Weil 코호몰로지 이론

서론

이 장에서는 기초체 위의 매끄러운 사영 스킴에 대한 Weil 코호몰로지 이론을 논의한다. 간단히 말해 여기서 코호몰로지 이론 \(H^*\)란 Künneth 공식, Poincaré 쌍대성, 그리고 사이클류를 (적절한 호환성과 함께) 갖는 이론이다. 문헌에서 무엇을 “Weil 코호몰로지 이론”이라 부를 것인지에 대해 보편적으로 합의된 정의는 없음을 미리 밝혀 둔다.

이 장을 읽기 전에 독자는 범주론 절 0FFJ과 호몰로지 대수학 절 0FN9을 살펴보아야 한다. 그곳에서 (대칭) 모노이드 범주를 정의하고, 이 장에 필요한 만큼의 기본 언어를 전개한다. 이 언어를 사용하여 절 0FFZ에서 대상이 매끄러운 사영 스킴이고 사상이 대응인 대칭 모노이드 등급 범주를 구성한다. 절 0FG9에서는 사영자의 상을 추가하고 Lefschetz 모티브를 가역화하여 Chow 모티브의 대칭 모노이드 Karoubian 범주 \(M_k\)를 얻는다. 이 범주에는 반변 함자 \[h : \{\text{smooth projective schemes over }k\} \longrightarrow M_k\] 가 갖추어져 있다. 아래에서 보겠지만 Weil 코호몰로지 이론의 핵심 성질은 이 함자 \(h\)를 거쳐 분해된다는 것이다.

먼저 대수적으로 닫힌 기초체의 경우에 우리가 “고전적 Weil 코호몰로지 이론”이라 부를 개념을 정의한다. 절 0FGS을 보라. 이 개념은 [Kleiman-cycles, Section 1.2]에서 도입된 개념과 같고, [Kleiman-motives, page 65]에서 도입된 개념과도 일치한다. 그러나 우리의 개념은 선험적으로 [Kleiman-standard, page 10]의 개념과 일치하지 않는다. 그 문헌에서는 저자가 두 개의 Lefschetz형 공리를 추가하며, 이 장에서 정의한 임의의 고전적 Weil 코호몰로지 이론이 그 공리들을 만족하는지는 알려져 있지 않기 때문이다. 절 0FGS 끝에서 고전적 Weil 코호몰로지 이론이 \(H^* = G \circ h\) 꼴임을 보인다. 여기서 \(G\)는 \(M_k\)에서 \(H^*\)의 계수체 위 등급 벡터공간 범주로 가는 대칭 모노이드 함자이다.

절 0FH4에서는 닫혀 있지 않은 체 위의 사이클군에 관한 몇 가지 보조정리를 증명한다. 이 결과들은 임의의 체 위의 매끄러운 사영 스킴에 대한 Weil 코호몰로지 이론을 논의할 때 사용된다.

일반적인 기초체 \(k\) 위의 Weil 코호몰로지 이론 \(H^*\)에 대한 우리 공리의 동기는 다음과 같다.

1. \(H^* = G \circ h\)이고, \(G\)는 \(M_k\)에서 \(H^*\)의 계수체 \(F\) 위 등급 벡터공간 범주로 가는 대칭 모노이드 함자이다.

2. \(G\)는 Tate 모티브(Lefschetz 모티브의 역)를 차수 \(-2\)에 놓인 \(1\)차원 벡터공간 \(F(1)\)로 보낸다.

3. \(k\)가 대수적으로 닫혀 있을 때에는 \(F(1)\)의 기저원소를 하나 고르는 것을 제외하면 절 0FGS에서 논의한 개념을 되찾아야 한다.

먼저 절 0FHA에서 앞의 두 조건을 분석한다. 이어서 절 0FHN에서 몇 가지 결과를 더 전개한 뒤, 절 0FHY에서 성질 (3)을 얻는 데 필요한 공리를 추가한다.

마지막 절 0FID에서는 사이클류 대신 제1 Chern 류 사상을 사용하는 Weil 코호몰로지 이론의 다른 접근법을 자세히 설명한다. 뒤의 장들에서 특정 코호몰로지 이론이 Weil 코호몰로지 이론임을 증명할 때에는 이 접근법이 가장 적합하다. de Rham 코호몰로지 절 0FWC을 보라.

규약과 표기

\(F\)를 체라 하자. 이 장에서는 \(F\)-등급 벡터공간의 범주를 통상적인 결합 제약과 부호를 포함하는 교환 제약을 갖춘 \(F\)-선형 대칭 모노이드 범주로 본다. 호몰로지 대수학 예 0FFX를 보라.

\(R\)을 환이라 하자. 이 장에서 등급 가환 \(R\)-대수 \(A\)란 미분이 영인 가환 미분 등급 \(R\)-대수 (미분 등급 대수 정의 061V 및 061W)를 뜻한다. 따라서 \(A\)는 \(R\)-부분가군에 의한 등급 \(A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A^n\)을 갖춘 \(R\)-가군이다. \(R\)-쌍선형 곱셈 \[A^n \times A^m \longrightarrow A^{n + m},\quad \alpha \times \beta \longmapsto \alpha \cup \beta\] 을 이 장에서는 컵곱이라 부른다. 교환 제약은 \(\alpha \in A^n\), \(\beta \in A^m\)일 때 \(\alpha \cup \beta = (-1)^{nm} \beta \cup \alpha\)이다. 끝으로 곱셈 단위원 \(1 \in A^0\)이 있다. 동치로 \(A\)의 \(R\)-가군 구조와 호환되는 가법적이고 승법적인 사상 \(R \to A^0\)이 있다.

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 유한형 스킴이라 하자. 유리 동치로 나눈 \(X\)의 \(k\)차원 사이클의 Chow 군 \(\CH_k(X)\)는 Chow 호몰로지 정의 02RW에서 정의했다. \(X\)가 정규이거나 Cohen–Macaulay이면 여차원 \(p\)인 사이클의 Chow 군 \(\CH^p(X)\)도 생각할 수 있다 (Chow 호몰로지 절 0FE2). 이때 \([X] \in \CH^0(X)\)는 \(X\)의 “기본류”를 나타낸다. Chow 호몰로지 주의 0FE4를 보라. \(X\)가 매끄럽고 \(\alpha\), \(\beta\)가 \(X\) 위의 사이클이면 \(\alpha \cdot \beta\)는 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 교차곱을 나타낸다. Chow 호몰로지 절 0FC0를 보라.

대응

\(k\)를 체라 하자. \(k\) 위 스킴 \(X\), \(Y\)에 대해 \(X \times Y\)는 \(k\) 위 스킴의 범주에서 \(X\)와 \(Y\)의 곱을 뜻한다. 이 절에서는 대상이 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이고 사상이 대응인 \(\mathbf{Q}\) 위 등급 범주를 구성한다.

\(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(X = \coprod X_d\)를 \(X\)의 \(\dim(X_d) = d\)인 등차원 열린닫힌 부분스킴들로의 분해라 하자. \(X\)에서 \(Y\)로 가는 차수 \(r\)의 대응들의 \(\mathbf{Q}\)-벡터공간을 다음 공식으로 정의한다. \[\text{Corr}^r(X, Y) = \bigoplus\nolimits_d \CH^{d + r}(X_d \times Y) \otimes \mathbf{Q} \subset \CH^*(X \times Y) \otimes \mathbf{Q}\] \(c \in \text{Corr}^r(X, Y)\)와 \(\beta \in \CH_j(Y) \otimes \mathbf{Q}\)가 주어지면 다음 공식으로 \(c\)에 의한 \(\beta\)의 당김을 정의할 수 있다. \[c^*(\beta) = \text{pr}_{1, *}(c \cdot \text{pr}_2^*\beta) \quad\text{in}\quad \CH_{j - r}(X) \otimes \mathbf{Q}\] 실제로 \(X_d \times Y\) 위에서 \(\text{pr}_2\)는 상대차원 \(d\)의 평탄 사상이므로 \(\text{pr}_2^*\beta\)는 \(X_d \times Y\) 위의 차원 \(d + j\)인 사이클이다. 따라서 \(c \cdot \text{pr}_2^*\beta\)는 \(X_d \times Y\) 위의 차원 \(j - r\)인 사이클이고, 고유 사상 \(\text{pr}_1\)에 의한 그 밀어올림도 같은 차원의 사이클이다. 마찬가지로 여차원에 의한 등급으로 바꾸어 \(\alpha \in \CH^i(X) \otimes \mathbf{Q}\)가 주어지면 다음 공식으로 \(c\)에 의한 \(\alpha\)의 밀어올림을 정의할 수 있다. \[c_*(\alpha) = \text{pr}_{2, *}(c \cdot \text{pr}_1^*\alpha) \quad\text{in}\quad \CH^{i + r}(Y) \otimes \mathbf{Q}\] 실제로 \(\text{pr}_1^*\alpha\)는 \(X \times Y\) 위의 여차원 \(i\)인 사이클이므로 \(c \cdot \text{pr}_1^*\alpha\)는 \(X_d \times Y\) 위의 여차원 \(i + d + r\)인 사이클이고, 이는 \(Y\) 위의 여차원 \(i + r\)인 사이클로 밀어올려진다.

\(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X, Y, Z\)가 주어졌다고 하자. 대응의 합성 \[\text{Corr}^s(Y, Z) \times \text{Corr}^r(X, Y) \longrightarrow \text{Corr}^{r + s}(X, Z)\] 을 \[(c', c) \longmapsto c' \circ c = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*c \cdot \text{pr}_{23}^*c')\] 로 정의한다. 여기서 \(\text{pr}_{12} : X \times Y \times Z \to X \times Y\)는 사영이고, \(\text{pr}_{13}\)과 \(\text{pr}_{23}\)도 마찬가지이다.

보조정리

대응에 대해 다음이 성립한다.

1. 대응의 합성은 \(\mathbf{Q}\)-쌍선형이고 결합적이다.

2. 표준 동형사상 \[\CH_{-r}(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(X, \Spec(k))\] 이 있으며, 이 아래에서 대응에 의한 당김은 합성에 대응한다.

3. 표준 동형사상 \[\CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(\Spec(k), X)\] 이 있으며, 이 아래에서 대응에 의한 밀어올림은 합성에 대응한다.

4. 대응의 합성은 사이클의 밀어올림과 당김에 호환된다.

증명

쌍선형성은 밀어올림과 당김의 선형성 및 교차곱의 쌍선형성에서 바로 따른다. 결합성을 증명하기 위해 \(X, Y, Z, W\)와 \(c \in \text{Corr}(X, Y)\), \(c' \in \text{Corr}(Y, Z)\), \(c'' \in \text{Corr}(Z, W)\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \[\begin{align*} c'' \circ (c' \circ c) & = \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{123, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{123, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{134}_{14, *} \text{pr}^{1234}_{134, *} ((\text{pr}^{1234, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{1234}_{14, *}( (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \end{align*}\] 이다. 여기서 \[p^{1234}_{134} : X \times Y \times Z \times W \to X \times Z \times W \quad\text{and}\quad p^{134}_{14} : X \times Z \times W \to X \times W\] 는 사영을 나타내며, 다른 첨자도 마찬가지이다. 첫 번째 등식은 합성의 정의이다. 두 번째 등식은 Chow 호몰로지 보조정리 02RG에 의해 \(\text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *} = \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}\)이므로 성립한다. 세 번째 등식은 교차곱이 \(p^{1234}_{123}\)의 Gysin 사상(평탄 당김으로 주어진다)과 가환하기 때문에 성립한다. Chow 호몰로지 보조정리 0FFB를 보라. 네 번째 등식은 \(p^{1234}_{134}\)에 대한 사영 공식, 즉 Chow 호몰로지 보조정리 0FFC에서 따른다. 네 번째 등식은 고유 밀어올림이 합성과 호환된다는 것이다. Chow 호몰로지 보조정리 02R5를 보라. 교차곱은 Chow 호몰로지 보조정리 0FC1에 의해 결합적이므로 대응 합성의 결합성이 증명되었다.

(2)와 (3)의 증명은 생략한다. 이는 본질적으로 여러 사이클이 어느 공간에 놓이는지와 어떤 (여)차원을 갖는지를 세심하게 추적하면 된다.

사이클의 밀어올림과 당김에 관한 명제는 \((c' \circ c)^*(\alpha) = c^*((c')^*(\alpha))\)와 \((c' \circ c)_*(\alpha) = (c')_*(c_*(\alpha))\)를 뜻한다. 이는 (1), (2), (3)을 결합하면 따른다.

예

\(f : Y \to X\)를 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴의 사상이라 하자. \(\Gamma_f \subset X \times Y\)를 \(f\)의 그래프라 하자. 더 정확히는 \(\Gamma_f\)는 닫힌 몰입 \[(f, \text{id}_Y) : Y \longrightarrow X \times Y\] 의 상이다. \(X = \coprod X_d\)를 \(X\)의 차원 \(d\)인 등차원 열린닫힌 부분 \(X_d\)들로의 분해라 하자. 그러면 \(\Gamma_f \cap (X_d \times Y)\)의 순여차원은 \(d\)이다. 따라서 \([\Gamma_f] \in \CH^*(X \times Y) \otimes \mathbf{Q}\)는 \(\text{Corr}^0(X \times Y)\)에 속한다. 즉 \([\Gamma_f]\)는 \(X\)에서 \(Y\)로 가는 차수 \(0\)의 대응이다.

보조정리

\(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴들과 위에서 정의한 대응 및 대응의 합성은 \(\mathbf{Q}\) 위의 등급 범주를 이룬다 (미분 등급 대수 정의 09L2).

증명

항등사상의 존재를 제외하면 구성과 보조정리 0FG0에서 모든 것이 명백하다. 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 주어지면 대각선 \(\Delta \subset X \times X\)의 류 \([\Delta]\)를 \(\text{Corr}^0(X, X)\)에서 생각하자. \(\Delta\)는 항등사상 \(\text{id}_X : X \to X\)의 그래프와 같으며, 아래에서 이 사실을 사용한다.

\([\Delta]\)가 항등원 역할을 함을 보이려면 임의의 대응 \(c \in \text{Corr}^r(Y, X)\)와 \(c' \in \text{Corr}^s(X, Y)\)에 대해 \([\Delta] \circ c = c\) 및 \(c' \circ [\Delta] = c'\)임을 보이면 된다. 두 번째 경우에는 \[c' = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*[\Delta] \cdot \text{pr}_{23}^*c')\] 를 보여야 한다. 여기서 \(\text{pr}_{12} : X \times X \times Y \to X \times X\)는 사영이고, \(\text{pr}_{13}\)과 \(\text{pr}_{23}\)도 마찬가지이다. 어떤 정수 닫힌 부분스킴 \(Z_i \subset X \times Y\)와 유리수 \(a_i\)에 대해 \(c' = \sum a_i [Z_i]\)로 쓸 수 있다. 따라서 임의의 \(X \times Y\)의 정수 닫힌 부분스킴 \(Z\)에 대해 \(X \times Y\)의 Chow 군에서 \[[Z] = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*[\Delta] \cdot \text{pr}_{23}^*[Z])\] 임을 보이면 충분함이 명백하다. 두 사영 아래에서 \(Z\)의 상을 포함하는 기약성분으로 \(X\)와 \(Y\)를 각각 바꾸면 \(X\), \(Y\)도 정수라고 가정할 수 있다. 이제 \[[Z] = \text{pr}_{13, *}([\Delta \times Y] \cdot [X \times Z])\] 를 보여야 한다. \(Z\)의 사상 \((\Delta, 1) : X \times Y \to X \times X \times Y\)에 의한 상을 \(Z' \subset X \times X \times Y\)라 하자. 그러면 \(Z'\)은 \(X \times X \times Y\)의 닫힌 부분스킴이고 \(Z\)와 동형이며, 스킴론적으로 \(Z' = \Delta \times Y \cap X \times Z\)이다. Chow 호몰로지 보조정리 0FFD¹ 에 의해 \[[Z'] = [\Delta \times Y] \cdot [X \times Z]\] 이다. 또한 \(Z'\)은 \(\text{pr}_{13}\)에 의해 \(Z\)로 동형적으로 사상되므로 결론이 따른다. \([\Delta] \circ c = c\)의 확인도 마찬가지이므로 생략한다.

보조정리

\(k\) 위 매끄러운 사영 스킴의 범주에서 대응의 범주로 가는 반변 함자가 존재한다. 이 함자는 대상에서는 항등이고, \(f : Y \to X\)를 \([\Gamma_f] \in \text{Corr}^0(X, Y)\)로 보낸다.

증명

보조정리 0FG2의 증명에서 이 구성이 항등사상을 항등사상으로 보냄을 보았다. 증명을 끝내기 위해 \(g : Z \to Y\)가 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴의 또 다른 사상이면 \([\Gamma_g] \circ [\Gamma_f] = [\Gamma_{f \circ g}]\)가 \(\text{Corr}^0(X, Z)\)에서 성립함을 보여야 한다. 보조정리 0FG2의 증명과 같이 논하면 \(X\), \(Y\), \(Z\)가 정수일 때 \(\CH^*(X \times Z)\)에서 \[[\Gamma_{f \circ g}] = \text{pr}_{13, *}([\Gamma_f \times Z] \cdot [X \times \Gamma_g])\] 임을 보이면 충분하다. 닫힌 몰입 \((f \circ g, g, 1) : Z \to X \times Y \times Z\)의 상을 \(Z' \subset X \times Y \times Z\)라 하자. 그러면 스킴론적으로 \(Z' = \Gamma_f \times Z \cap X \times \Gamma_g\)이고, Chow 호몰로지 보조정리 0FFD를 사용하면 다음이 성립한다. \[[Z'] = [\Gamma_f \times Z] \cdot [X \times \Gamma_g]\] \(\text{pr}_{13, *}([Z']) = [\Gamma_{f \circ g}]\)임은 명백하므로 증명이 끝난다.

주

\(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(X\)는 차원 \(d\)인 등차원 스킴이고 \(Y\)는 차원 \(e\)인 등차원 스킴이라고 가정하자. 인자들을 맞바꾸는 동형사상 \(X \times Y \to Y \times X\)는 다음 동형사상을 정한다. \[\text{Corr}^r(X, Y) \longrightarrow \text{Corr}^{d - e + r}(Y, X),\quad c \longmapsto c^t\] 이를 전치라 부른다. 이는 사이클과 사이클류 모두에 작용한다. 때때로 유용한 예로, 사상 \(f : Y \to X\)의 그래프의 전치는 \([\Gamma_f]^t = [\Gamma_f^t]\)이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴들의 사상이라 하고, \([\Gamma_f] \in \text{Corr}^0(X, Y)\)를 예 0FG1에서와 같이 두자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 대응 \([\Gamma_f]\)에 의한 사이클의 밀어올림은 Gysin 사상 \(f^! : \CH^*(X) \to \CH^*(Y)\)과 일치한다.

2. 대응 \([\Gamma_f]\)에 의한 사이클의 당김은 밀어올림 사상 \(f_* : \CH_*(Y) \to \CH_*(X)\)과 일치한다.

3. \(X\)와 \(Y\)가 각각 차원 \(d\)와 \(e\)인 등차원 스킴이면 다음이 성립한다.

   1. 주의 0FG4의 대응 \([\Gamma_f^t]\)에 의한 사이클의 밀어올림은 \(f\)에 의한 사이클의 밀어올림에 대응한다.

   2. 주의 0FG4의 대응 \([\Gamma_f^t]\)에 의한 사이클의 당김은 Gysin 사상 \(f^!\)에 대응한다.

증명

(1)의 증명. 다음을 상기하자. \([\Gamma_f]_*(\alpha) = \text{pr}_{2, *}([\Gamma_f] \cdot \text{pr}_1^*\alpha)\). 또한 \[[\Gamma_f] \cdot \text{pr}_1^*\alpha = (f, 1)_*((f, 1)^! \text{pr}_1^*\alpha) = (f, 1)_*((f, 1)^! \text{pr}_1^!\alpha) = (f, 1)_*(f^!\alpha)\] 이다. 첫 번째 등식은 Chow 호몰로지 보조정리 0FFE에 따른다. 두 번째 등식은 Chow 호몰로지 보조정리 0FF4에 따른다. 세 번째 등식은 \(\text{pr}_1 \circ (f, 1) = f\)이고 Chow 호몰로지 보조정리 0FF5를 적용하면 얻는다. 이제 \(\text{pr}_{2, *} \circ (f, 1)_* = 1_*\)이 Chow 호몰로지 보조정리 02R5에서 따르므로 결론을 얻는다.

(2)의 증명. 다음을 상기하자. \([\Gamma_f]_*(\beta) = \text{pr}_{1, *}([\Gamma_f] \cdot \text{pr}_2^*\beta)\). 위와 똑같이 논하면 \[[\Gamma_f] \cdot \text{pr}_2^*\beta = (f, 1)_*\beta\] 를 얻는다. 따라서 앞과 같이 결과가 따른다.

(3)의 증명도 위와 완전히 같은 방식으로 한다.

예

\(X = \mathbf{P}^1_k\)라 하자. 그러면 \[\text{Corr}^0(X, X) = \CH^1(X \times X) \otimes \mathbf{Q} = \CH_1(X \times X) \otimes \mathbf{Q}\] 이다. \(k\)-유리점 \(x \in X\)를 하나 고르고 사이클 \(c_0 = [x \times X]\)와 \(c_2 = [X \times x]\)를 생각하자. 계산하면 \(\text{Corr}^0(X, X)\)에서 \(1 = [\Delta] = c_0 + c_2\)이고, 합성에 대해 다음 규칙들이 성립한다. \(c_0 \circ c_0 = c_0\), \(c_0 \circ c_2 = 0\), \(c_2 \circ c_0 = 0\), 그리고 \(c_2 \circ c_2 = c_2\). 다시 말해 \(c_0\)와 \(c_2\)는 대수 \(\text{Corr}^0(X, X)\)의 서로 직교하는 멱등원이며, 실제로 \(\mathbf{Q}\)-대수로서 \[\text{Corr}^0(X, X) = \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}\] 를 얻는다.

대응의 범주는 대칭 모노이드 범주이다. \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)와 \(Y\)가 주어지면 \(X \otimes Y = X \times Y\)로 정의한다. \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 네 개 \(X, X', Y, Y'\)에 대해 텐서곱을 \[\otimes : \text{Corr}^r(X, Y) \times \text{Corr}^{r'}(X', Y') \longrightarrow \text{Corr}^{r + r'}(X \times X', Y \times Y')\] 다음 규칙으로 정의한다. \[(c, c') \longmapsto c \otimes c' = \text{pr}_{13}^*c \cdot \text{pr}_{24}^*c'\] 여기서 \(\text{pr}_{13} : X \times X' \times Y \times Y' \to X \times Y\)와 \(\text{pr}_{24} : X \times X' \times Y \times Y' \to X' \times Y'\)는 사영이다. 결합 제약으로는 \[X \otimes (Y \otimes Z) = (X \otimes Y) \otimes Z\] 라는 스킴 곱의 통상적인 결합 제약을 사용한다. 교환 제약은 인자를 맞바꾸는 동형사상 \(X \times Y \to Y \times X\)로 주어진다.

보조정리

위에서 정의한 대응의 텐서곱은 대응의 범주를 단위원 \(\Spec(k)\)를 갖는 대칭 모노이드 범주로 만든다.

증명

생략한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴들의 사상이라 하자. \(X\)와 \(Y\)는 각각 차원 \(d\)와 \(e\)인 등차원 스킴이라고 가정하자. \(a = [\Gamma_f] \in \text{Corr}^0(X, Y)\) 및 \(a^t = [\Gamma_f^t] \in \text{Corr}^{d - e}(Y, X)\)로 두고, \(\eta_X = [\Gamma_{X \to X \times X}] \in \text{Corr}^0(X \times X, X)\), \(\eta_Y = [\Gamma_{Y \to Y \times Y}] \in \text{Corr}^0(Y \times Y, Y)\), \([X] \in \text{Corr}^{-d}(X, \Spec(k))\), 그리고 \([Y] \in \text{Corr}^{-e}(Y, \Spec(k))\)로 두자. 도식 \[\xymatrix{ X \otimes Y \ar[r]_{a \otimes \text{id}} \ar[d]_{\text{id} \otimes a^t} & Y \otimes Y \ar[r]_{\eta_Y} & Y \ar[d]^{[Y]} \\ X \otimes X \ar[r]^{\eta_X} & X \ar[r]^{[X]} & \Spec(k) }\] 은 대응의 범주에서 가환한다.

증명

임의의 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴 \(W\)에 대해 \(\text{Corr}^r(W, \Spec(k)) = \CH_{-r}(W)\)임을 상기하자. \(c \in \text{Corr}^s(W', W)\)가 주어지면 \(c\)와의 합성은 사상 \(\CH_{-r}(W) \to \CH_{-r - s}(W')\)로서 \(c\)에 의한 당김과 일치한다 (보조정리 0FG0). 끝으로 보조정리 0FG5는 이를 통상적인 사이클의 밀어올림과 당김으로 바꾸는 방법을 알려 준다. 한편 \[(a \otimes \text{id})^* \eta_Y^* [Y] = (a \otimes \text{id})^* [\Delta_Y] = (f \times \text{id})_*\Delta_Y = [\Gamma_f]\] 이고, 반대 방향으로는 \[(\text{id} \otimes a^t)^* \eta_X^* [X] = (\text{id} \otimes a^t)^* [\Delta_X] = (\text{id} \times f)^![\Delta_X] = [\Gamma_f]\] 를 얻는다. 마지막 등식은 Chow 호몰로지 보조정리 0FF7에서 따른다. 즉 도식의 어느 경로를 따라가도 사이클 \(\Gamma_f \subset X \times Y\)에 대응하는 \(\text{Corr}^d(X \times Y, \Spec(k))\)의 원소를 얻는다.

Chow 모티브

기초체 \(k\)를 고정하자. 이 절에서는 대칭 모노이드 구조와 반변 함자 \[h : \{\text{smooth projective schemes over }k\} \longrightarrow M_k\] 를 갖춘 가법적 Karoubian \(\mathbf{Q}\)-선형 범주 \(M_k\)를 구성한다. 이 함자는 곱을 텐서곱으로, 서로소 합을 직합으로 보낸다. 우리의 구성은 다음 성질로 특징지어진다. 즉 \(h\)는 대상이 매끄러운 사영 다형체이고 사상이 차수 \(0\)의 대응인 대칭 모노이드 범주를 거쳐 분해되며, 예 0FG6의 \(h(\mathbf{P}^1_k)\) 위 사영자 \(c_2\)의 상은 \(M_k\)에서 가역이다. 보조정리 0FGH를 보라. 절의 끝에서는 모든 모티브, 즉 \(M_k\)의 모든 대상이 (왼쪽) 쌍대를 가짐을 보인다. 보조정리 0FGJ을 보라.

\(k\) 위의 모티브 또는 Chow 모티브란 다음 삼중항 \((X, p, m)\)이다.

1. \(X\)는 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이다.

2. \(p \in \text{Corr}^0(X, X)\)는 \(p \circ p = p\)를 만족한다.

3. \(m \in \mathbf{Z}\)이다.

두 번째 모티브 \((Y, q, n)\)가 주어졌을 때, 모티브의 사상 또는 Chow 모티브의 사상을 다음 집합의 원소로 정의한다. \[\Hom((X, p, m), (Y, q, n)) = q \circ \text{Corr}^{n - m}(X, Y) \circ p \subset \text{Corr}^{n - m}(X, Y)\] 모티브 사상의 합성은 위에서 정의한 대응의 합성을 사용하여 정의한다.

보조정리

대상이 \(k\) 위의 모티브이고 사상이 \(k\) 위의 모티브 사상인 범주 \(M_k\)는 \(\mathbf{Q}\)-선형 범주이다. 또한 다음과 같이 정의되는 반변 함자가 존재한다. \[h : \{\text{smooth projective schemes over }k\} \longrightarrow M_k\] \(h(X) = (X, 1, 0)\)이고 \(h(f) = [\Gamma_f]\)이다.

증명

보조정리 0FG3에서 바로 따른다.

보조정리

범주 \(M_k\)는 Karoubian이다.

증명

\(M = (X, p, m)\)을 모티브라 하고, \(a \in \Mor(M, M)\)를 사영자라 하자. 그러면 \(\Mor(M, M)\)에서뿐 아니라 \(\text{Corr}^0(X, X)\)에서도 \(a = a \circ a\)이다. \(N = (X, a, m)\)으로 두자. \(\text{Corr}^0(X, X)\)에서 \(a = p \circ a \circ a\)이므로 \(a : N \to M\)은 \(M_k\)의 사상이다. 다음으로 \((1 - a) \circ b = 0\)을 만족하는 사상 \(b : (Y, q, n) \to M\)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(b = a \circ b\)이고 \(b = b \circ q\)이다. 따라서 \(b\)는 사상 \(b : (Y, q, n) \to N\)이기도 하다. 이로부터 사영자 \(1 - a\)가 핵 \(N\)을 가짐을 알 수 있으므로 \(M_k\)는 Karoubian이다. 호몰로지 대수학 정의 09SG을 보라.

함자 \[\otimes : M_k \times M_k \longrightarrow M_k\] 를 정의하자. 대상에서는 다음 공식을 사용한다. \[(X, p, m) \otimes (Y, q, n) = (X \times Y, p \otimes q, m + n)\] 사상에서는 \[\xymatrix{ \Mor((X, p, m), (Y, q, n)) \times \Mor((X', p', m'), (Y', q', n')) \ar[d] \\ \Mor( (X \times X', p \otimes p', m + m'), (Y \times Y', q \otimes q', n + n')) }\] 를 다음 규칙으로 사용한다. \((a, a') \longmapsto a \otimes a'\) 여기서 대응의 \(\otimes\)는 절 0FFZ에서와 같다. 이 정의가 타당함을 보자. 모티브 사상의 정의에 의해 \(a = q \circ c \circ p\) 및 \(a' = q' \circ c' \circ p'\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(c \in \text{Corr}^{n - m}(X, Y)\)이고 \(c' \in \text{Corr}^{n' - m'}(X', Y')\)이다. 그러면 \[a \otimes a' = (q \circ c \circ p) \otimes (q' \circ c' \circ p') = (q \otimes q') \circ (c \otimes c') \circ (p \otimes p')\] 를 얻으며, 이는 실제로 \((X \times X', p \otimes p', m + m')\)에서 \((Y \times Y', q \otimes q', n + n')\)로 가는 모티브 사상이다.

보조정리

위에서 정의한 텐서곱을 갖춘 범주 \(M_k\)는 명백한 결합 및 교환 제약과 단위원 \(\mathbf{1} = (\Spec(k), 1, 0)\)를 갖는 대칭 모노이드 범주이다.

증명

보조정리 0FG7에서 쉽게 따른다. 세부사항은 생략한다.

모티브 \(\mathbf{1}(n) = (\Spec(k), 1, n)\)는 유용하다. 다음을 주목하자. \[\mathbf{1} = \mathbf{1}(0) \quad\text{and}\quad \mathbf{1}(n + m) = \mathbf{1}(n) \otimes \mathbf{1}(m)\] 따라서 \(\mathbf{1}(1)\)과의 텐서곱은 모티브 범주의 자기동치이다. 모티브 \(M\)이 주어지면 때때로 \(M(n) = M \otimes \mathbf{1}(n)\)으로 쓴다. \(M = (X, p, m)\)이면 \(M(n) = (X, p, m + n)\)임을 주목하자.

보조정리

예 0FG6의 표기를 사용하자.

1. 모티브 \((X, c_0, 0)\)는 모티브 \(\mathbf{1} = (\Spec(k), 1, 0)\)와 동형이다.

2. 모티브 \((X, c_2, 0)\)는 모티브 \(\mathbf{1}(-1) = (\Spec(k), 1, -1)\)와 동형이다.

증명

이후 별도 언급 없이 보조정리 0FG3를 사용한다. 구조사상 \(X \to \Spec(k)\)는 대응 \(a \in \text{Corr}^0(\Spec(k), X)\)를 준다. 한편 유리점 \(x\)는 사상 \(\Spec(k) \to X\)이고, 이는 대응 \(b \in \text{Corr}^0(X, \Spec(k))\)를 준다. \(\Spec(k)\) 위의 대응으로 \(b \circ a = 1\)이다. 합성 \(a \circ b\)는 합성 \(X \to x \to X\)의 그래프에 대응하며, 이는 \(c_0 = [x \times X]\)이다. 따라서 \(a = a \circ b \circ a = c_0 \circ a\)이고 \(b = b \circ a \circ b = b \circ c_0\)이다. 정의를 풀어 쓰면 \(a\)와 \(b\)는 서로 역인 사상 \(a : (\Spec(k), 1, 0) \to (X, c_0, 0)\) 및 \(b : (X, c_0, 0) \to (\Spec(k), 1, 0)\)임을 알 수 있다.

두 번째 명제를 증명하기 위해 위와 똑같이 진행한다. 다음 류를 나타내자. \[a' \in \text{Corr}^1(\Spec(k), X) = \CH^1(X)\] 이는 점 \(x\)의 류이다. 또한 \[b' \in \text{Corr}^{-1}(X, \Spec(k)) = \CH_1(X)\] 는 \([X]\)의 류이다. \(X = \Spec(k) \times X \times \Spec(k)\) 위에서 \([x] \cdot [X] = [x]\)이므로 \(\Spec(k)\) 위의 대응으로 \(b' \circ a' = 1\)이다. \(X \times \Spec(k) \times X\) 위의 교차곱 \(\text{pr}_{12}^*b' \cdot \text{pr}_{23}^*a'\)를 계산하면 사이클 \(X \times \Spec(k) \times x\)를 얻는다. 따라서 합성 \(a' \circ b'\)는 \(X\) 위의 대응으로 \(c_2\)와 같다. 그러므로 \(a' = a' \circ b \circ a' = c_2 \circ a'\)이고 \(b' = b' \circ a' \circ b' = b' \circ c_2\)이다. 다음을 상기하자. \[\Mor((\Spec(k), 1, -1), (X, c_2, 0)) = c_2 \circ \text{Corr}^1(\Spec(k), X) \subset \text{Corr}^1(\Spec(k), X)\] 그리고 \[\Mor((X, c_2, 0), (\Spec(k), 1, -1)) = \text{Corr}^{-1}(X, \Spec(k)) \circ c_2 \subset \text{Corr}^{-1}(X, \Spec(k))\] 따라서 \(a'\)와 \(b'\)는 서로 역인 사상 \(a' : (\Spec(k), 1, -1) \to (X, c_2, 0)\) 및 \(b' : (X, c_2, 0) \to (\Spec(k), 1, -1)\)임을 알 수 있다.

주

\(X = \mathbf{P}^1_k\)라 하고 \(c_2\)를 예 0FG6에서와 같이 두자. 문헌에서는 모티브 \((X, c_2, 0)\)를 때때로 Lefschetz 모티브라 부르며, 참고문헌에 따라 이를 \(L\), \(\mathbf{L}\), \(\mathbf{Q}(-1)\) 또는 \(h^2(\mathbf{P}^1_k)\)로 표기한다. 보조정리 0FGD에 의해 Lefschetz 모티브는 \(\mathbf{1}(-1)\)과 동형이다. 따라서 Lefschetz 모티브는 가역이고 (범주론 정의 0FFN), 그 역은 \(\mathbf{1}(1)\)이다. 모티브 \(\mathbf{1}(1)\)은 때때로 Tate 모티브라 부르며, 참고문헌에 따라 이를 \(L^{-1}\), \(\mathbf{L}^{-1}\), \(\mathbf{T}\) 또는 \(\mathbf{Q}(1)\)로 표기한다.

보조정리

범주 \(M_k\)는 가법적이다.

증명

\((Y, p, m)\)과 \((Z, q, n)\)을 모티브라 하자. \(n = m\)이면 명백한 표기 아래 \((Y \amalg Z, p + q, m)\)이 직합을 준다. 세부사항은 생략한다.

\(n < m\)이라고 하자. \(X\), \(c_2\)를 예 0FG6에서와 같이 두자. 그러면 다음을 생각한다. \[\begin{align*} (Z, q, n) & = (Z, q, m) \otimes (\Spec(k), 1, -1) \otimes \ldots \otimes (\Spec(k), 1, -1) \\ & \cong (Z, q, m) \otimes (X, c_2, 0) \otimes \ldots \otimes (X, c_2, 0) \\ & \cong (Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m) \end{align*}\] 여기서 보조정리 0FGD를 사용했다. 이로써 첫 번째 문단에서 다룬 경우로 환원된다.

보조정리

\(M_k\)에서 \(h(\mathbf{P}^1_k) \cong \mathbf{1} \oplus \mathbf{1}(-1)\)이다.

증명

예 0FG6과 보조정리 0FGD에서 따른다.

보조정리

\(X\), \(c_2\)를 예 0FG6에서와 같이 두자. \(\mathcal{C}\)를 \(\mathbf{Q}\)-선형 Karoubian 대칭 모노이드 범주라 하자. 대칭 모노이드 범주의 임의의 \(\mathbf{Q}\)-선형 함자 \[F : \left\{ \begin{matrix} \text{smooth projective schemes over }k\\ \text{morphisms are correspondences of degree }0 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \mathcal{C}\] 가 \(F(X)\) 위 \(F(c_2)\)의 상을 가역 대상으로 보낸다고 하자. 그러면 이 함자는 대칭 모노이드 범주의 함자 \(F : M_k \to \mathcal{C}\)를 통해 유일하게 분해된다.

증명

보조정리의 명제에서 존재한다고 가정한 \(\mathcal{C}\)의 가역 대상을 \(U\)라 하자. 다음과 같이 두어 \(F\)를 모티브로 확장한다. \[F(X, p, m) = \left(\text{the image of the projector }F(p)\text{ in }F(X)\right) \otimes U^{\otimes -m}\] \(U\)가 가역이고 \(\mathcal{C}\)가 Karoubian이므로 이는 잘 정의된다. 이 선택의 중요한 성질은 \(F(X, c_2, 0) = U\)라는 것이다. 또한 \[\begin{align*} F((X, p, m) \otimes (Y, q, n)) & = F(X \times Y, p \otimes q, m + n) \\ & = \left(\text{the image of }F(p \otimes q)\text{ in }F(X \times Y)\right) \otimes U^{\otimes -m - n} \\ & = F(X, p, m) \otimes F(Y, q, n) \end{align*}\] 이다. 따라서 우리의 규칙은 대상 수준에서 텐서곱과 호환된다 (세부사항은 생략한다).

이제 \(F\)를 모티브의 사상으로 확장하자. 사상 \[a \in \Hom((Y, p, m), (Z, q, n)) = q \circ \text{Corr}^{n - m}(Y, Z) \circ p \subset \text{Corr}^{n - m}(Y, Z)\] 가 주어졌다고 하자. \(n = m\)이면 \(a\)는 차수 \(0\)의 대응이므로 \(F(a) : F(Y) \to F(Z)\)를 사용하여 원하는 사상 \(F(Y, p, m) \to F(Z, q, n)\)을 얻는다. \(n < m\)이면 표준 동형사상들을 다음과 같이 얻는다. \[\begin{align*} s : F((Z, q, n)) & \to F(Z, q, m) \otimes U^{m - n} \\ & \to F(Z, q, m) \otimes F(X, c_2, 0) \otimes \ldots \otimes F(X, c_2, 0) \\ & \to F((Z, q, m) \otimes (X, c_2, 0) \otimes \ldots \otimes (X, c_2, 0)) \\ & \to F((Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m)) \end{align*}\] 첫 번째 동형사상에는 위에서 정한 모티브 위 \(F\)의 정의를 사용한다. 두 번째에는 \(U\)의 선택을, 세 번째에는 모티브 텐서곱 위 \(F\)의 호환성을 사용한다. 네 번째는 모티브 텐서곱의 정의이다. 한편 마찬가지로 동형사상 \[\sigma : (Z, q, n) \to (Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m)\] 도 있다(보조정리 0FGF의 증명을 보라). \(a\)와 이 동형사상을 합성하면 \[\sigma \circ a \in \Hom((Y, p, m), (Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m))\] 를 얻는다. 이들을 모두 합치면 \[s^{-1} \circ F(\sigma \circ a) : F(Y, p, m) \to F(Z, q, n)\] 를 얻는다. \(n > m\)이면 마찬가지로 동형사상 \[t : F((Y, p, m)) \to F((Y \times X^{n - m}, p \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, n))\] 및 \[\tau : (Y, p, m)) \to (Y \times X^{n - m}, p \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, n)\] 을 정의하고 \(F(a) = F(a \circ \tau^{-1}) \circ t\)로 둔다. 이 구성이 대칭 모노이드 범주의 함자를 정의한다는 확인은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 \(k\) 위의 차원 \(d\)인 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \(M_k\)에서 \(h(X)(d)\)는 \(h(X)\)의 왼쪽 쌍대이다.

증명

이후 별도 언급 없이 보조정리 0FG0를 사용한다. 다음을 계산한다. \[\Hom(\mathbf{1}, h(X) \otimes h(X)(d)) = \text{Corr}^d(\Spec(k), X \times X) = \CH^d(X \times X)\] 여기서 \(\eta = [\Delta]\)이다. 한편 \[\Hom(h(X)(d) \otimes h(X), \mathbf{1}) = \text{Corr}^{-d}(X \times X, \Spec(k)) = \CH_d(X \times X)\] 이고, 여기서도 \(\epsilon = [\Delta]\)는 대각선의 류이다. 대응 \([\Delta] \otimes 1\)과 \(1 \otimes [\Delta]\)를 어느 순서로 합성해도 \(\text{Corr}^0(X, X)\)에서 대응 \([\Delta] = 1\)을 얻는다. 따라서 범주론 정의 0FFP에서 요구되는 도식들이 가환한다. 구체적으로, \[[\Delta] \otimes 1 \in \text{Corr}^d(X, X \times X \times X) = \CH^{2d}(X \times X \times X \times X)\] 는 명백한 표기 아래 사이클 \(\text{pr}^{1234, -1}_{23}(\Delta) \cap \text{pr}^{1234, -1}_{14}(\Delta)\)의 류로 주어진다. 마찬가지로 \[1 \otimes [\Delta] \in \text{Corr}^{-d}(X \times X \times X, X) = \CH^{2d}(X \times X \times X \times X)\] 는 사이클 \(\text{pr}^{1234, -1}_{23}(\Delta) \cap \text{pr}^{1234, -1}_{14}(\Delta)\)의 류로 주어진다. 합성 \((1 \otimes [\Delta]) \circ ([\Delta] \otimes 1)\)은 정의에 의해 다음 교차곱의 밀어올림 \(\text{pr}^{12345}_{15, *}\)이다. \[[\text{pr}^{12345, -1}_{23}(\Delta) \cap \text{pr}^{12345, -1}_{14}(\Delta)] \cdot [\text{pr}^{12345, -1}_{34}(\Delta) \cap \text{pr}^{12345, -1}_{15}(\Delta)] = [\text{small diagonal in } X^5]\] 이는 원하는 대로 \(\Delta\)와 같다. 반대 순서의 합성에 대한 공식의 증명은 생략한다.

보조정리

\(M_k\)의 모든 대상은 왼쪽 쌍대를 갖는다.

증명

\(M = (X, p, m)\)을 \(M_k\)의 대상이라 하자. 그러면 \(M\)은 \((X, 1, m) = h(X)(m)\)의 직합인자이다. 호몰로지 대수학 보조정리 0FFU에 의해 \(h(X)(m) = h(X) \otimes \mathbf{1}(m)\)이 쌍대를 가짐을 보이면 충분하다. 구성상 \(\mathbf{1}(-m)\)은 \(\mathbf{1}(m)\)의 왼쪽 쌍대이다. 따라서 \(h(X)\)가 왼쪽 쌍대를 가짐을 보이면 충분하다. 범주론 보조정리 0FFS을 보라. \(X = \coprod X_i\)를 \(X\)의 기약성분들로의 분해라 하자. 그러면 \(h(X) = \bigoplus h(X_i)\)이고, 호몰로지 대수학 보조정리 0FFT에 의해 각 \(h(X_i)\)가 왼쪽 쌍대를 가짐을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0FGI에서 따른다.

모티브의 Chow 군

모티브의 Chow 군을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(k\)를 기초체라 하고 \(M = (X, p, m)\)을 \(k\) 위의 Chow 모티브라 하자. \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(M\)의 \(i\)번째 Chow 군을 다음 공식으로 정의한다. \[\CH^i(M) = p\left(\CH^{i + m}(X) \otimes \mathbf{Q}\right)\]

\(X\)가 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이면 \(\CH^i(h(X)) = \CH^i(X) \otimes \mathbf{Q}\)이다.

\(\CH^i(-)\)는 \(M_k\)에서 \(\mathbf{Q}\)-벡터공간으로 가는 함자임을 주목하자. 실제로 모티브 \(M = (X, p, m)\)에서 \(N = (Y, q, n)\)으로 가는 모티브 사상 \(c : M \to N\)이 주어지면, \(c\)는 \(X\)에서 \(Y\)로 가는 차수 \(n - m\)의 대응이다. 따라서 \(c\)에 의한 밀어올림(절 0FFZ)은 다음 사상들의 족이다. \[c_* : \CH^{i + m}(X) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow \CH^{i + n}(Y) \otimes \mathbf{Q}\] 모티브 사상의 정의에 의해 \(c = q \circ c \circ p\)이므로 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 실제로 \[c_* : \CH^i(M) \to \CH^i(N)\] 를 얻는다. 이것은 보조정리 0FG0에 의해 모티브 사상의 합성과 호환된다. Chow 군의 이 함자성은 다음 보조정리에서도 도출할 수 있다.

보조정리

\(k\)를 기초체라 하자. 모티브의 범주 \(M_k\) 위 함자 \(\CH^i(-)\)는 \(\mathbf{1}(-i)\)로 표현된다. 즉 \(M_k\)의 \(M\)에 대해 함자적으로 \[\CH^i(M) = \Hom_{M_k}(\mathbf{1}(-i), M)\] 이다.

증명

정의와 보조정리 0FG0에서 바로 따른다.

독자는 보조정리 0FGM, Yoneda 보조정리, 그리고 보조정리 0FGI의 쌍대성을 사용하여 다음을 얻을 수 있음을 예상할 수 있다.

보조정리

\(k\)를 기초체라 하고 \(c : M \to N\)을 모티브의 사상이라 하자. 모든 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 사상 \(c \otimes 1 : M \otimes h(X) \to N \otimes h(X)\)가 Chow 군 위 동형사상을 유도한다면, \(c\)는 동형사상이다.

증명

\(M_k\)의 임의의 대상 \(L\)은 어떤 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴 \(X\)와 어떤 \(m \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(h(X)(m)\)의 직합인자이다. \(M \otimes h(X)(m)\)의 Chow 군은 차수 이동을 제외하면 \(M \otimes h(X)\)의 Chow 군과 같다. 따라서 우리의 가정에 의해 모든 \(M_k\)의 대상 \(L\)에 대해 \(c \otimes 1 : M \otimes L \to N \otimes L\)은 Chow 군 위 동형사상을 유도한다. 보조정리 0FGM에 의해 모든 \(L\)에 대해 \[\Hom_{M_k}(\mathbf{1}, M \otimes L) \to \Hom_{M_k}(\mathbf{1}, N \otimes L)\] 은 동형사상이다. \(M_k\)의 모든 대상은 왼쪽 쌍대를 가지므로 (보조정리 0FGJ), 모든 \(M_k\)의 대상 \(K\)에 대해 \[\Hom_{M_k}(K, M) \to \Hom_{M_k}(K, N)\] 은 동형사상이다. 범주론 보조정리 0FFQ를 보라. Yoneda 보조정리 (범주론 보조정리 001P)로 결론을 얻는다.

사영공간 다발 공식

\(k\)를 기초체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 계수 \(r\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 우리의 규약에서 \(\mathcal{E}\)에 연관된 사영다발은 다음 \(X\) 위의 사상이다. \[\xymatrix{ P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-p & X }\] 여기서 \(p_*(\mathcal{O}_P(1)) = \mathcal{E}\)가 되도록 \(\mathcal{O}_P(1)\)을 정규화한다. 다음을 상기하자. \[[\Gamma_p] \in \text{Corr}^0(X, P) \subset \CH^*(X \times P) \otimes \mathbf{Q}\] 예 0FG1을 보라. \(i = 0, \ldots, r - 1\)에 대해 대응 \[c_i = c_1(\text{pr}_2^*\mathcal{O}_P(1))^i \cap [\Gamma_p] \in \text{Corr}^i(X, P)\] 을 생각하자. \(c_i\)를 사상 \(h(X)(-i) \to h(P)\)로 생각할 수 있고 그렇게 하기로 한다.

보조정리

위의 상황에서 사상 \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} c_i : \bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} h(X)(-i) \longrightarrow h(P)\] 은 모티브의 범주에서 동형사상이다.

증명

보조정리 0FGN에 의해 임의의 매끄러운 사영 스킴 \(Z\)와 곱을 취한 뒤 우리의 사상이 모티브의 Chow 군 위 동형사상을 정의함을 보이면 충분하다. \(P \times Z \to X \times Z\)는 \(X \times Z\)로 당긴 \(\mathcal{E}\)에 연관된 사영다발임을 주목하자. 따라서 Chow 군에 관한 명제는 Chow 호몰로지 보조정리 02TX의 사영공간 다발 공식에서 따른다. 구체적으로, 보조정리 0FG5와 Chow 호몰로지 보조정리 0FF4에 의해 \([\Gamma_p]\)를 따른 사이클의 밀어올림은 \(p\)에 의한 사이클의 당김이다. 따라서 \(c_i\)를 따른 밀어올림은 \(\alpha\)를 \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap p^*\alpha\)로 보낸다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

위의 상황에서 \(j = 0, \ldots, r - 1\)에 대해 대응 \[c'_j = c_1(\text{pr}_1^*\mathcal{O}_P(1))^{r - 1 - j} \cap [\Gamma_p^t] \in \text{Corr}^{-j}(P, X)\] 을 생각하자. \(i, j \in \{0, \ldots, r - 1\}\)에 대해 \[c'_j \circ c_i = \text{pr}_{13, *}\left( c_1(\text{pr}_2^*\mathcal{O}_P(1))^{i + r - 1 - j} \cap (\text{pr}_{12}^*[\Gamma_p] \cdot \text{pr}_{23}^*[\Gamma_p^t]) \right)\] 이다. 사이클 \(\text{pr}_{12}^{-1}\Gamma_p\)와 \(\text{pr}_{23}^{-1}\Gamma_p^t\)는 횡단적으로 교차하고, 그 교차는 \((p, 1, p) : P \to X \times P \times X\)의 상과 같다. 사상 \((p, p) = \text{pr}_{13} \circ (p, 1, p) : P \to X \times X\)의 올은 차원 \(r - 1\)임을 주목하자. 따라서 \(i + r - 1 - j < r - 1\), 즉 \(i < j\)이면 \(c'_j \circ c_i = 0\)임을 즉시 얻는다. 한편 사영공간 다발 공식 (Chow 호몰로지 보조정리 02TX)에 의해 사이클 \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap [P]\)는 \(X\)에서 \([X]\)로 사상된다. 따라서 \(i = j\)이면 위의 밀어올림은 대각선의 류를 주므로 모든 \(i \in \{0, \ldots, r - 1\}\)에 대해 \[c'_i \circ c_i = 1 \in \text{Corr}^0(X, X)\] 임을 알 수 있다. 따라서 합성 \[\bigoplus h(X)(-i) \xrightarrow{\bigoplus c_i} h(P) \xrightarrow{\bigoplus c'_j} \bigoplus h(X)(-j)\] 의 행렬은 가역이다(대각성분이 \(1\)인 상삼각행렬이다). 사영공간 다발 공식(보조정리 0FGQ)으로부터 반대 방향의 합성도 가역임을 얻지만, 이를 직접 증명하는 것은 조금 더 어려워 보인다.

보조정리

\(p : P \to X\)를 보조정리 0FGQ에서와 같이 두자. \(\CH^*(P \times P)\)에서 \(P\)의 대각선의 류 \([\Delta_P]\)는 다음과 같이 쓸 수 있다. \[[\Delta_P] = \left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} {r - 1 \choose i} c_{r - 1 - i}(\text{pr}_1^*\mathcal{S}^\vee) \cap c_1(\text{pr}_2^*\mathcal{O}_P(1))^i\right) \cap (p \times p)^*[\Delta_X]\] 여기서 \(\mathcal{S}\)는 표준 전사 \(p^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_P(1)\)의 핵이다.

증명

\((p \times p)^*[\Delta_X] = [P \times_X P]\)임을 주목하자. \(\Delta_P \subset P \times_X P \subset P \times P\)이고 Chern 류와의 캡곱은 고유 밀어올림과 가환하므로(Chow 호몰로지 보조정리 02U9), \(\CH^*(P \times_X P)\)에서 \(\Delta_P \subset P \times_X P\)의 류가 \[\left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} {r - 1 \choose i} c_{r - 1 - i}(q_1^*\mathcal{S}^\vee) \cap c_1(q_2^*\mathcal{O}_P(1))^i\right) \cap [P \times_X P]\] 와 같음을 보이면 충분하다. 여기서 \(q_i : P \times_X P \to P\), \(i = 1, 2\)는 사영이다. \(q = p \circ q_1 = p \circ q_2 : P \times_X P \to X\)로 두고, 사상 \[q_1^*\mathcal{S} \otimes q_2^*\mathcal{O}_P(-1) \to q^*\mathcal{E} \otimes q^*\mathcal{E}^\vee \to \mathcal{O}_{P \times_X P}\] 을 생각하자. 마지막 화살표는 평가 사상 \(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}^\vee \to \mathcal{O}_X\)를 \(q\)로 당긴 것이다. 합성의 원천은 계수 \(r - 1\)인 국소 자유 가군이고, 국소 계산으로 이 사상이 정확히 \(\Delta_P\) 위에서 영이 됨을 알 수 있다. Chow 호몰로지 보조정리 0FA9에 의해 \([\Delta_P]\)는 다음 쌍대의 최고차 Chern 류이다. \[q_1^*\mathcal{S}^\vee \otimes q_2^*\mathcal{O}_P(1)\] 원하는 결과는 Chow 호몰로지 보조정리 02UD에서 따른다.

고전적 Weil 코호몰로지 이론

이 절에서는 우리가 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 부를 개념을 정의한다. 이는 [Kleiman-cycles, Section 1.2]에서 Weil 코호몰로지 이론이라 부르는 것과 정확히 같다.

대수적으로 닫힌 체 \(k\)(기초체)를 고정한다. 이 절에서 다형체는 \(k\) 위의 다형체를 뜻한다. 다형체 절 020C을 보라. 표수 \(0\)인 체 \(F\)(계수체)도 고정한다. Weil 코호몰로지 이론은 데이터 (D1), (D2), (D3)으로 주어지며 공리 (A), (B), (C)를 만족한다.

데이터는 다음과 같다.

1. 매끄러운 사영 다형체의 범주에서 등급 가환 \(F\)-대수의 범주로 가는 반변 함자 \(H^*\).

2. 모든 매끄러운 사영 다형체 \(X\)에 대한 군 준동형사상 \(\gamma : \CH^i(X) \to H^{2i}(X)\).

3. 모든 차원 \(d\)인 매끄러운 사영 다형체 \(X\)에 대한 사상 \(\int_X : H^{2d}(X) \to F\).

이것이 의미하는 바를 설명하고 관련 용어를 도입하기 위해 몇 가지 주의를 덧붙인다.

(D1)에 관한 주의. 매끄러운 사영 다형체 \(X\)가 주어지면 \(H^*(X)\)를 \(X\)의 코호몰로지라 부른다. 매끄러운 사영 다형체들의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어지면 \(H^*(f)\)인 사상 \(f^* : H^*(Y) \to H^*(X)\)를 당김 사상이라 부른다.

(D2)에 관한 주의. 사상 \(\gamma\)를 사이클류 사상이라 부른다. \(\gamma(\alpha)\)를 \(\alpha\)의 코호몰로지류라 한다. \(Z \subset Y \subset X\)가 닫힌 부분스킴이고 \(Y\)와 \(X\)가 매끄러운 사영 다형체이며 \(Z\)가 정수라고 하자. 그러면 \([Z]\)는 \(\CH^*(Y)\)에서의 사이클 \([Z]\)의 류를 뜻할 수도 있고 \(\CH^*(X)\)에서의 류를 뜻할 수도 있다. 이 경우 \(\gamma([Z])\)라는 표기는 모호하며, 의도한 뜻은 문맥에서 판단해야 한다.

(D3)에 관한 주의. 사상 \(\int_X\)는 때때로 대각합 사상이라 부르며 \(\text{Tr}_X\)로 표기하기도 한다.

첫 번째 공리는 흔히 Poincaré 쌍대성이라 부른다.

1. \(X\)를 차원 \(d\)인 매끄러운 사영 다형체라 하자. 그러면

   1. 모든 \(i\)에 대해 \(\dim_F H^i(X) < \infty\)이다.

   2. 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(X) \times H^{2d - i}(X) \rightarrow H^{2d}(X) \rightarrow F\)는 완전쌍대이다. 여기서 마지막 사상은 대각합 사상 \(\int_X\)이다.

   3. \(i \in [0, 2d]\)가 아니면 \(H^i(X) = 0\)이다.

   4. \(\int_X : H^{2d}(X) \to F\)는 동형사상이다.

\(f : X \to Y\)를 \(\dim(X) = d\)이고 \(\dim(Y) = e\)인 매끄러운 사영 다형체들의 사상이라 하자. Poincaré 쌍대성을 사용하면 밀어올림 \[f_* : H^{2d - i}(X) \longrightarrow H^{2e - i}(Y)\] 을 선형사상 \(f^* : H^i(Y) \to H^i(X)\)의 반대쌍대로 정의할 수 있다. 공식으로 쓰면 \(a \in H^{2d - i}(X)\)에 대해 \(f_*a \in H^{2e - i}(Y)\)는 모든 \(b \in H^i(Y)\)에 대한 \[\int_X f^*b \cup a = \int_Y b \cup f_*a\] 로 특징지어진다.

보조정리

(A)를 만족하는 (D1)과 (D3)이 주어졌다고 하자. \(f : X \to Y\)가 매끄러운 사영 다형체들의 사상이면 \(f_*(f^*b \cup a) = b \cup f_*a\)이다. 또 \(g : Y \to Z\)가 매끄러운 사영 다형체들의 또 다른 사상이면 \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\)이다.

증명

첫 번째 등식은 다음으로부터 성립한다. \[\int_Y c \cup b \cup f_*a = \int_X f^*c \cup f^*b \cup a = \int_Y c \cup f_*(f^*b \cup a).\] 두 번째 등식은 다음으로부터 성립한다. \[\int_Z c \cup (g \circ f)_*a = \int_X (g \circ f)^*c \cup a = \int_X f^* g^* c \cup a = \int_Y g^*c \cup f_*a = \int_Z c \cup g_*f_*a\] 이로써 증명이 끝난다.

두 번째 공리는 \(H^*\)가 Künneth 공식을 통해 곱으로 주어진 모노이드 구조를 보존한다는 것이다.

1. \(X\)와 \(Y\)를 매끄러운 사영 다형체라 하자. 사상 \[H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y),\quad a \otimes b \mapsto \text{pr}_1^*a \cup \text{pr}_2^*b\] 은 동형사상이다.

세 번째 공리는 사이클류 사상에 관한 것이다.

1. 사이클류 사상은 다음 규칙들을 만족한다.

   1. 매끄러운 사영 다형체들의 사상 \(f : X \to Y\)와 \(\beta \in \CH^*(Y)\)에 대해 \(\gamma(f^!\beta) = f^*\gamma(\beta)\)이다.

   2. 매끄러운 사영 다형체들의 사상 \(f : X \to Y\)와 \(\alpha \in \CH^*(X)\)에 대해 \(\gamma(f_*\alpha) = f_*\gamma(\alpha)\)이다.

   3. 임의의 매끄러운 사영 다형체 \(X\)와 \(\alpha, \beta \in \CH^*(X)\)에 대해 \(\gamma(\alpha \cdot \beta) = \gamma(\alpha) \cup \gamma(\beta)\)이다.

   4. \(\int_{\Spec(k)} \gamma([\Spec(k)]) = 1\)이다.

주

\(X\)를 매끄러운 사영 다형체라 하자. 사상 \[H^*(X) \otimes_F H^*(X) \longrightarrow H^*(X \times X) \xrightarrow{\Delta^*} H^*(X)\] 을 얻는다. 여기서 첫 번째 화살표는 공리 (B)에서와 같고, \(\Delta^*\)는 대각사상 \(\Delta : X \to X \times X\)을 따른 당김이다. 당김은 대수 준동형사상이고 \(\text{pr}_i \circ \Delta = \text{id}\)이므로 이 합성은 컵곱이다. 한편 \(X\) 위의 사이클 \(\alpha, \beta\)가 주어지면 교차곱은 \[\alpha \cdot \beta = \Delta^!(\alpha \times \beta)\] 로 정의된다. 다시 말해 \(\alpha \cdot \beta\)는 \(X \times X\) 위 외적 \(\alpha \times \beta\)를 대각선으로 당긴 것이다. 또한 \(\CH^*(X \times X)\)에서 \(\alpha \times \beta = \text{pr}_1^*\alpha \cdot \text{pr}_2^*\beta\)임을 주목하자(증명은 생략한다). 따라서 공리 (C)(a)가 주어졌을 때, 공리 (C)(c)는 \(\gamma\)가 외적과 호환된다는 명제, 즉 \(\gamma(\alpha \times \beta)\)가 \(\text{pr}_1^*\gamma(\alpha) \cup \text{pr}_2^*\gamma(\beta)\)와 같다는 명제와 동치이다. [Kleiman-cycles]에서는 공리 (C)(c)를 이와 같이 정식화한다.

정의

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. \(k\) 위의 계수체 \(F\)를 갖는 고전적 Weil 코호몰로지 이론은 Poincaré 쌍대성, Künneth 공식, 그리고 사이클류와의 호환성을 만족하는 데이터 (D1), (D2), (D3), 더 정확히는 (A), (B), (C)를 만족하는 데이터로 주어진다.

약간의 준비를 한다.

보조정리

\(H^*\)를 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 하자 (정의 0FGV). \(X\)를 차원 \(d\)인 매끄러운 사영 다형체라 하자. 도식 \[\xymatrix{ \CH^d(X) \ar[r]_-\gamma \ar@{=}[d] & H^{2d}(X) \ar[d]^{\int_X} \\ \CH_0(X) \ar[r]^\deg & F }\] 은 가환한다. 여기서 \(\deg : \CH_0(X) \to \mathbf{Z}\)는 Chow 호몰로지 절 0AZ0에서 논의한 영차원 사이클의 차수이다.

증명

\(\Spec(k)\)에 대해서는 공리 (C)(d)에 의해 결과가 성립한다. \(x : \Spec(k) \to X\)를 \(X\)의 닫힌점이라 하자. 그러면 공리 (C)(b)에 의해 \(H^{2d}(X)\)에서 \(\gamma([x]) = x_*\gamma([\Spec(k)])\)이다. 따라서 \(x_*\)의 정의에 의해 \(\int_X \gamma([x]) = 1\)이다.

보조정리

\(H^*\)를 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 하자 (정의 0FGV). \(X\)와 \(Y\)를 매끄러운 사영 다형체라 하자. 그러면 \(\int_{X \times Y} = \int_X \otimes \int_Y\)이다.

증명

\(\dim(X) = d\) 및 \(\dim(Y) = e\)라 하자. 공리 (B)에 의해 \(H^{2d + 2e}(X \times Y) = H^{2d}(X) \otimes H^{2e}(Y)\)이고, 공리 (A)(d)에 의해 이는 \(1\)차원이다. 보조정리 0FGW에 의해 이 \(1\)차원 벡터공간은 닫힌점 \((x, y)\)의 류 \(\gamma([x \times y])\)로 생성되며, \(\int_{X \times Y} \gamma([x \times y]) = 1\)이다. 공리 (C)(a)와 (C)(c)에 의해 \(\gamma([x \times y]) = \gamma([x]) \otimes \gamma([y])\)이고, \(\int_X \gamma([x]) = 1\) 및 \(\int_Y \gamma([y]) = 1\)이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(H^*\)를 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 하자 (정의 0FGV). \(X\)와 \(Y\)를 매끄러운 사영 다형체라 하자. 그러면 \(\text{pr}_{2, *} : H^*(X \times Y) \to H^*(Y)\)는 \(a \otimes b\)를 \((\int_X a) b\)로 보낸다.

증명

이는 보조정리 0FGX의 결과와 동치이다.

보조정리

\(H^*\)를 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 하자 (정의 0FGV). \(X\)를 차원 \(d\)인 매끄러운 사영 다형체라 하자. \(F\) 위 \(H^i(X)\)의 기저 \(e_{i, j}, j = 1, \ldots, \beta_i\)를 고르자. Künneth 공식을 사용하여 \[\gamma([\Delta]) = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \sum\nolimits_j e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j} \quad\text{in}\quad \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)\] 로 쓰자. 여기서 \(e'_{2d - i, j} \in H^{2d - i}(X)\)이다. 그러면 \(\int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j'} = (-1)^i\delta_{jj'}\)이다.

증명

\(\Delta^* : H^*(X \times X) \to H^*(X)\)는 컵곱 사상 \(H^*(X) \otimes_F H^*(X) \to H^*(X)\)와 같다. 주의 0FGU를 보라. 한편 공리 (C)(b)와 \(\gamma([X]) = 1\)이라는 사실에 의해 \(\gamma([\Delta]) = \Delta_*\gamma([X]) = \Delta_*1\)이다. 실제로 \([X] \cdot [X] = [X]\)이므로 공리 (C)(c)에 의해 코호몰로지류 \(\gamma([X])\)는 \(1\)차원 \(F\)-대수 \(H^0(X)\)에서 \(0\) 또는 \(1\)이다. 여기서 공리 (A)(d)와 (A)(b)도 사용했다. 그러나 \(X\)의 닫힌점 \(x\)에 대해 \([X] \cdot [x] = [x]\)이고 보조정리 0FGW에 의해 \(\gamma([x])\)는 영이 아니므로 \(\gamma([X])\)는 영일 수 없다. 따라서 \[\int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup a \otimes b = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup a \otimes b = \int_X a \cup b\] 이다. 이는 \(\Delta_*\)의 정의에 따른다. 한편 보조정리 0FGX에 의해 \[\int_{X \times X} (\sum e_{i, j} \otimes e'_{2d -i , j}) \cup a \otimes b = \sum (\int_X a \cup e_{i, j})(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b)\] 이다. 부호가 \(1\)이 되도록 두 번 순서를 바꾸었음에 유의하자. \(\int_X a \cup e_{i, j} = 1\)이고 다른 모든 쌍대값은 영이 되도록 \(a\)를 고르면, 모든 \(b\)에 대해 \(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b = \int_X a \cup b\)임을 얻는다. 즉 \(e'_{2d - i, j} = a\)이다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(H^*\)를 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 하자 (정의 0FGV). \(X\)를 매끄러운 사영 다형체라 하자. 그러면 \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, 2\dim(X)} (-1)^i\dim_F H^i(X) = \deg([\Delta] \cdot [\Delta]) = \deg(c_d(\mathcal{T}_X) \cap [X])\] 이다.

증명

오른쪽 등식. 다음이 성립한다. \([\Delta] \cdot [\Delta] = \Delta_*(\Delta^![\Delta])\) (Chow 호몰로지 보조정리 0FFE). \(\Delta_*\)는 \(0\)-사이클의 차수를 보존하므로 \(\Delta^![\Delta]\)의 차수를 계산하면 충분하다. \(\Delta^![\Delta]\)의 류는 \(\Delta \subset X \times X\)의 법선층의 최고차 Chern 류를 \([\Delta]\)와 캡곱하여 주어진다(Chow 호몰로지 보조정리 0FBM). \(\Delta\)의 여법선층은 \(\Omega_{X/k}\)이므로(스킴의 사상 보조정리 08S2), 법선층은 원하는 대로 접다발 \(\mathcal{T}_X = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\)와 같다.

왼쪽 등식. 보조정리 0FGW에 의해 \[\begin{align*} \deg([\Delta] \cdot [\Delta]) & = \int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*(\Delta^*\gamma([\Delta])) \\ & = \int_X \Delta^*\gamma([\Delta]) \end{align*}\] 이다. 보조정리 0FGZ에서와 같이 \(\gamma([\Delta]) = \sum e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j}\)로 쓰자. \(\Delta^*\)가 컵곱으로 주어짐을 상기하면 \[\int_X \sum\nolimits_{i, j} e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} \int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} (-1)^i = \sum (-1)^i\beta_i\] 를 얻는다. 이것이 원하는 등식이다.

이제 고전적 Weil 코호몰로지 이론을 다음과 같이 모티브와 연결한다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. 대칭 모노이드 범주의 \(\mathbf{Q}\)-선형 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\] 를 생각하자. \(G(\mathbf{1}(1))\)가 차수 \(-2\)에서만 영이 아니라고 하자. 그러면 (A)(c)와 (A)(d)를 제외하고 (A), (B), (C)를 모두 만족하는 데이터 (D1), (D2), (D3)을 얻는다.

증명

\(H^*(X) = G(h(X))\)로 두어 매끄러운 사영 다형체의 범주에서 등급 \(F\)-벡터공간의 범주로 가는 반변 함자를 얻는다. 가정에 의해 당김과 호환되는 표준 동형사상 \[H^*(X \times Y) = G(h(X \times Y)) = G(h(X) \otimes h(Y)) = G(h(X)) \otimes G(h(Y)) = H^*(X) \otimes H^*(Y)\] 이 있다. 대각사상 \(\Delta : X \to X \times X\)을 따른 당김을 사용하면 당김과 호환되는 등급 벡터공간의 표준 사상 \[H^*(X) \otimes H^*(X) = H^*(X \times X) \to H^*(X)\] 을 얻는다. 이는 \(H^*(X)\) 위의 함자적인 등급 \(F\)-대수 구조를 정의한다. \(\Delta\)는 인자를 맞바꾸는 교환 제약 \(h(X) \otimes h(X) \to h(X) \otimes h(X)\)과 가환하고, \(G\)는 대칭 모노이드 범주의 함자이므로 교환 제약과 호환된다. 또한 호몰로지 대수학 예 0FFX의 규약에 의해 \(H^*(X)\)는 등급 가환 대수이다. 따라서 데이터 (D1)을 얻는다.

\(\mathbf{1}(1)\)은 모티브의 범주에서 가역이므로 \(G(\mathbf{1}(1))\)은 등급 \(F\)-벡터공간의 범주에서 가역이다. 따라서 \(\sum_i \dim_F G^i(\mathbf{1}(1)) = 1\)이다. 가정에 의해 차수 \(-2\)에서만 영이 아닌 것을 얻으므로 등급 \(F\)-벡터공간의 동형사상 \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\)을 고를 수 있다. 여기와 아래에서 \(F[n]\)은 차수 \(-n\)에서 \(F\)이고 다른 차수에서는 영인 등급 \(F\)-벡터공간을 뜻한다. 텐서곱과의 호환성을 사용하면 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 텐서곱과 호환되는 동형사상 \(F[2n] \to G(\mathbf{1}(n))\)을 얻는다.

\(X\)를 매끄러운 사영 다형체라 하자. 보조정리 0FG0에 의해 \[\CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(\Spec(k), X) = \Hom(\mathbf{1}(-r), h(X))\] 이다. 함자 \(G\)를 적용하면 \[\gamma : \CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow \Hom(G(\mathbf{1}(-r)), H^*(X)) = H^{2r}(X)\] 를 얻는다. 이것이 데이터 (D2)이다.

\(X\)를 차원 \(d\)인 매끄러운 사영 다형체라 하자. 보조정리 0FG0에 의해 \[\Mor(h(X)(d), \mathbf{1}) = \Mor((X, 1, d), (\Spec(k), 1, 0)) = \text{Corr}^{-d}(X, \Spec(k)) = \CH_d(X)\] 이다. 따라서 \(\CH_d(X)\)에서 사이클 \([X]\)의 류는 사상 \(h(X)(d) \to \mathbf{1}\)을 정의한다. \(G\)를 적용하면 \[H^*(X) \otimes F[-2d] = G(h(X)(d)) \longrightarrow G(\mathbf{1}) = F\] 를 얻는다. 이 사상은 차수 \(0\)에서만 영이 아니며, 그 차수에서 \(\int_X : H^{2d}(X) \to F\)를 얻는다. 이것이 데이터 (D3)이다.

\(X\)를 차원 \(d\)인 매끄러운 사영 다형체라 하자. 보조정리 0FGI에 의해 \(h(X)(d)\)는 \(h(X)\)의 왼쪽 쌍대이다. 따라서 \(G(h(X)(d)) = H^*(X) \otimes F[-2d]\)는 등급 \(F\)-벡터공간의 범주에서 \(H^*(X)\)의 왼쪽 쌍대이다. 호몰로지 대수학 보조정리 0FFV에 의해 \(\sum_i \dim_F H^i(X) < \infty\)이고, \(\epsilon : h(X)(d) \otimes h(X) \to \mathbf{1}\)은 비퇴화 쌍대 \(H^{2d - i}(X) \otimes_F H^i(X) \to F\)를 만든다. 보조정리 0FGI의 증명에서 동형사상 \[\Hom(h(X)(d) \otimes h(X), \mathbf{1}) = \text{Corr}^{-d}(X \times X, \Spec(k)) = \CH_d(X \times X)\] 아래 \(\epsilon\)이 \([\Delta]\)로 주어짐을 보았다. 따라서 \(\epsilon\)은 \([X] : h(X)(d) \to \mathbf{1}\)과 \(h(\Delta)(d) : h(X)(d) \otimes h(X) \to h(X)(d)\)의 합성이다. 그러므로 위의 쌍대는 컵곱 뒤에 \(\int_X\)를 적용하여 주어진다. 이로써 공리 (A)의 (a)와 (b)가 증명된다.

공리 (B)는 \(G\)가 텐서 구조와 호환된다는 가정 및 위에서 구성한 컵곱에서 따른다.

공리 (C). 우리의 \(\gamma\) 구성은 \(X\) 위의 사이클 \(\alpha\)를 어떤 차수의 \(\Spec(k)\)에서 \(X\)로 가는 대응 \(a\)로 해석한 다음 \(G\)를 적용한다. \(f : Y \to X\)가 매끄러운 사영 다형체들의 사상이면 \(f^!\alpha\)는 \(X\)에서 \(Y\)로 가는 대응 \([\Gamma_f]\)에 의한 \(\alpha\)의 밀어올림(!)이다. 보조정리 0FG5를 보라. 따라서 \(\Spec(k)\)에서 \(Y\)로 가는 대응으로 본 \(f^!\alpha\)는 \(a \circ [\Gamma_f]\)와 같다. 보조정리 0FG0를 보라. \(G\)가 함자이므로 \(\gamma\)는 당김과 호환된다. 즉 공리 (C)(a)가 성립한다.

\(f : Y \to X\)를 매끄러운 사영 다형체들의 사상이라 하고 \(\beta \in \CH^r(Y)\)를 \(Y\) 위의 사이클이라 하자. 모든 \(c \in H^*(X)\)에 대해 \[\int_Y \gamma(\beta) \cup f^*c = \int_X \gamma(f_*\beta) \cup c\] 임을 보여야 한다. \(a, a^t, \eta_X, \eta_Y, [X], [Y]\)를 보조정리 0FG8에서와 같이 두자. \(b\)를 \(\Spec(k)\)에서 \(Y\)로 가는 차수 \(r\)의 대응으로 본 \(\beta\)라 하자. 그러면 \(\Spec(k)\)에서 \(X\)로 가는 대응으로 본 \(f_*\beta\)는 \(a^t \circ b\)와 같다. 보조정리 0FG5 및 0FG0를 보라. 위의 표시된 등식은 \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{b \otimes 1} h(Y)(r) \otimes h(X) \xrightarrow{1 \otimes a} h(Y)(r) \otimes h(Y) \xrightarrow{\eta_Y} h(Y)(r) \xrightarrow{[Y]} \mathbf{1}(r - e)\] 가 \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{a^t \circ b \otimes 1} h(X)(r + d - e) \otimes h(X) \xrightarrow{\eta_X} h(X)(r + d - e) \xrightarrow{[X]} \mathbf{1}(r - e)\] 와 같음을 보이면 성립한다. 이는 보조정리 0FG8에서 바로 따른다. 따라서 공리 (C)(b)가 성립한다.

공리 (C)(c)를 증명하기 위해 주의 0FGU의 논의를 사용한다. 따라서 \(\gamma\)가 외적과 호환됨을 보이면 충분하다. \(X\), \(Y\)를 매끄러운 사영 다형체라 하고 \(\alpha\), \(\beta\)를 각각 그 위의 사이클이라 하자. 대응하는 \(\Spec(k)\)에서 \(X\), \(Y\)로 가는 대응을 \(a\), \(b\)라 하자. 그러면 \(\alpha \times \beta\)는 \(\Spec(k)\)에서 \(X \otimes Y = X \times Y\)로 가는 대응 \(a \otimes b\)에 대응한다. 따라서 필요한 성질은 \(G\)가 양쪽의 텐서 구조와 호환된다는 사실에서 따른다.

사이클 \([\Spec(k)]\)는 \(h(\Spec(k))\)의 항등사상에 대응하므로 공리 (C)(d)가 성립한다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. \(H^*\)를 고전적 Weil 코호몰로지 이론이라 하자. 그러면 \(H^*(X) = G(h(X))\)인 대칭 모노이드 범주의 \(\mathbf{Q}\)-선형 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\] 를 구성할 수 있다.

증명

보조정리 0FGH에 의해 대상이 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이고 사상이 차수 \(0\)의 대응인 범주 위 함자 \(G\)를 구성하여, \(G(\mathbf{P}^1)\) 위 \(G(c_2)\)의 상이 가역인 등급 \(F\)-벡터공간임을 보이면 충분하다. 모든 매끄러운 사영 스킴은 표준적으로 매끄러운 사영 다형체들의 서로소 합이므로, 대상이 매끄러운 사영 다형체이고 사상이 차수 \(0\)의 대응인 범주 위 \(G\)를 구성하면 충분하다 (몇몇 세부사항은 생략한다).

매끄러운 사영 다형체 \(X\)가 주어지면 \(G(X) = H^*(X)\)로 둔다.

매끄러운 사영 다형체 사이의 대응 \(c \in \text{Corr}^0(X, Y)\)가 주어지면 사상 \(G(c) : G(X) = H^*(X) \to G(Y) = H^*(Y)\)를 다음 규칙으로 정의한다. \[a \longmapsto G(c)(a) = \text{pr}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}_1^*a)\] \(G(c)\)가 \(c\)에 대해 가법적이고 따라서 \(\mathbf{Q}\)-선형임은 명백하다. 공리 (C)(a), (C)(b), (C)(c)에서 주어진 당김, 밀어올림, 교차곱과 \(\gamma\)의 호환성은 \(c' \in \text{Corr}^0(Y, Z)\)일 때 \(G(c' \circ c) = G(c') \circ G(c)\)임을 보인다. 실제로 \(a \in H^*(X)\)에 대해 \[\begin{align*} (G(c') \circ G(c))(a) & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{23, *}_2(\text{pr}^{12}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{123}_{23, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1 a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}\gamma(c') \cup \text{pr}^{123, *}_{12}\gamma(c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c') \cup \gamma(\text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *} \text{pr}^{123}_{13, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *}( \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c)) \cup \text{pr}^{13, *}_1 a) \\ & = G(c' \circ c)(a) \end{align*}\] 이다. 첫 번째 등식은 정의에서 따른다. 두 번째 등식은 보조정리 0FGY에서 주어진 사영을 따른 밀어올림의 기술로부터 바로 얻는 \(\text{pr}^{23, *}_2 \circ \text{pr}^{12}_{2, *} = \text{pr}^{123}_{23, *} \circ \text{pr}^{123, *}_{12}\)에 의해 성립한다. 세 번째 등식은 보조정리 0FGT과 \(H^*\)가 함자라는 사실에 의해 성립한다. 네 번째 등식은 공리 (C)(a)와 평탄 사상의 Gysin 사상이 평탄 당김과 같다는 사실 (Chow 호몰로지 보조정리 0FF4)에 의해 성립한다. 다섯 번째 등식에서는 공리 (C)(c)와 보조정리 0FGT을 사용하여 \(\text{pr}^{23}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{23, *} = \text{pr}^{13}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{13, *}\)임을 안다. 여섯 번째 등식에서는 보조정리 0FGT의 사영 공식과 공리 (C)(b)를 사용하여 \(\text{pr}^{123}_{13, *} \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) = \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c))\)임을 안다. 마지막 등식은 정의이다.

\(G\)가 함자임을 증명하려면 항등사상이 보존됨을 보여야 한다. 다시 말해 대응의 범주에서 \(1 = [\Delta] \in \text{Corr}^0(X, X)\)가 항등사상이면 (보조정리 0FG2와 그 증명을 보라), \(G([\Delta]) = \text{id}\)임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0FGZ에서의 \(\gamma([\Delta])\)의 결정과 보조정리 0FGY에서 따른다. 이로써 매끄러운 사영 다형체와 차수 \(0\)의 대응 위 함자 \(G\)의 구성이 끝난다.

공리 (A)(c)와 (A)(d)에 의해 \(G(\Spec(k)) = H^*(\Spec(k))\)는 \(F\)-대수로서 표준적으로 \(F\)와 동형이다. Künneth 공리 (B)는 우리의 함자가 텐서곱과 호환됨을 보인다. 따라서 우리의 함자는 대칭 모노이드 범주의 함자이다.

아직 \(G(\mathbf{P}^1)\) 위 \(G(c_2)\)의 상이 가역인 등급 \(F\)-벡터공간임을 확인해야 한다(특히 아직 \(G\)가 \(M_k\)로 확장됨을 알지 못한다). 공리 (A)(d)에 의해 사상 \(\int_{\mathbf{P}^1} : H^2(\mathbf{P}^1) \to F\)는 동형사상이다. 공리 (A)(b)에 의해 \(\dim_F H^0(\mathbf{P}^1) = 1\)이다. 보조정리 0FH0과 공리 (A)(c)에 의해 \(2 - \dim_F H^1(\mathbf{P}^1) = c_1(T_{\mathbf{P}^1}) = 2\)를 얻는다. 따라서 \(H^1(\mathbf{P}^1) = 0\)이다. 그러므로 \[G(\mathbf{P}^1) = H^0(\mathbf{P}^1) \oplus H^2(\mathbf{P}^1)\] 이다. \(1 = c_0 + c_2\)는 \(\text{Corr}^0(\mathbf{P}^1, \mathbf{P}^1)\)의 항등원을 서로 직교하는 멱등원들의 합으로 분해한 것임을 상기하자. 예 0FG6을 보라. 또한 \(a \in \text{Corr}^0(\Spec(k), \mathbf{P}^1)\) 및 \(b \in \text{Corr}^0(\mathbf{P}^1, \Spec(k))\)이고 \(\text{Corr}^0(\Spec(k), \Spec(k))\)에서 \(b \circ a = 1\)인 \(c_0 = a \circ b\)가 있다. 보조정리 0FGD의 증명을 보라. \(F = G(\Spec(k))\)이므로 함자성에 의해 \(G(c_0)\)는 직합인자 \(H^0(\mathbf{P}^1) \subset G(\mathbf{P}^1)\)으로의 사영자이다. 따라서 \(G(c_2)\)는 반드시 \(H^2(\mathbf{P}^1)\)으로의 사영자이고 증명이 끝난다.

명제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. 고전적 Weil 코호몰로지 이론은 대칭 모노이드 범주의 \(\mathbf{Q}\)-선형 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\] 와 등급 \(F\)-벡터공간의 동형사상 \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\) 중 다음 조건들을 추가로 만족하는 것과 같다.

1. \(G(h(X))\)는 음이 아닌 차수에 놓인다.

2. \(\dim_F G^0(h(X)) = 1\)이다.

여기서 \(X\)는 임의의 매끄러운 사영 다형체이다.

증명

\(G\)와 \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\)가 주어졌을 때 \(H^*(X) = G(h(X))\)로 두면, (A)(c)와 (A)(d)를 제외하고 (A), (B), (C)를 모두 만족하는 데이터 (D1), (D2), (D3)을 얻는다. 보조정리 0FH1과 그 증명을 보라. 이미 알고 있는 공리 (A)(a)와 (A)(b)가 있을 때 가정 (1), (2)는 공리 (A)(c), (A)(d)를 함의함을 주목하자.

반대로 \(H^*\)가 주어지면 보조정리 0FH2의 구성으로 함자 \(G\)를 얻는다. \(X = \mathbf{P}^1, c_0, c_2\)를 예 0FG6에서와 같이 두자. 보조정리 0FGD에서 모티브의 동형사상 \(1(-1) \to (X, c_2, 0)\)을 구성했다. 보조정리 0FH2의 증명에서 \(G(1(-1)) = G(X, c_2, 0) = H^2(\mathbf{P}^1)[-2]\)임을 보았다. 따라서 공리 (A)(d)의 동형사상 \(\int_{\mathbf{P}^1} : H^2(\mathbf{P}^1) \to F\)는 동형사상 \(G(1(-1)) \to F[-2]\)를 주며, 이는 동형사상 \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\)을 정한다. 끝으로 \(G(h(X)) = H^*(X)\)이므로 가정 (1), (2)는 공리 (A)에서 따른다.

비닫힌 체 위의 사이클

대수적으로 닫혀 있지 않은 기초체 위의 모티브를 연구하는 데 도움이 될 몇 가지 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \(\CH_0(X)\)는 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 닫힌점들의 류로 생성된다.

증명

\(k\)의 표수가 \(0\)이거나 완전체이면 보조정리는 즉시 성립한다. 따라서 \(k\)가 표수 \(p > 0\)인 무한체인 경우만 생각하면 된다.

\(X\)가 차원 \(d\)인 기약 스킴이라고 가정해도 된다. 그러면 \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 \(k\)의 유한 분리 체확대이고 \(X\)는 \(k'\) 위에서 기하적으로 정역이다. Varieties, Lemmas 056T, 0BUG, 그리고 0FD1을 보라. \(k\)를 \(k'\)로 바꾸어 \(X\)가 기하적으로 정역이라고 가정한다.

\(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. 보조정리를 증명하기 위해 \([x] \in \CH_0(X)\)가 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 닫힌점들의 류의 정수 선형결합과 유리 동치임을 보이겠다. 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{L}\)을 고르고 다음과 같이 두자. \[V = \{s \in H^0(X, \mathcal{L}) \mid s(x) = 0 \}\] \(\mathcal{L}\)을 그 거듭제곱으로 바꾸어 다음을 가정할 수 있다. (a) \(\mathcal{L}\)은 매우 풍부하고, (b) \(V\)는 \(X \setminus x\) 위에서 \(\mathcal{L}\)을 생성하며, (c) 사상 \(X \setminus x \to \mathbf{P}(V)\)는 몰입이고, (d) 사상 \(V \to \mathfrak m_x\mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\)는 전사이다. Morphisms, Lemma 01VU, Varieties, Lemma 0FD5, 그리고 Properties, Proposition 01Q3을 보라. 다음 집합을 생각하자. \[V^d \supset U = \{ (s_1, \ldots, s_d) \in V^d \mid s_1, \ldots, s_d \text{ generate } \mathfrak m_x\mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x \text{ over }\kappa(x) \}\] \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 차원 \(d\)인 정칙 국소환이므로 \(\dim_{\kappa(x)}(\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2) = d\)이다. 따라서 \(U\)는 \(V^d\)의 공집합이 아닌 (Zariski) 열린집합이다. \((s_1, \ldots, s_d) \in U\)에 대해 \(H_i = Z(s_i)\)로 두자. \(s_1, \ldots, s_d\)가 \(\mathfrak m_x\mathcal{L}_x\)를 생성하므로 어떤 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)에 대해 스킴 이론적으로 \[H_1 \cap \ldots \cap H_d = x \amalg Z\] 이다. Bertini 정리(Varieties, Lemma 0FD6의 형태)에 의해 일반 원소 \(s_1 \in V\)에 대해 스킴 \(H_1 \cap (X \setminus x)\)는 \(k\) 위에서 매끄럽고 차원은 \(d - 1\)이다. \(s_1\)을 고른 뒤 일반 원소 \(s_2 \in V\)에 대해 스킴 \(H_1 \cap H_2 \cap (X \setminus x)\)는 \(k\) 위에서 매끄럽고 차원은 \(d - 2\)이다. 같은 과정을 계속한다. 따라서 충분히 일반적인 \((s_1, \ldots, s_d) \in U\)에 대해 \(Z\)는 \(\Spec(k)\) 위에서 étale이다. 특히 \(H_1 \cap \ldots \cap H_d\)는 차원 \(0\)이고, 따라서 Chow Homology, Lemma 0FFD를 반복하여 적용하면(세부사항은 생략한다) \(\CH_0(X)\)에서 \[[H_1] \cdot \ldots \cdot [H_d] = [x] + [Z]\] 이다. 이는 \([x] \sim_{rat} - [Z] + [Z']\)임을 보이므로 증명이 끝난다. 여기서 \(Z' = H'_1 \cap \ldots \cap H'_d\)는 \(\mathcal{L}\)의 충분히 일반적인 절단들의 영점자취의 일반 완전교차이며, 앞과 같은 논법으로 \(k\) 위에서 étale이다.

보조정리

\(K/k\)를 대수적 체확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 유한형 스킴이라 하자. 그러면 \(\CH_i(X_K) = \colim \CH_i(X_{k'})\)이다. 여기서 쌍극한은 \(k'/k\)가 유한인 중간확대 \(K/k'/k\) 전체에 걸쳐 취한다.

증명

이는 Chow Homology, Lemma 0FVQ의 특수한 경우이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 기하적으로 기약인 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(x, x' \in X\)를 \(k\)-유리점이라 하고 \(n\)을 \(k\)에서 가역인 정수라 하자. 그러면 \([x] - [x']\)의 \(X_{k'}\)로의 당김이 \(\CH_0(X_{k'})\)에서 \(n\)으로 나누어지는 유한 분리확대 \(k'/k\)가 존재한다.

증명

\(k'\)을 \(k\)의 분리 대수 폐포라 하자. \([x] - [x']\)의 \(X_{k'}\)로의 당김이 \(\CH_0(X_{k'})\)에서 \(n\)으로 나누어짐을 보일 수 있다고 하자. 그러면 보조정리 0FH6에 의해 결론을 얻는다. 따라서 \(k\)가 분리폐체라고 가정한다.

\(\dim(X) > 1\)이라고 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위 풍부한 가역층이라 하고 다음과 같이 두자. \[V = \{s \in H^0(X, \mathcal{L}) \mid s(x) = 0\text{ and }s(x') = 0 \}\] \(\mathcal{L}\)을 그 거듭제곱으로 바꾸면 일반적인 \(v \in V\)에 대응하는 인자 \(H_v \subset X\)가 \(x\)와 \(x'\) 밖에서 매끄럽다는 것을 알 수 있다. Varieties, Lemmas 0FD5와 0FD6을 보라. 이런 \(v\)를 찾을 때 \(k\)가 분리폐체이므로 무한체라는 사실을 사용한다. 일반적인 \(s\)를 고르면 \(\mathfrak m_x\mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\)에서 \(s\)의 상은 영이 아니며, 이는 \(H_v\)가 \(x\)에서 매끄러움을 뜻한다 (세부사항은 생략한다). \(x'\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(H_v\)는 매끄럽다. 모든 대상을 \(k\)의 대수 폐포로 기저변환한 뒤 Varieties, Lemma 0FD9를 적용하면 \(H_v\)가 기하적으로 연결임을 알 수 있다. \([x] - [x']\)를 \(\CH_0(H_v)\)의 원소로 보아 결과를 증명하면 충분하다. 이로써 곡선의 경우로 환원된다.

\(X\)가 곡선이라고 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_X(x - x')\)는 \(J = \underline{\Pic}^0_{X/k}\)의 \(k\)-유리점 \(g\)를 정의한다. Picard Schemes of Curves, Lemma 0BA0를 보라. \(J\)는 \(k\) 위의 고유 매끄러운 다형체이자 \(k\) 위의 군스킴이다 (같은 참조). 따라서 \(J\)는 기하적으로 정역이다(Varieties, Lemmas 056R과 056T을 보라). 다시 말해 \(J\)는 아벨 다형체이다. Groupoids, Definition 03RO를 보라. 따라서 Groupoids, Proposition 03RP에 의해 \([n] : J \to J\)는 유한 étale이다(여기서 \(n\)이 \(k\)에서 가역임을 사용한다). \(k\)가 분리폐체이므로 어떤 \(g' \in J(k)\)에 대해 \(g = [n](g')\)이다. \(\mathcal{L}\)을 \(g'\)에 대응하는 \(X\) 위의 차수 \(0\)인 가역 모듈이라 하면, 원하는 대로 \(\mathcal{O}_X(x - x') \cong \mathcal{L}^{\otimes n}\)을 얻는다.

보조정리

\(K/k\)를 대수적 체확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위 유한형 스킴이라 하자. 보조정리 0FH6에서 구성한 사상 \(\CH_i(X) \to \CH_i(X_K)\)의 핵은 꼬임군이다.

증명

임의의 유한확대 \(k'/k\)에 대해 \(\pi : X_{k'} \to X\)를 따른 평탄 당김 \(\CH_i(X) \to \CH_i(X_{k'})\)의 핵이 꼬임군임을 보이면 충분함은 분명하다. Chow Homology, Lemma 02RH에 의해 \(\pi_* \pi^* \alpha = [k' : k] \alpha\)이므로 이 또한 분명하다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 기하적으로 기약인 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(x, x' \in X\)를 \(k\)-유리점이라 하자. 충분히 큰 \(n\)에 대해 영 사이클 \[([x] - [x']) \times \ldots \times ([x] - [x']) \in \CH_0(X^n)\] 의 류는 꼬임원소이다.

증명

\(k\)의 대수 폐포로 기저변환한 뒤 이를 보일 수 있다면, 보조정리 0FH8에 의해 당김의 핵이 꼬임군이므로 \(k\) 위에서도 결론이 성립한다. 따라서 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정한다.

Bertini 정리를 사용하면 \(x\)와 \(x'\)을 지나는 매끄러운 곡선 \(C \subset X\)를 고를 수 있다. 보조정리 0FH7의 증명을 보라. 따라서 \(X\)가 곡선이라고 가정할 수 있다.

\(X\)가 곡선이고 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 하자. Picard Schemes of Curves, Sections 0B94와 0B9C의 표기법에 따라 \(S^n(X) = \underline{\Hilbfunctor}^n_{X/k}\)로 쓰자. 표준 사상 \[\pi : X^n \longrightarrow S^n(X)\] 이 있으며, 이는 \(k\)-유리점 \((x_1, \ldots, x_n)\)을 \(X\) 위의 인자 \([x_1] + \ldots + [x_n]\)에 대응하는 \(k\)-유리점으로 보낸다. 대칭군 \(S_n\)은 \(X^n\) 위에 충실하게 작용한다. 사상 \(\pi\)는 \(S_n\)-불변이고 \(\pi\)의 섬유들은 집합론적으로 \(S_n\)-궤도이다. 마지막으로 \(\pi\)는 차수 \(n!\)인 유한 평탄 사상이다. Picard Schemes of Curves, Lemma 0B9G를 보라.

\(\alpha_n\)을 보조정리의 명제에 나온 공식으로 주어지는 \(X^n\) 위의 영 사이클이라 하자. \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(x - x')\)로 두자. 그러면 \(c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [x] - [x']\)이다. 따라서 \[\alpha_n = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_n) \cap [X^n]\] 이다. 여기서 \(\mathcal{L}_i = \text{pr}_i^*\mathcal{L}\)이고 \(\text{pr}_i : X^n \to X\)는 \(i\)번째 사영이다. Divisors, Lemma 0BD2 또는 Divisors, Lemma 0BD3에 의해 \(\pi\)에 대한 노름이 존재한다. \(\mathcal{N} = \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}_1)\)로 두자. Divisors, Lemma 0BCY을 보라. 계산하면 \(\Pic(X^n)\)에서 \[\pi^*\mathcal{N} = (\mathcal{L}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_n)^{\otimes (n - 1)!}\] 이다. 세부사항은 생략한다. 힌트: 이는 \(\text{Norm}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_{X^n} \to \mathcal{O}_{S^n(X)}\) 와 자연스러운 사상 \(\pi_*\mathcal{O}_{S^n(X)} \to \mathcal{O}_{X^n}\)의 합성이 모든 \(\sigma \in S_n\)에 대한 \(\pi_*\mathcal{O}_{X^n}\) 위의 \(\sigma\)의 작용의 곱과 같다는 사실에서 따른다. 다음을 생각하자. \[\beta_n = c_1(\mathcal{N})^n \cap [S^n(X)]\] 이는 \(\CH_0(S^n(X))\)의 원소이다. \(\mathcal{L}_i\)가 곡선에서 당겨온 것이므로 \(c_1(\mathcal{L}_i) \cap c_1(\mathcal{L}_i) = 0\)이다. Chow Homology, Lemma 0FDX을 보라. 따라서 \[\begin{align*} \pi^*\beta_n & = ((n - 1)!)^n (\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} c_1(\mathcal{L}_i))^n \cap [X^n] \\ & = ((n - 1)!)^n n^n c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_n) \cap [X^n] \\ & = (n!)^n \alpha_n \end{align*}\] 이다. 그러므로 \(\beta_n\)이 꼬임원소임을 보이면 충분하다.

표준 사상 \[f : S^n(X) \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^n_{X/k}\] 이 있다. Picard Schemes of Curves, Lemma 0BA0를 보라. \(n \geq 2g - 1\)이면 이 사상은 사영공간 다발이다(세부사항은 생략한다. Picard Schemes of Curves, Lemma 0BA0의 증명과 비교하라). 아래에서 보이듯이 가역층 \(\mathcal{N}\)은 \(f\)의 섬유 위에서 자명하다. 따라서 사영공간 다발 공식(Chow Homology, Lemma 02TX)에 의해 어떤 \(\underline{\Picardfunctor}^n_{X/k}\) 위의 가역 모듈 \(\mathcal{M}\)에 대해 \(\mathcal{N} = f^*\mathcal{M}\)이다. 물론 이로부터 \[c_1(\mathcal{N})^n = f^*(c_1(\mathcal{M})^n)\] 가 영임을 알 수 있다. 실제로 \(n > g = \dim(\underline{\Picardfunctor}^n_{X/k})\)이고, 앞에서처럼 Chow Homology, Lemma 0FDX을 사용할 수 있다.

\(\mathcal{N}\)이 \(f\)의 한 섬유 \(F\) 위에서 자명함을 보이는 일이 남았다. \(f\)의 섬유들은 사영공간이고 \(\Pic(\mathbf{P}^m_k) = \mathbf{Z}\)이므로 (Divisors, Lemma 0BXJ), 섬유 안의 직선 위에서 \(\mathcal{N}\)의 차수를 계산하여 이를 보일 수 있다. 대신 \(\mathcal{N}\)이 영과 대수적으로 동치임을 증명하겠다. 먼저 \(k\) 위의 연결 유한형 스킴 \(T\), \(T \times X\) 위의 가역 모듈 \(\mathcal{L}'\), 그리고 \(\mathcal{M}_p \cong \mathcal{O}_X\) 및 \(\mathcal{M}_q = \mathcal{L}\)을 만족하는 \(k\)-유리점 \(p, q \in T\)가 존재한다고 주장한다. 실제로 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(x - x')\)이므로 \(T = X\), \(p = x'\), \(q = x\), 그리고 \(\mathcal{L}' = \mathcal{O}_{X \times X}(\Delta) \otimes \text{pr}_2^*\mathcal{O}_X(-x')\)로 둘 수 있다. 이제 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(T \times X^n\) 위의 \(\mathcal{L}'_i\)를 \(\mathcal{L}'\)의 \(\text{id}_T \times \text{pr}_i : T \times X^n \to T \times X\)를 따른 당김으로 두자. 마지막으로 \(T \times S^n(X)\) 위에서 \(\mathcal{N}' = \text{Norm}_{\text{id}_T \times \pi}(\mathcal{L}'_1)\)로 두자. 구성에 의해 \(\mathcal{N}'_p = \mathcal{O}_{S^n(X)}\)이고 \(\mathcal{N}'_q = \mathcal{N}\)이다. 따라서 \[\mathcal{N}'|_{T \times F}\] 는 \(T \times F \cong T \times \mathbf{P}^m_k\) 위의 가역 모듈이고, \(p\) 위의 섬유는 자명한 가역 모듈이며 \(q\) 위의 섬유는 \(\mathcal{N}|_F\)이다. 자명한 다발의 오일러 표수는 \(1\)이고 이 오일러 표수는 족에서 국소적으로 상수이므로(Derived Categories of Schemes, Lemma 0B9T), 모든 \(s \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\chi(F, \mathcal{N}^{\otimes s}|_F) = 1\)이다. 이는 \(\mathcal{N}|_F \cong \mathcal{O}_F\)일 때만 가능하다(Cohomology of Schemes, Lemma 01XT를 보라). 따라서 증명이 끝난다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

Weil 코호몰로지 이론, I

이 절은 임의의 체 위에서 절 0FGS에 대응한다. 다시 말해 모티브의 범주에서 등급 벡터공간의 범주로 가는 대칭 모노이드 범주의 함자 \(G\) 가운데 \(G(\mathbf{1}(1))\)을 차수 \(-2\)에 놓는 것에 대응하는 데이터와 공리를 밝힌다. 절 0FHY에서는 하나의 보충 조건을 더하여 Weil 코호몰로지 이론을 정의한다.

체 \(k\)(기초체)를 고정한다. 표수 \(0\)인 체 \(F\)(계수체)를 고정한다. 데이터는 다음과 같다.

1. \(1\)차원 \(F\)-벡터공간 \(F(1)\).

2. \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴의 범주에서 등급 가환 \(F\)-대수의 범주로 가는 반변 함자 \(H^*\).

3. 모든 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대한 군 준동형사상 \(\gamma : \CH^i(X) \to H^{2i}(X)(i)\).

4. \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 차원 \(d\)인 등차원 스킴일 때마다 주어지는 사상 \(\int_X : H^{2d}(X)(d) \to F\).

이 뜻을 설명하고 관련 용어를 도입하기 위해 몇 가지 주의를 덧붙인다.

(D0)에 관한 주의. 벡터공간 \(F(1)\)은 \(F\)-벡터공간의 범주 위에 Tate 꼬임을 준다. 구체적으로 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(n \geq 0\)이면 \(F(n) = F(1)^{\otimes n}\)으로 두고, \(F(-1) = \Hom_F(F(1), F)\)로 두며, \(n < 0\)이면 \(F(n) = F(-1)^{\otimes - n}\)으로 둔다. More on Algebra, Section 0AFW와 비교하라. \(F\)-벡터공간 \(V\)에 대해 \(n\)번째 Tate 꼬임을 \[V(n) = V \otimes_F F(n)\] 으로 정의한다. 자명한 표기법을 사용한다. 예를 들어 \(F\)-벡터공간 \(U\), \(V\), \(W\)와 선형사상 \(U \otimes_F V \to W\)가 주어지면 \(n, m \in \mathbf{Z}\)에 대해 선형사상 \(U(n) \otimes_F V(m) \to W(n + m)\)을 얻는다.

(D1)에 관한 주의. \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 주어지면 \(H^*(X)\)를 \(X\)의 코호몰로지라 부른다. \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어지면 \(H^*(f)\)인 사상 \(f^* : H^*(Y) \to H^*(X)\)를 당김 사상이라 부른다.

(D2)에 관한 주의. 사상 \(\gamma\)를 사이클류 사상이라 부른다. \(\gamma(\alpha)\)를 \(\alpha\)의 코호몰로지류라 한다. \(Z \subset Y \subset X\)가 닫힌 부분스킴이고 \(Y\)와 \(X\)가 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이며 \(Z\)가 정역이라고 하자. 그러면 \([Z]\)는 \(\CH^*(Y)\)의 사이클 \([Z]\)의 류를 뜻할 수도 있고 \(\CH^*(X)\)의 류를 뜻할 수도 있다. 이 경우 \(\gamma([Z])\)라는 표기는 모호하며 의도한 뜻은 문맥에서 판단해야 한다.

(D3)에 관한 주의. 사상 \(\int_X\)는 때때로 대각합 사상이라 부르며 \(\text{Tr}_X\)로 표기하기도 한다.

첫 번째 공리는 흔히 Poincaré 쌍대성이라 부른다.

1. \(X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 차원 \(d\)인 등차원 스킴이라고 하자. 그러면

   1. 모든 \(i\)에 대해 \(\dim_F H^i(X) < \infty\)이고,

   2. 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(X) \times H^{2d - i}(X)(d) \rightarrow H^{2d}(X)(d) \rightarrow F\) 는 완전쌍대이다. 여기서 마지막 사상은 대각합 사상 \(\int_X\)이다.

\(f : X \to Y\)를 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴들의 사상이라 하자. \(X\)는 차원 \(d\)인 등차원 스킴이고 \(Y\)는 차원 \(e\)인 등차원 스킴이라 하자. Poincaré 쌍대성을 사용하면 밀어올림 \[f_* : H^{2d - i}(X)(d) \longrightarrow H^{2e - i}(Y)(e)\] 을 선형사상 \(f^* : H^i(Y) \to H^i(X)\)의 반대쌍대로 정의할 수 있다. 공식으로 쓰면 \(a \in H^{2d - i}(X)(d)\)에 대해 \(f_*a \in H^{2e - i}(Y)(e)\)는 모든 \(b \in H^i(Y)\)에 대한 \[\int_X f^*b \cup a = \int_Y b \cup f_*a\] 로 특징지어진다.

보조정리

(A)를 만족하는 (D0), (D1), (D3)이 주어졌다고 하자. \(f : X \to Y\)가 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 사상이면 \(f_*(f^*b \cup a) = b \cup f_*a\)이다. 또 \(g : Y \to Z\)가 두 번째 사상이고 \(Z\)가 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이면 \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\)이다.

증명

첫 번째 등식은 다음으로부터 성립한다. \[\int_Y c \cup b \cup f_*a = \int_X f^*c \cup f^*b \cup a = \int_Y c \cup f_*(f^*b \cup a).\] 두 번째 등식은 다음으로부터 성립한다. \[\int_Z c \cup (g \circ f)_*a = \int_X (g \circ f)^*c \cup a = \int_X f^* g^* c \cup a = \int_Y g^*c \cup f_*a = \int_Z c \cup g_*f_*a\] 이로써 증명이 끝난다.

두 번째 공리는 \(H^*\)가 Künneth 공식을 통해 곱으로 주어진 모노이드 구조를 보존한다는 것이다.

1. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자.

   1. 사상 \(H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y)\), \(\alpha \otimes \beta \mapsto \text{pr}_1^*\alpha \cup \text{pr}_2^*\beta\) 는 동형사상이고,

   2. \(X\)와 \(Y\)가 공집합이 아닌 등차원 스킴이면 (a)를 통해 \(\int_{X \times Y} = \int_X \otimes \int_Y\)이다.

공리 (B)(b)를 사용하면 사영을 따른 밀어올림을 계산할 수 있다.

보조정리

(A)와 (B)를 만족하는 (D0), (D1), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 각각 차원 \(d\), \(e\)인 등차원 스킴이라고 하자. 그러면 \(\text{pr}_{2, *} : H^*(X \times Y)(d + e) \to H^*(Y)(e)\)는 \(a \otimes b\)를 \((\int_X a) b\)로 보낸다.

증명

이는 공리 (B)(a)와 (B)(b)에서 따른다.

세 번째 공리는 사이클류 사상에 관한 것이다.

1. 사이클류 사상은 다음 규칙들을 만족한다.

   1. \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(f : X \to Y\)와 \(\beta \in \CH^*(Y)\)에 대해 \(\gamma(f^!\beta) = f^*\gamma(\beta)\)이고,

   2. \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(f : X \to Y\)와 \(\alpha \in \CH^*(X)\)에 대해 \(\gamma(f_*\alpha) = f_*\gamma(\alpha)\)이고,

   3. 임의의 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴 \(X\)와 \(\alpha, \beta \in \CH^*(X)\)에 대해 \(\gamma(\alpha \cdot \beta) = \gamma(\alpha) \cup \gamma(\beta)\)이며,

   4. \(\int_{\Spec(k)} \gamma([\Spec(k)]) = 1\)이다.

공리 (C)(b)를 자세히 설명하자. \(f : X \to Y\)가 (C)(b)에서와 같고 \(\dim(X) = d\), \(\dim(Y) = e\)라고 하자. Chow 군의 밀어올림은 \[f_* : \CH^{d - i}(X) = \CH_i(X) \to \CH_i(Y) = \CH^{e - i}(Y)\] 을 준다. \(\alpha \in \CH^{d - i}(X)\)라고 하자. 한편으로 \(f_*\alpha \in \CH^{e - i}(Y)\)이고 따라서 \(\gamma(f_*\alpha) \in H^{2e - 2i}(Y)(e - i)\)이다. 다른 한편으로 \(\gamma(\alpha) \in H^{2d - 2i}(X)(d - i)\)이고 따라서 \(f_*\gamma(\alpha) \in H^{2e - 2i}(Y)(e - i)\)이다. 그러므로 조건 \(\gamma(f_*\alpha) = f_*\gamma(\alpha)\)은 의미가 있다.

주

(A), (B), (C)(a)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 사상 \[H^*(X) \otimes_F H^*(X) \longrightarrow H^*(X \times X) \xrightarrow{\Delta^*} H^*(X)\] 을 얻는다. 여기서 첫 번째 화살표는 공리 (B)에서와 같고 \(\Delta^*\)는 대각사상 \(\Delta : X \to X \times X\)을 따른 당김이다. 당김은 대수 준동형사상이고 \(\text{pr}_i \circ \Delta = \text{id}\)이므로 이 합성은 컵곱이다. 한편 \(X\) 위의 사이클 \(\alpha, \beta\)가 주어지면 교차곱은 공식 \[\alpha \cdot \beta = \Delta^!(\alpha \times \beta)\] 으로 정의된다. 즉 \(\alpha \cdot \beta\)는 \(X \times X\) 위의 외적 \(\alpha \times \beta\)를 대각선을 따라 당긴 것이다. 또한 \(\CH^*(X \times X)\)에서 \(\alpha \times \beta = \text{pr}_1^*\alpha \cdot \text{pr}_2^*\beta\)이다 (증명은 생략한다). 따라서 공리 (C)(a)가 주어졌을 때 공리 (C)(c)는 \(\gamma\)가 외적과 호환된다는 명제, 즉 \(\gamma(\alpha \times \beta)\)가 \(\text{pr}_1^*\gamma(\alpha) \cup \text{pr}_2^*\gamma(\beta)\)와 같다는 명제와 동치이다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(i \not = 0\)에 대해 \(H^i(\Spec(k)) = 0\)이고 유일한 \(F\)-대수 동형사상 \(F = H^0(\Spec(k))\)이 존재한다. 또 \(\gamma([\Spec(k)]) = 1\)이고 \(\int_{\Spec(k)} 1 = 1\)이다.

증명

공리 (C)(d)에 의해 \(H^0(\Spec(k))\)가 영이 아니며, 더 나아가 \(\gamma([\Spec(k)])\)가 영이 아님을 알 수 있다. \(\Spec(k) \times \Spec(k) = \Spec(k)\)이므로 공리 (B)(a)에 의해 \[H^*(\Spec(k)) \otimes_F H^*(\Spec(k)) = H^*(\Spec(k))\] 이다. 차원을 보면 \(H^0\)만 영이 아니며 그 차원은 \(1\)임을 알 수 있다. 따라서 \(1 \in F\)를 \(1 \in H^0(\Spec(k))\)로 보내는 유일한 \(F\)-대수 동형사상에 의해 \(F = H^0(\Spec(k))\)이다. \(\Spec(k)\)의 Chow 환에서 \([\Spec(k)] \cdot [\Spec(k)] = [\Spec(k)]\)이므로 공리 (C)(c)에 의해 \(\gamma([\Spec(k)) \cup \gamma([\Spec(k)]) = \gamma([\Spec(k)])\)이다. 이미 \(\gamma([\Spec(k)])\)가 영이 아님을 알았으므로 이는 \(1\)이어야 한다. 끝으로 공리 (C)(d)에 의해 \(\int_{\Spec(k)} \gamma([\Spec(k)]) = 1\)이므로 \(\int_{\Spec(k)} 1 = 1\)이다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(X = \emptyset\)이면 \(H^*(X) = 0\)이다. \(X\)가 공집합이 아니면 \(\gamma([X]) = 1\)이고 \(H^0(X)\)에서 \(1 \not = 0\)이다.

증명

먼저 \(X\)가 공집합이 아니라고 하자. \([X]\)는 구조사상 \(p : X \to \Spec(k)\)를 따른 \([\Spec(k)]\)의 당김이다. 따라서 공리 (C)(a)와 보조정리 0FHE에 의해 \(\gamma([X]) = 1\)이다. \(X' \subset X\)를 기약성분이라 하자. 함자성에 의해 \(H^0(X')\)에서 \(1 \not = 0\)임을 보이면 충분하다. 따라서 \(X\)가 기약이고, 특히 공집합이 아닌 차원 \(d\)의 등차원 스킴이라고 가정한다. \(1 \not = 0\)임을 보이려면 \(H^*(X)\)가 영이 아님을 보이면 충분하다.

\(x \in X\)를 잉여체 \(k'\)이 \(k\) 위에서 분리인 닫힌점이라 하자. Varieties, Lemma 056U를 보라. \(i : \Spec(k') \to X\)를 포함사상이라 하자. \(p : X \to \Spec(k)\)를 구조사상이라 쓰자. 다음을 관찰하자. \(\CH_0(\Spec(k))\)에서 \(p_*i_*[\Spec(k')] = [k' : k][\Spec(k)]\)이다. 공리 (C)(b)를 두 번 사용하고 보조정리 0FHE를 적용하면 \[p_*i_*\gamma([\Spec(k')]) = \gamma([k' : k][\Spec(k)]) = [k' : k] \in F = H^0(\Spec(k))\] 가 영이 아님을 얻는다. 따라서 \(i_*\gamma([\Spec(k)]) \in H^{2d}(X)(d)\)는 영이 아니다 (\(p_*\)를 적용하면 영이 아닌 원소로 가기 때문이다). 이로써 \(X\)가 공집합이 아닌 경우의 증명이 끝난다.

마지막으로 공집합 스킴의 경우를 생각하자. 공리 (B)(a)에 의해 \(H^*(\emptyset) \otimes H^*(\emptyset) = H^*(\emptyset)\)이고, \(H^*(\emptyset)\)은 영이거나 차수 \(0\)에서 \(1\)차원이다. 다시 공리 (B)(a)에 의해 모든 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 \(H^*(\emptyset) \otimes H^*(X) = H^*(\emptyset)\)이다. 공리 (A)(b)와 위에서 본 \(H^0(X)\)의 비소멸성을 사용하면 \(\dim(X) > 0\)일 때 \(H^*(X)\)는 적어도 두 차수에서 영이 아니다. 이는 \(H^*(\emptyset)\)이 영이 되도록 강제한다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(i : X \to Y\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. 그러면 \(c = \dim(Y) - \dim(X)\)일 때 \(H^{2c}(Y)(c)\)에서 \(\gamma([X]) = i_*1\)이다.

증명

보조정리 0FHF에 의해 \(H^0(X)\)에서 \(1 = \gamma([X])\)이고, 이제 공리 (C)(b)를 적용하면 된다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 차원 \(d\)인 등차원 스킴이라고 하자. \(F\) 위 \(H^i(X)\)의 기저 \(e_{i, j}, j = 1, \ldots, \beta_i\)를 고르자. Künneth 공식을 사용하여 \[\gamma([\Delta]) = \sum\nolimits_i \sum\nolimits_j e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j} \quad\text{in}\quad \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)(d)\] 로 쓰자. 여기서 \(e'_{2d - i, j} \in H^{2d - i}(X)(d)\)이다. 그러면 \(\int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j'} = (-1)^i\delta_{jj'}\)이다.

증명

\(\Delta^* : H^*(X \times X) \to H^*(X)\)는 컵곱 사상 \(H^*(X) \otimes_F H^*(X) \to H^*(X)\)와 같음을 상기하자. 주의 0FHD를 보라. 한편 \(\gamma([\Delta]) = \Delta_*1\)임을 상기하자(보조정리 0FHG). 따라서 보조정리 0FHB에 의해 \[\int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup a \otimes b = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup a \otimes b = \int_X a \cup b\] 이다. 다른 한편 공리 (B)(b)에 의해 \[\int_{X \times X} (\sum e_{i, j} \otimes e'_{2d -i , j}) \cup a \otimes b = \sum (\int_X a \cup e_{i, j})(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b)\] 이다. 각 항의 부호가 \(1\)이 되도록 순서를 두 번 바꾸었음에 유의하자. \(\int_X a \cup e_{i, j} = 1\)이고 다른 모든 쌍대값은 영이 되도록 \(a\)를 고르면, 모든 \(b\)에 대해 \(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b = \int_X a \cup b\)임을 얻는다. 즉 \(e'_{2d - i, j} = a\)이다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(H^*(\mathbf{P}^1_k)\)는 차수 \(0\)과 \(2\)에서 \(1\)차원이고 다른 차수에서는 영이다.

증명

\(x \in \mathbf{P}^1_k\)를 \(k\)-유리점이라 하자. \(\mathbf{P}^1_k \times \mathbf{P}^1_k\) 위의 인자로서 \(\Delta = \text{pr}_1^*x + \text{pr}_2^*x\)임을 관찰하자. 공리 (C)(a)와 \(\gamma\)의 가법성을 사용하면 \[\gamma([\Delta]) = \text{pr}_1^*\gamma([x]) + \text{pr}_2^*\gamma([x]) = \gamma([x]) \otimes 1 + 1 \otimes \gamma([x])\] 를 얻는다. 이는 \(H^*(\mathbf{P}^1_k \times \mathbf{P}^1_k) = H^*(\mathbf{P}^1_k) \otimes_F H^*(\mathbf{P}^1_k)\)의 원소이다. 그러나 보조정리 0FHH에 의해 \(\gamma([\Delta])\)는 \(\sum \beta_i\)개보다 적은 단순 텐서의 합으로 쓸 수 없다. 여기서 \(\beta_i = \dim_F H^i(\mathbf{P}^1_k)\)이다. 따라서 \(\sum \beta_i \leq 2\)이다. 보조정리 0FHF에 의해 \(H^0(\mathbf{P}^1_k) \not = 0\)이다. Poincaré 쌍대성, 더 정확히는 공리 (A)(b)에 의해 \(\beta_0 = \beta_2\)이다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)와 \(Y\)가 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이면 \(H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\), \(a \mapsto (i^*a, j^*a)\)는 동형사상이다. 여기서 \(i\), \(j\)는 쌍대곱의 포함사상이다.

증명

\(X\) 또는 \(Y\)가 공집합이면 보조정리 0FHF에 의해 \(H^*(\emptyset) = 0\)이므로 이는 성립한다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 모두 공집합이 아니라고 가정할 수 있다.

먼저 사상이 단사임을 보이자. 우선 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(X' \to X\)와 \(Y' \to Y\) 가운데 \(X'\)와 \(Y'\)가 같은 차원의 등차원 스킴이고 \(X' \to X\)와 \(Y' \to Y\)가 각각 절단을 갖는 것을 찾을 수 있음을 관찰하자. 실제로 \(X = \coprod X_d\)와 \(Y = \coprod Y_e\)를 각각 차원 \(d\)와 \(e\)인 등차원 열린닫힌 부분스킴들로 분해한다. 그런 다음 충분히 큰 어떤 \(n\)에 대해 \(X' = \coprod X_d \times \mathbf{P}^{n - d}\)와 \(Y' = \coprod Y_e \times \mathbf{P}^{n - e}\)로 둔다. 따라서 절단이 있으므로 \(X' \amalg Y' \to X \amalg Y\)를 따른 당김은 단사이고, 다음 문단에서 하듯이 \(X', Y'\)에 대한 단사성을 보이면 충분하다.

\(X\)와 \(Y\)가 같은 차원 \(d\)인 등차원 스킴일 때 사상이 단사임을 보이자. \(\CH^0(X \amalg Y)\)에서 \([X \amalg Y] = [X] + [Y]\)이고 \([X]\)와 \([Y]\)는 \(\CH^0(X \amalg Y)\)에서 서로 직교하는 멱등원임을 관찰하자. 따라서 \[1 = \gamma([X \amalg Y] = \gamma([X]) + \gamma([Y]) = i_*1 + j_*1\] 은 서로 직교하는 멱등원들의 분해이다. 여기서 보조정리 0FHF, 0FHG과 공리 (C)(c)를 사용했다. 이제 사영 공식(보조정리 0FHB)에 의해 \[a = a \cup 1 = a \cup i_*1 + a \cup j_*1 = i_*(i^*a) + j_*(j^*a)\] 이므로 사상은 단사이다.

사상이 전사임을 보이자. \(e = \gamma([X])\)와 \(f = \gamma([Y])\)를 \(H^0(X \amalg Y)\)의 원소로 보자. 공리 (C)(a)에 의해 \(i^*e = 1\), \(i^*f = 0\), \(j^*e = 0\), 그리고 \(j^*f = 1\)이다. 따라서 \(i^* : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X)\)와 \(j^* : H^*(X \amalg Y) \to H^*(Y)\)가 전사이면 \((i^*, j^*)\)도 전사이다. 실제로 \(a, a' \in H^*(X \amalg Y)\)에 대해 \[(i^*a, j^*a') = (i^*(a \cup e + a' \cup f), j^*(a \cup e + a' \cup f))\] 이다. 대칭성에 의해 \(i^* : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X)\)가 전사임을 보이면 충분하다. 사상 \(Y \to X\)가 있으면 \(g \circ i = \text{id}_X\)인 사상 \(g : X \amalg Y \to X\)가 있으므로 결론을 얻는다. 증명을 마치기 위해, \(i^*\)가 전사임을 보일 때 영이 아닌 등급 \(F\)-벡터공간을 텐서한 뒤 이를 보이면 충분함을 관찰하자. 따라서 공리 (B)(b)와 코호몰로지의 비소멸성(보조정리 0FHF)에 의해 어떤 유한 분리확대 \(k'/k\)에 대해 \(X\)와 \(Y\)를 각각 \(X \times \Spec(k')\)와 \(Y \times \Spec(k')\)로 바꾼 뒤 \(i^*\)가 전사임을 보이면 충분하다. \(\kappa(x) = k'\)인 닫힌점 \(x \in X\)가 존재하도록 \(k'\)을 고르면(이는 Varieties, Lemma 056U에 의해 가능하다), 사상 \(Y \times \Spec(k') \to X \times \Spec(k')\)가 존재하므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. 대칭 모노이드 범주의 \(\mathbf{Q}\)-선형 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\] 가 주어지고 \(G(\mathbf{1}(1))\)은 차수 \(-2\)에서만 영이 아니라고 하자. 그러면 위의 (A), (B), (C)를 모두 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)을 얻는다.

증명

이 증명은 보조정리 0FH1의 증명과 같다. 독자에게 그 보조정리의 증명을 대신 읽기를 권한다.

\(H^*(X) = G(h(X))\)로 두어 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴의 범주에서 등급 \(F\)-벡터공간의 범주로 가는 반변 함자를 얻는다. 가정에 의해 당김과 호환되는 표준 동형사상 \[H^*(X \times Y) = G(h(X \times Y)) = G(h(X) \otimes h(Y)) = G(h(X)) \otimes G(h(Y)) = H^*(X) \otimes H^*(Y)\] 이 있다. 대각사상 \(\Delta : X \to X \times X\)을 따른 당김을 사용하면 당김과 호환되는 등급 벡터공간의 표준 사상 \[H^*(X) \otimes H^*(X) = H^*(X \times X) \to H^*(X)\] 을 얻는다. 이는 \(H^*(X)\) 위의 함자적인 등급 \(F\)-대수 구조를 정의한다. \(\Delta\)는 인자를 맞바꾸는 교환 제약 \(h(X) \otimes h(X) \to h(X) \otimes h(X)\)과 가환하고, \(G\)는 대칭 모노이드 범주의 함자이므로 교환 제약과 호환된다. 또한 Homology, Example 0FFX의 규약에 의해 \(H^*(X)\)는 등급 가환 대수이다. 따라서 데이터 (D1)을 얻는다.

\(\mathbf{1}(1)\)은 모티브의 범주에서 가역이므로 \(G(\mathbf{1}(1))\)은 등급 \(F\)-벡터공간의 범주에서 가역이다. 따라서 \(\sum_i \dim_F G^i(\mathbf{1}(1)) = 1\)이다. 가정에 의해 차수 \(-2\)에서만 영이 아닌 것을 얻는다. 데이터 (D0)는 벡터공간 \(F(1) = G^{-2}(\mathbf{1}(1))\)이다. \(G\)가 대칭 모노이드 함자이므로 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(F(n) = G^{-2n}(\mathbf{1}(n))\)이다. 따라서 \[H^{2r}(X)(r) = G^{2r}(h(X)) \otimes G^{-2r}(\mathbf{1}(r)) = G^0(h(X)(r))\] 이다. 이 공식을 아래에서 자주 사용한다.

\(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 보조정리 0FG0에 의해 \[\CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(\Spec(k), X) = \Hom(\mathbf{1}(-r), h(X)) = \Hom(\mathbf{1}, h(X)(r))\] 이다. 함자 \(G\)를 적용하면 이는 \(\Hom(G(\mathbf{1}), G(h(X)(r)))\)로 간다. \(G^0(\mathbf{1}) = F\)의 \(1\)의 상을 \(G^0(h(X)(r)) = H^{2r}(X)(r)\)에서 취하면 \[\gamma : \CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow H^{2r}(X)(r)\] 를 얻는다. 이것이 데이터 (D2)이다.

\(X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 차원 \(d\)인 등차원 스킴이라 하자. 보조정리 0FG0에 의해 \[\Mor(h(X)(d), \mathbf{1}) = \Mor((X, 1, d), (\Spec(k), 1, 0)) = \text{Corr}^{-d}(X, \Spec(k)) = \CH_d(X)\] 이다. 따라서 \(\CH_d(X)\)에서 사이클 \([X]\)의 류는 사상 \(h(X)(d) \to \mathbf{1}\)을 정의한다. \(G\)를 적용하고 차수 \(0\) 부분을 취하면 \[H^{2d}(X)(d) = G^0(h(X)(d)) \longrightarrow G^0(\mathbf{1}) = F\] 를 얻는다. 이 사상 \(\int_X : H^{2d}(X)(d) \to F\)가 데이터 (D3)이다.

\(X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 차원 \(d\)인 등차원 스킴이라 하자. 보조정리 0FGI에 의해 \(h(X)(d)\)는 \(h(X)\)의 왼쪽 쌍대이다. 따라서 \(G(h(X)(d)) = H^*(X) \otimes_F F(d)[2d]\)는 등급 \(F\)-벡터공간의 범주에서 \(H^*(X)\)의 왼쪽 쌍대이다. 여기서 \([n]\)은 등급 벡터공간의 이동 함자이다. Homology, Lemma 0FFV에 의해 \(\sum_i \dim_F H^i(X) < \infty\)이고, \(\epsilon : h(X)(d) \otimes h(X) \to \mathbf{1}\)은 비퇴화 쌍대 \(H^{2d - i}(X)(d) \otimes_F H^i(X) \to F\)를 만든다. 보조정리 0FGI의 증명에서 동형사상 \[\Hom(h(X)(d) \otimes h(X), \mathbf{1}) = \text{Corr}^{-d}(X \times X, \Spec(k)) = \CH_d(X \times X)\] 아래 \(\epsilon\)이 \([\Delta]\)로 주어짐을 보았다. 따라서 \(\epsilon\)은 \([X] : h(X)(d) \to \mathbf{1}\)과 \(h(\Delta)(d) : h(X)(d) \otimes h(X) \to h(X)(d)\)의 합성이다. 그러므로 위의 쌍대는 컵곱 뒤에 \(\int_X\)를 적용하여 주어진다. 이로써 공리 (A)가 증명되었다.

공리 (B)는 \(G\)가 텐서 구조와 호환된다는 가정 및 위에서 구성한 컵곱에서 따른다.

공리 (C). 우리의 \(\gamma\) 구성은 \(X\) 위의 사이클 \(\alpha\)를 어떤 차수의 \(\Spec(k)\)에서 \(X\)로 가는 대응 \(a\)로 해석한 다음 \(G\)를 적용한다. \(f : Y \to X\)가 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 사상이면 \(f^!\alpha\)는 \(X\)에서 \(Y\)로 가는 대응 \([\Gamma_f]\)에 의한 \(\alpha\)의 밀어올림(!)이다. 보조정리 0FG5를 보라. 따라서 \(\Spec(k)\)에서 \(Y\)로 가는 대응으로 본 \(f^!\alpha\)는 \(a \circ [\Gamma_f]\)와 같다. 보조정리 0FG0를 보라. \(G\)가 함자이므로 \(\gamma\)는 당김과 호환된다. 즉 공리 (C)(a)가 성립한다.

\(f : Y \to X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 사상이라 하고 \(\beta \in \CH^r(Y)\)를 \(Y\) 위의 사이클이라 하자. 모든 \(c \in H^*(X)\)에 대해 \[\int_Y \gamma(\beta) \cup f^*c = \int_X \gamma(f_*\beta) \cup c\] 임을 보여야 한다. \(a, a^t, \eta_X, \eta_Y, [X], [Y]\)를 보조정리 0FG8에서와 같이 두자. \(b\)를 \(\Spec(k)\)에서 \(Y\)로 가는 차수 \(r\)의 대응으로 본 \(\beta\)라 하자. 그러면 \(\Spec(k)\)에서 \(X\)로 가는 대응으로 본 \(f_*\beta\)는 \(a^t \circ b\)와 같다. 보조정리 0FG5와 0FG0를 보라. 위의 표시된 등식은 \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{b \otimes 1} h(Y)(r) \otimes h(X) \xrightarrow{1 \otimes a} h(Y)(r) \otimes h(Y) \xrightarrow{\eta_Y} h(Y)(r) \xrightarrow{[Y]} \mathbf{1}(r - e)\] 가 \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{a^t \circ b \otimes 1} h(X)(r + d - e) \otimes h(X) \xrightarrow{\eta_X} h(X)(r + d - e) \xrightarrow{[X]} \mathbf{1}(r - e)\] 와 같음을 보이면 성립한다. 이는 보조정리 0FG8에서 바로 따른다. 따라서 공리 (C)(b)가 성립한다.

공리 (C)(c)를 증명하기 위해 주의 0FGU의 논의를 사용한다. 따라서 \(\gamma\)가 외적과 호환됨을 보이면 충분하다. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 \(\alpha\), \(\beta\)를 각각 그 위의 사이클이라 하자. 대응하는 \(\Spec(k)\)에서 \(X\), \(Y\)로 가는 대응을 \(a\), \(b\)라 하자. 그러면 \(\alpha \times \beta\)는 \(\Spec(k)\)에서 \(X \otimes Y = X \times Y\)로 가는 대응 \(a \otimes b\)에 대응한다. 따라서 필요한 성질은 \(G\)가 양쪽의 텐서 구조와 호환된다는 사실에서 따른다.

사이클 \([\Spec(k)]\)는 \(h(\Spec(k))\)의 항등사상에 대응하므로 공리 (C)(d)가 성립한다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. (A), (B), (C)를 만족하는 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어지면 \(H^*(X) = G(h(X))\)인 대칭 모노이드 범주의 \(\mathbf{Q}\)-선형 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\] 를 구성할 수 있다.

증명

이 보조정리의 증명은 보조정리 0FH2의 증명과 같다. 독자에게 그 보조정리의 증명을 대신 읽기를 권한다.

보조정리 0FGH에 의해 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴을 대상으로 하고 차수 \(0\)의 대응을 사상으로 갖는 범주 위에 함자 \(G\)를 구성하여, \(G(\mathbf{P}^1_k)\) 위 \(G(c_2)\)의 상이 가역인 등급 \(F\)-벡터공간임을 보이면 충분하다.

\(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 다음과 같은 표준 분해가 있다. \[X = \coprod\nolimits_{0 \leq d \le \dim(X)} X_d\] 여기서 \(X_d\)는 차원 \(d\)인 등차원 열린닫힌 부분스킴이다. 보조정리 0FHJ에 의해 이에 대응하여 \[H^*(X) \longrightarrow \prod\nolimits_{0 \leq d \le \dim(X)} H^*(X_d)\] 를 얻는다. \(Y\)가 두 번째 \(k\) 위 매끄러운 사영 스킴이고 마찬가지로 \(Y = \coprod Y_e\)로 분해하면 \[\text{Corr}^0(X, Y) = \bigoplus \text{Corr}^0(X_d, Y_e)\] 이다. 또한 대응의 범주에서 \(X \otimes Y = \coprod X_d \otimes Y_e\)이다. 이 관찰들로부터 대상이 \(k\) 위의 등차원 매끄러운 사영 스킴이고 사상이 차수 \(0\)의 대응인 범주 위에서 \(G\)를 구성하면 충분함이 따른다 (몇몇 세부사항은 생략한다).

\(k\) 위의 등차원 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 주어지면 \(G(X) = H^*(X)\)로 둔다. \(X = \emptyset\)이면 \(G(X) = 0\)임을 관찰하자 (보조정리 0FHF). 따라서 \(G(\emptyset)\)로 가거나 그로부터 나오는 사상은 영이고, 아래 논의에서는 스킴들이 공집합이 아니라고 가정한다.

\(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴 사이의 대응 \(c \in \text{Corr}^0(X, Y)\)가 주어지면 사상 \(G(c) : G(X) = H^*(X) \to G(Y) = H^*(Y)\)를 다음 규칙으로 정의한다. \[a \longmapsto G(c)(a) = \text{pr}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}_1^*a)\] \(G(c)\)가 \(c\)에 대해 가법적이고 따라서 \(\mathbf{Q}\)-선형임은 명백하다. 공리 (C)(a), (C)(b), (C)(c)에서 주어진 당김, 밀어올림, 교차곱과 \(\gamma\)의 호환성은 \(c' \in \text{Corr}^0(Y, Z)\)일 때 \(G(c' \circ c) = G(c') \circ G(c)\)임을 보인다. 실제로 \(a \in H^*(X)\)에 대해 \[\begin{align*} (G(c') \circ G(c))(a) & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{23, *}_2(\text{pr}^{12}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{123}_{23, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1 a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}\gamma(c') \cup \text{pr}^{123, *}_{12}\gamma(c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c') \cup \gamma(\text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *} \text{pr}^{123}_{13, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *}( \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c)) \cup \text{pr}^{13, *}_1 a) \\ & = G(c' \circ c)(a) \end{align*}\] 이다. 표기는 자명하다. 첫 번째 등식은 정의에서 따른다. 두 번째 등식은 보조정리 0FHC에서 주어진 사영을 따른 밀어올림의 기술로부터 바로 얻는 \(\text{pr}^{23, *}_2 \circ \text{pr}^{12}_{2, *} = \text{pr}^{123}_{23, *} \circ \text{pr}^{123, *}_{12}\)에 의해 성립한다. 세 번째 등식은 보조정리 0FHB와 \(H^*\)가 함자라는 사실에 의해 성립한다. 네 번째 등식은 공리 (C)(a)와 평탄 사상의 Gysin 사상이 평탄 당김과 같다는 사실(Chow Homology, Lemma 0FF4)에 의해 성립한다. 다섯 번째 등식에서는 공리 (C)(c)와 보조정리 0FHB를 사용하여 \(\text{pr}^{23}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{23, *} = \text{pr}^{13}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{13, *}\)임을 안다. 여섯 번째 등식에서는 보조정리 0FHB의 사영 공식과 공리 (C)(b)를 사용하여 \(\text{pr}^{123}_{13, *} \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) = \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c))\)임을 안다. 마지막 등식은 정의이다.

\(G\)가 함자임을 증명하려면 항등사상이 보존됨을 보여야 한다. 다시 말해 대응의 범주에서 \(1 = [\Delta] \in \text{Corr}^0(X, X)\)가 항등사상이면 (보조정리 0FG2), \(G([\Delta]) = \text{id}\)임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0FHH에서의 \(\gamma([\Delta])\)의 결정과 보조정리 0FHC에서 따른다. 이로써 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴과 차수 \(0\)의 대응 위에서 함자 \(G\)의 구성이 끝난다.

보조정리 0FHE에 의해 \(G(\Spec(k)) = H^*(\Spec(k))\)는 \(F\)-대수로서 표준적으로 \(F\)와 동형이다. Künneth 공리 (B)(a)는 우리의 함자가 텐서곱과 호환됨을 보인다. 따라서 우리의 함자는 대칭 모노이드 범주의 함자이다.

아직 \(G(\mathbf{P}^1_k) = H^*(\mathbf{P}^1_k)\) 위 \(G(c_2)\)의 상이 가역인 등급 \(F\)-벡터공간임을 확인해야 한다(특히 아직 \(G\)가 \(M_k\)로 확장됨을 알지 못한다). 보조정리 0FHI에 의해 코호몰로지는 차수 \(0\)과 \(2\)에서만 영이 아니고 둘 다 차원 \(1\)이다. \(1 = c_0 + c_2\)는 \(\text{Corr}^0(\mathbf{P}^1_k, \mathbf{P}^1_k)\)의 항등원을 서로 직교하는 멱등원들의 합으로 분해한 것임을 상기하자. 예 0FG6을 보라. 또한 \(a \in \text{Corr}^0(\Spec(k), \mathbf{P}^1_k)\) 및 \(b \in \text{Corr}^0(\mathbf{P}^1_k, \Spec(k))\)이고 \(\text{Corr}^0(\Spec(k), \Spec(k))\)에서 \(b \circ a = 1\)인 \(c_0 = a \circ b\)가 있다. 보조정리 0FGD의 증명을 보라. 따라서 \(G(c_0)\)는 차수 \(0\) 부분으로의 사영자이다. 그러므로 \(G(c_2)\)는 차수 \(2\) 부분으로의 사영자여야 하고 증명이 끝난다.

명제

\(k\)를 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. 다음 두 종류의 데이터 사이에는 \(1\)-대-\(1\) 대응이 있다.

1. (A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3),

2. \(G(\mathbf{1}(1))\)이 차수 \(-2\)에서만 영이 아닌 \(\mathbf{Q}\)-선형 대칭 모노이드 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\]

증명

(2)에서와 같은 \(G\)가 주어졌을 때 \(H^*(X) = G(h(X))\)로 두면 (A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)을 얻는다. 보조정리 0FHK과 그 증명을 보라.

반대로 (A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어지면 보조정리 0FHL의 증명에 나온 구성으로 (2)에서와 같은 함자 \(G\)를 얻는다.

이 두 구성이 서로 역임을 보이는 자세한 증명은 생략한다.

추가 성질

이 절에서는 0FHA절에서와 같이 (A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌을 때 얻어지는 몇 가지 결과를 더 증명한다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X, Y\)를 모두 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \(\int_{X \amalg Y} = \int_X + \int_Y\)이다.

증명

\(i : X \to X \amalg Y\)와 \(j : Y \to X \amalg Y\)를 표준 포함사상이라 하자. 보조정리 0FHJ에 의해 사상 \((i^*, j^*) : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\)는 동형사상이다. 보조정리의 주장은 동형사상 \((i^*, j^*) : H^{2d}(X \amalg Y)(d) \to H^{2d}(X)(d) \oplus H^{2d}(Y)(d)\) 아래에서 사상 \(\int_X + \int_Y\)가 \(\int_{X \amalg Y}\)로 옮겨진다는 뜻이다. 이는 \[\int_{X \amalg Y} a = \int_{X \amalg Y} i_*(i^*a) + j_*(j^*a) = \int_X i^*a + \int_Y j^*a\] 이므로 성립한다. 여기서 등식 \(a = i_*(i^*a) + j_*(j^*a)\)는 보조정리 0FHJ의 증명에서 보였다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 차원 영인 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면

1. \(H^i(X) = 0\) for \(i \not = 0\),

2. \(H^0(X)\) is a finite separable algebra over \(F\),

3. \(\dim_F H^0(X) = \deg(X \to \Spec(F))\),

4. \(\int_X : H^0(X) \to F\) is the trace map,

5. \(\gamma([X]) = 1\), and

6. \(\int_X \gamma([X]) = \deg(X \to \Spec(k))\).

증명

\(X = \Spec(k')\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(k'\)은 \(k\) 위의 유한 분리 대수이다. \(\deg(X \to \Spec(k)) = [k' : k]\)임을 관찰하자. \(k'\)의 각 인자를 포함하는 유한 Galois 확대 \(k''/k\)를 택한다. (유한 분리 \(k\)-대수는 \(k\)의 유한 분리 체확대들의 곱임을 상기하자.) \(\Sigma = \Hom_k(k', k'')\)로 두면 \[k' \otimes_k k'' = \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} k''\] 를 얻는다. \(Y = \Spec(k'')\)로 두면 공리 (B)(a)와 보조정리 0FHJ에 의해 \[H^*(X) \otimes_F H^*(Y) = \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} H^*(Y)\] 가 등급 가환 \(F\)-대수의 동형사상으로 성립한다. 보조정리 0FHF에 의해 \(F\)-대수 \(H^*(Y)\)는 영이 아니다. 표시된 등식 양변의 차원을 비교하면 \(H^*(X)\)는 차수 \(0\)에만 놓이고 \(\dim_F H^0(X) = [k' : k]\)임을 얻는다. 이를 \(Y\)에 적용하면 \(H^*(Y) = H^0(Y)\)를 얻는다. \[H^0(X) \otimes_F H^0(Y) = H^0(Y) \times \ldots \times H^0(Y)\] 가 \(F\)-대수의 동형사상이므로 \(H^0(X)\)는 분리 \(F\)-대수이다. 실제로 이는 충실하게 평탄한 기저변환 \(F \to H^0(Y)\) 뒤에 확인할 수 있다.

위의 표시된 동형사상은 다음 사상으로 주어진다. \[H^0(X) \otimes_F H^0(Y) \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} H^0(Y),\quad a \otimes b \longmapsto \prod\nolimits_\sigma \Spec(\sigma)^*a \cup b\] 이 동형사상을 통해 보조정리 0FHP에 의해 \(\int_{X \times Y} = \sum_\sigma \int_Y\)이다. 따라서 \(H^0(Y)\)에서 \[\int_X a = \text{pr}_{1, *}(a \otimes 1) = \sum \Spec(\sigma)^*a\] 이다. 첫 번째 등식은 보조정리 0FHC에 의하고 두 번째 등식은 방금 한 관찰에 의한다. 대수적 폐포 \(\overline{F}\)와 \(F\)-대수 사상 \(\tau : H^0(Y) \to \overline{F}\)를 택한다. 위의 동형사상을 기저변환하면 동형사상 \[H^0(X) \otimes_F \overline{F} \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} \overline{F},\quad a \otimes b \longmapsto \prod\nolimits_\sigma \tau(\Spec(\sigma)^*a) b\] 를 얻는다. 따라서 \(a \mapsto \tau(\Spec(\sigma)^*a)\)는 \(H^0(X)\)에서 \(\overline{F}\)로 가는 매장들의 완전한 모임이다. 위에서 얻은 \(\int_X a\)의 공식에 \(\tau\)를 적용하면 \(\int_X\)가 대각합 사상임을 얻는다. 보조정리 0FHF에 의해 \(\gamma([X]) = 1\)이다. 마지막으로 \(\gamma([X]) = 1\)이고 \(1\)의 대각합은 \([k' : k]\)와 같으므로 \(\int_X \gamma([X]) = \deg(X \to \Spec(k))\)이다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 도식 \[\xymatrix{ \CH^d(X) \ar[r]_-\gamma \ar@{=}[d] & H^{2d}(X)(d) \ar[d]^{\int_X} \\ \CH_0(X) \ar[r]^\deg & F }\] 은 가환한다. 여기서 \(\deg : \CH_0(X) \to \mathbf{Z}\)는 Chow Homology, Section 0AZ0에서 논의한 영차원 사이클의 차수이다.

증명

\(x\)를 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 \(X\)의 닫힌점이라 하자. \(x\)를 스킴으로 보고 \(i : x \to X\)를 포함사상이라 하자. 혼동을 피하기 위해 \(x\)의 사이클류 사상을 \(\gamma' : \CH_0(x) \to H^0(x)\)라 쓰자. 그러면 \[\int_X \gamma([x]) = \int_X \gamma(i_*[x]) = \int_X i_*\gamma'([x]) = \int_x \gamma'([x]) = \deg(x \to \Spec(k))\] 이다. 두 번째 등식은 공리 (C)(b)이고 세 번째 등식은 코호몰로지에서 \(i_*\)의 정의이다. 마지막 등식은 보조정리 0FHQ이다. 보조정리 0FH5에 의해 \(\CH_0(X)\)가 위와 같은 점 \(x\)들의 류로 생성되므로 보조정리가 증명된다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 다음이 성립한다. \[\sum\nolimits_i (-1)^i\dim_F H^i(X) = \deg(\Delta \cdot \Delta) = \deg(c_d(\mathcal{T}_{X/k}))\]

증명

오른쪽 등식을 보이자. 다음이 성립한다. \([\Delta] \cdot [\Delta] = \Delta_*(\Delta^![\Delta])\) (Chow Homology, Lemma 0FFE). \(\Delta_*\)가 \(0\)차원 사이클의 차수를 보존하므로 \(\Delta^![\Delta]\)의 차수를 계산하면 충분하다. 류 \(\Delta^![\Delta]\)는 \(\Delta \subset X \times X\)의 법선층의 최고 Chern 류를 \([\Delta]\)에 캡곱하여 주어진다(Chow Homology, Lemma 0FBM). \(\Delta\)의 여법선층은 \(\Omega_{X/k}\)이므로(Morphisms, Lemma 08S2) 법선층은 원하는 대로 접다발 \(\mathcal{T}_{X/k} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\)와 같다.

왼쪽 등식을 보이자. 보조정리 0FHR에 의해 \[\begin{align*} \deg([\Delta] \cdot [\Delta]) & = \int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*(\Delta^*\gamma([\Delta])) \\ & = \int_X \Delta^*\gamma([\Delta]) \end{align*}\] 이다. 보조정리 0FHG과 0FHB를 사용했다. 보조정리 0FHH에서와 같이 \(\gamma([\Delta]) = \sum e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j}\)로 쓰자. \(\Delta^*\)가 컵곱으로 주어짐을 상기하면(주의 0FHD) 다음을 얻는다. \[\int_X \sum\nolimits_{i, j} e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} \int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} (-1)^i = \sum (-1)^i\beta_i\] 이는 원하는 등식이다.

보조정리

\(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. \(F'\)과 \(F_i\), \(i = 1, \ldots, r\)를 유한 분리 \(F\)-대수라 하고 \(A\)를 유한 \(F\)-대수라 하자. \(\sigma, \sigma' : A \to F'\)와 \(\sigma_i : A \to F_i\)를 \(F\)-대수 사상이라 하자. \(\sigma\)와 \(\sigma'\)이 전사라고 가정하자. 관계식 \[\text{Tr}_{F'/F} \circ \sigma - \text{Tr}_{F'/F} \circ \sigma' = n(\sum m_i \text{Tr}_{F_i/F} \circ \sigma_i)\] 이 있고, 여기서 \(n > 1\)이고 \(m_i\)들이 정수이면 \(\sigma = \sigma'\)이다.

증명

\(A = \prod A_j\)를 국소 Artin \(F\)-대수 \((A_j, \mathfrak m_j, \kappa_j)\)들의 유한 곱으로 쓸 수 있다. Algebra, Lemma 00J6와 Proposition 00KJ을 보라. \(\kappa_j/k\)가 분리인 \(j\)들에 대한 곱을 \(A' = \prod \kappa_j\)라 하자. 그러면 각 사상 \(\sigma, \sigma', \sigma_i\)는 사상 \(A \to A'\)를 통해 분해된다. \(A\)를 \(A'\)으로 바꾸면 \(A\)가 유한 분리 \(F\)-대수인 경우로 환원된다.

대수적 폐포 \(\overline{F}\)를 택하자. 다음과 같이 둔다. \(\overline{A} = A \otimes_F \overline{F}\), \(\overline{F}' = F' \otimes_F \overline{F}\), and \(\overline{F}_i = F_i \otimes_F \overline{F}\). \(\sigma\), \(\sigma'\), \(\sigma_i\)를 기저변환하여 \(\overline{F}\)-대수 사상 \(\overline{A} \to \overline{F}'\) 및 \(\overline{A} \to \overline{F}_i\)를 얻을 수 있다. 더욱이 \(\text{Tr}_{\overline{F}'/\overline{F}}\)는 \(\text{Tr}_{F'/F}\)의 기저변환이고 \(\text{Tr}_{F_i/F}\)도 마찬가지다. 따라서 \(F\)를 \(\overline{F}\)로 바꾸어 다음 문단에서 다루는 경우로 환원할 수 있다.

\(F\)가 대수적으로 닫혀 있고 \(A\)가 유한 분리 \(F\)-대수라고 가정하자. 그러면 \(A\), \(F'\), \(F_i\)는 각각 \(F\)의 여러 복사본의 곱이다. \(F\)의 복사본들의 곱 \(F \times \ldots \times F\)의 원소 \(e\)가 한 인자를 생성할 때, 즉 \(e = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\)일 때 이를 최소 멱등원이라 하자. \(e \in A\)를 최소 멱등원이라 하자. \(\sigma\)와 \(\sigma'\)이 전사이므로 \(\sigma(e)\)와 \(\sigma'(e)\)는 최소 멱등원이거나 영이다. \(\sigma \not = \sigma'\)이면 \(\sigma(e) = 0\)이고 \(\sigma'(e) \not = 0\)이거나 그 반대가 되도록 최소 멱등원 \(e \in A\)를 택할 수 있다. 그러면 \(\text{Tr}_{F'/F}(\sigma(e)) = 0\)이고 \(\text{Tr}_{F'/F}(\sigma'(e)) = 1\)이거나 그 반대이다. 한편 \(\sigma_i(e)\)는 멱등원이므로 \(\text{Tr}_{F_i/F}(\sigma_i(e)) = r_i\)는 정수이다. 따라서 \[-1 = \sum n m_i r_i = n (\sum m_i r_i) \quad\text{or}\quad 1 = \sum n m_i r_i = n (\sum m_i r_i)\] 를 얻는데, 이는 불가능하다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(k'/k\)를 유한 분리확대라 하고 \(X\)를 \(k'\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(x, x' \in X\)를 \(k'\)-유리점이라 하자. \(\gamma(x) \not = \gamma(x')\)이면 \([x] - [x']\)는 \(\CH_0(X)\)에서 어떤 정수 \(n > 1\)로도 나누어지지 않는다.

증명

\(x\)와 \(x'\)이 \(X\)의 서로 다른 기약성분 위에 놓이면 결과는 자명하다. 따라서 \(X\)가 차원 \(d\)인 기약 스킴이라고 가정할 수 있다. \([x] - [x']\)가 \(\CH_0(X)\)에서 \(n > 1\)로 나누어진다고 하자. 보조정리 0FH5에 의해 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 어떤 닫힌점 \(x_i \in X\)와 정수 계수들에 대해 \(\CH_0(X)\)에서 \([x] - [x'] = n(\sum m_i [x_i])\)로 쓸 수 있다. 그러면 \[\gamma([x]) - \gamma([x']) = n (\sum m_i \gamma([x_i]))\] 가 \(H^{2d}(X)(d)\)에서 성립한다. 당김 사상 \(H^0(X) \to H^0(x)\), \(H^0(X) \to H^0(x')\), \(H^0(X) \to H^0(x_i)\)를 각각 \(i^*, (i')^*, i_i^*\)라 쓰자. \(H^0(x)\)는 유한 분리 \(F\)-대수이고 \(\int_x : H^0(x) \to F\)는 대각합 사상임을 상기하자 (보조정리 0FHQ). 이를 \(\text{Tr}_x\)라 쓰겠다. \(x'\)과 \(x_i\)에 대해서도 마찬가지다. 그러면 공리 (A)(b)의 형태로 주어진 Poincaré 쌍대성에 의해 위의 등식은 \[\text{Tr}_x \circ i^* - \text{Tr}_{x'} \circ (i')^* = n(\sum m_i \text{Tr}_{x_i} \circ i_i^*)\] 와 쌍대이며, 이는 \(\Hom_F(H^0(X), F)\)에서 성립한다. 마지막으로 \(x\)와 \(x'\)이 \(k'\)-유리점이므로 \(i^*\)와 \((i')^*\)은 전사임을 관찰하자. 실제로 합성 \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X) \to H^0(x)\)와 \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X) \to H^0(x')\)는 동형사상이다. 보조정리 0FHT에 의해 \(i^* = (i')^*\)를 얻는데, 이는 \(\gamma([x]) \not = \gamma([x'])\)라는 가정에 모순된다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(k'/k\)를 유한 분리확대라 하자. \(X\)를 \(k'\) 위의 차원 \(d\)인 기하적으로 기약인 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \(\gamma : \CH_0(X) \to H^{2d}(X)(d)\)는 \(\deg : \CH_0(X) \to \mathbf{Z}\)를 통해 분해된다.

증명

보조정리 0FH5에 의해 다음을 보이면 충분하다. 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 닫힌점 \(x, x' \in X\)가 주어지면 \(\deg(x') \gamma([x]) = \deg(x) \gamma([x'])\)이다.

먼저 \(k'\)-유리점인 경우로 환원하자. \(\kappa(x)\)와 \(\kappa(x')\)가 \(k\) 위에서 매장되는 Galois 확대 \(k''/k'\)를 택한다. \(Y = X \times_{\Spec(k')} \Spec(k'')\)로 두고 사영을 \(p : Y \to X\)라 쓰자. \(k''/k'\)의 선택에 의해 \(Y\)에는 각각 \(x\)와 \(x'\)으로 가는 \(k''\)-유리점 \(y\)와 \(k''\)-유리점 \(y'\)이 존재한다. 그러면 \(\CH_0(X)\)에서 \(p_*[y] = [k'' : \kappa(x)][x]\)이고 \(p_*[y'] = [k'' : \kappa(x')][x']\)이다. 공리 (C)(b)의 밀어올림 호환성에 의해 \(\CH^{2d}(Y)(d)\)에서 \(\gamma([y]) = \gamma([y'])\)임을 보이면 충분하다. 이로써 다음 문단의 상황으로 환원된다.

\(x\)와 \(x'\)이 \(k'\)-유리점이라고 가정하자. 보조정리 0FH7에 의해 체의 유한 분리확대 \(k''/k'\)가 존재하여 차이 \([x] - [x']\)의 당김 \([y] - [y']\)이 \(Y = X \times_{\Spec(k')} \Spec(k'')\) 위에서 어떤 정수 \(n > 1\)로 나누어진다. (\(y, y' \in Y\)는 \(k''\)-유리점임에 유의하자.) 보조정리 0FHU에 의해 \(H^{2d}(Y)(d)\)에서 \(\gamma([y]) = \gamma([y'])\)이다. 공리 (C)(b)의 밀어올림 호환성에 의해 \(x\)와 \(x'\)에 대해서도 같은 결론을 얻는다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(k\) 위의 기약 매끄러운 사영 스킴들 사이의 우세사상이라 하자. 그러면 \(H^*(Y) \to H^*(X)\)는 단사이다.

증명

\(Y\)와 같은 차원이고 \(Y\) 위로 가는 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)가 존재한다. 따라서 어떤 \(m > 0\)에 대해 \(f_*[Z] = m[Y]\)이다. 보조정리 0FHF에 의해 \(H^*(Y)\)에서 \(f_* \gamma([Z]) = m \gamma([Y]) = m\)이다. 따라서 사영 공식(보조정리 0FHB)에 의해 \(f_*(f^*a \cup \gamma([Z])) = m a\)이고, 이로부터 결론을 얻는다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(k''/k'/k\)를 유한 분리 대수들이라 하고 \(X\)를 \(k'\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \[H^*(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} H^0(\Spec(k'')) = H^*(X \times_{\Spec(k')} \Spec(k''))\] 이다.

증명

이후 따로 언급하지 않고 보조정리 0FHQ의 결과들을 사용한다. 어떤 유한 분리 \(k'\)-대수 \(l\)에 대해 \[k' \otimes_k k'' = k'' \times l\] 로 쓰자. 다음과 같이 둔다. \(F' = H^0(\Spec(k'))\), \(F'' = H^0(\Spec(k''))\), and \(G = H^0(\Spec(l))\). \(\Spec(k') \times \Spec(k'') = \Spec(k'') \amalg \Spec(l)\)이므로 공리 (B)(a)와 보조정리 0FHJ에 의해 \[F' \otimes_F F'' = F'' \times G\] 를 얻는다. 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 사상은 \(F''\)을 \(F' \otimes_{F'} F''\)와 동일시한다. 같은 방식으로 \[H^*(X) \otimes_F F'' = H^*(X \times_{\Spec(k')} \Spec(k'')) \times H^*(X \times_{\Spec(k')} \Spec(l))\] 가 \(F' \otimes_F F'' = F'' \times G\) 위의 가군의 동형사상으로 성립한다. 이로써 보조정리가 증명된다.

Weil 코호몰로지 이론, II

우리에게 Weil 코호몰로지 이론은 바탕체 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있지 않을 때 고전적 Weil 코호몰로지 이론(0FGS절)의 유사물이다. 0FHA절에서는 코호몰로지 이론이 \(k\) 위의 모티브 범주에 정의된 대칭 모노이드 함자에서 나오도록 보장하는 공리들을 열거했다. 지금까지의 공리에는 \(i < 0\)일 때 \(H^i(X) = 0\)이라는 조건과, 차원 \(d\)인 등차원 \(X\)에 대한 \(H^{2d}(X)(d)\)의 조건으로서 고전적 공리 (A)(c), (A)(d)에 대응하는 조건이 빠져 있다. 먼저 그러한 조건을 부과할 필요가 있음을 확인하자.

예

\(k = \mathbf{C}\)와 \(F = \mathbf{C}\)를 모두 복소수체와 같게 두자. \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 \(H^{p, q}(X) = H^q(X, \Omega^p_{X/k})\)라 쓰자. 함자 \((H')^*\)가 \(X\)를 보통의 컵곱을 갖는 \((H')^*(X) = \bigoplus H^{p, q}(X)\)로 보내게 하자. 이는 고전적 Weil 코호몰로지 이론이다(여기에 향후 참조를 삽입하라). 명제 0FH3에 의해 \(M_k\)에서 등급 \(F\)-벡터공간의 범주로 가는 \(\mathbf{Q}\)-선형 대칭 모노이드 함자 \(G'\)을 얻는다. 물론 이 경우 \(M_k\)의 모든 \(M\)에 대해 \(G'(M)\)은 자연스럽게 이중등급화되어 있다. 즉, \[(G')(M) = \bigoplus (G')^{p, q}(M),\quad (G')^n = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} (G')^{p, q}(M)\] 이고, 표시한 대로 \((G')^{p, q}\)는 전체 차수 \(p + q\)에 놓인다. 이제 다음과 같이 두어 등급 \(F\)-벡터공간의 범주로 가는 \(\mathbf{Q}\)-선형 대칭 모노이드 함자 \(G\)를 구성하겠다. \[G^n(M) = \bigoplus\nolimits_{n = 3p - q} (G')^{p, q}(M)\] 이것이 대칭 모노이드 함자를 정의한다는 확인은 생략한다. 한 가지 기술적인 점은 위에서 홀수 \(3\)과 \(-1\)을 택했기 때문에 함자 \(G\)가 교환 제약과 호환된다는 것이다. \(G(\mathbf{1}(1))\)이 여전히 차수 \(-2\)에 놓임을 관찰하자! 따라서 보조정리 0FH1에 의해 고전적 공리 (A), (B), (C)를 모두 만족하는 함자 \(H^*\), 사이클류 \(\gamma\), 대각합 사상을 얻는다. 다만 고전적 공리 (A)(a), (A)(d)는 만족하지 않을 수 있다. 실제로 \(E\)가 \(k\) 위의 타원곡선이면 \(\dim H^{-1}(E) = 1\)이고, 따라서 공리 (A)(a)가 실제로 위배된다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하고 \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. 다음 두 조건은 동치이다.

1. 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 유한 개의 닫힌점 \(x_1, \ldots, x_r \in X\)가 존재하여 \(H^0(X) \to H^0(x_1) \oplus \ldots \oplus H^0(x_r)\)가 단사이다.

2. 사상 \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X)\)가 동형사상이다.

이들이 성립하면 \(H^0(X)\)는 유한 분리 \(F\)-대수이다. \(X\)가 차원 \(d\)인 등차원 스킴이면 (1), (2)는 다음 조건과도 동치이다.

1. 닫힌점들의 류가 \(H^{2d}(X)(d)\)를 \(H^0(X)\) 위의 가군으로서 생성한다.

증명

\(k'\)은 \(k\) 위의 유한 분리 대수이고(Varieties, Lemma 0BUG) 따라서 \(\Spec(k')\)이 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적이므로 이 명제는 의미가 있다. \(H^*\)의 직합과의 호환성(보조정리 0FHJ, 0FHP)에 의해 \(X\)가 연결인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X\)가 기약이라고 가정할 수 있고, (1), (2), (3)의 동치성을 보여야 한다. \(d = \dim(X)\)로 두자. 이로부터 \(k'\)은 \(k\)의 유한 분리 체확대이고 \(X\)는 \(k'\) 위에서 기하적으로 기약임을 얻는다. Varieties, Lemmas 0BUG와 0FD1을 보라.

보조정리 0FH5에 의해 (3)의 닫힌점들은 잉여체가 \(k\) 위에서 분리라고 가정할 수 있다. 공리 (A)(a), (A)(b)에 의해 조건 (1)과 (3)은 동치이다.

(2)가 성립한다고 하자. 잉여체가 \(k'\) 위의 유한 분리확대인 임의의 닫힌점 \(x \in X\)를 택한다. 그러면 예를 들어 보조정리 0FHW에 의해 \(H^0(\Spec(k')) = H^0(X) \to H^0(x)\)는 단사이다.

동치인 조건 (1), (3)이 성립한다고 가정하자. (1)에서와 같이 \(x_1, \ldots, x_r \in X\)를 택하고 유한 분리확대 \(k''/k'\)를 택한다. 보조정리 0FHX에 의해 \[H^0(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} H^0(\Spec(k'')) = H^0(X \times_{\Spec(k')} \Spec(k''))\] 이다. 따라서 \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X)\)가 동형사상임을 보일 때 \(k'\)을 \(k''\)로 바꿀 수 있다. 그러므로 \(x_1, \ldots, x_r\)이 \(k'\)-유리점이라고 가정할 수 있다(이 단계에서 각 \(x_i\)를 여러 점으로 바꾸므로 \(r\)은 증가한다). 보조정리 0FHV에 의해 \(\gamma(x_1) = \gamma(x_2) = \ldots = \gamma(x_r)\)이다. 공리 (A)(b)에 의해 사상 \(H^0(X) \to H^0(x_i)\)들은 모두 같다. 이는 (2)가 성립한다는 뜻이다.

마지막으로 (1)이 성립하면 보조정리 0FHQ에 의해 \(H^0(X)\)는 분리 \(F\)-대수이다.

보조정리

(A), (B), (C)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)이 주어졌다고 하자. 어떤 \(i < 0\)에 대해 \(H^i(Y)\)가 영이 아닌 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(Y\)가 존재하면 \(k\) 위의 등차원 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 존재하여 보조정리 0FI0의 동치조건들이 \(X\)에 대해 성립하지 않는다.

증명

보조정리 0FHJ에 의해 \(Y\)가 기약이고, 따라서 특히 등차원이라고 가정할 수 있다. \(i\)가 홀수이면 \(Y\)를 \(Y \times Y\)로 바꾼 뒤 \(Y\)가 등차원이고 어떤 \(l > 0\)에 대해 \(i = -2l\)인 예를 얻는다. \(X = Y \times (\mathbf{P}^1_k)^l\)로 두자. 공리 (B)(a)를 사용하면 \[H^0(X) \supset H^0(Y) \oplus H^i(Y) \otimes_F H^2(\mathbf{P}^1_k)^{\otimes_F l}\] 를 얻으며, 두 직합인자가 모두 영이 아니다. 따라서 \(H^0(X)\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)의 스펙트럼의 \(H^0\)과 동형일 수 없다. 후자는 첫 번째 직합인자 안에 들어가기 때문이다.

따라서 이제 다음 정의를 내리는 것이 자연스럽다.

정의

\(k\)를 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. \(F\)에 계수를 갖는 \(k\) 위의 Weil 코호몰로지 이론은 Poincaré 쌍대성, Künneth 공식, 사이클류와의 호환성을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)으로 주어진다. 더 정확히는 0FHA절의 공리 (A), (B), (C)를 만족하고, 추가로 \(k\) 위의 모든 매끄러운 사영 \(X\)에 대해 보조정리 0FI0의 동치조건 (1), (2)가 성립해야 한다.

보조정리 0FI1에 의해 이는 영이 아닌 음의 차수 코호몰로지군이 없다는 뜻이기도 하다. 특히 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으면 위와 같은 Weil 코호몰로지 이론과 동형사상 \(F \to F(1)\)을 함께 주는 것은 고전적 Weil 코호몰로지 이론을 주는 것과 같다.

주

\(H^*\)를 Weil 코호몰로지 이론이라 하자(정의 0FI2). \(k'/k\)가 체의 유한 분리확대일 때 \(X\)를 \(k'\) 위의 차원 \(d\)인 기하적으로 기약인 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 어떤 체 \(F_i\)들에 대해 \[H^0(\Spec(k')) = F_1 \times \ldots \times F_r\] 라고 가정하자. 그러면 이에 따라 \[H^*(X) = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} H^*(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} F_i\] 로 쓸 수 있다. 정의 0FI2의 마지막 가정에 의해 \(H^0(X)\)는 \(\prod F_i\) 위의 계수 \(1\)인 자유 가군이다. 다시 말해 각 인자 \(H^0(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} F_i\)는 \(F_i\) 위에서 차원 \(1\)이다. 그러면 Poincaré 쌍대성에 의해 차수 \(2d\)의 코호몰로지에 대해서도 같은 결론이 성립한다. 그러나 다른 차수에서도 같은 결론이 성립하는지는 분명하지 않다. 즉, \(0 < n < \dim(X)\)가 주어졌을 때 정수 \[\dim_{F_i} H^n(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} F_i\] 가 \(i\)와 무관함을 우리는 알지 못한다! 이 질문은 다음 미해결 문제와 밀접하게 관련되어 있다. 대수적으로 닫힌 바탕체 \(\overline{k}\), 표수 영인 체 \(F\), 계수체가 \(F\)인 \(\overline{k}\) 위의 고전적 Weil 코호몰로지 이론 \(H^*\), 그리고 \(\overline{k}\) 위의 매끄러운 사영 다양체 \(X\)가 주어졌을 때, \(X\)의 Betti 수 \[\beta_i = \dim_F H^i(X)\] 는 \(F\)와 Weil 코호몰로지 이론 \(H^*\)에 무관한가?

명제

\(k\)를 체라 하고 \(F\)를 표수 \(0\)인 체라 하자. Weil 코호몰로지 이론을 주는 것은 다음과 같은 \(\mathbf{Q}\)-선형 대칭 모노이드 함자 \[G : M_k \longrightarrow \text{graded }F\text{-vector spaces}\] 를 주는 것과 같다.

1. \(G(\mathbf{1}(1))\)은 차수 \(-2\)에서만 영이 아니다.

2. \(k\) 위의 모든 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 두면 등급 \(F\)-벡터공간의 준동형사상 \(G(h(\Spec(k'))) \to G(h(X))\)는 차수 \(0\)에서 동형사상이다.

증명

명제 0FHM와 정의 0FI2에서 바로 따른다. 물론 (2)를 다음 조건으로 바꾸어도 된다. 잉여체가 \(k\) 위에서 분리인 어떤 닫힌점 \(x_1, \ldots, x_r \in X\)를 택했을 때 \(G(h(X)) \to \bigoplus G(h(x_i))\)가 차수 \(0\)에서 단사이다.

Chern 류

이 절에서는 제1 Chern 류와 사영공간 다발 공식을 이용하여 모든 Chern 류를 얻는 방법을 논의한다. 우리의 공리는 약간 다르지만 이 절의 참고문헌은 [Grothendieck-chern]이다.

\(\mathcal{C}\)를 다음 성질들을 갖는 스킴들의 범주라 하자.

1. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(U \subset X\)가 열린닫힌 부분스킴이면 \(U \to X\)는 \(\mathcal{C}\)의 사상이다. \(\mathcal{C}\)의 사상 \(X' \to X\)가 \(U\)를 통해 분해되면 \(X' \to U\)도 \(\mathcal{C}\)의 사상이다.

3. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 다음이 성립한다.

   1. \(p : \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\)는 \(\mathcal{C}\)의 사상이다.

   2. \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X' \to X\)에 대해 유도된 사상 \(\mathbf{P}(f^*\mathcal{E}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\)은 \(\mathcal{C}\)의 사상이다.

   3. \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\)가 다른 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로의 전사이면 닫힌 몰입 \(\mathbf{P}(\mathcal{F}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\)은 \(\mathcal{C}\)의 사상이다.

이제 범주 \(\mathcal{C}\)에서 등급 대수의 범주로 가는 반변 함자 \(A\)가 주어졌다고 가정하자. 여기서 등급 대수 \(A\)란 등급 \(A = \bigoplus_{i \geq 0} A^i\)을 갖는 단위원이 있는 결합적이고 반드시 가환일 필요는 없는 \(\mathbf{Z}\)-대수 \(A\)이다. \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X' \to X\)에 의해 유도되는 대수 사상을 \(f^* : A(X) \to A(X')\)라 쓰겠다. \(a, b \in A(X)\)의 곱은 \(a \cup b\)라 쓰겠다. 마지막으로 \(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(X\)에 대해 가법 사상 \[c_1^A : \Pic(X) \longrightarrow A^1(X)\] 이 주어졌다고 가정하자. 다음 공리들이 성립한다고 가정한다.

1. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\)이면 원소 \(c_1^A(\mathcal{L})\)은 대수 \(A(X)\)의 중심에 속한다.

2. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(X = U \amalg V\)이며 \(U\), \(V\)가 열린닫힌 부분스킴이면 유도된 사상 \(A(X) \to A(U)\)와 \(A(X) \to A(V)\)를 통해 \(A(X) = A(U) \times A(V)\)이다.

3. \(f : X' \to X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이고 \(\mathcal{L}\)이 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 \(f^*c_1^A(\mathcal{L}) = c_1^A(f^*\mathcal{L})\)이다.

4. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{E}\)가 계수 \(r\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 때 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(p : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\)를 생각하자. 그러면 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} A(X) \longrightarrow A(P),\quad (a_0, \ldots, a_{r - 1}) \longmapsto \sum c_1^A(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*(a_i)\] 은 전단사이다.

5. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\)가 각각 계수 \(r + 1\), \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 전사라고 하자. 대응하는 포함사상을 \(i : P' = \mathbf{P}(\mathcal{F}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E}) = P\)라 쓰자. 이는 \(P'\)을 \(P\) 위의 유효 Cartier 인자로 나타내는 \(\mathcal{C}\)의 사상이다. \(i^*a = 0\)인 \(a \in A(P)\)에 대해 \(a \cup c_1^A(\mathcal{O}_P(P')) = 0\)이다.

결과를 서술하기 위해 \(\textit{Vect}(X)\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 (완전) 범주를 뜻함을 상기하자. Derived Categories of Schemes, Section 0FDE에서 이 범주의 제0 \(K\)-군 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)을 정의했다. 또한 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)이 환임을 보았다. Derived Categories of Schemes, Remark 0FDK을 보라.

명제

위의 상황에서 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 다음 “총 Chern 류” \[c^A : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} A^i(X)\] 를 할당하며 다음 성질들을 만족하는 유일한 규칙이 있다.

1. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(c^A(\alpha + \beta) = c^A(\alpha) c^A(\beta)\)이고 \(c^A(0) = 1\)이다.

2. \(f : X' \to X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 \(f^* \circ c^A = c^A \circ f^*\)이다.

3. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\)이면 \(c^A([\mathcal{L}]) = 1 + c_1^A(\mathcal{L})\)이다.

증명

\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고 \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 먼저 원소 \(c^A(\mathcal{E}) \in A(X)\)를 정의하는 방법을 보이겠다.

첫 단계로 \(X = \bigcup X_r\)를 \(\mathcal{E}|_{X_r}\)의 계수가 상수 \(r\)인 열린닫힌 부분스킴들로의 분해라 하자. \(X\)가 준콤팩트이므로 이 분해는 유한이다. 따라서 \(A(X) = \prod A(X_r)\)이다. 그러므로 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r\)인 경우에 \(c^A(\mathcal{E})\)를 정의하면 충분하다. 이 경우 \(p : P \to X\)를 \(\mathcal{E}\)의 사영다발이라 하자. \(i \geq 0\)에 대해 \(c_i^A(\mathcal{E}) \in A^i(X)\)를 유일하게 정의하여 \(c_0^A(\mathcal{E}) = 1\)이고 등식 [0FI6]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*c^A_{r - i}(\mathcal{E}) = 0 \end{equation}\] 이 성립하게 할 수 있다. 평소와 같이 \(A(X)\)에서 \(c^A(\mathcal{E}) = c_0^A(\mathcal{E}) + c_1^A(\mathcal{E}) + \ldots + c_r^A(\mathcal{E})\)로 둔다.

\(\mathcal{E}\)가 가역이면 \(c^A(\mathcal{E}) = 1 + c_1^A(\mathcal{L})\)이다. 이는 위의 구성에서 바로 따른다.

원소 \(c_i^A(\mathcal{E})\)들은 \(A(X)\)의 중심에 속한다. 이를 증명할 때 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r\)이라고 가정할 수 있다. \(p : P \to X\)를 대응하는 사영다발이라 하자. \(a \in A(X)\)이면 \(p^*a \cup (-1)^r c_1(\mathcal{O}_P(1))^r = (-1)^r c_1(\mathcal{O}_P(1))^r \cup p^*a\)이다. 따라서 \(c_i^A(\mathcal{E})\)을 정의하는 식의 다른 모든 항에 대해서도 같은 등식이 성립해야 하므로 결론을 얻는다.

\(f : X' \to X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 \(f^*c_i^A(\mathcal{E}) = c_i^A(f^*\mathcal{E})\)이다. 이를 증명할 때 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r\)이라고 가정할 수 있다. \(p : P \to X\)와 \(p' : P' \to X'\)을 각각 \(\mathcal{E}\)와 \(f^*\mathcal{E}\)에 대응하는 사영다발이라 하자. 유도된 사상 \(g : P' \to P\)는 \(\mathcal{C}\)의 사상이다. \(c_i^A(\mathcal{E})\)을 정의하는 등식을 \(g\)로 당기면 \(f^*\mathcal{E}\)에 대응하는 등식을 얻으므로 결론이 따른다.

\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(\mathcal{L}\)이 가역인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. 그러면 \[c^A(\mathcal{E}) = c^A(\mathcal{L}) c^A(\mathcal{F})\] 이다. 실제로 \(c^A_i\)의 구성에 의해 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r + 1\)이고 \(\mathcal{F}\)의 계수가 상수 \(r\)이라고 가정할 수 있다. 포함사상 \[i : P' = \mathbf{P}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}) = P\] 은 \(\mathcal{C}\)의 사상이며 가역 가군 \(\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes \mathcal{O}_P(1)\)의 정칙 단면의 영점 스킴이다. 정의에 의해 원소 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1^A(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*c^A_i(\mathcal{F})\] 는 \(P'\)으로 당겼을 때 영이다. 따라서 코호몰로지 \(A\)에 대한 가정 (5)에 의해 \(A^*(P)\)에서 \[\left(c_1^A(\mathcal{O}_P(1)) - c_1^A(\mathcal{L})\right) \cup \left(\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1^A(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*c^A_i(\mathcal{F})\right) = 0\] 이다. \(c_1^A(\mathcal{E})\)의 정의에 의해 원하는 등식을 얻는다.

\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] 을 생각하자. 그러면 \[c^A(\mathcal{F}) = c^A(\mathcal{E}) c^A(\mathcal{G})\] 이다. 실제로 \(c^A_i\)의 구성에 의해 \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)의 계수가 각각 상수 \(r\), \(s\), \(t\)라고 가정할 수 있다. \(r\)에 대한 귀납법으로 증명하자. \(r = 1\)인 경우는 위에서 보였다. \(r > 1\)이면 사상 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}^\vee) \to X\)로 당긴 뒤 등식을 확인하면 충분하다. 따라서 가역 부분가군 \(\mathcal{L} \subset \mathcal{E}\)이 있어 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E}/\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{F}' = \mathcal{E}/\mathcal{L}\)이 모두 유한 국소 자유라고 가정할 수 있다(그 계수는 \(s - 1\)과 \(t - 1\)이다). 그러면 \[c^A(\mathcal{E}) = c^A(\mathcal{L}) c^A(\mathcal{E}') \quad\text{and}\quad c^A(\mathcal{F}) = c^A(\mathcal{L}) c^A(\mathcal{F}')\] 이다. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{G} \to 0\] 이 있으므로 귀납가정에 의해 \[c^A(\mathcal{F}') = c^A(\mathcal{E}') c^A(\mathcal{G})\] 이다. 따라서 형식적인 계산으로 결과가 따른다.

이제 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(c^A : K_0(\textit{Vect}(X)) \to A(X)\)를 정의할 수 있다. 즉, 생성원 \([\mathcal{E}]\)을 \(c^A(\mathcal{E})\)로 보내고 곱셈적으로 확장한다. 예를 들어 \(c^A(-[\mathcal{E}]) = c^A(\mathcal{E})^{-1}\)은 \(a^A([\mathcal{E}])\)의 형식적 역원이다. 위에서 보인 짧은 완전열에 대한 곱셈성이 이것이 잘 정의됨을 보장한다.

유일성을 보이자. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. 보조정리의 조건 (1), (2), (3)이 \(c^A([\mathcal{E}])\)을 유일하게 결정함을 보이고자 한다. 이를 증명할 때 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r\)이라고 가정할 수 있다. 여기에는 이미 (2)를 사용했다. 이제 \(r\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(r = 1\)이면 (3)에서 유일성이 따른다. \(r > 1\)이면 (2)를 사용하여 사영다발 \(p : P \to X\)로 당긴다. 그러면 \(\mathcal{E}'\)과 \(\mathcal{E}''\)의 계수가 더 작은 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\)이 있다고 가정할 수 있다. 귀납가정에 의해 \(c^A(\mathcal{E}')\)과 \(c^A(\mathcal{E}'')\)은 유일하게 결정된다. 따라서 공리 (1)에 의해 \(\mathcal{E}\)에 대해서도 유일하다.

보조정리

위의 상황을 가정하자. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고 \(\mathcal{E}_i\)를 계수가 \(r_i\)인 유한 개의 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 만족하는 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(p : P \to X\)가 존재한다.

1. \(p^* : A(X) \to A(P)\)는 단사이다.

2. 각 \(p^*\mathcal{E}_i\)는 연속 몫 \(\mathcal{L}_{i, 1}, \ldots, \mathcal{L}_{i, r_i}\)가 가역 \(\mathcal{O}_P\)-가군인 여과를 갖는다.

증명

모든 \(i\)에 대해 \(r_i \geq 1\)이라고 가정할 수 있다. \(\sum (r_i - 1)\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하자. 이 정수가 \(0\)이면 모든 \(i\)에 대해 \(\mathcal{E}_i\)가 가역이므로 \(\pi = \text{id}_X\)로 두어 결론을 얻는다. 그렇지 않으면 \(r_i > 1\)인 \(i\)를 하나 택하여 \(\mathcal{E}_i\)에 대응하는 사영다발 \(p : P \to X\)를 생각할 수 있다. 계수가 각각 \(r_i - 1\), \(r_i\), \(1\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_P\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to p^*\mathcal{E}_i \to \mathcal{O}_P(1) \to 0\] 이 있다. 가정에 의해 \(p^* : A(X) \to A(P)\)는 단사임을 관찰하자. \(i' \not = i\)에 대해 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_P\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(p^*\mathcal{E}_{i'}\)에 귀납가정을 적용하면 보조정리에 서술된 성질을 갖는 사상 \(p' : P' \to P\)를 얻는다. 그러면 합성 \(p \circ p' : P' \to X\)가 원하는 사상이다.

보조정리

\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[c^A_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c^A_{i - j}({\mathcal E}) \cup c^A_1({\mathcal L})^j\] 이다.

증명

\(c^A_i\)의 구성에 의해 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r\)이라고 가정할 수 있다. \(p : P \to X\)와 \(p' : P' \to X\)를 각각 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}\)에 대응하는 사영다발이라 하자. 그러면 \(g^*\mathcal{O}_{P'}(1) = \mathcal{O}_P(1) \otimes p^*\mathcal{L}\)인 동형사상 \(g : P \to P'\)이 있다. Constructions, Lemma 02NC를 보라. 따라서 \[g^*c_1^A(\mathcal{O}_{P'}(1)) = c_1^A(\mathcal{O}_P(1)) + p^*c_1^A(\mathcal{L})\] 이다. 이 등식과 등식 (0FI6)을 사용하는 Chern 류의 정의에서 원하는 등식이 형식적으로 따른다.

명제

위의 상황에서 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(A(X)\)가 \(\mathbf{Q}\)-대수라고 가정하자. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 다음 “Chern 지표” \[ch^A : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} A^i(X)\] 를 할당하며 다음 성질들을 만족하는 유일한 규칙이 있다.

1. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(ch^A\)는 환사상이다.

2. \(f : X' \to X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 \(f^* \circ ch^A = ch^A \circ f^*\)이다.

3. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\)이면 \(ch^A([\mathcal{L}]) = \exp(c_1^A(\mathcal{L}))\)이다.

증명

\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고 \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 먼저 계수 \(r^A(\mathcal{E}) \in A^0(X)\)를 정의하는 방법을 보이겠다. \(X = \bigcup X_r\)를 \(\mathcal{E}|_{X_r}\)의 계수가 상수 \(r\)인 열린닫힌 부분스킴들로의 분해라 하자. \(X\)가 준콤팩트이므로 이 분해는 유한이다. 이를 \(X = X_0 \amalg X_1 \amalg \ldots \amalg X_n\)이라 쓰자. 그러면 \(A(X) = A(X_0) \times A(X_1) \times \ldots \times A(X_n)\)이다. 따라서 \(r^A(\mathcal{E}) = (0, 1, \ldots, n) \in A^0(X)\)로 정의할 수 있다.

\(P_p(c_1, \ldots, c_p)\)를 Chow Homology, Example 0F9B에서 구성한 다항식이라 하자. 그러면 \[ch^A(\mathcal{E}) = r^A(\mathcal{E}) + \sum\nolimits_{i \geq 1} (1/i!) P_i(c^A_1(\mathcal{E}), \ldots, c^A_i(\mathcal{E})) \in \prod\nolimits_{i \geq 0} A^i(X)\] 로 정의할 수 있다. 여기서 \(ci^A\)는 명제 0FI5의 Chern 류들이다. 보조정리의 성질 (2), (3)이 성립함은 곧바로 따른다.

다음 세 명제를 증명해야 한다.

1. \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 위의 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}_2 \to 0\)이 있으면 \(ch^A(\mathcal{E}) = ch^A(\mathcal{E}_1) + ch^A(\mathcal{E}_2)\)이다.

2. \(\mathcal{E}_1\)과 \(\mathcal{E}_2 \to 0\)가 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 위의 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면 \(ch^A(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2) = ch^A(\mathcal{E}_1) ch^A(\mathcal{E}_2)\)이다.

실제로 첫째 명제는 \(ch^A\)가 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)를 통해 분해됨을 보이고, 첫째 명제와 둘째 명제를 함께 사용하면 \(ch^A\)가 환사상임을 보인다.

이 명제들을 증명하기 위해 \(\mathcal{E}_1\)과 \(\mathcal{E}_2\)의 계수가 각각 상수 \(r_1\), \(r_2\)인 경우로 환원할 수 있다. 이 경우 \(A^0(X)\)에서의 등식들은 자명하다. 더 높은 차수에서의 등식을 증명하기 위해 보조정리 0FI7에 의해 \(\mathcal{E}_1\), \(\mathcal{E}_2\)가 각각 가역 가군 \(\mathcal{L}_{1, j}\), \(j = 1, \ldots, r_1\)과 \(\mathcal{L}_{2, j}\), \(j = 1, \ldots, r_2\)를 등급 성분으로 갖는 여과를 가진다고 가정할 수 있다. Chern 류의 곱셈성을 사용하면 \[c_i^A(\mathcal{E}_1) = s_i(c_1^A(\mathcal{L}_{1, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{1, r_1}))\] 를 얻는다. 여기서 \(s_i\)는 Chow Homology, Example 0F9B에서와 같은 제\(i\) 기본대칭함수이다. \(c_i^A(\mathcal{E}_2)\)에 대해서도 마찬가지다. 경우 (1)에는 \[c_i^A(\mathcal{E}) = s_i(c_1^A(\mathcal{L}_{1, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{1, r_1}), c_1^A(\mathcal{L}_{2, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{2, r_2}))\] 를 얻고, 경우 (2)에는 \[c_i^A(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2) = s_i(c_1^A(\mathcal{L}_{1, 1}) + c_1^A(\mathcal{L}_{2, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{1, r_1}) + c_1^A(\mathcal{L}_{2, r_2}))\] 를 얻는다. 다항식 \(P_i\)의 정의에 의해 이는 \[P_i(c^A_1(\mathcal{E}_1), \ldots, c^A_i(\mathcal{E}_1)) = \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_1} c_1^A(\mathcal{L}_{1, j})^i\] 라는 뜻이다. \(\mathcal{E}_2\)에 대해서도 마찬가지다. 경우 (1)에는 또한 \[P_i(c^A_1(\mathcal{E}), \ldots, c^A_i(\mathcal{E})) = \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_1} c_1^A(\mathcal{L}_{1, j})^i + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_2} c_1^A(\mathcal{L}_{2, j})^i\] 이고, 경우 (2)에는 이에 따라 \[P_i(c^A_1(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2), \ldots, c^A_i(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2)) = \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_1} \sum\nolimits_{j' = 1, \ldots, r_2} (c_1^A(\mathcal{L}_{1, j}) + c_1^A(\mathcal{L}_{2, j'}))^i\] 이다. 이제 원하는 등식들은 대칭다항식 사이의 기본적인 항등식에서 따른다.

유일성의 증명은 생략한다.

보조정리

위의 상황에서 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(\psi^2\)가 Chow Homology, Lemma 0FEJ에서와 같고 \(c^A\), \(ch^A\)가 각각 명제 0FI5, 0FI9에서와 같으면 모든 \(\alpha \in K_0(\textit{Vect}(X))\)에 대해 \(c^A_i(\psi^2(\alpha)) = 2^i c^A_i(\alpha)\)이고 \(ch^A_i(\psi^2(\alpha)) = 2^i ch^A_i(\alpha)\)이다.

증명

\(A^i(X)\)에서 \(2^i\)를 곱하는 사상 \(\prod_{i \geq 0} A^i(X) \to \prod_{i \geq 0} A^i(X)\)은 환사상임을 관찰하자. 따라서 \(\psi^2\)도 환사상이므로 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)의 가법 생성원들에 대해 공식들을 증명하면 충분하다. 그러므로 어떤 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대해 \(\alpha = [\mathcal{E}]\)라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{E}\)의 Chern 류 구성에 의해 \(\mathcal{E}\)의 계수가 상수 \(r\)인 경우로 곧바로 환원된다. 이 경우 제한사상 \(A^*(X) \to A^*(P)\)가 단사이고 \(p^*\mathcal{E}\)가 가역 \(\mathcal{O}_P\)-가군 \(\mathcal{L}_j\)들을 등급 성분으로 갖는 유한 여과를 갖도록 하는 사영 매끄러운 사상 \(p : P \to X\)를 택할 수 있다. 보조정리 0FI7을 보라. 그러면 \([p^*\mathcal{E}] = \sum [\mathcal{L}_j]\)이고, 따라서 \(\psi^2\)의 정의에 의해 \(\psi^2([p^*\mathcal{E}]) = \sum [\mathcal{L}_j^{\otimes 2}]\)이다. \(x_j = c^A_1(\mathcal{L}_j)\)로 두면 \[c^A(\alpha) = \prod (1 + x_j) \quad\text{and}\quad c^A(\psi^2(\alpha)) = \prod (1 + 2 x_j)\] 가 \(\prod A^i(P)\)에서 성립하고, \[ch^A(\alpha) = \sum \exp(x_j) \quad\text{and}\quad ch^A(\psi^2(\alpha)) = \sum \exp(2 x_j)\] 가 \(\prod A^i(P)\)에서 성립한다. 이 공식들에서 원하는 결과가 따른다.

외대수 거듭제곱과 K-군

람다 연산자를 정의하는 데 필요한 최소한의 작업만 하겠다. \(X\)를 스킴이라 하자. \(\textit{Vect}(X)\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주를 뜻함을 상기하자. 또한 Derived Categories of Schemes, Section 0FDE에서 이 범주에 대응하는 제0 \(K\)-군 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)을 구성했음을 상기하자. 마지막으로 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)은 환이다. Derived Categories of Schemes, Remark 0FDK을 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. 사상 \[\lambda^r : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow K_0(\textit{Vect}(X))\] 들이 존재하여, \(\mathcal{E}\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군일 때 \([\mathcal{E}]\)을 \([\wedge^r(\mathcal{E})]\)로 보내며 당김과 호환된다.

증명

\(t\)를 변수라 하고 환 \(R = K_0(\textit{Vect}(X))[[t]]\)를 생각하자. 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)에 대해 \(R\)에서 \[c(\mathcal{E}) = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty [\wedge^i(\mathcal{E})] t^i\] 로 둔다. 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\] 이 주어지면 \(c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{E}') c(\mathcal{E}'')\)라고 주장한다. 이 주장에 의해 \(c\)는 사상 \[c : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow R\] 으로 확장되며 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)의 덧셈을 \(R\)의 곱셈으로 바꾼다. \(c(\alpha) = \sum \lambda^i(\alpha) t^i\)로 쓰면 원하는 연산자 \(\lambda^i\)를 얻는다.

주장을 보이기 위해 짧은 완전열을 \(\mathcal{E}\) 위의 \(2\)단계 여과로 보자. 그러면 \(\wedge^r(\mathcal{E})\) 위에 \(r + 1\)단계의 유도된 여과가 생기며 그 부분몫들은 \[\wedge^r(\mathcal{E}'), \wedge^{r - 1}(\mathcal{E}') \otimes \mathcal{E}'', \wedge^{r - 2}(\mathcal{E}') \otimes \wedge^2(\mathcal{E}''), \ldots \wedge^r(\mathcal{E}'')\] 이다. 따라서 \([\wedge^r(\mathcal{E})]\)는 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r [\wedge^{r - i}(\mathcal{E}')] [\wedge^i(\mathcal{E}'')]\] 와 같다. 여기서 기본적인 대수 계산으로 결과가 쉽게 따른다.

Weil 코호몰로지 이론, III

\(k\)를 체라 하고 \(F\)를 표수 영인 체라 하자. 다음 데이터가 주어졌다고 가정한다.

1. \(1\)차원 \(F\)-벡터공간 \(F(1)\).

2. \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴의 범주에서 등급 가환 \(F\)-대수의 범주로 가는 반변 함자 \(H^*(-)\).

3. \(k\) 위의 모든 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 주어진 아벨군의 준동형사상 \(c_1^H : \Pic(X) \to H^2(X)(1)\).

(D0), (D1)에 관한 용어, 표기, 규약은 0FHA절에서 논의한 것을 사용한다. \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)와 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 주어졌을 때 (D2’)의 코호몰로지류 \(c_1^H(\mathcal{L}) \in H^2(X)(1)\)를 때때로 코호몰로지에서 \(\mathcal{L}\)의 제1 Chern 류라고 한다.

공리들의 목록은 다음과 같다.

1. \(H^*\)는 유한 쌍대곱과 호환된다.

2. \(c_1^H\)는 당김과 호환된다.

3. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 계수 \(r \geq 1\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 사상 \(p : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\)를 생각하자. 그러면 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} H^*(X)(-i) \longrightarrow H^*(P),\quad (a_0, \ldots, a_{r - 1}) \longmapsto \sum c_1^H(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*(a_i)\] 은 \(F\)-벡터공간의 동형사상이다.

4. \(i : Y \to X\)를 \(k\) 위의 유효 Cartier 인자의 포함사상이라 하고 \(X\), \(Y\)가 모두 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적이라고 하자. \(i^*a = 0\)인 \(a \in H^*(X)\)에 대해 \(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y)) = 0\)이다.

5. \(H^*\)는 유한 곱과 호환된다.

6. \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \((\text{id} \otimes \lambda) \gamma([\Delta]) = 1\)이 \(H^*(X)\)에서 성립하도록 하는 \(F\)-선형 사상 \(\lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\)가 존재한다.

7. \(b : X' \to X\)가 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)의 매끄러운 중심을 부풀리기한 것이면², \(b^* : H^*(X) \to H^*(X')\)는 단사이다.

8. \(X\)가 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이고 \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)이면 사상 \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X)\)는 동형사상이다.

9. \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(i : Y \to X\)를 공집합이 아니고 \(k\) 위에서 매끄러운 유효 Cartier 인자라 하자. \(a \in H^{2d - 2}(X)(d - 1)\)에 대해 \(\lambda_Y(i^*(a)) = \lambda_X(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y))\)이다. 여기서 \(\lambda_Y\)와 \(\lambda_X\)는 \(X\), \(Y\)에 대한 공리 (A6)에서와 같다.

각 공리의 뜻을 더 정확히 설명하자. 공리 (A3), (A4), (A7)은 서술된 그대로 명확하다.

(A1)에 대하여. 이는 \(H^*(\emptyset) = 0\)이고 \((i^*, j^*) : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\)가 동형사상이라는 뜻이다. 여기서 \(i\), \(j\)는 표준 포함사상이다.

(A2)에 대하여. 이는 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(f : X \to Y\)와 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{N}\)이 주어졌을 때 \(f^*c_1^H(\mathcal{L}) = c_1^H(f^*\mathcal{L})\)이라는 뜻이다.

(A5)에 대하여. 이는 \(H^*(\Spec(k)) = F\)이고 \(X\), \(Y\)가 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적일 때 사상 \(H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y)\), \(a \otimes b \mapsto p^*(a) \cup q^*(b)\)가 동형사상이라는 뜻이다. 여기서 \(p\), \(q\)는 사영이다.

(A6)에 대하여. \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 공리 (A1) – (A4)가 있으면 보조정리 0FIF에 의해 대각선의 류 \[\gamma([\Delta]) \in H^{2d}(X \times X)(d) = \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)(d)\] 를 생각할 수 있다. 여기서 텐서 분해는 공리 (A5)에서 나온다. \(F\)-선형 사상 \(\lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\)가 주어지면 \(H^{2d}(X)(d)\)로의 사영과 먼저 합성하여 \(\lambda\)를 \(F\)-선형 사상 \(\lambda : H^*(X)(d) \to F\)로 볼 수도 있다. 이렇게 하면 공리 (A6)는 의미가 있다.

(A8)에 대하여. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 그러면 \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 분리 \(k\)-대수이고 (Varieties, Lemma 0BUG) 따라서 \(\Spec(k')\)은 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적이다. 그러므로 \(H^*\)를 \(\Spec(k')\)에 적용할 수 있고 공리 (A8)는 의미가 있다.

(A9)에 대하여. 공리 (A1) – (A7)이 있으면 공리 (A6)의 사상 \(\lambda\)가 유일함을 주의 0FIK에서 보겠다.

보조정리

(A1), (A2), (A3), (A4)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(k\) 위의 모든 매끄러운 사영 \(X\)에 당김과 호환되는 환준동형사상 \[ch^H : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}(X)(i)\] 을 할당하며 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(ch^H(\mathcal{L}) = \exp(c_1^H(\mathcal{L}))\)을 만족하는 유일한 규칙이 있다.

증명

매끄러운 사영 \(k\)-스킴들의 범주, 함자 \(A : X \mapsto \bigoplus_{i \geq 0} H^{2i}(X)(i)\), 사상 \(c_1^H\)에 명제 0FI9를 적용하면 바로 따른다.

보조정리

(A1), (A2), (A3), (A4)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(k\) 위의 모든 매끄러운 사영 \(X\)에 당김과 호환되는 등급환 준동형사상 \[\gamma : \CH^*(X) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}(X)(i)\] 을 할당하며 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)의 \(\alpha\)에 대해 \(ch^H(\alpha) = \gamma(ch(\alpha))\)를 만족하는 유일한 규칙이 있다.

증명

동형사상 \[K_0(\textit{Vect}(X)) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow \CH^*(X) \otimes \mathbf{Q},\quad \alpha \longmapsto ch(\alpha) \cap [X]\] 이 있음을 상기하자. Chow Homology, Lemma 0FEY을 보라. Chow Homology, Remark 0FEM에 의해 이는 환의 동형사상이다. \(\gamma\)를 공식 \(\gamma(\alpha) = ch^H(\alpha')\)으로 정의한다. 여기서 \(ch^H\)는 보조정리 0FIE에서와 같고, \(ch(\alpha') \cap [X] = \alpha\)를 \(\CH^*(X) \otimes \mathbf{Q}\)에서 만족하는 \(\alpha' \in K_0(\textit{Vect}(X))\)를 택한다.

구성 \(\alpha \mapsto \gamma(\alpha)\)는 당김과 호환된다. 실제로 \(ch^H\)와 Chern 류를 취하는 연산이 모두 당김과 호환된다. 보조정리 0FIE와 Chow Homology, Remark 0FF8를 보라.

이제 \(\gamma\)가 등급을 보존함을 확인해야 한다. \(\psi^2 : K_0(\textit{Vect}(X)) \to K_0(\textit{Vect}(X))\)를 두 번째 Adams 연산자라 하자. Chow Homology, Lemma 0FEJ를 보라. \(\alpha \in \CH^i(X)\)이고 \(ch(\alpha') \cap [X] = \alpha\)인 유일한 원소 \(\alpha' \in K_0(\textit{Vect}(X)) \otimes \mathbf{Q}\)에 대해 Chow Homology, Section 0FEX에서 \(\psi^2(\alpha') = 2^i \alpha'\)임을 보았다. 따라서 보조정리 0FIA에 의해 원하는 대로 \(ch^H(\alpha') \in H^{2i}(X)(i)\)임을 얻는다.

보조정리

\(b : X' \to X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴을 매끄러운 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)에서 부풀리기한 것이라 하자. 도식 \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] 을 생각하자. \(Z\)로 제한한 것이 \(K_0(Z)\)에서 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)의 류와 같은 \(K_0(X)\)의 원소가 존재한다고 가정하자. \(Z\)의 모든 기약성분의 \(X\) 안에서의 여차원이 \(r\)이라고 가정하자. 그러면 사이클 \(\theta \in \CH^{r - 1}(X')\)가 존재하여 \(\CH^r(X')\)에서 \(b^![Z] = [E] \cdot \theta\)이고 \(\CH^r(Z)\)에서 \(\pi_*j^!(\theta) = [Z]\)이다.

증명

스킴 \(X\)는 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적이므로 \(K_0(X) = K_0(\textit{Vect}(X))\)이다. Derived Categories of Schemes, Lemmas 0F87, 0FDJ를 보라. \(Z\)로 제한한 것이 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)인 원소 \(\alpha \in K_0(\text{Vect}(X))\)를 택하자. Chow Homology, Lemma 0FV8에 의해 \(\mathcal{C}_{Z/X}^\vee\)로 제한되는 원소 \(\alpha^\vee\)가 존재한다. 부풀리기 공식(Chow Homology, Lemma 0FVA)에 의해 \[b^![Z] = b^!i_*[Z] = j_* res(b^!)([Z]) = j_*(c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap \pi^*[Z]) = j_*(c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap [E])\] 이다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 전사 \(\pi^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{E/X'}\)의 핵이다. \(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]\)는 \(K_0(\text{Vect}(X'))\)의 원소이고, \(E\)로 제한하면 \([\pi^*\mathcal{C}_{Z/X}^\vee] - [\mathcal{C}_{E/X'}^\vee] = [\mathcal{F}^\vee]\)임을 관찰하자. Chern 류와의 캡곱은 \(j_*\)와 가환하므로 위 식은 \(X'\)의 Chow 군에서 \[c_{r - 1}(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]) \cap [E]\] 와 같다. 따라서 \[\theta = c_{r - 1}(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]) \cap [X']\] 로 두면 첫 번째 관계 \(\theta \cdot [E] = b^![Z]\)를 얻는다. 예를 들어 Chow Homology, Lemma 0FC2를 보라. 두 번째 관계를 위해 \[j^!\theta = j^!(c_{r - 1}(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]) \cap [X']) = c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap j^![X'] = c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap [E]\] 임을 \(E\)의 Chow 군에서 관찰하자. 이것을 \(\pi_*\)로 보낸 것이 \([Z]\)와 같음을 보이려면 \(\pi\)의 올 위에서 여차원 \(r - 1\)인 사이클 \((-1)^{r - 1}c_{r - 1}(\mathcal{F}) \cap [E]\)의 차수가 \(1\)임을 보이면 충분하다. 이 계산은 생략한다.

보조정리

(A1)–(A4), (A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 매끄러운 닫힌 부분스킴이라 하고 \(Z\)의 모든 기약성분의 \(X\) 안에서의 여차원이 \(r\)이라고 하자. \(K_0(Z)\)에서 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)의 류가 \(K_0(X)\)의 어떤 원소를 제한하여 얻어진다고 가정하자. \(a \in H^*(X)\)이고 \(H^*(Z)\)에서 \(a|_Z = 0\)이면 \(\gamma([Z]) \cup a = 0\)이다.

증명

\(b : X' \to X\)를 부풀리기라 하자. (A7)에 의해 \[b^*(\gamma([Z]) \cup a) = b^*\gamma([Z]) \cup b^*a = 0\] 임을 보이면 충분하다. 보조정리 0FIH에 의해 \[b^*\gamma([Z]) = \gamma(b^*[Z]) = \gamma([E] \cdot \theta) = \gamma([E]) \cup \gamma(\theta)\] 이다. \(b^*a\)를 \(E\)로 제한하면 영이고 \(\gamma([E]) = c^H_1(\mathcal{O}_{X'}(E))\)이므로 (A4)에서 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 그러면 0FHA절의 공리 (A)는 공리 (A6)에서와 같이 \(\int_X = \lambda\)로 두었을 때 성립한다.

증명

\(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 등급 \(F\)-벡터공간 \(H^*(X)(d)[2d]\)가 \(H^*(X)\)의 왼쪽 쌍대임을 보이겠다. 그러면 Homology, Lemma 0FFV에 의해 원하는 결론이 따른다. 특히 다음을 말하는 공리 (A5)를 사용하겠다. \[H^*(X \times X)(d) = \bigoplus H^i(X) \otimes H^j(X)(d) = \bigoplus H^i(X)(d) \otimes H^j(X)\] 사상 \[\eta : F \longrightarrow H^*(X \times X)(d)\] 를 \(\gamma([\Delta]) \in H^{2d}(X \times X)(d)\)와의 곱셈으로 정의하자. 한편 사상 \[\epsilon : H^*(X \times X)(d) \longrightarrow H^*(X)(d) \xrightarrow{\lambda} F\] 을 먼저 대각사상 \(\Delta : X \to X \times X\)에 의한 당김 \(\Delta^*\)을 사용한 다음 공리 (A6)의 \(F\)-선형 사상 \(\lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\)를 사용하여 정의한다. 이때 이 사상은 사영 \(H^*(X)(d) \to H^{2d}(X)(d)\)와 먼저 합성한다. \(H^*(X)(d)\)가 \(H^*(X)\)의 왼쪽 쌍대임을 보이려면 사상 \[\eta \otimes 1 : H^*(X) \longrightarrow H^*(X \times X \times X)(d)\] 과 \[1 \otimes \epsilon : H^*(X \times X \times X)(d) \longrightarrow H^*(X)\] 의 합성이 항등사상임을 보여야 한다. \(a \in H^*(X)\)이면 이 합성은 \(a\)를 \[(1 \otimes \lambda)(\Delta_{23}^*(q_{12}^*\gamma([\Delta]) \cup q_3^*a)) = (1 \otimes \lambda)(\gamma([\Delta]) \cup p_2^*a)\] 로 보낸다. 여기서 \(q_i : X \times X \times X \to X\)와 \(q_{ij} : X \times X \times X \to X \times X\)는 사영이고, \(\Delta_{23} : X \times X \to X \times X \times X\)는 대각사상이며, \(p_i : X \times X \to X\)는 사영이다. 등식은 \(\Delta_{23}^*(q_{12}^*\gamma([\Delta]) = \Delta_{23}^*\gamma([\Delta \times X]) = \gamma([\Delta])\)이고 \(\Delta_{23}^* q_3^*a = p_2^*a\)이므로 성립한다. 또한 아래에서 보듯이 \(\gamma([\Delta]) \cup p_1^*a = \gamma([\Delta]) \cup p_2^*a\)이므로 위 식은 \[(1 \otimes \lambda)(\gamma([\Delta]) \cup p_1^*a) = a\] 로 단순화된다. 이는 원하는 대로 \(\lambda\)를 택한 방식에서 따른다. Categories, Definition 0FFP의 두 번째 조건 \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta) = \text{id}\)도 완전히 같은 방식으로 증명한다.

\(p_1^*a\)와 \(\text{pr}_2^*a\)를 \(\Delta \subset X \times X\)로 제한하면 같은 코호몰로지류가 됨에 유의하자. 또한 \(\mathcal{C}_{\Delta/X \times X} = \Omega^1_\Delta\)이고, 이는 \(p_1^*\Omega^1_X\)의 제한이다. 따라서 보조정리 0FII에 의해 \(\gamma([\Delta]) \cup p_1^*a = \gamma([\Delta]) \cup p_2^*a\)이고 증명이 끝난다.

주

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 보조정리 0FIJ와 Homology, Lemma 0FFV의 증명에서 말한 내용을 합치면 \[\gamma([\Delta]) \in \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes H^{2d - i}(X)(d)\] 가 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(X)\)와 \(H^{2d - i}(X)(d)\) 사이의 완전 쌍대성을 정의함을 알 수 있다. 특히 공리 (A6)의 선형 사상 \(\int_X = \lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\)는 유일하다! 이제부터 선형 사상 \(\int_X\)를 \(X\)의 대각합 사상이라 부르겠다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 그러면 0FHA절의 공리 (B)가 성립한다.

증명

공리 (B)(a)는 공리 (A5)에서 바로 따른다. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위에서 각각 차원 \(d\), \(e\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. 공리 (B)(b)를 보이기 위해 \(X \times Y\)의 대각선 \(\Delta_{X \times Y}\)는 사영 \(p : X \times Y \times X \times Y \to X \times X\)와 \(q : X \times Y \times X \times Y \to Y \times Y\)에 의한 \(X\)의 대각선 \(\Delta_X\)와 \(Y\)의 대각선 \(\Delta_Y\)의 당김들의 교차곱임을 관찰하자. \(\gamma\)와 교차곱의 호환성에 의해 \[\gamma([\Delta_{X \times Y}]) \in H^{2d + 2e}(X \times Y \times X \times Y)(d + e)\] 는 \(\gamma([\Delta_X])\), \(\gamma([\Delta_Y])\)를 각각 \(p\), \(q\)로 당긴 것들의 컵곱이다. 다음과 같이 쓰자. \[\gamma([\Delta_{X \times Y}]) = \sum \eta_{X \times Y, i} \text{ with } \eta_{X \times Y, i} \in H^i(X \times Y) \otimes H^{2d + 2e - i}(X \times Y)(d + e)\] 마찬가지로 \(\gamma([\Delta_X]) = \sum \eta_{X, i}\) 및 \(\gamma([\Delta_Y]) = \sum \eta_{Y, i}\)로 쓰자. 위의 관찰에 의해 \[\eta_{X \times Y, 0} = \sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} p^*\eta_{X, i} \cup q^*\eta_{Y, -i}\] 이다. (코호몰로지 이론이 음의 차수에서 영이면, 거의 모든 경우 그러하듯이 \(i = 0\)인 항만 기여하고 예상대로 \(\eta_{X \times Y, 0}\)은 \(H^0(X) \otimes H^0(Y) \otimes H^{2d}(X)(d) \otimes H^{2e}(Y)(e)\)에 놓이지만, 여기서는 필요하지 않다.) \(\lambda_X : H^{2d}(X)(d) \to F\)와 \(\lambda_Y : H^{2e}(Y)(e) \to F\)는 \(\eta_{X, 0}\)과 \(\eta_{Y, 0}\)을 각각 \(H^*(X)\)와 \(H^*(Y)\)의 \(1\)로 보낸다. 따라서 \(\lambda_X \otimes \lambda_Y\)는 \(\eta_{X \times Y, 0}\)을 \(H^*(X) \otimes H^*(Y) = H^*(X \times Y)\)의 \(1\)로 보내며, 증명이 끝난다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 그러면 0FHA절의 공리 (C)(d)가 성립한다.

증명

구성에 의해 \(\gamma([\Spec(k)]) = 1 \in H^*(\Spec(k))\)이다. 다음이 성립한다. \[H^0(\Spec(k)) = F,\quad H^0(\Spec(k) \times \Spec(k)) = H^0(\Spec(k)) \otimes_F H^0(\Spec(k))\] 보조정리 0FIL에서 \(\int_{\Spec(k) \times \Spec(k)} = \int_{\Spec(k)} \int_{\Spec(k)}\)임을 보았으므로 공리 (A6)의 사상 \(\int_{\Spec(k)} = \lambda\)는 \(1\)을 \(1\)로 보내야 한다.

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 그러면 0FHA절의 데이터 (D0), (D1), (D2), (D3)을 얻으며, 이는 0FHA절의 공리 (A), (B), (C)(a), (C)(c), (C)(d)를 만족한다. 보조정리 0FIJ, 0FIL, 0FIM를 보라. 또한 0FHA절에서 구성한 밀어올림 \(f_* : H^*(X) \to H^*(Y)\)가 있다. 아직 분명하지 않은 0FHA절의 유일한 공리는 (C)(b)이다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(p : P \to X\)를 공리 (A3)에서와 같이 두고 \(X\)가 공집합이 아닌 등차원 스킴이라고 하자. 그러면 \(\gamma\)는 \(p\)를 따른 밀어올림과 가환한다.

증명

\(\CH_*(P)\)의 생성원들에 대해 증명하면 충분하다. 따라서 \(0 \leq i \leq r - 1\)이고 \(\alpha \in \CH_*(X)\)일 때 \(\xi^i \cdot p^*\alpha\) 꼴의 사이클류에 대해 증명하면 충분하다. \(i < r - 1\)이면 \(p_*(\xi^i \cdot p^*\alpha) = 0\)이고 \(p_*(\xi^{r - 1} \cdot p^*\alpha) = \alpha\)임에 유의하자. 한편 \(\gamma(\xi^i \cdot p^*\alpha) = c^i \cup p^*\gamma(\alpha)\)이고 사영 공식(보조정리 0FHB)에 의해 \[p_*\gamma(\xi^i \cdot p^*\alpha) = p_*(c^i) \cup \gamma(\alpha)\] 이다. 따라서 \(i < r - 1\)이면 \(p_*c^i = 0\)이고 \(p_*c^{r - 1} = 1\)임을 보이면 충분하다. 동치로, 규칙 \[\lambda_P(c^i \cup p^*(a)) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i < r - 1 \\ \int_X(a) & \text{if} & i = r - 1 \end{matrix} \right.\] 으로 정의한 \(\lambda_P : H^{2d + 2r - 2}(P)(d + r - 1) \to F\)가 공리 (A5)의 조건을 만족함을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0FGR의 \(P\)의 대각선류 계산에서 따른다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(k'/k\)가 Galois 확대이면 \(\int_{\Spec(k')} 1 = [k' : k]\)이다.

증명

다음이 \(\Spec(k') \times \Spec(k')\) 위의 사이클로서 성립함을 관찰하자. \[\Spec(k') \times \Spec(k') = \coprod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} (\Spec(\sigma) \times \text{id})^{-1} \Delta\] 우리의 \(\gamma\) 구성은 항상 \([X]\)를 \(H^0(X)\)의 \(1\)로 보낸다. 따라서 \(1 \otimes 1 = 1 = \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*\gamma([\Delta])\)이다. 공리 (A6)의 사상, 즉 \(H^0(\Spec(k'))\)에서 \((\text{id} \otimes \lambda)(\gamma(\Delta)) = 1\)을 만족하는 사상을 \(\lambda : H^0(\Spec(k')) \to F\)라 쓰자. 그러면 \[\begin{align*} \lambda(1) 1 & = (\text{id} \otimes \lambda)(1 \otimes 1) \\ & = (\text{id} \otimes \lambda)( \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*\gamma([\Delta])) \\ & = \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*( (\text{id} \otimes \lambda)(\gamma([\Delta])) \\ & = \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*(1) \\ & = [k' : k] \end{align*}\] 이다. \(\lambda\)는 \(\int_{\Spec(k')}\)의 다른 이름이므로(주의 0FIK) 증명이 끝난다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(i : Z \to X\)가 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 닫힌 몰입일 때 \(i_*(1) = \gamma([Z])\)임을 보이면 \(\gamma\)가 밀어올림과 가환함을 보이는 데 충분하다.

증명

보조정리 0FIF에서 사이클류 사상 \(\gamma\)를 구성했고, 이것이 교차곱 및 당김과 호환됨을 이후 따로 언급하지 않고 사용한다. 또한 0FHA절의 공리 (A), (B), (C)(a), (C)(c), (C)(d)를 이미 보였다. 보조정리 0FIJ, 주의 0FIK, 보조정리 0FIL, 0FIM를 보라. 특히 예를 들어 보조정리 0FHB를 사용하여 \(H^*\) 위의 밀어올림이 합성과 호환되고 사영 공식을 만족함을 알 수 있다.

\(f : X \to Y\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 사상이라 하자. \(X\) 위의 임의의 사이클류 \(\alpha\)에 대해 \(f_*\gamma(\alpha) = \gamma(f_*\alpha)\)임을 보이고자 한다. \(\alpha\)는 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 Chern 류들의 곱들의 \(\mathbf{Q}\)-선형결합으로 쓸 수 있다(Chow Homology, Lemma 0FEY). 따라서 \(\alpha\)가 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}_1, \ldots, \mathcal{E}_r\)의 Chern 류들의 곱이라고 가정할 수 있다. 분해 원리(Chow Homology, Lemma 02UL)에서와 같이 \(p : P \to X\)를 택하자. Chow Homology, Remark 0FVE에 의해 \(p\)는 사영공간 다발들의 합성이고 \(\alpha = p_*(\xi_1 \cap \ldots \cap \xi_d \cap \cdot p^*\alpha)\)임을 알 수 있다. 여기서 \(\xi_i\)들은 가역 가군의 제1 Chern 류이다. 보조정리 0FIN에 의해 \(p_*\)는 사이클류와 가환한다. 따라서 합성 \(f \circ p\)에 대해 그 성질을 증명하면 충분하다. \(p^*\mathcal{E}_1, \ldots, p^*\mathcal{E}_r\)는 연속 몫이 가역 가군인 여과를 가지므로, \(\alpha\)가 가역 가군 \(\mathcal{L}_i\)의 어떤 제1 Chern 류 \(\xi_i\)들에 대해 \(\xi_1 \cap \ldots \cap \xi_t \cap [X]\) 꼴인 경우로 환원된다.

\(X\) 위의 어떤 가역 가군 \(\mathcal{L}_i\)들에 대해 \(\alpha = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_t) \cap [X]\) 라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 충실한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(n \gg 0\)이면 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)과 \(\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 모두 \(k\) 위의 \(X\)에서 매우 충실하다. Morphisms, Lemma 0FVC를 보라. \(c_1(\mathcal{L}_1) = c_1(\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) - c_1(\mathcal{L}^{\otimes n})\)이므로 \(\mathcal{L}_1\)이 매우 충실한 경우로 환원된다. \(i = 2, \ldots, t\)에 대해 \(\mathcal{L}_i\)로 이를 반복하면 모든 \(i = 1, \ldots, t\)에 대해 \(\mathcal{L}_i\)가 \(k\) 위의 \(X\)에서 매우 충실한 경우로 환원된다.

\(k\)가 무한체이고 \(k\) 위의 \(X\)에서 매우 충실한 어떤 가역 가군 \(\mathcal{L}_i\)들에 대해 \(\alpha = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_t) \cap [X]\) 라고 가정하자. Varieties, Lemma 0FD6의 Bertini 정리에 의해 스킴 \(Z(s_1) \cap \ldots \cap Z(s_i)\)가 \(k\) 위에서 매끄럽고 \(X\)에서의 여차원이 \(i\)가 되도록 \(\mathcal{L}_i\)의 정칙 단면 \(s_i\)들을 차례로 찾을 수 있다. 가역 가군의 제1 류와의 캡곱 구성(Chow Homology, Definition 02SJ까지 거슬러 올라간다)에 의해 \(\alpha = [Z]\)이고 \(Z \subset X\)가 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 닫힌 부분스킴인 경우로 환원된다.

\(Z \subset X\)가 매끄러운 닫힌 부분스킴이고 \(\alpha = [Z]\)라고 가정하자. 닫힌 매장 \(X \to \mathbf{P}^n\)을 택한다. \(f\)를 \[X \to Y \times \mathbf{P}^n \to Y\] 로 분해할 수 있다. 보조정리 0FIN에 의해 두 번째 사상에 대해서는 결과를 알고 있으므로 \(\alpha = [Z]\)이고 \(i : Z \to X\)와 \(f\)가 모두 닫힌 몰입인 경우에 결과를 증명하면 충분하다. 그러면 \(j = f \circ i\)도 닫힌 매장이다. \(i\), \(j\)에 대한 가정을 사용하면 결론을 얻는다.

\(k\)가 유한체인 경우에 보조정리를 증명해야 한다. 독자에게 나머지 증명을 건너뛰기를 권한다. 위에서 말한 모든 것은 계속 성립하지만, \(k\)가 유한하므로 \(k\) 위에서 우리의 \(Z\)를 잘라내는 단면 \(s_i\)들을 택할 수 있는지는 알지 못한다. 그러나 같은 보조정리에 의해 \(k\)의 대수적 폐포 \(\overline{k}\) 위에서는 그러한 \(s_i\)들을 찾을 수 있다. 이는 어떤 유한확대 \(k'/k\)를 택하여 단면 \(s_i\)들이 \(k'\) 위에서 정의되게 할 수 있다는 뜻이다. 사영을 \(\pi : X_{k'} \to X\)라 쓰자. 위의 논증에 의해 사이클 \(\pi^*\alpha\)와 사상 \(f \circ \pi : X_{k'} \to Y\)에 대해 (보조정리의 가정으로부터) 원하는 결론을 얻는다. Chow Homology, Lemma 02RH에 의해 \(\pi_*\pi^*\alpha = [k' : k] \alpha\)이다. 한편 코호몰로지 이론의 사영 공식에 의해 \[\pi_*\gamma(\pi^*\alpha) = \pi_*\pi^*\gamma(\alpha) = \gamma(\alpha) \pi_*1\] 이다. \(\pi\)는 사영(!)이므로 보조정리 0FHC에 의해 \(\pi_*(1) = \int_{\Spec(k')}(1) 1\)임을 관찰하자. 따라서 유한체인 경우의 증명을 끝내려면 \(\int_{\Spec(k')}(1) = [k' : k]\)임을 보이면 충분한데, 이는 보조정리 0FVR에서 보였다.

아래 보조정리들에서는 Constructions, Section 089R에서 정의하고 구성한 Grassmann 다양체들을 사용한다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 정수 \(0 < l < n\)과 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 사영 \(p : X \times \mathbf{G}(l, n) \to X\)를 생각하자. 그러면 \(\gamma\)는 \(p\)를 따른 밀어올림과 가환한다.

증명

\(l = 1\) 또는 \(l = n - 1\)이면 \(p\)는 사영다발이고 보조정리 0FIN에서 결과가 따른다. 일반적으로 \(h\)와 \(p \circ h\)가 모두 사영공간 다발들의 합성이 되도록 하는 사상 \[h : Y \to X \times \mathbf{G}(l, n)\] 이 존재한다. 실제로 부분 깃발 다양체를 \(\mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n)\)이라 쓰자. 그러면 사상 \[\mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n) \to \mathbf{G}(l, n)\] 은 사영공간 다발들의 합성이고 구조사상 \(\mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n) \to \Spec(k)\)도 같은 꼴이다. 따라서 \(Y = X \times \mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n)\)로 둘 수 있다. \(X \times \mathbf{G}(l, n)\)의 모든 사이클은 \(Y\) 위의 사이클을 밀어올려 얻어지므로 \(Y \to X\)와 \(Y \to X \times \mathbf{G}(l, n)\)에 대한 결과로부터 \(p\)에 대한 결과가 따른다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(i : Z \to X\)가 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 닫힌 몰입이고, \(K_0(Z)\)에서 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)의 류가 \(K_0(X)\)의 어떤 류를 당겨서 얻어질 때 \(i_*(1) = \gamma([Z])\)임을 보이면 \(\gamma\)가 밀어올림과 가환함을 보이는 데 충분하다.

증명

보조정리 0FIP에 의해 \(i : Z \to X\)가 \(k\) 위의 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴들의 닫힌 몰입일 때 \(i_*(1) = \gamma([Z])\)임을 보이면 충분하다. \(X\) 안에서 \(Z\)의 여차원을 \(r\)이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위에서 충분히 충실한 가역 가군이라 하자. \(n > 0\)과 전사 \[\mathcal{O}_Z^{\oplus n} \to \mathcal{C}_{Z/X} \otimes \mathcal{L}|_Z\] 를 택한다. 이는 \(k\) 위의 Grassmann 다양체로 가는 사상 \(g : Z \to \mathbf{G}(n - r, n)\)을 준다. Constructions, Section 089R을 보라. 합성 \[Z \to X \times \mathbf{G}(n - r, n) \to X\] 을 생각하자. 보조정리 0FIQ에 의해 두 번째 사상을 따른 밀어올림은 사이클류와 호환된다. 닫힌 몰입 \(Z \to X \times \mathbf{G}(n - r, n)\)의 여법선층 \(\mathcal{C}\)는 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C} \to g^*\Omega_{\mathbf{G}(n - r, n)} \to 0\] 안에 놓인다. More on Morphisms, Lemma 067W를 보라. \(\mathcal{C}_{Z/X} \otimes \mathcal{L}|_Z\)는 \(\mathbf{G}(n - r, n)\) 위의 유한 국소 자유 층을 당겨서 얻어지므로 \(K_0(Z)\)에서 \(\mathcal{C}\)의 류는 \(K_0(X \times \mathbf{G}(n - r, n))\)의 어떤 류를 당겨서 얻어진다. 따라서 \(Z \to X \times \mathbf{G}(n - r, n)\)에 대해 그 성질이 성립하고 결론을 얻는다.

보조정리

(A1)–(A7)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(k''/k'/k\)가 유한 분리 체확대들이면 \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(\Spec(k''))\)는 단사이다.

증명

\(k''\)을 \(k\) 위의 정규폐포로 바꿀 수 있으며 이는 \(k\) 위의 Galois 확대이다. Fields, Lemma 0EXM를 보라. 그러면 \(k''\)은 \(k'\) 위에서도 Galois 확대이다. Fields, Lemma 09I2을 보라. 따라서 동형사상 \[k' \otimes_k k'' \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k''/k')} k'',\quad \eta \otimes \zeta \longmapsto (\eta \sigma(\zeta))_\sigma\] 을 얻는다. 이는 동형사상 \(\coprod_\sigma \Spec(k'') \to \Spec(k') \times \Spec(k'')\)을 만들며, 코호몰로지에서는 동형사상 \[H^*(\Spec(k')) \otimes_F H^*(\Spec(k'')) \to \prod\nolimits_\sigma H^*(\Spec(k'')),\quad a' \otimes a'' \longmapsto (\pi^*a' \cup \Spec(\sigma)^*a'')_\sigma\] 을 만든다. 여기서 \(\pi : \Spec(k'') \to \Spec(k')\)는 \(k'\)을 \(k''\)에 포함하는 것에 대응하는 사상이다. \(a'' = 1\)로 두면 보조정리가 성립함을 얻는다.

보조정리

(A1)–(A8)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. \(b : X' \to X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴 \(X\)를 어디에서도 조밀하지 않은 매끄러운 중심 \(Z\)에서 부풀리기한 것이라 하자. 그러면 \(b_*(1) = 1\)이다.

증명

\(X\)를 \(X\)의 연결성분 하나로 바꿀 수 있다(몇몇 세부사항은 생략한다). 따라서 \(X\)가 연결이고, 그러므로 기약이라고 가정할 수 있다. \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\)로 두자. 이 등식의 증명은 생략한다. 예외인자에 포함되지 않고 잉여체 \(k''\)이 \(k\) 위에서 분리인 닫힌점 \(x' \in X'\)을 택하자. 이는 Varieties, Lemma 056U에 의해 가능하다. 그 상을 \(x \in X\)라 쓰자(물론 그 잉여체도 \(k''\)과 같다). 도식 \[\xymatrix{ x' \times X' \ar[r] \ar[d] & X' \times X' \ar[d] \\ x \times X \ar[r] & X \times X }\] 을 생각하자. 대각선 \(\Delta = \Delta_X\)의 류를 당기면 “대각점” \(\delta_x : x \to x \times X\)의 류가 되고 대각선 \(\Delta'\)의 류도 마찬가지다. 한편 대각점 \(\delta_x\)를 왼쪽 수직 화살표로 당기면 대각점 \(\delta_{x'}\)가 된다. 다음과 같이 쓰자. \(\gamma([\Delta]) = \sum \eta_i\) with \(\eta_i \in H^i(X) \otimes H^{2d - i}(X)(d)\) and \(\gamma([\Delta']) = \sum \eta'_i\) with \(\eta'_i \in H^i(X') \otimes H^{2d - i}(X')(d)\). 위의 논증에 의해 \(\eta_0\)과 \(\eta'_0\)은 \[H^0(x') \otimes_F H^{2d}(X')(d)\] 에서 같은 류로 간다. 공리 (A8)에 의해 \(H^0(\Spec(k')) = H^0(X) = H^0(X')\)이다. 보조정리 0FVS에 의해 이 공통값은 \(H^0(x')\)로 단사적으로 간다. 따라서 사상 \[H^0(X) \otimes_F H^{2d}(X)(d) \longrightarrow H^0(X') \otimes_F H^{2d}(X')(d)\] 에 의해 \(\eta_0\)이 \(\eta'_0\)으로 감을 얻는다. 이는 \(\int_X\)가 \(\int_{X'}\)와 당김 사상의 합성과 같다는 뜻이다. 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

(A1)–(A8)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 그러면 사이클류 사상 \(\gamma\)는 밀어올림과 가환한다.

증명

\(i : Z \to X\)를 보조정리 0FIR에서와 같이 두자. 도식 \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] 을 생각하자. \(\theta \in \CH^{r - 1}(X')\)를 보조정리 0FIH에서와 같이 두자. \(\CH_*(Z)\)에서 \(\pi_*j^!\theta = [Z]\)이므로, \(\pi\)가 사영공간 다발인 것과 보조정리 0FIN에 의해 \(\pi_*\gamma(j^!\theta) = 1\)이다. 따라서 \[i_*(1) = i_*(\pi_*(\gamma(j^!\theta))) = b_*j_*(j^*\gamma(\theta)) = b_*(j_*(1) \cup \gamma(\theta))\] 이다. (A9)에 의해 \(j_*(1) = \gamma([E])\)이다. 따라서 이는 \[b_*(\gamma([E]) \cup \gamma(\theta)) = b_*(\gamma([E] \cdot \theta)) = b_*(\gamma(b^*[Z])) = b_*b^*\gamma([Z]) = b_*(1) \cup \gamma([Z])\] 와 같다. 보조정리 0FIS에 의해 \(b_*(1) = 1\)이므로 증명이 끝난다.

명제

(A1)–(A8)을 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 주어졌다고 하자. 그러면 Weil 코호몰로지 이론을 얻는다.

증명

0FHA절의 공리 (A), (B), (C)(a), (C)(c), (C)(d)가 보조정리 0FIJ, 0FIL, 0FIM에 의해 성립한다. 보조정리 0FIT에 의해 공리 (C)(b)가 성립한다. 마지막으로 정의 0FI2의 추가 조건은 우리의 공리 (A8)과 같으므로 성립한다.

다음 보조정리는 닫힌 체로 환원하여 닫혀 있지 않은 체 위에서 Weil 코호몰로지 이론을 얻는다는 것을 보일 때 유용하다.

보조정리

\(k'/k\)를 체확대라 하고 \(F'/F\)를 표수 \(0\)인 체의 확대라 하자. 다음이 주어졌다고 가정하자.

1. \(k\), \(F\)에 대한 데이터 (D0), (D1), (D2’)을 \(F(1), H^*, c_1^H\)라 쓴다.

2. \(k'\), \(F'\)에 대한 데이터 (D0), (D1), (D2’)을 \(F'(1), (H')^*, c_1^{H'}\)라 쓴다.

3. 동형사상 \(F(1) \otimes_F F' \to F'(1)\)과, \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴 \(X\)의 범주 위에서 함자적인 동형사상 \(H^*(X) \otimes_F F' \to (H')^*(X_{k'})\)이 주어지고 도식 \[\xymatrix{ \Pic(X) \ar[r]_{c_1^H} \ar[d] & H^2(X)(1) \ar[d] \\ \Pic(X_{k'}) \ar[r]^{c_1^{H'}} & (H')^2(X_{k'})(1) }\] 이 가환한다.

이 경우 \(F'(1), (H')^*, c_1^{H'}\)가 공리 (A1)–(A9)를 만족하면 \(F(1), H^*, c_1^H\)도 그러하다.

증명

공리들을 하나씩 살펴보자.

공리 (A1). \(H^*(\emptyset) = 0\)이고, \(i\), \(j\)가 표준 포함사상일 때 \((i^*, j^*) : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\)가 동형사상임을 보여야 한다. 동형사상 \(H^*(X) \otimes_F F' \to (H')^*(X_{k'})\)의 함자성에 의해 이는 다음 선형대수 사실에서 따른다. \(F\)-벡터공간의 \(F\)-선형 사상 \(\varphi : V \to W\)에 대해 \(\varphi\)가 동형사상일 필요충분조건은 \(\varphi_{F'} : V \otimes_F F' \to W \otimes_F F'\)가 동형사상인 것이다.

공리 (A2). 이는 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(f : X \to Y\)와 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{N}\)이 주어졌을 때 \(f^*c_1^H(\mathcal{L}) = c_1^H(f^*\mathcal{L})\)이라는 뜻이다. 이는 \(c_1^{H'}\)에 대한 대응하는 성질, 보조정리의 가환도식, 그리고 모든 \(F\)-벡터공간 \(V\)에 대해 표준 사상 \(V \to V \otimes_F F'\)이 단사라는 사실에서 바로 분명하다.

공리 (A3). 이는 공리 (A1)의 증명에서 서술한 원리와 \(c_1^H\), \(c_1^{H'}\)의 호환성에서 따른다.

공리 (A4). \(i : Y \to X\)를 \(k\) 위의 유효 Cartier 인자의 포함사상이라 하고 \(X\), \(Y\)가 모두 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적이라고 하자. \(i^*a = 0\)인 \(a \in H^*(X)\)에 대해 \(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y)) = 0\)임을 보여야 한다. \(a\)의 상을 \(a' \in (H')^*(X_{k'})\)라 쓰자. 가정에 의해 \((i')^*a' = 0\)이며, 여기서 \(i' : Y_{k'} \to X_{k'}\)은 \(i\)의 기저변환이다. 따라서 \((H')^*\)에 대한 공리에 의해 \(a' \cup c_1^{H'}(\mathcal{O}_{X_{k'}}(Y_{k'})) = 0\)이다. \(a' \cup c_1^{H'}(\mathcal{O}_{X_{k'}}(Y_{k'}))\)은 \(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y))\)의 상이므로 공리 (A2)의 증명에서 서술한 원리에 의해 결론을 얻는다.

공리 (A5). 이는 \(H^*(\Spec(k)) = F\)이고 \(X\), \(Y\)가 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영적일 때 사상 \(H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y)\), \(a \otimes b \mapsto p^*(a) \cup q^*(b)\)가 동형사상이라는 뜻이다. 여기서 \(p\), \(q\)는 사영이다. 이는 공리 (A1)의 증명에서 서술한 원리에서 따른다.

논증의 흐름을 잠시 멈추고, \(k\) 위의 모든 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \CH^*(X) \ar[r]_-\gamma \ar[d]_{g^*} & \bigoplus H^{2i}(X)(i) \ar[d] \\ \CH^*(X_{k'}) \ar[r]^-{\gamma'} & \bigoplus (H')^{2i}(X_{k'})(i) }\] 이 가환함을 보이자. 공리 (A1)–(A4)를 이미 알고 있으므로 \(\gamma\)가 존재함을 관찰하자. 보조정리 0FIF를 보라. 또한 왼쪽 수직 화살표는 바탕 스킴의 사상 \(g : \Spec(k') \to \Spec(k)\)에 대해 Chow Homology, Section 0FVF에서 논의한 사상이다. 더 정확히는 Chow Homology, Lemma 0FVJ에서 주어진 사상이다. \(\alpha \in \CH^*(X)\)를 택하자. 어떤 \(\beta \in K_0(\textit{Vect}(X)) \otimes \mathbf{Q}\)에 대해 \(\CH^*(X) \otimes \mathbf{Q}\)에서 \(\alpha = ch(\beta) \cap [X]\)로 쓰면 \(\gamma(\alpha) = ch^{H}(\beta)\)이다. 이것이 우리의 \(\gamma\) 구성이다. Chow Homology, Lemma 0FVJ의 사상은 Chow Homology, Lemma 0FVN에 의해 Chern 류와의 캡곱과 호환되므로 \(g^*\alpha = ch((X_{k'} \to X)^*\beta) \cap [X_{k'}]\)이다. 따라서 \(\gamma'(g^*\alpha) = ch^{H'}((X_{k'} \to X)^*\beta)\)이다. 그러므로 계수 \(r\)인 임의의 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)와 \(0 \leq i \leq r\)에 대해 \(H^{2i}(X)(i)\)의 원소 \(c_i^H(\mathcal{E})\)가 \((H')^{2i}(X_{k'})(i)\)의 원소 \(c_i^{H'}(\mathcal{E}_{k'})\)로 감을 보이면 도식이 가환한다. \(X\), \(X'\) 양쪽에 사영공간 다발 공식이 있으므로 이를 보이기 위해 \(X\)를 \(X\) 위의 사영공간 다발로 유한 번 바꿀 수 있다. 따라서 \(\mathcal{E}\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\)을 등급 성분으로 갖는 여과를 가진다고 가정할 수 있다. Chow Homology, Lemma 02UL과 Remark 0FVE를 보라. 그러면 \(c^H_i(\mathcal{E}\)는 \(c^H_1(\mathcal{L}_1), \ldots, c^H_1(\mathcal{L}_r)\)의 제\(i\) 기본대칭다항식이므로 제1 Chern 류들이 일치한다는 가정에서 결론을 얻는다.

공리 (A6). \(F\)-벡터공간 \(V\), \(W\), 원소 \(v \in V\), 텐서 \(\xi \in V \otimes_F W\)가 주어졌다고 하자. \(V' = V \otimes_F F'\), \(W' = W \otimes_F F'\)로 쓰고 \(v\), \(\xi\)의 \(V'\), \(V' \otimes_{F'} W'\) 안에서의 상을 \(v'\), \(\xi'\)이라 쓰자. 공리 (A6)의 증명에서 사용할 선형대수 원리는 다음과 같다. \((1 \otimes \lambda)\xi = v\)가 되도록 하는 \(F\)-선형 사상 \(\lambda : W \to F\)가 존재할 필요충분조건은 \((1 \otimes \lambda')\xi' = v'\)가 되도록 하는 \(F'\)-선형 사상 \(\lambda' : W \otimes_F F' \to F'\)가 존재하는 것이다.

\(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(H^{2d}(X \times X)(d)\)에서 \(\gamma = \gamma([\Delta])\)라 쓰자(아무 표시가 없는 올곱은 \(k\) 위에서 취한다). 공리 (A1)–(A4)를 이미 알고 있으므로 이것이 의미가 있음을 관찰하고 상기하자. 보조정리 0FIF를 보라. Künneth 분해에서 \[\gamma = \sum \gamma_i, \quad \gamma_i \in H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)(d)\] 로 분해할 수 있다. 마찬가지로 \((H')^{2d}(X_{k'} \times_{k'} X_{k'})(d)\)에서 \(\gamma' = \gamma([\Delta']) = \sum \gamma'_i\)로 쓰자. 위에서 언급한 선형대수 원리에 의해 \(\gamma_0\)이 \((H')^0(X) \otimes_{F'} (H')^{2d}(X')(d)\)에서 \(\gamma'_0\)으로 감을 보이면 충분하다. Künneth 분해의 호환성에 의해 \[(H')^{2d}(X_{k'} \times_{k'} X_{k'})(d) = (H')^{2d}((X \times X)_{k'})(d)\] 에서 \(\gamma\)가 \(\gamma'\)으로 감을 보이면 충분하다. \(\Delta_{k'} = \Delta'\)이므로 이는 위의 논의에서 따른다.

공리 (A7). 이는 다음 선형대수 사실에서 따른다. \(F\)-벡터공간의 선형사상 \(V \to W\)가 단사일 필요충분조건은 \(V \otimes_F F' \to W \otimes_F F'\)가 단사인 것이다.

공리 (A8). 공리 (A1)의 증명에서 사용한 선형대수 사실에서 따른다.

공리 (A9). \(X\)를 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 공집합이 아닌 등차원 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(i : Y \to X\)를 공집합이 아니고 \(k\) 위에서 매끄러운 유효 Cartier 인자라 하자. \(\lambda_Y\)와 \(\lambda_X\)를 \(X\), \(Y\)에 대한 공리 (A6)에서와 같이 두자. \(a \in H^{2d - 2}(X)(d - 1)\)에 대해 \(\lambda_Y(i^*(a)) = \lambda_X(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y))\)임을 보여야 한다. 주의 0FIK에 의해 \(\lambda_X : H^{2d}(X)(d) \to F\)와 \(\lambda_Y : H^{2d - 2}(Y)(d - 1)\)는 공리 (A6)의 조건에 의해 유일하게 결정됨을 안다. 따라서 위에서 \(H^*\)에 대한 공리 (A6)를 증명한 방식에 의해, 주어진 동일시 \(H^{2d}(X)(d) \otimes_F F' = H^{2d}(X_{k'})(d)\) 아래에서 \(\lambda_X \otimes \text{id}_{F'}\)은 \(\lambda_{X_{k'}}\)에 대응한다. 그러므로 \(F'(1), (H')^*, c_1^{H'}\)에 대해 공리 (A9)를 안다는 사실로부터 도식 추적으로 \(F(1), H^*, c_1^H\)에 대한 공리가 따른다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.