대수공간의 극한

서론

이 장에서는 대수공간의 극한에 관한 내용을 다룬다. 먼저 대수공간 \(F\)가 밑 \(S\) 위에서 국소 유한 표시라는 것을 극한을 보존하는 함자라는 조건으로 특성화한다. 이어서 유향 집합(Categories, Definition 00D3)을 지표로 하고 전이 사상이 아핀인 역계의 극한을 연구한다. [CLO]를 따라 준콤팩트 준분리 대수공간의 절대 Noether 근사를 논의한다. David Rydh의 또 다른 접근법([rydh_approx] 참조)은 특정 대수 스택의 절대 Noether 근사까지 다룬다.

규약

모든 스킴은 큰 fppf 사이트 \(\Sch_{fppf}\)에 속한다고 항상 가정한다. 또한 다루는 모든 환 \(A\)에 대해 \(\Spec(A)\)는 이 큰 사이트의 어떤 대상과 (동형인) 것으로 가정한다.

\(S\)를 스킴, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 이 장과 이후의 장에서는 \(X \times_S X\)라는 표기를 쓴다. 이는 \(X\)와 자기 자신의 곱(\(S\) 위의 대수공간의 범주에서 취한 곱)에 대해 \(X \times X\) 대신 쓰는 표기이다.

유한 표시 사상

이 절에서는 Limits, Proposition 01ZC을 대수공간의 사상으로 일반화한다. 다음 정의의 동기는 방금 인용한 명제에서 나온다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자.

1. 함자 \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)가 극한을 보존한다 또는 국소 유한 표시이다라는 것은, 아핀 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에서 극한 \(T = \lim T_i\)로 주어지되, 이것이 아핀 스킴 \(T_i\)들의 \(S\) 위의 유향 역계의 극한일 때마다 \[F(T) = \colim F(T_i).\] 가 성립한다는 뜻이다. 이때 \(F\)가 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이다라고도 한다.

2. \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. 함자 사이의 변환 \(a : F \to G\)가 극한을 보존한다 또는 국소 유한 표시이다라는 것은, 모든 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에 주어졌을 때 모든 \(y \in G(T)\)에 대해 함자 \[F_y : (\Sch/T)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T'/T \longmapsto \{x \in F(T') \mid a(x) = y|_{T'}\}\] 가 \(T\) 위에서 국소 유한 표시라는 뜻이다¹. 이때 \(F\)가 \(G\) 위에서 상대적으로 극한을 보존한다라고도 한다.

함자 \(F_y\)는 어떤 의미에서 \(a : F \to G\)의 \(y\) 위의 올이다. 다만 \(T\)의 큰 fppf 사이트 위의 전층이라는 차이가 있다. 이 함자는 다음 식으로 주어진다. [049K]\[\begin{equation} F_y = F|_{(\Sch/T)_{fppf}} {\times}_{G|_{(\Sch/T)_{fppf}}} * \end{equation}\] 여기서 \(*\)는 \((\Sch/T)_{fppf}\) 위의 (전)층의 범주의 최종 대상이고 (Sites, Example 00W3 참조), 사상 \(* \to G|_{(\Sch/T)_{fppf}}\)는 \(y\)로 주어진다. \(j : (\Sch/T)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\)가 국소화 함자이면, 위 식은 \(F_y = j^{-1}F \times_{j^{-1}G} *\)가 되며 \(j_!F_y\)는 바로 올곱 \(F \times_{G, y} T\)라는 점에 주의하자. (국소화에 대해서는 Sites, Section 00XZ를, 특히 전층에 대한 \(j_!\)에 대해서는 Sites, Remark 0494를 참조하라.)

현재로서는 사상 \(X \to Y\)가 \(S\) 위의 대수공간의 사상으로서 국소 유한 표시라는 말에 일시적으로 두 가지 정의가 있다. 하나는 Morphisms of Spaces, Definition 03XP에 따른 정의이고, 다른 하나는 \(X \to Y\)가 함자 사이의 변환이라는 사실을 이용하여 Definition 049J을 적용하는 정의이다 (후자의 개념에는 가능한 한 “극한 보존”이라는 용어를 쓸 것이다). Proposition 04AK에서 이 두 정의가 일치함을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(a : F \to G\)를 함자 \((\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) 사이의 변환이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(a : F \to G\)는 극한을 보존한다.

2. 아핀 스킴 \(T\)가 \(S\) 위에서 극한 \(T = \lim T_i\)로 주어지되, 이것이 아핀 스킴 \(T_i\)들의 \(S\) 위의 유향 역계의 극한일 때마다 집합의 가환도 \[\xymatrix{ \colim_i F(T_i) \ar[r] \ar[d]_a & F(T) \ar[d]^a \\ \colim_i G(T_i) \ar[r] & G(T) }\] 는 올곱 가환도이다.

증명

(1)을 가정하자. (2)에서와 같은 \(T = \lim_{i \in I} T_i\)를 생각하자. \((y, x_T)\)를 올곱 \(\colim_i G(T_i) \times_{G(T)} F(T)\)의 원소라 하자. 그러면 \(y\)는 \(y_i \in G(T_i)\)에서 오며, 여기서 \(i\)는 적절히 택한다. 함자 \(F_{y_i}\)를 \((\Sch/T_i)_{fppf}\) 위에서 생각하자. 이는 Definition 049J에서 정의한 함자이다. \(x_T \in F_{y_i}(T)\)임을 알 수 있다. 또한 \(T = \lim_{i' \geq i} T_{i'}\)는 \(T_i\) 위의 아핀 스킴의 유향계이다. 따라서 (1)에 의해 \(x_T\)는 유일한 원소 \(x\)의 상이며, 이 원소는 \(\colim_{i' \geq i} F_{y_i}(T_{i'})\)에 속한다. 그러므로 \(x\)는 \(\colim F(T_i)\)의 원소 중 쌍 \((y, x_T)\)로 가는 유일한 원소이다. 이로써 (2)가 성립함을 보였다.

(2)를 가정하자. \(T\)를 스킴이라 하고 \(y_T \in G(T)\)라 하자. \(F_{y_T}\)가 극한을 보존함을 보여야 한다. \(T' = \lim_{i \in I} T'_i\)를 \(T\) 위의 아핀 스킴 \(T'_i\)의 유향 극한인 \(T\) 위의 아핀 스킴이라 하자. \(x_{T'} \in F_{y_T}\)라 하자. \(i \in I\)를 택하자. 이는 \(I\)가 유향 집합이므로 가능하다.

\(y_i \in F(T'_i)\)로 \(y_{T'}\)의 상을 나타내자. 그러면 \((y_i, x_{T'})\)가 올곱 \(\colim_i G(T'_i) \times_{G(T')} F(T')\)의 원소임을 알 수 있다. 따라서 (2)에 의해 유일한 원소 \(x\)를 \(\colim_i F(T'_i)\)에서 얻으며, 이는 \((y_i, x_{T'})\)로 간다. \(x\)는 \(\colim_i F_y(T'_i)\)의 원소로서 \(x_{T'}\)로 가는 원소를 정의함이 분명하므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 속하는 스킴이라 하자. \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : G \to H\)를 함자 사이의 변환이라 하자. \(a\)와 \(b\)가 극한을 보존하면 \[b \circ a : F \longrightarrow H\] 도 극한을 보존한다.

증명

\(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 Lemma 06BC의 특성화 (2)에서와 같다고 하자. 다음 집합의 가환도를 생각하자. \[\xymatrix{ \colim_i F(T_i) \ar[r] \ar[d]_a & F(T) \ar[d]^a \\ \colim_i G(T_i) \ar[r] \ar[d]_b & G(T) \ar[d]^b \\ \colim_i H(T_i) \ar[r] & H(T) }\] 가정에 의해 두 정사각형은 올곱 정사각형이다. 따라서 바깥 직사각형도 올곱 가환도이므로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 속하는 스킴이라 하자. \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : G \to H\)를 함자 사이의 변환이라 하자. \(b \circ a\)와 \(b\)가 극한을 보존하면 \(a\)도 극한을 보존한다.

증명

\(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 Lemma 06BC의 특성화 (2)에서와 같다고 하자. 다음 집합의 가환도를 생각하자. \[\xymatrix{ \colim_i F(T_i) \ar[r] \ar[d]_a & F(T) \ar[d]^a \\ \colim_i G(T_i) \ar[r] \ar[d]_b & G(T) \ar[d]^b \\ \colim_i H(T_i) \ar[r] & H(T) }\] 가정에 의해 아래 정사각형과 바깥 직사각형은 집합의 올곱이다. 따라서 위 정사각형도 올곱 정사각형이므로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 속하는 스킴이라 하자. \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : H \to G\)를 함자 사이의 변환이라 하자. 다음 올곱 가환도를 생각하자. \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] \(a\)가 극한을 보존하면 그 밑변환 \(a'\)도 극한을 보존한다.

증명

생략한다. 힌트: 형식적으로 따른다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 속하는 스킴이라 하자. \(E, F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(a : F \to G\), \(b : H \to G\), \(c : G \to E\)를 함자 사이의 변환이라 하자. \(c\), \(c \circ a\), \(c \circ b\)가 극한을 보존하면 \(F \times_G H \to E\)도 극한을 보존한다.

증명

\(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 Lemma 06BC의 특성화 (2)에서와 같다고 하자. 그러면 여과 여극한은 유한 곱과 교환하므로 \[\colim (F \times_G H)(T_i) = \colim F(T_i) \times_{\colim G(T_i)} \colim H(T_i)\] 가 성립한다. 따라서 다음 가환도가 올곱 가환도임을 보이면 된다. \[\xymatrix{ \colim F(T_i) \times_{\colim G(T_i)} \colim H(T_i) \ar[r] \ar[d] & F(T) \times_{G(T)} H(T) \ar[d] \\ \colim_i E(T_i) \ar[r] & E(T) }\] 이는 집합의 사상 \(E' \to E\), \(F \to G\), \(H \to G\), \(G \to E\)가 주어지면 \[E' \times_E (F \times_G H) = (E' \times_E F) \times_{(E' \times_E G)} (E' \times_E H)\] 가 성립한다는 관찰에서 따른다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 속하는 스킴이라 하자. \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. \(F\)가 극한을 보존하면 그 층화 \(F^\#\)도 극한을 보존한다.

증명

\(F\)가 극한을 보존한다고 가정하자. \(F^+\)가 극한을 보존함을 보이면 충분하다. 이는 \(F^\# = (F^+)^+\)이기 때문이다. Sites, Theorem 00WB를 보라. \(T\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하고, \(T = \lim T_i\)를 아핀 \(S\)-스킴의 역계의 유향 극한으로 나타내자. \(F^+(T)\)는 \(\check H^0(\mathcal{V}, F)\)의 여극한임을 상기하자. 여기서 극한은 \(T\)의 모든 \((\Sch/S)_{fppf}\)-덮개에 걸쳐 취한다.

아핀 스킴의 모든 fppf 덮개는 표준 fppf 덮개로 세분할 수 있다. Topologies, Lemma 021P를 보라. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다. \[F^+(T) = \colim_{\mathcal{V}\text{ 표준 덮개 }T} \check H^0(\mathcal{V}, F).\] 이 여극한에 나타나는 임의의 \(\mathcal{V} = \{T_k \to T\}_{k = 1, \ldots, n}\)는 \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T\)의 형태로 쓸 수 있다. 여기서 \(i\)를 적절히 택하고 표준 fppf 덮개 \(\mathcal{V}_i = \{T_{i, k} \to T_i\}_{k = 1, \ldots, n}\)를 \(T_i\) 위에서 택한다. \(\mathcal{V}_{i'} = \{T_{i', k} \to T_{i'}\}_{k = 1, \ldots, n}\)로 \(i' \geq i\)에 대한 밑변환을 나타내자. 그러면 다음을 얻는다.

\[\begin{align*} \colim_{i' \geq i} \check H^0(\mathcal{V}_i, F) & = \colim_{i' \geq i} \text{동등자} \left( \xymatrix{ \prod F(T_{i', k}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(T_{i', k} \times_{T_{i'}} T_{i', l}) } \right) \\ & = \text{동등자} \left( \xymatrix{ \colim_{i' \geq i} \prod F(T_{i', k}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim_{k' \geq k} \prod F(T_{i', k} \times_{T_{i'}} T_{i', l}) } \right) \\ & = \text{동등자} \left( \xymatrix{ \prod F(T_k) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(T_k \times_T T_l) } \right) \\ & = \check H^0(\mathcal{V}, F) \end{align*}\] 여기서 두 번째 등식은 여과 여극한이 완전하기 때문에 성립한다. 세 번째 등식은 \(F\)가 극한을 보존하고, \(\lim_{i' \geq i} T_{i', k} = T_k\) 및 \(\lim_{i' \geq i} T_{i', k} \times_{T_{i'}} T_{i', l} = T_k \times_T T_l\)가 성립하기 때문에 성립한다. 이는 Limits, Lemma 01YZ에 따른다. 이를 모든 덮개에 동시에 적용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} F^+(T) & = \colim_{\mathcal{V}\text{ 표준 덮개 }T} \check H^0(\mathcal{V}, F) \\ & = \colim_{i \in I} \colim_{\mathcal{V}_i\text{ 표준 덮개 }T_i} \check H^0(T \times_{T_i}\mathcal{V}_i, F) \\ & = \colim_{i \in I} F^+(T_i) \end{align*}\] 여극한을 취하는 순서는 Categories, Lemma 002M에 의해 바꿀 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(F\)는 층이다.

2. fppf 덮개 \(\{U_j \to S\}_{j \in J}\)가 존재하여 \(F|_{(\Sch/U_j)_{fppf}}\)가 극한을 보존한다.

그러면 \(F\)는 극한을 보존한다.

증명

\(T\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하고, \(T_i\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴의 역계로서 \(T = \lim T_i\)를 만족하는 것이라 하자. 표준 사상 \(\colim F(T_i) \to F(T)\)가 전단사임을 보여야 한다.

\(0 \in I\)를 하나 택하고, 표준 fppf 덮개 \(\{V_{0, k} \to T_{0}\}_{k = 1, \ldots, m}\)를 택하여 당김 \(\{U_j \times_S T_0 \to T_0\}\)를 세분하게 하자. 이 당김은 주어진 \(S\)의 fppf 덮개에서 얻은 것이다. 각 \(i \geq 0\)에 대해 \(V_{i, k} = T_i \times_{T_0} V_{0, k}\)로 놓고, \(V_k = T \times_{T_0} V_{0, k}\)로 놓자. \(V_k = \lim_{i \geq 0} V_{i, k}\)임에 주의하자. Limits, Lemma 01YZ를 보라.

\(x, x' \in \colim F(T_i)\)가 \(F(T)\)의 같은 원소로 간다고 하자. \(x, x'\)가 원소 \(x_i, x'_i \in F(T_i)\)로 주어진다고 하자. 여기서 \(i \in I\)이다(두 원소에 대해 같은 \(i\)를 택할 수 있는데, 이는 \(I\)가 유향이기 때문이다). 가정 (2)와 \(x_i, x'_i\)가 \(F(T)\)의 같은 원소로 간다는 사실에 의해 \[x_i|_{V_{i', k}} = x'_i|_{V_{i', k}}\] 가 충분히 큰 \(i' \in I\)에 대해 성립한다. 같은 \(i'\)를 모든 \(k\)에 대해 택할 수 있는데, 이는 \(k \in \{1, \ldots, m\}\)가 유한 집합을 움직이기 때문이다. \(\{V_{i', k} \to T_{i'}\}\)가 fppf 덮개이고 \(F\)가 층이므로, 이로부터 원하는 등식 \(x_i|_{T_{i'}} = x'_i|_{T_{i'}}\)를 얻는다. 따라서 사상 \(\colim F(T_i) \to F(T)\)는 단사이다.

전사성도 비슷하게 보인다. \(x \in F(T)\)라 하자. 가정 (2)에 의해 각 \(k\)에 대해 \(i\)를 택하여 \(x|_{V_k}\)가 원소 \(x_{i, k} \in F(V_{i, k})\)에서 오게 할 수 있다. 앞에서와 같이 하나의 \(i\)를 택하여 모든 \(k\)에 대해 동시에 성립하게 할 수 있다. 위에서 증명한 단사성에 의해 \[x_{i, k}|_{V_{i', k} \times_{T_{i'}} V_{i', l}} = x_{i, l}|_{V_{i', k} \times_{T_{i'}} V_{i', l}}\] 가 충분히 큰 \(i'\)에 대해 성립한다. 따라서 \(F\)의 층 조건에 의해 원소 \(x_{i, k}|_{V_{i', k}}\)들을 붙여 원소 \(x_{i'} \in F(T_{i'})\)를 얻으며, 이것이 원하는 결과이다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 속하는 스킴이라 하자. \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. \(a : F \to G\)가 극한을 보존하는 변환이면, 유도되는 층 사이의 변환 \(F^\# \to G^\#\)도 극한을 보존한다.

증명

\(T\)를 스킴이라 하고 \(y \in G^\#(T)\)라 하자. 함자 \(F^\#_y : (\Sch/T)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)가 극한을 보존함을 보여야 한다. 이 함자는 \(F^\# \to G^\#\)와 \(y\)로부터 Definition 049J에서와 같이 구성된다. 식 (049K)에 의해 \(F^\#_y\)는 층이다. fppf 덮개 \(\{V_j \to T\}_{j \in J}\)를 택하여 \(y|_{V_j}\)가 원소 \(y_j \in F(V_j)\)에서 오게 하자.

\(F^\#\)를 \((\Sch/V_j)_{fppf}\)에 제한하면 바로 \(F^\#_{y_j}\)가 됨에 주의하자. \(F^\#_{y_j}\)가 극한을 보존함을 보일 수 있으면, Lemma 049P에 의해 \(F^\#_y\)도 극한을 보존하므로 증명이 끝난다. 이로써 \(y \in G(T)\)인 경우로 환원된다.

\(y \in G(T)\)라 하자. 이 경우 \(F^\#_y = (F_y)^\#\)라고 주장한다. 이는 식 (049K)에서 따른다. 따라서 이 경우는 Lemma 049O에서 따른다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 국소 유한 표시인 대수공간의 사상이다. Morphisms of Spaces, Definition 03XP를 보라.

2. 사상 \(f : X \to Y\)는 함자 사이의 변환으로서 극한을 보존한다. Definition 049J을 보라.

증명

(1)을 가정하자. \(T\)를 스킴이라 하고 \(y \in Y(T)\)라 하자. \(T \times_Y X\)가 \(T\) 위에서 Definition 049J의 의미로 극한을 보존함을 보여야 한다. 따라서 \(X\)가 대수공간으로서 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이면, 함자 \(X : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)로서 극한을 보존함을 보이는 것으로 환원된다. 이를 위해 표시 \(X = U/R\)를 택하자. Spaces, Definition 0263을 보라. Morphisms of Spaces, Definition 03XP에 의해 \(U\)와 \(R\)은 모두 \(S\) 위에서 국소 유한 표시인 스킴이다. 따라서 Limits, Proposition 01ZC에 의해 \[U(T) = \colim U(T_i), \quad R(T) = \colim R(T_i)\] 가 \(T = \lim_i T_i\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\)에서 성립할 때마다 성립한다. 따라서 전층 \[(\Sch/S)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad W \longmapsto U(W)/R(W)\] 는 극한을 보존한다. 그러므로 Lemma 049O에 의해 그 층화 \(X = U/R\)도 극한을 보존한다.

(2)를 가정하자. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자. 이어서 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택하자. Lemma 049M에 의해 함자 사이의 변환 \(V \times_Y X \to V\)는 극한을 보존한다. Morphisms of Spaces, Lemma 0468에 의해 대수공간의 사상 \(U \to V \times_Y X\)는 국소 유한 표시이다. 따라서 증명의 첫 부분에 의해 함자 사이의 변환으로서 극한을 보존한다. Lemma 049L에 의해 합성 \(U \to V \times_Y X \to V\)는 함자 사이의 변환으로서 극한을 보존한다. 따라서 스킴의 사상 \(U \to V\)는 Limits, Proposition 01ZC에 의해 국소 유한 표시이다(증명의 마지막 문단에 나오는 집합론적 논점을 전제한다). 이는 정의에 의해 (1)이 성립한다는 뜻이다.

집합론적 논점. \(U \to V\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 사상이라 하자. Limits, Proposition 01ZC에서는 \(U \to V\)가 국소 유한 표시라는 것을, 아핀 스킴의 모든 유향 역계 \((T_i, f_{ii'})\)가 \(V\) 위에 주어질 때 \(U(T) = \colim V(T_i)\)가 성립한다는 조건으로 특성화한다.

하지만 현재 설정에서는 아핀 스킴 \(T_i\)가 \(V\) 위에 있고 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 어떤 대상과 (동형인) 경우만 고려할 수 있다. 따라서 증명이 성립하도록 \((\Sch/S)_{fppf}\) 안에 충분히 많은 아핀 스킴이 있는지 확인해야 한다. Limits, Proposition 01ZC의 (2) \(\Rightarrow\) (1)의 증명을 살펴보면, 문제는 \(U\)와 \(V\)가 아핀인 경우로 환원됨을 알 수 있다. \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(B)\)라 하자. \((\Sch/S)_{fppf}\)의 구성에 의해 기수가 \(\leq |B|\)인 모든 환의 스펙트럼은 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 어떤 대상과 동형이다. 따라서 Algebra, Lemma 00QO의 “그때에만” 방향의 증명에서는 \(A\)-대수 중 기수가 \(\leq |B|\)인 것들만 사용된다는 점을 관찰하면 충분하다.

주

Proposition 04AK의 중요한 특수한 경우는 다음과 같다. \(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 그러면 \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한 표시일 필요충분조건은 \(X\)가 함자 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)로서 극한을 보존하는 것이다. Limits, Remark 05LX와 비교하라. 사실 아래의 Lemma 0CM6에서, 사상 \[\colim X(T_i) \longrightarrow X(T)\] 이 \(T = \lim T_i\)가 아핀 스킴의 \(S\) 위의 유향 극한일 때마다 전사인 것만으로 충분함을 보일 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 모든 유향 극한 \(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 \(S\) 위의 아핀 스킴으로 이루어질 때 사상 \[\colim X(T_i) \longrightarrow X(T) \times_{Y(T)} \colim Y(T_i)\] 이 전사이면, \(f\)는 국소 유한 표시이다. 달리 말하면, Proposition 04AK의 (2)에서는 Lemma 06BC의 판정 조건에서 전사성만 확인하면 충분하다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(g : V \to Y\)를 택하자. 이어서 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(h : U \to V \times_Y X\)를 택하자. 보조정리에서와 같은 \(T = \lim T_i\)에 대해 사상 \[\colim U(T_i) \longrightarrow U(T) \times_{V(T)} \colim V(T_i)\] 이 전사임을 보이면 충분하다. 그러면 \(U \to V\)가 Limits, Lemma 0CM0에 의해 국소 유한 표시이기 때문이다 (Proposition 04AK의 증명에서와 동일한 집합론적 논점을 전제한다). 따라서 \(a : T \to U\)와 \(b_i : T_i \to V\)를 택하여 같은 사상 \(T \to V\)를 정하게 하자. 다음 가환도를 보라. \[\xymatrix{ T \ar[d]_a \ar[rr]_{p_i} & & T_i \ar[d]^{b_i} \ar@{..>}[ld] \\ U \ar[r]^-h & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & V \ar[d]^g \\ & X \ar[r]^f & Y }\] 보조정리의 가정에 의해 \(i\)를 크게 한 후 사상 \(c_i : T_i \to X\)를 찾아 \(h \circ a = (b_i, c_i) \circ p_i : T_i \to V \times_Y X\)이고 \(f \circ c_i = g \circ b_i\)가 되게 할 수 있다.

\(h\)는 대수공간의 에탈 사상이므로(따라서 국소 유한 표시이므로), 사상 \[\colim U(T_i) \longrightarrow U(T) \times_{(X \times_Y V)(T)} \colim (X \times_Y V)(T_i)\] 은 Proposition 04AK에 의해 전사이다. 따라서 \(i\)를 다시 크게 하면 원하는 사상 \(a_i : T_i \to U\)를 찾아 \(a = a_i \circ p_i\)이고 \(b_i = (U \to V) \circ a_i\)가 되게 할 수 있다.

대수공간의 극한

다음 보조정리는 이 장에서 대수공간의 극한을 어떻게 다루는지 설명한다. 대수공간의 아핀 사상을 밑변환하면 아핀 사상이 된다는 사실을 별도의 언급 없이 사용할 것이다(Morphisms of Spaces, Lemma 03WI 참조).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하자. \((X_i, f_{ii'})\)를 \(I\)를 지표로 하는 \(S\) 위의 대수공간의 범주의 역계라 하자. 사상 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)가 아핀이면, 극한 \(X = \lim_i X_i\)는 (fppf 층으로서 취했을 때) 대수공간이다. 또한 다음이 성립한다.

1. 각 사상 \(f_i : X \to X_i\)는 아핀이다.

2. 임의의 \(i \in I\)와 대수공간의 임의의 사상 \(T \to X_i\)에 대해 \[X \times_{X_i} T = \lim_{i' \geq i} X_{i'} \times_{X_i} T.\] 가 \(S\) 위의 대수공간으로서 성립한다.

증명

(2)는 극한 \(X = \lim X_i\)가 \(S\) 위의 대수공간으로서 존재한다는 사실에서 형식적으로 따른다. 원소 \(0 \in I\)를 택하자(유향 집합은 공집합이 아니므로 가능하다). 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\)로 놓으면 \(X_0 = U_0/R_0\)이다. \(i \geq 0\)에 대해 \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) 및 \(R_i = X_i \times_{X_0} R_0 = U_i \times_{X_i} U_i\)로 놓자. Limits, Lemma 01YX에 의해 \(U = \lim_{i \geq 0} U_i\)와 \(R = \lim_{i \geq 0} R_i\)는 스킴이다. 또한 두 사상 \(s, t : R \to U\)는 두 사영 \(R_0 \to U_0\)를 사상 \(U \to U_0\)로 밑변환한 것이므로, 특히 에탈이다. 사상 \(R \to U \times_S U\)는 동치관계를 정의한다. 이는 동치관계의 유향 극한이 동치관계이기 때문이다.

따라서 사상 \(R \to U \times_S U\)는 에탈 동치관계이다. 자연스러운 사상 [07SG]\[\begin{equation} U/R \longrightarrow \lim X_i \end{equation}\] 이 \(S\) 위의 스킴의 범주 위에서 fppf 층의 동형이라고 주장한다. 이 주장이 성립하면 \(X = \lim X_i\)는 Spaces, Theorem 02WW에 의해 대수공간이다.

\(Z\)를 스킴이라 하고 \(a : Z \to \lim X_i\)를 사상이라 하자. 그러면 \(a = (a_i)\)이며, 여기서 \(a_i : Z \to X_i\)이다. \(W_0 = Z \times_{a_0, X_0} U_0\)로 놓자. \(W_0 = Z \times_{a_i, X_i} U_i\)가 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립함에 주의하자. 이는 위에서 \(U_i \to X_i\)를 택한 방식에 따른다. 따라서 사상 \(W_0 \to \lim_{i \geq 0} U_i = U\)를 얻는다. \(W_0 \to Z\)가 전사 에탈이므로, (07SG)는 층 사이의 전사 사상이다. 마지막으로 \(Z\)를 스킴이라 하고, 두 사상 \(a, b : Z \to U/R\)가 (07SG)와 합성하면 같아진다고 하자. \(a = b\)임을 보여야 한다. \(Z\)를 fppf 덮개의 원소들로 대체하면, 사상 \(a', b' : Z \to U\)가 존재하여 각각 \(a\)와 \(b\)를 유도한다고 가정할 수 있다. \(a, b\)가 (07SG)와 합성하면 같아진다는 조건은, 각 \(i \geq 0\)에 대해 합성 \(a_i', b_i' : Z \to U \to U_i\)가 \(U_i/R_i = X_i\)로 가는 사상으로서 같다는 뜻이다. 따라서 \((a_i', b_i') : Z \to U_i \times_S U_i\)는 \(R_i\)를 경유하며, 이를 주는 사상을 \(c_i : Z \to R_i\)라 하자. \(R = \lim_{i \geq 0} R_i\)이므로 \(c = \lim c_i : Z \to R\)는 사상이며, 이 사상으로부터 \(a, b\)가 \(Z\)에서 \(U/R\)로 가는 사상으로서 같음을 알 수 있다.

(1)은 위에서 \(U_i \times_{X_i} X = U\)임을 보였고, \(U \to U_i\)가 구성에 의해 아핀이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하자. \((X_i, f_{ii'})\)를 \(I\)를 지표로 하는 \(S\) 위의 대수공간의 역계라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자. \(X = \lim_i X_i\)라 하자. \(0 \in I\)라 하자. \(T \to X_0\)가 대수공간의 사상이라고 가정하자. 그러면 \[T \times_{X_0} X = \lim_{i \geq 0} T \times_{X_0} X_i\] 가 \(S\) 위의 대수공간으로서 성립한다.

증명

극한 \(X\)는 Lemma 07SF에 의해 대수공간이다. 등식은 형식적이다. Categories, Lemma 002M를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하자. \((X_i, f_{i'i}) \to (Y_i, g_{i'i})\)를 \(I\)를 지표로 하는 \(S\) 위의 대수공간의 역계 사이의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 사상 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\)는 아핀이다.

2. 사상 \(g_{i'i} : Y_{i'} \to Y_i\)는 아핀이다.

3. 사상 \(X_i \to Y_i\)는 닫힌 몰입이다.

그러면 \(\lim X_i \to \lim Y_i\)는 닫힌 몰입이다.

증명

\(\lim X_i\)와 \(\lim Y_i\)가 Lemma 07SF에 의해 존재함을 관찰하자. \(0 \in I\)를 택하고 아핀 스킴 \(V_0\)와 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. 그러면 사상 \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0 \to U_i = X_i \times_{Y_0} V_0\)는 아핀 스킴의 닫힌 몰입이다.

따라서 사상 \(V = Y \times_{Y_0} V_0 \to U = X \times_{Y_0} V_0\)는 닫힌 몰입이다. 이는 \(V = \lim V_i\), \(U = \lim U_i\)이고, 아핀 스킴의 닫힌 몰입의 극한이 닫힌 몰입이기 때문이다. 실제로 전사 환 준동형의 여과 여극한은 전사이다. 에탈 사상들 \(V \to Y\)는 \(Y\)의 에탈 덮개를 이룬다. 여기서 \(V_0 \to Y_0\)의 선택을 변화시킨다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하자. \((X_i, f_{i'i})\)를 \(I\)를 지표로 하는 \(S\) 위의 대수공간의 역계라 하자. \(X_i\)가 모든 \(i\)에 대해 축약이면, \(X\)는 축약이다.

증명

\(\lim X_i\)가 Lemma 07SF에 의해 존재함을 관찰하자. \(0 \in I\)를 택하고 아핀 스킴 \(V_0\)와 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자.

그러면 아핀 스킴 \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)는 축약이다. 따라서 \(U = X \times_{X_0} U_0\)는 축약 아핀 스킴의 극한이므로 축약 아핀 스킴이다. 실제로 축약환의 여과 여극한은 축약이다. 에탈 사상들 \(U \to X\)는 \(X\)의 에탈 덮개를 이룬다. 여기서 \(U_0 \to X_0\)의 선택을 변화시킨다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. Proposition 04AK의 서로 동치인 조건 (1), (2)는 다음 조건과도 동치이다.

1. 모든 유향 극한 \(T = \lim T_i\)가 준콤팩트 준분리 대수공간 \(T_i\)들의 \(S\) 위의 역계에서 얻어지고 전이 사상들이 아핀일 때, 집합의 가환도 \[\xymatrix{ \colim_i \Mor(T_i, X) \ar[r] \ar[d] & \Mor(T, X) \ar[d] \\ \colim_i \Mor(T_i, Y) \ar[r] & \Mor(T, Y) }\] 는 올곱 가환도이다.

증명

(3)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하고 (3)을 증명하자. 증명은 상당히 형식적이므로 독자가 직접 증명을 찾아보기를 권한다.

먼저 \(T_i\)가 모든 \(i\)에 대해 분리라는 가정을 추가했을 때 (3)을 증명하자. \(i \in I\)를 택하고 전사 에탈 사상 \(U_i \to T_i\)를 택하되, \(U_i\)는 아핀이라고 하자. Lemma 07SH를 사용하면, \(U = U_i \times_{T_i} T\) 및 \(U_{i'} = U_i \times_{T_i} T_{i'}\)로 놓았을 때 \(U = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\)임을 알 수 있다. 물론 \(U\)와 \(U_{i'}\)는 아핀이다 (Lemma 07SF 참조). \(T_i\)가 분리이므로 올곱 \(V_i = U_i \times_{T_i} U_i\)도 아핀 스킴이다. 따라서 아핀 스킴 \(V = V_i \times_{T_i} T\) 및 \(V_{i'} = V_i \times_{T_i} T_{i'}\)를 얻고, \(V = \lim_{i' \geq i} V_{i'}\)가 성립한다. \(U \to T\)와 \(U_i \to T_i\)가 전사 에탈이며, \(V = U \times_T U\) 및 \(V_{i'} = U_{i'} \times_{T_{i'}} U_{i'}\)임을 관찰하자. \(\Mor(T, X)\)는 두 사상 \(\Mor(U, X) \to \Mor(V, X)\)의 동등자임에 주의하자. 예를 들어, 이는 \(X\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층으로서 두 사상 \(h_V \to h_u\)의 쌍대동등자이기 때문에 성립한다.

마찬가지로 \(\Mor(T_{i'}, X)\)는 두 사상 \(\Mor(U_{i'}, X) \to \Mor(V_{i'}, X)\)의 동등자이다. 물론 \(X\)를 \(Y\)로 바꾸어도 같은 사실이 성립한다. 조건 (2)는 (3)의 가환도들이 \(U = \lim U_i\)와 \(V = \lim V_i\)의 경우에 올곱이라는 뜻이다. 이로부터 \(T = \lim T_i\)에 대해서도 같은 사실이 형식적으로 따른다.

일반적인 경우에는 아핀 스킴 \(U\), 원소 \(i \in I\), 전사 에탈 사상 \(U \to T_i\)를 택하자. 앞 문단의 논증을 반복하면 여전히 증명이 성립한다. 스킴 \(V_{i'}\), \(V\)는 더 이상 아핀일 필요는 없지만, 여전히 준콤팩트이고 분리이므로 앞 문단의 결과를 적용할 수 있다.

성질의 하강

이 절은 Limits, Section 081A에 대응하는 내용을 다룬다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim_{i \in I} X_i\)를 \(S\) 위의 대수공간의 유향 역계의 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자 (Lemma 07SF). 각 \(X_i\)가 decent이면(예를 들어 준분리이거나 국소 분리이면), 집합으로서 \(|X| = \lim_i |X_i|\)이다.

증명

표준 사상 \(|X| \to \lim |X_i|\)가 있다. \(0 \in I\)를 택하자. \(W_0 \subset X_0\)가 열린 부분공간이면, \(f_0^{-1}W_0 = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}W_0\)이다. Lemma 07SF를 보라. 따라서 \(X_0\)가 준콤팩트인 역계에 대해 보조정리를 증명할 수 있으면, 일반적인 경우에도 보조정리가 따른다. 그러므로 \(X_0\)가 준콤팩트라고 가정해도 되며, 이제 그렇게 가정한다.

아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) 및 \(U = X \times_{X_0} U_0\)로 놓자. \(R_i = U_i \times_{X_i} U_i\) 및 \(R = U \times_X U\)로 놓자. \(U = \lim U_i\) 및 \(R = \lim R_i\)임을 상기하자. Lemma 07SF의 증명을 보라. \(|X| = |U|/|R|\) 및 \(|X_i| = |U_i|/|R_i|\)임을 상기하자. Limits, Lemma 01YY에 의해 \(|U| = \lim |U_i|\) 및 \(|R| = \lim |R_i|\)이다.

\(|X| \to \lim |X_i|\)의 전사성. \((x_i) \in \lim |X_i|\)라 하자. \(S_i \subset |U_i|\)로 \(x_i\)의 역상을 나타내자. 이는 decent 공간의 정의에 의해 공집합이 아닌 유한 집합이다 (Decent Spaces, Definition 03I8). 따라서 \(\lim S_i\)는 공집합이 아니다. Categories, Lemma 086J를 보라. \((u_i) \in \lim S_i \subset \lim |U_i|\)라 하자. 위의 사실에 의해 이는 점 \(u \in |U|\)를 정한다. 그 상 \(x \in |X|\)는 주어진 원소 \((x_i)\)로 \(\lim |X_i|\) 안에서 간다.

\(|X| \to \lim |X_i|\)의 단사성. \(x, x' \in |X|\)가 \(\lim |X_i|\)의 같은 점으로 간다고 하자. 올림 \(u, u' \in |U|\)를 택하고 그 상을 \(u_i, u'_i \in |U_i|\)라 쓰자. 각 \(i\)에 대해 \(T_i \subset |R_i|\)를 \((u_i, u'_i) \in |U_i| \times |U_i|\)로 가는 점들의 집합이라 하자. 이는 decent 공간의 정의에 의해 유한 집합이다 (Decent Spaces, Definition 03I8). 또한 \(T_i\)는 공집합이 아니다. 이는 \(x\)와 \(x'\)가 \(X_i\)의 같은 점으로 간다고 가정했기 때문이다. 따라서 \(\lim T_i\)는 공집합이 아니다. Categories, Lemma 086J를 보라. 앞에서와 같이 \(r \in |R| = \lim |R_i|\)를 \(\lim T_i\)의 원소에 대응하는 점이라 하자. 그러면 구성에 의해 \(r\)는 \((u, u')\)로 \(|U| \times |U|\) 안에서 간다. 따라서 원하는 대로 \(x = x'\)가 \(|X|\) 안에서 성립한다.

괄호 안의 주장: 준분리 대수공간은 decent이다. Decent Spaces, Section 03I7를 보라 (여기서 핵심적인 관찰은 Properties of Spaces, Lemma 03IJ이다). 국소 분리 대수공간은 Decent Spaces, Lemma 088J에 의해 decent이다.

보조정리

Lemma 0CUJ와 같은 표기와 가정하에서, 위상공간으로서 \(|X| = \lim_i |X_i|\)가 성립한다.

증명

Topology, Lemma 0A2Q의 판정법을 사용할 것이다. 집합으로서 \(|X| = \lim_i |X_i|\)임은 Lemma 0CUJ에서 보았다. 사상 \(f_i : X \to X_i\)는 대수공간의 사상이므로 연속 사상 \(|X| \to |X_i|\)를 정한다. 따라서 \(f_i^{-1}(U_i)\)는 각 열린집합 \(U_i \subset |X_i|\)에 대해 열린집합이다. 마지막으로 \(x \in |X|\)라 하고 \(x \in V \subset |X|\)를 열린 근방이라 하자. \(i\)와 열린 근방 \(W_i \subset |X_i|\)를 상 \(x\)에 대해 찾아서 \(f_i^{-1}(W_i) \subset V\)가 되게 해야 한다. \(0 \in I\)를 택하자. 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U = X \times_{X_0} U_0\) 및 \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)로 \(i \geq 0\)에 대해 놓자. 그러면 \(U = \lim_{i \geq 0} U_i\)가 스킴의 범주에서 성립한다. 이는 Lemma 07SF에 따른다. \(u \in U\)를 택하여 \(x\)로 가게 하자. 스킴에 대한 결과(Limits, Lemma 0CUF)에 의해 \(i \geq 0\)와 열린 근방 \(E_i \subset U_i\)를 \(u\)의 상에 대해 찾아서, 그 \(U\) 안에서의 역상이 \(V\)의 \(U\) 안에서의 역상에 포함되게 할 수 있다. 그러면 \(W_i \subset |X_i|\)를 \(E_i\)의 상으로 놓으면 된다. 이렇게 할 수 있는 이유는 \(|U_i| \to |X_i|\)가 열린 사상이기 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim_{i \in I} X_i\)를 \(S\) 위의 대수공간의 유향 역계의 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자 (Lemma 07SF). 각 \(X_i\)가 준콤팩트이고 공집합이 아니면 \(|X|\)는 공집합이 아니다.

증명

\(0 \in I\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) 및 \(U = X \times_{X_0} U_0\)로 놓자. 그러면 각 \(U_i\)는 공집합이 아닌 아핀 스킴이다. 따라서 \(U = \lim U_i\)는 공집합이 아니고 (Limits, Lemma 01Z2), 그러므로 \(X\)도 공집합이 아니다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim_{i \in I} X_i\)를 \(S\) 위의 대수공간의 유향 역계의 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자 (Lemma 07SF). \(x \in |X|\)의 상을 \(x_i \in |X_i|\)라 하자. 각 \(X_i\)가 decent이면 \(\overline{\{x\}} = \lim_i \overline{\{x_i\}}\)가 집합으로서 성립하며, 축약 유도 스킴 구조를 주면 대수공간으로서도 성립한다.

증명

\(Z = \overline{\{x\}} \subset |X|\) 및 \(Z_i = \overline{\{x_i\}} \subset |X_i|\)로 놓자. \(|X| \to |X_i|\)가 연속이므로 \(Z\)는 \(Z_i\) 안으로 각 \(i\)에 대해 간다. 따라서 단사 사상 \(Z \to \lim Z_i\)를 얻는다. 이는 집합으로서 \(|X| = \lim |X_i|\)이기 때문이다 (Lemma 0CUJ). \(x' \in |X|\)가 \(Z\)에 속하지 않는다고 하자. 그러면 열린 부분집합 \(U \subset |X|\)가 존재하여 \(x' \in U\)이고 \(x \not \in U\)이다. 위상공간으로서 \(|X| = \lim |X_i|\)이므로 (Lemma 086V), \(U = \bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(J \subset I\)는 어떤 부분집합이고 \(U_j \subset |X_j|\)는 열린집합이다. Topology, Lemma 0A2P를 보라. 그러면 어떤 \(j \in J\)에 대해 \(f_j(x') \in U_j\)이고 \(f_j(x) \not \in U_j\)임을 알 수 있다. 달리 말하면 \(f_j(x') \not \in Z_j\)이다. 따라서 집합으로서 \(Z = \lim Z_i\)이다.

이어서 \(Z\)와 \(Z_i\)에 축약 유도 스킴 구조를 주자. Properties of Spaces, Definition 047X를 보라. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 아핀 사상 \(Z_{i'} \to Z_i\)를 유도하고, 사영 \(X \to X_i\)는 서로 호환되는 사상 \(Z \to Z_i\)를 유도한다. 따라서 대수공간의 사상 \(Z \to \lim Z_i \to X\)를 얻는다. Lemma 0CUH에 의해 \(\lim Z_i \to X\)는 닫힌 몰입이다. Lemma 0CUI에 의해 대수공간 \(\lim Z_i\)는 축약이다. 위에서 보인 바와 같이 \(Z \to \lim Z_i\)는 점들 사이에서 전단사이다. 축약 유도 닫힌 부분스킴 구조의 유일성에 의해 이 사상은 대수공간의 동형이다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim_{i \in I} X_i\)를 \(S\) 위의 대수공간의 유향 역계의 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자 (Lemma 07SF). \(X_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대해 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. 원소 \(0 \in I\)도 하나 택한다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084R와 같다. \(\mathcal{F}_0\)가 \(X_0\) 위의 준연접층이라고 가정하자. \(\mathcal{F}_i = f_{0i}^*\mathcal{F}_0\)로 \(i \geq 0\)에 대해 놓고, \(\mathcal{F} = f_0^*\mathcal{F}_0\)로 놓자. 그러면 \[\Gamma(X, \mathcal{F}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(X_i, \mathcal{F}_i)\] 이다.

증명

전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하되 \(U_0\)는 아핀 스킴이라고 하자 (Properties of Spaces, Lemma 03H6). \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)로 놓자. \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) 및 \(R_i = R_0 \times_{X_0} X_i\)로 놓자. Lemma 07SF의 증명에서 표시 \(X = U/R\)가 존재하고 \(U = \lim U_i\), \(R = \lim R_i\)임을 보았다. \(U_i\)와 \(U\)는 아핀이며, \(R_i\)와 \(R\)은 준콤팩트이고 분리임에 주의하자 (\(X_i\)가 준분리이기 때문이다). 따라서 Limits, Lemma 01Z0에 의해 \[\mathcal{F}(U) = \colim \mathcal{F}_i(U_i) \quad\text{및}\quad \mathcal{F}(R) = \colim \mathcal{F}_i(R_i).\] 이다. 보조정리는 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \Ker(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(R))\)이고, 마찬가지로 \(\Gamma(X_i, \mathcal{F}_i) = \Ker(\mathcal{F}_i(U_i) \to \mathcal{F}_i(R_i))\)라는 사실에서 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084R와 같다. 임의의 준콤팩트 열린 부분공간 \(U \subset X\)에 대해 \(i\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset X_i\)가 존재하여, 그 \(X\) 안에서의 역상이 \(U\)가 된다.

증명

Lemma 07SF에서의 극한의 구성과 스킴에 대한 대응하는 결과인 Limits, Lemma 01Z4에서 형식적으로 따른다.

다음 보조정리는 뒤에 나오는 더 강한 Lemma 0852으로 대체될 것이다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084R와 같다. \(f_0 : Y_0 \to Z_0\)를 \(X_0\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자. (a) \(Y_0 \to X_0\)와 \(Z_0 \to X_0\)는 표현 가능하다. (b) \(Y_0\), \(Z_0\)는 준콤팩트이고 준분리이다. (c) \(f_0\)는 국소 유한 표시이다. (d) \(Y_0 \times_{X_0} X \to Z_0 \times_{X_0} X\)는 동형이다. 그러면 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(Y_0 \times_{X_0} X_i \to Z_0 \times_{X_0} X_i\)가 동형이다.

증명

아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U_i = U_0 \times_{X_0} X_i\) 및 \(U = U_0 \times_{X_0} X\)로 놓자. Limits, Lemma 081E을 적용하면 \(Y_0 \times_{X_0} U_i \to Z_0 \times_{X_0} U_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 스킴의 동형임을 알 수 있다(세부 사항은 생략한다). \(U_i \to X_i\)가 전사 에탈이므로, \(Y_0 \times_{X_0} X_i \to Z_0 \times_{X_0} X_i\)는 동형이다 (세부 사항은 생략한다).

보조정리

표기와 가정은 Situation 084R와 같다. \(X\)가 분리이면 \(X_i\)는 어떤 \(i \in I\)에 대해 분리이다.

증명

아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(i \geq 0\)에 대해 \(U_i = U_0 \times_{X_0} X_i\)로 놓고, \(U = U_0 \times_{X_0} X\)로 놓자. \(U_i\)와 \(U\)는 전사 에탈 사상 \(U_i \to X_i\) 및 \(U \to X\)를 갖춘 아핀 스킴임에 주의하자. \(R_i = U_i \times_{X_i} U_i\) 및 \(R = U \times_X U\)로 놓고, 그 사영을 \(s_i, t_i : R_i \to U_i\) 및 \(s, t : R \to U\)라 하자. \(R_i\)와 \(R\)은 준콤팩트 분리 스킴이다 (대수공간 \(X_i\)와 \(X\)가 준분리이기 때문이다). 사상 \(s_i : R_i \to U_i\) 및 \(s : R \to U\)는 유한형이다. 정의에 의해 \(X_i\)가 분리일 필요충분조건은 \((t_i, s_i) : R_i \to U_i \times U_i\)가 닫힌 몰입인 것이다. 가정에 의해 \(X\)가 분리이므로, 사상 \((t, s) : R \to U \times U\)는 닫힌 몰입이다. \(R \to U\)가 유한형이므로 \(i\)가 존재하여 사상 \(R \to U_i \times U\)가 닫힌 몰입이다 (Limits, Lemma 081B). 그러한 \(i \in I\)를 고정하자. Limits, Lemma 01ZP을 사상의 계 \(R_{i'} \to U_i \times U_{i'}\)에 \(i' \geq i\)에 대해 적용하자 (실제로 \(R_{i'} = R_i \times_{U_i \times U_i} U_i \times U_{i'}\)이므로 적용할 수 있다). 그러면 \(R_{i'} \to U_i \times U_{i'}\)가 충분히 큰 \(i'\)에 대해 닫힌 몰입이다. 이로부터 \(R_{i'} \to U_{i'} \times U_{i'}\)도 닫힌 몰입임이 즉시 따라, 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084R와 같다. \(X\)가 아핀이면 \(i\)가 존재하여 \(X_i\)가 아핀이다.

증명

\(0 \in I\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U = U_0 \times_{X_0} X\) 및 \(U_i = U_0 \times_{X_0} X_i\)로 \(i \geq 0\)에 대해 놓자. 전이 사상들이 아핀이므로 대수공간 \(U_i\)와 \(U\)는 아핀이다. 따라서 \(U \to X\)는 아핀 스킴의 에탈 사상이다. 그러므로 \(X = \Spec(A)\), \(U = \Spec(B)\) 및 \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_n)\] 으로 쓰되, \(\Delta = \det(\partial g_\lambda/\partial x_\mu)\)가 \(B\)에서 가역이게 할 수 있다. Algebra, Lemma 00U9를 보라. \(A_i = \mathcal{O}_{X_i}(X_i)\)로 놓자. \(A = \colim A_i\)가 Lemma 07SI에 의해 성립한다. \(0\)을 크게 한 후, \(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i} \in A_i[x_1, \ldots, x_n]\)가 존재하여 \(g_1, \ldots, g_n\)으로 간다고 가정할 수 있다. \[B_i = A_i[x_1, \ldots, x_n]/(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i})\] 로 모든 \(i \geq 0\)에 대해 놓자. 필요하면 \(0\)을 크게 하여 \(\Delta_i = \det(\partial g_{\lambda, i}/\partial x_\mu)\)가 \(B_i\)에서 모든 \(i \geq 0\)에 대해 가역이라고 가정할 수 있다. 따라서 \(A_i \to B_i\)는 에탈 환 준동형이다. \(0\)을 크게 한 후에는 \(\Spec(B_i) \to \Spec(A_i)\)가 전사라고도 가정할 수 있다. Limits, Lemma 07RR를 보라. \(0\)을 다시 크게 하면 원소 \(h_{1, i}, \ldots, h_{n, i} \in \mathcal{O}_{U_i}(U_i)\)를 택하여 \(x_1, \ldots, x_n\)의 \(B = \mathcal{O}_U(U)\) 안에서의 류로 가고, \(g_{\lambda, i}(h_{\nu, i}) = 0\)이 \(\mathcal{O}_{U_i}(U_i)\)에서 성립하게 할 수 있다. 따라서 다음 가환도를 얻는다. [084U]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X_i \ar[d] & U_i \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(A_i) & \Spec(B_i) \ar[l] } } \end{equation}\] 구성에 의해 \(B_i = B_0 \otimes_{A_0} A_i\)이고 \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\)이다. 사상 \[f_0 : U_0 \longrightarrow X_0 \times_{\Spec(A_0)} \Spec(B_0)\] 를 생각하자. 이는 준콤팩트 준분리 대수공간 사이의 사상이며, 그 대수공간들은 \(X_0\) 위에서 표현 가능하고 분리이며 에탈이다. \(f_0\)를 \(X\)로 밑변환하면 선택에 의해 동형이 된다. 따라서 Lemma 084S에 의해 \(i\)가 존재하여 \(f_0\)를 \(X_i\)로 밑변환한 것이 동형이 된다. 달리 말하면 가환도 (084U)는 데카르트 가환도이다. 따라서 Descent, Lemma 02W5를 fppf 덮개 \(\{\Spec(B_i) \to \Spec(A_i)\}\)에 적용하고 Descent, Lemma 0245와 결합하면, \(X_i \to \Spec(A_i)\)는 \(\Spec(A_i)\) 위에서 아핀인 스킴으로 표현 가능하다. 이것이 원하는 결과이다. (물론 여기서 \(X_i = \Spec(A_i)\)도 따르지만, 이는 필요하지 않다.)

보조정리

표기와 가정은 Situation 084R와 같다. \(X\)가 스킴이면 \(i\)가 존재하여 \(X_i\)가 스킴이다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup W_j\)를 택하자. Lemma 0827에 의해 \(i \in I\)와 열린 부분공간 \(W_{j, i} \subset X_i\)를 찾아, 그 \(X\)로의 밑변환이 \(W_j \to X\)가 되게 할 수 있다. Lemma 07SQ에 의해 각 \(W_{j, i}\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 이는 \(X_i\)가 스킴이라는 뜻이다 (예를 들어 Properties of Spaces, Section 03JG을 보라).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 대수공간의 \(B\) 위의 유향 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자. \(Y \to X\)를 \(B\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(Y \to X\)가 닫힌 몰입이고, \(X_i\)가 준콤팩트이며, \(Y \to B\)가 국소 유한형이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다.

2. \(Y \to X\)가 몰입이고, \(X_i\)가 준분리이며, \(Y \to B\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 준콤팩트이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 몰입이다.

3. \(Y \to X\)가 동형이고, \(X_i\)가 준콤팩트이며, \(X_i \to B\)가 국소 유한형이고, 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)가 닫힌 몰입이며, \(Y \to B\)가 국소 유한 표시이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 동형이다.

4. \(Y \to X\)가 단사상이고, \(X_i\)가 준분리이며, \(Y \to B\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 준콤팩트이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 단사상이다.

증명

(1)의 증명. \(0 \in I\)를 택하자. \(X_0\)가 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(W\)와 에탈 사상 \(W \to B\)를 택하여 \(|X_0| \to |B|\)의 상이 \(|W| \to |B|\)의 상에 포함되게 할 수 있다. 아핀 스킴 \(U_0\)와 에탈 사상 \(U_0 \to X_0 \times_B W\)를 택하되, \(U_0 \to X_0\)가 전사이게 하자. (이는 \(W\)를 택한 방식과 \(X_0\)가 준콤팩트라는 사실에 의해 가능하다. 세부 사항은 생략한다.) \(V \to Y\), \(U \to X\), \(U_i \to X_i\)를 각각 \(U_0 \to X_0\)의 밑변환이라 하자(\(i \geq 0\)에 대해). \(V \to U_i\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입임을 보이면 충분하다. 따라서 \(V \to U = \lim U_i\)에 대한 결과를 \(W\) 위에서 증명하는 것으로 환원된다. 이는 스킴의 경우, 즉 Limits, Lemma 081B에서 따른다.

(2)의 증명. \(0 \in I\)를 택하자. 준콤팩트 열린 부분공간 \(X'_0 \subset X_0\)를 택하여 \(Y \to X_0\)가 \(X'_0\)를 경유하게 하자. \(X_i\)를 \(X'_0\)의 역상으로 \(i \geq 0\)에 대해 대체하면, 모든 \(X_i'\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정할 수 있다. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합으로 택하여 \(Y \to X\)가 닫힌 몰입 \(Y \to U\)를 경유하게 하자 (\(U\)는 \(Y\)가 준콤팩트이므로 존재한다). Lemma 0827에 의해 \(U = \lim U_i\)이고 \(U_i \subset X_i\)가 준콤팩트 열린집합이라고 가정할 수 있다. (1)에 의해 \(Y \to U_i\)는 어떤 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(3)의 증명. \(0 \in I\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\), \(U = X \times_{X_0} U_0 = Y \times_{X_0} U_0\)로 놓자. 그러면 \(U = \lim U_i\)는 아핀 스킴의 극한이고, 이 계의 전이 사상들은 닫힌 몰입이며, \(U \to U_0\)는 유한 표시이다 (\(U \to B\)는 국소 유한 표시이고 \(U_0 \to B\)는 국소 유한형이므로 Morphisms of Spaces, Lemma 05WT를 적용한다). 이로써 다음 대수적 사실로 환원된다. \(A = \lim A_i\)가 \(R\)-대수의 유향 여극한이고 전이 준동형들이 전사이며, \(A\)가 \(A_0\) 위에서 유한 표시이면, \(A = A_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 성립한다. 실제로 \(A = A_0/(f_1, \ldots, f_n)\)으로 쓰자. \(i\)를 택하여 \(f_1, \ldots, f_n\)이 전사 준동형 \(A_0 \to A_i\) 아래에서 영으로 가게 하면 된다.

(4)의 증명. \(Z_i = Y \times_{X_i} Y\)로 놓자. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 아핀이므로 분리이다. 따라서 전이 사상 \(Z_{i'} \to Z_i\)는 닫힌 몰입이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03KN을 보라. \(\lim Z_i = Y \times_X Y = Y\)이다. 이는 \(Y \to X\)가 단사상이기 때문이다. \(0 \in I\)를 택하자. \(Y \to X_0\)가 국소 유한형이므로 (Morphisms of Spaces, Lemma 0462), 사상 \(Y \to Z_0\)는 국소 유한 표시이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 084P). 사상 \(Z_i \to Z_0\)는 국소 유한형이다(닫힌 몰입이기 때문이다). 마지막으로 \(Z_i = Y \times_{X_i} Y\)는 준콤팩트이다. 이는 \(X_i\)가 준분리이고 \(Y\)가 준콤팩트이기 때문이다. 따라서 (3)을 \(Y = \lim_{i \geq 0} Z_i\)에 \(Z_0\) 위에서 적용할 수 있고, \(Y = Z_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 성립함을 얻는다. 이로써 (4)와 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 대수공간의 \(Y\) 위의 유향 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 준분리이다.

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

3. 사상 \(X \to Y\)는 분리이다.

그러면 \(X_i \to Y\)는 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 분리이다.

증명

\(0 \in I\)라 하자. 아핀 스킴 \(W\)와 에탈 사상 \(W \to Y\)를 택하여 \(|W| \to |Y|\)의 상이 \(|X_0| \to |Y|\)의 상을 포함하게 하자. 이는 \(X_0\)가 준콤팩트이므로 가능하다. \(W \times_Y X_i \to W\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 분리임을 확인하면 충분하다. 이는 \(W \times_Y X_i\)의 \(W\) 위의 대각 사상이 \(X_i \to X_i \times_Y X_i\)를 전사 에탈 사상 \((X_i \times_Y X_i) \times_Y W \to X_i \times_Y X_i\)로 밑변환한 것이기 때문이다. \(Y\)가 준분리이므로 대수공간 \(W \times_Y X_i\)는 준콤팩트이다 (또한 준분리이다). 따라서 \(W\)로 밑변환하여 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. \(Y\)가 아핀 스킴이면, \(X_i\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 분리 대수공간임을 보여야 하며, \(X\)가 분리 대수공간이라는 가정이 주어져 있다. 따라서 이 경우는 Lemma 084T에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 대수공간의 \(Y\) 위의 유향 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

3. \(X \to Y\)는 아핀이다.

그러면 \(X_i \to Y\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀이다.

증명

아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to Y\)를 택하자. 그러면 \(X \times_Y W\)는 아핀이고, \(X_i \times_Y W\)가 어떤 \(i\)에 대해 아핀임을 확인하면 충분하다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03WG). 이는 Lemma 07SQ에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 대수공간의 \(Y\) 위의 유향 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

3. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 유한이다.

4. \(X_i \to Y\)는 국소 유한형이다.

5. \(X \to Y\)는 정수적이다.

그러면 \(X_i \to Y\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 유한이다.

증명

아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to Y\)를 택하자. 그러면 \(X \times_Y W\)는 \(W\) 위에서 유한이고,

\(X_i \times_Y W\)가 \(W\) 위에서 어떤 \(i\)에 대해 유한임을 확인하면 충분하다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03ZQ). Lemma 07SR에 의해 스킴의 경우로 환원된다. 스킴의 경우에는 Limits, Lemma 09ZN에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 대수공간의 \(Y\) 위의 유향 극한이라 하고, 전이 사상들이 아핀이라고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

3. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 닫힌 몰입이다.

4. \(X_i \to Y\)는 국소 유한형이다.

5. \(X \to Y\)는 닫힌 몰입이다.

그러면 \(X_i \to Y\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다.

증명

아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to Y\)를 택하자. 그러면 \(X \times_Y W\)는 \(W\)의 닫힌 부분공간이고, \(X_i \times_Y W\)가 \(W\)의 닫힌 부분공간이 어떤 \(i\)에 대해 됨을 확인하면 충분하다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03M4). Lemma 07SR에 의해 스킴의 경우로 환원된다. 스킴의 경우에는 Limits, Lemma 0A0N에서 따른다.

사상의 성질의 하강

이 절에서는 Section 0826에 대응하는 결과를 사상의 성질에 대해 다룬다. 다음 상황에서 논의할 것이다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B = \lim B_i\)를 유향 역계의 극한이라 하고, 그 역계는 \(S\) 위의 대수공간들로 이루어지며 전이 사상들이 아핀이라고 하자 (Lemma 07SF). \(0 \in I\)라 하고 \(f_0 : X_0 \to Y_0\)를 \(B_0\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(B_0\), \(X_0\), \(Y_0\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(f_i : X_i \to Y_i\)를 \(f_0\)의 \(B_i\)로의 밑변환이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(f_0\)의 \(B\)로의 밑변환이라 하자.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 에탈이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 에탈이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\)를 택하자. 다음 가환도를 보라. \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] 수직 화살표들은 구성에 의해 전사 에탈이다. 이 가환도를 \(B_i\) 또는 \(B\)로 밑변환하면 다음을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] \(U_i, V_i, U, V\)는 아핀 스킴이고 수직 사상들은 전사 에탈이며, 사상 \(U_i \to V_i\)의 극한은 \(U \to V\)임에 주의하자. \(X_i \to Y_i\)가 에탈일 필요충분조건은 \(U_i \to V_i\)가 에탈인 것이며, 마찬가지로 \(X \to Y\)가 에탈일 필요충분조건은 \(U \to V\)가 에탈인 것이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03XT). \(f_0\)가 국소 유한 표시이므로 사상 \(U_0 \to V_0\)도 국소 유한 표시이다. 따라서 보조정리는 Limits, Lemma 07RP에서 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. \(f_0\)는 국소 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 매끄럽다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\)를 택하자. 다음 가환도를 보라. \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] 수직 화살표들은 구성에 의해 전사 에탈이다. 이 가환도를 \(B_i\) 또는 \(B\)로 밑변환하면 다음을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] \(U_i, V_i, U, V\)는 아핀 스킴이고 수직 사상들은 전사 에탈이며, 사상 \(U_i \to V_i\)의 극한은 \(U \to V\)임에 주의하자. \(X_i \to Y_i\)가 매끄러울 필요충분조건은 \(U_i \to V_i\)가 매끄러운 것이며, 마찬가지로 \(X \to Y\)가 매끄러울 필요충분조건은 \(U \to V\)가 매끄러운 것이다 (Morphisms of Spaces, Definition 03ZC). \(f_0\)가 국소 유한 표시이므로 사상 \(U_0 \to V_0\)도 국소 유한 표시이다. 따라서 보조정리는 Limits, Lemma 0C0C에서 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 전사이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 전사이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\)를 택하자. 다음 가환도를 보라. \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] 수직 화살표들은 구성에 의해 전사 에탈이다. 이 가환도를 \(B_i\) 또는 \(B\)로 밑변환하면 다음을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] \(U_i, V_i, U, V\)는 아핀 스킴이고 수직 사상들은 전사 에탈이며, 사상 \(U_i \to V_i\)의 극한은 \(U \to V\)이다. 또한 사상 \(U_i \to X_i \times_{Y_i} V_i\) 및 \(U \to X \times_Y V\)는 전사이다 (\(U_0 \to X_0 \times_{Y_0} V_0\)의 밑변환이기 때문이다). 특히 \(X_i \to Y_i\)가 전사일 필요충분조건은 \(U_i \to V_i\)가 전사인 것이며, 마찬가지로 \(X \to Y\)가 전사일 필요충분조건은 \(U \to V\)가 전사인 것이다. \(f_0\)가 국소 유한 표시이므로 사상 \(U_0 \to V_0\)도 국소 유한 표시이다. 따라서 보조정리는 스킴의 경우 (Limits, Lemma 07RR)에서 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 보편 단사이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 보편 단사이다.

증명

사상 \(X \to Y\)가 보편 단사일 필요충분조건은 대각 사상 \(X \to X \times_Y X\)가 전사인 것임을 상기하자 (Morphisms of Spaces, Definition 03MV 및 Lemma 040X). \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\)는 국소 유한 표시임을 관찰하자 (Morphisms of Spaces, Lemma 084P). 따라서 사상 \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\)를 생각하고 Lemma 07SN를 적용하면 보조정리가 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. \(f\)가 아핀이면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 아핀이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) 및 \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\)로 놓자. \(f\)가 아핀이므로 \(V \times_Y X = \lim V_i \times_{Y_i} X_i\)는 아핀이다. Lemma 07SQ에 의해 \(V_i \times_{Y_i} X_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 아핀이다. 이 \(i\)에 대해 사상 \(f_i\)는 아핀이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03WG).

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 유한이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) 및 \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\)로 놓자. \(f\)가 유한이므로 \(V \times_Y X = \lim V_i \times_{Y_i} X_i\)는 \(V\) 위에서 유한인 스킴이다. Lemma 07SQ에 의해 \(V_i \times_{Y_i} X_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 아핀이다. 필요하면 \(i\)를 크게 하여 \(V_i \times_{Y_i} X_i \to V_i\)가 유한임을 Limits, Lemma 01ZO에서 얻는다. 이 \(i\)에 대해 사상 \(f_i\)는 유한이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03ZQ).

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 닫힌 몰입이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 닫힌 몰입이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) 및 \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\)로 놓자. \(f\)가 닫힌 몰입이므로 \(V \times_Y X = \lim V_i \times_{Y_i} X_i\)는 아핀 스킴 \(V\)의 닫힌 부분스킴이다. Lemma 07SQ에 의해 \(V_i \times_{Y_i} X_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 아핀이다. 필요하면 \(i\)를 크게 하여 \(V_i \times_{Y_i} X_i \to V_i\)가 닫힌 몰입임을 Limits, Lemma 01ZP에서 얻는다. 이 \(i\)에 대해 사상 \(f_i\)는 닫힌 몰입이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03ZQ).

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. \(f\)가 분리이면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 분리이다.

증명

Lemma 0850을 대각 사상 \(\Delta_{X_0/Y_0} : X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\)에 적용하자. (대각 사상은 국소 유한형이고, 올곱 \(X_0 \times_{Y_0} X_0\)는 준콤팩트이고 준분리이다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.)

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 동형이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 동형이다.

증명

동형이라는 것은 에탈이고 보편 단사이며 전사라는 것과 동치이다. Morphisms of Spaces, Lemma 05W5을 보라. 따라서 보조정리는 Lemmas 07SL, 07SN, 084X에서 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 단사상이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 단사상이다.

증명

사상이 단사상일 필요충분조건은 그 대각 사상이 동형인 것임을 상기하자. 사상 \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 084P에 의해 국소 유한 표시이다. \(X_0 \times_{Y_0} X_0\)가 준콤팩트이고 준분리이므로, Lemma 0852에 의해 \(\Delta_i : X_i \to X_i \times_{Y_i} X_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 동형이다. 이 \(i\)에 대해 사상 \(f_i\)는 단사상이다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 084W와 같다. \(\mathcal{F}_0\)를 준연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-가군이라 하고, \(\mathcal{F}_i\)로 그 \(X_i\)로의 당김을, \(\mathcal{F}\)로 그 \(X\)로의 당김을 나타내자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 평탄하다.

2. \(\mathcal{F}_0\)는 유한 표시이다.

3. \(f_0\)는 국소 유한 표시이다.

그러면 \(\mathcal{F}_i\)는 \(Y_i\) 위에서 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 평탄하다. 특히 \(f_0\)가 국소 유한 표시이고 \(f\)가 평탄하면, \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 평탄하다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\)를 택하자. 다음 가환도를 보라. \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] 수직 화살표들은 구성에 의해 전사 에탈이다. 이 가환도를 \(B_i\) 또는 \(B\)로 밑변환하면 다음을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] \(U_i, V_i, U, V\)는 아핀 스킴이고 수직 사상들은 전사 에탈이며, 사상 \(U_i \to V_i\)의 극한은 \(U \to V\)임에 주의하자. \(\mathcal{F}_i\)가 \(Y_i\) 위에서 평탄할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\)가 \(V_i\) 위에서 평탄한 것이며, 마찬가지로 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(V\) 위에서 평탄한 것이다 (Morphisms of Spaces, Definition 03ML). \(f_0\)가 국소 유한 표시이므로 사상 \(U_0 \to V_0\)도 국소 유한 표시이다. 따라서 보조정리는 Limits, Lemma 05LY에서 따른다.

보조정리

가정과 표기는 Situation 084W와 같다. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 고유이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(i\)가 존재하여 \(f_i\)가 고유이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0\) 및 \(V = Y \times_{Y_0} V_0\)로 놓자. \(f_i\)를 \(V_i\)로 밑변환한 것이 고유임을 보이면 충분하다. Morphisms of Spaces, Lemma 083R을 보라. 따라서 \(Y_0\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

Lemma 0851에 의해 \(f_i\)는 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 분리이다. \(0\)을 \(i\)로 대체하여 \(f_0\)가 분리라고 가정할 수 있다. \(f_0\)가 준콤팩트임을 관찰하자. 따라서 \(f_0\)는 분리이고 유한형이다. Cohomology of Spaces, Lemma 089J에 의해 다음 가환도를 택할 수 있다. \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd] & X_0' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{Y_0} \ar[dl] \\ & Y_0 & }\] 여기서 \(X_0' \to \mathbf{P}^n_{Y_0}\)는 몰입이고, \(\pi : X_0' \to X_0\)는 고유이며 전사이다. \(X' = X_0' \times_{Y_0} Y\) 및 \(X_i' = X_0' \times_{Y_0} Y_i\)를 도입하자. Morphisms of Spaces, Lemmas 04XY와 04WP에 의해 \(X' \to Y\)는 고유이다. 따라서 \(X' \to \mathbf{P}^n_Y\)는 닫힌 몰입이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 04NX). Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ에 의해 \(X'_i \to Y_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 고유임을 보이면 충분하다. Lemma 0850에 의해 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_{Y_i}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다. 그러면 \(X'_i \to Y_i\)는 고유이므로 증명이 끝난다.

보조정리

가정과 표기는 Situation 084W와 같다. \(d \geq 0\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)의 상대 차원은 \(\leq d\)이다 (Morphisms of Spaces, Definition 06LR).

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(i\)가 존재하여 \(f_i\)의 상대 차원이 \(\leq d\)이다.

증명

아핀 스킴 \(V_0\)와 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\)를 택하자. 다음 가환도를 보라. \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] 수직 화살표들은 구성에 의해 전사 에탈이다. 이 가환도를 \(B_i\) 또는 \(B\)로 밑변환하면 다음을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] \(U_i, V_i, U, V\)는 아핀 스킴이고 수직 사상들은 전사 에탈이며, 사상 \(U_i \to V_i\)의 극한은 \(U \to V\)임에 주의하자. 이 상황에서 \(X_i \to Y_i\)의 상대 차원이 \(\leq d\)일 필요충분조건은 \(U_i \to V_i\)의 상대 차원이 \(\leq d\)인 것이다 (Morphisms, Definition 02NJ의 정의를 따른다). 이 동치를 보려면 대수공간의 사상에 대한 정의가 Morphisms of Spaces, Definition 04NM를 사용하며, 그 정의는 에탈 국소화를 사용한다는 사실을 이용하면 된다. \(X \to Y\)와 \(U \to V\)에 대해서도 같은 사실이 성립한다. \(f_0\)가 국소 유한형이므로 사상 \(U_0 \to V_0\)도 국소 유한형이다. 따라서 보조정리는 더 일반적인 Limits, Lemma 05M5에서 따른다.

상대적 대상의 하강

다음 보조정리는 이 절에서 다루는 결과의 전형이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하자. \((X_i, f_{ii'})\)를 \(I\)를 지표로 하는 \(S\) 위의 대수공간의 역계라 하자. 다음을 가정하자.

1. 사상 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)는 아핀이다.

2. 공간 \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

\(X = \lim_i X_i\)라 하자. 그러면 \(X\) 위에서 유한 표시인 대수공간의 범주는 \(I\)에 걸친 여극한으로 주어지며, 그 계는 \(X_i\) 위에서 유한 표시인 대수공간의 범주들로 이루어진다.

증명

\(0 \in I\)를 택하자. 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하되, \(U_0\)는 아핀 스킴이라고 하자 (Properties of Spaces, Lemma 03H6). \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)로 놓자. \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) 및 \(R_i = R_0 \times_{X_0} X_i\)로 놓자. 두 사영을 \(s_i, t_i : R_i \to U_i\) 및 \(s, t : R \to U\)라 쓰자. Lemma 07SF의 증명에서 표시 \(X = U/R\)가 존재하여 \(U = \lim U_i\) 및 \(R = \lim R_i\)임을 보았다. \(U_i\)와 \(U\)는 아핀이며, \(R_i\)와 \(R\)은 준콤팩트이고 분리임에 주의하자 (\(X_i\)가 준분리이기 때문이다). \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \(Y \to X\)를 유한 표시 사상이라 하자. \(V = U \times_X Y\)로 놓자. 이는 \(U\) 위에서 유한 표시인 대수공간이다. 아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to V\)를 택하자. 그러면 \(W \to Y\)도 전사 에탈이다. \(R' = W \times_Y W\)로 놓으면 \(Y = W/R'\)이다 (Spaces, Section 0261 참조). \(W\)는 \(U\) 위에서 유한 표시인 스킴이고, \(R'\)은 \(R\) 위에서 유한 표시인 스킴임에 주의하자(세부 사항은 생략한다). Limits, Lemma 01ZM에 의해 지표 \(i\)와 유한 표시인 스킴의 사상 \(W_i \to U_i\)를 찾아, 그 \(U\)로의 밑변환이 \(W \to U\)가 되게 할 수 있다. 마찬가지로 필요하면 \(i\)를 크게 하여 스킴 \(R'_i\)를 찾을 수 있다. 이는 \(R_i\) 위에서 유한 표시이고, 그 \(R\)로의 밑변환은 \(R'\)이다. 사영 사상 \(s', t' : R' \to W\)는 사영 사상 \(s, t : R \to U\) 위의 사상이다. 따라서 \(s'\), \(t'\)를 각각 \(U\) 위에서 유한 표시인 스킴 사이의 사상으로 볼 수 있다 (구조 사상 \(R' \to U\)는 \(R' \to R\) 뒤에 각각 \(s\), \(t\)를 합성하여 주어진다). 그러므로 Limits, Lemma 01ZM을 다시 적용하면, 필요에 따라 \(i\)를 크게 한 후 사상 \(s'_i, t'_i : R'_i \to W_i\)가 존재하여 그 \(U\)로의 밑변환이 \(S', t'\)가 됨을 알 수 있다. Limits, Lemmas 07RP 및 07RQ에 의해 \(s'_i, t'_i\)가 에탈이고, \(j'_i : R'_i \to W_i \times_{X_i} W_i\)가 단사상이라고 가정할 수 있다 (여기서 \(j'_i\)는 \(U_i\) 위에서 유한 표시인 스킴 사이의 사상으로 본다. 구조 사상에는 어느 사영을 사용해도 상관없다). \(Y_i = W_i/R'_i\)로 놓으면 (Spaces, Theorem 02WW 참조), \(X_i\) 위에서 유한 표시인 대수공간을 얻고, 그 \(X\)로의 밑변환은 \(Y\)와 동형이다.

이로써 \(X\) 위에서 유한 표시인 모든 대수공간이 어떤 \(X_i\) 위에서 유한 표시인 대수공간에서 옴을 보였다. 즉 보조정리의 함자가 본질적 전사임을 보였다. 이 함자가 충만 충실함을 보이기 위해, 지표 \(0 \in I\)와 두 대수공간 \(Y_0, Z_0\)를 \(X_0\) 위에서 유한 표시인 것으로 택하자. \(Y_i = X_i \times_{X_0} Y_0\), \(Y = X \times_{X_0} Y_0\), \(Z_i = X_i \times_{X_0} Z_0\), \(Z = X \times_{X_0} Z_0\)로 놓자. \(\alpha : Y \to Z\)를 \(X\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 전사 에탈 사상 \(V_0 \to Y_0\)를 택하되 \(V_0\)는 아핀 스킴이라고 하자. \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) 및 \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\)로 놓자. 이들은 각각 \(Y_i\)와 \(Y\)로 가는 전사 에탈 사상을 갖춘 아핀 스킴이다. 합성 \(V \to Y \to Z \to Z_0\)는 본질적으로 유일한 사상 \(V_i \to Z_0\)에서 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 온다. 이는 Proposition 04AK에 따른다 (\(Z_0 \to X_0\)에 적용하며, 이 사상은 가정에 의해 유한 표시이다). \(i\)를 크게 한 후에는 두 합성 \[V_i \times_{Y_i} V_i \to V_i \to Z_0\] 이 같다. 극한에서 두 합성이 같기 때문이다. 따라서 본질적으로 유일한 사상 \(Y_i \to Z_0\)를 얻는다. 이는 \(X_0\) 위의 사상이므로, 원하는 대로 \(Z_i = Z_0 \times_{X_0} X_i\)로 가는 사상을 유도한다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 07SK과 같다. 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주는 \(I\)에 걸친 여극한으로 주어지며, 그 계는 유한 표시인 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군의 범주들로 이루어진다.

증명

\(0 \in I\)를 택하자. 아핀 스킴 \(U_0\)와 전사 에탈 사상 \(U_0 \to X_0\)를 택하자. \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\)로 놓자. \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) 및 \(R_i = R_0 \times_{X_0} X_i\)로 놓자. 두 사영을 \(s_i, t_i : R_i \to U_i\) 및 \(s, t : R \to U\)라 쓰자. Lemma 07SF의 증명에서 표시 \(X = U/R\)가 존재하여 \(U = \lim U_i\) 및 \(R = \lim R_i\)임을 보았다. \(U_i\)와 \(U\)는 아핀이며, \(R_i\)와 \(R\)은 준콤팩트이고 분리임에 주의하자 (\(X_i\)가 준분리이기 때문이다). 또한 \(R \times_{s, U, t} R = \colim R_i \times_{s_i, U_i, t_i} R_i\)도 성립한다. 따라서 \(\QCoh(\mathcal{O}_U) = \colim \QCoh(\mathcal{O}_{U_i})\), \(\QCoh(\mathcal{O}_R) = \colim \QCoh(\mathcal{O}_{R_i})\) 및 \(\QCoh(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}) = \colim \QCoh(\mathcal{O}_{R_i \times_{s_i, U_i, t_i} R_i})\)임을 Limits, Lemma 01ZR에 의해 알 수 있다. \(\QCoh(\mathcal{O}_X) = \QCoh(U, R, s, t, c)\) 및 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_i}) = \QCoh(U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\)가 성립한다. Properties of Spaces, Proposition 03M3를 보라. 따라서 결과는 형식적으로 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 07SK과 같다. 그러면 다음이 성립한다.

1. 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군의 당김으로 어떤 \(i\)에 대해 주어진다.

2. 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 가역 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군의 당김으로 어떤 \(i\)에 대해 주어진다.

증명

(2)의 증명. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 가역 가군은 유한 표시이므로, \(i\)와 유한 표시 가군 \(\mathcal{L}_i\), \(\mathcal{N}_i\)를 \(X_i\) 위에서 찾아 \(f_i^*\mathcal{L}_i \cong \mathcal{L}\) 및 \(f_i^*\mathcal{N}_i \cong \mathcal{L}^{\otimes -1}\)이 되게 할 수 있다. Lemma 07V7을 보라. 당김은 텐서곱과 교환하므로 \(f_i^*(\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i}} \mathcal{N}_i)\)는 \(\mathcal{O}_X\)와 동형이다. 유한 표시 가군의 텐서곱은 유한 표시이므로, 같은 보조정리에 의해 \(f_{i'i}^*\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_{i'}}} f_{i'i}^*\mathcal{N}_i\)는 \(\mathcal{O}_{X_{i'}}\)와 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 동형이다. 따라서 \(f_{i'i}^*\mathcal{L}_i\)는 가역이고 (Modules on Sites, Lemma 0B8N), 증명이 끝난다.

(1)의 증명. 생략한다. 힌트: (2)의 증명과 같이 논증하되, (국소환 달린 사이트 위의) 가군이 유한 국소 자유일 필요충분조건이 쌍대를 갖는 것이라는 사실을 사용하라. Modules on Sites, Section 0FNX를 보라. 또는 스킴에 대한 증명과 같이 논증하라. Limits, Lemma 0B8W를 보라.

절대 Noether 근사

다음 결과는 [CLO, Theorem 1.2.2]이다. 증명의 핵심적인 도구는 Decent Spaces, Lemma 07ST이다.

명제

\(X\)를 준콤팩트 준분리 대수공간으로서 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에 주어진 것이라 하자. 유향 집합 \(I\)와 대수공간의 역계 \((X_i, f_{ii'})\)가 \(I\) 위에 존재하여 다음을 만족한다.

1. 전이 사상 \(f_{ii'}\)는 아핀이다.

2. 각 \(X_i\)는 준분리이고 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이다.

3. \(X = \lim X_i\)이다.

증명

Decent Spaces, Lemma 07ST를 적용하여 열린 부분공간 \(U_p \subset X\), 스킴 \(V_p\), 사상 \(f_p : V_p \to U_p\)를 명시된 성질들을 만족하도록 얻는다. \(f_n : V_n \to U_n\)는 대수공간의 에탈 사상이며, \(T_n = (V_n)_{red}\)의 역상에 제한하면 동형이 됨에 주의하자. 따라서 \(f_n\)는 동형이다. 예를 들어 Morphisms of Spaces, Lemma 05W5에 따른다. 특히 \(U_n\)는 준콤팩트 분리 스킴이다. 따라서 \(U_n = \lim U_{n, i}\)를 \(\mathbf{Z}\) 위의 유한형 스킴의 유향 극한으로 쓰되, 전이 사상들이 아핀이게 할 수 있다. Limits, Proposition 01ZA를 보라. 그러므로 \(p\)에 대한 내림 귀납법을 적용하면, 다음 문단에 제시된 문제로 환원됨을 알 수 있다.

여기서는 \(U \subset X\), \(U = \lim U_i\), \(Z \subset X\) 및 \(f : V \to X\)가 주어지고 다음 성질들을 만족한다.

1. \(X\)는 준콤팩트 준분리 대수공간이다.

2. \(V\)는 준콤팩트 분리 스킴이다.

3. \(U \subset X\)는 준콤팩트 열린 부분공간이다.

4. \((U_i, g_{ii'})\)는 준분리 대수공간의 유향 역계이며, 각 대수공간은 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고, 전이 사상들이 아핀이며, 그 극한은 \(U\)이다.

5. \(Z \subset X\)는 닫힌 부분공간으로서 \(|X| = |U| \amalg |Z|\)를 만족한다.

6. \(f : V \to X\)는 전사 에탈 사상으로서 \(f^{-1}(Z) \to Z\)가 동형이다.

문제: 명제의 결론이 \(X\)에 대해 성립함을 보여라.

\(W = f^{-1}(U) \subset V\)는 준콤팩트 열린 부분스킴이며 \(U\) 위에서 에탈임에 주의하자. 따라서 Lemmas 07SK 및 07SL을 적용하여 지표 \(0 \in I\)와 유한 표시인 에탈 사상 \(W_0 \to U_0\)를 찾아, 그 \(U\)로의 밑변환이 \(W\)가 되게 할 수 있다. \(W_i = W_0 \times_{U_0} U_i\)로 놓으면 \(W = \lim_{i \geq 0} W_i\)이다. \(0\)을 크게 한 후에는 \(W_i\)들이 스킴이라고 가정할 수 있다. Lemma 07SR를 보라. 또한 \(W_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이다.

Limits, Lemma 07RN를 \(W = \lim_{i \geq 0} W_i\)와 포함 사상 \(W \subset V\)에 적용하자. \(I\)를 그 보조정리에서 얻은 유향 집합 \(J\)로 대체하자. 그러면 \(V\)를 유향 극한 \(V = \lim V_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 각 스킴은 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고 전이 사상들은 아핀이며, 각 \(V_i\)는 \(W_i\)를 열린 부분스킴으로 포함한다 (전이 사상들과 호환되게 포함한다). 각 \(i\)에 대해 스킴의 범주에서 다음 푸시아웃을 만들 수 있다. \[\xymatrix{ W_i \ar[r] \ar[d]_\Delta & V_i \ar[d] \\ W_i \times_{U_i} W_i \ar[r] & R_i }\] 실제로 왼쪽 수직 화살표와 위쪽 수평 화살표는 스킴의 열린 몰입이다. 달리 말하면 \(R_i\)를 \(V_i\)와 \(W_i \times_{U_i} W_i\)를 공통 열린집합 \(W_i\)를 따라 붙여서 구성할 수 있다 (Schemes, Section 01JA 참조). 에탈 사영 사상 \(W_i \times_{U_i} W_i \to W_i\)는 에탈 사상 \(s_i, t_i : R_i \to V_i\)로 확장됨에 주의하자. 사상 \(j_i = (t_i, s_i) : R_i \to V_i \times V_i\)는 \(V_i\) 위의 에탈 동치관계임이 분명하다. \(W_i \times_{U_i} W_i\)는 준콤팩트이고 (\(U_i\)가 준분리이고 \(W_i\)가 준콤팩트이기 때문이다), \(V_i\)도 준콤팩트이므로 \(R_i\)는 준콤팩트이다. \(i \geq i'\)에 대해 가환도 [07SV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R_i \ar[r] \ar[d]_{s_i} & R_{i'} \ar[d]^{s_{i'}} \\ V_i \ar[r] & V_{i'} } } \end{equation}\] 는 데카르트 가환도이다. 이는 \[(W_{i'} \times_{U_{i'}} W_{i'}) \times_{U_{i'}} U_i = W_{i'} \times_{U_{i'}} U_i \times_{U_i} U_i \times_{U_{i'}} W_{i'} = W_i \times_{U_i} W_i.\] 이기 때문이다. 대수공간 \(X_i = V_i/R_i\)를 생각하자 (Spaces, Theorem 02WW 참조). \(V_i\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고 \(R_i\)가 준콤팩트이므로, \(X_i\)는 준분리이고 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이다 (Properties of Spaces, Lemma 07S4와 Morphisms of Spaces, Lemmas 040W 및 040Y을 보라). 위의 \(R_i\)의 구성은 전이 사상들과 호환되므로, 대수공간의 사상 \(X_i \to X_{i'}\)를 \(i \geq i'\)에 대해 얻는다. 가환도 \[\xymatrix{ V_i \ar[r] \ar[d] & V_{i'} \ar[d] \\ X_i \ar[r] & X_{i'} }\] 들은 (07SV)가 데카르트 가환도이므로 데카르트 가환도이다. Groupoids, Lemma 07S3를 보라. \(V_i \to V_{i'}\)가 아핀이므로 \(X_i \to X_{i'}\)도 아핀이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03WG을 보라. 따라서 극한 \(X' = \lim X_i\)를 Lemma 07SF에 의해 만들 수 있다. \(X \cong X'\)라고 주장한다. 이로써 명제의 증명이 끝난다.

주장의 증명. \(R = \lim R_i\)로 놓자. 구성에 의해 대수공간 \(X'\)에는 전사 에탈 사상 \(V \to X'\)가 주어지며, \[V \times_{X'} V \cong R\] 가 성립한다(Lemma 07SF를 사용하라). 구성에 의해 \(\lim W_i \times_{U_i} W_i = W \times_U W\)이고 \(V = \lim V_i\)이므로, \(R\)은 \(W \times_U W\)와 \(V\)를 \(W\)를 따라 붙인 합집합이다. 성질 (6)에 의해 사영 \(V \times_X V \to V\)는 \(f^{-1}(Z) \subset V\) 위에서 동형이다. 따라서 스킴 \(V \times_X V\)는 열린집합 \(\Delta_{V/X}(V)\)와 \(W \times_U W\)의 합집합이며, 이들의 교집합은 \(\Delta_{W/X}(W)\)이다. 그러므로 동형 \(R \cong V \times_X V\)가 유일하게 존재하여 \(V\)로의 사영들과 호환된다. \(V \to X\)와 \(V \to X'\)가 전사 에탈이므로 \[X = V/ V \times_X V = V/R = V/V \times_{X'} V = X'\] 임을 Spaces, Lemma 0262에 의해 알 수 있고, 증명이 끝난다.

응용

다음 보조정리는 절대 Noether 근사를 거치지 않고도 Decent Spaces, Lemma 07ST에서 직접 유도할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여과 여극한이다.

증명

\(X\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간으로 볼 수 있다. Spaces, Definition 03I5 및 Properties of Spaces, Definition 03BS를 보라. 따라서 Proposition 07SU를 적용하여 \(X = \lim X_i\)로 쓰되 \(X_i\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시이게 할 수 있다. 그러면 \(X_i\)는 Noether 대수공간이다. Morphisms of Spaces, Lemma 04ZL을 보라. 사상 \(X \to X_i\)는 아핀이다. Lemma 07SF를 보라. 결론은 Cohomology of Spaces, Lemma 07UW에서 따른다.

이 절의 나머지 내용은 Lemma 07V9의 직접적인 응용들이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 자신의 유한형 준연접 부분가군들의 유향 여극한이다.

증명

\(\mathcal{G}, \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\)가 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군이면, \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{H} \to \mathcal{F}\)의 상은 이 둘을 모두 포함하는 또 다른 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군이다. 이로써 이 계가 유향임을 알 수 있다. \(\mathcal{F}\)가 이 계의 여극한임을 보이기 위해 \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\)를 유한 표시 준연접층의 유향 여극한으로 쓰자. Lemma 07V9에서와 같이 쓴다. 그러면 상 \(\mathcal{G}_i = \Im(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}\)의 유한형 준연접 부분층이다. \(\mathcal{F}\)가 이들의 여극한이므로 결과가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 각 \(\mathcal{F}_i\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 모든 전이 사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)는 전사이다.

증명

\(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여과 여극한으로 쓰자 (Lemma 07V9). \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)가 어떤 \(i\)에 대해 전사라고 주장한다. 실제로 에탈 전사 사상 \(U \to X\)를 택하되 \(U\)는 아핀 스킴이라고 하자. 유한 개의 단면 \(s_k \in \mathcal{F}(U)\)를 택하여 \(\mathcal{F}|_U\)를 생성하게 하자. \(U\)가 아핀이므로 \(s_k\)는 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)의 상에 충분히 큰 \(i\)에 대해 속한다. 따라서 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 전사이다. 그러한 \(i\)를 택하고 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}_i\)를 사상 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\)의 핵이라 하자. \(\mathcal{K} = \colim \mathcal{K}_a\)를 그 유한형 준연접 부분가군들의 여과 여극한으로 쓰자 (Lemma 0829). 그러면 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i/\mathcal{K}_a\)가 보조정리에서 제시한 문제의 해이다.

\(X\)를 대수공간이라 하자. 다음 보조정리에서는 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}\)라는 개념을 사용한다. 이는 모든 아핀 스킴 \(U = \Spec(R)\)가 \(X\) 위에서 에탈일 때, \(\mathcal{A}|_U = \widetilde{A}\)이고, 여기서 \(A\)는 (가환) \(R\)-대수로서 \(R\)-대수로서 유한 표시라는 뜻이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)는 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 유향 여극한이다.

증명

먼저 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\)를 Lemma 07V9에서와 같이 유한 표시 준연접층의 유향 여극한으로 쓰자. 각 \(i\)에 대해 \(\mathcal{B}_i = \text{Sym}(\mathcal{F}_i)\)를 \(\mathcal{F}_i\)의 \(\mathcal{O}_X\) 위의 대칭대수라 하자. \(\mathcal{I}_i = \Ker(\mathcal{B}_i \to \mathcal{A})\)로 쓰자. \(\mathcal{I}_i = \colim_j \mathcal{F}_{i, j}\)로 쓰되, \(\mathcal{F}_{i, j}\)는 \(\mathcal{I}_i\)의 유한형 준연접 부분가군이라고 하자. Lemma 0829를 보라. \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{I}_i\)를 \(\mathcal{B}_i\)의 아이디얼 중 \(\mathcal{F}_{i, j}\)가 생성하는 것으로 놓자. \(\mathcal{A}_{i, j} = \mathcal{B}_i/\mathcal{I}_{i, j}\)로 놓자. 그러면 \(\mathcal{A}_{i, j}\)는 준연접 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-대수이다. 관계 \((i, j) \leq (i', j')\)를 다음 조건으로 정의한다. \(i \leq i'\)이고, 사상 \(\mathcal{B}_i \to \mathcal{B}_{i'}\)가 아이디얼 \(\mathcal{I}_{i, j}\)를 아이디얼 \(\mathcal{I}_{i', j'}\) 안으로 보낸다. 그러면 \(\mathcal{A} = \colim_{i, j} \mathcal{A}_{i, j}\)임이 분명하다.

\(X\)를 대수공간이라 하자. 다음 보조정리에서는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}\)가 유한형이라는 개념을 사용한다. 이는 모든 아핀 스킴 \(U = \Spec(R)\)가 \(X\) 위에서 에탈일 때, \(\mathcal{A}|_U = \widetilde{A}\)이고, 여기서 \(A\)는 (가환) \(R\)-대수로서 \(R\)-대수로서 유한형이라는 뜻이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)는 자신의 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수들의 유향 여극한이다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 0829의 증명과 비교하라.

\(X\)를 대수공간이라 하자. 다음 보조정리에서는 유한(각각 정수적) 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}\)라는 개념을 사용한다. 이는 모든 아핀 스킴 \(U = \Spec(R)\)가 \(X\) 위에서 에탈일 때, \(\mathcal{A}|_U = \widetilde{A}\)이고, 여기서 \(A\)는 (가환) \(R\)-대수로서 \(R\)-대수로서 유한(각각 정수적)이라는 뜻이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 유한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)는 유한이면서 유한 표시인 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 유향 여극한으로, 전이 사상들은 전사이다.

증명

Lemma 086Y에 의해 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 전사 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{A}\)가 존재한다. 대수 구조를 사용하면 전사 사상 \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{A}\] 를 얻는다. 그 핵을 \(\mathcal{J}\)라 쓰자. \(\mathcal{J} = \colim \mathcal{E}_i\)를 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{E}_i\)들의 여과 여극한으로 쓰자 (Lemma 0829). \[\mathcal{A}_i = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})/(\mathcal{E}_i)\] 로 놓자. 여기서 \((\mathcal{E}_i)\)는 \(\mathcal{E}_i \to \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\)의 상이 생성하는 아이디얼 층을 나타낸다. 그러면 각 \(\mathcal{A}_i\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-대수이고, 전이 사상들은 전사이며, \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)이다. 증명을 끝내려면 \(\mathcal{A}_i\)가 유한 \(\mathcal{O}_X\)-대수임을 충분히 큰 \(i\)에 대해 보여야 한다. 이를 위해 에탈 전사 사상 \(U \to X\)를 택하되 \(U\)는 아핀 스킴이라고 하자. 생성원 \(f_1, \ldots, f_m \in \Gamma(U, \mathcal{F})\)를 택하자. \(\mathcal{A}(U)\)는 유한 \(\mathcal{O}_X(U)\)-대수이므로, 각 \(j\)에 대해 일계수 다항식 \(P_j \in \mathcal{O}(U)[T]\)가 존재하여 \(P_j(f_j)\)가 \(\mathcal{A}(U)\)에서 영이 됨을 알 수 있다. 구성에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)이므로, \(P_j(f_j) = 0\)이 \(\mathcal{A}_i(U)\)에서 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 그러한 \(i\)에 대해 대수 \(\mathcal{A}_i\)는 유한이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 정수적 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{A}\)는 자신의 유한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수들의 유향 여극한이다.

2. \(\mathcal{A}\)는 유한이면서 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-대수들의 유향 여극한이다.

증명

Lemma 082B에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)이다. 여기서 \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수들을 움직인다. 모든 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분대수는 \(\mathcal{A}\) 안에서 유한이다(Algebra, Lemma 02JJ을 \(X\) 위에서 에탈인 아핀 스킴들에 적용하라). 이로써 (1)이 증명된다.

(2)를 증명하기 위해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여극한으로 쓰자. Lemma 07V9를 사용한다. 각 \(i\)에 대해 \(\mathcal{J}_i\)를 사상 \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\] 의 핵이라 하자. \(i' \geq i\)에 대해 유도되는 사상 \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\)가 있으며, \(\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)이다. 또한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)는 유한이다(위의 논의를 보라). \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여극한으로 쓰자. \(i' \geq i\)와 \(k\)가 주어지면 \(k'\)가 존재하여 사상 \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\)를 다음 가환도가 가환하게 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] 이는 Cohomology of Spaces, Lemma 07U7에서 따른다. 이 사상은 다음 사상을 유도한다. \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] 여기서 \((\mathcal{E}_{ik})\)는 \(\mathcal{E}_{ik}\)가 생성하는 아이디얼을 나타낸다. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}_{ki}\)는 충분히 큰 \(k\)에 대해 유한 표시이고 유한이다 (Lemma 086Z의 증명 참조). 마지막으로 \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] 이다. 실제로 첫 번째 등식은 Lemma 086Z의 증명에서 보였으며, 두 번째 등식은 \(\mathcal{A}\)가 가군 \(\mathcal{F}_i\)들의 여극한이기 때문에 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-부분가군이라 하자. 그러면 준연접 부분가군 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\)가 존재하여 유한형이고 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)를 만족한다.

증명

포함 사상을 \(j : U \to X\)라 쓰자. \(X\)가 준분리이고 \(U\)가 준콤팩트이므로 사상 \(j\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(j_*\mathcal{G} \subset j_*\mathcal{F}|_U\)는 \(X\) 위의 준연접 가군들이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). \(\mathcal{H} = \Ker(j_*\mathcal{G} \oplus \mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}|_U)\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)이다. Lemma 0829에 의해 유한형 준연접 부분가군 \(\mathcal{H}' \subset \mathcal{H}\)를 찾아 \(\mathcal{H}'|_U = \mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)가 되게 할 수 있다. \(\mathcal{G}' = \Im(\mathcal{H}' \to \mathcal{F})\)로 놓으면 결론을 얻는다.

상대 근사

Proposition 07SU을 밑 위에서 일반화한 형태들을 논의한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 \(\mathbf{Z}\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 유향 집합 \(I\)와 대수공간의 사상들의 역계 \((f_i : X_i \to Y_i)\)가 \(I\) 위에 존재하여 다음을 만족한다.

전이 사상 \(X_i \to X_{i'}\) 및 \(Y_i \to Y_{i'}\)는 아핀이고, \(X_i\)와 \(Y_i\)는 준분리이며 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고, \((X \to Y) = \lim (X_i \to Y_i)\)이다.

증명

Proposition 07SU에서와 같이 \(X = \lim_{a \in A} X_a\) 및 \(Y = \lim_{b \in B} Y_b\)로 쓰자. 즉 \(X_a\)와 \(Y_b\)는 준분리이고 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이며, 전이 사상들은 아핀이다.

\(b \in B\)를 고정하자. Lemma 0CP4을 \(Y_b\)와 \(X = \lim X_a\)에 \(\mathbf{Z}\) 위에서 적용하면, \(a \in A\)와 사상 \(f_{a, b} : X_a \to Y_b\)가 존재하여 가환도 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ X_a \ar[r] & Y_b }\] 가 가환하게 됨을 알 수 있다. \(I\)를 이 방법으로 얻은 삼중항 \((a, b, f_{a, b})\)들의 집합이라 하자.

\((a, b, f_{a, b})\)와 \((a', b', f_{a', b'})\)가 \(I\)에 속한다고 하자. \(b'' \leq \min(b, b')\)로 놓자.

Lemma 0CP4을 다시 적용하면, \(a'' \geq \max(a, a')\)가 존재하여 합성 \(X_{a''} \to X_a \to Y_b \to Y_{b''}\)와 \(X_{a''} \to X_{a'} \to Y_{b'} \to Y_{b''}\)가 같게 된다. \(I\)에 다음 전순서를 준다. \[(a, b, f_{a, b}) \geq (a', b', f_{a', b'}) \Leftrightarrow a \geq a',\ b \geq b',\text{ 및 } g_{b, b'} \circ f_{a, b} = f_{a', b'} \circ h_{a, a'}\] 여기서 \(h_{a, a'} : X_a \to X_{a'}\) 및 \(g_{b, b'} : Y_b \to Y_{b'}\)는 전이 사상이다. 위의 관찰에서 \(I\)가 유향이고, 사상 \(I \to A\), \((a, b, f_{a, b}) \mapsto a\) 및 \(I \to B\), \((a, b, f_{a, b})\)가 공종임을 알 수 있다.

\(i = (a, b, f_{a, b})\)에 대해 \(X_i = X_a\), \(Y_i = Y_b\), \(f_i = f_{a, b}\)로 놓으면, \(I\) 위의 사상들의 역계를 얻고 다음이 성립한다. \[\lim_{i \in I} X_i = \lim_{a \in A} X_a = X \quad\text{및}\quad \lim_{i \in I} S_i = \lim_{b \in B} Y_b = Y\]

이는 Categories, Lemma 002R에 따른다 (\(I\) 위의 극한은 실제로 \(I\)에 대응하는 반대 범주 위의 극한이므로, 공종은 공시작으로 바뀐다는 점을 상기하라). 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(Y\)는 준분리이다.

그러면 \(X = \lim X_i\)는 대수공간 \(X_i\)의 유향 역계의 극한으로 쓸 수 있으며, 각 대상은 \(Y\) 위에서 유한 표시이고 전이 사상들은 \(Y\) 위에서 아핀이다.

증명

\(|f|(|X|)\)가 준콤팩트이므로 \(Y\)를 열린 부분공간으로 대체할 수 있다. 그 열린 부분공간은 준콤팩트이고 그 점들의 집합은 \(|f|(|X|)\)를 포함한다. 따라서 \(Y\)도 준콤팩트라고 가정할 수 있다. Lemma 0GS3에 의해 \((X \to Y) = \lim (X_i \to Y_i)\)로 쓸 수 있다. 여기서 어떤 유향 역계가 주어지고, 그 대상들은 \(\mathbf{Z}\) 위의 유한형 스킴의 사상들이며 전이 사상들은 아핀이다.

극한은 극한과 교환하므로 (Categories, Lemma 002M), \(X = \lim X_i \times_{Y_i} Y\)이다. \(i \geq i'\)에 대해 전이 사상 \(X_i \times_{Y_i} Y \to X_{i'} \times_{Y_{i'}} Y\)는 아핀이다. 실제로 이는 합성 \[X_i \times_{Y_i} Y \to X_i \times_{Y_{i'}} Y \to X_{i'} \times_{Y_{i'}} Y\] 이며, 첫 사상은 닫힌 몰입이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03KN). 둘째 사상은 아핀 사상의 밑변환이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03WI). 또한 아핀 사상의 합성은 아핀이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03WH). 사상 \(f_i\)는 유한 표시이다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 06G4 및 05WT). 따라서 밑변환 \(X_i \times_{f_i, Y_i} Y \to Y\)도 유한 표시이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03XR).

유한 표시 안에 닫혀 있는 유한형

이 절은 Limits, Section 01ZD에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 아핀 사상이라 하자. \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리이면, \(X\)는 유향 극한 \(X = \lim X_i\)이며 각 \(X_i\)는 \(Y\) 위에서 아핀이고 유한 표시이다.

증명

준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)를 생각하자. Lemma 082A에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 \(\mathcal{A}_i\)들의 유향 여극한으로 쓸 수 있다. \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\)로 놓자. Morphisms of Spaces, Definition 081W을 보라. 구성에 의해 \(X_i \to Y\)는 아핀이고 유한 표시이며, \(X = \lim X_i\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 정수적 사상이라 하자. \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 유향 극한 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있고, \(X_i\)는 \(Y\) 위에서 유한이고 유한 표시이다.

증명

준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)를 생각하자. Lemma 082C에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)를 유한이면서 유한 표시인 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 \(\mathcal{A}_i\)들의 유향 여극한으로 쓸 수 있다. \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\)로 놓자. Morphisms of Spaces, Definition 081W을 보라. 구성에 의해 \(X_i \to Y\)는 유한이고 유한 표시이며, \(X = \lim X_i\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 유한 사상이라 하자. \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 유향 극한 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있고, 전이 사상들은 닫힌 몰입이며, 대상 \(X_i\)는 \(Y\) 위에서 유한이고 유한 표시이다.

증명

유한 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)를 생각하자. Lemma 086Z에 의해 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)를 유한이면서 유한 표시인 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 \(\mathcal{A}_i\)들의 유향 여극한으로 쓸 수 있고 전이 사상들은 전사이다. \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\)로 놓자. Morphisms of Spaces, Definition 081W을 보라. 구성에 의해 \(X_i \to Y\)는 유한이고 유한 표시이며, 전이 사상들은 닫힌 몰입이고, \(X = \lim X_i\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 유향 극한 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있고, 전이 사상들은 닫힌 몰입이며, 사상 \(X_i \to Y\)는 유한 표시 닫힌 몰입이다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)를 \(X\)를 \(Y\)의 닫힌 부분공간으로 정의하는 준연접 아이디얼 층이라 하자. Lemma 0829에 의해 \(\mathcal{I} = \colim \mathcal{I}_i\)를 그 유한형 준연접 부분가군들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. \(X_i\)를 \(X\)의 닫힌 부분공간 가운데 \(\mathcal{I}_i\)가 잘라내는 것으로 하자.

그러면 \(X_i \to Y\)는 유한 표시 닫힌 몰입이고 \(X = \lim X_i\)이다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한형이고 준아핀이다.

2. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한 표시 사상 \(f' : X' \to Y\)와 닫힌 몰입 \(X \to X'\)가 존재하며, 후자는 \(Y\) 위의 사상이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 086S에 의해 분해 \(X \to Z \to Y\)를 찾을 수 있다. 여기서 \(X \to Z\)는 준콤팩트 열린 몰입이고 \(Z \to Y\)는 아핀이다. \(Z = \lim Z_i\)로 쓰되 \(Z_i\)는 \(Y\) 위에서 아핀이고 유한 표시라고 하자 (Lemma 0870). 어떤 \(0 \in I\)에 대해 준콤팩트 열린집합 \(U_0 \subset Z_0\)를 찾아 \(X\)가 \(U_0\)의 역상과 동형이 되게 할 수 있는데, 이 역상은 \(Z\) 안에서 취한다 (Lemma 0827). \(U_i\)를 \(U_0\)의 역상이라 하되 그 역상은 \(Z_i\) 안에서 취하면 \(U = \lim U_i\)이다.

Lemma 0828에 의해 \(X \to U_i\)는 충분히 큰 어떤 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다. \(X' = U_i\)로 놓으면 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

3. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한 표시 사상 \(f' : X' \to Y\)와 대수공간의 닫힌 몰입 \(X \to X'\)가 존재하며, 후자는 \(Y\) 위의 사상이다.

증명

Proposition 07SU에 의해 \(X = \lim_i X_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(X_i\)는 준분리이고 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이며, 전이 사상 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)는 아핀이다. 다음 가환도를 생각하자. \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[rd] & X_{i, Y} \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ & Y \ar[r] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] \(X_i\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 유한 표시임에 주의하자. Morphisms of Spaces, Lemma 06G4을 보라. 따라서 밑변환 \(X_{i, Y} \to Y\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 03XR에 의해 유한 표시이다. \(\lim X_{i, Y} = X \times Y\)이고 \(X \to X \times Y\)가 단사상임을 관찰하자.

Lemma 0828에 의해 \(X \to X_{i, Y}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 단사상이다. 그러한 \(i\)를 고정하자. \(X \to X_{i, Y}\)는 국소 유한형이고 (Morphisms of Spaces, Lemma 0462), 단사상이므로 분리이고 국소 준유한이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 0463). 따라서 \(X \to X_{i, Y}\)는 표현 가능하다. 그러므로 \(X \to X_{i, Y}\)는 준아핀이다. 실제로 Spaces, Lemma 02YO의 원리와 스킴의 사상에 대한 결과 More on Morphisms, Lemma 02LR를 사용할 수 있다. 따라서 Lemma 0871은 분해 \(X \to X' \to X_{i, Y}\)를 준다. 여기서 \(X \to X'\)는 닫힌 몰입이고 \(X' \to X_{i, Y}\)는 유한 표시이다. 마지막으로 \(X' \to Y\)는 유한 표시 사상의 합성이므로 유한 표시이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03XQ).

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한형이고 분리이다.

2. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한 표시인 분리 사상 \(f' : X' \to Y\)와 닫힌 몰입 \(X \to X'\)가 존재하며, 후자는 \(Y\) 위의 사상이다.

증명

Lemma 0872에 의해 닫힌 몰입 \(X \to Z\)가 존재하고 \(Z/Y\)는 유한 표시이다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)를 \(X\)를 \(Y\)의 닫힌 부분스킴으로 정의하는 준연접 아이디얼 층이라 하자.

Lemma 0829에 의해 \(\mathcal{I}\)를 유향 여극한 \(\mathcal{I} = \colim_{a \in A} \mathcal{I}_a\)로 쓸 수 있다. 여기서 각 항은 그 유한형 준연접 아이디얼 층이다. \(X_a \subset Z\)를 \(\mathcal{I}_a\)가 정의하는 닫힌 부분공간이라 하자. 이들은 \(A\)를 지표로 하는 역계를 이룬다. 전이 사상 \(X_a \to X_{a'}\)는 닫힌 몰입이므로 아핀이다. 각 \(X_a\)는 \(Z\)의 닫힌 부분공간이고, 가정에 의해 \(Z\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 그것들도 준콤팩트이고 준분리이다. \(X = \lim_a X_a\)가 성립한다. 이는 \(\mathcal{I} = \colim_{a \in A} \mathcal{I}_a\)라는 사실에서 직접 따른다. 각 사상 \(X_a \to Z\)는 유한 표시이다. Morphisms, Lemma 01TV을 보라. 따라서 사상 \(X_a \to Y\)는 유한 표시이다. 그러므로 \(X_a \to Y\)가 어떤 \(a \in A\)에 대해 분리임을 보이면 충분하다. 이는 \(X \to Y\)가 분리라는 가정과 Lemma 086X에서 따른다.

고유 사상의 근사

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 고유 사상이라 하고, \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 \(X = \lim X_i\)는 대수공간 \(X_i\)들의 유향 극한으로 쓸 수 있으며, 이들은 \(Y\) 위에서 고유하고 유한 표시이고, 전이 사상들과 사상 \(X \to X_i\)는 닫힌 몰입이다.

증명

Proposition 0873에 의해 닫힌 몰입 \(X \to X'\)를 찾을 수 있으며, \(X'\)는 \(Y\) 위에서 분리이고 유한 표시이다. Lemma 0A0U에 의해 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있으며, \(X_i \to X'\)는 유한 표시 닫힌 몰입이다. 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 사상 \(X_i \to Y\)가 고유임을 보이면 증명이 끝난다.

이를 보이기 위해 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. Morphisms of Spaces, Lemma 083R을 보라. 이제 Cohomology of Spaces, Lemma 089J의 Chow 보조정리의 약한 형태를 사용하여 다음 가환도를 얻는다. \[\xymatrix{ X' \ar[rd] & X'' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[dl] \\ & Y & }\] 여기서 \(X'' \to \mathbf{P}^n_Y\)는 몰입이고, \(\pi : X'' \to X'\)는 고유 전사이다. \(X'_i \subset X''\)와 \(\pi^{-1}(X)\)를 각각 \(X_i \subset X'\)와 \(X \subset X'\)의 스킴론적 역상이라 하자. 그러면 \(\lim X'_i = \pi^{-1}(X)\)이다. \(\pi^{-1}(X) \to Y\)가 고유이므로 (Morphisms of Spaces, Lemmas 04XY), \(\pi^{-1}(X) \to \mathbf{P}^n_Y\)는 닫힌 몰입이다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 04NX와 04CD). 따라서 충분히 큰 \(i\)에 대해 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_Y\)는 Lemma 0A0T에 의해 닫힌 몰입이다. 그러므로 \(X'_i\)는 \(Y\) 위에서 고유이다. 그러한 \(i\)에 대해 사상 \(X_i \to Y\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ에 의해 고유이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 \(\mathbf{Z}\) 위의 대수공간의 고유 사상이라 하고, \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. 그러면 유향집합 \(I\)와 대수공간의 사상들로 이루어진 역계 \((f_i : X_i \to Y_i)\)가 존재하며, 이 역계는 \(I\) 위에 놓인다. 또한 전이 사상 \(X_i \to X_{i'}\)와 \(Y_i \to Y_{i'}\)는 아핀이고, \(f_i\)는 고유하고 유한 표시이며, \(Y_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시이고, \((X \to Y) = \lim (X_i \to Y_i)\)이다.

증명

Lemma 0A0W에 의해 \(X = \lim_{k \in K} X_k\)로 쓸 수 있으며, \(X_k \to Y\)는 고유하고 유한 표시이다. 다음으로 절대 Noether 근사 (Proposition 07SU)에 의해 \(Y = \lim_{j \in J} Y_j\)로 쓸 수 있으며, \(Y_j\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시이다. 각 \(k\)에 대해 어떤 \(j\)와 유한 표시 사상 \(X_{k, j} \to Y_j\)가 존재하여, \(X_k \cong Y \times_{Y_j} X_{k, j}\)가 되고, 이 동형은 \(Y\) 위의 대수공간 사이의 동형이다. Lemma 07SK을 보라. \(j\)를 키우면 \(X_{k, j} \to Y_j\)가 고유라고 가정할 수 있다. Lemma 08K1을 보라.

\(I\)는 이 쌍 \((k, j)\)들과 대응하는 사상 \(X_{k, j} \to Y_j\)로 이루어진다.

모든 \(k' \geq k\)에 대해 어떤 \(j' \geq j\)와 사상 \(X_{j', k'} \to X_{j, k}\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(Y_{j'} \to Y_j\) 위의 사상이다. 이를 \(Y\)로 밑변환하면 사상 \(X_{k'} \to X_k\)가 된다 (다시 Lemma 07SK에서 따른다). 이 사상들이 계의 전이 사상을 이룬다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

유한형 준연접 가군의 스킴론적 지지를 상기하자. Morphisms of Spaces, Definition 07U1을 보라.

보조정리

Situation 084W의 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{F}_0\)를 준연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}_i\)를 각각 \(\mathcal{F}_0\)의 \(X\)와 \(X_i\)로의 당김이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}_0\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지는 \(Y\) 위에서 고유이다.

그러면 \(\mathcal{F}_i\)의 스킴론적 지지가 \(Y_i\) 위에서 고유인 어떤 \(i\)가 존재한다.

증명

\(X_0\)를 \(\mathcal{F}_0\)의 스킴론적 지지로 대체해도 된다. Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ에 의해 이는 \(X_i\)가 \(\mathcal{F}_i\)의 지지이고 \(X\)가 \(\mathcal{F}\)의 지지임을 보장한다. 이제 \(Z \subset X\)가 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지를 나타낸다면, \(Z \to X\)는 보편 위상동형이다. 따라서 \(X \to Y\)가 고유임을 얻는다. 실제로 가정에 의해 \(Z \to Y\)가 고유이며, Morphisms, Lemma 03GN을 적용한다.

Lemma 08K1에 의해 \(X_i \to Y\)가 고유인 어떤 \(i\)가 존재한다. 그러면 스킴론적 지지 \(Z_i\), 즉 \(\mathcal{F}_i\)의 지지는 \(Y\) 위에서 고유이다. 이는 Morphisms of Spaces, Lemmas 04XZ와 04XY에서 따른다.

아핀 공간으로의 매장

뒤에서 Chow 보조정리의 증명에 사용할 몇 가지 기술적 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : U \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(U\)가 아핀 스킴이고, \(f\)가 국소 유한형이며, \(X\)가 준분리이고 국소 분리라고 가정하자. 그러면 몰입 \(U \to \mathbf{A}^n_X\)가 존재하며, 이는 \(X\) 위의 사상이다.

증명

\(U = \Spec(A)\)라 하자. \(A = \colim A_i\)를 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수들의 여과 여극한으로 쓰자. 각 \(i\)에 대해 사상 \(U \to U_i = \Spec(A_i)\)는 다음 사상을 유도한다. \[U \longrightarrow X \times U_i\] 이 사상은 \(X\) 위의 사상이다. 극한에서 사상 \(U \to X \times U\)는 몰입이다. 실제로 \(X\)가 국소 분리이며, Morphisms of Spaces, Lemma 03KO을 적용한다. Lemma 0828에 의해 \(U \to X \times U_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 몰입임을 알 수 있다. \(U_i\)는 \(\mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\)의 닫힌 부분스킴과 동형이므로 보조정리가 따른다.

주

Examples, Section 088V에서 보았듯이, Lemma 088L는 \(X\)가 국소 분리라는 가정을 버리면 성립하지 않는다. 이에 따라 다음 질문이 생긴다. \(X\)가 준분리라는 가정을 버려도 Lemma 088L가 성립하는가? 답을 알고 있다면 stacks.project@gmail.com으로 전자우편을 보내 달라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(X\)가 Noether이고 \(f\)가 유한 표시라고 가정하자. 그러면 조밀한 열린집합 \(V \subset Y\)와 몰입 \(V \to \mathbf{A}^n_X\)가 존재한다.

증명

가정에 의해 \(Y\)는 Noether이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 04ZL). 그러면 \(Y\)는 준분리이므로 조밀한 열린 부분스킴을 가진다 (Properties of Spaces, Proposition 06NH). 따라서 \(Y\)가 Noether 스킴이라고 가정해도 된다. \(Y\)의 기약 성분들의 교차를 제거하면 (Topology, Lemma 0052과 Properties, Lemma 01OZ을 사용한다), \(Y\)가 기약 Noether 스킴들의 서로소 합이라고 가정해도 된다. 다음 몰입이 존재한다. \[\mathbf{A}^n_X \amalg \mathbf{A}^m_X \longrightarrow \mathbf{A}^{\max(n, m) + 1}_X\] (세부 사항은 생략한다). 따라서 \(Y\)가 기약인 경우만 증명하면 충분하다.

\(Y\)가 기약 스킴이라고 가정하자. \(T \subset |X|\)를 \(f : Y \to X\)의 상의 폐포라 하자. \(|Y|\)와 \(|X|\)는 sober 위상공간이므로 (Properties of Spaces, Lemma 06NJ), \(T\)는 기약이고 유일한 일반점 \(\xi\)를 가지며, 이 점은 일반점 \(\eta\)의 상이고, 이 일반점은 \(Y\)의 일반점이다.

\(\mathcal{I} \subset X\)를 \(T\) 위의 축소 유도 공간 구조를 잘라내는 준연접 아이디얼 층이라 하자 (Properties of Spaces, Definition 047X). \(\mathcal{O}_{Y, \eta}\)는 Artin 국소환이므로, 어떤 \(n > 0\)에 대해 \(f^{-1}\mathcal{I}^n \mathcal{O}_{Y, \eta} = 0\)이다. \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y\)는 유한형 준연접 아이디얼이므로, \(f^{-1}\mathcal{I}^n\mathcal{O}_V = 0\)인 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{I}^n\)이 잘라내는 닫힌 부분공간이라 하자. 구성에 의해 \(V \to Y \to X\)는 \(Z\)를 통해 인수분해된다. \(\mathbf{A}^n_Z \to \mathbf{A}^n_X\)가 몰입이므로, \(X\)를 \(Z\)로, \(Y\)를 \(V\)로 대체해도 된다. 따라서 \(Y\)와 \(X\)가 기약이고, \(Y \to X\)가 \(Y\)의 일반점을 \(X\)의 일반점으로 보내는 상황에 이른다.

\(Y\)와 \(X\)가 기약이고, \(Y\)가 스킴이며, \(Y \to X\)가 \(Y\)의 일반점을 \(X\)의 일반점으로 보낸다고 가정하자. Properties of Spaces, Proposition 06NH에 의해 \(X\)는 조밀한 열린 부분스킴 \(U \subset X\)를 가진다. 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(V \subset Y\)를 택하되, 그 상이 \(X\)에서 \(U\)에 포함되게 하자. Morphisms, Lemma 04II에 의해 \(V \to U\)를 \(V \to \mathbf{A}^n_U \to U\)로 인수분해할 수 있다. 이를 \(\mathbf{A}^n_U \to \mathbf{A}^n_X\)와 합성하면 원하는 몰입을 얻는다.

닫힌 부분집합에 지지를 갖는 절단

이 절은 Properties, Section 07ZM에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(U \to X\)는 준콤팩트이다.

2. \(U\)는 준콤팩트이다.

3. 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 존재하여 \(|X| \setminus |U| = |V(\mathcal{I})|\)이다.

증명

\(W\)를 아핀 스킴이라 하고, \(\varphi : W \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. (1)이 성립하면 \(\varphi^{-1}(U) \to W\)는 준콤팩트이므로 \(\varphi^{-1}(U)\)는 준콤팩트이고, 따라서 \(U\)도 준콤팩트이다 (\(|\varphi^{-1}(U)| \to |U|\)가 전사이기 때문이다). (2)가 성립하면 \(\varphi^{-1}(U)\)는 준콤팩트이다. 실제로 \(\varphi\)는 준콤팩트하다. 이는 \(X\)가 준분리이기 때문이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 073B). 따라서 \(\varphi^{-1}(U) \to W\)는 Properties, Lemma 01PH에 의해 스킴의 준콤팩트 사상이다. 그러므로 \(U \to X\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 03KG에 의해 준콤팩트이다. 따라서 (1)과 (2)는 동치이다.

(1)과 (2)를 가정하자. Properties of Spaces, Lemma 03IQ에 의해, 유일한 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{J}\)가 존재하며, 이는 \(|X| \setminus |U|\) 위의 축소 유도 닫힌 부분공간 구조를 잘라낸다.

\(\mathcal{J}|_U = \mathcal{O}_U\)이고, 이는 유한형 \(\mathcal{O}_U\)-가군임에 주의하자. \(U\)가 준콤팩트이므로 Lemma 0829에 의해, 유한형 준연접 부분층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{J}\)가 존재하여 \(\mathcal{I}|_U = \mathcal{J}|_U\)가 된다. 그러면 \(|X| \setminus |U| = |V(\mathcal{I})|\)이므로 (3)을 얻는다. 반대로 \(\mathcal{I}\)가 (3)에서와 같다면, \(\varphi^{-1}(U) \subset W\)는 스킴에 대한 보조정리 (Properties, Lemma 01PH)에 의해 준콤팩트 열린집합이다. 여기서는 \(\varphi^{-1}\mathcal{I}\)에 그 보조정리를 적용하며, 이는 \(W\) 위의 층이다. 따라서 (2)가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}'\)를 생각하자. 이 층은 모든 대상 \(U\)에 다음 가군을 대응시키며, 그 대상은 \(X_\etale\)에 속한다. \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}s = 0\}\] \(\mathcal{I}\)가 유한형이라고 가정하자. 그러면

1. \(\mathcal{F}'\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이다.

2. 아핀 대상 \(U\)가 \(X_\etale\)에 속하면 \(\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}(U)s = 0\}\)이다.

3. \(\mathcal{F}'_x = \{s \in \mathcal{F}_x \mid \mathcal{I}_x s = 0\}\)이다.

증명

\(\mathcal{F}'\)를 정의하는 규칙이 \(\mathcal{F}\)의 부분층을 준다는 것은 명백하다. 따라서 나머지 명제를 확인할 때 \(X\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다. 그러므로 보조정리는 스킴의 경우인 Properties, Lemma 01PO로 환원된다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 위의 Lemma 0856에서 정의한 부분층 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 절단들의 부분층이라 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)를 유한형 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_X\)에 의해 소멸되는 절단들의 부분층이라 하자. 그러면 \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 절단들의 부분층이다.

증명

생략한다. 힌트: \(f\)가 준콤팩트이고 준분리라는 가정에 의해 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). 따라서 Lemma 0856을 \(\mathcal{I}\)와 \(f_*\mathcal{F}\)에 적용할 수 있다.

이제 닫힌 부분집합에 지지를 갖는 절단들의 층을 살펴보자. 이 층 역시 언제나 준연접인 것은 아니지만, 주어진 대수공간에서 닫힌 부분집합의 여집합이 “retrocompact”이면 준연접이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하고, \(U \subset X\)를 \(T \amalg |U| = |X|\)가 되게 하는 열린 부분공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}'\)를 생각하자. 이 층은 각 대상 \(\varphi : W \to X\)에 다음 가군을 대응시키며, 그 대상은 \(X_\etale\)에 속한다. \[\mathcal{F}'(W) = \{s \in \mathcal{F}(W) \mid \text{절단 }s\text{의 지지가 다음 집합에 포함됨: }|\varphi|^{-1}(T)\}\] \(U \to X\)가 준콤팩트이면 다음이 성립한다.

1. \(W\)가 아핀이면 유한 생성 아이디얼 \(I \subset \mathcal{O}_X(W)\)가 존재하여 \(|\varphi|^{-1}(T) = V(I)\)가 된다.

2. (1)에서와 같은 \(W\)와 \(I\)에 대해 \(\mathcal{F}'(W) = \{x \in \mathcal{F}(W) \mid I^nx = 0 \text{인 어떤 } n\}\)이다.

3. \(\mathcal{F}'\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이다.

증명

\(\mathcal{F}'\)를 정의하는 규칙이 \(\mathcal{F}\)의 부분층을 준다는 것은 명백하다. 따라서 나머지 명제를 확인할 때 \(X\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다. 그러므로 보조정리는 스킴의 경우인 Properties, Lemma 07ZP로 환원된다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 그 여집합이 열린 부분공간 \(U \subset X\)에 대응하고 포함 사상 \(U \to X\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 위의 Lemma 0859에서 정의한 준연접 부분층 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(T\) 위에 지지를 갖는 절단들의 부분층이라 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(T \subset |Y|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(|Y| \setminus T\)가 열린 부분공간 \(V \subset Y\)에 대응하고, \(V \to Y\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 \(|f|^{-1}T\) 위에 지지를 갖는 절단들의 부분층이라 하자. 그러면 \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\)는 \(T\) 위에 지지를 갖는 절단들의 부분층이다.

증명

생략한다. 힌트:

\(|X| \setminus |f|^{-1}T\)는 열린 부분공간 \(U = f^{-1}V \subset X\)의 지지이다. \(V \to Y\)가 준콤팩트이므로 \(U \to X\)도 밑변환에 의해 준콤팩트이다. \(f\)가 준콤팩트이고 준분리라는 가정에 의해 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접이다. 따라서 Lemma 0859을 \(T\)와 \(f_*\mathcal{F}\)에 적용할 수 있고, \(|f|^{-1}T\)와 \(\mathcal{F}\)에도 적용할 수 있다. 주어진 준연접 가군들이 같다는 것은 정의에서 즉시 따른다.

아핀 공간의 특성화

이 절은 Limits, Section 01ZS에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 전사 유한 사상이고 \(X\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(Y\)는 아핀이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간의 사상으로 보자 (Spaces, Definition 03I5을 보라). 유한 사상은 아핀이고 보편 닫힌 사상임에 주의하자. Morphisms of Spaces, Lemma 0415을 보라. Morphisms of Spaces, Lemma 05Z2에 의해 \(Y\)는 분리 대수공간이다. \(f\)가 전사이고 \(X\)가 준콤팩트이므로 \(Y\)가 준콤팩트임을 알 수 있다.

Lemma 07VR에 의해 \(X = \lim X_a\)로 쓸 수 있으며, 각 \(X_a \to Y\)는 유한하고 유한 표시이다. Lemma 07SQ에 의해 \(X_a\)가 아핀인 충분히 큰 \(a\)가 존재한다. 따라서 \(f : X \to Y\)가 유한 표시인 유한 전사라고 가정해도 된다.

Proposition 07SU에 의해 \(Y = \lim Y_i\)를 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 유향 극한으로 쓸 수 있다. Lemma 07SK에 의해 \(0 \in I\)와 유한 표시 사상 \(X_0 \to Y_0\)를 찾아, \(X_i = X_0 \times_{Y_0} Y_i\)가 \(i \geq 0\)에 대해 성립하고 \(X = \lim_i X_i\)가 되게 할 수 있다. Lemma 084Z에 의해 \(X_i \to Y_i\)가 유한인 충분히 큰 \(i\)가 존재한다. Lemma 07SN에 의해 \(X_i \to Y_i\)가 전사인 충분히 큰 \(i\)가 존재한다. Lemma 07SQ에 의해 \(X_i\)가 아핀인 충분히 큰 \(i\)가 존재한다. 따라서 충분히 큰 \(i\)에 대해 Cohomology of Spaces, Lemma 07VP을 적용하여 \(Y_i\)가 아핀임을 얻는다. 이는 \(Y\)가 아핀임을 뜻하므로 증명이 끝난다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(X\)가 아핀이고 \(f\)가 전사이며 보편 닫힌 사상이라고 가정하자 ². 그러면 \(Y\)는 아핀이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간의 사상으로 보자 (Spaces, Definition 03I5을 보라). Morphisms of Spaces, Lemma 05Z2에 의해 \(Y\)는 분리 대수공간이다. 이어서 Morphisms of Spaces, Lemma 08GB에 의해 \(f\)가 아핀임을 얻는다. 그러면 Morphisms of Spaces, Lemma 0415에 의해 \(f\)는 정수적이다.

앞 문단에 의해 \(f : X \to Y\)가 전사 정수적이고, \(X\)가 아핀이며 \(Y\)가 분리라고 가정해도 된다. \(f\)가 전사이고 \(X\)가 준콤팩트이므로 \(Y\)도 준콤팩트임을 얻는다.

층 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)를 생각하자. 이는 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 층이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03M9를 보라. Lemma 07V9에 의해 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\)를 유한형 \(\mathcal{O}_Y\)-가군들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-부분대수 중 \(\mathcal{F}_i\)가 생성하는 것으로 하자. 대수의 사상 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{A}\)가 정수적이므로, 각 \(\mathcal{A}_i\)는 유한 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-대수이다. 따라서 \[X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i) \longrightarrow Y\] 는 대수공간의 유한 사상이다. 여기서 \(\underline{\Spec}\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 081V의 구성이다. \(X = \lim_i X_i\)라는 것은 명백하다. 따라서 Lemma 07SQ에 의해 충분히 큰 \(i\)에 대해 스킴 \(X_i\)는 아핀이다. 또한 \(X \to Y\)가 각 \(X_i\)를 통해 인수분해되므로 \(X_i \to Y\)는 전사이다. 따라서 Lemma 07VS에 의해 \(Y\)가 아핀임을 얻는다.

위 결과의 다음 따름정리는 [CLO]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X_{red}\)가 스킴이면 \(X\)도 스킴이다.

증명

\(U' \subset X_{red}\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 열린집합 \(|U'| \subset |X_{red}| = |X|\)에 대응하는 열린 부분공간이라 하자. 그러면 \(U' \to U\)는 전사 정수적이다. 따라서 Proposition 07VT에 의해 \(U\)는 아핀이다. 그러므로 모든 점이 \(X\)의 열린 부분스킴에 포함된다. 즉, \(X\)는 스킴이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 정수적이고 전단사 \(|X| \to |Y|\)를 유도한다고 가정하자. 그러면 \(X\)가 스킴일 필요충분조건은 \(Y\)가 스킴인 것이다.

증명

정수적 사상은 정의에 의해 표현 가능하므로, \(Y\)가 스킴이면 \(X\)도 스킴이다. 반대로 \(X\)가 스킴이라고 가정하자. \(U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 정수적 사상은 닫힌 사상이고 \(|f|\)는 전단사이므로, \(|f|(|U|) \subset |Y|\)는 \(|f|(|X| \setminus |U|)\)의 여집합으로서 열린집합이다. \(V \subset Y\)를 \(|V| = |f|(|U|)\)인 열린 부분공간이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03BZ를 보라. 그러면 \(U \to V\)는 정수적 전사이므로, Proposition 07VT에 의해 \(V\)는 아핀 스킴이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to B\)와 \(B' \to B\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(B' \to B\)는 닫힌 몰입이다.

2. \(|B'| \to |B|\)는 전단사이다.

3. \(X \times_B B' \to B'\)는 닫힌 몰입이다.

4. \(X \to B\)는 유한형이거나 \(B' \to B\)는 유한 표시이다.

그러면 \(f : X \to B\)는 닫힌 몰입이다.

증명

가정 (1)과 (2)에 의해 \(B_{red} = B'_{red}\)이다. \(X' = X \times_B B'\)로 놓자.

그러면 \(X' \to X\)는 닫힌 몰입이고 \(X'_{red} = X_{red}\)이다. \(U \to B\)를 에탈 사상이라 하고 \(U\)가 아핀이라고 하자. 그러면 \(X' \times_B U \to X \times_B U\)는 기저 축소 공간 위에서 동형을 유도하는 대수공간의 닫힌 몰입이다. \(X' \times_B U\)는 스킴이다 (\(B' \to B\)와 \(X' \to B'\)가 표현 가능하기 때문이다). 따라서 Lemma 07VU에 의해 \(X \times_B U\)도 스킴이다. 그러므로 \(X \to B\)도 표현 가능하다. 이에 따라 스킴의 경우로 환원되며, Morphisms, Lemma 0896을 보라.

스킴에 의한 유한 피복

이 장의 극한 결과를 응용하여 다음을 증명한다. 임의의 준콤팩트 준분리 대수공간 \(X\)가 주어지면 스킴 \(Y\)와 전사 유한 사상 \(Y \to X\)가 존재한다.

이를 위해 스킴에 의한 유한 정수적 피복을 찾을 수 있다는 이미 증명된 결과에 의존한다. 이 결과는 Decent Spaces, Section 0D2T에서 증명되었다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자.

1. 유한 표시인 전사 유한 사상 \(Y \to X\)가 존재하며, \(Y\)는 스킴이다.

2. 전사 에탈 사상 \(U \to X\)가 주어지면 \(Y \to X\)를 택하여, 모든 \(y \in Y\)에 대해 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하고 \(V \to X\)가 \(U\)를 통해 인수분해되게 할 수 있다.

증명

(1)은 \(U = X\)인 (2)의 특수한 경우이다. \(Y \to X\)를 Decent Spaces, Lemma 09YB에서와 같이 택하자. \(Y = \bigcup V_j\)인 유한 아핀 열린 피복을 택하여 \(V_j \to X\)가 \(U\)를 통해 인수분해되게 하자. \(Y = \lim Y_i\)로 쓸 수 있으며, \(Y_i \to X\)는 유한하고 유한 표시이다. Lemma 09YA을 보라. 충분히 큰 \(i\)에 대해 대수공간 \(Y_i\)는 스킴이다. Lemma 07SR을 보라. 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀 열린집합 \(V_{i, j} \subset Y_i\)를 찾아, \(Y\)에서의 역상이 \(V_j\)가 되게 할 수 있다. Lemma 0827를 보라. \(i\)를 더 키우면 사상 \(V_j \to U\)는 \(X\) 위의 사상이고, 사상 \(V_{i, j} \to U\)에서 오며 이 사상도 \(X\) 위에 있다. Proposition 04AK을 보라. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 정수적 사상이라 하자. \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(V \subset Y\)를 준콤팩트 열린 부분공간이라 하고, \(f^{-1}(V) \to V\)가 유한하고 유한 표시라고 가정하자. 그러면 \(X\)를 유향 극한 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있으며, \(f_i : X_i \to Y\)는 유한하고 유한 표시이고, 사상 \(f^{-1}(V) \to f_i^{-1}(V)\)는 모든 \(i\)에 대해 동형이다.

증명

이 보조정리는 Proposition 09YC을 약간 정교화한 것이다. 정수적인 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)를 생각하자. 다음 문단에서 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)를 유한하고 유한 표시인 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 \(\mathcal{A}_i\)들의 유향 여극한으로 쓰되, \(\mathcal{A}_i|_V = \mathcal{A}|_V\)가 되게 할 것이다. 이렇게 한 뒤 \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\)로 놓는다. Morphisms of Spaces, Definition 081W을 보라. 구성에 의해 \(X_i \to Y\)는 유한하고 유한 표시이며, \(X = \lim X_i\)이고 \(f_i^{-1}(V) = f^{-1}(V)\)이다.

대수에 대한 이 주장의 증명은 Lemma 082C의 (2)의 증명과 비슷하다. 먼저 Lemma 07V9을 사용하여 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_Y\)-가군들의 여극한으로 쓰자. \(\mathcal{A}|_V\)는 유한형 \(\mathcal{O}_V\)-가군이므로, \(\mathcal{F}_i|_V \to \mathcal{A}|_V\)가 모든 \(i\)에 대해 전사라고 가정해도 된다. 각 \(i\)에 대해 \(\mathcal{J}_i\)를 다음 사상의 핵이라 하자. \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\]

\(i' \geq i\)이면 유도된 사상 \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\)가 존재한다. 다음이 성립한다. \[\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\] 또한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)는 유한이다 (이는 정수적 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 \(\mathcal{A}\)의 유한형 준연접 부분대수이며, 그 대수는 \(\mathcal{O}_X\) 위에 있기 때문이다). 위의 전사성에 의해 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)를 \(V\)에 제한하면 \(\mathcal{A}|_V\)가 된다. 따라서 \(\mathcal{J}_i|_V\)는 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)|_V\)의 아이디얼 층으로서 유한 생성이다. 이는 \(\mathcal{A}|_V\)가 유한 표시 \(\mathcal{O}_Y\)-대수라는 사실에 의한다. \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여극한으로 쓰자.

위의 유한 생성성에 의해 \(\mathcal{E}_{ik}|_V\)가 \(\mathcal{J}_i|_V\)를 생성한다고 가정해도 된다. 여기서 생성은 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)|_V\)의 아이디얼 층으로서이다. \(i' \geq i\)와 \(k\)가 주어지면 어떤 \(k'\)가 존재하여, 다음 가환도가 가환하게 하는 사상 \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\)가 존재한다. \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] 이는 Cohomology of Spaces, Lemma 07U7에서 따른다. 이로부터 다음 사상을 얻는다. \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] 여기서 \((\mathcal{E}_{ik})\)는 \(\mathcal{E}_{ik}\)가 생성하는 아이디얼을 뜻한다.

준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수 \(\mathcal{A}_{ki}\)는 충분히 큰 \(k\)에 대해 유한 표시이고 유한이다 (Lemma 086Z의 증명을 보라). 또한 구성에 의해 \(\mathcal{A}_{ik}|_V = \mathcal{A}|_V\)이다. 마지막으로 다음이 성립한다. \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] 실제로 첫 번째 등식은 Lemma 086Z의 증명에서 보였고, 두 번째 등식은 \(\mathcal{A}\)가 가군 \(\mathcal{F}_i\)들의 여극한이기 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하고, \(|X|\)가 유한 개의 기약 성분을 가진다고 가정하자.

1. 유한 표시인 전사 유한 사상 \(f : Y \to X\)가 존재하며, \(Y\)는 스킴이고, \(f\)는 준콤팩트 조밀한 열린집합 \(U \subset X\) 위에서 유한 에탈 사상이다.

2. 전사 에탈 사상 \(V \to X\)가 주어지면 \(Y \to X\)를 택하여, 모든 \(y \in Y\)에 대해 열린 근방 \(W \subset Y\)가 존재하고 \(W \to X\)가 \(V\)를 통해 인수분해되게 할 수 있다.

증명

(1)은 \(V = X\)인 (2)의 특수한 경우이다.

(2)를 증명하자. \(\pi : Y \to X\)를 Decent Spaces, Lemma 0GUL에서와 같이 택하고, \(U \subset X\)를 준콤팩트 조밀한 열린집합으로 택하여 \(\pi^{-1}(U) \to U\)가 유한 에탈이게 하자. \(Y = \bigcup W_j\)인 유한 아핀 열린 피복을 택하여 \(W_j \to X\)가 \(V\)를 통해 인수분해되게 하자. \(Y = \lim Y_i\)로 쓸 수 있으며, \(\pi_i : Y_i \to X\)는 유한하고 유한 표시이고, \(\pi^{-1}(U) \to \pi_i^{-1}(U)\)는 동형이다. Lemma 0GUM를 보라. 충분히 큰 \(i\)에 대해 대수공간 \(Y_i\)는 스킴이다. Lemma 07SR을 보라. 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀 열린집합 \(W_{i, j} \subset Y_i\)를 찾아 \(Y\)에서의 역상이 \(W_j\)가 되게 할 수 있다. Lemma 0827를 보라. \(i\)를 더 키우면 사상 \(W_j \to V\)는 \(X\) 위의 사상이고,

사상 \(W_{i, j} \to U\)에서 오며 이 사상도 \(X\) 위에 있다. Proposition 04AK을 보라. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 어떤 \(t \geq 0\)와 닫힌 부분공간들의 열 \[X \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] 이 존재하여, \(Z_i \to X\)는 유한 표시이고, \(Z_0 \subset X\)는 두껍게 하기이며, 각 \(i = 0, \ldots t - 1\)에 대해 스킴 \(Y_i\)와 유한 표시인 전사 유한 사상 \(Y_i \to Z_i\)가 존재하고, 이 사상은 \(Z_i \setminus Z_{i + 1}\) 위에서 유한 에탈이다.

증명

\(X\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간으로 볼 수 있다. Spaces, Definition 03I5과 Properties of Spaces, Definition 03BS를 보라. 따라서 Proposition 07SU을 적용할 수 있다. 이에 따라 아핀 사상 \(X \to X_0\)을 찾을 수 있으며, \(X_0\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시이다. \(X_0\)에 대해 보조정리를 증명할 수 있다면, 층화와 사상들을 \(X\)로 당겨 \(X\)에 대한 결과를 얻을 수 있다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다. 이로써 다음 문단에서 다룰 경우로 환원된다.

\(X\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 Noether이고 \(|X|\)는 유한 개의 기약 성분을 가지는 유한 차원 Noether 위상공간이다. 따라서 \(\dim(|X|)\)에 관한 귀납법을 사용할 수 있다. \(X\)로 가는 모든 유한 사상은 유한 표시이므로, 증명의 나머지 부분에서는 그 요구를 무시할 수 있다. Lemma 0GUN에 의해 전사 유한 사상 \(Y \to X\)가 존재하며, 이는 조밀한 열린집합 \(U \subset X\) 위에서 유한 에탈이다. \(Z_0 = X\)로 놓고, \(Z_1 \subset X\)를 \(|Z_1| = |X| \setminus |U|\)인 축소 닫힌 부분공간이라 하자. 귀납법에 의해 정수 \(t \geq 0\)와 닫힌 부분공간들에 의한 여과 \[Z_1 \supset Z_{1, 0} \supset Z_{1, 1} \supset \ldots \supset Z_{1, t} = \emptyset\] 를 얻는다. 여기서 \(Z_{1, 0} \to Z_1\)은 두껍게 하기이고, 유한 전사 사상 \(Y_{1, i} \to Z_{1, i}\)가 존재하여 \(Z_{1, i} \setminus Z_{1, i + 1}\) 위에서 유한 에탈이다. \(Z_1\)은 축소되어 있으므로 \(Z_1 = Z_{1, 0}\)이다. 따라서 \(Z_i = Z_{1, i - 1}\)와 \(Y_i = Y_{1, i - 1}\)로 놓을 수 있다. 이는 \(i \geq 1\)에 대한 것이며, 보조정리가 증명된다.

스킴을 얻는 방법

대수공간이 스킴임을 보이는 몇 가지 기법을 더 제시한다. 첫 번째 기법은 스킴이 아닌 최소 닫힌 부분공간이 존재함을 보이는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. \(X\)가 스킴이 아니면 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)가 존재하고, \(Z\)는 스킴이 아니지만 모든 진 닫힌 부분공간 \(Z' \subset Z\)는 스킴이다.

증명

Zorn 보조정리로 증명한다. \(\mathcal{Z}\)를 스킴이 아닌 닫힌 부분공간 \(Z\)들의 집합이라 하고 포함관계로 순서화하자. 가정에 의해 \(\mathcal{Z}\)는 \(X\)를 포함하므로 공집합이 아니다. \(Z_\alpha\)가 \(\mathcal{Z}\)의 전순서 부분집합이면 \(Z = \bigcap Z_\alpha\)도 \(\mathcal{Z}\)에 속한다. 실제로 \[Z = \lim Z_\alpha\] 이고 전이 사상들은 아핀이다. 따라서 Lemma 07SR을 적용하면, \(Z\)가 스킴인 경우 어떤 \(Z_\alpha\)도 스킴이 됨을 알 수 있다. (\(Z = \emptyset\)인 경우에도 이 논증은 성립하지만, Lemma 086W에 의해 이 경우는 일어날 수 없다.) 따라서 Zorn 보조정리에 의해 \(\mathcal{Z}\)는 최소 원소를 가진다.

이제 이러한 최소 비스킴에 관해 조금 더 증명할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 모든 진 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)가 스킴이지만 \(X\)는 스킴이 아니라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 축소되어 있고 기약이다.

증명

Lemma 07VU에 의해 \(X\)는 축소되어 있다. 닫힌 부분집합 \(T_1 \subset |X|\)와 \(T_2 \subset |X|\)를 택하여 \(|X| = T_1 \cup T_2\)라 하자. \(T_1\)과 \(T_2\)가 진 닫힌 부분집합이면, 이에 대응하는 축소 유도 닫힌 부분공간 \(Z_1, Z_2 \subset X\)는 (Properties of Spaces, Definition 047X) 스킴이다. 또한 \(Z = Z_1 \times_X Z_2 = Z_1 \cap Z_2\)도 \(Z_1\)이나 \(Z_2\)의 닫힌 부분스킴으로서 스킴이다. 여곱 \(Z_1 \amalg_Z Z_2\)는 스킴의 범주에서 존재함에 주의하자. More on Morphisms, Lemma 0B7M을 보라.

한 가지 방법은 \(Z_1 \amalg_Z Z_2\)가 \(X\)와 동형임을 보이는 것이지만, 대수공간의 밀어내기에 관한 내용은 이 이론의 뒤에서 나오므로 여기서는 이 방법을 사용할 수 없다. 대신 Lemma 07VS을 사용하여 각 점의 아핀 근방을 찾는다. 구체적으로 \(x \in |X|\)라 하자. \(x \not \in Z_1\)이면 \(x\)는 스킴인 근방 \(X \setminus Z_1\)을 가진다. \(x \not \in Z_2\)인 경우도 마찬가지이다. \(x \in Z = Z_1 \cap Z_2\)이면 아핀 열린집합 \(U \subset Z_1 \amalg_Z Z_2\)를 택하자. 이 열린집합은 \(z\)를 포함한다.

그러면 \(U_1 = Z_1 \cap U\)와 \(U_2 = Z_2 \cap U\)는 아핀 열린집합이고, \(Z\)와의 교차가 서로 같다. \(|Z_1| = T_1\)과 \(|Z_2| = T_2\)는 \(|X|\)의 닫힌 부분집합이며 \(|Z|\)에서 교차하므로, 열린집합 \(W \subset |X|\)를 찾아 \(W \cap T_1 = |U_1|\)와 \(W \cap T_2 = |U_2|\)가 되게 할 수 있다. \(W\)를 이에 대응하는 \(X\)의 열린 부분공간이라고도 쓰자. 그러면 \(x \in |W|\)이고 사상 \(U_1 \amalg U_2 \to W\)는 전사 유한 사상이며, 그 정의역은 아핀 스킴이다. 따라서 Lemma 07VS에 의해 \(W\)는 아핀 스킴이다.

다음 보조정리의 핵심은 \(X\)의 점들의 상에서만 조건을 확인하면 된다는 것이다.

보조정리

\(f: X \to S\)를 대수공간에서 스킴 \(S\)로 가는 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 그 상을 \(s = f(x) \in S\)라 할 때 대수공간 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S,s})\)가 스킴이라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 스킴이다.

증명

\(x \in |X|\)라 하자. 열린 근방 \(U\)를 찾아, \(s = f(x)\)의 근방이 되며 \(X \times_S U\)가 스킴이게 하면 충분하다. \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)는 스킴이고, \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_S(U)\)이다. 여기서 여극한은 \(s\)의 아핀 열린 근방들, 즉 \(S\) 안의 그러한 근방들을 따라 취한다. 따라서 \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim X \times_S U\] 이다. Lemma 07SR에 의해

\(X \times_S U\)가 스킴인 어떤 \(U\)가 존재함을 알 수 있다.

Lemma 0B80에서처럼 국소환으로 제한하는 대신, 밑의 닫힌 부분스킴으로 제한할 수 있다.

보조정리

\(\varphi : X \to \Spec(A)\)를 대수공간에서 아핀 스킴으로 가는 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(X\)가 스킴이 아니면 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재하여 밑변환 \(X_{A/I}\)는 스킴이 아니지만, 모든 \(I \subset I'\) 가운데 \(I \not = I'\)인 것에 대해 밑변환 \(X_{A/I'}\)는 스킴이다.

증명

Zorn 보조정리로 증명한다. \(\mathcal{I}\)를 아이디얼 \(I\)들의 집합이라 하자. 이들은 \(X_{A/I}\)가 스킴이 아닌 아이디얼들이다. 가정에 의해 \(\mathcal{I}\)는 \((0)\)을 포함한다. \(I_\alpha\)가 \(\mathcal{I}\)에 속하는 아이디얼들의 사슬이면 \(I = \bigcup I_\alpha\)도 \(\mathcal{I}\)에 속한다. 실제로 \(A/I = \colim A/I_\alpha\)이므로 \[X_{A/I} = \lim X_{A/I_\alpha}\] 이다. 따라서 Lemma 07SR을 적용하면,

\(X_{A/I}\)가 스킴인 경우 어떤 \(X_{A/I_\alpha}\)도 스킴이 됨을 알 수 있다. 그러므로 Zorn 보조정리에 의해 \(\mathcal{I}\)는 극대 원소를 가진다.

닫힌 올에서의 붙이기

위의 이론을 국소환의 스펙트럼에 적용하면 상대 대수공간에 관한 몇 가지 유용한 붙이기 결과를 얻는다. 먼저 보조정리를 하나 증명한다. 이 결과는 나중에 Bootstrap, Section 04SJ에서 크게 일반화될 것이다.

보조정리

\(S = U \cup W\)를 스킴의 열린 피복이라 하자. 그러면 밑변환으로 주어지는 함자 \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{FP_{U \cap W}} FP_W\] 는 범주의 동치이다. 여기서 \(FP_T\)는 스킴 \(T\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주이다.

증명

먼저 \(S = U \cup W\)가 Zariski 피복이므로, \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층들의 범주는 삼중항 \((\mathcal{F}_U, \mathcal{F}_W, \varphi)\)들의 범주와 동치이다. 여기서 \(\mathcal{F}_U\)는 \((\Sch/U)_{fppf}\) 위의 층이고, \(\mathcal{F}_W\)는 \((\Sch/W)_{fppf}\) 위의 층이며, \[\varphi : \mathcal{F}_U|_{(\Sch/U \cap W)_{fppf}} \longrightarrow \mathcal{F}_W|_{(\Sch/U \cap W)_{fppf}}\] 는 동형이다. Sites, Lemma 04TS를 보라. (다른 붙이기 자료는 필요하지 않는다. 실제로 \(U \times_S U = U\), \(W \times_S W = W\)이고, 같은 이유로 코사이클 조건은 자동으로 성립한다.) 이제 층 \(\mathcal{F}\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에 놓이고, 이 동치를 통해 \((\mathcal{F}_U, \mathcal{F}_W, \varphi)\)로 간다고 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 대수공간일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_U\)와 \(\mathcal{F}_W\)가 대수공간인 것이다. 이는 Algebraic Spaces, Lemma 02WR에서 즉시 따른다. 실제로 \(\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}_W \to \mathcal{F}\)는 열린 몰입으로 표현 가능하며 \(\mathcal{F}\)를 덮는다. 마지막으로 이 경우 대수공간 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 유한 표시일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_U\)가 \(U\) 위에서 유한 표시이고 \(\mathcal{F}_W\)가 \(W\) 위에서 유한 표시인 것이다. 이는 Morphisms of Spaces, Lemmas 03KG, 03KM, 0410에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(s \in S\)를 닫힌점이라 하고, \(U = S \setminus \{s\} \to S\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)로 놓으면 범주의 동치 \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{FP_V} FP_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\] 가 존재한다. 여기서 \(FP_T\)는 \(T\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주이다.

증명

\(W \subset S\)를 \(s\)의 열린 근방이라 하자. 함자 \[FP_S \to FP_U \times_{FP_{W \setminus \{s\}}} FP_W\] 는 Lemma 0E8Z에 의해 범주의 동치이다. \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)이고, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. 따라서 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)이고, 여기서도 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다.

그러므로 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주는 \(W\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주들의 극한이다. 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. Lemma 07SK을 보라.

각 아핀 열린집합 \(s \in W\)에 대해 \(U \cap W\)는 준콤팩트이다. 실제로 \(U \to S\)가 준콤팩트이기 때문이다. 따라서 \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{s\}\)는 준콤팩트 준분리 스킴들의 극한이다 (Limits, Lemma 01YX을 보라). 따라서 \(V\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주도 \(W \cap U\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주들의 극한이다. 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. 이 결과들을 결합하면 보조정리가 형식적으로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(U \subset S\)를 retrocompact 열린집합이라 하자. \(s \in S\)를 \(U\)의 여집합에 속하는 점이라 하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \cap U\)로 놓으면 범주의 동치 \[\colim_{s \in U' \supset U\text{ open}} FP_{U'} \longrightarrow FP_U \times_{FP_V} FP_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\] 가 존재한다. 여기서 \(FP_T\)는 \(T\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주이다.

증명

\(W \subset S\)를 \(s\)의 열린 근방이라 하자. Lemma 0E8Z에 의해 함자 \[FP_{U \cup W} \longrightarrow FP_U \times_{FP_{U \cap W}} FP_W\] 는 범주의 동치이다. 다음이 성립한다. \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\). 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. 따라서 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)이고, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. 그러므로 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주는 \(W\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주들의 극한이다. 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. Lemma 07SK을 보라. 각 아핀 열린집합 \(s \in W\)에 대해 \(U \cap W\)는 준콤팩트이다. 실제로 \(U \to S\)가 준콤팩트이기 때문이다. 따라서 \(V = \lim W \cap U\)는 준콤팩트 준분리 스킴들의 극한이다 (Limits, Lemma 01YX을 보라). 그러므로 \(V\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주도 \(W \cap U\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주들의 극한이다. 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 움직인다. 이 결과들을 결합하면 보조정리가 형식적으로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(s_1, \ldots, s_n \in S\)를 서로 다른 닫힌점들이라 하고, \(U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \to S\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\) 및 \(U_i = S_i \setminus \{s_i\}\)로 놓으면 범주의 동치 \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{(FP_{U_1} \times \ldots \times FP_{U_n})} (FP_{S_1} \times \ldots \times FP_{S_n})\] 가 존재한다. 여기서 \(FP_T\)는 \(T\) 위에서 유한 표시인 대수공간들의 범주이다.

증명

\(n = 1\)이면 이는 Lemma 0E90이다. \(n > 1\)이면 보조정리를 정확히 같은 방법으로 증명하거나 그 결과에서 유도할 수 있다. 예를 들어 \(f_i : X_i \to S_i\)가 \(FP_{S_i}\)의 대상들이고, \(f : X \to U\)가 \(FP_U\)의 대상이며, 동형 \(X_i \times_{S_i} U_i = X \times_U U_i\)들이 주어졌다고 하자. Lemma 0E90에 의해 유한 표시 사상 \(f' : X' \to U' = S \setminus \{s_1, \ldots, s_{n - 1}\}\)를 찾을 수 있다. 이 사상은 \(X_i\)와 동형이며 그 동형은 \(S_i\) 위에 있고,

\(X\)와도 동형이며 그 동형은 \(U\) 위에 있다. 이 동형들은 주어진 동형 \(X_i \times_{S_n} U_n = X \times_U U_n\)과 양립한다. 이제 \(f_i : X_i \to S_i\), \(i \leq n - 1\)과 \(f' : X' \to U'\), 그리고 유도된 동형 \(X_i \times_{S_i} U_i = X' \times_{U'} U_i\), \(i \leq n - 1\)에 귀납법을 적용할 수 있다. 이는 본질적 전사성을 보인다.

충만 충실성의 증명은 생략한다.

수정에의 응용

극한을 사용하면 닫힌점 위에서 decent 대수공간의 수정들의 범주를 헨젤 국소환을 이용하여 기술할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간들의 분리 에탈 사상 \(f : V \to W\)를 생각하자. 이 사상은 \(S\) 위에 있다. 닫힌 부분공간 \(T \subset W\)가 존재하여 \(f^{-1}T \to T\)가 동형이라고 가정하자. 그러면 \(W^0 = W \setminus T\) 및 \(V^0 = f^{-1}W^0\)로 놓을 때 밑변환 함자 \[\left\{ \begin{matrix} g : X \to W\text{는 대수공간들의 사상} \\ g^{-1}(W^0) \to W^0\text{는 동형} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} h : Y \to V\text{는 대수공간들의 사상} \\ h^{-1}(V^0) \to V^0\text{는 동형} \end{matrix} \right\}\] 는 범주의 동치이다.

증명

\(V \to W\)가 분리이므로 \(V \times_W V = \Delta(V) \amalg U\)이고, 여기서 \(U\)는 \(V \times_W V\)의 열린닫힌 부분공간이다. \(f^{-1}T \to T\)가 동형이라는 가정에 의해 \(U \times_W T = \emptyset\)이다. 즉, 두 사영 \(U \to V\)는 \(V^0\)로 간다.

오른쪽 범주의 \(h : Y \to V\)가 주어졌다고 하자. 반변 함자 \(X\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에서 다음 규칙으로 정의한다. \[X(T) = \{(w, y) \mid w : T \to W,\ y : T \times_{w, W} V \to Y\text{는 사상이며 그 밑은 }V\}\]

\(g : X \to W\)를 \((w, y) \in X(T)\)를 \(w \in W(T)\)로 보내는 사상이라 하자. \(h^{-1}V^0 \to V^0\)가 동형이므로 \(w : T \to W\)가 \(W^0\)로 가면 \(h\)의 선택은 유일하다.

다시 말해 \(X \times_{g, W} W^0 = W^0\)이다. 한편 \(T\)-값 점 \((w, y, v)\)를 \(X \times_{g, W, f} V\)에서 생각하자. 그러면 \(w = f \circ v\)이고 \[y : T \times_{f \circ v, W} V \longrightarrow V\]

는 \(V\) 위의 사상이다. 사상 \[T \times_{f \circ v, W} V \xrightarrow{(v, \text{id}_V)} V \times_W V = V \amalg U\] 을 생각하자. \(V\)의 역상은 \(T\)이고, 이는 \((\text{id}_T, v) : T \to T \times_{f \circ v, W} V\)로 매장된다. 합성 \(y' = y \circ (\text{id}_T, v) : T \to Y\)는 \(v = h \circ y'\)를 만족하는 사상이며, 이것이 \(y\)를 결정한다. 실제로 다른 부분에 대한 \(y\)의 제한은 두 번째 사영에 의해 \(U\)가 \(V^0\)로 가므로 유일하게 결정된다. 따라서 \(X \times_{g, W, f} V \to Y\), \((w, y, v) \mapsto y'\)는 동형이다.

따라서 \(X\)가 대수공간임을 보이면 증명이 끝난다. \(V \to W\)는 분리 에탈 사상이므로 Morphisms of Spaces, Lemma 0418 (및 Morphisms of Spaces, Lemma 03XU)에 의해 표현 가능하다. 물론 \(W^0 \to W\)는 열린 몰입이므로 표현 가능하고 에탈이다. 따라서 \[W^0 \amalg Y = X \times_{g, W} W^0 \amalg X \times_{g, W, f} V = X \times_{g, W} (W^0 \amalg V) \longrightarrow X\] 는 Spaces, Lemmas 02WB와 02WL에 의해 표현 가능하고 전사이며 에탈이다. 그러므로 Spaces, Lemma 0BGR에 의해 \(X\)는 대수공간이다.

보조정리

Lemma 0BGY의 표기와 가정을 사용하자. \(g : X \to W\)가 그 동치를 통해 \(h : Y \to V\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(g\)가 준콤팩트, 준분리, 분리, 국소 유한 표시, 유한 표시, 국소 유한형, 유한형, 고유, 정수적, 유한, 그리고 여기에 더 추가할 것인 필요충분조건은 \(h\)도 그러한 것이다.

증명

\(g\)가 준콤팩트, 준분리, 분리, 국소 유한 표시, 유한 표시, 국소 유한형, 유한형, 고유, 유한이면, \(h\)도 \(g\)의 밑변환으로서 그러하다.

이는 Morphisms of Spaces, Lemmas 03HF, 03KL, 03XR, 03XH, 04WP, 03ZS에서 따른다. 역으로, 대수공간의 사상들의 성질 \(P\)가 밑에서 에탈 국소적이고 모든 대수공간의 항등사상에 대해 성립한다고 하자. \(\{W^0 \to W, V \to W\}\)가 에탈 피복이므로 \(g\)가 \(P\)를 가짐을 보이려면 \(h\)가 \(P\)를 가짐을 보이는 것으로 충분하다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemmas 03KG, 03KM, 0410, 040Y, 083R, 03ZQ을 사용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 decent 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)를 닫힌점이라 하고 \(U = X \setminus \{x\} \to X\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \setminus \{\mathfrak m_x^h\}\)로 놓으면 밑변환 함자 \[\left\{ \begin{matrix} f : Y \to X\text{는 유한 표시} \\ f^{-1}(U) \to U\text{는 동형} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h)\text{는 유한 표시} \\ g^{-1}(V) \to V\text{는 동형} \end{matrix} \right\}\] 는 범주의 동치이다.

증명

기본 에탈 근방 \(a : (W, w) \to (X, x)\)를 \(x\)에 대해 택하되, \(W\)가 아핀이 되게 Decent Spaces, Lemma 0BBP에서처럼 택하자. \(x\)는 \(X\)의 닫힌점이고 \(w\)는 \(W\)에서 \(x\) 위에 놓이는 유일한 점이므로, \(w\)는 \(W\)의 닫힌점이다. \(a\)는 에탈이고 \(x\)와 \(w\)에서 잉여체를 동일시하므로, \(a\)는 동형 \(a^{-1}x \to x\)를 유도한다 (\(X\)와 \(W\)의 닫힌 부분공간으로서). 따라서 Lemmas 0BGY와 0BGZ를 적용하여 \(X\)가 아핀 스킴인 경우로 환원할 수 있다.

\(X\)가 아핀 스킴이라고 가정하자. \(\mathcal{O}_{X, x}^h\)는 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)들의 여극한임을 상기하자. 여기서 여극한은 아핀 기본 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)들을 따라 취한다. 이 근방들의 범주는 공여과되어 있다. Decent Spaces, Lemma 0BGV 또는 More on Morphisms, Lemma 057B를 보라. 그러면 같은 범주를 따라 극한을 취할 때 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) = \lim U\)이고 \(V = \lim U \setminus \{u\}\)이다 (Lemma 07SF). 따라서 Lemma 07SK에 의해 오른쪽 범주는 쌍 \((U, u)\)에 대한 범주들의 여극한이다.

그리고 첫 문단의 내용에 의해 이 범주들은 각각 쌍 \((X, x)\)에 대한 범주와 동치이다. 이로써 증명이 끝난다.

보편 닫힌 사상

이 절에서는 준콤팩트이지만 반드시 분리일 필요는 없는 사상이 언제 보편 닫힌 사상인지 논의한다. 먼저 국소 유한 표시인 밑변환 뒤에 보편 닫힘을 확인할 수 있게 해 주는 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Z \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(z \in |Z|\)라 하고, \(T \subset |X \times_Y Z|\)를 \(z \not \in \Im(T \to |Z|)\)인 닫힌 부분집합이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이면, 에탈 근방 \((V, v) \to (Z, z)\)와 가환 그림 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 및 닫힌 부분집합 \(T' \subset |X \times_Y Z'|\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. 사상 \(b : Z' \to Y\)는 국소 유한 표시이고,

2. \(z' = a(v)\)로 놓으면 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)이며,

3. \(T\)의 \(|X \times_Y V|\) 안에서의 역상은 \(T'\)로 가며, 이때 \(|X \times_Y V| \to |X \times_Y Z'|\)를 사용한다.

또한 \(V\)와 \(Z'\)를 아핀 스킴으로 가정할 수 있으며, \(Z\)가 스킴이면 \(V\)를 \(z\)의 아핀 열린 근방으로 가정할 수 있다.

증명

스킴의 사상에 대한 대응하는 결과에서 이를 유도한다. \(y \in |Y|\)를 \(z\)의 상이라 하자. 먼저 아핀 에탈 근방 \((U, u) \to (Y, y)\)를 택하고, 이어서 아핀 에탈 근방 \((V, v) \to (Z, z)\)를 택하되 사상 \(V \to Y\)가 \(U\)를 통해 인수분해되게 한다. 그러면 다음과 같이 대체할 수 있다.

1. \(X \to Y\)를 \(X \times_Y U \to U\)로,

2. \(Z \to Y\)를 \(V \to U\)로,

3. \(z\)를 \(v\)로,

4. \(T\)를 \(|(X \times_Y U) \times_U V| = |X \times_Y V|\) 안의 그 역상으로 대체한다.

실제로 아래에서 \(V\)를 \(v\)의 아핀 열린 근방으로 대체한 뒤, 사상 \(a : V \to Z'\)를 얻을 것이며, 여기서 \(Z' \to U\)는 유한 표시이다. 또한 닫힌 부분집합 \(T'\)를 \(|(X \times_Y U) \times_U Z'| = |X \times_Y Z'|\) 안에서 찾아 \(T\)가 \(T'\)로 가고 \(a(v) \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)가 되게 할 것이다. 따라서 \(Z\)와 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. 다만 해답에서 \(V\)는 \(z\)의 열린 근방이어야 한다.

\(f\)가 준콤팩트이고 \(Y\)가 아핀이므로 대수공간 \(X\)는 준콤팩트이다. 아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to X\)를 택하자. \(T_W \subset |W \times_Y Z|\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 그러면 \(z\)는 \(T_W\)의 상에 속하지 않는다. 스킴의 경우 (Limits, Lemma 05BD)에 의해 열린 근방 \(V \subset Z\)를 \(z\)에 대해 택하고, 스킴들의 가환 그림

\[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 및 닫힌 부분집합 \(T' \subset |W \times_Y Z'|\)를 찾아 다음이 성립하게 할 수 있다.

1. 사상 \(b : Z' \to Y\)는 국소 유한 표시이고,

2. \(z' = a(z)\)로 놓으면 \(z' \not \in \Im(T' \to Z')\)이며,

3. \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\)는 \(T'\)로 가며, 이때 \(|W \times_Y V| \to |W \times_Y Z'|\)를 사용한다.

가환 그림 \[\xymatrix{ W \times_Y Z \ar[d] & W \times_Y V \ar[l] \ar[rr]_{a_1} \ar[d]_c & & W \times_Y Z' \ar[d]^q \\ X \times_Y Z & X \times_Y V \ar[l] \ar[rr]^{a_2} & & X \times_Y Z' }\] 의 정사각형들은 카르테시안이고 수직 사상들은 전사 에탈이며, 따라서 특히 열린 사상이다.

왼쪽 정사각형을 보면 \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\)는 \(T_2 = T \cap |X \times_Y V|\)의 \(c\)에 의한 역상이다. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(a_1(T_1) = q^{-1}(a_2(T_2))\)를 얻는다. Topology, Lemma 02YB에 의해 \[q^{-1}\left(\overline{a_2(T_2)}\right) = \overline{q^{-1}(a_2(T_2))} = \overline{a_1(T_1)} \subset T'\] 이다. \(q\)가 전사이므로 \(\overline{a_2(T_2)} \to |Z'|\)의 상은 \(z'\)를 포함하지 않는다. 실제로 \(T'\)에 대해 같은 사실이 성립한다. 따라서 위의 \(Z', V, a, b\)로 이루어진 그림과 닫힌 부분집합 \(\overline{a_2(T_2)} \subset |X \times_Y Z'|\)를 보조정리에서 요구한 해답으로 취할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 준콤팩트 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 보편 닫힌 사상이다.

2. 국소 유한 표시인 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대해 \(|X \times_Y Z| \to |Z|\)는 닫힌 사상이다.

3. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(|\mathbf{A}^n \times (X \times_Y V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\)가 모든 \(n \geq 0\)에 대해 닫힌 사상이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. \(|X \times_Y Z| \to |Z|\)가 닫힌 사상이 아니라고 가정하자. 여기서 \(Z \to Y\)는 \(S\) 위의 대수공간들의 어떤 사상이다. 이는 닫힌 부분집합 \(T \subset |X \times_Y Z|\)가 존재하여 \(\Im(T \to |Z|)\)가 닫히지 않았다는 뜻이다. \(z \in |Z|\)를 택하되, 이는 \(T\)의 상의 폐포에는 속하지만 그 상에는 속하지 않게 하자. Lemma 0CM8를 적용하면, 에탈 근방 \((V, v) \to (Z, z)\)와 가환 그림 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 및 닫힌 부분집합 \(T' \subset |X \times_Y Z'|\)를 얻으며 다음이 성립한다.

1. 사상 \(b : Z' \to Y\)는 국소 유한 표시이고,

2. \(z' = a(v)\)로 놓으면 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)이며,

3. \(T\)의 \(|X \times_Y V|\) 안에서의 역상은 \(T'\)로 가며, 이때 \(|X \times_Y V| \to |X \times_Y Z'|\)를 사용한다.

\(z'\)가 \(\Im(T' \to |Z'|)\)의 폐포에 속한다고 주장한다. 그러면 \(|X \times_Y Z'| \to |Z'|\)가 닫힌 사상이 아니게 된다. 이 주장은 (2)가 (1)을 함의함을 보인다. 이를 확인하기 위해 다음 가환 그림을 생각하자.

\[\xymatrix{ X \times_Y Z \ar[d] & X \times_Y V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & X \times_Y Z' \ar[d] \\ Z & V \ar[l] \ar[r]^a & Z' }\] \(T_V \subset |X \times_Y V|\)를 \(T\)의 역상이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(T_V\)의 \(|V|\) 안에서의 상은 \(T\)의 \(|Z|\) 안에서의 상의 역상이다. 이제 \(z\)는 \(T \to |Z|\)의 상의 폐포에 속하고 \(|V| \to |Z|\)는 열린 사상이므로, \(v\)는 \(T_V \to |V|\)의 상의 폐포에 속한다. \(T_V\)의 \(|X \times_Y Z'|\) 안에서의 상은 \(|T'|\)에 포함되므로,

\(z' = a(v)\)는 \(T'\)의 상의 폐포에 속한다.

(1)이 (3)을 함의함은 분명하다. \(V \to Y\)가 (3)에서와 같다고 하자. \(X \times_Y V \to V\)가 보편 닫힌 사상임을 보일 수 있으면, Morphisms of Spaces, Lemma 03IT에 의해 \(f\)는 보편 닫힌 사상이다. 따라서 \(f : X \to Y\)가 (2)를 만족함을 보이면 충분하다. 여기서 \(f\)는 대수공간들의 준콤팩트 사상이고, \(Y\)는 스킴이며, \(|\mathbf{A}^n \times X| \to |\mathbf{A}^n \times Y|\)는 모든 \(n\)에 대해 닫힌 사상이라고 가정한다. 국소 유한 표시인 사상 \(Z \to Y\)를 택하자. \(|X \times_Y Z| \to |Z|\)가 닫힌 사상임을 보여야 한다. 이 문제는 \(Z\)에서 에탈 국소적이므로 \(Z\)가 아핀이라고 가정해도 된다 (몇 가지 세부사항은 생략한다). \(Y\)가 스킴이고 \(Z\)가 아핀이며 \(Z \to Y\)가 국소 유한 표시이므로 몰입 \(Z \to \mathbf{A}^n \times Y\)를 찾을 수 있다. Morphisms, Lemma 04II를 보라. 카르테시안 그림 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \times_Y Z \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d] \\ Z \ar[r] & \mathbf{A}^n \times Y } } \quad \begin{matrix} \text{이는 다음을} \\ \text{유도한다} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ |X \times_Y Z| \ar[d] \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times X| \ar[d] \\ |Z| \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times Y| } }\] 을 생각하자. 이 위상공간 그림의 수평 화살표들은 국소 닫힌 부분집합 위의 위상동형이다(Properties of Spaces, Lemma 0ABJ). 따라서 \(T\)를 \(|X \times_Y Z|\)의 임의의 닫힌 부분집합이라 하자. 이는 닫힌 부분집합 \(T'\)에서 당겨오며, 그 부분집합은 \(|\mathbf{A}^n \times Y|\) 안에 있다. 또한 가정에 의해 \(T'\)의 \(|\mathbf{A}^n \times X|\) 안에서의 상은 닫혀 있다.

그러므로 원하는 대로 \(T\)의 \(|Z|\) 안에서의 상은 닫혀 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 분리이고 유한형이라고 가정하자.

다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 고유이다.

2. 국소 유한 표시인 임의의 사상 \(Y \to Z\)에 대해 \(|X \times_Y Z| \to |Z|\)는 닫힌 사상이다.

3. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(|\mathbf{A}^n \times (X \times_Y V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\)가 모든 \(n \geq 0\)에 대해 닫힌 사상이다.

증명

고유 사상은 분리이고 유한형이며 보편 닫힌 사상인 것과 같은 개념이므로, 이 보조정리는 Lemma 0CM9의 특수한 경우이다.

Noether 부치환 판정법

Cohomology of Spaces, Section 0ARI에서 이미 몇 가지 결과를 증명했다. 스킴에 대한 대응하는 절은 Limits, Section 0CM1이다.

이 절의 많은 결과는 다음 보조정리를 인용하여 증명할 수 있고 (어쩌면 그렇게 해야 하지만), 항상 그렇게 하지는 않았다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 유한형이고 \(Y\)가 국소 Noether라고 가정하자.

\(y \in |Y|\)를 \(|f|\)의 상의 폐포에 속하는 점이라 하자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 가 존재한다. 여기서 \(A\)는 이산 부치환환이고 \(K\)는 그 분수체이며, \(\Spec(A)\)의 닫힌점을 \(y\)로 보낸다. 또한 \(x \in |X|\)를 \(\Spec(K) \to X\)에 대응하는 점이라 하면, 이 점이 여차원 \(0\)인 점이라고 가정할 수 있다³. 또한 \(K\)는 \(X\) 위에서 에탈인 어떤 스킴의 점의 잉여체라고 가정할 수 있다.

증명

아핀 스킴 \(V\), 점 \(v \in V\), 그리고 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자. 이 사상은 \(v\)를 \(y\)로 보낸다. 사상 \(|V| \to |Y|\)는 열려 있고, Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(|X \times_Y V| \to |V|\)의 상은 \(|f|\)의 상의 역상이다. 따라서 점 \(v\)는 \(|X \times_Y V| \to |V|\)의 상의 폐포에 속한다. \(X \times_Y V \to V\)와 점 \(v\)에 대해 보조정리를 증명하면, \(f\)와 \(y\)에 대해서도 보조정리가 따른다. 이와 같이 다음 문단에서 설명하는 상황으로 환원한다.

\(f : X \to Y\)와 \(y \in |Y|\)가 보조정리에서와 같고 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정하자. \(f\)가 준콤팩트이므로 \(X\)는 준콤팩트이다. 따라서 아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to X\)를 택할 수 있다. 그러면 \(|f|\)의 상은 \(W \to Y\)의 상과 같다. 이로써 스킴의 경우로 환원되며, 그 경우는 Limits, Lemma 0CM2이다.

먼저 분리에 관한 결과를 진술한다. 밑스킴 \(S\) 위의 대수공간들의 사상으로 이루어진 다음 모양의 실선 가환 그림을 자주 사용할 것이다. [0H1V]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y } } \end{equation}\] 여기서 \(A\)는 부치환환이고 \(K\)는 그 분수체이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 준분리이고 국소 유한형이며 \(Y\)가 국소 Noether라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 분리이다.

2. 임의의 그림 (0H1V)에서 점선 화살표는 많아야 하나이다.

3. \(A\)가 이산 부치환환인 모든 그림 (0H1V)에서 점선 화살표는 많아야 하나이다.

4. \(A\)가 이산 부치환환이고 \(\Spec(K) \to X\)의 상이 여차원 \(0\)인 \(X\)의 점인 모든 그림 (0H1V)에서 점선 화살표는 많아야 하나이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 03KU에 의해 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다. (2) \(\Rightarrow\) (3)과 (3) \(\Rightarrow\) (4)는 자명하다. (4)가 (1)을 함의함을 보이면 된다.

(4)를 가정하자. 대각사상 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)가 닫힌 몰입임을 보여야 한다. \(\Delta\)가 표현 가능하고 분리이며 단사상이고 국소 유한형임은 이미 안다. Morphisms of Spaces, Lemma 03HK를 보라. 아핀 스킴 \(U\)와 에탈 사상 \(U \to X \times_Y X\)를 택하자. \(V = X \times_{\Delta, X \times_Y X} U\)로 놓는다. \(V \to U\)가 닫힌 몰입임을 보이면 충분하다 (Morphisms of Spaces, Lemma 03M4). \(X \times_Y X\)는 \(Y\) 위에서 국소 유한형이므로 \(U\)는 Noether이다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 03XG, 03XH, 및 04ZK을 사용한다). \(V\)는 스킴임에 주의하자. 이는 \(\Delta\)가 표현 가능하기 때문이다. 또한 \(V\)는 준콤팩트이다. 이는 \(f\)가 준분리이기 때문이다. 따라서 \(V \to U\)는 분리이고 유한형이다. 스킴의 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & U }\] 을 생각하자. 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이고, \(K\)는 Noether 스킴 \(V\)의 일반점 하나의 잉여체이다. \(V \to X\)는 에탈이므로(에탈 사상 \(U \to X \times_Y X\)의 밑변환), \(\Spec(K) \to V \to X\)의 상은 여차원 \(0\)인 점이다. Properties of Spaces, Section 04N7을 보라. 합성 \(\Spec(A) \to U \to X \times_Y X\)를 사상들의 쌍 \(a, b : \Spec(A) \to X\)로 해석할 수 있다. 이 사상들은 \(Y\)로 가는 사상으로서 일치하고, \(\Spec(K)\)로 제한하면 같으며, 이 제한은 여차원 \(0\)인 점으로 간다. 따라서 가정 (4)에 의해 \(a = b\)이고, 그림의 점선 화살표를 얻는다. Limits, Lemma 0208에 의해 \(V \to U\)는 고유이다. 다시 말해 \(\Delta\)는 고유이다. \(\Delta\)가 단사상이므로 \(\Delta\)는 원하는 대로 닫힌 몰입이다 (Étale Morphisms, Lemma 04XV).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 준분리이고 유한형이며 \(Y\)가 국소 Noether라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 고유이다.

2. \(f\)는 부치환 판정법을 만족한다. Morphisms of Spaces, Definition 03IX을 보라.

3. 임의의 그림 (0H1V)에 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다.

4. \(A\)가 이산 부치환환인 모든 그림 (0H1V)에 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다.

5. \(A\)가 이산 부치환환이고 \(\Spec(K) \to X\)의 상이 여차원 \(0\)인 \(X\)의 점인 모든 그림 (0H1V)에 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다⁴.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 0A40에 의해 (1) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3)이다. (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5)임은 분명하다. 증명을 끝내기 위해 이제 (5)가 (1)을 함의함을 보인다.

(5)를 가정하자. Lemma 0H1W에 의해 \(f\)는 분리이다. 증명을 끝내려면 \(f\)가 보편 닫힌 사상임을 보이면 충분하다. \(V \to Y\)를 에탈 사상이라 하고 \(V\)는 아핀 스킴이라고 하자. 밑변환 \(V \times_Y X \to V\)가 보편 닫힌 사상임을 보이면 충분하다. Morphisms of Spaces, Lemma 03IT을 보라. 다음 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \times_Y X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] \ar@{..>}[rru] & V \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 이는 \(S\) 위의 대수공간들의 가환 그림이다. 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이고, \(\Spec(K) \to V \times_Y X\)는 여차원 \(0\)인 대수공간 \(V \times_Y X\)의 점으로 간다. \(V \times_Y X \to X\)가 에탈이므로 \(\Spec(K) \to X\)의 상은 여차원 \(0\)인 \(X\)의 점이다. 따라서 (5)에 의해 그림의 두 점선 화살표 중 더 긴 것을 얻고, 물론 더 짧은 것도 얻는다. 그러므로 사상 \(V \times_Y X \to V\)에 대해 가정들이 성립하며, 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원된다.

\(Y\)가 Noether 아핀 스킴이라고 가정하자.

이 경우 \(X\)는 분리 Noether 대수공간이며 (\(f\)가 분리임은 이미 안다) \(Y\) 위에서 유한형이다. (특히 대수공간 \(X\)는 스킴인 조밀 열린 부분공간을 가진다. Properties of Spaces, Proposition 06NH을 보라. 엄밀히 말해 이 사실은 필요하지 않다.) 준사영 스킴 \(X'\)를 \(Y\) 위에서 택하고, 고유 전사 사상 \(X' \to X\)도 Chow 보조정리의 약한 형태 (Cohomology of Spaces, Lemma 089J)에서처럼 택하자. \(X'\)를 \(X\)의 한 기약성분을 지배하는 기약성분들의 분리합으로 대체해도 된다. 세부사항은 생략한다. 특히 스킴 \(X'\)의 일반점들이 여차원 \(0\)인 \(X\)의 점들로 가게 할 수 있다(이 경우 이 점들은 정확히 \(X\)의 일반점들이다). \(X' \to Y\)가 고유라고 주장한다. 이 주장은 Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ에 의해 \(X\)가 \(Y\) 위에서 고유임을 함의한다. 이를 증명하기 위해 Limits, Lemma 0208에 따라 모든 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[ru]^a \ar@{-->}[rru]_b & & Y }\] 에서 다음을 증명하면 충분하다. 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이고, \(K\)는 \(X'\)의 일반점 하나의 잉여체이다. 점선 화살표 \(a\)를 찾으면 된다(\(X'\)가 분리이므로 유일성은 이미 안다). 가정 (5)에 의해 점선 화살표 \(b\)를 찾을 수 있다. 그러면 사상 \(X' \times_{X, b} \Spec(A) \to \Spec(A)\)는 스킴들의 고유 사상이고, 스킴 사상에 대한 부치환 판정법에 의해 \(b\)를 원하는 사상 \(a\)로 올릴 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 Noether이고 \(f\)가 유한형이라고 가정하자. 그러면 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 보편 닫힌 사상이다.

2. \(f\)는 부치환 판정법의 존재성 부분을 만족한다.

3. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(|\mathbf{A}^n \times X \times_Y V| \to |\mathbf{A}^n \times V|\)가 모든 \(n \geq 0\)에 대해 닫힌 사상이다.

4. \(A\)가 이산 부치환환인 모든 그림 (0H1V)에 대해 체의 유한 분리 확대 \(K'/K\), 이산 부치환환 \(A' \subset K'\) 중 \(A\)를 지배하는 것, 그리고 다음 그림을 가환으로 만드는 사상 \(\Spec(A') \to X\)가 존재한다.

   \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\]

5. \(A\)가 이산 부치환환인 모든 그림 (0H1V)에 대해 체 확대 \(K'/K\), 부치환환 \(A' \subset K'\) 중 \(A\)를 지배하는 것, 그리고 다음 그림을 가환으로 만드는 사상 \(\Spec(A') \to X\)가 존재한다.

   \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\]

증명

Lemma 0CM9와 Morphisms of Spaces, Lemma 03KA에 의해 (1), (2), (3)은 동치이다. 이 동치 조건들은 (4)를 함의한다. 실제로 Morphisms of Spaces, Lemma 03KH에 의해 부치환 판정법의 존재성 부분에서 \(K'/K\)를 항상 유한 분리 확대가 되게 택할 수 있고, 그러면 Krull–Akizuki에 의해 \(A'\)는 자동으로 이산 부치환환이다(Algebra, Lemma 00PG). (4) \(\Rightarrow\) (5)는 자명하다. 나머지 증명에서는 (5)가 (1)을 함의함을 보인다.

(5)를 가정하자. 아핀 스킴 \(V\)와 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자.

\(f\)의 \(V\)로의 밑변환이 보편 닫힌 사상임을 보이면 충분하다. Morphisms of Spaces, Lemma 03IT을 보라. Lemma 0H1X의 증명에서와 정확히 같이, 가정 (5)는 이 밑변환으로 계승된다. 세부사항은 생략한다. 이로써 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원된다.

\(Y\)가 Noether 아핀 스킴이고 (5)가 성립한다고 가정하자. \(f\)가 보편 닫힌 사상임을 증명하려면 \(|X \times \mathbf{A}^n| \to |Y \times \mathbf{A}^n|\)가 모든 \(n\)에 대해 닫힌 사상임을 보이면 충분하다(위의 논의에 의해). 가정 (5)는 곱사상 \(X \times \mathbf{A}^n \to Y \times \mathbf{A}^n\)으로 계승되므로(세부사항은 생략한다), \(|X| \to |Y|\)가 닫힌 사상임을 증명하는 것으로 환원된다.

\(Y\)가 Noether 아핀 스킴이고 (5)가 성립한다고 가정하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(T\)의 \(|Y|\) 안에서의 상이 닫혔음을 보여야 한다. \(X\)를 \(T\) 위의 축소 유도 닫힌 부분공간 구조로 대체해도 된다. 이 대체가 성질 (5)를 보존한다는 확인은 생략한다. 따라서 \(|X| \to |Y|\)의 상이 닫혔음을 증명하는 것으로 환원된다.

\(y \in |Y|\)를 \(|X| \to |Y|\)의 상의 폐포에 속하는 점이라 하자. Lemma 0CMC에 의해 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 을 택할 수 있다. 여기서 \(A\)는 이산 부치환환이고 \(K\)는 그 분수체이며, \(\Spec(A)\)의 닫힌점을 \(y\)로 보낸다. 성질 (5)에 의해 즉시 \(y\)는 \(|X| \to |Y|\)의 상에 속한다. 증명이 끝났다.

정밀한 Noether 부치환 판정법

이 절은 Limits, Section 0H1P에 대응한다. 부치환 판정법을 확인할 때 가능한 모든 부치환환 그림을 생각할 필요는 보통 없다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(h : U \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 Noether이고, \(f\)와 \(h\)가 유한형이며, \(f\)가 분리이고, \(|h| : |U| \to |X|\)의 상이 \(|X|\)에서 조밀하다고 가정하자. 임의의 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] 이 주어졌을 때, 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이고, 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다면 \(f\)는 고유이다.

증명

\(f\)가 보편 닫힌 사상임을 보이면 충분하다. \(V \to Y\)를 에탈 사상이라 하고 \(V\)는 아핀 스킴이라고 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 03IT에 의해 밑변환 \(X \times_Y V \to V\)가 보편 닫힌 사상임을 보이면 충분하다. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(I\)를 \(|U \times_Y V| \to |X \times_Y V|\)의 상이라 하면, 이는 \(|h|\)의 상의 역상이다. \(|X \times_Y V| \to |X|\)가 열린 사상이므로 (Properties of Spaces, Lemma 03IR), \(I\)는 \(|X \times_Y V|\)에서 조밀하다. 따라서 보조정리의 가정들은 사상들 \(U \times_Y V \to X \times_Y V \to V\)에 대해 성립한다. 그러므로 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다.

\(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정하자. 그러면 \(U\)는 준콤팩트이다. 아핀 스킴 하나와 전사 에탈 사상 \(W \to U\)를 택하자.

이제 \(U\)를 \(W\)로 대체하고 \(U\)가 아핀이라고 가정해도 된다. Chow 보조정리의 약한 형태 (Cohomology of Spaces, Lemma 089J)에 의해 전사 고유 사상 \(X' \to X\)를 택할 수 있으며, 여기서 \(X'\)는 스킴이다. 그러면 \(U' = X' \times_X U\)는 스킴이고 \(U' \to X'\)는 유한형이다. \(X'\)를 \(h' : U' \to X'\)의 스킴론적 상으로 대체할 수 있으며, 따라서 \(h'(U')\)는 \(X'\)에서 조밀하다. 모든 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U' \ar[r]^h & X' \ar[d]^{f'} \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\]

에서 다음이 성립한다고 주장한다. 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이며, 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다. 실제로 먼저 보조정리의 가정에 의해 화살표 \(\Spec(A) \to X\)를 얻고, 이어서 고유성의 부치환 판정법을 사용하여 이를 화살표 \(\Spec(A) \to X'\)로 올린다(Morphisms of Spaces, Lemma 0A40). 사상 \(X' \to Y\)는 고유 사상과 분리 사상의 합성이므로 분리이다. 따라서 스킴의 경우에 의해 \(X' \to Y\)는 고유이다 (Limits, Lemma 0CM3). Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ에 의해 \(X \to Y\)가 고유라고 결론짓는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(h : U \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 Noether이고, \(f\)가 국소 유한형이고 준분리이며, \(h\)가 유한형이고, \(|h| : |U| \to |X|\)의 상이 \(|X|\)에서 조밀하다고 가정하자. 임의의 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] 이 주어졌을 때, 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이고, 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 많아야 하나라면 \(f\)는 분리이다.

증명

Lemma 0CMD를 사상들 \(U \to X\)와 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)에 적용한다. 조건들을 확인하자. \(\Delta\)는 준콤팩트이다. 이는 \(f\)가 준분리이기 때문이다. 물론 \(\Delta\)는 국소 유한형이고 분리이다(이는 모든 대각사상에 참이다). 마지막으로 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a, b)} \ar@{-->}[rru] & & X \times_Y X }\] 이 주어졌다고 하자. 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이다. 그러면 \(a\)와 \(b\)는 보조정리의 그림에서 두 점선 화살표를 주므로 같아야 한다. 따라서 점선 화살표로 \(a = b\)를 사용할 수 있으며, 이것이 존재성을 준다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(h : U \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 Noether이고, \(f\)와 \(h\)가 유한형이며, \(f\)가 준분리이고, \(h(U)\)가 \(X\)에서 조밀하다고 가정하자. 임의의 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] 이 주어졌을 때, 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 이산 부치환환이고, 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 유일하게 존재한다면 \(f\)는 고유이다.

증명

Lemmas 0CME와 0CMD를 결합하라.

유한형 공간의 하강

이 절에서는 Section 07SP의 주제를 Section 07SJ에서 논의한 결과들의 정신에 따라 잇는다. 또한 대수공간에 대한 Limits, Section 0CNL의 유사물이다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. 예를 들어 \(\Spec(\mathbf{Z})\)로 둘 수 있다. \(B = \lim_{i \in I} B_i\)를 \(S\) 위의 Noether 공간들의 유향 역계의 극한이라 하자. 전이 사상 \(B_{i'} \to B_i\)는 \(i' \geq i\)일 때 아핀이다.

보조정리

Situation 0CP6의 상황이라 하자. \(X \to B\)를 준분리 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. 그러면 \(i \in I\)와 그림 [0CP8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ B \ar[r] & B_i } } \end{equation}\] 가 존재하여 \(W \to B_i\)는 유한형이고, 유도된 사상 \(X \to B \times_{B_i} W\)는 닫힌 몰입이다.

증명

Lemma 0872에 의해 닫힌 몰입 \(X \to X'\)를 \(B\) 위에서 찾을 수 있으며, \(X'\)는 \(B\) 위의 유한 표시 대수공간이다. Lemma 07SK에 의해 \(i\)와 유한 표시 사상 \(X'_i \to B_i\)를 찾을 수 있고, 그 당김은 \(X'\)이다. \(W = X'_i\)로 놓자.

보조정리

Situation 0CP6의 상황이라 하자. \(X \to B\)를 준분리 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. \(i \in I\)와 (0CP8)에서와 같은 그림 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ B \ar[r] & B_i } }\] 가 주어졌다고 하자. \(i' \geq i\)에 대해 \(X_{i'}\)를 \(X \to B_{i'} \times_{B_i} W\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)이다.

증명

\(X\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \(X \to B_{i'} \times_{B_i} W\)의 스킴론적 상의 형성은 에탈 국소화와 가환한다 (Morphisms of Spaces, Lemma 082Z). 따라서 \(W\)가 아핀이고 어떤 아핀 \(U_i\)로 가며, 이 아핀은 \(B_i\) 위에서 에탈이라고 가정해도 된다. 그러면 \[B_{i'} \times_{B_i} W = B_{i'} \times_{B_i} U_i \times_{U_i} W = U_{i'} \times_{U_i} W\] 이다. 여기서 \(U_{i'} = B_{i'} \times_{B_i} U_i\)는 전이 사상들이 아핀이므로 아핀이다. 따라서 보조정리는 스킴의 경우, 즉 Limits, Lemma 0CNQ에서 따른다.

보조정리

Situation 0CP6의 상황이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 준분리이고 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. 다음 두 그림을 택하자. \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ B \ar[r] & B_{i_1} } } \quad\text{그리고}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ B \ar[r] & B_{i_2} } }\] 이들은 (0CP8)에서와 같은 그림들이다. Lemma 0CP9에서와 같은 대응하는 극한 표현을 \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\) 및 \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\)라 하자. 그러면 \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\)가 되게 택할 수 있고, 사상 \[(f_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\] 이 존재한다. 이는 역계 \((B_i)_{i \geq i_0}\) 위의 사상이며, \(f = \lim_{i \geq i_0} f_i\)이다.

두 번째 역계 사상 \((g_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\)가 \((B_i)_{i \geq i_0}\) 위에 있고 \(f = \lim_{i \geq i_0} g_i\)라면,

\(f_i = g_i\)가 모든 \(i \gg i_0\)에 대해 성립한다.

증명

\(V \to B_{i_2}\)가 유한 표시이고 \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\)이므로 Proposition 04AK과 이를 개선한 Lemma 0CP4를 적용할 수 있다. 따라서 \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\)가 되게 택하고, 사상 \(h : X_{i_0} \to V\)를 \(B_{i_2}\) 위에서 찾아, \(X \to X_{i_0} \to V\)가 \(X \to Y \to V\)와 같게 할 수 있다. \(i \geq i_0\)에 대해 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X_i \ar[r] \ar@{..>}[d] \ar@/_2pc/[dd] |!{[d];[ld]}\hole & X_{i_0} \ar[d]^h \\ Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ B \ar[r] & B_i \ar[r] & B_{i_0} }\] 을 얻는다. \(X \to X_i\)의 상은 스킴론적으로 조밀하고, \(Y_i\)는 \(Y \to B_i \times_{B_{i_2}} V\)의 스킴론적 상이므로, 그림이 유도하는 사상 \(X_i \to B_i \times_{B_{i_2}} V\)는 \(Y_i\)를 통해 인수분해된다(Morphisms of Spaces, Lemma 0CP2). 이것이 존재성을 증명한다.

유일성을 보이자. \(E_i \to X_i\)를 \(f_i\)와 \(g_i\)의 동등자라 하자 (\(i \geq i_0\)). 그러면 \(E_i = Y_i \times_{\Delta, Y_i \times_{B_i} Y_i, (f_i, g_i)} X_i\)이다. 따라서 \(E_i \to X_i\)는 \(Y_i\)의 \(B_i\) 위 대각사상의 밑변환으로서 유한 표시 단사상이다. Morphisms of Spaces, Lemmas 03HK와 084P를 보라. \(X_i\)는 \(B_i \times_{B_{i_0}} X_{i_0}\)의 닫힌 부분공간이고 \(Y_i\)도 마찬가지이므로 \[E_i = X_i \times_{(B_i \times_{B_{i_0}} X_{i_0})} (B_i \times_{B_{i_0}} E_{i_0}) = X_i \times_{X_{i_0}} E_{i_0}\] 이다. 마찬가지로 \(X = X \times_{X_{i_0}} E_{i_0}\)이다. 따라서 Lemma 0852에 의해 \(E_i = X_i\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 성립한다고 결론짓는다.

주

Situation 0CP6에서 Lemmas 0CP7, 0CP9, 0CPA은 \(B\) 위에서 준분리이고 유한형인 대수공간들의 범주가 \((B_i)_{i \in I}\) 위 대수공간들의 특정한 유형의 역계 범주와 동치임을 말한다. 여기서 그 역계들은 Lemma 0CP9을 (0CP8) 꼴의 그림에 적용하여 얻는 것들이다. 예를 들어 유한형이고 준분리인 \(X \to B\)가 주어졌을 때, 서로 다른 두 그림 \(X \to V_1 \to B_{i_1}\)와 \(X \to V_2 \to B_{i_2}\)를 택하고, 이들이 (0CP8)에서와 같다고 하자. 그러면 \(\text{id}_X\)에 Lemma 0CPA을 (두 방향으로) 적용함으로써, 이에 대응하는 \(X\)의 극한 표현들이 표준적으로 동형임을 알 수 있다(유향 집합 \(I\)를 축소하는 것까지 허용한다). 이와 같은 방식으로 계속된다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 0CPA에서와 같다. \(f\)가 평탄하고 유한 표시이면,

\(i_3 > i_0\)인 것이 존재하여 \(i \geq i_3\)이면 \(f_i\)는 평탄하고, \(X_i = Y_i \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\)이며, \(X = Y \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\)이다.

증명

Lemma 07SK에 의해 \(i \geq i_2\)와 유한 표시 사상 \(U \to Y_i\)를 택하여 \(X = Y \times_{Y_i} U\)로 만들 수 있다 (여기에서 \(f\)가 유한 표시라는 가정을 사용한다). \(i\)를 증가시킨 뒤에는 \(U \to Y_i\)가 평탄하다고 가정할 수 있다. Lemma 08K0을 보라. Remark 0CPB에서 논의했듯이, 계 \((X_i)_{i \geq i_1}\)를 정의하는 데 사용한 처음 그림을 \(X \to U \to B_i\)에 대응하는 계로 바꾸어도 되고, 그렇게 하겠다. 따라서 \(X_{i'}\)는 \(i' \geq i\)일 때 \(X \to B_{i'} \times_{B_i} U\)의 스킴론적 상으로 정의된다.

\(U \to Y_i\)가 평탄하고(여기에서 \(f\)가 평탄하다는 가정을 사용한다), \(X = Y \times_{Y_i} U\)이며, \(Y \to Y_i\)의 스킴론적 상이 \(Y_i\)이므로, \(X \to U\)의 스킴론적 상은 \(U\)이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 089E). \(Y_{i'} \to B_{i'} \times_{B_i} Y_i\)는 \(i' \geq i\)일 때 \(Y_j\)의 계를 구성한 방식에 의해 닫힌 몰입임을 주목하자. 그러면 위와 같은 논증으로 \(X \to B_{i'} \times_{B_i} U\)의 스킴론적 상이 닫힌 부분공간 \(Y_{i'} \times_{Y_i} U\)와 같음을 알 수 있다. 따라서 \(X_{i'} = Y_{i'} \times_{Y_i} U\)이고, 이는 모든 \(i' \geq i\)에 대해 성립한다. 그러므로 \(i_3 = i\)로 두면 보조정리가 성립한다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 0CPA에서와 같다. \(f\)가 매끄러우면,

\(i_3 > i_0\)인 것이 존재하여 \(i \geq i_3\)이면 \(f_i\)는 매끄럽다.

증명

Lemmas 0CPC과 0CN2를 결합하라.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 0CPA에서와 같다. \(f\)가 고유이면, \(i_3 \geq i_0\)인 것이 존재하여 \(i \geq i_3\)이면 \(f_i\)는 고유이다.

증명

Remark 0CPB의 논의에 따르면, (0CP8)에서와 같은 그림에 들어가는 \(i_1\)과 \(W\)의 선택은 보조정리의 참 여부에 영향을 주지 않는다. 따라서 \(W\)를 다음과 같이 택한다. 먼저 닫힌 몰입 \(X \to X'\)를 택하여 \(X' \to Y\)가 고유이고 유한 표시가 되게 한다. Lemma 0A0W을 보라. 그다음 \(i_3 \geq i_2\)와 고유 사상 \(W \to Y_{i_3}\)를 택하여 \(X' = Y \times_{Y_{i_3}} W\)로 만든다. 이는 \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\)이고

Lemmas 09NS과 08K1에 의해 가능하다. 이렇게 \(W\)를 택하면, 구성으로부터 곧바로 \(i \geq i_3\)일 때 대수공간 \(X_i\)가 \(Y_i \times_{Y_{i_3}} W \subset B_i \times_{B_{i_3}} W\)의 닫힌 부분공간이고, 따라서 \(Y_i\) 위에서 고유임을 알 수 있다.

보조정리

Situation 0CP6에서 다음 올곱 그림이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ X^1 \ar[r]_p \ar[d]_q & X^3 \ar[d]^a \\ X^2 \ar[r]^b & X^4 }\] 여기서 각 대수공간은 \(B\) 위에서 준분리이고 유한형이다. 각 \(j = 1, 2, 3, 4\)에 대해 \(i_j \in I\)와 그림 \[\xymatrix{ X^j \ar[r] \ar[d] & W^j \ar[d] \\ B \ar[r] & B_{i_j} }\] 을 (0CP8)에서와 같이 택하자. 대응하는 극한 표현을 \(X^j = \lim_{i \geq i_j} X^j_i\)라 하자. 이는 Lemma 0CPA에서와 같다.

Lemma 0CPA에서 구성한 대응하는 역계 사상들을 \((a_i)_{i \geq i_5}\), \((b_i)_{i \geq i_6}\), \((p_i)_{i \geq i_7}\), \((q_i)_{i \geq i_8}\)라 하자. 그러면 \(i_9 \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8)\)인 것이 존재하여 \(i \geq i_9\)이면 \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\)이고, \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] 는 닫힌 몰입이다. \(a\)와 \(b\)가 평탄하고 유한 표시이면, \(i_{10} \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8, i_9)\)인 것이 존재하여 \(i \geq i_{10}\)이면 마지막 표시 사상은 동형이다.

증명

Remark 0CPB의 논의에 따르면, (0CP8)에서와 같은 그림에 들어가는 \(W^1\)의 선택은 보조정리의 참 여부에 영향을 주지 않는다. 따라서 \(W^1 = W^2 \times_{W^4} W^3\)로 택해도 된다. 그러면 \(X^1_i\)의 구성으로부터 곧바로 \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\)이고 \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] 가 닫힌 몰입임을 알 수 있다.

\(a\)와 \(b\)가 평탄하고 유한 표시이면, \(p\)와 \(q\)도 \(a\)와 \(b\)의 밑변환으로서 그러하다. 따라서 Lemma 0CPC을 \(a\), \(b\), \(p\), \(q\), 그리고 \(a \circ p = b \circ q\) 각각에 적용할 수 있다.

그 결과 \(i_9 \in I\)가 존재하여 \[(q_i, p_i) : X^1_i \to X^2_i \times_{X^4_i} X^3_i\] 가 \((q_{i_9}, p_{i_9})\)의 사상

\(X^4_i \to X^4_{i_9}\)에 의한 밑변환이고, 이는 모든 \(i \geq i_9\)에 대해 성립한다. Lemma 0852에 의해 \((q_i, p_i)\)가 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 동형이라고 결론짓는다.