형식 공간의 대수화

서론

이 장의 주된 목표는 팽창에 관한 Artin의 정리를 증명하는 것이다. 정리 0GDU를 보라. 수축에 관한 결과는 Artin 공리의 0GH7절에서 논의한다. 두 결과 모두 형식 대수 공간에 관한 내용을 사용하므로, 이 장의 중간 부분에서는 앞 장에서 시작한 형식 대수 공간의 논의를 계속한다. 《형식 대수 공간》의 0AHX절을 보라. 이 장의 첫째 부분은 대수학적 준비에 할애하며, 주로 rig-étale 대수의 대수화를 다룬다.

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 이 장의 첫째 부분 (0AL2절–0AK5절)에서는 뇌터 환 \(A\) 위에서 위상적으로 유한형인 \(I\)-진 완비 대수 \(B\)의 범주를 논의한다. \(A\)에 \(I\)-진 위상을 주었을 때, 어떤 제한 멱급수환의 (닫힌) 아이디얼 \(J\)에 대하여 \(B = A\{x_1, \ldots, x_n\}/J\)임을 보인다. 소박한 여접 복합체 \(\NL_{B/A}^\wedge\)의 적절한 개념이 있음을 보인다. \(I\)의 어떤 거듭제곱이 \(\NL_{B/A}^\wedge\)를 소멸시키면 \(B\)를 \((A, I)\) 위의 rig-étale 대수라 한다. rig-매끄러운 대수에도 비슷한 개념이 있다. \(A\)가 G-환이면 Popescu의 정리를 사용하여 \((A, I)\) 위의 임의의 rig-매끄러운 대수 \(B\)가 어떤 유한형 \(A\)-대수의 완비화임을 보인다. 비형식적으로는 \(B\)를 “대수화”할 수 있다고 말한다. 그러나 첫째 부분의 주된 결과는 \(A\)가 G-환이라는 가정 없이도 \((A, I)\) 위의 임의의 rig-étale 대수 \(B\)를 대수화할 수 있다는 것이다. 보조정리 0AKA를 보라. 이러한 대수화에 관한 문헌 안내는 주의 0GAX을 보라. 첫째 부분의 일반적인 참고문헌은 [EGA], [Abbes], 그리고 [Fujiwara-Kato]이다.

이 장의 둘째 부분 (0GC1절–0GDJ절)에서는 형식 대수 공간의 사상들의 유형을 적절한 일반성 아래에서 논의한다(주로 국소 뇌터 형식 대수 공간을 다룬다). 이 가운데 가장 흥미로운 것은 마지막 절의 “형식 수정”이라는 개념이다. 우리의 정의가 [ArtinII]에서 Artin이 내린 정의와 일치함을 주의 깊게 확인한다.

마지막으로 이 장의 셋째이자 마지막 부분 (0GDP절–0AS1절)에서는 주요 정리를 증명하고 몇 가지 응용을 제시한다. 실제로 더 강한 결과인 정리 0ARB로부터 Artin의 정리를 이끌어 낸다. 이 정리를 아주 거칠게 말하면 다음과 같다. \(f : \mathfrak X \to \mathfrak X'\)가 rig-étale 사상이고 \(\mathfrak X'\)가 어떤 국소 뇌터 대수 공간의 형식 완비화이면, \(\mathfrak X\)도 그러하다. Artin의 연구에서는 사상 \(f\)가 고유이고 rig-전사라고 가정한다.

두 범주

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 이 절에서 \({}^\wedge\)는 \(I\)-진 완비화를 뜻한다. \(A_n = A/I^n\)으로 놓으면 \(A\)의 \(I\)-진 완비화는 \(A^\wedge = \lim A_n\)이다. \(\mathcal{C}\)를 다음 범주로 정의한다. [0AL3]\[\begin{equation} \mathcal{C} = \left\{ \begin{matrix} \text{역계 }\ldots \to B_3 \to B_2 \to B_1 \\ \text{여기서 }B_n\text{은 유한형 }A_n\text{-대수이고,}\\ B_{n + 1} \to B_n\text{은 }A_{n + 1}\text{-대수 사상으로서}\\ B_{n + 1}/I^nB_{n + 1} \cong B_n\text{을 유도한다} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] \(\mathcal{C}\)의 사상은 준동형들의 계로 주어진다. \(\mathcal{C}'\)를 다음 범주로 정의한다. [0AL4]\[\begin{equation} \mathcal{C}' = \left\{ \begin{matrix} A\text{-대수 }B\text{로서 }I\text{-진 완비이고}\\ \text{또한 }B/IB\text{가 }A/I\text{ 위에서 유한형인 것} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] \(\mathcal{C}'\)의 사상은 \(A\)-대수 사상이다. 다음 함자가 있다. [0AJN]\[\begin{equation} \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C},\quad B \longmapsto (B/I^nB) \end{equation}\] 실제로 \(B/IB\)는 \(A/I\) 위에서 유한형이므로 환 사상 \(A_n = A/I^n \to B/I^nB\)는 대수학의 보조정리 0G8U에 의해 유한형이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 함자 \[\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}',\quad (B_n) \longmapsto B = \lim B_n\] 는 (0AJN)의 준역이다. 완비화 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)는 \(\mathcal{C}'\)에 속하며, \(\mathcal{C}'\)의 임의의 대상은 \[B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge / J\] 의 꼴이다. 여기서 \(J \subset A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)는 어떤 아이디얼이다.

증명

\((B_n)\)을 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 대수학의 보조정리 09B8에 의해 \(B = \lim B_n\)은 \(I\)-진 완비이고 \(B/I^nB = B_n\)이다. 따라서 \(B\)는 \(\mathcal{C}'\)의 대상이며, 몫을 취하면 대상 \((B_n)\)을 복원할 수 있다. 반대로 \(B\)가 \(\mathcal{C}'\)의 대상이면 가정에 의해 \(B = \lim B/I^nB\)이다. 그러므로 \(B \mapsto (B/I^nB)\)는 이 보조정리의 함자의 준역이다.

\(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge = \lim A_n[x_1, \ldots, x_r]\)이므로, 보조정리의 첫째 주장에 의해 이는 \(\mathcal{C}'\)의 대상이다. 마지막으로 \(B\)를 \(\mathcal{C}'\)의 대상이라 하자. \(b_1, \ldots, b_r \in B\)를 택하되, 그 \(B/IB\)에서의 상들이 \(B/IB\)를 \(A/I\) 위의 대수로서 생성하도록 한다. \(B\)는 \(I\)-진 완비이므로 \(A\)-대수 사상 \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\), \(x_i \mapsto b_i\)는 \(A\)-대수 사상 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to B\)로 확장된다. 증명을 마치려면 이 사상이 전사임을 보이면 된다. 이는 대수학의 보조정리 0315에서 따른다. 우리의 사상 \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\)는 \(I\)를 법으로 하여 전사이고 \(B = B^\wedge\)이기 때문이다.

\(A\)가 뇌터 환이 아닌 경우에는 \(\mathcal{C}'\)의 대상의 몫이 \(\mathcal{C}'\)의 대상이 아닐 수도 있다는 점에 주의하자. 예의 보조정리 05JE를 보라. 다음으로 \(A\)가 뇌터 환일 때는 이런 일이 일어나지 않음을 보인다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 범주 \(\mathcal{C}'\) (0AL4)의 모든 대상은 뇌터 환이다.

2. \(B \in \Ob(\mathcal{C}')\)이고 \(J \subset B\)가 아이디얼이면, \(B/J\)는 \(\mathcal{C}'\)의 대상이다.

3. 유한형 \(A\)-대수 \(C\)에 대하여, 그 \(I\)-진 완비화 \(C^\wedge\)는 \(\mathcal{C}'\)에 속한다.

4. 특히 완비화 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)는 \(\mathcal{C}'\)에 속한다.

증명

(4)는 대수학의 보조정리 0316에서 따른다. \(A[x_1, \ldots, x_r]\)가 뇌터 환이기 때문이다 (대수학의 보조정리 00FN). (1)을 보이기 위해 보조정리 0AJP를 사용하면, 방금 증명한 다항식환의 완비화의 경우로 귀착된다. (2)는 대수학의 보조정리 00MA에서 따른다.

이에 따르면 모든 유한 \(B\)-가군은 \(IB\)-진 완비이다. (3)은 (4)와 같은 방법으로 얻는다.

주

\(\varphi : A_1 \to A_2\)를 환 사상이라 하고, \(I_i \subset A_i\)를 어떤 \(c \geq 1\)에 대하여 \(\varphi(I_1^c) \subset I_2\)를 만족하는 아이디얼이라 하자. 이는 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 환 사상 \(A_{1, cn} = A_1/I_1^{cn} \to A_2/I_2^n = A_{2, n}\)을 유도한다. \(\mathcal{C}_i\)를 \((A_i, I_i)\)에 대한 범주 (0AL3)라 하자. 다음 밑변환 함자가 있다. [0AJZ]\[\begin{equation} \mathcal{C}_1 \longrightarrow \mathcal{C}_2,\quad (B_n) \longmapsto (B_{cn} \otimes_{A_{1, cn}} A_{2, n}) \end{equation}\] \(\mathcal{C}_i'\)를 \((A_i, I_i)\)에 대한 범주 (0AL4)라 하자. \(I_2\)가 유한 생성이면 다음 밑변환 함자가 있다. [0AK0]\[\begin{equation} \mathcal{C}_1' \longrightarrow \mathcal{C}_2',\quad B \longmapsto (B \otimes_{A_1} A_2)^\wedge \end{equation}\] 이 경우 완비화가 완비이기 때문이다 (대수학의 보조정리 05GG). \(I_1\)과 \(I_2\)가 모두 유한 생성이면 두 밑변환 함자는 함자들 (0AJN)을 통해 서로 일치한다. 이 함자들은 보조정리 0AJP에 의해 동치이다.

주

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak a \subset A\)를 아이디얼이라 하고 \(\bar A = A/\mathfrak a\)로 나타내자. \(\bar I \subset \bar A\)를 어떤 \(c, d \geq 1\)에 대하여 \(I^c \bar A \subset \bar I\)와 \(\bar I^d \subset I\bar A\)를 만족하는 아이디얼이라 하자. 이 경우 \((A, I)\)에서 \((\bar A, \bar I)\)로 가는 밑변환 함자 (0AK0)는 \(B \mapsto \bar B = B/\mathfrak aB\)로 주어진다. 실제로 다음이 성립한다. [0AK1]\[\begin{equation} \bar B = (B \otimes_A \bar A)^\wedge = (B/\mathfrak a B)^\wedge = B/\mathfrak a B \end{equation}\] 마지막 등식은 임의의 유한 \(B\)-가군이 대수학의 보조정리 00MA에 의해 \(I\)-진 완비이고, \(\mathfrak a\)에 의해 소멸되면 대수학의 보조정리 0319에 의해 \(\bar I\)-진 완비이기도 하다는 사실에서 따른다.

소박한 여접 복합체

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 \(I\)-진 완비인 \(A\)-대수로서 \(A/I \to B/IB\)가 유한형인 것, 즉 (0AL4)의 대상이라 하자. 보조정리 0AJQ에 의해 \[B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge / J\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(J\)는 어떤 유한 생성 아이디얼이다. 위와 같은 표시를 하나 택하고, 이 상황에서의 소박한 여접 복합체를 다음 식으로 정의한다. [0AJR]\[\begin{equation} \NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \longrightarrow \bigoplus B\text{d}x_i) \end{equation}\] 각 항의 차수는 \(-1\)과 \(0\)이며, 사상은 \(g \in J\)의 잉여류를 미분 \(\text{d}g = \sum (\partial g/\partial x_i) \text{d}x_i\)로 보낸다. 여기서 편미분은 \(g\)를 멱급수로 생각하여 취한다. 다음 보조정리는 \(\NL_{B/A}^\wedge\)가 호모토피를 제외하고 잘 정의됨을 보인다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. 소박한 여접 복합체 \(\NL_{B/A}^\wedge\)는 \(K(B)\)에서 잘 정의된다.

증명

이 보조정리는 두 번째 표시 \(B = A[y_1, \ldots, y_s]^\wedge / K\)가 주어졌을 때 \(B\)-가군의 복합체들

\[(J/J^2 \to B\text{d}x_i) \quad\text{그리고}\quad (K/K^2 \to \bigoplus B\text{d}y_j)\] 이 호모토피 동치라는 뜻이다. 이를 보이기 위해 대수학의 보조정리 00S1의 증명과 정확히 같은 논증을 사용할 수 있다.

단계 1. \(g_i(y_1, \ldots, y_s) \in A[y_1, \ldots, y_s]^\wedge\)를 \(x_i\)의 \(B\)에서의 상으로 가도록 택하면, (유일한) 연속 \(A\)-대수 준동형 \[A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to A[y_1, \ldots, y_s]^\wedge,\quad x_i \mapsto g_i(y_1, \ldots, y_s)\] 을 얻으며, 이는 주어진 \(B\)로의 전사들과 양립한다. 이러한 사상을 표시의 사상이라 한다. 이는 \(J\)에서 \(K\)로의 사상을 유도하고, 따라서 \(B\)-가군 사상 \(J/J^2 \to K/K^2\)를 유도한다. \(\text{d}x_i\)를 \(\sum (\partial g_i/\partial y_j)\text{d}y_j\)로 보내면 복합체의 사상 \[(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i) \longrightarrow (K/K^2 \to \bigoplus B\text{d}y_j)\] 을 얻는다. 물론 두 표시의 역할을 바꾸어 같은 구성을 하면 반대 방향의 복합체 사상을 얻을 수 있다.

단계 2. 위의 구성은 표시의 사상들의 합성과 양립한다. 따라서 증명을 마치려면 다음을 보이면 충분하다.

\(g_i(x_1, \ldots, x_r) \in A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\)가 \(x_i\)의 \(B\)에서의 상으로 갈 때, 유도되는 복합체의 사상 \[(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i) \longrightarrow (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\] 은 항등사상과 호모토픽이다. 이를 보이려면 사상 \(h : \bigoplus B \text{d}x_i \to J/J^2\)를 \(\text{d}x_i \mapsto g_i(x_1, \ldots, x_n) - x_i\)라는 규칙으로 정의하고 계산하면 된다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(A \to B\)를 유한형 환 사상이라 하고 표시 \(\alpha : A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)를 택하자.

그러면 복합체로서 \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \lim \NL(\alpha) \otimes_B B^\wedge\)이고, \(D(B^\wedge)\)에서 \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \NL_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^\wedge\)이다.

증명

\(B^\wedge\)는 (0AL4)의 대상이므로 이 명제는 의미가 있다. 이는 보조정리 0AJQ에 의해 성립한다. \(J = \Ker(\alpha)\)라 하자. \(I\)-진 완비화를 취하는 함자는 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 유한 가군들에 대해 완전하며, 함자 \(M \mapsto M \otimes_{A[x_1, \ldots, x_n]} A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\)와 일치한다. 대수학의 보조정리 00MA와 00MB를 보라. 또한 환 사상들 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\)와 \(B \to B^\wedge\)는 평탄하다. 따라서 \(B^\wedge = A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge / J^\wedge\)이고 \[(J/J^2) \otimes_B B^\wedge = (J/J^2)^\wedge = J^\wedge/(J^\wedge)^2\] 이다. \(\NL(\alpha) = (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\)이므로 (대수학의 00S0절), 복합체 \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge\)는 \(\NL(\alpha) \otimes_B B^\wedge\)와 같다. 마지막 주장은 \(\NL_{B/A}\)가 \(\NL(\alpha)\)와 호모토피 동치이고 환 사상 \(B \to B^\wedge\)가 평탄하다는 사실에서 따른다 (따라서 \(B \to B^\wedge\)를 따른 유도 밑변환은 보통의 밑변환과 같다).

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(D(B)\)의 pro-대상들 \(\{\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB\}\)와 \(\{\NL_{B_n/A_n}\}\)는 엄밀한 의미에서 동형이다(자세한 설명은 증명을 보라).

2. \(D(B)\)에서 \(\NL_{B/A}^\wedge = R\lim \NL_{B_n/A_n}\)이다.

여기서 \(B_n\)과 \(A_n\)은 0AL2절에서와 같다.

증명

명제의 뜻은 다음과 같다. 각 \(n\)에 대하여 잘 정의된 복합체 \(\NL_{B_n/A_n}\)는 \(B_n\)-가군들로 이루어지며, 전이 사상들 \(\NL_{B_{n + 1}/A_{n + 1}} \to \NL_{B_n/A_n}\)가 있다. 대수학의 00S0절을 보라. 따라서 \[\ldots \to \NL_{B_3/A_3} \to \NL_{B_2/A_2} \to \NL_{B_1/A_1}\] 을 \(B\)-가군 복합체의 역계로, 따라서 당연히 \(D(B)\)의 역계로 볼 수 있다. 나아가 \(R\lim \NL_{B_n/A_n}\)은 이 역계의 호모토피 극한이다. 유도 범주의 08TB절을 보라.

표시 \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge / J\)를 택하자. 이는 다음 표시들을 정한다. \[B_n = B/I^nB = A_n[x_1, \ldots, x_r]/J_n\] 여기서 \[J_n = JA_n[x_1, \ldots, x_r] = J/(J \cap I^nA[x_1, \ldots, x_r]^\wedge)\] 이다. 두 항 복합체 \(J_n/J_n^2 \longrightarrow \bigoplus B_n \text{d}x_i\)는 \(\NL_{B_n/A_n}\)을 나타낸다. 대수학의 00S0절을 보라. Artin–Rees(대수학의 보조정리 00IN)를 뇌터 환 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) (보조정리 0AJQ)에 적용하면, 어떤 \(c \geq 0\)에 대하여 표준적인 전사들 \[J/I^nJ \to J_n \to J/I^{n - c}J \to J_{n - c},\quad n \geq c\] 이 모든 \(n \geq c\)에 대해 존재함을 알 수 있다. 조금 생각하면 이 사상들이 미분과 양립함을 알 수 있으므로, 복합체의 사상들 \[\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB \to \NL_{B_n/A_n} \to \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^{n - c}B \to \NL_{B_{n - c}/A_{n - c}}\] 을 얻는다. 이들은 역계들 \(\{\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB\}\)와 \(\{\NL_{B_n/A_n}\}\)의 전이 사상들과 양립한다. 이로써 보조정리의 (1)이 증명된다.

(1)에 의해, 그리고 pro-동형인 계들의 \(R\lim\)이 같다는 사실에 의해, (2)를 증명하려면 \(\NL_{B/A}^\wedge\)가 \(R\lim \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB\)와 같음을 보이면 충분하다. 그런데 \(\NL_{B/A}^\wedge\)는 유한 \(B\)-가군들로 이루어진 두 항 복합체 \(M^\bullet\)이며, 이 가군들은 예를 들어 대수학의 보조정리 00MA에 의해 \(I\)-진 완비이다. 따라서 \(M^\bullet = \lim M^\bullet/I^nM^\bullet = R\lim M^\bullet/I^n M^\bullet\)이다. 대수학 심화의 보조정리 091D와 주의 07KZ를 보라.

보조정리

\((A_1, I_1) \to (A_2, I_2)\)가 주의 0AL5에서와 같고, \(A_1\)과 \(A_2\)가 뇌터 환이라 하자. \(B_1\)을 \((A_1, I_1)\)에 대한 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B_2\)를 \(B_1\)의 밑변환이라 하자. 그러면 다음 표준적인 사상이 있다.

\[\NL_{B_1/A_1} \otimes_{B_2} B_1 \to \NL_{B_2/A_2}\]

이는 \(H^0\)에서 동형을, \(H^{-1}\)에서 전사를 유도한다.

증명

표시 \(B_1 = A_1[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\allowbreak/J_1\)을 택하자.

\(A_2/I_2^n[x_1, \ldots, x_r] \allowbreak= A_1/I_1^{cn}[x_1, \ldots, x_r] \allowbreak\otimes_{A_1/I_1^{cn}} A_2/I_2^n\)이므로 \[A_2[x_1, \ldots, x_r]^\wedge = (A_1[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \otimes_{A_1} A_2)^\wedge\] 이다. 여기서는 양변에 \(I_2\)-진 완비화를 사용한다 (물론 \(A_1[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)에는 \(I_1\)-진 완비화를 사용한다). \(J_2 = J_1 A_2[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)로 놓자. 비슷하게 논증하면 \(B_2\)의 \(A_2\) 위에서의 다음 표시를 얻는다. \[\begin{align*} B_2 & = (B_1 \otimes_{A_1} A_2)^\wedge \\ & = \lim \frac{A_1/I_1^{cn}[x_1, \ldots, x_r]}{J_1(A_1/I_1^{cn}[x_1, \ldots, x_r])} \otimes_{A_1/I_1^{cn}} A_2/I_2^n \\ & = \lim \frac{A_2/I_2^n[x_1, \ldots, x_r]}{J_2(A_2/I_2^n[x_1, \ldots, x_r])} \\ & = A_2[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J_2 \end{align*}\] 따라서 가환 도표 \[\xymatrix{ \NL^\wedge_{B_1/A_1} : \ar[d] & J_1/J_1^2 \ar[r]_-{\text{d}} \ar[d] & \bigoplus B_1\text{d}x_i \ar[d] \\ \NL^\wedge_{B_2/A_2} : & J_2/J_2^2 \ar[r]^-{\text{d}} & \bigoplus B_2\text{d}x_i }\] 를 얻는다. 유도되는 화살표 \(J_1/J_1^2 \otimes_{B_1} B_2 \to J_2/J_2^2\)는 전사이다. \(J_2\)가 \(J_1\)의 상으로 생성되기 때문이다. 이로써 보조정리에 표시된 화살표가 정해진다. 이 화살표가 호모토피를 제외하고 잘 정의됨을, 즉 표시의 선택과 호모토피를 제외하고 무관함을 보이는 증명은 생략한다. 유도되는 코호몰로지 가군의 사상에 관한 주장은 위의 논의에서 쉽게 따른다(세부 사항은 생략한다).

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B \to C\)를 (0AL4)의 사상이라 하자. 그러면 다음 완전열이 있다. \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] 자세한 설명은 증명을 보라.

증명

텐서곱 \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C\)를 취하는 것은 의미가 있다. \(\NL_{B/A}^\wedge\)가 보조정리 0GAE에 의해 호모토피를 제외하고 잘 정의되기 때문이다.

또한 \((B, IB)\)는 \(B\)가 뇌터 환인 쌍이고 (보조정리 0AJQ), \(C\)는 그에 대응하는 범주 (0AL4)에 속한다. 따라서 이 \(6\)항 완전열의 모든 항은 잘 정의된다.

표시 \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)를 택하자. 표시 \(C = B[y_1, \ldots, y_s]^\wedge/J'\)를 택하자.

이 표시들을 결합하면 다음 표시를 얻는다. \[C = A[x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s]^\wedge/K\] 그러면 다음 가환 도표를 얻음을 독자가 확인할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus C \text{d}x_i \ar[r] & \bigoplus C \text{d}x_i \oplus \bigoplus C \text{d}y_j \ar[r] & \bigoplus C \text{d}y_j \ar[r] & 0 \\ & J/J^2 \otimes_B C \ar[r] \ar[u] & K/K^2 \ar[r] \ar[u] & J'/(J')^2 \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 각 행은 완전하다. 왼쪽 수직 화살표는 \(\NL_{B/A}^\wedge\)를 정의하는 화살표와 \(\text{id}_C\)의 텐서곱임에 주의하자. 뱀 보조정리(대수학의 보조정리 07JW)를 적용하면 보조정리가 따른다.

보조정리

보조정리 0ALM와 같은 가정 아래, \(B/I^nB \to C/I^nC\)가 모든 \(n\)에 대해 국소 완전 교차 준동형이라고 가정하자. 그러면 \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \to H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\)는 단사이다.

증명

각 \(n \geq 1\)에 대하여 \(A_n = A/I^n\), \(B_n = B/I^nB\), \(C_n = C/I^nC\)로 놓자. 다음이 성립한다. \[\begin{align*} H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) & = \lim H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C_n) \\ & = \lim H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B_n \otimes_{B_n} C_n) \\ & = \lim H^{-1}(\NL_{B_n/A_n} \otimes_{B_n} C_n) \end{align*}\] 첫째 등식은 대수학 심화의 보조정리 0EGU와 \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)\)가 유한 \(C\)-가군이라는 사실에서 따른다. 따라서 이 가군은 예를 들어 대수학의 보조정리 00MA에 의해 \(I\)-진 완비이다. 둘째 등식은 자명하다. 셋째 등식은 보조정리 0AJS에 의해 성립한다. 사상들 \(H^{-1}(\NL_{B_n/A_n} \otimes_{B_n} C_n) \to H^{-1}(\NL_{C_n/A_n})\)는 대수학 심화의 보조정리 07D4에 의해 단사이다. 위와 마찬가지로 \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) = \lim H^{-1}(\NL_{C_n/A_n})\)도 성립하므로 증명이 끝난다.

Rig-매끄러운 대수

다음 정의의 동기는 대수학 심화의 주의 0G9D를 보라.

정의

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다는 것은 어떤 정수 \(c \geq 0\)가 존재하여 \(I^c\)가 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)을 소멸시킨다는 뜻이다.

이 조건이 무엇을 뜻하는지 자세히 살펴보자.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자.

\(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)로 쓰고 (보조정리 0AJQ), \(\NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\)를 그 소박한 여접 복합체 (0AJR)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

2. \(D(B)\)의 대상 \(\NL_{B/A}^\wedge\)가 아이디얼 \(IB\)에 대하여 대수학 심화의 보조정리 0G9K의 동치인 조건 (1)–(6)을 만족한다.

3. 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여, 모든 \(a \in I^c\)에 대해 사상 \(h : \bigoplus B\text{d}x_i \to J/J^2\)가 존재하고 \(a : J/J^2 \to J/J^2\)는 \(h \circ \text{d}\)와 같다.

4. \(b_1, \ldots, b_s \in B\)가 존재하여 \(V(b_1, \ldots, b_s) \subset V(IB)\)이며, 각 \(l = 1, \ldots, s\)에 대해 \(m \geq 0\), \(f_1, \ldots, f_m \in J\), 그리고 부분집합 \(T \subset \{1, \ldots, n\}\)이 존재하여 \(|T| = m\)이고 다음을 만족한다.

   1. \(\det_{i \in T, j \leq m}(\partial f_j/ \partial x_i)\)는 \(B\)에서 \(b_l\)을 나눈다.

   2. \(b_l J \subset (f_1, \ldots, f_m) + J^2\)이다.

증명

(1), (2), (3)의 동치는 대수학 심화의 보조정리 0G9K에서 바로 따른다.

\(b_1, \ldots, b_s\)가 (4)에서와 같다고 가정하자. \(B\)는 뇌터 환이므로 포함관계 \(V(b_1, \ldots, b_s) \subset V(IB)\)는 어떤 \(c \geq 0\)에 대하여 \(I^cB \subset (b_1, \ldots, b_s)\)임을 함의한다 (예를 들어 대수학의 보조정리 00L6). \(1 \leq l \leq s\), \(m \geq 0\), \(f_1, \ldots, f_m \in J\), 그리고 \(T \subset \{1, \ldots, n\}\)을 택하되, \(|T| = m\)이고 (4)(a), (b)를 만족하도록 하자. 그러면 \(b_l\)을 가역화하여 다음을 얻는다. \[\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B_{b_l} = \left( \bigoplus\nolimits_{j \leq m} B_{b_l} f_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B_{b_l} \text{d}x_i \right)\] 또한 이 화살표는 직합인자 \(\bigoplus_{i \in T} B_{b_l} \text{d}x_i\)의 포함사상과 동형이다. 따라서 \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\)는 \(b_l\)-거듭제곱 꼬임이고, \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\)는 \(b_l\)을 가역화하면 유한 자유 가군이 된다. 포함관계 \(I^cB \subset (b_1, \ldots, b_s)\)와 결합하면, \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\)가 \(IB\)-거듭제곱 꼬임임을 알 수 있다. 따라서 대수학 심화의 보조정리 0G9K의 조건 (4)가 성립한다. 이로써 (4)가 (2)를 함의함을 알 수 있다.

서로 동치인 조건 (1), (2), (3)이 성립한다고 가정하자. (4)가 성립함을 증명하겠지만, 독자도 이를 직접 확인해 보기를 강력히 권한다. 복합체 \(\NL_{B/A}^\wedge\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\Spec(B))\)의 대상을 정하며, 이를 자리스키 열린집합 \(U = \Spec(B) \setminus V(IB)\)에 제한하면 차수 \(0\)에 놓인 유한 국소 자유 가군 \(\mathcal{E}\)가 된다 (예를 들어 이는 대수학 심화의 보조정리 0G9K의 넷째 동치 조건에서 따른다). \(f_1, \ldots, f_M\)을 \(J\)의 생성원들로 택하자. 이로부터 다음 완전열이 정해진다. \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, M} \mathcal{O}_U \cdot f_j \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \cdot \text{d}x_i \to \mathcal{E} \to 0\] \(U = \bigcup_{l = 1, \ldots, s} U_l\)을 유한 아핀 열린 피복으로 택하되, \(\mathcal{E}|_{U_l}\)이 어떤 정수 \(n \geq m_l \geq 0\)에 대해 계수 \(r_l = n - m_l\)인 자유 가군이 되도록 하자. 각 \(U_l\)을 아핀 열린 피복으로 바꾸면, 부분집합 \(T_l \subset \{1, \ldots, n\}\)이 존재하여 원소들 \(\text{d}x_i\), \(i \in \{1, \ldots, n\} \setminus T_l\)의 상이 \(\mathcal{E}|_{U_l}\)의 기저를 이룬다고 가정할 수 있다. 같은 논증을 반복하면, 크기가 \(m_l\)인 부분집합 \(T'_l \subset \{1, \ldots, M\}\)이 존재하여 \(f_j\), \(j \in T'_l\)의 상이

\(\mathcal{O}_{U_l} \cdot \text{d}x_i \to \mathcal{E}|_{U_l}\)의 핵의 기저를 이룬다고 가정할 수 있다.

마지막으로 열린 피복 \(U = \bigcup U_l\)은 표준 열린집합들로 이루어진 열린 피복으로 세분할 수 있으므로(대수학의 보조정리 00E0), 어떤 \(g_l \in B\)에 대해 \(U_l = D(g_l)\)이라고 가정할 수 있다. 특히 \(V(g_1, \ldots, g_s) = V(IB)\)이다. 위의 선택들을 이용하는 선형대수 논증에 의해 \(\det_{i \in T_l, j \in T'_l}(\partial f_j/ \partial x_i)\)가

\(B_{b_l}\)의 가역원으로 감을 알 수 있다. 마찬가지로 \(\NL_{B/A}^\wedge\)의 차수 \(-1\) 코호몰로지가 \(U_l\) 위에서 0이라는 사실은

\(J/J^2 + (f_j; j \in T')\)가 \(b_l\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 보인다. 각 \(g_l\)을 적당한 거듭제곱으로 바꾸면 보조정리의 조건 (4)(a), (4)(b)를 얻는다. 일부 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 유한형 \(A\)-대수라 하자.

1. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 매끄러우면, \(B^\wedge\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

2. \(B^\wedge\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄러우면, \(g \in 1 + IB\)가 존재하여 \(\Spec(B_g)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 매끄럽다.

증명

이하에서는 보조정리 0GAJ를 따로 언급하지 않고 사용한다.

(1)을 가정하자. \(\NL_{B/A}\)의 구성은 국소화와 교환함을 상기하자. 대수학의 보조정리 00S7를 보라. 따라서 매끄러운 환 사상의 정의 자체에 의해 (소박한 여접 복합체가 차수 \(0\)에 놓인 유한 사영 가군과 유사동형(quasi-isomorphic)이라는 조건을 쓰면), \(\NL_{B/A}\)는 아이디얼 \(IB\)에 대하여 대수학 심화의 보조정리 0G9K의 넷째 동치 조건을 만족한다 (작은 세부 사항은 생략한다). \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \NL_{B/A} \otimes_B B^\wedge\)가 보조정리 0GAF에 의해 성립하므로,

대수학 심화의 보조정리 0G9H에 의해 (2)가 성립한다고 결론 내린다.

(2)를 가정하자. 표시 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/J\)를 택하고 \(N = J/J^2\)로 놓은 뒤, \(J/J^2\)의 항등사상으로 정해지는 원소 \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, J/J^2)\)를 생각하자. 다시 \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \NL_{B/A} \otimes_B B^\wedge\)를 사용하면, 우리의 가정으로부터 다음 상이

\[\xi \otimes 1 \in \Ext^1_{B^\wedge}(\NL_{B/A} \otimes_B B^\wedge, N \otimes_B B^\wedge) = \Ext^1_{B^\wedge}(\NL_{B/A}, N) \otimes_B B^\wedge\] 어떤 정수 \(c \geq 0\)에 대하여 \(I^c\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. 등식은 예를 들어 대수학 심화의 보조정리 0A6A에 의해 성립한다 (그러나 훨씬 더 간단한 대수학 심화의 보조정리 087R에서도 쉽게 이끌어 낼 수 있다). 따라서 \(M = I^cB\xi \subset \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\)은 유한 부분가군이고, \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N) \otimes_B B^\wedge\)로의 상은 0이다. \(B \to B^\wedge\)가 평탄하므로 이는 \(M \otimes_B B^\wedge\)가 0임을 뜻한다. Nakayama 보조정리(대수학의 보조정리 00DV)에 의해, \(M = I^cB\xi\)는 \(g = 1 + x\), \(x \in IB\) 꼴의 원소에 의해 소멸된다. 따라서 각 \(b \in I^cB\)에 대하여 다음 도표를 가환하게 하는 \(B\)-선형 점선 화살표가 존재한다. \[\xymatrix{ J/J^2 \ar[r] \ar[d]^b & \bigoplus B\text{d}x_i \ar@{..>}[d]^h \\ J/J^2 \ar[r] & (J/J^2)_g }\] 그러므로 \((\NL_{B/A})_{gb}\)는 유한 사영 가군과 유사동형이다. 작은 세부 사항은 생략한다. \(D(B_{gb})\)에서 \((\NL_{B/A})_{gb} = \NL_{B_{gb}/A}\)이므로, \(B_{gb}\)가 \(\Spec(A)\) 위에서 매끄러움을 알 수 있다. 이는 모든 \(b \in I^cB\)에 대해 성립하므로, \(\Spec(B_g) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 매끄럽다는 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\((A_1, I_1) \to (A_2, I_2)\)가 주의 0AL5에서와 같고, \(A_1\)과 \(A_2\)가 뇌터 환이라 하자. \(B_1\)을 \((A_1, I_1)\)에 대한 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B_2\)를 \(B_1\)의 밑변환이라 하자. \(f_1 \in B_1\)의 상을 \(f_2 \in B_2\)라 하자. \(\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}^\wedge, N_1)\)이 모든 \(B_1\)-가군 \(N_1\)에 대하여 \(f_1\)에 의해 소멸된다면, \(\Ext^1_{B_2}(\NL_{B_2/A_2}^\wedge, N_2)\)는 모든 \(B_2\)-가군 \(N_2\)에 대하여 \(f_2\)에 의해 소멸된다.

증명

보조정리 0GAG에 의해 다음 사상이 있다.

\[\NL_{B_1/A_1} \otimes_{B_2} B_1 \to \NL_{B_2/A_2}\]

이는 \(H^0\)에서 동형을, \(H^{-1}\)에서 전사를 유도한다. 따라서 대수학 심화의 보조정리들 0G9G, 0G9H, 0G9J에서 결과가 따른다. 마지막 두 보조정리는 주 아이디얼들 \((f_1) \subset B_1\)과 \((f_2) \subset B_2\)에 적용한다.

보조정리

\(A_1 \to A_2\)를 뇌터 환들의 사상이라 하자. \(I_i \subset A_i\)를 \(V(I_1A_2) = V(I_2)\)를 만족하는 아이디얼이라 하자. \(B_1\)을 \((A_1, I_1)\)에 대한 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B_2\)를 주의 0AL5에서와 같은 \(B_1\)의 밑변환이라 하자. \(B_1\)이 \((A_1, I_1)\) 위에서 rig-매끄러우면, \(B_2\)는 \((A_2, I_2)\) 위에서 rig-매끄럽다.

증명

보조정리 0GAL와 정의 0GAI, 그리고 \(I_2^c\)가 어떤 \(c \geq 0\)에 대해 \(I_1A_2\)에 포함된다는 사실에서 따른다. 마지막 사실은 \(A_2\)가 뇌터 환이기 때문이다.

환 준동형의 변형

rig-매끄러운 대수에서 나가는 환 준동형의 올림에 관한 내용을 다룬다.

주

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(C\)를 \(I\)-진 완비인 \(A\)-대수라 하자. \(\psi : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C\)를 연속 \(A\)-대수 사상이라 하자. \(\delta_i \in C\), \(i = 1, \ldots, r\)가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 사상을 생각할 수 있다. \[\psi' : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C,\quad x_i \longmapsto \psi(x_i) + \delta_i\] 형식 대수 공간의 주의 0AJM를 보라. 그러면 \[\psi'(g) = \psi(g) + \sum \psi(\partial g/\partial x_i)\delta_i + \xi\] 이며, 오차항은 \(\xi \in (\delta_i\delta_j)\)를 만족한다. 이는 \(g\)를 멱급수로 쓰고 항별로 계산하면 얻어진다. \(g\)의 계수들이 0으로 수렴하므로 수렴은 자동으로 보장된다. 세부 사항은 생략한다.

주

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. \(C\)를 \(I\)-진 완비인 \(A\)-대수라 하자. \(\psi_n : B \to C/I^nC\)를 \(A\)-대수 준동형이라 하자. \(\psi_n\)을 \(C/I^{2n}C\)로 가는 \(A\)-대수 준동형으로 올리는 데 대한 장애는 다음 원소이다. \[o(\psi_n) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^nC/I^{2n}C)\] 이를 설명하자. 표시 \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)를 택하고, \(\psi_n\)의 올림 \(\psi : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C\)를 택하자. \(\psi(J) \subset I^nC\)이므로 \(\psi(J^2) \subset I^{2n}C\)이며, 따라서 다음 \(B\)-선형 준동형을 얻는다. \[o(\psi) : J/J^2 \longrightarrow I^nC/I^{2n}C, \quad g \longmapsto \psi(g)\]

이는 물론 \(C\)-선형 사상 \(J/J^2 \otimes_B C \to I^nC/I^{2n}C\)로 확장된다. \(\NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \to \bigoplus B \text{d}x_i)\)이므로, 다음 동일시 아래에서 \(o(\psi)\)의 상으로 \(o(\psi_n)\)을 얻는다. \[\begin{align*} & \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^nC/I^{2n}C) \\ & = \Coker\left(\Hom_B(\bigoplus B\text{d}x_i, I^nC/I^{2n}C) \to \Hom_B(J/J^2, I^nC/I^{2n}C)\right) \end{align*}\] 이 등식에 관해서는 대수학 심화의 보조정리 0ALN의 (1)을 보라.

\(o(\psi_n)\)의 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^{n'}C/I^{2n'}C)\)에서의 상이 어떤 정수 \(n'\)에 대해 0이고, \(n > n' > n/2\)라고 하자. 그러면 \(A\)-대수 준동형 \(\psi'_{2n'} : B \to C/I^{2n'}C\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(C/I^{n'}C\)로 가는 사상으로서 \(\psi_n\)과 일치한다고 주장한다. 극단적인 경우 \(n' = n\)은 앞서 \(o(\psi_n)\)이 \(\psi_n\)을 \(C/I^{2n}C\)로 올리는 데 대한 장애라고 말한 이유를 설명한다. 주장의 증명은 다음과 같다. \(o(\psi_n)\)의 상이 0이라는 가정은 다음과 같은 \(B\)-가군 사상을 찾을 수 있음을 뜻한다. \[h : \bigoplus B\text{d}x_i \longrightarrow I^{n'}C/I^{2n'}C\] 이 사상에 대해 \(o(\psi)\)와 \(h \circ \text{d}\)는 \(I^{n'}C/I^{2n'}C\)로 가는 사상으로서 일치한다. 어떤 \(\delta_i \in I^{n'}C\)에 대해 \(h(\text{d}x_i) = \delta_i \bmod I^{2n'}C\)라 하자. 이제 다음 사상을 살펴본다. \[\psi' : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C,\quad x_i \longmapsto \psi(x_i) - \delta_i\] 멱급수 계산으로 \(\psi'(J) \subset I^{2n'}C\)를 얻는다. 실제로 \(g \in J\)에 대하여 \[\psi'(g) \equiv \psi(g) - \sum \psi(\partial g/\partial x_i)\delta_i \equiv o(\psi)(g) - (h \circ \text{d})(g) \equiv 0 \bmod I^{2n'}C\] 이다. 첫째 등식에 관해서는 주의 0AK3을 보라. 따라서 \(\psi'\)는 원하는 \(A\)-대수 준동형 \(\psi'_{2n'} : B \to C/I^{2n'}C\)를 유도한다.

보조정리

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

1. 정수 \(c \geq 0\).

2. 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼 \(I\).

3. \((A, I)\)에 대한 (0AL4)의 대상 \(B\)로서, \(I^c\)가 임의의 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)을 소멸시키는 것.

4. 뇌터이고 \(I\)-진 완비인 \(A\)-대수 \(C\). \(d = d(\text{Gr}_I(C))\)와 \(q_0 = q(\text{Gr}_I(C))\)를 국소 코호몰로지의 0GA6절에서 얻는 정수들이라 하자.

5. 정수 \(n \geq \max(q_0 + (d + 1)c, 2(d + 1)c + 1)\).

6. \(A\)-대수 준동형 \(\psi_n : B \to C/I^nC\).

그러면 \(A\)-대수 사상 \(\varphi : B \to C\)가 존재하여 \(\psi_n \bmod I^{n - (d + 1)c} = \varphi \bmod I^{n - (d + 1)c}\)이다.

증명

주의 0GAP의 장애류 \[o(\psi_n) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^nC/I^{2n}C)\] 를 생각하자. 임의의 \(C/I^nC\)-가군 \(N\)에 대하여 \[\begin{align*} \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N) & = \Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B^\mathbf{L} C/I^nC, N) \\ & = \Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C/I^nC, N) \end{align*}\] 이다. 첫째 등식은 대수학 심화의 보조정리 0E1W에 의해, 둘째 등식은 대수학 심화의 보조정리 0G9G에 의해 성립한다. 특히 \(\Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C/I^nC, N)\)은 모든 \(C/I^nC\)-가군 \(N\)에 대하여 \(I^cC\)에 의해 소멸된다. 따라서 국소 코호몰로지의 보조정리 0GAD를 적용할 수 있으며, \(o(\psi_n)\)의 다음 군에서의 상이 0임을 알 수 있다.

\[\Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C/I^nC, I^{n'}C/I^{2n'}C) = \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^{n'}C/I^{2n'}C) =\] 여기서 \(n' = n - (d + 1)c\)이다. 주의 0GAP의 논의에 의해 사상 \[\psi'_{2n'} : B \to C/I^{2n'}C\] 를 얻으며, 이는 \(I^{n'}\)를 법으로 하여 \(\psi_n\)과 일치한다. \(n \geq 2(d + 1)c + 1\)이므로 \(2n' > n\)임에 주의하자.

이 절차를 반복할 수 있다. \(n_0 = n\)과 \(\psi^0 = \psi_n\)에서 시작하면, 엄격히 증가하는 정수열 \[n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\] 과 \(A\)-대수 준동형들 \(\psi^i : B \to C/I^{n_i}C\)를 얻게 되며,

\(\psi^{i + 1}\)과 \(\psi^i\)는 \(I^{n_i - tc}\)를 법으로 하여 일치한다. \(C\)는 \(I\)-진 완비이므로, 사상들 \(\psi^i \bmod I^{n_i - (d + 1)c} : B \to C/I^{n_i - (d + 1)c}C\)의 극한을 \(\varphi\)로 택할 수 있다. 이로써 보조정리가 따른다.

독자는 다음 절로 바로 넘어가도 좋다. 아래 두 보조정리에서 대수 \(C\)가 뇌터라고 가정하면, 이들은 위 결과의 귀결이기 때문이다.

보조정리

\(I = (a)\)를 뇌터 환 \(A\)의 주 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. 정수 \(c \geq 0\)가 주어져서, 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)이 \(a^c\)에 의해 소멸된다고 가정하자. \(C\)를 \(I\)-진 완비인 \(A\)-대수로서 \(a\)가 \(C\) 위에서 비영인자인 것이라 하자. \(n > 2c\)라 하자. 임의의 \(A\)-대수 사상 \(\psi_n : B \to C/a^nC\)에 대하여 \(A\)-대수 사상 \(\varphi : B \to C\)가 존재하여 \(\psi_n \bmod a^{n - c}C = \varphi \bmod a^{n - c}C\)이다.

증명

주의 0GAP의 장애류 \[o(\psi_n) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, a^nC/a^{2n}C)\] 를 생각하자. \(a\)는 \(C\) 위에서 비영인자이므로, 사상 \(a^c : a^nC/a^{2n}C \to a^nC/a^{2n}C\)는 \(C\)-가군의 범주에서 사상 \(a^nC/a^{2n}C \to a^{n - c}C/a^{2n - c}C\)와 동형이다. 따라서 \(\NL_{B/A}^\wedge\)에 관한 가정에 의해, 류 \(o(\psi_n)\)의 다음 군에서의 상이 0이라고 결론 내린다. \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, a^{n - c}C/a^{2n - c}C)\] 따라서 다음 군에서의 상도 0이다. \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, a^{n - c}C/a^{2n - 2c}C)\] 주의 0GAP의 논의에 의해 사상 \[\psi_{2n - 2c} : B \to C/a^{2n - 2c}C\] 를 얻으며, 이는 \(a^{n - c}C\)를 법으로 하여 \(\psi_n\)과 일치한다. \(n > 2c\)이므로 \(2n - 2c > n\)임에 주의하자.

이 절차를 반복할 수 있다. \(n_0 = n\)과 \(\psi^0 = \psi_n\)에서 시작하면 엄격히 증가하는 정수열 \[n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\] 과 \(A\)-대수 준동형들 \(\psi^i : B \to C/a^{n_i}C\)를 얻게 되며, \(\psi^{i + 1}\)과 \(\psi^i\)는 \(a^{n_i - c}C\)를 법으로 하여 일치한다. \(C\)는 \(I\)-진 완비이므로 사상들 \(\psi^i \bmod a^{n_i - c}C : B \to C/a^{n_i - c}C\)의 극한을 \(\varphi\)로 택할 수 있다. 이로써 보조정리가 따른다.

보조정리

\(I = (a)\)를 뇌터 환 \(A\)의 주 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. 정수 \(c \geq 0\)가 주어져서 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)이 \(a^c\)에 의해 소멸된다고 가정하자. \(C\)를 \(I\)-진 완비인 \(A\)-대수라 하자. 정수 \(d \geq 0\)가 주어져서 \(C[a^\infty] \cap a^dC = 0\)이라고 가정하자. \(n > \max(2c, c + d)\)라 하자. 임의의 \(A\)-대수 사상 \(\psi_n : B \to C/a^nC\)에 대하여 \(A\)-대수 사상 \(\varphi : B \to C\)가 존재하여 \(\psi_n \bmod a^{n - c} = \varphi \bmod a^{n - c}\)이다.

\(C\)가 뇌터이면 어떤 \(e \geq 0\)에 대하여 \(C[a^\infty] = C[a^e]\)이다. Artin–Rees(대수학의 보조정리 00IN)에 의해, 정수 \(f\)가 존재하여 모든 \(n \geq f\)에 대해 \(a^nC \cap C[a^\infty] \subset a^{n - f}C[a^\infty]\)이다. 그러면 \(d = e + f\)는 보조정리에서 요구하는 정수이다. 특히 \(C\)가 (0AL4)의 대상이면 보조정리 0AJQ에 의해 이 논증을 적용할 수 있다.

증명

\(C \to C'\)를 \(C\)를 \(C[a^\infty]\)로 나눈 몫사상이라 하자. \(A\)-대수 \(C'\)는 대수학의 보조정리 031A와 \(\bigcap (C[a^\infty] + a^nC) = C[a^\infty]\)라는 사실에 의해 \(I\)-진 완비이다. 실제로 \(n \geq d\)이면 합 \(C[a^\infty] + a^nC\)는 직합이다. \(m \geq d\)에 대하여 도표 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & C[a^\infty] \ar[r] \ar[d] & C \ar[r] \ar[d] & C' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & C[a^\infty] \ar[r] & C/a^m C \ar[r] & C'/a^m C' \ar[r] & 0 }\] 의 각 행은 완전하다. 따라서 모든 \(m \geq d\)에 대해 \(C\)는 \(C'\)와 \(C/a^mC\)의 \(C'/a^mC'\) 위에서의 섬유곱이다. 보조정리 0AK6에 의해 준동형 \(\varphi' : B \to C'\)를 택하되, \(\varphi'\)와 \(\psi_n\)이 \(C'/a^{n - c}C'\)로 가는 사상으로서 일치하도록 할 수 있다. 준동형 \((\varphi', \psi_n \bmod a^{n - c}C) : B \to C' \times_{C'/a^{n - c}C'} C/a^{n - c}C\)를 얻는다. \(n - c \geq d\)이므로 이는 준동형 \(\varphi : B \to C\)와 같은 것이다. 이로써 증명이 끝난다.

G-환 위의 rig-매끄러운 대수의 대수화

밑환 \(A\)가 뇌터 G-환이면, 임의의 아이디얼 \(I \subset A\)에 관한 임의의 rig-매끄러운 대수에 대해 [Elkik, III Theorem 7]을 증명할 수 있다. 여기서 아이디얼이 반드시 주 아이디얼일 필요는 없다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(r \geq 0\)라 하고,

\(P = A[x_1, \ldots, x_r]\)로 \(I\)-진 완비화를 나타내자. \(P\)의 몫의 분해열 \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K} P^{\oplus m} \xrightarrow{g_1, \ldots, g_m} P \to B \to 0\] 을 생각하자. \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다고 가정하자. 그러면 정수 \(n\)이 존재하여, 임의의 복합체 \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K'} P^{\oplus m} \xrightarrow{g'_1, \ldots, g'_m} P\] 가 \(g_i - g'_i \in I^nP\)와 \(K - K' \in I^n\text{Mat}(m \times t, P)\)를 만족하면, \(A\)-대수의 동형 \(B \to B'\)가 존재한다. 여기서 \(B' = P/(g'_1, \ldots, g'_m)\)이다.

증명

(A) 정의 0GAI에 의해, \(c \geq 0\)를 택하여 \(I^c\)가 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)을 소멸시키도록 할 수 있다.

(B) 대수학 심화의 보조정리 07VE와 07VF를 적용한다.

그 결과 상수 \(c_1 = c(g_1, \ldots, g_m, K)\)가 존재하여 \(n \geq c_1 + 1\)이면 복합체 \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K'} P^{\oplus m} \xrightarrow{g'_1, \ldots, g'_m} P \to B' \to 0\] 는 완전하고 \(\text{Gr}_I(B) \cong \text{Gr}_I(B')\)이다.

(C) \(d_0 = d(\text{Gr}_I(B))\)와 \(q_0 = q(\text{Gr}_I(B))\)를 국소 코호몰로지의 0GA6절에서 얻는 정수들이라 하자.

\(n = \max(c_1 + 1, q_0 + (d_0 + 1)c, 2(d_0 + 1)c + 1)\)로 택하면 충분하다고 주장한다. 여기서 \(c\)는 (A)의 상수, \(c_1\)은 (B)의 상수, \(q_0, d_0\)는 (C)의 상수들이다.

\(g'_1, \ldots, g'_m\)과 \(K'\)가 보조정리에서와 같다고 하자.

\(g_i = g'_i \in I^nP\)이므로 표준적인 \(A\)-대수 준동형 \[\psi_n : B \longrightarrow B'/I^nB'\] 을 얻으며, 이는 동형 \(B/I^nB \to B'/I^nB'\)를 유도한다. \(\text{Gr}_I(B) \cong \text{Gr}_I(B')\)이므로 \(d_0 = d(\text{Gr}_I(B'))\)이고 \(q_0 = q(\text{Gr}_I(B'))\)이다. 또한 \(n \geq \max(q_0 + (1 + d_0)c, 2(d_0 + 1)c + 1)\)이므로, 보조정리 0GAQ를 적용하여 \(A\)-대수 준동형 \[\varphi : B \longrightarrow B'\] 을 찾을 수 있고, 이는 \(\varphi \bmod I^{n - (d_0 + 1)c}B' = \psi_n \bmod I^{n - (d_0 + 1)c}B'\)를 만족한다. \(n - (d_0 + 1)c > 0\)이므로 \(\varphi\)는 \(I\)를 법으로 하여 위에서 얻은 동형 \(B/IB \to B'/IB'\)를 유도하는 \(A\)-대수 준동형이다. 증명의 나머지 부분에서는 이 사실들로부터 \(\varphi\)가 동형임을 보인다. 독자도 스스로 이를 증명해 보기를 권한다.

실제로 \(\varphi\)가 전사라는 사실은 예를 들어 대수학의 보조정리 0315의 (1)에 \(B\)와 \(B'\)가 완비라는 사실을 사용하면 얻어진다. 따라서 \(\varphi\)는 전사 \(\text{Gr}_I(B) \to \text{Gr}_I(B')\)를 유도한다. 정의역과 공역이 서로 동형인 뇌터 환들이므로 이 전사는 동형이어야 한다. 대수학의 보조정리 06RN를 보라 (물론 \(\varphi\)가 위에서 얻은 동형을 유도함을 직접 보일 수도 있지만, 그러려면 약간의 논증이 필요하다). 따라서 \(\varphi\)는 모든 \(e \geq 0\)에 대하여 단사 사상들 \(I^eB/I^{e + 1}B \to I^eB'/I^{e + 1}B'\)를 유도한다.

이는 \(\varphi\)가 단사임을 함의한다. 임의의 \(b \in B\)에 대하여 어떤 \(e \geq 0\)가 존재하여 \(b \in I^eB\)이고 \(b \not \in I^{e + 1}B\)이기 때문이다. 이는 Krull의 교차 정리(대수학의 보조정리 00IP)에서 따른다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(C^h\)를 유한형 \(A\)-대수 \(C\)의 아이디얼 \(IC\)에 관한 헨젤화라 하자. \(J \subset C^h\)를 아이디얼이라 하자. 그러면 유한형 \(A\)-대수 \(B\)가 존재하여 \(B^\wedge \cong (C^h/J)^\wedge\)이다.

증명

대수학 심화의 보조정리 0AGV에 의해 환 \(C^h\)는 뇌터 환이다. \(J = (g_1, \ldots, g_m)\)이라 하자. 환 \(C^h\)는 \(C/IC \to C'/IC'\)가 동형인 étale \(C\)-대수들 \(C'\)의 여과 여극한이다 (대수학 심화의 보조정리 0A02의 증명을 보라).

\(C'\)를 택하여 \(g_1, \ldots, g_m\)이 \(g'_1, \ldots, g'_m \in C'\)의 상이 되도록 하자. \(B = C'/(g'_1, \ldots, g'_m)\)로 놓으면 유한형 \(A\)-대수를 얻는다.

물론 \((C, IC)\)와 \(C', IC')\)는 같은 헨젤화와 같은 완비화를 갖는다. 이로부터 \(B^\wedge = (C^h/J)^\wedge\)가 쉽게 따른다.

명제

\(I\)를 뇌터 G-환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄러우면, 유한형 \(A\)-대수 \(C\)와 \(A\)-대수의 동형 \(B \cong C^\wedge\)가 존재한다.

증명

표시 \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)를 택하고 \(P = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)로 쓰자. 생성원들 \(g_1, \ldots, g_m \in J\)를 택하자. \(g_1, \ldots, g_m\) 사이의 관계 가군의 생성원들 \(k_1, \ldots, k_t\)를 택하자. 즉, 다음이 분해열이 되도록 택한다. \[P^{\oplus t} \xrightarrow{k_1, \ldots, k_t} P^{\oplus m} \xrightarrow{g_1, \ldots, g_m} P \to B \to 0\] \(k_i = (k_{i1}, \ldots, k_{im})\)로 쓰면, \(i = 1, \ldots, t\)에 대해 다음이 성립한다. [0AKB]\[\begin{equation} \sum\nolimits_j k_{ij}g_j = 0 \end{equation}\] \(K = (k_{ij})\)로 성분이 \(k_{ij}\)인 \(m \times t\)-행렬을 나타내자.

\(A[x_1, \ldots, x_r]^h\)를 쌍 \((A[x_1, \ldots, x_r], IA[x_1, \ldots, x_r])\)의 헨젤화라 하자. 대수학 심화의 보조정리 0A02을 보라. \(A[x_1, \ldots, x_r]^h\)를 \(P = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)의 부분환으로 생각할 수 있으며, 앞으로 그렇게 생각한다. 대수학 심화의 보조정리 0AGV를 보라. \(A\)가 뇌터 G-환이므로 \(A[x_1, \ldots, x_r]\)도 그러하다. 대수학 심화의 명제 07PV을 보라. 따라서 사상 \(A[x_1, \ldots, x_r]^h \to A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge = P\)에 대해, \(I\)로 생성되는 아이디얼에 관한 근사 성질이 성립한다. 환 사상의 매끄럽게 하기의 보조정리 0AH5를 보라. 보조정리 0GAR에서와 같이 충분히 큰 정수 \(n\)을 택하자. 근사 성질에 의해 \(g'_1, \ldots, g'_m \in A[x_1, \ldots, x_r]^h\)와 행렬 \(K' = (k'_{ij}) \in \text{Mat}(m \times t, A[x_1, \ldots, x_r]^h)\)를 택하되, \(A[x_1, \ldots, x_r]^h\)에서 \(\sum\nolimits_j k'_{ij}g'_j = 0\)이고 \(g_i - g'_i \in I^nP\)와 \(K - K' \in I^n\text{Mat}(m \times t, P)\)를 만족하도록 할 수 있다. \(n\)의 선택에 의해 다음 동형이 존재한다고 결론 내린다. \[B \to P/(g'_1, \ldots, g'_m) = \left(A[x_1, \ldots, x_r]^h/(g'_1, \ldots, g'_m)\right)^\wedge\] 보조정리 0GAS에 의해 증명이 끝난다.

\(A\)가 단지 뇌터 환이고 G-환은 아니라면 다음 보조정리는 일반적으로 참이 아니다. 실제로 \((A, \mathfrak m)\)이 국소 환이고 \(I = \mathfrak m\)이면, 이 보조정리는 \(A^h\)에 대한 Artin 근사 (환 사상의 매끄럽게 하기의 정리 07QY)와 동치인데, 이 근사는 모든 뇌터 국소 환에서 성립하는 것은 아니다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 G-환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B, C\)를 유한형 \(A\)-대수라 하자.

임의의 \(I\)-진 완비화 사이의 \(A\)-대수 사상 \(\varphi : B^\wedge \to C^\wedge\)와 임의의 \(N \geq 1\)에 대하여 다음이 존재한다.

1. 동형 \(C/IC \to C'/IC'\)를 유도하는 étale 환 사상 \(C \to C'\).

2. \(A\)-대수 사상 \(\varphi : B \to C'\).

이들은 \(C^\wedge = (C')^\wedge\)로 가는 사상으로서 \(\varphi\)와 \(\psi\)가 \(I^N\)을 법으로 하여 일치하도록 택할 수 있다.

증명

\(C \to C'\)는 평탄하므로(대수학의 보조정리 00U2) 모든 \(n\)에 대해 동형 \(C/I^nC \to C'/I^nC'\)를 유도하고 (대수학 심화의 보조정리 05E9), 따라서 완비화의 동형을 유도한다. 그러므로 보조정리의 명제는 의미가 있다. \(C^h\)를 쌍 \((C, IC)\)의 헨젤화라 하자. 대수학 심화의 보조정리 0A02을 보라. 그러면 \(C^h\)는 대수들 \(C'\)의 여과 여극한이며, 사상들 \(C \to C' \to C^h\)는 완비화의 동형을 유도한다 (대수학 심화의 보조정리 0AGV). 따라서 \(A\)-대수 사상 \(B \to C^h\)가 존재하여 \(I^N\)을 법으로 하여 \(\psi\)와 합동임을 보이면 충분하다. \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)으로 쓰자. 환 사상 \(\psi\)는 원소들 \(\hat c_1, \ldots, \hat c_n \in C^\wedge\)에 대응하며, 이들은 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(f_j(\hat c_1, \ldots, \hat c_n) = 0\)을 만족한다. 실제로 \(A\)가 뇌터 G-환이므로 \(C\)도 그러하다. 대수학 심화의 명제 07PV을 보라. 따라서 환 사상의 매끄럽게 하기의 보조정리 0AH5를 적용하면, 원소들 \(c_1, \ldots, c_n \in C^h\)를 얻어 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(f_j(c_1, \ldots, c_n) = 0\)이고

\(\hat c_i - c_i \in I^NC^h\)가 되도록 할 수 있다. 이는 원하는 사상 \(B \to C^h\)를 정한다.

Rig-매끄러운 대수의 대수화

rig-매끄러운 대수가 특정한 표시를 가지면, 이를 대수화하는 일은 간단해진다. 관련 논의는 주의 0GAX도 보라.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하고 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)으로 놓자. \(m \leq n\)이라 가정하고 \(g = \det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f_j/\partial x_i)\)로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(g\)는 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\)을 소멸시킨다.

2. \(n = m\)이면, \(\NL_{B/A}\) 위에서 \(g\)를 곱하는 사상은 \(D(B)\)에서 \(0\)이다.

증명

\(T\)를 \(m \times m\) 행렬로서 성분이 \(\partial f_j/\partial x_i\)인 것이라 하자.

여기서 \(1 \leq i, j \leq n\)이다. \(K \in D(B)\)를 복합체 \(T : B^{\oplus m} \to B^{\oplus m}\)로 나타내되, 그 항들은 차수 \(-1\)과 \(0\)에 놓인다고 하자. 대수학 심화의 보조정리 0G9L에 의해 \(g : K \to K\)는 \(D(B)\)에서 0이다. \(J = (f_1, \ldots, f_m)\)으로 놓자. \(\NL_{B/A}\)가 \(J/J^2 \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} B\text{d}x_i\)와 호모토피 동치임을 상기하자. 대수학의 00S0절을 보라. \(L\)로 복합체 \(J/J^2 \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, m} B\text{d}x_i\)를 나타내자.

그러면 몫사상 \(\NL_{B/A} \to L\)이 있다. 또한 차수 \(-1\)의 항 \(B^{\oplus m}\)의 \(j\)번째 기저 원소를 \(f_j\)의 \(J/J^2\)에서의 류로 보내어, 복합체의 전사 사상 \(K \to L\)을 얻는다. 도식으로 쓰면 다음과 같다. \[\NL_{B/A} \to L \leftarrow K\] 대수학 심화의 보조정리 0G9I에 의해, \(L\) 위에서 \(g\)를 곱하는 사상은 \(D(B)\)에서 \(0\)이라고 결론 내린다. 한편 구별 삼각형 \(B^{\oplus n - m}[0] \to \NL_{B/A} \to L\)에 의해, \(\Ext^1_B(L, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\)은 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 전사이며, 따라서 \(g\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. 이로써 (1)이 증명된다. \(n = m\)이면 \(\NL_{B/A} = L\)이므로 (2)가 성립함을 알 수 있다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하고, \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)를 표시라 하자. 원소 \(b \in B\), 정수 \(0 \leq m \leq r\), 그리고 \(f_1, \ldots, f_m \in J\)가 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(\Spec(B)\)에서 \(V(b) \subset V(IB)\)이다.

2. \(\Delta = \det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f_j/\partial x_i)\)의 \(B\)에서의 상은 \(b\)를 나눈다.

3. \(b J \subset (f_1, \ldots, f_m) + J^2\)이다.

그러면 유한형 \(A\)-대수 \(C\)와 \(A\)-대수의 동형 \(B \cong C^\wedge\)가 존재한다.

증명

가정한 조건들에 의해 \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다. 보조정리 0GAJ를 보라. 어떤 \(b' \in B\)에 대해 \(B\)에서 \(b' \Delta = b\)로 쓰자. \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)라 하자. \(V(b) \subset V(IB)\)이므로 정수 \(c \geq 0\)가 존재하여 \(I^cB \subset bB\)이다. 어떤 \(b_i \in B\)에 대해 \(B\)에서 \(bb_i = a_i^c\)로 쓰자.

정수 \(n \gg 0\)를 택하자(얼마나 커야 하는지는 뒤에서 보게 된다). 다항식들 \(f'_1, \ldots, f'_m \in A[x_1, \ldots, x_r]\)을 택하여 \(f_i - f'_i \in I^nA[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)가 되도록 하자. \(\Delta' = \det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f'_j/\partial x_i)\)로 놓고 다음 유한형 \(A\)-대수를 생각한다. \[C = A[x_1, \ldots, x_r, z_1, \ldots, z_t]/ (f'_1, \ldots, f'_m, z_1\Delta' - a_1^c, \ldots, z_t\Delta' - a_t^c)\] \(C\)에 보조정리 0GAV를 적용할 것이다. 다음을 계산할 수 있다. \[\det\left( \begin{matrix} \text{다음 식들의 편미분 행렬} \\ f'_1, \ldots, f'_m, z_1\Delta' - a_1^c, \ldots, z_t\Delta' - a_t^c \\ \text{다음 변수들에 관하여} \\ x_1, \ldots, x_m, z_1, \ldots, z_t \end{matrix} \right) = (\Delta')^{t + 1}\] 따라서 \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\)은 모든 \(C\)-가군 \(N\)에 대해 \((\Delta')^{t + 1}\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. \(a_i^c\)는 \(C\)에서 \(\Delta'\)로 나누어지므로, \(a_i^{(t + 1)c}\)도 이 \(\Ext^1\)들을 소멸시킨다. 따라서 \(I^{c_1}\)은 모든 \(C\)-가군 \(N\)에 대해 \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\)을 소멸시킨다. 여기서 \(c_1 = 1 + t((t + 1)c - 1)\)이다. \(c_1\)의 정확한 값은 나머지 논증에서 중요하지 않다. 중요한 것은 이 값이 \(n\)과 무관하다는 점이다.

\(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge = \NL_{C/A} \otimes_C C^\wedge\)가 보조정리 0GAF에 의해 성립하므로, 임의의 \(C^\wedge\)-가군 \(N\)에 대해서도 \(\Ext^1_{C^\wedge}(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge, N)\) 위에서 \(I^{c_1}\)를 곱하는 사상은 0이다. 대수학 심화의 보조정리들 0G9H와 0G9G를 보라. 특히 \(C^\wedge\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

다음 전사 \(A\)-대수 준동형이 있음을 관찰하자. \[\psi_n : C \longrightarrow B/I^nB\] 이는 \(x_i\)의 류를 \(x_i\)의 류로 보내고, \(z_i\)의 류를 \(b_ib'\)의 류로 보낸다. 이 사상이 잘 정의되는 것은 증명의 첫 문단에서 \(b'\)와 \(b_i\)를 택한 방식 덕분이다.

\(d = d(\text{Gr}_I(B))\)와 \(q_0 = q(\text{Gr}_I(B))\)를 국소 코호몰로지의 0GA6절에서 얻는 정수들이라 하자. 보조정리 0GAQ에 의해, \(n \geq \max(q_0 + (d + 1)c_1, 2(d + 1)c_1 + 1)\)로 택하면 \(A\)-대수 준동형 \(\varphi : C^\wedge \to B\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(I^{n - (d + 1)c_1}B\)를 법으로 하여 \(\psi_n\)과 합동이다.

\(\varphi : C^\wedge \to B\)는 \(I\)를 법으로 하여 전사이므로 전사임을 알 수 있다 (예를 들어 대수학의 보조정리 0315를 사용하라). 증명을 마치려면 \(\Ker(\varphi)/\Ker(\varphi)^2\)가 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 보이면 충분하다. 대수학 심화의 보조정리 0ALR를 보라.

\(\varphi\)가 전사이므로 \(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge\)의 코호몰로지 가군들은 \(H^0(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge) = 0\)과 \(H^{-1}(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge) = \Ker(\varphi)/\Ker(\varphi)^2\)임을 알 수 있다. 보조정리 0ALM에 의해 다음 완전열이 있다. \[\begin{aligned} H^{-1}(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge \otimes_{C^\wedge} B) &\to H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge) \to H^{-1}(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge) \\ &\to H^0(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge \otimes_{C^\wedge} B) \to H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \to 0 \end{aligned}\] 처음 두 가군은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. \(B\)와 \(C^\wedge\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽기 때문이다. 따라서 전사 사상 \(H^0(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge \otimes_{C^\wedge} B) \to H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\)의 핵이 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 그 핵이 \(b\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 보이면 충분하다. 다시 말해 다음 사상이 동형임을 보이면 충분하다. \[H^0(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge) \otimes_{C^\wedge} B[1/b] \longrightarrow H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \otimes_B B[1/b]\] 그런데 양쪽 모두 계수 \(r - m\)인 자유 \(B[1/b]\)-가군이고 기저는 \(\text{d}x_{m + 1}, \ldots, \text{d}x_r\)이므로 증명이 끝난다.

주

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상으로서 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄러운 것이라 하자. [gabber-zavyalov, Theorem 1.2]에서는 \(B\)가 유한형 \(A\)-대수의 \(I\)-진 완비화와 동형임을 보인다.

이 결과는 다음 부분 결과들의 목록을 포괄한다.

1. \(A\)가 G-환이면 이 결과는 명제 0GAT에서 따른다.

2. \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이면 이 결과는 보조정리 0AKA에서 따른다.

3. \(I\)가 주 아이디얼이면 이 결과는 [Elkik, III Theorem 7]에서 따른다.

Rig-étale 대수

rig-매끄러운 대수의 정의(정의 0GAI)를 생각하면, 다음 정의는 자연스럽다.

정의

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이라는 것은 정수 \(c \geq 0\)가 존재하여, 모든 \(a \in I^c\)에 대해 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서 \(a\)를 곱하는 사상이 \(D(B)\)에서 0이라는 뜻이다.

다음 보조정리의 조건 (0AJY)은 [ArtinII]에서 형식 수정을 정의하는 데 사용한 조건들 가운데 하나이다. 나중에 우리의 조건들과 쉽게 비교할 수 있도록 이를 조건들의 목록에 추가하였다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)로 쓰고 (보조정리 0AJQ), \(\NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\)를 그 소박한 여접 복합체 (0AJR)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이다.

2. 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여, 모든 \(a \in I^c\)에 대해 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서 \(a\)를 곱하는 사상은 \(D(B)\)에서 0이다.

3. 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여, \(H^i(\NL_{B/A}^\wedge)\), \(i = -1, 0\)은 \(I^c\)에 의해 소멸된다.

4. 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여, 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(H^i(\NL_{B_n/A_n})\), \(i = -1, 0\)은 \(I^c\)에 의해 소멸된다. 여기서 \(A_n = A/I^n\)이고 \(B_n = B/I^nB\)이다.

5. 모든 \(a \in I\)에 대해 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여 다음을 만족한다.

   1. \(a^c\)는 \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\)를 소멸시킨다.

   2. \(f_1, \ldots, f_r \in J\)가 존재하여 \(a^c J \subset (f_1, \ldots, f_r) + J^2\)이다.

6. 모든 \(a \in I\)에 대해 \(f_1, \ldots, f_r \in J\)와 \(c \geq 0\)가 존재하여 다음을 만족한다.

   1. \(\det_{1 \leq i, j \leq r}(\partial f_j/\partial x_i)\)는 \(B\)에서 \(a^c\)를 나눈다.

   2. \(a^c J \subset (f_1, \ldots, f_r) + J^2\)이다.

7. \(f_1, \ldots, f_t\)를 \(J\)의 생성원들로 택하면 다음이 성립한다.

   1. \(A\) 위의 \(B\)의 Jacobian 아이디얼, 즉

      행렬 \((\partial f_j/\partial x_i)_{1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq t}\)의 \(r \times r\) 소행렬식들로 생성되는 \(B\)의 아이디얼은, 어떤 \(c\)에 대해 아이디얼 \(I^cB\)를 포함한다.

   2. \(A\) 위의 \(B\)의 Cramer 아이디얼, 즉 \(J\)를 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)-가군으로 보았을 때의 \(r\)번째 Fitting 아이디얼의 \(B\)에서의 상으로 생성되는 \(B\)의 아이디얼은, 어떤 \(c\)에 대해 \(I^cB\)를 포함한다.

증명

(1)과 (0AJV)의 동치는 정의 0GAY를 다시 쓴 것이다.

(0AJV)과 (0AJW)의 동치는 대수학 심화의 보조정리 0AJT에서 따른다.

(0AJW)과 (0AJX)의 동치는 계들 \(\{\NL_{B_n/A_n}\}\)과 \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B_n\)이 엄밀한 의미에서 동형이라는 사실에서 따른다. 보조정리 0AJS를 보라. 일부 세부 사항은 생략한다.

(0AJV)을 가정하자. \(a \in I\)라 하자. \(c\)를 택하여 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서 \(a^c\)를 곱하는 사상이 0이 되도록 하자. 대수학 심화의 보조정리 0ALN의 (1)에 의해, 사상 \(\alpha : \bigoplus B\text{d}x_i \to J/J^2\)가 존재하여 \(\text{d} \circ \alpha\)와 \(\alpha \circ \text{d}\)가 모두 \(a^c\)를 곱하는 사상이다. \(f_i \in J\)를 택하여 \(J^2\)를 법으로 한 류가 \(\alpha(\text{d}x_i)\)와 같도록 하자. 간단히 계산하면 (0GB0)(a), (b)가 성립함을 알 수 있다.

(0GB0)가 (0GAZ)를 함의한다는 사실의 확인은 생략한다. 이는 단지 \(B\) 위의 두 항 복합체 \(M \to B^{\oplus r}\)에 관한 명제이다.

(0GAZ)가 성립한다고 가정하자. \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)라 하자. \(c_i \geq 0\)를 (0GAZ)(a), (b)가 \(a_i^{c_i}\)에 대해 성립하도록 하는 정수라 하자. 그러면 \(I^{\sum c_i}\)가 \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\)를 소멸시킴을 알 수 있다. \(f_{i, 1}, \ldots, f_{i, r} \in J\)를 \(a_i\)에 대한 (0GAZ)(b)에서와 같이 택하자. 합성 \[B^{\oplus r} \to J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i\] 을 생각하자. 여기서 \(j\)번째 기저 벡터는 \(f_{i, j}\)의 \(J/J^2\)에서의 류로 간다. (0GAZ)(a), (b)에 의해 이 합성의 여핵은 \(a_i^{2c_i}\)에 의해 소멸된다. 따라서 이 사상은 \(a_i^{c_i}\)를 가역화하면 전사이고, 따라서 동형이다(대수학의 보조정리 05G8). 그러므로 \(B^{\oplus r} \to \bigoplus B\text{d}x_i\)의 핵은 \(a_i\)-거듭제곱 꼬임이며, 따라서 \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge) = \Ker(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\)는 \(a_i\)-거듭제곱 꼬임이다. \(B\)는 뇌터 환이므로(보조정리 0AJQ), \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\)를 비롯한 모든 가군은 유한하다. 따라서 어떤 \(d_i \geq 0\)에 대하여 \(a_i^{d_i}\)가 \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\)를 소멸시킨다. 이로부터 \(I^{\sum d_i}\)가 \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\)를 소멸시킴을 알 수 있으며, (0AJW)이 성립함을 얻는다.

따라서 조건들 (0AJV), (0AJW), (0AJX), (0GAZ), (0GB0)는 서로 동치이다. 이제 이 조건들이 (0AJY)과 동치임을 보이면 된다. Cramer 아이디얼 \(\text{Fit}_r(J) B\)는 \(\text{Fit}_r(J/J^2)\)와 같음에 주의하자. \(J/J^2 = J \otimes_{A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge} B\)이기 때문이다. 대수학 심화의 보조정리 07ZA의 (3)을 보라. 또한 Jacobian 아이디얼은 바로 \(\text{Fit}_0(H^0(\NL_{B/A}^\wedge))\)임에 주의하자. 따라서 (0AJW)과 (0AJY)의 동치는 순수하게 대수학적인 문제이며, 다음 문단에서 이를 논의한다.

\(R\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset R\)를 아이디얼이라 하자. \(M \xrightarrow{d} R^{\oplus r}\)를 두 항 복합체라 하자. 다음이 서로 동치임을 보여야 한다.

1. \(M \to R^{\oplus r}\)의 코호몰로지는 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

2. 아이디얼들 \(\text{Fit}_r(M)\)과 \(\text{Fit}_0(\text{Coker}(d))\)는 \(I\)의 어떤 거듭제곱을 포함한다.

\(R\)가 뇌터 환이므로 (2)를 대응하는 닫힌 부분스킴들의 포함관계로 다시 쓸 수 있다. 대수학의 보조정리들 00E0와 00IM를 보라. 한편 \(V(\text{Fit}_0(\Coker(d)))\)의 여집합 위에서는 \(d\)의 여핵이 0이고, \(V(\text{Fit}_r(M))\)의 여집합 위에서는 가군 \(M\)이 국소적으로 \(r\)개의 원소로 생성된다. 대수학 심화의 보조정리 07ZC를 보라. 따라서 (B)는 다음과 동치이다.

1. \(V(I)\) 밖에서 \(d\)의 여핵은 0이고 가군 \(M\)은 국소적으로 \(\leq r\)개의 원소로 생성된다.

물론 이는 \(M \to R^{\oplus r}\)의 코호몰로지가 \(\Spec(R) \setminus V(I)\) 위에서 0이라는 조건과 동치이며, 다시 (A)와 동치이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이면, \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

증명

정의들 0GAI와 0GAY에서 바로 따른다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 유한형 \(A\)-대수라 하자.

1. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale이면, \(B^\wedge\)는 보조정리 0AJU의 동치인 조건들을 만족한다.

2. \(B^\wedge\)가 보조정리 0AJU의 동치인 조건들을 만족하면, \(g \in 1 + IB\)가 존재하여 \(\Spec(B_g)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale이다.

증명

\(B^\wedge\)가 보조정리 0AJU의 동치인 조건들을 만족한다고 가정하자. 소박한 여접 복합체 \(\NL_{B/A}\)는 유한형 \(B\)-가군들의 복합체이므로, \(H^{-1}\)과 \(H^0\)는 유한 \(B\)-가군이다. 완비화는 유한 \(B\)-가군들에 대한 완전 함자이고 (대수학의 보조정리 00MB), \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge\)는 복합체 \(\NL_{B/A}\)의 완비화이다 (표시들을 택하면 이를 쉽게 알 수 있다). 따라서 가정으로부터 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여 \(H^{-1}/I^nH^{-1}\)과 \(H^0/I^nH^0\)가 모든 \(n\)에 대해 \(I^c\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. Nakayama 보조정리(대수학의 보조정리 00DV)에 의해, 이는 \(I^cH^{-1}\)과 \(I^cH^0\)가 \(g = 1 + x\), \(x \in IB\) 꼴의 원소에 의해 소멸됨을 뜻한다. \(g\)를 가역화하면(이는 몫 \(B/I^nB\)를 바꾸지 않는다), \(\NL_{B/A}\)의 코호몰로지가 \(I^c\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. 따라서 \(A \to B\)는 \(V(I)\) 위에 놓이지 않은 \(B\)의 모든 소 아이디얼에서 étale이다. 이는 étale 환 사상의 정의에 따른다. 대수학의 정의 00U1를 보라.

반대로 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale이라고 가정하자. 그러면 각 \(a \in I\)에 대하여 어떤 \(c \geq 0\)가 존재하여

\(\NL_{B/A}\) 위에서 \(a^c\)를 곱하는 사상이 0이다. \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge\)는 \(\NL_{B/A}\)의 유도 완비화이므로 (보조정리 0AJS), \(B^\wedge\)는 보조정리 0AJU의 동치인 조건들을 만족한다.

보조정리

\((A_1, I_1) \to (A_2, I_2)\)가 주의 0AL5에서와 같고, \(A_1\)과 \(A_2\)가 뇌터 환이라 하자. \(B_1\)을 \((A_1, I_1)\)에 대한 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B_2\)를 \(B_1\)의 밑변환이라 하자. \(\NL^\wedge_{B_1/A_1}\) 위에서 \(f_1 \in B_1\)을 곱하는 사상이 \(D(B_1)\)에서 0이면, 그 상 \(f_2 \in B_2\)를 \(\NL^\wedge_{B_2/A_2}\) 위에서 곱하는 사상은 \(D(B_2)\)에서 0이다.

증명

보조정리 0GAG에 의해 다음 사상이 있다.

\[\NL_{B_1/A_1} \otimes_{B_2} B_1 \to \NL_{B_2/A_2}\]

이는 \(H^0\)에서 동형을, \(H^{-1}\)에서 전사를 유도한다.

따라서 대수학 심화의 보조정리 0G9I에서 결과가 따른다.

보조정리

\(A_1 \to A_2\)를 뇌터 환들의 사상이라 하자. \(I_i \subset A_i\)를 \(V(I_1A_2) = V(I_2)\)를 만족하는 아이디얼이라 하자. \(B_1\)을 \((A_1, I_1)\)에 대한 (0AL4)의 대상이라 하자. \(B_2\)를 주의 0AL5에서와 같은 \(B_1\)의 밑변환이라 하자. \(B_1\)이 \((A_1, I_1)\) 위에서 rig-étale이면, \(B_2\)는 \((A_2, I_2)\) 위에서 rig-étale이다.

증명

보조정리 0AK2와 정의 0GAY, 그리고 어떤 \(c \geq 0\)에 대하여 \(I_2^c \subset I_1A_2\)라는 사실에서 따른다. 마지막 사실은 \(A_2\)가 뇌터 환이기 때문이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 유한형 \(A\)-대수로서 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale인 것이라 하자. \(C\)를 뇌터 \(A\)-대수라 하자. 그러면 \(I\)-진 완비화 사이의 임의의 \(A\)-대수 사상 \(B^\wedge \to C^\wedge\)는 유일한 \(A\)-대수 사상 \[B \longrightarrow C^h\] 에서 나온다. 여기서 \(C^h\)는 대수학 심화의 보조정리 0A02에서와 같은 쌍 \((C, IC)\)의 헨젤화이다. 또한 임의의 \(A\)-대수 준동형 \(B \to C^h\)는 어떤 étale \(C\)-대수 \(C'\)를 통해 분해되며, 이때 \(C/IC \to C'/IC'\)는 동형이다.

증명

유일성은 \(C^h\)가 \(C^\wedge\)의 부분환이라는 사실에서 따른다. 예를 들어 대수학 심화의 보조정리 0AGV를 보라. 마지막 주장은 \(C^h\)가 이러한 \(C\)-대수들 \(C'\)의 여과 여극한이라는 사실에서 따른다. 대수학 심화의 보조정리 0A02의 증명을 보라. 이제 존재성의 증명으로 넘어간다.

\(\varphi : B^\wedge \to C^\wedge\)를 주어진 사상이라 하자. 이는 사상 \(C \to B \otimes_A C\)의 완비화의 단면 \[\sigma : (B \otimes_A C)^\wedge \longrightarrow C^\wedge\] 을 정한다. \((A, I, B, C, \varphi)\)를 \((C, IC, B \otimes_A C, C, \sigma)\)로 바꿀 수 있다. 이로써 \(A = C\)라고 가정해도 됨을 알 수 있다.

\(A = C\)인 경우의 존재성을 증명하자. 이 경우 사상 \(\varphi : B^\wedge \to A^\wedge\)는 반드시 전사이다. 보조정리들 0ALQ와 0ALM에 의해, \(\NL_{A^\wedge/\!_\varphi B^\wedge}^\wedge\)의 코호몰로지 군들은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 알 수 있다. \(\varphi\)가 전사이므로, 이는 \(\Ker(\varphi)/\Ker(\varphi)^2\)가 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 뜻한다. 따라서 \(\varphi : B^\wedge \to A^\wedge\)는 유한형 \(B\)-대수 \(B \to D\)의 완비화이다. 대수학 심화의 보조정리 0ALR를 보라. 그러므로 \(A \to D\)는 동형 \(A^\wedge \to D^\wedge\)를 유도하는 유한형 대수 사상이다. 보조정리 0ALQ에 의해 \(D\)를 국소화로 바꾸어, \(A \to D\)가 \(V(I)\) 밖에서 étale이라고 가정할 수 있다. \(A^\wedge \to D^\wedge\)가 동형이므로, \(\Spec(D) \to \Spec(A)\)는 \(V(ID)\)의 근방에서도 étale임을 알 수 있다 (예를 들어 사상 심화의 보조정리 0A43). 따라서 \(\Spec(D) \to \Spec(A)\)는 étale이다. 그러므로 \(D\)에서 \(A^h\)로의 사상이 있으며, 보조정리가 증명된다.

푸시아웃을 이용한 논증

이 절의 유일한 목적은 다음 보조정리를 증명하는 것이다. 이 보조정리는 rig-étale 대수의 대수화에서 핵심적인 역할을 한다. 증명에는 대수공간 이론의 일부를 사용한다. 이 장의 이전 판에는 대수학과 약간의 변형 이론을 이용한 훨씬 긴 증명이 실려 있었다. 관심 있는 독자는 Stacks 프로젝트의 변경 이력에서 그 증명을 찾을 수 있다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(J \subset A\)를 멱영 아이디얼이라 하자. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ C \ar[r] & C_0 \ar@{=}[r] & C/JC \\ & B_0 \ar[u] \\ A \ar[r] \ar[uu] & A_0 \ar[u] \ar@{=}[r] & A/J }\] 세로 화살표들은 유한형이고 다음 조건들이 성립한다고 하자.

1. \(\Spec(C) \to \Spec(A)\)는 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale이다.

2. \(\Spec(B_0) \to \Spec(A_0)\)는 \(\Spec(A_0) \setminus V(IA_0)\) 위에서 étale이다.

3. \(B_0 \to C_0\)는 étale이고 동형 \(B_0/IB_0 = C_0/IC_0\)를 유도한다.

그러면 위 그림을 다음 가환 그림으로 채울 수 있다. \[\xymatrix{ C \ar[r] & C/JC \\ B \ar[u] \ar[r] & B_0 \ar[u] \\ A \ar[r] \ar[u] & A/J \ar[u] }\] 여기서 \(A \to B\)는 유한형이고, \(B/JB = B_0\)이며, \(B \to C\)는 étale이고, \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)는 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale이다.

증명

\(X = \Spec(A)\), \(X_0 = \Spec(A_0)\), \(Y_0 = \Spec(B_0)\), \(Z = \Spec(C)\), \(Z_0 = \Spec(C_0)\)로 놓자. 또한 \(U \subset X\), \(U_0 \subset X_0\), \(V_0 \subset Y_0\), \(W \subset Z\), \(W_0 \subset Z_0\)를 각각 \(I\)의 영점 집합의 여집합으로 나타내자. 상황을 시각화하면 다음과 같다. \[\xymatrix{ Z \ar[dd] & Z_0 \ar[l] \ar[d] \\ & Y_0 \ar[d] \\ X & X_0 \ar[l] } \quad\quad\quad \xymatrix{ W \ar[dd] & W_0 \ar[l] \ar[d] \\ & V_0 \ar[d] \\ U & U_0 \ar[l] }\] 보조정리의 조건들에 의해 \[\xymatrix{ W_0 \ar[r] \ar[d] & Z_0 \ar[d] \\ V_0 \ar[r] & Y_0 }\] 은 기본 판별 정사각형이다. 공간의 유도 범주의 정의 08GM를 보라. 또한 \(W_0 \to U_0\)와 \(V_0 \to U_0\)가 étale임을 알고 있다. \(J\)가 멱영이라고 가정하였으므로 \(X_0 \subset X\)는 유한 차수 두꺼워짐이다. étale 사이트의 위상적 불변성에 의해, \(V_0 = V \times_X X_0\)인 유일한 스킴의 étale 사상 \(V \to X\)를 찾을 수 있고, 주어진 사상 \(W_0 \to V_0\)를 \(X\) 위의 유일한 사상 \(W \to V\)로 올릴 수 있다. Étale 사상의 정리 039R를 보라. \(W_0 \to V_0\)가 분리이므로 \(W \to V\)도 분리이다. 예를 들어 사상 심화의 보조정리 06AG를 보라. 공간의 푸시아웃의 보조정리 0DVJ에 의해 \(X\) 위 대수공간들의 범주에서 기본 판별 정사각형 \[\xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] 을 구성할 수 있다. 기본 판별 정사각형의 밑변환은 기본 판별 정사각형이므로 (공간의 유도 범주의 보조정리 08GN), 다음도 기본 판별 정사각형임을 알 수 있다. \[\xymatrix{ W_0 \ar[r] \ar[d] & Z_0 \ar[d] \\ V_0 \ar[r] & Y \times_X X_0 }\] 따라서 이 공간들이 등장하는 두 정사각형과 양립하는 유일한 동형 \(Y \times_X X_0 = Y_0\)가 존재한다. 이는 기본 판별 정사각형이 푸시아웃이기 때문이다(공간의 푸시아웃의 보조정리 0DVI). 공간의 극한의 명제 07VT에 의해 \(Y\)는 아핀이다. \(Y = \Spec(B)\)라 쓰자. \(B\)가 원하는 그림에 들어맞고 요구된 모든 성질을 만족함은 분명하다.

Rig-étale 대수의 대수화

주된 목적은 바탕이 되는 뇌터 환 \(A\)가 G-환이라고 가정하지 않고, 아이디얼 \(I \subset A\)도 주 아이디얼일 필요 없이 임의인 경우에 rig-étale 대수의 대수화를 증명하는 것이다. 먼저 주 아이디얼인 경우를 증명한 뒤, 절 0AK8의 결과를 이용하여 증명을 마친다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환, \(I = (a)\)를 주 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상으로서 \((A, I)\) 위에서 rig-étale인 것이라 하자. 그러면 유한형 \(A\)-대수 \(C\)와 동형 \(B \cong C^\wedge\)가 존재한다.

증명

표시 \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\)를 택하자. 보조정리 0AJU의 (6)에 의해 \(c \geq 0\)과 \(f_1, \ldots, f_r \in J\)를 택하여 \(\det_{1 \leq i, j \leq r}(\partial f_j/\partial x_i)\)가 \(B\)에서 \(a^c\)를 나누고 \(a^c J \subset (f_1, \ldots, f_r) + J^2\)이도록 할 수 있다. 따라서 보조정리 0GAW를 적용할 수 있다. 이로써 증명이 끝나지만, 이 경우에는 보조정리 0GAQ 대신 훨씬 쉬운 보조정리 0AK7을 사용할 수 있음을 지적해 둔다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 (0AL4)의 대상으로서 \((A, I)\) 위에서 rig-étale인 것이라 하자. 그러면 유한형 \(A\)-대수 \(C\)와 동형 \(B \cong C^\wedge\)가 존재한다.

증명

\(I\)의 생성원 수에 관한 귀납법으로 증명한다. \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)라 하자. \(t = 0\)이면 \(I = 0\)이고 증명할 것이 없다. \(t = 1\)이면 보조정리 0ALS에서 결론이 따른다. \(t > 1\)이라 가정하자.

각 \(m \geq 1\)에 대하여 \(\bar A_m = A/(a_t^m)\)으로 놓자. \(\bar A_m\)의 아이디얼 \(\bar I_m = (\bar a_1, \ldots, \bar a_{t - 1})\)을 생각하자. \(V(I \bar A_m) = V(\bar I_m)\)임을 주목하자. \(B_m = B/(a_t^m)\)을 사상 \((A, I) \to (\bar A_m, \bar I_m)\)에 대한 \(B\)의 밑변환이라 하자. 주의 0AL6를 보라. 보조정리 0GB2에 의해 \(B_m\)은 \((\bar A_m, \bar I_m)\) 위에서 rig-étale이다.

(\(t\)에 관한) 귀납 가정에 의해 유한형 \(\bar A_m\)-대수 \(C_m\)과 동형 \(C_m^\wedge \cong B_m\)을 유도하는 사상 \(C_m \to B_m\)을 찾을 수 있다. 여기서 완비화는 \(\bar I_m\)에 관한 것이다. 보조정리 0ALQ에 의해 \(\Spec(C_m) \to \Spec(\bar A_m)\)이 \(\Spec(\bar A_m) \setminus V(\bar I_m)\) 위에서 étale이라고 가정할 수 있다.

앞 문단에서와 같이 \(A_m \to C_m \to B_m\)을 택하되, 주어진 \(A\)-대수 구조 및 \(B_{m - 1} = B_m/(a_t^{m - 1})\)로 가는 사상들과 양립하는 동형 \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C_{m - 1}\)들도 존재하도록 택할 수 있다고 주장한다.

먼저 \(A_1 \to C_1 \to B_1\)을 하나 고정하자. 원하는 성질들을 갖는 \(C_{m - 1} \to C_{m - 2} \to \ldots \to C_1\)을 찾았다고 하자. \(C_m/(a_t^{m - 1})\)은 \(\Spec(\bar A_{m - 1}) \setminus V(\bar I_{m - 1})\) 위에서 étale이다. 따라서 보조정리 0AKJ에 의해 \(\bar I_{m - 1}\)로 나눈 뒤 동형을 유도하는 étale 확대 \(C_{m - 1} \to C'_{m - 1}\)과, 완비화에서 동형 \(B_m/(a_t^{m - 1}) \to B_{m - 1}\)을 유도하는 \(\bar A_{m - 1}\)-대수 사상 \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\)이 존재한다. 사상 \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\)은 사상의 보조정리 02GW에 의해 \(V(\bar I_{m - 1})\)의 여집합 위에서 étale이다. 또한 \(V(\bar I_{m - 1})\) 위에서는 완비화 사이의 동형을 유도하므로 그곳에서도 étale이다(예를 들어 사상 심화의 보조정리 0A43). 따라서 \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\)은 étale이다. étale 사상의 위상적 불변성 (Étale 사상의 정리 039R)에 의해, \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\)이 \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_m/(a_t^{m - 1})\)과 동형이 되는 étale 환 사상 \(C_m \to C'_m\)이 존재한다. \(C'_m\)의 \(\bar I_m\)-adic 완비화는 \(C_m\)의 \(\bar I_m\)-adic 완비화, 즉 \(B_m\)과 같다(세부 사항은 생략한다). 보조정리 0ALT을 다음 그림에 적용한다. \[\xymatrix{ & C'_m \ar[r] & C'_m/(a_t^{m - 1}) \\ C''_m \ar@{..>}[ru] \ar@{..>}[rr] & & C_{m - 1} \ar[u] \\ & \bar A_m \ar[r] \ar[uu] \ar@{..>}[lu] & \bar A_{m - 1} \ar[u] }\]

그러면 원하는 모든 성질을 갖는 \(\bar A_m\) 위의 대수로의 \(C_{m - 1}\)의 “올림” \(C''_m\)이 존재함을 알 수 있다.

구성에 의해 \((C_m)\)은 주 아이디얼 \((a_t)\)에 대한 범주 (0AL3)의 대상이다. 따라서 역극한 \(B' = \lim C_m\)은 \((a_t)\)-adic 완비 \(A\)-대수이고, \(B'/a_t B'\)는 \(A/(a_t)\) 위에서 유한형이다. 보조정리 0AJP를 보라. 구성에 의해 \(C_m = B'/(a_t^m)\)이고, \(C_m\)의 \(I\)-adic 완비화는 \(B_m\)이며, \(B'\)의 \(I\)-adic 완비화는 \(B\)와 동형이다.

각 \(m\)에 대하여 복합체 \(\NL_{C_m/A_m}\)은 구성에 의해 \(V(IC_m) \subset \Spec(C_m)\)에 지지되는 유한 코호몰로지 가군들을 갖는다. 따라서 이 가군들은 \(I\)-adic 완비이다(이 가군들이 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되기 때문이다).

\(\NL^\wedge_{B_m/A_m}\)은 \(\NL_{C_m/A_m}\)의 \(I\)-adic 완비화이므로 (보조정리 0GAF),

사상 \(\NL_{C_m/A_m} \to \NL_{B_m/A_m}\)은 코호몰로지에서 동형을 유도한다.

따라서 \(B\)가 \(A\) 위에서 rig-étale이므로, 모든 \(m\)에 대하여

\(\NL_{C_m/A_m}\)의 코호몰로지를 소멸시키는 고정된 \(I\)의 거듭제곱이 존재한다. 보조정리 0AJU을 보라.

같은 보조정리에 의해 \(B'\)는 \((A, (a_t))\) 위에서 rig-étale이다. 마지막으로 보조정리 0ALS을 \((A, (a_t))\) 위의 \(B'\)에 적용하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B\)를 \(I\)-adic 완비 \(A\)-대수로서 \(A/I \to B/IB\)가 유한형인 것이라 하자. 보조정리 0AJU의 동치 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. 유한형 \(A\)-대수 \(C\)가 존재하여, \(\Spec(C) \to \Spec(A)\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 위에서 étale이고 \(B \cong C^\wedge\)이다.

증명

보조정리 0AJU, 0AKA, 0ALQ을 결합한다. 간단한 세부 사항은 생략한다.

유한형 사상

형식 공간의 절 0AM3에서 형식 대수공간의 유한형 사상을 정의하였다. 이 절에서는 유한 생성 정의 아이디얼을 갖는 adic 위상환들 사이의 연속 환 사상 중 이에 대응하는 유형들을 연구한다. 독자에게 이 절을 건너뛸 것을 강하게 권한다.

보조정리

\(A\)와 \(B\)를 유한 생성 정의 아이디얼을 갖는 adic 위상환이라 하자. \(\varphi : A \to B\)를 연속 환 준동형이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\varphi\)는 adic이고 \(B\)는 \(A\) 위에서 위상적으로 유한형이다.

2. \(\varphi\)는 taut이고 \(B\)는 \(A\) 위에서 위상적으로 유한형이다.

3. 정의 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재하여 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이고, 정의 아이디얼 \(I' \subset A\)가 존재하여 \(A/I' \to B/I'B\)가 유한형이다.

4. 모든 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이고 \(A/I \to B/IB\)가 유한형이다.

5. 정의 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재하여 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이고 \(B\)가 범주 (0AL4)에 속한다.

6. 모든 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이고 \(B\)가 범주 (0AL4)에 속한다.

7. 위상 \(A\)-대수로서 \(B\)는 \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\)를 닫힌 아이디얼로 나눈 몫이다.

8. 위상 \(A\)-대수로서 \(B\)는 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)를 닫힌 아이디얼로 나눈 몫이다. 여기서 \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)는 \(A\)의 어떤 정의 아이디얼에 관한 \(A[x_1, \ldots, x_r]\)의 완비화이다.

9. 여기에 더 추가한다.

또한 이 동치 조건들은 형식 공간의 주의 0ANH에서 정의한 \(\text{WAdm}^{adic*}\)의 사상들의 국소적 성질을 정의한다.

증명

Taut 환 준동형은 형식 공간의 정의 0AMX에서 정의한다. Adic 환 준동형은 형식 공간의 정의 0GBR에서 정의한다. 이 보조정리는 형식 공간의 보조정리 0ANU, 0CB6, 0GBS을 결합하면 따른다. 세부 사항은 생략한다. 확실히 말하면 위상환

\(A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\)와 \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) 사이에는 차이가 없다. 형식 공간의 주의 0AL0를 보라.

주

\(A \to B\)를 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\text{WAdm}^{adic*}\)의 화살표라 하자 (보조정리 0GBW를 보라). \(B = A\{x_1, \ldots, x_r\}/J\)라 쓰자. 그러면 다음과 같이 놓을 수 있다¹. \[\NL_{B/A}^\wedge = \left(J/J^2 \longrightarrow \bigoplus B\text{d}x_i\right)\] 보조정리 0GAE의 증명과 정확히 같은 방식으로, 독자는 이 \(B\)-가군 복합체가 호모토피 범주 \(K(B)\)에서 (유일한 동형까지) 잘 정의됨을 보일 수 있다. 이제 \(A\)가 뇌터이고 \(I \subset A\)가 정의 아이디얼이면, 이 구성은 식 (0AJR)에서 정의한 \((A, I)\) 위 \(B\)의 소박한 여접 복합체를 다시 준다. 이 식은 절 0AJL에 있다. 이는 형식 공간의 주의 0AL0에 의해

\(A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\)가 \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\)와 일치하기 때문이다. 특히 \(A\)가 adic 뇌터 위상환인 경우에도 대상 \(\NL_{B/A}^\wedge\)는 정의 아이디얼 \(I \subset A\)의 선택과 무관하다.

보조정리

보조정리 0GBW에서 정의한 \(\textit{WAdm}^{adic*}\)의 화살표에 관한 성질 \(P\)를 생각하자. 그러면 \(P\)는 형식 공간의 주의 0GBE에서 정의한 밑변환에 대하여 안정적이다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GBW에서 따른다. 이를 증명하기 위하여 \(\textit{WAdm}^{adic*}\) 안의 사상 \(B \to A\)와 \(B \to C\)가 있고, 어떤 닫힌 아이디얼 \(J\)에 대하여 위상 \(B\)-대수로서 \(A = B\{x_1, \ldots, x_r\}/J\)라고 가정하자. 그러면 \(A \widehat{\otimes}_B C\)는 \(C\{x_1, \ldots, x_r\}/J'\)의 몫과 동형이다. 여기서 \(J'\)은 \(JC\{x_1, \ldots, x_r\}\)의 폐포이다. 일부 세부 사항은 생략한다.

보조정리

보조정리 0GBW에서 정의한 \(\textit{WAdm}^{adic*}\)의 화살표에 관한 성질 \(P\)를 생각하자. 그러면 \(P\)는 형식 공간의 주의 0GBJ에서 정의한 합성에 대하여 안정적이다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GBW에서 따른다. 이를 증명하는 가장 쉬운 방법은 (a) adic 위상환들 사이의 adic 환 사상의 합성이 adic이고, (b) 연속 환 사상들의 합성이 위상적으로 유한형이라는 성질을 보존함을 보이는 것이다. 세부 사항은 생략한다.

다음 보조정리는 adic* 형식 대수공간들의 사상이 국소 유한형일 필요충분조건은, 국소적으로 étale 위상에서 보조정리 0GBW에 서술한 유형의 위상환 사상들로 주어지는 것임을 말한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 adic* 형식 대수공간들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)는 아핀 형식 대수공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)는 대수공간들로 표현 가능하며 étale일 때, 사상 \(U \to V\)는 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{adic*}\)의 화살표에 대응한다.

2. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\)가 존재하여, 각 \(X_{ji} \to Y_j\)가 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{adic*}\)의 화살표에 대응한다.

3. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_i \to X\}\)가 존재하고, 각 \(i\)에 대하여 인수분해 \(X_i \to Y_i \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(Y_i\)는 아핀 형식 대수공간이고, \(Y_i \to Y\)는 대수공간들로 표현 가능하며 étale이고, \(X_i \to Y_i\)는 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{adic*}\)의 화살표에 대응한다.

4. \(f\)는 국소 유한형이다.

증명

보조정리 0GBW의 (1)과 (2)의 동치 및 형식 공간의 보조정리 0ANW에서 바로 따른다.

축약화 위에서의 유한형

이 절에서는 국소 가산 첨자형 형식 대수공간들의 사상 \(X \to Y\) 중 \(X_{red} \to Y_{red}\)가 국소 유한형인 것들을 조금 다룬다. 이를 대수적 조건으로 옮길 것이다. 이 대수적 조건을 이해하려면 다음 사실을 염두에 두는 것이 유용하다.

• \(A\)가 약허용 위상환이면, 위상적으로 멱영인 원소들의 집합 \(\mathfrak a \subset A\)는 열린 근기 아이디얼이고 \(\text{Spf}(A)_{red} = \Spec(A/\mathfrak a)\)이다.

형식 공간의 정의 0AMV, 보조정리 0AMW, 예 0GB6을 보라.

보조정리

\(\text{WAdm}^{count}\)의 화살표 \(\varphi : A \to B\)에 대하여 성질 \(P(\varphi)=\)“유도된 환 준동형 \(A/\mathfrak a \to B/\mathfrak b\)가 유한형이다”를 생각하자. 여기서 \(\mathfrak a \subset A\)와 \(\mathfrak b \subset B\)는 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이다. 그러면 \(P\)는 형식 공간의 상황 0CBA에서 정의한 국소적 성질이다.

증명

형식 공간의 상황 0CBA에서와 같은 가환 그림 \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] 을 생각하자. 이 그림에 \(\text{Spf}\)를 취하면 아핀 형식 대수공간들의 그림 \[\xymatrix{ \text{Spf}(B) \ar[d] & \text{Spf}((B')^\wedge) \ar[l] \ar[d] \\ \text{Spf}(A) & \text{Spf}((A')^\wedge) \ar[l] }\] 을 얻는다. 그 가로 화살표들은 형식 공간의 보조정리 0AN8에 의해 대수공간들로 표현 가능하며 étale이다. 따라서 아핀 스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ \text{Spf}(B)_{red} \ar[d]^f & \text{Spf}((B')^\wedge)_{red} \ar[l]^g \ar[d]^{f'} \\ \text{Spf}(A)_{red} & \text{Spf}((A')^\wedge)_{red} \ar[l] }\] 을 얻으며, 그 가로 화살표들은 형식 공간의 보조정리 0GB7에 의해 étale이다. 형식 공간의 예 0GB6와 보조정리 0AN9에 의해, 형식 공간의 상황 0CBA의 조건 (1), (2), (3)은 다음 명제들로 옮겨진다.

1. \(f\)가 국소 유한형이면 \(f'\)도 국소 유한형이다.

2. \(f'\)가 국소 유한형이고 \(g\)가 전사이면 \(f\)도 국소 유한형이다.

3. \(T_i \to S\), \(i = 1, \ldots, n\)이 국소 유한형이면 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} T_i \to S\)도 국소 유한형이다.

(1)과 (2)는 국소 유한형이라는 성질이 étale 위상에서 원천과 대상에 관하여 국소적이라는 사실에서 따른다. 공간의 사상의 절 03XE의 논의를 보라. (3)은 정의에서 바로 따른다.

보조정리

보조정리 0GC2에서 정의한 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 화살표에 관한 성질 \(P\)를 생각하자. 그러면 \(P\)는 밑변환에 대하여 안정적이다 (형식 공간의 상황 0GBC).

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GC2에서 따른다. 이를 증명하기 위하여 \(\textit{WAdm}^{count}\) 안의 사상 \(B \to A\)와 \(B \to C\)가 있고, \(B/\mathfrak b \to A/\mathfrak a\)가 유한형이라고 가정하자. 여기서 \(\mathfrak b \subset B\)와 \(\mathfrak a \subset A\)는 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이다. \(A\)와 \(B\)가 약허용이므로 아이디얼 \(\mathfrak a\)와 \(\mathfrak b\)는 열려 있다. \(\mathfrak c \subset C\)를 위상적으로 멱영인 원소들의 (열린) 아이디얼이라 하자. 그러면 전사 \(A \widehat{\otimes}_B C \to A/\mathfrak a \otimes_{B/\mathfrak b} C/\mathfrak c\) 를 얻는다. 그 핵은 약한 정의 아이디얼이므로 위상적으로 멱영인 원소들로 이루어진다(형식 공간의 보조정리 0GB4의 증명과 비교하라). 이미 \(C/\mathfrak c \to A/\mathfrak a \otimes_{B/\mathfrak b} C/\mathfrak c\)가 \(B/\mathfrak b \to A/\mathfrak a\)의 밑변환으로서 유한형이므로 결론이 따른다.

보조정리

보조정리 0GC2에서 정의한 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 화살표에 관한 성질 \(P\)를 생각하자. 그러면 \(P\)는 합성에 대하여 안정적이다 (형식 공간의 상황 0GBH).

증명

생략한다. 힌트: 유한형 환 사상들의 합성은 유한형이다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 taut이고 위상적으로 유한형이면, \(\varphi\)는 보조정리 0GC2에서 정의한 조건을 만족한다.

증명

이는 정의들에서 쉽게 따른다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 보조정리 0GC2에서 정의한 조건을 만족하는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. 그러면 \(A \to B\)는 위상적으로 유한형이다.

증명

\(\mathfrak b \subset B\)를 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이라 하자. \(B/\mathfrak b\)의 \(A\) 위 생성원들로 가는 \(b_1, \ldots, b_r \in B\)를 택하자. 아이디얼 \(\mathfrak b\)의 생성원 \(b_{r + 1}, \ldots, b_s\)를 택하자. 사상 \[\varphi : A[x_1, \ldots, x_s] \longrightarrow B, \quad x_i \longmapsto b_i\] 의 상이 조밀하다고 주장한다. 실제로 어떤 \(n \geq 0\)에 대하여 \(b \in \mathfrak b^n\)이면, 다중지표 \(E = (e_{r + 1}, \ldots, e_s)\) 중 \(|E| = \sum e_i = n\)인 것들과 \(b_E \in B\)를 사용하여 \(b = \sum b_E b_{r + 1}^{e_{r + 1}} \ldots b_s^{e_s}\)로 쓸 수 있다. 다음으로 \(b'_E \in \mathfrak b\)와 \(f_E \in A[x_1, \ldots, x_r]\)를 사용하여 \(b_E = f_E(b_1, \ldots, b_r) + b'_E\)로 쓸 수 있다. 이들을 합치면 \(b \in \Im(\varphi) + \mathfrak b^{n + 1}\)을 얻는다. 귀납법으로 모든 \(n \geq 0\)에 대하여 \(B = \Im(\varphi) + \mathfrak b^n\)임을 알 수 있다.

\(\mathfrak b\)가 \(B\)의 정의 아이디얼이므로 이는 원하는 결론을 준다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 adic이면 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\varphi\)는 보조정리 0GC2에서 정의한 조건을 만족한다.

2. \(\varphi\)는 보조정리 0GBW에서 정의한 조건을 만족한다.

증명

생략한다. 힌트: (1) \(\Rightarrow\) (2)의 증명에는 보조정리 0GC6를 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 가산 첨자형 형식 대수공간들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)는 아핀 형식 대수공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)는 대수공간들로 표현 가능하며 étale일 때, 사상 \(U \to V\)는 보조정리 0GC2에서 정의한 성질을 만족하는 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 화살표에 대응한다.

2. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\)가 존재하여, 각 \(X_{ji} \to Y_j\)가 보조정리 0GC2에서 정의한 성질을 만족하는 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 화살표에 대응한다.

3. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_i \to X\}\)가 존재하고, 각 \(i\)에 대하여 인수분해 \(X_i \to Y_i \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(Y_i\)는 아핀 형식 대수공간이고, \(Y_i \to Y\)는 대수공간들로 표현 가능하며 étale이고, \(X_i \to Y_i\)는 보조정리 0GC2에서 정의한 성질을 만족하는 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 화살표에 대응한다.

4. 사상 \(f_{red} : X_{red} \to Y_{red}\)는 국소 유한형이다.

증명

(1), (2), (3)의 동치는 보조정리 0GC2와 형식 공간의 보조정리 0ANG를 적용하면 따른다. \(Y_j\)와 \(X_{ji}\)를 (2)에서와 같이 택하자. 그러면 다음이 성립한다.

• 족 \(\{Y_{j, red} \to Y_{red}\}\)와 \(\{X_{ji, red} \to X_{red}\}\)는 아핀 스킴들로 이루어진 étale 피복이다. 이는 형식 공간의 보조정리 0AIN의 증명에 있는 논의에서 따르며, 형식 공간의 보조정리 0GB7에서 직접 따르기도 한다.

• \(X_{ji} \to Y_j\)가 \(\textit{WAdm}^{count}\)의 사상 \(B_j \to A_{ji}\)에 대응하면, \(X_{ji, red} \to Y_{j, red}\)는 환 사상 \(B_j/\mathfrak b_j \to A_{ji}/\mathfrak a_{ji}\)에 대응한다. 여기서 \(\mathfrak b_j\)와 \(\mathfrak a_{ji}\)는 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이다. 이는 형식 공간의 예 0GB6에서 따른다. 따라서 \(X_{ji, red} \to Y_{j, red}\)가 국소 유한형일 필요충분조건은 \(B_j \to A_{ji}\)가 보조정리 0GC2에서 정의한 성질을 만족하는 것이다.

이 논의들로부터 (2)와 (4)의 동치가 따른다. 실제로 국소 유한형이라는 성질은 대수공간 사상의 성질로서 étale 위상에서 원천과 대상에 관하여 국소적이다. 공간의 사상의 절 03XE의 논의를 보라.

평탄 사상

이 절에서는 국소 뇌터 형식 대수공간들의 평탄 사상을 정의한다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 평탄하다”는 형식 공간의 주의 0ANI에서 정의한 국소적 성질이다.

증명

이 명제가 뜻하는 바를 상기하자. 먼저 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)는 대상들이 adic 뇌터 위상환이고 사상들이 연속 환 준동형인 범주이다. 다음 조건들을 만족하는 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] \(A\)와 \(B\)는 adic 뇌터 위상환이고, \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)는 étale 환 사상이며, 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\)이고, 어떤 정의 아이디얼 \(J \subset B\)에 대하여 \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\)이며, \(\varphi : A \to B\)와 \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)는 연속이라고 하자. 형식 공간의 보조정리 0ANB에 의해 \((A')^\wedge\)와 \((B')^\wedge\)는 adic 뇌터 위상환임을 주의하자. 다음을 보여야 한다.

1. \(\varphi\)가 평탄하다 \(\Rightarrow \varphi'\)가 평탄하다.

2. \(B \to B'\)가 충실히 평탄이면, \(\varphi'\)가 평탄하다 \(\Rightarrow \varphi\)가 평탄하다.

3. \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(A \to B_i\)가 평탄이면 \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\)도 평탄이다.

뇌터 환의 완비화가 평탄이라는 사실을 이후 별도 언급 없이 사용한다 (대수학의 보조정리 00MB). 물론 \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)도 평탄하므로, 특히 그림의 가로 화살표들이 평탄임을 알 수 있다.

(1)의 증명. \(\varphi\)가 평탄이면 합성 \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)는 평탄하다. 따라서 평탄성 심화의 보조정리 05B9에 의해 \(A' \to (B')^\wedge\)는 평탄하다. 그러므로 대수학 심화의 보조정리 0AGW을 \(R = A'\), 아이디얼 \(I(A')\), \(M = (B')^\wedge = M^\wedge\)에 적용하면 \((A')^\wedge \to (B')^\wedge\)가 평탄임을 알 수 있다.

(2)의 증명. \(\varphi'\)가 평탄이고 \(B \to B'\)가 충실히 평탄이라고 가정하자. 그러면 합성 \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)는 평탄하다. 또한 형식 공간의 보조정리 0AN9에 의해 \(B \to (B')^\wedge\)는 충실히 평탄이다. 따라서 대수학의 보조정리 0584에 의해 \(\varphi : A \to B\)가 평탄임을 알 수 있다.

(3)의 증명. 생략한다.

보조정리

보조정리 0GC9에서 정의한 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질을 \(P\)라 하자. 보조정리 0GC2에서 정의한 성질을 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질로 보고 \(Q\)라 하자. 보조정리 0GBW에서 정의한 성질을 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질로 보고 \(R\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(P\)는 \(Q\)에 의한 밑변환에 대하여 안정적이다 (형식 공간의 주의 0GBG).

2. \(P + R\)은 밑변환에 대하여 안정적이다 (형식 공간의 주의 0GBF).

증명

성질 \(P\), \(Q\), \(R\) 각각이 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 사상의 국소적 성질이므로 명제는 의미를 갖는다. \(\varphi : B \to A\)와 \(\psi : B \to C\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 사상이라 하자.

\(Q(\varphi)\) 또는 \(Q(\psi)\)가 성립하면 형식 공간의 보조정리 0GB4에 의해 \(A \widehat{\otimes}_B C\)가 뇌터임을 알 수 있다. \(R\)은 \(Q\)를 함의하므로(보조정리 0GC5), 이는 (1)과 (2)의 두 경우 모두에 성립한다. 이것이 먼저 확인할 사항이다. 이제 \(C \to A \widehat{\otimes}_B C\)가 평탄임을 보이면 된다.

(1)의 증명. 정의 아이디얼 \(I \subset A\)와 \(J \subset B\)를 고정하자. 보조정리 0GC6에 의해 환 사상 \(B \to C\)는 위상적으로 유한형이다. 따라서 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(B \to C/J^n\)은 유한형이다. 그러므로 환 \(A \otimes_B C/J^n\)은 뇌터이다 (\(A\) 위에서 유한형이고 \(A\)가 뇌터이기 때문이다). 따라서 \(A \otimes_B C/J^n\)의 \(I\)-adic 완비화 \(A \widehat{\otimes}_B C/J^n\)은 \(C/J^n\) 위에서 평탄하다. 실제로 \(C/J^n \to A \otimes_B C/J^n\)은 \(B \to A\)의 밑변환으로서 평탄하고, \(A \otimes_B C/J^n \to A \widehat{\otimes}_B C/J^n\)은 대수학의 보조정리 00MB에 의해 평탄하다. \(A \widehat{\otimes}_B C/J^n = (A \widehat{\otimes}_B C)/J^n(A \widehat{\otimes}_B C)\)임을 주목하자. 세부 사항은 생략한다. 따라서 \(M = A \widehat{\otimes}_B C\)는 \(J\)-adic 위상에 관하여 완비인 \(C\)-가군이고, 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(M/J^nM\)은 \(C/J^n\) 위에서 평탄하다. 대수학 심화의 보조정리 0912에 의해 \(M\)은 \(C\) 위에서 평탄이다.

(2)의 증명. 이 경우 \(B \to A\)는 adic이므로 단순히 \(A \widehat{\otimes}_B C = \lim A \otimes_B C/J^n\)이다. 환 \(A \otimes_B C/J^n\)은 형식 공간의 보조정리 0GB4에서 \(C\)를 \(C/J^n\)으로 바꾸어 적용하면 뇌터임을 알 수 있다. 앞과 같은 방식으로 결론을 얻는다.

보조정리

보조정리 0GC9에서 정의한 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질을 \(P\)라 하자. 그러면 \(P\)는 합성에 대하여 안정적이다 (형식 공간의 주의 0GBK).

증명

평탄 환 사상들의 합성이 평탄이므로 참이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수공간들의 사상이라 하자. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수공간들로 표현 가능하며 étale일 때, 사상 \(U \to V\)가 adic 뇌터 위상환들의 평탄 사상에 대응하면 \(f\)를 평탄이라고 한다.

이 조건을 원천과 대상 위에서 국소적으로 étale하게 확인할 수 있음을 증명하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수공간들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 평탄이다.

2. 모든 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수공간들로 표현 가능하며 étale일 때, 사상 \(U \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 평탄 사상에 대응한다.

3. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\)가 존재하여, 각 \(X_{ji} \to Y_j\)가 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 평탄 사상에 대응한다.

4. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_i \to X\}\)가 존재하고, 각 \(i\)에 대하여 인수분해 \(X_i \to Y_i \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(Y_i\)는 아핀 형식 대수공간이고, \(Y_i \to Y\)는 대수공간들로 표현 가능하며 étale이고, \(X_i \to Y_i\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 평탄 사상에 대응한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의 0GCC이다. (2), (3), (4)의 동치는 평탄성이 보조정리 0GC9에 의해 \(\text{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표의 국소적 성질이라는 사실과, 국소 뇌터 형식 대수공간들 사이의 사상에 관한

형식 공간의 보조정리 0ANG의 변형을 적용하면 따른다. 이 변형은 형식 공간의 주의 0ANI에 언급되어 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Z \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수공간들의 사상이라 하자.

1. \(f\)가 평탄이고 \(g_{red} : Z_{red} \to Y_{red}\)가 국소 유한형이면, 밑변환 \(X \times_Y Z \to Z\)는 평탄이다.

2. \(f\)가 평탄이고 국소 유한형이면, 밑변환 \(X \times_Y Z \to Z\)는 평탄이고 국소 유한형이다.

증명

(1)은 형식 공간의 주의 0GBG, 보조정리 0GCA의 (1), 보조정리 0GCD, 보조정리 0GC7을 결합하면 따른다.

(2)는 형식 공간의 주의 0GBF, 보조정리 0GCA의 (2), 보조정리 0GCD, 보조정리 0GC0을 결합하면 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)와 \(g\)가 평탄이면 \(g \circ f\)도 평탄이다.

증명

형식 공간의 주의 0GBK와 보조정리 0GCB을 결합한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자.

\(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 대수공간들로 표현 가능하고 부트스트랩의 정의 03XZ의 의미에서 평탄이면, \(f\)는 정의 0GCC의 의미에서 평탄이다.

증명

이는 증명이 자명해야 하지만 실제로는 완전히 그렇지는 않은 건전성 확인이다. 독자에게 증명을 건너뛸 것을 권한다. \(f\)가 대수공간들로 표현 가능하고 부트스트랩의 정의 03XZ의 의미에서 평탄이라고 가정하자. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 여기서 \(U\)와 \(V\)는 아핀 형식 대수공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)는 대수공간들로 표현 가능하며 étale이다. 그러면 형식 공간의 보조정리 0ANK에 의해 사상 \(U \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 taut 사상 \(B \to A\)에 대응한다. 이는 \(B \to A\)가 adic임을 뜻한다 (형식 공간의 보조정리 0GBS). 특히 임의의 정의 아이디얼 \(J \subset B\)에 대하여 \(A\)의 위상은 \(J\)-adic 위상이고 그림 \[\xymatrix{ \Spec(A/J^nA) \ar[r] \ar[d] & \Spec(B/J^n) \ar[d] \\ U \ar[r] & V }\] 은 Cartesian이다.

\(T\)를 스킴이라 하고 \(T \to V\)를 사상이라 하자. 그러면 \[\begin{align*} X \times_Y T \to T\text{는 평탄하다} & \Rightarrow U \times_Y T \to T\text{는 평탄하다} \\ & \Rightarrow U \times_V V \times_Y T \to T\text{는 평탄하다} \\ & \Rightarrow U \times_V V \times_Y T \to V \times_Y T\text{는 평탄하다} \\ & \Rightarrow U \times_V T \to T\text{는 평탄하다} \end{align*}\] 첫 번째 명제는 \(f\)에 관한 가정이다.

첫 번째 함의는 \(U \to X\)가 étale이어서 평탄이고 대수공간의 평탄 사상들의 합성이 평탄이기 때문에 성립한다. 두 번째 함의는 \(U \times_Y T = U \times_V V \times_Y T\)이기 때문에 성립한다. 세 번째 함의는 평탄성 심화의 보조정리 05B9에서 따른다. 네 번째 함의는 사상 \(T \to V \times_Y T\)로 당겨올 수 있기 때문에 성립한다. 따라서 \(U \to V\)는 부트스트랩의 정의 03XZ의 의미에서 평탄이다. 연속 환 사상 \(B \to A\)의 언어로는, 이는 환 사상 \(B/J^n \to A/J^nA\)가 평탄이라는 뜻이다(위 그림을 보라).

마지막으로 예를 들어 대수학 심화의 보조정리 0912에 의해 \(B \to A\)가 평탄이라고 결론지을 수 있다.

Rig-닫힌 점

뒤 절에서 rig-평탄성을 판정하는 데 사용할 수 있을 만큼의 이론만 전개한다. 국소 뇌터 형식 스킴의 경우 등을 논의하는 [BL-I]에서 더 많은 이론을 찾을 수 있다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 adic 위상환이라 하자. \(\mathfrak q \subset A\)를 소 아이디얼이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(I \not \subset \mathfrak q\)이고, \(\mathfrak q\)는 이 성질에 관하여 극대이다.

2. 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)는 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)의 닫힌 점을 정의한다.

3. 임의의 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(I \not \subset \mathfrak q\)이고, \(\mathfrak q\)는 이 성질에 관하여 극대이다.

4. 임의의 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)는 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)의 닫힌 점을 정의한다.

5. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\)이고, 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(I \not \subset \mathfrak q\)이다.

6. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\)이고, 임의의 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(I \not \subset \mathfrak q\)이다.

7. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\)이고 \(A/\mathfrak q\)에 유도되는 위상은 자명하지 않다.

8. \(A/\mathfrak q\)는 \(1\)차원 뇌터 완비 국소 정역이고, 그 극대 아이디얼은 \(A\)의 임의의 정의 아이디얼의 상의 근기이다.

9. 여기에 더 추가한다.

증명

(1)과 (2)가 동치임은 분명하며, 같은 이유로 (3)과 (4)도 동치이다. \(V(I)\)는 \(A\)의 정의 아이디얼 \(I\)의 선택과 무관하므로 (2)와 (4)가 동치이다.

동치 조건 (1)–(4)가 성립한다고 가정하자. \(\dim(A/\mathfrak q) > 1\)이면 극대 아이디얼 \(\mathfrak q \subset \mathfrak m \subset A\)를 \(\dim((A/\mathfrak q)_\mathfrak m) > 1\)이 되도록 택할 수 있다. 그러면 대수학의 보조정리 02IG에 의해 \(\Spec((A/\mathfrak q)_\mathfrak m) - V(I(A/\mathfrak q)_\mathfrak m)\)은 무한일 것이다. 이는 \(\mathfrak q\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)에서 닫혀 있다는 사실에 모순이다. 따라서 (6)이 성립한다. (6)은 자명하게 (5)를 함의한다.

역으로 (5)가 성립한다고 가정하자. \(I \subset A\)를 정의 아이디얼이라 하자. \(A/\mathfrak q\)는 \(I(A/\mathfrak q)\)에 관하여 완비이므로 (예를 들어 대수학의 보조정리 00MA), 대수학의 보조정리 05GI에 의해 \(\Spec(A/\mathfrak q)\)의 모든 닫힌 점은 \(V(IA/\mathfrak q)\)에 들어 있다. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\)이고 \(I \not \subset \mathfrak q\)이므로 두 가지를 얻는다. (a) \(V(IA/\mathfrak q)\)는 \(\Spec(A/\mathfrak q)\)의 일반점을 제외한 모든 점을 포함해야 하고, (b) \(V(IA/\mathfrak q)\)는 유한 이산 집합이어야 한다. (a)에서 \(\mathfrak q\)가 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)의 닫힌 점임을 알 수 있으므로 (2)가 성립한다.

계속해서 (5)를 가정하자. 유한 이산 공간 \(V(IA/\mathfrak q)\)는 예를 들어 대수학 심화의 보조정리 09Y6에 의해 한원소 집합이어야 한다(완비 쌍은 헨젤 쌍이라는 사실은 대수학 심화의 보조정리 0ALJ를 보라). 따라서 (8)이 참이다. 역으로 (8)이 (5)를 함의함은 분명하다.

이제 (1)–(6)과 (8)이 동치임을 알았다. 이 조건들이 (7)과도 동치라는 확인은 생략한다.

이러한 소 아이디얼들을 편리하게 다루기 위하여 다음 비표준 표기를 도입한다.

정의

\(A\)를 뇌터 adic 위상환이라 하자. \(\mathfrak q \subset A\)를 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak q\)가 보조정리 0GG8의 동치 조건들을 만족하면 이를 rig-닫힌 소 아이디얼이라고 한다.

상대적인 상황에서도 rig-닫힌 소 아이디얼이 충분히 많다는 것을 본질적으로 말해 주는 몇 가지 보조정리가 필요하다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 사상이라 하자. \(\mathfrak a \subset A\)와 \(\mathfrak b \subset B\)를 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이라 하자. \(A/\mathfrak a \to B/\mathfrak b\)가 유한형이라고 가정하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. 국소환 \(B/\mathfrak q\)의 잉여체 \(\kappa\)는 유한형 \(A/\mathfrak a\)-대수이다.

증명

\(\mathfrak q \subset \mathfrak m \subset B\)를 \(\mathfrak q\)를 포함하는 유일한 극대 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak b \subset \mathfrak m\)이다. 따라서 \(A/\mathfrak a \to B/\mathfrak b \to B/\mathfrak m = \kappa\)는 유한형이다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하고, \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q) \subset A\)로 놓자. \(\mathfrak a \subset A\)를 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(B/\mathfrak q\)의 잉여체 \(\kappa\)는 \(A/\mathfrak a\) 위에서 유한이다.

2. \(\mathfrak p \subset A\)는 rig-닫혀 있다.

3. \(A/\mathfrak p \subset B/\mathfrak q\)는 환의 유한 확대이다.

증명

(1)을 가정하자. \(B/\mathfrak q\)는 차원 \(1\)인 뇌터 국소환이고, 그 위상은 극대 아이디얼에서 오는 adic 위상임을 상기하자. \(\varphi\)가 adic이므로 \(A \to B/\mathfrak q\)는 adic이다. 따라서 \(\varphi(\mathfrak a)\)는 \(B/\mathfrak q\) 안의 영이 아닌 아이디얼이다.

따라서 \(B/\mathfrak q + \varphi(\mathfrak a)\)는 유한 길이를 갖는다.

그러므로 가정에 의해 \(B/\mathfrak q + \varphi(\mathfrak a)\)는 \(A/\mathfrak a\)-가군으로서 유한이다. 따라서 대수학의 보조정리 031D에 의해 \(B/\mathfrak q\)는 \(A\) 위에서 유한이다. 그러므로 (3)이 성립한다.

(3)을 가정하자. 그러면 대수학의 보조정리 00GQ에 의해 \(\Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(A/\mathfrak p)\)는 전사이다. 이는 (2)를 함의한다.

(2)를 가정하자. \(\kappa'\)을 \(A/\mathfrak p\)의 잉여체라 하자. 보조정리 0GGA와 (보조정리 0GC5)에 의해 확대 \(\kappa/\kappa'\)은 대수로서 유한 생성이다. 힐베르트 영점정리(대수학의 보조정리 00FY)에 의해 \(\kappa/\kappa'\)은 유한 확대이다. 따라서 (1)이 성립한다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(A/I\)가 Jacobson이면, \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q) \subset A\)는 rig-닫혀 있다.

증명

보조정리 0GGA와 (보조정리 0GC5)에 의해 \(B/\mathfrak q\)의 잉여체 \(\kappa\)는 \(A/\mathfrak a\) 위에서 유한형이다. \(A/\mathfrak a\)가 Jacobson이므로 대수학의 보조정리 0CY7에 의해 \(\kappa\)는 \(A/\mathfrak a\) 위에서 유한이다. 보조정리 0GGB에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak a \subset A\)와 \(\mathfrak b \subset B\)를 위상적으로 멱영인 원소들의 아이디얼이라 하자. \(\varphi\)가 평탄이면 다음 조건들은 동치이다.

1. \(A/\mathfrak p\)의 극대 아이디얼은 \(\Spec(B/\mathfrak b) \to \Spec(A/\mathfrak a)\)의 상에 속한다.

2. rig-닫힌 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 존재하여 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)이다.

그리고 이들이 성립하면 \(\varphi\), \(\mathfrak p\), \(\mathfrak q\)는 보조정리 0GGB의 결론들을 만족한다.

증명

(2) \(\Rightarrow\) (1)은 즉시 알 수 있다. (1)을 가정하자. \(\mathfrak q\)의 존재를 증명하기 위하여 \(A\)를 \(A/\mathfrak p\)로, \(B\)를 \(B/\mathfrak p B\)로 바꾸어도 된다(일부 세부 사항은 생략한다). 따라서 \((A, \mathfrak m, \kappa)\)가 국소 완비 \(1\)차원 뇌터 환이고, \(\mathfrak m = \mathfrak a\), \(\mathfrak p = (0)\)이라고 가정할 수 있다. 조건 (1)은 단순히 \(B_0 = B \otimes_A \kappa = B/\mathfrak m B = B/\mathfrak a B\)가 영이 아니라는 뜻이다. \(B_0\)가 \(\kappa\) 위에서 유한형임을 주의하자. 따라서 \(\dim(B_0)\)에 관한 귀납법을 사용할 수 있다. \(\dim(B_0) = 0\)이면 임의의 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)를 택하면 된다(\(A \to B\)의 평탄성에 의해 \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak p = (0)\) 위에 놓인다). \(\dim(B_0) > 0\)이면, 영인자가 아니고 단위도 아닌 원소 \(b_0 \in B_0\)로 가는 원소 \(b \in B\)를 찾을 수 있다. 대수학의 보조정리 0GEC를 보라. 대수학의 보조정리 00MF에 의해 환 \(B' = B/bB\)는 \(A\) 위에서 평탄하다. \(B'_0 = B' \otimes_A \kappa = B_0/(b_0)\)는 영이 아니므로 \(B'\)에 귀납 가정을 적용하여 결론을 얻는다. 보조정리의 마지막 명제는 보조정리 0GGB에서 분명하다.

몇 가지 표기를 도입한다.

정의

\(A\)를 유한 생성 정의 아이디얼을 갖는 adic 위상환이라 하자. \(f \in A\)라 하자. \(A\)의 \(f\)에서의 주 국소화 \(A_f = A[1/f]\)를 \(A\)의 임의의 정의 아이디얼에 관하여 완비한 것을 \(A\)의 완비 주 국소화 \(A_{\{f\}}\)라 한다.

확실히 말하면, \(f\)가 위상적으로 멱영이면 \(A_{\{f\}}\)는 영환이다.

보조정리

\(A\)를 adic 뇌터 위상환이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 소 아이디얼이라 하자. \(f \in A\)를 \(A/\mathfrak p\)에서 단위로 가는 원소라 하자. 그러면 \[\mathfrak p A_{\{f\}} = \mathfrak p(A_f)^\wedge = \mathfrak p \otimes_A (A_f)^\wedge = (\mathfrak p_f)^\wedge\] 는 소 아이디얼이고, 그 몫은 다음과 같다. \[A/\mathfrak p = (A/\mathfrak p) \otimes_A (A_f)^\wedge = (A_f)^\wedge / \mathfrak p (A_f)^\wedge = A_{\{f\}}/\mathfrak p A_{\{f\}}\]

증명

\(A_f\)가 뇌터이므로 환 사상 \(A \to A_f \to (A_f)^\wedge\)는 평탄하다. 임의의 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 \(M \otimes_A (A_f)^\wedge\)는 \(M_f\)의 완비화이다. \(f\)가 \(M\) 위에서 단위이면 \(M_f = M\)은 이미 완비이다. 대수학의 절 0BNH의 논의를 보라. 이 관찰들에서 결과가 쉽게 따른다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. \(B/\mathfrak q\)에서 단위로 가는 \(f \in A\)가 존재하여 다음 그림을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ B \ar[r] & B_{\{f\}} \\ A \ar[r] \ar[u]_\varphi & A_{\{f\}} \ar[u]_{\varphi_{\{f\}}} } } \quad\text{소 아이디얼을 수반하며}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \mathfrak q' \ar@{-}[d] \ar@{=}[r] & \mathfrak q B_{\{f\}} \\ \mathfrak p \ar@{-}[r] & \mathfrak p' } }\] 여기서 \(\mathfrak p'\)은 rig-닫혀 있다. 즉 사상 \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\)와 소 아이디얼 \(\mathfrak q'\), \(\mathfrak p'\)은 보조정리 0GGB의 동치 조건들을 만족한다.

증명

\(\mathfrak q'\)의 설명은 보조정리 0GGF를 보라. 보조정리가 하는 유일한 주장은, \(f\)를 적절히 택하면 소 아이디얼 \(\mathfrak p'\)이 \(\dim((A_f)^\wedge/\mathfrak p') = 1\)을 만족한다는 것이다. 보조정리 0GGB에 의해 이는 다시 \(B/\mathfrak q = (B_f)^\wedge/\mathfrak q'\)의 잉여체 \(\kappa\)가 \((A_f)^\wedge/\mathfrak a' = (A/\mathfrak a)_f\) 위에서 유한이라는 뜻이다. 보조정리 0GGA에 의해 \(A/\mathfrak a \to \kappa\)가 유한형 대수 준동형임을 안다. 대수학의 보조정리 00FY 형태의 힐베르트 영점정리에 의해, \(\kappa\)에서 단위로 가는 \(f \in A\)를 \(\kappa\)가 \(A_f\) 위에서 유한이 되도록 찾을 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 adic 위상환이라 하자. \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\)를 \(A\) 위의 제한 멱급수환이라 하자. \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\)를 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak q' = A[x_1, \ldots, x_n] \cap \mathfrak q\), \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)로 놓자. \(\mathfrak q\)와 \(\mathfrak p\)가 rig-닫혀 있으면 사상 \[A[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak q'} \to A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\] 은 각각의 극대 아이디얼에 관한 완비화들 사이의 동형을 정의한다.

증명

보조정리 0GGB에 의해 환 사상 \(A/\mathfrak p \to A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q\)는 유한이다. 각 \(m \geq 1\)에 대하여 가군 \(\mathfrak q^m/\mathfrak q^{m + 1}\)은 유한 \(A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q\)-가군이므로 \(A\) 위에서 유한이다.

따라서 \(A\{x_1, \ldots x_n\}/\mathfrak q^m\)은 유한 \(A\)-가군이다. 그러므로 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q^m\)은 전사이다 (그 상이 조밀한 \(A\)-부분가군이기 때문이다). 이로부터 모든 \(m\)에 대하여 \(A[x_1, \ldots, x_n]/(\mathfrak q')^m \to A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q^m\)이 동형임이 바로 따른다. 여기서 보조정리가 쉽게 따른다. 힌트: \(\mathfrak p\)에 속하지 않는 위상적으로 멱영인 \(g \in A\)를 택하자. 그러면 완비화들의 사상은 다음 사상이다.

\[\lim_m \left(A[x_1, \ldots, x_n]/(\mathfrak q')^m\right)_g \longrightarrow \left(A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q^m\right)_g\] 일부 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 adic이고 위상적으로 유한형이며 평탄이라고 가정하자. 또한 어떤 (각각 임의의) 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(A/I \to B/IB\)가 étale이라고 하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 rig-닫힌 소 아이디얼로서 \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)도 rig-닫힌 것이라 하자. 그러면 \(\mathfrak p B_\mathfrak q = \mathfrak q B_\mathfrak q\)이다.

증명

\(\kappa\)를 \(1\)차원 완비 국소환 \(A/\mathfrak p\)의 잉여체라 하자. \(A/I \to B/IB\)가 étale이므로 \(B \otimes_A \kappa\)는 \(\kappa\)의 유한 분리 확대들의 유한 곱이다. 대수학의 보조정리 00U3를 보라. 이들 중 하나가 \(B/\mathfrak q\)의 잉여체이다. 대수학의 보조정리 031D에 의해 \(B/\mathfrak p B\)는 유한 \(A/\mathfrak p\)-대수이다. 또한 평탄이다. 위 사실들을 결합하면 \(A/\mathfrak p \to B /\mathfrak p B\)가 유한 étale임을 알 수 있다. 대수학의 보조정리 00U6를 보라. 따라서 \(B/\mathfrak p B\)는 축약이고, 이는 보조정리의 명제를 함의한다 (세부 사항은 생략한다).

보조정리

\(A\)를 adic 뇌터 위상환이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. 임의의 \(n \geq 1\)에 대하여 환 사상 \[A/\mathfrak p \longrightarrow A\{x_1, \ldots, x_n\} \otimes_A A/\mathfrak p = A/\mathfrak p\{x_1, \ldots, x_n\}\] 은 정칙이다. 특히 대수 \(A\{x_1, \ldots, x_n\} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)는 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위에서 기하학적으로 정칙이다.

증명

독자가 대수학 심화의 절 07BY에서 찾을 수 있는 정칙 환 사상에 관한 몇 가지 사실을 사용한다. \(A/\mathfrak p\)는 완비 국소 뇌터 환이므로 우수하다 (대수학 심화의 명제 07QW). 따라서 \(A/\mathfrak p[x_1, \ldots, x_n]\)도 같은 인용 결과에 의해 우수하다. 그러므로 대수학 심화의 보조정리 0AH2에 의해 \(A/\mathfrak p[x_1, \ldots, x_n] \to A/\mathfrak p\{x_1, \ldots, x_n\}\)는 정칙 환 준동형이다. 물론 \(A/\mathfrak p \to A/\mathfrak p[x_1, \ldots, x_n]\)은 매끄러우므로 정칙이다. 정칙 환 사상들의 합성은 정칙이므로 증명이 끝난다.

Rig-평탄 준동형

이 절에서는 adic 뇌터 위상환들의 rig-평탄 준동형을 정의한다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{adic*}\) 안의 사상이라 하자 (형식 공간의 절 0ANA). \(\varphi\)가 adic이라고 가정하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 모든 위상적으로 멱영인 \(f \in A\)에 대하여 \(B_f\)는 \(A\) 위에서 평탄이다.

2. 모든 위상적으로 멱영인 \(g \in B\)에 대하여 \(B_g\)는 \(A\) 위에서 평탄이다.

3. 정의 아이디얼을 포함하지 않는 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대하여 \(B_\mathfrak q\)는 \(A\) 위에서 평탄이다.

4. 모든 rig-닫힌 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대하여 \(B_\mathfrak q\)는 \(A\) 위에서 평탄이다.

5. 여기에 더 추가한다.

증명

정의들과 대수학의 보조정리 00HT에서 따른다.

정의

\(\varphi : A \to B\)를 adic 뇌터 위상환들 사이의 연속 환 준동형, 즉 \(\varphi\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 adic이고 위상적으로 유한형이며 보조정리 0GGL의 동치 조건들을 만족하면 \(\varphi\)를 소박하게 rig-평탄이라고 한다.

아래 예는 이 개념이 “국소화”되지 않음을 보여 준다.

예

예들의 보조정리 0GHI에 의해, 주 아이디얼 \(I = (a)\)에 관하여 완비인 국소 뇌터 \(2\)차원 정역 \((A, \mathfrak m)\)과 원소 \(f \in \mathfrak m\), \(f \not \in I\)가 다음 성질을 갖도록 존재한다. 환 \(A_{\{f\}}[1/a]\)는 비축약이다. 여기서 \(A_{\{f\}}\)는 주 국소화 \(A_f\)의 \(I\)-adic 완비화 \((A_f)^\wedge\)이다. 확실히 \(A_{\{f\}}[1/a]\)는 영환이 아니다. \(B = A_{\{f\}}/ \text{nil}(A_{\{f\}})\)를 그 멱영근기로 나눈 몫이라 하자. \(A \to B\)가 adic이고 위상적으로 유한형임을 주목하자. 실제로 \(B\)는 \(x\)를 \(B\) 안의 \(1/f\)의 상으로 보내는 사상에 의한 \(A\{x\} = A[x]^\wedge\)의 몫이다. \(a\)를 포함하지 않는 \(B\)의 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)는 \((0) \subset A\) 위에 놓여야 한다². 따라서 \(B_\mathfrak q\)는 \(A\)의 분수체 위의 가군이므로 \(A\) 위에서 평탄이다. 그러므로 \(A \to B\)는 소박하게 rig-평탄이다. 한편 사상 \[A_{\{f\}} \longrightarrow B_{\{f\}} = (B_f)^\wedge = B = A_{\{f\}} /\text{nil}(A_{\{f\}})\] 은 \(a\)를 역원으로 만든 뒤 평탄하지 않다. 실제로 자명하지 않은 전사 \(A_{\{f\}}[1/a] \allowbreak\to A_{\{f\}}[1/a]\allowbreak/\text{nil}(A_{\{f\}}[1/a])\)를 얻는다. 따라서 \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}^\wedge\)는 소박하게 rig-평탄하지 않다!

다음 정의를 사용하면 이 문제를 쉽게 피할 수 있음이 드러난다.

정의

\(\varphi : A \to B\)를 adic 뇌터 위상환들 사이의 연속 환 준동형, 즉 \(\varphi\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 adic이고 위상적으로 유한형이며, 모든 \(f \in A\)에 대하여 유도된 사상 \[A_{\{f\}} \longrightarrow B_{\{f\}}\] 이 소박하게 rig-평탄이면 \(\varphi\)를 rig-평탄이라고 한다 (정의 0GGM).

위 정의에서 \(f = 1\)로 놓으면 rig-평탄성이 소박한 rig-평탄성을 함의함을 알 수 있다. 위 예는 그 역이 거짓임을 보여 준다. 그러나 다음 보조정리가 보여 주듯이 많은 상황에서는 rig-평탄성과 그 소박한 판본의 차이를 걱정할 필요가 없다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. 어떤 (동치로 임의의) 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(A/I\)가 Jacobson이고 \(\varphi\)가 소박하게 rig-평탄이면, \(\varphi\)는 rig-평탄이다.

증명

\(\varphi\)가 소박하게 rig-평탄이라고 가정하자. 먼저 가정에서 나오는 몇 가지 분명한 결과를 적는다. 즉 \(f \in A\)라 하자. 그러면 \(A, B, A_{\{f\}}, B_{\{f\}}\)는 뇌터 adic 위상환이다. 사상 \(A \to A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\)와 \(A \to B \to B_{\{f\}}\)는 adic이고 위상적으로 유한형이다. 환 사상 \(A \to A_{\{f\}}\)와 \(B \to B_{\{f\}}\)는 각각 \(A \to A_f\)와 \(B \to B_f\)를 완비화 사상과 합성한 것이므로 평탄이다. 완비화 사상의 평탄성은 대수학의 보조정리 00MB에서 따른다. 환 \(A, B, A_{\{f\}}, B_{\{f\}}\) 각각을 \(I\)로 나눈 몫은 \(A/I\) 위에서 유한형이므로 역시 Jacobson이다 (대수학의 명제 00GB).

\(\mathfrak q' \subset B_{\{f\}}\)을 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. 보조정리 0GGL에 의해 \((B_{\{f\}})_{\mathfrak q'}\)이 \(A_{\{f\}}\) 위에서 평탄임을 보이면 충분하다. 보조정리 0GGC에 의해, \(\mathfrak q'\) 아래에 놓이는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\), \(\mathfrak p' \subset A_{\{f\}}\), \(\mathfrak p \subset A\)는 rig-닫혀 있다. 대수학의 보조정리 0GEB를 다음 그림에 적용할 것이다. \[\xymatrix{ B_\mathfrak q \ar[r] & (B_{\{f\}})_{\mathfrak q'} \\ A_\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & (A_{\{f\}})_{\mathfrak p'} \ar[u] }\] 여기서 \(M = B_\mathfrak q\)로 놓는다. 아직 확인하지 않은 유일한 가정은 \(\mathfrak p\)가 \((A_{\{f\}})_{\mathfrak p'}\)의 극대 아이디얼을 생성한다는 사실이다. 이는 보조정리 0GGF에서 따른다. 여기서 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak p'\)이 rig-닫혀 있다는 사실을 사용하여 \(f\)가 \(A/\mathfrak p\)의 단위로 감을 안다 (Jacobson 가정 없이 실패하는 유일한 단계이다). 즉 이는 \(A/\mathfrak p \to A_{\{f\}}/\mathfrak p'\)이 국소환들의 유한 포함이고 (보조정리 0GGB), \(f\)가 두 번째 환에서 단위로 감을 알려 준다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)와 \(A \to C\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 rig-평탄이고 \(A \to C\)가 adic이며 위상적으로 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(C \to B \widehat{\otimes}_A C\)는 rig-평탄이다.

증명

\(\varphi\)가 rig-평탄이라고 가정하자. \(f \in C\)를 원소라 하자. \(C_{\{f\}} \to B \widehat{\otimes}_A C_{\{f\}}\)가 소박하게 rig-평탄임을 보여야 한다. \(C\)를 \(C_{\{f\}}\)로 바꿀 수 있으므로,

\(C \to B \widehat{\otimes}_A C\)가 소박하게 rig-평탄임을 보이면 충분하다.

\(A \to C\)가 전사이거나, 더 일반적으로 \(C\)가 유한 \(A\)-가군이면, \(B \otimes_A C = B \widehat{\otimes}_A C\)이다. 실제로 완비 뇌터 환 위의 유한 가군으로서 완비이다. 대수학의 보조정리 00MA를 보라. 평탄성의 통상적인 밑변환(대수학의 보조정리 00HI)에 의해, 이 경우 \(\varphi\)의 소박한 rig-평탄성은 다음 사상의 소박한 rig-평탄성을 함의한다.

\(C \to B \times_A C\).

일반적인 경우 \(A \to C\)를 \(A \to A\{x_1, \ldots, x_n\} \to C\)로 인수분해할 수 있다. 여기서 \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\)는 제한 멱급수환이고 \(A\{x_1, \ldots, x_n\} \to C\)는 전사이다. 따라서 \(C = A\{x_1, \ldots, x_n\}\)인 경우에 다음 사상이 소박하게 rig-평탄임을 보이면 충분하다.

\(C \to B \widehat{\otimes}_A B\). \(A\{x_1, \ldots, x_n\} = A\{x_1, \ldots, x_{n - 1}\}\{x_n\}\)이므로 \(n\)에 관한 귀납법으로 다음 문단의 경우로 환원된다.

여기서 \(C = A\{x\}\)이다. \(B \widehat{\otimes}_A C = B\{x\}\)임을 주의하자. \(A\{x\} \to B\{x\}\)가 소박하게 rig-평탄임을 보여야 한다. \(\mathfrak q \subset B\{x\}\)를 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. \(B\{x\}_{\mathfrak q}\)가 \(A\{x\}\) 위에서 평탄임을 보여야 한다. \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)로 놓자. 보조정리 0GGG에 의해 \(f \in A\)를 찾을 수 있다. 이때 \(f\)는 \(B\{x\}/\mathfrak q\)에서 단위로 가고, 유도되는 \(A_{\{f\}}\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p'\)은 rig-닫혀 있다. 아래에서는 \(A_{\{f\}}\{x\} = A\{x\}_{\{f\}}\)임을 사용하며, \(B\)에 대해서도 마찬가지이다. 세부 사항은 생략한다. 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ (B\{x\})_{\mathfrak q} \ar[r] & (B_{\{f\}}\{x\})_{\mathfrak q'} \\ A\{x\} \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}}\{x\} \ar[u] }\] 왼쪽 세로 화살표가 평탄임을 보이고자 한다. 위쪽 가로 화살표는 국소환들의 국소 준동형이고 평탄이므로 충실히 평탄이다. 여기서 평탄성은 \(B_{\{f\}}\{x\}\)가 뇌터 환 \(B\{x\}\)의 국소화의 완비화라는 사실에서 따른다. 마찬가지로 아래쪽 가로 화살표는 평탄이다. 따라서 오른쪽 세로 화살표가 평탄임을 보이면 충분하다. 이는 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원한다.

여기서 \(C = A\{x\}\)이고, rig-닫힌 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\{x\}\)가 있으며 \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)도 rig-닫혀 있다고 하자. 보조정리 0GGB에 의해 중간 소 아이디얼 \(B \cap \mathfrak q\)와 \(A\{x\} \cap \mathfrak q\)도 rig-닫혀 있다. 뇌터 국소환들의 국소 준동형으로 이루어진 그림 \[\xymatrix{ (B[x])_{B[x] \cap \mathfrak q} \ar[r] & (B\{x\})_{\mathfrak q} \\ (A[x])_{A[x] \cap \mathfrak q} \ar[r] \ar[u] & (A\{x\})_{A\{x\} \cap \mathfrak q} \ar[u] }\] 을 생각하자. 보조정리 0GGH에 의해 가로 화살표들은 완비화들 사이의 동형을 정의한다. 왼쪽 세로 화살표가 평탄임은 이미 알고 있다 (\(A \to B\)가 소박하게 rig-평탄이므로 \(A[x] \to B[x]\)는 정의 아이디얼이 정의하는 닫힌 자취 밖에서 평탄이다). 따라서 대수학 심화의 보조정리 0C4G에 의해 마침내 결론을 얻는다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 가환 그림 \[\xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & A' \ar[u]_{\varphi'} }\] 을 생각하자. 모든 화살표가 adic이고 위상적으로 유한형이라고 하자. \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)가 평탄이라고 가정하자. \(I \subset A\)를 정의 아이디얼이라 하자. \(\varphi\)가 rig-평탄이고 \(A/I \to A'/IA'\)가 étale이면, \(\varphi'\)은 rig-평탄이다.

증명

\(f \in A'\)가 주어지면 다음 그림에 대해서도 보조정리의 가정들이 성립한다.

\[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')_{\{f\}} \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')_{\{f\}} \ar[u] }\] 따라서 \(\varphi'\)이 소박하게 rig-평탄임을 증명하면 충분하다.

\(\mathfrak q' \subset B'\)을 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하자. \((B')_{\mathfrak q'}\)이 \(A'\) 위에서 평탄임을 보여야 한다. 보조정리 0GGG에 의해, \(B'/\mathfrak q'\)에서 단위로 가고 유도된 \(A_{\{f\}}\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p''\)이 rig-닫히도록 하는 \(f \in A\)를 택할 수 있다. 정확히 말하면 여기서 \(\mathfrak q'' = \mathfrak q' B'_{\{f\}}\)이고 \(\mathfrak p'' = A_{\{f\}} \cap \mathfrak q''\)이다. 다음 그림을 생각하자.

\[\xymatrix{ B'_{\mathfrak q'} \ar[r] & (B'_{\{f\}})_{\mathfrak q''} \\ A \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}} \ar[u] }\]

왼쪽 세로 화살표가 평탄임을 보이고자 한다. 위쪽 가로 화살표는 국소환들의 국소 준동형이고 평탄이므로 충실히 평탄이다. 여기서 평탄성은 \(B'_{\{f\}}\)가 뇌터 환 \(B'_f\)의 국소화의 완비화라는 사실에서 따른다. 마찬가지로 아래쪽 가로 화살표는 평탄이다. 따라서 오른쪽 세로 화살표가 평탄임을 보이면 충분하다. 마지막으로 다음 그림에 대해서도 보조정리의 모든 가정이 성립한다. \[\xymatrix{ B_{\{f\}} \ar[r] & B'_{\{f\}} \\ A_{\{f\}} \ar[r] \ar[u] & A'_{\{f\}} \ar[u] }\] 이는 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원한다.

\(\mathfrak q' \subset B'\)을 rig-닫힌 소 아이디얼이라 하고, \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q'\)도 rig-닫혀 있다고 가정하자. 그러면 소 아이디얼 \(\mathfrak q = B \cap \mathfrak q'\)와 \(\mathfrak p' = A' \cap \mathfrak q'\)도 rig-닫혀 있다. 보조정리 0GGB를 보라. 대수학의 보조정리 0GEB를 다음 그림에 적용할 것이다. \[\xymatrix{ B_\mathfrak q \ar[r] & B'_{\mathfrak q'} \\ A_\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & A'_{\mathfrak p'} \ar[u] }\] 여기서 \(M = B_\mathfrak q\)로 놓는다. 아직 확인하지 않은 유일한 가정은 \(\mathfrak p\)가 \(A'_{\mathfrak p'}\)의 극대 아이디얼을 생성한다는 사실이다. 이는 보조정리 0GGI에서 따른다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 가환 그림 \[\xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & A' \ar[u]_{\varphi'} }\] 을 생각하자. 모든 화살표가 adic이고 위상적으로 유한형이라고 하자.

\(A \to A'\)가 평탄이고 \(B \to B'\)가 충실히 평탄이라고 가정하자. \(\varphi'\)이 rig-평탄이면 \(\varphi\)는 rig-평탄이다.

증명

\(f \in A\)가 주어지면 다음 그림에 대해서도 보조정리의 가정들이 성립한다.

\[\xymatrix{ B_{\{f\}} \ar[r] & (B')_{\{f\}} \\ A_{\{f\}} \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')_{\{f\}} \ar[u] }\] (충실 평탄성에 관한 조건을 확인하려면 다음을 사용한다. \(B \to B'\)가 충실히 평탄일 필요충분조건은 \(B \to B'\)가 평탄이고, 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(\Spec(B'/IB') \to \Spec(B/IB)\)가 전사인 것이다.) 따라서 \(\varphi\)가 소박하게 rig-평탄임을 증명하면 충분하다. 그런데 \(\varphi'\)은 소박하게 rig-평탄이고 \(\Spec(B') \to \Spec(B)\)는 전사임을 안다. 여기서 결과가 즉시 따른다.

마지막으로 rig-평탄성이 국소적 성질임을 보일 수 있다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-평탄이다”는 형식 공간의 주의 0ANH에서 정의한 국소적 성질이다.

증명

이 명제가 뜻하는 바를 상기하자. 먼저 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)는 대상들이 adic 뇌터 위상환이고 사상들이 연속 환 준동형인 범주이다. 다음 조건들을 만족하는 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] \(A\)와 \(B\)는 adic 뇌터 위상환이고, \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)는 étale 환 사상이며, 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\)이고, 어떤 정의 아이디얼 \(J \subset B\)에 대하여 \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\)이며, \(\varphi : A \to B\)와 \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)는 연속이라고 하자. 형식 공간의 보조정리 0ANB에 의해 \((A')^\wedge\)와 \((B')^\wedge\)는 adic 뇌터 위상환임을 주의하자. 다음을 보여야 한다.

1. \(\varphi\)가 rig-평탄이다 \(\Rightarrow \varphi'\)이 rig-평탄이다.

2. \(B \to B'\)가 충실히 평탄이면, \(\varphi'\)이 rig-평탄이다 \(\Rightarrow \varphi\)가 rig-평탄이다.

3. \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(A \to B_i\)가 rig-평탄이면 \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\)도 rig-평탄이다.

adic이고 위상적으로 유한형이라는 성질은 조건 (1), (2), (3)을 만족한다. 보조정리 0GBW를 보라. 따라서 “rig-평탄”이라는 성질에 대하여 (1), (2), (3)을 확인할 때에는 환 사상들이 모두 adic이고 위상적으로 유한형이라고 이미 가정해도 된다. 그러면 (1)과 (2)는 보조정리 0GGS와 0GGT에서 따른다. (3)의 자명한 증명은 생략한다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-평탄이다”는 형식 공간의 주의 0GBK에서 정의한 합성에 대하여 안정적이다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GGU에서 따른다. \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-평탄 사상 \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 있다고 가정하자. 보조정리 0GBZ에 의해 \(A \to C\)는 adic이고 위상적으로 유한형이다. 증명을 마치려면 모든 \(f \in A\)에 대하여 사상 \(A_{\{f\}} \to C_{\{f\}}\)가 소박하게 rig-평탄임을 보이면 된다. \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\)와 \(B_{\{f\}} \to C_{\{f\}}\)가 소박하게 rig-평탄이므로, 소박하게 rig-평탄인 사상들의 합성이 소박하게 rig-평탄임을 보이면 충분하다. 이는 대수학의 보조정리 00HC의 결과이다.

Rig-평탄 사상

이 절에서는 절 0GGK에서 수행한 작업을 이용하여 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 rig-평탄 사상을 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음 가환 그림마다 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수 공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수 공간들로 표현가능하고 étale이며, 사상 \(U \to V\)가 adic 뇌터 위상환들의 rig-평탄 사상에 대응하면 \(f\)를 rig-평탄이라고 한다.

이 조건을 원천과 목표에서 étale 국소적으로 확인할 수 있음을 증명하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 rig-평탄이다.

2. 다음 가환 그림마다 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수 공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수 공간들로 표현가능하고 étale이면, 사상 \(U \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-평탄 사상에 대응한다.

3. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\)가 존재하여, 각 \(X_{ji} \to Y_j\)가 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-평탄 사상에 대응한다.

4. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_i \to X\}\)가 존재하고, 각 \(i\)에 대하여 분해 \(X_i \to Y_i \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(Y_i\)는 아핀 형식 대수 공간이고, \(Y_i \to Y\)는 대수 공간들로 표현가능하고 étale이며, \(X_i \to Y_i\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-평탄 사상에 대응한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의 0GGX이다. (2), (3), (4)의 동치는 보조정리 0GGU에 의해 rig-평탄성이 \(\text{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표들의 국소적 성질이라는 사실과, 국소 뇌터 대수 공간들 사이의 사상에 대한 형식 공간의 보조정리 0ANG의 판본을 적용하면 따른다. 이 판본은 형식 공간의 주의 0ANI에서 언급되어 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Z \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 rig-평탄이고 \(g\)가 국소 유한형이면, 밑변환 \(X \times_Y Z \to Z\)는 rig-평탄이다.

증명

형식 공간의 주의 0GBG와 형식 공간의 절 0AQ2의 논의에 의해, 이는 보조정리 0GGR에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)와 \(g\)가 rig-평탄이면 \(g \circ f\)도 rig-평탄이다.

증명

형식 공간의 주의 0GBK에 의해, 이는 보조정리 0GGV에서 따른다.

Rig-매끄러운 준동형

이 절에서는 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 rig-매끄러운 사상을 도입하는 데 필요한 adic 뇌터 위상환들의 rig-매끄러운 준동형의 몇 가지 성질을 증명한다.

보조정리

\(A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 사상이라 하자 (형식 공간, 절 0ANA). 다음 조건들은 동치이다.

1. \(A \to B\)는 보조정리 0GBW의 동치 조건들을 만족하고, 정의 아이디얼 \(I \subset B\)가 존재하여 \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

2. \(A \to B\)는 보조정리 0GBW의 동치 조건들을 만족하고, 모든 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 대수 \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

증명

\(I\)와 \(I'\)을 \(A\)의 정의 아이디얼들이라 하자.

그러면 \(I^c \subset I'\)이고 \((I')^c \subset I\)인 정수 \(c \geq 0\)가 존재한다. 따라서 \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄러울 필요충분조건은 \(B\)가 \((A, I')\) 위에서 rig-매끄러운 것이다. 이는 정의 0GAI, 포함관계 \(I^c \subset I'\)와 \((I')^c \subset I\), 그리고 주의 0GBX에 의해 소박한 여접 복합체 \(\NL_{B/A}^\wedge\)가 \(A\)의 정의 아이디얼 선택에 무관하다는 사실에서 따른다.

정의

\(\varphi : A \to B\)를 adic 뇌터 위상환들 사이의 연속 환 준동형, 즉 \(\varphi\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. 보조정리 0GCI의 동치 조건들이 성립하면 \(\varphi\)를 rig-매끄럽다고 한다.

이는 하나의 국소적 성질을 정의한다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-매끄럽다”는 형식 공간의 주의 0ANI에서 정의한 국소적 성질이다.

증명

이 명제가 뜻하는 바를 상기하자. 먼저 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)는 대상들이 adic 뇌터 위상환이고 사상들이 연속 환 준동형인 범주이다. 다음 조건들을 만족하는 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] \(A\)와 \(B\)는 adic 뇌터 위상환이고, \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)는 étale 환 사상이며, 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\)이고, 어떤 정의 아이디얼 \(J \subset B\)에 대하여 \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\)이며, \(\varphi : A \to B\)와 \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)는 연속이라고 하자. 형식 공간의 보조정리 0ANB에 의해 \((A')^\wedge\)와 \((B')^\wedge\)는 adic 뇌터 위상환임을 주의하자. 다음을 보여야 한다.

1. \(\varphi\)가 rig-매끄럽다 \(\Rightarrow \varphi'\)이 rig-매끄럽다.

2. \(B \to B'\)가 충실히 평탄이면, \(\varphi'\)이 rig-매끄럽다 \(\Rightarrow \varphi\)가 rig-매끄럽다.

3. \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(A \to B_i\)가 rig-매끄러우면 \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\)도 rig-매끄럽다.

보조정리 0GBW의 동치 조건들은 조건 (1), (2), (3)을 만족한다. 따라서 “rig-매끄럽다”라는 성질에 대하여 (1), (2), (3)을 확인할 때에는 각 경우의 환 사상들이 보조정리 0GBW의 동치 조건들을 만족한다고 이미 가정해도 된다.

정의 아이디얼 \(I \subset A\)를 택하자. 위의 논의에 의해 그림의 각 환의 위상은 \(I\)-adic 위상이고, \(B\), \((A')^\wedge\), \((B')^\wedge\)는 \((A, I)\)에 대한 범주 (0AL4)의 대상이다. \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)가 étale이므로 복합체 \(\NL_{A'/A}\)와 \(\NL_{B'/B}\)는 영이다. 따라서 보조정리 0GAF에 의해 \(\NL_{(A')^\wedge/A}^\wedge\)와 \(\NL_{(B')^\wedge/B}^\wedge\)도 영이다. \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)에 보조정리 0ALM을 적용하면 동형 \[H^i(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] 들을 얻는다. 따라서 \(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}\)는 유사동형이다.

환 사상 \(B/I^nB \to B'/I^nB'\)는 étale이므로 국소 완전 교차이다 (대수학, 보조정리 00U9). 따라서 \(A \to B \to (B')^\wedge\)에 보조정리 0ALM과 0AQJ를 적용할 수 있고, 동형 \[H^i(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] 들을 얻는다. 그러므로 \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge\)는 유사동형이다. 이 두 관찰을 결합하면 \(D((B')^\wedge)\)에서 \[\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge \cong \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge\] 를 얻는다. 이 준비를 마쳤으므로 이제 실제 증명을 시작할 수 있다.

(1)의 증명. \(\varphi\)가 rig-매끄럽다고 가정하자. 그러면 모든 \(B\)-가군 \(N\)에 대하여 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)을 \(I^c\)가 소멸시키는 \(c \geq 0\)가 존재한다. 추가 대수학의 보조정리들 0G9G와 0G9H에 의해 이 성질은 \(B \to (B')^\wedge\)에 의한 밑변환에서 보존된다. 따라서 모든 \((B')^\wedge\)-가군 \(N\)에 대하여 \(\Ext^1_{(B')^\wedge}(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge, N)\)은 \(I^c(A')^\wedge\)에 의해 소멸된다. 이는 \(\varphi'\)이 rig-매끄러움을 말해 준다. 이로써 (1)을 증명했다.

(2)를 증명하기 위해 \(B \to B'\)가 충실히 평탄이고 \(\varphi'\)이 rig-매끄럽다고 가정하자. 그러면 모든 \((B')^\wedge\)-가군 \(N'\)에 대하여 \(\Ext^1_{(B')^\wedge}(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge, N')\)을 \(I^c(B')^\wedge\)가 소멸시키는 \(c \geq 0\)가 존재한다. 합성 \(B \to B' \to (B')^\wedge\)는 평탄하다 (대수학, 보조정리 00MB). 따라서 임의의 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 추가 대수학의 보조정리 0A6A의 (3)에 의해 (사소한 세부사항은 생략한다) \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N) \otimes_B (B')^\wedge = \Ext^1_{(B')^\wedge}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge, N \otimes_B (B')^\wedge)\] 이다. 따라서 이 가군은 \(I^c\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. 그러나 \(B \to B'\)가 충실히 평탄이라는 가정에 의해 \(B \to (B')^\wedge\)는 실제로 충실히 평탄하다 (형식 공간, 보조정리 0AN9). 그러므로 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\)은 \(I^c\)에 의해 소멸된다. 따라서 \(\varphi\)는 rig-매끄럽다. 이로써 (2)를 증명했다.

(3)을 증명하기 위해 \(B = \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\)로 놓으면, \(B\)-가군들의 복합체로 본 \(\NL_{B/A}^\wedge\)는 복합체들 \(\NL_{B_i/A}^\wedge\)의 직합임을 관찰하면 된다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-매끄럽다”와 \(Q(\varphi)\)=“\(\varphi\)는 adic이다”를 생각하자. 그러면 \(P\)는 형식 공간의 주의 0GBG에서 정의한 바와 같이 \(Q\)에 의한 밑변환에서 안정적이다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GCI에서 따른다. 이를 증명하기 위해 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 사상 \(B \to A\)와 \(B \to C\)가 있고, \(B \to A\)가 rig-매끄러우며 \(B \to C\)가 adic이라고 가정하자 (형식 공간, 정의 0GBR). 그러면 \(A\)와 \(C\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이 되도록 정의 아이디얼 \(I \subset B\)를 택할 수 있다. 이 상황에서 보조정리 0GAM에 의해 \(A \widehat{\otimes}_B C\)가 \((C, IC)\) 위에서 rig-매끄러움이 즉시 따른다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-매끄럽다”는 형식 공간의 주의 0GBK에서 정의한 합성에 대하여 안정적이다.

증명

독자에게 이어지는 증명을 읽지 말고 직접 증명을 찾아보기를 강력히 권한다. 명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GCI에서 따른다. 이를 증명하기 위해 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-매끄러운 사상 \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 있다고 가정하자. 그러면 \(C\)와 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이 되도록 정의 아이디얼 \(I \subset A\)를 택할 수 있다. 보조정리 0ALM에 의해 다음 완전열을 얻는다. \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)\)와 \(H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge)\)는 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸됨을 관찰하자. 이는 보조정리 0GAJ의 (2)를 추가 대수학의 보조정리들 0G9G와 0G9H와 결합하면 따른다 (\(B \to C\)에 의한 밑변환을 다루기 위해서이다). 따라서 \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\)는 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. 다음으로, 보조정리 0GAJ의 (2)에 있는 rig-매끄러운 대수의 특성화와, 이것이 다시 참조하는 추가 대수학의 보조정리 0G9K의 (5)에 의해, \(V(f_1, \ldots, f_s) = V(IB)\)이고 \(V(g_1, \ldots, g_t) = V(IC)\)이면서 \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)_{f_i}\)가 유한 사영 \(B_{f_i}\)-가군이고 \(H^0(\NL_{C/B}^\wedge)_{g_j}\)가 유한 사영 \(C_{g_j}\)-가군이 되도록 \(f_1, \ldots, f_s \in IB\)와 \(g_1, \ldots, g_t \in IC\)를 택할 수 있다. 차수 \(-1\)의 코호몰로지들이 \(f_ig_j\)에서 국소화하면 사라지므로 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to (C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge))_{f_ig_j} \to H^0(\NL_{C/A}^\wedge)_{f_ig_j} \to H^0(\NL_{C/B}^\wedge)_{f_ig_j} \to 0\] 따라서 \(H^0(\NL_{C/A}^\wedge)_{f_ig_j}\)는 그와 같은 유한 사영 가군들의 확장이므로 유한 사영 \(C_{f_ig_j}\)-가군이다.

그러므로 보조정리 0GAJ의 (2)의 판정법과, 이를 통한 추가 대수학의 보조정리 0G9K의 (4)의 판정법에 의해 \(C\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-매끄럽다.

다음 보조정리는 rig-매끄러운 준동형이 “rig-syntomic” 또는 “rig-평탄\(+\)rig-lci”라는 뜻으로 해석할 수 있다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. \(\varphi\)가 rig-매끄러우면 \(\varphi\)는 rig-평탄이고, 임의의 표시 \(B = A\{x_1, \ldots, x_n\}/J\)와 정의 아이디얼을 포함하지 않는 소 아이디얼 \(J \subset \mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\)에 대하여 아이디얼 \(J_\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\)는 정칙열로 생성된다.

증명

\(f \in A\)라 하자. \(\varphi\)가 rig-평탄임을 증명하려면 \(\varphi_{\{f\}} : A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\)가 소박하게 rig-평탄임을 보여야 한다. 이제 \(\varphi_{\{f\}}\)를 \(\varphi\)의 밑변환으로 보고 보조정리 0GCL를 사용하거나, rig-매끄러움이 국소적 성질이라는 사실 (보조정리 0GCK)을 사용하면 \(\varphi_{\{f\}}\)가 rig-매끄러움을 알 수 있다. 따라서 \(\varphi\)가 소박하게 rig-평탄임을 보이면 충분하다.

표시 \(B = A\{x_1, \ldots, x_n\}/J\)를 택하자. 보조정리의 두 번째 부분을 확인하려면 \(J \subset \mathfrak q\)이고 정의 아이디얼을 포함하지 않는다는 성질에 관해 극대인 \(\mathfrak q\)에 대하여 \(J_\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\)가 정칙열로 생성됨을 확인하면 충분하다. 대수학의 보조정리 061L를 보라 (\(J\)를 생성하는 정칙열이 존재하는 \(V(J)\)의 소 아이디얼들의 집합이 열림임을 보여 준다).

달리 말하면, \(\mathfrak q\)가 \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\)에서 rig-닫혀 있다고 가정해도 된다. 또한 \(B\)가 소박하게 rig-평탄임을 확인하려면 대응하는 국소화 \(B_\mathfrak q\)가 \(A\) 위에서 평탄임을 확인하면 충분하다.

\(J \subset \mathfrak q\)인 rig-닫힌 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\)를 택하자. 보조정리 0GGG에 의해 \(A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q\)에서 단위로 가는 \(f \in A\)를 택하여, \(A_{\{f\}}\)에서 유도되는 소 아이디얼 \(\mathfrak p'\)이 rig-닫히게 할 수 있다. 아래에서는 \(A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\} = A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\{f\}}\)를 사용할 것이다. 세부사항은 생략한다. 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q} / J_\mathfrak q \ar[r] & A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}/ J A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'} \\ A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q} \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'} \ar[u] \\ A \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}} \ar[u] }\] 가운데 가로 화살표는 국소환들의 국소 준동형이고 평탄이므로 충실히 평탄이다. 여기서 평탄성은 \(A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}\)가 뇌터 환 \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\)의 한 국소화의 완비화라는 사실에서 따른다. 마찬가지로 아래쪽 가로 화살표도 평탄이다. 따라서 \(J_\mathfrak q\)가 정칙열로 생성되고 \(A \to A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q} / J_\mathfrak q\)가 평탄임을 보이려면, \(J A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}\)와 \(A_{\{f\}} \to A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}/ J A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}\)에 대해 같은 것들을 증명하면 충분하다. 정칙열에 관한 명제는 대수학의 보조정리 00LM 또는 추가 대수학의 보조정리 068N를 보라. 마지막으로 \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\)가 rig-매끄러움은 이미 보았다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

\(J \subset \mathfrak q\)인 rig-닫힌 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\)를 택하고, 더 나아가 \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)도 rig-닫혀 있다고 하자. 보조정리 0GAJ에서 주어진 rig-매끄러운 대수의 특성화에 의해, 변수 \(x_1, \ldots, x_n\)의 순서를 바꾸면 다음을 만족하는 \(m \geq 0\)와 \(f_1, \ldots, f_m \in J\)를 찾을 수 있다.

1. \(J_\mathfrak q\)는 \(f_1, \ldots, f_m\)으로 생성된다.

2. \(\det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f_j/ \partial x_i)\)는 \(A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\)에서 단위로 간다.

보조정리 0GGJ에 의해 올환 \[F = A\{x_1, \ldots, x_n\} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\] 은 정칙이다. \(A\)-미분 \(\partial / \partial x_i\)는 미분 \(D_i : F \to F\)로 (유일하게) 연장됨을 관찰하자. 추가 대수학의 보조정리 0GEE에 의해 \(f_1, \ldots, f_m\)은 \(F_\mathfrak q\)에서 정칙열로 간다. \(A \to A\{x_1, \ldots, x_n\}\)의 평탄성과 대수학의 보조정리 00MG에 의해, 이는 \(f_1, \ldots, f_m\)이 \(A\{x_1, \ldots, x_m\}_\mathfrak q\)에서 정칙열로 가고 이 원소들에 의한 몫이 \(A\) 위에서 평탄임을 보여 준다.

이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(A \to B \to C\)를 adic이고 위상적으로 유한형인 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표들이라 하자. \(B \to C\)가 rig-매끄러우면 사상 \[H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \to H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\] 의 핵은 정의 아이디얼에 의해 소멸된다 (보조정리 0ALM를 보라).

증명

\(\overline{\mathfrak q} \subset C\)를 정의 아이디얼을 포함하지 않는 소 아이디얼이라 하자. 문제의 가군들이 유한이므로 다음 사상이 단사임을 보이면 충분하다. \[H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)_{\overline{\mathfrak q}} \to H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)_{\overline{\mathfrak q}}\] 보조정리 0ALM의 증명에서처럼 표시 \(B = A\{x_1, \ldots, x_r\}\allowbreak/J\), \(C = B\{y_1, \ldots, y_s\}\allowbreak/J'\), 그리고 \(C = A\{x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\}\allowbreak/K\)를 택하자. 보조정리 0ALM의 증명에 있는 그림을 보면, \(\overline{\mathfrak q}\)에 대응하는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\}\)에서 국소화한 뒤 \(J/J^2 \otimes_B C \to K/K^2\)가 단사임을 보이면 충분하다. 추가 대수학의 보조정리 07D4와 그 증명을 비교하라. 이는 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 뒤 \(J/KJ \to K/K^2\)가 단사임을 묻는 것과 같다. 동치로, \(J_\mathfrak q \cap K^2_\mathfrak q = (KJ)_\mathfrak q\)임을 보여야 한다. 보조정리 0GH1에 의해 \((K/J)_\mathfrak q = J'_\mathfrak q\)는 정칙열로 생성된다. 따라서 원하는 교집합 성질은 추가 대수학의 보조정리 07CX에서 따른다 (정칙열로 생성된 아이디얼이 \(H_1\)-정칙이라는 사실은 추가 대수학의 절 07CU을 보라).

Rig-매끄러운 사상

이 절에서는 절 0GCH에서 수행한 작업을 이용하여 국소 뇌터 대수 공간들의 rig-매끄러운 사상을 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음 가환 그림마다 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수 공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수 공간들로 표현가능하고 étale이며, 사상 \(U \to V\)가 adic 뇌터 위상환들의 rig-매끄러운 사상에 대응하면 \(f\)를 rig-매끄럽다고 한다.

이 조건을 원천과 목표에서 étale 국소적으로 확인할 수 있음을 증명하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 rig-매끄럽다.

2. 다음 가환 그림마다 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수 공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수 공간들로 표현가능하고 étale이면, 사상 \(U \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-매끄러운 사상에 대응한다.

3. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\)가 존재하여, 각 \(X_{ji} \to Y_j\)가 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-매끄러운 사상에 대응한다.

4. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_i \to X\}\)가 존재하고, 각 \(i\)에 대하여 분해 \(X_i \to Y_i \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(Y_i\)는 아핀 형식 대수 공간이고, \(Y_i \to Y\)는 대수 공간들로 표현가능하고 étale이며, \(X_i \to Y_i\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-매끄러운 사상에 대응한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의 0GCP이다. (2), (3), (4)의 동치는 보조정리 0GCK에 의해 rig-매끄러움이 \(\text{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표들의 국소적 성질이라는 사실과, 국소 뇌터 대수 공간들 사이의 사상에 대한 형식 공간의 보조정리 0ANG의 판본을 적용하면 따른다. 이 판본은 형식 공간의 주의 0ANI에서 언급되어 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Z \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 rig-매끄럽고 \(g\)가 adic이면, 밑변환 \(X \times_Y Z \to Z\)는 rig-매끄럽다.

증명

형식 공간의 주의 0GBG와 형식 공간의 절 0AQ2의 논의에 의해, 이는 보조정리 0GCL에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)와 \(g\)가 rig-매끄러우면 \(g \circ f\)도 rig-매끄럽다.

증명

형식 공간의 주의 0GBK에 의해, 이는 보조정리 0GCM에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 rig-매끄러우면 \(f\)는 rig-평탄이다.

증명

보조정리 0GH1와 정의들에서 즉시 따른다.

Rig-étale 준동형

이 절에서는 국소 뇌터 대수 공간들의 rig-étale 사상을 도입하는 데 필요한 adic 뇌터 위상환들의 rig-étale 준동형의 몇 가지 성질을 증명한다.

보조정리

\(A \to B\)를 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 사상이라 하자 (형식 공간, 절 0ANA). 다음 조건들은 동치이다.

1. \(A \to B\)는 보조정리 0GBW의 동치 조건들을 만족하고, 정의 아이디얼 \(I \subset B\)가 존재하여 \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이다.

2. \(A \to B\)는 보조정리 0GBW의 동치 조건들을 만족하고, 모든 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 대수 \(B\)는 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이다.

증명

\(I\)와 \(I'\)을 \(A\)의 정의 아이디얼들이라 하자.

그러면 \(I^c \subset I'\)이고 \((I')^c \subset I\)인 정수 \(c \geq 0\)가 존재한다. 따라서 \(B\)가 \((A, I)\) 위에서 rig-étale일 필요충분조건은 \(B\)가 \((A, I')\) 위에서 rig-étale인 것이다. 이는 정의 0GAY, 포함관계 \(I^c \subset I'\)와 \((I')^c \subset I\), 그리고 주의 0GBX에 의해 소박한 여접 복합체 \(\NL_{B/A}^\wedge\)가 \(A\)의 정의 아이디얼 선택에 무관하다는 사실에서 따른다.

정의

\(\varphi : A \to B\)를 adic 뇌터 위상환들 사이의 연속 환 준동형, 즉 \(\varphi\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표라 하자. 보조정리 0GCU의 동치 조건들이 성립하면 \(\varphi\)를 rig-étale이라고 한다.

이는 하나의 국소적 성질을 정의한다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-étale이다”는 형식 공간의 주의 0ANI에서 정의한 국소적 성질이다.

증명

이 증명은 보조정리 0GCK의 증명과 완전히 같다. 이 명제가 뜻하는 바를 상기하자. 먼저 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\)는 대상들이 adic 뇌터 위상환이고 사상들이 연속 환 준동형인 범주이다. 다음 조건들을 만족하는 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] \(A\)와 \(B\)는 adic 뇌터 위상환이고, \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)는 étale 환 사상이며, 어떤 정의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\)이고, 어떤 정의 아이디얼 \(J \subset B\)에 대하여 \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\)이며, \(\varphi : A \to B\)와 \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)는 연속이라고 하자. 형식 공간의 보조정리 0ANB에 의해 \((A')^\wedge\)와 \((B')^\wedge\)는 adic 뇌터 위상환임을 주의하자. 다음을 보여야 한다.

1. \(\varphi\)가 rig-étale이다 \(\Rightarrow \varphi'\)이 rig-étale이다.

2. \(B \to B'\)가 충실히 평탄이면, \(\varphi'\)이 rig-étale이다 \(\Rightarrow \varphi\)가 rig-étale이다.

3. \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(A \to B_i\)가 rig-étale이면 \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\)도 rig-étale이다.

보조정리 0GBW의 동치 조건들은 조건 (1), (2), (3)을 만족한다. 따라서 “rig-étale”이라는 성질에 대하여 (1), (2), (3)을 확인할 때에는 각 경우의 환 사상들이 보조정리 0GBW의 동치 조건들을 만족한다고 이미 가정해도 된다.

정의 아이디얼 \(I \subset A\)를 택하자. 위의 논의에 의해 그림의 각 환의 위상은 \(I\)-adic 위상이고, \(B\), \((A')^\wedge\), \((B')^\wedge\)는 \((A, I)\)에 대한 범주 (0AL4)의 대상이다. \(A \to A'\)와 \(B \to B'\)가 étale이므로 복합체 \(\NL_{A'/A}\)와 \(\NL_{B'/B}\)는 영이다. 따라서 보조정리 0GAF에 의해 \(\NL_{(A')^\wedge/A}^\wedge\)와 \(\NL_{(B')^\wedge/B}^\wedge\)도 영이다. \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\)에 보조정리 0ALM을 적용하면 동형 \[H^i(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] 들을 얻는다. 따라서 \(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}\)는 유사동형이다.

환 사상 \(B/I^nB \to B'/I^nB'\)는 étale이므로 국소 완전 교차이다 (대수학, 보조정리 00U9). 따라서 \(A \to B \to (B')^\wedge\)에 보조정리 0ALM과 0AQJ를 적용할 수 있고, 동형 \[H^i(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] 들을 얻는다. 그러므로 \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge\)는 유사동형이다. 이 두 관찰을 결합하면 \(D((B')^\wedge)\)에서 \[\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge \cong \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge\] 를 얻는다. 이 준비를 마쳤으므로 이제 실제 증명을 시작할 수 있다.

(1)의 증명. \(\varphi\)가 rig-étale이라고 가정하자. 그러면 \(a \in I^c\)에 의한 곱셈이 \(D(B)\)에서 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서 영이 되는 \(c \geq 0\)가 존재한다. 이 성질은 \(B \to (B')^\wedge\)에 의한 밑변환에서 보존된다. 추가 대수학의 보조정리 0G9G를 보라. 위의 동형에 의해 \(\varphi'\)은 rig-étale이다. 이로써 (1)을 증명했다.

(2)를 증명하기 위해 \(B \to B'\)가 충실히 평탄이고 \(\varphi'\)이 rig-étale이라고 가정하자. 그러면 \(a \in I^c\)에 의한 곱셈이 \(D((B')^\wedge)\)에서 \(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge\) 위에서 영이 되는 \(c \geq 0\)가 존재한다. 위의 동형에 의해 \(a^c\)는 \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge\)의 코호몰로지 가군들을 소멸시킨다.

\(B \to B'\)가 충실히 평탄이라는 가정과 형식 공간의 보조정리 0AN9에 의해 합성 \(B \to (B')^\wedge\)는 충실히 평탄이다. 따라서 \(\NL_{B/A}^\wedge\)의 코호몰로지 가군들은 \(I^c\)에 의해 소멸된다. 보조정리 0AJU에 의해 \(\varphi\)는 rig-étale이다. 이로써 (2)를 증명했다.

(3)을 증명하기 위해 \(B = \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\)로 놓으면, \(B\)-가군들의 복합체로 본 \(\NL_{B/A}^\wedge\)는 복합체들 \(\NL_{B_i/A}^\wedge\)의 직합임을 관찰하면 된다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-étale이다”와 \(Q(\varphi)\)=“\(\varphi\)는 adic이다”를 생각하자. 그러면 \(P\)는 형식 공간의 주의 0GBG에서 정의한 바와 같이 \(Q\)에 의한 밑변환에서 안정적이다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GCU에서 따른다. 이를 증명하기 위해 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 사상 \(B \to A\)와 \(B \to C\)가 있고, \(B \to A\)가 rig-étale이며 \(B \to C\)가 adic이라고 가정하자 (형식 공간, 정의 0GBR). 그러면 \(A\)와 \(C\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이 되도록 정의 아이디얼 \(I \subset B\)를 택할 수 있다. 이 상황에서 보조정리 0GB2에 의해 \(A \widehat{\otimes}_B C\)가 \((C, IC)\) 위에서 rig-étale임이 즉시 따른다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-étale이다”는 형식 공간의 주의 0GBK에서 정의한 합성에 대하여 안정적이다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GCU에서 따른다. 이를 증명하기 위해 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-étale 사상 \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 있다고 가정하자. 그러면 \(C\)와 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이 되도록 정의 아이디얼 \(I \subset A\)를 택할 수 있다. 보조정리 0ALM에 의해 다음 완전열을 얻는다. \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] 모든 \(a \in I\)에 대하여 \(a^c\)에 의한 곱셈이 \(D(B)\)에서 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서, 그리고 \(D(C)\)에서 \(\NL_{C/B}^\wedge\) 위에서 영이 되는 \(c \geq 0\)가 존재한다. 그러면 물론 \(a^c\)에 의한 곱셈은 \(D(C)\)에서 \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C\) 위에서도 영이다. 따라서 \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \otimes_A C\),

\(H^0(\NL_{C/B}^\wedge)\), \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)\), 그리고 \(H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge)\)는 \(a^c\)에 의해 소멸된다. 완전열에서 \(a^{2c}\)에 의한 곱셈이 \(H^0(\NL_{C/A}^\wedge)\)와 \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\) 위에서 영임을 얻는다. 보조정리 0AJU에 의해 \(C\)는 원하는 대로 \((A, I)\) 위에서 rig-étale이다.

보조정리

\(\textit{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표에 관한 성질 \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\)는 rig-étale이다”는 형식 공간의 주의 0GBP에서 정의한 소거 성질을 가진다.

증명

명제가 의미를 가짐은 보조정리 0GCU에서 따른다. 이를 증명하기 위해 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 사상 \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 있고, \(A \to C\)와 \(A \to B\)가 rig-étale이라고 가정하자. \(B \to C\)가 rig-étale임을 보여야 한다. 그러면 \(C\)와 \(B\)의 위상이 \(I\)-adic 위상이 되도록 정의 아이디얼 \(I \subset A\)를 택할 수 있다. 보조정리 0ALM에 의해 다음 완전열을 얻는다. \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] 모든 \(a \in I\)에 대하여 \(a^c\)에 의한 곱셈이 \(D(B)\)에서 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서, 그리고 \(D(C)\)에서 \(\NL_{C/A}^\wedge\) 위에서 영이 되는 \(c \geq 0\)가 존재한다. 따라서 \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \otimes_A C\),

\(H^0(\NL_{C/A}^\wedge)\), 그리고 \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\)는 \(a^c\)에 의해 소멸된다. 완전열에서 \(a^{2c}\)에 의한 곱셈이 \(H^0(\NL_{C/B}^\wedge)\)와 \(H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge)\) 위에서 영임을 얻는다. 보조정리 0AJU에 의해 \(C\)는 원하는 대로 \((B, IB)\) 위에서 rig-étale이다.

Rig-étale 사상

이 절에서는 절 0GCT에서 수행한 작업을 이용하여 국소 뇌터 대수 공간들의 rig-étale 사상을 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음 가환 그림마다 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수 공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수 공간들로 표현가능하고 étale이며, 사상 \(U \to V\)가 adic 뇌터 위상환들의 rig-étale 사상에 대응하면 \(f\)를 rig-étale이라고 한다.

이 조건을 원천과 목표에서 étale 국소적으로 확인할 수 있음을 증명하자.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 rig-étale이다.

2. 다음 가환 그림마다 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] \(U\)와 \(V\)가 아핀 형식 대수 공간이고, \(U \to X\)와 \(V \to Y\)가 대수 공간들로 표현가능하고 étale이면, 사상 \(U \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-étale 사상에 대응한다.

3. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\)가 존재하여, 각 \(X_{ji} \to Y_j\)가 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-étale 사상에 대응한다.

4. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{X_i \to X\}\)가 존재하고, 각 \(i\)에 대하여 분해 \(X_i \to Y_i \to Y\)가 존재한다. 여기서 \(Y_i\)는 아핀 형식 대수 공간이고, \(Y_i \to Y\)는 대수 공간들로 표현가능하고 étale이며, \(X_i \to Y_i\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 rig-étale 사상에 대응한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의 0AQM이다. (2), (3), (4)의 동치는 보조정리 0AQL에 의해 rig-étale 성질이 \(\text{WAdm}^{Noeth}\)의 화살표들의 국소적 성질이라는 사실과, 국소 뇌터 대수 공간들 사이의 사상에 대한 형식 공간의 보조정리 0ANG의 판본을 적용하면 따른다. 이 판본은 형식 공간의 주의 0ANI에서 언급되어 있다.

물론 rig-étale 사상은 국소 유한형이다.

보조정리

국소 뇌터 형식 대수 공간들의 rig-étale 사상은 국소 유한형이다.

증명

보조정리 0AQL의 성질 \(P\)는 형식 공간의 보조정리 0ANU의 동치 조건 (a), (b), (c), (d)를 함의한다. 따라서 이는 형식 공간의 보조정리 0ANW에서 따른다.

보조정리

국소 뇌터 형식 대수 공간들의 rig-étale 사상은 rig-매끄럽다.

증명

정의들과 보조정리 0GB1에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Z \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)가 rig-étale이고 \(g\)가 adic이면, 밑변환 \(X \times_Y Z \to Z\)는 rig-étale이다.

증명

형식 공간의 주의 0GBG와 형식 공간의 절 0AQ2의 논의에 의해, 이는 보조정리 0GCW에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(f\)와 \(g\)가 rig-étale이면 \(g \circ f\)도 rig-étale이다.

증명

형식 공간의 주의 0GBK에 의해, 이는 보조정리 0GCX에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자.

\(g \circ f\)와 \(g\)가 rig-étale이면 \(f\)도 rig-étale이다.

증명

형식 공간의 주의 0GBP에 의해, 이는 보조정리 0GCY에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(g \circ f\)가 rig-étale이고 \(g\)가 adic 단사상이면, \(f\)는 rig-étale이다.

증명

보조정리 0GD1과 \(f\)가 \(g\)에 의한 \(g \circ f\)의 밑변환이라는 사실을 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 형식 대수 공간들의 사상이라 하자.

\(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 닫힌 몰입이라고 가정하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 rig-매끄럽다.

2. \(f\)는 rig-étale이다.

3. 모든 아핀 형식 대수 공간 \(V\)와, 대수 공간들로 표현가능하고 étale인 모든 사상 \(V \to Y\)에 대하여, 사상 \(X \times_Y V \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 전사 사상 \(B \to A\)에 대응하고, 그 핵 \(J\)는 다음 성질을 가진다. \(B\)의 어떤 정의 아이디얼 \(I\)에 대하여 \(I(J/J^2) = 0\)이다.

증명

(2)에서와 같은 \(V\)와 \(V \to Y\)가 주어졌다고 하자.

\(f\)에 어떤 추가 가정도 하지 않더라도 형식 공간의 보조정리 0AQI에 의해 사상 \(X \times_Y V \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 전사 사상 \(B \to A\)에 대응함을 알 수 있다.

보조정리 0GD0에 의해 (2) \(\Rightarrow\) (1)이다.

(3) \(\Rightarrow\) (2)의 증명. (3)을 가정하자. 보조정리 0GCZ에 의해, (3)에 나타나는 환 사상 \(B \to A\)가 정의 0GCV의 의미에서 rig-étale임을 보이면 충분하다. \(I\)를 (3)에서와 같이 택하자. \((B, I)\) 위 \(A\)의 소박한 여접 복합체 \(\NL_{A/B}^\wedge\)는 \(J/J^2\)를 차수 \(-1\)에 놓아 얻는 \(A\)-가군들의 복합체이다. 따라서 정의 0GAY에 의해 \(A\)는 \((B, I)\) 위에서 rig-étale이다.

(1)을 가정하고, \(V\)와 \(B \to A\)를 (3)에서와 같이 택하자. 정의 0GCP에 의해 \(B \to A\)는 rig-매끄럽다. 임의의 정의 아이디얼 \(I \subset B\)를 택하자. 그러면 \(A\)는 \((B, I)\) 위에서 rig-매끄럽다. 위와 같이 복합체 \(\NL_{A/B}^\wedge\)는 \(J/J^2\)를 차수 \(-1\)에 놓아 주어진다. 따라서 보조정리 0GAJ에 의해 어떤 \(n \geq 1\)에 대하여 \(J/J^2\)는 거듭제곱 \(I^n\)에 의해 소멸된다. \(B\)가 adic이므로 \(I^n\)은 \(B\)의 정의 아이디얼이다. 증명이 끝났다.

Rig-전사 사상

국소 뇌터 형식 대수 공간들 사이의 국소 유한형 사상에는 [ArtinII]에서 빌려온 정의를 사용할 수 있다. 더 일반적인 경우에 어떻게 해야 하는지에 관한 논의는 주석 0AQZ을 보라.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 실선 화살표가 주어진 모든 도식 \[\xymatrix{ \text{Spf}(R') \ar@{..>}[r] \ar@{..>}[d] & X \ar[d]^f \\ \text{Spf}(R) \ar[r]^-p & Y }\] 에서 \(R\)이 완비 이산 값매김환이고 \(p\)가 adic 사상일 때, 완비 이산 값매김환의 확대 \(R \subset R'\)와 위 도식을 가환이 되게 하는 사상 \(\text{Spf}(R') \to X\)가 존재하면 \(f\)를 rig-전사라고 한다.

아래 보조정리들에서 이 개념이 국소 뇌터 형식 대수 공간과 국소 유한형 사상의 맥락에서 합당하게 거동함을 볼 것이다. 다음 주석에서는 이 정의를 더 넓은 부류의 형식 대수 공간 사상으로 수정하는 방법들을 논의한다.

주

정의 0AQQ에서 정식화한 조건은 국소 adic* 형식 대수 공간들의 유한형 사상에 대해서조차 적절하지 않다. 예를 들어 \(A = (\bigcup_{n \geq 1} k[t^{1/n}])^\wedge\)이고 완비화가 \(t\)-진 완비화라고 하자. 그러면 \(R\)이 완비 이산 값매김환인 adic 사상 \(\text{Spf}(R) \to \text{Spf}(A)\)는 존재하지 않는다. 따라서 모든 사상 \(X \to \text{Spf}(A)\)가 rig-전사가 된다. 그러나 \(A\)가 정역이고 \(t \in A\)가 영이 아니므로, \(A\)가 적어도 하나의 “rig-점”을 가진다고 생각하고 싶으며 \(X = \emptyset\)을 허용하고 싶지 않다. 이 특별한 경우를 다루려면 adic 사상 \[\text{Spf}(R) \longrightarrow Y\] 을 생각할 수 있다. 여기서 \(R\)은 주 아이디얼 \(J\)에 관해 완비인 값매김환이고 그 근기는 \(\mathfrak m_R = \sqrt{J}\)이다. 이 경우 \(R\)의 값군은 \((\mathbf{R}, +)\)에 매장될 수 있고, \(Y\)에 수반되는 해석 공간을 정의할 때 Berkovich가 사용한 관점을 얻는다. [Berkovich]를 보라. 또 다른 접근법은 Huber가 주창했다. 그의 이론에서는 \(\Spec(R/J)\)가 한원소 집합이라는 가정을 버린다. [Huber-continuous-valuations]를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(X\), \(Y\), \(Z\)가 국소 뇌터이고

\(f\)와 \(g\)가 국소 유한형이라고 가정하자. \(f\)와 \(g\)가 rig-전사이면 \(g \circ f\)도 rig-전사이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다(그리고 형식 공간의 보조정리 0AQ4를 사용한다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(Z \to Y\)를 \(S\) 위의 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(X\), \(Y\), \(Z\)가 국소 뇌터이고

\(f\)와 \(g\)가 국소 유한형이라고 가정하자. \(f\)가 rig-전사이면 밑변환 \(Z \times_Y X \to Z\)도 rig-전사이다.

증명

정의에서 곧바로 따른다(그리고 형식 공간의 보조정리 0AQ8와 0AQ5를 사용한다).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 국소 유한형 사상이라 하자. \(g \circ f\)가 rig-전사이고 \(g\)가 단사상이면 \(f\)는 rig-전사이다.

증명

보조정리 0AQS와 \(f\)가 \(g\)에 의한 \(g \circ f\)의 밑변환이라는 사실을 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(X\), \(Y\), \(Z\)가 국소 뇌터이고

\(f\)와 \(g\)가 국소 유한형이라고 가정하자. \(g \circ f : X \to Z\)가 rig-전사이면 \(g : Y \to Z\)도 rig-전사이다.

증명

정의에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수 공간으로 표현 가능하고 étale이며 전사인 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)는 rig-전사이다.

증명

\(p : \text{Spf}(R) \to Y\)를 adic 사상이라 하자. 여기서 \(R\)은 완비 이산 값매김환이다. \(Z = \text{Spf}(R) \times_Y X\)라 두자. 그러면 \(Z \to \text{Spf}(R)\)은 대수 공간으로 표현 가능하고 étale이며 전사이다. 따라서 \(Z\)는 공집합이 아니다. 공집합이 아닌 아핀 형식 대수 공간 \(V\)와 étale 사상 \(V \to Z\)를 택하라(우리의 정의에 의해 가능하다). 그러면 \(V \to \text{Spf}(R)\)은 \(R \to A\)가 étale 환 사상인 \(R \to A^\wedge\)에 대응한다. 형식 공간의 보조정리 0AN8을 보라. \(A^\wedge \not = 0\)이므로 (\(V \not = \emptyset\)이기 때문이다) \(\mathfrak m_R\) 위에 놓이는 \(A\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 찾을 수 있다. 그러면 \(A_\mathfrak m\)은 이산 값매김환이다(대수학 심화의 보조정리 0AP2). 따라서 \(R' = A_\mathfrak m^\wedge\)은 완비 이산 값매김환이다 (대수학 심화의 보조정리 0AP1). 형식 공간의 보조정리

0AN0를 적용하면 원하는 사상 \(\text{Spf}(R') \to V \to Z \to X\)를 얻는다.

위 보조정리들의 요지는 \(f : X \to Y\)가 rig-전사인지 여부를 \(Y\) 위에서 étale 국소적으로 검사할 수 있다는 것이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 국소 유한형인 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(\{g_i : Y_i \to Y\}\)를 대수 공간으로 표현 가능하고 étale이며 \(\coprod g_i\)가 전사인 형식 대수 공간 사상들의 족이라 하자. 그러면 \(f\)가 rig-전사일 필요충분조건은 각각의 \(f_i : X \times_Y Y_i \to Y_i\)가 rig-전사인 것이다.

증명

실제로 \(f\)가 rig-전사이면 모든 밑변환도 그러하다 (보조정리 0AQS). 반대로 모든 \(f_i\)가 rig-전사이면 \(\coprod f_i : \coprod X \times_Y Y_i \to \coprod Y_i\)도 rig-전사이다. 보조정리 0AQU에 의해 사상 \(\coprod g_i : \coprod Y_i \to Y\)는 rig-전사이다. 따라서 \(\coprod X \times_Y Y_i \to Y\)는 rig-전사이다 (보조정리 0AQR). 이 사상은 \(X \to Y\)를 통하여 인수분해되므로 보조정리 0AQT에 의해 \(X \to Y\)는 rig-전사이다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(B\)를 \(I\)-진 완비 \(A\)-대수라 하자. 모든 \(n\)에 대해 \(A/I^n \to B/I^nB\)가 유한형이고 평탄하며, \(n = 1\)일 때 충실히 평탄하면 \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\)는 rig-전사이다.

증명

형식 스펙트럼들 사이의 사상은 대응하는 위상환들 사이의 연속 사상으로 주어진다는 사실을 아래에서 더 언급하지 않고 사용할 것이다. 형식 공간의 보조정리 0AN0를 보라.

\(\varphi : A \to R\)을 완비 이산 값매김환 \(A\)로 가는 연속 사상이라 하자. 이는 \(\varphi(I) \subset \mathfrak m_R\)을 함의한다. 한편 \(\varphi\)가 adic 사상에 대응하는 경우에만 올림

\(\varphi' : B' \to R'\)을 만들면 되므로 \(\varphi(I) \not = 0\)이라고 가정해도 된다. 따라서 예를 들어 주석 0AL5를 사용하여 밑변환 \(C = B \widehat{\otimes}_A R\)을 생각할 수 있다. 그러면 \(C\)는 \(\mathfrak m_R\)-진 완비 \(R\)-대수이고, \(C/\mathfrak m_R^n C\)는 \(R/\mathfrak m_R^n\) 위에서 유한형이고 평탄하며, \(C/\mathfrak m_R C\)는 영이 아니다. \(\mathfrak m_R\) 위에 놓이는 임의의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset C\)를 택하라. 평탄성(이는 going down 성질을 함의한다)에 의해 \(\Spec(C_\mathfrak m) \setminus V(\mathfrak m_R C_\mathfrak m)\)은 공집합이 아닌 열린집합이다. 따라서

\(\mathfrak q\)가 \(\Spec(C_\mathfrak m) \setminus \{\mathfrak m\}\)의 닫힌점을 정의하고 \(\mathfrak q \not \in V(IC_\mathfrak m)\)를 만족하는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset \mathfrak m\)을 택할 수 있다. 성질의 보조정리 02IM를 보라. 그러면 \(C/\mathfrak q\)는 차원 \(1\)의 국소 정역이고, 이산 값매김환 \(R'\)에 대한 포함 \(C/\mathfrak q \subset R'\)을 찾을 수 있다 (대수학의 보조정리 00PH). 구성에 의해 \(\mathfrak m_R R' \subset \mathfrak m_{R'}\)이고, \(C \to R'\)이 연속 사상 \(C \to (R')^\wedge\)으로 확장됨을 알 수 있다(실제로 현재 상황에서는 \(R' = (R')^\wedge\)이 되도록 \(R'\)을 택할 수 있지만 이는 필요하지 않다). 이산 값매김환의 완비화는 이산 값매김환이므로, 가정에 의해 환들의 가환 도식 \[\xymatrix{ (R')^\wedge & C \ar[l] & B \ar[l] \\ R \ar[u] & R \ar[l] \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] 을 얻으며, 이것이 원하는 올림을 준다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)에 관해 완비인 뇌터 환이라 하자. \(B\)를 \(I\)-진 완비 \(A\)-대수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)의 \(I\)-꼬임이 \(0\)이다.

2. 모든 \(n\)에 대해 \(A/I^n \to B/I^nB\)가 평탄이고 유한형이다.

그러면 \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\)가 rig-전사일 필요충분조건은 \(A/I \to B/IB\)가 충실히 평탄인 것이다.

증명

충실 평탄성은 보조정리 0AQX에 의해 rig-전사성을 함의한다. 역을 증명하기 위해 \(I\)-꼬임의 소멸과 \(I\)-거듭제곱 꼬임의 소멸이 동치라는 사실을 더 언급하지 않고 사용할 것이다 (대수학 심화의 보조정리 05EA). 또한 형식 스펙트럼들 사이의 사상이 대응하는 위상환들 사이의 연속 사상으로 주어진다는 사실도 더 언급하지 않고 사용할 것이다. 형식 공간의 보조정리 0AN0를 보라.

\(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\)가 rig-전사라고 가정하자. 극대 아이디얼 \(I \subset \mathfrak m \subset A\)를 택하라. \(\Spec(A_\mathfrak m)\)의 열린집합 \(U = \Spec(A_\mathfrak m) \setminus V(I_\mathfrak m)\)은 공집합이 아니다. 실제로 \(A_\mathfrak m\)의 \(I_\mathfrak m\)-꼬임이 영이기 때문이다 (대수학의 보조정리 00L6를 사용하라). 따라서 \(U\)의 점을 정의하고(즉 \(IA_\mathfrak m \not \subset \mathfrak q\)), \(\Spec(A_\mathfrak m) \setminus \{\mathfrak m\}\)의 닫힌점에 대응하는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A_\mathfrak m\)을 찾을 수 있다. 성질의 보조정리 02IM를 보라. 그러면 \(A_\mathfrak m/\mathfrak q\)는 차원 \(1\)의 국소 정역이다. 따라서 \(R\)이 이산 값매김환인 국소환들의 단사 국소 준동형 \(A_\mathfrak m/\mathfrak q \subset R\)을 찾을 수 있다 (대수학의 보조정리 00PH). 구성에 의해 \(IR \subset \mathfrak m_R\)이고 \(A \to R\)은 연속 사상 \(A \to R^\wedge\)으로 확장된다. 이산 값매김환의 완비화는 이산 값매김환이므로, 가정에 의해 환들의 가환 도식 \[\xymatrix{ R' & B \ar[l] \\ R^\wedge \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] 을 얻는다. 따라서 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 \(B\)의 소 아이디얼을 찾는다. 그러므로 \(\Spec(B/IB) \to \Spec(A/I)\)는 전사이고, 따라서 \(A/I \to B/IB\)는 충실히 평탄이다 (대수학의 보조정리 00HQ).

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 형식 대수 공간들의 사상이라 하자.

\(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 국소 유한형이며, \(f\)가 단사상이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 rig 전사일 필요충분조건은 \(R\)이 완비 이산 값매김환인 모든 adic 사상 \(\text{Spf}(R) \to Y\)가 \(X\)를 통하여 인수분해되는 것이다.

증명

한 방향은 자명하다. 다른 방향을 위해 \(\text{Spf}(R) \to Y\)가 adic 사상이고, 완비 이산 값매김환들의 확대 \(R \subset R'\)가 존재하여

\(\text{Spf}(R') \to \text{Spf}(R) \to X\)가 \(Y\)를 통하여 인수분해된다고 가정하자. \(\Spec(R'/\mathfrak m_R^n R') \to \Spec(R/\mathfrak m_R^n)\)은 전사이고 평탄하므로, \(X\)가 fpqc 피복에 대한 층 조건을 만족한다는 사실에 의해 사상

\(\Spec(R/\mathfrak m_R^n) \to X\)는 \(X\)를 통하여 인수분해된다. 형식 공간의 보조정리 0AQD를 보라. 다시 말해 \(\text{Spf}(R) \to Y\)는 \(X\)를 통하여 인수분해된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 닫힌 몰입이라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 rig-전사이다.

2. 모든 아핀 형식 대수 공간 \(V\)와 대수 공간으로 표현 가능하고 étale인 모든 사상 \(V \to Y\)에 대해, 사상 \(X \times_Y V \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 전사 사상 \(B \to A\)에 대응하고 그 핵 \(J\)는 다음 성질을 가진다. \(B\)의 어떤 정의 아이디얼 \(I\)와 어떤 \(n \geq 1\)에 대해 \(IJ^n = 0\)이다.

증명

(2)에서와 같은 \(V\)와 \(V \to Y\)가 주어지면, \(f\)에 어떤 추가 가정도 하지 않고 형식 공간의 보조정리 0AQI에 의해 사상 \(X \times_Y V \to V\)가 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 전사 사상 \(B \to A\)에 대응함을 관찰하자.

(1)을 가정하자. 보조정리 0AQS에 의해 \(\text{Spf}(A) \to \text{Spf}(B)\)는 rig-전사이다. \(I \subset B\)를 정의 아이디얼이라 하자. \(B\)가 adic이므로 모든 \(m \geq 1\)에 대해 \(I^m \subset B\)는 정의 아이디얼이다. 모든 \(n, m \geq 1\)에 대해 \(I^m J^n \not = 0\)이면 \(IJ\)는 멱영이 아니고, 따라서 \(V(IJ) \not = \Spec(B)\)이다. 그러므로 \(\mathfrak p \not \in V(I) \cup V(J)\)인 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset B\)를 찾을 수 있다. \(I(B/\mathfrak p) \not = B/\mathfrak p\)임을 관찰하면 극대 아이디얼 \(\mathfrak p + I \subset \mathfrak m \subset B\)를 찾을 수 있다. 대수학의 보조정리 00PH에 의해 이산 값매김환 \(R\)과 단사 국소환 준동형 \((B/\mathfrak p)_\mathfrak m \to R\)을 찾을 수 있다. 분명 환 사상 \(B \to R\)은 \(A = B/J\)를 통하여 인수분해될 수 없다. 보조정리 0AR0에 따르면 이는 \(\text{Spf}(A) \to \text{Spf}(B)\)가 rig-전사라는 사실과 모순이다. 따라서 어떤 \(n, m\)에 대해서는 실제로 \(I^n J^m = 0\)이고, 이는 (2)를 보인다.

(2)를 가정하자. 보조정리 0AQV에 의해 \(\text{Spf}(A) \to \text{Spf}(B)\)가 rig-전사임을 보이면 충분하다. 정의 아이디얼 \(I \subset B\)와 \(I J^n = 0\)을 만족하는 정수 \(n\)을 택하라. \(R\)이 이산 값매김환이고 \(I\)의 상이 영이 아닌 환 사상 \(B \to R\)을 생각하자. \(R\)이 정역이므로 \(R\) 안에서 \(J\)의 상은 영이다. 따라서 \(B \to R\)은 전사 사상 \(B \to A\)를 통하여 인수분해되고, rig-전사 사상의 정의에 의해 증명이 끝났다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 닫힌 몰입이라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 rig-매끄럽고 rig-전사이다.

2. \(f\)는 rig-étale이고 rig-전사이다.

3. 모든 아핀 형식 대수 공간 \(V\)와 대수 공간으로 표현 가능하고 étale인 모든 사상 \(V \to Y\)에 대해, 사상 \(X \times_Y V \to V\)는 \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) 안의 전사 사상 \(B \to A\)에 대응하고 그 핵 \(J\)는 다음 성질을 가진다. \(B\)의 어떤 정의 아이디얼 \(I\)에 대해 \(IJ = 0\)이다.

증명

\(I\)와 \(J\)를 \(IJ^n = 0\)이고 \(I(J/J^2) = 0\)인 환 \(B\)의 아이디얼들이라 하자. 그러면 \(I^nJ = 0\)이다(증명은 생략한다). 따라서 이 보조정리는 보조정리 0GD4와 0GD5의 자명한 조합에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(g\)가 국소 유한형이다.

2. \(f\)가 rig-매끄럽고(resp. rig-étale이고) rig-전사이다.

3. \(g \circ f\)가 rig-매끄럽다(resp. rig-étale이다).

그러면 \(g\)는 rig-매끄럽다(resp. rig-étale이다).

증명

rig-매끄러운 경우를 증명하고, 증명의 끝에서 rig-étale 경우를 증명하는 데 필요한 변경을 설명하겠다. 가환 도식 \[\xymatrix{ X \times_Y V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] 을 생각하자. 여기서 \(V\)와 \(W\)는 아핀 형식 대수 공간이고, \(V \to Y\)와 \(W \to Z\)는 대수 공간으로 표현 가능하고 étale이다. 정의 0GCP에 따라 \(V \to W\)가 adic 뇌터 위상환들의 rig-매끄러운 사상에 대응함을 보여야 한다.

\(V = \text{Spf}(B)\)이고 \(W = \text{Spf}(C)\)라고 쓸 수 있으며, \(V \to W\)는 위상적으로 유한형인 adic 환 사상 \(C \to B\)에 대응한다. 보조정리 0GC0를 보라.

아래에서는 \(X \times_Y V \to V\)가 rig-매끄럽고 rig-전사라는 사실을 더 언급하지 않고 사용할 것이다. 보조정리 0GCR와 0AQS를 보라. 또한 \(g \circ f\)가 rig-매끄러우므로 합성 \(X \times_Y V \to V \to W\)도 rig-매끄럽다.

\(I \subset C\)를 정의 아이디얼이라 하자. 가군

\(C \to B\)가 rig-매끄럽지 않다고 가정하여 모순을 이끌어 내자. 이는 \(IB\)를 포함하지 않는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 존재하여,

\(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak p\)가 영이 아니거나 \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak p\)가 유한 자유 \(B_\mathfrak q\)-가군이 아님을 뜻한다. 보조정리 0GAJ를 보라. 몇몇 세부사항은 생략한다. 극대 아이디얼 \(IB + \mathfrak q \subset \mathfrak m\)을 택할 수 있다. 대수학의 보조정리 00PH에 의해 완비 이산 값매김환 \(R\)과 단사 국소환 준동형 \((B/\mathfrak q)_\mathfrak m \to R\)을 찾을 수 있다.

\(R\)을 어떤 확대로 바꾼 뒤, adic 사상 \(\text{Spf}(R) \to V = \text{Spf}(B)\)의 올림 \(\text{Spf}(R) \to X \times_Y V\)가 주어졌다고 가정해도 된다. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 étale 피복 \(\{\text{Spf}(A_i) \to X \times_Y V\}\)를 택하라. 보조정리 0AQU에 의해 어떤 \(i\)에 대해 \(\text{Spf}(R) \to X \times_Y V\)가 사상 \(\text{Spf}(R) \to \text{Spf}(A_i)\)로 올라간다고 가정해도 된다 (이를 위해 \(R\)을 또 다른 확대로 바꾸어야 할 수도 있다). \(A = A_i\)라 두자. 환 사상 \[C \to B \to A \to R\] 을 생각하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 사상 \(A \to R\)의 핵이라 하고, \(\mathfrak p\)가 \(\mathfrak q\) 위에 놓임을 주의하라. \(C \to A\)와 \(B \to A\)가 rig-매끄럽다는 것을 알고 있다. 특히 보조정리 0GH1에 의해 환 사상 \(B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\)는 평탄이다. 보조정리 0ALM와 0GH2의 수반 완전열 \[\xymatrix@C=1.8em{ & H^0(\NL_{B/C}^\wedge) \otimes_B A_\mathfrak p \ar[r] & H^0(\NL_{A/C}^\wedge)_\mathfrak p \ar[r] & H^0(\NL_{A/B}^\wedge)_\mathfrak p \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge \otimes_B A)_\mathfrak p \ar[r] & H^{-1}(\NL_{A/C}^\wedge)_\mathfrak p \ar[r] & H^{-1}(\NL_{A/B}^\wedge)_\mathfrak p \ar[llu] }\] 을 생각하자. 두 사상 \(C \to A\)와 \(B \to A\)는 rig-매끄럽다.

따라서 \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge \otimes_B A)_\mathfrak p \allowbreak= 0\)이고, \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge) \otimes_B A_\mathfrak p\)가 유한 자유 \(A_\mathfrak p\)-가군들의 전사 사상의 핵으로서 유한 자유임을 결론 내린다. \(B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\)는 평탄이고 따라서 충실히 평탄이므로, 이는 \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q = 0\)이고 \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q\)가 유한 자유임을 함의한다. 이것이 우리가 찾던 모순이다.

rig-étale 경우에도 정확히 같은 방식으로 논증하되, 얻는 결론은 \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q\)와 \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q\)가 둘 다 영이라는 것이다.

완비 이산 값매김환 위의 형식 대수 공간

이 절에서는 다음 용어를 사용할 것이다. \(A\)가 약허용 위상환이면, “\(X\)가 \(A\) 위의 형식 대수 공간이다”라는 말은 \(X\)가 형식 대수 공간이고 형식 대수 공간들의 사상 \(p : X \to \text{Spf}(A)\)를 갖추었다는 뜻이다. 이 상황에서 \(p\)를 구조 사상이라고 부른다.

보조정리

\(X\)를 완비 이산 값매김환 \(A\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간이라 하자. 그러면 형식 대수 공간들의 닫힌 몰입 \(X' \to X\)가 존재하여, \(X'\)는 \(A\) 위에서 평탄이고, 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 모든 사상 \(Y \to X\)에서 \(Y\)가 \(A\) 위에서 평탄하면 그 사상은 \(X'\)를 통하여 인수분해된다.

증명

\(\pi \in A\)를 균일화원이라 하자. \(A\)-가군이 평탄일 필요충분조건은 \(\pi\)-거듭제곱 꼬임이 \(0\)이라는 것임을 상기하라.

먼저 \(X\)가 아핀 형식 대수 공간이라고 가정하자. 그러면 \(X = \text{Spf}(B)\)이고 \(B\)는 adic 뇌터 \(A\)-대수이다. 이 경우 \(B' = B/\pi\text{-power torsion}\)으로 두고 \(X' = \text{Spf}(B')\)라 둔다. \(X'\)가 \(A\) 위에서 평탄이고 \(X' \to X\)가 닫힌 몰입임은 명백하다. \(g : Y \to X\)를 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하고 \(Y\)가 \(A\) 위에서 평탄하다고 하자. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{Y_j \to Y\}\)를 택하라. 그러면 \(Y_j = \text{Spf}(C_j)\)이고 \(C_j\)는 \(A\) 위에서 평탄이다. 따라서

\(Y_j \to X\)는 연속

\(R\)-대수 사상 \(B \to C_j\)에 대응하며, \(B \to C_j\)가 \(\pi\)-거듭제곱 꼬임을 소멸시키는 것이 명백하므로 이 사상은 \(X'\)를 통하여 인수분해된다. \(\{Y_j \to Y\}\)가 피복이고 \(X' \to X\)가 단사상이므로 \(g\)가 \(X'\)를 통하여 인수분해된다고 결론 내린다.

\(X\)와 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)가 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같다고 하자. 각 \(i\)에 대해 위에서 구성한 평탄 부분을 \(X'_i \to X_i\)라 하자. \(i, j \in I\)에 대해 사영 \(X'_i \times_X X_j \to X'_i\)는 (가정에 의해) étale인 스킴들의 사상이다(형식 공간의 보조정리 0AIG에 의해). 따라서 대수 공간으로 표현 가능한 étale 사상은 평탄이므로 (보조정리 0GCG), \(X'_i \times_X X_j\)는 \(A\) 위에서 평탄이다. 그러므로 사영 \(X'_i \times_X X_j \to X_j\)는 보편 성질에 의해 \(X'_j\)를 통하여 인수분해된다. 사상 \(X'_i \to X_i\)들이 층들의 단사 사상이므로 \[R_{ij} = X'_i \times_X X_j = X'_i \times_X X'_j = X_i \times_X X'_j\] 라고 결론 내린다. \(U = \coprod X'_i\) 및 \(R = \coprod R_{ij}\)라 두고, \(s, t : R \to U\)를 두 사영이라 하자. 층으로서 \(R = U \times_X U\)이고 \(s\)와 \(t\)는 étale이다. 위 관찰에 의해

\((t, s) : R \to U\)는 étale 동치관계를 정의한다. 따라서 공간의 정리 02WW에 의해 \(X' = U/R\)은 대수 공간이다. 구성에 의해 도식 \[\xymatrix{ \coprod X'_i \ar[r] \ar[d] & \coprod X_i \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 은 카르테시안이다. 오른쪽 수직 화살표가 étale 전사이고 위쪽 수평 화살표가 표현 가능한 닫힌 몰입이므로, 부트스트랩의 보조정리 046J에 의해 \(X' \to X\)가 표현 가능하다고 결론 내린다. 이제 공간의 보조정리 03KD를 사용하여 \(X' \to X\)가 닫힌 몰입이라고 결론 내릴 수 있다.

마지막으로 \(Y \to X\)가 사상이고 \(Y\)가 \(A\) 위에서 평탄인 국소 뇌터 형식 대수 공간이라고 하자. 그러면 각각의 \(X_i \times_X Y\)는 \(Y\) 위에서 étale이고, 따라서 \(A\) 위에서 평탄이다(위를 보라). 그러므로 \(X_i \times_X Y \to X_i\)는 \(X'_i\)를 통하여 인수분해된다. \(\{X_i \times_X Y \to Y\}\)가 étale 피복이므로 \(Y \to X\)는 \(X'\)를 통하여 인수분해된다.

보조정리

\(X\)를 완비 이산 값매김환 \(A\) 위에서 국소 유한형인 국소 뇌터 형식 대수 공간이라 하자. \(X' \subset X\)가 보조정리 0GD8에서와 같다고 하자. \(X \to X \times_{\text{Spf}(A)} X\)가 rig-étale이고 rig-전사이면 \(X' = \text{Spf}(A)\)이거나 \(X' = \emptyset\)이다.

증명

(보충: 대각 사상은 형식 공간의 보조정리 0AN2에 의해 항상 국소 유한형이고, \(X \times_{\text{Spf}(A)} X\)는 형식 공간의 보조정리 0AQ5와 0AQ7에 의해 국소 뇌터이다. 따라서 대각 사상에 이 조건들을 부과하는 것은 의미가 있다.) 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X' \times_{\text{Spf}(A)} X' \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_{\text{Spf}(A)} X }\] 은 카르테시안이다. 따라서 \(X' \to X' \times_{\text{Spf}(A)} X'\)는

보조정리 0AQS에 의해 rig-étale이고 rig-전사이다. 아핀 형식 대수 공간 \(U\)와 대수 공간으로 표현 가능하고 étale인 사상 \(U \to X'\)를 택하라. 그러면 \(U = \text{Spf}(B)\)이고, \(B\)는 평탄 \(A\)-대수인 adic 뇌터 위상환이며, 그 위상은 균일화원 \(\pi \in A\)에 의한 \(\pi\)-진 위상이고, 각각의 \(n\)에 대해 \(A/\pi^n A \to B/\pi^n B\)가 유한형이다. 나중에 사용하기 위해 이것이 특히 다음을 함의함을 주의하자. \(B \not = 0\)이면 사상 \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\)는 층들의 전사 사상이다(늘 그렇듯이 fppf 위상을 사용하고 있음을 상기하라). 위 논증을 반복하면 \[W = U \times_{X'} U = X' \times_{X' \times_{\text{Spf}(A)} X'} (U \times_{\text{Spf}(A)} U) \longrightarrow U \times_{\text{Spf}(A)} U\] 는 닫힌 몰입이고 rig-étale이며 rig-전사이다. 형식 공간의 보조정리 0AN3에 의해 \(U \times_{\text{Spf}(A)} U = \text{Spf}(B \widehat{\otimes}_A B)\)이다. \(B \widehat{\otimes}_A B\)는 평탄 \(A\)-대수 \(B \otimes_A B\)의 \(\pi\)-진 완비화이므로 평탄 \(A\)-대수이다. 따라서 보조정리 0GD6에 의해 \(W = U \times_{\text{Spf}(A)} U\)이다. 다시 말해 \(U \times_{X'} U = U \times_{\text{Spf}(A)} U\)이고, 이는 다시 \(U \to X'\)의 상이(층들의 사상으로서) \(\text{Spf}(A)\)로 단사적으로 사상된다는 뜻이다. 형식 공간의 정의 0AIM에서와 같은 피복 \(\{U_i \to X'\}\)를 택하라. 특히 \(\coprod U_i \to X'\)는 층들의 전사 사상이다. 위 논증을

\(U_i \coprod U_j \to X'\)에 적용하면(\(U_i \amalg U_j\)도 아핀 형식 대수 공간이라는 사실을 사용한다), \(X' \to \text{Spf}(A)\)가 fppf 층들의 단사 사상임을 알 수 있다. \(X'\)가 \(A\) 위에서 평탄이므로, 모든 \(i\)에 대해 \(U_i\)가 공집합이면 \(X'\)가 공집합이고, 어떤 \(i\)에 대해 \(U_i\)가 공집합이 아니면 이 사상은 동형이다(이 경우 \(U_i \to \text{Spf}(A)\)가 층들의 전사 사상임을 이미 보았다). 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이다.

2. \(f\)가 국소 유한형이다.

3. \(\Delta_f : X \to X \times_Y X\)가 rig-étale이고 rig-전사이다.

그러면 \(f\)가 rig 전사일 필요충분조건은 \(R\)이 완비 이산 값매김환인 모든 adic 사상 \(\text{Spf}(R) \to Y\)가 사상 \(\text{Spf}(R) \to X\)로 올라가는 것이다.

증명

한 방향은 자명하다. 다른 방향을 위해 \(\text{Spf}(R) \to Y\)가 adic 사상이고 완비 이산 값매김환들의 확대 \(R \subset R'\)가 존재하여

\(\text{Spf}(R') \to \text{Spf}(R) \to X\)가 \(Y\)를 통하여 인수분해된다고 가정하자. 올곱 도식 \[\xymatrix{ \text{Spf}(R') \ar[r] \ar[rd] & \text{Spf}(R) \times_Y X \ar[r] \ar[d]^p & X \ar[d]^f \\ & \text{Spf}(R) \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 사상 \(p\)는 \(f\)의 밑변환이므로 국소 유한형이다. 형식 공간의 보조정리 0AQ5를 보라. 대각 사상 \(\Delta_p\)는 \(\Delta_f\)의 밑변환이므로 rig-étale이고 rig-전사이다. 보조정리 0GD9에 의해 \(\text{Spf}(R) \times_Y X\)의 \(R\) 위 평탄 부분은 \(\emptyset\)이거나 \(\text{Spf}(R)\)와 같다. 그러나 \(\text{Spf}(R')\)이 그 부분을 통하여 인수분해되므로 공집합이 아니며, 따라서 원하는 사상 \(\text{Spf}(R) \to \text{Spf}(R) \times_Y X \to X\)를 얻는다.

완비화 함자

이 절에서는 다음 상황을 생각한다. 먼저 밑 스킴 \(S\)를 고정한다. 모든 환, 위상환, 스킴, 대수 공간, 형식 대수 공간 및 이들 사이의 사상은 \(S\) 위에 있다고 한다. 다음으로 대수 공간 \(X\)와 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)를 고정한다.

열린 부분공간 \(U \subset X\)를 \(|U| = |X| \setminus T\)가 되도록 잡는다. 도식으로 쓰면 \[U \to X \quad |X| = |U| \amalg T\] 이다. 이 상황에서 \(X\) 위의 대수 공간 \(X'\), 즉 사상 \(f : X' \to X\)를 갖춘 대수 공간 \(X'\)가 주어졌다고 하자.

\(T\)의 역상을 \(T' \subset |X'|\)라 쓰고, 열린 부분공간 \(U' \subset X'\)를 \(|U'| = |X'| \setminus T'\)가 되도록 잡는다. 도식은 \[U' = f^{-1}U \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & X' \ar[d]_f \\ U \ar[r] & X } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ |U'| \ar[r] \ar[d] & |X'| \ar[d]^{|f|} & T' \ar[l] \ar[d] \\ |U| \ar[r] & |X| & T \ar[l] } } \quad\quad T' = |f|^{-1}T\] 이다. 이제 \(f\)의 성질과 형식 완비화 사이에 유도되는 사상 \[f_{/T} : X'_{/T'} \longrightarrow X_{/T}\] 의 성질을 관련지을 것이다. 표시된 식과 같이 이 사상을 \(f_{/T}\)라 쓰겠다. 형식 공간, 보조정리 0APV에서 \(f_{/T}\)가 대수 공간으로 표현 가능함을 이미 보았다. 사실 그 보조정리의 증명이 보여 주듯이 도식 \[\xymatrix{ X'_{/T'} \ar[d]_{f_{/T}} \ar[r] & X' \ar[d]^f \\ X_{/T} \ar[r] & X }\] 은 카르테시안이다. 아래에 진술하고 증명하는 보조정리들을 읽을 때 이 사실을 염두에 두기 바란다.

보조정리

위 상황에서 \(f\)가 국소 유한형이면 \(f_{/T}\)도 국소 유한형이다.

증명

(형식 대수 공간의 유한형 사상은 형식 공간, 절 0AM3에서 논의한다.) 실제로 \(Z \to X\)를 스킴에서 \(X\)로 가는 사상으로서 \(|Z|\)의 상이 \(T\)에 들어간다고 하자. 위 카르테시안 정사각형에서 \(Z \times_X X'\)가 \(Z \times_{X_{/T}} X'_{/T'}\)를 표현하는 대수 공간임을 알 수 있다. 공간의 사상, 보조정리 03XH에 의해 \(Z \times_X X' \to Z\)가 국소 유한형이므로 결론이 따른다.

보조정리

위 상황에서 \(f\)가 étale이면 \(f_{/T}\)도 étale이다.

증명

보조정리 0AQ9의 증명과 같은 논증을 쓰면 이는 공간의 사상, 보조정리 0466에서 따른다.

보조정리

위 상황에서 \(f\)가 닫힌 몰입이면 \(f_{/T}\)도 닫힌 몰입이다.

증명

(형식 대수 공간의 닫힌 몰입은 형식 공간, 절 0ANN에서 논의한다.) 보조정리 0AQ9의 증명과 같은 논증을 쓰면 이는 공간, 보조정리 02YW에서 따른다.

보조정리

위 상황에서 \(f\)가 고유이면 \(f_{/T}\)도 고유이다.

증명

(형식 대수 공간의 고유 사상은 형식 공간, 절 0AM5에서 논의한다.) 보조정리 0AQ9의 증명과 같은 논증을 쓰면 이는 공간의 사상, 보조정리 04WP에서 따른다.

보조정리

위 상황에서 \(f\)가 준콤팩트이면 \(f_{/T}\)도 준콤팩트이다.

증명

(형식 대수 공간의 준콤팩트 사상은 형식 공간, 절 0AJ8에서 논의한다.) \((X'_{/T'})_{red} \to (X_{/T})_{red}\)가 대수 공간의 준콤팩트 사상임을 보여야 한다. 형식 공간, 보조정리 0GB9에 의해 이는 사상 \(Z' \to Z\)이다. 여기서 \(Z' \subset X'\)와 \(Z \subset X\)는 각각 \(T'\)와 \(T\) 위에 유도된 기약 대수 공간 구조이다. 따라서 \(Z' \to f^{-1}Z = Z \times_X X'\)는 비후이다(즉 바탕 위상 공간에 동형을 유도하는 닫힌 몰입이다). \(Z \times_X X' \to Z\)는 \(f\)의 밑변환으로서 준콤팩트이므로 (공간의 사상, 보조정리 03HF), 공간의 사상에 관한 추가 내용, 보조정리 09ZY에 의해 \(Z' \to Z\)도 준콤팩트이다.

주

위 상황에서 대각 사상 \(\Delta_f : X' \to X' \times_X X'\)와 \(\Delta_{f_{/T}} : X'_{/T'} \to X'_{/T'} \times_{X_{/T}} X'_{/T'}\)를 생각하자. \(X' \times_X X'\)의 부분함자로서 \[X'_{/T'} \times_{X_{/T}} X'_{/T'} = (X' \times_X X')_{/T''}\] 임을 쉽게 알 수 있다. 여기서 \(T'' \subset |X' \times_X X'|\)는 \(T\)의 역상이다. 따라서 \(\Delta_{f_{/T}} = (\Delta_f)_{/T''}\)이다. 아래에서는 이를 이용하여 \(\Delta_f\)의 성질들이 \(\Delta_{f_{/T}}\)에 계승됨을 보일 것이다.

보조정리

위 상황에서 \(f\)가 (준)분리이면 \(f_{/T}\)도 그러하다.

증명

(형식 대수 공간의 사상에 대한 분리 조건은 형식 공간, 절 0ARM에서 논의한다.) \(\Delta_f\)가 준콤팩트이거나 닫힌 몰입이면, 각각의 경우 \(\Delta_{f_{/T}}\)도 같은 성질을 가짐을 보이면 된다. 이는 주석 0GDF의 논의와 보조정리 0GDE 및 0GDC에서 따른다.

보조정리

위 상황에서 \(X\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 국소 유한형이며, \(U' \to U\)가 매끄러우면 \(f_{/T}\)는 rig-매끄럽다.

증명

증명의 전략은 다음과 같다. \(X\)와 \(X'\)가 아핀인 경우로 환원하고, 아핀인 경우를 대수로 옮긴 다음, 마지막으로 보조정리 0GAK를 적용한다. 독자에게는 세부사항을 건너뛰기를 권한다.

전사 étale 사상 \(W \to X\)를 택하되 \(W = \coprod W_i\)가 아핀 스킴들의 서로소 합이 되게 하자. 공간의 성질, 보조정리 03FX를 보라. 각각의 \(i\)에 대해 전사 étale 사상 \(W'_i \to W_i \times_X X'\)를 택하되 \(W'_i = \coprod W'_{ij}\)가 아핀들의 서로소 합이 되게 하자. 특히 \(\coprod W'_{ij} \to X'\)는 전사이고 étale이다.

주어진 사상을 \(f_{ij} : W_{ij} \to W_i\)라 쓰자. \(T\)의 역상을 \(T_i \subset W_i\)와 \(T'_{ij} \subset W_{ij}\)라 쓰자. \(T\)의 역상을 따라 완비화하면 카르테시안 도식들이 생기므로(위를 보라) \((W_i)_{/T_i} = W_i \times_X X_{/T}\)이고, 마찬가지로 \((W'_{ij})_{/T'_{ij}} = W'_{ij} \times_{X'} X'_{/T'}\)이다. 더욱이 \((W_i)_{/T_i}\)와 \((W'_{ij})_{/T'_{ij}}\)가 아핀 형식 대수 공간임을 상기하라.

따라서 \(\{W'_{ij})_{/T'_{ij}} \to X'_{/T'}\}\)는 형식 공간, 정의 0AIM에서와 같은 피복이다. 보조정리 0GCQ에 의해 \[(W'_{ij})_{/T'_{ij}} \longrightarrow (W_i)_{/T_i}\] 가 rig-매끄러움을 보이면 충분하다. \(W'_{ij} \to W_i\)가 국소 유한형이고 매끄러운 사상 \(W'_{ij} \setminus T'_{ij} \to W_i \setminus T_i\)를 유도함을 주의하라 (이는 \(f\)에 대해 참이고 사상의 이 성질들이 원천과 대상에 대해 étale 국소적이기 때문이다). \(W_i\)는 국소 뇌터임도 주의하라(\(X\)가 국소 뇌터이고 이 성질은 대수 공간에서 étale 국소적이기 때문이다). 따라서 \(X\)와 \(X'\)가 아핀 스킴인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

\(X = \Spec(A)\)와 \(X' = \Spec(A')\)가 아핀 스킴이라고 가정하자. \(X\)가 뇌터이므로 \(A\)는 뇌터이다. 사상 \(f\)는 유한형 환 사상 \(A \to A'\)에 의해 주어진다. \(I \subset A\)를 \(T\)를 잘라 내는 아이디얼이라 하자. 그러면 \(IA'\)가 \(T'\)를 잘라 낸다. 또한 \(\Spec(A') \to \Spec(A)\)는 \(\Spec(A) \setminus T\) 위에서 매끄럽다. \(A^\wedge\)와 \((A')^\wedge\)를 \(I\)-진 완비화라 하자. 형식 공간, 보조정리 0AQ1의 증명을 보면 \(X_{/T} = \text{Spf}(A^\wedge)\)이고 \(X'_{/T'} = \text{Spf}((A')^\wedge)\)이다. 보조정리 0GAK에 의해

\((A')^\wedge\)는 \((A. I)\) 위에서 rig-매끄럽다. 이는 다시 \(A^\wedge \to (A')^\wedge\)가 rig-매끄러움을 뜻하고, 마지막으로

\(X'_{/T'} \to X_{/T}\)가 보조정리 0GCQ에 의해 rig 매끄럽다는 것을 함의한다.

보조정리

위 상황에서 \(X\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 국소 유한형이며, \(U' \to U\)가 étale이면 \(f_{/T}\)는 rig-étale이다.

증명

증명은 보조정리 0GDH의 증명과 정확히 같다. 다만 보조정리 0GAK와 0GCQ를 각각 보조정리 0ALQ와 0GCZ로 바꾼다.

보조정리

위 상황에서 \(X\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 고유이며, \(U' \to U\)가 전사이면 \(f_{/T}\)는 rig-전사이다.

증명

(이 명제가 의미를 갖는다는 것은 보조정리 0AQ9와 형식 공간, 보조정리 0AQ1에서 따른다.) \(R\)을 분수체 \(K\)를 갖는 완비 이산 값매김환이라 하자. \(p : \text{Spf}(R) \to X_{/T}\)를 형식 대수 공간의 adic 사상이라 하자. 형식 공간, 보조정리 0GBU에 의해 합성 \(\text{Spf}(R) \to X_{/T} \to X\)는 사상 \(q : \Spec(R) \to X\)에 대응하며, 이 사상은 \(\Spec(K)\)를 \(U\)로 보낸다. \(U' \to U\)가 고유이고 전사이므로 \(\Spec(K) \times_U U'\)는 비어 있지 않고 \(K\) 위에서 고유이다. 따라서 체 확대 \(K'/K\)와 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & U' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & U \ar[r] & X }\] 을 택할 수 있다. 분수체가 \(K'\)이고 \(R\)을 지배하는 이산 값매김환 \(R' \subset K'\)를 택하자. 대수, 보조정리 00PH를 보라. \(\Spec(K) \to X\)가 \(\Spec(R) \to X\)로 연장되므로 고유성의 값매김 판정법(공간의 사상, 보조정리 0A40)에 의해 \(U'\)의 이 \(K'\)-점을 \(\Spec(R) \to X\) 위의 사상 \(\Spec(R') \to X'\)로 연장할 수 있다. 따라서 \(\Spec(R')\)에서 \(T'\)의 역상은 닫힌 점이고, 원하는 대로 \(p\)를 올리는 adic 사상 \(\text{Spf}((R')^\wedge) \to X'_{/T'}\)를 얻는다 (대수에 관한 추가 내용, 보조정리 0AP1에 의해 \((R')^\wedge\)가 완비 이산 값매김환임을 주의하라).

보조정리

위 상황에서 \(X\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 분리이고 국소 유한형이며, \(U' \to U\)가 단사상이면 \(\Delta_{f_{/T}}\)는 rig-전사이다.

증명

대각 사상 \(\Delta_f : X' \to X' \times_X X'\)는 닫힌 몰입이고, \(\Delta_f\)의 제한 \(U' \to U' \times_U U'\)는 전사이다. 따라서 보조정리는 주석 0GDF의 논의와 보조정리 0AQW에서 따른다.

형식 수정

이 절에서는 국소 뇌터 형식 대수 공간에 대한 Artin의 형식 수정 개념을 정의하고 연구한다. 먼저 정의를 제시한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상이라 하자. 다음을 만족할 때 \(f\)를 형식 수정이라고 한다.

1. \(f\)는 고유 사상이다(형식 공간, 정의 0AM6).

2. \(f\)는 rig-étale이다.

3. \(f\)는 rig-전사이다.

4. \(\Delta_f : X \to X \times_Y X\)는 rig-전사이다.

전형적인 예는 보조정리 0GDM에 주어져 있다. 실제로 나중에 모든 형식 수정이 이 유형으로 “형식적으로 국소적”임을 보일 것이다. 보조정리 0GDV를 보라. 이 조건들을 Artin의 논문에 있는 조건들과 비교해 보자.

주

[ArtinII, Definition 1.7]에서는 형식 수정을 다음 세 조건을 만족하는 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 고유 사상 \(f : X \to Y\)로 정의한다³

1. \(f\)의 크라메르 아이디얼과 야코비 아이디얼은 각각 \(X\)의 정의 아이디얼 하나를 포함한다.

2. 대각 사상 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)를 정의하는 아이디얼은 \(X \times_Y X\)의 정의 아이디얼 하나에 의해 소멸된다.

3. \(R\)이 완비 이산 값매김환이면 임의의 adic 사상 \(\text{Spf}(R) \to Y\)가 \(\text{Spf}(R) \to X\)로 올라간다.

이를 위에 열거한 우리의 조건들과 비교해 보자.

(i)에 관하여. 성질 (i)은 \(f\)가 rig-étale 사상이라는 우리의 조건과 일치한다. 이는 보조정리 0AJU의 부분 (0AJY)에서 따른다.

(ii)에 관하여. \(f\)가 rig-étale이라고 가정하자. 그러면 \(\Delta_f : X \to X \times_Y X\)는 \(X\) 위에서 rig-étale인 국소 뇌터 형식 대수 공간들 사이의 사상으로서 rig-étale이다(첫 번째 공간에는 \(\text{id}_X\)를 통하고 두 번째 공간에는 \(\text{pr}_1\)을 통한다). 보조정리 0GD1와 0GD3를 보라. 따라서 보조정리 0GD6에 의해 성질 (ii)은 \(\Delta_f\)가 rig-전사라는 우리의 조건과 일치한다.

(iii)에 관하여. 성질 (iii)은 우리의 rig-전사 사상 개념과 완전히 일치하지 않는다. Artin은 모든 adic 사상 \(\text{Spf}(R) \to Y\)가 \(X\)로 가는 사상으로 올라가기를 요구하지만, 우리의 rig-전사 개념은 \(R\)을 어떤 확대로 바꾼 뒤에 올라감이 존재한다고만 주장하기 때문이다. 그러나 (i)과 (ii)에 의해 \(\Delta_f\)가 이미 rig-étale이고 rig-전사이므로, 보조정리 0GDA에 의해 이 조건들은 동치이다.

보조정리

\(S\), \(f : X' \to X\), \(T \subset |X|\), \(U \subset X\), \(T' \subset |X'|\), \(U' \subset X'\)를 절 0GDB에서와 같이 두자. \(X\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 고유이며, \(U' \to U\)가 동형이면 \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\)는 형식 수정이다.

증명

형식 공간, 보조정리들 0AQ1에 의해 이 화살표의 원천과 대상은 국소 뇌터 형식 대수 공간이다. 나머지 조건들은 보조정리 0GDD, 0AR2, 0AQW 및 0GDI에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 사상으로서 형식 수정인 것이라 하자. 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 임의의 adic 사상 \(Y' \to Y\)에 대해 밑변환 \(f' : X \times_Y Y' \to Y'\)는 형식 수정이다.

증명

형식 공간, 보조정리 0GBT에 의해 \(f'\)는 고유이다.

보조정리 0GD1에 의해 \(f'\)는 rig-etale이다.

그러면 보조정리 0AQS에 의해 사상 \(f'\)는 rig-전사이다.

\(X' = X \times_ Y'\)로 두자. 사상 \(\Delta_{f'}\)는 adic 사상 \(X' \times_{Y'} X' \to X \times_Y X\)에 의한 \(\Delta_f\)의 밑변환이다. 따라서 보조정리 0AQS에 의해 \(\Delta_{f'}\)는 rig-전사이다.

완비화와 사상, I

이 절에서는 정리 0ARB의 증명에 사용할 완비화에 관한 몇 가지 예비 결과를 제시한다. 여기서 진술하고 증명하는 보조정리들이 자명하지는 않지만(일부는 rig-étale 대수의 대수화에 관한 우리의 작업에 바탕을 둔다), 첫 번째 독해에서는 이 절을 건너뛰기를 권한다.

보조정리

\(T \subset X\)를 뇌터 아핀 스킴 \(X\)의 닫힌 부분집합이라 하자. \(W\)를 뇌터 아핀 형식 대수 공간이라 하자. \(g : W \to X_{/T}\)를 rig-étale 사상이라 하자. 그러면 아핀 스킴 \(X'\)와 유한형 사상 \(f : X' \to X\)가 존재하여 \(X \setminus T\) 위에서 étale이고, \(f_{/T}\) 및 \(g\)와 양립하는 동형 \(X'_{/f^{-1}T} \cong W\)가 존재한다. 더욱이 \(W \to X_{/T}\)가 étale이면 \(X' \to X\)도 étale이다.

증명

\(X'\)의 존재는 보조정리 0AKG를 다시 진술한 것이다. 마지막 명제는 사상에 관한 추가 내용, 보조정리 0A43에서 따른다.

보조정리

다음을 가정하자.

1. \(X\), \(X'\), \(Y\)는 뇌터 아핀 스킴이다.

2. \(T \subset |X|\)는 닫힌 부분집합이다.

3. \(f : X' \to X\)는 국소 유한형이고 \(X \setminus T\) 위에서 étale인 사상이다.

4. \(h : Y \to X\)는 사상이다.

5. \(\alpha : Y_{/T} \to X'_{/T}\)는 \(X_{/T}\) 위의 사상이다 (표기법은 증명을 보라).

그러면 동형 \(b_{/T} : Y'_{/T} \to Y_{/T}\)를 유도하는 아핀 스킴들의 étale 사상 \(b : Y' \to Y\)와 \(X\) 위의 사상 \(a : Y' \to X'\)가 존재하여 \(\alpha = a_{/T} \circ b_{/T}^{-1}\)을 만족한다.

증명

명제에서 아래첨자 \({}_{/T}\)를 쓰는 표기법은 스킴의 사상 \(g : V \to X\)에 형식 대수 공간의 사상 \(g_{/T} : V_{/g^{-1}T} \to X_{/T}\)를 대응시키는 구성을 뜻한다. 이는 \(X\) 위의 스킴 범주에서 \(X_{/T}\) 위의 형식 대수 공간 범주로 가는 함자이다. 절 0GDB를 보라. 이렇게 이해하면 보조정리는 보조정리 0AKJ를 다시 서술한 것일 뿐이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Z \to Y\)를 대수 공간의 사상이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 국소 뇌터이다.

2. \(g\)는 단사상이고 국소 유한형이다.

3. \(f|_{X \setminus T} : X \setminus T \to Y\)는 \(g\)를 통하여 인수분해된다.

4. \(f_{/T} : X_{/T} \to Y\)는 \(g\)를 통하여 인수분해된다.

그러면 \(f\)는 \(g\)를 통하여 인수분해된다.

증명

올곱 \(E = X \times_Y Z \to X\)를 생각하자. 가정에 의해 열린 몰입 \(X \setminus T \to X\)는 \(E\)를 통하여 인수분해되고, 사상 \(\varphi : X' \to X\)가 \(|\varphi|(|X'|) \subset T\)를 만족하면 이 사상도 \(E\)를 통하여 인수분해된다. 형식 공간, 절 0AIX을 보라. 대수 공간의 사상에 관한 추가 내용, 보조정리 0APQ 에 의해 이는 \(E \to X\)가 \(T\)의 점으로 사상되는 \(E\)의 모든 점에서 étale임을 함의한다. 따라서 \(E \to X\)는 étale 단사상이고, 따라서 열린 몰입이다(공간의 사상, 보조정리 05W5). 이제 우리의 가정들이 \(|X| = |E|\)을 함의하므로 \(E = X\)가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\), \(W\)를 \(S\) 위의 대수 공간이라 하고 \(X\)가 국소 뇌터라고 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(a, b : X \to W\)를 \(S\) 위 대수 공간의 사상으로서 \(a|_{X \setminus T} = b|_{X \setminus T}\)이고, \(X_{/T} \to W\)의 사상으로서 \(a_{/T} = b_{/T}\)인 것이라 하자. 그러면 \(a = b\)이다.

증명

\(E\)를 \(a\)와 \(b\)의 등화자라 하자. 그러면 \(E\)는 대수 공간이고 \(E \to X\)는 국소 유한형인 단사상이다. 공간의 사상, 보조정리 03HK을 보라. 우리의 가정에 의해 두 사상 \(f = \text{id} : X \to X\)와 \(g : E \to X\) 및 \(|X|\)의 닫힌 부분집합 \(T\)에 보조정리 0AR6를 적용할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)와 \(T' \subset |Y|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(a, b : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수 공간의 사상으로서 \(a|_{X \setminus T} = b|_{X \setminus T}\)이고, \(|a|(T) \subset T'\)와 \(|b|(T) \subset T'\)를 만족하며, \(X_{/T} \to Y_{/T'}\)의 사상으로서 \(a_{/T} = b_{/T}\)인 것이라 하자. 그러면 \(a = b\)이다.

증명

더 일반적인 보조정리 0GI1의 따름정리이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(s, t : R \to U\)를 \(X\) 위 대수 공간들의 두 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(R\), \(U\)는 \(X\) 위에서 국소 유한형이다.

2. \(s\)와 \(t\)를 \(X \setminus T\)로 밑변환하면 étale 동치관계가 된다.

3. 형식 완비화 \((t_{/T}, s_{/T}) : R_{/T} \to U_{/T} \times_{X_{/T}} U_{/T}\)도 동치관계이다(표기법은 증명을 보라).

그러면 \((t, s) : R \to U \times_X U\)는 étale 동치관계이다.

증명

명제에서 아래첨자 \({}_{/T}\)를 쓰는 표기법은 대수 공간의 사상 \(f : X' \to X\)에 형식 대수 공간의 사상 \(f_{/T} : X'_{/f^{-1}T} \to X_{/T}\)를 대응시키는 구성을 뜻한다. 절 0GDB를 보라. 가정에 의해 사상 \(s, t : R \to U\)는 \(X \setminus T\) 위에서 étale이다. 사상 \(s, t : R \to U\)의 형식 완비화가 étale이므로 예를 들어 사상에 관한 추가 내용, 보조정리 0A43에 의해 \(s\)와 \(t\)가 étale임을 알 수 있다. 두 사상 \(\text{id} : R \times_{U \times_X U} R \to R \times_{U \times_X U} R\)와 \(\Delta : R \to R \times_{U \times_X U} R\)에 보조정리 0AR6를 적용하면 \((t, s)\)가 단사상임을 알 수 있다. 이를 \((t \circ \text{pr}_0, s \circ \text{pr}_1) : R \times_{s, U, t} R \to U \times_X U\)와 \((t, s) : R \to U \times_X U\)에 다시 적용하면 “추이성”이 성립함을 얻는다. 동치관계의 나머지 두 공리의 증명은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하고 \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(f : X' \to X\)를 국소 유한형이고 \(T\) 밖에서 étale인 대수 공간의 사상이라 하자. 다음 인수분해가 존재한다. \[X' \longrightarrow X'' \longrightarrow X\] 이는 \(f\)의 인수분해이며 다음 성질들을 갖는다. \(X'' \to X\)는 국소 유한형이고, \(X'' \to X\)는 \(X \setminus T\) 위에서 동형이며, \(X'_{/T} \to X''_{/T}\)는 동형이다(표기법은 증명을 보라).

증명

명제에서 아래첨자 \({}_{/T}\)를 쓰는 표기법은 대수 공간의 사상 \(f : X' \to X\)에 형식 대수 공간의 사상 \(f_{/T} : X'_{/f^{-1}T} \to X_{/T}\)를 대응시키는 구성을 뜻한다. 절 0GDB를 보라. 또한 같은 절에서 도입한, 열린 부분공간 \(U \subset X\)와 \(U' \subset X'\)를 나타내는 표기법을 쓸 것이다. 이들은 \(|U| = |X| \setminus T\)와

\(U' = |X'| \setminus f^{-1}T\)를 만족한다. 절 0GDB를 보라.

\(X'\)를 \(X' \amalg U\)로 바꾸면 \(X' \to X\)의 상이 \(U\)를 포함한다고 가정할 수 있고, 그렇게 가정한다. \(U' \to X'\)와 대각 사상 \(U' \to U' \times_U U' = U' \times_X U'\)의 푸시아웃을 \[R = X' \amalg_{U'} (U' \times_U U')\] 이라 하자. \(U' \to X\)가 étale이므로 이 대각 사상은 열린 몰입이고, \(R\)은 대수 공간임을 알 수 있다(이는 예를 들어 공간, 보조정리 02WR에서 따른다). 두 사영 \(U' \times_U U' \to U'\)는 \(R\)로 연장되고, 두 étale 사상 \(s, t : R \to X'\)를 얻는다. 각 조각에서 따로 확인하면 \(R\)이 \(X'\) 위의 étale 동치관계임을 알 수 있다. \(X'' = X'/R\)로 두자. 이는 부트스트랩, 정리 04S6에 의해 대수 공간이다.

구성에 의해 보조정리의 인수분해를 얻고, \(X'' \to X\)는 국소 유한형이다(이는 étale 국소적으로, 즉 \(X'\)에서 확인할 수 있다). \(U' \to U\)가 전사 étale 사상이고 \(s^{-1}(U') = t^{-1}(U') = U' \times_U U'\)이므로, \(U'' = U \times_X X'' \to U\)는 동형이다. 마지막으로 사상 \(X' \to X''\)가 동형 \(X'_{/T} \to X''_{/T}\)를 유도함을 보여야 한다. 이를 위해 \(R\)을 택한 방식에 의해 \(R\)의 \(T\)의 역상을 따른 형식 완비화가 \(X'\)의 \(T\)의 역상을 따른 형식 완비화와 같다는 점을 주의하라! 형식 공간, 절 0AIX에서 형식 완비화를 구성한 방식에 의해 층으로서 \(X''_{/T} = (X'_{/T}) / (R_{/T})\)이다. \(X'_{/T} = R_{/T}\)이므로 \(X'_{/T} = X''_{/T}\)라고 결론 내릴 수 있고, 이로써 증명이 끝난다.

사상의 rig 접합

\(X\), \(W\)를 대수 공간이라 하고 \(X\)는 뇌터라고 하자. \(Z \subset X\)를 열린 여공간 \(U\)를 갖는 닫힌 부분공간이라 하자. 아래 명제는 대략 \[\{\text{사상 }X \to W\} = \{\text{서로 양립하는 사상 }U \to W\text{ 및 }X_{/Z} \to W\}\] 라는 내용이다. 여기서 \(a : U \to W\)와 \(b : X_{/Z} \to W\)의 양립성은 \(a\)와 \(b\)가 같은 “rig 공간의 사상”을 정의한다는 뜻이다. “rig 공간”의 범주를 도입하려면 많은 작업이 필요하지만, 이 경우에 그 조건이 정확히 무엇을 뜻하는지 서술하기 위해 그럴 필요는 없다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 여집합인 열린 부분공간 \(U \subset X\)를 갖는 닫힌 부분집합이라 하자. \(f : X' \to X\)를 \(f^{-1}(U) \to U\)가 동형이 되는 대수 공간의 고유 사상이라 하자. \(S\) 위의 임의의 대수 공간 \(W\)에 대하여 사상 \[\Mor_S(X, W) \longrightarrow \Mor_S(X', W) \times_{\Mor_S(X'_{/T}, W)} \Mor_S(X_{/T}, W)\] 은 전단사이다.

증명

\(w' : X' \to W\)와 \(\hat w : X_{/T} \to W\)를 \(X'_{/T} \to X\) 및 \(X'_{/T} \to X_{/T}\)와 합성하여 같은 사상 \(X'_{/T} \to W\)를 정하는 사상이라 하자. \(X' \to X\) 및 \(X_{/T} \to X\)와의 합성이 각각 \(w'\)와 \(\hat w\)를 되찾는 유일한 사상 \(w : X \to W\)가 존재함을 증명해야 한다. 유일성은 보조정리 0GI1에서 바로 따른다.

\(T\)와 \(f\)에 관한 가정은 대수 공간의 임의의 étale 사상 \(X_1 \to X\)에 의한 밑변환으로 보존된다. 형식 대수 공간은 étale 위상에 대한 층이고 유일성은 이미 얻었으므로, \(X\)를 어떤 étale 덮개의 각 원소로 바꾼 뒤 존재성을 증명하면 충분하다. 따라서 \(X\)가 아핀 뇌터 스킴이라고 가정해도 된다.

\(X\)가 아핀 뇌터 스킴이라고 가정하자. Pushouts of Spaces, 절 0AGF의 내용을 사용하여 사상 \(w : X \to W\)를 구성한다.

증명을 계속 읽기 전에 그 절의 내용을 조금 읽어 두는 것이 좋다.

\(X'' = X' \times_X X'\)로 두고 두 사상 \(a = w' \circ \text{pr}_1 : X'' \to W\)와 \(b = w' \circ \text{pr}_2 : X'' \to W\)를 생각하자. 그러면 \(a\)와 \(b\)는 열린 부분 \(U\) 위에서 일치하고,

\(a_{/T}\)와 \(b_{a/T}\)도 일치함을 알 수 있다 (둘 다 합성 \(X''_{/T} \to X_{/T} \to W\)와 같으며 두 번째 화살표는 \(\hat w\)이다). 따라서 보조정리 0GI1에 의해 \(a = b\)이다.

\(T\)에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조를 \(Z \subset X\)라 쓰자. \(n \geq 1\)에 대하여 \(Z\)의 \(n\)차 무한소 근방을 \(Z_n \subset X\)라 쓰자. \(w_n = \hat w|_{Z_n} : Z_n \to W\)라 쓰면 \(X_{/T} = \colim Z_n\) 위에서 \(\hat w = \colim w_n\)이다. \(Y_n = X' \amalg Z_n\)로 두자. 두 사영 \[s_n, t_n : R_n = Y_n \times_X Y_n \longrightarrow Y_n\] 을 생각하자. Pushouts of Spaces, 절 0AGF에서와 같이 \(s_n\)과 \(t_n\)의 쌍대등화자를 \(Y_n \to X_n \to X\)라 하자 (특히 이 쌍대등화자는 존재하고 좋은 성질들을 갖는다. Pushouts of Spaces, 보조정리 0AGG를 보라).

앞 단락의 결과 \(a = b\)와 \(X'_{/T}\) 위에서 \(w'\)와 \(\hat w\)가 일치한다는 사실에 의해 사상 \[w' \amalg w_n : Y_n \longrightarrow W\] 은 사상 \(s_n\)과 \(t_n\)을 같게 한다. 따라서 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(w'\) 및 \(w_n\)과 양립하는 사상 \(w^n : X_n \to W\)가 존재한다. 더욱이 \(m \geq 1\)에 대하여 합성 \[X_n \to X_{n + m} \xrightarrow{w^{n + m}} W\] 은 구성에 의해 \(w^n\)과 같다 (대응하는 명제가 \(w' \amalg w_{n + m}\)와 \(w' \amalg w_n\)에 대하여 성립하기 때문이다). Pushouts of Spaces, 보조정리 0AGK와 주의 0AGL에 의해 대수 공간의 계 \(X_n\)은 값 \(X\)를 갖는 본질적으로 상수인 계이므로 결론을 얻는다.

rig-étale 사상의 대수화

이 절에서는 Artin의 논문 [ArtinII]에 있는 팽창에 관한 결과를 일반화하여 증명한다.

이 절의 기호는 절 0GDB의 기호와 같게 쓰되, 대수 공간과 형식 대수 공간은 국소 뇌터라고 가정한다.

먼저 밑스킴 \(S\)를 고정하자. 모든 환, 위상환, 스킴, 대수 공간, 형식 대수 공간과 이들 사이의 사상은 \(S\) 위에 있다고 한다. 다음으로 국소 뇌터 대수 공간 \(X\)와 닫힌 부분집합 \(T \subset |X|\)를 고정한다.

+\(|U| = |X| \setminus T\)를 만족하는 열린 부분공간 \(U \subset X\)를 쓰자. 그림은 \[U \to X \quad |X| = |U| \amalg T\] 이다. 대수 공간의 사상 \(f : X' \to X\)가 주어지면 절 0GDB에서와 같이 \(U' = f^{-1}U\), \(T' = |f|^{-1}(T)\), \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\)라는 기호를 쓴다.

때로는 \(X'_{/T'}\) 대신 \(X'_{/T}\)라고 쓴다. 더 일반적으로 \(X\) 위의 대수 공간의 사상 \(a : X' \to X''\)에 대하여, \(X'\)와 \(X''\) 안의 \(T\)의 역상을 따라 \(a\)를 완비하여 얻는 형식 대수 공간의 유도 사상을 \(a_{/T} : X'_{/T} \to X''_{/T}\)라고 쓴다.

이 설정에서 다음 함자를 생각한다. [0AR5]\[\begin{equation} \left\{ \begin{matrix} \text{대수 공간의 사상}\\ f : X' \to X\text{로서 국소적으로}\\ \text{유한형이고 다음을 만족한다:}\\ U' \to U\text{는 동형이다} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{사상 }g : W \to X_{/T}\\ \text{형식 대수 공간의 사상}\\ \text{여기서 }W\text{는 국소 뇌터이고}\\ \text{그리고 }g\text{는 rig-\'etale이다} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] 이 함자는 \(f : X' \to X\)를 \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\)로 보낸다. 보조정리 0AR2에 의해 \(f_{/T}\)가 rig-étale이므로 이는 잘 정의된다.

보조정리

위의 상황에서 \(X_1\)이 국소 뇌터인 대수 공간의 사상 \(X_1 \to X\)를 택하자. \(T\)의 역상을 \(T_1 \subset |X_1|\)라 하고 \(U\)의 역상을 \(U_1 \subset X_1\)이라 하자. 다음 기호를 쓴다.

1. \(\mathcal{C}_{X, T}\)는 국소 유한형이고 \(U' = f^{-1}U \to U\)가 동형인 대수 공간의 사상 \(f : X' \to X\)를 대상으로 하는 범주이다.

2. \(\mathcal{C}_{X_1, T_1}\)은 국소 유한형이고 \(f_1^{-1}U_1 \to U_1\)이 동형인 대수 공간의 사상 \(f_1 : X_1' \to X_1\)을 대상으로 하는 범주이다.

3. \(\mathcal{C}_{X_{/T}}\)는 \(W\)가 국소 뇌터이고 \(g\)가 rig-étale인 형식 대수 공간의 사상 \(g : W \to X_{/T}\)를 대상으로 하는 범주이다.

4. \(\mathcal{C}_{X_{1, /T_1}}\)은 \(W_1\)이 국소 뇌터이고 \(g_1\)이 rig-étale인 형식 대수 공간의 사상 \(g_1 : W_1 \to X_{1, /T_1}\)을 대상으로 하는 범주이다.

그러면 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{C}_{X, T} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{C}_{X_{/T}} \ar[d] \\ \mathcal{C}_{X_1, T_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{X_{1, /T_1}} }\] 은 가환한다. 여기서 수평 화살표는 (0AR5)로 주어지고, 수직 화살표는 \(X_1 \to X\)와 \(X_{1, /T_1} \to X_{/T}\)에 따른 밑변환으로 주어진다.

증명

이는 \(X\) 위 대수 공간의 범주에서 완비화 함자 \((h : Y \to X) \mapsto Y_{/T} = Y_{/|h|^{-1}T}\)가 올곱과 가환한다는 사실에서 바로 따른다.

보조정리

위의 상황에서 \(f : X' \to X\)를 국소 유한형이고 \(U\) 위에서 동형인 대수 공간의 사상이라 하자. \(g : Y \to X\)를 \(Y\)가 국소 뇌터인 사상이라 하자. 그러면 완비화는 전단사 \[\Mor_X(Y, X') \longrightarrow \Mor_{X_{/T}}(Y_{/T}, X'_{/T})\] 를 정의한다. 특히 함자 (0AR5)는 충만충실하다.

증명

\(a, b : Y \to X'\)를 \(a_{/T} = b_{/T}\)를 만족하는 \(X\) 위의 사상이라 하자. 그러면 \(a\)와 \(b\)는 열린 부분공간 \(g^{-1}U\) 위에서 일치하고, \(g^{-1}T\)를 따라 완비한 뒤에도 일치한다. 따라서 보조정리 0AR7에 의해 \(a = b\)이다. 다시 말해 완비화 사상은 언제나 단사이다.

\(\alpha : Y_{/T} \to X'_{/T}\)를 \(X_{/T}\) 위의 형식 대수 공간의 사상이라 하자. \(\alpha = a_{/T}\)를 만족하는 \(X\) 위의 사상 \(a : Y \to X'\)가 존재함을 증명해야 한다. 표준적이지만 번거로운 방식으로 아핀인 경우로 귀착한 뒤 보조정리 0AR3를 적용한다.

\(\{h_i : Y_i \to Y\}\)를 대수 공간의 étale 덮개라 하자. 각 \(i\)에 대하여 완비화 \((a_i)_{/T} : (Y_i)_{/T} \to X'_{/T}\)가 \(\alpha \circ (h_i)_{/T}\)와 같은 \(X\) 위의 사상 \(a_i : Y_i \to X'\)를 찾을 수 있다면, \(\alpha = a_{/T}\)를 만족하는 사상 \(a : Y \to X'\)를 얻는다. 실제로 \(\alpha\)와의 일치에 의해 \((Y_i \times_Y Y_j)_{/T} \to X'_{/T}\)의 사상으로서 \((a_i)_{/T} \circ \text{pr}_1 = (a_j)_{/T} \circ \text{pr}_2\)임을 먼저 관찰한다(여기서 완비화 \({}_{/T}\)가 올곱과 가환함을 쓴다). 이미 증명한 단사성에 의해 \(a_i \circ \text{pr}_1 = a_j \circ \text{pr}_2\)가 \(Y_i \times_Y Y_j \to X'\)의 사상으로 성립한다. \(X'\)가 fppf 층이므로 사상들의 모임 \(a_i\)는 사상 \(a : Y \to X'\)로 하강한다.

\(\{(a_i)_{/T} : (Y_i)_{/T} \to X'_{/T}\}\)가 étale 덮개이므로 \(\alpha = a_{/T}\)이다.

앞 단락의 결과에 의해 존재성을 증명할 때 \(Y\)는 아핀이고 \(g : Y \to X\)는 \(g_1 : Y \to X_1\)과 아핀 \(X_1\)을 갖는 étale 사상 \(X_1 \to X\)의 합성이라고 가정해도 된다. 그러면 \(T\)의 역상 \(T_1 \subset |X_1|\)을 생각할 수 있고, \(X'_1 = X' \times_X X_1\)로 두며 사영을 \(f_1 : X'_1 \to X_1\)이라 쓸 수 있다. 또한 \[\alpha_1 = (\alpha, (g_1)_{/T_1}) : Y_{/T_1} = Y_{/T} \longrightarrow X'_{/T} \times_{X_{/T}} (X_1)_{/T_1} = (X'_1)_{/T_1}\] 로 둔다. 이제 \(X_1\) 위의 \(\alpha_1\)에 대해서만 존재성을 증명하면 된다.

즉, 다음과 같이 바꿔도 된다.

\(X, \allowbreak T, \allowbreak X', \allowbreak Y, \allowbreak f, \allowbreak g, \allowbreak \alpha\)를 \(X_1, \allowbreak T_1, \allowbreak X'_1, \allowbreak Y, \allowbreak g_1, \allowbreak \alpha_1\)로 바꾼다. 이로써 다음 단락에서 다루는 경우로 귀착된다.

\(Y\)와 \(X\)가 아핀이라고 가정하자. \((Y_{/T})_{red}\)는 아핀 스킴임을 상기하자 (\(g^{-1}T \subset Y\)에 유도된 축약 스킴 구조와 동형이다. Formal Spaces, 보조정리 0GB9을 보라). 따라서 \(\alpha_{red} : (Y_{/T})_{red} \to (X'_{/T})_{red}\)는 \(f^{-1}T\) 안에 준콤팩트인 상 \(E\)를 갖는다 (위와 같은 보조정리에 의해 이는 \((X'_{/T})_{red}\)의 바탕 위상공간이다).

그러므로 \(h\)의 상이 \(E\)를 포함하는 étale 사상 \(h : V \to X'\)와 아핀 스킴 \(V\)를 찾을 수 있다. 실선 부분이 카르테시안인 도식 \[\xymatrix{ Y'_{/T} \ar@{..>}[rd] \ar@{..>}[r] & W \ar[d] \ar[r] & V_{/T} \ar[d]^{h_{/T}} \\ & Y_{/T} \ar[r]^\alpha & X'_{/T} }\] 을 택하자. 구성에 의해 사상 \(W \to Y_{/T}\)는 대수 공간으로 표현가능하고 étale이며 전사이다 (전사성은 축약화를 보면 알 수 있다. Formal Spaces, 보조정리 0GB8를 보라). 보조정리 0AR4에 의해 \(Y' \to Y\)가 étale이고 \(Y'\)가 아핀이도록 \(W = Y'_{/T}\)라고 쓸 수 있다. 이로써 도식의 점선 화살표를 얻는다.

\(W \to Y_{/T}\)가 전사이므로 \(Y' \to Y\)의 상은 \(g^{-1}T\)를 포함한다. 따라서 \(\{Y' \to Y, Y \setminus g^{-1}T \to Y\}\)는 étale 덮개이다. \(f\)가 \(U\) 위에서 동형이므로, 완비화 위에서 \(\alpha\)와 일치하는 \(X\) 위의 (유일한) 사상 \(Y \setminus g^{-1}T \to X'\)가 존재한다 (\(Y \setminus g^{-1}T\)의 완비화는 공집합이기 때문이다). 따라서 \(Y'\)에 대하여 존재성을 증명하면 충분하고, 이는 다음 단락에서 연구하는 경우로 귀착된다.

앞 단락의 결과에 의해 \(Y\)는 아핀이고 \(\alpha\)는 \(Y_{/T} \to V_{/T} \to X'_{/T}\)로 인수분해된다고 가정해도 된다. 여기서 \(V\)는 \(X'\) 위의 étale 아핀 스킴이다. 여전히 \(Y\)를 아핀 étale 덮개의 원소들로 바꿀 수 있다. 보조정리 0AR3에 의해 동형 \(b_{/T} : Y'_{/T} \to Y_{/T}\)를 유도하는 아핀 스킴의 étale 사상 \(b : Y' \to Y\)와, \(c_{/T} \circ b_{/T}^{-1}\)가 주어진 사상 \(Y_{/T} \to V_{/T}\)와 같은 사상 \(c : Y' \to V\)를 찾을 수 있다. \(a' : Y' \to X'\)를 \(c\)와 \(V \to X'\)의 합성으로 두면 \(a'_{/T} = \alpha \circ b_{/T}\)이다. 즉, \(Y'\)와 \(\alpha \circ b_{/T}\)에 대한 존재성을 얻었다.

이제 étale 덮개 \(\{Y' \to Y, Y \setminus g^{-1}T \to Y\}\)를 한 번 더 생각하면 증명이 끝난다.

보조정리

위의 상황에서 \(X\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 함자 (0AR5)는 동치이다.

이 보조정리를 증명하기 전에 예를 하나 살펴보자. \(S = \Spec(k)\), \(X = \mathbf{A}^1_k\), \(T = \{0\}\)라고 하자. 그러면 \(X_{/T} = \text{Spf}(k[[x]])\)이다. \(W = \text{Spf}(k[[x]] \times k[[x]])\)라 하자. 이에 대응하는 \(f : X' \to X\)는 원점을 이중화한 아핀 직선에서 아핀 직선으로 가는 사상이다 (Schemes, 예 01JD). 더욱이 이는 \(X\) 위의 \(X \amalg X\)에서 시작하는 보조정리 0AR9의 구성 결과이다.

증명

보조정리 0GDR에서 보았듯이 함자는 이미 충만충실하다. 본질적 전사성을 보이자. \(g : W \to X_{/T}\)를 \(W\)가 국소 뇌터이고 \(g\)가 rig-étale인 형식 대수 공간의 사상이라 하자. 몇 단계에 걸쳐 \(W\)가 본질적 상에 속함을 증명한다.

Step 1: \(W\)가 아핀 형식 대수 공간인 경우.

보조정리 0AR4에 의해 유한형이고 \(X \setminus T\) 위에서 étale이며 \(U_{/T}\)가 \(W\)와 동형이 되는 \(U \to X\)를 찾을 수 있다. 따라서 보조정리 0AR9에 의해 \(W\)는 본질적 상에 속한다.

Step 2: \(W\)가 분리적인 경우. Formal Spaces, 정의 0AIM에서와 같이 \(\{W_i \to W\}\)를 택하자. Step 1에 의해 형식 대수 공간 \(W_i\)와 \(W_i \times_W W_j\)는 본질적 상에 속한다. \(W_i = (X'_i)_{/T}\) 및 \(W_i \times_W W_j = (X'_{ij})_{/T}\)라고 하자.

충만충실성에 의해 사영 \(W_i \times_W W_j \to W_i\) 및 \(W_i \times_W W_j \to W_j\)와 대응하는 사상 \(t_{ij} : X'_{ij} \to X'_i\) 및 \(s_{ij} : X'_{ij} \to X'_j\)를 얻는다. 다음 구조를 생각하자. \[R = \coprod X'_{ij},\quad V = \coprod X'_i,\quad s = \coprod s_{ij},\quad t = \coprod t_{ij}\] (문자 \(U\)는 이미 사용했으므로 쓸 수 없다.) 보조정리 0AR8을 적용하면 \((t, s) : R \to V \times_X V\)가 \(X\) 위의 \(V\)에 étale 동치관계를 정의함을 알 수 있다. 따라서 몫 \(X' = V/R\)를 취할 수 있고, Bootstrap, 정리 04S6에 의해 이는 대수 공간이다. 완비화는 올곱 및 몫층을 취하는 것과 가환하므로 \(X_{/T}\) 위의 형식 대수 공간으로서 \(X'_{/T} \cong W\)를 얻는다.

Step 3: \(W\)가 일반적인 경우. Formal Spaces, 정의 0AIM에서와 같이 \(\{W_i \to W\}\)를 택하자. 형식 대수 공간 \(W_i\)와 \(W_i \times_W W_j\)는 분리적이다. 따라서 Step 2에 의해 형식 대수 공간 \(W_i\)와 \(W_i \times_W W_j\)는 본질적 상에 속한다. 그러면 앞 단락과 정확히 같은 논증으로 \(W\)도 본질적 상에 속함을 알 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(U \subset X\)를 \(|U| = |X| \setminus T\)인 열린 부분공간이라 하자. 완비화 함자 (0AR5) \[\left\{ \begin{matrix} \text{대수 공간의 사상}\\ f : X' \to X\text{로서 국소적으로}\\ \text{유한형이고 다음을 만족한다:}\\ f^{-1}U \to U\text{는 동형이다} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{사상 }g : W \to X_{/T}\\ \text{형식 대수 공간의 사상}\\ \text{여기서 }W\text{는 국소 뇌터이고}\\ \text{그리고 }g\text{는 rig-\'etale이다} \end{matrix} \right\}\] 는 \(f : X' \to X\)를 \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\)로 보내며 동치이다.

증명

보조정리 0GDR에 의해 이 함자는 충만충실하다. \(g : W \to X_{/T}\)를 \(W\)가 국소 뇌터이고 \(g\)가 rig-étale인 형식 대수 공간의 사상이라 하자. 증명을 끝내기 위해 \(W\)가 본질적 상에 속함을 보이겠다.

각 \(i\)에 대하여 \(X_i\)가 아핀인 étale 덮개 \(\{X_i \to X\}\)를 택하자. \(U\)의 역상을 \(U_i \subset X_i\)라 하고 \(T\)의 역상을 \(T_i \subset X_i\)라 하자. \((X_i)_{/T_i} = (X_i)_{/T} = (X_i \times_X X)_{/T}\)이고 \(W_i = X_i \times_X W = (X_i)_{/T} \times_{X_{/T}} W\)임을 상기하자. 보조정리 0GDQ를 보라. 적절한 코사이클 조건을 만족하는 동형 \[\alpha_{ij} : W_i \times_{X_{/T}} (X_j)_{/T} \longrightarrow (X_i)_{/T} \times_{X_{/T}} W_j\] 을 얻는다. 보조정리 0ARA을 \(X_i, T_i, U_i, W_i \to (X_i)_{/T}\)에 적용하면, 국소 유한형이고 \(U_i\) 위에서 동형인 대수 공간의 사상 \(X'_i \to X_i\)와 \((X_i)_{/T}\) 위의 동형 \(\beta_i : (X'_i)_{/T} \cong W_i\)가 존재한다.

충만충실성에 의해 \(X_i \times_X X_j\) 위의 동형 \[a_{ij} : X'_i \times_X X_j \longrightarrow X_i \times_X X'_j\] 으로서 다음을 만족하는 것을 얻는다. \(\alpha_{ij} = \beta_j|_{X_i \times_X X_j} \circ (a_{ij})_{/T} \circ \beta_i^{-1}|_{X_i \times_X X_j}\). 다시 충만충실성을 사용하면 (이번에는 \(X_i \times_X X_j \times_X X_k\) 위에서) 이 사상들 \(a_{ij}\)가 \(\alpha_{ij}\)가 만족하는 것과 같은 코사이클 조건을 만족함을 알 수 있다. 즉, 족 \(\{X_i \to X\}\)에 대한 하강 데이터 (Descent on Spaces, 정의 0ADI에서와 같은) \((X'_i, a_{ij})\)를 얻는다. Bootstrap, 보조정리 0ADV에 의해 이 하강 데이터는 유효하다. 따라서 대수 공간의 사상 \(f : X' \to X\)와 \(X_i\) 위의 동형 \(h_i : X' \times_X X_i \to X'_i\)로서 \(a_{ij} = h_j|_{X_i \times_X X_j} \circ h_i^{-1}|_{X_i \times_X X_j}\)를 만족하는 것들을 얻는다. 독자는 그 결과 생기는 \(X_i\) 위의 동형들 \[(X' \times_X X_i)_{/T} \xrightarrow{\beta_i \circ (h_i)_{/T}} W_i\] 이 서로 접합되어 \(X_{/T}\) 위의 동형 \(X'_{/T} \to W\)를 이룸을 확인할 수 있다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

완비화와 사상, II

팽창에 관한 Artin의 정리를 얻으려면 정리 0ARB이 주는 대응에서 형식 수정과 실제 수정을 대응시켜야 한다. 독자에게 이 절을 건너뛰기를 권한다.

보조정리

정리 0ARB의 가정과 기호 아래 \(f : X' \to X\)가 \(g : W \to X_{/T}\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 준콤팩트일 필요충분조건은 \(g\)가 준콤팩트인 것이다.

증명

\(f\)가 준콤팩트이면 보조정리 0GDE에 의해 \(g\)도 준콤팩트이다. 역으로 \(g\)가 준콤팩트라고 가정하자. 각 \(X_i\)가 아핀인 étale 덮개 \(\{X_i \to X\}\)를 택하자. 밑변환 \(X' \times_X X_i \to X_i\)가 준콤팩트임을 보이면 충분하다. Morphisms of Spaces, 보조정리 03KG를 보라.

Formal Spaces, 보조정리 0AJB에 의해 밑변환 \(W_i \times_{X_{/T}} (X_i)_{/T} \to (X_i)_{/T}\)는 준콤팩트이다. 보조정리 0GDQ에 의해 다음 단락에서 서술하는 경우로 귀착된다.

\(X\)가 아핀이고 \(g : W \to X_{/T}\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(X'\)가 준콤팩트임을 보여야 한다. \(V = \coprod_{j \in J} V_j\)가 아핀들의 서로소 합인 전사 étale 사상 \(V \to X'\)를 택하자. 그러면 \(V_{/T} \to X'_{/T} = W\)는 전사 étale 사상이다.

\(W\)가 준콤팩트이므로 유한 부분집합 \(J' \subset J\)로서 \(\coprod_{j \in J'} (V_j)_{/T} \to W\)가 전사인 것을 찾을 수 있다. 따라서 \[U \amalg \coprod\nolimits_{j \in J'} V_j \longrightarrow X'\] 는 전사이다(그러므로 \(X'\)는 준콤팩트이다). 실제로 \(X'_{/T} = W\)이므로 \(|X'| = |U| \amalg |W_{red}|\)이다.

보조정리

정리 0ARB의 가정과 기호 아래 \(f : X' \to X\)가 \(g : W \to X_{/T}\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 준분리일 필요충분조건은 \(g\)가 준분리인 것이다.

증명

\(f\)가 준분리이면 보조정리 0GDG에 의해 \(g\)도 준분리이다. 역으로 \(g\)가 준분리라고 가정하자. \(f\)가 준분리임을 보여야 한다. 보조정리 0ARU의 증명과 똑같이, Morphisms of Spaces, 보조정리 03KM과 Formal Spaces, 보조정리 0ARS을 사용하면 아핀 스킴들로 이루어진 \(X\)의 étale 덮개의 원소들 위에서 이를 확인해도 된다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정하고 그렇게 하자.

\(V = \coprod_{j \in J} V_j\)가 아핀들의 서로소 합인 전사 étale 사상 \(V \to X'\)를 택하자. \(X'\)가 준분리임을 보이려면 모든 \(j, j' \in J\)에 대하여 \(V_j \times_{X'} V_{j'}\)가 준콤팩트임을 보이면 충분하다. \(W\)가 준분리이므로 모든 \(j, j' \in J\)에 대하여 올곱

\((V_j \times_Y V_{j'})_{/T} = (V_j)_{/T} \times_{X'_{/T}} (V_{j'})_{/T}\) 는 준콤팩트이다. \(X\)가 뇌터 아핀이고 \(U' \to U\)가 동형이므로 \[(V_j \times_{X'} V_{j'}) \times_X U = (V_j \times_X V_{j'}) \times_X U\] 는 준콤팩트이다. 따라서 등식 \[|V_j \times_{X'} V_{j'}| = |(V_j \times_{X'} V_{j'}) \times_X U| \amalg |(V_j \times_{X'} V_{j'})_{/T, red}|\] 과, 형식 대수 공간이 준콤팩트일 필요충분조건은 그에 결부된 축약 대수 공간이 준콤팩트인 것이라는 사실로 결론을 얻는다.

보조정리

정리 0ARB의 가정과 기호 아래 \(f : X' \to X\)가 \(g : W \to X_{/T}\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 분리이다 \(\Leftrightarrow\) \(g\)가 분리이고 \(\Delta_g : W \to W \times_{X_{/T}} W\)가 rig-전사이다.

증명

\(f\)가 분리이면 보조정리 0GDG와 0GDI에 의해 \(g\)는 분리이고 \(\Delta_g\)는 rig-전사이다. \(g\)가 분리이고 \(\Delta_g\)가 rig-전사라고 가정하자. 보조정리 0ARU의 증명과 똑같이, Morphisms of Spaces, 보조정리 03KL (대수 공간의 사상이 분리라는 성질은 밑에서 국소적이다), Formal Spaces, 보조정리 0ARP (형식 대수 공간의 사상이 분리라는 성질은 밑변환으로 보존된다), 보조정리 0AQS (rig-전사라는 성질은 밑변환으로 보존된다)를 사용하면 아핀 스킴들로 이루어진 \(X\)의 étale 덮개의 원소들 위에서 이를 확인해도 된다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정하고 그렇게 하자. 더욱이 보조정리 0ARV에 의해 \(f : X' \to X\)가 준분리임을 이미 안다.

Cohomology of Spaces, 보조정리 0ARJ와 주의 0ARL에 의해 임의의 가환도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[r]^p \ar@{-->}[ru] & X' \times_X X' }\] 이 주어질 때 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 존재함을 보이면 충분하다. 여기서 \(R\)은 분수체가 \(K\)인 완비 이산 값매김환이다 (이로써 값매김 판정법의 유일성 부분을 얻는다).

\(h : \Spec(R) \to X\)를 \(p\)와 사상 \(Y \times_X Y \to X\)의 합성이라 하자. 세 경우가 있다. 경우 I: \(h(\Spec(R)) \subset U\). 이 경우에는 \(U' = X' \times_X U \to U\)가 동형이므로 자명하다. 경우 II: \(h\)가 \(\Spec(R)\)을 \(T\) 안으로 보내는 경우. 이 경우는 \(g : W \to X_{/T}\)가 분리라는 가정에서 따른다. 실제로 \(Z\)를 \(T\)에 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하면 \(h\)는 \(Z\)를 통하여 인수분해되고 \[W \times_{X_{/T}} Z = X' \times_X Z \longrightarrow Z\] 는 가정에 의해 분리이다 (예를 들어 Formal Spaces, 보조정리 0ARS을 보라). 따라서 표시한 화살표에 Cohomology of Spaces, 보조정리 0ARJ를 적용하면 올림 성질을 얻는다. 경우 III: \(h(\Spec(K))\)는 \(T\)에 속하지 않지만 \(h\)가 \(\Spec(R)\)의 닫힌 점을 \(T\) 안으로 보내는 경우. 이때 대응하는 사상 \[p_{/T} : \text{Spf}(R) \longrightarrow (X' \times_X X')_{/T} = W \times_{X_{/T}} W\] 은 adic 사상이다(Formal Spaces, 보조정리 0APV과 정의 0AQ3에 의한다). 따라서 \(\Delta_g : W \to W \times_{X_{/T}} W\)가 rig-전사라는 가정에 의해 \(p_{/T}\)를 사상 \(\text{Spf}(R) \to W = X'_{/T}\)로 올릴 수 있다. 보조정리 0AR0를 보라. Formal Spaces, 보조정리 0AQH을 사용하여 합성 \(\text{Spf}(R) \to X'\)를 대수화하면, 바라는 대로 \(p\)를 올리는 사상 \(\Spec(R) \to X'\)를 얻는다.

보조정리

정리 0ARB의 가정과 기호 아래 \(f : X' \to X\)가 \(g : W \to X_{/T}\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 고유일 필요충분조건은 \(g\)가 형식 수정인 것이다 (정의 0GDK).

증명

\(f\)가 고유이면 보조정리 0GDM에 의해 \(g\)는 형식 수정이다. \(g\)가 형식 수정이라고 가정하자. 보조정리 0ARU과 0ARW에 의해 \(f\)는 준콤팩트이고 분리이다.

Cohomology of Spaces, 보조정리 0ARK와 주의 0ARL에 의해 임의의 가환도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^f \\ \Spec(R) \ar[r]^p \ar@{-->}[ru] & X }\] 이 주어질 때 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 존재함을 보이면 충분하다. 여기서 \(R\)은 분수체가 \(K\)인 완비 이산 값매김환이다. 세 경우가 있다. 경우 I: \(p(\Spec(R)) \subset U\). 이 경우에는 \(U' \to U\)가 동형이므로 자명하다. 경우 II: \(p\)가 \(\Spec(R)\)을 \(T\) 안으로 보내는 경우. 이 경우는 \(g : W \to X_{/T}\)가 고유라는 가정에서 따른다. 실제로 \(Z\)를 \(T\)에 유도된 축약 닫힌 부분공간 구조라 하면 \(p\)는 \(Z\)를 통하여 인수분해되고 \[W \times_{X_{/T}} Z = X' \times_X Z \longrightarrow Z\] 는 가정에 의해 고유이다. 따라서 표시한 화살표에 Cohomology of Spaces, 보조정리 0ARK를 적용하면 올림 성질을 얻는다. 경우 III: \(p(\Spec(K))\)는 \(T\)에 속하지 않지만 \(p\)가 \(\Spec(R)\)의 닫힌 점을 \(T\) 안으로 보내는 경우. 이때 대응하는 사상 \[p_{/T} : \text{Spf}(R) \longrightarrow X'_{/T} = W\] 은 adic 사상이다(Formal Spaces, 보조정리 0APV과 정의 0AQ3에 의한다).

따라서 \(g : W \to X_{/T}\)가 rig-전사라는 가정에 의해

\(g_{/T}\)를 어떤 완비 이산 값매김환의 확대 \(R \subset R'\)에 대한 사상 \(\text{Spf}(R') \to W = X'_{/T}\)로 올릴 수 있다.

Formal Spaces, 보조정리 0AQH을 사용하여 합성 \(\text{Spf}(R') \to X'\)를 대수화하면, 바라는 대로 \(p\)를 올리는 사상 \(\Spec(R') \to X'\)를 얻는다.

보조정리

정리 0ARB의 가정과 기호 아래 \(f : X' \to X\)가 \(g : W \to X_{/T}\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 étale일 필요충분조건은 \(g\)가 étale인 것이다.

증명

\(f\)가 étale이면 보조정리 0GI0에 의해 \(g\)도 étale이다. 역으로 \(g\)가 étale이라고 가정하자. \(f\)가 \(U\) 위에서 동형이므로 \(f\)는 \(U\) 위에서 étale이다. 따라서 \(T\) 위에 놓이는 \(X'\)의 임의의 점에서 \(f\)가 étale임을 보이면 충분하다. \(Z \subset X\)를 바탕 위상공간이 \(|Z| = T \subset |X|\)인 축약 닫힌 부분공간이라 하자. Properties of Spaces, 정의 047X를 보라. \(Z_n \subset X\)를 \(n\)차 무한소 근방이라 하면 \(X_{/T} = \colim Z_n\)이다. \(X'_{/T} = W \to X_{/T}\)이므로, \(g\)가 étale이라는 가정에 의해 \(f^{-1}(Z_n) = X' \times_X Z_n \to Z_n\)는 étale이다. More on Morphisms of Spaces, 보조정리 0APQ에 의해 \(f\)는 \(T\) 위에 놓이는 점들에서 étale이다.

팽창에 관한 Artin의 정리

이 절에서는 [ArtinII]의 대응하는 명제들과의 유사성을 강조하기 위해 형식 대수 공간에 다른 글꼴을 사용한다. 먼저 이 장의 첫 번째 주요 정리를 제시한다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathfrak X = X_{/T}\)를 \(T\)에 따른 \(X\)의 형식 완비화라 하자. \[\mathfrak f : \mathfrak X' \to \mathfrak X\] 를 형식 수정이라 하자(정의 0GDK). 그러면 \(X\)에서 \(T\)의 여집합 위에서 동형이고 그 완비화 \(f_{/T}\)가 \(\mathfrak f\)를 복원하는 유일한 고유 사상 \(f : X' \to X\)가 존재한다.

증명

이는 정리 0ARB과 보조정리 0ARX에서 따른다.

다음은 절 0GDJ에서 약속한 형식 수정의 특성화이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathfrak X' \to \mathfrak X\)를 \(S\) 위의 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 형식 수정이라 하자 (정의 0GDK). 다음이 주어졌다고 하자.

1. 임의의 adic 뇌터 위상환 \(A\),

2. 임의의 adic 사상 \(\text{Spf}(A) \longrightarrow \mathfrak X\).

그러면 대수 공간들의 고유 사상 \(X \to \Spec(A)\)와 동형 \[\text{Spf}(A) \times_{\mathfrak X} \mathfrak X' \longrightarrow X_{/Z}\] 가 존재한다. 이 동형은 \(\text{Spf}(A)\) 위에서

\(\mathfrak X\)의 밑변환을, \(A\) 위의 \(X\)의 “닫힌 올” \(Z = X \times_{\Spec(A)} \text{Spf}(A)_{red}\)에 따른 \(X\)의 형식 완비화와 동일시한다.

증명

사상 \(\text{Spf}(A) \times_{\mathfrak X} \mathfrak X' \to \text{Spf}(A)\)는 보조정리 0GDN에 의해 형식 수정이다. 따라서 이는 정리 0GDU에서 따른다.

수정에의 응용

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(U = X \setminus V(I)\)로 놓는다. 이 절에서는 범주 [0AS2]\[\begin{equation} \left\{ f : X' \longrightarrow X \quad \middle| \quad \begin{matrix} X'\text{은 대수 공간이다}\\ f\text{는 국소 유한형이다}\\ f^{-1}(U) \to U\text{는 동형이다} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] 를 생각한다. \(X'/X\)에서 \(X''/X\)로의 사상은 \(X\) 위의 대수 공간 사상 \(X' \to X''\)로 한다.

\(A \to B\)를 뇌터 환들의 준동형이라 하고 \(J = \sqrt{I B}\)를 만족하는 아이디얼 \(J \subset B\)를 택하자. 그러면 사상 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)에 따른 밑변환은 \(A\)에 대한 범주 (0AS2)에서 \(B\)에 대한 범주 (0AS2)로 가는 함자를 준다.

보조정리

\(A \to B\)를 어떤 아이디얼 \(I \subset A\)에 관한 \(I\)-진 완비화 위에서 동형을 유도하는 뇌터 환들의 준동형이라 하자 (예를 들어 \(B\)가 \(A\)의 \(I\)-진 완비화인 경우).

그러면 밑변환은 \((A, I)\)에 대한 범주 (0AS2)와 \((B, IB)\)에 대한 범주 (0AS2) 사이의 범주 동치를 정의한다.

증명

\(X = \Spec(A)\) 및 \(T = V(I)\)로 놓는다. \(X_1 = \Spec(B)\) 및 \(T_1 = V(IB)\)로 놓는다. 정리 0ARB에 의해 (실제로는 보조정리 0ARA에서 다룬 아핀 경우만 필요하다), \(X\)와 \(T\)에 대한 범주 (0AS2)는 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 rig-étale 사상 \(W \to X_{/T}\)의 범주와 동치이다. 마찬가지로 \(X_1\)과 \(T_1\)에 대한 범주 (0AS2)는 국소 뇌터 형식 대수 공간들의 rig-étale 사상

\(W_1 \to X_{1, /T_1}\)의 범주와 동치이다. \(X_{/T} = \text{Spf}(A^\wedge)\)이고 \(X_{1, /T_1} = \text{Spf}(B^\wedge)\)이므로(Formal Spaces, 보조정리 0GBA), \(A^\wedge \to B^\wedge\)가 동형이라는 가정에서 이 범주들이 동치임을 알 수 있다. 이 동치가 밑변환으로 주어진다는 검증은 생략한다.

보조정리

기호와 가정은 보조정리 0AE5에서와 같다고 하자. \(f : X' \to \Spec(A)\)가 이 동치를 통하여 \(g : Y' \to \Spec(B)\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가

준콤팩트, 준분리, 분리, 고유, 유한, 그리고 여기에 더 추가할 성질인 것과 \(g\)가 그러한 것은 동치이다.

증명

준콤팩트, 준분리, 분리, 고유라는 명제에 대해서는 보조정리 0ARU 0ARV, 0ARW, 0ARV, 그리고 0ARX을 사용하여 대응하는 성질을 형식 완비화의 성질로 옮기고, 보조정리 0AE5의 증명에 나오는 논증을 사용하면 결론을 얻는다. 그러나 다음과 같이 fpqc 하강을 사용하는 직접적인 논증도 있다. 먼저 \(A^\wedge \to B^\wedge\)가 동형이므로 \(A \to A^\wedge\)와 \(B \to B^\wedge\)에 대해 보조정리를 증명하는 경우로 귀착된다. 다음으로, 앞에서와 같이 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\)로 놓으면 \(\{U \to \Spec(A), \Spec(A^\wedge) \to \Spec(A)\}\)가 fpqc 덮개임을 주의하라. 우리 범주 (0AS2)의 정의에 의해 \(f\)를 \(U \to \Spec(A)\)로 밑변환한 것은 \(\text{id}_U\)이다. \(P\)를 대수 공간 사상들의 성질로서 밑에서 fpqc 국소적인 것이라 하자 (Descent on Spaces, 정의 03YH). 또한 \(P\)가 항등사상들에 대해 성립한다고 하자. 그러면 \(P\)가 \(f\)에 대해 성립할 필요충분조건은 \(P\)가 \(g\)에 대해 성립하는 것이다. 이는 \(P\)가 준콤팩트, 준분리, 분리, 고유, 유한인 경우에 적용된다. Descent on Spaces, 보조정리 041L, 041N, 0421, 0422, 그리고 0426를 보라.

보조정리

\(A \to B\)를 국소 뇌터 환들의 국소 준동형으로서 다음을 만족하는 것이라 하자.

1. \(A \to B\)는 평탄하다,

2. \(\mathfrak m_B = \mathfrak m_A B\)이다, 그리고

3. \(\kappa(\mathfrak m_A) = \kappa(\mathfrak m_B)\)이다.

그러면 \((A, \mathfrak m_A)\)에 대한 범주 (0AS2)에서 \((B, \mathfrak m_B)\)에 대한 범주 (0AS2)로 가는 밑변환 함자는 동치이다.

증명

이 조건들은 \(A \to B\)가 완비화 위에서 동형을 유도한다는 뜻이다. More on Algebra, 보조정리 0AGX를 보라. 따라서 이 보조정리는 보조정리 0AE5의 특수한 경우이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 뇌터 국소환이라 하자.

\(f : X \to S\)를 (0AS2)의 대상으로서 \(f\)가 고유인 것이라 하자. 그러면 \(X\)를 지배하는 \(U\)-허용가능 블로업 \(S' \to S\)가 존재한다.

증명

More on Morphisms of Spaces, 보조정리 087G의 특수한 경우이다.