쌍대화 복합체

서론

이 장에서는 가환대수에서의 쌍대화 복합체를 논한다. 참고문헌으로는 [RD]가 있다.

먼저 본질적 전사와 본질적 단사, 사영 피복, 단사 포락, Artin 환에 대한 쌍대성, 그리고 잉여체의 단사 포락을 논하며, 이는 곧 Matlis 쌍대성의 증명으로 이어진다. Sections 08XI, 08XN, 08XX, 08Y1, 08YW, 08Z1와 Proposition 08Z9를 보라.

그다음 세 절에서는 매우 일반적인 형태의 국소 코호몰로지를 논한다. Sections 0BJA, 0952, 0BJD을 보라. 그 가운데 일부를 Section 0AVY에서 깊이를 논하는 데 적용한다. 또 다른 응용으로, 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼 \(I\)가 주어졌을 때 \(A\)의 유도 범주에서 “\(I\)-완비” 대상과 “\(I\)-꼬임” 대상이 서로 동치임을 보인다. Section 0A6V를 보라. 국소 코호몰로지에 관해 더 알고 싶다면, 예를 들어 국소 쌍대성에 의존하는 유한성 정리에 관해서는 아래를 참조하라. Local Cohomology, Section 0DWP.

이 장의 대부분은 환 사상에 대한 쌍대성과 쌍대화 복합체에 할애한다. 다음을 보라. Sections 0A6Z, 0E28, 0A7A, 0A7M, 0A7W, 0A81, 0DW3, 0DW4, 0DW6, 0DWB, 0BJM. 핵심 정의는 다음과 같다. Noether 환 \(A\) 위의 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)는 \(\omega_A^\bullet \in D^{+}(A)\)인 대상으로서, 그 코호몰로지 가군 \(H^i(\omega_A^\bullet)\)들이 유한 \(A\)-가군이고, 유한 단사 차원을 가지며, 사상 \[A \longrightarrow R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\] 이 준동형인 것이다. 쌍대화 복합체의 몇 가지 기본 성질을 확립한 뒤, 쌍대화 복합체가 차원 함수를 유도함을 보인다. 이어서 Grothendieck의 국소 쌍대성 정리를 증명한다. 쌍대화 가군과 Cohen–Macaulay 환을 간단히 논한 뒤 Gorenstein 환을 도입하고, 익숙한 많은 Noether 환이 쌍대화 복합체를 가짐을 보인다. 마지막 절에서는 이 내용을 적용하여 형식적 올들이 Gorenstein이거나 국소 완전교차인 Noether 국소환에 대한 좋은 이론이 존재함을 보인다.

마지막 몇 절에서는 대수기하학에서, 예를 들어 책 [RD]에서 사용되는 “위 느낌표 함자”의 대수적 구성을 서술한다. 이 주제는 스킴의 쌍대성에 관한 장에서 이어진다. 다음을 보라. Duality for Schemes, Section 0DWF.

본질적 전사와 단사

대부분 가군의 범주에서 작업하겠지만, 정의 자체는 일반적으로 해도 좋다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자.

1. \(\mathcal{A}\)의 단사 \(A \subset B\)가 본질적이라는 것은, 또는 \(B\)가 \(A\)의 본질적 확대라는 것은, 모든 영이 아닌 부분대상 \(B' \subset B\)가 \(A\)와 영이 아닌 교집합을 갖는다는 뜻이다.

2. \(\mathcal{A}\)의 전사 \(f : A \to B\)가 본질적이라는 것은 모든 진부분대상 \(A' \subset A\)에 대해 \(f(A') \not = B\)라는 뜻이다.

이 개념에 관한 몇 가지 보조정리를 기록한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자.

1. \(A \subset B\)와 \(B \subset C\)가 본질적 확대이면, \(A \subset C\)도 본질적 확대이다.

2. \(A \subset B\)가 본질적 확대이고 \(C \subset B\)가 부분대상이면, \(A \cap C \subset C\)는 본질적 확대이다.

3. \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 본질적 전사이면, \(A \to C\)도 본질적 전사이다.

4. 본질적 전사 \(f : A \to B\)와 핵이 \(K\)인 전사 \(A \to C\)가 주어지면, 사상 \(C \to B/f(K)\)는 본질적 전사이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(E = \colim E_i\)를 \(R\)-가군들의 여과 여극한이라 하자. \(R\)-가군의 본질적 단사들로 이루어진 호환되는 계 \(M \to E_i\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(M \to E\)는 본질적 단사이다.

증명

정의와 여과 여극한이 완전하다는 사실에서 즉시 따른다 (Algebra, Lemma 00DB).

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M \subset N\)을 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M \subset N\)은 본질적 확대이다.

2. 모든 영이 아닌 \(x \in N\)에 대해 \(fx \in M\)이고 \(fx \not = 0\)이 되게 하는 \(f \in R\)이 존재한다.

증명

(1)을 가정하고 \(x \in N\)을 영이 아닌 원소라 하자. (1)에 의해 \(Rx \cap M \not = 0\)이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하자. \(N' \subset N\)을 영이 아닌 부분가군이라 하고, 영이 아닌 \(x \in N'\)을 택하자. (2)에 의해 \(fx \in M\)이고 \(fx \not = 0\)인 \(f \in R\)을 찾을 수 있다. 그러므로 \(N' \cap M \not = 0\)이다.

단사 가군

환 위의 단사 가군에 관한 몇 가지 결과를 기록한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 단사 \(R\)-가군들의 임의의 곱은 단사이다.

증명

Homology, Lemma 0137의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R \to S\)를 평탄한 환 사상이라 하자. \(E\)가 단사 \(S\)-가군이면, \(E\)는 \(R\)-가군으로서 단사이다.

증명

Algebra, Lemma 05DQ에 의해 \(\Hom_R(M, E) = \Hom_S(M \otimes_R S, E)\)이고, \(S\)와의 텐서곱을 취하는 것이 완전하기 때문에 성립한다.

보조정리

\(R \to S\)를 환의 전사라 하고 \(E\)를 \(S\)-가군이라 하자. \(E\)가 \(R\)-가군으로서 단사이면, \(E\)는 단사 \(S\)-가군이다.

증명

임의의 \(S\)-가군 \(N\)에 대해 \(\Hom_R(N, E) = \Hom_S(N, E)\)이기 때문이다. Algebra, Lemma 08YS를 보라.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(E\)가 단사 \(R\)-가군이면, \(\Hom_R(S, E)\)는 단사 \(S\)-가군이다.

증명

Algebra, Lemma 08YP에 의해 \(\Hom_S(N, \Hom_R(S, E)) = \Hom_R(N, E)\)이기 때문에 성립한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I\)를 단사 \(R\)-가군이라 하자. \(E \subset I\)를 부분가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(E\)는 단사이다.

2. \(E \subset E' \subset I\)이고 \(E \subset E'\)가 본질적 확대인 모든 경우에 \(E = E'\)이다.

특히 \(R\)-가군이 단사일 필요충분조건은 모든 본질적 확대가 자명한 것이다.

증명

마지막 주장은 첫 번째 주장과 \(R\)-가군의 범주에 충분히 많은 단사대상이 있다는 사실에서 따른다 (More on Algebra, Section 01D8).

(1)을 가정하고 (2)와 같은 \(E \subset E' \subset I\)를 택하자. 그러면 사상 \(\text{id}_E : E \to E\)를 사상 \(\alpha : E' \to E\)로 확장할 수 있다. \(\alpha\)의 핵은 \(E\)와 자명하게 만나고 \(E'\)가 본질적 확대이므로 영이어야 한다. 따라서 \(E = E'\)이다.

(2)를 가정하자. \(M \subset N\)을 \(R\)-가군이라 하고 \(\varphi : M \to E\)를 \(R\)-가군 사상이라 하자. (1)을 보이려면 \(\varphi\)가 사상 \(N \to E\)로 확장됨을 보여야 한다. \(M \subset M' \subset N\)이고 \(\varphi' : M' \to E\)가 \(M\) 위에서 \(\varphi\)와 일치하는 \(R\)-가군 사상인 쌍 \((M', \varphi')\)들의 집합 \(\mathcal{S}\)를 생각하자. \(M' \subset M''\)이고 \(\varphi''|_{M'} = \varphi'\)일 필요충분조건으로 \((M', \varphi') \leq (M'', \varphi'')\)라 정하여 \(\mathcal{S}\)에 순서를 준다. \(\mathcal{S}\)의 전순서 부분집합에는 상계를 취할 수 있음이 명백하다. 따라서 Zorn의 보조정리에 의해 \((M, \varphi)\)가 극대원소라고 가정해도 된다.

포함사상 \(E \to I\)와 \(\varphi\)의 합성의 확장 \(\psi : N \to I\)를 택하자. \(I\)가 단사이므로 가능하다. \(\psi(N) \subset E\)이면 \(\psi\)가 원하는 확장이다. \(\psi(N)\)가 \(E\)에 포함되지 않으면, (2)에 의해 포함사상 \(E \subset E + \psi(N)\)은 본질적이지 않다. 따라서 \(E\)와 \(0\)에서 만나는 영이 아닌 부분가군 \(K \subset E + \psi(N)\)을 찾을 수 있다. 이는 \(M' = \psi^{-1}(E + K)\)가 \(M\)을 진정하게 포함한다는 뜻이다. 그러므로 \[M' \xrightarrow{\psi|_{M'}} E + K \to (E + K)/K = E\] 를 사용하여 \(\varphi\)를 \(M'\)로 확장할 수 있다. 이는 \((M, \varphi)\)의 극대성과 모순이다.

예

\(R\)을 기약 환이라 하자. \(\mathfrak p \subset R\)을 극소 소아이디얼이라 하여 \(K = R_\mathfrak p\)가 체라고 하자 (Algebra, Lemma 00EU). 그러면 \(K\)는 단사 \(R\)-가군이다. 실제로 임의의 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 \(\Hom_R(M, K) = \Hom_K(M_\mathfrak p, K)\)이다. 국소화는 완전 함자이고 \(K\)-벡터공간에서 쌍대를 취하는 것도 완전 함자이므로 \(\Hom_R(-, K)\)가 완전 함자라는 결론을 얻는다. 즉 \(K\)는 단사 \(R\)-가군이다.

보조정리

\(R\)을 Noether 환이라 하자. 단사 가군들의 직합은 단사이다.

증명

\(E_i\)를 집합 \(I\)로 매개화된 단사 가군들의 족이라 하자. \(E = \bigoplus E_i\)로 놓는다. \(E\)가 단사임을 보이기 위해 Injectives, Lemma 05NU를 사용한다. 따라서 \(R\)의 아이디얼에서 \(E\)로 가는 가군 사상 \(\varphi : J \to E\)를 택하자. \(J\)는 유한 \(R\)-가군이므로 (\(R\)이 Noether이기 때문이다), \(\varphi\)의 상이 \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} E_{i_j}\)에 포함되게 하는 유한개의 원소 \(i_1, \ldots, i_r \in I\)를 찾을 수 있다. 그러면 가군들 \(E_{i_j}\)의 단사성을 사용하여 \(\varphi\)를 \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} E_{i_j}\)로 확장할 수 있다.

보조정리

\(R\)을 Noether 환이라 하고 \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합이라 하자. \(E\)가 단사 \(R\)-가군이면, \(S^{-1}E\)는 단사 \(S^{-1}R\)-가군이다.

증명

\(R \to S^{-1}R\)은 환의 전사이므로, Lemma 08YV에 의해 \(S^{-1}E\)가 \(R\)-가군으로서 단사임을 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해 Injectives, Lemma 05NU를 사용한다. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하고 \(\varphi : I \to S^{-1} E\)를 \(R\)-가군 사상이라 하자. \(I\)는 유한 표시 \(R\)-가군이므로 (\(R\)이 Noether이기 때문이다), \(f\varphi\)가 합성사상 \(I \to E \to S^{-1}E\)가 되게 하는 \(f \in S\)와 \(R\)-가군 사상 \(I \to E\)를 찾을 수 있다 (Algebra, Lemma 0583). 이제 \(I \to E\)를 준동형 \(R \to E\)로 확장할 수 있다. 그러면 합성사상 \[R \to E \to S^{-1}E \xrightarrow{f^{-1}} S^{-1}E\] 은 \(\varphi\)의 원하는 \(R\)로의 확장이다.

보조정리

\(R\)을 Noether 환이라 하고 \(I\)를 단사 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(f \in R\)이라 하자. 그러면 \(E = \bigcup I[f^n] = I[f^\infty]\)는 \(I\)의 단사 부분가군이다.

2. \(J \subset R\)을 아이디얼이라 하자. 그러면 \(J\)-멱 꼬임 부분가군 \(I[J^\infty]\)는 \(I\)의 단사 부분가군이다.

증명

(1)을 보이기 위해 Lemma 08XS를 사용한다. \(E \subset E' \subset I\)이고 \(E'\)가 \(E\)의 본질적 확대라고 하자. \(E' = E\)임을 보이겠다. 그렇지 않으면 \(x \in E'\)이고 \(x \not \in E\)인 원소를 찾을 수 있다. \(J = \{ a \in R \mid ax \in E\}\)라 하자. \(R\)이 Noether이므로 어떤 \(g_i \in R\)에 대해 \(J = (g_1, \ldots, g_t)\)라 쓸 수 있다. 정의상 \(E\)는 \(f\)의 거듭제곱들에 의해 소멸하는 \(I\)의 원소들의 집합이므로, \(f^{n_i}g_ix = 0\)이 되게 하는 정수 \(n_i\)를 택할 수 있다. \(n = \mathrm{max}\{ n_i \}\)라 하자. 그러면 \(x' = f^n x\)는 \(E'\)에는 속하지만 \(E\)에는 속하지 않고, \(J\)에 의해 소멸한다. \(J' = \{ a \in R \mid ax' \in E \}\)라 하면 \(J \subset J'\)이다. 역으로 \(a \in J'\)일 필요충분조건은 \(ax' \in E\)인 것이고, 이는 어떤 \(m \geq 0\)에 대해 \(f^m a x' = 0\)인 것과 동치이다. 그런데 \(f^m a x' = f^{m + n} a x\)이므로 \(ax \in E\), 즉 \(a \in J\)이다. 따라서 \(J = J'\)이다. 그러므로 \(J = J' = \text{Ann}(x')\)이고, \(Rx' \cap E = 0\)이다. 이는 \(E'\)가 \(E\)의 본질적 확대가 아니라는 뜻이므로 모순이다.

(2)를 보이기 위해 \(J = (f_1, \ldots, f_t)\)라 쓰자. 그러면 \(I[J^\infty]\)는 \[(\ldots((I[f_1^\infty])[f_2^\infty])\ldots)[f_t^\infty]\] 와 같고, 결과는 (1)과 귀납법에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(E\)를 단사 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \(E \otimes_A A[x]\)는 \(D(A[x])\)의 대상으로서 단사 진폭 \([0, 1]\)을 갖는다. 특히 \(E \otimes_A A[x]\)는 \(A[x]\)-가군으로서 유한 단사 차원을 갖는다.

증명

\(E[x] = E \otimes_A A[x]\)라 쓰자. \(A[x]\)-가군의 짧은 완전열 \[0 \to E[x] \to \Hom_A(A[x], E[x]) \to \Hom_A(A[x], E[x]) \to 0\] 을 생각하자. 첫 번째 사상은 \(p \in E[x]\)를 \(f \mapsto fp\)로 보내고, 두 번째 사상은 \(\varphi\)를 \(f \mapsto \varphi(xf) - x\varphi(f)\)로 보낸다. 아벨 군으로서 \(\Hom_A(A[x], E[x]) = \prod_{n \geq 0} E[x]\)이고, 이 사상이 \((e_n)\)을 \((e_{n + 1} - xe_n)\)으로 보내는데 이는 전사이므로, 두 번째 사상은 전사이다. \(A\)-가군으로서 \(E[x] \cong \bigoplus_{n \geq 0} E\)이고, 이는 Lemma 08XV에 의해 단사이다. 따라서 \(A[x]\)-가군 \(\Hom_A(A[x], E[x])\)는 Lemma 08XR에 의해 단사이고 증명이 끝난다.

사영 피복

이 절에서는 사영 피복을 간단히 논한다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)-가군의 전사 \(P \to M\)에서 \(P\)가 사영 \(R\)-가군이고 \(P \to M\)이 본질적 전사이면, 이를 사영 피복, 때로는 사영 포락이라 한다.

사영 피복은 항상 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 \(k\)가 체이고 \(R = k[x]\)가 \(k\) 위의 다항식환이면, 가군 \(M = R/(x)\)는 사영 피복을 갖지 않는다. 실제로 \(P\)가 \(R\) 위에서 사영일 때 임의의 전사 \(f : P \to M\)에 대해 진부분가군 \((x - 1)P\)가 \(M\)으로 전사한다. 따라서 \(f\)는 본질적이지 않다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(M\)의 사영 피복이 존재하면 동형사상 아래에서 유일하다.

증명

\(P \to M\)과 \(P' \to M\)을 사영 피복이라 하자. \(P\)는 사영 \(R\)-가군이고 \(P' \to M\)은 전사이므로, \(M\)으로 가는 사상들과 호환되는 \(R\)-가군 사상 \(\alpha : P \to P'\)를 찾을 수 있다. \(P' \to M\)이 본질적이므로 \(\alpha\)는 전사이다. \(P'\)가 사영 \(R\)-가군이므로 직합 분해 \(P = \Ker(\alpha) \oplus P'\)를 택할 수 있다. \(P' \to M\)은 전사이고 \(P \to M\)은 본질적이므로, 원하는 대로 \(\Ker(\alpha)\)는 영이다.

다음은 사영 피복이 존재하는 한 예이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 국소환이라 하자. 모든 유한 \(R\)-가군은 사영 피복을 갖는다.

증명

\(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하고 \(r = \dim_\kappa(M/\mathfrak m M)\)라 하자. \(M/\mathfrak m M\)의 기저로 보내지는 \(x_1, \ldots, x_r \in M\)을 택한다. 사상 \(f : R^{\oplus r} \to M\)을 생각하자. Nakayama의 보조정리에 의해 이는 전사이다(Algebra, Lemma 00DV). \(N \subset R^{\oplus r}\)이 진부분가군이면, 다시 Nakayama의 보조정리에 의해 \(N/\mathfrak m N \to \kappa^{\oplus r}\)은 전사가 아니며, 따라서 \(N/\mathfrak m N \to M/\mathfrak m M\)도 전사가 아니다. 그러므로 \(f\)는 본질적 전사이다.

단사 포락

이 절에서는 단사 포락을 간단히 논한다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)-가군의 단사 \(M \to I\)에서 \(I\)가 단사 \(R\)-가군이고 \(M \to I\)가 본질적 단사이면 이를 단사 포락이라 한다.

단사 포락은 항상 존재한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 모든 \(R\)-가군은 단사 포락을 갖는다.

증명

\(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. More on Algebra, Section 01D8에 의해 \(R\)-가군의 범주에는 충분히 많은 단사대상이 있다. \(I\)가 단사 \(R\)-가군인 단사 \(M \to I\)를 택하자. \(M \subset E \subset I\)이고 \(E\)가 \(M\)의 본질적 확대인 부분가군들로 이루어진 집합 \(\mathcal{S}\)를 생각하자. \(\mathcal{S}\)에 포함관계로 순서를 준다. \(\{E_\alpha\}\)가 \(\mathcal{S}\)의 전순서 부분집합이면 \(\bigcup E_\alpha\)도 \(M\)의 본질적 확대이다(Lemma 08XL). 따라서 Zorn의 보조정리를 적용하여 극대원소 \(E \in \mathcal{S}\)를 찾을 수 있다. \(M \subset E\)가 단사 포락, 즉 \(E\)가 단사 \(R\)-가군이라고 주장한다. 이는 Lemma 08XS에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\), \(N\)을 \(R\)-가군이라 하고 \(M \to E\)와 \(N \to E'\)를 단사 포락이라 하자. 그러면

1. 임의의 \(R\)-가군 사상 \(\varphi : M \to N\)에 대해 다음 도식을 가환하게 하는 \(R\)-가군 사상 \(\psi : E \to E'\)가 존재한다. \[\xymatrix{ M \ar[r] \ar[d]_\varphi & E \ar[d]^\psi \\ N \ar[r] & E' }\]

2. \(\varphi\)가 단사이면 \(\psi\)도 단사이다.

3. \(\varphi\)가 본질적 단사이면 \(\psi\)는 동형사상이다.

4. \(\varphi\)가 동형사상이면 \(\psi\)는 동형사상이다.

5. \(M \to I\)가 \(M\)을 단사 \(R\)-가군에 매장하는 사상이면, \(M\)의 매장과 호환되는 동형사상 \(I \cong E \oplus I'\)가 존재한다.

특히 \(M\)의 단사 포락 \(E\)는 동형사상 아래에서 유일하다.

증명

(1)은 \(E'\)가 단사 \(R\)-가군이라는 사실에서 따른다. (2)는 \(\Ker(\psi) \cap M = 0\)이고 \(E\)가 \(M\)의 본질적 확대라는 사실에서 따른다. \(\varphi\)가 본질적 단사라고 하자. 그러면 (2)에 의해 \(E \cong \psi(E) \subset E'\)이고, \(E\)가 단사이므로 이는 \(E' = \psi(E) \oplus E''\)을 함의한다. \(E'\)는 \(M\)의 본질적 확대이므로 (Lemma 08XK) \(E'' = 0\)을 얻는다. (4)는 (3)의 특수한 경우이다. (5)와 같은 \(M \to I\)를 가정하자. 사상 \(M \to I\)를 확장하는 사상 \(\alpha : E \to I\)를 택한다. 앞에서와 같은 논증으로 \(\alpha\)가 단사임을 알 수 있다. 따라서 앞에서와 같이 \(\alpha(E)\)는 \(I\)의 직합인자로 떨어져 나온다. 이로써 (5)가 증명된다.

예

\(R\)을 분수체가 \(K\)인 정역이라 하자. 그러면 \(R \subset K\)는 \(R\)의 단사 포락이다. 실제로 Example 08XT에 의해 \(K\)는 단사 \(R\)-가군이고, Lemma 08XM에 의해 \(R \subset K\)는 본질적 확대이다.

정의

가법 범주의 대상 \(X\)가 영이 아니고, \(X = Y \oplus Z\)이면 \(Y = 0\) 또는 \(Z = 0\)일 때 이를 분해불가능이라 한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(E\)를 분해불가능 단사 \(R\)-가군이라 하자. 그러면

1. \(E\)는 \(E\)의 임의의 영이 아닌 부분가군의 단사 포락이다.

2. \(E\)의 임의의 두 영이 아닌 부분가군의 교집합은 영이 아니다.

3. \(\text{End}_R(E)\)는 핵이 영이 아닌 \(\varphi : E \to E\)들을 극대 아이디얼로 갖는 비가환 국소환이다.

4. \(E\) 위의 영인자들의 집합은 \(R\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p\)이고, \(E\)는 단사 \(R_\mathfrak p\)-가군이다.

증명

(1)은 Lemma 08Y4에서 따른다. (2)는 (1)과 단사 포락의 정의에서 따른다.

(3)의 증명. \(A = \text{End}_R(E)\)와 \(I = \{\varphi \in A \mid \Ker(\varphi) \not = 0\}\)로 놓자. 주장은 \(I\)가 양쪽 아이디얼이고, \(\varphi \in A\)이면서 \(\varphi \not \in I\)인 모든 원소가 가역이라는 뜻이다. \(\varphi\)와 \(\psi\)가 단사가 아니라고 하자. 그러면 (2)에 의해 \(\Ker(\varphi) \cap \Ker(\psi)\)는 영이 아니다. 따라서 \(\varphi + \psi \in I\)이다. 이로부터 \(I\)가 양쪽 아이디얼임이 따른다. \(\varphi \in A\), \(\varphi \not \in I\)이면 \(E \cong \varphi(E) \subset E\)는 단사 부분가군이고, \(E\)가 분해불가능이므로 \(E = \varphi(E)\)이다.

(4)의 증명. 환 사상 \(R \to A\)를 생각하고, \(\mathfrak p \subset R\)을 극대 아이디얼 \(I\)의 역상이라 하자. 그러면 \(\mathfrak p\)가 소아이디얼이고 \(R \to A\)가 \(R_\mathfrak p \to A\)로 확장됨은 명백하다. 따라서 \(E\)는 \(R_\mathfrak p\)-가군이다. Lemma 08YV에 의해 \(E\)는 \(R_\mathfrak p\)-가군으로서 단사이다.

보조정리

\(\mathfrak p \subset R\)을 환 \(R\)의 소아이디얼이라 하고, \(E\)를 \(R/\mathfrak p\)의 단사 포락이라 하자. 그러면

1. \(E\)는 분해불가능이다.

2. \(E\)는 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 단사 포락이다.

3. \(E\)는 환 \(R_\mathfrak p\) 위에서 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 단사 포락이다.

증명

Lemma 08XM에 의해 포함사상 \(R/\mathfrak p \subset \kappa(\mathfrak p)\)은 본질적 확대이다. 그러면 Lemma 08Y4에 의해 (2)가 성립한다. \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 대해 사상 \(f : \kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p)\)은 동형사상이므로 사상 \(f : E \to E\)도 동형사상이다. Lemma 08Y4를 보라. 따라서 \(E\)는 \(R_\mathfrak p\)-가군이다. Lemma 08YV에 의해 이는 \(R_\mathfrak p\)-가군으로서 단사이다. 끝으로 \(E' \subset E\)를 영이 아닌 단사 \(R\)-부분가군이라 하자. 그러면 \(J = (R/\mathfrak p) \cap E'\)는 영이 아니다. \(E'\)를 줄여서 \(E'\)가 \(J\)의 단사 포락이라고 가정해도 된다(예를 들어 Lemma 08Y4를 보라). \(R/\mathfrak p\)가 \(J\)의 본질적 확대임을 관찰하자. 이는 예를 들어 Lemma 08XM에서 따른다. 따라서 Lemma 08Y4의 (3)에 의해 \(E' \to E\)는 동형사상이다. 그러므로 \(E\)는 분해불가능이다.

보조정리

\(R\)을 Noether 환이라 하고 \(E\)를 분해불가능 단사 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(E\)가 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 단사 포락이 되게 하는 \(R\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p\)가 존재한다.

증명

\(\mathfrak p\)를 Lemma 08Y7에서 얻은 소아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p = (f_1, \ldots, f_r)\)라 쓰자. Lemma 08Y7에 의해 영이 아닌 원소 \(x \in \bigcap \Ker(f_i : E \to E)\)를 택할 수 있다. 그러면 \((R_\mathfrak p)x\)는 \(E\) 안에서 \(\kappa(\mathfrak p)\)와 동형인 가군이다. Lemma 08Y7에 의해 결론을 얻는다.

명제

\(R\)을 Noether 환이라 하자. 모든 단사 가군은 분해불가능 단사 가군들의 직합이다. 모든 분해불가능 단사 가군은 어떤 소아이디얼에서 잉여체의 단사 포락이다.

증명

두 번째 주장은 Lemma 08Y9이다. 첫 번째 주장을 위해 \(I\)를 단사 \(R\)-가군이라 하자. 초한 귀납법을 사용하여 각 순서수 \(\alpha\)에 대해, \(\beta < \alpha\)인 분해불가능 단사 \(R\)-가군들 \(E_{\beta + 1}\)의 직합인 \(I_\alpha \subset I\)를 구성한다. \(\alpha = 0\)이면 \(I_0 = 0\)으로 놓는다. \(I_\alpha\)가 구성된 순서수 \(\alpha\)가 주어졌다고 하자. 그러면 Lemma 08XV에 의해 \(I_\alpha\)는 단사 \(R\)-가군이다. 따라서 \(I \cong I_\alpha \oplus I'\)이다. \(I' = 0\)이면 끝난다. 그렇지 않으면 Algebra, Lemma 0587에 의해 \(I'\)는 연관 소아이디얼을 갖는다. 따라서 어떤 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 \(I'\)는 \(R/\mathfrak p\)의 한 복사본을 포함한다. 그러므로 Lemmas 08Y4와 08Y8에 의해 \(I'\)는 분해불가능 부분가군 \(E\)를 포함한다. 다음과 같이 놓는다. \(I_{\alpha + 1} = I_\alpha \oplus E_\alpha\). \(\alpha\)가 극한 순서수이고 모든 \(\beta < \alpha\)에 대해 \(I_\beta\)가 구성되었다면 \(I_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} I_\beta\)로 놓는다. \(I_\alpha = \bigoplus_{\beta < \alpha} E_{\beta + 1}\)임을 관찰하자. 이로써 증명이 끝난다.

Artin 국소환 위의 쌍대성

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Artin 국소환이라 하자. 이때 \(R\)은 Noether 환이고 \(R\)은 \(R\)-가군으로서 유한 길이를 가짐을 상기하자. 또한 \(R\)-가군이 유한일 필요충분조건은 유한 길이를 갖는 것이다. 이 절에서는 이 사실들을 더 언급하지 않고 사용한다. 자세한 내용은 Algebra, Sections 00IU와 00J4, 그리고 Algebra, Proposition 00KJ을 보라.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Artin 국소환이라 하고 \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 모든 유한 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 \[\text{length}_R(M) = \text{length}_R(\Hom_R(M, E))\] 이다. 특히 \(\kappa\)의 단사 포락 \(E\)는 유한 \(R\)-가군이다.

증명

\(E\)가 \(\kappa\)의 본질적 확대이므로 \(\kappa = E[\mathfrak m]\)이다. 여기서 \(E[\mathfrak m]\)은 \(E\)의 \(\mathfrak m\)-꼬임이다 (표기는 More on Algebra, Section 0ALX과 같다). 따라서 \(\Hom_R(\kappa, E) \cong \kappa\)이고 \(M = \kappa\)일 때 길이의 등식이 성립한다. \(M\)의 길이에 대한 귀납법으로 보조정리의 표시된 등식을 증명하자. \(M\)이 영이 아니면 핵이 \(M'\)인 전사 \(M \to \kappa\)가 존재한다. 함자 \(M \mapsto \Hom_R(M, E)\)가 완전하므로 짧은 완전열 \[0 \to \Hom_R(\kappa, E) \to \Hom_R(M, E) \to \Hom_R(M', E) \to 0.\] 을 얻는다. 이 완전열과 \(0 \to M' \to M \to \kappa \to 0\)에서의 길이의 가법성, 그리고 \(M'\)에 대한 등식(귀납 가정)과 \(\kappa\)에 대한 등식으로부터 \(M\)에 대한 등식이 따른다. 보조정리의 마지막 주장은 \(E = \Hom_R(R, E)\)에서 따른다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Artin 국소환이라 하고 \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 임의의 유한 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 평가 사상 \[M \longrightarrow \Hom_R(\Hom_R(M, E), E)\] 은 동형사상이다. 특히 \(R = \Hom_R(E, E)\)이다.

증명

표시된 화살표가 단사임을 관찰하자. 실제로 \(x \in M\)이 영이 아닌 원소이면, 그 원소에서 영이 아닌 사상 \(Rx \to \kappa\)가 존재하고 이를 \(x\)에서 영이 되지 않는 사상 \(\varphi : M \to E\)로 확장할 수 있다. Lemma 08YX에 의해 화살표의 정의역과 공역의 길이가 같으므로 이는 동형사상이다. 마지막 주장은 \(M = R\)로 놓으면 따른다.

다음 보조정리를 진술하기 위해, 환 \(R\) 위의 유한 \(R\)-가군의 범주를 \(\text{Mod}^{fg}_R\)로 나타내자.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Artin 국소환이라 하고 \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 함자 \(D(-) = \Hom_R(-, E)\)는 완전 반동치 \(\text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}^{fg}_R\)를 유도하며 \(D \circ D \cong \text{id}\)이다.

증명

Lemma 08YY에서 \(\text{Mod}^{fg}_R\) 위에서 \(D \circ D = \text{id}\)임을 보았다. 따라서 \(D\)가 반동치임은 즉시 따른다.

보조정리

가정과 표기는 Lemma 08YZ와 같다고 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하고 \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \[D(M[I]) = D(M)/ID(M) \quad\text{and}\quad D(M/IM) = D(M)[I]\] 이다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_t)\)라 하자. 여핵이 \(M/IM\)인 사상 \[M^{\oplus t} \xrightarrow{f_1, \ldots, f_t} M\] 을 생각하자. 완전 함자 \(D\)를 적용하면 \(D(M/IM)\)이 \(D(M)[I]\)임을 얻는다. 다른 경우도 같은 방식으로 증명된다.

잉여체의 단사 포락

이 절의 결과 대부분은 Noether 국소환에 관한 것이다.

보조정리

핵이 \(I\)인 국소환의 전사 준동형 \(R \to S\)가 주어졌다고 하자. \(E\)를 \(R\) 위에서 본 \(R\)의 잉여체의 단사 포락이라 하자. 그러면 \(E[I]\)는 \(S\) 위에서 본 \(S\)의 잉여체의 단사 포락이다.

증명

\(S = R/I\)이므로 \(E[I] = \Hom_R(S, E)\)임에 유의하자. 따라서 Lemma 08XR에 의해 \(E[I]\)는 단사 \(S\)-가군이다. \(E\)는 \(\kappa = R/\mathfrak m_R\)의 본질적 확대이므로 \(E[I]\) 역시 \(\kappa\)의 본질적 확대이다. 결과가 따른다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 국소환이라 하자. \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. \(M\)을 \(n = \dim_\kappa(M[\mathfrak m]) < \infty\)인 \(\mathfrak m\)-멱 영 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M\)은 \(E^{\oplus n}\)의 한 부분가군과 동형이다.

증명

\(E^{\oplus n}\)은 \(\kappa^{\oplus n} = M[\mathfrak m]\)의 단사 포락이다. 따라서 \(M[\mathfrak m]\) 위에서 단사인 \(R\)-가군 사상 \(M \to E^{\oplus n}\)이 존재한다. \(M\)이 \(\mathfrak m\)-멱 영이고 포함 \(M[\mathfrak m] \subset M\)이 본질적 확대이므로 (예를 들어 Lemma 08XM), \(M \to E^{\oplus n}\)의 핵은 영이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(R\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. \(E_n\)을 \(R/\mathfrak m^n\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 그러면 \(E = \bigcup E_n\)이고 \(E_n = E[\mathfrak m^n]\)이다.

증명

Lemma 08Z2에 의해 \(E_n = E[\mathfrak m^n]\)이다. 또한 \(\bigcup E_n = E[\mathfrak m^\infty]\)는 \(\kappa\)를 포함하는 단사 \(R\)-부분가군이므로 \(E = \bigcup E_n\)이다. Lemma 08XW를 보라.

다음 보조정리는 Noether 국소환의 잉여체의 단사 포락이 오직 그 완비화에만 의존함을 말해 준다.

보조정리

\(R/\mathfrak m_R \cong S/\mathfrak m_R S\)를 만족하는 Noether 국소환의 평탄 국소 준동형 \(R \to S\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(R\)의 잉여체의 단사 포락은 \(S\)의 잉여체의 단사 포락이다.

증명

전자로 나눈 몫이 체이므로 \(\mathfrak m_RS = \mathfrak m_S\)임에 유의하자. \(\kappa = R/\mathfrak m_R = S/\mathfrak m_S\)라 놓자. \(E_R\)을 \(R\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하고, \(E_S\)를 \(S\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. Lemma 08XQ에 의해 \(E_S\)는 단사 \(R\)-가군이다. 잉여체의 동일시를 연장하는 사상 \(E_R \to E_S\)를 택하자. 모든 \(n\)에 대해 \(R \to S\)가 동형 \(R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\)을 유도하므로, Lemma 08Z4에 의해 이 사상은 동형이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(R\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 그러면 \(\Hom_R(E, E)\)는 \(R\)의 완비화와 표준적으로 동형이다.

증명

Lemma 08Z4에서처럼 \(E_n = E[\mathfrak m^n]\)인 \(E = \bigcup E_n\)으로 쓰자. \(E\)의 임의의 자기준동형은 이 여과를 보존한다. 따라서 \[\Hom_R(E, E) = \lim \Hom_R(E_n, E_n)\] 이다. Lemma 08YY에 의해 \(\Hom_R(E_n, E_n) = \Hom_{R/\mathfrak m^n}(E_n, E_n) = R/\mathfrak m^n\) 이므로 보조정리가 따른다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(R\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 그러면 \(E\)는 내림 사슬 조건을 만족한다.

증명

\(E \supset M_1 \supset M_2 \supset \ldots\)가 부분가군들의 열이라면 \[\Hom_R(E, E) \to \Hom_R(M_1, E) \to \Hom_R(M_2, E) \to \ldots\] 는 전사들의 열이다. Lemma 08Z6에 의해 이들 각각은 완비화 \(R^\wedge = \Hom_R(E, E)\) 위의 가군이다. \(R^\wedge\)는 Noether이므로 (Algebra, Lemma 0316), 이 열은 안정된다: \(\Hom_R(M_n, E) = \Hom_R(M_{n + 1}, E) = \ldots\). \(E\)가 단사이므로 이는 오직 \(\Hom_R(M_n/M_{n + 1}, E)\)가 영일 때만 가능하다. 그러나 \(M_n/M_{n + 1}\)이 영이 아니라면, Lemma 08Z4에 의해 \(E\)가 \(\mathfrak m\)-멱 영이므로 그 안에는 \(\mathfrak m\)에 의해 소멸되는 영이 아닌 원소가 존재한다. 이 경우 \(M_n/M_{n + 1}\)에서 \(E\)로 가는 영이 아닌 사상이 존재하여, 가정한 소멸과 모순이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자.

1. \(R\)-가군 \(M\)에 대하여 다음은 동치이다:

   1. \(M\)은 오름 사슬 조건을 만족한다,

   2. \(M\)은 유한 \(R\)-가군이다, 그리고

   3. 어떤 \(n, m\)과 완전열 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)이 존재한다.

2. \(R\)-가군 \(M\)에 대하여 다음은 동치이다:

   1. \(M\)은 내림 사슬 조건을 만족한다,

   2. \(M\)은 \(\mathfrak m\)-멱 영이고 \(\dim_\kappa(M[\mathfrak m]) < \infty\)이다, 그리고

   3. 어떤 \(n, m\)과 완전열 \(0 \to M \to E^{\oplus n} \to E^{\oplus m}\)이 존재한다.

증명

(1)의 증명은 생략한다.

\(M\)을 내림 사슬 조건을 만족하는 \(R\)-가군이라 하자. \(x \in M\)이라 하자. 그러면 \(\mathfrak m^n x\)는 부분가군들의 내림 사슬이므로 안정된다. 따라서 어떤 \(n\)에 대해 \(\mathfrak m^nx = \mathfrak m^{n + 1}x\)이다. Nakayama 보조정리 (Algebra, Lemma 00DV)에 의해 이는 \(\mathfrak m^n x = 0\), 즉 \(x\)가 \(\mathfrak m\)-멱 영임을 뜻한다. \(M[\mathfrak m]\)은 \(\kappa\) 위의 벡터 공간이므로, 내림 사슬 조건을 가지려면 유한 차원이어야 한다.

\(M\)이 \(\mathfrak m\)-멱 영이고 \(\mathfrak m\)-꼬임 부분가군 \(M[\mathfrak m]\)이 유한 차원이라고 하자. Lemma 08Z3에 의해 어떤 \(n\)에 대해 \(M\)은 \(E^{\oplus n}\)의 부분가군이다. 몫 \(N = E^{\oplus n}/M\)을 생각하자. Lemma 08Z7에 의해 \(E\)는 내림 사슬 조건을 만족하므로 \(E^{\oplus n}\)과 \(N\)도 그러하다. 따라서 \(N\)은 (2)(a)를 만족하고, 이는 증명의 둘째 문단에 의해 \(N\)이 (2)(b)를 만족함을 뜻한다. 그러므로 다시 Lemma 08Z3에 의해 어떤 \(m\)에 대해 \(N\)은 \(E^{\oplus m}\)의 부분가군이다. 따라서 짧은 완전열 \(0 \to M \to E^{\oplus n} \to E^{\oplus m}\) 을 얻는다.

짧은 완전열 \(0 \to M \to E^{\oplus n} \to E^{\oplus m}\) 이 주어졌다고 하자. Lemma 08Z7에 의해 \(E\)가 내림 사슬 조건을 만족하므로 \(M\)도 그러하다.

명제

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 완비 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(R\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 함자 \(D(-) = \Hom_R(-, E)\)는 반동치 \[\left\{ \begin{matrix} R\text{-modules with the} \\ \text{descending chain condition} \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} R\text{-modules with the} \\ \text{ascending chain condition} \end{matrix} \right\}\] 를 유도하며, 이 동치의 양쪽에서 \(D \circ D = \text{id}\)이다.

증명

Lemma 08Z6에 의해 \(R = \Hom_R(E, E) = D(E)\)이다. 물론 \(E = \Hom_R(R, E) = D(R)\)이다. \(E\)가 단사이므로 함자 \(D\)는 완전하다. 이제 Lemma 08Z8의 범주 기술에서 결과가 즉시 따른다.

주

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(R\) 위에서 본 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 다음은 Matlis 쌍대성의 보충이다. \(N\)이 \(\mathfrak m\)-멱 영 가군이고 \(M = \Hom_R(N, E)\)이 \(R\)의 완비화 위의 유한 가군이면, \(N\)은 내림 사슬 조건을 만족한다. 실제로 \(N'' \subset N' \subset N\)이고 \(N'' \not = N'\)인 임의의 부분가군들에 대하여 매장을 \(\kappa \subset N''/N'\) 찾을 수 있고, 따라서 \(N''\)을 소멸시키는 영이 아닌 사상 \(N' \to E\)를 찾을 수 있으며, 이를 \(N''\)을 소멸시키는 사상 \(N \to E\)로 연장할 수 있다. 그러므로 \(N \supset N' \mapsto M' = \Hom_R(N/N', E) \subset M\)은 \(N\)의 부분가군에서 \(M\)의 부분가군으로 가는 포함 보존 사상이며, 결론이 따른다.

꼬임 함자의 유도

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자 (\(I\)가 유한 생성이 아니라면 아마 다른 정의를 사용해야 할 것이다). \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)라 하자. \(I\)-멱 영 가군의 범주 \(I^\infty\text{-torsion}\)은 닫힌 부분집합 \(Z\)에만 의존하고 \(Z = V(I)\)를 만족하는 유한 생성 아이디얼 \(I\)의 선택에는 의존하지 않음을 상기하자. More on Algebra, Lemma 0953를 보라. 이 절에서는 함자 \[H^0_{I} : \text{Mod}_A \longrightarrow I^\infty\text{-torsion},\quad M \longmapsto M[I^\infty] = \bigcup M[I^n]\] 를 생각한다. 이 함자는 \(M\)을 그 \(I\)-멱 영 부분가군으로 보낸다.

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(I^\infty\text{-torsion}\)은 Grothendieck 아벨 범주이다 (직합이 존재하고, 여과 쌍극한이 완전하며, More on Algebra, Lemma 05E8에 의해 \(\bigoplus A/I^n\)이 생성자이다). 따라서 유도 범주 \(D(I^\infty\text{-torsion})\)이 존재한다. Injectives, Remark 079Q를 보라. 우리의 함자 \(H^0_I\)는 왼쪽 완전이며, 다음과 같이 나타낼 유도 연장을 가진다: \[R\Gamma_I : D(A) \longrightarrow D(I^\infty\text{-torsion}).\] 주의: 환 \(A\)가 Noether이 아니면 이 함자는 국소 코호몰로지라는 이름을 가질 만하지 않다. 함자들 \(H^0_I\), \(R\Gamma_I\)와 위성 함자 \(H^p_I\)는 닫힌 부분집합 \(Z \subset \Spec(A)\)에만 의존하고, \(V(I) = Z\)를 만족하는 유한 생성 아이디얼 \(I\)의 선택에는 의존하지 않는다. 그러나 위의 함자들에는 계속 아래첨자 \(I\)를 사용한다. 표기 \(R\Gamma_Z\)는 (0A6Q)에서 보듯 다른 함자에 사용할 것이기 때문이다. 이 다른 함자는 \(A\)가 Noether인 경우에만 (우리가 아는 한) \(R\Gamma_I\)와 일치한다 (Lemma 0955를 보라).

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 함자 \(R\Gamma_I\)는 함자 \(D(I^\infty\text{-torsion}) \to D(A)\)의 오른쪽 수반이다.

증명

이는 \(I\)-멱 영 부분가군을 취하는 함자가 포함 함자 \(I^\infty\text{-torsion} \to \text{Mod}_A\)의 오른쪽 수반이라는 사실에서 따른다. Derived Categories, Lemma 09T5를 보라.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(D(A)\)의 임의의 대상 \(K\)에 대하여 \[R\Gamma_I(K) = \text{hocolim}\ R\Hom_A(A/I^n, K)\] 가 \(D(A)\)에서 성립하고, 모든 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대하여 가군으로서 \[R^q\Gamma_I(K) = \colim_n \Ext_A^q(A/I^n, K)\] 가 성립한다.

증명

\(J^\bullet\)을 \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체라 하자. 그러면 \[R\Gamma_I(K) = J^\bullet[I^\infty] = \colim J^\bullet[I^n] = \colim \Hom_A(A/I^n, J^\bullet)\] 이다. 여기서 첫째 등식은 \(R\Gamma_I(K)\)의 정의이다. Derived Categories, Lemma 0949에 의해 보조정리의 첫째 표시 등식을 얻는다. 둘째 표시 등식은 \(H^q(\Hom_A(A/I^n, J^\bullet)) = \Ext^q_A(A/I^n, K)\)이고 아벨군의 범주에서 여과 쌍극한이 완전이므로 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(K^\bullet\)을 \(A\)-가군의 복합체라 하고, 어떤 \(f \in I\)에 대해 \(f : K^\bullet \to K^\bullet\)가 동형이라고 하자. 즉 \(K^\bullet\)은 \(A_f\)-가군의 복합체이다. 그러면 \(R\Gamma_I(K^\bullet) = 0\)이다.

증명

실제로 이 경우 \(R\Gamma_I(K^\bullet)\)의 코호몰로지 가군들은 모두 \(f\)-멱 영인 동시에 \(f\)가 자기동형으로 작용한다. 따라서 코호몰로지 가군들이 영이고, 그러므로 대상도 영이다.

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. More on Algebra, Lemma 0A6K에 의해 \(I\)-멱 영 가군의 범주는 모든 \(A\)-가군의 범주의 Serre 부분범주이다. 따라서 함자 [0A6N]\[\begin{equation} D(I^\infty\text{-torsion}) \longrightarrow D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \end{equation}\] 가 존재한다. 여기서 오른쪽은 코호몰로지들이 \(I\)-멱 영 가군인 \(D(A)\)의 충만 부분범주이다. 이 함자와 범주는 모두 Derived Categories, Section 06UP에서 논한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(M\)과 \(N\)을 \(I\)-멱 영 가군이라 하자.

1. \(\Hom_{D(A)}(M, N) = \Hom_{D({I^\infty\text{-torsion}})}(M, N)\),

2. \(\Ext^1_{D(A)}(M, N) = \Ext^1_{D({I^\infty\text{-torsion}})}(M, N)\),

3. \(\Ext^2_{D({I^\infty\text{-torsion}})}(M, N) \to \Ext^2_{D(A)}(M, N)\)는 일반적으로 전사가 아니다,

4. (0A6N)은 일반적으로 동치가 아니다.

증명

(1)과 (2)는 \(I\)-멱 영 가군들이 \(\text{Mod}_A\)의 Serre 부분범주를 이룬다는 사실에서 즉시 따른다. (4)는 (3)에서 따른다.

(3)을 위해 \(A\)가 다음 성질을 만족하는 원소 \(f \in A\)를 가진 환이라고 하자. \(A[f]\)에는 \(f\)에 의해 소멸되는 영이 아닌 원소 \(x\)가 있고, \(A\)에는 \(f^nx_n = x\)인 원소들 \(x_n\)이 있다. 그러한 환 \(A\)는 다음과 같이 취할 수 있으므로 존재한다: \[A = \mathbf{Z}[f, x, x_n]/(fx, f^nx_n - x)\] \(A\)가 주어졌을 때 \(I = (f)\)라 놓자. 그러면 완전열 \[0 \to A[f] \to A \xrightarrow{f} A \to A/fA \to 0\] 은 \(\Ext^2_A(A/fA, A[f])\)의 원소를 정의한다. 이 원소는 \(\Ext^2_{D(f^\infty\text{-torsion})}(A/fA, A[f])\)의 원소에서 오지 않는다고 주장한다. 실제로 그렇지 않다면 완전열 \[0 \to A[f] \to M \to N \to A/fA \to 0\] 이 존재하며, 여기서 \(M\)과 \(N\)은 같은 \(2\)-확장류를 정의하는 \(f\)-멱 영 가군이다. \(A \to A\)는 자유 가군의 복합체이고 두 \(2\)-확장류가 같으므로 사상 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A[f] \ar[r] \ar[d] & A \ar[r] \ar[d]_\varphi & A \ar[r] \ar[d]_\psi & A/fA \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A[f] \ar[r] & M \ar[r] & N \ar[r] & A/fA \ar[r] & 0 }\] 을 찾을 수 있다 (일부 세부사항은 생략한다). 그러면 \(M\)을 \(\varphi\)의 상으로, \(N\)을 \(\psi\)의 상으로 대체할 수 있다. 그때 \(M\)은 순환 가군이므로 어떤 \(n\)에 대해 \(f^n M = 0\)이다. \(\varphi(x_{n + 1})\)를 생각하면, \(A[f]\)에서 영이 아닌 \(f^{n + 1}x_n = x\)라는 사실과 모순을 얻는다.

국소 코호몰로지

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)라 놓자. 포함 함자의 오른쪽 수반인 함자 [0A6Q]\[\begin{equation} R\Gamma_Z : D(A) \longrightarrow D_{I^\infty\text{-torsion}}(A). \end{equation}\] 를 구성하겠다. 표기는 Section 0BJA를 보라. \(R\Gamma_Z(K)\)의 코호몰로지 가군들은 \(Z\)에 관한 \(K\)의 국소 코호몰로지 군이다. Lemma 0A6P에 의해 이 함자는 \(D(A)\)로 가는 함자로 보더라도 일반적으로 \(R\Gamma_I( - )\)와 같지 않다. Section 0BJD에서 \(A\)가 Noether이면 두 함자가 일치함을 보일 것이다.

국소 코호몰로지에 관한 논의는 국소 코호몰로지 장에서 계속한다. Local Cohomology, Section 0DWP을 보라. 예를 들어 그곳에서 \(R\Gamma_Z\)가 \(\Spec(A)\) 위의 연관 준연접 올 복합체에 대하여 \(Z\)에 지지된 코호몰로지를 계산함을 보일 것이다. Local Cohomology, Lemma 0A6T를 보라.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 포함 함자 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(A)\)의 오른쪽 수반 \(R\Gamma_Z\) (0A6Q)가 존재한다. 실제로 \(I\)가 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)로 생성되면, 함자적으로 \(K \in D(A)\)에 대하여 \[R\Gamma_Z(K) = (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \otimes_A^\mathbf{L} K\] 이다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)가 아이디얼이라고 하자. \(K^\bullet\)을 \(A\)-가군의 복합체라 하자. 확장된 Čech 복합체에서 \(A\)로 가는 표준 복합체 사상 \[(A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \longrightarrow A.\] 이 존재한다. \(K^\bullet\)과 텐서곱하고 연관 전체 복합체를 취하면, \(D(A)\)에서 사상 \[\text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right) \longrightarrow K^\bullet\] 을 얻는다. 왼쪽 복합체의 코호몰로지 가군들이 \(I\)-멱 영이라고 주장한다. 즉 좌변은 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)의 대상이다. 실제로 More on Algebra, Lemma 0913에 의해 \[(A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) = \colim K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\] 이다. 또한 More on Algebra, Lemma 0663에 의해 복합체 \(K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) 위에서 \(f_i^n\)을 곱하는 사상은 영 사상과 호모토픽이다. 다음 등식으로부터 주장을 얻는다: \[H^q\left( LHS \right) = \colim H^q(\text{Tot}(K^\bullet \otimes_A K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)))\] 한편 \(K^\bullet\)이 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)의 대상이면 복합체 \(K^\bullet \otimes_A A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\)의 코호몰로지는 소멸한다. 따라서 이 경우 사상 \(LHS \to K^\bullet\)은 \(D(A)\)에서 동형이다. 구성 \[R\Gamma_Z(K^\bullet) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] 은 \(K^\bullet\)에 대해 함자적이며 삼각 범주 사이의 완전 함자 \(D(A) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)를 정의한다. 위에서 주어진 자연변환 \(R\Gamma_Z \to \text{id}\)가 존재하고, 부분범주의 \(K^\bullet\) 위에서는 이 자연변환이 동형으로 평가된다는 사실에서 \(R\Gamma_Z\)가 원하는 오른쪽 수반임이 형식적으로 따른다.

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(J = IB\)라 놓고, \(Z = V(I)\) 및 \(Y = V(J)\)라 놓자. 그러면 \[R\Gamma_Z(M_A) = R\Gamma_Y(M)_A\] 가 \(M \in D(B)\)에 대해 함자적으로 성립한다. 여기서 \((-)_A\)는 제한 함자 \(D(B) \to D(A)\)와 \(D_{J^\infty\text{-torsion}}(B) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)를 나타낸다.

증명

이는 수반 함자의 유일성에서 따른다. 실제로 \(R\Gamma_Z((-)_A)\)와 \(R\Gamma_Y(-)_A\)는 모두 함자 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(B)\), \(K \mapsto K \otimes_A^\mathbf{L} B\)의 오른쪽 수반이다. 또는 Lemma 0A6R와 교대 Čech 복합체를 통한 \(R\Gamma_Z\) 및 \(R\Gamma_Y\)의 기술을 사용할 수 있다. 실제로 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)이면 \(J\)는 \(f_1, \ldots, f_r\)의 상들 \(g_1, \ldots, g_r \in B\)로 생성된다. 그러면 보조정리의 명제는 임의의 \(B\)-가군 \(M\)에 대한 표준 동형 \[\begin{align*} & M_A \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \\ & = M \otimes_B (B \to \prod\nolimits_{i_0} B_{g_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} B_{g_{i_0}g_{i_1}} \to \ldots \to B_{g_1\ldots g_r}) \end{align*}\] 의 존재에서 따른다.

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(J = IB\)라 놓자. \(Z = V(I)\) 및 \(Y = V(J)\)라 하자. 그러면 \[R\Gamma_Z(K) \otimes_A^\mathbf{L} B = R\Gamma_Y(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] 가 \(K \in D(A)\)에 대해 함자적으로 성립한다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)로 쓰자. 그러면 \(J\)는 \(f_1, \ldots, f_r\)의 상들 \(g_1, \ldots, g_r \in B\)로 생성된다. 이때 \(B\)-가군의 복합체로서 \[(A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \otimes_A B = (B \to \prod B_{g_{i_0}} \to \ldots \to B_{g_1\ldots g_r})\] 이다. \(K\)를 \(A\)-가군의 K-평탄 복합체 \(K^\bullet\)로 나타내자. 다음에 연관된 전체 복합체 \[K^\bullet \otimes_A (A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \otimes_A B\] 와 \[K^\bullet \otimes_A B \otimes_B (B \to \prod B_{g_{i_0}} \to \ldots \to B_{g_1\ldots g_r})\] 는 보조정리의 표시 공식의 좌변과 우변을 각각 나타내므로 (Lemma 0A6R를 보라), 결론이 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(K^\bullet\)을 \(A\)-가군의 복합체라 하고, 어떤 \(f \in I\)에 대해 \(f : K^\bullet \to K^\bullet\)가 동형이라고 하자. 즉 \(K^\bullet\)은 \(A_f\)-가군의 복합체이다. 그러면 \(R\Gamma_Z(K^\bullet) = 0\)이다.

증명

실제로 이 경우 \(R\Gamma_Z(K^\bullet)\)의 코호몰로지 가군들은 모두 \(f\)-멱 영인 동시에 \(f\)가 자기동형으로 작용한다. 따라서 코호몰로지 가군들이 영이고, 그러므로 대상도 영이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(K, L \in D(A)\)에 대하여 \[R\Gamma_Z(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_Z(L) = R\Gamma_Z(K) \otimes_A^\mathbf{L} L = R\Gamma_Z(K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_Z(L)\] 이다. \(K\) 또는 \(L\)이 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)에 속하면 \(K \otimes_A^\mathbf{L} L\)도 그러하다.

증명

Lemma 0A6R에 의해 어떤 \(C \in D(A)\)에 대해 \(R\Gamma_Z\)가 \(C \otimes^\mathbf{L} -\)로 주어짐을 안다. 따라서 일반적인 \(K, L \in D(A)\)에 대하여 \[R\Gamma_Z(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes^\mathbf{L} L \otimes_A^\mathbf{L} C = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_Z(L)\] 이다. 다른 등식들은 이 등식에서 형식적으로 따른다. 이는 보조정리의 마지막 명제도 함의한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I, J \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I)\) 및 \(Y = V(J)\)라 놓자. 그러면 \(Z \cap Y = V(I + J)\)이고, 함자로서 \(R\Gamma_Y \circ R\Gamma_Z = R\Gamma_{Y \cap Z}\)이다: \(D(A) \to D_{(I + J)^\infty\text{-torsion}}(A)\). \(K \in D^+(A)\)에 대해서는 Derived Categories, Lemma 015N에서와 같은 스펙트럼 열 \[E_2^{p, q} = H^p_Y(H^q_Z(K)) \Rightarrow H^{p + q}_{Y \cap Z}(K)\] 이 존재한다.

증명

엄밀히 말하면 \(R\Gamma_Y\)와 \(R\Gamma_Z\)를 합성할 수 없으므로 보조정리에는 약간의 표기 남용이 있다. 명제의 뜻은 단순히 \(R\Gamma_Z\)를 포함 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(A)\)과 합성한 다음 \(R\Gamma_Y\)와 합성한다는 것이다. 이때 등식 \(R\Gamma_Y \circ R\Gamma_Z = R\Gamma_{Y \cap Z}\)는 합성 \[D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(A) \xrightarrow{R\Gamma_Y} D_{(I + J)^\infty\text{-torsion}}(A)\] 이 포함 \(D_{(I + J)^\infty\text{-torsion}}(A) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)의 오른쪽 수반이라는 사실에서 따른다. 또는 Lemma 0A6R와, \(f_1, \ldots, f_r\) 및 \(g_1, \ldots, g_m\)에 대한 확장된 Čech 복합체들의 텐서곱이 \(f_1, \ldots, f_n. g_1, \ldots, g_m\)에 대한 확장된 Čech 복합체라는 사실을 사용하여 공식을 증명할 수 있다. 마지막 명제는 이 사실과 인용한 보조정리에서 따른다.

다음 보조정리는 꼬임 코호몰로지를 갖는 복합체에 대한 More on Algebra, Lemma 0925의 유사이다.

보조정리

\(A \to B\)를 평탄 환 사상이라 하고 \(I \subset A\)를 \(A/I = B/IB\)인 유한 생성 아이디얼이라 하자. 그러면 밑변환과 제한은 준역 동치 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) = D_{(IB)^\infty\text{-torsion}}(B)\)를 유도한다.

증명

구체적으로 두 함자는 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)의 \(K\)에 대한 \(K \mapsto K \otimes_A^\mathbf{L} B\)와, \(D_{(IB)^\infty\text{-torsion}}(B)\)의 \(M\)에 대한 \(M \mapsto M_A\)이다. 이것이 성립하는 이유는 \(H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} B) = H^i(K) \otimes_A B = H^i(K)\)이기 때문이다. 첫째 등식은 \(A \to B\)가 평탄이므로 성립하고, 둘째 등식은 More on Algebra, Lemma 05E9에 의해 성립한다.

다음 보조정리는 More on Algebra, Lemmas 05EC와 05EG에서 가군의 \(\Hom\) 및 \(\Ext^1\)에 대해 증명되었다.

보조정리

\(A \to B\)를 평탄 환 사상이라 하고 \(I \subset A\)를 \(A/I \to B/IB\)가 동형인 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(K \in D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) 및 \(L \in D(A)\)에 대하여 사상 \[R\Hom_A(K, L) \longrightarrow R\Hom_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\] 은 준동형이다. 특히 \(M\), \(N\)이 \(A\)-가군이고 \(M\)이 \(I\)-멱 영이면 표준 사상 \[\Ext^i_A(M, N) \longrightarrow \Ext^i_B(M \otimes_A B, N \otimes_A B)\] 은 모든 \(i\)에 대해 동형이다.

증명

\(Z = V(I) \subset \Spec(A)\) 및 \(Y = V(IB) \subset \Spec(B)\)라 하자. \(K\)의 코호몰로지 가군들이 \(I\)-멱 영이므로 표준 사상 \(R\Gamma_Z(L) \to L\)은 \(D(A)\)에서 동형 \[R\Hom_A(K, R\Gamma_Z(L)) \to R\Hom_A(K, L)\] 을 유도한다. 마찬가지로 \(K \otimes_A B\)의 코호몰로지 가군들은 \(IB\)-멱 영이며, \(D(B)\)에서 동형 \[R\Hom_B(K \otimes_A B, R\Gamma_Y(L \otimes_A B)) \to R\Hom_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\] 을 얻는다. Lemma 0ALZ에 의해 \(R\Gamma_Z(L) \otimes_A B = R\Gamma_Y(L \otimes_A B)\)이다. 따라서 사상 \[R\Hom_A(K, R\Gamma_Z(L)) \to R\Hom_B(K \otimes_A B, R\Gamma_Z(L) \otimes_A B)\] 이 준동형임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0AM0에서 따른다.

Noether 환의 국소 코호몰로지

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)라 놓자. (0A6N)이 함자 \[D(I^\infty\text{-torsion}) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\] 임을 상기하자. 실제로 함자들의 자연변환 [0A6U]\[\begin{equation} (\href{dualizing.html#dualizing-equation-compare-torsion}{0A6N}) \circ R\Gamma_I(-) \longrightarrow R\Gamma_Z(-) \end{equation}\] 이 존재한다. 실제로 \(A\)-가군의 복합체 \(K^\bullet\)이 주어졌을 때 \(D(A)\)에서의 표준 사상 \(R\Gamma_I(K^\bullet) \to K^\bullet\)은 \(R\Gamma_I(K^\bullet)\)의 코호몰로지 가군들이 \(I\)-멱 영이므로 \(R\Gamma_Z(K^\bullet)\)을 통해 유일하게 분해된다 (Lemma 0A6L를 보라). 일반적으로 이 사상은 동형이 아니다 (Lemma 0A6P에서 이를 보았다).

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자.

1. \(K \in D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)에 대해 수반 사상 \(R\Gamma_I(K) \to K\)는 동형이다,

2. 함자 (0A6N) \(D(I^\infty\text{-torsion}) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) 는 동치이다,

3. 함자들의 변환 (0A6U)은 동형이다. 달리 말하면 \(K \in D(A)\)에 대해 \(R\Gamma_I(K) = R\Gamma_Z(K)\)이다.

증명

생략하는 형식적 논증에 의해 (1)만 증명하면 충분하다.

\(M\)을 \(I\)-멱 영 \(A\)-가군이라 하자. 단사 \(A\)-가군으로의 매장 \(M \to J\)를 택하자. 그러면 Lemma 08XW에 의해 \(J[I^\infty]\)는 단사 \(A\)-가군이고, 매장 \(M \to J[I^\infty]\)를 얻는다. 따라서 모든 \(I\)-멱 영 가군은 각 \(J^n\) 역시 \(I\)-멱 영인 단사 분해 \(M \to J^\bullet\)을 갖는다. 그러므로 \(R\Gamma_I(M) = M\)이다 (이는 자명하지 않으며, \(A\)가 Noether이 아닐 때에는 일반적으로 참이 아니다). 다음으로 \(K \in D_{I^\infty\text{-torsion}}^+(A)\)라 하자. 그러면 스펙트럼 열 \[R^q\Gamma_I(H^p(K)) \Rightarrow R^{p + q}\Gamma_I(K)\] (Derived Categories, Lemma 015J)이 수렴하고, 위에서 \(q = 0\)인 항들만 영이 아님을 보았다. 따라서 \(R\Gamma_I(K) \to K\)가 동형임을 알 수 있다.

\(K\)가 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\)의 임의의 대상이라고 하자. Lemma 0954에 의해 \[R^q\Gamma_I(K) = \colim \Ext^q_A(A/I^n, K)\] 이다. \(I\)를 생성하는 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)를 택하자. \(K_n^\bullet = K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)을 차수 \(-r, \ldots, 0\)에 항을 갖는 Koszul 복합체라 하자. More on Algebra, Lemma 0921에 의해 \(D(A)\)에서 프로대상들 \(\{A/I^n\}\)과 \(\{K_n^\bullet\}\)이 같으므로 \[R^q\Gamma_I(K) = \colim \Ext^q_A(K_n^\bullet, K)\] 이다. \(K\)를 나타내는 임의의 \(A\)-가군 복합체 \(K^\bullet\)을 택하자. \(K_n^\bullet\)은 유한 자유 가군의 유한 복합체이므로 \[\Ext^q_A(K_n, K) = H^q(\text{Tot}((K_n^\bullet)^\vee \otimes_A K^\bullet))\] 이다. 여기서 \((K_n^\bullet)^\vee\)는 복합체 \(K_n^\bullet\)의 쌍대이다. More on Algebra, Lemma 0A66를 보라. \((K_n^\bullet)^\vee\)는 차수 \(0, \ldots, r\)에 놓인 유한 자유 \(A\)-가군의 복합체이므로, 복합체 \(\text{Tot}((K_n^\bullet)^\vee \otimes_A K^\bullet)\)와 \(\text{Tot}((K_n^\bullet)^\vee \otimes_A \tau_{\geq q - r - 2} K^\bullet)\)의 차수 \(q - 1\) 이상인 항들은 같다. 따라서 모든 \(n\)에 대해 \[\Ext^q_A(K_n, K) = \text{Ext}^q_A(K_n, \tau_{\geq q - r - 2}K)\] 이다. 그러므로 \[R^q\Gamma_I(K) = R^q\Gamma_I(\tau_{\geq q - r - 2}K) = H^q(\tau_{\geq q - r - 2}K) = H^q(K)\] 이다. 따라서 사상 \(R\Gamma_I(K) \to K\)는 동형이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)을 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)라 놓자. \(D(A)\)에서 표준 동형들 \[R\Gamma_I(A) \to (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \to R\Gamma_Z(A)\] 이 존재한다. \(M\)이 \(A\)-가군이면 마찬가지로 \(D(A)\)에서 \[R\Gamma_I(M) \cong (M \to \prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to M_{f_1\ldots f_r}) \cong R\Gamma_Z(M)\] 이다.

증명

이는 Lemma 0955과 Lemma 0A6R의 함자 \(R\Gamma_Z\) 계산에서 따른다.

보조정리

\(A \to B\)가 Noether 환들의 준동형이고 \(I \subset A\)가 아이디얼이면, \(D(B)\)에서 \[R\Gamma_I(A) \otimes_A^\mathbf{L} B = R\Gamma_Z(A) \otimes_A^\mathbf{L} B = R\Gamma_Y(B) = R\Gamma_{IB}(B)\] 이다. 여기서 \(Y = V(IB) \subset \Spec(B)\)이다.

증명

Lemmas 0956와 0ALZ를 결합하라.

깊이

이 절에서는 Algebra, Section 00LE에서 도입한 깊이의 개념을 다시 살펴본다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하고, \(M\)을 \(IM \not = M\)인 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 다음 정수들은 같다:

1. \(\text{depth}_I(M)\),

2. \(\Ext_A^i(A/I, M)\)이 영이 아닌 최소 정수 \(i\), 그리고

3. \(H^i_I(M)\)이 영이 아닌 최소 정수 \(i\).

또한 \(I\)의 어떤 멱에 의해 소멸되는 임의의 유한 \(A\)-가군 \(N\)에 대하여 \(i < \text{depth}_I(M)\)이면 \(\Ext^i_A(N, M) = 0\)이다.

증명

Algebra, Lemma 0AUJ에 의해 허용되는 \(\text{depth}_I(M)\)에 관한 귀납법으로 (1)과 (2)의 등식을 증명한다.

기초 단계. \(\text{depth}_I(M) = 0\)이면 \(I\)는 \(M\)의 연관 소아이디얼들의 합집합에 포함된다 (Algebra, Lemma 00LD). 소아이디얼 회피 (Algebra, Lemma 00DS)에 의해 어떤 연관 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 \(I \subset \mathfrak p\)이다. 따라서 \(\Hom_A(A/I, M)\)은 영이 아니다. 그러므로 이 경우 등식이 성립한다.

\(\text{depth}_I(M) > 0\)이라고 하자. \(M\) 위의 영인자가 아니고 \(\text{depth}_I(M/fM) = \text{depth}_I(M) - 1\)인 \(f \in I\)를 택하자. 짧은 완전열 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] 과 \(\Ext^*_A(A/I, -)\)에 대한 연관 긴 완전열을 생각하자. \(\Ext^i_A(A/I, M)\)은 유한 \(A/I\)-가군임에 유의하자 (Algebra, Lemmas 08YR와 00LV). 따라서 \[\Hom_A(A/I, M/fM) = \Ext^1_A(A/I, M)\] 과 짧은 완전열들 \[0 \to \Ext^i_A(A/I, M) \to \text{Ext}^i_A(A/I, M/fM) \to \Ext^{i + 1}_A(A/I, M) \to 0\] 을 얻는다. 이로부터 귀납적으로 (1)과 (2)의 등식이 따른다.

예를 들어 Algebra, Lemma 07DV에 의해 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\text{depth}_I(M) = \text{depth}_{I^n}(M)\)임에 유의하자. 따라서 (1)과 (2)의 등식에 의해 모든 \(n\) 및 \(i < \text{depth}_I(M)\)에 대해 \(\Ext^i_A(A/I^n, M) = 0\)이다. \(N\)을 \(I\)의 어떤 멱에 의해 소멸되는 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 어떤 \(n, m \geq 0\)에 대하여 짧은 완전열 \[0 \to N' \to (A/I^n)^{\oplus m} \to N \to 0\] 을 택할 수 있다. 이때 \(\Hom_A(N, M) \subset \Hom_A((A/I^n)^{\oplus m}, M)\) 이고 \(i < \text{depth}_I(M)\)에 대하여 \(\Ext^i_A(N, M) \subset \text{Ext}^{i - 1}_A(N', M)\) 이다. 따라서 간단한 귀납 논증으로 보조정리의 마지막 명제가 성립한다.

끝으로 (3)이 (1), (2)와 동치임을 보이자. Lemma 0954에 의해 \(H^p_I(M) = \colim \Ext^p_A(A/I^n, M)\)이다. 따라서 \(i < \text{depth}_I(M)\)이면 \(H^i_I(M) = 0\)이다. \(i = \text{depth}_I(M)\)일 때 \(\Ext_A^{i - 1}(I/I^n, M)\)의 소멸을 사용하면 사상 \(\Ext_A^i(A/I, M) \to H_I^i(M)\)이 단사임을 알 수 있고, 이는 올바른 차수에서의 비소멸을 증명한다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. 유한 \(A\)-가군의 짧은 완전열 \(0 \to N' \to N \to N'' \to 0\)이 주어졌다고 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자.

1. \(\text{depth}_I(N) \geq \min\{\text{depth}_I(N'), \text{depth}_I(N'')\}\)

2. \(\text{depth}_I(N'') \geq \min\{\text{depth}_I(N), \text{depth}_I(N') - 1\}\)

3. \(\text{depth}_I(N') \geq \min\{\text{depth}_I(N), \text{depth}_I(N'') + 1\}\)

증명

\(IN \not = N\), \(IN' \not = N'\), \(IN'' \not = N''\)이라고 하자. 그러면 Lemma 0AVZ에서 보듯 \(\Ext^i(A/I, N)\) 군을 이용한 깊이의 특성화를 사용할 수 있고, Algebra, Lemma 00LU의 긴 코호몰로지 완전열 \[\begin{matrix} 0 \to \Hom_A(A/I, N') \to \Hom_A(A/I, N) \to \Hom_A(A/I, N'') \\ \phantom{0\ } \to \Ext^1_A(A/I, N') \to \Ext^1_A(A/I, N) \to \Ext^1_A(A/I, N'') \to \ldots \end{matrix}\] 을 사용할 수 있다. \(IN = N\)인 경우에는 모든 \(i\)에 대해 \(\Ext^i_A(A/I, N) = 0\)이므로 이 논증이 역시 성립한다. \(IN' \not = N'\) 및/또는 \(IN'' \not = N''\)인 경우도 마찬가지이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하고, \(M\)을 \(IM \not = M\)인 유한 \(A\)-가군이라 하자.

1. \(x \in I\)가 \(M\) 위의 영인자가 아니면, \(\text{depth}_I(M/xM) = \text{depth}_I(M) - 1\)이다.

2. \(I\) 안의 임의의 \(M\)-정칙열 \(x_1, \ldots, x_r\)은 길이가 \(\text{depth}_I(M)\)인 \(I\) 안의 \(M\)-정칙열로 연장될 수 있다.

증명

(2)는 (1)의 형식적 귀결이다. \(x \in I\)가 (1)과 같다고 하자. 짧은 완전열 \(0 \to M \to M \to M/xM \to 0\)과 Lemma 0BUV에 의해 \(\text{depth}_I(M/xM) \geq \text{depth}_I(M) - 1\)이다. 한편 \(x_1, \ldots, x_r \in I\)가 \(M/xM\)에 대한 정칙열이면, \(x, x_1, \ldots, x_r\)은 \(M\)에 대한 정칙열이다. 따라서 (1)이 성립한다.

보조정리

\(R\)을 Noether 국소환이라 하자. \(M\)이 유한 Cohen–Macaulay \(R\)-가군이고 \(I \subset R\)이 자명하지 않은 아이디얼이면 \[\text{depth}_I(M) = \dim(\text{Supp}(M)) - \dim(\text{Supp}(M/IM)).\] 이다.

증명

이를 \(\text{depth}_I(M)\)에 관한 귀납법으로 증명한다.

\(\text{depth}_I(M) = 0\)이면 \(I\)는 \(M\)의 연관 소아이디얼 \(\mathfrak p\) 중 하나에 포함된다 (Algebra, Lemma 00LL). 그러면 \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M/IM)\)이므로 \(\dim(\text{Supp}(M/IM)) \geq \dim(R/\mathfrak p) = \dim(\text{Supp}(M))\) 이다. 여기서 등식은 Algebra, Lemma 0BUS에 의해 성립한다. 따라서 이 경우 보조정리가 성립한다.

\(\text{depth}_I(M) > 0\)이면 \(M\) 위의 영인자가 아닌 \(x \in I\)를 택한다. \((M/xM)/I(M/xM) = M/IM\)임에 유의하자. 한편 Lemma 0BUW에 의해 \(\text{depth}_I(M/xM) = \text{depth}_I(M) - 1\)이고, Algebra, Lemma 0B52에 의해 \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = \dim(\text{Supp}(M)) - 1\)이다. 따라서 귀납가정으로 결과가 따른다.

보조정리

\(R \to S\)를 Noether 국소환의 평탄 국소환 준동형이라 하자. \(\mathfrak m \subset R\)로 극대 아이디얼을 나타내자. \(I \subset S\)를 아이디얼이라 하자. \(S/\mathfrak mS\)가 Cohen–Macaulay이면 \[\text{depth}_I(S) \geq \dim(S/\mathfrak mS) - \dim(S/\mathfrak mS + I)\] 이다.

증명

Algebra, Lemma 00MG에 의해 \(S/\mathfrak mS\)에서 정칙열로 가는 \(S\)의 임의의 열은 \(S\)에서 정칙열이다. 따라서 \(R\)이 체인 경우만 증명하면 충분하다. 이는 Lemma 0BUX의 특수한 경우이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(M\)을 \(A\)-가군이라 하고 \(Z = V(I)\)라 하자. 그러면 \(H^0_I(M) = H^0_Z(M)\)이다. \(N\)을 이 공통값이라 하고 \(M' = M/N\)이라 놓자. 그러면

1. 모든 \(p > 0\)에 대해 \(H^0_I(M') = 0\)이고 \(H^p_I(M) = H^p_I(M')\)이며 \(H^p_I(N) = 0\)이다,

2. 모든 \(p > 0\)에 대해 \(H^0_Z(M') = 0\)이고 \(H^p_Z(M) = H^p_Z(M')\)이며 \(H^p_Z(N) = 0\)이다.

증명

정의에 의해 \(H^0_I(M) = M[I^\infty]\)은 \(I\)-멱 영이다. \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)이면 Lemma 0A6R에 의해 \[H^0_Z(M) = \Ker(M \longrightarrow M_{f_1} \times \ldots \times M_{f_r})\] 임을 알 수 있다. 따라서 \(H^0_I(M) \subset H^0_Z(M)\)이다. 역으로 \(x \in H^0_Z(M)\)이면 어떤 \(e_i \geq 1\)에 대해 그 원소는 \(f_i^{e_i}\)에 의해 소멸되므로 \(I\)의 어떤 멱에 의해 소멸된다. 이는 첫째 등식을 증명하며, 또한 \(N\)이 \(I\)-멱 영임을 보인다. Lemma 0A6L에 의해 \(R\Gamma_I(N) = N\)이고, Lemma 0A6R에 의해 \(R\Gamma_Z(N) = N\)이다. 이는 (1)과 (2)에서 \(H^p_I(N)\)과 \(H^p_Z(N)\)의 고차 소멸을 증명한다. 앞의 논의와 More on Algebra, Lemma 05EB에 의해 \(M'\)이 \(I\)-멱 영 원소를 갖지 않는다는 사실에서 \(H^0_I(M')\)과 \(H^0_Z(M')\)의 소멸이 따른다. \(M\)과 \(M'\)의 고차 코호몰로지가 같다는 것은 긴 코호몰로지 완전열에서 즉시 따른다.

꼬임 가군과 완비 가군

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 이 경우 \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\), 즉 \(I\)-멱 꼬임 코호몰로지 가군을 갖는 복합체들의 유도 범주 (Section 0952)와 유도 완비 복합체들의 유도 범주 \(D_{comp}(A, I)\) (More on Algebra, Section 091N)를 생각할 수 있다. 이 절에서는 이 범주들이 동치임을 보인다. 더 일반적인 명제는 [Dwyer-Greenlees]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(R\Gamma_Z\)를 Lemma 0A6R에서와 같이 두자. \({\ }^\wedge\)로 More on Algebra, Lemma 091V에서와 같은 유도 완비화를 나타내자. \(D(A)\)의 대상 \(K\)에 대하여 \[R\Gamma_Z(K^\wedge) = R\Gamma_Z(K) \quad\text{and}\quad (R\Gamma_Z(K))^\wedge = K^\wedge\] 가 \(D(A)\)에서 성립한다.

증명

\(I\)를 생성하는 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)를 택하자. More on Algebra, Lemma 091V에 의해 \[K^\wedge = R\Hom_A\left((A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \prod A_{f_{i_0i_1}} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r}), K\right)\] 임을 상기하자. 따라서 원뿔 \(C = \text{Cone}(K \to K^\wedge)\)는 \[R\Hom_A\left((\prod A_{f_{i_0}} \to \prod A_{f_{i_0i_1}} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r}), K\right)\] 로 주어진다. 이는 연속 몫이 \[R\Hom_A(A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}, K), \quad p > 0\] 과 동형인 유한 여과가 주어진 복합체로 표현될 수 있다. 이 복합체들은 \(R\Gamma_Z\)를 적용하면 영이 된다. Lemma 0A6S를 보라. 구별 삼각형 \(K \to K^\wedge \to C \to K[1]\)에 \(R\Gamma_Z\)를 적용하면 보조정리의 첫째 공식이 성립함을 알 수 있다.

Lemma 0A6R에 의해 \[R\Gamma_Z(K) = K \otimes^\mathbf{L} (A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \prod A_{f_{i_0i_1}} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r})\] 임을 상기하자. 따라서 원뿔 \(C = \text{Cone}(R\Gamma_Z(K) \to K)\)는 연속 몫이 \[K \otimes_A A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}, \quad p > 0\] 과 동형인 유한 여과가 주어진 복합체로 표현될 수 있다. 이 복합체들은 \({\ }^\wedge\)를 적용하면 영이 된다. More on Algebra, Lemma 0A6D를 보라. 구별 삼각형 \(R\Gamma_Z(K) \to K \to C \to R\Gamma_Z(K)[1]\)에 유도 완비화를 적용하면 보조정리의 둘째 공식이 성립함을 알 수 있다.

다음 결과는 삼각 범주의 허용 부분범주에 관한 매우 일반적인 현상의 특수한 경우이다.

명제

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 함자 \(R\Gamma_Z\)와 \({\ }^\wedge\)는 서로 준역인 범주의 동치 \[D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \leftrightarrow D_{comp}(A, I)\] 를 정의한다.

증명

Lemma 0A6W에서 즉시 따른다.

위 명제의 다음 부가 결과는 사상에 대한 대응을 더 정밀하게 만든다.

보조정리

Lemma 0A6W의 표기를 사용하자. \(D(A)\)의 대상 \(K, L\)에 대하여 \(D(A)\) 안의 표준적 동형 \[R\Hom_A(K^\wedge, L^\wedge) \longrightarrow R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), R\Gamma_Z(L))\] 이 있다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)라고 하자. \(C = (A \to \prod A_{f_i} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r})\)로 교대 Čech 복합체를 나타내자. 그러면 유도 완비화는 \(R\Hom_A(C, -)\)로 주어지고 (More on Algebra, Lemma 091V), 국소 코호몰로지는 \(C \otimes^\mathbf{L} -\)로 주어진다 (Lemma 0A6R). 동형 \[R\Hom_A(K \otimes^\mathbf{L} C, L \otimes^\mathbf{L} C) = R\Hom_A(K, R\Hom_A(C, L \otimes^\mathbf{L} C))\] (More on Algebra, Lemma 0A65)과 사상 \[L \to R\Hom_A(C, L \otimes^\mathbf{L} C)\] (More on Algebra, Lemma 0A6B)을 결합하여 사상 \[\gamma : R\Hom_A(K, L) \longrightarrow R\Hom_A(K \otimes^\mathbf{L} C, L \otimes^\mathbf{L} C)\] 을 얻는다. 한편 우변은 \[R\Hom_A(C, R\Hom_A(K, L \otimes^\mathbf{L} C)).\] 와 같으므로 유도 완비이다. 따라서 유도 완비화의 보편 성질에 의해 \(\gamma\)는 \(R\Hom_A(K, L)\)의 유도 완비화를 통하여 분해된다. 그러나 More on Algebra, Lemma 0A6E에 의해 유도 완비화는 \(R\Hom_A\)의 안으로 들어가므로 원하는 사상을 얻는다.

보조정리의 사상이 동형임을 보이기 위해 \(K\)와 \(L\)이 유도 완비라고, 즉 \(K = K^\wedge\)이고 \(L = L^\wedge\)라고 가정해도 된다. 이 경우 살펴보는 사상은 \[\gamma : R\Hom_A(K, L) \longrightarrow R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), R\Gamma_Z(L))\] 이다. Proposition 0A6X에 의해 좌변과 우변의 코호몰로지 군들이 일치함을 안다. 다시 말해 사상 \(\gamma\)가 \(D(A)\)의 사상 \(\alpha : K \to L\)을 사상 \(R\Gamma_Z(\alpha) : R\Gamma_Z(K) \to R\Gamma_Z(L)\)로 보냄을 확인하면 된다. 그 확인은 생략한다(힌트: \(R\Gamma_Z(\alpha)\)는 바로 사상 \(\alpha \otimes \text{id}_C : K \otimes^\mathbf{L} C \to L \otimes^\mathbf{L} C\)이며, 이는 More on Algebra, Lemma 0A6B에서의 사상 구성과 거의 같다).

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(I\)와 \(J\)를 그 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하고 \(Z =V(J)\)라 놓자. 국소 코호몰로지의 유도 \(I\)-진 완비화 \(R\Gamma_Z(M)^\wedge\)를 생각하자. 그러면

1. \(R\Gamma_Z(M)^\wedge = R\lim R\Gamma_Z(M/I^nM)\)이고,

2. 짧은 완전열 \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}_Z(M/I^nM) \to H^i(R\Gamma_Z(M)^\wedge) \to \lim H^i_Z(M/I^nM) \to 0\] 들이 있다.

특히 \(R\Gamma_Z(M)^\wedge\)의 음의 차수 코호몰로지는 영이다.

증명

\(J = (g_1, \ldots, g_m)\)이라고 하자. Lemma 0A6R에 의해 \(R\Gamma_Z(M)\)은 복합체 \[M \to \prod M_{g_{j_0}} \to \prod M_{g_{j_0}g_{j_1}} \to \ldots \to M_{g_1g_2\ldots g_m}\] 로 계산된다. More on Algebra, Lemma 0EEU에 의해 이 복합체의 유도 \(I\)-진 완비화는 통상적 완비화들의 복합체 \[\lim M/I^nM \to \prod \lim (M/I^nM)_{g_{j_0}} \to \ldots \to \lim (M/I^nM)_{g_1g_2\ldots g_m}\] 로 주어진다. 한편 \(R\Gamma_Z(M/I^nM)\)은 복합체 \(M/I^nM \to \prod (M/I^nM)_{g_{j_0}} \to \ldots \to (M/I^nM)_{g_1g_2\ldots g_m}\)로 계산되고, 이 복합체들 사이의 전이 사상들은 전사이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 091D에 의해 (1)이 성립한다. 이제 (2)는 More on Algebra, Lemma 0CQE에서 따른다.

보조정리

Lemma 0EEW의 표기와 가정을 사용하고, \(A\)가 \(I\)-진 완비라고 하자. 그러면 \[H^0(R\Gamma_Z(M)^\wedge) = \colim H^0_{V(J')}(M)\] 이다. 여기서 여과 쌍극한은 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)를 만족하는 \(J' \subset J\)에 걸쳐 취한다.

증명

\(M\)은 유한 \(A\)-가군이므로 그 가군 \(M\)은 \(I\)-진 완비이다. Lemma 0EEW의 증명에서 \[H^0(R\Gamma_Z(M)^\wedge) = \Ker(M^\wedge \to \prod M_{g_j}^\wedge) = \Ker(M \to \prod M_{g_j}^\wedge)\] 임을 알 수 있다. 여기서 우변에는 통상적 \(I\)-진 완비화를 사용한다. \(M_{g_j} \to M_{g_j}^\wedge\)의 핵 \(K_j\)는 \(\bigcap I^n M_{g_j}\)이다. Algebra, Lemma 00IQ에 의해 모든 \(\mathfrak p \in V(IA_{g_j})\)에 대하여 \(f \in A_{g_j}\), \(f \not \in \mathfrak p\)이며 \((K_j)_f = 0\)인 것을 찾을 수 있다.

\(s \in H^0(R\Gamma_Z(M)^\wedge)\)라 하자. 위 논의에 따라 \(s\)를 \(M\)의 원소로 생각할 수 있다. \(s\)의 지지집합 \(Z'\)와 \(D(g_j)\)의 교집합은 위 논의에 의해 \(D(g_j) \cap V(I)\)와 서로소이다. 따라서 \(Z'\)는 \(\Spec(A)\)의 닫힌 부분집합이고 \(Z' \cap V(I) \subset V(J)\)이다. 그러면 어떤 아이디얼 \(J' \subset J\)에 대해 \(Z' \cup V(J) = V(J')\)이고 \(V(J') \cap V(I) \subset V(J)\)이며 \(s \in H^0_{V(J')}(M)\)이다. 역으로 \(J' \subset J\)이고 \(V(J') \cap V(I) \subset V(J)\)인 경우, 모든 \(j\)에 대해 임의의 \(s \in H^0_{V(J')}(M)\)는 \(M_{g_j}^\wedge\)에서 영으로 간다. 이로써 보조정리가 증명된다.

환 사상에 대한 자명한 쌍대성

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. 함자 \[\Hom_A(B, -) : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto \Hom_A(B, M)\] 를 생각하자. 이 함자는 왼쪽 완전이고 유도 확장 \(R\Hom(B, -) : D(A) \to D(B)\)를 갖는다.

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. 위에서 구성한 함자 \(R\Hom(B, -)\)는 제한 함자 \(D(B) \to D(A)\)의 오른쪽 수반이다.

증명

Algebra, Lemma 08YP에 의해 제한과 \(\Hom_A(B, -)\)가 수반 함자라는 사실에서 따른다. Derived Categories, Lemma 09T5를 보라.

보조정리

\(A \to B \to C\)를 환 사상들이라 하자. 그러면 \(R\Hom(C, -) \circ R\Hom(B, -) : D(A) \to D(C)\)는 함자 \(R\Hom(C, -) : D(A) \to D(C)\)이다.

증명

오른쪽 수반의 유일성과 Lemma 0A70에서 따른다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 환 준동형이라 하자. \(D(A)\)의 \(K\)에 대하여 \[\varphi_*R\Hom(B, K) = R\Hom_A(B, K)\] 이다. 여기서 \(\varphi_* : D(B) \to D(A)\)는 제한이다. 특히 \(R^q\Hom(B, K) = \Ext_A^q(B, K)\)이다.

증명

\(K\)를 나타내는 K-단사 복합체 \(I^\bullet\)을 택하자. 그러면 \(R\Hom(B, K)\)는 \(B\)-가군의 복합체 \(\Hom_A(B, I^\bullet)\)로 나타난다. 이 복합체는 \(A\)-가군의 복합체로서 \(R\Hom_A(B, K)\)를 나타내므로 보조정리가 성립한다.

\(A\)를 Noether 환이라 하자. 코호몰로지 가군이 모두 유한 \(A\)-가군인 \(D(A)\)의 대상 \(K\)들로 이루어진 충만 부분범주를 \[D_{\textit{Coh}}(A) \subset D(A)\] 로 나타내기로 한다. \(A\)가 Noether 환이면 유한 \(A\)-가군의 부분범주가 \(\text{Mod}_A\)의 Serre 부분범주이므로 이는 Derived Categories, Section 06UP에 의해 잘 정의된다.

보조정리

위의 표기를 사용하고 \(A \to B\)가 Noether 환들의 유한 환 사상이라고 하자. 그러면 \(R\Hom(B, -)\)는 \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\)를 \(D^+_{\textit{Coh}}(B)\) 안으로 보낸다.

증명

\(K \in D^+(A)\)가 유한 코호몰로지 가군들을 가지면 복합체 \(R\Hom(B, K)\)도 유한 코호몰로지 가군들을 가짐을 보여야 한다. Ext 가군 \(\Ext^i_A(B, K)\)들이 유한 \(A\)-가군임을 보일 수 있다면, 이는 예를 들어 Lemma 0A71에서 따른다. \(K\)가 아래로 유계이므로 수렴하는 스펙트럼 열 \[\Ext^p_A(B, H^q(K)) \Rightarrow \text{Ext}^{p + q}_A(B, K)\] 이 있다. Algebra, Lemma 08YR에 의해 가군 \(\Ext^p_A(B, H^q(K))\)들이 유한이므로 증명이 끝난다.

주

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(B = A/I\)로 놓자. 이 경우 함자 \(\Hom_A(B, -)\)는 함자 \[\text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto M[I]\] 와 같다. 이 함자는 \(M\)을 \(I\)-꼬임 부분가군으로 보낸다.

설정

\(R \to A\)를 환 사상이라 하자. 이 장의 뒤에서 유용하게 쓰일 \(R\Hom(A, -)\)의 다른 구성을 제시하겠다. 구체적으로 \(R\) 위의 미분 등급 대수 \((E, d)\)와 준동형 \(E \to A\)가 주어졌다고 하자. 여기서 \(A\)는 미분이 영인 \(R\) 위의 미분 등급 대수로 본다. 그러면 가환 그림 \[\vcenter{ \xymatrix{ D(E, \text{d}) \ar[rd] & & D(A) \ar[ll] \ar[ld] \\ & D(R) } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ D(E, \text{d}) \ar[rr]_{- \otimes_E^\mathbf{L} A} & & D(A) \\ & D(R) \ar[lu]^{- \otimes_R^\mathbf{L} E} \ar[ru]_{- \otimes_R^\mathbf{L} A} } }\] 들이 있다. 여기서 수평 화살표들은 범주의 동치이다 (Differential Graded Algebra, Lemma 09S6). 첫째 그림이 가환함은 자명하다. 둘째 그림은 첫째 그림이 가환하고 우리 함자들이 그 왼쪽 수반이므로 가환한다 (Differential Graded Algebra, Example 0BYX). 또는 \(E \otimes^\mathbf{L}_E A = E \otimes_E A\)와 Differential Graded Algebra, Lemma 0BZ3을 사용해도 된다.

보조정리

Situation 0BZB에서 함자 \(R\Hom(A, -)\)는 \(R\Hom(E, -) : D(R) \to D(E, \text{d})\)와 동치 \(- \otimes^\mathbf{L}_E A : D(E, \text{d}) \to D(A)\)의 합성과 같다.

증명

\(R\Hom(E, -)\)가 \(- \otimes^\mathbf{L}_R E\)의 오른쪽 수반이기 때문이다. Differential Graded Algebra, Lemma 09LT를 보라. 따라서 이 함자는 사상 \(R \to A\)에 대한 함자 \(R\Hom(A, -)\)와 같은 역할을 한다(Lemma 0A70). 그러므로 이 함자들은 동치 \(- \otimes^\mathbf{L}_E A : D(E, \text{d}) \to D(A)\)를 통하여 대응해야 한다.

보조정리

Situation 0BZB에서 다음을 가정하자.

1. \(D(R)\)의 대상으로 본 \(E\)는 콤팩트이고,

2. \(N = \Hom^\bullet_R(E^\bullet, R)\)은 \(R\Hom(E, R)\)을 계산한다.

그러면 \(R\Hom(E, -) : D(R) \to D(E)\)는 \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} N\)과 동형이다.

증명

Differential Graded Algebra, Lemma 0BZ0의 특수한 경우이다.

보조정리

Situation 0BZB에서 \(A\)가 완전 \(R\)-가군이라고 하자. 그러면 \[R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\] 는 \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} M\)으로 주어진다. 여기서 \(M = R\Hom(A, R) \in D(A)\)이다.

증명

Divided Power Algebra, Lemma 0BZ9을 적용하여 \(R\) 위의 \(A\)의 Tate 해소 \((E, \text{d})\)를 택한다. \(E^i = 0\)이고 이는 \(i > 0\)일 때이며, \(E^0 = R[x_1, \ldots, x_n]\)은 다항식 대수이다. 또한 \(i < 0\)에 대해 \(E^i\)는 유한 자유 \(E^0\)-가군임에 유의하자. 따라서 \(R\)-가군의 복합체로 본 \(E\)는 자유 \(R\)-가군의 위로 유계인 복합체이다. Lemma 0BZD의 가정들을 확인하자. 첫째 가정은 \(A\)가 완전이므로 성립하고 (따라서 More on Algebra, Proposition 07LT에 의해 콤팩트이다), 둘째 가정은 More on Algebra, Lemma 0A66에 의해 성립한다. 이 보조정리에서 어떤 미분 등급 \(E\)-가군 \(N\)에 대하여 \(K \mapsto R\Hom(E, K)\)가 \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} N\)과 동형이라고 결론 내린다. \(D(A)\)에서 \[(R \otimes_R E) \otimes_E^\mathbf{L} A = R \otimes_E E \otimes_E A\] 임을 관찰하자. 따라서 Differential Graded Algebra, Lemma 0BZ5에 의해 \(- \otimes_R^\mathbf{L} N\)과 \(- \otimes_R^\mathbf{L} A\)의 합성은 어떤 \(M \in D(A)\)에 대하여 \(- \otimes_R M\) 꼴이라고 결론 내린다. 증명을 끝내기 위해 Lemma 0BZC를 적용한다.

보조정리

\(R \to A\)를 핵 \(I\)가 가역 \(R\)-가군인 전사 환 사상이라 하자. 함자 \(R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\)는 \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} N[-1]\)과 동형이다. 여기서 \(N\)은 가역 \(A\)-가군 \(I \otimes_R A\)의 역이다.

증명

\(A\)는 유한 사영 해소 \[0 \to I \to R \to A \to 0\] 를 가지므로 \(A\)는 완전 \(R\)-가군이다. Lemma 0BZE에 의해 \(R\Hom(A, R)\)이 \(D(A)\)에서 \(N[-1]\)로 나타남을 보이면 충분하다. 이는 \(R\Hom(A, R)\)이 유일한 영이 아닌 코호몰로지 가군, 즉 차수 \(1\)의 \(N\)을 가짐을 뜻한다. \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_R\)가 충실충만이므로 제한 함자 \(i_* : D(A) \to D(R)\)를 적용한 뒤 이를 증명하면 충분하다. Lemma 0A71에 의해 \[i_*R\Hom(A, R) = R\Hom_R(A, R)\] 이다. 위의 유한 사영 해소를 사용하면 뒤의 대상은 차수 \(0\)에 \(R\)을 둔 복합체 \(R \to I^{\otimes -1}\)로 나타난다. 사상 \(R \to I^{\otimes -1}\)는 단사이고 그 여핵은 \(N\)이다.

자명한 쌍대성의 밑변환

이 절에서는 환들의 코카르테시안 정사각형 \[\xymatrix{ A \ar[r]_\alpha & A' \\ R \ar[u]^\varphi \ar[r]^\rho & R' \ar[u]_{\varphi'} }\] 을 생각한다. 다시 말해 \(A' = A \otimes_R R'\)이다. \(A\)와 \(R'\)이 \(R\) 위에서 Tor 독립이면 표준적인 밑변환 사상 [0E29]\[\begin{equation} R\Hom(A, K) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow R\Hom(A', K \otimes_R^\mathbf{L} R') \end{equation}\] 이 있다. 이는 \(D(R)\)의 \(K\)에 함자적이며 \(D(A')\) 안의 사상이다. 실제로 Lemma 0A70의 수반성에 의해 이러한 화살표를 주는 것은 \[\varphi'_*\left(R\Hom(A, K) \otimes_A^\mathbf{L} A'\right) \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} R'\] 이라는 \(D(R')\) 안의 사상을 주는 것과 같다. 여기서 \(\varphi'_* : D(A') \to D(R')\)는 제한 함자이다. 좌변에 More on Algebra, Lemma 0661을 적용하면 이는 \[\varphi_*(R\Hom(A, K)) \otimes_R^\mathbf{L} R' \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} R'\] 이라는 \(D(R')\) 안의 사상을 주는 것과 같다. 여기서 \(\varphi_* : D(A) \to D(R)\)는 제한 함자이다. 이 사상으로 \(can \otimes^\mathbf{L} \text{id}_{R'}\)를 택할 수 있다. 여기서 \(can : \varphi_*(R\Hom(A, K)) \to K\)은 \(R\Hom(A, -)\)와 \(\varphi_*\) 사이 수반의 여단위원이다.

보조정리

위 상황에서 사상 (0E29)이 동형일 필요충분조건은 More on Algebra, Lemma 0BYN의 사상 \[R\Hom_R(A, K) \otimes_R^\mathbf{L} R' \longrightarrow R\Hom_R(A, K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] 이 동형인 것이다.

증명

그 사상이 동형임을 보이려면 \(\varphi'_*\)를 적용한 뒤 동형임을 보이면 충분하다. (0E29)에 함자 \(\varphi'_*\)를 적용하고 \(A' = A \otimes_R^\mathbf{L} R'\)임을 사용하면 More on Algebra, Equation (0E1X)의 유도 Hom에 대한 밑변환 사상 \(R\Hom_R(A, K) \otimes_R^\mathbf{L} R' \to R\Hom_{R'}(A \otimes_R^\mathbf{L} R', K \otimes_R^\mathbf{L} R')\) 을 얻는다. More on Algebra, Lemma 0A6A의 증명에서와 똑같이 좌변과 우변을 풀어 쓰고, 특히 More on Algebra, Lemma 0E1W을 사용하면 원하는 결과를 얻는다.

보조정리

\(R \to A\)와 \(R \to R'\)를 환 사상들이라 하고 \(A' = A \otimes_R R'\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 \(R\)-가군으로서 준코히런트이다.

2. \(R'\)은 \(R\)-가군으로서 유한 Tor 차원을 갖는다 (예를 들어 \(R \to R'\)가 평탄이다).

3. \(A\)와 \(R'\)은 \(R\) 위에서 Tor 독립이다.

그러면 모든 \(K \in D^+(R)\)에 대하여 (0E29)는 동형이다.

증명

Lemma 0E2A와 More on Algebra, Lemma 0ATK의 (4)에서 따른다.

보조정리

\(R \to A\)와 \(R \to R'\)를 환 사상들이라 하고 \(A' = A \otimes_R R'\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 \(R\)-가군으로서 완전이다.

2. \(A\)와 \(R'\)은 \(R\) 위에서 Tor 독립이다.

그러면 모든 \(K \in D(R)\)에 대하여 (0E29)는 동형이다.

증명

Lemma 0E2A와 More on Algebra, Lemma 0ATK의 (1)에서 따른다.

쌍대화 복합체

이 절에서는 Noether 환의 쌍대화 복합체를 정의한다.

정의

\(A\)를 Noether 환이라 하자. 쌍대화 복합체란 다음을 만족하는 \(A\)-가군의 복합체 \(\omega_A^\bullet\)이다.

1. \(\omega_A^\bullet\)은 유한 단사 차원을 갖는다.

2. 모든 \(i\)에 대하여 \(H^i(\omega_A^\bullet)\)는 유한 \(A\)-가군이다.

3. \(A \to R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\)는 준동형이다.

이 정의에 익숙해지는 데에는 시간이 걸린다. 아래 보조정리들 가운데 일부는 증명을 읽지 않고 직접 증명해 보는 것이 좋을 수 있다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(K, L \in D_{\textit{Coh}}(A)\)라 하고 \(L\)이 유한 단사 차원을 갖는다고 하자. 그러면 \(R\Hom_A(K, L)\)은 \(D_{\textit{Coh}}(A)\)에 속한다.

증명

정수 \(n\)을 택하고 구별 삼각형 \[\tau_{\leq n}K \to K \to \tau_{\geq n + 1}K \to \tau_{\leq n}K[1]\] 을 생각하자. Derived Categories, Remark 08J5를 보라. \(L\)이 유한 단사 차원을 가지므로 어떤 상수 \(c\)에 대해 \(R\Hom_A(\tau_{\geq n + 1}K, L)\)의 \(\geq c - n\) 차수 코호몰로지는 영이다. 따라서 \(i\)가 주어졌을 때 어떤 \(n \gg - i\)에 대하여 \(\Ext^i_A(K, L) \to \Ext^i_A(\tau_{\leq n}K, L)\)은 동형이다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0D0C을 \(\tau_{\leq n}K\)와 \(L\)에 적용하면 모든 \(i\)에 대해 \(\Ext^i_A(K, L)\)이 유한 \(A\)-가군이라고 결론 내린다. 따라서 \(R\Hom_A(K, L)\)은 실제로 \(D_{\textit{Coh}}(A)\)의 대상이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)이 쌍대화 복합체이면 함자 \[D : K \longmapsto R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\] 는 \(D_{\textit{Coh}}(A) \to D_{\textit{Coh}}(A)\)인 반동치이고, \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\)와 \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\)를 서로 바꾸며, 반동치 \(D^b_{\textit{Coh}}(A) \to D^b_{\textit{Coh}}(A)\)를 유도한다. 더욱이 \(D \circ D\)는 항등 함자와 동형이다.

증명

\(K\)를 \(D_{\textit{Coh}}(A)\)의 대상이라 하자. Lemma 0G4H에 의해 \(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\)은 \(D_{\textit{Coh}}(A)\)의 대상이다. More on Algebra, Lemma 0A69과 쌍대화 복합체에 대한 가정에 의해 표준적 동형 \[K = R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Hom_A(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet)\] 을 얻는다. 따라서 우리 함자는 준역을 가지며 증명이 끝난다.

\(R\)을 환이라 하자. \(D(R)\)의 대상 \(L\)이 유도 텐서곱으로 주어지는 \(D(R)\)의 대칭 모노이드 구조에 대한 가역 대상이면 이를 가역이라 함을 상기하자. More on Algebra, Lemma 0FNT에서 이는 다음을 뜻함을 보았다: \(L\)은 완전이고, \(L = \bigoplus H^n(L)[-n]\)이며, 이 합은 유한이고, 각 \(H^n(L)\)은 유한 사영이며, 어떤 정수 \(n_i\)에 대해 \(L \otimes_R R_{f_i} \cong R_{f_i}[-n_i]\)가 성립하는 열린 덮개 \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\)가 있다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(F : D^b_{\textit{Coh}}(A) \to D^b_{\textit{Coh}}(A)\)를 범주의 \(A\)-선형 동치라 하자. 그러면 \(F(A)\)는 \(D(A)\)의 가역 대상이다.

증명

\(\mathfrak m \subset A\)를 극대 아이디얼이라 하고 그 잉여체를 \(\kappa\)라 하자. 대상 \(F(\kappa)\)를 생각하자. \(\kappa = \Hom_{D(A)}(\kappa, \kappa)\)이므로 \(F(\kappa)\)의 모든 코호몰로지 군은 \(\mathfrak m\)에 의해 소멸된다. 또한 \[\Ext^i_A(\kappa, \kappa) = \text{Ext}^i_A(F(\kappa), F(\kappa)) = \Hom_{D(A)}(F(\kappa), F(\kappa)[i])\] 가 \(i < 0\)일 때 영임을 알 수 있다. \(H^a(F(\kappa)) \not = 0\)이고 \(H^b(F(\kappa)) \not = 0\)이라고 하자. 여기서 \(a\)는 최소이고 \(b\)는 최대이다 (특히 \(a \leq b\)이다). 그러면 \(D(A)\) 안에 영이 아닌 사상 \[F(\kappa) \to H^b(F(\kappa))[-b] \to H^a(F(\kappa))[-b] \to F(\kappa)[a - b]\] 이 있다(코호몰로지 위에 영이 아닌 사상을 유도하므로 영이 아니다). 이는 \(b = a\)임을 증명한다. 따라서 \(F(\kappa) = \kappa[-a]\)이다.

\(G\)를 우리 함자 \(F\)의 준역이라 하자. 위와 같이 논증하면 \(G(\kappa) = \kappa[-b]\)인 정수 \(b\)가 있다. 합성하면 \(a + b = 0\)을 얻는다. \(\mathfrak m\)의 어떤 멱에 의해 소멸되는 유한 \(A\)-가군 \(E\)를 택하자. \(E\)의 길이에 대한 귀납법으로 논증하면, \(\mathfrak m\)의 어떤 멱에 의해 소멸되는 어떤 유한 \(A\)-가군 \(E'\)에 대해 \(G(E) = E'[-b]\)임을 얻는다. 그러면 \(E[-a] = F(E')\)이다. 이제 군 \[\Ext^i_A(A, E') = \text{Ext}^i_A(F(A), F(E')) = \Hom_{D(A)}(F(A), E[-a + i])\] 을 생각하자. 좌변이 영이 아닐 필요충분조건은 \(i = 0\)이고, 그때 좌변은 \(E'\)이다. 이를 \(E = E' = \kappa\)에 적용하고 Nakayama 보조정리를 사용하면, \(H^j(F(A))_\mathfrak m\)은 \(j > a\)일 때 영이고 \(j = a\)일 때 \(1\)개의 원소로 생성됨을 알 수 있다. 한편 어떤 \(j < a\)에 대해 \(H^j(F(A))_\mathfrak m\)이 영이 아니면, 어떤 \(i < 0\)과 어떤 \(E\)에 대해 사상 \(F(A) \to E[-a + i]\)가 존재한다 (More on Algebra, Lemma 0A7D). 이는 모순이다. 따라서 어떤 \(1\)개의 원소로 생성된 \(A_\mathfrak m\)-가군 \(M\)에 대해 \(F(A)_\mathfrak m = M[-a]\)이다. 그러나 \[A_\mathfrak m = \Hom_{D(A)}(A, A)_\mathfrak m = \Hom_{D(A)}(F(A), F(A))_\mathfrak m = \Hom_{A_\mathfrak m}(M, M)\] 이므로 \(M \cong A_\mathfrak m\)이다. 따라서 어떤 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak m\)에 대해 \(F(A)_f\)는 \(A_f[-a]\)와 동형이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)과 \((\omega'_A)^\bullet\)이 쌍대화 복합체이면, 어떤 \(D(A)\)의 가역 대상 \(L\)에 대하여 \((\omega'_A)^\bullet\)은 \(\omega_A^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} L\)과 준동형이다.

증명

Lemmas 0A7C와 0A7E에 의해 함자 \(K \mapsto R\Hom_A(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet), (\omega_A')^\bullet)\)는 \(A\)를 가역 대상 \(L\)로 보낸다. 다시 말해 동형 \[L \longrightarrow R\Hom_A(\omega_A^\bullet, (\omega_A')^\bullet)\] 이 있다. \(L\)이 유한 Tor 차원을 가지므로 More on Algebra, Lemma 0A69을 적용하여 \[R\Hom_A(\omega_A^\bullet, (\omega'_A)^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Hom_A(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet), (\omega_A')^\bullet)\] 가 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)의 \(K\)에 대해 동형임을 알 수 있다. 특히 \(K = \omega_A^\bullet\)로 두면 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(B = S^{-1}A\)를 국소화라 하자. \(\omega_A^\bullet\)이 쌍대화 복합체이면 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 \(B\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

\(\omega_A^\bullet \to I^\bullet\)을 준동형이라 하자. 여기서 \(I^\bullet\)은 단사들의 유계 복합체이다. 그러면 \(S^{-1}I^\bullet\)은 \(B = S^{-1}A\)-가군인 단사들의 유계 복합체이고 (Lemma 0A6I), \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)를 나타낸다. 따라서 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 유한 단사 차원을 갖는다. \(A \to B\)의 평탄성에 의해 \(H^i(\omega_A^\bullet \otimes_A B) = H^i(\omega_A^\bullet) \otimes_A B\)이므로 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 유한 코호몰로지 가군들을 갖는다. 마지막으로 사상 \[B \longrightarrow R\Hom_A(\omega_A^\bullet \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B)\] 은 준동형이다. 이 경우 내부 Hom의 형성이 평탄 밑변환과 가환하기 때문이다. More on Algebra, Lemma 0A6A를 보라.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(f_1, \ldots, f_n \in A\)가 단위 아이디얼을 생성한다고 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 \(A\)-가군의 복합체라 하고, 모든 \(i\)에 대해 \((\omega_A^\bullet)_{f_i}\)가 \(A_{f_i}\)의 쌍대화 복합체라고 하자. 그러면 \(\omega_A^\bullet\)은 \(A\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

이중 복합체 \[\prod\nolimits_{i_0} (\omega_A^\bullet)_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} (\omega_A^\bullet)_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots\] 를 생각하자. 이에 연관된 전복합체는 \(\omega_A^\bullet\)과 준동형이다. 이는 예를 들어 Descent, Remark 023O이나 Derived Categories of Schemes, Lemma 08D2에서 따른다. 가정에 의해 복합체 \((\omega_A^\bullet)_{f_i}\)는 \(A_{f_i}\)-가군의 복합체로서 유한 단사 차원을 갖는다. 이는 모든 \(p > 0\)에 대해 각 복합체 \((\omega_A^\bullet)_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\)가 \(A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\) 위에서 유한 단사 차원을 가짐을 뜻한다. Lemma 0A6I를 보라. 다시 이는 모든 \(p > 0\)에 대해 각 복합체 \((\omega_A^\bullet)_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\)가 \(A\) 위에서 유한 단사 차원을 가짐을 뜻한다. Lemma 08XQ을 보라. 따라서 \(\omega_A^\bullet\)은 \(A\)-가군의 복합체로서 유한 단사 차원을 갖는다 (유한 단사 차원을 갖는 등급 조각들로 된 유한 여과가 주어진 복합체로 나타낼 수 있기 때문이다). 각 \(i\)에 대해 \(H^n(\omega_A^\bullet)_{f_i}\)가 유한 \(A_{f_i}\) 가군이므로 \(H^i(\omega_A^\bullet)\)는 유한 \(A\)-가군이다. Algebra, Lemma 00EO를 보라. 마지막으로 사상 \(A \to R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\)을 \(A_{f_i}\)로 (유도) 밑변환한 것은 More on Algebra, Lemma 0A6A에 의해 사상 \(A_{f_i} \to R\Hom_A((\omega_A^\bullet)_{f_i}, (\omega_A^\bullet)_{f_i})\)이다. 따라서 \(A \to R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\)가 동형임을 얻으며 증명이 끝난다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환들의 유한 환 사상이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\)은 \(B\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

\(\omega_A^\bullet \to I^\bullet\)을 준동형이라 하자. 여기서 \(I^\bullet\)은 단사들의 유계 복합체이다. 그러면 \(\Hom_A(B, I^\bullet)\)은 \(B\)-가군인 단사들의 유계 복합체이고 (Lemma 08XR), \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\)을 나타낸다. 따라서 \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\)은 유한 단사 차원을 갖는다. Lemma 0A72에 의해 이는 \(D_{\textit{Coh}}(B)\)의 대상이다. 마지막으로 다음과 같이 계산한다. \[\Hom_{D(B)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), R\Hom(B, \omega_A^\bullet)) = \Hom_{D(A)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet) = B\] 그리고 \(n \not = 0\)에 대해 다음과 같이 계산한다. \[\Hom_{D(B)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), R\Hom(B, \omega_A^\bullet)[n]) = \Hom_{D(A)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet[n]) = 0\] 이는 쌍대화 복합체의 마지막 성질을 증명한다. 표시된 식들에서 첫째 등식은 Lemma 0A70에 의해, 둘째 등식은 Lemma 0A7C에 의해 성립한다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환들의 전사 준동형이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\)은 \(B\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

Lemma 0AX0의 특수한 경우이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)이 쌍대화 복합체이면 \(\omega_A^\bullet \otimes_A A[x]\)는 \(A[x]\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

\(B = A[x]\)와 \(\omega_B^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A B\)로 놓자. Lemma 0A6J과 More on Algebra, Lemma 0A5V에 의해 \(\omega_B^\bullet\)은 유한 단사 차원을 갖는다. \(A \to B\)의 평탄성에 의해 \(H^i(\omega_B^\bullet) = H^i(\omega_A^\bullet) \otimes_A B\)이므로 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 유한 코호몰로지 가군들을 갖는다. 마지막으로 사상 \[B \longrightarrow R\Hom_B(\omega_B^\bullet, \omega_B^\bullet)\] 은 준동형이다. 이 경우 내부 Hom의 형성이 평탄 밑변환과 가환하기 때문이다. More on Algebra, Lemma 0A6A를 보라.

명제

쌍대화 복합체를 갖는 Noether 환 \(A\)를 택하자. 그러면 \(A\) 위에서 본질적으로 유한형인 임의의 \(A\)-대수는 쌍대화 복합체를 갖는다.

증명

Lemmas 0A7G, 0A7I, 0A7J을 결합하면 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. \(\mathfrak m \subset A\)를 극대 아이디얼이라 하고 \(\kappa = A/\mathfrak m\)로 놓자. 그러면 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet) \cong \kappa[n]\)이다.

증명

\(R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet)\)은 \(\kappa\) 위의 쌍대화 복합체이고 (Lemma 0A7I), \(\kappa\) 위의 쌍대화 복합체들은 이동까지 유일하며 (Lemma 0A7F), \(\kappa\) 자체가 \(\kappa\) 위의 쌍대화 복합체이기 때문이다.

국소환 위의 쌍대화 복합체

이 절에서 \((A, \mathfrak m, \kappa)\)는 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이고, Lemma 0A7L의 정수 \(n\)은 영이라고 하자. 더 정확히는 \(R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet) = \kappa[0]\)이라고 가정한다. 이 경우 쌍대화 복합체가 정규화되었다고 한다. 정규화된 쌍대화 복합체는 동형까지 유일하고, \(A\)의 다른 모든 쌍대화 복합체는 정규화된 복합체의 이동과 동형임에 유의하자 (Lemma 0A7F).

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa) \to (B, \mathfrak m', \kappa')\)를 Noether 국소환들의 유한 국소 사상이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(\omega_B^\bullet = R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\)은 \(B\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

증명

Lemma 0AX0에 의해 복합체 \(\omega_B^\bullet\)은 \(B\)의 쌍대화 복합체이다. Lemma 0A70에 의해 \[R\Hom_B(\kappa', \omega_B^\bullet) = R\Hom_B(\kappa', R\Hom(B, \omega_A^\bullet)) = R\Hom_A(\kappa', \omega_A^\bullet)\] 이다. \(\kappa'\)은 \(A\)-가군으로서 \(\kappa\)의 유한 직합과 동형이고 \(\omega_A^\bullet\)은 정규화되어 있으므로, 이 복합체의 코호몰로지는 차수 \(0\)에만 놓인다. 따라서 \(\omega_B^\bullet\)도 정규화된 쌍대화 복합체이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(A \to B\)가 전사라고 하자. 그러면 \(\omega_B^\bullet = R\Hom_A(B, \omega_A^\bullet)\)은 \(B\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

증명

Lemma 0AX1의 특수한 경우이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(F\)를 유한 길이 \(A\)-가군의 범주의 \(A\)-선형 자기동치라 하자. 그러면 \(F\)는 항등 함자와 동형이다.

증명

\(\kappa\)가 이 범주의 유일한 단순 대상이므로 \(F(\kappa) \cong \kappa\)이다. 우리 범주는 아벨 범주이므로 \(F\)는 완전이다. 따라서 모든 유한 길이 가군 \(E\)에 대해 \(F(E)\)는 \(E\)와 같은 길이를 갖는다. \(\Hom(E, \kappa) = \Hom(F(E), F(\kappa)) \cong \Hom(F(E), \kappa)\)이므로 Nakayama 보조정리에 의해 \(E\)와 \(F(E)\)는 같은 수의 생성원을 갖는다. 따라서 \(F(A/\mathfrak m^n)\)은 순환 \(A\)-가군이다. 생성원 \(e \in F(A/\mathfrak m^n)\)를 택하자. \(F\)가 \(A\)-선형이므로 \(\mathfrak m^n e = 0\)이다. 길이들이 같으므로 사상 \(A/\mathfrak m^n \to F(A/\mathfrak m^n)\)은 동형이어야 한다. 모든 \(n\)에 대해 생성원으로 가는 원소 \[e \in \lim F(A/\mathfrak m^n)\] 를 택하자(짧은 논증은 생략한다). 그러면 모든 \(A\)-가군 사상 \(A/\mathfrak m^n \to A/\mathfrak m^{n'}\)과 양립하는 동형들의 체계 \(A/\mathfrak m^n \to F(A/\mathfrak m^n)\)을 얻는다 (다시 \(F\)의 \(A\)-선형성에 의한다). 모든 유한 길이 가군은 순환 가군들의 직합 사이 사상의 여핵이므로 보조정리의 동형을 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 유한 길이 \(A\)-가군들을 달리는 \(N\)에 대해 함자적 동형 \[R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet) = \Hom_A(N, E)[0]\] 이 존재한다.

증명

\(N\)의 길이에 대한 귀납법으로 \(R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet)\)이 차수 \(0\)에 놓인 유한 길이 가군임을 알 수 있다. 따라서 \(R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)\)은 유한 길이 가군의 범주 위에 반동치를 유도한다. Proposition 08Z9에 의해 \(\Hom_A(-, E)\)에 대해서도 마찬가지이므로 \[N \longmapsto \Hom_A(R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet), E)\] 는 Lemma 0A7P에서와 같은 동치이다. 따라서 항등 함자와 동형이다. \(\Hom_A(-, E)\)를 두 번 적용한 것이 항등이므로 (Proposition 08Z9) 보조정리의 명제를 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하고 \(d = \dim(\text{Supp}(M))\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\)이 영이 아니면 \(i \in \{-d, \ldots, 0\}\)이다.

2. \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\)의 지지집합의 차원은 \(-i\) 이하이다.

3. \(\text{depth}(M)\)은 \(\Ext^{-\delta}_A(M, \omega_A^\bullet) \not = 0\)인 최소 정수 \(\delta \geq 0\)이다.

증명

\(d\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(d = 0\)이면 Lemma 0A7Q와 Matlis 쌍대성 (Proposition 08Z9)에서 따른다. 실제로 뒤의 결과는 \(M\)이 영이 아니면 \(\Hom_A(M, E)\)가 영이 아님을 보장한다.

지지집합의 차원이 \(< d\)인 가군들에 대해 결과가 성립하고, \(M\)의 깊이가 \(> 0\)이라고 하자. \(M\) 위의 영인자가 아닌 \(f \in \mathfrak m\)을 택하고 짧은 완전열 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] 을 생각하자. \(\dim(\text{Supp}(M/fM)) = d - 1\)이므로 (Algebra, Lemma 0B52) 귀납가정을 적용할 수 있다. \(E^i = \Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\)와 \(F^i = \Ext^i_A(M/fM, \omega_A^\bullet)\)로 놓으면 긴 완전열 \[\ldots \to F^i \to E^i \xrightarrow{f} E^i \to F^{i + 1} \to \ldots\] 을 얻는다. 귀납가정에 의해 \(i + 1 \not \in \{-\dim(\text{Supp}(M/fM)), \ldots, -\text{depth}(M/fM)\}\) 이면 \(E^i/fE^i = 0\)이다. Nakayama 보조정리 (Algebra, Lemma 00DV)와 Algebra, Lemma 090R에 의해 \(i \not \in \{-\dim(\text{Supp}(M)), \ldots, -\text{depth}(M)\}\)이면 \(E^i = 0\)이라고 결론 내린다. 또한 경계의 경우 \(i = - \text{depth}(M)\)에는 귀납가정에 의해 \(F^{i + 1}\)이 영이 아니므로 \(E^i\)도 영이 아니다. \(E^i/fE^i \subset F^{i + 1}\)이므로 \[\dim(\text{Supp}(F^{i + 1})) \geq \dim(\text{Supp}(E^i/fE^i)) \geq \dim(\text{Supp}(E^i)) - 1\] 이고(위에서 사용한 보조정리를 보라), 차원 추정 (2)도 얻는다.

\(M\)의 깊이가 \(0\)이고 \(d > 0\)이면 \(N = M[\mathfrak m^\infty]\)로 놓고 \(M' = M/N\)으로 놓는다 (Lemma 0AW0와 비교하라). 그러면 \(M'\)의 깊이는 \(> 0\)이고 \(\dim(\text{Supp}(M')) = d\)이다. 따라서 \(M'\)에 대한 결과를 알고 있으며, \(R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet) = \Hom_A(N, E)\)이므로 (Lemma 0A7Q) \(\Ext\)들의 긴 코호몰로지 완전열에서 \(M\)에 대한 결과가 따른다.

주

\((A, \mathfrak m)\)와 \(\omega_A^\bullet\)을 Lemma 0A7U에서와 같이 두자. More on Algebra, Lemma 0A5T에 의해 \(\omega_A^\bullet\)은 \([-d, 0]\) 안에 단사 진폭을 갖는다. 그 보조정리의 (3)을 적용할 수 있기 때문이다. 특히 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해(유한일 필요는 없다) \(i \not \in \{-d, \ldots, 0\}\)이면 \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet) = 0\)이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하고, \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(M\)은 Cohen–Macaulay이다.

2. \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\)은 많아야 하나의 \(i\)에 대해 영이 아니다.

3. \(i \not = \dim(\text{Supp}(M))\)이면 \(\Ext^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)\)은 영이다.

깊이가 \(d\)인 유한 Cohen–Macaulay \(A\)-가군의 범주를 \(CM_d\)라 하자. 그러면 \(M \mapsto \Ext^{-d}_A(M, \omega_A^\bullet)\)은 \(CM_d\)의 반자기동치를 정의한다.

증명

Lemma 0A7U의 결과를 더 이상 언급하지 않고 사용하겠다. 유한 가군 \(M\)을 고정하자. \(M\)이 Cohen–Macaulay이면 \(\Ext^{-d}_A(M, \omega_A^\bullet)\)만 영이 아닐 수 있으므로 (1) \(\Rightarrow\) (3)이다. (3) \(\Rightarrow\) (2)는 즉시 성립한다. (2)를 가정하고 \(\delta = \text{depth}(M)\)일 때 영이 아닌 \(\Ext\)를 \(N = \Ext^{-\delta}_A(M, \omega_A^\bullet)\)이라 하자. 그러면 \[M[0] = R\Hom_A(R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet) = R\Hom_A(N[\delta], \omega_A^\bullet)\] 이므로(Lemma 0A7C) \(M = \Ext_A^{-\delta}(N, \omega_A^\bullet)\)이라고 결론 내린다. 따라서 \(\delta \geq \dim(\text{Supp}(M))\)이다. 그러나 \(\delta \leq \dim(\text{Supp}(M))\)도 알고 있으므로 (Algebra, Lemma 00LK) \(M\)은 Cohen–Macaulay라고 결론 내린다.

마지막 명제를 증명하려면 \(CM_d\)의 \(M\)에 대해 \(N = \Ext^{-d}_A(M, \omega_A^\bullet)\)이 \(CM_d\)에 속함을 보이면 충분하다. 위에서 \(M[0] = R\Hom_A(N[d], \omega_A^\bullet)\)임을 보았고, (1)과 (3)의 동치에 의해 원하는 결과가 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(\dim(A) = 0\)이면 \(\omega_A^\bullet \cong E[0]\)이다. 여기서 \(E\)는 잉여체의 단사 포락이다.

증명

Lemma 0A7Q에서 즉시 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체를 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(I \subset \mathfrak m\)를 유한 길이 아이디얼이라 하고 \(B = A/I\)로 놓자. 그러면 \(D(A)\) 안에 구별 삼각형 \[\omega_B^\bullet \to \omega_A^\bullet \to \Hom_A(I, E)[0] \to \omega_B^\bullet[1]\] 이 있다. 여기서 \(E\)는 \(\kappa\)의 단사 포락이고 \(\omega_B^\bullet\)은 \(B\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

증명

짧은 완전열 \(0 \to I \to A \to B \to 0\)과 Lemmas 0A7Q, 0A7N을 사용하라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(f \in \mathfrak m\)를 영인자가 아닌 원소라 하고 \(B = A/(f)\)로 놓자. 그러면 \(D(A)\) 안에 구별 삼각형 \[\omega_B^\bullet \to \omega_A^\bullet \to \omega_A^\bullet \to \omega_B^\bullet[1]\] 이 있다. 여기서 \(\omega_B^\bullet\)은 \(B\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

증명

짧은 완전열 \(0 \to A \to A \to B \to 0\)과 Lemma 0A7N을 사용하라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(\mathfrak p\)를 \(A\)의 극소 소아이디얼이라 하고 \(\dim(A/\mathfrak p) = e\)라 하자. 그러면 \(H^i(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\)가 영이 아닐 필요충분조건은 \(i = -e\)이다.

증명

\(A_\mathfrak p\)의 차원이 영이므로 \(\mathfrak p^nA_\mathfrak p\)가 영이 되는 정수 \(n > 0\)이 존재한다. \(B = A/\mathfrak p^n\)과 \(\omega_B^\bullet = R\Hom_A(B, \omega_A^\bullet)\)로 놓자. \(B_\mathfrak p = A_\mathfrak p\)이므로 \[(\omega_B^\bullet)_\mathfrak p = R\Hom_A(B, \omega_A^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} A_\mathfrak p = R\Hom_{A_\mathfrak p}(B_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p) = (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\] 이다. 둘째 등식은 More on Algebra, Lemma 0A6A에 의해 성립한다. Lemma 0A7N에 의해 \(A\)를 \(B\)로 바꾸어도 된다. 그렇게 바꾸면 \(\dim(A) = e\)이다. 그러면 Lemma 0A7U의 (1), (2)에 의해 \(H^i(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\)는 \(i = -e\)일 때만 영이 아닐 수 있다. 한편 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\)는 영이 아닌 환 \(A_\mathfrak p\)의 쌍대화 복합체이므로 (Lemma 0A7G) 남은 가군은 영이 아니어야 한다.

쌍대화 복합체와 차원 함수

국소적 상황에서 얻은 결과는 다음 귀결을 준다. 쌍대화 복합체를 갖는 Noether 환은 유한 차원의 보편적 catenary 환이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(\mathfrak p\)를 \(A\)의 극소 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(H^i(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\)는 정확히 하나의 \(i\)에 대해 영이 아니다.

증명

복합체 \(\omega_A^\bullet \otimes_A A_\mathfrak p\)는 \(A_\mathfrak p\)의 쌍대화 복합체이다 (Lemma 0A7G). \(\mathfrak p\)가 극소이므로 \(A_\mathfrak p\)의 차원은 영이다. 따라서 결과는 Lemma 0A7R에서 따른다.

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. Lemma 0A7L에 의해 함수 \[\delta = \delta_{\omega_A^\bullet} : \Spec(A) \longrightarrow \mathbf{Z}\] 를 다음과 같이 정의할 수 있다. 각 \(\mathfrak p\)를, Lemma 0A7L에서 \(A_\mathfrak p\) 위의 쌍대화 복합체 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) (Lemma 0A7G)와 잉여체 \(\kappa(\mathfrak p)\)에 대해 주어지는 정수로 보낸다. 정확히 말하면 \(\delta(\mathfrak p)\)를 \[(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)]\] 가 Noether 국소환 \(A_\mathfrak p\) 위의 정규화된 쌍대화 복합체가 되게 하는 유일한 정수로 정의한다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. \(A \to B\)를 전사 환 사상이라 하고, \(\omega_B^\bullet = R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\)을 Lemma 0A7I의 \(B\)에 대한 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \[\delta_{\omega_B^\bullet} = \delta_{\omega_A^\bullet}|_{\Spec(B)}\] 이다.

증명

함수들의 정의와 Lemma 0A7N에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. 위에서 정의한 함수 \(\delta = \delta_{\omega_A^\bullet}\)는 차원 함수이다 (Topology, Definition 02I9).

증명

\(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)를 즉시 특수화라 하자. \(\delta(\mathfrak p) = \delta(\mathfrak q) + 1\)임을 보여야 한다. \(A\)를 \(A/\mathfrak p\)로, 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 \(\omega_{A/\mathfrak p}^\bullet = R\Hom(A/\mathfrak p, \omega_A^\bullet)\)로, 소아이디얼 \(\mathfrak p\)를 \((0)\)으로, 소아이디얼 \(\mathfrak q\)를 \(\mathfrak q/\mathfrak p\)로 바꾸어도 된다. Lemma 0A7Y을 보라. 따라서 \(A\)가 정역이고, \(\mathfrak p = (0)\)이며, \(\mathfrak q\)가 높이 \(1\)인 소아이디얼이라고 가정해도 된다.

그러면 Lemma 0A7X에 의해 \(H^i(\omega_A^\bullet)_{(0)}\)은 정확히 하나의 \(i\), 이를 \(i_0\)라 하자, 에 대해 영이 아니다. 실제로 \((\omega_A^\bullet)_{(0)}[-\delta((0))]\)이 체 \(A_{(0)}\) 위의 정규화된 쌍대화 복합체이므로 \(i_0 = -\delta((0))\)이다.

한편 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)]\)는 \(A_\mathfrak q\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. Lemma 0A7V에 의해 \[H^e((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)])_{(0)} = H^{e - \delta(\mathfrak q)}(\omega_A^\bullet)_{(0)}\] 은 \(e = -\dim(A_\mathfrak q) = -1\)일 때만 영이 아님을 안다. 따라서 원하는 대로 \[-\delta((0)) = -1 - \delta(\mathfrak q)\] 을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 쌍대화 복합체를 갖는 Noether 환이라 하자. 그러면 \(A\)는 유한 차원의 보편적 catenary 환이다.

증명

Lemma 0A7Z에 의해 \(\Spec(A)\)는 차원 함수를 가지므로 catenary이다. Topology, Lemma 02IA를 보라. 따라서 \(A\)는 catenary이다. Algebra, Lemma 02IH를 보라. Proposition 0A7K에 의해 \(A\)는 보편적 catenary이다.

임의의 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)은 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 속하므로, Lemma 0A7X에 의해 극소 소아이디얼에서 함수 \(\delta_{\omega_A^\bullet}\)의 값들은 유계이다. 한편 잉여체가 \(\kappa\)인 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대해 \(i = -\delta(\mathfrak m)\)는 \(\Ext_A^i(\kappa, \omega_A^\bullet)\)이 영이 아니게 하는 유일한 정수이다 (Lemma 0A7L). \(\omega_A^\bullet\)은 유한 단사 차원을 가지므로 이 값들도 유계이다. \(A\)의 차원은, \(\mathfrak p \subset \mathfrak m\)이 각각 극소 소아이디얼과 극대 아이디얼로 이루어진 쌍을 달릴 때 \(\delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak m)\)의 최댓값이므로, \(\Spec(A)\)의 차원이 유계임을 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. \(d = \dim(A)\) 및 \(\omega_A = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\)로 놓자. 그러면

1. \(\omega_A\)의 지지집합은 \(\Spec(A)\)의 차원 \(d\)인 불가약 성분들의 합집합이다.

2. \(\omega_A\)는 \((S_2)\)를 만족한다. Algebra, Definition 031P를 보라.

증명

이하에서는 Lemma 0A7U를 따로 언급하지 않고 사용한다. Lemma 0A7V에 의해 \(\omega_A\)의 지지집합은 차원 \(d\)인 불가약 성분들을 포함한다. \(\mathfrak p \subset A\)를 소아이디얼이라 하자. Lemma 0A7Z에 의해 복합체 \((\omega_A^\bullet)_{\mathfrak p}[-\dim(A/\mathfrak p)]\)는 \(A_\mathfrak p\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. 따라서 \(\dim(A/\mathfrak p) + \dim(A_\mathfrak p) < d\)이면 \((\omega_A)_\mathfrak p = 0\)이다. 이로부터 \(\omega_A\)의 지지집합이 차원 \(d\)인 불가약 성분들의 합집합임을 얻는다. 실제로 \(A\)가 catenary이므로 이 합집합의 여집합은 정확히 \(\dim(A/\mathfrak p) + \dim(A_\mathfrak p) < d\)를 만족하는 \(A\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p\)들이다 (Lemma 0A80). 한편 \(\dim(A/\mathfrak p) + \dim(A_\mathfrak p) = d\)이면 \[(\omega_A)_\mathfrak p = H^{-\dim(A_\mathfrak p)}\left( (\omega_A^\bullet)_{\mathfrak p}[-\dim(A/\mathfrak p)] \right)\] 이다. 따라서 \(\omega_A\)가 \((S_2)\)를 가짐을 증명하려면 \(\omega_A\)의 깊이가 적어도 \(\min(\dim(A), 2)\)임을 보이면 충분하다. \(\dim(A)\)에 대한 귀납법으로 이를 증명한다. \(\dim(A) = 0\)인 경우는 자명하다.

\(\text{depth}(A) > 0\)이라고 하자. 영인자가 아닌 원소 \(f \in \mathfrak m\)를 택하고 \(B = A/fA\)로 놓자. 그러면 \(\dim(B) = \dim(A) - 1\)이므로 \(B\)에 귀납가정을 적용할 수 있다. Lemma 0A7T에 의해 \(f\)에 의한 곱셈은 \(\omega_A\) 위에서 단사이고 \(\omega_A/f\omega_A \subset \omega_B\)를 얻는다. 이는 \(\omega_A\)의 깊이가 적어도 \(1\)임을 보인다. \(\dim(A) > 1\)이면 \(\dim(B) > 0\)이고 \(\omega_B\)의 깊이는 \(> 0\)이다. 따라서 \(\omega_A\)의 깊이는 \(> 1\)이며, 이 경우 결론을 얻는다.

\(\dim(A) > 0\)이고 \(\text{depth}(A) = 0\)이라고 하자. \(I = A[\mathfrak m^\infty]\) 및 \(B = A/I\)로 놓자. 그러면 \(B\)의 깊이는 \(\geq 1\)이고, Lemma 0A7S에 의해 \(\omega_A = \omega_B\)이다. 위에서 \(\omega_B\)에 대한 결과를 증명했으므로 증명이 끝난다.

국소 쌍대성 정리

이 절의 주된 결과는 Grothendieck에 의한 것이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. \(Z = V(\mathfrak m) \subset \Spec(A)\)로 놓자. 그러면 \(E = R^0\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\)는 \(\kappa\)의 단사 포락이고 \(R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet) = E[0]\)이다.

증명

Lemma 0955에 의해 \(R\Gamma_{\mathfrak m} = R\Gamma_Z\)이다. 따라서 Lemma 0954에 의해 \[R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet) = R\Gamma_{\mathfrak m}(\omega_A^\bullet) = \text{hocolim}\ R\Hom_A(A/\mathfrak m^n, \omega_A^\bullet)\] 이다. \(E'\)을 잉여체의 단사 포락이라 하자. Lemma 0A7Q에 의해 전이 사상들과 양립하는 동형 \[R\Hom_A(A/\mathfrak m^n, \omega_A^\bullet) \cong \Hom_A(A/\mathfrak m^n, E')[0]\] 을 찾을 수 있다. Lemma 08Z4에 의해 \(E' = \bigcup E'[\mathfrak m^n] = \colim \Hom_A(A/\mathfrak m^n, E')\)이므로 \(E \cong E'\)이고 복합체 \(R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\)의 다른 모든 코호몰로지 가군은 영이라고 결론 내린다.

주

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. 위의 Lemma 0A82에 의해 \(R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\)는 차수 \(0\)에 놓인 잉여체의 단사 포락이다. 실제로 이는 단사 포락의 “구성” 또는 “실현”을 주는데, 그저 임의의 단사 포락을 택하는 것보다 조금 더 표준적이다. 즉 정규화된 쌍대화 복합체는 동형까지 유일하고 그 자기동형군은 \(A\)의 가역원군인 반면, \(\kappa\)의 단사 포락은 동형까지 유일하고 그 자기동형군은 \(\mathfrak m\)에 대한 \(A\)의 완비화 \(A^\wedge\)의 가역원군이다.

다음은 이 절의 주된 결과이다.

정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. \(E\)를 잉여체의 단사 포락이라 하자. \(Z = V(\mathfrak m) \subset \Spec(A)\)로 놓자. \({}^\wedge\)로 \(\mathfrak m\)에 대한 유도 완비화를 나타내자. 그러면 \(D(A)\)의 \(K\)에 대해 \[R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)^\wedge \cong R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), E[0])\] 이다.

증명

Lemma 0A82에 의해 \(E[0] \cong R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\)임에 유의하자. More on Algebra, Lemma 0A6E에 의해 좌변의 완비화를 안으로 옮길 수 있다. 따라서 \[R\Hom_A(K^\wedge, (\omega_A^\bullet)^\wedge) = R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet))\] 을 증명하면 된다. 이는 Proposition 0A6X에서 주어진 \(D_{comp}(A, \mathfrak m)\)와 \(D_{\mathfrak m^\infty\text{-torsion}}(A)\) 사이의 동치에서 따른다. 더 정확히는 Lemma 0A6Y의 특수한 경우이다.

다음은 위 정리의 특수한 경우이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. \(E\)를 잉여체의 단사 포락이라 하자. \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\)라 하자. 그러면 \[\Ext^{-i}_A(K, \omega_A^\bullet)^\wedge = \Hom_A(H^i_{\mathfrak m}(K), E)\] 이다. 여기서 \({}^\wedge\)는 \(\mathfrak m\)-진 완비화를 나타낸다.

증명

Lemma 0A7C에 의해 \(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\)은 \(D_{\textit{Coh}}(A)\)의 대상이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0A06에 의해 \(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\)의 유도 완비화의 코호몰로지 가군들은 통상적인 완비화 \(\Ext^i_A(K, \omega_A^\bullet)^\wedge\)와 같다. 한편 Lemma 0955에 의해 \(Z = V(\mathfrak m)\)에 대해 \(R\Gamma_{\mathfrak m} = R\Gamma_Z\)이다. 또한 함자 \(\Hom_A(-, E)\)는 완전이므로 코호몰로지를 통해 분해된다. 따라서 보조정리는 Theorem 0A84의 귀결이다.

쌍대화 가군

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)가 Noether 국소환이고 \(\omega_A^\bullet\)이 정규화된 쌍대화 복합체이면, Lemma 0AWE에서 설명한 가군 \(\omega_A = H^{-\dim(A)}(\omega_A^\bullet)\)을 \(A\)의 쌍대화 가군이라 한다. 이 가군은 \(A\)의 정준 가군이다. 일반적으로 Noether 국소환 \((A, \mathfrak m, \kappa)\)의 정준 가군은 다음을 만족하는 유한 \(A\)-가군 \(K\)로 정의하는 데 의견이 일치하는 듯하다. \[\Hom_A(K, E) \cong H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A)\] 여기서 \(E\)는 잉여체의 단사 포락이다. 쌍대화 가군이 정준인 것은 Lemma 0AAK에 의해 \[\Hom_A(H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A), E) = (\omega_A)^\wedge\] 이고, 따라서 \(\Hom_A(-, E)\)를 적용하면 \[\begin{align*} \Hom_A(\omega_A, E) & = \Hom_A((\omega_A)^\wedge, E) \\ & = \Hom_A(\Hom_A(H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A), E), E) \\ & = H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A) \end{align*}\] 을 얻기 때문이다. 첫째 등식은 \(E\)가 \(\mathfrak m\)-멱 영이기 때문이고, 둘째 등식은 위의 결과에 의하며, 셋째 등식은 Matlis 쌍대성 (Proposition 08Z9)에 의한다. 위에서 준 정준 가군의 정의가 유용한 까닭은 \(A\)가 쌍대화 복합체를 갖지 않는 경우에도 뜻이 통한다는 데 있다.

Cohen–Macaulay 환

Cohen–Macaulay 가군과 환은 Algebra, Sections 00N2 및 00N7에서 연구하였다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. 그러면 \(\text{depth}(A)\)는 \(H^{-\delta}(\omega_A^\bullet) \not = 0\)이 되게 하는 최소 정수 \(\delta \geq 0\)과 같다.

증명

Lemma 0A7U에서 즉시 따른다. 참임을 확인하는 두 가지 다른 방법은 다음과 같다.

첫째 방법. Nakayama 보조정리에 의해 \(\delta\)는 \(\Hom_A(H^{-\delta}(\omega_A^\bullet), \kappa) \not = 0\)이 되게 하는 최소 정수이다. 다시 말해 \(\Ext_A^{-\delta}(\omega_A^\bullet, \kappa)\)가 영이 아니게 하는 최소 정수이다. Lemma 0A7C과 \(\omega_A^\bullet\)이 정규화되었다는 사실을 사용하면, 이는 \(\Ext_A^\delta(\kappa, A)\)가 영이 아니게 하는 최소 정수와 같다. Algebra, Lemma 00LW에 의해 이는 \(A\)의 깊이와 같다.

둘째 방법. 국소 쌍대성 정리 (Lemma 0AAK의 형태)에 의해 \(\delta\)는 \(H^\delta_\mathfrak m(A)\)가 영이 아니게 하는 최소 정수이다. Lemma 0AVZ에 의해 이는 \(A\)의 깊이와 같다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)과 쌍대화 가군 \(\omega_A = H^{-\dim(A)}(\omega_A^\bullet)\)을 갖는 Noether 국소환이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(A\)는 Cohen–Macaulay이다.

2. \(\omega_A^\bullet\)은 하나의 차수에 집중되어 있다.

3. \(\omega_A^\bullet = \omega_A[\dim(A)]\)이다.

이 경우 \(\omega_A\)는 극대 Cohen–Macaulay 가군이다.

증명

Lemma 0B5A에서 즉시 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(\omega_A[0]\)이 쌍대화 복합체가 되게 하는 유한 \(A\)-가군 \(\omega_A\)가 존재하면 \(A\)는 Cohen–Macaulay이다.

증명

\(A\)를 한 소아이디얼에서의 국소화로 바꾸어도 된다 (Lemma 0A7G 및 Algebra, Definition 00NC). 이 경우 결과는 Lemma 0AWS에서 즉시 따른다.

보조정리

\(A\)를 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 Noether 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \[U = \{\mathfrak p \in \Spec(A) \mid M_\mathfrak p\text{ is Cohen-Macaulay}\}\] 는 \(\Spec(A)\)의 열린 부분집합이고, \(\text{Supp}(M)\)과의 교집합은 조밀하다.

증명

\(\mathfrak p\)가 \(\text{Supp}(M)\)의 일반점이면 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = \dim(M_\mathfrak p) = 0\)이고, 따라서 \(\mathfrak p \in U\)이다. 이는 조밀성을 증명한다. \(\mathfrak p \in U\)이면 Lemma 0B5A에 의해 \[R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet)_\mathfrak p = R\Hom_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p)\] 는 영이 아닌 코호몰로지 가군을 정확히 하나 가지며, 그 차수를 \(i_0\)라 하자. \(R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet)\)은 영이 아닌 코호몰로지 가군 \(H^i\)를 유한 개만 가지고 각각은 유한 \(A\)-가군이므로, \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)이고 \(i \not = i_0\)에 대해 \((H^i)_f = 0\)이 되는 원소를 찾을 수 있다. 그러면 \(R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet)_f\)는 영이 아닌 코호몰로지 가군을 정확히 하나 가지며, 방금 논증을 거꾸로 적용하여 \(D(f) \subset U\)를 얻는다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. \(A\)가 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가지면 \(\{\mathfrak p \in \Spec(A) \mid A_\mathfrak p\text{ is Cohen-Macaulay}\}\) 는 \(\Spec(A)\)의 조밀한 열린 부분집합이다.

증명

Lemma 0EHS과 정의들에서 즉시 따른다.

Gorenstein 환

지금까지 본 명시적인 쌍대화 복합체는 체 \(\kappa\)에 대해 \(\kappa\) 위의 \(\kappa\)뿐이다. Lemma 0A7L의 증명을 보라. Proposition 0A7K에 의해 이는 체 위의 임의의 유한형 대수가 쌍대화 복합체를 가짐을 뜻한다. 그러나 쌍대화 복합체를 갖지 않는 Noether (국소)환도 존재한다. 실제로 쌍대화 복합체를 갖는 환은 보편적 catenary임을 보았지만 (Lemma 0A80), catenary가 아닌 Noether 국소환의 예들도 존재한다. Examples, Section 02JE을 보라.

그럼에도 대수기하학에 등장하는 많은 환은 Gorenstein 환의 몫이라는 이유만으로 쌍대화 복합체를 갖는다. 이 조건은 사실 필요충분하다. 즉 Noether 환이 쌍대화 복합체를 가질 필요충분조건은 유한 차원 Gorenstein 환의 몫인 것이다. 이는 Sharp의 추측([Sharp])이며, 문헌에서는 [Kawasaki, Corollary 1.4]로 찾을 수 있다. 현재 주제로 돌아와 Gorenstein 환을 정의하자.

정의

Gorenstein 환.

1. \(A\)를 Noether 국소환이라 하자. \(A[0]\)이 \(A\)의 쌍대화 복합체이면 \(A\)를 Gorenstein이라 한다.

2. \(A\)를 Noether 환이라 하자. \(A\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 \(A_\mathfrak p\)가 Gorenstein이면 \(A\)를 Gorenstein이라 한다.

이 정의는 타당하다. 실제로 \(A[0]\)이 \(A\)의 쌍대화 복합체이면 Lemma 0A7G에 의해 \(S^{-1}A[0]\)은 \(S^{-1}A\)의 쌍대화 복합체이다. 유한 차원 Noether 환이 Gorenstein일 필요충분조건은 자기 자신 위의 가군으로서 유한 단사 차원을 갖는 것이다. Lemma 0HB2을 보라.

보조정리

Gorenstein 환은 Cohen–Macaulay이다.

증명

Lemma 0AWS에서 따른다.

정칙환은 Gorenstein 환의 한 예이다.

보조정리

정칙 국소환은 Gorenstein이다. 정칙환은 Gorenstein이다.

증명

\(A\)를 차원 \(d\)인 정칙환이라 하자. 그러면 \(A\)의 대역 차원은 \(d\)이다. Algebra, Lemma 00OE을 보라. 따라서 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \(\Ext^{d + 1}_A(M, A) = 0\)이다. Algebra, Lemma 065R를 보라. 그러므로 More on Algebra, Lemma 0A5T에 의해 \(A\)는 \(A\)-가군으로서 유한 단사 차원을 갖는다. 따라서 \(A[0]\)은 쌍대화 복합체이고, 정의 뒤의 주석에 의해 \(A\)는 Gorenstein이다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자.

1. \(A\)가 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가지면 다음이 성립한다.

   1. \(A\)가 Gorenstein이다 \(\Leftrightarrow\) \(\omega_A^\bullet\)은 \(D(A)\)의 가역 대상이다.

   2. \(A_\mathfrak p\)가 Gorenstein이다 \(\Leftrightarrow\) \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\)는 \(D(A_\mathfrak p)\)의 가역 대상이다.

   3. \(\{\mathfrak p \in \Spec(A) \mid A_\mathfrak p\text{ is Gorenstein}\}\)은 열린 부분집합이다.

2. \(A\)가 Gorenstein이면, \(A\)가 쌍대화 복합체를 가질 필요충분조건은 \(A[0]\)이 쌍대화 복합체인 것이다.

증명

\(D(A)\)의 가역 대상에 대해서는 More on Algebra, Lemma 0FNT와 Section 0A7A의 논의를 보라.

Lemma 0A7G에 의해 모든 \(\mathfrak p\)에 대해 복합체 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\)는 \(A_\mathfrak p\) 위의 쌍대화 복합체이다. 쌍대화 복합체의 정의와 유일성 (Lemma 0A7F)에 의해 (1)(b)를 얻는다.

(1)(c)를 보이기 위해 \(A_\mathfrak p\)가 Gorenstein이라고 하자. \(H^{n_{x}}((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p)\)가 영이 아니고 \(A_\mathfrak p\)와 동형이 되게 하는 유일한 정수를 \(n_x\)라 하자. \(\omega_A^\bullet\)은 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 속하므로 영이 아닌 유한 \(A\)-가군 \(H^i(\omega_A^\bullet)\)은 유한 개이다. 따라서 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)이고, \(H^{n_x}((\omega_A^\bullet)_f)\)만 영이 아니며 \(A_f\) 위에서 \(1\)개의 원소로 생성되게 하는 원소가 존재한다. 쌍대화 복합체는 충실하므로(정의에 의해) \(A_f \cong H^{n_x}((\omega_A^\bullet)_f)\)라고 결론 내린다. 이로부터 모든 \(\mathfrak q \in D(f)\)에 대해 \(A_\mathfrak q\)가 Gorenstein임을 알 수 있다. 이는 (1)(c)의 집합이 열려 있음을 증명한다.

(1)(a)의 증명. 함의 \(\Leftarrow\)는 (1)(b)에서 따른다. 함의 \(\Rightarrow\)는 앞 단락의 논의에서 따른다. 그곳에서 \(A_\mathfrak p\)가 Gorenstein이면 어떤 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 대해 복합체 \((\omega_A^\bullet)_f\)가 영이 아닌 코호몰로지 가군을 정확히 하나 가지며 그 가군이 가역임을 보였다.

\(A[0]\)이 쌍대화 복합체이면 (1)에 의해 \(A\)는 Gorenstein이다. 반대로 (1)에 의해 \(\omega_A^\bullet\)은 국소적으로 \(A\)의 이동과 동형이다. 쌍대화 복합체인 것은 국소적 성질이므로 (Lemma 0A7H) 결과는 명백하다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. 그러면 \(A\)가 Gorenstein일 필요충분조건은 \(i \gg 0\)에 대해 \(\Ext^i_A(\kappa, A)\)가 영인 것이다.

증명

\(A[0]\)이 \(A\)의 쌍대화 복합체일 필요충분조건은 \(A\)가 \(A\)-가군으로서 유한 단사 차원을 갖는 것임에 유의하자 (Definition 0A7B에서 즉시 따른다). 따라서 보조정리는 More on Algebra, Lemma 0AVJ에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(A\)는 자기 자신 위의 가군으로서 유한 단사 차원을 갖는다.

2. \(A\)는 Gorenstein이고 유한 차원이다.

이 경우 \(A[0]\)은 쌍대화 복합체이다.

증명

\(A\)가 \(A\) 위의 가군으로서 유한 단사 차원을 가지면 \(A[0]\)은 \(A\) 위의 쌍대화 복합체이다(Definition 0A7B을 보라). Lemma 0A80에 의해 \(A\)가 유한 차원이고, Lemma 0DW9에 의해 Gorenstein이라고 결론 내린다. \(A\)가 Gorenstein이고 \(\dim(A) \leq d < \infty\)라고 하자. \(I \subset A\)를 임의의 아이디얼이라 하자. \(i > d\)에 대해 \(\Ext^i_A(A/I, A) = 0\)이라고 주장한다. More on Algebra, Lemma 0A5T에 의해 이는 \(A\)가 자기 자신 위의 가군으로서 유한 단사 차원을 가짐을 증명한다. \(\Ext\) 군을 만드는 것은 국소화와 가환한다. 예를 들어 More on Algebra, Lemma 0A6A을 보라. 따라서 소멸을 증명하기 위해 \(A\)가 차원 \(e < d\)인 국소환이라고 가정해도 된다. \(A\)가 Gorenstein이므로 \(\omega_A^\bullet = A[e]\)는 정규화된 쌍대화 복합체이다. 이제 주장한 소멸은 예를 들어 Lemma 0A7U에서 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 Noether 국소환이라 하자. \(f \in \mathfrak m\)를 영인자가 아닌 원소라 하고 \(B = A/(f)\)로 놓자. 그러면 \(A\)가 Gorenstein일 필요충분조건은 \(B\)가 Gorenstein인 것이다.

증명

\(A\)가 Gorenstein이면 Lemma 0A7T에 의해 \(B\)도 Gorenstein이다. 반대로 \(B\)가 Gorenstein이라고 하자. 그러면 \(i \gg 0\)에 대해 \(\Ext^i_B(\kappa, B)\)는 영이다 (Lemma 0BJI). \(R\Hom(B, -) : D(A) \to D(B)\)가 제한의 오른쪽 수반임을 상기하자 (Lemma 0A70). 따라서 \[R\Hom_A(\kappa, A) = R\Hom_B(\kappa, R\Hom(B, A)) = R\Hom_B(\kappa, B[1])\] 이다. 마지막 등식은 직접 계산하거나 Lemma 0BZH을 적용하여 얻는다. 따라서 \(i \gg 0\)에 대해 \(\Ext^i_A(\kappa, A)\)가 영이고, \(A\)는 Gorenstein이다(Lemma 0BJI).

보조정리

\(A \to B\)가 환들의 국소 완전교차 준동형이고 \(A\)가 Noether Gorenstein 환이면 \(B\)는 Gorenstein 환이다.

증명

More on Algebra, Definition 07D0에 의해 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(I\)는 Koszul-정칙 아이디얼이다. Gorenstein 환 \(A\) 위의 다항식환은 Gorenstein이다. 실제로 \(A\)가 국소라고 환원한 뒤 Lemmas 0A7J 및 0DW9을 사용한다. Koszul-정칙 아이디얼은 정의에 의해 국소적으로 Koszul-정칙열로 생성된다. More on Algebra, Section 07CU를 보라. \(A[x_1, \ldots, x_n]\)의 국소환들을 살펴보면 다음을 보이면 충분하다. \(R\)이 Noether 국소 Gorenstein 환이고 \(f_1, \ldots, f_c \in \mathfrak m_R\)가 Koszul 정칙열이면 \(R/(f_1, \ldots, f_c)\)는 Gorenstein이다. 이는 Lemma 0BJJ와, \(R\)의 Koszul 정칙열은 바로 정칙열이라는 사실에서 따른다 (More on Algebra, Lemma 09CC).

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 국소환들의 평탄 국소 준동형이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(B\)는 Gorenstein이다.

2. \(A\)와 \(B/\mathfrak m_A B\)는 Gorenstein이다.

증명

이하에서는 국소 Gorenstein 환이 유한 단사 차원을 갖는다는 사실과 Lemma 0BJI를 따로 언급하지 않고 사용한다. More on Algebra, Lemma 087R에 의해 모든 \(i\)에 대해 \[\Ext^i_A(\kappa_A, A) \otimes_A B = \Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B)\] 이다.

(2)를 가정하자. \(R\Hom(B/\mathfrak m_A B, -) : D(B) \to D(B/\mathfrak m_A B)\)가 제한의 오른쪽 수반이라는 사실 (Lemma 0A70)을 사용하면 \[R\Hom_B(\kappa_B, B) = R\Hom_{B/\mathfrak m_A B}(\kappa_B, R\Hom(B/\mathfrak m_A B, B))\] 을 얻는다. \(R\Hom(B/\mathfrak m_A B, B)\)의 코호몰로지 가군은 \(\Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B) = \Ext^i_A(\kappa_A, A) \otimes_A B\)이다. \(A\)가 Gorenstein이므로 이들 가운데 유한 개만 영이 아니고, 각각은 \(B/\mathfrak m_A B\)의 복사본들의 직합과 동형이다. \(B/\mathfrak m_A B\)가 Gorenstein이므로 \(R\Hom_B(B/\mathfrak m_B, B)\)는 영이 아닌 코호몰로지 가군을 유한 개만 갖는다고 결론 내린다. 따라서 \(B\)는 Gorenstein이다.

(1)을 가정하자. \(B\)는 유한 단사 차원을 가지므로 \(i \gg 0\)에 대해 \(\Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B)\)는 \(0\)이다. \(A \to B\)가 충실 평탄이므로 \(i \gg 0\)에 대해 \(\Ext^i_A(\kappa_A, A)\)가 \(0\)이라고 결론 내린다. 따라서 \(A\)는 Gorenstein이다. 이는 \(\Ext^i_A(\kappa_A, A)\)가 정확히 하나의 \(i\), 즉 \(i = \dim(A)\)에 대해서만 영이 아니고 \(\Ext^{\dim(A)}_A(\kappa_A, A) \cong \kappa_A\)임을 뜻한다 (Lemmas 0AX1, 0AWS, 및 0DW8을 보라). 따라서 \(\Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B)\)도 하나의 \(i\)를 제외하면 영이고, 그 정수는 \(i = \dim(A)\)이며 \(\Ext^{\dim(A)}_B(B/\mathfrak m_A B, B) \cong B/\mathfrak m_A B\)이다. 그러므로 Lemma 0AX1에 의해 \(B/\mathfrak m_A B\)는 Gorenstein이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원 \(d\)인 Noether 국소 Gorenstein 환이라 하자. \(E\)를 \(\kappa\)의 단사 포락이라 하자. 그러면 \(i \not = d\)에 대해 \(\text{Tor}_i^A(E, \kappa)\)는 영이고 \(\text{Tor}_d^A(E, \kappa) = \kappa\)이다.

증명

\(A\)가 Gorenstein이므로 \(\omega_A^\bullet = A[d]\)는 \(A\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. 또한 \(E\)는 \(R\Gamma_\mathfrak m(\omega_A^\bullet)\)의 유일한 영이 아닌 코호몰로지 가군이고 차수 \(0\)에 놓인다. Lemma 0A82을 보라. Lemma 0ALY에 의해 \[E \otimes_A^\mathbf{L} \kappa = R\Gamma_\mathfrak m(\omega_A^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} \kappa = R\Gamma_\mathfrak m(\omega_A^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \kappa) = R\Gamma_\mathfrak m(\kappa[d]) = \kappa[d]\] 이고, 보조정리가 따른다.

쌍대화 복합체의 편재성

많은 Noether 환은 쌍대화 복합체를 갖는다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 국소환들의 국소 준동형이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 정규화된 쌍대화 복합체라 하자. \(A \to B\)가 평탄하고 \(\mathfrak m_A B = \mathfrak m_B\)이면, \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 \(B\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

증명

\(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(B)\)에 속함은 명백하다. \(\kappa_A\)와 \(\kappa_B\)를 각각 \(A\)와 \(B\)의 잉여체라 하자. More on Algebra, Lemma 0A6A에 의해 다음을 얻는다. \[R\Hom_B(\kappa_B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(\kappa_A, \omega_A^\bullet) \otimes_A B = \kappa_A[0] \otimes_A B = \kappa_B[0]\] 따라서 More on Algebra, Lemma 0AVJ에 의해 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 유한 단사 차원을 갖는다. 마지막으로 같은 논증을 사용하면 \[R\Hom_B(\omega_A^\bullet \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet) \otimes_A B = A \otimes_A B = B\] 를 얻으며, 이는 원하는 결론이다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환들의 평탄 사상이라 하자. \(I \subset A\)를 \(A/I = B/IB\)이고 \(IB\)가 \(B\)의 Jacobson 근기에 포함되는 아이디얼이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 \(B\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

\(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(B)\)에 속함은 명백하다. More on Algebra, Lemma 0A6A에 의해 임의의 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 대해 \[R\Hom_B(K \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet) \otimes_A B\] 이다. 임의의 아이디얼 \(IB \subset J \subset B\)에 대해 \(A/J' \otimes_A B = B/J\)가 되게 하는 유일한 아이디얼 \(I \subset J' \subset A\)가 존재한다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0DW2에 의해 \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\)는 유한 단사 차원을 갖는다. 마지막으로 다음도 성립한다. \[R\Hom_B(\omega_A^\bullet \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet) \otimes_A B = A \otimes_A B = B\] 따라서 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 Noether 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자.

1. \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^h\)는 Hensel화 \((A^h, I^h)\), 즉 쌍 \((A, I)\)의 Hensel화 위의 쌍대화 복합체이다.

2. \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^\wedge\)는 \(I\)-진 완비화 \(A^\wedge\) 위의 쌍대화 복합체이다.

3. \(A\)가 국소환이면 \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^h\), resp. \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^{sh}\)는 \(A\)의 Hensel화, resp. 엄밀 Hensel화 위의 쌍대화 복합체이다.

증명

Lemmas 0AWD 및 0DWC에서 즉시 따른다. 완비화와 Hensel화에 대해서는 More on Algebra, Sections 09XD, 07NU, 및 07QL과 Algebra, Sections 00M9 및 0BNH을 보라.

보조정리

다음 종류의 환은 쌍대화 복합체를 갖는다.

1. 체,

2. Noether 완비 국소환,

3. \(\mathbf{Z}\),

4. Dedekind 정역,

5. 위 환들 가운데 하나에서 본질적 유한형 대수를 취하거나, 아이디얼 진 완비화를 취하거나, Hensel화를 취하거나, 엄밀 Hensel화를 취하여 얻는 임의의 환.

증명

(5)는 Proposition 0A7K과 Lemma 0DWD에서 따른다. Lemma 0AWX에 의해 정칙 국소환은 쌍대화 복합체를 갖는다. 완비 Noether 국소환은 Cohen 구조 정리에 의해 정칙 국소환의 몫이다 (Algebra, Theorem 032A). \(A\)를 Dedekind 정역이라 하자. 그러면 모든 아이디얼 \(I\)는 유한 사영 \(A\)-가군이다(Algebra, Lemma 00NX와 \(A\)의 국소환들이 이산 값매김환이며 따라서 PID라는 사실에서 따른다). 따라서 More on Algebra, Lemma 0A5T에 의해 모든 \(A\)-가군은 유한 단사 차원을 가지며 그 차원은 최대 \(1\)이다. 이로부터 \(A[0]\)이 쌍대화 복합체임이 쉽게 따른다.

형식적 올

이 절은 More on Algebra, Section 0BIR의 계속이다. 그곳에서 국소환들이 Cohen–Macaulay 형식적 올을 갖는 Noether 환 \(A\)에 대해 상당히 좋은 이론이 있음을 보았다. 즉 다음을 증명했다. (1) 극대 아이디얼에서의 국소화들의 형식적 올이 Cohen–Macaulay인지 확인하는 것으로 충분하고, (2) 이 성질은 \(A\) 위의 유한형 환에 유전되며, (3) \(A\)의 임의의 완비화 \(A^\wedge\)에 대해 \(A \to A^\wedge\)의 올들이 Cohen–Macaulay이고, (4) 이 성질은 \(A\)의 Hensel화들에 유전된다. More on Algebra, Lemma 0BIU, Proposition 0BIV, Lemma 0BK9, 및 Lemma 0BKA을 보라. 국소환들의 형식적 올들이 기하적으로 축약이거나, 기하적으로 정규이거나, \((S_n)\)이거나, 기하적으로 \((R_n)\)인 Noether 환들에 대해서도 마찬가지이다. 이 절에서는 국소환들의 형식적 올들이 Gorenstein이거나 국소 완전교차인 Noether 환들에 대해서도 같은 사실이 성립함을 보인다. 쌍대화 복합체를 갖는 Noether 환이 그 예이므로 이는 이 장과 관련된다.

보조정리

More on Algebra, Section 0BIR의 성질 (A), (B), (C), (D), (E)는 \(P(k \to R) =\)“\(R\)은 Gorenstein 환이다”에 대해 성립한다.

증명

Gorenstein 대신 Cohen–Macaulay에 대해서는 이미 결과가 성립함을 아니까, 각 단계에서 주어진 환이 Cohen–Macaulay라고 가정해도 된다. 이는 증명에 특별히 도움이 되지는 않지만 심리적으로는 유용할 수 있다.

(A). \(K/k\)를 유한 생성 체 확대라 하자. \(R\)을 Gorenstein \(k\)-대수라 하자. \(K\)가 \(A\)의 분수체와 동형이 되게 하는 \(k\) 위의 대역 완전교차 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)를 찾을 수 있다. Algebra, Lemma 07BV을 보라. 그러면 \(R \to R \otimes_k A\)는 상대 대역 완전교차이다. 따라서 Lemma 0DWA에 의해 \(R \otimes_k A\)는 Gorenstein이다. 그러므로 그 국소화인 \(R \otimes_k K\)도 Gorenstein이다.

(B)의 증명. 환이 Gorenstein일 필요충분조건은 그 모든 국소환이 Gorenstein인 것이므로 이는 명백하다.

(C). \(A \to B \to C\)를 Noether 환들의 평탄 사상이라 하자. \(A \to B\)의 올들이 Gorenstein이고 \(B \to C\)가 정칙이라고 가정하자. \(A \to C\)의 올들이 Gorenstein임을 보여야 한다. 명백히 \(A = k\)가 체라고 가정할 수 있다. 이어서 \(B \to C\)가 Noether 국소환들의 정칙 국소 준동형이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(B\)는 Gorenstein이고 \(C/\mathfrak m_B C\)는 정칙이며, 특히 Gorenstein이다(Lemma 0AWX). 따라서 Lemma 0BJL에 의해 \(C\)는 Gorenstein이다.

(D). 이는 Lemma 0BJL에서 따른다. (E)는 조건이 바탕체를 언급하지 않으므로 즉시 성립한다.

보조정리

\(A\)를 Noether 국소환이라 하자. \(A\)가 쌍대화 복합체를 가지면 \(A\)의 형식적 올들은 Gorenstein이다.

증명

\(\mathfrak p\)를 \(A\)의 소아이디얼이라 하자. \(A\)의 \(\mathfrak p\)에서의 형식적 올은 \(A/\mathfrak p\)의 \((0)\)에서의 형식적 올과 동형이다. 몫 \(A/\mathfrak p\)는 쌍대화 복합체를 갖는다 (Lemma 0A7I). 따라서 \(A\)가 국소 정역이고 \(\mathfrak p = (0)\)인 경우를 확인하면 충분하다. \(\omega_A^\bullet\)을 \(A\)의 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^\wedge\)는 완비화 \(A^\wedge\)의 쌍대화 복합체이다(Lemma 0AWD). 또한 \(\omega_A^\bullet \otimes_A K\)는 \(A\)의 분수체 \(K\)의 쌍대화 복합체이다(Lemma 0A7G). 따라서 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\omega_A^\bullet \otimes_A K\)는 \(K[n]\)과 동형이다. 마찬가지로 형식적 올 \(A^\wedge \otimes_A K\)의 쌍대화 복합체는 다음과 같다고 결론 내린다. \[\omega_A^\bullet \otimes_A A^\wedge \otimes_{A^\wedge} (A^\wedge \otimes_A K) = (\omega_A^\bullet \otimes_A K) \otimes_K (A^\wedge \otimes_A K) \cong (A^\wedge \otimes_A K)[n]\] 이는 원하는 결론이다.

Divided Power Algebra, Remark 09QC에서 약속한 검증은 다음과 같다.

보조정리

More on Algebra, Section 0BIR의 성질 (A), (B), (C), (D), (E)는 \(P(k \to R) =\)“\(R\)은 국소 완전교차이다”에 대해 성립한다. Divided Power Algebra, Definition 09Q3를 보라.

증명

(A). \(K/k\)를 유한 생성 체 확대라 하자. \(R\)을 국소 완전교차인 \(k\)-대수라 하자. \(K\)가 \(A\)의 분수체와 동형이 되게 하는 \(k\) 위의 대역 완전교차 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)를 찾을 수 있다. Algebra, Lemma 07BV을 보라. 그러면 \(R \to R \otimes_k A\)는 상대 대역 완전교차이다. Divided Power Algebra, Lemma 09Q7에 의해 \(R \otimes_k A\)는 국소 완전교차이다.

(B)의 증명. 환이 국소 완전교차일 필요충분조건은 그 모든 국소환이 완전교차인 것이므로 이는 명백하다.

(C). \(A \to B \to C\)를 Noether 환들의 평탄 사상이라 하자. \(A \to B\)의 올들이 국소 완전교차이고 \(B \to C\)가 정칙이라고 가정하자. \(A \to C\)의 올들이 국소 완전교차임을 보여야 한다. 명백히 \(A = k\)가 체라고 가정할 수 있다. 이어서 \(B \to C\)가 Noether 국소환들의 정칙 국소 준동형이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(B\)는 완전교차이고 \(C/\mathfrak m_B C\)는 정칙이며, 특히 정의에 의해 완전교차이다. 따라서 Divided Power Algebra, Lemma 09Q7에 의해 \(C\)는 완전교차이다.

(D). 이는 (C)와 같은 논증을 Divided Power Algebra, Lemma 09Q7의 반대 방향에 적용하면 따른다. (E)는 조건이 바탕체를 언급하지 않으므로 즉시 성립한다.

위 느낌표 함자의 대수적 구성

Noether 환들의 유한형 준동형 \(R \to A\)에 대해 비유일 동형을 제외하고 잘 정의되는 함자 \(\varphi^! : D(R) \to D(A)\)를 구성할 것이다. Duality for Schemes, Remark 0BV2에서 보겠지만, 이는 스킴의 쌍대성 이론에서 만나는 위 느낌표 함자들과 동형을 제외하고 일치한다. 구성의 동기를 설명하기 위해 두 가지 성질을 더 언급하자.

1. \(\varphi^!\)는 \(R\)의 쌍대화 복합체가 존재하면 이를 \(A\)의 쌍대화 복합체로 보내고,

2. \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\)는 일종의 상대 쌍대화 복합체이다. 즉 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 속하며, \(R \to A\)가 평탄하면 올들 위로 제한했을 때 쌍대화 복합체가 된다.

이 명제들은 Lemmas 0BZL 및 0BZW이다.

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. 함자 \(\varphi^! : D(R) \to D(A)\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\varphi : R \to A\)가 전사이면 \(\varphi^!(K) = R\Hom(A, K)\)로 놓는다. 여기서는 Section 0A6Z의 함자 \(R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\)를 사용한다.

2. 일반적으로 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\)인 전사 \(\psi : P \to A\)를 택하고 \(\varphi^!(K) = \psi^!(K \otimes_R^\mathbf{L} P)[n]\)로 놓는다. 여기서는 More on Algebra, Section 06Y5의 함자 \(- \otimes_R^\mathbf{L} P : D(R) \to D(P)\)를 사용한다.

다항식환의 변수 개수만큼 이동한 \([n]\)에 유의하자. 이 구성은 정준적이지 않으며, 함자 \(\varphi^!\)는 함자들의 비유일 동형을 제외하고만 잘 정의된다¹.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. 함자 \(\varphi^!\)는 동형을 제외하고 잘 정의된다.

증명

\(\psi_1 : P_1 = R[x_1, \ldots, x_n] \to A\)와 \(\psi_2 : P_2 = R[y_1, \ldots, y_m] \to A\)가 다항식환에서 \(A\)로 가는 두 전사라고 하자. 그러면 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m] \ar[d]^{x_i \mapsto g_i} \ar[rr]_-{y_j \mapsto f_j} & & R[x_1, \ldots, x_n] \ar[d] \\ R[y_1, \ldots, y_m] \ar[rr] & & A }\] 여기서 \(f_j\)와 \(g_i\)는 \(\psi_1(f_j) = \psi_2(y_j)\) 및 \(\psi_2(g_i) = \psi_1(x_i)\)를 만족하도록 택한다. 대칭성에 의해 \(P \to A\)와 \(P[y_1, \ldots, y_m] \to A\)를 사용하여 정의한 두 함자가 동형임을 증명하면 충분하다. 귀납법에 의해 \(m = 1\)이라고 가정할 수 있다. 그러면 다음 단락에서 논하는 경우로 환원된다.

이제 \(\psi : P \to A\)가 주어지고 \(\chi : P[y] \to A\)는 \(P\) 위에서 \(\psi\)를 유도한다고 하자. \(Q = P[y]\)로 쓰자. \(\psi(g) = \chi(y)\)인 \(g \in P\)를 택한다. \(\pi(y) = g\)인 \(P\)-대수 사상을 \(\pi : Q \to P\)라 하자. 그러면 \(\chi = \psi \circ \pi\)이고, Section 0A6Z의 내용에 의해 둘 다 제한 함자 \(D(A) \to D(Q)\)의 수반이므로 \(\chi^! = \psi^! \circ \pi^!\)이다. 따라서 \[\chi^!\left(K \otimes_R^\mathbf{L} Q\right)[n + 1] = \psi^!\left(\pi^!\left(K \otimes_R^\mathbf{L} Q\right)[1]\right)[n]\] 이다. 그러므로 다음을 보이면 충분하다. \(\pi^!(K \otimes_R^\mathbf{L} Q[1]) = K \otimes_R^\mathbf{L} P\) 따라서 함자 \(\pi^!(-) : D(Q) \to D(P)\)가 \(K \mapsto K \otimes_Q^\mathbf{L} P[-1]\)과 동형임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0BZH에서 따른다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자.

1. \(\varphi^!\)는 \(D^+(R)\)을 \(D^+(A)\) 안으로 보내고 \(D^+_{\textit{Coh}}(R)\)을 \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\) 안으로 보낸다.

2. \(\varphi\)가 완전이면 \(\varphi^!\)는 \(D^-(R)\)을 \(D^-(A)\) 안으로, \(D^-_{\textit{Coh}}(R)\)을 \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\) 안으로, 그리고 \(D^b_{\textit{Coh}}(R)\)을 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\) 안으로 보낸다.

증명

\(\varphi^!\)의 정의에서처럼 분해 \(R \to P \to A\)를 택한다. 함자 \(- \otimes_R^\mathbf{L} : D(R) \to D(P)\)는 부분범주 \(D^+, D^+_{\textit{Coh}}, D^-, D^-_{\textit{Coh}}, D^b_{\textit{Coh}}\)를 보존한다. 함자 \(R\Hom(A, -) : D(P) \to D(A)\)는 Lemma 0A72에 의해 \(D^+\)와 \(D^+_{\textit{Coh}}\)를 보존한다. \(R \to A\)가 완전이면 \(A\)는 \(P\)-가군으로서 완전이다. More on Algebra, Lemma 068Y을 보라. \(R\Hom(A, K)\)를 \(D(P)\)에 제한한 것이 \(R\Hom_P(A, K)\)임을 상기하자. More on Algebra, Lemma 07VI에 의해 어떤 완전 대상 \(E \in D(P)\)에 대해 \(R\Hom_P(A, K) = E \otimes_P^\mathbf{L} K\)이다. \(E\)를 유한 사영 \(P\)-가군들의 유한 복합체로 나타낼 수 있으므로, \(K\)가 \(D^-(P), D^-_{\textit{Coh}}(P), D^b_{\textit{Coh}}(P)\)에 속하면 \(R\Hom_P(A, K)\)도 각각 그 부분범주에 속함이 명백하다. 제한 함자 \(D(A) \to D(P)\)가 이 부분범주들을 반영하므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(\varphi\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. \(\omega_R^\bullet\)이 \(R\)의 쌍대화 복합체이면 \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)\)은 \(A\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

Lemmas 0A7J 및 0A7I에서 따른다.

보조정리

\(R \to R'\)를 Noether 환들의 평탄 준동형이라 하자. \(\varphi : R \to A\)를 유한형 환 사상이라 하자. \(\varphi\)가 유도하는 사상을 \(\varphi' : R' \to A' = A \otimes_R R'\)라 하자. 그러면 함자적 사상 \[\varphi^!(K) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow (\varphi')^!(K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] 들이 존재하며, \(D(R)\)에 속하는 \(K\)에 대해 정의되고 \(K \in D^+(R)\)이면 동형이다.

증명

\(P\)가 \(R\) 위의 다항식환인 분해 \(R \to P \to A\)를 택한다. 밑변환으로 대응하는 분해 \(R' \to P' \to A'\)를 얻는다. More on Algebra, Lemma 08YU에 의해 \((K \otimes_R^\mathbf{L} P) \otimes_P^\mathbf{L} P' = (K \otimes_R^\mathbf{L} R') \otimes_{R'}^\mathbf{L} P'\)이므로, \(K\)에 함자적인 사상 \[R\Hom(A, K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow R\Hom(A', (K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_P^\mathbf{L} P')\] 을 구성하면 충분하다. 이를 위해 사상 (0E29)을 사용한다. 이 사상은 Section 0E28에서 \(P, A, P', A'\)에 대해 구성되었다. Lemma 0BZM에 의해 이 사상은 \(K \in D^+(R)\)이면 동형이다.

보조정리

\(R \to R'\)를 Noether 환들의 준동형이라 하자. \(\varphi : R \to A\)를 완전 환 사상이라 하고 (More on Algebra, Definition 067H), \(R'\)와 \(A\)가 \(R\) 위에서 Tor 독립이라고 하자. \(\varphi\)가 유도하는 사상을 \(\varphi' : R' \to A' = A \otimes_R R'\)라 하자. 그러면 \(D(R)\)에 속하는 \(K\)에 대해 함자적 동형 \[\varphi^!(K) \otimes_A^\mathbf{L} A' = (\varphi')^!(K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] 이 존재한다.

증명

\(P\)가 \(R\) 위의 다항식환이고 \(A\)가 완전 \(P\)-가군이 되는 분해 \(R \to P \to A\)를 택할 수 있다. More on Algebra, Lemma 068Y을 보라. 밑변환으로 대응하는 분해 \(R' \to P' \to A'\)를 얻는다. More on Algebra, Lemma 08YU에 의해 \((K \otimes_R^\mathbf{L} P) \otimes_P^\mathbf{L} P' = (K \otimes_R^\mathbf{L} R') \otimes_{R'}^\mathbf{L} P'\)이므로, \(K\)에 함자적인 사상 \[R\Hom(A, K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow R\Hom(A', (K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_P^\mathbf{L} P')\] 을 구성하면 충분하다. 다음이 성립한다. \[A \otimes_P^\mathbf{L} P' = A \otimes_R^\mathbf{L} R' = A'\] 첫 번째 등식은 More on Algebra, Lemma 0661을 \(R, R', P, P'\)에 적용하여 얻는다. 두 번째 등식은 \(A\)와 \(R'\)가 \(R\) 위에서 Tor 독립이기 때문이다. 따라서 \(A\)와 \(P'\)는 \(P\) 위에서 Tor 독립이고, 사상 (0E29)을 사용하여 원하는 화살을 얻는다. 이 사상은 Section 0E28에서 \(P, A, P', A'\)에 대해 구성되었다. Lemma 0BZP에 의해 증명을 끝내려면 \(A\)가 완전 \(P\)-가군임을 보이면 충분한데, 이는 위에서 보았다.

보조정리

\(R \to R'\)를 Noether 환들의 준동형이라 하자. \(\varphi : R \to A\)가 평탄하고 유한형이라고 하자. \(\varphi\)가 유도하는 사상을 \(\varphi' : R' \to A' = A \otimes_R R'\)라 하자. 그러면 \(D(R)\)에 속하는 \(K\)에 대해 함자적 동형 \[\varphi^!(K) \otimes_A^\mathbf{L} A' = (\varphi')^!(K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] 이 존재한다.

증명

Lemma 0BZR의 특수한 경우이다. 이는 More on Algebra, Lemma 067J에서 따른다.

보조정리

\(A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. 그러면 함자들의 변환 \(b^! \circ a^! \to (b \circ a)^!\)가 존재하며, \(D^+(A)\) 위에서 동형이다.

증명

\(A\) 위의 다항식환 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\)과 전사 \(P \to B\)를 택한다. \(C\)를 \(B\) 위에서 생성하는 원소 \(c_1, \ldots, c_m \in C\)를 택한다. \(Q = P[y_1, \ldots, y_m]\)으로 놓고 \(Q' = Q \otimes_P B = B[y_1, \ldots, y_m]\)라 쓰자. \(\chi : Q' \to C\)를 \(y_j\)를 \(c_j\)로 보내는 전사라 하자. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & Q \ar[r]_{\psi'} & Q' \ar[r]_\chi & C \\ A \ar[r] & P \ar[r]^\psi \ar[u] & B \ar[u] }\] Lemma 0BZM에 의해 \(M \in D(P)\)에 대해 화살 \(\psi^!(M) \otimes_B^\mathbf{L} Q' \to (\psi')^!(M \otimes_P^\mathbf{L} Q)\)가 존재하며, \(M\)이 아래 유계이면 항상 동형이다. 또한 Section 0A6Z에 의해 두 함자 모두 제한 함자 \(D(C) \to D(Q)\)의 수반이므로 \(\chi^! \circ (\psi')^! = (\chi \circ \psi')^!\)이다. 따라서 다음을 얻는다. \[\begin{align*} b^!(a^!(K)) & = \chi^!(\psi^!(K \otimes_A^\mathbf{L} P)[n] \otimes_B^\mathbf{L} Q)[m] \\ & \to \chi^!((\psi')^!(K \otimes_A^\mathbf{L} P \otimes_P^\mathbf{L} Q))[n + m] \\ & = (\chi \circ \psi')^!(K\otimes_A^\mathbf{L} Q)[n + m] \\ & = (b \circ a)^!(K) \end{align*}\] 여기서는 위의 내용뿐 아니라 More on Algebra, Lemma 08YU도 사용했다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한 사상이라 하자. 그러면 \(\varphi^!\)는 Section 0A6Z의 함자 \(R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\)와 동형이다.

증명

\(A\)가 \(R\) 위에서 \(n > 1\)개의 원소로 생성된다고 하자. 그러면 \(R \to A\)를 두 유한 환 사상의 합성으로 분해할 수 있고, 각 단계의 생성원 수는 모두 \(< n\)이다. Lemma 0BZT과 Lemma 0C0F가 있으므로, \(A\)가 \(R\) 위에서 한 원소로 생성되는 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. \(A\)가 \(R\) 위에서 유한이므로, \(A\)는 \(x\)에 관한 monic 다항식 \(f\)에 대해 \(B = R[x]/(f)\)의 몫이다 (Algebra, Lemma 00GK). 다시 합성에 관한 보조정리들과 전사에 대해서는 정의상 일치한다는 사실을 사용하면, \(R \to B = R[x]/(f)\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 이 경우 함자 \(\varphi^!\)는 \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} B\)와 동형이다. 이는 사상 \(R[x] \to B\)에 Lemma 0BZH을 적용하여 증명한다 (\(\varphi^!\)의 정의와 이 보조정리의 이동량을 더하면 영임에 유의하자). 함자 \(R\Hom(B, -) : D(R) \to D(B)\)에 대해서는 Lemma 0BZE을 사용하면 \(B\)-가군으로서 \(\Hom_R(B, R) \cong B\)임을 보이는 것으로 충분하다. \(f\)의 차수를 \(d\)라 하자. 그러면 \(B\)의 \(R\)-기저는 \(1, x, \ldots, x^{d - 1}\)로 주어진다. \(\delta_i : B \to R\), \(i = 0, \ldots, d - 1\)을 이 기저에 관해 \(x^i\)의 계수를 뽑아내는 \(R\)-선형 사상이라 하자. 그러면 \(\delta_0, \ldots, \delta_{d - 1}\)은 \(\Hom_R(B, R)\)의 기저이다. 마지막으로 \(0 \leq i \leq d - 1\)에 대해 계산하면 \[x^i \delta_{d - 1} = \delta_{d - 1 - i} + b_1 \delta_{d - i} + \ldots + b_i \delta_{d - 1}\] 이고, 여기서 어떤 \(c_1, \ldots, c_d \in R\)가 존재한다². 따라서 \(\Hom_R(B, R)\)은 \(\delta_{d - 1}\)로 생성되는 주 \(B\)-가군이다. 계수를 비교하면 이는 랭크 \(1\)인 자유 \(B\)-가군이라고 결론 내린다.

보조정리

\(R\)을 Noether 환이라 하고 \(f \in R\)이라 하자. \(\varphi\)가 사상 \(R \to R_f\)를 나타내면 \(\varphi^!\)는 \(- \otimes_R^\mathbf{L} R_f\)와 동형이다. 더 일반적으로 \(\varphi : R \to R'\)가 \(\Spec(R') \to \Spec(R)\)가 열린 몰입이 되게 하는 사상이면, \(\varphi^!\)는 \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\)와 동형이다.

증명

표현 \(R \to R[x] \to R[x]/(fx - 1) = R_f\)를 택하고 \(fx - 1\)이 \(R[x]\)에서 영인자가 아닌 원소임을 관찰하자. 그러면 Lemma 0BZH을 사용하여 함자 \(\varphi^!\)를 계산할 수 있다. 세부사항은 생략한다. \(\varphi^!\)의 정의와 이 보조정리의 이동량을 더하면 영임에 유의하자.

일반적인 경우에는 \(R' \otimes_R R' = R'\)임에 유의하자. 따라서 위의 밑변환 결과에서 결론이 따른다. Lemma 0BZN 또는 Lemma 0BZR 가운데 어느 것이든 충분하다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 완전 준동형이라 하자 (예를 들어 \(\varphi\)가 평탄 유한형이라고 하자). 그러면 \(K \in D(R)\)에 대해 \(\varphi^!(K) = K \otimes_R^\mathbf{L} \varphi^!(R)\)이다.

증명

(괄호 안의 명제는 More on Algebra, Lemma 067J에서 따른다.) \(P\)가 \(R\) 위의 \(n\)변수 다항식환이고 \(A\)가 완전 \(P\)-가군이 되는 분해 \(R \to P \to A\)를 택할 수 있다. More on Algebra, Lemma 068Y을 보라. \(\varphi^!(K) = R\Hom(A, K \otimes_R^\mathbf{L} P[n])\)임을 상기하자. 따라서 Lemma 0BZE과 More on Algebra, Lemma 08YU에서 결론이 따른다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. \(\omega_A^\bullet\)을 \(A\)의 쌍대화 복합체라 하자. \(\omega_B^\bullet = \varphi^!(\omega_A^\bullet)\)로 놓자. \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\)에 대해 \(D_A(K) = R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\)라 쓰고, \(L \in D_{\textit{Coh}}(B)\)에 대해 \(D_B(L) = R\Hom_B(L, \omega_B^\bullet)\)라 쓰자. 그러면 \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\)에 대해 함자적 동형 \[\varphi^!(K) = D_B(D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B)\] 이 존재한다.

증명

Lemma 0BZL에 의해 \(\omega_B^\bullet\)은 \(B\)의 쌍대화 복합체임을 관찰하자. \(A \to B \to C\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. 보조정리가 \(A \to B\)와 \(B \to C\)에 대해 성립하면 \(A \to C\)에 대해서도 성립한다. 이는 Lemma 0BZT과 Lemma 0A7C에 의한 \(D_B \circ D_B \cong \text{id}\)에서 따른다. 따라서 \(A \to B\)가 전사인 경우와 \(B\)가 \(A\) 위의 다항식환인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]\)이라고 하자. \(D_A \circ D_A \cong \text{id}\)이므로 \(D_{\textit{Coh}}(A)\)에 속하는 \(K\)에 대해 \(D_B(K \otimes_A B) \cong D_A(K) \otimes_A B[n]\)을 증명하면 충분하다. \(\omega_A^\bullet\)을 나타내는 단사 대상들의 유계 복합체 \(I^\bullet\)을 택한다. \(I^\bullet \otimes_A B \to J^\bullet\)인 준동형을 택하되, \(J^\bullet\)은 \(B\)-가군들의 유계 복합체라 하자. \(A\)-가군들의 복합체 \(K^\bullet\)이 주어졌을 때 다음의 명백한 복합체 사상을 생각하자. \[\Hom^\bullet(K^\bullet, I^\bullet) \otimes_A B[n] \longrightarrow \Hom^\bullet(K^\bullet \otimes_A B, J^\bullet[n])\] 왼쪽은 \(D_A(K) \otimes_A B[n]\)을 나타내고 오른쪽은 \(D_B(K \otimes_A B)\)를 나타낸다. 따라서 \(K^\bullet\)의 코호몰로지 가군들이 유한 \(A\)-가군일 때 이 사상이 준동형임을 증명하면 충분하다. 양쪽 어느 쪽이든 차수 \(r\)의 복합체 코호몰로지는 유한 개의 \(K^i\)에만 의존한다. 따라서 \(K^\bullet\)을 절단으로 바꾸어도 된다. 즉 \(K^\bullet\)이 \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\)의 대상을 나타낸다고 가정할 수 있다. 그러면 \(K^\bullet\)은 유한 자유 \(A\)-가군들의 위로 유계인 복합체와 준동형이다. 따라서 \(K^\bullet\) 자체가 유한 자유 \(A\)-가군들의 위로 유계인 복합체라고 가정할 수 있다. 이 경우 위에 표시한 사상이 복합체의 동형임은 쉽게 알 수 있고, 이 경우의 증명이 끝난다.

\(A \to B\)가 전사라고 하자. 제한 함자를 \(i_* : D(B) \to D(A)\)라 쓰고, \(\varphi^!(-) = R\Hom(A, -)\)가 \(i_*\)의 오른쪽 수반임을 상기하자 (Lemma 0A70). \(F \in D(B)\)에 대해 \[\begin{align*} \Hom_B(F, D_B(D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B)) & = \Hom_B((D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B) \otimes_B^\mathbf{L} F, \omega_B^\bullet) \\ & = \Hom_A(D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} i_*F, \omega_A^\bullet) \\ & = \Hom_A(i_*F, D_A(D_A(K))) \\ & = \Hom_A(i_*F, K) \\ & = \Hom_B(F, \varphi^!(K)) \end{align*}\] 첫 번째 등식은 More on Algebra, Lemma 0A65과 \(D_B\)의 정의에서 따른다. 두 번째 등식은 위에서 언급한 수반성과 등식 \(i_*((D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B) \otimes_B^\mathbf{L} F) = D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} i_*F\) (More on Algebra, Lemma 06Y6)에서 따른다. 세 번째 등식은 More on Algebra, Lemma 0A65에서 따른다. 네 번째 등식은 \(D_A \circ D_A = \text{id}\)이기 때문이다. 마지막 등식은 다시 수반성에서 따른다. 따라서 Yoneda 보조정리에 의해 결과가 성립한다.

Noether 경우의 상대 쌍대화 복합체

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. 그러면 \(A\)의 \(R\)에 대한 상대 쌍대화 복합체를 \[\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\] 로 정의하며, 이는 \(D(A)\)의 대상이다. 여기서 \(\varphi^!\)는 Section 0BZI에서 정의한 것이다. 그 절의 내용으로부터 \(\omega_{A/R}^\bullet\)이 비유일 동형을 제외하고 잘 정의됨을 알 수 있다.

보조정리

\(R \to R'\)를 Noether 환들의 준동형이라 하자. \(R \to A\)가 유한형이라고 하자. \(A' = A \otimes_R R'\)로 놓자. 다음 중 하나가 성립한다고 하자.

1. \(R \to R'\)가 평탄하다.

2. \(R \to A\)가 평탄하다.

3. \(R \to A\)가 완전이고 \(R'\)와 \(A\)가 \(R\) 위에서 Tor 독립이다.

그러면 동형 \(\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A' \to \omega^\bullet_{A'/R'}\) 이 \(D(A')\) 안에 존재한다.

증명

Lemmas 0BZN, 0BZS, 0BZR와 정의에서 따른다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 사상이라 하자.

1. \(\varphi\)가 완전이면 다음이 성립한다.

   1. \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 속한다.

   2. \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(R\) 위에서 유한 Tor 차원을 갖는다.

   3. \(A \to R\Hom_A(\omega_{A/R}^\bullet, \omega_{A/R}^\bullet)\)는 동형이다.

2. \(\varphi\)가 평탄이면 (1)(a), (1)(b), (1)(c)가 성립하고 다음도 성립한다.

   1. \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(R\)-완전이다 (More on Algebra, Definition 0DHS).

   2. 체로 가는 모든 사상 \(R \to k\)에 대해 밑변환 \(\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R k)\)는 \(A \otimes_R k\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

\(R \to A\)가 완전이라고 가정하자. \(\varphi^!\)의 정의에서와 같이 \(R \to P \to A\)를 택한다. 그러면 \(A\)는 완전 \(P\)-가군이다 (More on Algebra, Lemma 068Y). Lemma 0BZK에 의해 \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 속한다. 이로써 (1)(a)가 증명된다. \(\omega_{A/R}^\bullet\)이 \(R\)-가군의 복합체로서 유한 Tor 차원을 가짐을 보이기 위해 \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R) = R\Hom(A, P)[n]\)이 \(D(P)\) 안에서 \(R\Hom_P(A, P)[n]\)으로 사상됨을 관찰하자. 후자는 \(D(P)\) 안에서 완전이다 (More on Algebra, Lemma 07VI). 또한 \(R \to P\)가 평탄이므로 \(D(R)\) 안에서 유한 Tor 차원을 갖는다. 이로써 (1)(b)가 증명된다. \(D(A)\)의 대상 \(R\Hom_A(\omega_{A/R}^\bullet, \omega_{A/R}^\bullet)\)은 \(D(P)\) 안에서 다음 대상으로 사상된다. \[\begin{align*} R\Hom_P(\omega_{A/R}^\bullet, R\Hom(A, P)[n]) & = R\Hom_P(R\Hom_P(A, P)[n], P)[n] \\ & = R\Hom_P(R\Hom_P(A, P), P) \end{align*}\] 이미 사용한 More on Algebra, Lemma 07VI에 의해 이는 \(A\)와 같다. 이로써 (1)(c)가 증명된다.

\(\varphi\)가 평탄이라고 가정하자. 그러면 \(R \to A\)는 완전 환 사상이다 (More on Algebra, Lemma 067J). 따라서 (1)(a), (1)(b), (1)(c)가 성립한다. 그러면 (1)(a), (1)(b)와 정의에 의해 \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 물론 \(R\)-완전이다. \(R \to k\)가 (2)(b)에서와 같다고 하자. Lemma 0BZV에 의해 동형 \[\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R k) \cong \omega^\bullet_{A \otimes_R k/k}\] 이 존재하고, 오른쪽은 Lemma 0BZL에 의해 쌍대화 복합체이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(K/k\)를 체의 확대라 하자. \(A\)를 유한형 \(k\)-대수라 하자. \(A_K = A \otimes_k K\)로 놓자. \(\omega_A^\bullet\)이 \(A\)의 쌍대화 복합체이면 \(\omega_A^\bullet \otimes_A A_K\)는 \(A_K\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

쌍대화 복합체의 유일성에 의해 \(A\)에 대해 어느 쌍대화 복합체를 택하는지는 중요하지 않다. 자세한 증명은 생략한다. 대수 구조를 \(\varphi : k \to A\)로 나타내자. Lemma 0BZL에 의해 \(\omega_A^\bullet = \varphi^!(k[0])\)로 택할 수 있다. Lemma 0BZW에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 국소 완전교차 준동형이라 하자. 그러면 \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(D(A)\)의 가역 대상이고, 모든 \(K \in D(R)\)에 대해 \(\varphi^!(K) = K \otimes_R^\mathbf{L} \omega_{A/R}^\bullet\)이다.

증명

국소 완전교차 준동형은 More on Algebra, Lemma 07EN에 의해 완전 환 사상임을 상기하자. 따라서 마지막 명제는 Lemma 0BZU에서 따른다. More on Algebra, Definition 07D0에 의해 \(I\)가 Koszul 정칙 아이디얼인 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓸 수 있다. Section 0BZI의 \(\varphi^!\) 구성에 따르면 \(I \subset R\)가 Koszul 정칙 아이디얼인 \(A = R/I\)의 경우에 보조정리를 보이면 충분하다. \(\omega_{A/R}^\bullet\)이 \(D(A)\)에서 가역인지 확인하는 것은 More on Algebra, Lemma 0FNT에 의해 \(\Spec(A)\) 위의 국소 문제이다. 또한 \(\omega_{A/R}^\bullet\)의 구성은 Lemma 0BZN에 의해 \(R\)의 국소화와 가환한다. More on Algebra, Definition 07CV, Lemma 09CC, 그리고 Algebra, Lemma 061L를 결합하면 \(A\) 안에서 단위 아이디얼을 생성하고 \(I_{g_j} \subset R_{g_j}\)가 정칙열로 생성되게 하는 \(g_1, \ldots, g_r \in R\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(f_1, \ldots, f_c\)가 \(R\)의 정칙열인 \(A = R/(f_1, \ldots, f_c)\)라고 가정해도 된다. 이제 환 사상들 \[R \to R/(f_1) \to R/(f_1, f_2) \to \ldots \to R/(f_1, \ldots, f_c) = A\] 을 생각하고 Lemma 0BZT (그리고 이미 증명한 마지막 명제)를 사용하면 각 단계에 대해 보조정리를 증명하는 것으로 충분함을 알 수 있다. 마지막으로 어떤 영인자가 아닌 원소 \(f\)에 대해 \(A = R/(f)\)인 경우에는 Lemma 0BZH에 의해 \(\varphi^!(R) = R\Hom(A, R)\)가 가역이므로 보조정리가 참이다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 평탄 유한형 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대해 올 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)가 Gorenstein이다.

2. \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(D(A)\)의 가역 대상이다. More on Algebra, Lemma 0FNT를 보라.

증명

(2)가 성립하면 올 환 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)들은 가역 쌍대화 복합체를 가지므로 Gorenstein이다. Lemmas 0BZW 및 0DW9을 보라.

역으로 (1)을 가정하자. Lemma 0BZK에 의해 \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\)에 속한다 (Noether 환들의 평탄 유한형 준동형은 완전이기 때문이다. More on Algebra, Lemma 067J를 보라). \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓인 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)를 택하자. 그러면 \[\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \kappa(\mathfrak q) = \omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)) \otimes_{(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p))}^\mathbf{L} \kappa(\mathfrak q)\] 이다. Lemmas 0BZW 및 0DW9과 가정 (1)을 적용하면 이 복합체는 영이 아닌 코호몰로지 가군을 \(1\)개 가지며, 그것은 \(1\)차원 \(\kappa(\mathfrak q)\)-벡터공간이다. More on Algebra, Lemma 0BYP에 의해 어떤 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak q\)에 대해 \((\omega_{A/R}^\bullet)_f\)가 \(D(A_f)\)의 가역 대상이라고 결론 내린다. 이로써 (2)가 증명된다.

다음 보조정리는 Noether 환 위의 유한형 대수로 넘어갈 때 차원 함수가 어떻게 변하는지 알아보는 데 유용하다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. \(R\)이 국소라고 가정하고, \(R\)의 극대 아이디얼 위에 놓이는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A\)를 택하자. \(\omega_R^\bullet\)이 \(R\)의 정규화된 쌍대화 복합체이면 \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)_\mathfrak m\)은 \(A_\mathfrak m\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

증명

\(\varphi^!(\omega_R^\bullet)\)이 \(A\)의 쌍대화 복합체임은 이미 알고 있다. Lemma 0BZL을 보라. \(\varphi^!\)의 구성에서와 같이 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\)인 분해 \(R \to P \to A\)를 택한다. \(R \to P\)와 \(\mathfrak m\)에 대응하는 \(P\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m'\)에 대해 보조정리를 증명할 수 있다면, Lemma 0A7N을 \(P_{\mathfrak m'} \to A_\mathfrak m\)에 적용하거나 Lemma 0A7Y을 \(P \to A\)에 적용하여 \(R \to A\)에 대한 결과를 얻는다. \(A = R[x_1, \ldots, x_n]\)인 경우에는 예를 들어 Algebra, Lemma 00ON과 (올의 차원을 계산하기 위한) Algebra, Lemma 00OP를 결합하면 \(\dim(A_\mathfrak m) = \dim(R) + n\)임을 알 수 있다. \(\omega_R^\bullet\)이 정규화되었다는 것은 \(i = -\dim(R)\)가 \(H^i(\omega_R^\bullet)\)이 영이 아닌 최소 지수라는 뜻이다 (Lemmas 0A7U 및 0A7V에서 따른다). 그러면 \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)_\mathfrak m = \omega_R^\bullet \otimes_R A_\mathfrak m[n]\)의 첫 번째 영이 아닌 코호몰로지 가군은 차수 \(-\dim(R) - n\)에 있고, 따라서 이는 \(A_\mathfrak m\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다.

보조정리

\(R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. \(\mathfrak q \subset A\)를 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하자. 그러면 \[H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak q \not = 0 \Rightarrow - d \leq i\] 이다. 여기서 \(d\)는 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)의 \(\mathfrak p\) 위의 올이 점 \(\mathfrak q\)에서 갖는 차원이다.

증명

Section 0BZI에서와 같이 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\)이고 \(\omega_{A/R}^\bullet = R\Hom(A, P)[n]\)이 되도록 분해 \(R \to P \to A\)를 택한다. \(R\Hom(A, P)_\mathfrak q\)가 차수 \(< n - d\)에서 영인 코호몰로지를 가짐을 보여야 한다. Lemma 0A71에 의해 이는 \(i < n - d\)에 대해 \(\Ext_P^i(P/I, P)_{\mathfrak r} = 0\)임을 보여야 한다는 뜻이다. 여기서 \(\mathfrak r \subset P\)는 \(\mathfrak q\)에 대응하는 소아이디얼이고, \(I\)는 \(P \to A\)의 핵이다. More on Algebra, Lemma 087R에 의해 이를 \(\Ext_{P_\mathfrak r}^i(P_\mathfrak r/IP_\mathfrak r, P_\mathfrak r)\)로 다시 쓸 수 있다. 따라서 Lemma 0AVZ에 의해 \[\text{depth}_{IP_\mathfrak r}(P_\mathfrak r) \geq n - d\] 를 보여야 한다. Lemma 0BUY에 의해 \[\text{depth}_{IP_\mathfrak r}(P_\mathfrak r) \geq \dim((P \otimes_R \kappa(\mathfrak p))_\mathfrak r) - \dim((P/I \otimes_R \kappa(\mathfrak p))_\mathfrak r)\] 이다. 오른쪽의 두 식은 Algebra, Lemma 00P2에 의해 일치한다.

보조정리

\(R \to A\)를 Noether 환들의 평탄 유한형 준동형이라 하자. \(\mathfrak q \subset A\)를 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하자. 그러면 \[H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak q \not = 0 \Rightarrow - d \leq i \leq 0\] 이다. 여기서 \(d\)는 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)의 \(\mathfrak p\) 위의 올이 점 \(\mathfrak q\)에서 갖는 차원이다. \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)의 모든 올의 차원이 \(\leq d\)이면 \(\omega_{A/R}^\bullet\)은 \(R\)-가군의 복합체로서 \([-d, 0]\) 안에 Tor 진폭을 갖는다.

증명

하한은 Lemma 0E9P에서 증명했다. Section 0BZI에서와 같이 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\)이고 \(\omega_{A/R}^\bullet = R\Hom(A, P)[n]\)이 되도록 분해 \(R \to P \to A\)를 택한다. 상한은 \(i > n\)에 대해 \(\Ext^i_P(A, P)\)가 영이라는 뜻이다. 이는 More on Algebra, Lemma 068X에서 따른다. 그 보조정리는 \(A\)가 Tor 진폭 \([-n, 0]\)을 갖는 완전 \(P\)-가군임을 보인다.

마지막 명제의 증명이다. \(R \to R'\)를 Noether 환들의 준동형이라 하자. \(A' = A \otimes_R R'\)로 놓자. 그러면 \[\omega_{A'/R'}^\bullet = \omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A' = \omega_{A/R}^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R'\] 이다. 첫 번째 동형은 Lemma 0BZV에 의해, \(D(R')\) 안에서 성립하는 두 번째 동형은 More on Algebra, Lemma 0661에 의해 얻는다. 증명의 첫 부분에 의해 (\(\Spec(A') \to \Spec(R')\)의 올들의 차원이 \(\leq d\)임에 유의하라) \(\omega_{A/R}^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R'\)는 \([-d, 0]\)의 차수에서만 코호몰로지를 갖는다. 유한 \(R\)-가군 \(M\)에 의한 \(R\)의 제곱영 두껍게 하기 \(R' = R \oplus M\)으로 택하면, 모든 유한 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 \(R\Hom(A, P) \otimes_R^\mathbf{L} M\)은 구간 \([-d, 0]\)에서만 코호몰로지를 가짐을 알 수 있다. 모든 \(R\)-가군은 유한 \(R\)-가군들의 여과 여극한이고 텐서곱은 여극한과 가환하므로 결론이 따른다.

보조정리

\(R \to A\)를 Noether 환들의 유한형 준동형이라 하자. \(\mathfrak p \subset R\)를 소아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(R_\mathfrak p\)는 Cohen–Macaulay이다.

2. 모든 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해 \(\text{trdeg}_{\kappa(R \cap \mathfrak q)} \kappa(\mathfrak q) \leq r\)이다.

그러면 \[H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak p \not = 0 \Rightarrow - r \leq i\] 이고, \(H^{-r}(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak p\)는 \(A_\mathfrak p\)-가군으로서 \((S_2)\)이다.

증명

Lemma 0BZV에 의해 \(R\)을 \(R_\mathfrak p\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(R\)이 Cohen–Macaulay 국소환이라고 가정할 수 있고, \(A\)-가군 \(H^i(\omega_{A/R}^\bullet)\)에 대해 보조정리의 명제들을 증명해야 한다.

\(R^\wedge\)를 \(R\)의 완비화라 하자. 사상 \(R \to R^\wedge\)는 평탄이고 \(R^\wedge\)는 Cohen–Macaulay이다 (More on Algebra, Lemma 07NX). \(A \to A \otimes_R R^\wedge\)의 평탄성과 평탄 사상에 대한 내려가기 (Algebra, Lemma 00HS를 보라)에 의해 \(A \otimes_R R^\wedge\)의 극소 소아이디얼들은 \(A\)의 극소 소아이디얼들 위에 놓임을 관찰하자. 따라서 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 조건 (2)는 유한형 환 사상 \(R^\wedge \to A \otimes_R R^\wedge\)에 대해 성립한다. 다시 Lemma 0BZV에 호소하면 \(R^\wedge \to A \otimes_R R^\wedge\)에 대해 보조정리를 증명하는 것으로 충분하다. 이와 같이 Lemma 0BFR을 사용하여, \(R\)이 쌍대화 복합체 \(\omega_R^\bullet\)을 갖는 Noether 국소 Cohen–Macaulay 환이라고 가정할 수 있다.

\(\mathfrak m \subset A\)를 극대 아이디얼이라 하자. \(H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak m\)에 대해 보조정리의 명제들이 성립함을 보이면 충분하다. \(\mathfrak m\)이 \(R\)의 극대 아이디얼 위에 놓이지 않으면, \(R\)을 국소화로 바꾸어 이 경우로 환원한다 (작은 세부사항은 생략한다).

\(\omega_R^\bullet\)이 정규화되었다고 가정해도 된다. \(d = \dim(R)\)로 놓으면 어떤 \(R\)-가군 \(\omega_R\)에 대해 \(\omega_R^\bullet = \omega_R[d]\)이다. Lemma 0AWS을 보라. \(\omega_A^\bullet = \varphi^!(\omega_R^\bullet)\)로 놓자. Lemma 0E9L에 의해 \[\omega_{A/R}^\bullet = R\Hom_A(\omega_R[d] \otimes_R^\mathbf{L} A, \omega_A^\bullet)\] 이다. 차원 공식에 의해 \(\dim(A_\mathfrak m) \leq d + r\)이다. Morphisms, Lemma 0BAE을 보고, Hilbert 영점정리에 의해 \(\kappa(\mathfrak m)\)이 \(R\)의 잉여체 위에서 유한임을 사용하라. Lemma 0E9N에 의해 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak m\)은 \(A_\mathfrak m\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. 따라서 Lemma 0A7U에 의해 \(H^i((\omega_A^\bullet)_\mathfrak m)\)은 \(-d - r \leq i \leq 0\)일 때만 영이 아닐 수 있다. \(\omega_R[d] \otimes_R^\mathbf{L} A\)는 차수 \(\leq -d\)에 놓이므로 소멸 명제가 따른다. 마지막으로 다음도 알 수 있다. \[H^{-r}(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak m = \Hom_A(\omega_R \otimes_R A, H^{-d - r}(\omega_A^\bullet))_\mathfrak m\] Lemma 0AWE에 의해 \(H^{-d - r}(\omega_A^\bullet)_\mathfrak m\)은 \((S_2)\)이므로, More on Algebra, Lemma 0AV6에 의해 마지막 명제가 참임을 알 수 있다.

쌍대화 복합체에 관한 추가 결과

다른 곳에 잘 들어맞지 않는 몇 가지 보조정리를 모아 둔다.

보조정리

\(A \to B\)를 Noether 환들의 충실 평탄 사상이라 하자. \(K \in D(A)\)이고 \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)가 \(B\)의 쌍대화 복합체이면, \(K\)는 \(A\)의 쌍대화 복합체이다.

증명

\(A \to B\)가 평탄이므로 \(H^i(K) \otimes_A B = H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\)이다. \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(B)\)에 속하므로 먼저 \(K\)가 \(D^b(A)\)에 속함을 얻고, 이어서 Algebra, Lemma 03C4에 의해 \(H^i(K)\)가 유한 \(A\)-가군임을 알 수 있다. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \[R\Hom_A(M, K) \otimes_A B = R\Hom_B(M \otimes_A B, K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] 이다. 이는 More on Algebra, Lemma 0A6A에서 따른다. \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)는 유한 단사 차원을 가지므로, 그 단사 진폭이 \([a, b]\) 안에 있다고 하자. 그러면 오른쪽은 차수 \(> b\)에서 영인 코호몰로지를 갖는다. \(A \to B\)가 충실 평탄이므로 \(R\Hom_A(M, K)\)도 차수 \(> b\)에서 영인 코호몰로지를 갖는다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0A5T에 의해 \(K\)는 유한 단사 차원을 갖는다. 증명을 끝내려면 사상 \(A \to R\Hom_A(K, K)\)가 동형임을 보여야 한다. 이를 위해 다시 More on Algebra, Lemma 0A6A과 \(B \to R\Hom_B(K \otimes_A^\mathbf{L} B, K \otimes_A^\mathbf{L} B)\)가 동형이라는 사실을 사용한다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 Noether 환들의 준동형이라 하자. 다음 중 하나를 가정하자.

1. \(A \to B\)는 syntomic이고 스펙트럼 위에서 전사인 사상을 유도한다.

2. \(A \to B\)는 충실 평탄 국소 완전교차이다.

3. \(A \to B\)는 Gorenstein 올들을 갖는 충실 평탄 유한형 사상이다.

그러면 \(K \in D(A)\)가 \(A\)의 쌍대화 복합체일 필요충분조건은 \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)가 \(B\)의 쌍대화 복합체인 것이다.

증명

More on Algebra, Lemma 07D3에 의해 \(A \to B\)가 (1)을 만족할 필요충분조건은 \(A \to B\)가 (2)를 만족하는 것이다. (2)와 (3) 모두에서 상대 쌍대화 복합체 \(\varphi^!(A) = \omega_{B/A}^\bullet\)은 \(D(B)\)의 가역 대상임을 관찰하자. Lemmas 0E4B 및 0E4C을 보라. 또한 두 경우 모두 \(\varphi^!(K) = K \otimes_A^\mathbf{L} \omega_{B/A}^\bullet\)이다. (3)의 경우에는 Lemma 0BZU를 보라. 따라서 \(\varphi^!(K)\)는 \(D(B)\)의 가역 대상과 텐서하는 것을 제외하면 \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)와 같다. 그러므로 \(\varphi^!(K)\)가 \(B\)의 쌍대화 복합체일 필요충분조건은 \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)가 그러한 것이다 (쌍대화 복합체라는 성질은 국소적이고 이동 아래 불변이기 때문이다). 따라서 \(K\)가 \(A\)의 쌍대화 복합체이면 Lemma 0BZL에 의해 \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\)는 \(B\)의 쌍대화 복합체임을 알 수 있다. 이 성질을 내려보내는 것은 Lemma 0E4A를 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa) \to (B, \mathfrak n, l)\)을 \(\mathfrak n = \mathfrak m B\)인 Noether 환들의 평탄 국소 준동형이라 하자. \(E\)가 \(\kappa\)의 단사 포락이면 \(E \otimes_A B\)는 \(l\)의 단사 포락이다.

증명

Lemma 08Z4에서처럼 \(E = \bigcup E_n\)으로 쓰자. \(E_n \otimes_{A/\mathfrak m^n} B/\mathfrak n^n\)이 \(B/\mathfrak n\) 위의 \(l\)의 단사 포락임을 보이면 충분하다. 이로써 \(A\)와 \(B\)가 Artin 국소환인 경우로 환원된다. Algebra, Lemma 02M1에 의해 \(\text{length}_A(A) = \text{length}_B(B)\)이고 \(\text{length}_A(E) = \text{length}_B(E \otimes_A B)\)임을 관찰하자. Lemma 08YX에 의해 \(\text{length}_A(E) = \text{length}_A(A)\)이고 \(\text{length}_B(E') = \text{length}_B(B)\)이다. 여기서 \(E'\)는 \(B\) 위의 \(l\)의 단사 포락이다. 따라서 \(\text{length}_B(E') = \text{length}_B(E \otimes_A B)\)이다. 또한 \[\dim_l((E \otimes_A B)[\mathfrak n]) = \dim_l(E[\mathfrak m] \otimes_A B) = \dim_\kappa(E[\mathfrak m]) = 1\] 이다. 여기서는 \(A \to B\)의 평탄성과 \(\mathfrak n = \mathfrak mB\)를 사용했다. 따라서 Lemma 08Z3에 의해 단사인 \(B\)-가군 사상 \(E \otimes_A B \to E'\)가 존재한다. 위에서 보인 길이의 등식에 의해 이는 동형이다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 다음 성질을 갖는 Noether 환들의 평탄 준동형이라 하자. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대해 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)라 쓰면 \(\mathfrak p B_\mathfrak q = \mathfrak qB_\mathfrak q\)이다. 예를 들어 \(\varphi\)가 étale이면 이 성질이 성립한다. \(I\)가 단사 \(A\)-가군이면 \(I \otimes_A B\)는 단사 \(B\)-가군이다.

증명

Étale 사상들은 Algebra, Lemma 00U4에 의해 가정을 만족한다. Lemma 08XV와 Proposition 08YA에 의해 \(I\)가 어떤 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대한 \(\kappa(\mathfrak p)\)의 단사 포락이라고 가정해도 된다. 그러면 \(I\)는 \(A_\mathfrak p\) 위의 가군이다. Lemma 08XQ에 의해 \(I \otimes_A B = I \otimes_{A_\mathfrak p} B_\mathfrak p\)가 \(B_\mathfrak p\)-가군으로서 단사임을 보이면 충분하다. 따라서 \((A, \mathfrak m, \kappa)\)가 Noether 국소환이고 \(I = E\)가 잉여체 \(\kappa\)의 단사 포락이라고 가정해도 된다. 우리의 가정은 Noether 환 \(B/\mathfrak m B\)가 체들의 곱임을 함의한다 (세부사항은 생략한다). 따라서 \(B\)에는 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 유한 개의 소아이디얼 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\)이 있고, 이들은 모두 극대 아이디얼이다. Lemma 08Z4에서처럼 \(E = \bigcup E_n\)으로 쓰자. 그러면 \(E \otimes_A B = \bigcup E_n \otimes_A B\)이고 \(E_n \otimes_A B\)는 지지가 \(\{\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\}\)인 유한 \(B\)-가군이므로, \(\mathfrak m_i\)들에서의 국소화들의 곱으로 분해된다. 따라서 \(E \otimes_A B = \prod (E \otimes_A B)_{\mathfrak m_i}\)이다. Lemma 0E4E에 의해 \((E \otimes_A B)_{\mathfrak m_i} = E \otimes_A B_{\mathfrak m_i}\)는 \(\mathfrak m_i\)의 잉여체의 단사 포락이므로 결론이 따른다.

상대 쌍대화 복합체

Noether 환들의 유한형 환 사상 \(\varphi : R \to A\)에 대해서는 Section 0E9M에서 상대 쌍대화 복합체 \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\)을 생각했다. \(R\)이 Noether가 아니면 비슷하게 구성한 복합체는 일반적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 절에서는 비-Noether 환들의 평탄 유한 표시 환 사상 \(R \to A\)에 대한 상대 쌍대화 복합체를 정의한다. 이 정의는 스킴들의 평탄 유한 표시 사상으로 대역화되도록 택했다. Duality for Schemes, Section 0E2S를 보라. 정의가 적용될 때 상대 쌍대화 복합체가 존재하고, 비정준 동형을 제외하고 유일하며, Noether 경우에는 Section 0E9M의 복합체를 되찾음을 보일 것이다.

Noether 환만 다루는 독자는 이 절을 건너뛰어도 안전하다!

정의

\(R \to A\)를 평탄 유한 표시 환 사상이라 하자. 상대 쌍대화 복합체란 다음을 만족하는 대상 \(K \in D(A)\)이다.

1. \(K\)는 \(R\)-완전이다(More on Algebra, Definition 0DHS).

2. \(R\Hom_{A \otimes_R A}(A, K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\)는 \(A\)와 동형이다.

이 정의를 이해하려면 다음 보조정리들 가운데 일부를 읽고 이해해야 할 수도 있다. Lemmas 0E2E 및 0E2D은 이 정의가 Section 0E9M의 정의와 충돌하지 않음을 보인다.

보조정리

\(R \to A\)를 평탄 유한 표시 환 사상이라 하자. \(R \to A\)에 대한 임의의 두 상대 쌍대화 복합체는 서로 동형이다.

증명

\(K\)와 \(L\)을 \(R \to A\)에 대한 두 상대 쌍대화 복합체라 하자. \(K_1 = K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A)\) 및 \(L_2 = (A \otimes_R A) \otimes_A^\mathbf{L} L\)을 첫 번째와 두 번째 여사영 \(A \to A \otimes_R A\)에 의한 유도 밑변환이라 하자. 대칭성에 의해 \(L_2\)에 관한 가정은 \(R\Hom_{A \otimes_R A}(A, L_2)\)가 \(A\)와 동형임을 함의한다. More on Algebra, Lemma 0ATK의 (3)을 두 번 적용하면 \[A \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} L_2 \cong R\Hom_{A \otimes_R A}(A, K_1 \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} L_2) \cong A \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} K_1\] 이다. 어느 여사영에 대해서든 제한 함자 \(D(A \otimes_R A) \to D(A)\)를 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

보조정리

\(\varphi : R \to A\)를 Noether 환들의 평탄 유한형 환 사상이라 하자. 그러면 Section 0E9M의 상대 쌍대화 복합체 \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\)은 Definition 0E2C의 의미에서 상대 쌍대화 복합체이다.

증명

Lemma 0BZW에 의해 \(\varphi^!(R)\)은 \(R\)-완전이다. \(\delta : A \otimes_R A \to A\)를 곱셈 사상이라 하고 \(p_1, p_2 : A \to A \otimes_R A\)를 여사영들이라 하자. 그러면 Lemma 0BZN에 의해 \[\varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A) = \varphi^!(R) \otimes_{A, p_1}^\mathbf{L} (A \otimes_R A) = p_2^!(A)\] 이다. 대상 \(R\Hom_{A \otimes_R A}(A, \varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\) 은 \(\delta^!(\varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\)의 제한 함자 \(\delta_* : D(A) \to D(A \otimes_R A)\)에 의한 상임을 상기하자. Section 0BZI의 \(\delta^!\) 정의와 Lemma 0A71를 사용하라. Lemma 0BZT에 의해 \(\delta^!(p_2^!(A)) \cong A\)이므로 결론이 따른다.

보조정리

\(R \to A\)를 평탄 유한 표시 환 사상이라 하자. 그러면

1. \(D(A)\) 안에 상대 쌍대화 복합체 \(K\)가 존재한다.

2. 임의의 환 사상 \(R \to R'\)에 대해 \(A' = A \otimes_R R'\) 및 \(K' = K \otimes_A^\mathbf{L} A'\)로 놓으면, \(K'\)는 \(R' \to A'\)에 대한 상대 쌍대화 복합체이다.

더욱이 \[\xi : A \longrightarrow K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A)\] 가 순환 가군 \(\Hom_{D(A \otimes_R A)}(A, K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\)의 생성원이면, (2)에서 \(A \otimes_R A \to A' \otimes_{R'} A'\)에 의한 \(\xi\)의 유도 밑변환은 순환 가군 \(\Hom_{D(A' \otimes_{R'} A')}(A', K' \otimes_{A'}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A'))\)의 생성원이다.

증명

먼저 Noether 경우로 환원한다. Algebra, Lemma 02JO에 의해 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(R_0 \subset R\)와 \(A = A_0 \otimes_{R_0} R\)이 되게 하는 평탄 유한형 환 사상 \(R_0 \to A_0\)가 존재한다. Lemma 0E2E에 의해 상대 쌍대화 복합체 \(K_0 \in D(A_0)\)가 존재한다. 따라서 \(K_0\)에 대해 (2)를 보이면 \(K_0 \otimes_{A_0}^\mathbf{L} A\)가 \(R \to A\)에 대한 쌍대화 복합체이고 유도 밑변환의 추이성에 의해 (2)도 만족함을 알 수 있다. 그러면 상대 쌍대화 복합체의 유일성 (Lemma 0E2D)에 의해 이는 모든 상대 쌍대화 복합체에 대해 성립한다.

\(R\)이 Noether라고 가정하고, \(K\)를 \(R \to A\)에 대한 상대 쌍대화 복합체라 하자. 환 사상 \(R \to R'\)가 주어졌을 때 \(A' = A \otimes_R R'\) 및 \(K' = K \otimes_A^\mathbf{L} A'\)로 놓자. 증명을 끝내려면 \(K'\)가 \(R' \to A'\)에 대한 상대 쌍대화 복합체임을 보여야 한다. More on Algebra, Lemma 0DHW에 의해 모든 경우에 \(K'\)는 \(R'\)-완전이다. Lemmas 0BZV 및 0E2E에 의해 \(R'\)가 Noether이면 \(K'\)는 두 의미 모두에서 \(R' \to A'\)에 대한 상대 쌍대화 복합체이다. 유도 텐서곱의 추이성에 의해 \(K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A) \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A') = K' \otimes_{A'}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A')\)이다. \(R \to A\)의 평탄성에 의해 \(A \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A') = A'\)이다. 실제로 \(A \otimes_R A\)와 \(R'\)는 \(R\) 위에서 Tor 독립이므로 More on Algebra, Lemma 0661을 적용할 수 있다. 마지막으로 More on Algebra, Lemma 0E1T에 의해 \(A\)는 \(A \otimes_R A\)-가군으로서 준코히런트이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0E1U의 가정들을 모두 확인했다. \(R\)-평탄이고 유한 표시인 \(A \otimes_R A\)-가군들로 이루어진 아래 유계 복합체 \(E^\bullet\)이 존재하여, \(E^\bullet \otimes_R R'\)가 \(R\Hom_{A' \otimes_{R'} A'}(A', K' \otimes_{A'}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A'))\)를 나타내고, 이 식별들은 유도 밑변환과 호환된다. \(n \in \mathbf{Z}\)이고 \(n \not = 0\)이라 하자. 완전열 \[E^{n - 1} \to E^n \to Q^n \to 0\] 로 \(Q^n\)을 정의하자. \(\kappa(\mathfrak p)\)는 Noether 환이므로 위의 논의에 따라 \(H^n(E^\bullet \otimes_R \kappa(\mathfrak p)) = 0\)이다. 도식을 추적하면 이는 \[Q^n \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to E^{n + 1} \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\] 가 단사라는 뜻이다. 따라서 \(A \otimes_R A\)의 소아이디얼 \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak p\) 위에 놓이면 \(Q^n_\mathfrak q\)는 \(R_\mathfrak p\)-평탄이고, \(Q^n_\mathfrak p \to E^{n + 1}_\mathfrak q\)는 \(R_\mathfrak p\)-보편 단사이다. Algebra, Lemma 00ME를 보라. 이것이 모든 소아이디얼에 대해 성립하므로 \(Q^n\)은 \(R\)-평탄이고 \(Q^n \to E^{n + 1}\)은 \(R\)-보편 단사이다. 특히 모든 환 사상 \(R \to R'\)에 대해 \(H^n(E^\bullet \otimes_R R') = 0\)이다. \(Z^0 = \Ker(E^0 \to E^1)\)로 놓자. 완전열 \(0 \to Z^0 \to E^0 \to E^1 \to Q^1 \to 0\)이 있으므로 \(Z^0\)은 \(R\)-평탄이고, 모든 \(R \to R'\)에 대해 \(Z^0 \otimes_R R' = \Ker(E^0 \otimes_R R' \to E^1 \otimes_R R')\)이다. 그러면 짧은 완전열 \(0 \to Q^{-1} \to Z^0 \to H^0(E^\bullet) \to 0\)에 의해 \[H^0(E^\bullet \otimes_R R') = H^0(E^\bullet) \otimes_R R' = A \otimes_R R' = A'\] 임을 알 수 있고, 이는 원하는 바이다. 더욱이 이 등식은 보조정리의 마지막 명제도 준다.

보조정리

\(R \to A\)를 평탄 유한 표시 환 사상이라 하자. \(K\)를 상대 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(A \to R\Hom_A(K, K)\)는 동형이다.

증명

Algebra, Lemma 02JO에 의해 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(R_0 \subset R\)와 \(A = A_0 \otimes_{R_0} R\)이 되게 하는 평탄 유한형 환 사상 \(R_0 \to A_0\)가 존재한다. Lemmas 0E2D, 0E2E, 및 0E2F에 의해 상대 쌍대화 복합체 \(K_0 \in D(A_0)\)가 존재하고 그 유도 밑변환은 \(K\)이다. 이로써 다음 단락에서 다루는 상황으로 환원된다.

\(R\)이 Noether라고 가정하고 \(K\)를 \(R \to A\)에 대한 상대 쌍대화 복합체라 하자. 환 사상 \(R \to R'\)가 주어지면 \(A' = A \otimes_R R'\) 및 \(K' = K \otimes_A^\mathbf{L} A'\)로 놓자. 증명을 끝내기 위해 \(R\Hom_{A'}(K', K') = A'\)임을 보인다. Lemma 0BZW에 의해 \(R'\)가 Noether일 때마다 이것이 참임을 알고 있다. 일반적인 \(R'\)는 Noether \(R\)-대수들의 여과 여극한이므로, More on Algebra, Lemma 0DHX에 의해 결과가 따른다.

보조정리

\(R \to A \to B\)를 평탄 유한 표시 환 사상들이라 하자. \(K_{A/R}\)와 \(K_{B/A}\)를 각각 \(R \to A\)와 \(A \to B\)에 대한 상대 쌍대화 복합체라 하자. 그러면 \(K = K_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} K_{B/A}\)는 \(R \to B\)에 대한 상대 쌍대화 복합체이다.

증명

Noether 경우로의 환원을 사용하겠다. 실제로 Algebra, Lemma 02JO에 의해 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(R_0 \subset R\)와 \(A = A_0 \otimes_{R_0} R\)이 되게 하는 평탄 유한형 환 사상 \(R_0 \to A_0\)가 존재한다. \(R_0\)를 키우고 그에 맞추어 \(A_0\)를 바꾸면 \(B = B_0 \otimes_{R_0} R\)이 되게 하는 평탄 유한형 환 사상 \(A_0 \to B_0\)가 존재한다고 가정해도 된다(같은 보조정리를 사용하라). \(R_0 \to A_0 \to B_0\)에 대해 보조정리를 증명하면, Lemmas 0E2D, 0E2E, 및 0E2F에 의해 원래 보조정리가 따른다. 이로써 다음 단락에서 다루는 상황으로 환원된다.

\(R\)이 Noether라고 가정하고, 주어진 환 사상들을 \(\varphi : R \to A\) 및 \(\psi : A \to B\)로 나타내자. 위에서 제시한 참고문헌에 의해 \(K_{A/R} \cong \varphi^!(R)\) 및 \(K_{B/A} \cong \psi^!(A)\)이다. 그러면 \[K = K_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} K_{B/A} \cong \varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} \psi^!(A) \cong \psi^!(\varphi^!(R)) \cong (\psi \circ \varphi)^!(R)\] 이다. 이는 Lemmas 0BZU 및 0BZT에서 따른다. 따라서 \(K\)는 \(R \to B\)에 대한 상대 쌍대화 복합체이다.