代数空間の導来圏

はじめに

本章では、代数空間上の加群の導来圏を論じる。この主題を扱う適切な入門的文献は見当たらないようであり、文献では代数スタック上の加群の導来圏を扱う論文を参照する形で論じられている。例えば [olsson_sheaves] を参照されたい。

規約

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏、\(M\) を \(\mathcal{A}\) の対象とする。このとき、\(M\) によって \(K(\mathcal{A})\) および／または \(D(\mathcal{A})\) の対象で、\(M\) を次数 \(0\) にもち、それ以外の次数では零である複体に対応するものも表す。

環 \(A\) に対し、\(K(A)\) は \(A\)-加群の複体のホモトピー圏を表し、 \(D(A)\) はそれに付随する導来圏を表す。同様に、環付き空間 \((X, \mathcal{O}_X)\) に対し、\(K(\mathcal{O}_X)\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体のホモトピー圏を表し、 \(D(\mathcal{O}_X)\) はそれに付随する導来圏を表す。

一般論

本節では、代数空間上の加群の非有界複体のコホモロジーに関するいくつかの一般的結果を述べる。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。平展射 \(V \to Y\) が与えられたとき、\(U = V \times_Y X\) とおき、射影を \(g : U \to V\) と表す。このとき \((Rf_*E)|_V = Rg_*(E|_U)\) である。ただし \(E\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象である。

証明

\(E\) を K-単射複体 \(\mathcal{I}^\bullet\) で表す。これは \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体である。すると \(Rf_*(E) = f_*\mathcal{I}^\bullet\) であり、Cohomology on Sites, Lemma 08FI により \(Rg_*(E|_U) = g_*(\mathcal{I}^\bullet|_U)\) である。したがって結論は Properties of Spaces, Lemma 03LX から従う。

定義

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とし、 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。また \(T \subset |X|\) を閉部分集合とする。\(E\) が \(T\) 上に台をもつとは、コホモロジー層 \(H^i(E)\) が \(T\) 上に台をもつことをいう。

小平展サイト上の準連接加群の導来圏

\(X\) を概型とする。本節では、\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を小平展サイト \(X_\etale\)（\(X\) の小平展サイト）によって定義できることを示す。 \(\mathcal{O}_\etale\) を \(X_\etale\) 上の構造層とする。環付きサイトの射 [08H7]\[\begin{equation} \epsilon : (X_\etale, \mathcal{O}_\etale) \longrightarrow (X_{Zar}, \mathcal{O}_X). \end{equation}\] を考える。これは Descent, Lemma 070S において \(\text{id}_{small, \etale, Zar}\) と表されている射である。

補題

(08H7) の射 \(\epsilon\) は環付きサイトの平坦射である。特に、函手 \(\epsilon^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\etale)\) は完全である。さらに、\(\epsilon^*\mathcal{F} = 0\) ならば \(\mathcal{F} = 0\) である。

証明

\(\epsilon\) の平坦性は Descent, Lemma 0GNA である。別の証明も述べる。示すべきことは、 \(\mathcal{O}_\etale\) が平坦な \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_X\)-加群であることである。そのためには、 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) が平坦であることを、任意の幾何学的点 \(\overline{x}\)（\(X\) の点）に対して確かめれば十分である。Modules on Sites, Lemma 05VC、Sites, Lemma 05V1、および Étale Cohomology, Remarks 040S を参照されたい。 Étale Cohomology, Lemma 04HX により、 \(\mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の強ヘンゼル化である。したがって \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) は More on Algebra, Lemma 07QM により忠実平坦である。

\(\epsilon^*\) の完全性は、Modules on Sites, Lemma 04JC により \(\epsilon\) の平坦性から従う。

\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\epsilon^*\mathcal{F} = 0\) ならば、上の記法のもとで \[0 = \epsilon^*\mathcal{F}_{\overline{x}} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\] がすべての幾何学的点 \(\overline{x}\) に対して成り立つ（Modules on Sites, Lemma 05V5）。射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{\etale, \overline{x}}\) の忠実平坦性により、\(\mathcal{F}_x = 0\) がすべての \(x \in X\) に対して成り立つと結論される。

\(X\) を概型とし、記法を (08H7) のとおりとする。 Descent, Proposition 03DX および Remark 03FH により \(\epsilon^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) が圏同値であることを思い出す。さらに、Descent, Lemma 06VE により \(\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) は \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\etale)\) の Serre 部分圏をなす。そこで、Derived Categories, Section 06UP に従い、 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) を、準連接なコホモロジー層をもつ複体を対象とする \(D(\mathcal{O}_\etale)\) の三角部分圏と定めることができる。函手 \(\epsilon^*\) は完全である（Lemma 08H8）から \(\epsilon^* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_\etale)\) を誘導し、準連接加群の引き戻しは準連接であるから、さらに \(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) を誘導する。

補題

\(X\) を概型とする。上で定義した函手 \(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) は圏同値である。

証明

函手 \(R\epsilon_* : D(\mathcal{O}_\etale) \to D(\mathcal{O}_X)\) が準逆を誘導することを示す。ここでは、 \(\epsilon_*\) が制限 \(X_{Zar} \subset X_\etale\) によって与えられること、および Descent, Lemma 070S における \(\epsilon^* = \text{id}_{small, \etale, Zar}^*\) の記述を自由に用いる。

準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対する随伴射 \(\mathcal{F} \to \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}\) は同型である。実際、\(\mathcal{F}^a\) （Descent, Definition 03DU）が層であることは Descent, Lemma 03DT で示されている。逆に、任意の準連接 \(\mathcal{O}_\etale\)-加群 \(\mathcal{H}\) は、Descent, Proposition 03DX により、 \(\epsilon^*\mathcal{F}\) の形である。ここで \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) は準連接である。このとき、今述べたことから \(\mathcal{F} = \epsilon_*\mathcal{H}\) であり、したがって随伴射 \(\epsilon^*\epsilon_*\mathcal{H} \to \mathcal{H}\) はすべての準連接 \(\mathcal{O}_\etale\)-加群 \(\mathcal{H}\) に対して同型である。

\(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) の対象とし、 \(\mathcal{H}^q = H^q(E)\) によってその第 \(q\) コホモロジー層を表す。また、 \(\mathcal{B}\) を \(X_\etale\) のアフィン対象全体の集合とする。すると \(H^p(U, \mathcal{H}^q) = 0\) はすべての \(p > 0\)、すべての \(q \in \mathbf{Z}\)、およびすべての \(U \in \mathcal{B}\) に対して成り立つ。 Descent, Proposition 03DW および Cohomology of Schemes, Lemma 01XB を参照されたい。 Cohomology on Sites, Lemma 0BKZ により、これは \[H^q(U, E) = H^0(U, \mathcal{H}^q)\] がすべての \(U \in \mathcal{B}\) に対して成り立つことを意味する。特に、アフィン開集合 \(U \subset X\) に対しても成り立つ。したがって、第 \(q\) コホモロジーである \(R\epsilon_*E\) の \(U\) 上での値は、層 \(\epsilon_*\mathcal{H}^q\) の \(U\) における値である。層化を施すと \[H^q(R\epsilon_*E) = \epsilon_*\mathcal{H}^q\] を得る。特に、\(R\epsilon_*\) は函手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を誘導する。\(\epsilon^*\) は完全であるから \(H^q(\epsilon^*R\epsilon_*E) = \epsilon^*\epsilon_*\mathcal{H}^q = \mathcal{H}^q\) となる（上の議論による）。ゆえに随伴射 \(\epsilon^*R\epsilon_*E \to E\) は同型である。

逆に、\(F \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対する随伴射 \(F \to R\epsilon_*\epsilon^*F\) も同じ理由で同型である。実際、 \(R\epsilon_*\epsilon^*F\) のコホモロジー層は \(\epsilon_*H^m(\epsilon^*F) = \epsilon_*\epsilon^*H^m(F) = H^m(F)\) に同型である。

準連接加群の導来圏

\(S\) を概型とする。Lemma 071Q は、圏 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) を、 \(\mathcal{O}_S\)-加群の複体（概型 \(S\) 上のもの）によっても、 \(\mathcal{O}\)-加群の複体（\(S\) の小平展サイト上のもの）によっても定義できることを示している。したがって、次の定義は概型の場合の定義と整合する。

定義

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 準連接なコホモロジー層をもつ \(\mathcal{O}_X\)-加群の導来圏 を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) と表す。

この定義が意味をもつことは Properties of Spaces, Lemma 03M1 および Derived Categories, Section 06UP から従う。こうして標準的な函手 [08F1]\[\begin{equation} D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] を得る。Derived Categories, Equation (06UR) を参照されたい。

代数空間の平坦射 \(f : Y \to X\) は完全函手 \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\) を誘導する。Morphisms of Spaces, Lemma 073C および Modules on Sites, Lemma 04JC を参照されたい。特に、 \(Lf^* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Y)\) は任意の代表複体上で計算できる（Derived Categories, Lemma 015F）。 \(Lf^* = f^*\) と書くのは \(f\) が平坦なときである。この場合、\(H^i(f^*E) = f^*H^i(E)\) が、\(E\)（ \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して成り立つ。これは \(f\) が平展な場合にしばしば用いる。もちろん平展の場合、引き戻し函手は単に \(Y_\etale\) への制限である。 Properties of Spaces, Equation (03LW) を参照されたい。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とし、 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。次の条件は同値である。

\(E\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属する。

任意の平展射 \(\varphi : U \to X\) で \(U\) がアフィン概型であるものに対し、\(\varphi^*E\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) の対象である。

任意の平展射 \(\varphi : U \to X\) で \(U\) が概型であるものに対し、\(\varphi^*E\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) の対象である。

全射平展射 \(\varphi : U \to X\) で、\(U\) が概型であり、 \(\varphi^*E\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) の対象となるものが存在する。

代数空間の全射平展射 \(f : Y \to X\) で、 \(Lf^*E\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の対象となるものが存在する。

証明

これは補題の直前の議論と Properties of Spaces, Lemma 03M0 から直ちに従う。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。このとき \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は直和をもつ。

証明

Injectives, Lemma 07D9 により、導来圏 \(D(\mathcal{O}_X)\) は直和をもち、任意の代表について項ごとの直和を取ることで計算される。直和を取ることは完全函手である（任意の Grothendieck アーベル圏において）から、直和のコホモロジー層がコホモロジー層の直和であることは明らかである。準連接層の直和は準連接であるため、Properties of Spaces, Lemma 03M1 から補題が従う。

導来極限について若干の情報が必要となる。次の補題に現れる導来極限は、通常 \(D_\QCoh\) の対象ではないことに注意されたい。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \((K_n)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の逆系とし、その導来極限を \(K = R\lim K_n\) とする（これは \(D(\mathcal{O}_X)\) における極限である）。 \(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\) がすべての \(q \in \mathbf{Z}\) と \(n \geq 1\) に対してが全射であると仮定する。このとき

\(H^q(K) = \lim H^q(K_n)\)、

\(R\lim H^q(K_n) = \lim H^q(K_n)\)、および

任意のアフィン開集合 \(U \subset X\) に対し、 \(H^p(U, \lim H^q(K_n)) = 0\)（\(p > 0\)）

が成り立つ。

証明

\(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\etale)\) をアフィン対象全体の集合とする。 \(H^q(K_n)\) は準連接であるから、 \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) が \(U \in \mathcal{B}\) に対して成り立つ。 Cohomology of Spaces, Section 071Y における議論と Cohomology of Schemes, Lemma 01XB を参照されたい。同様の理由により、射 \(H^0(U, H^q(K_{n + 1})) \to H^0(U, H^q(K_n))\) は \(U \in \mathcal{B}\) に対しては全射である。(1) は、今確認した条件と Cohomology on Sites, Lemma 0A09 から従う。(2) と (3) は Cohomology on Sites, Lemma 0BKY から従う。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。函手 \(Lf^*\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送る。

証明

図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] を選ぶ。ここで \(U\) と \(V\) は概型、縦の射は平展であり、 \(a\) は全射である。 \(a^* \circ Lf^* = Lh^* \circ b^*\) であるから、結論は Lemma 08F2 と概型の場合から従う。後者は Derived Categories of Schemes, Lemma 08DW である。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(K, L\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対し、導来テンソル積 \(K \otimes^\mathbf{L} L\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属する。

証明

\(\varphi : U \to X\) を概型 \(U\) からの全射平展射とする。 \[\varphi^*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = \varphi^*K \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \varphi^*L\] であるから、Lemma 08F2 により概型の場合へ帰着される。その場合は Derived Categories of Schemes, Lemma 08DX である。

次の補題は、\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象に対する右導来函手の「計算」に役立つ。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とし、 \(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。このとき Derived Categories, Remark 0H72 の射 \(E \to R\lim \tau_{\geq -n}E\) は同型である ¹。

証明

\(\mathcal{H}^i = H^i(E)\) を第 \(i\) コホモロジー層（\(E\) のもの）と表す。\(\mathcal{B}\) を \(X_\etale\) のアフィン対象全体の集合とする。 \(H^p(U, \mathcal{H}^i) = 0\) はすべての \(p > 0\)、すべての \(i \in \mathbf{Z}\)、すべての \(U \in \mathcal{B}\) に対して成り立つ。実際、\(U\) はアフィン概型である。 Cohomology of Spaces, Section 071Y における議論と Cohomology of Schemes, Lemma 01XB を参照されたい。したがって補題は Cohomology on Sites, Lemma 0D6P において \(d = 0\) とすることから従う。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ab}\) を函手、\(N \geq 0\) を整数とする。次を仮定する。

\(F\) は左完全である。

\(F\) は可算直積と可換である。

\(R^pF(\mathcal{F}) = 0\) がすべての \(p \geq N\) と準連接な \(\mathcal{F}\) に対して成り立つ。

このとき、\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対し

\(H^i(RF(\tau_{\leq a}E) \to H^i(RF(E))\) は \(i \leq a\) のとき同型である。

\(H^i(RF(E)) \to H^i(RF(\tau_{\geq b - N + 1}E))\) は \(i \geq b\) のとき同型である。

\(H^i(E) = 0\) が \(i \not \in [a, b]\) に対して成り立つとする。ここである \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\) を取る。このとき \(H^i(RF(E)) = 0\) が \(i \not \in [a, b + N - 1]\) に対して成り立つ。

証明

(1) は Derived Categories, Lemma 05TC である。

(2) を証明する。\(E_n = \tau_{\geq -n}E\) とおく。 Lemma 08F6 により \(E = R\lim E_n\) である。したがって Injectives, Lemma 08U1 により、 \(RF(E) = R\lim RF(E_n)\) が \(D(\textit{Ab})\) において成り立つ。ゆえに各 \(i \in \mathbf{Z}\) に対して短完全列 \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(RF(E_n)) \to H^i(RF(E)) \to \lim H^i(RF(E_n)) \to 0\] がある。More on Algebra, Remark 08U5 を参照されたい。 (2) を示すため、左端の項が零であり、右端の項が \(H^i(RF(E_{-b + N - 1})\) に等しいことを示す。ここで \(b\) は任意であり、\(i \geq b\) を満たす。

各 \(n\) に対し、区別三角 \[H^{-n}(E)[n] \to E_n \to E_{n - 1} \to H^{-n}(E)[n + 1]\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在する（Derived Categories, Remark 08J5）。 \(H^{-n}(E)\) は準連接であるから、 \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n])) = R^{i + n}F(H^{-n}(E)) = 0\] は \(i + n \geq N\) のとき成り立ち、 \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n + 1])) = R^{i + n + 1}F(H^{-n}(E)) = 0\] は \(i + n + 1 \geq N\) のとき成り立つ。したがって \[H^i(RF(E_n)) \to H^i(RF(E_{n - 1}))\] は \(n \geq N - i\) のとき同型である。ゆえに系 \(H^i(RF(E_n))\) はすべて ML 条件を満たし、上の短完全列における \(R^1\lim\) の項は零である（More on Algebra, Section 07KV の議論を参照）。さらに、系 \(H^i(RF(E_n))\) は所望のとおり \(n = N - i - 1\) から定値である。

(3) を証明する。\(E\) に関する仮定のもとで \(\tau_{\leq a - 1}E = 0\) であり、(1) から \(H^i(RF(E))\) の \(i \leq a - 1\) における消滅を得る。同様に \(\tau_{\geq b + 1}E = 0\) であるから、(2) により \(H^i(RF(E))\) の \(i \geq b + n\) における消滅を得る。

全順像

次の補題は Cohomology of Spaces, Lemma 073G の類似である。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準分離かつ準コンパクトな射とする。

函手 \(Rf_*\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送る。

\(Y\) が準コンパクトならば、整数 \(N = N(X, Y, f)\) が存在して、対象 \(E\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象）が \(H^m(E) = 0\)（\(m > 0\)）を満たすとき、 \(H^m(Rf_*E) = 0\)（\(m \geq N\)）となる。

実際、\(Y\) が準コンパクトならば、\(N = N(X, Y, f)\) を、代数空間の任意の射 \(Y' \to Y\) に対して函手 \(R(f')_*\) が同じ結論を満たすように選べる。ここで \(f' : X' \to Y'\) は \(f\) の基底変換である。

証明

\(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 (1) を示すには、\(Rf_*E\) が準連接なコホモロジー層をもつことを示せばよい。この問題は \(Y\) 上で局所的であるから、 \(Y\) は準コンパクトであると仮定してよい。 Cohomology of Spaces, Lemma 073G における \(N = N(X, Y, f)\) を取る。すると \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) である。ここで \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) は任意の準連接加群であり、\(p \geq N\) とする。さらに Cohomology of Spaces, Lemma 0720 により、 \(R^pf_*\mathcal{F}\) はすべての \(p\) に対して準連接である。これらの主張は基底変換後にも成り立つ。

まず \(E\) が下に有界であると仮定する。このような \(E\) に対し、選んだ \(N\) によって (1)、(2)、(3) が成り立つことを示す。この場合、例えばスペクトル系列 \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] （Derived Categories, Lemma 015J）と、 \(R^pf_*H^q(E)\) の準連接性、および \(R^pf_*H^q(E)\) の \(p \geq N\) における消滅を用いれば、 (1)、(2)、(3) がこの場合に成り立つことが分かる。

次に (2) と (3) を証明する。\(H^m(E) = 0\) が \(m > 0\) に対して成り立つとする。\(V\) を \(Y_\etale\) のアフィン対象とする。 Cohomology of Spaces, Lemma 08EX により、\(H^p(V \times_Y X, \mathcal{F}) = 0\) が \(p \geq N\) に対して成り立つ。したがって函手 \(\Gamma(V \times_Y X, -)\) に Lemma 08F7 を適用でき、 \[R\Gamma(V, Rf_*E) = R\Gamma(V \times_Y X, E)\] の次数 \(\geq N\) のコホモロジーは消滅する。これはすべての \(V\)（\(Y_\etale\) のアフィン対象）に対して成り立つから、 \(H^m(Rf_*E) = 0\) が \(m \geq N\) に対して成り立つと結論される。

最後に、一般の場合の (1) を証明する。区別三角 \[\tau_{\leq -n - 1}E \to E \to \tau_{\geq -n}E \to (\tau_{\leq -n - 1}E)[1]\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在することを思い出す。 Derived Categories, Remark 08J5 を参照されたい。 (2) により、\(Rf_*\tau_{\leq -n - 1}E\) のコホモロジー層は次数 \(\geq -n + N\) で消滅する。したがって整数 \(q\) が与えられたとき、 \(R^qf_*E\) は \(R^qf_*\tau_{\geq -n}E\) に、ある \(n\) に対して等しくなり、上の結果を適用できる。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準分離かつ準コンパクトな射とする。このとき \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は直和と可換である。

証明

\(E_i\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象の族とし、 \(E = \bigoplus E_i\) とおく。射 \[\bigoplus Rf_*E_i \longrightarrow Rf_*E\] が同型であることを示したい。この射が次数 \(0\) のコホモロジー層上で同型を誘導することを示せば、補題が従う。 Lemma 08FA における整数 \(N\) を選ぶ。すると、同補題により \(R^0f_*E = R^0f_*\tau_{\geq -N}E\) および \(R^0f_*E_i = R^0f_*\tau_{\geq -N}E_i\) である。また \(\tau_{\geq -N}E = \bigoplus \tau_{\geq -N}E_i\) である。したがって、すべての \(E_i\) のコホモロジー層が次数 \(< -N\) で消滅すると仮定してよい。次にスペクトル系列 \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E \quad\text{and}\quad R^pf_*H^q(E_i) \Rightarrow R^{p + q}f_*E_i\] （Derived Categories, Lemma 015J）を用い、準連接層の直和の場合に帰着する。この場合は Cohomology of Spaces, Lemma 07U6 によって処理される。

注意

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、表現可能な代数空間 \(X\) と \(Y\)（\(S\) 上のもの）の間の射とする。 \(f_0 : X_0 \to Y_0\) を \(f\) を表現する概型の射とする（不格好だが一時的な記法である）。このとき図式 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar[u]^{Lf^*_0} \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[u]_{Lf^*} }\] は可換である（Lemma 08F4 および Derived Categories of Schemes, Lemma 08DW）。これは、Lemma 071Q の圏同値 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) および \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) が、環付きサイトの（平坦な）射 \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\) および \(\epsilon : Y_\etale \to Y_{0, Zar}\) による引き戻しから生じ、環付きサイトの図式 \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] が可換だからである（詳細は省略する）。\(f\) が準コンパクトかつ準分離であるとする。これは \(f_0\) が準コンパクトかつ準分離であることと同値である。このとき図式 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar[d]_{Rf_{0, *}} \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{Lemma \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] も可換であると主張する（Lemma 08FA および Derived Categories of Schemes, Lemma 08D5）。これも上に掲げたサイトの可換図式から従う。実際、Lemma 071Q の証明が示すように、函手 \(R\epsilon_*\) は圏同値 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) および \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0})\) を与える。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間のアフィン射とする。このとき \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は同型を反映する。

証明

この主張は、射 \(\alpha : E \to F\)（ \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の射）が、\(Rf_*\alpha\) が同型であるならば同型であることを意味する。これはコホモロジー層上で確認できる。特に問題は \(Y\) 上で平展局所的である。したがって \(Y\)、ひいては \(X\) がアフィンであると仮定してよい。この場合は概型の場合（Derived Categories of Schemes, Lemma 08I8）に帰着する。ここで Lemma 071Q と Remark 08GH を用いた。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間のアフィン射とする。\(E\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の対象）に対して \(Rf_* Lf^* E = E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{O}_X\) である。

証明

\(f\) はアフィンであるから、射 \(f_*\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_X\) は同型である（Cohomology of Spaces, Lemma 073H）。標準的な射 \(E \otimes^\mathbf{L} f_*\mathcal{O}_X = E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X \to Rf_* Lf^* E\) がある。これは射 \[Lf^*(E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X) = Lf^*E \otimes^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \longrightarrow Lf^* E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_X = Lf^* E\] に随伴する。後者は \(1 : Lf^*E \to Lf^*E\) と標準的な射 \(Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) から生じる。こうして構成した射が同型であることは \(Y\) 上で局所的に確認できる。したがって \(Y\)、ひいては \(X\) がアフィンであると仮定してよい。この場合は概型の場合（Derived Categories of Schemes, Lemma 08I9）に帰着する。ここで Lemma 071Q と Remark 08GH を用いた。

基底上固有であること

本節は Cohomology of Schemes, Section 0CYK の類似である。点集合上の位相に関係する事項では常にそうであるように、この内容を代数空間へ移す際には注意が必要である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(T \subset |X|\) を閉部分集合とする。次の条件は同値である。

射 \(Z \to Y\) は、\(Z\) が \(T\) 上の被約誘導代数空間構造であるとき固有である（Properties of Spaces, Definition 047X）。

ある閉部分空間 \(Z \subset X\) で \(|Z| = T\) を満たすものに対して、射 \(Z \to Y\) は固有である。

任意の閉部分空間 \(Z \subset X\) で \(|Z| = T\) を満たすものに対して、射 \(Z \to Y\) は固有である。

証明

(3) \(\Rightarrow\) (1) および (1) \(\Rightarrow\) (2) は直ちに従う。したがって (2) が (3) を含意することを示せば十分である。この事実の証明をまず読者自身で考えることを勧める。 \(Z'\) と \(Z''\) を \(T = |Z'| = |Z''|\) を満たす閉部分空間とし、 \(Z' \to Y\) は代数空間の固有射であるとする。 \(Z'' \to Y\) も固有であることを示す必要がある。 \(Z''' = Z' \cup Z''\) をスキーム論的和とする。Morphisms of Spaces, Definition 0CYZ を参照されたい。このとき \(Z'''\) は \(|Z'''| = T\) を満たす別の閉部分空間である。これは、例えば Morphisms of Spaces, Lemma 0CZ1 におけるスキーム論的和の記述から従う。 \(Z'' \to Z'''\) は閉埋め込みであるから、 \(Z''' \to Y\) が固有であることを示せば十分である（Morphisms of Spaces, Lemmas 04XZ および 04XY）。射 \(Z' \to Z'''\) は全単射な閉埋め込みであり、特に全射かつ普遍閉である。したがって、\(Z' \to Y\) が分離的であることから、 Morphisms of Spaces, Lemma 05Z2 により \(Z''' \to Y\) は分離的である。さらに、\(Z''' \to Y\) は局所有限型である。これは \(X \to Y\) が局所有限型だからである（Morphisms of Spaces, Lemmas 06ED および 03XG）。 \(Z' \to Y\) は準コンパクトであり、\(Z' \to Z'''\) は普遍同相であるから、 \(Z''' \to Y\) は準コンパクトである。最後に \(Z' \to Y\) は普遍閉であるから、 Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ により \(Z''' \to Y\) も普遍閉である。これで証明が完了する。

定義

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(T \subset |X|\) を閉部分集合とする。 Lemma 0CZC の同値な条件が満たされるとき、 \(T\) は \(Y\) 上固有であるという。

上の定義に用いた補題は、射 \(f : X \to Y\) が局所有限型でなければ偽である。したがって、\(f\) が局所有限型でない場合にはこの用語を使用しないよう強く勧める。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(T' \subset T \subset |X|\) を閉部分集合とする。 \(T\) が \(Y\) 上固有ならば、\(T'\) についても同様である。

証明

省略する。

補題

\(S\) を概型とする。\(S\) 上の代数空間の Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を考える。ここで \(f\) は局所有限型である。 \(T\) が \(|X|\) の閉部分集合で \(Y\) 上固有ならば、 \(|g'|^{-1}(T)\) は \(|X'|\) の閉部分集合で \(Y'\) 上固有である。

証明

Morphisms of Spaces, Lemma 03XH により \(f'\) は局所有限型であるから、この主張は意味をもつ。 \(Z \subset X\) を \(T\) 上の被約誘導閉部分空間構造とする。 \(Z' = (g')^{-1}(Z)\) をスキーム論的逆像と表す。このとき \(Z' = X' \times_X Z = (Y' \times_Y X) \times_X Z = Y' \times_Y Z\) は \(Y'\) 上固有である。これは \(Z\)（\(Y\) 上のもの）の基底変換だからである（Morphisms of Spaces, Lemma 04WP）。一方、\(T' = |Z'|\) である。したがって補題が従う。

補題

\(S\) を概型、\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(f : X \to Y\) を、いずれも \(B\) 上局所有限型な代数空間の射とする。

\(Y\) が \(B\) 上分離的で、\(T \subset |X|\) が \(B\) 上固有な閉部分集合ならば、\(|f|(T)\) は \(|Y|\) の閉部分集合で \(B\) 上固有である。

\(f\) が普遍閉で、\(T \subset |X|\) が \(B\) 上固有な閉部分集合ならば、\(|f|(T)\) は \(Y\) の閉部分集合で \(B\) 上固有である。

\(f\) が固有で、\(T \subset |Y|\) が \(B\) 上固有な閉部分集合ならば、\(|f|^{-1}(T)\) は \(|X|\) の閉部分集合で \(B\) 上固有である。

証明

(1) を証明する。\(Y\) は \(B\) 上分離的であり、 \(T \subset |X|\) は \(B\) 上固有な閉部分集合であるとする。 \(Z\) を \(T\) 上の被約誘導閉部分空間構造とし、 Morphisms of Spaces, Lemma 0AGD を \(Z \to Y\) に \(B\) 上で適用すればよい。

(2) を証明する。\(f\) は普遍閉であり、\(T \subset |X|\) は \(B\) 上固有な閉部分集合であるとする。 \(Z\) を \(T\) 上の被約誘導閉部分空間構造とし、 \(Z'\) を \(|f|(T)\) 上の被約誘導閉部分空間構造とする。誘導される射 \(Z \to Z'\) を得る。 \(Z'' = f^{-1}(Z')\) をスキーム論的逆像と表す。すると \(Z'' \to Z'\) は \(f\) の基底変換として普遍閉である（Morphisms of Spaces, Lemma 04WP）。したがって \(Z \to Z'\) は、閉埋め込み \(Z \to Z''\) と \(Z'' \to Z'\) の合成として普遍閉である（Morphisms of Spaces, Lemmas 04XZ および 04XY）。 Morphisms of Spaces, Lemma 05Z2 により、\(Z' \to B\) は分離的である。 \(Z \to B\) は準コンパクトで \(Z \to Z'\) は全射であるから、 \(Z' \to B\) は準コンパクトである。 \(Z' \to B\) は \(Z' \to Y\) と \(Y \to B\) の合成であるから、 \(Z' \to B\) は局所有限型である（Morphisms of Spaces, Lemmas 06ED および 03XG）。最後に \(Z \to B\) は普遍閉であるから、 Morphisms of Spaces, Lemma 08AJ により \(Z' \to B\) も普遍閉である。これで証明が完了する。

(3) を証明する。\(f\) は固有であり、\(T \subset |Y|\) は \(B\) 上固有な閉部分集合であるとする。 \(Z\) を \(T\) 上の被約誘導閉部分空間構造とし、 \(Z' = f^{-1}(Z)\) をスキーム論的逆像と表す。すると \(Z' \to Z\) は \(f\) の基底変換として固有である（Morphisms of Spaces, Lemma 04WP）。したがって \(Z' \to B\) は \(Z' \to Z\) と \(Z \to B\) の合成として固有である（Morphisms of Spaces, Lemma 04XY）。これで証明が完了する。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(T_i \subset |X|\)（\(i = 1, \ldots, n\)）を閉部分集合とする。\(T_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)）が \(Y\) 上固有ならば、\(T_1 \cup \ldots \cup T_n\) についても同様である。

証明

\(Z_i\) を \(T_i\) 上の被約誘導閉部分スキーム構造とする。

射 \[Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n \longrightarrow X\] は Morphisms of Spaces, Lemmas 081Y および 0CZ2 により有限である。有限射は普遍閉であり（Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ）、かつ \(Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n\) は \(S\) 上固有であるから、

Lemma 0CZG の (2) により、像 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) は \(S\) 上固有である。

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき台 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)（\(\mathcal{F}\) の台）は \(|X|\) の閉部分集合である。 Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ を参照されたい。したがって「\(\mathcal{F}\) の台は \(Y\) 上固有である」ということが意味をもつ。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次の条件は同値である。

\(\mathcal{F}\) の台は \(Y\) 上固有である。

\(\mathcal{F}\) のスキーム論的台（Morphisms of Spaces, Definition 07U1）は \(Y\) 上固有である。

閉部分空間 \(Z \subset X\) と有限型準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) が存在して、 (a) \(Z \to Y\) は固有であり、(b) \((Z \to X)_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) である。

証明

台 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)（\(\mathcal{F}\) の台）は \(|X|\) の閉部分集合である。Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ を参照されたい。したがって Definition 0CZD を適用できる。 \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台は、その基礎閉部分集合が \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) である閉部分空間だから、 Definition 0CZD により (1) と (2) は同値である。 (2) が (3) を含意することは明らかである。逆に (3) が成り立つならば \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset |Z|\) であり、したがって \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) は、例えば Lemma 0CZE により \(Y\) 上固有である。

補題

\(S\) を概型とする。\(S\) 上の代数空間の Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を考える。ここで \(f\) は局所有限型である。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}\) の台が \(Y\) 上固有ならば、 \((g')^*\mathcal{F}\) の台は \(Y'\) 上固有である。

証明

この主張が意味をもつことに注意する。実際 \((g')*\mathcal{F}\) は Modules on Sites, Lemma 03DO により有限型である。

Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ により \(\text{Supp}((g')^*\mathcal{F}) = |g'|^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) である。したがって補題は Lemma 0CZF から従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の局所有限型射とする。\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) の台が \(Y\) 上固有ならば、 \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\)、\(\mathcal{G}\) の \(\mathcal{F}\) による任意の拡大、\(\Im(u)\) と \(\Coker(u)\) （任意の \(\mathcal{O}_X\)-加群の射 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) に対するもの）、および \(\mathcal{F}\) または \(\mathcal{G}\) の任意の準連接商の台も同じ性質をもつ。

\(Y\) が局所 Noether 的ならば、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群で台が \(Y\) 上固有なものの圏は、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群のアーベル圏の Serre 部分圏である（Homology, Definition 02MO）。

証明

(1) を証明する。\(T\)、\(T'\) をそれぞれ \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) の台とする。(1) に現れる層はすべて \(T \cup T'\) に含まれる台をもつ。したがって、これらの層が有限型かつ準連接であることを確認すれば、主張そのものは Lemmas 0CZE および 0CZH から明らかである。準連接性については Properties of Spaces, Section 03G5 を参照されたい。「有限型」については Properties of Spaces, Section 05VR を参照されたい。

(2) を証明する。証明は (1) の証明と同じである。 Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK および Cohomology of Spaces, Section 07U9 における連接加群の圏の記述により \(X\) は局所 Noether 的であるから、各主張は意味をもつことに注意する。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型で、\(Y\) は局所 Noether 的であると仮定する。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、その台は \(Y\) 上固有とする。このとき \(R^pf_*\mathcal{F}\) は連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群である（すべての \(p \geq 0\) に対して）。

証明

Lemma 0CZI により、閉埋め込み \(i : Z \to X\) が存在して、 \(g = f \circ i : Z \to Y\) は固有であり、 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) となる連接加群 \(\mathcal{G}\)（\(Z\) 上）が存在する。 Cohomology of Spaces, Lemma 08AR により \(R^pg_*\mathcal{G}\) は \(S\) 上連接である。一方、\(R^qi_*\mathcal{G} = 0\) である（\(q > 0\) に対して）（Cohomology of Spaces, Lemma 07UH）。 Cohomology on Sites, Lemma 0734 により \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\) を得て、補題が従う。

連接加群の導来圏

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 的代数空間とする。この場合、圏 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) （連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の圏）は弱 Serre 部分圏である。Homology, Section 02MN および Cohomology of Spaces, Lemma 07UC を参照されたい。 \[D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \subset D(\mathcal{O}_X)\] によって、コホモロジー層が連接である複体の部分圏を表す。 Derived Categories, Section 06UP を参照されたい。こうして標準的な函手 [08GJ]\[\begin{equation} D(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] を得る。Derived Categories, Equation (06UR) を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型で、\(Y\) は Noether 的であると仮定する。 \(E\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の対象とし、 \(H^i(E)\) の台は \(Y\) 上固有であるとする（すべての \(i\) に対して）。このとき \(Rf_*E\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) の対象である。

証明

スペクトル系列 \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] を考える。Derived Categories, Lemma 015J を参照されたい。仮定と Lemma 08GC により層 \(R^pf_*H^q(E)\) は連接である。したがって \(R^{p + q}f_*E\) は連接であり、すなわち \(E \in D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) である。下有界性は明らかである。上有界性は Cohomology of Spaces, Lemma 073G または Lemma 08FA から従う。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型で、\(Y\) は Noether 的であると仮定する。 \(E\) を \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の対象とし、 \(H^i(E)\) の台は \(S\) 上固有であるとする（すべての \(i\) に対して）。

このとき \(Rf_*E\) は \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) の対象である。

証明

証明は Lemma 08GK の証明と同じである。また、完全函手 \(Rf_*\) が区別三角 \(\tau_{\leq a}E \to E \to \tau_{\geq a + 1}E \to \tau_{\leq a}E[1]\) をどのように移すかを考えることにより、 Lemma 08GK から導くこともできる。

補題

\(S\) を概型、\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 的代数空間とする。 \(L\) が \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属し、 \(K\) が \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属するならば、 \(R\SheafHom(K, L)\) は \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属する。

証明

\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象が \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属するかどうかは \(X\) 上で平展局所的に確認できる。Cohomology of Spaces, Lemma 07UB を参照されたい。したがって補題は概型の場合、すなわち Derived Categories of Schemes, Lemma 0D0C から従う。

補題

\(A\) を Noether 環、\(X\) を \(A\) 上の固有な代数空間とする。 \(L\)（\(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属するもの）と \(K\)（\(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属するもの）に対して、 \(A\)-加群 \(\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L)\) は有限である。

証明

等式 \[\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L) = H^n(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L)) = H^n(\Spec(A), Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L))\] を思い出す。Cohomology on Sites, Lemma 08JA および Cohomology on Sites, Section 072X を参照されたい。したがって結論は Lemmas 0D0S および 0D0R から従う。

帰納原理

本節では、概型に対する Cohomology of Schemes, Lemma 08DR と類似する、代数空間の帰納原理を論じる。その定式化のために 初等識別正方形という概念を導入する。この用語は [MV] から借用したものである。ここで定式化する原理は、Raynaud と Gruson の論文 [GruRay] に暗黙に含まれている。代数スタックに対する関連する原理として、David Rydh による [rydh_etale_devissage, Theorem D] がある。

定義

\(S\) を概型とする。代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ U \times_W V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d]^f \\ U \ar[r]^j & W }\] が \(S\) 上の初等識別正方形であるとは、次の条件が成り立つことをいう。

\(U\) は \(W\) の開部分空間で、\(j\) は包含射である。

\(f\) は平展である。

\(T = W \setminus U\) と置き（被約誘導部分空間構造を入れる）、射 \(f^{-1}(T) \to T\) は同型である。

これを「\((U \subset W, f : V \to W)\) を初等識別正方形とする」と表す。

\((U \subset W, f : V \to W)\) が初等識別正方形ならば、 \(W = U \cup f(V)\) であることに注意する。したがって \(\{U \to W, V \to W\}\) は \(W\) の平展被覆である。これらの平展被覆は良い性質をもち、ある意味で「十分多く」存在する。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset W, f : V \to W)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。

\(V' \subset V\) および \(U \subset U' \subset W\) が開部分空間で、\(W' = U' \cup f(V')\) ならば、\((U' \subset W', f|_{V'} : V' \to W')\) は初等識別正方形である。

\(p : W' \to W\) が代数空間の射ならば、 \((p^{-1}(U) \subset W', V \times_W W' \to W')\) は初等識別正方形である。

\(S' \to S\) が概型の射ならば、 \((S' \times_S U \subset S' \times_S W, S' \times_S V \to S' \times_S W)\) は初等識別正方形である。

証明

省略する。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。\(P\) を \(X_{spaces, \etale}\) の準コンパクトかつ準分離的な対象の性質とする。次を仮定する。

\(P\) は \(X_{spaces, \etale}\) の任意のアフィン対象について成り立つ。

各初等識別正方形 \((U \subset W, f : V \to W)\) について、次が成り立つとする。

\(W\) は \(X_{spaces, \etale}\) の準コンパクトかつ準分離的な対象である。

\(U\) は準コンパクトである。

\(V\) はアフィンである。

\(P\) は \(U\)、\(V\)、および \(U \times_W V\) について成り立つ。

このとき \(P\) は \(W\) について成り立つ。

このとき \(P\) は \(X_{spaces, \etale}\) の任意の準コンパクトかつ準分離的な対象について成り立ち、特に \(X\) について成り立つ。

証明

まず、\(P\) は \(X_{spaces, \etale}\) の表現可能な任意の準コンパクトかつ準分離的な対象について成り立つと主張する。実際、\(U \to X\) が平展で、 \(U\) が準コンパクトかつ準分離的な概型であるとする。仮定 (1) により、性質 \(P\) は \(U\) の任意のアフィン開部分について成り立つ。さらに、 \(W, V \subset U\) が準コンパクト開部分で、\(V\) がアフィンであり、 \(P\) が \(W\)、\(V\)、および \(W \cap V\) について成り立つならば、 (2) により \(P\) は \(W \cup V\) について成り立つ（組 \((W \subset W \cup V, V \to W \cup V)\) は初等識別正方形だからである）。したがって、概型に対する帰納原理 Cohomology of Schemes, Lemma 08DR により、\(P\) は \(U\) について成り立つ。

証明を終えるには、\(P\) が \(X\) について成り立つことを示せば十分である（単に \(X\) を、結論を示したい \(X_{spaces, \etale}\) の任意の準コンパクトかつ準分離的な対象で置き換えればよいからである）。 Decent Spaces, Lemma 07ST のフィルトレーション \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] および射 \(f_p : V_p \to U_p\) を用いる。 \(P\) が \(U_p\) について成り立つことを、\(p\) に関する降下帰納法によって示す。空代数空間はアフィンだから、(1) により \(P\) は \(U_{n + 1}\) について成り立つ。\(P\) が \(U_{p + 1}\) について成り立つと仮定する。\((U_{p + 1} \subset U_p, f_p : V_p \to U_p)\) は初等識別正方形だが、\(V_p\) はアフィンとは限らないため (2) を適用できないことがある。しかし \(V_p\) は準コンパクト概型なので、有限アフィン開被覆 \(V_p = V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, m}\) を選べる。 \(W_{p, 0} = U_{p + 1}\) と置き、 \[W_{p, i} = U_{p + 1} \cup f_p(V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, i})\] と定める（\(i = 1, \ldots, m\)）。これらは \(X\) の準コンパクト開部分空間である。このとき \[U_{p + 1} = W_{p, 0} \subset W_{p, 1} \subset \ldots \subset W_{p, m} = U_p\] であり、組 \[(W_{p, 0} \subset W_{p, 1}, f_p|_{V_{p, 1}}), (W_{p, 1} \subset W_{p, 2}, f_p|_{V_{p, 2}}),\ldots, (W_{p, m - 1} \subset W_{p, m}, f_p|_{V_{p, m}})\] は Lemma 08GN により初等識別正方形である。\(P\) は各 \(V_{p, 1}\) について成り立つ（これらはアフィン概型だからである）。また、\(W_{p, i} \times_{W_{p, i + 1}} V_{p, i + 1}\) は \(V_{p, i + 1}\) の準コンパクト開部分であるため、証明の第一段落により \(P\) はこれについても成り立つ。したがって (2) をそれぞれに適用し、帰納的に \(P\) は \(W_{p, 1}, \ldots, W_{p, m} = U_p\) について成り立つ。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\) とし、 \(P\) を \(\mathcal{B}\) の元の性質とする。次を仮定する。

各 \(W \in \mathcal{B}\) は準コンパクトかつ準分離的である。

\(W \in \mathcal{B}\) かつ \(U \subset W\) が準コンパクト開部分ならば、 \(U \in \mathcal{B}\) である。

\(V \in \Ob(X_{spaces, \etale})\) がアフィンならば、 (a) \(V \in \mathcal{B}\) であり、(b) \(P\) は \(V\) について成り立つ。

各初等識別正方形 \((U \subset W, f : V \to W)\) について、次が成り立つとする。

\(W \in \mathcal{B}\) である。

\(U\) は準コンパクトである。

\(V\) はアフィンである。

\(P\) は \(U\)、\(V\)、および \(U \times_W V\) について成り立つ。

このとき \(P\) は \(W\) について成り立つ。

このとき \(P\) は各 \(W \in \mathcal{B}\) について成り立つ。

証明

Lemma 08GP の証明とまったく同じ方法で証明される。（(4)(d) が意味をもつことにも注意する。実際、 \(U \times_W V\) は \(V\) の準コンパクト開部分であり、したがって条件 (2) と (3) により \(\mathcal{B}\) の元である。）

注意

Lemma 08GQ で集合 \(\mathcal{B}\) をどのように選べばよいだろうか。いくつか例を挙げる。

\(X\) が準コンパクトかつ分離的ならば、 \(\mathcal{B}\) として \(X_{spaces, \etale}\) の準コンパクトかつ分離的な対象の集合を選べる。このとき \(X \in \mathcal{B}\) であり、 \(\mathcal{B}\) は (1)、(2)、(3)(a) を満たす。この \(\mathcal{B}\) の選択では、 Lemma 08GQ は Lemma 08GP を再現する。

\(X\) が準コンパクトで、\(\mathbf{Z}\) 上アフィンな対角射をもつならば（Properties of Spaces, Definition 03BS の意味で）、 \(\mathcal{B}\) として \(X_{spaces, \etale}\) の対象のうち、準コンパクトで \(\mathbf{Z}\) 上アフィンな対角射をもつものの集合を選べる。再び \(X \in \mathcal{B}\) であり、\(\mathcal{B}\) は (1)、(2)、(3)(a) を満たす。

\(X\) が準コンパクトかつ準分離的ならば、(1)、(2)、(3)(a) を満たす最小の部分集合 \(\mathcal{B}\)（\(X\) を含むもの）は、 \(W \in \mathcal{B}\) であることと、\(W\) が \(X\) の準コンパクト開部分空間であるか、または \(W\) が \(X_{spaces, \etale}\) のアフィン対象の準コンパクト開部分であることが同値になるように定められる。

次は、ある開部分での成立を、より大きな開部分へ拡張する変形である。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。\(W \subset X\) を準コンパクト開部分空間とする。 \(P\) を \(X\) の準コンパクト開部分空間の性質とする。次を仮定する。

\(P\) は \(W\) について成り立つ。

次の条件を満たす各初等識別正方形 \((W_1 \subset W_2, f : V \to W_2)\) について、

\(W_1\)、\(W_2\) は \(X\) の準コンパクト開部分空間である。

\(W \subset W_1\) である。

\(V\) はアフィンである。

\(P\) は \(W_1\) について成り立つ。

このとき \(P\) は \(W_2\) について成り立つ。

このとき \(P\) は \(X\) について成り立つ。

証明

Lemma 08GQ から導くこともできるが、ここでは Lemma 08GP の証明を明示的に繰り返して直接示す。Decent Spaces, Lemma 07ST のフィルトレーション \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] および射 \(f_p : V_p \to U_p\) を用いる。 \(P\) が \(W_p = W \cup U_p\) について成り立つことを、 \(p\) に関する降下帰納法によって示す。 \(W_1 = X\) なので、これで証明が完了する。 (1) により \(P\) は \(W_{n + 1} = W \cap U_{n + 1} = W\) について成り立つことに注意する。

\(P\) が \(W_{p + 1}\) について成り立つと仮定する。 \(W_p \setminus W_{p + 1}\)（被約誘導部分空間構造を入れる）は \(U_p \setminus U_{p + 1}\) の閉部分空間である。 \((U_{p + 1} \subset U_p, f_p : V_p \to U_p)\) は初等識別正方形だから、 \((W_{p + 1} \subset W_p, f_p : V_p \to W_p)\) についても同様である。しかし \(V_p\) はアフィンとは限らないため、(2) を適用できないことがある。一方、\(V_p\) は準コンパクト概型なので、有限アフィン開被覆 \(V_p = V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, m}\) を選べる。 \(W_{p, 0} = W_{p + 1}\) と置き、 \[W_{p, i} = W_{p + 1} \cup f_p(V_{p, 1} \cup \ldots \cup V_{p, i})\] と定める（\(i = 1, \ldots, m\)）。これらは \(X\) の準コンパクト開部分空間であり、\(W\) を含む。このとき \[W_{p + 1} = W_{p, 0} \subset W_{p, 1} \subset \ldots \subset W_{p, m} = W_p\] であり、組 \[(W_{p, 0} \subset W_{p, 1}, f_p|_{V_{p, 1}}), (W_{p, 1} \subset W_{p, 2}, f_p|_{V_{p, 2}}),\ldots, (W_{p, m - 1} \subset W_{p, m}, f_p|_{V_{p, m}})\] は Lemma 08GN により初等識別正方形である。ここで (2) をそれぞれに適用し、帰納的に \(P\) は \(W_{p, 1}, \ldots, W_{p, m} = W_p\) について成り立つ。

Mayer–Vietoris

本節では、初等識別三角形からさまざまな Mayer–Vietoris 列が得られることを証明する。

\(S\) を概型とする。\(U \to X\) を、\(S\) 上の代数空間の平展射とする。 Properties of Spaces, Section 04LX では、構造層と両立する等式 \(U_{spaces, \etale} = X_{spaces, \etale}/U\) が示された。したがって、この状況では射 \(j_U : U \to X\) を局所化射とみなすことが多い（Modules on Sites, Definition 04IX を参照）。特に、引き戻し \(j_U^*\) を \(U\) への制限とみなし、しばしば \({}|_U\) と表す。これは Properties of Spaces, Equation (03LW) と両立する。とりわけ、 [08GT]\[\begin{equation} (\mathcal{F}|_U)_{\overline{u}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \end{equation}\] が成り立つ。ここで \(\overline{u}\) は \(U\) の幾何点であり、 \(\overline{x}\) は \(\overline{u}\) の \(X\) における像である。さらに、制限函手は完全な左随伴 \(j_{U!}\) をもつ。 Modules on Sites, Lemmas 03DI および 03DJ を参照されたい。最後に、\(\mathcal{G}\) が \(\mathcal{O}_X\)-加群ならば、 [08GU]\[\begin{equation} (j_{U!}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{G}_{\overline{u}} \end{equation}\] であることを思い出す。これは任意の幾何点 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) に対して成り立ち、直和は射 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) のうち、 \(j_U \circ \overline{u} = \overline{x}\) を満たすもの全体にわたる。 Modules on Sites, Lemma 0710 および Properties of Spaces, Lemma 04K6 を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, V \to X)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。

\(\mathcal{O}_X\)-加群の層 \(\mathcal{F}\) に対して、短完全列 \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{F}|_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V!}\mathcal{F}|_V \to \mathcal{F} \to 0\] がある。

対象 \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して、識別三角形 \[j_{U \times_X V!}E|_{U \times_X V} \to j_{U!}E|_U \oplus j_{V!}E|_V \to E \to j_{U \times_X V!}E|_{U \times_X V}[1]\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在する。

証明

(1) の列が完全であることは、Properties of Spaces, Theorem 04K5 により幾何点での茎について確認すればよい。 \(\overline{x}\) を \(X\) の幾何点とする。Equations (08GT) および (08GU) によって \(\overline{x}\) で茎を取ると、列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{(\overline{u}, \overline{v})} \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \oplus \bigoplus\nolimits_{\overline{v}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}} \to 0\] を得る。この列は完全である。実際、各 \(\overline{x}\) に対し、ちょうど一つの \(\overline{u}\) が存在して \(\overline{x}\) へ写るか、または \(\overline{u}\) は存在せず、ちょうど一つの \(\overline{v}\) が \(\overline{x}\) へ写る。

(2) を証明する。Cohomology on Sites, Section 08FH で見たように、導来圏上の制限函手と零延長函手は、任意の複体へ函手をそのまま適用することで計算される。\(\mathcal{E}^\bullet\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体で、\(E\) を表すものとする。補題の識別三角形は、Derived Categories, Section 014Z、特に Lemma 0152 により、 \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体の短完全列 \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{E}^\bullet|_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{E}^\bullet|_U \oplus j_{V!}\mathcal{E}^\bullet|_V \to \mathcal{E}^\bullet \to 0\] に付随する識別三角形である。この列は (1) により短完全である。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, V \to X)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。

任意の \(\mathcal{O}_X\)-加群の層 \(\mathcal{F}\) に対して、短完全列 \[0 \to \mathcal{F} \to j_{U, *}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{F}|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{F}|_{U \times_X V} \to 0\] がある。

任意の対象 \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して、識別三角形 \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V} \to E[1]\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在する。

証明

\(W\) を \(X_\etale\) の対象とする。列 \[0 \to \mathcal{F}(W) \to \mathcal{F}(W \times_X U) \oplus \mathcal{F}(W \times_X V) \to \mathcal{F}(W \times_X U \times_X V)\] は完全であり、最後の群の任意の元は \(W\) 上局所的に中央の群へ持ち上げられると主張する。 Lemma 08GN により、組 \((W \times_X U \subset W, V \times_X W \to W)\) は初等識別正方形である。したがって \(W = X\) と仮定してよく、次の列について同じことを証明すれば十分である。 \[0 \to \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U \times_X V)\] すでに Lemma 08GV で、 \[0 \to j_{U \times_X V!}\mathcal{O}_{U \times_X V} \to j_{U!}\mathcal{O}_U \oplus j_{V!}\mathcal{O}_V \to \mathcal{O}_X \to 0\] が \(\mathcal{O}_X\)-加群の完全列であることを見た。ここに右完全函手 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(- , \mathcal{F})\) を適用すると、上の列が得られる。これはまた、\(s \in \mathcal{F}(U \times_X V)\) を \(\mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V)\) の元へ持ち上げる障害が \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^1(X, \mathcal{F})\] に属することも意味する。コホモロジーの局所性（Cohomology on Sites, Lemma 01FW）により、この障害は \(X\) 上平展局所的に消える。これで (1) の証明が完了する。

(2) を証明する。K-入射的複体 \(\mathcal{I}^\bullet\)（\(E\) を表すもの）で、各項 \(\mathcal{I}^n\) が \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の入射的対象であるものを選ぶ。 Injectives, Theorem 079P を参照されたい。このとき \(\mathcal{I}^\bullet|U\) は K-入射的複体である（Cohomology on Sites, Lemma 08FI）。したがって \(Rj_{U, *}E|_U\) は \(j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U\) によって表される。 \(V\) および \(U \times_X V\) についても同様である。ゆえに補題の識別三角形は、Derived Categories, Section 014Z、特に Lemma 0152 により、複体の短完全列 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0.\] に付随する識別三角形である。この列は (1) により完全である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の射とする。 \((U \subset X, V \to X)\) を初等識別正方形とする。制限を \(a = f|_U : U \to Y\)、\(b = f|_V : V \to Y\)、 \(c = f|_{U \times_X V} : U \times_X V \to Y\) と表す。任意の対象 \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して、識別三角形 \[Rf_*E \to Ra_*(E|_U) \oplus Rb_*(E|_V) \to Rc_*(E|_{U \times_X V}) \to Rf_*E[1]\] が \(D(\mathcal{O}_Y)\) において存在する。この三角形は \(E\) に関して函手的である。

証明

K-入射的複体 \(\mathcal{I}^\bullet\)（\(E\) を表すもの）を選ぶ。 \(\mathcal{I}^n\) が \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の入射的対象であると仮定してよい（すべての \(n\) に対して）。 Injectives, Theorem 079P を参照されたい。このとき \(Rf_*E\) は \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) で計算される。 Cohomology on Sites, Lemma 08FI により、 \(U\)、\(V\)、および \(U \cap V\) についても同様である。したがって補題の識別三角形は、Derived Categories, Section 014Z、特に Lemma 0152 により、複体の短完全列 \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0.\] に付随する識別三角形である。これが複体の短完全列であることを、次のように示す。入射的対象 \(\mathcal{I}\) （\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の対象）を選ぶ。\(f_*\) を Lemma 08GW の短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to j_{U, *}\mathcal{I}|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}|_{U \times_X V} \to 0\] に適用し、\(R^1f_*\mathcal{I} = 0\) を用いると、短完全列 \[0 \to f_*\mathcal{I} \to f_*j_{U, *}\mathcal{I}|_U \oplus f_*j_{V, *}\mathcal{I}|_V \to f_*j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}|_{U \times_X V} \to 0\] を得る。\(a_* = f_*j_{U, *}\) であり、\(b_*\) と \(c_*\) についても同様であることに注意すれば、証明が完了する。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, V \to X)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。対象 \(E\)、\(F\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して、 Mayer–Vietoris 列 \[\xymatrix{ & \ldots \ar[r] & \Ext^{-1}(E_{U \times_X V}, F_{U \times_X V}) \ar[lld] \\ \Hom(E, F) \ar[r] & \Hom(E_U, F_U) \oplus \Hom(E_V, F_V) \ar[r] & \Hom(E_{U \times_X V}, F_{U \times_X V}) }\] がある。下添字は該当する開部分への制限を表し、 \(\Hom\) は該当する導来圏で取る。

証明

Lemma 08GV の識別三角形を用い、 \(\Hom\) の長完全列を得る（Derived Categories, Lemma 0149）。さらに Cohomology on Sites, Lemma 08FJ による等式 \(\Hom(j_{U!}E|_U, F) = \Hom(E|_U, F|_U)\) を用いる。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, V \to X)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。対象 \(E\) （\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して、識別三角形 \[R\Gamma(X, E) \to R\Gamma(U, E) \oplus R\Gamma(V, E) \to R\Gamma(U \times_X V, E) \to R\Gamma(X, E)[1]\] があり、特にコホモロジーの長完全列 \[\ldots \to H^n(X, E) \to H^n(U, E) \oplus H^n(V, E) \to H^n(U \times_X V, E) \to H^{n + 1}(X, E) \to \ldots\] がある。識別三角形と長完全列の構成は \(E\) に関して函手的である。

証明

K-入射的複体 \(\mathcal{I}^\bullet\)（\(E\) を表すもの）で、各項 \(\mathcal{I}^n\) が \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の入射的対象であるものを選ぶ。Injectives, Theorem 079P を参照されたい。 Lemma 08GW の証明で、複体の短完全列 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \times_X V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \times_X V} \to 0\] を得た。\(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\) だから、大域切断を取ると複体の完全列 \[0 \to \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \oplus \Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U \times_X V, \mathcal{I}^\bullet) \to 0\] を得る。これらの複体は \(R\Gamma(X, E)\)、\(R\Gamma(U, E)\)、\(R\Gamma(V, E)\)、および \(R\Gamma(U \times_X V, E)\) を表すので、Derived Categories, Section 014Z、特に Lemma 0152 により識別三角形を得る。

補題

\(S\) を概型とする。\(j : U \to X\) を、\(S\) 上の代数空間の平展射とする。平展射 \(V \to Y\) が与えられたとし、\(W = V \times_X U\) と置く。 \(j_W : W \to V\) で射影を表す。このとき \((j_!E)|_V = j_{W!}(E|_W)\) が、\(E\) （\(D(\mathcal{O}_U)\) に属するもの）に対して成り立つ。

証明

\((j_!\mathcal{F})|_V = j_{W!}(\mathcal{F}|_W)\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して成り立つから、この主張は従う。これは函手 \(j_!\) と \(j_{W!}\) の構成から直ちに従う。Modules on Sites, Lemma 03DI を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, j : V \to X)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。 \(T = |X| \setminus |U|\) と置く。

\(E\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象で、\(T\) 上に台をもつならば、 (a) \(E \to Rj_*(E|_V)\) と (b) \(j_!(E|_V) \to E\) は同型である。

\(F\) が \(D(\mathcal{O}_V)\) の対象で、\(j^{-1}T\) 上に台をもつならば、 (a) \(F \to (j_!F)|_V\)、(b) \((Rj_*F)|_V \to F\)、および (c) \(j_!F \to Rj_*F\) は同型である。

証明

\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象で、そのコホモロジー層が \(T\) 上に台をもつものとする。このとき \(E|_U = 0\) および \(E|_{U \times_X V} = 0\) である。実際、\(T\) は \(U\) と交わらず、 \(j^{-1}T\) は \(U \times_X V\) と交わらない。したがって (1)(a) は Lemma 08GW から従う。まったく同様に、(1)(b) は Lemma 08GV から従う。

\(F\) を \(D(\mathcal{O}_V)\) の対象で、そのコホモロジー層が \(j^{-1}T\) 上に台をもつものとする。 Lemma 08GE により \((Rj_*F)|_U = Rj_{W, *}(F|_W) = 0\) である。これは仮定から \(F|_W = 0\) だからである。同様に、 Lemma 08HA により \((j_!F)|_U = j_{W!}(F|_W) = 0\) である。したがって \(j_!F\) と \(Rj_*F\) は \(T\) 上に台をもち、 \((j_!F)|_V\) と \((Rj_*F)|_V\) は \(j^{-1}(T)\) 上に台をもつ。導来圏で射 (2)(a)、(b)、(c) が同型であることを確認するには、 Properties of Spaces, Theorem 04K5 により、 \(T\) および \(j^{-1}(T)\) の幾何点でコホモロジー層の茎に誘導される射が同型であることを確認すれば十分である。 Lemmas 08GE、 08HA、および 08GN によれば、 \(X\) を \(V\) で、\(U\) を \(U \times_X V\) で、 \(V\) を \(V \times_X V\) で、\(F\) を \(F|_{V \times_X V}\)（第一射影による制限）で置き換えた後にこれを確認してよい。\(V \times_X V \to V\) は切断をもつので、 (2) は \(j : V \to X\) が切断をもつ場合へ帰着する。

\(j\) が切断 \(\sigma : X \to V\) をもつと仮定する。 \(V' = \sigma(X)\) と置く。これは \(V\) の開部分空間である。 \(U' = j^{-1}(U)\) と置く。これは \(V\) のもう一つの開部分空間である。このとき \((U' \subset V, V' \to V)\) は初等識別正方形である。 \(F|_{U'} = 0\) および \(F|_{V' \cap U'} = 0\) であることに注意する。これは \(F\) が \(j^{-1}(T)\) 上に台をもつからである。 \(j' : V' \to V\) で開埋め込みを表し、 \(j_{V'} : V' \to X\) で合成 \(V' \to V \to X\) を表す。後者は \(\sigma\) の逆である。\(F' = \sigma^*F\) と置く。 Lemmas 08GV および 08GW の識別三角形から \(F = j'_!(F|_{V'})\) および \(F = Rj'_*(F|_{V'})\) が従う。したがって \(j_!F = j_!j'_!(F|_{V'}) = j_{V'!}F = F'\) である。実際、\(j_{V'} : V' \to X\) は同型であり、\(\sigma\) の逆である。同様に \(Rj_*F = Rj_*Rj'_*F = Rj_{V', *}F = F'\) である。これで (2)(c) が示された。(2)(a) と (2)(b) を示すには、 \(F = F'|_V\) を示せば十分である。これは明らかである。実際、 \(F\) と \(F'|_V\) はともに \(U'\) と \(U' \cap V'\) への制限が零であり、 \(V'\) への制限が同じ対象である。

複体を貼り合わせることができる！

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, V \to X)\) を、 \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。次が与えられたとする。

対象 \(A\)（\(D(\mathcal{O}_U)\) の対象）、

対象 \(B\)（\(D(\mathcal{O}_V)\) の対象）、

同型 \(c : A|_{U \times_X V} \to B|_{U \times_X V}\)。

このとき対象 \(F\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）と同型 \(f : F|_U \to A\)、\(g : F|_V \to B\) が存在し、 \(c = g|_{U \times_X V} \circ f^{-1}|_{U \times_X V}\) を満たす。さらに、次が与えられたとする。

対象 \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の対象）、

射 \(a : A \to E|_U\)（\(D(\mathcal{O}_U)\) の射）、

射 \(b : B \to E|_V\)（\(D(\mathcal{O}_V)\) の射）。

これらが \[a|_{U \times_X V} = b|_{U \times_X V} \circ c.\] を満たすとする。このとき射 \(F \to E\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) に存在し、 \(U\) への制限は \(a \circ f\)、\(V\) への制限は \(b \circ g\) である。

証明

\(j_U\)、\(j_V\)、\(j_{U \times_X V}\) で、それぞれの \(X\) への射を表す。識別三角形 \[F \to Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}) \to F[1]\] を選ぶ。ここで射 \(Rj_{V, *}B \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V})\) は明らかなものである。射 \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V})\) は \(Rj_{U, *}A \to Rj_{U \times_X V, *}(A|_{U \times_X V})\) と \(Rj_{U \times_X V, *}c\) の合成である。\(U\) へ制限すると、 \[F|_U \to A \oplus (Rj_{V, *}B)|_U \to (Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}))|_U \to F|_U[1]\] を得る。\(j : U \times_X V \to U\) と表す。制限と全直像の両立性（Lemma 08GE）により、 \((Rj_{V, *}B)|_U\) と \((Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}))|_U\) はいずれも \(Rj_*(B|_{U \times_X V})\) と標準的に同型である。したがって最後に表示した式の第二の射は切断をもち、射 \(F|_U \to A\) は同型である。

射 \(F|_V \to B\) が同型であることを示すため、次の技巧を用いる。識別三角形 \[F|_V \to B \to B' \to F[1]|_V\] を \(D(\mathcal{O}_V)\) において選ぶ。\(F|_U \to A\) は同型であり、かつ同型 \(c : A|_{U \times_X V} \to B|_{U \times_X V}\) があるので、 \(F|_V \to B\) の \(U \times_X V\) 上への制限は同型である。したがって \(B'\) は \(j_V^{-1}(T)\) 上に台をもつ。ここで \(T = |X| \setminus |U|\) である。一方、識別三角形の射 \[\xymatrix{ F \ar[r] \ar[d] & Rj_{U, *}F|_U \oplus Rj_{V, *}F|_V \ar[r] \ar[d] & Rj_{U \times_X V, *}F|_{U \times_X V} \ar[r] \ar[d] & F[1] \ar[d] \\ F \ar[r] & Rj_{U, *}A \oplus Rj_{V, *}B \ar[r] & Rj_{U \times_X V, *}(B|_{U \times_X V}) \ar[r] & F[1] }\] がある。この図式の垂直射は \(Rj_{V, *}F|_V \to Rj_{V, *}B\) を除いてすべて同型である。したがって、この射も同型である（Derived Categories, Lemma 014A）。これは \(Rj_{V, *}B' = 0\) を含意する。ゆえに Lemma 08GG により \(B' = 0\) である。

射 \(F \to E\) の存在は、\(\Hom\) に対する Mayer–Vietoris 列、すなわち Lemma 08H9 から従う。

コヒーレータ

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 コヒーレータとは函手 \[Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] で、包含函手 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の右随伴であるものをいう。これは任意の代数空間 \(X\) に対して存在し、さらに随伴射 \(Q_X(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) は、任意の準連接加群 \(\mathcal{F}\) に対して同型である。 Properties of Spaces, Proposition 077V を参照されたい。 \(Q_X\) は（右随伴なので）左完全であるから、その右導来延長 \[RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_X)).\] を考えることができる。\(Q_X\) は包含函手 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の右随伴なので、Derived Categories, Lemma 09T5 により、\(RQ_X\) は標準函手 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\) の右随伴である。

本節では函手 \(RQ_X\) を調べる。Section 0CR3 では、包含函手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\) の右随伴（存在する場合）を調べる。これは上の函手と密接に関連している。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間のアフィン射とする。このとき \(f_*\) は導来函手 \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) を定める。この函手は、図式 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{f_*} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] が可換であるという性質をもつ。

証明

函手 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は完全である。Cohomology of Spaces, Lemma 073H を参照されたい。したがって \(f_*\) は導来函手 \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) を定める。これは任意の代表複体へ \(f_*\) をそのまま適用して得られる。 Derived Categories, Lemma 015F を参照されたい。任意の \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体 \(\mathcal{F}^\bullet\) に対して、標準的な射 \(f_*\mathcal{F}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}^\bullet\) がある。証明を終えるには、\(\mathcal{F}^\bullet\) が各 \(\mathcal{F}^n\) を準連接とする複体ならば、これが準同型であることを示せばよい。この主張は \(Y\) 上平展局所的なので、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。アフィン射は表現可能だから、 Remark 08GH の両立性により概型の場合へ帰着する。概型の場合は Derived Categories of Schemes, Lemma 08D7 である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は準コンパクト、準分離的、かつ平坦であると仮定する。函手 \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] で、左完全函手 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右導来函手を表す。このとき \(RQ_Y \circ Rf_* = \Phi \circ RQ_X\) である。

証明

\(RQ_Y \circ Rf_*\) と \(\Phi \circ RQ_X\) が同じ函手 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\mathcal{O}_X)\) の右随伴であることを示して証明する。

\(f\) は準コンパクトかつ準分離的なので、\(f_*\) は準連接性を保つ。 Morphisms of Spaces, Lemma 03M9 を参照されたい。 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は Grothendieck アーベル圏であることを思い出す（Properties of Spaces, Proposition 077V）。したがって、任意の \(K\)（\(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) に属するもの）は、 K-入射的複体 \(\mathcal{I}^\bullet\)（\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の複体）によって表すことができる。 Injectives, Theorem 079P を参照されたい。このとき \(\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\) と定義できる。

\(f\) は平坦だから、函手 \(f^*\) は完全である。したがって \(f^*\) は \(f^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) および \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) を定める。函手 \(f^* = Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) は \(Rf_* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Y)\) の左随伴である。Cohomology on Sites, Lemma 07A6 を参照されたい。同様に、函手 \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) は、Derived Categories, Lemma 09T5 により、 \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) の左随伴である。

\(A\) を \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) の対象とし、 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。このとき \[\begin{align*} \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, RQ_Y(Rf_*E)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(A, Rf_*E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(f^*A, E) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(f^*A, RQ_X(E)) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, \Phi(RQ_X(E))) \end{align*}\] である。これは望む結論を含意する。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上のアフィン代数空間とする。 \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) と置く。このとき次が成り立つ。

\(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) は、 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群で、 \(A\)-加群 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) に付随するものへ送る函手である。

\(RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) は、 \(E\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体で、 \(R\Gamma(X, E)\)（\(D(A)\) の対象）に付随するものへ送る函手である。

\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に制限した函手 \(RQ_X\) は、 (08F1) の準逆を定める。

証明

\(X_0 = \Spec(A)\) を \(X\) を表現するアフィン概型とする。環付きサイトの射 \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\) が存在し、圏同値 \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar@<1ex>[r]^{{\epsilon_*}} & \QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@<1ex>[l]^{{\epsilon^*}} }\] を誘導することを思い出す。Lemma 071Q を参照されたい。したがって、随伴函手の一意性により \(Q_X = \epsilon^* \circ Q_{X_0} \circ \epsilon_*\) である。よって (1) は Derived Categories of Schemes, Lemma 08D9 における \(Q_{X_0}\) の記述と、等式 \(\Gamma(X_0, \epsilon_*\mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{F})\) から従う。(2) は (1) と、\(A\)-加群から準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群への函手が完全であることから従う。第三の主張は、概型についての結果（Derived Categories of Schemes, Lemma 08D9）と Lemma 071Q から従う。

次に、函手 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) が圏同値となるための判定条件を証明する。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。任意の平展射 \(j : V \to W\) で、 \(W \subset X\) が準コンパクト開部分、\(V\) がアフィンであるものについて、右導来函手 \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_W))\] （左完全函手 \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_V) \to \QCoh(\mathcal{O}_W)\) の右導来函手）がが可換図式 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_V)) \ar[d]_\Phi \ar[r]_{i_V} & D_\QCoh(\mathcal{O}_V) \ar[d]^{Rj_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_W)) \ar[r]^{i_W} & D_\QCoh(\mathcal{O}_W) }\] に入ると仮定する。このとき函手 (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] は圏同値であり、その準逆は \(RQ_X\) によって与えられる。

証明

まず帰納原理を用いて \(i_X\) が充満忠実であることを証明する。より正確には、Lemma 09IT を用いる。 \((U \subset W, V \to W)\) を初等識別正方形とし、\(V\) はアフィン、 \(U, W\) は \(X\) の準コンパクト開部分であるとする。 \(i_U\) が充満忠実であると仮定し、\(i_W\) が充満忠実であることを示す。 \(X\) を \(W\) で置き換えてよい。すなわち \(W = X\) と仮定してよい（これは記法を簡単にするためだけである。補題の仮定がこの操作で保たれることに注意する）。

\(A, B\) を \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) の対象とする。写像 \[\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B))\] が全単射であることを示したい。\(T = |X| \setminus |U|\) と置く。

まず \(i_X(B)\) が \(T\) 上に台をもつと仮定する。この場合、射 \[i_X(B) \to Rj_{V, *}(i_X(B)|_V) = Rj_{V, *}(i_V(B|_V))\] は準同型である（Lemma 08GG）。仮定により、同型 \(i_X(\Phi(B|_V)) \to Rj_{V, *}(i_V(B|_V))\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) に存在する。さらに、準連接加群の導来圏上で \(\Phi\) と \({-}|_V\) は随伴函手である（Derived Categories, Lemma 09T5）。随伴射 \(B \to \Phi(B|_V)\) は、\(i_X\) を適用すると同型となるので、 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) において同型である。したがって \[\begin{align*} \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) & = \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, \Phi(B|_V)) \\ & = \Mor_{D(\QCoh(\mathcal{O}_V))}(A|_V, B|_V) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_V)}(i_V(A|_V), i_V(B|_V)) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), Rj_{V, *}(i_V(B|_V))) \\ & = \Mor_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B)) \end{align*}\] となり、望む結論を得る。ここで \(i_V\) が充満忠実であること（Lemma 08H0）を用いた。

一般の場合を考える。任意の複体 \(\mathcal{B}^\bullet\) （準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体で \(B\) を表すもの）を選ぶ。次に、任意の準同型 \(s : \mathcal{B}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) （\(U\) 上の準連接加群の複体の準同型）を選ぶ。 \(j_U : U \to X\) は準コンパクトかつ準分離的なので、函手 \(j_{U, *}\) は準連接加群を準連接加群へ移す（Morphisms of Spaces, Lemma 03M9）。したがって、標準的な射 \(\mathcal{B}^\bullet \to j_{U, *}(\mathcal{B}^\bullet|_U) \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) （\(X\) 上の準連接加群の複体の射）がある。 \(B'' = j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) と \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) において置き、識別三角形 \[B \to B'' \to B' \to B[1]\] を \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) において選ぶ。この三角形の第一の射は \(U\) 上への制限が同型なので、 \(B'\) は \(T\) 上に台をもつ。したがって図式 \[\xymatrix{ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'[-1]) \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')[-1]) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B) \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B)) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'') \ar[r] \ar[d] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B'')) \ar[d] \\ \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B') \ar[r] & \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')) }\] では、列は完全であり、最上段と最下段の水平射は全単射である。最後に、準連接加群の複体 \(\mathcal{A}^\bullet\)（\(A\) を表すもの）を選ぶ。

\(\alpha : i_X(A) \to i_X(B)\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) における射とする。制限 \(\alpha|_U\) は \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) の射から生じる。これは \(i_U\) が充満忠実だからである。したがって、上の \(s : \mathcal{B}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) を、 \(\alpha|_U\) が実際の複体の射 \(\mathcal{A}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) によって表されるように選べる。これは複体の射 \(\mathcal{A} \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) に対応する。

言い換えると、\(\alpha\) の \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B''))\) における像は、 \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'')\) の元から生じる。図式追跡により、\(\alpha\) は射 \(A \to B\) （\(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) の射）から生じる。

最後に、\(a : A \to B\) を \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) の射で、 \(D(\mathcal{O}_X)\) において零となるものとする。 \(\mathcal{B}^\bullet\) を適切に選べば、\(a\) は複体の射 \(a^\bullet : \mathcal{A}^\bullet \to \mathcal{B}^\bullet\) によって表されると仮定してよい。\(i_U\) は充満忠実なので、制限 \(a^\bullet|_U\) は \(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) において零である。

したがって、\(s\) を、合成 \(s \circ a^\bullet|_U : \mathcal{A}^\bullet|_U \to \mathcal{C}^\bullet\) が零と鎖ホモトピックになるように選べる。函手 \(j_{U, *}\) を適用すると、 \(\mathcal{A}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{C}^\bullet\) は零と鎖ホモトピックである。したがって \(a\) は \(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'')\) において零へ写る。ゆえに、\(a\) はある \(b \in \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B'[-1])\) の像であると仮定してよい。 \(b\) の \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(i_X(A), i_X(B')[-1])\) における像は、ある \(\gamma \in \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(A, B''[-1])\) から生じる（\(a\) は右側の群で零へ写るからである）。上で水平射が全射であることを見たので、\(\gamma\) はある \(c\) （\(\Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(A, B''[-1])\) の元）から生じる。これは望むとおり \(a = 0\) を含意する。

ここまでで、\(i_X\) が元の \(X\) に対して充満忠実であることが分かった。 \(RQ_X\) はその右随伴だから、 \(RQ_X \circ i_X = \text{id}\) である（Categories, Lemma 07RB）。証明を終えるため、任意の \(E\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属するもの）に対し、射 \(i_X(RQ_X(E)) \to E\) が同型であることを示す。識別三角形 \[i_X(RQ_X(E)) \to E \to E' \to i_X(RQ_X(E))[1]\] を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) において選ぶ。上の議論を用いる形式的な議論により \(i_X(RQ_X(E')) = 0\) である。したがって、\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して、条件 \(i_X(RQ_X(E)) = 0\) が \(E = 0\) を含意することを証明すれば十分である。 \(j : V \to X\) を、\(V\) をアフィンとする平展射とする。Lemmas 08H0、08GZ、および仮定により、 \[Rj_*(E|_V) = Rj_*(i_V(RQ_V(E|_V))) = i_X(\Phi(RQ_V(E|_V))) = i_X(RQ_X(Rj_*(E|_V)))\] である。識別三角形 \[E \to Rj_*(E|_V) \to E' \to E[1]\] を選ぶ。\(RQ_X\) を適用して識別三角形 \[0 \to RQ_X(Rj_*(E|_V)) \to RQ_X(E') \to 0[1]\] を得る。すなわち中央の射は同型である。上の一連の等式と合わせると、最初の識別三角形は識別三角形 \[E \to i_X(RQ_X(E')) \to E' \to E[1]\] となり、中央の射は随伴射である。しかし合成 \(E \to E'\) は零なので、随伴性により \(E \to i_X(RQ_X(E'))\) は零である。この射は、射 \(E \to Rj_*(E|_V)\)（ \(\text{id} : E|_V \to E|_V\) に随伴するもの）と同型だから、 \(E|_V\) は零である。これは任意のアフィン \(V\)（\(X\) 上平展）に対して成り立つので、望むとおり \(E\) は零である。

命題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクト代数空間で、 \(\mathbf{Z}\) 上アフィンな対角射をもつものとする（Properties of Spaces, Definition 03BS の意味で）。このとき函手 (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] は圏同値であり、その準逆は \(RQ_X\) によって与えられる。

証明

\(V \to W\) を平展射とし、\(V\) はアフィン、\(W\) は \(X\) の準コンパクト開部分空間であるとする。射 \(V \to W\) はアフィンである。実際、\(W\) は \(\mathbf{Z}\) 上アフィンな対角射をもち、\(V\) はアフィンである（Morphisms of Spaces, Lemma 08GB）。したがって Lemma 08GY により、 Lemma 09TG の仮定が成り立つ。これで結論を得る。

補題

\(S\) を概型とし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(X\) と \(Y\) は準コンパクトで、\(\mathbf{Z}\) 上アフィンな対角射をもつと仮定する（Properties of Spaces, Definition 03BS の意味で）。函手 \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] で、 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右導来函手を表す。このとき図式 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_\Phi \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] は可換である。

証明

図式の水平射は Proposition 08H1 により圏同値である。したがって、これらの圏を同一視できる（アフィンな対角射をもつ他の準コンパクト代数空間についても同様）。すると補題の主張は、標準的な射 \(\Phi(K) \to Rf_*(K)\) が、すべての \(K\) （\(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) に属するもの）に対して同型であるということである。 \(K_1 \to K_2 \to K_3 \to K_1[1]\) が \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) の識別三角形であり、主張が三つのうち二つについて成り立つならば、残る一つについても成り立つことに注意する。

\(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\) を、準コンパクトでアフィンな対角射をもつ対象の集合とする。 \(U \in \mathcal{B}\) とし、任意の射 \(g : U \to Z\) を考える。ここで \(Z\) は \(S\) 上の準コンパクト代数空間で、アフィンな対角射をもつものとする。 \[\Phi_g : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Z))\] で \(g_*\) の導来延長を表す。次の性質を \(P(U) =\) とする。「任意の \(K\)（\(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) に属するもの）と、上のような任意の \(g : U \to Z\) に対して、射 \(\Phi_g(K) \to Rg_*K\) は同型である。」 Remark 08GR により、Lemma 08GQ の条件 (1)、(2)、(3)(a) は成り立つので、(3)(b) と (4) を証明すればよい。

条件 (3)(b) を確認する。\(U\) を \(X\) 上平展なアフィン概型とする。 \(g : U \to Z\) を上のような射とする。\(Z\) の対角射はアフィンなので、射 \(g : U \to Z\) はアフィンである（Morphisms of Spaces, Lemma 08GB）。したがって Lemma 08GY により \(P(U)\) は成り立つ。

条件 (4) を確認する。 \((U \subset W, V \to W)\) を \(X_{spaces, \etale}\) の初等識別正方形とし、\(U, W, V\) は \(\mathcal{B}\) に属し、 \(V\) はアフィンであるとする。\(P\) は \(U\)、\(V\)、および \(U \times_W V\) について成り立つと仮定する。 \(P\) が \(W\) について成り立つことを示す必要がある。 \(g : W \to Z\) を、アフィンな対角射をもつ準コンパクト代数空間への射とする。\(K\) を \(D(\QCoh(\mathcal{O}_W))\) の対象とする。識別三角形 \[K \to Rj_{U, *}K|_U \oplus Rj_{V, *}K|_V \to Rj_{U \times_W V, *}K|_{U \times_W V} \to K[1]\] を \(D(\mathcal{O}_W)\) において考える。上で述べた三つのうち二つという性質により、 \(\Phi_g(Rj_{U, *}K|_U) \to Rg_*(Rj_{U, *}K|_U)\) が同型であることと、\(V\) および \(U \times_W V\) について同様のことを示せば十分である。これを次の段落で論じる。

\(j : U \to W\) を \(X_{spaces, \etale}\) の射とし、 \(U, W\) は \(\mathcal{B}\) に属し、\(P\) は \(U\) について成り立つとする。 \(g : W \to Z\) を、アフィンな対角射をもつ準コンパクト代数空間への射とする。証明を終えるには、 \(\Phi_g(Rj_*K) \to Rg_*(Rj_*K)\) が任意の \(K\) （\(D(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) に属するもの）に対して同型であることを示す必要がある。 \(\mathcal{I}^\bullet\) を \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) の K-入射的複体で \(K\) を表すものとする。\(P(U)\) を \(j\) に適用すると、 \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) は \(Rj_*K\) を表す。函手 \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) は完全な左随伴 \(j^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\) をもつので、\(j_*\mathcal{I}^\bullet\) は \(\QCoh(\mathcal{O}_W)\) の K-入射的複体である。 Derived Categories, Lemma 08BJ を参照されたい。したがって \(\Phi_g(Rj_*K)\) は \(g_*j_*\mathcal{I}^\bullet = (g \circ j)_*\mathcal{I}^\bullet\) によって表される。\(P(U)\) を \(g \circ j\) に適用すると、これは \(R_{g \circ j, *}(K) = Rg_*(Rj_*K)\) を表す。これで証明が完了する。

ネーター空間に対するコヒーレータ

ネーター代数空間の場合を扱うため、入射加群についてもう少し準備が必要である。

補題

\(S\) をネーター・アフィン概型とする。\(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) の任意の入射対象は、次の形の準連接層からなるフィルター余極限 \(\colim_i \mathcal{F}_i\) である： \[\mathcal{F}_i = (Z_i \to S)_*\mathcal{G}_i\] ここで \(Z_i\) は Artin 環のスペクトルであり、\(\mathcal{G}_i\) は \(Z_i\) 上の連接加群である。

証明

\(S = \Spec(A)\) と置く。\(\mathcal{J}\) を \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) の入射対象とする。\(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) は \(A\)-加群の圏と同値なので、 \(\mathcal{J}\) は \(\widetilde{J}\) に等しい。ここで \(A\)-加群 \(J\) は入射的である。 Dualizing Complexes, Proposition 08YA により、 \(J = \bigoplus E_\alpha\) と書ける。ここで \(E_\alpha\) は直既約であり、したがってある点における剰余体の入射包と同型である。ゆえに（Artin 概型の有限非交和は Artin 的なので）、 \(J\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) の入射包であると仮定してよい。ここで \(\mathfrak p\) は \(A\) の素イデアルである。このとき \(J = \bigcup J[\mathfrak p^n]\) であり、\(J[\mathfrak p^n]\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) の、\(A_\mathfrak/\mathfrak p^nA_\mathfrak p\) 上の入射包である。 Dualizing Complexes, Lemma 08Z4 を参照されたい。したがって \(\widetilde{J}\) は層 \((Z_n \to X)_*\mathcal{G}_n\) の余極限である。

ここで \(Z_n = \Spec(A_\mathfrak p/\mathfrak p^nA_\mathfrak p)\) であり、 \(\mathfrak G_n\) は有限 \(A_\mathfrak/\mathfrak p^nA_\mathfrak p\)-加群 \(J[\mathfrak p^n]\) に付随する連接層である。有限性は Dualizing Complexes, Lemma 08YX から従う。

補題

\(S\) をアフィン概型とする。\(X\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の任意の入射対象は、次の形の準連接層からなるフィルター余極限 \(\colim_i \mathcal{F}_i\) の直和因子である： \[\mathcal{F}_i = (Z_i \to X)_*\mathcal{G}_i\] ここで \(Z_i\) は Artin 環のスペクトルであり、\(\mathcal{G}_i\) は \(Z_i\) 上の連接加群である。

証明

アフィン概型 \(U\) と全射平展射 \(j : U \to X\) を選ぶ（Properties of Spaces, Lemma 03H6）。このとき \(U\) はネーター・アフィン概型である。入射対象 \(\mathcal{J}'\)（\(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) のもの）で、単射 \(\mathcal{J}|_U \to \mathcal{J}'\) が存在するものを選ぶ。このとき \[\mathcal{J} \to j_*\mathcal{J}'\] は \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) における単射であり、したがって \(\mathcal{J}\) を \(j_*\mathcal{J}'\) の直和因子と同一視する。ゆえに結果は、Lemma 09TI で証明した \(\mathcal{J}'\) に対する対応する結果から従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の平坦、準コンパクト、かつ準分離的な射とする。\(\mathcal{J}\) が \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の入射対象ならば、\(f_*\mathcal{J}\) は \(\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の入射対象である。

証明

\(f\) は準コンパクトかつ準分離的なので、函手 \(f_*\) は準連接層を準連接層へ移す（Morphisms of Spaces, Lemma 03M9）。函手 \(f^*\) は \(f_*\) の左随伴であり、単射を単射へ移す。したがって結果は Homology, Lemma 015Z から従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。 \(\mathcal{J}\) が \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の入射対象ならば、

\(H^p(U, \mathcal{J}|_U) = 0\) である。ここで \(p > 0\) であり、 \(U\) は \(X\) 上平展な任意の準コンパクトかつ準分離的な代数空間である。

任意の射 \(f : X \to Y\)（\(S\) 上の代数空間の射）で、\(Y\) が準分離的なものに対して \(R^pf_*\mathcal{J} = 0\) である。ここで \(p > 0\) である。

証明

(1) の証明。Lemma 09TJ のように、 \(\mathcal{J}\) を \(\colim \mathcal{F}_i\) の直和因子として書く。ここで \(\mathcal{F}_i = (Z_i \to X)_*\mathcal{G}_i\) である。 \(\colim \mathcal{F}_i\) に対して消滅を証明すれば十分であることは明らかである。引き戻しは余極限と可換し、\(U\) は準コンパクトかつ準分離的なので、 \(H^p(U, \mathcal{F}_i|_U) = 0\) を \(p > 0\) に対して証明すれば十分である。 Cohomology of Spaces, Lemma 073E を参照されたい。射 \(Z_i \to X\) はアフィンであることに注意する（Morphisms of Spaces, Lemma 09TF）。したがって \[\mathcal{F}_i|_U = (Z_i \times_X U \to U)_*\mathcal{G}'_i = R(Z_i \times_X U \to U)_*\mathcal{G}'_i\] である。ここで \(\mathcal{G}'_i\) は \(\mathcal{G}_i\) の \(Z_i \times_X U\) への引き戻しである。Cohomology of Spaces, Lemma 07U8 を参照されたい。 \(Z_i \times_X U\) はアフィンなので、\(\mathcal{G}'_i\) は \(Z_i \times_X U\) 上で高次コホモロジーをもたない。 Leray スペクトル系列により、\(\mathcal{F}_i|_U\) に対しても同じことが成り立つ（Cohomology on Sites, Lemma 0733）。

(2) の証明。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。平展射 \(V \to Y\) で、\(V\) がアフィンなものをとる。このとき \(V \times_Y X \to X\) は平展射であり、\(V \times_Y X\) は \(X\) 上平展な準コンパクトかつ準分離的な代数空間である（詳細は省略する）。したがって (1) により \(H^p(V \times_Y X, \mathcal{J})\) は零である。 \(R^pf_*\mathcal{J}\) は前層 \(V \mapsto H^p(V \times_Y X, \mathcal{J})\) に付随する層なので、結果が従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上のネーター代数空間の射とする。このとき準連接層上の \(f_*\) は右導来延長 \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) をもち、図式 \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{\Phi} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] は可換である。

証明

\(X\) と \(Y\) はネーターなので、この射は準コンパクトかつ準分離的である（Morphisms of Spaces, Lemma 073B）。したがって \(f_*\) は準連接性を保つ。Morphisms of Spaces, Lemma 03M9 を参照されたい。次に、\(K\) を \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) の対象とする。 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は Grothendieck アーベル圏なので（Properties of Spaces, Proposition 077V）、\(K\) を K-入射的複体 \(\mathcal{I}^\bullet\) によって表せる。ここで各 \(\mathcal{I}^n\) は \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の入射対象である。Injectives, Theorem 079P を参照されたい。したがって、函手 \(\Phi\) は \[\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\] と置くことで定義される。ここで右辺は \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) の対象とみなす。補題の証明を終えるには、標準的な射 \[f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow Rf_*\mathcal{I}^\bullet\] が \(D(\mathcal{O}_Y)\) における同型であることを示せば十分である。そのためには、この射がコホモロジー層上で同型を誘導することを示せばよい。任意の \(m \in \mathbf{Z}\) を選ぶ。\(N = N(X, Y, f)\) を Lemma 08FA のものとする。短完全列 \[0 \to \sigma_{\geq m - N - 1}\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \to \sigma_{\leq m - N - 2}\mathcal{I}^\bullet \to 0\] を \(X\) 上の準連接層の複体の列として考える。 Lemma 08FA により、 \(Rf_*\sigma_{\leq m - N - 2}\mathcal{I}^\bullet\) のコホモロジー層は \(\geq m - 1\) 次で零である。したがって \(R^mf_*\mathcal{I}^\bullet\) は \(R^mf_*\sigma_{\geq m - N - 1}\mathcal{I}^\bullet\) と同型である。言い換えると、\(\mathcal{I}^\bullet\) は \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の入射対象からなる下に有界な複体であると仮定してよい。この場合は Leray の非輪状性補題（Derived Categories, Lemma 015E）から従い、必要な消滅は Lemma 09TL によって与えられる。

命題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。このとき函手 (08F1) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] は圏同値であり、その準逆は \(RQ_X\) によって与えられる。

証明

Lemmas 09TM および 09TG から直ちに従う。

擬連接複体と完全複体

本節では、代数空間の平展サイトに対して Cohomology on Sites, Sections 08FK、 08FS、 08FY、および 08G4 で定義された一般概念を調べる。特に、これらを概型の場合に起こることと対応させる。

まず、概型上の擬連接複体という概念と、それに付随する小平展サイト上の擬連接複体という概念を比較する。

補題

\(X\) を概型とする。\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次の条件は同値である。

\(\mathcal{F}\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群として有限型である。

\(\epsilon^*\mathcal{F}\) は \(\mathcal{O}_\etale\)-加群として有限型である。ここで考えるのは \(X\) の小平展サイトである。

ここで \(\epsilon\) は (08H7) のものである。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は一般的事実である。Modules on Sites, Lemma 03DO を参照されたい。 (2) を仮定する。仮定により平展被覆 \(\{f_i : X_i \to X\}\) で、 \(\epsilon^*\mathcal{F}|_{(X_i)_\etale}\) が有限個の切断で生成されるものが存在する。\(x \in X\) とする。\(\mathcal{F}\) が \(x\) の近傍で有限個の切断によって生成されることを示す。\(x\) は \(X_i \to X\) の像に属するとし、 \(X' = X_i\) と書く。生成切断を \(s_1, \ldots, s_n \in \Gamma(X', \epsilon^*\mathcal{F}|_{X'_\etale})\) とする。等式 \(\epsilon^*\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{F} \otimes_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_\etale\) により、平展射 \(X'' \to X'\) で、\(x\) が \(X' \to X\) の像に属し、

\(s_i|_{X''} = \sum s_{ij} \otimes a_{ij}\) となるものを見つけられる。ここで \(s_{ij} \in \epsilon^{-1}\mathcal{F}(X'')\) および \(a_{ij} \in \mathcal{O}_\etale(X'')\) は切断である。 \(U \subset X\) を \(X'' \to X\) の像とする。\(f'' : X'' \to X\) は平展なので、これは開部分概型である（Morphisms, Lemma 03WT）。 \(X''\) をさらに縮小すれば、\(s_{ij}\) はある元 \(t_{ij} \in \mathcal{F}(U)\) から来ると仮定してよい。これは逆像函手 \(\epsilon^{-1}\) の構成から従う。このとき \(t_{ij}\) が \(\mathcal{F}|_U\) を生成すると主張する。これで補題の証明が終わる。実際、対応する写像 \(\mathcal{O}_U^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_U\) は、その \(f''\) による \(X''\) への引き戻しが全射であるという性質をもつ。 \(f'' : X'' \to U\) は概型の全射平坦射なので、 \(\mathcal{O}_U^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_U\) は全射である。実際、茎を調べ、\(\mathcal{O}_{U, f''(z)} \to \mathcal{O}_{X'', z}\) がすべての \(z \in X''\) に対して忠実平坦であることを用いればよい。

上の状況では、サイトの射 \(\epsilon\) は平坦であり、したがって加群の複体上の引き戻しを定める。

補題

\(X\) を概型とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。次の条件は同値である。

\(E\) は \(m\)-擬連接である。

\(\epsilon^*E\) は \(m\)-擬連接である。ここで考えるのは \(X\) の小平展サイトである。

ここで \(\epsilon\) は (08H7) のものである。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は一般的事実である。Cohomology on Sites, Lemma 08H4 を参照されたい。 \(\epsilon^*E\) が \(m\)-擬連接であると仮定する。以下、\(\epsilon^*\) は完全函手であり、したがって \[\epsilon^*H^i(E) = H^i(\epsilon^*E).\] であることを断りなく用いる。\(E\) が \(m\)-擬連接であることを示すには \(X\) 上局所的に議論してよいので、\(X\) は準コンパクトである（例えばアフィンである）と仮定してよい。\(X\) は準コンパクトなので、任意の平展被覆 \(\{U_i \to X\}\) は有限細分をもつ。したがって \(\epsilon^*E\) は \(D^{-}(\mathcal{O}_\etale)\) の対象である。 Cohomology on Sites, Definition 08FT に続くコメントを参照されたい。 Lemma 08H8 により、\(E\) は \(D^-(\mathcal{O}_X)\) の対象である。

\(n \in \mathbf{Z}\) を \(H^n(E)\) が非零となる最大の整数とする。このとき \(n\) は \(H^n(\epsilon^*E)\) が非零となる最大の整数でもある。 \(n - m\) に関する帰納法で補題を証明する。\(n < m\) ならば補題は明らかである。 \(n \geq m\) ならば、\(H^n(\epsilon^*E)\) は有限 \(\mathcal{O}_\etale\)-加群である。Cohomology on Sites, Lemma 08FX を参照されたい。したがって Lemma 08HD により、\(H^n(E)\) は有限 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。\(X\) を開被覆の各要素で置き換えれば、全射 \(\mathcal{O}_X^{\oplus t} \to H^n(E)\) が存在すると仮定してよい。 \(X\) 上局所的に、これを複体の射 \(\alpha : \mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n] \to E\) に持ち上げられる（詳細は省略する）。識別三角形 \[\mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n] \to E \to C \to \mathcal{O}_X^{\oplus t}[-n + 1]\] を選ぶ。このとき \(C\) のコホモロジーは \(\geq n\) 次で消滅する。一方、複体 \(\epsilon^*C\) は \(m\)-擬連接である。Cohomology on Sites, Lemma 08FV を参照されたい。したがって帰納法により \(C\) は \(m\)-擬連接である。 Cohomology on Sites, Lemma 08FV をもう一度適用して結論を得る。

補題

\(X\) を概型とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。このとき

\(E\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもつことと、\(\epsilon^*E\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもつこととは同値である。

\(E\) が有限 Tor 次元をもつことと、\(\epsilon^*E\) が有限 Tor 次元をもつこととは同値である。

ここで \(\epsilon\) は (08H7) のものである。

証明

容易な向きは Cohomology on Sites, Lemma 08H5 から従う。逆向きについて、\(\epsilon^*E\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもつと仮定する。 \(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\epsilon\) は環付きサイトの平坦射なので（Lemma 08H8）、 \[\epsilon^*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = \epsilon^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_\etale} \epsilon^*\mathcal{F}\] である。したがって、右辺のコホモロジー層が消滅するという仮定から、 Lemma 08H8 を介して \(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) のコホモロジー層に望まれる消滅が従う。

補題

\(f : X \to Y\) を概型の射とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。このとき

\(E\) が \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\) の対象として \([a, b]\) に Tor 振幅をもつことと、\(\epsilon^*E\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもつこととは同値である。後者では \(D(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})\) の対象として考える。

\(E\) が \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\) の対象として局所有限 Tor 次元をもつことと、\(\epsilon^*E\) が \(D(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})\) の対象として局所有限 Tor 次元をもつこととは同値である。

ここで \(\epsilon\) は (08H7) のものである。

証明

(1) の容易な向きは Cohomology on Sites, Lemma 08H5 から従う。 \(x \in X\) を点とし、\(\overline{x}\) を \(x\) 上の幾何学的点とする。 \(y = f(x)\) と置き、\(\overline{y}\) を \(Y\) の幾何学的点で、 \(\overline{x}\) から得られるものと書く。このとき \((f^{-1}\mathcal{O}_Y)_x = \mathcal{O}_{Y, y}\) （Sheaves, Lemma 008H）であり、 \[(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale})_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{Y_\etale, \overline{y}} = \mathcal{O}_{Y, y}^{sh}\] は強 Hensel 化である（Étale Cohomology, Lemmas 03Q1 および 04HX）。 \(\mathcal{O}_{X_\etale}\) の \(X\) における茎は \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) なので、引き戻しの推移性により \[(\epsilon^*E)_{\overline{x}} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\] を得る。\(\epsilon^*E\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもつ \(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-加群の複体ならば、 \((\epsilon^*E)_{\overline{x}}\) は \([a, b]\) に Tor 振幅をもつ \(\mathcal{O}_{Y, y}^{sh}\)-加群の複体である（茎をとることは引き戻しであり、上で引用した補題を用いる）。 More on Flatness, Lemma 0DK0 により、 \((\epsilon^*E)_{\overline{x}}\) の \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-加群の複体としての Tor 振幅は \([a, b]\) に含まれる。射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) は忠実平坦であり（More on Algebra, Lemma 07QM）、かつ \[(\epsilon^*E)_{\overline{x}} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\] なので、More on Algebra, Lemma 0DJF を適用できる。これにより、\(E_x\) の \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-加群の複体としての Tor 振幅は \([a, b]\) に含まれる。Cohomology, Lemma 09U9 により、\(E\) は \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\) の対象として \([a, b]\) に Tor 振幅をもつ。これで (1) の逆向きを得る。(2) は (1) から形式的に従う。

補題

\(X\) を概型とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 \(E\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象であることと、 \(\epsilon^*E\) が \(D(\mathcal{O}_\etale)\) の完全対象であることとは同値である。ここで \(\epsilon\) は (08H7) のものである。

証明

容易な含意は Cohomology on Sites, Lemma 08H6 に含まれる一般的結果から従う。逆向きには、Cohomology on Sites, Lemma 08G8 の同値と、擬連接性および有限 Tor 次元の複体に対する対応する結果、すなわち Lemmas 08HE および 08HF を用いればよい。いくつかの詳細は省略する。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(E\) が \(m\)-擬連接対象（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）ならば、 \(H^i(E)\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。ここで \(i > m\) である。 \(E\) が擬連接ならば、\(E\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象である。

証明

局所的に \(H^i(E)\) は \(H^i(\mathcal{E}^\bullet)\) と同型であり、 \(\mathcal{E}^\bullet\) は厳密完全である。層 \(\mathcal{E}^i\) は有限自由加群の直和因子なので、準連接である。これで補題が従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。 \(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 \(m \in \mathbf{Z}\) に対して、次の条件は同値である。

\(H^i(E)\) は \(i \geq m\) に対して連接であり、\(i \gg 0\) に対して零である。

\(E\) は \(m\)-擬連接である。

特に、\(E\) が擬連接であることと、\(E\) が \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の対象であることとは同値である。

証明

\(X\) は準コンパクトなので、アフィン概型 \(U\) と全射平展射 \(U \to X\) を見つけられる（Properties of Spaces, Lemma 03H6）。 \(U\) はネーターであることに注意する。\(E\) が \(m\)-擬連接であることと \(E|_U\) が \(m\)-擬連接であることとは同値である（定義、または Cohomology on Sites, Lemma 08FU から従う）。同様に、\(H^i(E)\) が連接であることと、 \(H^i(E)|_U = H^i(E|_U)\) が連接であることとは同値である（Cohomology of Spaces, Lemma 07UB）。したがって \(X\) は表現可能であると仮定してよい。

\(X\) が概型 \(X_0\) によって表現されるならば（Lemma 071Q）、 \(E = \epsilon^*E_0\) と書ける。ここで \(E_0\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) の対象であり、 \(\epsilon : X_\etale \to (X_0)_{Zar}\) は (08H7) のものである。この場合、Lemma 08HE により、\(E\) が \(m\)-擬連接であることと \(E_0\) がそうであることとは同値である。同様に、Lemma 08HD により、\(H^i(E_0)\) が有限型（すなわち連接）であることと \(H^i(E)\) がそうであることとは同値である。最後に、Lemma 08H8 により、 \(H^i(E_0) = 0\) であることと \(H^i(E) = 0\) であることとは同値である。したがって概型の場合に帰着し、これは Derived Categories of Schemes, Lemma 08E8 である。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準分離的代数空間とする。 \(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。\(a \leq b\) とする。次の条件は同値である。

\(E\) は \([a, b]\) に Tor 振幅をもつ。

すべての \(\mathcal{F}\)（\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属するもの）に対して、 \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}) = 0\) である。ここで \(i \not \in [a, b]\) である。

証明

(1) が (2) を含意することは明らかである。(2) を仮定する。 \(j : U \to X\) を \(U\) がアフィンである平展射とする。 \(X\) は準分離的なので、\(j\) は準コンパクトかつ分離的である。したがって \(j_*\) は準連接加群を準連接加群へ移す（Morphisms of Spaces, Lemma 03M9）。任意の準連接加群 \(\mathcal{G}\)（\(U\) 上のもの）をとる。仮定により \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} j_*\mathcal{G})\) は \(i \not \in [a, b]\) に対して消滅する。平坦射 \(j\) で引き戻すと、 \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} j^*j_*\mathcal{G})\) は \(i \not \in [a, b]\) に対して消滅する。Cohomology of Spaces, Lemma 0HAP により、 \(\mathcal{G}\) は \(j^*j_*\mathcal{G}\) の直和因子である。したがって条件 (2) から、 \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{G})\) が \(i \not \in [a, b]\) のとき、すべての準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群 \(\mathcal{G}\) に対して消滅することが従う。 \(E|_U\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもつことを証明すれば十分なので、 \(X\) が表現可能な場合に帰着する。

\(X\) が概型 \(X_0\) によって表現されるならば（Lemma 071Q）、 \(E = \epsilon^*E_0\) と書ける。ここで \(E_0\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) の対象であり、 \(\epsilon : X_\etale \to (X_0)_{Zar}\) は (08H7) のものである。任意の準連接加群 \(\mathcal{F}_0\)（\(X_0\) 上のもの）に対して、加群 \(\epsilon^*\mathcal{F}_0\) は \(X\) 上準連接であり、 \[H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \epsilon^*\mathcal{F}_0) = \epsilon^*H^i(E_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_0)\] である。これは \(\epsilon\) が平坦だからである（Lemma 08H8）。さらに、これらの層が \(i \not \in [a, b]\) に対して消滅することから、同じ補題により \(H^i(E_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_0)\) に対する同じ消滅が従う。したがって問題は概型の場合に帰着し、これは Derived Categories of Schemes, Lemma 08EA で扱われる。

補題

\(X\) を概型とする。\(E, F\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。次のいずれかを仮定する。

\(E\) は擬連接であり、\(F\) は \(D^+(\mathcal{O}_X)\) に属する。

\(E\) は完全であり、\(F\) は任意である。

このとき標準的な同型 \[\epsilon^*R\SheafHom(E, F) \longrightarrow R\SheafHom(\epsilon^*E, \epsilon^*F)\] が存在する。ここで \(\epsilon\) は (08H7) のものである。

証明

\(\epsilon\) は平坦であり（Lemma 08H8）、したがって \(\epsilon^* = L\epsilon^*\) であることを思い出す。 Cohomology on Sites, Remark 08JF により、左辺から右辺への標準的な射が存在する。これが同型であることを示すには局所的に議論してよい。すなわち \(X\) はアフィン概型であると仮定してよい。

(1) の場合、\(E\) を上に有界な複体 \(\mathcal{E}^\bullet\) （有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなるもの）で表せる。 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EE を参照されたい。また、\(F\) を下に有界な複体 \(\mathcal{F}^\bullet\) （\(\mathcal{O}_X\)-加群からなるもの）で表せる。Cohomology, Lemma 08I5 を適用すると、 \(R\SheafHom(E, F)\) は、各項が \[\bigoplus\nolimits_{n = - p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}^p, \mathcal{F}^q)\] である複体によって表される。Cohomology on Sites, Lemma 08JI を適用すると、\(R\SheafHom(\epsilon^*E, \epsilon^*F)\) は、各項が \[\bigoplus\nolimits_{n = - p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_\etale} (\epsilon^*\mathcal{E}^p, \epsilon^*\mathcal{F}^q)\] である複体によって表される。したがって補題の主張は、標準的な射 \[\epsilon^*\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{F}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_\etale} (\epsilon^*\mathcal{E}, \epsilon^*\mathcal{F})\] が、任意の \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) と有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) に対して同型であるという真の事実に帰着する。

(2) の場合、\(E\) を厳密完全複体 \(\mathcal{E}^\bullet\) （\(\mathcal{O}_X\)-加群からなるもの）で表せる。 Derived Categories of Schemes, Lemmas 06Z0 および 08EB と、加群の完全複体が有限生成射影加群の有限複体によって表されるという事実を用いる。したがって、上とまったく同じ証明を行える。ただし Cohomology, Lemma 08I5 への参照を Cohomology, Lemma 08DM への参照で置き換える。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(L, K\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。次のいずれかを仮定する。

\(L\) は \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属し、\(K\) は擬連接である。

\(L\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属し、\(K\) は完全である。

このとき \(R\SheafHom(K, L)\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属する。

証明

これは、概型に対する類似の結果（Derived Categories of Schemes, Lemma 0A6H）から、Lemma 08F2 の判定条件、Lemmas 08HE および 08HG の判定条件、ならびに Lemma 08JP の結果を通じて従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(K, L, M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 Cohomology on Sites, Lemma 0BYU の射 \[K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] は、次の場合に同型である。

\(M\) が完全である。

\(K\) が完全である。

\(M\) が擬連接で、\(L \in D^+(\mathcal{O}_X)\) であり、\(K\) が有限 Tor 次元をもつ。

証明

射が同型であるか否かは平展局所的に確認できるので、\(X\) はアフィン概型であると仮定してよい。このとき、Lemma 071Q により、\(K, L, M\) を \(\epsilon^*K_0, \epsilon^*L_0, \epsilon^*M_0\) と書ける。ここで \(K_0, L_0, M_0\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属する。すると Lemma 08JP により、場合 (1) と (3) は概型の場合、すなわち Derived Categories of Schemes, Lemma 0ATN に帰着する。 \(K\) が完全であるが他の仮定を置かない場合、矢印のいずれの側も \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属するとは限らない。しかし結果はなお真である。なぜなら、\(K\) は（さらに局所化した後）有限自由加群の有限複体によって表され、この場合は明らかだからである。

完全複体による近似

本節では、Derived Categories of Schemes, Section 08EL で始めた議論を続ける。

定義

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。次を満たす三つ組 \((T, E, m)\) を考える。

\(T \subset |X|\) は閉部分集合である。

\(E\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象である。

\(m \in \mathbf{Z}\) である。

it 三つ組 \((T, E, m)\) に対して近似が成り立つとは、完全対象 \(P\) （\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）で \(T\) 上に台をもつものと、射 \(\alpha : P \to E\) で、同型 \(H^i(P) \to H^i(E)\) を \(i > m\) に対して、また全射 \(H^m(P) \to H^m(E)\) を誘導するものが存在することをいう。

すべての三つ組に対して近似が成り立つわけではない。その理由については、 Derived Categories of Schemes, Definition 08EM に続く注意を読まれたい。

定義

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(X\) 上でit 完全複体による近似が成り立つとは、任意の閉部分集合 \(T \subset |X|\) で、射 \(X \setminus T \to X\) が準コンパクトであるものに対して、ある整数 \(r\) が存在し、Definition 08HI の任意の三つ組 \((T, E, m)\) で次を満たすものに対して近似が成り立つことをいう。

\(E\) は \((m - r)\)-擬連接である。

\(H^i(E)\) は \(T\) 上に台をもつ。ここで \(i \geq m - r\) である。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, j : V \to X)\) を \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_V)\) の完全対象で、 \(j^{-1}(T)\) 上に台をもつものとする。ここで \(T = |X| \setminus |U|\) である。このとき \(Rj_*E\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象である。

証明

完全であることは \(X_\etale\) 上局所的である。したがって、\(Rj_*E\) の \(U\) および \(V\) への制限が完全であることを確認すれば十分である。 Lemma 08GG により \(Rj_*E|_V = E\) であり、これは完全である。また、 \(Rj_*E|_U = 0\) である。これは \(E|_{V \setminus j^{-1}(T)} = 0\) だからである（Lemma 08GE を用いる）。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, j : V \to X)\) を \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。\(T\) を \(|X| \setminus |U|\) の閉部分集合とし、 \((T, E, m)\) を Definition 08HI の三つ組とする。次を仮定する。

\((j^{-1}T, E|_V, m)\) に対して近似が成り立つ。

層 \(H^i(E)\) は \(i \geq m\) に対して \(T\) 上に台をもつ。

このとき \((T, E, m)\) に対して近似が成り立つ。

証明

\(P \to E|_V\) を、三つ組 \((j^{-1}T, E|_V, m)\) の \(V\) 上の近似とする。 Lemma 08HK により、\(Rj_*P\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象である。一方、Lemma 08GG により \(Rj_*P = j_!P\) である。例えば (08GU) により、\(j_!P\) は \(T\) 上に台をもつ。したがって近似 \(Rj_*P = j_!P \to j_!(E|_V) \to E\) を得る。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間で、アフィン概型によって表現されるものとする。このとき Definition 08HI の任意の三つ組 \((T, E, m)\) で、次を満たす整数 \(r \geq 0\) が存在するものに対して近似が成り立つ。

\(E\) は \(m\)-擬連接である。

\(H^i(E)\) は \(T\) 上に台をもつ。ここで \(i \geq m - r + 1\) である。

\(X \setminus T\) は \(r\) 個のアフィン開部分の和である。

特に、アフィン概型に対して完全複体による近似が成り立つ。

証明

\(X_0\) を \(X\) を表現するアフィン概型とする。 \(T_0 \subset X_0\) を \(T\) に対応する閉部分集合とする。 \(\epsilon : X_\etale \to X_{0, Zar}\) を (08H7) の射とする。 Lemma 071Q により、 \(E = \epsilon^*E_0\) と書ける。ここで \(E_0\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) の対象である。すると Lemma 08HE により \(E_0\) は \(m\)-擬連接である。コホモロジー層の茎を比較すると（Lemma 08H8 の証明を参照）、\(H^i(E_0)\) は \(T_0\) 上に台をもつことが分かる。ここで \(i \geq m - r + 1\) である。 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EQ により、近似 \(P_0 \to E_0\)（\((T_0, E_0, m)\) のもの）が存在する。 Lemma 08HG により、 \(P = \epsilon^*P_0\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象である。引き戻すと、望む近似 \(P = \epsilon^*P_0 \to \epsilon^*E_0 = E\) を得る。

補題

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, j : V \to X)\) を \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。\(U\) は準コンパクト、\(V\) はアフィン、 \(U \times_X V\) は準コンパクトであると仮定する。 \(U\) 上で完全複体による近似が成り立つならば、\(X\) 上でも完全複体による近似が成り立つ。

証明

\(T \subset |X|\) を閉部分集合で、\(X \setminus T \to X\) が準コンパクトであるものとする。\(r_U\) を Definition 08HJ の整数で、組 \((U, T \cap |U|)\) に適合するものとする。\(T' = T \setminus |U|\) と置き、\(T'\) に誘導された被約部分空間構造を入れる。\(|T'|\) は \(|X| \setminus |U|\) に含まれるので、 \(j^{-1}(T') \to T'\) は同型である。さらに \(V \setminus j^{-1}(T')\) は準コンパクトである。実際、これは \(U \times_X V\) と \(X \setminus T\) の \(X\) 上のファイバー積であり、 \(U \times_X V\) は準コンパクト、\(X \setminus T \to X\) は準コンパクトであると仮定した。\(r'\) を \(V \setminus j^{-1}(T')\) を被覆するのに必要なアフィンの個数とする。 \(r = \max(r_U, r')\) が組 \((X, T)\) に対して機能すると主張する。

これを見るため、三つ組 \((T, E, m)\) で、\(E\) が \((m - r)\)-擬連接であり、\(H^i(E)\) が \(T\) 上に台をもち、 \(i \geq m - r\) であるものを選ぶ。\(t\) を \(H^t(E)|_U\) が非零となる最大の整数とする（\(U\) は準コンパクトで、\(E|_U\) は \((m - r)\)-擬連接なので、このような整数は存在する）。 \(E\) を近似できることを \(t\) に関する帰納法により証明する。

基底の場合：\(t \leq m - r'\) とする。これは \(H^i(E)\) が \(T'\) 上に台をもち、\(i \geq m - r'\) であることを意味する。したがって Lemma 08HM により、近似 \(P \to E|_V\)（\((T', E|_V, m)\) の \(V\) 上のもの）が存在する。 Lemma 08HL を適用すると、\((T', E, m)\) を近似できる。このような近似は \((T, E, m)\) の近似でもある。

帰納段階。近似 \(P \to E|_U\)（\((T \cap |U|, E|_U, m)\) のもの）を選ぶ。これは特に全射 \(H^t(P) \to H^t(E|_U)\) を与える。証明の残りでは、表現可能な代数空間 \(V\) および \(U \times_X V\) に対して Lemma 071Q の同値（および Remark 08GH の両立性）を用いる。また、Zariski サイトと平展サイトにおける \((m - r)\)-擬連接性、それぞれ完全性が一致することも用いる。Lemmas 08HE および 08HG を参照されたい。したがって、開埋め込み \(U \times_X V \subset V\) に対して Derived Categories of Schemes, Section 08EC の結果を用いることができる。このようにして Derived Categories of Schemes, Lemma 08EK により、完全対象 \(Q\)（\(D(\mathcal{O}_V)\) のもの）で \(j^{-1}(T)\) 上に台をもつものと、同型 \(Q|_{U \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{U \times_X V}\) が存在する。 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EH により、 \(Q\) を \(Q \otimes^\mathbf{L} I\) で置き換え、次の写像が \[Q|_{U \times_X V} \longrightarrow (P \oplus P[1])|_{U \times_X V} \longrightarrow P|_{U \times_X V} \longrightarrow E|_{U \times_X V}\] \(Q \to E|_V\) に持ち上がると仮定してよい。Lemma 08HB により、射 \(a : R \to E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）で、 \(a|_U\) が \(P \oplus P[1] \to E|_U\) と同型であり、\(a|_V\) が \(Q \to E|_V\) と同型であるものを得る。したがって \(R\) は完全で \(T\) 上に台をもち、写像 \(H^t(R) \to H^t(E)\) は \(U\) への制限上全射である。識別三角形 \[R \to E \to E' \to R[1]\] を選ぶ。このとき \(E'\) は \((m - r)\)-擬連接であり（Cohomology on Sites, Lemma 08FV）、 \(H^i(E')|_U = 0\) は \(i \geq t\) に対して成り立ち、 \(H^i(E')\) は \(T\) 上に台をもつ。ここで \(i \geq m - r\) である。帰納法により、近似 \(R' \to E'\)（\((T, E', m)\) のもの）を得る。合成 \(R' \to E' \to R[1]\) を識別三角形 \(R \to R'' \to R' \to R[1]\) に組み込み、射 \(R' \to E'\) および \(R[1] \to R[1]\) を識別三角形の射 \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & R'' \ar[d] \ar[r] & R' \ar[d] \ar[r] & R[1] \ar[d] \\ R \ar[r] & E \ar[r] & E' \ar[r] & R[1] }\] へ TR3 を用いて拡張する。このとき \(R''\) は完全複体であり（Cohomology on Sites, Lemma 08G9）、\(T\) 上に台をもつ。容易な図式追跡により、\(R'' \to E\) が望む近似であることが分かる。

定理

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。このとき \(X\) 上で完全複体による近似が成り立つ。

証明

これは Lemma 08GP の帰納原理と Lemmas 08HN および 08HM から従う。

導来圏の生成

本節は Derived Categories of Schemes, Section 09IP の類似である。ただし、まず Derived Categories of Schemes, Lemma 09IM の類似である次の補題を証明する。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(W \subset X\) を準コンパクト開部分とする。\(T \subset |X|\) を閉部分集合で、 \(X \setminus T \to X\) が準コンパクト射であるものとする。 \(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 \(\alpha : P \to E|_W\) を射とし、\(P\) は \(D(\mathcal{O}_W)\) の完全対象で \(T \cap W\) 上に台をもつものとする。このとき射 \(\beta : R \to E\) で、 \(R\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象で \(T\) 上に台をもち、\(P\) が \(R|_W\) の直和因子（\(D(\mathcal{O}_W)\) におけるもの）となり、\(\alpha\) と \(\beta|_W\) に両立するものが存在する。

証明

これを証明するため Lemma 09IT の帰納原理を用いる。したがって直ちに、初等識別正方形 \((W \subset X, f : V \to X)\) があり、\(V\) がアフィンで、 \(P \to E|_W\) が補題の主張のとおりである場合に帰着する。証明の残りでは、表現可能な代数空間 \(V\) および \(W \times_X V\) に対して Lemma 071Q の同値（および Remark 08GH の両立性）を用いる。また、Zariski サイトと平展サイトにおける完全性が一致することも用いる。 Lemma 08HG を参照されたい。

Derived Categories of Schemes, Lemma 08EK により、完全対象 \(Q\)（\(D(\mathcal{O}_V)\) に属するもの）で \(f^{-1}T\) 上に台をもつものと、同型 \(Q|_{W \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{W \times_X V}\) を選べる。 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EH により、 \(Q\) を \(Q \otimes^\mathbf{L} I\) で置き換え（なお \(f^{-1}T\) 上に台をもつ）、写像 \[Q|_{W \times_X V} \to (P \oplus P[1])|_{W \times V} \longrightarrow P|_{W \times_X V} \longrightarrow E|_{W \times_X V}\] が \(Q \to E|_V\) に持ち上がると仮定してよい。 Lemma 08HB により、射 \(a : R \to E\) （\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）で、\(a|_W\) が \(P \oplus P[1] \to E|_W\) と同型であり、 \(a|_V\) が \(Q \to E|_V\) と同型であるものを得る。したがって \(R\) は望むとおり完全で \(T\) 上に台をもつ。

注意

Lemma 09IV の証明は、 \[R|_W = P \oplus P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m]\] となることを示す。ここで \(m \geq 0\) および \(n_j \geq 0\) である。したがって \(R|_W\) の最高次数のコホモロジー層は \(P\) のそれに等しい。写像 \(P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m] \to R|_W\) に対してこの構成を繰り返し、錐をとり、帰納法を用いることにより、任意に与えた次数より上で \(R|_W\) と \(P\) のコホモロジー層を等しくできる。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(W\) を \(X\) の準コンパクト開部分空間とする。\(P\) を \(D(\mathcal{O}_W)\) の完全対象とする。このとき \(P\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) のある完全対象の制限の直和因子である。

証明

Lemma 09IV の特別な場合である。

定理

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。圏 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は一つの完全対象によって生成される。より正確には、完全対象 \(P\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）で、任意の \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して次が同値となるものが存在する。

\(E = 0\) である。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[n], E) = 0\) である。ここで \(n \in \mathbf{Z}\) は任意である。

証明

Lemma 08GP の帰納原理を用いてこれを証明する。

\(X\) がアフィンならば \(\mathcal{O}_X\) は完全生成対象である。これは Lemma 071Q と Derived Categories of Schemes, Lemma 06Z0 から従う。

\((U \subset X, f : V \to X)\) が初等識別正方形で、\(U\) は準コンパクト、定理は \(U\) に対して成り立ち、\(V\) はアフィン概型であると仮定する。 \(P\) を \(D(\mathcal{O}_U)\) の完全対象で、 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) の生成対象であるものとする。 Lemma 09IX を用いて、完全対象 \(Q\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）で、その \(U\) への制限が直和であり、直和因子の一つが \(P\) であるものを選べる。\(V = \Spec(A)\) と書く。\(Z \subset V\) を、 \(X \setminus U\) の逆像で、これへ同型に写る被約閉部分概型とする（Definition 08GM を参照）。これは \(V\) のレトロコンパクト閉部分集合である。 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) を \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) となるように選ぶ。 \(K \in D(\mathcal{O}_V)\) を、\(f_1, \ldots, f_r\) の Koszul 複体（\(A\) 上のもの）に対応する完全対象とする。\(K\) は \(Z\) 上に台をもつので、順像 \(K' = Rf_*K\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象で、その \(V\) への制限は \(K\) であることに注意する（Lemmas 08HK および 08GG を参照）。 \(Q \oplus K'\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の生成対象であると主張する。

\(E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象で、\(Q \oplus K'\) の任意のシフトから \(E\) への非自明な射が存在しないものとする。Lemma 08GG により \(K' = f_! K\) であり、したがって \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] である。Derived Categories of Schemes, Lemma 09IR により（Lemma 071Q も用いる）、これらの群の消滅から \(E|_V\) は \(R(U \times_X V \to V)_*E|_{U \times_X V}\) と同型であることが従う。これは \(E = R(U \to X)_*E|_U\) を含意する（小さな詳細は省略する）。この場合 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] であり、これは \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n], E|_U)\) を直和因子として含む。したがって \(P\) の選び方により、これらの群の消滅から \(E|_U\) が零であることが従う。よって \(E\) は零である。

注意

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間の射とする。\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を生成対象とする（Theorem 09IY を参照）。このとき次の条件は同値である。

\(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して、\(Rf_*K = 0\) であることと \(K = 0\) であることとは同値である。

\(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は同型を反映する。

\(Lf^*E\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の生成対象である。

(1) と (2) の同値は、 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) が三角圏の完全函手であることの形式的帰結である。同様に、(1) と (3) の同値は \(Lf^*\) が \(Rf_*\) の左随伴であることから形式的に従う。これらの条件は、\(f\) がアフィンである場合（Lemma 08II）、\(f\) が開埋め込みである場合、または \(f\) がそのような射の合成である場合に成り立つ。

次の結果は Theorem 09IY の強化であり、

まったく同じ方法で証明される。\(T \subset |X|\) を閉部分集合とし、ここで \(X\) は代数空間とする。\(D_T(\mathcal{O}_X)\) により、コホモロジー層が \(T\) 上に台をもつ複体からなる真に充満な飽和三角部分圏を表すことにする。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(T \subset |X|\) を閉部分集合で、\(|X| \setminus T\) が準コンパクトであるものとする。上の記法のもとで、圏 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) は一つの完全対象によって生成される。

証明

Lemma 08GP の帰納原理を用いてこれを証明する。この性質は、サイト \(X_{spaces, \etale}\) の表現可能な準コンパクトかつ準分離的対象に対して、Derived Categories of Schemes, Lemma 0A9A により成り立つ。

\((U \subset X, f : V \to X)\) が初等識別正方形で、補題は \(U\) に対して成り立ち、\(V\) はアフィンであると仮定する。証明を終えるには結果が \(X\) に対して成り立つことを示す必要がある。\(P\) を \(D(\mathcal{O}_U)\) の完全対象で \(T \cap U\) 上に台をもち、\(D_{\QCoh, T \cap U}(\mathcal{O}_U)\) の生成対象であるものとする。Lemma 09IV を用いると、完全対象 \(Q\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）で \(T\) 上に台をもち、その \(U\) への制限が直和で、直和因子の一つが \(P\) であるものを選べる。 \(V = \Spec(B)\) と書く。\(Z = X \setminus U\) と置く。このとき \(f^{-1}Z\) は \(V\) の閉部分集合で、\(V \setminus f^{-1}Z\) は準コンパクトである。 \(X\) は準分離的なので、 \(f^{-1}Z \cap f^{-1}T = f^{-1}(Z \cap T)\) は \(V\) の閉部分集合で、 \(W = V \setminus f^{-1}(Z \cap T)\) は準コンパクトである。したがって \(g_1, \ldots, g_s \in B\) を \(f^{-1}(Z \cap T) = V(g_1, \ldots, g_r)\) となるように選べる。

\(K \in D(\mathcal{O}_V)\) を、\(g_1, \ldots, g_s\) の Koszul 複体（\(B\) 上のもの）に対応する完全対象とする。\(K\) は閉部分集合 \(f^{-1}(Z \cap T) \subset V\) 上に台をもつので、順像 \(K' = R(V \to X)_*K\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象で、その \(V\) への制限は \(K\) であることに注意する（Lemmas 08HK および 08GG を参照）。 \(Q \oplus K'\) は \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) の生成対象であると主張する。

\(E\) を \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) の対象で、\(Q \oplus K'\) の任意のシフトから \(E\) への非自明な射が存在しないものとする。Lemma 08GG により \(K' = R(V \to X)_! K\) であり、したがって \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] である。Derived Categories of Schemes, Lemma 09IR により、 \(E|_V = Rj_*E|_W\) である。ここで \(j : W \to V\) は包含である。図式は \[\xymatrix{ W \ar[r]_j & V & Z \cap T \ar[l] \ar[d] \\ V \setminus f^{-1}Z \ar[u]^{j'} \ar[ru]_{j''} & & Z \ar[lu] }\] である。 \(E\) は \(T\) 上に台をもつので、\(E|_W\) は \(f^{-1}T \cap W = f^{-1}T \cap (V \setminus f^{-1}Z)\) 上に台をもち、これは \(W\) で閉である。したがって \[E|_V = Rj_*(E|_W) = Rj_*(Rj'_*(E|_{U \cap V})) = Rj''_*(E|_{U \cap V})\] を得る。ここで第二の等式は Cohomology, Lemma 08DF の (1) である。これを適用できるのは、\(V\) が概型で、\(E\) が準連接コホモロジー層をもち、したがって準コンパクト開埋め込み \(j'\) に沿う順像が台となる概型上の順像と一致するからである。Remark 08GH を参照されたい。これは \(E = R(U \to X)_*E|_U\) を含意する（小さな詳細は省略する）。この場合 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] であり、これは \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n], E|_U)\) を直和因子として含む。したがって \(P\) の選び方により、これらの群の消滅から \(E|_U\) が零であることが従う。よって \(E\) は零である。

コンパクト対象と完全対象

本節は Derived Categories of Schemes, Section 09M0 の類似である。

命題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象がコンパクトであることと完全であることとは同値である。

証明

\(K\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象とし、その双対を \(K^\vee\) とする（Cohomology on Sites, Lemma 08JJ）。このとき \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, M) = H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] が \(M\) に函手的に成り立つ。\(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} -\) は直和と可換し、 Lemma 08FB により \(H^0(X, -)\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 上で直和と可換する。したがって \(K\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) においてコンパクトである。

逆に、\(K\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) のコンパクト対象とする。 \(K\) が完全であることを示すには、\(K|_U\) が完全であることを、任意のアフィン概型 \(U\) が \(X\) 上平展である場合に示せば十分である。Cohomology on Sites, Lemma 08G6 を参照されたい。\(j : U \to X\) は準コンパクトかつ分離的な射であることに注意する。したがって Lemma 08FB により \[Rj_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] は直和と可換する。ゆえに \(U\) への制限と \(Rj_*\) の随伴性から、\(K|_U\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) の完全対象であることが従う。したがって \(X\) がアフィン、特に準コンパクトかつ準分離的な概型である場合に帰着する。Lemmas 071Q および 08HG を介して概型の場合、すなわち Derived Categories of Schemes, Proposition 09M1 に帰着する。

注意

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(G\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象で、\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の生成対象であるものとする。Theorem 09IY により、このようなものが少なくとも一つ存在する。Lemma 08F3、Proposition 09M8、および Derived Categories, Proposition 09SR を合わせると、 \(G\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の古典的生成対象であることが分かる。

次の結果は Proposition 09M8 の強化である。 \(T \subset |X|\) を閉部分集合とし、ここで \(X\) は代数空間とする。前と同様、\(D_T(\mathcal{O}_X)\) は、コホモロジー層が \(T\) 上に台をもつ複体からなる真に充満な飽和三角部分圏を表す。直和をとることはコホモロジー層をとることと可換するので、\(D_T(\mathcal{O}_X)\) は直和をもち、それらは \(D(\mathcal{O}_X)\) における直和と等しい。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(T \subset |X|\) を閉部分集合で、\(|X| \setminus T\) が準コンパクトであるものとする。 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) の対象がコンパクトであることと、 \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象として完全であることとは同値である。

証明

補題の直前の注意により、\(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) は直和をもつ三角圏である。 Proposition 09M8 により、完全対象は \(D(\mathcal{O}_X)\) のコンパクト対象を定め、したがって直和をとることで保たれる任意の部分圏でもコンパクト対象を定める。逆向きには、生成対象 \(E \in D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) で、完全 \(\mathcal{O}_X\)-加群複体でもあるものが存在することを用いる。 Lemma 0AEC を参照されたい。したがって上により \(E\) はコンパクトである。Derived Categories, Proposition 09SR により、\(E\) は \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) のコンパクト対象からなる充満部分圏の古典的生成対象である。したがって任意のコンパクト対象は、\(E\) から、 (a) シフト、(b) 有限直和、(c) 錐、(d) 直和因子をとる操作からなる有限列によって構成できる。これらの各操作は完全であるという性質を保つので、結果が従う。

注意

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(T \subset |X|\) を閉部分集合で、\(|X| \setminus T\) が準コンパクトであるものとする。 \(G\) を \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) の完全対象で、 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) の生成対象であるものとする。Lemma 0AEC により、このようなものが少なくとも一つ存在する。 \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) が直和をもつという事実と、Lemma 0AED および Derived Categories, Proposition 09SR を合わせると、 \(G\) は \(D_{perf, T}(\mathcal{O}_X)\) の古典的生成対象であることが分かる。

次の補題は、直前の補題の証明に用いられた考え方の一応用である。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(T \subset |X|\) を閉部分集合とし、その補集合 \(U \subset X\) は準コンパクトであるとする。\(\alpha : P \to E\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の射で、次のいずれかを満たすものとする。

\(P\) は完全であり、\(E\) は \(T\) 上に台をもつ。

\(P\) は擬連接であり、\(E\) は \(T\) 上に台をもち、かつ \(E\) は下に有界である。

このとき、\(\mathcal{O}_X\)-加群の完全複体 \(I\) と射 \(I \to \mathcal{O}_X[0]\) であって、\(I \otimes^\mathbf{L} P \to E\) が零であり、 \(I|_U \to \mathcal{O}_U[0]\) が同型となるものが存在する。

証明

\(\mathcal{D} = D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) と置く。いずれの場合にも、複体 \(K = R\SheafHom(P, E)\) は \(\mathcal{D}\) の対象である。準連接性については Lemma 0A8A を参照されたい。 \(K\) が \(T\) 上に台をもつことは明らかである。実際、\(R\SheafHom\) の形成は開部分への制限と可換する。射 \(\alpha\) は \(H^0(K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[0], K)\) の元を定める。したがって射 \(\alpha : \mathcal{O}_X[0] \to K\) に対して結果を証明すれば十分である。

\(E \in \mathcal{D}\) を完全生成対象とする。Lemma 0AEC を参照されたい。Derived Categories, Lemma 09SN のように \[K = \text{hocolim} K_n\] と書く。ここでは生成対象 \(E\) を用いる。函手 \(\mathcal{D} \to D(\mathcal{O}_X)\) は直和と可換するので、 \(K = \text{hocolim} K_n\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) においても成り立つ。 \(\mathcal{O}_X\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) のコンパクト対象であるから、ある \(n\) と射 \(\alpha_n : \mathcal{O}_X \to K_n\) が存在し、これが \(\alpha\) を誘導する。 Derived Categories, Lemma 094A を参照されたい。射 \(\mathcal{O}_X[0] \to K_n\)（周囲の圏 \(D(\mathcal{O}_X)\) におけるもの）に Derived Categories, Lemma 09SP を適用すると、\(\alpha_n\) は \(\mathcal{O}_X[0] \to Q \to K_n\) と分解し、ここで \(Q\) は \(\langle E \rangle\) の対象である。したがって \(Q\) は \(T\) 上に台をもつ完全複体である。

識別三角 \[I \to \mathcal{O}_X[0] \to Q \to I[1]\] を選ぶ。構成により \(I\) は完全であり、射 \(I \to \mathcal{O}_X[0]\) は \(U\) 上で同型に制限され、合成 \(I \to K\) は零である。実際、\(\alpha\) は \(Q\) を経由する。これで補題が証明された。

加群圏としての導来圏

本節は Derived Categories of Schemes, Section 09M2 の類似である。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(K^\bullet\) を、コホモロジー層が準連接である \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体とする。自己準同型微分次数付き代数を \((E, d) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\) と置く。このとき Differential Graded Algebra, Lemma 09LX の函手 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] の像は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に含まれる。

証明

\(P\) を微分次数付き \(E\)-加群で性質 \(P\) をもつものとする。\(F_\bullet\) を、 Differential Graded Algebra, Section 09KK のような \(P\) 上のフィルトレーションとする。このとき \[P \otimes_E K^\bullet = \text{hocolim}\ F_iP \otimes_E K^\bullet\] である。各 \(F_iP\) は有限フィルトレーションをもち、その次数付き成分は \(E[k]\) の直和である。結果は容易に従う。

次の補題は強めることができる（コホモロジー層が固定された範囲内でのみ非零であるすべての \(L\) にわたって、消滅を一様に選べる）。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(K\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象とする。このとき

ある整数 \(a \leq b\) が存在し、 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = 0\) が、\(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) であって \(H^i(L) = 0\) を \(i \in [a, b]\) に対して満たすものについて成り立つ。

\(L\) が有界ならば、\(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\) は有限個を除くすべての \(n\) に対して零である。

証明

(2) は (1) と \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L[n])\) から従う。(1) を証明する。\(K\) は完全であるから \[\Ext^i_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] である。ここで \(K^\vee\) は \(K\) の「双対」完全複体である。Cohomology on Sites, Lemma 08JJ を参照されたい。 \(P = K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) は \(D_\QCoh(X)\) に属する。これは Lemmas 08F5 および 08JL による（後者は完全複体が準連接コホモロジー層をもつことを見るために用いる）。\(K^\vee\) の Tor 振幅が \([a, b]\) に含まれるとする。このときスペクトル系列 \[E_1^{p, q} = H^p(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} H^q(L)) \Rightarrow H^{p + q}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] から、\(H^j(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\) は、 \(H^q(L) = 0\) が \(q \in [j - b, j - a]\) に対して成り立つならば零であることが分かる。 Cohomology of Spaces, Lemma 072C の整数 \(N\)、すなわち \(\max(d_p + p)\) をとる。このとき \(H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\) は、コホモロジー層 \[H^{-N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ H^{-N + 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ \ldots, \ H^0(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] が零ならば消滅する。実際、引用した補題と Lemma 08F7 により \[H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = H^0(X, \tau_{\geq -N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L))\] であり、コホモロジー層の消滅により、これは \(H^0(X, \tau_{\geq 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L))\) に等しく、さらに Derived Categories, Lemma 05TC により零である。したがって \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\) は、\(H^i(L) = 0\) が \(i \in [-b - N, -a]\) に対して成り立つならば零である。

次は Derived Categories of Schemes, Theorem 09M5 の類似である。

定理

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。微分次数付き代数 \((E, \text{d})\) で、有限個を除いてコホモロジー群 \(H^i(E)\) が零であるものが存在し、\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は \(D(E, \text{d})\) と同値になる。

証明

\(K^\bullet\) を \(\mathcal{O}\)-加群の K-入射的複体で、完全であり、 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を生成するものとする。そのようなものは Theorem 09IY と K-入射的分解の存在により存在する。次のものについて定理が成り立つことを示す。 \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] ここで \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)\) は \(\mathcal{O}\)-加群複体の微分次数付き圏である。Differential Graded Algebra, Section 09LU を参照されたい。 \(K^\bullet\) は K-入射的であるから、すべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対して [09MD]\[\begin{equation} H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet) \end{equation}\] である。Lemma 09MB により、これらの Ext のうち非零なのは有限個だけである。Differential Graded Algebra, Lemma 09LX の函手 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] を考える。\(K^\bullet\) は完全なので、\(D(\mathcal{O}_X)\) のコンパクト対象を定める。Proposition 09M8 を参照されたい。

これと (09MD) を合わせると、上の函手は忠実充満である。これは Differential Graded Algebra, Lemmas 09LZ から従う。また Differential Graded Algebra, Lemmas 09LY により、右随伴 \[R\Hom(K^\bullet, - ) : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(E, \text{d})\] をもち、随伴函手に関する一般論により、これは左準逆函手である。一方、Lemma 09MA から \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] を得る。\(K^\bullet\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の生成対象として選んだので、 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に制限した随伴函手の核は零である。形式的な議論から所望の同値が得られる。Derived Categories, Lemma 09J1 を参照されたい。

注意

\(S\) を概型とする。\(X\) を準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(T \subset |X|\) を閉部分集合で、\(|X| \setminus T\) が準コンパクトであるものとする。 Theorem 09MC の類似が \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) に対して成り立つ。これは定理の証明とまったく同じ議論から従う。その際、Lemmas 0AEC、 0AED、および台付きの Lemma 09MA の変種を用いる。これが必要になれば、ここに結果を正確に述べ、詳細な証明を与える。

注意

\(X\) を環 \(R\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 Theorem 09MC の証明の構成により、微分次数付き代数 \((A, \text{d})\) で \(R\) 上のものが存在し、三角圏として \(D_\QCoh(X)\) は \(R\)-線型に \(D(A, \text{d})\) と同値である。 \((A, \text{d})\) はどの程度一意なのか、と問うことができる。答えは、\((A, \text{d})\) が導来同値を除いて定まると言うだけよりも（ほんの）少し良い。実際、\((B, \text{d})\) を第二のそのような対と仮定する。このとき \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] および \[(B, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, L^\bullet)\] である。ここで \(K^\bullet\) と \(L^\bullet\) は、\(\mathcal{O}_X\)-加群の K-入射的複体で、\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の完全生成対象に対応する。次のように置く。 \[\Omega = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, L^\bullet) \quad \Omega' = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, K^\bullet)\] このとき \(\Omega\) は微分次数付き \(B^{opp} \otimes_R A\)-加群であり、 \(\Omega'\) は微分次数付き \(A^{opp} \otimes_R B\)-加群である。さらに、同値 \[D(A, \text{d}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(B, \text{d})\] は函手 \(- \otimes_A^\mathbf{L} \Omega'\) によって与えられ、準逆についても同様である。したがって Differential Graded Algebra, Remark 09ST の状況にある。この注意が必要になれば、ここに正確な主張と詳細な証明を与える。

擬連接複体の特徴付け、I

この内容は More on Morphisms of Spaces, Section 0CTP で続ける。擬連接対象は、完全対象による近似の導来ホモトピー極限として特徴付けることができる。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) とする。次は同値である。

\(K\) は擬連接である。

\(K = \text{hocolim} K_n\) であり、ここで \(K_n\) は完全で、 \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\) はすべての \(n\) に対して同型である。

証明

(2) \(\Rightarrow\) (1) は任意の環付きサイト上で成り立つ。実際、(2) を仮定する。導来圏の完全対象は擬連接であることを思い出そう。Cohomology on Sites, Lemma 08G8 を参照されたい。すると定義から、 \(\tau_{\geq -n}K_n\) は \((-n + 1)\)-擬連接であり、したがって \(\tau_{\geq -n}K\) は \((-n + 1)\)-擬連接であり、ゆえに \(K\) は \((-n + 1)\)-擬連接である。これはすべての \(n\) に対して成り立つので、 \(K\) は擬連接である。Cohomology on Sites, Definition 08FT を参照されたい。

(1) を仮定する。まず近似 \(K_1 \to K\) を選ぶ。これは \((X, K, -2)\) の完全複体 \(K_1\) による近似である。Definitions 08HI、 08HJ、および Theorem 08HP を参照されたい。帰納的に \[K_1 \to K_2 \to \ldots \to K_n \to K\] が与えられ、\(K_i\) は完全であり、 \(\tau_{\geq -i}K_i \to \tau_{\geq -i}K\) はすべての \(1 \leq i \leq n\) に対して同型であると仮定する。

次に \(a \leq b\) を選ぶ。これは Lemma 09MB における完全対象 \(K_n\) に対する整数である。近似 \(K_{n + 1} \to K\) を選ぶ。これは \((X, K, \min(a - 1, -n - 1))\) の近似である。識別三角 \[K_{n + 1} \to K \to C \to K_{n + 1}[1]\] を選ぶ。このとき \(C \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) であり、 \(H^i(C) = 0\) が \(i \geq a\) に対して成り立つ。したがって \(a, b\) の選び方により \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K_n, C) = 0\) である。ゆえに合成 \(K_n \to K \to C\) は零である。したがって Derived Categories, Lemma 0149 により、\(K_n \to K\) を \(K_{n + 1}\) を通じて分解でき、帰納段階が証明される。

なお \(K = \text{hocolim} K_n\) を証明しなければならない。これは函手 \(H^i( - ) : D(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) と \(K_n\) の選び方に Derived Categories, Lemma 0CRK を適用することで従う。

補題

\(X\) を準コンパクトかつ準分離的な概型とする。\(T \subset X\) を閉部分集合で、 \(X \setminus T\) が準コンパクトであるものとする。 \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) は \(T\) 上に台をもつとする。次は同値である。

\(K\) は擬連接である。

\(K = \text{hocolim} K_n\) であり、ここで \(K_n\) は完全で \(T\) 上に台をもち、 \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\) はすべての \(n\) に対して同型である。

証明

この補題の証明は Lemma 0DKB の証明とまったく同じである。ただし近似を選ぶ際に三つ組 \((T, K, m)\) を用いる。

コヒーレータ再考

Section 08GX では、右随伴 \(RQ_X\) を構成し、調べた。これは標準函手 \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\] に対するものである。これはコヒーレータ \(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) の右導来拡張として構成された。本節では包含函手 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] がいつ右随伴をもつかを調べる。この右随伴が存在するならば、これを² \[DQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] と記す。準コンパクトかつ準分離的な代数空間には、このような右随伴が存在することが分かる。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。包含函手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\) は右随伴をもつ。

証明

Lemma 08GP の帰納原理を用いて証明する。 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) が同値ならば、 Section 08GX の函手 \(RQ_X\) が \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\) の右随伴なので、補題は成り立つ。特に、補題はアフィン代数空間に対して成り立つ。 Lemma 08H0 を参照されたい。したがって次を示せば十分である。 \((U \subset X, f : V \to X)\) が初等識別正方形で、\(U\) は準コンパクト、 \(V\) はアフィンであり、補題が \(U\)、\(V\)、および \(U \times_X V\) に対して成り立つならば、補題は \(X\) に対して成り立つ。

右随伴が存在することと、任意の対象 \(K\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）に対して識別三角

\[E' \to E \to K \to E'[1]\] を \(D(\mathcal{O}_X)\) において見いだせて、\(E'\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属し、かつ \(\Hom(M, K) = 0\) がすべての \(M\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) のもの）に対して成り立つこととは同値である。 Derived Categories, Lemma 0CQS を参照されたい。 Lemma 08GW の識別三角 \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V} \to E[1]\] を \(D(\mathcal{O}_X)\) において考える。Derived Categories, Lemma 0CQR により、\(Rj_{U, *}E|_U\)、 \(Rj_{V, *}E|_V\)、および \(Rj_{U \times_X V, *}E|_{U \times_X V}\) に対して所望の識別三角を構成すれば十分である。これで次の段落で論じる主張に帰着する。

\(j : U \to X\) を平展射とし、\(U\) は準コンパクトかつ準分離的で、補題が \(U\) に対して成り立つとする。\(L\) を \(D(\mathcal{O}_U)\) の対象とする。このとき識別三角 \[E' \to Rj_*L \to K \to E'[1]\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在し、\(E'\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属し、 \(\Hom(M, K) = 0\) がすべての \(M\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) のもの）に対して成り立つ。これを見るため、識別三角 \[L' \to L \to Q \to L'[1]\] を \(D(\mathcal{O}_U)\) において選ぶ。ここで \(L'\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) に属し、\(\Hom(N, Q) = 0\) がすべての \(N\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) のもの）に対して成り立つ。 Derived Categories, Lemma 0CQS の主張が必要十分条件であるため、この選択が可能である。識別三角 \[Rj_*L' \to Rj_*L \to Rj_*Q \to Rj_*L'[1]\] を \(D(\mathcal{O}_X)\) において得る。Lemma 08FA により、\(Rj_*L'\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属する。一方、\(M\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属するならば \[\Hom(M, Rj_*Q) = \Hom(Lj^*M, Q) = 0\] である。実際、Lemma 08F4 により \(Lj^*M\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) に属する。これで証明が終わる。

証明

随伴は Derived Categories, Proposition 0A8G により存在する。仮定が満たされることを確認する。まず \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は直和をもち、直和は包含函手と可換する（Lemma 08F3）。一方、 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) はコンパクト生成される。実際、Theorem 09IY により完全生成対象をもち、 Proposition 09M8 により完全対象はコンパクトである。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準コンパクトかつ準分離的な射とする。右随伴 \(DQ_X\) と \(DQ_Y\)（包含函手 \(D_\QCoh \to D\) のもの）がそれぞれ \(X\) と \(Y\) に対して存在するならば \[Rf_* \circ DQ_X = DQ_Y \circ Rf_*\] である。

証明

Lemma 08FA により、\(Rf_*\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中へ写すので、この主張には意味がある。また Lemma 08F4 により、\(Lf^*\) も同様に \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の中へ写す。したがって \(Rf_* \circ DQ_X\) と \(DQ_Y \circ Rf_*\) はともに \(Lf^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) の右随伴であり、主張が従う。

注意

\(S\) を概型とする。\((U \subset X, f : V \to X)\) を \(S\) 上の代数空間の初等識別正方形とする。\(X\)、\(U\)、\(V\) は準コンパクトかつ準分離的であると仮定する。 Lemma 0CR4 により、函手 \(DQ_X\)、\(DQ_U\)、\(DQ_V\)、 \(DQ_{U \times_X V}\) は存在する。さらに、標準的な識別三角 \[DQ_X(K) \to Rj_{U, *}DQ_U(K|_U) \oplus Rj_{V, *}DQ_V(K|_V) \to Rj_{U \times_X V, *}DQ_{U \times_X V}(K|_{U \times_X V}) \to\] が任意の \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) に対して存在する。これは Lemma 08GW の識別三角に完全函手 \(DQ_X\) を適用し、Lemma 0CR5 を三回用いることで従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 Lemma 0CR4 の函手 \(DQ_X\) は次の有界性をもつ。ある整数 \(N = N(X)\) が存在し、\(K\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) に属して、 \(H^i(U, K) = 0\) が、アフィン \(U\) であって \(X\) 上平展なものと \(i \not \in [a, b]\) に対して成り立つならば、コホモロジー層 \(H^i(DQ_X(K))\) は \(i \not \in [a, b + N]\) に対して零である。

証明

Lemma 08GP の帰納原理を用いて証明する。

\(X\) がアフィンならば、\(N = 0\) として補題は成り立つ。実際、このとき \(RQ_X = DQ_X\) は \(R\Gamma(X, K)\) に付随する準連接層の複体をとることで与えられる。Lemma 08H0 を参照されたい。

\((U \subset W, f : V \to W)\) を初等識別正方形とし、\(W\) は準コンパクトかつ準分離的、\(U \subset W\) は準コンパクト開、\(V\) はアフィンであり、補題が \(U\)、\(V\)、および \(U \times_W V\) に対して成り立つとする。対応する整数を \(N(U)\)、\(N(V)\)、および \(N(U \times_W V)\) とする。ここで \(K\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) に属し、\(H^i(W, K) = 0\) が、すべてのアフィン \(W\) であって \(X\) 上平展なものと、すべての \(i \not \in [a, b]\) に対して成り立つと仮定する。

すると \(K|_U\)、\(K|_V\)、\(K|_{U \times_W V}\) は同じ性質をもつ。したがって \(RQ_U(K|_U)\)、\(RQ_V(K|_V)\)、および \(RQ_{U \cap V}(K|_{U \times_W V})\) のコホモロジー層は区間

\([a, b + \max(N(U), N(V), N(U \times_W V))\) の外で消滅する。 Lemma 08FA により、函手 \(Rj_{U, *}\)、\(Rj_{V, *}\)、\(Rj_{U \times_W V, *}\) は \(D_\QCoh\) 上有限なコホモロジー次元をもつ。したがってある \(N\) が存在し、 \(Rj_{U, *}DQ_U(K|_U)\)、\(Rj_{V, *}DQ_V(K|_V)\)、および \(Rj_{U \cap V, *}DQ_{U \times_W V}(K|_{U \times_W V})\) のコホモロジー層は区間 \([a, b + N]\) の外で消滅する。最後に Remark 0CR6 の識別三角から結論が従う。

例

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \((\mathcal{F}_n)\) を \(X\) 上の準連接層の逆系とする。\(DQ_X\) は右随伴なので積と可換し、したがって導来極限とも可換する。ゆえに \[DQ_X(R\lim \mathcal{F}_n) = (R\lim\text{ in }D_\QCoh(\mathcal{O}_X))(\mathcal{F}_n)\] である。ここで最初の \(R\lim\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) においてとる。実際、これについて \(K = R\lim \mathcal{F}_n\) と書こう。任意のアフィン \(U\) であって \(X\) 上平展なものに対して \[H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim R\Gamma(U, \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim \Gamma(U, \mathcal{F}_n))\] である。これはコホモロジーが導来極限と可換し、準連接層 \(\mathcal{F}_n\) はアフィン上で高次コホモロジーをもたないためである。アーベル群の圏における \(R\lim\) の計算により、 \(H^i(U, K) = 0\) は \(i \in [0, 1]\) でない限り成り立つ。最後に、\(R\lim\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) におけるもの）は上により \(DQ_X(K)\) であり、 \(D^b_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属し、Lemma 0CSS により負次数のコホモロジー層は消滅する。

コホモロジーと基底変換、IV

本節は Derived Categories of Schemes, Section 08ET の類似である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準コンパクトかつ準分離的な射とする。\(E\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に属し、 \(K\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) に属するならば \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K)\] である。

証明

何の仮定もなく、射 \(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K \to Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K)\) がある。すなわち、これは標準射 \[Lf^*(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K) = Lf^*(Rf_*(E)) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K \longrightarrow E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K\] の随伴であり、この標準射は射 \(Lf^*Rf_*E \to E\) から生じる。 Cohomology on Sites, Lemmas 07A4 および 07A6 を参照されたい。これが同型であることは \(Y\) 上平展局所的に確認できる。したがって \(Y\) がアフィン概型である場合に帰着する。

\(K = \bigoplus K_i\) が複体 \(K_i \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の直和であるとする。主張が各 \(K_i\) に対して成り立つならば、\(K\) に対しても成り立つ。実際、函手 \(Lf^*\) と \(\otimes^\mathbf{L}\) は構成により直和を保ち、\(Rf_*\) は Lemma 08FB により（準連接コホモロジー層をもつ複体について）直和と可換する。さらに \(K \to L \to M \to K[1]\) が \(D_\QCoh(Y)\) の識別三角であるとする。補題の主張が \(K, L, M\) のうち二つに対して成り立つならば、三つ目にも成り立つ（関与する函手は三角圏の完全函手だからである）。

\(Y\) はアフィンで、\(Y = \Spec(A)\) とする。函手 \(\widetilde{\ } : D(A) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は Lemma 071Q および Derived Categories of Schemes, Lemma 06Z0 により同値である。 \(T\) を、\(K \in D(A)\) に対して補題の主張が \(\widetilde{K}\) について成り立つという性質とする。上の議論と More on Algebra, Remark 09PB により、\(T\) が \(A[k]\) に対して成り立つことを証明すれば十分である。構造層のシフトについて補題の主張は明らかなので、これで証明が終わる。

定義

\(S\) を概型とする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(X\)、\(Y\) を \(B\) 上の代数空間とする。\(X\) と \(Y\) が \(B\) 上 Tor 独立 であるとは、すべての可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[d]_{\overline{y}} \ar[dr]_{\overline{b}} \ar[r]_-{\overline{x}} & X \ar[d] \\ Y \ar[r] & B }\] で表される幾何学的点について、環 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) と \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) が \(\mathcal{O}_{B, \overline{b}}\) 上 Tor 独立であることをいう（More on Algebra, Definition 0660 を参照）。

次の補題は、特にこの定義が表現可能な代数空間の場合の既存の定義と一致することを示す。

補題

\(S\) を概型とする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(X\)、\(Y\) を \(B\) 上の代数空間とする。次は同値である。

\(X\) と \(Y\) は \(B\) 上 Tor 独立である。

すべての可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \\ X \ar[r] & B & Y \ar[l] }\] で垂直射が平展であるものについて、\(U\) と \(V\) は \(W\) 上 Tor 独立である。

(2) のような可換図式で、(a) \(W \to B\) が平展かつ全射、(b) \(U \to X \times_B W\) が平展かつ全射、(c) \(V \to Y \times_B W\) が平展かつ全射であるものが存在し、その図式において \(U\) と \(V\) は \(W\) 上 Tor 独立である。

(3) のような可換図式で、\(U\)、\(V\)、\(W\) が概型であるものが存在し、概型 \(U\) と \(V\) は Derived Categories of Schemes, Definition 08IA の意味で \(W\) 上 Tor 独立である。

証明

代数空間の平展射 \(\varphi : U \to X\) と幾何学的点 \(\overline{u}\) に対して、局所環の射 \(\mathcal{O}_{X, \varphi(\overline{u})} \to \mathcal{O}_{U, \overline{u}}\) は同型である。したがって (1) と (2) の同値が従う。同じく (1) \(\Rightarrow\) (3) も従う。(3) を仮定し、Definition 08IP のような幾何学的点の図式を選ぶ。仮定により、まず \(\overline{b}\) を幾何学的点 \(\overline{w}\)（\(W\) のもの）に持ち上げ、次に幾何学的点 \((\overline{x}, \overline{b})\) を幾何学的点 \(\overline{u}\)（\(U\) のもの）に持ち上げ、最後に幾何学的点 \((\overline{y}, \overline{b})\) を幾何学的点 \(\overline{v}\)（\(V\) のもの）に持ち上げることができる。持ち上げの存在には Properties of Spaces, Lemma 05VN を用いる。上の局所環に関する注意を用いると、与えられた図式について定義の条件が満たされることが分かる。

これらの点を最初に選んでおけば、(4) は Definition 08IP と Derived Categories of Schemes, Definition 08IA が、\(X\)、\(Y\)、\(B\) が概型であるとき一致するという主張に帰着することは明らかである。

\(\overline{x}, \overline{b}, \overline{y}\) を Definition 08IP のような点で、それぞれ点 \(x, y, b\) の上にあるものとする。 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) であること（Properties of Spaces, Lemma 04KF）と、他の二つについての同様の事実を思い出そう。Algebra, Lemma 08HV により、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\) の強 Hensel 化である。特に環準同型 \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{B, \overline{b}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] は平坦である（More on Algebra, Lemma 07QM）。More on Algebra, Lemma 08HW により \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, b}}(\mathcal{O}_{X, x}, \mathcal{O}_{Y, y}) \otimes_{\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y}} (\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}} \mathcal{O}_{Y, \overline y}) = \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}}( \mathcal{O}_{X, \overline{x}}, \mathcal{O}_{Y, \overline{y}})\] である。したがって \(X\) と \(Y\) が概型として \(B\) 上 Tor 独立ならば、 \(X\) と \(Y\) は代数空間として \(B\) 上 Tor 独立である。

逆に、\(X\)、\(Y\)、\(B\) はアフィンであると仮定してよい。上で述べたことにより環準同型 \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{B, \overline{b}}} \mathcal{O}_{Y, \overline y}\] は平坦である。さらに、スペクトル上の射の像は、すべての素イデアル \[\mathfrak s \subset \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{B, b}} \mathcal{O}_{Y, y}\] で \(\mathfrak m_x\) と \(\mathfrak m_y\) の上にあるものを含む。したがってこのことと上の Tor の表示式から、\(X\) と \(Y\) が代数空間として \(B\) 上 Tor 独立ならば \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{B, b}} (\mathcal{O}_{X, x}, \mathcal{O}_{Y, y})_\mathfrak s = 0\] がすべての \(i > 0\) と上のようなすべての \(\mathfrak s\) に対して成り立つ。 More on Algebra, Lemma 08HX を環準同型 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) および \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) に適用すると、

\(X\) と \(Y\) は \(B\) 上 Tor 独立であることが従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(g : Y' \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準コンパクトかつ準分離的な射とする。基底変換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を考える。\(X\) と \(Y'\) が \(Y\) 上 Tor 独立ならば、すべての \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して \(Rf'_*L(g')^*E = Lg^*Rf_*E\) である。

証明

任意の対象 \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) のもの）に対して、Cohomology on Sites, Remark 07A7 から標準的な基底変換射 \(Lg^*Rf_*E \to Rf'_*L(g')^*E\) を得る。これが同型であることは \(Y'\) 上平展局所的に確認できる。したがって \(g : Y' \to Y\) はアフィン概型の射であると仮定してよい。特に \(g\) はアフィンであるから \[Rg_*Lg^*Rf_*E \to Rg_*Rf'_*L(g')^*E = Rf_*(Rg'_* L(g')^* E)\] が同型であることを示せば十分である。Lemma 08II を参照されたい（また、対象 \(Rf'_*L(g')^*E\) と \(Lg^*Rf_*E\) が準連接コホモロジー層をもつことには Lemmas 08F4、 08F5、および 08FA を用いる）。 \(g'\) もアフィンであることに注意する（Morphisms of Spaces, Lemma 03WI）。 Lemma 08IJ により、この射は \[Rf_*E \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} g_*\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] となる。\(g'_*\mathcal{O}_{X'} = f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\) である。したがって Lemma 08IN により、 \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{Y'} = f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\) を証明すれば十分である。これは \(X\) と \(Y'\) が \(Y\) 上 Tor 独立であるという仮定から従う。実際、 \(X\) 上平展局所的に確認できるので、\(X\) もアフィンであると仮定してよい。 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(R)\)、\(Y' = \Spec(R')\) と書く。仮定は \(A\) と \(R'\) が \(R\) 上 Tor 独立であることを含意する（Lemma 08IQ および More on Algebra, Lemma 08HX）。すなわち、 \(\text{Tor}_i^R(A, R') = 0\) が \(i > 0\) に対して成り立つ。言い換えると \(A \otimes_R^\mathbf{L} R' = A \otimes_R R'\) であり、これはまさに \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{Y'} = f^*g_*\mathcal{O}_{Y'}\) を意味する。

次の補題は双対化複体の章で用いる。

補題

\(g : S' \to S\) をアフィン概型の射とする。準コンパクトかつ準分離的な代数空間の Cartesian 正方形 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] を考える。\(g\) と \(f\) は Tor 独立であると仮定する。 \(S = \Spec(R)\) および \(S' = \Spec(R')\) と書く。 \(M, K \in D(\mathcal{O}_X)\) に対する標準射 \[R\Hom_X(M, K) \otimes^\mathbf{L}_R R' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\] は \(D(R')\) において、次の二つの場合に同型である。

\(M \in D(\mathcal{O}_X)\) は完全で、\(K \in D_\QCoh(X)\) である。

\(M \in D(\mathcal{O}_X)\) は擬連接で、\(K \in D_\QCoh^+(X)\) であり、 \(R'\) は \(R\) 上有限 Tor 次元をもつ。

証明

大域 Hom 複体の標準射 \(R\Hom_X(M, K) \to R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\) が \(D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) において存在する。Cohomology on Sites, Section 0B6E を参照されたい。スカラーを制限すれば、これを \(D(R)\) における射とみなせる。次に、スカラー制限と \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\) の随伴性を用いて、補題の表示射を得る。射を定義したので、アーベル群の導来圏で同型であることを証明すれば十分である。

右辺は Lemma 08IJ により \[R\Hom_X(M, R(g')_*L(g')^*K) = R\Hom_X(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] に等しい。いずれの場合にも、複体 \(R\SheafHom(M, K)\) は Lemma 0A8A により \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象である。自然な射 \[R\SheafHom(M, K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] があり、いずれの場合にも Lemma 0E4Q により同型である。

(2) の場合にこの補題を適用できることを見るため、 \(g'_*\mathcal{O}_{X'} = Rg'_*\mathcal{O}_{X'} = Lf^*g_*\mathcal{O}_X\) であることに注意する。第二の等式は Lemma 08IR による。 Derived Categories of Schemes, Lemma 08E9、Lemma 08HF、および Cohomology on Sites, Lemma 08H5 を用いると、 \(g'_*\mathcal{O}_{X'}\) は有限 Tor 次元をもつことが分かる。したがって、いずれの場合にも \(K\) を \(R\SheafHom(M, K)\) で置き換えることで、 \[R\Gamma(X, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] が同型であることに帰着する。左辺は Lemma 08IJ により \(R\Gamma(X', L(g')^*K)\) に等しいことに注意する。したがって結果は Lemma 08IR から従う。

注意

Lemma 0E4S の記法を用いる。図式 \[\xymatrix{ R\Hom_X(M, Rg'_*L) \otimes_R^\mathbf{L} R' \ar[r] \ar[d]_\mu & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*Rg'_*L) \ar[d]^a \\ R\Hom_X(M, R(g')_*L) \ar@{=}[r] & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L) }\] は可換である。ここで上の水平射は補題の射、\(\mu\) は乗法射、\(a\) は随伴射 \(L(g')^*Rg'_*L \to L\) から生じる。乗法射とは、随伴射 \(K' \otimes_R^\mathbf{L} R' \to K'\) のことであり、これは任意の \(K' \in D(R')\) に対するものである。

補題

\(S\) を概型とする。代数空間の Cartesian 正方形 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上で考える。\(g\) と \(f\) は Tor 独立であると仮定する。

\(E \in D(\mathcal{O}_X)\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもち、これは \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-加群の複体としての振幅であるとする。このとき \(L(g')^*E\) は \([a, b]\) に Tor 振幅をもち、これは \(f^{-1}\mathcal{O}_{Y'}\)-加群の複体としての振幅である。

\(\mathcal{G}\) が \(\mathcal{O}_X\)-加群で \(Y\) 上平坦ならば、 \(L(g')^*\mathcal{G} = (g')^*\mathcal{G}\) である。

証明

Tor 次元は茎で計算できる。Cohomology on Sites, Lemma 0DJJ および Properties of Spaces, Theorem 04K5 を参照されたい。 \(\overline{x}'\) が \(X'\) の幾何学的点で、その像が \(\overline{x}\)（\(X\) の点）ならば \[(L(g')^*E)_{\overline{x}'} = E_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] である。\(\overline{y}'\)（\(Y'\) の点）と \(\overline{y}\)（\(Y\) の点）を、それぞれ \(\overline{x}'\) と \(\overline{x}\) の像とする。 \(X\) と \(Y'\) は \(Y\) 上 Tor 独立なので、More on Algebra, Lemma 0661 を適用すると、表示式の右辺は \[E_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\] に \(D(\mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})\) において等しいことが分かる。したがって (1) は More on Algebra, Lemma 066L から従う。(2) を見るには、 \(\mathcal{G}\) の平坦性が \(\mathcal{G}[0]\) が \([0, 0]\) に Tor 振幅をもつという条件と同値であることに注意する。(1) を適用すれば結論を得る。

コホモロジーと基底変換、V

本節は Derived Categories of Schemes, Section 0DJ6 の類似である。Section 08IM では、射が Tor 独立ならば基底変換定理が成り立つことを見た。そのような条件がなければ、アフィンの場合でさえ基底変換定理は存在しえない。More on Algebra, Section 065Y を参照されたい。本節では、「一度に一つの複体について」基底変換の結果がいつ得られるかを解析する。

このため、\(S\) を基礎概型とし、可換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] が \(S\) 上の代数空間からなると仮定する（通常は Cartesian であると仮定する）。 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) とし、 \(L(g')^*K \to K'\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) の射とする。幾何学的点 \(\overline{x}'\)（\(X'\) の点）に対して、幾何学的点 \(\overline{x} = g'(\overline{x}')\)、 \(\overline{y}' = f'(\overline{x}')\)、 \(\overline{y} = f(\overline{x}) = g(\overline{y}')\) （それぞれ \(X\)、\(Y'\)、\(Y\) の点）を考える。このとき射 \[K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'} \to K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \to K'_{\overline{x}'}\] を考えられる。ここで第一の矢印は More on Algebra, Equation (065Z) であり、第二の矢印は \[(L(g')^*K)_{\overline{x}'} = K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] と与えられた射 \(L(g')^*K \to K'\) から生じる。各 \(i \in \mathbf{Z}\) に対して、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\)-加群構造が \(H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})\) 上に得られる。すべてを合わせると標準射 [0DKF]\[\begin{equation} H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \longrightarrow H^i(K'_{\overline{x}'}) \end{equation}\] が \(\mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\)-加群の射として得られる。

補題

\(S\) を概型とする。 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間の Cartesian 図式とする。 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) とし、\(L(g')^*K \to K'\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) の射とする。次は同値である。

任意の \(x' \in X'\) と \(i \in \mathbf{Z}\) に対して、射 (0DKF) は同型である。

任意の可換図式 \[\xymatrix{ & U \ar[d] \ar[rd]^a \\ V' \ar[r] \ar[rd]^c & V \ar[rd]^b & X \ar[d]^f \\ & Y' \ar[r]^g & Y }\] で \(a, b, c\) が平展、\(U, V, V'\) が概型であり、 \(U' = V' \times_V U\) であるものについて、Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ8 の同値な条件が \((U \to X)^*K\) と \((U' \to X')^*K'\) に対して成り立つ。

(2) のような図式で \(U' \to X'\) が全射であるものが一つ存在する。

証明

(1) は \(X'\) 上平展局所的である。既知の形式的含意をたどると、 \(X, Y, Y', X'\) がそれぞれ概型 \(X_0, Y_0, Y'_0, X'_0\) によって表現される場合に、この補題の条件 (1) と Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ8 の条件 (1) が同値であることを証明すれば十分である。射 \(f_0, g_0, g'_0, f'_0\) を、これらの概型の間でそれぞれ \(f, g, g', f'\) に対応するものとする。 Lemma 071Q により、 \(K = \epsilon^*K_0\) および \(K' = \epsilon^*K'_0\) と仮定してよい。ここで \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) および \(K'_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'_0})\) である。さらに、Remark 08GH の記法のもとで、射 \(Lg^*K \to K'\) は射 \(L(g_0)^*K_0 \to K'_0\) の引き戻しである。

\(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の強 Hensel 化である（Properties of Spaces, Lemma 04KF）こと、および \[K_{\overline{x}} = K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \quad\text{and}\quad K'_{\overline{x}'} = K'_{0, x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X', x'}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] であることを思い出そう（Properties of Spaces, Lemma 05VP と同様である）。可換図式 \[\xymatrix{ H^i(K_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'})} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'} \ar[r] & H^i(K'_{\overline{x}'}) \\ H^i(K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', y'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y', y'})} \mathcal{O}_{X', x'} \ar[u] \ar[r] & H^i(K'_{0, x'}) \ar[u] }\] を考える。下の水平矢印が同型であることと上の水平矢印が同型であることが同値であることを示さなければならない。 \(\mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\) は忠実平坦なので（More on Algebra, Lemma 07QM）、上の矢印がこの射による下の矢印の基底変換であることを示せば十分である。右側の対象については、上で与えた茎の間の関係から直ちに従う。左側の対象については \[\begin{align*} & H^i\left( (K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\right) \\ & = H^i(K_{0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y', y'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y', y'})} (\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}) \end{align*}\] を示せば十分である。これは More on Algebra, Lemma 0DJD から従う。この補題の平坦性の仮定は、上で述べたこと、および Algebra, Lemma 08HV が \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) の強 Hensel 化であり、 \(\mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\) は \(\mathcal{O}_{Y', y'} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) の強 Hensel 化であることを含意することから満たされる。

補題

\(S\) を概型とする。 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間の Cartesian 図式とする。 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) とし、\(L(g')^*K \to K'\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) の射とする。次を仮定する。

Lemma 0DKG の同値な条件が成り立つ。

\(f\) は準コンパクトかつ準分離的である。

このとき合成 \(Lg^*Rf_*K \to Rf'_*L(g')^*K \to Rf'_*K'\) は同型である。

証明

射が同型であることは \(Y'\) 上平展局所的に確認できる。したがって \(g : Y' \to Y\) はアフィン概型の射であると仮定してよい。この場合、 Lemma 08GP の帰納原理を用いて、準コンパクトかつ準分離的な代数空間 \(U\) であって \(X\) 上平展なものに対して、同様に構成した射 \(Lg^*R(U \to Y)_*K|_U \to R(U' \to Y')_*K'|_{U'}\) が同型であることを証明する。ここで \(U' = X' \times_{g', X} U = Y' \times_{g, Y} U\) である。

\(U\) が概型ならば（例えばアフィンならば）結果は成り立つ。実際、その場合 \(Y, Y', U, U'\) は概型であり、Lemma 071Q により \(K\) と \(K'\) は基礎にある概型の導来圏の対象から来る。また Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ8 の条件は、 Lemma 0DKG によりこれらの複体に対して成り立つ。したがって Remark 08GH で説明した両立性により、概型の場合の結果、すなわち Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJ9 を適用できる。

帰納段階を行う。\((U \subset W, V \to W)\) を初等識別正方形とする。 \(W\) は \(X\) 上平展な準コンパクトかつ準分離的な代数空間、\(U\) は準コンパクト、\(V\) はアフィンであり、結果が \(U\)、\(V\)、および \(U \times_W V\) に対して成り立つとする。記法を容易にするため \(W\) を \(X\) で置き換える（この時点では許される）。明らかな射を \(a : U \to Y\)、\(b : V \to Y\)、および \(c : U \times_X V \to Y\) と記す。\(a' : U' \to Y'\)、\(b' : V' \to Y'\)、および \(c' : U' \times_{X'} V' \to Y'\) を、それぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\) の基底変換とする。相対 Mayer–Vietoris の識別三角（Lemma 08JK）を用いると、可換図式 \[\xymatrix{ Lg^*Rf_*K \ar[r] \ar[d] & Rf'_*K' \ar[d] \\ Lg^*Ra_*K|_U \oplus Lg^*Rb_*K|_V \ar[r] \ar[d] & Ra'_* K'|_{U'} \oplus Rb'_* K'|_{V'} \ar[d] \\ Lg^*Rc_*K|_{U \times_X V} \ar[r] \ar[d] & Rc'_*K'|_{U' \times_{X'} V'} \ar[d] \\ Lg^*Rf_* K[1] \ar[r] & Rf'_* K'[1] }\] を得る。第二および第三の水平矢印は同型なので、第一の水平矢印も同型である（Derived Categories, Lemma 014A）。これで補題の証明が終わる。

補題

\(S\) を概型とする。 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] を \(S\) 上の代数空間の Cartesian 図式とする。 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) とし、\(L(g')^*K \to K'\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) の射とする。Lemma 0DKG の同値な条件が成り立つならば、

\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して、Lemma 0DKG の同値な条件が \(L(g')^*(E \otimes^\mathbf{L} K) \to L(g')^*E \otimes^\mathbf{L} K'\) に対して成り立つ。

\(E\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) に属して完全ならば、Lemma 0DKG の同値な条件が \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\) に対して成り立つ。

\(K\) が下に有界で、\(E\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) に属して擬連接ならば、 Lemma 0DKG の同値な条件が \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\) に対して成り立つ。

証明

関与する複体が準連接コホモロジー層をもつので、主張には意味がある。これは Lemmas 08F4、 08F5、 0A8A、および Cohomology on Sites, Lemmas 08H4、 08H6 による。このことを踏まえると、(1) の場合に射 (0DKF) が同型であることは、テンソル積の推移性を用いて (0DKF) の始域と終域を計算すれば確認できる。More on Algebra, Lemma 0BYJ を参照されたい。 (2) と (3) の射は合成 \[L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, L(g')^*K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\] である。第一の矢印は Cohomology on Sites, Remark 08JF であり、第二の矢印は与えられた射 \(L(g')^*K \to K'\) から生じる。射 (0DKF) が同型であることを証明するには、(2) の場合 \(E_x\) を有限生成射影 \(\mathcal{O}_{X. x}\)-加群の有界複体で表し、

(3) の場合は有限自由加群の上に有界な複体で表して、矢印の始域と終域を計算する。いくつかの詳細は省略する。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準コンパクトかつ準分離的な射とする。\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) とする。 \(\mathcal{G}^\bullet\) を、準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群で \(Y\) 上平坦なものからなる上に有界な複体とする。このとき \[Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\] の形成は任意の基底変換と可換する（正確な主張は証明を参照）。

証明

主張の意味は次のとおりである。\(g : Y' \to Y\) を代数空間の射とし、基底変換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を考える。言い換えると \(X' = Y' \times_Y X\) である。補題は \[Lg^*Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow Rf'_*(L(g')^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] が同型であると主張する。右辺では \(\mathcal{G}^\bullet\) に導来引き戻しを 用いていないことに注意する。これを証明するため Lemmas 0DKH および 0DKI を適用すると、標準射 \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] が Lemma 0DKG の同値な条件を満たすことを証明すれば十分である。これは茎で条件を確認すれば従う。実際、複体に関する仮定により \[\mathcal{G}^\bullet_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{Y', \overline{y}'}\] が導来テンソル積を計算する。これは複体 \(\mathcal{G}^\bullet\) に関する仮定による。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準コンパクトかつ準分離的な射とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 \(\mathcal{G}^\bullet\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体とする。次のいずれかを仮定する。

\(E\) は完全で、\(\mathcal{G}^\bullet\) は上に有界であり、 \(\mathcal{G}^n\) は \(Y\) 上平坦である。

\(E\) は擬連接で、\(\mathcal{G}^\bullet\) は有界であり、 \(\mathcal{G}^n\) は \(Y\) 上平坦である。

このとき \[Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] の形成は任意の基底変換と可換する（正確な主張は証明を参照）。

証明

主張の意味は次のとおりである。\(g : Y' \to Y\) を代数空間の射とし、基底変換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_h \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を考える。言い換えると \(X' = Y' \times_Y X\) である。補題は \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] が同型であると主張する。右辺では \(\mathcal{G}^\bullet\) に導来引き戻しを 用いていないことに注意する。これを証明するため Lemmas 0DKH および 0DKI を適用すると、標準射 \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] が Lemma 0DKG の同値な条件を満たすことを証明すれば十分である。これは Lemma 0A1K の証明で示した。

完全複体の構成

次の補題は、完全複体を構成するための主要な技術的道具である。この結果の後の諸版は、ネーター近似によってこれに帰着される。

補題

\(S\) を概型とする。\(Y\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。 \(f : X \to Y\) を局所有限型かつ準分離的な代数空間の射とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) が次を満たすとする。

\(E \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) である。

\(H^i(E)\) の台は \(Y\) 上固有である（すべての \(i\) について）。

\(E\) は \(D(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\) の対象として有限 tor 次元をもつ。

このとき \(Rf_*E\) は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の完全対象である。

証明

Lemma 08GK により、\(Rf_*E\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) の対象である。したがって \(Rf_*E\) は擬連接である（Lemma 08IK）。ゆえに \(Rf_*E\) が有限 tor 次元をもつことを示せば十分である。Cohomology on Sites, Lemma 08G8 を参照されたい。 Lemma 08IL により、 \(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}\) が一様に有界なコホモロジーをもつことを、任意の準連接層 \(\mathcal{F}\)（\(Y\) 上）について確かめれば十分である。\(Rf_*(E)\) は上に有界なので、上からの有界性は明らかである。\(T \subset |X|\) を \(H^i(E)\) の台（すべての \(i\) について）の合併とする。このとき仮定 (1), (2) および Lemma 0CZH により、\(T\) は \(Y\) 上固有である。特に、準コンパクト開部分空間 \(X' \subset X\) が存在し、これは \(T\) を含む。\(f' = f|_{X'}\) とおくと \(Rf_*(E) = Rf'_*(E|_{X'})\) である。実際、\(E\) は \(X \setminus T\) 上で零に制限される。したがって \(X\) を \(X'\) で置き換え、 \(f\) が準コンパクトであると仮定してよい。\(f\) は準分離的であるとも仮定している。よって \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F} = Rf_*\left(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}\right) = Rf_*\left(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\right)\] である。これは Lemma 08IN および Cohomology on Sites, Lemma 08I6 による。仮定 (3) により、複体 \(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\) のコホモロジー層は、ある一定の有限区間、たとえば \([a, b]\) に入る。これに \(Rf_*\) を施したものは区間 \([a, \infty)\) にコホモロジーをもち、これでよい。

補題

\(S\) を概型とする。\(B\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。 \(f : X \to B\) を局所有限型かつ準分離的な代数空間の射とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全対象とする。\(\mathcal{G}^\bullet\) を、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有界複体であって、\(B\) 上平坦かつ台が \(B\) 上固有なものとする。このとき \(K = Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\) は \(D(\mathcal{O}_B)\) の完全対象である。

証明

Lemma 08IS により対象 \(K\) は完全である。同補題を適用できることを確かめよう。局所的に \(E\) は有限階数自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有限複体と同型である。したがって局所的に \(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet\) は、各項が \[\bigoplus\nolimits_{i = a, \ldots, b} (\mathcal{G}^i)^{\oplus r_i}\] という形の有限複体と同型である。ここで \(a, b, r_a, \ldots, r_b\) はいくつかの整数である。このことからコホモロジー層 \(H^i(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\) が連接であることが直ちに従う。tor 次元に関する仮定も、\(\mathcal{G}^i\) が \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\) 上平坦であることから従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(B\) を \(S\) 上のネーター代数空間とする。 \(f : X \to B\) を局所有限型かつ準分離的な代数空間の射とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全対象とする。\(\mathcal{G}^\bullet\) を、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有界複体であって、\(B\) 上平坦かつ台が \(B\) 上固有なものとする。このとき \(K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G})\) は \(D(\mathcal{O}_B)\) の完全対象である。

証明

\(E\) は完全複体なので双対完全複体 \(E^\vee\) が存在する。Cohomology on Sites, Lemma 08JJ を参照されたい。 \[R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) = E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet\] であることに注意する。したがって \(K\) の完全性は Lemma 0DKJ から従う。

Ext に対する射影公式

Lemma 08JR（または文献中の同様の結果）は、Quot 関手、 Hilbert 概型、およびその他のモジュライ問題に対する Artin の判定条件の一つを確かめるために必要な障害理論の性質を検証する際に有用なことがある。 \(f : X \to Y\) を固有、平坦かつ有限表示な代数空間の射とし、 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全とする。ここで補題は \[\Ext^i_X(E, f^*\mathcal{F}) = \Ext^i_Y((Rf_*E^\vee)^\vee, \mathcal{F})\] が \(\mathcal{F}\)（\(Y\) 上準連接）に対して成り立つと述べている。このように書くと Ext に対する射影公式のように見え、実際この結果は Lemma 08IN からかなり容易に従う。

補題

仮定と記法を Lemma 0DKJ と同じとする。このとき、関手的同型 \[H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \longrightarrow H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] が存在する。これは \(\mathcal{F}\)（\(B\) 上準連接）について定まり、境界写像と両立する（証明参照）。

証明

まず \[\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_B}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_B} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}\] である。第一の等号は Cohomology on Sites, Lemma 08I6 による。第二の等号は \(\mathcal{G}^n\) が平坦 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-加群であることによる。第三の等号は引き戻しの定義による。したがって \[\begin{align*} H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})) & = H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}) \\ & = H^i(B, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*\mathcal{F})) \\ & = H^i(B, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \\ & = H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \end{align*}\] を得る。第一の等号は上の議論による。第二の等号は Leray （Cohomology on Sites, Remark 08J6）により、第三の等号は Lemma 08IN による。境界写像に関する主張の意味は次のとおりである。短完全列 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) が与えられると、これらの同型は可換図式 \[\xymatrix{ H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3)) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1) \ar[r] & H^{i + 1}(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1)) }\] に組み込まれる。ここで境界写像は、識別三角形 \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1[1]\] および \(D(\mathcal{O}_X)\) において短完全列 \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0\] に付随する識別三角形から来る。この列が完全なのは \(\mathcal{G}^n\) が \(B\) 上平坦だからである。表示した図式の可換性の検証は省略する。

補題

仮定と記法を Lemma 0DKK と同じとする。このとき、関手的同型 \[H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] が存在する。これは \(\mathcal{F}\)（\(B\) 上準連接）について定まり、境界写像と両立する（証明参照）。

証明

Lemma 0DKK の証明と同様に、\(E^\vee\) を双対完全複体とし、 \[K = Rf_*(E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] であったことを思い出す。また \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) = H^i(X, E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] が \(E^\vee\) の構成により成り立つので、同型の存在は Lemma 0A1M を \(E^\vee\) と \(\mathcal{G}^\bullet\) に適用することから従う。境界写像に関する主張の意味は次のとおりである。短完全列 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) が与えられると、これらの同型は可換図式 \[\xymatrix{ H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1) \ar[r] & \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1) }\] に組み込まれる。ここで境界写像は、識別三角形 \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F}_1[1]\] および \(D(\mathcal{O}_X)\) において短完全列 \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0\] に付随する識別三角形から来る。この列が完全なのは \(\mathcal{G}^n\) が \(B\) 上平坦だからである。表示した図式の可換性の検証は省略する。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to B\) を \(S\) 上の代数空間の射とし、 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) とする。また \(\mathcal{F}^\bullet\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体とする。次を仮定する。

\(B\) はネーター的である。

\(f\) は局所有限型かつ準分離的である。

\(E \in D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) である。

\(\mathcal{G}^\bullet\) は、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有界複体であって、\(B\) 上平坦かつ台が \(B\) 上固有なものである。

このとき次の二つの主張が成り立つ。

すべての \(m \in \mathbf{Z}\) に対して、完全対象 \(K\)（\(D(\mathcal{O}_B)\) の）と関手的写像 \[\alpha^i_\mathcal{F} : \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow H^i(B, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_B} \mathcal{F})\] が存在する。これらは \(\mathcal{F}\)（\(B\) 上準連接）について定まり、境界写像と両立し（証明参照）、\(\alpha^i_\mathcal{F}\) は \(i \leq m\) に対して同型である。

擬連接な \(L \in D(\mathcal{O}_B)\) と関手的同型 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_B}(L, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] が存在する。これらは \(\mathcal{F}\)（\(B\) 上準連接）について定まり、境界写像と両立する。

証明

(A) の証明。\(\mathcal{G}^i\) が零でないのは \(i \in [a, b]\) のときだけとする。\(X\) を \(\mathcal{G}^i\) の台の合併の準コンパクト開近傍で置き換えてよい。したがって \(X\) はネーター的であると仮定してよい。この場合、 \(X\) と \(f\) は準コンパクトかつ準分離的である。近似 \(P \to E\) を選ぶ。これは完全複体 \(P\) による \((X, E, -m - 1 + a)\) の近似である（Theorem 08HP により可能である）。すると誘導写像 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] は \(i \leq m\) に対して同型である。実際、この写像の核と余核はそれぞれ \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \quad\text{および}\quad \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] の商と部分加群である。ここで \(C\) は \(P \to E\) の錐である。\(C\) のコホモロジー層は次数 \(\geq -m - 1 + a\) で消えるので、Derived Categories, Lemma 06XS によりこれらの \(\Ext\)-群は \(i \leq m + 1\) に対して零である。これにより \(E\) が完全複体の場合へ帰着し、これは Lemma 08JN である。境界写像に関する主張は Lemma 08JN の証明で説明されている。

(B) の証明。(A) の証明と同様に、\(X\) はネーター的であると仮定してよい。 Lemma 08IK により \(E\) は擬連接であることに注意する。Lemma 0DKB により \(E = \text{hocolim} E_n\) と書ける。ここで \(E_n\) は完全で、\(E_n \to E\) は切断 \(\tau_{\geq -n}\) 上の同型を誘導する。\(E_n^\vee\) を双対完全複体とする（Cohomology on Sites, Lemma 08JJ）。完全対象の逆系 \(\ldots \to E_3^\vee \to E_2^\vee \to E_1^\vee\) を得る。これはさらに逆系 \[\ldots \to K_3 \to K_2 \to K_1\quad\text{with}\quad K_n = Rf_*(E_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] を与える。これは \(Y\) 上完全である。Lemma 0DKJ を参照されたい。 Lemma 08JN とその証明、および前段落の議論（\(P = E_n\) とする）により、任意の準連接 \(\mathcal{F}\)（\(Y\) 上）に対して関手的な標準写像 \[\xymatrix{ & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \ar[ld] \ar[rd] \\ H^i(Y, K_{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[rr] & & H^i(Y, K_n \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] を得る。これらは \(i \leq n + a\) に対して同型である。 \(L_n = K_n^\vee\) を双対完全複体とする。このとき \(L_1 \to L_2 \to L_3 \to \ldots\) は \(D(\mathcal{O}_Y)\) における完全対象の系であり、任意の準連接 \(\mathcal{F}\)（\(Y\) 上）に対して写像 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_{n + 1}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_n, \mathcal{F})\] は \(i \leq n + a - 1\) に対して同型である。これは \(L_n \to L_{n + 1}\) が切断 \(\tau_{\geq -n - a + 2}\) 上の同型を誘導することを意味する（ヒント：\(L_n \to L_{n + 1}\) の錐を取り、その最後の非消滅コホモロジー層を見る）。したがって \(L = \text{hocolim} L_n\) は擬連接である。 Lemma 0DKB を参照されたい。ホモトピー余極限の写像性質により \(\Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L, \mathcal{F}) = \Ext^i_{\mathcal{O}_Y}(L_n, \mathcal{F})\) が \(i \leq n + a - 3\) に対して成り立ち、証明が完了する。

注意

Lemma 08JR の部分 (B) の擬連接複体 \(L\) は、この状況に標準的に付随する。たとえば、(B) における \(L\) の形成は基底変換と両立する。言い換えると、カルテシアン図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] が概型について与えられると、関手的な標準同型 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{Y'}}(Lg^*L, \mathcal{F}') \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{F}')\] を得る。ここで \(\mathcal{F}'\) は \(Y'\) 上準連接である。右辺の \(\mathcal{G}^\bullet\) には導来引き戻しを 用いていないことに注意する。

この結果が必要になれば、ここで精密な結果を定式化して詳しい証明を与える。

極限と導来圏

この節では、代数空間の逆系の極限である代数空間の導来圏に関するいくつかの結果を集める。より正確には、以下の設定で議論する。

設定

\(S\) を概型とする。\(X = \lim_{i \in I} X_i\) を、\(S\) 上の代数空間の有向系の極限とし、その遷移射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) はアフィンであるとする。射影を \(f_i : X \to X_i\) と書く。\(X_i\) は準コンパクトかつ準分離的であると仮定する（すべての \(i \in I\) について）。また元 \(0 \in I\) を一つ選ぶ。

補題

Situation 09RH のもとで、\(E_0\) と \(K_0\) を \(D(\mathcal{O}_{X_0})\) の対象とする。\(E_i = Lf_{i0}^*E_0\) および \(K_i = Lf_{i0}^*K_0\) とおき（\(i \geq 0\) について）、 \(E = Lf_0^*E_0\) および \(K = Lf_0^*K_0\) とおく。このとき写像 \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_i})}(E_i, K_i) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(E, K)\] は、次のいずれかが成り立てば同型である。

\(E_0\) は完全で、\(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) である。

\(E_0\) は擬連接で、\(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) は有限 tor 次元をもつ。

証明

準コンパクトかつ準分離的な各対象 \(U_0\)（\((X_0)_{spaces, \etale}\) の）に対し、条件 \(P\) を考える。これは標準写像 \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{U_i})}(E_i|_{U_i}, K_i|_{U_i}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E|_U, K|_U)\] が同型であるという条件である。ここで \(U = X \times_{X_0} U_0\) および \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) である。 Lemma 08GP の帰納原理により、\(P\) が成り立つことを各 \(U_0\) に対して示す。同補題の条件 (2) は、導来圏における hom の Mayer–Vietoris から直ちに従う。Lemma 08H9 を参照されたい。したがって \(X_0\) がアフィンの場合に補題を証明すれば十分である。

\(X_0\) がアフィンならば、結果は概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Lemma 09RE を参照されたい。これを見るには Lemma 071Q の同値、および Lemmas 08HE, 08HF, and 08HG で説明された性質の翻訳を用いる。

補題

Situation 09RH のもとで、\(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象の圏は \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) の完全対象の諸圏の余極限である。

証明

準コンパクトかつ準分離的な各対象 \(U_0\)（\((X_0)_{spaces, \etale}\) の）に対し、条件 \(P\) を考える。これは関手 \[\colim_{i \geq 0} D_{perf}(\mathcal{O}_{U_i}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_U)\] が同値であるという条件である。ここで \({}_{perf}\) は完全対象からなる充満部分圏を表し、\(U = X \times_{X_0} U_0\) および \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) である。Lemma 08GP の帰納原理により、\(P\) が成り立つことをすべての \(U_0\) に対して示す。まず Lemma 09RI によって関手が忠実充満であることはすでに分かっている。したがって本質的全射性を示せば十分である。

まず帰納原理の条件 (2) を確かめる。したがって基本識別正方形 \((U_0 \subset X_0, V_0 \to X_0)\) があり、\(P\) が \(U_0\), \(V_0\), および \(U_0 \times_{X_0} V_0\) に対して成り立つと仮定する。 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象とする。ある \(i \geq 0\) と、完全対象 \(E_{U, i}\)（\(U_i\) 上）および完全対象 \(E_{V, i}\)（\(V_i\) 上）を取れて、これらの \(U\) と \(V\) への引き戻しはそれぞれ \(E|_U\) と \(E|_V\) に同型である。写像 \[a : E_{U, i} \to (R(X \to X_i)_*E)|_{U_i} \quad\text{and}\quad b : E_{V, i} \to (R(X \to X_i)_*E)|_{V_i}\] を考える。これらは同型 \(L(U \to U_i)^*E_{U, i} \to E|_U\) および \(L(V \to V_i)^*E_{V, i} \to E|_V\) に随伴する写像である。忠実充満性により、\(i\) を大きくした後、同型 \(c : E_{U, i}|_{U_i \times_{X_i} V_i} \to E_{V, i}|_{U_i \times_{X_i} V_i}\) であって、引き戻すと同一視 \[L(U \to U_i)^*E_{U, i}|_{U \times_X V} \to E|_{U \times_X V} \to L(V \to V_i)^*E_{V, i}|_{U \times_X V}.\] になるものを取れる。Lemma 08HB を適用すると、対象 \(E_i\)（\(X_i\) 上）と写像 \(d : E_i \to R(X \to X_i)_*E\) を得て、これは写像 \(a\) および \(b\) に制限される（それぞれ \(U_i\) および \(V_i\) 上で）。このとき \(E_i\) が完全で、 \(d\) が同型 \(L(X \to X_i)^*E_i \to E\) に随伴することは明らかである。

最後に帰納原理の条件 (1)、すなわち \(X_0\) がアフィンの場合に補題が成り立つことを確かめる。これは概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Lemma 09RF を参照されたい。これを見るには Lemma 071Q の同値、および Lemma 08HG の翻訳を用いる。

コホモロジーと基底変換 VI

コホモロジーと基底変換に関する最後の節であり、Sections 08IM, 0DKE, and 0A1L の議論を続ける。理解しやすい特別な場合は Remark 0A1Q に与えられている。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の間の有限表示射とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全対象とする。\(\mathcal{G}^\bullet\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有界複体であって、\(Y\) 上平坦かつ台が \(Y\) 上固有なものとする。このとき \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。

証明

基底変換に関する主張は Lemma 0A1K である。したがって \(K\) が完全対象であることを示せば十分である。\(Y\) がネーター的ならば、これは Lemma 0DKJ から従う。ネーター近似によりこの場合へ帰着する。読者には以下の証明を読み飛ばすことを勧める。

問題は \(Y\) 上局所的なので、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。 \(Y = \Spec(R)\) と書く。\(R = \colim R_i\) をネーター環 \(R_i\) のフィルター余極限として書く。Limits of Spaces, Lemma 07SK により、ある \(i\) と代数空間 \(X_i\)（\(R_i\) 上有限表示）が存在し、その \(R\) への基底変換は \(X\) である。Limits of Spaces, Lemma 07V7 により、\(i\) を大きくした後、有限表示 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-加群からなる有界複体 \(\mathcal{G}_i^\bullet\) で、その \(X\) への引き戻しが \(\mathcal{G}^\bullet\) であるものが存在すると仮定してよい。さらに \(i\) を大きくした後、\(\mathcal{G}_i^n\) は \(R_i\) 上平坦であると仮定してよい。 Limits of Spaces, Lemma 08K0 を参照されたい。さらに \(i\) を大きくした後、\(\mathcal{G}_i^n\) の台は \(R_i\) 上固有であると仮定してよい。Limits of Spaces, Lemma 08K2 を参照されたい。最後に Lemma 09RJ により、\(i\) を大きくした後、完全対象 \(E_i\)（\(D(\mathcal{O}_{X_i})\) の）で、その \(X\) への引き戻しが \(E\) であるものが存在すると仮定してよい。Lemma 0DKJ により \[K_i = Rf_{i, *}(E_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i}}^\mathbf{L} \mathcal{G}_i^\bullet)\] は \(\Spec(R_i)\) 上完全である。ここで \(f_i : X_i \to \Spec(R_i)\) は構造射である。基底変換の結果（Lemma 0A1K）により、 \(K_i\) の \(Y = \Spec(R)\) への引き戻しは \(K\) であり、結論を得る。

注意

\(R\) を環とする。\(X\) を \(R\) 上有限表示な代数空間とする。 \(\mathcal{G}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群であって、\(R\) 上平坦かつ台が \(R\) 上固有なものとする。Lemma 0A1P により、有限生成射影 \(R\)-加群からなる有限複体 \(M^\bullet\) で \[R\Gamma(X_{R'}, \mathcal{G}_{R'}) = M^\bullet \otimes_R R'\] となるものが存在し、これは \(R\)-代数 \(R'\) について関手的である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の間の有限表示射とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を擬連接対象とする。\(\mathcal{G}^\bullet\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる上に有界な複体であって、\(Y\) 上平坦かつ台が \(Y\) 上固有なものとする。このとき \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の擬連接対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。

証明

基底変換に関する主張は Lemma 0A1K である。したがって \(K\) が擬連接対象であることを示せば十分である。これは完全複体による近似を用いて Lemma 0A1P から従う。読者には以下の証明を読み飛ばすことを勧める。

問題は \(Y\) 上エタール局所的なので、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。すると \(X\) は準コンパクトかつ準分離的である。さらに、ある整数 \(N\) が存在し、全導来直像 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) はコホモロジー次元 \(N\) をもつ。Lemma 08FA の説明を参照されたい。整数 \(b\) を選び、\(\mathcal{G}^i = 0\) が \(i > b\) に対して成り立つようにする。 \(K\) が \(m\)-擬連接であることをすべての \(m\) に対して示せば十分である。近似 \(P \to E\) を選ぶ。これは完全複体 \(P\) による \((X, E, m - N - 1 - b)\) の近似である。これは Theorem 08HP により可能である。識別三角形 \[P \to E \to C \to P[1]\] を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) において選ぶ。\(C\) のコホモロジー層は次数 \(\geq m - N - 1 - b\) で零である。したがって \(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) のコホモロジー層は次数 \(\geq m - N - 1\) で零である。ゆえに \(Rf_*(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G})\) のコホモロジー層は次数 \(\geq m - 1\) で零である。したがって \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}) \to Rf_*(E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G})\] は次数 \(\geq m\) のコホモロジー層上で同型である。次に \(H^i(P) = 0\) が \(i > a\) に対して成り立つと仮定する。このとき \(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet \longrightarrow P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) は次数 \(\geq m - N - 1\) のコホモロジー層上で同型である。したがって再び \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] が次数 \(\geq m\) のコホモロジー層上で同型であると分かる。Lemma 0A1P により左辺は完全複体である。したがって望みどおり \(K\) は \(m\)-擬連接である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の固有な有限表示射とする。

\(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全とし、\(f\) を平坦とする。このとき \(Rf_*E\) は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。

\(\mathcal{G}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群であって、\(S\) 上平坦なものとする。このとき \(Rf_*\mathcal{G}\) は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。

証明

Lemma 0A1P の特別な場合である。(1) では \(\mathcal{G}^\bullet\) を \(\mathcal{O}_X\)（次数 \(0\) に置いたもの）とし、(2) では \(E = \mathcal{O}_X\) として \(\mathcal{G}^\bullet\) を \(\mathcal{G}\)（次数 \(0\) に置いたもの）からなるものとする。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の平坦かつ固有な有限表示射とする。\(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を擬連接とする。このとき \(Rf_*E\) は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の擬連接対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。

より一般に、\(f : X \to Y\) が固有で、\(E\)（\(X\) 上）が \(Y\) に関して擬連接（More on Morphisms of Spaces, Definition 0CSY）ならば、 \(Rf_*E\) は擬連接である（ただし、この一般性では形成は基底変換と可換しない）。この概型の場合は [Kiehl] で証明されている。

証明

Lemma 0CTL を \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\) として適用した特別な場合である。

補題

\(R\) を環とする。\(X\) を代数空間とし、\(f : X \to \Spec(R)\) を固有、平坦かつ有限表示とする。\((M_n)\) を、全射な遷移写像をもつ \(R\)-加群の逆系とする。このとき標準写像 \[\mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n) \longrightarrow \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\] は、左辺から右辺に \(DQ_X\) を適用したものへの同型を誘導する。

証明

この主張の意味は、任意の対象 \(E\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の）に対して、誘導写像 \[\Hom(E, \mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n)) \longrightarrow \Hom(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] が同型であるということである。\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は完全生成子をもつ（Theorem 09IY）ので、完全な \(E\) について確かめれば十分である。Lemma 0D3E により \(\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n = R\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\) である。Cohomology on Sites, Section 0B6E の完全関手 \(R\Hom_X(E, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(R)\) は積と可換し、したがって導来極限とも可換する。ゆえに \[R\Hom_X(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\lim R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] \(E^\vee\) を双対完全複体とする。Cohomology on Sites, Lemma 08JJ を参照されたい。Lemma 08IN により \[R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\Gamma(X, E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*M_n) = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n\] である。Lemma 0CTM により \(R\Gamma(X, E^\vee)\) は完全な \(R\)-加群複体であると分かる。特にこれは擬連接複体なので、More on Algebra, Lemma 0D2L により \[R\lim R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} \lim M_n\] を得て、望む結果が従う。

補題

\(A\) を環とする。\(X\) を \(A\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(K \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) とする。 \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) が \(D(A)\) において擬連接であることを、すべての完全な \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）について仮定する。このとき \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) は \(D(A)\) において擬連接である（すべての擬連接な \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）について）。

証明

ある整数 \(N\) が存在し、\(R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) はコホモロジー次元 \(N\) をもつ。Lemma 08FA の説明を参照されたい。 \(b \in \mathbf{Z}\) を、\(H^i(K) = 0\) が \(i > b\) に対して成り立つように選ぶ。 \(E\) を \(X\) 上擬連接とする。\(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) が \(m\)-擬連接であることをすべての \(m\) に対して示せば十分である。近似 \(P \to E\) を選ぶ。これは完全複体 \(P\) による \((X, E, m - N - 1 - b)\) の近似である。これは Theorem 08HP により可能である。識別三角形 \[P \to E \to C \to P[1]\] を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) において選ぶ。\(C\) のコホモロジー層は次数 \(\geq m - N - 1 - b\) で零である。したがって \(C \otimes^\mathbf{L} K\) のコホモロジー層は次数 \(\geq m - N - 1\) で零である。ゆえに \(R\Gamma(X, C \otimes^\mathbf{L} K)\) のコホモロジーは次数 \(\geq m - 1\) で零である。したがって \[R\Gamma(X, P \otimes^\mathbf{L} K) \to R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\] は次数 \(\geq m\) のコホモロジー上で同型である。仮定により左辺は擬連接である。したがって望みどおり \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) は \(m\)-擬連接である。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の間の有限表示射とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全対象とする。\(\mathcal{G}^\bullet\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有界複体であって、\(Y\) 上平坦かつ台が \(Y\) 上固有なものとする。このとき \[K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] は \(D(\mathcal{O}_Y)\) の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。

証明

基底変換に関する主張は Lemma 08JQ である。したがって \(K\) が完全対象であることを示せば十分である。\(Y\) がネーター的ならば、これは Lemma 0DKK から従う。ネーター近似によりこの場合へ帰着する。読者には以下の証明を読み飛ばすことを勧める。

問題は \(Y\) 上局所的なので、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。 \(Y = \Spec(R)\) と書く。\(R = \colim R_i\) をネーター環 \(R_i\) のフィルター余極限として書く。Limits of Spaces, Lemma 07SK により、ある \(i\) と代数空間 \(X_i\)（\(R_i\) 上有限表示）が存在し、その \(R\) への基底変換は \(X\) である。Limits of Spaces, Lemma 07V7 により、\(i\) を大きくした後、有限表示 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-加群からなる有界複体 \(\mathcal{G}_i^\bullet\) で、その \(X\) への引き戻しが \(\mathcal{G}\) であるものが存在すると仮定してよい。さらに \(i\) を大きくした後、\(\mathcal{G}_i^n\) は \(R_i\) 上平坦であると仮定してよい。Limits of Spaces, Lemma 08K0 を参照されたい。さらに \(i\) を大きくした後、\(\mathcal{G}_i^n\) の台は \(R_i\) 上固有であると仮定してよい。 Limits of Spaces, Lemma 08K2 を参照されたい。最後に Lemma 08HG により、\(i\) を大きくした後、完全対象 \(E_i\)（\(D(\mathcal{O}_{X_i})\) の）で、その \(X\) への引き戻しが \(E\) であるものが存在すると仮定してよい。Lemma 08JN を \(X_i \to \Spec(R_i)\), \(E_i\), \(\mathcal{G}_i^\bullet\) に適用し、すでに示した基底変換性を用いると結果を得る。

完全複体

まず完全複体の Betti 数の飛躍軌跡について論じる。そのため、最初に Betti 数を定義しなければならない。

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。\(x \in |X|\) とする。ここで \(\beta_i(x) \in \{0, 1, 2, \ldots \} \cup \{\infty\}\) を定義したい。そのため、射 \(f : \Spec(k) \to X\) を選ぶ。これは \(x\) の同値類に属する。このとき \(Lf^*E\) は \(D(\Spec(k)_\etale, \mathcal{O})\) の対象である。Étale Cohomology, Lemma 0D1W および Theorem 03OJ により、 \(D(\Spec(k)_\etale, \mathcal{O}) = D(k)\) は \(k\)-ベクトル空間の導来圏である。したがって \(Lf^*E\) は \(k\)-ベクトル空間の複体であり、 \(\beta_i(x) = \dim_k H^i(Lf^*E)\) とおける。これが \(x\) に属する代表の選択に依存しないことは容易に分かる。さらに、\(X\) が概型ならば、これは Derived Categories of Schemes, Section 0BDH で用いられた概念と同じである。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を擬連接（たとえば完全）とする。任意の \(i \in \mathbf{Z}\) に対して、上で定義した関数 \[\beta_i : |X| \longrightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}\] を考える。このとき次が成り立つ。

\(\beta_i\) の形成は任意の基底変換と可換する。

関数 \(\beta_i\) は上半連続である。

\(\beta_i\) の水準集合はエタール局所構成可能である。

証明

概型 \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) を選ぶ。このとき \(L\varphi^*E\) は概型 \(U\) 上の擬連接複体である（Lemma 08HE を用いる）。したがって概型に対する結果を適用できる。Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDI を参照されたい。部分 (3) の意味は、水準集合の \(U\) への逆像が局所構成可能であるということである。Properties of Spaces, Definition 0ECU を参照されたい。

補題

\(Y\) を概型とし、\(X\) を \(Y\) 上の代数空間であって、構造射 \(f : X \to Y\) が平坦、固有かつ有限表示であるものとする。 \(\mathcal{F}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群であって、\(Y\) 上平坦なものとする。固定した \(i \in \mathbf{Z}\) に対して関数 \[\beta_i : |Y| \to \{0, 1, 2, \ldots\},\quad y \longmapsto \dim_{\kappa(y)} H^i(X_y, \mathcal{F}_y)\] を考える。このとき次が成り立つ。

\(\beta_i\) の形成は任意の基底変換と可換する。

関数 \(\beta_i\) は上半連続である。

\(\beta_i\) の水準集合は \(Y\) において局所構成可能である。

証明

コホモロジーと基底変換（より正確には Lemma 0CTM）により、対象 \(K = Rf_*\mathcal{F}\) は \(Y\) の導来圏の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。特に \[H^i(X_y, \mathcal{F}_y) = H^i(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y))\] である。したがって補題は Lemma 0D1Y から従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全とする。関数 \[\chi_E : |X| \longrightarrow \mathbf{Z},\quad x \longmapsto \sum (-1)^i \beta_i(x)\] は \(X\) 上局所定数である。

証明

省略する。ヒント：エタール局所化により概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDJ を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を完全とする。\(i, r \in \mathbf{Z}\) が与えられると、次で特徴づけられる開部分空間 \(U \subset X\) が存在する。

\(E|_U \cong H^i(E|_U)[-i]\) であり、\(H^i(E|_U)\) は局所自由 \(\mathcal{O}_U\)-加群で階数 \(r\) である。

射 \(f : Y \to X\) が \(U\) を経由することと、\(Lf^*E\) が階数 \(r\) の局所自由加群を次数 \(i\) に置いたものと同型であることは同値である。

証明

省略する。ヒント：エタール局所化により概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDK を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の固有、平坦かつ有限表示な射とする。\(\mathcal{F}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群であって、 \(Y\) 上平坦なものとする。\(i, r \in \mathbf{Z}\) を固定する。このとき次の性質をもつ開部分空間 \(V \subset Y\) が存在する。射 \(T \to Y\) が \(V\) を経由することと、\(Rf_{T, *}\mathcal{F}_T\) が階数 \(r\) の有限局所自由加群を次数 \(i\) に置いたものと同型であることは同値である。

証明

コホモロジーと基底変換（Lemma 0CTM）により、対象 \(K = Rf_*\mathcal{F}\) は \(Y\) の導来圏の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換する。したがってこの補題は Lemma 0D20 から直ちに従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) を、tor 振幅が \([a, b]\) に入る完全対象とする。ここで \(a, b \in \mathbf{Z}\) とする。\(r \geq 0\) とする。このとき、次で特徴づけられる局所閉部分空間 \(j : Z \to X\) が存在する。

\(H^a(Lj^*E)\) は局所自由 \(\mathcal{O}_Z\)-加群で階数 \(r\) である。

射 \(f : Y \to X\) が \(Z\) を経由することと、すべての射 \(g : Y' \to Y\) に対して \(\mathcal{O}_{Y'}\)-加群 \(H^a(L(f \circ g)^*E)\) が階数 \(r\) の局所自由加群であることは同値である。

さらに \(j : Z \to X\) は有限表示であり、次が成り立つ。

\(f : Y \to X\) が \(Y \xrightarrow{g} Z \to X\) と分解するならば、 \(H^a(Lf^*E) = g^*H^a(Lj^*E)\) である。

\(\beta_a(x) \leq r\) がすべての \(x \in |X|\) に対して成り立つならば、 \(j\) は閉埋め込みであり、\(f : Y \to X\) が与えられたとき次は同値である。

\(f : Y \to X\) は \(Z\) を経由する。

\(H^0(Lf^*E)\) は局所自由 \(\mathcal{O}_Y\)-加群で階数 \(r\) である。

さらに \(r = 1\) ならば、これらは次とも同値である。

\(\mathcal{O}_Y \to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(H^0(Lf^*E), H^0(Lf^*E))\) は単射である。

証明

省略する。ヒント：エタール局所化により概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDL を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。次を仮定する。

\(f\) は固有、平坦かつ有限表示である。

射 \(\Spec(k) \to Y\) を取り、\(k\) が体であるとする。このとき \(k = H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\) である。

このとき次が成り立つ。

\(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) であり、これは任意の基底変換後も成り立つ。

\(Y\) 上エタール局所的に \[Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \oplus P\] が \(D(\mathcal{O}_Y)\) において成り立つ。ここで \(P\) は tor 振幅が \([1, \infty)\) に入る完全対象である。

証明

(a) と (b) は \(Y\) 上エタール局所的に証明すれば十分なので、\(Y\) はアフィン概型であると仮定する。コホモロジーと基底変換（Lemma 0CTM）により、複体 \(E = Rf_*\mathcal{O}_X\) は完全であり、その形成は任意の基底変換と可換する。特に \(y \in Y\) に対して \(H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(y)) = H^0(X_y, \mathcal{O}_{X_y}) = \kappa(y)\) である。したがって Lemma 0D1Y の記法で、\(\beta_0(y) \leq 1\) がすべての \(y \in Y\) に対して成り立つ。Lemma 0D21 を \(a = 0\) および \(r = 1\) として適用する。普遍閉部分概型 \(j : Z \to Y\) を得る。これは \(H^0(Lj^*E)\) が可逆であること、および同補題の (4)(a), (b), (c) の同値性によって特徴づけられる。\(E\) の形成は基底変換と可換するので \[Lf^*E = R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X}\] である。射 \(\text{pr}_1 : X \times_Y X\) は切断、すなわち対角射 \(\Delta\)（\(X\) の \(Y\) 上の）をもつ。したがって合成が恒等となる写像 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] を \(D(\mathcal{O}_X)\) において得る。ゆえに \(R\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{X \times_Y X} = \mathcal{O}_X \oplus E'\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) において成り立つ。したがって \(\mathcal{O}_X\) は \(H^0(Lf^*E)\) の直和因子であり、上で引用した補題の (4)(c) と (4)(a) の同値性により \(X \to Y\) は \(Z\) を経由すると結論する。 \(\{X \to Y\}\) は fppf 被覆なので \(Z = Y\) である。したがって \(f_*\mathcal{O}_X\) は可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群である。したがって \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) は同型であると結論する。実際、環準同型 \(A \to B\) において \(B\) が \(A\)-加群として可逆ならばその準同型は同型である。仮定は基底変換で保たれるので、(a) が成り立つ。

(b) の証明。上で、すべての \(y \in Y\) に対して写像 \(\mathcal{O}_Y \to H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(y))\) が全射であることを示した。したがって More on Algebra, Lemma 0A1U を適用すると、\(y\) の開近傍で分解 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \oplus P\) を得る。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。次を仮定する。

\(f\) は固有、平坦かつ有限表示である。

\(f\) の幾何学的ファイバーは被約かつ連結である。

このとき \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) であり、これは任意の基底変換後も成り立つ。

証明

Lemma 0E6B により、等式 \(k = H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\) を、すべての射 \(\Spec(k) \to Y\) （\(k\) が体）に対して示せば十分である。これは Spaces over Fields, Lemma 0DMY と、 \(X_k\) が幾何学的連結かつ幾何学的被約であることから従う。

その他の応用

この節では、上で展開した理論から導けるいくつかの結果を述べ、証明する。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(K\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象であって、コホモロジー層 \(H^i(K)\) の \(X\) 上エタールなアフィン概型上の切断集合が可算であるものとする。このとき、任意の準コンパクトかつ準分離的なエタール射 \(U \to X\) と、任意の完全対象 \(E\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）に対して、集合 \[H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E),\quad \Ext^i(E|_U, K|_U)\] は可算である。

証明

Cohomology on Sites, Lemma 08JJ を用いると、群 \(H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E)\) について結果を証明すれば十分であると分かる。Lemma 08GP の帰納原理を用いて補題を証明する。

\(U = \Spec(A)\) がアフィンならば、結果は概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Lemma 0CRP を参照されたい。

証明を完了するには次を示せば十分である。\((U \subset W, V \to W)\) が基本識別三角形であり、結果が \(U\), \(V\), および \(U \times_W V\) に対して成り立つならば、結果は \(W\) に対しても成り立つ。これは Mayer–Vietoris 列の直ちに分かる帰結である。Lemma 0CRS を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(\mathcal{O}_X\) の \(X\) 上エタールなアフィン概型上の切断集合が可算であると仮定する。\(K\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。次は同値である。

\(K = \text{hocolim} E_n\) であり、\(E_n\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象である。

コホモロジー層 \(H^i(K)\) の \(X\) 上エタールなアフィン概型上の切断集合は可算である。

証明

(1) が成り立つならば (2) が成り立つ。実際、ホモトピー余極限はコホモロジー層を取ることと可換する（Derived Categories, Lemma 0CRK による）。また完全複体は局所的に有限階数自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる有限複体と同型なので、\(X\) に関する仮定により (2) を満たす。

(2) を仮定する。K-入射複体 \(\mathcal{K}^\bullet\) を選び、これで \(K\) を表す。完全生成子 \(E\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の）を選び、これを K-入射複体 \(\mathcal{I}^\bullet\) で表す。Theorem 09MC とその証明によれば、三角圏の同値 \(F : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A, \text{d})\) が存在する。ここで \((A, \text{d})\) は微分次数付き代数 \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] である。この同値は \(K\) を微分次数付き加群 \[M = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] に写す。\(H^i(A) = \Ext^i(E, E)\) および \(H^i(M) = \Ext^i(E, K)\) であることに注意する。さらに \(F\) は同値なので、この同値とその擬逆はホモトピー余極限と可換する。したがって \(M\) を \(D(A, \text{d})\) のコンパクト対象のホモトピー余極限として書けば十分である。 Differential Graded Algebra, Lemma 0CRM により、 \(\Ext^i(E, E)\) と \(\Ext^i(E, K)\) が可算であることを各 \(i\) について示せば十分である。これは Lemma 0CRU から従う。

補題

\(A\) を環とする。\(f : U \to X\) を、\(A\) 上の代数空間の平坦な有限表示射とする。このとき次が成り立つ。

完全対象 \(L_n\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）の逆系で \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Hom_X(L_n, K)\] が \(D(A)\) において成り立つものが存在し、これは \(K\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の）について関手的である。

完全対象 \(E_n\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）の系で \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Gamma(X, E_n \otimes^\mathbf{L} K)\] が \(D(A)\) において成り立つものが存在し、これは \(K\)（\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の）について関手的である。

証明

Lemma 08IN により \[R\Gamma(U, Lf^*K) = R\Gamma(X, Rf_*\mathcal{O}_U \otimes^\mathbf{L} K)\] が \(K\) について関手的に成り立つ。\(R\Gamma(X, -)\) は直和と可換するのでホモトピー余極限と可換することに注意する。Lemma 08FB を参照されたい。同様に、 \(- \otimes^\mathbf{L} K\) は導来余極限と可換する。実際、 \(- \otimes^\mathbf{L} K\) は直和と可換する（\(D(\mathcal{O}_X)\) における直和は、代表複体の直和によって与えられる）。したがって (2) を証明するには \(Rf_*\mathcal{O}_U = \text{hocolim} E_n\) と書けば十分である。ここで \(E_n\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象の系である。これができれば \(L_n = E_n^\vee\) とおくことで (1) を得る。Cohomology on Sites, Lemma 08JJ を参照されたい。

\(A = \colim A_i\) と書く。ここで \(A_i\) は \(\mathbf{Z}\) 上有限型である。 Limits of Spaces, Lemma 07SK により、ある \(i\) と有限表示射 \(U_i \to X_i \to \Spec(A_i)\) を取れて、その \(\Spec(A)\) への基底変換は \(U \to X \to \Spec(A)\) を復元する。\(i\) を大きくした後、 \(f_i : U_i \to X_i\) は平坦であると仮定してよい。Limits of Spaces, Lemma 08K0 を参照されたい。Lemma 08IR により、\(Rf_{i, *}\mathcal{O}_{U_i}\) の \(g : X \to X_i\) による導来引き戻しは \(Rf_*\mathcal{O}_U\) に等しい。 \(Lg^*\) は導来余極限と可換するので、\(f_i\) について望む主張を証明すれば十分である。したがって \(U\) と \(X\) は \(\mathbf{Z}\) 上有限型であると仮定してよい。

\(f : U \to X\) を \(\mathbf{Z}\) 上有限型な代数空間の射と仮定する。証明を完了するため、\(Rf_*\mathcal{O}_U\) が完全複体のホモトピー余極限であることを示す。そのため Lemma 0CRV を適用する。したがって \(R^if_*\mathcal{O}_U\) が \(X\) 上エタールなアフィン概型上で可算な切断集合をもつことを示せば十分である。これは構造層に Lemma 0CRU を適用することから従う。

分解性質

この節は代数空間に対する Derived Categories of Schemes, Section 0F85 の類似である。まず同節を読まれたい。体上の滑らかで固有な代数空間が常に分解性質をもつか、あるいはそうでないかは現在知られていない。この問いの答えをご存じなら、 stacks.project@gmail.com まで電子メールを送られたい。

一般の代数空間について考えることにはほとんど意味がないものの、次の定義を設けることができる。

定義

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(X\) が 分解性質 をもつとは、有限型のすべての準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群が有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群の商であることをいう。

\(X\) が準コンパクトかつ準分離的な代数空間ならば、有限表示のすべての \(\mathcal{O}_X\)-加群加群（自動的に準連接）が有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群の商であることを確かめれば十分である。 Limits of Spaces, Lemma 086Y を参照されたい。 \(X\) がネーター代数空間ならば、有限型準連接加群はちょうど連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。Cohomology of Spaces, Lemma 07UB を参照されたい。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。次を仮定する。

\(Y\) は準コンパクトかつ準分離的で、分解性質をもつ。

\(f\)-豊富な可逆加群が \(X\) 上に存在する（Divisors on Spaces, Definition 0D31）。

このとき \(X\) は分解性質をもつ。

証明

\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{L}\) を \(f\)-豊富な可逆加群とする。アフィン概型 \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。\(U = V \times_Y X\) とおく。このとき \(\mathcal{L}|_U\) は \(U\) 上豊富である。Properties, Proposition 01Q3 により、有限個の写像 \(s_i : \mathcal{L}^{\otimes n_i}|_U \to \mathcal{F}|_U\) であって、一緒にすると全射であるものが存在する。準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \[\mathcal{H}_n = f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] を考える。\(s_i\) を \(V\) 上の層 \(\mathcal{H}_{-n_i}\) の切断とみなしてよい。有限局所自由 \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \(\mathcal{E}_i\) と写像 \(\mathcal{E}_i \to \mathcal{H}_{-n_i}\) であって、\(s_i\) が像に入るものを取れると仮定しよう。このとき対応する写像 \[f^*\mathcal{E}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n_i} \longrightarrow \mathcal{F}\] は一緒にすると全射となり、補題が証明される。Limits of Spaces, Lemma 0829 により、各 \(i\) に対して有限型準連接部分加群 \(\mathcal{H}'_i \subset \mathcal{H}_{-n_i}\) で、切断 \(s_i\)（\(V\) 上の）を含むものを取れる。したがって \(Y\) の分解性質により全射 \(\mathcal{E}_i \to \mathcal{H}'_i\) を得て、結論が従う。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間のアフィンまたは準アフィン射とし、\(Y\) は準コンパクトかつ準分離的であるとする。 \(Y\) が分解性質をもつならば \(X\) も分解性質をもつ。

証明

Divisors on Spaces, Lemma 0GUQ により、これは Lemma 0GUT の特別な場合である。

分解性質が下へ移ることを証明できる場合を挙げよう。

補題

\(S\) を概型とする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の全射な有限局所自由射とする。\(X\) が分解性質をもつならば \(Y\) も分解性質をもつ。

証明

この条件の意味は、\(f\) がアフィンであり、\(f_*\mathcal{O}_X\) が正の階数の有限局所自由 \(\mathcal{O}_Y\)-加群であるということである。 \(\mathcal{G}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。仮定により、ある全射 \(\mathcal{E} \to f^*\mathcal{G}\) が存在する。ここで \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) は有限局所自由である。\(f_*\) は完全なので（Cohomology of Spaces, Section 0DK2）、全射 \[f_*\mathcal{E} \longrightarrow f_*f^*\mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{O}_X\] を得る。双対を取ると全射 \[f_*\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(f_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{G}\] を得る。\(f_*\mathcal{E}\) は有限局所自由なので、結論が従う。

代数空間の分解性質についてさらに詳しくは、More on Morphisms of Spaces, Section 0GUX を参照されたい。

有界性の検出

この節では、Section 09IU で構成された、準コンパクトかつ準分離的な概型の \(D_\QCoh\) のコンパクト生成子が特別な性質をもつことを示す。この節と非常によく似ているので、まず同節を読むことを勧める。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) および \(E \in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\) とする。 \(a \in \mathbf{Z}\) とする。次は同値である。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], E) = 0\) が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{\geq a} E) = 0\) が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。

証明

三角形 \(\tau_{< a} E \to E \to \tau_{\geq a} E \to\) を用いると、 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{< a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{< a} E)[i]) = 0\] が \(i \gg 0\) に対して成り立つことを示せば同値性が従うと分かる。 \(P\) は完全なので、これは Lemma 09MB により成り立つ。

補題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) および \(E \in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\) とする。 \(a \in \mathbf{Z}\) とする。次は同値である。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], E) = 0\) が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{\leq a} E) = 0\) が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。

証明

三角形 \(\tau_{\leq a} E \to E \to \tau_{> a} E \to\) を用いると、 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{> a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{> a} E)[i]) = 0\] が \(i \ll 0\) に対して成り立つことを示せば同値性が従うと分かる。 \(P\) は完全なので、これは Lemma 09MB により成り立つ。

命題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(G \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) を生成する完全複体とする。\(E \in D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) とする。次は同値である。

\(E \in D^-_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) である。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = 0\) が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。

\(\Ext^i_X(G, E) = 0\) が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。

\(R\Hom_X(G, E)\) は \(D^-(\mathbf{Z})\) に属する。

\(H^i(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。

\(R\Gamma(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) は \(D^-(\mathbf{Z})\) に属する。

すべての完全対象 \(P\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）に対して次が成り立つ。

主張 (2), (3), (4) は \(G\) を \(P\) で置き換えても成り立つ。

\(H^i(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。

\(R\Gamma(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) は \(D^-(\mathbf{Z})\) に属する。

証明

(1) を仮定する。 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G, E[i])\) なので、Lemma 09MB によりこれは \(i \gg 0\) に対して零である。これで (1) が (2) を含意することが示された。

部分 (2), (3), (4) は Cohomology on Sites, Section 0B6E の議論により同値である。部分 (5) と (6) は、定義により \(H^i(X, -) = H^i(R\Gamma(X, -))\) なので同値である。同値な条件 (2), (3), (4) と同値な条件 (5), (6) は、Cohomology on Sites, Lemma 08JJ および \((G[-i])^\vee = G^\vee[i]\) という事実により互いに同値である。

(7) が (2) を含意することは明らかである。逆に、同値な条件 (2)–(6) が (7) を含意することを証明しよう。Remark 0GFC により、\(G\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の古典的生成子であることを思い出す。 \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対して、\(T(P)\) を \(R\Hom_X(P, E)\) が \(D^-(\mathbf{Z})\) に属するという主張とする。明らかに \(T\) は直和へ遺伝し、識別三角形に対する三者中二者性を満たし、直和因子へ遺伝し、シフトで保たれる。したがって Derived Categories, Remark 0ATH により、(4) は \(T\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) のすべてで成り立つことを含意する。他のすべての性質にも同じ議論が使える。ただし性質 (7)(b), (7)(c) については、さらに \(P \mapsto P^\vee\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の自己同値であることを用いる。細部は省略する。

同値な条件 (2)–(7) が (1) を含意することを、Lemma 08GP の帰納原理を用いて証明する。

まず (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) を、\(X\) がアフィンの場合に証明する。これは概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Proposition 0GEN を参照されたい。

次に \((U \subset X, j : V \to X)\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間の基本識別正方形とし、(2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) が \(U\), \(V\), および \(U \times_X V\) に対して既知であると仮定する。証明を完了するには (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) を \(X\) に対して示さなければならない。 \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) が (2)–(7) を満たすとする。Lemma 09IX および Theorem 09IY により、完全複体 \(Q\)（\(X\) 上）であって、 \(Q|_U\) が \(D_\QCoh (\mathcal{O}_U)\) を生成するものが存在する。

\(V = \Spec(A)\) と書く。\(Z \subset V\) を \(X \setminus U\) の逆像であり、それへ同型に写る被約閉部分概型とする（Definition 08GM を参照）。これは \(V\) のレトロコンパクト閉部分集合である。\(f_1, \ldots, f_r \in A\) を \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) となるように選ぶ。 \(K \in D(\mathcal{O}_V)\) を、\(f_1, \ldots, f_r\) に関する Koszul 複体（\(A\) 上の）に対応する完全対象とする。\(K\) は \(Z\) 上に台をもつので、直像 \(K' = Rj_*K\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象であり、その \(V\) への制限は \(K\) であることに注意する（Lemmas 08HK および 08GG を参照）。仮定により、 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q, E)\) と \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K', E)\) は上に有界である。

Lemma 08GG により \(K' = j_!K\) であり、したがって \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = 0\] が \(i \gg 0\) に対して成り立つ。ゆえに Derived Categories of Schemes, Lemma 0GEJ を \(E|_V\) に適用して、整数 \(a\) であって \[\tau_{\geq a}(E|_V) = \tau_{\geq a} R (U \times_X V \to V)_* (E|_{U \times_X V})\] となるものを得る。このとき \(\tau_{\geq a} E = \tau_{\geq a} R (U \to X)_* (E |_U)\) である（標準写像を \(U\) および \(V\) に制限すると同型になることを確かめればよい）。したがって Lemma 0GFF を二度用いると \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] が \(i \gg 0\) に対して成り立つと分かる。命題は \(U\) と生成子 \(Q|_U\) に対して成り立つので、\(E|_U \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) である。さらに関手 \(R (U \to X)_*\) は \(D^-_\QCoh\) を保つので（Lemma 08FA による）、 \(\tau_{\geq a}E \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を得る。したがって \(E \in D^-_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) である。

命題

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする。 \(G \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) を生成する完全複体とする。\(E \in D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) とする。次は同値である。

\(E \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) である。

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = 0\) が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。

\(\Ext^i_X(G, E) = 0\) が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。

\(R\Hom_X(G, E)\) は \(D^+(\mathbf{Z})\) に属する。

\(H^i(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。

\(R\Gamma(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) は \(D^+(\mathbf{Z})\) に属する。

すべての完全対象 \(P\)（\(D(\mathcal{O}_X)\) の）に対して次が成り立つ。

主張 (2), (3), (4) は \(G\) を \(P\) で置き換えても成り立つ。

\(H^i(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。

\(R\Gamma(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) は \(D^+(\mathbf{Z})\) に属する。

証明

(1) を仮定する。 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G, E[i])\) なので、Lemma 09MB によりこれは \(i \ll 0\) に対して零である。これで (1) が (2) を含意することが示された。

部分 (2), (3), (4) は Cohomology on Sites, Section 0B6E の議論により同値である。部分 (5) と (6) は、定義により \(H^i(X, -) = H^i(R\Gamma(X, -))\) なので同値である。同値な条件 (2), (3), (4) と同値な条件 (5), (6) は、Cohomology on Sites, Lemma 08JJ および \((G[-i])^\vee = G^\vee[i]\) という事実により互いに同値である。

(7) が (2) を含意することは明らかである。逆に、同値な条件 (2)–(6) が (7) を含意することを証明しよう。Remark 0GFC により、\(G\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の古典的生成子であることを思い出す。 \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対して、\(T(P)\) を \(R\Hom_X(P, E)\) が \(D^+(\mathbf{Z})\) に属するという主張とする。明らかに \(T\) は直和へ遺伝し、識別三角形に対する三者中二者性を満たし、直和因子へ遺伝し、シフトで保たれる。したがって Derived Categories, Remark 0ATH により、(4) は \(T\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) のすべてで成り立つことを含意する。他のすべての性質にも同じ議論が使える。ただし性質 (7)(b), (7)(c) については、さらに \(P \mapsto P^\vee\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の自己同値であることを用いる。細部は省略する。

同値な条件 (2)–(7) が (1) を含意することを、Lemma 08GP の帰納原理を用いて証明する。

まず (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) を、\(X\) がアフィンの場合に証明する。これは概型の場合から従う。Derived Categories of Schemes, Proposition 0GEQ を参照されたい。

次に \((U \subset X, j : V \to X)\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離的な代数空間の基本識別正方形とし、(2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) が \(U\), \(V\), および \(U \times_X V\) に対して既知であると仮定する。証明を完了するには (2)–(7) \(\Rightarrow\) (1) を \(X\) に対して示さなければならない。 \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) が (2)–(7) を満たすとする。Lemma 09IX および Theorem 09IY により、完全複体 \(Q\)（\(X\) 上）であって、 \(Q|_U\) が \(D_\QCoh (\mathcal{O}_U)\) を生成するものが存在する。

\(V = \Spec(A)\) と書く。\(Z \subset V\) を \(X \setminus U\) の逆像であり、それへ同型に写る被約閉部分概型とする（Definition 08GM を参照）。これは \(V\) のレトロコンパクト閉部分集合である。\(f_1, \ldots, f_r \in A\) を \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) となるように選ぶ。 \(K \in D(\mathcal{O}_V)\) を、\(f_1, \ldots, f_r\) に関する Koszul 複体（\(A\) 上の）に対応する完全対象とする。\(K\) は \(Z\) 上に台をもつので、直像 \(K' = Rj_*K\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象であり、その \(V\) への制限は \(K\) であることに注意する（Lemmas 08HK および 08GG を参照）。仮定により、 \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q, E)\) と \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K', E)\) は下に有界である。

Lemma 08GG により \(K' = j_!K\) であり、したがって \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = 0\] が \(i \ll 0\) に対して成り立つ。ゆえに Derived Categories of Schemes, Lemma 0GEK を \(E|_V\) に適用して、整数 \(a\) であって \[\tau_{\leq a}(E|_V) = \tau_{\leq a} R (U \times_X V \to V)_* (E|_{U \times_X V})\] となるものを得る。このとき \(\tau_{\leq a} E = \tau_{\leq a} R (U \to X)_* (E |_U)\) である（標準写像を \(U\) および \(V\) に制限すると同型になることを確かめればよい）。したがって Lemma 0GFG を二度用いると \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] が \(i \ll 0\) に対して成り立つと分かる。命題は \(U\) と生成子 \(Q|_U\) に対して成り立つので、\(E|_U \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) である。さらに関手 \(R (U \to X)_*\) は \(D^+_\QCoh\) を保つので（Lemma 08FA による）、 \(\tau_{\leq a}E \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を得る。したがって \(E \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_X)\) である。

導来圏の準連接対象

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(X_{affine, \etale}\) は、標準エタール被覆が定める位相を備えた \(X_\etale\) のアフィン対象の圏を表すことを思い出そう。Properties of Spaces, Definition 0H01 を参照されたい。 \(X_{affine, \etale}\) のトポスは \(X\) の小エタール・トポスであることも思い出そう。Properties of Spaces, Lemma 04JS を参照されたい。サイト \(X_\etale\) は構造層 \(\mathcal{O}_X\) をもち、その \(X_{affine, \etale}\) への制限も \(\mathcal{O}_X\) と書く。このとき環付きトポスの同値 \[(\Sh(X_{affine, \etale}), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\] が存在する。Descent on Spaces, Equation (0H03) および Descent on Spaces, Section 0H02 の議論を参照されたい。

この節では、\(X_{affine}\) を \(X_{affine, \etale}\) の基礎圏に無秩序位相、すなわち層と前層が一致するような位相を入れたものとする。特に構造層 \(\mathcal{O}_X\) は \(X_{affine}\) 上の層にもなる。Cohomology on Sites, Section 0EWK と同様に、環付きサイトの射 \[\epsilon : (X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (X_{affine}, \mathcal{O}_X)\] を得る。この節では \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を、Cohomology on Sites, Section 0GYU で導入された圏 \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\) と同一視する。

補題

上の状況において、次の三角圏の間に標準的な完全同値が存在する。

\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

\(D_\QCoh(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\),

\(D_\QCoh(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\), and

\(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\).

証明

\(U \to V \to X\) をエタール射とし、\(U\) と \(V\) はアフィンであるとする。このとき環準同型 \(\mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は平坦である。したがって (3) と (4) の同値は Cohomology on Sites, Lemma 0GZR の特別な場合である（その証明は主張の意味も明らかにする）。

補題の前の議論により、環付きトポスの同値 \((\Sh(X_{affine, \etale}), \mathcal{O}_X) \to (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\) があり、したがって加群のアーベル圏の間に同値がある。準連接加群の概念は内在的なので（Modules on Sites, Lemma 03DM）、この同値は準連接加群の部分圏を保つと分かる。したがって (1) と (2) の三角圏の間に標準的な完全同値を得る。

(2) と (3) の三角圏の間の完全同値を得るため、Cohomology on Sites, Lemma 07A8 を、上の射 \(\epsilon : (X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) \to (X_{affine}, \mathcal{O}_X)\) に適用する。 \(\mathcal{B} = \Ob(X_{affine})\) とし、 \(\mathcal{A} \subset \textit{PMod}(X_{affine}, \mathcal{O})\) を、前層 \(\mathcal{F}\) であって \(\mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}_X(V)} \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{F}(U)\) が同型となるものの充満部分圏とする。Descent on Spaces, Lemma 0H04 により、 \(\mathcal{A}\) の対象はちょうど、エタール位相で層であり \((X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\) 上の準連接加群であるものに一致する。他方、Modules on Sites, Lemma 0GZN により、\(\mathcal{A}\) の対象はちょうど \((X_{affine}, \mathcal{O}_X)\) 上、すなわち無秩序位相における準連接加群である。したがって Cohomology on Sites, Lemma 07A8 が適用できることを示せば、\(\epsilon^*\) と \(R\epsilon_*\) を用いて (2) と (3) の圏の間の標準同値を実際に得る。

四つの条件を検証しなければならない。

\(\mathcal{A}\) のすべての対象はエタール位相に対する層である。これは上で見た。

\(\mathcal{A}\) は \(\textit{Mod}(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\) の弱 Serre 部分圏である。上で \(\mathcal{A} = \QCoh(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\) と分かった。また、同値 \(\textit{Mod}(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}) = \textit{Mod}(X_\etale, \mathcal{O}_X)\) を介して、これらは \(X\) 上の準連接加群に対応することも上で見た。したがって結果は Properties of Spaces, Lemma 03M1 および Homology, Lemma 0754 による。

\(X_{affine}\) のすべての対象は、各要素が \(\mathcal{B}\) に属するような無秩序位相の被覆をもつ。\(\mathcal{B}\) はすべての対象を含むので、これは成り立つ。

すべての対象 \(U\)（\(X_{affine}\) の）と、\(\mathcal{F}\)（\(\mathcal{A}\) に属する）に対して、\(H^p_{Zar}(U, \mathcal{F}) = 0\) が \(p > 0\) に対して成り立つ。これはアフィン上の準連接加群のコホモロジーの消滅による。 Cohomology of Spaces, Section 071Y の議論、および Cohomology of Schemes, Lemma 01XB を参照されたい。

これで証明が完了する。

注意

\(S\) を概型とする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。後に \(\mathit{QC}((\textit{Aff}/X), \mathcal{O})\) も \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に標準的に同値であることを示す。Sheaves on Stacks, Proposition 0H0K を参照されたい。

特に、\(E\) は K-単射代表をもつ。Derived Categories, Lemma 070M を参照されたい。↩︎
これはおそらく標準的な記法ではない。しかし、すでにコヒーレータには \(Q_X\)、その導来拡張には \(RQ_X\) を用いた。↩︎