보조정리 01FF) 결론이 따른다.

보조정리

상황 0B4W에서 \(E = X_s\)가 유효 Cartier 인자라고 하고, \(\mathcal{I}\)를 \(E\)의 아이디얼 층이라 하자. 그러면 \(H^0(X, \mathcal{I}^n) = \mathfrak m^n\)이고 \(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\).

증명

상황 0AX8 뒤의 논의에 의해 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = A\)이다. 따라서 \(\mathfrak m \subset H^0(X, \mathcal{I}) \subset H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이다. \(X_s \not = \emptyset\)이므로 둘째 포함은 등식이 아니다. 따라서 \(H^0(X, \mathcal{I}) = \mathfrak m\)이다. \(\mathcal{I}^n = \mathfrak m^n\mathcal{O}_X\)이므로 보조정리 0B4X에 의해 \(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\)이다.

\(\mathfrak m\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_{\mu + 1}\)을 택하자. 이들은 \(\mathcal{I}\)를 생성하는 대역 절들을 정의한다. 따라서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_X^{\oplus \mu + 1} \to \mathcal{I} \to 0\] 이 있다. \(\mathcal{F}\)는 계수 \(\mu\)인 유한 국소자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 구성의 보조정리 0B3B에 의해 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\)는 대역 생성이다. 따라서 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}^n\)은 대역 생성이다. \(n \geq 2\)이면 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}^{n - 1} \to (\mathcal{I}^{n - 1})^{\oplus \mu + 1} \to \mathcal{I}^n \to 0\] 을 생각할 수 있다. 보조정리 0B4X에 의해 \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}^{n - 1}) = 0\)임을 사용하여 긴 완전 코호몰로지 열을 적용하면, \(H^0(X, \mathcal{I}^n)\)의 모든 원소는 어떤 \(a_i \in H^0(X, \mathcal{I}^{n - 1})\)에 대해 \(\sum x_i a_i\) 꼴이다. 귀납법으로 \(H^0(X, \mathcal{I}^n) = \mathfrak m^n\)을 얻는다.

보조정리

상황 0B4W에서 \(\mathfrak m\)에서의 \(\Spec(A)\)의 부풀리기는 정규이다.

증명

\(X' \to \Spec(A)\)를 부풀리기라 하자. 즉 \[X' = \text{Proj}(A \oplus \mathfrak m \oplus \mathfrak m^2 \oplus \ldots).\] 는 Rees 대수의 Proj이다. 특히 \(X'\)은 정역 스킴이고 \(X' \to \Spec(A)\)는 사영 변형이다. \(X\)를 \(X'\)의 정규화라 하자. \(A\)가 Nagata이므로 \(\nu : X \to X'\)는 유한이다(스킴의 사상의 보조정리 035S). \(E' \subset X'\)을 예외 인자라 하고 \(E \subset X\)를 그 역상이라 하자. \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\)과 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 각각의 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{I}' = \mathcal{O}_{X'}(1)\)임을 상기하자(인자의 보조정리 02NS). \(\mathcal{I} = \nu^*\mathcal{I}'\)이고 \(E\)는 유효 Cartier 인자이다(인자의 보조정리 02OO). \(\nu\)가 동형사상임을 보이고자 한다. \(\nu\)가 유한이므로 \(\mathcal{O}_{X'} \to \nu_*\mathcal{O}_X\)가 동형사상임을 보이면 충분하다. 그렇지 않으면 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 \[H^0(X', (\mathcal{I}')^n) \not = H^0(X', (\nu_*\mathcal{O}_X) \otimes (\mathcal{I}')^n)\] 이다. 예컨대 준연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군은 그 결부된 등급 가군에서 복원할 수 있기 때문이다. 성질의 보조정리 01QJ를 보라. 사영 공식에 의해 \[H^0(X', (\nu_*\mathcal{O}_X) \otimes (\mathcal{I}')^n) = H^0(X, \nu^*(\mathcal{I}')^n) = H^0(X, \mathcal{I}^n) = \mathfrak m^n\] 이고, 마지막 등식은 보조정리 0B4Y에 의한 것이다. 한편 분명히 단사 \(\mathfrak m^n \to H^0(X', (\mathcal{I}')^n)\)가 있다. \(H^0(X', (\mathcal{I}')^n)\)이 꼬임이 없으므로 모든 \(n\)에 대해 등식이 성립하고, 따라서 \(X = X'\)이다.

보조정리

상황 0B4W에서 \(X\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(\Spec(A)\)의 부풀리기라 하고, \(E \subset X\)를 예외 인자라 하자. 평소처럼 \(\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{I}\)이고 \(\mathcal{O}_E(1) = \mathcal{O}_X(1)|_E\)라 하면 다음이 성립한다.

1. \(E\)는 \(\kappa\) 위 고유 Cohen–Macaulay 곡선이다.

2. \(\mathcal{O}_E(1)\)은 매우 풍부하다.

3. \(\deg(\mathcal{O}_E(1)) \geq 1\)이고, 등식은 \(A\)가 정칙 국소환일 때에만 성립한다.

4. \(n \geq 0\)이면 \(H^1(E, \mathcal{O}_E(n)) = 0\)이다.

5. \(n \geq 0\)이면 \(H^0(E, \mathcal{O}_E(n)) = \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)이다.

증명

구성에 의해 \(\mathcal{O}_X(1)\)은 매우 풍부하므로 특수 올 \(E\)로의 제한도 매우 풍부하다. 보조정리 0B4Z에 의해 스킴 \(X\)는 정규이다. 그러므로 인자의 보조정리 0B3S에 의해 \(E\)는 Cohen–Macaulay이다. 보조정리 0B4Y을 적용하여 완전열들 \[0 \to \mathcal{I}^{n + 1} \to \mathcal{I}^n \to i_*\mathcal{O}_E(n) \to 0\] 과 긴 완전 코호몰로지 열에서 (4)와 (5)를 얻는다. 특히 다형체의 정의 0AYR에 의해 \[\deg(\mathcal{O}_E(1)) = \chi(E, \mathcal{O}_E(1)) - \chi(E, \mathcal{O}_E) = \dim(\mathfrak m/\mathfrak m^2) - 1\] 이다. 따라서 (3)도 따른다.

보조정리

상황 0B4W에서 \(A\)가 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가진다고 하자. \(\omega_X\)를 \(X\)의 쌍대화 가군이라 하면 대각합 사상 \(H^0(X, \omega_X) \to \omega_A\)는 동형사상이고, 따라서 표준 사상 \(f^*\omega_A \to \omega_X\)가 있다.

증명

Grauert–Riemenschneider(명제 0AXD)에 의해 \(Rf_*\omega_X = f_*\omega_X\)이다. 쌍대성에 의해 짧은 완전열 \[0 \to f_*\omega_X \to \omega_A \to \Ext^2_A(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) \to 0\] 이 있다. 예컨대 보조정리 0B4S의 증명을 보라. \(A\)가 유리 특이점을 정의하므로 \(f_*\omega_X = \omega_A\)를 얻는다.

보조정리

상황 0B4W에서 \(A\)가 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가지고 정칙이 아니라고 하자. \(X\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(\Spec(A)\)의 부풀리기라 하고 \(E \subset X\)를 예외 인자라 하자. \(\omega_X\)를 \(X\)의 쌍대화 가군이라 하자. 그러면

1. \(\omega_E = \omega_X|_E \otimes \mathcal{O}_E(-1)\),

2. \(n \geq 0\)이면 \(H^1(X, \omega_X(n)) = 0\)이다.

3. 보조정리 0BBU의 사상 \(f^*\omega_A \to \omega_X\)는 전사이다.

증명

보조정리 0B63의 결과들을 더 언급하지 않고 사용한다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0AA4와 0A9X에 의해 \(\omega_E = \omega_X|_E \otimes \mathcal{O}_E(-1)\) 이다. 따라서 \(\omega_X|_E = \omega_E(1)\)이다. 짧은 완전열들 \[0 \to \omega_X(n + 1) \to \omega_X(n) \to i_*\omega_E(n + 1) \to 0\] 을 생각하자. 대수곡선의 보조정리 0B62에 의해 \(n \geq 0\)이면 \(H^1(E, \omega_E(n + 1)) = 0\)이다. 따라서 사상들 \[\ldots \to H^1(X, \omega_X(2)) \to H^1(X, \omega_X(1)) \to H^1(X, \omega_X)\] 은 전사이다. \(n \gg 0\)이면 \(H^1(X, \omega_X(n))\)은 영이므로(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02O1) (2)가 따른다.

대수곡선의 보조정리 0B5H에 의해 \(\omega_X|_E = \omega_E \otimes \mathcal{O}_E(1)\)은 대역 생성이다. 위에서 \(H^1(X, \omega_X(1)) = 0\)임을 보았으므로 사상 \(H^0(X, \omega_X) \to H^0(E, \omega_X|_E)\)는 전사이다. 따라서 \(\omega_X\)는 대역 생성이다. 보조정리 0BBU에서 사상을 정의할 때 \(\Gamma(X, \omega_X) = \omega_A\)를 사용했으므로 (3)이 성립한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 유리 특이점을 정의하는 차원 \(2\)의 정규 Nagata 국소정역이라 하고, \(A\)가 쌍대화 복합체를 가진다고 하자. 그러면 특이 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \[X = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] 이 존재하여 각 \(i\)에 대해 \(X_i\)가 정규이고, \(X\)의 쌍대화 층 \(\omega_X\)는 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

쌍대화 가군 \(\omega_A\)는 일반점에서 줄기가 가역인 유한 \(A\)-가군이다. 실제로 \(\omega_A \otimes_A K\)는 \(A\)의 분수체 \(K\)의 쌍대화 가군이므로 계수 \(1\)이다. 따라서 \(b\)에 대한 \(\omega_A\)의 엄밀 변환이 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이 되는 부풀리기 \(b : Y \to \Spec(A)\)가 존재한다. 인자의 보조정리 0ESN을 보라. 보조정리 0BBT에 의해 \(X_n\)이 \(Y\)를 지배하는 정규화 부풀리기의 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to \Spec(A)\] 을 택할 수 있다. 보조정리 0B4Z과 귀납법에 의해 각 \(X_i \to X_{i - 1}\)는 단순히 부풀리기이다.

\(\omega_{X_n}\)가 가역이라고 주장한다. \(\omega_{X_n}\)는 연접 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-가군이므로 그 줄기들이 가역임을 보이면 충분하다. \(x \in X_n\)이 정칙점이면 정칙 스킴이 Gorenstein이라는 사실(쌍대화 복합체의 보조정리 0AWX)에서 곧바로 따른다. \(x\)가 \(X_n\)의 특이점이면, \(x\)의 각 상 \(x_i \in X_i\)도 특이점이다. 실제로 보조정리 0AGR에 의해 정칙점의 부풀리기는 정칙이다. 보조정리 0BBU의 표준 사상 \(f_n^*\omega_A \to \omega_{X_n}\)을 생각하자. 각 \(i\)에 대해 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(x_i\)의 부풀리기이거나 \(x_i\)에서 동형사상이다. \(x_i\)가 항상 특이점이므로 보조정리 0B64과 귀납법에 의해 사상 \(f_i^*\omega_A \to \omega_{X_i}\)는 \(x_i\)에서 줄기 위 전사이다. 따라서 \[(f_n^*\omega_A)_x \longrightarrow \omega_{X_n, x}\] 는 전사이다. 한편 \(b\)의 선택에 의해 \(f_n^*\omega_A\)를 그 꼬임 부분가군으로 나눈 몫은 가역 가군 \(\mathcal{L}\)이다. 더구나 쌍대화 가군은 꼬임이 없다 (스킴의 쌍대성의 보조정리 0AWK). 따라서 \(\mathcal{L}_x \cong \omega_{X_n, x}\)이고 증명이 끝난다.

형식 호

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. 이 절에서 \(X\) 안의 형식 호란 사상 \(a : T \to X\)를 말한다. 여기서 \(T\)는 완비 이산 값매김환 \(R\)의 스펙트럼이고, 그 잉여체 \(\kappa\)는 \(\Spec(R)\)의 닫힌점의 상 \(p\)의 잉여체와 식별되어 있다. 이 경우 형식 호 \(a\)가 \(p\)를 중심으로 한다고 한다. 유도된 사상 \(\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 \to \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\)가 전사이면 형식 호 \(T \to X\)가 비특이라고 한다.

\(a : T \to X\), \(T = \Spec(R)\)를 \(X\)의 닫힌점 \(p\)를 중심으로 하는 비특이 형식 호라 하고 \(X\)가 국소 Noether라고 하자. \(b : X_1 \to X\)를 \(x\)에서의 \(X\)의 부풀리기라 하자. \(a\)가 비특이이므로 \(R\)에서 균일화원으로 가는 원소 \(f \in \mathfrak m_p\)가 존재한다. 특히 \(T\)의 일반점은 \(p\)와 다른 \(X\)의 점으로 간다. 즉 \(K\)를 \(R\)의 분수체라 하면 \(a\)의 제한은 사상 \(\Spec(K) \to X \setminus \{p\}\)를 정의한다. 사상 \(b\)는 고유이고 \(X \setminus \{x\}\) 위에서 동형사상이므로 고유성의 값매김 판정법을 적용하여 다음 도식을 가환하게 하는 유일한 사상 \(a_1\)을 얻는다. \[\xymatrix{ T \ar[r]_{a_1} \ar[rd]_a & X_1 \ar[d]^{b} \\ & X }\] \(p_1 \in X_1\)을 \(T\)의 닫힌점의 상이라 하자. \(p_1\)은 \(x\) 위에서 \(X_1 \to X\)의 올의 \(\kappa = \kappa(p)\)-유리점이므로 닫힌점이다. 분해 \[\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_1, p_1} \to R\] 가 있으므로 \(a_1\)도 비특이 형식 호이다.

이 과정을 반복하여 부풀리기의 열 \[\xymatrix{ T \ar[d]_a \ar[rd]_{a_1} \ar[rrd]_{a_2} \ar[rrrd]^{a_3} \\ (X, p) & (X_1, p_1) \ar[l] & (X_2, p_2) \ar[l] & (X_3, p_3) \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] 을 얻는다. 이러한 부풀리기 열은 다음과 같이 특징지어진다.

보조정리

\(X\)를 국소 Noether 스킴이라 하자. 부풀리기의 열 \[(X, p) = (X_0, p_0) \leftarrow (X_1, p_1) \leftarrow (X_2, p_2) \leftarrow (X_3, p_3) \leftarrow \ldots\] 이 다음을 만족한다고 하자.

1. \(p_i\)는 닫힌점이고 \(p_{i - 1}\)로 가며 \(\kappa(p_i) = \kappa(p_{i - 1})\)이다.

2. \(i > 0\)일 때 \(\mathfrak m_{p_i}\)에서의 상이 예외 인자 \(E_i \subset X_i\)를 정의하는 \(x_1 \in \mathfrak m_p\)가 존재한다.

그러면 이 열은 위와 같은 비특이 호 \(a : T \to X\)에서 얻어진다.

증명

\(\mathcal{O}_n = \mathcal{O}_{X_n, p_n}\)과 \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X, p}\)로 쓰자. 극대 아이디얼들을 각각 \(\mathfrak m \subset \mathcal{O}\)와 \(\mathfrak m_n \subset \mathcal{O}_n\)로 나타낸다.

\(x_1^t \not \in \mathfrak m_n^{t + 1}\)이라고 주장한다. 그렇지 않으면 국소환 \(\mathcal{O}_{n + 1}\)에서 원소 \(x_1^t\)가 \((t + 1)E_{n + 1}\)의 아이디얼에 속하게 된다. 이는 \(x_1\)이 \(E_{n + 1}\)을 정의한다는 가정에 모순이다.

각 \(n\)에 대해 \(\mathfrak m_n\)의 생성원 \(y_{n, 1}, \ldots, y_{n, t_n}\)을 택한다. (2)에 의해 \(\mathfrak m_n \mathcal{O}_{n + 1} = x_1\mathcal{O}_{n + 1}\) 이므로 어떤 \(a_{n, i} \in \mathcal{O}_{n + 1}\)에 대해 \(y_{n, i} = a_{n, i} x_1\)로 쓸 수 있다. (1)에 의해 사상 \(\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_{n + 1}\)은 잉여체의 동형사상을 정의하므로 \(a_{n, i}\)와 같은 잉여류를 가지는 \(c_{n, i} \in \mathcal{O}_n\)을 택할 수 있다. 따라서 \[\mathfrak m_n = (x_1, z_{n, 1}, \ldots, z_{n, t_n}), \quad z_{n, i} = y_{n, i} - c_{n, i} x_1\] 이고, 원소 \(z_{n, i}\)들은 \(\mathcal{O}_{n + 1}\)에서 \(\mathfrak m_{n + 1}^2\)의 원소로 간다.

다음을 생각하자. \[J_n = \Ker(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_n/\mathfrak m_n^{n + 1})\] \(\mathcal{O}/J_n\)의 길이가 \(n + 1\)이고 \(\mathcal{O}/(x_1) + J_n\)이 잉여체와 같다고 주장한다. \(n = 0\)일 때 이는 즉시 성립한다. \(n\)에 대해 명제가 성립한다고 하고 \(f \in J_n\)을 잡자. \(\mathcal{O}_n\)에서 \[f = a x_1^{n + 1} + x_1^n A_1(z_{n, i}) + x_1^{n - 1} A_2(z_{n, i}) + \ldots + A_{n + 1}(z_{n, i})\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(a \in \mathcal{O}_n\)이고 \(A_i\)는 \(\mathcal{O}_n\)의 계수를 가지는 차수 \(i\)의 동차식이다. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_n\)이 잉여체들을 식별하므로 \(a \in \mathcal{O}\)로 택해도 된다. 위에서 \(z_{n, i}\)를 구성한 것처럼 논증하면 된다. \(\mathcal{O}_{n + 1}\)에서 상을 취하면 \(f\)와 \(a x_1^{n + 1}\)은 법 \(\mathfrak m_{n + 1}^{n + 2}\)로 같은 상을 가진다. \(x_n^{n + 1} \not \in \mathfrak m_{n + 1}^{n + 2}\)이므로 \(J_n/J_{n + 1}\)의 길이는 \(1\)이고 주장이 성립한다.

\(R = \lim \mathcal{O}/J_n\)을 생각하자. 이는 \(\mathcal{O}\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화의 몫이므로 완비 Noether 국소환이다. 한편 길이는 유한하지 않고 \(x_1\)이 극대 아이디얼을 생성한다. 따라서 \(R\)은 완비 이산 값매김환이다. 모든 \(n\)에 대해 사상 \(\mathcal{O} \to R\)은 국소 준동형 \(\mathcal{O}_n \to R\)로 올라간다. 이를 보이는 방법은 두 가지이다. (1) 각 \(n\)에 대해 비슷한 절차로 \(\mathcal{O}_n \to R_n\)을 구성한 다음 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_n \to R_n\)이 동형사상 \(R \to R_n\)을 통해 분해됨을 보인다. (2) 인자의 보조정리 0BFL을 사용하여 \(\mathcal{O}_n\)이 반복 아핀 부풀리기 대수의 국소화임을 보이고 사상 \(\mathcal{O}_n \to R\)을 명시적으로 구성한다. 이제 우리의 부풀리기 열이 비특이 호 \(a : T = \Spec(R) \to X\)에서 온다는 것은 분명하다.

다음 보조정리는 일종의 Néron 비특이화 보조정리이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 Noether 국소정역이라 하고, \(A \to R\)을 완비 이산 값매김환 위로의 전사라 하자. 이는 비특이 호 \(a : T = \Spec(R) \to \Spec(A)\)를 정의한다. \(a\)에서 구성된 부풀리기 열을 \[\Spec(A) = X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow X_2 \leftarrow X_3 \leftarrow \ldots\] 라 하자. \(\mathfrak p = \Ker(A \to R)\)일 때 \(A_\mathfrak p\)가 정칙 국소환이면, 어떤 \(i\)에 대해 스킴 \(X_i\)는 \(x_i\)에서 정칙이다.

증명

\(x_1 \in \mathfrak m\)을 \(R\)의 균일화원으로 가도록 택하자. \(\kappa(\mathfrak p) = K\)는 \(R\)의 분수체이다. \(r\)이 최소가 되도록 \(\mathfrak p = (x_2, \ldots, x_r)\)로 쓰자. \(r = 2\)이면 \(\mathfrak m = (x_1, x_2)\)이고 \(A\)는 정칙이므로 보조정리가 성립한다. 이제 \(r > 2\)라 하자. 필요하면 번호를 바꾸어 \(x_2\)가 \(A_\mathfrak p\)의 균일화원으로 간다고 가정해도 된다. 그러면 \(\mathfrak p/\mathfrak p^2 + (x_2)\)는 \(x_1\)의 한 거듭제곱에 의해 소멸한다. \(i > 2\)에 대해 어떤 \(n_i \geq 0\)와 \(a_i \in A\)가 존재하여 \[x_1^{n_i} x_i - a_i x_2 = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} x_jx_k\] 가 성립한다. 여기서 \(a_{jk} \in A\)이다. 어떤 \(i\)에 대해 \(n_i = 0\)이면 \(\mathfrak p\)의 생성원 목록에서 \(x_i\)를 제거할 수 있고, \(r\)에 대한 귀납법으로 끝난다. 어떤 \(i\)에 대해 \(a_i\)가 단위원이면 \(\mathfrak p\)의 목록에서 \(x_2\)를 제거할 수 있고 같은 방식으로 끝난다. 따라서 \(a_i \in \mathfrak p\)이거나, 어떤 \(m_1 > 0\)와 단위원 \(u_i \in A\)에 대해 \(a_i = u_i x_1^{m_1} \bmod \mathfrak p\)이다. 그러므로 다음 둘 중 하나이다. \[x_1^{n_i} x_i = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} x_jx_k \quad\text{or}\quad x_1^{n_i} x_i - u_i x_1^{m_i} x_2 = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} x_jx_k\] 부풀린 뒤 정수 \(n_i\), \(m_i\)가 감소함을 보이겠다. 그러면 증명이 끝난다.

아핀 부풀리기 대수 \(A' = A[\mathfrak m/x_1]\) 위에서 이 방정식들이 어떻게 되는지 보자. \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\)이므로 \(A'\)은 \(R\) 위에서 \(i \geq 2\)에 대한 \(y_i = x_i/x_1\)들로 생성된다. 분명히 \(A \to R\)은 핵이 \((y_2, \ldots, y_r)\)인 \(A' \to R\)로 확장된다. 이때 다음 둘 중 하나이고, \[x_1^{n_i - 1} y_i = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} y_jy_k \quad\text{or}\quad x_1^{n_i - 1} y_i - u_i x_1^{m_1 - 1} y_2 = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} y_jy_k\] 증명이 끝난다.

완비화로의 기저변환

다음 간단한 보조정리는 이후에 유용한 도구가 된다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)이 유한 생성인 국소환이라 하고, \(X\)를 \(A\) 위 스킴이라 하자. \(A^\wedge\)를 \(A\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화라 하고 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)로 둔다. \(q \in Y\)의 상 \(p \in X\)가 \(\Spec(A)\)의 닫힌점 위에 놓이면 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{X, p} \to \mathcal{O}_{Y, q}\)는 완비화들의 동형사상을 유도한다.

증명

\(X\)가 아핀이라고 가정해도 되므로 \(X = \Spec(B)\)로 쓰자. \(\mathfrak q \subset B' = B \otimes_A A^\wedge\)를 \(q\)에 대응하는 소 아이디얼, \(\mathfrak p \subset B\)를 \(p\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 대수학의 보조정리 05GG에 의해 모든 \(n\)에 대해 \[B'/(\mathfrak m^\wedge)^n B' = A^\wedge/(\mathfrak m^\wedge)^n \otimes_A B = A/\mathfrak m^n \otimes_A B = B/\mathfrak m^n B\] 이다. \(\mathfrak m B \subset \mathfrak p\)이고 \(\mathfrak m^\wedge B' \subset \mathfrak q\)이므로 \(B/\mathfrak p^n\)과 \(B'/\mathfrak q^n\)은 모두 위 표시된 환을 같은 소 아이디얼의 \(n\)제곱으로 나눈 몫이다. 결론이 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하고, \(X \to \Spec(A)\)를 국소 유한형 사상이라 하자. \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)로 두고, \(y \in Y\)의 상을 \(x \in X\)라 하자. 그러면

1. \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 정칙이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)도 정칙이다.

2. \(y\)가 닫힌 올에 속하면 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 정칙이다 \(\Leftrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\)가 정칙이다.

3. \(X\)가 \(A\) 위 고유이면, \(X\)가 정칙일 필요충분조건은 \(Y\)가 정칙인 것이다.

증명

\(A \to A^\wedge\)가 충실히 평탄하므로(대수학의 보조정리 00MC) \(Y \to X\)는 평탄하다. 따라서 대수학의 보조정리 07NG에 의해 (1)이 성립한다. 보조정리 0BG5에 의해 \(Y \to X\)는 특수 올의 점들에서 완비 국소환들의 동형사상을 유도한다. 따라서 대수학 심화의 보조정리 07NY에 의해 (2)가 성립한다. \(X\)가 \(A\) 위 고유이면 \(Y\)는 \(A^\wedge\) 위 고유이고(스킴의 사상의 보조정리 01W4), \(X\)와 \(Y\)의 모든 닫힌점은 닫힌 올에 속한다. 그러므로 성질의 보조정리 02IT에 의해 \(Y\)가 정칙일 필요충분조건은 \(X\)가 정칙인 것이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 완비화가 \(A^\wedge\)인 Noether 국소환이라 하자. \(U \subset \Spec(A)\)와 \(U^\wedge \subset \Spec(A^\wedge)\)를 천공 스펙트럼들이라 하자. \(Y \to \Spec(A^\wedge)\)가 \(U^\wedge\)-허용 부풀리기이면 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)가 되는 \(U\)-허용 부풀리기 \(X \to \Spec(A)\)가 존재한다.

증명

정의에 의해 \(V(J) = \{\mathfrak m A^\wedge\}\)이고 \(Y\)가 \(J\)로 정의되는 닫힌 부분스킴에서의 \(S^\wedge\)의 부풀리기가 되는 아이디얼 \(J \subset A^\wedge\)가 존재한다. 인자의 정의 080K을 보라. \(A^\wedge\)가 Noether이므로 어떤 \(n\)에 대해 \(\mathfrak m^n A^\wedge \subset J\)이다. \(A^\wedge/\mathfrak m^n A^\wedge = A/\mathfrak m^n\)이므로 \(J = I A^\wedge\)가 되는 아이디얼 \(\mathfrak m^n \subset I \subset A\)를 찾을 수 있다. \(X \to S\)를 \(I\)에서의 부풀리기라 하자. \(A \to A^\wedge\)가 평탄하므로 인자의 보조정리 0805에 의해 \(X\)의 기저변환은 \(Y\)이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(2\)인 Nagata 정규 국소정역이라 하자. \(A\)가 유리 특이점을 정의하고 \(A\)의 완비화 \(A^\wedge\)가 정규라고 가정한다. 그러면

1. \(A^\wedge\)는 유리 특이점을 정의하고,

2. \(X \to \Spec(A)\)가 \(\mathfrak m\)에서의 부풀리기이면 모든 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 완비화는 정규이다.

증명

\(Y\)가 정규인 변형 \(Y \to \Spec(A^\wedge)\)를 잡자. \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)임을 보여야 한다. 다형체의 보조정리 0BFP에 의해 \(Y \to \Spec(A^\wedge)\)는 천공 스펙트럼 \(U^\wedge = \Spec(A^\wedge) \setminus \{\mathfrak m^\wedge\}\) 위에서 동형사상이다. 보조정리 0B4M에 의해 \(Y\)를 지배하는 \(U^\wedge\)-허용 부풀리기 \(Y' \to \Spec(A^\wedge)\)가 있다. 보조정리 0AFK에 의해 \(A^\wedge\)로의 기저변환이 \(Y\)를 지배하는 \(U\)-허용 부풀리기 \(X \to \Spec(A)\)가 있다. \(A\)가 Nagata이므로 \(X\)를 정규화로 바꾸어 \(X \to \Spec(A)\)가 정규 변형이 되게 할 수 있다. 다만 더 이상 \(U\)-허용 부풀리기는 아닐 수 있다. \(A\)가 유리 특이점을 정의하므로 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이다. 따라서 \(H^1(X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge), \mathcal{O}_{X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)}) = 0\) 이다. 이는 평탄 기저변환(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH)과 \(A \to A^\wedge\)의 평탄성 (대수학의 보조정리 00MB)에서 따른다. 보조정리 0AXF에 의해 \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)이다.

마지막으로 \(X \to \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(\Spec(A)\)의 부풀리기라 하자. 그러면 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)는 \(\mathfrak m^\wedge\)에서의 \(\Spec(A^\wedge)\)의 부풀리기이다. 보조정리 0B4Z에 의해 \(Y\)와 \(X\)는 모두 정규이다. 한편 \(A^\wedge\)는 우수하고(대수학 심화의 명제 07QW), 따라서 \(Y\)의 모든 아핀 열린집합은 우수 정규 정역의 스펙트럼이다(대수학 심화의 보조정리 07QU). 그러므로 \(y \in Y\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)는 정칙이고, 대수학 심화의 보조정리 0BFK에 의해 \(\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)는 정규이다. \(x \in X\)가 특수 올의 닫힌점이면 \(x\) 위에 놓이는 유일한 닫힌점 \(y \in Y\)가 있다. 보조정리 0BG5에 의해 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)가 완비화의 동형사상을 유도하므로 결론이 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하고, \(X\)를 \(A\) 위 스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(A\)는 해석적 비분기이다(대수학의 정의 032X).

2. \(X\)는 \(A\) 위 국소 유한형이다.

3. \(X \to \Spec(A)\)는 \(X\)의 기약성분들의 일반점에서 에탈이다.

그러면 \(X\)의 정규화는 \(X\) 위 유한이다.

증명

\(A\)가 해석적 비분기이므로 대수학의 보조정리 032Y에 의해 기약이다. \(X\)의 정규화는 \(X\)의 기약화에만 의존하므로 \(X\)를 그 기약화 \(X_{red}\)로 바꾸어도 된다. \(X \to \Spec(A)\)가 에탈인 열린집합 \(U\)는 기약이므로(내림의 보조정리 034E) \(X_{red} \to X\)는 \(U\) 위에서 동형사상이고, 따라서 이 교체 뒤에도 조건 (3)은 성립한다. 더 나아가 \(X = \Spec(B)\)가 아핀이라고 가정한다.

사상 \[K = \prod\nolimits_{\mathfrak p \subset A\text{ minimal}} \kappa(\mathfrak p) \longrightarrow K^\wedge = \prod\nolimits_{\mathfrak p^\wedge \subset A^\wedge\text{ minimal}} \kappa(\mathfrak p^\wedge)\] 은 단사이다. 실제로 \(A \to A^\wedge\)가 충실히 평탄하므로(대수학의 보조정리 00MC) 극소 소 아이디얼들의 집합 사이에 전사를 유도한다. 이는 평탄 환 사상에 대한 하강 정리이며, 대수학의 절 00HU을 보라. 환들이 Noether이므로 양변은 체들의 유한 곱이다. \(L = \prod_{\mathfrak q \subset B\text{ minimal}} \kappa(\mathfrak q)\)로 두자. 가정 (3)에 의해 \(L = B \otimes_A K\)이고 \(K \to L\)은 유한 에탈 환 사상이다. 실제로 \(A \to B\)는 일반적으로 유한이다. 예컨대 대수학의 보조정리 02ML 또는 스킴의 사상의 절 02NV의 더 자세한 결과들을 보라. \(B\)가 기약이므로 \(B \subset L\)이다. 따라서 \[C = B \otimes_A A^\wedge \subset L \otimes_A A^\wedge = L \otimes_K K^\wedge = M\] 이다. \(M\)은 \(C\)의 전분수환이고, \(K^\wedge\) 위 유한 분리 대수이므로 체들의 유한 곱이다. 따라서 \(C\)는 기약이고 그 정규화 \(C'\)은 \(M\) 안에서 \(C\)의 정수적 폐포이다. \(B\)의 정규화 \(B'\)은 \(L\) 안에서 \(B\)의 정수적 폐포이다. \(A \to A^\wedge\)의 평탄성에 의해 상이 \(C'\)에 포함되는 단사 사상 \(B' \otimes_A A^\wedge \to M\)을 얻는다. 즉 \[B' \otimes_A A^\wedge \longrightarrow C'\] \(A^\wedge\)가 Nagata이므로(대수학의 보조정리 032W), 대수학의 보조정리 032W 및 03GH). 에 의해 \(C'\)은 \(C = B \otimes_A A^\wedge\) 위 유한이다. \(C\)가 Noether이므로 \(B' \otimes_A A^\wedge\)는 \(C = B \otimes_A A^\wedge\) 위 유한이다. 따라서 충실히 평탄한 내림(대수학의 보조정리 03C4)에 의해 \(B'\)은 \(B\) 위 유한이다. 이것이 보여야 할 바였다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하고, \(X \to \Spec(A)\)를 국소 유한형 사상이라 하자. \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)로 둔다. \(Y\)에서 특수 올의 여집합이 정규이면 정규화 \(X^\nu \to X\)는 유한이고, \(X^\nu\)의 \(\Spec(A^\wedge)\)로의 기저변환은 \(Y\)의 정규화를 복원한다.

증명

\(B\)가 유한형 \(A\)-대수인 아핀 경우 \(X = \Spec(B)\)로 즉시 환원된다. \(C = B \otimes_A A^\wedge\)로 두어 \(Y = \Spec(C)\)가 되게 하자. \(A \to A^\wedge\)가 충실히 평탄하므로 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대해 \(\mathfrak q\) 위에 놓이는 소 아이디얼 \(\mathfrak r \subset C\)가 있다. 이때 \(B_\mathfrak q \to C_\mathfrak r\)는 충실히 평탄하다. 따라서 \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak m\) 위에 놓이지 않으면, \(Y\)에 관한 가정에 의해 \(C_\mathfrak r\)가 정규이고 대수학의 보조정리 033G에 의해 \(B_\mathfrak q\)도 정규이다. 이로써 \(X\)는 특수 올 밖에서 정규이다.

완비 Noether 국소환 \(A^\wedge\)는 Nagata임을 상기하자(대수학의 보조정리 032W). 따라서 정규화 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이고(스킴의 사상의 보조정리 035S), 특수 올 밖에서 동형사상이다. \(Y^\nu = \Spec(C')\)라 하자. 그러면 \(C \to C'\)은 유한이고 \(V(\mathfrak m C)\) 밖에서 동형사상이다. \(B \to C\)가 평탄이고 동형사상 \(B/\mathfrak m B \to C/\mathfrak m C\)를 유도하므로, \(C\)로의 기저변환이 \(C \to C'\)을 복원하는 유한 환 사상 \(B \to B'\)이 존재한다. 대수학 심화의 보조정리 0ALK과 비고 05EU를 보라. 따라서 특수 올 밖에서 동형사상이고 기저변환이 \(Y^\nu \to Y\)를 복원하는 유한 사상 \(X' \to X\)를 얻는다. 첫 문단의 논의에 의해 \(X'\)은 특수 올 위에 있지 않은 점들에서 정규이다. 특수 올 위의 점 \(x \in X'\)에는 대응하는 점 \(y \in Y^\nu\)와 평탄 사상 \(\mathcal{O}_{X', x} \to \mathcal{O}_{Y^\nu, y}\)가 있다. \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y}\)가 정규이므로 대수학의 보조정리 033G에 의해 \(\mathcal{O}_{X', x}\)도 정규이다. 따라서 \(X'\)은 정규이고, 이에 따라 \(X\)의 정규화이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 완비화 \(A^\wedge\)가 정규인 Noether 국소정역이라 하자. 임의의 정규화 부풀리기 열 \[Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to \Spec(A^\wedge)\] 이 주어지면 (고유) 정규화 부풀리기의 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to \Spec(A)\] 이 존재하며, \(A^\wedge\)로의 기저변환은 주어진 열을 복원한다.

증명

열 \(Y_n \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = \Spec(A^\wedge)\)가 주어지면 \(X_n \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\)를 귀납적으로 구성한다. 기초 경우는 \(i = 0\)이다. 기저변환이 \(Y_i\)인 \(X_i\)가 주어졌다고 하자. \(Y_{i + 1}\)이 \(Y_i\)의 정규화가 되도록 \(Y'_i \to Y_i\)를 닫힌점 \(y_i \in Y_i\)에서의 부풀리기라 하자. \(Y_i\)와 \(X_i\)의 닫힌 올들이 동형이므로 \(y_i\)는 \(X_i\)의 특수 올 위 닫힌점 \(x_i\)에 대응한다. \(X'_i \to X_i\)를 \(x_i\)에서의 \(X_i\)의 부풀리기라 하자. 그러면 \(X'_i\)의 \(\Spec(A^\wedge)\)로의 기저변환은 \(Y'_i\)와 동형이다. 보조정리 0BG9에 의해 정규화 \(X_{i + 1} \to X'_i\)는 유한이고 그 \(\Spec(A^\wedge)\)로의 기저변환은 \(Y_{i + 1}\)과 동형이다.

유리 이중점

절 0B4V에서 \(2\)차원 유리 특이점의 해소가 Gorenstein 경우로 환원됨을 보였다. Gorenstein 유리 곡면 특이점은 유리 이중점이다. 이를 명시적 계산으로 해소한다.

예제의 절 0AL7의 논의에 따르면 완비화가 \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(z^2)\)와 동형인 정규 Noether 국소정역 \(A\)가 존재한다. 이 경우 \(A\)가 유리 이중점 특이점을 가진다고 할 수 있지만, \(\Spec(A)\)는 특이점 해소를 가지지 않는다. \(A\)가 Nagata 환이면 이런 현상은 일어날 수 없다. 대수학의 보조정리 0331을 보라.

상황은 더 나쁘다. 완비화가 \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(yz)\)인 정규 Nagata 국소정역 \(A\)와 완비화가 \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(y^2 - z^3)\)인 또 다른 예가 존재한다. 이는 [Nishimura-few]의 예제 2.5이다. 이것이 이 절에서 환의 완비화가 정규라고 가정해야 하는 이유이다.

설정

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 유리 특이점을 정의하고 완비화가 정규이며 Gorenstein인 차원 \(2\)의 Nagata 정규 국소정역이라 하자. \(A\)는 정칙이 아니라고 가정한다.

이 절의 논증은 이 상황에서 특이점을 반복하여 부풀리면 \(\Spec(A)\)가 해소됨을 보인다. 증명 중에 다음 보조정리가 필요하다.

보조정리

\(\kappa\)를 체, \(I \subset \kappa[x, y]\)를 아이디얼이라 하자. 모두 영은 아닌 \(a, b, c, d, e, f \in k\)에 대해 \[a + b x + c y + d x^2 + exy + f y^2 \in I^2\] 이고 \(\kappa[x, y]\)에서 \(I\)의 여길이가 \(> 1\)이면, 어떤 \(j, g, h, i \in \kappa\)에 대해 \(a + b x + c y + d x^2 + exy + f y^2 = j(g + hx + iy)^2\)이다.

증명

편미분 \(b + 2dx + ey\)와 \(c + ex + 2fy\)를 생각하자. Leibniz 법칙에 의해 이들은 \(I\)에 속한다. 둘 중 하나가 영이 아니면 선형 좌표변환, 즉 \(x \mapsto \alpha + \beta x + \gamma y\)와 \(y \mapsto \delta + \epsilon x + \zeta y\) 꼴의 변환 뒤에 \(x \in I\)라고 가정해도 된다. 그러면 \(I = (x)\)이거나 \(I = (x, F)\)이며, 후자의 경우 \(F\)는 \(y\)에 관한 차수 \(\geq 2\)의 monic 다항식이다. 첫 경우 명제는 명백하다. 둘째 경우 \(I^2\)의 임의의 원소를 \[A(x, y) x^2 + B(y) x F + C(y) F^2\] 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 \(A(x, y) \in \kappa[x, y]\)이고 \(B, C \in \kappa[y]\)이다. 따라서 \[a + b x + c y + d x^2 + exy + f y^2 = A(x, y) x^2 + B(y) x F + C(y) F^2\] 이고, 차수만 비교해도 \(B = C = 0\)이며 \(A\)는 상수이다.

증명을 끝내기 위해 두 편미분이 모두 영인 경우를 다루어야 한다. 이는 표수 \(2\)에서만 일어날 수 있고, 이때 \[a + d x^2 + f y^2 \in I^2\] \(f\)가 영이 아니라고 가정해도 된다. 그렇지 않으면 \(x\)와 \(y\)의 역할을 바꾼다. \(f\)로 나누면 \(\kappa\)의 표수가 \(2\)이고 \[a + d x^2 + y^2 \in I^2\] 인 경우를 얻는다. \(a\)와 \(d\)가 \(\kappa\)에서 제곱이면 끝난다. 그렇지 않으면 \(\theta(a) \not = 0\) 또는 \(\theta(d) \not = 0\)인 미분 \(\theta : \kappa \to \kappa\)가 존재한다. 대수학의 보조정리 031W을 보라. \(\theta(x) = \theta(y) = 0\)으로 두어 이를 \(\kappa[x, y]\)의 미분으로 확장할 수 있다. 그러면 \[\theta(a) + \theta(d) x^2 \in I\] \(\theta(d) = 0\)인 경우는 불가능하다. 따라서 어떤 \(\alpha \in \kappa\)에 대해 \(\alpha + x^2 \in I\)라고 가정해도 된다. 위 식과 결합하면 \(a + \alpha d + y^2 \in I\)이다. 따라서 \[J = (\alpha + x^2, a + \alpha d + y^2) \subset I\] 이고 여차원은 많아야 \(2\)이다. \(J/J^2\)는 \(\kappa[x, y]/J\) 위에서 \(\alpha + x^2\)와 \(a + \alpha d + y^2\)를 기저로 하는 자유 가군이다. 따라서 \(a + d x^2 + y^2 = 1 \cdot (a + \alpha d + y^2) + d \cdot (\alpha + x^2) \in I^2\)라는 사실은 포함 \(J \subset I\)이 엄격함을 뜻한다. 그러므로 \(I\)에서 \(g + hx + iy + jxy\) 꼴의 영이 아닌 원소를 찾을 수 있다. \(j = 0\)이면 \(I\)가 일차식을 포함하므로 첫 문단처럼 결론을 얻는다. 따라서 \(j \not = 0\)이고 \(\dim_\kappa(I/J) = 1\)이다. 그렇지 않으면 \(I\)에서 위와 같고 \(j = 0\)인 원소를 찾을 수 있다. 따라서 \(j \not = 0\)이고 여길이가 \(3\)인 \(I\)은 \((\alpha + x^2, \beta + y^2, g + hx + iy + jxy)\) 꼴이다. 이 경우 \(a + dx^2 + y^2 \in I^2\)는 불가능하다. 직접 계산으로 보일 수도 있지만 다음처럼 논증하자. 이 명제를 증명할 때 \(\kappa\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정해도 된다. 좌표변환 \(x \mapsto \sqrt{\alpha} + x\)와 \(y \mapsto \sqrt{\beta} + y\)를 하여 같은 \(j\)에 대해 \(I = (x^2, y^2, g' + h'x + i'y + jxy)\)라고 가정한다. \(I\)의 여길이가 \(3\)이려면 \(g' = h' = i' = 0\)이어야 한다. 따라서 \(I = (x^2, y^2, xy)\)이고 결과는 명백하다.

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 상황 0BGC에서와 같이 잡고, \(X \to \Spec(A)\)를 \(\mathfrak m\)에서의 \(\Spec(A)\)의 부풀리기라 하자. 보조정리 0B4Z에 의해 \(X\)는 정규이고, 보조정리 0BG0에 의해 \(X\)의 모든 특이점은 유리 특이점이다. \(\omega_A = A\)이므로 보조정리 0B64에 의해 \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X\)이다. 규약은 비고 0B4R의 논의를 보라. 따라서 \(X\)의 모든 특이점은 Gorenstein이다. 더구나 보조정리 0BG7에 의해 \(X\)의 닫힌점에서 국소환들은 정규 완비화를 가진다. 즉 \(\Spec(A)\)를 부풀리면 특이점들이 상황 0BGC에서와 같은 정규 곡면 \(X\)를 얻는다. 아래에서는 이를 더 언급하지 않고 사용한다. 아래 논의 중에 이러한 특이점들이 유한 개임도 알게 된다.

\(E \subset X\)를 예외 인자라 하자. 보조정리 0B64에 의해 \(\omega_E = \mathcal{O}_E(-1)\)이고, 보조정리 0B63에 의해 \(\kappa = H^0(E, \mathcal{O}_E)\)이다. 따라서 \(E\)는 Gorenstein 곡선이고, 대수곡선의 절 0B5B에서 논한 Riemann–Roch에 의해 \[\chi(E, \mathcal{O}_E) = 1 - g = -(1/2) \deg(\omega_E) = (1/2)\deg(\mathcal{O}_E(1))\] 이다. 여기서 \(g = \dim_\kappa H^1(E, \mathcal{O}_E) \geq 0\)이다. 다형체의 보조정리 0B5Y에 의해 \(\deg(\mathcal{O}_E(1))\)은 양수이므로 \(g = 0\)이고 \(\deg(\mathcal{O}_E(1)) = 2\)이다. 보조정리 0B63과 \(E\) 위 Riemann–Roch에 의해 \[\dim_\kappa (\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}) = 2n + 1\] 를 얻는다.

\(\mathfrak m/\mathfrak m^2\)의 기저로 가는 \(x_1, x_2, x_3 \in \mathfrak m\)을 택한다. \(\dim_\kappa(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3) = 5\)이므로 이 \(\kappa\)-벡터공간에서 \(x_i x_j\), \(i \geq j\)의 상들은 한 관계를 만족한다. 즉 모두 \(\mathfrak m\)에 속하지는 않는 \(a_{ij} \in A\), \(i \geq j\)를 택하여 \[a_{11} x_1^2 + a_{12} x_1x_2 + a_{13}x_1x_3 + a_{22} x_2^2 + a_{23} x_2x_3 + a_{33} x_3^2 = \sum a_{ijk} x_ix_jx_k\] 가 성립하게 할 수 있다. 여기서 \(a_{ijk} \in A\)이고 \(i \leq j \leq k\)이다. 사상 \(A \to \kappa\)를 \(a \mapsto \overline{a}\)로 나타내자. 선택에 의해 이차형식 \(q = \sum \overline{a}_{ij} t_i t_j \in \kappa[t_1, t_2, t_3]\)는 \(\kappa^*\)의 원소를 곱하는 것까지 잘 정의된다. 논증 중에 \(\kappa\)에서 \(\overline{a}_{ij} = 0\)임을 알게 되면 항 \(a_{ij} x_i x_j\)를 우변에 흡수하여 \(a_{ij} = 0\)이라고 가정할 수 있다. 이 연산은 \(a_{ijk}\)를 바꾸지만 다른 \(a_{i'j'}\)는 바꾸지 않는다.

부풀리기는 “변수” \(x_1, x_2, x_3\)에 대응하는 \(3\)개의 아핀 차트로 덮인다. 대칭성에 의해 그중 하나만 연구하면 충분하다. 이를 위해 \[A' = A[\mathfrak m/x_1]\] 를 아핀 부풀리기 대수라 하자(대수학의 절 052P). \(x_1, x_2, x_3\)가 \(\mathfrak m\)을 생성하므로 \(A'\)은 \(A\) 위에서 \(y_2 = x_2/x_1\)과 \(y_3 = x_3/x_1\)로 생성된다. 식을 단순화하기 위해 때때로 \(y_1 = 1\)을 사용한다. 위 관계를 보면 \[a_{11} + a_{12} y_2 + a_{13} y_3 + a_{22} y_2^2 + a_{23} y_2y_3 + a_{33} y_3^2 = x_1 (\sum a_{ijk} y_iy_jy_k)\] 가 \(A'\)에서 성립한다. \(x_1 \in A'\)이 \(X\)의 이 아핀 열린집합 위에서 예외 인자 \(E\)를 정의함을 상기하자. 따라서 스킴론적으로 이는 \[\kappa[y_2, y_3]/ (\overline{a}_{11} + \overline{a}_{12} y_2 + \overline{a}_{13} y_3 + \overline{a}_{22} y_2^2 + \overline{a}_{23} y_2y_3 + \overline{a}_{33} y_3^2)\] 로 주어진다. 즉 \(E \subset \mathbf{P}^2_\kappa = \text{Proj}(\kappa[t_1, t_2, t_3])\)는 위에서 도입한 이차형식 \(q\)의 영점 스킴이다.

이차형식 \(q\)는 \(A\)가 정의하는 특이점의 중요한 불변량이다. \(q\)가 일차식의 제곱에 \(\kappa^*\)의 원소를 곱한 꼴이면 경우 II, 그렇지 않으면 경우 I이라고 하자. \(x_1, x_2, x_3\)의 선택을 바꾼 뒤 국소환 \(A\)에서 \[x_3^2 = \sum a_{ijk}x_ix_jx_k\] 를 얻을 수 있을 때 정확히 경우 II이다.

\(\mathfrak m\) 위에 놓이고 잉여체가 \(\kappa'\)인 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset A'\)을 잡자. 즉 \(\mathfrak m'\)은 예외 인자의 닫힌점 \(p \in E\)에 대응한다. 전사 \[\kappa[y_2, y_3] \to \kappa'\] 의 핵은 두 원소 \(f_2, f_3 \in \kappa[y_2, y_3]\)로 생성된다. 예컨대 대수학의 예제 00F0 또는 보조정리 00OP의 증명을 보라. \(z_2, z_3 \in A'\)이 \(\kappa[y_2, y_3]\)에서 \(f_2, f_3\)으로 가도록 택한다. \(A'\)에서 \(x_2\)와 \(x_3\)는 \(x_1\)로 나누어지므로 \(\mathfrak m' = (x_1, z_2, z_3)\)이다.

주장. \(X\)가 \(p\)에서 특이이면 \(\kappa' = \kappa\)이거나 경우 II이다. 실제로 \(A'_{\mathfrak m'}\)이 특이이면 \(\dim_{\kappa'} \mathfrak m'/(\mathfrak m')^2 = 3\)이고, 따라서 \(\dim_{\kappa'} \overline{\mathfrak m}'/(\overline{\mathfrak m}')^2 = 2\) 이다. 여기서 \(\overline{m}'\)은 \(\mathcal{O}_{E, p} = \mathcal{O}_{X, p}/x_1\mathcal{O}_{X, p}\)의 극대 아이디얼이다. 이에 따라 \[q(1, y_2, y_3) = \overline{a}_{11} + \overline{a}_{12} y_2 + \overline{a}_{13} y_3 + \overline{a}_{22} y_2^2 + \overline{a}_{23} y_2y_3 + \overline{a}_{33} y_3^2 \in (f_2, f_3)^2\] 이다. 그렇지 않으면 \(\overline{\mathfrak m}'/(\overline{\mathfrak m}')^2\)에서 \(z_2\)와 \(z_3\)의 류 사이에 관계가 생긴다. 이제 보조정리 0BGD에서 주장이 따른다.

경우 I의 해소. 주장에 의해 \(X\)의 모든 특이점은 \(\kappa\)-유리점이다. 그러한 특이점 \(p\)를 택한다. \(p\)가 위 차트에 놓이고 좌표가 \(y_2 = y_3 = 0\)이 되도록 \(x_1, x_2, x_3 \in \mathfrak m\)을 택할 수 있다. 이 점이 특이점이므로 주장의 증명과 같이 논증하여 \(q(1, y_2, y_3) \in (y_2, y_3)^2\)를 얻는다. 따라서 \(a_{11} = a_{12} = a_{13} = 0\)이고 \(q(t_1, t_2, t_3) = q(t_2, t_3)\)이 되도록 택할 수 있다. 이에 따라 \[E = V(q) \subset \mathbf{P}^1_\kappa\] 는 \(p\)에서 만나는 서로 다른 두 직선의 합집합이거나, 유일한 \(\kappa\)-유리점을 가지는 차수 \(2\) 곡선이다. 작은 세부 사항은 생략하며, \(q\)가 스칼라배까지 일차식의 제곱이 아니라는 사실을 사용한다. 어느 경우든 \(X\)는 \(\kappa\)-유리인 유일한 특이점 \(p\)를 가진다. 이 경우 조금 더 많은 정보가 필요하다. 먼저 위 식의 고차항을 보면 \(p\)가 특이이므로 \(\overline{a}_{111} = 0\)이다. 따라서 어떤 \(b_{111} \in A\)에 대해 \(a_{111} = b_{111} x_1 \bmod (x_2, x_3)\)로 쓸 수 있다. 그러면 \(\mathfrak m'\)의 생성원 \(x_1, y_2, y_3\)에 관한 \(p\)에서의 이차형식은 \[q' = \overline{b}_{111} t_1^2 + \overline{a}_{112} t_1 t_2 + \overline{a}_{113} t_1 t_3 + \overline{a}_{22} t_2^2 + \overline{a}_{23} t_2 t_3 + \overline{a}_{33} t_3^2\] \(E' = V(q')\)가 직선 \(t_1 = 0\)과 두 점 또는 차수 \(2\)인 한 점에서 만남을 알 수 있다. 따라서 \(p\)는 경우 I에 속한다.

\(p\)에서의 \(X\)의 부풀리기 \(X' \to X\)가 다시 특이점 \(p'\)을 가진다고 하자. 그러면 \(p'\)은 \(\kappa\)-유리점이고, 이를 부풀려 \(X'' \to X'\)을 얻을 수 있다. 이 과정이 끝나지 않으면 부풀리기의 열 \[\Spec(A) \leftarrow X \leftarrow X' \leftarrow X'' \leftarrow \ldots\] 을 얻는다. 이 상황에 보조정리 0BG2가 적용됨을 보이자. 이를 위해 \(\mathfrak m\)의 원소 \(x_1\)의 선택을 논해야 한다. \(A\)가 경우 I에 속하고 \(X\)가 특이점을 가진다고 하자. \(x_2, x_3\)의 임의의 선택(동치로 어떤 선택)에 대해 이차형식 \(q(t_1, t_2, t_3)\)가 \(q(0, t_2, t_3)\)이 제곱의 스칼라배가 아니라는 성질을 가지면 \(x_1 \in \mathfrak m\)을 좋은 좌표라 하자. 위에서 좋은 좌표가 존재함을 보았다. \(x_1\)이 좋은 좌표이면 \(X\)의 특이점 \(p \in E\)는 초곡면 \(t_1 = 0\)에 놓이지 않는다. 실제로 이 초곡면은 유리점을 가지지 않거나, 가진다 해도 그 점은 \(X\)의 특이점이 아니다. 이는 \(\mathcal{O}_{X, p}\)에서 \(x_1\)의 상이 예외 인자 \(E\)를 잘라낸다는 명제와 동치이다. 이제 위 계산에 따르면 \(x_1\)이 \(A\)의 좋은 좌표이면 \(x_1 \in \mathfrak m'\mathcal{O}_{X, p}\)도 \(p\)에서 좋은 좌표이다. 여기서는 좋은 좌표의 개념이 계산에 사용한 \(x_2\), \(x_3\)의 선택과 무관함을 사용한다. 따라서 \(x_1\)은 \(p'\), \(p''\) 등에서도 좋은 좌표로 간다. 그러므로 보조정리 0BG2가 적용되고 우리의 부풀리기 열은 비특이 호 \(A \to R\)에서 온다. 이때 사상 \(A^\wedge \to R\)은 전사이다. \(A\)의 완비화가 정규이므로 보조정리 0BG3에 의해 유한 번 부풀린 뒤 \[\Spec(A^\wedge) \leftarrow X^\wedge \leftarrow (X')^\wedge \leftarrow \ldots\] 결과 스킴 \((X^{(n)})^\wedge\)은 정칙이다. 보조정리 0BG5에 의해 \((X^{(n)})^\wedge \to X^{(n)}\)은 완비 국소환들의 동형사상을 유도하므로 \(X^{(n)}\)도 정칙이다.

경우 II의 해소. 여기서는 \(\mathfrak m\)의 생성원 \(x_1, x_2, x_3\)의 어떤 선택에 대해 \[x_3^2 = \sum a_{ijk}x_ix_jx_k\] 가 \(A\)에서 성립한다. 그러면 \(q = t_3^2\)이고 \(E = 2C\)이며, \(C\)는 직선이다. \(A'\)에서 \[y_3^2 = x_1(\sum a_{ijk} y_iy_jy_k)\] 를 얻음을 상기하자. \(X\)가 정규이므로 \(C\)의 일반점 \(\xi\)에서 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)는 이산 값매김환이다. 원소 \(y_3 \in A'\)은 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 균일화원으로 간다. \(x_1\)은 스킴론적으로 중복도 \(2\)의 \(C\)인 \(E\)를 잘라내므로, \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)에서 \(x_1\)은 \(y_3^2\)에 단위원을 곱한 것이다. 위 등식을 보면 \[h(y_2) = \overline{a}_{111} + \overline{a}_{112} y_2 + \overline{a}_{122} y_2^2 + \overline{a}_{222} y_2^3\] 가 \(\xi\)의 잉여체에서 영이 아니어야 한다. 이제 \(p \in C\)가 특이점을 정의한다고 하자. 그러면 \(y_3\)은 \(p\)에서 영이고, 위 주장의 증명에서 사용한 논증에 의해 \(p\)는 \(h\)의 영점에 대응해야 한다. \(h\)가 \(p\)에서 이중 영점을 가지지 않으면 \(p\)에서 이차형식 \(q'\)은 제곱이 아니므로 \(p\)는 이미 다룬 경우 I에 속한다¹. \(h\)의 차수가 \(3\)이므로 경우 II에 속하는 특이점 \(p \in C\)는 많아야 하나이고, 또한 \(\kappa\)-유리점이다. \(x_1, x_2, x_3\)의 선택을 바꾸어 이 점이 \(y_2 = y_3 = 0\)이라고 가정해도 된다. 그러면 \(h = \overline{a}_{122} y_2^2 + \overline{a}_{222} y_2^3\)이다. 더구나 이차형식 \(q'\)이 올바른 꼴을 가지려면 여전히 \(\overline{a}_{113} = 0\)이어야 한다. 따라서 국소환 \(\mathcal{O}_{X, p}\)는 다음 문단과 같은 특이점을 정의한다.

마지막으로 다룰 경우는 \(\mathfrak m\)의 생성원 \(x_1, x_2, x_3\)을 택하여 \[x_3^2 + x_1(a x_2^2 + b x_2x_3 + c x_3^2) \in \mathfrak m^4\] 가 어떤 \(a, b, c \in A\)에 대해 성립하는 경우이다. 이는 경우 II의 부분 경우이다. \(\overline{a} = 0\)이면 \(a = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3\)로 쓸 수 있고, 부풀린 뒤 \[y_3^2 + x_1(a_1 x_1 y_2^2 + a_2 x_1 y_2^3 + a_3 x_1 y_2^2 y_3 + b y_2 y_3 + c y_3^2) = x_1^2 (\sum a_{ijkl}y_iy_jy_ky_l)\] 를 얻는다. 이는 \(X\)가 정규가 아님을 뜻하여 모순이다². 앞 문단의 결과에 의해 부풀리기 \(X\)가 경우 II에 속하는 특이점 \(p\)를 가지면 그러한 점은 유일하고 \(\kappa\)-유리이다. 아핀 부풀리기 대수 \(A[\frac{\mathfrak m}{x_2}]\)와 \(A[\frac{\mathfrak m}{x_3}]\)를 계산하면 \(p\)가 \(X\)의 대응하는 열린집합들에 포함될 수 없음을 쉽게 알 수 있다. 따라서 \(p\)는 \(A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\)의 스펙트럼에 있다. 전과 같이 부풀리면 \(p\)는 좌표가 \(y_2 = y_3 = 0\)인 점이어야 하고 새 방정식은 \[y_3^2 + x_1(a y_2^2 + b y_2 y_3 + c y_3^2) \in (\mathfrak m')^4\] 꼴이며 전과 같은 형태이고 \(x_1\)이 예외 인자를 정의한다는 성질을 가진다. 따라서 과정이 끝나지 않으면 부풀리기의 무한 열을 얻고, 각 단계에서 \(x_1\)은 특이점의 국소환에서 예외 인자를 정의한다. 그러므로 보조정리 0BG2과 0BG3, 그리고 전과 같은 논증을 사용하여 증명을 끝낼 수 있다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 유리 특이점을 정의하고 완비화가 정규이며 Gorenstein인 차원 \(2\)의 정규 Nagata 국소정역이라 하자. 그러면 특이 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] 이 존재하여 \(X_n\)은 정칙이고, 중간의 각 스킴 \(X_i\)는 정규이며 같은 유형의 특이점을 유한 개 가진다.

증명

이는 바로 위 논의에서 증명한 내용이다.

함의되는 성질

이 절에서는 Noether 정역 스킴에 대해 정칙 변경의 존재가 여러 결과를 함의함을 증명한다. “나쁜” Noether 환에 관심이 없는 독자는 이 절을 건너뛰어도 된다.

보조정리

\(Y\)를 Noether 정역 스킴이라 하고, \(X\)가 정칙인 변경 \(f : X \to Y\)가 존재한다고 하자. 그러면 정규화 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이고, \(Y\)는 정칙인 조밀한 열린집합을 가진다.

증명

\(A\)가 Noether 정역인 \(Y = \Spec(A)\)의 경우만 증명하면 충분하다. \(B\)를 그 분수체 안에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하고 \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02O6에 의해 \(C\)는 유한 \(A\)-가군이다. \(X\)가 정규이므로(성질의 보조정리 0569) \(C\)는 정규 정역이다(성질의 보조정리 0358). 따라서 \(B \subset C\)이고, \(A\)가 Noether이므로 \(B\)는 \(A\) 위 유한이다.

\(f^{-1}V \to V\)가 유한이 되는 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. 스킴의 사상의 정의 0AB0를 보라. \(V\)를 줄여 \(f^{-1}V \to V\)가 평탄이라고 가정할 수 있다(스킴의 사상의 명제 052A). 따라서 \(f^{-1}V \to V\)는 충실히 평탄이고, 대수학의 보조정리 07NG에 의해 \(V\)는 정칙이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 Noether 국소환이라 하고, \(B \subset C\)를 유한 \(A\)-대수들이라 하자. (a) \(B\)가 정규환이고 (b) \(\mathfrak m\)-진 완비화 \(C^\wedge\)가 정규환이라고 하자. 그러면 \(B^\wedge\)는 정규환이다.

증명

가환 도식 \[\xymatrix{ B \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \\ B^\wedge \ar[r] & C^\wedge }\] 을 생각하자. 유한 \(A\)-가군의 범주에서 \(\mathfrak m\)-진 완비화는 평탄 \(A\)-대수 \(A^\wedge\)와 텐서곱을 취하는 것이므로 완전함자이다(대수학의 보조정리 00MB). Serre 판정법(대수학의 보조정리 031S)을 사용하여 Noether 환 \(B^\wedge\)가 정규임을 보이자. \(\mathfrak q \subset B^\wedge\)를 \(\mathfrak p \subset B\) 위에 놓이는 소 아이디얼이라 하자. \(\dim(B_\mathfrak p) \geq 2\)이면 \(\text{depth}(B_\mathfrak p) \geq 2\)이고 \(B_\mathfrak p \to B^\wedge_\mathfrak q\)가 평탄하므로 \(\text{depth}(B^\wedge_\mathfrak q) \geq 2\)이다(대수학의 보조정리 0337). \(\dim(B_\mathfrak p) \leq 1\)이면 \(B_\mathfrak p\)는 이산 값매김환 또는 체이다. 이 경우 \(C_\mathfrak p\)는 \(B_\mathfrak p\) 위 충실히 평탄하다. 실제로 유한이고 꼬임이 없다. 따라서 \(B^\wedge_\mathfrak p \to C^\wedge_\mathfrak p\)는 충실히 평탄하고, \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤에도 그러하다. \(C^\wedge\)와 그 모든 국소화는 \((S_2)\)이므로 대수학의 보조정리 0352에 의해 \(B^\wedge_\mathfrak p\)도 \((S_2)\)이다. 종합하면 \(B^\wedge\)는 \((S_2)\)이다. \(B^\wedge\)가 \((R_1)\)임을 보이려면 \(\dim(B^\wedge_\mathfrak q) \leq 1\)인 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B^\wedge\)만 생각하면 된다. \(\dim(B^\wedge_\mathfrak q) = \dim(B_\mathfrak p) + \dim(B^\wedge_\mathfrak q/\mathfrak p B^\wedge_\mathfrak q)\)임은 Algebra, 보조정리 00OM에서 따르므로 이므로 \(\dim(B_\mathfrak p) \leq 1\)이고, 전과 같이 \(B^\wedge_\mathfrak q \to C^\wedge_\mathfrak q\)가 충실히 평탄하다. 대수학의 보조정리 0353를 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소정역이라 하고, \(X\)가 정칙인 변경 \(f : X \to \Spec(A)\)가 존재한다고 하자. 그러면

1. \(A_f\)가 정칙이 되는 영이 아닌 \(f \in A\)가 존재하고,

2. 분수체 안에서 \(A\)의 정수적 폐포 \(B\)는 \(A\) 위 유한이며,

3. \(B\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화는 정규환이다. 즉 각 극대 아이디얼에서 \(B\)의 완비화는 정규 정역이고,

4. \(A\)의 일반 형식 올은 정칙이다.

증명

(1)과 (2)는 보조정리 0BGG에서 따른다. (3)의 증명에 사용할 표기를 정하기 위해 그 보조정리의 증명 일부를 다시 한다. \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02O6에 의해 \(C\)는 유한 \(A\)-가군이다. \(X\)가 정규이므로(성질의 보조정리 0569) \(C\)는 정규 정역이다(성질의 보조정리 0358). 따라서 \(B \subset C\)이고, \(A\)가 Noether이므로 \(B\)는 \(A\) 위 유한이다. 보조정리 0BGH에 의해 (3)을 증명하려면 \(\mathfrak m\)-진 완비화 \(C^\wedge\)가 정규임을 보이면 충분하다.

대수학의 보조정리 07N9에 의해 완비화 \(C^\wedge\)는 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 \(C\)의 소 아이디얼들에서 \(C\)의 완비화들의 곱이다. 그러한 소 아이디얼은 유한 개이고, 바로 \(C\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\)이다. \(B\)에 대한 대응 결과가 보조정리의 마지막 표현을 설명한다. 따라서 \(A\)를 \(C_{\mathfrak m_i}\)로, \(X\)를 \(X_i = X \times_{\Spec(C)} \Spec(C_{\mathfrak m_i})\)로 바꾸어 다음 문단의 경우로 환원된다. 여기서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH에 의해 \(\Gamma(X_i, \mathcal{O}) = C_{\mathfrak m_i}\)임을 주목하자.

여기서 \(A\)는 Noether 정규 국소정역이고 \(f : X \to \Spec(A)\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A\)인 정칙 변경이다. \(A\)의 완비화 \(A^\wedge\)가 정규 정역임을 보여야 한다. 보조정리 0BG6에 의해 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)는 정칙이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH에 의해 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\)이므로, 전과 같이 \(A^\wedge\)가 정규임을 얻는다. 실제로 성질의 보조정리 0569에 의해 \(Y\)는 정규이고, \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\)가 국소환이므로 연결이다. Noether 스킴에서는 연결이고 정규이면 정역 스킴이므로 \(Y\)는 정규 정역 스킴이다. 따라서 성질의 보조정리 0358에 의해 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\)는 정규 정역이다. 이것으로 (3)이 증명된다.

(4)의 증명. \(\eta \in \Spec(A)\)로 일반점을 나타내고, 아래첨자 \(\eta\)로 \(\eta\)로의 기저변환을 나타내자. \(f\)가 변경이므로 스킴 \(X_\eta\)는 \(\eta\) 위 유한 충실히 평탄하다. 보조정리 0BG6에 의해 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)가 정칙이므로 \(Y_\eta\)도 정칙이다. 이는 \(Y\) 안 열린집합들의 극한으로 본다. 이제 \(Y_\eta \to \Spec(A^\wedge \otimes_A \kappa(\eta))\)는 일반 형식 올 위로 유한 충실히 평탄하다. 대수학의 보조정리 07NG을 적용하면 끝난다.

특이점 해소

먼저 정의를 제시한다.

정의

\(Y\)를 Noether 정역 스킴이라 하자. \(Y\)의 특이점 해소란 \(X\)가 정칙인 변형 \(f : X \to Y\)를 말한다.

곡면의 경우에는 때때로 조금 더 많은 정보를 요구한다.

정의

\(Y\)를 \(2\)차원 Noether 정역 스킴이라 하자. 다음 열이 존재하면 \(Y\)가 정규화 부풀리기에 의한 특이점 해소를 가진다고 한다. \[Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 \to Y\] 여기서

1. \(i = 0, \ldots, n\)에 대해 \(Y_i\)는 \(Y\) 위 고유이고,

2. \(Y_0 \to Y\)는 정규화이며,

3. \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(Y_i \to Y_{i - 1}\)는 정규화 부풀리기이고,

4. \(Y_n\)은 정칙이다.

조건 (1)은 \(Y\)의 정규화 \(Y_0\)가 \(Y\) 위 유한이고, 정규화 부풀리기에서 사용한 정규화들도 유한임을 함의한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하고, \(A\)가 정규이며 차원이 \(2\)라고 하자. \(\Spec(A)\)가 특이점 해소를 가지면 \(\Spec(A)\)는 정규화 부풀리기에 의한 해소도 가진다.

증명

보조정리 0BGI에 의해 \(A\)의 완비화 \(A^\wedge\)는 정규이다. 보조정리 0BG6에 의해 \(\Spec(A^\wedge)\)는 해소를 가진다. 보조정리 0BGA에 의해 임의의 정규화 부풀리기 열 \(Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to \Spec(A^\wedge)\)는 정규화 부풀리기 열 \(X_n \to \ldots \to \Spec(A)\)에서 온다. 더구나 \(Y_n\)이 정칙이면 보조정리 0BG6에 의해 \(X_n\)도 정칙이다. 따라서 \(A\)가 완비인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

추가로 \(A\)가 완비라고 하자. \(A\)가 Nagata이고(대수학의 명제 0335), 우수하며(대수학 심화의 명제 07QW), 쌍대화 복합체를 가진다는 사실(쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR)을 사용한다. \(A\) 위 본질적으로 유한형인 임의의 환도 마찬가지이다. \(B\)가 우수 정규 국소정역이면 완비화 \(B^\wedge\)는 정규이다. 실제로 \(B \to B^\wedge\)가 정칙이고 대수학 심화의 보조정리 0BFK가 적용된다. 증명의 나머지에서는 이를 더 언급하지 않고 사용한다.

\(X \to \Spec(A)\)를 특이점 해소라 하자. \(X\)를 지배하는 정규화 부풀리기의 열 \[Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to \Spec(A)\] 을 택한다(보조정리 0BBT). 사상 \(Y_n \to X\)는 \(X\)의 유한 개 점 밖에서 동형사상이다. 따라서 보조정리 0AHI를 적용하여 \(X_m\)이 \(Y_n\)을 지배하도록 닫힌점에서의 부풀리기의 열 \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X\] 을 찾을 수 있다. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & Y_n \ar[rd] \ar[rr] & & \Spec(A) \\ X_m \ar[rr] \ar[ru] & & X \ar[ru] }\] 보조정리를 증명하려면 \(Y_n\)을 유한 번 정규화 부풀리기하여 정칙 스킴을 얻음을 보이면 충분하다. 위 도식에 의해 \(Y_n\)은 해소, 즉 \(X_m\)을 가진다. \(Y_n\)이 정규 곡면이므로 \(Y_n\)의 특이점 \(y_1, \ldots, y_t\)는 유한 개 이하이다. 실제로 다형체의 보조정리 0BFP에 의해 \(X_m \to Y_n\)은 차원 \(1\)인 올들 밖에서 동형사상이다.

\(x_a \in X\)를 \(y_a\)의 상이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, x_a}\)는 정칙이고, 따라서 유리 특이점을 정의한다(보조정리 0B4Q). 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x_a} \to \mathcal{O}_{Y_n, y_a}\)에 보조정리 0BG0를 적용하면 \(\mathcal{O}_{Y_n, y_a}\)도 유리 특이점을 정의한다. 보조정리 0BBV에 의해 특이 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \[Y_{a, n_a} \to Y_{a, n_a - 1} \to \ldots \to \Spec(\mathcal{O}_{Y_n, y_a})\] 이 존재하여 \(Y_{a, n_a}\)는 Gorenstein, 즉 가역 쌍대화 가군을 가진다. 본질적으로 자명한 보조정리 0BFY를 \(n' = \sum n_a\)로 적용하면 이 열들은 부풀리기의 열 \[Y_{n + n'} \to Y_{n + n' - 1} \to \ldots \to Y_n\] 에 대응하며, \(Y_{n + n'}\)은 정규이고 \(Y_{n + n'}\)의 국소환들은 Gorenstein이다. 위의 결과들을 사용하면 다음과 같이 \(Y_{n + n'}\)을 지배하는 부풀리기 열 \(X_{m + m'} \to \ldots \to X_m\)으로 \(Y_{n + n'}\)을 지배할 수 있다. \[\xymatrix{ & Y_{n + n'} \ar[rr] & & Y_n \ar[rd] \ar[rr] & & \Spec(A) \\ X_{m + m'} \ar[ru] \ar[rr] & & X_m \ar[rr] \ar[ru] & & X \ar[ru] }\] 따라서 다시 \(Y_{n + n'}\)은 유한 개의 특이점 \(y'_1, \ldots, y'_s\)를 가진다. 이번에는 이 특이점들이 유리 이중점이고, 더 정확히는 국소환 \(\mathcal{O}_{Y_{n + n'}, y'_b}\)들이 보조정리 0BGE에서와 같다. 위와 정확히 같이 논증하면 보조정리가 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 완비 Noether 국소환이라 하고, \(A\)가 차원 \(2\)인 정규 정역이라고 하자. 그러면 \(\Spec(A)\)는 특이점 해소를 가진다.

증명

완비 Noether 국소환은 J-2이고(대수학 심화의 명제 07PJ), Nagata이며(대수학의 명제 0335), 우수하고(대수학 심화의 명제 07QW), 쌍대화 복합체를 가진다 (쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR). \(A\) 위 본질적으로 유한형인 임의의 환도 마찬가지이다. \(B\)가 우수 정규 국소정역이면 완비화 \(B^\wedge\)는 정규이다. 실제로 \(B \to B^\wedge\)가 정칙이고 대수학 심화의 보조정리 0BFK가 적용된다. 즉 증명의 나머지에서 만나는 국소환들은 필요한 “우수성” 성질들을 가진다.

\(A_0\)가 정칙 완비 국소환이고 \(A_0 \to A\)가 유한이 되도록 \(A_0 \subset A\)를 택한다. 대수학의 보조정리 032D을 보라. 이는 분수체의 유한 확대 \(K/K_0\)를 유도한다. \([K : K_0]\)에 대한 귀납법을 사용한다. 차수가 \(1\)인 기초 경우에는 \(A_0 = A\)이고 결과가 성립한다.

\(K_0 \not = L \not = K\)인 중간체 \(K_0 \subset L \subset K\)가 있다고 하자. \(B \subset A\)를 \(L\) 안에서 \(A_0\)의 정수적 폐포라 하자. 귀납법에 의해 특이점 해소 \(Y \to \Spec(B)\)를 택한다. \(X\)를 \(Y \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\)의 정규화라 하자. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & \Spec(A) \ar[d] \\ Y \ar[r] & \Spec(B) }\] \(A\)가 J-2이므로 \(X\)의 정칙 자취는 열린집합이다. \(X\)가 정규 곡면이므로 \(X\)는 많아야 유한 개의 특이점 \(x_1, \ldots, x_n\)을 가지며, 이들은 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x_i}) = 2\)인 닫힌점이다. 각 \(i\)에 대해 \(y_i \in Y\)를 그 상이라 하자. \(\mathcal{O}_{Y, y_i}^\wedge \to \mathcal{O}_{X, x_i}^\wedge\)가 이전보다 차수가 작은 유한 사상이므로 귀납 가정에 의해 \(\mathcal{O}_{X, x_i}^\wedge\)는 특이점 해소를 가진다. 보조정리 0BGM에 의해 \(Z^\wedge_{i, n_i}\)이 정칙인 정규화 부풀리기의 열 \[Z^\wedge_{i, n_i} \to \ldots \to Z^\wedge_{i, 1} \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}^\wedge)\] 이 있다. 보조정리 0BGA에 의해 대응하는 정규화 부풀리기의 열 \[Z_{i, n_i} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\] 이 있다. 보조정리 0BG6에 의해 \(Z_{i, n_i}\)은 정칙 스킴이다. 보조정리 0BFZ에 의해 이 정규화 부풀리기들을 대응하는 열 \[Z_n \to Z_{n - 1} \to \ldots \to Z_1 \to X\] 에 맞출 수 있고, 국소환들을 보면 물론 \(Z_n\)도 정칙이다. 이것으로 귀납 단계가 증명된다.

\(K_0 \not = L \not = K\)인 중간체 \(K_0 \subset L \subset K\)가 없다고 하자. 그러면 \(K/K_0\)가 분리이거나, \(K\)의 표수가 \(p\)이고 \([K : K_0] = p\)이다. 보조정리 0AXL 또는 0B4U에 의해 유리 특이점으로의 환원이 가능하다. 보조정리 0B4P에 의해 정규 변형 \(X \to \Spec(A)\)가 존재하여, \(X\)의 모든 특이점 \(x\)에서 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 유리 특이점을 정의한다. \(A\)가 J-2이므로 \(X\)는 유한 개의 특이점 \(x_1, \ldots, x_n\)을 가진다. 보조정리 0BBV에 의해 특이 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \[X_{i, n_i} \to X_{i, n_i - 1} \to \ldots \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\] 이 존재하여 \(X_{i, n_i}\)은 Gorenstein, 즉 가역 쌍대화 가군을 가진다. 본질적으로 자명한 보조정리 0BFY를 \(n = \sum n_a\)로 적용하면 이 열들은 부풀리기의 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X\] 에 대응하며, \(X_n\)은 정규이고 \(X_n\)의 국소환들은 Gorenstein이다. 다시 \(X_n\)은 유한 개의 특이점 \(x'_1, \ldots, x'_s\)를 가진다. 이번에는 이 특이점들이 유리 이중점이고, 더 정확히는 국소환 \(\mathcal{O}_{X_n, x'_i}\)들이 보조정리 0BGE에서와 같다. 위와 정확히 같이 논증하면 보조정리가 따른다.

이제 이 장의 주정리에 이른다.

정리

\(Y\)를 2차원 Noether 정역 스킴이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(X\)가 정칙인 변경 \(X \to Y\)가 존재한다.

2. \(Y\)의 특이점 해소가 존재한다.

3. \(Y\)는 정규화 부풀리기에 의한 특이점 해소를 가진다.

4. 정규화 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이고, \(Y^\nu\)는 유한 개의 특이점 \(y_1, \ldots, y_m\)을 가지며, 각 \(y_i\)에 대해 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}\)의 완비화가 정규이다.

증명

함의 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1)은 즉시 성립한다.

\(X\)가 정칙인 변경 \(X \to Y\)를 잡자. 보조정리 0BGG에 의해 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이다. 스킴의 사상의 보조정리 035Q의 분해 \(f : X \to Y^\nu\)를 생각하자. 다형체의 보조정리 0AB7에 의해 \(f\)는 \(Y^\nu\)의 여차원 \(\leq 1\)인 모든 점을 포함하는 열린집합 \(V \subset Y^\nu\) 위에서 유한이다. 대수학의 보조정리 00R4와, 차원 \(\leq 2\)인 정규 국소환은 Cohen–Macaulay이라는 Serre 판정법 (대수학의 보조정리 031S)에 의해 \(f\)는 \(V\) 위에서 평탄하다. 대수학의 보조정리 07NG에 의해 \(V\)는 정칙이다. \(Y^\nu\)가 Noether이므로 \(Y^\nu \setminus V = \{y_1, \ldots, y_m\}\)은 유한하다. 보조정리 0BGI에 의해 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}\)의 완비화는 정규이다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (4)이다.

(4)를 가정하고 (3)을 증명하자. \(Y\)를 즉시 그 정규화로 바꾸어도 된다. \(y_1, \ldots, y_m \in Y\)를 특이점들이라 하자. 보조정리 0BGN과 0BGM를 적용하면 \(Y_{i, n_i}\)이 정칙인 정규화 부풀리기의 유한 열 \[Y_{i, n_i} \to Y_{i, n_i - 1} \to \ldots \to \Spec(\mathcal{O}^\wedge_{Y, y_i})\] 이 존재한다. 보조정리 0BGA에 의해 대응하는 정규화 부풀리기의 열 \[X_{i, n_i} \to \ldots \to X_{i, 1} \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y_i})\] 이 있다. 보조정리 0BG6에 의해 \(X_{i, n_i}\)은 정칙 스킴이다. 보조정리 0BFZ에 의해 이 정규화 부풀리기들을 대응하는 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to Y\] 에 맞출 수 있고, 국소환들을 보면 물론 \(X_n\)도 정칙이다. 증명이 끝난다.

매장 해소

곡면 위의 곡선이 주어지면 그 곡선을 엄밀 정규교차 인자로 만드는 부풀리기가 존재한다. 이 절에서는 1차원 국소 Noether 스킴이 정규일 필요충분조건은 정칙인 것이라는 사실(대수학의 보조정리 00PD)을 사용한다. 또한 국소 Noether 스킴의 모든 점은 한 닫힌점으로 특수화된다는 사실(성질의 보조정리 02IL)도 사용한다.

보조정리

\(Y\)를 1차원 Noether 정역 스킴이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(X\)가 정칙인 변경 \(X \to Y\)가 존재한다.

2. \(Y\)의 특이점 해소가 존재한다.

3. \(Y_n\)이 정칙인, 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \(Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y\)가 존재한다.

4. 정규화 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이다.

증명

함의 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1)은 즉시 성립한다. 함의 (1) \(\Rightarrow\) (4)는 보조정리 0BGG에서 따른다. 정규 1차원 스킴은 정칙이므로 (4) \(\Rightarrow\) (2)도 명백하다. 따라서 서로 동치인 조건 (1), (2), (4)가 (3)을 함의함을 보이면 된다.

\(f : X \to Y\)를 특이점 해소라 하자. \(Y\)의 차원이 1이므로 다형체의 보조정리 0AB7에 의해 \(f\)는 유한이다. \(Y_{i - 1}\)이 정칙이 아닌 동안에는 \(Y_i \to Y_{i - 1}\)가 한 닫힌점에서의 부풀리기이고 동형사상은 아닌 분해 \[X \to \ldots \to Y_2 \to Y_1 \to Y\] 를 구성한다. 각 사상은 위와 같은 이유로 유한이고, 대응하는 계 \[f_*\mathcal{O}_X \supset \ldots \supset f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} \supset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1} \supset \mathcal{O}_Y\] 을 얻는다. 여기서 \(f_i : Y_i \to Y\)는 구조사상이다. \(Y\)가 Noether이므로 연접 부분가군의 이 증가열은 안정화되어야 한다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 01Y8). 따라서 원하는 대로 어떤 \(n\)에 대해 \(Y_n\)은 정칙이다. \(Y_{i - 1}\)에서 \(Y_i\)를 구성하려면 특이 닫힌점 \(y_{i - 1} \in Y_{i - 1}\)을 택하고 \(Y_i \to Y_{i - 1}\)를 그 부풀리기로 둔다. \(X\)는 차원 \(1\)인 정칙 스킴이므로 닫힌점에서 국소환은 이산 값매김환이고 특히 주 아이디얼 정역이다. 따라서 아이디얼 층 \(\mathfrak m_{y_{i - 1}} \cdot \mathcal{O}_X\)는 가역이다. 부풀리기의 보편 성질(인자의 보조정리 0806)에 의해 분해 \(X \to Y_i\)를 얻는다. 마지막으로 \(\mathfrak m_{y_{i - 1}}\)가 가역 아이디얼이 아니므로 \(Y_i \to Y_{i - 1}\)는 동형사상이 아니다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하고, \(Y \subset X\)를 보조정리 0BI4의 동치 조건들을 만족하는 차원 \(1\)의 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X\] 이 존재하여 \(X_n\)에서 \(Y\)의 엄밀 변환은 정칙 곡선이다.

증명

\(Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y\)를 보조정리 0BI4가 주는 부풀리기의 열이라 하자. \(X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X\)를 \(X\)의 대응하는 부풀리기 열이라 하자. 인자의 보조정리 080E에 의해 엄밀 변환이 부풀리기이므로 이것이 원하는 열이다.

\(X\)를 국소 Noether 스킴, \(Y, Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴들이라 하고, \(p \in Y \cap Z\)를 닫힌점이라 하자. \(Y\)가 차원 \(1\)인 정역 스킴이고 \(Y\)의 일반점이 \(Z\)에 포함되지 않는다고 가정한다. 이 상황에서 불변량 [0BI6]\[\begin{equation} m_p(Y \cap Z) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, p}}(\mathcal{O}_{Y \cap Z, p}) \end{equation}\] 을 생각할 수 있다. 이는 \(\geq 1\)인 정수이다. 실제로 \(I, J \subset \mathcal{O}_{X, p}\)가 \(Y, Z\)에 대응하는 아이디얼들이면 \(\mathcal{O}_{Y \cap Z, p} = \mathcal{O}_{X, p}/I + J\)이다. \(Y \cap Z\)가 \(p\)로 특수화되는 \(Y\)의 유일한 점을 포함하지 않는다고 가정했으므로 그 지지는 \(\{\mathfrak m_p\}\)와 같다. 따라서 대수학의 보조정리 00L5에 의해 길이는 유한하다.

보조정리

위 상황에서 \(X' \to X\)를 \(p\)에서의 \(X\)의 부풀리기라 하고, \(Y', Z' \subset X'\)을 \(Y, Z\)의 엄밀 변환들이라 하자. \(\mathcal{O}_{Y, p}\)가 정칙이면

1. \(Y' \to Y\)는 동형사상이고,

2. \(Y'\)은 예외 올 \(E \subset X'\)와 한 점 \(q\)에서 만나며 \(m_q(Y \cap E) = 1\)이고,

3. \(q \in Z'\)이기도 하면 \(m_q(Y \cap Z') < m_p(Y \cap Z)\)이다.

증명

\(\mathcal{O}_{X, p} \to \mathcal{O}_{Y, p}\)는 전사이고 \(\mathcal{O}_{Y, p}\)는 이산 값매김환이므로, \(\mathcal{O}_{Y, p}\)에서 균일화원으로 가는 원소 \(x_1 \in \mathfrak m_p\)를 택할 수 있다. \(p\)를 포함하고 \(x_1 \in A\)인 아핀 열린집합 \(U = \Spec(A)\)를 택하자. \(\mathfrak m \subset A\)를 \(p\)에 대응하는 극대 아이디얼이라 하고, \(I, J \subset A\)를 \(\Spec(A)\)에서 \(Y, Z\)를 정의하는 아이디얼들이라 하자. \(U\)를 줄여 \(\mathfrak m = I + (x_1)\)이라고 가정해도 된다. 즉 스킴론적으로 \(V(x_1) \cap U \cap Y = \{p\}\)이다. 따라서 \(p\)는 \(Y\) 위 유효 Cartier 인자이다. \(Y'\)은 \(p\)에서의 \(Y\)의 부풀리기이고(인자의 보조정리 080E), 인자의 보조정리 0807에 의해 \(Y' \to Y\)는 동형사상이다. 관계 \(\mathfrak m = I + (x_1)\)에 의해 \(\mathfrak m^n \subset I + (x_1^n)\)이므로 사상 \[\psi : A[\textstyle{\frac{\mathfrak m}{x_1}}] \longrightarrow A/I\] 을 정의할 수 있다. 여기서 \(y/x_1^n \in A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\)을 \(A/I\)에서의 \(a\)의 류로 보내며, \(a\)는 \(y \equiv ax_1^n \bmod I\)가 되도록 택한다. 그러면 \(\psi\)는 \(Y' \cong Y\)가 주는 \(U\) 위의 \(Y \cap U\)에서 \(X'\)로 가는 사상에 대응한다. \(A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\)에서 \(x_1\)의 상이 예외 인자를 잘라내므로 \(m_q(Y', E) = 1\)이다. 마지막으로 \(J \subset \mathfrak m\)이므로 아이디얼 \(J' \subset A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\)은 모든 \(f \in J\)에 대해 원소 \(f/x_1\)을 포함한다. \(A/I\)에서 상 \(\overline{f}\)의 값매김이 최소이고 \(m_p(Y \cap Z)\)와 같도록 \(f \in J\)를 택하면, \(A/I\)에서 \(\psi(f/x_1) = \overline{f}/x_1\)의 값매김은 하나 작다. 이것이 보조정리의 마지막 부분을 증명한다.

보조정리

\(X\)를 Noether 스킴이라 하고, \(Y_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\)을 각각 보조정리 0BI4의 동치 조건들을 만족하는 차원 \(1\)의 정역 닫힌 부분스킴들이라 하자. 그러면 닫힌점에서의 부풀리기의 유한 열 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X\] 이 존재하여 \(X_n\)에서 \(Y_i\)의 엄밀 변환 \(Y'_i \subset X_n\)들은 서로소인 정칙 곡선들이다.

증명

보조정리 0BI5에 의해 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(Y_i\)가 정칙 곡선이라고 가정해도 된다. 각 \(i \not = j\)와 \(p \in Y_i \cap Y_j\)에 대해 불변량 \(m_p(Y_i \cap Y_j)\) (0BI6)가 있다. 이 수들의 최댓값이 \(> 1\)이면 최댓값을 달성하는 모든 점 \(p\)를 부풀려 그 값을 줄일 수 있다(보조정리 0BI7). 최댓값이 \(1\)이면 같은 보조정리를 사용하여 이 모든 점 \(p\)를 부풀려 곡선들을 분리할 수 있다.

곡선이 정칙 곡면에 포함될 때에는 흔히 이를 정규교차 인자로 만들고자 한다.

보조정리

\(X\)를 차원 \(2\)인 정칙 스킴이라 하고, \(Z \subset X\)를 진 닫힌 부분스킴이라 하자. 닫힌점에서의 부풀리기의 열 \[X_n \to \ldots \to X_1 \to X\] 이 존재하여 \(X_n\)에서 \(Z\)의 역상 \(Z_n\)은 유효 Cartier 인자이다.

증명

\(D \subset Z\)를 \(Z\)에 포함되는 가장 큰 유효 Cartier 인자라 하자. 인자의 보조정리 0AGB에 의해 \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{I}_D\)이고 그 몫의 지지는 닫힌점들에 포함된다. 따라서 \(\mathcal{I}_Z = \mathcal{I}_{Z'} \mathcal{I}_D\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(Z' \subset X\)는 집합론적으로 유한 개 닫힌점으로 이루어진 닫힌 부분스킴이다. 보조정리 0AHH을 적용하면 \(\mathcal{I}_{Z'}\mathcal{O}_{X_n}\)이 가역이 되는, 명제와 같은 부풀리기의 열을 얻는다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(X\)를 차원 \(2\)인 정칙 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 차원 \(1\)인 모든 기약성분 \(Y \subset Z\)가 보조정리 0BI4의 동치 조건들을 만족하는 진 닫힌 부분스킴이라 하자. 닫힌점에서의 부풀리기의 열 \[X_n \to \ldots \to X_1 \to X\] 이 존재하여 \(X_n\)에서 \(Z\)의 역상 \(Z_n\)은 엄밀 정규교차 인자에 지지되는 유효 Cartier 인자이다.

증명

\(X' \to X\)를 닫힌점 \(p\)에서의 부풀리기라 하자. \(Z\)의 역상 \(Z' \subset X'\)은 \(Z\)의 엄밀 변환과 예외 인자에 지지된다. 예외 인자는 정칙 곡선이고(보조정리 0AGQ), 각 기약성분 \(Y\)의 엄밀 변환 \(Y'\)은 \(Y\)와 같거나 \(p\)에서의 \(Y\)의 부풀리기이다. 따라서 이 과정은 차원 \(1\)의 특이성분을 추가로 만들지 않는다. 그러므로 보조정리 0BIB와 0BI8에 의해 \(Z\)가 유효 Cartier 인자이고 \(Z\)의 모든 기약성분 \(Y\)가 정칙이라고 가정해도 된다. 물론 기약성분들이 서로소라고 가정할 수는 없다. \(Z\)의 점을 부풀릴 때마다 \(Z\)에 새 기약성분, 즉 예외 인자가 추가되기 때문이다.

\(Z\)가 기약성분 \(Y_i\)들이 정칙인 유효 Cartier 인자라고 하자. 각 \(i \not = j\)와 \(p \in Y_i \cap Y_j\)에 대해 불변량 \(m_p(Y_i \cap Y_j)\) (0BI6)가 있다. 이 수들의 최댓값이 \(> 1\)이면 최댓값을 달성하는 모든 점 \(p\)를 부풀려 그 값을 줄일 수 있다 (보조정리 0BI7). 여기서 “새” 불변량 \(m_{q_i}(Y'_i \cap E)\)는 항상 \(1\)이다. 최댓값이 \(1\)이고, 예를 들어 어떤 \(r > 2\)에 대해 \(p \in Y_1 \cap \ldots \cap Y_r\)이지만 다른 성분에는 속하지 않는다면, \(p\)를 부푼 뒤 \(Y'_1, \ldots, Y'_r\)은 \(p\) 위의 점들에서 서로 만나지 않고, \(Y'_i \cap E = \{q_i\}\)일 때 \(m_{q_i}(Y'_i, E) = 1\)이다. 따라서 \(Z\)의 성분 가운데 \(3\)개보다 많은 성분이 만나는 점들을 계속 부풀리면 모든 닫힌점 \(p \in X\)에서 다음 셋 중 하나가 성립하는 상황에 이른다. (a) \(p\)를 지나는 곡선 \(Y_i\)가 없다. (b) 정확히 하나의 곡선 \(Y_i\)가 \(p\)를 지나고 \(\mathcal{O}_{Y_i, p}\)는 정칙이다. (c) 정확히 두 곡선 \(Y_i\), \(Y_j\)가 \(p\)를 지나고, 국소환 \(\mathcal{O}_{Y_i, p}\), \(\mathcal{O}_{Y_j, p}\)는 정칙이며 \(m_p(Y_i \cap Y_j) = 1\)이다. 이는 \(\sum Y_i\)가 정칙 곡면 \(X\) 위 엄밀 정규교차 인자라는 뜻이다. 에탈 사상의 보조정리 0BIA를 보라.

예외 곡선의 수축

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(E \subset X\)를 다음 성질을 갖는 닫힌 부분스킴이라 하자.

1. \(E\)는 \(X\) 위의 유효 카르티에 인자이다.

2. 어떤 체 \(k\)와 스킴의 동형사상 \(\mathbf{P}^1_k \to E\)가 존재한다.

3. 법선층 \(\mathcal{N}_{E/X}\)의 역상은 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\)이다.

이러한 닫힌 부분스킴을 제1종 예외 곡선이라 한다.

\(X'\)을 뇌터 스킴이라 하고, \(\mathcal{O}_{X', x}\)가 차원 \(2\)인 정칙환이 되게 하는 닫힌점 \(x \in X'\)를 택하자. \(b : X \to X'\)를 \(x\)에서의 \(X'\)의 부풀리기라 하자. 이 경우 예외 섬유 \(E \subset X\)는 제1종 예외 곡선이다. 이는 보조정리 0AGQ에서 따른다.

질문: 모든 제1종 예외 곡선은 위와 같은 부풀리기의 섬유로 얻어지는가? 달리 말하면, \(E\)를 닫힌점 \(x \in X'\)로 보내고, \(\mathcal{O}_{X', x}\)가 차원 \(2\)인 정칙환이며, \(X\)가 \(x\)에서의 \(X'\)의 부풀리기가 되게 하는 스킴의 고유 사상 \(X \to X'\)가 항상 존재하는가? 이것이 참이면 \(E\)의 수축이 존재한다고 말한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(E \subset X\)를 제1종 예외 곡선이라 하자. \(E\)의 수축 \(X \to X'\)가 존재하면 이는 다음 보편 성질을 갖는다. \(\varphi(E)\)가 한 점인 모든 사상 \(\varphi : X \to Y\)에 대하여 \(\varphi\)의 유일한 분해 \(X \to X' \to Y\)가 존재한다.

증명

\(b : X \to X'\)를 \(E\)의 수축이라 하자. 위상 공간으로서 \(X'\)은 \(E\)의 모든 점을 한 점으로 동일시하는 관계에 의한 \(X\)의 몫이다. 실제로 \(b\)는 고유이고 (Divisors, 보조정리 02NS 및 Morphisms, 보조정리 01WC) 전사이므로, 위상 공간의 잠수 사상을 정의한다(Topology, 보조정리 0AAU). 한편 표준 사상 \(\mathcal{O}_{X'} \to b_*\mathcal{O}_X\)는 동형사상이다. 실제로 이는 \(E\)의 상인 점 \(x \in X'\)의 여집합 위에서는 명백하고, \(x\)에서의 줄기 위에서는 보조정리 0AGS의 (4)에 의해 동형사상이다. 따라서 쌍 \((X', \mathcal{O}_{X'})\)은 \(X\)의 위상 공간으로서의 몫을 취하고 그 위에 \(b_*\mathcal{O}_X\)를 구조층으로 부여하여 구성된다.

\(\varphi\)가 주어졌을 때 \(\varphi = \varphi' \circ b\)를 만족하는 위상 공간의 유일한 사상을 \(\varphi' : X' \to Y\)라 둘 수 있다. 그러면 사상 \[\varphi^\sharp : \varphi^{-1}\mathcal{O}_Y = b^{-1}((\varphi')^{-1}\mathcal{O}_Y) \to \mathcal{O}_X\] 은 다음 사상과 수반이다. \[(\varphi')^\sharp : (\varphi')^{-1}\mathcal{O}_Y \to b_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{X'}\] 이때 \((\varphi', (\varphi')^\sharp)\)는 \(X'\)에서 \(Y\)로 가는 환 달린 공간의 사상이고, 이로부터 원하는 분해를 얻는다. \(\varphi\)가 국소환 달린 공간의 사상이므로 \(\varphi'\)도 그러하다. 실제로 확인할 것은 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X', x}\)가 국소 사상이라는 것뿐이며, 여기서 \(y \in Y\)는 \(\varphi\)에 의한 \(E\)의 상이다. 이는 원소 \(f \in \mathfrak m_y\)의 역상이 \(E\)의 모든 점에서 영인 \(X\) 위의 함수이고, 따라서 \(f\)의 \(X'\)로의 역상도 같은 성질을 갖는 \(X'\)의 \(x\)의 근방에서 정의된 함수이기 때문이다. 그러면 원하는 대로 이 함수는 \(x\)에서 소멸해야 함이 명백하다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(E \subset X\)를 제1종 예외 곡선이라 하자. \(E\)의 수축이 존재하면 이는 유일한 동형사상을 제외하고 유일하다.

증명

이는 보조정리 0C5J의 보편 성질에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(E \subset X\)를 제1종 예외 곡선이라 하자. \(E_n = nE\)라 두고 그 구조층을 \(\mathcal{O}_n\)으로 나타내자. 그러면 \[A = \lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n)\] 는 차원 \(2\)인 완비 국소 뇌터 정칙 국소환이고, \(\Ker(A \to H^0(E_n, \mathcal{O}_n))\)는 그 극대 아이디얼의 \(n\)제곱이다.

증명

\(X\) 안의 \(E\)의 법선층의 역상이 \(\mathcal{O}(-1)\)이 되게 하는 동형사상 \(\mathbf{P}^1_k \to E\)가 존재함을 상기하자. 그러면 \(H^0(E, \mathcal{O}_E) = k\)이다. 모든 \(n \geq 1\) 및 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대하여 가역층 \(\mathcal{O}_X(iE)\)의 \(E_n\)으로의 제한을 \(\mathcal{O}_n(iE)\)로 나타내겠다. \(\mathcal{O}_X(-nE)\)가 \(E_n\)의 아이디얼층임을 상기하자. 따라서 \(d \geq 0\)에 대하여 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_E(-(d + n)E) \to \mathcal{O}_{n + 1}(-dE) \to \mathcal{O}_n(-dE) \to 0\] \(\mathcal{O}_E(-(d + n)E) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(d + n)\)이므로 모든 \(d \geq 0\) 및 \(n \geq 1\)에 대하여 제1 코호몰로지 군은 소멸한다. 따라서 계 \(H^0(E_n, \mathcal{O}_n(-dE))\)의 전이 사상은 전사이다. \(d = 0\)이면 각 전이 사상의 핵이 멱영 아이디얼인 환의 전사들의 역계가 얻어진다. 그러므로 \(A = \lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n)\)는 잉여체가 \(k\)이고 극대 아이디얼이 \[\lim \Ker(H^0(E_n, \mathcal{O}_n) \to H^0(E, \mathcal{O}_E)) = \lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n(-E))\] 인 국소환이다. 이 핵에서 \(H^0(E, \mathcal{O}_E(-E)) = H^0(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}(1))\)의 \(k\)-기저로 가는 원소 \(x,y\)를 택하자. 그러면 \(x^d, x^{d - 1}y, \ldots, y^d\)는 \(\lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n(-dE))\)의 원소들이며 \(H^0(E, \mathcal{O}_E(-dE)) = H^0(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}(d))\)의 기저로 간다. 이로부터 \(A\)는 핵들 \[I_n = \Ker(A \longrightarrow H^0(E_n, \mathcal{O}_n))\] 로 정의되는 선형 위상에 관하여 분리되고 완비임을 알 수 있다. \(x, y \in I_1\)이고 \(I_d I_{d'} \subset I_{d + d'}\)이며, \(I_d/I_{d + 1}\)는 \(x^d, x^{d - 1}y, \ldots, y^d\)를 기저로 하는 자유 \(k\)-가군이다. \(I_d = (x, y)^d\)임을 보이겠다. 실제로 \(e \geq d\)인 \(z_e \in I_e\)에 대하여 \[z_e = a_{e, 0} x^d + a_{e, 1} x^{d - 1}y + \ldots + a_{e, d}y^d + z_{e + 1}\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(a_{e, j} \in (x, y)^{e - d}\)이고 \(z_{e + 1} \in I_{e + 1}\)인데, 이는 \(I_d/I_{d + 1}\)에 대한 위의 서술에서 따른다. 따라서 어떤 \(z = z_d \in I_d\)에서 시작하여 이를 귀납적으로 시행하면 \[z = \sum\nolimits_{e \geq d} \sum\nolimits_j a_{e, j} x^{d - j} y^j\] 을 얻는다. 여기서 \(a_{e, j} \in (x, y)^{e - d}\)이다. 그러면 완비성과 \(a_{e, j} \in I_{e-d}\)라는 사실에 의해 \(a_j = \sum_{e \geq d} a_{e, j}\)가 존재하며, \(z = \sum a_{e, j} x^{d - j} y^j\)이다. 따라서 \(I_d = (x, y)^d\)이다. 그러므로 \(A\)는 \((x,y)\)-진 완비이다. Algebra, 보조정리 05GH에 의해 \(A\)는 뇌터 환이다. \((x, y)^d/(x, y)^{d + 1}\)에 대한 서술과 Algebra, 명제 00KQ에 의해 차원이 \(2\)임은 명백하다. 극대 아이디얼이 두 원소로 생성되므로 정칙이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(E \subset X\)를 제1종 예외 곡선이라 하자. 다음을 만족하는 사상 \(f : X \to Y\)가 존재한다고 하자.

1. \(Y\)는 뇌터 스킴이다.

2. \(f\)는 고유이다.

3. \(f\)는 \(E\)를 \(Y\)의 한 점 \(y\)로 보낸다.

4. \(f\)는 \(E\)에 속하지 않는 모든 점에서 준유한이다.

그러면 \(E\)의 수축이 존재하며, 이는 \(f\)의 슈타인 분해이다.

증명

More on Morphisms, 정리 03H0를 적용하여 슈타인 분해 \(X \to X' \to Y\)를 얻는다. 그러면 \(X \to X'\)는 이 보조정리의 모든 가정을 만족한다(일부 세부 사항은 생략한다). 따라서 \(Y\)를 \(X'\)으로 대체하여 추가로 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\)이고 \(f\)의 섬유들이 기하적으로 연결되어 있다고 가정할 수 있다.

\(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\)이고 \(f\)의 섬유들이 기하적으로 연결되어 있다고 가정하자. \(f\)와 \(E\)가 닫혀 있으므로 \(y \in Y\)는 닫힌점이다. \(f\)의 제한 \(f^{-1}(Y \setminus \{y\}) \to Y \setminus \{y\}\)는 유한 사상이다 (More on Morphisms, 보조정리 02LS). 유한 사상은 아핀이고 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\)이므로 이 제한은 동형사상이다. \(\mathcal{O}_{Y,y}\)가 차원 \(2\)인 정칙환임을 보이기 위해 동형사상 \[\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \longrightarrow \lim H^0(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n), \mathcal{O})\] 을 고찰한다. 이는 Cohomology of Schemes, 보조정리 02OD의 동형사상이다. 보조정리 0C2K에서와 같이 \(E_n = nE\)라 두자. 다음 포함을 주목하자. \[E_n \subset X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n)\] 이는 \(E \subset X_y = X \times_Y \Spec(\kappa(y))\)이기 때문이다. 한편 \(f\)의 섬유들이 기하적으로 연결되어 있으므로 집합론적으로 \(E = f^{-1}(\{y\})\)이고, 따라서 어떤 \(n > 0\)에 대하여 스킴론적 섬유 \(X_y\)는 스킴론적으로 \(E_n\)에 포함된다. 실제로 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_{X_y}\)와 \(E\)의 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)에 Cohomology of Schemes, 보조정리 01Y9를 적용하고, \(\mathcal{I}^n\)이 \(E_n\)의 아이디얼층임을 사용한다. 이로부터 \[X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^m) \subset E_{nm}\] 을 얻는다. 따라서 위에 표시한 역극한은 \(\lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n)\)와 같고, 보조정리 0C2K에 의해 이는 2차원 정칙 국소환이다. 그러므로 그 완비화가 그러하다는 사실로부터 \(\mathcal{O}_{Y,y}\)도 2차원 정칙 국소환이다(More on Algebra, 보조정리 07NY 및 07NV).

이제 \(f : X \to Y\)가 \(y\)에서의 \(Y\)의 부풀리기 \(b : Y' \to Y\)임을 보여야 한다. 독자에게 직접 증명을 찾아볼 것을 권한다. 우선 보조정리 0C2K는 스킴론적으로도 \(X_y = E\)임을 함의한다. \(E\)의 아이디얼층은 가역이므로 \(f^{-1}\mathfrak m_y \cdot \mathcal{O}_X\)도 가역이다. 따라서 부풀리기의 보편 성질에 의해 사상 \(f\)의 분해 \[X \to Y' \to Y\] 를 얻는다(Divisors, 보조정리 0806 참조). 보조정리 0AGQ에 의해 예외 섬유 \(E' \subset Y'\)는 제1종 예외 곡선임을 상기하자. 유도된 사상을 \(g : E \to E'\)라 하자. \(E'\)과 \(E\) 모두에서 여법선층은 \(a\)와 \(b\)의 (역상들로) 생성되므로, 표준 사상 \(g^*\mathcal{C}_{E'/Y'} \to \mathcal{C}_{E/X}\) 은 전사이다(Morphisms, 보조정리 01R4). 두 층 모두 가역이므로 이 사상은 동형사상이다. \(\mathcal{C}_{E/X}\)의 차수가 양수이므로 \(g\)는 상수 사상일 수 없다. 따라서 \(g\)의 섬유는 유한하고, 위와 같은 근거로 \(g\)는 유한 사상이다. 그런데 \(Y'\)은 \(E'\)의 모든 점에서 정칙(따라서 정규)이고, \(X \to Y'\)은 쌍유리이며 \(E'\) 밖에서 동형사상이므로, Varieties, 보조정리 0BFP에 의해 \(X \to Y'\)은 동형사상이다.

보조정리

\(b : X \to X'\)를 제1종 예외 곡선 \(E \subset X\)의 수축이라 하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to \Pic(X') \to \Pic(X) \to \mathbf{Z} \to 0\] 이 존재한다. 첫째 사상은 \(b\)에 의한 역상이고, 둘째 사상은 \(\mathcal{L}\)을 예외 곡선 \(E\) 위에서의 \(\mathcal{L}\)의 차수로 보낸다. 이 완전열은 사상 \(n \mapsto \mathcal{O}_X(-nE)\)에 의해 분할된다.

증명

\(E = \mathbf{P}^1_k\)이므로 \(E\)의 피카르 군은 \(\mathbf{Z}\)이다 (Divisors, 보조정리 0BXJ 참조). 따라서 마지막 사상을 \(\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L}|_E\)로 생각할 수 있다. 제1종 예외 곡선의 정의에 의해 \(\mathcal{O}_X(E)\)의 \(E\)로의 제한의 차수는 \(-1\)이다. 이 사실들을 합치면, \(\Pic(X') \to \Pic(X)\)가 단사이고 그 상이 \(E\) 위에서 \(\mathcal{O}_E\)로 제한되는 가역층들임을 보이면 충분하다.

가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{L}'\)이 주어졌을 때 사상 \(\mathcal{L}' \to b_*b^*\mathcal{L}'\)이 동형사상이라고 주장한다. 이는 \(E\)의 상인 점 \(x \in X'\)을 제외하면 명백하다. \(x\)에서의 줄기 위에서도 동형사상임을 확인하기 위해 \(X'\)을 \(x\)의 열린 근방으로 대체하고 \(\mathcal{L}'\)이 \(\mathcal{O}_{X'}\)라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\mathcal{O}_{X'} \to b_*\mathcal{O}_X\)가 동형사상임을 보이면 된다. 이는 보조정리 0AGS의 (4)에서 따른다.

\(\mathcal{L}|_E = \mathcal{O}_E\)인 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)을 택하자. 다음을 주장한다. (1) \(b_*\mathcal{L}\)은 가역이고, (2) \(b^*b_*\mathcal{L} \to \mathcal{L}\)은 동형사상이다. (1)과 (2)는 \(X' \setminus \{x\}\) 위에서 명백하다. 따라서 \(\Spec(\mathcal{O}_{X',x})\)로 기저 변경한 뒤 (1)과 (2)를 증명하면 충분하다. \(b_*\)의 계산은 평탄 기저 변경과 가환하고(Cohomology of Schemes, 보조정리 02KH), \(b^*\) 및 수반 사상의 구성도 마찬가지이다. 그런데 \(X'\)이 정칙 국소환의 스펙트럼이면 보조정리 0C5G의 피카르 군에 대한 서술에 의해 \(\mathcal{L}\)은 자명하다. 이로써 주장이 증명된다.

앞의 두 문단에서 증명한 주장들을 합치면 사상 \(\mathcal{L} \mapsto b_*\mathcal{L}\)이 다음 사상의 역임을 알 수 있다. \[\Pic(X') \longrightarrow \Ker(\Pic(X) \to \Pic(E))\] 이로써 보조정리가 증명된다.

주

\(b : X \to X'\)를 제1종 예외 곡선 \(E \subset X\)의 수축이라 하자. 보조정리 0C5L에서 다음 동일시를 얻는다. \[\Pic(X) = \Pic(X') \oplus \mathbf{Z}\] 여기서 \(\mathcal{L}\)이 쌍 \((\mathcal{L}',n)\)에 대응할 필요충분조건은 \(\mathcal{L} = (b^*\mathcal{L}')(-nE)\), 즉 \(\mathcal{L}(nE) = b^*\mathcal{L}'\)인 것이다. 실제로 보조정리 0C5L의 증명은 \(\mathcal{L}' = b_*\mathcal{L}(nE)\)임을 보인다. 물론 대응 \(\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L}'\)은 군 준동형이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴, \(E \subset X\)를 제1종 예외 곡선, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}|_E\)를 \(\mathbf{P}^1\) 위의 가역 가군으로 보았을 때 그 차수가 \(n\)이 되게 하는 정수를 \(n\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)이고 \(n \geq 0\)이면 \(0 \leq i \leq n + 1\)인 모든 정수에 대하여 \(H^1(X, \mathcal{L}(iE)) = 0\)이다.

2. \(n \leq 0\)이면 \(H^1(X, \mathcal{L}) \subset H^1(X, \mathcal{L}(E))\).

증명

Divisors, 보조정리 0BXJ에 의해 \(\mathcal{L}|_E = \mathcal{O}(n)\)임을 주목하자. 귀납법과 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}(E) \to \mathcal{L}(E)|_E \to 0,\] 에 딸린 긴 완전 코호몰로지 열을 사용하고, \(d \geq -1\)이면 \(H^1(\mathbf{P}^1, \mathcal{O}(d)) = 0\)이고 \(d \leq -1\)이면 \(H^0(\mathbf{P}^1, \mathcal{O}(d)) = 0\)임을 사용한다. 일부 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(S = \Spec(R)\)를 아핀 뇌터 스킴이라 하자. \(X \to S\)를 고유 사상, \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 풍부한 가역층, \(E \subset X\)를 제1종 예외 곡선이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(E\)의 수축 \(b : X \to X'\)가 존재한다.

2. \(X'\)은 \(S\) 위에서 고유이다.

3. 가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{L}'\)은 풍부하며, 여기서 \(\mathcal{L}'\)은 따름정리 0C5M에서와 같다.

증명

보조정리 0C2J에서처럼 \(n\)을 \(\mathcal{L}|_E\)의 차수라 하자. \(\mathcal{L}\)은 \(E\) 위에서 풍부하므로 \(n > 0\)임을 주목하자(Varieties, 보조정리 0B5X 및 Properties, 보조정리 01PU). \(\mathcal{L}\)을 어떤 거듭제곱으로 대체하여 모든 \(i > 0\) 및 \(e > 0\)에 대하여 \(H^i(X, \mathcal{L}^{\otimes e}) = 0\)이라 가정할 수 있다(Cohomology of Schemes, 보조정리 0B5U 참조). 마지막으로 \(\mathcal{L}\)을 다시 어떤 거듭제곱으로 대체하여, 닫힌 몰입 \(\psi : X \to \mathbf{P}^n_S\)를 정의하는 \(\mathcal{L}\)의 대역 단면 \(t_0, \ldots, t_n\)이 존재한다고 가정할 수 있다(Morphisms, 보조정리 01VT 참조).

\(\mathcal{M} = \mathcal{L}(nE)\)라 두자. 그러면 \(\mathcal{M}|_E \cong \mathcal{O}_E\)이다. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{M}(-E) \to \mathcal{M} \to \mathcal{O}_E \to 0\] 이 있고, 보조정리 0C2J 및 \(n > 0\)이라는 사실에 의해 \(H^1(X, \mathcal{M}(-E))\)가 영이므로, \(\mathcal{M}|_E\)를 생성하는 \(\mathcal{M}\)의 단면 \(s_{n+1}\)을 택할 수 있다. 끝으로 위에서 택한 \(\mathcal{L}\)의 단면 \(t_0, \ldots, t_n\)으로부터 포함 \(\mathcal{L} \subset \mathcal{L}(nE) = \mathcal{M}\)을 통해 얻는 \(\mathcal{M}\)의 단면들을 \(s_0, \ldots, s_n\)이라 쓰자. 단면들 \(s_0, \ldots, s_n, s_{n+1}\)은 함께 \(X\)의 모든 점에서 \(\mathcal{M}\)을 생성하므로 사상 \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^{n + 1}_S\] 을 \(S\) 위에서 정의한다(Constructions, 보조정리 01NE 참조).

아래에서 보조정리 0C2L의 조건들을 확인하겠다. 확인이 끝나면 \(\varphi\)의 슈타인 분해 \(X \to X' \to \mathbf{P}^{n+1}_S\)가 원하는 수축임을 알 수 있으므로 (1)이 증명된다. 또한 사상 \(X' \to \mathbf{P}^{n+1}_S\)는 유한이므로 \(X'\)은 \(S\) 위에서 고유이다(Morphisms, 보조정리 01WN 및 01W3). 이로써 (2)가 증명된다. \(X'\)에는 풍부한 가역층이 있음을 주목하자. 실제로 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n+1}_S}(1)\)의 역상 \(\mathcal{M}'\)은 Morphisms, 보조정리 0892에 의해 풍부하다. \(\mathcal{M}'\)의 \(X\)로의 역상은 \(\mathcal{M}\)이다 (Constructions, 보조정리 01NE). 끝으로 \(\mathcal{M} = \mathcal{L}(nE)\)이다. 위 논증에서 원래의 \(\mathcal{L}\)을 양의 거듭제곱으로 대체했으므로, 이 보조정리의 (3)에 나오는 가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{L}'\)은 Properties, 보조정리 01PT에 의해 \(X'\) 위에서 풍부하다.

간단한 관찰: \(\mathbf{P}^{n+1}_S\)는 뇌터 스킴이고 \(\varphi\)는 고유이다. 세부 사항은 생략한다.

다음으로 \(U = X \setminus E\)의 모든 점은 처음 \(n+1\)개의 동차 좌표 중 하나가 영이 아닌 \(\mathbf{P}^{n+1}_S\)의 열린 부분스킴 \(W\)로 보내진다. 반면 \(E\)의 모든 점은 처음 \(n+1\)개의 동차 좌표가 모두 영인 점, 특히 \(W\)의 여집합으로 보내진다. 또한 다음은 \(\psi|_U\)의 분해임이 명백하다. \[U = \varphi^{-1}(W) \xrightarrow{\varphi|_U} W \xrightarrow{\text{pr}} \mathbf{P}^n_S\] 여기서 \(\text{pr}\)은 처음 \(n+1\)개 좌표를 쓰는 사영이고, \(\psi : X \to \mathbf{P}^n_S\)는 위에서 택한 매장이다. 따라서 \(\varphi|_U : U \to W\)는 준유한이다.

끝으로 사상 \(\varphi|_E : E \to \mathbf{P}^{n+1}_S\)를 고찰한다. 모든 점 \(x \in E\)에 대하여 상 \(\varphi(x)\)의 처음 \(n+1\)개 좌표는 영이다. 즉 사상 \(\varphi|_E\)는 닫힌 부분스킴 \(\mathbf{P}^0_S \cong S\)를 통해 분해된다. Schemes, 보조정리 01I1에 의해 사상 \(E \to S = \Spec(R)\)은 \(E \to \Spec(H^0(E, \mathcal{O}_E)) \to \Spec(R)\)으로 분해된다. 가정에 의해 \(H^0(E, \mathcal{O}_E)\)는 체이므로 \(E\)는 \(S \subset \mathbf{P}^{n+1}_S\)의 한 점으로 보내진다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴, \(f : X \to S\)를 유한형 사상이라 하자. \(E \subset X\)를 \(f\)의 한 섬유에 들어 있는 제1종 예외 곡선이라 하자.

1. \(X\)가 \(S\) 위에서 사영이면 \(E\)의 수축 \(X \to X'\)가 존재하고 \(X'\)은 \(S\) 위에서 사영이다.

2. \(X\)가 \(S\) 위에서 준사영이면 \(E\)의 수축 \(X \to X'\)가 존재하고 \(X'\)은 \(S\) 위에서 준사영이다.

증명

두 경우 모두 풍부한 가역 가군과 (준)사영 사상에 관한 표준 결과를 사용하여 보조정리 0C2M에서 따른다.

(1)의 증명. \(f\)가 사영이라는 것은 \(f\)가 고유이고 \(f\)-풍부한 가역 가군 \(\mathcal{L}\)이 존재한다는 뜻이다(Morphisms, 보조정리 0BCL 및 정의 01VW 참조). \(E\)의 상을 포함하는 아핀 열린집합을 \(U \subset S\)라 하자. 보조정리 0C2M에 의해 \(E\)의 수축 \(c : f^{-1}(U) \to V'\)와 \(V'\) 위의 풍부한 가역 가군 \(\mathcal{N}'\)이 존재하며, 그 \(f^{-1}(U)\)로의 역상은 \(\mathcal{L}(nE)|_{f^{-1}(U)}\)와 같다. \(c\)가 닫힌점 \(v \in V'\)의 부풀리기가 되게 하는 점을 \(v\)라 하자. 그러면 \(f^{-1}(U) \setminus E = V' \setminus \{v\}\)를 따라 \(V'\)과 \(X \setminus E\)를 붙여 \(S\) 위의 스킴 \(X'\)을 얻을 수 있다. 사상 \(c\)와 \(\text{id}_{X \setminus E}\)는 붙어서 \(E\)의 수축인 사상 \(b : X \to X'\)이 된다. \(X'\)에서 \(U\)의 역상은 \(U\) 위에서 고유이다. 한편 \(S\)에서 \(v\)의 상의 여집합으로 \(X' \to S\)를 제한한 것은 그 열린 집합으로 \(X \to S\)를 제한한 것과 동형이다. 따라서 \(X' \to S\)는 고유이다(고유성은 기저 위에서 국소적인 성질이기 때문이다. Morphisms, 보조정리 01W2 참조). 끝으로 \(\mathcal{N}'\)과 \(\mathcal{L}|_{X \setminus E}\)는 \(f^{-1}(U) \setminus E = V' \setminus \{v\}\) 위에서 동형인 가역 가군으로 제한되므로, 붙어서 \(X'\) 위의 가역 가군 \(\mathcal{L}'\)이 된다. \(\mathcal{L}'\)의 \(X'\) 안의 \(U\)의 역상으로의 제한은 \(\mathcal{N}'\)에 대하여 그러하므로 풍부하다. \(v\)의 상을 피하는 \(S\)의 아핀 열린집합에 대해서도 \(\mathcal{L}\)에 대하여 그러하므로 같은 사실이 성립한다. 따라서 Morphisms, 보조정리 01VJ에 의해 \(\mathcal{L}'\)은 \((X' \to S)\)-상대적으로 풍부하다. 이로써 (1)이 증명된다.

(2)의 증명. Morphisms, 보조정리 07RM에 의해 \(X\)를 \(S\) 위에서 사영인 스킴 \(\overline{X}\)의 열린 부분스킴으로 쓸 수 있다. (1)에 의해 수축 \(b : \overline{X} \to \overline{X}'\)이 존재하고 \(\overline{X}'\)은 \(S\) 위에서 사영이다. \(X' \subset \overline{X}\)를 \(X \to \overline{X}'\)의 상으로 두자. \(b\)는 \(E\) 밖에서 동형사상이므로 이는 열린 부분스킴이다. 그러면 \(X \to X'\)은 원하는 수축이다. (1)의 증명에서의 구성에 의해 \(S\)-상대적으로 풍부한 가역 가군을 가지므로, \(X'\)은 \(S\) 위에서 준사영임을 주목하자.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한형 분리 사상이라 하고, \(X\)는 차원 \(2\)인 정칙 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)는 \(S\) 위에서 준사영이다.

증명

저우의 보조정리(Cohomology of Schemes, 보조정리 0200)에 의해, 조밀한 열린집합 \(U \subset X\) 위에서 동형사상이고 \(X' \to S\)가 H-준사영이 되게 하는 고유 사상 \(\pi : X' \to X\)가 존재한다. 보조정리 0C5H에 의해 닫힌점들에서의 부풀리기들의 열 \[X_n \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 과 유리 사상 \(U \to X'\)을 연장하는 \(S\)-사상 \(X_n \to X'\)이 존재한다. Divisors, 보조정리 02NS 및 Morphisms, 보조정리 0C4P에 의해 \(X_n \to X\)는 사영이다. 이는 Morphisms, 보조정리 0C4Q에 의해 \(X_n \to X'\)도 사영임을 함의한다. 따라서 Morphisms, 보조정리 0C4M에 의해 \(X_n \to S\)는 준사영이다(사영 사상이 준사영이라는 사실은 Morphisms, 보조정리 07RL 참조). 보조정리 0C2N와 수축의 유일성 (보조정리 0C5K)에 의해 원하는 대로 \(X_{n-1}, \ldots, X_0 = X\)가 \(S\) 위에서 준사영임을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 고유 사상이라 하고, \(X\)는 차원 \(2\)인 정칙 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)는 \(S\) 위에서 사영이다.

증명

이는 보조정리 0C5N 및 Morphisms, 보조정리 0BCL에서 따른다.

쌍유리 사상의 분해

비특이 곡면 사이의 고유 쌍유리 사상은 이차 변환들의 열로 주어진다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 차원 \(2\)인 정칙 정역 뇌터 스킴 사이의 고유 쌍유리 사상이라 하자. 그러면 \(f\)는 닫힌점들에서의 부풀리기들의 열이다.

증명

\(V \subset Y\)를 그 위에서 \(f\)가 동형사상인 극대 열린집합이라 하자. 그러면 \(V\)는 \(V\)의 모든 여차원 \(1\)인 점을 포함한다(Varieties, 보조정리 0BFP). \(V\)에 속하지 않는 닫힌점 \(y \in Y\)를 택하자. \(f\)가 \(y\)에서의 \(Y\)의 부풀리기 \(b : Y' \to Y\)를 통해 분해됨을 보이고자 한다. 실제로 이것이 참이면 섬유 \(f^{-1}(y)\)의 적어도 하나(사실 정확히 하나)의 성분이 \(Y'\)의 예외 곡선 위로 동형사상에 의해 가고, \(X \to Y'\)의 섬유들에 있는 곡선의 수는 \(X \to Y\)의 섬유들에 있는 곡선의 수보다 엄밀히 작다. 따라서 귀납법으로 결론을 얻는다. 일부 세부 사항은 생략한다.

보조정리 0C5H에 의해 닫힌점들에서의 부풀리기들의 열 \[X' = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 과 사상 \(X' \to Y'\)이 존재하고, 그 닫힌점들은 섬유 \(f^{-1}(y)\) 위에 놓이며 다음 도표가 가환함을 안다. \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] 사상 \(X' \to Y'\)이 \(X\)를 통해 분해됨을 보이고자 한다. 그러면 \(n\)에 대한 귀납법을 써서 \(X' \to X\)가 \(y\)로 가는 닫힌점 \(x \in X\)에서의 \(X\)의 부풀리기인 경우로 환원할 수 있다.

\(E \subset X'\)를 부풀리기 \(X' \to X\)의 예외 섬유라 하자. \(E\)가 \(Y'\)의 한 점으로 가면 보조정리 0C5J에 의해 원하는 분해를 얻는다. 그렇지 않으면 모순이 생김을 보이겠다. 실제로 \(f'(E)\)가 한 점이 아니면 \(E' = f'(E)\)는 \(Y'\)의 예외 곡선이어야 한다. 다음 도표를 보자. \[\xymatrix{ E \ar[r] \ar[d]_g & X' \ar[d]_{f'} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ E' \ar[r] & Y' \ar[r] & Y }\] 앞에서와 같이 논하면 \(f'\)은 \(E'\)의 일반점의 열린 근방에서 동형사상이다. 따라서 \(g : E \to E'\)은 유한 쌍유리 사상이다. 그러면 Morphisms, 보조정리 0BX7에 의해 \(g\)의 역인 유리 사상은 모든 곳에서 정의되며, \(g\)는 동형사상이다. 사상 \[g^*\mathcal{C}_{E'/Y'} \longrightarrow \mathcal{C}_{E/X'}\] 을 고찰하자(Morphisms, 보조정리 01R4). 원천과 목표는 모두 \(E = E' = \mathbf{P}^1_\kappa\) 위의 차수 \(1\)인 가역 가군이고, \(f'\)이 \(E\)의 일반점에서 동형사상이므로 이 사상은 영이 아니다. 따라서 이는 동형사상이다. Morphisms, 보조정리 067L에 의해 \(\Omega_{X'/Y'}|_E = 0\)을 얻는다. 이는 \(f'\)이 \(E\)의 모든 점에서 비분기임을 뜻한다(Morphisms, 보조정리 02GF). 따라서 \(f'\)은 \(E\)의 모든 점에서 준유한이다(Morphisms, 보조정리 02V5). 그러므로 Varieties, 보조정리 0BFP에 의해 \(f'\)이 동형사상인 극대 열린집합 \(V' \subset Y'\)은 \(E'\)을 포함한다. 이는 다시 \(X'\)에서 \(y\)의 역상이 \(E'\)임을 함의한다. 따라서 \(X\)에서 \(y\)의 역상은 \(x\)이다. 그러면 Varieties, 보조정리 0BFP에 의해 \(x \in X\)는 그 위에서 \(f\)가 동형사상인 극대 열린집합에 속한다. 이는 \(y\)가 이 열린집합에 속하지 않는다고 가정한 것과 모순이다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(S\) 위의 고유 정역 스킴이라 하고, 둘 다 차원 \(2\)인 정칙 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)와 \(Y\)가 \(S\)-쌍유리일 필요충분조건은 다음 \(S\)-사상들의 도표가 존재하는 것이다. \[X = X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow \ldots \leftarrow X_n = Y_m \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] 여기서 각 사상은 한 닫힌점에서의 부풀리기이다.

증명

\(U \subset X\)를 열린집합이라 하고, 주어진 \(S\)-유리 사상(그 역도 \(S\)-유리 사상이다)을 \(f : U \to Y\)라 하자. 보조정리 0C5H에 의해 \(f\)를 \(X_n \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\)와 \(f_n : X_n \to Y\)로 분해할 수 있다. \(X_n\)은 \(S\) 위에서 고유이고 \(Y\)는 \(S\) 위에서 분리이므로 사상 \(f_n\)은 고유이다. \(f_n\)이 쌍유리임은 명백하다. 따라서 보조정리 0C5R에 의해 \(f_n\)은 수축들의 합성이다. 역의 증명은 생략한다.