사이트 위의 코호몰로지

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이 문서에서는 층의 코호몰로지에 관한 몇 가지 주제를 전개한다. 사이트 위의 층에서 어떤 일이 일어나는지 다루지만, 흔히 위상적 경우의 논의, 구성, 증명을 이 경우에 그대로 되풀이할 뿐이다. 기본 참고문헌은 [SGA4], [Godement], [Iversen]이다.

층의 코호몰로지

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. Sites, Definition 00VH를 보라. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층이라 하자. \(\mathcal{C}\) 위 아벨 층의 범주에는 단사 대상이 충분히 많음을 알고 있다. Injectives, Theorem 01DP를 보라. 따라서 단사 분해 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택할 수 있다. 사이트 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에 대해 [071C]\[\begin{equation} H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 대상 \(U\) 위에서의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 코호몰로지군이라 한다. 다시 말해 이들은 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\)의 오른쪽 유도함자들이다. 함자족 \(H^i(U, -)\)는 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

사이트 \(\mathcal{C}\)에 끝 대상이 없는 경우가 있다. 이때 \(\mathcal{C}\) 위 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)의 대역 절단을 집합 [071D]\[\begin{equation} \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(e, \mathcal{F}) \end{equation}\] 으로 정의한다. 여기서 \(e\)는 \(\mathcal{C}\) 위 준층의 범주에서 끝 대상이다. 이 경우 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 \(\mathcal{C}\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 코호몰로지군을 다음과 같이 정의한다. [071E]\[\begin{equation} H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] 다시 말해 이는 대역 절단 함자의 제\(i\) 오른쪽 유도함자이다. 함자족 \(H^i(\mathcal{C}, -)\)는 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

\(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)를 토포스의 사상이라 하자. Sites, Definition 00XA를 보라. 위와 같은 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 사용하여 [071F]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 고차 직상이라 한다. 이들은 \(f_*\)의 오른쪽 유도함자들이다. 함자족 \(R^if_*\)는 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. Modules on Sites, Definition 03AD를 보라. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 범주에는 단사 대상이 충분히 많음을 알고 있다. Injectives, Theorem 01DU를 보라. 따라서 단사 분해 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택할 수 있다. 사이트 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에 대해 [071G]\[\begin{equation} H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 \(U\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 코호몰로지군이라 한다. 함자족 \(H^i(U, -)\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}(U)}\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다. 마찬가지로 [071H]\[\begin{equation} H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] 로 정의한 것은 \(\mathcal{C}\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 코호몰로지군이다. 함자족 \(H^i(\mathcal{C}, -)\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{C}) \to \text{Mod}_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. Modules on Sites, Definition 01D3를 보라. 위와 같은 \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\)을 사용하여 [071I]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\] 로 정의하고 이를 \(\mathcal{F}\)의 제\(i\) 고차 직상이라 한다. 이들은 \(f_*\)의 오른쪽 유도함자들이다. 함자족 \(R^if_*\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\)인 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다.

유도함자

분해 함자를 이용하여 오른쪽 유도함자를 얻는 접근법을 간단히 설명한다. 즉, \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 이 장에서는 \[K(\mathcal{O}) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \quad \text{and} \quad D(\mathcal{O}) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\] 로 쓰며, Derived Categories, Definition 013H과 Definition 05RU에서 도입한 삼각범주의 유계 형태에도 같은 표기를 사용한다. Derived Categories, Remark 0142에 의해 분해 함자 \[j = j_{(\mathcal{C}, \mathcal{O})} : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] 가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{I}\)는 단사 \(\mathcal{O}\)-가군들로 이루어진 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)의 엄밀 충만 가법 부분범주이다. 임의의 아벨 범주 \(\mathcal{B}\)로 가는 왼쪽 완전 함자 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathcal{B}\)에 대해, Derived Categories, Section 0156에 설명되어 있고 방금의 분해 함자 \(j\)를 사용하여 구성되는 오른쪽 유도함자를 \(RF\)로 나타낸다. [05U5]\[\begin{equation} RF = F \circ j' : D^{+}(\mathcal{O}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\] 표기는 Derived Categories, Lemma 05TN를 보라. 상황에 따라 \(RF\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), \(\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) 또는 \(K^{+}(\mathcal{O})\) 위에 정의된 것으로 생각할 수 있다. Derived Categories, Definition 015A에 따라 제\(i\) 오른쪽 유도함자 [05U6]\[\begin{equation} R^iF = H^i \circ RF : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \mathcal{B} \end{equation}\] 를 얻는다. 따라서 \(R^0F = F\)이고 \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\)는 보편 \(\delta\)-함자이다. Derived Categories, Lemma 015B를 보라.

이 구성의 두 가지 특수한 경우를 들자. 환 \(R\)이 주어지면 \(K(R) = K(\text{Mod}_R)\)과 \(D(R) = D(\text{Mod}_R)\)로 쓰고 유계 형태에도 같은 표기를 사용한다. \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에 대해 왼쪽 완전 함자 \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}(U)}\) 가 있고, 위의 논의로부터 \[R\Gamma(U, -) : D^{+}(\mathcal{O}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}(U))\] 을 얻는다. \(H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)\)는 위의 (071G)와 양립한다. 마찬가지로 \[R\Gamma(\mathcal{C}, -) : D^{+}(\mathcal{O}) \longrightarrow D^{+}(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}))\] 를 얻으며, 이는 (071H)와 양립한다. \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 가 환 달린 토포스의 사상이면 왼쪽 완전 함자 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) 가 있고, 이로부터 유도 직상 \[Rf_* : D^{+}(\mathcal{O}) \to D^+(\mathcal{O}')\] 을 얻는다. \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\)의 제\(i\) 코호몰로지 층은 \(R^if_*\mathcal{F}^\bullet\)로 나타내며, (071I)에 따라 제\(i\) 고차 직상이라 한다. 위에 표시한 함자들은 유도범주 사이의 완전함자이다.

제1 코호몰로지와 토서

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 (가환하지 않을 수도 있는) 군의 층이라 하자. 유사 토서, 더 정확히는 유사 \(\mathcal{G}\)-토서란 작용 \(\mathcal{G} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 주어진 \(\mathcal{C}\) 위의 집합의 층 \(\mathcal{F}\)로서 다음을 만족하는 것을 말한다.

1. \(\mathcal{F}(U)\)가 공집합이 아닐 때마다 작용 \(\mathcal{G}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) 은 단순 추이적이다.

유사 \(\mathcal{G}\)-토서의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)은 \(\mathcal{G}\)-작용과 양립하는 집합의 층의 사상이다. 토서, 더 정확히는 \(\mathcal{G}\)-토서란 다음 조건도 만족하는 유사 \(\mathcal{G}\)-토서이다.

1. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(U\)의 피복 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 존재하여 모든 \(i \in I\)에 대해 \(\mathcal{F}(U_i)\)가 공집합이 아니다.

\(\mathcal{G}\)-토서의 사상은 유사 \(\mathcal{G}\)-토서의 사상이다. 자명한 \(\mathcal{G}\)-토서는 자명한 왼쪽 \(\mathcal{G}\)-작용이 주어진 층 \(\mathcal{G}\)이다.

토서의 사상은 자동으로 동형사상임이 분명하다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 (가환하지 않을 수도 있는) 군의 층이라 하자. \(\mathcal{G}\)-토서 \(\mathcal{F}\)가 자명할 필요충분조건은 \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) \not = \emptyset\)인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{H}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층이라 하자. \(\mathcal{H}\)-토서의 동형류 집합과 \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{H})\) 사이에는 표준 전단사가 있다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{H}\)-토서라 하자. \(\mathcal{F}\) 위의 자유 아벨 층 \(\mathbf{Z}[\mathcal{F}]\)을 생각하자. 이것은 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 \(n_i \in \mathbf{Z}\)이고 \(s_i \in \mathcal{F}(U)\)인 유한 형식합 \(\sum n_i[s_i]\)들의 모임을 대응시키는 규칙의 층화이다. 자연스러운 사상 \[\sigma : \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}\] 이 있으며, 국소 단면 \(\sum n_i[s_i]\)를 \(\sum n_i\)로 보낸다. \(\sigma\)의 핵은 \([s] - [s']\) 꼴의 단면들로 생성된다. 표준 사상 \(a : \Ker(\sigma) \to \mathcal{H}\)가 있으며, \([s] - [s'] \mapsto h\)로 보내는데, 여기서 \(h\)는 \(h \cdot s' = s\)를 만족하는 \(\mathcal{H}\)의 국소 단면이다. 밀어내기 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(\sigma) \ar[r] \ar[d]^a & \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] & 0 }\] 을 생각하자. 여기서 \(\mathcal{E}\)는 밀어내기로 얻은 확대이다. 아래의 짧은 완전열에 딸린 코호몰로지 긴 완전열에서 \(\xi = \xi_\mathcal{F} \in H^1(\mathcal{C}, \mathcal{H})\)를 얻는데, 이는 경계 사상을 \(1 \in H^0(\mathcal{C}, \underline{\mathbf{Z}})\)에 적용하여 얻는다.

거꾸로 \(\xi \in H^1(\mathcal{C}, \mathcal{H})\)가 주어지면 다음과 같이 \(\xi\)에 토서를 대응시킬 수 있다. \(\mathcal{H}\)를 단사 아벨 층 \(\mathcal{I}\)에 넣는 매장 \(\mathcal{H} \to \mathcal{I}\)를 택하자. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{H}\)로 두면 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{I}) = 0\)이므로(Derived Categories, Lemma 015B 참조), 원소 \(\xi\)는 전역 단면 \(q \in H^0(\mathcal{C}, \mathcal{Q})\)의 상이다. 층 \(\mathcal{Q}\)에서 \(q\)로 가는 단면들로 이루어진 부분층(집합의 층으로서)을 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{H}\)-토서임은 쉽게 확인할 수 있다.

위에서 준 두 구성이 서로 역이라는 확인은 생략한다.

제1 코호몰로지와 확대

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군층이라 하자. 표준 전단사 \[\Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{O}, \mathcal{F}) \longrightarrow H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] 가 있으며, 이 전단사는 확대 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{O} \to 0\] 에 \(1 \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\)의 \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\)에서의 상을 대응시킨다.

증명

보조정리에서 준 사상의 역을 구성하자. \(\xi \in H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\)라 하자. \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에서 \(\mathcal{I}\)가 단사 대상이 되도록 단사 사상 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\)를 택한다. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\)로 두자. 코호몰로지 긴 완전열에 의해 \(\xi\)는 단면 \(\tilde \xi \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{Q}) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, \mathcal{Q})\) 의 상이다. 이제 다음 당김을 만들면 된다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{E} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O} \ar[r] \ar[d]^{\tilde \xi} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] Homology, Section 010I을 보라.

다음 보조정리는 더 일반적인 보조정리 03FD로 대체될 것이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군층이라 하자. \(\mathcal{F}_{ab}\)로 그 밑의 아벨군층을 나타내자. 그러면 함자적 동형사상 \[H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{ab}) = H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] 이 있다. 여기서 왼쪽은 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)에서 계산한 코호몰로지이고, 오른쪽은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에서 계산한 코호몰로지이다.

증명

\(\underline{\mathbf{Z}}\)로 상수층 \(\mathbf{Z}\)를 나타내자. \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) = \textit{Mod}(\underline{\mathbf{Z}})\)이므로 보조정리 03F1를 두 번 적용할 수 있다. 따라서 다음을 보이면 된다. \[\Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{O}, \mathcal{F}) = \Ext^1_{\textit{Mod}(\underline{\mathbf{Z}})}( \underline{\mathbf{Z}}, \mathcal{F}_{ab}).\] \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{O} \to 0\)을 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)의 확대라 하자. 그러면 아벨 층의 자명한 사상 \(1 : \underline{\mathbf{Z}} \to \mathcal{O}\)을 사용하여 당김을 취함으로써 다음과 같이 확대 \(\mathcal{E}_{ab}\)를 얻을 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_{ab} \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{E}_{ab} \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] \ar[d]^{1} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 }\] 거꾸로 하는 쪽이 조금 더 흥미롭다. \(0 \to \mathcal{F}_{ab} \to \mathcal{E}_{ab} \to \underline{\mathbf{Z}} \to 0\) 을 \(\textit{Mod}(\underline{\mathbf{Z}})\)의 확대라 하자. \(\underline{\mathbf{Z}}\)는 평탄한 \(\underline{\mathbf{Z}}\)-가군이므로 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to \mathcal{E}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to \underline{\mathbf{Z}} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to 0\] 을 얻는다. Modules on Sites, Lemma 03EX를 보라. 물론 \(\underline{\mathbf{Z}} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} = \mathcal{O}\)이다. 따라서 (\(\mathcal{O}\)-선형인) 곱셈 사상 \(\mu : \mathcal{F} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to \mathcal{F}\)를 따라 밀어내기를 취하여 다음과 같이 \(\mathcal{F}\)에 의한 \(\mathcal{O}\)의 확대를 얻을 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \ar[r] \ar[d]^\mu & \mathcal{E}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 }\] 이것이 원하는 확대이다. 이 두 구성이 서로 역이라는 확인은 생략한다.

제1 코호몰로지와 가역층

환 달린 사이트의 피카르 군은 Modules on Sites, Section 0408에서 정의하였다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 국소 환 달린 사이트라 하자. 아벨군의 표준 동형사상 \[H^1(\mathcal{C}, \mathcal{O}^*) = \Pic(\mathcal{O}).\] 이 있다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 다음 규칙으로 정의된 준층 \(\mathcal{L}^*\)를 생각하자. \[U \longmapsto \{s \in \mathcal{L}(U) \text{ 중 } \mathcal{O}_U \xrightarrow{s \cdot -} \mathcal{L}_U \text{ 가 동형사상인 것}\}\] 이 준층은 층 조건을 만족한다. 또한 \(f \in \mathcal{O}^*(U)\)이고 \(s \in \mathcal{L}^*(U)\)이면 분명히 \(fs \in \mathcal{L}^*(U)\)이다. 마찬가지로 \(s, s' \in \mathcal{L}^*(U)\)이면 \(fs = s'\)를 만족하는 \(f \in \mathcal{O}^*(U)\)가 유일하게 존재한다. 더욱이 Modules on Sites, Lemma 0B8Q에 의해 층 \(\mathcal{L}^*\)는 국소적으로 단면을 가진다. 다시 말해 \(\mathcal{L}^*\)는 \(\mathcal{O}^*\)-토서이다. 따라서 다음 사상을 얻는다. \[\begin{matrix} \text{환 달린 사이트 }(\mathcal{C}, \mathcal{O})\text{ 위의 가역층} \\ \text{의 동형류} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \mathcal{O}^*\text{-토서} \\ \text{의 동형류} \end{matrix}\] 이 사상이 아벨군의 준동형이라는 확인은 생략한다. 보조정리 03AJ에 의해 오른쪽은 \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{O}^*)\)와 표준적으로 전단사이다. 따라서 이 사상이 단사이고 전사임을 보이면 된다.

단사성. 토서 \(\mathcal{L}^*\)가 자명하면 보조정리 03AI에 의해 \(\mathcal{L}^*\)는 전역 단면을 가진다. 따라서 이는 정확히 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}\)가 \(\Pic(\mathcal{O})\)의 항등원이라는 뜻이다.

전사성. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}^*\)-토서라 하자. 집합의 준층 \[\mathcal{L}_1 : U \longmapsto (\mathcal{F}(U) \times \mathcal{O}(U))/\mathcal{O}^*(U)\] 을 생각하자. 여기서 \(f \in \mathcal{O}^*(U)\)가 \((s, g)\)에 작용한 결과는 \((fs, f^{-1}g)\)이다. \(s'/s\)를 \(fs = s'\)를 만족하는 \(\mathcal{O}^*\)의 국소 단면 \(f\)라 하고, \((s, g) + (s', g') = (s, g + (s'/s)g')\)로 두며, \(\mathcal{O}\)의 국소 단면 \(h\)에 대해 \(h(s, g) = (s, hg)\)로 두면 \(\mathcal{L}_1\)은 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이 된다. 그 층화 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1^\#\)가 가역 \(\mathcal{O}\)-가군이고, 이에 딸린 \(\mathcal{O}^*\)-토서 \(\mathcal{L}^*\)가 \(\mathcal{F}\)와 동형이라는 확인은 생략한다.

코호몰로지의 국소성

다음 보조정리는 사이트의 대상 위에서 층 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지를 정의하는 데 모호함이 없음을 말한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자.

1. \(\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}\)-가군이면 \(\mathcal{I}|_U\)는 단사 \(\mathcal{O}_U\)-가군이다.

2. 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{C}/U, \mathcal{F}|_U)\)이다.

증명

\(U\)로 제한하는 함자 \(j_U^{-1}\)는 \(0\)에 의한 연장 함자 \(j_{U!}\)의 오른쪽 수반임을 상기하라. Modules on Sites, Section 03DH를 보라. 또한 \(j_{U!}\)는 완전하다. 따라서 (1)은 Homology, Lemma 015Z에서 따른다.

정의에 따라 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{I}^\bullet(U))\)이다. 여기서 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에서의 단사 분해이다. 위에서 본 바에 따라 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{I}^\bullet|_U\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\)에서의 단사 분해이다. 따라서 \(H^p(U, \mathcal{F}|_U)\)는 \(H^p(\mathcal{I}^\bullet|_U(U))\)와 같다. 물론 \(\mathcal{C}\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}|_U(U)\)이다. 따라서 (2)의 등식이 따른다.

다음 보조정리는 부분 우주를 바꿀 때 어떤 일이 일어나는지를 알아보거나, 작은 에탈 사이트와 큰 에탈 사이트의 코호몰로지를 비교하는 데 쓰일 것이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\)를 사이트라 하고, \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 함자라 하자. \(u\)가 Sites, Lemma 00XU의 가정을 만족한다고 하자. \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)를 이에 딸린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{D}\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 동형사상 \[R\Gamma(\mathcal{C}, g^{-1}\mathcal{F}) = R\Gamma(\mathcal{D}, \mathcal{F}),\] 이 있고, 특히 \(H^p(\mathcal{C}, g^{-1}\mathcal{F}) = H^p(\mathcal{D}, \mathcal{F})\)이다. 또 임의의 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 동형사상 \[R\Gamma(U, g^{-1}\mathcal{F}) = R\Gamma(u(U), \mathcal{F}),\] 이 있고, 특히 \(H^p(U, g^{-1}\mathcal{F}) = H^p(u(U), \mathcal{F})\)이다. 이 동형사상들은 모두 \(\mathcal{F}\)에 관해 함자적이다.

증명

가정 (e)에 의해 \(\Gamma(\mathcal{C}, g^{-1}\mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{D}, \mathcal{F})\) 임은 분명하므로, \(g^{-1}\)가 단사 아벨 층을 단사 아벨 층으로 옮김을 보이면 충분하다. 통상대로 Homology, Lemma 015Z를 사용한다. Sites, Lemma 00XU의 표기로 \(g^{-1}\)의 왼쪽 수반은 \(g_! = f^{-1}\)이고 이는 완전함자이다. 따라서 그 보조정리를 적용할 수 있다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군층이라 하자. \(\varphi : U \to V\)를 \(\mathcal{O}\)의 사상이라 하자. 그러면 표준적인 제한 사상 [01FV]\[\begin{equation} H^n(V, \mathcal{F}) \longrightarrow H^n(U, \mathcal{F}), \quad \xi \longmapsto \xi|_U \end{equation}\] 이 있으며 이는 \(\mathcal{F}\)에 관해 함자적이다. 실제로 임의의 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 층 \(\mathcal{I}^p\)의 제한 사상들은 복합체의 사상 \[\Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\] 을 준다. 왼쪽은 \(R\Gamma(V, \mathcal{F})\)를 나타내는 복합체이고, 오른쪽은 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})\)를 나타내는 복합체이다. 함자 \(H^n\)을 적용하여 코호몰로지군 사이의 사상을 얻는다. 앞서 표시했듯이 이 사상을 \(\xi \mapsto \xi|_U\)로 나타낸다. 따라서 규칙 \(U \mapsto H^n(U, \mathcal{F})\)는 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이다. 이 준층은 관례상 \(\underline{H}^n(\mathcal{F})\)로 나타낸다. 보조정리 03AY에서 이 준층을 달리 해석할 것이다.

다음 보조정리는 피복으로 넘어가면 고차 코호몰로지류를 소멸시킬 수 있음을 말한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군층이라 하자. \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(n > 0\)이고 \(\xi \in H^n(U, \mathcal{F})\)라 하자. 그러면 모든 \(i \in I\)에 대해 \(\xi|_{U_i} = 0\)이 되는 \(\mathcal{C}\)의 피복 \(\{U_i \to U\}\)가 존재한다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 단사 분해라 하자. 그러면 \[H^n(U, \mathcal{F}) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] 위의 표시에 나오는 코호몰로지류를 나타내는 원소 \(\tilde \xi \in \mathcal{I}^n(U)\)를 택하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)은 \(\mathcal{F}\)의 단사 분해이고 \(n > 0\)이므로, 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)은 차수 \(n\)에서 완전하다. 따라서 층으로서 \(\Im(\mathcal{I}^{n - 1} \to \mathcal{I}^n) = \Ker(\mathcal{I}^n \to \mathcal{I}^{n + 1})\)이다. \(\tilde \xi\)는 \(U\) 위에서 핵층의 단면이므로, \(\tilde \xi|_{U_i}\)가 어떤 단면 \(\xi_i \in \mathcal{I}^{n - 1}(U_i)\)의 \(d\)에 의한 상이 되는 사이트의 피복 \(\{U_i \to U\}\)가 존재한다. 제한 \(\xi|_{U_i}\)를 \(\tilde \xi|_{U_i}\)의 류에 대응하는 것으로 정의했으므로 결론이 따른다.

보조정리

\(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 연속함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)에 대응하는 환 달린 사이트의 사상이라 하자. 임의의 \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}))\)에 대해 층 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 준층 \[V \longmapsto H^i(u(V), \mathcal{F})\] 에 결부된 층이다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 단사 분해라 하자. 정의에 따라 \(R^if_*\mathcal{F}\)는 복합체 \[f_*\mathcal{I}^0 \to f_*\mathcal{I}^1 \to f_*\mathcal{I}^2 \to \ldots\] 의 제\(i\) 코호몰로지층이다. \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군의 아벨 범주 구조의 정의에 따라 이 코호몰로지층은 준층 \[V \longmapsto \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(V) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(V))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(V) \to f_*\mathcal{I}^i(V))}\] 에 결부된 층이다. 이것은 분명히 \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^i(u(V)) \to \mathcal{I}^{i + 1}(u(V)))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(u(V)) \to \mathcal{I}^i(u(V)))}\] 와 같고, 이는 \(H^i(u(V), \mathcal{F})\)와 같다. 이로써 끝난다.

체흐 복합체와 체흐 코호몰로지

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족이라 하자. Sites, Definition 0396를 보라. 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재한다고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 준층이라 하고 다음과 같이 놓는다. \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{(i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}).\] 이는 아벨군이다. \(s \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에 대해 인자 \(\mathcal{F}(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\)에서의 그 값을 \(s_{i_0\ldots i_p}\)로 나타낸다. 다음을 정의한다. \[d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 그 공식은 [03AL]\[\begin{equation} d(s)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} |_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}} \end{equation}\] 이다. 여기서 제한은 사영사상 \[U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}} \longrightarrow U_{i_0} \times_U \ldots \times_U \widehat{U_{i_j}} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}.\] 을 따른다. \(d \circ d = 0\)임은 곧바로 알 수 있다. 다시 말해 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체이다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 준층이라 하자. 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\)와 사상족 \(\mathcal{U}\)에 결부된 체흐 복합체라고 한다. 그 코호몰로지군 \(H^i(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}))\)를 \(\mathcal{U}\)에 대한 \(\mathcal{F}\)의 체흐 코호몰로지군이라고 하며, \(\check H^i(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)로 나타낸다.

사이트 \(\mathcal{C}\)의 임의의 피복 \(\{U_i \to U\}\)는 이 정의를 적용할 수 있는 공역이 고정된 사상족임을 관찰하자.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 준층이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층이다.

2. 사이트 \(\mathcal{C}\)의 모든 피복 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)에 대해 자연스러운 사상 \[\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 전단사이다(Sites, Section 00W1 참조).

증명

층 조건은 정확히 \(\mathcal{C}\)의 모든 피복에 대해 \(\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)가 전단사라는 조건이므로 성립한다.

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\)를 공역이 고정된 \(\mathcal{C}\)의 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\)를 또 하나의 그러한 사상족이라 하자. \(f : U \to V\), \(\alpha : I \to J\) 및 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\)를 공역이 고정된 사상족의 사상이라 하자. Sites, Section 00VS를 보라. 이 경우 체흐 복합체의 사상 [03F4]\[\begin{equation} \varphi : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \end{equation}\] 을 얻으며, 차수 \(p\)에서 이는 \[\varphi(s)_{i_0 \ldots i_p} = (f_{i_0} \times \ldots \times f_{i_p})^*s_{\alpha(i_0) \ldots \alpha(i_p)}\] 로 주어진다.

준층 위의 함자로서의 체흐 코호몰로지

경고: 이 절에서는 오직 범주 위의 아벨 준층만을 다룬다. 여기의 결과들은 층과 층의 범주라는 설정에서는 완전히 틀린다!

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 준층이라 하자. 구성 \[\mathcal{F} \longmapsto \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다. 실제로 이는 함자 [03AP]\[\begin{equation} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\textit{Ab}) \end{equation}\] 이다. 표기는 Derived Categories, Definition 013H을 보라. 아벨 범주에서 아래로 유계인 복합체들의 범주는 아벨 범주임을 상기하라. Homology, Lemma 0114을 보라.

보조정리

Equation (03AP)으로 주어진 함자는 완전함자이다 (Homology, Lemma 010N 참조).

증명

\(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(W\)에 대해 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\)는 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)에서 \(\textit{Ab}\)로 가는 가법 완전함자이다. 복합체의 항 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 이러한 완전함자들의 곱이므로 완전하다. 또한 복합체의 열이 완전일 필요충분조건은 각 차수에서 항들의 열이 완전인 것이다. 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. 함자들 \(\mathcal{F} \mapsto \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 아벨 범주 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)에서 \(\mathbf{Z}\)-가군의 범주로 가는 \(\delta\)-함자를 이룬다(Homology, Definition 010Q 참조).

증명

보조정리 03AQ에 의해 아벨 준층들의 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)은 \(\mathbf{Z}\)-가군 복합체들의 짧은 완전열로 보내진다. 따라서 Homology, Lemma 0117을 사용하여 경계 사상 \(\delta_{\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3} : \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3) \to \check{H}^{n + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1)\) 과 이에 대응하는 긴 완전열을 얻는다. 이 사상들이 준층들의 짧은 완전열 사이의 사상들과 양립한다는 확인은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. 아벨 준층의 사슬 복합체 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\) \[\ldots \to \bigoplus_{i_0i_1i_2} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}} \to \bigoplus_{i_0i_1} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \to \bigoplus_{i_0} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \to 0 \to \ldots\] 를 생각하자. 여기서 마지막 영이 아닌 항은 차수 \(0\)에 놓이고, 사상 \[\mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_u U_{i_{p + 1}}} \longrightarrow \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \widehat{U_{i_j}} \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}}\] 은 표준 사상의 \((-1)^j\)배로 주어진다. 그러면 동형사상 \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 은 \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PAb}(\mathcal{C}))\)에 대해 함자적이다.

증명

이는 다음 사실에 바탕을 둔 항진명제이다. \[\begin{align*} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \bigoplus_{i_0 \ldots i_p} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}}, \mathcal{F}) & = \prod_{i_0 \ldots i_p} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}}, \mathcal{F}) \\ & = \prod_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}) \end{align*}\] Modules on Sites, Lemma 03A8를 보라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하고, \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. 위 보조정리 03AS의 준층 사슬 복합체 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\)는 양의 차수에서 완전하다. 즉, \(i > 0\)이면 호몰로지 준층 \(H_i(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet})\)는 영이다.

증명

\(V\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 아벨군의 사슬 복합체 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}(V)\)가 차수 \(> 0\)에서 완전함을 보이면 된다. 이 복합체는 \[\xymatrix{ \ldots \ar[d] \\ \bigoplus_{i_0i_1i_2} \mathbf{Z}[ \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_{i_0i_1} \mathbf{Z}[ \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_{i_0} \mathbf{Z}[ \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0}) ] \ar[d] \\ 0 }\] 이다. 임의의 사상 \(\varphi : V \to U\)에 대해 \(\Mor_\varphi(V, U_i) = \{\varphi_i : V \to U_i \mid f_i \circ \varphi_i = \varphi\}\)로 나타내자. \(\Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\)에도 비슷한 표기를 사용한다. 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) 사이의 여러 사영사상과 합성해도 이 사상 집합들이 보존됨에 유의하자. 따라서 위의 복합체는 다음 복합체와 같다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \bigoplus_{i_0i_1i_2} \mathbf{Z}[ \Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \bigoplus_{i_0i_1} \mathbf{Z}[ \Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \bigoplus_{i_0} \mathbf{Z}[ \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) ] \ar[d] \\ 0 }\] 다음으로 \[\Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}) = \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \ldots \times \Mor_\varphi(V, U_{i_p})\] 임을 관찰하자. 이 등식과 \(\mathbf{Z}[A] \oplus \mathbf{Z}[B] = \mathbf{Z}[A \amalg B]\)라는 사실을 사용하면 복합체는 다음과 같이 된다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0i_1i_2} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_2}) \right] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0i_1} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1}) \right] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \right] \ar[d] \\ 0 }\] 마지막으로 \(S_\varphi = \coprod_{i \in I} \Mor_\varphi(V, U_i)\)로 두면 다음을 얻는다. \[\bigoplus\nolimits_\varphi \left(\ldots \to \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi \times S_\varphi] \to \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi] \to \mathbf{Z}[S_\varphi] \to 0 \to \ldots \right)\] 이로써 과제가 단순해졌다. 즉, 임의의 공집합이 아닌 집합 \(S\)에 대해 자유 아벨군의 확대 복합체 \[\ldots \to \mathbf{Z}[S \times S \times S] \to \mathbf{Z}[S \times S] \to \mathbf{Z}[S] \xrightarrow{\Sigma} \mathbf{Z} \to 0 \to \ldots\] 가 모든 차수에서 완전함을 보이면 충분하다. 이를 위해 원소 \(s \in S\)를 고정하고, 자명한 표기 아래 호모토피 \[n_{(s_0, \ldots, s_p)} \longmapsto n_{(s, s_0, \ldots, s_p)}\] 를 사용하면 된다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하고, \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 준층이라 하자. 사슬 복합체 \[\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet} \otimes_{p, \mathbf{Z}} \mathcal{O}\] 는 양의 차수에서 완전하다. 여기서 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\)는 보조정리 03AS의 사슬 복합체이고, 텐서곱은 값이 \(\mathbf{Z}\)인 환의 상수 준층 위에서 취한다.

증명

\(V\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 보조정리 03AT의 증명에서 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}(V)\)는 복합체로서 차수 영에 놓인 \(\mathbf{Z}\)와 호모토픽인 복합체들의 직합과 동형임을 보았다. 따라서 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}(V) \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{O}(V)\) 도 복합체로서 차수 영에 놓인 \(\mathcal{O}(V)\)와 호모토픽인 복합체들의 직합과 동형이다. 또는 Modules on Sites, Lemma 03EZ을 사용할 수도 있다. 실제로 준층 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, i}\)들은 평탄하고, 보조정리 03AT의 증명은 \(H_0(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet})\)도 평탄한 준층임을 보인다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하고, \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 고정된 사상족으로서 모든 섬유곱 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\)가 \(\mathcal{C}\)에 존재하는 것이라 하자. 체흐 코호몰로지 함자 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\)들은 하나의 \(\delta\)-함자로서 다음 함자의 오른쪽 유도함자들과 표준적으로 동형이다. \[\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ab}.\] 또한 함자적 유사동형 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow R\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 이 있다. 여기서 오른쪽은 왼쪽 완전함자 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)의 유도함자 \[R\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : D^{+}(\textit{PAb}(\mathcal{C})) \longrightarrow D^{+}(\mathbf{Z})\] 를 나타낸다.

증명

아벨 준층의 범주에는 단사가 충분히 있다. Injectives, Proposition 01DK를 보라. 또한 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)는 아벨 준층의 범주에서 \(\mathbf{Z}\)-가군의 범주로 가는 왼쪽 완전함자이다. 따라서 유도함자와 오른쪽 유도함자가 존재한다. Derived Categories, Section 0156를 보라.

\(\mathcal{I}\)를 단사 아벨 준층이라 하자. 이 경우 함자 \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) 는 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)에서 완전하다. 보조정리 03AS에 의해 \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] 이다. 보조정리 03AT에 의해 \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\)는 양의 차수에서 완전하다. 따라서 위에서 언급한 \(\mathcal{I}\)로 들어가는 Hom의 완전성으로부터 모든 \(i > 0\)에 대해 \(\check{H}^i(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(\delta\)-함자 \((\check{H}^n, \delta)\)(보조정리 03AR 참조)는 Homology, Lemma 010T의 가정을 만족하며, 따라서 보편 \(\delta\)-함자이다.

Derived Categories, Lemma 015B에 의해 열 \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)도 보편 \(\delta\)-함자를 이룬다. 보편 \(\delta\)-함자의 유일성(Homology, Lemma 010U 참조)에 의해 \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -) = \check{H}^i(\mathcal{U}, -)\)를 얻는다. 이는 대부분의 응용에 충분하므로 독자는 증명의 나머지를 건너뛰어도 좋다.

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 임의의 아벨 준층이라 하자. 범주 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)에서 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 항들이 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)인 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) 와 결부된 전체 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\) 를 생각하자. Homology, Section 0FNB를 보라. 사상들 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^0)\)에서 오는 복합체의 사상 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 이 있고, 사상들 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)에서 오는 복합체의 사상 \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 도 있다. Homology, Lemma 0133을 적용하면 이 두 사상은 모두 유사동형이다. 실제로 함자로서의 체흐 복합체가 완전하므로(보조정리 03AQ) 이중 복합체의 열들은 양의 차수에서 완전하고, 방금 본 바와 같이 단사 준층 \(\mathcal{I}^q\)의 고차 체흐 코호몰로지군들이 영이므로 이중 복합체의 행들도 양의 차수에서 완전하다. 유사동형은 \(D^{+}(\mathbf{Z})\)에서 가역이 되므로 보조정리의 마지막에 표시한 사상을 얻는다. 이 사상이 함자적이라는 확인은 생략한다.

체흐 코호몰로지와 코호몰로지

코호몰로지와 체흐 코호몰로지의 관계는 단사 아벨 층의 체흐 코호몰로지가 영이라는 사실에서 비롯된다. 이를 보기 위해 단사 아벨 층이 단사 아벨 준층임을 관찰한 뒤 앞 절의 체흐 코호몰로지에 관한 결과들을 적용한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 단사 아벨 층은 범주 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)의 대상으로서도 단사이다.

증명

범주 \(\mathcal{A} = \textit{Ab}(\mathcal{C})\)와 \(\mathcal{B} = \textit{PAb}(\mathcal{C})\), 포함 함자와 층화에 Homology, Lemma 015Z를 적용한다. 보조정리의 모든 가정이 만족됨은 Modules on Sites, Section 03CM를 보라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 피복이라 하자. \(\mathcal{I}\)를 단사 아벨 층, 즉 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)의 단사 대상이라 하자. 그러면 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(U) & \text{if} & p = 0 \\ 0 & \text{if} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

증명

보조정리 03F6에 의해 \(\mathcal{I}\)는 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)의 단사 대상이다. 따라서 보조정리 03AU(또는 그 증명)를 적용하면 고차 체흐 코호몰로지군의 소멸을 알 수 있다. 제영차에 대해서는 보조정리 03AN을 보라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 피복이라 하자. 함자들 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to D^{+}(\mathbf{Z})\) 사이의 변환 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) \longrightarrow R\Gamma(U, -)\] 이 있다. 특히 \(\mathcal{F}\)가 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)를 달릴 때 이는 함자들의 변환 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^p(U, \mathcal{F})\)를 준다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 아벨 층이라 하고 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 항들이 \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)인 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\)와 이에 결부된 전체 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\) 를 생각하자. Homology, Definition 012Z을 보라. 사상들 \(\mathcal{I}^q(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)에서 오는 복합체의 사상 \[\alpha : \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 과 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^0\)에서 오는 복합체의 사상 \[\beta : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] 이 있다. Homology, Lemma 0133을 적용하면 \(\alpha\)가 유사동형임을 알 수 있다. 실제로 보조정리 03AW에 의해 이중 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\)의 \(q\)번째 행은 \(\Gamma(U, \mathcal{I}^q)\)의 분해이다. 따라서 \(\alpha\)는 \(D^{+}(\mathbf{Z})\)에서 가역이 되고, 보조정리의 변환은 \(\beta\)에 \(\alpha\)의 역을 뒤이어 합성한 것이다. 이것이 함자적이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층, \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 피복이라 하자. 사상 \[\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \longrightarrow H^1(U, \mathcal{G})\] 은 단사이며, 보조정리 03AJ의 전단사를 통해 \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{G})\)를 각 \(U_i\) 위로 제한했을 때 자명한 토서가 되는 \(\mathcal{G}|_U\)-토서들의 동형류 집합과 식별한다.

증명

이를 보이기 위해 역 사상을 구성한다. 즉, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}/U\) 위의 \(\mathcal{G}|_U\)-토서로서 \(\mathcal{C}/U_i\)로의 제한이 자명한 것이라 하자. 보조정리 03AI에 의해 이는 단면 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)가 존재한다는 뜻이다. \(U_{i_0} \times_U U_{i_1}\) 위에는 다음을 만족하는 \(\mathcal{G}\)의 유일한 단면 \(s_{i_0i_1}\)이 있다. \(s_{i_0i_1} \cdot s_{i_0}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} = s_{i_1}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}\). 계산하면 \(s_{i_0i_1}\)이 체흐 코사이클이고 그 류가 잘 정의됨을 알 수 있다(즉, 단면 \(s_i\)의 선택에 의존하지 않는다). 역 사상은 \(\mathcal{F}\)의 동형류를 코사이클 \((s_{i_0i_1})\)의 코호몰로지류로 보낸다. 이 사상이 실제로 역이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 함자 \(i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{PAb}(\mathcal{C})\)를 생각하자. 이는 왼쪽 완전함자이고 그 오른쪽 유도함자는 다음과 같다. \[R^pi(\mathcal{F}) = \underline{H}^p(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^p(U, \mathcal{F})\] Section 01FU의 논의를 보라.

증명

\(i\)가 왼쪽 완전임은 분명하다. 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 정의에 따라 \(R^pi\)는 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)의 \(p\)번째 코호몰로지 준층이다. 다시 말해 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에서 \(R^pi(\mathcal{F})\)의 단면은 다음과 같다. \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] 이는 \(H^p(U, \mathcal{F})\)의 정의이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 피복이라 하자. 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 를 가지며 \(H^{p + q}(U, \mathcal{F})\)로 수렴하는 스펙트럼열 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)이 있다. 이 스펙트럼열은 \(\mathcal{F}\)에 관해 함자적이다.

증명

이는 함자들 \[i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{PAb}(\mathcal{C}) \quad\text{and}\quad \check{H}^0(\mathcal{U}, - ) : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}.\] 에 대한 Grothendieck 스펙트럼열이다(Derived Categories, Lemma 015N 참조). 실제로 보조정리 03AN에 의해 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, i(\mathcal{F})) = \mathcal{F}(U)\)이다. 보조정리 03AW에 의해 \(i(\mathcal{I})\)는 체흐 비순환이다. 그리고 보조정리 03AU에 의해 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 위의 함자로서 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -) = R^p\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\)이다. 이들을 모두 합치면 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트, \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 피복, \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{Ab}(\mathcal{C}))\)라 하자. 모든 \(i > 0\), 모든 \(p \geq 0\), 모든 \(i_0, \ldots, i_p \in I\)에 대해 \(H^i(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}, \mathcal{F}) = 0\)이라고 가정하자. 그러면 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\)이다.

증명

보조정리 03AZ의 스펙트럼열을 사용한다. 가정은 \(q \not = 0\)인 모든 \((p, q)\)에 대해 \(E_2^{p, q} = 0\)이라는 뜻이다. 따라서 스펙트럼열은 \(E_2\)에서 퇴화하고 결과가 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] 을 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층들의 짧은 완전열이라 하자. \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)을 만족하는 \(U\)의 피복 \(\mathcal{U}\)들의 공종계가 존재하면 사상 \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\)는 전사이다.

증명

원소 \(s \in \mathcal{H}(U)\)를 택하자. (a) \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이고 (b) \(s|_{U_i}\)가 어떤 단면 \(s_i \in \mathcal{G}(U_i)\)의 상이 되도록 피복 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 택하자. (b)를 만족하는 피복은 확실히 찾을 수 있으므로, 보조정리의 가정에 의해 (a)와 (b)를 모두 만족하는 피복을 찾을 수 있다. 단면들 \[s_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} - s_{i_0}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}.\] 을 생각하자. \(s_i\)가 \(s\)의 올림이므로 \(s_{i_0i_1} \in \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1})\)임을 알 수 있다. \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)가 영이므로 다음을 만족하는 단면 \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\)들을 찾을 수 있다. \[s_{i_0i_1} = t_{i_1}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} - t_{i_0}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}.\] 그러면 단면들 \(s_i - t_i\)는 분명 층 조건을 만족하며 서로 붙어서 \(s\)로 가는 \(U\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 단면이 된다. 따라서 결론을 얻는다.

보조정리

(Cohomology, Lemma 01EV의 변형.) \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\text{Cov}_\mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\)의 피복들의 집합이라 하자(Sites, Definition 00VH 참조). \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)와 \(\text{Cov} \subset \text{Cov}_\mathcal{C}\)를 부분집합들이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 층이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)인 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 \(U, U_i \in \mathcal{B}\)이고 모든 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \in \mathcal{B}\)이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\text{Cov}\)에 나타나는 \(U\)의 피복들은 \(U\)의 피복들의 공종계를 이룬다.

3. 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)와 모든 \(p > 0\)에 대해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)이다.

그러면 모든 \(p > 0\)과 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

증명

\(\mathcal{F}\)와 \(\text{Cov}\)가 보조정리에서와 같다고 하자. 이를 “\(\mathcal{F}\)의 고차 체흐 코호몰로지는 임의의 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 영이다”라고 말하겠다. \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)를 단사 아벨 층으로 가는 매입으로 택하자. 보조정리 03AW에 의해 \(\mathcal{I}\)의 고차 체흐 코호몰로지는 임의의 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 영이다. \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\)로 놓으면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0.\] 을 얻는다. 보조정리 03F8과 가정 (2)에 의해 이 열은 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{Q}(U) \to 0.\] 을 낳는다. 따라서 임의의 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 체흐 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{Q}) \to 0\] 을 얻는다. 가정 (1)에 의해 체흐 복합체의 각 항은 \(\mathcal{B}\)의 원소들 위에서 취한 값들의 곱으로 이루어지기 때문이다. 특히 임의의 피복 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 체흐 코호몰로지군들의 긴 완전열을 얻는다. 이로부터 \(\mathcal{Q}\)도 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 고차 체흐 코호몰로지가 영인 아벨 층임을 알 수 있다.

이제 임의의 \(U \in \mathcal{B}\)에 대한 코호몰로지 긴 완전열 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & H^1(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] 을 살펴보자. \(\mathcal{I}\)가 단사이므로 \(n > 0\)에 대해 \(H^n(U, \mathcal{I}) = 0\)이다(Derived Categories, Lemma 015B 참조). 위에서 \(H^0(U, \mathcal{I}) \to H^0(U, \mathcal{Q})\)가 전사임을 보았으므로 \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\)이다. \(\mathcal{F}\)는 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 고차 체흐 코호몰로지가 영인 임의의 아벨 층이었고 \(\mathcal{Q}\)도 그러한 층이므로(위 참조) \(H^1(U, \mathcal{Q}) = 0\)도 얻는다. 그러면 긴 완전열에 의해 \(H^2(U, \mathcal{F}) = 0\)이 따른다. 같은 과정을 계속한다.

제2 코호몰로지와 제르브

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 모든 자기동형군이 가환인 사이트 위의 제르브라 하자. 이 경우 Stacks, Lemma 0CJY의 자기동형층의 제1 및 제2 코호몰로지군은 대상의 존재를 제어한다.

다음 보조정리는 앞으로 이 관계에 관한 더 완전한 논의를 추가하면 그 논의로 대체될 것이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 자기동형층이 아벨인 사이트 위의 제르브라 하자. \(\mathcal{G}\)를 Stacks, Lemma 0CJY에서 구성한 아벨군층이라 하자. \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상으로서 다음을 만족하는 것이라 하자.

1. 모든 \(i, j\)에 대해 \(H^1(U_i, \mathcal{G}) = 0\)이고 \(H^1(U_i \times_U U_j, \mathcal{G}) = 0\)인 \(\mathcal{C}\)에서의 \(U\)의 피복 \(\{U_i \to U\}\)들의 공종계가 존재한다.

2. \(H^2(U, \mathcal{G}) = 0\).

그러면 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{S}\)의 대상이 존재한다.

증명

Stacks, Definition 06NZ에 의해 피복 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)와 \(U_i\) 위에 놓이는 \(\mathcal{S}\)의 대상 \(x_i\)가 존재한다. \(U_{ij} = U_i \times_U U_j\)로 쓰자. (1)에 의해 피복을 세분한 뒤 \(H^1(U_i, \mathcal{G}) = 0\)이고 \(H^1(U_{ij}, \mathcal{G}) = 0\)이라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{C}/U_{ij}\) 위의 층 \[\mathcal{F}_{ij} = \mathit{Isom}(x_i|_{U_{ij}}, x_j|_{U_{ij}})\] 을 생각하자. \(\mathcal{G}|_{U_{ij}} = \mathit{Aut}(x_i|_{U_{ij}})\)이므로 앞합성에 의한 작용 \[\mathcal{G}|_{U_{ij}} \times \mathcal{F}_{ij} \to \mathcal{F}_{ij}\] 이 있다. \(\mathcal{F}_{ij}\)는 유사 \(\mathcal{G}|_{U_{ij}}\)-토서임이 분명하며, 제르브의 임의의 두 대상은 국소적으로 동형이므로 실제로 토서이다. 피복의 선택과 보조정리 03AJ에 의해 이 토서들은 자명하다(따라서 보조정리 03AI에 의해 전역 단면을 가진다). 다시 말해 동형사상 \[\varphi_{ij} : x_i|_{U_{ij}} \longrightarrow x_j|_{U_{ij}}\] 들을 택할 수 있다. \(U\) 위의 대상 \(x\)를 찾기 위해 이 \(\varphi_{ij}\)들의 선택을 조정하여 내림 자료를 얻을 것이다 (\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)가 스택이므로 이 내림 자료는 반드시 유효하다). 내림 자료가 되는 데 대한 장애는 코사이클 조건이 성립하지 않을 수 있다는 것이다. \(U_{ijk} = U_i \times_U U_j \times_U U_k\)로 놓고 \[g_{ijk} = \varphi_{ik}^{-1}|_{U_{ijk}} \circ \varphi_{jk}|_{U_{ijk}} \circ \varphi_{ij}|_{U_{ijk}}\] 를 생각하자. 이는 \(U_{ijk}\) 위에서 \(x_i\)의 자기동형이다. 따라서 \(g_{ijk}\)를 \(U_{ijk}\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 단면으로 본다. 계산(생략)은 \((g_{i_0i_1i_2})\)가 피복 \(\mathcal{U}\)에 대한 \(\mathcal{G}\)의 체흐 복합체 \({\check C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G})\)의 \(2\)-코사이클임을 보인다. 보조정리 03AZ의 스펙트럼열과 모든 \(i\)에 대한 \(H^1(U_i, \mathcal{G}) = 0\)으로부터 사상 \({\check H}^2(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to H^2(U, \mathcal{G})\)가 단사임을 알 수 있다. 따라서 \(H^2(U, \mathcal{G}) = 0\)이라는 가정에 의해 \((g_{i_0i_1i_2})\)는 코경계이다. 그러므로 모든 \(i, j, k\)에 대해 \(g_{ik}^{-1}|_{U_{ijk}} g_{jk}|_{U_{ijk}} g_{ij}|_{U_{ijk}} = g_{ijk}\) 를 만족하는 단면 \(g_{ij} \in \mathcal{G}(U_{ij})\)들을 찾을 수 있다. \(\varphi_{ij}\)를 \(\varphi_{ij}g_{ij}^{-1}\)로 바꾸면 \(\varphi_{ij}\)는 \(U_i\) 위의 대상 \(x_i\)들에 대한 내림 자료를 주며, 이로써 증명이 끝난다.

가군의 코호몰로지

아벨 군층의 코호몰로지에 관해 말한 모든 내용은 가군의 코호몰로지에도 그대로 성립한다. 실제로 이 둘은 일치한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 단사 가군층은 범주 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\)의 대상으로서도 단사이다.

증명

범주 \(\mathcal{A} = \textit{Mod}(\mathcal{O})\)와 \(\mathcal{B} = \textit{PMod}(\mathcal{O})\), 포함 함자 및 층화에 Homology, Lemma 015Z를 적용한다. (이 보조정리의 모든 가정이 성립함은 Modules on Sites, Section 03CX을 참조하라.)

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 함자 \(i : \textit{Mod}(\mathcal{C}) \to \textit{PMod}(\mathcal{C})\). 를 생각하자. 이는 왼쪽 완전 함자이고 그 오른쪽 유도함자는 다음으로 주어진다. \[R^pi(\mathcal{F}) = \underline{H}^p(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^p(U, \mathcal{F})\] 이에 관한 논의는 Section 01FU를 참조하라.

증명

\(i\)가 왼쪽 완전임은 분명하다. \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에서 단사 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)을 택하자. 정의상 \(R^pi\)는 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)의 제\(p\) 코호몰로지 준층이다. 다시 말해 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에서 \(R^pi(\mathcal{F})\)의 단면은 \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] 로 주어지며, 이것이 \(H^p(U, \mathcal{F})\)의 정의이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하자. \(\mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}\)-가군, 즉 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)의 단사 대상이라 하자. 그러면 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(U) & \text{일 때} & p = 0 \\ 0 & \text{일 때} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

증명

다음 등식의 연쇄에서 첫째 등식은 Lemma 03AS가 준다. \[\begin{align*} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}) & = \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{I}) \\ & = \Mor_{\textit{PMod}(\mathbf{Z})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{I}) \\ & = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet} \otimes_{p, \mathbf{Z}} \mathcal{O}, \mathcal{I}) \end{align*}\] 셋째 등식은 Modules on Sites, Lemma 03CU에서 따른다. Lemma 03FB에 의해 \(\mathcal{I}\)는 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\)의 단사 대상이다. 따라서 \(\Hom_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(-, \mathcal{I})\)는 완전 함자이다. Lemma 03F5에 의해 고차 체흐 코호몰로지 군들은 소멸한다. 제0차의 경우는 Lemma 03AN를 참조하라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하고, 그 기저 아벨 군층을 \(\mathcal{F}_{ab}\)로 나타내자. 그러면 \[H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{ab}) = H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] 이고, \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에 대해서도 \[H^i(U, \mathcal{F}_{ab}) = H^i(U, \mathcal{F}).\] 여기서 왼쪽은 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)에서 계산한 코호몰로지이고, 오른쪽은 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에서 계산한 코호몰로지이다.

증명

Derived Categories, Lemma 015B에 의해 \(\delta\)-함자 \((\mathcal{F} \mapsto H^p(U, \mathcal{F}))_{p \geq 0}\)는 보편적이다. 함자 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{ab}\)는 완전하다. 따라서 \((\mathcal{F} \mapsto H^p(U, \mathcal{F}_{ab}))_{p \geq 0}\) 도 \(\delta\)-함자이다. 이제 \((\mathcal{F} \mapsto H^p(U, \mathcal{F}_{ab}))_{p \geq 0}\) 도 보편적임을 보였다고 하자. 보편 \(\delta\)-함자의 유일성에 의해 이는 보조정리의 둘째 명제를 함의한다. Homology, Lemma 010U를 참조하라. \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)에는 단사 대상이 충분히 있으므로, \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)의 임의의 단사 대상 \(\mathcal{I}\)에 대해 \(H^i(U, \mathcal{I}_{ab}) = 0\)임을 보이면 충분하다. Homology, Lemma 010T를 참조하라.

\(\mathcal{I}\)를 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)의 단사 대상이라 하자. \(\mathcal{F} = \mathcal{I}\), \(\mathcal{B} = \mathcal{C}\) 및 \(\text{Cov} = \text{Cov}_\mathcal{C}\)로 놓고 Lemma 03F9을 적용한다. 그 보조정리의 가정 (3)은 Lemma 03FC에 의해 성립한다. 따라서 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대해 \(H^i(U, \mathcal{I}_{ab}) = 0\)이다.

\(\mathcal{C}\)에 끝 대상이 있으면 이 사실은 첫째 등식도 함의한다. 끝 대상이 없으면 Sites, Lemma 03CI에 의해 환 달린 토포스 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)는 기저 사이트에 끝 대상이 있는 환 달린 토포스와 동치이다. 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(I\)를 집합이라 하자. 각 \(i \in I\)에 대해 \(\mathcal{F}_i\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층이라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. 정준 사상 \[H^p(U, \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} H^p(U, \mathcal{F}_i)\] 은 \(p = 0\)일 때 동형이고 \(p = 1\)일 때 단사이다.

증명

\(p = 0\)에 관한 명제는 층들의 곱이 그 기저 준층들의 곱과 같으므로 성립한다. Sites, Lemma 00W2를 참조하라. \(p = 1\)인 경우를 증명하자. \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\)로 놓자. \(\xi \in H^1(U, \mathcal{F})\)가 \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\)에서 영으로 사상된다고 하자. 코호몰로지의 국소성, 즉 Lemma 01FW에 의해 모든 \(j\)에 대해 \(\xi|_{U_j} = 0\)이 되는 덮개 \(\mathcal{U} = \{U_j \to U\}\)가 존재한다. Lemma 0A6G에 의해 이는 \(\xi\)가 어떤 원소 \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)에서 온다는 뜻이다. 모든 \(i\)에 대해 사상 \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i) \to H^1(U, \mathcal{F}_i)\) 은 단사이고(Lemma 0A6G), \(\xi\)의 상은 \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\)에서 영이므로 \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\)에서 그 상 \(\check \xi_i = 0\)이다. 한편 \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\)이므로 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\)들의 곱이다. 따라서 Homology, Lemma 060K에 의해 원하는 대로 \(\check \xi = 0\)이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(a : U' \to U\)를 \(\mathcal{C}\)의 단사 사상이라 하자. 그러면 임의의 단사 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대해 제한 사상 \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U')\)은 전사이다.

증명

\(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\)와 \(j' : \mathcal{C}/U' \to \mathcal{C}\)를 국소화 사상이라 하자 (Modules on Sites, Section 03DH). \(j_!\)는 제한의 왼쪽 수반이므로 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{F}|_U) = \mathcal{F}(U)\] 이다. 마찬가지로 층 \(j'_!\mathcal{O}_{U'}\)는 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U')\)를 표현한다. 더 나아가 아래에서 \(\mathcal{O}\)-가군의 정준 사상 \[j'_!\mathcal{O}_{U'} \longrightarrow j_!\mathcal{O}_U\] 을 기술한다. 이 사상은 요네다 보조정리 (Categories, Lemma 001P)를 통해 제한 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\)에 대응한다. 표시된 가군 사상이 단사임을 보이면 충분하다. Homology, Lemma 0136를 참조하라.

우리의 사상을 구성하려면 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(V\)에 각각 다음 \(\mathcal{O}(V)\)-가군을 대응시키는 준층들 사이의 사상을 구성하면 충분하다. \[\bigoplus\nolimits_{\varphi' \in \Mor_\mathcal{C}(V, U')} \mathcal{O}(V) \quad\text{and}\quad \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{O}(V)\] Modules on Sites, Lemma 03DI를 참조하라. \(\varphi'\)에 대응하는 직합 성분을 \(\varphi = a \circ \varphi'\)에 대응하는 직합 성분으로 \(\mathcal{O}(V)\)의 항등 사상을 통해 보내는 사상을 취한다. \(a\)가 단사 사상이므로 이 사상은 단사이다. 층화가 완전하므로 결론이 따른다.

완전 비순환층

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(K\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 집합 준층이라 하자(아벨 군층과 구별하기 위해 여기서는 의도적으로 로마체 대문자를 사용한다). \(\mathcal{O}\)-가군층 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때 \[\mathcal{F}(K) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(K, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(K^\#, \mathcal{F})\] 로 놓는다. 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(K)\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}\)인 왼쪽 완전 함자이므로 그 오른쪽 유도함자들이 존재한다. 이들을 \(H^p(K, \mathcal{F})\)로 나타내어 \(H^0(K, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(K)\)가 되게 하자.

몇 가지 관찰을 적어 두자.

1. \(\mathcal{F}(K) = \mathcal{F}(K^\#)\)이므로 \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(K^\#, \mathcal{F})\). 위 정의에서 \(K\)를 준층으로 허용하는 것은 순전히 표기상의 편의이다.

2. \(\mathcal{C}\)의 어떤 대상 \(U\)에 대해 \(K = h_U\) 또는 \(K = h_U^\#\)라고 하자. 그러면 \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\)이다. 실제로 \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\)이다. Sites, Section 00WO를 참조하라.

3. \(\mathcal{O} = \mathbf{Z}\)가 상수층이면 코호몰로지 군들은 함자 \(H^p(K, - ) : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\) 이다. 이 경우 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) = \textit{Ab}(\mathcal{C})\)이기 때문이다.

이미 증명한 결과 몇 가지를 이 언어로 옮겨 쓸 수 있다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(K\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 집합 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하고 그 기저 아벨 군층을 \(\mathcal{F}_{ab}\)로 나타내자. 그러면 \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(K, \mathcal{F}_{ab})\)이다.

증명

\(K\)를 그 층화로 바꾸어 \(K\)가 층이라고 가정해도 된다. \(H^p(K, \mathcal{F})\)와 \(H^p(K, \mathcal{F}_{ab})\)는 모두 기저 사이트가 아니라 토포스에만 의존한다. 따라서 Sites, Lemma 03CI에 의해 \(\mathcal{C}\)를 “더 큰” 사이트로 바꾸어, \(\mathcal{C}\)의 어떤 대상 \(U\)에 대해 \(K = h_U\)가 되게 할 수 있다. 이 경우 결과는 Lemma 03FD에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(K' \to K\)를 그 층화가 전사인 \(\mathcal{C}\) 위의 집합 준층 사상이라 하자. \(K'_p = K' \times_K \ldots \times_K K'\) (\(p + 1\)개 인자)로 놓자. 모든 아벨 군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(E_1^{p, q} = H^q(K'_p, \mathcal{F})\)이고 \(H^{p + q}(K, \mathcal{F})\)로 수렴하는 스펙트럼열이 존재한다.

증명

층화는 완전하므로 \((K_p')^\#\)는 \((K')^\# \times_{K^\#} \ldots \times_{K^\#} (K')^\#\) (\(p + 1\)개 인자)와 같다. 따라서 \(K\)와 \(K'\)을 각각의 층화로 바꾸어 \(K \to K'\)가 층들의 전사 사상이라고 가정해도 된다. Sites, Lemma 03CI에서와 같이 \(\mathcal{C}\)를 “더 큰” 사이트로 바꾸면 \(K, K'\)이 \(\mathcal{C}\)의 대상이고 \(\mathcal{U} = \{K' \to K\}\)가 덮개라고 가정할 수 있다. 그러면 Lemma 03AZ의 체흐-코호몰로지 스펙트럼열을 얻으며, 그 \(E_1\) 쪽은 보조정리의 명제에 적힌 것과 같다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(K\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 집합층이라 하자. 토포스의 사상 \(j : \Sh(\mathcal{C}/K) \to \Sh(\mathcal{C})\)를 생각하자. Sites, Lemma 0791를 참조하라. 그러면 \(j^{-1}\)은 단사 대상을 보존하며, \(\mathcal{C}\) 위의 임의의 아벨 군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{C}/K, j^{-1}\mathcal{F})\) 이다.

증명

Sites, Lemmas 04GZ and 0791에 의해 토포스의 사상 \(j\)는 국소화와 동치이다. 따라서 결과는 Lemma 03F3에서 따른다.

Lemma 079Y을 염두에 두면 다음 정의는 환 달린 사이트 위의 가군층에 대해서도 “올바른 정의”임을 알 수 있다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 아벨 군층 \(\mathcal{F}\)가 완전 비순환이라는 것은¹ 모든 집합층 \(K\)와 모든 \(p \geq 1\)에 대해 \(H^p(K, \mathcal{F}) = 0\)이라는 뜻이다.

완전 비순환이라는 것은 내재적 성질, 즉 토포스의 동치 아래 보존되는 성질임이 분명하다. 완전 비순환층은 사이트의 모든 대상 위에서 고차 코호몰로지가 소멸하지만, 일반적으로 완전 비순환이라는 조건은 이보다 진정으로 더 강하다. 때때로 유용한 완전 비순환층의 특징짓기는 다음과 같다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{F}\)를 아벨 군층이라 하자. 다음이 성립한다고 하자.

1. \(p > 0\) 및 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

2. 모든 집합층의 전사 사상 \(K' \to K\)에 대해 확대 체흐 복합체 \[0 \to H^0(K, \mathcal{F}) \to H^0(K', \mathcal{F}) \to H^0(K' \times_K K', \mathcal{F}) \to \ldots\] 는 완전하다.

그러면 \(\mathcal{F}\)는 완전 비순환이다(역도 성립한다).

증명

가정 (1)에 의해 모든 \(p > 0\)과 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대해 \(H^p(h_U^\#, g^{-1}\mathcal{I}) = 0\)이다. \(K = \coprod K_i\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 집합층들의 쌍대곱이면 \(H^p(K, g^{-1}\mathcal{I}) = \prod H^p(K_i, g^{-1}\mathcal{I})\)임을 주목하라. 임의의 집합층 \(K\)에 대해 전사 사상 \[K' = \coprod h_{U_i}^\# \longrightarrow K\] 가 존재한다. Sites, Lemma 00WS를 참조하라. 따라서 다음을 얻는다. (*) 모든 집합층 \(K\)에 대해, 모든 \(p > 0\)에서 \(H^p(K', \mathcal{F}) = 0\)이 되는 집합층의 전사 사상 \(K' \to K\)가 존재한다. (*)와 조건 (2)가 \(\mathcal{F}\)의 완전 비순환성을 함의한다고 주장한다. 조건 (*)와 (2)는 기저 사이트가 아니라 토포스 \(\Sh(\mathcal{C})\)의 대상으로서의 \(\mathcal{F}\)에만 의존함을 주목하라. (증명의 나머지 부분에서는 성질 (1)을 사용하지 않는다.)

\(n \geq 0\)에 대한 귀납법으로 (*)와 (2)가 다음 귀납 가설 \(IH_n\)을 함의함을 보이겠다. 모든 \(0 < p \leq n\)과 모든 집합층 \(K\)에 대해 \(H^p(K, \mathcal{F}) = 0\)이다. \(IH_0\)는 성립한다. \(IH_n\)을 가정하자. 집합층 \(K\)를 택하고, 모든 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(K', \mathcal{F}) = 0\)이 되는 전사 사상 \(K' \to K\)를 택하자. 다음을 만족하는 스펙트럼열이 있다. \[E_1^{p, q} = H^q(K'_p, \mathcal{F})\] 이는 \(H^{p + q}(K, \mathcal{F})\)로 수렴한다. Lemma 079Z를 참조하라. \(IH_n\)에 의해 \(0 < q \leq n\)이면 \(E_1^{p, q} = 0\)이고, 가정 (2)에 의해 \(p > 0\)이면 \(E_2^{p, 0} = 0\)이다. 끝으로 \(K'\)의 선택에 의해 \(H^q(K', \mathcal{F}) = 0\)이므로 \(q > 0\)이면 \(E_1^{0, q} = 0\)이다. 따라서 \(p + q = n + 1\)인 모든 항 \(E_2^{p, q}\)가 영이므로 \(H^{n + 1}(K, \mathcal{F}) = 0\)이라는 결론을 얻는다.

Leray 스펙트럼열

Leray 스펙트럼열의 존재를 증명하는 핵심은 다음 보조정리이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 그러면 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 임의의 단사 대상 \(\mathcal{I}\)에 대해 직상 \(f_*\mathcal{I}\)는 완전 비순환이다.

증명

\(K\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 집합층이라 하자. Modules on Sites, Lemma 03CR 에 의해 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\)를 “더 큰” 사이트로 바꾸어도 된다. 그 결과 \(f\)는 연속 함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)가 유도하는 환 달린 사이트의 사상에서 오고, \(\mathcal{D}\)의 어떤 대상 \(V\)에 대해 \(K = h_V\)가 되게 할 수 있다.

따라서 \(f\)가 환 달린 사이트의 사상으로 주어졌을 때, 모든 \(q > 0\)과 \(\mathcal{D}\)의 모든 대상 \(V\)에 대해 \(H^q(V, f_*\mathcal{I})\)가 영임을 보이면 된다. \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}\)를 \(\mathcal{D}\)의 임의의 덮개라 하자. \(u\)가 연속이므로 \(\mathcal{U} = \{u(V_j) \to u(V)\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다. 그러면 체흐 복합체의 등식 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I})\] 을 얻는다. 이는 \(f_*\)의 정의에서 따른다. Lemma 03FC에 의해 이 복합체의 코호몰로지는 양의 차수에서 영이다. 이제 Lemma 03F9이 결론을 준다.

평탄 사상에 대해서는 함자 \(f_*\)가 단사 가군을 보존한다. 특히 함자 \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) 는 언제나 단사 아벨 군층을 단사 아벨 군층으로 보낸다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄이면, 임의의 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대해 \(f_*\mathcal{I}\)는 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군이다.

증명

이 경우 함자 \(f^*\)는 완전하다. Modules on Sites, Lemma 04JC를 참조하라. 따라서 결과는 Homology, Lemma 015Z에서 따른다.

보조정리

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\)를 환 달린 토포스라 하자. 완전 비순환층은 다음 함자들에 대해 오른쪽 비순환이다.

1. \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상 \(U\)에 대한 함자 \(H^0(U, -)\),

2. 임의의 집합 준층 \(K\)에 대한 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(K)\),

3. 대역 절단 함자 \(\Gamma(\mathcal{C}, -)\),

4. 환 달린 토포스의 임의의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)에 대한 함자 \(f_*\).

증명

(2)는 완전 비순환층의 정의이다. 완전 비순환층의 정의 뒤의 논의에서 지적했듯이 (1)은 (2)의 귀결이다. (3)은 \(K = e\)가 \(\Sh(\mathcal{C})\)의 끝 대상인 (2)의 특수한 경우이다.

(4)를 증명하자. Modules on Sites, Lemma 03CR 에 의해 \(f\)가 사이트의 사상으로 주어진다고 가정해도 된다. 이 경우 Lemma 072W의 고차 직상에 대한 기술에 의해 완전 비순환층의 \(R^if_*\), \(i > 0\)은 영이다.

주

위 결과들의 귀결로 Derived Categories, Lemma 015M를 여러 상황에 적용할 수 있다. 예를 들어 환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 주어졌을 때, 임의의 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[R\Gamma(\mathcal{D}, Rf_*\mathcal{F}) = R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] 이다. 실제로 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대해 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군 \(f_*\mathcal{I}\)는 Lemma 072Z에 의해 완전 비순환이고, 완전 비순환층은 Lemma 0731에 의해 \(\Gamma(\mathcal{D}, -)\)에 대해 비순환이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 아래로 유계인 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체라 하자. 다음 스펙트럼열이 존재한다. \[E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{D}, R^qf_*(\mathcal{F}^\bullet))\] 이는 \(H^{p + q}(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\bullet)\)로 수렴한다.

증명

이는 함자의 합성 \(\Gamma(\mathcal{C}, -) = \Gamma(\mathcal{D}, -) \circ f_*\)에서 나오는 Grothendieck 스펙트럼열 Derived Categories, Lemma 015N 이다. 이 보조정리의 가정들이 성립함은 Derived Categories, Lemma 015N 와 Lemmas 072Z 및 0731를 참조하라.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군이라 하자.

1. \(q > 0\)에서 \(R^qf_*\mathcal{F} = 0\)이면, 모든 \(p\)에 대해 \(H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{D}, f_*\mathcal{F})\)이다.

2. 모든 \(q\)와 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(\mathcal{D}, R^qf_*\mathcal{F}) = 0\)이면, 모든 \(q\)에 대해 \(H^q(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{D}, R^qf_*\mathcal{F})\)이다.

증명

이들은 Leray 스펙트럼열의 수렴으로 결론을 얻게 하는 두 가지 간단한 조건이다. 이 사실들은 스펙트럼열을 사용하지 않고 직접 증명할 수도 있으며, 이는 층의 코호몰로지에 관한 좋은 연습문제이다.

보조정리

다음 두 환 달린 토포스의 사상을 생각하자. \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 및 \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{E}), \mathcal{O}_\mathcal{E})\). \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군이라 하자. 다음을 만족하는 스펙트럼열이 존재한다. \[E_2^{p, q} = R^pg_*(R^qf_*\mathcal{F})\] 이는 \(R^{p + q}(g \circ f)_*\mathcal{F}\)로 수렴한다. 이 스펙트럼열은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이며, 아래로 유계인 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체에 대한 판도 있다.

증명

이는 함자의 합성에 대한 Grothendieck 스펙트럼열이다. Derived Categories, Lemma 015N와 Lemmas 072Z 및 0731를 참조하라.

기저변환 사상

이 절에서는 몇몇 경우의 기저변환 사상을 구성한다. 일반적인 경우는 Remark 07A7에서 다룬다. 여기서는 환 달린 사이트의 평탄 사상에 의한 기저변환으로 제한하여 유도 당김을 사용하지 않는다. 결과를 서술하기 전에 유도 범주 위의 평탄 당김을 논의하자. \(g : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 를 환 달린 토포스의 평탄 사상이라 하자. Modules on Sites, Lemma 04JC에 의해 함자 \(g^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)는 완전하다. 따라서 유도함자 \[g^* : D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] 를 가지며, 이는 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)의 주어진 대상을 나타내는 복합체를 단순히 당겨 계산한다. Derived Categories, Lemma 015F를 참조하라. 이 함자는 위로 또는 아래로 유계인 부분범주들을 보존한다. 따라서 위와 같이 이 함자를 \(Lg^*\)가 아니라 \(g^*\)로 나타낸다.

보조정리

다음 환 달린 토포스의 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] \(\mathcal{F}^\bullet\)을 아래로 유계인 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체라 하자. \(g\)와 \(g'\)이 모두 평탄하다고 가정하자. 그러면 \[g^*Rf_*\mathcal{F}^\bullet \longrightarrow R(f')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\] 인 \(D^{+}(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\)의 정준 기저변환 사상이 존재한다.

증명

단사 분해 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)과 \((g')^*\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)을 택하자. Lemma 0730에 의해 \((g')_*\mathcal{J}^\bullet\)은 \(R(g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\)을 나타내는 단사 대상의 복합체이다. 따라서 Derived Categories, Lemmas 013P 및 013S에 의해 다음 그림의 화살표 \(\beta\)는 존재하며 호모토피를 제외하고 유일하다. \[\xymatrix{ (g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet \ar[r] & (g')_*\mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{F}^\bullet \ar[u]^{adjunction} \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet \ar[u]_\beta }\] \(\mathcal{D}\)로 직상시키면 \[f_*\beta : f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow f_*(g')_*\mathcal{J}^\bullet = g_*(f')_*\mathcal{J}^\bullet\] 를 얻는다. \(g^*\)와 \(g_*\)의 수반성에 의해 복합체의 사상 \(g^*f_*\mathcal{I}^\bullet \to (f')_*\mathcal{J}^\bullet\)을 얻는다. 전체 과정에서 선택한 것은 사상 \(\beta\)뿐이고 모든 작업이 복합체 수준에서 이루어졌으므로, 이 사상은 호모토피를 제외하고 유일함을 주목하라.

코호몰로지와 여극한

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\)를 지표 범주 \(\mathcal{I}\) 위의 도식이라 하자. Categories, Section 002D를 참조하라. 각 \(i\)에 대한 정준 사상 \(\mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{F}_i\)는 코호몰로지 위의 사상을 유도한다. 따라서 모든 \(p \geq 0\)과 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대해 정준 사상 \[\colim_i H^p(U, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(U, \colim_i \mathcal{F}_i)\] 을 얻는다. 이 사상들은 일반적으로 동형이 아니며 \(p = 0\)일 때조차 그렇다.

다음 보조정리는 Sites, Lemma 0738의 코호몰로지에 대한 대응물이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\text{Cov}_\mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개들의 집합이라 하자 (Sites, Definition 00VH 참조). \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) 및 \(\text{Cov} \subset \text{Cov}_\mathcal{C}\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)는 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)의 꼴이며, \(I\)는 유한하고 \(U, U_i \in \mathcal{B}\)이며 모든 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \in \mathcal{B}\)이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\text{Cov}\)에 나타나는 \(U\)의 덮개들은 \(U\)의 덮개들의 공종계를 이룬다.

그러면 사상 \[\colim_i H^p(U, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(U, \colim_i \mathcal{F}_i)\] 은 모든 \(p \geq 0\), 모든 \(U \in \mathcal{B}\) 및 모든 여과 도식 \(\mathcal{I} \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\)에 대해 동형이다.

증명

\(p\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하자. (1)에서 덮개 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)가 유한하도록 요구했으므로 \(\mathcal{B}\)의 모든 원소는 준콤팩트이다. 따라서 (2)와 (1)에 의해 임의의 \(U \in \mathcal{B}\)는 Sites, Lemma 0738 (4)의 가정을 만족한다. 그러므로 \(p = 0\)일 때 결과가 성립한다. 이제 \(p\)에 대해 보조정리가 성립한다고 가정하고 \(p + 1\)에 대해 증명하자.

여과 도식 \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\)를 택하자. \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)에는 함자적 단사 매입들이 있으므로 (Injectives, Theorem 01DP 참조), 여과 도식의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) 을 찾을 수 있다. 여기서 각 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i\)는 아벨 군층에서 단사 아벨 군층으로 가는 단사 사상이다. 그 여핵을 \(\mathcal{Q}_i\)로 나타내면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i \to \mathcal{Q}_i \to 0.\] 을 얻는다. 층의 여극한은 준층 수준에서 취한 여극한의 층화이고, 층화는 완전하며, 아벨 군의 여과 여극한은 완전하므로 (Algebra, Lemma 00DB 참조), 열 \[0 \to \colim_i \mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{I}_i \to \colim_i \mathcal{Q}_i \to 0.\] 도 짧은 완전열이다. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 모든 \(q \geq 1\)에 대해 \(H^q(U, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\)이라고 주장한다. 우선 이 주장을 받아들이고 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ \colim_i H^p(U, \mathcal{I}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^p(U, \mathcal{Q}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^{p + 1}(U, \mathcal{F}_i) \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \\ H^p(U, \colim_i \mathcal{I}_i) \ar[r] & H^p(U, \colim_i \mathcal{Q}_i) \ar[r] & H^{p + 1}(U, \colim_i \mathcal{F}_i) \ar[r] & 0 }\] 오른쪽 아래의 영은 위 주장으로부터, 오른쪽 위의 영은 층 \(\mathcal{I}_i\)들이 단사라는 사실로부터 나온다. Algebra, Lemma 00DB를 적용하면 위 행은 완전하다. 따라서 뱀 보조정리에 의해 \(p + 1\)에 대한 결과를 얻는다.

이제 주장을 증명하면 된다. Lemma 03F9을 사용할 것이다. \(p = 0\)인 경우의 결과에 의해 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\)에 대해 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = \colim_i \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_i)\] 이다. 모든 \(U_{j_0} \times_U \ldots \times_U U_{j_p}\)가 \(\mathcal{B}\)에 속하기 때문이다. Lemma 03AW에 의해 체흐 복합체의 여극한 안의 각 복합체는 차수 \(\geq 1\)에서 비순환이다. 따라서 Algebra, Lemma 00DB에 의해 체흐 복합체 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i)\)도 차수 \(\geq 1\)에서 비순환이다. 다시 말해 모든 \(p \geq 1\)에 대해 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\)이다. 그러므로 Lemma 03F9의 가정들이 만족되어 주장이 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\)를 부분집합이라 하자. \(\Sh(\mathcal{C})\)의 끝 대상을 \(*\)로 나타내자. 다음을 가정하자.

1. 어떤 \(K \in S\)에 대해 사상 \(K \to *\)는 전사이다.

2. \(K \in S\)이고 층의 전사 사상 \(\mathcal{F} \to K\)가 주어지면, \(K' \in S\)와 사상 \(K' \to \mathcal{F}\)가 존재하여 합성 \(K' \to K\)가 전사이다.

3. \(K, K' \in S\)가 주어지면, \(K'' \in S\)인 전사 사상 \(K'' \to K \times K'\)이 존재한다.

4. \(K, K' \in S\)이고 \(a, b : K \to K'\)가 주어지면, \(K'' \in S\)인 전사 사상 \(K'' \to \text{Equalizer}(a, b)\)가 존재한다.

5. 모든 \(K \in S\)는 준콤팩트이다 (Sites, Definition 0D07).

그러면 모든 \(p \geq 0\)에 대해 사상 \[\colim_\lambda H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_\lambda) \longrightarrow H^p(\mathcal{C}, \colim_\lambda \mathcal{F}_\lambda)\] 은 모든 여과 도식 \(\Lambda \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(\lambda \mapsto \mathcal{F}_\lambda\)에 대해 동형이다.

증명

\(p\)에 대한 귀납법으로 증명하자. 기초 단계 \(p = 0\)은 Sites, Lemma 0GMR (4)에서 따른다. 가정들이 성립함을 확인하겠지만, 독자는 이 부분을 건너뛰어도 좋다. \(\mathcal{F} \to *\)가 전사라고 하자. (1)과 같이 \(K \in S\)이고 \(K \to *\)가 전사인 대상을 택하자. 그러면 \(\mathcal{F} \times K \to K\)는 전사이다. (2)와 같이 \(K' \in S\)이고 \(K' \to K\)가 전사인 \(K' \to \mathcal{F} \times K\)를 택하자. 그러면 사상 \(K' \to \mathcal{F}\)가 존재하고 \(K' \to *\)는 전사이다. 따라서 Sites, Lemma 0GMR의 가정 (4)(a)가 성립한다. Sites, Lemma 0GMP와 가정 (3), (5)에 의해 모든 \(K \in S\)에 대해 \(K \times K\)는 준콤팩트이다. 따라서 Sites, Lemma 0GMR의 가정 (4)(b)가 성립한다. 이로써 기초 단계의 증명이 끝난다.

귀납 단계를 보이자. (1)–(5)를 만족하는 집합 \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\)를 찾을 수 있는 모든 토포스 \(\Sh(\mathcal{C})\)에 대해, \(p \leq p_0\)인 \(H^p\)에 대해 결과가 성립한다고 가정하자. Lemma 0739의 증명과 똑같이 논증하면, 단사 아벨 군층 \(\mathcal{I}_\lambda\)들의 여과 여극한 \(\mathcal{I} = \colim \mathcal{I}_\lambda\)이 주어졌을 때 \(H^{p_0 + 1}(\mathcal{C}, \mathcal{I}) = 0\)임을 보이면 충분하다. (1)과 같이 \(K \in S\)이고 전사인 \(K \to *\)를 택하자. \(K\)의 \(n\)중 자기곱을 \(K^n\)으로 나타내자. 스펙트럼열 \[E_1^{p, q} = H^q(K^{p + 1}, \mathcal{I}) \Rightarrow H^{p + q}(*, \mathcal{I}) = H^{p + q}(\mathcal{C}, \mathcal{I})\] 을 생각하자. 이는 Lemma 079Z의 스펙트럼열이다. 임의의 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층에 대해 \(H^q(K^{p + 1}, \mathcal{F}) = H^q(\mathcal{C}/K^{p + 1}, j^{-1}\mathcal{F})\), 임을 상기하라. Lemma 07A0를 참조하라. \(j^{-1}\mathcal{I} = \colim j^{-1}\mathcal{I}_\lambda\) 이다. \(j^{-1}\)이 여극한과 가환하기 때문이다. 제한 \(j^{-1}\mathcal{I}_\lambda\)들은 Lemma 03F3에 의해 \(\mathcal{C}/K^{p + 1}\) 위의 단사 아벨 군층이다. 아래에서 귀납 가설을 \(\mathcal{C}/K^{p + 1}\)에 적용할 수 있음을 보일 것이다. 따라서 \(H^q(K^{p + 1}, \mathcal{I}) = \colim H^q(K^{p + 1}, \mathcal{I}_\lambda) = 0\) 이 \(q < p_0 + 1\)에 대해 성립한다 (\(\mathcal{I}_\lambda\)가 단사이므로 소멸한다). 따라서 \[H^{p_0 + 1}(\mathcal{C}, \mathcal{I}) = H^{p_0 + 1}\left(\ldots \to H^0(K^{p_0}, \mathcal{I}) \to H^0(K^{p_0 + 1}, \mathcal{I}) \to H^0(K^{p_0 + 2}, \mathcal{I}) \to \ldots\right)\] 이다. 다시 귀납 가설을 사용하면 오른쪽에 표시된 복합체는 다음 복합체들의 \(\Lambda\)에 걸친 여극한이다. \[\ldots \to H^0(K^{p_0}, \mathcal{I}_\lambda) \to H^0(K^{p_0 + 1}, \mathcal{I}_\lambda) \to H^0(K^{p_0 + 2}, \mathcal{I}_\lambda) \to \ldots\] \(\mathcal{I}_\lambda\)가 단사 아벨 군층이므로 이 복합체들은 완전하다 (예를 들어 스펙트럼열에서 이를 알 수 있다). 아벨 군의 범주에서 여과 여극한은 완전하므로 원하는 소멸을 얻는다.

모든 \(n \geq 1\)에 대해 귀납 가설을 사이트 \(\mathcal{C}/K^n\)에 적용할 수 있음을 보여야 한다. \(\Sh(\mathcal{C}/K^n) = \Sh(\mathcal{C})/K^n\)임을 상기하라. Sites, Lemma 0791를 참조하라. 따라서 \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\)에서 작업해도 된다. \(S_n \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}/K^n)\)을 \(K' \to K^n\) 꼴의 대상들의 집합이라 하자. 각 성질을 차례로 확인하자.

1. (3)과 귀납법에 의해 \(K' \in S\)인 전사 사상 \(K' \to K^n\)이 존재한다. 그러면 \((K' \to K^n) \to (K^n \to K^n)\)은 \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\)의 전사 사상이고, \(K^n \to K^n\)은 \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\)의 끝 대상이다. 따라서 (1)은 \(S_n\)에 대해 성립한다.

2. \(S_n\)에 대한 성질 (2)는 \(S\)에 대한 (2)의 직접적인 귀결이다.

3. \(a : K_1 \to K^n\) 및 \(b : K_2 \to K^n\)이 \(S_n\)에 속한다고 하자. 그러면 \((K_1 \to K^n) \times (K_2 \to K^n)\)은 \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\)의 대상 \(K_1 \times_{K^n} K_2 \to K^n\)이다. 부분층 \(K_1 \times_{K^n} K_2 \subset K_1 \times K_2\)는 \(a \circ \text{pr}_1\)과 \(b \circ \text{pr}_2\)의 등화자이다. \(a = (a_1, \ldots, a_n)\) 및 \(b = (b_1, \ldots, b_n)\)로 쓰자. \(K_3 \in S\)이고 전사인 \(K_3 \to K_1 \times K_2\)를 택하자. 이는 \(\mathcal{C}\)에 대한 가정 (3)에 의해 가능하다. 전사 사상 \[K_4 \longrightarrow \text{Equalizer}(K_3 \to K_1 \times K_2 \xrightarrow{a_1, b_1} K)\] 을 \(K_4 \in S\)가 되도록 택하자. 이는 \(\mathcal{C}\)에 대한 가정 (4)에 의해 가능하다. 전사 사상 \[K_5 \longrightarrow \text{Equalizer}(K_4 \to K_1 \times K_2 \xrightarrow{a_2, b_2} K)\] 을 \(K_5 \in S\)가 되도록 택하자. 역시 가능하다. 이 과정을 계속하여 \(K_{3 + n} \in S\)인 전사 사상 \[K_{3 + n} \longrightarrow \text{Equalizer}(K_{2 + n} \to K_1 \times K_2 \xrightarrow{a_n, b_n} K)\] 을 얻는다. 구성에 의해 \(K_{3 + n} \to K_1 \times_{K^n} K_2\) 은 전사이다. 따라서 \((K_{3 + n} \to K^n)\)은 \(S_n\)에 속하고 곱 \((K_1 \to K^n) \times (K_2 \to K^n)\) 위로 전사한다. 그러므로 (3)은 \(S_n\)에 대해 성립한다.

4. \(S_n\)에 대한 성질 (4)는 \(S\)에 대한 성질 (4)의 직접적인 귀결이다.

5. \(S_n\)에 대한 성질 (5)는 \(S\)에 대한 성질 (5)의 귀결이다. 실제로 \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\)의 대상 \(\mathcal{F} \to K^n\)은 \(\mathcal{F}\)가 \(\Sh(\mathcal{C})\)의 준콤팩트 대상일 때 그리고 그때에만 \(\Sh(\mathcal{C}/K^n)\)의 준콤팩트 대상에 대응한다.

이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

주

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\)를 다음 꼴의 층 \(K\)들의 집합이라 하자. \[K = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\#\] 여기서 \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\)이다. 이 집합은 언제 Lemma 0GN3의 가정들을 만족하는가? 한 가지 충분조건은 다음과 같다.

1. 어떤 \(n \geq 0\) 및 \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\)에 대해 사상 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# \to *\)가 전사이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)의 덮개는 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 꼴 \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\)의 덮개로 세분될 수 있다.

3. \(U, U' \in \mathcal{B}\)가 주어지면 \(n \geq 0\), \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\) 및 사상 \(U_i \to U\), \(U_i \to U'\)가 존재하여 사상 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# \to h_U^\# \times h_{U'}^\#\)가 전사이다.

4. \(\mathcal{C}\)에서 \(U, U' \in \mathcal{B}\)인 사상 \(a, b : U \to U'\)가 주어지면 \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\)와 \(a, b\)를 등화하는 사상 \(U_i \to U\)가 존재하여 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# \to \text{Equalizer}(h_a^\#, h_b^\# : h_U^\# \to h_{U'}^\#)\) 가 전사이다.

상세한 검증은 생략한다. 다만 위의 (2)는 \(\mathcal{B}\)의 모든 원소가 준콤팩트임을 보장하고, 따라서 Sites, Lemma 0GMQ에 의해 모든 \(K \in S\)도 준콤팩트임을 언급해 둔다.

보조정리

\(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 연속 함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)에 대응하는 사이트의 사상이라 하자. \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군층의 계라 하고 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)로 놓자. \(p \geq 0\)을 정수라 하자. \(\mathcal{B}\)를 다음을 만족하는 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)들의 집합이라 하자. \(H^p(u(V), \mathcal{F}) = \colim H^p(u(V), \mathcal{F}_i)\). \(\mathcal{D}\)의 모든 대상이 \(\mathcal{B}\)의 원소들에 의한 덮개를 가지면 \(R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i\)이다.

증명

\(R^pf_*\mathcal{F}\)는 \(V\)를 \(H^p(u(V), \mathcal{F})\)로 보내는 준층 \(\mathcal{G}\)의 층화임을 상기하라. Lemma 072W를 참조하라. 마찬가지로 \(R^pf_*\mathcal{F}_i\)는 \(V\)를 \(H^p(u(V), \mathcal{F}_i)\)로 보내는 준층 \(\mathcal{G}_i\)의 층화이다. 층화는 층에서 준층으로 가는 포함의 왼쪽 수반임을 상기하라. Sites, Section 00W1을 참조하라. 따라서 층화는 여극한과 가환한다. Categories, Lemma 0038를 참조하라. 그러므로 준층의 사상(여극한은 준층의 범주에서 취한다) \[\colim \mathcal{G}_i \longrightarrow \mathcal{G}\] 이 층화 위에 동형을 유도함을 보이면 충분하다. 이는 Sites, Lemma 0H6Y와 \(\mathcal{B}\)에 대한 가정에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{I}\)를 공여과 지표 범주라 하고 \((\mathcal{C}_i, f_a)\)를 Sites, Situation 0A34에서와 같은 \(\mathcal{I}\) 위의 사이트의 역계라 하자. Sites, Lemmas 09YL 및 0A35에서와 같이 \(\mathcal{C} = \colim \mathcal{C}_i\)로 놓자. 또한 다음이 주어졌다고 하자.

1. 모든 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)에 대해 \(\mathcal{C}_i\) 위의 아벨 군층 \(\mathcal{F}_i\),

2. \(a : j \to i\)에 대해 \(\mathcal{C}_j\) 위의 아벨 군층 사상 \(\varphi_a : f_a^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\)

이며, \(c = a \circ b\)일 때마다 \(\varphi_c = \varphi_b \circ f_b^{-1}\varphi_a\)라고 하자. 그러면 계의 사상 \((\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) 이 존재하여 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\)는 단사이고 \(\mathcal{G}_i\)는 단사 아벨 군층이다.

증명

각 \(i\)에 대해 단사 사상 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{A}_i\)를 택하자. 여기서 \(\mathcal{A}_i\)는 \(\mathcal{C}_i\) 위의 단사 아벨 군층이다. 그러면 사상들의 족 \[\gamma_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \prod\nolimits_{b : k \to i} f_{b, *}\mathcal{A}_k = \mathcal{G}_i\] 을 생각할 수 있다. 그 성분 사상들은 사상 \(f_b^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_k \to \mathcal{A}_k\)에 수반인 사상들이다. \(\mathcal{I}\)의 \(a : j \to i\)에 대해 정준 사상 \[\psi_a : f_a^{-1}\mathcal{G}_i \to \mathcal{G}_j\] 이 존재하며, 그 성분들은 \(b : k \to j\)에 대한 정준 사상 \(f_b^{-1}f_{a \circ b, *}\mathcal{A}_k \to f_{b, *}\mathcal{A}_k\) 이다. 따라서 아벨 군층의 계들의 단사 사상 \((\gamma_i) : (\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) 을 얻는다. \(\mathcal{G}_i\)는 \(\mathcal{C}_i\) 위의 단사 아벨 군층이다. Lemma 0730과 Homology, Lemma 0137를 참조하라. 이로써 구성이 끝난다.

보조정리

Lemma 0EXZ의 상황에서 \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\)로 놓자. \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 및 \(X_i \in \text{Ob}(\mathcal{C}_i)\)라 하자. 그러면 모든 \(p \geq 0\)에 대해 \[\colim_{a : j \to i} H^p(u_a(X_i), \mathcal{F}_j) = H^p(u_i(X_i), \mathcal{F})\] 이다.

증명

\(p = 0\)인 경우는 Sites, Lemma 09YN이다.

Lemma 0EXZ에서와 같은 \((\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\)를 택하자. Lemma 0739의 증명과 똑같이 논증하면 \(p > 0\)에 대해 \(H^p(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i) = 0\)임을 보이는 것으로 충분하다.

\(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\)로 놓자. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 위에서 \(\mathcal{G}\)의 코호몰로지가 소멸함을 보이기 위해, \(\mathcal{C}\)의 임의의 덮개 \(\mathcal{U}\)에 대한 \(\mathcal{G}\)의 체흐 코호몰로지가 영임을 보이자 (Lemma 03F9). 덮개 \(\mathcal{U}\)는 어떤 \(i\)에 대한 \(\mathcal{C}_i\)의 덮개 \(\mathcal{U}_i\)에서 온다. \(p = 0\)인 경우에 의해 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = \colim_{a : j \to i} \check{\mathcal{C}}^\bullet(u_a(\mathcal{U}_i), \mathcal{G}_j)\] 이다. 오른쪽은 Lemma 03AW에 의한 비순환 복합체들의 여과 여극한이므로 양의 차수에서 비순환이다. Algebra, Lemma 00DB를 참조하라.

평탄 분해

이 절에서는 환 달린 사이트와 환 달린 토포스의 맥락에서 Cohomology, Section 06Y7의 논의를 다시 전개한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{G}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체라 하자. 함자 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}^\bullet)\] 와 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}^\bullet)\] 는 삼각범주의 완전 함자이다.

증명

이는 Derived Categories, Remark 0G6E에서 따른다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이라는 것은 모든 비순환 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 복합체 \[\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] 가 비순환이라는 뜻이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)를 K-평탄 복합체라 하자. 그러면 함자 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] 는 유사동형을 유사동형으로 보낸다.

증명

Lemma 06YM과 유사동형은 원뿔이 비순환인 사상으로 특징지어진다는 사실에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 객체라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이면 \(\mathcal{K}^\bullet|_U\)는 K-평탄 \(\mathcal{O}_U\)-가군 복합체이다.

증명

\(\mathcal{G}^\bullet\)를 완전 \(\mathcal{O}_U\)-가군 복합체라 하자. \(j_{U!}\)가 완전하고 (Modules on Sites, Lemma 03DJ) \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이므로, 복합체 \[j_{U!}(\text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{K}^\bullet|_U)) = \text{Tot}(j_{U!}\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] 는 완전이다. 여기서 등식은 Modules on Sites, Lemma 0E8I와 \(j_{U!}\)가 (왼쪽 수반이므로) 직합과 가환한다는 사실에서 나온다. Modules on Sites, Lemma 0E8G에 의해 \(j_{U!}\)가 완전성을 반영하므로 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\), \(\mathcal{L}^\bullet\)가 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이면 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)\) 도 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이다.

증명

다음 동형과 정의에서 따른다. \[\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)) = \text{Tot}(\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)\]

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{K}_1^\bullet, \mathcal{K}_2^\bullet, \mathcal{K}_3^\bullet)\)를 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) 안의 특수 삼각형이라 하자. 세 \(\mathcal{K}_i^\bullet\) 가운데 둘이 K-평탄이면 나머지 하나도 K-평탄이다.

증명

Lemma 06YM과 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) 안의 특수 삼각형에서 세 대상 가운데 둘이 비순환이면 나머지 하나도 비순환이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(0 \to \mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \mathcal{K}_3^\bullet \to 0\)를 복합체들의 짧은 완전열이라 하고, \(\mathcal{K}_3^\bullet\)의 각 항은 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군이라고 하자. 세 \(\mathcal{K}_i^\bullet\) 가운데 둘이 K-평탄이면 나머지 하나도 K-평탄이다.

증명

Modules on Sites, Lemma 03EX에 의해 모든 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)에 대해 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_1^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_2^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_3^\bullet) \to 0\] 을 얻는다. 따라서 보조정리는 코호몰로지 층들의 긴 완전열과 K-평탄 복합체의 정의에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체는 K-평탄이다.

증명

\(\mathcal{K}^\bullet\)를 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체라 하고, \(\mathcal{L}^\bullet\)를 비순환 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체라 하자. 항별 여극한을 취하면 \(\mathcal{L}^\bullet = \colim_m \tau_{\leq m}\mathcal{L}^\bullet\) 이고, 따라서 항별로 \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet) = \colim_m \text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \tau_{\leq m}\mathcal{L}^\bullet)\] 이다. 그러므로 왼쪽 복합체가 비순환임을 보이려면 오른쪽의 각 복합체가 비순환임을 보이면 충분하다. \(\tau_{\leq m}\mathcal{L}^\bullet\)가 비순환이므로 \(\mathcal{L}^\bullet\)가 위로 유계인 경우로 환원된다. 이 경우 Homology, Lemma 0132의 스펙트럼 열은 \[{}'E_1^{p, q} = H^p(\mathcal{L}^\bullet \otimes_R \mathcal{K}^q)\] 을 가지며, \(\mathcal{K}^q\)가 평탄이고 \(\mathcal{L}^\bullet\)가 비순환이므로 이는 영이다. 이로써 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\)를 K-평탄 복합체들의 계라 하자. 그러면 \(\colim_i \mathcal{K}_i^\bullet\)는 K-평탄이다.

증명

항별 여극한을 취하므로 다음 등식은 자명하다. \[\colim_i \text{Tot}( \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_i^\bullet) = \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \colim_i \mathcal{K}_i^\bullet)\] 따라서 보조정리는 여과 여극한이 완전하다는 사실에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] 이 존재하며 다음 성질을 만족한다. (1) 수직 화살표들은 유사동형이고 항별 전사이다. (2) 각 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 위로 유계인 복합체이며, 그 항들은 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 꼴의 \(\mathcal{O}\)-가군들의 직합이다. (3) 사상 \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{K}_{n + 1}^\bullet\)는 항별 분할 단사이고, 그 여핵들은 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 꼴의 \(\mathcal{O}\)-가군들의 직합이다. 더욱이 사상 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)는 유사동형이다.

증명

도식의 존재와 성질 (1), (2), (3)은 Modules on Sites, Lemma 03EW과 Derived Categories, Lemma 06XX에서 곧바로 따른다. 유도된 사상 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)는 여과 여극한이 완전하므로 유사동형이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 임의의 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해, 각 항이 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군인 \(K\)-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 항별 전사인 유사동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)가 존재한다.

증명

Lemma 077J의 도식을 고르자. 각 복합체 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 평탄 가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체이다. Modules on Sites, Lemma 03EV을 보라. 따라서 Lemma 06YQ에 의해 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 K-평탄이다. 그러므로 Lemma 06YR에 의해 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet\)는 K-평탄이다. 구성상 유도된 사상 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)는 유사동형이며 항별 전사이다. Lemma 077J의 성질 (3)에 의하면 \(\colim \mathcal{K}_n^m\)은 평탄 가군들의 직합이므로 평탄이다. 이로써 마지막 주장도 증명된다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\alpha : \mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{Q}^\bullet\)를 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 유사동형이라 하자. 모든 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 유도된 사상 \[\text{Tot}(\text{id}_{\mathcal{F}^\bullet} \otimes \alpha) : \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{P}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{Q}^\bullet)\] 은 유사동형이다.

증명

Lemma 06YS에 따라 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄인 유사동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)를 고르자. 다음 가환도식을 생각하자. \[\xymatrix{ \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{Q}^\bullet) }\] Lemma 06YP에 의해 수직 화살표들과 위쪽 수평 화살표가 유사동형이므로 결과가 따른다.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. Lemma 06YS에 따라 K-평탄 분해 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)를 고르자. Lemma 06YM에 의해 삼각범주의 완전 함자 \[K(\mathcal{O}) \longrightarrow K(\mathcal{O}), \quad \mathcal{G}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] 를 얻는다. Lemma 06YP에 의해 이 함자는 함자 \(D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\)를 유도한다. 이는 \(D(\mathcal{O})\)가 \(K(\mathcal{O})\)를 유사동형들에 대해 국소화한 것이기 때문이다. \(\mathcal{F}^\bullet\)의 \(K\)-평탄 분해들의 범주는 공여과되어 있고 Lemma 06YT가 성립하므로, 그 결과 얻는 함자는 동형을 무시하면 \(\mathcal{K}^\bullet\)의 선택에 의존하지 않는다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)를 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. 유도 텐서곱 \[- \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 은 위에서 설명한 삼각범주의 완전 함자이다.

명시적인 구성에서 표준 동형 \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet \cong \mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet\] 이 \(D(\mathcal{O})\) 안의 \(\mathcal{G}^\bullet\)와 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 존재함이 명백하다. 여기서는 More on Algebra, Section 0FNG의 부호 규칙을 사용한다. 따라서 \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) 라고 쓸 때에는 보통 어느 변수를 사용해 유도 텐서곱을 정의하는지 구별하지 않을 것이다.

정의

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 Tor들은 위에서 정의한 유도 텐서곱을 사용하여 다음 공식으로 정의한다. \[\text{Tor}_p^\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = H^{-p}(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{G})\]

이 정의에 따르면 \(\mathcal{O}\)-가군들의 모든 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)과 모든 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 코호몰로지 긴 완전열 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r] & 0 \\ \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}_3, \mathcal{G}) \ar[ull] }\] 을 얻는다. 이를 이 상황에 딸린 \(\text{Tor}\)의 긴 완전열이라 한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

2. 모든 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \(\text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\)이다.

증명

만일 \(\mathcal{F}\)가 평탄이면 \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} -\)는 완전 함자이고 위성함자들은 영이다. 역으로 (2)가 성립한다고 가정하자. \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\)가 단사이고 그 여핵이 \(\mathcal{Q}\)이면, \(\text{Tor}\)의 긴 완전열에 의해 \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{H}\) 의 핵은 \(\text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{Q})\)의 몫이다. 이는 가정에 의해 영이다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 평탄이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 각 항이 평탄인 K-평탄 비순환 복합체를 \(\mathcal{K}^\bullet\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = \Ker(\mathcal{K}^n \to \mathcal{K}^{n + 1})\) 는 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군이다.

증명

다음 열은 가군 \(\mathcal{F}\)의 평탄 분해이다. \[\ldots \to \mathcal{K}^{n - 2} \to \mathcal{K}^{n - 1} \to \mathcal{F} \to 0\] 평탄 가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체는 K-평탄이므로 (Lemma 06YQ), 이 분해를 사용하여 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대한 \(\text{Tor}_i(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)를 계산할 수 있다. 한편 \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{G}\) 는 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 비순환이므로 \(D(\mathcal{O})\)에서 영이고, 다른 한편으로는 \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\)로 표현된다. 따라서 다음 열은 완전이다. \[\mathcal{K}^{n - 3} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{K}^{n - 2} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{K}^{n - 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\] 그러므로 \(\text{Tor}_1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\)이고, Lemma 08FG에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(a : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 사상이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이면 복합체 \(\mathcal{N}^\bullet\)와 복합체 사상 \(b : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\), \(c : \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(\mathcal{N}^\bullet\)는 K-평탄이다.

2. \(c\)는 유사동형이다.

3. \(a\)는 \(c \circ b\)와 호모토픽이다.

\(\mathcal{K}^\bullet\)의 항들이 평탄하면 \(\mathcal{N}^\bullet\)에도 같은 성질이 성립하도록 \(\mathcal{N}^\bullet\), \(b\), \(c\)를 고를 수 있다.

증명

호모토피 범주 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\)가 삼각범주라는 사실을 사용할 것이다. Derived Categories, Proposition 014S을 보라. 특수 삼각형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\). 을 고르자. Lemma 06YS에 따라, 항들이 평탄이고 \(\mathcal{M}^\bullet\)가 K-평탄인 유사동형 \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet\)를 고르자. 삼각범주의 공리들에 의해 합성 \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\) 을 특수 삼각형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\). 에 넣을 수 있다. Lemma 07A3에 의해 \(\mathcal{N}^\bullet\)가 K-평탄임을 알 수 있다. 다시 삼각범주의 공리들을 사용하여 다음 특수 삼각형의 사상에 들어가는 사상 \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)를 고를 수 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{N}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet[1] \ar[d] \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{L}^\bullet \ar[r] & \mathcal{C}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet[1] }\] 화살표 셋 가운데 둘이 유사동형이므로 세 번째 화살표 \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)도 이 특수 삼각형들에 딸린 코호몰로지 긴 완전열들에 의해 유사동형이다(원한다면 이 도식의 \(D(\mathcal{O})\) 안의 상을 보고 Derived Categories, Lemma 014A를 사용해도 된다). 이로써 (1), (2), (3)의 증명이 끝난다. 마지막 주장을 증명하기 위해 Derived Categories, Lemma 0G6C에 따라 \(\mathcal{N}^n \cong \mathcal{M}^n \oplus \mathcal{K}^n\)이 되도록 \(\mathcal{N}^\bullet\)를 고를 수 있다. 따라서 \(\mathcal{K}^\bullet\)의 항들이 평탄하면 원하는 평탄성을 얻는다.

유도 당김

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. K-평탄 분해를 사용하여 유도 당김 함자 \[Lf^* : D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\] 를 정의할 수 있다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)를 각 항이 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군인 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체라 하자. 그러면 \(f^*\mathcal{K}^\bullet\)는 각 항이 평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군인 K-평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군 복합체이다.

증명

Modules on Sites, Lemma 05VD에 의해 각 항 \(f^*\mathcal{K}^n\)은 평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군이다. Lemma 077J와 같은 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] 을 고르자. 더 언급하지 않고 그 보조정리에 적힌 모든 성질을 사용할 것이다. 각 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)는 평탄 가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체이다. Modules on Sites, Lemma 03EV을 보라. \(\mathcal{M}^\bullet\)를 정의하는 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{M}^\bullet \to \colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet \to 0\] 을 생각하자. Lemmas 06YQ과 06YR에 의해 복합체 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet\)는 K-평탄이고, Modules on Sites, Lemma 03EU에 의해 그 항들은 평탄이다. Modules on Sites, Lemma 03EY에 의해 \(\mathcal{M}^\bullet\)의 항들이 평탄이고, Lemma 0G7B에 의해 \(\mathcal{M}^\bullet\)가 K-평탄이며, 코호몰로지 긴 완전열에 의해 \(\mathcal{M}^\bullet\)가 비순환이다(두 번째 화살표가 유사동형이기 때문이다). 당김 \(f^*(\colim \mathcal{K}_n^\bullet) = \colim f^*\mathcal{K}_n^\bullet\) 은 평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군들로 이루어진 아래로 유계인 복합체들의 여극한이므로 K-평탄이다(위와 같은 보조정리들을 사용한다). 우리 짧은 완전열의 당김 \[0 \to f^*\mathcal{M}^\bullet \to f^*(\colim \mathcal{K}_n^\bullet) \to f^*\mathcal{K}^\bullet \to 0\] 은 Modules on Sites, Lemma 0G6R에 의해 복합체들의 짧은 완전열이다. 따라서 Lemma 0G7B에 의해 \(f^*\mathcal{M}^\bullet\)가 K-평탄임을 보이면 충분하다. 이는 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

이제 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이고 비순환이며 각 항이 평탄이라고 가정하자. 그러면 Lemma 0G7C에 의해 \(\tau_{\leq n}\mathcal{K}^\bullet\)의 모든 항은 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군이다. 위와 같은 도식을 고르고, 그 도식에 대해 위에서 증명한 모든 성질을 사용할 것이다. 복합체 사상 \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n}\mathcal{K}^\bullet\) 의 핵을 \(\mathcal{M}_n^\bullet\)로 나타내자. 그러면 복합체들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{M}_n^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n}\mathcal{K}^\bullet \to 0\] 을 얻는다. Modules on Sites, Lemma 03EY에 의해 복합체 \(\mathcal{M}_n^\bullet\)의 항들은 평탄이다. 따라서 이 경우 \(\mathcal{M} = \colim \mathcal{M}_n^\bullet\)은 평탄 가군들로 이루어진 아래로 유계인 복합체들의 여과 여극한이다. 그러므로 \(f^*\mathcal{M}^\bullet\)는 K-평탄이고(위와 같은 논증), 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 삼각범주의 완전 함자 \[Lf^* : D(\mathcal{O}') \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 가 존재하여, 각 항이 평탄인 모든 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)에 대해 \(Lf^*\mathcal{K}^\bullet = f^*\mathcal{K}^\bullet\)이고, 특히 평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군들로 이루어진 모든 위로 유계인 복합체에 대해 이 등식이 성립한다.

증명

Derived Categories, Section 05S7에서 전개한 일반 이론을 사용한다. \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}')\), \(\mathcal{D}' = D(\mathcal{O})\)로 두자. 규칙 \(F(\mathcal{G}^\bullet) = f^*\mathcal{G}^\bullet\)로 정의되는 삼각범주의 완전 함자를 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)로 쓰자. 또한 \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}')\) 안의 유사동형들의 집합을 \(S\)라 하자. 그러면 Derived Categories, Situation 05S8의 상황이므로 Derived Categories, Definition 05S9을 적용할 수 있다. \(LF\)가 모든 곳에서 정의됨을 주장한다. 이는 Derived Categories, Lemma 06XN에서 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\)를 각 항이 평탄인 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)들의 모임으로 두면 따른다. 실제로 (1)은 Lemma 06YS에서 따른다. (2)를 보이려면 \(\mathcal{P}\)의 원소 사이의 유사동형 \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet\)에 대해 사상 \(f^*\mathcal{K}_1^\bullet \to f^*\mathcal{K}_2^\bullet\)가 유사동형임을 보이면 된다. 이 사상을 \[f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} \mathcal{O} \longrightarrow f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} \mathcal{O}\] 로 쓰자. 함자 \(f^{-1}\)은 완전하므로 사상 \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \to f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\)는 유사동형이다. 환 달린 토포스의 사상 \((\Sh(\mathcal{C}), f^{-1}\mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)을 생각할 수 있으므로, Lemma 0G7E에 의해 복합체 \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet\)와 \(f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\)는 K-평탄 \(f^{-1}\mathcal{O}'\)-가군 복합체이다. 따라서 Lemma 06YT에 의해 표시된 사상은 유사동형이다. 이로써 유도 함자 \[LF : D(\mathcal{O}') = S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}' = D(\mathcal{O})\] 를 얻는다. Derived Categories, Equation (05SW)을 보라. 마지막으로 Derived Categories, Lemma 06XN에 의해 \(LF(\mathcal{K}^\bullet) = F(\mathcal{K}^\bullet) = f^*\mathcal{K}^\bullet\) 는 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 \(\mathcal{P}\)에 속할 때 성립한다. Lemma 06YQ에 의해 평탄 가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체들이 \(\mathcal{P}\)에 속함을 관찰하면 증명이 끝난다.

보조정리

환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 과 \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{E}), \mathcal{O}_\mathcal{E})\). 을 생각하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{E}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)인 함자로서 \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\)이다.

증명

\(E\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{E})\)의 대상이라 하자. Lemma 06YS에 따라 각 항이 평탄인 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)로 \(E\)를 나타낼 수 있다. 구성에 의해 \(Lg^*E\)는 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\)로 계산된다. Lemma 06YY를 보라. Lemma 0G7E에 의해 복합체 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\)는 각 항이 평탄인 K-평탄 복합체이다. 따라서 \(Lf^*Lg^*E\)는 \(f^*g^*\mathcal{K}^\bullet\)로 표현된다. 또한 \(L(g \circ f)^*E\)도 \((g \circ f)^*\mathcal{K}^\bullet = f^*g^*\mathcal{K}^\bullet\)로 표현되므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 표준 이함자적 동형 \[Lf^*( \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet ) = Lf^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet\] 이 모든 \(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}'))\)에 대해 존재한다.

증명

Lemma 06YY의 유도 당김 구성과 Lemma 06YS의 분해 존재성에 의해 \(\mathcal{F}^\bullet\)와 \(\mathcal{G}^\bullet\)를 각 항이 평탄인 K-평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군 복합체로 바꾸어도 된다. 이 경우 \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) 는 이중 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^\bullet\)에 딸린 전체 복합체일 뿐이다. 복합체 \(\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^\bullet)\) 는 Lemma 07A2과 Modules on Sites, Lemma 0G6Q에 의해 각 항이 평탄인 K-평탄 복합체이다. 따라서 보조정리의 동형은 동형 \[\text{Tot}(f^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}} f^*\mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow f^*\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^\bullet)\] 에서 오며, 그 각 성분은 Modules on Sites, Lemma 03EL의 동형 \(f^*\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}} f^*\mathcal{G}^q \to f^*(\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^q)\)이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 표준 이함자적 동형 \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'}^{\mathbf{L}} f^{-1}\mathcal{G}^\bullet\] 이 \(D(\mathcal{O})\)의 \(\mathcal{F}^\bullet\)와 \(D(\mathcal{O}')\)의 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 존재한다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}'\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}} f^*\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} f^{-1}\mathcal{G}\) 이다. 이는 \(f^*\mathcal{G} = \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} f^{-1}\mathcal{G}\). 이기 때문이다. 이 사실과 정의들에서 보조정리가 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(\mathcal{K}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체라 하자.

1. \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이면, 사이트 \(\mathcal{C}\)의 모든 점 \(p\)에 대해 \(\mathcal{O}_p\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}_p^\bullet\)는 More on Algebra, Definition 06XZ의 의미에서 K-평탄이다.

2. \(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 가지면 그 역도 참이다.

증명

(2)의 증명. \(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 가지고 \(\mathcal{C}\)의 모든 점 \(p\)에 대해 \(\mathcal{K}_p^\bullet\)가 K-평탄이라고 하자. \(\otimes\)와 직합은 줄기를 취하는 것과 가환하고 완전성은 줄기에서 확인할 수 있으므로 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄임을 알 수 있다. Modules on Sites, Lemma 05V3를 보라.

(1)의 증명. \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이라고 가정하자. Lemma 06YS에 따라, 각 항이 평탄이고 \(\mathcal{L}^\bullet\)가 K-평탄인 유사동형 \(a : \mathcal{L}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\)를 고르자. \(\mathcal{L}^\bullet\)의 모든 당김은 K-평탄이다. Lemma 0G7E을 보라. 특히 줄기 \(\mathcal{L}_p^\bullet\)는 K-평탄 \(\mathcal{O}_p\)-가군 복합체이다. 따라서 \(a\)의 원뿔 \(C(a)\)는 K-평탄인 (Lemma 07A3) 비순환 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이고, \(C(a)\)의 줄기가 K-평탄임을 보이면 충분하다(More on Algebra, Lemma 06Y2). 그러므로 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이고 비순환인 경우를 가정해도 된다.

\(\mathcal{K}^\bullet\)가 비순환이고 K-평탄이라고 가정하자. 계속하기 전에 Sites, Lemma 03CI에서처럼 사이트 \(\mathcal{C}\)를 다른 사이트로 바꾸어 \(\mathcal{C}\)가 모든 유한 극한을 갖도록 한다. 그러면 \(p\)의 근방들의 범주는 여과 범주이고 (Sites, Lemma 00YB), 층의 줄기를 정의하는 여극한도 여과 여극한이다. \(M\)을 유한 표시 \(\mathcal{O}_p\)-가군이라 하자. More on Algebra, Lemma 0E8F에 의해 \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_p} M\)이 비순환임을 보이면 충분하다. \(U\)가 \(p\)의 근방들을 달릴 때 \(\mathcal{O}_p\)는 \(\mathcal{O}(U)\)들의 여과 여극한이므로, \(p\)의 근방 \((U, x)\)와 밑변환이 \(\mathcal{O}_p\) 위에서 \(M\)인 유한 표시 \(\mathcal{O}(U)\)-가군 \(M'\)을 찾을 수 있다. Algebra, Lemma 05N7를 보라. Lemma 0E8K에 의해 \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{K}^\bullet\)를 \(\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U, \mathcal{K}^\bullet|_U\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(M \cong \mathcal{F}_p\)인 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재한다고 가정해도 된다. \(\mathcal{K}^\bullet\)가 K-평탄이고 비순환이므로 \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\)는 비순환이다 (정의에 따라 유도 텐서곱을 계산하기 때문이다). 줄기를 취하는 함자는 완전이므로, 원하는 대로 \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_p} M\)이 비순환임을 얻는다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 가지면, K-평탄 \(\mathcal{O}'\)-가군 복합체의 당김은 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이다.

증명

이는 Lemma 0DEN, Modules on Sites, Lemma 05V5, More on Algebra, Lemma 06Y1에서 따른다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군 복합체라 하자. 도식 \[\xymatrix{ Lf^*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ Lf^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} f^*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] 은 가환한다.

증명

각 항이 평탄인 K-평탄 분해가 존재한다는 사실 (Lemma 06YS), 유도 당김이 그러한 복합체로 계산된다는 사실(Lemma 06YY), 그리고 당김이 이 성질들을 보존한다는 사실(Lemma 0G7E)을 사용할 것이다. 그러한 분해 \(\mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{Q}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet\)를 고르면 도식 \[\xymatrix{ Lf^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(f^*\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] 이 가환함을 알 수 있다. 그러나 이제 \(\mathcal{P}^\bullet\)와 \(\mathcal{Q}^\bullet\)의 선택과 Lemma 07A2에 의해 이 도식의 왼쪽 변은 이 도식의 왼쪽 변이다.

비유계 복합체의 코호몰로지

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)는 Grothendieck 아벨 범주이다. 즉 모든 여극한을 가지며, 여과 여극한은 완전하고, 다음 생성자를 갖는다. \[\bigoplus\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} j_{U!}\mathcal{O}_U,\] Modules on Sites, Section 03D9과 Lemmas 03EV, 03EW을 보라. Injectives, Theorem 079P에 의해 모든 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)에는 K-단사 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체로 가는 단사 유사동형 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)가 존재하며, 이 매장은 \(\mathcal{F}^\bullet\)에 대해 함자적으로 고를 수 있다. Derived Categories, Lemma 070K에 의해 다음이 따른다.

1. 삼각범주 \(\mathcal{D}\)로 가는 임의의 완전 함자 \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \to \mathcal{D}\)는 오른쪽 유도 함자 \(RF : D(\mathcal{O}) \to \mathcal{D}\)를 갖는다.

2. 아벨 범주 \(\mathcal{A}\)로 가는 임의의 가법 함자 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathcal{A}\)에 대해, \(F\)가 유도하는 완전 함자 \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \to K(\mathcal{A})\)를 생각하면 오른쪽 유도 함자 \(RF : D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{A})\)를 얻는다.

구성에 의해 \(RF(\mathcal{F}^\bullet) = F(\mathcal{I}^\bullet)\)이다. 여기서 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)는 위와 같다.

위 사실의 몇 가지 예를 들면 다음과 같다.

1. 함자 \(\Gamma(\mathcal{C}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}\)는 \[R\Gamma(\mathcal{C}, -) : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}))\] 를 준다. 코호몰로지에는 표기 \(H^i(\mathcal{C}, K) = H^i(R\Gamma(\mathcal{C}, K))\)를 사용할 것이다.

2. \(\mathcal{C}\)의 객체 \(U\)에 대해 함자 \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\Gamma(U, \mathcal{O})}\)를 생각하자. 이는 \[R\Gamma(U, -) : D(\mathcal{O}) \to D(\Gamma(U, \mathcal{O}))\] 를 준다. 코호몰로지에는 표기 \(H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, K))\)를 사용할 것이다.

3. 환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\)에 대해 함자 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\)를 생각하자. 이는 비유계 유도범주 위의 전체 직접상 \[Rf_* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\mathcal{O}')\] 을 준다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 위에서 정의한 함자 \(Rf_*\)와 Lemma 06YY에서 정의한 함자 \(Lf^*\)는 서로 수반이다. 즉 \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(Lf^*\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}')}(\mathcal{G}^\bullet, Rf_*\mathcal{F}^\bullet)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}))\)와 \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}'))\)에 대해 이함자적이다.

증명

이는 \(Rf_*\)와 \(Lf^*\)가 존재한다는 사실에서 형식적으로 따른다. Derived Categories, Lemma 09T5를 보라.

보조정리

환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 과 \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{E}), \mathcal{O}_\mathcal{E})\) 을 생각하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{E})\)인 함자로서 \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\)이다.

증명

Lemma 07A6에 의해 \(Rg_* \circ Rf_*\)는 \(Lf^* \circ Lg^*\)의 수반이다. Lemma 0D6D에 의해 \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\)이고, 따라서 수반함자의 유일성에 의해 \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\)이다.

주

비유계 유도 함자 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)의 구성으로 밑변환 사상을 가장 일반적인 상황에서 구성할 수 있다. 구체적으로 환 달린 토포스의 가환도식 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 이 주어졌다고 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 대상이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\) 안에 표준 밑변환 사상 \[Lg^*Rf_*K \longrightarrow R(f')_*L(g')^*K\] 이 존재한다. 이 사상은 사상 \(L(f')^*Lg^*Rf_*K \to L(g')^*K\)와 수반인 사상이다. \(L(f')^* \circ Lg^* = L(g')^* \circ Lf^*\)이므로 이는 사상 \(L(g')^*Lf^*Rf_*K \to L(g')^*K\)와 같다. 이 사상으로는 수반 사상 \(Lf^*Rf_*K \to K\)에 \(L(g')^*\)를 적용한 것을 취할 수 있다.

주

환 달린 토포스의 가환도식 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^g \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^m & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \\ }\] 을 생각하자. 두 정사각형에 대한 Remark 07A7의 밑변환 사상들을 합성하면 바깥 직사각형에 대한 밑변환 사상을 얻는다. 더 정확히 말해, 합성 \[\begin{align*} Lm^* \circ R(g \circ f)_* & = Lm^* \circ Rg_* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Ll^* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Rf'_* \circ Lk^* \\ & = R(g' \circ f')_* \circ Lk^* \end{align*}\] 은 그 직사각형에 대한 밑변환 사상이다. 확인은 생략한다.

주

환 달린 토포스의 가환도식 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}_{\mathcal{C}''}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}''), \mathcal{O}_{\mathcal{D}''}) \ar[r]^{h'} & (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^h & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 을 생각하자. 두 정사각형에 대한 Remark 07A7의 밑변환 사상들을 합성하면 바깥 직사각형에 대한 밑변환 사상을 얻는다. 더 정확히 말해, 합성 \[\begin{align*} L(h \circ h')^* \circ Rf_* & = L(h')^* \circ Lh^* \circ Rf_* \\ & \to L(h')^* \circ Rf'_* \circ Lg^* \\ & \to Rf''_* \circ L(g')^* \circ Lg^* \\ & = Rf''_* \circ L(g \circ g')^* \end{align*}\] 은 그 직사각형에 대한 밑변환 사상이다. 확인은 생략한다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하고, \(\mathcal{K}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체라 하자. 도식 \[\xymatrix{ Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet }\] 은 복합체 위의 \(Lf^* \to f^*\), 복합체 위의 \(f_* \to Rf_*\), 그리고 수반 \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\)에서 오며 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) 안에서 가환한다.

증명

K-평탄 분해와 K-단사 분해의 존재성을 사용할 것이다. Lemmas 06YS, 06YY, 0G7E과 위의 논의를 보라. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체로서 K-단사가 되는 유사동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 각 항이 평탄이고 \(\mathcal{Q}^\bullet\)가 K-평탄 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군 복합체인 유사동형 \(\mathcal{Q}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 각 항이 평탄인 K-평탄 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군 복합체 \(\mathcal{P}^\bullet\)와 복합체 사상들의 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ \mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f_*\mathcal{I}^\bullet }\] 을 고를 수 있는데, 이는 호모토피까지 가환하고 위쪽 수평 화살표는 유사동형이다. 실제로 복합체들의 호모토피 범주에서 유사동형들이 곱셈계를 이루므로 먼저 어떤 복합체 \(\mathcal{P}^\bullet\)에 대해 그러한 도식을 고른 뒤, 각 항이 평탄인 K-평탄 복합체에 의한 \(\mathcal{P}^\bullet\)의 분해를 고를 수 있다. 당김을 취하면 복합체 사상들의 도식 \[\xymatrix{ f^*\mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ f^*\mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f^*f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet }\] 을 얻으며 이는 호모토피까지 가환한다. 바깥 직사각형이 보조정리의 진술이 참임을 보여 준다.

주

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)의 수반성으로 상대 컵곱 \[Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L \longrightarrow Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L)\] 을 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 모든 \(K, L\)에 대해 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) 안에서 구성할 수 있다. 이 사상은 사상 \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L) \to K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L\)와 수반인 사상이다. 이 사상으로는 동형 \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L) = Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L\) (Lemma 07A4)과 여단위 \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\)에서 오는 사상 \(Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L \to K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L\) 의 합성을 취할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. 꼬임 아벨층들로 이루어진 Serre 부분범주를 \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(\mathcal{C})\)로 나타내자. 그러면 함자 \(D(\mathcal{A}) \to D_\mathcal{A}(\mathcal{C})\)는 동치이다.

증명

핵심 관찰은 단사 아벨층 \(\mathcal{I}\)가 가분이라는 것이다. 실제로 \(s \in \mathcal{I}(U)\)가 국소 단면이면 \(s\)를 사상 \(s : j_{U!}\mathbf{Z} \to \mathcal{I}\)로 해석하고, 층들의 단사 사상 \(n : j_{U!}\mathbf{Z} \to j_{U!}\mathbf{Z}\)에 단사 대상의 정의 성질을 적용한다. 그러면 \(ns' = s\)인 \(s' \in \mathcal{I}(U)\)가 존재한다.

층 \(\mathcal{F}\)의 꼬임 부분층을 \(\mathcal{F}_{tor}\)로 나타내자. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 단사 아벨층들의 복합체이고 그 코호몰로지 층들이 꼬임층이면 \[\mathcal{I}^\bullet_{tor} \to \mathcal{I}^\bullet\] 가 유사동형이라고 주장한다. 실제로 \(\mathbf{Q}\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 평탄하므로 \[H^p(\mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q} = H^p(\mathcal{I}^\bullet \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q})\] 이고, 코호몰로지 층들이 꼬임층이므로 이는 영이다. 위에서 보인 가분성에 의해 \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q}\) 는 전사이고 그 핵은 \(\mathcal{I}^\bullet_{tor}\)이다. 이때 얻는 짧은 완전열에 딸린 코호몰로지 층들의 긴 완전열에서 주장이 따른다.

보조정리를 증명하기 위해 오른쪽 수반 \(T : D(\mathcal{C}) \to D(\mathcal{A})\)를 구성할 것이다. 즉, \(D(\mathcal{C})\)의 \(K\)가 주어지면 Injectives, Theorem 079P에 따라 코호몰로지 층들이 단사인 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 \(K\)를 나타낼 수 있다. 이제 \(T(K) = \mathcal{I}^\bullet_{tor}\)로 둔다. 다시 말해 \(T\)는 꼬임 부분을 취하는 함자의 오른쪽 유도 함자이다. 함자 \(T\)는 \(i : D(\mathcal{A}) \to D_\mathcal{A}(\mathcal{C})\)의 오른쪽 수반이다. 이는 \(\mathcal{F}^\bullet\)가 꼬임층들의 복합체이면 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(\mathcal{F}^\bullet, I^\bullet_{tor}) = \Hom_{K(\textit{Ab}(\mathcal{C}))}(\mathcal{F}^\bullet, I^\bullet)\] 임을 관찰하면 곧바로 따른다. 특히 \(\mathcal{I}^\bullet_{tor}\)는 \(\mathcal{A}\)의 K-단사 복합체이다. 몇 가지 세부는 생략한다. 의문이 있다면 더 일반적인 Derived Categories, Lemma 09T5에서도 따른다. 위 주장은 \(D(\mathcal{A})\)의 \(L\)에 대해 \(L = T(i(L))\)이고, \(K\)가 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{C})\)에 속하면 \(i(T(K)) = K\)임을 준다. Categories, Lemma 07RB를 적용하면 결과가 따른다.

K-단사 복합체의 몇 가지 성질

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 객체라 하자. 이에 대응하는 국소화 사상을 \(j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 로 나타내자. 당김 함자 \(j^*\)는 제한 함자에 불과하므로 완전하다. 따라서 유도 당김 \(Lj^*\)는 임의의 복합체를 단순히 제한하여 계산된다. 우리는 흔히 이에 대응하는 함자를 간단히 \[D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_U), \quad E \mapsto j^*E = E|_U\] 로 나타낸다. 마찬가지로 영에 의한 연장 \(j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) (see Modules on Sites, Definition 04IX) 은 완전 함자이다 (Modules on Sites, Lemma 03DJ). 그러므로 이는 함자 \[j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O}), \quad F \mapsto j_!F\] 를 유도하며, 이는 대상 \(F\)를 나타내는 임의의 복합체에 \(j_!\)를 단순히 적용하여 계산한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 객체라 하자. K-단사 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체를 \(\mathcal{C}/U\)로 제한하면 K-단사 \(\mathcal{O}_U\)-가군 복합체가 된다.

증명

이는 Derived Categories, Lemma 08BJ와 제한 함자가 완전한 왼쪽 수반 \(j_!\)를 갖는다는 사실에서 곧바로 따른다. 위의 논의를 보라.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(D(\mathcal{O})\)의 \(K\)에 대해 \(H^p(U, K) = H^p(\mathcal{C}/U, K|_{\mathcal{C}/U})\).

증명

\(K\)를 나타내는 K-단사 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체를 \(\mathcal{I}^\bullet\)라 하자. 그러면 코호몰로지의 구성에 의해 \[H^q(U, K) = H^q(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) = H^q(\Gamma(\mathcal{C}/U, \mathcal{I}^\bullet|_{\mathcal{C}/U}))\] 이다. Lemma 08FI에 의해 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet|_{\mathcal{C}/U}\)는 \(K|_{\mathcal{C}/U}\)를 나타내는 K-단사 복합체이므로 결론이 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. 준층 \[U \mapsto H^q(U, K) = H^q(\mathcal{C}/U, K|_{\mathcal{C}/U})\] 의 층화는 \(K\)의 \(q\)차 코호몰로지 층 \(H^q(K)\)이다.

증명

등식 \(H^q(U, K) = H^q(\mathcal{C}/U, K|_{\mathcal{C}/U})\)는 Lemma 0D6F에서 따른다. \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. 그러면 코호몰로지의 구성에 의해 \[H^q(U, K) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^q(U) \to \mathcal{I}^{q + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{q - 1}(U) \to \mathcal{I}^q(U))}.\] 한편 \(H^q(K) = \Ker(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1})/ \Im(\mathcal{I}^{q - 1} \to \mathcal{I}^q)\)이므로 결과는 명백하다.

보조정리

연속 함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)에 대응하는 환 달린 사이트의 사상을 \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)라 하자. \(V \in \mathcal{D}\)가 주어지면 \(U = u(V)\)로 두고 유도된 환 달린 사이트의 사상을 \(g : (\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U) \to (\mathcal{D}/V, \mathcal{O}_V)\) 로 나타내자 (Modules on Sites, Lemma 04J0). 그러면 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 \(E\)에 대해 \((Rf_*E)|_{\mathcal{D}/V} = Rg_*(E|_{\mathcal{C}/U})\)이다.

증명

\(E\)를 K-단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)로 나타내자. 그러면 \(Rf_*(E) = f_*\mathcal{I}^\bullet\) 이고, Lemma 08FI에 의해 \(Rg_*(E|_{\mathcal{C}/U}) = g_*(\mathcal{I}^\bullet|_{\mathcal{C}/U})\)이다. 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \((f_*\mathcal{F})|_{\mathcal{D}/V} = g_*(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U})\) 임은 명백하므로 결과가 따른다(Modules on Sites, Lemma 04J0 또는 더 기본적인 Sites, Lemma 03CF를 보라).

보조정리

연속 함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)에 대응하는 환 달린 사이트의 사상을 \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)라 하자. 그러면 함자 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{D}))\)로서 \(R\Gamma(\mathcal{D}, -) \circ Rf_* = R\Gamma(\mathcal{C}, -)\)이다. 더 일반적으로 \(V \in \mathcal{D}\)와 \(U = u(V)\)에 대해 \(R\Gamma(U, -) = R\Gamma(V, -) \circ Rf_*\)이다.

증명

환 \(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)가 주는 \(\mathcal{O}_{pt}\)를 갖춘 점 토포스 \(pt\)를 생각하자. 구조층의 대역 단면 위에서 주어진 식별을 유도하는 환 달린 토포스의 표준 사상 \((\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (pt, \mathcal{O}_{pt})\) 이 있다. 그러면 \(D(\mathcal{O}_{pt}) = D(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{D}))\). 등식 \(R\Gamma(\mathcal{D}, -) \circ Rf_* = R\Gamma(\mathcal{C}, -)\) 은 다음 합성에 Lemma 0D6E을 적용하면 따른다. \[(\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (pt, \mathcal{O}_{pt})\] 둘째인 더 일반적인 명제는 Lemma 0D6G을 적용한 뒤 첫째 명제에서 따른다.

보조정리

연속 함자 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)에 대응하는 환 달린 사이트의 사상을 \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 대상이라 하자. 그러면 \(H^i(Rf_*K)\)는 준층 \[V \mapsto H^i(u(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\] 에 연관된 층이다.

증명

등식 \(H^i(u(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\)는 Lemma 0D6H의 둘째 명제에서 코호몰로지를 취하면 따른다. 층화에 관한 명제는 Lemma 0BKV에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 대상이라 하자. \(D(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C})\)에서의 그 상을 \(K_{ab}\)로 나타내자.

1. 표준 사상 \(R\Gamma(\mathcal{C}, K) \to R\Gamma(\mathcal{C}, K_{ab})\) 이 있으며, 이는 \(D(\textit{Ab})\) 안의 동형이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{C}\)에 대해 표준 사상 \(R\Gamma(U, K) \to R\Gamma(U, K_{ab})\) 이 있으며, 이는 \(D(\textit{Ab})\) 안의 동형이다.

3. \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 사이트의 사상이라 하자. 표준 사상 \(Rf_*K \to Rf_*(K_{ab})\)가 있으며, 이는 \(D(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{D})\) 안의 동형이다.

증명

사상은 다음과 같이 구성한다. \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. \(\mathcal{J}^\bullet\)가 아벨군의 K-단사 복합체인 유사동형 \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)를 고르자. 그러면 (1)의 사상은 \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{J}^\bullet)\) 로, (2)의 사상은 \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{J}^\bullet)\) 로, (3)의 사상은 \(f_*\mathcal{I}^\bullet \to f_*\mathcal{J}^\bullet\)로 주어진다. 이 사상들이 동형임을 보이려면 코호몰로지 군과 코호몰로지 층에서 동형을 유도함을 보이면 충분하다. Lemmas 0D6F와 0D6I에 의해 사상 \[H^0(\mathcal{C}, K) \longrightarrow H^0(\mathcal{C}, K_{ab})\] 이 동형임을 보이면 충분하다. 다음을 관찰하자. \[H^0(\mathcal{C}, K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, K)\] 다른 군도 마찬가지이다. \(K\)를 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 고르자. 유도범주를 국소화로 구성한 방식에 의해 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, K) = \colim_{s : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{O}_\mathcal{C}} \Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] 이며, 여기서 여극한은 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체의 유사동형 \(s\) 전체에 걸쳐 취한다. 마찬가지로 \[\Hom_{D(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C})} (\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}, K) = \colim_{s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}} \Hom_{K(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C})} (\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] 이다. 다음으로 \(\mathcal{G}^\bullet\)가 평탄 \(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}\)-가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체인 유사동형 \(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}\)들이 이 계에서 공종임을 관찰하자. (이는 Modules on Sites, Lemma 03EW and Derived Categories, Lemma 05T7; Section 06YL의 논의를 보라.) 따라서 원소 \(\xi \in H^0(\mathcal{C}, K_{ab})\)를 쌍 \[(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}, a : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet)\] 으로 나타내자. 여기서 \(\mathcal{G}^\bullet\)는 평탄 \(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}\)-가군들로 이루어진 위로 유계인 복합체이다. 이 쌍을 \[(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}} \mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{O}_\mathcal{C}, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}} \mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{K}^\bullet)\] 로 보내면 사상 \(H^0(\mathcal{C}, K) \longrightarrow H^0(\mathcal{C}, K_{ab})\)의 역을 구성할 수 있다. 여기서 유의할 것은 첫째 화살표가 Lemmas 06YT와 06YQ에 의해 유사동형이라는 점뿐이다. 이 구성이 실제로 역임을 확인하는 자세한 과정은 생략한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 객체라 하자. 이에 대응하는 국소화 사상을 \(j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 로 나타내자. 제한 함자 \(D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_U)\)는 영에 의한 연장 \(j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O})\)의 오른쪽 수반이다.

증명

다음을 보이면 된다. \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(j_!E, F) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E, F|_U)\] \(E\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_U\)-가군 복합체 \(\mathcal{E}^\bullet\)와 \(F\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. Lemma 08FI에 의해 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)도 K-단사이다. 따라서 위 공식은 \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(j_!\mathcal{E}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{E}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet|_U)\] 가 된다. 이는 \(|_U\)와 \(j_!\)가 수반함자이기 때문에 성립한다(Modules on Sites, Lemma 03DI와 Derived Categories, Lemma 070I).

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(D(\mathcal{O}_U)\)의 \(L\)과 \(D(\mathcal{O})\)의 \(K\)에 대해 \(j_!L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K = j_!(L \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} K|_U)\).

증명

\(L\)을 \(\mathcal{O}_U\)-가군 복합체로 나타내고 \(K\)를 K-평탄 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체로 나타낸 뒤 Modules on Sites, Lemma 0E8I를 적용한다. 세부는 생략한다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 K-단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군 복합체이면 \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군 복합체로서 K-단사이다.

증명

이는 \[\Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{D})}(\mathcal{F}^\bullet, f_*\mathcal{I}^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(f^*\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 이고(Modules on Sites, Lemma 03D7), \(f\)가 평탄하다고 가정했으므로 \(f^*\)가 완전하기 때문이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)를 환층의 사상이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)가 K-단사 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이면 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}', \mathcal{I}^\bullet)\) 은 K-단사 \(\mathcal{O}'\)-가군 복합체이다.

증명

이는 Modules on Sites, Lemma 0932에 의해 \(\Hom_{K(\mathcal{O}')}(\mathcal{G}^\bullet, \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{O}', \mathcal{I}^\bullet)) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) 이기 때문이다.

국소화와 코호몰로지

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(\mathcal{C}\)의 사상이라 하자. 그러면 토포스의 사상 \[j_{X/Y} : \Sh(\mathcal{C}/X) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}/Y)\] 을 얻는다. Sites, Sections 00XZ와 04IM를 보라. 이러한 유형의 토포스 사상에서는 코호몰로지에 관한 몇몇 문제를 더 쉽게 다룰 수 있다. 자명한 유형의 밑변환 정리를 얻는 예를 하나 들겠다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\)의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 그러면 함자 \(j_{Y'/Y}^{-1} \circ Rj_{X/Y, *} = Rj_{X'/Y', *} \circ j_{X'/X}^{-1}\) \(D(\mathcal{C}/X) \to D(\mathcal{C}/Y')\)로서 위 등식이 성립한다.

증명

\(E \in D(\mathcal{C}/X)\)라 하고, \(E\)를 나타내는 \(\mathcal{C}/X\) 위의 아벨층 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 고르자. Lemma 08FI에 의해 \(j_{X'/X}^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)도 K-단사이다. 따라서 \(Rj_{X'/Y'}(j_{X'/X}^{-1}E)\)를 \(j_{X'/Y', *}j_{X'/X}^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)로 계산할 수 있다. 그러므로 등식은 Sites, Lemma 0EYV에서 따른다.

환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)와 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어지면 \(j_{X/Y}\)는 환 달린 토포스의 사상 \[j_{X/Y} : (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}/Y), \mathcal{O}_Y)\] 이 된다. Modules on Sites, Lemma 04IY를 보라.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\)의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 그러면 함자 \(j_{Y'/Y}^* \circ Rj_{X/Y, *} = Rj_{X'/Y', *} \circ j_{X'/X}^*\) \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_{Y'})\)로서 위 등식이 성립한다.

증명

\(j_{Y'/Y}^{-1}\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_{Y'}\)이므로 \(j_{Y'/Y}^* = Lj_{Y'/Y}^* = j_{Y'/Y}^{-1}\)이다. 마찬가지로 \(j_{X'/X}^* = Lj_{X'/X}^* = j_{X'/X}^{-1}\)이다. 따라서 Lemma 0D6J에 의해 아벨층의 유도범주에서 결과를 증명하면 충분하며, 이는 Lemma 0EZ0에서 증명했다.

역계와 코호몰로지

가군층의 역계에 관한 몇 가지 결과를 증명한다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 \(A\)-가군 층들의 역계 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 를 생각하고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 이 오름 사슬 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 역계 \(M_n = H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다².

증명

\(N_n = H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)로 놓고, 짧은 완전열 \(0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\) 에서 오는 코호몰로지의 경계 사상을 \(\delta_n : M_n \to N_n\)이라 하자. 그러면 \(\bigoplus \Im(\delta_n) \subset \bigoplus N_n\)은 등급 부분가군이다. 실제로 \(s \in M_n\)이고 \(f \in I^m\)이면 가환도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m} \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 가운데 수직 사상은 \(\mathcal{F}_{n + 1}\)의 국소 단면을 \(\mathcal{F}_{n + m + 1}\)의 단면으로 올린 뒤 \(f\)를 곱하여 주어지며, 다른 수직 화살표들도 마찬가지이다. 따라서 \(\delta_{n + m}(fs) = f \delta_n(s)\)이다. 가정에 의해 \(\delta_{n_j}(s_j)\)들이 \(\bigoplus \Im(\delta_n)\)을 등급 가군으로 생성하도록 하는 \(s_j \in M_{n_j}\), \(j = 1, \ldots, N\)을 찾을 수 있다. \(n > c = \max(n_j)\)라 하고, \(s \in M_n\)이라 하자. 그러면 \(\delta_n(s) = \sum f_j \delta_{n_j}(s_j)\)가 되게 하는 \(f_j \in I^{n - n_j}\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(\delta(s - \sum f_j s_j) = 0\)이다. 즉 \(M_n\) 안에서 \(s - \sum f_js_j\)로 가는 \(s' \in M_{n + 1}\)을 찾을 수 있다. 그러므로 \[\Im(M_{n + 1} \to M_{n - c}) = \Im(M_n \to M_{n - c})\] 이다. 실제로 원소 \(f_js_j\)들은 \(M_{n - c}\)에서 영으로 간다. 이것이 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 \(A\)-가군의 역계 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 를 생각하고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. \(n\)이 주어졌을 때 \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] 으로 정의하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \(\bigoplus N_n\)이 오름 사슬 조건을 만족하면 역계 \(M_n = H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다³.

증명

증명은 Lemma 0GYQ의 증명과 완전히 같다. 실제로 \(\bigoplus N_n\)이 \(\bigoplus H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-부분가군이고, 경계 사상 \(\delta_n : M_n \to H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 상이 \(N_n\)에 포함됨을 보이기만 하면 거기서 제시한 논증으로 결과가 따른다.

\(\xi \in N_n\)이고 \(f \in I^k\)라고 하자. \(m \gg n + k\)를 고르고, \(\xi\)로 가는 \(\xi' \in H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\)를 고르자. Lemma 0GYQ의 증명에서와 같이 구성한 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + k} \ar[r] & 0 }\] 을 생각하자. 코호몰로지에서 유도된 사상을 얻고, \(f \xi' \in H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1})\) 가 \(f \xi\)로 감을 알 수 있다. 이것은 모든 \(m \gg n + k\)에 대해 성립하므로 원하는 대로 \(f\xi\)는 \(N_{n + k}\)에 속한다.

경계 사상 \(\delta_n\)의 상이 \(N_n\)에 포함됨을 보기 위해 \(m \geq n\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[r] & 0 }\] 들을 생각한다. 코호몰로지에서 유도된 사상들을 보면 결론이 따른다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 \(A\)-가군 층들의 역계 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 를 생각하고 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 이 오름 사슬 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 \(M = \lim H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

\(n \geq 1\)에 대해 \(F^n = \Ker(M \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n))\)으로 놓고 \(F^0 = M\)으로 놓자. \(I F^n \subset F^{n + 1}\)임을 관찰하자. 특히 \(I^n M \subset F^n\)이다. 따라서 \(I\)-진 위상은 극한 위상보다 더 미세하다. 역을 위해, 주어진 \(n\)에 대해 \(F^m \subset I^nM\)이 되게 하는 \(m \geq n\)이 존재함을 보일 것이다⁴. 단사 사상 \[F^n/F^{n + 1} \longrightarrow H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\] 이 있고, 그 상은 \(H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\). \(F^n/F^{n + 1}\)의 역상을 \[E_n \subset H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 이라 나타내자. 그러면 \(\bigoplus E_n\)은 \(\bigoplus H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 등급 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\)-부분가군이고, \(\bigoplus E_n \to \bigoplus F^n/F^{n + 1}\)은 등급 가군의 준동형이다. 자세한 내용은 생략한다. 가정에 의해 \(\bigoplus E_n\)은 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\) 위에서 유한 개의 동차 원소들로 생성된다. \(E_n \to F^n/F^{n + 1}\)가 전사이므로 \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\)에 대해서도 같은 것이 성립한다. 따라서 \(r\)과 \(c_1, \ldots, c_r \geq 0\), 그리고 그 상들이 \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\)을 생성하는 \(a_i \in F^{c_i}\)를 찾을 수 있다. \(c = \max(c_i)\)로 놓자.

\(n \geq c\)에 대해 \(I F^n = F^{n + 1}\)이라고 주장한다. 이 주장은 원하는 대로 \(F^{n + c} = I^nF^c \subset I^nM\)임을 보인다. 주장을 증명하기 위해 \(a \in F^{n + 1}\)이라고 하자. \(F^{n + 1}/F^{n + 2}\)에서의 \(a\)의 상은 \(a_i\)들의 선형결합이다. 따라서 어떤 \(f_i \in I^{n + 1 - c_i}\)에 대해 \(a - \sum f_i a_i \in F^{n + 2}\)이다. \(n \geq c_i\)이므로 \(I^{n + 1 - c_i} = I \cdot I^{n - c_i}\)이고, 따라서 \(g_{i, j} \in I\)이고 \(h_{i, j}a_i \in F^n\)이도록 \(f_i = \sum g_{i, j} h_{i, j}\)로 쓸 수 있다. 그러므로 \(F^{n + 1} = F^{n + 2} + IF^n\)이다. 간단한 귀납법으로 모든 \(e > 0\)에 대해 \(F^{n + 1} = F^{n + e} + IF^n\)을 얻는다. 따라서 \(IF^n\)은 \(F^{n + 1}\)에서 조밀하다. \(I\)의 생성자 \(k_1, \ldots, k_r\)를 고르고 연속 사상 \[u : (F^n)^{\oplus r} \longrightarrow F^{n + 1},\quad (x_1, \ldots, x_r) \mapsto \sum k_i x_i\] 을 극한 위상에서 생각하자. 위의 논의에 의해 모든 \(m \geq n\)에 대해 \(u\) 아래 \((F^m)^{\oplus r}\)의 상은 \(F^{m + 1}\)에서 조밀하다. 열린 사상 보조정리(More on Algebra, Lemma 0CQW)에 의해 \(u\)는 열린 사상이다. 따라서 \(u\)는 전사이다. 그러므로 \(n \geq c\)에 대해 \(IF^n = F^{n + 1}\)이다. 이것으로 증명을 마친다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고, \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(\mathcal{C}\) 위의 \(A\)-가군 층들의 역계라 하고, \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)이라 하자. \(p \geq 0\)라 하자. 주어진 \(n\)에 대해 \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] 으로 정의하자. 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 \(\bigoplus N_n\)이 오름 사슬 조건을 만족하면 \(M = \lim H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

증명은 Lemma 0GYS의 증명과 완전히 같다. 실제로 \(\bigoplus N_n\)이 \(\bigoplus H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-부분가군이고, \(F^n/F^{n + 1} \subset H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\)가 \(N_n \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\)의 상에 포함됨을 보이기만 하면 거기서 제시한 논증으로 결과가 따른다. Lemma 0GYR의 증명에서 가군 구조에 관한 명제를 보았다.

\(t \in F^n\)이라 하자. \(H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\)에서 \(t\)의 상으로 가는 원소 \(s \in H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)를 고르자. \(s\)가 \(N_n\)에 속함을 보여야 한다. 이제 \(F^n\)은 사상 \(M \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\)의 핵이므로, 모든 \(m \geq n\)에 대해 \(t\)를 원소 \(t_m \in H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{m + 1})\)으로 보낼 수 있으며 그 원소는 \(H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\)에서 영으로 간다. 짧은 완전열 \(0 \to I^n\mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\) 에서 오는 코호몰로지 열 \[H^{p - 1}(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\] 을 생각하자. \(t_m\)으로 가는 \(s_m \in H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\)을 고를 수 있다. 위의 열과 \(m = n\)일 때의 열을 비교하면, \(s_m\)은 \(H^{p - 1}(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\)의 상에 속하는 원소를 더한 것을 제외하면 \(s\)로 감을 알 수 있다. 그러나 이 사상은 \(H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) 를 거쳐 인수분해되므로 원하는 대로 \(s\)가 그 상에 속함을 알 수 있다.

유도 극한과 호모토피 극한

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(n > m\)이면 \(\Mor((U, n), (V, m)) = \emptyset\)이고, 그렇지 않으면 \(\Mor((U, n), (V, m)) = \Mor(U, V)\)인 범주 \(\mathcal{C} \times \mathbf{N}\)을 생각하자. \(\{U_i \to U\}\)가 \(\mathcal{C}\)의 덮개일 때의 족 \(\{(U_i, n) \to (U, n)\}\)을 덮개로 삼아 이 범주에 사이트 구조를 준다. 그러면 \(\mathcal{C} \times \mathbf{N}\) 위의 층은 \(\mathcal{C}\) 위의 층들의 역계와 같은 것임을 곧바로 확인할 수 있다. 특히 \(\textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)은 \(\mathcal{C}\) 위의 아벨층들의 역계로 이루어진 범주이다. 이제 역계를 그 극한으로 보내는 함자 \[\lim : \textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\] 를 생각하자. 이는 연속이고 쌍대연속인 함자 \(\mathcal{C} \times \mathbf{N} \to \mathcal{C}\)에 결부된 토포스의 사상 \(g : \Sh(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \to \Sh(\mathcal{C})\)의 \(g_*\)에 불과하다. (\(g^{-1}\)은 \(\mathcal{C}\) 위의 층을 그에 대응하는 상수 역계로 보냄에 유의하라.)

위에서 설명한 일반 이론으로부터 유도함자 \[R\lim = Rg_* : D(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \to D(\mathcal{C}).\] 를 얻는다. 표시한 대로 이 함자는 흔히 \(R\lim\)으로 쓴다.

한편 연속이고 쌍대연속인 함자 \(\mathcal{C} \to \mathcal{C} \times \mathbf{N}\), \(U \mapsto (U, n)\)은 토포스의 사상 \(i_n : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)들을 정의한다. 물론 \(i_n^{-1}\)은 역계의 \(n\)번째 항을 고르는 함자이다. 따라서 함자의 변환 \(i_{n + 1}^{-1} \to i_n^{-1}\)들이 있다. 그러므로 \(K \in D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)가 주어지면 \(K_n = i_n^{-1}K \in D(\mathcal{C})\)와 사상 \(K_{n + 1} \to K_n\)을 얻는다. Derived Categories, Definition 08TC에서 호모토피 극한 \[R\lim K_n \in D(\mathcal{C})\] 의 개념을 정의했다. 두 개념은 의미가 통하는 범위에서 일치한다고 주장한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)의 대상이라 하자. 위와 같이 \(K_n = i_n^{-1}K\)로 놓자. 그러면 \(D(\mathcal{C})\) 안에서 \[R\lim K \cong R\lim K_n\] 이다.

증명

\(D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)의 대상 \(K\)에 대해 \(R\lim\)을 계산하려고 각 항이 \(\textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)의 단사대상인 K-단사 대표 \(\mathcal{I}^\bullet\)을 고른다. Injectives, Theorem 079P을 보라. \(\mathcal{I}^\bullet\)을 복합체들의 역계 \((\mathcal{I}_n^\bullet)\)로 생각할 수 있고 그렇게 하기로 하면 \[R\lim K = \lim \mathcal{I}_n^\bullet\] 임을 알 수 있다. 여기서 오른쪽은 항별 역극한이다.

\(\mathcal{J} = (\mathcal{J}_n)\)를 \(\textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\)의 단사대상이라 하자. 사상 \((U, n) \to (U, n + 1)\)은 \(\mathcal{C} \times \mathbf{N}\)의 단사사상이므로 \(\mathcal{J}(U, n + 1) \to \mathcal{J}(U, n)\)은 전사이다 (Lemma 093X). 따라서 \(\mathcal{J}_{n + 1} \to \mathcal{J}_n\)은 준층의 사상으로서 전사이다.

함자 \(i_n^{-1}\)이 완전한 왼쪽 수반 \(i_{n, !}\)을 가짐에 유의하자. 실제로 \(i_{n, !}\mathcal{F}\)는 역계 \(\ldots 0 \to 0 \to \mathcal{F} \to \ldots \to \mathcal{F}\)이다. 따라서 Derived Categories, Lemma 08BJ에 의해 복합체 \(i_n^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}_n^\bullet\)은 K-단사이다.

K-단사 복합체의 각 항을 단사대상으로 골랐으므로 \[0 \to \lim \mathcal{I}_n^\bullet \to \prod \mathcal{I}_n^\bullet \to \prod \mathcal{I}_n^\bullet \to 0\] 이 아벨 준층 복합체의 짧은 완전열이고, 따라서 아벨층 복합체의 짧은 완전열임을 얻는다. 더욱이 가운데와 오른쪽의 곱들은 \(D(\mathcal{C})\) 안의 곱들을 나타낸다. Injectives, Lemma 07D9와 그 증명을 보라 (여기서 \(\mathcal{I}_n^\bullet\)이 K-단사임을 사용한다). 따라서 삼각범주에서 호모토피 극한의 정의에 의해 \(R\lim K\)는 역계 \((K_n)\)의 호모토피 극한이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대한 함자 \(R\Gamma(\mathcal{C}, -)\)와 \(R\Gamma(U, -)\)는 \(R\lim\)과 가환한다. 더욱이 \(D(\mathcal{O})\) 안의 임의의 역계 \((K_n)\)과 \(m \in \mathbf{Z}\)에 대하여 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] 이 있다. \(H^m(\mathcal{C}, R\lim K_n)\)에도 같은 결론이 성립한다.

증명

첫째 명제는 Injectives, Lemma 08U1에서 따른다. 그런 다음 \(R\lim R\Gamma(U, K_n) = R\Gamma(U, R\lim K_n)\)에 More on Algebra, Remark 08U5을 적용하면 짧은 완전열들을 얻는다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 그러면 \(Rf_*\)는 \(R\lim\)과 가환한다. 즉 \(Rf_*\)는 유도 극한과 가환한다.

증명

\((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상들의 역계라 하자. \(n\)에 대한 귀납법으로 \(\mathcal{O}\)-가군의 실제 복합체 \(\mathcal{K}_n^\bullet\)과 \(D(\mathcal{O})\) 안의 사상 \(K_{n + 1} \to K_n\)을 나타내는 복합체 사상 \(\mathcal{K}_{n + 1}^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet\)을 고를 수 있다. 달리 말해, 결부된 역계가 주어진 역계인 대상 \(K\)가 \(D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\) 안에 존재한다. 이제 토포스의 사상들의 가환도식 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \ar[r]_g \ar[d]_{f \times 1} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]_f \\ \Sh(\mathcal{C}' \times \mathbf{N}) \ar[r]^{g'} & \Sh(\mathcal{C}') }\] 을 생각하자. 그러면 \(R\lim R(f \times 1)_*K = Rf_* R\lim K\)이다. 정의를 풀어 쓰고 Lemma 0941을 사용하면 \(R\lim (Rf_*K_n) = Rf_*(R\lim K_n)\)을 얻는다.

\(\mathcal{C}\)가 충분한 점을 가지는 경우의 다른 증명을 제시한다. 정의 특수 삼각형 \[R\lim K_n \to \prod K_n \to \prod K_n\] 을 \(D(\mathcal{O})\) 안에서 생각하자. 완전 함자 \(Rf_*\)를 적용하면 \(D(\mathcal{O}')\) 안의 특수 삼각형 \[Rf_*(R\lim K_n) \to Rf_*\left(\prod K_n\right) \to Rf_*\left(\prod K_n\right)\] 을 얻는다. 따라서 \(Rf_*\)가 유도범주에서의 곱과 가환함을 증명하면 충분하다(그 곱은 복합체의 곱으로 단순히 주어지지 않는다. Injectives, Lemma 07D9를 보라). 그러나 Lemma 07A6에 의해 \(Rf_*\)는 오른쪽 수반이므로 이는 형식적으로 따른다(Categories, Lemma 0038 참조). 주의: \(R\lim K_n\)은 \(D(\mathcal{O})\) 안의 극한이 아니므로 Categories, Lemma 0038을 직접 적용할 수는 없다.

주

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O})\) 안의 역계라 하자. \(K = R\lim K_n\)으로 놓자. 각 \(n\)과 \(m\)에 대하여 \(\mathcal{H}^m_n = H^m(K_n)\)을 \(K_n\)의 \(m\)차 코호몰로지 층이라 하고, 마찬가지로 \(\mathcal{H}^m = H^m(K)\)으로 놓자. 준층 \[U \longmapsto \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) = H^m(U, K_n)\] 을 \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\)이라 쓰자. 마찬가지로 \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = H^m(U, K)\)로 놓는다. Lemma 0BKV에 의해 \(\mathcal{H}^m_n\)은 \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\)의 층화이고, \(\mathcal{H}^m\)은 \(\underline{\mathcal{H}}^m\)의 층화이다. 다음 도식이 있다. \[\xymatrix{ K \ar@{=}[d] & \underline{\mathcal{H}}^m \ar[d] \ar[r] & \mathcal{H}^m \ar[d] \\ R\lim K_n & \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n \ar[r] & \lim \mathcal{H}^m_n }\] 일반적으로 \(\lim \mathcal{H}^m_n\)이 \(\lim \underline{\mathcal{H}}^m_n\)의 층화인 것은 아닐 수 있다. \(U \in \mathcal{C}\)이면 Lemma 0D6K에 의해 짧은 완전열 [0BKX]\[\begin{equation} 0 \to R^1\lim \underline{\mathcal{H}}^{m - 1}_n(U) \to \underline{\mathcal{H}}^m(U) \to \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) \to 0 \end{equation}\] 을 얻는다.

다음 보조정리는 대수공간이나 대수스택 위에서 전이 사상이 전사인 준연접 가군의 역계에 적용된다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((\mathcal{F}_n)\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 역계라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. \(p > 0\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, \mathcal{F}_n) = 0\)이다.

3. \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 역계 \(\mathcal{F}_n(U)\)의 \(R^1\lim\)은 영이다.

그러면 \(R\lim \mathcal{F}_n = \lim \mathcal{F}_n\)이고, \(p > 0\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, \lim \mathcal{F}_n) = 0\)이다.

증명

\(K_n = \mathcal{F}_n\) 및 \(K = R\lim \mathcal{F}_n\)으로 놓자. Remark 0BKW의 표기와 가정 (2)에 의해 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(m \not = 0\)이면 \(\underline{\mathcal{H}}_n^m(U) = 0\)이고, \(\underline{\mathcal{H}}_n^0(U) = \mathcal{F}_n(U)\)이다. Equation (0BKX)과 가정 (3)으로부터 \(m \not = 0\)이면 \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\)이고, \(m = 0\)이면 \(\lim \mathcal{F}_n(U)\)와 같음을 알 수 있다. (1)을 사용하여 층화하면 \(m \not = 0\)이면 \(\mathcal{H}^m = 0\)이고, \(m = 0\)이면 \(\lim \mathcal{F}_n\)과 같음을 얻는다. 따라서 \(K = \lim \mathcal{F}_n\)이다. \(H^m(U, K) = \underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\)이 \(m > 0\)에 대하여 성립하므로(위 참조) 둘째 명제도 성립한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O})\) 안의 역계라 하자. \(V \in \Ob(\mathcal{C})\) 및 \(m \in \mathbf{Z}\)라 하자. 정수 \(n(V)\)와 \(V\)의 덮개들의 공종계 \(\text{Cov}_V\)가 존재하여 \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\)에 대하여 다음이 성립한다고 가정하자.

1. \(R^1\lim H^{m - 1}(V_i, K_n) = 0\)이다.

2. \(n \geq n(V)\)에 대하여 \(H^m(V_i, K_n) \to H^m(V_i, K_{n(V)})\)가 단사이다.

그러면 단면 위의 사상 \(H^m(R\lim K_n)(V) \to H^m(K_{n(V)})(V)\)는 단사이다.

증명

\(\gamma \in H^m(R\lim K_n)(V)\)가 \(H^m(K_{n(V)})(V)\)에서 영으로 간다고 하자. \(H^m(R\lim K_n)\)은 준층 \(U \mapsto H^m(U, R\lim K_n)\)의 층화이므로(Lemma 0BKV에 의한다), \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\)와 \(\gamma|_{V_i}\)로 가는 원소 \(\tilde\gamma_i \in H^m(V_i, R\lim K_n)\)를 고를 수 있다. 그러면 \(\tilde\gamma_i\)는 \(\tilde\gamma_{i, n(V)} \in H^m(V_i, K_{n(V)})\)로 간다. \(H^m(K_{n(V)})\)도 준층 \(U \mapsto H^m(U, K_{n(V)})\)의 층화이므로 (다시 Lemma 0BKV에 의한다), \(\{V_i \to V\}\)를 세분으로 바꾼 뒤 모든 \(i\)에 대해 \(\tilde\gamma_{i, n(V)} = 0\)이라고 가정해도 된다. 이 덮개에 대하여 Lemma 0D6K의 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(V_i, K_n) \to H^m(V_i, R\lim K_n) \to \lim H^m(V_i, K_n) \to 0\] 을 생각하자. 가정 (1)에 의해 왼쪽 군은 영이고, 가정 (2)에 의해 오른쪽 군은 \(H^m(V_i, K_{n(V)})\) 안으로 단사로 간다. 따라서 \(\tilde\gamma_i = 0\)이고, 원하는 대로 \(\gamma = 0\)이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(E \in D(\mathcal{O})\)라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 함수 \(p(V, -) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)와 \(V\)의 덮개들의 공종계 \(\text{Cov}_V\)가 존재하여 \[H^p(V_i, H^{m - p}(E)) = 0\] \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\) 및 \(p > p(V, m)\)을 만족하는 모든 정수 \(p, m\)에 대해 성립한다.

그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O})\) 안의 동형이다.

증명

\(K_n = \tau_{\geq -n}E\) 및 \(K = R\lim K_n\)으로 놓자. 표준 사상 \(E \to K\)는 표준 사상 \(E \to K_n = \tau_{\geq -n}E\)들에서 온다. \(E \to K\)가 코호몰로지 층들의 동형 \(H^m(E) \to H^m(K)\)을 유도함을 보여야 한다. 나머지 증명에서는 \(m\)을 고정한다. \(n \geq -m\)이면 사상 \(E \to \tau_{\geq -n}E = K_n\)은 동형 \(H^m(E) \to H^m(K_n)\)을 유도한다. 증명을 마치려면 모든 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 사상 \(H^m(K)(V) \to H^m(K_{n(V)})(V)\)가 단사가 되게 하는 정수 \(n(V) \geq -m\)이 존재함을 보이면 충분하다. 실제로 그러면 합성 \[H^m(E)(V) \to H^m(K)(V) \to H^m(K_{n(V)})(V)\] 은 전단사이고 둘째 화살표는 단사이므로 첫째 화살표는 전단사이다. 조건 (1)에 의해 이는 \(H^m(E) \to H^m(K)\)가 동형임을 함의한다. 다음과 같이 놓자. \[n(V) = 1 + \max\{-m, p(V, m - 1) - m, -1 + p(V, m) - m, -2 + p(V, m + 1) - m\}.\] 그러면 언제나 \(n(V) \geq -m\)이다. 주장: \(n \geq n(V)\) 및 \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\)에 대하여 사상 \[H^{m - 1}(V_i, K_{n + 1}) \to H^{m - 1}(V_i, K_n) \quad\text{and}\quad H^m(V_i, K_{n + 1}) \to H^m(V_i, K_n)\] 은 동형이다. 이 주장은 Lemma 0D6L의 조건 (1)과 (2)가 성립함을 뜻하며, 따라서 원하는 단사성을 함의한다. 다음 특수 삼각형들이 있음을 상기하자(Derived Categories, Remark 08J5). \[H^{-n - 1}(E)[n + 1] \to K_{n + 1} \to K_n \to H^{-n - 1}(E)[n + 2]\] 이에 연관된 긴 완전 코호몰로지 열을 보면, \(n \geq n(V)\) 및 \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\)에 대하여 \[H^{m + n}(V_i, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 1}(V_i, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 2}(V_i, H^{-n - 1}(E))\] 가 영이면 주장이 따른다. 이는 \(n(V)\)의 선택과 보조정리의 가정에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(E \in D(\mathcal{O})\)라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 정수 \(d_V \geq 0\)와 \(V\)의 덮개들의 공종계 \(\text{Cov}_V\)가 존재하여 \[H^p(V_i, H^q(E)) = 0 \text{ for } \{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V,\ p > d_V, \text{ and }q < 0\] 이 성립한다.

그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O})\) 안의 동형이다.

증명

이는 \(p(V, m) = d_V + \max(0, m)\)로 둔 Lemma 0D6M에서 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(E \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 함수 \(p(-) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)와 부분집합 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)가 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. \(p > p(m)\) 및 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(V, H^{m - p}(E)) = 0\)이다.

그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O})\) 안의 동형이다.

증명

\(p(V, m) = p(m)\)으로 놓고, \(\text{Cov}_V\)를 모든 \(i\)에 대해 \(V_i \in \mathcal{B}\)인 덮개 \(\{V_i \to V\}\)들의 집합으로 두어 Lemma 0D6M을 적용한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(E \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 정수 \(d \geq 0\)와 부분집합 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)가 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. \(p > d\), \(q < 0\), \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(V, H^q(E)) = 0\)이다.

그러면 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O})\) 안의 동형이다.

증명

\(d_V = d\)로 놓고, \(\text{Cov}_V\)를 모든 \(i\)에 대해 \(V_i \in \mathcal{B}\)인 덮개 \(\{V_i \to V\}\)들의 집합으로 두어 Lemma 0D6N을 적용한다.

위의 보조정리들을 사용하면 어떤 상황에서 코호몰로지를 계산할 수 있다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(K\)를 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(p > 0\), \(q \in \mathbf{Z}\), \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^p(U, H^q(K)) = 0\)이다.

그러면 \(q \in \mathbf{Z}\) 및 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(H^q(U, K) = H^0(U, H^q(K))\)이다.

증명

\(d = 0\)으로 둔 Lemma 0D6P에 의해 \(K = R\lim \tau_{\geq -n} K\)임을 관찰하자. \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. Equation (0BKX)에 의해 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{q - 1}(U, \tau_{\geq -n}K) \to H^q(U, K) \to \lim H^q(U, \tau_{\geq -n}K) \to 0\] 을 얻는다. Derived Categories, Lemma 015J의 스펙트럼열을 사용하면 조건 (2)는 모든 \(q\)에 대하여 \(H^q(U, \tau_{\geq -n} K) = H^0(U, H^q(\tau_{\geq -n} K))\) 임을 함의한다. \(\tau_{\geq -n}K\)는 아래로 유계이므로 스펙트럼열은 수렴한다. \(n > -q\)이면 \(H^q(\tau_{\geq -n}K) = H^q(K)\)이다. 따라서 표시한 짧은 완전열의 왼쪽 계와 오른쪽 계는 각각 \(H^0(U, H^{q - 1}(K))\)와 \(H^0(U, H^q(K))\)를 값으로 하여 결국 상수이다. 보조정리가 따른다.

유도 극한을 기술할 수 있는 또 다른 경우가 있다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상들의 역계라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 모든 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대하여

   1. \(p > 0\)에 대하여 \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\)이다.

   2. 역계 \(H^0(U, H^q(K_n))\)의 \(R^1\lim\)은 영이다.

그러면 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대하여 \(H^q(R\lim K_n) = \lim H^q(K_n)\)이다.

증명

\(K = R\lim K_n\)으로 놓고 Remark 0BKW의 표기를 사용하자. \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. Lemma 0BKZ과 (2)(a)에 의해 \(H^q(U, K_n) = H^0(U, H^q(K_n))\)이다. 함자 \(R\Gamma(U, -)\)가 유도 극한과 가환한다는 사실을 사용하면 \[H^q(U, K) = H^q(R\lim R\Gamma(U, K_n)) = \lim H^0(U, H^q(K_n))\] 이다. 여기서 마지막 등식은 More on Algebra, Remark 08U5과 가정 (2)(b)에서 따른다. 따라서 \(H^q(U, K)\)는 \(U\) 위에서의 층 \(H^q(K_n)\)의 단면들의 역극한이다. \(\lim H^q(K_n)\)은 층이므로, 가정 (1)을 사용하면 준층 \(U \mapsto H^q(U, K)\)의 층화인 \(H^q(K)\)가 \(\lim H^q(K_n)\)과 같음을 얻는다. 이것이 보조정리를 증명한다.

K-단사 분해의 구성

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체라 하자. 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)는 충분한 단사대상을 가지므로 Derived Categories, Lemma 070F을 사용하여 다음 도식을 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \tau_{\geq -2}\mathcal{F}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tau_{\geq -1}\mathcal{F}^\bullet \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{I}_2^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_1^\bullet }\] 이 도식은 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 범주 안에 있으며 다음을 만족한다.

1. 세로 화살표들은 유사동형이다.

2. \(\mathcal{I}_n^\bullet\)은 단사대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체이다.

3. 화살표 \(\mathcal{I}_{n + 1}^\bullet \to \mathcal{I}_n^\bullet\)은 항별 분할 전사이다.

\(\mathcal{O}\)-가군의 범주는 극한을 가지며(준층 수준에서 계산된다), 따라서 항별 극한 \(\mathcal{I}^\bullet = \lim_n \mathcal{I}_n^\bullet\)을 만들 수 있다. Derived Categories, Lemmas 070J 및 070L 에 의해 이는 K-단사 복합체이다. 일반적으로 표준 사상 [070P]\[\begin{equation} \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \end{equation}\] 은 유사동형이 아닐 수 있다. 다음 보조정리에서는 이것이 유사동형이 되는 몇 가지 조건을 기술한다.

보조정리

위에서 기술한 상황에 있다고 하자. \(\mathcal{H}^m = H^m(\mathcal{F}^\bullet)\)을 \(m\)차 코호몰로지 층이라 쓰자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하고, \(d \in \mathbf{N}\)이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(p > d\) 및 \(q < 0\)이면 \(H^p(U, \mathcal{H}^q) = 0\)이다⁵.

그러면 (070P)은 유사동형이다.

증명

Derived Categories, Lemma 070M에 의해 사상 \(\mathcal{F}^\bullet \to R\lim \tau_{\geq -n} \mathcal{F}^\bullet\) 이 동형임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0D6P에서 따른다.

다음은 가군 복합체들의 역계의 항별 극한이 갖는 코호몰로지 층에 관한 기술적 보조정리이다. 이 보조정리의 사용은 되도록 피하고, 그 대신 유도 역극한을 이용한 논증을 사용해야 한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \((\mathcal{F}_n^\bullet)\)을 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체의 역계라 하자. \(m \in \mathbf{Z}\)라 하자. 부분집합 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)와 정수 \(n_0\)가 주어져 다음을 만족한다고 하자.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여

   1. 아벨군의 계 \(\mathcal{F}_n^{m - 2}(U)\) 및 \(\mathcal{F}_n^{m - 1}(U)\)의 \(R^1\lim\)은 영이다 (예를 들어 이 계들은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다).

   2. 아벨군의 계 \(H^{m - 1}(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\)의 \(R^1\lim\)은 영이다(예를 들어 이 계는 Mittag–Leffler 조건을 만족한다).

   3. 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet(U))\) 이다.

그러면 사상 \(H^m(\mathcal{F}^\bullet) \to \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet) \to H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet)\)들은 층의 동형이다. 여기서 \(\mathcal{F}^\bullet = \lim \mathcal{F}_n^\bullet\)은 항별 역극한이다.

증명

\(U \in \mathcal{B}\)라 하자. \(H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\)은 \[\lim_n \mathcal{F}_n^{m - 2}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m - 1}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^m(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m + 1}(U)\] 의 왼쪽에서 셋째 자리에서의 코호몰로지임을 주목하자. 가정 (2)(a)와 (2)(b)에 의해 More on Algebra, Lemma 0918을 적용하여 \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] 을 얻는다. 가정 (2)(c)에 의해 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] 이다. 가정 (1)에 의해 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 준층 \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\)의 층화와 \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\)의 층화가 같음을 얻는다. 따라서 층의 역계 \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet)\)은 \(n \geq n_0\)에서 \(H^m(\mathcal{F}^\bullet)\)을 값으로 하여 상수이다. 이것이 보조정리를 증명한다.

유계 코호몰로지 차원

이 절에서는 함자 \(Rf_*\)가 언제 유계 코호몰로지 차원을 가지는지 묻는다. 비유계 복합체를 생각할 때 이는 상당히 미묘한 문제이다.

설정

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층이라 하자. \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\)를 약한 Serre 부분범주라 하자. 다음이 성립한다고 가정한다. 즉 부분집합 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 정수 \(d_V\)와 \(V\)의 덮개들의 공종계 \(\text{Cov}_V\)가 존재하여 \[H^p(V_i, \mathcal{F}) = 0 \text{ for } \{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V,\ p > d_V, \text{ and } \mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\] 이 성립한다.

보조정리

Situation 0D6R에서 임의의 \(E \in D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\)에 대하여 Derived Categories, Remark 0H72의 사상 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\)는 \(D(\mathcal{O})\) 안의 동형이다.

증명

Lemma 0D6N에서 곧바로 따른다.

보조정리

Situation 0D6R에서 \((K_n)\)을 \(D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\) 안의 역계라 하자. 모든 \(j\)에 대하여 \(\mathcal{A}\) 안의 역계 \((H^j(K_n))\)이 결국 \(\mathcal{H}^j\)을 값으로 하여 상수라고 가정하자. 그러면 모든 \(j\)에 대하여 \(H^j(R\lim K_n) = \mathcal{H}^j\)이다.

증명

\(V \in \mathcal{B}\)라 하자. \(\{V_i \to V\}\)를 Situation 0D6R의 집합 \(\text{Cov}_V\)에 속하는 덮개라 하자. \(K_n\)은 아래로 유계이므로 \[E_2^{p, q} = H^p(V_i, H^q(K_n))\] 에서 \(H^{p + q}(V_i, K_n)\)으로 수렴하는 스펙트럼열이 있다. Derived Categories, Lemma 015J을 보라. 가정에 의해 \(p > d_V\)이면 \(E_2^{p, q} = 0\)임에 유의하자. 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 다음이 성립하도록 \(n_0\)를 고르자. \[\begin{matrix} \mathcal{H}^{j + 1} & = & H^{j + 1}(K_n), \\ \mathcal{H}^j & = & H^j(K_n), \\ \ldots, \\ \mathcal{H}^{j - d_V - 2} & = & H^{j - d_V - 2}(K_n) \end{matrix}\] \(K_n\)과 \(K_{n_0}\)에 대한 위의 스펙트럼열들을 비교하면, \(n \geq n_0\)일 때 코호몰로지 군 \(H^{j - 1}(V_i, K_n)\)과 \(H^j(V_i, K_n)\)은 \(n\)과 무관함을 알 수 있다. 따라서 \(n\)이 충분히 크면(\(V\)에 따라 달라진다) 단면 위의 사상 \(H^j(R\lim K_n)(V) \to H^j(K_n)(V)\)은 단사이다. Lemma 0D6L을 보라. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 \(\mathcal{B}\)의 원소들로 덮을 수 있으므로 사상 \(H^j(R\lim K_n) \to \mathcal{H}^j\)는 단사이다.

전사성도 비슷하게 보인다. 즉 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(\gamma \in \mathcal{H}^j(U)\)를 고르자. \(U\)를 덮개의 원소들로 바꾼 뒤 \(\gamma\)를 \(H^j(R\lim K_n)\)의 단면으로 올리고자 한다. 따라서 Situation 0D6R의 성질 (1)에 의해 \(U = V \in \mathcal{B}\)라고 가정해도 된다. 모든 \(n \geq n_0\)에 대하여 다음이 성립하도록 \(n_0\)를 고르자. \[\begin{matrix} \mathcal{H}^{j + 1} & = & H^{j + 1}(K_n), \\ \mathcal{H}^j & = & H^j(K_n), \\ \ldots, \\ \mathcal{H}^{j - d_V - 2} & = & H^{j - d_V - 2}(K_n) \end{matrix}\] 다음을 만족하는 \(\text{Cov}_V\)의 원소 \(\{V_i \to V\}\)를 고르자. \(\gamma|_{V_i} \in \mathcal{H}^j(V_i) = H^j(K_{n_0})(V_i)\) 가 원소 \(\gamma_{n_0, i} \in H^j(V_i, K_{n_0})\)으로 올라가도록 한다. Lemma 0BKV에 의해 \(H^j(K_{n_0})\)은 \(U \mapsto H^j(U, K_{n_0})\)의 층화이므로 이는 가능하다. 증명의 첫 문단의 논의에 의해 \(H^{j - 1}(V_i, K_n)\)과 \(H^j(V_i, K_n)\)은 \(n \geq n_0\)과 무관하다. 따라서 Lemma 0D6K에 의해 \(\gamma_{n_0, i}\)는 원소 \(\gamma_i \in H^j(V_i, R\lim K_n)\)으로 올라간다. 이것으로 증명을 마친다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\)와 \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\)를 약한 Serre 부분범주라 하자. 정수 \(N\)이 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\)는 Situation 0D6R의 가정을 만족한다.

2. \(\mathcal{C}', \mathcal{O}', \mathcal{A}'\)는 Situation 0D6R의 가정을 만족한다.

3. \(p \geq 0\) 및 \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대하여 \(R^pf_*\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A}')\)이다.

4. \(p > N\) 및 \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대하여 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이다.

그러면 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) 안의 \(K\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(Rf_*K\)는 \(D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\)에 속한다.

2. \(j \geq N - n\)에 대하여 사상 \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)은 동형이다.

증명

Lemma 0D6S에 의해 \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\)이고, Lemma 0A07에 의해 \(Rf_*K = R\lim Rf_*\tau_{\geq -n}K\)이다. 복합체 \(Rf_*\tau_{\geq -n}K\)는 아래로 유계이다. 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(\tau_{\geq -n}K)\] 은 \(H^{p + q}(Rf_*\tau_{\geq -n}K)\)으로 수렴한다 (Derived Categories, Lemma 015J). 이 스펙트럼열과 가정 (3)에 의해 \(Rf_*\tau_{\geq -n}K\)는 \(D^+_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\)에 속한다. Homology, Lemma 012W를 보라. \(m \geq n\)일 때 사상 \[Rf_*(\tau_{\geq -m}K) \longrightarrow Rf_*(\tau_{\geq -n}K)\] 은 위의 스펙트럼열들에 의해 차수 \(j \geq -n + N\)에서 코호몰로지 층의 동형을 유도함에 유의하자. 따라서 Lemma 0D6T을 적용하면 결론을 얻는다.

가정을 조금 달리한 위 보조정리의 변형이 때때로 필요하다.

설정

\(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\)를 환 달린 사이트의 사상이라 하고, \(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)를 그에 대응하는 사이트의 연속 함자라 하자. \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\)를 약한 Serre 부분범주라 하자. 다음이 성립한다고 가정한다. 즉 부분집합 \(\mathcal{B}' \subset \Ob(\mathcal{C}')\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(\mathcal{C}'\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}'\)에 속하는 덮개를 갖는다.

2. 모든 \(V' \in \mathcal{B}'\)에 대하여 정수 \(d_{V'}\)와 \(V'\)의 덮개들의 공종계 \(\text{Cov}_{V'}\)가 존재하여 \[H^p(u(V'_i), \mathcal{F}) = 0 \text{ for } \{V'_i \to V'\} \in \text{Cov}_{V'},\ p > d_{V'}, \text{ and } \mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\] 이 성립한다.

보조정리

\(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\)를 환 달린 사이트의 사상이라 하자. 또한 정수 \(N\)이 존재하여 다음을 만족한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\)는 Situation 0D6R의 가정을 만족한다.

2. \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\)와 \(\mathcal{A}\)는 Situation 0D6V의 가정을 만족한다.

3. \(p > N\) 및 \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대하여 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이다.

그러면 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) 안의 \(K\)에 대하여 \(j \geq N - n\)이면 사상 \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)은 동형이다.

증명

\(K\)를 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. Lemma 0D6S에 의해 \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\)이고, Lemma 0A07에 의해 \(Rf_*K = R\lim Rf_*(\tau_{\geq -n}K)\)이다. \(V' \in \mathcal{B}'\)라 하고, \(\{V'_i \to V'\}\)를 \(\text{Cov}_{V'}\)의 원소라 하자. 다음을 생각한다. \[H^j(V'_i, Rf_*K) = H^j(u(V'_i), K) \quad\text{and}\quad H^j(V'_i, Rf_*(\tau_{\geq -n}K)) = H^j(u(V'_i), \tau_{\geq -n}K)\] Situation 0D6V의 가정은 \(j\)와 \(d_{V'}\)에 따라 \(n\)이 충분히 클 때 마지막 군이 \(n\)과 무관함을 함의한다. 몇몇 세부사항은 생략한다. 이를 \(j\)와 \(j - 1\)에 적용하고 Lemma 0D6K을 사용하면 \[H^j(V'_i, Rf_*K) = \lim H^j(V'_i, Rf_*(\tau_{\geq -n} K))\] 이며, 오른쪽 계는 \(d_{V'}\)와 \(j\)에만 의존하는 어떤 상수보다 큰 \(n\)에 대해 상수임을 얻는다. 따라서 Lemma 0D6L은 \[H^j(Rf_*K)(V') \longrightarrow \left(\lim H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\right)(V')\] 이 단사임을 함의한다. 원소 \(V' \in \mathcal{B}'\)가 \(\mathcal{C}'\)의 모든 대상을 덮으므로 사상 \(H^j(Rf_*K) \to \lim H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)은 단사이다. 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(\tau_{\geq -n}K)\] 은 \(H^{p + q}(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)으로 수렴한다 (Derived Categories, Lemma 015J). 이 스펙트럼열과 가정 (3)에 의해 \(H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)는 \(n \geq N - j\)에 대해 상수이다. 따라서 \(j \geq N - n\)이면 \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)은 단사이다.

따라서 보조정리의 마지막 줄에서 “동형”을 “단사”로 바꾼 명제를 증명했다. 이제 \(j\)와 \(n\)을 고르고 \(j \geq N - n\)라고 하자. 다음 특수 삼각형을 생각하자. \[\tau_{\leq -n - 1}K \to K \to \tau_{\geq -n}K \to (\tau_{\leq -n - 1}K)[1]\] Derived Categories, Remark 08J5을 보라. \(\tau_{\geq -n}\tau_{\leq -n -1}K = 0\)이므로, \(\tau_{-n - 1}K\)에 대해 이미 증명한 단사성은 \[0 = H^j(Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)) = H^{j + 1}(Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)) = H^{j + 2}(Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)) = \ldots\] 특수 삼각형 \[Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K) \to Rf_*K \to Rf_*(\tau_{\geq -n}K) \to Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)[1]\] 에 연관된 긴 완전 코호몰로지 열에 의해 이는 \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\)이 동형임을 함의한다.

Mayer-Vietoris

통상적인 Mayer–Vietoris의 명제와 증명은 Cohomology, Section 01E9을 보라.

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, 범주 \(\mathcal{C}\) 안의 가환도식 \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 을 생각하자. 이 상황에서 \(D(\mathcal{O})\)의 대상 \(K\)가 주어지면 특수 삼각형의 시작처럼 보이는 열 \[R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(Z, K) \oplus R\Gamma(Y, K) \to R\Gamma(E, K)\] 을 얻는다. 다음 보조정리에서 이를 더 정확히 표현한다.

보조정리

위의 상황에서 \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)을 고르자. 네 화살표 중 하나에는 표준 사상의 \(-1\)배를 사용하여 복합체의 사상 \[\mathcal{I}^\bullet(X) \xrightarrow{\alpha} \mathcal{I}^\bullet(Z) \oplus \mathcal{I}^\bullet(Y) \xrightarrow{\beta} \mathcal{I}^\bullet(E)\] 을 얻으며 \(\beta \circ \alpha = 0\)이다. 따라서 표준 사상 \[c^K_{X, Z, Y, E} : \mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow C(\beta)^\bullet[-1]\] 을 얻는다. 이 사상이 표준이라는 것은 \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체를 다르게 고르면 아벨군의 유도범주에서 동형인 화살표가 정해진다는 뜻이다. \(c^K_{X, Z, Y, E}\)가 동형이면 그 역을 사용하여 표준 특수 삼각형 \[R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(Z, K) \oplus R\Gamma(Y, K) \to R\Gamma(E, K) \to R\Gamma(X, K)[1]\] 을 얻는다. 이 모든 구성은 \(K\)에 대해 함자적이다.

증명

이 보조정리는 사실상 자명하다. 예를 들어 \(\mathcal{J}^\bullet\)이 \(K\)를 나타내는 두 번째 K-단사 복합체이면 유사동형 \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\)을 고를 수 있고, 이는 등장하는 모든 복합체 사이의 유사동형을 정한다. 세부사항은 생략한다. 원뿔의 구성과 특수 삼각형과의 관계는 Derived Categories, Sections 014D 및 014P를 보라.

보조정리

위의 상황에서 \(K_1 \to K_2 \to K_3 \to K_1[1]\)을 \(D(\mathcal{O})\) 안의 특수 삼각형이라 하자. \(\{1, 2, 3\}\) 가운데 두 \(i\)에 대하여 \(c^{K_i}_{X, Z, Y, E}\)가 유사동형이면, 셋째 \(i\)에 대해서도 유사동형이다.

증명

삼각형을 회전하여 \(c^{K_1}_{X, Z, Y, E}\)와 \(c^{K_2}_{X, Z, Y, E}\)가 유사동형이라고 가정해도 된다. \(K_1 \to K_2\)를 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군 K-단사 복합체의 사상 \(f : \mathcal{I}^\bullet_1 \to \mathcal{I}^\bullet_2\)를 고르자. 그러면 K-단사 복합체 \(C(f)^\bullet\)이 \(K_3\)을 나타낸다. Derived Categories, Lemma 090X을 보라. 이제 사상 \(c^{K_3}_{X, Z, Y, E}\)는 \(K(\textit{Ab})\) 안의 특수 삼각형 사이 사상의 셋째 다리이고, 다른 두 다리는 유사동형이므로 이 사상도 동형이다. 몇몇 세부사항은 생략한다. Derived Categories, Lemma 014A을 사용하라.

이 구성이 실제로 특수 삼각형을 주는 한 판정법을 제시하자.

보조정리

위의 상황에서 다음을 가정하자.

1. \(h_X^\# = h_Y^\# \amalg_{h_E^\#} h_Z^\#\)이다.

2. \(h_E^\# \to h_Y^\#\)는 단사이다.

그러면 Lemma 0F16의 구성은 특수 삼각형 \[R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(Z, K) \oplus R\Gamma(Y, K) \to R\Gamma(E, K) \to R\Gamma(X, K)[1]\] 을 주며, 이는 \(D(\mathcal{C})\) 안의 \(K\)에 대해 함자적이다.

증명

\(K\)를 각 항이 단사 아벨층인 K-단사 복합체로 나타낼 수 있다. Section 07A5를 보라. 따라서 \(\mathcal{I}\)가 단사 아벨층일 때 \[0 \to \mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(Z) \oplus \mathcal{I}(Y) \to \mathcal{I}(E) \to 0\] 이 짧은 완전열임을 보이면 충분하다. 첫 화살표는 단사이다. 실제로 조건 (1)에 의해 사상 \(h_Y \amalg h_Z \to h_X\)는 층화한 뒤 전사가 되는데, 이는 \(\{Y \to X, Z \to X\}\)가 \(X\)의 한 덮개에 의해 세분될 수 있다는 뜻이다. 마지막 화살표도 전사인데, \(\mathcal{I}(Y) \to \mathcal{I}(E)\)가 전사이기 때문이다. 구체적으로 \(\mathcal{I}(E) = \Hom(\mathbf{Z}_E^\#, \mathcal{I})\), \(\mathcal{I}(Y) = \Hom(\mathbf{Z}_Y^\#, \mathcal{I})\), 이고, (2)에 의해 사상 \(\mathbf{Z}_E^\# \to \mathbf{Z}_Y^\#\)는 단사이며, \(\mathcal{I}\)는 단사 아벨층이다. Modules on Sites, Section 03CQ과 비교하라. 마지막으로 \(s \in \mathcal{I}(Y)\)와 \(t \in \mathcal{F}(Z)\)가 \(\mathcal{I}(E)\)의 같은 원소로 간다고 하자. 그러면 \(s\)와 \(t\)는 사상 \[s \amalg t : h_Y^\# \amalg h_Z^\# \longrightarrow \mathcal{I}\] 을 정의하고, 이 사상은 가정에 의해 \(h_Y^\# \amalg_{h_E^\#} h_Z^\#\)를 거쳐 인수분해된다. 따라서 가정 (1)에 의해 유일한 사상 \(h_X^\# \to \mathcal{I}\)를 얻는다. 이는 \(Y\) 위에서 \(s\)로, \(Z\) 위에서 \(t\)로 제한되는 \(\mathcal{I}(X)\)의 원소에 대응한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 집합의 준층들로 이루어진 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{D} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \\ \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{G} }\] 을 생각하고 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{G}^\# = \mathcal{E}^\# \amalg_{\mathcal{D}^\#} \mathcal{F}^\#\)이다.

2. \(\mathcal{D}^\# \to \mathcal{F}^\#\)는 단사이다.

그러면 표준 특수 삼각형 \[R\Gamma(\mathcal{G}, K) \to R\Gamma(\mathcal{E}, K) \oplus R\Gamma(\mathcal{F}, K) \to R\Gamma(\mathcal{D}, K) \to R\Gamma(\mathcal{G}, K)[1]\] 이 있으며, 이는 \(K \in D(\mathcal{C})\)에 대해 함자적이다. 여기서 \(R\Gamma(\mathcal{G}, -)\)는 Section 079X에서 논의한 코호몰로지이다.

증명

층화는 완전하고 \(R\Gamma(\mathcal{G}, -) = R\Gamma(\mathcal{G}^\#, -)\) 이므로 \(\mathcal{D}, \mathcal{E}, \mathcal{F}, \mathcal{G}\)가 집합의 층이라고 가정해도 된다. 더욱이 코호몰로지 \(R\Gamma(\mathcal{G}, -)\)는 기저 사이트가 아니라 토포스에만 의존한다. 따라서 Sites, Lemma 03CI에 의해 \(\mathcal{C}\)를 준표준 위상을 가진 “더 큰” 사이트로 바꾸어 어떤 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(X, Y, Z, E\)에 대하여 \(\mathcal{G} = h_X\), \(\mathcal{F} = h_Y\), \(\mathcal{E} = h_Z\), 그리고 \(\mathcal{D} = h_E\)라고 가정해도 된다. 이 경우 결과는 Lemma 0EVY에서 따른다.

두 위상의 비교

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\text{Cov}(\mathcal{C}) \supset \text{Cov}'(\mathcal{C})\) 를 \(\mathcal{C}\)에 사이트 구조를 주는 두 방식이라 하자. \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)에 대응하는 위상을 \(\tau\)라 하고, \(\text{Cov}'(\mathcal{C})\)에 대응하는 위상을 \(\tau'\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{C}\)의 항등함자는 사이트의 사상 \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] 을 정의한다. 여기서 \(\epsilon_*\)는 기저 준층들에 대한 항등함자이고, \(\epsilon^{-1}\)은 \(\tau'\)-층의 \(\tau\)-층화이다. Sites, Examples 0EWI 및 0EWJ를 보라. 위의 상황에서 다음이 성립한다.

1. \(\epsilon_* : \Sh(\mathcal{C}_\tau) \to \Sh(\mathcal{C}_{\tau'})\) 는 충실충만이고 \(\epsilon^{-1} \circ \epsilon_* = \text{id}\)이다.

2. \(\epsilon_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau) \to \textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'})\) 는 충실충만이고 \(\epsilon^{-1} \circ \epsilon_* = \text{id}\)이다.

3. \(R\epsilon_* : D(\mathcal{C}_\tau) \to D(\mathcal{C}_{\tau'})\) 는 충실충만이고 \(\epsilon^{-1} \circ R\epsilon_* = \text{id}\)이다.

4. \(\mathcal{O}\)가 \(\tau\)-위상에 대한 환의 층이면, \(\mathcal{O}\)는 \(\tau'\)-위상에 대해서도 층이고 \(\epsilon\)은 환 달린 사이트의 평탄 사상 \[\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \longrightarrow (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\] 이 된다.

5. \(\epsilon_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\)는 충실충만이고 \(\epsilon^* \circ \epsilon_* = \text{id}\)이다.

6. \(R\epsilon_* : D(\mathcal{O}_\tau) \to D(\mathcal{O}_{\tau'})\) 는 충실충만이고 \(\epsilon^* \circ R\epsilon_* = \text{id}\)이다.

몇 가지 설명을 덧붙인다.

(1)에 관하여. \(\mathcal{F}\)를 \(\tau\)-위상에서의 집합의 층이라 하자. 그러면 \(\epsilon_*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)를 \(\tau'\)-위상의 층으로 본 것일 뿐이다. \(\epsilon^{-1}\)을 적용한다는 것은 \(\mathcal{F}\)의 \(\tau\)-층화를 취한다는 뜻인데, \(\mathcal{F}\)는 이미 \(\tau\)-층이므로 아무것도 바꾸지 않는다. 따라서 \(\epsilon^{-1}(\epsilon_*\mathcal{F})) = \mathcal{F}\). 충실충만성은 Categories, Lemma 07RB에서 따른다.

(2)에 관하여. 아벨층의 당김과 직접상은 기저 집합의 층에 그 연산들을 하는 것과 같으므로 이는 (1)의 결과이다.

(3)에 관하여. \(K\)를 \(D(\mathcal{C}_\tau)\)의 대상이라 하자. \(R\epsilon_*K\)를 계산하기 위해 \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)을 고르고 \(R\epsilon_*K = \epsilon_*\mathcal{I}^\bullet\)로 놓는다. 대상 \(L\)에 대한 \(\epsilon^{-1} : D(\mathcal{C}_{\tau'}) \to D(\mathcal{C}_\tau)\)의 값은 \(L\)을 나타내는 임의의 아벨층 복합체에 완전 함자 \(\epsilon^{-1}\)을 적용하여 계산하므로, \(\epsilon^{-1}R\epsilon_*K\)는 \(\epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{I}^\bullet\)로 나타내어진다. (1)에 의해 \(\mathcal{I}^\bullet = \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{I}^\bullet\). 달리 말해 \(\epsilon^{-1} \circ R\epsilon_* = \text{id}\)이고, 앞과 같이 결론을 얻는다.

(4)에 관하여. \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{\tau'} = \mathcal{O}_\tau\)임에 유의하자. (1)의 논의를 보라. 따라서 \(\epsilon\)은 환 달린 사이트의 평탄 사상이다. Modules on Sites, Definition 04JB을 보라. 그뿐 아니라 \(\mathcal{O}_{\tau'}\)-가군에 대해 \(\epsilon^* = \epsilon^{-1}\)임도 분명하다(가군으로서의 당김은 기저 아벨층의 당김과 같은 기저 아벨층을 갖는다).

(5)에 관하여. 이는 (2)와 (4)에서 말한 것으로부터 분명하다.

(6)에 관하여. 이는 (3)과 유사하다. 세부사항은 생략한다.

코호몰로지 강하의 형식적 성질

이 절에서는 환 달린 토포스의 사상이 아래쪽 유도범주에서 위쪽 유도범주로의 매입을 어느 정도까지 정하는지만 논의한다. 다음은 전형적인 결과이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 다음 사상이 동형인 대상 \(K\)들로 이루어진 충만 부분범주 \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 생각하자. \[K \longrightarrow Rf_*Lf^*K\] 그러면 \(D'\)은 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)의 포화된 엄밀 충만 삼각부분범주이고, 함자 \(Lf^* : D' \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)는 충실충만하다.

증명

이 상황에서 포화의 정의는 Derived Categories, Definition 05RB을 보라. 삼각부분범주에 관한 논의는 Derived Categories, Lemma 05QX를 보라. 보조정리의 표준 사상은 수반함자쌍 \((Lf^*, Rf_*)\)의 단위이다. Lemma 07A6를 보라. \(D'\)이 포화 삼각부분범주라는 증명은 생략한다. 이는 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)가 삼각범주의 완전 함자라는 사실에서 형식적으로 따른다. 마지막 부분은 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)가 수반이라는 사실에서 형식적으로 따른다. Categories, Lemma 07RB과 비교하라.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 다음 사상이 동형인 대상 \(K\)들로 이루어진 충만 부분범주 \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)를 생각하자. \[Lf^*Rf_*K \longrightarrow K\] 그러면 \(D'\)은 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 포화된 엄밀 충만 삼각부분범주이고, 함자 \(Rf_* : D' \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)는 충실충만하다.

증명

이 상황에서 포화의 정의는 Derived Categories, Definition 05RB을 보라. 삼각부분범주에 관한 논의는 Derived Categories, Lemma 05QX를 보라. 보조정리의 표준 사상은 수반함자쌍 \((Lf^*, Rf_*)\)의 쌍대단위이다. Lemma 07A6를 보라. \(D'\)이 포화 삼각부분범주라는 증명은 생략한다. 이는 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)가 삼각범주의 완전 함자라는 사실에서 형식적으로 따른다. 마지막 부분은 \(Lf^*\)와 \(Rf_*\)가 수반이라는 사실에서 형식적으로 따른다. Categories, Lemma 07RB과 비교하라.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 대상이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄하다.

2. \(K\)는 아래로 유계이다.

3. \(f^*Rf_*H^q(K) \to H^q(K)\)는 동형이다.

그러면 \(f^*Rf_*K \to K\)는 동형이다.

증명

\(f^*Rf_*K \to K\)가 동형일 필요충분조건은 코호몰로지 층 \(H^j\)에서 동형인 것임에 유의하자. 또한 \(H^j(f^*Rf_*K) = f^*H^j(Rf_*K) = f^*H^j(Rf_*\tau_{\leq j}K) = H^j(f^*Rf_*\tau_{\leq j}K)\). 따라서 \(K\)가 유계라고 가정해도 된다. 성질 (3)에 의해 코호몰로지 층들은 Lemma 0D7R의 삼각부분범주 \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)에 속한다. 따라서 \(K\)도 그 부분범주에 속한다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)의 대상이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄하다.

2. \(K\)는 아래로 유계이다.

3. \(H^q(K) \to Rf_*f^*H^q(K)\)는 동형이다.

그러면 \(K \to Rf_*f^*K\)는 동형이다.

증명

\(K \to Rf_*f^*K\)가 동형일 필요충분조건은 코호몰로지 층 \(H^j\)에서 동형인 것임에 유의하자. 또한 \(H^j(Rf_*f^*K) = H^j(Rf_*\tau_{\leq j}f^*K) = H^j(Rf_*f^*\tau_{\leq j}K)\). 따라서 \(K\)가 유계라고 가정해도 된다. 성질 (3)에 의해 코호몰로지 층들은 Lemma 0D7Q의 삼각부분범주 \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)에 속한다. 따라서 \(K\)도 그 부분범주에 속한다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\)와 \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\)를 약한 Serre 부분범주라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄하다.

2. \(f^*\)는 범주의 동치 \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\)를 유도한다.

3. \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}')\)에 대하여 \(\mathcal{F}' \to Rf_*f^*\mathcal{F}'\)은 동형이다.

그러면 \(f^* : D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\) 는 범주의 동치이고, 그 준역은 \(Rf_* : D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}')\)이다.

증명

가정 (2), (3)과 Lemmas 0D7T 및 0D7Q에 의해 \(f^* : D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\) 가 충실충만함을 알 수 있다. \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} = f^*\mathcal{F}'\)로 쓸 수 있고 \(Rf_*\mathcal{F} = Rf_* f^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}'\)이다. 특히 \(p > 0\)에 대하여 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이고 \(f_*\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A}')\)이다. 따라서 임의의 \(K \in D^+_\mathcal{A}(\mathcal{O})\)에 대하여 \(R^{p + q}f_*K\)로 수렴하는 스펙트럼열 \(E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(K)\)을 사용하면 \(Rf_*K\)가 \(D^+_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\)에 속함을 알 수 있다. 물론 Lemmas 0D7S 및 0D7R에 의해 \(Rf_* : D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}')\) 도 충실충만하다. \(f^*\)와 \(Rf_*\)가 수반이므로, 예를 들어 Categories, Lemma 07RB에 의해 보조정리의 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\)와 \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\)를 약한 Serre 부분범주라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄하다.

2. \(f^*\)는 범주의 동치 \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\)를 유도한다.

3. \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}')\)에 대하여 \(\mathcal{F}' \to Rf_*f^*\mathcal{F}'\)은 동형이다.

4. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\)는 Situation 0D6R의 가정을 만족한다.

5. \(\mathcal{C}', \mathcal{O}', \mathcal{A}'\)는 Situation 0D6R의 가정을 만족한다.

그러면 \(f^* : D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) 는 범주의 동치이고, 그 준역은 \(Rf_* : D_\mathcal{A}(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\)이다.

증명

\(f^*\)가 완전하므로 \(f^*\)가 명제에 적힌 함자 \(f^* : D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) 를 정의하고 이 함자가 절단함자 \(\tau_{\geq -n}\)과 가환함은 분명하다. 대응하는 아래로 유계인 범주들에서 \(f^*\)와 \(Rf_*\)가 서로 준역인 동치임은 이미 알고 있다. Lemma 0D7U를 보라. \(N = 0\)으로 둔 Lemma 0D6U에 의해 \(Rf_*\)가 실제로 함자 \(Rf_* : D_\mathcal{A}(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\) 를 정의하고 이 함자도 절단함자 \(\tau_{\geq -n}\)과 가환함을 알 수 있다. 따라서 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) 안의 \(K\)에 대하여 사상 \(f^*Rf_*K \to K\)는 동형이다. 절단들에서 이것이 성립하기 때문이다. 마찬가지로 \(D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\) 안의 \(K'\)에 대하여 사상 \(K' \to Rf_*f^*K'\)은 동형이다. 절단들에서 이것이 성립하기 때문이다. 이것으로 증명을 마친다.

보조정리

\(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\)를 환 달린 사이트의 사상이라 하자. \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\)와 \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\)를 약한 Serre 부분범주라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄하다.

2. \(f^*\)는 범주의 동치 \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\)를 유도한다.

3. \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}')\)에 대하여 \(\mathcal{F}' \to Rf_*f^*\mathcal{F}'\)은 동형이다.

4. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\)는 Situation 0D6R의 가정을 만족한다.

5. \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\)와 \(\mathcal{A}\)는 Situation 0D6V의 가정을 만족한다.

그러면 \(f^* : D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) 는 범주의 동치이고, 그 준역은 \(Rf_* : D_\mathcal{A}(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\)이다.

증명

이 보조정리의 증명은 Lemma 0D7V의 증명과 완전히 같고, 다만 Lemma 0D6U에 대한 참조를 Lemma 0D6W에 대한 참조로 바꾼다.

두 위상의 비교, II

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\text{Cov}(\mathcal{C}) \supset \text{Cov}'(\mathcal{C})\) 를 \(\mathcal{C}\)에 사이트 구조를 주는 두 방식이라 하자. \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)에 대응하는 위상을 \(\tau\)라 하고, \(\text{Cov}'(\mathcal{C})\)에 대응하는 위상을 \(\tau'\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{C}\)의 항등함자는 사이트의 사상 \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] 을 정의한다. 여기서 \(\epsilon_*\)는 기저 준층들에 대한 항등함자이고, \(\epsilon^{-1}\)은 \(\tau'\)-층의 \(\tau\)-층화이므로 분명 완전하다. \(\mathcal{O}\)를 \(\tau\)-위상에 대한 환의 층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}\)는 \(\tau'\)-위상에 대해서도 층이고, \(\epsilon\)은 환 달린 사이트의 사상 \[\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \longrightarrow (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\] 이 된다. 더 자세한 논의는 Section 0EWK을 보라.

보조정리

위와 같은 \(\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \to (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\)를 생각하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하고, \(\mathcal{A} \subset \textit{PMod}(\mathcal{O})\)를 충만 부분범주라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{A}\)의 모든 대상은 \(\tau\)-위상에 대한 층이다.

2. \(\mathcal{A}\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau)\)의 약한 Serre 부분범주이다.

3. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상은 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 \(\tau'\)-덮개를 갖는다.

4. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 모든 \(\mathcal{F} \in \mathcal{A}\)에 대해 \(p > 0\)이면 \(H^p_\tau(U, \mathcal{F}) = 0\)이다.

그러면 \(\mathcal{A}\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 약한 Serre 부분범주이고, \(\epsilon^*\)와 \(R\epsilon_*\)가 주는 삼각범주의 동치 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_\tau) = D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_{\tau'})\) 가 있다.

증명

\(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{\tau'} = \mathcal{O}_\tau\)이므로 \(\epsilon\)은 환 달린 사이트의 평탄 사상이고, 가군의 층에 대해서는 실제로 \(\epsilon^{-1} = \epsilon^*\)이다. 성질 (1)에 의해 \(\mathcal{A}\)의 모든 대상을 \(\mathcal{O}_\tau\)-가군의 층인 동시에 \(\mathcal{O}_{\tau'}\)-가군의 층으로 생각할 수 있다. 달리 말해, 충실충만한 포함함자 \[\mathcal{A} \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\] 들이 있다. 혼동을 피하기 위해 \(\mathcal{A}\)의 상을 \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\)로 쓰겠다. 그러면 \(\epsilon_* : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)와 \(\epsilon^* : \mathcal{A}' \to \mathcal{A}\)가 서로 준역인 동치임은 분명하다(보조정리 앞의 논의를 보고, \(\mathcal{A}'\)의 대상들이 \(\tau\)-위상에서 층이라는 사실을 사용하라).

조건 (3)과 (4)에 의해 \(p > 0\)이고 \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\)이면 \(R^p\epsilon_*\mathcal{F} = 0\)이다. 실제로 \(R^p\epsilon_*\)는 준층 \(U \mapsto H^p_\tau(U, \mathcal{F})\)에 연관된 층이다. Lemma 072W를 보라. 따라서 \(\mathcal{A}\)의 임의의 완전 복합체에 함자 \(\epsilon_*\)를 적용해도 완전하다. 여기서 그러한 복합체란 그 항들이 \(\mathcal{A}\)에 속하는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau)\)의 완전 복합체와 같은 것이다. Homology, Lemma 0754를 보라.

다음 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 완전열을 생각하자. \[\mathcal{F}'_0 \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}'_3 \to \mathcal{F}'_4\] 여기서 \(\mathcal{F}'_0, \mathcal{F}'_1, \mathcal{F}'_3, \mathcal{F}'_4\)는 \(\mathcal{A}'\)에 속한다. 완전 함자 \(\epsilon^*\)를 적용하면 다음 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau)\)의 완전열을 얻는다. \[\epsilon^*\mathcal{F}'_0 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_1 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_2 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_3 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_4\] 실제로 \(\mathcal{A}\)는 약한 Serre 부분범주이고 \(\epsilon^*\mathcal{F}'_0, \epsilon^*\mathcal{F}'_1, \epsilon^*\mathcal{F}'_3, \epsilon^*\mathcal{F}'_4\)는 \(\mathcal{A}\)에 속하므로, Homology, Definition 02MO에 의해 \(\epsilon^*\mathcal{F}_2\)도 \(\mathcal{A}\)에 속한다. 다음 열들의 사상을 생각하자. \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_0 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_4 \ar[d] \\ \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_0 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_1 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_2 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_3 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_4 }\] 앞 문단의 논의에 의해 아래 행은 완전하다. 첫 문단의 논의에 의해 지표가 \(0\), \(1\), \(3\), \(4\)인 수직 화살표들은 동형이다. \(5\)-보조정리(Homology, Lemma 05QB)에 의해 \(\mathcal{F}'_2 \cong \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_2\)이고, 따라서 \(\mathcal{F}'_2\)는 \(\mathcal{A}'\)에 속한다. 이로써 \(\mathcal{A}'\)가 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 약한 Serre 부분범주임을 알 수 있다. Homology, Definition 02MO를 보라.

이제 유도범주 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_\tau)\)와 \(D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}_{\tau'})\)를 말할 수 있다. Derived Categories, Section 06UP을 보라. 증명을 끝내기 위해 Lemma 0D7W의 조건 (1) – (5)를 적용할 수 있음을 보이자. 위에서 이미 (1), (2), (3)을 보았다. 모든 대상이 \(\mathcal{B}\)의 대상들로 이루어진 \(\tau'\)-덮개를 가지므로, 더욱이 모든 대상은 \(\mathcal{B}\)의 대상들로 이루어진 \(\tau\)-덮개도 갖는다. 따라서 Lemma 0D7W의 조건 (4)가 성립한다. 마찬가지로 조건 (5)도 성립한다.

보조정리

위와 같은 \(\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \to (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\)를 생각하자. \(A\)를 집합이라 하고, 각 \(\alpha \in A\)에 대해 \[\xymatrix{ E_\alpha \ar[d] \ar[r] & Y_\alpha \ar[d] \\ Z_\alpha \ar[r] & X_\alpha }\] 가 범주 \(\mathcal{C}\)의 가환 그림이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\tau'\)-층 \(\mathcal{F}'\)가 모든 \(\alpha\)에 대해 \(\mathcal{F}'(X_\alpha) = \mathcal{F}'(Z_\alpha) \times_{\mathcal{F}'(E_\alpha)} \mathcal{F}'(Y_\alpha)\)를 만족하면 \(\tau\)-층이다.

2. \(R\epsilon_*\)의 본질적 상에 속하는 \(D(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 \(K'\)에 대해, Lemma 0F16의 사상 \(c^{K'}_{X_\alpha, Z_\alpha, Y_\alpha, E_\alpha}\)는 모든 \(\alpha\)에 대해 동형이다.

그러면 \(K' \in D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\)가 \(R\epsilon_*\)의 본질적 상에 속할 필요충분조건은 사상 \(c^{K'}_{X_\alpha, Z_\alpha, Y_\alpha, E_\alpha}\)가 모든 \(\alpha\)에 대해 동형인 것이다.

증명

“필요” 방향은 가정 (2)에서 따른다. 한편 \(K'\)가 영이 아닌 코호몰로지 층을 하나만 가지면 “충분” 방향은 가정 (1)에서 따른다. 일반적으로는 귀납법으로 “충분” 방향을 증명하겠다. \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 대상 \(K'\)가 모든 \(\alpha \in A\)에 대해 사상 \(c^{K'}_{X_\alpha, Z_\alpha, Y_\alpha, E_\alpha}\)가 동형일 때 (P)를 만족한다고 하자.

구체적으로, (P)를 만족하는 \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 대상 \(K'\)를 택하자. 첫 화살표가 수반사상인 특수 삼각형 \[K' \to R\epsilon_*\epsilon^{-1}K' \to M' \to K'[1]\] 을 \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\)에서 택하자. (2)와 Lemma 0EWP에 의해 \(M'\)는 (P)를 만족한다. 한편 \(\epsilon^{-1}\)을 적용하고 Section 0EWK의 \(\epsilon^{-1}R\epsilon_* = \text{id}\)를 사용하면 \(\epsilon^{-1}M' = 0\)을 얻는다. 다음 문단에서 \(M' = 0\)임을 보이면 증명이 끝난다.

(P)를 만족하고 \(\epsilon^{-1}K' = 0\)인 \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\)의 대상 \(K'\)를 택하자. \(K' = 0\)임을 보이겠다. 즉, \(i < n\)에 대해 \(H^i(K') = 0\)인 \(n \in \mathbf{Z}\)가 주어졌을 때 \(H^n(K') = 0\)임을 보이겠다. 각 \(\alpha \in A\)에 대해 Lemma 0F16에 의해 특수 삼각형 \[R\Gamma_{\tau'}(X_\alpha, K') \to R\Gamma_{\tau'}(Z_\alpha, K') \oplus R\Gamma_{\tau'}(Y_\alpha, K') \to R\Gamma_{\tau'}(E_\alpha, K') \to R\Gamma_{\tau'}(X_\alpha, K')[1]\] 이 있다. 차수 \(n\)의 코호몰로지를 취하고 \(K'\)의 코호몰로지 층에 대한 가정된 소멸을 사용하면 완전열 \[0 \to H^n_{\tau'}(X_\alpha, K') \to H^n_{\tau'}(Z_\alpha, K') \oplus H^n_{\tau'}(Y_\alpha, K') \to H^n_{\tau'}(E_\alpha, K')\] 을 얻는데, 이는 완전열 \[0 \to \Gamma(X_\alpha, H^n(K')) \to \Gamma(Z_\alpha, H^n(K')) \oplus \Gamma(Y_\alpha, H^n(K')) \to \Gamma(E_\alpha, H^n(K'))\] 과 같다. 가정 (1)에 의해 \(H^n(K')\)는 \(\tau\)-층이다. 그러나 \(\epsilon^{-1}K' = 0\)이므로 \(\tau\)-층화 \(\epsilon^{-1}H^n(K') = H^n(\epsilon^{-1}K')\)는 \(0\)이다. 따라서 원하는 대로 \(H^n(K') = 0\)이다.

보조정리

위와 같은 \(\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \to (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\)를 생각하자. \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 가 범주 \(\mathcal{C}\)의 가환 그림이고 다음을 만족한다고 하자.

1. \(h_X^\# = h_Y^\# \amalg_{h_E^\#} h_Z^\#\)이다.

2. \(h_E^\# \to h_Y^\#\)는 단사이다.

여기서 \({}^\#\)는 \(\tau\)-층화를 뜻한다. 그러면 \(R\epsilon_*\)의 본질적 상에 속하는 \(K' \in D(\mathcal{O}_{\tau'})\)에 대해 Lemma 0F16의 사상 \(c^{K'}_{X, Z, Y, E}\)는 동형이다(이때 \(\tau'\)-위상을 사용한다).

증명

이 보조정리는 Lemma 0EVY의 거의 즉각적인 결과이므로 독자에게 증명을 건너뛸 것을 강력히 권한다. \(K' = R\epsilon_*K\)라 하자. \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_\tau\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\)을 택하자. 그러면 \(\epsilon_*\mathcal{J}^\bullet\)은 \(K'\)를 나타내는 \(\mathcal{O}_{\tau'}\)-가군의 K-단사 복합체이다. Lemma 093Y을 보라. 다음으로 \[0 \to \mathcal{J}^\bullet(X) \xrightarrow{\alpha} \mathcal{J}^\bullet(Z) \oplus \mathcal{J}^\bullet(Y) \xrightarrow{\beta} \mathcal{J}^\bullet(E) \to 0\] 은 아벨군 복합체의 짧은 완전열이다. Lemma 0EVY와 그 증명을 보라. 이는 \(c^{K'}_{X, Z, Y, E}\)를 정의하는 데 쓰이는 아벨군 복합체의 열과 같으므로 결론을 얻는다.

코호몰로지의 비교

서로 다른 위상에서의 코호몰로지를 비교하는 데 도움이 될 일반론을 전개한다. Section 0EWK과 같은 \(\mathcal{C}\), \(\tau\), \(\tau'\) 및 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어지면 토포스 사상들의 가환 그림 [0EZ2]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_\tau/X) \ar[r]_{f_\tau} \ar[d]_{\epsilon_X} & \Sh(\mathcal{C}_\tau/Y) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh(\mathcal{C}_{\tau'}/X) \ar[r]^{f_{\tau'}} & \Sh(\mathcal{C}_{\tau'}/X) } } \end{equation}\] 을 얻는다. 여기서 사상 \(\epsilon_X\), 각각 \(\epsilon_Y\)는 두 위상 \(\tau\)와 \(\tau'\)를 갖춘 범주 \(\mathcal{C}/X\)에 대한 Section 0EWK의 비교사상이다. 사상 \(f_\tau\)와 \(f_{\tau'}\)는 “재국소화” 사상이다(Sites, Lemma 03EH). 그림의 가환성은 Sites, Lemma 03CF의 특수한 경우이다. 여기서는 \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_\tau/Y\), \(\mathcal{D} = \mathcal{C}_{\tau'}/Y\), \(u = \text{id}\), \(U = X\), \(V = X\)를 적용한다. 또한 그 보조정리에서, 또는 자명하게, \(\epsilon_{X, *} \circ f_\tau^{-1} = f_{\tau'}^{-1} \circ \epsilon_{Y, *}\) 를 얻는다.

설정

Section 0EWK과 같은 \(\mathcal{C}\), \(\tau\), \(\tau'\)를 생각하자. 부분집합 \(\mathcal{P} \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\)와 \(\mathcal{C}\)의 각 대상 \(X\)마다 약한 Serre 부분범주 \(\mathcal{A}'_X \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)가 주어졌다고 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f : X \to Y\)가 \(\mathcal{P}\)에 속하고 \(Y' \to Y\)가 임의이면 \(X \times_Y Y'\)가 존재하고 \(X \times_Y Y' \to Y'\)는 \(\mathcal{P}\)에 속한다.

2. \(\mathcal{C}\)의 임의의 사상 \(f : X \to Y\)에 대해 \(f_{\tau'}^{-1}\)은 \(\mathcal{A}'_Y\)를 \(\mathcal{A}'_X\) 안으로 보낸다.

3. 주어진 \(\mathcal{C}\)의 \(X\)와 \(\mathcal{A}'_X\)의 \(\mathcal{F}'\)에 대해, \(\mathcal{F}'\)는 \(\tau\)-덮개에 대한 층 조건을 만족한다. 즉, \(\mathcal{F}' = \epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\),

4. 만일 \(f : X \to Y\)가 \(\mathcal{P}\)에 속하고 \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}'_X)\)이면, \(R^if_{\tau', *}\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}'_Y)\) 가 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다.

5. 만일 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 \(\tau\)-덮개이면 다음이 존재한다.

   1. \(\tau'\)-덮개 \(\{V_j \to U\}_{j \in J}\).

   2. 하나의 \(f_j \in \mathcal{P}\)로 이루어진 \(\tau\)-덮개 \(\{f_j : W_j \to V_j\}\).

   3. \(\tau'\)-덮개 \(\{W_{jk} \to W_j\}_{k \in K_j}\).

   이들은 \(\{W_{jk} \to U\}_{j \in J, k \in K_j}\)가 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)의 세분이 되도록 택할 수 있다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \(\mathcal{C}\)의 \(X\)에 대해 \(\mathcal{A}_X\)를 \(\mathcal{A}'_X\)의 \(\mathcal{F}'\)에 대한 \(\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\) 꼴의 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\)의 대상들로 이루어진 범주라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\)의 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{F} \in \mathcal{A}_X \Leftrightarrow \epsilon_{X, *}\mathcal{F} \in \mathcal{A}'_X\)이다.

2. \(\mathcal{C}\)의 임의의 사상 \(f : X \to Y\)에 대해 \(f_\tau^{-1}\)은 \(\mathcal{A}_Y\)를 \(\mathcal{A}_X\) 안으로 보낸다.

증명

부분 (1)은 (0EZ6)에서 따른다. 부분 (2)는 (0EZ5)와, 다음을 주는 (0EZ2)의 가환성에서 따른다. \(\epsilon_X^{-1} \circ f_{\tau'}^{-1} = f_\tau^{-1} \circ \epsilon_Y^{-1}\).

다음 목표는 Lemmas 0EZH와 0EZG를 증명하는 것이다. 다음 귀납가설을 사용하는 귀납논법으로 이를 수행하겠다.

\((V_n)\) \(\mathcal{C}\)의 \(X\)와 \(\mathcal{A}_X\)의 \(\mathcal{F}\)에 대해, \(1 \leq i \leq n\)이면 \(R^i\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = 0\)이다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \((V_n)\)이 성립한다고 하자. \(\mathcal{P}\)의 \(f : X \to Y\)와 \(\mathcal{A}_X\)의 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(i \leq n\)이면 \(R^if_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = \epsilon_{Y, *}R^if_{\tau, *}\mathcal{F}\)이다.

증명

가환 그림 (0EZ2)를 더 언급하지 않고 사용하겠다. 특히 \[Rf_{\tau', *}R\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F}\] 가 성립한다. 가정 \((V_n)\)에 의해 \(\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to R\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\) 는 차수 \(\leq n\)에서 동형이다. 따라서 \(Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to Rf_{\tau', *}R\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\)는 차수 \(\leq n\)에서 동형이다. 그러므로 \[R^if_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to H^i(R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F})\] 는 \(i \leq n\)에서 동형이다. \(R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F}\)에 대한 Lemma 0734의 스펙트럼열의 둘째 쪽을 살펴보아 보조정리를 증명하겠다. 그 모양은 다음과 같다. \[\begin{matrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \epsilon_{Y, *}R^2f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^1\epsilon_{Y, *}R^2f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^2\epsilon_{Y, *}R^2f_{\tau, *}\mathcal{F} & \ldots \\ \epsilon_{Y, *}R^1f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^1\epsilon_{Y, *}R^1f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^2\epsilon_{Y, *}R^1f_{\tau, *}\mathcal{F} & \ldots \\ \epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^1\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^2\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F} & \ldots \end{matrix}\] \((C_m)\)을 다음 가설이라 하자: \(R^if_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = \epsilon_{Y, *}R^if_{\tau, *}\mathcal{F}\)가 \(i \leq m\)에 대해 성립한다. \((C_0)\)은 성립한다. \(m < n\)일 때 \((C_{m - 1}) \Rightarrow (C_m)\)임을 보이자. 실제로 \((C_{m - 1})\)이 성립하면 \(n \geq p > 0\) 및 \(q \leq m - 1\)에 대해 \[\begin{align*} R^p\epsilon_{Y, *}R^qf_{\tau, *}\mathcal{F} & = R^p\epsilon_{Y, *} \epsilon_Y^{-1} \epsilon_{Y, *} R^qf_{\tau, *}\mathcal{F} \\ & = R^p\epsilon_{Y, *} \epsilon_Y^{-1}R^qf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = 0 \end{align*}\] 이다. 첫째 등식은 \(\epsilon_Y^{-1}\epsilon_{Y, *} = \text{id}\)에서, 둘째는 \((C_{m - 1})\)에서, 마지막은 \((V_n)\)에서 따른다. 실제로 (0EZ7)에 의해 \(\epsilon_Y^{-1}R^qf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{A}_Y\)에 속한다. 스펙트럼열을 살펴보면 \(E_2^{0, m} = \epsilon_{Y, *}R^mf_{\tau, *}\mathcal{F}\) 가 \(p + q = m\)인 영이 아닌 유일한 항 \(E_2^{p, q}\)이다. \(\text{d}_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\)임을 상기하자. 따라서 이 자리에서 나가거나 이 자리로 들어오는 영이 아닌 미분 \(\text{d}_r^{p, q}\), \(r \geq 2\)는 없다. 그러므로 \(H^m(R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F}) = \epsilon_{Y, *}R^mf_{\tau, *}\mathcal{F}\)이고, 위 논의에 의해 \((C_m)\)이 성립한다.

마지막으로 \((C_{n - 1})\)을 가정하자. 같은 분석에 의해 \(E_2^{0, n} = \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F}\) 가 \(p + q = n\)인 영이 아닌 유일한 항 \(E_2^{p, q}\)이다. 여전히 이 자리로 들어오는 영이 아닌 미분은 없지만, 이 자리에서 나가는 영이 아닌 미분은 있을 수 있다. 즉, 사상 \(d_{n + 1}^{0, n} : \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F} \to R^{n + 1}\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F}\). 따라서 완전열 \[0 \to R^nf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F} \to R^{n + 1}\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F}\] 이 있다. (0EZ7)와 (0EZ6)에 의해 층 \(R^nf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\) 은 \(\tau\)-덮개에 대한 층 조건을 만족하며, \(\epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F}\)도 그러하다(Section 0EWK의 \(\epsilon_*\)의 설명을 사용하라). 그러나 \(\tau'\)-층 \(R^{n + 1}\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F}\) 의 \(\tau\)-층화는 영이다. 이는 코호몰로지의 국소성에서 따르며, Lemmas 01FW와 072W를 사용한다. 따라서 \(R^nf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F}\)는 동형이어야 하며, 증명이 끝난다.

\(E'\), 각각 \(E\)가 \(D(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\), 각각 \(D(\mathcal{C}_\tau/X)\)의 대상이면, \(\mathcal{C}/X\)의 대상 \(U\) 위에서 \(E'\), 각각 \(E\)의 코호몰로지를 \(H^n_{\tau'}(U, E')\), 각각 \(H^n_\tau(U, E)\)로 쓰겠다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \((V_n)\)이 성립한다고 하자. \(\mathcal{C}\)의 \(X\)와 \(L \in D(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)가 \(i < 0\)에 대해 \(H^i(L) = 0\)이고, \(0 \leq i \leq n\)에 대해 \(H^i(L)\)이 \(\mathcal{A}'_X\)에 속하면 \(H^n_{\tau'}(X, L) = H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}L)\).

증명

Lemma 0D6H에 의해 \(H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}L) = H^n_{\tau'}(X, R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L)\). 다음으로 수렴하는 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = R^p\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}H^q(L)\] 이 있다: \(H^{p + q}(R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L)\). \((V_n)\)에 의해 \(0 < p \leq n\) 및 \(0 \leq q \leq n\)에 대해 \(E_2^{p, q}\)가 소멸한다. 따라서 \(E_2^{0, q} = \epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}H^q(L) = H^q(L)\) 들이 \(p + q \leq n\)인 영이 아닌 유일한 항 \(E_2^{p, q}\)들이다. 따라서 사상 \[L \longrightarrow R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L\] 은 차수 \(\leq n\)에서 동형이다(작은 세부사항은 생략한다). 그러므로 \(H^i_{\tau'}(X, L) = H^i_{\tau'}(X, R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L)\) 가 \(i \leq n\)에 대해 성립하며, 보조정리가 증명되었다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \((V_n)\)이 성립한다고 하자. \(\mathcal{C}\)의 \(X\)와 \(\mathcal{A}_X\)의 \(\mathcal{F}\)에 대해 사상 \(H^{n + 1}_{\tau'}(X, \epsilon_{X, *}\mathcal{F}) \to H^{n + 1}_\tau(X, \mathcal{F})\) 은 단사이고, 그 상은 \(X\)의 어떤 \(\tau'\)-덮개 위에서 자명해지는 유들로 이루어진다.

증명

\(\epsilon_X^{-1}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = \mathcal{F}\)임을 상기하자. 따라서 이 사상은 코호몰로지 유들을 \(\epsilon_X\)로 당겨서 주어진다. Leray 스펙트럼열(Lemma 0732) \[E_2^{p, q} = H^p_{\tau'}(X, R^q\epsilon_{X, *}\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}_\tau(X, \mathcal{F})\] 과 가정된 소멸을 결합하면 완전열 \[0 \to H^{n + 1}_{\tau'}(X, \epsilon_{X, *}\mathcal{F}) \to H^{n + 1}_\tau(X, \mathcal{F}) \to H^0_{\tau'}(X, R^{n + 1}\epsilon_{X, *}\mathcal{F})\] 을 얻는다. 이는 보조정리를 다시 서술한 것이다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \(f : X \to Y\)가 \(\mathcal{P}\)에 속하고 \(\{X \to Y\}\)가 \(\tau\)-덮개라고 하자. \(\mathcal{F}'\)가 \(\mathcal{A}'_Y\)에 속한다고 하자. \(n \geq 0\)이고 \[\theta \in \text{Equalizer}\left( \xymatrix{ H^{n + 1}_{\tau'}(X, \mathcal{F}') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & H^{n + 1}_{\tau'}(X \times_Y X, \mathcal{F}') } \right)\] 이면, \(\theta\)의 \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y_i \times_Y X, \mathcal{F}')\)로의 제한이 영이 되게 하는 \(\tau'\)-덮개 \(\{Y_i \to Y\}\)가 존재한다.

증명

(0EZ4)에 의해 \(X \times_Y X\)가 존재한다. \(\mathcal{C}/Y\)의 \(Z\)에 대해, \(\mathcal{F}'\)의 \(\mathcal{C}_{\tau'}/Z\)로의 제한을 \(\mathcal{F}'|_Z\)로 쓰자. \(H^{n + 1}_{\tau'}(X, \mathcal{F}') = H^{n + 1}(\mathcal{C}_{\tau'}/X, \mathcal{F}'|_X)\)임을 상기하자. Lemma 03F3을 보라. 보조정리의 주장은 \(\theta\)의 상 \(\overline{\theta} \in H^0(Y, R^{n + 1}f_{\tau', *}\mathcal{F}'|_X)\)가 영이라는 것이다. 다음 데카르트 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X \times_Y X \ar[d]_{\text{pr}_1} \ar[r]_{\text{pr}_2} & X \ar[d]^f \\ X \ar[r]^f & Y }\] 자명한 기저변환(Lemma 0EZ0)에 의해 \[f_{\tau'}^{-1}R^{n + 1}f_{\tau', *}(\mathcal{F}'|_X) = R^{n + 1}\text{pr}_{1, \tau', *}(\mathcal{F}'|_{X \times_Y X})\] 가 성립한다. 만일 \(\text{pr}_1^{-1}\theta = \text{pr}_2^{-1}\theta\)이면, \(f_{\tau'}^{-1}R^{n + 1}f_{\tau', *}(\mathcal{F}'|_X)\)의 단면 \(f_{\tau'}^{-1}\overline{\theta}\)는 영이다. 실제로 \(\text{pr}_1^{-1}\theta\)가 \(H^0(X, R^{n + 1}\text{pr}_{1, \tau', *}(\mathcal{F}'|_{X \times_Y X}))\)의 영원소로 가는 것은 분명하다. (0EZ5)에 의해 \(\mathcal{F}'|_X\)는 \(\mathcal{A}'_X\)에 속한다. 따라서 (0EZ7)에 의해 \(\mathcal{G}' = R^{n + 1}f_{\tau', *}(\mathcal{F}'|_X)\)는 \(\mathcal{A}'_Y\)의 대상이다. 그러므로 (0EZ6)에 의해 \(\mathcal{G}'\)는 \(\tau\)-덮개에 대한 층 조건을 만족한다. \(\{X \to Y\}\)가 \(\tau\)-덮개이므로 제한사상 \(\mathcal{G}'(Y) \to \mathcal{G}'(X)\)는 단사이다. 따라서 \(\overline{\theta}\)는 영이다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \((V_n) \Rightarrow (V_{n + 1})\)이 성립한다.

증명

\(\mathcal{C}\)의 \(X\)와 \(\mathcal{A}_X\)의 \(\mathcal{F}\)를 택하자. 어떤 \(U/X\)에 대해 \(\xi \in H^{n + 1}_\tau(U, \mathcal{F})\)라 하자. \(\xi\)가 \(U\)의 어떤 \(\tau'\)-덮개의 각 원소 위에서 영으로 제한됨을 보여야 한다. Lemma 072W를 보라. 따라서 \(U\)를 \(U\)의 어떤 \(\tau'\)-덮개의 원소들로 바꾸어도 된다.

코호몰로지의 국소성(Lemma 01FW)에 의해 \(\xi\)가 각 \(U_i\) 위에서 영으로 제한되게 하는 \(\tau\)-덮개 \(\{U_i \to U\}\)를 택할 수 있다. (0EZ8)와 같은 \(\{V_j \to V\}\), \(\{f_j : W_j \to V_j\}\), \(\{W_{jk} \to W_j\}\)를 택하자. (0EZ4)에 의해 허용되는 대로 \(U\)를 \(V_j\)로, \(\mathcal{F}\)를 그 \(\mathcal{C}_\tau/V_j\)로의 제한으로 바꾸면 다음 문단의 경우로 귀착된다.

여기서 \(f : X \to Y\)는 \(\mathcal{P}\)의 원소이고 \(\{X \to Y\}\)는 \(\tau\)-덮개이며, \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{A}_Y\)의 대상이고, \(\xi \in H^{n + 1}_\tau(Y, \mathcal{F})\)는 모든 \(i \in I\)에 대해 \(\xi\)가 \(X_i\) 위에서 영으로 제한되게 하는 \(\tau'\)-덮개 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)가 존재하는 유이다. 문제: \(\xi\)가 \(Y\)의 어떤 \(\tau'\)-덮개 위에서 영으로 제한됨을 보이라.

Lemma 0EZC에 의해 상이 \(\xi|_X\)인 유일한 \(\tau'\)-코호몰로지 유 \(\theta \in H^{n + 1}_{\tau'}(X, \epsilon_{X, *}\mathcal{F})\) 가 존재한다. \(\xi|_X\)는 두 사영을 통해 \(X \times_Y X\) 위의 같은 유로 당겨지므로, 유일성에 의해 \(\theta\)에 대해서도 마찬가지이다. Lemma 0EZD에 의해 \(Y\)를 어떤 \(\tau'\)-덮개의 원소들로 바꾼 뒤 \(\theta = 0\)이라 가정해도 된다. 따라서 \(\xi|_X\)가 영이라고 가정해도 된다.

이제 \(f : X \to Y\)가 \(\mathcal{P}\)의 원소이고 \(\{X \to Y\}\)가 \(\tau\)-덮개이며, \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{A}_Y\)의 대상이고, \(\xi \in H^{n + 1}_\tau(Y, \mathcal{F})\) 가 \(H^{n + 1}_\tau(X, \mathcal{F})\)에서 영으로 간다고 하자. 문제: \(\xi\)가 \(Y\)의 어떤 \(\tau'\)-덮개 위에서 영으로 제한됨을 보이라.

가정에 의해 \(\xi\)는 사상 \[\mathcal{F} \longrightarrow Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] 에서 영으로 간다. Lemma 0D6H를 사용하라. 절단의 특수 삼각형(Derived Categories, Remark 08J5)을 사용하는 간단한 논증으로 \(\xi\)가 사상 \[\mathcal{F} \longrightarrow \tau_{\leq n}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] 에서도 영으로 감을 알 수 있다. 이를 다음에서 정의되는 \(\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to K\)와 비교하겠다. \[K = \tau_{\leq n}Rf_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} = \tau_{\leq n}Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F}\] 등식 \(\epsilon_{X, *} f_\tau^{-1} = f_{\tau'}^{-1} \epsilon_{Y, *}\) 은 (0EZ2)의 성질이다. 사상 \[Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F} \longrightarrow Rf_{\tau', *}R\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F} = R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] 을 생각하자. 이는 Lemma 0EZA의 증명에서 사용되었고, 수반에 의해 사상 \[\epsilon_Y^{-1} Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F} \to Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] 을 유도한다. 절단을 취하면 사상 \[\epsilon_Y^{-1}K \longrightarrow \tau_{\leq n}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] 을 얻는다. 이는 Lemma 0EZA에 의해 동형이다. 실제로 Lemma 0EZ9에 의해 \(f_\tau^{-1}\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{A}_X\)에 속하므로 그 보조정리를 적용할 수 있다. 특수 삼각형 \[\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to K \to L \to \epsilon_{Y, *}\mathcal{F}[1]\] 을 택하자. \(\{X \to Y\}\)가 \(\tau\)-덮개이므로 사상 \(\mathcal{F} \to f_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\)는 단사이다. 따라서 \(\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F} = f_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F}\) 도 단사이다. 그러므로 \(L\)은 차수 \(0, \ldots, n\)에서만 영이 아닌 코호몰로지 층을 갖는다. (0EZ5)와 (0EZ7)에 의해 \(f_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{A}'_Y\)에 속하므로 \[H^0(L) = \Coker(\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to f_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F})\] 은 약한 Serre 부분범주 \(\mathcal{A}'_Y\)에 속한다. \(1 \leq i \leq n\)에 대해서도 (0EZ5)와 (0EZ7)에 의해 \(H^i(L) = R^if_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{A}'_Y\)에 속한다. 위 특수 삼각형을 \(\epsilon_Y\)로 당기면 특수 삼각형 \[\mathcal{F} \to \tau_{\leq n}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F} \to \epsilon_Y^{-1}L \to \mathcal{F}[1]\] 을 얻는다. \(\xi\)가 가운데 항에서 영으로 가므로, \(\xi\)는 어떤 원소 \(\xi' \in H^n_\tau(Y, \epsilon_Y^{-1}L)\)의 상이다. Lemma 0EZB에 의해 \[H^n_{\tau'}(Y, L) = H^n_\tau(Y, \epsilon_Y^{-1}L),\] 이다. 따라서 \(\xi'\)를 \(H^n_{\tau'}(Y, L)\)의 원소로 올린 뒤 \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y, \epsilon_{Y, *}\mathcal{F})\)로 가는 경계를 취하면, \(\xi\)가 표준사상 \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y, \epsilon_{Y, *}\mathcal{F}) \to H^{n + 1}_\tau(Y, \mathcal{F})\)의 상에 속함을 알 수 있다. \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y,\epsilon_{Y, *}\mathcal{F})\)에 대한 코호몰로지의 국소성으로 결론을 얻는다. Lemma 01FW를 보라.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \((V_n)\)은 모든 \(n\)에 대해 성립한다. 더욱이 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{C}\)의 \(X\)와 \(K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)에 대해 사상 \(K' \to R\epsilon_{X, *}(\epsilon_X^{-1}K')\)는 동형이다.

2. \(\mathcal{P}\)의 \(f : X \to Y\)와 \(K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)에 대해 \(Rf_{\tau', *}K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/Y)\)이고 \(\epsilon_Y^{-1}(Rf_{\tau', *}K') = Rf_{\tau, *}(\epsilon_X^{-1}K')\).

증명

\((V_0)\)은 빈 조건이므로 성립한다. 따라서 Lemma 0EZE에 의해 \((V_n)\)은 모든 \(n\)에 대해 성립한다.

(1)의 증명. 대상 \(K = \epsilon_X^{-1}K'\)의 코호몰로지 층 \(H^i(K) = \epsilon_X^{-1}H^i(K')\)는 \(\mathcal{A}_X\)에 속한다. 따라서 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = R^p\epsilon_{X, *} H^q(K) \Rightarrow H^{p + q}(R\epsilon_{X, *}K)\] 은 모든 \(n\)에 대한 \((V_n)\)에 의해 퇴화하고 \[H^n(R\epsilon_{X, *}K) = \epsilon_{X, *}H^n(K) = \epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}H^i(K') = H^i(K').\] 를 얻는다. 여기서도 \(H^i(K')\)가 \(\mathcal{A}'_X\)에 속한다는 사실을 사용했다. 따라서 표준사상 \(K' \to R\epsilon_{X, *}(\epsilon_X^{-1}K')\)는 동형이다.

(2)의 증명. 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = R^pf_{\tau', *}H^q(K') \Rightarrow R^{p + q}f_{\tau', *}K'\] 과, (0EZ7)에 의해 \(R^pf_{\tau', *}H^q(K')\)가 \(\mathcal{A}'_Y\)에 속한다는 사실, \(\mathcal{A}'_Y\)가 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/Y)\)의 약한 Serre 부분범주라는 사실, 그리고 Homology, Lemma 012W를 사용하면 \(Rf_{\tau', *}K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\). 증명을 끝내려면 기저변환 사상 \[\epsilon_Y^{-1}(Rf_{\tau', *}K') \longrightarrow Rf_{\tau, *}(\epsilon_X^{-1}K')\] 이 동형임을 보여야 한다. 위 스펙트럼열을 스펙트럼열 \[E_2^{p, q} = R^pf_{\tau, *}H^q(\epsilon_X^{-1}K') \Rightarrow R^{p + q}f_{\tau, *}\epsilon_X^{-1}K'\] 과 비교하면, \(K'\)가 \(\mathcal{A}'_X\)에 속하는 영이 아닌 코호몰로지 층 \(\mathcal{F}'\) 하나만 갖는 경우로 귀착된다. 세부사항은 생략한다. 그러면 Lemma 0EZA에 의해 \(\epsilon_Y^{-1}R^if_{\tau', *}\mathcal{F}' = R^if_{\tau, *}\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\)가 모든 \(i\)에 대해 성립하며 증명이 끝난다.

보조정리

Situation 0EZ3에서, 임의의 \(\mathcal{C}\)의 \(X\)에 대해 범주 \(\mathcal{A}_X \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\) 는 약한 Serre 부분범주이고, 함자 \[R\epsilon_{X, *} : D^+_{\mathcal{A}_X}(\mathcal{C}_\tau/X) \longrightarrow D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\] 는 \(\epsilon_X^{-1}\)을 준역으로 갖는 동치이다.

증명

\(\mathcal{A}_X\)에 대해 Homology, Lemma 0754에 나열된 조건들을 확인해야 한다. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 \(\mathcal{A}_X\)의 사상이면 \(\epsilon_{X, *}\varphi : \epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{X, *}\mathcal{G}\)는 \(\mathcal{A}'_X\)의 사상이다. 따라서 \(\Ker(\epsilon_{X, *}\varphi)\)와 \(\Coker(\epsilon_{X, *}\varphi)\)는 \(\mathcal{A}'_X\)의 대상이다. 실제로 이는 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)의 약한 Serre 부분범주이다. \(\epsilon_X^{-1}\)을 적용하면 완전열 \[0 \to \epsilon_X^{-1}\Ker(\epsilon_{X, *}\varphi) \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \epsilon_X^{-1}\Coker(\epsilon_{X, *}\varphi) \to 0\] 을 얻고 \(\Ker(\varphi)\)와 \(\Coker(\varphi)\)가 \(\mathcal{A}_X\)에 속함을 알 수 있다. 마지막으로 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 이 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\)의 짧은 완전열이고 \(\mathcal{F}_1\)과 \(\mathcal{F}_3\)가 \(\mathcal{A}_X\)에 속한다고 하자. \(\epsilon_{X, *}\)를 적용하면 완전열 \[0 \to \epsilon_{X, *}\mathcal{F}_1 \to \epsilon_{X, *}\mathcal{F}_2 \to \epsilon_{X, *}\mathcal{F}_3 \to R^1\epsilon_{X, *}\mathcal{F}_1 = 0\] 을 얻으며, 마지막 소멸은 Lemma 0EZF에서 따른다. 그 범주는 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)의 약한 Serre 부분범주이므로 \(\epsilon_{X, *}\mathcal{F}_2\)는 \(\mathcal{A}'_X\)에 속한다. \(\epsilon_X\)로 당기면 \(\mathcal{F}_2\)가 \(\mathcal{A}_X\)에 속한다는 결론을 얻는다.

따라서 \(\mathcal{A}_X\)는 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\)의 약한 Serre 부분범주이고, 범주 \(D^+_{\mathcal{A}_X}(\mathcal{C}_\tau/X)\)를 생각할 수 있다. \(\epsilon_X^{-1} : \mathcal{A}'_X \to \mathcal{A}_X\)가 동치이고 \(\mathcal{F}' \to R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\) 가 \(\mathcal{A}'_X\)의 \(\mathcal{F}'\)에 대해 동형임에 유의하자. 실제로 Lemma 0EZF에 의해 모든 \(n\)에 대해 \((V_n)\)이 성립한다. 따라서 Lemma 0D7U로 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 0EZ3에서 \(X\)가 \(\mathcal{C}\)에 속한다고 하자.

1. \(\mathcal{A}'_X\)의 \(\mathcal{F}'\)에 대해 \(H^n_{\tau'}(X, \mathcal{F}') = H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}\mathcal{F}')\),

2. \(K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\)에 대해 \(H^n_{\tau'}(X, K') = H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}K')\).

증명

이는 Lemma 0EZF에서 Remark 08J6에 의해 따른다.

Hausdorff이고 국소 준콤팩트인 공간 위의 코호몰로지

문헌에서 흔히 “국소 콤팩트”라고 하는 대신 “Hausdorff이고 국소 준콤팩트”라고 말하는 관례를 계속 사용한다. 대상이 Hausdorff이고 국소 준콤팩트인 위상공간이며 사상이 연속사상인 범주를 \(\textit{LC}\)로 쓰자.

보조정리

범주 \(\textit{LC}\)는 올곱과 끝대상을 가지므로 임의의 유한 극한을 갖는다. \(\textit{LC}\)의 사상 \(X \to Z\)와 \(Y \to Z\)가 주어지고 \(X\)와 \(Y\)가 준콤팩트이면 \(X \times_Z Y\)도 준콤팩트이다.

증명

끝대상은 한원소 공간이다. \(\textit{LC}\)의 사상 \(X \to Z\)와 \(Y \to Z\)가 주어지면 올곱 \(X \times_Z Y\)는 \(X \times Y\)의 부분공간이다. Topology, Section 08ZD에 의해 \(X \times Y\)가 Hausdorff이므로 \(X \times_Z Y\)도 Hausdorff이다.

\(X\)와 \(Y\)가 준콤팩트이면 Topology, Theorem 08ZU에 의해 \(X \times Y\)는 준콤팩트이다. \(X \times_Z Y\)는 \(X \times Y\)의 닫힌 부분집합이므로(Topology, Lemma 08ZH), Topology, Lemma 005C에 의해 \(X \times_Z Y\)는 준콤팩트이다.

마지막으로 일반적인 경우로 돌아가자. \(x \in X\)와 \(y \in Y\)에 대해 준콤팩트 근방 \(x \in E \subset X\)와 \(y \in F \subset Y\)를 택하면, 위 결과에 의해 \(E \times_Z F\)는 \((x, y)\)의 준콤팩트 근방이다. 따라서 Topology, Lemma 08ZR에 의해 \(X \times_Z Y\)는 \(\textit{LC}\)의 대상이다.

\(\textit{LC}\)에는 보통 위상보다 더 강한 위상을 줄 수 있다.

정의

\(\{f_i : X_i \to X\}\)를 범주 \(\textit{LC}\)에서 목표가 고정된 사상들의 족이라 하자. 모든 \(x \in X\)에 대해 \(i_1, \ldots, i_n \in I\) 및 준콤팩트 부분집합 \(E_j \subset X_{i_j}\)가 존재하여 \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\)가 \(x\)의 근방이 되면, 이 족을 qc 덮개⁶라 한다.

\(\textit{LC}\)의 대상의 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)는 \(X\)가 국소 준콤팩트이므로 qc 덮개 \(\{U_i \to X\}\)를 준다. 필수적인 보조정리부터 시작한다.

보조정리

\(X\)를 Hausdorff이고 국소 준콤팩트인 공간, 즉 \(\textit{LC}\)의 대상이라 하자.

1. \(X' \to X\)가 \(\textit{LC}\)에서 동형이면 \(\{X' \to X\}\)는 qc 덮개이다.

2. \(\{f_i : X_i \to X\}_{i\in I}\)가 qc 덮개이고 각 \(i\)에 대해 \(\{g_{ij} : X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\)가 qc 덮개이면 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\)도 qc 덮개이다.

3. \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\)가 qc 덮개이고 \(X' \to X\)가 \(\textit{LC}\)의 사상이면 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\)도 qc 덮개이다.

증명

열린 덮개가 qc 덮개라는 위의 언급으로 부분 (1)이 성립한다.

(2)의 증명. \(x \in X\)라 하자. \(\bigcup f_{i_a}(E_a)\)가 \(x\)의 근방이 되게 하는 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 준콤팩트 부분집합 \(E_a \subset X_{i_a}\)를 택하자. 각 \(e \in E_a\)에 대해 유한 부분집합 \(J_e \subset J_{i_a}\)와 준콤팩트 부분집합 \(F_{e, j} \subset X_{ij}\), \(j \in J_e\)를 택하여 \(\bigcup g_{ij}(F_{e, j})\)가 \(e\)의 근방이 되게 할 수 있다. \(E_a\)가 준콤팩트이므로 다음을 만족하는 유한한 원소들 \(e_1, \ldots, e_{m_a}\)를 택할 수 있다. \[E_a \subset \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_a} \bigcup\nolimits_{j \in J_{e_k}} g_{ij}(F_{e_k, j})\] 그러면 \[\bigcup\nolimits_{a = 1, \ldots, n} \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_a} \bigcup\nolimits_{j \in J_{e_k}} f_i(g_{ij}(F_{e_k, j}))\] 는 \(x\)의 근방이다.

(3)의 증명. \(x' \in X'\)를 점이라 하고 그 상을 \(x \in X\)라 하자. \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\)가 \(x\)의 근방이 되게 하는 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 준콤팩트 부분집합 \(E_j \subset X_{i_j}\)를 택하자. \(x'\)의 준콤팩트 근방 \(F \subset X'\)를 택하여 \(x\)의 준콤팩트 근방 \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\) 안으로 가게 하자. 그러면 \(F \times_X E_j \subset X' \times_X X_{i_j}\)는 준콤팩트 부분집합이고, \(F\)는 사상 \(\coprod F \times_X E_j \to F\)의 상이다. 따라서 기저변환은 qc 덮개이고 증명이 끝난다.

\(\textit{LC}\)의 모든 대상이 Hausdorff이므로 \(\textit{LC}\)의 임의의 사상 \(f : X \to Y\)는 위상공간의 분리 연속사상이다. 따라서 \(f\)가 위상공간의 고유사상일 필요충분조건은 \(f\)가 보편적으로 닫힌 것이다. Topology, Section 005M의 논의를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 \(\textit{LC}\)의 사상이라 하자. \(f\)가 고유이고 전사이면 \(\{f : X \to Y\}\)는 qc 덮개이다.

증명

\(y \in Y\)를 점이라 하자. 각 \(x \in X_y\)에 대해 준콤팩트 근방 \(E_x \subset X\)를 택하고 열린집합 \(x \in U_x \subset E_x\)를 택하자. \(f\)가 고유이므로 올 \(X_y\)는 준콤팩트이고, 다음을 만족하는 \(x_1, \ldots, x_n \in X_y\)를 택할 수 있다. \(X_y \subset U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_n}\). \(f(E_{x_1}) \cup \ldots \cup f(E_{x_n})\)가 \(y\)의 근방임을 주장한다. 실제로 \(f\)가 닫힌 사상이므로(Topology, Theorem 005R), \(Z = f(X \setminus U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_n})\)는 \(y\)를 포함하지 않는 \(Y\)의 닫힌 부분집합이다. \(f\)가 전사이므로 원하는 대로 \(Y \setminus Z\)는 \(f(E_{x_1}) \cup \ldots \cup f(E_{x_n})\)에 포함된다.

몇 가지 집합론적 문제를 제외하면 Lemma 09X1는 \(\textit{LC}\)가 qc 덮개들의 모음과 함께 사이트를 이룸을 보여준다. 집합론적 문제를 피하도록 적절히 수정한 이 사이트를 \(\textit{LC}_{qc}\)로 쓰겠다.

주

\(\textit{LC}\)의 대상들은 진정한 모임을 이루므로 이 범주는 “큰” 범주이다. 마찬가지로 덮개들도 진정한 모임을 이룬다. 위상공간 \(X\)의 크기를 \(X\)의 점들의 집합의 기수로 정의하자. 기수들 위의 함수 \(Bound\)를, 예를 들어 Sets, Equation (046U)에서처럼 택하자. 마지막으로 \(S_0\)를 \(\textit{LC}\)의 대상들의 초기 집합이라 하자. 예를 들면 \(S_0 = \{(\mathbf{R}, \text{euclidean topology})\}\)로 둘 수 있다. Sets, Lemma 000J에서와 꼭 마찬가지로 다음을 만족하는 극한 순서수 \(\alpha\)를 택할 수 있다. \(\textit{LC}_\alpha = \textit{LC} \cap V_\alpha\) 는 \(S_0\)를 포함하고, \(\textit{LC}\)에 존재하는 모든 가산 극한과 쌍대극한 아래 보존된다. 더욱이 \(X \in \textit{LC}_\alpha\)이고 \(Y \in \textit{LC}\)이며 \(\text{size}(Y) \leq Bound(\text{size}(X))\)이면, \(Y\)는 \(\textit{LC}_\alpha\)의 어떤 대상과 동형이다. 다음으로 Sets, Lemma 000X를 적용하여 \(\textit{LC}_\alpha\) 위의 qc 덮개들의 집합 \(\text{Cov}\)를 택하되, \(\textit{LC}_\alpha\)의 모든 qc 덮개가 이 집합의 어떤 덮개와 조합적으로 동치가 되게 한다. 이렇게 사이트 \((\textit{LC}_\alpha, \text{Cov})\)를 얻고 이를 \(\textit{LC}_{qc}\)로 쓰겠다.

Remark 09X2의 사이트 \(\textit{LC}_{qc}\)에는 둘째 위상이 있다. 즉, 대상 \(X\)가 주어지면 \(X_i \to X\)가 열린 몰입인 \(\textit{LC}_{qc}\)의 모든 덮개 \(\{X_i \to X\}\)를 생각할 수 있다. 이 사이트를 \(\textit{LC}_{Zar}\)로 쓰자. 항등함자 \(\textit{LC}_{Zar} \to \textit{LC}_{qc}\)는 연속이고 사이트의 사상 \[\epsilon : \textit{LC}_{qc} \longrightarrow \textit{LC}_{Zar}\] 을 정의한다. Section 0EWK을 보라. Hausdorff이고 국소 준콤팩트인 위상공간 \(X\), 더 정확히는 \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\)에 대해 유도된 사상을 \[\epsilon_X : \textit{LC}_{qc}/X \longrightarrow \textit{LC}_{Zar}/X\] 로 쓰겠다(Sites, Lemma 03CF를 보라). \(X_{Zar}\)를 그 대상들이 \(X\)의 열린집합인 사이트라 하자. Sites, Example 00VJ을 보라. 다음 사이트의 사상이 있다. \[\pi_X : \textit{LC}_{Zar}/X \longrightarrow X_{Zar}\] 이는 연속함자 \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{Zar}/X\), \(U \mapsto U\). 로 주어진다. 실제로 \(X_{Zar}\)는 올곱과 끝대상을 가지고 위 함자는 이들과 가환하므로 Sites, Proposition 00X6을 적용할 수 있다. 흔히 \(\pi\)를 토포스의 사상 \[\pi_X : \Sh(\textit{LC}_{Zar}/X) \longrightarrow \Sh(X)\] 으로 생각하며, 이때 등식 \(\Sh(X_{Zar}) = \Sh(X)\)를 사용한다.

보조정리

\(X\)를 \(\textit{LC}_{qc}\)의 대상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 층이라 하자. 규칙 \[\textit{LC}_{qc}/X \longrightarrow \textit{Sets},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y, f^{-1}\mathcal{F})\] 은 층이고, 따라서 더욱이 \(\textit{LC}_{Zar}/X\) 위의 층이기도 하다. 이 층은 \(\textit{LC}_{Zar}/X\) 위에서는 \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\)와 같고, \(\textit{LC}_{qc}/X\) 위에서는 \(\epsilon_X^{-1}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\)와 같다.

증명

보조정리의 공식으로 주어지는 준층을 \(\mathcal{G}\)로 쓰자. 물론 공식의 당김 \(f^{-1}\)은 위상공간 위 층들의 보통 당김을 뜻한다. 정의에서 곧바로 \(\mathcal{G}\)가 Zar 위상에 대한 층임을 알 수 있다.

\(Y \to X\)를 \(\textit{LC}_{qc}\)의 사상이라 하고, \(\mathcal{V} = \{g_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\)를 qc 덮개라 하자. \(\mathcal{G}\)가 qc 위상에 대한 층임을 보이려면 사상 \(\mathcal{G}(Y) \to H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G})\) 이 동형임을 보이면 충분하다. Sites, Section 00W1을 보라. qc 덮개는 전사이고 줄기에서 단면들의 같음을 판별할 수 있으므로 이 사상은 단사이다(Sheaves, Lemmas 0079와 008G를 사용하라). 따라서 \(\mathcal{G}\)는 \(\textit{LC}_{qc}\) 위의 분리 준층이다. 그러므로 임의의 원소 \((s_i) \in H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G})\) 가 \(\mathcal{V}\)를 어떤 세분으로 바꾼 뒤 \(\mathcal{G}(Y)\)의 상에 속하는 원소로 감을 보이면 충분하다(Sites, Theorem 00WB).

\(Y_{i, Zar}\) 위의 층과 \(Y_i\) 위의 층을 동일시하면, \(\mathcal{G}|_{Y_{i, Zar}}\)는 연속사상 \(g_i : Y_i \to Y\)에 의한 \(f^{-1}\mathcal{F}\)의 당김이다. 따라서 각 \(j\)에 대해 열린집합 \(W_{ij} \subset Y\)와 단면 \(t_{ij} \in \mathcal{G}(W_{ij})\)가 존재하고, \(V_{ij}\)가 \(W_{ij}\) 안으로 가며 \(s|_{V_{ij}}\)가 \(t_{ij}\)의 당김이 되도록 열린 덮개 \(Y_i = \bigcup V_{ij}\)를 택할 수 있다. 달리 말해 덮개 \(\{Y_i \to Y\}\)를 세분한 뒤, 열린집합 \(W_i \subset Y\)가 존재하여 \(Y_i \to Y\)가 \(W_i\)를 통해 분해되고 \(W_i\) 위의 \(\mathcal{G}\)의 단면 \(t_i\)가 주어진 단면 \(s_i\)로 제한된다고 가정해도 된다. 더욱이 \(y \in Y\)가 \(Y_i \to Y\)와 \(Y_j \to Y\)의 상에 모두 속하면, 줄기 \(f^{-1}\mathcal{F}_y\) 안의 상 \(t_{i, y}\)와 \(t_{j, y}\)는 같다. 실제로 \(s_i\)와 \(s_j\)는 \(Y_i \times_Y Y_j\) 위에서 일치한다. 따라서 각 \(y \in Y\)에 대해 잘 정의된 원소 \(t_y\)가 \(f^{-1}\mathcal{F}_y\)에 있으며, \(y\)가 \(Y_i \to Y\)의 상에 속할 때 이는 \(t_{i, y}\)와 일치한다. 원소 \((t_y)\)가 \(Y\) 위의 \(f^{-1}\mathcal{F}\)의 대역단면에서 옴을 보이겠다. 그러면 보조정리의 증명이 끝난다.

이를 \(Y\) 위에서 국소적으로 보이면 충분하다. Sheaves, Section 007X을 보라. \(y_0 \in Y\)라 하자. \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 준콤팩트 부분집합 \(E_j \subset Y_{i_j}\)를 택하여 \(\bigcup g_{i_j}(E_j)\)가 \(y_0\)의 근방이 되게 하자. \(V \subset Y\)를 \(y_0\)의 열린 근방으로 택하되, \(\bigcup g_{i_j}(E_j)\)에 포함되고 \(W_{i_1} \cap \ldots \cap W_{i_n}\)에도 포함되게 하자. \(t_{i_1, y_0} = \ldots = t_{i_n, y_0}\)이므로 \(V\)를 줄인 뒤에는 \(f^{-1}\mathcal{F}\)의 단면 \(t_{i_j}|_V\), \(j = 1, \ldots, n\)이 서로 일치한다고 가정할 수 있다. \(V \subset \bigcup g_{i_j}(E_j)\)이므로 \((t_y)_{y \in V}\)가 이 단면에서 옴을 알 수 있다.

이제 \(\mathcal{G}\)가 \(\textit{LC}_{qc}\) 위에서는 \(\epsilon_X^{-1}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\)와 같고, 각각 \(\textit{LC}_{Zar}\) 위에서는 \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\)와 같음을 보여야 한다. 두 경우 모두 먼저 준층 \[(f : Y \to X) \longmapsto \colim_{f(Y) \subset U \subset X} \mathcal{F}(U)\] 을 취한 뒤 층화함으로써 당김을 정의한다. Zar 위상에서 층화하면 바로 우리의 층 \(\mathcal{G}\)가 나오며, \(\mathcal{G}\)가 qc 층이라는 사실은 같은 구성이 qc 위상에서도 성립함을 보여준다.

\(X \in \Ob(\textit{LC}_{Zar})\)라 하고 \(\mathcal{H}\)를 \(\textit{LC}_{Zar}/X\) 위의 아벨 층이라 하자. 이제 \(\textit{LC}_{Zar}/X\)의 대상 \(U\) 위에서 \(\mathcal{H}\)의 코호몰로지를 \(H^n_{Zar}(U, \mathcal{H})\)로 쓰겠다.

보조정리

\(X\)를 \(\textit{LC}_{Zar}\)의 대상이라 하자. 그러면

1. \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X)\)에 대해 \(H^n_{Zar}(X, \pi_X^{-1}\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\),

2. \(\pi_{X, *} : \textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X) \to \textit{Ab}(X)\) 는 완전함자이다.

3. 수반의 단위원 \(\text{id} \to \pi_{X, *} \circ \pi_X^{-1}\)은 동형이다.

4. \(K \in D(X)\)에 대해 표준사상 \(K \to R\pi_{X, *} \pi_X^{-1}K\)는 동형이다.

\(f : X \to Y\)를 \(\textit{LC}_{Zar}\)의 사상이라 하자. 그러면

1. 토포스들의 가환도식 \[\xymatrix{ \Sh(\textit{LC}_{Zar}/X) \ar[r]_{f_{Zar}} \ar[d]_{\pi_X} & \Sh(\textit{LC}_{Zar}/Y) \ar[d]^{\pi_Y} \\ \Sh(X_{Zar}) \ar[r]^f & \Sh(Y_{Zar}) }\] 이 있다.

2. \(L \in D^+(Y)\)에 대해 \(H^n_{Zar}(X, \pi_Y^{-1}L) = H^n(X, f^{-1}L)\),

3. \(f\)가 고유이면 다음이 성립한다.

   1. \(\pi_Y^{-1} \circ f_* = f_{Zar, *} \circ \pi_X^{-1}\)는 \(\Sh(X) \to \Sh(\textit{LC}_{Zar}/Y)\)인 함자들의 등식이다.

   2. \(\pi_Y^{-1} \circ Rf_* = Rf_{Zar, *} \circ \pi_X^{-1}\)는 \(D^+(X) \to D^+(\textit{LC}_{Zar}/Y)\)인 함자들의 등식이다.

증명

(1)의 증명. 등식 \(H^n_{Zar}(X, \pi_X^{-1}\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\) 은 \(\textit{LC}_{Zar}\)에서 \(X\)의 덮개가 \(X\)의 열린 덮개와 같다는 자명한 관찰에서 나오는 일반적인 사실이다. 자세한 증명을 보고 싶은 독자는 함자 \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{Zar}\)에 Lemma 03YU를 적용하면 된다.

(2)의 증명. \(\pi_X\)를 정의할 때 사용한 함자 \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{Zar}/X\)에 Sites, Lemma 00XU를 적용하면 어떤 토포스의 사상 \(\tau_X : \Sh(X_{Zar}) \to \Sh(\textit{LC}_{Zar})\)에 대해 \(\pi_{X, *} = \tau_X^{-1}\)임을 알 수 있으므로 성립한다.

(3)의 증명. Sites, Lemma 00XU에 의해 \(\tau_X^{-1} \circ \pi_X^{-1}\)이 항등함자이므로 성립한다. 또는 Lemma 09X3의 \(\pi_X^{-1}\)에 대한 구체적인 기술로부터 이를 이끌어낼 수도 있다.

(4)의 증명. \(K\)를 나타내는 아벨 층들의 복합체에 (3)을 적용하라.

(5)의 증명. 토포스의 사상 \(f_{Zar}\)는 Sites, Lemma 03EH를 적용하여 얻는다. 우리의 경우에는 Sites, Lemma 09W9에 의해 연속함자 \(Z/Y \mapsto Z \times_Y X/X\)에서 얻는다. 대응하는 연속함자들이 올바르게 합성되므로 도식은 가환한다(Sites, Lemma 03CB를 보라).

(6)의 증명. \(\mathcal{G}\)가 \(\textit{Ab}(Y)\)에 속할 때 \(H^n_{Zar}(X, \pi_Y^{-1}\mathcal{G}) = H^n_{Zar}(X, f_{Zar}^{-1}\pi_Y^{-1}\mathcal{G})\) 이다. Lemma 03F3을 보라. (5)의 도식이 가환하므로 이는 \(H^n_{Zar}(X, \pi_X^{-1}f^{-1}\mathcal{G})\)와 같다. 따라서 \(L\)이 차수 \(0\)의 층 하나로 이루어진 경우에는 (1)에서 결론이 나온다. 일반적인 경우에는 \(L\)을 아래로 유계인 아벨 층들의 복합체로 나타내면 된다.

(7a)의 증명. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 층이라 하자. \(g : Z \to Y\)를 \(\textit{LC}_{Zar}/Y\)의 대상이라 하자. 올곱 \[\xymatrix{ Z' \ar[r]_{f'} \ar[d]_{g'} & Z \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. 그러면 \[(f_{Zar, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F})(Z/Y) = (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(Z'/X) = \Gamma(Z', (g')^{-1}\mathcal{F}) = \Gamma(Z, f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})\] 이며, 둘째 등식에는 Lemma 09X3를 사용했다. 한편 \[(\pi_Y^{-1}f_*\mathcal{F})(Z/Y) = \Gamma(Z, g^{-1}f_*\mathcal{F})\] 도 Lemma 09X3에 의해 성립한다. 따라서 집합의 층에 대한 고유 기저변환(Cohomology, Lemma 0D90)에 의해 두 집합은 표준적으로 동형이다. 이 동형은 제한사상과 양립하고 동형 \(\pi_Y^{-1}f_*\mathcal{F} = f_{Zar, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\). 를 정의한다. 따라서 함자들의 동형 \(\pi_Y^{-1} \circ f_* = f_{Zar, *} \circ \pi_X^{-1}\). 을 얻는다.

(7b)의 증명. \(K \in D^+(X)\)라 하자. Lemma 0D6I에 의해 \(Rf_{Zar, *}\pi_X^{-1}K\)의 \(n\)차 코호몰로지 층은 준층 \[(g : Z \to Y) \longmapsto H^n_{Zar}(Z', \pi_X^{-1}K)\] 에 결합된 층이다. 표기는 위와 같다. 다음을 관찰하자. \[\begin{align*} H^n_{Zar}(Z', \pi_X^{-1}K) & = H^n(Z', (g')^{-1}K) \\ & = H^n(Z, Rf'_*(g')^{-1}K) \\ & = H^n(Z, g^{-1}Rf_*K) \\ & = H^n_{Zar}(Z, \pi_Y^{-1}Rf_*K) \end{align*}\] 첫째 등식은 \(K\)와 \(g' : Z' \to X\)에 (6)을 적용한 것이다. 둘째 등식은 \(f' : Z' \to Z\)에 대한 Leray이다(Cohomology, Lemma 01EZ). 셋째 등식은 고유 기저변환 정리 (Cohomology, Theorem 09V6)이다. 넷째 등식은 \(g : Z \to Y\)와 \(Rf_*K\)에 (6)을 적용한 것이다. 따라서 \(Rf_{Zar, *}\pi_X^{-1}K\)와 \(\pi_Y^{-1}Rf_*K\)는 같은 코호몰로지 층들을 갖는다. 표준 기저변환 사상 \(\pi_Y^{-1}Rf_*K \to Rf_{Zar, *}\pi_X^{-1}K\)가 이 동형을 유도함을 확인하는 일은 생략한다.

Lemma 09X3의 상황에서 \(\epsilon\)과 \(\pi\)의 합성 및 등식 \(\Sh(X) = \Sh(X_{Zar})\)는 토포스의 사상 \[a_X : \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \longrightarrow \Sh(X)\] 을 결정한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 \(\textit{LC}_{qc}\)의 사상이라 하자. 그러면 토포스들의 가환도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \ar[r]_{f_{qc}} \ar[d]_{\epsilon_X} & \Sh(\textit{LC}_{qc}/Y) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh(\textit{LC}_{Zar}/X) \ar[r]^{f_{Zar}} & \Sh(\textit{LC}_{Zar}/Y) } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \ar[r]_{f_{qc}} \ar[d]_{a_X} & \Sh(\textit{LC}_{qc}/Y) \ar[d]^{a_Y} \\ \Sh(X) \ar[r]^f & \Sh(Y) } }\] 이 있고 \(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\), \(a_Y = \pi_X \circ \epsilon_X\)이다. \(f\)가 고유이면 \(a_Y^{-1} \circ f_* = f_{qc, *} \circ a_X^{-1}\)이다.

증명

토포스의 사상 \(f_{qc}\)는 Sites, Lemma 03EH에서 얻는 사상이다. 우리의 경우에는 Sites, Lemma 09W9에 의해 연속함자 \(Z/Y \mapsto Z \times_Y X/X\)에서 얻는다. 대응하는 연속함자들이 올바르게 합성되므로 왼쪽 도식은 가환한다(Sites, Lemma 03CB를 보라). 왼쪽 도식이 가환하고 Lemma 0DCU의 부분 (5)가 성립하므로 오른쪽 도식도 가환한다.

마지막 주장의 증명. Lemma 0DCU의 부분 (7a)의 증명을 되풀이할 수도 있지만, 여기서는 그 결과로부터 이끌어내겠다. \(\epsilon_{Y, *}\)는 바탕 준층들 위에서 항등함자이므로 동형을 반영한다. Lemma 09X3의 기술은 \(\epsilon_{Y, *} \circ a_Y^{-1} = \pi_Y^{-1}\)임을 보여주며, \(X\)에 대해서도 마찬가지이다. 표준사상 \(a_Y^{-1}f_*\mathcal{F} \to f_{qc, *}a_X^{-1}\mathcal{F}\) 이 동형임을 보이려면 \[\pi_Y^{-1}f_*\mathcal{F} = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}f_*\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}f_{qc, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = f_{Zar, *}\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = f_{Zar, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\] 가 동형임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0DCU의 부분 (7a)이다.

보조정리

비교사상 \(\epsilon : \textit{LC}_{qc} \to \textit{LC}_{Zar}\)를 생각하자. 위상공간의 고유사상들의 모임을 \(\mathcal{P}\)로 쓰자. \(\textit{LC}_{Zar}\)의 \(X\)에 대해 \(\mathcal{A}'_X \subset \textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X)\)를, \(\textit{Ab}(X)\)의 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) 꼴인 층들로 이루어진 충만한 부분범주라 하자. 그러면 (0EZ4), (0EZ5), (0EZ6), (0EZ7) 및 (0EZ8) 는 Situation 0EZ3에서 성립한다.

증명

먼저 Homology, Lemma 0754의 조건 (1), (2), (3), (4)를 확인하여 \(\mathcal{A}'_X \subset \textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X)\)가 약한 Serre 부분범주임을 보이자. Lemma 0DCU의 부분 (3)에 의해 \(\pi_X^{-1}\)은 완전하고 충실충만하므로 부분 (1), (2), (3)은 곧바로 성립한다. \(0 \to \pi_X^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \pi_X^{-1}\mathcal{F}' \to 0\) 가 \(\textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X)\)의 짧은 완전열이면, Lemma 0DCU의 부분 (2)에 의해 \(0 \to \mathcal{F} \to \pi_{X, *}\mathcal{G} \to \mathcal{F}' \to 0\) 는 완전하다. 따라서 \(\mathcal{G} = \pi_X^{-1}\pi_{X, *}\mathcal{G}\)는 \(\mathcal{A}'_X\)에 속하며, 이로써 마지막 조건도 확인된다.

성질 (0EZ4)는 Lemma 09WZ 및 고유사상의 기저변환이 고유사상이라는 사실에 의해 성립한다 (Topology, Theorem 005R과 Lemma 0CY4를 보라).

성질 (0EZ5)는 Lemma 0DCU의 가환도식 (5)에서 나온다.

성질 (0EZ6)는 Lemma 09X3이다.

성질 (0EZ7)는 Lemma 0DCU의 부분 (7)(b)이다.

(0EZ8)의 증명. qc 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 주어졌다고 하자. \(u \in U\)에 대해 \(i_1, \ldots, i_m \in I\)와 준콤팩트 부분집합 \(E_j \subset U_{i_j}\)를 택하여 \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\)가 \(u\)의 근방이 되게 하자. Hausdorff 준콤팩트 공간들 사이의 연속사상 \(Y = \coprod_{j = 1, \ldots, m} E_j \to U\)는 고유임을 관찰하라(Topology, Lemma 08YD). \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\)에 포함되는 열린 근방 \(u \in V\)를 택하자. 그러면 \(Y \times_U V \to V\)는 전사인 고유사상이므로 Lemma 09X5에 의해 \(qc\) 덮개이다. 모든 \(u \in U\)에 대해 이렇게 할 수 있으므로 (0EZ8)가 성립한다.

보조정리

위와 같은 표기를 사용하자.

1. \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\)이고 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 아벨 층이면 \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) 이고, \(i > 0\)에 대해 \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\)이다.

2. \(f : X \to Y\)가 \(\textit{LC}_{qc}\)의 고유사상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 아벨 층이면 모든 \(i\)에 대해 \(a_Y^{-1}(R^if_*\mathcal{F}) = R^if_{qc, *}(a_X^{-1}\mathcal{F})\) 이다.

3. \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\)이고 \(K\)가 \(D^+(X)\)에 속하면 사상 \(\pi_X^{-1}K \to R\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}K)\)는 동형이다.

4. \(f : X \to Y\)가 \(\textit{LC}_{qc}\)의 고유사상이고 \(K\)가 \(D^+(X)\)에 속하면 \(a_Y^{-1}(Rf_*K) = Rf_{qc, *}(a_X^{-1}K)\)이다.

증명

Lemma 0EZI에 의해 Section 0EZ1의 모든 보조정리를 현재 상황에 적용할 수 있다. 그 결과들을 옮겨 쓰기 위해, Lemma 0EZ9의 범주 \(\mathcal{A}_X\)가 \(a_X^{-1} : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(\textit{LC}_{qc}/X)\)의 본질적 상임을 관찰하자.

부분 (1)은 모든 \(n\)에 대한 \((V_n)\)과 동치이며, 이는 Lemma 0EZF에 의해 성립한다.

부분 (2)는 Lemma 0EZA의 결론에 \(\epsilon_Y^{-1}\)을 적용하면 나온다.

부분 (3)은 Lemma 0EZF의 부분 (1)에서 나온다. 실제로 \(\pi_X^{-1}K\)는 \(D^+_{\mathcal{A}'_X}(\textit{LC}_{Zar}/X)\)에 속하고 \(a_X^{-1} = \epsilon_X^{-1} \circ a_X^{-1}\)이다.

같은 이유로 부분 (4)는 Lemma 0EZF의 부분 (2)에서 나온다.

보조정리

\(X\)를 \(\textit{LC}_{qc}\)의 대상이라 하자. \(K \in D^+(X)\)에 대해 사상 \[K \longrightarrow Ra_{X, *}a_X^{-1}K\] 은 동형이다. 여기서 \(a_X : \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \to \Sh(X)\)는 위에서 정의한 사상이다.

증명

먼저 명제를 \(K\)가 아벨 층 하나로 주어지는 경우로 환원하자. 즉, \(K\)를 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{F}^\bullet\)로 나타내자. 층의 경우에 의해 \(\mathcal{F}^n = a_{X, *} a_X^{-1} \mathcal{F}^n\) 이고 \(q > 0\)에 대해 층 \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F}^n\)이 영임을 안다. \(a_X^{-1}\mathcal{F}^\bullet\)와 함자 \(a_{X, *}\)에 Leray의 비순환성 보조정리(Derived Categories, Lemma 015E)를 적용하면 결론이 나온다. 이제부터 \(K = \mathcal{F}\)라 가정하자.

Lemma 09X3에 의해 \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\)이다. 따라서 \(q > 0\)에 대해 \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = 0\)임을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\)와 Leray 스펙트럼열 Lemma 0734를 사용할 수 있다. Lemma 0DCY에 의해 \(i > 0\)에 대해 \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\)이고 \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\)이다. Lemma 0DCU에 의해 \(j > 0\)에 대해 \(R^j\pi_{X, *}(\pi_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\)이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\)와 위에서 정의한 \(a_X : \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \to \Sh(X)\)에 대해 다음이 성립한다.

1. \(X\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^n(X, \mathcal{F}) = H^n_{qc}(X, a_X^{-1}\mathcal{F})\),

2. \(K \in D^+(X)\)에 대해 \(H^n(X, K) = H^n_{qc}(X, a_X^{-1}K)\)이다.

예를 들어 \(A\)가 아벨 군이면 \(H^n(X, \underline{A}) = H^n_{qc}(X, \underline{A})\)이다.

증명

Lemma 0D91에서 나오며, 여기에는 Remark 08J6를 사용한다.

Ext에 대한 스펙트럼열

이 절에서는 Ext 함자를 생각할 때 나타나는 여러 스펙트럼열을 모은다. 환 달린 사이트 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 위의 가군 복합체의 임의의 쌍 \(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet\)에 대해 \[\Ext^n_\mathcal{O}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet[n])\] 로 쓰겠다. 이는 Derived Categories, Section 06XP의 일반적인 규약을 따른다.

예

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)를 위로 유계인 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군이라 하자. 그러면 \(E_2\)-쪽이 \[E_2^{i, j} = \Ext_\mathcal{O}^i(H^{-j}(\mathcal{K}^\bullet), \mathcal{F}) \Rightarrow \Ext_\mathcal{O}^{i + j}(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{F})\] 인 스펙트럼열과, \(E_1\)-쪽이 \[E_1^{i, j} = \Ext_\mathcal{O}^j(\mathcal{K}^{-i}, \mathcal{F}) \Rightarrow \Ext_\mathcal{O}^{i + j}(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{F}).\] 인 또 하나의 스펙트럼열이 있다. 이 스펙트럼열들을 구성하려면 단사분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)를 택하고 이중복합체 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\)에서 나오는 두 스펙트럼열을 생각한다. Homology, Section 012X을 보라.

컵곱

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(K, M\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하고 \(A = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\)로 두자. 이 상황에서 (대역) 컵곱은 \(D(A)\) 안의 사상 \[R\Gamma(\mathcal{C}, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, M) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M)\] 이다. 이를 Remark 0B6C에서와 같이 환 달린 토포스의 사상 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(pt), A)\) 에 대한 상대 컵곱으로 정의한다.

상대 컵곱의 자연스러운 양립성을 정식화하고 증명하자. 즉, 환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 가 있다고 하자. \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군의 복합체라 하자. 소박한 컵곱 \[\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \longrightarrow f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet)\] 이 있다. 이것이 상대 컵곱과 관련됨을 주장한다.

보조정리

위 상황에서 다음 도식은 가환한다. \[\xymatrix{ f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d]^{\text{비고 \href{sites-cohomology.html#sites-cohomology-remark-cup-product}{0B6C}}} \\ \text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{\text{소박한 컵곱}} & Rf_*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] & Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) }\]

증명

Remark 0B6C의 구성에 의해 도식을 시계방향으로 돌아 얻는 사상 \[f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \longrightarrow Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet)\] 은 사상 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 에 수반된다. Lemma 0FPI에 의해 이는 또한 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 와 같다. 반시계방향으로 돌면 사상 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 에 수반되는 사상을 얻는다. Lemma 0FPI에 의해 이는 또한 \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] 와 같다. 이제 다음 도식을 살펴보면 증명이 끝난다. \[\xymatrix{ Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[rr] & & Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{naive} \ar[r] & f^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[ldd]^{naive} \ar[dd] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[dd] \ar[ldd] \\ Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[rd] & \text{Tot}(f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \ar[ld] \\ & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) }\] 이 도식의 모든 다각형은 가환한다. 위쪽 다각형은 Lemma 0FPH에 의해 가환한다. 두 소박한 컵곱을 포함하는 정사각형은 \(Lf^* \to f^*\)가 가군의 복합체에 대해 함자적이므로 가환한다. 두 사상 \(\mathcal{A}^\bullet \otimes^\mathbf{L} \mathcal{B}^\bullet \to \text{Tot}(\mathcal{A}^\bullet \otimes \mathcal{B}^\bullet)\) 을 포함하는 정사각형도 마찬가지이다. 마지막으로 남은 정사각형의 가환성은 복합체의 수준에서 성립하며, \(f^*\)와 \(f_*\)의 수반성에 의한 소박한 컵곱의 정의로 볼 수 있다. 도식의 바깥을 따라 도는 두 사상이 위에서 주어진 두 사상이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. Remark 0B6C의 상대 컵곱은 다음 도식이 \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[r] \ar[d] & Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[d] \\ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M) \ar[r] & Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M) }\] \(D(\mathcal{O})\)의 모든 \(K, L, M\)에 대해 \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환한다는 의미에서 결합적이다.

증명

어느 쪽으로 돌아도 \(D(\mathcal{O})\) 안의 자명한 사상 \[\begin{align*} Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*M) & = Lf^*(Rf_*K) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*L) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*M) \\ & \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M \end{align*}\] 에 수반되는 사상을 얻는다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. Remark 0B6C의 상대 컵곱은 다음 도식이 \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L \ar[r] \ar[d]_\psi & Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) \ar[d]^{Rf_*\psi} \\ Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*K \ar[r] & Rf_*(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K) }\] \(D(\mathcal{O})\)의 모든 \(K, L\)에 대해 \(D(\mathcal{O}')\)에서 가환한다는 의미에서 가환적이다. 여기서 \(\psi\)는 유도범주 위의 가환성 제약이다(Lemma 0FPT).

증명

생략한다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)와 \(f' : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\) 을 환 달린 토포스의 사상들이라 하자. Remark 0B6C의 상대 컵곱은 다음 도식이 \[\xymatrix{ R(f' \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}''}^\mathbf{L} R(f' \circ f)_*L \ar@{=}[rr] \ar[d] & & Rf'_*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}''}^\mathbf{L} Rf'_*Rf_*L \ar[d] \\ R(f' \circ f)_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[r] & Rf'_*Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) & Rf'_*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[l] }\] \(D(\mathcal{O})\)의 모든 \(K, L\)에 대해 \(D(\mathcal{O}'')\)에서 가환한다는 의미에서 합성과 양립한다.

증명

도식을 어느 쪽으로 돌아도 사상 \[\begin{align*} & L(f' \circ f)^*\left(R(f' \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}''}^\mathbf{L} R(f' \circ f)_*L\right) \\ & = L(f' \circ f)^*R(f' \circ f)_*K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L(f' \circ f)^*R(f' \circ f)_*L) \\ & \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L \end{align*}\] 에 수반되는 사상을 얻으므로 성립한다. 이 사상은 \(D(\mathcal{O})\)에 속한다. 이를 보려면 다음 쌍대단위들의 합성 \[L(f' \circ f)^*R(f' \circ f)_* = Lf^* L(f')^* Rf'_* Rf_* \to Lf^* Rf_* \to \text{id}\] 이 \(L(f' \circ f)^*\)와 \(R(f' \circ f)_*\)에 대한 쌍대단위임을 사용한다. Categories, Lemma 0DV0를 보라.

보조정리

환 달린 토포스들의 가환 정사각형 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{O}_{\mathcal{C}}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}}) }\] 을 생각하자. \(K, L\)이 \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}})\)에 속한다고 하자. 상대 컵곱은 다음 도식이 \[\xymatrix{ Lg^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}}}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[r] \ar@{=}[d] & Lg^*(Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}}^\mathbf{L} L)) \ar[d] \\ Lg^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*L \ar[d] & R(f')_*L(g')^*(K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[d] \\ R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}'}} R(f')_*(L(g')^*L \ar[r] & R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}}^\mathbf{L} L(g')^*L) }\] \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\)에서 가환한다는 의미에서 이 정사각형과 양립한다. 가로 화살표들은 상대 컵곱(Remark 0B6C)으로 주어지고, 세로 화살표들은 기저변환 사상 (Remark 07A7)과 Lemma 07A4로 주어진다.

증명

생략한다.

Hom 복합체

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{L}^\bullet\)와 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 두 복합체라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\)를 구성하겠다. 구체적으로 각 \(n\)에 대해 \[\SheafHom^n(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) = \prod\nolimits_{n = p + q} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] 로 둔다. \(\SheafHom^n\)은 \(\mathcal{L}^\bullet\)에서 \(\mathcal{M}^\bullet\)로 가는 모든 차수 \(n\)의 동차 \(\mathcal{O}\)-선형사상들로 이루어진 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이라고 생각하면 좋다. 여기서 두 복합체는 등급화된 \(\mathcal{O}\)-가군으로 본다. 이 용어 아래 미분을 규칙 \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 으로 정의한다. 여기서 \(f \in \SheafHom^n_\mathcal{O}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\)이다. \(\text{d}^2 = 0\)의 확인은 생략한다. 이 구성은 Differential Graded Algebra, Example 09L9의 특수한 경우이다. 구성으로부터 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)와 각 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 곧바로 [0A8Y]\[\begin{equation} H^n(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet))) = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet|_U, \mathcal{M}^\bullet[n]|_U) \end{equation}\] 를 얻는다. 마찬가지로 대역단면의 복합체에 대해 [0A8Z]\[\begin{equation} H^n(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet))) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet[n]) \end{equation}\] 를 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 동형 \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] 이 있다. 이는 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)에 대해 함자적인 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 동형이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A5Y와 꼭 같은 방식으로 증명한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 표준사상 \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] 이 있다. 이는 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 사상이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A8I과 꼭 같은 방식으로 증명한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 표준사상 \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet))\] 이 있다. 이는 세 복합체 모두에 대해 함자적인 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 사상이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0BYM와 꼭 같은 방식으로 증명한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 표준사상 \[\mathcal{K}^\bullet \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet))\] 이 있다. 이는 두 복합체에 대해 함자적인 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 사상이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A62과 꼭 같은 방식으로 증명한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\)가 주어지면 표준사상 \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] 이 있다. 이는 세 복합체 모두에 대해 함자적인 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체들의 사상이다.

증명

생략한다. 힌트: More on Algebra, Lemma 0A60와 꼭 같은 방식으로 증명한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(L\)과 \(M\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)을 \(M\)을 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체라 하고, \(\mathcal{L}^\bullet\)를 \(L\)을 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체라 하자. 그러면 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \[H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] 이다. 마찬가지로 \(H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(L, M)\).

증명

다음이 성립한다. \[\begin{align*} H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) & = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet|_U, \mathcal{I}^\bullet|_U) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U) \end{align*}\] 첫째 등식은 (0A8Y)이다. 둘째 등식은 Lemma 08FI에 의해 \(\mathcal{I}^\bullet|_U\)가 K-단사이므로 성립한다. 마지막 등식의 증명도 비슷하며, 대신 (0A8Z)를 사용한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((\mathcal{I}')^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) 를 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체들 사이의 준동형이라 하고, \((\mathcal{L}')^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 복합체들 사이의 준동형이라 하자. 그러면 \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 는 준동형이다.

증명

\(M\)을 \(\mathcal{I}^\bullet\)과 \((\mathcal{I}')^\bullet\)이 나타내는 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하고, \(L\)을 \(\mathcal{L}^\bullet\)와 \((\mathcal{L}')^\bullet\)가 나타내는 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. Lemma 0A94에 의해 두 층 \[H^0(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet)) \quad\text{and}\quad H^0(\SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\] 은 모두 준층 \[U \longmapsto \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] 에 결합된 층과 같다. 따라서 이 사상은 준동형이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(\mathcal{I}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체라 하고, \(\mathcal{L}^\bullet\)을 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-평탄 복합체라 하자. 그러면 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\)은 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체이다.

증명

실제로 \(\mathcal{K}^\bullet\)이 \(\mathcal{O}\)-가군의 비순환 복합체이면 다음이 성립한다. \[\begin{align*} \Hom_{K(\mathcal{O})}(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) & = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)))) \\ & = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet))) \\ & = \Hom_{K(\mathcal{O})}( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet) \\ & = 0 \end{align*}\] 첫 번째 등식은 (0A8Z)에서 따르고, 두 번째 등식은 Lemma 0A90에서 따르며, 세 번째 등식은 (0A8Z)에서 따른다. 마지막 등식은 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)\) 이 \(\mathcal{L}^\bullet\)의 K-평탄성 (Definition 06YN)에 의해 비순환이고, \(\mathcal{I}^\bullet\)이 K-단사이기 때문에 성립한다.

유도 범주에서의 내부 Hom

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(L, M\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. \(D(\mathcal{O})\)의 임의의 세 번째 대상 \(K\)에 대해 표준 전단사 [08J8]\[\begin{equation} \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L, M) \end{equation}\] 가 존재하도록 \(D(\mathcal{O})\)의 대상 \(R\SheafHom(L, M)\)을 구성하고자 한다. 요네다 보조정리(Categories, Lemma 001P)에 의해 이 식은 \(R\SheafHom(L, M)\)을 유일한 동형사상까지 결정한다.

그러한 대상을 구성하기 위해 \(M\)을 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택한다. 다음과 같이 둔다. \[R\SheafHom(L, M) = \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 여기서 오른쪽은 Section 0A8X에서 구성한 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체이다. 이는 Lemma 0A95에 의해 잘 정의된다. 따라서 함자 \[D(\mathcal{O})^{opp} \times D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\mathcal{O}), \quad (K, L) \longmapsto R\SheafHom(K, L)\] 를 얻는다. (08J8)을 증명하기에 앞서 \(R\SheafHom(K, L)\)의 코호몰로지 군을 계산하자.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(L, M\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대해 \[H^0(U, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] 이고, 또한 \(H^0(\mathcal{C}, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(L, M)\)이다.

증명

\(M\)을 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택하자. 그러면 Lemma 0A96에 의해 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) 는 K-단사이다. 따라서 \(U\) 위의 단면을 취하는 것만으로 \(U\) 위의 코호몰로지를 계산할 수 있고, Lemma 0A94에서 결론이 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(K, L, M\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. 위에서 설명한 구성에 대해 \(D(\mathcal{O})\) 안의 표준 동형사상 \[R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M)) = R\SheafHom(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L, M)\] 이 있다. 이는 \(K, L, M\)에 대해 함자적이며, \(H^0(\mathcal{C}, -)\)를 취하면 (08J8)을 준다.

증명

\(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 \(\mathcal{O}\)-가군의 K-평탄 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택하자. 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)에 대해 다음이 성립한다. \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] 이다(Lemma 0A90). 왼쪽은 \(R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M))\)을 나타내고(Lemma 0A96 사용), 오른쪽은 \(R\SheafHom(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L, M)\)을 나타낸다. 이로써 보조정리의 표시된 식이 증명된다. 대역 단면을 취하고 Lemma 08JA를 사용하면 (08J8)을 얻는다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. \(R\SheafHom(K, L)\)의 구성은 제한과 가환한다. 즉 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(U\)에 대해 \(R\SheafHom(K|_U, L|_U) = R\SheafHom(K, L)|_U\)이다.

증명

이는 구성과 Lemma 08FI에서 명백하다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. 이중함자 \(R\SheafHom(- , -)\)는 두 변수 각각에서 특수 삼각형을 특수 삼각형으로 보낸다.

증명

대응 \[(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \longmapsto \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] 은 어느 한 변수에서든 복합체들의 항별 분할 짧은 완전열을 항별 분할 짧은 완전열로 보낸다는 관찰에서 결론이 따른다. 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(K, L, M\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. 표준 사상 \[R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K \longrightarrow R\SheafHom(R\SheafHom(K, L), M)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O})\) 안에서 \(K, L, M\)에 대해 함자적이다.

증명

\(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\), \(L\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\), 그리고 \(K\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 택한다. 이 사상은 다음 사상을 사용하여 정의한다. \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] 이는 Lemma 0A92의 사상이다. 복합체들을 이렇게 특별히 택했으므로 왼쪽은 \(R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K\)를 나타내고, 오른쪽은 \(R\SheafHom(R\SheafHom(K, L), M)\)을 나타낸다. 이것이 \(D(\mathcal{O})\)의 세 대상 모두에 대해 함자적이라는 증명은 생략한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(D(\mathcal{O})\)의 \(K, L, M\)이 주어지면 표준 사상 \[R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, M)\] 이 \(D(\mathcal{O})\) 안에 존재한다.

증명

\(M\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\), 그리고 \(K\)를 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 택하자. Lemma 0A91에 의해 복합체들의 사상 \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] 이 있다. \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\), \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\), 그리고 \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) 는 각각 \(R\SheafHom(L, M)\), \(R\SheafHom(K, L)\), 그리고 \(R\SheafHom(K, M)\)을 나타낸다. K-평탄 복합체 \(\mathcal{H}^\bullet\)와 유사동형 \(\mathcal{H}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\)를 택하면, 다음 사상이 있다. \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{H}^\bullet \right) \longrightarrow \text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right)\] 이 사상의 정의역은 \(R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L)\)을 나타낸다. 표시된 두 화살표를 합성하면 원하는 사상을 얻는다. 이 구성이 함자적이라는 증명은 생략한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(D(\mathcal{O})\)의 \(K, L, M\)이 주어지면 표준 사상 \[K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O})\) 안에서 \(K, L, M\)에 대해 함자적이다.

증명

\(K\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 택하고, \(M\)을 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{M}^\bullet\)를 택하자. \(\mathcal{J}^\bullet\)가 K-단사인 유사동형 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\) 을 택한다. 그러면 사상 \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \right) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] 을 사용한다. 여기서 첫째 사상은 Lemma 0BYT의 사상이다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(D(\mathcal{O})\)의 \(K, L\)이 주어지면 표준 사상 \[K \longrightarrow R\SheafHom(L, K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)\] 이 있으며, 이는 \(D(\mathcal{O})\) 안에서 \(K\)와 \(L\) 모두에 대해 함자적이다.

증명

\(K\)를 나타내는 K-평탄 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)와 \(L\)을 나타내는 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 복합체 \(\mathcal{L}^\bullet\)를 택하자. K-단사 복합체 \(\mathcal{J}^\bullet\)와 유사동형 \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\)를 택한다. 그러면 \[\mathcal{K}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] 을 사용한다. 여기서 첫째 사상은 Lemma 0A93에서 온다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(L\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상이라 하자. \(L^\vee = R\SheafHom(L, \mathcal{O})\)라 두자. \(D(\mathcal{O})\)의 \(M\)에 대해 표준 사상 [08JE]\[\begin{equation} M \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} L^\vee \longrightarrow R\SheafHom(L, M) \end{equation}\] 이 있으며, 이는 표준 사상 \[H^0(\mathcal{C}, M \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L^\vee) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(L, M)\] 을 유도한다. 이 사상은 \(D(\mathcal{O})\)의 \(M\)에 대해 함자적이다.

증명

(08JE)의 사상은 식별 \(M = R\SheafHom(\mathcal{O}, M)\)을 사용하는 Lemma 0A98의 특수한 경우이다.

주

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하고, \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 대상이라 하자. 다음과 같은 표준 사상이 있다고 주장한다. \[Rf_*R\SheafHom(L, K) \longrightarrow R\SheafHom(Rf_*L, Rf_*K)\] 즉 (08J8)에 의해 이는 사상 \(Rf_*R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L \to Rf_*K\)을 주는 것과 같다. 이를 위해 합성 \[Rf_*R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L \to Rf_*(R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L) \to Rf_*K\] 을 사용할 수 있다. 여기서 첫째 화살표는 상대 컵곱 (Remark 0B6C)이고, 둘째 화살표는 표준 사상 \(R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L \to K\) 에 \(Rf_*\)를 적용한 것이다. 이 표준 사상은 Lemma 0A98에서 한 자리에 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)를 넣어 얻는다.

주

\(h : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하고, \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}')\)의 대상이라 하자. 표준 사상 \[Lh^*R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L)\] 이 \(D(\mathcal{O})\) 안에 존재한다고 주장한다. (08J8)은 Lemma 08J9에서 증명했으며, 이에 의해 그러한 사상을 주는 것은 사상 \[Lh^*R\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} Lh^*K \longrightarrow Lh^*L\] 을 주는 것과 같다. Lemma 07A4에 의해 이 화살표의 정의역은 \(Lh^*(\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} K)\)이므로, 표준 사상 \[R\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} K \longrightarrow L.\] 을 구성하면 충분하다. 이를 위해 \[\text{id} : R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, L)\] 에 (08J8)으로 대응하는 화살표를 취한다.

주

환 달린 토포스들의 가환 도식 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_h \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 이 주어졌다고 하자. \(K, L\)을 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\)의 대상이라 하자. 표준 기저변환 사상 \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L)\] 이 \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\) 안에 존재한다고 주장한다. 구체적으로 합성 \[\begin{align*} L(f')^*Lg^*Rf_*R\SheafHom(K, L) & = Lh^*Lf^*Rf_*R\SheafHom(K, L) \\ & \to Lh^*R\SheafHom(K, L) \\ & \to R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L) \end{align*}\] 에 수반되는 사상을 취한다. 여기서 첫째 화살표는 수반 사상 \(Lf^*Rf_* \to \text{id}\)를 사용하고, 둘째 화살표는 Remark 08JF에서 구성한 표준 사상이다.

대역 유도 Hom

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)를 환 달린 토포스라 하고, \(K, L \in D(\mathcal{O})\)라 하자. 유도 범주에서의 내부 Hom 구성을 사용하면 \(D(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}))\)의 잘 정의된 대상 \[R\Hom_\mathcal{O}(K, L) = R\Gamma(\mathcal{C}, R\SheafHom(K, L))\] 을 얻는다. Lemma 08JA에 의해 \[H^0(R\Hom_\mathcal{O}(K, L)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, L)\] 이고, \[H^p(R\Hom_\mathcal{O}(K, L)) = \Ext_{D(\mathcal{O})}^p(K, L)\] 이다. \(f : (\mathcal{C}', \mathcal{O}') \to (\mathcal{C}, \mathcal{O})\)가 환 달린 토포스의 사상이면 표준 사상 \[R\Hom_\mathcal{O}(K, L) \longrightarrow R\Hom_{\mathcal{O}'}(Lf^*K, Lf^*L)\] 이 \(D(\Gamma(\mathcal{O}))\) 안에 존재한다. 이는 Remark 08JF에서 정의한 사상의 대역 단면을 취하여 얻는다.

아래 첨자 느낌표의 유도 함자

이 절에서는 \(Lg^*\)와 \(Rg_*\)뿐 아니라 유도 함자 \(Lg_!\)도 존재하는 환 달린 토포스의 사상 \(g\)를 연구한다.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 사이트들의 연속이고 쌍대연속인 함자라 하고, \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)를 이에 대응하는 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)를 환의 층이라 하고, \(\mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군이라 하자. 그러면 모든 \(p > 0\) 및 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(H^p(U, g^{-1}\mathcal{I}) = 0\)이다.

증명

임의의 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)에 대해 모든 고차 체흐 코호몰로지 군 \(\check H^p(\mathcal{U}, g^{-1}\mathcal{I})\) 이 소멸함을 증명하면, 보조정리의 소멸은 Lemma 03F9에서 따른다. \(u\)가 연속이므로 \(u(\mathcal{U}) = \{u(U_i) \to u(U)\}\)는 \(\mathcal{D}\)의 덮개이고, \(u(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_n}) = u(U_{i_0}) \times_{u(U)} \ldots \times_{u(U)} u(U_{i_n})\). 따라서 \[\check H^p(\mathcal{U}, g^{-1}\mathcal{I}) = \check H^p(u(\mathcal{U}), \mathcal{I})\] 이다. 실제로 Sites, Lemma 00XR에 의해 \(g^{-1} = u^p\)이다. \(\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군이므로 이 체흐 코호몰로지 군들은 소멸한다. Lemma 03FC를 보라.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 사이트들의 연속이고 쌍대연속인 함자라 하고, \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)를 이에 대응하는 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)를 환의 층이라 하고, \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\). 라 두자. 함자 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) (Modules on Sites, Lemma 0797 참조)는 왼쪽 유도 함자 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\] 를 가지며, 이는 \(g^*\)의 왼쪽 수반이다. 또한 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \[Lg_!(j_{U!}\mathcal{O}_U) = g_!j_{U!}\mathcal{O}_U = j_{u(U)!} \mathcal{O}_{u(U)}.\] 여기서 \(j_{U!}\)와 \(j_{u(U)!}\)는 국소화 사상 \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) 및 \(j_{u(U)} : \mathcal{D}/u(U) \to \mathcal{D}\)에 결부된 영에 의한 연장이다.

증명

Derived Categories, Proposition 0794를 사용하여 \(Lg_!\)를 구성한다. 이를 위해 그 명제의 가정 (1), (2), (3), (4), (5)를 확인해야 한다. 먼저 \(g_!\)는 왼쪽 수반이므로 오른쪽 완전이고 모든 여극한과 가환한다. 따라서 (5)가 성립한다. 환 달린 사이트 위의 가군 범주는 Grothendieck 아벨 범주이므로 조건 (3)과 (4)가 성립한다. \(\mathcal{P} \subset \Ob(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}))\)를 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 꼴 가군들의 직합인 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군들의 모임이라 하자. Modules on Sites, Lemma 0797의 증명에서 보듯이 \(g_!j_{U!}\mathcal{O}_U = j_{u(U)!} \mathcal{O}_{u(U)}\)이다. 모든 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군은 \(\mathcal{P}\)의 한 대상의 몫이다. Modules on Sites, Lemma 03EW을 보라. 따라서 (1)이 성립한다. 마지막으로 (2)를 증명해야 한다. 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{K}^n \in \mathcal{P}\)인 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군의 위로 유계인 비순환 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)를 택하자. \(g_!\mathcal{K}^\bullet\)가 완전임을 보여야 한다. 이를 위해 모든 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군 \(\mathcal{I}\)에 대해 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{D})}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}[n]) = 0\] 가 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립함을 보이면 충분하다. \(\mathcal{I}\)가 단사이므로 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{D})}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}[n]) & = \Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{D})}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}[n]) \\ & = H^n(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I})) \\ & = H^n(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^\bullet, g^{-1}\mathcal{I})) \end{align*}\] 이고, 마지막 등식은 \(g_!\)와 \(g^{-1}\)의 수반성에서 따른다.

\(g^{-1}\mathcal{I}\)가 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군이라면 이 군의 소멸은 명백할 것이다. 그러나 일반적으로 \(g_!\)가 완전이 아니므로 \(g^{-1}\mathcal{I}\)가 반드시 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군인 것은 아니다. 한편 다음은 알고 있다. \[\Ext^p_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( j_{U!}\mathcal{O}_U, g^{-1}\mathcal{I}) = H^p(U, g^{-1}\mathcal{I}) = 0 \text{ for }p \geq 1\] 여기서 첫 번째 등식은 \(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(j_{U!}\mathcal{O}_U, \mathcal{H}) = \mathcal{H}(U)\)에 유도 함자를 취하여 얻고, \(p > 0\) 및 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대한 \(H^p(U, g^{-1}\mathcal{I})\)의 소멸은 Lemma 0D6X에서 따른다. 각 \(\mathcal{K}^{-q}\)가 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 꼴 가군들의 직합이므로 \[\Ext^p_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(\mathcal{K}^{-q}, g^{-1}\mathcal{I}) = 0 \text{ for }p \geq 1\text{ and all }q\] 이다. 다음 스펙트럼 열을 사용하자(Example 07AA 참조). \[E_1^{p, q} = \Ext^q_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^{-p}, g^{-1}\mathcal{I}) \Rightarrow \Ext^{p + q}_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^\bullet, g^{-1}\mathcal{I}) = 0.\] 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 비순환이므로 유도 범주에서 소멸하고, 따라서 Ext 군들이 소멸한다. 그러므로 이 스펙트럼 열은 0으로 수렴한다. 위에서 증명한 고차 Ext들의 소멸에 의해 \(E_1\) 쪽에서 영이 아닐 수 있는 항은 \(E_1^{p, 0} = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^{-p}, g^{-1}\mathcal{I})\)뿐이다. 따라서 복합체 \(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^\bullet, g^{-1}\mathcal{I})\) 가 원하는 대로 비순환임을 얻는다.

따라서 왼쪽 유도 함자 \(Lg_!\)가 존재한다. 이는 \(g^{-1} = g^* = Rg^* = Lg^*\)의 왼쪽 수반이다. 즉 [07AD]\[\begin{equation} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(K, g^*L) = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{D})}(Lg_!K, L) \end{equation}\] 가 Derived Categories, Lemma 09T5에 의해 성립한다. 이로써 증명이 끝난다.

주

경고! \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\), \(g\), \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\), \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)가 Lemma 07AC에서와 같다고 하자. 일반적으로 다음 도식은 가환하지 않는다. \[\xymatrix{ D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[r]_{Lg_!} \ar[d]_{forget} & D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \ar[d]^{forget} \\ D(\mathcal{C}) \ar[r]^{Lg^{Ab}_!} & D(\mathcal{D}) }\] 여기서 함자 \(Lg_!^{Ab}\)는 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\) 양쪽에서 상수층 \(\mathbf{Z}\)를 구조층으로 사용하여 Lemma 07AC에서 구성한 함자이다. 일반적으로는 \(g_! = g_!^{Ab}\)조차 성립하지 않는다(Modules on Sites, Remark 0798 참조). 그러나 이 현상은 \(g_! = g_!^{Ab}\)인 경우에도 일어날 수 있다! 실제로 Lemma 07AC의 증명에서 \(Lg_!\)의 구성을 살펴보면, \(Lg_!\)가 \(Lg_!^{\textit{Ab}}\)와 일치할 필요충분조건은 모든 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\)에 대해 표준 사상 \[Lg^{Ab}_!j_{U!}\mathcal{O}_U \longrightarrow j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}\] 이 \(D(\mathcal{D})\)에서 동형사상인 것이다. 일반적으로 말할 수 있는 것은 자연변환 \[Lg_!^{Ab} \circ forget \longrightarrow forget \circ Lg_!\] 이 존재한다는 것뿐이다.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 사이트들의 연속이고 쌍대연속인 함자라 하고, \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)를 이에 대응하는 토포스의 사상이라 하자. \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)를 환의 층이라 하고, \(\mathcal{I}\)를 단사 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군이라 하자. 만약 \(g_!^{Sh} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 가 올곱과 가환하면⁷, \(g^{-1}\mathcal{I}\)는 완전 비순환이다.

증명

Lemma 07A1의 판정법을 사용한다. 조건 (1)은 Lemma 0D6X에 의해 성립한다. \(K' \to K\)를 \(\mathcal{C}\) 위 집합층들의 전사 사상이라 하자. \(g_!^{Sh}\)가 왼쪽 수반이므로 \(g_!^{Sh}K' \to g_!^{Sh}K\)는 전사이다. 또한 \[\begin{align*} H^0(K' \times_K \ldots \times_K K', g^{-1}\mathcal{I}) & = H^0(g_!^{Sh}(K' \times_K \ldots \times_K K'), \mathcal{I}) \\ & = H^0(g_!^{Sh}K' \times_{g_!^{Sh}K} \ldots \times_{g_!^{Sh}K} g_!^{Sh}K', \mathcal{I}) \end{align*}\] 이다. 이는 \(g_!^{Sh}\)에 대한 가정에서 따른다. \(\mathcal{I}\)는 단사 가군이므로 항등사상에 Lemma 072Z를 적용하면 완전 비순환이다. 따라서 Lemma 07A1의 역을 사용하면 복합체 \[0 \to H^0(K, g^{-1}\mathcal{I}) \to H^0(K', g^{-1}\mathcal{I}) \to H^0(K' \times_K K', g^{-1}\mathcal{I}) \to \ldots\] 가 원하는 대로 완전임을 알 수 있다.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 사이트들의 연속이고 쌍대연속인 함자라 하고, \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)를 이에 대응하는 토포스의 사상이라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자.

1. \(D(\mathcal{D})\)의 \(M\)에 대해 \(R\Gamma(U, g^{-1}M) = R\Gamma(u(U), M)\).

2. \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)가 환의 층이고 \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)이면 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\)의 \(M\)에 대해 \(R\Gamma(U, g^*M) = R\Gamma(u(U), M)\).

증명

아래로 유계인 경우에는 \(K\)를 아래로 유계인 단사 복합체로 나타내고 Lemma 0D6X와 Leray의 비순환성 보조정리를 사용하면 (1)과 (2)를 알 수 있다. 비유계인 경우에는 먼저 (1)이 (2)의 특수한 경우임을 주목하자. (2)에 대해서는 \[R\Gamma(U, g^*M) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(j_{U!}\mathcal{O}_U, g^*M) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}, M) = R\Gamma(u(U), M)\] 를 사용할 수 있다. 가운데 등식은 Lemma 07AC의 귀결이다.

보조정리

환 달린 토포스들의 가환 도식 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{(g', (g')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^{(g, g^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 이 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\), \(f'\), \(g\), \(g'\)는 Sites, Lemma 00XO에서와 같이 각각 쌍대연속 함자 \(u\), \(u'\), \(v\), \(v'\)에 대응한다.

2. \(v \circ u' = u \circ v'\),

3. \(v\)와 \(v'\)는 쌍대연속일 뿐 아니라 연속이다.

4. \(\mathcal{D}'\)의 모든 대상 \(V'\)에 대해 \(v\)가 주는 함자 \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I} \to {}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) 는 공종이다.

5. \(g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{D}} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) 이고 \((g')^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\)이다.

6. \(g'_! : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) 는 완전이다⁸.

그러면 함자 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\)로서 \(Rf'_* \circ (g')^* = g^* \circ Rf_*\)이다.

증명

조건 (5)에 의해 \(g^* = Lg^* = g^{-1}\)이고 \((g')^* = L(g')^* = (g')^{-1}\)이다. Lemma 0D6J에 의해 아벨 층들의 유도 범주 \(D(\mathcal{C})\)에서 결과를 증명하면 충분하다. 대상 \(K \in D(\mathcal{C})\)를 택하고, \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{C}\) 위 아벨 층들의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 택하자. Derived Categories, Lemma 08BJ와 가정 (6)에 의해 \((g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\mathcal{C}'\) 위 아벨 층들의 K-단사 복합체이다. Modules on Sites, Lemma 0FN3 에 의해 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet = g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\)이다. \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(Rf_*K\)를 나타내고 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)는 \(Rf'_*(g')^{-1}K\)를 나타내므로 결론이 따른다.

보조정리

환 달린 토포스들의 가환 도식 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{(g', (g')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^{(g, g^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 과 함자들의 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} & \mathcal{C} \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v \ar[u]^{u'} & \mathcal{D} \ar[u]_u }\] 이 주어졌다고 하자. Sites, Sections 00X0와 00XN의 표기 아래 다음을 가정하자.

1. \(u\)와 \(u'\)는 연속이며 사상 \(f\)와 \(f'\)를 유도한다.

2. \(v\)와 \(v'\)는 쌍대연속이며 사상 \(g\)와 \(g'\)를 유도한다.

3. \(u \circ v = v' \circ u'\),

4. \(v\)와 \(v'\)는 쌍대연속일 뿐 아니라 연속이다.

5. \(g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{D}} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) 이고 \((g')^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\)이다.

그러면 함자 \(D^+(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D^+(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\)로서 \(Rf'_* \circ (g')^* = g^* \circ Rf_*\)이다. 더 나아가

1. \(g'_! : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) 가 완전이라고 가정하자⁹.

그러면 함자 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\)로서도 \(Rf'_* \circ (g')^* = g^* \circ Rf_*\)이다.

증명

조건 (5)에 의해 \(g^* = Lg^* = g^{-1}\)이고 \((g')^* = L(g')^* = (g')^{-1}\)이다. Lemma 0D6J에 의해 아벨 층들의 유도 범주 \(D^+(\mathcal{C})\) 또는 \(D(\mathcal{C})\)에서 결과를 증명하면 충분하다.

대상 \(K \in D^+(\mathcal{C})\)를 택하자. \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{C}\) 위 단사 아벨 층들의 아래로 유계인 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 택한다. Lemma 0D6X에 의해 모든 \(p > 0\), 모든 \(q\), 모든 \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\)에 대해 \(H^p(U', (g')^{-1}\mathcal{I}^q) = 0\)이다. Lemma 072W에서 보듯이 \(R^pf'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^q\)는 준층 \(V' \mapsto H^p(u'(V'), (g')^{-1}\mathcal{I}^q)\)에 결합된 층이다. 따라서 \((g')^{-1}\mathcal{I}^q\)는 함자 \(f'_*\)에 대해 오른쪽 비순환이다. Leray의 비순환성 보조정리(Derived Categories, Lemma 015E)에 의해 \(f'_*(g')^*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(Rf'_*(g')^{-1}K\)를 나타낸다. Modules on Sites, Lemma 0FN4 에 의해 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet = g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\)이다. \(g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(g^{-1}Rf_*K\)를 나타내므로 결론이 따른다.

대상 \(K \in D(\mathcal{C})\)를 택하고, \(K\)를 나타내는 \(\mathcal{C}\) 위 아벨 층들의 K-단사 복합체 \(\mathcal{I}^\bullet\)를 택하자. Derived Categories, Lemma 08BJ와 가정 (6)에 의해 \((g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)는 \(\mathcal{C}'\) 위 아벨 층들의 K-단사 복합체이다. Modules on Sites, Lemma 0FN4 에 의해 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet = g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\)이다. \(f_*\mathcal{I}^\bullet\)는 \(Rf_*K\)를 나타내고 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\)는 \(Rf'_*(g')^{-1}K\)를 나타내므로 결론이 따른다.

올범주에 대한 아래 첨자 느낌표의 유도 함자

이 절에서는 Section 07AB에서 논의한 상황의 몇몇 특수한 경우를 자세히 다룬다. 가군에 대한 아래 첨자 느낌표와 아벨 군층에 대한 아래 첨자 느낌표가 서로 같음을 확인한다. 처음 읽을 때에는 이 절을 건너뛰기를 권한다.

설정

\((\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 사이트라 하고, \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 올범주라 하자. \(\mathcal{C}\)에 \(\mathcal{D}\)에서 물려받은 위상을 준다(Stacks, Section 06NT). \(p\)에 결부된 토포스의 사상을 \(\pi : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)로 나타낸다(Stacks, Lemma 06NW). \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = \pi^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)라 두면 환 달린 토포스의 사상 \[\pi : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\] 을 얻는다.

보조정리

Situation 08P8의 가정과 표기를 사용하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 유도된 토포스의 사상 \[\pi_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \Sh(\mathcal{D}/p(U))\] 을 생각하자. 그러면 토포스의 사상 \[\sigma : \Sh(\mathcal{D}/p(U)) \to \Sh(\mathcal{C}/U)\] 이 존재하여 \(\pi_U \circ \sigma = \text{id}\)이고 \(\sigma^{-1} = \pi_{U, *}\)이다.

증명

\(\pi_U\)는 \(\pi\)를 국소화들에 제한한 것이다. Sites, Lemma 03EG를 보라. \(\mathcal{D}/p(U)\)의 대상 \(V \to p(U)\)에 대해, \(p\)가 올범주이므로 존재하는 \(\mathcal{D}\) 위 \(\mathcal{C}\)의 강하게 데카르트인 사상을 \(V \times_{p(U)} U \to U\)로 나타내자. 함자 \[v : \mathcal{D}/p(U) \to \mathcal{C}/U,\quad V/p(U) \mapsto V \times_{p(U)} U/U\] 는 \(\mathcal{C}\) 위상의 정의에 의해 연속이다. 또한 강하게 데카르트인 사상의 정의에 의해 \(p\)의 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Section 00XW에서 논의한 상황에 있으며, 층 \(\pi_{U, *}\mathcal{F}\)는 \(V \mapsto \mathcal{F}(V \times_{p(U)} U)\)와 같다. 특히 Sites, Lemma 00XY를 보라.

여기서는 더 많은 사실이 성립한다. 즉 \(\mathcal{C}\)의 덮개에 나타나는 모든 사상이 강하게 데카르트이므로 함자 \(v\)는 쌍대연속이기도 하다. 따라서 \(v\)는 보조정리에 표시한 사상 \(\sigma\)를 정의한다. 등식 \(\sigma^{-1} = \pi_{U, *}\)는 정의에서 바로 따른다. \(\pi_U^{-1}\mathcal{G}\)는 규칙 \(U'/U \mapsto \mathcal{G}(p(U')/p(U))\)로 주어지므로 \(\sigma^{-1} \circ \pi_U^{-1} = \text{id}\)이고, 따라서 \(\pi_U \circ \sigma = \text{id}\)이다.

설정

\((\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 사이트라 하자. \(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{D}\) 위 올범주들의 \(1\)-사상이라 하자(Categories, Definition 02XP). \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}'\)에 각각 물려받은 위상을 주고(Stacks, Definition 06NV), \(\pi : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\), \(\pi' : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{D})\), 그리고 \(g : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{C})\) 를 대응하는 토포스의 사상들이라 하자(Stacks, Lemma 06NW). \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = \pi^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\) 및 \(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} = (\pi')^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)라 두자. \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\)이므로 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[rd]_{\pi'} \ar[rr]_g & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[ld]^\pi \\ & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] 은 환 달린 토포스 사상들의 가환 도식이다.

보조정리

Situation 08PA의 가정과 표기를 사용하자. \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\)에 대해 \(U = u(U')\) 및 \(V = p'(U')\)라 두고, 유도된 환 달린 토포스의 사상들을 생각하자. \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'/U'), \mathcal{O}_{U'}) \ar[rd]_{\pi'_{U'}} \ar[rr]_{g'} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_U) \ar[ld]^{\pi_U} \\ & (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}_V) }\] 그러면 토포스의 사상 \[\sigma' : \Sh(\mathcal{D}/V) \to \Sh(\mathcal{C}'/U'),\] 이 존재하여, \(\sigma = g' \circ \sigma'\)라 두면 \(\pi'_{U'} \circ \sigma' = \text{id}\), \(\pi_U \circ \sigma = \text{id}\), \((\sigma')^{-1} = \pi'_{U', *}\), 그리고 \(\sigma^{-1} = \pi_{U, *}\)이다.

증명

\(v' : \mathcal{D}/V \to \mathcal{C}'/U'\)를 \(p' : \mathcal{C}' \to \mathcal{D}'\)와 대상 \(U'\)에서 시작하여 Lemma 08P9의 증명에서 구성한 함자라 하자. \(u\)는 \(\mathcal{D}\) 위 올범주들의 \(1\)-사상이므로 강하게 데카르트인 사상을 강하게 데카르트인 사상으로 보낸다. 따라서 함자 \(v = u \circ v'\)는 \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 및 \(U\)에 대한 Lemma 08P9의 증명에 나오는 함자이다. 그러므로 이 보조정리는 그 보조정리에서 따른다.

보조정리

Situation 08PA의 가정과 표기를 사용하자.

1. 가군과 아벨 층 각각에서 \(g^* = g^{-1}\)의 왼쪽 수반 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) 및 \(g_!^{\textit{Ab}} : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) 가 존재한다.

2. 도식 \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[d] \ar[r]_{g_!} & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d] \\ \textit{Ab}(\mathcal{C}') \ar[r]^{g_!^{\textit{Ab}}} & \textit{Ab}(\mathcal{C}) }\] 은 가환한다.

3. 가군과 아벨 층의 유도 범주 각각에서 \(g^* = g^{-1}\)의 왼쪽 수반 \(Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) 및 \(Lg_!^{\textit{Ab}} : D(\mathcal{C}') \to D(\mathcal{C})\) 이 존재한다.

4. 도식 \[\xymatrix{ D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[d] \ar[r]_{Lg_!} & D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d] \\ D(\mathcal{C}') \ar[r]^{Lg_!^{\textit{Ab}}} & D(\mathcal{C}) }\] 은 가환한다.

증명

Stacks, Lemma 06NW에 의해 함자 \(u\)는 연속이고 쌍대연속이다. 따라서 함자 \(g_!\), \(g_!^{\textit{Ab}}\), \(Lg_!\), \(Lg_!^{\textit{Ab}}\)의 존재는 Modules on Sites, Sections 04BE, 0796 및 Section 07AB에서 알 수 있다.

(2)를 증명하려면 모든 \(\mathcal{C}'\)의 대상 \(U'\)에 대해 표준 사상 \[g_!^{\textit{Ab}}j_{U'!}\mathcal{O}_{U'} \to j_{u(U')!}\mathcal{O}_{u(U')}\] 이 동형사상임을 보이면 충분하다. Modules on Sites, Remark 0798을 보라. 마찬가지로 (4)를 증명하려면 모든 \(\mathcal{C}'\)의 대상 \(U'\)에 대해 표준 사상 \[Lg_!^{\textit{Ab}}j_{U'!}\mathcal{O}_{U'} \to j_{u(U')!}\mathcal{O}_{u(U')}\] 이 \(D(\mathcal{C})\)에서 동형사상임을 보이면 충분하다. Remark 07AE을 보라. 이는 앞의 식도 함의하므로 이 사실을 증명하겠다.

국소화 사상 \(j\)에 대해 함자 \(j_!\)와 \(j_!^{\textit{Ab}}\)가 일치한다는 사실(Modules on Sites, Remark 08P4 참조)과 \(j_!\)가 완전이라는 사실(Modules on Sites, Lemma 03DJ)을 사용한다. Lemma 08PB의 표기를 채택하자. Sites, Lemma 03EG의 가환성과 수반 함자의 유일성에 의해 \(Lg_!^{\textit{Ab}} \circ j_{U'!} = j_{U!} \circ L(g')^{\textit{Ab}}_!\)이므로 \(L(g')^{\textit{Ab}}_!\mathcal{O}_{U'} = \mathcal{O}_U\)임을 증명하면 충분하다. Lemma 08PB의 결과를 사용하면 \(D(\mathcal{C}/u(U'))\)의 임의의 대상 \(E\)에 대해 다음 등식열을 얻는다. \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{C}/U)}(L(g')_!^{\textit{Ab}}\mathcal{O}_{U'}, E) & = \Hom_{D(\mathcal{C}'/U')}(\mathcal{O}_{U'}, (g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{C}'/U')}((\pi'_{U'})^{-1}\mathcal{O}_V, (g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, R\pi'_{U', *}(g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, (\sigma')^{-1}(g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, \sigma^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, \pi_{U, *}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{C}/U)}(\pi_U^{-1}\mathcal{O}_V, E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{O}_U, E) \end{align*}\] 요네다 보조정리에 의해 결론을 얻는다.

주

Situation 08P8의 가정과 표기를 사용하자. \(\mathcal{C}' = \mathcal{D}\)라 두고 \(u\)를 \(\mathcal{C}\)의 구조 함자로 두면 Situation 08PA의 상황을 얻는다. 따라서 Lemma 08PC에 의해 함자 \(\pi_!\), \(\pi_!^{\textit{Ab}}\), \(L\pi_!\), \(L\pi_!^{\textit{Ab}}\)가 존재하며, \(forget \circ \pi_! = \pi_!^{\textit{Ab}} \circ forget\)이고 \(forget \circ L\pi_! = L\pi_!^{\textit{Ab}} \circ forget\)이다.