대수공간의 사상

서론

이 장에서는 대수공간 사상의 몇 가지 유형을 소개한다. 참고문헌으로는 [Kn]이 있다.

목표는 스킴 장과 스킴의 사상 장에서 정의한 스킴 사상의 각 유형을 대수공간의 범주로 확장하는 것이다. 경우마다 조금씩 다르므로 각각을 따로 다루는 것이 가장 적절해 보인다.

규약

항상 모든 스킴이 큰 fppf 사이트 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있다고 가정한다. 또한 고려하는 모든 환 \(A\)는 \(\Spec(A)\)가 이 큰 사이트의 한 대상과 동형이라는 성질을 갖는다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 이 장과 다음 장에서는 \(X\) 자신과의 곱(\(S\) 위의 대수공간 범주에서의 곱)을 \(X \times X\) 대신 \(X \times_S X\)로 쓴다.

표현가능 사상의 성질

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간의 표현가능 사상이라 하자. Spaces, Section 02WI에서 \(\mathcal{P}\)가 다음 두 조건을 만족하는 스킴 사상의 성질일 때 \(f\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다는 의미를 정의했다.

1. 임의의 기저변환 아래 보존된다. Schemes, Definition 01JZ을 보라.

2. 기저 위 fppf 국소적이다. Descent, Definition 02KO을 보라.

즉 이 경우, 모든 스킴 \(U\)와 임의의 사상 \(U \to Y\)에 대하여 스킴 사상 \(X \times_Y U \to U\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가질 필요충분조건으로 \(f\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다고 한다.

Spaces, Section 02WE의 목록에 따르면 이는 다음 성질들에 적용된다. (1)(a) 닫힌 몰입, (1)(b) 열린 몰입, (1)(c) 준콤팩트 몰입, (2) 준콤팩트, (3) 보편 닫힌, (4) (준)분리, (5) 단사사상, (6) 전사, (7) 보편 단사, (8) 아핀, (9) 준아핀, (10) (국소) 유한형, (11) (국소) 준유한, (12) (국소) 유한 표시, (13) 상대차원 \(d\)의 국소 유한형, (14) 보편 열린, (15) 평탄, (16) 신토믹, (17) 매끄러운, (18) 비분기(각각 G-비분기), (19) 에탈, (20) 고유, (21) 유한 또는 정수적, (22) 유한 국소 자유, (23) 보편 몫사상, (24) 보편 위상동형, 그리고 (25) 몰입.

이 장에서는 표현가능일 필요가 없는 대수공간의 사상에 대하여 이 개념들을 다시 정의한다. 정의할 때마다 모호함을 피하도록 새 정의가 기존 정의와 일치함을 확인할 것이다.

스킴에서 대수공간으로 가는 사상은 표현가능이므로 위 정의는 \(X\)가 스킴일 때마다 적용된다. 특히 \(X\)와 \(Y\)가 모두 스킴일 때 적용된다. Spaces, Lemma 02WJ 에서 이 경우 두 정의가 일치하여 모호함이 없음을 보았다.

또한 Spaces, Lemma 02WL 에서 이렇게 정의한 대수공간의 표현가능 사상의 성질이 대수공간의 사상에 의한 임의의 기저변환 아래 안정적임을 보았다. 마지막으로 Spaces, Lemmas 02WK와 02WM 에서 \(\mathcal{P}\)가 합성 아래 안정적이면(위 성질 가운데 (1)(a), (1)(b), (1)(c), (2)–(25)에서 (13)을 제외한 성질들이 그렇다) 표현가능 사상들의 곱은 성질 \(\mathcal{P}\)를 보존하고 표현가능 사상들의 합성도 성질 \(\mathcal{P}\)를 보존함을 보았다.

아래에서는 이 사실들을 사용하며, 사용할 때에는 단지 이 절을 참조할 것이다.

분리 공리

대수공간 사상의 대각사상이 선험적으로 갖는 몇 가지 성질을 열거하는 것이 유용하다.

보조정리

\(S\)를 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있는 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\)를 대각사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\Delta_{X/Y}\)는 표현가능이다.

2. \(\Delta_{X/Y}\)는 국소 유한형이다.

3. \(\Delta_{X/Y}\)는 단사사상이다.

4. \(\Delta_{X/Y}\)는 분리이다.

5. \(\Delta_{X/Y}\)는 국소 준유한이다.

증명

\(\Delta_{X/S}\)가 대수공간의 정의에 따라 표현가능이고 (2)–(5)의 성질을 만족한다는 사실을 사용한다. Spaces, Lemma 02X4를 보라. 대각사상 \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\)가 다음과 같이 분해됨에 주의하라. \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_S X\] \(X \times_Y X \to X \times_S X\)가 단사사상이고 \(\Delta_{X/S}\)가 표현가능이므로, 형식적으로 \(\Delta_{X/Y}\)가 표현가능임이 따른다. 특히 나머지 명제들도 이제 의미를 갖는다. Section 03HA을 보라.

\(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 다음 도식을 생각한다. \[\xymatrix{ R = U \times_X U \ar[r] \ar[d] & U \times_Y U \ar[d] \ar[r] & U \times_S U \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_Y X \ar[r] & X \times_S X }\] 두 정사각형은 모두 데카르트이고, 따라서 바깥 직사각형도 데카르트이다. 위 행은 스킴들로 이루어지고 세로 화살표들은 전사 에탈 사상이다. Spaces, Lemma 02WZ 에 의해 \(\Delta_{X/Y}\)가 성질 (2)–(5)를 갖는 것은 \(R \to U \times_Y U\)가 그 성질들을 갖는 것과 동치이다. Spaces, Lemma 02X4의 증명에서 \(R \to U \times_S U\)가 성질 (2)–(5)를 가짐을 보았다. 스킴 사상 \(U \times_Y U \to U \times_S U\)는 단사사상이다. 이 사실들로부터 \(R \to U \times_Y U\)가 성질 (2)–(5)를 가짐이 따른다.

구체적으로 (3)의 경우 합성 \(R \to U \times_S U\)가 단사사상이므로 \(R \to U \times_Y U\)도 단사사상임에 주의하라. (2)의 경우 합성 \(R \to U \times_S U\)가 국소 유한형이므로 \(R \to U \times_Y U\)도 국소 유한형이다 (Morphisms, Lemma 01T8). 국소 유한형인 단사사상은 올들이 유한하므로 국소 준유한이다 (Morphisms, Lemma 02NG). 따라서 (5)가 성립한다. 단사사상은 분리이므로 (Schemes, Lemma 01L4) (4)도 성립한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\)를 대각사상이라 하자.

1. \(\Delta_{X/Y}\)가 닫힌 몰입이면 \(f\)를 분리라고 한다.

2. \(\Delta_{X/Y}\)가 몰입이면 \(f\)를 국소분리¹라고 한다.

3. \(\Delta_{X/Y}\)가 준콤팩트이면 \(f\)를 준분리라고 한다.

\(\Delta_{X/Y}\)가 표현가능이므로 이 정의는 의미가 있고, 따라서 대각사상이 정의에 적힌 성질들 가운데 하나를 갖는다는 의미를 알고 있다. 아래에서(Lemma 03KY) 이 정의가 스킴의 사상과 표현가능 사상에 대해 이미 갖고 있는 정의들과 일치함을 보일 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 분리이면 \(f\)는 국소분리이고 \(f\)는 준분리이다.

증명

스킴의 닫힌 몰입은 몰입이자 준콤팩트이므로, 이는 일반 원리 Spaces, Lemma 02YO 에 의해 성립한다.

보조정리

Definition 03HL에 열거한 모든 분리 공리는 기저변환 아래 안정적이다.

증명

\(f : X \to Y\)와 \(Y' \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하자. \(f' : X' \to Y'\)를 \(Y' \to Y\)에 의한 \(f\)의 기저변환이라 하자. 그러면 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 사상 \(X' \times_{Y'} X' \to X \times_Y X\)에 의한 \(\Delta_{X/Y}\)의 기저변환이다. Section 03HA의 결과에 의해 Definition 03HL에서 사용한 대각사상의 각 성질은 기저변환 아래 안정적이다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Z\), \(g : Y \to Z\), \(Z \to T\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 유도된 사상 \(i : X \times_Z Y \to X \times_T Y\)를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(i\)는 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이다.

2. \(Z \to T\)가 국소분리이면 \(i\)는 몰입이다.

3. \(Z \to T\)가 분리이면 \(i\)는 닫힌 몰입이다.

4. \(Z \to T\)가 준분리이면 \(i\)는 준콤팩트이다.

증명

일반 범주론에 의해 다음 도식은 섬유곱 도식이다.

\[\xymatrix{ X \times_Z Y \ar[r]_i \ar[d] & X \times_T Y \ar[d] \\ Z \ar[r]^-{\Delta_{Z/T}} \ar[r] & Z \times_T Z }\] 따라서 \(i\)는 대각사상 \(\Delta_{Z/T}\)의 기저변환이다. 그러므로 보조정리는 Lemma 03HK와 Section 03HA의 내용에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(T\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(g : X \to Y\)를 \(T\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(g\)의 그래프 \(i : X \to X \times_T Y\)를 생각하자. 그러면

1. \(i\)는 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이다.

2. \(Y \to T\)가 국소분리이면 \(i\)는 몰입이다.

3. \(Y \to T\)가 분리이면 \(i\)는 닫힌 몰입이다.

4. \(Y \to T\)가 준분리이면 \(i\)는 준콤팩트이다.

증명

이는 사상 \(X = X \times_Y Y \to X \times_T Y\)에 Lemma 03KN를 적용한 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to T\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(s : T \to X\)를 \(f\)의 단면이라 하자(식으로는 \(f \circ s = \text{id}_T\)이다). 그러면

1. \(s\)는 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이다.

2. \(f\)가 국소분리이면 \(s\)는 몰입이다.

3. \(f\)가 분리이면 \(s\)는 닫힌 몰입이다.

4. \(f\)가 준분리이면 \(s\)는 준콤팩트이다.

증명

이는 \(g = s\)에 Lemma 03KO를 적용하여 사상 \(i = s : T \to T \times_T X\)를 얻는 특수한 경우이다.

보조정리

Definition 03HL에 열거한 모든 분리 공리는 사상의 합성 아래 안정적이다.

증명

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 해당 공리가 적용되는 대수공간의 사상들이라 하자. 대각사상 \(\Delta_{X/Z}\)는 다음 합성이다. \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_Z X.\] 우리의 분리 공리는 대각사상이 어떤 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖도록 요구하여 정의한다. 위의 Lemma 03KN에 의해 둘째 화살표도 이 성질을 갖는다. 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는 (표현가능) 사상들의 합성도 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는 사상이므로 보조정리가 따른다. Section 03HA을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(Y\)가 분리이고 \(f\)가 분리이면 \(X\)는 분리이다.

2. \(Y\)가 준분리이고 \(f\)가 준분리이면 \(X\)는 준분리이다.

3. \(Y\)가 국소분리이고 \(f\)가 국소분리이면 \(X\)는 국소분리이다.

4. \(Y\)가 \(S\) 위에서 분리이고 \(f\)가 분리이면 \(X\)는 \(S\) 위에서 분리이다.

5. \(Y\)가 \(S\) 위에서 준분리이고 \(f\)가 준분리이면 \(X\)는 \(S\) 위에서 준분리이다.

6. \(Y\)가 \(S\) 위에서 국소분리이고 \(f\)가 국소분리이면 \(X\)는 \(S\) 위에서 국소분리이다.

증명

(4), (5), (6)은 Lemma 03KQ와 Spaces, Definition 02X5에서 곧바로 따른다. \(X\)와 \(Y\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간으로 생각하면 (1), (2), (3)은 (4), (5), (6)으로 환원된다. Properties of Spaces, Definition 03BS를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(g \circ f\)가 분리이면 \(f\)도 분리이다.

2. \(g \circ f\)가 국소분리이면 \(f\)도 국소분리이다.

3. \(g \circ f\)가 준분리이면 \(f\)도 준분리이다.

증명

\(g \circ f\)의 대각사상의 분해 \[X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\] 를 생각하자. 어느 경우에도 마지막 사상은 단사사상이다. 따라서 임의의 스킴 \(T\)와 사상 \(T \to X \times_Y X\)에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[X \times_{(X \times_Y X)} T = X \times_{(X \times_Z X)} T.\] 그러므로 결과가 분명하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(X\)가 분리이면 \(X\)는 \(S\) 위에서 분리이다.

2. \(X\)가 국소분리이면 \(X\)는 \(S\) 위에서 국소분리이다.

3. \(X\)가 준분리이면 \(X\)는 \(S\) 위에서 준분리이다.

\(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(X\)가 \(S\) 위에서 분리이면 \(f\)는 분리이다.

2. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소분리이면 \(f\)는 국소분리이다.

3. \(X\)가 \(S\) 위에서 준분리이면 \(f\)는 준분리이다.

증명

(4), (5), (6)은 Lemma 03KR와 Spaces, Definition 02X5에서 곧바로 따른다. \(X\)와 \(Y\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간으로 생각하면 (1), (2), (3)은 (4), (5), (6)에서 따른다. Properties of Spaces, Definition 03BS를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 Definition 03HL의 분리 공리들 가운데 하나라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 \(\mathcal{P}\)이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 \(f\)의 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)가 \(\mathcal{P}\)이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 \(f\)의 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)가 \(\mathcal{P}\)이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 대수공간 \(Z \times_Y X\)가 \(\mathcal{P}\)이다(Properties of Spaces, Definition 03BS을 보라).

5. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 기저변환 \(V \times_Y X \to V\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

6. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

증명

이후 따로 언급하지 않고 Lemma 03KL를 거듭 사용할 것이다. 특히 (1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의함은 분명하다.

(3)과 (4)가 동치임을 증명하자. \(Z\)가 아핀 스킴이면 \(Z \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 대수공간의 사상으로서 분리 사상임에 주의하라. \(Z \times_Y X \to Z\)가 \(\mathcal{P}\)이면 합성 \(Z \times_Y X \to \Spec(\mathbf{Z})\)도 \(\mathcal{P}\)이다 (Lemma 03KQ를 보라). 따라서 대수공간 \(Z \times_Y X\)가 \(\mathcal{P}\)이다. 역으로 대수공간 \(Z \times_Y X\)가 \(\mathcal{P}\)이면 \(Z \times_Y X \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 \(\mathcal{P}\)이고, Lemma 03KR에 의해 \(Z \times_Y X \to Z\)가 \(\mathcal{P}\)임을 알 수 있다.

(3)이 (5)를 함의함을 증명하자. (3)을 가정한다. \(V\)를 스킴이라 하고 \(V \to Y\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(V \times_Y X \to V\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 보여야 한다. 다시 말해 사상 \[V \times_Y X \longrightarrow (V \times_Y X) \times_V (V \times_Y X) = V \times_Y X \times_Y X\] 가 대응하는 성질, 즉 닫힌 몰입, 몰입 또는 준콤팩트임을 보여야 한다. \(V = \bigcup V_j\)를 \(V\)의 아핀 열린 덮개라 하자. 가정에 의해 각 사상 \[V_j \times_Y X \longrightarrow V_j \times_Y X \times_Y X\] 가 대응하는 성질을 가짐을 안다. 닫힌 몰입, 몰입, 준콤팩트 몰입, 준콤팩트라는 성질은 대상 위 Zariski 국소적이고 \(V_j\)들이 \(V\)를 덮으므로 원하는 결론을 얻는다.

(5)가 (1)을 함의함을 증명하자. \(V \to Y\)를 (5)에서와 같이 택한다. 그러면 다음 섬유곱 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ V \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \times_Y X \times_Y X \ar[r] & X \times_Y X }\] 가정에 의해 왼쪽 세로 화살표는 닫힌 몰입, 몰입, 준콤팩트 몰입 또는 준콤팩트이다. Spaces, Lemma 03KD에 의해 오른쪽 세로 화살표도 닫힌 몰입, 몰입, 준콤팩트 몰입 또는 준콤팩트이다.

덮개 \(Y = Y\)를 취하면 (1)이 (6)을 함의함은 분명하다. \(Y = \bigcup Y_i\)가 (6)에서와 같다고 가정하자. 스킴 \(V_i\)와 전사 에탈 사상 \(V_i \to Y_i\)를 택한다. 사상 \(V_i \times_Y X \to V_i\)는 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)의 기저변환이므로 \(\mathcal{P}\)를 가짐에 주의하라. \(V = \coprod V_i\)로 놓자. 그러면 \(V \to Y\)는 (5)에서와 같은 사상이다(세부사항은 생략한다). 따라서 (6)이 (5)를 함의하며 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능 사상이라 하자.

1. 사상 \(f\)는 국소분리이다.

2. 사상 \(f\)가 위의 Definition 03HL의 의미에서 (준)분리일 필요충분조건은 \(f\)가 Section 03HA의 의미에서 (준)분리인 것이다.

특히 \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위의 스킴의 사상이면, \(f\)가 Definition 03HL의 의미에서 (준)분리일 필요충분조건은 \(f\)가 스킴의 사상으로서 (준)분리인 것이다.

증명

이는 Lemma 03KM의 (1)과 (2)의 동치와 스킴의 모든 사상이 국소분리라는 사실을 결합한 것이다. Schemes, Lemma 01KJ을 보라.

전사 사상

대수공간의 표현가능 사상이 전사라는 의미는 이미 Section 03HA에서 정의했다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 Section 03HA의 의미에서 전사일 필요충분조건은 \(|f| : |X| \to |Y|\)가 전사인 것이다.

증명

실제로 \(f : X \to Y\)가 표현가능이면, 이 사상이 전사일 필요충분조건은 모든 스킴 \(T\)와 모든 사상 \(T \to Y\)에 대하여 \(f\)의 기저변환인 \(f_T : T \times_Y X \to T\)가 스킴의 전사 사상인 것이다. 다시 말해 \(|f_T|\)가 전사인 것이다. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 사상 \(|T \times_Y X| \to |T| \times_{|Y|} |X|\)는 항상 전사이다. 따라서 \(|f| : |X| \to |Y|\)가 전사이면 \(|f_T| : |T \times_Y X| \to |T|\)도 전사이다. 역으로 위와 같은 모든 \(T \to Y\)에 대하여 \(|f_T|\)가 전사이면, \(T\)를 체의 스펙트럼으로 취하여 \(|X| \to |Y|\)가 전사라는 결론을 얻는다.

이로써 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 연관 위상공간 사이의 사상 \(|f| : |X| \to |Y|\)가 전사이면 \(f\)를 전사라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 전사이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 전사이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 전사이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 전사 사상이다.

5. 어떤 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재하여 합성 \(f \circ \varphi\)가 전사이다.

6. 다음 가환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 세로 화살표들은 전사 에탈이며, 위쪽 가로 화살표는 전사이다.

7. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 전사이다.

증명

생략한다.

보조정리

전사 사상들의 합성은 전사이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

전사 사상의 기저변환은 전사이다.

증명

Properties of Spaces, Lemma 03H4에서 곧바로 따른다.

열린 사상

대수공간의 표현가능 사상이 보편 열린이라는 의미는 이미 Section 03HA에서 정의했다. 따라서 자연스러운 정의를 내리기 전에 표현가능인 경우 그 정의와 일치함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 Section 03HA의 의미에서 보편 열린이다.

2. 대수공간의 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 위상공간의 사상 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 열린 사상이다.

증명

(1)을 가정하고 \(Z \to Y\)를 (2)에서와 같이 택한다. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다.

가정에 의해 스킴 사상 \(V \times_Y X \to V\)는 보편 열린이다. Properties of Spaces, Section 03BT에 의해 다음 가환 도식에서 \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] 가로 화살표들은 열리고 전사이며, 또한 사상 \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] 은 전사이다. 따라서 왼쪽 세로 화살표가 열려 있으므로 오른쪽 세로 화살표도 열려 있다. 이것으로 (2)가 증명되었다. (2) \(\Rightarrow\) (1)은 정의에서 곧바로 따른다.

따라서 다음의 자연스러운 정의를 사용할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. 위상공간의 사상 \(|f| : |X| \to |Y|\)가 열려 있으면 \(f\)를 열린 사상이라고 한다.

2. 대수공간의 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 위상공간의 사상 \[|Z \times_Y X| \to |Z|\] 이 열려 있으면 \(f\)를 보편 열린 사상이라고 한다. 즉 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)가 열린 사상이다.

대수공간의 에탈 사상은 보편 열린임에 주의하라. Properties of Spaces, Definition 03FR과 Lemmas 03IR, 03FU을 보라.

보조정리

대수공간의 보편 열린 사상을 대수공간의 임의의 사상으로 기저변환한 사상은 보편 열린이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

대수공간의 두 (보편) 열린 사상의 합성은 (보편) 열린 사상이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 보편 열린이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사영 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 열린 사상이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사영 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 열린 사상이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 대수공간의 보편 열린 사상이다.

5. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 보편 열린이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의한다는 증명은 생략한다.

(3)을 가정한다. 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. \(V \times_Y X \to V\)가 대수공간의 보편 열린 사상임을 보일 것이다. 대수공간에서 \(V\)로 가는 사상 \(Z \to V\)를 택한다. \(W = \coprod W_i\)가 아핀 스킴들의 서로소 합인 전사 에탈 사상 \(W \to Z\)를 택한다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라. 그러면 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_Y X| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \ar@{=}[r] & |Z \times_V (V \times_Y X)| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |Z| }\] 남동쪽 화살표가 열려 있음을 보여야 한다. 가운데 가로 화살표들은 전사이고 열려 있다(Properties of Spaces, Lemma 03IR). 가정 (3)과 \(W_i\)가 아핀이라는 사실에 의해 왼쪽 세로 화살표들은 열려 있다. 따라서 오른쪽 세로 화살표가 열려 있음이 따른다.

\(V \to Y\)가 (4)에서와 같다고 가정하자. \(f\)가 보편 열린임을 보일 것이다. \(Z \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하자. 다음 도식을 생각한다. \[\xymatrix{ |(V \times_Y Z) \times_V (V \times_Y X)| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ & |V \times_Y Z| \ar[r] & |Z| }\] 가정에 의해 남서쪽 화살표는 열려 있다. 대응하는 대수공간의 사상들이 에탈이므로 가로 화살표들은 전사이고 열려 있다(Properties of Spaces, Lemma 03IR을 보라). 따라서 오른쪽 세로 화살표는 열려 있다.

덮개 \(Y = Y\)를 취하면 물론 (1)이 (5)를 함의한다. \(Y = \bigcup Y_i\)가 (5)에서와 같다고 가정하자. 그러면 임의의 \(Z \to Y\)에 대하여 대응하는 Zariski 덮개 \(Z = \bigcup Z_i\)를 얻고, \(f\)를 \(Z_i\)로 기저변환한 사상은 열려 있다. 간단한 위상론적 논증으로부터 \(Z \times_Y X \to Z\)가 열려 있음이 따른다. 따라서 (1)이 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(p : X \to \Spec(k)\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 체이다. 그러면 \(p : X \to \Spec(k)\)는 보편 열린이다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택한다. 합성 \(U \to \Spec(k)\)는 스킴의 사상으로서 보편 열린이다. Morphisms, Lemma 0383을 보라. \(Z \to \Spec(k)\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(U \times_{\Spec(k)} Z \to X \times_{\Spec(k)} Z\)는 전사이다. Lemma 03MH를 보라. 따라서 사상들 \[|U \times_{\Spec(k)} Z| \to |X \times_{\Spec(k)} Z| \to |Z|\] 가운데 첫째 사상은 전사이다. 위의 논의에 의해 합성이 열려 있으므로 둘째 사상도 열려 있다는 결론을 얻는다. 따라서 Lemma 03Z5에 의해 \(p\)는 보편 열린이다.

몫사상

대수공간의 표현가능 사상이 보편 몫사상이라는 의미는 이미 Section 03HA에서 정의했다. 따라서 자연스러운 정의를 내리기 전에 표현가능인 경우 그 정의와 일치함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 Section 03HA의 의미에서 보편 몫사상이다.

2. 대수공간의 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 위상공간의 사상 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 몫사상이다.

증명

(1)을 가정하고 \(Z \to Y\)를 (2)에서와 같이 택한다. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다.

가정에 의해 스킴 사상 \(V \times_Y X \to V\)는 보편 몫사상이다. Properties of Spaces, Section 03BT에 의해 다음 가환 도식에서 \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] 가로 화살표들은 열리고 전사이며, 또한 사상 \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] 은 전사이다. 따라서 왼쪽 세로 화살표가 몫사상이므로 오른쪽 세로 화살표도 몫사상이다. 이것으로 (2)가 증명되었다. (2) \(\Rightarrow\) (1)은 정의에서 곧바로 따른다.

따라서 다음의 자연스러운 정의를 사용할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. 연속사상 \(|X| \to |Y|\)가 몫사상이면 \(f\)를 몫사상²이라고 한다. Topology, Definition 0406를 보라.

2. 대수공간의 모든 사상 \(Y' \to Y\)에 대하여 기저변환 \(Y' \times_Y X \to Y'\)가 몫사상이면 \(f\)를 보편 몫사상이라고 한다.

몫사상은 특히 전사임에 주의하라.

보조정리

대수공간의 보편 몫사상을 대수공간의 임의의 사상으로 기저변환한 사상은 보편 몫사상이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

대수공간의 두 (보편) 몫사상의 합성은 (보편) 몫사상이다.

증명

생략한다.

준콤팩트 사상

Section 03HA에 의해 대수공간의 표현가능 사상이 준콤팩트라는 의미를 알고 있다. 대수공간의 일반 사상에 대한 정의를 서술하기 위해 다음 관찰을 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 Section 03HA의 의미에서 준콤팩트이다.

2. 모든 준콤팩트 대수공간 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 대수공간 \(Z \times_Y X\)는 준콤팩트이다.

증명

(1)을 가정하고 \(Z\)가 준콤팩트인 대수공간의 사상 \(Z \to Y\)를 택한다. Properties of Spaces, Definition 03E3에 의해 준콤팩트 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to Z\)가 존재한다. \(f\)가 표현가능이고 준콤팩트이므로, 정의에 의해 \(U \times_Y X\)는 스킴이고 \(U \times_Y X \to U\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(U \times_Y X\)는 준콤팩트 스킴이다. 사상 \(U \times_Y X \to Z \times_Y X\)는 표현가능이고 에탈이며 전사인 사상 \(U \to Z\)의 기저변환이므로 에탈이고 전사이다 (Section 03HA을 보라). 따라서 정의에 의해 \(Z \times_Y X\)는 준콤팩트이다.

(2)를 가정한다. \(Z\)가 스킴인 사상 \(Z \to Y\)를 택한다. \(p : Z \times_Y X \to Z\)가 준콤팩트임을 보여야 한다. \(U \subset Z\)를 아핀 열린집합이라 하자. 그러면

\(p^{-1}(U) = U \times_Y Z\)이고, 가정 (2)에 의해 스킴 \(U \times_Y Z\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(p\)는 준콤팩트이다. Schemes, Section 01K2를 보라.

이 관찰로부터 다음 정의를 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 모든 준콤팩트 대수공간 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 섬유곱 \(Z \times_Y X\)가 준콤팩트이면 \(f\)를 준콤팩트라고 한다.

위의 Lemma 03HD에 의해 이는 대수공간의 표현가능 사상에 대한 기존 개념과 일치한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위의 대수공간의 준콤팩트 사상이면, 바탕 위상공간의 사상 \(|f| : |X| \to |Y|\)는 준콤팩트이다.

증명

\(V \subset |Y|\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03BZ에 의해 \(V = |Y'|\)인 열린 부분공간 \(Y' \subset Y\)가 존재한다. 그러면 Properties of Spaces, Lemma 03E4에 의해 \(Y'\)는 준콤팩트 대수공간이고, 따라서 Definition 03HE에 의해 \(X' = Y' \times_Y X\)는 준콤팩트 대수공간이다. 한편 \(X' \subset X\)는 열린 부분공간이고 (Spaces, Lemma 02YW)

\(|X'| = |f|^{-1}(|X'|) = |f|^{-1}(V)\)이다 (Properties of Spaces, Lemma 03H4). 다시 Properties of Spaces, Lemma 03E4를 사용하면, 원하는 대로 \(|X'|\)가 \(|X|\)의 준콤팩트 열린집합이라는 결론을 얻는다.

보조정리

대수공간의 준콤팩트 사상을 대수공간의 임의의 사상으로 기저변환한 사상은 준콤팩트이다.

증명

생략한다. 힌트: 섬유곱의 추이성.

보조정리

대수공간의 두 준콤팩트 사상의 합성은 준콤팩트이다.

증명

생략한다. 힌트: 섬유곱의 추이성.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

1. \(X \to Y\)가 \(S\) 위의 대수공간의 전사 사상이고 \(X\)가 준콤팩트이면 \(Y\)는 준콤팩트이다.

2. 다음이 \(S\) 위의 대수공간의 사상들로 이루어진 가환 도식이고 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & Z }\] \(f\)가 전사이며 \(p\)가 준콤팩트이면 \(q\)는 준콤팩트이다.

증명

\(X\)가 준콤팩트이고 \(X \to Y\)가 전사라고 가정하자. Definition 03ME에 의해 사상 \(|X| \to |Y|\)는 전사이다. 따라서 Properties of Spaces, Lemma 03E4와 준콤팩트 공간의 연속상은 준콤팩트라는 위상론적 사실에 의해 \(Y\)가 준콤팩트임을 알 수 있다. Topology, Lemma 04Z9를 보라. \(f, p, q\)를 (2)에서와 같이 택한다. 정의역이 준콤팩트 대수공간인 사상 \(T \to Z\)를 택한다. 가정에 의해 \(T \times_Z X\)는 준콤팩트이다. Lemma 03MH에 의해 사상 \(T \times_Z X \to T \times_Z Y\)는 전사이다. 따라서 (1)에 의해 \(T \times_Z Y\)도 준콤팩트이다. 그러므로 \(q\)는 준콤팩트이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(g : Y' \to Y\)를 보편 열린 전사 대수공간 사상이라 하고, 그 기저변환 \(f' : X' \to Y'\)가 준콤팩트라고 하자. 그러면 \(f\)는 준콤팩트이다.

증명

\(Z\)가 준콤팩트인 대수공간의 사상 \(Z \to Y\)를 택한다. \(g\)가 보편 열리고 전사이므로 \(Y' \times_Y Z \to Z\)는 열린 전사 사상이다. \(|Y' \times_Y Z|\)의 모든 점은 준콤팩트 열린 근방들의 기본계를 가지므로 (Properties of Spaces, Lemma 04NN를 보라), \(Z\) 위로 전사하는 준콤팩트 열린집합 \(W \subset |Y' \times_Y Z|\)를 찾을 수 있다.

\(W \to Y'\)에 의한 \(f'\)의 기저변환을 \(f'' : W \times_Y X \to W\)로 나타내자. 가정에 의해 \(W \times_Y X\)는 준콤팩트이다. \(W \to Z\)가 전사이므로 \(W \times_Y X \to Z \times_Y X\)도 전사이다. 따라서 Lemma 040W에 의해 \(Z \times_Y X\)는 준콤팩트이다. 그러므로 \(f\)는 준콤팩트이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 준콤팩트이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 대수공간의 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 준콤팩트이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 대수공간 \(Z \times_Y X\)는 준콤팩트이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 대수공간의 준콤팩트 사상이다.

5. 대수공간의 전사 에탈 사상 \(Y' \to Y\)가 존재하여 \(Y' \times_Y X \to Y'\)가 대수공간의 준콤팩트 사상이다.

6. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 준콤팩트이다.

증명

이후 따로 언급하지 않고 Lemma 03HF를 사용할 것이다. (1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의함은 분명하다. (3)을 가정한다. \(Z\)를 \(S\) 위의 준콤팩트 대수공간이라 하고 \(Z \to Y\)를 사상이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03H6에 의해 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to Z\)가 존재한다. 그러면 \(U \times_Y X \to Z \times_Y X\)는 대수공간의 전사 사상이다. Lemma 03MH를 보라. 가정에 의해 \(|U \times_Y X|\)는 준콤팩트이다. 이 공간이 \(|Z \times_Y X|\) 위로 전사하므로 \(|Z \times_Y X|\)가 준콤팩트이라는 결론을 얻는다. Topology, Lemma 04Z9를 보라. 이것으로 (3)이 (1)을 함의함이 증명되었다.

(1) \(\Rightarrow\) (4)와 (4) \(\Rightarrow\) (5)는 분명하다. (5) \(\Rightarrow\) (1)은 Lemma 04ZJ와 대수공간의 에탈 사상이 보편 열린이라는 사실에서 따른다 (Definition 03Z2 뒤의 논의를 보라).

덮개 \(Y = Y\)를 취하면 물론 (1)이 (6)을 함의한다. \(Y = \bigcup Y_i\)가 (6)에서와 같다고 가정하자. \(Z\)를 아핀이라 하고 \(Z \to Y\)를 사상이라 하자. 각 \(Z_j \to Y\)가 어떤 \(i_j\)에 대하여 \(Y_{i_j}\)를 거쳐 분해되는 유한 표준 아핀 덮개 \(Z = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\)가 존재한다. 따라서 대수공간 \[Z_j \times_Y X = Z_j \times_{Y_{i_j}} f^{-1}(Y_{i_j})\] 는 준콤팩트이다. 다음은 Zariski 덮개이므로 \(Z \times_Y X = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} Z_j \times_Y X\), \(|Z \times_Y X| = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} |Z_j \times_Y X|\) 는 준콤팩트 공간들의 유한 합집합이고 따라서 준콤팩트이다 (Properties of Spaces, Lemma 03BZ를 보라). 그러므로 (6)이 (3)을 함의함을 알 수 있다.

다음 보조정리(및 그다음 보조정리)는 특히 \(X\)가 준콤팩트 대수공간이면 사상 \(X \to \Spec(A)\)가 준콤팩트임을 보장한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(g \circ f\)가 준콤팩트이고 \(g\)가 준분리이면 \(f\)는 준콤팩트이다.

증명

\(f\)는 다음 합성과 같으므로 이 명제가 성립한다. \((1, f) : X \to X \times_Z Y \to Y\). 첫째 사상은 준분리 사상 \(X \times_Z Y \to X\)의 단면이므로 Lemma 03KP에 의해 준콤팩트이다 (그 사상은 \(g\)의 기저변환이다. Lemma 03KL를 보라). 둘째 사상은 \(g \circ f\)의 기저변환이므로 준콤팩트이다. Lemma 03HF를 보라. 준콤팩트 사상들의 합성은 준콤팩트이다. Lemma 03HG를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(X\)가 준콤팩트이고 \(Y\)가 준분리이면 \(f\)는 준콤팩트이다.

2. \(X\)가 준콤팩트이고 준분리이며 \(Y\)가 준분리이면, \(f\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

3. 준콤팩트 준분리 대수공간들의 섬유곱은 준콤팩트이고 준분리이다.

증명

(1)은 Lemma 03KS에서 \(Z = S = \Spec(\mathbf{Z})\)로 놓으면 따른다. (2)는 (1)과 Lemma 03KR에서 따른다. (3)을 위해 \(X \to Y\)와 \(Z \to Y\)를 준콤팩트 준분리 대수공간들의 사상이라 하자. 그러면 (2)와 Lemmas 03HF, 03KL에 의해 \(X \times_Y Z \to Z\)는 \(X \to Y\)의 기저변환으로서 준콤팩트이고 준분리이다. 따라서 Lemmas 04ZH와 03HG에 의해 \(X \times_Y Z\)는 \(Z\) 위에서 준콤팩트이고 준분리인 대수공간으로서 준콤팩트이고 준분리이다.

보편 닫힌 사상

대수공간의 표현가능 사상이 보편 닫힌이라는 의미는 이미 Section 03HA에서 정의했다. 따라서 자연스러운 정의를 내리기 전에 표현가능인 경우 그 정의와 일치함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 Section 03HA의 의미에서 보편 닫힌이다.

2. 대수공간의 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 위상공간의 사상 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 닫힌 사상이다.

증명

(1)을 가정하고 \(Z \to Y\)를 (2)에서와 같이 택한다. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다.

가정에 의해 스킴 사상 \(V \times_Y X \to V\)는 보편 닫힌이다. Properties of Spaces, Section 03BT에 의해 다음 가환 도식에서 \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] 가로 화살표들은 열리고 전사이며, 또한 사상 \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] 은 전사이다. 따라서 왼쪽 세로 화살표가 닫혀 있으므로 오른쪽 세로 화살표도 닫혀 있다. 이것으로 (2)가 증명되었다. (2) \(\Rightarrow\) (1)은 정의에서 곧바로 따른다.

따라서 다음의 자연스러운 정의를 사용할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. 위상공간의 사상 \(|X| \to |Y|\)가 닫혀 있으면 \(f\)를 닫힌 사상이라고 한다.

2. 대수공간의 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 위상공간의 사상 \[|Z \times_Y X| \to |Z|\] 이 닫혀 있으면 \(f\)를 보편 닫힌 사상이라고 한다. 즉 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)가 닫힌 사상이다.

보조정리

대수공간의 보편 닫힌 사상을 대수공간의 임의의 사상으로 기저변환한 사상은 보편 닫힌이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

대수공간의 두 (보편) 닫힌 사상의 합성은 (보편) 닫힌 사상이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 보편 닫힌이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사영 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 닫힌 사상이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사영 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\)는 닫힌 사상이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 대수공간의 보편 닫힌 사상이다.

5. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 보편 닫힌이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의한다는 증명은 생략한다.

(3)을 가정한다. 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. \(V \times_Y X \to V\)가 대수공간의 보편 닫힌 사상임을 보일 것이다. 대수공간에서 \(V\)로 가는 사상 \(Z \to V\)를 택한다. \(W = \coprod W_i\)가 아핀 스킴들의 서로소 합인 전사 에탈 사상 \(W \to Z\)를 택한다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라. 그러면 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_Y X| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \ar@{=}[r] & |Z \times_V (V \times_Y X)| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |Z| }\] 남동쪽 화살표가 닫혀 있음을 보여야 한다. 가운데 가로 화살표들은 전사이고 열려 있다(Properties of Spaces, Lemma 03IR). 가정 (3)과 \(W_i\)가 아핀이라는 사실에 의해 왼쪽 세로 화살표들은 닫혀 있다. 따라서 오른쪽 세로 화살표가 닫혀 있음이 따른다.

(4)를 가정한다. \(f\)가 보편 닫힌임을 보일 것이다. \(Z \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하자. 다음 도식을 생각한다. \[\xymatrix{ |(V \times_Y Z) \times_V (V \times_Y X)| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ & |V \times_Y Z| \ar[r] & |Z| }\] 가정에 의해 남서쪽 화살표는 닫혀 있다. 대응하는 대수공간의 사상들이 에탈이므로 가로 화살표들은 전사이고 열려 있다(Properties of Spaces, Lemma 03IR을 보라). 따라서 오른쪽 세로 화살표는 닫혀 있다.

덮개 \(Y = Y\)를 취하면 물론 (1)이 (5)를 함의한다. \(Y = \bigcup Y_i\)가 (5)에서와 같다고 가정하자. 그러면 임의의 \(Z \to Y\)에 대하여 대응하는 Zariski 덮개 \(Z = \bigcup Z_i\)를 얻고, \(f\)를 \(Z_i\)로 기저변환한 사상은 닫혀 있다. 간단한 위상론적 논증으로부터 \(Z \times_Y X \to Z\)가 닫혀 있음이 따른다. 따라서 (1)이 성립한다.

예

보편 닫힌 사상의 기묘한 예를 들자. \(\mathbf{Q} \subset k\)를 표수 0인 체라 하자. \(X = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\)를 Spaces, Example 02Z7에서와 같이 정의하자. 구조사상 \(p : X \to \Spec(k)\)가 보편 닫힌이라고 주장한다. 실제로 \(Z/k\)가 스킴이고 \(T \subset |X \times_k Z|\)가 닫혀 있으면, \(T\)는 \(T' \subset |\mathbf{A}^1 \times Z|\)의 \(\mathbf{Z}\)-불변 닫힌 부분집합에 대응한다. 이로부터 \(T'\)이 \(Z\)의 어떤 부분집합 \(T''\)의 역상임을 쉽게 알 수 있다. Morphisms, Lemma 02JY에 의해 \(T'' \subset Z\)는 닫혀 있다. 물론 \(T''\)은 \(T\)의 상이다. 따라서 Lemma 03IT에 의해 \(p\)는 보편 닫힌이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위의 대수공간의 보편 닫힌 사상은 준콤팩트이다.

증명

이 증명은 스킴의 경우의 증명을 되풀이한 것이다. Morphisms, Lemma 04XU를 보라. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트하지 않다고 가정한다. 목표는 \(f\)가 보편 닫힌 사상이 아님을 보이는 것이다. Lemma 03KG에 의해 어떤 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)가 존재하여 \(Z \times_Y X \to Z\)가 준콤팩트하지 않다. 목표를 이루려면 \(Z \times_Y X \to Z\)가 보편 닫힌 사상이 아님을 보이면 충분하다. 따라서 어떤 환 \(B\)에 대해 \(Y = \Spec(B)\)라고 가정해도 된다.

\(X = \bigcup_{i \in I} X_i\)로 쓰자. 여기서 \(X_i\)들은 \(X\)의 준콤팩트 열린 부분공간이다. 예를 들어 \(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하고, 아핀 열린 덮개 \(U = \bigcup U_i\)를 택한 뒤 \(X_i \subset X\)를 \(U_i\)의 상으로 놓는다. 사상들 \(X_i \to Y\)가 준콤팩트이라는 사실을 뒤에서 사용할 것이다. Lemma 03KS를 보라. \(T = \Spec(B[a_i ; i \in I])\)로 놓고 \(T_i = D(a_i) \subset T\)로 놓자. \(Z \subset T \times_Y X\)를 그 바탕 닫힌 점집합이

\(|T \times_Y Z| \setminus \bigcup_{i \in I} |T_i \times_Y X_i|\) 인 축약 닫힌 부분공간이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03IQ를 보라. (\(T_i \to T\)와 \(X_i \to X\)가 열린 몰입이므로 \(T_i \times_Y X_i\)는 \(T \times_Y X\)의 열린 부분공간임에 주의하라. Spaces, Lemmas 02YW, 02YV를 보라.) 다음 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & T \times_Y X \ar[d]^{f_T} \ar[r]_q & X \ar[d]^f \\ & T \ar[r]^p & Y }\] 상 \(f_T(|Z|)\)가 \(|T|\)에서 닫혀 있지 않음을 보이면 충분하다.

\(Y\)에서 \(y\)의 어떤 아핀 열린 근방 \(V\)도 \(X_V\)를 준콤팩트으로 만들지 않는 점 \(y \in Y\)가 존재한다고 주장한다. 그렇지 않으면 그러한 \(V\)들을 유한 개 택하여 \(Y\)를 덮을 수 있고, 각 \(V\)에 대해

Lemma 03KS에 의해 사상 \(Y_V \to V\)가 준콤팩트이다. 그러면 Lemma 03KG에 의해 \(f\)가 준콤팩트이라는 결론을 얻어 모순이다. 이 주장과 같은 \(y \in Y\)를 고정한다.

\(y\) 위에 놓이고 \(\kappa(t) = \kappa(y)\)이며 모든 \(i\)에 대하여 \(\kappa(t)\)에서 \(a_i = 1\)인 점 \(t \in T\)를 택한다. \(z \in |Z|\)이고 \(f_T(z) = t\)라고 가정하자. 그러면 어떤 \(i\)에 대하여

\(q(t) \in X_i\)이다. 따라서 \(Z\)의 구성에 의해 \(f_T(z) \not \in T_i\)이고, 이는 구성상 \(t \in T_i\)라는 사실과 모순이다. 그러므로 \(t \in |T| \setminus f_T(|Z|)\)임을 알 수 있다.

\(f_T(|Z|)\)가 \(|T|\)에서 닫혀 있다고 가정하자. 그러면 \(f_T(|Z|) \subset V(g)\)이고 \(t \not \in V(g)\)인 원소 \(g \in B[a_i; i \in I]\)가 존재한다. 따라서 \(\kappa(t)\)에서 \(g\)의 상은 영이 아니다. 특히 \(g\)의 어떤 계수는 \(\kappa(y)\)에서 영이 아닌 상을 갖는다. 그러므로 이 계수는 \(y\)의 어떤 아핀 열린 근방 \(V\)에서 가역이다. \(J\)를 변수 \(a_j\)가 \(g\)에 나타나는 \(j \in I\)들의 유한 집합이라 하자. \(X_V\)는 준콤팩트하지 않고 각 \(X_{i, V}\)는 준콤팩트이므로 점 \(x \in |X_V| \setminus \bigcup_{j \in J} |X_{j, V}|\)를 택할 수 있다. 다시 말해 \(x \in |X| \setminus \bigcup_{j \in J} |X_j|\)이고 \(x\)는 어떤 \(v \in V\) 위에 놓인다. \(g\)가 \(V\)에서 가역인 계수를 가지므로, \(v\) 위에 놓이고 \(t' \not \in V(g)\)이며 모든 \(i \notin J\)에 대하여 \(t' \in V(a_i)\)인 점 \(t' \in T\)를 찾을 수 있다. 이는 \(V(a_i; i \in I \setminus J) = \Spec(B[a_j; j\in J])\)이고 \(v\) 위에 놓이는 이 스킴의 점들의 집합이 \(\Spec(\kappa(v)[a_j; j \in J])\)와 전단사이며, 구성상 \(g\)가 이 다항식환의 영이 아닌 원소로 제한되기 때문이다. 다시 말해 각 \(i \not \in J\)에 대하여 \(t' \not \in T_i\)이다. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(x \in X\)와 \(t' \in T\)로 각각 가는 \(X \times_Y T\)의 점 \(z\)를 찾을 수 있다. \(j \in J\)에 대하여 \(x \not \in |X_j|\)이고 \(i \in I \setminus J\)에 대하여 \(t' \not \in T_i\)이므로 \(z \in |Z|\)임을 알 수 있다. 한편

\(f_T(z) = t' \not \in V(g)\)이고, 이는 \(f_T(Z) \subset V(g)\)와 모순이다. 따라서 “\(f_T(|Z|)\)가 닫혀 있다”는 가정은 틀렸으며, 원하는 대로 \(f_T\)가 닫힌 사상이 아니라는 결론을 얻는다.

분리 대수공간을 전사 보편 닫힌 사상으로 보낸 대상은 분리이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(B\) 위의 대수공간의 전사 보편 닫힌 사상이라 하자.

1. \(X\)가 준분리이면 \(Y\)는 준분리이다.

2. \(X\)가 분리이면 \(Y\)는 분리이다.

3. \(X\)가 \(B\) 위에서 준분리이면 \(Y\)는 \(B\) 위에서 준분리이다.

4. \(X\)가 \(B\) 위에서 분리이면 \(Y\)는 \(B\) 위에서 분리이다.

증명

(1)과 (2)는 \(S = B = \Spec(\mathbf{Z})\)인 경우의 (3)과 (4)에서 따른다 (Properties of Spaces, Definition 03BS을 보라). 다음 가환 도식을 생각한다. \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[rr]_{\Delta_{X/B}} & & X \times_B X \ar[d] \\ Y \ar[rr]^{\Delta_{Y/B}} & & Y \times_B Y }\] 왼쪽 세로 화살표는 전사이다(즉 보편 전사이다). 오른쪽 세로 화살표는 보편 닫힌 사상들 \(X \times_B X \to X \times_B Y \to Y \times_B Y\)의 합성이므로 보편 닫힌이다. 따라서 Lemma 04XW에 의해 준콤팩트이기도 하다.

\(X\)가 \(B\) 위에서 준분리, 즉 \(\Delta_{X/B}\)가 준콤팩트라고 가정하자. 그러면 \(Z\)가 준콤팩트이고 \(Z \to Y \times_B Y\)가 사상일 때 \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z \times_{Y \times_B Y} Y\)는 전사이고, 위의 논의에 의해 \(Z \times_{Y \times_B Y} X\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(\Delta_{Y/B}\)가 준콤팩트이고, 즉 \(Y\)가 \(B\) 위에서 준분리라는 결론을 얻는다.

\(X\)가 \(B\) 위에서 분리, 즉 \(\Delta_{X/B}\)가 닫힌 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(Z\)가 아핀이고 \(Z \to Y \times_B Y\)가 사상일 때 \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z \times_{Y \times_B Y} Y\)는 전사이고, 위의 논의에 의해 \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z\)는 보편 닫힌이다. 따라서 \(\Delta_{Y/B}\)가 보편 닫힌이라는 결론을 얻는다. 이로부터 \(\Delta_{Y/B}\)는 표현가능이고, 국소 유한형이고, 단사사상이며(Lemma 03HK를 보라), 보편 닫힌이므로 닫힌 몰입이다. Étale Morphisms, Lemma 04XV를 보라 (추상적 원리 Spaces, Lemma 02YO도 보라). 따라서 \(Y\)는 \(B\) 위에서 분리이다.

단사사상

Section 03HA에 따르면 대수공간의 표현가능 사상 \(X \to Y\)가 단사사상이라는 것은, 모든 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)가 스킴의 단사사상으로 표현된다는 뜻이다. 이는 \(Z \times_Y X \to Z\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층들의 단사 사상이라는 것과 정확히 같다. 이 조건이 모든 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 성립해야 하므로, 이는 다시 \(X \to Y\)가 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층들의 단사 사상이라는 것과 동치이다. 따라서 표현가능일 필요가 없는³ 대수공간의 사상에 대한 단사사상을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위의 대수공간의 사상이 층들의 단사 사상, 즉 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층들의 범주에서 단사사상이면 그 사상을 단사사상이라고 한다.

다음 보조정리는 이것이 \(S\) 위의 대수공간의 범주에서도 단사사상이라는 뜻임을 보여 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(j : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(j\)는 Definition 042L의 의미에서 단사사상이다.

2. \(j\)는 \(S\) 위의 대수공간의 범주에서 단사사상이다.

3. 대각사상 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\)는 동형사상이다.

증명

\(X \times_Y X\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층들의 범주에서의 섬유곱인 동시에 \(S\) 위의 대수공간의 범주에서의 섬유곱임에 주의하라. Spaces, Lemma 02X2를 보라. (1)과 (3)의 동치는 임의의 사이트 위 층들의 단사 사상에 대한 일반적 특징이다. (2)와 (3)의 동치는 섬유곱이 있는 임의의 범주에서 단사사상에 대한 특징이다.

보조정리

대수공간의 단사사상은 분리이다.

증명

동형사상은 닫힌 몰입이라는 사실과 위의 Lemma 042M에 의해 성립한다.

보조정리

단사사상들의 합성은 단사사상이다.

증명

층들의 단사 사상들의 합성은 단사이므로 성립한다.

보조정리

단사사상의 기저변환은 단사사상이다.

증명

이는 층들의 범주에서 섬유곱에 관한 일반적 사실이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 단사사상이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 \(f\)의 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)는 단사사상이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 모든 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 \(f\)의 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)는 단사사상이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 기저변환 \(V \times_Y X \to V\)가 단사사상이다.

5. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 단사사상이다.

증명

이후 따로 언급하지 않고 단사사상의 기저변환이 단사사상이라는 사실, 즉 Lemma 042P를 사용할 것이다. 특히 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)는 분명하다(\(V\)를 \(Y\) 위에서 에탈인 아핀 스킴들의 서로소 합으로 취한다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라). \(V\)를 스킴이라 하고 \(V \to Y\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(V \times_Y X \to V\)가 단사사상이면 \(X \to Y\)도 단사사상이다. 실제로 층들의 임의의 데카르트 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{G} \ar[d]^c \\ \mathcal{H} \ar[r]^d & \mathcal{I} } } \quad \quad \mathcal{F} = \mathcal{H} \times_\mathcal{I} \mathcal{G}\] 에서 \(c\)가 층들의 전사이고 \(a\)가 단사이면 \(d\)도 단사이다. 따라서 (4)가 (1)을 함의한다. (5)와 (1)의 동치의 증명은 생략한다.

보조정리

대수공간의 몰입은 단사사상이다. 특히 모든 몰입은 분리이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 대수공간의 몰입이라 하자. \(Z\)가 표현가능인 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)는 스킴의 몰입이고, 따라서 단사사상이다. Schemes, Lemma 01L7를 보라. 그러므로 \(f\)는 표현가능이고 단사사상이다.

다음 보조정리는 Decent Spaces, Lemma 06RZ 에서 개선할 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(k\)를 체라 하고 \(Z \to \Spec(k)\)를 \(S\) 위의 대수공간의 단사사상이라 하자. 그러면 \(Z = \emptyset\)이거나 \(Z = \Spec(k)\)이다.

증명

Lemmas 042N, 04ZH에 의해 \(Z\)가 분리 대수공간임을 알 수 있다. 따라서 스킴인 조밀한 열린 부분공간 \(Z' \subset Z\)가 존재한다. Properties of Spaces, Proposition 06NH 을 보라. Schemes, Lemma 03DP에 의해 \(Z' = \emptyset\)이거나 \(Z' \cong \Spec(k)\)이다. 첫째 경우에는 \(Z = \emptyset\)이라는 결론을 얻고, 둘째 경우에는 \(Z \to \Spec(k)\)가 \(Z'\) 위에서 동형사상인 단사사상이므로 \(Z' = Z = \Spec(k)\)라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y\)가 \(S\) 위의 대수공간의 단사사상이면 \(|X| \to |Y|\)는 단사이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다.

준연접층의 직접상

먼저 대수공간의 사상에 대한 가군층의 직접상과 스킴의 사상에 대한 가군층의 직접상을 연결하는 간단한 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(U \to X\)를 스킴에서 \(X\)로 가는 전사 에탈 사상이라 하자. \(R = U \times_X U\)로 놓고, 평소처럼 사영 사상들을

\(t, s : R \to U\)로 나타내자. 유도된 사상들을 \(a : U \to Y\)와 \(b : R \to Y\)로 나타내자. \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 대상 \(\mathcal{F}\)에 대하여 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \to b_*(\mathcal{F}|_R)\] 이 존재하며, 둘째 화살표는 차 \(t^* - s^*\)이다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(X_{spaces, \etale}\) 위의 가군층으로 확장한 것도 같은 기호로 나타낸다. Properties of Spaces, Remark 03H7를 보라. \(V \to Y\)를 \(Y_\etale\)의 대상이라 하자. 그러면 \(V \times_Y X\)는 \(X_{spaces, \etale}\)의 대상이고, 정의에 의해 \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V \times_Y X)\)이다. \(U \to X\)가 전사 에탈이므로 \(\{V \times_Y U \to V \times_Y X\}\)는 덮개이다. 또한 \((V \times_Y U) \times_X (V \times_Y U) = V \times_Y R\)이다. 따라서 \(X_{spaces, \etale}\) 위의 \(\mathcal{F}\)에 대한 층 조건으로부터 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(V \times_Y X) \to \mathcal{F}(V \times_Y U) \to \mathcal{F}(V \times_Y R)\] 을 얻으며, 둘째 화살표는 \(t\) 또는 \(s\)를 통한 제한들의 차이다. 이 완전열은 \(V\)에 대하여 함자적이므로 보조정리를 얻는다.

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 표현가능 대수공간 \(X\), \(Y\) 사이의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. Descent, Proposition 03LC에 의해 함자 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\)는 \(X\)와 \(Y\)를 스킴으로 생각할 때의 통상적인 함자와 일치한다.

더 일반적으로 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 표현가능, 준콤팩트, 준분리 사상이라 하자. \(V\)를 스킴이라 하고 \(V \to Y\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(U = V \times_Y X\)로 놓고 \(f' : U \to V\)를 \(f\)의 기저변환이라 하자. 그러면 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 [04CF]\[\begin{equation} f'_*(\mathcal{F}|_U) = (f_*\mathcal{F})|_V, \end{equation}\] 이다. Properties of Spaces, Lemma 03LX를 보라. 또한 \(f' : U \to V\)가 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이므로, 앞 문단의 주석에 의해 \(\mathcal{F}|_U\)를 스킴 \(U\) 위의 준연접층으로 생각하고 \(f'\)를 스킴의 사상으로 생각하여 \(f'_*(\mathcal{F}|_U)\)를 계산할 수 있다. 이후 따로 언급하지 않고 이 사실을 자주 사용할 것이다.

그다음 일반성의 단계는 대수공간의 임의의 준콤팩트 준분리 사상을 고려하는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이고 준분리이면 \(f_*\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군을 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군으로 보낸다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(f_*\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위의 준연접층임을 보여야 한다. 이를 위해서는 임의의 아핀 스킴 \(V\)와 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대하여 \(f_*\mathcal{F}\)를 \(V\)로 제한한 것이 준연접임을 보이면 충분하다. Properties of Spaces, Lemma 03M0를 보라. \(f' : V \times_Y X \to V\)를 \(V \to Y\)에 의한 \(f\)의 기저변환이라 하자. Lemmas 03HF, 03KL에 의해 \(f'\)도 준콤팩트이고 준분리임에 주의하라. (04CF)에 의해 \(f_*\mathcal{F}\)를 \(V\)로 제한한 것은 \(\mathcal{F}\)를 \(V \times_Y X\)로 제한한 것의 \(f'_*\)임을 안다. 따라서 \(f\)를 \(f'\)로 바꾸어 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다.

\(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정하자. \(f\)가 준콤팩트이므로 \(X\)는 준콤팩트이다. 따라서 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택할 수 있다. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. Lemma 03M8에 의해 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \to b_*(\mathcal{F}|_R).\] 을 얻는다. 여기서 \(R = U \times_X U\)이다. \(X \to Y\)가 준분리이므로 \(R \to U \times_Y U\)는 준콤팩트 단사사상이다. 이로부터 \(R\)이 준콤팩트 분리 스킴임이 따른다 (이 시점에서 \(U\)와 \(Y\)는 아핀이다). 따라서 \(a : U \to Y\)와 \(b : R \to Y\)는 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이다. 그러므로 Descent, Proposition 03LC에 의해 층들 \(a_*(\mathcal{F}|_U)\)와 \(b_*(\mathcal{F}|_R)\)는 준연접이다 (이 보조정리 앞의 논의도 보라). 따라서 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접 가군들의 핵이고, 그러므로 그 자체가 준연접이다. Properties of Spaces, Lemma 03M1를 보라.

고차 직접상은 Cohomology of Spaces, Section 071Y에서 논한다.

몰입

대수공간의 열린 몰입, 닫힌 몰입, 국소 닫힌 몰입은 Spaces, Section 02YT에서 정의했다. 즉 대수공간의 사상이 표현가능이고 Section 03HA의 의미에서 각각 닫힌 몰입 (각각 열린 몰입, 몰입)이면 그 사상을 닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)이라고 한다.

특히 이 유형의 사상들은 \(S\) 위의 대수공간의 범주에서 기저변환과 사상의 합성 아래 안정적이다. Spaces, Lemmas 02YV, 02YW를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 \(Z \times_Y X \to Z\)는 닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 \(Z \times_Y X \to Z\)는 닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)이다.

5. Zariski 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)이다.

증명

닫힌 몰입(각각 열린 몰입, 각각 몰입)의 기저변환은 다시 같은 유형이므로 (1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의함은 분명하다. 또한 \(V\)를 아핀들의 서로소 합으로 취할 수 있으므로 (3)이 (4)를 함의한다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라.

\(V \to Y\)가 (4)에서와 같다고 가정하자. \(\mathcal{P}\)를 스킴 사상의 성질인 닫힌 몰입 (각각 열린 몰입, 각각 몰입)이라 하자. 성질 \(\mathcal{P}\)는 임의의 기저변환 아래 보존되고 기저 위 fppf 국소적임에 주의하라(Section 03HA을 보라). 더욱이 \(\mathcal{P}\) 유형의 사상들은 세 경우 모두 분리이고 국소 준유한이다(Schemes, Lemma 01L7와 Morphisms, Lemma 01TN을 보라). 따라서 More on Morphisms, Lemma 02W8 에 의해 \(\mathcal{P}\) 유형의 사상들은 fppf 덮개에 대한 하강을 만족한다. 그러므로 Spaces, Lemma 03I2를 적용할 수 있고, \(X \to Y\)가 표현가능이며 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다는 결론, 즉 (1)을 얻는다.

(1)과 (5)의 동치는 \(\mathcal{P}\)가 대상 위 Zariski 국소적이라는 사실에서 따른다(위에서 \(\mathcal{P}\)가 실제로 대상 위 fppf 국소적임을 보았다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to Y \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상들이라 하자.

1. \(Z \to X\)가 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이면, \(Z \to Y\)도 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이다.

2. \(Z \to X\)가 몰입이고 \(Y \to X\)가 국소분리이면 \(Z \to Y\)는 몰입이다.

3. \(Z \to X\)가 닫힌 몰입이고 \(Y \to X\)가 분리이면 \(Z \to Y\)는 닫힌 몰입이다.

증명

각 경우 다음 가환 도식을 살펴보면 증명된다. \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & Y \times_X Z \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ & Y \ar[r] & X }\] 여기서 위쪽 가로 화살표들의 합성은 항등사상이다. (1)을 증명하자. 첫째 가로 화살표는 \(Y \times_X Z \to Z\)의 단면이므로 Lemma 03KP에 의해 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이다. 화살표 \(Y \times_X Z \to Y\)는 \(Z \to X\)의 기저변환이므로 표현가능이고, 국소 유한형이고, 국소 준유한이고, 분리이며 단사사상이다(이 스킴 사상의 성질들은 각각 기저변환 아래 안정적이다. Spaces, Remark 02WF를 보라). 따라서 합성도 같은 성질들을 갖는다(이 스킴 사상의 성질들은 각각 합성 아래 안정적이다. Spaces, Remark 02WG을 보라). 이것으로 (1)이 증명되었다. 다른 결과들도 정확히 같은 방식으로 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 몰입이라 하자. 그러면 \(|i| : |Z| \to |X|\)는 어떤 국소 닫힌 부분집합 위로의 위상동형이고, \(i\)가 닫힌 몰입일 필요충분조건은 상 \(|i|(|Z|) \subset |X|\)가 닫힌 부분집합인 것이다.

증명

첫째 명제는 Properties of Spaces, Lemma 0ABJ이다. \(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. 가정에 의해 \(T = U \times_X Z\)는 스킴이고 사상 \(j : T \to U\)는 스킴의 몰입이다. Lemma 03M4에 의해 \(i\)가 닫힌 몰입일 필요충분조건은 \(j\)가 닫힌 몰입인 것이다. Schemes, Lemma 01IQ에 의해 이는 \(j(T)\)가 \(U\)에서 닫혀 있는 것과 동치이다. 그런데 부분집합 \(j(T) \subset U\)는 \(|i|(|Z|) \subset |X|\)의 역상이다. Properties of Spaces, Lemma 03H4을 보라. 이것으로 증명이 끝난다.

주

\(S\)를 스킴이라 하고 \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 몰입이라 하자. \(i\)가 단사사상이므로 \(|Z|\)를 \(|X|\)의 부분집합으로 생각할 수 있다. 이 주석의 나머지 부분에서는 그렇게 생각한다. \(\partial |Z|\)를 위상공간 \(|X|\)에서 \(|Z|\)의 경계라 하자. 식으로는 \[\partial |Z| = \overline{|Z|} \setminus |Z|.\] \(\partial Z\)를 축약 유도 닫힌 부분공간 구조를 취하여 얻는 \(|\partial Z| = \partial |Z|\)인 \(X\)의 축약 닫힌 부분공간이라 하자. Properties of Spaces, Definition 047X를 보라. 구성에 의해 \(|Z|\)는 \(|X| \setminus |\partial Z| = |X \setminus \partial Z|\)에서 닫혀 있다. 따라서 대수공간의 모든 몰입은 닫힌 몰입 뒤에 열린 몰입을 합성한 것으로 분해할 수 있다(일반적으로 반대 순서는 불가능하다. Morphisms, Example 01QW를 보라).

주

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 국소 닫힌 부분집합이라 하자. \(\partial T\)를 위상공간 \(|X|\)에서 \(T\)의 경계라 하자. 식으로는 \[\partial T = \overline{T} \setminus T.\] \(U \subset X\)를 \(|U| = |X| \setminus \partial T\)인 \(X\)의 열린 부분공간이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 03BZ를 보라. \(Z\)를 축약 유도 닫힌 부분공간 구조를 취하여 얻는 \(|Z| = T\)인 \(U\)의 축약 닫힌 부분공간이라 하자. Properties of Spaces, Definition 047X를 보라. 구성에 의해 \(Z \to U\)는 대수공간의 닫힌 몰입이고 \(U \to X\)는 열린 몰입이다. 따라서 \(Z \to X\)는 \(S\) 위의 대수공간의 몰입이다(Spaces, Lemma 02YV를 보라). \(Z\)는 축약 대수공간이고 \(|X|\)의 부분집합으로서 \(|Z| = T\)임에 주의하라. 때때로 \(Z\)를 \(T\) 위의 축약 유도 부분공간 구조라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 몰입이라 하자. \(Z \to X\)가 준콤팩트라고 가정한다. \(Z \to \overline{Z}\)가 열린 몰입이고 \(\overline{Z} \to X\)가 닫힌 몰입인 분해 \(Z \to \overline{Z} \to X\)가 존재한다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. 평소처럼 \(R = U \times_X U\)로 나타내고 사영들을 \(s, t : R \to U\)로 나타내자.

\(T = Z \times_U X\)로 놓는다. \(\overline{T} \subset U\)를 \(T \to U\)의 스킴론적 상이라 하자. 준콤팩트 사상의 스킴론적 상을 취하는 것은 평탄 기저변환과 가환하므로 \(s^{-1}\overline{T} = t^{-1}\overline{T}\)임에 주의하라. Morphisms, Lemma 081I를 보라. 따라서 \(U\)로의 당김이 \(\overline{T}\)인 닫힌 부분공간 \(\overline{Z} \subset X\)를 얻는다. Properties of Spaces, Lemma 07TW을 보라. Morphisms, Lemma 01RG에 의해 사상 \(T \to \overline{T}\)는 열린 몰입이다. 따라서 \(Z \to \overline{Z}\)는 열린 몰입이고 증명이 끝난다.

닫힌 몰입

이 절에서는 앞서 얻은 대수공간의 몰입에 관한 몇몇 결과를 더 자세히 밝힌다. Spaces, Section 02YT와 이 장의 Section 03HB을 보라. 이 절은 대수공간에 대한 Morphisms, Section 01QN의 유사물이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 모든 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)에 대하여 층 \(i_*\mathcal{O}_Z\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 사상 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)는 전사이며 그 핵은 준연접 아이디얼층이다. 규칙 \(Z \mapsto \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\)는 다음 포함관계를 뒤집는 전단사를 정의한다. \[\begin{matrix} \text{닫힌 부분공간}\\ Z \subset X \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{준연접 층}\\ \text{아이디얼 }\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X \end{matrix}\]

더 나아가 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)에 대응하는 닫힌 부분스킴 \(Z\)가 주어졌을 때, 대수공간의 사상 \(h : Y \to X\)가 \(Z\)를 통하여 분해될 필요충분조건은 사상 \(h^*\mathcal{I} \to h^*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\)가 영인 것이다.

증명

\(U \to X\)를 원천이 스킴인 전사 에탈 사상이라 하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ U \times_X Z \ar[r] \ar[d]_{i'} & Z \ar[d]^i \\ U \ar[r] & X }\] Lemma 03M4에 의해 \(i\)가 닫힌 몰입일 필요충분조건은 \(i'\)가 닫힌 몰입인 것이다. Properties of Spaces, Lemma 03LX에 의해 \(i'_*\mathcal{O}_{U \times_X Z}\)는 \(i_*\mathcal{O}_Z\)의 \(U\)로의 제한이다. 따라서 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)에 관한 명제들은 \(\mathcal{O}_U \to i'_*\mathcal{O}_{U \times_X Z}\)에 관한 대응하는 명제들과 동치이다. 그리고 \(i'\)는 스킴의 닫힌 몰입이므로 이 결과들은 Morphisms, Lemma 01QO에서 따른다.

준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 주어졌을 때 공식 \[Z(T) = \{h : T \to X \mid h^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_T \text{가 영이다}\}\] 이 \(X\)의 닫힌 부분공간을 정의함을 증명하자. 이는 명백히 \(X\)의 부분함자이다. \(Z \to X\)가 닫힌 몰입들로 표현가능함을 보이기 위하여 \(\varphi : U \to X\)를 스킴에서 \(X\)로 가는 사상이라 하자. 그러면 \(Z \times_X U\)는 아이디얼층 \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\)에 대응하는 \(U\)의 유사한 부분함자로 표현된다. Properties of Spaces, Lemma 03GA에 의해 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\varphi^*\mathcal{I}\)는 \(U\) 위에서 준연접이고, 따라서 \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\)는 \(U\) 위의 준연접 아이디얼층이다. Schemes, Lemma 01HP에 의해 \(Z \times_X U\)는 \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\)에 결부된 \(U\)의 닫힌 부분스킴으로 표현된다. 따라서 \(Z\)는 \(X\)의 닫힌 부분공간이다.

위의 \(Z\)에 대한 공식에서 입력 \(T\)들은 스킴이다. 대수공간은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층이기 때문이다. \(T\)가 대수공간일 때에도 같은 공식이 성립한다는 확인은 생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분공간이라 하자. 닫힌 부분공간 \(Z\)의 역상 \(f^{-1}(Z)\)은 \(Y\)의 닫힌 부분공간 \(Z \times_X Y\)이다.

이 정의는 Lemma 03M4에 의해 타당하다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 Lemma 03MB를 통해 \(Z\)에 대응하는 준연접 아이디얼층이면, \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y = \Im(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\)는 \(f^{-1}(Z)\)에 대응하는 아이디얼층이다.

보조정리

대수공간의 닫힌 몰입은 준콤팩트이다.

증명

이는 일반 원리에 의해 Schemes, Lemma 01K7에서 따른다. Spaces, Lemma 02YO을 보라.

보조정리

대수공간의 닫힌 몰입은 분리이다.

증명

이는 일반 원리에 의해 Schemes, Lemma 01L7에서 따른다. Spaces, Lemma 02YO을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자.

1. 함자 \[i_{small, *} : \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] 는 충실충만이고, 그 본질적 상은 \(X \setminus Z\)로의 제한이 \(*\)와 동형인 \(X_\etale\) 위의 집합층 \(\mathcal{F}\)들이다.

2. 함자 \[i_{small, *} : \textit{Ab}(Z_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] 는 충실충만이고, 그 본질적 상은 지지집합이 \(|Z|\)에 포함되는 \(X_\etale\) 위의 아벨층들이다.

두 경우 모두 \(i_{small}^{-1}\)은 함자 \(i_{small, *}\)의 왼쪽 역함자이다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(V = Z \times_X U\)로 놓는다. 그러면 \(V\)는 스킴이고 \(i' : V \to U\)는 스킴의 닫힌 몰입이다. Properties of Spaces, Lemma 03LR에 의해 \(Z\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \[(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G})|_V = (i')_{small}^{-1}i'_{small, *}(\mathcal{G}|_V)\] 이다. Étale Cohomology, Proposition 04CA에 의해 사상 \((i')_{small}^{-1}i'_{small, *}(\mathcal{G}|_V) \to \mathcal{G}|_V\)는 동형사상이다. \(V \to Z\)가 전사 에탈이므로 이는 \(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\)가 동형사상임을 뜻한다. 이는 \(i_{small, *}\)가 충실충만임을 명백히 함의한다. Sites, Lemma 04D6를 보라. 본질적 상에 관한 명제를 증명하기 위하여 \(X \setminus Z\)로의 제한이 \(*\)와 동형인 \(X_\etale\) 위의 집합층 \(\mathcal{F}\)를 생각하자. Étale Cohomology, Proposition 04CA의 증명에서와 같이 수반사상 \[\mathcal{F} \longrightarrow i_{small, *}i_{small}^{-1}\mathcal{F}.\] 을 생각한다. 첫째 부분에서와 마찬가지로, 스킴의 경우에 대한 대응하는 결과에 의해 이 사상의 \(U\)로의 제한은 동형사상이다. \(U\)는 \(X\)의 에탈 덮개이므로 이 사상이 동형사상이라고 결론 내린다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(\overline{z}\)를 \(Z\)의 기하점이라 하고, \(\overline{x}\)를 그 \(X\)에서의 상이라 하자. 그러면

\((i_{small, *}\mathcal{F})_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) 이다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 \(Z_\etale\) 위의 임의의 층이다.

증명

\((U, \overline{u})\)를 \(\overline{x}\)의 에탈 근방이라 하자. 그러면 줄기 \((i_{small, *}\mathcal{F})_{\overline{z}}\)는 \(i_{small, *}\mathcal{F}|_U\)의 \(\overline{u}\)에서의 줄기이다. Properties of Spaces, Lemma 03LR에 의해 \(X\)를 \(U\)로, \(Z\)를 \(Z \times_X U\)로 바꾸어도 된다. 그러면 \(Z \to X\)는 스킴의 닫힌 몰입이고, 결과는 Étale Cohomology, Lemma 04FX이다.

다음 보조정리는 닫힌 토포스 몰입의 설정에서 더 일반적으로 성립한다(여기에 추후 참조를 삽입한다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(X_\etale\) 위의 환층이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(Z_\etale\) 위의 환층이라 하자. \(\varphi : \mathcal{A} \to i_{small, *}\mathcal{B}\)를 환층의 준동형이라 하자. 그러면 환 달린 토포스의 사상 \[f : (\Sh(Z_\etale), \mathcal{B}) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{A}).\] 을 얻는다. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{A}\)-가군층, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{B}\)-가군층이라 하면 표준 사상

\[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{A} f_*\mathcal{G} \longrightarrow f_*(f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{G}).\] 은 동형사상이다.

증명

이 사상은 다음 사상의 수반사상이다. \[f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} f^* f_*\mathcal{G} = f^*(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{A} f_*\mathcal{G}) \longrightarrow f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{G}\] 이는 \(\text{id} : f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}\)와 수반사상 \(f^* f_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\)에서 온다. 이 사상이 동형사상임을 보이기 위해 줄기에서 확인해도 된다 (Properties of Spaces, Theorem 04K5). \(\overline{z} : \Spec(k) \to Z\)를 기하점이라 하고 그 상을 \(\overline{x} = i \circ \overline{z} : \Spec(k) \to X\)라 하자.

우리 사상들이 줄기에서 어떻게 작용하는지 풀어 쓰면 다음을 보이면 됨을 알 수 있다. \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}}} \mathcal{G}_{\overline{z}} = (\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}}} \mathcal{B}_{\overline{z}}) \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{z}}} \mathcal{G}_{\overline{z}}\] 이는 성립한다. 여기서 텐서곱을 취하는 것이 줄기를 취하는 것과 가환한다는 사실, 당김 아래 줄기의 거동인 Properties of Spaces, Lemma 04K2, 그리고 닫힌 몰입을 따른 직접상 아래 줄기의 거동인 Lemma 0DK1를 사용하였다.

닫힌 몰입과 준연접층

이 절은 Morphisms, Section 01QX의 유사물이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\)를 잘라내는 준연접 아이디얼층이라 하자.

1. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 수반사상 \(\mathcal{F} \to i_*i^*\mathcal{F}\)는 동형사상 \(\mathcal{F}/\mathcal{I}\mathcal{F} \cong i_*i^*\mathcal{F}\)를 유도한다.

2. 함자 \(i^*\)는 \(i_*\)의 왼쪽 역함자이다. 즉, 임의의 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대하여 수반사상 \(i^*i_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\)는 동형사상이다.

3. 함자 \[i_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] 는 완전하고 충실충만이며, 그 본질적 상은 \(\mathcal{I}\mathcal{F} = 0\)을 만족하는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)들이다.

증명

이 증명에서는 작은 에탈 위치 위의 층들만을 다루며, 아벨군층의 직접상과 역상을 \(i_{small, *}, i_{small}^{-1}\) 대신 \(i_*, i^{-1}, \ldots\)로 나타낸다.

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. Lemma 04G0를 \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_X\) 및 \(\mathcal{G} = \mathcal{B} = \mathcal{O}_Z\)에 적용하면 \(i_*i^*\mathcal{F} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z\)임을 알 수 있다. Lemma 03MB에 의해 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] 텐서곱의 성질에 의해 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{F}/\mathcal{I}\mathcal{F}\)이다. 이것으로 (1)이 증명된다 (단, 그 사상이 수반사상에서 유도된다는 확인은 생략한다).

\(\mathcal{G}\)를 임의의 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이라 하자. Lemma 04E5에 의해 \(i^{-1}i_*\mathcal{G} = \mathcal{G}\)이다. 따라서 (2)를 증명하려면 표준 사상 \(\mathcal{G} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z \to \mathcal{G}\)가 동형사상임을 보이면 된다. \(i^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z\)가 전사임을 보일 수 있다면 이는 텐서곱의 일반 성질에서 따른다. Lemma 04E5에 의해 \(i_*i^{-1}\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)가 전사임을 보이면 충분하다. 전사 사상 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)가 이 사상을 통하여 분해되므로 (2)가 성립한다.

마지막으로 이 보조정리에서 가장 흥미로운 부분인 (3)을 증명하자. 닫힌 몰입은 준콤팩트이고 분리이다. Lemmas 04CG와 04CH를 보라. 따라서 Lemma 03M9를 적용할 수 있고, \(Z\) 위의 준연접층의 직접상은 실제로 \(X\) 위의 준연접층이다. 그러므로 함자 \(i^{QCoh}_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. (2)에 의해 \(i^{QCoh}_*\)는 왼쪽 역함자 \(i^*\)를 가지므로 충실충만임이 명백하다.

이제 함자 \(i_*\)의 본질적 상을 기술하자. \(\mathcal{I}\)는 \(i_*\mathcal{G}\)에 \(\mathcal{O}_X\)-가군 구조를 부여할 때 사용하는 사상 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)의 핵이므로, 임의의 \(\mathcal{O}_Z\)-가군에 대하여 \(\mathcal{I}(i_*\mathcal{G}) = 0\)임이 명백하다. 다음으로 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{I}\mathcal{F} = 0\)을 만족하는 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)이므로 \(\mathcal{F}\)는 \(i_*\mathcal{O}_Z\)-가군이다. 따라서 특히 그 지지집합은 \(|Z|\)에 포함된다. Lemma 04E5을 적용하면 어떤 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\)임을 알 수 있다. 남은 작은 세부사항은 \(\mathcal{G}\)가 준연접인 이유를 확인하는 것이다. 이는 (2)와 Properties of Spaces, Lemma 03GA에 의해 \(\mathcal{G} \cong i^*\mathcal{F}\)이기 때문이다.

\(i : Z \to X\)를 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자. 위 보조정리 때문에 흔히 기호 남용으로

\(\mathcal{F}\)로 \(X\) 위의 층 \(i_*\mathcal{F}\)를 나타낸다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군이라 하자. 다음 성질을 갖는 유일한 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\)가 존재한다. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{H}\)에 대하여 사상 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G}') \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G})\] 은 전단사이다. 특히 \(\mathcal{G}'\)는 \(\mathcal{G}\)에 포함되는 \(\mathcal{F}\)의 가장 큰 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군이다.

증명

\(\mathcal{G}_a\), \(a \in A\)를 \(\mathcal{G}\)에 포함되는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군들의 집합이라 하자. 그러면 사상 \[\bigoplus\nolimits_{a \in A} \mathcal{G}_a \longrightarrow \mathcal{F}\] 의 상 \(\mathcal{G}'\)은 준연접이다. \(X\) 위의 준연접층 사상의 상이 준연접이고 준연접층들의 직합이 준연접이기 때문이다. Properties of Spaces, Lemma 03M1를 보라. 가군 \(\mathcal{G}'\)은 \(\mathcal{G}\)에 포함된다. 따라서 이는 \(\mathcal{G}\)에 포함되는 가장 큰 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

공식을 증명하기 위하여 \(\mathcal{H}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상이라 하자. 합성 \(\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)의 상은 준연접층 사상의 상이므로 준연접이다. 따라서 이는 \(\mathcal{G}'\)에 포함된다. 그러므로 원하는 대로 \(\alpha\)는 \(\mathcal{G}'\)을 통하여 분해된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(i : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(i_*\)의 오른쪽 수반인 함자⁴ \(i^! : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\)가 존재한다. (Modules, Lemma 01AZ와 비교하라.)

증명

준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 주어졌을 때, \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 \(\mathcal{G}\)의 국소 단면들로 이루어진 그 부분층 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})\)를 생각한다. Lemma 04CK에 의해 표준적인 가장 큰 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})'\)이 존재한다. 구성에 의해 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{G})') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 이다. 따라서 \(i^!\mathcal{G} = i^*(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})')\)로 놓을 수 있다. 세부사항은 생략한다.

준연접 아이디얼층과 닫힌 부분공간 사이의 \(1\)-대-\(1\) 대응관계 (Lemma 03MB를 보라)를 사용하여

닫힌 부분스킴들의 스킴론적 교집합과 합집합을 정의할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z, Y \subset X\)를 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)에 대응하는 닫힌 부분공간들이라 하자. \(Z\)와 \(Y\)의 스킴론적 교집합은 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\)에 의해 잘려 나오는 \(X\)의 닫힌 부분공간이다.

\(Z\)와 \(Y\)의 스킴론적 합집합은 \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J}\)에 의해 잘려 나오는 \(X\)의 닫힌 부분공간이다.

스킴론적 교집합을 만드는 것은 에탈 국소화와 가환하며, 스킴론적 합집합도 마찬가지임이 명백하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Z, Y \subset X\)를 닫힌 부분공간들이라 하자. \(Z \cap Y\)를 \(Z\)와 \(Y\)의 스킴론적 교집합이라 하자. 그러면 \(Z \cap Y \to Z\)와 \(Z \cap Y \to Y\)는 닫힌 몰입이고, \[\xymatrix{ Z \cap Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ Y \ar[r] & X }\] 은 \(S\) 위의 대수공간들의 카르테시안 도식이다. 즉, \(Z \cap Y = Z \times_X Y\)이다.

증명

사상 \(Z \cap Y \to Z\)와 \(Z \cap Y \to Y\)는 Lemma 03MB에 의해 닫힌 몰입이다. 스킴론적 교집합을 만드는 것은 에탈 국소화와 가환하므로 스킴의 경우로부터 이 도식이 카르테시안이라고 결론 내린다. Morphisms, Lemma 0C4I을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Y, Z \subset X\)를 닫힌 부분공간들이라 하자. \(Y \cup Z\)를 \(Y\)와 \(Z\)의 스킴론적 합집합이라 하고, \(Y \cap Z\)를 \(Y\)와 \(Z\)의 스킴론적 교집합이라 하자. 그러면 \(Y \to Y \cup Z\)와 \(Z \to Y \cup Z\)는 닫힌 몰입이고, 다음 짧은 완전열이 존재한다. \[0 \to \mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Y \times \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\]

이는 \(\mathcal{O}_Z\)-가군들의 완전열이고, 도식 \[\xymatrix{ Y \cap Z \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y \cup Z }\] 은 \(S\) 위의 대수공간의 범주에서 쌍대카르테시안이다. 즉, \(Y \cup Z = Y \amalg_{Y \cap Z} Z\)이다.

증명

사상 \(Y \to Y \cup Z\)와 \(Z \to Y \cup Z\)는 Lemma 03MB에 의해 닫힌 몰입이다. 짧은 완전열에서는 Lemma 04CJ의 동치를 사용하여 \(X\)의 닫힌 부분공간 위의 준연접 가군들을 \(X\) 위의 준연접 가군들로 생각한다. 완전열의 첫째 사상에는 표준 사상 \(\mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Y\)와 \(\mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Z\)를 사용하고, 둘째 사상에는 표준 사상 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z}\)와 표준 사상 \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z}\)의 음을 사용한다. 그러면 완전성을 확인하기 위하여 에탈 국소적으로 작업할 수 있고, 스킴의 경우로부터 완전성을 얻는다 (Morphisms, Lemma 0C4J).

도식이 쌍대카르테시안임을 보이기 위하여 \(S\) 위의 대수공간 \(T\)와 \(Y \cap Z \to T\)의 사상으로서 일치하는 사상 \(f : Y \to T\), \(g : Z \to T\)가 주어졌다고 하자. 목표는 \(f\) 및 \(g\)와 일치하는 유일한 사상 \(h : Y \cup Z \to T\)가 존재함을 보이는 것이다. \(h\)를 구성하기 위해 \(Y \cup Z\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 된다 (\(Y \cup Z\)는 대수공간이므로 에탈 층이다). 따라서 \(X\)가 스킴이라고 가정해도 된다. 이 경우 Morphisms, Lemma 0C4J에 의해 \(Y \cup Z\)는 스킴의 범주에서 \(Y \cap Z\)를 따른 \(Y\)와 \(Z\)의 밀어내기임을 안다. 스킴 \(T'\)과 전사 에탈 사상 \(T' \to T\)를 택하자. \(Y' = T' \times_{T, f} Y\) 및 \(Z' = T' \times_{T, g} Z\)로 놓는다. 그러면 \(Y'\)과 \(Z'\)은 스킴이고, 스킴의 표준 동형사상 \(\varphi : Y' \times_Y (Y \cap Z) \to Z' \times_Z (Y \cap Z)\)를 얻는다. More on Morphisms, Lemma 0B7M에 의해 밀어내기 \(W' = Y' \amalg_{Y' \times_Y (Y \cap Z), \varphi} Z'\)는 스킴의 범주에서 존재한다. More on Morphisms, Lemma 0CYY에 의해 사상 \(W' \to Y \cup Z\)는 에탈이다. \(Y' \to Y\)와 \(Z' \to Z\)가 전사이므로 이는 전사이다. 사상 \(f' : Y' \to T'\)과 \(g' : Z' \to T'\)은 유일한 스킴 사상 \(h' : W' \to T'\)으로 붙는다. 유일성에 의해 합성 \(W' \to T' \to T\)는 원하는 사상 \(h : Y \cup Z \to T\)로 하강한다. 일부 세부사항은 생략한다.

가군의 지지집합

이 절에서는 대수공간 위의 준연접 가군의 지지집합에 관한 몇 가지 기초적인 결과를 모은다. \(X\)를 대수공간이라 하자. \(X_\etale\) 위의 아벨층의 지지집합은 Properties of Spaces, Section 04K7에서 정의하였다. 가군의 지지집합에도 같은 정의를 사용한다. 다음 보조정리는 이것이 스킴 위의 준연접 가군에 대하여 정의한 개념과 일치함을 말해 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U\)를 스킴이라 하고 \(\varphi : U \to X\)를 에탈 사상이라 하자. 그러면 \[\text{Supp}(\varphi^*\mathcal{F}) = |\varphi|^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\] 이다. 여기서 왼쪽은 스킴 \(U\) 위의 준연접 가군으로서 \(\varphi^*\mathcal{F}\)의 지지집합이다.

증명

\(u\in U\)를 (통상적인) 점이라 하고 \(\overline{x}\)를 \(u\) 위에 놓이는 기하점이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 05VP에 의해 \((\varphi^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) 이다. Properties of Spaces, Lemma 04KF에 의해 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 엄밀 헨젤화이므로 충실 평탄이다. More on Algebra, Lemma 07QM을 보라. 따라서 \((\varphi^*\mathcal{F})_u = 0\)일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = 0\)인 것이다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

유한형 준연접 가군의 지지집합은 닫혀 있고, 올 위에서 확인할 수 있으며, 기저변환과 가환한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 닫혀 있다.

2. \(x \in |X|\) 위에 놓이는 기하점 \(\overline{x}\)에 대하여 \[x \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0 \Leftrightarrow \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \kappa(\overline{x}) \not = 0.\]

3. 대수공간의 임의의 사상 \(f : Y \to X\)에 대하여 당김 \(f^*\mathcal{F}\)도 유한형이고 \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}) = f^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)이다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)를 택하자. Lemma 07TY에 의해 \(\mathcal{F}\)의 지지집합의 역상은 \(\varphi^*\mathcal{F}\)의 지지집합이고, 이는 Morphisms, Lemma 056J에 의해 닫혀 있다. 따라서 (1)은 \(|X|\) 위의 위상의 정의에서 따른다.

(2)의 첫째 동치는 지지집합의 정의이다. 둘째 동치는 나카야마 보조정리에서 따른다. Algebra, Lemma 00DV를 보라.

\(f : Y \to X\)가 (3)에서와 같다고 하자. Properties of Spaces, Section 05VR에 의해 \(f^*\mathcal{F}\)는 유한형임에 주의하라. 마지막 명제를 위하여 \(\overline{y}\)를 \(X\)의 기하점 \(\overline{x}\)로 가는 \(Y\)의 기하점이라 하자. 다음을 상기하라. \[(f^*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}},\] Properties of Spaces, Lemma 05VQ를 보라. 따라서 \((f^*\mathcal{F})_{\overline{y}} \otimes \kappa(\overline{y})\)가 영이 아닐 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes \kappa(\overline{x})\)가 영이 아닌 것이다. (2)에 의해 이는 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)일 필요충분조건이 \(y \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\)인 것임을 뜻하고, 이것이 명제 (3)의 내용이다.

다음 과제는 유한형 준연접 가군의 스킴론적 지지집합 (Morphisms, Definition 05JV을 보라)이 대수공간 위의 유한형 준연접 가군에 대해서도 타당한 개념임을 보이는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)를 만족하는 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하도록 하는 가장 작은 닫힌 부분공간 \(i : Z \to X\)가 존재한다. 더 나아가 다음이 성립한다.

1. \(U\)가 스킴이고 \(\varphi : U \to X\)가 에탈 사상이면, \(Z \times_X U\)는 \(\varphi^*\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합이다.

2. 준연접층 \(\mathcal{G}\)는 유일한 동형사상까지 유일하다.

3. 준연접층 \(\mathcal{G}\)는 유한형이다.

4. \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(|Z|\)이다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)를 택하자. 사영을 \(s, t : R \to U\)로 나타내고 \(R = U \times_X U\)로 놓는다. \(i' : Z' \to U\)를 \(\varphi^*\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합이라 하고, \(i'_*\mathcal{G}' = \varphi^*\mathcal{F}\)를 만족하는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-가군 \(\mathcal{G}'\)을 (유일한 동형사상까지 유일하게) 택하자. Morphisms, Lemma 05JU를 보라. \(s^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*\varphi^*\mathcal{F}\)이므로 Morphisms, Lemma 07T9에 의해 \(R\)의 닫힌 부분스킴으로서 \(R' = s^{-1}Z' = t^{-1}Z'\)임을 알 수 있다. 따라서 Properties of Spaces, Lemma 07TW을 적용하여 \(U\)로의 당김이 \(Z'\)인 닫힌 부분공간 \(i : Z \to X\)를 얻는다. 사영들을 \(s', t' : R' \to Z'\)로 나타내고 주어진 닫힌 몰입을 \(j' : R' \to R\)로 나타내면 \[j'_* (s')^*\mathcal{G}' = s^* i'_*\mathcal{G}' = s^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*i'_*\mathcal{G}' = j'_*(t')^*\mathcal{G}'\] 이다(첫째 등식과 마지막 등식은 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의한다). 따라서 \(R' \to R\)에 적용한 Morphisms, Lemma 07T9의 유일성은 \(j'_*\)를 통해 표준 동형사상 \(t^*\varphi^*\mathcal{F} = s^*\varphi^*\mathcal{F}\)와 양립하는 동형사상 \(\alpha : (t')^*\mathcal{G}' \to (s')^*\mathcal{G}'\)을 준다. 명백히 \(\alpha\)는 코사이클 조건을 만족하므로 Properties of Spaces, Proposition 03M3를 적용하여 \(Z'\)로의 제한이 \(\alpha\)와 양립하는 \(\mathcal{G}'\)인 \(Z\) 위의 준연접 가군 \(\mathcal{G}\)를 얻는다. 다시 위에서 언급한 명제의 동치를 (이번에는 \(X\)에 대하여) 사용하면 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)라고 결론 내린다.

이것으로 존재성이 증명된다. 보조정리의 나머지 성질들은 Lemma 07TY을 사용하여 스킴에 대한 결과와 비교하면 따른다. 자세한 증명은 생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합은 Lemma 07U0에서 구성한 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)이다.

이 상황에서 흔히 \(\mathcal{F}\)를 \(Z\) 위의 유한형 준연접층으로 생각한다(Lemma 04CJ의 범주 동치를 통한다).

스킴론적 상

주의하라. 이 절의 일부 내용은 매우 일반적이며 여러분이 예상하는 것과 다르게 작동한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)가 존재하며 \(f\)가 \(Z\)를 통하여 분해되고, 다른 임의의 닫힌 부분공간 \(Z' \subset Y\)에 대하여 \(f\)가 \(Z'\)를 통하여 분해되면 \(Z \subset Z'\)이다.

증명

\(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\)로 놓는다. \(\mathcal{I}\)가 준연접이면 \(\mathcal{I}\)로 정의되는 닫힌 부분스킴 \(Z\)를 택하면 된다. Lemma 03MB를 보라. 일반적인 경우에는 \(\mathcal{I}\)에 포함되는 가장 큰 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I}'\)가 존재함을 보여야 한다. 이는 Lemma 04CK에서 따른다.

위의 Lemma 082X의 상황에서 \(X\)와 \(Y\)가 표현가능하다고 하자. 그러면 보조정리에서 얻은 닫힌 부분공간 \(Z \subset Y\)는 Morphisms, Lemma 01R6에서 얻은 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Y\)와 일치한다. 그 이유는 닫힌 부분공간(또는 부분스킴)이 \(X_\etale\)와 \(X\) 위의 준연접 아이디얼층에 의한 포함관계를 뒤집는 대응을 이루기 때문이다. \(X_\etale\)와 \(X\) 위의 준연접 가군의 범주가 서로 같으므로(Properties of Spaces, Section 03G5) 결론을 얻는다. 따라서 다음 정의는 스킴의 사상에 대한 앞선 정의와 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 스킴론적 상은 \(f\)가 통과하여 분해되는 가장 작은 닫힌 부분공간 \(Z \subset Y\)이다. 위의 Lemma 082X를 보라.

흔히 \(f : X \to Z\)를 \(f\)의 분해를 나타내는 것으로만 쓴다. 사상 \(f\)가 준콤팩트가 아니면, 일반적으로 스킴론적 상을 만드는 것은 \(Y\)의 열린 부분공간으로 제한하는 것과 가환하지 않는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이면 다음이 성립한다.

1. 아이디얼층 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\)는 준연접이다.

2. 스킴론적 상 \(Z\)는 \(\mathcal{I}\)에 대응하는 닫힌 부분공간이다.

3. 임의의 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대하여 \(X \times_Y V \to V\)의 스킴론적 상은 \(Z \times_Y V\)와 같고,

4. 상 \(|f|(|X|) \subset |Z|\)는 \(|Z|\)에서 조밀하다.

증명

(3)을 증명하려면 \(\mathcal{I}\)를 만드는 것이 에탈 국소화와 가환하므로 (1)과 (2)를 증명하면 충분하다. (1)이 성립하면 Lemma 082X의 증명에서 (2)를 보였다. 이제 \(\mathcal{I}\)가 준연접임을 증명하자. 준연접이라는 성질은 에탈 국소적이므로 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. \(f\)가 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택할 수 있다. \(f'\)를 합성 \(U \to X \to Y\)라 하자. 그러면 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 \(f'_*\mathcal{O}_U\)의 부분층이고, 따라서 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X'})\)이다. Lemma 03M9에 의해 \(f'_*\mathcal{O}_U\)는 \(Y\) 위의 준연접층이다. 따라서 \(\mathcal{I}\)는 준연접 가군 사이의 사상의 핵이므로 준연접이다. 마지막으로 (4)는 (1), (2), (3)에서 따른다. \(|f|(|X|)\)의 폐포에 포함되지 않는 \(|Y|\)의 점에서는 아이디얼 \(\mathcal{I}\)가 단위원 아이디얼이 되기 때문이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(X\)가 축약이라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(f\)의 스킴론적 상 \(Z\)는 \(\overline{|f|(|X|)}\) 위의 축약 유도 대수공간 구조이고,

2. 임의의 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대하여 \(X \times_Y V \to V\)의 스킴론적 상은 \(Z \times_Y V\)와 같다.

증명

(1)은 \(\overline{|f|(|X|)}\) 위의 축약 유도 대수공간 구조가 \(f\)가 통과하여 분해되는 \(Y\)의 가장 작은 닫힌 부분공간이기 때문에 성립한다. Properties of Spaces, Lemma 03JJ을 보라. (2)는 (1), \(|V| \to |Y|\)가 열린 사상이라는 사실, 그리고 축약이라는 성질이 에탈 국소화에서 보존된다는 사실에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 준콤팩트 사상이라 하자. \(Z\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. \(z \in |Z|\)라 하자. 분수체가 \(K\)인 값매김환 \(A\)와 다음 가환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \ar[ld] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] 이때 \(\Spec(A)\)의 닫힌 점은 \(z\)로 사상된다.

증명

\(z' \in V\)인 아핀 스킴 \(V\)와 \(z'\)를 \(z\)로 보내는 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택하자. \(Z' \subset V\)를 \(X \times_Y V \to V\)의 스킴론적 상이라 하자. Lemma 082Z에 의해 \(Z' = Z \times_Y V\)이다. 따라서 \(z' \in Z'\)이다. \(f\)가 준콤팩트이고 \(V\)가 아핀이므로 \(X \times_Y V\)는 준콤팩트이다. 따라서 아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to X \times_Y V\)가 존재한다. 그러면 \(Z' \subset V\)는 \(W \to V\)의 스킴론적 상이기도 하다. Morphisms, Lemma 02JQ에 의해 다음 도식을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] 이때 \(\Spec(A)\)의 닫힌 점은 \(z'\)로 사상된다. \(Z' \to Z\) 및 \(W \to X \times_Y V \to X\)와 합성하면 원하는 해를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음을 \(S\) 위의 대수공간의 가환 도식이라 하자. \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r]^{f_2} & Y_2 }\] \(Z_i \subset Y_i\), \(i = 1, 2\)를 \(f_i\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Y_1 \to Y_2\)는 사상 \(Z_1 \to Z_2\)를 유도하며 다음 가환 도식이 성립한다. \[\xymatrix{ X_1 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & Y_2 }\]

증명

\(Y_1\)에서 \(Z_2\)의 스킴론적 역상은 \(f_1\)이 통과하여 분해되는 \(Y_1\)의 닫힌 부분공간이다. 따라서 \(Z_1\)은 이 역상에 포함된다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 분리 대수공간 사상이라 하자. \(V \subset Y\)를 \(V \to Y\)가 준콤팩트인 열린 부분공간이라 하자. \(s : V \to X\)를 \(f \circ s = \text{id}_V\)를 만족하는 사상이라 하자. \(Y'\)를 \(s\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Y' \to Y\)는 \(V\) 위에서 동형사상이다.

증명

Lemma 03KS에 의해 \(s : V \to X\)는 준콤팩트이다. 따라서 Lemma 082Z에 의해 \(s\)의 스킴론적 상 \(Y'\)를 만드는 것은 열린 부분공간으로 제한하는 것과 가환한다. 특히 \(Y' \cap f^{-1}(V)\)는 분리 사상 \(f^{-1}(V) \to V\)의 단면의 스킴론적 상이다. 분리 사상의 단면은 닫힌 몰입이므로 (Lemma 03KP), \(Y' \cap f^{-1}(V) \to V\)가 동형사상임을 결론 내린다.

스킴론적 폐포와 조밀성

이 절은 Morphisms, Section 01RA의 유사물이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(W \subset S\)를 스킴론적으로 조밀한 열린 부분스킴이라 하자 (Morphisms, Definition 01RB). \(f : X \to S\)를 평탄하고, 국소 유한 표시이며, 국소 준유한인 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(f^{-1}(W)\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

증명

Morphisms, Lemma 01RE의 특징화를 사용한다. \(V \subset X\)를 열린집합이라 하고 \(g \in \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)를 \(f^{-1}(W) \cap V\)에서 0으로 제한되는 함수라 하자. \(g = 0\)임을 보여야 한다. 모순을 얻기 위해 \(g \not = 0\)이라 하자. More on Morphisms, Lemma 082V에 의해 \(V\)를 축소하고, \(U \subset S\)를 택하여 다음 가환 도식에 넣을 수 있다. \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d]_\pi & X \ar[d]^f \\ U \ar[r] & S, }\] 또한 준연접 부분층 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{O}_U\), 정수 \(r > 0\), 그리고 상이 \(g|_V\)를 포함하는 단사 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사상 \(\mathcal{F}^{\oplus r} \to \pi_*\mathcal{O}_V\)를 택할 수 있다. \((g_1, \ldots, g_r) \in \Gamma(U, \mathcal{F}^{\oplus r})\)가 \(g\)로 사상된다고 하자. 그러면 \(g|_{f^{-1}W \cap V} = 0\)이므로 \(g_i|_{W \cap U} = 0\)임을 알 수 있다. \(\mathcal{F} \subset \mathcal{O}_U\)이고 \(W\)가 \(S\)에서 스킴론적으로 조밀하므로 \(g_i = 0\)이다. 이는 \(g = 0\)임을 뜻하며 원하는 모순을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 모든 étale 사상 \(\varphi : V \to X\) (대수공간의 사상)에 대하여 \(V\)에서 \(\varphi^{-1}(U)\)의 스킴론적 폐포는 \(V\)이다.

2. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 étale 사상 \(\varphi : V \to X\)가 존재하여 \(V\)에서 \(\varphi^{-1}(U)\)의 스킴론적 폐포가 \(V\)이다.

증명

\(V \to V'\)가 \(X\) 위에서 에탈인 대수공간의 사상이고, \(Z \subset V\), 각각 \(Z' \subset V'\)가 각각 \(V\), \(V'\)에서 \(U \times_X V\), \(U \times_X V'\)의 스킴론적 폐포라고 하자. 그러면 \(Z\)는 \(Z'\)로 사상된다. 따라서 \(V \to V'\)가 전사 에탈이면 \(Z = V\)는 \(Z' = V'\)를 함의한다. 다음으로 에탈 사상은 평탄하고, 국소 유한 표시이며, 국소 준유한임에 주의하라(Morphisms, Section 02GH). 따라서 Lemma 0832은 \(V\)와 \(V'\)가 스킴일 때 \(Z' = V'\)이면 \(Z = V\)임을 함의한다. 모든 대수공간이 스킴에 의한 에탈 덮개를 갖는다는 사실을 사용한 형식적 논증으로 (1)과 (2)가 동치임을 얻는다.

Lemma 0833에 의해 다음 정의는 스킴의 경우 정의와 양립한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자.

1. 사상 \(U \to X\)의 스킴론적 상을 \(X\)에서 \(U\)의 스킴론적 폐포라 한다.

2. Lemma 0833의 동치 조건이 성립하면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다고 한다.

이 정의를 사용하면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀할 필요충분조건이 \(U\)의 스킴론적 폐포가 \(X\)인 것은 아니다. 이는 다소 우아하지 않다. 그러나 적절한 유한성 조건 아래에서는 실제로 성립함을 볼 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. \(U \to X\)가 준콤팩트이면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀할 필요충분조건은 \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포가 \(X\)인 것이다.

증명

Lemma 082Z의 (3)에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 열린 몰입이라 하자. 그러면 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀할 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사인 것이다.

증명

\(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사이면 \(X\) 위에서 에탈인 임의의 대수공간 \(V\)로 제한해도 같은 성질이 성립한다. 따라서 \(V\)에서 \(U \times_X V\)의 스킴론적 폐포는 \(V\)와 같다. Lemma 082X의 증명을 보라. 반대로 모든 \(V\) (에탈인 대수공간의 경우)에 대하여 \(U \times_X V\)의 스킴론적 폐포가 \(V\)와 같다고 하자. \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사가 아니라고 가정하자. 그러면 \(V = \Spec(A)\)가 \(X\) 위에서 에탈인 아핀 스킴이고, 0이 아닌 원소 \(f \in A\)가 \(\Gamma(V \times_X U, \mathcal{O})\)에서 \(f\)가 0으로 사상되는 것을 택할 수 있다. 이 경우 \(V\)에서 \(V \times_X U\)의 스킴론적 폐포는 명백히 \(\Spec(A/(f))\)에 포함되므로 모순이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(U\), \(V\)가 \(X\)의 스킴론적으로 조밀한 열린 부분공간이면 \(U \cap V\)도 그러하다.

증명

\(W \to X\)를 임의의 에탈 사상이라 하자. 다음 사상을 생각하자. \(\mathcal{O}(W) \to \mathcal{O}(W \times_X V) \to \mathcal{O}(W \times_X (V \cap U))\). Lemma 0836에 의해 두 사상은 모두 단사이다. 따라서 합성도 단사이다. 그러므로 Lemma 0836에 의해 \(U \cap V\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(h : Z \to X\)를 \(S\) 위의 대수공간의 몰입이라 하자. \(Z \to X\)가 준콤팩트이거나 \(Z\)가 축약이라고 하자. \(\overline{Z} \subset X\)를 \(h\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Z \to \overline{Z}\)는 열린 몰입이고, \(Z\)를 \(\overline{Z}\)의 스킴론적으로 조밀한 열린 부분공간으로 식별한다. 더 나아가 \(Z\)는 \(\overline{Z}\)에서 위상적으로 조밀하다.

증명

두 경우 모두 \(\overline{Z}\)를 만드는 것은 에탈 국소화와 가환한다. Lemmas 082Z와 0830를 보라. 따라서 이 보조정리는 스킴의 경우에서 따른다. Morphisms, Lemma 01RG을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(f, g : X \to Y\)를 \(B\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하고 \(f|_U = g|_U\)라 하자. \(U\)의 \(X\)에서의 스킴론적 폐포가 \(X\)이고 \(Y \to B\)가 분리이면 \(f = g\)이다.

증명

\(Y \to B\)가 분리이므로 \(Y \times_{\Delta, Y \times_B Y, (f, g)} X\)는 \(X\)의 닫힌 부분공간 \(Z \subset X\)이다. \(f|_U = g|_U\)이므로 \(U \subset Z\)이다. \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다고 가정했으므로 \(Z = X\)이다.

지배 사상

스킴의 지배 사상에 대한 정의를 복사하여 대수공간의 지배 사상이라는 개념을 얻는다. 이 정의는 사상이 준콤팩트이고 대수공간들이 어떤 분리 공리를 만족하지 않는 한 잘 작동하지 않음을 독자에게 주의시킨다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 \(|f| : |X| \to |Y|\)의 상이 \(|Y|\)에서 조밀할 때 지배적이라고 한다.

보편 단사 사상

Section 03HA에서 대수공간의 표현가능 사상이 보편 단사라는 것이 무엇을 뜻하는지 이미 정의하였다. \(S\) 위의 체 \(K\)에 대하여 (이는 구조 사상 \(\Spec(K) \to S\)가 주어졌다는 뜻임을 상기하자) 그리고 \(S\) 위의 대수공간 \(X\)에 대하여 \(X(K) = \Mor_S(\Spec(K), X)\)로 쓴다. 먼저 표현가능 사상에 대한 조건을 점들의 함자에 대한 조건으로 옮긴다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 표현가능 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 그러면 \(f\)가 (Section 03HA의 의미에서) 보편 단사일 필요충분조건은 모든 체 \(K\)에 대하여 사상 \(X(K) \to Y(K)\)가 단사인 것이다.

증명

이 증명에서는 별도의 언급 없이 Morphisms, Lemma 01S4를 사용한다. \(f\)가 보편 단사라고 하자. 임의의 체 \(K\)와 임의의 사상 \(\Spec(K) \to Y\)에 대하여 스킴의 사상 \(\Spec(K) \times_Y X \to \Spec(K)\)는 보편 단사이다. 따라서 \(\Spec(K) \times_Y X \to \Spec(K)\)의 단면은 많아야 하나이다. 그러므로 사상 \(X(K) \to Y(K)\)는 단사이다. 역으로 모든 체 \(K\)에 대하여 사상 \(X(K) \to Y(K)\)가 단사라고 하자. \(T \to Y\)를 스킴에서 \(Y\)로 가는 사상이라 하고, 기저변환 \(f_T : T \times_Y X \to T\)를 생각하자. 임의의 체 \(K\)에 대하여 \[(T \times_Y X)(K) = T(K) \times_{Y(K)} X(K)\] 이다. 이는 fibre product의 정의에 따른 것이며, 따라서 \(X(K) \to Y(K)\)의 단사성은 \((T \times_Y X)(K) \to T(K)\)의 단사성을 보장한다. 이는 \(f_T\)가 원하는 대로 보편 단사라는 뜻이다.

다음으로 체 값 점들 사이의 변환이 단사라는 성질을 보다 기하학적인 조건으로 옮긴다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 모든 \(S\) 위의 체 \(K\)에 대하여 사상 \(X(K) \to Y(K)\)가 단사이다.

2. \(S\) 위 대수공간의 모든 사상 \(Y' \to Y\)에 대하여 유도된 사상 \(|Y' \times_Y X| \to |Y'|\)가 단사이다.

3. 대각 사상 \(X \to X \times_Y X\)가 전사이다.

증명

(1)을 가정하자. \(g : Y' \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하고, \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\)를 \(f\)의 기저변환이라고 하자. \(K_i\), \(i = 1, 2\)를 체라 하고 \(\varphi_i : \Spec(K_i) \to Y' \times_Y X\)를 사상이라 하자. \(f' \circ \varphi_1\)과 \(f' \circ \varphi_2\)가 \(|Y'|\)의 같은 원소를 정의한다고 하자. 정의에 따르면 체 \(\Omega\)와 포함사상 \(\alpha_i : K_i \subset \Omega\)가 존재하여 두 사상 \(f' \circ \varphi_i \circ \alpha_i : \Spec(\Omega) \to Y'\)가 같다. 이에 대응하는 가환 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar@/_5ex/[ddrr] \ar[rd]^{\alpha_1} \ar[r]_{\alpha_2} & \Spec(K_2) \ar[rd]^{\varphi_2} \\ & \Spec(K_1) \ar[r]^{\varphi_1} & Y' \times_Y X \ar[d]^{f'} \ar[r]^{g'} & X \ar[d]^f \\ & & Y' \ar[r]^g & Y. }\] 특히 합성 \(g \circ f' \circ \varphi_i \circ \alpha_i\)들은 서로 같다. 가정 (1)에 의해 사상 \(g' \circ \varphi_i \circ \alpha_i\)들도 서로 같다. 여기서 \(g' : Y' \times_Y X \to X\)는 사영이다. fibre product의 보편성에 의하여 사상 \(\varphi_i \circ \alpha_i : \Spec(\Omega) \to Y' \times_Y X\)들이 서로 같음을 결론 내린다. 달리 말하면 \(\varphi_1\)과 \(\varphi_2\)는 \(Y' \times_Y X\)의 같은 점을 정의한다. 따라서 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하자. \(K\)를 \(S\) 위의 체라 하고, \(f \circ a = f \circ b\)를 만족하는 두 사상 \(a, b : \Spec(K) \to X\)를 주자. 공통값을 이루는 사상을 \(c : \Spec(K) \to Y\)로 쓰자. 가정에 의해 \(|\Spec(K) \times_{c, Y} X| \to |\Spec(K)|\)는 단사이다. 따라서 체 \(\Omega\)와 포함사상 \(\alpha_i : K \to \Omega\)가 존재하여 다음 그림 \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r]_{\alpha_1} \ar[d]_{\alpha_2} & \Spec(K) \ar[d]^a \\ \Spec(K) \ar[r]^-b & \Spec(K) \times_{c, Y} X }\] 이 가환한다. \(\Spec(K)\)로의 사영과 합성하면 \(\alpha_1 = \alpha_2\)임을 알 수 있다. 이 공통값을 \(\alpha\)로 쓰자. 그러면 \(\{\alpha : \Spec(\Omega) \to \Spec(K)\}\)는 \(\Spec(K)\)의 fpqc 피복이며, 이 피복의 각 구성원 위에서 두 사상 \(a, b\)가 같아진다. Properties of Spaces, Proposition 0APL에 의해 \(a = b\)임을 결론 내린다. 따라서 (1)이 성립한다.

(3)을 가정하자. \(f(x) = f(x')\)가 \(|Y|\)에서 성립하는 점들의 쌍 \(x, x' \in |X|\)를 주자. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 사영이 \(x\)와 \(x'\)인 \(x'' \in |X \times_Y X|\)가 존재한다. 가정과 Properties of Spaces, Lemma 03H5에 의해 \(\Delta_{X/Y}(x''') = x''\)를 만족하는 \(x''' \in |X|\)가 존재한다. 따라서 \(x = x'\)이다. 즉 \(f\)는 단사이다. 조건 (3)은 기저변환에 대하여 안정적이므로 \(f\)는 (2)를 만족한다.

(2)를 가정하자. 특히 \(|X \times_Y X| \to |X|\)가 단사이므로 이는 즉시 \(|\Delta_{X/Y}| : |X| \to |X \times_Y X|\)가 전사임을 뜻한다. Properties of Spaces, Lemma 03H5에 의해 이는 \(\Delta_{X/Y}\)가 전사임을 뜻한다.

위의 두 보조정리에 의해 다음 정의는 대수공간의 보편 단사 표현가능 사상에 대해 이미 정의한 개념과 충돌하지 않는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 모든 사상 \(Y' \to Y\)에 대하여 유도된 사상 \(|Y' \times_Y X| \to |Y'|\)가 단사일 때 \(f\)를 보편 단사라고 한다.

이는 Lemma 040X의 동치인 조건들 중 어느 것이나 모두 성립한다는 뜻임을 확인할 수 있다.

주

스킴의 보편 단사 사상은 분리 사상이다. Morphisms, Lemma 05VE를 보라. 이는 대수공간의 사상에는 성립하지 않는다. 구체적으로 Spaces, Example 02Z1에서 구성한 대수공간 \(X = \mathbf{A}^1_k/\{x \sim -x \mid x \not = 0\}\)에는 좌표 \(x\)인 점을 좌표 \(x^2\)인 점으로 보내는 \(X \to \mathbf{A}^1_k\) 사상이 주어진다. 이 사상은 \(0\)을 제외하면 동형사상이고, \(0\) 위에는 \(X\)의 점이 유일하게 하나 있다. \(X\)는 분리되어 있지 않으므로 이는 분리되지 않은 보편 단사 대수공간 사상이다.

보조정리

보편 단사 사상의 기저변환은 보편 단사이다.

증명

생략한다. 힌트: 이는 형식적이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 보편 단사이다.

2. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 보편 단사이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 보편 단사이다.

4. 어떤 스킴 \(Z\)와 전사 사상 \(Z \to Y\)가 존재하여 \(Z \times_Y X \to Z\)가 보편 단사이다.

5. 어떤 자리스키 피복 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 보편 단사이다.

증명

이 증명에서는 보편 단사성이 기저변환에 의해 보존된다는 사실 (Lemma 03MW)을 별도 언급 없이 사용한다. (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)가 자명하다.

(4)의 \(g : Z \to Y\)를 가정하자. \(y : \Spec(K) \to Y\)를 체의 스펙트럼에서 \(Y\)로 가는 사상이라 하자. 가정에 의해 확장체 \(\alpha : K \subset K'\)와 \(y \circ \alpha = g \circ z\)를 만족하는 사상 \(z : \Spec(K') \to Z\)를 찾을 수 있다 (명백한 표기 남용을 했다). 가정에 의해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 보편 단사이므로, \(g \circ z : \Spec(K') \to Y\)를 \(X\)로 들어 올리는 사상은 많아야 하나이다. \(\{\alpha : \Spec(K') \to \Spec(K)\}\)가 fpqc 피복이므로 이는 \(y : \Spec(K) \to Y\)를 \(X\)로 들어 올리는 사상이 많아야 하나임을 뜻한다. Properties of Spaces, Proposition 0APL를 보라. 따라서 (1)이 성립한다.

(5)가 (1)과 동치임을 확인하는 것은 생략한다.

보조정리

보편 단사 사상들의 합성은 보편 단사이다.

증명

생략한다.

아핀 사상

Section 03HA에서 대수공간의 표현가능 사상이 아핀이라는 것이 무엇을 뜻하는지 이미 정의하였다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 표현가능 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 그러면 \(f\)가 (Section 03HA의 의미에서) 아핀일 필요충분조건은 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 스킴 \(X \times_Y Z\)가 아핀인 것이다.

증명

이는 스킴의 아핀 사상의 정의 (Morphisms, Definition 01S6)에서 직접 따른다.

이제 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 대수공간 \(X \times_Y Z\)가 아핀 스킴으로 표현가능할 때 \(f\)를 아핀이라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 표현가능하고 아핀이다.

2. \(f\)는 아핀이다.

3. 모든 아핀 스킴 \(V\)와 에탈 사상 \(V \to Y\)에 대하여 스킴 \(X \times_Y V\)가 아핀이다.

4. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 아핀이다.

5. 어떤 자리스키 피복 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 아핀이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하고, (2)가 (3)을 함의하며, (3)이 \(V\)를 \(Y\) 위의 에탈 아핀들의 서로소 합으로 택하면 (4)를 함의한다는 것은 명백하다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라. (4)와 같은 \(V \to Y\)를 가정하자. 그러면 \(V\)의 모든 아핀 열린 부분집합 \(W\)에 대하여 \(W \times_Y X\)는 \(V \times_Y X\)의 아핀 열린 부분집합이다. 따라서 Properties of Spaces, Lemma 03JH에 의해 \(V \times_Y X\)는 스킴이다. 더 나아가 사상 \(V \times_Y X \to V\)는 아핀이다. 그러므로 Spaces, Lemma 03I2를 적용할 수 있다. 이는 아핀 사상의 류가 요구되는 모든 성질을 만족하기 때문이다(다음을 보라: Morphisms, Lemmas 01SD 및 Descent, Lemmas 02L5 및 0245). 이 보조정리를 적용한 결론은 \(f\)가 표현가능하고 아핀, 즉 (1)이 성립한다는 것이다.

(1)과 (5)의 동치는 아핀이라는 성질이 표적 위에서 자리스키 국소적이라는 사실에서 따른다(위의 참고문헌은 실제로 아핀이 표적 위에서 fpqc 국소적이기도 함을 보여 준다).

보조정리

아핀 사상들의 합성은 아핀이다.

증명

생략한다. 힌트: fibre product의 추이성.

보조정리

아핀 사상의 기저변환은 아핀이다.

증명

생략한다. 힌트: fibre product의 추이성.

보조정리

닫힌 몰입은 아핀이다.

증명

스킴의 사상에 대한 대응하는 명제에서 즉시 따른다. Morphisms, Lemma 01SE를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 다음 범주들의 반동치가 존재한다. \[\begin{matrix} \text{대수공간}\\ \text{위에서 아핀 }X \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{준연접층}\\ \text{의 }\mathcal{O}_X\text{-대수} \end{matrix}\] \(f : Y \to X\)에 대응하는 것은 층 \(f_*\mathcal{O}_Y\)이다. 더 나아가 이 동치는 임의의 기저변환과 양립한다.

증명

이 보조정리는 Morphisms, Lemma 01SA의 대수공간 버전이다. \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접층이라 하자. \(\pi : Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{A}) \to X\)인 대수공간의 아핀 사상을 구성하여 \(\pi_*\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{A}\)를 얻을 것이다. 이를 위해 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)를 택한다. 평소처럼 \(R = U \times_X U\)를 사영 \(s, t : R \to U\)와 함께 쓰자. 합성 \(\psi = \varphi \circ s = \varphi \circ t\)인 사상 \(\psi : R \to X\)를 쓰자. 앞서 언급한 보조정리에 의해 \(\pi_{0, *}\mathcal{O}_V \cong \varphi^*\mathcal{A}\) 및 \(\pi_{1, *}\mathcal{O}_W \cong \psi^*\mathcal{A}\)를 만족하는 스킴의 아핀 사상 \(\pi_0 : V \to U\)와 \(\pi_1 : W \to R\)가 존재한다. 구성이 기저변환과 양립하므로 다음 그림들을 가환하게 하는 사상 \(s', t' : W \to V\)가 존재한다. \[\vcenter{ \xymatrix{ W \ar[r]_{s'} \ar[d] & V \ar[d] \\ R \ar[r]^s & U } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ W \ar[r]_{t'} \ar[d] & V \ar[d] \\ R \ar[r]^t & U } }\] 는 데카르트이다. 따라서 \(s', t'\)는 에탈이다. 위의 사실에서 형식적으로 \((t', s') : W \to V \times_S V\)가 단사사상임을 얻는다. \(W \to V \times_S V\)가 동치관계라는 확인은 생략한다 (힌트: \(\mathcal{A}\)를 \(U \times_X U \times_X U = R \times_{s, U, t} R\)로 당긴 것을 생각하라). 몫층 \(Y = V/W\)는 대수공간이다. Spaces, Theorem 02WW을 보라. Groupoids, Lemma 07S3에 의해 \(Y \times_X U \cong V\)임을 알 수 있다. 따라서 \(Y \to X\)는 Lemma 03WG에 의해 아핀이다. 마지막으로 \[(Y \times_X U \to U)_*\mathcal{O}_{Y \times_X U} = \pi_{0, *}\mathcal{O}_V \cong \varphi^*\mathcal{A}\] 의 동형사상은 접합 동형사상들과 양립한다. 그러므로 Properties of Spaces, Proposition 03M3에 의해 \((Y \to X)_*\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{A}\)이다. 이 구성이 기저변환과 양립한다는 확인은 생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접층이라 하자. \(X\) 위에서의 \(\mathcal{A}\)의 상대 스펙트럼 또는 간단히 \(X\) 위에서의 \(\mathcal{A}\)의 스펙트럼은 범주들의 동치에서 \(\underline{\Spec}(\mathcal{A}) \to X\)에 \(\mathcal{A}\)에 대응하는 아핀 사상이다. 이는 Lemma 081V에 따른다.

상대 스펙트럼을 만드는 것은 임의의 기저변환과 가환한다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. 그러면 \(f\)는 표준 인수분해 \[Y \longrightarrow \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y) \longrightarrow X\] 를 갖는다. 이는 Lemma 03M9에 의해 \(f_*\mathcal{O}_Y\)가 준연접이므로 의미가 있다. 사상 \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\)는 표준 \(\mathcal{O}_Y\)-대수 사상 \(f^*f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_Y\)에서 온다. 이는 \(Y \to Y \times_X \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\)라는 \(Y\) 위의 표준 사상에 대응한다(Lemma 081V를 보라). 따라서 위와 같은 \(f\)의 인수분해를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_Y\)라 하자. 함자 \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\)는 다음 범주들의 동치를 유도한다. \[\left\{ \begin{matrix} \text{준연접층의 범주}\\ \mathcal{O}_Y\text{-가군} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{준연접층의 범주}\\ \mathcal{A}\text{-가군} \end{matrix} \right\}\] 더 나아가 \(\mathcal{A}\)-가군이 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 준연접일 필요충분조건은 \(\mathcal{A}\)-가군으로서 준연접인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(g : X \to Y\)가 \(B\) 위 대수공간의 사상이라고 하자.

1. \(X\)가 \(B\) 위에서 아핀이고 \(\Delta : Y \to Y \times_B Y\)가 아핀이면 \(g\)는 아핀이다.

2. \(X\)가 \(B\) 위에서 아핀이고 \(Y\)가 \(B\) 위에서 분리이면 \(g\)는 아핀이다.

3. 아핀 스킴에서 \(\mathbf{Z}\) 위의 아핀 대각선을 갖는 대수공간으로 가는 사상은 아핀이다(Properties of Spaces, Definition 03BS의 경우).

4. 아핀 스킴에서 분리 대수공간으로 가는 사상은 아핀이다.

증명

(1)의 증명. 기저변환 \(X \times_B Y \to Y\)는 Lemma 03WI에 의해 아핀이다. 사상 \((1, g) : X \to X \times_B Y\)는 \(X \times_B Y \to Y \times_B Y\)에 의한 \(Y \to Y \times_B Y\)의 기저변환이다. 따라서 Lemma 03WI에 의해 아핀이다. 아핀 사상들의 합성은 아핀이고(Lemma 03WH를 보라), 따라서 (1)이 성립한다. (2)는 (1)에서 따른다. 닫힌 몰입이 아핀이기 때문이다 (Lemma 07U2를 보라). 또한 \(Y/B\)가 분리라는 것은 \(\Delta\)가 닫힌 몰입이라는 뜻이다. (3)과 (4)는 각각 (1)과 (2)의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 준분리 대수공간이라 하자. \(A\)를 아르틴 환이라 하자. 모든 사상 \(\Spec(A) \to X\)는 아핀이다.

증명

\(U \to X\)를 \(U\)가 아핀인 에탈 사상이라 하자. 이 보조정리를 증명하려면 Lemma 03WG에 따라 \(\Spec(A) \times_X U\)가 아핀임을 보여야 한다. \(X\)가 준분리이므로 스킴 \(\Spec(A) \times_X U\)는 준콤팩트이다. 더 나아가 사영 사상 \(\Spec(A) \times_X U \to \Spec(A)\)는 에탈이다. 따라서 이 사상은 유한 이산인 섬유를 가지며, 또한 \(\Spec(A)\) 위의 위상은 이산이다. 그러므로 \(\Spec(A) \times_X U\)는 기저 위상공간이 유한 이산 집합인 스킴이다. 이제 Schemes, Lemma 02O0에 의해 결론이 따른다.

준아핀 사상

Section 03HA에서 대수공간의 표현가능 사상이 준아핀이라는 것이 무엇을 뜻하는지 이미 정의하였다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 표현가능 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 그러면 \(f\)가 (Section 03HA의 의미에서) 준아핀일 필요충분조건은 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 스킴 \(X \times_Y Z\)가 준아핀인 것이다.

증명

이는 스킴의 준아핀 사상의 정의에서 직접 따른다 (Morphisms, Definition 01SK).

이제 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 대수공간 \(X \times_Y Z\)가 준아핀 스킴으로 표현가능할 때 \(f\)를 준아핀이라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)를 주자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 표현가능하고 준아핀이다.

2. \(f\)는 준아핀이다.

3. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 준아핀이다.

4. 어떤 자리스키 피복 \(Y = \bigcup Y_i\)가 존재하여 각 사상 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\)가 준아핀이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하고, (2)가 \(V\)를 \(Y\) 위의 에탈 아핀들의 서로소 합으로 택하면 (3)을 함의한다는 것은 명백하다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라. (3)과 같은 \(V \to Y\)를 가정하자. 그러면 \(V\)의 모든 아핀 열린 부분집합 \(W\)에 대하여 \(W \times_Y X\)는 \(V \times_Y X\)의 준아핀 열린 부분집합이다. 따라서 Properties of Spaces, Lemma 03JH에 의해 \(V \times_Y X\)는 스킴이다. 더 나아가 사상 \(V \times_Y X \to V\)는 준아핀이다. 그러므로 Spaces, Lemma 03I2를 적용할 수 있다. 이는 준아핀 사상의 류가 요구되는 모든 성질을 만족하기 때문이다(다음을 보라: Morphisms, Lemmas 01SO 및 Descent, Lemmas 02L7 및 0247). 이 보조정리를 적용한 결론은 \(f\)가 표현가능하고 준아핀, 즉 (1)이 성립한다는 것이다.

(1)과 (4)의 동치는 준아핀이라는 성질이 표적 위에서 자리스키 국소적이라는 사실에서 따른다(위의 참고문헌은 실제로 준아핀이 표적 위에서 fpqc 국소적이기도 함을 보여 준다).

보조정리

준아핀 사상들의 합성은 준아핀이다.

증명

생략한다.

보조정리

준아핀 사상의 기저변환은 준아핀이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 대수공간의 준콤팩트 준분리 사상 \(f : Y \to X\)가 준아핀일 필요충분조건은 표준 인수분해 \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) (Remark 081X)가 열린 몰입인 것이다.

증명

\(U \to X\)를 \(U\)가 스킴인 전사 사상이라 하자. \(f\)가 준아핀인지 여부는 \(U\)로의 기저변환 뒤에 확인할 수 있고 (Lemma 03WM), \(f_*\mathcal{O}_Y|_V\)는 \((Y \times_X U \to U)_*\mathcal{O}_{Y \times_X U}\)와 같으며 (Properties of Spaces, Lemma 03LX), 상대 스펙트럼의 형성은 기저변환과 가환하므로 (Lemma 081V), 주장은 \(X\)가 스킴인 경우로 환원된다. \(X\)가 스킴이고 \(f\)가 준아핀이거나 \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\)가 열린 몰입이면 \(Y\)도 스킴이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01SM로 환원된다.

원천과 표적에서 에탈 국소적인 사상 유형

스킴의 사상의 성질이 원천과 표적에서 에탈 국소적이라고 하자. 이는 Descent, Definition 04QZ에서 정의한 것이다. 그러면 아래 보조정리의 동치인 조건들 중 어느 하나를 부과하여 대수공간의 사상에 대응하는 성질을 정의할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{P}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자. \(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음과 같은 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 사상은 에탈이다. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 위와 같은 모든 그림에 대하여 사상 \(h\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

2. \(a : U \to X\)가 전사인 위와 같은 어떤 그림에 대하여 사상 \(h\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

\(X\)와 \(Y\)가 표현가능하면, 이는 (스킴의 사상으로서) \(f\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다는 조건과도 동치이다. \(\mathcal{P}\)가 임의의 기저변환에 의해 보존되고 기저 위에서 fppf 국소적이면, 표현가능 사상 \(f\)에 대하여 이는 Section 03HA의 의미에서 \(f\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다는 조건과도 동치이다.

증명

(1)과 (2)의 동치를 증명하자. Spaces, Lemma 02X1를 고려하면 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 즉시 따른다. 다음과 같은 보조정리의 두 그림을 가정하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] \(U \to X\)가 전사이고 \(h\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다고 하자. (2)가 (1)을 함의함을 보이려면 \(h'\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다는 것을 증명해야 한다. 이를 위해 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d]_h & U \times_X U' \ar[l] \ar[d]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[d]^{h'} \\ V & V \times_Y V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] Descent, Lemma 04R1에 의해 \(h\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는 것은 \((h, h')\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는 것을 함의한다. 또한 \(U \times_X U' \to U'\)가 전사이므로, 같은 보조정리에 의해 이는 \(h'\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다는 것을 함의한다.

\(X\)와 \(Y\)가 표현가능하면 Descent, Lemma 04R1를 적용할 수 있고, 이는 (1)과 (2)가 \(f\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다는 조건과 동치임을 보인다.

마지막으로 \(f\)가 표현가능하고 \(U, V, a, b, h\)가 보조정리의 (2)와 같으며 \(\mathcal{P}\)가 임의의 기저변환에 의해 보존된다고 하자. 모든 스킴 \(Z\)와 사상 \(Z \to X\)에 대하여 기저변환 \(Z \times_Y X \to Z\)가 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 보여야 한다. 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ Z \times_Y U \ar[d] \ar[r] & Z \times_Y V \ar[d] \\ Z \times_Y X \ar[r] & Z }\] 위의 수평 사상은 \(h\)의 기저변환이므로 \(\mathcal{P}\)를 가짐에 주의하라. 왼쪽 수직 사상은 에탈 전사이고 오른쪽 수직 사상은 에탈이다. 따라서 Descent, Lemma 04R1를 다시 적용하면 \(Z \times_Y X \to Z\)가 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 Lemma 03MJ의 동치인 조건들을 만족할 때 그 사상이 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다고 한다.

다음은 명백한 주석 몇 가지이다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자. 더 나아가 \(\mathcal{P}\)가 합성에 대해 안정적이라고 하자. 그러면 \(\mathcal{P}\)를 갖는 대수공간 사상들의 류는 합성에 대해 안정적이다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자. 더 나아가 \(\mathcal{P}\)가 기저변환에 대해 안정적이라고 하자. 그러면 \(\mathcal{P}\)를 갖는 대수공간 사상들의 류는 기저변환에 대해 안정적이다.

스킴의 싹 사상의 성질이 원천과 표적에서 에탈 국소적이라고 하자. Descent, Definition 04NB를 보라. 그러면 아래 보조정리의 동치인 조건들 중 어느 하나를 부과하여 한 점에서 대수공간 사상의 대응하는 성질을 정의할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{Q}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 싹 사상의 성질이라 하자. \(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)를 \(X\)의 점이라 하자. 다음 그림들을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고, \(a, b\)는 에탈이며, \(u, v, x, y\)는 대응하는 공간의 점이다. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 위와 같은 모든 그림에 대하여 \(\mathcal{Q}((U, u) \to (V, v))\)가 성립한다.

2. 위와 같은 어떤 그림에 대하여 \(\mathcal{Q}((U, u) \to (V, v))\)가 성립한다.

\(X\)와 \(Y\)가 표현가능하면 이는 \(\mathcal{Q}((X, x) \to (Y, y))\)와도 동치이다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 03MJ의 증명과 매우 비슷하다.

정의

\(\mathcal{Q}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 스킴의 싹 사상의 성질이라 하자. \(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)와 점 \(x \in |X|\)가 주어졌을 때, Lemma 04NC의 동치인 조건들이 성립하면 \(f\)가 \(x\)에서 성질 \(\mathcal{Q}\)를 갖는다고 한다.

다음 보조정리를 사상의 성질에서 한 점에서의 사상 성질로 옮기는 데 맹목적으로 사용해서는 안 된다. 예를 들어 \(\mathcal{P}\)가 평탄하다는 성질이면, 다음 보조정리의 성질 \(Q\)는 “\(f\)가 \(x\)의 열린 근방에서 평탄하다”는 뜻이지 “\(f\)가 \(x\)에서 평탄하다”는 뜻과 같지 않다.

보조정리

\(\mathcal{P}\)를 원천과 표적에서 에탈 국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자. Descent, Lemma 04R6에서 \(\mathcal{P}\)에 결부시킨 싹 사상의 성질 \(\mathcal{Q}\)를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{Q}\)는 원천과 표적에서 에탈 국소적이다.

2. 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)와 \(x \in |X|\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. \(f\)는 \(x\)에서 \(\mathcal{Q}\)를 갖는다.

   2. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(X' \to Y\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

3. 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. \(f\)는 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

   2. 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 사상 \(f\)는 \(x\)에서 \(\mathcal{Q}\)를 갖는다.

증명

(1)에 대해서는 Descent, Lemma 04R6를 보라. Lemma 04NC와 같은 그림이 주어졌을 때 \(X' = a(U) \subset X\)로 놓으면 (1)(a) \(\Rightarrow\) (2)(b)가 따른다. (2)(b) \(\Rightarrow\) (1)(a)는 명백하다. (3)(a)와 (3)(b)의 동치는 스킴의 사상에 대한 대응하는 결과에서 따른다. Descent, Lemma 04R7을 보라.

주

위의 Lemma 04RF를 Descent, Remark 04R3에 열거된 모든 경우 중 “flat”을 제외한 경우에 적용할 것이다. 각 경우에 \(f\)가 \(x\)의 근방에서 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)가 \(x\)에서 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다고 정의하여 이를 수행한다.

유한형 사상

스킴 사상의 “국소 유한형”이라는 성질은 원천과 표적에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 이는 기저변환에 대해 안정적이고 표적 위에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 01T4 및 Descent, Lemmas 02KX를 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 다음과 같이 대수공간의 사상이 국소 유한형이라는 뜻을 정의할 수 있다. 사상이 표현가능할 때 이는 Section 03HA에서 이미 정의한 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. Lemma 03MJ의 동치인 조건들이 \(\mathcal{P} = \text{국소 유한형}\)에 대하여 성립하면 \(f\)를 국소 유한형이라고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 국소 유한형이면 \(f\)가 \(x\)에서 유한형이라고 한다.

3. \(f\)가 국소 유한형이고 준콤팩트이면 이를 유한형이라고 한다.

Spaces, Example 02Z7의 대수공간 \(\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\)를 생각하자. 사상 \(\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z} \to \Spec(k)\)는 유한형이다.

보조정리

유한형 사상들의 합성은 유한형이다. 국소 유한형에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

Remark 0AML 및 Morphisms, Lemma 01T3를 보라.

보조정리

유한형 사상의 기저변환은 유한형이다. 국소 유한형에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

Remark 0AMM 및 Morphisms, Lemma 01T4를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 사상 \(f\)는 \(x\)에서 유한형이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)가 국소 유한형이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)가 국소 유한형이다.

5. 어떤 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 국소 유한형이다.

6. 어떤 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재하여 합성 \(f \circ \varphi\)가 국소 유한형이다.

7. 다음 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 사상이 에탈이면 위쪽 수평 사상은 국소 유한형이다.

8. 다음과 같은 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 이 존재한다. 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 수직 사상은 에탈이며, \(U \to X\)는 전사이고 위쪽 수평 사상은 국소 유한형이다.

9. 자리스키 피복 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) 및 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)가 존재하여 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 국소 유한형이다.

증명

조건 (2), (3), (4), (5), (6), (7), (9)는 각각 직접적인 방식으로 조건 (8)을 함의한다. 예를 들어 (5)가 성립하면 아핀들의 서로소 합인 스킴 \(V\)와 전사 사상 \(V \to Y\)를 택할 수 있다(Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라). 그러면 (5)에 의해 \(V \times_Y X \to V\)는 국소 유한형이다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택하자. Lemma 03XG에 의해 \(U \to V\)는 국소 유한형이다. 따라서 (8)이 성립한다.

조건 (1), (7), (8)은 정의에 의해 서로 동치이다.

증명을 끝내기 위해 (1)이 조건 (2), (3), (4), (5), (6), (9)를 모두 함의함을 보이자. (2)는 즉시 따른다. (3), (4), (5), (9)는 국소 유한형이라는 성질이 기저변환에 의해 보존된다는 사실에서 따른다. Lemma 03XH를 보라. (6)에 대해서는 \(U = X\)로 택하면 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 국소 뇌터이면 \(X\)는 국소 뇌터이다.

증명

다음 가환 그림을 택하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 수직 사상은 전사 에탈이다. \(f\)가 국소 유한형이면 \(U \to V\)는 국소 유한형이다. \(Y\)가 국소 뇌터이면 \(V\)는 국소 뇌터이다. Morphisms, Lemma 01T6에 의해 \(U\)가 국소 뇌터임을 알 수 있으며, 이는 \(X\)가 국소 뇌터라는 뜻이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(g \circ f : X \to Z\)가 국소 유한형이면 \(f : X \to Y\)는 국소 유한형이다.

증명

다음과 같은 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] 여기서 \(U\), \(V\), \(W\)는 스킴이고 수직 사상은 에탈 전사이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. 이제 Lemma 040Y 및 Morphisms, Lemma 01T8를 사용하여 결론을 얻는다.

보조정리

몰입은 국소 유한형이다.

증명

일반 원리 Spaces, Lemma 02YO 및 Morphisms, Lemmas 01T5에서 따른다.

점과 기하학적 점

이 절에서는 점과 기하학적 점에 관해 몇 가지 언급한다 (Properties of Spaces, Definition 0486를 보라). \(X\)의 기하학적 점을 생각하는 한 방법은 \(S\)의 기하학적 점 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\)를 생각하고 \(\overline{s}\)를 \(X\)로 가는 사상 \(\overline{x}\)로 들어 올리는 것이다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[r]_-{\overline{x}} \ar[rd]_{\overline{s}} & X \ar[d] \\ & S. }\] \(\Spec(k)\)가 사상 \(\Spec(k) \to S\)와 함께 주어졌음을 나타내기 위해 흔히 “\(k\)를 \(S\) 위의 대수적으로 닫힌 체라 하자”라고 말한다. 이 상황에서 \(X\)의 \(k\)-값 점들의 집합을 \[X(k) = \Mor_S(\Spec(k), X) = \{\overline{x} \in X\text{ lying over }\overline{s}\}\] 로 쓴다. 이 경우 사상 \(X(k) \to |X|\)의 상은 부분집합 \(|X_s| \subset |X|\)에 포함된다. 여기서 \(X_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S X\)이고, \(s \in S\)는 \(\overline{s}\)에 대응하는 점이다. \(\Spec(\kappa(s)) \to S\)가 단사사상이므로 기저변환 \(X_s \to X\)도 단사사상이며, \(|X_s|\)는 실제로 \(|X|\)의 부분집합이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 전사이다.

2. 모든 \(S\) 위의 대수적으로 닫힌 체 \(k\)에 대하여 유도된 사상 \(X(k) \to Y(k)\)가 전사이다.

증명

다음 그림을 택하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 \(S\) 위의 스킴이고 수직 사상은 전사 에탈이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. \(f\)가 국소 유한형이므로 \(U \to V\)도 국소 유한형이다.

(1)을 가정하고 \(\overline{y} \in Y(k)\)라 하자. Lemmas 03MG 및 03XG에 의해 \(U \to Y\)는 전사이고 국소 유한형이다. \(Z = U \times_{Y, \overline{y}} \Spec(k)\)라 하자. 이는 스킴이다. 사영 \(Z \to \Spec(k)\)는 Lemmas 03MH 및 03XH에 의해 전사이고 국소 유한형이다. Varieties, Lemma 0478에서 \(Z\)가 \(k\)-값 점 \(\overline{z}\)를 가짐이 따른다. \(\overline{z}\)의 상 \(\overline{x} \in X(k)\)는 원하는 대로 \(\overline{y}\)로 사상된다.

(2)를 가정하자. Properties of Spaces, Lemma 03H5에 의해 \(|X| \to |Y|\)가 전사임을 보이면 충분하다. \(y \in |Y|\)라 하자. \(y\)로 사상되는 \(u \in U\)를 택하자. \(k \supset \kappa(u)\)를 대수적 폐포라 하자. 대응하는 점을 \(\overline{u} \in U(k)\)라 쓰고 그 상을 \(\overline{y} \in Y(k)\)라 쓰자. 가정에 의해 \(\overline{y}\)로 사상되는 \(\overline{x} \in X(k)\)가 존재한다. 그러면 \(\overline{x}\)의 상 \(x \in |X|\)가 \(y\)로 사상되는 것은 명백하다.

다음 보조정리를 진술하기 위해 다음 표기를 도입한다. 스킴 \(T\)가 주어졌을 때 \[\lambda(T) = \sup\{\aleph_0, |\kappa(t)| ; t \in T\}.\] 로 쓴다. 즉 \(\lambda(T)\)는 \(T\)의 모든 잉여체의 기수를 위에서 제한하는 가장 작은 무한 기수이다. \(R\)이 환이면 \(R\)의 임의의 잉여체 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 기수는 \(R\)의 기수로 제한됨에 주의하라(세부사항은 생략한다). 따라서 \(\text{size}(T)\)가 Sets, Section 000H에서 도입한 스킴 \(T\)의 크기일 때 \(\lambda(T) \leq \text{size}(T)\)이다. \(L/K\)가 유한 생성 체 확대이면 \(|K| \leq |L| \leq \max\{\aleph_0, |K|\}\)이다. 따라서 스킴의 사상 \(T' \to T\)가 국소 유한형이면 \(\lambda(T') \leq \lambda(T)\)이고, \(T' \to T\)가 전사이기도 하면 등호가 성립한다. 다음으로 \(S\)가 스킴이고 \(X\)가 \(S\) 위의 대수공간이라고 하자. 이 경우 \[\lambda(X) := \lambda(U)\] 로 정의한다. 여기서 \(U\)는 \(X\)로 가는 전사 에탈 사상을 갖는 임의의 \(S\) 위의 스킴이다. 이 정의가 \(U\)의 선택과 무관한 이유는 그러한 스킴의 쌍 \(U\), \(U'\)가 주어졌을 때 fibre product \(U \times_X U'\)가 \(U\)와 \(U'\) 각각으로 가는 전사 에탈 사상을 갖는 스킴이기 때문이다. 따라서 위의 논의에 의해 \(\lambda(U) = \lambda(U \times_X U') = \lambda(U')\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(k\)가 모든 \(S\) 위의 대수적으로 닫힌 체를 달릴 때 기하학적 점들 \(\overline{y} \in Y(k)\)는 \(|Y|\) 전체를 덮는다.

2. \(k\)가 \(|k| \geq \lambda(Y)\) 및 \(|k| > \lambda(X)\)를 만족하는 모든 \(S\) 위의 대수적으로 닫힌 체를 달릴 때 기하학적 점들 \(\overline{y} \in Y(k)\)는 \(|Y|\) 전체를 덮는다.

3. \(k\)의 기수가 \(> \lambda(X)\)인 임의의 기하학적 점 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\)에 대하여 사상 \[X(k) \longrightarrow |X_s|\] 은 전사이다.

4. \(X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(k\)의 기수가 \(> \lambda(X)\)인 임의의 기하학적 점 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\)에 대하여 사상 \[X(k) \longrightarrow |X| \times_{|Y|} Y(k)\] 은 전사이다.

5. \(X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. 사상 \(X \to Y\)는 전사이다.

   2. \(|k| > \lambda(X)\) 및 \(|k| \geq \lambda(Y)\)를 만족하는 모든 \(S\) 위의 대수적으로 닫힌 체 \(k\)에 대하여 사상 \(X(k) \to Y(k)\)가 전사이다.

증명

(1)을 증명하기 위해 \(V\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. 각 \(v \in V\)에 대하여 대수적 폐포 \(\kappa(v) \subset k_v\)를 택한다. 사상 \(\overline{x} : \Spec(k_v) \to V \to Y\)를 생각하자. \(|Y|\)의 구성에 의해 이들은 \(|Y|\)를 덮는다.

(2)를 증명하기 위해 증명을 생략하는 다음 두 사실을 사용할 것이다. (i) \(K\)가 체이고 \(\overline{K}\)가 대수적 폐포이면 \(|\overline{K}| \leq \max\{\aleph_0, |K|\}\)이다. (ii) 대수적으로 닫힌 임의의 체 \(k\)와 임의의 기수 \(\aleph\), \(\aleph \geq |k|\)에 대하여, \(|k'| = \aleph\)인 대수적으로 닫힌 체의 확대 \(k'/k\)가 존재한다. 이제 \(\aleph = \max\{\lambda(X), \lambda(Y)\}^+\)로 둔다. 여기서 \(\lambda^+ > \lambda\)는 다음으로 큰 기수를 나타낸다. Sets, Section 000D를 보라. 이제 (i)에 의해 증명의 첫 문단에서 구성한 체 \(k_u\)의 기수는 모두 \(\lambda(X)\)로 제한된다. 따라서 (ii)에 의해 \(|k'_u| = \aleph\)인 확대 \(k_u \subset k'_u\)를 찾을 수 있다. 사상 \(\overline{x}' : \Spec(k'_u) \to X\)는 원하는 대로 \(|X|\)를 덮는다. (2)의 증명을 실제로 마치려면 스킴 \(\Spec(k'_u)\)가 \(\Sch_{fppf}\)의 대상과 동형임을 보여야 한다. 우리의 규약에서 모든 스킴은 \(\Sch_{fppf}\)의 대상이기 때문이다. 집합론적 고찰에 관심이 없는 독자는 이 문단의 나머지를 건너뛰어야 한다. 구성에 의해 \(\lambda(X)\)와 \(\lambda(Y)\)가 \(\text{size}(T)\)로 제한되는 \(\Sch_{fppf}\)의 대상 \(T\)가 존재한다. Topologies, Definitions 021R에서 \(\Sch_{fppf}\)를 Sets, Lemma 000J에서 구성한 범주 \(\Sch_\alpha\)로 구성했으므로, 크기가 \(\leq \text{size}(T)^+\)인 임의의 스킴은 \(\Sch_{fppf}\)의 대상과 동형임을 알 수 있다. Sets, Equation (046U)의 함수 \(Bound\)에 대한 식을 보라. \(\aleph \leq \text{size}(T)^+\)이므로 결론을 얻는다.

(3)의 표기 \(X_s\)는 \(s \in S\)가 \(\overline{s}\)에 대응하는 점일 때 섬유곱 \(\Spec(\kappa(s)) \times_S X\)를 뜻한다. 따라서 (2)는 \(Y = \Spec(\kappa(s))\)로 둔 (4)에서 따른다.

(4)를 증명하자. \(X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(k\)를 기수가 \(> \lambda(X)\)인 \(S\) 위의 대수적으로 닫힌 체라 하자. 같은 \(|Y|\)의 원소 \(y\)로 사상되는 \(\overline{y} \in Y(k)\)와 \(x \in |X|\)를 택하자. \(x\)와 \(\overline{y}\)로 사상되는 \(\overline{x} \in X(k)\)를 찾아야 한다. 다음 가환 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 \(S\) 위의 스킴이고 수직 화살표는 전사 에탈이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. \(x\)로 사상되는 \(u \in |U|\)를 택하고 그 상을 \(v \in |V|\)로 쓴다. \(u = \Spec(\kappa(u))\)와 \(v = \Spec(\kappa(v))\)를 스킴으로 생각할 것이다. \(V \times_Y \Spec(k)\)는 \(k\) 위의 에탈 스킴임에 주의하라. 따라서 이는 \(k\)의 유한 분리 확대들의 스펙트럼의 서로소 합이다. Morphisms, Lemma 02GL를 보라. \(v\)가 \(y\)로 사상되므로 \(v \times_Y \Spec(k)\)는 공집합이 아닌 스킴이다. \(v \to V\)가 단사사상이므로 \(v \times_Y \Spec(k) \to V \times_Y \Spec(k)\)가 단사사상임을 안다. 따라서 Schemes, Lemma 03DP에 의해 \(v \times_Y \Spec(k)\)는 \(k\)의 유한 분리 확대들의 스펙트럼의 서로소 합이다. 그러므로 사상 \(v \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\)는 단면을 갖는다. 즉 \(v\) 위에 있고 \(\overline{y}\) 위에 있는 사상 \(\overline{v} : \Spec(k) \to V\)를 찾을 수 있다. 마지막으로 스킴 \[u \times_{V, \overline{v}} \Spec(k) = \Spec(\kappa(u) \otimes_{\kappa(v)} k)\] 을 생각하자. 여기서 \(\kappa(v) \to k\)는 사상 \(\overline{v}\)를 정의하는 체 준동형이다. 가정에 의해 \(k\)의 기수가 \(\kappa(u)\)의 기수보다 크므로 Algebra, Lemma 046V을 적용할 수 있다. 이에 따라 임의의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset \kappa(u) \otimes_{\kappa(v)} k\)의 잉여체는 \(k\) 위에서 대수적이고, 따라서 \(k\)와 같다. 그러므로 그러한 극대 아이디얼은 \(u\) 위에 있고 \(\overline{v}\)로 사상되는 사상 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\)를 준다. 합성 \(\Spec(k) \to U \to X\)가 원하는 기하학적 점 \(\overline{x} \in X(k)\)가 된다. 이로써 (4)의 증명이 끝난다.

(5)는 (2), (4) 및 Properties of Spaces, Lemma 03H5의 형식적 귀결이다.

유한형 점

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 유한형 점 \(x \in |X|\)란 국소 유한형 사상 \(\Spec(k) \to X\)로 나타낼 수 있는 점이다. 대수공간과 대수스택에서는 유한형 점이 닫힌 점을 알맞게 대신한다. 예를 들어 이들은 언제나 “충분히 많다”.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(x\)를 나타내는 국소 유한형 사상 \(\Spec(k) \to X\)가 존재한다.

2. 스킴 \(U\), 닫힌 점 \(u \in U\), 그리고 \(\varphi(u) = x\)를 만족하는 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재한다.

증명

\(u \in U\)와 \(U \to X\)가 (2)와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)는 유한형이고, \(U \to X\)는 표현가능이며 국소 유한형이다(일반 원리 Spaces, Lemma 02YO 및 Morphisms, Lemmas 02GR, 01TW에 의한다). 따라서 Lemma 03XG에 의해 (1)이 성립한다.

거꾸로 \(\Spec(k) \to X\)가 \(x\)를 나타내는 국소 유한형 사상이라고 가정하자. \(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택한다. 가정에 의해 \(U \times_X \Spec(k) \to U\)는 국소 유한형이다. \(U \times_X \Spec(k)\)의 유한형 점 \(v\)를 택하자 (적어도 하나는 존재한다. Morphisms, Lemma 02J2를 보라). Morphisms, Lemma 02J3에 의해 \(v\)의 상 \(u \in U\)는 \(U\)의 유한형 점이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02J2에 의해 \(U\)를 축소한 뒤 \(u\)가 \(U\)의 닫힌 점이라고 가정할 수 있다. 즉 (2)가 성립한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. Lemma 06EF의 동치인 조건들을 만족하는 점 \(x \in |X|\)를 유한형 점⁵이라고 한다. \(X\)의 유한형 점들의 집합을 \(X_{\text{ft-pts}}\)로 쓴다.

유한형 점들의 집합은 다음과 같이 기술할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 다음이 성립한다. \[X_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{\varphi : U \to X\text{ \'etale }} |\varphi|(U_0)\] 여기서 \(U_0\)는 \(U\)의 닫힌 점들의 집합이다. 이때 \(U\)는 \(X\) 위에서 에탈인 모든 스킴을 달리게 해도 되고, \(X\) 위에서 에탈인 모든 아핀 스킴을 달리게 해도 된다.

증명

Lemma 06EF에서 바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이면 \(f(X_{\text{ft-pts}}) \subset Y_{\text{ft-pts}}\)이다.

증명

\(x \in X_{\text{ft-pts}}\)를 택하자. \(x\)를 국소 유한형 사상 \(x : \Spec(k) \to X\)로 나타내자. Lemma 03XG에 의해 \(f \circ x\)는 국소 유한형이다. 따라서 \(f(x) \in Y_{\text{ft-pts}}\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 전사이면 \(f(X_{\text{ft-pts}}) = Y_{\text{ft-pts}}\)이다.

증명

Lemma 06EI에 의해 \(f(X_{\text{ft-pts}}) \subset Y_{\text{ft-pts}}\)이다. \(y \in |Y|\)를 유한형 점이라 하자. \(y\)를 국소 유한형 사상 \(\Spec(k) \to Y\)로 나타내자. \(f\)가 전사이므로 대수공간 \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\)는 공집합이 아니다. 따라서 Lemma 06EH에 의해 이는 유한형 점 \(x \in |X_k|\)를 갖는다. 이제 \(X_k \to X\)는 \(\Spec(k) \to Y\)의 기저변환이므로 국소 유한형이다 (Lemma 03XH). 따라서 Lemma 06EI에 의해 \(x\)의 \(X\)에서의 상은 유한형 점이고, 구성에 의해 \(y\)로 사상된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 임의의 국소 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)에 대하여 \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap X_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] 특히 임의의 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)에 대하여 \(T \cap X_{\text{ft-pts}}\)는 \(T\)에서 조밀하다.

증명

\(i : Z \to X\)를 \(T\) 위의 축약 유도 부분공간 구조라 하자. Remark 06EC를 보라. 임의의 몰입은 국소 유한형이다. Lemma 06ED를 보라. 따라서 Lemma 06EI에 의해 \(Z_{\text{ft-pts}} \subset X_{\text{ft-pts}} \cap T\)이다. 마지막으로 \(Z\)로 가는 에탈 사상을 갖는 공집합이 아닌 임의의 아핀 스킴 \(U\)는 적어도 하나의 닫힌 점을 갖는다. 따라서 Lemma 06EH에 의해 \(Z\)는 적어도 하나의 유한형 점을 갖는다. 보조정리가 따른다.

대수공간 위의 유한형 점에 대한 더 기술적인 또 하나의 특징화는 다음과 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(x\)는 유한형 점이다.

2. 바탕 위상공간 \(|Z|\)가 한원소 집합인 대수공간 \(Z\)와, \(\{x\} = |f|(|Z|)\)를 만족하는 국소 유한형 사상 \(f : Z \to X\)가 존재한다.

3. 다음 성질들을 갖는 대수공간 \(Z\)와 사상 \(f : Z \to X\)가 존재한다.

   1. \(k\)가 체인 전사 에탈 사상 \(z : \Spec(k) \to Z\)가 존재한다.

   2. \(f\)는 국소 유한형이다.

   3. \(f\)는 단사사상이다.

   4. \(x = f(z)\)이다.

증명

\(x\)가 유한형 점이라고 가정하자. 아핀 스킴 \(U\), 닫힌 점 \(u \in U\), 그리고 \(\varphi(u) = x\)를 만족하는 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)를 택한다. Lemma 06EH를 보라. 평소처럼 \(u = \Spec(\kappa(u))\)로 둔다. 사영 사상 \(u \times_X u \to u\)는 다음 합성들이다. \[u \times_X u \to u \times_X U \to u \times_X X = u\] 여기서 첫 번째 화살표는 닫힌 몰입(\(u \to U\)의 기저변환)이고, 두 번째 화살표는 에탈 사상(에탈 사상 \(U \to X\)의 기저변환)이다. 따라서 \(u \times_X U\)는 \(k\)의 유한 분리 확대들의 스펙트럼의 서로소 합이고(Morphisms, Lemma 02GL를 보라), 그러므로 닫힌 부분스킴 \(u \times_X u\)는 \(k\)의 유한 분리 확대의 서로소 합이다. 즉 \(u \times_X u \to u\)는 에탈이다. Spaces, Theorem 02WW에 의해 \(Z = u/u \times_X u\)는 대수공간이다. 구성에 의해 그림 \[\xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 은 가환이고 수직 화살표들은 에탈이다. 따라서 \(Z \to X\)는 국소 유한형이다(Lemma 040Y를 보라). 구성에 의해 사상 \(Z \to X\)는 단사사상이고 \(z\)의 상은 \(x\)이다. 따라서 (3)이 성립한다.

(3)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)가 성립하면 Lemma 06EI에 의해 \(x\)는 \(X\)의 유한형 점이다 (그리고 \(Z_{\text{ft-pts}}\)가 공집합이 아님, 즉 \(Z\)의 유일한 점이 \(Z\)의 유한형 점임을 보이기 위해 Lemma 06EK를 사용한다).

나가타 공간

나가타 대수공간의 정의는 Properties of Spaces, Section 03E5를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(Y\)가 나가타이고 \(f\)가 국소 유한형이면 \(X\)는 나가타이다.

증명

\(V\)를 스킴이라 하고 \(V \to Y\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X \times_Y V\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(Y\)가 나가타이면 \(V\)는 나가타 스킴이다. \(X \to Y\)가 국소 유한형이면 \(U \to V\)는 국소 유한형이다. 따라서 Morphisms, Lemma 035A에 의해 \(V\)는 나가타 스킴이다. 그러면 정의에 의해 \(X\)는 나가타이다.

보조정리

다음 유형의 대수공간들은 나가타이다.

1. 나가타 스킴 위에서 국소 유한형인 임의의 대수공간.

2. 체 위에서 국소 유한형인 임의의 대수공간.

3. 뇌터 완비 국소환 위에서 국소 유한형인 임의의 대수공간.

4. \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소 유한형인 임의의 대수공간.

5. 표수가 영인 데데킨트환 위에서 국소 유한형인 임의의 대수공간.

6. 기타 등등.

증명

첫 번째 성질은 Lemma 0BAU에 의해 성립한다. 따라서 나머지도 성립한다. Morphisms, Lemma 035B를 보라.

준유한 사상

스킴 사상의 “국소 준유한” 성질은 원천과 표적에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 이 성질은 기저변환에 대해 안정적이고 표적에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 01TM 및 Descent, Lemma 02VI를 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 다음과 같이 대수공간의 사상이 국소 준유한이라는 뜻을 정의할 수 있다. 사상이 표현가능일 때 이는 Section 03HA에서 이미 정의한 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(\mathcal{P} = \text{locally quasi-finite}\)에 대하여 Lemma 03MJ의 동치인 조건들이 성립할 때 \(f\)가 국소 준유한이라고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)로서 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 국소 준유한인 것이 존재할 때 \(f\)가 \(x\)에서 준유한이라고 한다.

3. 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 국소 준유한이고 준콤팩트일 때 이를 준유한이라고 한다.

마지막 부분은 Morphisms, Lemma 01TJ에 의해 스킴 사상의 준유한성 개념과 양립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y' \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)의 \(g\)에 의한 기저변환을 \(f' : X' \to Y'\)로 쓰고, 사영을 \(g' : X' \to X\)로 쓰자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. \(f\), 각각 \(f'\)가 준유한인 점들의 집합을 \(W \subset |X|\), 각각 \(W' \subset |X'|\)라 하자.

1. \(W \subset |X|\)와 \(W' \subset |X'|\)는 열린집합이다.

2. \(W' = (g')^{-1}(W)\)이다. 즉 \(f\)가 준유한인 자취의 구성은 기저변환과 가환한다.

3. 국소 준유한 사상의 기저변환은 국소 준유한이다.

4. 준유한 사상의 기저변환은 준유한이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 스킴 \(V'\)와 전사 에탈 사상 \(V' \to Y' \times_Y V\)를 택한다. \(U' = V' \times_V U\)로 두면 \(U' \to X'\)도 전사 에탈 사상이다. 그림은 다음과 같다. \[\vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V } } \quad\text{lying over}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } }\] 상이 \(x \in |X|\)인 \(u \in |U|\)를 택하자. “국소 준유한”이라는 성질은 원천과 표적에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 따라서 Lemmas 04NC, 04RF를 적용할 수 있고, \(f : X \to Y\)가 \(x\)에서 준유한일 필요충분조건은 \(U \to V\)가 \(u\)에서 준유한인 것임을 알 수 있다. \(f' : X' \to Y'\)와 사상 \(U' \to V'\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 (1), (2), (3)은 Morphisms, Lemmas 01TM, 01TI으로 환원된다. (4)는 (3) 및 Lemma 03HF에서 따른다.

보조정리

준유한 사상들의 합성은 준유한이다. 국소 준유한에 대해서도 마찬가지이다.

증명

Remark 0AML 및 Morphisms, Lemma 01TL를 보라.

보조정리

준유한 사상의 기저변환은 준유한이다. 국소 준유한에 대해서도 마찬가지이다.

증명

Lemma 0ABM의 직접적인 귀결이다.

다음 보조정리는 국소 준유한 사상을 국소 유한형이면서 “이산 올”을 갖는 사상으로 특징짓는다. 그러나 Examples, Section 06UJ의 논의가 보여 주듯이 이는 \(|X| \to |Y|\)가 이산 올을 갖는다고 요구하는 것과 같지 않다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 국소 준유한이다.

2. \(k\)가 체인 모든 사상 \(\Spec(k) \to Y\)에 대하여 공간 \(|X_k|\)는 이산이다. 여기서 \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\)이다.

증명

\(f\)가 국소 준유한이라고 가정하자. \(\Spec(k) \to Y\)가 (2)와 같이 주어졌다고 하자. \(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택한다. 그러면 Properties of Spaces, Lemma 03FU에 의해 \(U_k = \Spec(k) \times_Y U \to X_k\)는 대수공간의 에탈 사상이다. Lemma 03XL에 의해 \(X_k \to \Spec(k)\)는 국소 준유한이다. 정의에 의해 이는 \(U_k \to \Spec(k)\)가 국소 준유한이라는 뜻이다. 따라서 Morphisms, Lemma 06RT에 의해 \(|U_k|\)는 이산이다. \(|U_k| \to |X_k|\)가 전사이고 열린사상이므로 \(|X_k|\)가 이산이라는 결론을 얻는다.

거꾸로 (2)를 가정하자. \(V\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. \(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. \(f\)가 국소 유한형이므로 \(U \to V\)가 국소 유한형임에 주의하라. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[rd] & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ & X \ar[r] & Y }\] \(f\)가 국소 준유한이 아니면 \(U \to V\)도 국소 준유한이 아니다. 따라서 같은 점 \(v \in V\) 위에 놓이는 어떤 \(u, u' \in U\)에 대하여 특수화 \(u \leadsto u'\)가 존재한다. Morphisms, Lemma 01TH를 보라. \(u, u'\)가 \(X_v = \Spec(\kappa(v)) \times_Y X\)에서 같은 상을 갖지 않는다고 주장한다. 이는 원하는 대로 \(|X_v|\)가 이산이라는 가정에 모순될 것이다. 다음과 같이 두자. \(d = \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u))\) 및 \(d' = \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u'))\). Morphisms, Lemma 06RU에 의해 \(d > d'\)임을 알 수 있다. \(U_v\)(\(U \to V\)의 \(v\) 위 올)는 \(U\)와 \(X_v\)의 \(X \times_Y V\) 위 섬유곱임에 주의하라. 따라서 \(U_v \to X_v\)는 에탈이다(에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)의 기저변환이다). \(u, u' \in U_v\)가 \(|X_v|\)의 같은 원소로 사상되면 \(t(r) = u\) 및 \(s(r) = u'\)인 점 \(r \in R_v = U_v \times_{X_v} U_v\)가 존재한다. Properties of Spaces, Lemma 03H4를 보라. \(s, t : R_v \to U_v\)는 \(\kappa(v)\) 위 스킴의 에탈 사상이므로 \(\kappa(u) \subset \kappa(r) \supset \kappa(u')\)는 \(\kappa(v)\) 위 체들의 유한 분리 확대이다 (Morphisms, Lemma 02GL를 보라). 따라서 초월차수들이 같다는 결론을 얻는다. 이 모순으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 국소 준유한이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 사상 \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 국소 준유한이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 국소 준유한이다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)로서 \(V \times_Y X \to V\)가 국소 준유한인 것이 존재한다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)로서 합성 \(f \circ \varphi\)가 국소 준유한인 것이 존재한다.

7. \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 화살표가 에탈인 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에 대하여 위쪽 수평 화살표는 국소 준유한이다.

8. \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 화살표가 에탈이며 \(U \to X\)가 전사인 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 으로서 위쪽 수평 화살표가 국소 준유한인 것이 존재한다.

9. 자리스키 덮개 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)로서 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 국소 준유한인 것들이 존재한다.

증명

생략한다.

보조정리

몰입은 국소 준유한이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(X \to Z\)가 국소 준유한이면 \(X \to Y\)는 국소 준유한이다.

증명

다음 가환 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] 여기서 수직 화살표들은 에탈 전사이다 (Spaces, Lemma 02X1를 보라). 위 행에 Morphisms, Lemma 03WR를 적용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 유한형 사상이라 하자. \(y \in |Y|\)라 하자. \(y\) 위에 놓이고 \(f\)가 준유한인 \(|X|\)의 점은 유한 개 이하이다.

증명

\(y\)가 결정하는 동치류에 속하는 체 \(k\)와 사상 \(\Spec(k) \to Y\)를 택한다. 올 \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\)는 체 위 유한형 대수공간이고, 특히 준콤팩트이다. 사상 \(|X_k| \to |X|\)는 \(|X| \to |Y|\)의 \(y\) 위 올로 전사한다 (Properties of Spaces, Lemma 03H4). 더욱이 Lemma 0ABM에 의해 \(X_k \to \Spec(k)\)가 준유한인 점들의 집합은 \(y\) 위에 놓이고 \(f\)가 준유한인 점들의 집합으로 전사한다. 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X_k\)를 택한다 (Properties of Spaces, Lemma 03H6). 그러면 \(U \to \Spec(k)\)는 유한형 사상이고 이 사상이 준유한인 점은 유한 개 이하이다. Morphisms, Lemma 0AAY를 보라. \(X_k \to \Spec(k)\)가 점 \(x'\)에서 준유한일 필요충분조건은 \(U \to \Spec(k)\)가 준유한인 \(U\)의 어떤 점의 상인 것이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 단사사상이면 \(f\)는 분리이고 국소 준유한이다.

증명

단사사상은 분리이다. Lemma 042N를 보라. Lemma 040Z에 의해 \(Z\)가 아핀인 \(Z \to Y\)로 기저변환한 뒤 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. 아핀 스킴 \(U\)와 에탈 사상 \(U \to X\)를 택한다. \(X \to Y\)가 국소 유한형이므로 아핀 스킴의 사상 \(U \to Y\)는 유한형이다. \(X \to Y\)가 단사사상이므로 \(U \times_X U = U \times_Y U\)이다. 특히 사상 \(U \times_Y U \to U\)는 에탈이다. \(y \in Y\)라 하자. 그러면 \(U_y\)가 공집합이거나, \(y\) 위에 놓이는 어떤 \(u \in U\)에 대하여 \(\Spec(\kappa(u)) \times_{\Spec(\kappa(y))} U_y\)가 \(U \times_Y U \to U\)의 \(u\) 위 올과 동형이다. 이는 \(U \to Y\)의 올들이 유한 이산 집합임을 함의한다 (\(U \times_Y U \to U\)가 아핀 스킴의 에탈 사상이기 때문이다. Morphisms, Lemma 02GL를 보라). 따라서 Morphisms, Lemma 01TH에 의해 \(U \to Y\)는 준유한이다. \(U\)가 아핀인 에탈 사상 \(U \to X\)가 임의였으므로 이는 \(X \to Y\)가 국소 준유한임을 함의한다.

유한 표시 사상

스킴 사상의 “국소 유한 표시” 성질은 원천과 표적에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 이 성질은 기저변환에 대해 안정적이고 표적에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 01TS 및 Descent, Lemma 02KY를 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 다음과 같이 대수공간의 사상이 국소 유한 표시라는 뜻을 정의할 수 있다. 사상이 표현가능일 때 이는 Section 03HA에서 이미 정의한 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(\mathcal{P} =\) “국소 유한 표시”에 대하여 Lemma 03MJ의 동치인 조건들이 성립할 때 \(f\)가 국소 유한 표시라고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)로서 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 국소 유한 표시인 것이 존재할 때 \(f\)가 \(x\)에서 유한 표시라고 한다⁶.

3. 대수공간의 사상 \(f : X \to Y\)가 국소 유한 표시이고, 준콤팩트이며, 준분리일 때 이를 유한 표시라고 한다.

유한 표시 사상은 단지 국소 유한 표시인 준콤팩트 사상이 아님에 주의하라.

보조정리

유한 표시 사상들의 합성은 유한 표시이다. 국소 유한 표시에 대해서도 마찬가지이다.

증명

Remark 0AML 및 Morphisms, Lemma 01TR를 보라. 준콤팩트 사상과 준분리 사상에 대한 결과도 사용한다 (Lemmas 03HG, 03KQ).

보조정리

유한 표시 사상의 기저변환은 유한 표시이다. 국소 유한 표시에 대해서도 마찬가지이다.

증명

Remark 0AMM 및 Morphisms, Lemma 01TS를 보라. 준콤팩트 사상과 준분리 사상에 대한 결과도 사용한다 (Lemmas 03HF, 03KL).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 사상 \(f\)는 \(x\)에서 유한 표시이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 국소 유한 표시이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 국소 유한 표시이다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)로서 \(V \times_Y X \to V\)가 국소 유한 표시인 것이 존재한다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)로서 합성 \(f \circ \varphi\)가 국소 유한 표시인 것이 존재한다.

7. \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 화살표가 에탈인 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에 대하여 위쪽 수평 화살표는 국소 유한 표시이다.

8. \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 화살표가 에탈이며 \(U \to X\)가 전사인 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 으로서 위쪽 수평 화살표가 국소 유한 표시인 것이 존재한다.

9. 자리스키 덮개 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)로서 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 국소 유한 표시인 것들이 존재한다.

증명

생략한다.

보조정리

국소 유한 표시 사상은 국소 유한형이다. 유한 표시 사상은 유한형이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 국소 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. 이는 Lemma 03MJ와 같은 그림으로서 \(h\)가 국소 유한 표시이고 수직 화살표 \(a\)가 전사인 것이 존재한다는 뜻이다. Morphisms, Lemma 01TW에 의해 \(h\)는 국소 유한형이다. 따라서 정의에 의해 \(X \to Y\)는 국소 유한형이다. \(f\)가 유한 표시이면 준콤팩트이므로 \(f\)가 유한형임이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 유한 표시이고 \(Y\)가 뇌터이면 \(X\)는 뇌터이다.

증명

\(f\)가 유한 표시이고 \(Y\)가 뇌터라고 가정하자. Lemmas 0464, 04ZK에 의해 \(X\)는 국소 뇌터이다. \(f\)가 준콤팩트이고 \(Y\)가 준콤팩트이므로 \(X\)가 준콤팩트임을 안다. \(f\)는 유한 표시이므로 준분리이고 (Definition 03XP을 보라), \(Y\)는 뇌터이므로 준분리이다(Properties of Spaces, Definition 03EA을 보라). 따라서 Lemma 04ZH에 의해 \(X\)는 준분리이다. 이로써 Properties of Spaces, Definition 03EA의 세 조건을 모두 확인했으므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이면 \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 유한형이며 준분리이면 \(f\)는 유한 표시이다.

증명

\(f : X \to Y\)가 국소 유한형이고 \(Y\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 이는 Lemma 03MJ와 같은 그림으로서 \(h\)가 국소 유한형이고 수직 화살표 \(a\)가 전사인 것이 존재한다는 뜻이다. Morphisms, Lemma 01TX에 의해 \(h\)는 국소 유한 표시이다. 따라서 정의에 의해 \(X \to Y\)는 국소 유한 표시이다. 이로써 (1)이 증명된다. \(f\)가 유한형이고 준분리이면 준콤팩트이고 준분리이기도 하므로 (2)가 바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 준콤팩트이고 준분리인 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\)가 \(Y\) 위에서 유한 표시이면 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(X\)가 \(Z\) 위에서 국소 유한 표시이고 \(Y\)가 \(Z\) 위에서 국소 유한형이면 \(f\)는 국소 유한 표시이다.

증명

스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to Z\)를 택한다. 그다음 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to W \times_Z Y\)를 택한다. 마지막으로 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 정의에 의해 \(U\)는 \(W\) 위에서 국소 유한 표시이고 \(V\)는 \(W\) 위에서 국소 유한형이다. Morphisms, Lemma 02FV에 의해 사상 \(U \to V\)는 국소 유한 표시이다. 따라서 \(f\)는 국소 유한 표시이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대각사상이 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)인 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이면 \(\Delta\)는 국소 유한 표시이다. \(f\)가 준분리이고 국소 유한형이면 \(\Delta\)는 유한 표시이다.

증명

\(\Delta\)는 둘째 사영 \(X \times_Y X \to X\)를 통해 \(X\) 위의 사상임에 주의하라. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. \(X\)는 \(X\) 위에서 유한 표시이고, Lemma 03XH에 의해 \(X \times_Y X\)는 \(X\) 위에서 유한형임에 주의하라. 따라서 첫 번째 명제는 Lemma 05WT에 의해 성립한다. 두 번째 명제는 첫 번째 명제, 정의들, 그리고 대각사상이 분리라는 사실(Lemma 03HK)에서 따른다.

보조정리

대수공간의 열린 몰입은 국소 유한 표시이다.

증명

열린 몰입은 정의에 의해 표현가능이므로 일반 원리 Spaces, Lemma 02YO 및 Morphisms, Lemma 01TT을 사용할 수 있다.

보조정리

닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)가 유한 표시일 필요충분조건은 결합된 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\)가 (\(\mathcal{O}_X\)-가군으로서) 유한형인 것이다.

증명

\(U\)를 스킴이라 하고 \(U \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. Lemma 0410에 의해 \(i' : Z \times_X U \to U\)가 유한 표시일 필요충분조건은 \(i\)가 유한 표시인 것이다. Properties of Spaces, Section 05VR에 의해 \(\mathcal{I}\)가 유한형일 필요충분조건은 \(\mathcal{I}|_U = \Ker(\mathcal{O}_U \to i'_*\mathcal{O}_{Z \times_X U})\) 가 유한형인 것이다. 따라서 스킴의 경우로부터 결과가 따른다. Morphisms, Lemma 01TV을 보라.

구성 가능 집합

이 절은 Properties of Spaces, Section 0ECS의 계속이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(E \subset |Y|\)를 부분집합이라 하자. \(E\)가 \(Y\)에서 에탈 국소적으로 구성 가능이면 \(f^{-1}(E)\)는 \(X\)에서 에탈 국소적으로 구성 가능이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : V \to Y\)를 택한다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 그러면 \(U \to X\)는 전사 에탈이고, \(f^{-1}(E)\)의 \(U\)에서의 역상은 \(\varphi^{-1}(E)\)의 \(U \to V\)에 의한 역상이다. 따라서 보조정리는 \(U \to V\)에 대한 스킴의 경우 (Morphisms, Lemma 054I)와 정의(Properties of Spaces, Definition 0ECU)에서 따른다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이고 국소 유한 표시라고 가정하자. 그러면 \(|X|\)의 에탈 국소적으로 구성 가능한 모든 부분집합의 상은 \(|Y|\)의 에탈 국소적으로 구성 가능한 부분집합이다.

증명

\(E \subset |X|\)가 에탈 국소적으로 구성 가능이라고 하자. \(V\)가 아핀인 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. \(f(E)\)의 \(V\)에서의 역상이 구성 가능임을 보이면 충분하다. Properties of Spaces, Definition 0ECU을 보라. \(f\)가 준콤팩트이므로 \(V \times_Y X\)는 준콤팩트 대수공간이다. 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다 (Properties of Spaces, Lemma 03H6). Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 \(f(E)\)의 \(V\)에서의 역상은 \(E\)의 \(U\)에서의 역상의 \(U \to V\)에 의한 상이다. 따라서 스킴의 경우로부터 결과가 따른다. Morphisms, Lemma 054J를 보라.

평탄 사상

스킴 사상의 “평탄” 성질은 원천과 표적에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 이 성질은 기저변환에 대해 안정적이고 표적에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 01U9 및 Descent, Lemma 02L2을 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 다음과 같이 대수공간의 평탄 사상 개념을 정의할 수 있다. 사상이 표현가능일 때 이는 Section 03HA에서 이미 정의한 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(\mathcal{P} =\) “평탄”에 대하여 Lemma 03MJ의 동치인 조건들이 성립할 때 \(f\)가 평탄이라고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(\mathcal{Q} =\) “유도된 국소환의 사상이 평탄”에 대하여 Lemma 04NC의 동치인 조건들이 성립할 때 \(f\)가 \(x\)에서 평탄이라고 한다.

둘째 부분은 Descent, Lemma 04ND에 의해 의미가 있음에 주의하라.

간단한 건전성 검사를 하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄일 필요충분조건은 \(f\)가 \(|X|\)의 모든 점에서 평탄인 것이다.

증명

다음 가환 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 수직 화살표는 에탈이며 \(a\)는 전사이다. 정의에 의해 \(f\)가 평탄일 필요충분조건은 \(h\)가 평탄인 것이다 (Definition 04RD). 정의에 의해 \(f\)가 \(x \in |X|\)에서 평탄일 필요충분조건은 \(x\)로 사상되는 어떤 (동치로 임의의) \(u \in U\)에서 \(h\)가 평탄인 것이다 (Definition 04RE). 따라서 보조정리는 스킴의 사상이 평탄일 필요충분조건은 원천의 모든 점에서 평탄인 것이라는 사실에서 따른다 (Morphisms, Definition 01U3).

보조정리

평탄 사상들의 합성은 평탄이다.

증명

Remark 0AML 및 Morphisms, Lemma 01U7을 보라.

보조정리

평탄 사상의 기저변환은 평탄이다.

증명

Remark 0AMM 및 Morphisms, Lemma 01U9을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 평탄이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대하여 사상 \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 평탄이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대하여 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 평탄이다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)로서 \(V \times_Y X \to V\)가 평탄인 것이 존재한다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)로서 합성 \(f \circ \varphi\)가 평탄인 것이 존재한다.

7. \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 화살표가 에탈인 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에 대하여 위쪽 수평 화살표는 평탄이다.

8. \(U\), \(V\)가 스킴이고 수직 화살표가 에탈이며 \(U \to X\)가 전사인 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 으로서 위쪽 수평 화살표가 평탄인 것이 존재한다.

9. 자리스키 덮개 \(Y = \bigcup Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)로서 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 평탄인 것들이 존재한다.

증명

생략한다.

보조정리

국소 유한 표시인 평탄 사상은 보편적으로 열린사상이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한 표시인 평탄 사상이라 하자. 다음 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[r]_\alpha \ar[d] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 전사 에탈이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. Lemmas 03MM, 0410에 의해 사상 \(\alpha\)는 평탄이고 국소 유한 표시이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01UA에 의해 \(\alpha\)는 보편적으로 열린사상이다. 그러므로 Lemma 03Z5에 의해 \(X \to Y\)는 보편적으로 열린사상이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 평탄하고 준콤팩트인 전사라 하자. 부분집합 \(T \subset |Y|\)가 열린집합(각각 닫힌집합)일 필요충분조건은 \(f^{-1}(|T|)\)가 \(|X|\)에서 열린집합(각각 닫힌집합)인 것이다. 다시 말해 \(f\)는 몫사상이고, 실제로 보편 몫사상이다.

증명

\(V = \coprod V_i \to Y\)가 전사가 되도록 하는 아핀 스킴 \(V_i\)와 에탈 사상 \(V_i \to Y\)를 택한다. Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라. 각 \(i\)에 대하여 대수공간 \(V_i \times_Y X\)는 준콤팩트이다. 따라서 아핀 스킴 \(U_i\)와 전사 에탈 사상 \(U_i \to V_i \times_Y X\)를 찾을 수 있다. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. 그러면 합성 \(U_i \to V_i \times_Y X \to V_i\)는 아핀 스킴의 평탄 전사이다. 물론 \(U = \coprod U_i \to X\)는 전사 에탈이고 \(U \to V \times_Y X\)는 전사이다. 더욱이 사상 \(U \to V\)는 사상 \(U_i \to V_i\)들의 서로소 합이다. 따라서 \(U \to V\)는 평탄하고 준콤팩트인 전사이다. 그림 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. \(|Y|\) 위 위상의 정의에 의해 집합 \(T\)가 닫힌집합 (각각 열린집합)일 필요충분조건은 \(g^{-1}(T) \subset |V|\)가 닫힌집합(각각 열린집합)인 것이다. \(f^{-1}(T)\)와 그 \(|U|\)에서의 역상에 대해서도 마찬가지이다. \(U \to V\)가 평탄하고 준콤팩트인 전사이므로 Morphisms, Lemma 02JY에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\overline{x}\)를 점 \(x \in |X|\) 위에 놓이는 \(X\)의 기하학적 점이라 하자. \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)로 두자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다.

2. 에탈 국소환 위의 사상 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 평탄이다.

증명

다음 가환 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] 여기서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 \(a, b\)는 에탈이며 \(u \in U\)는 \(x\)로 사상된다. \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\)를 만족하며 \(u\) 위에 놓이는 기하학적 점 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\)를 찾을 수 있다. Properties of Spaces, Lemma 05VN을 보라. \(\overline{v} = h \circ \overline{u}\)로 두고 그 상을 \(v \in V\)라 하자. 다음을 알고 있다. \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} \quad\text{and}\quad \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\] Properties of Spaces, Lemma 04KF를 보라. 평탄한 수평 화살표를 갖는 국소환의 가환 그림 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, u} \ar[r] & \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ \mathcal{O}_{V, v} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \ar[u] }\] 을 얻는다. 왼쪽 수직 화살표가 평탄일 필요충분조건은 오른쪽 수직 화살표가 평탄인 것임을 보여야 한다. Algebra, Lemma 0584에 의해 \(\mathcal{O}_{U, u}\)가 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)가 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 위에서 평탄인 것이다. 따라서 More on Flatness, Lemma 05VL에서 결과가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄일 필요충분조건은 \(f\)에 결합된 사이트의 사상 \((f_{small}, f^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \to (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\) 가 평탄인 것이다.

증명

\((f_{small}, f^\sharp)\)의 평탄성은 \(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\)-가군으로서 \(\mathcal{O}_X\)의 평탄성으로 정의된다. 이는 줄기에서 확인할 수 있다. Modules on Sites, Lemma 05VC 및 Properties of Spaces, Theorem 04K5를 보라. 그러나 \(f\)의 평탄성을 줄기에서 확인할 수 있음은 이미 보았다. Lemma 04NG를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 스킴론적 지지집합이 \(Z \subset X\)인 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 평탄이면 \(f^{-1}(Z)\)는 \(f^*\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지집합이다.

증명

Lemma 07U0에 주어진 스킴론적 지지집합의 특징화와 Lemma 03MM의 에탈 덮개를 통한 평탄 사상의 특징화를 사용하면 스킴의 경우로 환원된다. 이는 Morphisms, Lemma 07T9이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 평탄 사상이라 하자. \(V \to Y\)를 준콤팩트 열린 몰입이라 하자. \(V\)가 \(Y\)에서 스킴론적으로 조밀하면 \(f^{-1}V\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

증명

Lemma 0833의 스킴론적으로 조밀한 열린집합의 특징화와 Lemma 03MM의 에탈 덮개를 통한 평탄 사상의 특징화를 사용하면 스킴의 경우로 환원된다. 이는 Morphisms, Lemma 081H이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 평탄 사상이라 하자. \(g : V \to Y\)를 대수공간의 준콤팩트 사상이라 하자. \(Z \subset Y\)를 \(g\)의 스킴론적 상이라 하고, \(Z' \subset X\)를 기저변환 \(V \times_Y X \to X\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Z' = f^{-1}Z\)이다.

증명

\(Y'\)가 아핀 스킴들의 서로소 합이 되도록 하는 전사 에탈 사상 \(Y' \to Y\)를 택한다(Properties of Spaces, Lemma 03FX). \(X'\)가 아핀 스킴들의 서로소 합이 되도록 하는 전사 에탈 사상 \(X' \to X \times_Y Y'\)를 택한다. Lemma 03MM에 의해 사상 \(X' \to Y'\)는 평탄이다. \(V' = V \times_Y Y'\)로 두자. Lemma 082Z에 의해 \(Z\)의 \(Y'\)에서의 역상은 \(V' \to Y'\)의 스킴론적 상이고, \(Z'\)의 \(X'\)에서의 역상은 \(V' \times_{Y'} X' \to X'\)의 스킴론적 상이다. \(X' \to X\)가 전사 에탈이므로 사상 \(X' \to Y'\)와 \(V' \to Y'\)의 경우에 결과를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X\), \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(V\)는 준콤팩트 대수공간이다. 아핀 스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to V\)를 택한다 (Properties of Spaces, Lemma 03H6). \(V \to Y\)의 스킴론적 상이 \(W \to Y\)의 스킴론적 상과 일치함은 분명하고, \(V \times_Y X \to Y\)와 \(W \times_Y X \to X\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 스킴의 경우로 환원된다. 이는 Morphisms, Lemma 081I이다.

평탄 가군

이 절에서는 가군이 한 점에서 평탄이라는 뜻을 정의한다. 이를 위해 대수공간의 작은 에탈 사이트 \(X_\etale\) 위 층의 줄기 개념을 사용할 것이다. Properties of Spaces, Definition 04JY을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 어떤 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] 에서 \(U\), \(V\)는 스킴이고 \(a, b\)는 에탈이며 \(u \in U\)가 \(x\)로 사상될 때, 가군 \(a^*\mathcal{F}\)는 \(V\) 위에서 \(u\)에서 평탄이다.

2. \(\overline{x}\)가 \(x\) 위에 놓이는 임의의 기하학적 점이고 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)일 때 줄기 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)는 에탈 국소환 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 위에서 평탄이다.

증명

이 증명에서는 \(x\) 위의 기하학적 점 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\)를 고정하고, \(Y\)에서의 그 상을 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)로 쓴다. (1)과 같은 그림이 주어지면 \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\)를 만족하며 \(u\) 위에 놓이는 기하학적 점 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\)를 찾을 수 있다. Properties of Spaces, Lemma 05VN을 보라. \(\overline{v} = h \circ \overline{u}\)로 두고 그 상을 \(v \in V\)라 하자. 다음을 알고 있다. \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} \quad\text{and}\quad \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\] Properties of Spaces, Lemma 04KF를 보라. 국소환의 가환 그림 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, u} \ar[r] & \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ \mathcal{O}_{V, v} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \ar[u] }\] 을 얻는다. 마지막으로 Properties of Spaces, Lemma 05VP에 의해 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 이다. 따라서 Algebra, Lemma 0584에 의해 \((a^*\mathcal{F})_u\)가 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)가 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 위에서 평탄인 것이다. 그러므로 More on Flatness, Lemma 05VL에서 결과가 따른다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자.

1. \(x \in |X|\)라 하자. Lemma 05VU의 동치인 조건들이 성립할 때 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄이라고 한다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에서 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄일 때 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄이라고 한다.

이제 의무적인 기저변환 보조정리를 얻는다. 이 보조정리는 준연접층의 평탄 자취의 구성이 평탄 기저변환과 가환함을 함의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음을 \(S\) 위 대수공간의 데카르트 그림이라 하자. \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] \(x' \in |X'|\)라 하고 그 상을 \(x \in |X|\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하고 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)로 쓰자.

1. \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄이면 \(\mathcal{F}'\)는 \(Y'\) 위에서 \(x'\)에서 평탄이다.

2. \(g\)가 \(f'(x')\)에서 평탄이고 \(\mathcal{F}'\)가 \(Y'\) 위에서 \(x'\)에서 평탄이면 \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄이다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄이면 \(\mathcal{F}'\)는 \(Y'\) 위에서 평탄이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 스킴 \(V'\)와 전사 에탈 사상 \(V' \to V \times_Y Y'\)를 택한다. 그러면 \(U' = V' \times_V U\)는 전사 에탈 사상 \(U' = V' \times_V U \to Y' \times_Y X = X'\)가 주어진 스킴이다. \(x' \in |X'|\)로 사상되는 \(u' \in U'\)를 택한다. 그러면 \(\mathcal{F}'\)가 \(Y'\) 위에서 \(x'\)에서 평탄인지 여부를 \(\mathcal{F}'|_{U'}\)가 \(V'\) 위에서 \(u'\)에서 평탄인지 여부로 확인할 수 있다. 따라서 보조정리는 More on Morphisms, Lemma 047C에서 따른다.

다음 보조정리는 가군을 이용하여 평탄 사상의 “합성”을 다룬다. 또한 평탄성이 일종의 위에서 아래로의 하강을 만족함을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in |X|\)라 하고 그 상을 \(y \in |Y|\)라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄이고 \(Y\)가 \(Z\) 위에서 \(y\)에서 평탄이면, \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄이다.

2. \(x : \Spec(K) \to X\)를 \(x\)의 대표라 하자. 다음 조건들이 성립한다고 하자.

   1. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄이다.

   2. \(x^*\mathcal{F} \not = 0\)이다.

   3. \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄이다.

   그러면 \(Y\)는 \(Z\) 위에서 \(y\)에서 평탄이다.

3. \(\overline{x}\)를 \(x\) 위에 놓이는 \(X\)의 기하학적 점이라 하고, \(Y\)에서의 상을 \(\overline{y}\)라 하자. \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)가 충실 평탄 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-가군이고 \(\mathcal{F}\)가 \(Z\) 위에서 \(x\)에서 평탄이면, \(Y\)는 \(Z\) 위에서 \(y\)에서 평탄이다.

증명

(3)에서와 같은 \(\overline{x}\)와 \(\overline{y}\)를 택하고, \(Z\)의 유도된 기하학적 점을 \(\overline{z}\)로 쓰자. Lemmas 05VU와 04NG의 평탄성의 특징화를 통해, 이 보조정리는 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)와 가군 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)에 관한 순수 대수적 문제로 환원된다. (1)은 Algebra, Lemma 00HC에서 따른다. 조건 (2)(b)는 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\)가 영이 아님을 보장한다. 따라서 (2)(a) \(+\) (2)(b)는 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\)가 충실 평탄 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-가군임을 함의한다. Algebra, Lemma 00HP를 보라. 그러므로 (2)는 (3)의 특수한 경우이다. 마지막으로 (3)은 Algebra, Lemma 039V에서 따른다.

때로는 기저변환이 “위쪽에서” 일어난다. 다음이 그 정확한 명제이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in |X|\)라 하고 그 상을 \(y \in |Y|\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 평탄이면 \[\mathcal{G}\text{ flat over }Z\text{ at }y \Leftrightarrow f^*\mathcal{G}\text{ flat over }Z\text{ at }x.\] 특히 \(f\)가 전사이고 평탄이면, \(\mathcal{G}\)가 \(Z\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(f^*\mathcal{G}\)가 \(Z\) 위에서 평탄인 것이다.

증명

\(X\)의 기하학적 점 \(\overline{x}\)를 택하고, \(Y\)에서의 상을 \(\overline{y}\)라 하고 \(Z\)에서의 상을 \(\overline{z}\)라 하자. Lemmas 05VU와 04NG의 평탄성의 특징화 및 Properties of Spaces, Lemma 05VQ의 \(\overline{x}\)에서 \(f^*\mathcal{G}\)의 줄기에 대한 기술을 통해, 이 보조정리는 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)와 가군 \(\mathcal{G}_{\overline{y}}\)에 관한 순수 대수적 문제로 환원된다. 이 대수적 명제는 Algebra, Lemma 0584이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시이고, \(\mathcal{F}\)가 유한형이며, \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이고, \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄이라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 보편적으로 열린사상이다.

증명

\(V\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(\varphi : V \to Y\)를 택한다. \(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. 그러면 \(U \to V\)와 준연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군 \(\varphi^*\mathcal{F}\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 이 보조정리는 스킴의 경우인 Morphisms, Lemma 0CVT에서 따른다.

일반적 평탄성

이 절은 Morphisms, Section 0529에 대응한다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 축약이다.

2. \(f\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

그러면 \(f\)의 기저변환 \(X_W \to W\)가 평탄이고 국소 유한 표시이며 준콤팩트이고, \(\mathcal{F}|_{X_W}\)가 \(W\) 위에서 평탄인 동시에 \(\mathcal{O}_{X_W}\) 위에서 유한 표시가 되도록 하는 조밀한 열린 부분공간 \(W \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(V\)를 스킴이라 하고 \(V \to Y\)를 전사 에탈 사상이라 하자. \(X_V = V \times_Y X\)라 하고, \(\mathcal{F}_V\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(X_V\)로의 제한이라 하자. 사상 \(X_V \to V\)와 층 \(\mathcal{F}_V\)에 대해 결과가 성립한다고 가정하자. 그러면 \(X_{V'} \to V'\)가 평탄이고 유한 표시이며, \(\mathcal{F}_{V'}\)가 \(V'\) 위에서 평탄인 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_{V'}}\)-가군이 되도록 하는 열린 부분스킴 \(V' \subset V\)가 존재한다. \(W \subset Y\)를 에탈 사상 \(V' \to Y\)의 상이라 하자. Properties of Spaces, Lemma 06NF을 보라. 그러면 \(V' \to W\)는 전사 에탈 사상이므로 Lemmas 0410, 03MM, 그리고 03KG에 의해 \(X_W \to W\)는 평탄이고 국소 유한 표시이며 준콤팩트이다. Properties of Spaces, Section 05VR의 논의에 의해 \(\mathcal{F}_W\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_W}\)-가군이고, Lemma 05VW에 의해 \(\mathcal{F}_W\)는 \(W\) 위에서 평탄이다. 이 논증은 명제를 \(Y\)가 스킴인 경우로 환원한다.

\(Y\)가 아핀 스킴일 때 명제를 증명할 수 있다고 가정하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 유한형 사상이라 하되 \(Y\)는 스킴이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 아핀 열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)를 택한다. 가정에 의해 \(X_{W_j} \to W_j\)가 평탄이고 국소 유한 표시이며 준콤팩트이고, \(\mathcal{F}|_{X_{W_j}}\)가 \(W_j\) 위에서 평탄인 동시에 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_{W_j}}\)-가군이 되도록 하는 조밀한 열린집합 \(W_j \subset V_j\)를 찾을 수 있다. 이 상황에서는 단순히 \(W = \bigcup W_j\)로 두면 된다. 따라서 명제는 \(Y\)가 아핀 스킴인 경우로 환원된다.

\(Y\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 유한형 사상이라 하며, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(f\)가 유한형이므로 준콤팩트이고, 따라서 \(X\)는 준콤팩트이다. 그러므로 아핀 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 찾을 수 있다. Properties of Spaces, Lemma 03H6를 보라. \(U \to Y\)는 유한형임에 주의하라(이 경우 \(f\)가 유한형이라는 뜻이 바로 이것이다). 따라서 Morphisms, Proposition 052B을 적용하면, \(U_W \to W\)가 평탄이고 유한 표시이며, \(\mathcal{F}|_{U_W}\)가 \(W\) 위에서 평탄인 동시에 유한 표시 \(\mathcal{O}_{U_W}\)-가군이 되도록 하는 조밀한 열린집합 \(W \subset Y\)가 존재함을 알 수 있다. 우리의 정의에 따르면 이는 \(f\)의 기저변환 \(X_W \to W\)가 평탄이고 국소 유한 표시이며 준콤팩트이고, \(\mathcal{F}|_{X_W}\)가 \(W\) 위에서 평탄인 동시에 \(\mathcal{O}_{X_W}\) 위에서 유한 표시라는 뜻이다.

위 명제의 결과를 강화하여 \(X_W \to W\)가 유한 표시라고 요구할 수는 없다. 실제로 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}/\mathbf{Z} \to \Spec(\mathbf{Q})\)가 반례를 준다. 문제는 대각사상 \(\Delta_{X/Y}\)가 준콤팩트가 아닐 수, 즉 \(f\)가 준분리가 아닐 수 있다는 데 있다. 분명 이것이 유일한 문제이기도 하다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 축약이다.

2. \(f\)는 준분리이다.

3. \(f\)는 유한형이다.

4. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

그러면 \(f\)의 기저변환 \(X_W \to W\)가 평탄이고 유한 표시이며, \(\mathcal{F}|_{X_W}\)가 \(W\) 위에서 평탄인 동시에 \(\mathcal{O}_{X_W}\) 위에서 유한 표시가 되도록 하는 조밀한 열린 부분공간 \(W \subset Y\)가 존재한다.

증명

이는 Proposition 06QS과 “유한 표시” \(=\) “국소 유한 표시” \(+\) “준콤팩트” \(+\) “준분리”라는 사실에서 즉시 따른다.

상대 차원

이 절에서는 한 점에서 대수공간 사상의 상대 차원과 그에 밀접하게 관련된 몇 가지 성질을 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(d, r \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\)라 하자.

1. Lemma 04NC의 동치인 조건들이 Descent, Lemma 04NJ에 기술된 성질 \(\mathcal{P}_d\)에 대해 성립할 때, it \(x\)에서 \(f\)의 올의 국소환의 차원이 \(d\)라고 한다.

2. Lemma 04NC의 동치인 조건들이 Descent, Lemma 04NK에 기술된 성질 \(\mathcal{P}_r\)에 대해 성립할 때, it \(x/f(x)\)의 초월차수가 \(r\)이라고 한다.

3. Lemma 04NC의 동치인 조건들이 Descent, Lemma 04NL에 기술된 성질 \(\mathcal{P}_d\)에 대해 성립할 때, it \(f\)가 \(x\)에서 상대 차원 \(d\)를 갖는다고 한다.

이것이 뜻하는 바를 구체적으로 쓰자. 즉, Lemma 04NC에서와 같은 그림들 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] 을 택한다. 그러면 \[\begin{matrix} \text{relative dimension of }f\text{ at }x & = & \dim_u (U_v) \\ \text{dimension of local ring of the fibre of }f\text{ at }x & = & \dim(\mathcal{O}_{U_v, u})\\ \text{transcendence degree of }x/f(x) & = & \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u)) \end{matrix}\] 이다. \(Y = \Spec(k)\)가 체의 스펙트럼이면 \(x\)에서 \(X/Y\)의 상대 차원은 \(\dim_x(X)\)와 같고, \(x/f(x)\)의 초월차수는 \(k\) 위의 초월차수이며, \(x\)에서 \(f\)의 올의 국소환의 차원은 단순히 \(x\)에서 국소환의 차원이다. 즉, 이 경우 상대적 개념들은 절대적 개념들이 된다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(d \in \{0, 1, 2, \ldots\}\)라 하자.

1. 모든 \(x \in |X|\)에서 \(f\)가 상대 차원 \(\leq d\)를 가지면, \(f\)가 it 상대 차원 \(\leq d\)를 갖는다고 한다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에서 \(f\)가 상대 차원 \(d\)를 가지면, \(f\)가 it 상대 차원 \(d\)를 갖는다고 한다.

상대 차원이 \(d\)와 it 같다는 것은, 대략 말해 영이 아닌 모든 올이 차원 \(d\)인 등차원이라는 뜻이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(x \in |X|\)라 하고, 그 상들을 \(y \in |Y|\), \(z \in |Z|\)라 하자. \(X \to Y\)가 국소 준유한이고 \(Y \to Z\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(x/z\)의 초월차수는 \(y/z\)의 초월차수와 같다.

증명

다음 가환 그림들을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \ar[r] & w \ar[d] \\ x \ar[r] & y \ar[r] & z }\] 여기서 \(U, V, W\)는 스킴이고 세로 화살표들은 에탈이다. 정의에 의해 사상 \(U \to V\)는 국소 준유한이므로 \(\kappa(v) \subset \kappa(u)\)는 유한 확대이다. Morphisms, Lemma 01TG를 보라. 따라서 결과는 분명하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고, \(Y\)가 야콥슨이며 (Properties of Spaces, Remark 03E7), \(x \in |X|\)가 \(X\)의 유한형 점이면 \(x/f(x)\)의 초월차수는 \(0\)이다.

증명

스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)를 택한다. Lemma 06EJ에 의해 \(x\)로 사상되는 유한형 점 \(u \in U\)를 찾을 수 있다. \(U\)를 축소하여 \(u \in U\)가 닫힌 점이라고 가정해도 된다 (Morphisms, Lemma 02J2). \(v \in V\)를 \(u\)의 상이라 하자. Morphisms, Lemma 01TB에 의해 확대 \(\kappa(u)/\kappa(v)\)는 유한이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수공간 사이의 사상이라 하자. 이 사상이 평탄이고 국소 유한형이며 상대 차원 \(d\)를 갖는다고 하자. \(|X|\)의 모든 점 \(x\)와 \(|Y|\)에서의 상 \(y\)에 대해 \(\dim_x(X) = \dim_y(Y) + d\)이다.

증명

한 점에서 대수공간의 차원에 대한 정의(Properties of Spaces, Definition 04N5)와 상대 차원 \(d\)를 갖는다는 정의에 의해, 이는 스킴에 대한 대응하는 명제(Morphisms, Lemma 0AFE)로 환원된다.

사상과 올의 차원

이 절은 Morphisms, Section 02FW에 대응한다. 대수공간에는 점에서의 국소환이 없으므로 이 절의 정식화는 다소 어색하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \[\begin{matrix} \text{relative dimension of }f\text{ at }x \\ = \\ \text{dimension of local ring of the fibre of }f\text{ at }x \\ + \\ \text{transcendence degree of }x/f(x) \end{matrix}\] 이다. 여기서 표기는 Definition 04NM과 같다.

증명

이는 Morphisms, Lemma 02FX을 \(h : U \to V\)와 \(u \in U\)에 적용하면 즉시 따른다. 여기서 이 자료는 Lemma 04NC에서와 같다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(x \in |X|\)라 하고 \(y = f(x)\)로 두자. \(f\)와 \(g\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면

1. \[\begin{matrix} \text{relative dimension of }g \circ f\text{ at }x \\ \leq \\ \text{relative dimension of }f\text{ at }x \\ + \\ \text{relative dimension of }g\text{ at }y \end{matrix}\]

2. \(g(f(x)) = g(y)\)의 동치류에 속하는 체의 스펙트럼에서 오는 어떤 사상 \(\Spec(k) \to Z\)에 대해 사상 \(X_k \to Y_k\)가 \(x\)에서 평탄이면 (1)에서 등호가 성립한다. 예를 들어 \(f\)가 \(x\)에서 평탄이면 그러하다.

3. \[\begin{matrix} \text{transcendence degree of }x/g(f(x)) \\ = \\ \text{transcendence degree of }x/f(x) \\ + \\ \text{transcendence degree of }f(x)/g(f(x)) \end{matrix}\]

증명

다음 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] 여기서 \(U, V, W\)는 스킴이고 세로 화살표들은 전사 에탈 사상이다 (Spaces, Lemma 02X1 참조). \(x\)로 사상되는 \(u \in U\)를 택한다. \(V, W\)에서 \(u\)의 상들을 \(v, w\)로 두자. 위 행과 점들 \(u, v, w\)에 Morphisms, Lemma 02JS를 적용한다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음을 \(S\) 위 대수공간의 섬유곱 그림이라 하자. \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] \(x' \in |X'|\)라 하자. \(x = g'(x')\)로 두자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면

1. \[\begin{matrix} \text{relative dimension of }f\text{ at }x \\ = \\ \text{relative dimension of }f'\text{ at }x' \end{matrix}\]

2. 다음이 성립한다. \[\begin{matrix} \text{dimension of local ring of the fibre of }f'\text{ at }x' \\ - \\ \text{dimension of local ring of the fibre of }f\text{ at }x \\ = \\ \text{transcendence degree of }x/f(x) \\ - \\ \text{transcendence degree of }x'/f'(x') \end{matrix}\] 그리고 이 공통값은 \(\geq 0\)이다.

3. 같은 \(y \in |Y|\)로 사상되는 \(x\)와 \(y' \in |Y'|\)가 주어지면, (2)의 정수가 \(0\)이 되도록 하는 \(x'\)를 택할 수 있다.

증명

\(V\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)를 택한다. \(U\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)를 택한다. \(V'\)가 스킴인 전사 에탈 사상 \(V' \to V \times_Y Y'\)를 택한다. \(U' = V' \times_V U\)로 두자. 그러면 유도된 사상 \(U' \to X'\)도 전사이고 에탈이다(논증은 생략한다). \(x'\)로 사상되는 \(u' \in U'\)를 택한다. 이제 \(U', U, V', V\)가 관련된 스킴의 그림과 점 \(u'\)에 Morphisms, Lemma 02FY를 적용하면 (1)과 (2)가 따른다. (3)을 증명하기 위해 먼저 \(y\)로 사상되는 \(v \in V\)를 택한다. 그러면 Properties of Spaces, Lemma 03H4을 사용하여 \(y'\)와 \(v\)로 사상되는 \(v' \in V'\) 및 \(x\)와 \(v\)로 사상되는 \(u \in U\)를 택할 수 있다. 마지막으로 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \(v'\)와 \(u\)로 사상되며 해당 정수가 영이 되게 하는 \(u' \in U'\)를 택할 수 있다. 그러면 \(u'\)의 상인 \(x' \in |X'|\)를 택하면 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(n \geq 0\)라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 집합 \[W_n = \{x \in |X| \text{ such that the relative dimension of }f\text{ at } x \leq n\}\] 은 \(|X|\)에서 열린집합이다.

증명

다음 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 세로 화살표들은 전사 에탈 사상이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. Morphisms, Lemma 02FZ에 의해 \(h\)가 상대 차원 \(\leq n\)을 갖는 점들의 집합 \(U_n\)은 \(U\)에서 열린집합이다. 점에서 대수공간 사상의 상대 차원에 대한 우리의 정의에 의해 \(U_n = a^{-1}(W_n)\)임을 알 수 있다. 이 보조정리는 \(|X|\)의 위상에 대한 정의에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(n \geq 0\)라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시라고 가정하자. Lemma 04NT의 열린집합 \[W_n = \{x \in |X| \text{ such that the relative dimension of }f\text{ at } x \leq n\}\] 은 \(|X|\)에서 역콤팩트이다(Topology, Definition 005A 참조).

증명

다음 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 세로 화살표들은 전사 에탈 사상이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. Lemma 04NT의 증명에서 \(a^{-1}(W_n) = U_n\)이 사상 \(h\)에 대한 대응하는 집합임을 보았다. Morphisms, Lemma 02G0 에 의해 \(U_n\)은 \(U\)에서 역콤팩트이다. 이 보조정리는 \(|X|\)의 위상에 대한 정의에서 따른다. Properties of Spaces, Lemma 04NN와 그 증명을 비교하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 국소 준유한일 필요충분조건은 모든 \(x \in |X|\)에서 \(f\)가 상대 차원 \(0\)을 갖는 것이다.

증명

다음 그림을 택한다. \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 세로 화살표들은 전사 에탈 사상이다. Spaces, Lemma 02X1를 보라. 정의에 의해 \(h\)가 국소 준유한일 필요충분조건은 \(f\)가 국소 준유한인 것이고, 모든 \(x \in |X|\)에서 \(f\)가 상대 차원 \(0\)을 가질 필요충분조건은 모든 \(u \in U\)에서 \(h\)가 상대 차원 \(0\)을 갖는 것이다. 따라서 결과는 \(h\)에 대한 결과인 Morphisms, Lemma 0397에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 국소 준유한이고, 모든 \(x \in |X|\), \(x \not \in |X'|\)에서 \(f\)의 상대 차원이 \(\geq 1\)이 되도록 하는 표준적인 열린 부분공간 \(X' \subset X\)가 존재한다. \(X'\)의 구성은 임의의 기저변환과 가환한다.

증명

Lemmas 04NT, 04NV, 그리고 04NS를 결합하면 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 데카르트 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ Y & \Spec(k) \ar[l] }\] 여기서 \(X \to Y\)는 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이고, \(k\)는 \(S\) 위의 체이다. \(z \in |F|\)이고 \(\dim_z(F) = 0\)이라고 하자. 그러면 \(X\)를 \(p(z)\)를 포함하는 열린 부분공간으로 바꾼 뒤에는 사상 \[X \longrightarrow Y\] 가 국소 준유한이다.

증명

Lemma 04NW에서 찾은, \(f\)가 국소 준유한인 열린 부분공간을 \(X' \subset X\)라 하자. \(X'\)의 구성이 임의의 기저변환과 가환하므로 \(z \in X' \times_Y \Spec(k)\)임을 알 수 있다. 따라서 보조정리는 분명하다.

차원 공식

차원 공식(Morphisms, Lemma 02JU)의 대응물을 정식화하는 일은 다소 까다롭다. 정역 대수공간(이는 뒤에서 정의한다)뿐 아니라 보편 카테나리 대수공간도 정의해야 하기 때문이다. 하지만 다음 형태는 직접적이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. \(x \in |X|\)라 하고 그 상을 \(y \in |Y|\)라 하자. 그러면 \[\begin{align*} & \text{the dimension of the local ring of }X\text{ at }x \leq \\ & \text{the dimension of the local ring of }Y\text{ at }y + E - \\ & \text{ the transcendence degree of }x/y \end{align*}\] 이다. 여기서 \(E\)는 \(x\)로 특수화되고 \(X\)의 국소환의 차원이 \(0\)인 점들 \(\xi \in |X|\)에 대한 \(\xi/f(\xi)\)의 초월차수의 최댓값이다.

증명

아핀 스킴 \(V\), 에탈 사상 \(V \to Y\), 그리고 \(y\)로 사상되는 점 \(v \in V\)를 택한다. 아핀 스킴 \(U\), 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\), 그리고 \(V\)에서는 \(v\)로, \(X\)에서는 \(x\)로 사상되는 점 \(u \in U\)를 택한다. Definition 04NM과 Properties of Spaces, Definition 04NA을 풀어 쓰면 다음을 보이면 된다. \[\dim(\mathcal{O}_{U, u}) \leq \dim(\mathcal{O}_{V, v}) + E - \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u))\] \(\xi_U \in U\)를 \(u\)를 포함하는 \(U\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 그러면 \(\xi_U\)는 양 \(E\)를 정의하는 목록에 속하는 점 \(\xi \in |X|\)로 사상되며, 실제로 \(E\)의 정의에 사용된 모든 \(\xi\)가 이런 방식으로 나타난다(작은 세부사항은 생략한다). 특히 이러한 \(\xi\)는 유한 개뿐이므로 최댓값을 취할 수 있다 (즉, 실제로 상한이 아니라 최댓값이다). \(f(\xi)\) 위에서 \(\xi\)의 초월차수는 \(\text{trdeg}_{\kappa(\xi_V)}(\kappa(\xi_U))\)이다. 여기서 \(\xi_V \in V\)는 \(\xi_U\)의 상이다. 따라서 보조정리는 Morphisms, Lemma 0BAE에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \[\dim(X) \leq \dim(Y) + E\] 이다. 여기서 \(E\)는 \(X\)의 국소환의 차원이 \(0\)인 점들 \(\xi\)에 대한 \(\xi/f(\xi)\)의 초월차수들의 상한이다.

증명

Lemma 0BAX과 Properties of Spaces, Lemma 0BAN에서 즉시 따른다.

신토믹 사상

스킴 사상의 “신토믹”이라는 성질은 정의역과 공역에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 이는 기저변환 아래 안정적이고 공역에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 01UI과 Descent, Lemma 02VK을 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 대수공간의 신토믹 사상 개념을 다음과 같이 정의할 수 있다. 사상이 표현 가능일 때는 Section 03HA에 이미 정의한 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. Lemma 03MJ의 동치인 조건들이 \(\mathcal{P} =\) “신토믹”에 대해 성립하면 \(f\)가 신토믹이라고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 신토믹이면 \(f\)가 \(x\)에서 신토믹이라고 한다.

보조정리

신토믹 사상들의 합성은 신토믹이다.

증명

Remark 0AML와 Morphisms, Lemma 01UH을 보라.

보조정리

신토믹 사상의 기저변환은 신토믹이다.

증명

Remark 0AMM와 Morphisms, Lemma 01UI을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 신토믹이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 사상 \(f\)는 \(x\)에서 신토믹이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 신토믹이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 신토믹이다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 신토믹 사상이다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재하여 합성 \(f \circ \varphi\)가 신토믹이다.

7. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\), \(V\)가 스킴이고 세로 화살표들이 에탈이면 위쪽 가로 화살표는 신토믹이다.

8. 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 이 존재하여 \(U\), \(V\)는 스킴이고 세로 화살표들은 에탈이며, \(U \to X\)는 전사이고 위쪽 가로 화살표는 신토믹이다.

9. 자리스키 덮개들 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)가 존재하여 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 신토믹이다.

증명

생략한다.

보조정리

신토믹 사상은 국소 유한 표시이다.

증명

스킴의 경우(Morphisms, Lemma 01UK)에서 즉시 따른다.

보조정리

신토믹 사상은 평탄이다.

증명

스킴의 경우(Morphisms, Lemma 01UL)에서 즉시 따른다.

보조정리

신토믹 사상은 보편적으로 열린사상이다.

증명

Lemmas 0DEY, 0DEZ, 그리고 042S을 결합하면 된다.

매끄러운 사상

스킴 사상의 “매끄러운”이라는 성질은 정의역과 공역에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 이는 기저변환 아래 안정적이고 공역에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 01VB와 Descent, Lemma 02VL을 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 대수공간의 매끄러운 사상 개념을 다음과 같이 정의할 수 있다. 사상이 표현 가능일 때는 Section 03HA에 이미 정의한 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. Lemma 03MJ의 동치인 조건들이 \(\mathcal{P} =\) “smooth”에 대해 성립하면 \(f\)가 매끄럽다고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 매끄러우면 \(f\)가 \(x\)에서 매끄럽다고 한다.

보조정리

매끄러운 사상들의 합성은 매끄럽다.

증명

Remark 0AML와 Morphisms, Lemma 01VA을 보라.

보조정리

매끄러운 사상의 기저변환은 매끄럽다.

증명

Remark 0AMM와 Morphisms, Lemma 01VB을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 사상 \(f\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 매끄럽다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 매끄럽다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 매끄러운 사상이다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재하여 합성 \(f \circ \varphi\)가 매끄럽다.

7. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\), \(V\)가 스킴이고 세로 화살표들이 에탈이면 위쪽 가로 화살표는 매끄럽다.

8. 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 이 존재하여 \(U\), \(V\)는 스킴이고 세로 화살표들은 에탈이며, \(U \to X\)는 전사이고 위쪽 가로 화살표는 매끄럽다.

9. 자리스키 덮개들 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)가 존재하여 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 매끄럽다.

증명

생략한다.

보조정리

대수공간의 매끄러운 사상은 국소 유한 표시이다.

증명

\(X \to Y\)를 대수공간의 매끄러운 사상이라 하자. 정의에 의해 이는 Lemma 03MJ에서와 같은 그림에서 \(h\)가 매끄럽고 세로 사상 \(a\)가 전사인 경우가 존재한다는 뜻이다. Morphisms, Lemma 01VE에 의해 \(h\)는 국소 유한 표시이다. 따라서 정의에 의해 \(X \to Y\)는 국소 유한 표시이다.

보조정리

대수공간의 매끄러운 사상은 국소 유한형이다.

증명

Lemmas 04AJ와 0464을 결합하면 된다.

보조정리

대수공간의 매끄러운 사상은 평탄이다.

증명

\(X \to Y\)를 대수공간의 매끄러운 사상이라 하자. 정의에 의해 이는 Lemma 03MJ에서와 같은 그림에서 \(h\)가 매끄럽고 세로 사상 \(a\)가 전사인 경우가 존재한다는 뜻이다. Morphisms, Lemma 01VE에 의해 \(h\)는 평탄이다. 따라서 정의에 의해 \(X \to Y\)는 평탄이다.

보조정리

대수공간의 매끄러운 사상은 신토믹이다.

증명

\(X \to Y\)를 대수공간의 매끄러운 사상이라 하자. 정의에 의해 이는 Lemma 03MJ에서와 같은 그림에서 \(h\)가 매끄럽고 세로 사상 \(a\)가 전사인 경우가 존재한다는 뜻이다. Morphisms, Lemma 01VD에 의해 \(h\)는 신토믹이다. 따라서 정의에 의해 \(X \to Y\)는 신토믹이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f|_U : U \to Y\)가 매끄럽도록 하는 가장 큰 열린 부분공간 \(U \subset X\)가 존재한다. 또한 이 열린 부분공간의 구성은 다음에 의한 기저변환과 가환한다.

1. 평탄이고 국소 유한 표시인 사상,

2. \(f\)가 국소 유한 표시일 때의 평탄 사상.

증명

사상이 매끄럽다는 성질이 정의역에서 자리스키(실제로 에탈) 국소적이라는 사실로부터 \(U\)의 존재가 따른다. Lemma 03ZF을 보라. 또한 이 보조정리에 의해 (1)과 (2)의 성질을 스킴 사상의 경우로 옮길 수 있다. 스킴의 경우는 Morphisms, Lemma 02V4이다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(X\)와 \(Y\)를 스킴 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수공간이라 하고, \(f : X \to Y\)를 매끄러운 사상이라 하자. 모든 점 \(x \in |X|\)에 대해 그 상 \(y \in |Y|\)에 대해 \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y)\] 이다. 여기서 \(\dim_x(X_y)\)는 Definition 04NM에서 정의한 \(f\)의 \(x\)에서의 상대 차원이다.

증명

한 점에서 대수공간의 차원에 대한 정의(Properties of Spaces, Definition 04N5)에 의해, 이는 스킴에 대한 대응하는 명제인 Morphisms, Lemma 0AFF으로 환원된다.

비분기 사상

스킴 사상의 “비분기”(각각 “G-비분기”)라는 성질은 정의역과 공역에서 에탈 국소적이다. Descent, Remark 04R3를 보라. 또한 기저변환 아래 안정적이고 공역에서 fpqc 국소적이다. Morphisms, Lemma 02GA와 Descent, Lemma 02VM를 보라. 따라서 위의 Lemma 03MJ에 의해 대수공간의 비분기 사상 (각각 G-비분기 사상)을 다음과 같이 정의할 수 있으며, 사상이 표현 가능할 때는 Section 03HA에 이미 정의된 개념과 일치한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자.

1. Lemma 03MJ에서 \(\mathcal{P} = \text{unramified}\)로 둘 때의 동치 조건들이 성립하면 \(f\)가 비분기라고 한다.

2. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 비분기이면 \(f\)가 \(x\)에서 비분기라고 한다.

3. Lemma 03MJ에서 \(\mathcal{P} = \text{G-unramified}\)로 둘 때의 동치 조건들이 성립하면 \(f\)가 G-비분기라고 한다.

4. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 G-비분기이면 \(f\)가 \(x\)에서 G-비분기라고 한다.

다음 보조정리 때문에 이제부터는 비분기 사상에 대한 이론만 전개한다. G-비분기 사상을 사용해야 할 때에는 간단히 “국소 유한 표시인 비분기 사상”이라고 하겠다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 G-비분기일 필요충분조건은 \(f\)가 비분기이고 국소 유한 표시인 것이다.

증명

Lemma 03MJ에서와 같은 임의의 그림을 생각하자. 그러면 우리가 말하는 것은 사상 \(h\)가 G-비분기일 필요충분조건이 비분기이고 국소 유한 표시인 것이라는 뜻이다. 이는 Morphisms, Definition 02G4에서 명백하다.

보조정리

비분기 사상들의 합성은 비분기이다.

증명

Remark 0AML와 Morphisms, Lemma 02G9를 보라.

보조정리

비분기 사상의 기저변환은 비분기이다.

증명

Remark 0AMM와 Morphisms, Lemma 02GA를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 비분기이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 사상 \(f\)는 \(x\)에서 비분기이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 비분기이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 비분기이다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 비분기 사상이다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재하여 합성 \(f \circ \varphi\)가 비분기이다.

7. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\), \(V\)가 스킴이고 세로 화살표들이 에탈이면 위쪽 가로 화살표는 비분기이다.

8. 다음 가환 그림이 존재하여 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\), \(V\)가 스킴이고 세로 화살표들은 에탈이며, \(U \to X\)가 전사이고 위쪽 가로 화살표는 비분기이다.

9. 자리스키 덮개들 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)가 존재하여 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 비분기이다.

증명

생략한다.

보조정리

대수공간의 비분기 사상은 국소 유한형이다.

증명

Lemma 03MJ에서와 같은 그림을 통해 이는 Morphisms, Lemma 02GD로 옮겨진다.

보조정리

\(f\)가 \(x\)에서 비분기이면 \(f\)는 \(x\)에서 준유한이다. 특히 비분기 사상은 국소적으로 준유한이다.

증명

Lemma 03MJ에서와 같은 그림을 통해 이는 Morphisms, Lemma 02V5로 옮겨진다.

보조정리

대수공간의 몰입은 비분기이다.

증명

\(i : X \to Y\)를 대수공간의 몰입이라 하자. 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)인 스킴 \(V\)를 택하자. 그러면 \(V \times_Y X \to V\)는 스킴의 몰입이므로 비분기이다(다음을 보라: Morphisms, Lemmas 02GB와 02GC). 따라서 정의에 의해 \(i\)는 비분기이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자.

1. \(f\)가 비분기이면 대각사상 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\)는 열린 몰입이다.

2. \(f\)가 국소 유한형이고 \(\Delta_{X/Y}\)가 열린 몰입이면 \(f\)는 비분기이다.

증명

어떤 경우에도 \(\Delta_{X/Y}\)는 표현 가능한 단사사상임을 안다. Lemma 03HK을 보라. 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)인 스킴 \(V\)를 택하자. 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_Y V\)인 스킴 \(U\)를 택하자. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr]_-{\Delta_{U/V}} & & U \times_V U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d]^{\Delta_{V/Y}} \\ X \ar[rr]^-{\Delta_{X/Y}} & & X \times_Y X \ar[r] & V \times_Y V }\] 오른쪽 정사각형은 데카르트이다. 왼쪽 세로 화살표는 전사 에탈이다. 오른쪽 세로 화살표는 \(Y\) 위에서 에탈인 스킴들 사이의 사상으로서 에탈이다. Properties of Spaces, Lemma 03FV를 보라. 따라서 가운데 세로 화살표도 에탈이다(다만 전사일 필요는 없다).

\(f\)가 비분기라고 가정하자. 그러면 \(U \to V\)는 비분기이므로 Morphisms, Lemma 02GE에 의해 \(\Delta_{U/V}\)는 열린 몰입이다. 위 그림의 왼쪽 정사각형을 보면 Properties of Spaces, Lemma 03FS에 의해 \(\Delta_{X/Y}\)는 에탈 사상이다. 따라서 \(\Delta_{X/Y}\)는 표현 가능한 에탈 단사사상이고, 이는 Étale Morphisms, Theorem 025G에 의해 열린 몰입이다. (스킴 언어를 함자 언어로 옮기는 것은 Spaces, Lemma 02YO도 보라.)

\(f\)가 국소 유한형이고 \(\Delta_{X/Y}\)가 열린 몰입이라고 가정하자. 그러면 (대수공간 사상이 국소 유한형이라는 정의에 의해) \(U \to V\)도 국소 유한형이다. 위에 표시한 그림을 보면 \(\Delta_{U/V}\)는 \(X \times_Y X\) 위에서 에탈인 스킴들 사이의 사상으로서 에탈이다. Properties of Spaces, Lemma 03FV를 보라. 그러나 \(\Delta_{U/V}\)는 스킴 사이 사상의 대각사상이므로 언제나 몰입이다. Schemes, Lemma 01KJ을 보라. 따라서 이는 열린 몰입이고, Morphisms, Lemma 02GE에 의해 \(U \to V\)가 비분기임을 결론내린다. 그러면 정의에 의해 \(f\)가 비분기이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[ld]^q \\ & Z }\] \(S\) 위의 대수공간으로 이루어진 그림이라 하자. \(X \to Z\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 비분기인 점들의 집합인 \(|U(f)| \subset |X|\)를 갖는 열린 부분공간 \(U(f) \subset X\)가 존재한다. 또한 대수공간의 임의의 사상 \(Z' \to Z\)에 대해, \(Z' \to Z\)에 의한 \(f\)의 기저변환을 \(f' : X' \to Y'\)라 하면 \(U(f')\)는 사영 \(X' \to X\)에 의한 \(U(f)\)의 역상이다.

증명

이 보조정리는 Morphisms, Lemma 0475의 유사물이며, 실제로 그 보조정리로부터 증명할 것이다. Definition 03ZH에 의해 \(\{x \in |X| : f \text{ is unramified at }x\}\)는 \(X\)에서 열린 집합이다. 따라서 마지막 명제만 증명하면 된다. Lemma 0462에 의해 사상 \(X \to Y\)는 국소 유한형이다. Lemma 03XH에 의해 사상 \(X' \to Y'\)도 국소 유한형이다.

전사 에탈 사상 \(W \to Z\)인 스킴 \(W\)를 택하자. 전사 에탈 사상 \(V \to W \times_Z Y\)인 스킴 \(V\)를 택하자. 전사 에탈 사상 \(U \to V \times_Y X\)인 스킴 \(U\)를 택하자. 마지막으로 전사 에탈 사상 \(W' \to W \times_Z Z'\)인 스킴 \(W'\)를 택하자. \(V' = W' \times_W V\) 및 \(U' = W' \times_W U\)로 두자. 그러면 전사 에탈 사상 \(V' \to Y'\)와 \(U' \to X'\)를 얻는다. 여기서는 더 이상 언급하지 않더라도, 대수공간의 에탈 사상은 대응하는 위상공간 사이의 열린 사상을 유도한다는 사실을 사용할 것이다. Properties of Spaces, Lemma 03IR을 보라. 이 사실과 Lemma 03ZK을 결합하면 \(U(f)\)는 \(U\)에서 \(U \to V\)가 비분기인 점들의 집합 \(T\)의 \(|X|\)에서의 상이다. 마찬가지로 \(U(f')\)는 \(U'\)에서 \(U' \to V'\)가 비분기인 점들의 집합 \(T'\)의 \(|X'|\)에서의 상이다. 이제 구성에 의해 다음 그림 \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] 은 (스킴의 범주에서) 데카르트이다. 따라서 앞서 언급한 Morphisms, Lemma 0475를 적용하면 \(T'\)는 \(T\)의 역상임을 알 수 있다. \(|U'| \to |X'|\)가 전사이므로 보조정리가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to Y \to Z\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상들이라 하자. \(X \to Z\)가 비분기이면 \(X \to Y\)도 비분기이다.

증명

세로 화살표들이 에탈이고 전사인 다음 가환 그림을 택하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] (Spaces, Lemma 02X1를 보라.) 위쪽 행에 Morphisms, Lemma 02GG를 적용한다.

에탈 사상

대수공간의 에탈 사상 개념은 Properties of Spaces, Definition 03FR에서 정의했다. 여기서는 사상이 한 점에서 에탈이라는 것이 무엇을 뜻하는지 설명한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(x \in |X|\)라 하자. \(x\)의 열린 근방 \(X' \subset X\)가 존재하여 \(f|_{X'} : X' \to Y\)가 에탈이면 \(f\)가 \(x\)에서 에탈이라고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 에탈이다.

2. 모든 \(x \in |X|\)에 대해 사상 \(f\)는 \(x\)에서 에탈이다.

3. 모든 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 에탈이다.

4. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 임의의 사상 \(Z \to Y\)에 대해 사상 \(Z \times_Y X \to Z\)는 에탈이다.

5. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y\)가 존재하여 \(V \times_Y X \to V\)가 에탈 사상이다.

6. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(\varphi : U \to X\)가 존재하여 합성 \(f \circ \varphi\)가 에탈이다.

7. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\), \(V\)가 스킴이고 세로 화살표들이 에탈이면 위쪽 가로 화살표는 에탈이다.

8. 다음 가환 그림이 존재하여 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\), \(V\)가 스킴이고 세로 화살표들은 에탈이며, \(U \to X\)가 전사이고 위쪽 가로 화살표는 에탈이다.

9. 자리스키 덮개들 \(Y = \bigcup Y_i\)와 \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\)가 존재하여 각 사상 \(X_{ij} \to Y_i\)가 에탈이다.

증명

Properties of Spaces, Lemmas 03FS, 03FU 및 03FT을 결합하면 된다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

대수공간의 두 에탈 사상의 합성은 에탈이다.

증명

Properties of Spaces, Lemma 03FT의 복사본이다.

보조정리

대수공간의 에탈 사상을 임의의 대수공간의 사상으로 기저변환하면 에탈이다.

증명

Properties of Spaces, Lemma 03FU의 복사본이다.

보조정리

대수공간의 에탈 사상은 국소적으로 준유한이다.

증명

\(X \to Y\)를 대수공간의 에탈 사상이라 하자. Properties of Spaces, Definition 03FR를 보라. Properties of Spaces, Lemma 03FS에 따르면 \(h\)가 에탈이고 세로 사상 \(a\)가 전사인 Lemma 03MJ과 같은 그림이 존재한다는 뜻이다. Morphisms, Lemma 03WS에 의해 \(h\)는 국소적으로 준유한이다. 따라서 정의에 의해 \(X \to Y\)도 국소적으로 준유한이다.

보조정리

대수공간의 에탈 사상은 매끄럽다.

증명

Lemma 03XU의 증명과 동일하다. 에탈 사상인 스킴 사상이 매끄럽다는 사실(에탈 사상의 정의에 의해)을 사용한다.

보조정리

대수공간의 에탈 사상은 평탄이다.