층 코호몰로지

도입

이 장에서는 위상공간 위 층의 코호몰로지에 관한 몇 가지 주제를 전개한다. 주로 환의 층 위 가군의 일반성에서 작업하며 환 달린 공간의 사상을 다룬다. 사이트 위의 층에서는 어떤 일이 일어나는지 보려면 Cohomology on Sites, Section 01FR을 보라. 기본 참고문헌은 [Godement]와 [Iversen]이다.

층의 코호몰로지

\(X\)를 위상공간, \(\mathcal{F}\)를 아벨 층이라 하자. \(X\) 위의 아벨 층의 범주에는 단사 대상이 충분히 많음을 알고 있다. Injectives, Lemma 01DG를 보라. 따라서 단사 분해 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택할 수 있다. 관례에 따라 [0712]\[\begin{equation} H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 아벨 층 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 코호몰로지군이라 한다. 함자족 \(H^i(X, -)\)는 \(\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

\(f : X \to Y\)를 위상공간의 연속 사상이라 하자. 위와 같은 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 사용하여 [0713]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 고차 직상이라 한다. 함자족 \(R^if_*\)는 \(\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Y)\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에는 단사 대상이 충분히 많음을 알고 있다. Injectives, Lemma 01DI를 보라. 따라서 단사 분해 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택할 수 있다. 관례에 따라 [0714]\[\begin{equation} H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 코호몰로지군이라 한다. 함자족 \(H^i(X, -)\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(X)}\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 위와 같은 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 사용하여 [0715]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 고차 직상이라 한다. 함자족 \(R^if_*\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

유도함자

분해 함자를 사용하여 오른쪽 유도함자를 얻는 방법을 간단히 설명한다. 비유계 유도함자에 대해서는 Section 079V를 보라.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 아벨 범주이다. Modules, Lemma 01AG를 보라. 이 장에서는 \[K(\mathcal{O}_X) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \quad \text{and} \quad D(\mathcal{O}_X) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)).\] 로 쓰며, Derived Categories, Definition 013H과 Definition 05RU에서 도입한 삼각범주의 유계 형태에도 같은 표기를 사용한다. Derived Categories, Remark 0142에 의해 분해 함자 \[j = j_X : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] 가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{I}\)는 단사 층들로 이루어진 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 엄밀 충만 가법 부분범주이다. 임의의 아벨 범주 \(\mathcal{B}\)로 가는 왼쪽 완전 함자 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{B}\)에 대해, Derived Categories, Section 0156에 설명되어 있고 방금의 분해 함자 \(j_X\)를 사용하여 구성되는 오른쪽 유도함자를 \(RF\)로 나타낸다. [05U3]\[\begin{equation} RF = F \circ j_X' : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\] 표기는 Derived Categories, Lemma 05TN를 보라. 상황에 따라 \(RF\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), \(\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\), \(K^{+}(X)\) 또는 \(D^{+}(X)\) 위에 정의된 것으로 생각할 수 있다. Derived Categories, Definition 015A에 따라 제\(i\) 오른쪽 유도함자 [05U4]\[\begin{equation} R^iF = H^i \circ RF : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{B} \end{equation}\] 를 얻는다. 따라서 \(R^0F = F\)이고 \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\)는 보편 \(\delta\)-함자이다. Derived Categories, Lemma 015B를 보라.

이 구성의 두 가지 특수한 경우를 들자. 환 \(R\)이 주어지면 \(K(R) = K(\text{Mod}_R)\)과 \(D(R) = D(\text{Mod}_R)\)로 쓰고 유계 형태에도 같은 표기를 사용한다. 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 왼쪽 완전 함자 \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}\) 가 있고, 위의 논의로부터 [0717]\[\begin{equation} R\Gamma(U, -) : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) \end{equation}\] 을 얻는다. \(H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)\)로 둔다. \(U = X\)이면 (0714)를 되찾는다. \(f : X \to Y\)가 환 달린 공간의 사상이면 왼쪽 완전 함자 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\) 가 있고, 이로부터 유도 직상 [0718]\[\begin{equation} Rf_* : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(Y) \end{equation}\] \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\)의 제\(i\) 코호몰로지 층은 \(R^if_*\mathcal{F}^\bullet\)로 나타내고 (0715)에 따라 제\(i\) 고차 직상이라 한다. 위에 표시한 두 함자는 유도범주 사이의 완전 함자이다.

표기의 남용: 함자 \(Rf_*\)나 다른 유도함자를 \(X\) 위의 층 \(\mathcal{F}\) 또는 층의 복합체에 적용할 때는 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{F}\)의 적절한 분해로 바꾼 것으로 이해한다. 이런 연산을 편리하게 하기 위해 대상 \(\mathcal{F}^\bullet \in D(\mathcal{O}_X)\)가 주어졌을 때, \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)에 대해 준동형사상 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)이 존재하면 그 복합체가 유도범주에서 \(\mathcal{F}^\bullet\)을 표현한다고 한다. 같은 취지에서 “\(\alpha : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 사상이라 하자”라는 말은 \(\alpha\)가 복합체의 사상으로 표현된다는 뜻이 아니다. 실제 복합체의 사상이 있을 때는 그렇게 명시한다.

제1 코호몰로지와 토서

정의

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 (가환하지 않을 수도 있는) 군의 층이라 하자. 유사 토서, 더 정확히는 유사 \(\mathcal{G}\)-토서란 작용 \(\mathcal{G} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 주어진 \(X\) 위의 집합의 층 \(\mathcal{F}\)로서 다음을 만족하는 것을 말한다.

1. \(\mathcal{F}(U)\)가 공집합이 아닐 때마다 작용 \(\mathcal{G}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) 은 단순 추이적이다.

유사 \(\mathcal{G}\)-토서의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)은 \(\mathcal{G}\)-작용과 양립하는 집합의 층의 사상이다. 토서, 더 정확히는 \(\mathcal{G}\)-토서란 다음 조건도 만족하는 유사 \(\mathcal{G}\)-토서이다.

1. 모든 \(x \in X\)에 대해 줄기 \(\mathcal{F}_x\)가 공집합이 아니다.

\(\mathcal{G}\)-토서의 사상은 유사 \(\mathcal{G}\)-토서의 사상이다. 자명한 \(\mathcal{G}\)-토서는 자명한 왼쪽 \(\mathcal{G}\)-작용이 주어진 층 \(\mathcal{G}\)이다.

토서의 사상은 자동으로 동형사상임이 분명하다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 (가환하지 않을 수도 있는) 군의 층이라 하자. \(\mathcal{G}\)-토서 \(\mathcal{F}\)가 자명할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}(X) \not = \emptyset\)인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{H}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. \(\mathcal{H}\)-토서의 동형류 집합과 \(H^1(X, \mathcal{H})\) 사이에는 표준 전단사가 있다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{H}\)-토서라 하자. \(\mathcal{F}\) 위의 자유 아벨 층 \(\mathbf{Z}[\mathcal{F}]\)을 생각하자. 이것은 열린집합 \(U \subset X\)에 \(n_i \in \mathbf{Z}\)이고 \(s_i \in \mathcal{F}(U)\)인 유한 형식합 \(\sum n_i[s_i]\)들의 모임을 대응시키는 규칙의 층화이다. 자연스러운 사상 \[\sigma : \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}\] 이 있으며, 국소 단면 \(\sum n_i[s_i]\)를 \(\sum n_i\)로 보낸다. \(\sigma\)의 핵은 \([s] - [s']\) 꼴의 국소 단면들로 생성된다. 표준 사상 \(a : \Ker(\sigma) \to \mathcal{H}\) 이 있으며, \([s] - [s'] \mapsto h\)로 보내는데, 여기서 \(h\)는 \(h \cdot s' = s\)를 만족하는 \(\mathcal{H}\)의 국소 단면이다. 밀어내기 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(\sigma) \ar[r] \ar[d]^a & \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] & 0 }\] 을 생각하자. 여기서 \(\mathcal{E}\)는 밀어내기로 얻은 확대이다. 아래의 짧은 완전열에 딸린 코호몰로지 긴 완전열에서 \(\xi = \xi_\mathcal{F} \in H^1(X, \mathcal{H})\) 를 얻는데, 이는 경계 사상을 \(1 \in H^0(X, \underline{\mathbf{Z}})\)에 적용하여 얻는다.

거꾸로 \(\xi \in H^1(X, \mathcal{H})\)가 주어지면 다음과 같이 \(\xi\)에 토서를 대응시킬 수 있다. \(\mathcal{H}\)를 단사 아벨 층 \(\mathcal{I}\)에 넣는 매장 \(\mathcal{H} \to \mathcal{I}\)를 택하자. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{H}\)로 두면 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)이므로(Derived Categories, Lemma 015B 참조), 원소 \(\xi\)는 전체 단면 \(q \in H^0(X, \mathcal{Q})\)의 상이다. 층 \(\mathcal{Q}\)에서 \(q\)로 가는 단면들로 이루어진 부분층(집합의 층으로서)을 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 토서임은 쉽게 확인할 수 있다.

위에서 준 두 구성이 서로 역이라는 확인은 생략한다.

제1 코호몰로지와 확대

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층이라 하자. 표준 전단사 \[\Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{F})\] 가 있으며, 이 전단사는 확대 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 에 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)의 \(H^1(X, \mathcal{F})\)에서의 상을 대응시킨다.

증명

보조정리에서 준 사상의 역을 구성하자. \(\xi \in H^1(X, \mathcal{F})\)라 하자. \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에서 \(\mathcal{I}\)가 단사 대상이 되도록 단사 사상 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\)를 택한다. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\)로 두자. 코호몰로지 긴 완전열에 의해 \(\xi\)는 단면 \(\tilde \xi \in \Gamma(X, \mathcal{Q}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \mathcal{Q})\) 의 상이다. 이제 다음 당김을 만들면 된다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{E} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}_X \ar[r] \ar[d]^{\tilde \xi} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] Homology, Section 010I을 보라.

제1 코호몰로지와 가역층

환 달린 공간의 피카르 군은 Modules, Section 01CR에서 정의하였다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 모든 줄기 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 국소환이면 아벨군의 표준 동형 \[H^1(X, \mathcal{O}_X^*) = \Pic(X).\] 이 있다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 규칙으로 정의된 전층 \(\mathcal{L}^*\)를 생각하자. \[U \longmapsto \{s \in \mathcal{L}(U) \text{ 중 } \mathcal{O}_U \xrightarrow{s \cdot -} \mathcal{L}_U \text{ 가 동형사상인 것}\}\] 이 전층은 층 조건을 만족한다. 또한 \(f \in \mathcal{O}_X^*(U)\)이고 \(s \in \mathcal{L}^*(U)\)이면 분명히 \(fs \in \mathcal{L}^*(U)\)이다. 마찬가지로 \(s, s' \in \mathcal{L}^*(U)\)이면 \(fs = s'\)를 만족하는 \(f \in \mathcal{O}_X^*(U)\)가 유일하게 존재한다. 더욱이 Modules, Lemma 0B8M에 의해 층 \(\mathcal{L}^*\)는 국소적으로 단면을 가진다. 다시 말해 \(\mathcal{L}^*\)는 \(\mathcal{O}_X^*\)-토서이다. 따라서 다음 사상을 얻는다. \[\begin{matrix} \text{환 달린 공간 }(X, \mathcal{O}_X)\text{ 위의 가역층} \\ \text{의 동형류} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \mathcal{O}_X^*\text{-토서} \\ \text{의 동형류} \end{matrix}\] 이 사상이 아벨군의 준동형이라는 확인은 생략한다. 보조정리 02FQ에 의해 오른쪽은 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)와 표준적으로 전단사이다. 따라서 이 사상이 단사이고 전사임을 보이면 된다.

단사성. 토서 \(\mathcal{L}^*\)가 자명하면 보조정리 02FP에 의해 \(\mathcal{L}^*\)는 전체 단면을 가진다. 따라서 이는 정확히 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)가 \(\Pic(X)\)의 항등원이라는 뜻이다.

전사성. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X^*\)-토서라 하자. 집합의 전층 \[\mathcal{L}_1 : U \longmapsto (\mathcal{F}(U) \times \mathcal{O}_X(U))/\mathcal{O}_X^*(U)\] 을 생각하자. 여기서 \(f \in \mathcal{O}_X^*(U)\)가 \((s, g)\)에 작용한 결과는 \((fs, f^{-1}g)\)이다. \(s'/s\)를 \(fs = s'\)를 만족하는 \(\mathcal{O}_X^*\)의 국소 단면 \(f\)라 하고, \((s, g) + (s', g') = (s, g + (s'/s)g')\)로 두며, \(\mathcal{O}_X\)의 국소 단면 \(h\)에 대해 \(h(s, g) = (s, hg)\)로 두면 \(\mathcal{L}_1\)은 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 전층이 된다. 그 층화 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1^\#\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 이에 딸린 \(\mathcal{O}_X^*\)-토서 \(\mathcal{L}^*\)가 \(\mathcal{F}\)와 동형이라는 확인은 생략한다.

코호몰로지의 국소성

다음 보조정리는 열린집합 위에서 층 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지를 정의하는 데 모호함이 없음을 말한다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고, \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자.

1. \(\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 \(\mathcal{I}|_U\)는 단사 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다.

2. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F}|_U)\).

증명

\(j : U \to X\)를 열린 몰입이라 하자. \(U\)로 제한하는 함자 \(j^{-1}\)는 \(0\)에 의한 연장 함자 \(j_!\)의 오른쪽 수반임을 상기하라. Sheaves, Lemma 00A7를 보라. 또한 \(j_!\)는 완전하다. 따라서 (1)은 Homology, Lemma 015Z에서 따른다.

정의에 따라 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet))\)이다. 여기서 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에서의 단사 분해이다. 위에서 본 바에 따라 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{I}^\bullet|_U\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\)에서의 단사 분해이다. 따라서 \(H^p(U, \mathcal{F}|_U)\)는 \(H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet|_U))\)와 같다. 물론 \(X\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\Gamma(U, \mathcal{F}) = \Gamma(U, \mathcal{F}|_U)\)이다. 따라서 (2)의 등식이 따른다.

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층, \(U \subset V \subset X\)를 열린집합들이라 하자. 그러면 표준적인 제한 사상 [01E2]\[\begin{equation} H^n(V, \mathcal{F}) \longrightarrow H^n(U, \mathcal{F}), \quad \xi \longmapsto \xi|_U \end{equation}\] 이 있으며 이는 \(\mathcal{F}\)에 관해 함자적이다. 실제로 임의의 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 층 \(\mathcal{I}^p\)의 제한 사상들은 복합체의 사상 \[\Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\] 을 준다. 왼쪽은 \(R\Gamma(V, \mathcal{F})\)를 나타내는 복합체이고, 오른쪽은 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})\)를 나타내는 복합체이다. 함자 \(H^n\)을 적용하여 코호몰로지군 사이의 사상을 얻는다. 앞서 표시했듯이 이 사상을 \(\xi \mapsto \xi|_U\)로 나타낸다. 따라서 규칙 \(U \mapsto H^n(U, \mathcal{F})\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준층이다. 이 준층은 관례상 \(\underline{H}^n(\mathcal{F})\)로 나타낸다. 보조정리 01ER에서 이 준층을 달리 해석할 것이다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층, \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. \(n > 0\)이고 \(\xi \in H^n(U, \mathcal{F})\)라 하자. 그러면 모든 \(i \in I\)에 대해 \(\xi|_{U_i} = 0\)이 되는 열린 덮개 \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\)가 존재한다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 단사 분해라 하자. 그러면 \[H^n(U, \mathcal{F}) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] 위의 표시에 나오는 코호몰로지류를 나타내는 원소 \(\tilde \xi \in \mathcal{I}^n(U)\)를 택하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)은 \(\mathcal{F}\)의 단사 분해이고 \(n > 0\)이므로, 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)은 차수 \(n\)에서 완전하다. 따라서 층으로서 \(\Im(\mathcal{I}^{n - 1} \to \mathcal{I}^n) = \Ker(\mathcal{I}^n \to \mathcal{I}^{n + 1})\)이다. \(\tilde \xi\)는 \(U\) 위에서 핵층의 단면이므로, \(\tilde \xi|_{U_i}\)가 어떤 단면 \(\xi_i \in \mathcal{I}^{n - 1}(U_i)\)의 \(d\)에 의한 상이 되는 열린 덮개 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 존재한다. 제한 \(\xi|_{U_i}\)를 \(\tilde \xi|_{U_i}\)의 류에 대응하는 것으로 정의했으므로 결론이 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 층 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 준층 \[V \longmapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F})\] 에 결부된 층이며, 제한 사상은 식 (01E2)의 것이다. 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 \(R^if_*\)를 적용하는 경우에도 같은 명제가 성립한다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 단사 분해라 하자. 정의에 따라 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 복합체 \[f_*\mathcal{I}^0 \to f_*\mathcal{I}^1 \to f_*\mathcal{I}^2 \to \ldots\] 의 제\(i\) 코호몰로지층이다. \(\mathcal{O}_Y\)-가군층의 아벨 범주 구조의 정의에 따라 이 코호몰로지층은 준층 \[V \longmapsto \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(V) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(V))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(V) \to f_*\mathcal{I}^i(V))}\] 에 결부된 층이다. 이것은 분명히 \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^i(f^{-1}(V)) \to \mathcal{I}^{i + 1}(f^{-1}(V)))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(f^{-1}(V)) \to \mathcal{I}^i(f^{-1}(V)))}\] 와 같고, 이는 \(H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F})\)와 같다. 이로써 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군, \(V \subset Y\)를 열린 부분공간이라 하자. \(g : f^{-1}(V) \to V\)를 \(f\)의 제한이라 하자. 그러면 \[R^pg_*(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) = (R^pf_*\mathcal{F})|_V\] 이다. \(\mathcal{F}^\bullet\)이 아래로 유계인 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체일 때 유도상 \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

첫째 증명. 보조정리 01E4와 01E1을 적용하면 표시된 등식을 얻는다. 둘째 증명. 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하고 \(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)} \to \mathcal{I}^\bullet|_{f^{-1}(V)}\)도 단사 분해라는 사실을 사용한다.

주

위의 보조정리 01E3과 01E4의 증명에 대한 다른 접근을 설명한다. \((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(i_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)를 포함 함자, \(\#\)를 층화 함자라 하자. \(i_X\)는 왼쪽 완전이고 \(\#\)는 완전함을 상기하라.

1. 먼저 \(i_X\)의 오른쪽 유도함자가 \(R^pi_X\mathcal{F} = \underline{H}^p(\mathcal{F})\)로 주어진다는 아래의 보조정리 01ER를 증명한다. 다른 증명은 다음과 같다. \(p = 0\)일 때 등식은 분명하다. \((R^pi_X)_{p \geq 0}\)와 \((\underline{H}^p)_{p \geq 0}\)는 모두 단사 대상에서 사라지는 델타 함자이므로 둘 다 보편적이고, 따라서 서로 동형이다. Homology, Section 010P을 보라.

2. 보조정리 01E3은 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 \(\mathcal{F}\)와 \(p > 0\)에 대해 \((\underline{H}^p(\mathcal{F}))^\# = 0\)이라고 다시 말할 수 있다. 이를 보려면 \({}^\#\)가 완전하므로 \[(\underline{H}^p(\mathcal{F}))^\# = (R^pi_X\mathcal{F})^\# = R^p(\# \circ i_X)(\mathcal{F}) = 0\] 을 얻으면 된다. 실제로 \(\# \circ i_X\)는 항등함자이다.

3. \(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 준층 \(V \mapsto H^p(f^{-1}V, \mathcal{F})\)는 \(R^p (i_Y \circ f_*)\mathcal{F}\)와 같다. 위의 (1)의 논증에서와 같이 둘 다 보편 델타 함자를 준다는 것을 관찰하여 이를 증명할 수 있다. 따라서 보조정리 01E4는 \(R^p f_* \mathcal{F}= (R^p (i_Y \circ f_*)\mathcal{F})^\#\)라고 말한다. 다시 \(\#\)가 완전하고 \(\# \circ i_Y\)가 항등함자라는 사실을 사용하면 \[R^p f_* \mathcal{F} = R^p(\# \circ i_Y \circ f_*)\mathcal{F} = (R^p (i_Y \circ f_*)\mathcal{F})^\#\] 을 얻는다. 이것이 원하는 결과이다.

Mayer-Vietoris

아래에서 체흐-코호몰로지 스펙트럼열을 구성할 것이다. 보조정리 01ES를 보라. 그 스펙트럼열의 특수한 경우가 Mayer–Vietoris 긴 완전열이다. 이는 스펙트럼열의 매우 기본적이고 유용하며 이해하기 쉬운 변형이므로 여기서 따로 다룬다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고, \(U' \subset U \subset X\)를 열린 부분공간들이라 하자. 임의의 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대해 제한 사상 \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U')\)는 전사이다.

증명

\(j : U \to X\)와 \(j' : U' \to X\)를 열린 몰입들이라 하자. \(j_!\mathcal{O}_U\)는 \(\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_X|_U\)의 영에 의한 연장임을 상기하라. Sheaves, Section 009Z을 보라. \(j_!\)는 제한의 왼쪽 수반이므로 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{F}|_U) = \mathcal{F}(U)\] 이다. Sheaves, Lemma 00A7를 보라. 마찬가지로 층 \(j'_!\mathcal{O}_{U'}\)는 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U')\)를 표현한다. 또한 자명한 표준 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \[j'_!\mathcal{O}_{U'} \longrightarrow j_!\mathcal{O}_U\] 이 있는데, 이는 Yoneda 보조정리(Categories, Lemma 001P)를 통해 제한 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\)에 대응한다. 층 \(j'_!\mathcal{O}_{U'}\), \(j_!\mathcal{O}_U\)의 줄기에 대한 설명으로부터 위에 표시한 사상이 단사임을 알 수 있다(위에서 인용한 보조정리 참조). 따라서 \(\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 사상 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{I}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(j'_!\mathcal{O}_{U'}, \mathcal{I})\] 은 전사이다. Homology, Lemma 0136를 보라. 이들을 모두 합치면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분집합의 합집합이라고 가정하자. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 코호몰로지 긴 완전열 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] 이 존재한다. 이 긴 완전열은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다.

증명

층 조건에 따르면 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \((1, -1) : \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U \cap V)\) 의 핵은 첫 번째 사상에 의한 \(\mathcal{F}(X)\)의 상과 같다. 위 보조정리 01EA에 따르면 사상 \((1, -1) : \mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) 은 \(\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 때마다 전사이다. 따라서 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)이 \(\mathcal{F}\)의 단사 분해이면 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0.\] 을 얻는다. 코호몰로지를 취하면 결과를 얻는다(Homology, Lemma 0117를 사용하라). 이 열의 함자성에 대한 증명은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분집합의 합집합이라고 가정하자. \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\), 그리고 \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\)로 쓰자. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 긴 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1f_*\mathcal{F} \to \ldots\] 이 존재한다. 이 긴 완전열은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 \(\mathcal{F}\)의 단사 분해라 하자. 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] 을 얻는다고 주장한다. 실제로 임의의 열린집합 \(W \subset Y\)와 임의의 \(n \geq 0\)에 대해 이에 대응하는 \(W\) 위의 절단군의 열 \[0 \to \mathcal{I}^n(f^{-1}(W)) \to \mathcal{I}^n(U \cap f^{-1}(W)) \oplus \mathcal{I}^n(V \cap f^{-1}(W)) \to \mathcal{I}^n(U \cap V \cap f^{-1}(W)) \to 0\] 이 짧은 완전열임은 보조정리 01EB의 증명에서 보였다. 코호몰로지층을 취하고 \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)가 \(\mathcal{F}|_U\)의 단사 분해이며 \(\mathcal{I}^\bullet|_V\)와 \(\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V}\)에 대해서도 마찬가지라는 사실을 사용하면 보조정리가 따른다. 보조정리 01E1을 보라.

체흐 복합체와 체흐 코호몰로지

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. Topology, Basic notion (004K)을 보라. 관례에 따라 \(\mathcal{U}\)의 원소들의 \((p + 1)\)중 교집합을 \(U_{i_0\ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\)로 나타낸다. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{(i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}} \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] 이는 아벨군이다. \(s \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에 대해 \(\mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p})\)에서의 그 값을 \(s_{i_0\ldots i_p}\)로 나타낸다. \(s \in \check{\mathcal{C}}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)이고 \(i, j \in I\)이면 \(s_{ij}\)와 \(s_{ji}\)는 모두 \(\mathcal{F}(U_i \cap U_j)\)의 원소이지만, \(s_{ij}\)와 \(s_{ji}\) 사이에는 아무 관계도 부과하지 않음에 유의하자. 다시 말해 우리는 교대 코체인을 다루는 것이 아니다(이는 Section 01FG에서 정의한다). 다음을 정의한다. \[d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 그 공식은 다음과 같다. [01EE]\[\begin{equation} d(s)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}|_{U_{i_0\ldots i_{p + 1}}} \end{equation}\] \(d \circ d = 0\)임은 곧바로 알 수 있다. 다시 말해 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체이다.

정의

\(X\)를 위상공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\)와 열린 덮개 \(\mathcal{U}\)에 결부된 체흐 복합체라고 한다. 그 코호몰로지군 \(H^i(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}))\)를 \(\mathcal{F}\)와 덮개 \(\mathcal{U}\)에 결부된 체흐 코호몰로지군이라고 하며 \(\check H^i(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)로 나타낸다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 아벨 층이다.

2. 모든 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)에 대해 자연스러운 사상 \[\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 전단사이다.

증명

층 조건은 정확히 모든 열린 덮개에 대해 \(\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)가 전단사라는 조건이므로 성립한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 어떤 \(i \in I\)에 대해 \(U_i = U\)이면, \(\mathcal{F}(U)\)를 차수 \(-1\)에 두고 \(\mathcal{F}(U)\)에서 \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)로 가는 표준 사상을 미분으로 삼아 얻는 확대 체흐 복합체 \[\mathcal{F}(U) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 는 \(0\)과 호모토피 동치이다.

증명

\(U = U_i\)인 원소 \(i \in I\)를 고정하자. \(i_j = i\)이면 \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}\)임에 유의하자. 호모토피 \[h : \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}) \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\] 를 다음 규칙으로 정의한다. \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i i_0 \ldots i_p}\] 다시 말해 \(h : \prod_{i_0} \mathcal{F}(U_{i_0}) \to \mathcal{F}(U)\)는 인자 \(\mathcal{F}(U_i) = \mathcal{F}(U)\)로의 사영이고, 일반적으로 사상 \(h\)는 인자 \(\mathcal{F}(U_{i i_1 \ldots i_{p + 1}}) = \mathcal{F}(U_{i_1 \ldots i_{p + 1}})\)들로의 사영과 같다. 다음을 계산한다. \[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 이로써 항등 사상이 영 사상과 호모토픽임이 증명되고, 원하는 결론을 얻는다.

준층 위의 함자로서의 체흐 코호몰로지

경고: 이 절에서는 거의 전적으로 준층과 준층의 범주를 다룬다. 여기의 결과들은 층과 층의 범주라는 설정에서는 완전히 틀린다!

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 아벨군의 준층으로 보기만 하면 \(\mathcal{F}\)의 체흐 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 를 얻는다. 그러나 각 항 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에는 자연스러운 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군 구조가 있고, 미분은 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군 사상들로 주어진다. 또한 구성 \[\mathcal{F} \longmapsto \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적임이 분명하다. 실제로 이는 함자 [01EI]\[\begin{equation} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}) \end{equation}\] 이다. 표기는 Derived Categories, Definition 013H을 보라. 아벨 범주에서 아래로 유계인 복합체들의 범주는 아벨 범주임을 상기하라. Homology, Lemma 0114을 보라.

보조정리

Equation (01EI)으로 주어진 함자는 완전함자이다 (Homology, Lemma 010N 참조).

증명

임의의 열린집합 \(W \subset U\)에 대해 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\)는 \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)에서 \(\text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}\)로 가는 가법 완전함자이다. 복합체의 항 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 이러한 완전함자들의 곱이므로 완전하다. 또한 복합체의 열이 완전일 필요충분조건은 각 차수에서 항들의 열이 완전인 것이다. 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 함자들 \(\mathcal{F} \mapsto \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준층들로 이루어진 아벨 범주에서 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군의 범주로 가는 \(\delta\)-함자를 이룬다(Homology, Definition 010Q 참조).

증명

Lemma 01EJ에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준층들의 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 은 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군 복합체들의 짧은 완전열로 보내진다. 따라서 Homology, Lemma 0117을 사용하여 경계 사상 \(\delta_{\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3} : \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3) \to \check{H}^{n + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1)\) 과 이에 대응하는 긴 완전열을 얻는다. 이 사상들이 준층들의 짧은 완전열 사이의 사상들과 양립한다는 확인은 생략한다.

다음 보조정리의 서술에서는 열린 몰입 \(j : U \to X\)에 상대적인 가군 준층의 \(0\)에 의한 연장 함자 \(j_{p!}\)를 사용한다. Sheaves, Section 009Z을 보라. 임의의 열린집합 \(W \subset X\)와 임의의 \(\mathcal{O}_X|_U\)-가군 준층 \(\mathcal{G}\)에 대해 \[(j_{p!}\mathcal{G})(W) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{G}(W) & \text{if } W \subset U \\ 0 & \text{else.} \end{matrix} \right.\] 이다. 또한 함자 \(j_{p!}\)는 제한 함자의 왼쪽 수반이다. Sheaves, Lemma 00A7를 보라. 특히 다음 공식을 얻는다. \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(j_{p!}\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{F}|_U) = \mathcal{F}(U).\] 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\)는 준층의 범주에서 완전함자이므로, 준층 \(j_{p!}\mathcal{O}_U\)가 범주 \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)의 사영 대상임을 알 수 있다. Homology, Lemma 013C를 보라.

결부된 열린 몰입이 \(j_U, j_V\)인 열린 부분집합 \(U \subset V \subset X\)가 주어지면 표준 사상 \((j_U)_{p!}\mathcal{O}_U \to (j_V)_{p!}\mathcal{O}_V\)가 있다. 이는 임의의 열린집합 \(W \subset U\) 위의 절단에서는 항등이고 그 밖에서는 \(0\)이다. 식별 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}((j_U)_{p!}\mathcal{O}_U, (j_V)_{p!}\mathcal{O}_V) = (j_V)_{p!}\mathcal{O}_V(U) = \mathcal{O}_V(U)\) 아래에서 이는 원소 \(1 \in \mathcal{O}_V(U)\)에 대응함에 유의하자.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 열린 몰입을 \(j_{i_0\ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\)로 나타내자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준층들로 이루어진 사슬 복합체 \(K(\mathcal{U})_\bullet\) \[\ldots \to \bigoplus_{i_0i_1i_2} (j_{i_0i_1i_2})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0i_1i_2}} \to \bigoplus_{i_0i_1} (j_{i_0i_1})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0i_1}} \to \bigoplus_{i_0} (j_{i_0})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0}} \to 0 \to \ldots\] 를 생각하자. 여기서 마지막 영이 아닌 항은 차수 \(0\)에 놓이고, 사상 \[(j_{i_0\ldots i_{p + 1}})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0\ldots i_{p + 1}}} \longrightarrow (j_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}})_{p!} \mathcal{O}_{U_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}}\] 은 표준 사상의 \((-1)^j\)배로 주어진다. 그러면 동형 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(K(\mathcal{U})_\bullet, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X))\)에 대해 함자적이다.

증명

보조정리 바로 위의 논의에서 다음을 보았다. \[\Hom_{\mathcal{O}_X}( (j_{i_0\ldots i_p})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0\ldots i_p}}, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] 따라서 실제로 직합 \[\bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} (j_{i_0 \ldots i_p})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0 \ldots i_p}}\] 은 함자 \[\mathcal{F} \longmapsto \prod\nolimits_{i_0\ldots i_p} \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] 를 표현함을 알 수 있다. 따라서 Categories, Yoneda Lemma 001P에 의해 주어진 항들을 갖는 복합체 \(K(\mathcal{U})_\bullet\)가 있음을 알 수 있다. 사상들이 보조정리에 주어진 것과 같다는 것은 쉽게 확인된다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{O}_\mathcal{U} \subset \mathcal{O}_X\)를 사상 \(\bigoplus j_{p!}\mathcal{O}_{U_i} \to \mathcal{O}_X\)의 상 준층이라 하자. 위 보조정리 01EL의 준층 사슬 복합체 \(K(\mathcal{U})_\bullet\)의 호몰로지 준층은 다음과 같다. \[H_i(K(\mathcal{U})_\bullet) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i \not = 0 \\ \mathcal{O}_\mathcal{U} & \text{if} & i = 0 \end{matrix} \right.\]

증명

자명한 사상 \(K(\mathcal{U})_0 = \bigoplus_{i_0} (j_{i_0})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0}} \to \mathcal{O}_\mathcal{U}\)와 함께 \(\mathcal{O}_\mathcal{U}\)를 차수 \(-1\)에 놓아 얻는 확대 복합체 \(K^{ext}_\bullet\)를 생각하자. 임의의 열린집합 \(W \subset X\) 위에서 이 확대 복합체의 절단을 취한 것이 비순환 복합체임을 보이면 충분하다. 실제로 모든 \(W \subset X\)에 대해 복합체 \(K^{ext}_\bullet(W)\)가 영 복합체와 호모토피 동치라고 주장한다. \(W \subset U_i\)일 필요충분조건이 \(i \in I_1\)이 되도록 \(I = I_1 \amalg I_2\)로 쓰자.

\(I_1 = \emptyset\)이면 복합체 \(K^{ext}_\bullet(W) = 0\)이므로 증명할 것이 없다.

\(I_1 \not = \emptyset\)이면 \(\mathcal{O}_\mathcal{U}(W) = \mathcal{O}_X(W)\) 이고 \[K^{ext}_p(W) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p \in I_1} \mathcal{O}_X(W).\] 이다. 이는 준층 \((j_{i_0 \ldots i_p})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0 \ldots i_p}}\)에 대한 간단한 기술에서 따른다. 또한 복합체 \(K^{ext}_\bullet(W)\)의 미분은 다음과 같다. \[d(s)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, p + 1} \sum\nolimits_{i \in I_1} (-1)^j s_{i_0 \ldots i_{j - 1} i i_j \ldots i_p}.\] 원소 \(s\)의 지지가 유한하므로 이 합은 유한하다. 원소 \(i_{\text{fix}} \in I_1\)을 고정하자. 사상 \[h : K^{ext}_p(W) \longrightarrow K^{ext}_{p + 1}(W)\] 를 다음 규칙으로 정의한다. \[h(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i_0 \not = i_{\text{fix}} \\ s_{i_1 \ldots i_{p + 1}} & \text{if} & i_0 = i_{\text{fix}} \end{matrix} \right.\] 이를 줄여서 \(h(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = (i_0 = i_{\text{fix}}) s_{i_1 \ldots i_p}\) 로 쓸 것이다. 그러면 다음을 계산한다. \[\begin{eqnarray*} & & (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} \\ & = & \sum_j \sum_{i \in I_1} (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots i_{j - 1} i i_j \ldots i_p} + (i = i_0) d(s)_{i_1 \ldots i_p} \\ & = & s_{i_0 \ldots i_p} + \sum_{j \geq 1}\sum_{i \in I_1} (-1)^j (i_0 = i_{\text{fix}}) s_{i_1 \ldots i_{j - 1} i i_j \ldots i_p} + (i_0 = i_{\text{fix}}) d(s)_{i_1 \ldots i_p} \end{eqnarray*}\] 이는 원하는 대로 \(s_{i_0 \ldots i_p}\)와 같다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 \(U \subset X\)의 열린 덮개라 하자. 체흐 코호몰로지 함자 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\)들은 하나의 \(\delta\)-함자로서 다음 함자의 오른쪽 유도함자들과 표준적으로 동형이다. \[\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}.\] 또한 함자적 유사동형 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow R\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 있다. 여기서 오른쪽은 왼쪽 완전함자 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)의 오른쪽 유도함자 \[R\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : D^{+}(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\] 를 나타낸다.

증명

\(\mathcal{O}_X\)-가군 준층의 범주에는 단사가 충분히 있다. Injectives, Proposition 01DV를 보라. 또한 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준층의 범주에서 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군의 범주로 가는 왼쪽 완전함자이다. 따라서 유도함자와 오른쪽 유도함자가 존재한다. Derived Categories, Section 0156을 보라.

\(\mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준층이라 하자. 이 경우 함자 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(-, \mathcal{I})\)는 \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)에서 완전하다. Lemma 01EL에 의해 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(K(\mathcal{U})_\bullet, \mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] 이다. Lemma 01EM에 의해 \(K(\mathcal{U})_\bullet\)는 \(\mathcal{O}_\mathcal{U}[0]\)과 유사동형이다. 따라서 위에서 언급한 \(\mathcal{I}\)로 들어가는 Hom의 완전성으로부터 모든 \(i > 0\)에 대해 \(\check{H}^i(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(\delta\)-함자 \((\check{H}^n, \delta)\)(Lemma 01EK 참조)는 Homology, Lemma 010T의 가정을 만족하며, 따라서 보편 \(\delta\)-함자이다.

Derived Categories, Lemma 015B에 의해 열 \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)도 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다. 보편 \(\delta\)-함자의 유일성(Homology, Lemma 010U 참조)에 의해 \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -) = \check{H}^i(\mathcal{U}, -)\)를 얻는다. 이는 대부분의 응용에 충분하므로 독자는 증명의 나머지를 건너뛰어도 좋다.

\(\mathcal{F}\)를 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준층이라 하자. 범주 \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)에서 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 항들이 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)인 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\)와 결부된 전체 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\)를 생각하자. Homology, Definition 012Z을 보라. 사상들 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^0)\)에서 오는 복합체의 사상 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 이 있고, 사상들 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)에서 오는 복합체의 사상 \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 도 있다. Homology, Lemma 0133을 적용하면 이 두 사상은 모두 유사동형이다. 실제로 함자로서의 체흐 복합체가 완전하므로(Lemma 01EJ) 이중 복합체의 열들은 양의 차수에서 완전하고, 방금 본 바와 같이 단사 준층 \(\mathcal{I}^q\)의 고차 체흐 코호몰로지군들이 영이므로 이중 복합체의 행들도 양의 차수에서 완전하다. 유사동형은 \(D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\)에서 가역이 되므로 보조정리의 마지막에 표시한 사상을 얻는다. 이 사상이 함자적이라는 확인은 생략한다.

체흐 코호몰로지와 코호몰로지

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(U) & \text{if} & p = 0 \\ 0 & \text{if} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

증명

단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 범주 \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서도 단사이다(예를 들어 층화가 포함 함자의 완전한 왼쪽 수반이기 때문이다. Homology, Lemma 015Z를 사용하라). 따라서 Lemma 01EN(또는 그 증명)를 적용하면 결과를 알 수 있다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 함자들 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\) 사이의 변환 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) \longrightarrow R\Gamma(U, -)\] 이 있다. 특히 \(\mathcal{F}\)가 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)를 달릴 때 이는 표준 사상 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^p(U, \mathcal{F})\)를 준다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 항들이 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)인 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\)를 생각하자. 사상들 \(\mathcal{I}^q(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)에서 오는 복합체의 사상 \[\alpha : \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 과 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^0\)에서 오는 복합체의 사상 \[\beta : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 이 있다. Homology, Lemma 0133을 적용하면 \(\alpha\)가 유사동형임을 알 수 있다. 실제로 Lemma 01EP에 의해 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\)의 \(q\)번째 행은 \(\Gamma(U, \mathcal{I}^q)\)의 분해이다. 따라서 \(\alpha\)는 \(D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\)에서 가역이 되고, 보조정리의 변환은 \(\beta\)에 \(\alpha\)의 역을 뒤이어 합성한 것이다. 이것이 함자적이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간, \(\mathcal{H}\)를 \(X\) 위의 아벨 층, \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 사상 \[\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{H})\] 은 단사이며, Lemma 02FQ의 전단사를 통해 \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{H})\)를 각 \(U_i\) 위로 제한했을 때 자명한 토서가 되는 \(\mathcal{H}\)-토서들의 동형류 집합과 식별한다.

증명

이를 보이기 위해 역 사상을 구성한다. 즉, \(\mathcal{F}\)를 각 \(U_i\)로의 제한이 자명한 \(\mathcal{H}\)-토서라 하자. Lemma 02FP에 의해 이는 절단 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)가 존재한다는 뜻이다. \(U_{i_0} \cap U_{i_1}\) 위에는 다음을 만족하는 \(\mathcal{H}\)의 유일한 절단 \(s_{i_0i_1}\)이 있다. \(s_{i_0i_1} \cdot s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} = s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}}\). 계산하면 \(s_{i_0i_1}\)이 체흐 코사이클이고 그 류가 잘 정의됨을 알 수 있다(즉, 절단 \(s_i\)의 선택에 의존하지 않는다). 역 사상은 \(\mathcal{F}\)의 동형류를 코사이클 \((s_{i_0i_1})\)의 코호몰로지류로 보낸다. 이 사상이 실제로 역이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. 함자 \(i : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\)를 생각하자. 이는 왼쪽 완전함자이고 그 오른쪽 유도함자는 다음과 같다. \[R^pi(\mathcal{F}) = \underline{H}^p(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^p(U, \mathcal{F})\] Section 01E0의 논의를 보라.

증명

\(i\)가 왼쪽 완전임은 분명하다. 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 정의에 따라 \(R^pi\)는 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)의 \(p\)번째 코호몰로지 준층이다. 다시 말해 열린집합 \(U\) 위에서 \(R^pi(\mathcal{F})\)의 절단은 다음과 같다. \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^p(U) \to \mathcal{I}^{p + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{p - 1}(U) \to \mathcal{I}^p(U))}.\] 이는 \(H^p(U, \mathcal{F})\)의 정의이다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 를 가지며 \(H^{p + q}(U, \mathcal{F})\)로 수렴하는 스펙트럼열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 있다. 이 스펙트럼열은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다.

증명

이는 함자들 \[i : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \quad\text{and}\quad \check{H}^0(\mathcal{U}, - ) : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}.\] 에 대한 Grothendieck 스펙트럼열이다(Derived Categories, Lemma 015N 참조). 실제로 Lemma 01EG에 의해 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, i(\mathcal{F})) = \mathcal{F}(U)\)이다. Lemma 01EP에 의해 \(i(\mathcal{I})\)는 체흐 비순환이다. 그리고 Lemma 01EN에 의해 \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\) 위의 함자로서 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -) = R^p\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)이다. 이들을 모두 합치면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 모든 \(i > 0\), 모든 \(p \geq 0\), 모든 \(i_0, \ldots, i_p \in I\)에 대해 \(H^i(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}) = 0\)이라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군으로서 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\)이다.

증명

Lemma 01ES의 스펙트럼열을 사용한다. 가정은 \(q \not = 0\)인 모든 \((p, q)\)에 대해 \(E_2^{p, q} = 0\)이라는 뜻이다. 따라서 스펙트럼열은 \(E_2\)에서 퇴화하고 결과가 따른다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] 을 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분집합이라 하자. \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)을 만족하는 \(U\)의 열린 덮개 \(\mathcal{U}\)들의 공종계가 존재하면 사상 \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\)는 전사이다.

증명

원소 \(s \in \mathcal{H}(U)\)를 택하자. (a) \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이고 (b) \(s|_{U_i}\)가 어떤 절단 \(s_i \in \mathcal{G}(U_i)\)의 상이 되도록 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하자. (b)를 만족하는 \(\mathcal{U}\)는 확실히 찾을 수 있으므로, 보조정리의 가정에 의해 (a)와 (b)를 모두 만족하는 \(\mathcal{U}\)를 찾을 수 있다. 절단들 \[s_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} - s_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}.\] 을 생각하자. \(s_i\)가 \(s\)의 올림이므로 \(s_{i_0i_1} \in \mathcal{F}(U_{i_0i_1})\)임을 알 수 있다. \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)가 영이므로 다음을 만족하는 절단 \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\)들을 찾을 수 있다. \[s_{i_0i_1} = t_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} - t_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}.\] 그러면 절단들 \(s_i - t_i\)는 분명 층 조건을 만족하며 서로 붙어서 \(s\)로 가는 \(U\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 절단이 된다. 따라서 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 다음을 만족하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\] 이는 \(X\)의 열린 부분집합에 대한 임의의 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 임의의 열린집합 \(U \subset X\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 보조정리의 가정을 만족하는 층이라 하자. 이를 “\(\mathcal{F}\)의 고차 체흐 코호몰로지는 임의의 열린 덮개에 대해 영이다”라고 말하겠다. \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 가는 매입으로 택하자. Lemma 01EP에 의해 \(\mathcal{I}\)의 고차 체흐 코호몰로지는 임의의 열린 덮개에 대해 영이다. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\)로 놓으면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0.\] 을 얻는다. Lemma 01EU과 우리의 가정에 의해 이 열은 실제로 준층의 열로서 완전하다! 특히 임의의 열린 덮개 \(\mathcal{U}\)에 대해 체흐 코호몰로지군의 긴 완전열을 얻는다. 예를 들어 Lemma 01EK를 보라. 이로부터 \(\mathcal{Q}\)도 모든 열린 덮개에 대해 고차 체흐 코호몰로지가 영인 \(\mathcal{O}_X\)-가군임을 알 수 있다.

이제 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대한 코호몰로지 긴 완전열 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & H^1(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] 을 살펴보자. \(\mathcal{I}\)가 단사이므로 \(n > 0\)에 대해 \(H^n(U, \mathcal{I}) = 0\)이다(Derived Categories, Lemma 015B 참조). 위에서 \(H^0(U, \mathcal{I}) \to H^0(U, \mathcal{Q})\)가 전사임을 보았으므로 \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\)이다. \(\mathcal{F}\)는 고차 체흐 코호몰로지가 영인 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군이었고 \(\mathcal{Q}\)도 그러한 층이므로 (위 참조) \(H^1(U, \mathcal{Q}) = 0\)도 얻는다. 그러면 긴 완전열에 의해 \(H^2(U, \mathcal{F}) = 0\)이 따른다. 같은 과정을 계속한다.

보조정리

(Lemma 01EV의 변형.) \(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상에 대한 기저, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 성질을 갖는 열린 덮개들의 집합 \(\text{Cov}\)가 존재한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)인 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 \(U, U_i \in \mathcal{B}\)이고 모든 \(U_{i_0 \ldots i_p} \in \mathcal{B}\)이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\text{Cov}\)에 나타나는 \(U\)의 열린 덮개들은 \(U\)의 열린 덮개들의 공종계를 이룬다.

3. 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이다.

그러면 모든 \(p > 0\)과 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

\(\mathcal{F}\)와 \(\text{Cov}\)가 보조정리에서와 같다고 하자. 이를 “\(\mathcal{F}\)의 고차 체흐 코호몰로지는 임의의 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 영이다”라고 말하겠다. \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 가는 매입으로 택하자. Lemma 01EP에 의해 \(\mathcal{I}\)의 고차 체흐 코호몰로지는 임의의 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 영이다. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\)로 놓으면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0.\] 을 얻는다. Lemma 01EU과 가정 (2)에 의해 이 열은 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{Q}(U) \to 0.\] 을 낳는다. 따라서 임의의 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 체흐 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{Q}) \to 0\] 을 얻는다. 가정 (1)에 의해 체흐 복합체의 각 항은 \(\mathcal{B}\)의 원소들 위에서 취한 값들의 곱으로 이루어지기 때문이다. 특히 임의의 열린 덮개 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 체흐 코호몰로지군들의 긴 완전열을 얻는다. 이로부터 \(\mathcal{Q}\)도 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 고차 체흐 코호몰로지가 영인 \(\mathcal{O}_X\)-가군임을 알 수 있다.

이제 임의의 \(U \in \mathcal{B}\)에 대한 코호몰로지 긴 완전열 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & H^1(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] 을 살펴보자. \(\mathcal{I}\)가 단사이므로 \(n > 0\)에 대해 \(H^n(U, \mathcal{I}) = 0\)이다(Derived Categories, Lemma 015B 참조). 위에서 \(H^0(U, \mathcal{I}) \to H^0(U, \mathcal{Q})\)가 전사임을 보았으므로 \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\)이다. \(\mathcal{F}\)는 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 고차 체흐 코호몰로지가 영인 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군이었고 \(\mathcal{Q}\)도 그러한 층이므로(위 참조) \(H^1(U, \mathcal{Q}) = 0\)도 얻는다. 그러면 긴 완전열에 의해 \(H^2(U, \mathcal{F}) = 0\)이 따른다. 같은 과정을 계속한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\check{H}^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = 0\) 은 모든 \(p > 0\)과 \(Y\)의 임의의 열린 덮개 \(\mathcal{V} : V = \bigcup_{j \in J} V_j\)에 대해 성립한다.

2. \(H^p(V, f_*\mathcal{I}) = 0\)은 모든 \(p > 0\)과 모든 열린집합 \(V \subset Y\)에 대해 성립한다.

다시 말해 임의의 열린집합 \(V \subset Y\)에 대해 \(f_*\mathcal{I}\)는 \(\Gamma(V, -)\)에 대해 오른쪽 비순환이다(Derived Categories, Definition 0157 참조).

증명

\(\mathcal{U} : f^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j)\)로 놓자. 이는 \(X\)의 열린 덮개이고 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] 이다. 실제로 \[f_*\mathcal{I}(V_{j_0 \ldots j_p}) = \mathcal{I}(f^{-1}(V_{j_0 \ldots j_p})) = \mathcal{I}(f^{-1}(V_{j_0}) \cap \ldots \cap f^{-1}(V_{j_p})) = \mathcal{I}(U_{j_0 \ldots j_p}).\] 이기 때문이다. 따라서 보조정리의 첫째 명제는 Lemma 01EP에서 따른다. 둘째 명제는 첫째 명제와 Lemma 01EV에서 따른다.

다음 보조정리는 특히 \(f_* : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Y)\)가 단사 아벨 층을 단사 아벨 층으로 보냄을 함의한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고 \(f\)가 평탄하다고 가정하자. 그러면 임의의 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대해 \(f_*\mathcal{I}\)는 단사 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

증명

이 경우 함자 \(f^*\)는 단사 사상을 단사 사상으로 보낸다(Modules, Lemma 02N4). 따라서 결과는 Homology, Lemma 015Z에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간, \(I\)를 집합이라 하자. 각 \(i \in I\)에 대해 \(\mathcal{F}_i\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 열린집합이라 하자. 표준 사상 \[H^p(U, \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} H^p(U, \mathcal{F}_i)\] 은 \(p = 0\)일 때 동형이고 \(p = 1\)일 때 단사이다.

증명

\(p = 0\)에 대한 명제는 층들의 곱이 밑에 놓인 준층들의 곱과 같기 때문에 성립한다. Sheaves, Section 009E를 보라. \(p = 1\)인 경우를 증명하자. \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\)로 놓자. \(\xi \in H^1(U, \mathcal{F})\)가 \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\)에서 영으로 간다고 하자. 코호몰로지의 국소성(Lemma 01E3 참조)에 의해 모든 \(j\)에 대해 \(\xi|_{U_j} = 0\)이 되도록 하는 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_j\)가 존재한다. Lemma 0B8R에 의해 이는 \(\xi\)가 어떤 원소 \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에서 온다는 뜻이다. 모든 \(i\)에 대해 사상 \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i) \to H^1(U, \mathcal{F}_i)\) 은 단사이고(Lemma 0B8R에 의해), \(\xi\)의 상은 \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\)에서 영이므로 그 상 \(\check \xi_i = 0\)은 \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\)에서 영이다. 한편 \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\)이므로 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체들 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\)의 곱이다. 따라서 Homology, Lemma 060K에 의해 원하는 대로 \(\check \xi = 0\)을 얻는다.

플라스크 층

정의는 다음과 같다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)가 플라스크 또는 플래비라는 것은 \(X\)의 모든 열린집합 \(U \subset V\)에 대해 제한 사상 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)\)가 전사라는 뜻이다.

\(X\)가 환 달린 공간일 때 아벨 층과 가군층에도 이 용어를 사용할 것이다. 분명 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 제한 사상 \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U)\)가 전사라고 가정하는 것으로 충분하다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 그러면 모든 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 플라스크이다.

증명

이는 Lemma 01EA를 다시 서술한 것이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 모든 플라스크 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 \(R\Gamma(X, -)\)에 대해 비순환이며, \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대해 \(R\Gamma(U, -)\)에 대해서도 비순환이다.

증명

Derived Categories, Lemma 05T8를 사용하여 증명한다. 모든 단사 가군은 플라스크이므로 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군을 플라스크 가군에 매입할 수 있다. Injectives, Lemma 01DG를 보라. 따라서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] 이 주어지고 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 플라스크이면 \(\mathcal{H}\)도 플라스크이고, \(X\)의 임의의 열린집합 위에서 절단을 취한 뒤에도 이 열이 짧은 완전열임을 보이면 충분하다. 실제로 둘째 명제가 첫째를 함의한다. \(U \subset X\)를 열린 부분공간, \(s \in \mathcal{H}(U)\)라 하자. \(s\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 절단으로 올릴 수 있음을 보이겠다. 이를 위해 쌍 \((V, t)\)들의 집합 \(T\)를 생각하자. 여기서 \(V \subset U\)는 열려 있고, \(t \in \mathcal{G}(V)\)는 \(\mathcal{H}\)에서 \(s|_V\)로 가는 절단이다. \(V \subset V'\)이고 \(t'|_V = t\)일 필요충분조건으로 \((V, t) \leq (V', t')\)를 정하여 \(T\)에 부분순서를 준다. \((V_\alpha, t_\alpha)\), \(\alpha \in A\)가 \(T\)의 전순서 부분집합이면 \(V = \bigcup V_\alpha\)는 열려 있고, \(\mathcal{G}\)의 층 조건에 의해 각 \(V_\alpha\) 위에서 \(t_\alpha\)로 제한되는 유일한 절단 \(t \in \mathcal{G}(V)\)가 있다. 따라서 Zorn 보조정리에 의해 \(T\)에는 극대 원소 \((V, t)\)가 존재한다. \(V = U\)임을 보여 증명을 끝내자. 임의의 \(x \in U\)를 택하자. \(x\)의 작은 열린 근방 \(W \subset U\)와 \(\mathcal{H}\)에서 \(s|_W\)로 가는 \(t' \in \mathcal{G}(W)\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(t'|_{W \cap V} - t|_{W \cap V}\)는 \(\mathcal{H}\)에서 영으로 가므로 어떤 절단 \(r' \in \mathcal{F}(W \cap V)\)에서 온다. \(\mathcal{F}\)가 플라스크이므로 \(W \cap V\) 위에서 \(r'\)로 제한되는 절단 \(r \in \mathcal{F}(W)\)를 찾을 수 있다. \(t'\)를 \(r\)의 상만큼 바꾸면 \(t\)와 \(t'\)가 \(W \cap V\) 위에서 같은 절단으로 제한된다고 가정할 수 있다. \(\mathcal{G}\)의 층 조건에 의해 \(t\)와 \(t'\)로 제한되는 \(W \cup V\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 절단 \(\tilde t\)를 찾을 수 있다. \((V, t)\)의 극대성에 의해 \(V \cup W = V\)이다. 따라서 \(x \in V\)이고 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 플라스크 준층에 대해서는 성립하지 않는다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층, \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)가 플라스크이면 \(p > 0\)에 대해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

Lemma 01ES의 서술에 사용된 준층 \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\)는 Lemma 09SY에 의해 영이다. 따라서 다시 Lemma 09SY에 의해 \(\check{H}^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 플라스크이면 \(p > 0\)에 대해 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이다.

증명

Lemma 01E4와 Lemma 09SY에서 즉시 따른다.

다음 보조정리는 유한 덮개에 대해서는 초보적인 귀납 논증으로 증명할 수 있다. [FOAG]의 체흐 코호몰로지에 대한 논의와 비교하라.

보조정리

\(X\)를 위상공간, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층, \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(U'\)가 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 꼴의 열린집합들의 임의의 합집합일 때 제한 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\)가 전사라고 가정하자. 그러면 \(p > 0\)에 대해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 영이다.

증명

\(Y\)를 \(I\)의 공집합이 아닌 부분집합들의 집합이라 하자. 문자 \(A, B, C, \ldots\)로 \(Y\)의 원소, 즉 \(I\)의 공집합이 아닌 부분집합을 나타낼 것이다. 유한하고 공집합이 아닌 부분집합 \(J \subset I\)에 대해 \[V_J = \{A \in Y \mid J \subset A\}\] 로 놓자. 이는 \(V_{\{i\}} = \{A \in Y \mid i \in A\}\)이고 \(V_J = \bigcap_{j \in J} V_{\{j\}}\)라는 뜻이다. 이때 \(V_J \subset V_K\)일 필요충분조건은 \(J \supset K\)이다. 부분집합들 \(V_J\)의 모임이 \(Y\)의 위상에 대한 기저가 되게 하는 \(Y\) 위의 위상은 유일하다. 모든 열린집합은 어떤 유한 부분집합들의 족 \(J_t\)에 대해 \[V = \bigcup\nolimits_{t \in T} V_{J_t}\] 꼴이다. \(J_t \subset J_{t'}\)이면 \(V\)를 바꾸지 않고 족에서 \(J_{t'}\)를 제거할 수 있다. 따라서 \(J_t\)들 사이에 포함관계가 없다고 가정할 수 있다. 이 경우 \(V\)의 극소 원소는 집합들 \(A = J_t\)이다. 그러므로 열린집합 \(V\)에서 족 \((J_t)_{t \in T}\)를 읽어낼 수 있다.

\(Y\)의 열린 덮개들을 완전히 이해할 수 있다. 먼저 \(A \in Y\)의 원소들이 \(I\)의 공집합이 아닌 부분집합이므로 \[Y = \bigcup\nolimits_{i \in I} V_{\{i\}}\] 이다. 다른 덮개들을 이해하기 위해 \(V\)가 위와 같고 \(V_s \subset Y\)가 족 \((J_{s, t})_{t \in T_s}\)에 대응하는 열린집합이라고 하자. 그러면 \[V = \bigcup\nolimits_{s \in S} V_s\] 일 필요충분조건은 각 \(t \in T\)에 대해 \(J_t = J_{s, t_s}\)가 되도록 하는 \(s \in S\)와 \(t_s \in T_s\)가 존재하는 것이다. 실제로 족 \((J_t)_{t \in T}\)가 극소이므로 극소 원소 \(A = J_t\)는 어떤 \(s\)에 대해 \(V_s\)에 속해야 하고, 따라서 어떤 \(t_s \in T_s\)에 대해 \(A \in V_{J_{t_s}}\)이다. 그런데 \(A\)는 \(V_s\)에서도 극소이므로 \(J_{t_s} = J_t\)를 얻는다.

이제 \(Y\)의 열린집합들의 집합을 \(X\)의 열린집합들로 보낸다. 구체적으로 \(Y\)를 \(U\)로 보내고, 열린집합 \(V_J\)에는 규칙 \[V_J \mapsto U_J = \bigcap\nolimits_{i \in J} U_i\] 을 사용하며, 임의의 열린집합 \(V\)에는 규칙 \[V = \bigcup\nolimits_{t \in T} V_{J_t} \mapsto \bigcup\nolimits_{t \in T} U_{J_t}\] 으로 확장한다. 위에서 얻은 \(Y\)의 열린 덮개 분류에 의해 이 규칙은 열린 덮개를 열린 덮개로 보낸다. 따라서 \(\mathcal{G}(Y) = \mathcal{F}(U)\)로 놓고, \(V = \bigcup\nolimits_{t \in T} V_{J_t}\)에 대해 \[\mathcal{G}(V) = \mathcal{F}\left(\bigcup\nolimits_{t \in T} U_{J_t}\right)\] 로 놓으며 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상들을 사용하면 \(Y\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{G}\)를 얻는다.

이 준비를 마쳤으므로 다음과 같이 보조정리를 증명할 수 있다. \(Y\)의 열린 덮개 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} V_{\{i\}}\)가 있다. 구성에 의해 체흐 복합체들의 등식 \[\check{C}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = \check{C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 을 얻는다. 층 \(\mathcal{G}\)는 \(Y\) 위에서 플라스크이므로(보조정리의 \(\mathcal{F}\)에 대한 가정에 의해), 영이 된다는 결론은 Lemma 09SZ에서 따른다.

Leray 스펙트럼열

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ D^{+}(X) \ar[rr]_-{R\Gamma(X, -)} \ar[d]_{Rf_*} & & D^{+}(\mathcal{O}_X(X)) \ar[d]^{\text{restriction}} \\ D^{+}(Y) \ar[rr]^-{R\Gamma(Y, -)} & & D^{+}(\mathcal{O}_Y(Y)) }\] 이 있다. 더 일반적으로 임의의 열린집합 \(V \subset Y\)와 \(U = f^{-1}(V)\)에 대해 가환 도식 \[\xymatrix{ D^{+}(X) \ar[rr]_-{R\Gamma(U, -)} \ar[d]_{Rf_*} & & D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) \ar[d]^{\text{restriction}} \\ D^{+}(Y) \ar[rr]^-{R\Gamma(V, -)} & & D^{+}(\mathcal{O}_Y(V)) }\] 이 있다. 더 자세한 설명은 Remark 01F0도 보라.

증명

\(\Gamma_{res} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_Y(Y)}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y(Y) \to \mathcal{O}_X(X)\)를 통해 \(\mathcal{O}_Y(Y)\)-가군으로 본 \(\mathcal{F}\)의 대역 절단을 대응시키는 함자라 하자. 또한 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y(Y) \to \mathcal{O}_X(X)\)가 유도하는 스칼라 제한 함자를 \(restriction : \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(X)} \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_Y(Y)}\)라 하자. \(restriction\)은 완전하므로 그 오른쪽 유도함자는 제한 함자를 그대로 적용하여 계산된다. Derived Categories, Lemma 015F를 보라. 분명 \[\Gamma_{res} = restriction \circ \Gamma(X, -) = \Gamma(Y, -) \circ f_*\] 이다. Derived Categories, Lemma 015M가 두 합성 모두에 적용된다고 주장한다. 첫째 합성에 대해서는 위의 설명으로 분명하다. 둘째 합성에 대해서는 Lemma 01EX에서 따르는데, 그 보조정리는 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군들이 \(Y\) 위의 \(\Gamma(Y, -)\)-비순환 층들로 보내짐을 함의한다.

주

Lemma 01EZ의 의미를 구체적으로 설명하자. 그 보조정리는 \(f : X \to Y\), \(\mathcal{F} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), 그리고 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)이 주어졌을 때 다음이 성립한다는 말이다. \[\begin{matrix} R\Gamma(X, \mathcal{F}) & \text{is represented by} & \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \\ Rf_*\mathcal{F} & \text{is represented by} & f_*\mathcal{I}^\bullet \\ R\Gamma(Y, Rf_*\mathcal{F}) & \text{is represented by} & \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{matrix}\] 마지막 사실은 Leray의 비순환성 보조정리(Derived Categories, Lemma 015E)와 Lemma 01EX에서 따른다. 마지막으로 이를 자명한 관찰 \[\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) = \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet).\] 과 결합하여 보조정리의 도식이 가환임을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 보아 계산한 코호몰로지군 \(H^i(U, \mathcal{F})\)와 아벨 층으로 보아 계산한 것은 같다.

2. \(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 보아 계산한 고차 직접상 \(R^if_*\mathcal{F}\)와 아벨 층으로 보아 계산한 것은 같다.

\(\mathcal{O}_X\)-가군의 아래로 유계인 복합체에 대해서도 비슷한 명제가 성립한다.

증명

밑에 놓인 위상공간에서는 항등이고 환의 층의 유일한 사상 \(\underline{\mathbf{Z}}_X \to \mathcal{O}_X\)로 주어지는 환 달린 공간의 사상 \((X, \mathcal{O}_X) \to (X, \underline{\mathbf{Z}}_X)\) 을 생각하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 같은 층을 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-가군, 즉 아벨군의 층으로 본 것을 \(\mathcal{F}_{ab}\)로 나타내자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 단사 분해라 하자. Remark 01F0에 의해 \(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)\)은 \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\)와 \(R\Gamma(X, \mathcal{F}_{ab})\)를 모두 계산한다. 이로써 (1)이 증명된다.

(2)를 증명하기 위해 (1)과 Lemma 01E4를 사용한다. 결과는 즉시 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상, \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 아래로 유계인 복합체라 하자. 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = H^p(Y, R^qf_*(\mathcal{F}^\bullet))\] 은 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F}^\bullet)\)로 수렴한다.

증명

이는 함자 합성 \(\Gamma_{res} = \Gamma(Y, -) \circ f_*\)에서 오는 Grothendieck 스펙트럼열(Derived Categories, Lemma 015N)일 뿐이다. 여기서 \(\Gamma_{res}\)는 Lemma 01EZ의 증명에서와 같다. Derived Categories, Lemma 015N의 가정이 만족됨을 보려면 Lemma 01EZ의 증명이나 Remark 01F0를 보라.

주

Lemma 01F2에서 증명한 방식에 따른 Leray 스펙트럼열은 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)-가군의 스펙트럼열이다. 그러나 실제로는 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-가군의 스펙트럼열임을 쉽게 알 수 있다. 예를 들어 \(f\)는 환 달린 공간의 사상 \(f' : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, f_*\mathcal{O}_X)\)을 낳는다. Lemma 01F1에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(f\)에 대한 Leray 스펙트럼열의 항 \(E_r^{p, q}\)는 적어도 \(r \geq 2\)에 대해 \(\mathcal{F}\)와 \(f'\)에 대한 항과 같다. 실제로 둘 다 \(\mathcal{F}\)를 아벨 층으로 보았을 때의 Leray 스펙트럼열의 항과 같다. 그리고 \((f_*\mathcal{O}_X)(Y) = \mathcal{O}_X(X)\)이므로 결과를 얻는다. Leray 스펙트럼열이 추가 구조를 지니는 경우가 흔히 있다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(q > 0\)에 대해 \(R^qf_*\mathcal{F} = 0\)이면 모든 \(p\)에 대해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(Y, f_*\mathcal{F})\)이다.

2. 모든 \(q\)와 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(Y, R^qf_*\mathcal{F}) = 0\)이면 모든 \(q\)에 대해 \(H^q(X, \mathcal{F}) = H^0(Y, R^qf_*\mathcal{F})\)이다.

증명

이는 Leray 스펙트럼열을 \(E_2\)에서 퇴화시키는 두 가지 간단한 조건이다. 이 사실들을 스펙트럼열을 사용하지 않고 직접 증명할 수도 있으며, 이는 층의 코호몰로지에 관한 좋은 연습문제이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 환 달린 공간의 사상들이라 하자. 이 경우 \(D^{+}(X) \to D^{+}(Z)\)인 함자로서 \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\)이다.

증명

Derived Categories, Lemma 015M를 적용한다. 분명 \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\)이다. Sheaves, Lemma 008E을 보라. 이제 \(f_*\mathcal{I}\)가 \(g_*\)-비순환임을 보이면 된다. 이는 Lemma 01EX와 Lemma 01E4의 고차 직접상 \(R^ig_*\)에 대한 기술에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 환 달린 공간의 사상들이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 갖는 스펙트럼열이 있다. \[E_2^{p, q} = R^pg_*(R^qf_*\mathcal{F})\] 이는 \(R^{p + q}(g \circ f)_*\mathcal{F}\)로 수렴한다. 이 스펙트럼열은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이며, \(\mathcal{O}_X\)-가군의 아래로 유계인 복합체에 대한 판도 있다.

증명

이는 함자 합성에 대한 Grothendieck 스펙트럼열이며, Lemma 01F5와 Derived Categories, Lemma 015N에서 따른다.

코호몰로지의 함자성

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)과 \(\mathcal{F}^\bullet\)을 각각 \(\mathcal{O}_Y\)-가군과 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 아래로 유계인 복합체라 하자. 복합체의 사상 \(\varphi : \mathcal{G}^\bullet \to f_*\mathcal{F}^\bullet\) 가 주어졌다고 하자. 그러면 \(D^{+}(Y)\)에 표준 사상 \[\mathcal{G}^\bullet \longrightarrow Rf_*(\mathcal{F}^\bullet)\] 이 존재한다. 더구나 이 구성은 삼중항 \((\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet, \varphi)\)에 대해 함자적이다.

증명

단사 분해 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 정의에 따라 \(Rf_*(\mathcal{F}^\bullet)\)은 \(K^{+}(\mathcal{O}_Y)\)에서 \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)로 표현된다. 합성 \[\mathcal{G}^\bullet \to f_*\mathcal{F}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\] 은 \(K^{+}(Y)\)의 사상이며, 국소화 함자 \(j_Y : K^{+}(Y) \to D^{+}(Y)\)를 적용하면 보조정리의 사상이 된다.

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G}\)에서 \(\mathcal{F}\)로 가는 \(f\)-사상 \(\varphi\)란 사상 \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\), 또는 이와 같은 말로 사상 \(\varphi : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)임을 상기하자. Sheaves, Definition 008J을 보라. 이러한 \(f\)-사상은 \(D^{+}(\mathcal{O}_Y(Y))\)에서 복합체의 사상 [01F9]\[\begin{equation} \varphi : R\Gamma(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}) \end{equation}\] 을 낳는다. 즉 Lemma 01F8의 \(D^{+}(Y)\) 안의 사상 \(\mathcal{G} \to Rf_*\mathcal{F}\)를 사용하고 \(R\Gamma(Y, -)\)를 적용한다. Lemma 01EZ에 의해 \(R\Gamma(X, \mathcal{F}) = R\Gamma(Y, Rf_*\mathcal{F})\) 임을 알 수 있으므로 표시한 화살표를 얻는다. 아래의 Remark 01FB에서 이를 완전히 풀어 쓴다. 특히 코호몰로지 위의 사상 [01FA]\[\begin{equation} \varphi : H^i(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow H^i(X, \mathcal{F}). \end{equation}\] 들을 얻는다.

주

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\varphi\)를 \(\mathcal{G}\)에서 \(\mathcal{F}\)로 가는 \(f\)-사상이라 하자. 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 복합체에 의한 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 또한 단사 \(\mathcal{O}_Y\)-가군들의 복합체에 의한 분해 \(\mathcal{G} \to \mathcal{J}^\bullet\)과 \(f_*\mathcal{I}^\bullet \to (\mathcal{J}')^\bullet\)을 택하자. Derived Categories, Lemma 013P에 의해 도식 [01FC]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{G} \ar[d] \ar[r] & f_*\mathcal{F} \ar[r] & f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[d] \\ \mathcal{J}^\bullet \ar[rr]^\beta & & (\mathcal{J}')^\bullet } \end{equation}\] 을 가환으로 만드는 복합체의 사상 \(\beta\)가 존재한다. 대역 절단 함자를 적용하면 도식 \[\xymatrix{ & & \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet) \ar[d]_{qis} \ar@{=}[r] & \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \\ \Gamma(Y, \mathcal{J}^\bullet) \ar[rr]^\beta & & \Gamma(Y, (\mathcal{J}')^\bullet) & }\] 을 얻는다. 왼쪽 아래의 복합체는 \(R\Gamma(Y, \mathcal{G})\)를 표현하고, 오른쪽 위의 복합체는 \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\)를 표현한다. 수직 화살표는 Lemma 01EZ에 의해 유사동형이며, 국소화 함자 \(K^{+}(\mathcal{O}_Y(Y)) \to D^{+}(\mathcal{O}_Y(Y))\). 를 적용하면 가역이 된다. 화살표 (01F9)는 수평 사상에 이어 수직 사상의 역을 합성한 것으로 주어진다.

세분과 체흐 코호몰로지

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)와 \(\mathcal{V} : X = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{U}\)가 \(\mathcal{V}\)의 세분이라고 가정하자. 모든 \(i \in I\)에 대해 \(U_i \subset V_{c(i)}\)가 되도록 사상 \(c : I \to J\)를 택하자. 이는 체흐 복합체의 사상 \[\gamma : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}), \quad (\xi_{j_0 \ldots j_p}) \longmapsto (\xi_{c(i_0) \ldots c(i_p)}|_{U_{i_0 \ldots i_p}})\] 을 유도하며, 이는 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다. \(c' : I \to J\)도 모든 \(i \in I\)에 대해 \(U_i \subset V_{c'(i)}\)를 만족하는 사상이라고 하자. 그러면 대응하는 사상 \(\gamma\)와 \(\gamma'\)은 서로 호모토픽이다. 구체적으로, \(\gamma - \gamma' = \text{d} \circ h + h \circ \text{d}\) 이며, 여기서 \(h : \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 는 공식 \[h(\alpha)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{a = 0}^{p} (-1)^a \alpha_{c(i_0)\ldots c(i_a) c'(i_a) \ldots c'(i_p)}\] 로 주어진다. 이것이 성립함을 보이는 계산은 생략한다. 더 일반적인 경우의 증명은 (08BM) 뒤의 논의를 보라. 특히 체흐 코호몰로지군 위의 사상은 \(c\)의 선택과 무관하다. 더구나 \(\mathcal{W} : X = \bigcup_{k \in K} W_k\)가 셋째 열린 덮개이고 \(\mathcal{V}\)가 \(\mathcal{W}\)의 세분이면, 사상들의 합성 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 사상 \(I \to J\)와 \(J \to K\)에 결부된 사상이며, 이는 합성 \(I \to K\)에 결부된 사상임이 분명하다. 따라서 체흐 코호몰로지군을 \[\check{H}^p(X, \mathcal{F}) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 로 정의할 수 있다. 여기서 여극한은 세분에 의해 준순서가 주어진 \(X\)의 모든 열린 덮개 위에서 취한다.

위에서 정의한 사상 \(\gamma\)는 코호몰로지로 가는 사상과 양립한다. 즉 합성 \[\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \xrightarrow{\text{보조정리 \href{cohomology.html#cohomology-lemma-cech-cohomology}{01EQ}}} H^p(X, \mathcal{F})\] 은 Lemma 01EQ의 첫째 군에서 코호몰로지로 가는 표준 사상이다. 아래 보조정리에서는 이를 조금 더 일반적인 상황에서 증명한다. 그 결과 체흐 코호몰로지에서 코호몰로지로 가는 잘 정의된 사상 [09UZ]\[\begin{equation} \check{H}^p(X, \mathcal{F}) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}) \end{equation}\] 을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\varphi : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{G}\)에서 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)로 가는 \(f\)-사상이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)와 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{U}\)가 \(f^{-1}\mathcal{V} : X = \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j)\)의 세분이라고 가정하자. 이 경우 \(D^{+}(\mathcal{O}_X(X))\)에 가환 도식 \[\xymatrix{ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{F}) \\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & R\Gamma(Y, \mathcal{G}) \ar[u] }\] 이 존재한다. 여기서 수평 화살표들은 Lemma 01EQ에 의해, 오른쪽 수직 화살표는 (01F9)에 의해 주어진다. 특히 코호몰로지군의 가환 도식 \[\xymatrix{ \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}) \\ \check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & H^p(Y, \mathcal{G}) \ar[u] }\] 을 얻으며, 여기서 오른쪽 수직 화살표는 (01FA)이다.

증명

먼저 왼쪽 수직 화살표를 정의하자. 즉 모든 \(i \in I\)에 대해 \(U_i \subset f^{-1}(V_{c(i)})\)가 되도록 사상 \(c : I \to J\)를 택한다. 차수 \(p\)에서 사상을 공식 \[\gamma(s)_{i_0 \ldots i_p} = \varphi(s)_{c(i_0) \ldots c(i_p)}\] 로 정의한다. 가정에 따라 \(\varphi\)가 실제로 사상 \(\mathcal{G}(V_{c(i_0) \ldots c(i_p)}) \to \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\) 을 유도하므로 이는 의미가 있다. 또한 이것이 복합체의 사상을 정의함도 분명하다. \(X\) 위의 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)과 \(Y\) 위의 단사 분해 \(\mathcal{G} \to J^\bullet\)을 택하자. Lemma 01EQ의 증명에 따라 다음 항들을 갖는 이중 복합체 \(A^{\bullet, \bullet}\)과 \(B^{\bullet, \bullet}\)을 도입한다. \[B^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, \mathcal{J}^q) \quad \text{및} \quad A^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q).\] 위의 Remark 01FB에서처럼 \(Y\) 위의 단사 분해 \(f_*\mathcal{I} \to (\mathcal{J}')^\bullet\)과 (01FC)를 가환으로 만드는 복합체의 사상 \(\beta : \mathcal{J} \to (\mathcal{J}')^\bullet\)을 택한다. 또 다음 항들을 갖는 이중 복합체 \((B')^{\bullet, \bullet}\)과 \((B'')^{\bullet, \bullet}\)을 도입한다. \[(B')^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, (\mathcal{J}')^q) \quad \text{및} \quad (B'')^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}^q).\] \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)에서 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 가는 복합체의 \(f\)-사상이 있음에 유의하라. 따라서 위와 같은 공식이 이중 복합체의 사상 \[\gamma : (B'')^{\bullet, \bullet} \longrightarrow A^{\bullet, \bullet}.\] 을 정의함이 분명하다. 복합체의 도식 \[\xymatrix{ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] & \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) & & & \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \ar[lll]^{qis} \ar@{=}[ddl]\\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}) \ar[r]^\beta & \text{Tot}((B')^{\bullet, \bullet}) & \text{Tot}((B'')^{\bullet, \bullet}) \ar[l] \ar[llu]_{s\gamma} \\ & \Gamma(Y, \mathcal{J}^\bullet) \ar[u]^{qis} \ar[r]^\beta & \Gamma(Y, (\mathcal{J}')^\bullet) \ar[u] & \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet) \ar[u] \ar[l]_{qis} }\] \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)과 \(\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})\)을 종점으로 하는 두 수평 화살표는 Lemma 01EQ에서 설명한 것들이다. 왼쪽 위 도형(오각형)은 (01FC)가 가환이므로 가환이다. 아래의 두 정사각형은 자명하게 가환한다. 오른쪽 위 도형(정사각형)도 정의에서 바로 가환임을 알 수 있다. 이제 정의와 다음 사실에서 보조정리의 결과가 따른다. 도식의 바깥쪽을 따라 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})\)에서 \(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)\)까지 위쪽으로 가든 아래쪽으로 가든 결과가 같다 (도중에 만나는 모든 유사동형의 역을 취해야 한다).

하우스도르프 준콤팩트 공간 위의 코호몰로지

그런 공간에서는 체흐 코호몰로지와 코호몰로지가 일치한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간, \(\mathcal{F}\)를 아벨 층이라 하자. 그러면 (09UZ)에서 정의한 사상 \(\check{H}^1(X, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F})\)은 동형이다.

증명

\(\mathcal{U}\)를 \(X\)의 열린 덮개라 하자. Lemma 01ES에 의해 완전열 \[0 \to \check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \underline{H}^1(\mathcal{F}))\] 이 있다. 따라서 이 사상은 단사이다. 전사임을 보이려면 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \underline{H}^1(\mathcal{F}))\)의 임의의 원소가 \(\mathcal{U}\)를 어떤 세분으로 바꾼 뒤 영으로 보내짐을 보이면 충분하다. 이는 정의와 다음 사실에서 바로 따른다. \(\underline{H}^1(\mathcal{F})\)는 아벨군의 준층이고 코호몰로지의 국소성에 의해 그 층화가 영이다. Lemma 01E3을 보라.

보조정리

\(X\)를 하우스도르프 준콤팩트 위상공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. 그러면 모든 \(n\)에 대해 (09UZ)에서 정의한 사상 \(\check{H}^n(X, \mathcal{F}) \to H^n(X, \mathcal{F})\)은 동형이다.

증명

\(n = 0, 1\)일 때 \(\check{H}^n(X, -) \to H^n(X, -)\)가 함자들의 동형임은 이미 안다. Lemma 09V1를 보라. 함자 \(H^n(X, -)\)들은 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다. Derived Categories, Lemma 015B를 보라. \(\check{H}^n(X, -)\)가 보편 \(\delta\)-함자를 이루고 \(\check{H}^n(X, -) \to H^n(X, -)\)가 경계 사상들과 양립함을 보이면, 보편 \(\delta\)-함자의 유일성에 의해 이 사상은 자동으로 동형이 된다. Homology, Lemma 010U를 보라.

\(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\)을 \(X\) 위의 아벨 층들의 짧은 완전열이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 이로부터 복합체들의 복합체 \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \to 0\] 를 얻는데, 이는 일반적으로 오른쪽에서 완전하지 않다. 이 열은 사상들 \[\check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{H})\] 을 정의하지만 경계 연산자 \(\delta : \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \to \check{H}^{n + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 정의하기에는 충분하지 않다. 실제로 그런 연산자는 일반적으로 존재하지 않는다. 그러나 코사이클 \(h = (h_{i_0 \ldots i_n})\)의 코호몰로지류인 원소 \(\overline{h} \in \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{H})\)가 주어지면, 열린 덮개들 \[U_{i_0 \ldots i_n} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_n, k}\] 를 택하여 \(h_{i_0 \ldots i_n}|_{W_{i_0 \ldots i_n, k}}\)가 \(W_{i_0 \ldots i_n, k}\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 절단으로 올라가게 할 수 있다. Topology, Lemma 09UW에 의해(여기서 \(X\)가 하우스도르프이고 준콤팩트라는 가정을 사용한다) 열린 덮개 \(\mathcal{V} : X = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 사상 \(\alpha : J \to I\)를 택하여 \(V_j \subset U_{\alpha(j)}\)가 되게 하고(이는 세분이다), 모든 \(j_0, \ldots, j_n \in J\)에 대해 어떤 \(k\)가 존재하여 \(V_{j_0 \ldots j_n} \subset W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_n), k}\). 가 되게 할 수 있다. 복합체들의 사상 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \ar[d] \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{H}) \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 실제로 수직 화살표들은 체흐 코호몰로지군 사이의 전이 사상들을 정의하는 데 사용한 복합체의 사상들이다. 우리가 택한 세분에 의해 \[g_{j_0 \ldots j_n} \in \mathcal{G}(V_{j_0 \ldots j_n}),\quad g_{j_0 \ldots j_n} \longmapsto h_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_n)}|_{V_{j_0 \ldots j_n}}\] 를 택할 수 있다. 코체인 \(g = (g_{j_0 \ldots j_n})\)는 일반적으로 코사이클이 아니지만, 그 체흐 경계 \(\text{d}(g)\)는 \(\check{\mathcal{C}}^{n + 1}(\mathcal{V}, \mathcal{H})\)에서 영으로 보내진다 (위의 가환 도식과 \(h\)가 코사이클이라는 사실에 의한다). 따라서 \(\text{d}(g)\)는 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F})\)의 코사이클이다. 이로써 다음을 정의할 수 있다. \[\delta(\overline{h}) = \text{d}(g)\text{의 류, 소속 군은 } \check{H}^{n + 1}(\mathcal{V}, \mathcal{F})\] 이제 원소 \(\xi \in \check{H}^n(X, \mathcal{G})\)가 주어지면 열린 덮개 \(\mathcal{U}\)와 원소 \(\overline{h} \in \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{G})\)를 택하여 체흐 코호몰로지를 정의하는 여극한에서 \(\xi\)로 보내지게 한다. 그런 다음 위와 같이 \(\mathcal{V}\)와 \(g\)를 택하고, \(\delta(\xi)\)를 \(\check{H}^n(X, \mathcal{F})\) 안의 \(\delta(\overline{h})\)의 상으로 정한다. 이제 여러 성질을 확인해야 하는데 모두 직접적이다. 예를 들어 이 구성이 \(\mathcal{U}, \overline{h}, \mathcal{V}, \alpha : J \to I, g\)의 선택과 무관함을 확인해야 한다. \(\text{d}(g)\)의 류는 올림 \(g_{i_0 \ldots i_n}\)의 선택과 무관하다. 두 선택의 차이는 코바운더리이기 때문이다. \(\alpha\)에 대한 독립성도 성립한다.¹ 실제로 \(\alpha\)를 달리 택하면 위 도식의 수직 복합체 사상들은 서로 호모토픽이다. Section 09UY를 보라. 다른 선택들에 대해서는 \(X\)의 열린 덮개가 유한 개 주어졌을 때 이들 모두의 세분인 열린 덮개를 항상 찾을 수 있다는 사실을 사용한다. 가법성도 확인해야 하며 같은 방식으로 보인다. 마지막으로 사상 \(\check{H}^n(X, -) \to H^n(X, -)\)가 경계 사상들과 양립함을 확인해야 한다. 이를 위해 단사 분해들 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}_1^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_2^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_3^\bullet \ar[r] & 0 }\] 을 Derived Categories, Lemma 013T에서처럼 택한다. 이로부터 가환 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_1^\bullet)) \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_2^\bullet)) \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_3^\bullet)) \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 여기서 \(\mathcal{U}\)는 위와 같은 열린 덮개이고, 수직 사상들은 \(\check{H}^n(\mathcal{U}, -) \to H^n(X, -)\)를 정의하는 데 사용한 것들이다. Lemma 01EQ를 보라. 단사 대상들의 복합체로 이루어진 열은 항별 분할 완전이므로 아래쪽 복합체는 완전하다. 따라서 코호몰로지의 경계 사상은 이 아래쪽 완전열에 대한 통상적인 절차로 계산된다. Homology, Lemma 0117을 보라. 체흐 코호몰로지의 경계 사상을 정의한 세분 \(\mathcal{V}\)로 넘어간 뒤에도 마찬가지이다. 따라서 두 경계 사상은 같은 구성을 사용하므로 일치한다(첫째 사상이 주어진 열린 덮개 위의 체흐 코호몰로지 원소에 정의되는 경우). 이로써 체흐 코호몰로지 위의 \(\delta\)-함자 구조의 구성과 이 구조가 통상적인 코호몰로지 위의 주어진 \(\delta\)-함자 구조와 양립하는 이유에 대한 논의를 마친다.

끝으로 Lemma 01EP를 적용하면 단사 층 위에서 고차 체흐 코호몰로지가 자명함을 알 수 있다. 따라서 Homology, Lemma 010T에 의해 체흐 코호몰로지는 보편 \(\delta\)-함자이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(Z \subset X\)를 준콤팩트 부분집합이라 하고, \(Z\)의 서로 다른 두 점은 \(X\)에서 서로소인 열린 근방들을 가진다고 하자. \(X\) 위의 모든 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 표준 사상 \[\colim H^p(U, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(Z, \mathcal{F}|_Z)\] 은 동형이다. 여기서 여극한은 \(X\) 안에서 \(Z\)의 열린 근방 \(U\)들 위에서 취한다.

증명

먼저 \(p = 0\)인 경우를 증명한다. 단사성은 \(\mathcal{F}|_Z\)의 정의에서 따르며 일반적으로 성립한다(임의의 위상공간 \(X\)의 임의의 부분집합에 대해). 이제 \(s \in H^0(Z, \mathcal{F}|_Z)\)라 하자. 열린집합 \(U_i \subset X\)를 택하여 \(Z \subset \bigcup U_i\)가 되게 하고, \(s|_{Z \cap U_i}\)가 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)에서 오게 할 수 있다. 따라서 열린집합 \(W_{ij} \subset U_i \cap U_j\)가 존재하여 \(W_{ij} \cap Z = U_i \cap U_j \cap Z\)이고 \(s_i|_{W_{ij}} = s_j|_{W_{ij}}\)이다. Topology, Lemma 0CY5를 적용하면 \(X\)의 열린집합 \(V_i\)를 택하여 \(V_i \subset U_i\)이고 \(V_i \cap V_j \subset W_{ij}\)가 되게 할 수 있다. 그러므로 \(s_i|_{V_i}\)들은 \(Z\)의 열린 근방 \(\bigcup V_i\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 한 절단으로 이어붙는다.

증명을 끝내려면 \(\mathcal{I}\)가 \(X\) 위의 단사 아벨 층일 때 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(Z, \mathcal{I}|_Z) = 0\)임을 보이면 충분하다. 이는 짧은 완전열과 차원 이동을 사용하여 따르며 세부사항은 생략한다. 따라서 어떤 \(p > 0\)에 대해 \(\overline{\xi}\)가 \(H^p(Z, \mathcal{I}|_Z)\)의 원소라고 하자. Lemma 09V2에 의해 \(\overline{\xi}\)는 \(Z\)의 어떤 열린 덮개 \(\mathcal{V} : Z = \bigcup V_i\)에 대한 \(\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{I}|_Z)\)에서 온다. \(\overline{\xi}\)가 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, \mathcal{I}|_Z)\) 안의 코사이클 \(\xi = (\xi_{i_0 \ldots i_p})\)의 류의 상이라고 하자.

다음 규칙으로 정의되는 부분준층 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}|_Z\)를 생각하자. \[\mathcal{I}'(V) = \{s \in \mathcal{I}|_Z(V) \mid \exists (U, t),\ U \subset X\text{ 열린집합}, \ t \in \mathcal{I}(U),\ V = Z \cap U,\ s = t|_{Z \cap U} \}\] 그러면 \(\mathcal{I}|_Z\)는 \(\mathcal{I}'\)의 층화이다. 따라서 모든 \((p + 1)\)-튜플 \(i_0 \ldots i_p\)에 대해 열린 덮개 \(V_{i_0 \ldots i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\)를 택하여 \(\xi_{i_0 \ldots i_p}|_{W_{i_0 \ldots i_p, k}}\)가 \(\mathcal{I}'\)의 절단이 되게 할 수 있다. Topology, Lemma 09UW를 적용하고 \(\mathcal{V}\)를 세분한 뒤에는 각 \(\xi_{i_0 \ldots i_p}\)가 준층 \(\mathcal{I}'\)의 절단이라고 가정할 수 있다.

어떤 열린집합 \(U_i \subset X\)에 대해 \(V_i = Z \cap U_i\)로 쓰자. \(\mathcal{I}\)가 플라스크이고(Lemma 09SX), 모든 \((p + 1)\)-튜플 \(i_0 \ldots i_p\)에 대해 \(\xi_{i_0 \ldots i_p}\)가 \(\mathcal{I}'\)의 절단이므로, \(V_{i_0 \ldots i_p} = Z \cap U_{i_0 \ldots i_p}\) 위에서 \(\xi_{i_0 \ldots i_p}\)로 제한되는 절단 \(s_{i_0 \ldots i_p} \in \mathcal{I}(U_{i_0 \ldots i_p})\)를 택할 수 있다. (단사 대상이 플라스크라는 사실을 사용하지 않고도 Topology, Lemma 0CY5를 한 번 더 적용하면 된다.) \(s = (s_{i_0 \ldots i_p})\)를 열린 덮개 \(U = \bigcup U_i\)에 대응하는 코체인이라 하자. \(\text{d}(\xi) = 0\)이므로 절단 \(\text{d}(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\)은 \(Z \cap U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\) 위에서 영으로 제한된다. 따라서 증명 처음의 설명에 의해 열린 부분집합 \(W_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \subset U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\)을 택하여 \(Z \cap W_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = Z \cap U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\)이고 \(\text{d}(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}|_{W_{i_0 \ldots i_{p + 1}}} = 0\)이 되게 할 수 있다. Topology, Lemma 0CY5에 의해 \(U'_i \subset U_i\)를 택하여 \(Z \subset \bigcup U'_i\)이고 \(U'_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \subset W_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\)가 되게 할 수 있다. 그러면 \(s'_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p}|_{U'_{i_0 \ldots i_p}}\)인 \(s' = (s'_{i_0 \ldots i_p})\)는 \(Z\)의 열린 근방의 열린 덮개 \(U' = \bigcup U'_i\)에 대한 \(\mathcal{I}\)의 코사이클이다. \(\mathcal{I}\)의 고차 체흐 코호몰로지군은 자명하므로(Lemma 01EP), \(s'\)은 코바운더리이다. 따라서 열린 덮개 \(Z = \bigcup Z \cap U'_i\)에 대한 체흐 복합체에서 \(\xi\)의 상도 코바운더리이며 증명이 끝난다.

기저변환 사상

몇몇 경우에는 기저변환 사상을 구성하는 방법이 필요하다. 아직 유도 당김을 논의하지 않았으므로, 여기서는 환 달린 공간의 평탄 사상에 의한 기저변환만 다룬다. 결과를 서술하기 전에 유도 범주 위의 평탄 당김을 논의하자. 즉 \(g : X \to Y\)가 환 달린 공간의 평탄 사상이라고 하자. Modules, Lemma 02N4에 의해 함자 \(g^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 완전하다. 따라서 유도함자 \[g^* : D^{+}(Y) \to D^{+}(X)\] 를 가지며, 이는 \(D^{+}(Y)\)의 주어진 대상의 대표 복합체를 단순히 당겨서 계산한다. Derived Categories, Lemma 015F를 보라. 따라서 앞서 나타낸 대로 이 함자를 \(Lg^*\)가 아니라 \(g^*\)로 나타낸다.

보조정리

다음 가환 도식의 환 달린 공간들이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 아래로 유계인 복합체라 하자. \(g\)와 \(g'\)이 모두 평탄하다고 가정하자. 그러면 \(D^{+}(S')\)에 표준 기저변환 사상 \[g^*Rf_*\mathcal{F}^\bullet \longrightarrow R(f')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\] 이 존재한다.

증명

단사 분해 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)과 \((g')^*\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)을 택하자. Lemma 02N5에 의해 \((g')_*\mathcal{J}^\bullet\)은 \(R(g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\)을 표현하는 단사 대상들의 복합체이다. 따라서 Derived Categories, Lemmas 013P 및 013S에 의해 도식의 화살표 \(\beta\) \[\xymatrix{ (g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet \ar[r] & (g')_*\mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{F}^\bullet \ar[u]^{adjunction} \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet \ar[u]_\beta }\] 가 존재하며 호모토피까지 유일하다. \(S\)로 직접상을 취하면 \[f_*\beta : f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow f_*(g')_*\mathcal{J}^\bullet = g_*(f')_*\mathcal{J}^\bullet\] 을 얻는다. \(g^*\)와 \(g_*\)의 수반성에 의해 복합체의 사상 \(g^*f_*\mathcal{I}^\bullet \to (f')_*\mathcal{J}^\bullet\)을 얻는다. 전체 과정에서 유일한 선택은 사상 \(\beta\)의 선택이었고 모든 일을 복합체 수준에서 했으므로, 이 사상은 호모토피까지 유일함에 유의하라.

주

기저변환 사상의 “올바른” 판은 사상 \[Lg^* Rf_* \mathcal{F}^\bullet \longrightarrow R(f')_* L(g')^*\mathcal{F}^\bullet.\] 이다. 이 사상의 구성에는 비유계 복합체가 관여한다. Remark 08HY를 보라.

위상수학에서의 고유 기저변환

이 절에서는 위상수학의 고유 기저변환 정리의 매우 일반적인 판을 증명한다. 이 정리에 따르면 고차 직접상 \(R^pf_*\)의 줄기는 섬유 위에서 계산할 수 있다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(y \in Y\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 닫힌 사상이다.

2. \(f\)는 분리 사상이다.

3. \(f^{-1}(y)\)는 준콤팩트이다.

그러면 \(D^+(\mathcal{O}_X)\)의 \(E\)에 대해 \(D^+(\mathcal{O}_{Y, y})\)에서 \((Rf_*E)_y = R\Gamma(f^{-1}(y), E|_{f^{-1}(y)})\)이다.

증명

Lemma 02N7의 기저변환 사상은 표준 사상 \((Rf_*E)_y \to R\Gamma(f^{-1}(y), E|_{f^{-1}(y)})\)를 준다. 이 사상이 동형임을 증명하기 위해 \(E\)를 단사 대상들의 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 표현하자. \(Z = f^{-1}(\{y\})\)로 두자. Lemma 09V3의 가정들이 만족된다. Topology, Lemma 0CY2를 보라. 따라서 제한 \(\mathcal{I}^n|_Z\)는 \(\Gamma(Z, -)\)에 대해 비순환이다. 그러므로 \(R\Gamma(Z, E|_Z)\)는 복합체 \(\Gamma(Z, \mathcal{I}^\bullet|_Z)\)로 표현된다. Derived Categories, Lemma 015E를 보라. 다시 말해 사상 \[\colim_V \mathcal{I}^\bullet(f^{-1}(V)) \longrightarrow \Gamma(Z, \mathcal{I}^\bullet|_Z)\] 이 동형임을 보여야 한다. Lemma 09V3를 사용하면 \(Z = f^{-1}(\{y\})\)의 열린 근방 \(f^{-1}(V)\)들의 모임이 모든 열린 근방의 계에서 공종임을 보이면 충분하다. \(f^{-1}(\{y\}) \subset U\)가 열린 근방이면 \(f\)가 닫힌 사상이므로 \(V = Y \setminus f(X \setminus U)\)는 \(y\)의 열린 근방이고 \(f^{-1}(V) \subset U\)이다. 이로써 보조정리가 증명된다.

정리

위상공간들의 데카르트 정사각형 \[\xymatrix{ X' = Y' \times_Y X \ar[d]_{f'} \ar[r]_-{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. \(f\)가 고유 사상이라고 가정하자. \(E\)를 \(D^+(X)\)의 대상이라 하자. 그러면 Lemma 02N7의 기저변환 사상 \[g^{-1}Rf_*E \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}E\] 은 \(D^+(Y')\)에서 동형이다.

증명

\(y' \in Y'\)을 상이 \(y \in Y\)인 점이라 하자. 기저변환 사상이 \(y'\)에서의 줄기 위에 동형을 유도함을 보이면 충분하다. \(f\)가 고유 사상이므로 \(f'\)도 고유 사상이고, \(f\)와 \(f'\)의 섬유들은 준콤팩트이며 \(f\)와 \(f'\)은 닫힌 사상이다. Topology, Theorem 005R 및 Lemma 0CY4를 보라. 따라서 Lemma 09V5를 두 번 적용하여 \[(Rf'_*(g')^{-1}E)_{y'} = R\Gamma((f')^{-1}(y'), (g')^{-1}E|_{(f')^{-1}(y')})\] 그리고 \[(Rf_*E)_y = R\Gamma(f^{-1}(y), E|_{f^{-1}(y)})\] 임을 알 수 있다. 유도된 섬유 사상 \((f')^{-1}(y') \to f^{-1}(y)\)는 위상공간의 위상동형이고, \(E|_{f^{-1}(y)}\)의 당김은 \((g')^{-1}E|_{(f')^{-1}(y')}\)이다. 원하는 결과가 따른다.

보조정리

위상공간들의 데카르트 정사각형 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_-{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 을 생각하자. \(f\)가 고유 사상이라고 가정하자. 그러면 \(X\) 위의 임의의 집합층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(g^{-1}f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) 이다.

증명

Theorem 09V6의 증명과 똑같이 논증하면 \((f_*\mathcal{F})_y = \Gamma(X_y, \mathcal{F}|_{X_y})\)임을 보이는 것으로 충분하다. 이어 Lemma 09V5에서처럼 논증하면 이는 집합의 층에 대한 Lemma 09V3의 \(p = 0\)인 경우로 환원된다. Lemma 09V3의 증명의 첫 부분은 집합의 층에 대해서도 성립하므로 증명이 끝난다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

코호몰로지와 여극한

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)를 유향집합 \(I\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-가군층의 계라 하자. Categories, Section 002Z를 보라. 각 \(i\)에 대해 표준 사상 \(\mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{F}_i\)가 있으므로, 모든 \(p \geq 0\)에 대해 표준 사상 \[\colim_i H^p(X, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(X, \colim_i \mathcal{F}_i)\] 을 얻는다. 물론 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대해서도 비슷한 사상이 있다. 이 사상들은 일반적으로 동형이 아니며 \(p = 0\)일 때조차 그렇다. 이 절에서는 Sheaves, Lemma 009F의 결과를 일반화한다. 특수한 경우 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\)에 대해서는 Modules, Lemma 01BS도 보라.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \(X\)의 바탕 위상공간이 다음 성질들을 만족한다고 가정하자.

1. 준콤팩트 열린 부분집합들의 기저가 존재한다.

2. 임의의 두 준콤팩트 열린집합의 교집합은 준콤팩트이다.

그러면 \(\mathcal{O}_X\)-가군층의 임의의 유향계 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)와 임의의 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 표준 사상 \[\colim_i H^q(U, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^q(U, \colim_i \mathcal{F}_i)\] 은 모든 \(q \geq 0\)에 대해 동형이다.

증명

이 증명에서는 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 동시에 논증하는 것이 중요하다. Sheaves, Lemma 009F와 Topology, Lemma 0069를 함께 사용하면 \(q = 0\)과 임의의 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 결과가 성립한다. 모든 \(q \leq q_0\)에 대해 결과를 증명했다고 가정하고 \(q = q_0 + 1\)인 경우를 증명하자.

유향계에 대한 우리의 관례에 따라 지표집합 \(I\)는 유향집합이고, \(I\) 위의 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 계 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)는 유향계이다. Injectives, Lemma 01DI에 의해 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에는 함자적 단사 매입들이 있다. 따라서 임의의 계 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)에 대해 계 \((\mathcal{I}_i, \varphi_{ii'})\)와 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i\)들로 주어지는 계의 사상이 존재하며, 각 \(\mathcal{I}_i\)는 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 여핵을 \(\mathcal{Q}_i\)로 나타내면 짧은 완전열들 \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i \to \mathcal{Q}_i \to 0.\] 을 얻는다. 또한 열 \[0 \to \colim_i \mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{I}_i \to \colim_i \mathcal{Q}_i \to 0.\] 도 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 짧은 완전열이라고 주장한다. 이는 줄기에서 확인할 수 있다. Sheaves, Sections 009D 및 009E에 의해 줄기를 취하는 일은 여극한과 가환한다. 아벨군의 짧은 완전열들의 유향 여극한은 짧은 완전열이므로(Algebra, Lemma 00DB 참조) 결과가 따른다. 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)와 모든 \(q \geq 1\)에 대해 \(H^q(U, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\)이라고 주장한다. 우선 이 주장을 받아들이고 도식 \[\xymatrix{ \colim_i H^{q_0}(U, \mathcal{I}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^{q_0}(U, \mathcal{Q}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^{q_0 + 1}(U, \mathcal{F}_i) \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \\ H^{q_0}(U, \colim_i \mathcal{I}_i) \ar[r] & H^{q_0}(U, \colim_i \mathcal{Q}_i) \ar[r] & H^{q_0 + 1}(U, \colim_i \mathcal{F}_i) \ar[r] & 0 }\] 을 생각하자. 오른쪽 아래의 영은 위 주장으로부터, 오른쪽 위의 영은 층 \(\mathcal{I}_i\)들이 단사라는 사실로부터 나온다. Algebra, Lemma 00DB를 적용하면 위 행은 완전하다. 따라서 뱀 보조정리에 의해 \(q = q_0 + 1\)인 경우의 결과를 얻는다.

이제 주장을 증명하면 된다. Lemma 01EW를 사용할 것이다. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 모든 준콤팩트 열린 부분집합의 모임이라 하자. 가정에 따라 이는 \(X\)의 위상의 기저이다. \(\text{Cov}\)를 유한 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) 가운데 \(U\)와 각 \(U_j\)가 \(X\)의 준콤팩트 열린집합인 것들의 모임이라 하자. \(q = 0\)인 경우의 결과에 의해 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = \colim_i \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_i)\] 이다. 모든 다중 교집합 \(U_{j_0 \ldots j_p}\)가 준콤팩트이기 때문이다. Lemma 01EP에 의해 체흐 복합체의 여극한 안의 각 복합체는 차수 \(\geq 1\)에서 비순환이다. 따라서 Algebra, Lemma 00DB에 의해 체흐 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i)\)도 차수 \(\geq 1\)에서 비순환이다. 다시 말해 모든 \(p \geq 1\)에 대해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\)이다. 그러므로 Lemma 01EW의 가정들이 만족되어 주장이 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간의 연속 사상이라 하자. \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)를 \(X\) 위의 아벨 층의 계라 하고 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)로 두자. \(p \geq 0\)을 정수라 하자. \(H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F}) = \colim H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F}_i)\)를 만족하는 열린집합 \(V \subset Y\)들의 모임이 \(Y\)의 위상의 기저라고 가정하자. 그러면 \(R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i\)이다.

증명

\(R^pf_*\mathcal{F}\)는 \(V\)에 \(H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F})\)를 대응시키는 준층 \(\mathcal{G}\)의 층화임을 상기하자. Lemma 01E4를 보라. 마찬가지로 \(R^pf_*\mathcal{F}_i\)는 \(V\)에 \(H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F}_i)\)를 대응시키는 준층 \(\mathcal{G}_i\)의 층화이다. 층화는 층에서 준층으로 가는 포함의 왼쪽 수반임을 상기하자. Sheaves, Section 007X을 보라. 따라서 층화는 여극한과 가환한다. Categories, Lemma 0038를 보라. 그러므로 준층의 사상(여극한은 준층의 범주에서 취한다) \[\colim \mathcal{G}_i \longrightarrow \mathcal{G}\] 이 층화 위에 동형을 유도함을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 준층 \(\mathcal{G}\)와 \(\colim \mathcal{G}_i\)가 \(Y\)의 위상의 한 기저 위에서 일치함을 보이면 충분하다. 실제로 이 경우 그 층화들의 줄기는 기저 원소들 위의 준층 값에서 직접 계산할 수 있으므로 일치한다. 필요한 일치는 정확히 보조정리의 가정이다.

다음으로 Sheaves, Lemma 0A33의 코호몰로지에 대한 대응물을 서술한다. \(X\)를 스펙트럴 공간이라 하고, Topology, Lemma 0A2Z에서처럼 스펙트럴 전이 사상들을 갖는 도식에 대해 스펙트럴 공간 \(X_i\)들의 공여과 극한으로 주어졌다고 하자. 다음이 주어졌다고 가정하자.

1. 모든 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)에 대해 \(X_i\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}_i\)가 주어진다.

2. \(a : j \to i\)에 대해 아벨 층의 \(f_a\)-사상 \(\varphi_a : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\)가 주어진다(Sheaves, Definition 008J 참조).

\(c = a \circ b\)일 때마다 \(\varphi_c = \varphi_b \circ \varphi_a\)라고 가정하고, \(X\) 위에서 \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\)로 두자.

보조정리

위에서 논의한 상황에서 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)라 하고, \(U_i \subset X_i\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면 \[\colim_{a : j \to i} H^p(f_a^{-1}(U_i), \mathcal{F}_j) = H^p(p_i^{-1}(U_i), \mathcal{F})\] 이 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다. 특히 \(H^p(X, \mathcal{F}) = \colim H^p(X_i, \mathcal{F}_i)\)이다.

증명

\(p = 0\)인 경우는 Sheaves, Lemma 0A33이다.

이 문단에서는 \(\mathcal{G}_i\)가 단사 아벨 층이고 \(\gamma_i\)가 단사인 계의 사상 \((\gamma_i) : (\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\)를 찾을 수 있음을 보인다. 각 \(i\)에 대해 단사 사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i\)를 택하자. 여기서 \(\mathcal{I}_i\)는 \(X_i\) 위의 단사 아벨 층이다. 그러면 사상들의 족 \[\gamma_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \prod\nolimits_{b : k \to i} f_{b, *}\mathcal{I}_k = \mathcal{G}_i\] 을 생각할 수 있다. 그 성분 사상들은 사상 \(f_b^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_k \to \mathcal{I}_k\)에 수반인 사상들이다. \(\mathcal{I}\) 안의 \(a : j \to i\)에 대해 표준 사상 \[\psi_a : f_a^{-1}\mathcal{G}_i \to \mathcal{G}_j\] 이 존재하며, 그 성분들은 표준 사상 \(f_b^{-1}f_{a \circ b, *}\mathcal{I}_k \to f_{b, *}\mathcal{I}_k\) 들이다. 여기서 \(b : k \to j\)이다. 따라서 계들의 단사 사상 \(\{\gamma_i\} : \{\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) 을 얻는다. \(\mathcal{G}_i\)는 \(X_i\) 위의 단사 아벨군층이다. Lemma 02N5과 Homology, Lemma 0137를 보라. 이로써 구성이 끝난다.

Lemma 01FF의 증명과 똑같이 논증하면 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i) = 0\)임을 증명하는 것으로 충분함을 알 수 있다.

\(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\)로 두자. \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합 위에서 \(\mathcal{G}\)의 코호몰로지가 소멸함을 보이려면, 준콤팩트 열린집합을 유한 개의 준콤팩트 열린집합으로 덮는 \(X\)의 임의의 열린 덮개 \(\mathcal{U}\)에 대해 \(\mathcal{G}\)의 체흐 코호몰로지가 영임을 보이면 충분하다. Lemma 01EW를 보라. Topology, Lemma 0A30에 의해 이러한 덮개는 어떤 \(i\)에 대해 공간 \(X_i\) 위의 같은 종류의 덮개 \(\mathcal{U}_i\)의 \(p_i\)에 의한 역상이다. \(p = 0\)인 경우에 의해 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = \colim_{a : j \to i} \check{\mathcal{C}}^\bullet(f_a^{-1}(\mathcal{U}_i), \mathcal{G}_j)\] 이다. 오른쪽은 양의 차수에서 비순환인 복합체들의 여과 여극한이다. Lemma 01EP를 보라. 따라서 Algebra, Lemma 00DB에 의해 결론을 얻는다.

뇌터 위상공간에서의 소멸

목표는 Grothendieck의 한 정리, 즉 Proposition 02UZ을 증명하는 것이다. [Tohoku]를 보라.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 위상공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(Z\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^p(Z, \mathcal{F}) = H^p(X, i_*\mathcal{F})\)이다.

증명

\(i_*\)가 완전하기 때문에 이는 참이다(Modules, Lemma 01AX를 보라). 따라서 함자로서 \(R^pi_* = 0\)이다(Derived Categories, Lemma 015F). 그러므로 Lemma 01F4를 적용할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 기약 위상공간이라 하자. 그러면 임의의 아벨 군 \(A\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(X, \underline{A}) = 0\)이다.

증명

\(\underline{A}\)는 Sheaves, Definition 006W에서 정의한 상수층임을 상기하자. \(X\)가 기약이므로 공집합이 아닌 임의의 열린집합 \(U\)는 기약이고, 특히 연결이다. 따라서 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\underline{A}(U) = A\)이다. 또한 \(\underline{A}(\emptyset) = 0\)이다. 그러므로 \(\underline{A}\)는 \(X\) 위의 플라스크 아벨 층이다. 소멸은 Lemma 09SY에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 임의의 두 준콤팩트 열린집합의 교집합이 준콤팩트인 위상공간이라 하자. \(\mathcal{F} \subset \underline{\mathbf{Z}}\)를 준콤팩트 열린집합들 위의 유한 개 절단으로 생성되는 부분층이라 하자. 그러면 아벨 부분층들에 의한 유한 여과 \[(0) = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n = \mathcal{F}\] 가 존재하며, 각 \(0 < i \leq n\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to j'_!\underline{\mathbf{Z}}_V \to j_!\underline{\mathbf{Z}}_U \to \mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1} \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(j : U \to X\)와 \(j' : V \to X\)는 준콤팩트 열린집합을 \(X\)에 넣는 포함이다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 준콤팩트 열린집합 \(U_1, \ldots, U_t\) 위의 절단 \(s_1, \ldots, s_t\)로 생성된다고 하자. \(U_i\)는 준콤팩트이고 \(s_i\)는 \(\mathbf{Z}\)로 가는 국소 상수 함수이므로, 필요하면 \(U_i\)를 열린닫힌 부분집합들로 이루어진 유한 분해의 조각들로 바꾸어 \(s_i\)가 상수 절단이라고 가정할 수 있다. \(n_i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(s_i = n_i\)라 하자. 물론 \(n_i = 0\)이면 목록에서 \((U_i, n_i)\)를 제거할 수 있다. 필요하면 부호를 뒤집어 \(n_i > 0\)이라고 가정할 수도 있다. 다음으로 임의의 부분집합 \(I \subset \{1, \ldots, t\}\)에 대해 \(\bigcap_{i \in I} U_i\)와 \(\gcd(n_i, i \in I)\)를 목록에 더할 수 있다. 이 작업을 마치면 목록 \((U_1, n_1), \ldots, (U_t, n_t)\)가 다음 성질을 만족함을 알 수 있다. \(x \in X\)에 대해 \(I_x = \{i \in \{1, \ldots, t\} \mid x \in U_i\}\)로 두자. 그러면 \(\gcd(n_i, i \in I_x)\)는 어떤 \(i \in I_x\)에 대한 \(n_i\)로 실현된다.

여과로 \(\mathcal{F}_0 = (0)\)을 취하고, \(n_i \leq n\)인 \(i\)들에 대한 \(U_i\) 위의 절단 \(n_i\)들로 생성되는 층을 \(\mathcal{F}_n\)으로 취한다. \(n \gg 0\)이면 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}\)임은 명백하다. 또한 몫 \(\mathcal{F}_n/\mathcal{F}_{n - 1}\)은 \(U = \bigcup_{n_i \leq n} U_i\) 위의 절단 \(n\)으로 생성되고, 사상 \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U \to \mathcal{F}_n/\mathcal{F}_{n - 1}\)의 핵은 \(V = \bigcup_{n_i \leq n - 1} U_i\) 위의 절단 \(n\)으로 생성된다. 따라서 보조정리의 명제에 나오는 짧은 완전열을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(d \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. 준콤팩트 열린집합들은 \(X\)의 기저를 이룬다.

3. 두 준콤팩트 열린집합의 교집합은 준콤팩트이다.

4. 임의의 준콤팩트 열린집합 \(j : U \to X\)와 모든 \(p > d\)에 대해 \(H^p(X, j_!\underline{\mathbf{Z}}_U) = 0\)이다.

그러면 \(X\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)와 모든 \(p > d\)에 대해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

\(U\)가 \(X\)의 준콤팩트 열린집합들을 달릴 때 \(S = \coprod_{U \subset X} \mathcal{F}(U)\)로 두자. 각 유한 부분집합 \(A = \{s_1, \ldots, s_n\} \subset S\)에 대해 모든 \(s_i\)로 생성되는 \(\mathcal{F}\)의 부분층을 \(\mathcal{F}_A\)라 하자 (Modules, Definition 01AQ를 보라). \(A \subset A'\)이면 \(\mathcal{F}_A \subset \mathcal{F}_{A'}\)임에 유의하자. 따라서 \(\{\mathcal{F}_A\}\)는 \(S\)의 유한 부분집합들로 이루어진 유향 부분순서집합 위의 계를 이룬다. Modules, Lemma 01AR에 의해 줄기에서 보면 \[\colim_A \mathcal{F}_A = \mathcal{F}\] 임이 명백하다. Lemma 01FF에 의해 \[H^p(X, \mathcal{F}) = \colim_A H^p(X, \mathcal{F}_A)\] 이다. 따라서 아벨 층 \(\mathcal{F}_A\)에 대해 소멸을 증명하면 충분하다. 다시 말해, \(\mathcal{F}\)가 \(X\)의 준콤팩트 열린집합 위의 유한 개 국소 절단으로 생성되는 경우에 결과를 증명하면 충분하다.

\(\mathcal{F}\)가 국소 절단 \(s_1, \ldots, s_n\)으로 생성된다고 하자. \(s_1, \ldots, s_{n - 1}\)로 생성되는 부분층을 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)라 하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}' \to 0\] 을 얻는다. 코호몰로지의 긴 완전열에서, \(n\)개보다 적은 국소 절단으로 생성되는 아벨 층 \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\)에 대해 소멸을 증명하면 충분함을 알 수 있다. 따라서 많아야 하나의 국소 절단으로 생성되는 층에 대해 소멸을 증명하면 충분하다. 이러한 층들은 정확히 \(U\)가 \(X\)의 준콤팩트 열린집합일 때 층 \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\)의 몫들이다.

이제 \(U\)가 \(X\)의 준콤팩트 열린집합이고 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{K} \to j_!\underline{\mathbf{Z}}_U \to \mathcal{F} \to 0\] 이 주어졌다고 하자. \(q \geq d + 1\)에 대해 \(H^q(X, \mathcal{K})\)가 영임을 보이면 충분하다. 위와 같이 \(\mathcal{K}\)를 준콤팩트 열린집합 위의 유한 개 절단으로 생성되는 부분층 \(\mathcal{K}'\)들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 층 \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U/\mathcal{K}'\)들의 여과 여극한이다. 이렇게 하여 \(\mathcal{K}\)가 준콤팩트 열린집합 위의 유한 개 절단으로 생성되는 경우로 환원된다. \(\mathcal{K}\)가 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)의 부분층임에 유의하자. 따라서 Lemma 0A38에 의해 \(\mathcal{K}\)에는 연속 몫 \(\mathcal{Q}\)들이 짧은 완전열 \[0 \to j''_!\underline{\mathbf{Z}}_W \to j'_!\underline{\mathbf{Z}}_V \to \mathcal{Q} \to 0\] 에 들어가는 유한 여과가 존재한다. 여기서 \(j'' : W \to X\)와 \(j' : V \to X\)는 준콤팩트 열린집합의 포함이다. 그러므로 \(p > d\)에 대한 \(H^p(X, \mathcal{Q})\)의 소멸은 보조정리에서 가정한 \(j''_!\underline{\mathbf{Z}}_W\)와 \(j'_!\underline{\mathbf{Z}}_V\)의 코호몰로지 군의 소멸에서 따른다. \(\mathcal{K}\)로 돌아가면, 긴 코호몰로지 완전열을 사용하는 귀납 논증을 통해 이것은 원하는 소멸도 함의한다.

예

\(X = \mathbf{N}\)에 다음 위상을 주자. 열린집합들은 \(\emptyset\), \(X\), 그리고 \(n \geq 1\)에 대해 \(U_n = \{i \mid i \leq n\}\)이다. \(X\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)는 아벨 군의 역계 \(A_n = \mathcal{F}(U_n)\)와 같은 것이며, \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \lim A_n\)이다. 역극한 함자는 역계의 범주에서 완전함자가 아니므로, 영이 아닌 \(H^1\)을 갖는 아벨 층이 존재함을 알 수 있다. 끝으로 독자는 \(j : U = U_n \to X\)가 포함일 때 \(p \geq 1\)에 대해 \(H^p(X, j_!\mathbf{Z}_U) = 0\)임을 확인할 수 있다. 따라서 \(X\)는 \(d = 0\)에 대해 Lemma 02UX의 조건 (2), (3), (4)를 만족하지만 결론은 만족하지 않는 공간의 예이다.

보조정리

\(X\)를 기약 위상공간이라 하자. \(\mathcal{H} \subset \underline{\mathbf{Z}}\)를 상수층의 아벨 부분층이라 하자. 그러면 어떤 \(d \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\mathcal{H}|_U = \underline{d\mathbf{Z}}_U\)를 만족하는 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)가 존재한다.

증명

\(X\)의 공집합이 아닌 임의의 열린집합 \(V\)에 대해 \(\underline{\mathbf{Z}}(V) = \mathbf{Z}\)임을 상기하자(Lemma 02UW의 증명을 보라). \(\mathcal{H} = 0\)이면 보조정리는 \(d = 0\)으로 성립한다. \(\mathcal{H} \not = 0\)이면 \(\mathcal{H}(U) \not = 0\)인 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)가 존재한다. 어떤 \(n \geq 1\)에 대해 \(\mathcal{H}(U) = n\mathbf{Z}\)라 하자. 그러면 \(\underline{n\mathbf{Z}}_U \subset \mathcal{H}|_U \subset \underline{\mathbf{Z}}_U\)임을 알 수 있다. 첫 번째 포함이 진포함이면, 어떤 정수 \(1 \leq n' < n\)과 공집합이 아닌 \(U' \subset U\)를 찾아 \(\underline{n'\mathbf{Z}}_{U'} \subset \mathcal{H}|_{U'} \subset \underline{\mathbf{Z}}_{U'}\)로 둘 수 있다. 이 과정은 유한 단계 뒤에는 멈추어야 하므로 보조정리를 얻는다.

명제

\(X\)를 뇌터 위상공간이라 하자. \(\dim(X) \leq d\)이면, \(X\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)와 모든 \(p > d\)에 대해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

이 보조정리를 \(d\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(d\)를 고정하고, 차원이 \(< d\)인 모든 뇌터 위상공간에 대해 보조정리가 성립한다고 가정하자.

\(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. \(U \subset X\)가 열린집합이라고 하고, 닫힌 여집합을 \(Z \subset X\)로 나타내자. 포함 사상을 각각 \(j : U \to X\)와 \(i : Z \to X\)로 나타내자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to j_{!}j^*\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^*\mathcal{F} \to 0\] 이 존재한다. Modules, Lemma 02UT를 보라. \(j_!j^*\mathcal{F}\)는 \(U\)의 위상적 폐포 \(Z'\) 위에 지지된다는 점에 유의하자. 즉, \(i' : Z' \to X\)가 포함일 때, \(Z'\) 위의 어떤 아벨 층 \(\mathcal{F}'\)에 대해 \(i'_*\mathcal{F}'\)의 꼴이다.

이를 사용하여 \(X\)가 기약인 경우로 환원할 수 있다. 실제로 Topology, Lemma 0052에 따르면 \(X\)에는 유한 개의 기약 성분이 있다. \(X\)에 기약 성분이 둘 이상이면 \(Z \subset X\)를 \(X\)의 한 기약 성분이라 하고 \(U = X \setminus Z\)로 두자. 위의 내용과 코호몰로지의 긴 완전열에 의해, \(p > d\)에 대해 \(H^p(X, i_*i^*\mathcal{F})\)와 \(H^p(X, i'_*\mathcal{F}')\)의 소멸을 증명하면 충분하다. Lemma 02UV에 의해 \(p > d\)에 대해 \(H^p(Z, i^*\mathcal{F})\)와 \(H^p(Z', \mathcal{F}')\)가 소멸함을 증명하면 충분하다. \(Z'\)와 \(Z\)는 기약 성분의 수가 더 적으므로, 실제로 \(X\)가 기약인 경우로 환원된다.

\(d = 0\)이고 \(X\)가 기약이면 \(X\)는 \(X\)의 유일한 공집합 아닌 열린 부분집합이다. 따라서 모든 층은 상수이고 고차 코호몰로지 군은 소멸한다(예를 들어 Lemma 02UW에 의한다).

\(X\)가 차원 \(d > 0\)인 기약공간이라고 하자. Lemma 02UX에 의해 어떤 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F} = j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\)인 경우로 환원된다. 이 경우 짧은 완전열 \[0 \to j_!(\underline{\mathbf{Z}}_U) \to \underline{\mathbf{Z}}_X \to i_*\underline{\mathbf{Z}}_Z \to 0\] 을 살펴본다. 여기서 \(Z = X \setminus U\)이다. Lemma 02UW에 의해 모든 \(p \geq 1\)에 대해 \(H^p(X, \underline{\mathbf{Z}}_X)\)가 소멸한다. 귀납가정에 의해 \(p \geq d\)에 대해 \(H^p(X, i_*\underline{\mathbf{Z}}_Z) = H^p(Z, \underline{\mathbf{Z}}_Z) = 0\)이다. 따라서 코호몰로지의 긴 완전열로부터 결론을 얻는다.

닫힌 부분집합에 지지를 갖는 코호몰로지

이 절에서는 꼭 필요한 최소한만 논의한다. 논의는 Section 0G6Y에서 계속된다.

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. 지지가 \(Z\)에 포함되는 절단들의 부분집합을 \[\Gamma_Z(X, \mathcal{F}) = \{s \in \mathcal{F}(X) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\}\] 로 둔다. 절단의 지지는 Modules, Definition 01AT에서 정의한다. Modules, Lemma 01AU에 의해 \(\Gamma_Z(X, \mathcal{F})\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)의 부분군이다. 같은 보조정리에 의해 대응 \(\mathcal{F} \mapsto \Gamma_Z(X, \mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}\)에 대한 함자이다. 이 함자는 왼쪽 완전이지만 일반적으로 완전하지는 않다.

아벨 층의 범주에는 충분히 많은 단사 대상이 있으므로(Injectives, Lemma 01DG), Derived Categories, Lemma 05TI에 의해 오른쪽 유도 함자 \[R\Gamma_Z(X, -) : D^+(X) \longrightarrow D^+(\textit{Ab})\] 를 얻는다. 대상 \(K\)에서 \(R\Gamma_Z(X, -)\)의 값은 \(K\)를 단사 아벨 층들로 이루어진 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타낸 뒤 \(\Gamma_Z(X, \mathcal{I}^\bullet)\)를 취하여 계산한다. Derived Categories, Lemma 05TH를 보라. \(Z\)에 지지를 갖는 아벨 층 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지 군은 \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = R^q\Gamma_Z(X, \mathcal{F})\)로 정의한다.

\(\mathcal{I}\)를 \(X\) 위의 단사 아벨 층이라 하고 \(U = X \setminus Z\)로 두자. 그러면 제한 사상 \(\mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U)\)는 전사이며(Lemma 01EA), 그 핵은 \(\Gamma_Z(X, \mathcal{I})\)이다. 곧바로 각 \(K \in D^+(X)\)에 대해 \(D^+(\textit{Ab})\) 안의 특수 삼각형 \[R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(U, K) \to R\Gamma_Z(X, K)[1]\] 을 얻는다. 그 결과 임의의 \(D^+(X)\)의 \(K\)에 대해 긴 코호몰로지 완전열 \[\ldots \to H^i_Z(X, K) \to H^i(X, K) \to H^i(U, K) \to H^{i + 1}_Z(X, K) \to \ldots\] 을 얻는다.

\(X\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(Z\)에 지지를 갖는 절단들의 부분층을 생각할 수 있다. 이를 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)로 나타내고 다음 규칙으로 정의한다. \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \cap Z\} = \Gamma_{Z \cap U}(U, \mathcal{F}|_U)\] Modules, Lemma 01AX의 동치를 사용하여 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)를 \(Z\) 위의 아벨 층으로 볼 수 있다. Modules, Remark 01AY를 보라. 따라서 함자 \[\textit{Ab}(X) \longrightarrow \textit{Ab}(Z),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\text{ viewed as a sheaf on }Z\] 를 얻는다. 이 함자는 왼쪽 완전이지만 일반적으로 완전하지는 않다. 위와 똑같이 오른쪽 유도 함자 \[R\mathcal{H}_Z : D^+(X) \longrightarrow D^+(Z)\] 를 얻는다. \(\mathcal{H}^0_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)가 되도록 \(\mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F}) = R^q\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)로 둔다.

임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\Gamma_Z(X, \mathcal{F}) = \Gamma(Z, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}))\)임에 유의하자. 아래의 Lemma 0A3A에 의해 함자 \(\mathcal{H}_Z\)는 단사 아벨 층을 \(\Gamma(Z, -)\)에 대해 오른쪽 비순환인 층으로 보낸다. 따라서 Derived Categories, Lemma 015N에 의해 \(D^+(X)\)의 \(K\)에 대해 함자적인 수렴하는 Grothendieck 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = H^p(Z, \mathcal{H}^q_Z(K)) \Rightarrow H^{p + q}_Z(X, K)\] 을 얻는다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자. \(\mathcal{I}\)를 \(X\) 위의 단사 아벨 층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I})\)는 \(Z\) 위의 단사 아벨 층이다.

증명

\(\mathcal{H}_Z(-)\)가 완전함자 \(i_*\)의 오른쪽 수반이므로 Homology, Lemma 015Z에서 따른다. Modules, Lemmas 01AX와 01AZ를 보라.

스펙트럴 공간 위의 코호몰로지

스펙트럴 공간의 코호몰로지에 관한 핵심 결과는 Lemma 0A37이다. 대략 말해, 이는 Topology, Definition 08YG에서 정의한 스펙트럴 공간의 범주에서 코호몰로지가 공여과 극한과 교환한다는 뜻이다. 이를 적용하면 Lemmas 09V3와 09V5의 유사한 결과를 다음과 같이 얻을 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스펙트럴 공간이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. \(E \subset X\)를 준콤팩트 부분집합이라 하자. \(W \subset X\)를 \(E\)의 한 점으로 특수화되는 \(X\)의 점들의 집합이라 하자.

1. \(H^p(W, \mathcal{F}|_W) = \colim H^p(U, \mathcal{F})\)이며, 여기서 여극한은 \(E\)의 준콤팩트 열린 근방들에 걸쳐 취한다.

2. \(E\)가 구성가능 부분집합이면 \(H^p(W \setminus E, \mathcal{F}|_{W \setminus E}) = \colim H^p(U \setminus E, \mathcal{F}|_{U \setminus E})\)이다.

증명

Topology, Lemma 0A31에 의해 \(W = \lim U\)임을 알 수 있다. 여기서 극한은 \(E\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합들에 걸쳐 취한다. Topology, Lemma 0902에 의해 각 \(U\)는 스펙트럴 공간이다. 따라서 Lemma 0A37를 적용하여 (1)이 성립함을 얻는다. (2)에도 같은 증명이 적용되지만, 이때는 Topology, Lemma 0AP0를 사용한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스펙트럴 공간 사이의 스펙트럴 사상이라 하자. \(y \in Y\)라 하고, \(E \subset Y\)를 \(y\)로 특수화되는 점들의 집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자. 그러면 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = H^p(f^{-1}(E), \mathcal{F}|_{f^{-1}(E)})\)이다.

증명

\(V\)가 \(Y\)에서 \(y\)의 준콤팩트 열린 근방들을 달릴 때 \(E = \bigcap V\)임에 유의하자. 따라서 \(f^{-1}(E) = \bigcap f^{-1}(V)\)이다. 이는 위상공간으로서 \(f^{-1}(E) = \lim f^{-1}(V)\)임을 뜻한다. \(f\)가 스펙트럴이므로 각 \(f^{-1}(V)\)도 스펙트럴 공간이다(Topology, Lemma 0902). 그러므로 \(f^{-1}(E)\)가 스펙트럴 공간임을 얻으며, Lemma 0A37에 의해 \[H^p(f^{-1}(E), \mathcal{F}|_{f^{-1}(E)}) = \colim H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F})\] 이다. 한편 \(y\)에서 \(R^pf_*\mathcal{F}\)의 줄기는 오른쪽의 여극한으로 주어진다.

보조정리

\(X\)를 프로유한 위상공간이라 하자. 그러면 모든 \(q > 0\)과 모든 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

\(X\)의 임의의 열린 덮개는 열린 조각들로 이루어진 유한 서로소 합 분해로 세분될 수 있다. Topology, Lemma 08ZZ를 보라. 따라서 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 \(X\) 위의 아벨 층의 전사이면 \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{G}(X)\)도 전사이다. 다시 말해 대역 절단 함자는 완전함자이다. 그러므로 그 고차 유도 함자들은 영이다. Derived Categories, Lemma 015F를 보라.

다음 코호몰로지 소멸 결과는 Grothendieck의 결과(Proposition 02UZ)를 개선하며, [Scheiderer]에서 찾을 수 있다.

명제

\(X\)를 크룰 차원 \(d\)인 스펙트럴 공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 층이라 하자.

1. \(q > d\)이면 \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

2. 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(H^d(X, \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\)는 전사이다.

3. 임의의 구성가능 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\)와 \(q > d\)에 대해 \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

이 결과를 \(d\)에 대한 귀납법으로 증명한다.

\(d = 0\)이면 \(X\)는 프로유한 공간이다. Topology, Lemma 0905를 보라. 따라서 (1)은 Lemma 0A3F에서 따른다. \(U \subset X\)가 준콤팩트 열린집합이면, \(U\)는 하우스도르프 공간의 준콤팩트 부분집합이므로 닫힌집합이기도 하다. 따라서 위상공간으로서 \(X = U \amalg (X \setminus U)\)이고 (2)가 성립함을 알 수 있다. (3)의 \(Z\)가 주어지면 긴 완전열 \[H^{q - 1}(X, \mathcal{F}) \to H^{q - 1}(X \setminus Z, \mathcal{F}) \to H^q_Z(X, \mathcal{F}) \to H^q(X, \mathcal{F})\] 을 생각한다. \(X\)와 \(U = X \setminus Z\)가 프로유한이고(실제로 \(Z\)가 구성가능이므로 \(U\)는 준콤팩트이다), (2)와 (1)이 성립하므로 \(Z\)에 지지를 갖는 코호몰로지 군의 원하는 소멸을 얻는다.

귀납 단계를 보자. \(d \geq 1\)이고 차원이 \(< d\)인 모든 스펙트럴 공간에 대해 명제가 성립한다고 가정하자. 먼저 \(X\)에 대해 (2)를 증명한다. \(U\)를 준콤팩트 열린집합이라 하고 \(\xi \in H^d(U, \mathcal{F})\)라 하자. \(Z = X \setminus U\)로 두고, \(W \subset X\)를 \(Z\)로 특수화되는 점들의 집합이라 하자. Lemma 0A3D에 의해 \[H^d(W \setminus Z, \mathcal{F}|_{W \setminus Z}) = \colim_{Z \subset V} H^d(V \setminus Z, \mathcal{F})\] 이다. 여기서 여극한은 \(X\)에서 \(Z\)의 준콤팩트 열린 근방 \(V\)들에 걸쳐 취한다. Topology, Lemma 0A31에 의해 \(W \setminus Z\)가 스펙트럴 공간임을 알 수 있다. \(W\)의 모든 점이 \(Z\)의 한 점으로 특수화되므로 \(W \setminus Z\)는 크룰 차원이 \(< d\)인 스펙트럴 공간이다. 귀납가정에 의해 \(\xi\)의 \(H^d(W \setminus Z, \mathcal{F}|_{W \setminus Z})\)에서의 상은 영이다. 위의 공식에 의해 \(\xi|_{V \setminus Z} = 0\)을 만족하는 준콤팩트 열린집합 \(Z \subset V \subset X\)가 존재한다. \(V \setminus Z = V \cap U\)이므로, 덮개 \(X = U \cup V\)에 대해 Mayer–Vietoris(Lemma 01EB)를 적용하면 \(U\)에서는 \(\xi\)로, \(V\)에서는 영으로 제한되는 \(\tilde \xi \in H^d(X, \mathcal{F})\)가 존재한다. 다시 말해 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하고 (1)을 증명하자. 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하고 \[\mathcal{G} = \Im(\mathcal{I}^{d - 1} \to \mathcal{I}^d) = \Ker(\mathcal{I}^d \to \mathcal{I}^{d + 1})\] 로 두자. 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 다음 완전열들의 사상을 얻는다. \[\xymatrix{ \mathcal{I}^{d - 1}(X) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}(X) \ar[r] \ar[d] & H^d(X, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ \mathcal{I}^{d - 1}(U) \ar[r] & \mathcal{G}(U) \ar[r] & H^d(U, \mathcal{F}) \ar[r] & 0 }\] 층 \(\mathcal{I}^{d - 1}\)은 Lemma 09SX와 \(d \geq 1\)에 의해 플라스크이다. (2)에 의해 오른쪽 수직 화살표는 전사이다. 도표 추적을 하면 사상 \(\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(U)\)가 전사임을 얻는다. Lemma 0A36에 의해 준콤팩트 열린집합을 준콤팩트 열린집합들로 덮는 임의의 유한 덮개 \(\mathcal{U} : U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)와 모든 \(q > 0\)에 대해 \(\check{H}^q(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = 0\)임을 얻는다. Lemma 01EW를 적용하면 \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합 \(U\)와 모든 \(q > 0\)에 대해 \(H^q(U, \mathcal{G}) = 0\)이다. Leray의 비순환성 보조정리(Derived Categories, Lemma 015E)에 의해 \[H^q(X, \mathcal{F}) = H^q\left( \Gamma(X, \mathcal{I}^0) \to \ldots \to \Gamma(X, \mathcal{I}^{d - 1}) \to \Gamma(X, \mathcal{G}) \right)\] 임을 얻는다. 특히 \(q > d\)이면 코호몰로지 군이 소멸한다.

(3)을 증명하자. (3)의 \(Z\)가 주어지면 긴 완전열 \[H^{q - 1}(X, \mathcal{F}) \to H^{q - 1}(X \setminus Z, \mathcal{F}) \to H^q_Z(X, \mathcal{F}) \to H^q(X, \mathcal{F})\] 을 생각한다. \(X\)와 \(U = X \setminus Z\)는 차원이 \(\leq d\)인 스펙트럴 공간이고(Topology, Lemma 0902), (2)와 (1)이 성립하므로 원하는 소멸을 얻는다.

교대 체흐 복합체

이 절에서는 체흐 복합체를 교대 체흐 복합체 및 몇몇 관련 복합체와 비교한다.

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(p \geq 0\)에 대해 \[\check{\mathcal{C}}_{alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \left\{ \begin{matrix} s \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \text{ such that } s_{i_0 \ldots i_p} = 0 \text{ if } i_n = i_m \text{ for some } n \not = m\\ \text{ and } s_{i_0\ldots i_n \ldots i_m \ldots i_p} = -s_{i_0\ldots i_m \ldots i_n \ldots i_p} \text{ in any case.} \end{matrix} \right\}\] 로 두자. Equation (01EE)의 미분 \(d\)가 \(\check{\mathcal{C}}^p_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 \(\check{\mathcal{C}}^{p + 1}_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 안으로 보낸다는 확인은 생략한다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. 복합체 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\)와 열린 덮개 \(\mathcal{U}\)에 딸린 교대 체흐 복합체라 한다.

따라서 복합체의 표준 사상 \[\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 존재한다. 이는 교대 체흐 복합체를 보통의 체흐 복합체에 넣는 포함이다.

덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)에 \(I\) 위의 전순서 \(<\)가 주어졌다고 하자. 이 경우 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{(i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}, i_0 < \ldots < i_p} \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] 로 두자. 이는 아벨 군이다. \(s \in \check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에 대해 \(\mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p})\)에서의 값을 \(s_{i_0\ldots i_p}\)로 나타낸다. 사상 \[d : \check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 을 임의의 \(i_0 < \ldots < i_{p + 1}\)에 대해 공식 \[d(s)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}|_{U_{i_0\ldots i_{p + 1}}}\] 으로 정의한다. 이 공식은 Equation (01EE)과 같다. \(d \circ d = 0\)임은 바로 알 수 있다. 다시 말해 \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체이다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(I\)에 전순서가 주어졌다고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. 복합체 \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\), 열린 덮개 \(\mathcal{U}\), 그리고 \(I\)에 주어진 전순서에 딸린 순서화 체흐 복합체라 한다.

이 복합체를 교대 체흐 복합체라고 부르기도 한다. 그 까닭은 순서화 체흐 복합체와 교대 체흐 복합체 사이에 명백한 비교 사상이 있기 때문이다. 즉, 다음 규칙으로 주어지는 사상 \[c : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 을 생각하자. \[c(s)_{i_0\ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i_n = i_m \text{ for some } n \not = m\\ \text{sgn}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)}\ldots i_{\sigma(p)}} & \text{if} & i_{\sigma(0)} < i_{\sigma(1)} < \ldots < i_{\sigma(p)} \end{matrix} \right.\] 여기서 \(\sigma\)는 \(\{0, \ldots, p\}\)의 순열이고 \(\text{sgn}(\sigma)\)는 그 부호이다. 문헌에서는 흔히 사상 \(c\)를 통해 교대 체흐 복합체와 순서화 체흐 복합체를 동일시한다. 즉, 다음의 쉬운 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(I\)에 전순서가 주어졌다고 가정하자. 사상 \(c\)는 복합체 사상이다. 실제로 이는 복합체의 동형사상 \[c : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 을 유도한다.

증명

생략한다.

다음 규칙으로 기술되는 사상 \[\pi : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 도 있다. \[\pi(s)_{i_0\ldots i_p} = s_{i_0\ldots i_p}\] 여기서 \(i_0 < i_1 < \ldots < i_p\)이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(I\)에 전순서가 주어졌다고 가정하자. 사상 \(\pi : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체 사상이다. 이는 \(c\)의 왼쪽 역인 복합체의 동형사상 \[\pi : \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 을 유도한다.

증명

생략한다.

주

이는 지표집합 \(I\) 위에 두 전순서 \(<_1\)과 \(<_2\)가 있으면 복합체의 동형사상 \(\tau = \pi_2 \circ c_1 : \check{\mathcal{C}}_{ord\text{-}1}(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{ord\text{-}2}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 얻는다는 뜻이다. 다음은 명백하다. \[\tau(s)_{i_0 \ldots i_p} = \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\] 여기서 \(i_0 <_1 i_1 <_1 \ldots <_1 i_p\)이고 \(i_{\sigma(0)} <_2 i_{\sigma(1)} <_2 \ldots <_2 i_{\sigma(p)}\)이다. 이런 의미에서 순서화 체흐 복합체는 선택한 전순서와 무관하다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(I\)에 전순서가 주어졌다고 가정하자. 사상 \(c \circ \pi\)는 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 위의 항등사상과 호모토픽이다. 특히 포함 사상 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 호모토피 동치이다.

증명

임의의 다중지표 \((i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}\)에 대해 다음을 만족하는 유일한 순열 \(\sigma : \{0, \ldots, p\} \to \{0, \ldots, p\}\)가 존재한다. \[i_{\sigma(0)} \leq i_{\sigma(1)} \leq \ldots \leq i_{\sigma(p)} \quad \text{and} \quad \sigma(j) < \sigma(j + 1) \quad \text{if} \quad i_{\sigma(j)} = i_{\sigma(j + 1)}.\] 이 순열을 \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\)로 나타낸다.

임의의 순열 \(\sigma : \{0, \ldots, p\} \to \{0, \ldots, p\}\)와 임의의 \(a\), \(0 \leq a \leq p\)에 대해, \(0 \leq j < a\)이면 \(\sigma_a(j) = \sigma(j)\)이고 \(\sigma_a(a) < \sigma_a(a + 1) < \ldots < \sigma_a(p)\)인 \(\{0, \ldots, p\}\)의 유일한 순열을 \(\sigma_a\)로 나타낸다. 예를 들어 \(p = 3\)이고 \(\sigma\), \(\tau\)가 \[\begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \sigma & 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} \quad \text{and} \quad \begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \tau & 3 & 0 & 2 & 1 \end{matrix}\] 로 주어지면 \[\begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \sigma_0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \sigma_1 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \sigma_2 & 3 & 2 & 0 & 1 \\ \sigma_3 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \quad \text{and} \quad \begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \tau_0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \tau_1 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \tau_2 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \tau_3 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix}\] 을 얻는다. 항상 \(\sigma_0 = \text{id}\)이고 \(\sigma_p = \sigma\)임은 명백하다.

이 표기를 도입했으므로 \(s \in \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에 대해 \(h(s) \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 다음 성분들을 갖는 원소로 정의한다. [01FN]\[\begin{equation} h(s)_{i_0\ldots i_p} = \sum\nolimits_{0 \leq a \leq p} (-1)^a \text{sign}(\sigma_a) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(a)} i_{\sigma_a(a)} \ldots i_{\sigma_a(p)}} \end{equation}\] 여기서 \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\)이다. 지표 \(i_{\sigma(a)}\)는 \(i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(a)} i_{\sigma_a(a)} \ldots i_{\sigma_a(p)}\)에 두 번 나타난다. 한 번은 처음 \(a + 1\)개 지표의 모임에, 다른 한 번은 두 번째 \(p - a + 1\)개 지표의 모임에 나타난다. 실제로 \(\sigma_a\)의 정의에 의해 어떤 \(j \geq a\)에 대해 \(\sigma_a(j) = \sigma(a)\)이다. 따라서 각 원소 \(s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(a)} i_{\sigma_a(a)} \ldots i_{\sigma_a(p)}}\)가 열린집합 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 위에서 정의되므로 합은 의미가 있다. 또한 \(a = 0\)이면 \(s_{i_0 \ldots i_p}\)를 얻고, \(a = p\)이면 \((-1)^p \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\)를 얻는다.

다음을 주장한다. \[(dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p} - \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\] 여기서 \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\)이다. 이 주장의 확인은 생략한다. (stacks-project 하위 디렉터리 scripts에는 이 주장의 유한 개 사례를 확인하는 데 쓸 수 있는 first-homotopy.gp라는 PARI/gp 스크립트가 있다. 부호가 올바른지 확인하기 위해 이 스크립트를 작성했다.) 다음 규칙으로 주어지는 연산자를 \[\kappa : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 라 하자. \[\kappa(s)_{i_0 \ldots i_p} = \text{sign}(\sigma^{i_0 \ldots i_p}) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}.\] 위 주장은 \(\kappa\)가 복합체 사상이며 \(\kappa\)가 체흐 복합체의 항등사상과 호모토픽임을 뜻한다. 그러나 연산자 \(\kappa\)의 상은 교대 부분복합체가 아니므로 이것만으로 보조정리가 곧바로 따라오지는 않는다. 실제로 \(\kappa\)의 상은 “준교대” 복합체 \(\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)이다. 이 복합체의 \(p\)-코체인이 \(s\)라는 것은, 임의의 \((i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}\)와 \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\)에 대해 \[s_{i_0 \ldots i_p} = \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\] 인 것과 동치이다. 체흐 복합체의 또 다른 변형인 준순서화 체흐 복합체를 다음과 같이 정의한다. \[\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{i_0 \leq i_1 \leq \ldots \leq i_p} \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\] Equation (01EE)이 여기에서도 미분을 정의하여 복합체를 준다는 것은 쉽게 알 수 있다. 또한 (Lemma 01FK와 마찬가지로) 사영 사상 \[\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 복합체의 동형사상임도 명백하다.

그러므로 명백한 포함 사상 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 호모토피 동치임을 보이면 보조정리가 따른다. 이를 위해 다음 호모토피를 사용한다. [01FO]\[\begin{equation} h(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i_0 < i_1 < \ldots < i_p \\ (-1)^a s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_a i_a i_{a + 1} \ldots i_p} & \text{if} & i_0 < i_1 < \ldots < i_{a - 1} < i_a = i_{a + 1} \end{matrix} \right. \end{equation}\] 다음을 주장한다. \[(dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i_0 < i_1 < \ldots < i_p \\ s_{i_0 \ldots i_p} & \text{else} & \end{matrix} \right.\] 확인은 생략한다. (stacks-project 하위 디렉터리 scripts에는 이 주장의 유한 개 사례를 확인하는 데 쓸 수 있는 second-homotopy.gp라는 PARI/gp 스크립트가 있다. 부호가 올바른지 확인하기 위해 이 스크립트를 작성했다.) 이 주장은 사영과 자연스러운 포함의 합성 \[\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 원하는 대로 항등사상과 호모토픽임을 분명히 보여 준다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 어떤 \(i \in I\)에 대해 \(U_i = U\)이면, \(\mathcal{F}(U)\)를 차수 \(-1\)에 놓고 \(\mathcal{F}(U)\)에서 \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)로 가는 표준 사상을 미분으로 삼아 얻는 확대 교대 체흐 복합체 \[\mathcal{F}(U) \to \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 는 \(0\)과 호모토피 동치이다. 마찬가지로 \(I\) 위의 임의의 전순서에 대해 확대 순서화 체흐 복합체 \[\mathcal{F}(U) \to \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 는 \(0\)과 호모토피 동치이다.

증명

Lemmas 0G6S와 01FM을 결합하면 된다.

증명

교대 체흐 복합체와 순서화 체흐 복합체는 동형이므로 순서화된 것에 대해 증명하면 충분하다. 표준 표기를 쓰자. 확대 순서화 체흐 복합체에서 차수 \(p\)인 코체인 \(s\)는 \(s = (s_{i_0 \ldots i_p})\)의 꼴이며, 여기서 \(s_{i_0 \ldots i_p}\)는 \(\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\)에 속하고 \(i_0 < \ldots < i_p\)이다. 이 표기로 \[d(x)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_j (-1)^j x_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}\] 이다. \(U = U_i\)인 지표 \(i \in I\)를 고정하자. 호모토피로 다음 규칙에 의해 주어지는 사상들을 사용한다. \[h : \text{cochains of degree }p + 1 \to \text{cochains of degree }p\] \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = 0 \text{ if } i \in \{i_0, \ldots, i_p\} \text{ and } h(s)_{i_0 \ldots i_p} = (-1)^j s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} \text{ if not}\] 두 번째 경우 \(j\)는 \(i_j < i < i_{j + 1}\)을 만족하는 유일한 지표이다. 또한 \(U = U_i\)이므로 등식 \[\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p}) = \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p})\] 이 성립하며, 이를 사용하면 \((-1)^j s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p}\)를 \(\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\)의 원소로 생각할 수 있다. 계산을 통해 \(d h + h d\)가 항등사상의 음수와 같음을 보일 것이다. 그러면 증명이 끝난다. 이를 위해 차수 \(p\)인 코체인 \(s\)를 고정하고 \(I\)의 원소 \(i_0 < \ldots < i_p\)를 택하자.

경우 I: \(i \in \{i_0, \ldots, i_p\}\)라고 하자. \(i = i_t\)라 하자. 그러면 \(h(d(s))_{i_0 \ldots i_p} = 0\)이다. 한편 \[d(h(s))_{i_0 \ldots i_p} = \sum (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} = (-1)^t h(s)_{i_0 \ldots \hat i \ldots i_p} = (-1)^t (-1)^{t - 1} s_{i_0 \ldots i_p}\] 이다. 따라서 원하는 대로 \((dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = -s_{i_0 \ldots i_p}\)이다.

경우 II: \(i \not \in \{i_0, \ldots, i_p\}\)라고 하자. \(i_j < i < i_{j + 1}\)인 \(j\)를 택하면 \[\begin{align*} h(d(s))_{i_0 \ldots i_p} & = (-1)^j d(s)_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} \\ & = \sum\nolimits_{j' \leq j} (-1)^{j + j'} s_{i_0 \ldots \hat i_{j'} \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} - s_{i_0 \ldots i_p} \\ & + \sum\nolimits_{j' > j} (-1)^{j + j' + 1} s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots \hat i_{j'} \ldots i_p} \end{align*}\] 임을 알 수 있다. 한편 \[\begin{align*} d(h(s))_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j'} (-1)^{j'} h(s)_{i_0 \ldots \hat i_{j'} \ldots i_p} \\ & = \sum\nolimits_{j' \leq j} (-1)^{j' + j - 1} s_{i_0 \ldots \hat i_{j'} \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} \\ & + \sum\nolimits_{j' > j} (-1)^{j' + j} s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots \hat i_{j'} \ldots i_p} \end{align*}\] 이다. 이들을 더하면 원하는 대로 \((dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = - s_{i_0 \ldots i_p}\)를 얻는다.

체흐 복합체에 대한 대안적 관점

이 절에서는 체흐 복합체와 코호몰로지의 관계를 확립하는 다른 방법을 논의한다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 \(X\)의 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U_{i_0 \ldots i_p}\)에 제한한 것을 \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\)로 나타내자. 다음을 만족하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)가 존재한다. \[{\mathfrak C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} (j_{i_0 \ldots i_p})_* \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] 그리고 미분 \(d : {\mathfrak C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to {\mathfrak C}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 Equation (01EE)과 같다. 또한 유사동형인 표준 사상 \[\mathcal{F} \to {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 존재한다. 즉, \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}\)의 분해이다.

증명

\[0 \to \mathcal{F} \to \mathfrak{C}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \mathfrak{C}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \ldots\] 이 줄기에서 완전함을 확인하자. \(x \in X\)라 하고 \(x \in U_{i_{\text{fix}}}\)인 \(i_{\text{fix}} \in I\)를 택하자. 그러면 다음과 같이 \[h : \mathfrak{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x \to \mathfrak{C}^{p - 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x\] 를 정의한다. \(s \in \mathfrak{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x\)이면 \(x\)의 어떤 근방 \(V\)에서 정의된 대표 \[\widetilde{s} \in \mathfrak{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})(V) = \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{F}(V \cap U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p})\] 를 택하고 \[h(s)_{i_0 \ldots i_{p - 1}} = \widetilde{s}_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_{p - 1}, x}.\] 로 둔다. 같은 공식으로(\(p = 0\)인 경우) \(\mathfrak{C}^{0}(\mathcal{U},\mathcal{F})_x \to \mathcal{F}_x\)인 사상을 얻는다. 형식적으로 다음과 같이 계산한다. \[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 이는 \(h\)가 확대 복합체 \[0 \to \mathcal{F}_x \to \mathfrak{C}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x \to \mathfrak{C}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x \to \ldots\] 의 항등사상에서 영으로 가는 호모토피임을 보여 주므로 결론을 얻는다.

이 보조정리를 사용하면 Lemma 01ES의 체흐-코호몰로지 스펙트럼열을 쉽게 다시 증명할 수 있다. 즉, \(X\), \(\mathcal{U}\), \(\mathcal{F}\)를 Lemma 02FU에서와 같이 두고 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 그러면 이중 복합체 \[A^{\bullet, \bullet} = \Gamma(X, {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)).\] 를 생각할 수 있다. 구성에 의해 \[A^{p, q} = \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{I}^q(U_{i_0 \ldots i_p})\] 이다. 이 이중 복합체에 딸린 Homology, Section 012X의 두 스펙트럼열을 생각하자. 특히 Homology, Lemma 0130를 보라. 곱을 취하는 것이 완전하므로(Homology, Lemma 060K), 스펙트럼열 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\)에 대해서는 \({}'E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)를 얻는다. 스펙트럼열 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\)에 대해서는 \(p > 0\)이면 \({}''E_2^{p, q} = 0\)이고 \({}''E_2^{0, q} = H^q(X, \mathcal{F})\)임을 얻는다. 실제로 \(q\)를 고정하면 층의 복합체 \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)는 단사층 \(\mathcal{I}^q\)의 분해(Lemma 02FU)이며, 그 항들도 단사층이다(Lemmas 01E1, 02N5와 Homology, Lemma 0137에 의한다). 따라서 \(\Gamma(X, {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q))\)의 코호몰로지는 양의 차수에서는 영이고 차수 \(0\)에서는 \(\Gamma(X, \mathcal{I}^q)\)와 같다. 다음 미분의 코호몰로지를 취하면 스펙트럼열 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\)에 대한 주장을 얻는다. 두 스펙트럼열 모두 \(A^{\bullet, \bullet}\)에 딸린 전체 복합체의 코호몰로지로 수렴하므로 결과가 따른다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 국소 유한이라는 것은, 모든 \(x \in X\)에 대해 \(x\)의 열린 근방 \(W\)가 존재하여 \(\{i \in I \mid W \cap U_i \not = \emptyset\}\)가 유한이라는 뜻이다.

주

\(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 국소 유한 열린 덮개라 하자. 포함 사상을 \(j_i : U_i \to X\)로 나타내자. 각 \(i\)에 대해 \(U_i\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}_i\)가 주어졌다고 하자. 아벨 층 \(\mathcal{G} = \bigoplus_{i \in I} (j_i)_*\mathcal{F}_i\)를 생각하자. 그러면 실제로 열린집합 \(V \subset X\)에 대해 \[\Gamma(V, \mathcal{G}) = \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i(V \cap U_i).\] 이다. 다시 말해 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} (j_i)_*\mathcal{F}_i = \prod\nolimits_{i \in I} (j_i)_*\mathcal{F}_i\] 이다. 층들의 모임의 직합이 우리가 예상하는 것의 층화라는 점을 깨닫기 전에는 이것이 이상해 보인다. Modules, Section 01AF의 논의를 보라. 따라서 이 경우 Lemma 02FU의 복합체의 항들은 \[{\mathfrak C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} (j_{i_0 \ldots i_p})_* \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] 이고, 이는 때때로 유용하다.

복합체의 체흐 코호몰로지

일반적으로 \(X\) 위의 아벨 군의 층 \({\mathcal F}\)와 \({\mathcal G}\)에 대해 컵곱 사상 \[H^i(X, {\mathcal F}) \times H^j(X, {\mathcal G}) \longrightarrow H^{i + j}(X, {\mathcal F} \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}).\] 이 존재한다. 이 절에서는 컵곱의 명시적 공식을 써서 체흐 코사이클로 이를 정의한다. 코호몰로지가 체흐 코호몰로지와 같지 않을 수 있다는 점이 염려된다면, 초덮개를 쓰면서도 코사이클 표기를 사용할 수 있다. 이는 임의의 토포스 위의 초코호몰로지에 대한 컵곱을 정의하는 데에도 쓸 수 있다는 장점이 있다(향후 참고문헌 삽입).

\({\mathcal F}^\bullet\)을 \(X\) 위의 아벨 군의 준층들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하자. 흔히 체흐 코사이클을 사용하여 \(H^n(X, {\mathcal F}^\bullet)\)을 계산할 수 있다. 실제로 \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 \(X\)의 열린 덮개라 하자. 체흐 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) (Definition 01EF)는 준층 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이므로 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)\)을 얻는다. \(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)\)에 딸린 전체 복합체는 차수 \(n\)의 항이 \[\text{Tot}^n(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \prod\nolimits_{i_0\ldots i_p} {\mathcal F}^q(U_{i_0\ldots i_p})\] 인 복합체이다. Homology, Definition 012Z을 보라. \(\text{Tot}^n\)의 전형적인 원소를 \(\alpha = \{\alpha_{i_0\ldots i_p}\}\)로 나타내며, 여기서 \(\alpha_{i_0 \ldots i_p} \in \mathcal{F}^q(U_{i_0\ldots i_p})\)이다. 다시 말해 \(\alpha_{i_0\ldots i_p}\)의 \(\mathcal{F}\)-차수는 \(q = n - p\)이다. 이 표기를 쓰려면 \(\alpha\)가 어느 차수에 속하는지를 항상 유념해야 한다. 이 상황을 공식 \(\deg_{\mathcal F}(\alpha_{i_0\ldots i_p}) = q\)로 나타낸다. Homology, Definition 012Z의 규약에 따르면, 차수 \(n\)인 원소 \(\alpha\)의 미분은 \[d(\alpha)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{p + 1}d_{{\mathcal F}}(\alpha_{i_0 \ldots i_{p + 1}})\] 로 주어진다. 여기서 \(d_\mathcal{F}\)는 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)의 미분이다. 표현 \(\alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}\)는 \(\alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} \in {\mathcal F}(U_{i_0\ldots\hat i_j\ldots i_{p + 1}})\)를 \(U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\)에 제한한 것을 뜻한다.

\(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\)의 구성은 \({\mathcal F}^\bullet\)에 대해 함자적이다. 또한 다음 복합체의 자연변환이 있다. [07M9]\[\begin{equation} \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \end{equation}\] 이는 다음 규칙으로 정의된다. 절단 \(s\in \Gamma(X, {\mathcal F}^n)\)는 \(\alpha_{i_0} = s|_{U_{i_0}}\)이고 \(p > 0\)에 대해 \(\alpha_{i_0\ldots i_p} = 0\)인 원소 \(\alpha = \{\alpha_{i_0\ldots i_p}\}\)로 보내진다.

세분을 보자. \({\mathcal V} = \{ V_j \}_{j\in J}\)를 \({\mathcal U}\)의 세분이라 하자. 이는 모든 \(j\in J\)에 대해 \(V_j \subset U_{t(j)}\)인 사상 \(t: J \to I\)가 존재한다는 뜻이다. 이로부터 자연변환 [08BM]\[\begin{equation} T_t : \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal V}, {\mathcal F}^\bullet)). \end{equation}\] 을 얻으며, 이는 규칙 \[T_t(\alpha)_{j_0\ldots j_p} = \alpha_{t(j_0)\ldots t(j_p)}|_{V_{j_0\ldots j_p}}.\] 으로 정의된다. 위와 같은 두 사상 \(t, t' : J \to I\)에 대해 위에서 구성한 사상 \(T_t\)와 \(T_{t'}\)는 호모토픽이다. 호모토피는 차수 \(n\)인 원소 \(\alpha\)에 대해 \[h(\alpha)_{j_0\ldots j_p} = \sum\nolimits_{a = 0}^{p} (-1)^a \alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)}\] 로 주어진다. 이는 다음 계산으로 확인된다. 여기서 다시 \(\alpha\)는 차수 \(n\)인 원소이다(따라서 \(d(\alpha)\)의 차수는 \(n + 1\)이고 \(h(\alpha)\)의 차수는 \(n - 1\)이다). \[\begin{align*} ( d(h(\alpha)) + h(d(\alpha)) )_{j_0\ldots j_p} = & \sum\nolimits_{k = 0}^p (-1)^k h(\alpha)_{j_0 \ldots \hat j_k \ldots j_p} + \\ & (-1)^p d_{\mathcal F}(h(\alpha)_{j_0 \ldots j_p}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^a d(\alpha)_{t(j_0) \ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)} \\ = & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = 0}^{k - 1} (-1)^{k + a} \alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a)t'(j_a)\ldots \hat{t'(j_k)}\ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = k + 1}^p (-1)^{k + a - 1} \alpha_{t(j_0)\ldots \hat{t(j_k)}\ldots t(j_a)t'(j_a)\ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^{p + a} d_{\mathcal F}(\alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = 0}^a (-1)^{a + k} \alpha_{t(j_0)\ldots\hat{t(j_k)}\ldots t(j_a)t'(j_a)\ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = a}^p (-1)^{a + k + 1} \alpha_{t(j_0) \ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots \hat{t'(j_k)} \ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^{a + p + 1} d_{\mathcal F}(\alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)}) \\ = & \alpha_{t'(j_0)\ldots t'(j_p)} + (-1)^{2p + 1}\alpha_{t(j_0)\ldots t(j_p)} \\ = & T_{t'}(\alpha)_{j_0\ldots j_p} - T_t(\alpha)_{j_0\ldots j_p} \end{align*}\] 상쇄의 확인은 독자에게 맡긴다. (첫째, 둘째, 넷째, 다섯째 합의 항들 가운데 \(k\)와 \(a\)를 모두 갖는 항들은 상쇄된다. 다만 넷째와 다섯째에만 나타나는 \(a = k\)인 항들은 서로 상쇄되며, 원하는 두 항은 예외이다.) 따라서 유도 사상 \[H^n(T_t) : H^n( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \to H^n( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal V}, {\mathcal F}^\bullet)) )\] 은 \(t\)의 선택과 무관하다. 모든 세분에 걸친 체흐 코호몰로지 군의 여극한을 사상 \(H^\bullet(T_t)\)를 통해 취한 것을 체흐 초코호몰로지라 정의한다.

(\(X\)의 모든 열린 덮개에 걸친) 여극한에서 다음 보조정리는 체흐 초코호몰로지에서 코호몰로지로 가는 사상을 준다. 이는 흔히 동형사상이며, 초덮개를 사용하면 항상 동형사상이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 표준 사상 \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\] 이 존재한다. 이는 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 함자적이며 (07M9) 및 (08BM)과 양립한다. 또한 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F}^\bullet)\)로 수렴하는 스펙트럼열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 존재하며 \[E_2^{p, q} = H^p(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}^\bullet)))\] 이다.

증명

\({\mathcal I}^\bullet\)을 아래로 유계인 단사 대상들의 복합체라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)에 대한 (07M9)의 사상은 \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet))\)이다. 이는 Homology, Lemma 0133을 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)\)에 적용하고 Lemma 01EP를 사용하면 아벨 군의 복합체의 유사동형임을 알 수 있다. \({\mathcal F}^\bullet \to {\mathcal I}^\bullet\)을 \({\mathcal F}^\bullet\)에서 아래로 유계인 단사 대상들의 복합체로 가는 유사동형이라 하자. \(R\Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet)\)은 복합체 \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet)\)로 표현되므로 다음 사상을 사용하여 보조정리의 사상을 얻는다. \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)).\] 함자성과 양립성의 확인은 생략한다. 보조정리의 스펙트럼열을 구성하기 위해 Cartan–Eilenberg 분해 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^{\bullet, \bullet}\)을 택하자. Derived Categories, Lemma 015I를 보라. 이 경우 \(\mathcal{F}^\bullet \to \text{Tot}(\mathcal{I}^{\bullet, \bullet})\)은 단사 분해이고, 따라서 위에서 본 바와 같이 \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}({\mathcal I}^{\bullet, \bullet})))\] 가 \(R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\)을 계산한다. Homology, Remark 08BI에 의해 이를 삼중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^{\bullet, \bullet})\)에 딸린 전체 복합체로 볼 수 있다. 따라서 같은 비고를 다시 사용하면 이를 항들이 \[A^{n, m} = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \check{\mathcal{C}}^p({\mathcal U}, \mathcal{I}^{q, m})\] 인 이중 복합체 \(A^{\bullet, \bullet}\)에 딸린 전체 복합체로 볼 수 있다. \(\mathcal{I}^{q, \bullet}\)은 \(\mathcal{F}^q\)의 단사 분해이므로 \(A^{\bullet, \bullet}\)에 딸린 첫 번째 스펙트럼열(Homology, Lemma 0130)을 적용하여 \[E_1^{n, m} = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^m(\mathcal{F}^q))\] 인 스펙트럼열을 얻는다. 이는 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \underline{H}^m(\mathcal{F}^\bullet))\)의 \(n\)번째 항이다. 따라서 보조정리에 기술된 \(E_2\) 항들을 얻는다. 수렴성은 Homology, Lemma 0132에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하자. 모든 \(i > 0\)과 모든 \(p, i_0, \ldots, i_p, q\)에 대해 \(H^i(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}^q) = 0\)이면, Lemma 08BN의 사상 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \to R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\) 은 동형사상이다.

증명

Lemma 08BN의 스펙트럼열에서 곧바로 따른다.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하고 \(b\)를 정수라 하자. 유도 범주에서 다음 가환 도표가 존재한다고 주장한다. \[\xymatrix{ \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet))[b] \ar[r] \ar[d]_\gamma & R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)[b] \ar[d] \\ \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet[b])) \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet[b]) }\] 여기서 사상 \(\gamma\)는 Homology, Remark 0FLG에서 구성한 복합체의 사상이다. 이 말이 의미가 있는 까닭은 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet[b])\)가 Homology, Remark 0FLG에서 도입한 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)[0, b]\)와 분명히 같기 때문이다. 도표의 가환성을 확인하기 위해 Lemma 08BN의 증명에서처럼 단사 분해 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택할 수 있다. 도표를 추적하면 \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 바꾼 경우에 도표가 가환함을 확인하는 것으로 충분함을 알 수 있다. 이제 확대된 도표 \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)[b] \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))[b] \ar[r] \ar[d]_\gamma & R\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)[b] \ar[d] \\ \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet[b]) \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet[b])) \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet[b]) }\] 를 생각하자. 여기서 왼쪽 수평 화살표들은 (07M9)이다. 이 경우 수평 화살표들은 유도 범주에서 동형사상이므로(Lemma 08BN의 증명을 보라), 왼쪽 정사각형이 가환함을 보이면 충분하다. 이는 사상 \(\gamma\)가 직합항 \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^{q + b})\)에서 부호 \(1\)을 사용하기 때문이다. Homology, Remark 0FLG의 공식을 보라.

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하며, \(\mathcal{F}^\bullet\)을 아벨 군의 준층들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하자. 다음과 같이 정의되는 사상 \(\tau : \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) 를 생각하자. \[\tau(\alpha)_{i_0 \ldots i_p} = (-1)^{p(p + 1)/2} \alpha_{i_p \ldots i_0}.\] 그러면 차수 \(n\)인 원소 \(\alpha\)에 대해 \[\begin{align*} & d(\tau(\alpha))_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \tau(\alpha)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{p + 1} d_{\mathcal F}(\tau(\alpha)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}) \\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^{j + \frac{p(p + 1)}{2}} \alpha_{i_{p + 1} \ldots \hat i_j \ldots i_0} + (-1)^{p + 1 + \frac{(p + 1)(p + 2)}{2}} d_{\mathcal F}(\alpha_{i_{p + 1} \ldots i_0}) \end{align*}\] 이다. 한편 \[\begin{align*} & \tau(d(\alpha))_{i_0\ldots i_{p + 1}} \\ & = (-1)^{\frac{(p + 1)(p + 2)}{2}} d(\alpha)_{i_{p + 1} \ldots i_0} \\ & = (-1)^{\frac{(p + 1)(p + 2)}{2}} \left( \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \alpha_{i_{p + 1}\ldots \hat i_{p + 1 - j} \ldots i_0} + (-1)^{p + 1} d_{\mathcal F}(\alpha_{i_{p + 1}\ldots i_0}) \right) \end{align*}\] 이다. \(p(p + 1)/2 \equiv (p + 1)(p + 2)/2 + p + 1 \bmod 2\)이므로 \(d(\tau(\alpha)) = \tau(d(\alpha))\)임을 얻는다. 다시 말해 \(\tau\)는 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\)의 자기 사상이다. 도표 \[\begin{matrix} \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) & \longrightarrow & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \\ \downarrow \text{id} & & \downarrow \tau \\ \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) & \longrightarrow & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \end{matrix}\] 가 가환함에 유의하자. 또한 \(\tau\)는 분명히 세분과 양립한다. 이는 \(\tau\)가 체흐 코호몰로지 위에서 항등사상으로 작용함을 시사한다. 즉, 여극한에서 그러하다. 다만 체흐 초코호몰로지가 초코호몰로지와 일치한다고 가정하며, 초덮개를 쓰면 이는 항상 성립한다. 실제로 \(\tau\)가 전체 체흐 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) 위에서 항등사상과 호모토픽이라고 주장한다. 이를 증명하기 위해 차수 \(n\)인 \(\alpha\)에 대해 다음을 호모토피로 사용한다. \[h(\alpha)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{a = 0}^p \epsilon_p(a) \alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a} \quad\text{with}\quad \epsilon_p(a) = (-1)^{\frac{(p - a)(p - a - 1)}{2} + p}\] 보통처럼 \(|_{U_{i_0 \ldots i_p}}\)는 쓰지 않는다. 이는 다음 계산으로 확인된다. 여기서 다시 \(\alpha\)는 차수 \(n\)인 원소이다. \[\begin{align*} (d(h(\alpha)) + h(d(\alpha)))_{i_0 \ldots i_p} = & \sum\nolimits_{k = 0}^p (-1)^k h(\alpha)_{i_0 \ldots \hat i_k \ldots i_p} + \\ & (-1)^p d_{\mathcal F}(h(\alpha)_{i_0 \ldots i_p}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \epsilon_p(a) d(\alpha)_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a} \\ = & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = 0}^{k - 1} (-1)^k \epsilon_{p - 1}(a) \alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots \hat{i_k} \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = k + 1}^p (-1)^k \epsilon_{p - 1}(a - 1) \alpha_{i_0 \ldots \hat{i_k} \ldots i_a i_p \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^p \epsilon_p(a) d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = 0}^a \epsilon_p(a) (-1)^k \alpha_{i_0 \ldots \hat{i_k} \ldots i_a i_p \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = a}^p \epsilon_p(a) (-1)^{p + a + 1 - k} \alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots \hat{i_k} \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \epsilon_p(a) (-1)^{p + 1} d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a}) \\ = & \epsilon_p(0) \alpha_{i_p \ldots i_0} + \epsilon_p(p) (-1)^{p + 1} \alpha_{i_0 \ldots i_p} \\ = & (-1)^{\frac{p(p + 1)}{2}}\alpha_{i_p \ldots i_0} - \alpha_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 다음 등식들 때문에 상쇄가 일어난다. \[(-1)^k \epsilon_{p - 1}(a) + \epsilon_p(a)(-1)^{p + a + 1 - k} = 0 \quad\text{and}\quad (-1)^k\epsilon_{p - 1}(a - 1) + \epsilon_p(a) (-1)^k = 0\] 상쇄의 확인은 독자에게 맡긴다.

아벨 층들로 이루어진 아래로 유계인 두 복합체 \({\mathcal F}^\bullet\)과 \({\mathcal G}^\bullet\)이 있다고 하자. 복합체 \(\text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}^\bullet)\)을 항들이 \(\bigoplus_{p + q = n} {\mathcal F}^p \otimes {\mathcal G}^q\)이고, 동차 원소 \(\alpha\)와 \(\beta\)에 대한 미분이 규칙 [07MA]\[\begin{equation} d(\alpha \otimes \beta) = d(\alpha)\otimes \beta + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \otimes d(\beta) \end{equation}\] 으로 주어지는 복합체라 정의한다. Homology, Definition 012Z을 보라.

\(M^\bullet\)과 \(N^\bullet\)을 아벨 군으로 이루어진 아래로 유계인 두 복합체라 하자. \(m\), 각각 \(n\)이 \(M^\bullet\), 각각 \(N^\bullet\)의 코사이클이면, \(m \otimes n\)은 \(\text{Tot}(M^\bullet\otimes N^\bullet)\)의 코사이클임이 바로 따른다. 따라서 컵곱 \[H^i(M^\bullet) \times H^j(N^\bullet) \longrightarrow H^{i + j}(Tot(M^\bullet\otimes N^\bullet)).\] 을 얻는다. 이는 More on Algebra, Section 068G에서도 논의한다.

그러므로 복합체의 초코호몰로지에서 컵곱을 구성하는 일은 복합체 사상 [07MB]\[\begin{equation} \text{Tot}\left( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \otimes_{\mathbf Z} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}^\bullet)) \right) \longrightarrow \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes {\mathcal G}^\bullet) )) \end{equation}\] 의 구성에 달려 있다. 이 사상을 \(\cup\)로 나타내며 다음 규칙으로 주어진다. \[(\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(n, m, p, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots i_p}.\] 여기서 \(\alpha\)의 차수는 \(n\)이고 \(\beta\)의 차수는 \(m\)이며 \[\epsilon(n, m, p, r) = (-1)^{(p + r)n + rp + r}.\] 로 둔다. \(\epsilon(n, m, p, n) = 1\)임에 유의하자. 따라서 \(\mathcal{F}^\bullet = \mathcal{F}[0]\)가 차수 \(0\)에 놓인 하나의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)로 이루어진 복합체이면 \(\cup\)의 공식에는 부호가 없다(이 경우 \(r = n\)이 아니면 \(\alpha_{i_0 \ldots i_r} = 0\)이기 때문이다). 부호가 있어야 하는 이유와 그 계산법은 Deligne의 [SGA4, Exposee XVII]를 보라. (07MB)가 복합체 사상임을 확인하려면 \(\text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \otimes_{\mathbf Z} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}^\bullet)) )\) 위의 미분 정의(Homology, Definition 012Z)에 따라 \[d(\alpha \cup \beta) = d(\alpha) \cup \beta + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \cup d(\beta)\] 임을 보여야 한다. 먼저 \[\begin{align*} d(\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = & \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j (\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{p + 1} d_{{\mathcal F} \otimes {\mathcal G}} ((\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}) \\ = & \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{r = 0}^{j - 1} (-1)^j \epsilon(n, m, p, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{r = j + 1}^{p + 1} (-1)^j \epsilon(n, m, p, r - 1) \alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} (-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) d_{{\mathcal F} \otimes {\mathcal G}} (\alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots i_{p + 1}}) \end{align*}\] 를 계산한다. 마지막 항의 직합항들은 \[(-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) \left( d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_r}) \otimes \beta_{i_r \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{n - r} \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes d_{\mathcal G}(\beta_{i_r \ldots i_{p + 1}}) \right).\] 와 같다. 실제로 \(\deg_\mathcal{F}(\alpha_{i_0 \ldots i_r}) = n - r\)이다. 한편 \[\begin{align*} (d(\alpha) \cup \beta)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) d(\alpha)_{i_0\ldots i_r} \otimes \beta_{i_r\ldots i_{p + 1}} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{j = 0}^{r} \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^j \alpha_{i_0\ldots\hat{i_j}\ldots i_r} \otimes \beta_{i_r\ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^r d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_r}) \otimes \beta_{i_r\ldots i_{p + 1}} \end{align*}\] 이고, \[\begin{align*} (\alpha \cup d(\beta))_{i_0\ldots i_{p + 1}} = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes d(\beta)_{i_r \ldots i_{p + 1}} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{j = r}^{p + 1} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{j - r} \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots \hat{i_j}\ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{p + 1 - r} \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes d_{\mathcal G}(\beta_{i_r \ldots i_{p + 1}}) \end{align*}\] 이다. 다음 등식들이 성립하면 원하는 등식이 성립한다. \[\begin{align*} (-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) & = \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^r \\ (-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) (-1)^{n - r} & = (-1)^n \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{p + 1 - r} \\ \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^r & = (-1)^{1 + n} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r - 1) \\ (-1)^j \epsilon(n, m, p, r) & = (-1)^n \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{j - r} \\ (-1)^j \epsilon(n, m, p, r - 1) & = \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^j \end{align*}\] (셋째 등식은 \(d(\alpha) \cup \beta\)와 \((-1)^n \alpha \cup d(\beta)\)에서 \(r = j\)인 항들이 서로 상쇄되게 하는 데 필요하다.) 확인은 독자에게 맡긴다. (또는 Stacks 프로젝트의 scripts 하위 디렉터리에 있는 signs.gp 스크립트를 확인하라.)

컵곱의 결합법칙을 보자. \({\mathcal F}^\bullet\), \({\mathcal G}^\bullet\), \({\mathcal H}^\bullet\)을 \(X\) 위의 아벨 군으로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하자. 부호가 개입하지 않는 명백한 사상은 복합체의 동형사상 \[\text{Tot}( \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}^\bullet) \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal H}^\bullet ) \longrightarrow \text{Tot}( {\mathcal F}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} \text{Tot}({\mathcal G}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal H}^\bullet) ).\] 이다. 달리 말하면, 삼중 복합체 \({\mathcal F}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal H}^\bullet\)은 잘 정의된 전체 복합체를 주며, 동차 원소에 대해 그 미분은 \[d(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma) = d(\alpha) \otimes \beta \otimes \gamma + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \otimes d(\beta) \otimes \gamma + (-1)^{\deg(\alpha) + \deg(\beta)} \alpha \otimes \beta \otimes d(\gamma)\] 를 만족한다. 이 사상을 사용하면 \[(\alpha \cup \beta) \cup \gamma = \alpha \cup ( \beta \cup \gamma)\] 임을 쉽게 확인할 수 있다. 실제로 \(\alpha\)의 차수가 \(a\)이고 \(\beta\)의 차수가 \(b\)이며 \(\gamma\)의 차수가 \(c\)이면 \[\begin{align*} ((\alpha \cup \beta) \cup \gamma)_{i_0 \ldots i_p} = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(a + b, c, p, r) (\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_r} \otimes \gamma_{i_r \ldots i_p} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \sum\nolimits_{s = 0}^r \epsilon(a + b, c, p, r) \epsilon(a, b, r, s) \alpha_{i_0 \ldots i_s} \otimes \beta_{i_s \ldots i_r} \otimes \gamma_{i_r \ldots i_p} \end{align*}\] 이고, \[\begin{align*} (\alpha \cup (\beta \cup \gamma)_{i_0\ldots i_p} = & \sum\nolimits_{s = 0}^p \epsilon(a, b + c, p, s) \alpha_{i_0 \ldots i_s} \otimes (\beta \cup \gamma)_{i_s \ldots i_p} \\ = & \sum\nolimits_{s = 0}^p \sum\nolimits_{r = s}^p \epsilon(a, b + c, p, s) \epsilon(b, c, p - s, r - s) \alpha_{i_0 \ldots i_s} \otimes \beta_{i_s \ldots i_r} \otimes \gamma_{i_r \ldots i_p} \end{align*}\] 이다. 자명한 법 \(2\) 계산으로 부호들이 일치함을 알 수 있다. (또는 Stacks 프로젝트의 scripts 하위 디렉터리에 있는 signs.gp 스크립트를 확인하라.)

끝으로 컵곱이 적어도 코호몰로지 수준에서 등급 가환 구조를 보존하는 이유를 설명한다. 이를 위해 위에서 도입한 연산자 \(\tau\)를 사용한다. \({\mathcal F}^\bullet\)을 아벨 군으로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하고, 등급 가환 곱셈 \[\wedge^\bullet : \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes {\mathcal F}^\bullet) \longrightarrow {\mathcal F}^\bullet.\] 이 주어졌다고 하자. 이는 다음을 뜻한다. \(s\)가 \({\mathcal F}^a\)의 국소 절단이고 \(t\)가 \({\mathcal F}^b\)의 국소 절단이면 \(s \wedge t\)는 \({\mathcal F}^{a + b}\)의 국소 절단이다. 등급 가환이라는 것은 \(s \wedge t = (-1)^{ab} t \wedge s\)라는 뜻이다. \(\wedge\)가 복합체 사상이므로 \(d(s\wedge t) = d(s) \wedge t + (-1)^a s \wedge d(t)\)이다. 합성 \[\text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \otimes \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \to \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes_{\mathbf Z}{\mathcal F}^\bullet)) ) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\] 은 코호몰로지 위의 컵곱 \[H^n( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \times H^m( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \longrightarrow H^{n + m}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) )\] 을 유도한다. 따라서 여극한에서 체흐 코호몰로지 위의 곱을 유도하고, 그 결과 (필요하면 초덮개를 사용하여) \({\mathcal F}^\bullet\)의 코호몰로지 위의 곱을 유도한다. 이 곱도 코호몰로지 위에서 등급 가환이라고 주장한다. 이를 증명하기 위해 먼저 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\)에서 차수 \(n\)인 원소 \(\alpha\)와 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\)에서 차수 \(m\)인 원소 \(\beta\)를 택하여 다음을 계산한다. \[\begin{align*} \wedge^\bullet(\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_p} = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(n, m, p, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \wedge \beta_{i_r \ldots i_p} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(n, m, p, r) (-1)^{\deg(\alpha_{i_0 \ldots i_r})\deg(\beta_{i_r \ldots i_p})} \beta_{i_r \ldots i_p} \wedge \alpha_{i_0 \ldots i_r} \end{align*}\] 이는 \(\wedge\)가 등급 가환이기 때문이다. 한편 \[\begin{align*} \tau(\wedge^\bullet(\tau(\beta) \cup \tau(\alpha)))_{i_0 \ldots i_p} = & \chi(p) \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(m, n, p, r) \tau(\beta)_{i_p \ldots i_{p - r}} \wedge \tau(\alpha)_{i_{p - r} \ldots i_0} \\ = & \chi(p) \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(m, n, p, r) \chi(r) \chi(p - r) \beta_{i_{p - r} \ldots i_p} \wedge \alpha_{i_0 \ldots i_{p - r}} \\ = & \chi(p) \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(m, n, p, p - r) \chi(r) \chi(p - r) \beta_{i_r \ldots i_p} \wedge \alpha_{i_0 \ldots i_r} \end{align*}\] 이다. 여기서 \(\chi(t) = (-1)^{\frac{t(t + 1)}{2}}\)이다. 앞에서 \(\tau\)가 코호몰로지 위에서 항등사상으로 작용함을 증명했으므로 \[\epsilon(n, m, p, r) (-1)^{(n - r)(m - (p - r))} = (-1)^{nm} \chi(p)\epsilon(m, n, p, p - r) \chi(r) \chi(p - r)\] 임을 확인해야 한다. 자명한 법 \(2\) 계산으로 부호들이 일치함을 알 수 있다. (또는 Stacks 프로젝트의 scripts 하위 디렉터리에 있는 signs.gp 스크립트를 확인하라.)

끝으로 컵곱과 경계 사상의 양립성을 연구한다. 다음이 \[0 \to {\mathcal F}_1^\bullet \to {\mathcal F}_2^\bullet \to {\mathcal F}_3^\bullet \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \leftarrow {\mathcal G}_1^\bullet \leftarrow {\mathcal G}_2^\bullet \leftarrow {\mathcal G}_3^\bullet \leftarrow 0\] \(X\) 위의 아벨 층으로 이루어진 아래로 유계인 복합체의 짧은 완전열이라고 하자. \({\mathcal H}^\bullet\)을 아벨 층으로 이루어진 또 하나의 아래로 유계인 복합체라 하고, 복합체 사이의 사상과 양립하는 복합체 사상 \[\gamma_i : \text{Tot}({\mathcal F}_i^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_i^\bullet) \longrightarrow {\mathcal H}^\bullet\] 이 주어졌다고 하자. 즉, 도표 \[\xymatrix{ \text{Tot}({\mathcal F}_1^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_1^\bullet) \ar[d]_{\gamma_1} & \text{Tot}({\mathcal F}_1^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_2^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{H}^\bullet & \text{Tot}({\mathcal F}_2^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_2^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_2} }\] 와 \[\xymatrix{ \text{Tot}({\mathcal F}_2^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_2^\bullet) \ar[d]_{\gamma_2} & \text{Tot}({\mathcal F}_2^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_3^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{H}^\bullet & \text{Tot}({\mathcal F}_3^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_3^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_3} }\] 가 가환한다고 하자.

보조정리

위의 상황에서 층 \(\mathcal{F}_i^p\)와 \(\mathcal{G}_j^q\)에 대해 체흐 코호몰로지가 코호몰로지와 일치한다고 가정하자. \(a_3 \in H^n(X, \mathcal{F}_3^\bullet)\) 및 \(b_1 \in H^m(X, \mathcal{G}_1^\bullet)\)라 하자. 그러면 \[\gamma_1( \partial a_3 \cup b_1) = (-1)^{n + 1} \gamma_3( a_3 \cup \partial b_1)\] 이다. 이 등식은 \(H^{n + m + 1}(X, \mathcal{H}^\bullet)\)에서 성립하며, 여기서 \(\partial\)는 위의 복합체의 짧은 완전열에 딸린 코호몰로지의 경계 사상을 뜻한다.

증명

다음 규약과 표기를 사용한다. \({\mathcal F}_1^p\)를 \({\mathcal F}_2^p\)의 부분층으로 생각하고, \({\mathcal G}_3^q\)를 \({\mathcal G}_2^q\)의 부분층으로 생각한다. 따라서 \(s\)가 \({\mathcal F}_1^p\)의 국소 절단이면 \({\mathcal F}_2^p\)의 대응하는 절단도 \(s\)로 나타낸다. \({\mathcal G}_3^q\)의 국소 절단에 대해서도 마찬가지이다. 또한 \(s\)가 \({\mathcal F}_2^p\)의 국소 절단이면 \({\mathcal F}_3^p\)에서의 상을 \(\bar s\)로 나타낸다. 사상 \({\mathcal G}_2^q \to {\mathcal G}^q_1\)에 대해서도 마찬가지이다. 특히 \(s\)가 \({\mathcal F}_2^p\)의 국소 절단이고 \(\bar s = 0\)이면 \(s\)는 \({\mathcal F}_1^p\)의 국소 절단이다. 위 도표들의 가환성에서, \({\mathcal F}_2^p\)의 국소 절단 \(s\)와 \({\mathcal G}_3^q\)의 국소 절단 \(t\)에 대해 \(\gamma_2(s \otimes t) = \gamma_3(\bar s \otimes t)\)가 \({\mathcal H}^{p + q}\)의 절단으로서 성립한다.

\({\mathcal U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 \(X\)의 열린 덮개라 하자. \(\alpha_3\), 각각 \(\beta_1\)이 \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}_3^\bullet))\), 각각 \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}_1^\bullet))\)의 차수 \(n\), 각각 \(m\)인 코사이클이고, \(a_3\), 각각 \(b_1\)을 나타낸다고 하자. 필요하면 \(\mathcal{U}\)를 세분하여, \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}_2^\bullet))\), 각각 \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}_2^\bullet))\) 안에서 차수 \(n\), 각각 \(m\)이고 \(\alpha_3\), 각각 \(\beta_1\)로 보내지는 코체인 \(\alpha_2\), 각각 \(\beta_2\)를 찾을 수 있다. 그러면 \[\overline{d(\alpha_2)} = d(\bar \alpha_2) = 0 \quad\text{and}\quad \overline{d(\beta_2)} = d(\bar \beta_2) = 0.\] 임을 알 수 있다. 이는 \(\alpha_1 = d(\alpha_2)\)가 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}_1^\bullet))\) 안의 차수 \(n + 1\)인 코사이클이며 \(\partial a_3\)을 나타낸다는 뜻이다. 마찬가지로 \(\beta_3 = d(\beta_2)\)는 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}_3^\bullet))\) 안의 차수 \(m + 1\)인 코사이클이며 \(\partial b_1\)을 나타낸다. 따라서 \[\begin{align*} d(\gamma_2(\alpha_2 \cup \beta_2)) & = \gamma_2(d(\alpha_2 \cup \beta_2)) \\ & = \gamma_2(d(\alpha_2) \cup \beta_2 + (-1)^n \alpha_2 \cup d(\beta_2) ) \\ & = \gamma_2( \alpha_1 \cup \beta_2) + (-1)^n \gamma_2( \alpha_2 \cup \beta_3) \\ & = \gamma_1(\alpha_1 \cup \beta_1) + (-1)^n \gamma_3(\alpha_3 \cup \beta_3) \end{align*}\] 로 계산할 수 있다. 이는 보조정리에 적힌 것처럼 부호가 \((-1)^{n + 1}\)임까지 알려 준다.²

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\)를 환의 층의 전사라 하자. 그 핵 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}'\)의 제곱이 영이라고 하자. 그러면 \(M = H^1(X, \mathcal{I})\)은 \(R = H^0(X, \mathcal{O})\)-가군이고, 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 에 딸린 경계 사상 \(\partial : R \to M\)은 미분이다(Algebra, Definition 00RN).

증명

가정에 의해 \(\mathcal{I} \cdot \mathcal{I} = 0\)이므로 사상 \(\mathcal{O}' \to \SheafHom(\mathcal{I}, \mathcal{I})\)은 \(\mathcal{O}\)를 통해 인수분해된다. 따라서 \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이고, 이것이 \(M\) 위의 \(R\)-가군 구조를 정의한다. 경계 사상은 가법적이므로 라이프니츠 법칙을 증명하면 충분하다. \(f \in R\)라 하자. \(f|_{U_i} \in \mathcal{O}(U_i)\)를 올리는 \(f_i \in \mathcal{O}'(U_i)\)가 존재하도록 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_i\)를 택하자. \(f_i - f_j\)는 \(\mathcal{I}(U_i \cap U_j)\)의 원소임에 유의하자. 그러면 \(\partial(f)\)는 \(\alpha_{i_0i_1} = f_{i_0} - f_{i_1}\)인 \(1\)-코사이클 \(\alpha\)의 체흐 코호몰로지류에 대응한다. (Lemma 0B8R에 의해 \(\mathcal{U}\)에 관한 첫째 체흐 코호몰로지 군은 \(M\)의 부분가군임에 유의하자.) 다음으로 \(g \in R\)를 두 번째 원소라 하고, 필요하면 열린 덮개를 세분하여 \(g_i \in \mathcal{O}'(U_i)\)가 \(g|_{U_i} \in \mathcal{O}(U_i)\)를 올린다고 하자. 그러면 \(\partial(g)\)는 \(\beta_{i_0i_1} = g_{i_0} - g_{i_1}\)인 코사이클 \(\beta\)로 주어진다. \(f_ig_i \in \mathcal{O}'(U_i)\)가 \(fg|_{U_i}\)를 올리므로 \(\partial(fg)\)는 다음 코사이클 \(\gamma\)로 주어진다. \[\gamma_{i_0i_1} = f_{i_0}g_{i_0} - f_{i_1}g_{i_1} = (f_{i_0} - f_{i_1})g_{i_0} + f_{i_1}(g_{i_0} - g_{i_1}) = \alpha_{i_0i_1}g + f\beta_{i_0i_1}\] 이는 \(\mathcal{I}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군 구조의 정의에 따른다. 이로써 라이프니츠 법칙이 증명되고 증명이 끝난다.

평탄 분해

이 절의 내용은 [Spaltenstein]을 참고할 수 있다. \((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. Modules, Lemma 05NI에 의해 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 몫이다. Derived Categories, Lemma 05T7에 의해 모든 위로 유계인 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체는 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체에 의한 왼쪽 분해를 갖는다. 그러나 비유계 복합체의 경우에는 평탄 분해만으로는 충분하지 않음이 드러난다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 함자 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}^\bullet)\] 와 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\] 는 삼각범주의 완전 함자이다.

증명

이는 Derived Categories, Remark 0G6E에서 따른다.

정의

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이라는 것은 모든 비순환 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 복합체 \[\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\] 가 비순환이라는 뜻이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)를 K-평탄 복합체라 하자. 그러면 함자 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\] 는 유사동형을 유사동형으로 보낸다.

증명

Lemma 06Y8과 유사동형은 원뿔이 비순환인 사상으로 특징지어진다는 사실에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 그러면 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄일 필요충분조건은 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}_x^\bullet\)가 K-평탄인 것이다(More on Algebra, Definition 06XZ).

증명

모든 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{K}_x^\bullet\)가 K-평탄이라고 하자. \(\otimes\)와 직합은 줄기를 취하는 것과 가환하고 완전성은 줄기에서 확인할 수 있으므로 \(\mathcal{K}^\bullet\)는 K-평탄이다. Modules, Lemma 01AG을 보라. 역으로 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이라고 가정하자. \(x \in X\)를 고르고, \(M^\bullet\)를 비순환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 복합체라 하자. 그러면 \(i_{x, *}M^\bullet\)는 비순환 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체이다. 따라서 \(\text{Tot}(i_{x, *}M^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\) 는 비순환이다. \(x\)에서 줄기를 취하면 \(\text{Tot}(M^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{K}_x^\bullet)\) 가 비순환임을 알 수 있다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\), \(\mathcal{L}^\bullet\)가 K-평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체이면 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)\) 도 K-평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체이다.

증명

다음 동형과 정의에서 따른다. \[\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)) = \text{Tot}(\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)\]

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \((\mathcal{K}_1^\bullet, \mathcal{K}_2^\bullet, \mathcal{K}_3^\bullet)\)를 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\) 안의 특수 삼각형이라 하자. 세 \(\mathcal{K}_i^\bullet\) 가운데 둘이 K-평탄이면 나머지 하나도 K-평탄이다.

증명

Lemma 06Y8과 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\) 안의 특수 삼각형에서 세 대상 가운데 둘이 비순환이면 나머지 하나도 비순환이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(0 \to \mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \mathcal{K}_3^\bullet \to 0\)를 복합체들의 짧은 완전열이라 하고, \(\mathcal{K}_3^\bullet\)의 각 항은 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. 세 \(\mathcal{K}_i^\bullet\) 가운데 둘이 K-평탄이면 나머지 하나도 K-평탄이다.

증명

Modules, Lemma 05NJ에 의해 모든 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)에 대해 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_1^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_1^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_1^\bullet) \to 0\] 을 얻는다. 따라서 보조정리는 코호몰로지 층들의 긴 완전열과 K-평탄 복합체의 정의에서 따른다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. K-평탄 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체의 당김은 K-평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체이다.

증명

이는 줄기에서 확인할 수 있다. Lemma 06YB를 보라. 따라서 Sheaves, Lemma 0098와 More on Algebra, Lemma 06Y1에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체는 K-평탄이다.

증명

이는 줄기에서 확인할 수 있다. Lemma 06YB를 보라. 그러므로 이 보조정리는 Modules, Lemma 05NE와 More on Algebra, Lemma 064K에서 따른다.

다음 보조정리에서 복합체들의 계의 여극한은 항별 여극한을 뜻한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\)를 K-평탄 복합체들의 계라 하자. 그러면 \(\colim_i \mathcal{K}_i^\bullet\)는 K-평탄이다.

증명

항별 여극한을 취하고 있으므로 \[\colim_i \text{Tot}( \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_i^\bullet) = \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \colim_i \mathcal{K}_i^\bullet)\] 임이 명백하다. 따라서 보조정리는 여과 여극한이 완전하다는 사실에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] 이 존재하며 다음 성질을 만족한다. (1) 수직 화살표들은 유사동형이고 항별 전사이다. (2) 각 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 위로 유계인 복합체이며, 그 항들은 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 꼴의 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 직합이다. (3) 사상 \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{K}_{n + 1}^\bullet\)는 항별 분할 단사이고, 그 여핵들은 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 꼴의 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 직합이다. 더욱이 사상 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)는 유사동형이다.

증명

도식의 존재와 성질 (1), (2), (3)은 Modules, Lemma 05NI과 Derived Categories, Lemma 06XX에서 곧바로 따른다. 유도된 사상 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)는 여과 여극한이 완전하므로 유사동형이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 임의의 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해, 각 항이 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 \(K\)-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 항별 전사인 유사동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)가 존재한다.

증명

Lemma 079T의 도식을 고르자. 각 복합체 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 평탄 가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체이다. Modules, Lemma 05NH을 보라. 따라서 Lemma 06YD에 의해 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 K-평탄이다. 그러므로 Lemma 06YE에 의해 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet\)는 K-평탄이다. 구성상 유도된 사상 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)는 유사동형이며 항별 전사이다. Lemma 079T의 성질 (3)에 의하면 \(\colim \mathcal{K}_n^m\)은 평탄 가군들의 직합이므로 평탄이다. 이로써 마지막 주장도 증명된다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\alpha : \mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{Q}^\bullet\)를 K-평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 유사동형이라 하자. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 유도된 사상 \[\text{Tot}(\text{id}_{\mathcal{F}^\bullet} \otimes \alpha) : \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{P}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Q}^\bullet)\] 은 유사동형이다.

증명

Lemma 06YF에 따라 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄인 유사동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)를 고르자. 다음 가환도식을 생각하자. \[\xymatrix{ \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Q}^\bullet) }\] Lemma 06YA에 의해 수직 화살표들과 위쪽 수평 화살표가 유사동형이므로 결과가 따른다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. Lemma 06YF에 따라 K-평탄 분해 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)를 고르자. Lemma 06Y8에 의해 삼각범주의 완전 함자 \[K(\mathcal{O}_X) \longrightarrow K(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{G}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\] 를 얻는다. Lemma 06YA에 의해 이 함자는 함자 \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\)를 유도한다. 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\)가 \(K(\mathcal{O}_X)\)를 유사동형들에 대해 국소화한 것이기 때문이다. \(\mathcal{F}^\bullet\)의 \(K\)-평탄 분해들의 범주는 공여과되어 있고 Lemma 06YG가 성립하므로, 그 결과 얻는 함자는 동형을 무시하면 \(\mathcal{K}^\bullet\)의 선택에 의존하지 않는다.

정의

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 유도 텐서곱 \[- \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] 은 위에서 설명한 삼각범주의 완전 함자이다.

명시적인 구성에서 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 \(\mathcal{G}^\bullet\)와 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 표준 동형 \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet \cong \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet\] 이 존재함이 명백하다. 여기서는 More on Algebra, Section 0FNG의 부호 규칙을 사용한다. 따라서 \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) 라고 쓸 때에는 보통 어느 변수를 사용해 유도 텐서곱을 정의하는지 구별하지 않을 것이다.

정의

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 Tor들은 위에서 정의한 유도 텐서곱을 사용하여 다음 공식으로 정의한다. \[\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = H^{-p}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G})\]

이 정의에 따르면 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 모든 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)과 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 코호몰로지 긴 완전열 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r] & 0 \\ \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_3, \mathcal{G}) \ar[ull] }\] 을 얻는다. 이를 이 상황에 딸린 \(\text{Tor}\)의 긴 완전열이라 한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 평탄 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

2. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\)이다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 평탄이면 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} -\)는 완전 함자이고 위성함자들은 영이다. 역으로 (2)가 성립한다고 가정하자. \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\)가 단사이고 그 여핵이 \(\mathcal{Q}\)이면, \(\text{Tor}\)의 긴 완전열에 의해 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H}\)의 핵은 \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{Q})\)의 몫이다. 이는 가정에 의해 영이다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 평탄이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(a : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 사상이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이면 복합체 \(\mathcal{N}^\bullet\)와 복합체 사상 \(b : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\), \(c : \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(\mathcal{N}^\bullet\)는 K-평탄이다.

2. \(c\)는 유사동형이다.

3. \(a\)는 \(c \circ b\)와 호모토픽이다.

\(\mathcal{K}^\bullet\)의 항들이 평탄하면 \(\mathcal{N}^\bullet\)에도 같은 성질이 성립하도록 \(\mathcal{N}^\bullet\), \(b\), \(c\)를 고를 수 있다.

증명

호모토피 범주 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\)가 삼각범주라는 사실을 사용할 것이다. Derived Categories, Proposition 014S을 보라. 특수 삼각형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\)을 고르자. Lemma 06YF에 따라, 항들이 평탄이고 \(\mathcal{M}^\bullet\)가 K-평탄인 유사동형 \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet\)를 고르자. 삼각범주의 공리들에 의해 합성 \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\) 을 특수 삼각형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\)에 넣을 수 있다. Lemma 079S에 의해 \(\mathcal{N}^\bullet\)가 K-평탄임을 알 수 있다. 다시 삼각범주의 공리들을 사용하여 다음 특수 삼각형의 사상에 들어가는 사상 \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)를 고를 수 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{N}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet[1] \ar[d] \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{L}^\bullet \ar[r] & \mathcal{C}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet[1] }\] 화살표 셋 가운데 둘이 유사동형이므로 세 번째 화살표 \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)도 이 특수 삼각형들에 딸린 코호몰로지 긴 완전열들에 의해 유사동형이다(원한다면 이 도식의 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 상을 보고 Derived Categories, Lemma 014A를 사용해도 된다). 이로써 (1), (2), (3)의 증명이 끝난다. 마지막 주장을 증명하기 위해 Derived Categories, Lemma 0G6C에 따라 \(\mathcal{N}^n \cong \mathcal{M}^n \oplus \mathcal{K}^n\)이 되도록 \(\mathcal{N}^\bullet\)를 고를 수 있다. 따라서 \(\mathcal{K}^\bullet\)의 항들이 평탄하면 원하는 평탄성을 얻는다.

유도 당김

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. K-평탄 분해를 사용하여 유도 당김 함자 \[Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\] 를 정의할 수 있다. 구체적으로, 모든 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 K-평탄 분해 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)를 고르고 \(Lf^*\mathcal{G}^\bullet = f^*\mathcal{K}^\bullet\)로 둔다. 이것이 잘 정의됨은 Lemmas 06YC, 06YF, 06YG를 사용해 알 수 있다. 그러나 모든 세부를 빠짐없이 정당화하려면 일반 이론을 사용하는 편이 더 편리할 수 있다.

보조정리

위 구성은 선택에 의존하지 않으며 삼각범주의 완전 함자 \(Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\)를 정의한다.

증명

Derived Categories, Section 05S7에서 전개한 일반 이론을 사용한다. \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}_Y)\), \(\mathcal{D}' = D(\mathcal{O}_X)\)로 두자. 규칙 \(F(\mathcal{G}^\bullet) = f^*\mathcal{G}^\bullet\)로 정의되는 삼각범주의 완전 함자를 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)로 쓰자. 또한 \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}_Y)\) 안의 유사동형들의 집합을 \(S\)라 하자. 그러면 Derived Categories, Situation 05S8의 상황이므로 Derived Categories, Definition 05S9을 적용할 수 있다. \(LF\)가 모든 곳에서 정의됨을 주장한다. 이는 Derived Categories, Lemma 06XN에서 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\)를 \(K\)-평탄 복합체들의 모임으로 두면 따른다. 실제로 (1)은 Lemma 06YF에서 따른다. (2)를 보이려면 K-평탄 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체 사이의 유사동형 \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet\)에 대해 사상 \(f^*\mathcal{K}_1^\bullet \to f^*\mathcal{K}_2^\bullet\)가 유사동형임을 보이면 된다. 이 사상을 \[f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X \longrightarrow f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X\] 로 쓰자. 함자 \(f^{-1}\)은 완전하므로 사상 \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \to f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\)는 유사동형이다. Lemma 06YC을 사상 \((X, f^{-1}\mathcal{O}_Y) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)에 적용하면 복합체 \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet\)와 \(f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\)는 K-평탄 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체이다. 따라서 Lemma 06YG에 의해 표시된 사상은 유사동형이다. 이로써 유도 함자 \[LF : D(\mathcal{O}_Y) = S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}' = D(\mathcal{O}_X)\] 를 얻는다. Derived Categories, Equation (05SW)을 보라. 마지막으로 Derived Categories, Lemma 06XN에 의해 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄일 때 \(LF(\mathcal{K}^\bullet) = F(\mathcal{K}^\bullet) = f^*\mathcal{K}^\bullet\) 이고, 따라서 \(Lf^* = LF\)는 실제로 위에서 설명한 방식으로 계산된다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_Z) \to D(\mathcal{O}_X)\)인 함자로서 \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\)이다.

증명

\(E\)를 \(D(\mathcal{O}_Z)\)의 대상이라 하자. 구성에 의해 \(Lg^*E\)는 \(Z\) 위에서 \(E\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 고르고 \(Lg^*E = g^*\mathcal{K}^\bullet\)로 두어 계산한다. Lemma 06YC에 의해 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\)는 \(Y\) 위에서 K-평탄이다. 따라서 \(Lf^*Lg^*E\)는 \(f^*g^*\mathcal{K}^\bullet = (g \circ f)^*\mathcal{K}^\bullet\)로 주어지고, 이는 \(L(g \circ f)^*E\)도 나타낸다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 모든 \(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}_Y))\)에 대해 표준 이함자적 동형 \[Lf^*( \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet ) = Lf^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet\] 이 존재한다.

증명

\(\mathcal{F}^\bullet\)와 \(\mathcal{G}^\bullet\)가 K-평탄 복합체라고 가정해도 된다. 이 경우 \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) 는 이중 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^\bullet\)에 딸린 전체 복합체일 뿐이다. Lemma 079R에 의해 \(\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^\bullet)\) 도 K-평탄이다. 따라서 보조정리의 동형은 동형 \[\text{Tot}(f^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow f^*\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^\bullet)\] 에서 오며, 그 각 성분은 Modules, Lemma 01CD의 동형 \(f^*\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}^q \to f^*(\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^q)\)이다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(\mathcal{F}^\bullet\)와 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 표준 이함자적 동형 \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^{\mathbf{L}} f^{-1}\mathcal{G}^\bullet\] 이 존재한다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\)이다. 이는 \(f^*\mathcal{G} = \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\)이기 때문이다. 이 사실과 정의들에서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체라 하자. 도식 \[\xymatrix{ Lf^*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ Lf^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} f^*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] 은 가환한다.

증명

Lemma 06YC에서처럼 K-평탄 분해의 존재성을 사용한다. 그러한 분해 \(\mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{Q}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet\)를 고르면 도식 \[\xymatrix{ Lf^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(f^*\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] 이 가환함을 알 수 있다. 그러나 이제 \(\mathcal{P}^\bullet\)와 \(\mathcal{Q}^\bullet\)의 선택과 Lemma 079R에 의해 이 도식의 왼쪽 변은 이 도식의 왼쪽 변이다.

비유계 복합체의 코호몰로지

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 Grothendieck 아벨 범주이다. 즉 모든 여극한을 가지며, 여과 여극한은 완전하고, 생성자 \[\bigoplus\nolimits_{U \subset X\text{ open}} j_{U!}\mathcal{O}_U,\] 를 갖는다. Modules, Section 01AF과 Lemmas 05NH, 05NI을 보라. Injectives, Theorem 079P에 의해 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에는 K-단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체로 가는 단사 유사동형 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)가 존재한다. 그 모든 항은 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며, 이 매장은 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 함자적으로 고를 수 있다. Derived Categories, Lemma 070K에 의해 다음이 따른다.

1. 삼각범주 \(\mathcal{D}\)로 가는 임의의 완전 함자 \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \to \mathcal{D}\)는 오른쪽 유도 함자 \(RF : D(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{D}\)를 갖는다.

2. 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)로 가는 임의의 가법 함자 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{A}\)에 대해, \(F\)가 유도하는 완전 함자 \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \to K(\mathcal{A})\)를 생각하면 오른쪽 유도 함자 \(RF : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{A})\)를 얻는다.

구성에 의해 \(RF(\mathcal{F}^\bullet) = F(\mathcal{I}^\bullet)\)이다. 여기서 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)는 위와 같다.

위 사실의 몇 가지 예를 들면 다음과 같다.

1. 함자 \(\Gamma(X, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\Gamma(X, \mathcal{O}_X)}\)는 \[R\Gamma(X, -) : D(\mathcal{O}_X) \to D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] 를 준다. 코호몰로지에는 표기 \(H^i(X, K) = H^i(R\Gamma(X, K))\)를 사용할 것이다.

2. 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 함자 \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\Gamma(U, \mathcal{O}_X)}\)를 생각하자. 이는 \[R\Gamma(U, -) : D(\mathcal{O}_X) \to D(\Gamma(U, \mathcal{O}_X))\] 를 준다. 코호몰로지에는 표기 \(H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, K))\)를 사용할 것이다.

3. 환 달린 공간의 사상 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)에 대해 함자 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\)를 생각하자. 이는 비유계 유도범주 위의 전체 직접상 \[Rf_* : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y)\] 을 준다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 위에서 정의한 함자 \(Rf_*\)와 Lemma 06YJ에서 정의한 함자 \(Lf^*\)는 서로 수반이다. 즉 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Lf^*\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{G}^\bullet, Rf_*\mathcal{F}^\bullet)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}_X))\)와 \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}_Y))\)에 대해 이함자적이다.

증명

이는 \(Rf_*\)와 \(Lf^*\)가 존재한다는 사실에서 형식적으로 따른다. Derived Categories, Lemma 09T5를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Z)\)인 함자로서 \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\)이다.

증명

Lemma 079W에 의해 \(Rg_* \circ Rf_*\)는 \(Lf^* \circ Lg^*\)의 수반이다. Lemma 0D5S에 의해 \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\)이고, 따라서 수반함자의 유일성에 의해 \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\)이다.

주

비유계 유도 함자 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)의 구성으로 밑변환 사상을 가장 일반적인 상황에서 구성할 수 있다. 구체적으로 환 달린 공간의 가환도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_{S'})\) 안에 표준 밑변환 사상 \[Lg^*Rf_*K \longrightarrow R(f')_*L(g')^*K\] 이 존재한다. 이 사상은 사상 \(L(f')^*Lg^*Rf_*K \to L(g')^*K\)와 수반인 사상이다. \(L(f')^*Lg^* = L(g')^*Lf^*\)이므로 이는 사상 \(L(g')^*Lf^*Rf_*K \to L(g')^*K\)와 같다. 이 사상으로는 수반 사상 \(Lf^*Rf_*K \to K\)에 \(L(g')^*\)를 적용한 것을 취할 수 있다.

주

환 달린 공간의 가환도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^m & Z }\] 을 생각하자. 두 정사각형에 대한 Remark 08HY의 밑변환 사상들을 합성하면 바깥 직사각형에 대한 밑변환 사상을 얻는다. 더 정확히 말해, 합성 \[\begin{align*} Lm^* \circ R(g \circ f)_* & = Lm^* \circ Rg_* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Ll^* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Rf'_* \circ Lk^* \\ & = R(g' \circ f')_* \circ Lk^* \end{align*}\] 은 그 직사각형에 대한 밑변환 사상이다. 확인은 생략한다.

주

환 달린 공간의 가환도식 \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{h'} & Y' \ar[r]^h & Y }\] 을 생각하자. 두 정사각형에 대한 Remark 08HY의 밑변환 사상들을 합성하면 바깥 직사각형에 대한 밑변환 사상을 얻는다. 더 정확히 말해, 합성 \[\begin{align*} L(h \circ h')^* \circ Rf_* & = L(h')^* \circ Lh_* \circ Rf_* \\ & \to L(h')^* \circ Rf'_* \circ Lg^* \\ & \to Rf''_* \circ L(g')^* \circ Lg^* \\ & = Rf''_* \circ L(g \circ g')^* \end{align*}\] 은 그 직사각형에 대한 밑변환 사상이다. 확인은 생략한다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(\mathcal{K}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 복합체 위의 \(Lf^* \to f^*\), 복합체 위의 \(f_* \to Rf_*\), 그리고 수반 \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\)에서 오는 도식 \[\xymatrix{ Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet }\] 은 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 가환한다.

증명

K-평탄 분해와 K-단사 분해의 존재성을 사용할 것이다. Lemma 06YC과 위의 논의를 보라. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체로서 K-단사가 되는 유사동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. \(\mathcal{Q}^\bullet\)가 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체로서 K-평탄이 되는 유사동형 \(\mathcal{Q}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. K-평탄 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 복합체 \(\mathcal{P}^\bullet\)와, 호모토피까지 가환하며 위쪽 수평 화살표가 유사동형인 복합체 사상의 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ \mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f_*\mathcal{I}^\bullet }\] 을 고를 수 있다. 실제로 복합체의 호모토피 범주에서 유사동형들이 곱셈계를 이루므로 먼저 어떤 복합체 \(\mathcal{P}^\bullet\)에 대해 그러한 도식을 고른 뒤 \(\mathcal{P}^\bullet\)를 K-평탄 복합체로 바꿀 수 있다. 당김을 취하면 호모토피까지 가환하는 복합체 사상의 도식 \[\xymatrix{ f^*\mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ f^*\mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f^*f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet }\] 을 얻는다. 바깥 직사각형이 보조정리의 진술이 참임을 보여 준다.

주

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)의 수반성으로 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 모든 \(K, L\)에 대해 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안에서 상대 컵곱 \[Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \longrightarrow Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 을 구성할 수 있다. 이 사상은 다음 사상과 수반인 사상이다. \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\). 이 사상으로는 동형 \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) = Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L\) (Lemma 079U)과 여단위 \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\)에서 오는 사상 \(Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\)의 합성을 취할 수 있다.

여과 복합체의 코호몰로지

대수다양체의 코호몰로지를 연구할 때 층의 여과 복합체는 흔히 자연스럽게 나타난다. 예를 들어 드람 복합체에는 호지 여과가 딸려 있다. 이 절에서는 매우 일반적인 Injectives, Lemma 0BKI를 사용하여 코호몰로지 위의 스펙트럼열을 구성하고, 이를 앞서 구성한 스펙트럼열들과 연결한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여과 복합체라 하자. 이중등급 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-가군들의 표준 스펙트럼열 \((E_r, \text{d}_r)_{r \geq 1}\)이 존재한다. 여기서 \(d_r\)의 이중차수는 \((r, -r + 1)\)이고 \[E_1^{p, q} = H^{p + q}(X, \text{gr}^p\mathcal{F}^\bullet)\] 이다. 모든 \(n\)에 대해 \[H^n(X, F^p\mathcal{F}^\bullet) = 0\text{ for }p \gg 0 \quad\text{and}\quad H^n(X, F^p\mathcal{F}^\bullet) = H^n(X, \mathcal{F}^\bullet)\text{ for }p \ll 0\] 이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(H^*(X, \mathcal{F}^\bullet)\)로 수렴한다.

증명

(복합체가 유한 여과를 갖는 가군들로 이루어진 아래로 유계인 복합체인 경우의 증명은 아래의 주석을 보라.) Injectives, Lemma 0BKI에서와 같은 여과 복합체의 사상 \(j : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)을 고르자. 이 스펙트럼열은 여과 복합체 \[\Gamma(X, \mathcal{J}^\bullet) \quad\text{with}\quad F^p\Gamma(X, \mathcal{J}^\bullet) = \Gamma(X, F^p\mathcal{J}^\bullet)\] 에 딸린 Homology, Section 012K의 스펙트럼열이다. K-단사 대표에 값을 취하여 코호몰로지를 계산하므로 \(E_1\) 쪽은 보조정리에 적힌 것과 같다. 주어진 조건 아래에서의 수렴성과 유계성은 Homology, Lemma 0BK5에서 따른다.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여과 복합체라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)가 아래로 유계이고 각 \(n\)에 대해 \(\mathcal{F}^n\) 위의 여과가 유한하면 Lemma 0BKK의 스펙트럼열을 Injectives, Lemma 0BKI를 사용하지 않고도 구성할 수 있다. 실제로 Derived Categories, Lemma 05TW에 의해 여과 복합체의 여과 유사동형 \(i : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{I}^\bullet\)는 아래로 유계이고, 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{I}^n\) 위의 여과는 유한하며, 각 \(\text{gr}^p\mathcal{I}^n\)은 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 이제 \[\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \quad\text{with}\quad F^p\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) = \Gamma(X, F^p\mathcal{I}^\bullet)\] 에 딸린 스펙트럼열을 취한다. 단사 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체에 값을 취하여 코호몰로지를 계산할 수 있으므로 \(E_1\) 쪽은 보조정리에 적힌 것과 같다. 주어진 조건 아래에서의 수렴성과 유계성은 Homology, Lemma 012W에서 따른다. 사실 이는 Derived Categories, Lemma 015W의 스펙트럼열의 특수한 경우이다.

예

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. \(F^p\mathcal{F}^\bullet = \tau_{\leq -p}\mathcal{F}^\bullet\)로 두고 Lemma 0BKK를 적용할 수 있다. (\(\mathcal{F}^\bullet\)가 아래로 유계이면 Remark 0BKL를 사용할 수 있다.) 그러면 스펙트럼열 \[E_1^{p, q} = H^{p + q}(X, H^{-p}(\mathcal{F}^\bullet)[p]) = H^{2p + q}(X, H^{-p}(\mathcal{F}^\bullet))\] 을 얻는다. \(p = -j\), \(q = i + 2j\)로 번호를 다시 매기면, 모든 \(K \in D(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \(d'_r\)의 이중차수가 \((r, -r + 1)\)이고 \[(E'_2)^{i, j} = H^i(X, H^j(K))\] 인 이중등급 가군들의 스펙트럼열 \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\)을 얻는다. 예를 들어 \(K\)가 아래로 유계이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(H^{i + j}(X, K)\)로 수렴한다. 아래로 유계인 경우 이 스펙트럼열은 Cartan–Eilenberg 분해를 사용하여 구성한 Derived Categories, Lemma 015J의 두 번째 스펙트럼열의 한 예이다.

예

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. \(F^p\mathcal{F}^\bullet = \sigma_{\geq p}\mathcal{F}^\bullet\)로 두고 Lemma 0BKK를 적용할 수 있다. 그러면 스펙트럼열 \[E_1^{p, q} = H^{p + q}(X, \mathcal{F}^p[-p]) = H^q(X, \mathcal{F}^p)\] 을 얻는다. \(\mathcal{F}^\bullet\)가 아래로 유계이면 다음이 성립한다.

1. Remark 0BKL를 사용하여 이 스펙트럼열을 구성할 수 있다.

2. 이 스펙트럼열은 유계이고 \(H^{i + j}(X, \mathcal{F}^\bullet)\)로 수렴한다.

3. 이 스펙트럼열은 Cartan–Eilenberg 분해를 사용하여 구성한 Derived Categories, Lemma 015J의 첫 번째 스펙트럼열과 같다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 여과 복합체라 하자. 이중등급 \(\mathcal{O}_Y\)-가군들의 표준 스펙트럼열 \((E_r, \text{d}_r)_{r \geq 1}\)이 존재한다. 여기서 \(d_r\)의 이중차수는 \((r, -r + 1)\)이고 \[E_1^{p, q} = R^{p + q}f_*\text{gr}^p\mathcal{F}^\bullet\] 이다. 모든 \(n\)에 대해 \[R^nf_*F^p\mathcal{F}^\bullet = 0 \text{ for }p \gg 0 \quad\text{and}\quad R^nf_*F^p\mathcal{F}^\bullet = R^nf_*\mathcal{F}^\bullet \text{ for }p \ll 0\] 이면 이 스펙트럼열은 유계이고 \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\)로 수렴한다.

증명

증명은 Lemma 0BKK의 증명과 완전히 같다.

Godement 분해

참고문헌은 [Godement]이다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(X\)와 같은 점들을 갖는 이산 위상공간을 \(X_{disc}\)로 나타내고, 자명한 연속사상을 \(f : X_{disc} \to X\)로 나타내자. \(\mathcal{O}_{X_{disc}} = f^{-1}\mathcal{O}_X\)로 두자. 그러면 \(f : (X_{disc}, \mathcal{O}_{X_{disc}}) \to (X, \mathcal{O}_X)\)는 환 달린 공간의 평탄 사상이다. 가군층 위의 수반 함자쌍 \(f^*, f_*\)에 Simplicial, Section 08N8의 내용을 쌍대하여 적용할 수 있다. 따라서 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)에서 자기 자신으로 가는 함자들의 범주에 확대 코심플렉셜 대상 \[\xymatrix{ \text{id} \ar[r] & f_*f^* \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f_*f^*f_*f^* \ar@<0ex>[l] \ar@<-2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<2ex>[r] & f_*f^*f_*f^*f_*f^* \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] 을 얻는다. Simplicial, Lemma 08NC을 보라. 더욱이 확대 \[\xymatrix{ f^* \ar[r] & f^*f_*f^* \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f^*f_*f^*f_*f^* \ar@<0ex>[l] \ar@<-2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<2ex>[r] & f^*f_*f^*f_*f^*f_*f^* \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] 는 호모토피 동치이다. Simplicial, Lemma 08ND를 보라.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에는 분해 \[0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots\] 가 존재한다. 이는 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이고, 각 항 \(f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}\)는 플라스크 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며, 모든 \(x \in X\)에 대해 사상 \[\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)\] 은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 복합체의 범주에서 호모토피 동치이다.

증명

복합체 \(f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots\)는 위에서 설명한, 항들이 \(f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, \ldots\)인 코심플렉셜 대상에 딸린 복합체이다. Simplicial, Section 019H을 보라. 확대에서 표시된 사상 \(\mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F}\)가 나온다. \(X_{disc}\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{H}\)에 대해 직접상 \(f_*\mathcal{H}\)는 플라스크이다. 실제로 \(X_{disc}\)는 이산공간이고 플라스크 층의 직접상은 플라스크이다. 따라서 이 복합체의 항들은 플라스크 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

\(x \in X_{disc} = X\)가 점이면 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \((f^*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_x\)이다. 따라서 \(f^*\)는 완전 함자이고, \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2 \to \mathcal{G}_3\)가 완전일 필요충분조건은 \(f^*\mathcal{G}_1 \to f^*\mathcal{G}_2 \to f^*\mathcal{G}_3\)가 완전인 것이다(Modules, Lemma 01AG 참조). 이 절의 도입부에서 언급한 결과에 의해 \(f^*\)를 적용하면 상수 코심플렉셜 대상 \(f^*\mathcal{F}\)에서 항들이 \(f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, \ldots\)인 코심플렉셜 대상으로 가는 호모토피 동치를 얻는다. Simplicial, Lemma 0FKK에 의해 \[f^*\mathcal{F}[0] \to \Big( f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f^*f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots \Big)\] 이 호모토피 동치임을 얻는다. 이로부터 보조정리의 나머지 두 명제가 곧바로 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 아래로 유계인 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 아래로 유계인 플라스크 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)로 가는 유사동형 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)가 존재하고, 모든 \(x \in X\)에 대해 사상 \(\mathcal{F}^\bullet_x \to \mathcal{G}^\bullet_x\)은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 복합체의 범주에서 호모토피 동치이다.

증명

\(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 범주를 \(\mathcal{A}\)라 하고, \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 범주를 \(\mathcal{B}\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\) 사이의 수반 함자 \(f^*\)와 \(f_*\)에 위의 논의를 적용할 수 있다. Lemma 0FKS의 증명과 정확히 같은 논증으로 아벨 범주 \(\mathcal{A}\) 안의 분해 \[0 \to \mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to \ldots\] 를 얻는다. 여기서 각 \(f_*f^*\ldots f_*f^*\mathcal{F}^\bullet\)의 각 항은 플라스크 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, 모든 \(x \in X\)에 대해 사상 \[\mathcal{F}^\bullet_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F}^\bullet)_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet)_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet)_x \to \ldots \Big)\] 은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 복합체들의 복합체 범주에서 호모토피 동치이다. 복합체들의 복합체는 이중 복합체와 같으므로 유도된 사상 \[\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet = \text{Tot}( f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to \ldots )\] 을 생각할 수 있다. 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)가 아래로 유계이므로 \(\mathcal{G}^\bullet\)도 그러하며, 실제로 \(\mathcal{G}^\bullet\)의 각 항은 복합체 \(f_*f^*\ldots f_*f^*\mathcal{F}^\bullet\)들의 항들의 유한 직합이므로 플라스크이다. 이제 보조정리의 마지막 주장은 Homology, Lemma 0FKH에서 따른다. 특히 이는 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)가 유사동형임을 보이므로 증명이 끝난다.

컵곱

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. 이 상황에서 (전역) 컵곱은 \(D(A)\) 안의 사상 \[\mu : R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \longrightarrow R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 이다. 이를 Remark 0B68에서처럼 환 달린 공간의 사상 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\)에 대한 상대 컵곱으로 정의하되 \(D(pt, A) = D(A)\)를 사용한다. 특히 이 사상은 짝짓기 \[\cup : H^i(X, K) \times H^j(X, M) \longrightarrow H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 를 정의한다. 구체적으로 \(\xi \in H^i(X, K) = H^i(R\Gamma(X, K))\)와 \(\eta \in H^j(X, M) = H^j(R\Gamma(X, M))\)가 주어지면 먼저 이들을 “텐서곱”하여 \(H^{i + j}(R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M))\)의 원소 \(\xi \otimes \eta\)를 얻을 수 있다. More on Algebra, Section 068G를 보라. 그런 다음 \(\mu\)를 적용하여 \(H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\)의 원하는 원소 \(\xi \cup \eta = \mu(\xi \otimes \eta)\)를 얻는다.

\(\xi\)와 \(\eta\)의 컵곱을 이해하는 또 다른 방법은 다음과 같다. \(\Hom(\mathcal{O}_X, -) = \Gamma(X, -)\)이므로 \[H^i(R\Gamma(X, K)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[-i], K) \quad\text{and}\quad H^j(R\Gamma(X, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[-j], M)\] 로 쓸 수 있다. 따라서 \(\xi\)와 \(\eta\)는 각각 사상 \[\tilde \xi : \mathcal{O}_X[-i] \to K \quad\text{and}\quad \tilde \eta : \mathcal{O}_X[-j] \to M\] 와 “같은” 것이다. 이를 유도 텐서곱의 함자성과 결합하면 \[\mathcal{O}_X[-i - j] = \mathcal{O}_X[-i] \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X[-j] \xrightarrow{\tilde \xi \otimes \tilde \eta} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] 을 얻으며, 위와 같은 이유로 이는 \(H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\)의 원소이다.

보조정리

이 구성은 컵곱을 준다.

증명

위와 같이 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\)로 두면 \(Rf_*(-) = R\Gamma(X, -)\)이고, 사상 \(\mu\)는 사상 \[Lf^*(Rf_*K \otimes_A^\mathbf{L} Rf_*M) = Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*M \xrightarrow{\epsilon_K \otimes \epsilon_M} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] 과 수반이다. 여기서 \(\epsilon\)은 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\) 사이 수반의 여단위이다. \(\xi\)와 \(\eta\)를 사상 \(\xi : A[-i] \to R\Gamma(X, K)\)와 \(\eta : A[-j] \to R\Gamma(X, M)\)로 생각하면, 텐서곱 \(\xi \otimes \eta\)는 사상³ \[A[-i - j] = A[-i] \otimes_A^\mathbf{L} A[-j] \xrightarrow{\xi \otimes \eta} R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M)\] 에 대응한다. 정의에 의해 컵곱 \(\xi \cup \eta\)는 사상 \(A[-i - j] \to R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\)이며, 이는 \[(\epsilon_K \otimes \epsilon_M) \circ Lf^*(\xi \otimes \eta) = (\epsilon_K \circ Lf^*\xi) \otimes (\epsilon_M \circ Lf^*\eta)\] 와 수반이다. 그런데 \(\epsilon_K \circ Lf^*\xi = \tilde \xi\)이고 \(\epsilon_M \circ Lf^*\eta = \tilde \eta\)임은 쉽게 알 수 있다. 따라서 \(\widetilde{\xi \cup \eta} = \tilde \xi \otimes \tilde \eta\)이며, 이는 두 구성이 원하는 대로 일치한다는 뜻이다.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. \(\xi \in H^i(X, K)\)가 주어지면 이에 딸린 사상 \[\xi = ``\xi \cup -'' : R\Gamma(X, M)[-i] \to R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 을 얻는다. 실제로 Lemma 0FP2의 증명에서처럼 \(\xi\)를 사상 \(\xi : A[-i] \to R\Gamma(X, K)\)로 나타내고, 합성 \[R\Gamma(X, M)[-i] = A[-i] \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \xrightarrow{\xi \otimes 1} R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \to R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 을 사용한다. 여기서 두 번째 화살표는 위의 전역 컵곱 \(\mu\)이다. 코호몰로지를 취하면 Lemma 0FP2와 그 증명에서 명백하듯이 \(\xi\)에 의한 컵곱을 되찾는다.

상대 컵곱의 자연스러운 호환성을 정식화하고 증명하자. 환 달린 공간의 사상 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 소박한 컵곱 \[\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \longrightarrow f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)\] 이 존재한다. 이것이 상대 컵곱과 관련됨을 주장한다.

보조정리

위의 상황에서 다음 도식은 가환한다. \[\xymatrix{ f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d]^{\text{Remark \href{cohomology.html#cohomology-remark-cup-product}{0B68}}} \\ \text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{\text{naive cup product}} & Rf_*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] & Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) }\]

증명

Remark 0B68의 구성에 의해, 도식을 시계방향으로 돌아 얻는 사상 \[f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \longrightarrow Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)\] 은 사상 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 과 수반임을 알 수 있다. Lemma 0FP1에 의해 이는 또한 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 와 같다. 반시계방향으로 돌면 사상 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 과 수반인 사상을 얻는다. Lemma 0FP1에 의해 이는 또한 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 와 같다. 이제 다음 도식을 살펴보면 증명이 끝난다. \[\xymatrix{ Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[rr] & & Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{naive} \ar[r] & f^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[ldd]^{naive} \ar[dd] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[dd] \ar[ldd] \\ Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \ar[rd] & \text{Tot}(f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \ar[ld] \\ & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) }\] 이 도식의 모든 다각형은 가환한다. 위쪽 다각형은 Lemma 0FP0에 의해 가환한다. 두 소박한 컵곱을 포함하는 정사각형은 \(Lf^* \to f^*\)가 가군 복합체에 대해 함자적이므로 가환한다. 두 사상 \(\mathcal{A}^\bullet \otimes^\mathbf{L} \mathcal{B}^\bullet \to \text{Tot}(\mathcal{A}^\bullet \otimes \mathcal{B}^\bullet)\)을 포함하는 정사각형도 마찬가지이다. 마지막으로 남은 정사각형의 가환성은 복합체 수준에서 성립하며, \(f^*\)와 \(f_*\)의 수반성에 의한 소박한 컵곱의 정의로 볼 수 있다. 도식의 바깥쪽을 도는 두 사상이 위에서 주어진 두 사상이므로 증명이 끝난다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 그러면 “소박한” 컵곱 \[\mu' : \text{Tot}( \Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \longrightarrow \Gamma(X, \text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet))\] 이 존재한다. Lemma 0FP3를 사상 \((X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\)에 적용하면, 이 소박한 컵곱은 이 절의 첫 문단에서 정의한 컵곱 \(\mu\)와 다음 가환도식으로 관련된다. \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d]^-\mu \\ \text{Tot}(\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d]_-{\mu'} & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) \ar[r] & R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) }\] 이는 \(D(A)\) 안의 도식이다. 코호몰로지를 취하면 소박한 컵곱과 실제 컵곱을 연결하는 가환도식 \[\xymatrix{ H^i(\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet)) \times H^j(\Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \ar[r] & H^{i + j}(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) \\ H^i(X, \mathcal{K}^\bullet) \times H^j(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[r]^\cup & H^{i + j}(X, \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[u] }\] 을 얻는다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 아래로 유계인 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하고, \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 그러면 도식 \[\xymatrix{ \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A^\mathbf{L} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d]^\mu \\ \text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet))) \ar[d]^{(\href{cohomology.html#cohomology-equation-needs-signs}{07MB})} & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) )) \ar[r] & R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) }\] 은 \(D(A)\) 안에서 가환한다. 여기서 수평 화살표들은 Lemma 08BN의 화살표들이다.

증명

Lemma 0FKT에서와 같은 복합체의 유사동형 \(a : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{K}_1^\bullet\)와 \(b : \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{M}_1^\bullet\)를 고르자. 사상 \(a\)와 \(b\)는 줄기에서 호모토피 동치이므로 유도된 사상 \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}_1^\bullet)\] 도 줄기에서 호모토피 동치이며(More on Algebra, Lemma 064I), 따라서 유사동형이다. 그러므로 두 도식의 표적 \[R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) = R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}_1^\bullet))\] 은 \(D(A)\) 안에서 같다. 따라서 \(\mathcal{K}\)와 \(\mathcal{M}\)을 \(\mathcal{K}_1\)과 \(\mathcal{M}_1\)으로 바꾼 경우에 도식이 가환함을 증명하면 충분하다. 이는 다음 문단에서 다루는 경우로 환원한다.

\(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)가 아래로 유계인 플라스크 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라고 가정하고, 컵곱을 체흐 복합체 위의 컵곱 (07MB)과 연결하는 도식을 생각하자. 그러면 가환도식 \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A^\mathbf{L} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \\ \text{Tot}(\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \ar[r] & \text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet))) \ar[d]^{(\href{cohomology.html#cohomology-equation-needs-signs}{07MB})} \\ \Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) \ar[r] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) )) }\] 을 생각할 수 있다. 이 도식의 수평 화살표들은 \(D(A)\) 안에서 동형이다. 실제로 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 같은 아래로 유계인 플라스크 가군 복합체에 대해 \(D(A)\) 안에서 \[\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) = R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet)\] 이다. 이는 Lemma 09SY, Derived Categories, Lemma 015E, 그리고 Lemma 0FLH에서 따른다. 따라서 (07MB)를 포함하는 보조정리의 도식의 가환성은 이미 증명한 Lemma 0FP3의 가환성에서 따른다. 여기서 \(f\)는 한 점으로 가는 사상이다(Lemma 0FP3 다음의 논의를 보라).

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. Remark 0B68의 상대 컵곱은 다음 의미에서 결합적이다. 즉 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 모든 \(K, L, M\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[r] \ar[d] & Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[d] \\ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[r] & Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) }\] 은 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안에서 가환한다.

증명

어느 쪽으로 돌아가도 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 자명한 사상 \[\begin{align*} Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*M) & = Lf^*(Rf_*K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*L) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*M) \\ & \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M \end{align*}\] 과 수반인 사상을 얻는다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. Remark 0B68의 상대 컵곱은 다음 의미에서 가환적이다. 즉 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 모든 \(K, L\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \ar[r] \ar[d]_\psi & Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \ar[d]^{Rf_*\psi} \\ Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*K \ar[r] & Rf_*(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K) }\] 은 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안에서 가환한다. 여기서 \(\psi\)는 유도범주의 가환성 제약이다(Lemma 0FPB).

증명

생략한다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)와 \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (Z, \mathcal{O}_Z)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. Remark 0B68의 상대 컵곱은 합성과 호환된다. 즉 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 모든 \(K, L\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ R(g \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}_Z}^\mathbf{L} R(g \circ f)_*L \ar@{=}[rr] \ar[d] & & Rg_*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Z}^\mathbf{L} Rg_*Rf_*L \ar[d] \\ R(g \circ f)_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[r] & Rg_*Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) & Rg_*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[l] }\] 은 \(D(\mathcal{O}_Z)\) 안에서 가환한다.

증명

도식의 어느 쪽으로 돌아가도 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 사상 \[\begin{align*} & L(g \circ f)^*\left(R(g \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}_Z}^\mathbf{L} R(g \circ f)_*L\right) \\ & = L(g \circ f)^*R(g \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L(g \circ f)^*R(g \circ f)_*L) \\ & \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \end{align*}\] 과 수반인 사상을 얻으므로 성립한다. 이를 확인하려면 여단위들의 합성 \[L(g \circ f)^*R(g \circ f)_* = Lf^* Lg^* Rg_* Rf_* \to Lf^* Rf_* \to \text{id}\] 이 \(L(g \circ f)^*\)와 \(R(g \circ f)_*\)에 대한 여단위임을 사용한다. Categories, Lemma 0DV0를 보라.

보조정리

환 달린 공간의 가환 정사각형 \[\xymatrix{ (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (Y', \mathcal{O}_{Y'}) \ar[r]^g & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] 을 생각하자. \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상으로 하자. 상대 컵곱은 다음 의미에서 이 정사각형과 호환된다. 즉 도식 \[\xymatrix{ Lg^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[r] \ar@{=}[d] & Lg^*(Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)) \ar[d] \\ Lg^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*L \ar[d] & R(f')_*L(g')^*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[d] \\ R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} R(f')_*(L(g')^*L \ar[r] & R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} L(g')^*L) }\] 은 \(D(\mathcal{O}_{Y'})\) 안에서 가환한다. 수평 화살표들은 상대 컵곱(Remark 0B68)으로 주어지고, 수직 화살표들은 밑변환 사상(Remark 08HY)과 Lemma 079U로 주어진다.

증명

생략한다.

K-단사 복합체의 몇 가지 성질

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(U \subset X\)를 열린 부분집합이라 하자. 이에 대응하는 열린 몰입을 \(j : (U, \mathcal{O}_U) \to (X, \mathcal{O}_X)\)라 쓰자. 당김 함자 \(j^*\)는 제한 함자에 불과하므로 완전하다. 따라서 유도 당김 \(Lj^*\)는 임의의 복합체를 단순히 제한하여 계산된다. 우리는 흔히 이에 대응하는 함자를 \[D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_U), \quad E \mapsto j^*E = E|_U\] 로 간단히 나타낸다. 마찬가지로 영에 의한 연장 \(j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) (Sheaves, Section 009Z 참조)은 완전 함자이다 (Modules, Lemma 01AK). 그러므로 이는 대상 \(F\)를 나타내는 임의의 복합체에 \(j_!\)를 단순히 적용함으로써 함자 \[j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O}_X),\quad F \mapsto j_!F\] 를 유도한다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고, \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체를 \(U\)로 제한하면 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 K-단사 복합체가 된다.

증명

이는 Derived Categories, Lemma 08BJ와 제한 함자가 완전한 왼쪽 수반 \(j_!\)를 갖는다는 사실에서 따른다. \(j_!\)의 구성은 Sheaves, Section 009Z을, 완전성은 Modules, Lemma 01AK를 보라.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고, \(U \subset X\)를 열린 부분공간이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K\)에 대하여 \(H^p(U, K) = H^p(U, K|_U)\)이다.

증명

\(K\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체를 \(\mathcal{I}^\bullet\)라 하자. 코호몰로지의 구성에 의해 \[H^q(U, K) = H^q(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) = H^q(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet|_U))\] 이다. Lemma 08BS에 의해 \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)는 \(K|_U\)를 나타내는 K-단사 복합체이므로 결론이 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 준층 \[U \mapsto H^q(U, K) = H^q(U, K|_U)\] 의 층화는 \(K\)의 \(q\)차 코호몰로지 층 \(H^q(K)\)이다.

증명

등식 \(H^q(U, K) = H^q(U, K|_U)\)는 Lemma 0D5V에서 따른다. \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 그러면 코호몰로지의 구성에 의해 \[H^q(U, K) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^q(U) \to \mathcal{I}^{q + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{q - 1}(U) \to \mathcal{I}^q(U))}.\] 한편 \(H^q(K) = \Ker(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1})/ \Im(\mathcal{I}^{q - 1} \to \mathcal{I}^q)\)이므로 결과는 명백하다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 열린 부분공간 \(V \subset Y\)가 주어졌을 때 \(U = f^{-1}(V)\)라 놓고 유도된 사상을 \(g : U \to V\)라 쓰자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(E\)에 대하여 \((Rf_*E)|_V = Rg_*(E|_U)\)이다.

증명

\(E\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타내자. 그러면 \(Rf_*(E) = f_*\mathcal{I}^\bullet\)이고, Lemma 08BS에 의해 \(Rg_*(E|_U) = g_*(\mathcal{I}^\bullet|_U)\)이다. \(X\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \((f_*\mathcal{F})|_V = g_*(\mathcal{F}|_U)\)임은 명백하므로 결과가 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 그러면 함자 \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y))\)로서 \(R\Gamma(Y, -) \circ Rf_* = R\Gamma(X, -)\)이다. 더 일반적으로 열린집합 \(V \subset Y\)와 \(U = f^{-1}(V)\)에 대하여 \(R\Gamma(U, -) = R\Gamma(V, -) \circ Rf_*\)이다.

증명

\(Z\)를 한 점으로 이루어지고 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)인 환 달린 공간이라 하자. 구조층의 대역 단면 위에서 주어진 식별을 유도하는 환 달린 공간의 표준 사상 \(Y \to Z\)가 있다. 그러면 \(D(\mathcal{O}_Z) = D(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y))\)이다. 따라서 등식 \(R\Gamma(Y, -) \circ Rf_* = R\Gamma(X, -)\)는 \(X \to Y \to Z\)에 Lemma 0D5T을 적용하면 따른다.

둘째인 더 일반적인 명제는 Lemma 08FE을 적용한 뒤 첫째 명제에서 따른다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 그러면 \(H^i(Rf_*K)\)는 준층 \[V \mapsto H^i(f^{-1}(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\] 에 연관된 층이다.

증명

등식 \(H^i(f^{-1}(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\)는 Lemma 0D5W의 둘째 명제에서 코호몰로지를 취하면 따른다. 층화에 관한 명제는 이제 Lemma 0BKJ에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(D(\underline{\mathbf{Z}}_X)\)에서의 그 상을 \(K_{ab}\)라 쓰자.

1. 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 표준 사상 \(R\Gamma(U, K) \to R\Gamma(U, K_{ab})\)가 있으며, 이는 \(D(\textit{Ab})\) 안의 동형이다.

2. \(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 표준 사상 \(Rf_*K \to Rf_*(K_{ab})\)가 있으며, 이는 \(D(\underline{\mathbf{Z}}_Y)\) 안의 동형이다.

증명

사상은 다음과 같이 구성한다. \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. \(\mathcal{J}^\bullet\)가 아벨군의 K-단사 복합체인 유사동형 \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)를 고르자. 그러면 (1)의 사상은 \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{J}^\bullet)\)로, (2)의 사상은 \(f_*\mathcal{I}^\bullet \to f_*\mathcal{J}^\bullet\)로 주어진다. 이 사상들이 동형임을 보이려면 이들이 코호몰로지 군과 코호몰로지 층에서 동형을 유도함을 보이면 충분하다. Lemma 0D5V와 0D5X에 의해, 사상 \[H^0(X, K) \longrightarrow H^0(X, K_{ab})\] 이 동형임을 보이면 충분하다. 다음을 관찰하자. \[H^0(X, K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, K)\] 다른 군도 마찬가지이다. \(K\)를 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 고르자. 유도범주를 국소화로 구성한 방식에 의해 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, K) = \colim_{s : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{O}_X} \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] 이며, 여기서 여극한은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 유사동형 \(s\) 전체에 걸쳐 취한다. 마찬가지로 \[\Hom_{D(\underline{\mathbf{Z}}_X)}(\underline{\mathbf{Z}}_X, K) = \colim_{s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_X} \Hom_{K(\underline{\mathbf{Z}}_X)}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] 이다. 다음으로 \(\mathcal{G}^\bullet\)가 평탄한 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-가군의 위로 유계인 복합체인 유사동형 \(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_X\)들이 이 계에서 공종임을 관찰하자. (이는 Modules, Lemma 05NI와 Derived Categories, Lemma 05T7에서 따른다. Section 06Y7의 논의를 보라.) 따라서 원소 \(\xi \in H^0(X, K_{ab})\)를 \[(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_X, a : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet)\] 라는 쌍으로 나타낼 수 있다. 여기서 \(\mathcal{G}^\bullet\)는 평탄한 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-가군의 위로 유계인 복합체이다. 이 쌍을 \[(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{K}^\bullet)\] 로 보내면 \(H^0(X, K) \longrightarrow H^0(X, K_{ab})\)의 역을 구성할 수 있다. 여기서 유의할 것은 첫째 화살표가 Lemma 06YG와 06YD에 의해 유사동형이라는 점뿐이다. 이 구성이 실제로 역임을 확인하는 자세한 과정은 생략한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(U \subset X\)를 열린 부분집합이라 하자. 이에 대응하는 열린 몰입을 \(j : (U, \mathcal{O}_U) \to (X, \mathcal{O}_X)\)라 쓰자. 제한 함자 \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_U)\)는 영에 의한 연장 \(j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반이다.

증명

이는 \(j_!\)와 \(j^*\)가 수반이고 완전하다는 사실에서 형식적으로 따른다 (따라서 \(Lj_! = j_!\)와 \(Rj^* = j^*\)가 존재한다). Derived Categories, Lemma 09T5를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체이면, \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 복합체로서 K-단사이다.

증명

이는 Sheaves, Lemma 0096에 의해 \[\Hom_{K(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{F}^\bullet, f_*\mathcal{I}^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}(f^*\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 이고, \(f\)가 평탄하다고 가정했으므로 \(f^*\)가 완전하기 때문이다.

비유계 Mayer–Vietoris

비유계 코호몰로지에도 Mayer–Vietoris 열이 있다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분공간의 합집합이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 대상 \(E\)에 대하여 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 특수 삼각형 \[j_{U \cap V!}E|_{U \cap V} \to j_{U!}E|_U \oplus j_{V!}E|_V \to E \to j_{U \cap V!}E|_{U \cap V}[1]\] 이 있다.

증명

Section 0D5U에서 제한 함자와 영에 의한 연장 함자는 임의의 복합체에 해당 함자를 그대로 적용하여 계산됨을 보았다. \(E\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체를 \(\mathcal{E}^\bullet\)라 하자. 보조정리의 특수 삼각형은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to j_{U \cap V!}\mathcal{E}^\bullet|_{U \cap V} \to j_{U!}\mathcal{E}^\bullet|_U \oplus j_{V!}\mathcal{E}^\bullet|_V \to \mathcal{E}^\bullet \to 0\] 에 연관된 특수 삼각형이다(Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의한다). 이 열이 완전함은 Sheaves, Lemma 00A7를 써서 줄기에서 확인한다 (계산은 생략한다).

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분공간의 합집합이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 대상 \(E\)에 대하여 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 특수 삼각형 \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \cap V, *}E|_{U \cap V} \to E[1]\] 이 있다.

증명

각 항 \(\mathcal{I}^n\)이 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상인, \(E\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. Injectives, Theorem 079P을 보라. \(\mathcal{I}^\bullet|U\) 역시 K-단사 복합체임을 이미 보았다 (Lemma 08BS). 따라서 \(Rj_{U, *}E|_U\)는 \(j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U\)로 나타내어진다. \(V\)와 \(U \cap V\)에 대해서도 마찬가지이다. 그러므로 보조정리의 특수 삼각형은 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \cap V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] 에 연관된 특수 삼각형이다(Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의한다). 임의의 열린집합 \(W \subset X\)와 임의의 \(n\)에 대하여 \[0 \to \mathcal{I}^n(W) \to \mathcal{I}^n(W \cap U) \oplus \mathcal{I}^n(W \cap V) \to \mathcal{I}^n(W \cap U \cap V) \to 0\] 이 완전하기 때문에 이 열은 완전하다(Lemma 01EB의 증명을 보라).

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(X = U \cup V\)를 \(X\)의 두 열린 부분공간의 합집합이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(E\), \(F\)에 대하여 Mayer–Vietoris 열 \[\xymatrix{ & \ldots \ar[r] & \Ext^{-1}(E_{U \cap V}, F_{U \cap V}) \ar[lld] \\ \Hom(E, F) \ar[r] & \Hom(E_U, F_U) \oplus \Hom(E_V, F_V) \ar[r] & \Hom(E_{U \cap V}, F_{U \cap V}) }\] 이 있다. 여기서 아래첨자는 해당 열린집합으로의 제한을 뜻하고, \(\Hom\)과 \(\Ext\)는 해당 유도범주에서 취한다.

증명

Lemma 08BU의 특수 삼각형을 써서 \(\Hom\)들의 긴 완전열을 얻고(Derived Categories, Lemma 0149에 의한다), Lemma 08BT에 따른 등식 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(j_{U!}E|_U, F) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E|_U, F|_U)\] 을 사용한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분집합의 합집합이라고 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(E\)에 대하여 특수 삼각형 \[R\Gamma(X, E) \to R\Gamma(U, E) \oplus R\Gamma(V, E) \to R\Gamma(U \cap V, E) \to R\Gamma(X, E)[1]\] 이 있고, 특히 긴 완전 코호몰로지 열 \[\ldots \to H^n(X, E) \to H^n(U, E) \oplus H^0(V, E) \to H^n(U \cap V, E) \to H^{n + 1}(X, E) \to \ldots\] 이 있다. 이 특수 삼각형과 긴 완전열의 구성은 \(E\)에 대해 함자적이다.

증명

\(E\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{I}^n\)이 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이라고 가정해도 된다. Injectives, Theorem 079P을 보라. 그러면 \(R\Gamma(X, E)\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)\)로 계산된다. Lemma 08BS에 의해 \(U\), \(V\), 그리고 \(U \cap V\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 보조정리의 특수 삼각형은 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0.\] 에 연관된 특수 삼각형이다(Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의한다). Lemma 01EB의 증명에서 이것이 짧은 완전열임을 보았다. 마지막 명제는 Injectives, Theorem 079P의 구성의 함자성에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분집합의 합집합이라고 하자. \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\), 그리고 \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\)라 쓰자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 모든 대상 \(E\)에 대하여 특수 삼각형 \[Rf_*E \to Ra_*(E|_U) \oplus Rb_*(E|_V) \to Rc_*(E|_{U \cap V}) \to Rf_*E[1]\] 이 존재한다. 이 삼각형은 \(E\)에 대해 함자적이다.

증명

\(E\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{I}^n\)이 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상이라고 가정해도 된다. Injectives, Theorem 079P을 보라. 그러면 \(Rf_*E\)는 \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)로 계산된다. Lemma 08BS에 의해 \(U\), \(V\), 그리고 \(U \cap V\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 보조정리의 특수 삼각형은 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] 에 연관된 특수 삼각형이다(Derived Categories, Section 014Z, 특히 Lemma 0152에 의한다). 이는 Lemma 01EC와 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)의 단사 대상 \(\mathcal{I}\)에 대해 \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\)이라는 사실에 의해 복합체의 짧은 완전열이다. 마지막 명제는 Injectives, Theorem 079P의 구성의 함자성에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 열린 부분공간 \(j : U \to X\)를 택하자. \(T \subset X\)를 \(U\)에 포함되는 닫힌 부분집합이라 하자.

1. \(E\)가 코호몰로지 층들이 \(T\) 위에 지지되는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이면, \(E \to Rj_*(E|_U)\)는 동형이다.

2. \(F\)가 코호몰로지 층들이 \(T\) 위에 지지되는 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 대상이면, \(j_!F \to Rj_*F\)는 동형이다.

증명

\(V = X \setminus T\) 및 \(W = U \cap V\)라 놓자. \(X = U \cup V\)는 \(X\)의 열린 덮개임에 유의하자. 열린 몰입을 \(j_W : W \to V\)라 쓰자. 코호몰로지 층들이 \(T\) 위에 지지되는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(E\)를 택하자. Lemma 08FE에 의해 \((Rj_*E|_U)|_V = Rj_{W, *}(E|_W) = 0\)이다. 실제로 가정에 의해 \(E|_W = 0\)이다. 한편 \(Rj_*(E|_U)|_U = E|_U\)이므로 (1)은 명백하다. 코호몰로지 층들이 \(T\) 위에 지지되는 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 대상 \(F\)를 택하자. Lemma 08FE에 의해 \((Rj_*F)|_V = Rj_{W, *}(F|_W) = 0\)이다. 실제로 가정에 의해 \(F|_W = 0\)이다. 또한 \((j_!F)|_V = j_{W!}(F|_W) = 0\)이다(첫째 등식은 영에 의한 연장의 정의에서 곧바로 따른다). \((Rj_*F)|_U = F\)이고 \((j_!F)|_U = F\)이므로 (2)가 성립한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고 \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 놓자. \(X = U \cup V\)가 두 열린 부분집합의 합집합이라고 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(K\)와 \(M\)에 대하여 다음 특수 삼각형들의 사상이 있다. \[\xymatrix{ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[d] \\ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} (R\Gamma(U, M) \oplus R\Gamma(V, M)) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(U, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \oplus R\Gamma(V, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)) \ar[d] \\ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(U \cap V, M) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(U \cap V, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[d] \\ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M)[1] \ar[r] & R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)[1] }\] 여기서

1. 수평 화살표들은 컵곱으로 주어지고,

2. 오른쪽에는 \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\)에 대한 Lemma 08BX의 특수 삼각형이 있으며,

3. 왼쪽에는 \(M\)에 대한 Lemma 08BX의 특수 삼각형에 완전 함자 \(R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} -\)를 적용한 것이 있다.

증명

\(R\Gamma(X, K)\)를 나타내는 평탄한 \(A\)-가군의 K-평탄 복합체 \(T^\bullet\)를 고르자. More on Algebra, Lemma 06Y4을 보라. \(T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X\)를 환 달린 공간의 사상 \((X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\)에 의한 \(T^\bullet\)의 당김이라 쓰자. \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 자연스러운 수반 사상 \(\epsilon : T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X \to K\)가 있다. \(T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X\)는 평탄한 항들로 이루어진 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-평탄 복합체이다. Lemma 06YC와 Modules, Lemma 02N4를 보라. Lemma 0G6V에 의해 \(\epsilon\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 사상 \[T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{K}^\bullet\] 을 찾을 수 있으며, 여기서 \(\mathcal{K}^\bullet\)는 평탄한 항들을 갖는 K-평탄 복합체이다. 구체적으로 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 구성에 의해 먼저 \(\epsilon\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 사상 \(e : T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}^\bullet\)로 \(\epsilon\)을 나타낸 뒤, \(e\)에 이 보조정리를 적용할 수 있다. \(M\)을 나타내고 각 항이 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 마지막으로 각 항이 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 K-단사 복합체 안으로 가는 유사동형 \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \mathcal{J}^\bullet\] 을 고르자. 이 화살표의 원천과 표적은 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\)을 나타냄에 유의하자. 이제 임의의 열린집합 \(W \subset X\)에 대하여 \(A\)-가군 복합체의 사상 \[\text{Tot}(T^\bullet \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(W)) \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet(W) \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(W)) \to \mathcal{J}^\bullet(W)\] 을 얻는다. 그 합성은 \(D(A)\) 안의 사상 \[R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(W, M) \longrightarrow R\Gamma(W, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 을 나타낸다. 이 사상들은 제한 사상과 호환됨이 명백하다. 따라서 이제 \(A\)-가군 복합체의 다음 가환 도식을 생각할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ \text{Tot}(T^\bullet \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(X)) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet(X) \ar[d] \\ \text{Tot}(T^\bullet \otimes_A (\mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V)) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet(U) \oplus \mathcal{J}^\bullet(V) \ar[d] \\ \text{Tot}(T^\bullet \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(U \cap V)) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{J}^\bullet(U \cap V) \ar[d] \\ 0 & 0 }\] Lemma 01EB의 증명에 의해 열들은 \(A\)-가군 복합체의 완전열이다(여기서는 \(T^\bullet\)의 항들이 평탄한 \(A\)-가군이므로 \(\text{Tot}(T^\bullet \otimes_A -)\)가 \(A\)-가군 복합체의 짧은 완전열을 짧은 완전열로 보낸다는 사실도 쓴다). Lemma 08BX의 특수 삼각형들은 이 복합체의 짧은 완전열에 연관된 특수 삼각형이므로, 원하는 결과는 Derived Categories, Section 014Z에서 논의한 “연관된 특수 삼각형을 취하는 것”의 함자성에서 따른다.

닫힌 부분집합에 지지를 갖는 코호몰로지, II

Section 0A39에서 시작한 논의를 계속한다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 이 상황에서 \(\mathcal{F} \mapsto \Gamma_Z(X, \mathcal{F})\)로 주어지는 함자 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X(X))\)를 생각할 수 있다. Modules, Definition 01AT와 Modules, Lemma 01AU를 보라. Section 079V의 K-단사 분해를 사용하면 오른쪽 유도함자 \[R\Gamma_Z(X, - ) : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X(X))\] 를 얻는다. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(K\)가 주어졌을 때 \(Z\)에 지지를 갖는 코호몰로지 가군을 \(H^q_Z(X, K) = H^q(R\Gamma_Z(X, K))\)라 쓴다. 이것이 나중에 Lemma 0G74에서 Section 0A39의 구성과 일치함을 볼 것이다.

\(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 규칙 \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \cap Z\} = \Gamma_{Z \cap U}(U, \mathcal{F}|_U)\] 으로 정의되는 \(Z\)에 지지를 갖는 단면들의 부분층 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)를 생각할 수 있다. Modules, Remark 0G6N에서 논의했듯이, \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)를 \(Z\) 위의 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-가군으로 볼 수 있으며 함자 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \text{를 }\mathcal{O}_X|_Z\text{-가군으로 }Z\text{ 위에서 봄}\] 를 얻는다. 이 함자는 왼쪽 완전이지만 일반적으로 완전하지는 않다. 위와 똑같이 오른쪽 유도함자 \[R\mathcal{H}_Z : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X|_Z)\] 를 얻는다. \(\mathcal{H}^q_Z(K) = H^q(R\mathcal{H}_Z(K))\)로 놓으면 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(\mathcal{H}^0_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자.

1. \(R\mathcal{H}_Z : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X|_Z)\)는 \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반이다.

2. \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\)의 \(K\)에 대하여 \(R\mathcal{H}_Z(i_*K) = K\)이다.

3. \(\mathcal{G}\)를 \(Z\) 위의 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-가군 층이라 하자. 그러면 \(p > 0\)에 대하여 \(\mathcal{H}^p_Z(i_*\mathcal{G}) = 0\)이다.

증명

함자 \(i_*\)는 완전하므로 \(i_* = Ri_* = Li_*\)이다. 따라서 보조정리의 (1)은 Modules, Lemma 0G6P와 Derived Categories, Lemma 09T5에서 따른다. \(K\)가 (2)에서와 같다고 하자. \(K\)를 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타낼 수 있다. Lemma 0D5Z에 의해 \(i_*K\)를 나타내는 복합체 \(i_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체이다. 따라서 \(R\mathcal{H}_Z(i_*K)\)는 \(\mathcal{H}_Z(i_*\mathcal{I}^\bullet) = \mathcal{I}^\bullet\)로 계산되며, 이것이 (2)를 증명한다. (3)은 (2)의 특수한 경우이다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 지지가 \(Z\)에 포함되는 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주는 모든 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주의 Serre 부분범주이다. Homology, Definition 02MO와 Modules, Lemma 01AU를 보라. 코호몰로지 층들이 \(Z\) 위에 지지되는 복합체들로 이루어진 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각부분범주를 \(D_Z(\mathcal{O}_X)\)라 쓴다. Derived Categories, Section 06UP을 보라.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자.

1. \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\)의 \(K\)에 대하여 \(i_*K\)는 \(D_Z(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

2. 함자 \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\)는 유사역 \(i^{-1}|_{D_Z(\mathcal{O}_X)} = R\mathcal{H}_Z|_{D_Z(\mathcal{O}_X)}\)를 갖는 동치이다.

3. 함자 \(i_* \circ R\mathcal{H}_Z : D(\mathcal{O}_X) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\)는 포함 함자 \(D_Z(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\)의 오른쪽 수반이다.

증명

(1)은 정의에서 곧바로 따른다. (3)은 (2)와 Lemma 0A3B의 형식적 귀결이다. 나머지 증명에서는 (2)를 증명한다.

\(i\)를 환 달린 공간의 사상 \(i : (Z, \mathcal{O}_X|_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\)로 생각하자. \(i^*\)와 \(i_*\)가 수반 함자쌍임을 상기하자. \(i\)는 닫힌 몰입이므로 \(i_*\)는 완전하다. 또한 \(i^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X|_Z\)가 \((Z, \mathcal{O}_X|_Z)\)의 구조층이므로 \(i^* = i^{-1}\)는 완전하고, \(i^*i_* = i^{-1}i_*\)는 항등 함자와 동형이다. Modules, Lemma 01AJ와 01AX를 보라. 따라서 \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\)는 완전충실하고 \(i^{-1}\)는 왼쪽 역을 정한다. 한편 \(K\)가 \(D_Z(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라고 하고 수반 사상 \(K \to i_*i^{-1}K\)를 생각하자. \(i_*\)와 \(i^{-1}\)의 완전성을 사용하면 이는 코호몰로지 층에서 수반 사상 \(H^n(K) \to i_*i^{-1}H^n(K)\)를 유도한다. 이 코호몰로지 층들은 \(Z\) 위에 지지되므로 이 수반 사상들은 동형이다. 따라서 \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\)가 동치임을 얻는다.

증명을 마치려면 \(K\)가 \(D_Z(\mathcal{O}_X)\)의 대상일 때 \(R\mathcal{H}_Z(K) = i^{-1}K\)임을 보이면 충분하다. 방금 \(K = i_*i^{-1}K\)임을 증명했으므로 이를 사용할 수 있다. 그러면 Lemma 0A3B가 원하는 것을 말해 준다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체이면 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^\bullet)\)는 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-가군의 K-단사 복합체이다.

증명

\(i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 완전하고 \(\mathcal{H}_Z\)의 왼쪽 수반이므로(Modules, Lemma 0G6P), 이는 Derived Categories, Lemma 08BJ에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자. 그러면 함자 \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X(X))\)로서 \(R\Gamma(Z, - ) \circ R\mathcal{H}_Z = R\Gamma_Z(X, - )\)이다.

증명

이는 K-단사 분해를 사용한 오른쪽 유도함자의 구성, Lemma 0G6Z, 그리고 \(\Gamma_Z(X, -) = \Gamma(Z, -) \circ \mathcal{H}_Z\)라는 사실에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자. \(U = X \setminus Z\)라 놓자. \(D(\mathcal{O}_X(X))\) 안에 특수 삼각형 \[R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(U, K) \to R\Gamma_Z(X, K)[1]\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K\)에 대해 함자적이다.

증명

각 항이 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군인, \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. Section 079V를 보라. \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)는 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 K-단사 복합체임을 상기하자. Lemma 08BS을 보라. 따라서 특수 삼각형의 각 유도함자는 \(\mathcal{I}^\bullet\)에 그 바탕 함자를 적용하여 얻어진다. 그러므로 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대하여 짧은 완전열 \[0 \to \Gamma_Z(X, \mathcal{I}) \to \Gamma(X, \mathcal{I}) \to \Gamma(U, \mathcal{I}) \to 0\] 이 있음을 증명하면 충분하다. 이는 Lemma 01EA와 정의에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자. 여집합의 포함을 \(j : U = X \setminus Z \to X\)라 쓰자. \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 특수 삼각형 \[i_*R\mathcal{H}_Z(K) \to K \to Rj_*(K|_U) \to i_*R\mathcal{H}_Z(K)[1]\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K\)에 대해 함자적이다.

증명

각 항이 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군인, \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. Section 079V를 보라. \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)는 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 K-단사 복합체임을 상기하자. Lemma 08BS을 보라. 따라서 특수 삼각형의 각 유도함자는 \(\mathcal{I}^\bullet\)에 그 바탕 함자를 적용하여 얻어진다. 그러므로 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대하여 짧은 완전열 \[0 \to i_*\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}) \to \mathcal{I} \to j_*(\mathcal{I}|_U) \to 0\] 이 있음을 증명하면 충분하다. 이는 Lemma 01EA와 정의에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(j : U \to X\)를 \(U \cap Z = \emptyset\)인 열린 부분집합의 포함이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_U)\)의 모든 \(K\)에 대하여 \(R\mathcal{H}_Z(Rj_*K) = 0\)이다.

증명

\(K\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 그러면 \(j_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(Rj_*K\)를 나타낸다. Lemma 0D5Z에 의해 복합체 \(j_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체이다. 따라서 \(\mathcal{H}_Z(j_*\mathcal{I}^\bullet)\)는 \(R\mathcal{H}_Z(Rj_*K)\)를 나타낸다. 그러므로 \(U\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \(\mathcal{H}_Z(j_*\mathcal{G}) = 0\)임을 보이면 충분하다. 즉 어떤 열린집합 \(W\) 위에서 \(W \cap Z\)에 지지되는 \(j_*\mathcal{G}\)의 단면 \(s\)가 영임을 보여야 한다. 지지 조건은 \(s|_{W \setminus W \cap Z} = 0\)이라는 뜻이다. 그런데 \(j_*\mathcal{G}(W) = \mathcal{G}(U \cap W) = j_*\mathcal{G}(W \setminus W \cap Z)\)이므로 원하는 대로 \(s\)는 영이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(D(\underline{\mathbf{Z}}_X)\)에서의 그 상을 \(K_{ab}\)라 쓰자.

1. 표준 사상 \(R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma_Z(X, K_{ab})\)가 있으며, 이는 \(D(\textit{Ab})\) 안의 동형이다.

2. 표준 사상 \(R\mathcal{H}_Z(K) \to R\mathcal{H}_Z(K_{ab})\)가 있으며, 이는 \(D(\underline{\mathbf{Z}}_Z)\) 안의 동형이다.

증명

(1)의 증명. 사상은 다음과 같이 구성한다. \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. \(\mathcal{J}^\bullet\)가 아벨군의 K-단사 복합체인 유사동형 \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)를 고르자. 그러면 (1)의 사상은 \[\Gamma_Z(X, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma_Z(X, \mathcal{J}^\bullet)\] 로 주어지며, 이는 \(\Gamma_Z\)가 아벨 층 위의 함자라는 사실로 정해진다. 간단히 확인하면, 이 사상과 Lemma 0D5Y의 표준 사상들을 결합한 것이 Lemma 0G71의 특수 삼각형들의 사상 \[\xymatrix{ R\Gamma_Z(X, K) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X, K) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(U, K) \ar[d] \\ R\Gamma_Z(X, K_{ab}) \ar[r] & R\Gamma(X, K_{ab}) \ar[r] & R\Gamma(U, K_{ab}) }\] 에 들어감을 알 수 있다. 인용한 보조정리에 의해 세 화살표 중 둘이 동형이므로, Derived Categories, Lemma 014A에서 결론이 따른다.

(2)의 증명은 생략한다. 힌트: 특수 삼각형에 Lemma 0G72를 써서 같은 논증을 사용하라.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(i : Z \to X\)를 닫힌 부분집합의 포함이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K\)와 \(M\)이 주어지면 \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\) 안에 표준 사상 \[K|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(M) \longrightarrow R\mathcal{H}_Z(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] 이 있다. 여기서 \(K|_Z = i^{-1}K\)는 \(K\)를 \(Z\)로 제한하여 \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\)의 대상으로 본 것이다. Lemma 0A3B의 \(i_*\)와 \(R\mathcal{H}_Z\)의 수반성에 의해 이 사상을 구성하려면 표준 사상 \[i_*\left(K|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(M)\right) \longrightarrow K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] 을 만들면 충분하다. 이를 만들기 위해 \(M\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 고르자. \(\mathcal{K}^\bullet|_Z\)는 \(K|_Z\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-가군의 K-평탄 복합체이다. Lemma 06YC을 보라. 따라서 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 사상 \[i_*\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z} \mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^\bullet)\right) \longrightarrow \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet)\] 을 만들면 된다. 이를 위해서는 사상 \[i_*(\mathcal{K}^a|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z} \mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^b)) \longrightarrow \mathcal{K}^a \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^b\] 들을 만들면 충분하다. 예를 들어 줄기에서 보면, 이 식의 왼쪽 변은 \(\mathcal{K}^a \otimes_{\mathcal{O}_X} i_*\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^b)\)와 같다. 이제 포함 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^b) \to \mathcal{I}^b\)를 써서 원하는 사상을 얻는다.

주

Remark 0G75의 표기 아래 표준 컵곱 \[\begin{align*} H^a(X, K) \times H^b_Z(X, M) & = H^a(X, K) \times H^b(Z, R\mathcal{H}_Z(M)) \\ & \to H^a(Z, K|_Z) \times H^b(Z, R\mathcal{H}_Z(M)) \\ & \to H^{a + b}(Z, K|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(M)) \\ & \to H^{a + b}(Z, R\mathcal{H}_Z(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)) \\ & = H^{a + b}_Z(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \end{align*}\] 을 얻는다. 여기서 등호들은 Lemma 0G70로 주어지고, 첫째 화살표는 \(Z\)로의 제한, 둘째 화살표는 컵곱(Section 0FKU), 셋째 화살표는 Remark 0G75의 사상이다.

보조정리

Remark 0G75의 표기 아래 도식 \[\xymatrix{ H^i(X, K) \times H^j_Z(X, M) \ar[r] \ar[d] & H^{i + j}_Z(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[d] \\ H^i(X, K) \times H^j(X, M) \ar[r] & H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) }\] 은 가환한다. 여기서 위쪽 수평 화살표는 Remark 0G76의 컵곱이다.

증명

생략한다.

주

\(f : (X', \mathcal{O}_{X'}) \to (X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하고 \(Z' = f^{-1}(Z)\)라 놓자. 유도된 환 달린 공간의 사상을 \(f|_{Z'} : (Z', \mathcal{O}_{X'}|_{Z'}) \to (Z, \mathcal{O}_X|Z)\)라 쓰자. 임의의 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K\)에 대하여 \(D(\mathcal{O}_{X'}|_{Z'})\) 안에 표준 사상 \[L(f|_{Z'})^*R\mathcal{H}_Z(K) \longrightarrow R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K)\] 이 있다. 포함 사상들을 \(i : Z \to X\)와 \(i' : Z' \to X'\)라 쓰자. \(i'\)에 적용한 Lemma 0AEF의 (2)에 의해, 이는 \(D_{Z'}(\mathcal{O}_{X'})\) 안의 사상 \[i'_* L(f|_{Z'})^* R\mathcal{H}_Z(K) \longrightarrow i'_*R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K)\] 을 주는 것과 같다. Remark 08HY의 함자 사상 \(Lf^* \circ i_* \to i'_* \circ L(f|_{Z'})^*\)는 이 경우 동형이다 (\(i_*\)와 \(i'_*\)가 완전하고 \(\mathcal{O}_{Z, z} = \mathcal{O}_{X, z}\)이며 \(Z'\)에 대해서도 마찬가지임을 이용하여 줄기에서 확인하면 된다). 따라서 다음 도식의 위쪽 수평 화살표를 구성하면 충분하다. \[\xymatrix{ Lf^* i_* R\mathcal{H}_Z(K) \ar[rr] \ar[rd] & & i'_* R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K) \ar[ld] \\ & Lf^*K }\] 복합체 \(Lf^* i_* R\mathcal{H}_Z(K)\)는 \(Z'\) 위에 지지된다. 남동쪽 화살표는 수반 사상 \(i_*R\mathcal{H}_Z(K) \to K\)에서 온다(Lemma 0A3B). 수반 사상 \(i'_* R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K) \to Lf^*K\)는 Lemma 0AEF의 (3)에 의해 보편적이므로, 남동쪽 화살표는 남서쪽 화살표를 거쳐 유일하게 인수분해된다. 이로써 원하는 화살표를 얻는다.

보조정리

Remark 0G78의 표기와 가정 아래 도식 \[\xymatrix{ H^p_Z(X, K) \ar[r] \ar[d] & H^p_{Z'}(X', Lf^*K) \ar[d] \\ H^p(X, K) \ar[r] & H^p(X', Lf^*K) }\] 은 가환한다. 여기서 위쪽 수평 화살표는 식별 \(H^p_Z(X, K) = H^p(Z, R\mathcal{H}_Z(K))\)와 \(H^p_{Z'}(X', Lf^*K) = H^p(Z', R\mathcal{H}_{Z'}(K'))\), 당김 사상 \(H^p(Z, R\mathcal{H}_Z(K)) \to H^p(Z', L(f|_{Z'})^*R\mathcal{H}_Z(K))\), 그리고 Remark 0G78에서 구성한 사상으로부터 온다.

증명

생략한다. 힌트: \(H^p(Z, R\mathcal{H}_Z(K)) = H^p(X, i_*R\mathcal{H}_Z(K))\)와 \(R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K)\)에 대한 유사한 등식을 사용하면, 당김 사상의 함자성과 Remark 0G78의 사상을 정의하는 데 사용한 가환 도식으로부터 결과가 따른다.

역계와 코호몰로지, I

\(A\)를 환이라 하고, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(A/I^n\)-가군 층들의 역계에 관한 몇 가지 결과를 증명한다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(X\)를 위상공간이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(X\) 위의 \(A\)-가군 층들의 역계라 하고, \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 이 오름 사슬 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 역계 \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다⁴.

증명

\(N_n = H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)로 놓고, 짧은 완전열 \(0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\) 에서 오는 코호몰로지의 경계 사상을 \(\delta_n : M_n \to N_n\)이라 하자. 그러면 \(\bigoplus \Im(\delta_n) \subset \bigoplus N_n\)은 등급 부분가군이다. 실제로 \(s \in M_n\)이고 \(f \in I^m\)이면 가환 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m} \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 가운데 수직 사상은 \(\mathcal{F}_{n + 1}\)의 국소 단면을 \(\mathcal{F}_{n + m + 1}\)의 단면으로 올린 뒤 \(f\)를 곱하여 주어지며, 다른 수직 화살표들도 마찬가지이다. 따라서 \(\delta_{n + m}(fs) = f \delta_n(s)\)이다. 가정에 의해 \(\delta_{n_j}(s_j)\)들이 \(\bigoplus \Im(\delta_n)\)을 등급 가군으로 생성하도록 하는 \(s_j \in M_{n_j}\), \(j = 1, \ldots, N\)을 찾을 수 있다. \(n > c = \max(n_j)\)라 하고, \(s \in M_n\)이라 하자. 그러면 \(\delta_n(s) = \sum f_j \delta_{n_j}(s_j)\)가 되게 하는 \(f_j \in I^{n - n_j}\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(\delta(s - \sum f_j s_j) = 0\)이다. 즉 \(M_n\) 안에서 \(s - \sum f_js_j\)로 가는 \(s' \in M_{n + 1}\)을 찾을 수 있다. 그러므로 \[\Im(M_{n + 1} \to M_{n - c}) = \Im(M_n \to M_{n - c})\] 이다. 실제로 원소 \(f_js_j\)들은 \(M_{n - c}\)에서 영으로 간다. 이것이 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(X\)를 위상공간이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(X\) 위의 \(A\)-가군의 역계라 하고, \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. \(n\)이 주어졌을 때 \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] 으로 정의하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \(\bigoplus N_n\)이 오름 사슬 조건을 만족하면 역계 \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다⁵.

증명

증명은 Lemma 0GYK의 증명과 완전히 같다. 실제로 \(\bigoplus N_n\)이 \(\bigoplus H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-부분가군이고, 경계 사상 \(\delta_n : M_n \to H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 상이 \(N_n\)에 포함됨을 보이기만 하면 거기서 제시한 논증으로 결과가 따른다.

\(\xi \in N_n\)이고 \(f \in I^k\)라고 하자. \(m \gg n + k\)를 고르고, \(\xi\)로 가는 \(\xi' \in H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\)를 고르자. Lemma 0GYK의 증명에서와 같이 구성한 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + k} \ar[r] & 0 }\] 을 생각하자. 코호몰로지에서 유도된 사상을 얻고, \(f \xi' \in H^{p + 1}(X, I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1})\)가 \(f \xi\)로 감을 알 수 있다. 이것은 모든 \(m \gg n + k\)에 대하여 성립하므로 원하는 대로 \(f\xi\)는 \(N_{n + k}\)에 속한다.

경계 사상 \(\delta_n\)의 상이 \(N_n\)에 포함됨을 보기 위해 \(m \geq n\)에 대하여 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[r] & 0 }\] 들을 생각한다. 코호몰로지에서 유도된 사상들을 보면 결론이 따른다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(X\)를 위상공간이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(X\) 위의 \(A\)-가군 층들의 역계라 하고, \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 이 오름 사슬 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 \(M = \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

\(n \geq 1\)에 대하여 \(F^n = \Ker(M \to H^p(X, \mathcal{F}_n))\)으로 놓고 \(F^0 = M\)으로 놓자. \(I F^n \subset F^{n + 1}\)임을 관찰하자. 특히 \(I^n M \subset F^n\)이다. 따라서 \(I\)-진 위상은 극한 위상보다 더 미세하다. 역을 위해, 주어진 \(n\)에 대하여 \(F^m \subset I^nM\)이 되게 하는 \(m \geq n\)이 존재함을 보일 것이다⁶. 단사 사상 \[F^n/F^{n + 1} \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\] 이 있고, 그 상은 \(H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \to H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\)의 상에 포함된다. \(F^n/F^{n + 1}\)의 역상을 \[E_n \subset H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 이라 쓰자. 그러면 \(\bigoplus E_n\)은 \(\bigoplus H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 등급 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\)-부분가군이고, \(\bigoplus E_n \to \bigoplus F^n/F^{n + 1}\)은 등급 가군의 준동형이다. 자세한 내용은 생략한다. 가정에 의해 \(\bigoplus E_n\)은 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\) 위에서 유한 개의 동차 원소들로 생성된다. \(E_n \to F^n/F^{n + 1}\)가 전사이므로 \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\)에 대해서도 같은 것이 성립한다. 따라서 \(r\)과 \(c_1, \ldots, c_r \geq 0\), 그리고 그 상들이 \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\)을 생성하는 \(a_i \in F^{c_i}\)를 찾을 수 있다. \(c = \max(c_i)\)로 놓자.

\(n \geq c\)에 대하여 \(I F^n = F^{n + 1}\)이라고 주장한다. 이 주장은 원하는 대로 \(F^{n + c} = I^nF^c \subset I^nM\)임을 보인다. 주장을 증명하기 위해 \(a \in F^{n + 1}\)이라고 하자. \(F^{n + 1}/F^{n + 2}\)에서의 \(a\)의 상은 \(a_i\)들의 선형결합이다. 따라서 어떤 \(f_i \in I^{n + 1 - c_i}\)에 대하여 \(a - \sum f_i a_i \in F^{n + 2}\)이다. \(n \geq c_i\)이므로 \(I^{n + 1 - c_i} = I \cdot I^{n - c_i}\)이고, 따라서 \(g_{i, j} \in I\)이고 \(h_{i, j}a_i \in F^n\)이도록 \(f_i = \sum g_{i, j} h_{i, j}\)로 쓸 수 있다. 그러므로 \(F^{n + 1} = F^{n + 2} + IF^n\)이다. 간단한 귀납법으로 모든 \(e > 0\)에 대하여 \(F^{n + 1} = F^{n + e} + IF^n\)을 얻는다. 따라서 \(IF^n\)은 \(F^{n + 1}\)에서 조밀하다. \(I\)의 생성자 \(k_1, \ldots, k_r\)를 고르고 연속 사상 \[u : (F^n)^{\oplus r} \longrightarrow F^{n + 1},\quad (x_1, \ldots, x_r) \mapsto \sum k_i x_i\] 을 극한 위상에서 생각하자. 위의 논의에 의해 모든 \(m \geq n\)에 대하여 \(u\) 아래 \((F^m)^{\oplus r}\)의 상은 \(F^{m + 1}\)에서 조밀하다. 열린 사상 보조정리(More on Algebra, Lemma 0CQW)에 의해 \(u\)는 열린 사상이다. 따라서 \(u\)는 전사이다. 그러므로 \(n \geq c\)에 대하여 \(IF^n = F^{n + 1}\)이다. 이것으로 증명을 마친다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(X\)를 위상공간이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(X\) 위의 \(A\)-가군 층들의 역계라 하고, \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. \(n\)이 주어졌을 때 \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] 으로 정의하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \(\bigoplus N_n\)이 오름 사슬 조건을 만족하면 \(M = \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

증명은 Lemma 0GYM의 증명과 완전히 같다. 실제로 \(\bigoplus N_n\)이 \(\bigoplus H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-부분가군이고, \(F^n/F^{n + 1} \subset H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\)가 \(N_n \to H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\)의 상에 포함됨을 보이기만 하면 거기서 제시한 논증으로 결과가 따른다. Lemma 0GYL의 증명에서 가군 구조에 관한 명제를 보았다.

\(t \in F^n\)이라 하자. \(H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\)에서 \(t\)의 상으로 가는 원소 \(s \in H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)를 고르자. \(s\)가 \(N_n\)에 속함을 보여야 한다. 이제 \(F^n\)은 사상 \(M \to H^p(X, \mathcal{F}_n)\)의 핵이므로, 모든 \(m \geq n\)에 대하여 \(t\)를 원소 \(t_m \in H^p(X, \mathcal{F}_{m + 1})\)으로 보낼 수 있으며 그 원소는 \(H^p(X, \mathcal{F}_n)\)에서 영으로 간다. 짧은 완전열 \(0 \to I^n\mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\) 에서 오는 코호몰로지 열 \[H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, \mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, \mathcal{F}_n)\] 을 생각하자. \(t_m\)으로 가는 \(s_m \in H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\)을 고를 수 있다. 위의 열과 \(m = n\)일 때의 열을 비교하면, \(s_m\)은 \(H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 상에 속하는 원소를 더한 것을 제외하면 \(s\)로 감을 알 수 있다. 그러나 이 사상은 \(H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)를 거쳐 인수분해되므로 원하는 대로 \(s\)가 그 상에 속함을 알 수 있다.

역계와 코호몰로지, II

이 절에서는 아이디얼이 주 아이디얼인 경우에 Section 0GYJ의 논의를 계속한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하자. 다음 조건들을 생각하자.

1. 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 사상 \(f : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\)은 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)을 거쳐 인수분해되어 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\)을 준다.

2. 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 사상 \(f^n : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\)은 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1\)을 거쳐 인수분해되어 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\)을 준다.

3. \(f\)-가분인 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\)이다.

4. \(f\)-꼬임이 없는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\)이다.

그러면 (4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (1)이다.

증명

(1)과 (2)의 동치에 대한 증명은 생략한다. (3)이 (1)을 함의한다는 증명도 생략한다. (1)에서와 같은 \(\mathcal{F}_n\)이 주어졌다고 하자. (3)을 증명하기 위해 \(\mathcal{G} = \colim \mathcal{F}_n\)으로 놓는다. 여기서 사상 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to \ldots\)은 (1)에서와 같다. 짧은 완전열 (1)에 의해 \(\mathcal{F}_{n + 1} \subset \mathcal{G}\)의 상은 \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{G}\)이므로 사상 \(f : \mathcal{G} \to \mathcal{G}\)는 전사이다. 따라서 \(\mathcal{G}\)는 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\)을 만족하는 \(f\)-가분 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

(4)에서와 같은 \(\mathcal{F}\)가 주어졌다고 하자. 사상 \(\mathcal{F}/f^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\)는 항상 전사이며, 그 핵은 \(f^n\)을 곱하여 유도된 사상 \(\mathcal{F}/f\mathcal{F} \to \mathcal{F}/f^{n + 1}\mathcal{F}\)의 상이다. (2)를 확인하려면 \(f^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F}/f^{n + 1}\mathcal{F}\)의 핵이 \(f\mathcal{F}\)임을 보면 충분하다. 이를 위해 열린집합 \(U \subset X\) 위의 \(\mathcal{F}\)의 단면 \(s, t\)가 \(f^ns = f^{n + 1}t\)를 만족할 때 \(s = ft\)임을 보이면 충분하다. \(\mathcal{F}\)는 \(f\)-꼬임이 없으므로 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 단사이고, 따라서 이는 명백하다.

보조정리

\(X\), \(f\), \((\mathcal{F}_n)\)이 Lemma 0H39의 조건 (1)을 만족한다고 하자. \(p \geq 0\)라 하고 \(H^p = \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)으로 놓자. 그러면 모든 \(c \geq 1\)에 대하여 \(f^cH^p\)는 \(H^p \to H^p(X, \mathcal{F}_c)\)의 핵이다. 따라서 \(H^p\) 위의 극한 위상은 \(f\)-진 위상이다.

증명

\(c \geq 1\)라 하자. \(f^c H^p\)가 \(H^p(X, \mathcal{F}_c)\)에서 영으로 감은 명백하다. \(\xi = (\xi_n) \in H^p\)가 극한 위상에서 충분히 작으면 \(\xi_c = 0\)이고, 따라서 \(n \geq c\)에 대하여 \(\xi_n\)은 \(H^p(X, \mathcal{F}_c)\)에서 영으로 간다. 짧은 완전열의 역계 \[0 \to \mathcal{F}_{n - c} \xrightarrow{f^c} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_c \to 0\] 와 이에 대응하는 긴 완전 코호몰로지 열의 역계 \[H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_c) \to H^p(X, \mathcal{F}_{n - c}) \to H^p(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}_c)\] 를 생각하자. 항 \(H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_c)\)는 \(n\)에 의존하지 않으므로 \(\xi_n\)을 올리는 원소들의 호환 열 \(\xi'_n \in H^p(X, \mathcal{F}_{n - c})\)을 고를 수 있다. \(\xi' = (\xi'_n)\)으로 놓으면 원하는 대로 \(\xi = f^c \xi'\)임을 알 수 있다.

보조정리

\(A\)를 주 아이디얼 \((f)\)에 관하여 완비인 뇌터 환이라 하자. \(X\)를 위상공간이라 하고, \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(A\)-가군 층들의 역계라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\Gamma(X, \mathcal{F}_1)\)은 유한 \(A\)-가군이다.

2. \(X\), \(f\), \((\mathcal{F}_n)\)은 Lemma 0H39의 조건 (1)을 만족한다.

그러면 \[M = \lim \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\] 은 유한 \(A\)-가군이고, \(f\)는 \(M\) 위의 영인자가 아니며, \(M/fM\)은 \(\Gamma(X, \mathcal{F}_1)\)에서 \(M\)의 상이다.

증명

Lemma 0EHA에 의해 \(M/fM \subset H^0(X, \mathcal{F}_1)\)이다. (1)과 \(A\)의 뇌터 성질로부터 \(M/fM\)은 유한 \(A\)-가군이다. \(f^nM\)은 \(H^0(X, \mathcal{F}_n)\)에서 영으로 가므로 \(\bigcap f^nM = 0\)임을 관찰하자. Algebra, Lemma 031D에 의해 \(M\)이 \(A\) 위에서 유한임을 얻는다. 마지막으로 \(s = (s_n) \in M = \lim H^0(X, \mathcal{F}_n)\)이고 \(fs = 0\)이라고 하자. Lemma 0H39의 조건 (1)에 의해 \(s_{n + 1}\)은 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)의 핵에 속한다. 따라서 \(s_n = 0\)이다. \(n\)은 임의였으므로 \(s = 0\)이다. 그러므로 \(f\)는 \(M\) 위의 영인자가 아니다.

보조정리

\(A\)를 환, \(f \in A\), \(X\)를 위상공간이라 하고, \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(A\)-가군 층들의 역계라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\)이 유한 길이의 \(A\)-가군이거나, \(A\)가 뇌터 환이고 \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\)이 유한 \(A\)-가군이다.

2. \(X\), \(f\), \((\mathcal{F}_n)\)은 Lemma 0H39의 조건 (1)을 만족한다.

그러면 역계 \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

증명

\(I = (f)\)로 놓자. Lemma 0GYK의 판정법을 사용할 것이다. 모든 \(n \geq 0\)에 대하여 \(f^n : \mathcal{F}_1 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)은 동형이다. 따라서 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1) \cdot f^{n + 1}\] 이 오름 사슬 조건을 만족하는 등급 \(S = \bigoplus_{n \geq 0} A/(f) \cdot f^n\)-가군임을 보이면 충분하다. \(A\)가 뇌터 환이 아니면 \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\)은 유한 길이를 가지므로 결과가 성립한다. \(A\)가 뇌터 환이면 \(S\)는 뇌터 환이고, \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\)의 가정된 유한성에 의해 이 가군은 \(S\) 위에서 유한이므로 결과가 성립한다. 일부 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 환, \(f \in A\), \(X\)를 위상공간이라 하고, \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(A\)-가군 층들의 역계라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. 어떤 \(m \geq 1\)에 대하여 \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_m) \to H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\)의 상이 유한 길이의 \(A\)-가군이거나, \(A\)가 뇌터 환이고 \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_m) \to H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\)의 상들의 교집합이 유한 \(A\)-가군이다.

2. \(X\), \(f\), \((\mathcal{F}_n)\)은 Lemma 0H39의 조건 (1)을 만족한다.

그러면 역계 \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

증명

\(I = (f)\)로 놓자. 가군 \(N_n\)들을 사용하는 Lemma 0GYL의 판정법을 사용할 것이다. \(m \geq n\)에 대하여 \(I^n\mathcal{F}_{m + 1} = \mathcal{F}_{m + 1 - n}\)이다. 따라서 \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq 1} \Im\left( H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_m) \to H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1) \right)\] 은 \(n\)에 의존하지 않고 \(\bigoplus N_n = \bigoplus N_1 \cdot f^{n + 1}\)이다. 따라서 Lemma 0BLC의 증명에서와 정확히 같이 결론을 얻는다.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(f\)-꼬임이 없으면 모든 \(p \geq 0\)에 대하여 역계의 짧은 완전열 \[0 \to \{H^p(X, \mathcal{F})/f^nH^p(X, \mathcal{F})\} \to \{H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\} \to \{H^{p + 1}(X, \mathcal{F})[f^n]\} \to 0\] 이 있다. 첫째 역계는 Mittag–Leffler 조건(ML)을 만족하므로 여기서 세 가지를 알 수 있다.

1. 짧은 완전열 \[0 \to \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \to T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \to 0\] 이 있다. 여기서 \(\widehat{\ }\)는 통상적인 \(f\)-진 완비화를 나타내고, \(T_f( - )\)는 More on Algebra, Example 0BKG의 \(f\)-진 Tate 가군을 나타낸다.

2. 다음 등식이 성립한다. \(R^1\lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) = R^1\lim H^{p + 1}(X, \mathcal{F})[f^n]\).

3. 계 \(\{H^{p + 1}(X, \mathcal{F})[f^n]\}\)이 ML일 필요충분조건은 \(\{H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\}\)가 ML인 것이다.

Homology, Lemma 02N1와 More on Algebra, Lemmas 0H31 및 0CQB를 보라.

유도 극한

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 삼각범주 \(D(\mathcal{O}_X)\)는 곱을 가지므로(Injectives, Lemma 07D9) \(D(\mathcal{O}_X)\)는 유도 극한도 가진다. Derived Categories, Definition 08TC을 보라. \((K_n)\)이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 역계이면 그 유도 극한을 \(R\lim K_n\)이라 쓴다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 함자 \(R\Gamma(U, -)\)는 \(R\lim\)과 가환한다. 더욱이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 임의의 역계 \((K_n)\)과 임의의 \(m \in \mathbf{Z}\)에 대하여 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] 이 있다.

증명

첫째 명제는 Injectives, Lemma 08U1에서 따른다. 그런 다음 \(R\lim R\Gamma(U, K_n) = R\Gamma(U, R\lim K_n)\)에 More on Algebra, Remark 08U5을 적용하면 짧은 완전열들을 얻는다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 그러면 \(Rf_*\)는 \(R\lim\)과 가환한다. 즉 \(Rf_*\)는 유도 극한과 가환한다.

증명

\((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 역계라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 정의 특수 삼각형 \[R\lim K_n \to \prod K_n \to \prod K_n\] 을 생각하자. 완전 함자 \(Rf_*\)를 적용하면 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 안의 특수 삼각형 \[Rf_*(R\lim K_n) \to Rf_*\left(\prod K_n\right) \to Rf_*\left(\prod K_n\right)\] 을 얻는다. 따라서 \(Rf_*\)가 유도범주에서의 곱과 가환함을 증명하면 충분하다(그 곱은 복합체의 곱으로 단순히 주어지지 않는다. Injectives, Lemma 07D9를 보라). 그러나 Lemma 079W에 의해 \(Rf_*\)는 오른쪽 수반이므로 이는 형식적으로 따른다(Categories, Lemma 0038 참조). 주의: \(R\lim K_n\)은 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 극한이 아니므로 Categories, Lemma 0038을 직접 적용할 수는 없다.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 역계라 하자. \(K = R\lim K_n\)으로 놓자. 각 \(n\)과 \(m\)에 대하여 \(\mathcal{H}^m_n = H^m(K_n)\)을 \(K_n\)의 \(m\)차 코호몰로지 층이라 하고, 마찬가지로 \(\mathcal{H}^m = H^m(K)\)으로 놓자. 준층 \[U \longmapsto \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) = H^m(U, K_n)\] 을 \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\)이라 쓰자. 마찬가지로 \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = H^m(U, K)\)로 놓는다. Lemma 0BKJ에 의해 \(\mathcal{H}^m_n\)은 \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\)의 층화이고, \(\mathcal{H}^m\)은 \(\underline{\mathcal{H}}^m\)의 층화이다. 다음 도식이 있다. \[\xymatrix{ K \ar@{=}[d] & \underline{\mathcal{H}}^m \ar[d] \ar[r] & \mathcal{H}^m \ar[d] \\ R\lim K_n & \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n \ar[r] & \lim \mathcal{H}^m_n }\] 일반적으로 \(\lim \mathcal{H}^m_n\)이 \(\lim \underline{\mathcal{H}}^m_n\)의 층화인 것은 아닐 수 있다. \(U \subset X\)가 열린집합이면 Lemma 0D60에 의해 짧은 완전열 [0BKR]\[\begin{equation} 0 \to R^1\lim \underline{\mathcal{H}}^{m - 1}_n(U) \to \underline{\mathcal{H}}^m(U) \to \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) \to 0 \end{equation}\] 을 얻는다.

다음 보조정리는 스킴 위에서 전이 사상이 전사인 준연접 가군의 역계에 적용된다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 열린집합들로 이루어진 집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)의 모든 열린집합은 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. \(p > 0\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, \mathcal{F}_n) = 0\)이다.

3. \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 역계 \(\mathcal{F}_n(U)\)의 \(R^1\lim\)은 영이다.

그러면 \(R\lim \mathcal{F}_n = \lim \mathcal{F}_n\)이고, \(p > 0\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, \lim \mathcal{F}_n) = 0\)이다.

증명

\(K_n = \mathcal{F}_n\) 및 \(K = R\lim \mathcal{F}_n\)으로 놓자. Remark 0BKQ의 표기와 가정 (2)에 의해 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(m \not = 0\)이면 \(\underline{\mathcal{H}}_n^m(U) = 0\)이고, \(\underline{\mathcal{H}}_n^0(U) = \mathcal{F}_n(U)\)이다. Equation (0BKR)과 가정 (3)으로부터 \(m \not = 0\)이면 \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\)이고, \(m = 0\)이면 \(\lim \mathcal{F}_n(U)\)와 같음을 알 수 있다. (1)을 사용하여 층화하면 \(m \not = 0\)이면 \(\mathcal{H}^m = 0\)이고, \(m = 0\)이면 \(\lim \mathcal{F}_n\)과 같음을 얻는다. 따라서 \(K = \lim \mathcal{F}_n\)이다. \(H^m(U, K) = \underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\)이 \(m > 0\)에 대하여 성립하므로(위 참조) 둘째 명제도 성립한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 역계라 하자. \(x \in X\) 및 \(m \in \mathbf{Z}\)라 하자. 정수 \(n(x)\)와 \(x\)의 열린 근방들의 기본계 \(\mathfrak{U}_x\)가 존재하여 \(U \in \mathfrak{U}_x\)에 대하여

1. \(R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) = 0\)이고,

2. \(n \geq n(x)\)에 대하여 \(H^m(U, K_n) \to H^m(U, K_{n(x)})\)가 단사라고 가정하자.

그러면 줄기 위의 사상 \(H^m(R\lim K_n)_x \to H^m(K_{n(x)})_x\)는 단사이다.

증명

\(H^m(K_{n(x)})_x\)에서 영으로 가는 \(H^m(R\lim K_n)_x\)의 원소를 \(\gamma\)라 하자. \(H^m(R\lim K_n)\)은 준층 \(U \mapsto H^m(U, R\lim K_n)\)의 층화이므로(Lemma 0BKJ에 의한다), \(\gamma\)로 가는 원소 \(\tilde \gamma \in H^m(U, R\lim K_n)\)와 \(U \in \mathfrak{U}_x\)를 고를 수 있다. 그러면 \(\tilde\gamma\)는 \(\tilde\gamma_{n(x)} \in H^m(U, K_{n(x)})\)로 간다. \(H^m(K_{n(x)})\)도 준층 \(U \mapsto H^m(U, K_{n(x)})\)의 층화이므로 (다시 Lemma 0BKJ에 의한다), \(U\)를 줄인 뒤 \(\tilde\gamma_{n(x)} = 0\)이라고 가정해도 된다. 이 \(U\)에 대하여 Lemma 0D60의 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] 을 생각하자. 가정 (1)에 의해 왼쪽 군은 영이고, 가정 (2)에 의해 오른쪽 군은 \(H^m(U, K_{n(x)})\) 안으로 단사로 간다. 따라서 \(\tilde\gamma = 0\)이고, 원하는 대로 \(\gamma = 0\)이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 모든 \(x \in X\)에 대하여 함수 \(p(x, -) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)와 \(x\)의 열린 근방들의 기본계 \(\mathfrak{U}_x\)가 존재하여 \[H^p(U, H^{m - p}(E)) = 0 \text{이고, 이는 } U \in \mathfrak{U}_x \text{이고 } p > p(x, m)\text{일 때 성립한다}\] 라고 가정하자. 그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 동형이다.

증명

\(K_n = \tau_{\geq -n}E\) 및 \(K = R\lim K_n\)으로 놓자. 표준 사상 \(E \to K\)는 표준 사상 \(E \to K_n = \tau_{\geq -n}E\)들에서 온다. \(E \to K\)가 코호몰로지 층들의 동형 \(H^m(E) \to H^m(K)\)을 유도함을 보여야 한다. 나머지 증명에서는 \(m\)을 고정한다. \(n \geq -m\)이면 사상 \(E \to \tau_{\geq -n}E = K_n\)은 동형 \(H^m(E) \to H^m(K_n)\)을 유도한다. 증명을 마치려면 모든 \(x \in X\)에 대하여 사상 \(H^m(K)_x \to H^m(K_{n(x)})_x\)가 단사가 되게 하는 정수 \(n(x) \geq -m\)이 존재함을 보이면 충분하다. 실제로 그러면 합성 \[H^m(E)_x \to H^m(K)_x \to H^m(K_{n(x)})_x\] 은 전단사이고 둘째 화살표는 단사이므로 첫째 화살표는 전단사이다. 다음과 같이 놓자. \[n(x) = 1 + \max\{-m, p(x, m - 1) - m, -1 + p(x, m) - m, -2 + p(x, m + 1) - m\}.\] 그러면 언제나 \(n(x) \geq -m\)이다. 주장: \(n \geq n(x)\) 및 \(U \in \mathfrak{U}_x\)에 대하여 사상 \[H^{m - 1}(U, K_{n + 1}) \to H^{m - 1}(U, K_n) \quad\text{이고}\quad H^m(U, K_{n + 1}) \to H^m(U, K_n)\] 은 동형이다. 이 주장은 Lemma 0D61의 조건 (1)과 (2)가 성립함을 뜻하며, 따라서 원하는 단사성을 함의한다. 다음 특수 삼각형들이 있음을 상기하자(Derived Categories, Remark 08J5). \[H^{-n - 1}(E)[n + 1] \to K_{n + 1} \to K_n \to H^{-n - 1}(E)[n + 2]\] 이에 연관된 긴 완전 코호몰로지 열을 보면, \(n \geq n(x)\) 및 \(U \in \mathfrak{U}_x\)에 대하여 \[H^{m + n}(U, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 1}(U, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 2}(U, H^{-n - 1}(E))\] 가 영이면 주장이 따른다. 이는 \(n(x)\)의 선택과 보조정리의 가정에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 모든 \(x \in X\)에 대하여 정수 \(d_x \geq 0\)와 \(x\)의 열린 근방들의 기본계 \(\mathfrak{U}_x\)가 존재하여 \[H^p(U, H^q(E)) = 0 \text{이고, 이는 } U \in \mathfrak{U}_x,\ p > d_x, \text{이고 }q < 0\text{일 때 성립한다}\] 라고 가정하자. 그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 동형이다.

증명

이는 \(p(x, m) = d_x + \max(0, m)\)로 둔 Lemma 0D62에서 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 함수 \(p(-) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)와 \(X\)의 열린집합들로 이루어진 집합 \(\mathcal{B}\)가 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(X\)의 모든 열린집합은 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. \(p > p(m)\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, H^{m - p}(E)) = 0\)이다.

그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 동형이다.

증명

\(p(x, m) = p(m)\) 및 \(\mathfrak{U}_x = \{U \in \mathcal{B} \mid x \in U\}\)로 두고 Lemma 0D62을 적용한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 정수 \(d \geq 0\)와 \(X\)의 위상의 기저 \(\mathcal{B}\)가 존재하여 \[H^p(U, H^q(E)) = 0 \text{이고, 이는 } U \in \mathcal{B},\ p > d, \text{이고 }q < 0\text{일 때 성립한다}\] 라고 가정하자. 그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 동형이다.

증명

\(d_x = d\) 및 \(\mathfrak{U}_x = \{U \in \mathcal{B} \mid x \in U\}\)로 두고 Lemma 0D63을 적용한다.

위의 보조정리들을 사용하면 어떤 상황에서 코호몰로지를 계산할 수 있다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 열린집합들로 이루어진 집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)의 모든 열린집합은 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(p > 0\), \(q \in \mathbf{Z}\), \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, H^q(K)) = 0\)이다.

그러면 \(q \in \mathbf{Z}\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^q(U, K) = H^0(U, H^q(K))\)이다.

증명

\(d = 0\)으로 둔 Lemma 0D64에 의해 \(K = R\lim \tau_{\geq -n} K\)임을 관찰하자. \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. Equation (0BKR)에 의해 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{q - 1}(U, \tau_{\geq -n}K) \to H^q(U, K) \to \lim H^q(U, \tau_{\geq -n}K) \to 0\] 을 얻는다. Example 0BKM의 스펙트럼열을 사용하면 조건 (2)는 모든 \(q\)에 대하여 \(H^q(U, \tau_{\geq -n} K) = H^0(U, H^q(\tau_{\geq -n} K))\)임을 함의한다. \(\tau_{\geq -n}K\)는 아래로 유계이므로 스펙트럼열은 수렴한다. \(n > -q\)이면 \(H^q(\tau_{\geq -n}K) = H^q(K)\)이다. 따라서 표시한 짧은 완전열의 왼쪽 계와 오른쪽 계는 각각 \(H^0(U, H^{q - 1}(K))\)와 \(H^0(U, H^q(K))\)를 값으로 하여 결국 상수이다. 보조정리가 따른다.

유도 극한을 기술할 수 있는 또 다른 경우가 있다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상들의 역계라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 열린집합들로 이루어진 집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)의 모든 열린집합은 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 모든 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대하여

   1. \(p > 0\)에 대하여 \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\)이다.

   2. 역계 \(H^0(U, H^q(K_n))\)의 \(R^1\lim\)은 영이다.

그러면 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(H^q(R\lim K_n) = \lim H^q(K_n)\)이다.

증명

\(K = R\lim K_n\)으로 놓고, \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. Lemma 0BKT과 (2)(a)에 의해 \(H^q(U, K_n) = H^0(U, H^q(K_n))\)이다. Lemma 0D60과 (2)(b)에 의해 \(H^q(U, K) = \lim H^0(U, H^q(K_n))\)이다. 따라서 \(H^q(U, K)\)는 \(U\) 위의 층 \(H^q(K_n)\)의 단면들의 역극한이다. \(\lim H^q(K_n)\)은 층이므로, 가정 (1)을 사용하면 준층 \(U \mapsto H^q(U, K)\)의 층화인 \(H^q(K)\)가 \(\lim H^q(K_n)\)과 같음을 얻는다. 이것이 보조정리를 증명한다.

K-단사 분해의 구성

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)는 충분한 단사대상을 가지므로 Derived Categories, Lemma 070F을 사용하여 다음 도식을 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \tau_{\geq -2}\mathcal{F}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tau_{\geq -1}\mathcal{F}^\bullet \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{I}_2^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_1^\bullet }\] 이 도식은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 범주 안에 있으며 다음을 만족한다.

1. 세로 화살표들은 유사동형이다.

2. \(\mathcal{I}_n^\bullet\)은 단사대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체이다.

3. 화살표 \(\mathcal{I}_{n + 1}^\bullet \to \mathcal{I}_n^\bullet\)은 항별 분할 전사이다.

\(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주는 극한을 가지며(준층 수준에서 계산된다), 따라서 항별 극한 \(\mathcal{I}^\bullet = \lim_n \mathcal{I}_n^\bullet\)을 만들 수 있다. Derived Categories, Lemmas 070J 및 070L 에 의해 이는 K-단사 복합체이다. 일반적으로 표준 사상 [071A]\[\begin{equation} \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \end{equation}\] 은 유사동형이 아닐 수 있다. 다음 보조정리에서는 이것이 유사동형이 되는 몇 가지 조건을 기술한다.

보조정리

위에서 기술한 상황에 있다고 하자. \(\mathcal{H}^m = H^m(\mathcal{F}^\bullet)\)을 \(m\)차 코호몰로지 층이라 쓰자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 열린 부분집합들로 이루어진 집합이라 하자. \(d \in \mathbf{N}\)이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)의 모든 열린집합은 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(p > d\) 및 \(q < 0\)이면 \(H^p(U, \mathcal{H}^q) = 0\)이다⁷.

그러면 (071A)은 유사동형이다.

증명

Derived Categories, Lemma 070M에 의해 사상 \(\mathcal{F}^\bullet \to R\lim \tau_{\geq -n} \mathcal{F}^\bullet\) 이 동형임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0D64이다.

다음은 층 복합체들의 계의 역극한이 갖는 코호몰로지 층에 관한 기술적 보조정리이다. 실제 역극한이 아니라 유도 극한을 취해야 한다는 점에서, 어떤 의미로는 이 보조정리는 증명하려고 할 올바른 명제가 아니다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \((\mathcal{F}_n^\bullet)\)을 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체의 역계라 하자. \(m \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(X\)의 열린 부분집합들로 이루어진 집합 \(\mathcal{B}\)와 정수 \(n_0\)가 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(X\)의 모든 열린집합은 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여

   1. 아벨군의 계 \(\mathcal{F}_n^{m - 2}(U)\) 및 \(\mathcal{F}_n^{m - 1}(U)\) 의 \(R^1\lim\)은 영이다(예를 들어 이 계들은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다).

   2. 아벨군의 계 \(H^{m - 1}(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\)의 \(R^1\lim\)은 영이다(예를 들어 이 계는 Mittag–Leffler 조건을 만족한다).

   3. 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet(U))\) 이다.

그러면 사상 \(H^m(\mathcal{F}^\bullet) \to \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet) \to H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet)\) 들은 층의 동형이다. 여기서 \(\mathcal{F}^\bullet = \lim \mathcal{F}_n^\bullet\)은 항별 역극한이다.

증명

\(U \in \mathcal{B}\)라 하자. \(H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\)은 \[\lim_n \mathcal{F}_n^{m - 2}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m - 1}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^m(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m + 1}(U)\] 의 왼쪽에서 셋째 자리에서의 코호몰로지임을 주목하자. 가정 (2)(a)와 (2)(b)에 의해 More on Algebra, Lemma 0918 을 적용하여 \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] 을 얻는다. 가정 (2)(c)에 의해 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] 이다. 가정 (1)에 의해 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\)의 층화와 \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\)의 층화가 같음을 얻는다. 따라서 층의 역계 \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet)\)은 \(n \geq n_0\)에서 \(H^m(\mathcal{F}^\bullet)\)을 값으로 하여 상수이다. 이것이 보조정리를 증명한다.

역계와 코호몰로지, III

이 절에서는 유도 극한을 사용하여 Section 0H38의 논의를 계속한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 환 준동형이라 하고, \(f \in A\)라 하자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음과 같이 쓰자. \[E_n = E \otimes_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{O}_X \xrightarrow{f^n} \mathcal{O}_X)\] \(E^\wedge = R\lim E_n\)으로 놓자. \(p \in \mathbf{Z}\)에 대하여 다음 표준 가환 도식이 있다. \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, E)} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, E_n) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, E)) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, E)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, E^\wedge) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, E)) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, E)[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, E_n) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] 그 행과 열은 완전하다. 여기서 \(\widehat{H^p(X, E)} = \lim H^p(X, E)/f^n H^p(X, E)\)는 통상적인 \(f\)-진 완비화이고, \(H^p(X, E)^\wedge\)는 유도 \(f\)-진 완비화이며, \(T_f(H^{p + 1}(X, E))\)는 \(f\)-진 Tate 가군이다. More on Algebra, Example 0BKG을 보라. 마지막으로 \(H^p(X, E^\wedge) = H^p(R\Gamma(X, E)^\wedge)\)이다.

증명

Lemma 0BKP에 의해 \(R\Gamma(X, E^\wedge) = R\lim R\Gamma(X, E_n)\)임을 관찰하자. 한편 \[R\Gamma(X, E_n) = R\Gamma(X, E) \otimes_A^\mathbf{L} (A \xrightarrow{f^n} A)\] 이다(세부 사항은 생략한다). 따라서 \(R\Gamma(X, E^\wedge)\)는 \(R\Gamma(X, E)^\wedge\)라는 유도 \(f\)-진 완비화이다. 그러므로 도식은 More on Algebra, Lemma 0H32에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고, \(f : M \to M\)을 \(\mathcal{A}\)의 사상이라 하자. \(M[f^n] = \Ker(f^n : M \to M)\)이 안정되면 다음 두 역계 \[(M \xrightarrow{f^n} M) \quad\text{및}\quad \Coker(f^n : M \to M)\] 는 \(D(\mathcal{A})\) 안에서 프로-동형이다.

증명

첫째 역계에서 둘째 역계로 가는 사상이 있음은 명백하다. 다음을 가정하자. \(M[f^c] = M[f^{c + 1}] = M[f^{c + 2}] = \ldots\). 그러면 다음 도식들로 \(D(\mathcal{A})\) 안에서 반대 방향의 역계 사상을 정의할 수 있다. \[\xymatrix{ M/M[f^c] \ar[r]_-{f^{n + c}} \ar[d]_{f^c} & M \ar[d]^1 \\ M \ar[r]^{f^n} & M }\] 윗 가로 화살표가 단사이므로 윗행의 복합체는 \(\Coker(f^{n + c} : M \to M)\)와 유사동형이다. 일부 세부 사항은 생략한다.

예

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 환 준동형이라 하고, \(f \in A\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 모든 \(n \geq c\)에 대하여 \(\mathcal{F}[f^c] = \mathcal{F}[f^n]\)이 되게 하는 \(c\)가 있다고 가정하자. \(E = \mathcal{F}\)로 두고 Lemma 0H3C을 적용한다. Lemma 0H3D에 의해 역계 \((E_n)\)은 역계 \((\mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\)와 프로-동형이다. 따라서 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대하여 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(R\Gamma(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, \mathcal{F})[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] 그 행과 열은 완전하다. 여기서 \(\widehat{H^p(X, \mathcal{F})} = \lim H^p(X, \mathcal{F})/f^n H^p(X, \mathcal{F})\) 는 통상적인 \(f\)-진 완비화이고, \(D(A)\) 안의 \(M\)에 대하여 \(M^\wedge\)는 유도 \(f\)-진 완비화를 나타낸다.

비유계 복합체의 Čech 코호몰로지

Section 01FP의 구성은 비유계 복합체에 대해서는 ‘올바른’ 구성이 아니다. 문제는 Stacks project에서 이중 복합체를 전체화할 때 직접합을 사용하므로 이를 직접곱으로 바꾸어야 한다는 데 있다. 이 절에서는 그렇게 하는 대신 덮개가 유한이라고 가정하고 교대 Čech 복합체를 사용한다.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \({\mathcal F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 전층들의 복합체라 하고, \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 \(X\)의 유한 열린 덮개라 하자. 교대 Čech 복합체 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) (Section 01FG)는 전층 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이므로 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)\)를 얻는다. 이 절에서는 이에 결부된 전체 복합체를 사용한다. 구성 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) 은 \({\mathcal F}^\bullet\)에 대해 함자적이다. 또한 다음과 같은 복합체들의 함자적 변환이 있다. [08C0]\[\begin{equation} \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \end{equation}\] 이는 다음 규칙으로 정의된다. 단면 \(s\in \Gamma(X, {\mathcal F}^n)\)은 원소 \(\alpha = \{\alpha_{i_0\ldots i_p}\}\)로 보내지며, 여기서 \(\alpha_{i_0} = s|_{U_{i_0}}\)이고 \(\alpha_{i_0\ldots i_p} = 0\)은 \(p > 0\)일 때 성립한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 유한 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 표준 사상 \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\] 이 있으며, 이 사상은 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 함자적이고 (08C0)와 호환된다.

증명

각 항이 단사 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 K-단사 복합체 \({\mathcal I}^\bullet\)를 택하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)에 대한 (08C0)의 사상은 \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet))\) 이다. 이는 아벨군 복합체들의 유사동형이다. 실제로 Homology, Lemma 0133을 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)\)에 적용하고 Lemmas 01EP 및 01FM을 사용하면 이를 얻는다. \({\mathcal F}^\bullet \to {\mathcal I}^\bullet\)가 \({\mathcal F}^\bullet\)에서 각 항이 단사대상인 K-단사 복합체로 가는 유사동형이라고 하자(Injectives, Theorem 079P). \(R\Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet)\)는 복합체 \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet)\)로 나타내어지므로 다음 사상을 사용하여 보조정리의 사상을 얻는다. \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)).\] 함자성과 호환성의 검증은 생략한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 유한 열린 덮개라 하고, \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 열린 부분집합들의 집합이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)의 모든 열린집합에는 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)의 원소인 덮개가 있다.

2. 모든 \(i_0, \ldots, i_p \in I\)에 대해 \(U_{i_0\ldots i_p} \in \mathcal{B}\)이다.

3. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 \(p > 0\)에 대해 다음이 성립한다.

   1. \(H^p(U, \mathcal{F}^q) = 0\),

   2. \(H^p(U, \Coker(\mathcal{F}^{q - 1} \to \mathcal{F}^q)) = 0\), 그리고

   3. \(H^p(U, H^q(\mathcal{F})) = 0\).

그러면 Lemma 08C1의 사상 \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\] 은 \(D(\textit{Ab})\)에서 동형사상이다.

증명

먼저 \(\mathcal{F}^\bullet\)가 아래로 유계라고 가정하자. 이 경우 사상 \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet))\] 은 Lemma 01FM에 의해 유사동형이다. 즉 이중 복합체들의 사상 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)\) 은 이 복합체들에 결부된 두 번째 스펙트럼열들의 첫째 쪽 사이의 동형사상을 유도하고 (Homology, Lemma 0130), 이 스펙트럼열들은 수렴한다 (Homology, Lemma 0132). 따라서 이 경우의 결론은 Lemma 0FLH와 가정 (3)(a)에서 따른다.

일반적으로 가정 (3)(c)에 의해 Lemma 071B에서와 같은 분해 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet = \lim \mathcal{I}_n^\bullet\) 을 택할 수 있다. 그러면 보조정리의 사상은 \[\lim_n \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) = \lim_n \Gamma(X, \mathcal{I}_n^\bullet)\] 이 된다. 여기서 화살표는 유도범주 안의 사상이지만 오른쪽 등식은 복합체 수준에서 성립한다. (3)(b)에 의해 \(\tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet\)는 보조정리의 가정을 만족하는 아래로 유계인 복합체이다. 따라서 아래로 유계인 복합체의 경우를 적용하면 각 사상 \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{I}_n^\bullet)\] 은 유사동형이다. 왼쪽 복합체들의 주어진 차수에서의 코호몰로지는 결국 상수이다(교대 Čech 복합체가 유한이기 때문이다). 따라서 오른쪽에서도 마찬가지이다. 그러므로 오른쪽 역극한의 코호몰로지는 Homology, Lemma 070E (또는 더 강한 More on Algebra, Lemma 0918)에 의해 이 상숫값이며, 이로써 보조정리가 증명된다.

Hom 복합체

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{L}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 두 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\)를 구성하자. 구체적으로 각 \(n\)에 대해 다음과 같이 둔다. \[\SheafHom^n(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) = \prod\nolimits_{n = p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] \(\SheafHom^n\)은 등급 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 본 \(\mathcal{L}^\bullet\)에서 \(\mathcal{M}^\bullet\)로 가는, 차수가 \(n\)인 모든 동차 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상들의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 층으로 생각하면 좋다. 이 용어법에서 미분은 다음 규칙으로 정의한다. \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 여기서 \(f \in \SheafHom^n_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\) 이다. \(\text{d}^2 = 0\)의 검증은 생략한다. 이 구성은 Differential Graded Algebra, Example 09L9의 특수한 경우이다. 구성에서 곧바로 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)와 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 [0A8L]\[\begin{equation} H^n(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet))) = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet[n]) \end{equation}\] 을 얻는다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] 라는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 동형사상이 있으며, 이는 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)에 대해 함자적이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A5Y와 정확히 같은 방법으로 증명한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 표준 사상 \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] 이 있다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A8I과 정확히 같은 방법으로 증명한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 표준 사상 \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet))\] 이라는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 사상이 있으며, 이는 세 복합체 모두에 대해 함자적이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0BYM와 정확히 같은 방법으로 증명한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet\)가 주어지면 표준 사상 \[\mathcal{K}^\bullet \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet))\] 이라는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 사상이 있으며, 이는 두 복합체 모두에 대해 함자적이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A62과 정확히 같은 방법으로 증명한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 표준 사상 \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] 이라는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 사상이 있으며, 이는 세 복합체 모두에 대해 함자적이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A60와 정확히 같은 방법으로 증명한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(L\)과 \(M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)를 \(M\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체라 하고, \(\mathcal{L}^\bullet\)를 \(L\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체라 하자. 그러면 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \[H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] 이다.

증명

다음과 같다. \[\begin{align*} H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) & = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet|_U, \mathcal{I}^\bullet|_U) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U) \end{align*}\] 첫째 등식은 (0A8L)이다. 둘째 등식은 Lemma 08BS에 의해 \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)가 K-단사이므로 성립한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \((\mathcal{I}')^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체들의 유사동형이라 하고, \((\mathcal{L}')^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체들의 유사동형이라 하자. 그러면 \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 은 유사동형이다.

증명

\(M\)을 \(\mathcal{I}^\bullet\)과 \((\mathcal{I}')^\bullet\)로 나타내어지는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하고, \(L\)을 \(\mathcal{L}^\bullet\)과 \((\mathcal{L}')^\bullet\)로 나타내어지는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. Lemma 0A8R에 의해 두 층 \[H^0(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet)) \quad\text{and}\quad H^0(\SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\] 은 모두 전층 \[U \longmapsto \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] 에 결부된 층과 같다. 따라서 이 사상은 유사동형이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체라 하고, \(\mathcal{L}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-평탄 복합체라 하자. 그러면 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체이다.

증명

실제로 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 비순환 복합체이면 \[\begin{align*} \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) & = H^0(\Gamma(X, \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)))) \\ & = H^0(\Gamma(X, \SheafHom^\bullet(\text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet))) \\ & = \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet) \\ & = 0 \end{align*}\] 이다. 첫째 등식은 (0A8L)에서 따르고, 둘째 등식은 Lemma 0A8M에서 따르며, 셋째 등식은 (0A8L)에서 따른다. 마지막 등식은 \(\mathcal{L}^\bullet\)가 K-평탄이므로 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)\) 가 비순환이고(Definition 06Y9), \(\mathcal{I}^\bullet\)가 K-단사이므로 성립한다.

유도범주에서의 내부 Hom

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(L, M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 세 번째 대상 \(K\)에 대해 표준 전단사 [08DI]\[\begin{equation} \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, M) \end{equation}\] 가 존재하도록 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(R\SheafHom(L, M)\)을 구성하고자 한다. Yoneda 보조정리 (Categories, Lemma 001P)에 의해 이 식은 \(R\SheafHom(L, M)\)을 유일한 동형사상까지 정의한다.

그러한 대상을 구성하기 위해 \(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택한다. 다음과 같이 둔다. \[R\SheafHom(L, M) = \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 여기서 오른쪽은 Section 0A8K에서 구성한 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체이다. 이는 Lemma 0A8S에 의해 잘 정의된다. 따라서 함자 \[D(\mathcal{O}_X)^{opp} \times D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X), \quad (K, L) \longmapsto R\SheafHom(K, L)\] 를 얻는다. (08DI)을 증명하기에 앞서 \(R\SheafHom(K, L)\)의 코호몰로지 군을 계산하자.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(L, M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 모든 열린집합 \(U\)에 대해 \[H^0(U, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] 이고, 특히 \(H^0(X, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(L, M)\)이다.

증명

\(M\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택하자. 그러면 Lemma 0A8T에 의해 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\)는 K-단사이다. 따라서 \(U\) 위의 단면을 취하는 것만으로 \(U\) 위의 코호몰로지를 계산할 수 있고, Lemma 0A8R에서 결론이 따른다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, L, M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 위에서 설명한 구성에 대해 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 표준 동형사상 \[R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M)) = R\SheafHom(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, M)\] 이 있다. 이는 \(K, L, M\)에 대해 함자적이며, \(H^0(X, -)\)를 취하면 (08DI)을 준다.

증명

\(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 K-평탄 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)를 \(K\)를 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체라 하자. 그러면 \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] 이다(Lemma 0A8M). 왼쪽은 \(R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M))\)을 나타내고(Lemma 0A8T 사용), 오른쪽은 \(R\SheafHom(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, M)\)을 나타낸다. 이로써 보조정리의 표시된 식이 증명된다. 대역 단면을 취하고 Lemma 08DK를 사용하면 (08DI)을 얻는다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(R\SheafHom(K, L)\)의 구성은 열린 부분집합으로의 제한과 가환한다. 즉 모든 열린집합 \(U\)에 대해 \(R\SheafHom(K|_U, L|_U) = R\SheafHom(K, L)|_U\)이다.

증명

이는 구성과 Lemma 08BS에서 명백하다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. 이중함자 \(R\SheafHom(- , -)\)는 두 변수 각각에서 특수 삼각형을 특수 삼각형으로 보낸다.

증명

대응 \[(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \longmapsto \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] 은 어느 한 변수에서든 복합체들의 항별 분할 짧은 완전열을 항별 분할 짧은 완전열로 보낸다는 관찰에서 결론이 따른다. 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K, L, M\)이 주어지면 표준 사상 \[R\SheafHom(L, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, M)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 \(K, L, M\)에 대해 함자적이다.

증명

\(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\), 그리고 \(K\)를 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 택하자. Lemma 0A8N에 의해 복합체들의 사상 \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 이 있다. \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\), \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\), 그리고 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\)는 각각 \(R\SheafHom(L, M)\), \(R\SheafHom(K, L)\), 그리고 \(R\SheafHom(K, M)\)을 나타낸다. K-평탄 복합체 \(\mathcal{H}^\bullet\)와 유사동형 \(\mathcal{H}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\)를 택하면, 다음 사상이 있다. \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H}^\bullet \right) \longrightarrow \text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right)\] 이 사상의 정의역은 \(R\SheafHom(L, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L)\)을 나타낸다. 표시된 두 화살표를 합성하면 원하는 사상을 얻는다. 이 구성이 함자적이라는 증명은 생략한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K, L, M\)이 주어지면 표준 사상 \[K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 \(K, L, M\)에 대해 함자적이다.

증명

\(K\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 택하고, \(M\)을 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 택하자. \(\mathcal{J}^\bullet\)가 K-단사인 유사동형 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\) 을 택한다. 그러면 사상 \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \right) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] 을 사용한다. 여기서 첫째 사상은 Lemma 0BYR의 사상이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K, L\)이 주어지면 표준 사상 \[K \longrightarrow R\SheafHom(L, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 \(K\)와 \(L\) 모두에 대해 함자적이다.

증명

\(K\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택하자. K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\)와 유사동형 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\)를 택한다. 그러면 \[\mathcal{K}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] 을 사용한다. 여기서 첫째 사상은 Lemma 0A8Q에서 온다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(L\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. \(L^\vee = R\SheafHom(L, \mathcal{O}_X)\)라 두자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(M\)에 대해 표준 사상 [08I2]\[\begin{equation} M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} L^\vee \longrightarrow R\SheafHom(L, M) \end{equation}\] 이 있으며, 이는 표준 사상 \[H^0(X, M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} L^\vee) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(L, M)\] 을 유도한다. 이 사상은 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(M\)에 대해 함자적이다.

증명

(08I2)의 사상은 식별 \(M = R\SheafHom(\mathcal{O}_X, M)\)을 사용하는 Lemma 0A8V의 특수한 경우이다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, L, M\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 표준 사상 \[R\SheafHom(L, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \longrightarrow R\SheafHom(R\SheafHom(K, L), M)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 \(K, L, M\)에 대해 함자적이다.

증명

\(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\), \(L\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\), 그리고 \(K\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 택한다. 이 사상은 다음 사상을 사용하여 정의한다. \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] 이는 Lemma 0A8P의 사상이다. 복합체들을 이렇게 특별히 택했으므로 왼쪽은 \(R\SheafHom(L, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\)를 나타내고, 오른쪽은 \(R\SheafHom(R\SheafHom(K, L), M)\)을 나타낸다. 이것이 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 세 대상 모두에 대해 함자적이라는 증명은 생략한다.

주

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하자. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(K, K', M, M'\)에 대해 표준 사상 \[R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, M') \longrightarrow R\SheafHom(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M, K' \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M')\] 이 있다. 즉 (08DI)에 의해 이 사상을 주는 것은 다음 사상을 주는 것과 같다. \[R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, M') \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M \longrightarrow K' \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M'\] 이를 위해 먼저 가운데 두 인자를 뒤집고(부호 규칙은 More on Algebra, Section 0FNG에서와 같다), 사상 \[R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \to K' \quad\text{and}\quad R\SheafHom(M, M') \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M \to M'\] 을 사용하면 된다. 이 사상들은 Lemma 0A8V에서 \(K = R\SheafHom(\mathcal{O}_X, K)\)로 생각하여 얻으며, \(K'\), \(M\), \(M'\)도 마찬가지이다.

주

\(f : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 다음과 같은 표준 사상이 있다고 주장한다. \[Rf_*R\SheafHom(L, K) \longrightarrow R\SheafHom(Rf_*L, Rf_*K)\] 즉 (08DI)에 의해 이는 사상 \(Rf_*R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \to Rf_*K\) 을 주는 것과 같다. 이를 위해 합성 \[Rf_*R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \to Rf_*(R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \to Rf_*K\] 을 사용할 수 있다. 여기서 첫째 화살표는 상대 컵곱 (Remark 0B68)이고, 둘째 화살표는 Lemma 0A8V에서 오는 표준 사상 \(R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \to K\)에 \(Rf_*\)를 적용한 것이다(한 자리에 \(\mathcal{O}_X\)를 넣는다).

주

\(h : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(K, M\)을 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이라 하자. 도식 \[\xymatrix{ Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, M) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*K \ar[r] \ar[d] & Rf_*\left(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\right) \ar[d] \\ R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*K, Rf_*M) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*K \ar[r] & Rf_*M }\] 은 가환한다. 여기서 왼쪽 세로 화살표는 Remark 0B69에서 온다. 위쪽 수평 화살표는 Remark 0B68의 사상이다. 나머지 두 화살표는 Lemma 0A8V의 사상에서 한 항목을 \(\mathcal{O}_X\) 또는 \(\mathcal{O}_Y\)로 바꾼 경우이다.

주

\(h : X \to Y\)를 환 달린 공간의 사상이라 하고, \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이라 하자. 표준 사상 \[Lh^*R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L)\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재한다고 주장한다. (08DI)은 Lemma 08DJ에서 증명했으며, 이에 의해 그러한 사상을 주는 것은 사상 \[Lh^*R\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} Lh^*K \longrightarrow Lh^*L\] 을 주는 것과 같다. Lemma 079U에 의해 이 화살표의 정의역은 \(Lh^*(\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} K)\)이므로, 표준 사상 \[R\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} K \longrightarrow L.\] 을 구성하면 충분하다. 이를 위해 \[\text{id} : R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, L)\] 에 (08DI)으로 대응하는 화살표를 취한다.

주

환 달린 공간들의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_h \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 표준 밑변환 사상 \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L)\] 이 \(D(\mathcal{O}_{S'})\) 안에 존재한다고 주장한다. 구체적으로 합성 \[\begin{align*} L(f')^*Lg^*Rf_*R\SheafHom(K, L) & = Lh^*Lf^*Rf_*R\SheafHom(K, L) \\ & \to Lh^*R\SheafHom(K, L) \\ & \to R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L) \end{align*}\] 에 수반되는 사상을 취한다. 여기서 첫째 화살표는 수반 사상 \(Lf^*Rf_* \to \text{id}\)를 사용하고, 둘째 화살표는 Remark 08I3에서 구성한 표준 사상이다.

Ext 층

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, L \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 유도범주에서의 내부 Hom 구성을 사용하고 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(R\SheafHom(K, L)\)의 \(n\)차 코호몰로지 층을 취하면 잘 정의된 \(\mathcal{O}_X\)-가군 층 \[\SheafExt^n(K, L) = H^n(R\SheafHom(K, L))\] 을 얻는다. 이 대상을 때때로 \(\SheafExt^n_{\mathcal{O}_X}(K, L)\)로 쓴다. Lemma 08DK에 의해 이 \(\SheafExt^n\)-층은 규칙 \[U \longmapsto \Ext^n_{D(\mathcal{O}_U)}(K|_U, L|_U)\] 의 층화임을 알 수 있다. Example 0BKM에 의해 항상 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = H^p(X, \SheafExt^q(K, L))\] 이 있으며, 이는 좋은 상황에서(예를 들어 \(L\)이 아래로 유계이고 \(K\)가 위로 유계이면) \(\Ext^{p + q}_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\)로 수렴한다.

대역 유도 Hom

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(K, L \in D(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 유도범주에서의 내부 Hom 구성을 사용하면 \(D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\)의 잘 정의된 대상 \[R\Hom_X(K, L) = R\Gamma(X, R\SheafHom(K, L))\] 을 얻는다. 이 대상을 때때로 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K, L)\)로 쓴다. Lemma 08DK에 의해 \[H^0(R\Hom_X(K, L)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L), \quad H^p(R\Hom_X(K, L)) = \Ext_{D(\mathcal{O}_X)}^p(K, L)\] 이다. \(f : Y \to X\)가 환 달린 공간의 사상이면, Remark 08I3에서 정의한 사상의 대역 단면을 취하여 \(D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) 안의 표준 사상 \[R\Hom_X(K, L) \longrightarrow R\Hom_Y(Lf^*K, Lf^*L)\] 을 얻는다.

복합체 붙이기

복합체를 붙일 수 있다! 더 정확히 말하면, 어떤 상황에서는 유도범주의 국소적으로 주어진 대상들을 붙여 대역 대상을 만들 수 있다. 먼저 몇 가지 쉬운 경우를 증명한 뒤, 위상공간과 열린 덮개의 맥락에서 매우 일반적인 [BBD, Theorem 3.2.4]를 증명한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 환 달린 공간이라 하고, \(X = U \cup V\)를 \(X\)의 두 열린 부분공간의 합집합이라 하자. 다음이 주어졌다고 하자.

1. \(D(\mathcal{O}_U)\)의 대상 \(A\),

2. \(D(\mathcal{O}_V)\)의 대상 \(B\), 그리고

3. 동형사상 \(c : A|_{U \cap V} \to B|_{U \cap V}\).

그러면 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(F\)와 동형사상 \(f : F|_U \to A\), \(g : F|_V \to B\)가 존재하여 \(c = g|_{U \cap V} \circ f^{-1}|_{U \cap V}\)를 만족한다. 더 나아가 다음이 주어졌다고 하자.

1. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 대상 \(E\),

2. \(D(\mathcal{O}_U)\)의 사상 \(a : A \to E|_U\),

3. \(D(\mathcal{O}_V)\)의 사상 \(b : B \to E|_V\).

이들이 \[a|_{U \cap V} = b|_{U \cap V} \circ c.\] 를 만족하면, \(U\)로의 제한이 \(a \circ f\)이고 \(V\)로의 제한이 \(b \circ g\)인 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 사상 \(F \to E\)가 존재한다.

증명

대응하는 열린 몰입을 각각 \(j_U\), \(j_V\), \(j_{U \cap V}\)로 쓰자. 특수 삼각형 \[F \to Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \to Rj_{U \cap V, *}(B|_{U \cap V}) \to F[1]\] 을 택하되, 사상 \(Rj_{V, *}B \to Rj_{U \cap V, *}(B|_{U \cap V})\)는 자명한 사상으로 하고, \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \cap V, *}(B|_{U \cap V})\)는 \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \cap V, *}(A|_{U \cap V})\)와 \(Rj_{U \cap V, *}c\)의 합성으로 한다. \(U\)로 제한하면 \[F|_U \to A \oplus (Rj_{V, *}B)|_U \to (Rj_{U \cap V, *}(B|_{U \cap V}))|_U \to F|_U[1]\] 를 얻는다. \(j : U \cap V \to U\)라 쓰자. 열린집합으로의 제한과 코호몰로지의 호환성에 의해 \((Rj_{V, *}B)|_U\)와 \((Rj_{U \cap V, *}(B|_{U \cap V}))|_U\)는 모두 \(Rj_*(B|_{U \cap V})\)와 표준적으로 동형이다. 따라서 마지막 표시 도식의 둘째 화살표에는 단면이 있으므로 사상 \(F|_U \to A\)가 동형사상임을 얻는다. 마찬가지로 \(F|_V \to B\)도 동형사상이다. 사상 \(F \to E\)의 존재는 \(\Hom\)에 대한 Mayer–Vietoris 열에서 따른다. Lemma 08BW를 보라.