드람 코호몰로지

서론

이 장에서는 스킴의 사상에 대한 드람 복합체를 논의하는 데서 시작하여, 기초체의 표수가 영일 때 드람 코호몰로지가 베유 코호몰로지 이론을 이룬다는 것을 증명하는 것으로 끝맺는다.

드람 복합체

스킴의 사상 \(p : X \to S\)가 주어졌다고 하자. 이때 \[\Omega^\bullet_{X/S} = \mathcal{O}_{X/S} \to \Omega^1_{X/S} \to \Omega^2_{X/S} \to \ldots\] 라는 \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체가 있다. 여기서 \(\Omega^i_{X/S} = \wedge^i(\Omega_{X/S})\)는 차수 \(i\)에 놓이며, 미분은 국소 절단에 대한 규칙 \(\text{d}(g_0 \text{d}g_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}g_p) = \text{d}g_0 \wedge \text{d}g_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}g_p\) 으로 정해진다. 가군층의 절 0FKL을 보라.

스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어지면 복합체의 표준 사상 \(f^{-1}\Omega_{X/S}^\bullet \to \Omega^\bullet_{X'/S'}\)와 \(\Omega_{X/S}^\bullet \to f_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\)가 있다. 가군층의 절 0FKL을 보라. 이를 선형화하면 모든 \(p\)에 대하여 선형 사상 \(f^*\Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X'/S'}\) 을 얻는다.

특히 \(f : Y \to X\)가 기초 스킴 \(S\) 위 스킴의 사상이면 복합체의 사상 \[\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow f_*\Omega^\bullet_{Y/S}\] 이 있다. 이를 선형화하면 모든 \(p \geq 0\)에 대하여 표준 사상 \[\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow f_*\Omega^p_{Y/S}\] 을 얻는다.

보조정리

스킴의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어졌다고 하자. 그러면 위에서 논한 사상들은 동형사상 \(f^*\Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X'/S'}\) 을 유도한다.

증명

스킴의 사상의 보조정리 01V0와 외대수의 각 차수 성분을 취하는 연산이 기저변환과 가환한다는 사실을 함께 적용한다.

보조정리

스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 을 생각하자. \(X' \to X\)와 \(S' \to S\)가 에탈이면 위에서 논한 사상들은 동형사상 \(f^*\Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X'/S'}\) 을 유도한다.

증명

예컨대 스킴의 사상의 보조정리 02GU에 의해 \(\Omega_{S'/S} = 0\)이고 \(\Omega_{X'/X} = 0\)이다. 따라서 스킴의 사상의 보조정리 01UX와 02K4 에 나오는 짧은 완전열들에 의해 \(\Omega_{X'/S'} = \Omega_{X'/S} = f^*\Omega_{X/S}\)임을 알 수 있다. 외대수의 각 차수 성분을 취하면 결론을 얻는다.

드람 코호몰로지

스킴의 사상 \(p : X \to S\)가 주어졌다고 하자. \(X\)의 \(S\) 위 드람 코호몰로지를 코호몰로지 군 \[H^i_{dR}(X/S) = H^i(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}))\] 으로 정의한다. \(\Omega^\bullet_{X/S}\)가 \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체이므로 이 코호몰로지 군들은 자연스럽게 \(H^0(S, \mathcal{O}_S)\)-가군이다.

스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어지면 절 07HX의 표준 사상을 사용하여 당김 사상 \[f^* : R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow R\Gamma(X', \Omega^\bullet_{X'/S'})\] 과 \[f^* : H^i_{dR}(X/S) \longrightarrow H^i_{dR}(X'/S')\] 을 얻는다. 이 당김들은 자명한 합성 법칙을 만족한다. 특히 기초 스킴 \(S\)를 고정하여 작업하면 드람 코호몰로지는 \(S\) 위 스킴의 범주에서 정의된 반변함자이다.

보조정리

아핀 스킴의 사상 \(X \to S\)가 환 사상 \(R \to A\)로 주어진다고 하자. 그러면 \(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) = \Omega^\bullet_{A/R}\)는 \(D(R)\)에서 성립하고 \(H^i_{dR}(X/S) = H^i(\Omega^\bullet_{A/R})\)이다.

증명

이는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XB 와 Leray 비순환성 보조정리(유도 범주의 보조정리 015E)에서 따른다.

보조정리

스킴의 사상 \(p : X \to S\)가 주어졌다고 하자. \(p\)가 준콤팩트이고 준분리이면 \(Rp_*\Omega^\bullet_{X/S}\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)의 대상이다.

증명

첫째 쪽이 \(E_1^{a, b} = R^bp_*\Omega^a_{X/S}\)이고 \(Rp_*\Omega^\bullet_{X/S}\)의 코호몰로지로 수렴하는 스펙트럼 수열이 있다 (유도 범주의 보조정리 015J를 보라). 따라서 호몰로지 대수의 보조정리 0132에 의해 \(R^bp_*\Omega^a_{X/S}\)가 준연접임을 보이면 충분하다. 이는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XJ에서 따른다.

보조정리

\(p : X \to S\)를 스킴의 고유 사상이라 하고 \(S\)가 국소 뇌터라고 하자. 그러면 \(Rp_*\Omega^\bullet_{X/S}\)는 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_S)\)의 대상이다.

증명

이 경우 스킴의 사상의 보조정리 01V2에 의해 가군 \(\Omega^i_{X/S}\)는 연접이다. 따라서 보조정리 0FLX의 증명과 똑같은 논증을 적용하되, 스킴의 코호몰로지의 명제 02O5를 사용할 수 있다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(X\)를 \(S = \Spec(A)\) 위의 고유 스킴이라 하자. 그러면 \(H^i_{dR}(X/S)\)는 유한 \(A\)-가군이며, 이는 모든 \(i\)에 대하여 성립한다.

증명

이는 보조정리 0FLY의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 고유하고 매끄러운 사상이라 하자. 그러면 \(Rf_*\Omega^p_{X/S}\) (\(p \geq 0\))와 \(Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\)는 \(D(\mathcal{O}_S)\)의 완전 대상이며, 그 구성은 임의의 기저변환과 가환한다.

증명

\(f\)가 매끄러우므로 \(\Omega^p_{X/S}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 스킴의 사상의 보조정리 02G1를 보라. 보조정리 0FL5에 의해 그 구성은 임의의 기저변환과 가환한다. 따라서 \(Rf_*\Omega^p_{X/S}\)는 \(D(\mathcal{O}_S)\)의 완전 대상이고 그 구성은 임의의 기저변환과 가환한다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0B91를 보라. 이로써 보조정리의 첫 번째 주장을 증명했다.

\(Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\)가 \(S\) 위에서 완전임을 증명할 때에는 \(S\) 위에서 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(S\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\Omega^n_{X/S}\)가 충분히 큰 \(n\)에 대하여 영이라고 가정할 수 있다. 모든 \(p \geq 0\)에 대하여 \(Rf_*\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}\)가 \(D(\mathcal{O}_S)\)의 완전 대상이고 그 구성이 임의의 기저변환과 가환한다고 주장한다. 위의 결과로부터 이는 \(p \gg 0\)일 때 참이다. 주장이 \(p\)에 대하여 성립한다고 가정하고 완전 삼각형 \[\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S} \to \sigma_{\geq p - 1}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^{p - 1}_{X/S}[-(p - 1)] \to (\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S})[1]\] 을 \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\)에서 생각하자. 완전함자 \(Rf_*\)를 적용하면 \(D(\mathcal{O}_S)\)에서 완전 삼각형을 얻는다. 완전성에 대해서는 셋 중 둘 성질이 성립하므로(층 코호몰로지의 보조정리 08CR), \(Rf_*\sigma_{\geq p - 1}\Omega^\bullet_{X/S}\)가 \(D(\mathcal{O}_S)\)의 완전 대상임을 얻는다. 임의의 기저변환과의 가환성도 마찬가지이다.

컵곱

사상 \(\Omega^p_{X/S} \times \Omega^q_{X/S} \to \Omega^{p + q}_{X/S}\) 을 생각하자. 이는 \((\omega , \eta) \longmapsto \omega \wedge \eta\)로 주어진다. 절 07HX에 제시된 \(\text{d}\)의 공식과 \(\text{d} : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/S}\)에 대한 라이프니츠 법칙을 사용하면 \(\text{d}(\omega \wedge \eta) = \text{d}(\omega) \wedge \eta + (-1)^{\deg(\omega)} \omega \wedge \text{d}(\eta)\)임을 알 수 있다. 따라서 \(\wedge\)는 복합체의 사상 [0FM2]\[\begin{equation} \wedge : \text{Tot}( \Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S} \end{equation}\] 을 정의하며, 이 복합체들은 \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체이다.

층 코호몰로지의 절 0FKU의 컵곱과 (0FM2)를 결합하면 \(H^0(S, \mathcal{O}_S)\)-쌍선형인 컵곱 사상 \[\cup : H^i_{dR}(X/S) \times H^j_{dR}(X/S) \longrightarrow H^{i + j}_{dR}(X/S)\] 을 얻는다. 예를 들어 \(\omega \in \Gamma(X, \Omega^i_{X/S})\)와 \(\eta \in \Gamma(X, \Omega^j_{X/S})\)가 닫혀 있으면, \(\omega\)와 \(\eta\)의 드람 코호몰로지류의 컵곱은 \(\omega \wedge \eta\)의 드람 코호몰로지류이다. 층 코호몰로지의 절 0FKU의 논의를 보라.

스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어지면 당김 사상 \(f^* : R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \to R\Gamma(X', \Omega^\bullet_{X'/S'})\) 과 \(f^* : H^i_{dR}(X/S) \longrightarrow H^i_{dR}(X'/S')\) 은 위에서 정의한 컵곱과 양립한다.

보조정리

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(H^*_{dR}(X/S)\) 위의 컵곱은 결합적이고 등급 가환이다.

증명

이는 층 코호몰로지의 보조정리 0FP4와 0FP5, 그리고 \(\wedge\)가 결합적이고 등급 가환이라는 사실에서 따른다.

주

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)를 미분 등급 \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수의 층으로 볼 수 있다. 미분 등급 층의 정의 0FRF를 보라. 특히 미분 등급 층의 절 0FU3의 논의를 적용할 수 있다. 예를 들어 이는 임의의 스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_p \ar[r]_f & Y \ar[d]^q \\ S \ar[r]^h & T }\] 에 대하여 표준 상대 컵곱 \[\mu : Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\] 이 \(D(Y, q^{-1}\mathcal{O}_T)\)에 존재함을 뜻한다. 이 곱은 결합적이며, 코호몰로지 위에서는 위에서 논한 컵곱을 재현한다.

주

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\xi \in H_{dR}^n(X/S)\)라 하자. 미분 등급 층의 절 0FU3의 논의에 따르면 표준 사상 \[\xi' : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[n]\] 이 \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\)에 존재하며, 다음 성질 목록의 (1), (2)에 의해 유일하게 특징지어진다.

1. \(\xi'\)는 오른쪽 미분 등급 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)-가군의 유도범주에 있는 사상으로 올릴 수 있고,

2. \(\xi'(1) = \xi\)가 \(H^0(X, \Omega^\bullet_{X/S}[n]) = H^n_{dR}(X/S)\), 에서 성립하며,

3. 사상 \(\xi'\)는 \(\eta \in H^m_{dR}(X/S)\)를 \(\xi \cup \eta\)로 보내며, 그 결과는 \(H^{n + m}_{dR}(X/S)\)에 속하고,

4. \(\xi'\)의 구성은 열린집합으로의 제한과 가환한다. 즉, \(U \subset X\)가 열린집합이면 제한 \(\xi'|_U\)는 상 \(\xi|_U \in H^n_{dR}(U/S)\)에 대응하는 사상이며,

5. 주석 0FU6에서와 같은 임의의 도식에 대하여 가환 도식 \[\xymatrix{ Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \ar[d]_{\xi' \otimes \text{id}} \ar[r]_-\mu & Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \ar[d]^{\xi'} \\ Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[n] \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \ar[r]^-\mu & Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[n] }\] 을 \(D(Y, q^{-1}\mathcal{O}_T)\)에서 얻는다.

호지 코호몰로지

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X\)의 \(S\) 위 호지 코호몰로지를 코호몰로지 군 \[H^n_{Hodge}(X/S) = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} H^q(X, \Omega^p_{X/S})\] 으로 정의하고 이를 등급 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-가군으로 본다. 미분형식의 쐐기곱과 층 코호몰로지의 절 0FKU의 컵곱을 결합하면 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-쌍선형인 컵곱 \[\cup : H^i_{Hodge}(X/S) \times H^j_{Hodge}(X/S) \longrightarrow H^{i + j}_{Hodge}(X/S)\] 을 정의한다. 물론 \(\xi \in H^q(X, \Omega^p_{X/S})\)이고 \(\xi' \in H^{q'}(X, \Omega^{p'}_{X/S})\)이면 \(\xi \cup \xi' \in H^{q + q'}(X, \Omega^{p + p'}_{X/S})\)이다.

보조정리

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(H^*_{Hodge}(X/S)\) 위의 컵곱은 결합적이고 등급 가환이다.

증명

증명은 보조정리 0FM3의 증명과 같다.

스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어지면 당김 사상 \(f^* : H^i_{Hodge}(X/S) \longrightarrow H^i_{Hodge}(X'/S')\) 이 있으며, 이는 등급 및 위에서 정의한 컵곱과 양립한다.

두 스펙트럼 수열

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군의 \(X\) 위 범주에는 단사 대상이 충분히 있으므로 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)의 카르탕–아일렌베르크 분해가 존재한다. 유도 범주의 보조정리 015I를 보라. 따라서 유도 범주의 보조정리 015J를 적용하면 두 스펙트럼 수열을 얻으며, 둘 다 \(X\)의 \(S\) 위 드람 코호몰로지로 수렴한다.

첫 번째 것은 관례적으로 호지–드람 스펙트럼 수열이라 부른다. 이 스펙트럼 수열의 첫째 쪽은 \[E_1^{p, q} = H^q(X, \Omega^p_{X/S})\] 이며, 이들은 \(X/S\)의 호지 코호몰로지 군이다(그래서 이 이름을 쓴다). 이 쪽의 미분 \(d_1\)은 사상 \(d_1^{p, q} : H^q(X, \Omega^p_{X/S}) \to H^q(X, \Omega^{p + 1}_{X/S})\) 로 주어지며, 이는 미분 \(\text{d} : \Omega^p_{X/S} \to \Omega^{p + 1}_{X/S}\)가 유도한다. 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ H^2(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] \ar@{..>}[rrrdd] & H^2(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] & H^2(X, \Omega^2_{X/S}) \ar[r] & H^2(X, \Omega^3_{X/S}) \\ H^1(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] & H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] & H^1(X, \Omega^2_{X/S}) \ar[r] & H^1(X, \Omega^3_{X/S}) \\ H^0(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] & H^0(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[r] & H^0(X, \Omega^2_{X/S}) \ar[r] & H^0(X, \Omega^3_{X/S}) }\] 여기서 파선 화살표는 \(E_2\)-쪽의 미분의 정의역과 공역을 나타내고, 점선 화살표는 \(E_3\)-쪽의 미분을 나타낸다. 차수 \(0\)을 살펴보면 \[H^0_{dR}(X/S) = \Ker(\text{d} : H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X, \Omega^1_{X/S}))\] 임을 얻는다. 물론 드람 복합체가 차수 \(0\)에서 \(\mathcal{O}_X \to \Omega^1_{X/S}\)로 시작한다는 사실에서도 이를 곧바로 알 수 있다.

두 번째 스펙트럼 수열은 보통 켤레 스펙트럼 수열이라 부른다. 이 스펙트럼 수열의 둘째 쪽은 \[E_2^{p, q} = H^p(X, H^q(\Omega^\bullet_{X/S})) = H^p(X, \mathcal{H}^q)\] 이다. 여기서 \(\mathcal{H}^q = H^q(\Omega^\bullet_{X/S})\)는 제\(q\) 코호몰로지 층이며, 여기서 쓰는 복합체는 \(X/S\)의 드람 복합체이다. 이 쪽의 미분은 \(E_2^{p, q} \to E_2^{p + 2, q - 1}\)로 주어진다. 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ H^0(X, \mathcal{H}^2) \ar[rrd] \ar@{..>}[rrrdd] & H^1(X, \mathcal{H}^2) \ar[rrd] & H^2(X, \mathcal{H}^2) & H^3(X, \mathcal{H}^2) \\ H^0(X, \mathcal{H}^1) \ar[rrd] & H^1(X, \mathcal{H}^1) \ar[rrd] & H^2(X, \mathcal{H}^1) & H^3(X, \mathcal{H}^1) \\ H^0(X, \mathcal{H}^0) & H^1(X, \mathcal{H}^0) & H^2(X, \mathcal{H}^0) & H^3(X, \mathcal{H}^0) }\] 차수 \(0\)을 살펴보면 \[H^0_{dR}(X/S) = H^0(X, \mathcal{H}^0)\] 임을 얻는데, 생각해 보면 자명하다. 차수 \(1\)에서는 완전열 \[0 \to H^1(X, \mathcal{H}^0) \to H^1_{dR}(X/S) \to H^0(X, \mathcal{H}^1) \to H^2(X, \mathcal{H}^0) \to H^2_{dR}(X/S)\] 을 얻는다. \(X \to S\)가 매끄럽고 \(S\)의 표수가 \(p\)이면 층 \(\mathcal{H}^q\)를 어떤 미분형식 층들을 사용하여 계산할 수 있으며, 켤레 스펙트럼 수열은 유용한 도구가 된다(여기에 추후 참조를 삽입할 것).

호지 여과

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(H^n_{dR}(X/S)\) 위의 호지 여과는 호지–드람 스펙트럼 수열이 유도하는 여과이다(호몰로지 대수의 정의 012P). 오해를 피하기 위하여 이를 다음과 같이 명시적으로 정의한다.

정의

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(H^n_{dR}(X/S)\) 위의 호지 여과는 그 항들이 \[F^pH^n_{dR}(X/S) = \Im\left(H^n(X, \sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow H^n_{dR}(X/S)\right)\] 로 주어지는 여과이다. 여기서 \(\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}\)는 호몰로지 대수의 절 0118에서 정의한 것이다.

물론 \(\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}\)는 상대 드람 복합체의 부분복합체이며, 상대 드람 복합체의 여과 \[\Omega^\bullet_{X/S} = \sigma_{\geq 0}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \sigma_{\geq 2}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \sigma_{\geq 3}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \ldots\] 를 얻고 \(\text{gr}^p(\Omega^\bullet_{X/S}) = \Omega^p_{X/S}[-p]\)가 성립한다. \(\Omega^\bullet_{X/S}\)를 여과된 층 복합체로 보아 층 코호몰로지의 보조정리 0BKK에서 구성한 스펙트럼 수열은 절 0FM6에서 구성한 호지–드람 스펙트럼 수열과 같다. 층 코호몰로지의 예 0FLK를 보라. 또한 쐐기곱 (0FM2)는 \(\text{Tot}(\sigma_{\geq i}\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq j}\Omega^\bullet_{X/S})\)를 \(\sigma_{\geq i + j}\Omega^\bullet_{X/S}\)로 보낸다. 따라서 가환 도식 \[\xymatrix{ H^n(X, \sigma_{\geq i}\Omega^\bullet_{X/S})) \times H^m(X, \sigma_{\geq j}\Omega^\bullet_{X/S})) \ar[r] \ar[d] & H^{n + m}(X, \sigma_{\geq i + j}\Omega^\bullet_{X/S})) \ar[d] \\ H^n_{dR}(X/S) \times H^m_{dR}(X/S) \ar[r]^\cup & H^{n + m}_{dR}(X/S) }\] 을 얻는다. 특히 \[F^iH^n_{dR}(X/S) \cup F^jH^m_{dR}(X/S) \subset F^{i + j}H^{n + m}_{dR}(X/S)\] 임을 알 수 있다.

퀴네트 공식

드람 코호몰로지의 중요한 특징 가운데 하나는 퀴네트 공식이 존재한다는 것이다.

\(a : X \to S\)와 \(b : Y \to S\)를 공역이 같은 스킴의 사상이라 하자. \(p : X \times_S Y \to X\)와 \(q : X \times_S Y \to Y\)를 사영 사상이라 하고 \(f = a \circ p = b \circ q\)로 놓자. 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ & X \times_S Y \ar[ld]^p \ar[rd]_q \ar[dd]^f \\ X \ar[rd]_a & & Y \ar[ld]^b \\ & S }\] 이 절에서는 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 주어졌을 때 \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\] 로 놓는다. 준연접 가군 위의 쌍함자 \((\mathcal{F}, \mathcal{G}) \mapsto \mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G}\) 는 준연접 가군과 \(S\) 위의 유한 차수 미분 작용소 위의 쌍함자로 확장된다. 스킴의 사상의 주석 0G46을 보라. 드람 복합체 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)와 \(\Omega^\bullet_{Y/S}\)의 미분은 가군층의 보조정리 0G3Z에 의해 차수 \(1\)인 \(S\) 위의 미분 작용소이다. 따라서 복합체 \[\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X/S} \boxtimes \Omega^\bullet_{Y/S})\] 를 생각하는 것은 의미가 있다. 스킴의 유도 범주의 절 0G4A의 논의를 보라.

보조정리

위 상황에서 복합체의 표준 동형사상 \[\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X/S} \boxtimes \Omega^\bullet_{Y/S}) \longrightarrow \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}\] 이 존재하며, 이 복합체들은 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군의 복합체이다.

증명

스킴의 사상의 보조정리 01V1에 의해 \(\Omega_{X \times_S Y/S} = p^*\Omega_{X/S} \oplus q^*\Omega_{Y/S}\) 임을 알고 있다. 외대수의 각 차수 성분을 취하면 \[\Omega^n_{X \times_S Y/S} = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} p^*\Omega^i_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\Omega^j_{Y/S} = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} \Omega^i_{X/S} \boxtimes \Omega^j_{Y/S}\] 를 얻는다. 이는 외대수의 기본 성질에서 따른다. 이 식별들은 보조정리의 화살표 왼쪽과 오른쪽에 있는 복합체의 항들 사이의 동형사상들을 정한다. 이 사상들이 미분과 양립한다는 확인은 생략한다.

\(A = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)로 놓자. 보조정리 0FMA의 결과와 스킴의 유도 범주의 식 (0FLR)의 사상을 결합하면 컵곱 \[R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{Y/S}) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S})\] 을 얻는다. 코호몰로지 수준에서는 대수학 심화의 절 068G의 논의를 사용하여 표준 사상 \[H^i_{dR}(X/S) \otimes_A H^j_{dR}(Y/S) \longrightarrow H^{i + j}_{dR}(X \times_S Y/S),\quad (\xi, \zeta) \longmapsto p^*\xi \cup q^*\zeta\] 을 얻는다. 위 구성은 실제로 먼저 당긴 다음 컵곱을 취하는 순서로 이루어진다는 점에 유의하자.

보조정리

\(X\)와 \(Y\)가 \(S = \Spec(A)\) 위에서 매끄럽고 준콤팩트이며 대각 사상이 아핀이라고 가정하자. 그러면 사상 \[R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{Y/S}) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S})\] 은 \(D(A)\)에서 동형사상이다.

증명

스킴의 사상의 보조정리 02G1에 의해 층 \(\Omega^n_{X/S}\)와 \(\Omega^m_{Y/S}\)는 각각 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군과 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. 한편 \(X\)와 \(Y\)는 \(S\) 위에서 평탄하다(스킴의 사상의 보조정리 01VF). 따라서 \(\Omega^n_{X/S}\)와 \(\Omega^m_{Y/S}\)는 \(S\) 위에서 평탄하다. 또한 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)는 국소 유계임에 유의하자. 이제 보조정리 0FMA와 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FLT을 적용하면 결론을 얻는다.

컵곱에는 상대적 판본, 즉 사상 \[Ra_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*\Omega^\bullet_{Y/S} \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}\] 이 \(D(\mathcal{O}_S)\)에 존재한다. 이 구성은 보조정리 0FMA와 스킴의 유도 범주의 식 (0G4B)의 사상을 결합한다. 이 구성에 따르면 이 사상은 다음 도식으로 주어진다. \[\xymatrix{ Ra_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*\Omega^\bullet_{Y/S} \ar[d]^{\text{수반의 단위원}} \\ Rf_*(p^{-1}\Omega^\bullet_{X/S}) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*(q^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}) \ar[r] \ar[d]^{\text{상대 컵곱}} & Rf_*(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \ar[d]^{\text{상대 컵곱}} \\ Rf_*(p^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} q^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}) \ar[d]^{\text{유도 텐서곱에서 보통 텐서곱으로}} \ar[r] & Rf_*(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \ar[d]^{\text{유도 텐서곱에서 보통 텐서곱으로}} \\ Rf_*\text{Tot}(p^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}) \ar[r] \ar[d]^{\text{표준 사상}} & Rf_*\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \ar[d]^{\eta \otimes \omega \mapsto \eta \wedge \omega} \\ Rf_*\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X/S} \boxtimes \Omega^\bullet_{Y/S}) \ar@{=}[r] & Rf_*\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S} }\] 여기서 첫 번째 화살표는 수반의 단위원 \(\text{id} \to Rp_* p^{-1}\)와 \(\text{id} \to Rq_* q^{-1}\), 그리고 식별 \(Rf_* p^{-1} = Ra_* Rp_* p^{-1}\)와 \(Rf_* q^{-1} = Rb_* Rq_* q^{-1}\)를 사용한다. 두 번째 화살표는 층 코호몰로지의 주석 0B68의 상대 컵곱이다. 세 번째 화살표는 복합체의 유도 텐서곱을 복합체 텐서곱의 전체화로 보내는 사상이다. 마지막 등식은 보조정리 0FMA이다. 이 구성은 전역 절단 위에서 앞서 제시한 구성을 되찾는다.

보조정리

\(X \to S\)와 \(Y \to S\)가 매끄럽고 준콤팩트이며, 사상 \(X \to X \times_S X\)와 \(Y \to Y \times_S Y\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 상대 컵곱 \[Ra_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*\Omega^\bullet_{Y/S} \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}\] 은 \(D(\mathcal{O}_S)\)에서 동형사상이다.

증명

보조정리 0FMB의 즉각적인 귀결이다.

드람 코호몰로지의 제1 천 특성류

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 복합체의 사상 \[\text{d}\log : \mathcal{O}_X^*[-1] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\] 이 존재하며, 이는 절단 \(g \in \mathcal{O}_X^*(U)\)를 절단 \(\text{d}\log(g) = g^{-1}\text{d}g\), 즉 \(\Omega^1_{X/S}(U)\)의 절단으로 보낸다. 따라서 사상 \[\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*) = H^2(X, \mathcal{O}_X^*[-1]) \longrightarrow H^2_{dR}(X/S)\] 을 생각할 수 있다. 여기서 첫 번째 등식은 층 코호몰로지의 보조정리 09NU이다. 가역 가군 \(\mathcal{L}\)의 동형류의 상을 \(c^{dR}_1(\mathcal{L}) \in H^2_{dR}(X/S)\)로 표기한다.

또한 사상 \(\text{d}\log : \mathcal{O}_X^* \to \Omega^1_{X/S}\)를 사용하여 호지 코호몰로지의 천 특성류 \[c_1^{Hodge} : \Pic(X) \longrightarrow H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \subset H^2_{Hodge}(X/S)\] 를 정의할 수 있다. 이 구성들은 당김과 양립한다.

보조정리

스킴의 가환도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 이 주어지면 다음 도식들은 가환한다. \[\xymatrix{ \Pic(X') \ar[d]_{c_1^{dR}} & \Pic(X) \ar[d]^{c_1^{dR}} \ar[l]^{f^*} \\ H^2_{dR}(X'/S') & H^2_{dR}(X/S) \ar[l]_{f^*} } \quad \xymatrix{ \Pic(X') \ar[d]_{c_1^{Hodge}} & \Pic(X) \ar[d]^{c_1^{Hodge}} \ar[l]^{f^*} \\ H^1(X', \Omega^1_{X'/S'}) & H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[l]_{f^*} }\]

증명

생략한다.

Čech 코호몰로지에서 원소 \(c^{dR}_1(\mathcal{L})\)를 “계산”해 보자 (Čech 미분의 부호 규칙은 층 코호몰로지의 절 01FP에서와 같다). 구체적으로, 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하되, \(s_i\)가 \(\mathcal{L}|_{U_i}\)의 자명화 절단이 되게 한다. 이는 모든 \(i\)에 대해 이루어진다. 겹침 \(U_{i_0i_1} = U_{i_0} \cap U_{i_1}\) 위에는 가역 함수 \(f_{i_0i_1}\)가 있어서 \(f_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} s_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}^{-1}\)이다¹. 물론 \[f_{i_1i_2}|_{U_{i_0i_1i_2}} f_{i_0i_2}^{-1}|_{U_{i_0i_1i_2}} f_{i_0i_1}|_{U_{i_0i_1i_2}} = 1\] 이다. \(\mathcal{L}\)의 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)에서의 코호몰로지류는 코사이클 \(\{f_{i_0i_1}\}\)의 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_X^*)\)에서의 Čech 코호몰로지류의 상이다. 따라서 \(c_1^{dR}(\mathcal{L})\)은 Čech 코사이클 \(\{\alpha_{i_0 \ldots i_p}\}\)에 대응하는 코호몰로지류의 상이다. 이 코사이클은 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/S}^\bullet))\) 안에서 차수 \(2\)이고 다음과 같이 주어진다.

1. \(\alpha_{i_0} = 0\)이며, 이는 \(\Omega^2_{X/S}(U_{i_0})\)에서의 등식이다.

2. \(\alpha_{i_0i_1} = f_{i_0i_1}^{-1}\text{d}f_{i_0i_1}\)이며, 이는 \(\Omega^1_{X/S}(U_{i_0i_1})\)에서의 등식이다.

3. \(\alpha_{i_0i_1i_2} = 0\)이며, 이는 \(\mathcal{O}_{X/S}(U_{i_0i_1i_2})\)에서의 등식이다.

가역 가군 \(\mathcal{L}_k\), \(k = 1, \ldots, a\)가 주어져 있고, 각각이 \(U_i\) 위에서 자명화되어 있다고 하자. 이는 모든 \(i \in I\)에 대해 성립하며, 위와 같은 코사이클 \(f_{k, i_0i_1}\)와 \(\alpha_k = \{\alpha_{k, i_0 \ldots i_p}\}\)를 준다고 하자. 층 코호몰로지의 절 01FP의 규칙을 사용하면 \[\beta = \alpha_1 \cup \alpha_2 \cup \ldots \cup \alpha_a\] 는 다음과 같은 코사이클 \(\beta = \{\beta_{i_0 \ldots i_p}\}\)로 주어짐을 계산할 수 있다.

1. \(\beta_{i_0 \ldots i_p} = 0\)이며, 이는 \(\Omega^{2a - p}_{X/S}(U_{i_0 \ldots i_p})\)에서의 등식이다. 단, \(p = a\)인 경우는 제외한다.

2. \(\beta_{i_0 \ldots i_a} = (-1)^{a(a - 1)/2} \alpha_{1, i_0i_1} \wedge \alpha_{2, i_1 i_2} \wedge \ldots \wedge \alpha_{a, i_{a - 1}i_a}\)이며, 이는 \(\Omega^a_{X/S}(U_{i_0 \ldots i_a})\)에서의 등식이다.

따라서 이는 \(c_1^{dR}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{dR}(\mathcal{L}_a)\)를 대표하는 코사이클이다. 물론 같은 계산으로 코사이클 \(\{\beta_{i_0 \ldots i_a}\}\)가 \(\check{\mathcal{C}}^a(\mathcal{U}, \Omega_{X/S}^a))\) 안에서 코호몰로지류 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_a)\)를 대표함을 알 수 있다.

주

위의 계산을 더 추상적인 용어로 다시 서술해 보자. \(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\text{d}\log\)를 사상 \[\mathcal{O}_X^*[-1] \to \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S}\] 으로 보면, 위와 같이 \(\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)를 사용하여 코호몰로지류 \[\gamma_1(\mathcal{L}) \in H^2(X, \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S})\] 를 얻는다. \(\gamma_1(\mathcal{L})\)의 사상 \(\sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}\)에 의한 상은 \(c_1^{dR}(\mathcal{L})\)이다. 특히 \(c_1^{dR}(\mathcal{L}) \in F^1H^2_{dR}(X/S)\)임을 알 수 있다. 절 0FM7을 보라. \(\gamma_1(\mathcal{L})\)의 사상 \(\sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^1_{X/S}[-1]\)에 의한 상은 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})\)이다. 컵곱을 취하면(절 0FM7을 보라) \[\xi = \gamma_1(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup \gamma_1(\mathcal{L}_a) \in H^{2a}(X, \sigma_{\geq a}\Omega^\bullet_{X/S})\] 를 얻는다. 절 0FM7의 가환도식들에 따르면, \(\xi\)는 \(c_1^{dR}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{dR}(\mathcal{L}_a)\) 의 \(H^{2a}_{dR}(X/S)\) 안의 원소로 사상 \(\sigma_{\geq a}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}\)에 의해 보내진다. 또한 이로부터 \(c_1^{dR}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{dR}(\mathcal{L}_a)\) 가 \(F^a H^{2a}_{dR}(X/S)\)에 속함이 따른다. 마찬가지로 사상 \(\sigma_{\geq a}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^a_{X/S}[-a]\) 은 \(\xi\)를 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_a)\) 의 \(H^a(X, \Omega^a_{X/S})\) 안의 원소로 보낸다.

주

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(i > 0\)일 때, 다음 꼴의 국소 절단들로 생성되는 아벨 부분층 \(\Omega^i_{X/S, log} \subset \Omega^i_{X/S}\)를 생각하자. \[\text{d}\log(u_1) \wedge \ldots \wedge \text{d}\log(u_i)\] 여기서 \(u_1, \ldots, u_n\)은 \(\mathcal{O}_X\)의 가역 국소 절단들이다. \(i = 0\)일 때 부분층 \(\Omega^0_{X/S, log} \subset \mathcal{O}_X\)는 \(\mathbf{Z} \to \mathcal{O}_X\)의 상이다. 모든 \(i \geq 0\)에 대해 복합체의 사상 \[\Omega^i_{X/S, log}[-i] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\] 이 존재한다. 로그 형식의 미분이 영이기 때문이다. 또한 로그 형식들의 쐐기곱은 다시 로그 형식이므로 쌍선형 사상 \[\wedge : \Omega^i_{X/S, log} \times \Omega^j_{X/S, log} \longrightarrow \Omega^{i + j}_{X/S, log}\] 을 얻으며, 이는 (0FM2) 및 위의 사상들과 양립한다. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 아벨 층의 사상 \(\text{d}\log : \mathcal{O}_X^* \to \Omega^1_{X/S, log}\) 과 식별 \(\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)을 사용하면 표준 코호몰로지류 \[\tilde \gamma_1(\mathcal{L}) \in H^1(X, \Omega^1_{X/S, log})\] 를 얻는다. 이 코호몰로지류들은 다음 성질들을 갖는다.

1. \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\)의 표준 사상 \(\Omega^1_{X/S, log}[-1] \to \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S}\)에 의한 상은 \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\)을 류 \(\gamma_1(\mathcal{L}) \in H^2(X, \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S})\) 로 보낸다. 여기서 이 류는 주석 0FME의 류이다.

2. \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\)의 표준 사상 \(\Omega^1_{X/S, log}[-1] \to \Omega^\bullet_{X/S}\)에 의한 상은 \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\)을 \(c_1^{dR}(\mathcal{L})\)의 \(H^2_{dR}(X/S)\) 안의 원소로 보낸다.

3. \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\)의 표준 사상 \(\Omega^1_{X/S, log} \to \Omega^1_{X/S}\)에 의한 상은 \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\)을 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})\)의 \(H^1(X, \Omega^1_{X/S})\) 안의 원소로 보낸다.

4. 이 류들의 구성은 당김과 양립한다.

5. 여기에 더 추가한다.

선다발의 드람 코호몰로지

선다발은 벡터 다발의 특수한 경우이고, 벡터 다발은 다시 어떤 추가 구조가 주어진 원뿔이다. 이들의 드람 복합체를 제대로 논하려면 먼저 등급환의 드람 복합체를 논하는 것이 자연스럽다.

주

\(G\)를 중성원 \(0\)을 갖고 덧셈으로 표기한 아벨 모노이드라 하자. \(R \to A\)를 환 사상이라 하고, \(A\)에 등급 \(A = \bigoplus_{g \in G} A_g\)가 주어졌다고 하자. 이는 \(R\)-가군들에 의한 등급이고, \(R\)은 \(A_0\)으로 가며 \(A_g \cdot A_{g'} \subset A_{g + g'}\)라고 하자. 그러면 미분 가군에는 등급 \[\Omega_{A/R} = \bigoplus\nolimits_{g \in G} \Omega_{A/R, g}\] 이 주어진다. 여기서 \(\Omega_{A/R, g}\)는 \(R\)-부분가군이고 \(\Omega_{A/R}\)에 들어가며, \(a_0 \text{d}a_1\)들로 생성된다. 여기서 \(a_i \in A_{g_i}\)이고 \(g = g_0 + g_1\)이다. 마찬가지로 \[\Omega^p_{A/R} = \bigoplus\nolimits_{g \in G} \Omega^p_{A/R, g}\] 를 얻는다. 여기서 \(\Omega^p_{A/R, g}\)는 \(R\)-부분가군이고 \(\Omega^p_{A/R}\)에 들어가며, \(a_0 \text{d}a_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}a_p\)들로 생성된다. 여기서 \(a_i \in A_{g_i}\)이고 \(g = g_0 + g_1 + \ldots + g_p\)이다. 물론 미분은 등급을 보존하고, 쐐기곱은 자명한 방식으로 등급들과 양립한다.

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\pi : C \to X\)를 원뿔이라 하자. 스킴의 구성의 정의 062R를 보라. 이는 \(\pi\)가 아핀이고 등급 \(\pi_*\mathcal{O}_C = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\)이 있으며 \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}_X\)라는 뜻임을 상기하자. 아핀 열린집합 위에서 주석 0FU9의 논의를 사용하면² \[\pi_*(\Omega^\bullet_{C/S}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Omega^\bullet_{C/S, n}\] 가 부분복합체들의 표준 직합임을 알 수 있다. 더욱이 분해 \[\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{C/S, 0} \to \pi_*(\Omega^\bullet_{C/S})\] 가 있고, \(\omega \wedge \eta \in \Omega^{p + q}_{C/S, n + m}\)임을 안다. 여기서 \(\omega \in \Omega^p_{C/S, n}\)이고 \(\eta \in \Omega^q_{C/S, m}\)이다.

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\pi : L \to X\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 결부한 선다발이라 하자. 이는 \(\pi\)가 다음 등식을 만족하는 유일한 아핀 사상이라는 뜻이다. \[\pi_*\mathcal{O}_L = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 이는 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 등식이다. 따라서 \(L\)은 \(X\) 위의 원뿔이다. 위의 논의로부터 표준 직합 분해 \[\pi_*(\Omega^\bullet_{L/S}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Omega^\bullet_{L/S, n}\] 를 얻는다. 이는 쐐기곱 및 위의 \(\pi_*\mathcal{O}_L\)의 분해와 양립하고, \(\Omega_{X/S}\)는 부분 \(\Omega_{L/S, 0}\)으로 가며 이 부분의 차수는 \(0\)이다.

우리에게 유용할 또 다른 경우가 있다. 즉, 다음 여집합을 생각하자³ \(L^\star \subset L\), 즉 영절단 \(o : X \to L\)의 선다발 \(L\) 안에서의 여집합이다. 국소 계산으로 표준 동형 \[(L^\star \to X)_*\mathcal{O}_{L^\star} = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 을 얻으며, 이는 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 동형이다. 우변은 \(\mathbf{Z}\)-등급 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수이다. 아핀 열린집합 위에서 주석 0FU9의 논의를 사용하면 \[(L^\star \to X)_*(\Omega^\bullet_{L^\star/S}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Omega^\bullet_{L^\star/S, n}\] 를 얻는다. 이는 쐐기곱 및 위의 \((L^\star \to X)_*\mathcal{O}_{L^\star}\)의 분해와 양립하며, \(\Omega_{X/S}\)는 부분 \(\Omega_{L^\star/S, 0}\)으로 가고 이 부분의 차수는 \(0\)이다. 우리는 특히 복합체 \(\Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\)에 관심을 둘 것이다.

보조정리

위의 표기 아래 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0} \to \Omega^\bullet_{X/S}[-1] \to 0\]

증명

위에서 사상 \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\)을 구성하였다.

\(\text{Res} : \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0} \to \Omega^\bullet_{X/S}[-1]\)의 구성. \(U \subset X\)를 열린집합이라 하고, 절단 \(s \in \mathcal{L}(U)\)와 \(s' \in \mathcal{L}^{\otimes -1}(U)\)가 \(s' s = 1\)을 만족한다고 하자. 그러면 \(s\)는 대수층 \((L^\star \to X)_*\mathcal{O}_{L^\star}\)의 \(U\) 위 가역 절단을 주며 그 역은 \(s' = s^{-1}\)이다. 따라서 \(1\)-형식 \(\text{d}\log(s) = s' \text{d}(s)\)를 생각할 수 있다. 이는 \(\Omega^1_{L^\star/S, 0}(U)\)의 원소이며, 그 사실은 \(\Omega^1_{L^\star/S}\)에 둔 등급의 구성에 따른다. 아래의 아핀 계산으로부터 \(1\)과 \(\text{d}\log(s)\)가 \(\Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}|_U\)를 자유롭게 생성함을 알 수 있다. 여기서 이는 \(\Omega^\bullet_{X/S}|_U\) 위의 오른쪽 가군이다. 따라서 \(\text{Res}\)를 \(U\) 위에서 다음 규칙으로 정의할 수 있다. \[\text{Res}(\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega) = \omega\] 이는 모든 \(\omega', \omega \in \Omega^\bullet_{X/S}(U)\)에 대해 적용한다. 이 사상은 국소 생성원 \(s\)의 선택과 무관하므로 붙여서 전역 사상을 준다. 실제로 \(s\)의 다른 선택은 \(gs\) 꼴이고, 여기서 \(g \in \mathcal{O}_X(U)\)는 가역원이다. 이때 \(\text{d}\log(gs) = g^{-1}\text{d}(g) + \text{d}\log(s)\)를 얻으므로 독립성이 쉽게 따른다. 마지막으로 \(\text{Res}\)에 대한 이 규칙은 미분과 양립한다. 실제로 \(\text{d}(\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega) = \text{d}(\omega') - \text{d}\log(s) \wedge \text{d}(\omega)\)이고, 호몰로지 대수의 정의 011G에서 택한 부호 규약에 따라 \(\Omega^\bullet_{X/S}[-1]\)의 미분은 \(\omega'\)를 \(-\text{d}(\omega')\)로 보낸다.

국소 계산. \(X\)를 아핀 열린집합 \(U \subset X\)들로 덮되 \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\)이고, 각 열린집합이 어떤 아핀 열린집합 \(V \subset S\)로 가게 할 수 있다. \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(R)\)로 쓰고 \(s\)를 생성원으로 택하되, 이는 \(\mathcal{L}\)의 생성원이다. 그러면 \[L^\star \times_X U = \Spec(A[s, s^{-1}])\] 이다. 미분을 계산하면 \[\Omega^1_{A[s, s^{-1}]/R} = A[s, s^{-1}] \otimes_A \Omega^1_{A/R} \oplus A[s, s^{-1}] \text{d}\log(s)\] 이고, 따라서 외대수의 각 차수 성분을 취하여 \[\Omega^p_{A[s, s^{-1}]/R} = A[s, s^{-1}] \otimes_A \Omega^p_{A/R} \oplus A[s, s^{-1}] \text{d}\log(s) \otimes_A \Omega^{p - 1}_{A/R}\] 을 얻는다. 차수 \(0\)인 부분을 취하면 \[\Omega^p_{A[s, s^{-1}]/R, 0} = \Omega^p_{A/R} \oplus \text{d}\log(s) \otimes_A \Omega^{p - 1}_{A/R}\] 을 얻으며, 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

보조정리 0FUF의 짧은 완전열에서 나오는 “경계” 사상 \(\delta : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\) 은 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에서 \(\xi = c_1^{dR}(\mathcal{L})\)에 대한 주석 0FU7의 사상이다.

증명

정확히 말하면, 보조정리 0FUF의 짧은 완전열을 밀어서 얻는 \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S}[1] \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \to \Omega^\bullet_{X/S} \to 0\] 을 생각한다. 등급이 주어진 \((L^\star \to X)_*\Omega^\bullet_{L^\star/S}\) 의 차수 영인 부분이므로, \(\Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\)은 미분 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수이고 사상 \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\) 은 미분 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준동형임을 알 수 있다. 따라서 \(\Omega^\bullet_{X/S}[1] \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1]\)을 오른쪽 미분 등급 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)-가군들의 \(X\) 위 사상으로 볼 수 있다. 사상 \(\text{Res} : \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \to \Omega^\bullet_{X/S}\) 은 오른쪽 미분 등급 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)-가군들의 사상이다. 실제로 이는 국소적으로 규칙 \(\text{Res}(\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega) = \omega\)로 정의된다. 보조정리 0FUF의 증명을 보라. 그러므로 미분 등급 층의 절 0FU3의 논의에 의해 \(\delta\)는 사상 \(\delta' : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\)에서 온다. 이는 드람 복합체 위의 오른쪽 미분 등급 가군의 유도범주 \(D(\Omega^\bullet_{X/S}, \text{d})\) 안의 사상이다. 주석 0FU7에서 단언한 유일성에 의해 \(\delta(1) = c_1^{dR}(\mathcal{L})\)임을 보이면 충분하다.

다음 가환도식이 존재한다고 주장한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_X^* \ar[r] \ar[d]_{\text{d}\log} & E \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S} \ar[r] & 0 }\] 여기서 윗행은 아벨 층들의 짧은 완전열이고, 그 경계 사상은 \(1\)을 \(\mathcal{L}\)의 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) 안의 류로 보낸다. 경계 사상이 짧은 완전열 사이의 사상과 양립하므로 이 주장을 증명하면 충분하다. \(E\)를 다음 규칙의 층화로 정의한다. \[U \longmapsto \{(s, n) \mid n \in \mathbf{Z},\ s \in \mathcal{L}^{\otimes n}(U)\text{ 생성원}\}\] 군 구조는 \((s, n) \cdot (t, m) = (s \otimes t, n + m)\)로 주어진다. 가운데 세로 사상은 \((s, n)\)을 \(\text{d}\log(s)\)로 보낸다. 이는 짧은 완전열들의 사상을 준다. 실제로 사상 \(Res : \Omega^1_{L^\star/S, 0} \to \mathcal{O}_X\)을 보조정리 0FUF의 증명에서 구성하였다. 이 사상은 \(\text{d}\log(s)\)를 \(1\)로 보낸다. 여기서 \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 국소 생성원이다. 윗행에서 \(1\)의 경계를 계산하기 위해 국소 자명화 \(s_i\)를 택하자. 이는 \(\mathcal{L}\)의 것이고 열린집합 \(U_i\) 위에 있다. 절 0FLE에서와 같이 택한다. 겹침 \(U_{i_0i_1} = U_{i_0} \cap U_{i_1}\) 위에는 다음을 만족하는 가역 함수 \(f_{i_0i_1}\)가 있다. \(f_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} s_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}^{-1}\) 그리고 \(\mathcal{L}\)의 코호몰로지류는 Čech 코사이클 \(\{f_{i_0i_1}\}\)로 주어진다. 그러면 물론 \[(f_{i_0i_1}, 0) = (s_{i_1}, 1)|_{U_{i_0i_1}} \cdot (s_{i_0}, 1)|_{U_{i_0i_1}}^{-1}\] 가 \(E\)의 절단으로서 성립하며, 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

위의 표기 아래 다음이 성립한다.

1. \(\Omega^p_{L^\star/S, n} = \Omega^p_{L^\star/S, 0} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 이다. 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 등식이다.

2. \(\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^\bullet_{L/X, 0}\) 가 복합체의 등식으로서 성립한다.

3. \(n > 0\) 및 \(p \geq 0\)이면 \(\Omega^p_{L/X, n} = \Omega^p_{L^\star/S, n}\).

증명

각 경우에 전역적으로 정의된 표준 사상이 있고, 생략하는 국소 계산에 의해 그 사상은 동형이다.

보조정리

위의 상황에서 사상 \(S \to \Spec(\mathbf{Q})\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \pi_*\Omega^\bullet_{L/S}\)는 준동형이고 \(H_{dR}^*(X/S) = H_{dR}^*(L/S)\)이다.

증명

\(R\)을 \(\mathbf{Q}\)-대수라 하고, \(A\)를 \(R\)-대수라 하자. 아핀 국소 명제는 사상 \[\Omega^\bullet_{A/R} \longrightarrow \Omega^\bullet_{A[t]/R}\] 이 \(R\)-가군의 복합체들의 준동형이라는 것이다. 사실 이는 호모토피 동치이고, 그 호모토피 역은 \(g \omega + g' \text{d}t \wedge \omega'\)를 \(g(0)\omega\)로 보내는 사상으로 주어진다. 여기서 \(g, g' \in A[t]\)이고 \(\omega, \omega' \in \Omega^\bullet_{A/R}\)이다. 호모토피는 \(g \omega + g' \text{d}t \wedge \omega'\)를 \((\int g') \omega'\)로 보낸다. 여기서 \(\int g' \in A[t]\)는 상수항이 영이고 \(t\)에 관한 미분이 \(g'\)인 다항식이다. 물론 여기서는 \(R\)이 \(\mathbf{Q}\)를 포함한다는 사실을 사용한다. 실제로 \(\int t^n = (1/n)t^{n + 1}\)이다.

예

양의 표수에서는 보조정리 0FUI가 거짓이다. \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\)의 체 \(k\) 위 드람 복합체는 직합 \[k \oplus \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} (k \cdot t^n \xrightarrow{n} k \cdot t^{n - 1} \text{d}t)\] 처럼 보인다. 따라서 \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이면 \(H^0_{dR}(\mathbf{A}^1_k/k)\)와 \(H^1_{dR}(\mathbf{A}^1_k/k)\) 는 둘 다 \(k\) 위에서 무한 차원이다.

사영공간의 드람 코호몰로지

\(A\)를 환이라 하고 \(n \geq 1\)이라 하자. 구조 사상 \(\mathbf{P}^n_A \to \Spec(A)\)은 고유하고 매끄러우며 상대차원이 \(n\)이다. 이 사상이 상대차원 \(n\)으로 매끄럽고 유한형인 것은 \(\mathbf{P}^n_A\)가 각각 \(\mathbf{A}^n_A\)와 동형인 스킴들로 이루어진 유한 아핀 열린 덮개를 갖기 때문이다. 스킴의 구성의 보조정리 01NG를 보라. 또한 이 사상은 분리이고 보편적으로 닫혀 있으므로 고유하다 (스킴의 구성의 보조정리 01NH). \(\mathcal{O}\)와 \(\mathcal{O}(d)\)로 각각 구조층 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}\)와 세르 꼬임 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\)를 나타내자. 상대 미분층을 \(\Omega = \Omega_{\mathbf{P}^n_A/A}\)로 나타내고, 그 외대수의 p차 성분을 \(\Omega^p\)로 나타내자.

보조정리

다음 짧은 완전열이 존재한다. \[0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} \to \mathcal{O} \to 0\]

증명

이를 설명하기 위해 \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\), 임을 상기하고, 기호상 다음과 같이 쓰자. \[\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} = \bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j\] 위 짧은 완전열의 첫 번째 화살표 \[\Omega \to \bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j\] 는 위에서 언급한 각 표준 열린집합 \(D_+(T_i) = \Spec(A[T_0/T_i, \ldots, T_n/T_i])\) 위에서 다음 규칙으로 주어진다. \[\sum\nolimits_{j \not = i} g_j \text{d}(T_j/T_i) \longmapsto \sum\nolimits_{j \not = i} g_j/T_i \text{d}T_j - (\sum\nolimits_{j \not = i} g_jT_j/T_i^2) \text{d}T_i\] \(1/T_i\)가 \(\mathcal{O}(-1)\)의 \(D_+(T_i)\) 위 단면이므로 이는 의미가 있다. 사상 \[\bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j \to \mathcal{O}\] 는 \(\text{d}T_j\)를 \(T_j\)로 보내어 주어진다. 더 정확히 말해 \(D_+(T_i)\) 위에서 단면 \(\sum g_j \text{d}T_j\)를 \(\sum T_jg_j\)로 보낸다. 이것이 짧은 완전열을 준다는 확인은 생략한다.

정수 \(k \in \mathbf{Z}\)와 준연접 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때, 통상대로 \(\mathcal{F}(k)\)로 나타내자. 이는 \(k\)번째 세르 꼬임을 \(\mathcal{F}\)에 취한 것이다. 스킴의 구성의 정의 01MN를 보라.

보조정리

위 상황에서 코호몰로지 군들은 다음 성질을 갖는다.

1. \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p) = 0\) 이며, 유일한 예외는 \(0 \leq p = q \leq n\)인 경우이다.

2. \(0 \leq p \leq n\)이면 \(A\)-가군 \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\)는 계수 \(1\)인 자유 가군이다.

3. \(q > 0\), \(k > 0\)이고 \(p\)가 임의이면 \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p(k)) = 0\)이다.

4. 여기에 더 추가한다.

증명

이하에서는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XT 의 결과를 더 언급하지 않고 사용한다. 특히 이 명제들은 \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O}(k))\)에 대해 참이다.

\(p = 1\)인 경우를 증명하자. 짧은 완전열 \[0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} \to \mathcal{O} \to 0\] 을 생각하자. 이는 보조정리 0FMH의 완전열이다. \(\mathcal{O}(-1)\)의 코호몰로지가 모든 차수에서 소멸하므로, \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega)\)는 차수 \(1\)을 제외하면 영이고, 그 차수에서는 \(1\)의 경계에 의해 자유롭게 생성된다. 이 원소는 \(H^0(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O})\)에서 취한다.

\(p > 1\)이라고 가정하자. 위 짧은 완전열을 \(2\)단계 여과를 \(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\) 위에 정의하는 것으로 생각하자. \(\wedge^p\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\) 위에 유도되는 여과는 다음과 같다. \[0 \to \Omega^p \to \wedge^p\left(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\right) \to \Omega^{p - 1} \to 0\] \(\wedge^p\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\)은 \(n + 1\)개에서 \(p\)개를 고르는 수만큼의 \(\mathcal{O}(-p)\)들의 직합과 동형이고, 따라서 모든 차수에서 코호몰로지가 소멸한다. 귀납 가정에 의해 \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\)는 \(q = p\)가 아니면 영이고, \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\)는 계수 \(1\)인 자유 가군이며 그 생성원은 \(H^{p - 1}(\mathbf{P}^n_A, \Omega^{p - 1})\)의 생성원의 경계이다.

\(k > 0\)이라 하자. 예를 들어 \(\Omega^n = \mathcal{O}(-n - 1)\)이고, 이는 위 짧은 완전열에서 \(p = n + 1\)로 놓으면 알 수 있다. 따라서 \(\Omega^n(k)\)의 코호몰로지는 양의 차수에서 소멸한다. 짧은 완전열 \[0 \to \Omega^p(k) \to \wedge^p\left(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\right)(k) \to \Omega^{p - 1}(k) \to 0\] 과 \(p\)에 관한 내림 귀납법을 사용하면 \(\Omega^p(k)\)의 코호몰로지가 양의 차수에서 소멸함을 얻으며, 이는 모든 \(p\)에 대해 성립한다.

보조정리

\(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p) = 0\)이며, 유일한 예외는 \(0 \leq p = q \leq n\)인 경우이다. \(0 \leq p \leq n\)이면 \(A\)-가군 \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\)는 계수 \(1\)인 자유 가군이고, 기저원은 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^p\)이다.

증명

소멸성과 자유성은 보조정리 0FUK에서 따른다. \(p = 0\)이면 \(1 \in H^0(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O})\)가 생성원임은 분명하다.

\(p = 1\)인 경우를 증명하자. 짧은 완전열 \[0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} \to \mathcal{O} \to 0\] 을 생각하자. 이는 보조정리 0FMH의 완전열이다. 보조정리 0FUK의 증명에서 \(H^1(\mathbf{P}^n_A, \Omega)\)의 생성원이 경계 \(\xi\)이고, 이것은 \(1 \in H^0(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O})\)에서 나온 것임을 보았다. 보조정리 0FMH의 증명에서와 같이 \(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\)을 \(\bigoplus_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1)\text{d}T_j\)와 동일시하자. 열린 덮개 \[\mathcal{U} : \mathbf{P}^n_A = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D_{+}(T_i)\] 를 생각하자. 전역 단면 \(1\)은 \(\mathcal{O}\)의 단면이다. 이를 \(U_i = D_+(T_i)\)에 제한한 것은 단면 \(T_i^{-1} \text{d}T_i\)로 올릴 수 있다. 이 단면은 \(\bigoplus \mathcal{O}(-1)\text{d}T_j\)의 \(U_i\) 위 단면이다. 따라서 \(\xi\)를 나타내는 코사이클은 다음과 같다. \[T_{i_1}^{-1} \text{d}T_{i_1} - T_{i_0}^{-1} \text{d}T_{i_0} = \text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0}) \in \Omega(U_{i_0i_1})\] 한편 각 \(i\)에 대해 단면 \(T_i\)는 \(\mathcal{O}(1)\)의 \(U_i\) 위 자명화 단면이다. 따라서 \(f_{i_0i_1} = T_{i_1}/T_{i_0} \in \mathcal{O}^*(U_{i_0i_1})\)는 \(\mathcal{O}(1)\)을 \(\Pic(\mathbf{P}^n_A)\)에서 나타내는 코사이클이다. 절 0FLE을 보라. 그러므로 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))\)은 코사이클 \(\text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0})\)로 주어지며, 이는 위에서 \(\xi\)에 대해 얻은 것과 일치한다.

일반적인 \(p\)에 대해서는 귀납법으로 증명한다. 기초 단계 \(p = 0, 1\)은 위에서 다루었다. \(p > 1\)이라 가정하자. 보조정리 0FUK의 증명에서 \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\)의 생성원은 다음 짧은 완전열에 수반되는 코호몰로지 긴 완전열에서 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^{p - 1}\)의 경계임을 보았다. \[0 \to \Omega^p \to \wedge^p\left(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\right) \to \Omega^{p - 1} \to 0\] 절 0FLE의 계산에 의해 코호몰로지 류 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^{p - 1}\)은 부호를 제외하면 다음 항들을 갖는 코사이클로 표현된다. \[\beta_{i_0 \ldots i_{p - 1}} = \text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0}) \wedge \text{d}\log(T_{i_2}/T_{i_1}) \wedge \ldots \wedge \text{d}\log(T_{i_{p - 1}}/T_{i_{p - 2}})\] 이는 \(\Omega^{p - 1}(U_{i_0 \ldots i_{p - 1}})\)의 원소이다. 이들 \(\beta_{i_0 \ldots i_{p - 1}}\)는 단면 \(\tilde \beta_{i_0 \ldots i_{p -1}} = T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0} \wedge \beta_{i_0 \ldots i_{p - 1}}\)로 올릴 수 있다. 이는 \(\wedge^p(\bigoplus \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j)\)의 \(U_{i_0 \ldots i_{p - 1}}\) 위 단면이다. 따라서 \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\)의 생성원은 성분이 다음과 같은 코사이클로 주어진다. \[\begin{align*} \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^a \tilde \beta_{i_0 \ldots \hat{i_a} \ldots i_p} & = T_{i_1}^{-1}\text{d}T_{i_1} \wedge \beta_{i_1 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{a = 1}^p (-1)^a T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0} \wedge \beta_{i_0 \ldots \hat{i_a} \ldots i_p} \\ & = (T_{i_1}^{-1}\text{d}T_{i_1} - T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0}) \wedge \beta_{i_1 \ldots i_p} + T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0} \wedge \text{d}(\beta)_{i_0 \ldots i_p} \\ & = \text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0}) \wedge \beta_{i_1 \ldots i_p} \end{align*}\] 이를 \(\Omega^p\)의 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 위 단면으로 본다. 이는 부호를 제외하면 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^p\)를 나타내는 코사이클과 같으므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(0 \leq i \leq n\)이면 드람 코호몰로지 \(H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\)는 자유 \(A\)-가군이고 계수가 \(1\)이며, 기저원은 \(c_1^{dR}(\mathcal{O}(1))^i\)이다. 그 밖의 모든 차수에서 \(\mathbf{P}^n_A\)의 \(A\) 위 드람 코호몰로지는 영이다.

증명

절 0FM6의 호지–드람 스펙트럼 수열을 생각하자. 보조정리 0FMI에서 계산한 \(\mathbf{P}^n_A\)의 \(A\) 위 호지 코호몰로지에 의해, 이 스펙트럼 수열은 \(E_1\) 쪽에서 퇴화한다. 따라서 \(H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\)는 자유 \(A\)-가군이고 계수가 \(1\)이다. 이는 \(0 \leq i \leq n\)일 때 성립하고, 그 밖에는 영이다. \(c_1^{dR}(\mathcal{O}(1))^i \in H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\)이며 \(i = 0, \ldots, n\)임을 주목하자. \(i = n\)일 때 이 원소는 복합체의 사상 아래에서 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})^n\)의 상이다. \[\Omega^n_{\mathbf{P}^n_A/A}[-n] \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathbf{P}^n_A/A}\] 이는 예를 들어 비고 0FME의 논의 또는 절 0FLE에서 이 류들을 나타내는 코사이클의 명시적 기술로부터 따른다. 스펙트럼 수열에 의하면 유도된 사상 \[H^n(\mathbf{P}^n_A, \Omega^n_{\mathbf{P}^n_A/A}) \longrightarrow H^{2n}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\] 은 동형이다. 또한 \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})^n\)이 그 정의역의 생성원이므로 (보조정리 0FMI), \(c_1^{dR}(\mathcal{L})^n\)이 공역의 생성원임을 알 수 있다. 컵곱의 \(A\)-쌍선형성에 의해 \(c_1^{dR}(\mathcal{L})^i\)도 \(H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\)의 생성원이며, 이는 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 성립한다.

매끄러운 사상에 대한 스펙트럼 수열

스킴들의 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[ld]^q \\ & S }\] 을 생각하자. 여기서 \(f\)는 매끄러운 사상이다. 그러면 국소적으로 분할되는 짧은 완전열 \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 을 얻는다(스킴의 사상의 보조정리 02K4). 이를 내림 여과 \(F\)로 생각하자. 이 여과는 \(\Omega_{X/S}\) 위에 놓이며, 여기서 \(F^0\Omega_{X/S} = \Omega_{X/S}\), \(F^1\Omega_{X/S} = f^*\Omega_{Y/S}\)이고 \(F^2\Omega_{X/S} = 0\)이다. 함자 \(\wedge^p\)를 적용하면 각 \(p\)에 대해 유도된 여과 \[\Omega^p_{X/S} = F^0\Omega^p_{X/S} \supset F^1\Omega^p_{X/S} \supset F^2\Omega^p_{X/S} \supset \ldots \supset F^{p + 1}\Omega^p_{X/S} = 0\] 를 얻으며, 그 연속 몫은 \[\text{gr}^k\Omega^p_{X/S} = F^k\Omega^p_{X/S}/F^{k + 1}\Omega^p_{X/S} = f^*\Omega^k_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^{p - k}_{X/Y} = f^{-1}\Omega^k_{Y/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \Omega^{p - k}_{X/Y}\] \(k = 0, \ldots, p\)에 대해 위와 같다. 실제로 라이프니츠 법칙을 사용하면 \(F^k\Omega^\bullet_{X/S}\)가 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)의 부분복합체임을 확인할 수 있다. 이로써 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)는 여과 복합체의 구조를 갖는다. 이는 다음 식을 관찰하여도 알 수 있다. \[F^k\Omega^\bullet_{X/S} = \Im\left(\wedge : \text{Tot}( f^{-1}\sigma_{\geq k}\Omega^\bullet_{Y/S} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\right)\] 이것은 \(X\) 위 복합체 사상의 상이다. 여과 복합체 \[\Omega^\bullet_{X/S} = F^0\Omega^\bullet_{X/S} \supset F^1\Omega^\bullet_{X/S} \supset F^2\Omega^\bullet_{X/S} \supset \ldots\] 의 수반 등급 성분은 다음과 같다. \[\text{gr}^k\Omega^\bullet_{X/S} = f^{-1}\Omega^k_{Y/S}[-k] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \Omega^\bullet_{X/Y}\] 이는 위의 논의에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 바탕 스킴 \(S\) 위에서 준콤팩트하고 준분리이며 매끄러운 스킴 사상이라 하자. 첫째 쪽이 \[E_1^{p, q} = H^q(\Omega^p_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y})\] 이고 \(R^{p + q}f_*\Omega^\bullet_{X/S}\)로 수렴하는 유계 스펙트럼 수열이 존재한다.

증명

위에서 도입한 여과를 갖춘 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)를 여과 복합체로 생각하자. 이 스펙트럼 수열은 층 코호몰로지의 보조정리 0FLL에서 주어진 것이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FML에 의해 \[Rf_*\text{gr}^k\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^k_{Y/S}[-k] \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y}\] 이고, 이로써 결론을 얻는다.

주

보조정리 0FMM에서 코호몰로지 층 \[\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) = H^q(Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y})\] 을 생각하자. \(f\)가 매끄러울 뿐 아니라 고유하고 \(S\)가 \(\mathbf{Q}\) 위의 스킴이면 \(\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\)는 유한 국소 자유이다 (향후 참고문헌을 여기에 삽입한다). \(\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라고만 가정해도 다음을 얻는다(짧은 논증은 생략한다). \[E_1^{p, q} = \Omega^p_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\] 그리고 스펙트럼 수열의 미분들은 사상 \[d_1^{p, q} : \Omega^p_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \longrightarrow \Omega^{p + 1}_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\] 이다. 특히 \(p = 0\)이면 사상 \(d_1^{0, q} : \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \Omega^1_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\) 을 얻는데, 이는 적분가능 접속 \(\nabla\)가 된다 (향후 참고문헌을 여기에 삽입한다). 그리고 복합체 \[\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \Omega^1_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \Omega^2_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \ldots\] 에서 미분이 \(d_1^{\bullet, q}\)로 주어질 때, 이는 \(\nabla\)의 드람 복합체이다. 접속 \(\nabla\)를 가우스–마닌 접속이라 한다.

르레–히르슈형 정리

이 절에서는 매끄럽고 고유한 사상에 대해 위쪽의 드람 코호몰로지를 아래쪽의 드람 코호몰로지로 나타낼 수 있는 경우가 있음을 증명한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 매끄럽고 고유한 스킴 사상이라 하자. \(N\)과 \(n_1, \ldots, n_N \geq 0\)을 정수라 하고 \(\xi_i \in H^{n_i}_{dR}(X/Y)\), \(1 \leq i \leq N\)이라 하자. 모든 점 \(y \in Y\)에 대해 \(\xi_1, \ldots, \xi_N\)의 상들이 \(H^*_{dR}(X_y/y)\)의 \(\kappa(y)\) 위 기저를 이룬다고 가정하자. 그러면 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N \mathcal{O}_Y[-n_i] \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y}\] 은 \(\xi_1, \ldots, \xi_N\)에 결부된 사상이며 동형이다.

증명

보조정리 0FM0에 의해 \(Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y}\)는 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이며, 그 구성은 임의의 기저변환과 가환한다. 따라서 보조정리의 사상 \(a : K \to L\)은 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상들 사이의 사상이고, 올에 대한 가정에 의해 임의의 점으로의 도출 제한은 동형이다. 그러면 원뿔 \(C\), 즉 \(a\)의 원뿔은 \(D(\mathcal{O}_Y)\)의 완전 대상이며(층 코호몰로지의 보조정리 08CR), 임의의 점으로의 도출 제한은 영이다. 따라서 대수학 심화의 보조정리 0BCD에 의해 \(C\)는 영이고 \(a\)는 동형이다. (이를 대수로 옮기는 데에는 스킴의 유도 범주의 보조정리들 06Z0와 08EB도 사용한다.)

먼저 이 절의 주결과를 다음 특수한 경우에 증명한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 바탕 \(S\) 위에서 매끄럽고 고유한 스킴 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)와 \(S\)는 아핀이다.

2. 정수 \(N\)과 \(n_1, \ldots, n_N \geq 0\) 및 \(\xi_i \in H^{n_i}_{dR}(X/S)\), \(1 \leq i \leq N\)이 존재하여, 모든 점 \(y \in Y\)에 대해 \(\xi_1, \ldots, \xi_N\)의 상들이 \(H^*_{dR}(X_y/y)\)의 \(\kappa(y)\) 위 기저를 이룬다.

그러면 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N H^*_{dR}(Y/S) \longrightarrow H^*_{dR}(X/S), \quad (a_1, \ldots, a_N) \longmapsto \sum \xi_i \cup f^*a_i\] 은 동형이다.

증명

\(Y = \Spec(A)\)이고 \(S = \Spec(R)\)라 하자. 이 경우 \(\Omega^\bullet_{A/R}\)은 보조정리 0FLW에 의해 \(R\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{Y/S})\)를 계산한다. 유한 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하자. 복합체 \[K^\bullet = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/S}^\bullet))\] 를 생각하자. 이는 층 코호몰로지의 절 01FP에 나오는 복합체이다. 이 복합체에 관한 몇 가지 사실을 모아 적자. 그 대부분은 방금 인용한 곳에서 찾을 수 있다.

1. \(K^\bullet\)은 \(R\)-가군의 복합체이고 그 항들은 \(A\)-가군이다.

2. \(K^\bullet\)은 \(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S})\)를 \(D(R)\)에서 나타낸다 (스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XB 및 층 코호몰로지의 보조정리 0FLH).

3. 자연스러운 사상 \(\Omega^\bullet_{A/R} \to K^\bullet\)이 존재한다. 이는 \(R\)-가군 복합체의 사상이고 각 항에서 \(A\)-선형이며 코호몰로지 위에서 당김 사상 \(H^*_{dR}(Y/S) \to H^*_{dR}(X/S)\)을 유도한다.

4. \(K^\bullet\)에는 \(\wedge\)로 나타내는 곱셈이 있고, 이 곱셈은 이를 미분 등급 \(R\)-대수로 만든다.

5. \(K^\bullet\) 위의 곱셈은 \(H^*_{dR}(X/S)\) 위의 컵곱을 유도한다 (층 코호몰로지의 절 0FKU).

6. 여과 \(F\), 즉 \(\Omega^*_{X/S}\) 위의 여과는 다음 여과를 유도한다. \[K^\bullet = F^0K^\bullet \supset F^1K^\bullet \supset F^2K^\bullet \supset \ldots\] 이는 \(K^\bullet\)의 부분복합체들로 이루어지고 다음 성질을 갖는다.

   1. \(F^kK^n \subset K^n\)은 \(A\)-부분가군이다.

   2. \(F^kK^\bullet \wedge F^lK^\bullet \subset F^{k + l}K^\bullet\)이다.

   3. \(\text{gr}^kK^\bullet\)은 \(A\)-가군의 복합체이다.

   4. \(\text{gr}^0K^\bullet = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/Y}^\bullet))\) 이고, 이는 \(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/Y})\)를 \(D(A)\)에서 나타낸다.

   5. 곱셈은 동형 \(\Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0K^\bullet \to \text{gr}^kK^\bullet\) 을 유도한다.

이 명제들의 상세한 증명은 생략한다. 보조정리 0FMM에서 스펙트럼 수열을 구성하기까지의 논의를 보라.

각 \(i = 1, \ldots, N\)에 대해 코사이클 \(x_i \in K^{n_i}\)를 택하자. 이 코사이클은 \(\xi_i\)를 나타낸다. 다음으로 복합체의 사상 \[\tilde x : M^\bullet = \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, N} \Omega^\bullet_{A/R}[-n_i] \longrightarrow K^\bullet\] 을 생각하자. 이 사상은 \(\omega\)를 \(i\)번째 직합 성분에서 \(x_i \wedge \omega\)로 보낸다. 이제 이 사상이 준동형임을 보이면 된다. \(M^\bullet\)에 다음 규칙으로 여과 복합체의 구조를 준다. \[F^kM^\bullet = \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, N} (\sigma_{\geq k}\Omega^\bullet_{A/R})[-n_i]\] 이 선택 아래 사상 \(\tilde x\)는 여과 복합체의 사상이다. \(\text{gr}^0M^\bullet = \bigoplus A[-n_i]\)임을 주목하자. 또한 곱셈은 동형 \(\Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0M^\bullet \to \text{gr}^kM^\bullet\). 을 유도한다. 구성과 보조정리 0FMP에 의해 \[\text{gr}^0\tilde x : \text{gr}^0M^\bullet \longrightarrow \text{gr}^0K^\bullet\] 는 \(D(A)\)에서 동형이다. 따라서 모든 \(k \geq 0\)에 대해 동형 \[\text{gr}^k \tilde x : \text{gr}^kM^\bullet = \Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0M^\bullet \longrightarrow \Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0K^\bullet = \text{gr}^kK^\bullet\] 을 \(D(A)\)에서 얻는다. 실제로 복합체 \(\text{gr}^0K^\bullet = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/Y}^\bullet))\) 는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FMQ에 의해 \(A\)-가군의 복합체로서 K-평탄하다. 따라서 우변의 텐서곱은 도출 텐서곱이며, 좌변도 직접 확인하면 마찬가지이다. 마지막으로 도출 텐서곱을 취하는 연산 \(\Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A^\mathbf{L} -\)는 \(D(A)\) 위의 함자이므로 동형을 동형으로 보낸다. \(k\)에 관한 귀납법으로 \[\tilde x : M^\bullet/F^kM^\bullet \to K^\bullet/F^kK^\bullet\] 가 \(D(R)\)에서 동형임을 얻는다. 실제로 짧은 완전열 \[0 \to F^kM^\bullet/F^{k + 1}M^\bullet \to M^\bullet/F^{k + 1}M^\bullet \to \text{gr}^kM^\bullet \to 0\] 을 가지며 \(K^\bullet\)에 대해서도 마찬가지이다. 각 주어진 차수에서 여과가 유한하므로, 이로부터 \(\tilde x\)가 준동형임이 따른다.

명제

\(f : X \to Y\)를 바탕 \(S\) 위에서 매끄럽고 고유한 스킴 사상이라 하자. \(N\)과 \(n_1, \ldots, n_N \geq 0\)을 정수라 하고 \(\xi_i \in H^{n_i}_{dR}(X/S)\), \(1 \leq i \leq N\)이라 하자. 모든 점 \(y \in Y\)에 대해 \(\xi_1, \ldots, \xi_N\)의 상들이 \(H^*_{dR}(X_y/y)\)의 \(\kappa(y)\) 위 기저를 이룬다고 가정하자. 사상 \[\tilde \xi = \bigoplus \tilde \xi_i[-n_i] : \bigoplus \Omega^\bullet_{Y/S}[-n_i] \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\] 은 \(D(Y, (Y \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\)에서 동형이며(증명을 보라), 이에 대응하여 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N H^*_{dR}(Y/S) \longrightarrow H^*_{dR}(X/S), \quad (a_1, \ldots, a_N) \longmapsto \sum \xi_i \cup f^*a_i\] 도 동형이다.

증명

구조 사상을 \(p : X \to S\)와 \(q : Y \to S\)로 나타내자. \(\xi'_i : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[n_i]\)를 비고 0FU7에서 \(\xi_i\)에 대응하는 사상이라 하자. 다음 사상을 \[\tilde \xi_i : \Omega^\bullet_{Y/S} \to Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[n_i]\] \(\xi'_i\)와 표준 사상 \(\Omega^\bullet_{Y/S} \to Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\)의 합성으로 나타내자. 등식 \[R\Gamma(Y, Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}) = R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S})\] 을 사용하면 코호몰로지 위에서 \(\tilde \xi_i\)는 사상 \(\eta \mapsto \xi_i \cup f^*\eta\)이며, 이는 \(H^m_{dR}(Y/S)\)에서 \(H^{m + n}_{dR}(X/S)\)로 간다. 또한 \(\xi'_i\)의 구성이 열린집합으로의 제한과 가환하므로, \(\tilde \xi_i\)의 구성도 열린집합으로의 제한과 가환한다.

따라서 사상 \[\tilde \xi = \bigoplus \tilde \xi_i[-n_i] : \bigoplus \Omega^\bullet_{Y/S}[-n_i] \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\] 을 생각할 수 있다. 보조정리를 증명하려면 이것이 \(D(Y, q^{-1}\mathcal{O}_S)\)에서 동형임을 보이면 충분하다. \(\tilde \xi\)가 적절한 여과를 갖춘 여과 복합체 사상에서 온다는 것을 보일 수 있다면, 보조정리 0FMM의 스펙트럼 수열을 사용하여 증명을 끝낼 수 있다. 그러나 이는 필요한 것보다 더 많은 작업이므로, 대신 아핀 경우로 환원한다(그 경우의 증명은 어떤 의미에서는 스펙트럼 수열을 쓴다).

실제로 \(Y' \subset Y\)가 임의의 열린집합이고 그 역상이 \(X' \subset X\)이면, \(\tilde \xi|_{X'}\)는 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N H^*_{dR}(Y'/S) \longrightarrow H^*_{dR}(X'/S), \quad (a_1, \ldots, a_N) \longmapsto \sum \xi_i|_{X'} \cup f^*a_i\] 을 \(Y'\) 위의 코호몰로지에 유도한다. 위의 논의를 보라. 따라서 \(Y\)의 위상에 대한 기저를 찾아, 그 기저의 각 원소에 대해 명제가 성립함을 보이면 충분하다(특히 이렇게 할 때 사상 \(\tilde \xi\)는 잊어도 된다). 이는 \(Y\)와 \(S\)가 아핀인 경우로 환원되며, 그 경우는 보조정리 0FUM에서 다루었으므로 증명이 끝난다.

사영공간 다발 공식

제목이 내용을 모두 말해 준다.

명제

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 일정한 계수 \(r\)을 갖는다고 하자. 사상 \(p : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\)를 생각하자. 그러면 다음 규칙으로 주어지는 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} H^*_{dR}(X/S) \longrightarrow H^*_{dR}(P/S)\] \[(a_0, \ldots, a_{r - 1}) \longmapsto \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*(a_i)\] 은 동형이다.

증명

\(\Spec(A) \subset X\)를 아핀 열린집합으로 택하여, \(\mathcal{E}\)의 제한이 자명한 국소 자유 가군 \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}^{\oplus r}\)이 되게 하자. 그러면 \(P \times_X \Spec(A) = \mathbf{P}^{r - 1}_A\)이다. 따라서 \(p\)는 고유하고 매끄럽다. 절 0FMG을 보라. 또한 류들 \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))^i\), \(i = 0, 1, \ldots, r - 1\)을 올 \(X_y = \mathbf{P}^{r - 1}_y\)에 제한하면 드람 코호몰로지 \(H^*_{dR}(X_y/y)\)를 \(\kappa(y)\) 위에서 자유롭게 생성한다. 보조정리 0FMJ를 보라. 이로써 명제 0FMR의 조건을 확인했으므로 결론을 얻는다.

주

명제 0FMT의 상황에서는 사상 \[\tilde \xi : \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, r - 1} \Omega^\bullet_{X/S}[-2t] \longrightarrow Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}\] 이 \(D(X, (X \to S)^{-1}\mathcal{O}_X)\)에서 동형임도 얻는다. 이는 명제 0FMR를 적용하면 바로 따른다. \(t = 0\)에 대응하는 화살표는 표준 사상 \(c_{P/X} : \Omega^\bullet_{X/S} \to Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}\) 일 뿐이다. 절 07HX을 보라. 사실 이 특수한 경우에는 이 사상을 더 구체적으로 정할 수 있다. 즉 표준 사상 \[\xi' : \Omega^\bullet_{P/S} \to \Omega^\bullet_{P/S}[2]\] 을 생각하자. 이는 비고 0FU7에서 \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))\)에 대응하는 사상이다. 그러면 \[\xi'[2(t - 1)] \circ \ldots \circ \xi'[2] \circ \xi' : \Omega^\bullet_{P/S} \to \Omega^\bullet_{P/S}[2t]\] 은 비고 0FU7에서 \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))^t\)에 대응하는 사상이다. 명제 0FMR의 증명에서 한 선택들을 따라가면 다음 값을 얻는다. \[\tilde \xi|_{\Omega^\bullet_{X/S}[-2t]} = Rp_*\xi'[-2] \circ \ldots \circ Rp_*\xi'[-2(t - 1)] \circ Rp_*\xi'[-2t] \circ c_{P/X}[-2t]\] 이는 우리 동형을 직합 성분 \(\Omega^\bullet_{X/S}[-2t]\)에 제한한 것이다. 여기서 아래에 사용할 다음 간단한 결과를 얻는다. 다음과 같이 놓자. \[M = \bigoplus\nolimits_{t = 1, \ldots, r - 1} \Omega^\bullet_{X/S}[-2t] \quad\text{및}\quad K = \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, r - 2} \Omega^\bullet_{X/S}[-2t]\] 이들을 화살표 \(\tilde \xi\)의 정의역의 부분복합체로 본다. 위의 논의에서 형식적으로 \[c_{P/X} \oplus \tilde \xi|_M : \Omega^\bullet_{X/S} \oplus M \longrightarrow Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}\] 가 동형이고, 도식 \[\xymatrix{ K \ar[d]_{\tilde \xi|_K} \ar[r]_{\text{id}} & M[2] \ar[d]^{(\tilde \xi|_M)[2]} \\ Rp_*\Omega^\bullet_{P/S} \ar[r]^{Rp_*\xi'} & Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}[2] }\] 이 가환함이 따른다. 여기서 \(\text{id} : K \to M[2]\)는 \(t\)에 대응하는 \(K\)의 분해의 직합 성분을 \(t + 1\)에 대응하는 \(M\)의 분해의 직합 성분과 동일시한다.

인자를 따른 로그 극

스킴의 사상 \(X \to S\)와 유효 카르티에 인자 \(Y \subset X\)가 주어졌다고 하자. \(X\)가 \(Y\)를 따라 에탈 국소적으로 \(Y \times \mathbf{A}^1\)과 같은 모양이면, 복합체들의 표준적인 짧은 완전열 \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \to \Omega^\bullet_{Y/S}[-1] \to 0\] 이 존재하며, 이 절에서는 그 여러 좋은 성질을 논한다. 정규 교차 인자에서 출발하는 이 구성의 변형도 있다 (스킴의 에탈 사상의 정의 0BI9). 이는 다른 곳에서 논할 것이다(향후 참조를 여기에 넣는다).

정의

스킴의 사상 \(X \to S\)와 유효 카르티에 인자 \(Y \subset X\)가 주어졌다고 하자. \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다고 하는 것은 다음을 뜻한다. 모든 \(y \in Y\)와 \(f \in \mathcal{O}_{X, y}\)가 \(Y\)의 국소 방정식일 때 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{O}_{X, y} \to \Omega_{X/S, y}\), \(g \mapsto g \text{d}f\) 는 분할 단사이고,

2. \(\Omega^p_{X/S, y}\)에는 \(f\)-꼬임이 없으며, 이는 모든 \(p\)에 대해 성립한다.

간단한 국소 계산에 따르면 각 \(y \in Y\)마다 조건 (1), (2)를 만족하는 국소 방정식 \(f\)를 하나 찾으면 충분하다.

보조정리

스킴의 사상 \(X \to S\)와 유효 카르티에 인자 \(Y \subset X\)가 주어졌다고 하자. \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다고 가정하자. 그러면 복합체들의 표준적인 짧은 완전열 \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \to \Omega^\bullet_{Y/S}[-1] \to 0\] 이 존재한다.

증명

가정에 의해, 모든 \(y \in Y\)와 국소 방정식 \(f \in \mathcal{O}_{X, y}\)가 \(Y\)를 정의할 때 \[\Omega_{X/S, y} = \mathcal{O}_{X, y}\text{d}f \oplus M \quad\text{및}\quad \Omega^p_{X/S, y} = \wedge^{p - 1}(M)\text{d}f \oplus \wedge^p(M)\] 어떤 가군 \(M\)에 대해 위 등식이 성립하며, 이때 \(f\)-꼬임이 없는 외대수 거듭제곱은 \(\wedge^p(M)\)이다. 따라서 \[\Omega^p_{Y/S, y} = \wedge^p(M/fM) = \wedge^p(M)/f\wedge^p(M)\] 이다. 이하에서는 이 사실들을 암묵적으로 사용한다. 특히 층 \(\Omega^p_{X/S}\)에는 지지가 \(Y\)에 들어가는 영이 아닌 국소 단면이 없고, 표준적인 포함 \[\Omega^p_{X/S} \subset \Omega^p_{X/S}(Y)\] 을 얻는다. 평탄성 심화의 절 0F8L를 보라. 아핀 열린 부분스킴 \(U = \Spec(A)\)를 잡자. 이때 \(Y \cap U = V(f)\)이고 \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소라고 하자. \(\mathcal{O}_U\)-부분가군 중 \(\Omega^p_{X/S}(Y)|_U\) 안에서 \(\Omega^p_{X/S}|_U\)와 \(\text{d}\log(f) \wedge \Omega^{p - 1}_{X/S}\)로 생성되는 것을 생각하자. 여기서 \(\text{d}\log(f) = f^{-1}\text{d}(f)\)이다. 이 부분가군은 \(f\)의 선택에 무관하다. 실제로 \(Y\)의 아이디얼을 \(U\) 위에서 생성하는 다른 원소는 \(uf\)와 같다. 여기서 \(u \in A\)는 단원이며, \[\text{d}\log(uf) - \text{d}\log(f) = \text{d}\log(u) = u^{-1}\text{d}u\] 를 얻는다. 이는 \(\Omega_{X/S}\)의 \(U\) 위 단면이다. 이 국소 층들은 서로 붙어서 준연접 부분가군 \[\Omega^p_{X/S} \subset \Omega^p_{X/S}(\log Y) \subset \Omega^p_{X/S}(Y)\] 을 이룬다. \(\Omega^p_{Y/S}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 간주하기로 하자. 다음 규칙으로 정의되는 유일한 전사 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상 \[\text{Res} : \Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p - 1}_{Y/S}\] 이 존재한다. \[\text{Res}(\eta' + \text{d}\log(f) \wedge \eta) = \eta|_{Y \cap U}\] 이는 위와 같은 모든 열린집합 \(U\)와 모든 \(\eta' \in \Omega^p_{X/S}(U)\) 및 \(\eta \in \Omega^{p - 1}_{X/S}(U)\)에 대한 규칙이다. 미분형식 \(\eta\)가 \(U\) 위에서 \(Y \cap U\)에 제한될 때 영이면 \(\eta = \text{d}f \wedge \eta' + f\eta''\)이다. 여기서 \(\eta'\), \(\eta''\)은 \(U\) 위의 어떤 미분형식들이다. 따라서 짧은 완전열 \[0 \to \Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p - 1}_{Y/S} \to 0\] 을 얻으며, 이는 모든 \(p\)에 대해 성립한다. 이제 미분 \(\Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p + 1}_{X/S}(\log Y)\)를 정의해야 한다. 부분층 \(\Omega^p_{X/S}\)에서는 \(X\)의 \(S\) 위 드람 복합체의 미분을 사용한다. 마지막으로 \(\text{d}(\text{d}\log(f) \wedge \eta) = -\text{d}\log(f) \wedge \text{d}\eta\). 로 정의한다. 이 부호는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\) 위의 라이프니츠 법칙에 의해 강제되며 \(\Omega^\bullet_{Y/S}[-1]\) 위의 미분과 양립한다. 이 후자의 미분은 호몰로지 대수의 정의 011G에서 택한 부호 규약에 따라 결국 \(-\text{d}_{Y/S}\)이다. 이로써 보조정리에 적은 복합체들의 짧은 완전열을 얻는다.

정의

스킴의 사상 \(X \to S\)와 유효 카르티에 인자 \(Y \subset X\)가 주어졌다고 하자. \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다고 가정하자. 그러면 보조정리 0FMW에서 구성한 복합체 \[\Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)\] 를 \(Y \subset X\)에 대한 \(S\) 위의 로그 극 드람 복합체라 한다.

이 복합체는 여러 좋은 성질을 갖는다.

보조정리

\(p : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(Y \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다고 가정하자.

1. 사상들 \(\wedge : \Omega^p_{X/S} \times \Omega^q_{X/S} \to \Omega^{p + q}_{X/S}\) 은 \(\mathcal{O}_X\)-쌍선형 사상들 \[\wedge : \Omega^p_{X/S}(\log Y) \times \Omega^q_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p + q}_{X/S}(\log Y)\] 로 유일하게 연장되며, 라이프니츠 법칙 \(\text{d}(\omega \wedge \eta) = \text{d}(\omega) \wedge \eta + (-1)^{\deg(\omega)} \omega \wedge \text{d}(\eta)\), 을 만족한다.

2. (1)의 곱셈에 관해 사상 \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log(Y)\) 은 미분 등급 \(\mathcal{O}_S\)-대수의 준동형이다.

3. (1)의 사상들을 통해 \(\Omega^p_{X/S}(\log Y) = \wedge^p(\Omega^1_{X/S}(\log Y))\)를 얻는다.

4. 사상 \(\text{Res} : \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \to \Omega^\bullet_{Y/S}[-1]\) 은 \[\text{Res}(\omega \wedge \eta) = \text{Res}(\omega) \wedge \eta|_Y\] 를 만족한다. 여기서 \(\omega\)는 \(\Omega^p_{X/S}(\log Y)\)의 국소 단면이고 \(\eta\)는 \(\Omega^q_{X/S}\)의 국소 단면이다.

증명

이는 보조정리 0FMW의 증명에서 복합체를 국소적으로 구성한 방식으로부터 직접 계산하면 따른다. 세부 사항은 생략한다.

스킴들의 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 을 생각하자. \(Y \subset X\)를 당김 \(Y' = f^*Y\)가 정의되는 유효 카르티에 인자라 하자(인자의 정의 01WV). \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의되고, \(Y' \subset X'\)에 대한 로그 극 드람 복합체도 \(S'\) 위에서 정의된다고 가정하자. 그러면 복합체들의 짧은 완전열 사이의 사상 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} \ar[r] \ar[d] & f^{-1}\Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \ar[r] \ar[d] & f^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}[-1] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X'/S'} \ar[r] & \Omega^\bullet_{X'/S'}(\log Y') \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y'/S'}[-1] \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 선형화하면 모든 \(p\)에 대해 선형 사상 \(f^*\Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^p_{X'/S'}(\log Y')\)을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(Y \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다고 가정하자. \[\delta : \Omega^\bullet_{Y/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\] 를 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에서 보조정리 0FMW의 짧은 완전열로부터 나오는 “경계” 사상이라 하자. 또한 \[\xi' : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\] 를 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에서 비고 0FU7의 사상 중 \(\xi = c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(-Y))\)에 대응하는 것이라 하자. 또한 \[\zeta' : \Omega^\bullet_{Y/S} \to \Omega^\bullet_{Y/S}[2]\] 를 \(D(Y, f|_Y^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에서 비고 0FU7의 사상 중 \(\zeta = c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(-Y)|_Y)\)에 대응하는 것이라 하자. 그러면 도식 \[\xymatrix{ \Omega^\bullet_{X/S} \ar[d]_{\xi'} \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[d]^{\zeta'} \ar[ld]_\delta \\ \Omega^\bullet_{X/S}[2] \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S}[2] }\] 은 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\)에서 가환한다.

증명

더 정확히 말해, \(\delta\)를 이동된 짧은 완전열 \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S}[1] \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)[1] \to \Omega^\bullet_{Y/S} \to 0\] 에 대응하는 경계 사상으로 정의한다. 각 삼각형이 가환함을 보이면 충분하다. \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(-Y)\)라 놓자. 선다발 \(\pi : L \to X\)를 \(\pi_*\mathcal{O}_L = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\)인 것으로 정의하자.

왼쪽 위 삼각형의 가환성. 보조정리 0FUG에 의해 사상 \(\xi'\)는 보조정리 0FUF에서 주어진 삼각형의 경계 사상이다. 함자성에 의해 짧은 완전열 사이의 사상 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{X/S} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[r] & 0 }\] 이 존재함을 보이면 충분하다. 여기서 왼쪽과 오른쪽 수직 화살표는 자명한 것들이다. 가운데 수직 화살표는 다음 규칙으로 정의할 수 있다. \[\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega \longmapsto \omega' + \text{d}\log(f) \wedge \omega\] 여기서 \(\omega', \omega\)는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)의 국소 단면이고, \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 국소 생성원이며, \(f \in \mathcal{O}_X(-Y)\)는 이에 대응하는 \(Y\)의 아이디얼 층을 \(X\) 위에서 본 단면이다. 보조정리 0FUF와 0FMW에서 사상들을 구성한 방식이 정확히 일치하므로 이 정의가 잘 작동한다.

오른쪽 아래 삼각형의 가환성. \(\overline{L}\)을 \(L\)의 \(Y\)에 대한 제한이라 하자. 보조정리 0FUG에 의해 사상 \(\zeta'\)는 선다발 \(\overline{L}\)을 \(Y\) 위에서 사용하여 보조정리 0FUF에서 얻은 삼각형의 경계 사상이다. 함자성에 의해 짧은 완전열 사이의 사상 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{\overline{L}^\star/S, 0}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[r] & 0 \\ }\] 이 존재함을 보이면 충분하다. 여기서 왼쪽과 오른쪽 수직 화살표는 자명한 것들이다. 가운데 수직 화살표는 다음 규칙으로 정의할 수 있다. \[\omega' + \text{d}\log(f) \wedge \omega \longmapsto \omega'|_Y + \text{d}\log(\overline{s}) \wedge \omega|_Y\] 여기서 \(\omega', \omega\)는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)의 국소 단면이고, \(f\)는 \(\mathcal{O}_X(-Y)\)의 국소 생성원을 \(X\) 위의 함수로 본 것이며, \(\overline{s}\)는 \(f|_Y\)를 \(\mathcal{L}|_Y = \mathcal{O}_X(-Y)|_Y\)의 단면으로 본 것이다. 보조정리 0FUF와 0FMW에서 사상들을 구성한 방식이 정확히 일치하므로 이 정의가 잘 작동한다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(Y \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다고 가정하자. \(b \in H^m_{dR}(X/S)\)를 \(Y\)에 제한하면 영이 되는 드람 코호몰로지류라 하자. 그러면 \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(Y)) \cup b = 0\)은 \(H^{m + 2}_{dR}(X/S)\)에서 성립한다.

증명

이는 보조정리 0FUQ에서 곧바로 따른다. 실제로 \[c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(Y)) \cup b = -c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(-Y)) \cup b = -\xi'(b) = -\delta(b|_Y) = 0\] 이므로 원하는 결론을 얻는다. 둘째 등식은 비고 0FU7를 보라.

보조정리

\(X \to T \to S\)를 스킴의 사상들이라 하고 \(Y \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(X \to T\)와 \(Y \to T\)가 모두 매끄러우면 \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다.

증명

\(y \in Y\)를 한 점이라 하자. 사상 심화의 보조정리 0FUE에 의해 정수 \(0 \geq m\)과 가환 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^m_T \ar[d]^{(a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0)} \\ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^{m + 1}_T }\] 이 존재한다. 여기서 \(U \subset X\)는 열린집합이고, \(V = Y \cap U\)이며, \(\pi\)는 에탈이고, \(V = \pi^{-1}(\mathbf{A}^m_T)\)이며, \(y \in V\)이다. \(z \in \mathbf{A}^m_T\)를 \(y\)의 상이라 하자. 보조정리 0FLV에 의해 \[\Omega^p_{X/S, y} = \Omega^p_{\mathbf{A}^{m + 1}_T/S, z} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + 1}_T, z}} \mathcal{O}_{X, x}\] 이다. 좌표함수들 \(x_1, \ldots, x_{m + 1}\)을 \(\mathbf{A}^{m + 1}_T\) 위에서 생각하자. 정의 0FMV의 조건 (1), (2)는 국소 좌표의 선택에 의존하지 않으므로, \(f\)를 \(x_{m + 1}\)의, 평탄한 국소환 준동형 \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + 1}_T, z} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 아래의 상으로 둘 때 조건 (1), (2)를 확인하면 충분하다. 따라서 \(\mathbf{A}^m_T \subset \mathbf{A}^{m + 1}_T\)와 점 \(z\)에 대해 조건 (1), (2)를 확인하면 충분함을 알 수 있다. 이 경우를 증명하기 위해 \(S = \Spec(A)\)와 \(T = \Spec(B)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 환 사상 \(A \to B\)를 사상 \(T \to S\)에 대응하는 것으로 잡고, \(P = B[x_1, \ldots, x_{m + 1}]\)라 놓자. 그러면 \(\mathbf{A}^{m + 1}_T = \Spec(P)\)이고 \[\Omega_{P/A} = \Omega_{B/A} \otimes_B P \oplus \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} P \text{d}x_j \oplus P \text{d}x_{m + 1}\] 이다. 따라서 사상 \(P \to \Omega_{P/A}\), \(g \mapsto g \text{d}x_{m + 1}\)은 분할 단사이고, \(x_{m + 1}\)은 \(\Omega^p_{P/A}\) 위에서 영인자가 아니며, 이는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다. \(z\)에 대응하는 소 아이디얼에서 국소화하면 증명이 끝난다.

주

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(Y \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. 사상 \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 이 모든 \(y \in Y\)에 대해 단면을 가지면, \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다. 이 결과가 필요해지면 정확한 명제를 정식화하고 여기에 증명을 덧붙일 것이다.

주

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(Y \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. 모든 \(y \in Y\)에 대해 \(S\) 위의 스킴들의 도식 \[X \xleftarrow{\varphi} U \xrightarrow{\psi} V\] 을 찾을 수 있고 \(\varphi\)가 에탈이며 \(\psi|_{\varphi^{-1}(Y)} : \varphi^{-1}(Y) \to V\)도 에탈이면, \(Y \subset X\)에 대한 로그 극 드람 복합체가 \(S\) 위에서 정의된다. 특히 쌍 \((X, Y)\)가 에탈 국소적으로 \((V \times \mathbf{A}^1, V \times \{0\})\)과 같은 모양인 경우가 이에 해당한다. 이 결과가 필요해지면 정확한 명제를 정식화하고 여기에 증명을 덧붙일 것이다.

계산

이 절에서는 표준 블로업에 대한 몇 가지 호지 코호몰로지군과 드람 코호몰로지군을 계산한다.

환 \(R\)를 고정하고 \(S = \Spec(R)\)라 놓자. 정수 \(0 \leq m\)과 \(1 \leq n\)을 고정하자. 닫힌 몰입 \[Z = \mathbf{A}^m_S \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S = X,\quad (a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0, \ldots 0).\] 을 생각하자. \(L\)을 \(X\)의 닫힌 부분스킴 \(Z\)를 따른 블로업이라 하자. 다음과 같이 쓰자. \[X = \mathbf{A}^{m + n}_S = \Spec(A) \quad\text{단}\quad A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\] \(A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\)를 등급 \(R\)-대수로 간주하되, \(\deg(x_i) = 0\), \(\deg(y_j) = 1\)로 놓는다. 이 등급에 대해 \[P = \text{Proj}(A) = \mathbf{A}^m_S \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S = \mathbf{P}^{n - 1}_Z\] 이다. \(Z\)를 \(X\) 안에서 잘라내는 아이디얼은 \(A_+\)임에 유의하자. 따라서 \(L\)은 리스 대수 \[A \oplus A_+ \oplus (A_+)^2 \oplus \ldots = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} A_{\geq d}\] 의 Proj이다. 따라서 \(L\)은 사상 심화의 절 0EKF에서 더 일반적으로 연구한 현상의 한 예이다. 거기서 얻은 관찰들을 더 언급하지 않고 사용하겠다. 특히 가환 도식 \[\xymatrix{ P \ar[r]_0 \ar[d]_p & L \ar[r]_-\pi \ar[d]^b & P \ar[d]^p \\ Z \ar[r]^i & X \ar[r] & Z }\] 을 얻는다. 여기서 \(\pi : L \to P\)는 \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S\) 위의 선다발이고, 영단면은 \(0\)이며, 그 상 \(E = 0(P) \subset L\)은 블로업 \(b\)의 예외 인자이다.

보조정리

\(a \geq 0\)에 대해 다음이 성립한다.

1. 사상 \(\Omega^a_{X/S} \to b_*\Omega^a_{L/S}\)은 동형이다.

2. 사상 \(\Omega^a_{Z/S} \to p_*\Omega^a_{P/S}\)은 동형이다.

3. 사상 \(Rb_*\Omega^a_{L/S} \to i_*Rp_*\Omega^a_{P/S}\)은 차수가 \(\geq 1\)인 코호몰로지 층들 위에서 동형이다.

증명

먼저 (2)를 증명하자. \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S\)이므로 \[\Omega^a_{P/S} = \bigoplus\nolimits_{a = r + s} \text{pr}_1^*\Omega^r_{Z/S} \otimes \text{pr}_2^*\Omega^s_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}\] 임을 알 수 있다. \(p = \text{pr}_1\)임을 상기하면, 사영 공식 (층 코호몰로지의 보조정리 01E8)에 의해 \[p_*\Omega^a_{P/S} = \bigoplus\nolimits_{a = r + s} \Omega^r_{Z/S} \otimes \text{pr}_{1, *}\text{pr}_2^*\Omega^s_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}\] 을 얻는다. 절 0FMG의 계산, 특히 보조정리 0FMI의 증명에 의해 \(\text{pr}_{1, *}\text{pr}_2^*\Omega^s_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S} = 0\)이다. 단, \(s = 0\)인 경우에는 \(\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_P = \mathcal{O}_Z\)를 얻는다. 이로써 (2)가 증명되었다.

절 0FU8의 내용, 특히 보조정리 0FUH에 의해 \(\pi_*\Omega^a_{L/S} = \Omega^a_{P/S} \oplus \bigoplus_{k \geq 1} \Omega^a_{L/S, k}\). 위 도식에서 합성 \(\pi \circ 0\)은 \(P\) 위의 항등사상이므로, (3)을 증명하려면 \(\Omega^a_{L/S, k}\)의 고차 코호몰로지가 \(k > 0\)일 때 영임을 보이면 충분하다. 보조정리 0FUF와 0FUH에 의해 짧은 완전열들 \[0 \to \Omega^a_{P/S} \otimes \mathcal{O}_P(k) \to \Omega^a_{L/S, k} \to \Omega^{a - 1}_{P/S} \otimes \mathcal{O}_P(k) \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(\Omega^{a - 1}_{P/S} = 0\)이며, 이는 \(a = 0\)인 경우이다. \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S\)이므로 \[\Omega^a_{P/S} = \bigoplus\nolimits_{i + j = a} \Omega^i_{Z/S} \boxtimes \Omega^j_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}\] 이다. 이는 보조정리 0FMA에서 따른다. \(\Omega^i_{Z/S}\)가 유한 계수의 자유 가군이므로 \(\mathcal{O}_Z \boxtimes \Omega^j_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}(k)\)의 고차 코호몰로지가 \(k > 0\)일 때 영임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0FUK를 \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S = \mathbf{P}^{n - 1}_Z\)에 적용하면 따른다. 이로써 (3)의 증명이 끝났다.

이제 (1)을 증명해야 한다. \(n = 1\)이면 유효 카르티에 인자를 블로업하는 것이고 \(b\)는 동형이므로 (1)이 성립한다. \(n > 1\)이면 합성 \[\Gamma(X, \Omega^a_{X/S}) \to \Gamma(L, \Omega^a_{L/S}) \to \Gamma(L \setminus E, \Omega^a_{L/S}) = \Gamma(X \setminus Z, \Omega^a_{X/S})\] 은 동형이다. 실제로 \(\Omega^a_{X/S}\)는 유한 자유이다(작은 세부 사항은 생략한다). 따라서 (1)이 성립하지 않을 수 있는 유일한 경우는 \(\Gamma(L, \Omega^a_{L/S})\)의 영이 아닌 원소 중 \(E = 0(P)\)의 바깥에서 영이 되는 것이 존재하는 경우이다. \(L\)은 \(P\) 위의 선다발이고 영단면은 \(0 : P \to L\)이므로, 선다발 위에서 미분층의 영이 아닌 단면이 영단면의 바깥에서 항등적으로 영이 될 수 없음을 보이면 충분하다. 이는 국소 계산을 통해(이 방법이 바람직하다), 또는 \(\Omega_{L/S, k} \subset \Omega_{L^\star/S, k}\)임을 사용하면 알 수 있다 (위의 참조들을 보라).

이 지점에서 독자는 다음 절로 넘어가기를 권한다.

보조정리

\(a \geq 0\)에 대해 표준적인 사상들 \[b^*\Omega^a_{X/S} \longrightarrow \Omega^a_{L/S} \longrightarrow b^*\Omega^a_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_L} \mathcal{O}_L((n - 1)E)\] 이 존재하며, 그 합성은 포함 \(\mathcal{O}_L \subset \mathcal{O}_L((n - 1)E)\)로부터 유도된다.

증명

표시된 공식의 첫째 화살표는 절 07HX에서 논하였다. 둘째 화살표를 얻으려면 \(\Omega^a_{L/S}\)의 국소 단면을 \(b^*\Omega^a_{X/S}\)의 “유리형 단면”으로 보았을 때 그 극의 차수가 최대 \(n - 1\)이고, 그 극은 \(E\)를 따라 생김을 보여야 한다. 이를 위해 \(L\) 위의 아핀 국소 좌표조각에서 계산하자. \(L\)은 아핀 블로업 대수 \(A[\frac{I}{y_i}]\)들의 스펙트럼으로 덮인다. 여기서 \(I = A_{+}\)는 \(y_1, \ldots, y_n\)으로 생성되는 아이디얼이다. 가환대수의 절 052P과 인자의 보조정리 0804를 보라. 대칭성에 의해 \(i = 1\)에 대응하는 좌표조각에서 계산하면 충분하다. 그러면 \[A[\frac{I}{y_1}] = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, t_2, \ldots, t_n]\] 이고 \(t_i = y_i/y_1\)이다. 대수학 심화의 보조정리 0BIQ를 보라. 따라서 가군 \(\Omega^1_{L/S}\)은 대응하는 아핀 열린집합 위에서 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_m\), \(\text{d}y_1\), 그리고 \(\text{d}t_1, \ldots, \text{d}t_n\)으로 자유롭게 생성된다. 물론 이 생성원들 중 처음 \(m + 1\)개는 \(b^*\Omega^1_{X/S}\)에서 오고, 나머지 \(n - 1\)개에 대해서는 \[\text{d}t_j = \text{d}\frac{y_j}{y_1} = \frac{1}{y_1}\text{d}y_j - \frac{y_j}{y_1^2}\text{d}y_1 = \frac{\text{d}y_j - t_j \text{d}y_1}{y_1}\] 이다. 이 식은 차수 \(1\)의 극을 \(E\)를 따라 갖는다. 실제로 이 좌표조각에서 \(E\)는 \(y_1\)로 잘려 나온다. 이 원소들 가운데 \(a\)개를 취한 외승들이 이 좌표조각 위의 \(\Omega^a_{L/S}\)의 기저를 이루고, 그 가운데 최대 \(n - 1\)개만 \(\text{d}t_j\)일 수 있으므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(E = 0(P)\)를 블로업 \(b\)의 예외 인자라 하자. 임의의 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)와 \(0 \leq i \leq n - 1\)에 대해 사상 \[\mathcal{E} \longrightarrow Rb_*(b^*\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_L} \mathcal{O}_L(iE))\] 은 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 동형이다.

증명

사영 공식에 의해 \(\mathcal{E} = \mathcal{O}_X\)인 경우만 보이면 충분하다. 층 코호몰로지의 보조정리 01E8를 보라. \(X\)가 아핀이므로 사상들 \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(L, \mathcal{O}_L) \to H^0(L, \mathcal{O}_L(iE))\] 이 동형이고 \(H^j(X, \mathcal{O}_L(iE)) = 0\)임을 보이면 충분하다. 여기서 \(j > 0\)이고 \(0 \leq i \leq n - 1\)이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XK를 보라. \(\pi\)가 아핀이므로 \(\pi_*\)를 취한 뒤 전역단면과 코호몰로지를 계산할 수 있다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 089W를 보라. \(n = 1\)이면 \(L \to X\)는 동형이고 \(i = 0\)이므로 첫째 명제가 성립한다. \(n > 1\)이면 합성 \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(L, \mathcal{O}_L) \to H^0(L, \mathcal{O}_L(iE)) \to H^0(L \setminus E, \mathcal{O}_L) = H^0(X \setminus Z, \mathcal{O}_X)\] 을 생각하자. 이 경우 \(H^0(X \setminus Z, \mathcal{O}_X) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이다. 실제로 \(Z\)는 여차원 \(n \geq 2\)로 \(X\) 안에 놓인다(세부 사항은 생략한다). 따라서 첫째 명제가 성립한다. 둘째 명제를 위해 \(\mathcal{O}_L(E) = \mathcal{O}_L(-1)\)임을 상기하자. 인자의 보조정리 02OS를 보라. 그러므로 \[\pi_*\mathcal{O}_L(iE) = \pi_*\mathcal{O}_L(-i) = \bigoplus\nolimits_{k \geq -i} \mathcal{O}_P(k)\] 이다. 이는 사상 심화의 절 0EKF에서 논하였다. \(P = \mathbf{P}^{n - 1}_Z\) 위 구조층의 꼬임들의 코호몰로지가 영이라는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XT를 적용하면 결론을 얻는다.

블로업과 드람 코호몰로지

기저 스킴 \(S\), 매끄러운 사상 \(X \to S\), 그리고 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)를 고정하자. 이 부분스킴도 \(S\) 위에서 매끄럽다고 하자. \(b : X' \to X\)를 \(X\)의 \(Z\)를 따른 블로업이라 하자. \(E \subset X'\)를 예외 인자라 하자. 그림은 다음과 같다. [0FUS]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_p & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X } } \end{equation}\] 이 절의 목표는 사상 \(b^* : H_{dR}^*(X/S) \longrightarrow H_{dR}^*(X'/S)\) 이 단사임을 증명하는 것이다(사실 이보다 훨씬 더 많은 것을 말할 수 있다).

보조정리

사상 심화의 보조정리 0FUT의 표기를 사용하자. \(a \geq 0\)에 대해 다음이 성립한다.

1. 사상 \(\Omega^a_{X/S} \to b_*\Omega^a_{X'/S}\)은 동형이다.

2. 사상 \(\Omega^a_{Z/S} \to p_*\Omega^a_{E/S}\)은 동형이다.

3. 사상 \(Rb_*\Omega^a_{X'/S} \to i_*Rp_*\Omega^a_{E/S}\)은 차수가 \(\geq 1\)인 코호몰로지 층들 위에서 동형이다.

증명

\(\epsilon : X_1 \to X\)를 전사 에탈 사상이라 하자. 사상 심화의 보조정리 0FUT에서 생각한 대상들을 기저변환하여 얻는 사상과 부분스킴을 각각 \(i_1 : Z_1 \to X_1\), \(b_1 : X'_1 \to X_1\), \(E_1 \subset X'_1\), 그리고 \(p_1 : E_1 \to Z_1\)이라 하자. \(i_1\)은 \(S\) 위에서 매끄러운 스킴들 사이의 닫힌 몰입이고, 인자의 보조정리 0805에 의해 \(b_1\)은 중심이 \(Z_1\)인 블로업임에 유의하자. 사상 \(b_1\), \(p_1\), \(i_1\)에 대해 (1), (2), (3)을 증명할 수 있다고 가정하자. 그러면 보조정리 0FLV에 의해 (1), (2), (3)의 사상들을 \(\epsilon\)으로 당겨 얻은 사상들이 동형이다. \(\epsilon\)은 전사 평탄 사상이므로 결론이 따른다. 따라서 에탈 국소적으로 작업하면, 사상 심화의 보조정리 0FUE에 의해 절 0FUB에서 논한 상황이라고 가정할 수 있다. 이 경우 이 보조정리는 보조정리 0FUR과 같다.

보조정리

사상 심화의 보조정리 0FUT의 표기를 사용하고 구조 사상을 \(f : X \to S\)라 하자. 그러면 표준적인 완전 삼각형 \[\Omega^\bullet_{X/S} \to Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}) \to \Omega^\bullet_{X/S}[1]\] \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에 존재한다. 여기서 네 사상 \[\begin{matrix} \Omega^\bullet_{X/S} & \to & Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}), \\ \Omega^\bullet_{X/S} & \to & i_*\Omega^\bullet_{Z/S}, \\ Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) & \to & i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}), \\ i_*\Omega^\bullet_{Z/S} & \to & i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}) \end{matrix}\] 은 표준적인 사상들이며(절 07HX), 그중 하나만 부호를 반대로 취한다.

증명

완전 삼각형 \[C \to Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S} \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*Rp_*\Omega^\bullet_{E/S} \to C[1]\] 을 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에서 택하자. 표준적인 사상들과 양립하는 방식으로 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)가 \(C\)와 동형임을 보이면 충분하다. 삼각 범주의 공리들에 의해 완전 삼각형들 사이의 사상 \[\xymatrix{ C' \ar[r] \ar[d] & b_*\Omega^\bullet_{X'/S} \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \ar[r] \ar[d] & i_*p_*\Omega^\bullet_{E/S} \ar[r] \ar[d] & C'[1] \ar[d] \\ C \ar[r] & Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S} \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \ar[r] & i_*Rp_*\Omega^\bullet_{E/S} \ar[r] & C[1] }\] 이 존재한다. 보조정리 0FUU의 (3)과 유도 범주의 명제 05R0에 의해 \(C' \to C\)는 동형이다. 보조정리 0FUU의 (2)에 의해 사상 \(i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*p_*\Omega^\bullet_{E/S}\)은 동형이다. 따라서 유도 범주에서 \(C' = b_*\Omega^\bullet_{X'/S}\)이다. 마지막으로 보조정리 0FUU의 (1)을 사용하면 이는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)와 같다. 이것이 표준적인 사상들과 양립함을 확인하는 일은 생략한다.

명제

사상 심화의 보조정리 0FUT의 표기를 사용하자. 사상 \(\Omega^\bullet_{X/S} \to Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S}\)은 \(D(X, (X \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에서 분할된다.

증명

보조정리 0FUV에서 구성한 삼각형을 생각하자. 사상 \[Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\] 은 그 상이 직합 성분 \(i_*\Omega^\bullet_{Z/S}\)를 포함하도록 분할된다고 주장한다. 유도 범주의 보조정리 05QT에 의해, 이 주장은 삼각형의 첫째 화살표가 직합 성분 \(i_*\Omega^\bullet_{Z/S}\) 위에서 영이 되는 분할을 가짐을 보이며, 따라서 보조정리를 증명한다. 이 주장을 증명하기 위해 \(Rp_*\Omega^\bullet_{E/S}\)를 직합으로 분해하겠다. 그 첫째 부분은 \(\Omega^\bullet_{Z/S}\)에 대응하고, 둘째 부분은 \(Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S}\)을 통해 올릴 수 있다.

주장의 증명. \(X\)를 \(S\)에 대한 상대 차원이 일정한 열리고 닫힌 부분스킴들로 분해할 수 있다. 스킴의 사상의 보조정리 02G1를 보라. 이에 따라 유도 범주 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O})_S)\)도 범주들의 곱으로 분해되므로, \(X\)의 상대 차원이 일정한 \(N\)이라고 가정할 수 있으며, 이는 \(S\)에 대한 상대 차원이다. \(Z = \coprod Z_m\)을 상대 차원이 \(m \geq 0\)인 열리고 닫힌 부분스킴들로 분해할 수 있으며, 상대 차원은 \(S\)에 대해 취한다. \(i_m : Z_m \to X\)를 \(i\)의 \(Z_m\)에 대한 제한이라 하자. 이는 여차원 \(N - m\)인 정칙 몰입이다. 인자의 보조정리 067U를 보라. \(E = \coprod E_m\)을 이에 대응하는 분해라 하자. 즉, \(E_m = p^{-1}(Z_m)\)으로 놓는다. \(p_m : E_m \to Z_m\)이라 쓰자. 이는 \(p\)를 \(E_m\)에 제한한 사상이다. 그러면 표준적인 동형 \[\tilde \xi_m : \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, N - m - 1} \Omega^\bullet_{Z_m/S}[-2t] \longrightarrow Rp_{m, *}\Omega^\bullet_{E_m/S}\] \(D(Z_m, (Z_m \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에 존재한다. 여기서 차수 \(0\)에서는 표준적인 사상 \(\Omega^\bullet_{Z_m/S} \to Rp_{m, *}\Omega^\bullet_{E_m/S}\)을 얻는다. 주의 0FUN를 보라. 따라서 동형 \[\tilde \xi : \bigoplus\nolimits_m \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, N - m - 1} \Omega^\bullet_{Z_m/S}[-2t] \longrightarrow Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\] \(D(Z, (Z \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안에 존재한다. 이 동형을 정의역의 직합 성분 \(\Omega^\bullet_{Z/S} = \bigoplus \Omega^\bullet_{Z_m/S}\)에 제한하면 표준적인 사상 \(\Omega^\bullet_{Z/S} \to Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\)이 된다. 부분복합체 \(M_m\)과 \(K_m\)을 생각하자. 이들은 주의 0FUN에서 도입한 복합체 \(\bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, N - m - 1} \Omega^\bullet_{Z_m/S}[-2t]\) 의 부분복합체들이다. 다음과 같이 놓자. \[M = \bigoplus M_m \quad\text{및}\quad K = \bigoplus K_m\] \(M = K[-2]\)이고, 구성에 의해 사상 \[c_{E/Z} \oplus \tilde \xi|_M : \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus M \longrightarrow Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\] 은 동형이다(위에서 참조한 주의를 보라).

사상 \[\delta : \Omega^\bullet_{E/S}[-2] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X'/S}\] 을 생각하자. 이는 보조정리 0FUQ에서 얻은 \(D(X', (X' \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\) 안의 사상이며, 합성 \[\Omega^\bullet_{E/S}[-2] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X'/S} \longrightarrow \Omega^\bullet_{E/S}\] 은 주의 0FU7의 사상 \(\theta'\)이며, 여기서는 \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_{X'}(-E))|_E) = c_1^{dR}(\mathcal{O}_E(1))\)이다. 주의 0FUN의 마지막 명제에 의해 도식 \[\xymatrix{ K[-2] \ar[d]_{(\tilde \xi|_K)[-2]} \ar[r]_{\text{id}} & M \ar[d]^{\tilde x|_M} \\ Rp_*\Omega^\bullet_{E/S}[-2] \ar[r]^-{Rp_*\theta'} & Rp_*\Omega^\bullet_{E/S} }\] 은 가환한다. 따라서 주장에 필요한 분할은 다음 사상으로 얻어진다. \[\begin{align*} Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}) & \xrightarrow{(c_{E/Z} \oplus \tilde \xi|_M)^{-1}} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus M \\ & \xrightarrow{\text{id} \oplus \text{id}^{-1}} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus K[-2] \\ & \xrightarrow{\text{id} \oplus (\tilde \xi|_K)[-2]} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus Rp_*\Omega^\bullet_{E/S}[-2] \\ & \xrightarrow{\text{id} \oplus Rb_*\delta} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S} \end{align*}\] 위에서 서술한 \(\theta'\)와 \(\delta\)의 관계 및 \(\theta'\), \(\tilde \xi|_K\), \(\tilde \xi|_M\)이 등장하는 위의 가환 도식은 이것이 표준적인 사상 \(\Omega^\bullet_{Z/S} \oplus Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) \to Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\)의 분할 사상임을 보이는 데 정확히 필요한 내용이다. 이로써 주장의 증명이 끝난다.

보조정리 0G5J는 호지 코호몰로지 위의 분할을 만드는 일이 명제 0FUW의 결과보다 훨씬 간단함을 보여 준다. 독자에게 다음 절로 건너뛸 것을 강하게 권한다.

보조정리

\(i : Z \to X\)가 여차원 \(c\)인 정칙 닫힌 몰입이라고 하자. 그러면 \(\Ext^q_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}) = 0\)이다. 여기서 \(q < c\)이고, \(\mathcal{E}\)는 \(X\) 위에서 국소 자유이며, \(\mathcal{F}\)는 임의의 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다.

증명

\(\Ext\)의 국소-대역 스펙트럼 열에 의해 이를 \(X\) 위에서 아핀 국소적으로 증명하면 충분하다. 층 코호몰로지의 절 0BQP를 보라. 따라서 \(X = \Spec(A)\)라고 가정할 수 있고, 정칙열 \(f_1, \ldots, f_c\)가 \(A\) 안에 존재하여 \(Z = \Spec(A/(f_1, \ldots, f_c))\)가 된다고 할 수 있다. 또한 \(c \geq 1\)이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(f_1 : \mathcal{E} \to \mathcal{E}\)은 단사이다. \(i_*\mathcal{F}\)는 \(f_1\)에 의해 소멸되므로, 보조정리는 \(i = 0\)일 때 성립하고 전사 \[\Ext^{q - 1}_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}/f_1\mathcal{E}) \longrightarrow \Ext^q_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E})\] 을 얻는다. 따라서 이 화살표의 정의역이 영임을 보이면 충분하다. 이제 이 논증을 반복하자. \(c \geq 2\)이면 사상 \(f_2 : \mathcal{E}/f_1\mathcal{E} \to \mathcal{E}/f_1\mathcal{E}\)은 단사이다. \(i_*\mathcal{F}\)는 \(f_2\)에 의해 소멸되므로, 보조정리는 \(q = 1\)일 때 성립하고 전사 \[\Ext^{q - 2}_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}/f_1\mathcal{E} + f_2\mathcal{E}) \longrightarrow \Ext^{q - 1}_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}/f_1\mathcal{E})\] 을 얻는다. 이와 같이 계속하면 보조정리가 증명된다.

보조정리

사상 심화의 보조정리 0FUT의 표기를 사용하자. \(a \geq 0\)에 대해 유일한 화살표 \(Rb_*\Omega^a_{X'/S} \to \Omega^a_{X/S}\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에 존재하며, 이를 \(\Omega^a_{X/S} \to Rb_*\Omega^a_{X'/S}\)와 합성하면 \(\Omega^a_{X/S}\) 위의 항등사상이 된다.

증명

\(X\)를 \(S\)에 대한 상대 차원이 일정한 열리고 닫힌 부분스킴들로 분해할 수 있다. 스킴의 사상의 보조정리 02G1를 보라. 이에 따라 유도 범주 \(D(X, f^{-1}\mathcal{O})_S)\)도 범주들의 곱으로 분해되므로, \(X\)의 상대 차원이 일정한 \(N\)이라고 가정할 수 있으며, 이는 \(S\)에 대한 상대 차원이다. \(Z = \coprod Z_m\)을 상대 차원이 \(m \geq 0\)인 열리고 닫힌 부분스킴들로 분해할 수 있으며, 상대 차원은 \(S\)에 대해 취한다. \(i_m : Z_m \to X\)를 \(i\)의 \(Z_m\)에 대한 제한이라 하자. 이는 여차원 \(N - m\)인 정칙 몰입이다. 인자의 보조정리 067U를 보라. \(E = \coprod E_m\)을 이에 대응하는 분해라 하자. 즉, \(E_m = p^{-1}(Z_m)\)으로 놓는다. 다음과 같은 자연스러운 사상들이 존재한다고 주장한다. \[b^*\Omega^a_{X/S} \to \Omega^a_{X'/S} \to b^*\Omega^a_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{O}_{X'}(\sum (N - m - 1)E_m)\] 그 합성은 포함 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{X'}(\sum (N - m - 1)E_m)\)로부터 유도된다. 이를 증명하려면 첫째 화살표의 여핵이 \(X'\) 위에서 국소적으로 유효 카르티에 인자 \(\sum (N - m - 1)E_m\)의 국소 방정식에 의해 소멸됨을 보이면 충분하다. 이를 확인하기 위해 보조정리 0FUU의 증명에서처럼 \(X\) 위에서 에탈 국소적으로 작업하고 보조정리 0G5G를 적용할 수 있다. 보조정리 0G5H를 사용하여 에탈 국소적으로 계산하면, 유도된 합성 \[\Omega^a_{X/S} \to Rb_*\Omega^a_{X'/S} \to Rb_*\left(b^*\Omega^a_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{O}_{X'}(\sum (N - m - 1)E_m)\right)\] 은 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안에서 동형이다. 이로써 보조정리의 사상이 존재함을 얻는다.

유일성을 보이려면 \(\tau_{\geq 1}Rb_*\Omega_{X'/S}\)에서 \(\Omega^a_{X/S}\)으로 가는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 영이 아닌 사상이 없음을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 다시 \(R^qb_*\Omega_{X'/s}[-q]\)에서 \(\Omega^a_{X/S}\)으로 가는 \(D(\mathcal{O}_X)\) 안의 영이 아닌 사상이 \(q \geq 1\)에 대해 없음을 보이면 충분하다(세부 사항은 생략한다). 보조정리 0FUU에 의해 \(R^qb_*\Omega_{X'/s} \cong i_*R^qp_*\Omega^a_{E/S}\)는 \(Z = \coprod Z_m\) 위 가군의 밀어앞이다. 더욱이 \(R^qp_*\Omega^a_{E/S}\)를 \(Z_m\)에 제한한 것은 \(q < N - m\)일 때만 영이 아닐 수 있다. 실제로 \(E_m \to Z_m\)의 올들은 차원이 \(N - m - 1\)이고, 스킴의 극한의 보조정리 0E7D를 적용할 수 있다. 따라서 원하는 소멸은 보조정리 0G5I에서 따른다.

미분형식 층의 비교

이 절의 목표는 모든 국소 준유한 신토믹 스킴 사상 \(f : Y \to X\)에 대해 사상들 \[c^p_{Y/X} : \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\] 을 모든 \(p \geq 0\)에 대해 구성하는 것이다. 이 사상들은 다음 성질들을 만족한다.

1. \(c_{Y/X}^0(1) = \delta(\NL_{Y/X})\)이다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0FKB을 보라.

2. \(c_{Y/X}^{q + p}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge c_{Y/X}^p(\eta)\)이다. 여기서 \(\omega\)는 \(f^*\Omega^q_{X/\mathbf{Z}}\)의 국소 단면이고, \(\eta\)는 \(\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\)의 국소 단면이다.

3. \(c^p_{Y/X}\)의 구성은 열린집합으로의 제한 및 기저변환과 양립한다 (보조정리 0H9G에서 서술한 의미에서).

이 조건들로부터 사상 \(c^p_{Y/X}\)이 \(\mathcal{O}_Y\)-선형이고, 이를 \(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\)와 합성하면 \(\delta(\NL_{Y/X})\)를 곱하는 사상이 됨에 유의하자. 사실 성질 (1), (2), (3)을 갖는 연산자들의 모음 \(c^p_{Y/X}\)이 유일하게 존재함을 보이겠다. 이 결과는 \(f\)가 유한일 때 드람 복합체 위의 대각합 사상을 구성하기 위해 절 0FK6에서 적용할 것이다.

보조정리

\(R\)를 환이라 하고 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K^0 \ar[r] & L^0 \ar[r] & M^0 \ar[r] & 0 \\ & & L^{-1} \ar[u]_\partial \ar@{=}[r] & M^{-1} \ar[u] }\] 이는 \(R\)-가군들의 도식이고, 위 행은 완전하며, \(M^0\)과 \(M^{-1}\)은 같은 계수의 유한 자유 가군이다. \(p \geq 0\)에 대해 표준적인 사상들 \[c^p : \wedge^p(H^0(L^\bullet)) \longrightarrow \wedge^p(K^0) \otimes_R \det(M^\bullet)\] 이 존재하며 다음 성질들을 갖는다.

1. \(c^0(1) = \delta(M^\bullet)\)이다.

2. \(c^{q + p}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge c^p(\eta)\) 이다. 여기서 \(\omega \in \wedge^q(K^0)\)이고 \(\eta \in \wedge^p(H^0(L^\bullet))\)이다.

특히 \(c^p\)를 사상 \(\wedge^p(K^0) \to \wedge^p(H^0(L^\bullet))\)와 합성하면 \(\delta(M^\bullet)\)를 곱하는 사상이 된다.

증명

\(M^0\)과 \(M^{-1}\)이 계수 \(n\)의 자유 가군이라고 하자. 모든 \(p \geq 0\)에 대해 유일한 전사 \[\pi_p : \wedge^{p + n}(L^0) \longrightarrow \wedge^p(K^0) \otimes \wedge^n(M^0)\] 가 존재하며 다음 두 성질을 갖는다. (i) \(\pi_p(k_1 \wedge \ldots \wedge k_p \wedge l_1 \wedge \ldots \wedge l_n) = k_1 \wedge \ldots \wedge k_p \otimes m_1 \wedge \ldots \wedge m_n\) 이다. 여기서 \(k_1, \ldots, k_p \in K^0\)이고, \(l_1, \ldots, l_n \in L^0\)의 상들이 \(m_1, \ldots, m_n \in M^0\)이다. (ii) \(\pi_p\)의 핵은 외적 \(l_1 \wedge \ldots \wedge l_{p + n}\)들 가운데 \(> p\)개의 \(l_j\)가 \(K^0\)에 속하는 것들로 생성되는 부분가군이다. \(e_1, \ldots, e_n\)을 기저로 택하자. 이는 \(L^{-1} = M^{-1}\)의 기저이다. 다음 규칙으로 사상을 정의한다. \[\eta \mapsto \pi_p(\tilde \eta \wedge \partial(e_1) \wedge \ldots \wedge \partial(e_n)) \otimes (e_1 \wedge \ldots \wedge e_n)^{\otimes -1}\] 여기서 \(\eta \in \wedge^p(H^0(L^\bullet))\)이고, \(\tilde \eta \in \wedge^p(L^0)\)는 \(\eta\)의 올림이다. 우변의 식은 \(\det(M^\bullet) = \wedge^n(M^0) \otimes \wedge^n(M^{-1})^{\otimes -1}\) 이므로 의미가 있다. 우변은 \(\tilde \eta\)의 선택과 무관하다. 실제로 \(\partial(\xi) \wedge \partial(e_1) \wedge \ldots \wedge \partial(e_n) = 0\) 은 임의의 \(\xi \in L^{-1}\)에 대해 성립한다. 직접 계산하면 이 사상이 \(L^{-1} = M^{-1}\)의 기저 선택과도 무관함을 알 수 있다. 대수학 심화의 절 0FJI에 나오는 \(\delta(M^\bullet)\)의 정의로부터 \(c^0(1) = \delta(M^\bullet)\)임은 즉시 따른다. 마지막으로 (2)의 규칙은 정의에서 직접 확인할 수 있다.

보조정리

\(R_1 \to R_2\)를 환 준동형이라 하자. \(i = 1, 2\)에 대해 다음 가환 도식들을 생각하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K_i^0 \ar[r] & L_i^0 \ar[r] & M_i^0 \ar[r] & 0 \\ & & L_i^{-1} \ar[u]_{\partial_i} \ar@{=}[r] & M_i^{-1} \ar[u] }\] 이는 보조정리 0FL8에서와 같은 \(R_i\)-가군들의 도식이다. 사상들 \(K_1^0 \to K_2^0\), \(L_1^j \to L_2^j\), \(M_1^j \to M_2^j\)가 있다고 가정하자. 이들은 주어진 환 준동형 \(R_1 \to R_2\) 및 표시된 도식들의 사상들과 양립한다고 하자. 사상 \(M_1^j \otimes_{R_1} R_2 \to M_2^j\)가 동형이면 도식들 \[\xymatrix{ \wedge^p(H^0(L_1^\bullet)) \ar[d] \ar[r]_-{c^p} & \wedge^p(K_1^0) \otimes_{R_1} \det(M_1^\bullet) \ar[d] \\ \wedge^p(H^0(L_2^\bullet)) \ar[r]^-{c^p} & \wedge^p(K_2^0) \otimes_{R_2} \det(M_2^\bullet) }\] 은 가환한다.

증명

이는 보조정리 0FL8의 증명에서 제시한 사상의 명시적 기술로부터 따른다. \(M_1^j \otimes_{R_1} R_2 \to M_2^j\)가 동형이라는 가정은 \(M_1^{-1}\)에 사용한 기저가 \(M_2^{-1}\)의 기저로 감을 보이는 데 필요함에 유의하자. 따라서 두 구성의 양립성을 확인할 때 “같은” 기저를 사용할 수 있다.

주

\(A\)를 환이라 하자. \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\)이라 하자. \(f_1, \ldots, f_n \in P\)를 택하고 \(B = P/(f_1, \ldots, f_n)\)로 놓자. \(A \to B\)가 준유한이라고 가정하자. 그러면 \(B\)는 \(A\) 위의 상대 대역 완전 교차이다(가환대수의 정의 00SP). 또한 가환대수의 보조정리 00SV에 의해 \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\)는 류 \(\overline{f}_i\)들로 생성되는 자유 가군이다. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ \Omega_{A/\mathbf{Z}} \otimes_A B \ar[r] & \Omega_{P/\mathbf{Z}} \otimes_P B \ar[r] & \Omega_{P/A} \otimes_P B \\ & (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \ar[u] \ar@{=}[r] & (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \ar[u] }\] 오른쪽 열은 \(\NL_{B/A}\)를 \(D(B)\)에서 나타내므로 코호몰로지 \(\Omega_{B/A}\)를 차수 \(0\)에서 갖는다. 위 행은 분할 짧은 완전열 \(0 \to \Omega_{A/\mathbf{Z}} \otimes_A B \to \Omega_{P/\mathbf{Z}} \otimes_P B \to \Omega_{P/A} \otimes_P B \to 0\)이다. 가운데 열은 코호몰로지 \(\Omega_{B/\mathbf{Z}}\)를 차수 \(0\)에서 갖는다. 이는 가환대수의 보조정리 00RU에서 따른다. 따라서 보조정리 0FL8에 의해 표준적인 \(B\)-가군 사상들 \[\Omega^p_{B/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^p_{A/\mathbf{Z}} \otimes_A \det(\NL_{B/A})\] 을 얻는다. 이 사상들은 \(p \geq 0\)에 대해 성질 (1), (2)를 만족하며, 특히 이를 \(\Omega^p_{A/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{B/\mathbf{Z}}\)와 합성하면 \(\delta(\NL_{B/A})\)를 곱하는 사상이 된다.

보조정리

다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^a & X }\] 이 스킴들의 도식은 \(Y'\)를 \(X' \times_X Y\)의 열린 부분스킴과 동형으로 만든다. \(f\)가 국소 준유한이고 신토믹이라고 가정하자. 또한 \(c^p_{Y/X} : \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \to f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\)가 \(p \geq 0\)에 대해 주어져 있고 (0H9C)와 (0H9D)를 만족한다고 하자. 그러면 사상들의 모음 \(c^p_{Y'/X'} : \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}} \to (f')^*\Omega^p_{X'/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \det(\NL_{Y'/X'})\) 은 \(p \geq 0\)에 대해 많아야 하나 존재한다. 여기서는 (0H9C)와 (0H9D)를 만족하고 도식들 \[\xymatrix{ b^*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \ar[rr]_-{b^*c^p_{Y/X}} \ar[d] & & b^*(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})) \ar@{=}[r] & (f')^*a^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} b^*\det(\NL_{Y/X})) \ar[d] \\ \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}} \ar[rrr]^-{c^p_{Y'/X'}} & & & (f')^*\Omega^p_{X'/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \det(\NL_{Y'/X'}) }\] 이 모든 \(p \geq 0\)에 대해 가환할 것을 요구한다. 여기서 수직 화살표에는 절 07HX의 사상들 \(b^*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}}\) 및 \(a^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{X'/\mathbf{Z}}\)와, 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0FKB의 식별 \(b^*\det(\NL_{Y/X}) = \det(\NL_{Y'/X'})\)을 사용한다.

증명

사상 \[(f')^*\Omega_{X'/\mathbf{Z}} \oplus b^*\Omega_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega_{Y'/\mathbf{Z}}\] 은 \(Y'\)가 올곱의 열린 부분스킴이므로 전사이다. 이에 대응하는 대수 명제는 \(\Omega_{B \otimes_A C/\mathbf{Z}}\)가 \(\Omega_{B/\mathbf{Z}}\)와 \(\Omega_{C/\mathbf{Z}}\)의 상들에 의해 가군으로 생성된다는 것이다. 따라서 모든 \(p\)에 대해 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, p} (f')^*\Omega^i_{X'/\mathbf{Z}} \otimes b^*\Omega^{p - i}_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}}\] 은 전사이다. 조건 (0H9C), (0H9D)와 보조정리의 도식이 가환한다는 사실을 함께 사용하면 사상 \(c^p_{Y'/X'}\)이 결정됨을 알 수 있다(그러나 존재성은 즉시 따르지 않는다).

보조정리

다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^a & X }\] 이 스킴들의 도식은 \(Y'\)를 \(X' \times_X Y\)의 열린 부분스킴과 동형으로 만든다. \(f\)가 국소 준유한이고 신토믹이라고 가정하자. 그러면 모든 \(y' \in Y'\)에 대해 열린집합들 \(V' \subset Y'\), \(V \subset Y\), \(U' \subset X\), \(U \subset X\)를 찾을 수 있다. 이들은 \(y' \in V'\), \(f'(V') \subset U'\), \(b(V') \subset V\), \(a(U') \subset U\), \(f(V) \subset U\)를 만족한다. 또한 \(p \geq 0\)에 대해 (0H9C)와 (0H9D)를 만족하는 사상들 \(c^p_{V/U}\)와 \(c^p_{V'/U'}\)가 존재하며, 도식 \[\xymatrix{ V' \ar[d] \ar[r]_b & V \ar[d] \\ U' \ar[r] & U }\] 과 보조정리 0H9G에서 설명한 의미로 양립한다.

증명

이를 증명할 때 \(Y'\)를 \(X' \times_X Y\)로 바꾸어도 됨은 분명하다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0BWE의 (5)와 같이 아핀 열린집합 \(V \subset Y\)와 \(U \subset X\)를 택하되, \(V\)가 \(y'\)의 상을 포함하도록 하자. \(U' \subset X'\)를 \(y'\)의 상을 포함하고 \(U\) 안으로 가는 아핀 열린집합으로 택하자. \(X, Y, X', Y'\)를 각각 \(U, V, U', U' \times_U V\)로 바꾸면 다음 문단의 상황이라고 가정할 수 있다.

\(X' = \Spec(A')\), \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\)이고 \(Y' = \Spec(A' \otimes_A B)\)라고 가정하자. 여기서 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)는 \(A\) 위의 상대 대역 완전 교차이다. 그러면 \(B' = A'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_n)\)도 \(A'\) 위의 상대 대역 완전 교차이다. 여기서 \(f'_i\)는 \(f_i\)의 \(A'[x_1, \ldots, x_n]\) 안에서의 상이다. 가환대수의 보조정리 00SS를 보라. 주의 0FL9의 구성은 사상들 \(c^p_{V/U}\)와 \(c^p_{V'/U'}\)를 준다. 이 사상들은 보조정리 0H9F 및 \(B\)와 \(B'\)의 \(A\)와 \(A'\) 위 표시들의 양립성에 의해 서로 양립한다. 몇 가지 세부 사항은 생략한다.

보조정리

모든 국소 준유한 신토믹 스킴 사상 \(f : Y \to X\)에 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 사상들 \[c^p_{Y/X} : \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\] 을 대응시키는 유일한 규칙이 존재한다. 이 사상들은 \(p \geq 0\)에 대해 (0H9C), (0H9D), (0H9E)를 만족한다. 특히 \(c^p_{Y/X}\)을 \(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\)와 합성하면 \(\delta(\NL_{Y/X})\)를 곱하는 사상이 된다.

증명

이 증명은 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 명제 0FKD의 증명과 매우 유사하다. 독자는 먼저 그 증명을 살펴보기를 권한다.

명제를 다시 서술해 보자. 범주 \(\mathcal{C}\)를 다음과 같이 정의한다. 그 대상은 \(Y/X\)로 표기하는 국소 준유한 신토믹 스킴 사상 \(f : Y \to X\)이고, 사상 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)은 가환 도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^a & X }\] 으로 주어지며, 이 도식은 \(Y'\)를 \(X' \times_X Y\)의 열린 부분스킴과 동형으로 만든다. 보조정리의 뜻은 다음과 같다. \(Y/X\)를 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상이라 하면 성질 (0H9C)와 (0H9D)를 갖는 사상들 \(c^p_{Y/X}\), \(p \geq 0\)가 있다. 또한 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)를 \(\mathcal{C}\)의 임의의 사상이라 하면 \(c^p_{Y/X}\)와 \(c^p_{Y'/X'}\)는 보조정리 0H9G에서와 같이 양립한다.

\(Y/X\)가 \(\mathcal{C}\)에 속하고 \(y \in Y\)가 주어졌다고 하자. 그러면 아핀 열린집합 \(V \subset Y\)와 \(U \subset X\)를 \(f(V) \subset U\)가 되도록 찾을 수 있고, 사상들 \[\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}|_V \longrightarrow \left( f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X}) \right)|_V\] 이 성질 (0H9C)와 (0H9D)를 만족하도록 할 수 있다. 이는 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0BWE의 (5)에서와 같이 아핀 열린집합들을 택하고 주의 0FL9의 구성을 사용하면 따른다.

\(f\)의 에탈 점들은 정확히 \(\delta(\NL_{Y/X})\)가 영이 되지 않는 점들이다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0FKB의 논의를 보라. 특히 사상 \(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\)은 \(\delta(\NL_{Y/X})\)를 가역화한 뒤 동형이 된다. 따라서 \(\Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\)가 유한 국소 자유이고 \(\delta(\NL_{Y/X})\)의 \(\mathcal{O}_Y\) 안에서의 소멸자가 영이면, 앞 문단에서 구성한 국소 사상들은 유일하며 자동으로 이어붙는다.

\(\mathcal{C}_{nice} \subset \mathcal{C}\)를 다음 조건을 만족하는 \(Y/X\)들로 이루어진 충만한 부분범주라 하자.

1. \(\Omega_{X/\mathbf{Z}}\)는 국소 자유이다.

2. \(\delta(\NL_{Y/X})\)의 \(\mathcal{O}_Y\) 안에서의 소멸자는 영이다.

앞 문단의 관찰에 의해, 임의의 대상 \(Y/X\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)에 속할 때 조건 (0H9C)와 (0H9D)를 만족하는 유일한 사상들 \(c^p_{Y/X}\), \(p \geq 0\)가 존재한다. 사상 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)에 속하면, 사상들 \(c^p_{Y/X}\)와 \(c^p_{Y'/X'}\)는 보조정리 0H9G에서와 같이 양립한다. 실제로 보조정리 0H9H에 의해 국소적으로 양립하는 사상들이 존재하며, 방금 언급한 유일성에 의해 이 사상들은 \(c^p_{Y/X}\) 및 \(c^p_{Y'/X'}\)와 일치한다. 다시 말해 충만한 부분범주 \(\mathcal{C}_{nice}\) 위에서 문제를 해결하였다. \(Y/X\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)에 속할 때, 방금 얻은 해를 계속 \(c^p_{Y/X}\)로 표기하겠다.

사실 좀 더 일반적으로, \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상으로 주어져 있고 \(Y/X\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이라고 하자. 이번에는 보조정리 0H9G의 유일성을 사용하는 같은 논증에 의해, 조건 (0H9C)와 (0H9D)를 만족하는 사상들 \(c^p_{Y'/X'}\), \(p \geq 0\)가 존재하며 이미 구성한 사상들 \(c^p_{Y/X}\)와 양립한다. 이를 기저변환 \((b/a)^*c^p_{Y/X}\)라 부르자.

사상들 \[Y_1/X_1 \xleftarrow{b_1/a_1} Y/X \xrightarrow{b_2/a_2} Y_2/X_2\] 을 \(\mathcal{C}\) 안에서 생각하자. 여기서 \(Y_1/X_1\)과 \(Y_2/X_2\)는 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이다. 주장. 두 기저변환 \((b_i/a_i)^*c^p_{Y_i/X_i}\), \(i = 1, 2\)는 같다. 먼저 이 주장이 보조정리를 함의함을 보인 다음 주장을 증명하겠다.

\(d, n \geq 1\)이라 하고, 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 예 0FK8에서 구성한 국소 준유한 신토믹 사상 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)를 생각하자. 그러면 \(Y_{n, d}\)와 \(Y_{n, d}\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고 매끄러운 기약 스킴이다. 실제로 \(X_{n, d}\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 다항식환의 스펙트럼이고, \(Y_{n, d}\)는 그러한 스펙트럼의 열린 부분스킴이다. 사상 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)는 국소 준유한 신토믹이고 조밀한 열린집합 위에서 에탈이다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0FK9를 보라. 따라서 \(\delta(\NL_{Y_{n, d}/X_{n, d}})\)는 영이 아니다. 예를 들어 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 주의 0FKC에는 \(\delta(\NL_{Y/X})\)의 국소 기술이 있고, 스킴의 사상의 보조정리 02GU의 (8)에는 에탈 사상의 국소 기술이 있다. 이제 기약 정칙 스킴 위 가역 가군의 영이 아닌 단면은 소멸자가 영이다. 따라서 \(Y_{n, d}/X_{n, d}\)는 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이다.

\(Y/X\)를 \(\mathcal{C}\)의 임의의 대상이라 하고 \(y \in Y\)라 하자. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0FKA에 의해 \(n, d \geq 1\)과 사상들 \[Y/X \leftarrow V/U \xrightarrow{b/a} Y_{n, d}/X_{n, d}\] 을 \(\mathcal{C}\) 안에서 찾을 수 있다. 여기서 \(V \subset Y\)와 \(U \subset X\)는 열린집합이다. 그러면 기저변환 \(c^p_{V/U} = (b/a)^*c^p_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\)를 얻는다. 주장에 의해 이렇게 국소적으로 구성한 사상들 \(c^p_{V/U}\)는 이어붙는다. 따라서 성질 (0H9C)와 (0H9D)를 갖는 잘 정의된 대역 사상들 \(c^p_{Y/X}\)을 얻는다. 마지막으로 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)를 \(\mathcal{C}\)의 임의의 사상이라 하자. 이 문단에서 구성한 사상들 \(c^p_{Y'/X'}\), \(p \geq 0\)와 \(c^p_{Y/X}\), \(p \geq 0\)가 있다. 이들이 보조정리 0H9G에서와 같이 양립함을 확인할 때는 \(Y'/X'\)와 \(Y/X\) 위에서 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 사상 \(Y/X \to Y_{n, d}/X_{n, d}\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 구성에 의해 모음 \(c^p_{Y'/X'}\)와 모음 \(c^p_{X/Y}\)는 둘 다 \(Y_{n, d}/X_{n, d}\)으로 가는 사상과 양립한다. 이 사실과 보조정리 0H9G의 유일성으로부터 \(c^p_{Y'/X'}\)가 \(c^p_{Y/X}\)와 양립함은 쉽게 따른다. 이제 주장을 증명하는 일만 남았다.

남은 증명에서는 주장을 증명한다. 점 \(y \in Y\)를 택하고 이 사상들이 \(y\)의 열린 근방에서 일치함을 보이면 된다. 따라서 \(Y_1\), \(Y_2\)를 \(y\)의 \(Y_1\), \(Y_2\) 안에서의 상들의 열린 근방으로 바꿀 수 있다. 그러므로 \(Y, X, Y_1, X_1, Y_2, X_2\)가 아핀이라고 가정할 수 있고, 이들이 각각 환 \(B, A, B_1, A_1, B_2, A_2\)의 스펙트럼이라고 하자. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ B_1 \ar[r] & B & B_2 \ar[l] \\ A_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A_2 \ar[l] \ar[u] }\] 가정에 의해 \(B\)의 스펙트럼은 \(A \otimes_{A_1} B_1\)의 스펙트럼과 \(A \otimes_{A_2} B_2\)의 스펙트럼 모두의 아핀 열린집합이다. 더 축소하면 원소들 \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\)가 존재하고 우리의 사상들이 동형들 \((A \otimes_{A_i} B_i)_{g_i} = B\)를 준다고 가정할 수 있다. 스킴의 성질의 보조정리 0H9B를 보라. \(x_\alpha\), \(y_\beta\)를 충분히 많은 변수들의 모음으로 택하여 전사들 \[A'_1 = A_1[x_\alpha] \to A \quad\text{및}\quad A'_2 = A_2[y_\beta] \to A\] 을 각각 \(A_1\)-대수 및 \(A_2\)-대수의 사상으로 택할 수 있게 하자. 그러면 \(h_i \in A'_i \otimes_{A_i} B_i\)를 택할 수 있다. 이는 \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\)의 올림이다. 이제 도식 \[\xymatrix{ (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \ar[r] & B & (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2} \ar[l] \\ A'_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A'_2 \ar[l] \ar[u] }\] 을 생각하자. 구성에 의해 두 사각형은 쌍대카르테시안이다. 다음 환 사상을 생각하자. \[A' = A'_1 \times_A A'_2 \longrightarrow B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \times_B (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2}\] 대수학 심화의 보조정리 07RU에 의해 \(A'_1 \otimes_{A'} B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\)이고 \(A'_2 \otimes_{A'} B' = (A'_2 \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\)이다. 특히 사상 \(Y' = \Spec(B') \to \Spec(A') = X'\)의 올들은 사상들 \(Y_i \to X_i\)의 올들을 기저변환한 것의 열린 부분스킴이므로 유한 완전 국소 교차이다(판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0BWE를 보라). 대수학 심화의 보조정리 08KQ에 의해 환 사상 \(A' \to B'\)는 평탄하고 유한 표시이다. 따라서 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0BWE의 (3)에 의해 \(Y'/X'\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. 이제 가환 도식 \[\xymatrix{ & & Y/X \ar[ld] \ar@/_2pc/[lldd]_{b_1/a_1} \ar[rd] \ar@/^2pc/[rrdd]^{b_2/a_2} \\ & Y'_1/X'_1 \ar[rd] \ar[ld] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \ar[rd] \\ Y_1/X_1 & & Y'/X' & & Y_2/X_2 }\] 을 생각하자. 여기서 \(Y'_i/X'_i\)는 \(A'_i \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\)에 대응한다. \(Y'_i/X'_i\)는 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상임에 유의하자. 실제로 무한 차원 아핀 공간과 \(Y_i/X_i\)의 곱의 열린 부분스킴을 취하여 얻어진다. 작은 세부 사항은 생략한다. 특히 \(c^p_{Y_i/X_i}\)를 \((b_i/a_i)\)로 당긴 것은 \(c^p_{Y'_i/X'_i}\)를 \(Y/X \to Y'_i/X'_i\)로 당긴 것과 같다. 이제 \(Y'/X'\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)의 대상이라면 증명이 끝난다. 그러나 이는 거의 언제나 성립하지 않는다. 실제로 이 경우 \(c^p_{Y'/X'}\)를 사각형의 양쪽 변을 따라 당기면 원하는 결론을 얻는다. \(Y'/X'\)가 \(\mathcal{C}_{nice}\)에 속하지 않는 문제를 피하기 위해 위의 논증을 사용한다. 필요하면 스킴들 \(X, Y, X'_1, Y'_1, X'_2, Y'_2, X', Y'\) 모두를 축소한 뒤 어떤 \(n, d \geq 1\)을 찾아 도식을 다음과 같이 확장할 수 있다. \[\xymatrix{ & Y/X \ar[ld] \ar[rd] \\ Y'_1/X'_1 \ar[rd] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \\ & Y'/X' \ar[d] \\ & Y_{n, d}/X_{n, d} }\] 그런 다음 \(c^p_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\)에서 당겨 오는 앞의 논증을 사용할 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.

드람 복합체 위의 대각합 사상

이 절의 내용 일부에 대한 참고문헌은 [Garel]이다. \(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 스킴들의 유한 국소 자유 사상이라 하자. 그러면 대각합 사상 \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)가 존재한다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0BVH를 보라. 이 상황에서 드람 복합체 위의 대각합 사상이란 복합체들의 사상 \[\Theta_{Y/X} : f_*\Omega^\bullet_{Y/S} \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\] 으로서 \(\Theta_{Y/X}\)가 \(\text{Trace}_f\)와 차수 \(0\)에서 같고 다음을 만족하는 것이다. \[\Theta_{Y/X}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge \Theta_{Y/X}(\eta)\] 여기서 \(\omega\)는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)의 국소 단면이고, \(\eta\)는 \(f_*\Omega^\bullet_{Y/S}\)의 국소 단면이다. 이러한 대각합 사상 \(\Theta_{Y/X}\)가 모든 유한 국소 자유 사상 \(Y \to X\)에 대해 존재하는지는 분명하지 않다. 반례나 증명이 있다면 stacks.project@gmail.com 으로 이메일을 보내기 바란다.

예

드람 복합체 위의 대각합 사상이 존재하지 않는 한 예를 들자. \(\mathbf{C}\)-대수 \(B = \mathbf{C}[x, y]\)를 생각하되, \(G = \{\pm 1\}\)가 \(x \mapsto -x\) 및 \(y \mapsto -y\)로 작용한다고 하자. 불변식들 \(A = B^G\)는 \(\mathbf{C}\) 위 유한형 정규 정역을 이루며 \(x^2, xy, y^2\)로 생성된다. 포함 \(A \subset B\)에 대해서는 적절한 대각합 사상 \(\Omega_{B/\mathbf{C}} \to \Omega_{A/\mathbf{C}}\) 이 \(1\)-형식 위에 존재하지 않는다고 주장한다. 실제로 원소 \(\omega = x \text{d} y \in \Omega_{B/\mathbf{C}}\)를 생각하자. \(\omega\)는 \(G\)의 작용 아래 불변이므로 “적절한” 대각합 사상이 존재한다면 \(2\omega\)는 \(\Omega_{A/\mathbf{C}} \to \Omega_{B/\mathbf{C}}\)의 상에 속해야 한다. 그러나 그렇지 않다. \(2\omega\)를 \(\text{d}(x^2)\), \(\text{d}(xy)\), \(\text{d}(y^2)\)의 선형결합으로 쓸 수 없으며, 이는 계수를 \(B\)에서 택하도록 허용해도 마찬가지다. 이 예는 [Zannier]의 주요 정리와 모순된다.

보조정리

모든 유한 신토믹 스킴 사상 \(f : Y \to X\)에 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상들 \[\Theta^p_{Y/X} : f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\] 을 대응시키는 유일한 규칙이 존재하며, 다음 성질들을 만족한다.

1. 다음 사상과 합성하면 \(\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_Y \to f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\) \(\text{id} \otimes \text{Trace}_f\)와 같아진다. 여기서 \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)는 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0BVH의 사상이다.

2. 이 규칙은 기저변환과 양립한다.

증명

먼저 \(X\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 보조정리 0FLA에 의해 표준적인 사상 \[c^p_{Y/X} : \Omega_{Y/\mathbf{Z}}^p \longrightarrow f^*\Omega_{X/\mathbf{Z}}^p \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\] 을 얻는다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 명제 0FKD에 의해 표준적인 동형 \[c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\] 을 얻으며, 이는 \(\delta(\NL_{Y/X})\)를 \(\tau_{Y/X}\)로 보낸다. 이 사상들을 결합하면 \[c^p_{Y/X} \otimes c_{Y/X} : \Omega_{Y/\mathbf{Z}}^p \longrightarrow f^*\Omega_{X/\mathbf{Z}}^p \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}\] 을 얻는다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0FKW에 의하면 이는 사상 \[\Theta_{Y/X}^p : f_*\Omega_{Y/\mathbf{Z}}^p \longrightarrow \Omega_{X/\mathbf{Z}}^p\] 과 같은 것이다. \(c^p_{Y/X} \otimes c_{Y/X}\)와 \(\Theta_{Y/X}^p\)의 관계에는 평가 사상 \(f_*\omega_{Y/X} \to \mathcal{O}_X\)가 쓰이며, 이 사상은 \(\tau_{Y/X}\)를 \(\text{Trace}_f(1)\)로 보낸다는 것을 상기하자. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0FKW를 보라. 따라서 성질 (1)이 성립한다. \(X' \to X\)에 의한 기저변환에서 \(X'\)가 국소 뇌터이면, \(c^p_{Y/X}\)와 \(c_{Y/X}\)가 모두 이러한 기저변환과 양립하므로 성질 (2)도 성립한다. \(f : Y \to X\)가 유한 신토믹이고 \(X\)가 국소 뇌터인 경우, 방금 얻은 해를 계속 \(\Theta^p_{Y/X}\)로 표기하겠다.

유일성. 유한 신토믹 사상 \(f: Y \to X\)가 주어졌다고 하자. 여기서 \(X\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 매끄럽고, \(f\)는 \(X\)의 조밀한 열린집합 위에서 에탈이라고 하자. 이 경우 \(\Theta^p_{Y/X}\)는 성질 (1)에 의해 유일하게 결정된다고 주장한다. 실제로 사상들 \[\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_Y \to f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\] 을 생각하자. 층 \(\Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\)는 가정한 매끄러움에 의해 꼬임이 없다. 따라서 \(\Theta^p_{Y/X}\)를 \(f\)가 에탈인 조밀한 열린집합에 제한한 것이 유일하게 결정됨을 확인하면 충분하다. 즉, \(f\)가 에탈이라고 가정할 수 있다. 그런데 \(f\)가 에탈이면 \(f^*\Omega_{X/\mathbf{Z}} = \Omega_{Y/\mathbf{Z}}\)이므로 표시된 식의 첫째 화살표는 동형이다. 합성을 이미 결정했으므로 유일성이 따른다.

\(f : Y \to X\)를 국소 뇌터 스킴들의 유한 신토믹 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0FL4 에 의해 \(d \geq 1\)과 가환 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d }\] 을 찾을 수 있다. 여기서 \(x \in U \subset X\)는 열린집합이고, \(V = f^{-1}(U)\)이며, \(V = U \times_{U_d} V_d\)이다. 따라서 \(\Theta^p_{Y/X}|_V\)는 사상 \(\Theta^p_{V_d/U_d}\)를 당겨 얻는다. 그러나 위의 유일성 논의와 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리들 0FL1와 0FL2 에 의해 사상 \(\Theta^p_{V_d/U_d}\)는 조건 (1)에 따라 유일하게 결정된다. 따라서 유일성이 성립한다.

이제 모든 유한 신토믹 사상 \(Y \to X\) 중 \(X\)가 국소 뇌터인 것에 대해 존재성과 유일성을 얻었다. 보조정리 0FLA의 증명과 비슷한 논증을 제시하여 일반적인 \(X\)로 확장할 수도 있다. 그러나 절대 뇌터 근사를 직접 사용하여 증명을 끝낼 수 있다. 실제로 \(\Theta^p_{Y/X}\)을 구성할 때는 \(X\) 위에서 자리스키 국소적으로 구성하면 충분하다(유일성도 보인다는 전제 아래). 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다(작은 세부 사항은 생략한다). 그러면 \(X = \lim_{i \in I} X_i\)를 뇌터 아핀 스킴들의 유향 집합 \(I\) 위 극한으로 쓸 수 있다. 가환대수의 보조정리 05N9에 의해 \(0 \in I\)와 아핀 스킴들의 유한 표시 사상 \(f_0 : Y_0 \to X_0\)를 찾아, 이를 \(X\)로 기저변환하면 \(Y \to X\)가 되게 할 수 있다. \(0\)을 증가시킨 뒤에는 \(Y_0 \to X_0\)가 유한 신토믹이라고 가정할 수 있다. 가환대수의 보조정리 0C33와 07RG를 보라. \(i \geq 0\)에 대해서도 기저변환 \(f_i : Y_i = Y_0 \times_{X_0} X_i \to X_i\)는 유한 신토믹이다. 이제 \[\Gamma(X, f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}) = \Gamma(Y, \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(Y_i, \Omega^p_{Y_i/\mathbf{Z}}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(X_i, f_{i, *}\Omega^p_{Y_i/\mathbf{Z}})\] 따라서 \(\Theta^p_{Y/X}\)을 사상들 \(\Theta^p_{Y_i/X_i}\)의 쌍대극한으로 정의할 수 있고, 또 그렇게 정의해야 한다. 이 사상은 임의의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ Y' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 과 양립한다. 여기서 \(X'\)는 아핀이다. 위의 논증으로 뇌터 아핀 스킴의 경우에 이를 알고 있기 때문이다. 작은 세부 사항은 생략한다. 힌트로, \(X' = \lim_{j \in J} X'_j\)라고도 쓰면 모든 \(i \in I\)에 대해 \(j \in J\)와 사상 \(X'_j \to X_i\)가 존재하며, 이는 사상 \(X' \to X\)와 양립한다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(f : Y \to X\)를 스킴들의 유한 신토믹 사상이라 하자. 보조정리 0FLB의 사상들 \(\Theta^p_{Y/X}\)는 복합체들의 사상 \[\Theta_{Y/X} : f_*\Omega^\bullet_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/\mathbf{Z}}\] 을 정의하며, 다음 성질들을 갖는다.

1. 차수 \(0\)에서 \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)를 얻는다. 판별식과 디퍼런트 아이디얼의 절 0BVH를 보라.

2. 다음이 성립한다. \(\Theta_{Y/X}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge \Theta_{Y/X}(\eta)\) 여기서 \(\omega\)는 \(\Omega^\bullet_{X/\mathbf{Z}}\)에 속하고, \(\eta\)는 \(f_*\Omega^\bullet_{Y/\mathbf{Z}}\)에 속한다.

3. \(f\)가 기저 스킴 \(S\) 위의 사상이면, \(\Theta_{Y/X}\)는 복합체들의 사상 \(f_*\Omega^\bullet_{Y/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}\)을 유도한다.

증명

판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0FL4에 의해, 모든 \(x \in X\)에 대해 \(d \geq 1\)과 가환 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \ar[r] & Y_d = \Spec(B_d) \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d \ar[r] & X_d = \Spec(A_d) }\] 을 찾을 수 있다. 여기서 \(x \in U \subset X\)는 아핀 열린집합이고, \(V = f^{-1}(U)\)이며 \(V = U \times_{U_d} V_d\)이다. \(U = \Spec(A)\) 및 \(V = \Spec(B)\)라고 쓰자. \(B = A \otimes_{A_d} B_d\)임에 유의하고, \(B_d = A_d e_1 \oplus \ldots \oplus A_d e_d\)임을 상기하자. \(a_1, \ldots, a_r \in A\)와 \(b_1, \ldots, b_s \in B\)가 주어졌다고 하자. \(b_j = \sum a_{j, l} e_l\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(a_{j, l} \in A\)이다. \(N = r + sd\)로 놓고 다음 분해들을 생각하자. \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d] & V' = \mathbf{A}^N \times V_d \ar[r] \ar[d] & V_d \ar[d] \\ U \ar[r]& U' = \mathbf{A}^N \times U_d \ar[r] & U_d }\] 여기서 오른쪽 아래 수평 화살표는 앞 도식의 사상 \(U \to U_d\)와 사상 \(U \to \mathbf{A}^N\)에 의해 정해진다. 뒤의 사상은 \(a_1, \ldots, a_r, a_{1, 1}, \ldots, a_{s, d}\)로 주어진다. 그러면 함수들 \(a_1, \ldots, a_r\)는 \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)의 상에 속하고, 함수들 \(b_1, \ldots, b_s\)는 \(\Gamma(V', \mathcal{O}_{V'}) \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)의 상에 속함을 알 수 있다. 따라서 임의의 유한한 원소 모음⁴을 다음 군들에서 택했을 때 \[\Gamma(V, \Omega^i_{Y/\mathbf{Z}}),\quad i = 0, 1, 2, \ldots \quad\text{및}\quad \Gamma(U, \Omega^j_{X/\mathbf{Z}}),\quad j = 0, 1, 2, \ldots\] 위와 같은 분해들 \(V \to V' \to V_d\) 및 \(U \to U' \to U_d\)를 찾을 수 있다. 여기서 \(V' = \mathbf{A}^N \times V_d\)이고 \(U' = \mathbf{A}^N \times U_d\)이며, 이 단면들은 다음 군에 속하는 단면들을 당겨서 얻어진다. \[\Gamma(V', \Omega^i_{V'/\mathbf{Z}}),\quad i = 0, 1, 2, \ldots \quad\text{및}\quad \Gamma(U', \Omega^j_{U'/\mathbf{Z}}),\quad j = 0, 1, 2, \ldots\] 따라서 \(\text{d} \circ \Theta_{Y/X} = \Theta_{Y/X} \circ \text{d}\)를 확인하려면 \(\Theta_{V'/U'}\)에 대해 이를 확인하면 충분하다. 보조정리의 성질 (2)에 대해서도 마찬가지다.

판별식과 디퍼런트 아이디얼의 보조정리 0FL1와 0FL2에 의해 스킴 \(U_d\)는 매끄럽고, 사상 \(V_d \to U_d\)는 \(U_d\)의 조밀한 열린집합 위에서 에탈이다. 따라서 사상 \(V' \to U'\)도 같은 성질을 갖는다. \(\Omega_{U'/\mathbf{Z}}\)가 국소 자유이므로 \(\Omega^p_{U'/\mathbf{Z}}\)는 꼬임이 없다. 따라서 \(V'\)가 유한 에탈인 열린집합에 제한한 뒤 원하는 관계들을 확인하면 충분하다. 그 뒤 전사 에탈 기저변환을 하고 관계들을 확인해도 된다. 따라서 유한 에탈 덮개를 분할하여 다음 꼴 사상을 생각한다고 가정할 수 있다. \[\coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} W \longrightarrow W\] 여기서 \(W\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 매끄럽다. 이 경우 우리 구성의 국소적 성질들은 참이기만 하면 자명하게 확인된다. 이로써 (1), (2)의 증명이 끝난다.

마지막으로, \(\Omega_{Y/S}\)는 \(\Omega_{Y/\mathbf{Z}}\)를 \(\Omega_{S/\mathbf{Z}}\)의 국소 단면들을 당겨 얻은 것들이 생성하는 부분가군으로 나눈 몫이므로 (3)은 (2)에서 따른다.

예

\(A\)를 환이라 하자. \(f = x^d + \sum_{0 \leq i < d} a_{d - i} x^i \in A[x]\)라 하자. \(B = A[x]/(f)\)라 하자. 명제 0FLC에 의해 복합체들의 사상 \[\Theta_{B/A} : \Omega^\bullet_B \longrightarrow \Omega^\bullet_A\] 을 얻는다. 특히 \(t \in B\)가 \(x \in A[x]\)의 상을 나타낸다면 원소들 \[\Theta_{B/A}(t^i\text{d}t) \in \Omega^1_A,\quad i = 0, \ldots, d - 1\] 을 생각할 수 있다. 이 원소들은 무엇인가? 명제 0FLC의 증명에서 사용한 것과 같은 원리에 의해 대역적인 경우, 즉 \(A = \mathbf{Z}[a_1, \ldots, a_d]\)인 경우에 계산하면 충분하다. 나아가 \(A\)를 분수체 \(\mathbf{Q}(a_1, \ldots, a_d)\)로 바꾸어도 된다. 기호적으로 \[f = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} (x - \alpha_i)\] 라고 쓰면 \(\mathbf{Q}(\alpha_1, \ldots, \alpha_d)\) 위에서 대수 \(B\)는 분할된다. \[\mathbf{Q}(a_0, \ldots, a_{d - 1})[x]/(f) \longrightarrow \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} \mathbf{Q}(\alpha_1, \ldots, \alpha_d), \quad t \longmapsto (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)\] 따라서 예를 들어 \[\Theta(\text{d}t) = \sum \text{d} \alpha_i = - \text{d}a_1\] 이다. 다음으로 \[\Theta(t\text{d}t) = \sum \alpha_i \text{d}\alpha_i = a_1 \text{d} a_1 - \text{d}a_2\] 이다. 다음으로 \[\Theta(t^2\text{d}t) = \sum \alpha_i^2 \text{d}\alpha_i = - a_1^2 \text{d} a_1 + a_1 \text{d}a_2 + a_2 \text{d}a_1 - \text{d}a_3\] 이다(계산 오류 가능성은 제외한다). 이와 같이 계속된다. 이로부터 \(f(x) = x^d - a\)이면 \[\Theta_{B/A}(t^i\text{d}t) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{이면} & i = 0, \ldots, d - 2 \\ \text{d}a & \text{이면} & i = d - 1 \end{matrix} \right.\] 가 \(\Omega_A\) 안에서 성립할 것으로 보인다. 이는 참이다. 이 특별한 경우에는 확대 \(\mathbf{Q}(a)[x]/(x^d - a)\)에 대해 계산하여 직접 확인할 수 있기 때문이다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하자. \(X \to S\)를 상대 차원 \(d\)인 매끄러운 사상이라 하고, 이 스킴들의 표수가 \(p\)라고 하자. 상대 프로베니우스 \(F_{X/S} : X \to X^{(p)}\)를 생각하자. 이는 \(X/S\)의 상대 프로베니우스이다 (대수다양체의 정의 0CC9)는 유한 신토믹이고, 이에 대응하는 사상 \[\Theta_{X/X^{(p)}} : F_{X/S, *}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X^{(p)}/S}\] 은 차수가 \(d\)일 때 전사를 정의하고, 그 외 모든 차수에서 영이다.

증명

대수다양체의 보조정리 0CCD에 의해 \(F_{X/S}\)는 유한 사상이다. \(F_{X/S}\)가 평탄임을 증명하려면, 올들 사이의 사상 \(F_{X/S, s} : X_s \to X^{(p)}_s\)가 모든 \(s \in S\)에 대해 평탄임을 보이면 충분하다. 사상 심화의 정리 039C를 보라. \(X_s \to X^{(p)}_s\)의 평탄성은 가환대수의 보조정리 00R4와 이미 증명한 유한성에서 따른다. 사상 심화의 보조정리 069M에 의해 사상 \(F_{X/S}\)는 완전 국소 교차 사상이다. 따라서 \(F_{X/S}\)는 유한 신토믹이다(사상 심화의 보조정리 069K를 보라).

모든 점 \(x \in X\)에 대해 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d]_\pi \\ S & \mathbf{A}^d_S \ar[l] }\] 을 택할 수 있다. 여기서 \(\pi\)는 에탈이고 \(x \in U\)는 \(X\)의 열린집합이다. 스킴의 사상의 보조정리 054L를 보라. 사상 \(\mathbf{A}^d_S \to \mathbf{A}^d_S\), \((x_1, \ldots, x_d) \mapsto (x_1^p, \ldots, x_d^p)\)은 \(\mathcal{A}^d_S\)의 \(S\) 위 상대 프로베니우스임에 유의하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_\pi \ar[r]_{F_{X/S}} & U^{(p)} \ar[d]^{\pi^{(p)}} \\ \mathbf{A}^d_S \ar[r]^{x_i \mapsto x_i^p} & \mathbf{A}^d_S }\] 은 \(\pi : U \to \mathbf{A}^d_S\)에 대한 대수다양체의 보조정리 0CCA의 도식이며, 스킴의 에탈 사상의 보조정리 0EBS에 의해 카르테시안이다. \(\Theta\)의 구성이 기저변환과 양립하고 \(\Omega_{U/S} = \pi^*\Omega_{\mathbf{A}^d_S/S}\)이므로(보조정리 0FLV), \(\mathbf{A}^d_S\)에 대해 보조정리를 보이면 충분하다.

\(A\)를 표수 \(p\)인 환이라 하자. 유일한 \(A\)-대수 준동형 \(A[y_1, \ldots, y_d] \to A[x_1, \ldots, x_d]\)을 생각하자. 이는 \(y_i\)를 \(x_i^p\)로 보낸다. 위의 논증에 따라 사상 \[\Theta^i : \Omega^i_{A[x_1, \ldots, x_d]/A} \to \Omega^i_{A[y_1, \ldots, y_d]/A}\] 을 계산하면 된다. 독자가 이 경우의 계산을 직접 해 보기를 권한다. 예 0FLD에서와 같이 대역적인 경우의 \(\Theta^i\)에 대한 공식을 계산하는 문제로 환원할 수 있다. \[\mathbf{Z}[y_1, \ldots, y_d] \to \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_d],\quad y_i \mapsto x_i^p\] 다시 \(\Theta^i\)의 공식은 복소수의 경우, 즉 \(\mathbf{C}\)-대수 사상 \[\mathbf{C}[y_1, \ldots, y_d] \to \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_d],\quad y_i \mapsto x_i^p\] 에 대해 계산하면 찾을 수 있다. 나아가 \(x_1, \ldots, x_d\)와 \(y_1, \ldots, y_d\)를 가역화해도 된다. 이 경우 \(\text{d}x_i = p^{-1} x_i^{- p + 1}\text{d}y_i\)이다. 따라서 \[\begin{align*} \Theta^i( x_1^{e_1} \ldots x_d^{e_d} \text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_i) & = p^{-i} \Theta^i( x_1^{e_1 - p + 1} \ldots x_i^{e_i - p + 1} x_{i + 1}^{e_{i + 1}} \ldots x_d^{e_d} \text{d}y_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}y_i ) \\ & = p^{-i} \text{Trace}(x_1^{e_1 - p + 1} \ldots x_i^{e_i - p + 1} x_{i + 1}^{e_{i + 1}} \ldots x_d^{e_d}) \text{d}y_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}y_i \end{align*}\] 이다. 이는 \(\Theta^i\)의 성질들에서 따른다. 초등적인 계산에 의해 위 식의 대각합은 \(e_1, \ldots, e_i\)가 \(-1\)과 법 \(p\)로 합동이고 \(e_{i + 1}, \ldots, e_d\)가 \(p\)로 나누어떨어지는 경우를 제외하면 영이다. 더욱이 그 경우에는 \[p^{d - i} y_1^{(e_1 - p + 1)/p} \ldots y_i^{(e_i - p + 1)/p} y_{i + 1}^{e_{i + 1}/p} \ldots y_d^{e_d/p} \text{d}y_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}y_i\] 을 얻는다. 따라서 표수 \(p\)에서는 \(d = i\)인 경우를 제외하면 영이고, 그 경우에는 가능한 모든 \(d\)-형식을 얻는다.

푸앵카레 쌍대성

이 절에서는 체 위 고유 매끄러운 스킴의 드람 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성을 증명한다. 먼저 호지 코호몰로지에서 이것이 어떻게 성립하는지 설명하자.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 고유 스킴이라 하고 차원이 \(d\)인 등차원 스킴이라고 하자. 그러면 \(k\)-선형 사상 \[t : H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \longrightarrow k\] 이 존재한다. 이는 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)의 가역원을 곱하는 사상을 앞에서 합성하는 것까지 유일하며, 모든 \(p, q\)에 대해 쌍 \[H^q(X, \Omega^p_{X/k}) \times H^{d - q}(X, \Omega^{d - p}_{X/k}) \longrightarrow k, \quad (\xi, \xi') \longmapsto t(\xi \cup \xi')\] 은 완전하다.

증명

스킴의 쌍대성의 보조정리 0FVV에 의해 \(\omega_X^\bullet = \Omega^d_{X/k}[d]\)이다. \(\Omega_{X/k}\)는 계수 \(d\)의 국소 자유 가군이므로(스킴의 사상의 보조정리 02G1), \[\Omega^d_{X/k} \otimes_{\mathcal{O}_X} (\Omega^p_{X/k})^\vee \cong \Omega^{d - p}_{X/k}\] 이다. 따라서 스킴의 쌍대성의 보조정리 0FVY에 의해 명제가 성립하도록 하는 \(k\)-선형 사상 \(t : H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \to k\)를 얻는다. 특히 쌍 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \times H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \to k\) 은 완전하다. 따라서 임의의 \(k\)-선형 사상 \(t' : H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \to k\)는 \(\xi \mapsto t(g\xi)\) 꼴이며, 여기서 \(g \in H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이다. 물론 \(t'\)가 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)와 \(H^d(X, \Omega^d_{X/k})\) 사이의 쌍대성을 여전히 주려면 \(g\)가 가역원이어야 한다. \(\langle -, - \rangle_{p, q}\)를 \(t\)를 사용하여 구성한 쌍이라 하고, \(\langle -, - \rangle'_{p, q}\)를 \(t'\)를 사용하여 구성한 쌍이라 하자. 분명히 \[\langle \xi, \xi' \rangle'_{p, q} = \langle g\xi, \xi' \rangle_{p, q}\] 이다. 여기서 \(\xi \in H^q(X, \Omega^p_{X/k})\)이고 \(\xi' \in H^{d - q}(X, \Omega^{d - p}_{X/k})\)이다. \(g\)는 가역원이므로, \(t'\)를 사용하고 \(t\)를 사용하지 않아도 모든 \(p, q\)에 대해 완전한 쌍을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위 매끄러운 고유 스킴이라 하자. 사상 \[\text{d} : H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X, \Omega^1_{X/k})\] 은 영이다.

증명

\(X\)는 \(k\) 위에서 매끄러우므로 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다. 대수다양체의 보조정리 056T를 보라. 따라서 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = \prod k_i\)는 유한 분리 체 확대 \(k_i/k\)들의 유한 곱이다. 대수다양체의 보조정리 0BUG를 보라. 그러므로 \(\Omega_{H^0(X, \mathcal{O}_X)/k} = \prod \Omega_{k_i/k} = 0\)이다 (예를 들어 가환대수의 보조정리 090W를 보라). 보조정리의 사상은 \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to \Omega_{H^0(X, \mathcal{O}_X)/k} \to H^0(X, \Omega_{X/k})\] 으로 분해된다. 이는 드람 복합체의 함자성에서 따른다(절 07HX를 보라). 따라서 결론을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위 매끄러운 고유 스킴이라 하고, 차원이 \(d\)인 등차원 스킴이라고 하자. 사상 \[\text{d} : H^d(X, \Omega^{d - 1}_{X/k}) \to H^d(X, \Omega^d_{X/k})\] 은 영이다.

증명

보조정리 0FW5와 0FW4를 결합하면 이 결과가 따른다고 생각하기 쉽다. 그러나 이는 통하지 않는다. 사상들 \(\mathcal{O}_X \to \Omega^1_{X/k}\)와 \(\Omega^{d - 1}_{X/k} \to \Omega^d_{X/k}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-선형이 아니기 때문이다. 따라서 스킴의 쌍대성의 주의 0FVX에서 논한 함자성을 사용하여 보조정리 0FW5의 사상이 이 보조정리의 사상과 쌍대라고 결론내릴 수 없다.

\(X\)를 \(X\)의 한 연결 성분으로 바꿀 수 있다. 따라서 \(X\)가 기약이라고 가정할 수 있다. 대수다양체의 보조정리 056T와 0BUG에 의해 \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 분리 확대 \(k'/k\)이다. \(\Omega_{k'/k} = 0\)이므로(예를 들어 가환대수의 보조정리 090W를 보라), \(\Omega_{X/k} = \Omega_{X/k'}\)이다(스킴의 사상의 보조정리 01UX를 보라). 따라서 \(k\)를 \(k'\)로 바꾸어 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)라고 가정할 수 있다.

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)라고 가정하자. 보조정리 0FW4에 의해 \(\dim H^d(X, \Omega^d_{X/k}) = 1\)임을 얻는다. 먼저 \(k\)의 표수가 소수 \(p\)라고 가정하자. \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\)를 \(X\)의 \(k\) 위 상대 프로베니우스라 하자. 보조정리 0FW2에서 이 사상에 대해 증명한 사실들을 염두에 두기 바란다. 가환 도식 \[\xymatrix{ H^d(X, \Omega^{d - 1}_{X/k}) \ar[d] \ar[r] & H^d(X^{(p)}, F_{X/k, *}\Omega^{d - 1}_{X/k}) \ar[d] \ar[r]_{\Theta^{d - 1}} & H^d(X^{(p)}, \Omega^{d - 1}_{X^{(p)}/k}) \ar[d] \\ H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \ar[r] & H^d(X^{(p)}, F_{X/k, *}\Omega^d_{X/k}) \ar[r]^{\Theta^d} & H^d(X^{(p)}, \Omega^d_{X^{(p)}/k}) }\] 을 생각하자. \(F_{X/k}\)가 유한이므로 왼쪽의 두 수평 화살표는 동형이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 089W를 보라. 오른쪽 사각형은 \(\Theta_{X^{(p)}/X}\)가 복합체들의 사상이고 \(\Theta^{d - 1}\)가 영이므로 가환한다. 따라서 \(\Theta^d\)가 영이 아님을 보이면 충분하다. 실제로 위의 논의에 의해 사상 \(\Theta^d\)의 정의역 차원은 \(1\)이다. 한편 \[\Theta^d : F_{X/k, *}\Omega^d_{X/k} \to \Omega^d_{X^{(p)}/k}\] 은 전사임을 알고 있다. 따라서 오른쪽 완전 함자 \(H^d(X^{(p)}, -)\)를 적용한 뒤에도 전사이다. 이 함자가 오른쪽 완전인 것은 \(d\)보다 높은 차수에서 코호몰로지가 소멸하기 때문이며, 이는 층 코호몰로지의 명제 02UZ에서 따른다. 마지막으로 \(H^d(X^{(d)}, \Omega^d_{X^{(d)}/k})\)는 영이 아니다. 예를 들어 이는 \(H^0(X^{(d)}, \mathcal{O}_{X^{(p)}})\)와 쌍대이다. 여기서는 보조정리 0FW4를 \(X^{(p)}\)에 \(k\) 위에서 적용하였다. 이로써 이 경우의 증명이 끝난다.

마지막으로 \(k\)의 표수가 \(0\)이라고 가정하자. \(k\)를 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수들 \(R\)의 여과 쌍대극한으로 쓸 수 있다. 이들 중 하나에 대해 스킴들의 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \Spec(R) }\] 을 찾을 수 있으며, \(Y \to \Spec(R)\)은 상대 차원 \(d\)인 매끄러운 고유 사상이다. 스킴의 극한의 보조정리들 01ZM, 0C0C, 0EY2, 081F를 보라. 가군들 \(M^{i, j} = H^j(Y, \Omega^i_{Y/R})\)은 유한 \(R\)-가군이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02O6를 보라. 따라서 \(R\)을 한 국소화로 바꾼 뒤에는 이 가군들이 모두 유한 자유라고 가정할 수 있다. 평탄 기저변환에 의해 \(M^{i, j} \otimes_R k = H^j(X, \Omega^i_{X/k})\)이다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH를 보라). 따라서 \(M^{d - 1, d} \to M^{d, d}\)가 영임을 보이면 충분하다. 이는 정역 위 유한 자유 가군들 사이의 사상이므로, 소아이디얼들 \(\mathfrak p \subset R\)의 조밀한 집합을 찾아 \(\kappa(\mathfrak p)\)와 텐서한 뒤 영이 되도록 하면 충분하다. \(R\)은 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이므로 잉여체의 표수가 양수인 소아이디얼들 \(\mathfrak p\)의 모음을 택할 수 있다 (세부 사항은 생략한다). 다음에 유의하자. \[M^{d - 1, d} \otimes_R \kappa(\mathfrak p) = H^d(Y_{\kappa(\mathfrak p)}, \Omega^{d - 1}_{Y_{\kappa(\mathfrak p)}/\kappa(\mathfrak p)})\] 예를 들어 스킴의 극한의 보조정리 0E7D에 의해 이 식이 성립한다. \(M^{d, d}\)에 대해서도 마찬가지다. 따라서 \(M^{d - 1, d} \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to M^{d, d} \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 는 위에서 다룬 양의 표수의 경우에 의해 영이다.

명제

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 고유 스킴이라 하고 차원이 \(d\)인 등차원 스킴이라고 하자. 그러면 \(k\)-선형 사상 \[t : H^{2d}_{dR}(X/k) \longrightarrow k\] 이 존재한다. 이는 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)의 가역원을 곱하는 사상을 앞에서 합성하는 것까지 유일하며, 모든 \(i\)에 대해 쌍 \[H^i_{dR}(X/k) \times H_{dR}^{2d - i}(X/k) \longrightarrow k, \quad (\xi, \xi') \longmapsto t(\xi \cup \xi')\] 은 완전하다.

증명

호지-드람 스펙트럼 열(절 0FM6), \(\Omega^i_{X/k}\)가 \(i > d\)일 때 소멸한다는 사실, 층 코호몰로지의 명제 02UZ의 소멸, 그리고 보조정리 0FW5와 0FW6의 결과에 의해 \(H^0_{dR}(X/k) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 및 \(H^d(X, \Omega^d_{X/k}) = H_{dR}^{2d}(X/k)\)임을 알 수 있다. 더 정확히 말하면 이 식별들은 복합체들의 사상 \[\Omega^\bullet_{X/k} \to \mathcal{O}_X[0] \quad\text{및}\quad \Omega^d_{X/k}[-d] \to \Omega^\bullet_{X/k}\] 으로부터 나온다. \(t : H_{dR}^{2d}(X/k) \to k\)를 택하자. 이는 이 식별을 통해 보조정리 0FW4의 \(t\)에 대응한다. 그러면 어느 경우든 명제에 표시된 쌍은 \(i = 0\)일 때 완전하다.

\(\underline{k}\)를 값이 \(k\)인 상수층이라 하자. 이는 \(X\) 위의 층이다. 간단히 \(\Omega^\bullet = \Omega^\bullet_{X/k}\)라고 쓰자. 우리 상황에서 (0FM2)의 사상은 \[\wedge : \text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] 과 같다. 모든 정수 \(p = 0, 1, \ldots, d\)에 대해 이 사상은 차수상의 이유로 부분복합체 \(\text{Tot}(\sigma_{> p} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet)\)를 소멸시킨다. 따라서 \(\wedge\)를 부분복합체 \(\text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)\)에 제한한 사상은 복합체들의 사상 \[\gamma_p : \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] 을 통해 분해된다. 절 0FM1에서와 같은 절차를 사용하면 컵곱들 \[H^i(X, \sigma_{\leq p} \Omega^\bullet) \times H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \longrightarrow H_{dR}^{2d}(X, \Omega^\bullet)\] 을 얻는다. \(p\)에 대한 귀납법으로, 이 컵곱들을 \(t\)와 합성하면 \(H^i(X, \sigma_{\leq p} \Omega^\bullet)\)와 \(H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)\) 사이에 완전한 쌍이 유도됨을 증명하겠다. \(p = d\)인 경우가 명제의 주장이다.

기초 단계는 \(p = 0\)이다. 이 경우 보조정리 0FW4의 \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\)와 \(H^{d - i}(X, \Omega^d)\) 사이의 쌍을 그대로 얻으므로 결과가 성립한다.

귀납 단계. 결과가 \(p\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 완전 삼각형 \[\Omega^{p + 1}[-p - 1] \to \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet \to \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\] 과 완전 삼각형 \[\sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet \to \sigma_{\geq d - p - 1}\Omega^\bullet \to \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1] \to (\sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)[1]\] 을 생각하자. 둘 다 \(\underline{k}\)-가군 층들의 복합체의 호모토피 범주 안에서 완전 삼각형임에 유의하자. 특히 사상들 \(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\) 및 \(\Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1] \to (\sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)[1]\) 은 실제 복합체 사상들로 주어지며, 구체적으로 미분 \(\Omega^p \to \Omega^{p + 1}\) 및 미분 \(\Omega^{d - p - 1} \to \Omega^{d - p}\)를 사용한다. 이 완전 삼각형들에 딸린 긴 완전 코호몰로지 열들을 생각하자. \[\xymatrix{ H^{i - 1}(X, \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet) \ar[d]_a \\ H^i(X, \Omega^{p + 1}[-p - 1]) \ar[d]_b \\ H^i(X, \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet) \ar[d]_c \\ H^i(X, \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet) \ar[d]_d \\ H^{i + 1}(X, \Omega^{p + 1}[-p - 1]) } \quad\quad \xymatrix{ H^{2d - i + 1}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \\ H^{2d - i}(X, \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1]) \ar[u]_{a'} \\ H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p - 1}\Omega^\bullet) \ar[u]_{b'} \\ H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \ar[u]_{c'} \\ H^{2d - i - 1}(X, \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1]) \ar[u]_{d'} }\] 귀납 가정과 보조정리 0FW4에 의해, 위에서 구성한 첫째, 둘째, 넷째, 다섯째 행의 \(k\)-벡터공간들 사이의 쌍들은 완전하다. \(5\)-보조정리에 의해 가운데 행의 코호몰로지 군들 사이의 쌍이 완전함을 보이려면 쌍들 \((a, a')\), \((b, b')\), \((c, c')\), \((d, d')\)가 주어진 쌍들과 양립함을 보이면 충분하다(아래를 보라).

먼저 쌍 \((c, c')\)에 대해 이를 증명하자. 다음 가환 도식이 있음을 관찰하면 된다. \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_p} & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_{p + 1}} }\] 따라서 \(\alpha \in H^i(X, \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet)\) 및 \(\beta \in H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)\)가 주어지면, 컵곱의 함자성에 의해 \(\gamma_p(\alpha \cup c'(\beta)) = \gamma_{p + 1}(c(\alpha) \cup \beta)\) 를 얻는다.

마찬가지로 쌍 \((b, b')\)에 대해서는 가환 도식 \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_{p + 1}} & \text{Tot}(\Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{\underline{k}} \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1] \ar[l]_-\wedge }\] 을 사용하고 같은 방식으로 논증한다.

쌍 \((d, d')\)에 대해서는 가환 도식 \[\xymatrix{ \Omega^{p + 1}[-p] \otimes_{\underline{k}} \Omega^{d - p - 1}[-d + p] \ar[d] & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \Omega^{d - p - 1}[-d + p]) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \ar[l] }\] 을 사용하고 코호몰로지 류들 \(H^i(X, \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet)\) 및 \(H^{2d - i}(X, \Omega^{d - p - 1}[-d + p])\)을 살펴본다. \(i\)를 \(i - 1\)로 바꾸면 쌍 \((a, a')\)에 대한 결과를 얻는다. 이로써 우리의 쌍들이 완전하다는 증명이 끝난다.

\(t\)가 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)의 가역원을 곱하는 사상을 앞에서 합성하는 것까지 유일함을 보이는 논증은 생략한다.

천 특성류

지금까지 증명한 결과들은 베유 코호몰로지 이론의 절 0FI4의 논의를 사용하여 드람 코호몰로지의 천 특성류를 만들기에 충분하다.

보조정리

모든 준콤팩트 준분리 스킴 \(X\)에 전체 천 특성류 \[c^{dR} : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}_{dR}(X/\mathbf{Z})\] 를 대응시키는 유일한 규칙이 존재하며, 다음 성질들을 갖는다.

1. \(c^{dR}(\alpha + \beta) = c^{dR}(\alpha) c^{dR}(\beta)\)이다. 여기서 \(\alpha, \beta \in K_0(\textit{Vect}(X))\)이다.

2. \(f : X \to X'\)가 준콤팩트 준분리 스킴들의 사상이면 \(c^{dR}(f^*\alpha) = f^*c^{dR}(\alpha)\)이다.

3. \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\)가 주어지면 \(c^{dR}([\mathcal{L}]) = 1 + c_1^{dR}(\mathcal{L})\)이다.

이 구성은 모든 스킴으로 쉽게 확장할 수 있지만, 그러려면 베유 코호몰로지 이론의 절 0FI4의 논의를 약간 보강해야 한다.

증명

베유 코호몰로지 이론의 명제 0FI5를 적용하겠다.

\(\mathcal{C}\)를 모든 준콤팩트 준분리 스킴의 범주라 하자. 이 범주는 분명히 베유 코호몰로지 이론의 절 0FI4의 조건 (1), (2), (3)(a), (b), (c)를 만족한다.

등급 대수의 범주로 가는 우리의 반변 함자 \(A\)는 \(\mathcal{C}\)에서 \(X\)를 \(A(X) = \bigoplus_{i \geq 0} H_{dR}^{2i}(X/\mathbf{Z})\) 로 보내고, 여기에는 컵곱을 준다. 함자성은 절 0FL6에서, 컵곱은 절 0FM1에서 논하였다. 가법 사상 \(c_1^A\)로는 절 0FLE에서 구성한 \(c_1^{dR}\)을 택한다.

실제로 보조정리 0FM3에 의해 가환 대수들을 얻으며, 이는 \(A\)에 대해 공리 (1)이 성립함을 보인다.

공리 (2)를 \(A\)에 대해 확인하려면 \(H^*_{dR}(X \coprod Y/\mathbf{Z}) = H^*_{dR}(X/\mathbf{Z}) \times H^*_{dR}(Y/\mathbf{Z})\). 임을 확인하면 충분하다. 이는 드람 코호몰로지가 자리스키 위상에서 미분 등급 대수 층의 코호몰로지를 취하여 구성된다는 사실에서 따른다.

\(A\)에 대한 공리 (3)은 가역 가군의 제1 천 특성류를 취하는 연산이 당김과 양립한다는 명제이다. 이는 더 일반적인 보조정리 0FMD에서 따른다.

\(A\)에 대한 공리 (4)는 명제 0FMT에서 증명한 사영공간 다발 공식이다.

공리 (5). \(X\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하고, \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사이의 전사라 하자. 그 계수들은 각각 \(r + 1\)과 \(r\)이다. 이에 대응하는 포함 사상을 \(i : P' = \mathbf{P}(\mathcal{F}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E}) = P\)라 하자. 이는 \(X\) 위 매끄러운 사영 스킴들 사이의 사상이며 \(P'\)를 \(P\) 위의 유효 카르티에 인자로 나타낸다. 따라서 보조정리 0FMY에 의해 \(P' \subset P\)에 대한 \(\mathbf{Z}\) 위 로그 극 복합체가 정의된다. 그러므로 \(a \in A(P)\)와 \(i^*a = 0\)에 대해 보조정리 0FMX에 의해 \(a \cup c_1^A(\mathcal{O}_P(P')) = 0\)이다. 이로써 증명이 끝난다.

주

베유 코호몰로지 이론의 보조정리 0FI7(분할 원리)와 0FI8(텐서곱의 천 특성류)에 대응하는 명제들은 준콤팩트 준분리 스킴 위 드람 천 특성류에 대해서도 성립한다. 보조정리 0FW9의 증명에서 베유 코호몰로지 이론의 절 0FI4의 모든 공리가 성립함을 보였으므로 이는 분명하다.

\(\mathbf{Q}\) 위의 스킴을 다루면 천 지표를 구성할 수 있다.

보조정리

모든 준콤팩트 준분리 스킴 \(X\) 중 \(\mathbf{Q}\) 위에 놓인 것에 “천 지표” \[ch^{dR} : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} H_{dR}^{2i}(X/\mathbf{Q})\] 를 대응시키는 유일한 규칙이 존재하며, 다음 성질들을 갖는다.

1. \(ch^{dR}\)은 모든 \(X\)에 대해 환 준동형이다.

2. \(f : X' \to X\)가 \(\mathbf{Q}\) 위 준콤팩트 준분리 스킴들의 사상이면 \(f^* \circ ch^{dR} = ch^{dR} \circ f^*\)이다.

3. \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\)가 주어지면 \(ch^{dR}([\mathcal{L}]) = \exp(c_1^{dR}(\mathcal{L}))\)이다.

이 구성은 \(\mathbf{Q}\) 위의 모든 스킴으로 쉽게 확장할 수 있지만, 그러려면 베유 코호몰로지 이론의 절 0FI4의 논의를 약간 보강해야 한다.

증명

보조정리 0FW9의 증명에서와 똑같이, \(\mathbf{Q}\) 위 준콤팩트 준분리 스킴의 범주와 함자 \(A^*(X) = \bigoplus_{i \geq 0} H_{dR}^{2i}(X/\mathbf{Q})\)가 베유 코호몰로지 이론의 절 0FI4의 공리들을 만족함을 보일 수 있다. 더욱이 이 경우 \(A(X)\)는 \(\mathbf{Q}\)-대수이며, 이는 모든 \(X\)에 대해 성립한다. 따라서 보조정리는 베유 코호몰로지 이론의 명제 0FI9에서 따른다.

베유 코호몰로지 이론

\(k\)를 체라 하자. 그 표수는 \(0\)이라고 하자. 이 절에서는 함자 \[X \longmapsto H^*_{dR}(X/k)\] 가 베유 코호몰로지 이론의 정의 0FI2에서 정의한 의미로 \(k\) 위의 계수체 \(k\)인 베유 코호몰로지 이론을 정의함을 증명한다. 이 장 앞부분의 구성들이 베유 코호몰로지 이론의 절 0FID의 공리 (A1)–(A9)를 만족하는 데이터 (D0), (D1), (D2’)을 줌을 확인하겠다.

이 절의 나머지 부분에서는 체 \(k\)를 고정하자. 그 표수는 \(0\)이고, \(F = k\)로 놓는다. 다음 데이터를 택한다.

1. \(1\)차원 \(F\)-벡터공간 \(F(1)\)로 \(F(1) = F = k\)를 택한다.

2. 함자 \(H^*\)로는 매끄러운 사영 스킴 \(X\)를 택하여, 이 스킴이 \(k\) 위에 놓일 때 \(H^*_{dR}(X/k)\)로 보내는 함자를 택한다. 함자성은 절 0FL6에서, 컵곱은 절 0FM1에서 논하였다. 보조정리 0FM3에 의해 등급 가환 \(F\)-대수들을 얻는다.

3. 사상 \(c_1^H : \Pic(X) \to H^2(X)(1)\)로는 절 0FLE에서 도입한 드람 제1 천 특성류를 사용한다.

공리 (A1)–(A9)가 성립함을 보이겠다.

이 문단에서는 베유 코호몰로지 이론의 보조정리 0FVT를 사용하여 공리의 확인을 \(k\)가 대수적으로 닫힌 경우로 환원한다. \(k'\)를 \(k\)의 대수적 폐포라 하자. \(F' = k'\)로 놓자. 위와 정확히 같은 방식으로 \(k'\) 위에서 계수체가 \(F'\)인 데이터 (D0), (D1), (D2’)을 얻는다. 보조정리 0FM0에 의해 함자적 동형들 \[H_{dR}^{2d}(X/k) \otimes_k k' \longrightarrow H_{dR}^{2d}(X_{k'}/k')\] 이 매끄러운 사영 스킴 \(X\)에 대해 존재하며, 이 스킴은 \(k\) 위에 놓인다. 더욱이 도식 \[\xymatrix{ \Pic(X) \ar[r]_{c^{dR}_1} \ar[d] & H_{dR}^2(X/k) \ar[d] \\ \Pic(X_{k'}) \ar[r]^{c^{dR}_1} & H_{dR}^2(X_{k'}/k') }\] 은 보조정리 0FMD에 의해 가환한다. 이로써 환원의 증명이 끝난다.

\(k\)가 대수적으로 닫힌 체이고 표수가 영이라고 가정하자. 위에서 주어진 데이터 (D0), (D1), (D2’)에 대해 공리 (A1)–(A9)를 보이겠다.

공리 (A1). 여기서는 \(H^*_{dR}(X \coprod Y/k) = H^*_{dR}(X/k) \times H^*_{dR}(Y/k)\). 임을 확인해야 한다. 이는 드람 코호몰로지가 자리스키 위상에서 미분 등급 대수 층의 코호몰로지를 취하여 구성된다는 사실에서 따른다.

공리 (A2). 이는 가역 가군의 제1 천 특성류를 취하는 연산이 당김과 양립한다는 명제이다. 더 일반적인 보조정리 0FMD에서 따른다.

공리 (A3). 더 일반적인 명제 0FMT에서 따른다.

공리 (A4). 더 일반적인 보조정리 0FMX에서 따른다.

이 단계에서 이미 베유 코호몰로지 이론의 보조정리 0FIE와 0FIF를 사용하면 천 지표와 순환류 사상 \[\gamma : \CH^*(X) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}_{dR}(X/k)\] 을 얻는다. 이는 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 \(k\) 위에 놓일 때 정의되는 등급 환 준동형이며, 매끄러운 사영 스킴들의 사상 \(f : X \to Y\)가 \(k\) 위에 놓일 때 그 당김과 양립한다.

공리 (A5). \(H_{dR}^*(\Spec(k)/k) = k = F\)가 차수 \(0\)에 놓인다. 보조정리 0FMB에 의해 두 매끄러운 사영 \(k\)-스킴의 곱에 대한 퀸네트 공식이 성립한다. 명제의 유도 텐서곱들은 체 \(k\) 위에서 텐서하므로 문제가 되지 않음에 유의하자.

공리 (A7). 명제 0FUW에서 따른다.

공리 (A8). \(X\)를 매끄러운 사영 스킴이라 하되 \(k\) 위에 놓인다고 하자. 베유 코호몰로지 이론의 절 0FID에서 이 공리를 설명한 글에 의해 \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 분리 \(k\)-대수이다. 따라서 \(H_{dR}^*(\Spec(k')/k) = k'\)가 차수 \(0\)에 놓인다. 이는 \(\Omega_{k'/k} = 0\)이기 때문이다. 보조정리 0FW5에 의해서도 \(H_{dR}^0(X, \mathcal{O}_X) = k'\)이고, 이로써 공리를 얻는다.

공리 (A6). \(X\)를 공집합이 아닌 매끄러운 사영 스킴이라 하고 \(k\) 위에 놓인다고 하자. 또한 차원이 \(d\)인 등차원 스킴이라고 하자. \(\Delta : X \to X \times_{\Spec(k)} X\)를 \(X\)의 \(k\) 위 대각 사상이라 하자. \(k\)-선형 사상 \[\lambda : H_{dR}^{2d}(X/k) \longrightarrow k\] 이 존재하여 \((1 \otimes \lambda)\gamma([\Delta]) = 1\)이 \(H^0_{dR}(X/k)\)에서 성립함을 보여야 한다. 다음과 같이 쓰자. \[\gamma = \gamma([\Delta]) = \gamma_0 + \ldots + \gamma_{2d}\] 여기서 \(\gamma_i \in H_{dR}^i(X/k) \otimes_k H_{dR}^{2d - i}(X/k)\)는 퀸네트 성분이다. 문제는 선형 사상 \(\lambda : H_{dR}^{2d}(X/k) \to k\)가 존재하여 \((1 \otimes \lambda)\gamma_0 = 1\)이 \(H^0_{dR}(X/k)\)에서 성립함을 보이는 것이다.

\(X = \coprod X_i\)를 \(X\)의 연결 성분들, 따라서 기약 성분들로의 분해라 하자. 이에 대응하여 \(\Delta = \coprod \Delta_i\)이고 \(\Delta_i \subset X_i \times X_i\)이다. 따라서 \[\gamma([\Delta]) = \sum \gamma([\Delta_i])\] 이다. 더욱이 \(\gamma([\Delta_i])\)는 \(\Delta_i \subset X_i \times X_i\)의 류에 대응하며, 이 대응은 분해 \[H^*_{dR}(X \times X) = \prod\nolimits_{i, j} H^*_{dR}(X_i \times X_j)\] 를 통해 주어진다. 세부 사항은 생략한다. 이를 보이는 한 방법은 \(\CH^0(X \times X)\) 안의 멱등원들 \(e_{i, j}\)를 사용하는 것이다. 이들은 열리고 닫힌 부분스킴 \(X_i \times X_j\)에 대응한다. 또한 \(\gamma\)가 \(e_{i, j}\)를 표시된 코호몰로지의 곱 분해에서 대응하는 멱등원으로 보내는 환 준동형임을 사용하는 것이다. 만일 \(\lambda_i : H_{dR}^{2d}(X_i/k) \to k\)를 찾아 \((1 \otimes \lambda_i)\gamma([\Delta_i]) = 1\)이 \(H^0_{dR}(X_i/k)\)에서 성립하게 할 수 있다면, \(\lambda = \sum \lambda_i\)를 택하여 \(X\)에 대한 문제를 해결할 수 있다. 따라서 \(X\)가 기약이라고 가정할 수 있고, 그렇게 가정한다.

\(X\)가 기약인 경우의 공리 (A6)의 증명. \(k\)는 대수적으로 닫혀 있으므로 \(H^0_{dR}(X/k) = k\)이다. 실제로 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)이다. 이는 \(X\)가 대수적으로 닫힌 체 위의 사영 다양체이기 때문이다. 예를 들어 대수다양체의 보조정리 0BUG를 보라. \(x \in X\)를 임의의 닫힌점이라 하고 카르테시안 도식 \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^\Delta \\ X \ar[r]^-{x \times \text{id}} & X \times_{\Spec(k)} X }\] 을 생각하자. \(\gamma\)가 당김과 양립하므로 \(\gamma([\Delta])\)의 상은 \(\gamma([x])\)이며, 이는 \(H_{dR}^{2d}(X/k)\) 안의 원소이다. 다시 말해 \(\gamma_0 = 1 \otimes \gamma([x])\)이다. 이로부터 두 가지를 얻는다. (a) 류 \(\gamma([x])\)는 \(x\)와 무관하다. (b) 류 \(\gamma([x])\)가 영이 아님을 보이면 충분하다. 따라서 (c) 영차원 순환 \(\alpha\)를 \(X\) 위에서 찾아 \(\gamma(\alpha) \not = 0\)가 되게 하면 충분하다. 이를 위해 유한 사상 \[f : X \longrightarrow \mathbf{P}^d_k\] 을 택하자. 이러한 사상이 존재함은 교차 이론의 절 0B1N, 특히 보조정리 0B1P를 보라. \(f\)는 유한 신토믹임에 유의하자. 사상 심화의 보조정리 069M에 의해 완전 국소 교차 사상이고, 가환대수의 보조정리 00R4에 의해 평탄하기 때문이다. 명제 0FLC에 의해 대각합 사상 \[\Theta_f : f_*\Omega^\bullet_{X/k} \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathbf{P}^d_k/k}\] 을 얻으며, 이를 표준적인 사상 \[\Omega^\bullet_{\mathbf{P}^d_k/k} \longrightarrow f_*\Omega^\bullet_{X/k}\] 과 합성하면 \(f\)의 차수를 곱하는 사상이 된다. 따라서 사상 \[\Theta : H_{dR}^{2d}(X/k) \to H_{dR}^{2d}(\mathbf{P}^d_k/k)\] 을 얻고, \(\Theta \circ f^*\)는 양의 정수를 곱하는 사상이다. 따라서 \(\mathbf{P}^d_k\) 위에서 그 류가 영이 아닌 영차원 순환을 찾을 수 있다면, \(\gamma\)가 당김과 양립함을 사용하여 결론을 얻는다. 이는 보조정리 0FMJ에 의해 참이다. 이로써 공리 (A6)의 증명이 끝난다.

아래에서는 다음 사실들을 더 언급하지 않고 사용한다. 첫째, 베유 코호몰로지 이론의 주의 0FIK에 의해 사상 \(\lambda_X : H^{2d}_{dR}(X/k) \to k\)는 유일하다. 둘째, 공리 (A6)의 증명에서 \(\lambda_X(\gamma([x])) = 1\)임을 보았으며, 이때 \(X\)는 기약이다. 즉, 순환류 사상 \(\gamma : \CH^d(X) \to H_{dR}^{2d}(X/k)\)을 \(\lambda_X\)와 합성하면 차수 사상이 된다.

공리 (A9). \(Y \subset X\)를 공집합이 아닌 매끄러운 인자라 하자. 여기서 \(X\)는 \(k\) 위의 공집합이 아닌 매끄러운 등차원 사영 스킴이고 차원은 \(d\)이다. 도식 \[\xymatrix{ H_{dR}^{2d - 2}(X/k) \ar[rrr]_{c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap -} \ar[d]_{restriction} & & & H_{dR}^{2d}(X) \ar[d]^{\lambda_X} \\ H_{dR}^{2d - 2}(Y/k) \ar[rrr]^-{\lambda_Y} & & & k }\] 이 가환함을 보여야 한다. 여기서 \(\lambda_X\)와 \(\lambda_Y\)는 공리 (A6)에서와 같다. 위에서 \(X = \coprod X_i\)를 연결 성분들, 동치로 기약 성분들로 분해하면 이에 대응하여 \(\lambda_X = \sum \lambda_{X_i}\)임을 보았다. 마찬가지로 \(Y = \coprod Y_j\)를 연결 성분들, 동치로 기약 성분들로 분해하면 \(\lambda_Y = \sum \lambda_{Y_j}\)이다. 더욱이 이 경우 \(\mathcal{O}_X(Y) = \otimes_j \mathcal{O}_X(Y_j)\)이고, 따라서 \[c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(Y)) = \sum\nolimits_j c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y_j))\] 가 \(H_{dR}^2(X/k)\) 안에서 성립한다. 직접 도식을 추적하면 \(X\)와 \(Y\)가 둘 다 기약인 경우에 도식의 가환성을 증명하면 충분함을 알 수 있다. 그러면 \(H_{dR}^{2d - 2}(Y/k)\)는 \(1\)차원이다. 이는 베유 코호몰로지 이론의 보조정리 0FIJ에 의해 \(Y\)에 대한 푸앵카레 쌍대성이 성립하기 때문이다. 공리 (A4)에 의해 제한 사상, 즉 왼쪽 수직 화살표의 핵은 \(c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y))\)와의 컵곱의 핵에 포함된다. 따라서 코호몰로지 류 \(a \in H_{dR}^{2d - 2}(X)\)를 하나 찾아, 이를 \(Y\)에 제한한 것이 영이 아니고 이 \(a\)에 대해 도식이 가환하도록 하면 충분하다. 임의의 풍부한 가역 가군 \(\mathcal{L}\)을 택하고 \[a = c^{dR}_1(\mathcal{L})^{d - 1}\] \(a|_Y = c^{dR}_1(\mathcal{L}|_Y)^{d - 1}\)임을 알고 있으므로 \[\lambda_Y(a|_Y) = \deg(c_1(\mathcal{L}|_Y)^{d - 1} \cap [Y])\] 이다. 이는 위에서 기술한 \(\lambda_Y\)에서 따른다. 이 값은 Chow 호몰로지의 보조정리 0BFI와 대수다양체의 보조정리 0BEV에 의해 양의 정수이다. 마찬가지로 \[\lambda_X(c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap a) = \deg(c_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap c_1(\mathcal{L})^{d - 1} \cap [X])\] 를 얻는다. 정의에 의해 사실상 \(c_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap [X] = [Y]\)임을 알고 있으므로 영차원 순환들의 등식 \[(Y \to X)_*\left(c_1(\mathcal{L}|_Y)^{d - 1} \cap [Y]\right) = c_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap c_1(\mathcal{L})^{d - 1} \cap [X]\] 을 \(X\) 위에서 얻는다. 따라서 이 순환들은 차수가 같고 증명이 끝난다.

명제

\(k\)를 표수 영인 체라 하자. 매끄러운 사영 스킴 \(X\)가 \(k\) 위에 놓일 때 \(H_{dR}^*(X/k)\)로 보내는 함자는 베유 코호몰로지 이론의 정의 0FI2의 의미에서 베유 코호몰로지 이론이다.

증명

위의 논의에서 우리의 데이터 (D0), (D1), (D2’)이 베유 코호몰로지 이론의 절 0FID의 공리 (A1)–(A9)를 만족함을 보였다. 따라서 베유 코호몰로지 이론의 명제 0FIU에 의해 결론을 얻는다.

다음 내용은 읽지 않기를 바란다. 위의 주장들을 증명할 때 보조정리들 0FM0, 0FMD, 0FMX, 0FMB, 0FW5와 0FMJ, 명제들 0FMT, 0FUW와 0FLC, 베유 코호몰로지 이론의 보조정리들 0FVT, 0FIE, 0FIF와 0FIJ, 베유 코호몰로지 이론의 주의 0FIK, 대수다양체의 보조정리들 0BUG와 0BEV, 교차 이론의 절 0B1N과 보조정리 0B1P, 사상 심화의 보조정리 069M, 가환대수의 보조정리 00R4, 그리고 Chow 호몰로지의 보조정리 0BFI도 사용하였다.

주

위와 정확히 같은 방식으로, 호지 코호몰로지 \(X \mapsto H_{Hodge}^*(X/k)\)가 \(c_1^{Hodge}\)를 갖추면 베유 코호몰로지 이론을 결정함을 보일 수 있다. 이 사실이 필요해지면 여기서 정확히 서술하고 증명하겠다. 이로부터 다음과 같은 흥미로운 결과가 나온다. 베유 코호몰로지 이론의 베티 수가 선택한 베유 코호몰로지 이론과 무관하다면, 우리의 체 \(k\) 위에서 그 표수가 \(0\)일 때 호지-드람 스펙트럼 열은 \(E_1\)에서 퇴화한다. 물론 호지-드람 스펙트럼 열의 퇴화는 알려져 있다. 예를 들어 뛰어난 대수적 증명은 [Deligne-Illusie]를 보라. 그러나 이는 결코 쉬운 결과가 아니다. 이는 베티 수의 무관성을 증명하는 일도 어려운 문제임을 시사하며, 우리가 아는 한 아직 미해결 문제이다. 관련 질문은 베유 코호몰로지 이론의 주의 0FI3를 보라.

닫힌 몰입에 대한 Gysin 사상

이 절에서는 닫힌 몰입에 대한 Gysin 사상을 정의한다.

주

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. \(Z \subset X\)를 \(f_1, \ldots, f_c\)로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. 아래에서는 다음 Gysin 사상을 연구한다. [0G84]\[\begin{equation} \gamma^p_{f_1, \ldots, f_c} : \Omega^p_{Z/S} \longrightarrow \mathcal{H}_Z^c(\Omega^{p + c}_{X/S}) \end{equation}\] 이 사상은 다음과 같이 정의된다. \(\omega\)를 \(\Omega^p_{Z/S}\)의 국소 단면이라 하고, 이것이 단면 \(\tilde \omega\)인 \(\Omega^p_{X/S}\)의 단면의 제한이면 다음과 같이 둔다. \[\gamma^p_{f_1, \ldots, f_c}(\omega) = c_{f_1, \ldots, f_c}(\tilde \omega|_Z) \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c\] 여기서 \(c_{f_1, \ldots, f_c} : \Omega^p_{X/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \mathcal{H}_Z^c(\Omega^p_{X/S})\)는 스킴의 유도 범주의 주의 0G7Q에서 구성한 사상이다. 이는 잘 정의된다. \(\omega\)가 주어졌을 때 \(\tilde \omega\)의 선택을 다음 꼴의 원소만큼 바꿀 수 있는데, \(\sum f_i \omega'_i + \sum \text{d}(f_i) \wedge \omega''_i\) 이들은 위 구성에 의해 영으로 보내진다.

보조정리

Gysin 사상 (0G84)은 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)와 \(\Omega^\bullet_{Z/S}\) 위의 드람 미분과 양립한다.

증명

이를 올바르게 해석하면 거의 자명한 계산에서 결론이 따른다. 먼저 \(\mathcal{H}^c_Z\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에서 계산한 함자는 \(X\) 위 아벨 층의 범주에서 마찬가지로 정의한 함자와 일치함을 상기하자. 층 코호몰로지의 보조정리 0G74를 보라. 따라서 미분 \(\text{d} : \Omega^p_{X/S} \to \Omega^{p + 1}_{X/S}\)은 사상 \(\mathcal{H}^c_Z(\Omega^p_{X/S}) \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + 1}_{X/S})\)을 유도한다. 더 나아가 스킴의 유도 범주의 주의 0G7I에 나오는 확장 교대 Čech 복합체의 구성은 아벨 층의 범주에서도 작동한다. 사상 \[\Coker\left(\bigoplus \mathcal{F}_{1 \ldots \hat i \ldots c} \to \mathcal{F}_{1 \ldots c}\right) \longrightarrow i_*\mathcal{H}^c_Z(\mathcal{F})\] 은 스킴의 유도 범주의 주의 0G7Q에서 \(c_{f_1, \ldots, f_c}\)를 구성할 때 사용되었으며, \(X\) 위 모든 아벨 층의 범주에서 잘 정의되고 함자적이다. 따라서 다음의 자명한 등식으로부터 보조정리가 따름을 알 수 있다. \[\text{d}\left( \frac{\tilde \omega \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c}{f_1 \ldots f_c}\right) = \frac{\text{d}(\tilde \omega) \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c}{f_1 \ldots f_c}\]

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Z \to X\)를 유한 표시 닫힌 몰입이라 하고, 그 여법층 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)가 계수 \(c\)인 국소 자유층이라고 하자. 그러면 표준 사상 \[\gamma^p : \Omega^p_{Z/S} \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\] 이 존재하며, 국소적으로는 주의 0G83의 사상들 \(\gamma^p_{f_1, \ldots, f_c}\)로 주어진다.

증명

가정에 의해 \(x \in Z \subset X\)가 주어지면 열린 근방 \(U\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(Z\)는 \(c\)개의 원소 \(f_1, \ldots, f_c \in \mathcal{O}_X(U)\)로 정의된다. 따라서 \(f_1, \ldots, f_c\)와 \(g_1, \ldots, g_c\)가 \(\mathcal{O}_X(U)\) 안에서 \(Z \cap U\)를 정의할 때 사상 \(\gamma^p_{f_1, \ldots, f_c}\)와 \(\gamma^p_{g_1, \ldots, g_c}\)가 같음을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(U\)를 줄인 뒤 \(g_j = \sum a_{ji} f_i\)라고 가정할 수 있으며, 여기서 \(a_{ji} \in \mathcal{O}_X(U)\)이다. 그러면 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G7S에 의해 \(c_{f_1, \ldots, f_c} = \det(a_{ji}) c_{g_1, \ldots, g_c}\)이다. 한편 다음 합동식이 성립한다. \[\text{d}(g_1) \wedge \ldots \wedge \text{d}(g_c) \equiv \det(a_{ji}) \text{d}(f_1) \wedge \ldots \wedge \text{d}(f_c) \bmod (f_1, \ldots, f_c)\Omega^c_{X/S}\] 이 관계들을 결합하면 간단한 계산으로 원하는 등식을 얻는다.

보조정리

\(X \to S\)와 \(i : Z \to X\)가 보조정리 0G86에서와 같다고 하자. Gysin 사상 \(\gamma^p\)는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)와 \(\Omega^\bullet_{Z/S}\) 위의 드람 미분과 양립한다.

증명

이는 국소적으로 확인할 수 있으며, 그러면 보조정리 0G85에서 따른다.

보조정리

\(X \to S\)와 \(i : Z \to X\)가 보조정리 0G86에서와 같다고 하자. \(\alpha \in H^q(X, \Omega^p_{X/S})\)가 주어지면 \(\gamma^p(\alpha|_Z) = i^{-1}\alpha \wedge \gamma^0(1)\)가 \(H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}))\)에서 성립한다. 표기는 증명을 보라.

증명

제한 \(\alpha|_Z\)는 호지 코호몰로지의 함자성으로 주어지는 \(H^q(Z, \Omega^p_{Z/S})\)의 원소이다. 다음 사상을 사용하여 코호몰로지의 함자성을 적용하면 \(\gamma^p : \Omega^p_{Z/S} \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\) \(\gamma^p(\alpha|_Z)\)를 \(H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}))\)의 원소로 얻는다. 이로써 공식의 좌변이 설명된다.

우변을 설명하기 위해 먼저 환 달린 공간의 사상 \(i : (Z, i^{-1}\mathcal{O}_X) \to (X, \mathcal{O}_X)\)으로 당겨 원소 \(i^{-1}\alpha \in H^q(Z, i^{-1}\Omega^p_{X/S})\)를 얻는다. \(\gamma^0(1) \in H^0(Z, \mathcal{H}_Z^c(\Omega^c_{X/S}))\)를 \(1 \in H^0(Z, \mathcal{O}_Z) = H^0(Z, \Omega^0_{Z/S})\)의 \(\gamma^0\)에 의한 상이라 하자. 컵곱을 사용하면 원소 \[i^{-1}\alpha \cup \gamma^0(1) \in H^{q + c}(Z, i^{-1}\Omega^p_{X/S} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{H}^c_Z(\Omega^c_{X/S}))\] 층 코호몰로지의 주의 0G75와 쐐기곱을 사용하면 표준 사상들 \[i^{-1}\Omega^p_{X/S} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(\Omega^c_{X/S}) \to R\mathcal{H}_Z(\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \Omega^c_{X/S}) \to R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\] 이 존재한다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G7N에 의해 대상 \(R\mathcal{H}_Z(\Omega^j_{X/S})\)의 차수 \(> c\)인 코호몰로지 층들은 소멸한다. 따라서 차수 \(c\)의 코호몰로지 층 위에서 사상 \[i^{-1}\Omega^p_{X/S} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{H}^c_Z(\Omega^c_{X/S}) \longrightarrow \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\] 을 얻는다. 식 \(i^{-1}\alpha \wedge \gamma^0(1)\)은 코호몰로지의 함자성에 따른 컵곱 \(i^{-1}\alpha \cup \gamma^0(1)\)의 상이다.

이와 같이 공식의 내용을 설명했으므로, 이제 컵곱의 일반 성질 (층 코호몰로지의 절 0FKU)에 의해 다음 그림이 가환임을 보이면 충분하다. \[\xymatrix{ i^{-1}\Omega^p_X \otimes \Omega^0_Z \ar[rr]_{\text{id} \otimes \gamma^0} \ar[d] & & i^{-1}\Omega^p_X \otimes \mathcal{H}^c_Z(\Omega^c_X) \ar[d]^\wedge \\ \Omega^p_Z \otimes \Omega^0_Z \ar[r]^\wedge & \Omega^p_Z \ar[r]^{\gamma^p} & \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_X) }\] 여기서 가환성은 \(Z\) 위 층의 범주에서 말하며, 표기를 자명하게 남용하였다. 이는 사상들 \(\gamma^j_{f_1, \ldots, f_c}\)에 대한 간단한 계산으로 귀착되므로 생략한다. 실제로 이 사상들은 정확히 이 계산이 성립하고 \(1\)이 \(\frac{\text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c}{f_1 \ldots f_c}\)로 보내지도록 선택되었다.

보조정리

\(c \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 스킴의 가환 그림이라 하자. \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_h \ar[r] & X' \ar[d]_g \ar[r] & S' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X \ar[r] & S }\] 다음을 가정한다.

1. \(Z \to X\)와 \(Z' \to X'\)는 보조정리 0G86의 가정을 만족한다.

2. 그림의 왼쪽 정사각형은 데카르트이다.

3. \(h^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z'/X'}\) (스킴의 사상의 보조정리 01R4)는 동형이다.

그러면 그림 \[\xymatrix{ h^*\Omega^p_{Z/S} \ar[rr]_-{h^{-1}\gamma^p} \ar[d] & & \mathcal{O}_{X'}|_{Z'} \otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_X|_Z} h^{-1}\mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) \ar[d] \\ \Omega^p_{Z'/S'} \ar[rr]^{\gamma^p} & & \mathcal{H}^c_{Z'}(\Omega^{p + c}_{X'/S'}) }\] 은 가환이다. 왼쪽 수직 화살표는 미분 가군의 함자성이고, 오른쪽 수직 화살표에는 층 코호몰로지의 주의 0G78을 사용한다.

증명

더 정확히는 다음 합성을 생각하자. \[\begin{align*} \mathcal{O}_{X'}|_{Z'} \otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} h^{-1}R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) & \to R\mathcal{H}_{Z'}(Lg^*\Omega^{p + c}_{X/S}) \\ & \to R\mathcal{H}_{Z'}(g^*\Omega^{p + c}_{X/S}) \\ & \to R\mathcal{H}_{Z'}(\Omega^{p + c}_{X'/S'}) \end{align*}\] 첫 번째 화살표는 층 코호몰로지의 주의 0G78에서 주어지고, 마지막 화살표는 미분의 함자성에서 주어진다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G7N에 의해 차수 \(> c\)에서 코호몰로지 층이 소멸하므로, 이 합성은 오른쪽 수직 화살표를 유도한다. 가환성은 국소적으로 확인할 수 있다. 따라서 \(Z\)가 \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 정의된다고 가정할 수 있다. 그러면 \(Z'\)는 \(f'_i = g^\sharp(f_i)\)로 정의된다. 사상들 \(c_{f_1, \ldots, f_c}\)와 \(c_{f'_1, \ldots, f'_c}\)는 다음 가환 그림을 이룬다. \[\xymatrix{ h^*i^*\Omega^p_{X/S} \ar[rr]_-{h^{-1}c_{f_1, \ldots, f_c}} \ar[d] & & \mathcal{O}_{X'}|_{Z'} \otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_X|_Z} h^{-1}\mathcal{H}^c_Z(\Omega^p_{X/S}) \ar[d] \\ (i')^*\Omega^p_{X'/S'} \ar[rr]^{c_{f'_1, \ldots, f'_c}} & & \mathcal{H}^c_{Z'}(\Omega^p_{X'/S'}) }\] 스킴의 유도 범주의 주의 0G7U을 보라. \(p\)-형식 \(\omega\)가 \(Z\) 위에 주어지면, \(\gamma^p(\omega)\)를 정의하기 위해 (\(X\)와 \(Z\) 위에서 국소적으로) \(p\)-형식 \(\tilde \omega\)를 \(X\) 위에서 선택하여 \(\omega\)를 올리고 다음과 같이 두었음을 상기하자. \(\gamma^p(\omega) = c_{f_1, \ldots, f_c}(\tilde \omega) \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c\). 형식 \(\text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c\)를 당기면 \(\text{d}f'_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f'_c\)가 되므로 결론을 얻는다.

주

\(X \to S\), \(i : Z \to X\), \(c \geq 0\)이 보조정리 0G86에서와 같다고 하자. \(p \geq 0\)이라 하고 \(\mathcal{H}^i_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) = 0\)이 \(i = 0, \ldots, c - 1\)에 대해 성립한다고 가정하자. \(X \to S\)가 매끄럽고 \(Z \to X\)가 코쥘 정칙 몰입이면 이 소멸이 성립한다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G7P을 보라. 그러면 다음 사상 \[\gamma^{p, q} : H^q(Z, \Omega^p_{Z/S}) \longrightarrow H^{q + c}(X, \Omega^{p + c}_{X/S})\] 을 얻는다. 먼저 사상 \(\gamma^p : \Omega^p_{Z/S} \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\)를 사용하여 \[H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})) = H^q(Z, R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})[c]) = H^q(X, i_*R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})[c])\] 으로 보낸 다음, 수반 사상 \(i_*R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) \to \Omega^{p + c}_{X/S}\)을 사용하여 원하는 호지 코호몰로지 가군으로 계속 보낸다.

보조정리

\(X \to S\)와 \(i : Z \to X\)가 보조정리 0G86에서와 같다고 하자. \(X \to S\)가 매끄럽고 \(Z \to X\)가 코쥘 정칙이라고 가정하자. Gysin 사상들 \(\gamma^{p, q}\)는 \(\Omega^\bullet_{X/S}\)와 \(\Omega^\bullet_{Z/S}\) 위의 드람 미분과 양립한다.

증명

이는 보조정리 0G87에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(X \to S\), \(i : Z \to X\), \(c \geq 0\)이 보조정리 0G86에서와 같다고 하자. \(X \to S\)가 매끄럽고 \(Z \to X\)가 코쥘 정칙이라고 가정하자. \(\alpha \in H^q(X, \Omega^p_{X/S})\)가 주어지면 \(\gamma^{p, q}(\alpha|_Z) = \alpha \cup \gamma^{0, 0}(1)\)가 \(H^{q + c}(X, \Omega^{p + c}_{X/S})\)에서 성립한다. 여기서 \(\gamma^{a, b}\)는 주의 0G8A에서와 같다.

증명

이 보조정리는 보조정리 0G88과 층 코호몰로지의 보조정리 0G77에서 따른다. 독자에게 아래의 더 자세한 논의를 건너뛰기를 권한다.

이후 따로 말하지 않고 \(R\mathcal{H}_Z(\Omega^j_{X/S}) = \mathcal{H}^c_Z(\Omega^j_{X/S})[-c]\) \(j\) 모두에 대해 성립함을 사용할 것이다. 이는 주의 0G8A에서 지적하였다. 또한 다음 동일시들을 명시하지 않고 사용할 것이다. \(H^{q + c}_Z(X, \Omega^j_{X/S}) = H^{q + c}(Z, R\mathcal{H}_Z(\Omega^j_{X/S}) = H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^j_{X/S}))\). 첫 번째 동일시에 대해서는 층 코호몰로지의 보조정리 0G70를 보라. 이 동일시들 아래에서 다음이 성립한다.

1. \(\gamma^0(1) \in H^c_Z(X, \Omega^c_{X/S})\)은 \(\gamma^{0, 0}(1)\)인 \(H^c(X, \Omega^c_{X/S})\)의 원소로 보내진다.

2. 보조정리 0G88의 등식 우변 \(i^{-1}\alpha \wedge \gamma^0(1)\)은 층 코호몰로지의 주의 0G76에 나오는 원소 \(\alpha\)와 \(\gamma^0(1)\)의 컵곱을 쐐기곱으로 보낸 상이다. 다시 말해 보조정리 0G88의 증명에서의 구성과 층 코호몰로지의 주의 0G76에서의 구성이 일치한다.

3. 층 코호몰로지의 보조정리 0G77에 의해 이는 \(\alpha \cup \gamma^{0, 0}(1)\)인 \(H^{q + c}(X, \Omega^p_{X/S} \otimes \Omega^c_{X/S})\)의 원소로 보내진다.

4. 보조정리 0G88의 등식 좌변 \(\gamma^p(\alpha|_Z)\)은 \(\gamma^{p, q}(\alpha|_Z)\)로 보내진다.

이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(c \geq 0\)이라 하고 \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_h \ar[r] & X' \ar[d]_g \ar[r] & S' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X \ar[r] & S }\] 이 보조정리 0G89의 가정을 만족한다고 하자. 또한 \(X \to S\)와 \(X' \to S'\)가 매끄럽고 \(Z \to X\)와 \(Z' \to X'\)가 코쥘 정칙 몰입이라고 가정하자. 그러면 그림 \[\xymatrix{ H^q(Z, \Omega^p_{Z/S}) \ar[rr]_-{\gamma^{p, q}} \ar[d] & & H^{q + c}(X, \Omega^{p + c}_{X/S}) \ar[d] \\ H^q(Z', \Omega^p_{Z'/S'}) \ar[rr]^{\gamma^{p, q}} & & H^{q + c}(X', \Omega^{p + c}_{X'/S'}) }\] 은 가환이다. 여기서 \(\gamma^{p, q}\)는 주의 0G8A에서와 같다.

증명

이는 보조정리 0G89와 층 코호몰로지의 보조정리 0G79을 결합하면 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 차원 \(d\)인 기약 매끄러운 고유 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 하나의 \(k\)-유리점 \(x\)로 이루어진 축약 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(1 \in k = H^0(Z, \mathcal{O}_Z) = H^0(Z, \Omega^0_{Z/k})\) 의 주의 0G8A의 사상 \(H^0(Z, \Omega^0_{Z/k}) \to H^d(X, \Omega^d_{X/k})\)에 의한 상은 영이 아니다.

증명

사상 \(\gamma^0 : \mathcal{O}_Z \to \mathcal{H}^d_Z(\Omega^d_{X/k}) = R\mathcal{H}_Z(\Omega^d_{X/k})[d]\)는 사상 \[g^0 : i_*\mathcal{O}_Z \longrightarrow \Omega^d_{X/k}[d]\] 의 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서의 수반이다. \(\Omega^d_{X/k} = \omega_X\)가 \(X/k\)의 쌍대화 층임을 상기하자. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0FVV를 보라. 따라서 보조정리의 명제에 나오는 사상의 \(k\)-선형 쌍대는 사상 \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to \Ext^d_X(i_*\mathcal{O}_Z, \omega_X)\] 이다. 이는 \(1\)을 \(g^0\)로 보낸다. 따라서 \(g^0\)가 영이 아님을 보이면 충분하다. 이는 임의의 근방 \(U\)에서 확인할 수 있는데, 이 근방은 점 \(x\)의 근방이다. \(U\)를 선택하여 \(f_1, \ldots, f_d \in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(x\)에서만 소멸하고 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)을 생성하게 하자. 아핀인 \(U = \Spec(R)\)라고 가정할 수 있다고 가정할 수 있다. \(\gamma^0\)의 구성을 살펴보면 우리의 확장은 다음과 같이 주어진다. \[k \to (R \to \bigoplus\nolimits_{i_0} R_{f_{i_0}} \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < i_1} R_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to R_{f_1\ldots f_r})[d] \to R[d]\] 여기서 \(1\)은 첫 번째 사상에 의해 \(1/f_1 \ldots f_c\)로 보내진다. 이 경우 \(1/f_1 \ldots f_c\)는 국소 코호몰로지 군 \(H^d_{(f_1, \ldots, f_d)}(R)\)의 영이 아닌 원소이므로, 이는 영이 아니다.

상대 푸앵카레 쌍대성

이 절에서는 바탕 위 고유 매끄러운 스킴의 상대 드람 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성을 증명한다. 독자에게 먼저 절 0FW3을 읽기를 강하게 권한다.

설정

여기서 \(S\)는 준콤팩트 준분리 스킴이고, \(f : X \to S\)는 모든 올이 공집합이 아니며 차원 \(n\)인 등차원 스킴이 되는 고유 매끄러운 스킴 사상이다.

보조정리

상황 0G8G에서 직상 \(f_*\mathcal{O}_X\)는 유한 에탈 \(\mathcal{O}_S\)-대수이고, \(S\) 위에서 국소적으로 \(Rf_*\mathcal{O}_X = f_*\mathcal{O}_X \oplus P\)가 \(D(\mathcal{O}_S)\) 안에서 성립한다. 여기서 \(P\)는 Tor 진폭이 \([1, \infty)\)에 놓이는 완전 대상이다. 사상 \(\text{d} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\Omega_{X/S}\)는 영이다.

증명

명제의 첫 부분은 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G7Y에서 따른다. \(S' = \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\)로 두면 분해 \(X \to S' \to S\)를 얻는다. 이는 스타인 분해이지만 여기서는 그 사실이 필요하지 않다. 사상 심화의 절 03GX을 보라. 예를 들어 스킴의 사상의 보조정리 01UX와 02GU에 의해 \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/S'}\)임을 알 수 있다. 물론 이는 \(\text{d} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\Omega_{X/S}\)가 영임을 뜻한다.

보조정리

상황 0G8G에서 \(\mathcal{O}_S\)-가군 사상 \[t : Rf_*\Omega^n_{X/S}[n] \longrightarrow \mathcal{O}_S\] 이 존재한다. 이는 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)의 가역원을 곱하는 사상을 앞에 합성하는 것까지 유일하며, 다음 성질을 갖는다. 모든 \(p\)에 대해 쌍 \[Rf_*\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^{n - p}_{X/S}[n] \longrightarrow \mathcal{O}_S\] 은 상대 컵곱과 \(t\)의 합성으로 주어지며, \(S\) 위 완전 복합체들의 완전한 쌍이다.

증명

먼저 \(S\)가 뇌터 스킴이라고 가정하자. \(\omega^\bullet_{X/S}\)를 스킴의 쌍대성의 주의 0B6S에서처럼 \(X\)의 \(S\) 위 상대 쌍대화 복합체라 하고, \(Rf_*\omega_{X/S}^\bullet \to \mathcal{O}_S\)를 그 대각합 사상이라 하자. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0BRT에 의해 (여기서 \(S\)가 뇌터라는 사실을 사용한다) 동형 \(\omega^\bullet_{X/S} \cong \Omega^n_{X/S}[n]\)이 존재하며, 이 동형을 사용하여 \(t\)를 얻는다. 복합체 \(Rf_*\Omega^p_{X/S}\)는 보조정리 0FM0에 의해 완전하다. \(\Omega^p_{X/S}\)가 국소 자유이고, \(\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^{n - p}_{X/S} \to \Omega^n_{X/S}\)가 동형 \(\Omega^p_{X/S} \cong \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\Omega^{n - p}_{X/S}, \Omega^n_{X/S})\)을 나타내므로, 상대 컵곱으로 유도되는 쌍은 스킴의 쌍대성의 주의 0G81에 의해 완전하다.

일반적인 경우의 존재성 증명. 절대 뇌터 근사에 의해 데카르트 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^f & X_0 \ar[d]^{f_0} \\ S \ar[r]^g & S_0 }\] 을 찾을 수 있다. 여기서 \(S_0\)는 뇌터이고, \(f_0\)는 모든 올이 공집합이 아니며 차원 \(n\)인 등차원 스킴이 되는 고유 매끄러운 사상이다. 스킴의 극한의 보조정리들 01ZM, 0C0C, 0EY2, 07RR, 그리고 081F를 보라. 사상 \[t_0 : Rf_{0, *}\Omega^n_{X_0/S_0}[n] \longrightarrow \mathcal{O}_{S_0}\] 을 보조정리의 명제에서처럼 선택하자. 코호몰로지와 바탕변환에 의해 복합체 \(Rf_*(\Omega^p_{X/S})\)는 \(Lg^*(Rf_{0, *}\Omega^p_{X_0/S_0})\)와 같으며, 이는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 성립한다. 보조정리 0FM0을 보라. 특히 \(t_0\)를 \(g\)로 당기면 보조정리의 명제에서와 같은 사상 \(t\)를 얻는다. 실제로 층 코호몰로지의 보조정리 0H99에 의해 컵곱 사상 \[Rf_*\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^{n - p}_{X/S}[n] \longrightarrow Rf_*\Omega^n_{X/S}\] 은 \(g\)로 당긴 \(f_0\)에 대한 대응하는 컵곱 사상이다. 따라서 \(t_0\)가 완전한 쌍들을 준다는 사실을 당기면 \(t\)에 대해서도 \(S\) 위에서 같은 성질을 얻는다.

이제 \(t\)의 유일성을 보이자. 특별 삼각형 \(f_*\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_X \to P \to f_*\mathcal{O}_X[1]\). 을 선택하자. 보조정리 0G8H에 의해 대상 \(P\)는 Tor 진폭이 \([1, \infty)\)에 놓이는 완전 대상이고, 이 삼각형은 \(S\) 위에서 국소적으로 분할된다. 따라서 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{O}_X)\)는 Tor 진폭이 \((-\infty, -1]\)에 놓이는 완전 대상이다. 그러므로 위 쌍대성에 의해 \(S\) 위에서 국소적으로 \[Rf_*\Omega^n_{X/S}[n] \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(f_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_S) \oplus R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{O}_X)\] 가 성립한다. 이로부터 \(R^nf_*\Omega^n_{X/S}\)가 유한 국소 자유이고, 완전한 \(\mathcal{O}_S\)-쌍선형 쌍 \[f_*\mathcal{O}_X \times R^nf_*\Omega^n_{X/S} \longrightarrow \mathcal{O}_S\] 을 \(t\)를 사용하여 얻는다. 따라서 임의의 \(\mathcal{O}_S\)-선형 사상 \(t' : R^nf_*\Omega^n_{X/S} \to \mathcal{O}_S\)는 \(t' = t \circ g\) 꼴이며, 여기서 어떤 \(g \in \Gamma(S, f_*\mathcal{O}_X) = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)이다. \(t'\)가 여전히 완전한 쌍을 정하려면 \(g\)가 가역원이어야 한다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

상황 0G8G에서 사상 \(\text{d} : R^nf_*\Omega^{n - 1}_{X/S} \to R^nf_*\Omega^n_{X/S}\) 는 영이다.

보조정리 0FW6의 증명에서 언급했듯이, 이 보조정리는 보조정리들 0G8I와 0G8H. 의 쉬운 귀결이 아니다.

증명

\(S\)가 축약이라고 가정하자. 다음 사상 \(\text{d} : R^nf_*\Omega^{n - 1}_{X/S} \to R^nf_*\Omega^n_{X/S}\) 은 (준연접) \(\mathcal{O}_S\)-가군의 \(\mathcal{O}_S\)-선형 사상이다. \(\mathcal{O}_S\)-가군 \(R^nf_*\Omega^n_{X/S}\)는 유한 국소 자유이다. 실제로 보조정리들 0G8I와 0G8H에 의해 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-가군 \(f_*\mathcal{O}_X\)의 쌍대이다. \(S\)가 축약이므로 \(\text{d}\)의 줄기가 모든 일반점 \(\eta \in S\)에서 영임을 보이면 충분하다. 이는 아핀 열린집합 위의 단면들을 살펴보고, \(\text{d}\)의 공역이 국소 자유라는 사실과 가환대수의 보조정리 00EW의 (2)를 사용하면 따른다. \(S\)가 축약이므로 \(\mathcal{O}_{S, \eta} = \kappa(\eta)\)이다. 가환대수의 보조정리 00EU을 보라. 따라서 \(\text{d}_\eta\)는 사상 \[\text{d} : H^n(X_\eta, \Omega^{n - 1}_{X_\eta/\kappa(\eta)}) \longrightarrow H^n(X_\eta, \Omega^n_{X_\eta/\kappa(\eta)})\] 과 동일시되며, 이는 보조정리 0FW6에 의해 영이다.

증명

이 문제는 \(S\) 위 평탄 국소적이다. 즉, \(S' \to S\)가 스킴의 전사 평탄 사상이고 사상을 \(S'\)로 당긴 뒤 영이면 원래 사상도 영이다. 또한 평탄 바탕변환에 의해 이 사상의 구성은 평탄 사상에 의한 바탕변환과 가환한다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH).

사상 심화의 정리 03H2에서처럼 스타인 분해 \(X \to S' \to S\)를 생각하자. 보조정리 0G8H에 의해 사상 \(\pi : S' \to S\)는 유한 에탈이다. 사상 \(f : X \to S'\)는 이 정리에 의해 고유이고, 사상 심화의 보조정리 0G80에 의해 매끄러우며, 스타인 분해 정리에 의해 기하적으로 연결된 올들을 갖는다. 보조정리 0G8H의 증명에서 \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/S'}\)임을 보았는데, 이는 \(S' \to S\)가 에탈이기 때문이다. 따라서 \(\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^\bullet_{X/S'}\)이다. 또한 \[R^qf_*\Omega^p_{X/S} = \pi_*R^qf'_*\Omega^p_{X/S'}\] 가 모든 \(p, q\)에 대해 성립한다. 이는 르레 스펙트럼 열(층 코호몰로지의 보조정리 01F6), \(\pi\)가 유한이어서 아핀이라는 사실, 그리고 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XC에서 따른다. 물론 \(R^qf'_*\Omega^p_{X'/S}\)가 준연접이라는 사실도 사용한다. 따라서 보조정리의 사상은 \(\pi_*\)를 \(\text{d} : R^nf'_*\Omega^{n - 1}_{X/S'} \to R^nf'_*\Omega^n_{X/S'}\)에 적용한 것이다. 다시 말해 보조정리를 증명하기 위해 \(f : X \to S\)를 \(f' : X \to S'\)로 바꾸어 다음 문단에서 논할 경우로 환원할 수 있다.

\(f\)가 기하적으로 연결된 올들을 갖고 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)라고 가정하자. 모든 \(s \in S\)에 대하여 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)를 선택하여 바탕변환 \(X' \to S'\)가 \(S\)의 바탕변환으로서 단면을 갖게 할 수 있다. 사상 심화의 보조정리 055U를 보라. 증명 첫머리의 언급에 의해 다음 문단에서 논할 경우로 환원된다.

\(f\)가 기하적으로 연결된 올들을 갖고 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이며, \(s : S \to X\)가 \(f\)의 단면이라고 가정하자. \(S = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정할 수 있으며 그렇게 가정한다. 사상 \(s^* : R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to R\Gamma(S, \mathcal{O}_S) = A\) 은 사상 \(A \to R\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)의 분할이다. 따라서 \[R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A \oplus P\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(P\)는 \(s^*\)의 “핵”이다. 보조정리 0G8H에 의해 \(P\)는 \(D(A)\)의 Tor 진폭이 \([1, n]\)인 완전 대상이다. 보조정리 0G8I의 증명에서와 같이 \(H^n(X, \Omega^n_{X/S})\)는 국소 자유 \(A\)-가군이며 계수는 \(1\)임을 알 수 있다. 실제로 이는 \(A\)의 쌍대이므로 계수 \(1\)인 자유 가군이다. 곧 생성원을 선택하겠지만 같은 생성원인지 확인하고 싶지 않으며, 그럴 필요도 없다.

\(Z \subset X\)를 \(s\)의 상이라 하자. 이는 스킴의 보조정리 01KT에 의해 \(X\)의 닫힌 부분스킴이다. \(Z \to X\)는 인자의 보조정리 063K에 의해 특히 코쥘 정칙이고, 인자의 보조정리 067R에 의해 정칙인 닫힌 몰입이다. 물론 \(Z \to X\)의 여차원은 \(n\)이다. 따라서 주의 0G8A에 의해 사상 \[\gamma^{0, 0} : H^0(Z, \Omega^0_{Z/S}) \longrightarrow H^n(X, \Omega^n_{X/S})\] 을 생각할 수 있고, \(\xi = \gamma^{0, 0}(1) \in H^n(X, \Omega^n_{X/S})\)로 둔다.

\(\xi\)가 기저 원소라고 주장한다. 실제로 최고차수에서 바탕변환이 성립하므로(예를 들어 스킴의 극한의 보조정리 0E7D를 보라) \(H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A k = H^n(X_k, \Omega^n_{X_k/k})\) 를 임의의 환 사상 \(A \to k\)에 대해 얻는다. \(\xi\)의 구성이 바탕변환과 양립하므로(보조정리 0G8D을 보라), \(\xi\)의 \(H^n(X_k, \Omega^n_{X_k/k})\)에서의 상은 \(k\)가 체이면 보조정리 0G8E에 의해 영이 아니다. 따라서 \(\xi\)는 가역 가군의 어디서도 소멸하지 않는 단면이므로 생성원이다.

\(\theta \in H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S})\)라 하자. \(\text{d}(\theta)\)가 \(H^n(X, \Omega^n_{X/S})\)에서 영임을 보여야 한다. \(\text{d}(\theta) = a \xi\)라고 어떤 \(a \in A\)에 대해 쓸 수 있는데, 이는 \(\xi\)가 기저 원소이기 때문이다. 이제 \(a = 0\)임을 보이면 된다.

닫힌 몰입 \[\Delta : X \to X \times_S X\] 을 생각하자. 이 사상은 또한 매끄러운 사상, 즉 어느 한 사영의 단면이므로 역시 여차원 \(n\)인 정칙 코쥘 몰입이다. 따라서 주의 0G8A의 사상들 \[\gamma^{p, q} : H^q(X, \Omega^p_{X/S}) \longrightarrow H^{q + n}(X \times_S X, \Omega^{p + n}_{X \times_S X/S})\] 을 생각할 수 있다. 다음 상을 생각하자. \[\gamma^{n - 1, n}(\theta) \in H^{2n}(X \times_S X, \Omega^{2n - 1}_{X \times_S X})\] 보조정리 0FMA에 의해 \[\Omega^{2n - 1}_{X \times_S X} = \Omega^{n - 1}_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S} \oplus \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - 1}_{X/S}\] 이다. 퀴네트 공식, 즉 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FLQ 또는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FU4에 의해 \[H^{2n}(X \times_S X, \Omega^{n - 1}_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S}) = H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S})\] 이고 \[H^{2n}(X \times_S X, \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - 1}_{X/S}) = H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S})\] 이다. 실제로 최고차수를 보고 있으므로 개입하는 더 높은 Tor 군이 없다. \(\xi\)가 생성원이라는 사실과 결합하면 \[\gamma^{n - 1, n}(\theta) = \theta_1 \otimes \xi + \xi \otimes \theta_2\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(\theta_1, \theta_2 \in H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S})\)이다. 정확히 같은 방식으로 논하면 \[\gamma^{n, n}(\xi) = b \xi \otimes \xi\] 라고 쓸 수 있다. 이는 \(H^{2n}(X \times_S X, \Omega^{2n}_{X \times_S X/S}) = H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S})\) 안에서 성립하며, 여기서 어떤 \(b \in H^0(S, \mathcal{O}_S)\)가 존재한다.

주장: \(\theta_1 = \theta\), \(\theta_2 = \theta\), 그리고 \(b = 1\)이다. 이 주장이 원하는 결과 \(a = 0\)을 함의함을 보이자. 실제로 보조정리 0G8B에 의해 \[\gamma^{n, n}(\text{d}(\theta)) = \text{d}(\gamma^{n - 1, n}(\theta))\] 이다. 위의 선택들에 의해 \[a \xi \otimes \xi = \gamma^{n, n}(a\xi) = \text{d}(\theta \otimes \xi + \xi \otimes \theta) = a \xi \otimes \xi + (-1)^n a \xi \otimes \xi\] 이다. 맨 오른쪽 등식은 사상 \(\text{d} : \Omega^{2n - 1}_{X \otimes_S X/S} \to \Omega^{2n}_{X \times_S X/S}\) 이 보조정리 0FMA에 의해 미분 \(\text{d} \boxtimes 1 : \Omega^{n - 1}_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S} \to \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S}\) 과 미분 \((-1)^n 1 \boxtimes \text{d} : \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - 1}_{X/S} \to \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S}\)의 합이라는 사실에서 나온다. 자세한 내용은 절 0FM9과 스킴의 유도 범주의 절 0G4A의 논의를 보라. \(\xi \otimes \xi\)는 계수 \(1\)인 자유 \(A\)-가군 \(H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S})\) 의 기저이므로 \[a = a + (-1)^n a \Rightarrow a = 0\] 를 얻으며, 이것이 원하는 결론이다.

증명의 나머지에서는 위 주장을 증명한다. 다음과 같이 쓰자. \(\eta = \gamma^{0, 0}(1) \in H^n(X \times_S X, \Omega^n_{X \times_S X/S})\). 다음 등식이 성립하므로 \(\Omega^n_{X \times_S X/S} = \bigoplus_{p + p' = n} \Omega^p_{X/S} \boxtimes \Omega^{p'}_{X/S}\) \[\eta = \eta_0 + \eta_1 + \ldots + \eta_n\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(\eta_p\)는 \(H^n(X \times_S X, \Omega^p_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - p}_{X/S})\). 의 원소이다. \(p = 0\)일 때 \[\begin{align*} H^n(X \times_S X, \mathcal{O}_X \boxtimes \Omega^n_{X/S}) & = H^n(R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})) \\ & = A \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \oplus H^n(P \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})) \end{align*}\] 라고 쓸 수 있다. 여기서는 앞서 주어진 분해 \(R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A \oplus P\)를 사용했다. 사상 \((s, \text{id}) : X \to X \times_S X\)를 생각하자. 그러면 스킴론적으로 \((s, \text{id})^{-1}(\Delta) = Z\)이다. 따라서 보조정리 0G8D에 의해 \((s, \text{id})^*\eta = \xi\)임을 알 수 있다. 이는 \[\xi = (s, \text{id})^*\eta = (s^* \otimes \text{id})(\eta_0)\] 를 뜻한다. 정확히 말해 위 직합 분해에서 \(\eta_0\)의 첫 번째 성분은 \(\xi\)이다. 다시 말해 \[\eta_0 = 1 \otimes \xi + \eta'_0\] 라고 쓸 수 있으며, 여기서 \(\eta'_0 \in H^n(P \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}))\)이다. 정확히 같은 방식으로 \(p = n\)일 때 \[\begin{align*} H^n(X \times_S X, \Omega^n_{X/S} \boxtimes \mathcal{O}_X) & = H^n(R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \mathcal{O}_X)) \\ & = H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A A \oplus H^n(R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} P) \end{align*}\] 라고 쓸 수 있고, 다시 \[\eta_n = \xi \otimes 1 + \eta'_n\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(\eta'_n \in H^n(R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} P)\)이다.

\(\text{pr}_1^*\theta = \theta \otimes 1\)과 \(\text{pr}_2^*\theta = 1 \otimes \theta\)는 \(X \times_S X\) 위 호지 코호몰로지류이고, 당기면 \(\theta\)가 되며 그 당김은 \(\Delta\)에 의함을 관찰하자. 따라서 보조정리 0G8C에 의해 \[\theta_1 \otimes \xi + \xi \otimes \theta_2 = \gamma^{n - 1, n}(\theta) = (\theta \otimes 1) \cup \eta = (1 \otimes \theta) \cup \eta\] 가 \(X \times_S X\)의 \(S\) 위 호지 코호몰로지 환에서 성립한다. \(X \times_S X/S\)의 미분 가군 위 직합 분해로 표현하면 \[\theta_1 \otimes \xi = (\theta \otimes 1) \cup \eta_0 \quad\text{이고}\quad \xi \otimes \theta_2 = (1 \otimes \theta) \cup \eta_n\] 를 얻는다. 위에서 얻은 공식 \(\eta_0 = 1 \otimes \xi + \eta'_0\)을 살펴보면 \(\theta_1 = \theta\)를 보이기 위해 \[(\theta \otimes 1) \cup \eta'_0 = 0\] 를 증명하면 충분하다. 이를 위해 \(\theta \otimes 1\)과의 컵곱은 다음 사상이 코호몰로지에 작용하여 주어짐을 관찰하자. \[(P \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}))[-n] \xrightarrow{\theta \otimes 1} R\Gamma(X, \Omega^{n - 1}_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})\] 이는 유도 범주 안의 사상이며, 층 코호몰로지의 주의 0G6W를 보라. 이 사상은 다음 두 사상의 유도 텐서곱이다. \[\theta : P[-n] \to R\Gamma(X, \Omega^{n - 1}_{X/S}) \quad\text{이고}\quad 1 : R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \to R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})\] 스킴의 유도 범주의 주의 0G7W를 보라. 그러나 그중 첫 번째는 \(D(A)\)에서 영이다. 그 이유는 Tor 진폭이 \([n + 1, 2n]\)인 완전 복합체에서 코호몰로지가 차수 \(0, 1, \ldots, n\)에만 놓이는 복합체로 가는 사상이기 때문이다. 대수학 심화의 보조정리 0BCG를 보라. 비슷한 논증으로 \((1 \otimes \theta) \cup \eta'_n\)의 소멸도 보일 수 있다. 마지막으로 정확히 같은 방식으로 \[b \xi \otimes \xi = \gamma^{n, n}(\xi) = (\xi \otimes 1) \cup \eta_0\] 를 얻으며, 위와 같은 방식으로 \((\xi \otimes 1) \cup \eta'_0 = 0\)을 보여 앞에서와 같이 결론을 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(S\)를 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 모든 올이 공집합이 아니며 차원 \(n\)인 등차원 스킴이 되는 고유 매끄러운 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{O}_S\)-가군 사상 \[t : R^{2n}f_*\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow \mathcal{O}_S\] 이 존재한다. 이는 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)의 가역원을 곱하는 사상을 앞에 합성하는 것까지 유일하며, 다음 성질을 갖는다. 쌍 \[Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[2n] \longrightarrow \mathcal{O}_S, \quad (\xi, \xi') \longmapsto t(\xi \cup \xi')\] 은 \(S\) 위 완전 복합체들의 완전한 쌍이다.

증명

증명은 명제 0FW7의 증명과 정확히 같다.

상대 호지-드람 스펙트럼 열 \[E_1^{p, q} = R^qf_*\Omega^p_{X/S} \Rightarrow R^{p + q}f_*\Omega^\bullet_{X/S}\] (절 0FM6), \(\Omega^i_{X/S}\)가 \(i > n\)일 때 소멸한다는 사실, 예를 들어 스킴의 극한의 보조정리 0E7D에 나오는 소멸, 그리고 보조정리들 0G8H와 0G8J의 결과들에 의해 \(R^0f_*\Omega_{X/S} = R^0f_*\mathcal{O}_X\)이고 \(R^nf_*\Omega^n_{X/S} = R^{2n}f_*\Omega^\bullet_{X/S}\)임을 알 수 있다. 더 정확히 말해 이 동일시들은 복합체들의 사상 \[\Omega^\bullet_{X/S} \to \mathcal{O}_X[0] \quad\text{이고}\quad \Omega^n_{X/S}[-n] \to \Omega^\bullet_{X/S}\] 에서 나온다. \(t : R^{2n}f_*\Omega_{X/S} \to \mathcal{O}_S\)를 선택하여, 이 동일시 아래에서 보조정리 0G8I에서와 같은 \(t\)에 대응하게 하자.

\(\Omega^\bullet = \Omega^\bullet_{X/S}\)로 줄여 쓰자. 우리의 상황에서는 사상 (0FM2)이 다음과 같이 된다. \[\wedge : \text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] 모든 정수 \(p = 0, 1, \ldots, n\)에 대해 이 사상은 부분복합체 \(\text{Tot}(\sigma_{> p} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet)\)를 차수상의 이유로 영으로 보낸다. 따라서 \(\wedge\)를 부분복합체 \(\text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \geq_{n - p}\Omega^\bullet)\)에 제한하면 복합체들의 사상 \[\gamma_p : \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] 을 거쳐 인수분해된다. 절 0FM1에서와 같은 절차를 사용하면 상대 컵곱들 \[Rf_*\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet\] 을 얻는다. \(p\)에 대한 귀납법으로, 이 컵곱들이 \(t\)를 거쳐 \(Rf_*\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet\)와 \(Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet[2n]\) 사이의 완전한 쌍을 유도함을 증명하겠다. \(p = n\)일 때 이것이 명제의 주장이다.

기초 단계는 \(p = 0\)이다. 이 경우 \[Rf_*\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet = Rf_*\mathcal{O}_X \quad\text{이고}\quad Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet[2n] = Rf_*(\Omega^n[-n])[2n] = Rf_*\Omega^n[n]\] 이다. 이 경우 보조정리 0G8I의 \(Rf_*\mathcal{O}_X\)와 \(Rf_*\Omega^n[n]\) 사이의 쌍을 그대로 얻으므로 결론이 성립한다.

귀납 단계. 결과가 \(p\)에 대해 성립함을 안다고 하자. 그러면 특별 삼각형 \[\Omega^{p + 1}[-p - 1] \to \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet \to \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\] 과 특별 삼각형 \[\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \to \sigma_{\geq n - p - 1}\Omega^\bullet \to \Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \to (\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet)[1]\] 을 생각하자. 둘 다 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-가군 층의 복합체들의 호모토피 범주에서 특별 삼각형임을 관찰하자. 특히 사상 \(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\)와 \(\Omega^{n - p - 1}[-d + p + 1] \to (\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet)[1]\)은 실제 복합체 사상들로 주어진다. 구체적으로 미분 \(\Omega^p \to \Omega^{p + 1}\)과 미분 \(\Omega^{n - p - 1} \to \Omega^{n - p}\)을 사용한다. 이 특별 삼각형들에 \(Rf_*\)를 적용하여 연관되어 얻은 특별 삼각형들을 생각하자. \[\xymatrix{ Rf_*\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \ar[d]_a \\ Rf_*\Omega^{p + 1}[-p - 1] \ar[d]_b \\ Rf_*\sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet \ar[d]_c \\ Rf_*\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \ar[d]_d \\ Rf_*\Omega^{p + 1}[-p - 1] } \quad\quad \xymatrix{ Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \\ Rf_*\Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \ar[u]_{a'} \\ Rf_*\sigma_{\geq n - p - 1}\Omega^\bullet \ar[u]_{b'} \\ Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \ar[u]_{c'} \\ Rf_*\Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \ar[u]_{d'} }\] 아래에서 쌍들 \((a, a')\), \((b, b')\), \((c, c')\), 그리고 \((d, d')\)가 주어진 쌍들과 양립함을 보이겠다. 이는 왼쪽 특별 삼각형에서 오른쪽 특별 삼각형에 \(R\SheafHom(-, \mathcal{O}_S)\)를 적용하여 얻은 특별 삼각형으로 가는 사상을 얻는다는 뜻이다. 귀납 가정과 보조정리 0FW4에 의해 첫째, 둘째, 넷째, 다섯째 행의 복합체들 사이에 위에서 구성한 쌍들은 완전하다. 즉 쌍대를 취하면 동형을 정한다. 유도 범주의 보조정리 014A에 의해 가운데 행의 복합체들 사이의 쌍도 원하는 대로 완전하다는 결론을 얻는다.

\(e : K \to K'\)와 \(e' : M' \to M\)를 \(D(\mathcal{O}_S)\)의 대상들 사이의 사상이라 하고, \(K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M \to \mathcal{O}_S\)와 \(K' \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M' \to \mathcal{O}_S\) 를 쌍들이라고 하자. 다음 그림이 가환이면 이 쌍들이 양립한다고 한다. \[\xymatrix{ K' \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M' \ar[d] & K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M' \ar[l]^{e \otimes 1} \ar[d]^{1 \otimes e'} \\ \mathcal{O}_S & K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M \ar[l] }\] 실제로 이는 그림 \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d]_e & R\SheafHom(M, \mathcal{O}_S) \ar[d]^{R\SheafHom(e', -)} \\ K' \ar[r] & R\SheafHom(M', \mathcal{O}_S) }\] 이 가환함을 뜻하므로 우리의 목적에 충분하다.

쌍 \((c, c')\)에 대해 이를 증명하자. 여기서는 다음 가환 그림이 있음을 관찰하기만 하면 된다. \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_p} & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_{p + 1}} }\] 컵곱의 함자성에 의해 원하는 그림의 가환성을 얻는다.

마찬가지로 쌍 \((b, b')\)에 대해서는 다음 가환 그림을 사용한다. \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_{p + 1}} & \text{Tot}(\Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \ar[l]_-\wedge }\]

쌍들 \((d, d')\)와 \((a, a')\)에 대해서는 다음 가환 그림을 사용한다. \[\xymatrix{ \Omega^{p + 1}[-p] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^{n - p - 1}[-n + p] \ar[d] & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^{n - p - 1}[-n + p]) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet) \ar[l] }\]

\(t\)가 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)의 가역원을 곱하는 사상을 앞에 합성하는 것까지 유일함을 보이는 논증은 생략한다.