예시

서론

이 장에서는 이론을 밝혀 주는 예들을 제시한다.

공집합인 극한

이 예는 Waterhouse가 제시한 것이다. [Waterhouse]를 보라. \(S\)를 비가산 집합이라 하자. 각 유한 부분집합 \(T \subset S\)에 대하여 단사 사상 \(T \to \mathbf{N}\)들의 집합을 \(M_T\)라 하자. \(T \subset T' \subset S\)가 유한이면 제한 사상 \(M_{T'} \to M_T\)는 전사이다. 따라서 \(S\)의 유한 부분집합들로 이루어진 유향 부분순서 집합 위에서 전이 사상이 전사인 역계를 얻는다. 그러나 \(\lim M_T = \emptyset\)이다. 극한의 원소가 있다면 단사 사상 \(S \to \mathbf{N}\)을 정의하기 때문이다.

영인 극한

\((S_i)_{i \in I}\)를 전이 사상이 전사이고 \(\lim S_i = \emptyset\)인 비어 있지 않은 집합들의 유향 역계라 하자. 절 0AKK을 보라. \(K\)를 체라 하고 \[V_i = \bigoplus\nolimits_{s \in S_i} K\] 라 놓자. 그러면 \(i \geq j\)일 때 전이 사상 \(V_i \to V_j\)는 전사이다. 그러나 \(\lim V_i = 0\)이다. 실제로 \(v = (v_i)\)가 극한의 원소이면, \(v_i\)의 지지집합은 \(\lim T_i \not = \emptyset\)을 만족하는 유한 부분집합 \(T_i \subset S_i\)가 된다. 범주론, 보조정리 086J을 보라.

각 \(i\)에 대하여 모든 기저 벡터 \(s \in S_i\)를 \(1\)로 보내는 유일한 \(K\)-선형 사상 \(V_i \to K\)를 생각하자. 그 핵을 \(W_i \subset V_i\)라 하자. 그러면 \[0 \to (W_i) \to (V_i) \to (K) \to 0\] 은 유향 집합 \(I\) 위의 벡터 공간 역계들의 분할되지 않는 짧은 완전열이다. 따라서 \(W_i\)는 전이 사상이 전사이고, 극한은 영이며, \(R^1\lim\)은 영이 아닌 \(K\)-벡터 공간들의 유향계이다.

준콤팩트 공간들의 비준콤팩트한 역극한

\(\mathbf{N}\)은 자연수의 집합을 나타낸다고 하자. 각 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n\)을 \(> n\)인 모든 자연수의 집합이라 하자. \(T_n\)을 \(\mathbf{N}\) 위에서 \(\{1\}, \ldots , \{n\}, I_n\)을 기저로 갖는 유일한 위상이라 정의하자. \(X_n\)으로 위상 공간 \((\mathbf{N}, T_n)\)을 나타내자. 각 \(m < n\)에 대하여 항등 사상 \[f_{n, m} : X_n \longrightarrow X_m\] 은 연속이다. 분명히 \(m < n < p\)이면 합성 \(f_{p, n} \circ f_{n, m}\)은 \(f_{p, m}\)과 같다. 따라서 \(((X_n), (f_{n,m}))\)은 준콤팩트 위상 공간들의 유향 역계이다.

\(T\)를 \(\mathbf{N}\) 위의 이산 위상이라 하고 \(X\)를 \((\mathbf{N}, T)\)라 하자. 그러면 모든 정수 \(n\)에 대하여 항등 사상 \[f_n : X \longrightarrow X_n\] 은 연속이다. 이것이 위 유향계의 역극한임을 보이자. \((Y, S)\)를 임의의 위상 공간이라 하자. 모든 정수 \(n\)에 대하여 \[g_n : (Y, S) \longrightarrow (\mathbf{N}, T_n)\] 을 연속 사상이라 하자. 모든 \(m < n\)에 대해 \(f_{n,m} \circ g_n = g_m\), 즉 계 \((g_n)\)이 위 유향계와 양립한다고 가정하자. 특히 집합 사상 \(g_n\)들은 모두 하나의 집합 사상 \[g : Y \longrightarrow \mathbf{N}.\] 과 같다. 더욱이 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(\{n\}\)은 \(X_n\)에서 열려 있으므로 \(g^{-1}(\{n\}) = g_n^{-1}(\{n\})\)도 \(Y\)에서 열려 있다. 따라서 집합 사상 \(g\)는 위상 \(S\)가 주어진 \(Y\)에서 위상 \(T\)가 주어진 \(\mathbf{N}\)으로의 연속 사상이다. 그러므로 \((X, (f_n))\)은 위 유향계의 역극한이다.

그러나 한원소 집합들로 이루어진 무한 열린 피복은 역극한을 갖지 않으므로, \(X\)는 명백히 준콤팩트가 아니다.

보조정리

\(\mathbf{N}\) 위의 준콤팩트 위상 공간들의 역계 중에서 그 극한이 준콤팩트가 아닌 것이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

섬유곱 위의 구조층

\(X, Y, S, a, b, p, q, f\)는 『스킴의 유도 범주』의 서론, 절 0FLN에서와 같다고 하자. 그림으로 나타내면 \[\xymatrix{ & X \times_S Y \ar[ld]^p \ar[rd]_q \ar[dd]^f \\ X \ar[rd]_a & & Y \ar[ld]^b \\ & S }\] 이다. 그러면 표준 사상 \[can : p^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S Y}\] 이 존재하지만 일반적으로 동형사상은 아니다.

예를 들어 \(S = \Spec(\mathbf{R})\), \(X = \Spec(\mathbf{C})\), \(Y = \Spec(\mathbf{C})\)라 하자. 그러면 \(X \times_S Y = \Spec(\mathbf{C}) \amalg \Spec(\mathbf{C})\)는 두 점을 가진 이산 공간이고, 층 \(p^{-1}\mathcal{O}_X\), \(q^{-1}\mathcal{O}_Y\), \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)는 각각 \(\mathbf{C}\), \(\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\)을 값으로 갖는 상수층이다. 따라서 \(can\)의 원천은 두 점을 가진 이산 공간 위에서 \(\mathbf{C} \otimes_\mathbf{R} \mathbf{C}\)를 값으로 갖는 상수층이다. 그러므로 그 대역 단면은 차원이 \(8\)인 \(\mathbf{R}\)-벡터 공간인 반면, \(can\)의 표적의 대역 단면을 취하면 \(\mathbf{C} \times \mathbf{C}\)를 얻고, 이는 차원이 \(4\)인 \(\mathbf{R}\)-벡터 공간이다.

또 다른 예는 다음과 같다. \(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(S = \Spec(k)\), \(X = \mathbf{A}^1_k\), \(Y = \mathbf{A}^1_k\)를 생각하자. 그러면 비어 있지 않은 열린집합 \(U \subset X \times_S Y = \mathbf{A}^2_k\)에 대하여 그 상 \(p(U) \subset X = \mathbf{A}^1_k\)와 \(q(U) \subset \mathbf{A}^1_k\)는 열려 있고, 독자는 다음을 보일 수 있다. \[\left( p^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{O}_Y \right)(U) = \mathcal{O}_X(p(U)) \otimes_k \mathcal{O}_Y(q(U))\] 이것은 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}(U)\)와 같지 않다. 여기서 \(U\)는 기약 곡선 \(C\)의 여집합이며, 이 곡선은 \(X \times_S Y = \mathbf{A}^2_k\) 안에 있고 \(p|_C\)와 \(q|_C\)는 모두 상수가 아니다.

일반적인 경우로 돌아가자. \(z = (x, y, s, \mathfrak p)\)를 \(X \times_S Y\)의 점이라 하자. 이 점은 『스킴』의 보조정리 01JT에서와 같은 점이다. 그러면 \(z\)에서 줄기를 취했을 때 사상 \(can\)은 사상 \[can_z : \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\] 을 준다. 표적은 원천의 국소화이므로 이는 평탄한 환 준동형이다 (세부 사항은 생략한다. \(X\), \(Y\), \(S\)가 아핀인 경우로 환원하라). 원천은 일반적으로 국소환이 아니며, 이 사실은 \(can\)이 일반적으로 동형사상이 아님을 보는 또 다른 방법을 준다.

더 일반적으로 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 표준 사상 \[\begin{align*} & p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G} \\ & = p^{-1}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X) \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}(\mathcal{O}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}) \\ & = p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_X} p^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{O}_Y \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_Y} q^{-1}\mathcal{G} \\ & \xrightarrow{can} p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X \times_S Y} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_Y} q^{-1}\mathcal{G} \\ & = p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X \times_S Y} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \mathcal{O}_{X \times_S Y} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_Y} q^{-1}\mathcal{G} \\ & = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G} \end{align*}\] 이 존재하지만 동형사상인 경우는 드물다.

국소환은 정역이지만 정수적이지 않은 연결 스킴

연결이고 모든 국소환은 정역이지만 정수적이지는 않은 아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)의 예를 들겠다. \(X\)가 연결이라는 것은 \(A\)에 자명하지 않은 멱등원이 없다는 뜻이다. 『대수학』의 보조정리 00EE을 보라. \(X\)의 국소환들이 정역이라는 것은 \(fg = 0\)이 \(A\)에서 성립할 때마다 \(X\)의 모든 점이 \(f\) 또는 \(g\) 중 하나가 영이 되는 근방을 갖는다는 뜻이다. \(A\)가 정역이 아닌 한 \(X\)는 정수적이지 않다 (『성질』의 정의 01OK).

대략적으로 구성은 다음과 같다. \(X_0\)를 아핀 평면 위의 십자, 즉 두 좌표축의 합집합이라 하자. 이제 \(X_1\)을 평면의 부풀리기에서 \(X_0\)의 (축소된) 완전 역상이라 하자(\(X_1\)은 사슬을 이루는 세 개의 유리 성분을 갖는다). 그런 다음 얻어진 곡면을 \(X_1\)의 두 특이점에서 부풀리기하고, \(X_2\)를 \(X_1\)의 축소된 역상이라 하며(이 스킴은 다섯 개의 유리 성분을 갖는다), 이를 계속한다. \(X\)를 이들의 역극한으로 취한다. 이 구성에서 유일한 문제는 부풀리기가 사영 직선을 붙이므로 \(X_1\)이 아핀이 아니라는 점이다. 대신 아핀 직선을 붙여 이 문제를 고치자(따라서 우리의 스킴은 위에서 설명한 것의 열린 부분집합이 된다).

완전히 대수적인 구성은 다음과 같다. 각 \(k \ge 0\)에 대하여 \(A_k\)를 다음 환이라 하자. 그 원소는 다항식 \(p_i \in \mathbf{C}[x]\)의 모음으로서, 여기서 \(i = 0, \ldots, 2^k\)이며 \(p_i(1) = p_{i + 1}(0)\)을 만족하는 것이다. \(X_k = \Spec(A_k)\)라 놓자. \(X_k\)는 서로 횡단적으로 만나 사슬을 이루는 \(2^k + 1\)개의 아핀 직선의 합집합이다. 환 준동형 \(A_k \to A_{k + 1}\)을 \[(p_0, \ldots, p_{2^k}) \longmapsto (p_0, p_0(1), p_1, p_1(1), \ldots, p_{2^k}),\] 로 정의하자. 달리 말해 하나 걸러 하나의 다항식은 상수이다. 이로써 \(A_k\)는 \(A_{k + 1}\)의 부분환과 동일시된다. \(A\)를 \(A_k\)들의 직극한(본질적으로는 그들의 합집합)이라 하고 \(X = \Spec(A)\)라 놓자. 모든 \(k\)에 대해 자연스러운 매장 \(A_k \to A\), 즉 사상 \(X\to X_k\)가 있다. 각 \(A_k\)는 연결이지만 정수적이지 않으므로 \(A\)도 연결이지만 정수적이지 않다. 이제 \(A\)의 국소환이 정역임을 보이면 된다.

\(f, g \in A\)가 \(fg = 0\)을 만족하고 \(x \in X\)라 하자. \(x\)의 근방으로서 \(f\)나 \(g\) 중 하나가 영이 되는 것을 구성하자. \(k\)를 \(f, g \in A_{k - 1}\)이 되도록 택한다 (\(k - 1\)이라는 첨자에 주의하라). \(y\)를 \(x\)의 \(X_k\)에서의 상이라 하자. \(y\)가, \(f\) 또는 \(g\)를 \(\mathcal{O}_{X_k}\)의 단면으로 보았을 때 영이 되는 근방을 갖는다고 보이면 충분하다. \(y\)가 \(X_k\)의 매끄러운 점, 즉 \(2^k + 1\)개의 직선 중 오직 하나 위에 놓이면 이는 명백하다. 따라서 \(y\)가 \(2^k\)개의 특이점 중 하나여서 \(X_k\)의 두 성분이 \(y\)를 지난다고 가정해도 된다. 그러나 이 두 성분 중 하나(홀수 첨자를 가진 성분)에서는 \(f\)와 \(g\)가 \(X_{k - 1}\) 위의 함수에서 당겨졌으므로 모두 상수이다. 모든 곳에서 \(fg = 0\)이므로 \(f\)나 \(g\) 중 하나, 이를테면 \(f\)가 다른 성분에서 영이다. 따라서 필요한 대로 \(f\)는 두 성분 모두에서 영이다.

완비화가 완비가 아닌 경우

\(R\)을 환, \(\mathfrak m\)을 극대 아이디얼이라 하자. 다음 완비화를 생각하자. \[R^\wedge = \lim R/\mathfrak m^n.\] \(R^\wedge\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m)\)을 갖는 국소환이다. 실제로 \(x = (x_n) \in R^\wedge\)가 \(\mathfrak m'\)에 속하지 않으면 \(y = (x_n^{-1}) \in R^\wedge\)가 \(xy = 1\)을 만족하므로 \(R^\wedge\)는 국소환이다. 이는 『대수학』의 보조정리 00E9에 따른다. \(R^\wedge\)가 그 극한 위상에 관해서 완비라는 것은 항상 참이다 (『대수학 더 보기』의 절 07E7의 논의를 보라). 그러나 그 밖에는 다음 질문들이 남는다.

1. \(\mathfrak m R^\wedge = \mathfrak m'\)인가?

2. \(R^\wedge\)를 \(R^\wedge\)-가군으로 볼 때 \(\mathfrak m'\)-진 완비인가?

3. \(R^\wedge\)를 \(R\)-가군으로 볼 때 \(\mathfrak m\)-진 완비인가?

이 질문들의 답은 모두 부정적이다. 아래 예는 Bart de Smit와 Hendrik Lenstra의 미출판 노트에서 가져왔다. 또한 [Bourbaki-CA, Exercise III.2.12]와 [Yekutieli, Example 1.8]를 보라.

\(k\)를 체라 하고 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\), \(\mathfrak m = (x_1, x_2, x_3, \ldots)\)라 하자. 원소 \(f\)를 \(R^\wedge\)의 원소로 보면 (다중 첨자 표기법을 써서) \[f = \sum a_I x^I\] 와 같은 무한일 수도 있는 합으로 생각할 수 있다. 여기서 각 \(d \geq 0\)에 대해 영이 아닌 \(a_I\) 중 \(|I| = d\)인 것은 유한 개뿐이다. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m' \subset R^\wedge\)는 상수항이 영인 \(f\)들로 이루어진다. 특히 원소 \[f = x_1 + x_2^2 + x_3^3 + \ldots\] 는 \(\mathfrak m'\)에 속하지만 \(\mathfrak m R^\wedge\)에는 속하지 않는다. 따라서 이 예에서 (1)은 거짓이다. 그런데 (1)이 거짓이면 (3)도 반드시 거짓이다. \(\mathfrak m' = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m)\)이고 『대수학』의 보조정리 0318을 \(n = 1\)로 적용할 수 있기 때문이다.

마지막으로 \(R^\wedge\)가 \(\mathfrak m'\)-진 완비가 아님을 보이자. \(n \geq 1\)에 대해 \(K_n = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m^n)\)이라 하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to K_n/(\mathfrak m')^n \to R^\wedge/(\mathfrak m')^n \to R/\mathfrak m^n \to 0\] 이 있다. 사영 사상 \(R^\wedge \to R/\mathfrak m^{n + 1}\)은 \((\mathfrak m')^n\)을 \(\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\) 위로 보낸다. 따라서 \(K_{n + 1} \to K_n/(\mathfrak m')^n\)은 전사이다. 그러므로 역계 \(\left(K_n/(\mathfrak m')^n\right)\)은 전이 사상이 전사이고, 역극한을 취하면 완전열 \[0 \to \lim K_n/(\mathfrak m')^n \to \lim R^\wedge/(\mathfrak m')^n \to \lim R/\mathfrak m^n \to 0\] 을 얻는다. 이는 『대수학』의 보조정리 03CA에 따른다. 따라서 \(R^\wedge\)가 \(\mathfrak m'\)에 관해 완비일 필요충분조건은 \(K_n = (\mathfrak m')^n\)이 모든 \(n \geq 1\)에 대해 성립하는 것이다.

우리 예에서 \(R^\wedge\)가 \(\mathfrak m'\)-진 완비가 아님을 보이기 위해 \(K_2 = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m^2)\)가 \((\mathfrak m')^2\)와 같지 않음을 보이자. \((\mathfrak m')^2\)의 원소는 유한합 [05JB]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} f_i g_i \end{equation}\] 으로 나타낼 수 있다. 여기서 \(f_i, g_i \in R^\wedge\)는 상수항이 영이다. 예를 얻기 위해 다음 성질을 갖는 \(z \in K_2\)를 다음 꼴로 택하겠다. \[z = z_1 + z_2 + z_3 + \ldots\]

1. 수열 \(1 < d_1 < d_2 < d_3 < \ldots\)와 \(0 < n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\)가 존재하여 \(z_i \in k[x_{n_i}, x_{n_i + 1}, \ldots, x_{n_{i + 1} - 1}]\)이고 이 원소는 차수 \(d_i\)의 동차식이다.

2. 환 \(k[[x_{n_i}, x_{n_i + 1}, \ldots, x_{n_{i + 1} - 1}]]\)에서 \(z_i\)는 합 (05JB) 중 \(t \leq i\)인 것으로 나타낼 수 없다.

이는 분명히 \(z\)가 \((\mathfrak m')^2\)에 속하지 않는다는 뜻이다. 관계 (05JB)의 상을 환 \(k[[x_{n_i}, x_{n_i + 1}, \ldots, x_{n_{i + 1} - 1}]]\)에서 \(i\)가 충분히 클 때 취하면 모순이 생기기 때문이다. 따라서 모든 \(t > 0\)에 대해 \(d \gg 0\)과 정수 \(n\)이 존재하여, 동차 원소 \(z \in k[x_1, \ldots, x_n]\)를 그 차수가 \(d\)가 되도록 택하여, 이 원소를 합 (05JB)으로 나타내는 일이 주어진 \(t\)와 환 \(k[[x_1, \ldots, x_n]]\)에서는 불가능하도록 할 수 있음을 보이면 충분하다. \(n > 2t\)로 잡고 \(d > 1\)인 수로서 \(k\)의 표수와 서로소인 임의의 것을 택하여 \(z = \sum_{i = 1, \ldots, n} x_i^d\)라 놓자. 그러면 아이디얼 \[(\frac{\partial z}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial z}{\partial x_n}) = (dx_1^{d - 1}, \ldots, dx_n^{d - 1})\] 의 영점 자취는 한 점으로 이루어진다. 한편 Leibniz 법칙에 의해 \[\frac{\partial ( \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} f_i g_i ) }{\partial x_j} \in (f_1, \ldots, f_t, g_1, \ldots, g_t)\] 이므로 이 편도함수들의 영점 자취는 적어도 다음 집합을 포함한다. \[V(f_1, \ldots, f_t, g_1, \ldots, g_t) \subset \Spec(k[[x_1, \ldots, x_n]]).\] 그런데 \(V(f_1, \ldots, f_t, g_1, \ldots, g_t)\)의 차원은 적어도 \(n - 2t \geq 1\)이므로 모순이다.

보조정리

국소환 \(R\)과 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)이 존재하여, \(R^\wedge\)가 \(R\)의 \(\mathfrak m\)에 관한 완비화이고 다음 성질들을 갖는다.

1. \(R^\wedge\)는 국소환이지만 그 극대 아이디얼은 \(\mathfrak m R^\wedge\)와 같지 않다.

2. \(R^\wedge\)는 완비 국소환이 아니다.

3. \(R^\wedge\)는 \(\mathfrak m\)-진으로 완비인 \(R\)-가군이 아니다.

증명

위의 논의에서 따른다. 실제로 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\)일 때 국소화 \(R_{\mathfrak m}\)의 완비화는 \(R\)의 완비화와 같다.

완비가 아닌 몫

\(k\)를 체라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[R = k[t, z_1, z_2, z_3, \ldots, w_1, w_2, w_3, \ldots, x]/ (z_it - x^iw_i, z_i w_j)\] 특히 이 환에서 \(z_iz_jt = 0\)임에 주의하라. 원소 \(f\)를 \(R\)에서 임의로 택하면 다음과 같은 유한합으로 유일하게 쓸 수 있다. \[f = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, d} f_i x^i\] 여기서 각 \(f_i \in k[t, z_i, w_j]\)에는 곱 \(z_it\) 또는 \(z_iw_j\)가 들어간 항이 없다. 더욱이 \(f\)를 이와 같이 썼을 때 \(f \in (x^n)\)일 필요충분조건은 \(f_i = 0\)이 모든 \(i < n\)에 대해 성립하는 것이다. 따라서 \(x\)는 영인자가 아니고 \(\bigcap (x^n) = 0\)이다. \(R^\wedge\)를 \(R\)의 아이디얼 \((x)\)에 관한 완비화라 하자. \(R^\wedge\)는 \((x)\)-진 완비임에 주의하라. 『대수학』의 보조정리 05GG를 보라. 위에서 보았듯이 \(R^\wedge\)의 모든 원소는 무한합 \[f = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty f_i x^i\] 으로 유일하게 쓸 수 있으며, 각 \(f_i \in k[t, z_i, w_j]\)에는 곱 \(z_it\) 또는 \(z_iw_j\)가 들어간 항이 없다. 다음 원소를 생각하자. \[f = \sum\nolimits_{i = 1}^\infty x^i w_i = xw_1 + x^2w_2 + x^3w_3 + \ldots\] 즉 \(f_n = w_n\)이다. \(f \in (t , x^n)\)이 모든 \(n\)에 대해 성립함에 주의하라. 이는 \(x^mw_m \in (t)\)이 모든 \(m\)에 대해 성립하기 때문이다. \(f \not \in (t)\)임을 주장한다. 이를 보이려고 \(tg = f\)라고 가정하자. 여기서 \(g = \sum g_lx^l\)은 위와 같은 표준형으로 쓴 것이다. \(tz_iz_j = 0\)이므로 어떤 \(g_l\)에도 곱 \(z_iz_j\)가 들어간 항이 없다고 가정해도 된다. \(tg\)를 표준형으로 만드는 과정을 살피면 다음을 알 수 있다. 임의의 항 \(c m\)을 \(g_l\)에서 택하자. 여기서 \(c \in k\)이고 \(m\)은 \(t, z_i, w_j\)에 관한 단항식이다. 그러면 다음과 같이 치환한다.

1. 단항식 \(m\)에 어떤 \(z_i\)도 나타나지 않으면 \(ctm\)은 \(f_l\)의 항이다.

2. 단항식 \(m\)에 어떤 \(z_i\)가 나타나면 이는 \(m = z_i\)이고, \(cw_i\)는 \(f_{l + i}\)의 항이다.

\(g_0\)는 다항식이므로 그 안에는 유한 개의 변수 \(z_i\)만 나타난다. \(n\)을 \(z_n\)이 \(g_0\)에 나타나지 않도록 택하자. 그러면 위 규칙에 의해 \(w_n\)은 \(f_n\)에 나타나지 않는데, 이는 모순이다. 따라서 \(R^\wedge/(t)\)는 완비가 아니다. 『대수학』의 보조정리 031A를 보라.

보조정리

환 \(R\)과 주 아이디얼 \(I\), 주 아이디얼 \(J\)가 존재하며, 그 환은 첫 번째 아이디얼에 관해 완비이지만 \(R/J\)는 \(I\)-진 완비가 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

완비화는 완전하지 않다

다음은 간단한 예이다. \(R = k[t]\)라고 하자. \(M^\wedge\)는 \(R\)-가군의 \(I = (t)\)에 관한 완비화를 나타낸다. \(P = K = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}} R\)이고 \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}} R/(t^n)\)이라 하자. 그러면 짧은 완전열 \(0 \to K \to P \to M \to 0\)이 있다. 첫 번째 사상은 \(t^n\)을 곱하는 사상이며, 이는 직합의 \(n\)번째 성분마다 적용된다. 우리는 \(0 \to K^\wedge \to P^\wedge \to M^\wedge \to 0\)이 가운데에서 완전하지 않다고 주장한다. 실제로 \(\xi = (t^2, t^3, t^4, \ldots) \in P^\wedge\)는 \(M^\wedge\)에서 영으로 가지만 \(K^\wedge \to P^\wedge\)의 상에는 속하지 않는다. 그 상에 속한다면 \((t, t, t, \ldots)\)의 상이어야 하는데, 이는 \(K^\wedge\)의 원소가 아니기 때문이다.

다음은 더 “작은” 예이다. 보조정리 05JE의 상황에서 짧은 완전열 \(0 \to J \to R \to R/J \to 0\)은 \(I\)에 관해 완비화한 뒤 완전하지 않다. 실제로 \(f \in J\)가 생성원이면 \(f : R \to J\)는 전사이고, 따라서 \(R \to J^\wedge\)도 전사이다. 그러므로 \(J^\wedge \to R\)의 상은 \((f) = J\)이다. 그러나 \(R/J\)가 완비가 아니라는 것은 전사 \(R \to (R/J)^\wedge\)의 핵이 \(J\)보다 엄밀히 크다는 뜻이다. 『대수학』의 보조정리 0315와 031A를 보라. 같은 이유로 열 \(R \to R \to R/(f) \to 0\)도 완비화한 뒤 완전하지 않다.

보조정리

일반적으로 완비화는 완전 함자가 아니며, 심지어 오른쪽 완전하지도 않다. 이는 \(I\)가 유한 생성일 때에도 유한 표시 가군들의 범주에서 성립한다.

증명

위의 논의를 보라.

완비 가군들의 범주는 아벨 범주가 아니다

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)을 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(I\)-진 완비 \(R\)-가군들의 범주라 하자. 『대수학』의 정의 0317를 보라. \(\varphi : M \to N\)을 \(\mathcal{A}\)의 사상이라 하자. \(\varphi\)의 \(\mathcal{A}\)에서의 여핵은 통상적인 여핵의 \(I\)-진 완비화 \((\Coker(\varphi))^\wedge\)이다 (\(I\)가 유한 생성이므로 이 완비화는 완비이다. 『대수학』의 보조정리 05GG를 보라). \(K = \Ker(\varphi)\)라 하자. \(\varphi\)가 연속이므로 이는 \(M\)의 닫힌 부분가군이다. 아래 보조정리 0HB3에 의해 \(K\)는 \(I\)-진 완비이고, 따라서 \(\varphi\)의 \(\mathcal{A}\)에서의 핵이다.

보조정리

\(I \subset R\)을 환의 아이디얼이라 하자. \(M\)을 \(I\)-진 완비 \(R\)-가군이라 하고 \(N \subset M\)을 부분가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(N\)은 \(M\)에서 닫혀 있다.

2. \(N = \bigcap_{n \geq 1} (N + I^n M)\)이다.

3. \(M/N\)은 \(I\)-진 완비이다.

\(I\)가 유한 생성이면 이 조건들로부터 \(N\)도 \(I\)-진 완비임이 따른다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 『형식 공간』의 보조정리 0AMS에서 따르고, (2)와 (3)의 동치는 『대수학』의 보조정리 031A이다. \(I\)가 유한 생성이고 (1)이 성립한다고 하자. \(N^\wedge\)를 \(I\)-진 완비화라 하자. 여기서 완비화되는 가군은 \(N\)이다. \(M\)이 \(I\)-진 완비이므로 포함 사상은 \[N \to N^\wedge \to M\] 으로 분해된다. \(N^\wedge \to M\)은 연속이고, \(N\)은 \(N^\wedge\)에서 조밀하며 \(N\)은 \(M\)에서 닫혀 있으므로 \(N^\wedge \to M\)은 \(N\)을 거쳐 분해된다. 따라서 \(N^\wedge = N \oplus C\)인 \(A\)-가군 \(C\)가 존재한다. 그러므로 \(N\)은 \(I\)-진 완비 가군 \(N^\wedge\)의 직합 인자이다. 『대수학』의 보조정리 05GG를 보라 (여기서 \(I\)가 유한 생성임을 쓴다). 따라서 \(N\)은 \(I\)-진 완비이다.

이제 일반적으로 \(\Im \not = \Coim\)인 현상이 범주 \(\mathcal{A}\)에서 일어남을 보이는 예를 들자. \(R = \mathbf{Z}_p = \lim_n \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\)를 \(p\)-진 정수환으로 잡고 \(I = (p)\)로 잡는다. 다음 사상을 생각하자. \[\text{diag}(1, p, p^2, \ldots) : \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{Z}_p\right)^\wedge \longrightarrow \prod\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{Z}_p\] 왼쪽은 직합의 \(p\)-진 완비화이다. 따라서 왼쪽의 원소는 벡터 \((x_1, x_2, x_3, \ldots)\)이며, 그 성분은 \(x_i \in \mathbf{Z}_p\)이다. 그 \(p\)-진 값매김 \(v_p(x_i) \to \infty\)는 \(i \to \infty\)일 때 성립한다. 이 벡터는 \((x_1, px_2, p^2x_3, \ldots)\)로 간다. 따라서 \((1, p, p^2, \ldots)\)는 상의 폐포에는 속하지만 상에는 속하지 않는다. 위에서 기술한 핵과 여핵에 의해 이 사상에 대해 \(\Im \not = \Coim\)임이 분명하다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)을 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(I\)-진 완비 \(R\)-가군들의 범주는 핵과 여핵을 갖지만, \(R\)이 뇌터 환이어도 일반적으로 아벨 범주는 아니다.

증명

위를 보라.

유도 완비 가군들의 범주

이 절을 읽기 전에 『대수학 더 보기』의 절 0GLN을 읽기 바란다.

\(A\)를 환이라 하고, \(I\)를 \(A\)의 아이디얼이라 하자. 유도 완비 가군들의 범주를 \(\mathcal{C}\)라 쓰자. 이는 『대수학 더 보기』의 정의 091S에서 정의한 범주이다.

\(T\)를 집합이라 하고, \(M_t\), \(t \in T\)를 유도 완비 가군들의 족이라 하자. 일반적으로 \(\bigoplus M_t\)는 유도 완비 가군이 아니라고 주장한다. 구체적인 예로 \(A = \mathbf{Z}_p\)와 \(I = (p)\)를 잡고 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}_p\)를 생각하자. \(\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}_p\)에서 그 \(p\)-진 완비화로 가는 사상은 전사가 아니다. 만일 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}_p\)가 유도 완비라면 이 사상이 전사여야 하므로 이는 유도 완비일 수 없다. 『대수학 더 보기』의 보조정리 091R를 보라. 따라서 포함 함자 \(\mathcal{C} \to \text{Mod}_A\)는 직합과 (여과) 쌍대극한 어느 것과도 가환하지 않는다.

\(I\)가 유한 생성이라고 가정하자. 『대수학 더 보기』의 절 0GLN의 논의에 의해 범주 \(\mathcal{C}\)는 임의의 쌍대극한을 갖는다. 그러나 \(\mathcal{C}\)에서 여과 쌍대극한은 완전하지 않다고 주장한다. 실제로 \(A = \mathbf{Z}_p\)와 \(I = (p)\)를 잡자. 다음과 같은 포함들이 있다. \(f_n : \mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \to \mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}_p\)는 \(p\)-진 완비 \(A\)-가군 사이의 사상이며 \(p^{n - 1}\)을 곱하여 주어진다. 다음 가환 도식들이 존재한다. \[\xymatrix{ \mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \ar[r]_{f_n} \ar[d]^1 & \mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}_p \ar[d]_p \\ \mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \ar[r]^{f_{n + 1}} & \mathbf{Z}_p/p^{n + 1}\mathbf{Z}_p }\] 이 포함들의 범주 \(\mathcal{C}\)에서의 쌍대극한은 사상 \(\mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \to 0\)을 준다고 주장한다. 실제로 오른쪽 계의 \(\text{Mod}_A\)에서의 쌍대극한은 \(\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p\)이다. 따라서 \(\mathcal{C}\)에서의 쌍대극한은 \[H^0((\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^\wedge) = H^0(\mathbf{Z}_p[1]) = 0\] 이다. 『대수학 더 보기』의 절 0GLN에 의한 것이며, 여기서 \({}^\wedge\)는 유도 완비화이다. 이로써 주장이 증명되었다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 유도 완비 가군들의 범주 \(\mathcal{C}\)는 아벨 범주이고, 포함 함자 \(F : \mathcal{C} \to \text{Mod}_A\)는 완전하며 임의의 극한과 가환한다. \(I\)가 유한 생성이면 \(\mathcal{C}\)는 임의의 직합과 쌍대극한을 갖지만 \(F\)는 일반적으로 이들과 가환하지 않는다. 끝으로 여과 쌍대극한은 일반적으로 \(\mathcal{C}\)에서 완전하지 않으므로 \(\mathcal{C}\)는 Grothendieck 아벨 범주가 아니다.

증명

『대수학 더 보기』의 보조정리 0GLP와 위의 논의를 보라.

평탄하지 않은 완비화

뇌터인 경우와 달리 환의 아이디얼에 관한 완비화는 항상 평탄하지는 않다. 『대수학 더 보기』의 예 0BNU에서 이미 이 현상의 두 예를 보았다. 이 절에서는 두 예를 더 제시한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 가산인 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M\)이 유한 \(R\)-가군일 필요충분조건은 \(M \otimes_R R^\mathbf{N} \to M^\mathbf{N}\)이 전사인 것이다.

증명

\(M\)이 유한 가군이면 『대수학』의 명제 059J에 의해 이 사상은 전사이다. 역으로 사상이 전사라고 하자. \(m_1, m_2, m_3, \ldots\)를 \(M\)의 원소들의 열거라 하자. 텐서곱의 원소 \(\sum_{j = 1, \ldots, m} x_j \otimes a_j\)가 \((m_n) \in M^\mathbf{N}\)으로 간다고 하자. 그러면 \(x_1, \ldots, x_m\)이 \(M\)을 \(R\) 위에서 생성함을 알 수 있다. 이는 『대수학』의 명제 059J의 증명에서와 같다.

보조정리

\(R\)을 가산 환이라 하고 \(M\)을 가산 \(R\)-가군이라 하자. \(M\)이 유한 표시일 필요충분조건은 표준 사상 \(M \otimes_R R^\mathbf{N} \to M^\mathbf{N}\)이 동형사상인 것이다.

증명

\(M\)이 유한 표시 가군이면 『대수학』의 명제 059K에 의해 사상은 동형사상이다. 역으로 사상이 동형사상이라 하자. 보조정리 0AL9에 의해 \(M\)은 유한 가군이다. 전사 \(R^{\oplus m} \to M\)을 택하고 그 핵을 \(K\)라 하자. \(K\)는 \(R^{\oplus m}\)의 부분가군이므로 가산이다. 『대수학』의 명제 059K의 증명처럼 논증하면 \(K \otimes_R R^\mathbf{N} \to K^\mathbf{N}\)이 전사임을 알 수 있다. 보조정리 0AL9에 의해 \(K\)는 유한 \(R\)-가군이고, 따라서 \(M\)은 유한 표시이다.

보조정리

\(R\)을 가산 환이라 하자. \(R\)이 연접 환일 필요충분조건은 \(R^\mathbf{N}\)이 평탄 \(R\)-가군인 것이다.

증명

\(R\)이 연접이면 \(R^\mathbf{N}\)은 평탄 가군이다(『대수학』의 명제 05CZ). \(R^\mathbf{N}\)이 평탄이라고 하자. 유한 생성 아이디얼 \(I \subset R\)을 택하자. \(I\)가 \(R\)-가군으로서 유한 표시임을 보이면 된다. 구체적으로 사상 \(I \otimes_R R^\mathbf{N} \to R^\mathbf{N}\)은 \(R^\mathbf{N}\)이 평탄이므로 단사이고, 그 상은 \(I^\mathbf{N}\)이다 (보조정리 0AL9). 그러므로 보조정리 0ALA에서 결론이 따른다.

환 \(R\)이 가산이라고 하자. \(R[[x]]\)는 \(R^\mathbf{N}\)과 \(R\)-가군으로서 동형이다. 따라서 보조정리 0ALB에 의해 \(R \to R[[x]]\)가 평탄일 필요충분조건은 \(R\)이 연접인 것이다. 연접이 아닌 가산 환은 많이 있는데, 예를 들면 다음과 같다. \[R = k[y, z, a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \ldots]/ (a_1 y + b_1 z, a_2 y + b_2 z, a_3 y + b_3 z, \ldots)\] 여기서 \(k\)는 가산 체이다. 이 환은 아이디얼 \((y, z)\)가 환 \(R\)에서 유한 표시 \(R\)-가군이 아니므로 연접이 아니다. 또한 \(R[[x]]\)는 \(R[x]\)의 주 아이디얼 \((x)\)에 관한 완비화이다.

보조정리

완비화 \(R[[x]]\)가 \(R[x]\)의 \((x)\)에서의 완비화이고 \(R\) 위에서 평탄하지 않아, 더더욱 \(R[x]\) 위에서도 평탄하지 않은 환이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

어떤 환 \(R\)에 대해서는 \(R[[x]]\)가 \(R\) 위에서 평탄하지만 \(R[[x]]\)가 \(R[x]\) 위에서는 평탄하지 않다. Badam Baplan의 이 글을 보라. 구체적으로 \(R\)을 값매김환이라 하자. 그러면 \(R\)은 연접이고 (『대수학』의 예 0EWV), 따라서 『대수학』의 명제 05CZ에 의해 \(R[[x]]\)는 \(R\) 위에서 평탄이다. 한편 다음 보조정리가 있다.

보조정리

\(R\)을 분수체 \(K\)를 갖는 정역이라 하자. \(R[[x]]\)가 \(R[x]\) 위에서 평탄이면, \(R\)이 정규일 필요충분조건은 \(R\)이 완전 정규인 것이다 (『대수학』의 정의 00GW).

증명

\(\alpha \in K\)와 영이 아닌 \(r \in R\)가 \(r \alpha^n \in R\)을 모든 \(n \geq 1\)에 대해 만족한다고 하자. \(f = \sum r \alpha^{n - 1} x^n\)을 \(R[[x]]\)의 원소로 생각하자. \(\alpha = a/b\)로 쓰자. 여기서 \(a, b \in R\)이고 \(b\)는 영이 아니다. 그러면 \((a x - b)f = -rb\)이다. 따라서 \(rb\)는 \((ax - b)R[[x]]\)의 원소이다. \(S = \{h \in R[x] : h(0) = 1\}\)라 하자. 이는 곱셈적 부분집합이고 \(R[x] \to R[[x]]\)의 평탄성으로부터 \(S^{-1}R[x] \to R[[x]]\)가 충실히 평탄임이 따른다(세부 사항은 생략한다. 『대수학』의 보조정리 00HQ을 사용하라). 따라서 \[S^{-1}R[x]/(ax - b)S^{-1}R[x] \to R[[x]]/(ax - b)R[[x]]\] 는 단사이다. 그러므로 등식 \(h rb = (ax - b) g\)을 만족하는 어떤 \(h \in S\)와 \(g \in R[x]\)가 존재한다. \(h = 1 + h_1 x + \ldots + h_d x^d\)로 쓰면 \[1 + h_1 x + \ldots + h_d x^d = (1/r)(\alpha x - 1)g\] 를 얻는다. \(K[x]\)에서의 이 인수분해는 \(K[x^{-1}]\)에서 대응하는 인수분해를 주므로, 원하는 대로 \(\alpha\)는 \(R\)에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근이다.

보조정리

\(R\)이 차원 \(> 1\)인 값매김환이면 \(R[[x]]\)는 \(R\) 위에서는 평탄하지만 \(R[x]\) 위에서는 평탄하지 않다.

증명

\(R\)이 완전 정규가 아님을 보이면 위 논증으로 충분하다(값매김환은 정규이다. 『대수학』의 보조정리 00IC을 보라). 소 아이디얼들의 사슬 \(\mathfrak p \subset \mathfrak m \subset R\)을 택하고, 영이 아닌 \(x \in \mathfrak p\)와 \(y \in \mathfrak m \setminus \mathfrak p\)를 택하자. \(x y^{-n} \in R\)은 모든 \(n \geq 1\)에 대해 성립한다. 그렇지 않으면 \(y^n/x \in R\)인데, \(y \not \in \mathfrak p\)이므로 이는 불가능하다. 따라서 \(1/y\)는 \(R\) 위에서 거의 정수적이지만 \(R\)에는 속하지 않는다.

다음으로 국소화의 완비화가 평탄하지 않은 예를 구성하자. 환 \[R = k[y, z, a_1, a_2, a_3, \ldots]/(ya_i, a_i a_j)\] 을 생각하자. \(f \in R\)을 \(z\)의 잉여류라 하자. 환 준동형 [0ALD]\[\begin{equation} R[[x]] \longrightarrow R_f[[x]] \end{equation}\] 은 평탄하지 않다. \(I\)를 \(y : R[[x]] \to R[[x]]\)의 핵이라 하자. \(g\)가 \(I\)의 전형적인 원소이면 \(g = \sum g_{n, m} a_mx^n\) 꼴이다. 여기서 \(g_{n, m} \in k[z]\)이고 고정된 \(n\)마다 영이 아닌 \(g_{n, m}\)은 유한 개뿐이다. \(J\)를 \(y : R_f[[x]] \to R_f[[x]]\)의 핵이라 하자. \(J \not = I R_f[[x]]\)이다. 그렇지 않다면 등식 \[\sum z^{-n} a_n x^n = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, m} h_i g_i\] 이 어떤 \(m \geq 1\), \(g_i \in I\), \(h_i \in R_f[[x]]\)에 대해 성립할 것이다. \(h_i = \bar h_i \bmod (y, a_1, a_2, a_3, \ldots)\)라 쓰자. 여기서 \(\bar h_i \in k[z, 1/z][[x]]\)이다. \(a_n\)의 계수를 보고 위에서 기술한 원소 \(g_i\)를 사용하면 \[z^{-n} x^n = \sum \bar h_i \bar g_{i, n}\] 을 얻는데, 여기서 \(\bar g_{i, n} \in k[z][[x]]\)이다. 이는 모든 \(z^{-n}x^n\)이 유한 \(k[z][[x]]\)-가군, 곧 원소 \(\bar h_i\)들이 생성하는 가군에 포함됨을 뜻한다. \(k[z][[x]]\)가 뇌터 환이므로 \(R[z][[x]]\)-가군으로 보았을 때 \(k[z, 1/z][[x]]\) 안에서 \(1, z^{-1}x, z^{-2}x^2, \ldots\)가 생성하는 부분가군은 유한 생성이다. 『대수학』의 보조정리 052I에 의해 \(z^{-1}x\)가 \(k[z][[x]]\) 위에서 정수적이라는 결론이 나오는데, 이는 불가능하다. 한편 (0ALD)이 평탄이면 \(J = IR_f[[x]]\)를 얻게 된다. 실제로 완전열 \(0 \to I \to R[[x]] \xrightarrow{y} R[[x]]\)을 \(R_f[[x]]\)와 텐서하면 된다.

보조정리

환 \(A\)가 주 아이디얼 \(I\)에 관해 완비이고, 원소 \(f \in A\)가 주어져서 \(I\)-진 완비화 \(A_f^\wedge\)가 \(A_f\)의 완비화이면서 \(A\) 위에서 평탄하지 않은 경우가 존재한다.

증명

\(A = R[[x]]\), \(I = (x)\)로 놓고 \(R_f[[x]]\)가 \(R[[x]]_f\)의 완비화임을 관찰하라.

준연접 가군들의 비아벨 범주

『스택 위의 층』의 절 06WF에서 \(\Sch\) 위의 준군 범주에서 올이 있는 범주 위의 준연접 가군들의 범주를 정의했다. 『스택 위의 층』의 절 06WU에서 대수적 스택에 대해서는 이 범주가 아벨 범주임을 보이지만, 이 절에서는 형식적 대수공간에 대해서는 그렇지 않음을 보인다.

\(\mathbf{Z}_p\)를 \(p\)-진 위상을 갖는 위상환으로 보자. \(X = \text{Spf}(\mathbf{Z}_p)\)라 하자. 『형식 공간』의 정의 0AIF를 보라. 그러면 \(X\)는 \((\Sch/\mathbf{Z})_{fppf}\) 위의 집합층이고, 준집합들의 스택 \(\mathcal{X}\)를 준다. 『스택』의 보조정리 0430를 보라. 따라서 『스택 위의 층』의 절 06WU의 논의를 적용할 수 있다.

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{X}\) 위의 준연접 가군이라 하자. \(X = \colim \Spec(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})\)이므로 『스택 위의 층』의 보조정리 06WK에 의해 \(\mathcal{F}\)는 다음 조건의 열 \((\mathcal{F}_n)\)로 주어진다.

1. \(\mathcal{F}_n\)은 \(\Spec(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})\) 위의 준연접 가군이다.

2. 전이 사상은 동형사상 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/p^n\mathcal{F}_{n + 1}\)을 준다.

가군으로 바꾸면 \(\mathcal{F}\)는 계 \((M_n)\)에 대응한다. 각 \(M_n\)은 \(p^n\)에 의해 소멸하는 아벨 군이고 전이 사상은 동형사상 \(M_n = M_{n + 1}/p^n M_{n + 1}\)을 유도한다. 이때 \(M = \lim M_n\)은 \(p\)-진 완비 가군이고 \(M_n = M/p^n M\)이다. 『대수학』의 보조정리 09B8를 보라. 따라서 \(X\) 위의 준연접 가군 범주는 \(p\)-진 완비 아벨 군들의 범주와 동치이다. 이 범주는 아벨 범주가 아니다. 절 07JQ을 보라.

보조정리

준연접¹ 가군의 범주는 형식적 대수공간 \(X\)에 대해 일반적으로 아벨 범주가 아니며, 이는 \(X\)가 뇌터 아핀 형식적 대수공간일 때에도 그러하다.

증명

위의 논의를 보라.

국소적으로 분할되지만 분할되지 않는 열

짧은 완전열 \[0 \to M \to \bigoplus\nolimits_{p\text{ prime}} \mathbf{Z}_{(p)} \to \mathbf{Q} \to 0\] 을 생각하자. 여기서 \(M\)은 오른쪽 사상의 핵이고, 이 사상은 각 직합 성분에서 포함 \(\mathbf{Z}_{(p)} \to \mathbf{Q}\)를 사용한다. 이 \(\mathbf{Z}\)-가군의 열은 영이 아닌 준동형 \(\mathbf{Q} \to \mathbf{Z}_{(p)}\)이 존재하지 않으므로 분할되지 않는다. 한편 임의의 소수 \(p\)에서 국소화하면 이 열은 분할된다.

보조정리

어떤 환 \(R\)과 분할되지 않는 가군열이 존재하여, 그 열은 Zariski 국소적으로 분할된다.

증명

위의 논의를 보라.

정칙열과 밑변환

환 \(R\)과 그 안의 정칙열 \((x, y, z)\)를 구성하여, 영이 아닌 원소 \(\delta \in R/zR\)가 존재하고 \(x\delta = y\delta = 0\)이 되게 하겠다.

이 예를 구성하기 위해 먼저 특이한 가군 \(E\)를 환 \(k[x, y, z]\) 위에서 구성한다. 여기서 \(k\)는 임의의 체이다. 즉 \(E\)는 다음 도식과 같은 밀어내기이다. \[\xymatrix{ \frac{xk[x, y, z, y^{-1}]}{xyk[x, y, z]} \ar[r] \ar[d]^{z/x} & \frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}]} \ar[r] \ar[d] & \frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}] + xk[x, y, z, y^{-1}]} \ar[d] \\ \frac{k[x, y, z, y^{-1}]}{yzk[x, y, z]} \ar[r] & E \ar[r] & \frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}] + xk[x, y, z, y^{-1}]} }\] 두 행은 짧은 완전열이다(조판 문제 때문에 양 끝의 영을 생략했다). \(E\)를 달리 기술하면 \[E = \{(f, g) \mid f \in k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}], g \in k[x, y, z, y^{-1}] \}/\sim\] 이고, \((f, g) \sim (f', g')\)일 필요충분조건은 어떤 \(h \in k[x, y, z, y^{-1}]\)가 존재하여 \[f = f' + xh \bmod yk[x, y, z, x^{-1}], \quad g = g' - zh \bmod yzk[x, y, z]\] 인 것이다. 다음을 주장한다. (a) \(x : E \to E\)는 단사이다. (b) \(y : E/xE \to E/xE\)는 단사이다. (c) \(E/(x, y)E = 0\)이다. (d) 영이 아닌 원소 \(\delta \in E/zE\)가 존재하여 \(x\delta = y\delta = 0\)이다.

(a)를 보이자. \((f, g)\)가 \(E\)의 원소를 주고 \((xf, xg) \sim 0\)이라고 하자. 그러면 어떤 \(h \in k[x, y, z, y^{-1}]\)가 존재하여 \(xf + xh \in yk[x, y, z, x^{-1}]\)이고 \(xg - zh \in yzk[x, y, z]\)이다. \(h = \sum a_{i, j, k}x^iy^jz^k\)에서 \(j \leq 0\)인 단항식만 나타난다고 가정해도 된다. \(xg - zh \in yzk[x, y, z]\)이므로 \(i > 0\)인 항만 나타난다. 즉 \(h = xh'\)이고, 여기서 \(h' \in k[x, y, z, y^{-1}]\)이다. \((f, g) \sim (f + xh', g - zh')\)이므로 \(g = 0\), \(h = 0\)이라 가정할 수 있다. 이 경우 \(xf \in yk[x, y, z, x^{-1}]\)에서 \(f \in yk[x, y, z, x^{-1}]\)이 따르므로 \((f, g) \sim 0\)이다. 따라서 \(x : E \to E\)는 단사이다.

\(x\)를 곱하는 사상은 \(\frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}]}\) 위에서 동형사상이므로 \(E/xE\)는 \[\frac{k[x, y, z, y^{-1}]}{ yzk[x, y, z] + xk[x, y, z, y^{-1}] + zk[x, y, z, y^{-1}]} = \frac{k[x, y, z, y^{-1}]}{xk[x, y, z, y^{-1}] + zk[x, y, z, y^{-1}]}\] 와 동형이다. 따라서 \(y\)를 곱하는 사상은 \(E/xE\) 위에서 동형사상이다. 이로부터 (b)와 (c)가 분명히 따른다.

\(e \in E\)를 \((1, 0)\)의 동치류라 하자. \(e \in zE\)라고 가정하면 \(f \in k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]\), \(g \in k[x, y, z, y^{-1}]\), 그리고 \(h \in k[x, y, z, y^{-1}]\)가 존재하여 \[1 + zf + xh \in yk[x, y, z, x^{-1}], \quad 0 + zg - zh \in yzk[x, y, z].\] 이는 불가능하다. 단항식 \(1\)은 \(zf\)에도 \(xh\)에도 나타날 수 없다. 한편 \(ye = 0\)이고 \(xe = (x, 0) \sim (0, -z) = z(0, -1)\)이다. 따라서 \(\delta\)를 \(e\)의 \(E/zE\)에서의 합동류로 두면 (d)를 얻는다.

보조정리

국소환 \(R\)과 그 극대 아이디얼 안의 정칙열 \(x, y, z\)가 존재하여, 영이 아닌 원소 \(\delta \in R/zR\)가 존재하고 \(x\delta = y\delta = 0\)이다.

증명

\(R = k[x, y, z] \oplus E\)라 놓자. 여기서 \(E\)는 위에서 구성한 가군을 제곱 영 아이디얼로 본 것이다. 그러면 \(x, y, z\)가 \(R\)의 정칙열이고, \(\delta \in E/zE \subset R/zR\)가 원하는 성질의 원소를 줌은 분명하다. 국소 예를 얻으려면 \(R\)을 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = (x, y, z, E)\)에서 국소화한다. \(x, y, z\)는 국소화가 완전하므로 여전히 정칙열이고, \(\delta\)는 \(\mathfrak m\)에서 지지되므로 여전히 영이 아니다.

보조정리

국소환의 국소 준동형 \(A \to B\)와 정칙열 \(x, y\)가 존재한다. 이 정칙열은 \(B\)의 극대 아이디얼 안에 있고, \(B/(x, y)\)는 \(A\) 위에서 평탄이지만 그 상 \(\overline{x}, \overline{y}\), 즉 \(x, y\)의 \(B/\mathfrak m_AB\)에서의 상들은 정칙열은커녕 Koszul-정칙열도 아니다.

증명

\(A = k[z]_{(z)}\)라 놓고 \(B = (k[x, y, z] \oplus E)_{(x, y, z, E)}\)라 하자. 보조정리 0640의 증명에 의해 \(x, y, z\)는 \(B\)의 정칙열이다. 따라서 \(x, y\)는 \(B\)의 정칙열이고 \(B/(x, y)\)는 꼬임 없는 \(A\)-가군이므로 평탄이다. 한편 영이 아닌 원소 \(\delta \in B/\mathfrak m_AB = B/zB\)가 존재하고 \(\overline{x}, \overline{y}\)에 의해 소멸한다. 따라서 \(H_2(K_\bullet(B/\mathfrak m_AB, \overline{x}, \overline{y})) \not = 0\)이다. 그러므로 \(\overline{x}, \overline{y}\)는 Koszul-정칙열이 아니며, 특히 정칙열도 아니다. 『대수학 더 보기』의 보조정리 062F를 보라.

무한 차원 뇌터 환

『대수학』의 명제 00KQ에서 보았듯이 뇌터 국소환은 유한 차원이다. 그러나 무한 차원 뇌터 환도 존재한다. [Nagata, Appendix, Example 1]를 보라.

\(k\)를 체라 하고 다음 환을 생각하자. \[R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots ].\] \(\mathfrak p_i = (x_{2^{i - 1}}, x_{2^{i - 1} + 1}, \ldots, x_{2^i - 1})\)라 하자. 여기서 \(i = 1, 2, \ldots\)이고, 이들은 \(R\)의 소 아이디얼이다. \(S\)를 다음 곱셈적 부분집합이라 하자. \[S = \bigcap\nolimits_{i \geq 1} (R \setminus \mathfrak p_i).\] 환 \(A = S^{-1}R\)을 생각하자. 다음을 주장한다.

1. \(A\)의 극대 아이디얼들은 \(\mathfrak m_i = \mathfrak p_iA\)이다.

2. \(A_{\mathfrak m_i} = R_{\mathfrak p_i}\)이고, 이는 차원 \(2^i\)인 뇌터 국소환이다.

3. 환 \(A\)는 뇌터 환이다.

따라서 이것이 찾던 예임은 분명하다. 세부 사항은 생략한다.

완비화가 비축소인 국소환

『대수학』의 예 00PB에서 표수 \(p\)의 뇌터 국소 정역 \(R\)로서 차원이 \(1\)이고 완비화가 비축소인 예를 주었다. 이 절에서는 표수 영에서 비슷한 환을 주는 [Ferrand-Raynaud, Proposition 3.1]의 예를 제시한다.

\(\mathbf{C}\{x\}\)를 복소수체 \(\mathbf{C}\) 위의 수렴 멱급수환이라 하자. 모든 멱급수의 환 \(\mathbf{C}[[x]]\)은 그 완비화이다. \(K = \mathbf{C}\{x\}[1/x]\)를 수렴 로랑 급수체라 하자. 대수적 미분들의 \(K\)-가군 \(\Omega_{K/\mathbf{C}}\)는 \(K\)의 \(\mathbf{C}\) 위 미분들로 이루어져 있으며 무한 차원 \(K\)-벡터 공간이다(증명은 생략한다). \(f_n \in x\mathbf{C}\{x\}\), \(n \geq 1\)을 택하여 \(\text{d}x, \text{d}f_1, \text{d}f_2, \ldots\) 가 \(\Omega_{K/\mathbf{C}}\)의 한 기저의 일부가 되게 할 수 있다. 따라서 \(\mathbf{C}\)-미분 \[D : \mathbf{C}\{x\} \longrightarrow \mathbf{C}((x))\] 이 존재하여 \(D(x) = 0\)이고 \(D(f_i) = x^{-n}\)이다. 다음과 같이 놓자. \[A = \{f \in \mathbf{C}\{x\} \mid D(f) \in \mathbf{C}[[x]]\}\] 다음을 주장한다.

1. \(\mathbf{C}\{x\}\)는 \(A\) 위에서 정수적이다.

2. \(A\)는 국소 정역이다.

3. \(\dim(A) = 1\)이다.

4. \(A\)의 극대 아이디얼은 \(x\)와 \(xf_1\)로 생성된다.

5. \(A\)는 뇌터 환이다.

6. \(A\)의 완비화는 \(\mathbf{C}[[x]]\) 위의 쌍대수환과 같다.

쌍대수환은 비축소이므로 \(A\)가 원하는 예를 준다.

\(0 \not = f \in x\mathbf{C}\{x\}\)이면 \(D(f) = h/f^n\)으로 쓸 수 있다. 여기서 어떤 \(n \geq 0\)과 \(h \in \mathbf{C}[[x]]\)를 취한다. 따라서 \(D(f^{n + 1}/(n + 1)) \in \mathbf{C}[[x]]\)이고 \(D(f^{n + 2}/(n + 2)) \in \mathbf{C}[[x]]\)이다. 그러므로 \(f^{n + 1}, f^{n + 2} \in A\)이다! 특히 (1)이 성립한다. 또한 \(A\)의 분수체는 \(\mathbf{C}\{x\}\)의 분수체와 같다. 더 나아가 \(A \cap x\mathbf{C}\{x\}\)가 \(A\)의 비가역원들의 집합이므로 \(A\)는 차원 \(1\)인 국소 정역이다. (4)를 보이면 \(A\)가 뇌터 환임이 따른다(증명은 생략한다). \(f \in A \cap x\mathbf{C}\{x\}\)라 하고 \(D(f) = h\), \(h \in \mathbf{C}[[x]]\)라 쓰자. \(h = c + xh'\)로 쓰되 \(c \in \mathbf{C}\), \(h' \in \mathbf{C}[[x]]\)라 하자. 그러면 \(D(f - cxf_1) = c + xh' - c = xh'\)이다. 한편 \(f - cxf_1 = xg\)인 \(g \in \mathbf{C}\{x\}\)가 있고, 위 계산에 의해 \(D(g) = h' \in \mathbf{C}[[x]]\)이므로 \(g \in A\)이다. 따라서 원하는 대로 \(f = cxf_1 + xg \in (x, xf_1)\)이다.

마지막으로 왜 \(A\)의 완비화가 비축소인지 보자. \(\hat A\)로 \(A\)의 완비화를 나타내자. 이는 \(\mathbf{C}[[x]]\), 즉 \(\mathbf{C}\{x\}\)의 완비화로 전사하는데, \(x \in A\)이기 때문이다. 이 사상을 \(\psi : \hat A \to \mathbf{C}[[x]]\)라 하자. 위에서 \(\mathfrak m_A = (x, xf_1)\)임을 보았고, 간단한 계산으로 \(D(\mathfrak m_A^n) \subset (x^{n - 1})\)이다. 따라서 \(D : A \to \mathbf{C}[[x]]\)는 연속이고, 연속 미분 \(\hat D : \hat A \to \mathbf{C}[[x]]\)를 \(\psi\) 위에서 유도한다. 그러므로 환 준동형 \[\psi + \epsilon \hat D : \hat A \longrightarrow \mathbf{C}[[x]][\epsilon].\] 을 얻는다. \(\hat A\)는 일차원 뇌터 완비 국소환이므로 이 화살표가 전사임을 보이면 \(\hat A\)가 비축소임이 따른다. 실제로 이 사상은 동형사상이지만 그 확인은 생략한다. 부분환 \(\mathbf{C}[x]_{(x)} \subset A\)는 완비화 위에서 \(i : \mathbf{C}[[x]] \to \hat A\)를 유도하며 \(i \circ \psi = \text{id}\)이고 \(D \circ i = 0\)이다(구성상 \(D(x) = 0\)이다). 원소 \(x^nf_n \in A\)를 생각하면 \[(\psi + \epsilon D)(x^nf_n) = x^n f_n + \epsilon\] 이고, 이는 모든 \(n \geq 1\)에 대해 성립한다. 이들 관찰에서 전사성이 쉽게 따른다.

완비화가 비축소인 또 다른 국소환

이 절에서는 주 아이디얼에 관해 완비인 \(2\)차원 뇌터 국소 정역으로서, 그 국소화를 다시 완비화하면 비축소가 되는 예를 만든다.

\(p\)를 소수라 하자. \(k\)를 표수 \(p\)인 체라 하자. 이때 \(k\)는 그 부분체 \(k^p\), 즉 \(p\)제곱들의 부분체 위에서 무한 차수라고 하자. 예를 들어 \(k = \mathbf{F}_p(t_1, t_2, t_3, \ldots)\)로 잡을 수 있다. 환 \[A = \left\{ \begin{matrix} \sum a_{i, j} x^iy^j \in k[[x, y]] \text{ 가운데 모든 }n \geq 0 \text{에 대해 다음이 성립하는 것들} \\ [k^p(a_{n, n}, a_{n, n + 1}, a_{n + 1, n}, a_{n, n + 2}, a_{n + 2, n}, \ldots) : k^p] < \infty \end{matrix} \right\}\] 을 생각하자. 집합으로는 \[k^p[[x, y]] \subset A \subset k[[x, y]]\] 이다. \(f\)를 \(A\)의 임의의 원소라 하자. 그러면 이 원소를 급수 \[f = f_0 + f_1 xy + f_2 (xy)^2 + f_3 (xy)^3 + \ldots\] 로 유일하게 쓸 수 있으며 \[f_n = a_{n, n} + a_{n, n + 1} y + a_{n + 1, n} x + a_{n, n + 2} y^2 + a_{n + 2, n} x^2 + \ldots\] 이다. \(A\)를 정의한 식의 조건은 \(f_n\)의 계수들이 \(k^p\)의 유한 확대를 생성한다는 뜻이다. 이 표현에서 \(A\)는 \(k^p[[x, y]]\)-부분대수로서 \(k[[x, y]]\) 안에 있고, 아이디얼 \(xy\)에 관해 완비임이 분명하다. 또한 \[A/xy A = C \times_k D\] 이다. 여기서 \(k^p[[x]] \subset C \subset k[[x]]\)와 \(k^p[[y]] \subset D \subset k[[y]]\)는 『대수학』의 예 00PB에 나오는 멱급수의 부분환이다. 따라서 \(C\)와 \(D\)는 이산 값매김환이고 \(A/ xy A\)는 뇌터 환이다. 『대수학』의 보조정리 05GH에 의해 \(A\)도 뇌터 환이다. \(\dim(k[[x, y]]) = 2\)이므로 『대수학』의 보조정리 00OK에 의해 \(\dim(A) = 2\)이다.

멱급수 \(f = \sum a_i x^i\)를 택하여 \(k^p(a_0, a_1, a_2, \ldots)\)가 \(k^p\) 위에서 무한 차수가 되게 하자. 그러면 \(f \not \in A\)이지만 \(f^p \in A\)이다. 다음과 같이 놓자. \[B = A[f] \subset k[[x, y]]\] \(B\)는 \(A\) 위에서 유한이므로 \(B\)가 뇌터 환임을 알 수 있다. 또한 \(B\)는 \(xy\)가 생성하는 아이디얼에 관해 완비이다. 『대수학』의 보조정리 00MA를 보라. 실제로 \(B\)는 \(A\) 위에서 \(1, f, f^2, \ldots, f^{p - 1}\)을 기저로 하는 자유 가군이다. 증명은 생략한다.

환 \[(B_y)^\wedge = (B[1/y])^\wedge = \lim B[1/y]/(xy)^n B[1/y] = \lim B[1/y] / x^n B[1/y]\] 이 비축소임을 주장한다. 이 환은 \[(A_y)^\wedge = (A[1/y])^\wedge = \lim A[1/y]/(xy)^n A[1/y] = \lim A[1/y] / x^n A[1/y]\] 위에서 \(1, f, \ldots, f^{p - 1}\)을 기저로 하는 자유 가군이다. 그러나 원소 \(g \in (A_y)^\wedge\)가 존재하여 \(f^p = g^p\)이다. 실제로 \(g = \sum a_i x^i\)를 택하면 된다. 이는 \(f\)에 쓴 것과 같은 식이며 \((A_y)^\wedge\)에서 의미가 있다. 그러므로 \[(B_y)^\wedge = (A_y)^\wedge[f]/(f^p - g^p) \cong (A_y)^\wedge[\tau]/(\tau^p)\] 는 비축소이다. 사실 이 예는 조금 더 말해 준다. \((A_y)^\wedge\)는 균등화원 \(x\)를 갖고 잉여체가 위 이산 값매김환 \(D\)의 분수체인 이산 값매김환이다. 따라서 심지어 \[(B_y)^\wedge[1/(xy)] = ((B_y)^\wedge)_{xy}\] 도 비축소이다. 이는 다음 종류의 예를 준다.

보조정리

\(2\)차원 뇌터 국소 정역 \((B, \mathfrak m)\)과 주 아이디얼 \(I = (b)\)가 존재한다. 이 정역은 그 아이디얼에 관해 완비이고, \(f \in \mathfrak m\), \(f \not \in I\)인 원소가 존재하여 \(I\)-진 완비화 \(C = (B_f)^\wedge\), 곧 주 국소화 \(B_f\)의 이 완비화가 비축소이고, 심지어 \(C_b = C[1/b] = (B_f)^\wedge[1/b]\)도 비축소이다.

증명

위의 논의를 보라.

사슬 조건을 만족하지 않는 뇌터 국소환

뇌터 국소환에는 성공적인 차원론이 있지만 사슬 조건을 만족하지 않는 뇌터 국소환도 존재한다. 한 예는 [Nagata, Appendix, Example 2]에 있다. 여기서는 가장 단순한 경우의 이 예를 제시한다. 즉 뇌터 국소 정역 \(A\)를 구성하는데, 그 차원은 \(2\)이고 보편적으로 사슬 조건을 만족하지 않는다. (\(A\) 자체는 자동으로 사슬 조건을 만족한다. 『연습문제』의 문제 02DS를 보라.) 보편적으로 사슬 조건을 만족하지 않는 뇌터 국소환이 존재하면 사슬 조건을 만족하지 않는 뇌터 국소환도 존재한다. 이 절 끝에서 지금의 구체적 예로 이를 자세히 설명한다.

\(k\)를 체라 하고 형식적 멱급수환 \(k[[x]]\), 즉 \(k\) 위의 한 변수 형식적 멱급수환을 생각하자. \[z = \sum\nolimits_{i = 1}^\infty a_i x^i\] 를 형식적 멱급수라 하자. \(z\)가 로랑 급수체 \(k((x)) = k[[x]][1/x]\)의 원소로서 \(k(x)\) 위에서 초월적이라고 가정한다. 다음과 같이 놓자. \[z_j = x^{-j}(z - \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, j - 1} a_i x^i) = \sum\nolimits_{i = j}^\infty a_i x^{i - j} \in k[[x]].\] \(z = xz_1\)임에 주의하라. \(R\)을 \(k[[x]]\)의 부분환으로서 \(x\), \(z\)와 모든 \(z_j\)가 생성하는 환이라 하자. 즉 \[R = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots ] \subset k[[x]].\] \(\mathfrak m = (x)\)과 \(\mathfrak n = (x - 1, z_1, z_2 + a_1, z_3 + a_1 + a_2, \ldots)\)를 \(R\)의 아이디얼로 생각하자.

\(xz_{j + 1} + a_j = z_j\)이다. 따라서 \(R/\mathfrak m = k\)이고 \(\mathfrak m\)은 극대 아이디얼이다. 더욱이 \(R\)의 원소가 \(\mathfrak m\)에 속하지 않으면 \(k[[x]]\)에서 가역원으로 사상되므로 \(R_{\mathfrak m} \subset k[[x]]\)이다. 사실 \(R_{\mathfrak m}\)이 잉여체 \(k\)인 이산 값매김환임을 쉽게 이끌어낼 수 있다.

다음을 주장한다. \[R/(x - 1) = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots ]/(x - 1) \cong k[z].\] 실제로 \(z_{j + 1} = z_j - a_j - (x - 1)z_{j + 1}\)이고, 따라서 \(z_{j + 1}\)의 류를 \(z_j\)의 류로 몫 \(R/(x - 1)\)에서 나타낼 수 있다. 구성상 \(R\)의 분수체는 초월차수가 \(2\)인 \(k\)의 확대체이므로 \(z\)는 \(k\) 위에서 \(R/(x - 1)\) 안에서 초월적이고, 원하는 동형사상이 따른다. 따라서 \(\mathfrak n = (x - 1, z)\)는 극대 아이디얼이다. 사실 사상 \[k[x, x^{-1}, z]_{(x - 1, z)} \longrightarrow R_{\mathfrak n}\] 은 동형사상이다(\(x^{-1}\)은 \(R_{\mathfrak n}\)에서 가역이고 \(z_{j + 1} = x^{-1}z_j - a_j = \ldots = f_j(x, x^{-1}, z)\)이기 때문이다). 따라서 \(R_{\mathfrak n}\)은 차원 \(2\)이고 잉여체가 \(k\)인 정칙 국소환이다.

\(S\)를 다음 곱셈적 부분집합이라 하자. \[S = (R \setminus \mathfrak m) \cap (R \setminus \mathfrak n) = R \setminus (\mathfrak m \cup \mathfrak n)\] 그리고 \(B = S^{-1}R\)이라 놓자. 다음을 주장한다.

1. \(B\)는 \(k\)-대수이다.

2. \(B\)의 극대 아이디얼은 \(\mathfrak mB\)와 \(\mathfrak nB\) 두 개이다.

3. 이 극대 아이디얼들에서의 잉여체는 \(k\)이다.

4. \(B_{\mathfrak mB} = R_{\mathfrak m}\)과 \(B_{\mathfrak nB} = R_{\mathfrak n}\)은 각각 차원 \(1\), \(2\)인 뇌터 정칙 국소환이다.

5. \(B\)는 뇌터 환이다.

확인의 세부 사항은 생략한다.

위 성질들을 갖는 \(k\)-대수 \(B\)가 주어질 때마다 다음과 같이 예를 얻는다. \(A = k + \text{rad}(B) \subset B\)라 놓되 \(\text{rad}(B) = \mathfrak mB \cap \mathfrak nB\)는 Jacobson 근기라 하자. \(B\)는 \(A\) 위에서 유한이고, 따라서 Eakin의 정리([Eakin], [Nagata, Appendix A1], 또는 나중에 넣을 참고문헌을 보라)에 의해 \(A\)는 뇌터 환임을 쉽게 알 수 있다. 또한 \(A\)는 \(B\)와 같은 분수체와 잉여체 \(k\)를 갖는 국소 정역이다. \(B\)의 차원이 \(2\)이므로 『대수학』의 보조정리 00OK에 의해 \(A\)의 차원도 \(2\)이다.

\(A\)가 보편적으로 사슬 조건을 만족한다면 『대수학』의 보조정리 02IJ의 차원 공식이 \(\dim(B_{\mathfrak mB}) = 2\)를 주는데, 이는 모순이다.

\(B\)는 \(A\) 위에서 한 원소로 생성된다. 따라서 \(B = A[x]/\mathfrak p\)이고, 여기서 \(\mathfrak p\)는 \(A[x]\)의 소 아이디얼이다. \(\mathfrak m' \subset A[x]\)를 \(\mathfrak mB\)에 대응하는 극대 아이디얼이라 하자. 한편으로 \(\dim(A[x]_{\mathfrak m'}) = 3\)이고, 다른 한편 \[(0) \subset \mathfrak pA[x]_{\mathfrak m'} \subset \mathfrak m'A[x]_{\mathfrak m'}\] 는 소 아이디얼의 극대 사슬이다. 따라서 \(A[x]_{\mathfrak m'}\)은 사슬 조건을 만족하지 않는 뇌터 국소환의 예이다.

나쁜 뇌터 국소환의 존재

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 뇌터 완비 국소환이라 하자. [Lech]에서는 \(A\)가 뇌터 국소 정역의 완비화가 되는 충분조건으로 \(\text{depth}(A) \geq 1\)이고 \(A\)가 부분환으로 \(\mathbf{Q}\) 또는 \(\mathbf{F}_p\)를 포함하거나, \(\mathbf{Z}\)를 부분환으로 포함하면서 \(A\)가 \(\mathbf{Z}\)-가군으로서 꼬임이 없는 경우를 보였다. 이는 “기묘한” 성질을 가진 뇌터 국소 정역의 많은 예를 만들어 준다.

예를 들어 이를 \(A = \mathbf{C}[[x, y]]/(y^2)\)에 적용하면 완비화가 비축소인 뇌터 국소 정역을 얻는다. 절 02JD와 비교하라.

[LLPY]에서는 \(A\)가 축소 국소 뇌터 환의 완비화가 될 조건을 특징지었다.

[Heitmann-completion-UFD]에서는 \(A\)가 국소 뇌터 유일 인수분해 정역 \(R\)의 완비화가 되는 충분조건으로 \(\text{depth}(A) \geq 2\)이고 \(A\)가 부분환으로 \(\mathbf{Q}\) 또는 \(\mathbf{F}_p\)를 포함하거나, \(\mathbf{Z}\)를 부분환으로 포함하면서 \(A\)가 \(\mathbf{Z}\)-가군으로서 꼬임이 없는 경우를 보였다. 특히 \(R\)은 정규이고(『대수학』의 보조정리 0AFV), 따라서 \(R\)의 헨젤화도 정규 정역이다 (『대수학 더 보기』의 보조정리 06DI). 그러므로 위와 같은 \(A\)는 헨젤 뇌터 국소 정규 정역의 완비화이다 (\(R\)과 그 헨젤화의 완비화는 같다. 『대수학 더 보기』의 보조정리 06LJ을 보라).

이를 적용하면 뇌터 국소 유일 인수분해 정역 \(R\)으로서 \(R^\wedge \cong \mathbf{C}[[x, y, z, w]]/(wx, wy)\)인 것을 얻는다. \(\Spec(R^\wedge)\)는 정칙 \(2\)차원 성분과 정칙 \(3\)차원 성분의 합집합이다. 환 \(R\)은 보편적으로 사슬 조건을 만족할 수 없다. 극대 아이디얼을 부풀리기한 \[X \longrightarrow \Spec(R)\] 을 생각하자. 그러면 \(X\)는 정수적 스킴이다. 닫힌점 \(x \in X\)로서 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 2\)인 것이 존재한다. 구체적으로 완비 국소환의 수준에서 \(x\)를 \(2\)차원 성분의 순변환 위에 놓이고 \(3\)차원 성분의 순변환 위에는 놓이지 않게 택한다. 『사상』의 보조정리 02JU에 의해 \(R\)은 보편적으로 사슬 조건을 만족하지 않는다. 절 02JE과 비교하라.

위 환은 \(3\)차원 국소 뇌터 유일 인수분해 정역이므로 사슬 조건을 만족한다. 그러나 [Ogoma-example]에서는 정규 국소 뇌터 정역 \(R\)으로서 \(R^\wedge \cong \mathbf{C}[[x, y, z, w]]/(wx, wy)\)이고 \(R\)이 사슬 조건을 만족하지 않는 것을 구성한다. [Heitmann-Ogoma]와 [Lech-YAPO]도 보라.

[Heitmann-isolated]에서는 \(A\)가 고립 특이점을 갖는 국소 뇌터 환 \(R\)의 완비화가 되기 위한 조건으로, \(A\)가 부분환으로 \(\mathbf{Q}\) 또는 \(\mathbf{F}_p\)를 포함하거나 \(A\)의 잉여 표수가 \(p > 0\)이고 \(p\)가 \(A\)의 어떤 진 국소화에서도 영이 아닌 영인자로 보내지지 않는 경우를 보였다. 여기서 뇌터 국소환 \(R\)이 고립 특이점을 갖는다는 것은 \(R_\mathfrak p\)가 정칙 국소환이고, 이것이 모든 비극대 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대해 성립한다는 뜻이다.

논문 [Nishimura-few]와 [Nishimura-few-II]에는 주어진 완비화를 갖는 “나쁜” 뇌터 국소환들의 긴 목록이 있다. 특히 \(2\)차원 Nagata 국소 정규 정역으로서 완비화가 \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(yz)\)인 예와 완비화가 \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(y^2 - z^3)\)인 또 하나의 예를 구성한다.

여담으로 [Loepp]에서는 \(A\)가 축소이고 등차원이며 \(A\)의 어떤 정수도 영인자가 아니면 \(A\)가 우수 뇌터 국소 정역의 완비화임을 보였다. 그러나 이 경우에는 우수한 환을 얻으므로 “나쁜” 뇌터 국소환을 주지 않는다!

뇌터 Jacobson 환에서의 차원

\(k\)를 유한체의 대수적 폐포라 하자. \(A = k[x, y]\)이고 \(X = \Spec(A)\)라 하자. \(C = V(x)\)를 \(y\)축이라 하자(이는 임의의 다른 \(1\)차원 정수적 닫힌 부분스킴이어도 되며, 그 부분스킴은 \(X\) 안에 있다). \(C_1, C_2, C_3, \ldots\)를 \(X\)의 다른 \(1\)차원 정수적 닫힌 부분스킴들의 열거라 하자. \(p_1, p_2, p_3, \ldots\)를 \(C\)의 닫힌점들의 열거라 하자.

주장: 모든 \(n\)에 대해 기약 닫힌집합 \(Z_n \subset X\)가 존재하는데, 그 차원은 \(1\)이고 집합론적으로 \[\{p_n\} = Z_n \cap (C \cup C_1 \cup \ldots \cup C_n)\] 이다. 이를 위해 \(Y = C \cup C_1 \cup C_2 \cup \ldots \cup C_n\)이라 놓자. 이는 축소 아핀 \(1\)차원 대수적 스킴이며 \(k\) 위에 놓여 있다. 어떤 \(f \in k[x, y]\)에 대해 집합론적으로 \(V(f) \cap Y = \{p_n\}\)가 되게 찾으면 충분하다. 그러면 \(Z_n\)을 \(V(f)\)의 적당한 기약 성분으로 택할 수 있기 때문이다. 제한 사상 \[k[x, y] \longrightarrow \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\] 이 전사이므로 정칙함수 \(g\)를 \(Y\) 위에서 찾되, 그 영점집합이 집합론적으로 \(\{p_n\}\)가 되게 하면 충분하다. 이를 위해 유효 Cartier 인자 \(D \subset Y\)로서 지지가 \(p_n\)인 것을 택한다(『다양체』의 보조정리 09NA에 의해 가능하다). 따라서 \(\mathcal{O}_X(ND) \cong \mathcal{O}_X\)가 어떤 \(N > 0\)에 대해 성립함을 보이면 충분하다. 유한체의 대수적 폐포 위의 아핀 \(1\)차원 대수적 스킴의 Picard 군은 꼬임 군이므로(여기에 나중의 참고문헌을 넣을 것) 주장이 따른다.

위와 같은 \(Z_n\)을 모든 \(n\)에 대해 택하자. \(k[x, y]\)는 유일 인수분해 정역이므로 \(Z_n = V(f_n)\)이라 쓸 수 있으며, 여기서 \(f_n \in A\)는 기약원이다. \(S \subset k[x, y]\)를 \(f_1, f_2, f_3, \ldots\)가 생성하는 곱셈적 부분집합이라 하자. 뇌터 환 \(B = S^{-1}A\)를 생각하자.

분명히 환 준동형 \(A \to B\)는 국소환들을 동일시하고 단사 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)를 유도한다. 더욱이 곡선 \(C_1\)을 보면 \(C \cap C_1\)의 점들만 \(\Spec(A)\)에서 \(\Spec(B)\)로 갈 때 제거된다. 특히 \(\Spec(B)\)에는 \(A\)의 극대 아이디얼에 대응하는 극대 아이디얼이 무한히 많이 있다. 한편 \(xB\)는 극대 아이디얼이다. 실제로 \(B/xB\)의 스펙트럼은 유일한 소 아이디얼로 이루어진다. 이는 \(C = V(x)\)의 모든 닫힌점을 제거했지만 일반점은 제거하지 않았기 때문이다. 끝으로 \(i \geq 1\)에 대해 곡선 \(C_i\)를 생각하자. \(C_i = V(g_i)\)라 쓰자. 여기서 \(g_i \in A\)는 기약원이다. \(C_i = Z_n\)인 어떤 \(n\)이 있으면 \(g_iB\)는 단위 아이디얼이다. 그렇지 않으면 \(C_i\)의 닫힌점 중 유한 개만 제외하고 모두 \(A\)에서 \(B\)로 갈 때 남는다. 구체적으로 제거되는 점은 \((Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i - 1} \cup C) \cap C_i\)의 점들이며, 이 점들만 \(C_i\)에서 제거된다.

위에서 기술한 \(B\)의 소 스펙트럼 구조와 『대수학』의 보조정리 00KX에 의해 \(B\)는 Jacobson 환이다. 극대 아이디얼은 \(A\)의 극대 아이디얼들 중 \(\Spec(B)\)에 속하는 것들(이들은 무한히 많다)과 극대 아이디얼 \(xB\)이다. 따라서 차원 \(1\)과 \(2\)인 국소환들이 있다.

보조정리

보편적으로 사슬 조건을 만족하는 Jacobson 뇌터 정역 \(B\)와 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_1, \mathfrak m_2\)가 존재하여 \(\dim(B_{\mathfrak m_1}) = 1\)이고 \(\dim(B_{\mathfrak m_2}) = 2\)이다.

증명

\(B\)의 구성은 위에 주어졌다. 『대수학』의 보조정리 00NJ와 『사상』의 보조정리 02JB에 의해 \(B\)가 보편적으로 사슬 조건을 만족한다는 점만 지적한다.

밑공간은 뇌터이지만 뇌터 스킴은 아닌 경우

밑 위상 공간이 뇌터인 스킴이 뇌터 스킴이 아닐 수 있음을 보이는 두 예를 든다.

예

\(k\)를 체라 하고 \(A = k[x_1, x_2, x_3, \dots] / (x_1^2, x_2^2, x_3^2, \dots)\)라 하자. \(A\)의 모든 소 아이디얼은 멱영원 \(x_1, x_2, x_3, \dots\)를 포함하므로 \(\mathfrak p = (x_1, x_2, x_3, \dots)\)가 \(A\)의 유일한 소 아이디얼이다. 따라서 \(\operatorname{Spec} A\)의 밑 위상 공간은 한 점이고, 특히 뇌터이다. 그러나 \(\mathfrak p\)는 명백히 유한 생성이 아니다.

예

\(k\)를 체라 하고 \(A \subseteq k[x, y]\)를 \(k\)와 단항식 \(\{xy^i\}_{i \ge 0}\)가 생성하는 부분환이라 하자. \(A\)의 소 아이디얼 중 \(x\)를 포함하지 않는 것은 \(A_x \cong k[x, x^{-1}, y]\)의 소 아이디얼과 일대일로 대응한다. 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)가 \(x\)를 포함한다면 모든 \(xy^i\), \(i \ge 0\)도 포함한다. 실제로 \((xy^i)^2 = x(xy^{2i}) \in \mathfrak p\)이고 \(\mathfrak p\)는 근기 아이디얼이기 때문이다. 따라서 \(\mathfrak p = (\{xy^i\}_{i \ge 0})\)이다. 그러므로 \(\operatorname{Spec} A\)의 밑 위상 공간은 뇌터이다. 이 공간은 뇌터 스킴 \(\Spec(A[x, x^{-1}, y])\)의 점들과 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)로 이루어지기 때문이다. 그러나 환 \(A\)는 \(\mathfrak p\)가 유한 생성이 아니므로 비뇌터이다. 이 예에서 \(A\)는 정역이기도 하다.

정규화는 준아핀이지만 자신은 준아핀이 아닌 다양체

이런 종류의 예가 존재한다는 언급은 [EGA, II Remark 6.6.13]에 있다. 거기서는 그러한 예로 EGA 제5권을 인용하지만 제5권은 출판되지 않았다.

\(k\)를 체라 하자. \(Y = \mathbf{A}^2_k \setminus \{(0, 0)\}\)라 하자. 유한 전사 쌍유리 사상 \(\pi : Y \longrightarrow X\)를 구성하되, \(X\)는 \(k\) 위의 다양체이고 \(X\)는 준아핀이 아니게 하겠다. 구체적으로 \(Y\) 안의 다음 곡선들을 생각하자. \[\begin{matrix} C_1 & : & x = 0 \\ C_2 & : & y = 0 \end{matrix}\] \(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)임에 주의하라. 동형사상 \(\varphi : C_1 \to C_2\), \((0, y) \mapsto (y^{-1}, 0)\)을 택하자. 다음 조건을 만족하는 위와 같은 사상 \(\pi : Y \to X\)가 유일하게 존재한다고 주장한다. \[\xymatrix{ C_1 \ar@<1ex>[rr]^{\text{id}} \ar@<-1ex>[rr]_{\varphi} & & Y \ar[r]^\pi & X }\] 이 도식은 다양체의 범주에서, 심지어 스킴의 범주에서도 쌍대등화자 도식이다. 이를 잠시 받아들이고 그러한 \(X\)가 준아핀일 수 없음을 보이자. 실제로 분명히 \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \{ f \in k[x, y] \mid f(0, y) = f(y^{-1}, 0)\} = k \oplus (xy) \subset k[x, y].\] 를 얻는다. 특히 이 함수들은 점 \((1, 0)\)과 \((-1, 0)\)을 분리하지 못하지만, 그 두 점의 \(X\)에서의 상은 서로 다르다 (아래에서 이를 보일 것이다). 단, 이는 \(k\)의 표수가 \(2\)가 아닐 때의 말이다.

\(X\)가 존재함을 보이기 위해 Zariski 열린집합 \(D(x + y) \subset Y\)를 \(Y\)에서 생각하자. 이는 환 \(k[x, y, 1/(x + y)]\)의 스펙트럼이고, 곡선 \(C_1\), \(C_2\)는 모두 \(D(x + y)\)에 들어간다. 더욱이 사상 \[C_1 \amalg C_2 \longrightarrow D(x + y) \cap Y = \Spec(k[x, y, 1/(x + y)])\] 은 닫힌 몰입이다. 『대수학 더 보기』의 보조정리 00IT에 의해 환 \[A = \{f \in k[x, y, 1/(x + y)] \mid f(0, y) = f(y^{-1}, 0)\}\] 은 \(k\) 위의 유한형이다. 한편 열린집합 \(D(xy) \subset Y\)가 \(Y\)에 있고, 이는 곡선 \(C_1\)과 \(C_2\) 모두와 만나지 않는다. 이는 환 \[B = k[x, y, 1/xy].\] 의 스펙트럼이다. \(A_{xy} \cong B_{x + y}\)임에 주의하라 (\(A\)는 원소 \(xyP(x, y)\)를 포함하는데 이는 임의의 다항식 \(P\)에 대해 성립하며, 또 원소 \(xy/(x + y)\)도 분명히 포함하기 때문이다). 스킴 \(X\)는 아핀 스킴 \(\Spec(A)\)와 \(\Spec(B)\)를 동형사상 \(A_{xy} \cong B_{x + y}\)로 붙여 얻으며, 따라서 분명히 \(k\) 위의 유한형이다. 이것이 분리임을 보이려면 환 준동형 \(A \otimes_k B \to B_{x + y}\)가 전사임을 보이면 된다. 이를 위해 \(A \otimes_k B\)가 원소 \(xy/(x + y) \otimes 1/xy\)를 포함하고 이것이 \(1/(x + y)\)로 감을 이용하라. 사상 \(Y \to X\)는 자연스러운 사상 \(D(x + y) \to \Spec(A)\)와 \(D(xy) \to \Spec(B)\)로 주어진다. 이 둘은 모두 유한이므로 \(Y \to X\)도 원하는 대로 유한이다. \(X\)가 실제로 위 도식의 쌍대등화자라는 확인은 생략한다. 다만 (여기에 스킴의 범주에서의 밂아웃에 관한 나중의 참고문헌을 넣을 것)을 보라. 사상 \(\pi : Y \to X\)가 점 \((1, 0)\)과 \((-1, 0)\)을 \(X\)의 서로 다른 점으로 보내는 이유는 함수 \((x + y^3)/(x + y)^2 \in A\)의 첫째 값은 \(1/1\)이고, 둘째 값은 \(-1/(-1)^2 = -1\)이며 이들은 언제나 다르기 때문이다 (표수가 \(2\)이면 독자가 표수 \(2\)에 맞는 점들을 직접 찾아 보라). 이 논의를 보조정리로 요약한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. 정규화는 준아핀이지만 자신은 준아핀이 아닌 다양체 \(X\)가 존재한다.

증명

위의 논의와 (여기에 정규화에 관한 나중의 참고문헌을 넣을 것)을 보라.

스킴론적 상 취하기

\(k\)를 체라 하자. \(t\)를 변수라 하자. \(Y = \Spec(k[t])\)이고 \(X = \coprod_{n \geq 1} \Spec(k[t]/(t^n))\)라 하자. 사상 \(f : X \to Y\)는 닫힌 몰입 \(\Spec(k[t]/(t^n)) \to \Spec(k[t])\)을 사용해 정의하되, 이를 각 \(n \geq 1\)에 대해 취한다. 이 경우 다음이 성립한다.

1. \(f\)의 스킴론적 상 (『사상』의 정의 01R7)은 \(Y\)이다. 한편 \(f\)의 상은 닫힌점 \(t = 0\)이며, 이 점은 \(Y\)에 있다. 따라서 \(f\)의 스킴론적 상의 밑 닫힌집합은 \(f\)의 상의 폐포와 같지 않다.

2. 스킴론적 상의 구성은 열린 부분스킴 \(V = \Spec(k[t, 1/t]) \subset Y\)로의 제한과 가환하지 않는다. 실제로 \(V\)의 \(X\)에서의 역상은 공집합이므로 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\)의 스킴론적 상은 공 스킴이다. 이는 \(Y \cap V\)와 같지 않다.

국소 닫힌 부분집합의 상

Chevalley의 정리는 아핀 스킴 사이의 유한 표시 사상에 의한 구성가능집합의 상이 구성가능하다고 말한다. 『대수학』의 정리 00FE와 『사상』의 절 054H을 보라. 국소 닫힌 부분집합의 상에는 같은 명제가 성립하지 않음을 보이겠다.

\(k\)를 표수가 \(0\)인 체라 하자. 사영 사상 \[f : X = \Spec(k[t, x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots]) \longrightarrow \Spec(k[x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots]) = Y\] 을 생각하자. 이는 유한 표시 사상이다. 닫힌 부분집합 \(Z\)를 \(X\) 안에서 \[x_1(t - 1) = 0,\quad x_2(t - 1)(t - 2) = 0,\quad x_3(t - 1)(t - 2)(t - 3) = 0,\quad \ldots\] 로 정의하자. \(U = \bigcup_{j \geq 1} U_j\)를 다음과 같이 정의되는 \(X\)의 열린집합이라 하자. \[U_j = \text{다음 식 }y_j(t - 1)(t - 2) ... (t - j)\text{이 영이 아닌 점들}\] 그러면 \[f(Z \cap U_j) = \text{다음 조건을 만족하는 점들: }x_1, \ldots, x_j\text{는 영이고 }y_j\text{는 영이 아님}\] 이다. \(B = f(Z \cap U) = \bigcup_{j \geq 1} f(Z \cap U_j)\)는 \(Y\)의 국소 닫힌 부분집합들의 유한 합집합이 아니라고 주장한다.

주장을 증명하자. \(B = A_1 \cup \cdots \cup A_m\)이 \(B\)의 유한 피복이고 그 구성원은 \(Y\)의 국소 닫힌 부분집합들이라고 가정하자. \(n\)에 관한 귀납법으로 \(m \geq n\)임을 보이겠다. \(n = 1\)인 경우는 \(B\)가 비어 있지 않으므로 성립한다. \(n > 1\)이고 \(n - 1\)에 대한 귀납 가정이 성립한다고 하자. \(B\)의 폐포는 \((x_1 = 0)\)이므로 어떤 \(A_i\)는 \((x_1 = 0)\)의 비어 있지 않은 열린 부분집합을 포함해야 한다. 그러면 \(A_i\)는 \((x_1 = 0)\)에서 열려 있어야 한다. 그러나 그러한 열린 부분집합은 \(y_1 = 0\)인 점을 포함할 수 없다. 실제로 \(B\)의 점에서 \(y_1 = 0\)이면 \(x_2 = 0\)이고, 따라서 \(B\)는 \((x, y)\)의 어떤 근방도 \((x_1 = 0)\) 안에서 포함하지 않는다. 그러므로 나머지 \(m - 1\)개의 집합을 제한하면 \(B \cap (y_1 = 0)\)의 구성가능 피복을 얻는다. 그런데 오른쪽 이동 사상 \(x_i \mapsto x_{i + 1}\), \(y_i \mapsto y_{i + 1}\)은 \(B\)를 \(B \cap (y_1 = 0)\)과 동일시한다! 따라서 귀납 가정에 의해 \(m - 1 \geq n - 1\)이고, 따라서 \(m \geq n\)이다. 이로써 귀납 단계와 주장이 증명되었다.

보조정리

아핀 스킴 사이의 유한 표시 사상 \(f : X \to Y\)와 국소 닫힌 부분집합 \(T\)가 존재하며, 이는 \(X\)의 부분집합이고 \(f(T)\)는 \(Y\)의 국소 닫힌 부분집합들의 유한 합집합이 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

어떤 닫힌 부분스킴에서도 열리지 않는 국소 닫힌 부분스킴

이는 『사상』의 예 01QW를 옮긴 것이다. 열린 몰입 다음에 닫힌 몰입을 합성한 꼴이 아닌 몰입의 예를 들자. \(k\)를 체라 하자. \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\)라 하자. \(U = \bigcup_{n = 1}^{\infty} D(x_n)\)라 하자. 그러면 \(U \to X\)는 열린 몰입이다. 다음 아이디얼을 생각하자. \[I_n = (x_1^n, x_2^n, \ldots, x_{n - 1}^n, x_n - 1, x_{n + 1}, x_{n + 2}, \ldots) \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n].\] 임의의 \(m \not = n\)에 대해 \(I_n k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_nx_m] = (1)\)임에 주의하라. 따라서 준연접 아이디얼 \(\widetilde I_n\)은 \(D(x_n)\) 위에 있고, 이들은 \(D(x_nx_m)\)에서 일치한다. 즉 \(n \not = m\)이면 \(\widetilde I_n|_{D(x_nx_m)} = \mathcal{O}_{D(x_n x_m)}\)이다. 따라서 이 아이디얼들을 붙이면 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)를 얻는다. \(Z \subset U\)를 \(\mathcal{I}\)에 대응하는 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(Z \to X\)는 몰입이다.

\(Z \to X\)를 \(Z \to \overline{Z} \to X\)로 분해할 수 없다고 주장한다. 여기서 \(\overline{Z} \to X\)는 닫혀 있고 \(Z \to \overline{Z}\)는 열려 있다고 하자. 그렇다면 \(\overline{Z}\)는 아이디얼 \(I \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\)로 정의되어야 하고, 이 아이디얼은 \(I_n = I k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n]\)을 만족해야 한다. 그러나 원소 \(f \in k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) 가운데 모든 \(I_n\)에 들어가는 것은 \(0\)뿐이다! 따라서 그런 \(I\)는 없다.

사상 \(Z \to X\)는 몰입의 스킴론적 상이 나쁘게 행동하는 예도 준다. 위 논증에 의해 몰입 \(Z \to X\)의 스킴론적 상은 \(X\)이다. 한편

1. \(Z\)는 \(X\)에서 위상적으로 조밀하지 않다.

2. \(Z = Z \cap U \to U\)의 스킴론적 상은 \(Z\) 자체이다. 이는 \(U \cap X = U\)와 같지 않으므로, 이 경우 스킴론적 상의 구성은 열린집합으로의 제한과 가환하지 않는다.

적당한 열린집합의 부존재

이 절은 『성질』의 절 01ZU의 결과를 보충한다.

\(k\)를 체라 하고 \(A = k[z_1, z_2, z_3, \ldots]/I\)라 하자. 여기서 \(I\)는 모든 쌍곱 \(z_iz_j\), \(i \not = j\), \(i, j \in \mathbf{N}\)가 생성하는 아이디얼이다. \(S = \Spec(A)\)라 놓자. \(s \in S\)를 극대 아이디얼 \((z_i)\)에 대응하는 닫힌점이라 하자. \(V \subset S \setminus \{s\}\)인 준콤팩트 열린집합 가운데 \(S \setminus \{s\}\)에서 조밀한 것은 없다고 주장한다. \(S \setminus \{s\} = \bigcup D(z_i)\)임에 주의하라. 각 \(D(z_i)\)는 일반점 \(\eta_i\)를 갖는 열린 기약집합이다. 따라서 모든 \(i\)에 대해 \(\eta_i \in V\)이다. 그러나 \(S \setminus \{s\}\)의 주 아핀 열린집합은 \(D(f)\) 꼴이며, 여기서 \(f \in (z_1, z_2, \ldots)\)이다. 어떤 \(n\)에 대해 \(f \in (z_1, \ldots, z_n)\)이므로 \(D(f)\)는 점 \(\eta_i\)를 유한 개만 포함한다. 따라서 \(V\)는 준콤팩트일 수 없다.

\(k\)를 체라 하고 \(B = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots]/J\)라 하자. 여기서 \(J\)는 곱 \(xz_i\), \(i \in \mathbf{N}\)와 모든 쌍곱 \(z_iz_j\), \(i \not = j\), \(i, j \in \mathbf{N}\)가 생성하는 아이디얼이다. \(T = \Spec(B)\)라 놓자. 주 열린집합 \(U = D(x)\)를 생각하자. \(V \subset T\)인 준콤팩트 열린집합 가운데 \(V \cap U = \emptyset\)이고 \(V \cup U\)가 \(T\)에서 조밀한 것은 없다고 주장한다. \(t \in T\)를 극대 아이디얼 \((x, z_i)\)에 대응하는 닫힌점이라 하자. \(T\)에서 \(U\)의 폐포는 \(\overline{U} = U \cup \{t\}\)이다. 따라서 \(V \subset \bigcup_i D(z_i)\)는 준콤팩트 열린집합이다. 앞 문단의 논증에 의해 \(V\)는 \(\bigcup D(z_i)\)에서 조밀할 수 없다.

보조정리

아핀 안의 준콤팩트 열린집합의 부존재:

1. 아핀 스킴 \(S\)와 아핀 열린집합 \(U \subset S\)가 존재하여, \(V \subset S\)인 준콤팩트 열린집합 가운데 \(U \cap V = \emptyset\)이고 \(U \cup V\)가 \(S\)에서 조밀한 것은 없다.

2. 아핀 스킴 \(S\)와 닫힌점 \(s \in S\)가 존재하여 \(S \setminus \{s\}\)는 준콤팩트 조밀 열린집합을 포함하지 않는다.

증명

위의 논의를 보라.

위의 아핀 스킴 \(T\) 두 복사본을 아핀 열린집합 \(U\)를 따라 붙인 것을 \(X\)라 하자. 그러면 사상 \(\pi : X \to T\)와 \(X = U_1 \cup U_2\)가 있어 \(\pi\)는 \(U_i\)를 \(T\)와 동형으로, \(U_1 \cap U_2\)를 \(U\)와 동형으로 보낸다. \(X\)는 준분리이고(『스킴』의 보조정리 01KO) 준콤팩트이다. \(W \subset X\)인 분리이고 조밀한 준콤팩트 열린집합은 존재하지 않는다고 주장한다. \(x_1 \in U_1\), \(x_2 \in U_2\)를 위에서 도입한 닫힌점 \(t \in T\)로 가는 두 닫힌점이라 하자. \(\tilde \eta \in U_1 \cap U_2\)를 \(U\)의 유일한 일반점 \(\eta\)로 가는 일반점이라 하자. 특수화 \(\eta \leadsto t\) 위에서 \(\tilde\eta \leadsto x_1\)과 \(\tilde\eta \leadsto x_2\)가 성립함에 주의하라. \(\pi|_W : W \to T\)가 분리이므로 \(x_1\)이 그 열린집합에 속하면서 동시에 \(x_2 \in W\)일 수는 없다(분리성의 값 판정법인 『스킴』의 보조정리 01L0). \(x_1 \not \in W\)라 하자. 그러면 \(W \cap U_1\)은 (\(X\)가 준분리이므로) \(U_1\)의 준콤팩트 조밀 열린집합이고 \(x_1\)을 포함하지 않는다. 이제 스킴의 동형사상 \((T, t) \cong (S, s)\)가 존재함에 주의하라. 이는 \(x\)를 \(z_1\)로, \(z_i\)를 \(z_{i + 1}\)로 보내어 얻는다. 따라서 이 절의 첫 문단에 의해 모순이다.

보조정리

분리이고 준콤팩트인 조밀 열린집합을 포함하지 않는 준콤팩트 준분리 스킴 \(X\)가 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

준콤팩트 조밀 열린 부분스킴의 부존재

\(X\)를 체 \(k\) 위의 준콤팩트 준분리 대수공간이라 하자. 스킴 자취 \(X' \subset X\)는 조밀한 열린 부분공간이다. 『공간의 성질』의 명제 06NH를 보라. 사실 이 결과는 \(X\)가 합리적일 때에도 성립한다. 『양호한 공간』의 명제 03JI를 보라. \(X\)의 준콤팩트 조밀 열린 부분스킴을 찾을 수 있는지가 자연스러운 질문인데, 일반적으로는 불가능하다.

\(k\)의 표수가 2가 아니라고 하자. \(B = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots]/J\)라 하자. 여기서 \(J\)는 곱 \(xz_i\), \(i \in \mathbf{N}\)와 모든 쌍곱 \(z_iz_j\), \(i \not = j\), \(i, j \in \mathbf{N}\)가 생성하는 아이디얼이다. \(U = \Spec(B)\)라 놓자. 모든 좌표가 영인 닫힌점을 \(0 \in U\)라 쓰자. 다음과 같이 놓는다. \[j : R = \Delta \amalg \Gamma \longrightarrow U \times_k U\] 여기서 \(\Delta\)는 \(k\) 위의 \(U\)의 대각사상의 상이고 \[\Gamma = \{((x, 0, 0, 0, \ldots), (-x, 0, 0, 0, \ldots)) \mid x \in \mathbf{A}^1_k, x \not = 0\}.\] \(s, t : R \to U\)가 étale임은 분명하므로 \(j\)는 étale 동치관계이다. 몫 \(X = U/R\)은 대수공간이다 (『공간』의 정리 02WW). \(j\)는 몰입이 아니다. 실제로 \((0, 0) \in \Delta\)는 \(\Gamma\)의 폐포에 속한다. 따라서 \(X\)는 스킴이 아니다. 한편 \(R\)이 준콤팩트이므로 \(X\)는 준분리이다. 점 \(0 \in U\)의 상을 \(0_X\)라 쓰자. \(X \setminus \{0_X\}\)는 스킴이라고 주장한다. 실제로 \[X \setminus \{0_X\} = \Spec\left(k[x^2, x^{-2}]\right) \amalg \Spec\left(k[z_1, z_2, z_3, \ldots]/(z_iz_j)\right) \setminus \{0\}\] 이다(세부 사항은 생략한다). 한편 절 086G에서 오른쪽 스킴이 준콤팩트 조밀 열린집합을 포함하지 않음을 보았다.

보조정리

준콤팩트 조밀 열린 부분스킴을 포함하지 않는 준콤팩트 준분리 대수공간이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

『공간』의 예 03FN의 구성을, 위에서 『공간』의 예 02Z1의 구성을 사용한 것과 같은 방식으로 사용하면, 준콤팩트 조밀 열린 부분스킴을 포함하지 않는 준콤팩트하고 준분리이며 국소 분리인 대수공간의 예를 얻는다.

대수공간 위의 아핀 스킴

\(f : Y \to X\)가 스킴의 사상이고 \(f\)가 국소 유한형이며 \(Y\)가 아핀이라고 하자. 그러면 \(Y\)에서 \(X\) 위의 아핀 \(n\)-공간으로 가는 몰입 \(Y \to \mathbf{A}^n_X\)이 존재한다. 조금 더 일반적인 『사상』의 보조정리 04II를 보라.

이제 \(f : Y \to X\)가 대수공간의 사상이고 \(f\)가 국소 유한형이며 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 하자. 이 경우에는 일반적으로 \(Y\)에서 \(X\) 위의 아핀 \(n\)-공간으로 가는 몰입을 찾을 수 없다.

첫 번째 (고약한) 반례는 \(Y = \Spec(k)\), \(X = [\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}]\)이다. 여기서 \(k\)는 표수 영인 체이고 \(\mathbf{Z}\)는 \(\mathbf{A}^1_k\)에 평행이동 \((n, t) \mapsto t + n\)으로 작용한다. 실제로 \(X\) 위의 임의의 사상 \(Y \to \mathbf{A}^n_X\)을 \(X\)의 피복 \(\mathbf{A}^1_k\)로 당기면 \(\mathbf{A}^1_k\)들의 무한 서로소 합집합에서 \(\mathbf{A}^{n + 1}_k\)로 가는 사상을 얻는데, 이는 몰입이 아니다.

두 번째 반례는 \(Y = \mathbf{A}^1_k \to X = \mathbf{A}^1_k/R\)이고 \(R = \{(t, t)\} \amalg \{(t, -t), t \not = 0\}\)인 경우이다. 실제로 이 경우 사상 \(Y \to \mathbf{A}^n_X\)은 \(Y\) 위의 정칙함수 \(f_1, \ldots, f_n\)으로 주어진다. 따라서 \(Y\)와 피복 \(\mathbf{A}^{n + 1}_k \to \mathbf{A}^n_X\)의 섬유곱은 스킴 \[\{(f_1(t), \ldots, f_n(t), t)\} \amalg \{(f_1(t), \ldots, f_n(t), -t), t \not = 0\}\] 이다. 이것에서 \(\mathbf{A}^{n + 1}_k\)로 가는 명백한 사상은 몰입이 아니다. 이는 \(X\)가 준분리인 반례를 준다는 점에 주의하라.

보조정리

대수공간의 유한형 사상 \(Y \to X\) 가운데 \(Y\)가 아핀이고 \(X\)가 준분리이며, \(X\) 위의 몰입 \(Y \to \mathbf{A}^n_X\)이 존재하지 않는 것이 있다.

증명

위의 논의를 보라.

준연접 가군의 밂앞

『스킴』의 보조정리 01LC에서 \(f_*\)는 \(f\)가 준콤팩트 준분리일 때 준연접 가군을 준연접 가군으로 보냄을 증명했다. 두 조건이 모두 필요함을 보이는 예들을 들자.

\(Y = \Spec(A)\)를 아핀 스킴이라 하고 \(X = \coprod_{n \in \mathbf{N}} Y\)라 하자. 명백한 사상을 \(f : X \to Y\)라 할 때 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 준연접이 아니라고 주장한다. 실제로 \(a \in A\)에 대해 \[f_*\mathcal{O}_X(D(a)) = \prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A_a\] 이다. 따라서 \(f_*\mathcal{O}_X\)가 준연접이려면 모든 \(a \in A\)에 대해 \[\prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A_a = \left(\prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A\right)_a\] 이어야 한다. 일반적으로 이는 거짓이다. 예를 들어 \(A = \mathbf{Z}\)이고 \(a = 2\)이면 \((1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots)\)는 왼쪽에는 속하지만 오른쪽에는 속하지 않는다. \(f\)는 준콤팩트가 아닌 분리 사상이다.

\(k\)를 체라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[A = k[t, z, x_1, x_2, x_3, \ldots]/(tx_1z, t^2x_2^2z, t^3x_3^3z, \ldots)\] \(Y = \Spec(A)\)라 하자. \(V \subset Y\)를 열린 부분스킴 \(V = D(x_1) \cup D(x_2) \cup \ldots\)라 하자. \(Y\)의 두 복사본을 \(V\)를 따라 붙인 것을 \(X\)라 하고, \(f : X \to Y\)를 명백한 사상이라 하자. 그러면 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{O}_Y \xrightarrow{(1, -1)} j_*\mathcal{O}_V\] 이 있다. 여기서 \(j : V \to Y\)는 포함 사상이다. 사상 \[A \longrightarrow \prod A_{x_n}\] 이 단사이므로(세부 사항은 생략한다) \(\Gamma(Y, f_*\mathcal{O}_X) = A\)이다. 한편 사상 \[A_t \longrightarrow \prod A_{tx_n}\] 의 핵은 원소 \(z\)를 포함하므로 영이 아니다. 따라서 \(\Gamma(D(t), f_*\mathcal{O}_X)\)는 \(A_t\)보다 엄밀히 크다. 실제로 \((z, 0)\)을 포함한다. 그러므로 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 준연접이 아니다. \(f\)는 준콤팩트이지만 준분리가 아닌 사상이다.

보조정리

『스킴』의 보조정리 01LC는 준콤팩트성 가정과 준분리성 가정 중 어느 것도 뺄 수 없다는 의미에서 최선이다.

증명

위의 논의를 보라.

계수 1의 유한 자유 줄기를 갖는 유한이 아닌 가군

\(R = \mathbf{Q}[x]\)라 하자. \(R\)의 분수체의 부분가군으로 \(M = \sum_{n \in \mathbf{N}} \frac{1}{x - n}R\)이라 놓자. 그러면 \(M\)은 유한 생성이 아니지만, \(R\)의 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 \(R_{\mathfrak p}\)-가군으로서 \(M_{\mathfrak p} \cong R_{\mathfrak p}\)이다.

비슷한 예로 \(R = \mathbf{Z}\)와 \(M = \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p} \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}\)를 들 수 있다. 이는 \(b\)가 영이 아니고 제곱 인수가 없을 때의 분수 \(\frac{a}{b}\)들의 집합과 같다.

각 줄기에서는 가역이지만 가역이 아닌 아이디얼

\(A\)를 정역, \(I \subset A\)를 영이 아닌 아이디얼이라 하자. \(I\)가 가역이라는 말은 \(I\)가 \(A\)-가군으로서 가역이라는 뜻임을 상기하라. \(I\) 자체는 가역이 아니지만 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해 \(I_\mathfrak q = (f) \subset A_\mathfrak q\)가 영이 아닌 주 아이디얼인 예를 만들겠다. 문헌에서는 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대해 \(I_\mathfrak q\)가 주 아이디얼이라는 성질을 때때로 “\(I\)가 국소 주 아이디얼이다”라고 표현한다. 그러나 우리에게 “국소”는 항상 “Zariski 위상에서 국소”(또는 현재 다루는 위상에서 국소)라는 뜻이므로 이 용어를 쓸 수 없다.

\(R = \mathbf{Q}[x]\)라 하고, 절 065J에서 구성한 가군 \(M = \sum \frac{1}{x - n}R\)을 취하자. 환² \[A = \text{Sym}^*_R(M)\] 과 아이디얼 \(I = M A = \bigoplus_{d \geq 1} \text{Sym}^d_R(M)\)을 생각하자. \(M\)은 \(R\)-가군으로서 유한 생성이 아니므로 \(I\)는 \(A\)의 아이디얼로서 유한 개의 원소로 생성될 수 없다. 가역 가군은 유한 생성이므로 \(I\)는 가역이 아니다. 한편 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)을 잡자. 구성에 의해 \(M_\mathfrak p \cong R_\mathfrak p\)이다. 따라서 \[A_\mathfrak p = \text{Sym}^*_{R_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \cong \text{Sym}^*_{R_\mathfrak p}(R_\mathfrak p) = R_\mathfrak p[T]\] 이며 이는 등급 \(R_\mathfrak p\)-대수의 동형이다. 따라서 \(I_\mathfrak p \subset A_\mathfrak p\)는 영인자가 아닌 \(T\)로 생성된다. 그러므로 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해서도 \(I_\mathfrak q\)는 한 원소로 생성된다.

보조정리

정역 \(A\)와 영이 아닌 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재하여, 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해 \(I_\mathfrak q \subset A_\mathfrak q\)는 주 아이디얼이지만 \(I\)는 가역 \(A\)-가군이 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

사영 가군이 아닌 유한 평탄 가군

이는 『대수학』의 주의 00NY를 옮긴 것이다. 유한 \(R\)-가군이 \(R\)-평탄하다고 해서 자동으로 사영 가군인 것은 아니다. 반례는 \(R = \mathcal{C}^\infty(\mathbf{R})\)가 \(\mathbf{R}\) 위의 무한 번 미분 가능한 함수들의 환이고 \(M = R_{\mathfrak m} = R/I\)인 경우이다. 여기서 \(\mathfrak m = \{f \in R \mid f(0) = 0\}\)이고 \(I = \{f \in R \mid \exists \epsilon, \epsilon > 0 : f(x) = 0\ \forall x, |x| < \epsilon\}\)이다.

사상 \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\)은 열린 사상이 아닌 평탄 닫힌 몰입의 예이기도 하다.

보조정리

기묘한 평탄 가군.

1. 환 \(R\)과, 사영 가군이 아닌 유한 평탄 \(R\)-가군 \(M\)이 존재한다.

2. 평탄하지만 열린 사상은 아닌 닫힌 몰입이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

국소 자유가 아닌 사영 가군

두 예를 들겠다. 하나는 계수가 \(0\)과 \(1\) 사이이고, 다른 하나는 계수가 \(\aleph_0\)인 예이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 아이디얼 \(I \subset R\)이 가산 개의 멱등원으로 생성되면 \(I\)는 사영 \(R\)-가군이다.

증명

\(I = (e_1, e_2, e_3, \ldots)\)이고 각 \(e_n\)이 \(R\)의 멱등원이라고 하자. 귀납적으로 \(e_{n + 1}\)을 \(e_n + (1 - e_n)e_{n + 1}\)로 바꾸면 \((e_1) \subset (e_2) \subset (e_3) \subset \ldots\)라 가정할 수 있다. 따라서 \(I = \bigcup_{n \geq 1} (e_n) = \colim_n e_nR\)이다. 이 경우 \[\Hom_R(I, M) = \Hom_R(\colim_n e_nR, M) = \lim_n \Hom_R(e_nR, M) = \lim_n e_nM\] 이다. 전이 사상 \(e_{n + 1}M \to e_nM\)은 \(e_n\)을 곱하여 주어지고 전사이다. 따라서 『대수학』의 보조정리 0598에 의해 함자 \(\Hom_R(I, M)\)은 완전하다. 즉 \(I\)는 사영 \(R\)-가군이다.

\(P \subset Q\)를 \(R\)-가군의 포함이라 하고 \(Q\)는 유한 \(R\)-가군, \(P\)는 국소 자유라고 하자. 『대수학』의 정의 00NW를 보라. \(Q\)가 \(N\)개의 원소로 생성되는 \(R\)-가군이라고 하자. 그러면 『대수학』의 보조정리 05WI에 의해 \(P\)는 유한 국소 자유이다 (자유인 부분들의 계수는 \(N\) 이하이다). 이 경우 『대수학』의 보조정리 00NX에 의해 \(P\)는 유한 \(R\)-가군이다.

이를 위 결과와 결합하면 가산 개의 멱등원으로 생성되는 유한 생성이 아닌 아이디얼은 사영이지만 국소 자유가 아니다. 구체적으로 \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)로 놓고, \(I\)를 멱등원 \[e_n = (1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots )\] 들이 생성하는 아이디얼로 잡을 수 있다. 여기서 \(1\)의 열은 길이 \(n\)이다.

보조정리

어떤 환 \(R\)과 아이디얼 \(I\)가 존재하여, \(I\)는 사영 \(R\)-가군이지만 국소 자유 \(R\)-가군은 아니다.

증명

위를 보라.

주

위의 \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)와 \(e_n = (1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots )\)이 생성하는 아이디얼 \(I\)의 예는 쌍대가 유한 생성이고 심지어 유한 자유이지만 자신은 유한 생성이 아닌 사영 가군 \(M = I\)의 예도 준다. 실제로 보조정리 05WH의 증명 전략을 써서 독자는 \(\Hom_R(I, R) \cong R\)임을 보일 수 있다.

보조정리

\(K\)를 체라 하자. \(C_i\) (\(i = 1, \ldots, n\))를 \(K\) 위의 매끄럽고 사영이며 기하학적으로 기약인 곡선이라 하자. \(P_i \in C_i(K)\)를 유리점이라 하고 \(Q_i \in C_i\)를 \([\kappa(Q_i) : K] = 2\)인 점이라 하자. 그러면 \(U_i = C_i \setminus \{Q_i\}\)일 때 \([P_1 \times \ldots \times P_n]\)은 \(\CH_0(U_1 \times_K \ldots \times_K U_n)\)에서 영이 아니다.

증명

차수 사상 \(\deg : \CH_0(C_1 \times_K \ldots \times_K C_n) \to \mathbf{Z}\)가 있다. 각 \(Q_i\)는 \(K\) 위에서 차수 \(2\)이므로 “경계” \[C_1 \times_K \ldots \times_K C_n \setminus U_1 \times_K \ldots \times_K U_n\] 에 지지된 모든 영차원 순환의 차수는 \(2\)로 나누어진다.

위 보조정리로 사영이지만 국소 자유가 아닌 또 다른 가군을 다음과 같이 구성할 수 있다. \(C_n\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\))을 \(\mathbf{Q}\) 위의 매끄럽고 사영이며 기하학적으로 기약인 곡선으로 잡고, 각각에 점 \(P_n, Q_n \in C_n\)이 있어 \(\kappa(P_n) = \mathbf{Q}\)이고 \(\kappa(Q_n)\)은 \(\mathbf{Q}\)의 이차 확대라고 하자. \(U_n = C_n \setminus \{Q_n\}\)이라 놓으면 이는 아핀 곡선이다. \(\mathcal{L}_n\)을 \(U_n\) 위에서 \(P_n\)의 아이디얼층의 역이라 하자. 영차원 순환군 \(\CH_0(U_n)\)에서 \(c_1(\mathcal{L}_n) = [P_n]\)임에 주의하라. \(A_n = \Gamma(U_n, \mathcal{O}_{U_n})\)라 놓자. \(L_n = \Gamma(U_n, \mathcal{L}_n)\)은 계수 \(1\)인 국소 자유 \(A_n\)-가군이다. 다음과 같이 놓는다. \[B_n = A_1 \otimes_{\mathbf{Q}} A_2 \otimes_{\mathbf{Q}} \ldots \otimes_{\mathbf{Q}} A_n\] \(\Spec(B_n) = U_1 \times \ldots \times U_n\)이며, 모든 곱은 \(\Spec(\mathbf{Q})\) 위에서 취한다. \(i \leq n\)에 대해 \[L_{n, i} = A_1 \otimes_{\mathbf{Q}} \ldots \otimes_{\mathbf{Q}} L_i \otimes_{\mathbf{Q}} \ldots \otimes_{\mathbf{Q}} A_n\] 이라 놓자. 이는 계수 \(1\)인 국소 자유 \(B_n\)-가군이며 \(\text{pr}_i^*\mathcal{L}_n\)의 대역 단면이기도 하다. 다음과 같이 놓는다. \[B_\infty = \colim_n B_n \quad\text{and}\quad L_{\infty, i} = \colim_n L_{n, i}\] 끝으로 다음과 같이 놓는다. \[M = \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} L_{\infty, i}.\] 이는 유한 국소 자유 가군들의 직합이므로 사영이다. \(M\)은 국소 자유가 아니라고 주장한다. 그렇지 않으면 어떤 영이 아닌 함수 \(f \in B_\infty\)에 대해 \(M_f\)가 \((B_\infty)_f\) 위에서 자유라고 하자. 그 기저를 \(e_1, e_2, \ldots\)라 하자. \(n \geq 1\)을 택하여 \(f \in B_n\)이라 하자. \(m \geq n + 1\)을 택하여 \(e_1, \ldots, e_{n + 1}\)이 다음 직합에 속하게 하자. \[\bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq m} L_{m, i}.\] 충실히 평탄한 밑변환 뒤에 \(e_1, \ldots, e_{n + 1}\)이 기저의 일부이므로 Chern 류 \[c_i(\text{pr}_1^*\mathcal{L}_1 \oplus \ldots \oplus \text{pr}_m^*\mathcal{L}_m), \quad i = m, m - 1, \ldots, m - n\] 는 \[D(f) \subset U_1 \times \ldots \times U_m\] 의 Chow 군에서 영이다. \(f\)는 \(U_1 \times \ldots \times U_n\) 위 함수의 당김이다. 따라서 체 \(K = \mathbf{Q}(C_1 \times \ldots \times C_n)\) 위의 다양체 \[W = (C_{n + 1} \times \ldots \times C_m)_K\] 에서는 특히 다음 소멸이 성립한다. \[c_{m - n}(\mathcal{O}_W^{\oplus n} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{L}_{n + 1} \oplus \ldots \oplus \text{pr}_{m - n}^*\mathcal{L}_m) = 0.\] 달리 말해 순환 \[[(P_{n + 1} \times \ldots \times P_m)_K]\] 는 \(W\) 위의 영차원 순환의 Chow 군에서 영이다. 이는 위 보조정리 05WK와 모순이다. 실제로 \(n + 1 \leq i \leq m\)인 \(Q_i\)는 \((C_n)_K\) 위의 대응점 \(Q_i'\)를 유도하고, \(K/\mathbf{Q}\)가 기하학적으로 기약이므로 \([\kappa(Q_i') : K] = 2\)이다.

보조정리

가산 환 \(R\)과, 계수 \(1\)인 국소 자유 가군들을 가산 개 직합한 사영 가군 \(M\)이 존재하여 \(M\)은 국소 자유가 아니다.

증명

위를 보라.

영이 아닌 평탄 아이디얼을 갖는 영차원 국소환

[Lazard]와 [Autour]에는 영이 아닌 평탄 아이디얼을 갖는 영차원 국소환의 예가 있다. 그 구성은 다음과 같다. \(k\)를 체라 하자. \(X_i, Y_i\) (\(i \geq 1\))를 변수라 하자. \(R = k[X_i, Y_i]/(X_i - Y_i X_{i + 1}, Y_i^2)\)로 놓자. 이 환에서 \(x_i\)와 \(y_i\)는 각각 \(X_i\)와 \(Y_i\)의 상이다. 이 환에서 \[x_i = y_i x_{i + 1} = y_i y_{i +1} x_{i + 2} = y_i y_{i + 1} y_{i + 2} x_{i + 3} = \ldots\] 이다. 환 \(R\)의 소 아이디얼은 \(\mathfrak m = (x_i, y_i)\) 하나뿐이다. 아이디얼 \(I = (x_i)\)가 평탄 \(R\)-가군임을 주장한다.

\(R\)에서 \(x_i\)의 소멸자는 아이디얼 \((x_1, x_2, x_3, \ldots, y_i, y_{i + 1}, y_{i + 2}, \ldots)\)이다. \(R\)-가군 \(M\)을 원소 \(e_i\) (\(i \geq 1\))와 관계 \(e_i = y_i e_{i + 1}\)로 생성하자. \(M\)은 \(R\)의 복사본들의 직접극한 \(\colim_i R\)이므로 평탄이다. 그 전이 사상은 \[R \xrightarrow{y_1} R \xrightarrow{y_2} R \xrightarrow{y_3} \ldots\] 이다. \(M\)에서 \(e_i\)의 소멸자도 아이디얼 \((x_1, x_2, x_3, \ldots, y_i, y_{i + 1}, y_{i + 2}, \ldots)\)이다. \(M\)과 \(I\)의 모든 원소는 각각 어떤 \(f, h \in R\)에 대해 \(f e_i\)와 \(h x_i\)로 쓸 수 있다. 따라서 사상 \(M \to I\), \(e_i \to x_i\)는 동형사상이고 \(I\)는 평탄이다.

보조정리

유일한 소 아이디얼을 갖는 국소환 \(R\)과, 평탄 \(R\)-가군인 영이 아닌 아이디얼 \(I \subset R\)이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

전사 함수가 아닌 영차원 환의 범주론적 전사

[Lazard-deux]와 [Autour]에서 다음 예를 찾을 수 있다. \(k\)를 체라 하고 환 준동형 \[k[x_1, x_2, \ldots, z_1, z_2, \ldots]/ (x_i^{4^i}, z_i^{4^i}) \longrightarrow k[x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots]/ (x_i^{4^i}, y_i - x_{i + 1}y_{i + 1}^2)\] 을 생각하자. 이는 \(x_i\)를 \(x_i\)로, \(z_i\)를 \(x_iy_i\)로 보낸다. 오른쪽에서 \(y_i^{4^{i + 1}}\)은 영이지만 \(y_1\)은 영이 아니다 (세부 사항은 생략한다). 이 사상은 전사 함수가 아니다. \(\deg(x_i) = -1\), \(\deg(z_i) = 0\), \(\deg(y_i) = 1\)로 두어 위 사상을 \(\mathbf{Z}\)-등급 대수의 사상으로 보면 \(y_1\)이 상에 속하지 않음이 분명하다. 끝으로 \[y_{i - 1} \otimes 1 = x_i y_i^2 \otimes 1 = y_i \otimes x_i y_i = x_i y_i \otimes y_i = 1 \otimes x_i y_i^2.\] 따라서 이 사상은 범주론적 전사이다. 즉 표적을 원천 위에서 자기 자신과 텐서한 것은 표적과 동형이다.

보조정리

차원 \(0\)인 국소환 사이의 범주론적 전사 가운데 전사 함수가 아닌 것이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

유한형이고 유한 표시는 아니며 한 소 아이디얼에서 평탄인 경우

\(k\)를 체라 하고 국소환 \(A_0 = k[x, y]_{(x, y)}\)를 생각하자. \(\mathfrak p_{0, n} = (y + x^n + x^{2n + 1})\)라 쓰면 이는 소 아이디얼이다. \[A = A_0[z_1, z_2, z_3, \ldots]/(z_n z_m, z_n(y + x^n + x^{2n + 1}))\] 라 놓자. \(A \to A_0\)는 핵의 제곱이 영인 전사이다. 따라서 \(A\)도 국소환이고 \(A\)의 소 아이디얼들은 \(A_0\)의 소 아이디얼들과 일대일로 대응한다. \(\mathfrak p_n\)을 \(A\)에서 \(\mathfrak p_{0, n}\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p_n\)은 \(z_n\)의 \(A\)에서의 소멸자이다. 다음과 같이 놓는다. \[C = A[z]/(xz^2 + z + y)[\frac{1}{2zx + 1}]\] \(A \to C\)는 étale 환 준동형이다. 『대수학』의 예 00T8를 보라. \(\mathfrak q \subset C\)를 \(x\), \(y\), \(z\)와 모든 \(z_n\)이 생성하는 극대 아이디얼이라 하자. \(A \to C\)가 평탄이므로 \(z_n\)의 \(C\)에서의 소멸자는 \(\mathfrak p_nC\)이다. 다음을 계산한다. \[\begin{align*} C/\mathfrak p_n C & = A_0[z]/(xz^2 + z + y, y + x^n + x^{2n + 1})[1/(2zx + 1)] \\ & = k[x]_{(x)}[z]/(xz^2 + z - x^n - x^{2n + 1})[1/(2zx + 1)] \\ & = k[x]_{(x)}[z]/(z - x^n) \times k[x]_{(x)}[z]/(xz + x^{n + 1} + 1)[1/(2zx + 1)] \\ & = k[x]_{(x)} \times k(x) \end{align*}\] 이는 \((z - x^n)(xz + x^{n + 1} + 1) = xz^2 + z - x^n - x^{2n + 1}\)이기 때문이다. 따라서 \(\mathfrak p_nC = \mathfrak r_n \cap \mathfrak q_n\)이다. 여기서 \(\mathfrak r_n = \mathfrak p_nC + (z - x^n)C\), \(\mathfrak q_n = \mathfrak p_nC + (xz + x^{n + 1} + 1)C\)이다. \(\mathfrak q_n + \mathfrak r_n = C\)이므로 \(\mathfrak p_nC = \mathfrak r_n \mathfrak q_n\)도 얻는다. 따라서 \(\mathfrak q_n\)은 \(\xi_n = (z - x^n)z_n\)의 소멸자이다. 한편 \(\mathfrak r_n \subset \mathfrak q\)이고, 다른 한편 \(\mathfrak q_n + \mathfrak q = C\)이다. 예를 들어 \(\mathfrak q_n\)이 \(C\)의 극대 아이디얼이고 \(\mathfrak q\)와 다르기 때문이다. 마찬가지로 \(\mathfrak q_n + \mathfrak q_m = C\)가 \(n \not = m\)이면 성립한다. 이제 \[B = \Im(C \longrightarrow C_{\mathfrak q})\] 라 놓자. \(\xi_n\)들은 \(B\)에서 영으로 간다. 이는 \(xz + x^{n + 1} + 1\)이 \(\mathfrak q\)에 속하지 않기 때문이다. \(\mathfrak q' \subset B\)를 \(\mathfrak q\)의 상이라 하자. 구성상 \(B\)는 유한형 \(A\)-대수이고 \(B_{\mathfrak q'} \cong C_{\mathfrak q}\)이다. 특히 \(B_{\mathfrak q'}\)는 \(A\) 위에서 평탄이다.

\(g' \in B\), \(g' \not \in \mathfrak q'\)이고 \(B_{g'}\)가 \(A\) 위의 유한 표시가 되는 원소는 없다고 주장한다. 증명의 개요를 제시한다. \(g \in C\) 중에서 \(g' \in B\)로 가는 원소를 택하고 \(C_g \to B_{g'}\)를 생각하자. 『대수학』의 보조정리 00R2에 의해 \(B_g\)가 \(A\) 위의 유한 표시일 필요충분조건은 \(C_g \to B_{g'}\)의 핵이 유한 생성인 것이다. 그러나 원소 \(g \in C\)가 \(\mathfrak q\)에 속하지 않으므로 \(A_0[z]/(xz^2 + z + y)\)에서 영이 아닌 원소로 간다. 따라서 \(g\)는 유한 개의 \(\mathfrak q_n\)에만 속할 수 있다. 실제로 \((y + x^n + x^{2n + 1}, xz + x^{n + 1} + 1)\)들은 2차원 기약 뇌터 공간 \(\Spec(k[x, y, z]/(xz^2 + z + y))\)의 서로 다른 무한 개의 여차원 1인 점이다. 사상 \[\bigoplus\nolimits_{g \not \in \mathfrak q_n} C/\mathfrak q_n \longrightarrow C_g, \quad (c_n) \longrightarrow \sum c_n \xi_n\] 은 단사이고 그 상은 \(C_g \to B_{g'}\)의 핵이다. 이 명제의 증명은 생략한다. (힌트: \(A = A_0 \oplus I\)라 쓰고 이를 \(A_0\)-가군으로 보자. 여기서 \(I\)는 \(A \to A_0\)의 핵이다. 마찬가지로 \(C = C_0 \oplus IC\)라 쓰고, \(IC = \bigoplus Cz_n \cong \bigoplus (C/\mathfrak r_n \oplus C/\mathfrak q_n)\)로 쓴 뒤 \(g\)를 곱하는 것이 각 직합 성분에 미치는 영향을 조사하라.) 이로써 주장의 증명 개요가 끝난다. 또한 \(B_{g'}\)가 \(A\) 위에서 평탄하지 않음이 위와 같은 모든 \(g'\)에 대해 증명된다. 평탄이라면 \(z_n\)의 \(B_{g'}\)에서의 상의 소멸자는 \(\mathfrak p_nB_{g'}\)여서 \(z - x^n\)을 포함하지 않을 것이기 때문이다.

그 결과 [GruRay, Part I, Remarques (3.4.7) (v)]에서 제기된 질문에 부정적으로 답할 수 있다. 정확한 명제는 다음과 같다.

보조정리

국소환 \(A\), 유한형 환 준동형 \(A \to B\), 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)가 존재하여 \(\mathfrak m_A\) 위에 놓이고 \(B_{\mathfrak q}\)는 \(A\) 위에서 평탄이지만, \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)인 모든 원소에 대해 \(B_g\)는 \(A\) 위의 유한 표시도 아니고 \(A\) 위에서 평탄하지도 않다.

증명

위의 논의를 보라.

유한형이고 평탄이지만 유한 표시가 아닌 경우

이 절에서는 유한형이고 평탄하지만 유한 표시가 아닌 환 준동형과 사상의 몇 가지 예를 든다.

\(R\)을 택하되, 아이디얼 \(I\)가 있어서 \(R/I\)가 유한 평탄이지만 사영이 아닌 가군이 되게 하자. 구체적인 예는 절 052H을 보라. 이는 \(I\)가 유한 생성이 아님을 뜻한다. 『대수학』의 보조정리 05KK을 보라. 또한 \(I = I^2\)이다. 『대수학』의 보조정리 04PS를 보라. 우리 예들의 밑환은 \(R\), 밑스킴은 \(S = \Spec(R)\)이다.

환 준동형 \(R \to R \oplus R/I\epsilon\)을 생각하자. 여기서 관례적으로 \(\epsilon^2 = 0\)이라 한다. 이는 유한이고 평탄하지만 유한 표시는 아니다. 모든 섬유환은 완전 교차이고 기하학적으로 기약이다.

\(A = R[x, y]/(xy, ay; a \in I)\)라 하자. \(R\)-가군으로서 \(A = \bigoplus_{i \geq 0} Ry^i \oplus \bigoplus_{j > 0} R/Ix^j\)이다. 따라서 \(R \to A\)는 평탄 유한형이지만 유한 표시가 아닌 환 준동형이다. 각 섬유환은 \(\kappa(\mathfrak p)[x, y]/(xy)\) 또는 \(\kappa(\mathfrak p)[x]\)와 동형이다.

\(B = R[X_0, X_1, X_2]/(X_1X_2, aX_2; a \in I)\)로 놓아 앞 예를 사영 사상으로 바꿀 수 있다. 이 경우 \(X = \text{Proj}(B) \to S\)는 고유 평탄이지만 유한 표시가 아닌 사상이고, 각 \(s \in S\)에 대해 섬유 \(X_s\)는 \(\mathbf{P}^1_s\) 또는 \(\mathbf{P}^2_s\)에서 \(X_1X_2\)의 영점으로 정의되는 닫힌 부분스킴과 동형이다(후자는 산술 종수 \(0\)인 사영 마디 곡선이다).

\(M = R \oplus R \oplus R/I\), \(B = \text{Sym}_R(M)\)를 \(M\) 위의 대칭 대수라 하고 \(X = \text{Proj}(B)\)라 놓자. 그러면 \(X \to S\)는 고유 평탄이지만 유한 표시가 아닌 사상이고, \(s \in S\)에 대한 기하 섬유는 \(\mathbf{P}^1_s\) 또는 \(\mathbf{P}^2_s\)와 동형이다. 특히 이 섬유들은 매끄럽고 기하학적으로 기약이다.

보조정리

다음 예들이 존재한다.

1. 유한 표시가 아니면서 기하학적으로 기약인 완전 교차 섬유환을 갖는 평탄 유한형 환 준동형.

2. 유한 표시가 아니면서 기하학적으로 연결이고 기하학적으로 축소이며 차원 1인 완전 교차 섬유환을 갖는 평탄 유한형 환 준동형.

3. 유한 표시가 아닌 스킴의 고유 평탄 사상 \(X \to S\)로서, 모든 섬유가 \(\mathbf{P}^1_s\) 또는 \(X_1X_2\)의 \(\mathbf{P}^2_s\) 안의 영점 자취와 동형인 것.

4. 유한 표시가 아닌 스킴의 고유 평탄 사상 \(X \to S\)로서, 모든 섬유가 \(\mathbf{P}^1_s\) 또는 \(\mathbf{P}^2_s\)와 동형인 것.

증명

위의 논의를 보라.

유한형 환 준동형의 위상

\(A \to B\)를 국소 정역들의 국소 준동형이라 하자. \(A\)가 뇌터이고 \(A \to B\)가 본질적으로 유한형이며 \(A/\mathfrak m_A \subset B/\mathfrak m_B\)가 유한이면, 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 존재하여 \(\mathfrak q \not = \mathfrak m_B\)이고 \(A \to B/\mathfrak q\)는 준유한 환 준동형의 국소화이다. 『사상 더 보기』의 보조정리 05GT를 보라.

이 절에서는 \(A\)가 뇌터가 아닐 때 이 결과가 거짓임을 보이는 예를 든다. \(k\)를 체라 하고 다음 두 환을 생각하자. \[A = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \mid a_0 \in k, a_i \in k((y)) \text{ for }i\geq 1\}\] 및 \[C = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \mid a_0 \in k[y], a_i \in k((y)) \text{ for }i\geq 1\}.\] 포함 \(A \to C\)는 유한형이다. 이는 \(C\)가 \(y\)에 의해 \(A\) 위에서 생성되기 때문이다. \(A\)는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = \{a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \in A\}\)을 갖는 국소환이고, 소 아이디얼은 \((0)\)과 \(\mathfrak m\)뿐이라고 주장한다. 실제로 원소 \(f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots\)가 \(A\)에 속할 때 \(a_0 \not = 0\)이기만 하면 가역이다. \(\mathfrak q \subset A\)가 영이 아닌 소 아이디얼이고 \(f = a_i x^i + \ldots \in \mathfrak q\)라 하자. 멱급수의 성질을 쓰면 모든 \(g \in k((y))\)에 대해 \(g^{i + 1} x^{i + 1} \in \mathfrak q\), 즉 \(gx \in \mathfrak q\)임을 알 수 있다. 따라서 \(\mathfrak q = \mathfrak m\)이다.

\(C\)의 스펙트럼에 대해서도 위와 같이 논증하면, 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 소 아이디얼 \(\mathfrak p = \{a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \in C\}\)를 포함하며, 이는 \(\mathfrak m\) 위에 놓인다. 따라서 \(C\)에서 \((0)\) 위에 놓인 소 아이디얼은 \((0)\)뿐이다. \(\mathfrak m_C = yC + \mathfrak p\), \(B = C_{\mathfrak m_C}\)라 놓자. 그러면 \(A \to B\)가 원하는 예이다.

보조정리

국소 정역들의 국소 준동형 \(A \to B\)가 존재하여, 본질적으로 유한형이고 \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_B\)가 유한이며, 소 아이디얼 \(\mathfrak q \not = \mathfrak m_B\)를 \(B\)에서 어떻게 택하든 \(A \to B/\mathfrak q\)는 어떤 준유한 환 준동형의 국소화도 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

순수하지만 보편적으로 순수하지 않은 경우

\(k\)를 체라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[R = k[[x, xy, xy^2, \ldots]] \subset k[[x, y]].\] 달리 말해 멱급수 \(f \in k[[x, y]]\)가 \(R\)에 속할 필요충분조건은 \(f(0, y)\)가 상수인 것이다. 특히 \(R[1/x] = k[[x, y]][1/x]\)이고 \(R/xR\)은 극대 아이디얼의 제곱이 영인 국소환이다. \(R[y] \subset k[[x, y]]\)를 멱급수 \(f \in k[[x, y]]\) 중에서 \(f(0, y)\)가 \(y\)의 다항식인 것들의 집합이라 하자. \(R \to R[y]\)는 유한형이지만 유한 표시가 아닌 환 준동형이고, \(x\)를 가역화하면 동형사상을 유도한다. 또한 제곱 영인 핵을 갖는 전사 \(R[y]/xR[y] \to k[y]\)가 있다. 유한 표시 환 준동형 \(R \to S = R[t]/(xt - xy)\)를 생각하자. 역시 \(R[1/x] \to S[1/x]\)는 동형사상이고, 이 경우 \(S/xS \cong (R/xR)[t]/(xy)\)는 멱영인 핵을 갖고 \(k[t]\) 위로 전사한다. 전사 \(S \to R[y]\), \(t \longmapsto y\)가 있으며, 이는 \(x\)를 가역화하면 동형사상을, \(x\)로 나눈 뒤에는 멱영인 핵을 갖는 전사를 유도한다. 따라서 \(S \to R[y]\)의 핵은 국소 멱영이다. 특히 \(S \to R[y]\)는 스펙트럼 위에서 보편 위상동형을 유도한다.

먼저 \(S\)가 \(S\)-가군으로서 \(R\) 위에서 상대적으로 순수함을 주장한다. \(x\)를 가역화하면 동형사상을 얻으므로 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset R\)에서만 확인하면 된다. \(R\)은 극대 아이디얼에 관해 완비이므로 헨젤 환이다. 따라서 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\), \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\)에 대해, \(\mathfrak q\)를 \(S\)에서 \(\mathfrak p\) 위에 놓인 유일한 소 아이디얼이라 할 때 \(\mathfrak mS + \mathfrak q \not = S\)를 만족함만 확인하면 된다. \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\)이므로 이는 \(k[[x, y]][1/x]\)의 유일한 소 아이디얼에 대응한다. 따라서 \(\mathfrak p = (0)\)이거나, \(\mathfrak p = (f)\)이다. 후자의 경우 \(f \in k[[x, y]]\)는 \(x\)와 동반이 아닌 기약원이다(여기서 \(k[[x, y]]\)가 유일 인수분해 정역임을 썼다. 나중의 참고문헌을 넣을 것). 첫 경우에는 \(\mathfrak q = (0)\)이어서 결과가 분명하다. 둘째 경우에는 \(f\)에 가역원을 곱하여 \(f \in R[y]\)라 할 수 있다(Weierstrass 준비정리; 세부 사항은 생략한다). 그러면 \(R[y]/fR[y] \cong k[[x, y]]/(f)\)임을 쉽게 알 수 있어 \(f\)는 \(R[y]\)의 소 아이디얼을 정의하고 \(\mathfrak mR[y] + fR[y] \not = R[y]\)이다. \(S \to R[y]\)가 스펙트럼 위에서 보편 위상동형을 유도하므로 \(S\)에 대해서도 원하는 결과를 얻는다.

둘째로 \(S\)는 \(R\) 위에서 보편적으로 상대 순수하지 않다고 주장한다. 이를 보이려면 값매김환 \(\mathcal{O}\)와 국소 환 준동형 \(R \to \mathcal{O}\)를 찾아 \(\Spec(R[y] \otimes_R \mathcal{O}) \to \Spec(\mathcal{O})\)가 \(\Spec(\mathcal{O})\)의 닫힌점을 만나지 않게 하면 충분하다. 동치로, \(\varphi : R \to \mathcal{O}\)를 찾아 \(\varphi(x) \not = 0\)이고 \(v(\varphi(x)) > v(\varphi(xy))\)이게 하면 된다. 여기서 \(v\)는 \(\mathcal{O}\)의 값매김이다(이는 \(y\)의 값매김이 음수라는 뜻이다). 이를 위해 명백한 환 준동형 \[R \longrightarrow \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \mid a_0 \in k[y^{-1}], a_i \in k((y))\}\] 을 생각하자. 값매김환 \(\mathcal{O}\)로서, 오른쪽을 극대 아이디얼 \((y^{-1}, x)\)에서 국소화한 환을 지배하는 것을 찾으면 원하는 결과를 얻는다.

보조정리

아핀 스킴의 유한 표시 사상 \(X \to S\)와 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하여, \(\mathcal{F}\)는 \(S\)에 대해 상대 순수이지만 \(S\)에 대해 보편적으로 상대 순수하지 않다.

증명

위의 논의를 보라.

평탄하지 않은 형식적 매끄러운 환 준동형

\(k\)를 체라 하자. \(k\)-대수 \(k[\mathbf{Q}]\)를 생각하자. 이는 \(k\)-대수로서 기저가 \(x_\alpha, \alpha \in \mathbf{Q}\)이고 곱셈이 \(x_\alpha x_\beta = x_{\alpha + \beta}\)로 정해진다. (특히 \(x_0 = 1\)이다.) 다음 \(k\)-대수 준동형을 생각하자. \[k[\mathbf{Q}] \longrightarrow k, \quad x_\alpha \longmapsto 1.\] 이는 핵이 \(J\)인 전사이고, 이 핵은 원소 \(x_\alpha - 1\)들로 생성된다. \(J/J^2\)를 계산하자. \(x_\alpha\)를 곱하는 사상은 \(J/J^2\) 위에서 항등이다. \(z_\alpha\)로 \(x_\alpha - 1\)의 \(J^2\)에 대한 합동류를 나타내자. 이 류들이 \(J/J^2\)를 생성한다. 식 \[(x_\alpha - 1)(x_\beta - 1) = x_{\alpha + \beta} - x_\alpha - x_\beta + 1 = (x_{\alpha + \beta} - 1) - (x_\alpha - 1) - (x_\beta - 1)\] 에서 \(z_{\alpha + \beta} = z_\alpha + z_\beta\)임을 \(J/J^2\) 안에서 얻는다. \(J/J^2\)의 일반적인 원소는 \(\sum \lambda_\alpha z_\alpha\) 꼴이며, 여기서 \(\lambda_\alpha \in k\) 중 영이 아닌 것은 유한 개뿐이다. \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이면 \[0 = pz_{\alpha/p} = z_{\alpha/p} + \ldots + z_{\alpha/p} = z_\alpha\] 이므로 \(J/J^2 = 0\)이다. \(k\)의 표수가 영이면 \[J/J^2 = \mathbf{Q} \otimes_{\mathbf{Z}} k \cong k\] 이고(세부 사항은 생략한다) 영이 아니다.

\(k[\mathbf{Q}] \to k\)는 \(k\)의 표수가 양수이면 형식적으로 매끄러운 환 준동형이라고 주장한다. 실선으로 주어진 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ k \ar[r] \ar@{..>}[rd] & A \\ k[\mathbf{Q}] \ar[u] \ar[r]^\varphi & A' \ar[u] }\] 여기서 \(A' \to A\)는 핵 \(I\)가 제곱 영인 전사라고 하자. \(k[\mathbf{Q}] \to k\)가 형식적으로 매끄럽다는 것을 보이려면 \(\varphi\)가 \(k\)를 거쳐 분해됨을 증명해야 한다. \(\varphi(x_\alpha - 1)\)은 \(A\)에서 영으로 가므로 \(\varphi\)는 사상 \(\overline{\varphi} : J/J^2 \to I\)를 유도하고, 이것의 소멸이 원하는 분해의 장애이다. \(J/J^2 = 0\)이 표수가 \(p > 0\)일 때 성립하므로 원하는 결과, 즉 이 경우 \(k[\mathbf{Q}] \to k\)가 형식적으로 매끄럽다는 결론을 얻는다. 끝으로 이 환 준동형은 평탄하지 않다. 예를 들어 영인자가 아닌 \(x_2 - 1\)을 영으로 보내기 때문이다.

보조정리

평탄하지 않은 형식적 매끄러운 환 준동형이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

평탄하지 않은 형식적 étale 환 준동형

이 절에서는 [EGA, 0, Example 19.10.3(i)]의 마지막 문장에 대한 반례를 든다(이는 나중의 정오표 목록에서도 잡히지 않았다). \(A \to A/J\)를 생각하자. 여기서 \(A\)는 국소환이고 \(J\)는 \(J^2 = J\)인 영이 아닌 진 아이디얼이다(따라서 \(J\)는 유한 생성이 아니다). 대수적으로 닫힌 비아르키메데스 체의 값매김환에서 극대 아이디얼을 \(J\)로 두면 이러한 \((A, J)\)의 예를 준다. 이 평탄하지 않은 몫사상은 형식적 étale이다. 실제로 다음 가환 도식이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ A/J \ar[r] & R/I \\ A \ar[u] \ar[r]^\varphi & R \ar[u] }\] 여기서 \(I\)는 환 \(R\)의 아이디얼이고 \(I^2 = 0\)이다. 그러면 \(A \to R\)은 \(A/J\)를 거쳐 유일하게 분해된다. 실제로 \[\varphi(J) = \varphi(J^2) \subset (\varphi(J)A)^2 \subset I^2 = 0.\] 따라서 이는 형식적 étale 경우, 곧 국소 유한형이면서 형식적 étale인 사상에 대한 “구조 정리”에도 반례를 준다. 이 정리는 [EGA, IV, Theorem 18.4.6(i)]에 있다 (실제로 사람들이 쓰는 (ii)에 대한 반례는 아니다). 후자 증명의 오류는 증명의 맨 마지막 단계에서 잘못된 [EGA, 0, Example 19.3.10(i)]를 원용하는 데 있으며, 바로 그 때문에 위 반례가 들어온다.

보조정리

평탄하지 않은 형식적 étale 환 준동형이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

여접복합체가 자명하지 않은 형식적 étale 환 준동형

\(k\)를 체라 하고 환 \[R = k[\{x_n\}_{n \geq 1}, \{y_n\}_{n \geq 1}]/( x_1y_1, x_{nm}^m - x_n, y_{nm}^m - y_n)\] 을 생각하자. \(A\)를 모든 \(x_n, y_n\)이 생성하는 극대 아이디얼에서 국소화한 것이라 하고, 그 극대 아이디얼을 \(J \subset A\)라 쓰자. \(B = A/J\)라 놓자. 구성상 \(J^2 = J\)이므로 \(A \to B\)는 형식적 étale이다 (절 060H을 보라). 원소 \(x_1 \otimes y_1\)은 \[J \otimes_A J \longrightarrow J.\] 의 핵에 속하는 영이 아닌 원소라고 주장한다. 실제로 \((A, J)\)는 국소화 쌍 \((A_n, J_n)\)들의 쌍대극한이다. 이 쌍들은 환 \[R_n = k[x_n, y_n]/(x_n^n y_n^n)\] 을 해당 극대 아이디얼에서 국소화하여 얻는다. \(x_1 \otimes y_1\)은 원소 \(x_n^n \otimes y_n^n \in J_n \otimes_{A_n} J_n\)에 대응하고, 직접 계산하면 이는 영이 아니다(계산은 생략한다). \(\otimes\)가 쌍대극한과 가환하므로 결론이 따른다. [cotangent, III Section 3.3]에 의해 \(J\)는 약정칙이 아니다. 따라서 [cotangent, III Proposition 3.3.3]에 의해 여접복합체 \(L_{B/A}\)는 영이 아니다. 더 정확히 말할 수 있다. \(H_0(L_{B/A}) = \Omega_{B/A}\)이고 \(H_1(L_{B/A}) = 0\)이다. 이는 \(J/J^2 = 0\)이기 때문이다. 그러나 Quillen의 기본 스펙트럼 열의 다섯 항 완전열 (『여접』의 주의 08RG 또는 [Reinhard, Corollary 8.2.6])과 \(\text{Tor}_2^A(B, B) = \Ker(J \otimes_A J \to J)\)가 영이 아니라는 사실에서 \(H_2(L_{B/A})\)가 영이 아님을 얻는다.

보조정리

형식적 étale 전사 환 준동형 \(A \to B\)가 존재하며 \(L_{B/A}\)는 영이 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

평탄하고 형식적 비분기라고 해서 형식적 étale인 것은 아니다

『사상 더 보기』의 보조정리 04FF에서는 스킴의 비분기 평탄 사상 \(X \to S\)가 형식적 étale임을 보인다. 이 절의 목적은 ‘비분기’를 ‘형식적 비분기’로 바꿀 수 없음을 보여 주는 두 예를 드는 것이다. 첫째 예는 완전체 환의 특수한 성질을 이용하고, 둘째 예는 뇌터 정칙환의 사상에 대해서도 결과가 실패함을 보인다.

보조정리

\(A = \mathbb{F}_p[T]\)를 \(\mathbb{F}_p\) 위의 한 변수 다항식환이라 하고 \(A_{perf}\)를 \(A\)의 완전 폐포라 하자. 그러면 \(A \rightarrow A_{perf}\)는 평탄하고 형식적 비분기이지만 형식적 étale은 아니다.

증명

Frobenius 사상 \(F_A : A \to A\) 아래에서 표적 쪽 \(A\)는 \(\{1, T, \dots, T^{p - 1}\}\)을 기저로 하는 원천 위의 자유 가군이다. 따라서 \(F_A\)는 충실히 평탄이고, 충실히 평탄한 사상들의 쌍대극한인 \(A \to A_{perf}\)도 충실히 평탄이다. \(A_{perf}\)가 완전체 환이므로 상대 Frobenius \(F_{A_{perf}/A}\)는 전사이다. 달리 말해 \(A_{perf} = A[A_{perf}^p]\)이고, 여기서 바로 \(\Omega_{A_{perf}/A} = 0\)이 따른다. 『사상 더 보기』의 보조정리 02H9에 의해 \(A \rightarrow A_{perf}\)는 형식적 비분기이다.

\(A \rightarrow A_{perf}\)가 형식적으로 매끄럽지 않음을 보이면 충분하다. \(A\)는 매끄러운 \(\mathbb{F}_p\)-대수이므로 여접복합체 \(L_{A/\mathbb{F}_P} \simeq \Omega_{A/\mathbb{F}_p}[0]\)은 차수 \(0\)에 집중되어 있다. 『여접』의 보조정리 08R5를 보라. 더욱이 『여접』의 보조정리 \(L_{A_{perf}/\mathbb{F}_p} = 0\)은 \(D(A_{perf})\)에서 성립한다. 이는 『여접』의 보조정리 0G60에 의한 것이다. 여접복합체의 다음 구별 삼각형을 생각하자. \[L_{A/\mathbb{F}_p} \otimes_A A_{perf} \to L_{A_{perf}/\mathbb{F}_p} \to L_{A_{perf}/A} \to (L_{A/\mathbb{F}_p} \otimes_A A_{perf})[1]\] 이는 \(D(A_{perf})\) 안의 삼각형이다. 『여접』의 절 08QR을 보라. 그러면 \(L_{A_{perf}/A} = \Omega_{A/\mathbb{F}_p} \otimes_A A_{perf}[1]\)이다. 즉 \(L_{A_{perf}/A}\)는 계수 \(1\)인 자유 \(A_{perf}\)-가군을 차수 \(-1\)에 놓은 것과 같다. 따라서 \(A \rightarrow A_{perf}\)는 형식적으로 매끄럽지 않다. 이는 『사상 더 보기』의 보조정리 0D0L와 『여접』의 보조정리 08RB에 의한다.

다음 예도 소수 표수의 환을 사용하지만 조금 더 놀랍다. 단점은 앞 예보다 표수 \(p\) 현상에 관한 지식을 더 요구한다는 것이다. 소수 표수의 환 \(A\)에서 \(F\)-유한이라 함은 \(A\) 위의 Frobenius 사상이 유한함을 뜻함을 상기하라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 표수 \(p > 0\)의 뇌터 국소환이라 하고 \([\kappa : \kappa^p] < \infty\)라 하자. 표준 사상 \(A \to A^\wedge\), 즉 \(A\)의 완비화로 가는 사상은 평탄하고 형식적 비분기이다. 그러나 \(A\)가 정칙이지만 우수하지 않으면 이 사상은 형식적 étale이 아니다.

증명

완비화의 평탄성은 『대수학』의 보조정리 00MB이다. 형식적 비분기임을 보이려면 \(\Omega_{A^\wedge/A} = 0\)임을 보이면 충분하다. 『대수학』의 보조정리 00UO을 보라.

증명을 개설한다. \(x_1, \ldots, x_r \in A\)를 택하되, 그 상이 \(p\)-기저 \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_r\)가 되어 \(\kappa\)를 생성하게 하자. 즉 \(\kappa\)는 \(\overline{x}_i\)에 의해 \(\kappa^p\) 위에서 최소 생성된다. \(y_1, \ldots, y_s\)를 \(\mathfrak m\)의 최소 생성원 집합으로 택하자. 각 \(n\)에 대해 원소 \(x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\)는 \(A/\mathfrak m^n\)을 \((A/\mathfrak m^n)^p\) 위에서 Frobenius를 통해 생성한다. 일부 세부 사항은 생략한다. 따라서 \(F : A^\wedge \to A^\wedge\)는 유한이다. 이에 따라 \(\Omega_{A^\wedge/A}\)는 유한 \(A^\wedge\)-가군이다. 한편 임의의 \(a \in A^\wedge\)와 \(n\)에 대해 \(a_0 \in A\)를 택하여 \(a - a_0 \in \mathfrak m^nA^\wedge\)가 되게 할 수 있다. 따라서 \(\text{d}(a) \in \bigcap \mathfrak m^n \Omega_{A^\wedge/A}\)이고, 『대수학』의 보조정리 00IP에 의해 \(\text{d}(a)\)는 영이다. 그러므로 \(\Omega_{A^\wedge/A} = 0\)이다.

\(A\)가 정칙이라고 하자. Cohen 구조정리를 쓰면 \(x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\)는 \(p\)-기저로서 \(A^\wedge\)를 생성한다. 즉 \[A^\wedge = \bigoplus\nolimits_{I, J} (A^\wedge)^p x_1^{i_1} \ldots x_r^{i_r} y_1^{j_1} \ldots y_s^{j_s}\] 이고 \(I = (i_1, \ldots, i_r)\), \(J = (j_1, \ldots, j_s)\)이며 \(0 \leq i_a, j_b \leq p - 1\)이다. 세부 사항은 생략한다. 특히 \(\Omega_{A^\wedge}\)는 자유 \(A^\wedge\)-가군이고, 그 기저는 \(\text{d}(x_1), \ldots, \text{d}(x_r), \text{d}(y_1), \ldots, \text{d}(y_s)\)이다.

이제 \(A \to A^\wedge\)가 형식적 étale이거나 심지어 형식적으로 매끄럽기만 해도, 『대수학』의 명제 031J에 의해 \(\NL_{A^\wedge/A}\)의 차수 \(-1, 0\) 코호몰로지는 영이다. 환 준동형 \(\mathbf{F}_p \to A \to A^\wedge\)의 Jacobi-Zariski 열 (『대수학』의 보조정리 00S2)에서 \(\Omega_A \otimes_A A^\wedge \cong \Omega_{A^\wedge}\)를 얻는다. 따라서 \(\Omega_A\)는 \(\text{d}(x_1), \ldots, \text{d}(x_r), \text{d}(y_1), \ldots, \text{d}(y_s)\)를 기저로 하는 자유 가군이다. 분수체를 살피고 \(A\)가 정규임을 쓰면 \(a \in A\)가 \(p\)제곱일 필요충분조건은 \(A^\wedge\)에서 그 상이 \(p\)제곱인 것임을 알 수 있다(세부 사항은 생략한다. 『대수학』의 보조정리 031W를 사용하라). 둘째 결과로 연산자 \(\partial/\partial x_a\)와 \(\partial/\partial y_b\)가 \(A\) 위에 정의된다.

이들로부터 \(A\)가 \(A^p\) 위에서 유한이고 \(p\)-기저가 \(x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\)라는 결론이 나옴을 보이겠다. 이는 \(A\)가 우수하지 않다는 가정과 모순이다. Kunz의 결과 [Kun76, Corollary 2.6]를 보라. 이제 \(a \in A\)라 하고 \[a = \sum\nolimits_{I, J} (a_{I, J})^p x_1^{i_1} \ldots x_r^{i_r} y_1^{j_1} \ldots y_s^{j_s}\] 로 쓰자. 여기서 \(a_{I, J} \in A^\wedge\)이다. 모든 \(a_{I, J} \in A\)임을 보이면 증명이 끝난다. 양변에 연산자 \[(\partial/\partial x_1)^{p - 1} \ldots (\partial/\partial x_r)^{p - 1} (\partial/\partial y_1)^{p - 1} \ldots (\partial/\partial y_s)^{p - 1}\] 를 적용하면 \(a_{I, J}^p \in A\)이다. 여기서 \(I = (p - 1, \ldots, p - 1)\)이고 \(J = (p - 1, \ldots, p - 1)\)이다. 위 관찰에 의해 \(a_{I, J} \in A\)이다. \(a\)를 \(a' = a - a_{I, J}^p x^I y^J\)로 바꾼 뒤 차수가 \(1\) 낮은 미분 연산자를 써서 다른 계수 \(a_{I, J}\)도 \(A\)에 속하게 할 수 있다. 이를 계속한다.

주

잉여체가 유한 \(p\)-기저를 갖는 우수하지 않은 정칙환은 \(\mathbb{P}^2_k\)의 함수체 안에서도 구성할 수 있다. 여기서 밑체는 표수 \(p\)인 \(k = \overline{k}\)이다. [DS18, \(\mathsection 4.1\)]을 보라.

보조정리 0G66의 증명은 실제로 조금 더 말해 준다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 표수 \(p > 0\)인 정칙 국소환이라 하고 \([\kappa : \kappa^p] < \infty\)라 하자. \(A\)가 우수일 필요충분조건은 \(A \to A^\wedge\)가 형식적 étale인 것이다.

증명

역방향 함의는 보조정리 0G66에서 따른다. 정방향을 위해, 보조정리 0G66에 의해 \(A \to A^\wedge\)가 형식적 비분기, 동치로 \(\Omega_{A^\wedge/A}\)가 영임을 이미 안다. 따라서 완비화 사상이 \(A\)가 우수일 때 형식적으로 매끄러움만 보이면 된다. Néron-Popescu 비특이화에 의해 \(A \to A^\wedge\)는 매끄러운 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한으로 쓸 수 있다(『환 준동형의 평활화』의 정리 07GC). 따라서 \(\NL_{A^\wedge/A}\)의 차수 \(-1\) 코호몰로지는 영이다. 『대수학』의 명제 031J에 의해 \(A \to A^\wedge\)는 형식적으로 매끄럽다.

멱등원들의 집합으로 생성된 아이디얼과 국소화

\(R\)을 환이라 하고 환 \[B(R) = R[x_n; n \in \mathbf{Z}]/(x_n(x_n - 1), x_nx_m; n \not = m)\] 을 생각하자. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B(R)\)은 \[\mathfrak q = \mathfrak pB(R) + (x_n; n \in \mathbf{Z})\] 꼴이거나 \[\mathfrak q = \mathfrak pB(R) + (x_n - 1) + (x_m; n \not = m, m \in \mathbf{Z}).\] 꼴임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 \[\Spec(B(R)) = \Spec(R) \amalg \coprod\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Spec(R)\] 이다. 여기서 위상은 단순한 서로소 합 위상이 아니며 다음 성질을 갖는다. \(n \in \mathbf{Z}\)로 첨자 붙인 각 복사본은 열린 부분스킴이며, 구체적으로 표준 열린집합 \(D(x_n)\)이다. “가운데” \(\Spec(R)\)의 복사본은 다른 \(\Spec(R)\)의 복사본 중 임의의 무한 개의 합집합의 폐포에 속한다. 이 마지막 \(\Spec(R)\) 복사본은 아이디얼 \((x_n, n \in \mathbf{Z})\)로 잘리며, 이 아이디얼은 멱등원 \(x_n\)들로 생성된다. 따라서 \(\Spec(R)\)이 연결이면 위 분해는 \(\Spec(B(R))\)의 연결 성분들로의 분해와 정확히 같다.

이제 \(A = \mathbf{C}[x, y]/((y - x^2 + 1)(y + x^2 - 1))\)라 하자. \(A\)의 스펙트럼은 두 기약 성분 \(C_1 = \Spec(A_1)\), \(C_2 = \Spec(A_2)\)로 이루어진다. 여기서 \(A_1 = \mathbf{C}[x, y]/(y - x^2 + 1)\), \(A_2 = \mathbf{C}[x, y]/(y + x^2 - 1)\)이다. 이들은 각각 \((x, y) = (t, t^2 - 1)\)과 \((x, y) = (t, -t^2 + 1)\)로 매개화되고 \(P = (-1, 0)\)과 \(Q = (1, 0)\)에서 만난다. \(B(A)\)의 꼬인 판본을 만들되 \(B(A_1)\)을 \(B(A_2)\)에 다음과 같이 붙일 수 있다. \(P\) 위에서는 \(x_n \in B(A_1) \otimes \kappa(P)\)를 \(x_n \in B(A_2) \otimes \kappa(P)\)와 대응시키지만, \(Q\) 위에서는 \(x_n \in B(A_1) \otimes \kappa(Q)\)를 \(x_{n + 1} \in B(A_2) \otimes \kappa(Q)\)와 대응시킨다. \(B^{twist}(A)\)는 이렇게 얻어진 \(A\)-대수를 나타낸다. 세부 사항은 생략한다. 구성상 \(B^{twist}(A)\)는 \(A\) 위 Zariski 국소적으로 꼬이지 않은 판본과 동형이다. 실제로 이는 두 주 열린집합 \(\Spec(A) \setminus \{P\}\)와 \(\Spec(A) \setminus \{Q\}\) 위에서 성립한다. 그러나 우리의 붙임은 충분한 “모노드로미”를 만들어 \(\Spec(B^{twist}(A))\)가 연결이 되게 한다 (세부 사항은 생략한다). 끝으로 가운데 복사본 \(\Spec(A) \to \Spec(B^{twist}(A))\)가 있다. 이는 그 아이디얼이 \(B^{twist}(A)\) 위 Zariski 국소적으로 멱등원들로 생성된 아이디얼에 의해 잘리지만, 전체적으로는 그렇지 않은 닫힌 부분스킴을 준다 (\(B^{twist}(A)\)에는 자명하지 않은 멱등원이 없기 때문이다).

보조정리

아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)와 닫힌 부분스킴 \(T \subset X\)가 존재하여, \(T\)는 \(X\) 위 Zariski 국소적으로 멱등원들로 생성된 아이디얼에 의해 잘리지만 \(T\)는 멱등원들로 생성된 하나의 아이디얼에 의해 잘리지는 않는다.

증명

위를 보라.

국소환들을 동일시하지만 ind-étale이 아닌 환 준동형

절 04QK에서 구성한 환 준동형 \(R \to B(R)\)은 \(R\)의 유한 곱들의 쌍대극한이다. 따라서 \(R \to B(R)\)은 ind-Zariski이다. 『Pro-étale 코호몰로지』의 정의 096N를 보라. 이제 절 04QK에서 구성한 환 준동형 \(A \to B^{twist}(A)\)를 생각하자. 이 환 준동형은 \(\Spec(A)\) 위 Zariski 국소적으로 ind-Zariski 환 준동형 \(R \to B(R)\)과 동형이므로 국소환들을 동일시한다(『Pro-étale 코호몰로지』의 보조정리 096T를 보라). 절 04QK의 논의는 핵이 멱등원들로 생성되지 않는 단면 \(B^{twist}(A) \to A\)가 있음을 보인다. 만일 \(A \to B^{twist}(A)\)가 ind-étale, 즉 \(B^{twist}(A) = \colim A_i\)이고 \(A \to A_i\)가 étale이라면, \(A_i \to A\)의 핵은 멱등원 하나로 생성될 것이다(『대수학』의 보조정리 00U7과 00U8). 이는 위 결과와 모순이다.

보조정리

국소환들을 동일시하지만 ind-étale이 아닌 환 준동형 \(A \to B\)가 존재한다. 따라서 더더욱 ind-Zariski가 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

단사 가군에 연관된 비플라스크 준연접 층

이런 종류의 예를 더 보려면 Illusie가 Verdier의 몇 가지 예를 설명하는 [SGA6, Exposé II, Appendix I]을 보라.

아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)를 생각하자. 여기서 \[A = k[x, y, z_1, z_2, \ldots]/(x^nz_n)\] 는 『성질』의 예 01PN에 나오는 환이다. \(I = (x) \subset A\)라 하자. \(U = D(x)\)라는 \(X\)의 준콤팩트 열린집합을 생각하자. 앞서 인용한 곳에서 단면 \(s \in \mathcal{O}_X(U)\)가 있으며 그 어떤 \(A\)-가군 사상 \(I^n \to A\)에서도 오지 않음을 보았다. 여기서 \(n \geq 0\)는 임의이다.

\(\alpha : A \to J\)를 \(A\)에서 단사 \(A\)-가군으로 가는 매장이라 하자. \(Q = J/\alpha(A)\)라 하고 몫사상을 \(\beta : J \to Q\)라 쓰자. 사상 \[\Gamma(X, \widetilde{J}) \longrightarrow \Gamma(U, \widetilde{J})\] 은 전사가 아니라고 주장한다. 실제로 \(\alpha(s)\)는 그 상에 속하지 않는다. 반대로 원소 \(x \in J\)가 \(\alpha(s)\)로 \(U\) 위에서 제한된다고 하자. 그러면 \(\beta(x) \in Q\)는 \(0\)으로 \(U\) 위에서 제한된다. 따라서 \(I^n\beta(x) = 0\)이며, 여기서 \(n\)은 어떤 정수이다. 『성질』의 보조정리 01PM를 보라. 그러면 \(\varphi : I^n \to A\), \(h \mapsto \alpha^{-1}(hx)\)라는 사상을 얻는다. 이 \(\varphi\)가 『성질』의 보조정리 01PM의 사상을 통해 단면 \(s\)를 준다는 것은 쉽게 보이는데, 이는 모순이다.

보조정리

아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)와 단사 \(A\)-가군 \(J\)가 존재하여 \(\widetilde{J}\)는 \(X\) 위의 플라스크층이 아니다. 심지어 제한 \(\Gamma(X, \widetilde{J}) \to \Gamma(U, \widetilde{J})\)도 \(U\)가 표준 열린집합일 때 전사일 필요가 없다.

증명

위를 보라.

사실 비슷한 구성으로, 연관 준연접 층이 준콤팩트 열린집합 위에서 영이 아닌 코호몰로지를 갖는 단사 가군의 예를 얻을 수 있다. 환 \[A = k[x, y, w_1, u_1, w_2, u_2, \ldots]/(x^nw_n, y^nu_n, u_n^2, w_n^2)\] 에서 시작하자. 여기서 \(k\)는 체이다. 단사 사상 \(A \to I\)를 택하자. 여기서 \(I\)는 단사 \(A\)-가군이다. 원소 \(1/xy\)는 \(A_{xy} \subset I_{xy}\)에 속하지만 \(I_x \oplus I_y \to I_{xy}\)의 상에는 속하지 않는다고 주장한다. 반대로 \[\frac{1}{xy} = \frac{i}{x^n} + \frac{j}{y^n}\] 이라고 하자. 여기서 \(n \geq 1\)이고 \(i, j \in I\)이다. 분모를 없애면 \[(xy)^{n + m - 1} = x^my^{n + m}i + x^{n + m}y^mj\] 을 얻으며, 여기서 \(m \geq 0\)이다. 여기에 \(u_{n + m}w_{n + m}\)을 곱하면 \(u_{n + m}w_{n + m}(xy)^{n + m - 1} = 0\)을 \(A\)에서 얻는데, 이것이 원하는 모순이다. \(U = D(x) \cup D(y) \subset X = \Spec(A)\)라 하자. 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 Mayer-Vietoris에 의한 완전열 \[0 \to H^0(U, \widetilde{M}) \to M_x \oplus M_y \to M_{xy} \to H^1(U, \widetilde{M}) \to 0\] 이 있다. 따라서 \(H^1(U, \widetilde{I})\)는 영이 아니다.

보조정리

밑 위상 공간이 뇌터인 아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)와 단사 \(A\)-가군 \(I\)가 존재하여, \(\widetilde{I}\)는 영이 아닌 \(H^1\)을 어떤 준콤팩트 열린집합 \(U\) 위에서 갖는다. 여기서 이 열린집합은 \(X\)의 열린 부분이다.

증명

위를 보라. 위상 공간으로서 \(\Spec(A) = \Spec(k[x, y])\)임에 주의하라.

분리되지 않는 평탄 군 스킴

체 위의 모든 군 스킴은 분리되어 있다. 『군체』의 보조정리 047L를 보라. 그러나 밑 위의 군 스킴에 대해서는 그렇지 않다.

\(k\)를 체라 하자. \(S = \Spec(k[x]) = \mathbf{A}^1_k\)라 하자. \(G\)를 원점 \(0\)을 두 겹으로 만든 아핀 직선 (『스킴』의 예 01JD를 보라)을 \(S\) 위의 스킴으로 본 것으로 하자. 따라서 \(G \to S\)의 섬유는 한 원소만 갖거나 두 원소를 갖는다(하나는 \(U\)에, 하나는 \(V\)에 있다). 그러므로 이 섬유들에 군 구조를 줄 수 있다(\(U\)에 있는 원소를 군 구조의 영원소로 정한다). 더 정확히 말해, \(G\)에는 \(S\)로 동형사상되는 두 열린집합 \(U, V\)가 있고, \(U \cap V\)는 \(S \setminus \{0\}\)으로 동형사상된다. 그러면 \[G \times_S G = U \times_S U \cup V \times_S U \cup U \times_S V \cup V \times_S V\] 이며 각 조각은 \(S\)와 동형이다. 따라서 첫째와 마지막 조각을 \(U\)로, 가운데 두 조각을 \(V\)로 보내는 유일한 \(S\)-사상으로 곱셈 \(m : G \times_S G \to G\)를 정의할 수 있다. 이는 위에서 준 점별 설명과 일치한다. 이것이 군 스킴 구조를 정의한다는 확인은 생략한다.

보조정리

아핀 직선 위에 유한형인 평탄 군 스킴으로서 분리되지 않는 것이 존재한다.

증명

위 논의를 보라.

보조정리

무한 차원 아핀 공간 위에 유한형인 평탄 군 스킴으로서 준분리되지 않는 것이 존재한다.

증명

위와 같은 구성을 무한 차원 아핀 공간 \(S = \mathbf{A}^\infty_k = \Spec k[x_1, x_2, \ldots]\)을 밑으로 하고, 극대 아이디얼 \((x_1, x_2, \ldots)\)에 대응하는 원점 \(0 \in S\)를 \(G\)에서 두 겹으로 만드는 닫힌점으로 삼아 수행할 수 있다. 그 결과인 군 스킴 \(G \rightarrow S\)는 『스킴』의 예 01KL에서 설명한 대로 준분리되지 않는다.

항등성분은 평탄하지만 평탄하지 않은 군 스킴

\(X \to S\)를 스킴의 단사사상이라 하자. \(G = S \amalg X\)라 하자. \(S\)-사상 \(m : G \times_S G \to G\)를 \[G \times_S G = X \times_S X \amalg X \amalg X \amalg S \longrightarrow G = X \amalg S\] 에서 성분 \(X \times_S X\)와 \(S\)는 \(S\)로 보내고, 두 성분 \(X\)는 항등사상으로 \(X\)에 보내는 사상으로 정하자. 이는 군 법칙을 정의한다. 이를 보이려면 \(G \times_S G \times_S G \to G\)인 사상으로서 \(m \circ (m \times \text{id}_G) = m \circ (\text{id}_G \times m)\)임을 보여야 한다. \(G \times_S G \times_S G\)를 위와 같이 성분들로 분해하면, 각 \(8\)개 조각에 제한한 등식을 확인하면 됨을 알 수 있다. 각 조각은 \(S\), \(X\), \(X \times_S X\), 또는 \(X \times_S X \times_S X\) 가운데 하나와 동형이다. 또한 두 사상은 각각 이 조각들을 \(S\), \(X\), \(S\), \(X\)로 보낸다. 그런데 \(X \to S\)가 단사사상이므로 \(X \times_S X \cong X\)이고 \(X \times_S X \times_S X \cong X\)이며, 각 경우에 \(S\)-사상 \(S \to S\) 또는 \(X \to X\)가 정확히 하나씩 있다. 따라서 \(m \circ (m \times \text{id}_G) = m \circ (\text{id}_G \times m)\)임을 알 수 있다. 이제 \(X \to S\)를 평탄하지 않은 임의의 스킴 단사사상(예를 들어 닫힌 몰입)으로 택하면, 항등성분은 \(S\)라서 평탄하지만 그 자체는 평탄하지 않은 밑 \(S\) 위의 군 스킴을 얻는다.

보조정리

어떤 밑 \(S\) 위에 군 스킴 \(G\)가 존재하여, 그 항등성분은 \(S\) 위에서 평탄하지만 그 자체는 \(S\) 위에서 평탄하지 않다.

증명

위 논의를 보라.

체 위의 분리되지 않는 군 대수공간

체 위의 모든 군 스킴은 분리되어 있다. 『군체』의 보조정리 047L를 보라. 그러나 체 위의 군 대수공간에 대해서는 그렇지 않다 (긍정적인 결과는 이 절 끝을 보라).

\(k\)를 표수가 영인 체라 하자. 『공간』의 예 02Z7에 나오는 대수공간 \(G = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\)를 생각하자. 구성상 \(G\)는 \(k\) 위 스킴의 범주에서 준층 \[T \longmapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T) / \mathbf{Z}\] 에 연관된 fppf 층이다. 준층 위의 자명한 덧셈 법칙은 덧셈 \(m : G \times G \to G\)를 유도하여 \(G\)를 \(\Spec(k)\) 위의 군 대수공간으로 만든다. \(G\)는 분리되어 있지 않다(심지어 준분리되거나 국소적으로 분리되어 있지도 않다). 한편 \(G \to \Spec(k)\)는 유한형이다!

보조정리

체 위에 유한형인 군 대수공간으로서 분리되어 있지 않은 것이 존재한다 (심지어 준분리되거나 국소적으로 분리되어 있지도 않다).

증명

위 논의를 보라.

긍정적인 결과는 다음과 같다. 군 대수공간 \(G\)가 준분리되거나, 국소적으로 분리되거나, 더 일반적으로 양호한 대수공간이면 \(G\)는 실제로 분리되어 있다. 『공간에서의 군체에 관하여 더 자세히』의 보조정리 08BH를 보라. 또한 체 위의 유한형 분리 군 대수공간은 사실 스킴이다. 『공간에서의 군체에 관하여 더 자세히』의 보조정리 0B8F를 보라. 증명의 발상은 스킴 자취가 열린 조밀집합이라는 것이다. 『공간의 성질』의 명제 06NH 또는 『양호한 공간』의 정리 086U를 보라. 이 열린집합을 평행이동하면 \(G\)의 모든 점이 스킴인 열린 근방을 갖는다는 것을 알 수 있다.

étale 사상의 한 섬유 안에서 점들 사이의 특수화

\(f : X \to Y\)가 스킴의 étale 사상, 또는 더 일반적으로 국소 준유한 사상이면 섬유의 점들 사이에는 특수화가 없다. 『사상』의 보조정리 06RT를 보라. 그러나 대수공간의 사상에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

예를 주기 위해 \(k\)를 체라 하자. 다음과 같이 놓자. \[P = k[u, u^{-1}, y, \{x_n\}_{n \in \mathbf{Z}}].\] \(\tau(u) = u\), \(\tau(y) = uy\), \(\tau(x_n) = x_{n + 1}\)이라는 규칙으로 주어진 자기동형사상 \(\tau\)가 생성하는 \(k\)-대수 사상들에 의한 \(\mathbf{Z}\)의 \(P\) 위 작용을 생각하자. \(d \geq 1\)에 대해 \(I_d = ((1 - u^d)y, x_n - x_{n + d}, n \in \mathbf{Z})\)라 놓자. 그러면 \(V(I_d) \subset \Spec(P)\)는 \(\tau^d\)의 고정점 자취이다. \(S \subset P\)를 \(y\)와 모든 \(1 - u^d\), \(d \in \mathbf{N}\)이 생성하는 곱셈적 부분집합이라 하자. 그러면 \(\mathbf{Z}\)가 \(U = \Spec(S^{-1}P)\) 위에 자유롭게 작용함을 알 수 있다. \(X = U/\mathbf{Z}\)를 몫 대수공간이라 하자. 『공간』의 정의 02Z3를 보라.

\(S^{-1}P\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p_n = (x_n, x_{n + 1}, \ldots)\)을 생각하자. \(\tau(\mathfrak p_n) = \mathfrak p_{n + 1}\)임에 주의하라. 따라서 이들은 각각 점 \(\xi_n \in U\)를 정의하고, 이 점들의 \(X\)에서의 상은 모두 동일한 \(X\)의 점 \(x\)이다. 더욱이 다음 특수화들이 있다. \[\ldots \leadsto \xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots\] 따라서 \(U \to X\)가 약속한 유형의 예이다.

보조정리

대수공간의 étale 사상 \(f : X \to Y\)와 \(|X|\) 안의 점들의 자명하지 않은 특수화 \(x \leadsto x'\)가 존재하여 \(|Y|\)에서 \(f(x) = f(x')\)이다.

증명

위 논의를 보라.

fppf 토서가 아닌 토서

『군체』의 주석 049C에서 임의의 \(G\)-토서가 fppf 위상에 대한 \(G\)-토서인지 물었다. 이 절에서는 항상 그렇지는 않음을 보인다.

\(k\)를 체라 하자. 이하 모든 스킴과 스택은 \(k\) 위에 있다. \(G \to \Spec(k)\)를 다음 군 스킴이라 하자. \[G = (\mu_{2, k})^\infty = \mu_{2, k} \times_k \mu_{2, k} \times_k \mu_{2, k} \times_k \ldots = \lim_n (\mu_{2, k})^n\] 여기서 \(\mu_{2, k}\)는 \(\Spec(k)\) 위의 이차 단위근 군 스킴이다. 『군체』의 예 040M를 보라. 아핀 스킴들의 역극한이므로 \(G\)는 아핀 군 스킴이다. 실제로 이는 환 \(k[t_1, t_2, t_3, \ldots]/(t_i^2 - 1)\)의 스펙트럼이다. 곱셈 사상 \(m : G \times_k G \to G\)는 대수 수준에서 \(t_i \mapsto t_i \otimes t_i\)로 주어진다.

\(k\) 위의 임의의 \(G\)-토서는 어떤 \(a_i \in k^*\)에 대해 \[P = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2 - a_i))\] 꼴이며, \(G\)-작용 \(G \times_k P \to P\)는 대수 수준에서 \(x_i \to t_i \otimes x_i\)로 주어진다고 주장한다. 증명은 생략한다. 사실 이 예에 필요한 것은 \(P\)가 \(G\)-토서라는 사실뿐이며, 이는 \(k' = k(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \ldots)\) 위에서 \(P\)가 \(G\)와 \(G\)-동치적으로 동형이 되므로 분명하다. \(P\)가 자명할 필요충분조건은 \(k' = k\)이다. 실제로 \(P\)에 \(k\)-유리점이 있으면 모든 \(a_i\)가 제곱이다.

\(P\)가 fppf 토서일 필요충분조건은 체 확대 \(k' = k(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \ldots)/k\)가 유한인 것이라고 주장한다. \(k'\)가 \(k\) 위에서 유한이면 \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\)는 \(P\)를 자명하게 만드는 fppf 덮개이므로 \(P\)는 실제로 fppf 토서이다. 반대로 \(P\)가 fppf \(G\)-토서라고 하자. 이는 각 \(P_{S_i}\)가 자명해지는 fppf 덮개 \(\{S_i \to \Spec(k)\}\)가 존재한다는 뜻이다. \(S_i\)가 공집합이 아닌 \(i\) 하나를 택하고 닫힌점 \(s \in S_i\)를 택하자. 『다양체』의 보조정리 0478에 의해 체 확대 \(\kappa(s)/k\)는 유한이고, 구성상 \(P_{\kappa(s)}\)에는 \(\kappa(s)\)-유리점이 있다. 따라서 \(k \subset k' \subset \kappa(s)\)이고 \(k'\)는 \(k\) 위에서 유한이다.

구체적인 예를 얻으려면 \(k = \mathbf{Q}\), \(a_i = i\)로 택하면 된다 (원한다면 \(a_i\)를 \(i\)번째 소수로 택해도 된다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(G\)를 \(S\) 위의 군 스킴이라 하자. 주동차 \(G\)-공간을 분류하는 스택 \(G\textit{-Principal}\) (『스택의 예』의 소절 04UN를 보라)과 fppf \(G\)-토서를 분류하는 스택 \(G\textit{-Torsors}\) (『스택의 예』의 소절 04UR를 보라)은 일반적으로 동치가 아니다.

증명

위 논의는 함자 \(G\textit{-Torsors} \to G\textit{-Principal}\)이 일반적으로 본질적으로 전사적이지 않음을 보여 준다.

준콤팩트 평탄 덮개를 갖지만 대수적이지 않은 스택

이 절에서는 Brian Conrad가 제시한 예를 간단히 설명한다. 이 예는 온라인의 이곳에서 찾을 수 있다. 여기서 드는 예는 약간 다르다.

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. 이하 모든 스킴과 스택은 \(k\) 위에 있다. \(G \to \Spec(k)\)를 아핀 군 스킴이라 하자. 『스택의 예』의 보조정리 0CQJ에서 \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/G]\)를 \((\Sch/\Spec(k))_{fppf}\) 위의 군체 스택으로 보는 서로 동치인 여러 방법을 제시했다. 특히 \(\mathcal{X}\)는 fppf \(G\)-토서를 분류한다. 더 정확히 말해, \(1\)-사상 \(T \to \mathcal{X}\)는 \(T\) 위의 fppf \(G_T\)-토서 \(P\)에 대응하고, \(2\)-화살표는 토서의 동형사상에 대응한다. 따라서 대각 \(1\)-사상 \[\Delta : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{\Spec(k)} \mathcal{X}\] 은 표현가능하고 아핀이다. 실제로 스킴 \(T/k\) 위의 임의의 fppf \(G_T\)-토서 두 개 \(P_1, P_2\)에 대해 스킴 \(\mathit{Isom}(P_1, P_2)\)는 \(T\) 위에서 아핀이다. \(\Spec(k)\) 위의 자명한 \(G\)-토서는 \(1\)-사상 \[f : \Spec(k) \longrightarrow \mathcal{X}.\] 을 정의한다. 이것은 전사인 \(1\)-사상이라고 주장한다. 그 이유는 정의상 임의의 \(1\)-사상 \(T \to \mathcal{X}\)에 대해 \(P_{T_i}\)가 자명한 \(G_{T_i}\)-토서와 동형이 되는 fppf 덮개 \(\{T_i \to T\}\)가 존재하기 때문이다. 따라서 합성 \(T_i \to T \to \mathcal{X}\)는 \(f\)를 통해 분해된다. 그러므로 사영 \(T \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to T\)가 전사임은 분명하다 (이것이 \(f\)가 전사라는 성질의 정의이다. 『대수적 스택』의 정의 03YK를 보라). 비슷하게 \(f\)가 준콤팩트하고 평탄함을 보일 수 있다(세부사항은 생략한다). 또 다음 동형도 기록해 둔다. \[\Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \cong G\] 이는 \(k\) 위 스킴의 동형이다.

\(U\)가 스킴인 전사 매끄러운 사상 \(p : U \to \mathcal{X}\)가 존재한다고 하자. 섬유곱 \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \mathcal{X} }\] 을 생각하자. 그러면 \(W\)는 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 스킴이므로 \(k\)-점을 갖는다. 이는 \(f\)를 \(U\)를 통해 분해할 수 있다는 뜻이다. 따라서 \[G \cong \Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \cong (\Spec(k) \times_k \Spec(k)) \times_{(U \times_k U)} (U \times_\mathcal{X} U)\] 를 얻는다. 사영 \(U \times_\mathcal{X} U \to U\)들이 매끄럽다고 가정했으므로 『사상』의 보조정리 01T8에 의해 \(U \times_\mathcal{X} U \to U \times_k U\)는 국소 유한형이다. 따라서 이 경우 \(G\)는 \(k\) 위에서 국소 유한형이다. 종합하면 다음 보조정리를 증명했다(이는 상당히 일반화할 수 있다).

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 아핀 군 스킴이라 하자. 스택 \([\Spec(k)/G]\)가 스킴에 의한 매끄러운 덮개를 가지면 \(G\)는 \(k\) 위에서 유한형이다.

증명

위 논의를 보라.

이 절의 제목과 같은 구체적인 예를 얻으려면 절 04AF의 군 스킴 \(G = (\mu_{2, k})^\infty\)를 택하면 된다. 이는 \(k\) 위에서 국소 유한형이 아니다. 위 논의에 의해 \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/G]\)는 『대수적 스택』의 정의 026O의 성질 (1), (2)를 갖지만 성질 (3)은 갖지 않는다. 따라서 \(\mathcal{X}\)는 대수적 스택이 아니다. 한편 스킴 \(U\)와 전사이고 평탄하고 준콤팩트인 사상 \(U \to \mathcal{X}\)는 존재한다. 바로 위에서 살펴본 \(f : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)이다.

대상에 대해서는 극한 보존이지만 극한 보존은 아닌 경우

\(S\)를 공집합이 아닌 스킴이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 단사 아벨 층이라 하자. 그러면 \(S\) 위의 군체 스택 \[\mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 을 얻는다. 『스택의 예』의 보조정리 04UK를 보라. 모든 \(\mathcal{G}\)-토서가 자명하므로 이 스택은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에서 대상에 대해 극한을 보존한다(『표현가능성의 판정기준』의 절 06CT를 보라). 한편 \(\mathcal{G}\)는 층으로서 극한을 보존할 필요가 없으므로 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)는 일반적으로 극한을 보존하지 않는다(『Artin의 공리』의 정의 07XL를 보라). 예를 들어 영이 아닌 임의의 단사층 \(\mathcal{I}\)를 택하고 \(\mathcal{G} = \prod_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{I}\)라 놓으면 예를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 공집합이 아닌 스킴이라 하자. 군체 스택 \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\)가 존재하여, \(p\)는 대상에 대해서는 극한을 보존하지만 \(\mathcal{X}\) 자체는 극한을 보존하지 않는다.

증명

위 논의를 보라.

대수적이지 않은 분류 스택

\(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\)라 하고 \(\mu_p\)를 \(S\) 위의 \(p\)차 단위근 군 스킴이라 하자. 『공간에서의 군체』의 절 044O에서 몫 스택 \([S/\mu_p]\)를 도입했고, 『스택의 예』의 절 04UV에서 \([S/\mu_p]\)가 fppf \(\mu_p\)-토서의 분류 스택임을 보였다. 즉 \(S\) 위의 스킴 \(T\)가 주어지면 범주 \(\Mor_S(T, [S/\mu_p])\)는 \(T\) 위의 fppf \(\mu_p\)-토서 범주와 표준적으로 동치이다. 끝으로 『표현가능성의 판정기준』의 정리 06FI에서 \([S/\mu_p]\)가 대수적 스택임을 보았다.

이제 다음 질문을 할 수 있다. “étale \(\mu_p\)-토서를 분류하는 군체 범주 \(\mathcal{S}\)는 어떤가?” (다시 말해 \(\mathcal{S}\)는 \(\Sch/S\) 위의 범주이고, 스킴 \(T\) 위의 섬유 범주는 \(T\) 위의 étale \(\mu_p\)-토서 범주이다.)

첫 번째 문제는 대상의 강하가 성립하지 않으므로 이것이 fppf 위상에 대한 스택이 아니라는 점이다. 예를 들어 \(T = \Spec(\mathbf{F}_p(T))\) 위의 \(\mu_p\)-토서 \(\Spec(\mathbf{F}_p(t)[x]/(x^p - t))\)는 fppf 국소적으로 자명하지만 étale 국소적으로는 자명하지 않다.

이 첫 문제를 고치려면 étale 위상에서 작업하면 되고, 이 경우에는 대상의 강하가 성립한다. 실제로 \(\mathcal{S}\)는 \((\Sch/S)_\etale\) 위의 군체 스택이다. 또한 대각 \(\Delta : \mathcal{S} \to \mathcal{S} \times \mathcal{S}\)는 (스킴으로) 표현가능하다. 이는 두 \(\mu_p\)-토서가 주어지면(étale 국소적으로 자명하든 아니든) 그들 사이의 동형사상 층이 스킴으로 표현가능하기 때문이다.

따라서 마침내 스킴 \(U\)와 매끄럽고 전사인 \(1\)-사상 \(U \to \mathcal{S}\)가 존재하는지 물을 수 있다. 이것이 불가능함을 두 방법으로 보일 것이다. 하나는 직접적인 논증(독자에게는 건너뛰기를 권한다)이고, 다른 하나는 일반적인 결과를 쓰는 논증이다.

직접 논증(개요): \(1\)-사상 \(\mathcal{S} \to \Spec(\mathbf{F}_p)\)는 형식적 매끄러움에 대한 무한소 올림 판정법을 만족함에 주의하라. 실제로 스킴의 일차 무한소 두꺼워짐 \(T \to T'\)가 주어지면 \(\mu_p(T') \to \mu_p(T)\)의 핵은 \(T'\) 안에서 \(T\)를 정의하는 아이디얼 층의 단면들과 동형이므로 \(H^1_\etale(T, \mu_p) = H^1_\etale(T', \mu_p)\)이다. 또한 \(\mathcal{S}\)는 극한을 보존하는 스택이다. 따라서 \(U \to \mathcal{S}\)가 매끄러우면 \(U \to \Spec(\mathbf{F}_p)\)는 극한을 보존하고 형식적 매끄러움에 대한 무한소 올림 판정법을 만족한다. 이는 \(U\)가 \(\mathbf{F}_p\) 위에서 매끄럽다는 것을 뜻한다. 특히 \(U\)는 축약 스킴이므로 \(H^1_\etale(U, \mu_p) = 0\)이다. 따라서 \(U \to \mathcal{S}\)는 \(U \to \Spec(\mathbf{F}_p) \to \mathcal{S}\)로 분해되고 첫 화살표는 매끄럽다. 매끄러움의 강하에 의해 \(U \to \mathcal{S}\)가 매끄러우면 \(\Spec(\mathbf{F}_p) \to \mathcal{S}\)도 매끄러워야 한다. 그러나 \(\Spec(\mathbf{F}_p) \times_\mathcal{S} \Spec(\mathbf{F}_p)\)는 \(\mu_p\)이고, 이는 \(\Spec(\mathbf{F}_p)\) 위에서 매끄럽지 않으므로 그렇지 않다.

구조적 논증: 『표현가능성의 판정기준』의 절 076U에서 대수적 스택을, étale 위상에 대한 군체 스택 가운데 대각이 대수공간으로 표현가능하고 매끄러운 덮개를 갖는 것들로 생각할 수 있음을 보았다. 따라서 매끄러운 전사 \(U \to \mathcal{S}\)가 존재한다면 \(\mathcal{S}\)는 대수적 스택이고, 특히 fppf 위상에서 강하를 만족한다. 그러나 위에서 \(\mathcal{S}\)가 fppf 위상에서 강하를 만족하지 않음을 보았다.

대략 말해 위 논증들은, 밑 \(B\) 위의 군 스킴 \(G\)에 대해 étale 국소적으로 자명한 토서를 분류하는 étale 위상의 분류 스택이 대수적일 필요충분조건이 \(G\)가 \(B\) 위에서 매끄러운 것임을 보여 준다. fppf 위상에서 작업하는 이점 하나는 \(G \to B\)가 평탄하고 국소 유한표현이라고 가정하는 것으로 충분하다는 점이다. 실제로 (fppf 위상에 대한) 몫 스택 \([B/G]\)가 대수적일 필요충분조건은 \(G \to B\)가 평탄하고 국소 유한표현인 것이다. 『표현가능성의 판정기준』의 보조정리 06PL를 보라.

준콤팩트 평탄 덮개를 갖지만 대수적이지 않은 층

함자 \(F = (\mathbf{P}^1)^\infty\)를 생각하자. 즉 스킴 \(T\)에 대한 값 \(F(T)\)는 각 \(f_i : T \to \mathbf{P}^1\)가 스킴의 사상인 \(f = (f_1, f_2, f_3, \ldots)\)들의 집합이다. \(\mathbf{P}^1\)은 fpqc 덮개에 대한 층 성질을 만족한다. 『강하』의 보조정리 023Q를 보라. 층들의 곱은 층이므로 \(F\)도 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다. \(F\)의 대각은 표현가능하다. 사상 \(f : T \to F\)와 \(g : S \to F\)가 주어지면 \(T \times_F S\)는 스킴 \(T \times S\) 안의 닫힌 부분스킴 \(T \times_{f_i, \mathbf{P}^1, g_i} S\)들의 스킴론적 교집합이다. 전사 매끄러운 아핀 사상 \(\text{SL}_2 \to \mathbf{P}^1\)을 갖는 군 스킴 \(\text{SL}_2\)를 생각하자. 다음으로 \(U = (\text{SL}_2)^\infty\)와 그 표준적인 (곱) 사상 \(U \to F\)를 생각하자. \(U\)는 아핀 스킴임에 주의하라. 사상 \(U \to F\)가 평탄하고 전사이며 보편적으로 열린 사상이라고 주장한다. 실제로 \(f : T \to F\)를 사상이라 하자. 그러면 \(Z = T \times_F U\)는 \(T\) 위의 스킴 \(Z_i = T \times_{f_i, \mathbf{P}^1} \text{SL}_2\)들의 무한 섬유곱이다. 각 사상 \(Z_i \to T\)는 전사이고 매끄럽고 아핀이므로 \[Z = Z_1 \times_T Z_2 \times_T Z_3 \times_T \ldots\] 는 \(Z\) 위에서 평탄하고 아핀인 스킴이다. 간단한 극한 논증으로 \(Z \to T\)가 열린 사상이기도 함을 알 수 있다.

한편 \(F\)는 대수공간이 아니라고 주장한다. 실제로 \(F\)가 대수공간이라면 (위에서 설명한 \(F\) 위의 섬유곱에 의해) 준콤팩트 분리 대수공간일 것이다. 따라서 준연접 층의 코호몰로지는 어떤 차수 경계 위에서 소멸할 것이다 (『공간의 코호몰로지』의 명제 072B 및 그 앞의 주석들을 보라). 그러나 사영 \[(\mathbf{P}^1)^\infty \longrightarrow (\mathbf{P}^1)^n\] 아래에서 \(\mathcal{O}(-2, -2, \ldots, -2)\)를 당겨오면(이 사영에는 단면이 있다) 차수 \(n\)에서 코호몰로지가 영이 아닌 준연접 층을 얻을 수 있음은 분명하다. 종합하면 mathoverflow에서 Anton Geraschenko가 물은 질문의 답을 얻는다.

보조정리

함자 \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Sets}\)가 존재하여 fpqc 위상에 대한 층 조건을 만족하고, 표현가능한 대각 \(\Delta : F \to F \times F\)를 가지며, 전사이고 평탄하고 보편적으로 열리고 준콤팩트인 사상 \(U \to F\)가 존재한다. 여기서 \(U\)는 스킴이지만 \(F\)는 대수공간이 아니다.

증명

위 논의를 보라.

étale 위상과 자리스키 및 유한 étale 덮개의 비교

이 절에서는 C. Deninger의 질문에 답하여 B. Bhatt가 찾아낸 예를 제시한다. 이 예는 \(\mathbf{C}\) 위의 대수다양체에서 étale 위상이 열린 몰입과 유한 étale 사상들로 생성된 위상보다 진정으로 더 섬세함을 보여 준다. 이런 예들은 전문가들에게 분명히 알려져 있으며, 어쩌면 Artin과 Grothendieck까지 거슬러 올라갈 것이다³. 출판된 예를 알고 있다면 stacks.project@gmail.com으로 전자우편을 보내 달라.

\(X\)를 \(\mathbf{C}\) 위의 매끄럽고 연결된 아핀 곡선이라 하자. 매끄럽고 연결된 곡선 \(Y\)에서 오는 차수 \(3\)의 유한 사상 \(g: Y \to X\)를 다음 성질을 갖도록 택하자. 어떤 점 \(x \in X\)가 있어서 그 섬유 \(g^{-1}(x) = \{u, y\}\)가 비분기점 \(u\)(차수 1)와 분기점 \(y\)(차수 2)로 이루어진다. \(X\)를 \(x\)의 자리스키 열린 근방으로 바꾸어 \(g\)가 \(y\)를 제외한 모든 곳에서 비분기라고 가정할 수 있다. \(U = Y \setminus \{y\}\)라 하자. 그러면 \(f=g|_U: U \to X\)는 전사인 étale 사상이고 \(f^{-1}(x) = \{u\}\)이다.

보조정리

étale 덮개 \(U \to X\)는 열린 몰입과 유한 étale 사상들의 어떠한 유한 합성으로도 세분될 수 없다.

증명

모순을 얻기 위해 다음 자료가 존재한다고 가정하자. 사상의 탑 \[W_m \to W_{m-1} \to \dots \to W_1 \to W_0 = X\] 에서 각 사상 \(W_i \to W_{i - 1}\)은 열린 몰입이거나 유한 étale 사상이고, \(W_m \to X\)를 \(f : U \to X\)를 따라 올린 사상 \(W_m \to U\)가 있으며, 점 \(w \in W_m\)는 \(u \in U\)(따라서 \(x \in X\))로 간다고 하자. 각 \(W_k\)를 \(w\)의 상 \(w_k \in W_k\)를 포함하는 연결성분으로 바꾸어, 모든 \(W_k\)가 매끄럽고 연결되어 있다고 가정할 수 있다.

각 \(0 \le i \le m\)에 대해 섬유곱 \(Z_i = Y \times_X W_i\)를 생각하자. \(W_i \to X\)는 étale이고 \(Y\)는 매끄러우므로 곡선 \(Z_i\)는 매끄럽고 연결된 곡선들의 서로소 합이며, 밑변환에 의해 사상 \(Z_i \to W_i\)는 차수 \(3\)의 유한 사상이다. \(w_i\) 위의 \(Z_i \to W_i\)의 섬유는 분명히 \(Y\)에서 각각 \(y, u\)로 가는 두 점 \(z_i, v_i\)로 이루어진다. \(Z_i \to W_i\)는 \(v_i\)에서 비분기이고 \(z_i\)에서 차수 \(2\)로 분기한다. \(n_i = \#\pi_0(Z_i)\)라 하자. \(Z_i \to W_i\)의 섬유에 점이 \(2\)개이므로 \(n_i \in \{1, 2\}\)이다. 또한 전이사상 \(Z_i \to Z_{i - 1}\)들이 우세하므로 \(n_i\)는 \(i\)와 함께 증가할 수만 있다. 분명히 \(n_0 = 1\)이다. 더욱이 \(n_m \geq 2\)여야 한다. \(X\)-사상 \(W_m \to U \subset Y\)가 있으므로 밑변환 \(Z_m \to W_m\)에는 단면이 있다. 따라서 \(n_{i - 1} = 1\)이고 \(n_i = 2\)인 최소 지표 \(i \ge 1\)이 있다. \(n_j\)들은 \(Z_i\)가 기약인지 여부로 결정되므로 사상 \(W_i \to W_{i - 1}\)은 열린 몰입일 수 없고, 따라서 유한 étale이어야 한다. \(n_i = 2\)이므로 매끄러운 곡선 \(Z_i\)는 두 연결성분을 갖는다. \(W_i\)로 가는 사상이 유한이므로 이 성분 가운데 하나는 \(W_i\)로 동형사상되어야 한다. 따라서 \(Z_i = W_i \sqcup Z'_i\)라 쓸 수 있고 \(Z'_i \to W_i\)는 차수 \(2\)이다. 유도된 사상 \(W_i \subset Z_i \to Z_{i - 1}\)은 연결된 곡선들 사이의 우세 사상이고, 둘 다 \(W_{i - 1}\) 위에서 유한이다. 이런 사상은 항상 전사이다. 그러므로 \(z_{i - 1}\)로 가는 점 \(t \in W_i\)를 택할 수 있다. 이산 값매김환들의 확대 \[\mathcal{O}_{W_{i - 1}, w_{i - 1}} \to \mathcal{O}_{Z_i, z_i} \to \mathcal{O}_{W_i, z}\] 를 얻는다. 이제 첫 확대는 분기하지만 합성은 \(W_i \to W_{i - 1}\)이 étale이었으므로 비분기이다. 이는 불가능하므로 모순을 얻는다.

층과 특수화

이하에서는 『위상』의 정의 021A에서 구성한 큰 étale 사이트 \(\Sch_\etale\)를 고정한다. 또한 스킴은 이 사이트의 대상이라고 한다. 스킴 \(X\)의 점 \(x, x'\)에 대해 \(x \in \overline{\{x'\}}\)이면 \(x\)를 \(x'\)의 특수화라고 부르며 \(x' \leadsto x\)라고 쓴다는 것을 상기하라. 특히 \(x = x'\)이면 이 조건이 성립한다.

다음 규칙으로 정의한 함자 \(F : \Sch_\etale \to \textit{Ab}\)를 생각하자. \[F(X) = \prod\nolimits_{x \in X} \prod\nolimits_{x' \in X, x' \leadsto x, x' \not = x} \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\] 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 그 점들의 밑집합을 \(|X|\)라 쓴다. 원소 \(a \in F(X)\)는 집합의 사상 \(|X| \times |X| \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), \((x, x') \mapsto a(x, x')\)로 보는데, \(x = x'\)이거나 \(x\)가 \(x'\)의 특수화가 아니면 그 값은 영이다. 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어졌을 때 \[F(f) : F(Y) \longrightarrow F(X)\] 를 \(b \in F(Y)\)에 대해 다음 규칙으로 정의한다. \[F(f)(b)(x, x') = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if }x\text{ is not a specialization of }x' \\ b(f(x), f(x')) & \text{else.} \end{matrix} \right.\] 이것은 실제로 \(F(X)\)의 원소를 정의함에 주의하라. 사상 \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)가 합성 가능하면 \(F(f) \circ F(g) = F(g \circ f)\)라고 주장한다. 실제로 \(c \in F(Z)\)라 하고 \(x' \leadsto x\)를 \(X\)의 점들의 특수화라 하면 \[F(g \circ f)(x, x') = c(g(f(x)), g(f(x'))) = F(g)(F(f)(c))(x, x')\] 이다. 왜냐하면 \(f(x') \leadsto f(x)\)이기 때문이다. (이는 \(f(x) = f(x')\)일 때도 성립한다.)

\(G\)를 étale 위상에서 \(F\)를 층화한 것이라 하자.

\(X\)가 스킴이고 \(x' \leadsto x\)가 \(x' \not = x\)인 특수화이면 \(G(X) \not = 0\)이라고 주장한다. 실제로 \(a\)를 함수 \(|X| \times |X| \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\)로 보았을 때 \((x, x')\)에서 영이 아닌 원소 \(a \in F(X)\)를 택하자. \(\{f_i : U_i \to X\}\)를 \(X\)의 étale 덮개라 하자. 어떤 \(i\)와 \(f_i(u_i) = x\)인 점 \(u_i \in U_i\)를 택할 수 있다. 일반화는 평탄 사상을 따라 올라가므로(『사상』의 보조정리 03HV를 보라) \(f_i(u'_i) = x'\)인 특수화 \(u'_i \leadsto u_i\)를 찾을 수 있다. 위 구성에 따라 \(F(f_i)(a) \not = 0\)이다. 따라서 \(a\)는 \(G(X)\)의 영이 아닌 원소를 정의한다.

\(X = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체이면(더 일반적으로 모든 소 아이디얼이 극대인 환이어도 된다) \(F(X) = 0\)임에 주의하라. 또 étale 사상 \(U \to X\)마다 étale 사상의 섬유 안에서 서로 다른 점 사이에는 특수화가 없으므로 \(F(U) = 0\)이다. 따라서 \(G(X) = 0\)이다.

\(X \subset X'\)가 두꺼워짐이라고 하자. 『사상에 관하여 더 자세히』의 정의 04EX를 보라. 밑변환 함자 \(U' \mapsto U = U' \times_{X'} X\)에 의해 \(X'\) 위의 étale 스킴 범주와 \(X\) 위의 étale 스킴 범주는 동치이다. 『Étale 코호몰로지』의 정리 04DZ를 보라. 이 상황에서 항상 \(F(U) = F(U')\)이므로 \(G(X) = G(X')\)이기도 하다.

변형으로, 스킴 \(X\)에 다음 사상들의 모임을 대응시키는 준층 \(F_n\)을 생각할 수 있다. \(a : |X|^{n + 1} \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\)에서 \(a(x_0, \ldots, x_n)\)은 \(x_n \leadsto \ldots \leadsto x_0\)가 특수화들의 열이고 \(x_n \not = x_{n - 1} \not = \ldots \not = x_0\)일 때에만 영이 아닐 수 있다. \(G_n\)을 \(F_n\)에 연관된 층이라 하자. 위와 정확히 같은 방법으로 \(\dim(X) \geq n\)이면 \(G_n\)이 영이 아니고, \(\dim(X) < n\)이면 영임을 보일 수 있다.

보조정리

\(\Sch_\etale\) 위에 다음 성질을 갖는 아벨 군의 층 \(G\)가 존재한다.

1. \(\dim(X) < n\)이면 \(G(X) = 0\)이다.

2. \(\dim(X) \geq n\)이면 \(G(X)\)는 영이 아니다.

3. \(X \subset X'\)가 두꺼워짐이면 \(G(X) = G(X')\)이다.

증명

위 논의를 보라.

주

몇 가지 주석을 덧붙인다.

1. 준층 \(F\)와 \(F_n\)은 분리 준층이다.

2. 실제로 \(F\), \(F_n\)은 층이 아니다.

3. \(G\), \(G_n\)은 사실 fppf 위상에 대한 층임을 보일 수 있다.

필요할 때 이 결과들을 증명할 것이다.

층과 구성가능 함수

이하에서는 『위상』의 정의 021A에서 구성한 큰 étale 사이트 \(\Sch_\etale\)를 고정한다. 또한 스킴은 이 사이트의 대상이라고 한다. 이 절에서 스킴 \(X\)의 구성가능 분할이란 국소 유한 서로소 합 분해 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\)로서 각 \(X_i \subset X\)가 \(X\)의 국소 구성가능 부분집합인 것을 말한다. 국소 유한이라는 것은 임의의 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(i \in I\) 가운데 \(X_i \cap U\)가 공집합이 아닌 것이 유한 개뿐이라는 뜻이다. \(f : X \to Y\)가 스킴의 사상이고 \(Y = \coprod Y_j\)가 구성가능 분할이면 \(X = \coprod f^{-1}(Y_j)\)는 \(X\)의 구성가능 분할임에 주의하라. 집합 \(S\)와 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 구성가능 함수 \(f : |X| \to S\)란 \(X = \coprod_{s \in S} f^{-1}(s)\)가 \(X\)의 구성가능 분할인 사상을 말한다. \(G\)가 (추상군)이고 \(a, b : |X| \to G\)가 구성가능 함수이면 \(ab : |X| \to G, x \mapsto a(x)b(x)\)도 구성가능 함수이다. 그 이유는 임의의 두 구성가능 분할을 동시에 세분하는 세 번째 분할이 있기 때문이다.

\(A\)를 임의의 아벨 군이라 하자. 각 스킴 \(X\)에 대해 다음과 같이 정의한다. \[F(X) = \frac{\{a : |X| \to A \mid a \text{는 구성가능 함수이다}\}}{\{\text{국소 상수 함수 }|X| \to A\}}\] \(F(X)\)의 원소 \(a\)는 단순히 국소 상수 함수를 더하는 것까지 잘 정의된 함수로 생각한다. 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)와 원소 \(b \in F(Y)\)가 주어지면 \(F(f)(b) = b \circ f\)로 정의한다. 따라서 \(F\)는 \(\Sch_\etale\) 위의 준층이다.

\(\{f_i : U_i \to X\}\)가 fppf 덮개이고 \(a \in F(X)\)가 \(F(f_i)(a) = 0\)을 모든 지표에 대해 \(F(U_i)\)에서 만족하면, \(a \circ f_i\)는 각 \(i\)에 대해 국소 상수 함수임에 주의하라. 사상 \(f_i\)들이 열린 사상이므로 이는 다시 \(a\)가 국소 상수 함수라는 뜻이다. 따라서 \(F(X)\)에서 \(a = 0\)이다. 그러므로 \(F\)는 분리 준층이다(fppf 위상에서, 따라서 더욱이 étale 위상에서도 그렇다).

\(G\)를 étale 위상에서 \(F\)를 층화한 것이라 하자. \(F\)는 분리되어 있고, 예를 들어 \(X\)가 이산 값매김환의 스펙트럼일 때 \(F(X) \not = 0\)이므로 \(G\)는 영이 아니다.

\(X = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라 하자. 그러면 \(X\)의 임의의 étale 덮개는 \(k'/k\)가 유한 분리가능 체 확대인 덮개 \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\)로 지배된다. \(F(\Spec(k')) = 0\)이므로 \(G(X) = 0\)이다.

\(X \subset X'\)가 두꺼워짐이라고 하자. 『사상에 관하여 더 자세히』의 정의 04EX를 보라. 밑변환 함자 \(U' \mapsto U = U' \times_{X'} X\)에 의해 \(X'\) 위의 étale 스킴 범주와 \(X\) 위의 étale 스킴 범주는 동치이다. 『Étale 코호몰로지』의 정리 04DZ를 보라. 이 상황에서 \(F(U) = F(U')\)이므로 \(G(X) = G(X')\)이기도 하다.

층 \(G\)는 극한을 보존한다. 『공간의 극한』의 정의 049J를 보라. 실제로 환 \(R\)이 환들의 유향 쌍대극한 \(R = \colim_i R_i\)로 쓰였다고 하자. \(X = \Spec(R)\), \(X_i = \Spec(R_i)\)라 놓으면 \(X = \lim_i X_i\)이다. 이때 \(G(X) = \colim_i G(X_i)\)이다. 이를 증명하려면 먼저 \(\Spec(R)\)의 구성가능 분할이 어떤 \(\Spec(R_i)\)의 구성가능 분할에서 온다는 것을 증명한다. 이로부터 \(F\)에 대한 결과를 얻는다. 층화에 대한 결과를 얻으려면 임의의 étale 환 사상 \(R \to R'\)가 어떤 \(i\)에 대한 étale 환 사상 \(R_i \to R_i'\)에서 온다는 것을 사용하라. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(\Sch_\etale\) 위에 다음 성질을 갖는 아벨 군의 층 \(G\)가 존재한다.

1. \(G(\Spec(k)) = 0\)이다. 여기서 \(k\)는 임의의 체이다.

2. \(G\)는 극한을 보존한다.

3. \(X \subset X'\)가 두꺼워짐이면 \(G(X) = G(X')\)이다.

4. \(G\)는 영이 아니다.

증명

위 논의를 보라.

lisse-étale 사이트는 함자적이지 않다

\(X\)의 lisse-étale 사이트 \(X_{lisse,\etale}\)는 \(X\) 위에서 매끄러운 스킴들의 범주에 (통상적인) étale 덮개를 준 것이다. 『스택의 코호몰로지』의 절 0786를 보라. \(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 연속 함자 \[u : Y_{lisse,\etale} \longrightarrow X_{lisse,\etale},\quad V/Y \longmapsto V \times_Y X\] 가 있다. 따라서 수반 함자쌍 \[u^s : \Sh(X_{lisse,\etale}) \longrightarrow \Sh(Y_{lisse,\etale}), \quad u_s : \Sh(Y_{lisse,\etale}) \longrightarrow \Sh(X_{lisse,\etale}),\] 을 얻는다. 『사이트』의 절 00WU를 보라. 일반적으로 \(u\)가 사이트의 사상을 정의하지 않는다고 주장한다. 『사이트』의 정의 00X1를 보라. 다시 말해 \(u_s\)는 일반적으로 왼쪽 완전하지 않다고 주장한다. 표현가능 준층은 lisse-étale 사이트 위의 층임에 주의하라. 따라서 『사이트』의 보조정리 04D3에 의해 \(u_sh_V = h_{V \times_Y X}\)이다. 이제 \(Y\) 위에서 매끄러운 스킴 \(V_1, V_2\) 사이의 두 사상 \[\xymatrix{ V_1 \ar[rd] \ar@<1ex>[rr]^a \ar@<-1ex>[rr]_b & & V_2 \ar[ld] \\ & Y }\] 을 생각하자. \(u_s\)가 왼쪽 완전하다면 \[u_s \text{Equalizer}(h_a, h_b : h_{V_1} \to h_{V_2}) = \text{Equalizer}(h_{a \times 1}, h_{b \times 1} : h_{V_1 \times_Y X} \to h_{V_2 \times_Y X})\] 를 얻을 것이다. \(Y\) 위에서 매끄러운 스킴에서 \((a = b) \subset V_1\)로 가는 사상이 존재하지 않도록, 즉 왼쪽 항이 공집합 층이 되도록 하되 \(X\)로 밑변환한 뒤에는 등화자가 공집합이 아니고 \(X\) 위에서 매끄럽도록 사상 \(a, b : V_1 \to V_2\)를 택할 것이다. 간단한 예로 \(X = \Spec(\mathbf{F}_p)\), \(Y = \Spec(\mathbf{Z})\), \(V_1 = V_2 = \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\)로 택하고 \(a(x) = x\), \(b(x) = x + p\)로 정하면 된다. \(a\)와 \(b\)의 등화자는 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\)의 \((p)\) 위의 섬유임에 주의하라.

보조정리

lisse-étale 사이트는 스킴의 사상에 대해서조차 함자적이지 않다.

증명

위 논의를 보라.

뇌터 스킴의 범주 위의 층

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. 『Artin의 공리』의 절 0GE1에서처럼 포함 함자 \[u : (\textit{Noetherian}/S)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 를 생각하자. 이는 \(S\) 위의 국소 뇌터 스킴들의 fppf 사이트를 \(S\)의 큰 fppf 사이트에 포함시킨다. 인용한 절에서 설명했듯 이 함자는 연속이다. 따라서 수반 함자쌍 \[u^s : \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\textit{Noetherian}/S)_{fppf})\] 과 \[u_s : \Sh((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf})\] 을 얻는다. 『사이트』의 절 00WU를 보라. 그러나 일반적으로 \(u\)가 사이트의 사상을 정의하지 않는다고 주장한다. 『사이트』의 정의 00X1를 보라. 다시 말해 함자 \(u_s\)는 일반적으로 왼쪽 완전하지 않다고 주장한다.

\(p\)를 소수라 하고 \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\)라 놓자. \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}\) 위의 층들의 단사 사상 \[a : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}\] 을 다음과 같이 정의한다. \(U\)가 \(S\) 위의 국소 뇌터 스킴이면 \[\mathcal{G}(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)^* = \Mor_S(U, \mathbf{G}_{m, S})\] 로 정의하고 \[\mathcal{F}(U) = \{f \in \mathcal{G}(U) \mid \text{fppf 국소적으로 }f \text{는 임의 차수의 }p\text{-거듭제곱근을 갖는다}\}\] 로 둔다. 뇌터 \(\mathbf{F}_p\)-대수 \(A\)의 멱영근기 \(I \subset A\)는 멱영이고, \(A\) 안에서 \(1\)의 \(p\)-거듭제곱근은 \(1 + a\), \(a \in I\) 꼴의 원소이다. 따라서 \(1\)의 자명하지 않은 어떠한 \(p\)-거듭제곱근도 임의 차수의 \(p\)-거듭제곱근을 갖지 않는다. 그러므로 국소 뇌터 스킴 \(U\)마다 \(\mathcal{F}(U)\)는 \(p\)-꼬임이 없는 아벨 군이다. 몇 가지 세부사항은 생략한다. 따라서 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)는 \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}\) 위의 아벨 층들의 단사 사상이다.

모순을 얻기 위해 \(u_s\)가 완전하다고 가정하자. 그러면 \(p : u_s\mathcal{F} \to u_s\mathcal{F}\)도 단사이고, \(S\) 위의 임의의 \(V\)에 대해 \((u_s\mathcal{F})(V)\)는 \(p\)-꼬임이 없는 아벨 군이다. 표현가능 준층은 fppf 사이트 위의 층이므로 『사이트』의 보조정리 04D3에 의해 \(u_s\mathcal{G}\)는 \(\mathbf{G}_{m, S}\)로 표현된다. \(u_s\mathcal{F} \to u_s\mathcal{G}\)가 단사라는 사실을 사용하면, \(S\) 위의 모든 스킴 \(V\)에 대해 \(p\)-꼬임이 없는 부분군 \[(u_s\mathcal{F})(V) \subset \Gamma(V, \mathcal{O}_V)^*\] 를 얻으며 이는 다음 성질을 갖는다. \(S\) 위 스킴의 사상 \(V \to U\)에서 \(U\)가 국소 뇌터이면 부분군 \[\mathcal{F}(U) \subset \Gamma(U, \mathcal{O}_U)^*\] 는 제한 사상 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)^* \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V)^*\)에 의해 부분군 \((u_s\mathcal{F})(V)\) 안으로 간다.

이제 실제 모순은 다음과 같이 얻는다. \(k = \bigcup_{n \geq 0} \mathbf{F}_p(t^{1/{p^n}})\)라 하고 \[B = k \otimes_{\mathbf{F}_p(t)} k\] 및 \(V = \Spec(B)\)라 놓자. 두 쌍대곱 사상 \(k \to B\)에 대응하는 두 사영 \(V \to \Spec(k)\)가 있고 \(\Spec(k)\)는 뇌터이므로 부분군 \[(u_s\mathcal{F})(V) \subset B^*\] 는 \(k^* \otimes 1\)과 \(1 \otimes k^*\)를 포함한다. 이는 모순이다. 실제로 \[(t^{1/p} \otimes 1) \cdot (1 \otimes t^{-1/p}) = t^{1/p} \otimes t^{-1/p}\] 는 \(B\)의 자명하지 않은 \(p\)-꼬임 가역원이다.

보조정리

\(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\)일 때 포함 함자 \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 사이트의 사상을 정의하지 않는다.

증명

위 논의를 보라.

준연접 가군의 유도 밂앞

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \(S = \Spec(k[x])\)라 하자. \(G = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\)를 추상군 또는 \(S\) 위의 상수 군 스킴으로 보자. \(G\)가 \(S\)에 자명하게 작용할 때 대수적 스택 \(\mathcal{X} = [S/G]\)를 생각하자. 『스택의 예』의 주석 0371과 『표현가능성의 판정기준』의 보조정리 06PL를 보라. 구조 사상 \[f : \mathcal{X} \longrightarrow S\] 을 생각하자. 이 사상은 준콤팩트하고 준분리이다. 따라서 함자 \[Rf_{\QCoh, *} : D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_S),\] 를 얻는다. 『스택의 유도범주』의 명제 07BC를 보라. \(Rf_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{X}\)를 계산하자. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)는 \(k[x]\)-가군의 유도범주와 동치이므로 (『스킴의 유도범주』의 보조정리 06Z0를 보라), 이는 \(R\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)를 계산하는 것과 같다. 이를 위해 덮개 \(S \to \mathcal{X}\)와 스펙트럼 열 \[H^q(S \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} S, O) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] 을 쓸 수 있다. 『스택의 코호몰로지』의 명제 0784를 보라. 다음 등식에 주의하라. \[S \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} S = S \times G^p\] 이는 아핀이다. 따라서 복합체 \[k[x] \to \text{Map}(G, k[x]) \to \text{Map}(G^2, k[x]) \to \ldots\] 가 \(R\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)를 계산한다. 여기서 \(\varphi \in \text{Map}(G^{p - 1}, k[x])\)의 미분은 \((g_1, \ldots, g_p)\)를 다음 원소로 보내는 사상이다. \[\varphi(g_2, \ldots, g_p) + \sum\nolimits_{i = 1}^{p - 1} (-1)^i\varphi(g_1, \ldots, g_i + g_{i + 1}, \ldots, g_p) + (-1)^p\varphi(g_1, \ldots, g_{p - 1}).\] 이는 \(k[x]\)에 자명하게 작용하는 \(G\)의 군 코호몰로지를 계산하는 복합체일 뿐이다(나중에 참조를 삽입하라). 순환군 \(G\)가 \(k[x]\)에 자명하게 작용할 때의 코호몰로지는 각 코호몰로지 차수 \(\geq 0\)에서 정확히 \(k[x]\) 한 개이다 (나중에 참조를 삽입하라). 따라서 \[Rf_*\mathcal{O}_\mathcal{X} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_S[-n]\] 이다. 이제 복합체 \[E = \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{O}_\mathcal{X}[m]\] 을 생각하자. 이는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 대상이다. 일반적인 결과를 위해 잠시 논의를 중단한다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 대상으로서 그 코호몰로지 층들이 국소 준연접이고(『스택 위의 층』의 정의 06WJ) 평탄 밑변환 성질을 만족한다고 하자(『스택의 코호몰로지』의 정의 0762). 그러면 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 안에 구별삼각형 \[K \to \prod\nolimits_{n \geq 0} \tau_{\geq -n} K \to \prod\nolimits_{n \geq 0} \tau_{\geq -n} K \to K[1]\] 이 존재한다. 다시 말해 \(K\)는 그 표준 절단들의 유도극한이다.

증명

\(\mathcal{X}\)의 “큰 fppf 사이트” \(\mathcal{X}_{fppf}\)에서 작업한다는 것을 상기하라(『스택 위의 층』과 『스택 위의 코호몰로지』 장에서 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-가군의 층에 관해 채택한 관례에 따른다). \(\mathcal{B}\)를 아핀 스킴 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}_{fppf}\)의 대상 \(x\)들의 집합이라 하자. 『스택 위의 층』의 보조정리들 075R, 075F, 『강하』의 보조정리 0756, 그리고 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 01XB를 종합하면, \(\mathcal{F}\)가 국소 준연접이고 \(x \in \mathcal{B}\)이면 \(H^p(x, \mathcal{F}) = 0\)임을 알 수 있다. 이제 \(d = 0\)으로 둔 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0D6P에서 주장이 따른다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. \(\mathcal{F}_n\)이 \(\mathcal{X}\) 위의 국소 준연접 층들로 이루어진 모임이고 평탄 밑변환 성질을 만족하면, \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에서 \(\oplus_n \mathcal{F}_n[n] \to \prod_n \mathcal{F}_n[n]\)은 동형사상이다.

증명

보조정리 08IY에 의해 직합이 곱과 동형이므로 성립한다.

논의를 계속하자. 준연접 가군은 국소 준연접이고 평탄 밑변환 성질을 만족하므로(『스택 위의 층』의 보조정리 06WK) 다음을 얻는다. \[E = \prod\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{O}_\mathcal{X}[m]\] 코호몰로지는 극한과 가환하므로 \[Rf_*E = \prod\nolimits_{m \geq 0} \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_S[m - n]\right)\] 이다. 이 복합체는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)의 대상이 아님에 주의하라. 실제로 차수 \(0\)의 코호몰로지 층은 \(\mathcal{O}_S\)의 복사본들의 무한 곱이며, 이는 국소 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군조차 아니다.

보조정리

대수적 스택의 준콤팩트 준분리 사상 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)는 함자 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)를 항상 유도하는 것은 아니다.

증명

위 논의를 보라.

큰 아벨 범주

이 절의 목적은 “큰” 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)와 대상 \(M, N\)을 주어 확장들의 동형류 모임 \(\Ext_\mathcal{A}(M, N)\)이 집합이 아닌 예를 보이는 것이다. 이 예는 Freyd가 제시했다. [Freyd, page 131, Exercise A]를 보라.

\(\mathcal{A}\)를 다음과 같이 정의한다. \(\mathcal{A}\)의 대상은 삼중항 \((M, \alpha, f)\)로 이루어진다. 여기서 \(M\)은 아벨 군, \(\alpha\)는 서수, \(f : \alpha \to \text{End}(M)\)은 사상이다. 사상 \((M, \alpha, f) \to (M', \alpha', f')\)은 아벨 군의 준동형사상 \(\varphi : M \to M'\)로서 모든 서수 \(\beta\)에 대해 \[\varphi \circ f(\beta) = f'(\beta) \circ \varphi\] 를 만족하는 것이다. 여기서 \(\beta\)가 \(\alpha\)에 속하지 않으면 \(f(\beta) = 0\)으로 정하고, 마찬가지로 \(\beta\)가 \(\alpha'\)의 원소가 아니면 \(f'(\beta)\)를 영으로 정한다. 이렇게 정의한 범주가 아벨 범주라는 확인은 생략한다.

대상 \(Z = (\mathbf{Z}, \emptyset, f)\), 즉 모든 작용소가 영인 대상을 생각하자. 핵심 관찰은 \(\mathcal{A}\)에서 계산한 군 \(\Ext^1_\mathcal{A}(Z, Z)\)가 집합이 아닌 진클래스라는 것이다. 실제로 각 서수 \(\alpha\)에 대해 \(Z\)에 의한 \(Z\)의 확장 \((M, \alpha + 1, f)\)을 찾을 수 있는데, 그 밑군은 \(M = \mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z}\)이고 \(f\)의 값은 다음 값을 제외하면 항상 영이다. \[f(\alpha) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right).\] 이는 확장들의 동형류로 이루어진 진클래스를 분명히 만든다. 특히 \(\mathcal{A}\)의 유도범주에서 사상들의 모임은 진클래스이다. 『유도범주』의 보조정리 06XV을 보라. 이는 삼각범주의 Verdier 몫을 정의할 때 어느 정도 주의해야 함을 뜻한다.

보조정리

\(\Ext\)-군들이 진클래스인 “큰” 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)가 존재한다.

증명

위 논의를 보라.

약하게 연관된 점과 스킴론적 조밀성

\(k\)를 체라 하자. \(i\)가 \(\mathbf{N}\)의 원소들을 달릴 때 \(R = k[z, x_i, y_i]/(z^2, zx_iy_i)\)라 하자. 여기서 \(R = R_0 \oplus M_0\)이고, \(R_0 = k[x_i, y_i]\)는 부분환이며 \(M_0\)는 제곱이 영인 아이디얼이고 \(R_0\)-가군으로서 \(M_0 \cong R_0/(x_iy_i)\)임에 주의하라. 소 아이디얼 \(\mathfrak p = (z, x_i)\)는 \(R\)을 \(R\)-가군으로 보았을 때 약하게 연관되어 있다(『대수학』의 정의 0547). 실제로 \(R_\mathfrak p\)의 원소 \(z\)는 영이 아니지만 \(\mathfrak pR_\mathfrak p\)에 의해 소멸된다. 한편 열린 부분스킴 \[U = \bigcup D(x_i) \subset \Spec(R) = S\] 을 생각하자. \(U \subset S\)가 스킴론적으로 조밀하다고 주장한다 (『사상』의 정의 01RB). 이를 증명하려면 \(j : U \to S\)가 포함사상일 때 \(\mathcal{O}_S \to j_*\mathcal{O}_U\)가 단사임을 보이면 충분하다. 『사상』의 보조정리 01RE를 보라. 이를 대수학으로 옮기면 모든 \(g \in R\)에 대해 사상 \[R_g \longrightarrow \prod R_{x_ig}\] 가 단사임을 보여야 한다. \(g = g_0 + m_0\)로 쓰자. 여기서 \(g_0 \in R_0\), \(m_0 \in M_0\)이다. 그러면 \(R_g = R_{g_0}\)이다 (세부사항은 생략한다). 따라서 \(g \in R_0\)라고 가정할 수 있다. 또 \(g\)가 영이 아니라고 가정할 수 있다. 이제 \(R_g = (R_0)_g \oplus (M_0)_g\)이다. \(R_0\)는 정역이므로 \((R_0)_g \to \prod (R_0)_{x_ig}\)는 단사이다. \(g \in (x_iy_i)\)이면 \((M_0)_g = 0\)이므로 보일 것이 없다. \(g \not \in (x_iy_i)\)이면 \((x_iy_i)\)가 \(R_0\)의 근기 아이디얼이므로 \(M_0 \to \prod (M_0)_{x_ig}\)가 단사임을 보이면 된다. \(R_0 \to M_0 \to (M_0)_{x_n}\)의 핵은 \((x_iy_i, y_n)\)이다. \((x_iy_i, y_n)\)은 근기 아이디얼이므로 \(g \not \in (x_iy_i, y_n)\)이면 \(R_0 \to M_0 \to (M_0)_{x_ng}\)의 핵은 \((x_iy_i, y_n)\)이다. 모든 \(n \gg 0\)에 대해 \(g \not \in (x_iy_i, y_n)\)이므로 그 핵은 원하는 대로 \(\bigcap_{n \gg 0} (x_iy_i, y_n) = (x_iy_i)\)에 포함된다.

두 번째 예는 Ofer Gabber가 제시했다. \(k\)를 체라 하고 \(R\)과 \(R'\)를 각각 함수 \(\mathbf{N} \to k\)의 환과 결국 상수인 함수 \(\mathbf{N} \to k\)의 환이라 하자. 그러면 \(\Spec(R)\)과 \(\Spec(R')\)은 각각 Stone-Čech 콤팩트화⁴ \(\beta\mathbf{N}\)과 한 점 콤팩트화⁵ \(\mathbf{N}^* = \mathbf{N} \cup \{\infty\}\)이다. 환 \(R\)과 \(R'\)의 모든 소 아이디얼이 극소이므로 모든 점은 약하게 연관되어 있다.

보조정리

축약 스킴 \(X\)와 스킴론적으로 조밀한 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여, 어떤 약하게 연관된 점 \(x \in X\)가 \(U\)에 속하지 않는다.

증명

첫 번째 예에서는 구성상 \(\mathfrak p \not \in U\)이다. Gabber의 예에서 스킴 \(\Spec(R)\) 또는 \(\Spec(R')\)는 축약이다.

대각합의 비가법성의 예

\(k\)를 체라 하고 \(R = k[\epsilon]\)을 \(k\) 위의 쌍대수 환이라 하자. 다시 말해 \(R = k[x]/(x^2)\)이고 \(\epsilon\)은 \(R\)에서 \(x\)의 합동류이다. 복합체들의 짧은 완전열 \[\xymatrix{ 0 \ar[d] \ar[r] & R \ar[d]^\epsilon \ar[r]_1 & R \ar[d] \\ R \ar[r]^1 & R \ar[r] & 0 }\] 을 생각하자. 여기서 열들이 복합체이고 첫째 행은 차수 \(0\), 둘째 행은 차수 \(1\)에 놓인다. 첫째 복합체(즉 왼쪽 열)를 \(A^\bullet\), 둘째를 \(B^\bullet\), 셋째를 \(C^\bullet\)이라 쓰자. 그림 [087K]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ A^\bullet \ar[d]_{1 + \epsilon} \ar[r] & B^\bullet \ar[r] \ar[d]_1 & C^\bullet \ar[d]_1 \\ A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet } } \end{equation}\] 은 \(K(R)\)에서 가환한다고, 즉 호모토피까지 가환하는 복합체들의 그림이라고 주장한다. 실제로 오른쪽 사각형은 가환하고, 왼쪽 사각형의 어긋남은 호모토피 \(1 : A^1 \to B^0\)이다. 한편 \[\text{Tr}_{A^\bullet}(1 + \epsilon) + \text{Tr}_{C^\bullet}(1) \not = \text{Tr}_{B^\bullet}(1).\]

보조정리

환 \(R\), 호모토피 범주 \(K(R)\) 안의 구별삼각형 \((K, L, M, \alpha, \beta, \gamma)\), 그리고 이 구별삼각형의 자기준동형 \((a, b, c)\)가 존재하여, \(K\), \(L\), \(M\)은 완전 복합체이고 \(\text{Tr}_K(a) + \text{Tr}_M(c) \not = \text{Tr}_L(b)\)이다.

증명

위의 예를 생각하자. 사상 \(\gamma : C^\bullet \to A^\bullet[1]\)은 차수 \(0\)에서 \(\epsilon\)을 곱하는 사상으로 주어진다. 『유도범주』의 정의 014Q를 보라. 따라서 \(\epsilon(1 + \epsilon) = \epsilon\)이므로 \[\xymatrix{ C^\bullet \ar[d] \ar[r]_\gamma & A^\bullet[1] \ar[d] \\ C^\bullet \ar[r]^\gamma & A^\bullet[1] }\] 도 \(K(R)\)에서 가환한다. 그러므로 실제로 구별삼각형들의 사상을 얻었다.

사영 스킴 구조층의 유한하지 않은 코호몰로지

\(R\)을 임의의 비뇌터 환이라 하고 \(I\)를 유한 생성이 아닌 \(R\)의 아이디얼이라 하자. \(S = R[x, y]/xyI\)를 \(x\)와 \(y\)의 차수가 \(1\)인 등급환으로 보자. 그러면 \(X = \text{Proj}(S)\)는 \(R\) 위의 사영 스킴이다. \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 생성 \(R\)-가군이 아니라고 주장한다.

환 \(S_x\), \(S_y\), \(S_{xy}\)를 이중차수에 따라 분해하면 \[S_x = \bigoplus_{\substack{(a, b) \in \mathbf{Z}^2 \\ b \geq 0}} R'_{a, b}, \quad\quad S_y = \bigoplus_{\substack{(a, b) \in \mathbf{Z}^2 \\ a \geq 0}} R''_{a, b}, \quad\quad S_{xy} = \bigoplus_{\substack{(a, b) \in \mathbf{Z}^2}} R/I,\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \((a, b)\)-성분은 차수 \(a + b\)에 놓이고 \[R'_{a, b} = \left\{ \begin{matrix} R & b = 0, \\ R/I & b \ne 0, \end{matrix} \right. \quad\quad R''_{a, b} = \left\{ \begin{matrix} R & a = 0, \\ R/I & a \ne 0. \end{matrix} \right.\] 이다. \(R\)-가군 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 \[(S_x)_0 \times (S_y)_0 \to (S_{xy})_0\] 에서 \((F, G) \mapsto F - G\)로 정의된 사상의 핵으로 계산할 수 있다. 여기서 \(A_0\)라는 표기는 \(\mathbf{Z}\)-등급환 \(A\)의 차수 \(0\) 성분을 뜻한다. 위에서 \(S_x, S_y, S_{xy}\)를 구체적으로 설명했으므로 이 핵은 \(F - G \in I\)인 쌍 \((F, G)\)들로 이루어진 부분가군 \(M \subset R^2\)와 동형이다. \((F, G) \mapsto F - G\)로 주어진 \(R\)-가군의 사상 \(M \to I\)가 전사이므로 \(M\)은 유한 생성 \(R\)-가군이 아니다.

전사 \(R[x, y] \to S\)는 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^1_R\)에 대응한다. 그러면 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_R}\)-가군이고, 그 \(H^0\)은 위에서 계산한 유한 생성이 아닌 가군 \(M\)과 같다.

보조정리

유한하지 않은 \(H^0\).

1. 환 \(R\)과 \(R\) 위의 사영 스킴 \(X\)가 존재하여 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 \(R\)-가군이 아니다.

2. 환 \(R\)과 \(\mathbf{P}^1_R\) 위의 유한형 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하여 \(H^0(\mathbf{P}^1_R, \mathcal{F})\)는 유한 \(R\)-가군이 아니다.

증명

위 논의를 보라.

사영성은 밑 위에서 국소적인 성질이 아니다

강하 장에서 사상의 많은 성질이 밑 위에서, 심지어 fpqc 위상에서도 국소적임을 보았다. 『강하』의 절들 02KN, 02YJ, 그리고 02YL를 보라. 사상의 사영성에 대해서는 그렇지 않다.

보조정리

성질들

1. \(\mathcal{P}(f) =\) “\(f\)는 사영이다”, 그리고

2. \(\mathcal{P}(f) =\) “\(f\)는 준사영이다”

는 밑 위에서 자리스키 국소적이지 않다. 따라서 더욱이 밑 위에서 fpqc 국소적이지 않다.

증명

Hironaka [H, Example B.3.4.1]를 따라, 자리스키 국소적으로는 사영이지만 사영은 아닌 매끄러운 복소 3차원 다양체 사이의 고유 사상 \(f:V_Y\to Y\)를 정의한다. \(f\)는 고유이지만 사영이 아니므로 준사영도 아니다.

\(Y\)를 복소수 \({\mathbf C}\) 위의 사영 3차원 공간이라 하자. \(C\)와 \(D\)를 \(Y\) 안의 매끄러운 이차곡선으로 택하되, 닫힌 부분스킴 \(C\cap D\)가 축약이고 두 복소점 \(P\)와 \(Q\)로 이루어지게 하자. (예를 들어 \(C=\{ [x,y,z,w]: xy=z^2, w=0\}\), \(D=\{ [x,y,z,w]: xy=w^2, z=0\}\), \(P=[1,0,0,0]\), \(Q=[0,1,0,0]\)로 택하라.) \(Y-Q\) 위에서는 먼저 곡선 \(C\)를 부풀리고, 이어 곡선 \(D\)의 엄밀 변환을 부풀린다(『인자』의 정의 080D). \(Y-P\) 위에서는 먼저 곡선 \(D\)를 부풀리고 이어 곡선 \(C\)의 엄밀 변환을 부풀린다. \(Y-P-Q\) 위에서 이렇게 구성한 두 다양체는 표준적으로 동형이므로 \(Y-P-Q\) 위에서 이들을 붙일 수 있다. 그 결과는 \({\mathbf C}\) 위의 매끄럽고 고유한 3차원 다양체 \(V_Y\)이다. 사상 \(f:V_Y\to Y\)는 고유이고 자리스키 국소적으로 사영이다(\(Y-P\) 위와 \(Y-Q\) 위에서 부풀리기이기 때문이다). 『인자』의 보조정리 02NS를 보라. \(V_Y\)가 \({\mathbf C}\) 위에서 사영이 아님을 보일 것이다. 그러면 \(f\)가 사영이 아님이 따른다.

이를 위해 \(L\)을 \(C-P-Q\)의 한 복소점의 \(V_Y\) 안의 역상이라 하고, \(M\)을 \(D-P-Q\)의 한 복소점의 역상이라 하자. 그러면 \(L\)과 \(M\)은 사영직선 \({\mathbf P}^1_{{\mathbf C}}\)와 동형이다. 다음으로 \(E\)를 \(V_Y\) 안에서 \(C\cup D\subset Y\)의 \(V_Y\) 안의 역상이라 하자. 따라서 \(E\rightarrow C\cup D\)는 고유 사상이고, \((C\cup D)-\{P,Q\}\) 위의 섬유들은 \({\mathbf P}^1\)과 동형이다. \(E\)에서 \(P\)의 역상은 두 직선 \(L_0\)와 \(M_0\)의 합집합이고, \(E\) 위에서 순환의 유리동치 \(L\sim L_0+M_0\)와 \(M\sim M_0\)가 있다(\(C\)와 \(D\)가 \({\mathbf P}^1\)과 동형임을 쓴다). 두 곡선을 부푼 순서에서 생기는 비대칭성에 주의하라. \(Q\) 근방에서는 반대 현상이 일어난다. 따라서 \(Q\)의 역상은 두 직선 \(L_0'\)와 \(M_0'\)의 합집합이고 \(E\) 위에서 유리동치 \(L\sim L_0'\)와 \(M\sim L_0'+M_0'\)가 있다. 이 동치들을 결합하면 \(E\) 위에서, 따라서 \(V_Y\) 위에서 \(L_0+M_0'\sim 0\)을 얻는다. \(V_Y\)가 \({\mathbf C}\) 위에서 사영이라면 풍부한 선다발 \(H\)를 가져서 \(V_Y\)의 모든 곡선 위에서 차수가 \(> 0\)일 것이다. 특히 \(H\)는 \(L_0+M_0'\) 위에서 양의 차수를 가져야 하는데, 이는 체 위의 고유 스킴에서 선다발의 차수가 유리동치를 법으로 한 1-순환 위에서 잘 정의된다는 사실과 모순이다(『Chow 호몰로지』의 보조정리 02S2 및 보조정리 02TI). 따라서 \(V_Y\)는 \({\mathbf C}\) 위에서 사영이 아니다.

다른 용어로 말하면 Hironaka의 3차원 다양체 \(V_Y\)는 축약 부분스킴 \(C\cup D\)를 따라 \(Y\)를 부푼 \(Y'\)의 작은 해소이다. 여기서 \(Y'\)에는 두 개의 마디 특이점이 있다. \(C\)를 따라 \(Y\)를 부풀린 뒤 \(D\)의 엄밀 변환을 따라 부풀려 \(Z\)를 정의하면 \(Z\)는 매끄러운 사영 3차원 다양체이고, 사영이 아닌 3차원 다양체 \(V_Y\)는 \(Y-P\) 위에서의 “플롭”에 의해 \(Z\)와 달라진다.

사영 스킴의 효과적이지 않은 강하 데이터

강하 장에서 fpqc 사상에 대한 스킴의 강하 데이터가 여러 사상 부류에 대해 효과적임을 보았다. 특히 아핀 사상, 더 일반적으로 준아핀 사상은 fpqc 덮개에 대한 강하를 만족한다(『강하』의 보조정리 0247). 사영 사상에 대해서는 그렇지 않다.

보조정리

스킴들의 에탈 덮개 \(X\to S\)와 \(X\to S\)에 대한 강하 데이터 \((V/X,\varphi)\)가 존재하여 \(V\to X\)는 사영이지만 이 강하 데이터는 스킴의 범주에서 효과적이지 않다.

증명

스킴이 아닌 매끄러운 분리 복소 대수공간의 Hironaka 예 [H, Example B.3.4.2]를 모방한다.

군 \(G = \mathbf{Z}/2 = \{1, g\}\)가 복소수 위의 사영 3차원 공간 \(\mathbf{P}^3\)에 다음과 같이 작용한다고 하자. \[g[x,y,z,w] = [y,x,w,z].\] 이 작용은 \({\mathbf P}^3\) 안의 서로소인 두 직선 \(L_1=\{ [x,x,z,z]\}\)와 \(L_2=\{ [x,-x,z,-z]\}\) 바깥에서 자유롭다. \(Y={\mathbf P}^3-(L_1\cup L_2)\)라 하자. \({\mathbf C}\) 위에 매끄러운 준사영 스킴 \(S=Y/G\)가 있어서 \(Y\to S\)는 \(G\)-토서이다 (『군체』의 정의 049A). 구체적으로 \(S\)는 \({\mathbf P}^3\)의 열린 부분집합 \(Y\)를 사상 \[\begin{align*} {\mathbf P}^3 & \to \text{Proj } {\mathbf C}[x,y,z,w]^G\\ & = \text{Proj } {\mathbf C}[u_0,u_1,v_0,v_1,v_2]/(v_0v_1=v_2^2), \end{align*}\] 으로 보낸 상으로 정의할 수 있다. 여기서 \(u_0=x+y\), \(u_1=z+w\), \(v_0=(x-y)^2\), \(v_1=(z-w)^2\), \(v_2=(x-y)(z-w)\)이고, 환에는 \(u_0,u_1\)의 차수가 1, \(v_0,v_1,v_2\)의 차수가 2인 등급을 준다.

\(C=\{ [x,y,z,w]: xy=z^2, w=0\}\), \(D=\{ [x,y,z,w]: xy=w^2, z=0\}\)라 하자. 이들은 \({\mathbf P}^3\) 안의 매끄러운 이차곡선이고 \(G\)-불변 열린 부분집합 \(Y\)에 포함되며 \(g(C)=D\)이다. 또한 \(C\cap D\)는 두 점 \(P:=[1,0,0,0]\)와 \(Q:=[0,1,0,0]\)으로 이루어지고, \(G\)의 작용은 이 두 점을 서로 바꾼다.

\(V_Y\to Y\)를 다음과 같은 스킴이라 하자. \(Y-P\) 위에서는 \(D\)를 부풀리고 이어 \(C\)의 엄밀 변환을 부풀려 정의하고, \(Y-Q\) 위에서는 \(C\)를 부풀리고 이어 \(D\)의 엄밀 변환을 부풀려 정의한다. (이는 보조정리 08J1의 증명과 같은 구성이지만, 여기서 \(Y\)는 \({\mathbf P}^3\) 전체가 아니라 \({\mathbf P}^3\)의 열린 부분집합을 뜻한다.) 그러면 \(Y\) 위의 \(G\)의 작용은 \(V_Y\) 위의 \(G\)의 작용으로 올라가며, 이는 \(Y-P\)와 \(Y-Q\)의 역상들을 서로 바꾼다. \(V_Y\) 위의 이 \(G\)-작용은 \(G\)-토서 \(Y\to S\)에 대한 \(V_Y\) 위의 강하 데이터 \((V_Y/Y,\varphi_Y)\)를 준다. 보조정리 08J1의 증명에서 보였듯 사상 \(V_Y\to Y\)는 고유이지만 사영은 아니다.

\(X\)를 열린 부분집합 \(Y-P\)와 \(Y-Q\)의 서로소 합이라 하자. 그러면 전사인 에탈 사상 \(X\to Y\to S\)가 있다. \(V\)를 \(V_Y\to Y\)의 \(X\)로의 당김뒤라 하자. \(V_Y\to Y\)는 열린 부분집합 \(Y-P\), \(Y-Q\) 각각의 위에서 부풀리기이므로 \(V\to X\)는 사영이다. 또한 강하 데이터 \((V_Y/Y,\varphi_Y)\)는 에탈 덮개 \(X\to S\)에 대한 강하 데이터 \((V/X,\varphi)\)로 당겨진다.

이 강하 데이터가 스킴의 범주에서 효과적이라고 가정하자. 즉 그 강하 데이터와 함께 \(V\to X\)로 당겨지는 스킴 \(U\to S\)가 있다고 하자. 그러면 \(U\)는 \(G\)-작용에 의한 \(V_Y\)의 몫일 것이다. \[\xymatrix{ V \ar[r]\ar[d]& X\ar[d] \\ V_Y \ar[r]\ar[d]& Y\ar[d] \\ U \ar[r]& S }\]

\(E\)를 \(C\cup D\subset Y\)의 \(V_Y\) 안의 역상이라 하자. 따라서 \(E\rightarrow C\cup D\)는 고유 사상이고, \((C\cup D)-\{P,Q\}\) 위의 섬유들은 \({\mathbf P}^1\)과 동형이다. \(E\)에서 \(P\)의 역상은 두 직선 \(L_0\)와 \(M_0\)의 합집합이다. 따라서 \(E\)에서 \(Q=g(P)\)의 역상은 두 직선 \(L_0'=g(M_0)\)와 \(M_0'=g(L_0)\)의 합집합이다. 보조정리 08J1의 증명에서 보였듯 \(E\) 위에 유리동치 \(L_0+M_0'=L_0+g(L_0)\sim 0\)이 있다.

닫힌 부분스킴의 강하에 의해 \({\mathbf P}^1\)과 동형인 곡선 \(L_1\subset U\)가 있고 그 \(V_Y\) 안의 역상은 \(L_0\cup g(L_0)\)이다. (닫힌 몰입이 아핀 사상임에 주의하면서 『강하』의 보조정리 0245를 사용하라.) \(R\)을 \(L_1\)의 복소점이라 하자. \(U\)가 스킴이라고 가정했으므로 국소환 \(O_{U,R}\)에서 \(R\)에서는 소멸하지만 곡선 \(L_1\) 전체에서는 소멸하지 않는 함수 \(f\)를 택할 수 있다. \(D_{\text{loc}}\)를 \(\Spec O_{U,R}\) 안의 닫힌 부분집합 \(\{f = 0\}\)의 기약성분이라 하자. 그러면 \(D_{\text{loc}}\)의 여차원은 1이다. \(U\) 안에서 \(D_{\text{loc}}\)의 폐포는 \(R\)을 포함하지만 곡선 \(L_1\) 전체를 포함하지 않는 \(U\)의 기약 인자 \(D_U\)이다. \(V_Y\) 안에서 \(D_U\)의 역상은 \(L_0\cup g(L_0)\)와 만나지만 곡선 \(L_0\), \(g(L_0)\) 어느 것도 포함하지 않는 유효 인자 \(D\)이다.

복소 3차원 다양체 \(V_Y\)가 매끄러우므로 \(O(D)\)는 \(V_Y\) 위의 선다발이다. 여기서는 정칙 국소환이 유일인수분해정역, 다시 말해 UFD라는 사실을 쓴다. 『대수학에 관하여 더 자세히』의 보조정리 0AG0를 보라. \(O(D)\)를 고유 곡면 \(E\subset V_Y\)에 제한하면, \(D\)에 관해 아는 사실에 의해 1-순환 \(L_0+g(L_0)\) 위에서 양의 차수를 갖는 선다발이 된다. 그러나 \(E\) 위에서 \(L_0+g(L_0)\sim 0\)이므로, 이는 체 위의 고유 스킴에서 선다발의 차수가 유리동치를 법으로 한 1-순환 위에서 잘 정의된다는 사실과 모순이다 (『Chow 호몰로지』의 보조정리 02S2 및 보조정리 02TI). 따라서 강하 데이터 \((V/X,\varphi)\)는 실제로 효과적이지 않다. 즉 \(U\)는 스킴으로 존재하지 않는다.

이 예에서 강하 데이터는 대수공간의 범주에서는 효과적이다. 더 정확히 말해 \(U\)는 \({\mathbf C}\) 위의 매끄러운 분리 3차원 대수공간으로 존재한다. 예를 들어 『대수공간』의 보조정리 02Z2에 따른다. Hironaka의 3차원 대수공간 \(U\)는 매끄러운 준사영 3차원 다양체 \(S\)를 기약 마디곡선 \((C\cup D)/G\)를 따라 부푼 \(S'\)의 작은 해소이다. 3차원 다양체 \(S'\)에는 마디 특이점이 하나 있다. \(S'\)의 다른 작은 해소(\(U\)와 하나의 “플롭”으로 달라지는 것)도 역시 스킴이 아닌 대수공간이다.

전체 공간이 스킴이 아닌 곡선족

『몫』의 절 0D4Y에서 스킴 \(S\) 위의 곡선족을 상대 차원 \(\leq 1\)인, 대수공간 \(X\)에서 \(S\)로 가는 고유 평탄 유한 표시 사상으로 정의한다. \(S\)가 완비 뇌터 국소환의 스펙트럼이면 \(X\)는 스킴이다. 『공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0AE7를 보라. 이 절에서는 이것이 일반적으로는 참이 아님을 보인다.

\(k\)를 체라 하자. 다음 성질을 갖는 고유 평탄 사상 \[Y \longrightarrow \mathbf{A}^1_k\] 과 점 \(y \in Y(k)\)에서 시작하자. 이 점은 \(0 \in \mathbf{A}^1_k(k)\) 위에 놓이며 다음 성질들을 갖는다.

1. 섬유 \(Y_0\)는 \(k\) 위의 매끄럽고 기하적으로 기약인 곡선이다.

2. 임의의 진부분 닫힌 부분스킴 \(T \subset Y\)가 \(\mathbf{A}^1_k\)를 지배하면 교집합 \(T \cap Y_0\)는 \(y\)와 다른 점을 적어도 하나 포함한다.

그러한 곡면이 주어지면 다음과 같이 예를 구성한다. \[\xymatrix{ Y \ar[rd] & Z \ar[d] \ar[l] \ar[r] & X \ar[ld] \\ & \mathbf{A}^1_k }\] 여기서 \(Z \to Y\)는 \(Y\)를 \(y\)에서 부풀린 것이다. \(E \subset Z\)를 예외 인자라 하고 \(C \subset Z\)를 \(Y_0\)의 엄밀 변환이라 하자. 스킴론적으로 \(Z_0 = E \cup C\)이다(이를 보려면 \(Y\)가 \(y\)에서 매끄럽고, 더욱이 \(Y \to \mathbf{A}^1_k\)가 \(y\)에서 매끄럽다는 것을 이용한다). Artin의 결과들([ArtinII]; \(C\)의 법선 다발이 음임을 보이려면 『반안정 축소』의 보조정리 0C66을 이용한다)에 의해 곡선 \(C\)를 \(Z\)에서 수축하여 도표와 같은 대수공간 \(X\)를 얻을 수 있다. \(x \in X(k)\)를 \(C\)의 상이라 하자.

\(X\)가 스킴이 아니라고 주장한다. 실제로 스킴이라면 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)가 있을 것이며, 이는 \(x\)의 근방이다. \(T = X \setminus U\)라 두자. 그러면 \(T\)는 \(\mathbf{A}^1_k\)를 지배한다(\(X \to \mathbf{A}^1_k\)의 섬유는 고유이고 차원이 \(1\)인 반면, \(U \to \mathbf{A}^1_k\)의 섬유는 아핀이므로 서로 다르다). 닫힌 부분스킴 \(T' \subset Z\)를 \(T\)와 동형으로 사상되는 것으로 취하자(\(x \not \in T\)이기 때문이다). 그러면 \(T'\)의 \(X\)에서의 상은 위의 조건 (2)와 모순된다(\(T' \cap Z_0\)가 예외 인자 \(E\), 즉 부풀리기 \(Z \to Y\)의 예외 인자에 포함되기 때문이다).

논의를 끝내려면 \(Y\)를 구성해야 한다. \(k\)의 표수가 \(3\)이 아니라고 가정하자. \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[t])\)라 쓰고 다음을 취하자. \[Y \quad : \quad T_0^3 + T_1^3 + T_2^3 - tT_0T_1T_2 = 0\] 이는 \(\mathbf{P}^2_{k[t]}\) 안에 있다. \(t = 0\)에서의 섬유는 매끄러운 종수 \(1\) 사영 곡선이다. 아핀 조각 \(V_+(T_0)\)에서는 아핀 방정식 \[1 + x^3 + y^3 - txy = 0\] 을 얻으며, 이는 \(k\) 위의 매끄러운 곡면을 정의한다. 대칭성에 의해 다른 아핀 조각들에서도 마찬가지이므로 \(Y\)가 매끄러운 곡면임을 알 수 있다. 마지막으로 이 아핀 방정식에서 분수체가 \(k(x, y)\)임도 알 수 있으므로 \(Y\)는 유리 곡면이다. 이제 유리 곡면의 Picard 군은 유한 생성이다 (향후 참고문헌을 여기에 삽입). 따라서 성질 (2)를 갖는 \(y \in Y_0(k)\)를 택하려면 다음을 만족하는 \(y\)를 택하는 것으로 충분하다. [0DYB]\[\begin{equation} \mathcal{O}_{Y_0}(ny) \not \in \Im(\Pic(Y) \to \Pic(Y_0)) \text{ 모든 }n > 0 \end{equation}\] 실제로 차원이 \(1\)인 기약 성분들의 합을 생각하자. 이들은 (2)에 어긋나는 어떤 \(T\)의 기약 성분들이다. 그 합은 \(Y_0\)와의 교집합이 인자 \(ny\)인 유효 Cartier 인자를 주는데, 여기서 어떤 \(n \geq 1\)이다. 따라서 \(\mathcal{O}_{Y_0}(ny)\)가 제한 사상의 상에 속한다고 결론 내릴 수 있다. \(Y_0\)의 종수가 \(\geq 1\)이므로 사상 \[Y_0(k) \to \Pic(Y_0),\quad y \mapsto \mathcal{O}_{Y_0}(y)\] 은 단사임에 유의하라. 이제 \(k\)가 비가산 대수적으로 닫힌 체이면 \(\Pic(Y)\)의 가산성과 방금 한 관찰을 이용하여 어떤 \(y \in Y_0(k)\)를 찾을 수 있다. 이 점은 (0DYB)을, 따라서 (2)를 만족한다.

보조정리

어떤 체 \(k\)와 곡선족 \(X \to \mathbf{A}^1_k\)가 존재하여 \(X\)는 스킴이 아니다.

증명

위의 논의를 보라.

유도 밑변환

\(R \to R'\)을 환 사상이라 하자. 『대수학에 관한 추가 내용』의 절 06Y5에서 유도 밑변환 함자 \(- \otimes_R^\mathbf{L} R' : D(R) \to D(R')\)을 구성한다. 다음으로 \(R \to A\)를 두 번째 환 사상이라 하자. 다음 그림을 보라. \[\xymatrix{ A \ar[r] & A \otimes_R R' \ar@{=}[r] & A' \\ R \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] \ar[ur] }\] \(A\)-가군 \(M\)이 주어지면 텐서곱 \(M \otimes_R R'\)은 \(A \otimes_R R'\)-가군, 즉 \(A'\)-가군이다. 환 사상 \(A \to A'\)에 대해서는 유도 함자 \[- \otimes_A^\mathbf{L} A' : D(A) \longrightarrow D(A')\] 가 있지만, 이 함자는 일반적으로 \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\)과 일치하지 않는다. 더 정확히 말해 \(K \in D(A)\)에 대한 표준 사상 \[K \otimes_R^{\mathbf{L}} R' \longrightarrow K \otimes_A^{\mathbf{L}} A'\] 은 \(D(R')\) 안에 있으며, 『대수학에 관한 추가 내용』의 식 (065Z)에서 구성된다. 이 사상은 일반적으로 동형이 아니다. 따라서 “유도 밑변환 함자” \(T : D(A) \to D(A')\), 즉 \(T(K)\)가 \(K \otimes_R^\mathbf{L} R'\)으로 \(D(R')\)에서 사상되는 함자가 존재하는지 물을 수 있다. 이 절에서는 일반적으로 그러한 함자가 존재하지 않음을 보인다.

\(k\)를 체라 하자. \(R = k[x, y]\)라 두고, \(R' = R/(xy)\) 및 \(A = R/(x^2)\)라 두자. 대상 \(A \otimes_R^\mathbf{L} R'\)은 \(D(R')\)에 속하고 \[x^2 : R' \longrightarrow R'\] 로 표현되고, \(H^0(A \otimes_R^\mathbf{L} R') = A \otimes_R R'\)이다. 대상 \(E\)가 \(D(A \otimes_R R')\)에 속하면서 \(A \otimes_R^\mathbf{L} R'\)으로 \(D(R')\)에서 사상되는 일은 없다고 주장한다. 실제로 그러한 \(E\)가 있다면 가군 \(H^0(E)\)는 자유여야 하므로 \(E\)는 \(H^0(E)[0] \oplus H^{-1}(E)[1]\)로 분해될 것이다. 그러나 \(A \otimes_R^\mathbf{L} R'\)이 \(D(R')\)에서 그 코호몰로지 군들의 합과 동형이 아님은 쉽게 알 수 있다.

보조정리

\(R \to R'\)과 \(R \to A\)를 환 사상이라 하자. 일반적으로 삼각 범주의 함자 \(T : D(A) \to D(A \otimes_R R')\)로서, \(A\)-가군 \(M\)에 대상 \(T(M)\)을 대응시키고 이 대상은 \(D(A \otimes_R R')\)에 속하며 \(M \otimes_R^\mathbf{L} R'\)으로 사상 \(D(A \otimes_R R') \to D(R')\) 아래에서 사상되게 하는 것은 존재하지 않는다.

증명

위의 논의를 보라.

흥미로운 콤팩트 대상

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d})\)를 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(A = R\)이면 \(D(A, \text{d}) = D(R)\)의 모든 콤팩트 대상은 유한 사영 가군들의 유한 복합체로 표현됨을 알고 있다. 달리 말해 콤팩트 대상은 완전하다. 『대수학에 관한 추가 내용』의 명제 07LT를 보라. 미분 등급 가군의 언어에서 이에 대응하는 질문은 다음과 같다. “\(D(A, \text{d})\)의 모든 콤팩트 대상은 유한하고 등급 사영인 미분 등급 \(A\)-가군 \(P\)로 표현되는가?”

일반적인 미분 등급 대수에 대해서는 이것이 참이 아니다. 실제로 \(k\)를 표수 \(2\)인 체라 하자(그러면 부호를 걱정하지 않아도 된다). \(A = k[x, y]/(y^2)\)라 하고

1. \(x\)의 차수는 \(0\),

2. \(y\)의 차수는 \(-1\),

3. \(\text{d}(x) = 0\), 그리고

4. \(\text{d}(y) = x^2 + x\)

라 하자. 그러면 \(x : A \to A\)는 \(K(A, \text{d})\)에서 사영자이다. 따라서 \[A = \Ker(x) \oplus \Im(1 - x)\] 가 \(K(A, \text{d})\)에서 성립한다. 『미분 등급 대수』의 보조정리 09JR와 『유도 범주』의 보조정리 05QW를 보라. \(A\)가 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 대상임은 분명하다. 그러면 \(\Ker(x)\)도 \(D(A, \text{d})\)의 콤팩트 대상이다. 이는 『유도 범주』의 보조정리 09QH에서 따른다.

다음으로 \(M\)이 미분 등급 (오른쪽) \(A\)-가군으로서 \(\Ker(x)\)를 표현하고, \(M\)이 등급 \(A\)-가군으로서 유한 사영이라고 하자. \(k[x, y]/(y^2)\) 위의 모든 유한 등급 사영 가군은 등급 자유이므로, \(M\)은 등급 \(k[x, y]/(y^2)\)-가군으로서 유한 자유이다(즉 미분을 잊었을 때 그러하다). \(N = M/M(x^2 + x)\)라 두자. 완전열 \[0 \to M \xrightarrow{x^2 + x} M \to N \to 0\] 을 생각하자. \(x^2 + x\)는 차수 \(0\)이고 \(A\)의 중심에 있으며 \(\text{d}(x^2 + x) = 0\)이므로, 이것은 미분 등급 \(A\)-가군들의 짧은 완전열이다. 더욱이 \(\text{d}(y) = x^2 + x\)이므로 \(N\) 위의 미분은 선형이다. 사상들 \[H^{-1}(N) \to H^0(M) \quad\text{및}\quad H^0(M) \to H^0(N)\] 은 동형이다. 실제로 \(H^*(M) = H^0(M) = k\)인데, 이는 \(M \cong \Ker(x)\)가 \(D(A, \text{d})\)에서 성립하기 때문이다. 경계 사상을 계산하면 등급 가군으로서 \(H^*(N) = k[x, y]/(x, y^2)\)임을 알 수 있다. 자세한 내용은 생략한다. \(N\)은 자유 \(k[x, y]/(y^2, x^2 + x)\)-가군이므로 미분과 양립하는 분해 \[\ldots \to N[2] \xrightarrow{y} N[1] \xrightarrow{y} N \to N/Ny \to 0\] 를 갖는다. \(N\)이 유계이고 \(H^0(N) = k[x,y]/(x, y^2)\)이므로 『호몰로지』의 보조정리 0132에서 \(H^0(N/Ny) = k[x]/(x)\)임을 얻는다. 그러나 \(N/Ny\)는 \(k[x]/(x^2 + x) = k \times k\) 위의 유한 자유 가군들로 이루어진 유한 복합체이므로 그 코호몰로지는 짝수 차원이어야 한다. 이는 모순이다.

보조정리

미분 등급 대수 \((A, \text{d})\)와 콤팩트 대상 \(E\)가 존재한다. 이 대상은 \(D(A, \text{d})\)에 속하지만, \(E\)는 유한하고 등급 사영인 미분 등급 \(A\)-가군으로 표현될 수 없다.

증명

위의 논의를 보라.

두 미분 등급 범주

이 절에서는 『미분 등급 대수』의 상황 09QJ에서와 같은 공리 (A), (B), (C)를 만족하지만 대상에 \(\mathbf{Z}\)-등급이 함께 주어지지 않는 두 미분 등급 범주를 구성한다.

예 I. \(X\)를 위상 공간이라 하자. \(\underline{\mathbf{Z}}\)로 값이 \(\mathbf{Z}\)인 상수층을 나타내자. \(A\)를 \(\underline{\mathbf{Z}}\)-토서라 하자. 이 상황에서 아벨 군의 층 \(\mathcal{F}\)가 \(A\)-등급이라는 것은, 국소 단면 \(a \in A(U)\)가 주어질 때마다 사영자 \(p_a : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}|_U\)가 있어서 국소 동형 \(\underline{\mathbf{Z}}|_U \to A|_U\)가 있을 때마다 \(\mathcal{F}|_U = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} p_n(\mathcal{F})\)가 성립한다는 뜻이다. 달리 말해 \(X\) 위에서 국소적으로 아벨 층 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathbf{Z}\)-등급을 갖지만, 겹치는 부분에서 서로 다른 등급의 선택들은 토서 \(A\)의 전이 함수가 주는 차수의 이동만큼 서로 다르다. 쌍 \((\mathcal{F}, \text{d})\)가 아벨 층들의 \(A\)-등급 복합체라는 것은 \(\mathcal{F}\)가 \(A\)-등급 아벨 층이고 \(\text{d} : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 미분, 즉 \(\text{d}^2 = 0\)이며 \(p_{a + 1} \circ \text{d} = \text{d} \circ p_a\)를 만족한다는 뜻이다. 이는 모든 국소 단면 \(a\)에 대해 성립하며, 그 단면은 \(A\)의 단면이다. 달리 말해 \(\text{d}(p_a(\mathcal{F}))\)는 \(p_{a + 1}(\mathcal{F})\)에 포함된다.

다음 조건으로 범주 \(\mathcal{A}\)를 생각하자.

1. 대상은 아벨 층들의 \(A\)-등급 복합체이고,

2. 대상 \((\mathcal{F}, \text{d})\), \((\mathcal{G}, \text{d})\)에 대해 \[\Hom_\mathcal{A}((\mathcal{F}, \text{d}), (\mathcal{G}, \text{d})) = \bigoplus \Hom^n(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 로 둔다. 여기서 \(\Hom^n(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)는 아벨 층의 사상 \(f\)들의 군이다. 이 사상들은 \(f(p_a(\mathcal{F})) \subset p_{a + n}(\mathcal{G})\)를 만족하며, 이는 모든 국소 단면 \(a\)에 대해 성립하고 그 단면은 \(A\)의 단면이다. 미분으로는 \(\text{d}(f) = \text{d} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}\)를 취한다. 『미분 등급 대수』의 예 09L9를 보라.

이것이 실제로 (A), (B), (C)를 만족하는 미분 등급 범주라는 확인은 생략한다. 모든 성질은 \(X\) 위에서 국소적으로 확인할 수 있는데, 그곳에서는 아벨 층의 복합체들로 이루어진 미분 등급 범주를 그대로 되찾는다. 따라서 삼각 범주 \(K(\mathcal{A})\)를 얻는다.

\(X\)의 꼬인 유도 범주. 대상 \((\mathcal{F}, \text{d})\)가 주어지고 이것이 \(\mathcal{A}\)에 속하면 잘 정의된 \(A\)-등급 코호몰로지 층 \(H(\mathcal{F}, \text{d})\)가 있음에 유의하라. 따라서 \(K(\mathcal{A})\)에서 준동형사상이 무엇을 뜻하는지 분명하다. 준동형사상들을 가역화하여 유도 범주 \(D(\mathcal{A})\), 즉 \(A\)-등급 층의 복합체들의 유도 범주를 얻을 수 있다. \(A\)가 자명한 토서이면 \(D(\mathcal{A})\)는 \(D(X)\)와 같지만, 영이 아닌 토서에 대해서는 \(X\)의 일종의 꼬인 유도 범주를 얻는다.

예 II. \(C\)를 완전체 \(k\) 위의 매끄러운 곡선이라 하자. 그 표수는 \(2\)이다. 그러면 \(\Omega_{C/k}\)에는 표준 제곱근이 주어진다. 즉 \(\Omega_{C/k} = \mathcal{L}^{\otimes 2}\)로 쓸 수 있고, 모든 국소 함수 \(f\), 즉 \(C\) 위의 국소 함수에 대해 단면 \(\text{d}(f)\)는 \(s^{\otimes 2}\)와 같으며, 여기서 \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 어떤 국소 단면이다. 그 “이유”는 \[\text{d}(a_0 + a_1t + \ldots +a_dt^d) = (\sum\nolimits_{i\text{ 홀수}} a_i^{1/2} t^{(i - 1)/2})^2\text{d}t\] 이기 때문이다(향후 참고문헌을 여기에 삽입). 특히 이것은 표준 접속 \[\nabla_{can} : \Omega_{C/k} \longrightarrow \Omega_{C/k} \otimes_{\mathcal{O}_C} \Omega_{C/k}\] 을 결정하며, 그 \(2\)-곡률은 영이다(즉 제곱들의 미분이 영이 되게 하는 유일한 접속이다). 접속을 갖는 벡터 다발들의 범주는 텐서 범주이므로 표준 접속 \(\nabla_{can}\)을 가역층 \(\Omega_{C/k}^{\otimes n}\) 위에도 얻으며, 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립한다.

다음과 같은 범주 \(\mathcal{A}\)를 취하자.

1. 대상은 쌍 \((\mathcal{F}, \nabla)\)이다. 이 쌍은 유한 국소 자유층 \(\mathcal{F}\)와 그 위의 접속 \[\nabla : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_C} \Omega_{C/k}\] 으로 이루어지며, 이 접속의 \(2\)-곡률은 영이고,

2. \((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F})\)와 \((\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G})\) 사이의 사상들은 \[\Hom_\mathcal{A}((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}), (\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G})) = \bigoplus \Hom_{\mathcal{O}_C}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_C} \Omega_{C/k}^{\otimes n})\] 로 주어진다. 원소 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G} \otimes \Omega_{C/k}^{\otimes n}\)가 주어지고 그 차수가 \(n\)이면, 적절한 동일시 아래 \[\text{d}(f) = \nabla_{\mathcal{G} \otimes \Omega_{C/k}^{\otimes n}} \circ f + f \circ \nabla_\mathcal{F}\] 로 둔다.

이것이 성질 (A), (B), (C)를 갖는 미분 등급 범주를 이룬다는 확인은 생략한다. 따라서 삼각 호모토피 범주 \(K(\mathcal{A})\)를 얻는다.

\(C = \mathbf{P}^1_k\)이면 \(K(\mathcal{A})\)는 영 범주이다. 그러나 \(C\)가 종수 \(> 1\)인 매끄러운 고유 곡선이면 \(K(\mathcal{A})\)는 영이 아니다. 실제로 \(\mathcal{N}\)이 차수 \(0 \leq d < g - 1\)이고 영이 아닌 단면 \(\sigma\)를 갖는 가역층이라고 하자. 그리고 \((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}) = (\mathcal{O}_C, \text{d})\) 및 \((\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G}) = (\mathcal{N}^{\otimes 2}, \nabla_{can})\) 로 두자. 그러면 \[\Hom_\mathcal{A}^n((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}), (\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G})) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{이면} & n < 0 \\ \Gamma(C, \mathcal{N}^{\otimes 2}) & \text{이면} & n = 0 \\ \Gamma(C, \mathcal{N}^{\otimes 2} \otimes \Omega_{C/k}) & \text{이면} & n = 1 \end{matrix} \right.\] 을 알 수 있다. 첫 번째가 \(0\)인 것은 \(\mathcal{N}^{\otimes 2} \otimes \Omega_{C/k}^{\otimes -1}\)의 차수가 음이기 때문이다. 이는 조건 \(d < g - 1\)에서 따른다. 이제 단면 \(\sigma^{\otimes 2}\)의 미분은 영이므로 준동형 군 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}), (\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G}))\] 은 영이 아니다.

고유 대수공간의 스택은 대수적이지 않다

『몫』의 절 0D1D에서 군체들의 스택 \[p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] 을 도입하고 연구했다. 이 스택의 스킴 \(S\) 위의 단면 범주는 \(S\) 위의 평탄하고 고유하며 유한 표시인 대수공간들의 범주이다. 우리는 이것이 Artin의 공리 중 많은 것을 만족함을 증명했다. 이 절에서는 형식적 유효성이 일반적으로 성립하지 않음을 보여 이 스택이 대수적이지 않은 이유를 보인다.

표준적인 예는 차원 \(g\)인 아벨 다양체의 보편 변형 공간에는 \(g^2\)개의 형식 매개변수가 있는 반면, 유효한 형식 변형은 차원 \(\leq g(g + 1)/2\)인 완비 국소환 위에서 정의될 수 있다는 사실을 이용한다. 우리의 예는 K3 곡면의 적절한 비유효 변형을 명시하여 구성할 것이다. 논증의 개요만 제시하고 모든 세부 사항을 주지는 않겠다.

\(k = \mathbf{C}\)를 복소수체라 하자. \(X \subset \mathbf{P}^3_k\)를 차수가 \(4\)이고 \(k\) 위에서 매끄러운 곡면이라 하자. 그러면 \(\omega_X \cong \Omega^2_{X/k} \cong \mathcal{O}_X\)이다. 마지막으로 \(\dim_k H^0(X, T_{X/k}) = 0\), \(\dim_k H^1(X, T_{X/k}) = 20\), 그리고 \(\dim_k H^2(X, T_{X/k}) = 0\)이다. \(L_{X/k} = \Omega_{X/k}\)이다. 이는 \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄럽기 때문이다. \(\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = H^i(X, T_{X/k})\)이며, 『여접공간』의 보조정리 08V5가 있으므로 \(X\)의 보편 변형이 \[k[[x_1, \ldots, x_{20}]]\] 위에 존재함을 알 수 있다. 이 보편 변형이 유효하다고 가정하자 (『Artin의 공리』의 절 07X3에서의 의미로). 그러면 평탄 고유 사상 \[f : Y \longrightarrow \Spec(k[[x_1, \ldots, x_{20}]])\] 을 얻으며, 여기서 \(Y\)는 보편 변형을 복원하는 대수공간이다. 다음 이유로 이는 불가능하다. \(Y\)가 분리이므로 아핀 열린 부분스킴 \(V \subset Y\)를 찾을 수 있다. 특수 섬유 \(X\)는 \(Y\)의 섬유이고 매끄러우므로 \(f\)가 매끄러움을 알 수 있다. 따라서 \(Y\)는 정칙인 것 위에서 매끄러우므로 정칙이다. 여집합 \(D\)를 생각하자. 이는 \(V\)의 여집합이며 \(Y\) 안에서 취한다. 그러면 이 여집합은 유효 Cartier 인자이다. 그러면 \(\mathcal{O}_Y(D)\)는 \(\Pic(Y)\)의 자명하지 않은 원소이다(이를 증명하려면 체 위의 고유 매끄러운 대수공간에서 공집합이 아닌 아핀 열린집합의 여집합은 언제나 Picard 군에서 자명하지 않음을 보이고, 이를 \(f\)의 일반 섬유에 적용한다). 마지막으로 모순을 얻기 위해 \(\Pic(Y) = 0\)임을 보인다. 실제로 사상 \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\)는 단사이다. 이는 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)이어서 \(\mathcal{O}_X\)의 \(Y \times \Spec(k[[x_i]]/\mathfrak m^n)\)으로의 모든 변형이 자명하고, Grothendieck의 존재 정리가 있기 때문이다(이 정리는 두꺼워짐들 위에서 같은 층을 만드는 연접 가군들이 동형이라고 말한다). \(X\)가 충분히 일반적이면 \(\Pic(X) = \mathbf{Z}\)이고 \(\mathcal{O}_X(1)\)에 의해 생성된다. 따라서 \(\mathcal{O}_X(n)\)이 일차 근방으로 변형되지 않음을 보이면 충분하며, 여기서 \(n > 0\)이다⁶. 컵곱 \[H^1(X, \Omega_{X/k}) \times H^1(X, T_{X/k}) \longrightarrow H^2(X, \mathcal{O}_X)\] 을 생각하자. 이는 연접 쌍대성에 의해 비퇴화 쌍대화이다. 계산하면 Hodge 코호몰로지에서 Chern 특성류 \(c_1(\mathcal{O}_X(n)) \in H^1(X, \Omega_{X/k})\)가 영이 아님을 알 수 있다. 따라서 \(c_1(\mathcal{O}_X(n))\)과의 컵곱이 영이 아닌 일차 변형이 존재한다. 그리고 마지막으로 이 컵곱이 올림에 대한 장애 특성류임을 보인다.

보조정리

군체들의 스택 \[p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] 에서 스킴 \(S\) 위의 단면 범주가 \(S\) 위의 평탄하고 고유하며 유한 표시인 대수공간들의 범주인 것 (『몫』의 절 0D1D를 보라)은 대수적 스택이 아니다.

증명

이것이 대수적 스택이었다면 모든 형식적 대상은 유효했을 것이다. 『Artin의 공리』의 보조정리 07X8를 보라. 위의 논의는 \(\Spec(\mathbf{C})\)로 밑변환한 뒤에는 그렇지 않음을 보인다. 따라서 결론을 얻는다.

대수적이지 않은 Hom-스택의 예

\(\mathcal{Y}, \mathcal{Z}\)를 스킴 \(S\) 위의 대수적 스택이라 하자. Hom-스택 \(\underline{\Mor}_S(\mathcal{Y}, \mathcal{Z})\)는 \(S\) 위의 군체들의 스택으로, 스킴 \(T\) 위의 단면 범주는 \[\Mor_T(\mathcal{Y} \times_S T, \mathcal{Z} \times_S T)\] 로 주어지며 그 대상은 \(1\)-사상이고 그 사상은 \(2\)-사상이다. 이것이 실제로 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 군체들의 스택이라는 증명은 생략한다(향후 참고문헌을 여기에 삽입). 물론 일반적으로 Hom-스택은 대수적이지 않을 것이다. 이 절에서는 그것이 대수적이지 않으면서 \(\mathcal{Y}\)는 \(S\) 위의 고유 평탄 스킴으로 표현가능하고 \(\mathcal{Z}\)는 \(S\) 위에서 매끄럽고 고유인 예를 제시한다.

\(k\)를 유한체의 대수적 폐포가 아닌 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(S = \Spec(k[[t]])\) 및 \(S_n = \Spec(k[t]/(t^n)) \subset S\)라 하자. 다음을 만족하는 사상 \(f : X \to S\)를 취하자.

1. \(f\)는 사영이고 평탄하며 그 섬유들은 기하적으로 연결인 곡선이다.

2. 섬유 \(X_0 = X \times_S S_0\)는 마디 곡선이고, 그 매끄러운 기약 성분들의 쌍대 그래프에는 유리 곡선들로 이루어진 고리가 있다.

3. \(X\)는 정칙 스킴이다.

그러한 곡면 \(X\)를 만들기 위해, 예를 들어 다음을 취할 수 있다. \[X\quad :\quad T_0T_1T_2 - t(T_0^3 + T_1^3 + T_2^3) = 0\] 이는 \(\mathbf{P}^2_{k[[t]]}\) 안에 있다. \(A_0\)를 \(k\) 위의 영이 아닌 아벨 다양체, 예를 들어 타원곡선이라 하자. \(A = A_0 \times_{\Spec(k)} S\)를 \(S\) 위의 상수 아벨 스킴⁷이라 하자. 이것은 \(A_0\)에 연관된다. 스택 \(\mathcal{X} = \underline{\Mor}_S(X, [S/A]))\)가 대수적이지 않음을 보일 것이다.

\([S/A]\)는 한편으로 \(A\)가 \(S\)에 자명하게 작용하여 얻는 몫 스택이고, 다른 한편으로 fppf \(A\)-토서를 분류하는 스택과 같다. 『스택의 예』의 명제 04WM를 보라. \([S/A] = [\Spec(k)/A_0] \times_{\Spec(k)} S\)임에 유의하라. 이를 이용하면 스킴 \(T\) 위의 섬유 범주를 다음과 같이 기술할 수 있다. \[\begin{align*} \mathcal{X}_T & = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])_T \\ & = \Mor_T(X \times_S T, [S/A] \times_S T) \\ & = \Mor_S(X \times_S T, [S/A]) \\ & = \Mor_{\Spec(k)}(X \times_S T, [\Spec(k)/A_0]) \end{align*}\] 이는 임의의 \(S\)-스킴 \(T\)에 대해 성립한다. 달리 말해 군체 \(\mathcal{X}_T\)는 fppf \(A_0\)-토서들의 군체이며, 이 토서들은 \(X \times_S T\) 위에 있다. \(\mathcal{X}\)가 대수적 스택이 아닌 이유를 논하기 전에 몇 가지 보조정리가 필요하다.

보조정리

\(W\)를 함수체가 \(K\)인 이차원 정칙 정역 뇌터 스킴이라 하자. \(G \to W\)를 아벨 스킴이라 하자. 그러면 사상 \(H^1_{fppf}(W, G) \to H^1_{fppf}(\Spec(K), G)\)는 단사이다.

증명

\(P \to W\)를 일반점에서 자명한 fppf \(G\)-토서라 하자. 그러면 사상 \(\Spec(K) \to P\)가 있고 이는 \(W\) 위에 있다. 그 스킴론적 상 \(Z \subset P\)를 취할 수 있다. \(P \to W\)는 고유이므로(\(W\) 위의 고유 군 대수공간의 토서이기 때문이다), \(Z \to W\)는 고유 쌍유리 사상이다. 『체 위의 공간』의 보조정리 0AD2에 의해 사상 \(Z \to W\)는 \(W\)의 유한 개 닫힌 점들을 제외하면 유한이다. (곡면에 대해 이차 변환들을 부풀려 사상의 부정점을 해소하는 것에 관한 향후 참고문헌을 여기에 삽입)에 의해 \(Z \to W\)의 기하적 섬유들의 기약 성분들은 유리 곡선이다. 『공간의 준군에 관한 추가 내용』의 보조정리 0AEN에 의해 유리 곡선에서 그러한 군 스킴이나 토서로 가는 비상수 사상은 없다. 따라서 \(Z \to W\)는 유한이고, 이에 따라 \(Z\)는 스킴이며 \(Z \to W\)는 동형이다. 이는 『사상』의 보조정리 0AB1에서 따른다. 달리 말해 토서 \(P\)는 자명하다.

주

보조정리 0AF9에서 \(2\)차원이라는 조건을 없앨 수 있으며, 이 조건은 \(W\)에 대한 것이다. 즉 \(W\)가 뇌터 정칙 정역이면 (1) \(P(W)\to P(K)\)가 전단사이며, 이는 모든 \(G\)-토서 \(P\)에 대해 성립하고, (2) \(H^1(W,G)\to H^1(K,G)\)가 단사이다. 증명의 개요는 다음과 같다. 먼저 (2)는 (1)에서 분명히 따른다. (1)에서 단사성은 자명하고, 전사성은 (현재 증명에서처럼) 유리 단면의 스킴론적 폐포가 단면임을 증명하는 문제이다. 이 문제는 \(W\) 위에서 fppf-국소적이므로, étale 밑변환 뒤에는 \(P=G\)라 가정해도 된다 (étale 덮개는 정칙성을 보존함에 유의하라). 이제 \(G=\underline{\mathrm{Pic}}^0_{G'/W}\)임을 관찰하라. 여기서 \(G'\)은 쌍대 아벨 스킴이다. \(G'\)이 정칙 스킴이므로 일반적으로 정의된 가역층들이 확장된다는 사실에서 결론이 따른다. 사실 “\(W\)가 정칙이다”를 “매끄러운 \(W\)-스킴들이 국소 유일 인수분해적이다”로 약화할 수 있다. Laurent Moret-Bailly는 Raynaud에게서 Picard 기법을 배웠으며, Raynaud의 연구 어딘가에 참고문헌이 있을 것이다.

보조정리

\(G\)를 체 \(K\) 위의 매끄러운 가환 군 대수공간이라 하자. 그러면 \(H^1_{fppf}(\Spec(K), G)\)는 꼬임 군이다.

증명

모든 \(G\)-토서 \(P\)를 생각하자. 이 토서는 \(\Spec(K)\) 위에 있고 \(K\) 위에서 매끄러운데, 이는 \(G\)의 꼴이기 때문이다. 따라서 \(P\)는 어떤 유한 분리 확대 \(L/K\) 위의 점을 갖는다. \([L : K] = n\)이라 하자. \([n](P)\)로 \(G\)-토서를 나타내자. 그 특성류는 \(n\)배의 것이며, 이때 배를 취하는 원래 특성류는 \(P\)의 특성류이고 \(H^1_{fppf}(\Spec(K), G)\) 안에서 계산한다. 표준 사상 \[P \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} P \to [n](P)\] 이 있으며 이는 \(K\) 위의 대수공간의 사상이다. \(G\)가 아벨이므로 이 사상은 대칭적이다. 따라서 이 사상은 몫 \[(P \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} P)/S_n\] 을 통해 인수분해된다. 한편 사상 \(\Spec(L) \to P\)는 사상 \[(\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} \Spec(L))/S_n \longrightarrow (P \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} P)/S_n\] 을 정의하며, 왼쪽의 스킴이 \(K\)-유리점을 가짐은 독자가 확인할 수 있다. 따라서 \([n](P)\)가 자명한 토서임을 알 수 있다.

\(\mathcal{X} = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])\)가 대수적 스택이 아님을 증명하려면 『Artin의 공리』의 보조정리 07X8에 의해 다음을 보이는 것으로 충분하다.

보조정리

표준 사상 \(\mathcal{X}(S) \to \lim \mathcal{X}(S_n)\)은 본질적으로 전사가 아니다.

증명

정의들을 풀어 쓰면 \(H^1(X, A_0) \to \lim H^1(X_n, A_0)\)가 전사가 아님을 확인하는 것으로 충분하다. \(X\)가 정칙이고 사영이므로 보조정리 0AFA과 0AF9에 의해 각 \(A_0\)-토서는 \(X\) 위에서 꼬임이다. 특히 군 \(H^1(X, A_0)\)는 꼬임 군이다. 따라서 다음을 보이면 충분하다. (a) 군 \(H^1(X_0, A_0)\)는 꼬임 군이 아니고, (b) 사상 \(H^1(X_{n + 1}, A_0) \to H^1(X_n, A_0)\)는 전사이며, 이는 모든 \(n\)에 대해 성립한다.

(a)에 대하여. 꼬임이 아닌 \(A_0\)-토서 \(P_0\)를 구성하자. 이는 마디 곡선 \(X_0\) 위에 있으며, 자명한 \(A_0\)-토서들을 \(X_0\)의 각 성분 위에서 취하고 마디 위에서 꼬임이 아닌 \(A_0\)의 점들을 동형으로 사용하여 이어 붙인다. 더 정확히 말해 \(x \in X_0\)를 유리 곡선들로 이루어진 고리에 나타나는 마디라 하자. \(X'_0 \to X_0\)를 \(X_0\)의 정규화라 하되 \(X_0 \setminus \{x\}\)에서 취하자. 두 점 \(x', x'' \in X'_0\)를 취하자. 이들은 \(x_0\)로 사상된다. 그러면 \(A_0 \times_{\Spec(k)} X'_0\)를 취하고, \(A_0 \times {x'}\)와 \(A_0 \times \{x''\}\)를 동일시한다. 이때 평행이동 \(A_0 \to A_0\)을 사용하는데, 이는 꼬임이 아닌 점 \(a_0 \in A_0(k)\)에 의한 것이다(그러한 꼬임이 아닌 점은 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있고 유한체의 대수적 폐포가 아니므로 존재한다. 이는 실제로 증명이 자명하지 않다). 이어 붙인 것이 대수공간임을 (사실 스킴임을) 보일 수 있고, 이것이 꼬임이 아닌 \(A_0\)-토서임도 보일 수 있으며 그 밑은 \(X_0\)이다. 이것이 꼬임이 아닌 이유는 \([n](P_0)\)가 단면을 가진다면 그 단면이 사상 \(s : X'_0 \to A_0\)을 만들고, 이 사상은 \([n](a_0) = s(x') - s(x'')\)를 만족하기 때문이다. 이 등식은 \(A_0(k)\)의 군법칙에 관한 것이다. 그러나 고리의 기약 성분들이 유리 곡선이므로 단면 \(s\)는 그 위에서 상수이다 (『공간의 준군에 관한 추가 내용』의 보조정리 0AEN). 따라서 \(s(x') = s(x'')\)이고 모순을 얻는다.

(b)에 대하여. 변형 이론에 따르면 \(A_0\)-토서 \(P_n \to X_n\)을 \(A_0\)-토서 \(P_{n + 1} \to X_{n + 1}\)로 변형하는 데 대한 장애는 \(H^2(X_0, \omega)\)에 놓인다. 여기서 \(\omega\)는 \(X_0\) 위의 적절한 벡터 다발이다. \(X_0\)가 곡선이므로 후자는 영이며, 이로써 주장이 증명된다.

명제

스택 \(\mathcal{X} = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])\)는 대수적이지 않다.

증명

위의 논의를 보라.

주

명제 0AFC는 [AokiHomStacks, Theorem 1.1]과 모순된다. 문제는 \(\underline{\Mor}_S(X, [S/A])\)의 형식적 대상들이 유효하지 않다는 데 있다. 같은 문제는 정오표 [AokiHomStacksErr]에도 언급되어 있는데, 이는 [AokiHomStacks]에 대한 정오표이다. 안타깝게도 그 정오표는 \(\underline{\Mor}_S(\mathcal{Y}, \mathcal{Z})\)가 대수적이라고 계속 주장하며, 그 조건은 \(\mathcal{Z}\)가 분리라는 것이다. 그러나 \([S/A]\)가 분리이므로 이 역시 명제 0AFC와 모순된다.

강한 형식적 유효성을 만족하지 않는 대수적 스택

이것은 [Bhatt-Algebraize, Example 4.12]이다. \(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. \(A(k)\)가 꼬임 군이 아니라고 가정하자(\(k\)가 유한체의 대수적 폐포가 아니면 이는 항상 성립한다). \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/A]\)라 하자. 어떤 아이디얼 \(I \subset k[x, y]\)가 존재하여 \[\mathcal{X}_{\Spec(k[x, y]^\wedge)} \longrightarrow \lim \mathcal{X}_{\Spec(k[x, y]/I^n)}\] 가 본질적으로 전사가 아니라고 주장한다. 실제로 \(I\)를 \(xy(x + y - 1)\)로 생성되는 아이디얼이라 하자. 그러면 \(X_0 = V(I)\)는 세 점에서 삼각형 모양으로 이어 붙인 \(\mathbf{A}^1_k\)의 세 복사본으로 이루어진다. 따라서 무한 위수 토서 \(P_0\)를 \(A\)에 대해 만들 수 있다. 이 토서는 \(X_0\) 위에 있다. 이를 위해 \(X_0\)의 기약 성분들 위에서 자명한 토서를 취하고 꼬임이 아닌 점들에 의한 평행이동을 사용해 이어 붙인다. 보조정리 0AFB의 증명에서와 꼭 마찬가지로 \(P_0\)를 토서 \(P_n\)으로 올릴 수 있으며, 후자는 \(X_n = \Spec(k[x, y]/I^n)\) 위에 있다. \(k[x, y]^\wedge\)는 이차원 정칙 정역이므로 모든 토서 \(P\)는, \(A\)에 대한 것이고 \(\Spec(k[x, y]^\wedge)\) 위에 있을 때, 꼬임이다 (보조정리 0AF9과 0AFA). 따라서 이 토서들의 체계는 표시된 함자의 상에 속하지 않는다.

보조정리

\(k\)를 유한체의 폐포가 아닌 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(A\)를 \(k\) 위의 아벨 다양체라 하자. \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/A]\)라 하자. 전사 전이 사상들을 갖고 그 핵들이 국소 멱영인 \(k\)-대수들의 역계 \(R_n\)과, 체계 \((\xi_n)\)이 존재한다. 후자는 \(\mathcal{X}\)의 체계이며 체계 \((\Spec(R_n))\) 위에 놓이고, 『Artin의 공리』의 주석 0CXT의 의미에서 유효하지 않다.

증명

위의 논의를 보라.

Grothendieck의 존재 정리에 대한 반례

\(k\)를 체라 하고 \(A = k[[t]]\)라 하자. \(X\)를 \(U = \Spec(A[x])\)와 \(V = \Spec(A[y])\)를 다음 동일시 \[U \setminus \{0_U\} \longrightarrow V \setminus \{0_V\}\] 로 붙여 얻은 것으로 하자. 이 동일시는 \(x\)를 \(y\)로 보내며, 여기서 \(0_U \in U\)와 \(O_V \in V\)는 극대 아이디얼 \((x, t)\)와 \((y, t)\)에 대응하는 점들이다. \(A_n = A/(t^n)\)라 하고 \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\)라 하자. \(\mathcal{F}_n\)을 \(A_n[x]\)-가군 \(A_n[x]/(x) \cong A_n\)과 \(A_n[y]\)-가군 \(0\)에 자명한 붙이기를 적용하여 얻는 \(X_n\) 위의 연접층이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(t\)로 생성되는 아이디얼 층이라 하자. 그러면 \((\mathcal{F}_n)\)은 스킴의 코호몰로지, 절 0CYW에서 정의한 범주 \(\textit{Coh}_{\text{지지가 그 위에서 고유한 } A}(X, \mathcal{I})\) 의 대상이다. 한편 이 대상은 스킴의 코호몰로지, 식 (088D)의 함자의 상에 속하지 않는다. 실제로 상에 속한다면 유한 \(A[x]\)-가군 \(M\), 유한 \(A[y]\)-가군 \(N\), 그리고 동형사상 \(M[1/t] \cong N[1/t]\)가 존재하여 모든 \(n\)에 대해 \(M/t^nM \cong A_n[x]/(x)\) 및 \(N/t^nN = 0\)이 성립해야 한다. 이것이 불가능함은 쉽게 알 수 있다.

보조정리

연접층의 대수화에 대한 다음 반례들이 존재한다.

1. 스킴의 코호몰로지, 정리 088E에서 진술한 Grothendieck의 존재 정리에서 \(X \to \Spec(A)\)가 분리라는 가정을 제거하면 정리는 거짓이다.

2. Quot, 정리 09DS 및 08WC의 연접층 스택 \(\Cohstack_{X/B}\)에서 \(X \to S\)가 분리라는 가정을 제거하면, 일반적으로 이 스택은 대수적이지 않다.

3. Quot, 명제 09TU의 함자 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)에서 \(X \to B\)가 분리라는 가정을 제거하면, 일반적으로 이 함자는 대수공간이 아니다.

증명

(1)은 위에서 보았다. 이는 \(\textit{Coh}_{X/A}\)가 Artin의 공리, 절 07XJ의 공리 [4]를 만족하지 않음을 보인다. 따라서 Artin의 공리, 보조정리 07X8에 의해 대수적 스택일 수 없다. 이로써 (2)가 참임을 알 수 있다. (3)을 보려면 모든 \(n\)에 대해 서로 양립하는 전사 \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\)이 존재함에 주목하라. 따라서 \(\Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/A}\)가 공리 [4]를 만족하지 않으며, 앞과 같이 (3)이 참임을 알 수 있다.

아핀 형식적 대수공간

\(K\)를 체라 하고 \((V_i)_{i \in I}\)를 \(K\) 위의 영이 아닌 벡터공간들로 이루어진 유향 역계라 하자. 전이 사상들은 전사이고 \(\lim V_i = 0\)이라 가정한다. 절 0ANX을 보라. \(V_i\)가 제곱이 영인 아이디얼이 되도록 \(K\)-대수로서 \(R_i = K \oplus V_i\)라 하자. 그러면 \(R_i\)는 멱영 핵을 갖는 전사 전이 사상들로 이루어진 \(K\)-대수의 역계이고 \(\lim R_i = K\)이다. 아핀 형식적 대수공간 \(X = \colim \Spec(R_i)\)는 McQuillan이 아닌 아핀 형식적 대수공간의 예이다.

보조정리

McQuillan이 아닌 아핀 형식적 대수공간이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

절 0ANX에서와 같은 완전열의 계 \(0 \to W_i \to V_i \to K \to 0\)를 잡자. 다음과 같이 놓는다. \(A_i = K[V_i]/(ww'; w, w' \in W_i)\). 그러면 멱영 핵을 갖는 서로 양립하는 전사들의 계 \(A_i \to K[t]\)가 존재하고, 전이 사상 \(A_i \to A_j\) 역시 멱영 핵을 갖는 전사이다. \(V_i\)가 \(s \in S_i\)로 주어지는 기저를 갖는 자유 \(K\)-가군임을 상기하자. 그러면 \(K\)의 표수가 영일 때 \(A_i\)의 \(d\)차 성분은 \(s^d\), \(s \in S_i\)로 주어지는 기저를 갖는 자유 \(K\)-가군이고, 그 각각은 \(t^d\)로 사상된다. 따라서 \(A_i\)들의 \(d\)차 성분으로 이루어진 역계는 벡터공간 \(V_i\)들의 역계와 동형이다. \(\lim V_i = 0\)이므로, 적어도 \(K\)의 표수가 영일 때 \(\lim A_i = K\)임을 얻는다. 이는 “정칙함수”들이 점들을 분리하지 못하는 아핀 형식적 대수공간의 예를 준다.

보조정리

다음 의미에서 정칙함수들이 점들을 분리하지 못하는 아핀 형식적 대수공간 \(X\)가 존재한다. 형식적 공간, 정의 0AI7에서와 같이 \(X = \colim X_\lambda\)로 쓰면, \(\lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\)는 체이지만 \(X_{red}\)는 무한히 많은 점을 갖는다.

증명

위의 논의를 보라.

\(K\), \(I\), \((V_i)\)는 위와 같다고 하자. 다음과 같은 계들을 생각하자. \[\Phi = (\Lambda, J_i \subset \Lambda, (M_i) \to (V_i))\] 여기서 \(\Lambda\)는 증대된 \(K\)-대수이고, 각 \(i \in I\)에 대해 \(J_i \subset \Lambda\)는 제곱이 영인 아이디얼이며, \((M_i) \to (V_i)\)는 \(K\)-벡터공간 역계들의 사상으로서 각 \(i\)에 대해 \(M_i \to V_i\)가 전사이다. 또한 \(M_i\)는 \(\Lambda\)-가군 구조를 가지며, \(i > j\)일 때 전이 사상 \(M_i \to M_j\)는 \(\Lambda\)-선형이고 \(i > j\)에 대해 \(J_j M_i \subset \Ker(M_i \to M_j)\)이다. 주장: 모든 \(i > j\)에 대해 \(M_j = M_i/J_j M_i\)인 위와 같은 계가 존재한다.

주장이 참이면, 아핀 형식적 대수공간들의 표현가능 사상 \[\colim_{i \in I} \Spec(\Lambda/J_i \oplus M_i) \longrightarrow \text{Spf}(\lim \Lambda/J_i)\] 을 얻는데, 그 원천은 McQuillan이 아니지만 표적은 McQuillan이다. 여기서 \(\Lambda/J_i \oplus M_i\)에는 \(M_i\)가 제곱이 영인 아이디얼이 되는 통상적인 \(\Lambda/J_i\)-대수 구조를 준다. 표현가능성은 정확히 \(i > j\)일 때 \(M_i/J_jM_i = M_j\)라는 조건으로 옮겨진다. 사상의 원천이 McQuillan이 아닌 이유는 사영 \(\lim_{i \in I} M_i \to M_i\)가 전사가 아니기 때문이다. 실제로 사상 \(\lim V_i \to V_i\)가 전사가 아니고 전사 \(M_i \to V_i\)가 있으므로 이것이 성립한다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

주장의 증명. 우선 적어도 하나의 계가 존재함에 주목하자. 즉, \[\Phi_0 = (K, J_i = (0), (V_i) \xrightarrow{\text{항등}} (V_i))\] 이다. 계 \(\Phi\)가 주어졌다고 하자. 그러면 계의 사상 \(\Phi \to \Phi'\)가 존재하여(계의 사상은 자명한 방식으로 정의한다) \(\Ker(M_i/J_j M_i \to M_j)\)가 \(M'_i/J'_j M'_i\)에서 영으로 사상됨을 보이겠다. 이것을 보이고 나면 \(n \geq 1\)에 대해 귀납적으로 \(\Phi_n = (\Phi_{n - 1})'\)로 두고 \(\Phi = \colim \Phi_n\)을 취하는 통상적인 방법으로 원하는 성질을 갖는 계를 얻을 수 있다. 세부사항은 생략한다.

\(\Phi\)가 주어졌을 때 \(\Phi'\)의 구성. \(i > j\)이고 \(\xi \in \Ker(M_i \to M_j)\)인 삼중항 \(u = (i, j, \xi)\)들의 집합을 \(U\)라 하자. \(s(i, j, \xi) = i\) 및 \(t(i, j, \xi) = j\)로 주어지는 사상들을 \(s, t : U \to I\)로 나타내자. 그리고 \(u\)의 세 번째 성분을 \(\xi_u \in M_{s(u)}\)로 둔다. 다음을 취한다. \[\Lambda' = \Lambda[x_u; u \in U]/(x_u x_{u'}; u, u' \in U)\] 증대 \(\Lambda' \to K\)는 \(\Lambda\)의 증대로 주고 \(x_u\)를 영으로 보내도록 한다. 다음과 같이 둔다. \(J'_k = J_k \Lambda' + (x_{u,\ t(u) \geq k})\). 또 다음과 같이 둔다. \[M'_i = M_i \oplus \bigoplus\nolimits_{s(u) \geq i} K\epsilon_{i, u}\] \(i > j\)일 때 전이 사상 \(M'_i \to M'_j\)로는 주어진 사상 \(M_i \to M_j\)를 사용하고 \(\epsilon_{i, u}\)를 \(\epsilon_{j, u}\)로 보낸다. 사상 \(M'_i \to V_i\)는 주어진 사상 \(M_i \to V_i\)를 유도하고 \(\epsilon_{i, u}\)를 영으로 보낸다. 마지막으로 \(\Lambda'\)가 \(M'_i\)에 다음과 같이 작용하게 한다. \(\lambda \in \Lambda\)에 대해서는 \(M_i\) 위에서 \(\Lambda\)-가군 구조로 작용하고, \(\epsilon_{i, u}\) 위에서는 증대 \(\Lambda \to K\)를 통해 작용한다. 원소 \(x_u\)는 모든 \(i\)에 대해 \(M_i\) 위에서 \(0\)으로 작용한다. 마지막으로 다음과 같이 정의한다. \[x_u \epsilon_{i, u} = \text{원소 }\xi_u\text{의 상, 공역 }M_i\] 그리고 그 밖의 모든 곱 \(x_{u'} \epsilon_{i, u}\)는 영으로 둔다. 표시한 공식은 \(s(u) \geq i\)이고 \(\xi_u \in M_{s(u)}\)이므로 의미가 있다. 확인해야 할 주된 사항은 \(i > j\)일 때 \(J'_j M'_i \subset M'_i\)가 \(M'_j\)에서 영으로 사상된다는 것과 \(\Ker(M_i \to M_j)\)가 \(M'_i/J_j M'_i\)에서 영으로 사상된다는 것이다. 마지막 사실은 임의의 \(\xi \in \Ker(M_i \to M_j)\)에 대해 \(\xi = x_{(i, j, \xi)} \epsilon_{i, (i, j, \xi)} \in J'_j M'_i\)이기 때문이다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

아핀 형식적 대수공간들의 표현가능 사상 \(f : X \to Y\)로서 \(Y\)는 McQuillan이지만 \(X\)는 McQuillan이 아닌 것이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

평탄 사상은 유한 표시 평탄 사상들의 유향 쌍대극한이 아니다

이 절의 목표는 평탄하고 유한 표시인 환 사상들의 여과 쌍대극한이 아닌 평탄 환 사상의 예를 주는 것이다. [gabber-nonexcellent]에서는 \(A\)가 차원이 \(1\)이고 잉여 표수가 영인 비우수 국소환이면 완비화로 가는 (평탄) 환 사상 \(A \to A^\wedge\)가 유한형 평탄 환 사상들의 여과 쌍대극한이 아님을 보인다. 이 절의 예에서는 원천이 우수환이다. 독자에게 다른 예를 제출해 주기를 권한다. 예가 있다면 stacks.project@gmail.com으로 전자우편을 보내기 바란다.

구성을 위해 소수 \(p\)를 고정하고 \(A = \mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n]\)라 하자. \(A\)의 절대 정수적 폐포 \(A^+\)를 선택하자. 즉, \(A^+\)는 그 분수체의 한 대수적 폐포에서 \(A\)의 정수적 폐포이다. [HHBigCM, §6.7]에서 \(A \to A^+\)가 평탄임을 보인다.

\(n \geq 3\)이면 \(A\)-대수 \(A^+\)는 유한 표시 평탄 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한이 아니라고 주장한다.

\(n = 3\)인 경우의 논증을 개략적으로 제시하고, 더 큰 \(n\)으로의 일반화는 독자에게 맡긴다. 원점에서 \(A\)를 엄밀 헨젤화한 것을 \(R\)라 하고 그 절대 정수적 폐포를 \(R^+\)라 할 때, 사상 \(R \to R^+\)에 대한 유사한 명제를 증명하면 충분하다. \(R\)는 잉여체 \(k\)가 \(\mathbf{F}_p\)의 대수적 폐포인 헨젤 정칙 국소환임에 주목하라.

\(k\) 위의 보통 아벨 곡면 \(X\)와 \(X\) 위의 매우 풍부한 선다발 \(L\)을 선택하자. 절단환 \(\Gamma_*(X, L) = \bigoplus_n H^0(X,L^n)\)은 \(L\)에 관한 \(X\) 위의 아핀 원뿔의 좌표환이다. \(L\)이 충분히 양이면 이는 정규환이다. \(S\)를 원뿔의 꼭짓점에서 \(\Gamma_*(X, L)\)을 헨젤화한 것이라 하자. 그러면 \(S\)는 차원이 \(3\)인 헨젤 뇌터 정규 정역이다. 유한형 \(k\)-대수 \(\Gamma_*(X, L)\)의 한 뇌터 정규화를 헨젤화하여 유한 단사 사상 \(R \to S\)를 얻는다. \(R^+\)가 \(R\)의 절대 정수적 폐포이므로 매입 \(S \to R^+\)도 고정할 수 있다. 따라서 \(R^+\)는 \(S\)의 절대 정수적 폐포이기도 하다. \(R^+\)가 평탄 \(R\)-대수들의 여과 쌍대극한이 아님을 보이려면 다음을 보이면 충분하다.

1. \(S \to P\)가 환 사상이고 \(P\)가 \(R\) 위에서 평탄 유한형이면, \(T\)가 \(R\) 위에서 유한 평탄인 환 사상 \(S \to T\)가 존재한다.

2. 임의의 유한 환 사상 \(S \to T\)에 대해 환 \(T\)는 \(R\)-평탄이 아니다.

실제로 \(S\)는 \(R\) 위에서 유한 표시이므로, 만일 이를 유한 표시 평탄 \(R\)-대수 \(P_i\)들의 여과 쌍대극한 \(R^+ = \colim_i P_i\)로 쓸 수 있다면 \(i \gg 0\)에 대해 \(S \to R^+\)는 \(S \to P_i \to R^+\)로 분해될 것이다. 이는 위의 두 주장과 모순이다. 주장 (1)은 \(R\)가 헨젤이라는 사실과 절단 논증으로부터 따른다. 사상에 관한 더 많은 내용, 보조정리 0571를 보라. (2)는 [BhattSmallCMMod]에서 증명되었다. 독자의 편의를 위해 그 논증을 상기한다.

\(U \subset \Spec(S)\)를 천공 스펙트럼이라 하자. 그러면 자연스러운 사상들 \(X \leftarrow U \subset \Spec(S)\)가 있다. 첫 번째 사상은 \(H^1(U, \mathcal{O}_U) \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X)\)라는 동일시를 준다. 완전화의 비트 벡터로 옮기고 Artin–Schreier 열을 사용하면⁸, \(H^1_\etale(U, \mathbf{Z}_p) \simeq H^1_\etale(X, \mathbf{Z}_p)\)라는 동일시를 얻는다. 특히 이 군은 계수가 \(2\)인 유한 자유 \(\mathbf{Z}_p\)-가군이다(\(X\)가 보통이기 때문이다). 모순을 얻기 위해 위 (2)에서와 같은 \(R\)-평탄 \(T\)가 존재한다고 가정하자. \(V \subset \Spec(T)\)를 \(U\)의 원상이라 하고 유도된 유한 전사 사상을 \(f : V \to U\)라 쓰자. \(U\)가 정규이므로 \(U_\etale\) 위에 대각합 사상 \(f_*\mathbf{Z}_p \to \mathbf{Z}_p\)가 있으며, 이 사상과 당김 \(\mathbf{Z}_p \to f_*\mathbf{Z}_p\)의 합성은 \(d = \deg(f)\)를 곱하는 사상이다. 코호몰로지로 옮기고 \(H^1_\etale(U, \mathbf{Z}_p)\)가 꼬임 가군이 아니라는 사실을 사용하면 \(H^1_\etale(V, \mathbf{Z}_p)\)가 영이 아님을 얻는다. \(R^1\lim\)의 간섭이 없어서 \(H^1_\etale(V, \mathbf{Z}_p) \simeq \lim H^1_\etale(V, \mathbf{Z}/p^n)\) 이므로 군 \(H^1(V_\etale,\mathbf{Z}/p)\)는 영이 아니어야 한다. \(T\)가 \(R\)-평탄이므로 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) = T\)이고 이는 엄밀 헨젤이다. Artin–Schreier 열에 의해 \(H^1(V, \mathcal{O}_V) \neq 0\)이다. 이는 \(H^2_\mathfrak m(T) \neq 0\)과 동치이며, 여기서 \(\mathfrak m \subset R\)는 극대 아이디얼이다. 그러나 \(T\)는 \(R\)-가군으로서 유한 평탄(즉, 유한 자유)이고 \(H^2_\mathfrak m(R) = 0\)이므로 모순이다. 이 모순으로 (2)가 증명된다.

보조정리

가환환 \(A\)와 평탄 \(A\)-대수 \(B\)로서 유한 표시 평탄 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한으로 쓸 수 없는 것이 존재한다. 실제로 \(A\)를 유한형 \(\mathbf{F}_p\)-대수로 선택할 수도 있고, 잉여체의 표수가 \(0\)인 \(1\)차원 뇌터 국소환으로 선택할 수도 있다.

증명

위의 논의를 보라.

꼬임 가군들로 나눈 가군의 범주

꼬임 군의 범주는 모든 아벨 군의 범주의 Serre 부분범주이다(호몰로지, 정의 02MO). 더 일반적으로 임의의 환 \(A\)에 대해 꼬임 \(A\)-가군의 범주는 모든 \(A\)-가군의 범주의 Serre 부분범주이다. 대수학에 관한 더 많은 내용, 절 0AZ5을 보라. \(A\)가 정역이면 몫범주(호몰로지, 보조정리 02MS)는 분수체 위의 벡터공간의 범주와 동치이다. 이는 다음의 더 일반적인 명제로부터 따른다.

명제

\(A\)를 환이라 하고 \(S\)를 \(A\)의 곱셈적 부분집합이라 하자. \(\text{Mod}_A\)는 \(A\)-가군의 범주를 나타내고, \(\mathcal{T}\)는 모든 원소가 \(S\)의 어떤 원소에 의해 소멸되는 가군들로 이루어진 그 Serre 부분범주라 하자. 그러면 표준적 동치 \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \rightarrow \text{Mod}_{S^{-1}A}\)가 있다.

증명

\(M \mapsto M \otimes_A S^{-1}A\)로 주어지는 함자 \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_{S^{-1}A}\)는 완전하고(대수학, 명제 00CS) \(\mathcal{T}\)의 가군들을 영으로 보낸다. 따라서 호몰로지, 보조정리 02MS에서 주어진 보편성에 의해 이 함자는 함자 \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \to \text{Mod}_{S^{-1}A}\)로 내려간다.

거꾸로, \(M \otimes_A S^{-1}A = 0\)인 임의의 \(A\)-가군 \(M\)은 \(\mathcal{T}\)의 대상이다. 실제로 \(M \otimes_A S^{-1}A \cong S^{-1} M\)이다(대수학, 보조정리 00DK). 따라서 호몰로지, 보조정리 06XK에 의해 함자 \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \to \text{Mod}_{S^{-1}A}\)는 충실하다.

더 나아가 이 매입은 본질적으로 전사이다. \(S^{-1}A\)-가군 \(N\)의 원상으로 \(N_A\), 즉 \(N\)을 \(A\)-가군으로 본 것을 취할 수 있다. 실제로 \(x \otimes a/s\)를 \((a/s) \cdot x\)로 보내는 표준 사상 \(N_A \otimes_A S^{-1}A \to N\)은 \(S^{-1}A\)-가군의 동형사상이다.

명제

\(A\)를 환이라 하자. \(Q(A)\)는 그 전분수환(대수학, 예 02C5에서와 같은 것)을 나타낸다고 하자. \(\text{Mod}_A\)는 \(A\)-가군의 범주를 나타내고, \(\mathcal{T}\)는 꼬임 가군들로 이루어진 그 Serre 부분범주라 하자. \(\text{Mod}_{Q(A)}\)는 \(Q(A)\)-가군의 범주를 나타낸다고 하자. 그러면 표준적 동치 \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \rightarrow \text{Mod}_{Q(A)}\)가 있다.

증명

명제 0EA5를 곱셈적 부분집합 \(S = \{f \in A \mid f \text{가 영인자가 아닌 환 }A\}\)에 적용하면 곧바로 따른다. 가군이 꼬임 가군일 필요충분조건은 그 모든 원소 각각이 \(S\)의 어떤 원소에 의해 소멸되는 것이기 때문이다.

명제

\(A\)를 뇌터 정역이라 하고 \(K\)를 그 분수체라 하자. \(\text{Mod}_A^{fg}\)는 유한 생성 \(A\)-가군의 범주를 나타내고, \(\mathcal{T}^{fg}\)는 유한 생성 꼬임 가군들로 이루어진 그 Serre 부분범주라 하자. 그러면 \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg}\)는 유한 차원 \(K\)-벡터공간의 범주와 표준적으로 동치이다.

증명

명제 0B0K에서 주어진 동치는 매입 \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg} \to \text{Mod}_A/\mathcal{T}\)를 따라 제한되어 동치 \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg} \to \text{Vect}_K^{fd}\)를 준다. 뇌터 가정은 \(\text{Mod}_A^{fg}\)가 아벨 범주임(대수학에 관한 더 많은 내용, 절 0AZ5을 보라)을 보장하고, 표준 함자 \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg} \to \text{Mod}_A/\mathcal{T}\)가 충만함을 보장한다(그렇지 않으면 유한 생성 가군의 꼬임 부분가군이 \(\mathcal{T}^{fg}\)의 대상이 아닐 수도 있다).

명제

아벨 군의 범주를 그 꼬임 군들의 Serre 부분범주로 나눈 몫은 \(\mathbf{Q}\)-벡터공간의 범주이다.

증명

주장은 명제 0B0K에서 바로 따른다.

서로 다른 쌍대극한 위상

이 예는 [TSH, 예 1.2, 553쪽]이다. \(n \geq 1\)에 대해 \(G_n = \mathbf{Q} \times \mathbf{R}^n\)라 하고, 이를 덧셈에 관한 위상군으로 보되 통상적인 (유클리드) 위상을 부여하자. \((x_0, \ldots, x_n)\)을 \((x_0, \ldots, x_n, 0)\)으로 보내는 닫힌 매입 \(G_n \to G_{n + 1}\)을 생각하자. 위상 \[U \subset G\text{가 열림} \Leftrightarrow G_n \cap U\text{가 열림 }\forall n\] 을 부여한 \(G = \colim G_n\)은 위상군이 아니라고 주장한다.

이를 보기 위해 다음 집합을 생각하자. \[U = \{(x_0, x_1, x_2, \ldots)\text{ 중 다음을 만족하는 것: } |x_j| < |\cos(jx_0)| \text{ 모든 } j > 0\}\] \(\pi\)는 유리수가 아니므로 \(jx_0\)는 결코 \(\pi/2\)의 정수배가 아니라는 사실을 사용하면 \(U \cap G_n\)이 열림을 쉽게 보일 수 있다. \(0 \in U\)이므로, 위의 위상이 \(G\)를 위상군으로 만든다면 \(0\)의 열린 근방 \(V \subset G\)로서 \(V + V \subset U\)인 것이 존재할 것이다. 그러면 모든 \(j \geq 0\)에 대해 \(\epsilon_j > 0\)이 존재하여 \(|x_j| < \epsilon_j\)이면 \((0, \ldots, 0, x_j, 0, \ldots) \in V\)일 것이다. \(V + V \subset U\)이므로 \(|x_0| < \epsilon_0\) 및 \(|x_j| < \epsilon_j\)일 때 \[(x_0, 0, \ldots, 0, x_j, 0, \ldots) \in U\] 여야 한다. 그러나 \(j \epsilon_0 > \pi/2\)가 되도록 \(j\)를 충분히 크게 잡으면 \(|\cos(jx_0)|\)가 \(\epsilon_j\)보다 작도록 \(x_0 \in \mathbf{Q}\)를 선택할 수 있고, 따라서 \(|\cos(jx_0)| < |x_j| < \epsilon_j\)인 \(x_j\)가 존재한다. 이 모순으로 주장이 증명된다.

보조정리

(아벨) 위상군들의 계 \(G_1 \to G_2 \to G_3 \to \ldots\)로서 위상공간의 범주에서 취한 \(\colim G_n\)과 위상군의 범주에서 취한 \(\colim G_n\)이 서로 다른 것이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

보편적으로 몫위상적이지만 V-덮개가 아닌 사상

\(A\)를 값매김환이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 극소 소 아이디얼도 극대 아이디얼도 아닌 소 아이디얼이라 하자. (염두에 두기 좋은 경우는 \(A\)가 세 개의 소 아이디얼을 갖고 \(\mathfrak p\)가 그 “가운데”에 있는 경우이다.) 아핀 스킴들의 사상 \[\Spec(A_\mathfrak p) \amalg \Spec(A/\mathfrak p) \longrightarrow \Spec(A)\] 을 생각하자. 이것이 보편적으로 몫위상적이라고 주장한다. 이를 증명하기 위해 환 사상 \(A \to B\)로 주어진 아핀 스킴의 사상 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)를 잡자. 그러면 다음 사상이 몫위상적임을 보여야 한다. \[\Spec(B_\mathfrak p) \amalg \Spec(B/\mathfrak pB) \to \Spec(B)\] 우선 이 사상은 전사이다. 다음으로 \(T \subset \Spec(B)\)가 부분집합이고 \(T_1 = \Spec(B_\mathfrak p) \cap T\) 및 \(T_2 = \Spec(B/\mathfrak p B) \cap T\)가 닫혀 있다고 하자. \(T_1\)과 \(T_2\)가 모두 \(B\)-대수의 스펙트럼이므로 \(T\)가 어떤 \(B\)-대수의 스펙트럼의 상임을 알 수 있다. 따라서 \(T\)가 닫혔음을 보이려면 \(T\)가 특수화에 대해 안정적임을 보이면 충분하다. 대수학, 보조정리 00HY를 보라. 이를 위해 \(p \leadsto q\)가 \(\Spec(B)\)의 점들의 특수화이고 \(p \in T\)라고 하자. \(A'\)를 값매김환이라 하고, \(\Spec(A')\)의 일반점 \(\eta\)가 \(p\)로 사상되고 \(\Spec(A')\)의 닫힌점 \(s\)가 \(q\)로 사상되는 사상 \(\Spec(A') \to \Spec(B)\)를 잡자. 스킴, 보조정리 01J8를 보라. 합성 \(\gamma : \Spec(A') \to \Spec(A)\)의 상은 정확히 \(\gamma(\eta) \leadsto \xi \leadsto \gamma(s)\)인 점 \(\xi \in \Spec(A)\)들의 집합임에 주목하라(세부사항은 생략한다). \(\mathfrak p \not \in \Im(\gamma)\)이면 \(p, q \in \Spec(B_\mathfrak p)\)이거나 \(p, q \in \Spec(B/\mathfrak pB)\)임을 알 수 있다. 이 경우 \(T_1\), 각각 \(T_2\)가 닫혔다는 사실로부터 \(q \in T_1\), 각각 \(q \in T_2\)를 얻고, 따라서 \(q \in T\)이다. 마지막으로 \(\mathfrak p \in \Im(\gamma)\)라고 하고, 이를 \(\mathfrak p = \gamma(r)\)로 쓰자. 그러면 특수화 \(p \leadsto r\) 및 \(r \leadsto q\)가 있다. 이 경우 \(p, r \in \Spec(B_\mathfrak p)\)이고 \(r, q \in \Spec(B/\mathfrak pB)\)이다. 따라서 먼저 \(r \in T_1 \subset T\)를 얻고, \(r\)가 \(\mathfrak p\)로 사상되므로 \(r \in T_2\)를 얻은 뒤, 원하는 대로 \(q \in T_2 \subset T\)를 얻는다.

한편 한 원소로 된 족 \[\{\Spec(A_\mathfrak p) \amalg \Spec(A/\mathfrak p) \longrightarrow \Spec(A)\}\] 은 V-덮개가 아니라고 주장한다. 위상, 정의 0ETH을 보라. 실제로 이것이 V-덮개라면 값매김환의 확대 \(A \subset B\)가 존재하여 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A_\mathfrak p) \amalg \Spec(A/\mathfrak p)\)를 통해 분해될 것이다. 그러면 \(\Spec(A')\)이 연결되지 않아야 하는데, 이는 불합리하다.

보조정리

아핀 스킴들의 사상 \(X \to Y\)로서 보편적으로 몫위상적이지만 \(\{X \to Y\}\)가 V-덮개가 아닌 것이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

정수환의 스펙트럼은 준콤팩트하지 않다

물론 이 절의 제목은 정수환의 스펙트럼을 위상공간으로 본 것을 가리키지 않는다. 모든 스펙트럼은 위상공간으로서 준콤팩트하기 때문이다(대수학, 보조정리 00E8). 그 대신 이 제목은 스킴의 범주 위의 표준 위상에서 정수환의 스펙트럼을 본 것과 사이트에서 준콤팩트 대상의 정의를 가리킨다 (사이트, 정의 090H).

소수들의 집합 \(P\) 위의 비주요 초필터를 \(U\)라 하자. 부분집합 \(T \subset P\)에 대해 그 여집합을 \(T^c = P \setminus T\)로 나타낸다. \(A \in U\)에 대해 \(S_A \subset \mathbf{Z}\)를 \(p \in A\)들로 생성되는 곱셈적 부분집합이라 하자. 다음과 같이 둔다. \[\mathbf{Z}_A = S_A^{-1}\mathbf{Z}\] \(P\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\)의 닫힌점들의 집합으로 생각하면 \(\Spec(\mathbf{Z}_A) = \{(0)\} \cup A^c \subset \Spec(\mathbf{Z})\) 임에 주목하라. \(A, B \in U\)이면 \(A \cap B \in U\)이고 \(A \cup B \in U\)이며 다음이 성립한다. \[\mathbf{Z}_{A \cap B} = \mathbf{Z}_A \times_{\mathbf{Z}_{A \cup B}} \mathbf{Z}_B\] (환들의 섬유곱이다.) 특히 임의의 정수 \(n\) 및 원소들 \(A_1, \ldots, A_n \in U\)에 대해 사상 \[\Spec(\mathbf{Z}_{A_1}) \amalg \ldots \amalg \Spec(\mathbf{Z}_{A_n}) \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] 은 어떤 \(p\)에 대해 \(\Spec(\mathbf{Z}[1/p])\)를 통해 분해된다 (즉, 임의의 \(p \in A_1 \cap \ldots \cap A_n\)에 대해 그러하다). 따라서 평탄 사상들의 족 \(\{\Spec(\mathbf{Z}_A) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{A \in U}\)는 공동으로 전사이지만 그 어떤 유한 부분족도 공동으로 전사가 아니다.

\(\mathbf{Z}\)-가군 \(M\)에 대해 다음과 같이 둔다. \[M_A = S_A^{-1}M = M \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}_A\] 주장 I: 모든 \(\mathbf{Z}\)-가군 \(M\)에 대해 다음이 성립한다. \[M = \text{동등자}\left( \xymatrix{ \prod\nolimits_{A \in U} M_A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{A, B \in U} M_{A \cup B} } \right)\] 먼저 \(M\)이 꼬임이 없다고 가정하자. 그러면 모든 \(A \in U\)에 대해 \(M_A \subset M_P\)이다. 따라서 다음을 증명해야 함을 알 수 있다. \[M = \bigcap\nolimits_{A \in U} M_A\text{, 교집합은 }M_P = M \otimes \mathbf{Q}\] 실제로 \(U\)가 비주요이므로 임의의 소수 \(p\)에 대해 \(\{p\}^c \in U\)이다. 또한 \(M_{\{p\}^c} = M_{(p)}\)는 소 아이디얼 \((p)\)에서의 국소화와 같다. 따라서 이미 \(M_{(2)} \cap M_{(3)} = M\)이므로 위의 등식은 자명하다. 다음으로 \(M\)이 꼬임이라고 가정하자. 그러면 \[M = \bigoplus\nolimits_{p \in P} M[p^\infty]\] 이고, 이에 따라 다음이 성립한다. \[M_A = \bigoplus\nolimits_{p \not \in A} M[p^\infty]\] 이는 \(A\)의 소수들에서 국소화하고 있기 때문이다. \((x_A) \in \prod M_A\)가 동등자에 속한다고 하자. \(x_p = x_{\{p\}^c} \in M[p^{\infty}]\)로 나타내자. 동등자 성질은 다음을 뜻한다. \[x_A = (x_p)_{p \not \in A}\] 특히 이 성질은 \(p \not \in A\)인 것들 중 유한 개를 제외한 모든 소수에 대해 \(x_p\)가 영임을 뜻한다. 꼬임인 경우의 증명을 끝내려면 유한 개의 소수 \(p\)를 제외한 모든 소수에 대해 \(x_p\)가 영임을 보이면 충분하다. 그렇지 않다면 \(\{p \in P \mid x_p \not = 0\} = T \amalg T'\)로 쓰되, 오른쪽은 두 무한 집합의 서로소 합집합으로 쓰자. 그러면 \(U\)가 초필터이므로 \(T \not \in U\) 또는 \(T' \not \in U\)이다(실제로 둘 다 \(U\)에 속하면 \(U\)가 \(T \cap T' = \emptyset\)을 포함하게 되는데, 이는 허용되지 않는다). \(T, T'\) 가운데 \(T \not \in U\)라고 하자. 그러면 \(T = A^c\)이고 이는 위에서 말한 유한성과 모순이다. 마지막으로 \(M\)이 일반적인 가군이라고 하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to M_{tors} \to M \to M/M_{tors} \to 0\] 과 다음 큰 도식을 살펴본다. \[\xymatrix{ M_{tors} \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A \in U} M_{tors, A} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A, B \in U} M_{tors, A \cup B} \ar[d] \\ M \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A \in U} M_A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A, B \in U} M_{A \cup B} \ar[d] \\ M/M_{tors} \ar[r] & \prod\nolimits_{A \in U} (M/M_{tors})_A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{A, B \in U} (M/M_{tors})_{A \cup B} \\ }\] 열들의 완전성과 꼬임 가군 \(M_{tors}\) 및 꼬임 없는 가군 \(M/M_{tors}\)에 대해 얻은 결과를 사용하여 도식 추적을 하면 \(M\)에 대한 주장 I이 증명된다. 이는 다음 보조정리의 현상에 대한 예를 준다.

보조정리

환 \(A\)와 평탄 환 사상들의 무한족 \(\{A \to A_i\}_{i \in I}\)로서 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \[M = \text{동등자}\left( \xymatrix{ \prod\nolimits_{i \in I} M \otimes_A A_i \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{i, j \in I} M \otimes_A A_i \otimes_A A_j } \right)\] 가 성립하지만 같은 사실이 성립하는 유한 부분족은 없는 것이 존재한다.

증명

위의 논의를 보라.

소수들의 집합 \(P\) 위의 비주요 초필터 \(U\)를 계속 사용한다. \(R\)를 환이라 하자. \(A \in U\)에 대해 \(R_A = S_A^{-1}R = R \otimes \mathbf{Z}_A\)로 나타내자. 주장 II: 닫힌 부분집합 \(T_A \subset \Spec(R_A)\), \(A \in U\)가 주어지고 모든 \(A, B \in U\)에 대해 \[(\Spec(R_{A \cup B}) \to \Spec(R_A))^{-1}T_A = (\Spec(R_{A \cup B}) \to \Spec(R_B))^{-1}T_B\] 가 성립하면, 모든 \(A \in U\)에 대해 \(T_A = (\Spec(R_A) \to \Spec(R))^{-1}(T)\)인 닫힌 부분집합 \(T \subset \Spec(R)\)가 존재한다. \(A \in U\)에 대해 \(T_A\)를 잘라내는 근기 아이디얼을 \(I_A \subset R_A\)라 하자. 그러면 붙이기 조건은 모든 \(A, B \in U\)에 대해 \(R_{A \cup B}\) 안에서 \(S_{A \cup B}^{-1}I_A = S_{A \cup B}^{-1}I_B\)임을 함의한다 (국소화는 근기 아이디얼이라는 성질을 보존하기 때문이다). \(I' \subset R\)를 \(I_P \subset R_P = R \otimes \mathbf{Q}\) 안으로 사상되는 원소들의 집합이라 하자. 그러면 \(A \in U\)에 대해 다음을 알 수 있다.

1. \(I_A \subset I'_A = S_A^{-1}I'\)이고,

2. \(M_A = I'_A/I_A\)는 꼬임 가군이다.

물론 \(A, B \in U\)에 대해 표준적 동일시 \(S_{A \cup B}^{-1}M_A = S_{A \cup B}^{-1}M_B\)를 얻는다. 꼬임 가군 \(M_A\)들을 그 \(p\)-일차 성분들로 분해하면, 위에서 주어진 표준적 동일시들과 양립하면서 \[M_A = \bigoplus\nolimits_{p \not \in A} M_p\] 가 되도록 하는 \(p\)-멱 꼬임 \(R\)-가군 \(M_p\)들이 존재함을 독자가 쉽게 보일 수 있다. \(M = \bigoplus_{p \in P} M_p\)로 두면 위의 표준적 동일시들과 양립하는 표준 동형사상 \(M_A = S_A^{-1}M\)을 얻는다. 그러면 모든 \(A \in U\)에 대해 사상 \(I_A \to M_A\)를 복원하는 \(R\)-가군의 표준 사상 \[I' \longrightarrow M\] 을 얻는다. 이는 위에서 말한 모든 양립성과, \(M\)이 \(\prod_{A \in U} M_A\)에서 \(\prod_{A, B \in U} M_{A \cup B}\)로 가는 두 사상의 동등자라는 앞서 증명한 주장으로부터 따른다. \(I = \Ker(I' \to M)\)라 하자. 그러면 \(I\)는 아이디얼이고 \(T = V(I)\)는 모든 \(A \in U\)에 대해 닫힌 부분집합 \(T_A\)를 복원하는 닫힌 부분집합이다. 이로써 주장 II가 증명된다.

보조정리

스킴 \(\Spec(\mathbf{Z})\)는 스킴의 범주 위의 표준 위상에서 준콤팩트하지 않다.

증명

위의 표기법을 사용하여 사상들의 족 \[\mathcal{W} = \{\Spec(\mathbf{Z}_A) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{A \in U}\] 을 생각하자. 내림, 보조정리 0EUD와 위에서 증명한 두 주장에 의해 이는 보편 유효 전사이다. 섬유곱을 갖는 임의의 범주에서 보편 유효 전사들은 \(\mathcal{C}\)에 표준 위상을 정의하는 사이트의 구조를 준다(쉽게 해결할 수 있는 몇몇 집합론적 문제를 제외하고). 따라서 \(\mathcal{W}\)는 표준 위상에 대한 덮개이다. 한편 위에서 임의의 유한 부분족 \[\{\Spec(\mathbf{Z}_{A_i}) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{i = 1, \ldots, n},\quad n \in \mathbf{N}, A_1, \ldots, A_n \in U\] 이 어떤 \(p\)에 대해 \(\Spec(\mathbf{Z}[1/p])\)를 통해 분해됨을 보았다. 따라서 이 유한족은 보편 유효 전사일 수 없고, 더 일반적으로 어떤 보편 유효 전사 \(\{g_j : T_j \to \Spec(\mathbf{Z})\}\)도 \(\{\Spec(\mathbf{Z}_{A_i}) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{i = 1, \ldots, n}\)을 세분할 수 없다. 사이트, 정의 090H에 의해 이는 \(\Spec(\mathbf{Z})\)가 표준 위상에서 준콤팩트하지 않음을 뜻한다. 우리의 준콤팩트성 개념이 통상적인 토포스론적 정의와 일치한다는 것은 사이트, 보조정리 0D06을 보라.