体上の代数空間

はじめに

本章は、多様体に関する章を代数空間の枠組みに移したものである。代数空間についての参考文献として [Kn] がある。

約束

すべてのスキームは大 fppf サイト \(\Sch_{fppf}\) に含まれるものとする。また、考えるすべての環 \(A\) は、\(\Spec(A)\) がこの大サイトの対象と（同型で）あるという性質をもつものとする。

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。本章および後続の章では \(X \times_S X\) と書き、これは \(X\) とそれ自身との（\(S\) 上の代数空間の圏における）積を表す。\(X \times X\) とは書かない。

一般有限射

本節では、Decent Spaces, Section 0BBA の議論と、 Varieties, Section 0AB5 における代数空間の射についての対応物を続ける。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型であり、\(Y\) は局所 Noether であると仮定する。 \(y \in |Y|\) を余次元 \(\leq 1\) の \(Y\) の点とする。 \(X^0 \subset |X|\) を余次元 \(0\) の \(X\) の点全体とする。さらに、次の条件のいずれかが成り立つと仮定する。

すべての \(x \in X^0\) に対して \(x/f(x)\) の超越次数は \(0\) である。

すべての \(x \in X^0\) で \(f(x) \leadsto y\) を満たすものに対して、 \(x/f(x)\) の超越次数は \(0\) である。

\(f\) はすべての \(x \in X^0\) において準有限である。

\(f\) は \(|X|\) の稠密な点集合において準有限である。

ここにさらに追加する。

このとき、\(f\) は \(X\) の \(y\) 上のすべての点において準有限である。

証明

証明をスキームの場合に帰着させる。そのため、可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\] を選ぶ。ここで \(U\), \(V\) はスキームであり、横向きの射は étale かつ全射である。 \(v \in V\) を \(y\) に写る点として選ぶ。\(V\) は局所 Noether であり、 \(\dim(\mathcal{O}_{V, v}) \leq 1\) であることに注意せよ（Properties of Spaces, Definitions 04NA および Remark 03E7 を参照）。 \(U_v\) は \(U \to V\) の \(v\) 上のファイバーであり、 \(f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\) へ全射である。\(X^0\) の \(U\) における逆像は、 \(U\) の既約成分の一般点全体にちょうど一致する（Properties of Spaces, Lemma 0BAQ）。 \(\eta \in U\) をそのような点とし、その像を \(x \in X^0\) とすると、 \(x / f(x)\) の超越次数は \(\kappa(\eta)\) の \(\kappa(g(\eta))\) 上の超越次数である（Morphisms of Spaces, Definition 04NM）。 \(U \to V\) が \(u \in U\) において準有限であることと、\(f\) が \(u\) の \(X\) における像で準有限であることは同値である。

場合 (1)。この場合、Varieties, Lemma 0AB6 の場合 (1) を適用でき、 \(U \to V\) は \(U_v\) のすべての点において準有限である。従って、\(f\) は \(y\) の上にあるすべての点で準有限である。

場合 (2)。\(u \in U\) を、\(V\) における像が \(v\) に特殊化する既約成分の一般点とする。すると、\(x \in X^0\) を \(u\) の像とすれば、\(f(x) \leadsto y\) が成り立つ。従って、Varieties, Lemma 0AB6 の場合 (2) を適用でき、前と同じ結論を得る。

場合 (3) は Varieties, Lemma 0AB6 の場合 (3) から従う。

場合 (4) では、\(|U| \to |X|\) は開写像なので、 \(U \to V\) が準有限である点の集合も稠密である。従って、Varieties, Lemma 0AB6 の場合 (4) を適用できる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は固有であり、\(Y\) は局所 Noether であると仮定する。 \(y \in Y\) を、余次元が \(\leq 1\) である \(Y\) の点とする。 \(X^0 \subset |X|\) を余次元 \(0\) の \(X\) の点全体とする。さらに、次の条件のいずれかが成り立つと仮定する。

すべての \(x \in X^0\) に対して \(x/f(x)\) の超越次数は \(0\) である。

すべての \(x \in X^0\) で \(f(x) \leadsto y\) を満たすものに対して、 \(x/f(x)\) の超越次数は \(0\) である。

\(f\) はすべての \(x \in X^0\) において準有限である。

\(f\) は \(|X|\) の稠密な点集合において準有限である。

ここにさらに追加する。

このとき、開部分空間 \(Y' \subset Y\) で \(y\) を含み、 \(Y' \times_Y X \to Y'\) が有限となるものが存在する。

証明

Lemma 0AD1 により、射 \(f\) は \(y\) の上にあるすべての点において準有限である。\(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) を \(y\) の上にある幾何学的点とする。このとき \(|X_{\overline{y}}|\) は離散空間である（Decent Spaces, Lemma 0ACK）。 \(X_{\overline{y}}\) は、\(f\) が固有なので準コンパクトであり、従って \(|X_{\overline{y}}|\) は有限である。ゆえに Cohomology of Spaces, Lemma 0A4W を適用して結論を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の Noether 代数空間とする。 \(f : Y \to X\) を代数空間の双有理固有射とし、\(Y\) は被約であるとする。 \(U \subset X\) を、その上で \(f\) が同型となる最大の開部分空間とする。このとき \(U\) は次を含む。

余次元 \(0\) の \(X\) のすべての点。

\(x \in |X|\) であって、余次元が \(1\)（\(X\) 上）であり、\(X\) の \(x\) における局所環が正規であるもの（Properties of Spaces, Remark 0BBL）。

すべての \(x \in |X|\) で、\(|Y| \to |X|\) の \(x\) 上のファイバーが有限であり、かつ \(X\) の \(x\) における局所環が正規であるもの。

証明

(1) は Decent Spaces, Lemma 0BBF から従う（Noether 代数空間 \(X\) と \(Y\) は準分離であり、従って decent であることも用いる）。 (2) は (3) と Lemma 0AD2 から従う（有限射のファイバーが有限であることも用いる）。 (3) のような \(x \in |X|\) をとる。Cohomology of Spaces, Lemma 0A4W （Decent Spaces, Lemma 0ACK により適用できる）から、 \(f\) は有限であると仮定してよい。アフィンスキーム \(X'\) と étale 射 \(X' \to X\)、および

点 \(x' \in X\) を選び、その像が \(x\) であるとする。 \(U'\) という \(x' \in X'\) の開近傍で、\(Y \times_X X' \to X'\) が \(U'\) 上で同型となるものが存在することを示せば十分である（そのとき \(U\) は \(U'\) の \(X\) における像を含む。 Spaces, Lemma 03KD を参照）。すると

\(Y \times_X X' \to X\) は有限双有理射である（Decent Spaces, Lemma 0B4D）。有限射はアフィンなので、Noether アフィンスキームの有限双有理射 \(Y \to X\) と、\(x \in X\) で \(\mathcal{O}_{X, x}\) が正規整域となるものの場合に帰着する。これは Varieties, Lemma 0BFP で扱われている。

整代数空間

整代数空間という概念はまだ定義していない。問題は、整であることがスキームの étale 局所的性質ではないことである。Properties, Lemma 01ON にある、\(X\) が被約で \(|X|\) が既約であるという性質を用いて整代数空間を定義することもできる。しかし、その場合には Spaces, Example 02Z8 で述べた代数空間 \(X\) が整となり、これは適切とは思われない。この種の病理を避けるため、より弱い代替条件があるかもしれないが、さらにそれが decent な代数空間であると仮定する。

定義

\(S\) をスキームとする。代数空間 \(X\) が \(S\) 上で、被約かつ decent であり、 \(|X|\) が既約であるとき、これは整であるという。

この場合、既約位相空間 \(|X|\) は sober である（Decent Spaces, Proposition 03K6）。従って、この空間は一意な一般点 \(x\) をもつ。実際、Decent Spaces, Lemma 0BB9 では、既約成分を有限個しかもたない decent 代数空間を特徴づけた。この補題を適用すると、代数空間 \(X\) が整であるための一つの条件は、被約であり、既約稠密開部分スキーム \(X'\) が一般点 \(x'\) をもち、射 \(x' \to X\) が準コンパクトであることである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の整代数空間とする。 \(\eta \in |X|\) を \(X\) の一般点とする。標準的な同一視 \[R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta}^h = \kappa(\eta)\] が存在する。ここで \(R(X)\) は Morphisms of Spaces, Definition 0EMP で定義された有理関数環、\(\kappa(\eta)\) は Decent Spaces, Definition 0EMW で定義された剰余体、 \(\mathcal{O}_{X, \eta}^h\) は Decent Spaces, Definition 0BGU で定義された Hensel 局所環である。特に、これらの環は体である。

証明

\(X\) は \(\eta\) のある開近傍上でスキームである（上の議論を参照）ので、これはスキームに対する対応結果から直ちに従う。Morphisms, Lemma 01RV を参照せよ。さらに、体の Hensel 化はその体自身であること、および代数空間に対するこれらの対象の定義がスキームに対する定義と整合することを用いる。詳細は省略する。

これにより、次の定義を得る。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の整代数空間とする。 \(X\) の 関数体、または 有理関数体 とは、 Lemma 0END の体 \(R(X)\) のことである。

この体を \(k(X)\) と記し、\(R(X)\) の代わりに用いることもある。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の整代数空間とする。このとき \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) は整域である。

証明

\(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とおく。\(f, g \in R\) が非零で \(fg = 0\) ならば、 \(X = V(f) \cup V(g)\) である。ここで \(V(f)\) は \(X\) の、\(f\) によって切り出される閉部分空間を表す。\(X\) は既約なので、\(V(f) = X\) または \(V(g) = X\) である。従って Properties of Spaces, Lemma 0BGS により、\(f = 0\) または \(g = 0\) である。

正規整代数空間に関する補題を述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の正規整代数空間とする。すべての \(x \in |X|\) に対して、正規整アフィンスキーム \(U\) と étale 射 \(U \to X\) で、その像が \(x\) を含むものが存在する。

証明

アフィンスキーム \(U\) と étale 射 \(U \to X\) で、その像が \(x\) を含むものを選ぶ。

\(u_i\), \(i \in I\) を \(U\) の既約成分の一般点とする。各 \(u_i\) は \(X\) の一般点へ写る（Decent Spaces, Lemma 0ABV）。 decent 空間の定義（Decent Spaces, Definition 03I8）により、\(I\) は有限である。従って \(U = \Spec(A)\) であり、\(A\) は極小素イデアルを有限個しかもたない正規環である。 Algebra, Lemma 030C により、 \(A = \prod_{i \in I} A_i\) は正規整域の積である。従って \(U = \coprod U_i\)、\(U_i = \Spec(A_i)\) であり、\(x\) は \(U_i \to X\) の像に含まれる（ある \(i\) に対して）。これで補題が証明された。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の正規整代数空間とする。このとき \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) は正規整域である。

証明

\(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とおく。Lemma 0BH2 により \(R\) は整域である。 \(f = a/b\) を、\(R\) 上整な \(R\) の分数体の元とする。任意の étale 射 \(U \to X\) で \(U\) がスキームであるものに対して、高々一つの \(f_U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) があり、これは \(b|_U f_U = a|_U\) を満たす。実際、\(U\) は被約であり、\(U\) の一般点は \(X\) の一般点へ写るので、 \(b|_U\) は零因子でない。すべての \(x \in |X|\) に対し、Lemma 0AYH のように \(U \to X\) を選ぶ。一意な \(f_U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) が存在し、これは \(b|_U f_U = a|_U\) を満たす。実際、\(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) は Properties, Lemma 0358 により正規整域である。上の一意性により、これらの \(f_U\) は貼り合わさり、構造層の大域切断 \(f\)、すなわち \(R\) の元を定める。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の decent 代数空間とする。次の集合の間には標準的な全単射がある。

\(X\) の点の集合、すなわち \(|X|\)。

\(|X|\) の既約閉部分集合の集合。

\(X\) の整な閉部分空間の集合。

(1) から (2) への全単射は \(x\) を \(\overline{\{x\}}\) へ写す。 (3) から (2) への全単射は \(Z\) を \(|Z|\) へ写す。

証明

\(|X|\) は Decent Spaces, Proposition 03K6 により sober なので、この写像は (1) と (2) の間の全単射を定める。閉かつ既約な \(T \subset |X|\) が与えられると、一意な被約閉部分空間 \(Z \subset X\) で \(|Z| = T\) を満たすものが存在する。すなわち、\(Z\) は \(T\) 上の被約誘導部分空間構造である。 Properties of Spaces, Definition 047X を参照せよ。これは decent、被約、かつ既約なので、整代数空間である。

整代数空間の間の射

次の補題は、整代数空間の間の有限次数の支配射を特徴づける。

補題

\(S\) をスキームとする。

\(X\), \(Y\) を \(S\) 上の整代数空間とする。\(x \in |X|\) と \(y \in |Y|\) を一般点とする。 \(f : X \to Y\) は局所有限型であるとする。\(f\) が支配的であると仮定する（Morphisms of Spaces, Definition 0ABL）。次の条件は同値である。

\(x/y\) の超越次数が \(0\) である。

拡大 \(\kappa(x)/\kappa(y)\)（証明を参照）が有限である。

非空アフィン開集合 \(U \subset X\) と \(V \subset Y\) が存在し、 \(f(U) \subset V\) かつ \(f|_U : U \to V\) が有限である。

\(f\) が \(x\) において準有限である。

\(x\) が \(|X|\) のうち \(y\) に写る唯一の点である。

\(f\) が分離的であるか、または \(f\) が準コンパクトであるならば、これらはさらに

非空アフィン開集合 \(V \subset Y\) が存在し、\(f^{-1}(V) \to V\) が有限である

という条件とも同値である。

証明

初等的な位相の議論により、\(f(x) = y\) である。実際、\(f\) は支配的である。 \(Y' \subset Y\) を \(Y\) のスキーム的軌跡とし、 \(X' \subset f^{-1}(Y')\) を \(f^{-1}(Y')\) のスキーム的軌跡とする。上の議論に Decent Spaces, Proposition 03K6 および Theorem 086U を用いると、 \(x \in |X'|\) かつ \(y \in |Y'|\) であることが分かる。このとき \(f|_{X'} : X' \to Y'\) は局所有限型の整スキーム間の射である。従って、Morphisms, Lemma 02NX により (1)、(2)、(3) は同値である。

\(X \to Y \to Y\) に Morphisms of Spaces, Lemma 06RX を適用すれば、条件 (4) は条件 (1) を含意する。一方、有限射は準有限であり、また \(x \in U\) である（\(x\) は一般点だからである）ので、条件 (3) は条件 (4) を含意する。従って (1) – (4) は同値である。

同値な条件 (1) – (4) を仮定する。\(x' \mapsto y\) とする。このとき \(x \leadsto x'\) は \(|X| \to |Y|\) の \(y\) 上のファイバー内の特殊化である。 \(x' \not = x\) ならば、Decent Spaces, Lemma 0ACB により、 \(f\) は \(x\) において準有限ではない。従って \(x = x'\) であり、(5) が成り立つ。逆に (5) が成り立つならば、スキームの射 \(X' \to Y'\)（上を参照）についても (5) が成り立つので、Morphisms, Lemma 02NX を用いて (1) が成り立つことが分かる。

(6) は、\(f\) に何ら追加の仮定を課さなくても、同値な条件 (1) – (5) を含意する。証明を終えるには、同値な条件 (1) – (5) が (6) を含意することを示せばよい。これは Decent Spaces, Lemma 0BBC から従う。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) と \(Y\) を \(S\) 上の整代数空間とする。 \(f : X \to Y\) を局所有限型かつ支配的な射とする。Lemma 0AD5 の同値な条件 (1) – (5) のいずれかを仮定する。 \(x \in |X|\) と \(y \in |Y|\) を一般点とする。このとき、正の整数 \[\deg(X/Y) = [\kappa(x) : \kappa(y)]\] を \(X\) の \(Y\) 上の次数 という。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\), \(Y\), \(Z\) を \(S\) 上の整代数空間とする。 \(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を局所有限型の支配射とする。Lemma 0AD5 の同値な条件 (1) – (5) のいずれかが \(f\) と \(g\) に対して成り立つと仮定する。このとき \[\deg(X/Z) = \deg(X/Y) \deg(Y/Z).\]

証明

これは体の有限拡大の塔における次数の乗法性から従う。Fields, Lemma 09G9 を参照せよ。

Weil 因子

本節は Divisors, Section 0BE0 の対応物である。

局所 Noether 整代数空間に対して Weil 因子と Weil 因子の有理同値を導入する。ここでは代数空間が準コンパクトであると仮定しないため、Weil 因子を定義する際には少し注意が必要である。例えば有理関数が無限個の極をもつことがあるので、素因子の無限和を許さなければならない。準コンパクトな場合には、通常どおり Weil 因子は有限和となる。以下の基本補題は、閉部分空間の族が局所有限であることを示すためにしばしば用いる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 代数空間とする。 \(T \subset |X|\) が閉部分集合ならば、\(T\) の既約成分の族は局所有限である。

証明

位相空間 \(|X|\) は局所 Noether である（Properties of Spaces, Lemma 04ZF）。Noether 位相空間は有限個の既約成分をもち、Noether 空間の部分空間も Noether である（Topology, Lemma 0052）。従って、補題は局所有限の定義（Topology, Definition 0BDS）から従う。

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の decent 代数空間とする。 \(Z\) を \(X\) の整な閉部分空間とし、\(\xi \in |Z|\) を一般点とする。このとき \(|Z|\) の \(|X|\) における余次元は、Decent Spaces, Lemma 0ED1 により、\(X\) の \(\xi\) における局所環の次元に等しい。このことを \(\xi\) は余次元 \(1\) の点である（\(X\) 上で） とも表すことを思い出そう。Properties of Spaces, Definition 04NA を参照せよ。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。

素因子とは、整な閉部分空間 \(Z \subset X\) で余次元 \(1\) のもの、すなわち \(|Z|\) の一般点が余次元 \(1\) の \(X\) の点となるものである。

Weil 因子とは形式和 \(D = \sum n_Z Z\) であって、和は \(X\) の素因子を走り、族 \(\{|Z| : n_Z \not = 0\}\) が \(|X|\) において局所有限となるものをいう（Topology, Definition 0BDS）。

\(X\) 上のすべての Weil 因子からなる群を \(\text{Div}(X)\) と記す。

次の課題は、有理関数に付随する Weil 因子を定義することである。そのためには、局所 Noether 整代数空間 \(X\) 上の有理関数について、素因子 \(Z\) に沿う消滅次数を定義する必要がある。\(\xi \in |Z|\) を一般点とする。ここで、局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) は存在せず、Hensel 局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は整域とは限らないという問題が生じる。Example 0ENU を参照せよ。これを回避するため、次の補題を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(Z \subset X\) を素因子とし、\(\xi \in |Z|\) を一般点とする。このとき Hensel 局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は被約な \(1\) 次元 Noether 局所環であり、標準的な単射 \[R(X) \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] が存在する。これは関数体 \(R(X)\)、すなわち \(X\) の関数体から全分数環への写像である。

証明

Decent Spaces, Section 0EMV の結果を用いる。 \((U, u) \to (X, \xi)\) を基本的な étale 近傍とする。\(U\) は局所 Noether かつ被約であることに注意せよ。従って \(\mathcal{O}_{U, u}\) は（素因子の定義により） \(1\) 次元の被約 Noether 環である。\(U\) を \(u\) のアフィン開近傍で置き換えることにより、 \(U\) は Noether かつアフィンであると仮定してよい。さらに \(U\) をより小さい開集合で置き換え、\(U\) のすべての既約成分が \(u\) を通ると仮定してよい。 \(U \to X\) は開写像で \(X\) は既約なので、\(U \to X\) は支配的である。従って、有理写像を合成することにより環準同型 \(R(X) \to R(U)\) を得る。 Morphisms of Spaces, Section 0EML を参照せよ。 \(R(X)\) は体なので、この準同型は単射である。\(U\) の選び方により、\(R(U)\) は全商環 \(Q(\mathcal{O}_{U, u})\) である。Morphisms, Lemma 01RV および Algebra, Lemma 02LX を参照せよ。

ここまでで、\(\mathcal{O}_{U, u}\) を

\(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) の代わりに用いた場合の補題のすべての主張を証明した。しかし \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は \(\mathcal{O}_{U, u}\) の Hensel 化である。従って \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は \(1\) 次元の被約 Noether 環である。More on Algebra, Lemmas 06DH, 06LK, and 06LJ を参照せよ。 More on Algebra, Lemma 07QM により \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は忠実平坦なので、非零因子を非零因子へ写す。従って標準的な写像 \(Q(\mathcal{O}_{U, u}) \to Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) を得て、所望の写像を得る。この写像が

\((U, u) \to (X, x)\) の選択に依存しないことの確認は省略する。少し良い方法は、まず \(\colim Q(\mathcal{O}_{U, u}) = Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) に注意することである。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(f \in R(X)^*\) とする。各素因子 \(Z \subset X\) に対して、\(f\) の \(Z\) に沿う消滅次数を整数 \[\text{ord}_Z(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] として定義する。ここで \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は非零因子で、 \(f\) の \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) における像（Lemma 0ENK）が \(a/b\) に等しいものとする。これは Algebra, Lemma 02MC により良定義である。

\(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) がたまたま整域であるならば \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f)\] を得る。ここで右辺は Algebra, Definition 02MD の概念である。 \(f, g \in R(X)^*\) に対して \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] であることにも注意せよ。もちろん \(\text{ord}_Z(f) < 0\) となることもある。この場合、\(f\) は \(Z\) に沿って極をもつといい、 \(-\text{ord}_Z(f) > 0\) を \(f\) の \(Z\) に沿う極の位数 という。条件 \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\) は、条件 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) と 同値ではない ことが重要である。ただし、局所環

\(\mathcal{O}_{X, \xi}\) が離散付値環である場合を除く。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(f \in R(X)^*\) とする。素因子 \(Z \subset X\) が \(X\) のスキーム的軌跡と交わるならば、 Definition 0ENL の消滅次数 \(\text{ord}_Z(f)\) は、 Divisors, Definition 02RJ の消滅次数と一致する。

証明

\(X\) を縮小することにより、\(X\) は整 Noether スキームであると仮定してよい。 \(\xi \in Z\) が一般点を表すならば、\(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) の Hensel 化である（Decent Spaces, Lemma 0EMY）。補題を証明するための必要十分条件は \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{X, \xi}/a \mathcal{O}_{X, \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] である。これは Algebra, Lemma 02M1 から直ちに従う（\(\mathcal{O}_{X, \xi} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) が Noether 局所環の間の平坦な局所環準同型であることも用いる）。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(f \in R(X)^*\) とする。このとき次の族

\[\{Z \subset X \mid Z\text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ and }f\text{ not in }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] および \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor and }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] は \(X\) において局所有限である。

証明

非空開部分空間 \(U \subset X\) で、\(f\) が \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\) の切断に対応するものが存在する。従って、補題の集合に現れうる素因子はすべて \(|X| \setminus |U|\) の既約成分に対応する。ゆえに Lemma 0EE5 が所望の結果を与える。

この補題により次の定義が可能となる。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(f \in R(X)^*\) とする。\(f\) に付随する主 Weil 因子とは Weil 因子 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] のことである。ここで和は素因子を走り、\(\text{ord}_Z(f)\) は Definition 0ENL のとおりである。Lemma 0ENN により、これは意味をもつ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(f, g \in R(X)^*\) とする。このとき \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] が \(X\) 上の Weil 因子として成り立つ。

証明

これは \(\text{ord}\) 関数の加法性から明らかである。

上の補題から、主 Weil 因子の族はすべての Weil 因子からなる群の部分群をなすことが分かる。これにより次の定義を得る。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(X\) の Weil 因子類群とは、Weil 因子の群を主 Weil 因子の部分群で割った商である。記号は \(\text{Cl}(X)\) とする。

構成により正合複体 [0ENS]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\]

これは \(\text{Cl}(X)\) の表示とみなすことができる。次の課題は、Weil 因子類群を Picard 群と関連づけることである。

例

これは Morphisms of Spaces, Example 05Z6 の続きである。代数空間 \(X = \mathbf{A}^1_k/\{t \sim -t \mid t \not = 0\}\) を考える。これは体 \(k\) 上の滑らかな代数空間である。普遍的同相写像 \[X \longrightarrow \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[t])\] が存在し、\(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) 上では同型である。従って \(X\) は Noether かつ整である。\(\dim(X) = 1\) なので、\(X\) の素因子は \(X\) の閉点である。\(x \in |X|\) を、\(0 \in \mathbf{A}^1_k\) の上にある一意な閉点とする。

\(X \setminus \{x\}\) は \(\mathbf{A}^1 \setminus \{0\}\) へ同型に写るので、 \(\text{Cl}(X)\) において \(x\) と異なる閉点の類は零である。しかし \(t\) の \(X\) 上の因子は \(2[x]\) である。従って \(\text{Cl}(X) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) である。

例

\(k\) を体とする。 \[U = \Spec(k[x, y]/(xy))\] を \(\mathbf{A}^2_k\) における二本の座標軸の和とする。

\(\Delta : U \to U \times_k U\) を対角射とし、 \(\Delta' : U \to U \times_k U\) を写像 \(u \mapsto (u, \sigma(u))\) とする。ここで \(\sigma : U \to U\)、\((x, y) \mapsto (y, x)\) は二本の座標軸を入れ替える自己同型である。 \[R = \Delta(U) \amalg \Delta'(U \setminus \{0_U\})\] とおく。ここで \(0_U \in U\) は原点である。\(R\) が \(U\) 上の étale 同値関係であることは容易に分かる。商 \(X = U/R\) は代数空間である。射 \(U \to \mathbf{A}^1_k\)、\((x, y) \mapsto x + y\) は \(R\)-不変なので、射 \[X \longrightarrow \mathbf{A}^1_k\] を定める。この射は普遍的同相写像であり、 \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) 上では同型である。従って \(X\) は整かつ Noether である。Example 0ENT とまったく同様にして、読者は \(\text{Cl}(X) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) であり、その生成元が一意な閉点 \(x \in |X|\)、すなわち \(0 \in \mathbf{A}^1_k\) に写るものに対応することを示せる。しかしこの場合、\(X\) の \(x\) における Hensel 局所環は整域ではない。これは \(\mathcal{O}_{U, 0_U}\) の Hensel 化だからである。

可逆加群に付随する Weil 因子類

本節では Section 0ENI とまったく同じ段階をたどり、局所 Noether 整代数空間に対する標準的な写像 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) を定義する。

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。Divisors on Spaces, Lemma 0EPQ により、正則有理型切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\) が存在する。実際、Divisors on Spaces, Lemma 0ENA により、これは \(\mathcal{L}_\eta\) の非零元と同じものである。ここで \(\eta \in |X|\) は一般点である。同じ補題によれば、\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\) ならば \(s\) は \(X\) 上の非零有理関数と同じものである（従って以下の構成は Section 0ENI の構成と一致する）。

\(Z \subset X\) を素因子とし、\(\xi \in |Z|\) を一般点とする。 \(s\) の \(Z\) に沿う消滅次数を定義する。標準的な射 \[c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \longrightarrow X\] を考える。その始域は \(X\) の \(\xi\) における Hensel 局所環のスペクトルである（Decent Spaces, Definition

0BGW）。引き戻し \(\mathcal{L}_\xi = c_\xi^*\mathcal{L}\) は可逆加群なので自明である。生成元 \(s_\xi\) を \(\mathcal{L}_\xi\) に対して選ぶ。\(c_\xi\) は平坦なので、有理型関数および（正則）切断の引き戻しは \(c_\xi\) に対して定義される。Divisors on Spaces, Definition 0EN8 および Lemmas 0EN9 and 0ENC を参照せよ。従って \[c_\xi^*(s) = f s_\xi\] を得る。ここで \(f \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) は非零因子である。ここでは Divisors, Lemma 02OV を用い、 \(\mathcal{L}_\xi \cong \mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)}\) の有理型切断の空間を \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) の全分数環によって同一視している。この元を \[s/s_\xi = f \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] と書くことにする。\(f = s/s_\xi\) は \(uf\) に置き換わることに注意せよ。ここで \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は単元であり、これは \(s_\xi\) の選び方を変えた場合に起こる。

定義

\(S\) をスキームとする。

\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\) を \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断とする。各素因子 \(Z \subset X\) で一般点 \(\xi \in |Z|\) をもつものに対して、\(s\) の \(Z\) に沿う消滅次数を整数 \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] として定義する。ここで \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は非零因子であり、上で構成した \(s/s_\xi\) という \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) の元が \(a/b\) に等しいものとする。上の議論と Algebra, Lemma 02MC により、これは良定義である。

上で説明したように、正則有理型切断 \(s\) が \(\mathcal{O}_X\) のものであるならば、 \(s = f \cdot 1\) と書ける。ここで \(f\) は \(X\) 上の非零有理関数であり、 \(\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{Z, \mathcal{O}_X}(s)\) が成り立つ。主因子の場合と同様、次の補題が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

\(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) を \(\mathcal{L}\) の正則（すなわち非零）有理型切断とする。このとき集合 \[\{Z \subset X \mid Z\text{ は一般点 }\xi \text{ をもつ素因子で、かつ }s\text{ が属さない }\mathcal{L}_\xi\}\] および \[\{Z \subset X \mid Z \text{ は素因子であり } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] は \(X\) において局所有限である。

証明

非空開部分空間 \(U \subset X\) で、\(s\) が \(\Gamma(U, \mathcal{L})\) の切断に対応し、その切断が \(\mathcal{L}\) を \(U\) 上で生成するものが存在する。従って、補題の集合に現れうる素因子はすべて \(|X| \setminus |U|\) の既約成分に対応する。従って Lemma

0EE5 が所望の結果を与える。

補題

\(S\) をスキームとする。

\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) を \(\mathcal{L}\) の非零有理型切断とする。このとき \(f = s/s'\) は \(R(X)^*\) の元であり、 \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\] が Weil 因子として成り立つ。

証明

これは定義から明らかである。Lemma 0EPS によって、これらの和が実際に Weil 因子となることが保証される点に注意せよ。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

任意の非零有理型切断 \(s\) で \(\mathcal{L}\) のものに対し、\(s\) に付随する Weil 因子を \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] と定義する。ここで和は素因子を走る。Lemma 0EPS により、これは良定義である。

\(\mathcal{L}\) に付随する Weil 因子類を \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) の \(\text{Cl}(X)\) における像として定義する。ここで \(s\) は \(\mathcal{L}\) の \(X\) 上の任意の非零有理型切断である。Lemma 0EPT により、これは良定義である。

予想どおり、この構成は可逆加群について加法的である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{N}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s\)、それぞれ \(t\) を \(\mathcal{L}\)、それぞれ \(\mathcal{N}\) の非零有理型切断とする。このとき \(st\) は \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) の非零有理型切断であり、 \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] が \(\text{Div}(X)\) において成り立つ。特に \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) の Weil 因子類は、 \(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{N}\) の Weil 因子類の和である。

証明

\(s\)、それぞれ \(t\) を \(\mathcal{L}\)、それぞれ \(\mathcal{N}\) の非零有理型切断とする。このとき \(st\) は \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\) の非零有理型切断である。 \(Z \subset X\) を素因子とし、\(\xi \in |Z|\) をその一般点とする。本節で先に導入した記法を用いて、生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) と \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\) を選ぶ。このとき \(s_\xi \otimes t_\xi\) は \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\) の生成元である。 \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\) が \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) において成り立つ。Algebra, Lemma 02MC の加法性を適用すると \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}, Z}(st) = \text{div}_{\mathcal{L}, Z}(s) + \text{div}_{\mathcal{N}, Z}(t)\] を得る。

いくつかの詳細は省略する。

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。上の構成と補題により、Abel 群の準同型 [0EPW]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] を得る。これは可逆加群をその Weil 因子類へ写す。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の局所 Noether 整代数空間とする。 \(X\) が正規ならば、写像 (0EPW) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) は単射である。

証明

\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、それに付随する Weil 因子類が自明であるとする。\(s\) を \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断とする。この仮定は、 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\) が、ある \(f \in R(X)^*\) に対して成り立つことを意味する。すると \(t = f^{-1}s\) は \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断で、 \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\) を満たす。Lemma 0EPT を参照せよ。 \(t\) が \(\mathcal{L}\) の自明化を定めると主張する。この主張で補題の証明は終わる。まだ多くの理論を自由に使えないため、この主張の証明は少し不格好である。読者には

証明を飛ばすことを勧める。

この主張は étale 局所的に確認できる。\(U \in X_\etale\) をアフィンとし、 \(\mathcal{L}|_U\) が自明であるとする。\(s_U \in \Gamma(U, \mathcal{L}|_U)\) を一つの自明化とする。Properties, Lemma 0357 により、 \(U\) も整であると仮定してよい。\(U = \Spec(A)\) を正規 Noether 整域 \(A\) のスペクトルとして書き、その分数体を \(K\) とする。 \(t|_U = f s_U\) と書ける。ここで \(f\) は \(K\) の元である。例えば Divisors on Spaces, Lemma 0EN6 を参照せよ。 \(\mathfrak p \subset A\) を高さ一の素イデアルとし、余次元 \(1\) の点 \(u \in U\) に対応するものとする。この点は余次元 \(1\) の点 \(\xi \in |X|\) へ写る。本節の初めと同様に自明化 \(s_\xi\) を \(\mathcal{L}_\xi\) に対して選ぶ。幾何学的点 \(\overline{u}\) を \(U\) から選び、\(u\) の上にあるものとする。このとき \[(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)^{sh} = \mathcal{O}_{X, \overline{u}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} = (A_\mathfrak p)^{sh}\] である。Decent Spaces, Lemmas 0EMZ および Properties of Spaces, Lemma 04KF を参照せよ。 \(X\) の正規性から、これらはすべて離散付値環である。自明化 \(s_U\) と \(s_\xi\) は、\(\mathcal{L}\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{u}})\) へ引き戻した切断として、単元だけ異なる。 \(t = f_\xi s_\xi\) と書く。ここで \(f_\xi \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) である。従って \(f_\xi\) と \(f\) は \(Q(\mathcal{O}_{X, \overline{u}})\) における単元だけ異なる。 \(Z \subset X\) が \(\xi\) に対応する素因子を表すならば（Lemma 0ENF）、 \(0 = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(t) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f_\xi)\) である。また \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) は離散付値環なので \(f_\xi\) は単元である。従って \(f\) は \(\mathcal{O}_{X, \overline{u}}\) の単元であり、特に \(f \in A_\mathfrak p\) である。Algebra, Lemma 031T により、これは \(f \in A\) を含意する。従って \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) である。 \(t^{-1}\) を \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\) の有理型切断とみなし、同じ議論を繰り返せば証明が完了する。

修正とオルタレーション

整代数空間の概念を用いて、修正を次のように定義できる。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の整代数空間とする。\(X\) の修正とは、双有理固有射 \(f : X' \to X\) で、\(S\) 上の代数空間の射であり、\(X'\) が整であるものをいう。

代数空間の双有理射については Decent Spaces, Definition 0ACV を参照せよ。

補題

\(f : X' \to X\) を Definition 0AD8 の修正とする。非空開集合 \(U \subset X\) で、\(f^{-1}(U) \to U\) が同型となるものが存在する。

証明

Lemma 0AD5 により、非空 \(U \subset X\) で \(f^{-1}(U) \to U\) が有限となるものが存在する。一般平坦性（Morphisms of Spaces, Proposition 06QS）により、 \(f^{-1}(U) \to U\) は平坦かつ有限表示であると仮定してよい。従って \(f^{-1}(U) \to U\) は有限局所自由である（Morphisms of Spaces, Lemma 0416）。\(f\) は双有理なので、\(X'\) の \(X\) 上の次数は \(1\) である。従って \(f^{-1}(U) \to U\) は次数 \(1\) の有限局所自由射、すなわち同型である。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の整代数空間とする。\(X\) のオルタレーションとは、固有支配射 \(f : Y \to X\) で、\(S\) 上の代数空間の射であり、 \(Y\) が整で、\(f^{-1}(U) \to U\) が有限となる非空開集合 \(U \subset X\) が存在するものをいう。

\(f : Y \to X\) が整代数空間の間の支配固有射ならば、一般点において誘導される剰余体の拡大が有限であるとき、これはオルタレーションである。正確には次が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の整代数空間の固有支配射とする。 \(f\) がオルタレーションであることと、Lemma 0AD5 の同値な条件 (1) – (6) のいずれかが成り立つことは同値である。

証明

これは本文で参照した補題の直接の帰結である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の固有全射とする。 \(Y\) が整であると仮定する。このとき整な閉部分空間 \(X' \subset X\) で、 \(f' = f|_{X'} : X' \to Y\) がオルタレーションとなるものが存在する。

証明

\(V \subset Y\) を非空アフィン開集合とする（Decent Spaces, Theorem 086U）。 \(\eta \in V\) を一般点とする。このとき \(X_\eta\) は \(\eta\) 上の非空固有代数空間である。閉点 \(x \in |X_\eta|\) を選ぶ（これは \(|X_\eta|\) が準コンパクトな sober 位相空間だから存在する。Decent Spaces, Proposition 03K6 および Topology, Lemma 005E を参照）。

\(X'\) を \(\overline{\{x\}} \subset |X|\) 上の被約誘導閉部分空間構造とする（Properties of Spaces, Definition 047X）。

\(f' : X' \to Y\) は、その像が \(\eta\) を含むため全射である。また \(f'\) は閉埋め込みと固有射の合成なので固有である。最後に、ファイバー \(X'_\eta\) は一点だけをもつ。これを見るには \(X \to Y\) と \(X' \to Y\) の双方、および点 \(\eta\) に Decent Spaces, Lemma 0AC8 を用いればよい。 \(Y\) は decent で \(X' \to Y\) は分離的なので、\(X'\) は decent である（Decent Spaces, Lemmas

03M5 and 0ABY）。従って Lemma 0ADB により、 \(f'\) はオルタレーションである。

スキーム的軌跡

代数空間のスキーム的軌跡については、すでにいくつもの結果を証明した。参照箇所を列挙する。

Properties of Spaces, Sections 03JG and 07S5,
Decent Spaces, Section 06NN,
Properties of Spaces, Lemma 03DZ \(\Leftarrow\) Decent Spaces, Lemma 03IK \(\Leftarrow\) Decent Spaces, Lemma 047Z,
Limits of Spaces, Section 07VQ, and
Limits of Spaces, Section 0B7X.

代数空間のある種の射が自動的に表現可能となる場合がある。例えば、分離的な局所準有限射（Morphisms of Spaces, Lemma 0418）や、平坦単射（More on Morphisms of Spaces, Lemma 0B8A）である。Section 0B82 では、基礎体の拡大のもとでスキーム的軌跡がどう変化するかを調べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(X\) が次の条件の少なくとも一つを満たすと仮定する。

\(X\) は準分離で \(\dim(X) = 0\) である。

\(X\) は体 \(k\) 上局所有限型で \(\dim(X) = 0\) である。

\(X\) は Noether で \(\dim(X) = 0\) である。

ここにさらに追加する。

このとき \(X\) は分離スキームであり、\(X\) の任意の準コンパクト開集合はアフィンである。

証明

\(X\) の任意の準コンパクト開集合がアフィンであることを証明すれば、\(X\) は分離スキームとなる。従って \(X\) は準コンパクトであると仮定してよく、\(X\) がアフィンであることを示す。場合 (2) と (3) は場合 (1) から直ちに従うが、それぞれの証明は使う理論が著しく少ないので、(2) と (3) を別々に証明する。

場合 (3) の証明。\(U\) をアフィンスキームとし、\(U \to X\) を étale 射とする。 \(R = U \times_X U\) とおく。二つの射影 \(s, t : R \to U\) はスキームの étale 射である。Properties of Spaces, Definition 04N6 により、 \(\dim(U) = 0\) かつ \(\dim(R) = 0\) である。\(R\) は次元 \(0\) の局所 Noether スキームなので、\(R\) は Artin 局所環のスペクトルの非交和である（Properties, Lemma 0AAX）。 \(X\) は Noether（従って準分離）と仮定したので、\(R\) は準コンパクトである。従って \(R\) はアフィンスキームである（Schemes, Lemma 01I5 を用いる）。 étale 射 \(s, t : R \to U\) は有限な剰余体拡大を誘導する。従って Algebra, Lemma 07DT により（小さな詳細を一つ省略する）、\(s\) と \(t\) は有限である。ゆえに Groupoids, Proposition 03BM から、 \(X = U/R\) はアフィンスキームである。

場合 (2) の証明は場合 (3) とほぼ同じである。\(U\) をアフィンスキームとし、 \(U \to X\) を全射な étale 射とする。\(R = U \times_X U\) とおく。二つの射影 \(s, t : R \to U\) はスキームの étale 射である。 Properties of Spaces, Definition 04N6 により、 \(\dim(U) = 0\) であり、同様に \(\dim(R) = 0\) である。一方、射 \(U \to \Spec(k)\) は étale 射 \(U \to X\) と \(X \to \Spec(k)\) の合成なので局所有限型である。Morphisms of Spaces, Lemmas 03XG and 06LT を参照せよ。同様に \(R \to \Spec(k)\) は局所有限型である。従って Varieties, Lemma 06LH により、\(U\) と \(R\) は \(k\) 上有限な局所 Artin \(k\)-代数のスペクトルの非交和である。従って \(U \times_{\Spec(k)} U\) についても同じことが成り立つ。 \[R = U \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(k)} U\] は単射なので、\(R\) は有限個（！）の有限 \(k\)-代数のスペクトルの和である。従って \(R\) はアフィンである。Schemes, Lemma 01I5 を参照せよ。 Varieties, Lemma 06LH をもう一度用いると、 \(R\) は \(k\) 上有限である。従って \(s, t\) は有限である。Morphisms, Lemma 035D を参照せよ。ゆえに Groupoids, Proposition 03BM から、 \(X = U/R\) はアフィンスキームである。

場合 (1) のコホモロジー的証明。Cohomology of Spaces, Lemma 0A4R により、すべての準連接層 \(\mathcal{F}\)（\(X\) 上）について高次コホモロジー群が消滅する。従って Cohomology of Spaces, Proposition 07V6 により、\(X\) はアフィン（特にスキーム）である。

場合 (1) の幾何学的証明。層別化 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] と、Decent Spaces, Lemma 07ST のような étale 射 \(f_p : V_p \to U_p\) を選ぶ（以下ではそのすべての性質を用いる）。代数空間の次元の定義により \(\dim(V_p) = 0\) である。従って Properties, Lemma 0CKV を各 \(V_p\) に適用できる。 \(f_p^{-1}(U_{p + 1}) \subset V_p\) は準コンパクト開集合なので、アフィンであり、かつ閉でもある。従って \(|T_p| \subset |U_p|\)（前掲箇所を参照）は開かつ閉である。ゆえに \(X\) は開閉部分空間の非交和であり、それらの被約構造はスキームである。従って \(X\) はスキームである（Limits of Spaces, Lemma 07VU）。最後に、上で参照したスキームの場合を用いれば証明が終わる。

次の補題は、準分離代数空間が余次元 \(1\) を除いてスキームであることを述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の準分離代数空間とする。\(x \in |X|\) とする。次の条件は同値である。

\(x\) は余次元 \(0\) の点である（\(X\) 上）。

\(X\) の \(x\) における局所環の次元は \(0\) である。

\(x\) は \(|X|\) の既約成分の一般点である。

これらが成り立つならば、\(X\) の開部分空間で \(x\) を含み、スキームとなるものが存在する。

証明

(1)、(2)、(3) の同値性は Decent Spaces, Lemma 0ABV と、準分離代数空間は decent であるという事実（Decent Spaces, Section 03I7）から従う。ただし、次の段落でこの同値性のより初等的な証明を与える。

(1) と (2) は定義により同値である（Properties of Spaces, Definition 04NA）。 (1) と (3) の同値性を証明するため、\(X\) は準コンパクトであると仮定してよい。 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] と、Decent Spaces, Lemma 07ST のような \(f_i : V_i \to U_i\) を選ぶ。\(x \in U_i\)、\(x \not \in U_{i + 1}\) とする。このとき \(x = f_i(y)\) が一意な \(y \in V_i\) に対して成り立つ。(1) が成り立つならば、 \(y\) は \(V_i\) の既約成分の一般点である（Properties of Spaces, Lemma 0BAQ）。 \(f_i^{-1}(U_{i + 1})\) は \(V_i\) の準コンパクト開集合で \(y\) を含まないので、 \(W \subset V_i\) という \(y\) の開近傍で \(f_i^{-1}(V_i)\) と交わらないものが存在する（Properties, Lemma

0AAW、またはより簡単に Algebra, Lemma 00EV を参照）。すると \(f_i|_W : W \to X\) はその像への同型であり、従って \(x = f_i(y)\) は \(|X|\) の一般点である。逆に (3) が成り立つと仮定する。 \(f_i\) は \(\overline{\{y\}}\) を既約成分 \(\overline{\{x\}}\)、すなわち \(|U_i|\) のものの上へ写す。 \(|f_i|\) は \(\overline{\{x\}}\) 上で全単射なので、 \(\overline{\{y\}}\) は \(U_i\) の既約成分である。従って \(x\) は余次元 \(0\) の点である。

補題の最後の主張は Properties of Spaces, Proposition 06NH である。

次の補題は、分離的な局所 Noether 代数空間が余次元 \(1\) において、すなわち余次元 \(2\) を除いてスキームであることを述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。\(x \in |X|\) とする。 \(X\) が分離的かつ局所 Noether であり、\(X\) の \(x\) における局所環の次元が \(\leq 1\) ならば（Properties of Spaces, Definition 04NA）、\(X\) の開部分空間で \(x\) を含み、スキームとなるものが存在する。

証明

（有限亜群に関する内容を避ける別の方法については、下の注意を参照せよ。） \(X\) を \(x\) の準コンパクト近傍で置き換えられるので、\(X\) は準コンパクト、分離的、かつ Noether であると仮定してよい。

スキーム \(U\) と有限全射 \(U \to X\) が存在する。Limits of Spaces, Proposition 09YC を参照せよ。 \(R = U \times_X U\) とおく。このとき \(j : R \to U \times_S U\) は同値関係であり、亜群スキーム \((U, R, s, t, c)\) を得る。これは \(S\) 上であり、\(s, t\) は有限で、 \(U\) は Noether かつ分離的である。点の集合 \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset U\) を、\(x\) に写るもの全体とする。このとき Decent Spaces, Lemma 0ABW により \(\dim(\mathcal{O}_{U, u_i}) \leq 1\) である。

More on Groupoids, Lemma 0ABI により、\(R\)-不変なアフィン開集合 \(W \subset U\) で、軌道 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) を含むものが存在する。 \(U \to X\) は有限全射なので、連続写像 \(|U| \to |X|\) は閉全射である。従って Topology, Lemma 0AAU により商写像である。ゆえに \(f(W)\) は開であり、開部分空間 \(X' \subset X\) で \(f : W \to X'\) が有限全射となるものが存在する。

Cohomology of Spaces, Lemma 07VP により \(X'\) はアフィンスキームであり、証明が終わる。

注意

Lemma 0ADD の証明の概略を与える。この証明は More on Groupoids, Lemma 0ABI を用いない。

ステップ 1。\(X\) は被約 Noether 分離代数空間であると仮定してよい（例えば Cohomology of Spaces, Lemma 07VP または Limits of Spaces, Lemma 07VU による）。また、有限全射 \(Y \to X\) で、\(Y\) が Noether スキームとなるものを選べる（Limits of Spaces, Proposition 09YC による）。

ステップ 2。\(X\) を \(x\) の開近傍で置き換えると、双有理有限射 \(X' \to X\) と閉部分スキーム \(Y' \subset X' \times_X Y\) で、\(Y' \to X'\) が有限局所自由全射となるものが存在する。実際、\(X\) は被約なので、稠密開部分空間 \(U \subset X\) で \(Y\) がその上で平坦となるものが存在する（Morphisms of Spaces, Proposition 06QS）。このとき \(U\)-許容爆発 \(b : \tilde X \to X\) を、狭義変換 \(\tilde Y\)（\(Y\) のもの）が \(\tilde X\) 上で平坦となるように選べる。More on Morphisms of Spaces, Lemma 087E を参照せよ。（爆発に関する結果を避けたければ、代わりに Hilbert スキームを用いることもできる。）次に \(X' \subset \tilde X\) を \(b^{-1}(U)\) のスキーム論的閉包とし、 \(Y' = X' \times_{\tilde X} \tilde Y\) とおく。\(x\) は余次元 \(1\) の点なので、 \(X' \to X\) は \(x\) の近傍上で有限である（Lemma 0AD2）。

ステップ 3。\(X\) を \(x\) のさらに小さい近傍へ縮小すると、\(X'\) はスキームとなる。これは \(Y'\) がスキームで、\(Y' \to X'\) が有限局所自由であり、さらに余次元 \(1\) の点の任意の有限集合（\(Y'\) のもの）がアフィン開集合に含まれるからである。 Properties of Spaces, Proposition

07S6 および Varieties, Proposition 09NN を用いよ。

ステップ 4。アフィン開集合 \(W' \subset X'\) で、\(x\) 上にあるすべての点を含み、 \(X\) の開部分空間の逆像となるものが存在する。これを証明するため、 \(Z \subset X\) を \(X' \to X\) が同型でない点の集合の閉包とする。 \(x \in Z\) と仮定してよい。そうでなければすでに証明は終わっている。このとき \(x\) は \(Z\) の既約成分の一般点であり、\(X\) を縮小することにより \(Z\) はアフィンスキームであると仮定してよい（Lemma 0ADC）。すると逆像 \(Z' \subset X'\) もアフィンスキームである。点 \(x_1, \ldots, x_n \in Z'\) を、\(x\) に写るもの全体とする。アフィン開集合 \(W'\) を \(X'\) の中に見つけられ、その \(Z'\) との交わりは \(Z\) の主開集合で \(x\) を含むものの逆像となる。実際、まず Varieties, Proposition 09NN により、アフィン開集合 \(W' \subset X'\) を選び、\(x_1, \ldots, x_n\) を含むものとする。次に主開集合 \(D(f) \subset Z\) で \(x\) を含むものを、その逆像 \(D(f|_{Z'})\) が \(W' \cap Z'\) に含まれるように選ぶ。さらに \(f' \in \Gamma(W', \mathcal{O}_{W'})\) を選び、その制限を \(f|_{Z'}\) とし、 \(W'\) を \(D(f') \subset W'\) で置き換える。\(X' \to X\) は \(Z' \to Z\) の外で同型なので、この \(W'\) の選び方により、その像 \(W \subset X\)（\(W'\) の像）は開で、その逆像 \(W'\) は \(X'\) にある。

ステップ 5。このとき \(W' \to W\) は有限全射であり、Cohomology of Spaces, Lemma 07VP により \(W\) はスキームである。これで証明が完了する。

スキーム的軌跡と体の拡大

体 \(k\) 上の表現可能でない代数空間が、\(k\) の拡大への基底変換後に表現可能（すなわちスキーム）となることがある。Spaces, Example 03FN を参照せよ。本節ではこの問題を扱う。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。純非分離体拡大 \(k'/k\) で \(X_{k'}\) がスキームとなるものが存在するならば、\(X\) はスキームである。

証明

射 \(X_{k'} \to X\) は整、全射、かつ普遍的単射である。したがって本補題は Limits of Spaces, Lemma 07VV から従う。

補題

\(k\) を体、\(\overline{k}\) をその代数閉包とする。\(X\) を \(k\) 上の準分離代数空間とする。

体拡大 \(K/k\) で \(X_K\) がスキームとなるものが存在するならば、 \(X_{\overline{k}}\) はスキームである。

\(X\) が準コンパクトであり、体拡大 \(K/k\) で \(X_K\) がスキームとなるものが存在するならば、\(X_{k'}\) は、\(k'\) を \(k\) のある有限分離拡大として選ぶことによりスキームとなる。

証明

任意の代数空間はその準コンパクト開部分空間の合併なので、補題の第 1 の主張は第 2 の主張から従う（詳細の一部は省略する）。そこで \(X\) は準コンパクトであり、拡大 \(K/k\) が与えられ、その基底変換 \(X_K\) が表現可能であると仮定する。 \(K = \bigcup A\) を有限生成 \(k\)-部分代数 \(A\) の余極限として書く。 Limits of Spaces, Lemma 07SR により、 \(X_A\) はある \(A\) に対してスキームである。極大イデアル \(\mathfrak m \subset A\) を選ぶ。Hilbert の零点定理（Algebra, Theorem 00FV）により、剰余体 \(k' = A/\mathfrak m\) は \(k\) の有限拡大である。したがって \(X_{k'}\) はスキームである。\(k' \supset k\) が分離的でなければ、 Fields, Lemma 030K で得られる中間拡大を \(k'/k''/k\) とする。\(k'/k''\) は純非分離なので、Lemma 0B83 により代数空間 \(X_{k''}\) はスキームである。\(k''|k\) は分離的なので証明は完了する。

補題

\(k'/k\) を Galois 群 \(G\) をもつ有限 Galois 拡大とする。 \(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。このとき \(G\) は代数空間 \(X_{k'}\) に自由に作用し、Properties of Spaces, Lemma 071S の意味で \(X = X_{k'}/G\) である。

証明

省略する。ヒント：まず \(\Spec(k) = \Spec(k')/G\) を示し、次に商をとる操作と基底変換との両立性を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とし、\(G\) を \(X\) に自由に作用する有限群とする。Properties of Spaces, Lemma 071S に従い \(Y = X/G\) とおく。 \(y \in |Y|\) に対し、次は同値である。

\(y\) は \(Y\) のスキーム的軌跡に属する。

アフィン開部分集合 \(U \subset X\) で、\(y\) の逆像を含むものが存在する。

証明

Properties of Spaces, Lemma 071S における \(Y = X/G\) の構成から、射 \(X \to Y\) は全射かつ étale である。もちろん \(X \times_Y X = X \times G\) であるから、射 \(X \to Y\) は実際には有限 étale である。またこれは全射である。したがって本補題は Decent Spaces, Lemma 0BA1 から従う。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の準分離代数空間とする。純超越体拡大 \(K/k\) で \(X_K\) がスキームとなるものが存在するならば、\(X\) はスキームである。

証明

任意の代数空間はその準コンパクト開部分空間の合併なので、\(X\) は準コンパクトであると仮定してよい（詳細の一部は省略する）。拡大 \(K/k\) に関する仮定は、\(K\) が \(k\) 上の多項式環（変数は無限個でもよい）の分数体であることを意味することを思い出そう（Fields, Definition 030E）。したがって \(K = \bigcup A\) は部分代数の合併であり、その各々は \(k\) 上の有限変数多項式代数の局所化である。 Limits of Spaces, Lemma 07SR により、 \(X_A\) がスキームとなるような \(A\) を選べる。次に \[A = k[x_1, \ldots, x_n][1/f]\] と書く。ここで \(f \in k[x_1, \ldots, x_n]\) は非零である。

\(k\) が無限体なら、次のように証明を終えられる： \(a_1, \ldots, a_n \in k\) を \(f(a_1, \ldots, a_n) \not = 0\) となるように選ぶ。このとき \((a_1, \ldots, a_n)\) は \(k\)-代数写像 \(A \to k\) を定め、これは \(x_i\) を \(a_i\) に、\(1/f\) を \(1/f(a_1, \ldots, a_n)\) に写す。したがって基底変換 \(X_A \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong X\) は、望むとおりスキームである。

この段落では \(k\) が有限体の場合に証明を終える。この場合、 \(X = \lim X_i\) と書く。ここで \(X_i\) は \(k\) 上有限表示であり、遷移射はアフィンである（Limits of Spaces, Lemma 09NS）。 Limits of Spaces, Lemma 07SR を用いると、 \(X_{i, A}\) はある \(i\) に対してスキームである。よって \(X \to \Spec(k)\) は有限表示であると仮定してよい。 \(x \in |X|\) を閉点とする。\(x\) は閉埋め込み \(\Spec(\kappa) \to X\) によって表せる（Decent Spaces, Lemma 0AHB）。すると \(\Spec(\kappa) \to \Spec(k)\) は有限型であるから、\(\kappa\) は \(k\) の有限拡大である（Hilbert の零点定理による。Algebra, Theorem 00FV を参照；詳細の一部は省略する）。 \([\kappa : k] = d\) とする。整数 \(n \gg 0\) を \(d\) と互いに素となるように選び、 \(k'/k\) を次数 \(n\) の拡大とする。このとき \(k'/k\) は Galois 拡大であり、 \(G = \text{Aut}(k'/k)\) は位数 \(n\) の巡回群である。\(n\) が十分大きければ、上と同じ理由により \(k\)-代数準同型 \(A \to k'\) が存在する。

すると \(X_{k'}\) はスキームであり、Lemma 0B86 により \(X = X_{k'}/G\) である。一方、\(n\) と \(d\) は互いに素なので、 \[\Spec(\kappa) \times_{X} X_{k'} = \Spec(\kappa) \times_{\Spec(k)} \Spec(k') = \Spec(\kappa \otimes_k k')\] は体のスペクトルである。言い換えれば、\(X_{k'} \to X\) の \(x\) 上のファイバーは一点からなる。したがって Lemma 0B87 により、 \(x\) は望むとおり \(X\) のスキーム的軌跡に属する。

注意

\(k\) を有限体とし、\(K/k\) を幾何学的に既約な体拡大とする。このとき \(K\) は、幾何学的に既約な有限型 \(k\)-代数 \(A\) の極限である。\(A\) が与えられたとき、 Lang と Weil の評価 [LW] により、\(n \gg 0\) ならば \(k\)-代数準同型 \(A \to k'\) が存在し、\(k'/k\) の次数は \(n\) である。

Lemma 0B85 の証明で与えた議論を解析すると、\(X\) が \(k\) 上の準分離代数空間であり \(X_K\) がスキームならば、\(X\) はスキームであることが分かる。この結果が必要になれば、ここで正確に定式化して証明することにする。

補題

\(k\) を体、\(\overline{k}\) をその代数閉包とする。\(X\) を \(k\) 上の代数空間とし、次を仮定する。

\(X\) は decent であり、\(k\) 上局所有限型である。

\(X_{\overline{k}}\) はスキームである。

\(\overline{k}\)-有理点からなる \(X_{\overline{k}}\) の任意の有限集合は、あるアフィン開部分集合に含まれる。

このとき \(X\) はスキームである。

証明

\(K/k\) が拡大ならば、基底変換 \(X_K\) は decent であり（Decent Spaces, Lemma 0ABT）、また \(K\) 上局所有限型である（Morphisms of Spaces, Lemma 03XH）。 Lemma 0B83 により、 \(X\) が \(k\) の完全化への基底変換後にスキームとなることを示せば十分である。したがって \(k\) は完全体であると仮定してよい（この段階は厳密には不要だが、残りの議論を考えやすくする）。\(X\) を準コンパクト開部分空間で被覆することにより、 \(X\) が準コンパクトの場合を証明すれば十分である（細部を一つ省略する）。この場合 \(|X|\) は sober な位相空間である（Decent Spaces, Proposition 03K6）。したがって \(|X|\) のすべての閉点が \(X\) のスキーム的軌跡に含まれることを示せば十分である（Properties of Spaces, Lemma 03JH および Topology, Lemma 005E を用いよ）。

\(x \in |X|\) を閉点とする。Decent Spaces, Lemma 0AHB により、閉埋め込み \(\Spec(l) \to X\) で \(x\) を表すものを見つけられる。このとき \(\Spec(l) \to \Spec(k)\) は有限型であり（Morphisms of Spaces, Lemma 03XG）、Hilbert の零点定理（Algebra, Theorem 00FV）により \(l\) は \(k\) の有限拡大である。\(k\) は完全体なので、これは分離拡大である。したがってスキーム \[\Spec(l) \times_X X_{\overline{k}} = \Spec(l) \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \Spec(l \otimes_k \overline{k})\] は有限個の \(\overline{k}\)-有理点の非交和である。仮定 (3) により、これらの点を含むアフィン開部分集合 \(W \subset X_{\overline{k}}\) が存在する。

Lemma 0B84 により、\(X_{k'}\) はある有限拡大 \(k'/k\) に対してスキームである。\(k'\) を拡大することにより、アフィン開部分集合 \(U' \subset X_{k'}\) が存在し、その \(\overline{k}\) への基底変換が \(W\) となると仮定してよい（\(X_{\overline{k}}\) はスキーム \(X_{k''}\) の極限であり、ここで \(k' \subset k'' \subset \overline{k}\) は有限拡大であること、および Limits, Lemmas 01Z4 and 01Z6 を用いる）。 \(k'/k\) は Galois 拡大であると仮定してよい（正規閉包をとる。Fields, Lemma 09DT を参照し、\(k\) が完全体であることを用いる）。

\(G = \text{Gal}(k'/k)\) とおく。構成により、\(G\)-不変閉部分スキーム \(\Spec(l) \times_X X_{k'}\) は \(U'\) に含まれる。したがって Lemmas 0B86 および 0B87 により、\(x\) はスキーム的軌跡に属する。

次の二つの補題は別の場所に置くべきである。次の補題を Decent Spaces, Lemma 0ACA と比較されたい。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。次は同値である。

\(X\) は \(k\) 上局所準有限である。

\(X\) は \(k\) 上局所有限型であり、次元 \(0\) である。

\(X\) はスキームであり、\(k\) 上局所準有限である。

\(X\) はスキームであり、\(k\) 上局所有限型で、次元 \(0\) である。

\(X\) は Artin 局所 \(k\)-代数 \(A\) のスペクトルの非交和であり、それらは \(k\) 上で \(\dim_k(A) < \infty\) を満たす。

証明

体上で考えているので、\(X/k\) の相対次元は \(X\) の次元と同じである。

したがって Morphisms of Spaces, Lemma 04NV により、(1) と (2) は同値である。ゆえに Lemma 06LZ（および自明な含意）から、 (1) – (4) は同値である。最後に Varieties, Lemma 06LH により、(1) – (4) は (5) と同値である。

補題

\(k\) を体とする。\(f : X \to Y\) を \(k\) 上の代数空間の単射とする。 \(Y\) が \(k\) 上局所準有限ならば、\(X\) も同様である。

証明

\(Y\) は \(k\) 上局所準有限であると仮定する。Lemma 06S0 により、 \(Y = \coprod \Spec(A_i)\) であり、各 \(A_i\) は \(k\) 上有限な Artin 局所環である。 Decent Spaces, Lemma 06RZ により、\(X\) はスキームである。\(X_i = f^{-1}(\Spec(A_i))\) を考える。 \(X_i\) の点は一つまたは零個である。\(X_i\) の点が零個なら証明すべきことはない。 \(X_i\) の点が一つならば、\(X_i = \Spec(B_i)\) である。ここで \(B_i\) は零次元局所環であり、\(A_i \to B_i\) は環のエピ射である。特に \(A_i/\mathfrak m_{A_i} = B_i/\mathfrak m_{A_i}B_i\) であり、 \(A_i \to B_i\) は中山の補題、Algebra, Lemma 00DV により全射である（\(\mathfrak m_{A_i}\) は冪零イデアルである！）。したがって \(B_i\) は有限局所 \(k\)-代数であり、 Lemma 06S0 により \(X \to \Spec(k)\) は局所準有限である。

幾何学的被約代数空間

\(X\) が体上の被約代数空間であっても、基礎体を拡大すると \(X\) が非被約となることがある。幾何学的被約代数空間ではこの現象は起こらない。

定義

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。

\(x \in |X|\) を点とする。\(X\) が \(x\) で幾何学的被約であるとは、\(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) が \(k\) 上幾何学的被約であることをいう。

\(X\) が \(k\) 上幾何学的被約であるとは、\(X\) が \(X\) のすべての点で幾何学的被約であることをいう。

\(X\) が \(x\) で幾何学的被約ならば、\(X\) の \(x\) における局所環は被約である（Properties of Spaces, Lemma 0E01）。同様に、\(X\) が \(k\) 上幾何学的被約ならば、\(X\) は被約である（Properties of Spaces, Lemma 0BGS）。特に次の補題は、この定義が体上のスキームに対する対応する性質と矛盾しないことを示す。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。\(x \in |X|\) とする。次は同値である。

\(X\) は \(x\) で幾何学的被約である。

ある étale 近傍 \((U, u) \to (X, x)\) で、\(U\) がスキームであり、 \(U\) が \(u\) で幾何学的被約となるものが存在する。

任意の étale 近傍 \((U, u) \to (X, x)\) で \(U\) がスキームであるものに対し、 \(U\) は \(u\) で幾何学的被約である。

証明

局所環 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{U, u}\) の厳密 Hensel 化であることを思い出そう。Properties of Spaces, Lemma 04KF を参照せよ。 Varieties, Lemma 035W により、 \(U\) が \(u\) で幾何学的被約であることは、\(\mathcal{O}_{U, u}\) が \(k\) 上幾何学的被約であることと同値である。したがって次を示す必要がある： \(A\) が局所 \(k\)-代数ならば、\(A\) が \(k\) 上幾何学的被約であることと \(A^{sh}\) が \(k\) 上幾何学的被約であることは同値である。これを幾何学的被約代数の定義（Algebra, Definition 030S）を用いて確認する。\(K/k\) を体拡大とする。\(A \to A^{sh}\) は忠実平坦なので（More on Algebra, Lemma 07QM）、 \(A \otimes_k K \to A^{sh} \otimes_k K\) は忠実平坦である（Algebra, Lemma 00HI）。したがって \(A^{sh} \otimes_k K\) が被約ならば、 Algebra, Lemma 033F により \(A \otimes_k K\) も被約である。逆に、\(A^{sh}\) は étale \(A\)-代数の余極限であることを思い出そう。Algebra, Lemma

04GP を参照せよ。したがって \(A^{sh} \otimes_k K\) は étale \(A \otimes_k K\)-代数のフィルター余極限である。 Algebra, Lemma 033B により結論を得る。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。次は同値である。

\(X\) は幾何学的被約である。

ある全射 étale 射 \(U \to X\) で、\(U\) がスキームかつ \(U\) が幾何学的被約となるものが存在する。

任意の étale 射 \(U \to X\) で、\(U\) がスキームとなるものに対し、 \(U\) は幾何学的被約である。

証明

定義と Lemma 0DMR から直ちに従う。

この概念は標数零では興味をもたない。

補題

\(X\) を完全体 \(k\) 上の代数空間とする（たとえば \(k\) の標数が零である場合）。

\(x \in |X|\) に対し、\(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) が被約ならば、 \(X\) は \(x\) で幾何学的被約である。

\(X\) が被約ならば、\(X\) は \(k\) 上幾何学的被約である。

証明

第 1 の主張は Algebra, Lemma 030U と完全体の定義（Algebra, Definition 030Y）から従う。第 2 の主張は第 1 の主張から従う。

補題

\(k\) を標数 \(p > 0\) の体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。次は同値である。

\(X\) は \(k\) 上幾何学的被約である。

\(X_{k'}\) は任意の体拡大 \(k'/k\) に対して被約である。

\(X_{k'}\) は任意の有限純非分離体拡大 \(k'/k\) に対して被約である。

\(X_{k^{1/p}}\) は被約である。

\(X_{k^{perf}}\) は被約である。

\(X_{\bar k}\) は被約である。

証明

全射 étale 射 \(U \to X\) で \(U\) がスキームとなるものを選ぶ。 Lemma 0DMS を介して、本補題は \(U\) の \(k\) 上の対応する結果から従う。Varieties, Lemma 035X を参照せよ。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。\(k'/k\) を体拡大とする。 \(x \in |X|\) を点とし、\(x' \in |X_{k'}|\) を \(x\) の上にある点とする。次は同値である。

\(X\) は \(x\) で幾何学的被約である。

\(X_{k'}\) は \(x'\) で幾何学的被約である。

特に、\(X\) が \(k\) 上幾何学的被約であることと、\(X_{k'}\) が \(k'\) 上幾何学的被約であることは同値である。

証明

étale 射 \(U \to X\) で \(U\) がスキームとなるものを選び、さらに点 \(u \in U\) で \(x \in |X|\) に写るものを選ぶ。Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、点 \(u' \in U_{k'} = U \times_X X_{k'}\) で \(u\) と \(x'\) の両方へ写るものを選べる。Lemma 0DMR により、本補題は \(U, u, u'\) に対する補題、すなわち Varieties, Lemma 0384 から従う。

補題

\(k\) を体とする。\(f : X \to Y\) を \(k\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) を点とし、その像を \(y \in |Y|\) とする。

\(f\) が \(x\) で étale ならば、 \(X\) が \(x\) で幾何学的被約 \(\Leftrightarrow\) \(Y\) が \(y\) で幾何学的被約である。

\(f\) が全射 étale ならば、 \(X\) が幾何学的被約 \(\Leftrightarrow\) \(Y\) が幾何学的被約である。

証明

(1) は明らかである。実際、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) である。ただし \(f\) は \(x\) で étale である。(2) は (1) から直ちに従う。

幾何学的連結代数空間

\(X\) が体上の連結代数空間であっても、基礎体を拡大すると \(X\) が非連結となることがある。幾何学的連結代数空間ではこの現象は起こらない。

定義

\(X\) を体 \(k\) 上の代数空間とする。\(X\) が \(k\) 上 幾何学的連結であるとは、基底変換 \(X_{k'}\) が、 \(k'\) を \(k\) の任意の体拡大として連結であることをいう。

規約により連結位相空間は空でない。したがって当然、幾何学的連結代数空間は空でない。

補題

\(X\) を体 \(k\) 上の代数空間とし、\(k'/k\) を体拡大とする。このとき \(X\) が \(k\) 上幾何学的連結であることと、\(X_{k'}\) が \(k'\) 上幾何学的連結であることは同値である。

証明

\(X\) が \(k\) 上幾何学的連結ならば、\(X_{k'}\) が \(k'\) 上幾何学的連結であることは明らかである。逆を示すため、任意の体拡大 \(k''/k\) に対し、共通拡大体 \(k'''/k\) が \(k'/k\) と \(k''/k\) に対して存在する。Fields, Lemma 0H7K を参照せよ。射 \(X_{k'''} \to X_{k''}\) は全射なので（体のスペクトル間の全射の基底変換である）、 \(X_{k'''}\) の連結性から \(X_{k''}\) の連結性が従う。したがって \(X_{k'}\) が \(k'\) 上幾何学的連結ならば、\(X\) は \(k\) 上幾何学的連結である。

補題

\(k\) を体とし、\(X\), \(Y\) を \(k\) 上の代数空間とする。 \(X\) は \(k\) 上幾何学的連結であると仮定する。このとき射影 \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] は連結成分の間の全単射を誘導する。

証明

\(y \in |Y|\) は射 \(\Spec(K) \to Y\) で表され、\(K\) は体であるとする。 Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、 \(|X \times_k Y| \to |Y|\) の \(y\) 上のファイバーは \(|X_K| \to |X \times_k Y|\) の像である。したがって、\(X\) が幾何学的連結であるという仮定により、これらのファイバーは連結である。Morphisms of Spaces, Lemma 06DN により、写像 \(|p|\) は開である。よって Topology, Lemma 0378 を適用して結論を得る。

補題

\(k'/k\) を体拡大とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。\(k\) は分離代数閉であると仮定する。このとき射 \(X_{k'} \to X\) は連結成分の全単射を誘導する。特に、\(X\) が \(k\) 上幾何学的連結であることと \(X\) が連結であることは同値である。

証明

\(k\) は分離代数閉なので、\(k'\) は \(k\) 上幾何学的連結である。Algebra, Lemma 037U を参照せよ。したがって Varieties, Lemma 0386 により \(Z = \Spec(k')\) は \(k\) 上幾何学的連結である。 \(X_{k'} = Z \times_k X\) なので、結論は Lemma 0A11 の特別な場合である。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。\(\overline{k}\) を \(k\) の分離代数閉包とする。このとき \(X\) が幾何学的連結であることと、基底変換 \(X_{\overline{k}}\) が連結であることは同値である。

証明

\(X_{\overline{k}}\) が連結であると仮定する。\(k'/k\) を体拡大とする。体拡大 \(\overline{k}'/\overline{k}\) で、\(k'\) が \(\overline{k}'\) に \(k\) の拡大として埋め込まれるものが存在する。Lemma 0A12 により \(X_{\overline{k}'}\) は連結である。\(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\) は全射なので、 \(X_{k'}\) は望むとおり連結である。

\(k\) を体とし、\(\overline{k}/k\) を（無限でもよい）Galois 拡大とする。たとえば \(\overline{k}\) は \(k\) の分離代数閉包でもよい。任意の \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\) に対し、対応する自己同型 \(\Spec(\sigma) : \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\) が得られる。ここで \(\Spec(\sigma) \circ \Spec(\tau) = \Spec(\tau \circ \sigma)\) であることに注意せよ。したがって作用 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\] が得られる。これは反対群のスキーム \(\Spec(\overline{k})\) 上の作用である。 \(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。定義により \(X_{\overline{k}} = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} X\) なので、上の作用は標準的な作用 [0A14]\[\begin{equation} \text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times X_{\overline{k}} \longrightarrow X_{\overline{k}}. \end{equation}\] を誘導する。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。\(\overline{k}\) を \(k\) の（無限でもよい）Galois 拡大とする。\(V \subset X_{\overline{k}}\) を準コンパクト開部分空間とする。このとき、

有限中間拡大 \(\overline{k}/k'/k\) と準コンパクト開部分空間 \(V' \subset X_{k'}\) で \(V = (V')_{\overline{k}}\) となるものが存在する。

開部分群 \(H \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\) で、 \(\sigma(V) = V\) がすべての \(\sigma \in H\) に対して成立するものが存在する。

証明

スキーム \(U\) と全射 étale 射 \(U \to X\) を選ぶ。準コンパクト開部分空間 \(W \subset U_{\overline{k}}\) で、その \(X_{\overline{k}}\) における像が \(V\) となるものを選ぶ。これは \(|U_{\overline{k}}| \to |X_{\overline{k}}|\) が連続であり、\(|U_{\overline{k}}|\) が準コンパクト開集合からなる基底をもつので可能である。 \(W \subset U_{\overline{k}}\) に Varieties, Lemma 04KU を適用して補題を得る。

補題

\(k\) を体とし、\(\overline{k}/k\) を（無限でもよい）Galois 拡大とする。 \(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。 \(\overline{T} \subset |X_{\overline{k}}|\) が次の性質をもつとする。

\(\overline{T}\) は \(|X_{\overline{k}}|\) の閉部分集合である。

すべての \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\) に対し、 \(\sigma(\overline{T}) = \overline{T}\) である。

このとき閉部分集合 \(T \subset |X|\) で、その \(|X_{k'}|\) における逆像が \(\overline{T}\) となるものが存在する。

証明

\(T \subset |X|\) を \(\overline{T}\) の像とする。 \(|X_{\overline{k}}| \to |X|\) は全射なので、主張は \(T\) が閉であり、その逆像が \(\overline{T}\) であることを意味する。スキーム \(U\) と全射 étale 射 \(U \to X\) を選ぶ。スキームの場合（Varieties, Lemma 038B を参照）により、閉部分集合 \(T' \subset |U|\) で、その \(|U_{\overline{k}}|\) における逆像が \(\overline{T}\) の逆像となるものが存在する。 \(|U_{\overline{k}}| \to |X_{\overline{k}}|\) は全射なので、\(T'\) は \(T\) の逆像であり、その写像は \(|U| \to |X|\) である。\(|X|\) の位相の構成により、これは \(T\) が閉であることを意味する。同じ方法で \(\overline{T}\) が \(T\) の逆像であることが分かる。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の代数空間とする。次は同値である。

\(X\) は幾何学的連結である。

任意の有限分離体拡大 \(k'/k\) に対し、代数空間 \(X_{k'}\) は連結である。

証明

この証明は Varieties, Lemma 0389 の証明と同じである。ただし、Varieties, Lemma 0387 を Lemma 0A13 に置き換え、 Varieties, Lemma 04KU を Lemma 0A15 に置き換え、さらに Varieties, Lemma 038B を Lemma 0A16 に置き換える。読者には、こちらではなくそちらの証明を読むことを強く勧める。

定義から直ちに (1) は (2) を含意する。\(X\) が幾何学的連結でないと仮定する。 \(k \subset \overline{k}\) を \(k\) の分離代数閉包とする。Lemma 0A13 により \(X_{\overline{k}}\) は非連結である。そこで \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\) と書く。ここで \(\overline{U}\) と \(\overline{V}\) は \(X_{\overline{k}}\) の空でない、開かつ閉な代数部分空間である。

\(W \subset X\) を任意の準コンパクト開部分空間とする。このとき \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) と \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) は \(W_{\overline{k}}\) の開かつ閉な部分空間である。特に \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) と \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) は準コンパクトであり、Lemma 0A15 により、 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) と \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) はともに有限中間拡大上で定義され、 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) のある開部分群の下で不変である。以下ではこれを改めて断ることなく用いる。

準コンパクト開部分空間 \(W_0 \subset X\) を、 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\) と \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V}\) の両方が空でないように選ぶ。有限中間拡大 \(\overline{k}/k'/k\) と、開かつ閉な部分集合への分解 \(W_{0, k'} = U_0' \amalg V_0'\) を、次を満たすように選ぶ： \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U} = (U'_0)_{\overline{k}}\) および \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V} = (V'_0)_{\overline{k}}\)。 \(H = \text{Gal}(\overline{k}/k') \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\) とおく。特に \(\sigma(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}) = W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\) であり、\(\overline{V}\) についても同様である。

上のように \(W_0\), \(k'\) を選んだ後、任意の準コンパクト開部分空間 \(W \subset X\) に対し \[U_W = \bigcap\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}), \quad V_W = \bigcup\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}).\] とおく。さて、\(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) と \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) は \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) のある開部分群によって固定されるので、上の合併と共通部分は有限である。したがって \(U_W\) と \(V_W\) はともに開かつ閉な部分空間である。また構成により \(W_{\bar k} = U_W \amalg V_W\) である。

\(W \subset W' \subset X\) が準コンパクト開部分空間ならば \(W_{\overline{k}} \cap U_{W'} = U_W\) および \(W_{\overline{k}} \cap V_{W'} = V_W\) であると主張する。検証は省略する。したがって \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) および \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\) と定めると、 \(X_{\overline{k}} = U \amalg V\) は開かつ閉な部分集合の非交和として得られる。

\(V\) は（局所的に）合併をとって構成されているので、空でないことは明らかである。一方、\(U\) は構成により \(W_0 \cap \overline{U}\) を含むので空でない。

最後に、\(U, V \subset X_{\bar k}\) は構成により閉かつ \(H\)-不変である。したがって Lemma 0A16 により \(U = (U')_{\bar k}\) および \(V = (V')_{\bar k}\) である。ここで \(U', V' \subset X_{k'}\) はある閉部分集合である。明らかに \(X_{k'} = U' \amalg V'\) であり、\(X_{k'}\) は望むとおり非連結である。

幾何学的既約代数空間

Spaces, Example 02Z8 は、完全な一般性の下で既約代数空間を考えない方がよいことを示している ¹。 decent な（たとえば準分離な）代数空間では、この種の破綻は起こらない。そこで以下の定義は、代数空間が decent であるという仮定の下でのみ行う。

定義

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上の decent な代数空間とする。 \(X\) が幾何学的既約であるとは、位相空間 \(|X_{k'}|\) が任意の体拡大 \(k'\)（\(k\) の拡大）に対して既約であることをいう ²。

\(X_{k'}\) は decent な代数空間であることに注意せよ（Decent Spaces, Lemma 0ABT）。したがって位相空間 \(|X_{k'}|\) は sober である。 Decent Spaces, Proposition 03K6。

幾何学的整代数空間

整代数空間は定義により decent であることを思い出そう。Section 0AD3 を参照せよ。

定義

\(X\) を体 \(k\) 上の代数空間とする。\(X\) が \(k\) 上幾何学的整であるとは、代数空間 \(X_{k'}\) がすべての体拡大 \(k'\)（\(k\) の拡大）に対して整であることをいう（Definition 0AD4）。

特に \(X\) は decent な代数空間である。これは幾何学的被約性および幾何学的既約性と次のように関係する。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の decent な代数空間とする。 \(X\) が \(k\) 上幾何学的整であることと、\(X\) が \(k\) 上幾何学的被約かつ幾何学的既約であることは同値である。

証明

これは定義から直ちに従う。実際、decency の下では、ここでの整性の概念は被約かつ既約であることと同値である。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。

\(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) は有限次元 \(k\)-代数である。

\(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i\) は Artin 局所 \(k\)-代数の積であり、 \(|X|\) の各連結成分に一つの因子が対応する。

\(X\) が被約ならば、\(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} k_i\) は体の積であり、各体は \(k\) の有限拡大である。

\(X\) が幾何学的被約ならば、\(k_i\) は \(k\) 上有限分離的である。

\(X\) が幾何学的連結ならば、\(A\) は \(k\) 上幾何学的既約である。

\(X\) が幾何学的既約ならば、\(A\) は \(k\) 上幾何学的既約である。

\(X\) が幾何学的被約かつ連結ならば、\(A = k\) である。

\(X\) が幾何学的整ならば、\(A = k\) である。

証明

Cohomology of Spaces, Lemma 08AS により、 \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) は有限次元 \(k\)-代数である。これは (1) を証明する。

Algebra, Lemma 00J6 および Algebra, Proposition 00KJ により、 \(A\) は局所環の積である。\(X = Y \amalg Z\) で \(Y\) と \(Z\) が \(X\) の開部分空間ならば、冪等元 \(e \in A\) を得る。これは \(\mathcal{O}_X\) の、値 \(1\) を \(Y\) 上で、値 \(0\) を \(Z\) 上でとる切断による。逆に \(e \in A\) が冪等元ならば、 \(|X|\) の対応する分解を得る。最後に、\(|X|\) は Noether 位相空間なので（Morphisms of Spaces, Lemma 04ZL および Properties of Spaces, Lemma 04ZF による）、その連結成分は開である。したがって \(|X|\) の連結成分は \(1\)-対-\(1\) に、\(A\) の原始冪等元と対応する。これは (2) を証明する。

\(X\) が被約ならば、\(A\) は被約である（Properties of Spaces, Lemma 0BGS）。したがって局所環 \(A_i = k_i\) は被約であり、それゆえ体である（たとえば Algebra, Lemma 00EU による）。これは (3) を証明する。

\(X\) が幾何学的被約ならば、同じことが \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) について成り立つ（等式については Cohomology of Spaces, Lemma 073K を参照）。

これは \(k_i \otimes_k \overline{k}\) が体の積であることを含意し、したがって \(k_i/k\) は分離的である。たとえば Algebra, Lemmas 030W および 030V による。これは (4) を証明する。

\(X\) が幾何学的連結ならば、 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) は (2) により零次元局所環であるから、そのスペクトルは一点をもち、特に既約である。したがって \(A\) は幾何学的既約である。これは (5) を証明する。もちろん (5) は (6) を含意する。

\(X\) が幾何学的被約かつ連結ならば、\(A = k_1\) は体であり、拡大 \(k_1/k\) は有限分離かつ幾何学的既約である。しかしこのとき \(k_1 \otimes_k \overline{k}\) は \([k_1 : k]\) 個の \(\overline{k}\) の積であるから、 \(k_1 = k\) を得る。これは (7) を証明する。もちろん (7) は (8) を含意する。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有整代数空間とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(H^0(X, \mathcal{L})\) と \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\) がともに非零ならば、 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\) である。

証明

\(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) と \(t \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\) を非零切断とする。\(x \in |X|\) を \(s\) の台にある点とする。アフィン étale 近傍 \((U, u) \to (X, x)\) を \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\) となるように選ぶ。このとき \(s|_U\) は、被約な（\(X\) が被約なので）スキーム \(U\) 上の非零正則函数に対応し、したがって \(U\) のある既約成分の一般点で消えない。

Decent Spaces, Lemma 0ABV により、一般点 \(\eta\)（\(|X|\) のもの）は \(s\) の台にある。\(t\) についても同じである。するともちろん \(st\) は非零でなければならない。実際、\(X\) の \(\eta\) における局所環は体である（前掲の補題により局所環は零次元であり、\(X\) が被約なので局所環は被約であり、 Algebra, Lemma 00EU を用いる）。一方、Lemma 0DMY で \(K = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) は体であることを見た。したがって \(st\) は至るところ非零であり、 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) は同型である。

次元

本節では次元に関する議論を続ける。これまでの内容を列挙すると次のとおりである：

次元は Properties of Spaces, Section 04N3 で定義されている。
局所環の次元は Properties of Spaces, Section 04N7 で定義されている。
Properties of Spaces, Lemmas 04N9 および 0A4H にいくつかの結果がある。
相対次元は Morphisms of Spaces, Section 04NH で定義されている。
ファイバーの次元に関する結果は Morphisms of Spaces, Section 04NP にある。
次元公式の弱い形は Morphisms of Spaces, Section 0BAW にある。
滑らかさと次元に関する結果は Morphisms of Spaces, Lemma 0AFI にある。
decent な空間では次元は \(\dim(|X|)\) である。Decent Spaces, Lemma 0A4J。
準有限写像と次元については Decent Spaces, Lemmas 0ABW および 0ED0。

More on Morphisms of Spaces, Section 0D4L では、有限型射のファイバーにおける次元の跳躍を論じる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を代数空間の整射とする。このとき \(\dim(X) \leq \dim(Y)\) である。\(f\) が全射ならば \(\dim(X) = \dim(Y)\) である。

証明

\(V \to Y\) を全射 étale とし、\(V\) がスキームとなるように選ぶ。このとき \(U = X \times_Y V\) はスキームであり、\(U \to V\) は整である（\(f\) が全射ならば全射でもある）。Properties of Spaces, Lemma 0A4H により \(\dim(X) = \dim(U)\) および \(\dim(Y) = \dim(V)\) である。したがって結論はスキームの場合、すなわち Morphisms, Lemma 0ECG から従う。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。次を仮定する。

\(Y\) は局所 Noether である。

\(X\) と \(Y\) は整代数空間である。

\(f\) は支配的である。

\(f\) は局所有限型である。

\(x \in |X|\) と \(y \in |Y|\) が一般点ならば、 \[\dim(X) \leq \dim(Y) + \text{超越次数 }x/y.\] \(f\) が固有ならば等号が成り立つ。

証明

\(|X|\) と \(|Y|\) は既約 sober 位相空間であることを思い出そう。Definition 0AD4 に続く議論を参照せよ。したがって \(f\) が支配的であるとは、\(|f|\) が \(x\) を \(y\) に写すことを意味する。さらに \(x \in |X|\) は、\(X\) の局所環の次元が \(0\) となる唯一の点である。 Decent Spaces, Lemma 0ABV を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 0BAX により、 \(X\) の任意の点 \(x' \in |X|\) における局所環の次元は、\(Y\) の点 \(y' = f(x')\) における局所環の次元と \(x/y\) の超越次数との和以下である。 \(X\) の次元および \(Y\) の次元は、それぞれ \(x'\) および \(y'\) における局所環の次元の上限なので（Properties of Spaces, Lemma 0BAN）、不等式を得る。

\(f\) は固有であると仮定する。\(V \subset Y\) を空でない準コンパクト開部分空間とする。射 \(f^{-1}(V) \to V\) に対して等式を証明できれば、\(X \to Y\) に対しても等式を得る。したがって \(X\) と \(Y\) は準コンパクトであると仮定してよい。 \(X\) は局所 Noether な decent 代数空間として準分離であることに注意せよ。 Decent Spaces, Lemma 0BB6 を参照せよ。したがって有限全射 \(Y' \to Y\) で \(Y'\) がスキームとなるものを選べる。 Limits of Spaces, Proposition 09YC を参照せよ。 \(Y'\) を適当な閉部分スキームで置き換えれば、\(Y'\) は整であると仮定してよい。たとえば、より一般的な Lemma 0DMN を参照せよ。同じ補題により閉部分空間 \(X' \subset X \times_Y Y'\) を、\(X'\) が整であり、 \(X' \to X\) が有限全射となるように選べる。ここで \(X'\) も局所 Noether である（Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK）。 Limits of Spaces, Proposition 09YC をもう一度用い、有限全射 \(X'' \to X'\) で \(X''\) がスキームとなるものを選ぶ。前と同様に \(X''\) は整であると仮定してよい。図式は \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] である。Lemma 0EDB により \(\dim(X'') = \dim(X)\) および \(\dim(Y') = \dim(Y)\) である。 \(X\) と \(Y\) はそれぞれ \(x\) と \(y\) の、スキームとなる開近傍をもつので、一般点 \(x'' \in X''\) と \(y' \in Y'\) はそれぞれ \(x\) と \(y\) に写る唯一の点であり、剰余体拡大 \(\kappa(x'')/\kappa(x)\) と \(\kappa(y')/\kappa(y)\) は有限であることが直ちに分かる。これは \(x''/y'\) の超越次数が \(x/y\) の超越次数と同じであることを含意する。したがって等式はスキームの場合、すなわち Morphisms, Lemma 02JX から従う。

体上滑らかな空間

本節は Varieties, Section 04QM の類似である。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上滑らかな代数空間とする。このとき \(X\) は正則代数空間である。

証明

スキーム \(U\) と全射 étale 射 \(U \to X\) を選ぶ。射 \(U \to \Spec(k)\) は étale（したがって滑らかな）射と滑らかな射との合成なので滑らかである（Morphisms of Spaces, Lemmas 04XX および 03ZD を参照）。したがって Varieties, Lemma 056S により \(U\) は正則である。Properties of Spaces, Definition 03E6 によれば、これは \(X\) が正則であることを意味する。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(\Spec(k)\) 上滑らかな代数空間とする。 \(x \in |X|\) で射 \(\Spec(k') \to X\) の像となり、\(k' \supset k\) が有限分離であるもの全体は \(|X|\) で稠密である。

証明

スキーム \(U\) と全射 étale 射 \(U \to X\) を選ぶ。射 \(U \to \Spec(k)\) は étale（したがって滑らかな）射と滑らかな射との合成なので滑らかである（Morphisms of Spaces, Lemmas 04XX および 03ZD を参照）。したがって Varieties, Lemma 056U を適用すると、 \(U\) の閉点で、その剰余体が \(k\) 上有限分離的であるものは稠密である。これは \(|X|\) の位相の定義により本補題を含意する。

Euler 標数

本節では、体上固有な代数空間上の連接層の Euler 標数について、いくつかの初等的性質を証明する。

定義

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。この状況で \(\mathcal{F}\) の Euler 標数とは整数

\[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\] をいう。この式が意味をもつことの正当化は下を参照せよ。

定義の状況では、ベクトル空間 \(H^i(X, \mathcal{F})\) のうち非零のものは有限個しかなく（Cohomology of Spaces, Lemma 072C）、その各々は有限次元である（Cohomology of Spaces, Lemma 08AS）。したがって \(\chi(X, \mathcal{F}) \in \mathbf{Z}\) は良定義である。この定義は体 \(k\) に依存し、対 \((X, \mathcal{F})\) だけには依存しないことに注意せよ。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) を \(X\) 上の連接加群の短完全列とする。このとき \[\chi(X, \mathcal{F}_2) = \chi(X, \mathcal{F}_1) + \chi(X, \mathcal{F}_3)\] である。

証明

補題の短完全列に付随するコホモロジー長完全列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}_1) \to H^0(X, \mathcal{F}_2) \to H^0(X, \mathcal{F}_3) \to H^1(X, \mathcal{F}_1) \to \ldots\] を考える。線型代数の階数・退化次数定理により \[0 = \dim H^0(X, \mathcal{F}_1) - \dim H^0(X, \mathcal{F}_2) + \dim H^0(X, \mathcal{F}_3) - \dim H^1(X, \mathcal{F}_1) + \ldots\] である。これは直ちに補題を含意する。

補題

\(k\) を体とし、\(f : Y \to X\) を \(k\) 上固有な代数空間の射とする。 \(\mathcal{G}\) を連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。このとき \[\chi(Y, \mathcal{G}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{G})\] である。

証明

この式は意味をもつ。実際、層 \(R^if_*\mathcal{G}\) は連接であり、非零のものは有限個しかない。Cohomology of Spaces, Lemmas 08AR および 073G を参照せよ。 Cohomology on Sites, Lemma 0732 により、 \[E_2^{p, q} = H^p(X, R^qf_*\mathcal{G})\] をもち \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\) に収束するスペクトル系列がある。 \(X\) 上のコホモロジーの有限性により、非零な \(E_2^{p, q}\) は有限個しかなく、各 \(E_2^{p, q}\) は有限次元ベクトル空間である。同じことが \(E_r^{p, q}\) にも \(r \geq 2\) に対して成り立ち、 \[\sum (-1)^{p + q} \dim_k E_r^{p, q}\] は \(r\) に依存しない。十分大きな \(r\) に対して \(E_r^{p, q} = E_\infty^{p, q}\) であり、収束とは \(H^n(Y, \mathcal{G})\) 上に、その次数付き部分が \(E_\infty^{p, q}\) であり \(p + 1 = n\) を満たすようなフィルトレーションが存在することを意味する（これがスペクトル系列の収束の意味である）ので、結論を得る。

数値的交叉

本節では、固有代数空間上の連接層の Euler 標数を用いて、可逆加群の数値的交叉数を得るための計算を行う。主な道具は次の補題である。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。写像 \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] は \(n_1, \ldots, n_r\) の数値多項式であり、その全次数は \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台の次元以下である。

証明

\(Z \subset X\) を \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とする。このとき \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) であり、ここで連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) が存在する（Cohomology of Spaces, Lemma 07UG）。また \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = \chi(Z, \mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes i^*\mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] である。これは射影公式（Cohomology on Sites, Lemma 0944）と Cohomology of Spaces, Lemma 0D2U による。 \(|Z| = \text{Supp}(\mathcal{F})\) なので、次を示せば十分である： \[P_\mathcal{F}(n_1, \ldots, n_r) : (n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] は \(n_1, \ldots, n_r\) の数値多項式で、全次数が \(\dim(X)\) 以下である。性質 \(\mathcal{P}\) が連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して成り立つとは、上の主張が真であることをいう。

この主張を dévissage により証明する。より正確には、Cohomology of Spaces, Lemma 08AN の条件 (1), (2), (3) が満たされることを確認する。

条件 (1) の確認。短完全列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] をとる。これは \(X\) 上の連接層の列とする。Lemma 0DN2 により \[P_{\mathcal{F}_2}(n_1, \ldots, n_r) = P_{\mathcal{F}_1}(n_1, \ldots, n_r) + P_{\mathcal{F}_3}(n_1, \ldots, n_r)\] である。

したがって層 \(\mathcal{F}_i\) のうち 3 つ中 2 つが性質 \(\mathcal{P}\) をもてば、残りももつことは明らかである。

条件 (2) は \(P_{\mathcal{F}^{\oplus m}}(n_1, \ldots, n_r) = mP_\mathcal{F}(n_1, \ldots, n_r)\) なので従う。

(3) の証明。\(i : Z \to X\) を、\(|Z|\) が既約であるような被約閉部分空間とする。連接加群 \(\mathcal{G}\) を \(X\) 上に見つけなければならない。その台は \(Z\) であり、性質 \(\mathcal{P}\) が \(\mathcal{G}\) に対して成り立つものとする。二つの構成を与える。一つは Chow の補題を用い、もう一つはスキームによる有限被覆を用いる。

スキームによる有限被覆を用いた \(\mathcal{G}\) の存在証明。

\(\pi : Z' \to Z\) を有限全射とし、\(Z'\) がスキームとなるように選ぶ。 Limits of Spaces, Proposition 09YC を参照せよ。 \(\mathcal{G} = i_*\pi_*\mathcal{O}_{Z'} = (i \circ \pi)_*\mathcal{O}_{Z'}\) とおく。 \(Z'\) は \(k\) 上固有であり、\(\mathcal{G}\) の台は \(Y\) であることに注意せよ（詳細は省略する）。

次が成り立つ： \[R(\pi \circ i)_*(\mathcal{O}_{Z'}) = \mathcal{G} \quad\text{and}\quad R(\pi \circ i)_*(\pi^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) ) = \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}\]

第 1 の等式は \(i \circ \pi\) がアフィンであること（Cohomology of Spaces, Lemma 073H）から成り立ち、第 2 の等式は第 1 の等式と射影公式（Cohomology on Sites, Lemma 0944）から従う。Leray （Cohomology on Sites, Lemma 0733）を用いると \[P_\mathcal{G}(n_1, \ldots, n_r) = \chi(Z', \pi^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}))\] を得る。スキームの場合（Varieties, Lemma 0BEM）により、これは \(n_1, \ldots, n_r\) の数値多項式であり、その次数は \(\dim(Z')\) 以下である。 \(\dim(Z') \leq \dim(Z) \leq \dim(X)\) なので結論を得る。第 1 の不等式は Decent Spaces, Lemma 0ED0 から従う。

Chow の補題を用いた \(\mathcal{G}\) の存在証明。

Cohomology of Spaces, Lemma 089J を射 \(Z \to \Spec(k)\) に適用する。すると全射固有射 \(f : Y \to Z\) を得る。これは \(\Spec(k)\) 上であり、\(Y\) は \(\mathbf{P}^m_k\) の閉部分スキームである。ここで \(m\) はある整数である。 \(Y\) を閉部分スキームで置き換えれば、\(Y\) は整であり、 \(f : Y \to Z\) はオルタレーションであると仮定してよい。Lemma 0DMN を参照せよ。 \(\mathcal{O}_Y(n)\) によって \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_k}(n)\) の引き戻しを表す。

\(n > 0\) を、\(R^pf_*\mathcal{O}_Y(n) = 0\) が \(p > 0\) に対して成立するように選ぶ。 Cohomology of Spaces, Lemma 08AQ を参照せよ。 \(\mathcal{G} = i_*f_*\mathcal{O}_Y(n)\) は \(\mathcal{P}\) を満たすと主張する。実際、スキームの場合（Varieties, Lemma 0BEM）により \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(Y, \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}))\] は \(n_1, \ldots, n_r\) の数値多項式で、その全次数は \(\dim(Y)\) 以下である。一方、射影公式（Cohomology on Sites, Lemma 0944）により \[\begin{align*} i_*Rf_*\left( \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\right) & = i_*Rf_*\mathcal{O}_Y(n) \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r} \\ & = \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r} \end{align*}\] である。最後の等式は \(n\) の選び方による。Leray （Cohomology on Sites, Lemma 0733）により \[\chi(Y, \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})) = P_\mathcal{G}(n_1, \ldots, n_r)\] を得る。\(\dim(Y) \leq \dim(Z) \leq \dim(X)\) なので結論を得る。第 1 の不等式は Morphisms of Spaces, Lemma 0BAY と、 \(Y \to Z\) がオルタレーションであるという事実（したがって一般点において誘導される剰余体拡大は有限である）から従う。

次の補題は、最高次係数が大まかには、連接加群の台の一般点における長さのみに依存することを示す。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(d = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) とおく。 \(Z_i \subset X\) を \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の次元 \(d\) の既約成分とする。 \(\overline{x}_i\) を \(Z_i\) の幾何学的一般点とし、 \(m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i})\) とおく。このとき \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] は \(n_1, \ldots, n_r\) の数値多項式であり、全次数は \(< d\) である。

証明

まず少し弱い主張を証明する。すなわち \(\dim(X) = N\) とし、 \(X_i \subset X\) を次元 \(N\) の既約成分とする。 \(\overline{x}_i\) を \(X_i\) の幾何学的一般点とする。étale 局所環 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}\) は次元 \(0\) の Noether 環なので、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し、長さ \[m_i(\mathcal{F}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i})\] は \(\geq 0\) の整数である。次を主張する： \[E(\mathcal{F}) = \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i(\mathcal{F})\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\]

は \(n_1, \ldots, n_r\) の数値多項式であり、全次数は \(< N\) である。これを Cohomology of Spaces, Lemma 08AN を用いて証明する。任意の短完全列 \(0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\) に対して \(E(\mathcal{F}) = E(\mathcal{F}') + E(\mathcal{F}'')\) である。これは Euler 標数の加法性（Lemma 0DN2）と長さの加法性（Algebra, Lemma 00IV）から従う。これは直ちに Cohomology of Spaces, Lemma 08AN の性質 (1), (2) を含意する。最後に \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\) とすれば性質 (3) が成り立つ。ここで \(Z \subset X\) は任意の既約被約閉部分空間である。

実際、\(Z = Z_{i_0}\) がある \(i_0\) に対して成り立つならば \(m_i(\mathcal{G}) = \delta_{i_0i}\) であり、\(E(\mathcal{G}) = 0\) を得る。 \(Z \not = Z_i\) がどの \(i\) に対しても成り立つならば、 \(m_i(\mathcal{G}) = 0\) がすべての \(i\) に対して成り立ち、 \(\dim(Z) < N\) なので、Lemma 0DN4 から結論を得る。

補題に述べた主張の証明。 \(Z \subset X\) を \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とする。このとき \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) であり、ここで連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) が存在する（Cohomology of Spaces, Lemma 07UG）。また \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = \chi(Z, \mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes i^*\mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] である。これは射影公式（Cohomology on Sites, Lemma 0944）と Cohomology of Spaces, Lemma 0D2U による。 \(|Z| = \text{Supp}(\mathcal{F})\) なので、\(Z_i \subset Z\) がすべての \(i\) に対して成り立ち、これらは \(Z\) の次元 \(d\) の既約成分である。 \(\overline{x}_i\) は \(Z\) の幾何点とみなすことができ、そうする。写像 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) は全射 \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i} \to \mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i}\] を定める。この写像を介して加群の同型 \(\mathcal{G}_{\overline{x}_i} = \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\) がある。実際 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) である。これは \[m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i}} (\mathcal{G}_{\overline{x}_i})\] を含意する。したがって補題の式は \[\chi(Z, \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] に等しく、第 1 段落の議論を \(Z\) へ、\(X\) の代わりに適用すれば結論を得る。

定義

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。 \(i : Z \to X\) を次元 \(d\) の閉部分空間とする。 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 交点数 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) を \(n_1 \ldots n_d\) の係数として定義する。ここで用いる数値多項式は \[\chi(X, i_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] である。 \(\mathcal{L}_1 = \ldots = \mathcal{L}_d = \mathcal{L}\) という特別な場合には \((\mathcal{L}^d \cdot Z)\) と書く。

定義中の表示等式は射影公式（Cohomology, Section 01E6）および Cohomology of Schemes, Lemma 089W から従う。

これらの交点数についていくつかの補題を証明する。

補題

Definition 0EDF の状況で、交点数 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) は整数である。

証明

次数 \(e\) の \(n_1, \ldots, n_d\) に関する任意の数値多項式は、 \(\mathbf{Z}\)-線型結合として一意に書ける。用いる函数は \({n_1 \choose k_1}{n_2 \choose k_2} \ldots {n_d \choose k_d}\) であり、 \(k_1 + \ldots + k_d \leq e\) を満たす。これを \(e = d\) として適用せよ。演習として残す。

補題

Definition 0EDF の状況で、交点数 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) は加法的である： \(\mathcal{L}_i = \mathcal{L}_i' \otimes \mathcal{L}_i''\) ならば \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) + (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i'' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\] である。

証明

これは Lemma 0DN4 により函数 \[(n_1, \ldots, n_{i - 1}, n_i', n_i'', n_{i + 1}, \ldots, n_d) \mapsto \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes (\mathcal{L}_i')^{\otimes n_i'} \otimes (\mathcal{L}_i'')^{\otimes n_i''} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] が全次数 \(d\) 以下の数値多項式であり、変数は \(d + 1\) 個だからである。

補題

Definition 0EDF の状況で、 \(Z_i \subset Z\) を次元 \(d\) の既約成分とする。 \(m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i})\) とおく。ここで \(\overline{x}_i\) は \(Z_i\) の幾何学的一般点である。このとき \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \sum m_i(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z_i)\] である。

証明

Lemma 0EDE と定義から直ちに従う。

補題

\(k\) を体とし、\(f : Y \to X\) を \(k\) 上固有な代数空間の射とする。 \(Z \subset Y\) を次元 \(d\) の整閉部分空間とし、 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg(f|_Z : Z \to f(Z)) (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot f(Z))\] である。ここで \(\deg(Z \to f(Z))\) は Definition 0AD6 のとおりであり、値を \(0\) とするのは \(\dim(f(Z)) < d\) の場合である。

証明

主張における \(f(Z) \subset X\) は \(f\) のスキーム論的像であり、閉部分集合 \(f(|Z|) \subset X\) 上の被約誘導代数空間構造でもある。Morphisms of Spaces, Lemma 0830 を参照せよ。

すると \(Z\) と \(f(Z)\) は \(k\) 上の被約固有（したがって decent）代数空間であり、ゆえに整である（Definition 0AD4）。

左辺は \(n_1 \ldots n_d\) の係数を用いて計算される。ここで函数は \[\chi(Y, \mathcal{O}_Z \otimes f^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes f^*\mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\] である。等式は Lemma 0EDD と射影公式（Cohomology, Lemma 01E8）から従う。 \(f(Z)\) の次元が \(< d\) ならば、Lemma 0DN4 により右辺は全次数 \(< d\) の多項式であり、結論は真である。\(\dim(f(Z)) = d\) と仮定する。すると次元論（Lemma 0EDC）により、Lemma 0AD5 の同値な条件 (1) – (5) が成り立つ。したがって \(\deg(Z \to f(Z))\) は良定義である。すでに用いた Lemma 0AD5 により、 \(f : Z \to f(Z)\) は空でない開部分集合 \(V\) 上で有限であり、その開部分集合は \(f(Z)\) に含まれる。 \(V\) を必要なら縮小し、\(V\) はスキームであると仮定してよい。 \(\xi \in V\) を一般点とする。このとき \(\deg(f : Z \to f(Z))\) は \(f_*\mathcal{O}_Z\) の \(\xi\) における茎の \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 上の長さであり、

\(R^if_*\mathcal{O}_X\) の \(\xi\) における茎は \(i > 0\) に対して零である

（たとえば Cohomology of Spaces, Lemma 0A4K による）。したがって各項 \(\chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\) は \(i > 0\) に対して全次数 \(< d\) であり、 \[\chi(X, f_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \deg(f : Z \to f(Z)) \chi(f(Z), \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_{f(Z)})\] が、全次数 \(< d\) の多項式を法として成り立つ。これは Lemma 0EDE による。求める結論が従う。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とする。 \(Z \subset X\) を次元 \(d\) の閉部分空間とする。 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。ある有効 Cartier 因子 \(D \subset Z\) が存在して \(\mathcal{L}_1|_Z \cong \mathcal{O}_Z(D)\) を満たすと仮定する。このとき \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\] である。

証明

\(X\) を \(Z\) で、\(\mathcal{L}_i\) を \(\mathcal{L}_i|_Z\) で置き換えてよい。したがって \(X = Z\) および \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\) と仮定してよい。このとき \(\mathcal{L}_1^{-1}\) は \(D\) のイデアル層であり、短完全列 \[0 \to \mathcal{L}_1^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0\] を考えることができる。 \[P(n_1, \ldots, n_d) = \chi(X, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\] および \[Q(n_1, \ldots, n_d) = \chi(D, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_D)\] とおく。加法性（Lemma 0DN2）から \[P(n_1, \ldots, n_d) - P(n_1 - 1, n_2, \ldots, n_d) = Q(n_1, \ldots, n_d)\] を得る。\(P\) の全次数は高々 \(d\) なので、 \(n_1 \ldots n_d\) の \(P\) における係数は \(n_2 \ldots n_d\) の \(Q\) における係数に等しい。

正確に言えば、「代数空間 \(X\) は既約である」と言うとき、おそらく「位相空間 \(|X|\) は既約である」と言うつもりである。↩︎
既約空間は空でない。↩︎