체 위의 대수공간

서론

이 장은 대수공간의 맥락에서 대수다양체에 관한 장에 대응하는 내용을 다룬다. 대수공간에 대한 참고문헌으로는 [Kn]이 있다.

규약

이 장 전체에서 모든 스킴은 큰 fppf 사이트 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있다고 가정한다. 또한 여기서 고려하는 모든 환 \(A\)는 \(\Spec(A)\)가 이 큰 사이트의 대상과 (동형으로) 일치한다는 성질을 갖는다고 가정한다.

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 이 장과 다음 장에서는 \(X \times_S X\)로 쓰는데, 이는 \(X\)와 자기 자신을 \(S\) 위 대수공간의 범주에서 곱한 것이다. \(X \times X\)로 쓰지 않는다.

일반 유한 사상

이 절에서는 Decent Spaces, Section 0BBA의 논의를 이어 가고, 대수공간 사이 사상에 관해 Varieties, Section 0AB5에 대응하는 결과를 제시한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간 사이의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 국소 Noether라고 가정하자. \(y \in |Y|\)를 공차원이 \(\leq 1\)인 \(Y\)의 점이라 하자. \(X^0 \subset |X|\)를 공차원이 \(0\)인 \(X\)의 점들의 집합이라 하자. 다음 조건들 가운데 하나가 추가로 성립한다고 가정하자.

1. 모든 \(x \in X^0\)에 대해 \(x/f(x)\)의 초월차수가 \(0\)이다.

2. 모든 \(x \in X^0\) 중 \(f(x) \leadsto y\)인 것에 대해 \(x/f(x)\)의 초월차수가 \(0\)이다.

3. \(f\)는 모든 \(x \in X^0\)에서 준유한이다.

4. \(f\)는 \(|X|\)의 조밀한 점 집합에서 준유한이다.

5. 여기에 더 추가한다.

그러면 \(f\)는 \(X\)에서 \(y\) 위에 놓이는 모든 점에서 준유한이다.

증명

증명을 스킴의 경우로 환원하고자 한다. 이를 위해 다음 가환도식을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고, 수평 화살표들은 ètale 전사이다. \(v \in V\)를 택하되 \(y\)로 가게 하자. \(V\)는 국소 Noether이고 \(\dim(\mathcal{O}_{V, v}) \leq 1\)임에 주의하자(Properties of Spaces, Definitions 04NA와 Remark 03E7를 보라). \(U_v\)는 \(U \to V\)의 \(v\) 위 올이며 \(f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\) 위로 전사한다. \(X^0\)의 \(U\)에서의 역상은 정확히 \(U\)의 기약성분들의 일반점들의 집합이다(Properties of Spaces, Lemma 0BAQ). 그러한 점 \(\eta \in U\)의 상을 \(x \in X^0\)라 하면, \(x / f(x)\)의 초월차수는 \(\kappa(\eta)\)가 \(\kappa(g(\eta))\) 위에서 갖는 초월차수와 같다(Morphisms of Spaces, Definition 04NM). \(U \to V\)가 \(u \in U\)에서 준유한일 필요충분조건은 \(f\)가 \(u\)의 \(X\)에서의 상에서 준유한인 것임에 주의하자.

경우 (1). 여기서는 Varieties, Lemma 0AB6의 경우 (1)을 적용할 수 있으므로, \(U \to V\)가 \(U_v\)의 모든 점에서 준유한임을 얻는다. 따라서 \(f\)가 \(y\) 위에 놓이는 모든 점에서 준유한이다.

경우 (2). 기약성분 하나의 일반점 \(u \in U\)를 택하되, \(V\)에서 그 상이 \(v\)로 특수화된다고 하자. \(x \in X^0\)를 \(u\)의 상이라 하면 \(f(x) \leadsto y\)를 만족한다. 따라서 Varieties, Lemma 0AB6의 경우 (2)를 적용할 수 있고, 앞과 같이 결론을 얻는다.

경우 (3)은 Varieties, Lemma 0AB6의 경우 (3)에서 따른다.

경우 (4)에는 \(|U| \to |X|\)가 열린 사상이므로, \(U \to V\)가 준유한인 점들의 집합도 조밀하다. 따라서 Varieties, Lemma 0AB6의 경우 (4)를 적용할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간 사이의 사상이라 하자. \(f\)가 고유이고 \(Y\)가 국소 Noether라고 가정하자. \(y \in Y\)를 공차원이 \(\leq 1\)인 \(Y\)의 점이라 하자. \(X^0 \subset |X|\)를 공차원이 \(0\)인 \(X\)의 점들의 집합이라 하자. 다음 조건들 가운데 하나가 추가로 성립한다고 가정하자.

1. 모든 \(x \in X^0\)에 대해 \(x/f(x)\)의 초월차수가 \(0\)이다.

2. 모든 \(x \in X^0\) 중 \(f(x) \leadsto y\)인 것에 대해 \(x/f(x)\)의 초월차수가 \(0\)이다.

3. \(f\)는 모든 \(x \in X^0\)에서 준유한이다.

4. \(f\)는 \(|X|\)의 조밀한 점 집합에서 준유한이다.

5. 여기에 더 추가한다.

그러면 열린 부분공간 \(Y' \subset Y\)가 존재하여 \(y\)를 포함하고 \(Y' \times_Y X \to Y'\)가 유한이다.

증명

Lemma 0AD1에 의해 사상 \(f\)가 \(y\) 위에 놓이는 모든 점에서 준유한이다. 기하점 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\)를 택하되 \(y\) 위에 놓이게 하자. 그러면 \(|X_{\overline{y}}|\)는 이산공간이다(Decent Spaces, Lemma 0ACK). \(X_{\overline{y}}\)는 \(f\)가 고유이므로 준콤팩트이고, 따라서 \(|X_{\overline{y}}|\)는 유한하다. 그러므로 Cohomology of Spaces, Lemma 0A4W를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 Noether 대수공간이라 하자. \(f : Y \to X\)를 대수공간 사이의 쌍유리 고유 사상이라 하고, \(Y\)가 축약이라고 하자. \(U \subset X\)를 \(f\)가 동형이 되는 최대 열린 부분공간이라 하자. 그러면 \(U\)는 다음을 포함한다.

1. 공차원이 \(0\)인 \(X\)의 모든 점,

2. \(x \in |X|\)가 공차원이 \(1\)인 \(X\)의 점이고 \(X\)의 \(x\)에서 국소환이 정규인 경우(Properties of Spaces, Remark 0BBL), 그리고

3. \(x \in |X|\)에 대해 \(|Y| \to |X|\)의 \(x\) 위 올이 유한하고 \(X\)의 \(x\)에서 국소환이 정규인 경우.

증명

(1)은 Decent Spaces, Lemma 0BBF에서 따른다(또한 Noether 대수공간 \(X\)와 \(Y\)는 준분리이고, 따라서 decent라는 사실을 사용한다). (2)는 (3)과 Lemma 0AD2에서 따른다(또한 유한 사상의 올이 유한하다는 사실을 사용한다). \(x \in |X|\)가 (3)과 같다고 하자. Cohomology of Spaces, Lemma 0A4W에 의해(Decent Spaces, Lemma 0ACK에 의해 적용할 수 있다) \(f\)가 유한이라고 가정해도 된다. 아핀 스킴 \(X'\)과 ètale 사상 \(X' \to X\)를 택하고,

점 \(x' \in X\)를 택하되 \(x\)로 가게 하자. 열린 근방 \(U'\)를 \(x' \in X'\)의 근방으로 택하여 \(Y \times_X X' \to X'\)가 \(U'\) 위에서 동형임을 보이면 충분하다 (실제로 그러면 \(U\)는 \(U'\)의 \(X\)에서의 상을 포함한다. Spaces, Lemma 03KD를 보라). 그러면

\(Y \times_X X' \to X\)는 유한 쌍유리 사상이다(Decent Spaces, Lemma 0B4D). 유한 사상은 아핀이므로, Noether 아핀 스킴 사이의 유한 쌍유리 사상 \(Y \to X\)와 점 \(x \in X\)의 경우로 환원되며, 이 점에서는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정규 정역이다. 이는 Varieties, Lemma 0BFP에서 다룬다.

정역 대수공간

아직 정역 대수공간이라는 개념을 정의하지 않았다. 문제는 정역이라는 성질이 스킴의 ètale 국소 성질이 아니라는 점이다. Properties, Lemma 01ON에 나오는, \(X\)가 축약이고 \(|X|\)가 기약이라는 성질을 사용하여 정역 대수공간을 정의할 수도 있다. 그러나 그러면 Spaces, Example 02Z8에서 기술한 대수공간이 정역이 되는데, 이는 적절해 보이지 않는다. 이런 병리현상을 피하기 위해 \(X\)가 decent 대수공간이라는 조건도 가정한다. 다만 더 약한 대안이 있을 수도 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간 \(X\)가 \(S\) 위에 있고 축약이며 decent이고 \(|X|\)가 기약이면, 이를 정역이라고 한다.

이 경우 기약 위상공간 \(|X|\)는 sober이다(Decent Spaces, Proposition 03K6). 따라서 유일한 일반점 \(x\)를 갖는다. 실제로 Decent Spaces, Lemma 0BB9에서 기약성분이 유한 개뿐인 decent 대수공간을 기술했다. 그 보조정리를 적용하면, 대수공간 \(X\)가 축약이고 기약 조밀 열린 부분스킴 \(X'\)와 그 일반점 \(x'\)를 가지며 사상 \(x' \to X\)가 준콤팩트일 때 정역임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(\eta \in |X|\)를 \(X\)의 일반점이라 하자. 다음 표준적 동일시가 있다. \[R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta}^h = \kappa(\eta)\] 여기서 \(R(X)\)는 Morphisms of Spaces, Definition 0EMP에서 정의한 유리함수환이고, \(\kappa(\eta)\)는 Decent Spaces, Definition 0EMW에서 정의한 잉여체이며, \(\mathcal{O}_{X, \eta}^h\)는 Decent Spaces, Definition 0BGU에서 정의한 Hensel 국소환이다. 특히 이 환들은 체이다.

증명

\(X\)가 \(\eta\)의 어떤 열린 근방에서 스킴이므로(위 논의를 보라), 스킴에 대한 대응 결과인 Morphisms, Lemma 01RV에서 곧바로 따른다. 또한 체의 Hensel화는 자기 자신이라는 사실과, 대수공간에 대한 이 대상들의 정의가 스킴에 대한 정의와 양립한다는 사실을 사용한다. 세부사항은 생략한다.

이로부터 다음 정의가 나온다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(X\)의 함수체, 또는 유리함수체는 Lemma 0END의 체 \(R(X)\)이다.

때로는 이 체를 \(k(X)\)로 나타내기도 하며, 이는 \(R(X)\) 표기 대신 쓴다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. 그러면 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)는 정역이다.

증명

\(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 놓자. \(f, g \in R\)가 영이 아니고 \(fg = 0\)이면 \(X = V(f) \cup V(g)\)이다. 여기서 \(V(f)\)는 \(X\)의 닫힌 부분공간이며 \(f\)로 잘라 낸 것이다. \(X\)가 기약이므로 \(V(f) = X\)이거나 \(V(g) = X\)이다. 그러면 Properties of Spaces, Lemma 0BGS에 의해 \(f = 0\)이거나 \(g = 0\)이다.

정규 정역 대수공간에 관한 다음 보조정리가 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 정규 정역 대수공간이라 하자. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 정규 정역 아핀 스킴 \(U\)와 ètale 사상 \(U \to X\)가 존재하여 그 상이 \(x\)를 포함한다.

증명

아핀 스킴 \(U\)와 ètale 사상 \(U \to X\)를 택하되 그 상이 \(x\)를 포함하게 하자.

\(u_i\), \(i \in I\)를 \(U\)의 기약성분들의 일반점이라 하자. 그러면 각 \(u_i\)는 \(X\)의 일반점으로 간다(Decent Spaces, Lemma 0ABV). decent 공간의 정의에 의해(Decent Spaces, Definition 03I8) \(I\)가 유한임을 알 수 있다. 따라서 \(U = \Spec(A)\)이며, 여기서 \(A\)는 최소 소아이디얼이 유한 개뿐인 정규환이다. 그러므로 Algebra, Lemma 030C에 의해 \(A = \prod_{i \in I} A_i\)는 정규 정역들의 곱이다. 따라서 \(U = \coprod U_i\)이고 \(U_i = \Spec(A_i)\)이며, \(x\)는 \(U_i \to X\)의 상에 들어가는데 여기서 어떤 \(i\)를 택할 수 있다. 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 정규 정역 대수공간이라 하자. 그러면 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)는 정규 정역이다.

증명

\(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 놓자. Lemma 0BH2에 의해 \(R\)는 정역이다. \(f = a/b\)가 \(R\)의 분수체의 원소이고 \(R\) 위에서 정수적이라고 하자. 임의의 ètale 사상 \(U \to X\)에서 \(U\)가 스킴이면, \(f_U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 중 \(b|_U f_U = a|_U\)를 만족하는 것은 많아야 하나뿐이다. 실제로 \(U\)는 축약이고 \(U\)의 일반점들은 \(X\)의 일반점으로 가므로 \(b|_U\)는 영인자가 아니다. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 Lemma 0AYH에서와 같은 \(U \to X\)를 택하자. 유일한 \(f_U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)가 존재하여 \(b|_U f_U = a|_U\)를 만족한다. 그 이유는 Properties, Lemma 0358에 의해 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)가 정규 정역이기 때문이다. 위에서 말한 유일성에 의해 이 \(f_U\)들은 이어 붙고 구조층의 대역 절단 \(f\), 즉 \(R\)의 원소를 정의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 decent 대수공간이라 하자. 다음 집합들 사이에는 표준적 전단사들이 있다.

1. \(X\)의 점들의 집합, 즉 \(|X|\),

2. \(|X|\)의 기약 닫힌 부분집합들의 집합,

3. \(X\)의 정역 닫힌 부분공간들의 집합.

(1)에서 (2)로 가는 전단사는 \(x\)를 \(\overline{\{x\}}\)로 보낸다. (3)에서 (2)로 가는 전단사는 \(Z\)를 \(|Z|\)로 보낸다.

증명

\(|X|\)가 sober이므로 Decent Spaces, Proposition 03K6에 의해 첫 번째 사상은 (1)과 (2) 사이의 전단사를 정의한다. 닫힌 기약 부분집합 \(T \subset |X|\)가 주어졌다고 하자. 유일한 축약 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)가 존재하여 \(|Z| = T\)를 만족한다. 즉 \(Z\)는 \(T\) 위의 축약 유도 부분공간 구조이다. Properties of Spaces, Definition 047X를 보라. 이는 decent이고 축약이며 기약이므로 정역 대수공간이다.

정역 대수공간 사이의 사상

다음 보조정리는 정역 대수공간 사이의 유한 차수 우세 사상을 특징짓는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)와 \(y \in |Y|\)를 일반점이라 하자. \(f : X \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(f\)가 우세라고 가정하자(Morphisms of Spaces, Definition 0ABL). 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(x/y\)의 초월차수가 \(0\)이다.

2. 확대 \(\kappa(x)/\kappa(y)\)가 유한이다(증명을 보라).

3. 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(f(U) \subset V\)이고 \(f|_U : U \to V\)가 유한이다.

4. \(f\)가 \(x\)에서 준유한이다.

5. \(x\)는 \(|X|\)에서 \(y\)로 가는 유일한 점이다.

\(f\)가 분리이거나 \(f\)가 준콤팩트이면, 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(f^{-1}(V) \to V\)가 유한이다.

증명

초등적인 위상수학에 의해 \(f(x) = y\)임을 알 수 있는데, 이는 \(f\)가 우세이기 때문이다. \(Y' \subset Y\)를 \(Y\)의 스킴적 자리라 하고, \(X' \subset f^{-1}(Y')\)를 \(f^{-1}(Y')\)의 스킴적 자리라 하자. 위의 논의와 Decent Spaces, Proposition 03K6 및 Theorem 086U을 사용하면 \(x \in |X'|\)이고 \(y \in |Y'|\)임을 알 수 있다. 그러면 \(f|_{X'} : X' \to Y'\)는 국소 유한형인 정역 스킴 사이의 사상이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02NX에 의해 (1), (2), (3)은 서로 동치이다.

조건 (4)에 Morphisms of Spaces, Lemma 06RX를 \(X \to Y \to Y\)에 적용하면 조건 (1)을 얻는다. 한편 유한 사상은 준유한이고, \(x \in U\)인데 이는 \(x\)가 일반점이기 때문이어서 조건 (3)은 조건 (4)를 함의한다. 따라서 (1)–(4)는 서로 동치이다.

동치인 조건 (1)–(4)를 가정하자. \(x' \mapsto y\)라고 하자. 그러면 \(x \leadsto x'\)는 \(|X| \to |Y|\)의 \(y\) 위 올 안의 특수화이다. \(x' \not = x\)이면 Decent Spaces, Lemma 0ACB에 의해 \(f\)는 \(x\)에서 준유한이 아니다. 따라서 \(x = x'\)이고 (5)가 성립한다. 역으로 (5)가 성립하면 위에서 본 스킴 사이의 사상 \(X' \to Y'\)에 대해서도 (5)가 성립하고, Morphisms, Lemma 02NX를 사용하여 (1)이 성립함을 알 수 있다.

(6)은 \(f\)에 다른 가정을 두지 않아도 동치인 조건 (1)–(5)를 함의한다. 증명을 마치려면 동치인 조건 (1)–(5)가 (6)을 함의함을 보이면 된다. 이는 Decent Spaces, Lemma 0BBC에서 따른다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(f : X \to Y\)가 국소 유한형이고 우세라고 하자. Lemma 0AD5의 동치인 조건 (1)–(5) 중 하나가 성립한다고 가정하자. \(x \in |X|\)와 \(y \in |Y|\)를 일반점이라 하자. 그러면 양의 정수 \[\deg(X/Y) = [\kappa(x) : \kappa(y)]\] 를 \(X\)의 \(Y\) 위 차수라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\), \(Y\), \(Z\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 국소 유한형인 우세 사상이라 하자. Lemma 0AD5의 동치인 조건 (1)–(5) 중 하나가 \(f\)와 \(g\)에 대해 성립한다고 가정하자. 그러면 \[\deg(X/Z) = \deg(X/Y) \deg(Y/Z).\]

증명

이는 체의 유한 확대 탑에서 차수의 곱셈법칙으로부터 나온다. Fields, Lemma 09G9를 보라.

Weil 제수

이 절은 Divisors, Section 0BE0에 대응한다.

국소 Noether 정역 대수공간에 대해 Weil 제수와 Weil 제수의 유리 동치를 도입할 것이다. 대수공간이 준콤팩트라고 가정하지 않으므로 Weil 제수를 정의할 때 조금 주의해야 한다. 예를 들어 유리함수에는 극이 무한히 많을 수 있으므로 소인자의 무한합을 허용해야 한다. 준콤팩트인 경우에는 통상적으로 우리의 Weil 제수도 유한합이다. 다음 기본 보조정리는 닫힌 부분공간들의 모임이 국소 유한임을 증명할 때 자주 사용할 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)가 닫힌 부분집합이면, \(T\)의 기약성분들의 모임은 국소 유한이다.

증명

위상공간 \(|X|\)는 국소 Noether이다(Properties of Spaces, Lemma 04ZF). Noether 위상공간은 기약성분이 유한 개이고 Noether 공간의 부분공간도 Noether이다(Topology, Lemma 0052). 따라서 국소 유한의 정의(Topology, Definition 0BDS)에서 보조정리가 따른다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 decent 대수공간이라 하자. \(Z\)를 \(X\)의 정역 닫힌 부분공간이라 하고, \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 그러면 \(|Z|\)의 \(|X|\) 안에서의 공차원은 \(X\)의 \(\xi\)에서 국소환의 차원과 같다. 이는 Decent Spaces, Lemma 0ED1에서 따른다. 또한 이를 \(\xi\)가 공차원 \(1\)인 \(X\)의 점이다라고 표현한다는 것을 상기하자. Properties of Spaces, Definition 04NA을 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자.

1. 소인자는 정역 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)로서 공차원이 \(1\)인 것이다. 즉 \(|Z|\)의 일반점은 공차원이 \(1\)인 \(X\)의 점이다.

2. Weil 제수는 형식합 \(D = \sum n_Z Z\)이다. 여기서 합은 \(X\)의 소인자들에 걸쳐 취하고, 모임 \(\{|Z| : n_Z \not = 0\}\)은 \(|X|\)에서 국소 유한이다(Topology, Definition 0BDS).

\(X\) 위의 모든 Weil 제수들의 군을 \(\text{Div}(X)\)로 나타낸다.

다음 과제는 유리함수에 대응하는 Weil 제수를 정의하는 것이다. 이를 위해 국소 Noether 정역 대수공간 \(X\)에서 소인자 \(Z\)를 따른 유리함수의 소멸차수를 정의해야 한다. \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 여기서는 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)가 존재하지 않고, Hensel 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)가 정역이 아닐 수도 있다는 문제가 생긴다. Example 0ENU을 보라. 이 문제를 피하기 위해 다음 보조정리를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 소인자라 하고 \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 그러면 Hensel 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 축약인 \(1\)차원 Noether 국소환이고, 표준적 단사 사상 \[R(X) \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] 이 존재한다. 이 사상은 함수체 \(R(X)\), 즉 \(X\)의 함수체에서 전분수환으로 가는 사상이다.

증명

Decent Spaces, Section 0EMV의 결과를 사용한다. \((U, u) \to (X, \xi)\)를 기본 ètale 근방이라 하자. \(U\)가 국소 Noether이고 축약임에 주의하자. 따라서 \(\mathcal{O}_{U, u}\)는 \(1\)차원(소인자의 정의에 의해) 축약 Noether 환이다. \(U\)를 \(u\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어 \(U\)가 Noether 아핀이라고 가정해도 된다. \(U\)를 더 작은 열린집합으로 바꾸어, \(U\)의 모든 기약성분이 \(u\)를 지난다고 가정해도 된다. \(U \to X\)가 열린 사상이고 \(X\)가 기약이므로 \(U \to X\)는 우세이다. 따라서 유리사상을 합성하여 환 준동형 \(R(X) \to R(U)\)를 얻는다. Morphisms of Spaces, Section 0EML를 보라. \(R(X)\)는 체이므로 이 사상은 단사이다. \(U\)를 택한 방식에 의해 \(R(U)\)는 전분수환 \(Q(\mathcal{O}_{U, u})\)이다. Morphisms, Lemma 01RV와 Algebra, Lemma 02LX를 보라.

여기까지는 보조정리의 모든 명제를 \(\mathcal{O}_{U, u}\)에 대해

\(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) 대신 증명했다. 그러나 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 Hensel화이다. 따라서 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 \(1\)차원 축약 Noether 환이다. More on Algebra, Lemmas 06DH, 06LK, and 06LJ를 보라. More on Algebra, Lemma 07QM에 의해 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)가 충실 평탄이므로 영인자가 아닌 원소를 영인자가 아닌 원소로 보낸다. 따라서 표준적 사상 \(Q(\mathcal{O}_{U, u}) \to Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\)를 얻고, 원하는 사상을 얻는다. 이 사상이

\((U, u) \to (X, x)\)의 선택에 무관하다는 확인은 생략한다. 조금 더 나은 접근은 먼저 다음 등식을 관찰하는 것이다. \(\colim Q(\mathcal{O}_{U, u}) = Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\).

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. 모든 소인자 \(Z \subset X\)에 대해 \(f\)의 \(Z\)를 따른 소멸차수를 다음 정수로 정의한다. \[\text{ord}_Z(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] 여기서 \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 영인자가 아닌 원소들이고, \(f\)의 \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) 안에서의 상은 \(a/b\)와 같다(Lemma 0ENK). 이는 Algebra, Lemma 02MC에 의해 잘 정의된다.

\(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)가 정역이면 다음 등식을 얻는다. \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f)\] 여기서 우변은 Algebra, Definition 02MD의 개념이다. \(f, g \in R(X)^*\)에 대해 다음이 성립함에 주의하자. \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] 물론 \(\text{ord}_Z(f) < 0\)일 수도 있다. 이 경우 \(f\)가 \(Z\)를 따라 극을 갖는다고 하고, \(-\text{ord}_Z(f) > 0\)을 \(f\)의 \(Z\)를 따른 극의 차수라고 한다. 조건 \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\)은 조건 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)와 동치가 아님에 유의해야 한다. 다만 국소환

\(\mathcal{O}_{X, \xi}\)가 이산 부치환이면 예외이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. 소인자 \(Z \subset X\)가 \(X\)의 스킴적 자리와 만나면, Definition 0ENL의 소멸차수 \(\text{ord}_Z(f)\)는 Divisors, Definition 02RJ의 소멸차수와 일치한다.

증명

\(X\)를 축소하여 \(X\)가 정역 Noether 스킴이라고 가정해도 된다. \(\xi \in Z\)가 일반점을 나타내면, \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 Hensel화이다(Decent Spaces, Lemma 0EMY). 보조정리를 증명할 필요충분조건은 다음 등식을 보이는 것이다. \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{X, \xi}/a \mathcal{O}_{X, \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] 이는 Algebra, Lemma 02M1에서 곧바로 따른다(또한 \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)가 Noether 국소환 사이의 평탄 국소환 준동형이라는 사실을 사용한다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. 그러면 다음 두 모임은

\[\{Z \subset X \mid Z\text{가 일반점 }\xi\text{를 갖는 소인자이고 } f\text{가 속하지 않는 }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] 및 \[\{Z \subset X \mid Z \text{가 소인자이고 }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] \(X\)에서 국소 유한이다.

증명

공집합이 아닌 열린 부분공간 \(U \subset X\)가 존재하여 \(f\)는 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\)의 절단에 대응한다. 따라서 보조정리의 집합들에 나타날 수 있는 소인자들은 모두 \(|X| \setminus |U|\)의 기약성분들에 대응한다. 그러므로 Lemma 0EE5가 원하는 결과를 준다.

이 보조정리로 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. \(f\)에 대응하는 주 Weil 제수는 다음 Weil 제수이다. \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] 여기서 합은 소인자들에 걸쳐 취하고, \(\text{ord}_Z(f)\)는 Definition 0ENL과 같다. Lemma 0ENN에 의해 이 정의는 의미가 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(f, g \in R(X)^*\)라 하자. 그러면 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 가 \(X\) 위의 Weil 제수로서 성립한다.

증명

이는 \(\text{ord}\) 함수들의 가법성에서 명백하다.

위 보조정리로부터 주 Weil 제수들의 모임이 모든 Weil 제수들의 군의 부분군을 이룸을 알 수 있다. 이로부터 다음 정의가 나온다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(X\)의 Weil 제수류군은 Weil 제수들의 군을 주 Weil 제수들의 부분군으로 나눈 몫이다. 표기는 \(\text{Cl}(X)\)이다.

구성에 의해 다음 완전 복합체를 얻는다. [0ENS]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\] 이를 \(\text{Cl}(X)\)의 표시로 생각할 수 있다. 다음 과제는 Weil 제수류군을 Picard 군과 연결하는 것이다.

예

이는 Morphisms of Spaces, Example 05Z6의 연속이다. 대수공간 \(X = \mathbf{A}^1_k/\{t \sim -t \mid t \not = 0\}\)를 생각하자. 이는 체 \(k\) 위의 매끄러운 대수공간이다. 보편 위상동형 \[X \longrightarrow \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[t])\] 이 존재하며, \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) 위에서 동형이다. 따라서 \(X\)는 Noether이고 정역이다. \(\dim(X) = 1\)이므로 \(X\)의 소인자들은 \(X\)의 닫힌 점들이다. 유일한 닫힌 점 \(x \in |X|\)를 생각하되 \(0 \in \mathbf{A}^1_k\) 위에 놓이게 하자.

\(X \setminus \{x\}\)가 \(\mathbf{A}^1 \setminus \{0\}\)으로 동형으로 가므로, \(\text{Cl}(X)\)에서 \(x\)와 다른 닫힌 점들의 류는 영이다. 그러나 \(t\)의 \(X\) 위에서의 제수는 \(2[x]\)이다. 따라서 \(\text{Cl}(X) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\)이다.

예

\(k\)를 체라 하자. 두 좌표축의 합 \[U = \Spec(k[x, y]/(xy))\] 을 \(\mathbf{A}^2_k\) 안에서 생각하자.

\(\Delta : U \to U \times_k U\)를 대각사상이라 하고, \(\Delta' : U \to U \times_k U\)를 \(u \mapsto (u, \sigma(u))\)로 주어지는 사상이라 하자. 여기서 \(\sigma : U \to U\), \((x, y) \mapsto (y, x)\)는 두 좌표축을 서로 바꾸는 자기동형이다. 다음과 같이 놓자. \[R = \Delta(U) \amalg \Delta'(U \setminus \{0_U\})\] 여기서 \(0_U \in U\)는 원점이다. \(R\)이 \(U\) 위의 ètale 동치관계임은 쉽게 알 수 있다. 몫 \(X = U/R\)은 대수공간이다. 사상 \(U \to \mathbf{A}^1_k\), \((x, y) \mapsto x + y\)는 \(R\)-불변이므로 사상 \[X \longrightarrow \mathbf{A}^1_k\] 을 정의한다. 이 사상은 보편 위상동형이고 \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) 위에서 동형이다. 따라서 \(X\)는 정역이고 Noether이다. Example 0ENT와 정확히 같은 방식으로 독자는 \(\text{Cl}(X) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\)임을 보일 수 있으며, 생성원은 유일한 닫힌 점 \(x \in |X|\)에 대응하고 이 점은 \(0 \in \mathbf{A}^1_k\)로 간다. 그러나 이 경우 \(X\)의 \(x\)에서 Hensel 국소환은 정역이 아니다. 실제로 이는 \(\mathcal{O}_{U, 0_U}\)의 Hensel화이다.

가역 가군에 대응하는 Weil 제수류

이 절에서는 국소 Noether 정역 대수공간 위에 표준적 사상 \[\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\] 을 정의하기 위해 Section 0ENI에서와 정확히 같은 과정을 밟는다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. Divisors on Spaces, Lemma 0EPQ에 의해 정칙 유리형 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\)가 존재한다. 실제로 Divisors on Spaces, Lemma 0ENA에 의해 이는 \(\mathcal{L}_\eta\)의 영이 아닌 원소와 같은 것인데, 여기서 \(\eta \in |X|\)는 일반점이다. 같은 보조정리에 따르면 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)이면 \(s\)는 \(X\)의 영이 아닌 유리함수와 같은 것이다(따라서 아래의 구성은 Section 0ENI의 구성과 일치한다).

\(Z \subset X\)를 소인자라 하고 \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. \(s\)의 \(Z\)를 따른 소멸차수를 정의하려 한다. 표준적 사상 \[c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \longrightarrow X\] 을 생각하자. 그 정의역은 \(X\)의 \(\xi\)에서 Hensel 국소환의 스펙트럼이다 (Decent Spaces, Definition

0BGW). 당김 \(\mathcal{L}_\xi = c_\xi^*\mathcal{L}\)은 가역 가군이므로 자명하다. 생성원 \(s_\xi\)를 \(\mathcal{L}_\xi\)의 생성원으로 택하자. \(c_\xi\)가 평탄이므로 유리형 함수와 (정칙) 절단의 당김은 \(c_\xi\)에 대해 정의된다. Divisors on Spaces, Definition 0EN8와 Lemmas 0EN9 및 0ENC을 보라. 따라서 \[c_\xi^*(s) = f s_\xi\] 를 얻는데, 여기서 \(f \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\)는 영인자가 아닌 원소이다. 여기서는 Divisors, Lemma 02OV를 사용하여 유리형 절단의 공간 \(\mathcal{L}_\xi \cong \mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)}\)을 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)의 전분수환으로 나타내고 있다. 이 원소를 다음과 같이 나타내기로 하자. \[s/s_\xi = f \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] \(f = s/s_\xi\)는 \(uf\)로 바뀌는데, 여기서 \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 단원이다. 이는 \(s_\xi\)의 선택을 바꿀 때 일어난다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이라 하자. 모든 소인자 \(Z \subset X\) 중 일반점이 \(\xi \in |Z|\)인 것에 대해 \(s\)의 \(Z\)를 따른 소멸차수를 다음 정수로 정의한다. \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] 여기서 \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\)는 영인자가 아닌 원소들이고, 위에서 구성한 \(s/s_\xi\)의 \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) 안에서의 값은 \(a/b\)와 같다. 위의 논의와 Algebra, Lemma 02MC에 의해 잘 정의된다.

위에서 설명했듯이 정칙 유리형 절단 \(s\)가 \(\mathcal{O}_X\)의 것이면 \(s = f \cdot 1\)로 쓸 수 있는데, 여기서 \(f\)는 \(X\)의 영이 아닌 유리함수이고 \(\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{Z, \mathcal{O}_X}(s)\)이다. 주 제수의 경우와 마찬가지로 다음 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

\(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙(즉 영이 아닌) 유리형 절단이라 하자. 그러면 다음 두 집합은 \[\{Z \subset X \mid Z \text{가 일반점 }\xi \text{를 갖는 소인자이고 }s\text{가 속하지 않는 }\mathcal{L}_\xi\}\] 및 \[\{Z \subset X \mid Z \text{가 소인자이고 } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] \(X\)에서 국소 유한이다.

증명

공집합이 아닌 열린 부분공간 \(U \subset X\)가 존재하여 \(s\)는 \(\Gamma(U, \mathcal{L})\)의 절단에 대응하고, 이 절단은 \(\mathcal{L}\)을 \(U\) 위에서 생성한다. 따라서 보조정리의 집합들에 나타날 수 있는 소인자들은 모두 \(|X| \setminus |U|\)의 기약성분들에 대응한다. 따라서 Lemma

0EE5가 원하는 결과를 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. 그러면 \(f = s/s'\)는 \(R(X)^*\)의 원소이고 다음 등식이 Weil 제수로서 성립한다. \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\]

증명

이는 정의에서 명백하다. Lemma 0EPS가 이 합들이 실제로 Weil 제수임을 보장함에 주의하자.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 영이 아닌 임의의 유리형 절단 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 것이면 \(s\)에 대응하는 Weil 제수를 다음과 같이 정의한다. \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] 여기서 합은 소인자들에 걸쳐 취한다. Lemma 0EPS에 의해 잘 정의된다.

2. \(\mathcal{L}\)에 대응하는 Weil 제수류를 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\)의 \(\text{Cl}(X)\)에서의 상으로 정의한다. 여기서 \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 \(X\) 위 영이 아닌 임의의 유리형 절단이다. Lemma 0EPT에 의해 잘 정의된다.

예상한 대로 이 구성은 가역 가군에 대해 가법적이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(t\)를 각각 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. 그러면 \(st\)는 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이고 \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] 가 \(\text{Div}(X)\)에서 성립한다. 특히 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\)의 Weil 제수류는 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 Weil 제수류의 합이다.

증명

\(s\)와 \(t\)를 각각 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. 그러면 \(st\)는 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이다. \(Z \subset X\)를 소인자라 하고 \(\xi \in |Z|\)를 일반점이라 하자. 이 절 앞에서 설명한 표기를 사용하여 생성원 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)와 \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\)를 택하자. 그러면 \(s_\xi \otimes t_\xi\)는 \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\)의 생성원이다. 따라서 \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\)이고, 이는 \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\)에서의 등식이다. Algebra, Lemma 02MC의 가법성을 적용하면 다음을 얻는다. \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}, Z}(st) = \text{div}_{\mathcal{L}, Z}(s) + \text{div}_{\mathcal{N}, Z}(t)\]

몇 가지 세부사항은 생략한다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. 위의 구성과 보조정리들에 의해 아벨 군의 준동형 [0EPW]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] 을 얻는데, 이는 가역 가군에 그 Weil 제수류를 대응시킨다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 Noether 정역 대수공간이라 하자. \(X\)가 정규이면 사상 (0EPW) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)는 단사이다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 대응하는 Weil 제수류가 자명한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이라 하자. 가정은 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\)임을 뜻하는 어떤 \(f \in R(X)^*\)가 존재한다는 것이다. 그러면 \(t = f^{-1}s\)는 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이고 \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\)이다. Lemma 0EPT를 보라. \(t\)가 \(\mathcal{L}\)의 자명화를 정의한다고 주장한다. 이 주장으로 보조정리의 증명이 끝난다. 아직 자유롭게 쓸 수 있는 이론이 많지 않아 이 주장의 증명은 조금 어색하다. 독자에게

이 증명을 건너뛰기를 권한다.

이 주장은 ètale 국소적으로 확인할 수 있다. \(U \in X_\etale\)을 아핀이라 하고 \(\mathcal{L}|_U\)가 자명하다고 하자. \(s_U \in \Gamma(U, \mathcal{L}|_U)\)를 자명화라 하자. Properties, Lemma 0357에 의해 \(U\)도 정역이라고 가정해도 된다. \(U = \Spec(A)\)로 쓰자. 여기서 \(A\)는 분수체 \(K\)를 갖는 정규 Noether 정역이다. \(t|_U = f s_U\)로 쓸 수 있는데, 여기서 \(f\)는 \(K\)의 원소이다. 예를 들어 Divisors on Spaces, Lemma 0EN6를 보라. 높이 1의 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)를 택하되, 이는 공차원이 \(1\)인 점 \(u \in U\)에 대응하고 이 점은 공차원이 \(1\)인 점 \(\xi \in |X|\)로 간다고 하자. 이 절의 처음에서와 같이 자명화 \(s_\xi\)를 \(\mathcal{L}_\xi\)의 자명화로 택하자. 기하점 \(\overline{u}\)를 \(U\)의 기하점으로 택하되 \(u\) 위에 놓이게 하자. 그러면 \[(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)^{sh} = \mathcal{O}_{X, \overline{u}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} = (A_\mathfrak p)^{sh}\] 이다. Decent Spaces, Lemmas 0EMZ와 Properties of Spaces, Lemma 04KF을 보라. \(X\)의 정규성에 의해 이 환들은 모두 이산 부치환이다. 자명화 \(s_U\)와 \(s_\xi\)는 \(\mathcal{L}\)을 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{u}})\)로 당긴 절단으로서 한 단원만큼 다르다. \(t = f_\xi s_\xi\)로 쓰되 \(f_\xi \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\)라 하자. 그러면 \(f_\xi\)와 \(f\)는 \(Q(\mathcal{O}_{X, \overline{u}})\)에서 한 단원만큼 다르다. \(Z \subset X\)를 \(\xi\)에 대응하는 소인자라 하면(Lemma 0ENF), \[0 = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(t) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f_\xi)\] 이고, \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\)가 이산 부치환이므로 \(f_\xi\)는 단원이다. 따라서 \(f\)는 \(\mathcal{O}_{X, \overline{u}}\)의 단원이고, 특히 \(f \in A_\mathfrak p\)이다. Algebra, Lemma 031T에 의해 이는 \(f \in A\)를 함의한다. 따라서 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)이다. \(t^{-1}\)을 \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\)의 유리형 절단으로 보고 같은 논증을 반복하면 증명이 끝난다.

수정과 얼터레이션

정역 대수공간의 개념을 사용하여 다음과 같이 수정을 정의할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(X\)의 수정은 쌍유리 고유 사상 \(f : X' \to X\)인 대수공간 사이의 사상으로서 \(S\) 위에 있고 \(X'\)가 정역인 것이다.

대수공간의 쌍유리 사상에 대해서는 Decent Spaces, Definition 0ACV을 보라.

보조정리

\(f : X' \to X\)를 Definition 0AD8과 같은 수정이라 하자. 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(f^{-1}(U) \to U\)가 동형이다.

증명

Lemma 0AD5에 의해 공집합이 아닌 \(U \subset X\)가 존재하여 \(f^{-1}(U) \to U\)가 유한이다. 일반 평탄성(Morphisms of Spaces, Proposition 06QS)에 의해 \(f^{-1}(U) \to U\)가 평탄이고 유한 표시라고 가정해도 된다. 따라서 \(f^{-1}(U) \to U\)는 유한 국소 자유이다(Morphisms of Spaces, Lemma 0416). \(f\)가 쌍유리이므로 \(X'\)의 \(X\) 위 차수는 \(1\)이다. 따라서 \(f^{-1}(U) \to U\)는 차수가 \(1\)인 유한 국소 자유 사상, 즉 동형이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 정역 대수공간이라 하자. \(X\)의 얼터레이션은 고유 우세 사상 \(f : Y \to X\)인 대수공간 사이의 사상으로서 \(S\) 위에 있고 \(Y\)가 정역이며, \(f^{-1}(U) \to U\)가 유한인 것이다. 여기서 \(U \subset X\)는 공집합이 아닌 어떤 열린집합이다.

\(f : Y \to X\)가 정역 대수공간 사이의 우세 고유 사상이면, 일반점에서 유도되는 잉여체 확대가 유한일 때 이는 얼터레이션이다. 정확히는 다음이 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 정역 대수공간 사이의 고유 우세 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 얼터레이션일 필요충분조건은 Lemma 0AD5의 동치인 조건 (1)–(6) 중 하나가 성립하는 것이다.

증명

명제에서 참조한 보조정리의 즉각적인 결과이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간 사이의 고유 전사라 하자. \(Y\)가 정역이라고 가정하자. 그러면 정역 닫힌 부분공간 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f' = f|_{X'} : X' \to Y\)가 얼터레이션이다.

증명

\(V \subset Y\)를 공집합이 아닌 아핀 열린집합이라 하자(Decent Spaces, Theorem 086U). \(\eta \in V\)를 일반점이라 하자. 그러면 \(X_\eta\)는 \(\eta\) 위의 공집합이 아닌 고유 대수공간이다. 닫힌 점 \(x \in |X_\eta|\)를 택하자(이런 점은 \(|X_\eta|\)가 준콤팩트 sober 위상공간이므로 존재한다. Decent Spaces, Proposition 03K6와 Topology, Lemma 005E를 보라).

\(X'\)를 \(\overline{\{x\}} \subset |X|\) 위의 축약 유도 닫힌 부분공간 구조라 하자(Properties of Spaces, Definition 047X.

\(f' : X' \to Y\)는 그 상이 \(\eta\)를 포함하므로 전사이다. 또한 \(f'\)는 닫힌 몰입과 고유 사상의 합성이므로 고유이다. 마지막으로 올 \(X'_\eta\)는 점을 하나만 갖는다. 이를 보려면 \(X \to Y\)와 \(X' \to Y\) 및 점 \(\eta\)에 Decent Spaces, Lemma 0AC8를 사용하라. \(Y\)가 decent이고 \(X' \to Y\)가 분리이므로 \(X'\)도 decent이다(Decent Spaces, Lemmas

03M5 and 0ABY). 따라서 Lemma 0ADB에 의해 \(f'\)는 얼터레이션이다.

스킴적 자리

대수공간의 스킴적 자리에 관한 결과들을 이미 여러 개 증명했다. 참고할 곳은 다음과 같다.

1. Properties of Spaces, Sections 03JG and 07S5,

2. Decent Spaces, Section 06NN,

3. Properties of Spaces, Lemma 03DZ \(\Leftarrow\) Decent Spaces, Lemma 03IK \(\Leftarrow\) Decent Spaces, Lemma 047Z,

4. Limits of Spaces, Section 07VQ, and

5. Limits of Spaces, Section 0B7X.

어떤 종류의 대수공간 사상은 자동으로 표현가능인 경우가 있다. 예를 들어 분리이고 국소 준유한인 사상(Morphisms of Spaces, Lemma 0418)과 평탄 단사상(More on Morphisms of Spaces, Lemma 0B8A)이 그렇다. Section 0B82에서는 기초체 확대 아래에서 스킴적 자리에 어떤 일이 일어나는지 연구한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\)가 다음 조건 가운데 적어도 하나를 만족한다고 가정하자.

1. \(X\)가 준분리이고 \(\dim(X) = 0\)이다.

2. \(X\)가 어떤 체 \(k\) 위에서 국소 유한형이고 \(\dim(X) = 0\)이다.

3. \(X\)가 Noether이고 \(\dim(X) = 0\)이다.

4. 여기에 더 추가한다.

그러면 \(X\)는 분리 스킴이고, \(X\)의 임의의 준콤팩트 열린집합은 아핀이다.

증명

\(X\)의 임의의 준콤팩트 열린집합이 아핀임을 증명하면 \(X\)가 분리 스킴임을 얻는다. 따라서 \(X\)가 준콤팩트라고 가정하고 \(X\)가 아핀임을 보이면 된다. 경우 (2)와 (3)은 경우 (1)에서 곧바로 따르지만, 각각의 증명에는 훨씬 적은 이론이 필요하므로 (2)와 (3)을 별도로 증명한다.

(3)의 증명. \(U\)를 아핀 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 ètale 사상이라 하자. \(R = U \times_X U\)로 놓자. 두 사영 사상 \(s, t : R \to U\)는 스킴의 ètale 사상이다. Properties of Spaces, Definition 04N6에 의해 \(\dim(U) = 0\)이고 \(\dim(R) = 0\)이다. \(R\)는 차원 \(0\)인 국소 Noether 스킴이므로 \(R\)는 Artin 국소환들의 스펙트럼들의 서로소 합이다(Properties, Lemma 0AAX). \(X\)가 Noether라고 가정했으므로(따라서 준분리이므로) \(R\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(R\)는 아핀 스킴이다(Schemes, Lemma 01I5를 사용하라). ètale 사상 \(s, t : R \to U\)는 유한 잉여체 확대를 유도한다. 따라서 Algebra, Lemma 07DT에 의해 \(s\)와 \(t\)는 유한이다(작은 세부사항은 생략한다). 그러므로 Groupoids, Proposition 03BM에 의해 \(X = U/R\)는 아핀 스킴이다.

(2)의 증명은 (3)의 증명과 거의 같다. \(U\)를 아핀 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 ètale 사상이라 하자. \(R = U \times_X U\)로 놓자. 두 사영 사상 \(s, t : R \to U\)는 스킴의 ètale 사상이다. Properties of Spaces, Definition 04N6에 의해 \(\dim(U) = 0\)이고 마찬가지로 \(\dim(R) = 0\)이다. 한편 사상 \(U \to \Spec(k)\)는 ètale 사상 \(U \to X\)와 \(X \to \Spec(k)\)의 합성이므로 국소 유한형이다. Morphisms of Spaces, Lemmas 03XG and 06LT를 보라. 마찬가지로 \(R \to \Spec(k)\)도 국소 유한형이다. 따라서 Varieties, Lemma 06LH에 의해 \(U\)와 \(R\)는 \(k\) 위 유한인 Artin 국소 \(k\)-대수들의 스펙트럼들의 서로소 합이다. 그러므로 \(U \times_{\Spec(k)} U\)도 같은 성질을 갖는다. 사상 \[R = U \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(k)} U\] 이 단사상이므로 \(R\)는 유한 \(k\)-대수들의 스펙트럼들의 유한한(!) 합이다. 따라서 \(R\)는 아핀이다. Schemes, Lemma 01I5를 보라. Varieties, Lemma 06LH를 한 번 더 적용하면 \(R\)가 \(k\) 위에서 유한임을 알 수 있다. 따라서 Morphisms, Lemma 035D에 의해 \(s, t\)는 유한이다. 그러므로 Groupoids, Proposition 03BM에 의해 \(X = U/R\)는 아핀 스킴이다.

(1)의 코호몰로지적 증명. Cohomology of Spaces, Lemma 0A4R에 의해 모든 준연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(X\) 위 고차 코호몰로지 군이 소멸한다. 따라서 Cohomology of Spaces, Proposition 07V6에 의해 \(X\)는 아핀이다 (특히 스킴이다).

(1)의 기하학적 증명. 층화 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] 와 ètale 사상 \(f_p : V_p \to U_p\)를 Decent Spaces, Lemma 07ST에서와 같이 택하자(아래에서 이들의 모든 성질을 사용할 것이다). 대수공간 차원의 정의에 의해 \(\dim(V_p) = 0\)이다. 따라서 Properties, Lemma 0CKV를 각 \(V_p\)에 적용할 수 있다. 그러면 \(f_p^{-1}(U_{p + 1}) \subset V_p\)는 준콤팩트 열린집합이므로 아핀이고 닫혀 있다. 따라서 \(|T_p| \subset |U_p|\)는(앞에서 인용한 곳을 보라) 열린 동시에 닫힌 집합이다. 그러므로 \(X\)는 축약 구조가 스킴인 열린닫힌 부분공간들의 서로소 합이다. 따라서 \(X\)는 스킴이다 (Limits of Spaces, Lemma 07VU). 이제 앞에서 이미 참조한 스킴의 경우로 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 준분리 대수공간이 공차원 \(1\)을 제외하면 스킴임을 말해 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 준분리 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(x\)는 공차원 \(0\)인 \(X\)의 점이다.

2. \(X\)의 \(x\)에서 국소환의 차원은 \(0\)이다.

3. \(x\)는 \(|X|\)의 한 기약성분의 일반점이다.

이 조건들이 성립하면 \(X\)의 열린 부분공간 중 \(x\)를 포함하고 스킴인 것이 존재한다.

증명

(1), (2), (3)의 동치는 Decent Spaces, Lemma 0ABV와 준분리 대수공간이 decent라는 사실(Decent Spaces, Section 03I7)에서 따른다. 하지만 다음 문단에서 이 동치에 대한 더 초등적인 증명을 제시한다.

(1)과 (2)는 정의에 의해 동치임에 주의하자(Properties of Spaces, Definition 04NA). (1)과 (3)의 동치를 증명할 때 \(X\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다. Decent Spaces, Lemma 07ST에서와 같이 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] 및 \(f_i : V_i \to U_i\)를 택하자. \(x \in U_i\)이고 \(x \not \in U_{i + 1}\)이라고 하자. 그러면 \(x = f_i(y)\)인 유일한 \(y \in V_i\)가 존재한다. (1)이 성립하면 \(y\)는 \(V_i\)의 한 기약성분의 일반점이다(Properties of Spaces, Lemma 0BAQ). \(f_i^{-1}(U_{i + 1})\)는 \(V_i\)의 준콤팩트 열린집합이며 \(y\)를 포함하지 않으므로, 열린 근방 \(W \subset V_i\)가 \(y\)의 근방으로 존재하여

\(f_i^{-1}(V_i)\)와 만나지 않는다(Properties, Lemma 0AAW 또는 더 간단히 Algebra, Lemma 00EV를 보라). 그러면 \(f_i|_W : W \to X\)는 그 상 위로 동형이고, 따라서 \(x = f_i(y)\)는 \(|X|\)의 일반점이다. 역으로 (3)이 성립한다고 가정하자. 그러면 \(f_i\)는 \(\overline{\{y\}}\)를 \(\overline{\{x\}}\) 위로 보내며, 후자는 \(|U_i|\)의 기약성분이다. \(|f_i|\)가 \(\overline{\{x\}}\) 위에서 전단사이므로 \(\overline{\{y\}}\)는 \(U_i\)의 기약성분이다. 따라서 \(x\)는 공차원 \(0\)인 점이다.

보조정리의 마지막 명제는 Properties of Spaces, Proposition 06NH이다.

다음 보조정리는 분리 국소 Noether 대수공간이 공차원 \(1\)에서 스킴, 즉 공차원 \(2\)를 제외하면 스킴이라고 말한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(X\)가 분리이고 국소 Noether이며, \(X\)의 \(x\)에서 국소환 차원이 \(\leq 1\)이면(Properties of Spaces, Definition 04NA), \(X\)의 열린 부분공간 중 \(x\)를 포함하고 스킴인 것이 존재한다.

증명

(유한 groupoid에 관한 내용을 피하는 다른 접근법은 아래 주석을 보라.) \(X\)를 \(x\)의 준콤팩트 근방으로 바꿀 수 있으므로 \(X\)가 준콤팩트이고 분리이며 Noether라고 가정해도 된다.

스킴 \(U\)와 유한 전사 \(U \to X\)가 존재한다. Limits of Spaces, Proposition 09YC를 보라. \(R = U \times_X U\)라 하자. 그러면 \(j : R \to U \times_S U\)는 동치관계이고, groupoid 스킴 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위에서 얻는다. 여기서 \(s, t\)는 유한이고 \(U\)는 Noether 분리이다. \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset U\)를 \(x\)로 가는 점들의 집합이라 하자. 그러면 Decent Spaces, Lemma 0ABW에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{U, u_i}) \leq 1\)이다.

More on Groupoids, Lemma 0ABI에 의해 \(R\)-불변 아핀 열린집합 \(W \subset U\)가 존재하여 궤도 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\)를 포함한다. \(U \to X\)가 유한 전사이므로 연속사상 \(|U| \to |X|\)는 닫힌 전사이고, 따라서 Topology, Lemma 0AAU에 의해 submersive이다. 그러므로 \(f(W)\)는 열리고, 열린 부분공간 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f : W \to X'\)가 유한 전사이다.

Cohomology of Spaces, Lemma 07VP에 의해 \(X'\)는 아핀 스킴이고 증명이 끝난다.

주

Lemma 0ADD의 증명 개요를 제시하는데, 이는 More on Groupoids, Lemma 0ABI를 사용하지 않는다.

1단계. \(X\)가 축약 Noether 분리 대수공간이라고 가정해도 된다(예를 들어 Cohomology of Spaces, Lemma 07VP 또는 Limits of Spaces, Lemma 07VU을 사용한다). 또한 유한 전사 \(Y \to X\)를 택할 수 있는데, 여기서 \(Y\)는 Noether 스킴이다(Limits of Spaces, Proposition 09YC).

2단계. \(X\)를 \(x\)의 열린 근방으로 바꾸고 나면, 쌍유리 유한 사상 \(X' \to X\)와 닫힌 부분스킴 \(Y' \subset X' \times_X Y\)가 존재하여 \(Y' \to X'\)가 전사 유한 국소 자유이다. 실제로 \(X\)가 축약이므로 \(U \subset X\)인 조밀한 열린 부분공간이 존재하며 그 위에서 \(Y\)가 평탄이다(Morphisms of Spaces, Proposition 06QS). 그러면 \(U\)-허용 블로업 \(b : \tilde X \to X\)를 택하여 진변환 \(\tilde Y\)가 \(Y\)의 진변환이고 \(\tilde X\) 위에서 평탄이 되게 할 수 있다. More on Morphisms of Spaces, Lemma 087E를 보라(블로업에 관한 결과를 피하고 싶다면 Hilbert 스킴을 사용할 수도 있다). 이제 \(X' \subset \tilde X\)를 \(b^{-1}(U)\)의 스킴론적 폐포라 하고 \(Y' = X' \times_{\tilde X} \tilde Y\)라 하자. \(x\)는 공차원 \(1\)인 점이므로 \(X' \to X\)는 \(x\)의 한 근방 위에서 유한이다(Lemma 0AD2).

3단계. \(X\)를 \(x\)의 더 작은 근방으로 축소하고 나면 \(X'\)는 스킴이다. 이는 \(Y'\)가 스킴이고 \(Y' \to X'\)가 유한 국소 자유이며, 공차원 \(1\)인 점들의 임의의 유한 집합이 \(Y'\)에서 아핀 열린집합에 들어가기 때문이다. Properties of Spaces, Proposition

07S6과 Varieties, Proposition 09NN을 사용하라.

4단계. 아핀 열린집합 \(W' \subset X'\)가 존재하여 \(x\) 위에 놓이는 모든 점을 포함하고 \(X\)의 열린 부분공간의 역상이 된다. 이를 증명하기 위해 \(Z \subset X\)를 \(X' \to X\)가 동형이 아닌 점들의 집합의 폐포라 하자. \(x \in Z\)가 아니면 이미 끝났으므로 이를 가정해도 된다. 그러면 \(x\)는 \(Z\)의 한 기약성분의 일반점이고, \(X\)를 축소하여 \(Z\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다(Lemma 0ADC). 그러면 역상 \(Z' \subset X'\)도 아핀 스킴이다. \(x_1, \ldots, x_n \in Z'\)를 \(x\)로 가는 점들이라 하자. 아핀 열린집합 \(W'\)를 \(X'\) 안에서 찾아, \(Z'\)와의 교집합이 \(Z\)의 주 열린집합 중 \(x\)를 포함하는 것의 역상이 되게 할 수 있다. 실제로 먼저 아핀 열린집합 \(W' \subset X'\)를 택하여 \(x_1, \ldots, x_n\)을 포함하게 한다. 여기서 Varieties, Proposition 09NN을 사용한다. 이어서 주 열린집합 \(D(f) \subset Z\)를 택하되 \(x\)를 포함하고, 그 역상 \(D(f|_{Z'})\)가 \(W' \cap Z'\)에 포함되게 한다. 그런 다음 \(f' \in \Gamma(W', \mathcal{O}_{W'})\)를 택하여 \(f|_{Z'}\)로 제한되게 하고 \(W'\)를 \(D(f') \subset W'\)로 바꾼다. \(X' \to X\)가 \(Z' \to Z\)를 제외하면 동형이므로, \(W'\)를 이렇게 택했을 때 상 \(W \subset X\)는 \(W'\)의 상이고 열려 있으며, 그 역상은 \(W'\)이며 이는 \(X'\) 안의 부분공간이다.

5단계. 이제 \(W' \to W\)는 유한 전사이고, Cohomology of Spaces, Lemma 07VP에 의해 \(W\)는 스킴이다. 이로써 증명이 끝난다.

스킴적 자리와 체 확대

체 \(k\) 위의 표현불가능 대수공간이 \(k\)의 확대에 기초변환하면 표현가능, 즉 스킴이 되는 일이 있을 수 있다. Spaces, Example 03FN를 보라. 이 절에서는 이 문제를 다룬다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 대수공간이라 하자. 순수 비분리 체 확대 \(k'/k\)가 존재하여 \(X_{k'}\)가 스킴이면, \(X\)는 스킴이다.

증명

사상 \(X_{k'} \to X\)는 정수적이고 전사이며 보편 단사이다. 따라서 이 보조정리는 Limits of Spaces, Lemma 07VV에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 대수적 폐포 \(\overline{k}\)를 갖는 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 준분리 대수공간이라 하자.

1. 체 확대 \(K/k\)가 존재하여 \(X_K\)가 스킴이면, \(X_{\overline{k}}\)는 스킴이다.

2. \(X\)가 준콤팩트이고 체 확대 \(K/k\)가 존재하여 \(X_K\)가 스킴이면, \(X_{k'}\)가 스킴인 어떤 유한 분리 확대 \(k'\)가 \(k\) 위에 존재한다.

증명

모든 대수공간은 그 준콤팩트 열린 부분공간들의 합집합이므로 보조정리의 첫째 부분은 둘째 부분에서 따른다(몇 가지 세부사항은 생략한다). 따라서 \(X\)가 준콤팩트라고 가정하고, 확대 \(K/k\)가 주어져 \(X_K\)가 표현가능이라고 주어졌다고 하자. \(K = \bigcup A\)를 유한 생성 \(k\)-부분대수 \(A\)들의 쌍대극한으로 쓰자. Limits of Spaces, Lemma 07SR에 의해 \(X_A\)가 스킴인 어떤 \(A\)가 존재한다. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A\)를 택하자. Hilbert 영점정리(Algebra, Theorem 00FV)에 의해 잉여체 \(k' = A/\mathfrak m\)은 \(k\)의 유한 확대이다. 따라서 \(X_{k'}\)가 스킴임을 알 수 있다. \(k' \supset k\)가 분리 확대가 아니면 Fields, Lemma 030K에서 찾은 중간 확대 \(k'/k''/k\)를 택하자. \(k'/k''\)가 순수 비분리이므로 Lemma 0B83에 의해 대수공간 \(X_{k''}\)는 스킴이다. \(k''|k\)가 분리이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(k'/k\)를 갈루아 군 \(G\)를 갖는 유한 갈루아 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 대수공간이라 하자. 그러면 \(G\)는 대수공간 \(X_{k'}\)에 자유롭게 작용하고, Properties of Spaces, Lemma 071S의 의미에서 \(X = X_{k'}/G\)이다.

증명

생략한다. 힌트: 먼저 \(\Spec(k) = \Spec(k')/G\)임을 보이라. 그런 다음 몫을 취하는 것이 기초변환과 양립함을 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 유한군 \(G\)가 \(X\)에 자유롭게 작용한다고 하자. Properties of Spaces, Lemma 071S에서처럼 \(Y = X/G\)로 놓자. 모든 \(y \in |Y|\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(y\)가 \(Y\)의 스킴적 자리에 들어간다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(y\)의 역상을 포함한다.

증명

Properties of Spaces, Lemma 071S에서 \(Y = X/G\)를 구성한 방식에 의해 사상 \(X \to Y\)는 전사 ètale이다. 물론 \(X \times_Y X = X \times G\)이므로 사상 \(X \to Y\)는 심지어 유한 ètale이다. 또한 전사이다. 따라서 이 보조정리는 Decent Spaces, Lemma 0BA1에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 준분리 대수공간이라 하자. 순수 초월 체 확대 \(K/k\)가 존재하여 \(X_K\)가 스킴이면, \(X\)는 스킴이다.

증명

모든 대수공간은 그 준콤팩트 열린 부분공간들의 합집합이므로 \(X\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다(몇 가지 세부사항은 생략한다). 확대 \(K/k\)에 관한 가정은 \(K\)가 \(k\) 위의 (변수가 무한히 많을 수도 있는) 다항식환의 분수체라는 뜻임을 상기하자(Fields, Definition 030E). 따라서 \(K = \bigcup A\)는 부분대수들의 합집합이고, 각 부분대수는 \(k\) 위의 유한 다항식대수의 국소화이다. Limits of Spaces, Lemma 07SR에 의해 \(X_A\)가 스킴인 어떤 \(A\)가 존재한다. 다음과 같이 쓰자. \[A = k[x_1, \ldots, x_n][1/f]\] 여기서 \(f \in k[x_1, \ldots, x_n]\)는 영이 아니다.

\(k\)가 무한이면 다음과 같이 증명을 끝낼 수 있다. \(a_1, \ldots, a_n \in k\)를 택하되 \(f(a_1, \ldots, a_n) \not = 0\)이 되게 하자. 그러면 \((a_1, \ldots, a_n)\)은 \(k\)-대수 준동형 \(A \to k\)를 정의하며, \(x_i\)를 \(a_i\)로, \(1/f\)를 \(1/f(a_1, \ldots, a_n)\)으로 보낸다. 따라서 기초변환 \(X_A \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong X\)는 원하는 대로 스킴이다.

이 문단에서는 \(k\)가 유한인 경우의 증명을 끝낸다. 이 경우 \(X = \lim X_i\)로 쓰되, \(X_i\)는 \(k\) 위 유한 표시이고 전이사상은 아핀이다 (Limits of Spaces, Lemma 09NS). Limits of Spaces, Lemma 07SR에 의해 \(X_{i, A}\)가 스킴인 어떤 \(i\)가 존재한다. 따라서 \(X \to \Spec(k)\)가 유한 표시라고 가정해도 된다. \(x \in |X|\)를 닫힌 점이라 하자. \(x\)를 닫힌 몰입 \(\Spec(\kappa) \to X\)로 나타낼 수 있다(Decent Spaces, Lemma 0AHB). 그러면 \(\Spec(\kappa) \to \Spec(k)\)는 유한형이므로 \(\kappa\)는 \(k\)의 유한 확대이다(Hilbert 영점정리에 의한다. Algebra, Theorem 00FV를 보라. 몇 가지 세부사항은 생략한다). \([\kappa : k] = d\)라 하자. 정수 \(n \gg 0\)을 택하되 \(d\)와 서로소이게 하고, \(k'/k\)를 차수 \(n\)인 확대라 하자. 그러면 \(k'/k\)는 갈루아 확대이고 \(G = \text{Aut}(k'/k)\)는 차수 \(n\)인 순환군이다. \(n\)이 충분히 크면 위와 같은 이유로 \(k\)-대수 준동형 \(A \to k'\)가 존재한다.

그러면 \(X_{k'}\)는 스킴이고 Lemma 0B86에 의해 \(X = X_{k'}/G\)이다. 한편 \(n\)과 \(d\)가 서로소이므로 \[\Spec(\kappa) \times_{X} X_{k'} = \Spec(\kappa) \times_{\Spec(k)} \Spec(k') = \Spec(\kappa \otimes_k k')\] 는 체의 스펙트럼이다. 다시 말해 \(X_{k'} \to X\)의 \(x\) 위 올은 점 하나로 이루어진다. 따라서 Lemma 0B87에 의해 \(x\)는 원하는 대로 \(X\)의 스킴적 자리에 들어간다.

주

\(k\)를 유한체라 하고 \(K/k\)를 기하학적 기약 체 확대라 하자. 그러면 \(K\)는 기하학적 기약 유한형 \(k\)-대수 \(A\)들의 극한이다. \(A\)가 주어지면 Lang과 Weil의 추정 [LW]에 의해 \(n \gg 0\)일 때 \(k\)-대수 준동형 \(A \to k'\)가 존재하고 \(k'/k\)의 차수는 \(n\)이다.

Lemma 0B85의 증명에서 제시한 논증을 분석하면, \(X\)가 \(k\) 위의 준분리 대수공간이고 \(X_K\)가 스킴일 때 \(X\)가 스킴임을 알 수 있다. 이 결과가 필요하게 되면 여기서 정확히 정식화하고 증명할 것이다.

보조정리

\(k\)를 대수적 폐포 \(\overline{k}\)를 갖는 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 대수공간으로서 다음을 만족하는 것이라 하자.

1. \(X\)가 decent이고 \(k\) 위에서 국소 유한형이다.

2. \(X_{\overline{k}}\)가 스킴이다.

3. \(\overline{k}\)-유리점들로 이루어진 \(X_{\overline{k}}\)의 임의의 유한 집합은 어떤 아핀 열린집합에 포함된다.

그러면 \(X\)는 스킴이다.

증명

\(K/k\)가 확대이면 기초변환 \(X_K\)는 decent이고(Decent Spaces, Lemma 0ABT) \(K\) 위에서 국소 유한형이다(Morphisms of Spaces, Lemma 03XH). Lemma 0B83에 의해 \(X\)가 \(k\)의 완전폐포로 기초변환한 뒤 스킴이 됨을 보이면 충분하다. 따라서 \(k\)가 완전체라고 가정해도 된다(이 단계가 엄밀히 필요하지는 않지만 다른 논증을 생각하기 쉽게 해 준다). \(X\)를 준콤팩트 열린집합들로 덮으면 \(X\)가 준콤팩트인 경우만 증명하면 충분함을 알 수 있다(작은 세부사항은 생략한다). 이 경우 \(|X|\)는 sober 위상공간이다(Decent Spaces, Proposition 03K6). 따라서 \(|X|\)의 모든 닫힌 점이 \(X\)의 스킴적 자리에 들어감을 보이면 충분하다 (Properties of Spaces, Lemma 03JH과 Topology, Lemma 005E를 사용하라).

\(x \in |X|\)를 닫힌 점이라 하자. Decent Spaces, Lemma 0AHB에 의해 닫힌 몰입 \(\Spec(l) \to X\)를 찾아 \(x\)를 나타낼 수 있다. 그러면 \(\Spec(l) \to \Spec(k)\)는 유한형이고(Morphisms of Spaces, Lemma 03XG), Hilbert 영점정리 (Algebra, Theorem 00FV)에 의해 \(l\)이 \(k\)의 유한 확대임을 알 수 있다. \(k\)가 완전체이므로 이 확대는 분리이다. 따라서 스킴 \[\Spec(l) \times_X X_{\overline{k}} = \Spec(l) \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \Spec(l \otimes_k \overline{k})\] 은 유한 개의 \(\overline{k}\)-유리점들의 서로소 합이다. 가정 (3)에 의해 이 점들을 포함하는 아핀 열린집합 \(W \subset X_{\overline{k}}\)를 찾을 수 있다.

Lemma 0B84에 의해 \(X_{k'}\)가 스킴인 어떤 유한 확대 \(k'/k\)가 존재한다. \(k'\)를 확대하여 어떤 아핀 열린집합 \(U' \subset X_{k'}\)의 \(\overline{k}\)로의 기초변환이 \(W\)가 된다고 가정해도 된다(\(X_{\overline{k}}\)가 스킴 \(X_{k''}\)들의 극한인데, 여기서 \(k' \subset k'' \subset \overline{k}\)이고 확대들은 유한이라는 것과 Limits, Lemmas 01Z4 and 01Z6을 사용한다). \(k'/k\)가 갈루아 확대라고 가정해도 된다(정규폐포를 취하고 Fields, Lemma 09DT와 \(k\)가 완전체라는 사실을 사용한다).

\(G = \text{Gal}(k'/k)\)로 놓자. 구성에 의해 \(G\)-불변 닫힌 부분스킴 \(\Spec(l) \times_X X_{k'}\)는 \(U'\)에 포함된다. 따라서 Lemmas 0B86 and 0B87에 의해 \(x\)는 스킴적 자리에 들어간다.

다음 두 보조정리는 다른 곳에 두어야 한다. 다음 보조정리를 Decent Spaces, Lemma 0ACA와 비교하라.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 대수공간이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 준유한이다.

2. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이고 차원이 \(0\)이다.

3. \(X\)가 스킴이고 \(k\) 위에서 국소 준유한이다.

4. \(X\)가 스킴이고 \(k\) 위에서 국소 유한형이며 차원이 \(0\)이다.

5. \(X\)가 Artin 국소 \(k\)-대수 \(A\)들의 스펙트럼의 서로소 합이고, 이 대수들은 \(k\) 위에 있으며 \(\dim_k(A) < \infty\)이다.

증명

체 위에서 생각하므로 \(X/k\)의 상대차원은 \(X\)의 차원과 같다.

따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 04NV에 의해 (1)과 (2)가 동치임을 알 수 있다. 그러므로 Lemma 06LZ와 자명한 함의들로부터 (1)–(4)가 동치임이 따른다. 마지막으로 Varieties, Lemma 06LH에 의해 (1)–(4)는 (5)와도 동치이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(k\) 위 대수공간의 단사상이라 하자. \(Y\)가 \(k\) 위에서 국소 준유한이면 \(X\)도 그렇다.

증명

\(Y\)가 \(k\) 위에서 국소 준유한이라고 가정하자. Lemma 06S0에 의해 \(Y = \coprod \Spec(A_i)\)이고 각 \(A_i\)는 \(k\) 위 유한인 Artin 국소환이다. Decent Spaces, Lemma 06RZ에 의해 \(X\)는 스킴이다. \(X_i = f^{-1}(\Spec(A_i))\)를 생각하자. 그러면 \(X_i\)는 점을 하나 갖거나 갖지 않는다. \(X_i\)가 점을 갖지 않으면 증명할 것이 없다. \(X_i\)가 점을 하나 가지면 \(X_i = \Spec(B_i)\)이고, \(B_i\)는 영차원 국소환이며 \(A_i \to B_i\)는 환의 epimorphism이다. 특히 \(A_i/\mathfrak m_{A_i} = B_i/\mathfrak m_{A_i}B_i\)이고, Nakayama 보조정리인 Algebra, Lemma 00DV에 의해 \(A_i \to B_i\)가 전사임을 알 수 있다(\(\mathfrak m_{A_i}\)가 멱영 아이디얼이기 때문이다!). 따라서 \(B_i\)는 유한 국소 \(k\)-대수이고, Lemma 06S0에 의해 \(X \to \Spec(k)\)가 국소 준유한임을 얻는다.

기하학적으로 축약인 대수공간

체 위의 축약 대수공간 \(X\)는 바탕체를 확대하면 \(X\)가 비축약이 될 수 있다. 기하학적으로 축약인 대수공간에서는 이런 일이 일어나지 않는다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자.

1. \(x \in |X|\)를 점이라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 기하학적으로 축약이라고 하는 것은 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약일 때이다.

2. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이라고 하는 것은 \(X\)가 \(X\)의 모든 점에서 기하학적으로 축약일 때이다.

\(X\)가 \(x\)에서 기하학적으로 축약이면 \(X\)의 \(x\)에서의 국소환은 축약이다 (Properties of Spaces, Lemma 0E01). 마찬가지로 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이면 \(X\)는 축약이다 (Properties of Spaces, Lemma 0BGS에 의한다). 특히 다음 보조정리는 이 정의가 체 위 스킴에 대한 대응하는 성질과 충돌하지 않음을 함의한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하학적으로 축약이다.

2. 어떤 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)에서 \(U\)가 스킴이면, \(U\)는 \(u\)에서 기하학적으로 축약이다.

3. 임의의 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)에서 \(U\)가 스킴이면, \(U\)는 \(u\)에서 기하학적으로 축약이다.

증명

국소환 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 강 Hensel화임을 상기하자. Properties of Spaces, Lemma 04KF을 보라. Varieties, Lemma 035W에 의해 \(U\)가 \(u\)에서 기하학적으로 축약인 것과 \(\mathcal{O}_{U, u}\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약인 것은 동치이다. 따라서 다음을 보이면 된다. \(A\)가 국소 \(k\)-대수이면, \(A\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약인 것과 \(A^{sh}\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약인 것은 동치이다. 이를 기하학적으로 축약인 대수의 정의(Algebra, Definition 030S)를 써서 확인한다. \(K/k\)를 체 확대라 하자. \(A \to A^{sh}\)는 충실 평탄이므로(More on Algebra, Lemma 07QM), \(A \otimes_k K \to A^{sh} \otimes_k K\)도 충실 평탄이다(Algebra, Lemma 00HI). 따라서 \(A^{sh} \otimes_k K\)가 축약이면 Algebra, Lemma 033F에 의해 \(A \otimes_k K\)도 축약이다. 역으로 \(A^{sh}\)는 에탈 \(A\)-대수들의 여극한임을 상기하자.

Algebra, Lemma 04GP을 보라. 따라서 \(A^{sh} \otimes_k K\)는 에탈 \(A \otimes_k K\)-대수들의 여과 여극한이다. Algebra, Lemma 033B으로 결론을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)는 기하학적으로 축약이다.

2. 어떤 전사 에탈 사상 \(U \to X\)에서 \(U\)가 스킴이면 \(U\)는 기하학적으로 축약이다.

3. 임의의 에탈 사상 \(U \to X\)에서 \(U\)가 스킴이면 \(U\)는 기하학적으로 축약이다.

증명

정의와 Lemma 0DMR에서 바로 따른다.

특성 0에서는 이 개념이 별다른 내용을 갖지 않는다.

보조정리

\(X\)를 완전체 \(k\) (예를 들어 \(k\)의 특성이 0인 경우) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(x \in |X|\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 축약이면 \(X\)는 \(x\)에서 기하학적으로 축약이다.

2. \(X\)가 축약이면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이다.

증명

첫째 명제는 Algebra, Lemma 030U와 완전체의 정의 (Algebra, Definition 030Y)에서 따른다. 둘째 명제는 첫째 명제에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 특성이 \(p > 0\)인 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이다.

2. \(X_{k'}\)는 모든 체 확대 \(k'/k\)에 대하여 축약이다.

3. \(X_{k'}\)는 모든 유한 순수 비분리 체 확대 \(k'/k\)에 대하여 축약이다.

4. \(X_{k^{1/p}}\)는 축약이다.

5. \(X_{k^{perf}}\)는 축약이다.

6. \(X_{\bar k}\)는 축약이다.

증명

전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하되 \(U\)는 스킴이라 하자. Lemma 0DMS를 쓰면 이 보조정리는 \(U\)를 \(k\) 위에서 본 경우의 결과에서 따른다. Varieties, Lemma 035X를 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(x \in |X|\)를 점이라 하고, 점 \(x' \in |X_{k'}|\)를 택하되 그것이 \(x\) 위에 놓이게 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하학적으로 축약이다.

2. \(X_{k'}\)는 \(x'\)에서 기하학적으로 축약이다.

특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약인 것과 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하학적으로 축약인 것은 동치이다.

증명

에탈 사상 \(U \to X\)를 택하되 \(U\)는 스킴이라 하고, 점 \(u \in U\)를 택하되 그것이 \(x \in |X|\)로 가게 하자. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 점 \(u' \in U_{k'} = U \times_X X_{k'}\)를 택하여 \(u\)와 \(x'\) 모두로 가게 할 수 있다. Lemma 0DMR에 의해 이 보조정리는 \(U, u, u'\)에 대한 보조정리, 즉 Varieties, Lemma 0384에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(k\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)를 점이라 하고 그 상을 \(y \in |Y|\)라 하자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 에탈이면, \(X\)가 \(x\)에서 기하학적으로 축약이다 \(\Leftrightarrow\) \(Y\)가 \(y\)에서 기하학적으로 축약이다.

2. \(f\)가 전사 에탈이면, \(X\)가 기하학적으로 축약이다 \(\Leftrightarrow\) \(Y\)가 기하학적으로 축약이다.

증명

(1)은 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)이고 \(f\)가 \(x\)에서 에탈이므로 명백하다. (2)는 (1)에서 바로 따른다.

기하학적으로 연결인 대수공간

체 위의 연결 대수공간 \(X\)는 바탕체를 확대하면 \(X\)가 비연결이 될 수 있다. 기하학적으로 연결인 대수공간에서는 이런 일이 일어나지 않는다.

정의

\(X\)를 체 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결이라고 하는 것은 기초변환 \(X_{k'}\)가, \(k'\)를 \(k\)의 임의의 체 확대라 할 때, 연결일 때이다.

관례상 연결 위상공간은 공집합이 아니다. 따라서 기하학적으로 연결인 대수공간은 더더욱 공집합이 아니다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. 그러면 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결인 것과 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하학적으로 연결인 것은 동치이다.

증명

\(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결이면 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하학적으로 연결임은 명백하다. 역으로, 임의의 체 확대 \(k''/k\)에 대하여 공통 체 확대 \(k'''/k\)가 존재하여 \(k'/k\)와 \(k''/k\)를 모두 확대한다. Fields, Lemma 0H7K을 보라. 사상 \(X_{k'''} \to X_{k''}\)는 (체들의 스펙트럼 사이 전사 사상의 기초변환이므로) 전사이므로, \(X_{k'''}\)의 연결성은 \(X_{k''}\)의 연결성을 함의한다. 따라서 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하학적으로 연결이면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결이라고 가정하자. 그러면 사영 사상 \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] 은 연결성분들 사이의 전단사를 유도한다.

증명

\(y \in |Y|\)가 사상 \(\Spec(K) \to Y\)로 표현된다고 하자. 여기서 \(K\)는 체이다. \(|X \times_k Y| \to |Y|\)의 \(y\) 위 올은 Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(|X_K| \to |X \times_k Y|\)의 상이다. 따라서 \(X\)가 기하학적으로 연결이라는 가정에 의해 이 올들은 연결이다. Morphisms of Spaces, Lemma 06DN에 의해 사상 \(|p|\)는 열린 사상이다. 그러므로 Topology, Lemma 0378를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\(k'/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(k\)가 분리대수적으로 닫혀 있다고 가정하자. 그러면 사상 \(X_{k'} \to X\)는 연결성분들의 전단사를 유도한다. 특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결인 것과 \(X\)가 연결인 것은 동치이다.

증명

\(k\)가 분리대수적으로 닫혀 있으므로 \(k'\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결이다. Algebra, Lemma 037U을 보라. 따라서 Varieties, Lemma 0386에 의해 \(Z = \Spec(k')\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 연결이다. \(X_{k'} = Z \times_k X\)이므로 결과는 Lemma 0A11의 특수한 경우이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(\overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. 그러면 \(X\)가 기하학적으로 연결인 것과 기초변환 \(X_{\overline{k}}\)가 연결인 것은 동치이다.

증명

\(X_{\overline{k}}\)가 연결이라고 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. 체 확대 \(\overline{k}'/\overline{k}\)가 존재하여 \(k'\)가 \(\overline{k}'\)에 \(k\)의 확대체로서 매장된다. Lemma 0A12에 의해 \(X_{\overline{k}'}\)가 연결임을 알 수 있다. \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\)가 전사이므로 \(X_{k'}\)가 연결임을 얻는다.

\(k\)를 체라 하고 \(\overline{k}/k\)를 (무한일 수도 있는) 갈루아 확대라 하자. 예를 들어 \(\overline{k}\)는 \(k\)의 분리 대수적 폐포일 수 있다. 임의의 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)에 대응하는 자기동형 \(\Spec(\sigma) : \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\) 을 얻는다. 다음에 주의하자. \(\Spec(\sigma) \circ \Spec(\tau) = \Spec(\tau \circ \sigma)\). 따라서 반대군의 작용 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\] 을 스킴 \(\Spec(\overline{k})\) 위에 얻는다. \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. 정의에 의해 \(X_{\overline{k}} = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} X\) 이므로 위 작용은 표준 작용 [0A14]\[\begin{equation} \text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times X_{\overline{k}} \longrightarrow X_{\overline{k}}. \end{equation}\] 을 유도한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(\overline{k}\)를 \(k\)의 (무한일 수도 있는) 갈루아 확대라 하자. \(V \subset X_{\overline{k}}\)를 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자. 그러면

1. 유한 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)와 준콤팩트 열린 부분공간 \(V' \subset X_{k'}\)가 존재하여 \(V = (V')_{\overline{k}}\)를 만족한다.

2. 열린 부분군 \(H \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\)가 존재하여 \(\sigma(V) = V\)가 모든 \(\sigma \in H\)에 대해 성립한다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 준콤팩트 열린 부분공간 \(W \subset U_{\overline{k}}\)를 택하여 \(X_{\overline{k}}\)에서의 상이 \(V\)가 되게 하자. 이는 \(|U_{\overline{k}}| \to |X_{\overline{k}}|\)가 연속이고 \(|U_{\overline{k}}|\)가 준콤팩트 열린집합들로 이루어진 기저를 가지므로 가능하다. Varieties, Lemma 04KU을 \(W \subset U_{\overline{k}}\)에 적용하여 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(\overline{k}/k\)를 (무한일 수도 있는) 갈루아 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(\overline{T} \subset |X_{\overline{k}}|\)가 다음 성질들을 만족한다고 하자.

1. \(\overline{T}\)는 \(|X_{\overline{k}}|\)의 닫힌 부분집합이다.

2. 모든 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)에 대하여 \(\sigma(\overline{T}) = \overline{T}\)이다.

그러면 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)가 존재하여 \(|X_{k'}|\)에서의 역상이 \(\overline{T}\)이다.

증명

\(T \subset |X|\)를 \(\overline{T}\)의 상이라 하자. \(|X_{\overline{k}}| \to |X|\)가 전사이므로, 이 명제는 \(T\)가 닫혀 있고 그 역상이 \(\overline{T}\)라는 뜻이다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 스킴의 경우(Varieties, Lemma 038B를 보라)에 의해 닫힌 부분집합 \(T' \subset |U|\)가 존재하여 \(|U_{\overline{k}}|\)에서의 역상이 \(\overline{T}\)의 역상이다. \(|U_{\overline{k}}| \to |X_{\overline{k}}|\)가 전사이므로, \(T'\)는 \(T\)의 \(|U| \to |X|\)를 통한 역상이다. \(|X|\) 위 위상의 구성에 의해 이는 \(T\)가 닫혀 있다는 뜻이다. 같은 방식으로 \(\overline{T}\)가 \(T\)의 역상임을 알 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 대수공간이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X\)는 기하학적으로 연결이다.

2. 모든 유한 분리 체 확대 \(k'/k\)에 대하여 대수공간 \(X_{k'}\)는 연결이다.

증명

이 증명은 Varieties, Lemma 0389의 증명에서 Varieties, Lemma 0387를 Lemma 0A13로 바꾸고, Varieties, Lemma 04KU을 Lemma 0A15으로 바꾸고, Varieties, Lemma 038B를 Lemma 0A16로 바꾸는 것만 빼면 동일하다. 독자에게 이 증명 대신 그 증명을 읽기를 강력히 권한다.

(1)이 (2)를 함의하는 것은 정의에서 바로 따른다. \(X\)가 기하학적으로 연결이 아니라고 가정하자. \(k \subset \overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. Lemma 0A13에 의해 \(X_{\overline{k}}\)는 비연결이다. 다음과 같이 쓰자. \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\), 여기서 \(\overline{U}\)와 \(\overline{V}\)는 \(X_{\overline{k}}\)의 열리고 닫힌 공집합이 아닌 대수적 부분공간이다.

\(W \subset X\)가 임의의 준콤팩트 열린 부분공간이라고 하자. 그러면 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 \(W_{\overline{k}}\)의 열리고 닫힌 부분공간이다. 특히 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 준콤팩트이고, Lemma 0A15에 의해 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 둘 다 유한 부분확대 위에서 정의되며 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 열린 부분군 아래에서 불변이다. 이하에서는 이를 더 언급하지 않고 사용한다.

준콤팩트 열린 부분공간 \(W_0 \subset X\)를 택하여 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V}\)가 모두 공집합이 아니게 하자. 유한 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)와 열리고 닫힌 부분집합들로의 분해 \(W_{0, k'} = U_0' \amalg V_0'\)를 택하여 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U} = (U'_0)_{\overline{k}}\) 및 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V} = (V'_0)_{\overline{k}}\)를 만족하게 하자. \(H = \text{Gal}(\overline{k}/k') \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\)라 하자. 특히 \(\sigma(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}) = W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\)이고 \(\overline{V}\)에 대해서도 마찬가지이다.

위와 같이 \(W_0\), \(k'\)를 택했으면, 모든 준콤팩트 열린 부분공간 \(W \subset X\)에 대하여 다음과 같이 둔다. \[U_W = \bigcap\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}), \quad V_W = \bigcup\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}).\] 이제 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 열린 부분군에 의해 고정되므로, 위의 합집합과 교집합은 유한하다. 따라서 \(U_W\)와 \(V_W\)는 모두 열리고 닫힌 부분공간이다. 또한 구성에 의해 \(W_{\bar k} = U_W \amalg V_W\)이다.

\(W \subset W' \subset X\)가 준콤팩트 열린 부분공간들이면 \(W_{\overline{k}} \cap U_{W'} = U_W\)이고 \(W_{\overline{k}} \cap V_{W'} = V_W\)라고 주장한다. 확인은 생략한다. 따라서 \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) 및 \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\)로 정의하면 \(X_{\overline{k}} = U \amalg V\)가 열리고 닫힌 부분집합들의 비접 합으로 얻어진다.

\(V\)는 (국소적으로) 합집합을 취하여 구성되므로 공집합이 아님이 명백하다. 한편 \(U\)는 구성에 의해 \(W_0 \cap \overline{U}\)를 포함하므로 공집합이 아니다.

마지막으로 \(U, V \subset X_{\bar k}\)는 구성에 의해 닫혀 있고 \(H\)-불변이다. 따라서 Lemma 0A16에 의해 \(U = (U')_{\bar k}\)이고 \(V = (V')_{\bar k}\)인 닫힌 부분집합 \(U', V' \subset X_{k'}\)가 존재한다. 명백히 \(X_{k'} = U' \amalg V'\)이고, 따라서 원하는 대로 \(X_{k'}\)가 비연결임을 알 수 있다.

기하학적으로 기약인 대수공간

Spaces, Example 02Z8은 대수공간의 기약성을 완전히 일반적인 상황에서 생각하지 않는 편이 낫다는 것을 보여 준다 ¹. decent한(예를 들어 준분리인) 대수공간에서는 이런 종류의 재난이 일어나지 않는다. 따라서 다음 정의는 대수공간이 decent하다는 가정 아래에서만 내린다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 decent 대수공간이라 하자. \(X\)가 기하학적으로 기약이라고 하는 것은 위상공간 \(|X_{k'}|\)가 기약이고², \(k'\)가 \(k\)의 임의의 체 확대일 때마다 이 조건이 성립하는 경우이다.

\(X_{k'}\)가 decent 대수공간임에 주의하자(Decent Spaces, Lemma 0ABT). 따라서 위상공간 \(|X_{k'}|\)는 sober이다. Decent Spaces, Proposition 03K6.

기하학적으로 정역인 대수공간

정의상 정역 대수공간은 decent임을 상기하자. Section 0AD3을 보라.

정의

\(X\)를 체 \(k\) 위 대수공간이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 정역이라고 하는 것은 대수공간 \(X_{k'}\)가 정역이고 (Definition 0AD4), \(k'\)가 \(k\)의 임의의 체 확대일 때마다 이 조건이 성립하는 경우이다.

특히 \(X\)는 decent 대수공간이다. 이를 기하학적 축약 및 기하학적 기약과 다음과 같이 연관 지을 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 decent 대수공간이라 하자. 그러면 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 정역인 것과 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축약이고 동시에 기하학적으로 기약인 것은 동치이다.

증명

decent하다는 조건 아래에서 정역이라는 개념은 축약이고 기약이라는 것과 동치이므로, 이는 정의에서 바로 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자.

1. \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한차원 \(k\)-대수이다.

2. \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i\)는 Artin 국소 \(k\)-대수들의 곱이며, \(|X|\)의 각 연결성분에 인자가 하나씩 대응한다.

3. \(X\)가 축약이면 \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} k_i\)는 체들의 곱이고, 각 체는 \(k\)의 유한 확대이다.

4. \(X\)가 기하학적으로 축약이면 \(k_i\)는 \(k\) 위 유한 분리이다.

5. \(X\)가 기하학적으로 연결이면 \(A\)는 \(k\) 위 기하학적으로 기약이다.

6. \(X\)가 기하학적으로 기약이면 \(A\)는 \(k\) 위 기하학적으로 기약이다.

7. \(X\)가 기하학적으로 축약이고 연결이면 \(A = k\)이다.

8. \(X\)가 기하학적으로 정역이면 \(A = k\)이다.

증명

Cohomology of Spaces, Lemma 08AS에 의해 \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한차원 \(k\)-대수이다. 이로써 (1)이 증명된다.

그러면 Algebra, Lemma 00J6와 Algebra, Proposition 00KJ에 의해 \(A\)는 국소환들의 곱이다. \(X = Y \amalg Z\)이고 \(Y\)와 \(Z\)가 \(X\)의 열린 부분공간이면 멱등원 \(e \in A\)를 얻는데, 이는 \(\mathcal{O}_X\)의 절단으로서 \(1\)을 \(Y\)에서, \(0\)을 \(Z\)에서 취하는 것을 택하여 얻는다. 역으로 \(e \in A\)가 멱등원이면 \(|X|\)의 대응하는 분해를 얻는다. 마지막으로 \(|X|\)는 Noether 위상공간이므로 (Morphisms of Spaces, Lemma 04ZL와 Properties of Spaces, Lemma 04ZF에 의해) 그 연결성분들은 열린집합이다. 따라서 \(|X|\)의 연결성분들은 \(1\)-대-\(1\)로 \(A\)의 원시 멱등원들과 대응한다. 이로써 (2)가 증명된다.

\(X\)가 축약이면 \(A\)도 축약이다(Properties of Spaces, Lemma 0BGS). 따라서 국소환 \(A_i = k_i\)는 축약이고, 그러므로 체이다(예를 들어 Algebra, Lemma 00EU에 의해). 이로써 (3)이 증명된다.

\(X\)가 기하학적으로 축약이면 같은 사실이 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\)에 대해서도 성립한다 (등식은 Cohomology of Spaces, Lemma 073K를 보라).

이는 \(k_i \otimes_k \overline{k}\)가 체들의 곱임을 함의하고, 따라서 \(k_i/k\)는 분리이다. 예를 들어 Algebra, Lemmas 030W와 030V를 보라. 이로써 (4)가 증명된다.

\(X\)가 기하학적으로 연결이면 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\)는 (2)에 의해 영차원 국소환이고, 따라서 그 스펙트럼은 점 하나를 가지며 특히 기약이다. 그러므로 \(A\)는 기하학적으로 기약이다. 이로써 (5)가 증명된다. 물론 (5)는 (6)을 함의한다.

\(X\)가 기하학적으로 축약이고 연결이면 \(A = k_1\)은 체이고 체 확대 \(k_1/k\)는 유한 분리이며 기하학적으로 기약이다. 그러나 이때 \(k_1 \otimes_k \overline{k}\)는 \([k_1 : k]\)개의 \(\overline{k}\) 복사본의 곱이므로 \(k_1 = k\)라는 결론을 얻는다. 이로써 (7)이 증명된다. 물론 (7)은 (8)을 함의한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 정역 대수공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(H^0(X, \mathcal{L})\)과 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\)이 모두 0이 아니면 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)이다.

증명

\(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)와 \(t \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\)을 0이 아닌 절단들이라 하자. \(x \in |X|\)를 \(s\)의 지지에 속하는 점이라 하자. 아핀 에탈 근방 \((U, u) \to (X, x)\)를 택하여 \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\)가 되게 하자. 그러면 \(s|_U\)는 축약인(\(X\)가 축약이므로) 스킴 \(U\) 위의 0이 아닌 정칙함수에 대응하고, 따라서 \(U\)의 한 기약성분의 일반점에서 0이 아니다.

Decent Spaces, Lemma 0ABV에 의해 일반점 \(\eta\)가 \(|X|\)의 일반점으로서 \(s\)의 지지에 속한다는 결론을 얻는다. \(t\)에 대해서도 마찬가지이다. 그러면 물론 \(st\)는 0이 아니다. 실제로 \(X\)의 \(\eta\)에서의 국소환은 체이다(앞서 말한 보조정리에 의해 국소환은 영차원이고, \(X\)가 축약이므로 국소환이 축약이며, Algebra, Lemma 00EU을 적용한다). 한편 Lemma 0DMY에서 \(K = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)가 체임을 보았다. 따라서 \(st\)는 모든 곳에서 0이 아니며 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)가 동형임을 알 수 있다.

차원

이 절에서는 차원에 대한 논의를 계속한다. 앞에서 다룬 내용을 열거하면 다음과 같다.

1. 차원은 Properties of Spaces, Section 04N3에서 정의했다.

2. 국소환의 차원은 Properties of Spaces, Section 04N7에서 정의했다.

3. 몇 가지 결과는 Properties of Spaces, Lemmas 04N9와 0A4H에 있다.

4. 상대차원은 Morphisms of Spaces, Section 04NH에서 정의했다.

5. 올의 차원에 대한 결과들은 Morphisms of Spaces, Section 04NP에 있다.

6. 차원 공식의 약한 형태는 Morphisms of Spaces, Section 0BAW에 있다.

7. 매끄러움과 차원에 대한 결과는 Morphisms of Spaces, Lemma 0AFI에 있다.

8. decent 공간의 차원은 \(\dim(|X|)\)이다. Decent Spaces, Lemma 0A4J를 보라.

9. 준유한 사상과 차원에 대한 결과는 Decent Spaces, Lemmas 0ABW와 0ED0에 있다.

More on Morphisms of Spaces, Section 0D4L에서는 유한형 사상의 올에서 차원이 뛰는 현상을 논의할 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 대수공간의 정역 사상이라 하자. 그러면 \(\dim(X) \leq \dim(Y)\)이다. \(f\)가 전사이면 \(\dim(X) = \dim(Y)\)이다.

증명

\(V \to Y\)를 전사 에탈 사상으로 택하되 \(V\)가 스킴이게 하자. 그러면 \(U = X \times_Y V\)는 스킴이고 \(U \to V\)는 정역 사상이다 (\(f\)가 전사이면 전사이기도 하다). Properties of Spaces, Lemma 0A4H에 의해 \(\dim(X) = \dim(U)\)이고 \(\dim(Y) = \dim(V)\)이다. 따라서 결과는 스킴의 경우인 Morphisms, Lemma 0ECG에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 국소 Noether이다.

2. \(X\)와 \(Y\)는 정역 대수공간이다.

3. \(f\)는 우세하다.

4. \(f\)는 국소 유한형이다.

\(x \in |X|\)와 \(y \in |Y|\)가 일반점들이면 \[\dim(X) \leq \dim(Y) + \text{transcendence degree of }x/y.\] \(f\)가 고유이면 등식이 성립한다.

증명

\(|X|\)와 \(|Y|\)가 기약 sober 위상공간임을 상기하자. Definition 0AD4 다음의 논의를 보라. 따라서 \(f\)가 우세하다는 것은 \(|f|\)가 \(x\)를 \(y\)로 보낸다는 뜻이다. 또한 \(x \in |X|\)는 \(X\)의 국소환 차원이 \(0\)인 유일한 점이다. Decent Spaces, Lemma 0ABV를 보라. Morphisms of Spaces, Lemma 0BAX에 의해, \(X\)의 임의의 점 \(x' \in |X|\)에서의 국소환 차원은 \(Y\)의 \(y' = f(x')\)에서의 국소환 차원에 \(x/y\)의 초월차수를 더한 것 이하이다. \(X\)의 차원과 \(Y\)의 차원은 각각 \(x'\)와 \(y'\)에서의 국소환 차원들의 상한이므로(Properties of Spaces, Lemma 0BAN), 원하는 부등식을 얻는다.

\(f\)가 고유라고 가정하자. \(V \subset Y\)를 공집합이 아닌 준콤팩트 열린 부분공간이라 하자. 사상 \(f^{-1}(V) \to V\)에 대해 등식을 증명할 수 있으면 \(X \to Y\)에 대해서도 등식을 얻는다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다. \(X\)는 국소 Noether인 decent 대수공간이므로 준분리이다. Decent Spaces, Lemma 0BB6를 보라. 따라서 유한 전사 사상 \(Y' \to Y\)를 택하여 \(Y'\)가 스킴이게 할 수 있다. Limits of Spaces, Proposition 09YC를 보라. \(Y'\)를 적당한 닫힌 부분스킴으로 바꾸어 \(Y'\)가 정역이라고 가정할 수 있다. 예를 들어 더 일반적인 Lemma 0DMN을 보라. 같은 보조정리에 의해 닫힌 부분공간 \(X' \subset X \times_Y Y'\)를 택하여 \(X'\)가 정역이고 \(X' \to X\)가 유한 전사가 되게 할 수 있다. 이제 \(X'\)도 국소 Noether이다 (Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK). Limits of Spaces, Proposition 09YC를 한 번 더 써서 유한 전사 사상 \(X'' \to X'\)를 택하되 \(X''\)가 스킴이게 할 수 있다. 앞에서처럼 \(X''\)가 정역이라고 가정해도 된다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] Lemma 0EDB에 의해 \(\dim(X'') = \dim(X)\)이고 \(\dim(Y') = \dim(Y)\)이다. \(X\)와 \(Y\)는 각각 \(x\)와 \(y\)의 스킴인 열린 근방을 가지므로, 일반점 \(x'' \in X''\)와 \(y' \in Y'\)는 각각 \(x\)와 \(y\)로 가는 유일한 점이며 잉여체 확대 \(\kappa(x'')/\kappa(x)\)와 \(\kappa(y')/\kappa(y)\)는 유한임을 쉽게 알 수 있다. 이는 \(x''/y'\)의 초월차수가 \(x/y\)의 초월차수와 같음을 함의한다. 따라서 등식은 스킴의 경우인 Morphisms, Lemma 02JX에서 따른다.

체 위 매끄러운 공간

이 절은 Varieties, Section 04QM에 대응한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위 매끄러운 대수공간이라 하자. 그러면 \(X\)는 정칙 대수공간이다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 사상 \(U \to \Spec(k)\)는 에탈(따라서 매끄러운) 사상과 매끄러운 사상의 합성이므로 매끄럽다(Morphisms of Spaces, Lemmas 04XX와 03ZD를 보라). 따라서 Varieties, Lemma 056S에 의해 \(U\)는 정칙이다. Properties of Spaces, Definition 03E6에 의해 이는 \(X\)가 정칙이라는 뜻이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(\Spec(k)\) 위 매끄러운 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\) 가운데 어떤 사상 \(\Spec(k') \to X\)의 상이고 \(k' \supset k\)가 유한 분리인 것들의 집합은 \(|X|\)에서 조밀하다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 사상 \(U \to \Spec(k)\)는 에탈(따라서 매끄러운) 사상과 매끄러운 사상의 합성이므로 매끄럽다(Morphisms of Spaces, Lemmas 04XX와 03ZD를 보라). 따라서 Varieties, Lemma 056U를 적용하면 \(U\)의 닫힌 점 가운데 잉여체가 \(k\) 위 유한 분리인 것들이 조밀함을 알 수 있다. 이는 \(|X|\) 위 위상의 정의에 의해 보조정리를 함의한다.

Euler 표수

이 절에서는 체 위 고유 대수공간의 연접층에 대한 Euler 표수의 몇 가지 기초적인 성질을 증명한다.

정의

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 이 상황에서 \(\mathcal{F}\)의 Euler 표수는 다음 정수이다.

\[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\] 이 식의 정당화는 아래를 보라.

정의의 상황에서 벡터공간 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 가운데 0이 아닌 것은 유한 개뿐이고(Cohomology of Spaces, Lemma 072C), 각각은 유한차원이다 (Cohomology of Spaces, Lemma 08AS). 따라서 \(\chi(X, \mathcal{F}) \in \mathbf{Z}\)는 잘 정의된다. 이 정의는 체 \(k\)에 의존하며 쌍 \((X, \mathcal{F})\)에만 의존하는 것이 아님에 주의하자.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)를 \(X\) 위 연접 가군들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \[\chi(X, \mathcal{F}_2) = \chi(X, \mathcal{F}_1) + \chi(X, \mathcal{F}_3)\] 이다.

증명

보조정리의 짧은 완전열에 딸린 코호몰로지 긴 완전열 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}_1) \to H^0(X, \mathcal{F}_2) \to H^0(X, \mathcal{F}_3) \to H^1(X, \mathcal{F}_1) \to \ldots\] 을 생각하자. 선형대수의 계수-퇴화차수 정리에 의해 \[0 = \dim H^0(X, \mathcal{F}_1) - \dim H^0(X, \mathcal{F}_2) + \dim H^0(X, \mathcal{F}_3) - \dim H^1(X, \mathcal{F}_1) + \ldots\] 이다. 이로부터 보조정리가 바로 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(f : Y \to X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \[\chi(Y, \mathcal{G}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{G})\] 이다.

증명

이 식은 의미가 있다. 층들 \(R^if_*\mathcal{G}\)는 연접이고 그 가운데 0이 아닌 것은 유한 개뿐이다. Cohomology of Spaces, Lemmas 08AR와 073G를 보라. Cohomology on Sites, Lemma 0732에 의해 \[E_2^{p, q} = H^p(X, R^qf_*\mathcal{G})\] 이고 \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\)로 수렴하는 스펙트럼 열이 존재한다. \(X\) 위 코호몰로지의 유한성에 의해 \(E_2^{p, q}\) 가운데 0이 아닌 것은 유한 개뿐이고, 각 \(E_2^{p, q}\)는 유한차원 벡터공간이다. 따라서 \(E_r^{p, q}\)도 \(r \geq 2\)에 대하여 마찬가지이며 \[\sum (-1)^{p + q} \dim_k E_r^{p, q}\] 는 \(r\)에 무관하다. 충분히 큰 \(r\)에 대하여 \(E_r^{p, q} = E_\infty^{p, q}\)이고, 수렴한다는 것은 \(H^n(Y, \mathcal{G})\) 위에 등급 조각이 \(E_\infty^{p, q}\)이고 \(p + 1 = n\)인 여과가 존재한다는 뜻이므로(이것이 스펙트럼 열의 수렴이 뜻하는 바이다), 결론을 얻는다.

수치적 교차

이 절에서는 고유 대수공간 위 연접층의 Euler 표수를 활용하여 가역 가군의 수치적 교차수를 얻는다. 주된 도구는 다음 보조정리이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. 사상 \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] 은 \(n_1, \ldots, n_r\)의 수치 다항식이고, 그 전차수는 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지의 차원 이하이다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)이고, 여기서 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)는 연접이다 (Cohomology of Spaces, Lemma 07UG), 다음이 성립한다. \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = \chi(Z, \mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes i^*\mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] 이는 사영 공식(Cohomology on Sites, Lemma 0944)과 Cohomology of Spaces, Lemma 0D2U에서 따른다. \(|Z| = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이므로 다음을 보이면 충분하다. \[P_\mathcal{F}(n_1, \ldots, n_r) : (n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] 는 \(n_1, \ldots, n_r\)의 수치 다항식이고 전차수가 \(\dim(X)\) 이하이다. 위 명제가 참일 때 성질 \(\mathcal{P}\)가 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다고 하자.

이 명제를 dévissage로 증명한다. 더 정확히는 Cohomology of Spaces, Lemma 08AN의 조건 (1), (2), (3)이 성립함을 확인한다.

조건 (1)의 확인. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 을 \(X\) 위 연접층들의 짧은 완전열이라 하자. Lemma 0DN2에 의해 \[P_{\mathcal{F}_2}(n_1, \ldots, n_r) = P_{\mathcal{F}_1}(n_1, \ldots, n_r) + P_{\mathcal{F}_3}(n_1, \ldots, n_r)\] 이다.

따라서 세 층 \(\mathcal{F}_i\) 가운데 둘이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 나머지도 그러함은 명백하다.

조건 (2)는 \(P_{\mathcal{F}^{\oplus m}}(n_1, \ldots, n_r) = mP_\mathcal{F}(n_1, \ldots, n_r)\)이므로 따른다.

(3)의 증명. \(i : Z \to X\)를 축약 닫힌 부분공간이라 하고 \(|Z|\)가 기약이라고 하자. 연접 가군 \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위에서 찾아야 하는데, 그 지지는 \(Z\)이고 성질 \(\mathcal{P}\)가 \(\mathcal{G}\)에 대해 성립해야 한다. 두 가지 구성을 제시한다. 하나는 Chow의 보조정리를 쓰고, 다른 하나는 스킴에 의한 유한 피복을 쓴다.

스킴에 의한 유한 피복을 사용한 \(\mathcal{G}\)의 존재 증명.

\(\pi : Z' \to Z\)를 유한 전사로 택하되 \(Z'\)가 스킴이게 하자. Limits of Spaces, Proposition 09YC를 보라. \(\mathcal{G} = i_*\pi_*\mathcal{O}_{Z'} = (i \circ \pi)_*\mathcal{O}_{Z'}\)로 둔다. \(Z'\)는 \(k\) 위 고유이고 \(\mathcal{G}\)의 지지는 \(Y\)임에 주의하자 (세부사항은 생략한다).

다음이 성립한다. \[R(\pi \circ i)_*(\mathcal{O}_{Z'}) = \mathcal{G} \quad\text{and}\quad R(\pi \circ i)_*(\pi^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) ) = \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}\]

첫째 등식은 \(i \circ \pi\)가 아핀이므로 성립하고(Cohomology of Spaces, Lemma 073H), 둘째 등식은 첫째 등식과 사영 공식(Cohomology on Sites, Lemma 0944)에서 따른다. Leray (Cohomology on Sites, Lemma 0733)를 쓰면 \[P_\mathcal{G}(n_1, \ldots, n_r) = \chi(Z', \pi^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}))\] 을 얻는다. 스킴의 경우(Varieties, Lemma 0BEM)에 의해 이는 \(n_1, \ldots, n_r\)의 수치 다항식이고 차수는 \(\dim(Z')\) 이하이다. \(\dim(Z') \leq \dim(Z) \leq \dim(X)\)이므로 결론을 얻는다. 첫째 부등식은 Decent Spaces, Lemma 0ED0에서 따른다.

Chow의 보조정리를 사용한 \(\mathcal{G}\)의 존재 증명.

Cohomology of Spaces, Lemma 089J를 사상 \(Z \to \Spec(k)\)에 적용한다. 그러면 전사 고유 사상 \(f : Y \to Z\)를 얻고, 이는 \(\Spec(k)\) 위 사상이며 \(Y\)는 \(\mathbf{P}^m_k\)의 닫힌 부분스킴이다. 여기서 \(m\)은 어떤 정수이다. \(Y\)를 닫힌 부분스킴으로 바꾸어 \(Y\)가 정역이고 \(f : Y \to Z\)가 alteration이라고 가정할 수 있다. Lemma 0DMN을 보라. \(\mathcal{O}_Y(n)\)으로 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_k}(n)\)의 당김을 나타낸다.

\(n > 0\)을 택하여 \(R^pf_*\mathcal{O}_Y(n) = 0\)이 \(p > 0\)에 대해 성립하게 하자. Cohomology of Spaces, Lemma 08AQ를 보라. \(\mathcal{G} = i_*f_*\mathcal{O}_Y(n)\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 만족한다고 주장한다. 실제로 스킴의 경우(Varieties, Lemma 0BEM)에 의해 \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(Y, \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}))\] 가 \(n_1, \ldots, n_r\)의 수치 다항식이고 전차수는 \(\dim(Y)\) 이하임을 안다. 한편 사영 공식(Cohomology on Sites, Lemma 0944)에 의해 \[\begin{align*} i_*Rf_*\left( \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\right) & = i_*Rf_*\mathcal{O}_Y(n) \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r} \\ & = \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r} \end{align*}\] 이며, 마지막 등식은 \(n\)을 택한 방식에 따른다. Leray(Cohomology on Sites, Lemma 0733)에 의해 \[\chi(Y, \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})) = P_\mathcal{G}(n_1, \ldots, n_r)\] 을 얻고, \(\dim(Y) \leq \dim(Z) \leq \dim(X)\)이므로 결론을 얻는다. 첫째 부등식은 Morphisms of Spaces, Lemma 0BAY과 \(Y \to Z\)가 alteration이라는 사실(따라서 일반점에서 유도되는 잉여체 확대는 유한이다)에서 따른다.

다음 보조정리는 최고차항의 계수가 대략 연접 가군의 지지의 일반점들에서 그 가군의 길이에만 의존함을 보여 준다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. \(d = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)라 두자. \(Z_i \subset X\)를 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 차원 \(d\)인 기약성분들이라 하자. \(\overline{x}_i\)를 \(Z_i\)의 기하학적 일반점이라 하고 \(m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i})\)로 두자. 그러면 \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] 는 \(n_1, \ldots, n_r\)의 수치 다항식이고 전차수는 \(< d\)이다.

증명

먼저 조금 더 약한 명제를 증명한다. 즉 \(\dim(X) = N\)이라 하고 \(X_i \subset X\)를 차원 \(N\)인 기약성분들이라 하자. \(\overline{x}_i\)를 \(X_i\)의 기하학적 일반점이라 하자. 에탈 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}\)는 차원 \(0\)인 Noether 환이므로 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 길이 \[m_i(\mathcal{F}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i})\] 는 \(\geq 0\)인 정수이다. 다음을 주장한다. \[E(\mathcal{F}) = \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i(\mathcal{F})\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\]

는 \(n_1, \ldots, n_r\)의 수치 다항식이고 전차수는 \(< N\)이다. 이를 Cohomology of Spaces, Lemma 08AN를 써서 증명한다. 임의의 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\)에 대하여 \(E(\mathcal{F}) = E(\mathcal{F}') + E(\mathcal{F}'')\)이다. 이는 Euler 표수의 가법성(Lemma 0DN2)과 길이의 가법성 (Algebra, Lemma 00IV)에서 따른다. 이는 Cohomology of Spaces, Lemma 08AN의 성질 (1), (2)를 바로 함의한다. 마지막으로 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\)로 두면 성질 (3)이 성립하는데, 여기서 \(Z \subset X\)는 임의의 기약 축약 닫힌 부분공간이다.

실제로 \(Z = Z_{i_0}\)가 어떤 \(i_0\)에 대하여 성립하면 \(m_i(\mathcal{G}) = \delta_{i_0i}\)이고 \(E(\mathcal{G}) = 0\)이라는 결론을 얻는다. \(Z \not = Z_i\)가 모든 \(i\)에 대하여 성립하면 \(m_i(\mathcal{G}) = 0\)도 모든 \(i\)에 대하여 성립하고, \(\dim(Z) < N\)이며, Lemma 0DN4에서 결과를 얻는다.

이제 보조정리에 적힌 명제를 증명한다. \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)이고, 여기서 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)는 연접이다 (Cohomology of Spaces, Lemma 07UG), 다음이 성립한다. \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = \chi(Z, \mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes i^*\mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] 이는 사영 공식(Cohomology on Sites, Lemma 0944)과 Cohomology of Spaces, Lemma 0D2U에서 따른다. \(|Z| = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이므로 \(Z_i \subset Z\)가 모든 \(i\)에 대하여 성립하고, 이들은 \(Z\)의 차원 \(d\)인 기약성분들이다. \(\overline{x}_i\)를 \(Z\)의 기하점으로 생각할 수 있고 그렇게 하자. 사상 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)는 전사 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i} \to \mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i}\] 를 결정한다. 이 사상을 통해 \(\mathcal{G}_{\overline{x}_i} = \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\)라는 가군의 동형이 성립하는데, 이는 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)이기 때문이다. 따라서 \[m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i}} (\mathcal{G}_{\overline{x}_i})\] 이다. 그러므로 보조정리의 식은 \[\chi(Z, \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] 와 같고, 첫 문단의 논의를 \(Z\)에 적용하되 원래의 \(X\) 자리에 두면 결과가 따른다.

정의

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 차원 \(d\)인 닫힌 부분공간이라 하자. \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. 교차수 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\)를 다음 수치 다항식에서 \(n_1 \ldots n_d\)의 계수로 정의한다. \[\chi(X, i_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] 특별히 \(\mathcal{L}_1 = \ldots = \mathcal{L}_d = \mathcal{L}\)인 경우에는 \((\mathcal{L}^d \cdot Z)\)라고 쓴다.

정의에서 표시한 등식은 사영 공식(Cohomology, Section 01E6)과 Cohomology of Schemes, Lemma 089W에서 따른다.

이 교차수들에 대한 몇 가지 보조정리를 증명한다.

보조정리

Definition 0EDF의 상황에서 교차수 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\)는 정수이다.

증명

차수 \(e\)인 \(n_1, \ldots, n_d\)에 관한 임의의 수치 다항식은 \(\mathbf{Z}\)-선형결합으로 유일하게 쓸 수 있다. 여기에 쓰이는 함수들은 \({n_1 \choose k_1}{n_2 \choose k_2} \ldots {n_d \choose k_d}\)이며 \(k_1 + \ldots + k_d \leq e\)를 만족한다. 이를 \(e = d\)인 경우에 적용하자. 연습문제로 남긴다.

보조정리

Definition 0EDF의 상황에서 교차수 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\)는 가법적이다. 즉 \(\mathcal{L}_i = \mathcal{L}_i' \otimes \mathcal{L}_i''\)이면 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) + (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i'' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\] 이다.

증명

Lemma 0DN4에 의해 함수 \[(n_1, \ldots, n_{i - 1}, n_i', n_i'', n_{i + 1}, \ldots, n_d) \mapsto \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes (\mathcal{L}_i')^{\otimes n_i'} \otimes (\mathcal{L}_i'')^{\otimes n_i''} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] 가 전차수 \(d\) 이하이고 변수가 \(d + 1\)개인 수치 다항식이므로 성립한다.

보조정리

Definition 0EDF의 상황에서 \(Z_i \subset Z\)를 차원 \(d\)인 기약성분들이라 하자. \(m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i})\)라 하자. 여기서 \(\overline{x}_i\)는 \(Z_i\)의 기하학적 일반점이다. 그러면 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \sum m_i(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z_i)\] 이다.

증명

Lemma 0EDE와 정의들에서 바로 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(f : Y \to X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간들의 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 차원 \(d\)인 정역 닫힌 부분공간이라 하고 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. 그러면 \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg(f|_Z : Z \to f(Z)) (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot f(Z))\] 이다. 여기서 \(\deg(Z \to f(Z))\)는 Definition 0AD6에서와 같고, \(0\)으로 두는 경우는 \(\dim(f(Z)) < d\)일 때이다.

증명

명제에서 \(f(Z) \subset X\)는 \(f\)의 스킴론적 상이며, 닫힌 부분집합 \(f(|Z|) \subset X\) 위의 축약 유도 대수공간 구조이기도 하다. Morphisms of Spaces, Lemma 0830를 보라.

그러면 \(Z\)와 \(f(Z)\)는 \(k\) 위 축약 고유(따라서 decent) 대수공간이고, 그러므로 정역이다(Definition 0AD4).

좌변은 다음 함수에서 \(n_1 \ldots n_d\)의 계수를 사용하여 계산한다. \[\chi(Y, \mathcal{O}_Z \otimes f^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes f^*\mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\] 등식은 Lemma 0EDD와 사영 공식 (Cohomology, Lemma 01E8)에서 따른다. \(f(Z)\)의 차원이 \(< d\)이면 우변은 Lemma 0DN4에 의해 전차수가 \(< d\)인 다항식이므로 결과가 성립한다. \(\dim(f(Z)) = d\)라고 가정하자. 그러면 차원론(Lemma 0EDC)에 의해 Lemma 0AD5의 동치인 조건 (1)–(5)가 성립한다. 따라서 \(\deg(Z \to f(Z))\)는 잘 정의된다. 이미 사용한 Lemma 0AD5에 의해 \(f : Z \to f(Z)\)는 공집합이 아닌 열린 부분공간 \(V\) 위에서 유한이고, 이 부분공간은 \(f(Z)\) 안에 있다. 필요하면 \(V\)를 줄여서 \(V\)가 스킴이라고 가정할 수 있다. \(\xi \in V\)를 일반점이라 하자. 따라서 \(\deg(f : Z \to f(Z))\)는 \(f_*\mathcal{O}_Z\)의 \(\xi\)에서의 줄기의 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 위 길이이고,

\(R^if_*\mathcal{O}_X\)의 \(\xi\)에서의 줄기는 \(i > 0\)에 대하여 0이다

(예를 들어 Cohomology of Spaces, Lemma 0A4K에 의해). 따라서 항 \(\chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\)은 \(i > 0\)일 때 전차수가 \(< d\)이고, \[\chi(X, f_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \deg(f : Z \to f(Z)) \chi(f(Z), \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_{f(Z)})\] 가 전차수 \(< d\)인 다항식을 법으로 성립한다. 이는 Lemma 0EDE에서 따른다. 원하는 결과를 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 고유 대수공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 차원 \(d\)인 닫힌 부분공간이라 하자. \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이라 하자. 유효 Cartier 인자 \(D \subset Z\)가 존재하여 \(\mathcal{L}_1|_Z \cong \mathcal{O}_Z(D)\)를 만족한다고 가정하자. 그러면 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\] 이다.

증명

\(X\)를 \(Z\)로, \(\mathcal{L}_i\)를 \(\mathcal{L}_i|_Z\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(X = Z\)이고 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\)라고 가정해도 된다. 그러면 \(\mathcal{L}_1^{-1}\)은 \(D\)의 아이디얼 층이고 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{L}_1^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0\] 을 생각할 수 있다. 다음과 같이 둔다. \(P(n_1, \ldots, n_d) = \chi(X, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\) 및 \(Q(n_1, \ldots, n_d) = \chi(D, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_D)\). 가법성(Lemma 0DN2)에서 \[P(n_1, \ldots, n_d) - P(n_1 - 1, n_2, \ldots, n_d) = Q(n_1, \ldots, n_d)\] 를 얻는다. \(P\)의 전차수가 \(d\) 이하이므로 \(n_1 \ldots n_d\)의 \(P\)에서의 계수는 \(n_2 \ldots n_d\)의 \(Q\)에서의 계수와 같다.