Catégories dérivées des espaces

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les catégories dérivées de modules sur les espaces algébriques. Il ne semble pas exister de bonnes références introductives consacrées à ce sujet; la littérature le traite en renvoyant à des articles portant sur les catégories dérivées de modules sur les champs algébriques; voir par exemple [olsson_sheaves].

Conventions

Si \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne et \(M\) un objet de \(\mathcal{A}\), nous notons également \(M\) l’objet de \(K(\mathcal{A})\) et/ou de \(D(\mathcal{A})\) correspondant au complexe qui a \(M\) en degré \(0\) et qui est nul dans tous les autres degrés.

Si \(A\) est un anneau, \(K(A)\) désigne la catégorie homotopique des complexes de \(A\)-modules et \(D(A)\) la catégorie dérivée associée. De même, si \((X, \mathcal{O}_X)\) est un espace annelé, le symbole \(K(\mathcal{O}_X)\) désigne la catégorie homotopique des complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules et \(D(\mathcal{O}_X)\) la catégorie dérivée associée.

Généralités

Dans cette section, nous rassemblons quelques résultats généraux sur la cohomologie des complexes non bornés de modules sur les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Étant donné un morphisme étale \(V \to Y\), posons \(U = V \times_Y X\) et notons \(g : U \to V\) le morphisme de projection. Alors \((Rf_*E)|_V = Rg_*(E|_U)\) pour \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Représentons \(E\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Alors \(Rf_*(E) = f_*\mathcal{I}^\bullet\) et \(Rg_*(E|_U) = g_*(\mathcal{I}^\bullet|_U)\) d’après Cohomologie sur les sites, lemme 08FI. Le résultat découle donc de Propriétés des espaces, lemme 03LX.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(T \subset |X|\) un sous-ensemble fermé. Nous disons que \(E\) est supporté sur \(T\) si les faisceaux de cohomologie \(H^i(E)\) sont supportés sur \(T\).

Catégorie dérivée des modules quasi-cohérents sur le petit site étale

Soit \(X\) un schéma. Dans cette section, nous montrons que \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) peut être définie au moyen du petit site étale \(X_\etale\) de \(X\). Notons \(\mathcal{O}_\etale\) le faisceau structural sur \(X_\etale\). Considérons le morphisme de sites annelés [08H7]\[\begin{equation} \epsilon : (X_\etale, \mathcal{O}_\etale) \longrightarrow (X_{Zar}, \mathcal{O}_X). \end{equation}\] noté \(\text{id}_{small, \etale, Zar}\) dans Descente, lemme 070S.

Lemme

Le morphisme \(\epsilon\) de (08H7) est un morphisme plat de sites annelés. En particulier, le foncteur \(\epsilon^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\etale)\) est exact. De plus, si \(\epsilon^*\mathcal{F} = 0\), alors \(\mathcal{F} = 0\).

Démonstration

La platitude du morphisme \(\epsilon\) résulte de Descente, lemme 0GNA. Voici une autre démonstration. Il faut montrer que \(\mathcal{O}_\etale\) est un \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_X\)-module plat. Pour cela, il suffit de vérifier que \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) est plat pour tout point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\), voir Modules sur les sites, lemme 05VC, Sites, lemme 05V1, et Cohomologie étale, remarques 040S. D’après Cohomologie étale, lemme 04HX nous voyons que \(\mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) est la hensélisation stricte de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Ainsi \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) est fidèlement plat d’après Compléments d’algèbre, lemme 07QM.

L’exactitude de \(\epsilon^*\) découle de la platitude de \(\epsilon\) par Modules sur les sites, lemme 04JC.

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Si \(\epsilon^*\mathcal{F} = 0\), alors, avec les notations ci-dessus, \[0 = \epsilon^*\mathcal{F}_{\overline{x}} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\] (Modules sur les sites, lemme 05V5) pour tout point géométrique \(\overline{x}\). Par fidélité de la platitude de \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) nous concluons que \(\mathcal{F}_x = 0\) pour tout \(x \in X\).

Soit \(X\) un schéma. Avec les notations de (08H7), rappelons que \(\epsilon^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) est une équivalence d’après Descente, proposition 03DX et remarque 03FH. De plus, \(\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) est une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\etale)\) d’après Descente, lemme 06VE. Nous pouvons donc définir \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) comme la sous-catégorie triangulée de \(D(\mathcal{O}_\etale)\) dont les objets sont les complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents, voir Catégories dérivées, section 06UP. Le foncteur \(\epsilon^*\) est exact (lemme 08H8); il induit donc \(\epsilon^* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_\etale)\) et, comme les images inverses de modules quasi-cohérents sont quasi-cohérentes, également \(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Le foncteur \(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) défini ci-dessus est une équivalence.

Démonstration

Nous démontrerons ceci en montrant que le foncteur \(R\epsilon_* : D(\mathcal{O}_\etale) \to D(\mathcal{O}_X)\) induit un quasi-inverse. Nous utiliserons librement le fait que \(\epsilon_*\) est donné par la restriction à \(X_{Zar} \subset X_\etale\) et la description de \(\epsilon^* = \text{id}_{small, \etale, Zar}^*\) dans Descente, lemme 070S.

Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}\) est un isomorphisme, car \(\mathcal{F}^a\) (Descente, définition 03DU) est un faisceau, comme démontré dans Descente, lemme 03DT. Réciproquement, tout \(\mathcal{O}_\etale\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) est de la forme \(\epsilon^*\mathcal{F}\) pour un certain \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), voir Descente, proposition 03DX. Alors \(\mathcal{F} = \epsilon_*\mathcal{H}\) d’après ce qui précède et nous concluons que le morphisme d’adjonction \(\epsilon^*\epsilon_*\mathcal{H} \to \mathcal{H}\) est un isomorphisme pour tout \(\mathcal{O}_\etale\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{H}\).

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) et notons \(\mathcal{H}^q = H^q(E)\) son faisceau de cohomologie d’indice \(q\). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des objets affines de \(X_\etale\). Alors \(H^p(U, \mathcal{H}^q) = 0\) pour tout \(p > 0\), tout \(q \in \mathbf{Z}\), et tout \(U \in \mathcal{B}\), voir Descente, proposition 03DW et Cohomologie des schémas, lemme 01XB. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 0BKZ cela signifie que \[H^q(U, E) = H^0(U, \mathcal{H}^q)\] pour tout \(U \in \mathcal{B}\). En particulier, ceci vaut pour les ouverts affines \(U \subset X\). Il s’ensuit que la cohomologie d’indice \(q\) de \(R\epsilon_*E\) au-dessus de \(U\) est la valeur du faisceau \(\epsilon_*\mathcal{H}^q\) sur \(U\). En faisceautisant, nous obtenons \[H^q(R\epsilon_*E) = \epsilon_*\mathcal{H}^q\] ce qui montre en particulier que \(R\epsilon_*\) induit un foncteur \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Comme \(\epsilon^*\) est exact, nous obtenons alors \(H^q(\epsilon^*R\epsilon_*E) = \epsilon^*\epsilon_*\mathcal{H}^q = \mathcal{H}^q\) (par ce qui précède). Ainsi, le morphisme d’adjonction \(\epsilon^*R\epsilon_*E \to E\) est un isomorphisme.

Réciproquement, pour \(F \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le morphisme d’adjonction \(F \to R\epsilon_*\epsilon^*F\) est un isomorphisme pour la même raison, à savoir parce que les faisceaux de cohomologie de \(R\epsilon_*\epsilon^*F\) sont isomorphes à \(\epsilon_*H^m(\epsilon^*F) = \epsilon_*\epsilon^*H^m(F) = H^m(F)\).

Catégorie dérivée des modules quasi-cohérents

Soit \(S\) un schéma. Le lemme 071Q montre que la catégorie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) peut être définie au moyen de complexes de \(\mathcal{O}_S\)-modules sur le schéma \(S\) ou de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules sur le petit site étale de \(S\). La définition suivante est donc compatible avec celle du cas des schémas.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). La catégorie dérivée des \(\mathcal{O}_X\)-modules dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents est notée \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Cette définition a un sens d’après Propriétés des espaces, lemme 03M1 et Catégories dérivées, section 06UP. Nous obtenons ainsi un foncteur canonique [08F1]\[\begin{equation} D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] voir Catégories dérivées, équation (06UR).

Observons qu’un morphisme plat \(f : Y \to X\) d’espaces algébriques induit un foncteur exact \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\), voir Morphismes des espaces, lemme 073C et Modules sur les sites, lemme 04JC. En particulier, \(Lf^* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Y)\) se calcule sur tout complexe représentant (Catégories dérivées, lemme 015F). Nous écrirons \(Lf^* = f^*\) lorsque \(f\) est plat; dans ce cas, \(H^i(f^*E) = f^*H^i(E)\) pour \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Nous utiliserons souvent ceci lorsque \(f\) est étale. Dans ce cas, le foncteur image inverse est simplement la restriction à \(Y_\etale\); voir Propriétés des espaces, équation (03LW).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. \(E\) est en \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

2. pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\) où \(U\) est un schéma affine, \(\varphi^*E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\),

3. pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\) où \(U\) est un schéma, \(\varphi^*E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\),

4. il existe un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) où \(U\) est un schéma tel que \(\varphi^*E\) soit un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\), et

5. il existe un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques \(f : Y \to X\) tel que \(Lf^*E\) soit un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Ceci découle immédiatement de la discussion qui précède le lemme et de Propriétés des espaces, lemme 03M0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet des sommes directes.

Démonstration

D’après Injectifs, lemme 07D9, la catégorie dérivée \(D(\mathcal{O}_X)\) a des sommes directes et celles-ci se calculent en prenant les sommes directes terme à terme de représentants quelconques. Ainsi, il est clair que le faisceau de cohomologie d’une somme directe est le somme directe des faisceaux de cohomologie, car prendre des sommes directes est un foncteur exact (dans toute catégorie abélienne de Grothendieck). Le lemme découle alors du fait que la somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente, voir Propriétés des espaces, lemme 03M1.

Nous aurons besoin de quelques informations sur les limites dérivées. Nous avertissons le lecteur que, dans le lemme ci-dessous, la limite dérivée n’est en général pas un objet de \(D_\QCoh\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \((K_n)\) un système inverse d’objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), de limite dérivée \(K = R\lim K_n\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que \(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\) soit surjectif pour tout \(q \in \mathbf{Z}\) et tout \(n \geq 1\). Alors

1. \(H^q(K) = \lim H^q(K_n)\),

2. \(R\lim H^q(K_n) = \lim H^q(K_n)\), et

3. pour tout ouvert affine \(U \subset X\) nous avons \(H^p(U, \lim H^q(K_n)) = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\etale)\) l’ensemble des objets affines. Comme \(H^q(K_n)\) est quasi-cohérent, on a \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) pour \(U \in \mathcal{B}\), d’après la discussion dans Cohomologie des espaces, section 071Y et Cohomologie des schémas, lemme 01XB. De plus, les applications \(H^0(U, H^q(K_{n + 1})) \to H^0(U, H^q(K_n))\) sont surjectives pour \(U \in \mathcal{B}\), par un raisonnement analogue. La partie (1) découle de Cohomologie sur les sites, lemme 0A09 dont nous venons de vérifier les conditions. Les parties (2) et (3) découlent de Cohomologie sur les sites, lemme 0BKY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \(Lf^*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, les flèches verticales sont étale, et \(a\) est surjectif. Comme \(a^* \circ Lf^* = Lh^* \circ b^*\), le résultat découle du lemme 08F2 et du cas des schémas, qui est Catégories dérivées des schémas, lemme 08DW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(K, L\) objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le produit tensoriel dérivé \(K \otimes^\mathbf{L} L\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale surjectif provenant d’un schéma \(U\). Comme \(\varphi^*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = \varphi^*K \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \varphi^*L\) nous voyons par le lemme 08F2 que ceci découle du cas des schémas, qui est Catégories dérivées des schémas, lemme 08DX.

Le lemme suivant nous aidera à « calculer » un foncteur dérivé à droite sur un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n}E\) de Catégories dérivées, remarque 0H72 est un isomorphisme¹.

Démonstration

Notons \(\mathcal{H}^i = H^i(E)\) le faisceau de cohomologie d’indice \(i\) de \(E\). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des objets affines de \(X_\etale\). Alors \(H^p(U, \mathcal{H}^i) = 0\) pour tout \(p > 0\), tout \(i \in \mathbf{Z}\), et tout \(U \in \mathcal{B}\), puisque \(U\) est un schéma affine. Voir la discussion dans Cohomologie des espaces, section 071Y et Cohomologie des schémas, lemme 01XB. Ainsi, le lemme découle de Cohomologie sur les sites, lemme 0D6P avec \(d = 0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ab}\) un foncteur et \(N \geq 0\) un entier. Supposons que

1. \(F\) est exact à gauche,

2. \(F\) commute aux produits directs dénombrables,

3. \(R^pF(\mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p \geq N\) et tout \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent.

Alors, pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

1. \(H^i(RF(\tau_{\leq a}E) \to H^i(RF(E))\) est un isomorphisme pour \(i \leq a\),

2. \(H^i(RF(E)) \to H^i(RF(\tau_{\geq b - N + 1}E))\) est un isomorphisme pour \(i \geq b\),

3. si \(H^i(E) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) pour certains \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\), alors \(H^i(RF(E)) = 0\) pour \(i \not \in [a, b + N - 1]\).

Démonstration

L’énoncé (1) est Catégories dérivées, lemme 05TC.

Démonstration de (2). Écrivons \(E_n = \tau_{\geq -n}E\). On a \(E = R\lim E_n\), voir le lemme 08F6. Ainsi, \(RF(E) = R\lim RF(E_n)\) dans \(D(\textit{Ab})\) d’après Injectifs, lemme 08U1. Ainsi, pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), on a une suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(RF(E_n)) \to H^i(RF(E)) \to \lim H^i(RF(E_n)) \to 0\] voir Compléments d’algèbre, remarque 08U5. Pour démontrer (2), nous montrerons que le terme de gauche est nul et que le terme de droite est égal à \(H^i(RF(E_{-b + N - 1})\) pour tout \(b\) tel que \(i \geq b\).

Pour tout \(n\), on a un triangle distingué \[H^{-n}(E)[n] \to E_n \to E_{n - 1} \to H^{-n}(E)[n + 1]\] (Catégories dérivées, remarque 08J5) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Comme \(H^{-n}(E)\) est quasi-cohérent, on a \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n])) = R^{i + n}F(H^{-n}(E)) = 0\] pour \(i + n \geq N\), et \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n + 1])) = R^{i + n + 1}F(H^{-n}(E)) = 0\] pour \(i + n + 1 \geq N\). Nous en déduisons que \[H^i(RF(E_n)) \to H^i(RF(E_{n - 1}))\] est un isomorphisme pour \(n \geq N - i\). Ainsi, les systèmes \(H^i(RF(E_n))\) satisfont tous la condition ML et le terme \(R^1\lim\) de notre suite exacte courte est nul (voir la discussion dans Compléments d’algèbre, section 07KV). De plus, le système \(H^i(RF(E_n))\) est constant à partir de \(n = N - i - 1\), comme souhaité.

Démonstration de (3). Sous l’hypothèse sur \(E\), on a \(\tau_{\leq a - 1}E = 0\) et l’on obtient l’annulation de \(H^i(RF(E))\) pour \(i \leq a - 1\) par (1). De même, \(\tau_{\geq b + 1}E = 0\) et l’on obtient donc l’annulation de \(H^i(RF(E))\) pour \(i \geq b + n\) d’après la partie (2).

Image directe totale

Le lemme suivant est l’analogue du lemme de Cohomologie des espaces 073G.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-séparé et quasi-compact d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Le foncteur \(Rf_*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

2. Si \(Y\) est quasi-compact, il existe un entier \(N = N(X, Y, f)\) tel que, pour un objet \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dont \(H^m(E) = 0\) pour \(m > 0\), on ait \(H^m(Rf_*E) = 0\) pour \(m \geq N\).

3. En fait, si \(Y\) est quasi-compact, on peut trouver \(N = N(X, Y, f)\) tel que, pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Y' \to Y\), la même conclusion vaille pour le foncteur \(R(f')_*\), où \(f' : X' \to Y'\) est le changement de base de \(f\).

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour démontrer (1), il faut montrer que \(Rf_*E\) a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents. Cette question est locale sur \(Y\); on peut donc supposer \(Y\) quasi-compact. Choisissons \(N = N(X, Y, f)\) comme dans Cohomologie des espaces, lemme 073G. Ainsi \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{O}_X\)- module \(\mathcal{F}\) et tout \(p \geq N\). De plus, \(R^pf_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent pour tout \(p\), d’après Cohomologie des espaces, lemme 0720. Ces énoncés restent vrais après changement de base.

Commençons par supposer que \(E\) est borné inférieurement. Nous montrerons que (1), (2) et (3) sont valables pour un tel \(E\) avec notre choix de \(N\). Dans ce cas, on peut par exemple utiliser la suite spectrale \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] (Catégories dérivées, lemme 015J), la quasi-cohérence de \(R^pf_*H^q(E)\) et l’annulation de \(R^pf_*H^q(E)\) pour \(p \geq N\) pour voir que (1), (2) et (3) sont valables dans ce cas.

Prouvons maintenant (2) et (3). Supposons que \(H^m(E) = 0\) pour \(m > 0\). Soit \(V\) un objet affine de \(Y_\etale\). On a \(H^p(V \times_Y X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p \geq N\), voir Cohomologie des espaces, lemme 08EX. Nous pouvons donc appliquer le lemme 08F7 au foncteur \(\Gamma(V \times_Y X, -)\) pour obtenir \[R\Gamma(V, Rf_*E) = R\Gamma(V \times_Y X, E)\] dont la cohomologie est nulle en degrés \(\geq N\). Comme ceci vaut pour tout \(V\) affine de \(Y_\etale\), on conclut que \(H^m(Rf_*E) = 0\) pour \(m \geq N\).

Passons à la démonstration de (1) dans le cas général. Rappelons qu’il existe un triangle distingué \[\tau_{\leq -n - 1}E \to E \to \tau_{\geq -n}E \to (\tau_{\leq -n - 1}E)[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), voir Catégories dérivées, remarque 08J5. D’après (2), \(Rf_*\tau_{\leq -n - 1}E\) a des faisceaux de cohomologie nuls en degrés \(\geq -n + N\). Ainsi, pour un entier \(q\) donné, \(R^qf_*E\) est égal à \(R^qf_*\tau_{\geq -n}E\) pour un certain \(n\), et le résultat ci-dessus s’applique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-séparé et quasi-compact d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) commute aux sommes directes.

Démonstration

Soit \(E_i\) une famille d’objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et posons \(E = \bigoplus E_i\). Nous voulons montrer que le morphisme \[\bigoplus Rf_*E_i \longrightarrow Rf_*E\] est un isomorphisme. Nous montrerons qu’il induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degré \(0\), ce qui démontrera le lemme. Choisissons un entier \(N\) comme dans le lemme 08FA. Alors \(R^0f_*E = R^0f_*\tau_{\geq -N}E\) et \(R^0f_*E_i = R^0f_*\tau_{\geq -N}E_i\) d’après le lemme cité. Observons que \(\tau_{\geq -N}E = \bigoplus \tau_{\geq -N}E_i\). Nous pouvons donc supposer que tous les \(E_i\) ont des faisceaux de cohomologie nuls en degrés \(< -N\). Nous utilisons ensuite les suites spectrales \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E \quad\text{et}\quad R^pf_*H^q(E_i) \Rightarrow R^{p + q}f_*E_i\] (Catégories dérivées, lemme 015J) pour nous ramener au cas d’une somme directe de faisceaux quasi-cohérents. Ce cas est traité par Cohomologie des espaces, lemme 07U6.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques représentables \(X\) et \(Y\) sur \(S\). Soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) un morphisme de schémas représentant \(f\) (notation maladroite mais temporaire). Alors le diagramme \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{lemme \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar[u]^{Lf^*_0} \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{lemme \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[u]_{Lf^*} }\] (lemme 08F4 et Catégories dérivées des schémas, lemme 08DW) est commutatif. En effet, les équivalences \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) du lemme 071Q proviennent de l’image inverse par les morphismes (plats) de sites annelés \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\) et \(\epsilon : Y_\etale \to Y_{0, Zar}\) et le diagramme de sites annelés \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] est commutatif (détails omis). Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, ou de manière équivalente si \(f_0\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors on affirme que \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar[d]_{Rf_{0, *}} \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{lemme \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{lemme \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] (lemme 08FA et Catégories dérivées des schémas, lemme 08D5) est également commutatif. Cela découle encore du diagramme de sites affiché ci-dessus, car la démonstration du lemme 071Q montre que le foncteur \(R\epsilon_*\) fournit les équivalences \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) et \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0})\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) réfléchit les isomorphismes.

Démonstration

L’énoncé signifie qu’un morphisme \(\alpha : E \to F\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est un isomorphisme si \(Rf_*\alpha\) est un isomorphisme. On peut le vérifier sur les faisceaux de cohomologie. En particulier, la question est locale pour la topologie étale sur \(Y\). On peut donc supposer \(Y\) et donc \(X\) affines. Dans ce cas, le problème se ramène au cas des schémas (Catégories dérivées des schémas, lemme 08I8) au moyen du lemme 071Q et de la Remarque 08GH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Pour \(E\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), on a \(Rf_* Lf^* E = E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Comme \(f\) est affine, le morphisme \(f_*\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme (Cohomologie des espaces, lemme 073H). Il existe un morphisme canonique \(E \otimes^\mathbf{L} f_*\mathcal{O}_X = E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X \to Rf_* Lf^* E\) adjoint au morphisme \[Lf^*(E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X) = Lf^*E \otimes^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \longrightarrow Lf^* E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_X = Lf^* E\] provenant de \(1 : Lf^*E \to Lf^*E\) et du morphisme canonique \(Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\). Pour vérifier que le morphisme ainsi construit est un isomorphisme, on peut travailler localement sur \(Y\). On peut donc supposer \(Y\) et donc \(X\) affines. Dans ce cas, le problème se ramène au cas des schémas (Catégories dérivées des schémas, lemme 08I9) au moyen du lemme 071Q et de la Remarque 08GH.

Être propre au-dessus d’une base

Cette section est l’analogue de la section de Cohomologie des schémas 0CYK. Comme toujours pour les résultats concernant la topologie des ensembles de points, il faut être prudent en transposant le matériel aux espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), localement de type fini. Soit \(T \subset |X|\) un sous-ensemble fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes

1. le morphisme \(Z \to Y\) est propre si \(Z\) est la structure d’espace algébrique réduite induite sur \(T\) (Propriétés des espaces, définition 047X),

2. pour un sous-espace fermé \(Z \subset X\) tel que \(|Z| = T\), le morphisme \(Z \to Y\) est propre, et

3. pour tout sous-espace fermé \(Z \subset X\) tel que \(|Z| = T\), le morphisme \(Z \to Y\) est propre.

Démonstration

Les implications (3) \(\Rightarrow\) (1) et (1) \(\Rightarrow\) (2) sont immédiates. Il suffit donc de démontrer que (2) implique (3). Nous invitons le lecteur à trouver sa propre démonstration de ce fait. Soient \(Z'\) et \(Z''\) des sous-espaces fermés tels que \(T = |Z'| = |Z''|\) et tels que \(Z' \to Y\) soit un morphisme propre d’espaces algébriques. Nous devons montrer que \(Z'' \to Y\) est également propre. Soit \(Z''' = Z' \cup Z''\) l’union schématique, voir Morphismes des espaces, définition 0CYZ. Alors \(Z'''\) est un autre sous-espace fermé tel que \(|Z'''| = T\). Cela découle par exemple de la description des unions schématiques dans Morphismes des espaces, lemme 0CZ1. Comme \(Z'' \to Z'''\) est une immersion fermée, il suffit de démontrer que \(Z''' \to Y\) est propre (voir Morphismes des espaces, lemmes 04XZ et 04XY). Le morphisme \(Z' \to Z'''\) est une immersion fermée bijective et donc, en particulier, surjectif et universellement fermé. Le fait que \(Z' \to Y\) soit séparé implique alors que \(Z''' \to Y\) est séparé, voir Morphismes des espaces, lemme 05Z2. De plus, \(Z''' \to Y\) est localement de type fini puisque \(X \to Y\) est localement de type fini (Morphismes des espaces, lemmes 06ED et 03XG). Comme \(Z' \to Y\) est quasi-compact et \(Z' \to Z'''\) est un homéomorphisme universel, \(Z''' \to Y\) est quasi-compact. Enfin, puisque \(Z' \to Y\) est universellement fermé, il en va de même pour \(Z''' \to Y\) d’après Morphismes des espaces, lemme 08AJ. Ceci achève la démonstration.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) localement de type fini. Soit \(T \subset |X|\) un sous-ensemble fermé. Nous disons que \(T\) est propre au-dessus de \(Y\) si les conditions équivalentes du lemme 0CZC sont satisfaites.

Le lemme utilisé dans la définition ci-dessus est faux si le morphisme \(f : X \to Y\) n’est pas localement de type fini. Nous invitons donc le lecteur à ne pas utiliser cette terminologie si \(f\) n’est pas de type fini localement.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) localement de type fini. Soit \(T' \subset T \subset |X|\) des sous-ensembles fermés. Si \(T\) est propre au-dessus de \(Y\), il en va de même pour \(T'\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\) \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] tel que \(f\) soit localement de type fini. Si \(T\) est un sous-ensemble fermé de \(|X|\) propre au-dessus de \(Y\), alors \(|g'|^{-1}(T)\) est un sous-ensemble fermé de \(|X'|\) propre au-dessus de \(Y'\).

Démonstration

Observons que l’énoncé a un sens puisque \(f'\) est localement de type fini, d’après Morphismes des espaces, lemme 03XH. Soit \(Z \subset X\) la structure de sous-espace fermé réduite induite sur \(T\). Notons \(Z' = (g')^{-1}(Z)\) l’image inverse schématique. Alors \(Z' = X' \times_X Z = (Y' \times_Y X) \times_X Z = Y' \times_Y Z\) est propre au-dessus de \(Y'\) comme changement de base de \(Z\) au-dessus de \(Y\) (Morphismes des espaces, lemme 04WP). D’autre part, \(T' = |Z'|\). Le lemme en découle.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques qui sont localement de type fini sur \(B\).

1. Si \(Y\) est séparé sur \(B\) et si \(T \subset |X|\) est un sous-ensemble fermé propre au-dessus de \(B\), alors \(|f|(T)\) est un sous-ensemble fermé de \(|Y|\) propre au-dessus de \(B\).

2. Si \(f\) est universellement fermé et si \(T \subset |X|\) est un sous-ensemble fermé propre au-dessus de \(B\), alors \(|f|(T)\) est un sous-ensemble fermé de \(Y\) propre au-dessus de \(B\).

3. Si \(f\) est propre et si \(T \subset |Y|\) est un sous-ensemble fermé propre au-dessus de \(B\), alors \(|f|^{-1}(T)\) est un sous-ensemble fermé de \(|X|\) propre au-dessus de \(B\).

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons que \(Y\) soit séparé sur \(B\) et que \(T \subset |X|\) soit un sous-ensemble fermé propre au-dessus de \(B\). Soit \(Z\) la structure réduite induite de sous-espace fermé sur \(T\) et appliquons Morphismes des espaces, lemme 0AGD à \(Z \to Y\) au-dessus de \(B\) pour conclure.

Démonstration de (2). Supposons que \(f\) soit universellement fermé et que \(T \subset |X|\) soit un sous-ensemble fermé propre au-dessus de \(B\). Soit \(Z\) la structure réduite induite de sous-espace fermé sur \(T\) et soit \(Z'\) la structure réduite de sous-espace fermé induite sur \(|f|(T)\). Nous obtenons un morphisme induit \(Z \to Z'\). Notons \(Z'' = f^{-1}(Z')\) l’image inverse schématique. Alors \(Z'' \to Z'\) est universellement fermé comme changement de base de \(f\) (Morphismes des espaces, lemme 04WP). Par conséquent, \(Z \to Z'\) est universellement fermé comme composée de l’immersion fermée \(Z \to Z''\) et de \(Z'' \to Z'\) (Morphismes des espaces, lemmes 04XZ et 04XY). Nous concluons que \(Z' \to B\) est séparé d’après Morphismes des espaces, lemme 05Z2. Comme \(Z \to B\) est quasi-compact et \(Z \to Z'\) surjectif, on voit que \(Z' \to B\) est quasi-compact. Comme \(Z' \to B\) est la composée de \(Z' \to Y\) et de \(Y \to B\), on voit que \(Z' \to B\) est localement de type fini (Morphismes des espaces, lemmes 06ED et 03XG). Enfin, puisque \(Z \to B\) est universellement fermé, il en va de même pour \(Z' \to B\) d’après Morphismes des espaces, lemme 08AJ. Ceci achève la démonstration.

Démonstration de (3). Supposons \(f\) propre et \(T \subset |Y|\) un sous-ensemble fermé propre au-dessus de \(B\). Soit \(Z\) la structure de sous-espace fermé réduite induite sur \(T\). Notons \(Z' = f^{-1}(Z)\) l’image inverse schématique. Alors \(Z' \to Z\) est propre comme changement de base de \(f\) (Morphismes des espaces, lemme 04WP). Par conséquent, \(Z' \to B\) est propre comme composée de \(Z' \to Z\) et de \(Z \to B\) (Morphismes des espaces, lemme 04XY). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) localement de type fini. Soient \(T_i \subset |X|\), \(i = 1, \ldots, n\), des sous-ensembles fermés. Si les \(T_i\), \(i = 1, \ldots, n\), sont propres au-dessus de \(Y\), il en va de même pour \(T_1 \cup \ldots \cup T_n\).

Démonstration

Soit \(Z_i\) la structure de sous-schéma fermé réduite induite sur \(T_i\). Le morphisme \[Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n \longrightarrow X\] est fini d’après Morphismes des espaces, lemmes 081Y et 0CZ2. Comme les morphismes finis sont universellement fermés (Morphismes des espaces, lemme 04NZ) et que \(Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n\) est propre au-dessus de \(S\), nous concluons par la partie (2) du lemme 0CZG que l’image \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) est propre au-dessus de \(S\).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et quasi-cohérent. Alors le support \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\mathcal{F}\) est un sous-ensemble fermé de \(|X|\), voir Morphismes des espaces, lemme 07TZ. Il est donc sensé de dire que « le support de \(\mathcal{F}\) est propre au-dessus de \(Y\) ».

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et quasi-cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le support de \(\mathcal{F}\) est propre au-dessus de \(Y\) ;

2. le support schématique de \(\mathcal{F}\) (Morphismes des espaces, définition 07U1) est propre au-dessus de \(Y\) ;

3. il existe un sous-espace fermé \(Z \subset X\) et un \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{G}\) de type fini et quasi-cohérent tel que (a) \(Z \to Y\) soit propre et (b) \((Z \to X)_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\).

Démonstration

Le support \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\mathcal{F}\) est un sous-ensemble fermé de \(|X|\), voir Morphismes des espaces, lemme 07TZ. Nous pouvons donc appliquer la définition 0CZD. Comme le support schématique de \(\mathcal{F}\) est un sous-espace fermé dont le sous-ensemble fermé sous-jacent est \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), les conditions (1) et (2) sont équivalentes d’après la définition 0CZD. Il est clair que (2) implique (3). Réciproquement, si (3) est vraie, alors \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset |Z|\) et donc \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) est propre au-dessus de \(Y\), par exemple d’après le lemme 0CZE.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] tel que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et quasi-cohérent. Si le support de \(\mathcal{F}\) est propre au-dessus de \(Y\), alors le support de \((g')^*\mathcal{F}\) est propre au-dessus de \(Y'\).

Démonstration

Observons que l’énoncé a un sens puisque \((g')*\mathcal{F}\) est de type fini d’après Modules sur les sites, lemme 03DO. On a \(\text{Supp}((g')^*\mathcal{F}) = |g'|^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) d’après Morphismes des espaces, lemme 07TZ. Le lemme découle donc du lemme 0CZF.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) localement de type fini. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules de type fini et quasi-cohérents.

1. Si les supports de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont propres au-dessus de \(Y\), il en va de même pour \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\), toute extension de \(\mathcal{G}\) par \(\mathcal{F}\), \(\Im(u)\) et \(\Coker(u)\) pour tout morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), ainsi que pour tout quotient quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) ou de \(\mathcal{G}\).

2. Si \(Y\) est localement noethérien, la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents dont le support est propre au-dessus de \(Y\) est une sous-catégorie de Serre (Homologie, définition 02MO) de la catégorie abélienne des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents.

Démonstration

Preuve de (1). Soient \(T\) et \(T'\) les supports de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{G}\). Tous les faisceaux mentionnés en (1) ont alors un support contenu dans \(T \cup T'\). L’assertion découle donc des lemmes 0CZE et 0CZH pourvu que nous vérifiions que ces faisceaux sont de type fini et quasi-cohérents. Pour la quasi-cohérence, nous renvoyons le lecteur à Propriétés des espaces, section 03G5. Pour la propriété « de type fini », nous renvoyons le lecteur à Propriétés des espaces, section 05VR.

Preuve de (2). La preuve est la même que celle de (1). Notons que les assertions ont un sens puisque \(X\) est localement noethérien d’après Morphismes des espaces, lemme 04ZK et d’après la description de la catégorie des modules cohérents dans Cohomologie des espaces, section 07U9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons \(f\) localement de type fini et \(Y\) localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent dont le support est propre au-dessus de \(Y\). Alors \(R^pf_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

D’après le lemme 0CZI, il existe une immersion fermée \(i : Z \to X\) telle que \(g = f \circ i : Z \to Y\) soit propre et \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un certain module cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\). On voit que \(R^pg_*\mathcal{G}\) est cohérent sur \(S\) d’après Cohomologie des espaces, lemme 08AR. D’autre part, \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\) pour \(q > 0\) (Cohomologie des espaces, lemme 07UH). Par Cohomologie sur les sites, lemme 0734, nous obtenons \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\), d’où le lemme.

Catégorie dérivée des modules cohérents

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien au-dessus de \(S\). Dans ce cas, la catégorie \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents est une sous-catégorie de Serre faible, voir Homologie, section 02MN et Cohomologie des espaces, lemme 07UC. Notons \[D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \subset D(\mathcal{O}_X)\] la sous-catégorie des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont cohérents, voir Catégories dérivées, section 06UP. Nous obtenons ainsi un foncteur canonique [08GJ]\[\begin{equation} D(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] voir Catégories dérivées, équation (06UR).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons \(f\) localement de type fini et \(Y\) noethérien. Soit \(E\) un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) tel que le support de \(H^i(E)\) soit propre au-dessus de \(Y\) pour tout \(i\). Alors \(Rf_*E\) est un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Considérons la suite spectrale \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] voir Catégories dérivées, lemme 015J. D’après l’hypothèse et le lemme 08GC, les faisceaux \(R^pf_*H^q(E)\) sont cohérents. Donc \(R^{p + q}f_*E\) est cohérent, c’est-à-dire \(E \in D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\). La bornitude inférieure est triviale. La bornitude supérieure découle de Cohomologie des espaces, lemme 073G ou du lemme 08FA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons \(f\) localement de type fini et \(Y\) noethérien. Soit \(E\) un objet de \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) tel que le support de \(H^i(E)\) soit propre au-dessus de \(S\) pour tout \(i\). Alors \(Rf_*E\) est un objet de \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

La preuve est la même que celle du lemme 08GK. On peut aussi le déduire du lemme 08GK en considérant l’action du foncteur exact \(Rf_*\) sur les triangles distingués \(\tau_{\leq a}E \to E \to \tau_{\geq a + 1}E \to \tau_{\leq a}E[1]\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien au-dessus de \(S\). Si \(L\) appartient à \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) à \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors \(R\SheafHom(K, L)\) appartient à \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Nous pouvons vérifier qu’un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) appartient à \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) localement pour la topologie étale sur \(X\), voir Cohomologie des espaces, lemme 07UB. On se ramène donc au cas des schémas, voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0D0C.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(X\) un espace algébrique propre au-dessus de \(A\). Pour \(L\) dans \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) dans \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), les \(A\)-modules \(\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L)\) sont de type fini.

Démonstration

Rappelons que \[\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L) = H^n(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L)) = H^n(\Spec(A), Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L))\] voir Cohomologie sur les sites, lemme 08JA et Cohomologie sur les sites, section 072X. Le résultat découle donc des lemmes 0D0S et 0D0R.

Principe de récurrence

Dans cette section, nous discutons d’un principe de récurrence pour les espaces algébriques, analogue à celui qui est établi dans Cohomologie des schémas, lemme 08DR pour les schémas. Pour le formuler, nous introduisons la notion de carré distingué élémentaire ; cette terminologie est empruntée à [MV]. Le principe sous cette forme est implicite dans l’article [GruRay] de Raynaud et Gruson. Un principe apparenté pour les champs algébriques est donné dans [rydh_etale_devissage, Théorème D] par David Rydh.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \times_W V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d]^f \\ U \ar[r]^j & W }\] d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est appelé un carré distingué élémentaire si

1. \(U\) est un sous-espace ouvert de \(W\) et \(j\) est le morphisme d’inclusion ;

2. \(f\) est étale ;

3. en posant \(T = W \setminus U\) (muni de la structure réduite induite), le morphisme \(f^{-1}(T) \to T\) est un isomorphisme.

Nous l’indiquerons en disant : « Soit \((U \subset W, f : V \to W)\) un carré distingué élémentaire. »

Notons que si \((U \subset W, f : V \to W)\) est un carré distingué élémentaire, alors \(W = U \cup f(V)\). Ainsi, \(\{U \to W, V \to W\}\) est un recouvrement étale de \(W\). Ces recouvrements étales possèdent de bonnes propriétés et sont, en un certain sens, « suffisamment nombreux ».

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U \subset W, f : V \to W)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. Si \(V' \subset V\) et si \(U \subset U' \subset W\) sont des sous-espaces ouverts et \(W' = U' \cup f(V')\), alors \((U' \subset W', f|_{V'} : V' \to W')\) est un carré distingué élémentaire.

2. Si \(p : W' \to W\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \((p^{-1}(U) \subset W', V \times_W W' \to W')\) est un carré distingué élémentaire.

3. Si \(S' \to S\) est un morphisme de schémas, alors \((S' \times_S U \subset S' \times_S W, S' \times_S V \to S' \times_S W)\) est un carré distingué élémentaire.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé au-dessus de \(S\). Soit \(P\) une propriété des objets quasi-compacts et quasi-séparés de \(X_{spaces, \etale}\). Supposons que

1. tout objet affine de \(X_{spaces, \etale}\) vérifie \(P\) ;

2. pour tout carré distingué élémentaire \((U \subset W, f : V \to W)\) tel que

   1. \(W\) soit un objet quasi-compact et quasi-séparé de \(X_{spaces, \etale}\) ;

   2. \(U\) soit quasi-compact ;

   3. \(V\) soit affine ;

   4. \(U\), \(V\) et \(U \times_W V\) vérifient \(P\),

   alors \(W\) vérifie \(P\).

Alors tout objet quasi-compact et quasi-séparé de \(X_{spaces, \etale}\) vérifie \(P\), et en particulier \(X\).

Démonstration

Nous affirmons d’abord que tout objet représentable, quasi-compact et quasi-séparé de \(X_{spaces, \etale}\) vérifie \(P\). Supposons en effet que \(U \to X\) soit étale et que \(U\) soit un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Par l’hypothèse (1), tout ouvert affine de \(U\) vérifie \(P\). De plus, si \(W, V \subset U\) sont des ouverts quasi-compacts, avec \(V\) affine, et si \(W\), \(V\) et \(W \cap V\) vérifient \(P\), alors \(W \cup V\) vérifie \(P\) d’après (2) (car le couple \((W \subset W \cup V, V \to W \cup V)\) est un carré distingué élémentaire). Le principe de récurrence pour les schémas montre donc que \(U\) vérifie \(P\); voir Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Pour achever la preuve, il suffit de montrer que \(X\) vérifie \(P\) (car nous pouvons remplacer \(X\) par n’importe quel objet quasi-compact et quasi-séparé de \(X_{spaces, \etale}\) auquel nous voulons appliquer le résultat). Nous utiliserons la filtration \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] et les morphismes \(f_p : V_p \to U_p\) du Espaces décents, lemme 07ST. Nous allons montrer par récurrence descendante sur \(p\) que \(U_p\) vérifie \(P\). Notons que \(U_{n + 1}\) vérifie \(P\) d’après (1), puisque l’espace algébrique vide est affine. Supposons que \(U_{p + 1}\) vérifie \(P\). Le couple \((U_{p + 1} \subset U_p, f_p : V_p \to U_p)\) est un carré distingué élémentaire, mais (2) ne s’applique pas nécessairement, car \(V_p\) peut ne pas être affine. Toutefois, puisque \(V_p\) est un schéma quasi-compact, nous pouvons choisir un recouvrement fini par des ouverts affines \(V_p = V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, m}\). Posons \(W_{p, 0} = U_{p + 1}\) et \[W_{p, i} = U_{p + 1} \cup f_p(V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, i})\] pour \(i = 1, \ldots, m\). Ce sont des sous-espaces ouverts quasi-compacts de \(X\). Nous avons alors \[U_{p + 1} = W_{p, 0} \subset W_{p, 1} \subset \ldots \subset W_{p, m} = U_p\] et les couples \[(W_{p, 0} \subset W_{p, 1}, f_p|_{V_{p, 1}}), (W_{p, 1} \subset W_{p, 2}, f_p|_{V_{p, 2}}),\ldots, (W_{p, m - 1} \subset W_{p, m}, f_p|_{V_{p, m}})\] sont des carrés distingués élémentaires d’après le lemme 08GN. Notons que chaque \(V_{p, 1}\) vérifie \(P\) (c’est un schéma affine), de même que \(W_{p, i} \times_{W_{p, i + 1}} V_{p, i + 1}\), car celui-ci est un ouvert quasi-compact de \(V_{p, i + 1}\) et vérifie donc \(P\) d’après le premier paragraphe de cette preuve. Ainsi, (2) s’applique à chacun de ces carrés et, par récurrence, on conclut que \(W_{p, 1}, \ldots, W_{p, m} = U_p\) vérifient \(P\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\). Soit \(P\) une propriété des éléments de \(\mathcal{B}\). Supposons que

1. tout \(W \in \mathcal{B}\) soit quasi-compact et quasi-séparé ;

2. si \(W \in \mathcal{B}\) et si \(U \subset W\) est un ouvert quasi-compact, alors \(U \in \mathcal{B}\) ;

3. si \(V \in \Ob(X_{spaces, \etale})\) est affine, alors (a) \(V \in \mathcal{B}\) et (b) \(V\) vérifie \(P\) ;

4. pour tout carré distingué élémentaire \((U \subset W, f : V \to W)\) tel que

   1. \(W \in \mathcal{B}\) ;

   2. \(U\) soit quasi-compact ;

   3. \(V\) soit affine ;

   4. \(U\), \(V\) et \(U \times_W V\) vérifient \(P\),

   alors \(W\) vérifie \(P\).

Alors tout \(W \in \mathcal{B}\) vérifie \(P\).

Démonstration

La preuve est exactement la même que celle du lemme 08GP. (Notons que (4)(d) a un sens puisque \(U \times_W V\) est un ouvert quasi-compact de \(V\), donc un élément de \(\mathcal{B}\) d’après les conditions (2) et (3).)

Remarque

Comment choisir la collection \(\mathcal{B}\) dans le lemme 08GQ ? Voici quelques exemples :

1. Si \(X\) est quasi-compact et séparé, nous pouvons choisir pour \(\mathcal{B}\) l’ensemble des objets quasi-compacts et séparés de \(X_{spaces, \etale}\). Alors \(X \in \mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}\) satisfait (1), (2) et (3)(a). Avec ce choix de \(\mathcal{B}\), le lemme 08GQ redonne le lemme 08GP.

2. Si \(X\) est quasi-compact et à diagonale affine sur \(\mathbf{Z}\) (comme dans Propriétés des espaces, définition 03BS), nous pouvons choisir pour \(\mathcal{B}\) l’ensemble des objets de \(X_{spaces, \etale}\) qui sont quasi-compacts et dont la diagonale sur \(\mathbf{Z}\) est affine. Là encore, \(X \in \mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}\) satisfait (1), (2) et (3)(a).

3. Si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, le plus petit sous-ensemble \(\mathcal{B}\) qui contient \(X\) et satisfait (1), (2) et (3)(a) est donné par la règle suivante : \(W \in \mathcal{B}\) si et seulement si \(W\) est soit un sous-espace ouvert quasi-compact de \(X\), soit un ouvert quasi-compact d’un objet affine de \(X_{spaces, \etale}\).

Voici une variante dans laquelle on propage la validité d’une propriété d’un ouvert à des ouverts plus grands.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(W \subset X\) un sous-espace ouvert quasi-compact. Soit \(P\) une propriété des sous-espaces ouverts quasi-compacts de \(X\). Supposons que

1. \(W\) vérifie \(P\), et

2. pour tout carré distingué èlémentaire \((W_1 \subset W_2, f : V \to W_2)\) satisfaisant aux conditions suivantes :

   1. \(W_1\) et \(W_2\) soient des sous-espaces ouverts quasi-compacts de \(X\),

   2. \(W \subset W_1\),

   3. \(V\) soit affine, et

   4. \(W_1\) vérifie \(P\),

   alors \(W_2\) vérifie \(P\).

Alors \(X\) vérifie \(P\).

Démonstration

On peut déduire ce résultat du lemme 08GQ, mais nous allons plutôt donner un argument direct en reprenant explicitement la preuve du lemme 08GP. Nous utiliserons la filtration \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] et les morphismes \(f_p : V_p \to U_p\) du lemme 07ST de Espaces décents. Nous allons montrer, par récurrence descendante sur \(p\), que \(W_p = W \cup U_p\) vérifie \(P\). Cela achèvera la preuve puisque \(W_1 = X\). Notons que \(W_{n + 1} = W \cap U_{n + 1} = W\) vérifie \(P\) d’après (1). Supposons que \(W_{p + 1}\) vérifie \(P\). Le sous-espace \(W_p \setminus W_{p + 1}\), muni de la structure réduite induite, est un sous-espace fermé de \(U_p \setminus U_{p + 1}\). Comme \((U_{p + 1} \subset U_p, f_p : V_p \to U_p)\) est un carré distingué élémentaire, il en est de même de \((W_{p + 1} \subset W_p, f_p : V_p \to W_p)\). Il se peut toutefois que (2) ne s’applique pas, car \(V_p\) n’est pas nécessairement affine. Puisque \(V_p\) est un schéma quasi-compact, nous pouvons choisir un recouvrement ouvert affine fini \(V_p = V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, m}\). Posons \(W_{p, 0} = W_{p + 1}\) et \[W_{p, i} = W_{p + 1} \cup f_p(V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, i})\] pour \(i = 1, \ldots, m\). Ce sont des sous-espaces ouverts quasi-compacts de \(X\) contenant \(W\). On a alors \[W_{p + 1} = W_{p, 0} \subset W_{p, 1} \subset \ldots \subset W_{p, m} = W_p\] et les couples \[(W_{p, 0} \subset W_{p, 1}, f_p|_{V_{p, 1}}), (W_{p, 1} \subset W_{p, 2}, f_p|_{V_{p, 2}}),\ldots, (W_{p, m - 1} \subset W_{p, m}, f_p|_{V_{p, m}})\] sont des carrés distingués èlémentaires d’après le lemme 08GN. La condition (2) s’applique donc à chacun d’eux et, par récurrence sur \(i\), on conclut que \(W_{p, 1}, \ldots, W_{p, m} = W_p\) vérifient \(P\).

Mayer–Vietoris

Dans cette section, nous montrons qu’un carré distingué èlémentaire donne naissance à diverses suites de Mayer–Vietoris.

Soit \(S\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Dans la section 04LX de Propriétés des espaces, on a montré que \(U_{spaces, \etale} = X_{spaces, \etale}/U\) de façon compatible avec les faisceaux structuraux. Dans cette situation, on considère donc souvent le morphisme \(j_U : U \to X\) comme un morphisme de localisation (voir Modules sur les sites, définition 04IX). En particulier, on considère l’image inverse \(j_U^*\) comme la restriction à \(U\) et on la note souvent \({}|_U\); cette convention est compatible avec l’équation (03LW) de Propriétés des espaces. On voit notamment que [08GT]\[\begin{equation} (\mathcal{F}|_U)_{\overline{u}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \end{equation}\] si \(\overline{u}\) est un point géométrique de \(U\) et \(\overline{x}\) son image dans \(X\). En outre, le foncteur de restriction admet un adjoint à gauche exact \(j_{U!}\); voir Modules sur les sites, lemmes 03DI et 03DJ. Enfin, rappelons que, si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module, alors [08GU]\[\begin{equation} (j_{U!}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{G}_{\overline{u}} \end{equation}\] pour tout point géométrique \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\), où la somme directe porte sur les morphismes \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) tels que \(j_U \circ \overline{u} = \overline{x}\); voir Modules sur les sites, lemme 0710, et Propriétés des espaces, lemme 04K6.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), on a une suite exacte courte \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{F}|_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V!}\mathcal{F}|_V \to \mathcal{F} \to 0\]

2. Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on a un triangle distingué \[j_{U \times_X V!}E|_{U \times_X V} \to j_{U!}E|_U \oplus j_{V!}E|_V \to E \to j_{U \times_X V!}E|_{U \times_X V}[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Pour montrer que la suite de (1) est exacte, il suffit de le vérifier sur les fibres aux points géométriques, d’après Propriétés des espaces, théorème 04K5. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). En prenant les fibres en \(\overline{x}\) et en utilisant les èquations (08GT) et (08GU), on obtient la suite \[0 \to \bigoplus\nolimits_{(\overline{u}, \overline{v})} \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \oplus \bigoplus\nolimits_{\overline{v}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}} \to 0\] Cette suite est exacte car, pour tout \(\overline{x}\), ou bien il existe exactement un \(\overline{u}\) qui s’envoie sur \(\overline{x}\), ou bien il n’en existe aucun et il existe exactement un \(\overline{v}\) qui s’envoie sur \(\overline{x}\).

Preuve de (2). Nous avons vu dans Cohomologie sur les sites, section 08FH, que les foncteurs de restriction et de prolongement par zéro entre catégories dérivées se calculent en appliquant simplement le foncteur terme à terme à un complexe quelconque. Soit \(\mathcal{E}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(E\). Le triangle distingué du lemme est celui associé, d’après Catégories dérivées, section 014Z, et plus particulièrement le lemme 0152, à la suite de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{E}^\bullet|_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{E}^\bullet|_U \oplus j_{V!}\mathcal{E}^\bullet|_V \to \mathcal{E}^\bullet \to 0\] qui est une suite exacte courte d’après (1).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), on a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to j_{U, *}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{F}|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{F}|_{U \times_X V} \to 0\]

2. Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on a un triangle distingué \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V} \to E[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(W\) un objet de \(X_\etale\). Nous affirmons que la suite \[0 \to \mathcal{F}(W) \to \mathcal{F}(W \times_X U) \oplus \mathcal{F}(W \times_X V) \to \mathcal{F}(W \times_X U \times_X V)\] est exacte et que, localement sur \(W\), tout èlément du dernier groupe se relève dans celui du milieu. D’après le lemme 08GN, les données \((W \times_X U \subset W, V \times_X W \to W)\) forment un carré distingué élémentaire. Nous pouvons donc supposer que \(W = X\), et il suffit d’établir le même fait pour \[0 \to \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U \times_X V)\] Nous avons vu que \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{O}_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{O}_U \oplus j_{V!}\mathcal{O}_V \to \mathcal{O}_X \to 0\] est une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules, d’après le lemme 08GV. L’application du foncteur contravariant \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(- , \mathcal{F})\) donne alors la suite ci-dessus. Cela signifie aussi que l’obstruction au relèvement de \(s \in \mathcal{F}(U \times_X V)\) en un èlément de \(\mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V)\) appartient à \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^1(X, \mathcal{F})\). Par localité de la cohomologie (Cohomologie sur les sites, lemme 01FW) cette obstruction s’annule localement pour la topologie étale sur \(X\), ce qui achève la preuve de (1).

Preuve de (2). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\) dont les termes \(\mathcal{I}^n\) sont des objets injectifs de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\); voir Injectifs, théorème 079P. Alors \(\mathcal{I}^\bullet|U\) est un complexe K-injectif (Cohomologie sur les sites, lemme 08FI). Ainsi \(Rj_{U, *}E|_U\) est représenté par \(j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U\), et de même pour \(V\) et \(U \times_X V\). Le triangle distingué du lemme est donc celui associé, d’après Catégories dérivées, section 014Z, et plus particulièrement le lemme 0152, à la suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0.\] Cette suite est exacte d’après (1).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), et soit \((U \subset X, V \to X)\) un carré distingué élémentaire. Notons \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\) et \(c = f|_{U \times_X V} : U \times_X V \to Y\) les restrictions. Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un triangle distingué \[Rf_*E \to Ra_*(E|_U) \oplus Rb_*(E|_V) \to Rc_*(E|_{U \times_X V}) \to Rf_*E[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_Y)\). Ce triangle est fonctoriel en \(E\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\). Nous pouvons supposer que \(\mathcal{I}^n\) est un objet injectif de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) pour tout \(n\); voir Injectifs, théorème 079P. Alors \(Rf_*E\) est calculé par \(f_*\mathcal{I}^\bullet\). Il en est de même sur \(U\), \(V\) et \(U \cap V\), d’après Cohomologie sur les sites, lemme 08FI. Le triangle distingué du lemme est donc celui associé, d’après Catégories dérivées, section 014Z, et plus particulièrement le lemme 0152, à la suite exacte courte de complexes \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0.\] Pour voir qu’il s’agit d’une suite exacte courte de complexes, raisonnons comme suit. Prenons un objet injectif \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Appliquons \(f_*\) à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to j_{U, *}\mathcal{I}|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}|_{U \times_X V} \to 0\] du lemme 08GW. Comme \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\), on obtient la suite exacte courte \[0 \to f_*\mathcal{I} \to f_*j_{U, *}\mathcal{I}|_U \oplus f_*j_{V, *}\mathcal{I}|_V \to f_*j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}|_{U \times_X V} \to 0\] Pour conclure, il suffit d’observer que \(a_* = f_*j_{U, *}\), et de même pour \(b_*\) et \(c_*\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tous objets \(E\) et \(F\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on a une suite de Mayer–Vietoris \[\xymatrix{ & \ldots \ar[r] & \Ext^{-1}(E_{U \times_X V}, F_{U \times_X V}) \ar[lld] \\ \Hom(E, F) \ar[r] & \Hom(E_U, F_U) \oplus \Hom(E_V, F_V) \ar[r] & \Hom(E_{U \times_X V}, F_{U \times_X V}) }\] où les indices désignent les restrictions aux ouverts correspondants et les \(\Hom\) sont pris dans les catégories dérivées correspondantes.

Démonstration

Le triangle distingué du lemme 08GV donne une suite exacte longue de \(\Hom\) (Catégories dérivées, lemme 0149). On utilise ensuite l’égalité \(\Hom(j_{U!}E|_U, F) = \Hom(E|_U, F|_U)\), qui résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 08FJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on a un triangle distingué \[R\Gamma(X, E) \to R\Gamma(U, E) \oplus R\Gamma(V, E) \to R\Gamma(U \times_X V, E) \to R\Gamma(X, E)[1]\] et, en particulier, une suite exacte longue de cohomologie \[\ldots \to H^n(X, E) \to H^n(U, E) \oplus H^n(V, E) \to H^n(U \times_X V, E) \to H^{n + 1}(X, E) \to \ldots\] La construction du triangle distingué et de la suite exacte longue est fonctorielle en \(E\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\) dont les termes \(\mathcal{I}^n\) sont des objets injectifs de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\); voir Injectifs, théorème 079P. Dans la preuve du lemme 08GW, nous avons obtenu une suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0\] Comme \(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\), le passage aux sections globales donne une suite exacte de complexes \[0 \to \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \oplus \Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U \times_X V, \mathcal{I}^\bullet) \to 0\] Puisque ces complexes représentent \(R\Gamma(X, E)\), \(R\Gamma(U, E)\), \(R\Gamma(V, E)\) et \(R\Gamma(U \times_X V, E)\), on obtient un triangle distingué d’après Catégories dérivées, section 014Z, et plus particulièrement le lemme 0152.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout morphisme étale \(V \to Y\), posons \(W = V \times_X U\) et notons \(j_W : W \to V\) le morphisme de projection. Alors \((j_!E)|_V = j_{W!}(E|_W)\) pour tout \(E\) de \(D(\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \((j_!\mathcal{F})|_V = j_{W!}(\mathcal{F}|_W)\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), laquelle découle immédiatement de la construction des foncteurs \(j_!\) et \(j_{W!}\); voir Modules sur les sites, lemme 03DI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, j : V \to X)\) un carré distingué èlémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(T = |X| \setminus |U|\).

1. Si \(E\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\), alors (a) \(E \to Rj_*(E|_V)\) et (b) \(j_!(E|_V) \to E\) sont des isomorphismes.

2. Si \(F\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_V)\) à support dans \(j^{-1}T\), alors (a) \(F \to (j_!F)|_V\), (b) \((Rj_*F)|_V \to F\) et (c) \(j_!F \to Rj_*F\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\). Alors \(E|_U = 0\) et \(E|_{U \times_X V} = 0\), puisque \(T\) ne rencontre pas \(U\) et que \(j^{-1}T\) ne rencontre pas \(U \times_X V\). L’assertion (1)(a) résulte donc du lemme 08GW. De la même manière, (1)(b) résulte du lemme 08GV.

Soit \(F\) un objet de \(D(\mathcal{O}_V)\) dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(j^{-1}T\). D’après le lemme 08GE, on a \((Rj_*F)|_U = Rj_{W, *}(F|_W) = 0\), puisque \(F|_W = 0\) par hypothèse. De même, \((j_!F)|_U = j_{W!}(F|_W) = 0\) d’après le lemme 08HA. Ainsi \(j_!F\) et \(Rj_*F\) sont à support dans \(T\), tandis que \((j_!F)|_V\) et \((Rj_*F)|_V\) sont à support dans \(j^{-1}(T)\). Pour vérifier que les morphismes (2)(a), (b) et (c) sont des isomorphismes dans la catégorie dérivée, il suffit de vérifier qu’ils induisent des isomorphismes sur les fibres des faisceaux de cohomologie aux points géométriques de \(T\) et de \(j^{-1}(T)\), d’après Propriétés des espaces, théorème 04K5. Nous pouvons le faire après avoir remplacé \(X\) par \(V\), \(U\) par \(U \times_X V\), \(V\) par \(V \times_X V\) et \(F\) par \(F|_{V \times_X V}\) (restriction suivant la première projection); voir les lemmes 08GE, 08HA et 08GN. Comme \(V \times_X V \to V\) admet une section, cela ramène (2) au cas où \(j : V \to X\) admet une section.

Supposons que \(j\) admette une section \(\sigma : X \to V\). Posons \(V' = \sigma(X)\); c’est un sous-espace ouvert de \(V\). Posons aussi \(U' = j^{-1}(U)\); c’est un autre sous-espace ouvert de \(V\). Alors \((U' \subset V, V' \to V)\) est un carré distingué èlémentaire. Comme \(F\) est à support dans \(j^{-1}(T)\), on a \(F|_{U'} = 0\) et \(F|_{V' \cap U'} = 0\). Notons \(j' : V' \to V\) l’immersion ouverte et \(j_{V'} : V' \to X\) le composé \(V' \to V \to X\), qui est l’inverse de \(\sigma\). Posons \(F' = \sigma^*F\). Les triangles distingués des lemmes 08GV et 08GW montrent que \(F = j'_!(F|_{V'})\) et \(F = Rj'_*(F|_{V'})\). Il s’ensuit que \(j_!F = j_!j'_!(F|_{V'}) = j_{V'!}F = F'\), car \(j_{V'} : V' \to X\) est un isomorphisme inverse de \(\sigma\). De même, \(Rj_*F = Rj_*Rj'_*F = Rj_{V', *}F = F'\). Cela prouve (2)(c). Pour prouver (2)(a) et (2)(b), il suffit de montrer que \(F = F'|_V\). C’est clair, car \(F\) et \(F'|_V\) ont tous deux pour restriction zéro sur \(U'\) et sur \(U' \cap V'\), et le même objet sur \(V'\).

On peut recoller des complexes !

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons donnés

1. un objet \(A\) de \(D(\mathcal{O}_U)\),

2. un objet \(B\) de \(D(\mathcal{O}_V)\), et

3. un isomorphisme \(c : A|_{U \times_X V} \to B|_{U \times_X V}\).

Alors il existe un objet \(F\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) et des isomorphismes \(f : F|_U \to A\) et \(g : F|_V \to B\) tels que \(c = g|_{U \times_X V} \circ f^{-1}|_{U \times_X V}\). En outre, soient

1. un objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\),

2. un morphisme \(a : A \to E|_U\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\),

3. un morphisme \(b : B \to E|_V\) dans \(D(\mathcal{O}_V)\),

tels que \[a|_{U \times_X V} = b|_{U \times_X V} \circ c.\] Il existe alors un morphisme \(F \to E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(U\) est \(a \circ f\) et la restriction à \(V\) est \(b \circ g\).

Démonstration

Notons \(j_U\), \(j_V\) et \(j_{U \times_X V}\) les morphismes correspondants vers \(X\). Choisissons un triangle distingué \[F \to Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}) \to F[1]\] Ici, le morphisme \(Rj_{V, *}B \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V})\) est le morphisme naturel. Le morphisme \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V})\) est le composé de \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \times_X V, *}(A|_{U \times_X V})\) avec \(Rj_{U \times_X V, *}c\). En restreignant à \(U\), on obtient \[F|_U \to A \oplus (Rj_{V, *}B)|_U \to (Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}))|_U \to F|_U[1]\] Notons \(j : U \times_X V \to U\). La compatibilité entre restriction et image directe totale (lemme 08GE) montre que \((Rj_{V, *}B)|_U\) et \((Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}))|_U\) sont tous deux canoniquement isomorphes à \(Rj_*(B|_{U \times_X V})\). Le second morphisme de la dernière formule affichée admet donc une section, d’où l’on conclut que \(F|_U \to A\) est un isomorphisme.

Pour voir que \(F|_V \to B\) est un isomorphisme, nous emploierons l’astuce suivante. Choisissons un triangle distingué \[F|_V \to B \to B' \to F[1]|_V\] dans \(D(\mathcal{O}_V)\). Puisque \(F|_U \to A\) est un isomorphisme et que l’on dispose de l’isomorphisme \(c : A|_{U \times_X V} \to B|_{U \times_X V}\), la restriction de \(F|_V \to B\) à \(U \times_X V\) est un isomorphisme. Ainsi \(B'\) est à support dans \(j_V^{-1}(T)\), où \(T = |X| \setminus |U|\). D’autre part, on a un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ F \ar[r] \ar[d] & Rj_{U, *}F|_U \oplus Rj_{V, *}F|_V \ar[r] \ar[d] & Rj_{U \times_X V, *}F|_{U \times_X V} \ar[r] \ar[d] & F[1] \ar[d] \\ F \ar[r] & Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \ar[r] & Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}) \ar[r] & F[1] }\] Tous les morphismes verticaux de ce diagramme, sauf peut-être \(Rj_{V, *}F|_V \to Rj_{V, *}B\), sont des isomorphismes; ce dernier en est donc aussi un (Catégories dérivées, lemme 014A). Il en résulte que \(Rj_{V, *}B' = 0\), puis que \(B' = 0\) d’après le lemme 08GG.

L’existence du morphisme \(F \to E\) résulte de la suite de Mayer–Vietoris pour \(\Hom\); voir le lemme 08H9.

Le cohérateur

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le cohérateur est un foncteur \[Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] adjoint à droite au foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Il existe pour tout espace algébrique \(X\) et, de plus, le morphisme d’adjonction \(Q_X(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\); voir Propriétés des espaces, proposition 077V. Comme \(Q_X\) est exact à gauche (en tant qu’adjoint à droite), on peut considérer son extension dérivée à droite \[RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_X)).\] Puisque \(Q_X\) est adjoint à droite au foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), le foncteur \(RQ_X\) est adjoint à droite au foncteur canonique \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\), d’après Catégories dérivées, lemme 09T5.

Dans cette section, nous étudierons le foncteur \(RQ_X\). Dans la section 0CR3, nous étudierons l’adjoint à droite, étroitement apparenté, du foncteur d’inclusion \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\), lorsqu’il existe.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f_*\) définit un foncteur dérivé \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{f_*} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] est commutatif.

Démonstration

Le foncteur \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est exact; voir Cohomologie des espaces, lemme 073H. Ainsi \(f_*\) définit un foncteur dérivé \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) en appliquant simplement \(f_*\) à un complexe représentant l’objet considéré; voir Catégories dérivées, lemme 015F. Pour tout complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, on dispose d’un morphisme canonique \(f_*\mathcal{F}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}^\bullet\). Pour achever la preuve, montrons que c’est un quasi-isomorphisme lorsque chaque terme \(\mathcal{F}^n\) du complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) est quasi-cohérent. L’assertion est locale sur \(Y\) pour la topologie étale; nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. Tout morphisme affine étant représentable, la compatibilité de la remarque 08GH nous ramène au cas des schémas. Ce cas est traité dans Catégories dérivées des schémas, lemme 08D7.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) quasi-compact, quasi-séparé et plat. Si l’on note \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] le foncteur dérivé droit de \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) alors \(RQ_Y \circ Rf_* = \Phi \circ RQ_X\).

Démonstration

Nous allons le prouver en montrant que \(RQ_Y \circ Rf_*\) et \(\Phi \circ RQ_X\) sont adjoints à droite au même foncteur \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Comme \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(f_*\) préserve la quasi-cohérence; voir Morphismes d’espaces, lemme 03M9. Rappelons que \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck (Propriétés des espaces, proposition 077V). Ainsi tout \(K\) de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) peut être représenté par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\); voir Injectifs, théorème 079P. On peut alors poser \(\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\).

Comme \(f\) est plat, le foncteur \(f^*\) est exact. Il définit donc les foncteurs \(f^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) et \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Le foncteur \(f^* = Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) est adjoint à gauche à \(Rf_* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Y)\), voir Cohomologie sur les sites, lemme 07A6. De même, le foncteur \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) est adjoint à gauche à \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\), d’après Catégories dérivées, lemme 09T5.

Soient \(A\) un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) et \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors \[\begin{align*} \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, RQ_Y(Rf_*E)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(A, Rf_*E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(f^*A, E) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(f^*A, RQ_X(E)) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, \Phi(RQ_X(E))) \end{align*}\] Cela donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique affine sur \(S\). Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Alors

1. \(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) est le foncteur qui associe à \(\mathcal{F}\) le \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(\Gamma(X, \mathcal{F})\),

2. \(RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) est le foncteur qui associe à \(E\) le complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents associé à l’objet \(R\Gamma(X, E)\) de \(D(A)\),

3. la restriction de \(RQ_X\) à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) définit un quasi-inverse de (08F1).

Démonstration

Soit \(X_0 = \Spec(A)\) le schéma affine qui représente \(X\). Rappelons qu’il existe un morphisme de sites annelés \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\) qui induit des équivalences \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar@<1ex>[r]^{{\epsilon_*}} & \QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@<1ex>[l]^{{\epsilon^*}} }\] voir le lemme 071Q. Par unicité des foncteurs adjoints, on a donc \(Q_X = \epsilon^* \circ Q_{X_0} \circ \epsilon_*\). L’assertion (1) résulte alors de la description de \(Q_{X_0}\) dans Catégories dérivées des schémas, lemme 08D9, et de l’égalité \(\Gamma(X_0, \epsilon_*\mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{F})\). L’assertion (2) résulte de (1) et de l’exactitude du foncteur des \(A\)-modules vers les \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. La troisième assertion découle alors du résultat pour les schémas (Catégories dérivées des schémas, lemme 08D9) et du lemme 071Q.

Nous établissons maintenant un critère assurant que le foncteur \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Supposons que, pour tout morphisme étale \(j : V \to W\), où \(W \subset X\) est ouvert quasi-compact et \(V\) affine, le foncteur dérivé droit \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_W))\] du foncteur exact à gauche \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_V) \to \QCoh(\mathcal{O}_W)\) s’inscrive dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_V)) \ar[d]_\Phi \ar[r]_{i_V} & D_\QCoh(\mathcal{O}_V) \ar[d]^{Rj_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_W)) \ar[r]^{i_W} & D_\QCoh(\mathcal{O}_W) }\] Alors le foncteur (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence, dont \(RQ_X\) est un quasi-inverse.

Démonstration

Nous utilisons d’abord le principe de récurrence pour montrer que \(i_X\) est pleinement fidèle. Plus précisément, nous appliquerons le lemme 09IT. Soit \((U \subset W, V \to W)\) un carré distingué èlémentaire, avec \(V\) affine et \(U,W\) ouverts quasi-compacts de \(X\). Supposons \(i_U\) pleinement fidèle. Il faut montrer que \(i_W\) est pleinement fidèle. Nous pouvons remplacer \(X\) par \(W\), c’est-à-dire supposer que \(W = X\); cette opération ne sert qu’à simplifier les notations et préserve la condition de l’énoncé.

Soient \(A\) et \(B\) des objets de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Nous voulons montrer que \[\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B))\] est bijectif. Posons \(T = |X| \setminus |U|\).

Supposons d’abord que \(i_X(B)\) soit à support dans \(T\). Dans ce cas, le morphisme \[i_X(B) \to Rj_{V, *}(i_X(B)|_V) = Rj_{V, *}(i_V(B|_V))\] est un quasi-isomorphisme (lemme 08GG). Par hypothèse, on a dans \(D(\mathcal{O}_X)\) un isomorphisme \(i_X(\Phi(B|_V)) \to Rj_{V, *}(i_V(B|_V))\). En outre, \(\Phi\) et \({-}|_V\) sont des foncteurs adjoints entre les catégories dérivées de modules quasi-cohérents (Catégories dérivées, lemme 09T5). Le morphisme d’adjonction \(B \to \Phi(B|_V)\) devient un isomorphisme après application de \(i_X\); c’est donc un isomorphisme dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Par conséquent, \[\begin{align*} \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) & = \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, \Phi(B|_V)) \\ & = \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_V))}(A|_V, B|_V) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_V)}(i_V(A|_V), i_V(B|_V)) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), Rj_{V, *}(i_V(B|_V))) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B)) \end{align*}\] comme voulu. Nous avons utilisé ici le fait que \(i_V\) est pleinement fidèle (lemme 08H0).

Dans le cas général, choisissons un complexe quelconque \(\mathcal{B}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents qui représente \(B\), puis un quasi-isomorphisme quelconque \(s : \mathcal{B}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) de complexes de modules quasi-cohérents sur \(U\). Comme \(j_U : U \to X\) est quasi-compact et quasi-séparé, le foncteur \(j_{U, *}\) envoie les modules quasi-cohérents sur des modules quasi-cohérents (Morphismes d’espaces, lemme 03M9). On dispose donc d’un morphisme canonique \(\mathcal{B}^\bullet \to j_{U, *}(\mathcal{B}^\bullet|_U) \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) de complexes de modules quasi-cohérents sur \(X\). Posons \(B'' = j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) et choisissons un triangle distingué \[B \to B'' \to B' \to B[1]\] dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Comme le premier morphisme du triangle se restreint en un isomorphisme sur \(U\), l’objet \(B'\) est à support dans \(T\). Dans le diagramme \[\xymatrix{ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'[-1]) \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')[-1]) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B)) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'') \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B'')) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B') \ar[r] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')) }\] les colonnes sont exactes et les flèches horizontales supérieure et inférieure sont bijectives. Choisissons enfin un complexe \(\mathcal{A}^\bullet\) de modules quasi-cohérents représentant \(A\).

Soit \(\alpha : i_X(A) \to i_X(B)\) un morphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Puisque \(i_U\) est pleinement fidèle, la restriction \(\alpha|_U\) provient d’un morphisme de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\). On peut donc choisir \(s : \mathcal{B}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) comme ci-dessus de telle sorte que \(\alpha|_U\) soit représenté par un véritable morphisme de complexes \(\mathcal{A}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\). Celui-ci correspond à un morphisme de complexes \(\mathcal{A} \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\). Autrement dit, l’image de \(\alpha\) dans \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B''))\) provient d’un élément de \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'')\). Une chasse au diagramme montre alors que \(\alpha\) provient d’un morphisme \(A \to B\) dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\).

Supposons enfin que \(a : A \to B\) soit un morphisme de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) qui devienne nul dans \(D(\mathcal{O}_X)\). En choisissant convenablement \(\mathcal{B}^\bullet\), nous pouvons supposer que \(a\) est représenté par un morphisme de complexes \(a^\bullet : \mathcal{A}^\bullet \to \mathcal{B}^\bullet\). Comme \(i_U\) est pleinement fidèle, la restriction \(a^\bullet|_U\) est nulle dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\). On peut donc choisir \(s\) de sorte que \(s \circ a^\bullet|_U : \mathcal{A}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) soit homotope à zéro. En appliquant le foncteur \(j_{U, *}\), on en déduit que \(\mathcal{A}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) est homotope à zéro. Ainsi \(a\) s’envoie sur zéro dans \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'')\). Nous pouvons donc supposer que \(a\) est l’image d’un èlément \(b \in \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'[-1])\). L’image de \(b\) dans \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')[-1])\) provient d’un \(\gamma \in \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(A, B''[-1])\), puisque \(a\) s’envoie sur zéro dans le groupe de droite. Les flèches horizontales étant surjectives, comme nous l’avons vu plus haut, \(\gamma\) provient d’un \(c\) de \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B''[-1])\) et il en résulte que \(a = 0\), comme voulu.

Nous savons maintenant que \(i_X\) est pleinement fidèle pour l’espace \(X\) initial. Comme \(RQ_X\) est son adjoint à droite, on a \(RQ_X \circ i_X = \text{id}\) (Catégories, lemme 07RB). Pour achever la preuve, montrons que, pour tout \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le morphisme \(i_X(RQ_X(E)) \to E\) est un isomorphisme. Choisissons un triangle distingué \[i_X(RQ_X(E)) \to E \to E' \to i_X(RQ_X(E))[1]\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Un argument formel fondé sur ce qui précède montre que \(i_X(RQ_X(E')) = 0\). Il suffit donc de prouver que, pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), la condition \(i_X(RQ_X(E)) = 0\) entraîne \(E = 0\). Considérons un morphisme étale \(j : V \to X\), avec \(V\) affine. D’après les lemmes 08H0 et 08GZ, ainsi que notre hypothèse, on a \[Rj_*(E|_V) = Rj_*(i_V(RQ_V(E|_V))) = i_X(\Phi(RQ_V(E|_V))) = i_X(RQ_X(Rj_*(E|_V)))\] Choisissons un triangle distingué \[E \to Rj_*(E|_V) \to E' \to E[1]\] En appliquant \(RQ_X\), on obtient un triangle distingué \[0 \to RQ_X(Rj_*(E|_V)) \to RQ_X(E') \to 0[1]\] c’est-à-dire que le morphisme du milieu est un isomorphisme. Avec la suite d’égalités ci-dessus, on voit que notre premier triangle distingué devient un triangle distingué \[E \to i_X(RQ_X(E')) \to E' \to E[1]\] où le morphisme du milieu est le morphisme d’adjonction. Or le composé \(E \to E'\) est nul; par adjonction, \(E \to i_X(RQ_X(E'))\) est donc nul. Ce morphisme étant isomorphe au morphisme \(E \to Rj_*(E|_V)\) adjoint à \(\text{id} : E|_V \to E|_V\), on en déduit que \(E|_V\) est nul. Comme cela vaut pour tout \(V\) affine et étale sur \(X\), on conclut que \(E\) est nul, comme voulu.

Proposition

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact sur \(S\) dont la diagonale sur \(\mathbf{Z}\) est affine (au sens de Propriétés des espaces, définition 03BS). Alors le foncteur (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence, dont \(RQ_X\) est un quasi-inverse.

Démonstration

Soit \(V \to W\) un morphisme étale, avec \(V\) affine et \(W\) un sous-espace ouvert quasi-compact de \(X\). Le morphisme \(V \to W\) est affine, car la diagonale de \(W\) sur \(\mathbf{Z}\) est affine et \(V\) est affine (Morphismes d’espaces, lemme 08GB). Le lemme 08GY assure alors que l’hypothèse du lemme 09TG est satisfaite, ce qui permet de conclure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(X\) et \(Y\) quasi-compacts et à diagonale affine sur \(\mathbf{Z}\) (au sens de Propriétés des espaces, définition 03BS). Si l’on note \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] le foncteur dérivé droit de \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) alors le diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_\Phi \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] est commutatif.

Démonstration

Les flèches horizontales du diagramme sont des équivalences de catégories d’après la proposition 08H1. Nous pouvons donc identifier ces catégories, et faire de même pour tout autre espace algébrique quasi-compact à diagonale affine. L’énoncé du lemme affirme alors que le morphisme canonique \(\Phi(K) \to Rf_*(K)\) est un isomorphisme pour tout \(K\) de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Remarquons que, si \(K_1 \to K_2 \to K_3 \to K_1[1]\) est un triangle distingué dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) et que l’assertion est vraie pour deux des trois objets, elle est vraie pour le troisième.

Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\) l’ensemble des objets quasi-compacts à diagonale affine. Pour \(U \in \mathcal{B}\) et tout morphisme \(g : U \to Z\), où \(Z\) est un espace algébrique quasi-compact sur \(S\) à diagonale affine, notons \[\Phi_g : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Z))\] le foncteur dérivé droit de \(g_*\). Définissons \(P(U)\) comme l’assertion : “pour tout \(K\) de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) et tout \(g : U \to Z\) comme ci-dessus, le morphisme \(\Phi_g(K) \to Rg_*K\) est un isomorphisme”. D’après la remarque 08GR, les conditions (1), (2) et (3)(a) du lemme 08GQ sont satisfaites; il reste à prouver (3)(b) et (4).

Vérifions la condition (3)(b). Soit \(U\) un schéma affine étale sur \(X\) et soit \(g : U \to Z\) comme ci-dessus. Puisque la diagonale de \(Z\) est affine, le morphisme \(g : U \to Z\) est affine (Morphismes d’espaces, lemme 08GB). Le lemme 08GY montre donc que \(U\) vérifie \(P\).

Vérifions la condition (4). Soit \((U \subset W, V \to W)\) un carré distingué èlémentaire de \(X_{spaces, \etale}\), avec \(U,W,V \in \mathcal{B}\) et \(V\) affine. Supposons que \(U\), \(V\) et \(U \times_W V\) vérifient \(P\). Il faut montrer que \(W\) vérifie \(P\). Soit \(g : W \to Z\) un morphisme vers un espace algébrique quasi-compact à diagonale affine, et soit \(K\) un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_W))\). Considérons le triangle distingué \[K \to Rj_{U, *}K|_U \oplus Rj_{V, *}K|_V \to Rj_{U \times_W V, *}K|_{U \times_W V} \to K[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_W)\). Par la propriété des deux sur trois rappelée ci-dessus, il suffit de montrer que \(\Phi_g(Rj_{U, *}K|_U) \to Rg_*(Rj_{U, *}K|_U)\) est un isomorphisme, et de même pour \(V\) et \(U \times_W V\). C’est l’objet du paragraphe suivant.

Soit \(j : U \to W\) un morphisme de \(X_{spaces, \etale}\), avec \(U,W \in \mathcal{B}\) et \(U\) vérifiant \(P\). Soit \(g : W \to Z\) un morphisme vers un espace algébrique quasi-compact à diagonale affine. Pour achever la preuve, il faut montrer que \(\Phi_g(Rj_*K) \to Rg_*(Rj_*K)\) est un isomorphisme pour tout \(K\) de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\). Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) représentant \(K\). En appliquant \(P(U)\) à \(j\), on voit que \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rj_*K\). Comme \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet l’adjoint à gauche exact \(j^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\), le complexe \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif dans \(\QCoh(\mathcal{O}_W)\); voir Catégories dérivées, lemme 08BJ. Ainsi \(\Phi_g(Rj_*K)\) est représenté par \(g_*j_*\mathcal{I}^\bullet = (g \circ j)_*\mathcal{I}^\bullet\). En appliquant \(P(U)\) à \(g \circ j\), on voit que ce complexe représente \(R_{g \circ j, *}(K) = Rg_*(Rj_*K)\), ce qui achève la preuve.

Le cohérateur pour les espaces noethériens

Il nous faut encore quelques résultats sur les modules injectifs pour traiter le cas d’un espace algébrique noethérien.

Lemme

Soit \(S\) un schéma affine noethérien. Tout objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) est une limite inductive filtrante \(\colim_i \mathcal{F}_i\) de faisceaux quasi-cohérents de la forme \[\mathcal{F}_i = (Z_i \to S)_*\mathcal{G}_i\] où \(Z_i\) est le spectre d’un anneau artinien et \(\mathcal{G}_i\) un module cohérent sur \(Z_i\).

Démonstration

Posons \(S = \Spec(A)\). Soit \(\mathcal{J}\) un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\). Comme \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) est équivalente à la catégorie des \(A\)-modules, on a \(\mathcal{J}=\widetilde{J}\) pour un \(A\)-module injectif \(J\). D’après Complexes dualisants, proposition 08YA on peut écrire \(J = \bigoplus E_\alpha\), avec \(E_\alpha\) indécomposable, donc isomorphe à l’enveloppe injective du corps résiduel en un point. Ainsi (puisqu’une somme disjointe finie de schémas artiniens est artinienne), on peut supposer que \(J\) est l’enveloppe injective de \(\kappa(\mathfrak p)\) pour un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\). Alors \(J = \bigcup J[\mathfrak p^n]\), où \(J[\mathfrak p^n]\) est l’enveloppe injective de \(\kappa(\mathfrak p)\) sur \(A_\mathfrak/\mathfrak p^nA_\mathfrak p\); voir Complexes dualisants, lemme 08Z4. Ainsi \(\widetilde{J}\) est la limite inductive des faisceaux \((Z_n \to X)_*\mathcal{G}_n\), où \(Z_n = \Spec(A_\mathfrak p/\mathfrak p^nA_\mathfrak p)\) et \(\mathfrak G_n\) est le faisceau cohérent associé au \(A_\mathfrak/\mathfrak p^nA_\mathfrak p\)-module fini \(J[\mathfrak p^n]\). La finitude résulte de Complexes dualisants, lemme 08YX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma affine et soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Tout objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est facteur direct d’une limite inductive filtrante \(\colim_i \mathcal{F}_i\) de faisceaux quasi-cohérents de la forme \[\mathcal{F}_i = (Z_i \to X)_*\mathcal{G}_i\] où \(Z_i\) est le spectre d’un anneau artinien et \(\mathcal{G}_i\) un module cohérent sur \(Z_i\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(j : U \to X\) (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Alors \(U\) est un schéma affine noethérien. Choisissons un objet injectif \(\mathcal{J}'\) de \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) et une injection \(\mathcal{J}|_U \to \mathcal{J}'\). Le morphisme \[\mathcal{J} \to j_*\mathcal{J}'\] est alors injectif dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\); il identifie donc \(\mathcal{J}\) à un facteur direct de \(j_*\mathcal{J}'\). Le résultat découle donc du résultat correspondant pour \(\mathcal{J}'\), démontré dans le lemme 09TI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat, quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(\mathcal{J}\) est un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), alors \(f_*\mathcal{J}\) est un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Puisque \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, le foncteur \(f_*\) transforme les faisceaux quasi-cohérents en faisceaux quasi-cohérents (Morphismes d’espaces, lemme 03M9). Le foncteur \(f^*\) est un adjoint à gauche de \(f_*\) qui transforme les injections en injections. Le résultat découle donc d’Homologie, lemme 015Z.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Si \(\mathcal{J}\) est un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), alors

1. \(H^p(U, \mathcal{J}|_U) = 0\) pour \(p > 0\) et pour tout espace algébrique \(U\) quasi-compact et quasi-séparé, étale sur \(X\);

2. pour tout morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(Y\) quasi-séparé, on a \(R^pf_*\mathcal{J} = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Démonstration de (1). Écrivons \(\mathcal{J}\) comme facteur direct de \(\colim \mathcal{F}_i\), avec \(\mathcal{F}_i = (Z_i \to X)_*\mathcal{G}_i\), comme dans le lemme 09TJ. Il suffit manifestement de démontrer l’annulation pour \(\colim \mathcal{F}_i\). Comme l’image inverse commute aux limites inductives et que \(U\) est quasi-compact et quasi-séparé, il suffit de démontrer \(H^p(U, \mathcal{F}_i|_U) = 0\) pour \(p > 0\); voir Cohomologie des espaces, lemme 073E. Observons que \(Z_i \to X\) est un morphisme affine; voir Morphismes d’espaces, lemme 09TF. Par suite, \[\mathcal{F}_i|_U = (Z_i \times_X U \to U)_*\mathcal{G}'_i = R(Z_i \times_X U \to U)_*\mathcal{G}'_i\] où \(\mathcal{G}'_i\) est l’image inverse de \(\mathcal{G}_i\) sur \(Z_i \times_X U\); voir Cohomologie des espaces, lemme 07U8. Comme \(Z_i \times_X U\) est affine, on en conclut que \(\mathcal{G}'_i\) n’a pas de cohomologie supérieure sur \(Z_i \times_X U\). La suite spectrale de Leray donne le même résultat pour \(\mathcal{F}_i|_U\) (Cohomologie sur les sites, lemme 0733).

Démonstration de (2). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), et soit \(V \to Y\) un morphisme étale avec \(V\) affine. Alors \(V \times_Y X \to X\) est un morphisme étale et \(V \times_Y X\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé, étale sur \(X\) (détails omis). Par (1), \(H^p(V \times_Y X, \mathcal{J})\) est donc nul. Comme \(R^pf_*\mathcal{J}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(V \mapsto H^p(V \times_Y X, \mathcal{J})\), la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques noethériens sur \(S\). Le foncteur \(f_*\) sur les faisceaux quasi-cohérents admet alors une extension dérivée à droite \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{\Phi} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] soit commutatif.

Démonstration

Comme \(X\) et \(Y\) sont noethériens, le morphisme est quasi-compact et quasi-séparé (voir Morphismes d’espaces, lemme 073B). Ainsi \(f_*\) préserve la quasi-cohérence; voir Morphismes d’espaces, lemme 03M9. Soit maintenant \(K\) un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Comme \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck (Propriétés des espaces, proposition 077V), on peut représenter \(K\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) tel que chaque \(\mathcal{I}^n\) soit un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\); voir Injectifs, théorème 079P. On définit alors le foncteur \(\Phi\) en posant \[\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\] où le membre de droite est considéré comme un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\). Pour achever la preuve du lemme, il suffit de montrer que le morphisme canonique \[f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow Rf_*\mathcal{I}^\bullet\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_Y)\). Pour cela, il suffit de montrer qu’il induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie. Fixons \(m \in \mathbf{Z}\) et soit \(N = N(X, Y, f)\) comme dans le lemme 08FA. Considérons la suite exacte courte \[0 \to \sigma_{\geq m - N - 1}\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \to \sigma_{\leq m - N - 2}\mathcal{I}^\bullet \to 0\] de complexes de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). D’après le lemme 08FA, les faisceaux de cohomologie de \(Rf_*\sigma_{\leq m - N - 2}\mathcal{I}^\bullet\) sont nuls en degrés \(\geq m - 1\). On en déduit que \(R^mf_*\mathcal{I}^\bullet\) est isomorphe à \(R^mf_*\sigma_{\geq m - N - 1}\mathcal{I}^\bullet\). Autrement dit, on peut supposer que \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe borné inférieurement d’objets injectifs de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Ce cas résulte du lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E), l’annulation requise étant fournie par le lemme 09TL.

Proposition

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Alors le foncteur (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence dont un quasi-inverse est donné par \(RQ_X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 09TM et 09TG.

Complexes pseudo-cohérents et parfaits

Dans cette section, nous étudions les notions générales définies dans Cohomologie sur les sites, sections 08FK, 08FS, 08FY, et 08G4 pour le site étale d’un espace algébrique. Nous les comparons en particulier aux notions correspondantes pour les schémas.

Comparons tout d’abord la notion de complexe pseudo-cohérent sur un schéma et sur le petit site étale qui lui est associé.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est de type fini comme \(\mathcal{O}_X\)-module;

2. \(\epsilon^*\mathcal{F}\) est de type fini comme \(\mathcal{O}_\etale\)-module sur le petit site étale de \(X\).

Ici \(\epsilon\) est comme dans (08H7).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est un fait général; voir Modules sur les sites, lemme 03DO. Supposons (2). Il existe par hypothèse une famille couvrante \(\{f_i : X_i \to X\}\) pour la topologie étale telle que \(\epsilon^*\mathcal{F}|_{(X_i)_\etale}\) soit engendré par un nombre fini de sections. Soit \(x \in X\). Nous allons montrer que \(\mathcal{F}\) est engendré par un nombre fini de sections dans un voisinage de \(x\). Choisissons \(i\) tel que \(x\) appartienne à l’image de \(X_i \to X\) et posons \(X' = X_i\). Soient \(s_1, \ldots, s_n \in \Gamma(X', \epsilon^*\mathcal{F}|_{X'_\etale})\) des sections génératrices. Comme \(\epsilon^*\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{F} \otimes_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_\etale\) on peut trouver un morphisme étale \(X'' \to X'\) tel que \(x\) appartienne à l’image de \(X' \to X\) et que \(s_i|_{X''} = \sum s_{ij} \otimes a_{ij}\), pour des sections \(s_{ij} \in \epsilon^{-1}\mathcal{F}(X'')\) et \(a_{ij} \in \mathcal{O}_\etale(X'')\). Notons \(U \subset X\) l’image de \(X'' \to X\). C’est un sous-schéma ouvert, car \(f'' : X'' \to X\) est étale (Morphismes, lemme 03WT). Quitte à rétrécir encore \(X''\), on peut supposer que les \(s_{ij}\) proviennent d’éléments \(t_{ij} \in \mathcal{F}(U)\), d’après la construction du foncteur image inverse \(\epsilon^{-1}\). Nous affirmons que les \(t_{ij}\) engendrent \(\mathcal{F}|_U\), ce qui achève la preuve du lemme. En effet, l’image inverse sur \(X''\) du morphisme correspondant \(\mathcal{O}_U^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_U\) est surjective. Comme \(f'' : X'' \to U\) est un morphisme plat surjectif de schémas, on en déduit que \(\mathcal{O}_U^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_U\) est surjectif en passant aux fibres et en utilisant le fait que \(\mathcal{O}_{U, f''(z)} \to \mathcal{O}_{X'', z}\) est fidèlement plat pour tout \(z \in X''\).

Dans la situation ci-dessus, le morphisme de sites \(\epsilon\) est plat et définit donc une image inverse sur les complexes de modules.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent;

2. \(\epsilon^*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent sur le petit site étale de \(X\).

Ici \(\epsilon\) est comme dans (08H7).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est un fait général; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08H4. Supposons \(\epsilon^*E\) \(m\)-pseudo-cohérent. Nous utiliserons sans plus le mentionner le fait que \(\epsilon^*\) est un foncteur exact et que, par suite, \[\epsilon^*H^i(E) = H^i(\epsilon^*E).\] Pour montrer que \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent, on peut travailler localement sur \(X\) et donc supposer \(X\) quasi-compact (par exemple affine). Comme \(X\) est quasi-compact, toute famille couvrante \(\{U_i \to X\}\) pour la topologie étale admet un raffinement fini. Ainsi \(\epsilon^*E\) est un objet de \(D^{-}(\mathcal{O}_\etale)\); voir les commentaires qui suivent Cohomologie sur les sites, définition 08FT. D’après le lemme 08H8, il s’ensuit que \(E\) est un objet de \(D^-(\mathcal{O}_X)\).

Soit \(n \in \mathbf{Z}\) le plus grand entier tel que \(H^n(E)\) soit non nul; c’est aussi le plus grand entier tel que \(H^n(\epsilon^*E)\) soit non nul. Nous démontrerons le lemme par récurrence sur \(n-m\). Si \(n < m\), le lemme est clair. Si \(n \geq m\), alors \(H^n(\epsilon^*E)\) est un \(\mathcal{O}_\etale\)-module de type fini; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08FX. Le \(\mathcal{O}_X\)-module \(H^n(E)\) est donc de type fini d’après le lemme 08HD. En remplaçant \(X\) par les membres d’un recouvrement ouvert, on peut supposer qu’il existe une surjection \(\mathcal{O}_X^{\oplus t} \to H^n(E)\). Localement sur \(X\), on peut la relever en un morphisme de complexes \(\alpha : \mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n] \to E\) (détails omis). Choisissons un triangle distingué \[\mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n] \to E \to C \to \mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n + 1]\] La cohomologie de \(C\) est alors nulle en degrés \(\geq n\). D’autre part, le complexe \(\epsilon^*C\) est \(m\)-pseudo-cohérent; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08FV. Par l’hypothèse de récurrence, \(C\) est donc \(m\)-pseudo-cohérent. Une nouvelle application de Cohomologie sur les sites, lemme 08FV, permet de conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors :

1. \(E\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) si et seulement si \(\epsilon^*E\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\);

2. \(E\) est de Tor-dimension finie si et seulement si \(\epsilon^*E\) est de Tor-dimension finie.

Ici \(\epsilon\) est comme dans (08H7).

Démonstration

L’implication directe résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 08H5. Réciproquement, supposons \(\epsilon^*E\) de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Comme \(\epsilon\) est un morphisme plat de sites annelés (lemme 08H8), on a \[\epsilon^*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = \epsilon^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_\etale} \epsilon^*\mathcal{F}\] L’annulation supposée des faisceaux de cohomologie du membre de droite entraîne donc, par le lemme 08H8, l’annulation voulue des faisceaux de cohomologie de \(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas et soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors :

1. \(E\), considéré comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\), est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) si et seulement si \(\epsilon^*E\), considéré comme objet de \(D(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})\), est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\);

2. \(E\), considéré comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\), est localement de Tor-dimension finie si et seulement si \(\epsilon^*E\), considéré comme objet de \(D(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})\), est localement de Tor-dimension finie.

Ici \(\epsilon\) est comme dans (08H7).

Démonstration

L’implication directe de (1) résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 08H5. Soit \(x \in X\) un point et soit \(\overline{x}\) un point géométrique au-dessus de \(x\). Posons \(y=f(x)\) et notons \(\overline{y}\) le point géométrique de \(Y\) provenant de \(\overline{x}\). Alors \((f^{-1}\mathcal{O}_Y)_x = \mathcal{O}_{Y,y}\) (Faisceaux, lemme 008H) et \[(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{Y_\etale, \overline{y}} = \mathcal{O}_{Y, y}^{sh}\] est le hensélisé strict (d’après Cohomologie étale, lemmes 03Q1 et 04HX). Comme la fibre de \(\mathcal{O}_{X_\etale}\) en \(X\) est \(\mathcal{O}_{X,x}^{sh}\), on obtient \[(\epsilon^*E)_{\overline{x}} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\] par transitivité des images inverses. Si \(\epsilon^*E\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) comme complexe de \(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-modules, alors \((\epsilon^*E)_{\overline{x}}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) comme complexe de \(\mathcal{O}_{Y,y}^{sh}\)-modules (car le passage aux fibres est une image inverse, d’après le lemme cité ci-dessus). Par Autour de la platitude, lemme 0DK0, la Tor-amplitude de \((\epsilon^*E)_{\overline{x}}\) comme complexe de \(\mathcal{O}_{Y,y}\)-modules est contenue dans \([a,b]\). Comme \(\mathcal{O}_{X,x} \to \mathcal{O}_{X,x}^{sh}\) est fidèlement plat (Autour de l’algèbre, lemme 07QM) et que \((\epsilon^*E)_{\overline{x}} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) on peut appliquer Autour de l’algèbre, lemme 0DJF, et conclure que la Tor-amplitude de \(E_x\), comme complexe de \(\mathcal{O}_{Y,y}\)-modules, est contenue dans \([a,b]\). D’après Cohomologie, lemme 09U9, \(E\), considéré comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\), est donc de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\). Ceci démontre l’implication réciproque de (1). L’assertion (2) découle formellement de (1).

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors \(E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) si et seulement si \(\epsilon^*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_\etale)\). Ici \(\epsilon\) est comme dans (08H7).

Démonstration

L’implication directe résulte du résultat général de Cohomologie sur les sites, lemme 08H6. Pour la réciproque, on utilise l’équivalence de Cohomologie sur les sites, lemme 08G8, et les résultats correspondants pour les complexes pseudo-cohérents et les complexes de Tor-dimension finie, à savoir les lemmes 08HE et 08HF. Quelques détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(E\) est un objet \(m\)-pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\), alors \(H^i(E)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent pour \(i>m\). Si \(E\) est pseudo-cohérent, alors \(E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Localement, \(H^i(E)\) est isomorphe à \(H^i(\mathcal{E}^\bullet)\), où \(\mathcal{E}^\bullet\) est strictement parfait. Les faisceaux \(\mathcal{E}^i\) sont facteurs directs de modules libres de type fini, donc quasi-cohérents. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma, soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\) et soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour \(m \in \mathbf{Z}\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i(E)\) est cohérent pour \(i \geq m\) et nul pour \(i \gg 0\);

2. \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

En particulier, \(E\) est pseudo-cohérent si et seulement si \(E\) est un objet de \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Comme \(X\) est quasi-compact, on peut trouver un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Observons que \(U\) est noethérien. L’objet \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si \(E|_U\) l’est (cela résulte de la définition ou de Cohomologie sur les sites, lemme 08FU). De même, \(H^i(E)\) est cohérent si et seulement si \(H^i(E)|_U=H^i(E|_U)\) est cohérent (voir Cohomologie des espaces, lemme 07UB). On peut donc supposer \(X\) représentable.

Si \(X\) est représenté par un schéma \(X_0\), on peut (lemme 071Q) écrire \(E=\epsilon^*E_0\), où \(E_0\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) et où \(\epsilon : X_\etale \to (X_0)_{Zar}\) est comme dans (08H7). Dans ce cas, le lemme 08HE montre que \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si \(E_0\) l’est. De même, d’après le lemme 08HD, \(H^i(E_0)\) est de type fini (c’est-à-dire cohérent) si et seulement si \(H^i(E)\) l’est. Enfin, le lemme 08H8 montre que \(H^i(E_0)=0\) si et seulement si \(H^i(E)=0\). On est donc ramené au cas des schémas, qui est le lemme de Catégories dérivées des schémas 08E8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma, soit \(X\) un espace algébrique quasi-séparé sur \(S\), soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soient \(a \leq b\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\);

2. pour tout \(\mathcal{F}\) de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F})=0\) pour \(i \notin [a,b]\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale avec \(U\) affine. Comme \(X\) est quasi-séparé, \(j\) est à la fois quasi-compact et séparé. Par conséquent, \(j_*\) transforme les modules quasi-cohérents en modules quasi-cohérents (Morphismes d’espaces, lemme 03M9). Soit \(\mathcal{G}\) un module quasi-cohérent quelconque sur \(U\). Par hypothèse, \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} j_*\mathcal{G})\) est nul pour \(i \notin [a,b]\). En prenant l’image inverse par le morphisme plat \(j\), on voit que \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} j^*j_*\mathcal{G})\) est nul pour \(i \notin [a,b]\). D’après Cohomologie des espaces, lemme 0HAP, \(\mathcal{G}\) est un facteur direct de \(j^*j_*\mathcal{G}\). La condition (2) entraîne donc l’annulation de \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{G})\) pour \(i \notin [a,b]\) et pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\). Puisqu’il suffit de démontrer que \(E|_U\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\), on est ramené au cas où \(X\) est représentable.

Si \(X\) est représenté par un schéma \(X_0\), on peut (lemme 071Q) écrire \(E=\epsilon^*E_0\), où \(E_0\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) et où \(\epsilon : X_\etale \to (X_0)_{Zar}\) est comme dans (08H7). Pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_0\) sur \(X_0\), le module \(\epsilon^*\mathcal{F}_0\) est quasi-cohérent sur \(X\) et \[H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \epsilon^*\mathcal{F}_0) = \epsilon^*H^i(E_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_0)\] car \(\epsilon\) est plat (lemme 08H8). En outre, l’annulation de ces faisceaux pour \(i \notin [a,b]\) entraîne celle de \(H^i(E_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_0)\) par le même lemme. Le problème est donc ramené au cas des schémas, traité dans Catégories dérivées des schémas, lemme 08EA.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soient \(E,F\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(E\) est pseudo-cohérent et \(F\) appartient à \(D^+(\mathcal{O}_X)\);

2. \(E\) est parfait et \(F\) est quelconque.

Alors il existe un isomorphisme canonique \[\epsilon^*R\SheafHom(E, F) \longrightarrow R\SheafHom(\epsilon^*E, \epsilon^*F)\] Ici \(\epsilon\) est comme dans (08H7).

Démonstration

Rappelons que \(\epsilon\) est plat (lemme 08H8), donc que \(\epsilon^*=L\epsilon^*\). Il existe un morphisme canonique du membre de gauche vers celui de droite d’après Cohomologie sur les sites, remarque 08JF. Pour voir que c’est un isomorphisme, on peut travailler localement, c’est-à-dire supposer que \(X\) est un schéma affine.

Dans le cas (1), on peut représenter \(E\) par un complexe borné supérieurement \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08EE. On peut aussi représenter \(F\) par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules. En appliquant Cohomologie, lemme 08I5 on voit que \(R\SheafHom(E,F)\) est représenté par le complexe de termes \[\bigoplus\nolimits_{n = - p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}^p, \mathcal{F}^q)\] En appliquant Cohomologie sur les sites, lemme 08JI on voit que \(R\SheafHom(\epsilon^*E,\epsilon^*F)\) est représenté par le complexe de termes \[\bigoplus\nolimits_{n = - p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_\etale} (\epsilon^*\mathcal{E}^p, \epsilon^*\mathcal{F}^q)\] L’assertion du lemme se ramène donc au fait, vrai, que le morphisme canonique \[\epsilon^*\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{F}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_\etale} (\epsilon^*\mathcal{E}, \epsilon^*\mathcal{F})\] est un isomorphisme pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini \(\mathcal{E}\).

Dans le cas (2), on peut représenter \(E\) par un complexe strictement parfait \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules; on utilise Catégories dérivées des schémas, lemmes 06Z0 et 08EB, ainsi que le fait qu’un complexe parfait de modules est représenté par un complexe fini de modules projectifs de type fini. On peut donc reprendre exactement la démonstration ci-dessus en remplaçant la référence à Cohomologie, lemme 08I5 par une référence à Cohomologie, lemme 08DM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma, soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soient \(L,K\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. \(L\) appartient à \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) est pseudo-cohérent;

2. \(L\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) est parfait;

alors \(R\SheafHom(K,L)\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Cela résulte de l’analogue pour les schémas (Catégories dérivées des schémas, lemme 0A6H), du critère du lemme 08F2, des critères des lemmes 08HE et 08HG, et du résultat du lemme 08JP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma, soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soient \(K,L,M\) des objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Le morphisme \[K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] de Cohomologie sur les sites, lemme 0BYU est un isomorphisme dans les cas suivants :

1. \(M\) est parfait;

2. \(K\) est parfait;

3. \(M\) est pseudo-cohérent, \(L \in D^+(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) est de Tor-dimension finie.

Démonstration

La propriété pour ce morphisme d’être un isomorphisme se vérifie localement pour la topologie étale; on peut donc supposer que \(X\) est un schéma affine. D’après le lemme 071Q, on peut alors écrire \(K,L,M\) sous la forme \(\epsilon^*K_0,\epsilon^*L_0,\epsilon^*M_0\), pour des \(K_0,L_0,M_0\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Le lemme 08JP ramène les cas (1) et (3) au cas des schémas, qui est Catégories dérivées des schémas, lemme 0ATN. Si \(K\) est parfait mais qu’aucune autre hypothèse n’est faite, on ne sait pas si l’un ou l’autre membre de la flèche appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\); le résultat reste toutefois vrai, car, après une localisation supplémentaire, \(K\) sera représenté par un complexe fini de modules libres de type fini, auquel cas l’assertion est claire.

Approximation par des complexes parfaits

Dans cette section, nous poursuivons l’étude commencée dans Catégories dérivées des schémas, section 08EL.

Définition

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Considérons les triplets \((T,E,m)\) tels que

1. \(T \subset |X|\) est une partie fermée;

2. \(E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\);

3. \(m \in \mathbf{Z}\).

On dit que la propriété d’approximation est satisfaite pour le triplet \((T,E,m)\) s’il existe un objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\) et un morphisme \(\alpha : P \to E\) qui induit des isomorphismes \(H^i(P) \to H^i(E)\) pour \(i>m\) et une surjection \(H^m(P) \to H^m(E)\).

La propriété d’approximation ne peut pas être satisfaite pour tout triplet. Les remarques qui suivent Catégories dérivées des schémas, définition 08EM, en expliquent la raison.

Définition

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit que la propriété d’approximation par des complexes parfaits est satisfaite sur \(X\) si, pour toute partie fermée \(T \subset |X|\) telle que le morphisme \(X \setminus T \to X\) soit quasi-compact, il existe un entier \(r\) tel que, pour tout triplet \((T,E,m)\) comme dans la définition 08HI et vérifiant

1. \(E\) est \((m-r)\)-pseudo-cohérent;

2. \(H^i(E)\) est à support dans \(T\) pour \(i \geq m-r\),

la propriété d’approximation soit satisfaite.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X, j : V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_V)\) à support dans \(j^{-1}(T)\), où \(T=|X|\setminus|U|\). Alors \(Rj_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

La propriété d’être parfait est locale sur \(X_\etale\). Il suffit donc de vérifier que les restrictions de \(Rj_*E\) à \(U\) et à \(V\) sont parfaites. On a \(Rj_*E|_V=E\) d’après le lemme 08GG, et cet objet est parfait. On a \(Rj_*E|_U=0\), car \(E|_{V\setminus j^{-1}(T)}=0\) (utiliser le lemme 08GE).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X,j : V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(T\) une partie fermée de \(|X|\setminus|U|\) et soit \((T,E,m)\) un triplet comme dans la définition 08HI. Si

1. la propriété d’approximation est satisfaite pour \((j^{-1}T,E|_V,m)\);

2. les faisceaux \(H^i(E)\) sont à support dans \(T\) pour \(i\geq m\),

alors la propriété d’approximation est satisfaite pour \((T,E,m)\).

Démonstration

Soit \(P \to E|_V\) une approximation du triplet \((j^{-1}T,E|_V,m)\) sur \(V\). D’après le lemme 08HK, \(Rj_*P\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). D’autre part, le lemme 08GG donne \(Rj_*P=j_!P\). L’objet \(j_!P\) est à support dans \(T\), comme le montre par exemple (08GU). On obtient donc une approximation \(Rj_*P=j_!P \to j_!(E|_V) \to E\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) représentable par un schéma affine. Alors la propriété d’approximation est satisfaite pour tout triplet \((T,E,m)\) comme dans la définition 08HI pour lequel il existe un entier \(r\geq0\) tel que

1. \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent;

2. \(H^i(E)\) est à support dans \(T\) pour \(i\geq m-r+1\);

3. \(X\setminus T\) est la réunion de \(r\) ouverts affines.

En particulier, la propriété d’approximation par des complexes parfaits est satisfaite pour les schémas affines.

Démonstration

Soit \(X_0\) un schéma affine représentant \(X\) et soit \(T_0\subset X_0\) la partie fermée correspondant à \(T\). Soit \(\epsilon : X_\etale \to X_{0,Zar}\) le morphisme (08H7). On peut écrire \(E=\epsilon^*E_0\) pour un objet \(E_0\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\); voir le lemme 071Q. Le lemme 08HE montre que \(E_0\) est \(m\)-pseudo-cohérent. En comparant les fibres des faisceaux de cohomologie (voir la preuve du lemme 08H8), on voit que \(H^i(E_0)\) est à support dans \(T_0\) pour \(i\geq m-r+1\). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08EQ, il existe une approximation \(P_0\to E_0\) de \((T_0,E_0,m)\). Le lemme 08HG montre que \(P=\epsilon^*P_0\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). En prenant l’image inverse, on obtient l’approximation voulue \(P=\epsilon^*P_0\to\epsilon^*E_0=E\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U \subset X,j : V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(U\) quasi-compact, \(V\) affine et \(U\times_XV\) quasi-compact. Si la propriété d’approximation par des complexes parfaits est satisfaite sur \(U\), elle l’est sur \(X\).

Démonstration

Soit \(T\subset|X|\) une partie fermée telle que \(X\setminus T\to X\) soit quasi-compact. Soit \(r_U\) l’entier de la définition 08HJ associé au couple \((U,T\cap|U|)\). Posons \(T'=T\setminus|U|\) et munissons \(T'\) de la structure réduite induite de sous-espace. Comme \(|T'|\) est contenu dans \(|X|\setminus|U|\), le morphisme \(j^{-1}(T')\to T'\) est un isomorphisme. De plus, \(V\setminus j^{-1}(T')\) est quasi-compact : c’est le produit fibré de \(U\times_XV\) et de \(X\setminus T\) au-dessus de \(X\), et nous avons supposé \(U\times_XV\) quasi-compact ainsi que \(X\setminus T\to X\) quasi-compact. Soit \(r'\) le nombre d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir \(V\setminus j^{-1}(T')\). Nous affirmons que \(r=\max(r_U,r')\) convient au couple \((X,T)\).

Pour le voir, choisissons un triplet \((T,E,m)\) tel que \(E\) soit \((m-r)\)-pseudo-cohérent et que \(H^i(E)\) soit à support dans \(T\) pour \(i\geq m-r\). Soit \(t\) le plus grand entier tel que \(H^t(E)|_U\) soit non nul. (Un tel entier existe, car \(U\) est quasi-compact et \(E|_U\) est \((m-r)\)-pseudo-cohérent.) Nous montrerons par récurrence sur \(t\) que \(E\) admet une approximation.

Initialisation : \(t\leq m-r'\). Cela signifie que \(H^i(E)\) est à support dans \(T'\) pour \(i\geq m-r'\). Le lemme 08HM assure donc l’existence sur \(V\) d’une approximation \(P\to E|_V\) de \((T',E|_V,m)\). En appliquant le lemme 08HL, on voit que \((T',E,m)\) admet une approximation. Celle-ci est aussi une approximation de \((T,E,m)\).

Hérédité. Choisissons une approximation \(P\to E|_U\) de \((T\cap|U|,E|_U,m)\). Elle fournit en particulier une surjection \(H^t(P)\to H^t(E|_U)\). Dans la suite de la preuve, nous utiliserons l’équivalence du lemme 071Q (et les compatibilités de la remarque 08GH) pour les espaces algébriques représentables \(V\) et \(U\times_XV\). Nous utiliserons aussi le fait que les notions de \((m-r)\)-pseudo-cohérence, respectivement de perfection, coïncident sur les sites de Zariski et étale; voir les lemmes 08HE et 08HG. On peut donc appliquer les résultats de Catégories dérivées des schémas, section 08EC, à l’immersion ouverte \(U\times_XV\subset V\). Ainsi, Catégories dérivées des schémas, lemme 08EK, montre qu’il existe un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_V)\), à support dans \(j^{-1}(T)\), et un isomorphisme \(Q|_{U\times_XV}\to(P\oplus P[1])|_{U\times_XV}\). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08EH, on peut remplacer \(Q\) par \(Q\otimes^\mathbf{L}I\) et supposer que le morphisme \[Q|_{U \times_X V} \longrightarrow (P \oplus P[1])|_{U \times_X V} \longrightarrow P|_{U \times_X V} \longrightarrow E|_{U \times_X V}\] se relève en \(Q\to E|_V\). Le lemme 08HB fournit alors un morphisme \(a:R\to E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(a|_U\) soit isomorphe à \(P\oplus P[1]\to E|_U\) et que \(a|_V\) soit isomorphe à \(Q\to E|_V\). Ainsi \(R\) est parfait et à support dans \(T\), et le morphisme \(H^t(R)\to H^t(E)\) est surjectif après restriction à \(U\). Choisissons un triangle distingué \[R \to E \to E' \to R[1]\] Alors \(E'\) est \((m-r)\)-pseudo-cohérent (Cohomologie sur les sites, lemme 08FV), \(H^i(E')|_U=0\) pour \(i\geq t\), et \(H^i(E')\) est à support dans \(T\) pour \(i\geq m-r\). Par l’hypothèse de récurrence, on trouve une approximation \(R'\to E'\) de \((T,E',m)\). Insérons le composé \(R'\to E'\to R[1]\) dans un triangle distingué \(R\to R''\to R'\to R[1]\), puis prolongeons les morphismes \(R'\to E'\) et \(R[1]\to R[1]\) en un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & R'' \ar[d] \ar[r] & R' \ar[d] \ar[r] & R[1] \ar[d] \\ R \ar[r] & E \ar[r] & E' \ar[r] & R[1] }\] en utilisant TR3. Alors \(R''\) est un complexe parfait (Cohomologie sur les sites, lemme 08G9) à support dans \(T\). Une chasse au diagramme immédiate montre que \(R''\to E\) est l’approximation cherchée.

Théorème

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Alors la propriété d’approximation par des complexes parfaits est satisfaite sur \(X\).

Démonstration

Cela résulte du principe de récurrence du lemme 08GP et des lemmes 08HN et 08HM.

Engendrement des catégories dérivées

Cette section est l’analogue de Catégories dérivées des schémas, section 09IP. Nous commençons toutefois par démontrer le lemme suivant, analogue de Catégories dérivées des schémas, lemme 09IM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(W\subset X\) un ouvert quasi-compact. Soit \(T\subset|X|\) une partie fermée telle que le morphisme \(X\setminus T\to X\) soit quasi-compact. Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\alpha:P\to E|_W\) un morphisme, où \(P\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_W)\) à support dans \(T\cap W\). Il existe alors un morphisme \(\beta:R\to E\), où \(R\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\), tel que \(P\) soit un facteur direct de \(R|_W\) dans \(D(\mathcal{O}_W)\), de façon compatible avec \(\alpha\) et \(\beta|_W\).

Démonstration

Nous allons utiliser le principe de récurrence du lemme 09IT. On se ramène donc immédiatement au cas d’un carré distingué élémentaire \((W\subset X,f:V\to X)\), avec \(V\) affine et \(P\to E|_W\) comme dans l’énoncé du lemme. Dans la suite de la démonstration, nous utiliserons le lemme 071Q (ainsi que les compatibilités de la remarque 08GH) pour les espaces algébriques représentables \(V\) et \(W\times_XV\). Nous utiliserons aussi le fait que les notions d’objet parfait sur les sites de Zariski et étale coïncident; voir le lemme 08HG.

D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08EK, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_V)\), à support dans \(f^{-1}T\), et un isomorphisme \(Q|_{W\times_XV}\to(P\oplus P[1])|_{W\times_XV}\). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08EH, on peut remplacer \(Q\) par \(Q\otimes^\mathbf{L}I\) (qui est encore à support dans \(f^{-1}T\)) et supposer que le morphisme \[Q|_{W \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{W \times V} \longrightarrow P|_{W \times_X V} \longrightarrow E|_{W \times_X V}\] se relève en \(Q\to E|_V\). Le lemme 08HB fournit un morphisme \(a:R\to E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(a|_W\) soit isomorphe à \(P\oplus P[1]\to E|_W\) et que \(a|_V\) soit isomorphe à \(Q\to E|_V\). Ainsi, \(R\) est parfait et à support dans \(T\), comme souhaité.

Remarque

La démonstration du lemme 09IV montre que \[R|_W = P \oplus P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m]\] pour certains \(m\geq0\) et \(n_j\geq0\). Le faisceau de cohomologie de plus haut degré de \(R|_W\) est donc ègal à celui de \(P\). En répétant la construction pour le morphisme \(P^{\oplus n_1}[1]\oplus\ldots\oplus P^{\oplus n_m}[m]\to R|_W\), en prenant des cônes et en raisonnant par récurrence, on peut obtenir l’égalité des faisceaux de cohomologie de \(R|_W\) et de \(P\) au-dessus de tout degré fixé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(W\) un sous-espace ouvert quasi-compact de \(X\). Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_W)\). Alors \(P\) est un facteur direct de la restriction d’un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 09IV.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). La catégorie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) peut être engendrée par un seul objet parfait. Plus précisément, il existe un objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que, pour \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), les conditions suivantes soient équivalentes :

1. \(E = 0\);

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[n], E) = 0\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Nous allons le démontrer au moyen du principe de récurrence du lemme 08GP.

Si \(X\) est affine, alors \(\mathcal{O}_X\) est un générateur parfait. Cela résulte du lemme 071Q et de Catégories dérivées des schémas, lemme 06Z0.

Supposons que \((U\subset X,f:V\to X)\) soit un carré distingué élémentaire, avec \(U\) quasi-compact, tel que le théorème soit vrai pour \(U\) et que \(V\) soit un schéma affine. Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_U)\) qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). En utilisant le lemme 09IX, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(U\) est une somme directe ayant \(P\) pour facteur direct. Posons \(V=\Spec(A)\). Soit \(Z\subset V\) le sous-schéma fermé réduit, image inverse de \(X\setminus U\), qui s’envoie isomorphiquement sur celui-ci (voir la définition 08GM). C’est une partie fermée rétrocompacte de \(V\). Choisissons \(f_1,\ldots,f_r\in A\) tels que \(Z=V(f_1,\ldots,f_r)\). Soit \(K\in D(\mathcal{O}_V)\) l’objet parfait correspondant au complexe de Koszul associé à \(f_1,\ldots,f_r\) sur \(A\). Comme \(K\) est à support dans \(Z\), son image directe \(K'=Rf_*K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(V\) est \(K\) (voir les lemmes 08HK et 08GG). Nous affirmons que \(Q\oplus K'\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel qu’il n’existe aucun morphisme non nul d’un translaté de \(Q\oplus K'\) vers \(E\). D’après le lemme 08GG, on a \(K'=f_!K\), donc \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] Par suite, Catégories dérivées des schémas, lemme 09IR (en utilisant aussi le lemme 071Q), montre que l’annulation de ces groupes entraîne que \(E|_V\) est isomorphe à \(R(U\times_XV\to V)_*E|_{U\times_XV}\). Il en résulte que \(E=R(U\to X)_*E|_U\) (nous omettons un détail mineur). Dans ce cas, \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] contient \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n],E|_U)\) comme facteur direct. Le choix de \(P\) montre donc que l’annulation de ces groupes entraîne \(E|_U=0\), d’où \(E=0\).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Soit \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) un générateur (voir le théorème 09IY). Les conditions suivantes sont alors équivalentes :

1. pour \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(Rf_*K=0\) si et seulement si \(K=0\);

2. \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est conservatif;

3. \(Lf^*E\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

L’équivalence de (1) et (2) est une conséquence formelle du fait que \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est un foncteur exact de catégories triangulées. De même, l’équivalence de (1) et (3) résulte formellement du fait que \(Lf^*\) est adjoint à gauche de \(Rf_*\). Ces conditions sont satisfaites si \(f\) est affine (lemme 08II), si \(f\) est une immersion ouverte, ou si \(f\) est une composée de morphismes de ces types.

Le résultat suivant renforce le théorème 09IY; il se démontre par les mêmes méthodes. Soit \(T\subset|X|\) une partie fermée, où \(X\) est un espace algébrique. Notons \(D_T(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(T\subset|X|\) une partie fermée telle que \(|X|\setminus T\) soit quasi-compact. Avec les notations ci-dessus, la catégorie \(D_{\QCoh,T}(\mathcal{O}_X)\) est engendrée par un seul objet parfait.

Démonstration

Nous allons le démontrer au moyen du principe de récurrence du lemme 08GP. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0A9A, la propriété est vraie pour les objets représentables, quasi-compacts et quasi-séparés du site \(X_{spaces,\etale}\).

Supposons que \((U\subset X,f:V\to X)\) soit un carré distingué élémentaire tel que le lemme soit vrai pour \(U\) et que \(V\) soit affine. Pour achever la démonstration, il faut établir le résultat pour \(X\). Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_U)\), à support dans \(T\cap U\), qui engendre \(D_{\QCoh,T\cap U}(\mathcal{O}_U)\). D’après le lemme 09IV, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), à support dans \(T\), dont la restriction à \(U\) est une somme directe ayant \(P\) pour facteur direct. Écrivons \(V=\Spec(B)\) et posons \(Z=X\setminus U\). Alors \(f^{-1}Z\) est une partie fermée de \(V\) telle que \(V\setminus f^{-1}Z\) soit quasi-compact. Comme \(X\) est quasi-séparé, il s’ensuit que \(f^{-1}Z\cap f^{-1}T=f^{-1}(Z\cap T)\) est une partie fermée de \(V\) telle que \(W=V\setminus f^{-1}(Z\cap T)\) soit quasi-compact. On peut donc choisir \(g_1,\ldots,g_s\in B\) tels que \(f^{-1}(Z\cap T)=V(g_1,\ldots,g_r)\). Soit \(K\in D(\mathcal{O}_V)\) l’objet parfait correspondant au complexe de Koszul associé à \(g_1,\ldots,g_s\) sur \(B\). Comme \(K\) est à support dans la partie fermée \(f^{-1}(Z\cap T)\subset V\), son image directe \(K'=R(V\to X)_*K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(V\) est \(K\) (voir les lemmes 08HK et 08GG). Nous affirmons que \(Q\oplus K'\) engendre \(D_{\QCoh,T}(\mathcal{O}_X)\).

Soit \(E\) un objet de \(D_{\QCoh,T}(\mathcal{O}_X)\) tel qu’il n’existe aucun morphisme non nul d’un translaté de \(Q\oplus K'\) vers \(E\). D’après le lemme 08GG, on a \(K'=R(V\to X)_!K\), donc \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] Catégories dérivées des schémas, lemme 09IR, donne donc \(E|_V=Rj_*E|_W\), où \(j:W\to V\) est l’inclusion. On a le diagramme \[\xymatrix{ W \ar[r]_j & V & Z \cap T \ar[l] \ar[d] \\ V \setminus f^{-1}Z \ar[u]^{j'} \ar[ru]_{j''} & & Z \ar[lu] }\] Comme \(E\) est à support dans \(T\), on voit que \(E|_W\) est à support dans \(f^{-1}T\cap W=f^{-1}T\cap(V\setminus f^{-1}Z)\), qui est fermé dans \(W\). On en conclut que \[E|_V = Rj_*(E|_W) = Rj_*(Rj'_*(E|_{U \cap V})) = Rj''_*(E|_{U \cap V})\] La seconde égalité est l’assertion (1) de Cohomologie, lemme 08DF. Celui-ci s’applique parce que \(V\) est un schéma et que \(E\) a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents; l’image directe par l’immersion ouverte quasi-compacte \(j'\) coïncide donc avec l’image directe sur les schémas sous-jacents; voir la remarque 08GH. Il en résulte que \(E=R(U\to X)_*E|_U\) (nous omettons un détail mineur). Dans ce cas, \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] contient \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n],E|_U)\) comme facteur direct. Le choix de \(P\) montre donc que l’annulation de ces groupes entraîne \(E|_U=0\), d’où \(E=0\).

Objets compacts et parfaits

Cette section est l’analogue de Catégories dérivées des schémas, section 09M0.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est compact si et seulement s’il est parfait.

Démonstration

Si \(K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\), de dual \(K^\vee\) (Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ), on a \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, M) = H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] fonctoriellement en \(M\). Comme \(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} -\) commute aux sommes directes et que \(H^0(X, -)\) commute aux sommes directes dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 08FB, on en conclut que \(K\) est compact dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Réciproquement, soit \(K\) un objet compact de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour montrer que \(K\) est parfait, il suffit de montrer que \(K|_U\) est parfait pour tout schéma affine \(U\) étale sur \(X\); voir Cohomologie sur les sites, lemme 08G6. Observons que \(j : U \to X\) est un morphisme quasi-compact et séparé. Par conséquent, \(Rj_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) commute aux sommes directes; voir le lemme 08FB. L’adjonction entre la restriction à \(U\) et \(Rj_*\) montre donc que \(K|_U\) est un objet compact de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). On se ramène ainsi au cas où \(X\) est affine, et en particulier à celui d’un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Au moyen des lemmes 071Q et 08HG, on se ramène au cas des schémas, c’est-à-dire à Catégories dérivées des schémas, proposition 09M1.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(G\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). D’après le théorème 09IY, il en existe au moins un. En combinant le lemme 08F3, la proposition 09M8 et Catégories dérivées, proposition 09SR, on voit que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

Le résultat suivant renforce la proposition 09M8. Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée, où \(X\) est un espace algébrique. Comme précédemment, \(D_T(\mathcal{O}_X)\) désigne la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\). Comme la formation des sommes directes commute à celle des faisceaux de cohomologie, il s’ensuit que \(D_T(\mathcal{O}_X)\) admet des sommes directes et que celles-ci coïncident avec les sommes directes dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée telle que \(|X| \setminus T\) soit quasi-compact. Un objet de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) est compact si et seulement s’il est parfait en tant qu’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

La remarque qui précède le lemme montre que \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie triangulée admettant des sommes directes. D’après la proposition 09M8, les objets parfaits donnent des objets compacts de \(D(\mathcal{O}_X)\), et donc a fortiori de toute sous-catégorie stable par sommes directes. Pour la réciproque, nous utiliserons le fait qu’il existe un générateur \(E \in D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) qui est un complexe parfait de \(\mathcal{O}_X\)-modules; voir le lemme 0AEC. D’après ce qui précède, \(E\) est donc compact. Il résulte alors de Catégories dérivées, proposition 09SR, que \(E\) est un générateur classique de la sous-catégorie pleine des objets compacts de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). Ainsi, tout objet compact se construit à partir de \(E\) par une suite finie d’opérations consistant à (a) prendre des translatés, (b) prendre des sommes directes finies, (c) prendre des cônes et (d) prendre des facteurs directs. Chacune de ces opérations préserve la propriété d’être parfait, ce qui prouve le résultat.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée telle que \(|X| \setminus T\) soit quasi-compact. Soit \(G\) un objet parfait de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) qui engendre \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 0AEC, il en existe au moins un. En combinant le fait que \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) admet des sommes directes, le lemme 0AED et Catégories dérivées, proposition 09SR, on voit que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf, T}(\mathcal{O}_X)\).

Le lemme suivant applique les idées qui interviennent dans la démonstration du lemme précédent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée dont le complémentaire \(U \subset X\) est quasi-compact. Soit \(\alpha : P \to E\) un morphisme de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) se trouvant dans l’un des deux cas suivants :

1. \(P\) est parfait et \(E\) est à support dans \(T\);

2. \(P\) est pseudo-cohérent, \(E\) est à support dans \(T\) et \(E\) est borné inférieurement.

Alors il existe un complexe parfait de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(I\) et un morphisme \(I \to \mathcal{O}_X[0]\) tels que \(I \otimes^\mathbf{L} P \to E\) soit nul et que \(I|_U \to \mathcal{O}_U[0]\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Posons \(\mathcal{D} = D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). Dans les deux cas, le complexe \(K = R\SheafHom(P, E)\) est un objet de \(\mathcal{D}\). Voir le lemme 0A8A pour la quasi-cohérence. Il est clair que \(K\) est à support dans \(T\), puisque la formation de \(R\SheafHom\) commute aux restrictions aux ouverts. Le morphisme \(\alpha\) définit un élément de \(H^0(K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[0], K)\). Il suffit donc de démontrer le résultat pour le morphisme \(\alpha : \mathcal{O}_X[0] \to K\).

Soit \(E \in \mathcal{D}\) un générateur parfait; voir le lemme 0AEC. Écrivons \[K = \text{hocolim} K_n\] comme dans Catégories dérivées, lemme 09SN, en utilisant le générateur \(E\). Comme le foncteur \(\mathcal{D} \to D(\mathcal{O}_X)\) commute aux sommes directes, l’égalité \(K = \text{hocolim} K_n\) vaut aussi dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Puisque \(\mathcal{O}_X\) est un objet compact de \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un entier \(n\) et un morphisme \(\alpha_n : \mathcal{O}_X \to K_n\) qui induit \(\alpha\); voir Catégories dérivées, lemme 094A. En appliquant Catégories dérivées, lemme 09SP, au morphisme \(\mathcal{O}_X[0] \to K_n\) de la catégorie ambiante \(D(\mathcal{O}_X)\), on voit que \(\alpha_n\) se factorise sous la forme \(\mathcal{O}_X[0] \to Q \to K_n\), où \(Q\) est un objet de \(\langle E \rangle\). On en conclut que \(Q\) est un complexe parfait à support dans \(T\).

Choisissons un triangle distingué \[I \to \mathcal{O}_X[0] \to Q \to I[1]\] Par construction, \(I\) est parfait, le morphisme \(I \to \mathcal{O}_X[0]\) se restreint à un isomorphisme sur \(U\), et le composé \(I \to K\) est nul puisque \(\alpha\) se factorise par \(Q\). Cela prouve le lemme.

Les catégories dérivées comme catégories de modules

Cette section est l’analogue de Catégories dérivées des schémas, section 09M2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents. Soit \((E,d)=\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet,K^\bullet)\) l’algèbre différentielle graduée des endomorphismes. Alors le foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] du chapitre Algèbres différentielles graduées, lemme 09LX, prend ses valeurs dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(P\) un \(E\)-module différentiel gradué possédant la propriété P. Soit \(F_\bullet\) une filtration de \(P\) comme dans Algèbres différentielles graduées, section 09KK. On a alors \[P \otimes_E K^\bullet = \text{hocolim}\ F_iP \otimes_E K^\bullet.\] Chacun des \(F_iP\) possède une filtration finie dont les gradués associés sont des sommes directes de \(E[k]\). Le résultat s’en déduit aisément.

On peut renforcer le lemme suivant : l’annulation est uniforme lorsque \(L\) parcourt les complexes dont les faisceaux de cohomologie non nuls sont concentrés dans un intervalle fixé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(K\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors

1. il existe des entiers \(a\leq b\) tels que \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K,L)=0\) pour tout \(L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel que \(H^i(L)=0\) pour \(i\in[a,b]\);

2. si \(L\) est borné, alors \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K,L)\) est nul sauf pour un nombre fini de valeurs de \(n\).

Démonstration

L’assertion (2) résulte de (1), puisque \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K,L)= \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K,L[n])\). Démontrons (1). Comme \(K\) est parfait, on a \[\Ext^i_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L),\] où \(K^\vee\) est le complexe parfait dual de \(K\); voir Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ. Remarquons que \(P=K^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}L\) appartient à \(D_\QCoh(X)\) d’après les lemmes 08F5 et 08JL (ce dernier montre qu’un complexe parfait a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents). Supposons que \(K^\vee\) soit de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\). La suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^p(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} H^q(L)) \Rightarrow H^{p + q}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] montre que \(H^j(K^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}L)\) est nul si \(H^q(L)=0\) pour \(q\in[j-b,j-a]\). Soit \(N\) l’entier \(\max(d_p+p)\) du lemme de Cohomologie des espaces 072C. Alors \(H^0(X,K^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}L)\) s’annule si les faisceaux de cohomologie \[H^{-N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ H^{-N + 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ \ldots, \ H^0(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] sont nuls. En effet, le lemme cité et le lemme 08F7 donnent \[H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = H^0(X, \tau_{\geq -N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L));\] l’annulation des faisceaux de cohomologie montre que ce dernier groupe est égal à \(H^0(X,\tau_{\geq1}(K^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}L))\), lequel est nul d’après Catégories dérivées, lemme 05TC. Par conséquent, \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K,L)\) est nul si \(H^i(L)=0\) pour \(i\in[-b-N,-a]\).

Le théorème suivant est l’analogue de Catégories dérivées des schémas, théorème 09M5.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Il existe alors une algèbre différentielle graduée \((E,\text{d})\) dont seuls un nombre fini de groupes de cohomologie \(H^i(E)\) sont non nuls, et telle que \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) soit équivalente à \(D(E,\text{d})\).

Démonstration

Soit \(K^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules qui soit parfait et qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Un tel complexe existe par le théorème 09IY et par l’existence des résolutions K-injectives. Nous allons montrer que le théorème est vrai pour \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet),\] où \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)\) est la catégorie différentielle graduée des complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Voir Algèbres différentielles graduées, section 09LU. Comme \(K^\bullet\) est K-injectif, on a [09MD]\[\begin{equation} H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet) \end{equation}\] pour tout \(n\in\mathbf{Z}\). Ces groupes Ext ne sont non nuls que pour un nombre fini d’indices, d’après le lemme 09MB. Considérons le foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] d’Algèbres différentielles graduées, lemme 09LX. Comme \(K^\bullet\) est parfait, il définit un objet compact de \(D(\mathcal{O}_X)\); voir la proposition 09M8. Avec (09MD), l’argument du lemme d’Algèbres différentielles graduées 09LZ montre que le foncteur ci-dessus est pleinement fidèle; son adjoint à droite est \[R\Hom(K^\bullet, - ) : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(E, \text{d})\] d’après Algèbres différentielles graduées, lemme 09LY; par les propriétés générales des foncteurs adjoints, cet adjoint est un quasi-inverse à gauche. Le lemme 09MA donne précisément ce foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X),\] et, puisque \(K^\bullet\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le noyau de l’adjoint restreint à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est nul. Un argument formel fournit alors l’équivalence cherchée; voir Catégories dérivées, lemme 09J1.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T\subset|X|\) une partie fermée telle que \(|X|\setminus T\) soit quasi-compact. L’analogue du théorème 09MC est vrai pour \(D_{\QCoh,T}(\mathcal{O}_X)\). Cela résulte exactement du même argument que dans la démonstration du théorème, en utilisant les lemmes 0AEC et 0AED, ainsi qu’une variante avec supports du lemme 09MA. Si ce résultat devient nécessaire, nous en donnerons ici un énoncé précis et une démonstration détaillée.

Remarque

Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur un anneau \(R\). La construction de la démonstration du théorème 09MC fournit une algèbre différentielle graduée \((A,\text{d})\) sur \(R\) telle que \(D_\QCoh(X)\) soit \(R\)-linéairement équivalente à \(D(A,\text{d})\) comme catégorie triangulée. On peut se demander dans quelle mesure \((A,\text{d})\) est unique. La réponse est seulement un peu plus précise que l’affirmation selon laquelle \((A,\text{d})\) est définie à équivalence dérivée près. Supposons en effet que \((B,\text{d})\) soit une seconde paire de ce type. On a alors \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] et \[(B, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, L^\bullet)\] pour des complexes K-injectifs \(K^\bullet\) et \(L^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules correspondant à des générateurs parfaits de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Posons \[\Omega = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, L^\bullet) \quad \Omega' = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, K^\bullet).\] Alors \(\Omega\) est un \(B^{opp}\otimes_RA\)-module différentiel gradué, et \(\Omega'\) un \(A^{opp}\otimes_RB\)-module différentiel gradué. De plus, l’équivalence \[D(A, \text{d}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(B, \text{d})\] est donnée par le foncteur \(-\otimes_A^\mathbf{L}\Omega'\), et de même pour le quasi-inverse. Nous sommes donc dans la situation d’Algèbres différentielles graduées, remarque 09ST. Si cette remarque devient nécessaire, nous en donnerons ici un énoncé précis et une démonstration détaillée.

Caractérisation des complexes pseudo-cohérents, I

Cette étude se poursuivra dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0CTP. On peut caractériser les objets pseudo-cohérents comme des colimites homotopiques d’approximations par des objets parfaits.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(K \in D(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(K\) est pseudo-cohérent;

2. \(K = \text{hocolim} K_n\), où \(K_n\) est parfait et \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est valable sur tout site annelé. Supposons en effet que (2) soit satisfaite. Rappelons qu’un objet parfait de la catégorie dérivée est pseudo-cohérent; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08G8. Il résulte alors des définitions que \(\tau_{\geq -n}K_n\) est \((-n + 1)\)-pseudo-cohérent, donc que \(\tau_{\geq -n}K\) est \((-n + 1)\)-pseudo-cohérent, et par suite que \(K\) est \((-n + 1)\)-pseudo-cohérent. Comme ceci vaut pour tout \(n\), le complexe \(K\) est pseudo-cohérent; voir Cohomologie sur les sites, définition 08FT.

Supposons (1). Commençons par choisir une approximation \(K_1 \to K\) de \((X, K, -2)\) par un complexe parfait \(K_1\); voir les définitions 08HI et 08HJ, ainsi que le théorème 08HP. Supposons par récurrence que l’on ait \[K_1 \to K_2 \to \ldots \to K_n \to K\] avec les \(K_i\) parfaits et tels que \(\tau_{\geq -i}K_i \to \tau_{\geq -i}K\) soit un isomorphisme pour tout \(1 \leq i \leq n\). Choisissons alors \(a \leq b\) comme dans le lemme 09MB pour l’objet parfait \(K_n\). Choisissons une approximation \(K_{n + 1} \to K\) de \((X, K, \min(a - 1, -n - 1))\). Choisissons un triangle distingué \[K_{n + 1} \to K \to C \to K_{n + 1}[1]\] On voit alors que \(C \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) vérifie \(H^i(C) = 0\) pour \(i \geq a\). Le choix de \(a, b\) donne donc \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K_n, C) = 0\). Le composé \(K_n \to K \to C\) est par conséquent nul. D’après Catégories dérivées, lemme 0149, le morphisme \(K_n \to K\) se factorise par \(K_{n + 1}\), ce qui établit l’hérédité.

Il reste à démontrer que \(K = \text{hocolim} K_n\). Cela résulte de l’application de Catégories dérivées, lemme 0CRK, aux foncteurs \(H^i( - ) : D(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) et du choix des \(K_n\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) une partie fermée telle que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. Soit \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(K\) est pseudo-cohérent;

2. \(K = \text{hocolim} K_n\), où \(K_n\) est parfait, à support dans \(T\), et \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 0DKB, si ce n’est que, pour choisir les approximations, on utilise les triplets \((T, K, m)\).

Retour sur le cohérateur

Dans la section 08GX, nous avons construit et étudié l’adjoint à droite \(RQ_X\) du foncteur canonique \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\). On l’a construit comme le foncteur dérivé droit du cohérateur \(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\). Dans la présente section, nous étudions les conditions sous lesquelles le foncteur d’inclusion \[D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] admet un adjoint à droite. S’il existe, nous le noterons² \[DQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] Il s’avère que les espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés admettent un tel adjoint à droite.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Le foncteur d’inclusion \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\) admet un adjoint à droite.

Démonstration

Nous allons le démontrer à l’aide du principe de récurrence du lemme 08GP. Si \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence, le lemme est vrai, car le foncteur \(RQ_X\) de la section 08GX est adjoint à droite au foncteur \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\). En particulier, notre lemme est vrai pour les espaces algébriques affines ; voir le lemme 08H0. Il suffit donc de montrer ceci : si \((U \subset X, f : V \to X)\) est un carré distingué élémentaire, avec \(U\) quasi-compact et \(V\) affine, et si le lemme vaut pour \(U\), \(V\) et \(U \times_X V\), alors il vaut pour \(X\).

L’adjoint existe si et seulement si, pour tout objet \(K\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on peut trouver un triangle distingué \[E' \to E \to K \to E'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(E'\) appartienne à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et que \(\Hom(M, K) = 0\) pour tout \(M\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Voir Catégories dérivées, lemme 0CQS. Considérons le triangle distingué \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V} \to E[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) du lemme 08GW. D’après Catégories dérivées, lemme 0CQR, il suffit de construire les triangles distingués voulus pour \(Rj_{U, *}E|_U\), \(Rj_{V, *}E|_V\) et \(Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V}\). Nous sommes ainsi ramenés à l’assertion étudiée au paragraphe suivant.

Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est quasi-compact et quasi-séparé et où le lemme est vrai pour \(U\). Soit \(L\) un objet de \(D(\mathcal{O}_U)\). Il existe alors un triangle distingué \[E' \to Rj_*L \to K \to E'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(E'\) appartienne à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et que \(\Hom(M, K) = 0\) pour tout \(M\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour le voir, choisissons un triangle distingué \[L' \to L \to Q \to L'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_U)\) tel que \(L'\) appartienne à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) et que \(\Hom(N, Q) = 0\) pour tout \(N\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Cela est possible, car les conditions du lemme 0CQS de Catégories dérivées sont équivalentes. Nous obtenons un triangle distingué \[Rj_*L' \to Rj_*L \to Rj_*Q \to Rj_*L'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Notons que \(Rj_*L'\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 08FA. D’autre part, si \(M\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), alors \[\Hom(M, Rj_*Q) = \Hom(Lj^*M, Q) = 0\] car \(Lj^*M\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) d’après le lemme 08F4. Cela achève la démonstration.

Démonstration

L’adjoint existe d’après Catégories dérivées, proposition 0A8G. Les hypothèses sont satisfaites : d’abord, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet les sommes directes, et le foncteur d’inclusion commute aux sommes directes (lemme 08F3). D’autre part, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est compactement engendrée, puisqu’elle possède un générateur parfait d’après le théorème 09IY, et puisque les objets parfaits sont compacts d’après la proposition 09M8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Si les adjoints à droite \(DQ_X\) et \(DQ_Y\) des foncteurs d’inclusion \(D_\QCoh \to D\) existent pour \(X\) et \(Y\), alors \[Rf_* \circ DQ_X = DQ_Y \circ Rf_*\]

Démonstration

L’énoncé a un sens parce que \(Rf_*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) d’après le lemme 08FA. Il est vrai parce que \(Lf^*\) envoie de même \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) (lemme 08F4) ; ainsi, \(Rf_* \circ DQ_X\) et \(DQ_Y \circ Rf_*\) sont tous deux adjoints à droite de \(Lf^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U \subset X, f : V \to X)\) un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(X\), \(U\) et \(V\) quasi-compacts et quasi-séparés. D’après le lemme 0CR4, les foncteurs \(DQ_X\), \(DQ_U\), \(DQ_V\), \(DQ_{U \times_X V}\) existent. De plus, on a un triangle distingué canonique \[DQ_X(K) \to Rj_{U, *}DQ_U(K|_U) \oplus Rj_{V, *}DQ_V(K|_V) \to Rj_{U \times_X V, *}DQ_{U \times_X V}(K|_{U \times_X V}) \to\] pour tout \(K \in D(\mathcal{O}_X)\). Cela résulte de l’application du foncteur exact \(DQ_X\) au triangle distingué du lemme 08GW et de trois applications du lemme 0CR5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Le foncteur \(DQ_X\) du lemme 0CR4 possède la propriété de bornitude suivante : il existe un entier \(N = N(X)\) tel que, si \(K\) appartient à \(D(\mathcal{O}_X)\) et si \(H^i(U, K) = 0\) pour tout \(U\) affine étale sur \(X\) et tout \(i \not \in [a, b]\), alors les faisceaux de cohomologie \(H^i(DQ_X(K))\) sont nuls pour \(i \not \in [a, b + N]\).

Démonstration

Nous allons le démontrer à l’aide du principe de récurrence du lemme 08GP.

Si \(X\) est affine, le lemme est vrai avec \(N = 0\), car \(RQ_X = DQ_X\) s’obtient alors en prenant le complexe de faisceaux quasi-cohérents associé à \(R\Gamma(X, K)\). Voir le lemme 08H0.

Soit \((U \subset W, f : V \to W)\) un carré distingué élémentaire, où \(W\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(U \subset W\) est un ouvert quasi-compact et \(V\) est affine, tel que le lemme vaille pour \(U\), \(V\) et \(U \times_W V\). Notons \(N(U)\), \(N(V)\) et \(N(U \times_W V)\) les entiers correspondants. Supposons maintenant que \(K\) appartienne à \(D(\mathcal{O}_X)\) et que \(H^i(W, K) = 0\) pour tout \(W\) affine étale sur \(X\) et tout \(i \not \in [a, b]\). Alors \(K|_U\), \(K|_V\) et \(K|_{U \times_W V}\) ont la même propriété. Il en résulte que \(RQ_U(K|_U)\), \(RQ_V(K|_V)\) et \(RQ_{U \cap V}(K|_{U \times_W V})\) ont leurs faisceaux de cohomologie nuls hors de l’intervalle \([a, b + \max(N(U), N(V), N(U \times_W V))\). Puisque les foncteurs \(Rj_{U, *}\), \(Rj_{V, *}\) et \(Rj_{U \times_W V, *}\) sont de dimension cohomologique finie sur \(D_\QCoh\) d’après le lemme 08FA, il existe un entier \(N\) tel que \(Rj_{U, *}DQ_U(K|_U)\), \(Rj_{V, *}DQ_V(K|_V)\) et \(Rj_{U \cap V, *}DQ_{U \times_W V}(K|_{U \times_W V})\) aient leurs faisceaux de cohomologie nuls hors de l’intervalle \([a, b + N]\). On conclut enfin au moyen du triangle distingué de la remarque 0CR6.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un système projectif de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). Comme \(DQ_X\) est adjoint à droite, il commute aux produits, donc aux limites projectives dérivées. Il en résulte que \[DQ_X(R\lim \mathcal{F}_n) = (R\lim\text{ dans }D_\QCoh(\mathcal{O}_X))(\mathcal{F}_n)\] où la première \(R\lim\) est calculée dans \(D(\mathcal{O}_X)\). En fait, posons \(K = R\lim \mathcal{F}_n\). Pour tout \(U\) affine étale sur \(X\), on a \[H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim R\Gamma(U, \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim \Gamma(U, \mathcal{F}_n))\] En effet, la cohomologie commute aux limites projectives dérivées et les faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{F}_n\) n’ont pas de cohomologie supérieure sur les espaces affines. Le calcul de \(R\lim\) dans la catégorie des groupes abéliens montre que \(H^i(U, K) = 0\) sauf si \(i \in [0, 1]\). On en conclut que le \(R\lim\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), qui est \(DQ_X(K)\) d’après ce qui précède, appartient à \(D^b_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et que ses faisceaux de cohomologie sont nuls en degrés négatifs d’après le lemme 0CSS.

Cohomologie et changement de base, IV

Cette section est l’analogue de Catégories dérivées des schémas, section 08ET.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Pour \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), on a \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K).\]

Démonstration

Sans aucune hypothèse, il existe un morphisme \(Rf_*(E)\otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L}K\to Rf_*(E\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}Lf^*K)\). C’est en effet l’adjoint du morphisme canonique \[Lf^*(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K) = Lf^*(Rf_*(E)) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K \longrightarrow E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K\] provenant du morphisme \(Lf^*Rf_*E\to E\); voir Cohomologie sur les sites, lemmes 07A4 et 07A6. Pour vérifier qu’il s’agit d’un isomorphisme, on peut travailler localement pour la topologie étale sur \(Y\). On se ramène donc au cas où \(Y\) est un schéma affine.

Supposons que \(K=\bigoplus K_i\) soit une somme directe de complexes \(K_i\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Si l’assertion est vraie pour chacun des \(K_i\), elle l’est pour \(K\). En effet, les foncteurs \(Lf^*\) et \(\otimes^\mathbf{L}\) commutent aux sommes directes par construction, et \(Rf_*\) commute aux sommes directes pour les complexes à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents, d’après le lemme 08FB. De plus, si \(K\to L\to M\to K[1]\) est un triangle distingué de \(D_\QCoh(Y)\) et si l’assertion du lemme est vraie pour deux des trois objets \(K,L,M\), elle l’est pour le troisième, car les foncteurs en jeu sont des foncteurs exacts de catégories triangulées.

Supposons \(Y\) affine, disons \(Y=\Spec(A)\). Le foncteur \(\widetilde{\ }:D(A)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est une équivalence d’après le lemme 071Q et Catégories dérivées des schémas, lemme 06Z0. Notons \(T\) la propriété, pour \(K\in D(A)\), selon laquelle l’assertion du lemme est vraie pour \(\widetilde K\). La discussion précédente et Compléments d’algèbre, remarque 09PB, montrent qu’il suffit de prouver \(T\) pour \(A[k]\). Cela achève la démonstration, puisque l’assertion du lemme est claire pour les translatés du faisceau structural.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques sur \(B\). On dit que \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(B\) si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[d]_{\overline{y}} \ar[dr]_{\overline{b}} \ar[r]_-{\overline{x}} & X \ar[d] \\ Y \ar[r] & B }\] de points géométriques, les anneaux \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) et \(\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}\) sont Tor-indépendants sur \(\mathcal{O}_{B,\overline{b}}\) (voir Compléments d’algèbre, définition 0660).

Le lemme suivant montre en particulier que cette définition coïncide avec la définition donnée pour les espaces algébriques représentables.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques sur \(B\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(B\);

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \\ X \ar[r] & B & Y \ar[l] }\] dont les flèches verticales sont étales, \(U\) et \(V\) sont Tor-indépendants sur \(W\);

3. il existe un diagramme commutatif comme en (2) tel que (a) \(W\to B\) soit étale surjectif, (b) \(U\to X\times_BW\) soit étale surjectif, (c) \(V\to Y\times_BW\) soit étale surjectif, et tel que \(U\) et \(V\) soient Tor-indépendants sur \(W\);

4. il existe un diagramme commutatif comme en (3), avec \(U,V,W\) des schémas, tel que \(U\) et \(V\) soient Tor-indépendants sur \(W\) au sens de Catégories dérivées des schémas, définition 08IA.

Démonstration

Pour un morphisme étale \(\varphi:U\to X\) d’espaces algébriques et un point géométrique \(\overline u\), le morphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X,\varphi(\overline u)}\to\mathcal{O}_{U,\overline u}\) est un isomorphisme. On en déduit l’équivalence de (1) et (2), ainsi que l’implication (1) \(\Rightarrow\) (3). Supposons (3) et choisissons un diagramme de points géométriques comme dans la définition 08IP. Les hypothèses permettent d’abord de relever \(\overline b\) en un point géométrique \(\overline w\) de \(W\), puis de relever le point géométrique \((\overline x,\overline b)\) en un point géométrique \(\overline u\) de \(U\), et enfin de relever \((\overline y,\overline b)\) en un point géométrique \(\overline v\) de \(V\). Pour trouver ces relèvements, on utilise Propriétés des espaces, lemme 05VN. La remarque précédente sur les anneaux locaux montre alors que la condition de la définition est satisfaite pour le diagramme donné.

Ces points préliminaires étant fixés, l’assertion (4) revient manifestement à dire que la définition 08IP coïncide avec Catégories dérivées des schémas, définition 08IA, lorsque \(X,Y,B\) sont des schémas.

Soient \(\overline x,\overline b,\overline y\) comme dans la définition 08IP, au-dessus des points \(x,y,b\). Rappelons que \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}=\mathcal{O}_{X,x}^{sh}\) (Propriétés des espaces, lemme 04KF), et de même pour les deux autres. D’après Algèbre, lemme 08HV, \(\mathcal{O}_{X,\overline x}\) est un hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X,x}\otimes_{\mathcal{O}_{B,b}}\mathcal{O}_{B,\overline b}\). En particulier, le morphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{B, \overline{b}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] est plat (Compléments d’algèbre, lemme 07QM). D’après Compléments d’algèbre, lemme 08HW, on a \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, b}}(\mathcal{O}_{X, x}, \mathcal{O}_{Y, y}) \otimes_{\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y}} (\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}} \mathcal{O}_{Y, \overline y}) = \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}}( \mathcal{O}_{X, \overline{x}}, \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}).\] Par conséquent, si \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(B\) comme schémas, ils le sont aussi comme espaces algébriques sur \(B\).

Réciproquement, on peut supposer \(X,Y,B\) affines. Le morphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}} \mathcal{O}_{Y, \overline y}\] est plat d’après les observations précédentes. De plus, l’image du morphisme sur les spectres contient tous les idéaux premiers \(\mathfrak s\subset \mathcal{O}_{X,x}\otimes_{\mathcal{O}_{B,b}}\mathcal{O}_{Y,y}\) situés au-dessus de \(\mathfrak m_x\) et \(\mathfrak m_y\). Cette remarque et la formule précédente pour les Tor montrent que, si \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(B\) comme espaces algébriques, alors \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, b}} (\mathcal{O}_{X, x}, \mathcal{O}_{Y, y})_\mathfrak s = 0\] pour tout \(i>0\) et tout \(\mathfrak s\) comme ci-dessus. Le lemme de Compléments d’algèbre 08HX, appliqué aux morphismes d’anneaux \(\Gamma(B,\mathcal{O}_B)\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\) et \(\Gamma(B,\mathcal{O}_B)\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\), montre alors que \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(B\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(g:Y'\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f:X\to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] Si \(X\) et \(Y'\) sont Tor-indépendants sur \(Y\), alors, pour tout \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(Rf'_*L(g')^*E=Lg^*Rf_*E\).

Démonstration

Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), la remarque de Cohomologie sur les sites 07A7 fournit un morphisme canonique de changement de base \(Lg^*Rf_*E\to Rf'_*L(g')^*E\). Pour vérifier que c’est un isomorphisme, on peut travailler localement pour la topologie étale sur \(Y'\). On peut donc supposer que \(g:Y'\to Y\) est un morphisme de schémas affines. En particulier, \(g\) est affine et il suffit de montrer que \[Rg_*Lg^*Rf_*E \to Rg_*Rf'_*L(g')^*E = Rf_*(Rg'_* L(g')^* E)\] est un isomorphisme; voir le lemme 08II (et utiliser les lemmes 08F4, 08F5 et 08FA pour voir que les objets \(Rf'_*L(g')^*E\) et \(Lg^*Rf_*E\) ont des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents). Le morphisme \(g'\) est lui aussi affine (Morphismes d’espaces, lemme 03WI). D’après le lemme 08IJ, le morphisme devient \[Rf_*E \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} g_*\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'}).\] On a \(g'_*\mathcal{O}_{X'}=f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\). Le lemme 08IN ramène donc la démonstration à \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{Y'}=f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\). Cette égalité résulte de l’hypothèse selon laquelle \(X\) et \(Y'\) sont Tor-indépendants sur \(Y\). Pour la vérifier, on peut travailler localement pour la topologie étale sur \(X\) et supposer aussi \(X\) affine. Écrivons \(X=\Spec(A)\), \(Y=\Spec(R)\) et \(Y'=\Spec(R')\). L’hypothèse entraîne que \(A\) et \(R'\) sont Tor-indépendants sur \(R\) (voir le lemme 08IQ et Compléments d’algèbre, lemme 08HX), c’est-à-dire que \(\text{Tor}_i^R(A,R')=0\) pour \(i>0\). Autrement dit, \(A\otimes_R^\mathbf{L}R'=A\otimes_RR'\), ce qui signifie exactement que \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{Y'}=f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\).

Le lemme suivant sera utilisé dans le chapitre consacré aux complexes dualisants.

Lemme

Soit \(g:S'\to S\) un morphisme de schémas affines. Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés. Supposons \(g\) et \(f\) Tor-indépendants. Écrivons \(S=\Spec(R)\) et \(S'=\Spec(R')\). Pour \(M,K\in D(\mathcal{O}_X)\), le morphisme canonique \[R\Hom_X(M, K) \otimes^\mathbf{L}_R R' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\] de \(D(R')\) est un isomorphisme dans les deux cas suivants :

1. \(M\in D(\mathcal{O}_X)\) est parfait et \(K\in D_\QCoh(X)\);

2. \(M\in D(\mathcal{O}_X)\) est pseudo-cohérent, \(K\in D_\QCoh^+(X)\) et \(R'\) est de Tor-dimension finie sur \(R\).

Démonstration

Il existe dans \(D(\Gamma(X,\mathcal{O}_X))\) un morphisme canonique \(R\Hom_X(M,K)\to R\Hom_{X'}(L(g')^*M,L(g')^*K)\) entre complexes d’homomorphismes globaux; voir Cohomologie sur les sites, section 0B6E. Par restriction des scalaires, on peut le regarder comme un morphisme de \(D(R)\). L’adjonction entre le foncteur de restriction des scalaires et \(-\otimes_R^\mathbf{L}R'\) donne alors le morphisme affiché dans l’énoncé. Une fois ce morphisme défini, il suffit de montrer qu’il est un isomorphisme dans la catégorie dérivée des groupes abéliens.

Le membre de droite est égal à \[R\Hom_X(M, R(g')_*L(g')^*K) = R\Hom_X(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] d’après le lemme 08IJ. Dans les deux cas, le complexe \(R\SheafHom(M,K)\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 0A8A. Il existe un morphisme naturel \[R\SheafHom(M, K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] qui est un isomorphisme dans les deux cas, d’après le lemme 0E4Q. Pour voir que ce lemme s’applique dans le cas (2), remarquons que \(g'_*\mathcal{O}_{X'}=Rg'_*\mathcal{O}_{X'}= Lf^*g_*\mathcal{O}_X\), la seconde égalité résultant du lemme 08IR. Les lemmes Catégories dérivées des schémas 08E9, 08HF et Cohomologie sur les sites 08H5 montrent alors que \(g'_*\mathcal{O}_{X'}\) est de Tor-dimension finie. Dans les deux cas, en remplaçant \(K\) par \(R\SheafHom(M,K)\), on se ramène donc à montrer que \[R\Gamma(X, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] est un isomorphisme. Le membre de gauche est égal à \(R\Gamma(X',L(g')^*K)\) d’après le lemme 08IJ. Le résultat découle donc du lemme 08IR.

Remarque

Avec les notations du lemme 0E4S, le diagramme \[\xymatrix{ R\Hom_X(M, Rg'_*L) \otimes_R^\mathbf{L} R' \ar[r] \ar[d]_\mu & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*Rg'_*L) \ar[d]^a \\ R\Hom_X(M, R(g')_*L) \ar@{=}[r] & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L) }\] est commutatif; la flèche horizontale supérieure est le morphisme du lemme, \(\mu\) est le morphisme de multiplication, et \(a\) provient du morphisme d’adjonction \(L(g')^*Rg'_*L\to L\). Pour tout \(K'\in D(R')\), le morphisme de multiplication est le morphisme d’adjonction \(K'\otimes_R^\mathbf{L}R'\to K'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un carré cartésien d’espaces algébriques \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] sur \(S\). Supposons \(g\) et \(f\) Tor-indépendants.

1. Si \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) comme complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-modules, alors \(L(g')^*E\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) comme complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_{Y'}\)-modules.

2. Si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat sur \(Y\), alors \(L(g')^*\mathcal{G}=(g')^*\mathcal{G}\).

Démonstration

On peut calculer la Tor-dimension sur les fibres; voir Cohomologie sur les sites, lemme 0DJJ, et Propriétés des espaces, théorème 04K5. Si \(\overline{x}'\) est un point géométrique de \(X'\) d’image \(\overline x\) dans \(X\), alors \[(L(g')^*E)_{\overline{x}'} = E_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}.\] Soient \(\overline y'\) dans \(Y'\) et \(\overline y\) dans \(Y\) les images de \(\overline x'\) et \(\overline x\). Comme \(X\) et \(Y'\) sont Tor-indépendants sur \(Y\), Compléments d’algèbre, lemme 0661, montre que le membre de droite de la formule précédente est égal à \(E_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\) dans \(D(\mathcal{O}_{Y',\overline y'})\). L’assertion (1) résulte donc de Compléments d’algèbre, lemme 066L. Pour (2), il suffit d’observer que la platitude de \(\mathcal G\) équivaut à ce que \(\mathcal G[0]\) soit de Tor-amplitude contenue dans \([0,0]\), puis d’appliquer (1).

Cohomologie et changement de base, V

Cette section est l’analogue de Catégories dérivées des schémas, section 0DJ6. Dans la section 08IM, nous avons établi un théorème de changement de base sous l’hypothèse que les morphismes sont Tor-indépendants. Même dans le cas affine, aucun théorème de changement de base n’est possible sans une telle condition ; voir Compléments d’algèbre, section 065Y. Nous étudions ici les conditions sous lesquelles on peut obtenir un résultat de changement de base « complexe par complexe ».

Pour mettre cela en œuvre, soit \(S\) un schéma de base et supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] d’espaces algébriques sur \(S\) (nous supposerons généralement qu’il est cartésien). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Pour un point géométrique \(\overline{x}'\) de \(X'\), considérons les points géométriques \(\overline{x} = g'(\overline{x}')\), \(\overline{y}' = f'(\overline{x}')\), \(\overline{y} = f(\overline{x}) = g(\overline{y}')\) de \(X\), \(Y'\) et \(Y\). Nous pouvons alors considérer les morphismes \[K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'} \to K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \to K'_{\overline{x}'}\] où le premier morphisme est celui de Compléments d’algèbre, équation (065Z), et le second provient de \((L(g')^*K)_{\overline{x}'} = K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\) et du morphisme donné \(L(g')^*K \to K'\). Pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), on obtient une structure de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\)-module sur \(H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})\). En regroupant ces données, on obtient des morphismes canoniques [0DKF]\[\begin{equation} H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \longrightarrow H^i(K'_{\overline{x}'}) \end{equation}\] de \(\mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\)-modules.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout \(x' \in X'\) et tout \(i \in \mathbf{Z}\), le morphisme (0DKF) est un isomorphisme ;

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ & U \ar[d] \ar[rd]^a \\ V' \ar[r] \ar[rd]^c & V \ar[rd]^b & X \ar[d]^f \\ & Y' \ar[r]^g & Y }\] où \(a, b, c\) sont étales, où \(U, V, V'\) sont des schémas et où \(U' = V' \times_V U\), les conditions équivalentes de Catégories dérivées des schémas, lemme 0DJ8, sont satisfaites pour \((U \to X)^*K\) et \((U' \to X')^*K'\) ;

3. il existe un diagramme comme en (2) tel que \(U' \to X'\) soit surjectif.

Démonstration

Notons que la condition (1) est locale pour la topologie étale sur \(X'\). En explicitant les implications formelles des résultats connus, on voit qu’il suffit de prouver que la condition (1) du présent lemme équivaut à la condition (1) de Catégories dérivées des schémas, lemme 0DJ8, lorsque \(X, Y, Y', X'\) sont représentables par des schémas \(X_0, Y_0, Y'_0, X'_0\). Notons \(f_0, g_0, g'_0, f'_0\) les morphismes entre ces schémas qui correspondent à \(f, g, g', f'\). On peut supposer que \(K = \epsilon^*K_0\) et \(K' = \epsilon^*K'_0\) pour certains objets \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) et \(K'_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'_0})\) ; voir le lemme 071Q. De plus, le morphisme \(Lg^*K \to K'\) est l’image inverse d’un morphisme \(L(g_0)^*K_0 \to K'_0\), avec les notations de la remarque 08GH. Rappelons que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x}\) (Propriétés des espaces, lemme 04KF) et que l’on a \[K_{\overline{x}} = K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \quad\text{et}\quad K'_{\overline{x}'} = K'_{0, x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X', x'}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] (de façon analogue à Propriétés des espaces, lemme 05VP). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \ar[r] & H^i(K'_{\overline{x}'}) \\ H^i(K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', y'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y', y'})} \mathcal{O}_{X', x'} \ar[u] \ar[r] & H^i(K'_{0, x'}) \ar[u] }\] Il faut montrer que le morphisme horizontal inférieur est un isomorphisme si et seulement si le morphisme horizontal supérieur en est un. Comme \(\mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\) est fidèlement plat (Compléments d’algèbre, lemme 07QM), il suffit de montrer que le morphisme supérieur s’obtient du morphisme inférieur par le changement de base donné par ce morphisme. Cela résulte immédiatement des relations entre les fibres données plus haut pour les objets de droite. Pour les objets de gauche, il suffit de montrer que \[\begin{align*} & H^i\left( (K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\right) \\ & = H^i(K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', y'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y', y'})} (\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \end{align*}\] Cela résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0DJD. Les hypothèses de platitude de ce lemme découlent de ce qui précède ainsi que d’Algèbre, lemme 08HV, qui entraîne que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) et que \(\mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{Y', y'} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Si

1. les conditions équivalentes du lemme 0DKG sont satisfaites ; et

2. \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé,

alors le composé \(Lg^*Rf_*K \to Rf'_*L(g')^*K \to Rf'_*K'\) est un isomorphisme.

Démonstration

Pour vérifier que le morphisme est un isomorphisme, on peut raisonner localement pour la topologie étale sur \(Y'\). On peut donc supposer que \(g : Y' \to Y\) est un morphisme de schémas affines. Dans ce cas, nous utiliserons le principe de récurrence du lemme 08GP pour montrer que, pour tout espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé \(U\) étale sur \(X\), le morphisme construit de même \(Lg^*R(U \to Y)_*K|_U \to R(U' \to Y')_*K'|_{U'}\) est un isomorphisme. Ici, \(U' = X' \times_{g', X} U = Y' \times_{g, Y} U\).

Si \(U\) est un schéma (par exemple s’il est affine), le résultat est vrai. En effet, \(Y, Y', U, U'\) sont alors des schémas, et \(K\) et \(K'\) proviennent d’objets des catégories dérivées des schémas sous-jacents d’après le lemme 071Q, et la condition de Catégories dérivées des schémas, lemme 0DJ8, est satisfaite pour ces complexes d’après le lemme 0DKG. Ainsi, en vertu des compatibilités expliquées dans la remarque 08GH, on peut appliquer le résultat dans le cas des schémas, à savoir Catégories dérivées des schémas, lemme 0DJ9.

Passons à l’étape de récurrence. Soit \((U \subset W, V \to W)\) un carré distingué élémentaire, où \(W\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé, étale sur \(X\), où \(U\) est quasi-compact, où \(V\) est affine, et pour lequel le résultat vaut pour \(U\), \(V\) et \(U \times_W V\). Pour simplifier les notations, remplaçons \(W\) par \(X\) (ce qui est permis à ce stade). Notons \(a : U \to Y\), \(b : V \to Y\) et \(c : U \times_X V \to Y\) les morphismes évidents. Soient \(a' : U' \to Y'\), \(b' : V' \to Y'\) et \(c' : U' \times_{X'} V' \to Y'\) les changements de base de \(a\), \(b\) et \(c\). À l’aide des triangles distingués de Mayer–Vietoris relatif (lemme 08JK), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Lg^*Rf_*K \ar[r] \ar[d] & Rf'_*K' \ar[d] \\ Lg^*Ra_*K|_U \oplus Lg^*Rb_*K|_V \ar[r] \ar[d] & Ra'_* K'|_{U'} \oplus Rb'_* K'|_{V'} \ar[d] \\ Lg^*Rc_*K|_{U \times_X V} \ar[r] \ar[d] & Rc'_*K'|_{U' \times_{X'} V'} \ar[d] \\ Lg^*Rf_* K[1] \ar[r] & Rf'_* K'[1] }\] Comme les deuxième et troisième morphismes horizontaux sont des isomorphismes, le premier l’est aussi (Catégories dérivées, lemme 014A), ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Si les conditions équivalentes du lemme 0DKG sont satisfaites, alors :

1. pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), les conditions équivalentes du lemme 0DKG sont satisfaites pour \(L(g')^*(E \otimes^\mathbf{L} K) \to L(g')^*E \otimes^\mathbf{L} K'\) ;

2. si \(E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\), les conditions équivalentes du lemme 0DKG sont satisfaites pour \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\) ;

3. si \(K\) est borné inférieurement et si \(E\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\), les conditions équivalentes du lemme 0DKG sont satisfaites pour \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\).

Démonstration

L’énoncé a un sens, car les complexes en jeu ont des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents d’après les lemmes 08F4, 08F5 et 0A8A, ainsi que Cohomologie sur les sites, lemmes 08H4 et 08H6. Cela étant dit, dans le cas (1), on peut vérifier que les morphismes (0DKF) sont des isomorphismes en calculant la source et le but de (0DKF) à l’aide de l’associativité du produit tensoriel ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0BYJ. Le morphisme des cas (2) et (3) est le composé \[L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, L(g')^*K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\] où le premier morphisme est celui de Cohomologie sur les sites, remarque 08JF, et où le second provient du morphisme donné \(L(g')^*K \to K'\). Pour prouver que les morphismes (0DKF) sont des isomorphismes, on représente \(E_x\) par un complexe borné de \(\mathcal{O}_{X. x}\)-modules projectifs de type fini dans le cas (2), ou par un complexe borné supérieurement de modules libres de type fini dans le cas (3), puis on calcule la source et le but du morphisme. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents plats sur \(Y\). Alors la formation de \[Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\] commute à tout changement de base (voir la démonstration pour l’énoncé précis).

Démonstration

L’énoncé signifie ce qui suit. Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques et considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] autrement dit, \(X' = Y' \times_Y X\). Le lemme affirme que \[Lg^*Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow Rf'_*(L(g')^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] est un isomorphisme. Notons qu’au second membre nous n’utilisons pas l’image inverse dérivée de \(\mathcal{G}^\bullet\). Pour le démontrer, appliquons les lemmes 0DKH et 0DKI : il suffit de prouver que le morphisme canonique \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] satisfait aux conditions équivalentes du lemme 0DKG. Cela résulte de la vérification de la condition sur les fibres, où le résultat découle immédiatement du fait que \(\mathcal{G}^\bullet_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\) calcule le produit tensoriel dérivé en vertu de nos hypothèses sur le complexe \(\mathcal{G}^\bullet\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Si

1. \(E\) est parfait, \(\mathcal{G}^\bullet\) est borné supérieurement et \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(Y\) ; ou si

2. \(E\) est pseudo-cohérent, \(\mathcal{G}^\bullet\) est borné et \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(Y\),

alors la formation de \[Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] commute à tout changement de base (voir la démonstration pour l’énoncé précis).

Démonstration

L’énoncé signifie ce qui suit. Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques et considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_h \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] autrement dit, \(X' = Y' \times_Y X\). Le lemme affirme que \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] est un isomorphisme. Notons qu’au second membre nous n’utilisons pas l’image inverse dérivée de \(\mathcal{G}^\bullet\). Pour le démontrer, appliquons les lemmes 0DKH et 0DKI : il suffit de prouver que le morphisme canonique \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] satisfait aux conditions équivalentes du lemme 0DKG. Cela a été montré dans la démonstration du lemme 0A1K.

Construction de complexes parfaits

Le lemme suivant est notre principal outil technique pour construire des complexes parfaits. Les variantes ultérieures de ce résultat se ramèneront à ce lemme par approximation noethérienne.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(f:X\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini et quasi-séparé. Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) tel que

1. \(E\in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) ;

2. le support de \(H^i(E)\) est propre sur \(Y\) pour tout \(i\) ;

3. \(E\) est de Tor-dimension finie comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\).

Alors \(Rf_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

D’après le lemme 08GK, \(Rf_*E\) est un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\). Il est donc pseudo-cohérent (lemme 08IK). Il suffit par conséquent de montrer que \(Rf_*E\) est de Tor-dimension finie ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08G8. D’après le lemme 08IL, il suffit de vérifier que \(Rf_*(E)\otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L}\mathcal{F}\) a une cohomologie uniformément bornée pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(Y\). Le fait que ce complexe soit borné supérieurement est immédiat, puisque \(Rf_*(E)\) l’est. Soit \(T\subset |X|\) la réunion des supports de \(H^i(E)\) pour tout \(i\). Les hypothèses (1) et (2), ainsi que le lemme 0CZH, montrent que \(T\) est propre sur \(Y\). Il existe donc un sous-espace ouvert quasi-compact \(X'\subset X\) contenant \(T\). En posant \(f'=f|_{X'}\), on a \(Rf_*(E)=Rf'_*(E|_{X'})\), car la restriction de \(E\) à \(X\setminus T\) est nulle. On peut ainsi remplacer \(X\) par \(X'\) et supposer \(f\) quasi-compact. Nous avons supposé \(f\) quasi-séparé. Par conséquent, \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F} = Rf_*\left(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}\right) = Rf_*\left(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\right)\] d’après le lemme 08IN et Cohomologie sur les sites, lemme 08I6. Par l’hypothèse (3), le complexe \(E\otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L}f^{-1}\mathcal{F}\) a ses faisceaux de cohomologie dans un intervalle fini fixé, disons \([a,b]\). Son image par \(Rf_*\) a donc sa cohomologie dans \([a,\infty)\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(f:X\to B\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini et quasi-séparé. Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, plats sur \(B\) et dont le support est propre sur \(B\). Alors \(K=Rf_*(E\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G}^\bullet)\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_B)\).

Démonstration

L’objet \(K\) est parfait d’après le lemme 08IS. Vérifions que les hypothèses de ce lemme sont satisfaites. Localement, \(E\) est isomorphe à un complexe fini de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini. Ainsi, localement, \(E\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G}^\bullet\) est isomorphe à un complexe fini dont les termes sont de la forme \[\bigoplus\nolimits_{i = a, \ldots, b} (\mathcal{G}^i)^{\oplus r_i}\] pour certains entiers \(a,b,r_a,\ldots,r_b\). Il en résulte immédiatement que les faisceaux de cohomologie \(H^i(E\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G})\) sont cohérents. L’hypothèse sur la Tor-dimension en découle elle aussi, puisque \(\mathcal{G}^i\) est plat sur \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(f:X\to B\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini et quasi-séparé. Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, plats sur \(B\) et dont le support est propre sur \(B\). Alors \(K=Rf_*R\SheafHom(E,\mathcal{G})\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_B)\).

Démonstration

Comme \(E\) est un complexe parfait, il existe un complexe parfait dual \(E^\vee\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ. On a \(R\SheafHom(E,\mathcal{G}^\bullet)= E^\vee\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G}^\bullet\). La perfection de \(K\) résulte donc du lemme 0DKJ.

Une formule de projection pour Ext

Le lemme 08JR (ou des résultats analogues de la littérature) est parfois utile pour vérifier les propriétés d’une théorie des obstructions nécessaires à la vérification de l’un des critères d’Artin pour les foncteurs Quot, les schémas de Hilbert et d’autres problèmes de modules. Supposons que \(f:X\to Y\) soit un morphisme propre, plat et de présentation finie d’espaces algébriques, et que \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) soit parfait. Le lemme affirme alors que \[\Ext^i_X(E, f^*\mathcal{F}) = \Ext^i_Y((Rf_*E^\vee)^\vee, \mathcal{F})\] pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(Y\). Sous cette forme, l’identité prend l’allure d’une formule de projection pour Ext ; de fait, le résultat découle assez facilement du lemme 08IN.

Lemme

Conservons les hypothèses et les notations du lemme 0DKJ. Il existe alors des isomorphismes fonctoriels \[H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \longrightarrow H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(B\), compatibles avec les homomorphismes cobord (voir la démonstration).

Démonstration

On a \[\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_B}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_B} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}.\] La première ègalité résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 08I6, la deuxième du fait que \(\mathcal{G}^n\) est un \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-module plat, et la troisième de la définition des images inverses. On obtient donc \[\begin{align*} H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})) & = H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}) \\ & = H^i(B, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*\mathcal{F})) \\ & = H^i(B, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \\ & = H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}). \end{align*}\] La première ègalité vient de ce qui précède, la deuxième de la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, remarque 08J6), et la troisième du lemme 08IN. La compatibilité avec les homomorphismes cobord signifie ceci : pour toute suite exacte courte \(0\to\mathcal{F}_1\to\mathcal{F}_2\to\mathcal{F}_3\to0\), les isomorphismes s’insèrent dans des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3)) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1) \ar[r] & H^{i + 1}(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1)) }\] où les homomorphismes cobord proviennent du triangle distingué \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1[1]\] et du triangle distingué de \(D(\mathcal{O}_X)\) associé à la suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0.\] Cette suite est exacte parce que \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(B\). Nous omettons la vérification de la commutativité du diagramme affiché.

Lemme

Conservons les hypothèses et les notations du lemme 0DKK. Il existe alors des isomorphismes fonctoriels \[H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(B\), compatibles avec les homomorphismes cobord (voir la démonstration).

Démonstration

Comme dans la démonstration du lemme 0DKK, soit \(E^\vee\) le complexe parfait dual, et rappelons que \(K=Rf_*(E^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}\mathcal{G}^\bullet)\). Comme on a aussi \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) = H^i(X, E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})),\] par construction de \(E^\vee\), l’existence des isomorphismes résulte du lemme 0A1M appliqué à \(E^\vee\) et \(\mathcal{G}^\bullet\). La compatibilité avec les homomorphismes cobord signifie ceci : pour toute suite exacte courte \(0\to\mathcal{F}_1\to\mathcal{F}_2\to\mathcal{F}_3\to0\), les isomorphismes s’insèrent dans des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1) \ar[r] & \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1) }\] où les homomorphismes cobord proviennent du triangle distingué \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1[1]\] et du triangle distingué de \(D(\mathcal{O}_X)\) associé à la suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0.\] Cette suite est exacte parce que \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(B\). Nous omettons la vérification de la commutativité du diagramme affiché.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\), et soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que

1. \(B\) soit noethérien ;

2. \(f\) soit localement de type fini et quasi-séparé ;

3. \(E\in D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) ;

4. \(\mathcal{G}^\bullet\) soit un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, plats sur \(B\) et dont le support est propre sur \(B\).

Alors les deux assertions suivantes sont vraies :

1. pour tout \(m\in\mathbf{Z}\), il existe un objet parfait \(K\) de \(D(\mathcal{O}_B)\) et des homomorphismes fonctoriels \[\alpha^i_\mathcal{F} : \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(B\), compatibles avec les homomorphismes cobord (voir la démonstration), tels que \(\alpha^i_\mathcal{F}\) soit un isomorphisme pour \(i\leq m\) ;

2. il existe \(L\in D(\mathcal{O}_B)\) pseudo-cohérent et des isomorphismes fonctoriels \[\Ext^i_{\mathcal{O}_B}(L, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(B\), compatibles avec les homomorphismes cobord.

Démonstration

Démonstration de (A). Supposons \(\mathcal{G}^i\) non nul seulement pour \(i\in[a,b]\). On peut remplacer \(X\) par un voisinage ouvert quasi-compact de la réunion des supports des \(\mathcal{G}^i\). On peut donc supposer \(X\) noethérien. Dans ce cas, \(X\) et \(f\) sont quasi-compacts et quasi-séparés. Choisissons une approximation \(P\to E\) par un complexe parfait \(P\) de \((X,E,-m-1+a)\) (ce qui est possible par le théorème 08HP). Le morphisme induit \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] est alors un isomorphisme pour \(i\leq m\). En effet, le noyau, resp. le conoyau, de ce morphisme est un quotient, resp. un sous-module, de \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \quad\text{resp.}\quad \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}),\] où \(C\) est le cône de \(P\to E\). Comme les faisceaux de cohomologie de \(C\) sont nuls en degrés \(\geq-m-1+a\), ces groupes d’Ext sont nuls pour \(i\leq m+1\) d’après Catégories dérivées, lemme 06XS. On est ainsi ramené au cas où \(E\) est un complexe parfait, qui est le lemme 08JN. La compatibilité avec les homomorphismes cobord est expliquée dans la démonstration du lemme 08JN.

Démonstration de (B). Comme dans la démonstration de (A), on peut supposer \(X\) noethérien. Le lemme 08IK montre que \(E\) est pseudo-cohérent. D’après le lemme 0DKB, on peut ècrire \(E=\text{hocolim}\,E_n\), où les \(E_n\) sont parfaits et où \(E_n\to E\) induit un isomorphisme sur les troncations \(\tau_{\geq-n}\). Soit \(E_n^\vee\) le complexe parfait dual (Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ). On obtient un système projectif \(\ldots\to E_3^\vee\to E_2^\vee\to E_1^\vee\) d’objets parfaits. Celui-ci donne à son tour un système projectif \[\ldots \to K_3 \to K_2 \to K_1\quad\text{avec}\quad K_n = Rf_*(E_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] d’objets parfaits sur \(Y\) ; voir le lemme 0DKJ. D’après le lemme 08JN et sa démonstration, ainsi que les arguments du paragraphe précédent (avec \(P=E_n\)), pour tout \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(Y\), on dispose d’homomorphismes canoniques fonctoriels \[\xymatrix{ & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \ar[ld] \ar[rd] \\ H^i(Y, K_{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[rr] & & H^i(Y, K_n \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] qui sont des isomorphismes pour \(i\leq n+a\). Soit \(L_n=K_n^\vee\) le complexe parfait dual. On voit alors que \(L_1\to L_2\to L_3\to\ldots\) est un système inductif d’objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_Y)\) tel que, pour tout \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(Y\), les morphismes \[\Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_{n + 1}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_n, \mathcal{F})\] sont des isomorphismes pour \(i\leq n+a-1\). Il en résulte que \(L_n\to L_{n+1}\) induit un isomorphisme sur les troncations \(\tau_{\geq-n-a+2}\) (indication : prendre le cône de \(L_n\to L_{n+1}\) et considérer son dernier faisceau de cohomologie non nul). Ainsi, \(L=\text{hocolim}\,L_n\) est pseudo-cohérent ; voir le lemme 0DKB. La propriété universelle des colimites homotopiques donne \(\Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L,\mathcal{F})= \Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_n,\mathcal{F})\) pour \(i\leq n+a-3\), ce qui achève la démonstration.

Remarque

Le complexe pseudo-cohérent \(L\) de la partie (B) du lemme 08JR est canoniquement associé à la situation. Par exemple, la construction de \(L\) dans (B) est compatible avec le changement de base. Autrement dit, pour tout diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] on a des isomorphismes canoniques fonctoriels \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{Y'}}(Lg^*L, \mathcal{F}') \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{F}')\] pour \(\mathcal{F}'\) quasi-cohérent sur \(Y'\). Notons que nous n’utilisons pas l’image inverse dérivée de \(\mathcal{G}^\bullet\) au membre de droite. Si ce résultat nous est un jour nécessaire, nous en formulerons ici un énoncé précis et en donnerons une démonstration détaillée.

Limites et catégories dérivées

Nous rassemblons dans cette section quelques résultats sur la catégorie dérivée d’un espace algébrique qui est la limite projective d’un système projectif d’espaces algébriques. Plus précisément, nous nous placerons dans la situation suivante.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X=\lim_{i\in I}X_i\) la limite projective d’un système projectif d’espaces algébriques sur \(S\), dont les morphismes de transition affines sont \(f_{i'i}:X_{i'}\to X_i\). Notons \(f_i:X\to X_i\) la projection. Nous supposons \(X_i\) quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i\in I\). Nous choisissons en outre un èlément \(0\in I\).

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 09RH. Soient \(E_0\) et \(K_0\) des objets de \(D(\mathcal{O}_{X_0})\). Posons \(E_i=Lf_{i0}^*E_0\) et \(K_i=Lf_{i0}^*K_0\) pour \(i\geq0\), ainsi que \(E=Lf_0^*E_0\) et \(K=Lf_0^*K_0\). Alors le morphisme \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_i})}(E_i, K_i) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(E, K)\] est un isomorphisme dans chacun des cas suivants :

1. \(E_0\) est parfait et \(K_0\in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) ;

2. \(E_0\) est pseudo-cohérent et \(K_0\in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) est de Tor-dimension finie.

Démonstration

Pour tout objet quasi-compact et quasi-séparé \(U_0\) de \((X_0)_{spaces,\etale}\), considérons la propriété \(P\) selon laquelle le morphisme canonique \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{U_i})}(E_i|_{U_i}, K_i|_{U_i}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E|_U, K|_U)\] est un isomorphisme, où \(U=X\times_{X_0}U_0\) et \(U_i=X_i\times_{X_0}U_0\). Nous allons montrer, par le principe de récurrence du lemme 08GP, que chaque \(U_0\) vérifie \(P\). La condition (2) de ce lemme résulte immédiatement de Mayer–Vietoris pour les Hom de la catégorie dérivée ; voir le lemme 08H9. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(X_0\) est affine.

Si \(X_0\) est affine, le résultat découle du cas des schémas ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 09RE. Pour le constater, utilisons l’équivalence du lemme 071Q et la correspondance des propriétés expliquée dans les lemmes 08HE, 08HF et 08HG.

Lemme

Dans la situation 09RH, la catégorie des objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_X)\) est la limite inductive des catégories d’objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\).

Démonstration

Pour tout objet quasi-compact et quasi-séparé \(U_0\) de \((X_0)_{spaces,\etale}\), considérons la propriété \(P\) selon laquelle le foncteur \[\colim_{i \geq 0} D_{perf}(\mathcal{O}_{U_i}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_U)\] est une èquivalence, où l’indice \({}_{perf}\) désigne la sous-catégorie pleine des objets parfaits, et où \(U=X\times_{X_0}U_0\) et \(U_i=X_i\times_{X_0}U_0\). Nous allons montrer, par le principe de récurrence du lemme 08GP, que chaque \(U_0\) vérifie \(P\). D’après le lemme 09RI, nous savons déjà que le foncteur est pleinement fidèle. Il suffit donc d’établir sa surjectivité essentielle.

Vérifions d’abord la condition (2) du principe de récurrence. Supposons donc donné un carré distingué èlémentaire \((U_0\subset X_0,V_0\to X_0)\), et supposons que \(U_0\), \(V_0\) et \(U_0\times_{X_0}V_0\) vérifient \(P\). Soit \(E\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). On peut trouver un indice \(i\geq0\) et des objets parfaits \(E_{U,i}\) sur \(U_i\) et \(E_{V,i}\) sur \(V_i\), dont les images inverses sur \(U\) et \(V\) sont respectivement isomorphes à \(E|_U\) et \(E|_V\). Notons \[a : E_{U, i} \to (R(X \to X_i)_*E)|_{U_i} \quad\text{et}\quad b : E_{V, i} \to (R(X \to X_i)_*E)|_{V_i}\] les morphismes adjoints aux isomorphismes \(L(U\to U_i)^*E_{U,i}\to E|_U\) et \(L(V\to V_i)^*E_{V,i}\to E|_V\). Par pleine fidélité, quitte à augmenter \(i\), on peut trouver un isomorphisme \(c:E_{U,i}|_{U_i\times_{X_i}V_i}\to E_{V,i}|_{U_i\times_{X_i}V_i}\) dont l’image inverse donne les identifications \[L(U \to U_i)^*E_{U, i}|_{U \times_X V} \to E|_{U \times_X V} \to L(V \to V_i)^*E_{V, i}|_{U \times_X V}.\] Appliquons le lemme 08HB. On obtient un objet \(E_i\) sur \(X_i\) et un morphisme \(d:E_i\to R(X\to X_i)_*E\) dont les restrictions sur \(U_i\) et \(V_i\) sont les morphismes \(a\) et \(b\). Il est alors clair que \(E_i\) est parfait et que \(d\) est adjoint à un isomorphisme \(L(X\to X_i)^*E_i\to E\).

Vérifions enfin la condition (1) du principe de récurrence, autrement dit le cas où \(X_0\) est affine. Celui-ci résulte du cas des schémas ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 09RF. Pour le constater, utilisons l’équivalence du lemme 071Q et la correspondance du lemme 08HG.

Cohomologie et changement de base, VI

Cette dernière section sur la cohomologie et le changement de base poursuit la discussion des sections 08IM, 0DKE et 0A1L. Un cas particulier facile à saisir est donné dans la remarque 0A1Q.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de présentation finie entre des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie dont les termes sont plats sur \(Y\) et dont le support est propre sur \(Y\). Alors \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’assertion concernant le changement de base est le lemme 0A1K. Il suffit donc de montrer que \(K\) est un objet parfait. Si \(Y\) est noethérien, cela résulte du lemme 0DKJ. Nous nous ramènerons à ce cas par approximation noethérienne. Nous conseillons au lecteur de ne pas lire la suite de cette démonstration.

La question étant locale sur \(Y\), nous pouvons supposer \(Y\) affine. Écrivons \(Y = \Spec(R)\). Écrivons \(R = \colim R_i\) comme limite inductive filtrante d’anneaux noethériens \(R_i\). D’après Limites d’espaces, lemme 07SK, il existe un \(i\) et un espace algébrique \(X_i\) de présentation finie sur \(R_i\) dont le changement de base à \(R\) est \(X\). D’après Limites d’espaces, lemme 07V7, quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer qu’il existe un complexe borné de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{G}_i^\bullet\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(\mathcal{G}^\bullet\). Quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer que \(\mathcal{G}_i^n\) est plat sur \(R_i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 08K0. Quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer que le support de \(\mathcal{G}_i^n\) est propre sur \(R_i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 08K2. Enfin, d’après le lemme 09RJ, quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer qu’il existe un objet parfait \(E_i\) de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(E\). D’après le lemme 0DKJ, \(K_i = Rf_{i, *}(E_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i}}^\mathbf{L} \mathcal{G}_i^\bullet)\) est parfait sur \(\Spec(R_i)\), où \(f_i : X_i \to \Spec(R_i)\) est le morphisme structural. D’après le résultat de changement de base (lemme 0A1K), l’image inverse de \(K_i\) sur \(Y = \Spec(R)\) est \(K\), ce qui permet de conclure.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(X\) un espace algébrique de présentation finie sur \(R\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(R\) et dont le support est propre sur \(R\). D’après le lemme 0A1P, il existe un complexe fini de \(R\)-modules projectifs de type fini \(M^\bullet\) tel que l’on ait \[R\Gamma(X_{R'}, \mathcal{G}_{R'}) = M^\bullet \otimes_R R'\] fonctoriellement en la \(R\)-algèbre \(R'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de présentation finie entre des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet pseudo-cohérent. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie dont les termes sont plats sur \(Y\) et dont le support est propre sur \(Y\). Alors \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_Y)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’assertion concernant le changement de base est le lemme 0A1K. Il suffit donc de montrer que \(K\) est un objet pseudo-cohérent. Cela résultera du lemme 0A1P grâce à une approximation par des complexes parfaits. Nous conseillons au lecteur de ne pas lire la suite de cette démonstration.

La question est locale pour la topologie étale sur \(Y\) ; nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. Alors \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. De plus, il existe un entier \(N\) tel que l’image directe totale \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) soit de dimension cohomologique \(N\), comme l’explique le lemme 08FA. Choisissons un entier \(b\) tel que \(\mathcal{G}^i = 0\) pour \(i > b\). Il suffit de montrer que \(K\) est \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(m\). Choisissons une approximation \(P \to E\) par un complexe parfait \(P\) de \((X, E, m - N - 1 - b)\). Cela est possible d’après le théorème 08HP. Choisissons un triangle distingué \[P \to E \to C \to P[1]\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les faisceaux de cohomologie de \(C\) sont nuls en degrés \(\geq m - N - 1 - b\). Par conséquent, les faisceaux de cohomologie de \(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) sont nuls en degrés \(\geq m - N - 1\). Ainsi, les faisceaux de cohomologie de \(Rf_*(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G})\) sont nuls en degrés \(\geq m - 1\). Par conséquent, \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}) \to Rf_*(E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G})\] est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq m\). Supposons ensuite que \(H^i(P) = 0\) pour \(i > a\). Alors \(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet \longrightarrow P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq m - N - 1\). Nous trouvons donc de nouveau que \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq m\). D’après le lemme 0A1P, la source est un complexe parfait. Nous en concluons que \(K\) est \(m\)-pseudo-cohérent, comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre et de présentation finie entre des espaces algébriques sur \(S\).

1. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait et supposons \(f\) plat. Alors \(Rf_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) et sa formation commute à tout changement de base.

2. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(S\). Alors \(Rf_*\mathcal{G}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

Ce sont des cas particuliers du lemme 0A1P, obtenus en prenant (1) \(\mathcal{G}^\bullet\) égal au complexe \(\mathcal{O}_X\) placé en degré \(0\) et (2) \(E = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) égal au complexe constitué de \(\mathcal{G}\) placé en degré \(0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre, plat et de présentation finie entre des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet pseudo-cohérent. Alors \(Rf_*E\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_Y)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Plus généralement, si \(f : X \to Y\) est propre et si \(E\) sur \(X\) est pseudo-cohérent relativement à \(Y\) (Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 0CSY), alors \(Rf_*E\) est pseudo-cohérent (mais sa formation ne commute pas au changement de base à ce degré de généralité). Pour les schémas, cet ènoncé est démontré dans [Kiehl].

Démonstration

C’est le cas particulier du lemme 0CTL obtenu en prenant \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(X\) un espace algébrique et soit \(f : X \to \Spec(R)\) un morphisme propre, plat et de présentation finie. Soit \((M_n)\) un système projectif de \(R\)-modules dont les morphismes de transition sont surjectifs. Alors le morphisme canonique \[\mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n) \longrightarrow \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\] induit un isomorphisme de la source sur l’objet obtenu en appliquant \(DQ_X\) à la cible.

Démonstration

L’énoncé signifie que, pour tout objet \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le morphisme induit \[\Hom(E, \mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n)) \longrightarrow \Hom(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] est un isomorphisme. Comme \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet un générateur parfait (théorème 09IY), il suffit de le vérifier pour \(E\) parfait. D’après le lemme 0D3E, on a \(\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n = R\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\). Le foncteur exact \(R\Hom_X(E, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(R)\), considéré dans Cohomologie sur les sites, section 0B6E, commute aux produits, donc aux limites projectives dérivées ; par conséquent, \[R\Hom_X(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\lim R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] Soit \(E^\vee\) le complexe parfait dual ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ. On a \[R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\Gamma(X, E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*M_n) = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n\] d’après le lemme 08IN. Le lemme 0CTM montre que \(R\Gamma(X, E^\vee)\) est un complexe parfait de \(R\)-modules. En particulier, c’est un complexe pseudo-cohérent ; le lemme 0D2L de Compléments d’algèbre donne donc \[R\lim R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} \lim M_n\] ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(A\), quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Si \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) pour tout \(E\) parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\), alors \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) pour tout \(E\) pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Il existe un entier \(N\) tel que \(R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) soit de dimension cohomologique \(N\), comme expliqué dans le lemme 08FA. Soit \(b \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^i(K) = 0\) pour \(i > b\). Soit \(E\) pseudo-cohérent sur \(X\). Il suffit de montrer que \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(m\). Choisissons une approximation \(P \to E\) par un complexe parfait \(P\) de \((X, E, m - N - 1 - b)\). C’est possible d’après le théorème 08HP. Choisissons un triangle distingué \[P \to E \to C \to P[1]\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les faisceaux de cohomologie de \(C\) sont nuls en degrés \(\geq m - N - 1 - b\). Par suite, les faisceaux de cohomologie de \(C \otimes^\mathbf{L} K\) sont nuls en degrés \(\geq m - N - 1\). Les groupes de cohomologie de \(R\Gamma(X, C \otimes^\mathbf{L} K)\) sont donc nuls en degrés \(\geq m - 1\). Ainsi, \[R\Gamma(X, P \otimes^\mathbf{L} K) \to R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\] induit un isomorphisme sur la cohomologie en degrés \(\geq m\). Par hypothèse, la source est pseudo-cohérente. On en déduit que \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est \(m\)-pseudo-cohérent, comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de présentation finie entre des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie, dont les termes sont plats sur \(Y\) et dont le support est propre sur \(Y\). Alors \[K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’assertion sur le changement de base est le lemme 08JQ. Il suffit donc de montrer que \(K\) est un objet parfait. Si \(Y\) est noethérien, cela résulte du lemme 0DKK. Nous allons nous ramener à ce cas par approximation noethérienne. Nous conseillons au lecteur de ne pas lire la suite de cette démonstration.

La question étant locale sur \(Y\), on peut donc supposer \(Y\) affine. Écrivons \(Y = \Spec(R)\). Écrivons \(R = \colim R_i\) comme limite inductive filtrante d’anneaux noethériens \(R_i\). D’après Limites d’espaces, lemme 07SK, il existe un \(i\) et un espace algébrique \(X_i\) de présentation finie sur \(R_i\) dont le changement de base à \(R\) est \(X\). D’après Limites d’espaces, lemme 07V7, on peut supposer, quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, qu’il existe un complexe borné de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{G}_i^\bullet\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(\mathcal{G}\). Quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, on peut supposer que \(\mathcal{G}_i^n\) est plat sur \(R_i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 08K0. Quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, on peut supposer que le support de \(\mathcal{G}_i^n\) est propre sur \(R_i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 08K2. Enfin, d’après le lemme 08HG, on peut, quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, supposer qu’il existe un objet parfait \(E_i\) de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(E\). En appliquant le lemme 08JN à \(X_i \to \Spec(R_i)\), \(E_i\), \(\mathcal{G}_i^\bullet\) et en utilisant la propriété de changement de base déjà démontrée, on obtient le résultat.

Complexes parfaits

Nous commençons par étudier les lieux de saut des nombres de Betti des complexes parfaits. Définissons d’abord les nombres de Betti.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(x\in|X|\). Nous voulons définir \(\beta_i(x)\in\{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}\). Pour cela, choisissons un morphisme \(f:\Spec(k)\to X\) représentant \(x\). Alors \(Lf^*E\) est un objet de \(D(\Spec(k)_\etale,\mathcal{O})\). D’après Cohomologie étale, lemme 0D1W, et le théorème 03OJ, on a \(D(\Spec(k)_\etale,\mathcal{O})=D(k)\), la catégorie dérivée des \(k\)-espaces vectoriels. Ainsi, \(Lf^*E\) est un complexe de \(k\)-espaces vectoriels et l’on peut poser \(\beta_i(x)=\dim_k H^i(Lf^*E)\). On voit facilement que cette valeur ne dépend pas du choix du représentant de \(x\). De plus, si \(X\) est un schéma, cette notion coïncide avec celle employée dans Catégories dérivées des schémas, section 0BDH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) pseudo-cohérent (par exemple parfait). Pour tout \(i\in\mathbf{Z}\), considérons la fonction \[\beta_i : |X| \longrightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}\] définie ci-dessus. Alors

1. la formation de \(\beta_i\) commute à tout changement de base ;

2. les fonctions \(\beta_i\) sont semi-continues supérieurement ;

3. les ensembles de niveau de \(\beta_i\) sont localement constructibles pour la topologie étale.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi:U\to X\). Alors \(L\varphi^*E\) est un complexe pseudo-cohérent sur le schéma \(U\) (utiliser le lemme 08HE), et l’on peut appliquer le résultat pour les schémas ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0BDI. L’assertion (3) signifie que les images inverses des ensembles de niveau sur \(U\) sont localement constructibles ; voir Propriétés des espaces, définition 0ECU.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(Y\) tel que le morphisme structural \(f:X\to Y\) soit plat, propre et de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(Y\). Pour \(i\in\mathbf{Z}\) fixé, considérons la fonction \[\beta_i : |Y| \to \{0, 1, 2, \ldots\},\quad y \longmapsto \dim_{\kappa(y)} H^i(X_y, \mathcal{F}_y).\] Alors

1. la formation de \(\beta_i\) commute à tout changement de base ;

2. les fonctions \(\beta_i\) sont semi-continues supérieurement ;

3. les ensembles de niveau de \(\beta_i\) sont localement constructibles dans \(Y\).

Démonstration

D’après le théorème de cohomologie et changement de base (plus précisément, le lemme 0CTM), l’objet \(K=Rf_*\mathcal{F}\) est un objet parfait de la catégorie dérivée de \(Y\) dont la formation commute à tout changement de base. En particulier, \[H^i(X_y, \mathcal{F}_y) = H^i(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y)).\] Le lemme résulte donc du lemme 0D1Y.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. La fonction \[\chi_E : |X| \longrightarrow \mathbf{Z},\quad x \longmapsto \sum (-1)^i \beta_i(x)\] est localement constante sur \(X\).

Démonstration

Démonstration omise. Indications : on se ramène au cas des schémas par localisation étale. Voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0BDJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Étant donnés \(i,r\in\mathbf{Z}\), il existe un sous-espace ouvert \(U\subset X\) caractérisé par les propriétés suivantes :

1. \(E|_U\cong H^i(E|_U)[-i]\) et \(H^i(E|_U)\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module localement libre de rang \(r\) ;

2. un morphisme \(f:Y\to X\) se factorise par \(U\) si et seulement si \(Lf^*E\) est isomorphe à un module localement libre de rang \(r\) placé en degré \(i\).

Démonstration

Démonstration omise. Indications : on se ramène au cas des schémas par localisation étale. Voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0BDK.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), propre, plat et de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(Y\). Fixons \(i,r\in\mathbf{Z}\). Il existe alors un sous-espace ouvert \(V\subset Y\) possédant la propriété suivante : un morphisme \(T\to Y\) se factorise par \(V\) si et seulement si \(Rf_{T,*}\mathcal{F}_T\) est isomorphe à un module localement libre de type fini et de rang \(r\), placé en degré \(i\).

Démonstration

D’après le théorème de cohomologie et changement de base (lemme 0CTM), l’objet \(K=Rf_*\mathcal{F}\) est un objet parfait de la catégorie dérivée de \(Y\) dont la formation commute à tout changement de base. Ce lemme résulte donc immédiatement du lemme 0D20.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E\in D(\mathcal{O}_X)\) parfait, de Tor-amplitude contenue dans \([a,b]\) pour certains \(a,b\in\mathbf{Z}\). Soit \(r\geq0\). Il existe alors un sous-espace localement fermé \(j:Z\to X\) caractérisé par les propriétés suivantes :

1. \(H^a(Lj^*E)\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module localement libre de rang \(r\) ;

2. un morphisme \(f:Y\to X\) se factorise par \(Z\) si et seulement si, pour tout morphisme \(g:Y'\to Y\), le \(\mathcal{O}_{Y'}\)-module \(H^a(L(f\circ g)^*E)\) est localement libre de rang \(r\).

De plus, \(j:Z\to X\) est de présentation finie et

1. si \(f:Y\to X\) se factorise sous la forme \(Y\xrightarrow{g}Z\to X\), alors \(H^a(Lf^*E)=g^*H^a(Lj^*E)\) ;

2. si \(\beta_a(x)\leq r\) pour tout \(x\in|X|\), alors \(j\) est une immersion fermée et, pour tout \(f:Y\to X\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f:Y\to X\) se factorise par \(Z\) ;

   2. \(H^0(Lf^*E)\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de rang \(r\) ;

   et, si \(r=1\), elles sont encore équivalentes à

   1. \(\mathcal{O}_Y\to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(H^0(Lf^*E),H^0(Lf^*E))\) est injectif.

Démonstration

Démonstration omise. Indications : on se ramène au cas des schémas par localisation étale. Voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0BDL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(f\) soit propre, plat et de présentation finie ;

2. pour tout morphisme \(\Spec(k)\to Y\), où \(k\) est un corps, on ait \(k=H^0(X_k,\mathcal{O}_{X_k})\).

Alors

1. \(f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y\), et cette égalité subsiste après tout changement de base ;

2. localement pour la topologie étale sur \(Y\), on a \[Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \oplus P\] dans \(D(\mathcal{O}_Y)\), où \(P\) est parfait et de Tor-amplitude dans \([1,\infty)\).

Démonstration

Il suffit de démontrer (a) et (b) localement pour la topologie étale sur \(Y\) ; nous pouvons donc supposer, ce que nous ferons, que \(Y\) est un schéma affine. D’après le théorème de cohomologie et changement de base (lemme 0CTM), le complexe \(E=Rf_*\mathcal{O}_X\) est parfait et sa formation commute à tout changement de base. En particulier, pour \(y\in Y\), on a \(H^0(E\otimes^\mathbf{L}\kappa(y))= H^0(X_y,\mathcal{O}_{X_y})=\kappa(y)\). Ainsi, \(\beta_0(y)\leq1\) pour tout \(y\in Y\), avec les notations du lemme 0D1Y. Appliquons le lemme 0D21 avec \(a=0\) et \(r=1\). On obtient un sous-schéma fermé universel \(j:Z\to Y\) tel que \(H^0(Lj^*E)\) soit inversible, caractérisé par l’équivalence de (4)(a), (b) et (c) du lemme. Puisque la formation de \(E\) commute au changement de base, on a \[Lf^*E = R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X}.\] Le morphisme \(\text{pr}_1:X\times_YX\) possède une section, à savoir le morphisme diagonal \(\Delta\) de \(X\) relativement à \(Y\). On obtient donc des morphismes \[\mathcal{O}_X \longrightarrow R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), dont le composé est l’identité. Par conséquent, \(R\text{pr}_{1,*}\mathcal{O}_{X\times_YX}=\mathcal{O}_X\oplus E'\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Ainsi, \(\mathcal{O}_X\) est un facteur direct de \(H^0(Lf^*E)\), et l’équivalence de (4)(c) et (4)(a) dans le lemme précité montre que \(X\to Y\) se factorise par \(Z\). Puisque \(\{X\to Y\}\) est un recouvrement fppf, on a \(Z=Y\). Ainsi, \(f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. On conclut que \(\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme, car un morphisme d’anneaux \(A\to B\) tel que \(B\) soit inversible comme \(A\)-module est un isomorphisme. Les hypothèses étant stables par changement de base, (a) est démontré.

Démonstration de (b). Nous avons vu ci-dessus que, pour tout \(y\in Y\), le morphisme \(\mathcal{O}_Y\to H^0(E\otimes^\mathbf{L}\kappa(y))\) est surjectif. Le lemme 0A1U de Compléments d’algèbre montre donc que, dans un voisinage ouvert de \(y\), on a une décomposition \(Rf_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y\oplus P\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(f\) soit propre, plat et de présentation finie ;

2. les fibres géométriques de \(f\) soient réduites et connexes.

Alors \(f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y\), et cette égalité subsiste après tout changement de base.

Démonstration

D’après le lemme 0E6B, il suffit de montrer que \(k=H^0(X_k,\mathcal{O}_{X_k})\) pour tout morphisme \(\Spec(k)\to Y\), où \(k\) est un corps. Cela résulte du lemme 0DMY du chapitre Espaces sur un corps, et du fait que \(X_k\) est géométriquement connexe et géométriquement réduit.

Autres applications

Nous énonçons et démontrons dans cette section quelques résultats qui se déduisent de la théorie développée ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(K\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel que, pour tout schéma affine étale sur \(X\), les ensembles de sections des faisceaux de cohomologie \(H^i(K)\) soient dénombrables. Alors, pour tout morphisme étale quasi-compact et quasi-séparé \(U\to X\) et tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), les ensembles \[H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E),\quad \Ext^i(E|_U, K|_U)\] sont dénombrables.

Démonstration

D’après Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ, il suffit de démontrer le résultat pour les groupes \(H^i(U,K\otimes^\mathbf{L}E)\). Nous allons employer le principe de récurrence du lemme 08GP.

Lorsque \(U=\Spec(A)\) est affine, le résultat découle du cas des schémas ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0CRP.

Pour achever la démonstration, il suffit d’établir ceci : si \((U\subset W,V\to W)\) est un carré distingué élémentaire et si le résultat vaut pour \(U\), \(V\) et \(U\times_WV\), alors il vaut pour \(W\). C’est une conséquence immédiate de la suite de Mayer–Vietoris ; voir le lemme 0CRS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Supposons dénombrables les ensembles de sections de \(\mathcal{O}_X\) sur les schémas affines étales sur \(X\). Soit \(K\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(K=\text{hocolim}\ E_n\), où les \(E_n\) sont des objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_X)\) ;

2. les faisceaux de cohomologie \(H^i(K)\) ont des ensembles dénombrables de sections sur les schémas affines étales sur \(X\).

Démonstration

Si (1) est vraie, alors (2) l’est aussi, car la prise des faisceaux de cohomologie commute aux colimites homotopiques (d’après Catégories dérivées, lemme 0CRK) et parce qu’un complexe parfait est localement isomorphe à un complexe fini de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini ; il vérifie donc (2) par l’hypothèse faite sur \(X\).

Supposons (2). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\). Choisissons un générateur parfait \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et représentons-le par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\). D’après le théorème 09MC et sa démonstration, il existe une équivalence de catégories triangulées \(F:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D(A,\text{d})\), où \((A,\text{d})\) est l’algèbre différentielle graduée \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet),\] qui envoie \(K\) sur le module différentiel gradué \[M = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet).\] Notons que \(H^i(A)=\Ext^i(E,E)\) et que \(H^i(M)=\Ext^i(E,K)\). De plus, puisque \(F\) est une équivalence, \(F\) et son quasi-inverse commutent aux colimites homotopiques. Il suffit donc d’écrire \(M\) comme colimite homotopique d’objets compacts de \(D(A,\text{d})\). D’après Algèbre différentielle graduée, lemme 0CRM, il suffit que \(\Ext^i(E,E)\) et \(\Ext^i(E,K)\) soient dénombrables pour tout \(i\). Cela résulte du lemme 0CRU.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(f:U\to X\) un morphisme plat d’espaces algébriques de présentation finie sur \(A\). Alors

1. il existe un système projectif d’objets parfaits \(L_n\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Hom_X(L_n, K)\] dans \(D(A)\), fonctoriellement en \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ;

2. il existe un système inductif d’objets parfaits \(E_n\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Gamma(X, E_n \otimes^\mathbf{L} K)\] dans \(D(A)\), fonctoriellement en \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

D’après le lemme 08IN, on a, fonctoriellement en \(K\), \[R\Gamma(U, Lf^*K) = R\Gamma(X, Rf_*\mathcal{O}_U \otimes^\mathbf{L} K).\] Notons que \(R\Gamma(X,-)\) commute aux colimites homotopiques, puisqu’il commute aux sommes directes d’après le lemme 08FB. De même, \(-\otimes^\mathbf{L}K\) commute aux colimites dérivées, puisqu’il commute aux sommes directes (les sommes directes dans \(D(\mathcal{O}_X)\) étant données par les sommes directes des complexes qui les représentent). Pour démontrer (2), il suffit donc d’écrire \(Rf_*\mathcal{O}_U=\text{hocolim}\ E_n\) pour un système inductif d’objets parfaits \(E_n\) de \(D(\mathcal{O}_X)\). Cela fait, on obtient (1) en posant \(L_n=E_n^\vee\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08JJ.

Écrivons \(A=\colim A_i\), avec les \(A_i\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\). D’après Limites d’espaces, lemme 07SK, il existe un \(i\) et des morphismes \(U_i\to X_i\to\Spec(A_i)\) de présentation finie dont le changement de base à \(\Spec(A)\) redonne \(U\to X\to\Spec(A)\). Quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, on peut supposer \(f_i:U_i\to X_i\) plat ; voir Limites d’espaces, lemme 08K0. D’après le lemme 08IR, l’image inverse dérivée de \(Rf_{i,*}\mathcal{O}_{U_i}\) par \(g:X\to X_i\) est égale à \(Rf_*\mathcal{O}_U\). Puisque \(Lg^*\) commute aux colimites dérivées, il suffit de démontrer le résultat pour \(f_i\). Nous pouvons donc supposer \(U\) et \(X\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Supposons que \(f:U\to X\) soit un morphisme d’espaces algébriques de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour achever la démonstration, nous allons montrer que \(Rf_*\mathcal{O}_U\) est une colimite homotopique de complexes parfaits. Appliquons pour cela le lemme 0CRV. Il suffit donc de montrer que les faisceaux \(R^if_*\mathcal{O}_U\) ont des ensembles dénombrables de sections sur les schémas affines étales sur \(X\). Cela résulte du lemme 0CRU appliqué au faisceau structural.

La propriété de résolution

Cette section est, pour les espaces algébriques, l’analogue de Catégories dérivées des schémas, section 0F85 ; nous invitons à lire d’abord cette dernière. On ne sait pas actuellement si tout espace algébrique lisse et propre sur un corps possède la propriété de résolution, ou si cette assertion est fausse. Si vous connaissez la réponse, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Nous pouvons donner la définition suivante, bien que sa considération pour des espaces algébriques généraux n’ait guère de sens.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit que \(X\) possède la propriété de résolution si tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini est quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini.

Si \(X\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé, il suffit de vérifier que tout \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie (automatiquement quasi-cohérent) est quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini ; voir Limites d’espaces, lemme 086Y. Si \(X\) est un espace algébrique noethérien, les modules quasi-cohérents de type fini sont exactement les \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents ; voir Cohomologie des espaces, lemme 07UB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé et possède la propriété de résolution ;

2. il existe sur \(X\) un module inversible \(f\)-ample (Diviseurs sur les espaces, définition 0D31).

Alors \(X\) possède la propriété de résolution.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(\mathcal{L}\) un module inversible \(f\)-ample. Choisissons un schéma affine \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V\to Y\). Posons \(U=V\times_YX\). Alors \(\mathcal{L}|_U\) est ample sur \(U\). D’après Propriétés, proposition 01Q3, il existe un nombre fini de morphismes \(s_i:\mathcal{L}^{\otimes n_i}|_U\to\mathcal{F}|_U\) conjointement surjectifs. Considérons les \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents \[\mathcal{H}_n = f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}).\] On peut regarder \(s_i\) comme une section sur \(V\) du faisceau \(\mathcal{H}_{-n_i}\). Supposons que l’on puisse trouver des \(\mathcal{O}_Y\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}_i\) et des morphismes \(\mathcal{E}_i\to\mathcal{H}_{-n_i}\) dont l’image contienne \(s_i\). Alors les morphismes correspondants \[f^*\mathcal{E}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n_i} \longrightarrow \mathcal{F}\] sont conjointement surjectifs, ce qui démontre le lemme. D’après Limites d’espaces, lemme 0829, il existe pour chaque \(i\) un sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{H}'_i\subset\mathcal{H}_{-n_i}\) qui contient la section \(s_i\) sur \(V\). La propriété de résolution de \(Y\) fournit alors des surjections \(\mathcal{E}_i\to\mathcal{H}'_i\), d’où la conclusion.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme affine ou quasi-affine d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Si \(Y\) possède la propriété de résolution, alors \(X\) la possède aussi.

Démonstration

D’après Diviseurs sur les espaces, lemme 0GUQ, c’est un cas particulier du lemme 0GUT.

Voici un cas où l’on peut faire descendre la propriété de résolution.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f:X\to Y\) un morphisme surjectif, fini et localement libre d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X\) possède la propriété de résolution, alors \(Y\) la possède aussi.

Démonstration

La condition signifie que \(f\) est affine et que \(f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de type fini et de rang positif. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de type fini. Par hypothèse, il existe une surjection \(\mathcal{E}\to f^*\mathcal{G}\), où \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. Puisque \(f_*\) est exact (Cohomologie des espaces, section 0DK2), on obtient une surjection \[f_*\mathcal{E} \longrightarrow f_*f^*\mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{O}_X.\] En passant aux duaux, on obtient une surjection \[f_*\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(f_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{G}.\] Comme \(f_*\mathcal{E}\) est localement libre de type fini, on conclut.

Pour d’autres résultats sur la propriété de résolution des espaces algébriques, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0GUX.

Détection de la bornitude

Nous montrons dans cette section que les générateurs compacts de \(D_\QCoh\) d’un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé, construits dans la section 09IU, possèdent une propriété particulière. Nous conseillons de lire d’abord cette section, très proche de celle-ci.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soient \(P\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et \(E\in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\). Soit \(a\in\mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i],E)=0\) pour \(i\gg0\) ;

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i],\tau_{\geq a}E)=0\) pour \(i\gg0\).

Démonstration

En utilisant le triangle \(\tau_{<a}E\to E\to\tau_{\geq a}E\to\), on voit qu’il suffit, pour obtenir l’équivalence, de montrer que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{< a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{< a} E)[i]) = 0\] pour \(i\gg0\). Comme \(P\) est parfait, cela résulte du lemme 09MB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soient \(P\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et \(E\in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\). Soit \(a\in\mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i],E)=0\) pour \(i\ll0\) ;

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i],\tau_{\leq a}E)=0\) pour \(i\ll0\).

Démonstration

En utilisant le triangle \(\tau_{\leq a}E\to E\to\tau_{>a}E\to\), on voit qu’il suffit, pour obtenir l’équivalence, de montrer que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{> a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{> a} E)[i]) = 0\] pour \(i\ll0\). Comme \(P\) est parfait, cela résulte du lemme 09MB.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(G\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un complexe parfait qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ;

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i],E)=0\) pour \(i\gg0\) ;

3. \(\Ext^i_X(G,E)=0\) pour \(i\gg0\) ;

4. \(R\Hom_X(G,E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\) ;

5. \(H^i(X,G^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)=0\) pour \(i\gg0\) ;

6. \(R\Gamma(X,G^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\) ;

7. pour tout objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\),

   1. les assertions (2), (3) et (4) valent après remplacement de \(G\) par \(P\) ;

   2. \(H^i(X,P\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)=0\) pour \(i\gg0\) ;

   3. \(R\Gamma(X,P\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\).

Démonstration

Supposons (1). Comme \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i],E)=\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G,E[i])\), ce groupe est nul pour \(i\gg0\) d’après le lemme 09MB. Ainsi, (1) implique (2).

Les assertions (2), (3) et (4) sont équivalentes d’après Cohomologie sur les sites, section 0B6E. Les assertions (5) et (6) sont équivalentes puisque, par définition, \(H^i(X,-)=H^i(R\Gamma(X,-))\). D’après le lemme 08JJ de Cohomologie sur les sites et l’égalité \((G[-i])^\vee=G^\vee[i]\), elles sont équivalentes aux assertions (2), (3) et (4).

Il est clair que (7) implique (2). Réciproquement, montrons que les conditions équivalentes (2)–(6) impliquent (7). Rappelons que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) d’après la remarque 0GFC. Pour \(P\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), notons \(T(P)\) l’assertion selon laquelle \(R\Hom_X(P,E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\). La classe des \(P\) tels que \(T(P)\) soit vraie est stable par sommes directes, facteurs directs et décalages, et vérifie la propriété des deux sur trois pour les triangles distingués. La remarque 0ATH de Catégories dérivées montre donc que (4) implique \(T(P)\) pour tout \(P\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Le même raisonnement s’applique à toutes les autres propriétés ; pour (7)(b) et (7)(c), on utilise aussi que \(P\mapsto P^\vee\) est une auto-équivalence de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Nous omettons ce petit détail.

Nous allons montrer que les conditions équivalentes (2)–(7) impliquent (1) en employant le principe de récurrence du lemme 08GP.

Supposons d’abord \(X\) affine. L’implication (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) découle du cas des schémas ; voir Catégories dérivées des schémas, proposition 0GEN.

Supposons maintenant que \((U\subset X,j:V\to X)\) soit un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\), et que l’implication (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) soit connue pour \(U\), \(V\) et \(U\times_XV\). Il reste à la démontrer pour \(X\). Supposons donc que \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) vérifie (2)–(7). D’après le lemme 09IX et le théorème 09IY, il existe sur \(X\) un complexe parfait \(Q\) tel que \(Q|_U\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\).

Écrivons \(V=\Spec(A)\). Soit \(Z\subset V\) le sous-schéma fermé réduit, image inverse de \(X\setminus U\), qui s’envoie isomorphiquement sur celui-ci (voir la définition 08GM). C’est une partie fermée rétrocompacte de \(V\). Choisissons \(f_1,\ldots,f_r\in A\) tels que \(Z=V(f_1,\ldots,f_r)\). Soit \(K\in D(\mathcal{O}_V)\) l’objet parfait correspondant au complexe de Koszul associé à \(f_1,\ldots,f_r\) sur \(A\). Puisque \(K\) est à support dans \(Z\), son image directe \(K'=Rj_*K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(V\) est \(K\) (voir les lemmes 08HK et 08GG). Par hypothèse, \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q,E)\) et \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K',E)\) sont bornés supérieurement.

D’après le lemme 08GG, on a \(K'=j_!K\), et donc \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = 0\] pour \(i\gg0\). On peut donc appliquer à \(E|_V\) le lemme 0GEJ de Catégories dérivées des schémas. Il existe un entier \(a\) tel que \(\tau_{\geq a}(E|_V)= \tau_{\geq a}R(U\times_XV\to V)_*(E|_{U\times_XV})\). Alors \(\tau_{\geq a}E=\tau_{\geq a}R(U\to X)_*(E|_U)\) ; on le vérifie en restreignant le morphisme canonique à \(U\) et à \(V\). En appliquant deux fois le lemme 0GFF, on obtient \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] pour \(i\gg0\). Puisque la proposition vaut pour \(U\) et le générateur \(Q|_U\), on a \(E|_U\in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Le foncteur \(R(U\to X)_*\) préserve \(D^-_\QCoh\) d’après le lemme 08FA ; ainsi, \(\tau_{\geq a}E\in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), puis \(E\in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(G\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un complexe parfait qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ;

2. \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i],E)=0\) pour \(i\ll0\) ;

3. \(\Ext^i_X(G,E)=0\) pour \(i\ll0\) ;

4. \(R\Hom_X(G,E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\) ;

5. \(H^i(X,G^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)=0\) pour \(i\ll0\) ;

6. \(R\Gamma(X,G^\vee\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\) ;

7. pour tout objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\),

   1. les assertions (2), (3) et (4) valent après remplacement de \(G\) par \(P\) ;

   2. \(H^i(X,P\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)=0\) pour \(i\ll0\) ;

   3. \(R\Gamma(X,P\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\).

Démonstration

Supposons (1). Comme \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i],E)=\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G,E[i])\), ce groupe est nul pour \(i\ll0\) d’après le lemme 09MB. Ainsi, (1) implique (2).

Les assertions (2), (3) et (4) sont équivalentes d’après Cohomologie sur les sites, section 0B6E. Les assertions (5) et (6) sont équivalentes puisque, par définition, \(H^i(X,-)=H^i(R\Gamma(X,-))\). D’après le lemme 08JJ de Cohomologie sur les sites et l’égalité \((G[-i])^\vee=G^\vee[i]\), elles sont équivalentes aux assertions (2), (3) et (4).

Il est clair que (7) implique (2). Réciproquement, montrons que les conditions équivalentes (2)–(6) impliquent (7). Rappelons que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) d’après la remarque 0GFC. Pour \(P\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), notons \(T(P)\) l’assertion selon laquelle \(R\Hom_X(P,E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\). La classe des \(P\) tels que \(T(P)\) soit vraie est stable par sommes directes, facteurs directs et décalages, et vérifie la propriété des deux sur trois pour les triangles distingués. La remarque 0ATH de Catégories dérivées montre donc que (4) implique \(T(P)\) pour tout \(P\in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Le même raisonnement s’applique à toutes les autres propriétés ; pour (7)(b) et (7)(c), on utilise aussi que \(P\mapsto P^\vee\) est une auto-équivalence de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Nous omettons ce petit détail.

Nous allons montrer que les conditions équivalentes (2)–(7) impliquent (1) en employant le principe de récurrence du lemme 08GP.

Supposons d’abord \(X\) affine. L’implication (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) découle du cas des schémas ; voir Catégories dérivées des schémas, proposition 0GEQ.

Supposons maintenant que \((U\subset X,j:V\to X)\) soit un carré distingué élémentaire d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\), et que l’implication (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) soit connue pour \(U\), \(V\) et \(U\times_XV\). Il reste à la démontrer pour \(X\). Supposons donc que \(E\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) vérifie (2)–(7). D’après le lemme 09IX et le théorème 09IY, il existe sur \(X\) un complexe parfait \(Q\) tel que \(Q|_U\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\).

Écrivons \(V=\Spec(A)\). Soit \(Z\subset V\) le sous-schéma fermé réduit, image inverse de \(X\setminus U\), qui s’envoie isomorphiquement sur celui-ci (voir la définition 08GM). C’est une partie fermée rétrocompacte de \(V\). Choisissons \(f_1,\ldots,f_r\in A\) tels que \(Z=V(f_1,\ldots,f_r)\). Soit \(K\in D(\mathcal{O}_V)\) l’objet parfait correspondant au complexe de Koszul associé à \(f_1,\ldots,f_r\) sur \(A\). Puisque \(K\) est à support dans \(Z\), son image directe \(K'=Rj_*K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(V\) est \(K\) (voir les lemmes 08HK et 08GG). Par hypothèse, \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q,E)\) et \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K',E)\) sont bornés inférieurement.

D’après le lemme 08GG, on a \(K'=j_!K\), et donc \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = 0\] pour \(i\ll0\). On peut donc appliquer à \(E|_V\) le lemme 0GEK de Catégories dérivées des schémas. Il existe un entier \(a\) tel que \(\tau_{\leq a}(E|_V)= \tau_{\leq a}R(U\times_XV\to V)_*(E|_{U\times_XV})\). Alors \(\tau_{\leq a}E=\tau_{\leq a}R(U\to X)_*(E|_U)\) ; on le vérifie en restreignant le morphisme canonique à \(U\) et à \(V\). En appliquant deux fois le lemme 0GFG, on obtient \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] pour \(i\ll0\). Puisque la proposition vaut pour \(U\) et le générateur \(Q|_U\), on a \(E|_U\in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Le foncteur \(R(U\to X)_*\) préserve \(D^+_\QCoh\) d’après le lemme 08FA ; ainsi, \(\tau_{\leq a}E\in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), puis \(E\in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Objets quasi-cohérents dans la catégorie dérivée

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Rappelons que \(X_{affine,\etale}\) désigne la catégorie des objets affines de \(X_\etale\), munie de la topologie définie par les recouvrements étales standard ; voir Propriétés des espaces, définition 0H01. Rappelons aussi que le topos de \(X_{affine,\etale}\) est le petit topos étale de \(X\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 04JS. Le site \(X_\etale\) est muni d’un faisceau structural \(\mathcal{O}_X\), dont nous notons encore \(\mathcal{O}_X\) la restriction à \(X_{affine,\etale}\). Il existe alors une équivalence de topos annelés \[(\Sh(X_{affine, \etale}), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X).\] Voir Descente sur les espaces, équation (0H03), ainsi que la discussion de Descente sur les espaces, section 0H02.

Dans cette section, nous notons \(X_{affine}\) la catégorie sous-jacente à \(X_{affine,\etale}\), munie de la topologie chaotique, c’est-à-dire telle que les faisceaux s’identifient aux préfaisceaux. En particulier, le faisceau structural \(\mathcal{O}_X\) devient aussi un faisceau sur \(X_{affine}\). On obtient un morphisme de sites annelés \[\epsilon : (X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (X_{affine}, \mathcal{O}_X)\] comme dans Cohomologie sur les sites, section 0EWK. Nous identifierons dans cette section \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) à la catégorie \(\mathit{QC}(X_{affine},\mathcal{O}_X)\) introduite dans Cohomologie sur les sites, section 0GYU.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe des équivalences exactes canoniques entre les catégories triangulées suivantes :

1. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ;

2. \(D_\QCoh(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\) ;

3. \(D_\QCoh(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\) ;

4. \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Si \(U\to V\to X\) sont des morphismes étales et si \(U\) et \(V\) sont affines, alors le morphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_X(V)\to\mathcal{O}_X(U)\) est plat. L’équivalence de (3) et (4) est donc un cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0GZR, dont la démonstration éclaire aussi l’énoncé.

La discussion qui précède le lemme montre qu’il existe une équivalence de topos annelés \((\Sh(X_{affine,\etale}),\mathcal{O}_X)\to (\Sh(X_\etale),\mathcal{O}_X)\), donc une équivalence entre les catégories abéliennes de modules. Puisque la notion de module quasi-cohérent est intrinsèque (Modules sur les sites, lemme 03DM), cette équivalence préserve les sous-catégories de modules quasi-cohérents. On obtient ainsi une équivalence exacte canonique entre les catégories triangulées de (1) et (2).

Pour obtenir une équivalence exacte entre les catégories triangulées de (2) et (3), appliquons Cohomologie sur les sites, lemme 07A8, au morphisme \(\epsilon:(X_{affine,\etale},\mathcal{O}_X)\to (X_{affine},\mathcal{O}_X)\) ci-dessus. Prenons \(\mathcal{B}=\Ob(X_{affine})\) et prenons pour \(\mathcal{A}\subset\textit{PMod}(X_{affine},\mathcal{O})\) la sous-catégorie pleine des préfaisceaux \(\mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{F}(V)\otimes_{\mathcal{O}_X(V)}\mathcal{O}_X(U)\to\mathcal{F}(U)\) soit un isomorphisme. D’après Descente sur les espaces, lemme 0H04, les objets de \(\mathcal{A}\) sont exactement les faisceaux pour la topologie étale qui sont des modules quasi-cohérents sur \((X_{affine,\etale},\mathcal{O}_X)\). D’autre part, d’après Modules sur les sites, lemme 0GZN, les objets de \(\mathcal{A}\) sont exactement les modules quasi-cohérents sur \((X_{affine},\mathcal{O}_X)\), c’est-à-dire pour la topologie chaotique. Si les hypothèses du lemme 07A8 de Cohomologie sur les sites sont satisfaites, \(\epsilon^*\) et \(R\epsilon_*\) fournissent donc bien l’équivalence canonique entre les catégories de (2) et (3).

Il reste à vérifier quatre conditions :

1. Tout objet de \(\mathcal{A}\) est un faisceau pour la topologie étale. Nous l’avons vu ci-dessus.

2. \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(X_{affine,\etale},\mathcal{O}_X)\). Nous avons vu ci-dessus que \(\mathcal{A}=\QCoh(X_{affine,\etale},\mathcal{O}_X)\) et que, par l’équivalence \(\textit{Mod}(X_{affine,\etale},\mathcal{O})= \textit{Mod}(X_\etale,\mathcal{O}_X)\), ses objets correspondent aux modules quasi-cohérents sur \(X\). L’assertion résulte donc du lemme 03M1 de Propriétés des espaces et du lemme 0754 d’Homologie.

3. Tout objet de \(X_{affine}\) possède, pour la topologie chaotique, un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\). Cela tient au fait que \(\mathcal{B}\) contient tous les objets.

4. Pour tout objet \(U\) de \(X_{affine}\) et tout \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{A}\), on a \(H^p_{Zar}(U,\mathcal{F})=0\) pour \(p>0\). Cela résulte de l’annulation de la cohomologie des modules quasi-cohérents sur les schémas affines ; voir la discussion de Cohomologie des espaces, section 071Y, et Cohomologie des schémas, lemme 01XB.

La démonstration est achevée.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Nous montrerons plus loin que \(\mathit{QC}((\textit{Aff}/X),\mathcal{O})\) est aussi canoniquement équivalente à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Voir Faisceaux sur les champs, proposition 0H0K.