Espaces algébriques sur les corps

Introduction

Ce chapitre est l’analogue du chapitre sur les variétés dans le cadre des espaces algébriques. Une référence pour les espaces algébriques est [Kn].

Conventions

Nous faisons l’hypothèse permanente que tous les schémas appartiennent à un gros site fppf \(\Sch_{fppf}\). De plus, tout anneau \(A\) considéré est tel que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et le suivant, nous écrirons \(X \times_S X\) pour le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\).

Morphismes génériquement finis

Cette section prolonge la discussion de Espaces décents, section 0BBA, ainsi que son analogue, pour les morphismes d’espaces algébriques, dans Variétés, section 0AB5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini et que \(Y\) soit localement noethérien. Soit \(y \in |Y|\) un point de codimension \(\leq 1\) de \(Y\). Soit \(X^0 \subset |X|\) l’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\). Supposons de plus que l’une des conditions suivantes soit satisfaite

1. pour tout \(x \in X^0\), le degré de transcendance de \(x/f(x)\) est \(0\),

2. pour tout \(x \in X^0\) tel que \(f(x) \leadsto y\), le degré de transcendance de \(x/f(x)\) est \(0\),

3. \(f\) est quasi-fini en tout \(x \in X^0\),

4. \(f\) est quasi-fini en tout point d’une partie dense de \(|X|\),

5. en ajouter d’autres ici.

Alors \(f\) est quasi-fini en tout point de \(X\) situé au-dessus de \(y\).

Démonstration

Nous voulons ramener la preuve au cas des schémas. Pour ce faire, nous choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches horizontales sont étales et surjectives. Choisissons \(v \in V\) d’image \(y\). Observons que \(V\) est localement noethérien et que \(\dim(\mathcal{O}_{V, v}) \leq 1\) (voir Propriétés des espaces, Définitions 04NA et Remarque 03E7). La fibre \(U_v\) de \(U \to V\) au-dessus de \(v\) s’envoie surjectivement sur \(f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\). L’image réciproque de \(X^0\) dans \(U\) est exactement l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(U\) (Propriétés des espaces, Lemme 0BAQ). Si \(\eta \in U\) est un tel point, d’image \(x \in X^0\), alors le degré de transcendance de \(x / f(x)\) est le degré de transcendance de \(\kappa(\eta)\) sur \(\kappa(g(\eta))\) (Morphismes d’espaces, Définition 04NM). Observons que \(U \to V\) est quasi-fini en \(u \in U\) si et seulement si \(f\) est quasi-fini en l’image de \(u\) dans \(X\).

Cas (1). Ici le cas (1) de Variétés, Lemme 0AB6 s’applique et nous concluons que \(U \to V\) est quasi-fini en tout point de \(U_v\). Donc \(f\) est quasi-fini en tout point situé au-dessus de \(y\).

Cas (2). Soit \(u \in U\) un point générique d’une composante irréductible dont l’image dans \(V\) se spécialise en \(v\). Alors l’image \(x \in X^0\) de \(u\) vérifie \(f(x) \leadsto y\). Par conséquent, nous voyons que le cas (2) de Variétés, Lemme 0AB6 s’applique et nous concluons comme précédemment.

Le cas (3) découle du cas (3) de Variétés, Lemme 0AB6.

Dans le cas (4), puisque l’application \(|U| \to |X|\) est ouverte, nous voyons que l’ensemble des points où \(U \to V\) est quasi-fini est également dense. Ainsi le cas (4) de Variétés, Lemme 0AB6 s’applique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit propre et que \(Y\) soit localement noethérien. Soit \(y \in Y\) un point de codimension \(\leq 1\) de \(Y\). Soit \(X^0 \subset |X|\) l’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\). Supposons de plus que l’une des conditions suivantes soit satisfaite

1. pour tout \(x \in X^0\), le degré de transcendance de \(x/f(x)\) est \(0\),

2. pour tout \(x \in X^0\) tel que \(f(x) \leadsto y\), le degré de transcendance de \(x/f(x)\) est \(0\),

3. \(f\) est quasi-fini en tout \(x \in X^0\),

4. \(f\) est quasi-fini en tout point d’une partie dense de \(|X|\),

5. en ajouter d’autres ici.

Alors il existe un sous-espace ouvert \(Y' \subset Y\) contenant \(y\) tel que \(Y' \times_Y X \to Y'\) soit fini.

Démonstration

D’après le lemme 0AD1, le morphisme \(f\) est quasi-fini en tout point situé au-dessus de \(y\). Soit \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) un point géométrique situé au-dessus de \(y\). Alors \(|X_{\overline{y}}|\) est un espace discret (Espaces décents, Lemme 0ACK). L’espace \(X_{\overline{y}}\) étant quasi-compact puisque \(f\) est propre, nous concluons que \(|X_{\overline{y}}|\) est fini. Nous pouvons donc appliquer Cohomologie des espaces, Lemme 0A4W pour conclure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre birationnel d’espaces algébriques tel que \(Y\) soit réduit. Soit \(U \subset X\) l’ouvert maximal sur lequel \(f\) est un isomorphisme. Alors \(U\) contient

1. tout point de codimension \(0\) de \(X\),

2. tout \(x \in |X|\) de codimension \(1\) de \(X\) tel que l’anneau local de \(X\) en \(x\) soit normal (Propriétés des espaces, Remarque 0BBL), et

3. tout \(x \in |X|\) tel que la fibre de \(|Y| \to |X|\) au-dessus de \(x\) soit finie et tel que l’anneau local de \(X\) en \(x\) soit normal.

Démonstration

La partie (1) résulte du lemme 0BBF du chapitre Espaces décents (et du fait que les espaces algébriques noethériens \(X\) et \(Y\) sont quasi-séparés et donc décents). La partie (2) résulte de la partie (3) et du lemme 0AD2 (et du fait que les morphismes finis ont des fibres finies). Soit \(x \in |X|\) satisfaisant (3). D’après Cohomologie des espaces, Lemme 0A4W (qui s’applique d’après le lemme 0ACK du chapitre Espaces décents), nous pouvons supposer que \(f\) est fini. Choisissons un schéma affine \(X'\) et un morphisme étale \(X' \to X\) et un point \(x' \in X\) s’envoyant sur \(x\). Il suffit de montrer qu’il existe un voisinage ouvert \(U'\) de \(x' \in X'\) tel que \(Y \times_X X' \to X'\) soit un isomorphisme au-dessus de \(U'\) (en effet, \(U\) contient alors l’image de \(U'\) dans \(X\), voir Espaces, Lemme 03KD). Alors \(Y \times_X X' \to X\) est un morphisme fini et birationnel (Espaces décents, Lemme 0B4D). Comme un morphisme fini est affine, nous nous ramenons au cas d’un morphisme fini birationnel de schémas affines noethériens \(Y \to X\) et d’un point \(x \in X\) tel que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit un anneau intègre normal. Ceci est traité dans Variétés, Lemme 0BFP.

Espaces algébriques intègres

Nous n’avons pas encore défini la notion d’espace algébrique intègre. La difficulté vient de ce que la propriété d’être intègre n’est pas locale pour la topologie étale des schémas. Nous pourrions prendre comme définition le fait que \(X\) soit réduit et que \(|X|\) soit irréductible, caractérisation donnée dans Propriétés, Lemme 01ON. Dans ce cas, l’espace algébrique décrit dans Espaces, Exemple 02Z8 serait intègre, ce qui ne paraît pas souhaitable. Pour éviter ce type de pathologie, nous supposerons de plus que \(X\) est un espace algébrique décent, bien qu’une hypothèse plus faible puisse peut-être suffire.

Définition

Soit \(S\) un schéma. On dit qu’un espace algébrique \(X\) sur \(S\) est intègre s’il est réduit et décent, et si \(|X|\) est irréductible.

Dans ce cas, l’espace topologique irréductible \(|X|\) est sobre (Espaces décents, Proposition 03K6). Il admet donc un unique point générique \(x\). En fait, le lemme 0BB9 du chapitre Espaces décents caractérise les espaces algébriques décents ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Il en résulte qu’un espace algébrique \(X\) est intègre s’il est réduit, s’il admet un sous-schéma ouvert dense et irréductible \(X'\), de point générique \(x'\), et si le morphisme \(x' \to X\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre sur \(S\). Soit \(\eta \in |X|\) le point générique de \(X\). On a des identifications canoniques \[R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta}^h = \kappa(\eta)\] où \(R(X)\) désigne l’anneau des fonctions rationnelles défini dans Morphismes d’espaces, Définition 0EMP, \(\kappa(\eta)\) est le corps résiduel défini dans Espaces décents, Définition 0EMW, et \(\mathcal{O}_{X, \eta}^h\) est l’anneau local hensélien défini dans Espaces décents, Définition 0BGU. En particulier, ces anneaux sont des corps.

Démonstration

Comme \(X\) est un schéma dans un voisinage ouvert de \(\eta\) (voir ci-dessus), l’assertion découle immédiatement du résultat correspondant pour les schémas ; voir Morphismes, Lemme 01RV. Nous utilisons aussi le fait que l’hensélisation d’un corps est ce corps lui-même, ainsi que la compatibilité de nos définitions de ces objets pour les espaces algébriques avec celles qui valent pour les schémas. Nous omettons les détails.

Cela conduit à la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre sur \(S\). Le corps des fonctions, ou le corps des fonctions rationnelles, de \(X\) est le corps \(R(X)\) du lemme 0END.

Nous noterons parfois ce corps \(k(X)\) au lieu de \(R(X)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre sur \(S\). Alors \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un anneau intègre.

Démonstration

Posons \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Si \(f, g \in R\) sont non nuls et \(fg = 0\), alors \(X = V(f) \cup V(g)\), où \(V(f)\) désigne le sous-espace fermé de \(X\) défini par \(f\). Comme \(X\) est irréductible, on a soit \(V(f) = X\), soit \(V(g) = X\). Il s’ensuit que soit \(f = 0\), soit \(g = 0\), d’après Propriétés des espaces, Lemme 0BGS.

Voici un lemme sur les espaces algébriques intègres et normaux.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre et normal sur \(S\). Pour tout \(x \in |X|\), il existe un schéma affine intègre et normal \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) dont l’image contient \(x\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) dont l’image contient \(x\). Soient \(u_i\), \(i \in I\), les points génériques des composantes irréductibles de \(U\). Alors chaque \(u_i\) a pour image le point générique de \(X\) (Espaces décents, Lemme 0ABV). D’après notre définition d’un espace décent (Espaces décents, Définition 03I8), on voit que \(I\) est fini. Ainsi, \(U = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau normal ayant un nombre fini d’idéaux premiers minimaux. Par conséquent, \(A = \prod_{i \in I} A_i\) est un produit d’anneaux intègres normaux d’après Algèbre, Lemme 030C. Alors \(U = \coprod U_i\) avec \(U_i = \Spec(A_i)\) et \(x\) appartient à l’image de \(U_i \to X\) pour un certain \(i\). Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre et normal sur \(S\). Alors \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un anneau intègre normal.

Démonstration

Posons \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Alors \(R\) est un anneau intègre d’après Lemme 0BH2. Soit \(f = a/b\) un élément du corps des fractions de \(R\) qui est entier sur \(R\). Pour tout \(U \to X\) étale, où \(U\) est un schéma, il existe au plus un \(f_U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) tel que \(b|_U f_U = a|_U\). En effet, \(U\) est réduit et les points génériques de \(U\) s’envoient sur le point générique de \(X\), ce qui implique que \(b|_U\) est un non diviseur de zéro. Pour tout \(x \in |X|\), choisissons \(U \to X\) comme dans Lemme 0AYH. Il existe alors un unique \(f_U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) tel que \(b|_U f_U = a|_U\), puisque \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) est un anneau intègre normal d’après Propriétés, Lemme 0358. Par l’unicité ci-dessus, ces \(f_U\) se recollent en une section globale \(f\) du faisceau structural, c’est-à-dire en un élément de \(R\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). On a des bijections canoniques entre les ensembles suivants :

1. l’ensemble des points de \(X\), c’est-à-dire \(|X|\),

2. l’ensemble des parties fermées irréductibles de \(|X|\),

3. l’ensemble des sous-espaces fermés intègres de \(X\).

La bijection de (1) sur (2) envoie \(x\) sur \(\overline{\{x\}}\). La bijection de (3) sur (2) envoie \(Z\) sur \(|Z|\).

Démonstration

L’application ainsi définie est une bijection entre (1) et (2), puisque \(|X|\) est sobre d’après Espaces décents, Proposition 03K6. Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée irréductible. Il existe un unique sous-espace fermé réduit \(Z \subset X\) tel que \(|Z| = T\) : \(Z\) est le sous-espace porté par \(T\) et muni de la structure réduite induite ; voir Propriétés des espaces, Définition 047X. C’est un espace algébrique intègre car il est décent, réduit et irréductible.

Morphismes entre espaces algébriques intègres

Le lemme suivant caractérise les morphismes dominants de degré fini entre espaces algébriques intègres.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques intègres sur \(S\). Soient \(x \in |X|\) et \(y \in |Y|\) les points génériques. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Supposons que \(f\) soit dominant (Morphismes d’espaces, Définition 0ABL). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le degré de transcendance de \(x/y\) est \(0\),

2. l’extension \(\kappa(x)/\kappa(y)\) (voir la démonstration) est finie,

3. il existe des ouverts affines non vides \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\) et que \(f|_U : U \to V\) soit fini,

4. \(f\) est quasi-fini en \(x\), et

5. \(x\) est le seul point de \(|X|\) ayant pour image \(y\).

Si \(f\) est séparé ou si \(f\) est quasi-compact, alors ces conditions sont également équivalentes à

1. il existe un ouvert affine non vide \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

Un argument de topologie élémentaire montre que \(f(x) = y\), puisque \(f\) est dominant. Soit \(Y' \subset Y\) le lieu schématique de \(Y\) et soit \(X' \subset f^{-1}(Y')\) le lieu schématique de \(f^{-1}(Y')\). D’après la discussion ci-dessus, en utilisant Espaces décents, Proposition 03K6 et Théorème 086U, on voit que \(x \in |X'|\) et \(y \in |Y'|\). Alors \(f|_{X'} : X' \to Y'\) est un morphisme de schémas intègres qui est localement de type fini. On en déduit que les conditions (1), (2) et (3) sont équivalentes d’après Morphismes, Lemme 02NX.

La condition (4) implique la condition (1) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06RX appliqué à \(X \to Y \to Y\). Réciproquement, la condition (3) implique la condition (4), car tout morphisme fini est quasi-fini et \(x \in U\), puisque \(x\) est le point générique. Ainsi (1) – (4) sont équivalentes.

Supposons satisfaites les conditions équivalentes (1) – (4). Supposons que \(x' \mapsto y\). Alors \(x \leadsto x'\) est une spécialisation dans la fibre de \(|X| \to |Y|\) au-dessus de \(y\). Si \(x' \not = x\), alors \(f\) n’est pas quasi-fini en \(x\) d’après Espaces décents, Lemme 0ACB. Donc \(x = x'\) et (5) est vérifiée. Réciproquement, si (5) est vérifiée, alors (5) est vérifiée pour le morphisme de schémas \(X' \to Y'\) (voir ci-dessus) et nous pouvons utiliser Morphismes, Lemme 02NX pour voir que (1) est vérifiée.

Remarquons que (6) implique les conditions équivalentes (1) – (5) sans hypothèse supplémentaire sur \(f\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que les conditions équivalentes (1) – (5) impliquent (6). Cela résulte du lemme 0BBC du chapitre Espaces décents.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques intègres sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini et dominant. Supposons que l’une des conditions équivalentes (1) – (5) du lemme 0AD5 soit satisfaite. Soient \(x \in |X|\) et \(y \in |Y|\) les points génériques. Alors l’entier positif \[\deg(X/Y) = [\kappa(x) : \kappa(y)]\] est appelé le degré de \(X\) sur \(Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\), \(Z\) des espaces algébriques intègres sur \(S\). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes dominants et localement de type fini. Supposons que l’une des conditions équivalentes (1) – (5) du lemme 0AD5 soit satisfaite pour \(f\) et \(g\). Alors \[\deg(X/Z) = \deg(X/Y) \deg(Y/Z).\]

Démonstration

Cela découle de la multiplicativité des degrés dans les tours d’extensions finies de corps ; voir Corps, Lemme 09G9.

Diviseurs de Weil

Cette section est l’analogue de la section 0BE0 de Diviseurs.

Nous allons introduire les diviseurs de Weil et l’équivalence rationnelle des diviseurs de Weil pour les espaces algébriques intègres localement noethériens. Comme nous ne supposons pas que nos espaces algébriques sont quasi-compacts, nous devons être un peu prudents lors de la définition des diviseurs de Weil. Nous devons permettre des sommes infinies de diviseurs premiers, car une fonction rationnelle peut avoir, par exemple, une infinité de pôles. Dans le cas quasi-compact, nos diviseurs de Weil sont des sommes finies comme d’habitude. Voici un lemme fondamental que nous utiliserons souvent pour montrer que des familles de sous-espaces fermés sont localement finies.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Si \(T \subset |X|\) est une partie fermée, alors la famille des composantes irréductibles de \(T\) est localement finie.

Démonstration

L’espace topologique \(|X|\) est localement noethérien (Propriétés des espaces, lemme 04ZF). Un espace topologique noethérien possède un nombre fini de composantes irréductibles et tout sous-espace d’un espace noethérien est noethérien (Topologie, lemme 0052). Le lemme découle donc de la définition d’une famille localement finie (Topologie, définition 0BDS).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(Z\) un sous-espace fermé intègre de \(X\) et soit \(\xi \in |Z|\) son point générique. Alors la codimension de \(|Z|\) dans \(|X|\) est égale à la dimension de l’anneau local de \(X\) en \(\xi\), d’après le lemme d’Espaces décents 0ED1. Rappelons que nous indiquons également cela en disant que \(\xi\) est un point de codimension \(1\) sur \(X\), voir la définition de Propriétés des espaces 04NA.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\).

1. Un diviseur premier est un sous-espace fermé intègre \(Z \subset X\) de codimension \(1\), c’est-à-dire que le point générique de \(|Z|\) est un point de codimension \(1\) sur \(X\).

2. Un diviseur de Weil est une somme formelle \(D = \sum n_Z Z\) où la somme porte sur les diviseurs premiers de \(X\) et la famille \(\{|Z| : n_Z \not = 0\}\) est localement finie dans \(|X|\) (Topologie, définition 0BDS).

Le groupe de tous les diviseurs de Weil sur \(X\) est noté \(\text{Div}(X)\).

Notre prochaine tâche consiste à définir le diviseur de Weil associé à une fonction rationnelle. Pour cela, nous devons définir l’ordre d’annulation d’une fonction rationnelle sur un espace algébrique intègre localement noethérien \(X\) le long d’un diviseur premier \(Z\). Soit \(\xi \in |Z|\) le point générique. Nous rencontrons ici le problème que l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) n’existe pas et que l’anneau local hensélien \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) peut ne pas être un anneau intègre, voir l’exemple 0ENU. Pour contourner cela, nous utilisons le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un diviseur premier et soit \(\xi \in |Z|\) le point générique. Alors l’anneau local hensélien \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est un anneau local noethérien réduit de dimension \(1\) et il existe une application canonique injective \[R(X) \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] du corps des fonctions \(R(X)\) de \(X\) dans l’anneau total des fractions.

Démonstration

Nous utiliserons les résultats d’Espaces décents, section 0EMV. Soit \((U, u) \to (X, \xi)\) un voisinage étale élémentaire. Observons que \(U\) est localement noethérien et réduit. Ainsi, \(\mathcal{O}_{U, u}\) est un anneau de dimension \(1\) (par notre définition des diviseurs premiers), réduit et noethérien. Après avoir remplacé \(U\) par un voisinage ouvert affine de \(u\) nous pouvons supposer que \(U\) est noethérien et affine. Après avoir remplacé \(U\) par un ouvert plus petit, nous pouvons supposer que toute composante irréductible de \(U\) passe par \(u\). Comme \(U \to X\) est ouvert et que \(X\) est irréductible, \(U \to X\) est dominant. Nous obtenons donc une application d’anneaux \(R(X) \to R(U)\) en composant des applications rationnelles, voir Morphismes d’espaces, section 0EML. Comme \(R(X)\) est un corps, cette application est injective. Par notre choix de \(U\), nous voyons que \(R(U)\) est l’anneau total des fractions \(Q(\mathcal{O}_{U, u})\), voir Morphismes, lemme 01RV et Algèbre, lemme 02LX.

À ce stade, nous avons démontré toutes les assertions du lemme avec \(\mathcal{O}_{U, u}\) à la place de \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\). Cependant, \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est l’hensélisation de \(\mathcal{O}_{U, u}\). Ainsi, \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est un anneau réduit noethérien de dimension \(1\), voir Compléments d’algèbre, lemmes 06DH, 06LK, et 06LJ. Comme \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est fidèlement plat d’après Compléments d’algèbre, lemme 07QM elle envoie les non diviseurs de zéro sur des non diviseurs de zéro. Nous obtenons donc une application canonique \(Q(\mathcal{O}_{U, u}) \to Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) et nous obtenons notre application. Nous omettons la vérification que l’application est indépendante du choix de \((U, u) \to (X, x)\) ; une approche légèrement meilleure consisterait d’abord à observer que \(\colim Q(\mathcal{O}_{U, u}) = Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(f \in R(X)^*\). Pour tout diviseur premier \(Z \subset X\), nous définissons l’ordre d’annulation de \(f\) le long de \(Z\) comme l’entier \[\text{ord}_Z(f) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) - \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] où \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) sont des non diviseurs de zéro tels que l’image de \(f\) dans \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) (lemme 0ENK) soit égale à \(a/b\). Ceci est bien défini d’après Algèbre, lemme 02MC.

Si \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est un anneau intègre, nous obtenons \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f)\] où le membre de droite est la notion de la définition d’Algèbre 02MD. Notons que pour \(f, g \in R(X)^*\) nous avons \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] Bien sûr, il peut arriver que \(\text{ord}_Z(f) < 0\). Dans ce cas, nous disons que \(f\) possède un pôle le long de \(Z\) et que \(-\text{ord}_Z(f) > 0\) est l’ ordre du pôle de \(f\) le long de \(Z\). Il est important de remarquer que la condition \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\) n’est pas équivalente à la condition \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\), sauf si l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) est un anneau de valuation discrète.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(f \in R(X)^*\). Si le diviseur premier \(Z \subset X\) rencontre le lieu schématique de \(X\), alors l’ordre d’annulation \(\text{ord}_Z(f)\) de la définition 0ENL coïncide avec l’ordre d’annulation de Diviseurs, définition 02RJ.

Démonstration

Après avoir rétréci \(X\), nous pouvons supposer que \(X\) est un schéma intègre noethérien. Si \(\xi \in Z\) désigne le point générique, alors \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est l’hensélisation de \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) (Espaces décents, lemme 0EMY). Pour démontrer le lemme, il suffit et il est nécessaire de montrer que \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{X, \xi}/a \mathcal{O}_{X, \xi}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] Ceci découle immédiatement de Algèbre, lemme 02M1 (et du fait que \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(f \in R(X)^*\). Alors les familles \[\{Z \subset X \mid Z\text{ est un diviseur premier de point générique }\xi \text{ et }f\text{ n'appartient pas à }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] et \[\{Z \subset X \mid Z \text{ est un diviseur premier et }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] sont localement finies dans \(X\).

Démonstration

Il existe un sous-espace ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f\) corresponde à une section de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\). Par conséquent, les diviseurs premiers qui peuvent apparaître dans les ensembles du lemme correspondent tous à des composantes irréductibles de \(|X| \setminus |U|\). Le lemme 0EE5 donne donc le résultat voulu.

Ce lemme nous permet de donner la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(f \in R(X)^*\). Le diviseur de Weil principal associé à \(f\) est le diviseur de Weil \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] où la somme porte sur les diviseurs premiers et où \(\text{ord}_Z(f)\) est comme dans la définition 0ENL. Ceci a un sens d’après le lemme 0ENN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soient \(f, g \in R(X)^*\). Alors \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] en tant que diviseurs de Weil sur \(X\).

Démonstration

Ceci est clair par additivité des fonctions \(\text{ord}\).

Nous voyons d’après le lemme ci-dessus que la famille des diviseurs de Weil principaux forme un sous-groupe du groupe de tous les diviseurs de Weil. Cela conduit à la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Le groupe des classes de diviseurs de Weil de \(X\) est le quotient du groupe des diviseurs de Weil par le sous-groupe des diviseurs de Weil principaux. Notation : \(\text{Cl}(X)\).

Par construction, nous obtenons un complexe exact [0ENS]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\] que nous pouvons considérer comme une présentation de \(\text{Cl}(X)\). Notre prochaine tâche est de relier le groupe des classes de diviseurs de Weil au groupe de Picard.

Exemple

Cet exemple prolonge celui de Morphismes d’espaces, exemple 05Z6. Considérons l’espace algébrique \(X = \mathbf{A}^1_k/\{t \sim -t \mid t \not = 0\}\). C’est un espace algébrique lisse sur le corps \(k\). Il existe un homéomorphisme universel \[X \longrightarrow \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[t])\] qui est un isomorphisme au-dessus de \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\). Nous en concluons que \(X\) est noethérien et intègre. Comme \(\dim(X) = 1\), les diviseurs premiers de \(X\) sont les points fermés de \(X\). Considérons l’unique point fermé \(x \in |X|\) situé au-dessus de \(0 \in \mathbf{A}^1_k\). Comme \(X \setminus \{x\}\) s’envoie isomorphiquement sur \(\mathbf{A}^1 \setminus \{0\}\), nous voyons que les classes dans \(\text{Cl}(X)\) des points fermés distincts de \(x\) sont nulles. Cependant, le diviseur de \(t\) sur \(X\) est \(2[x]\). Nous concluons que \(\text{Cl}(X) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\).

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \[U = \Spec(k[x, y]/(xy))\] qui est l’union des axes de coordonnées dans \(\mathbf{A}^2_k\). Notons \(\Delta : U \to U \times_k U\) la diagonale et \(\Delta' : U \to U \times_k U\) l’application \(u \mapsto (u, \sigma(u))\) où \(\sigma : U \to U\), \((x, y) \mapsto (y, x)\) est l’automorphisme qui échange les axes de coordonnées. Posons \[R = \Delta(U) \amalg \Delta'(U \setminus \{0_U\})\] où \(0_U \in U\) est l’origine. Il est facile de voir que \(R\) est une relation d’équivalence étale sur \(U\). Le quotient \(X = U/R\) est un espace algébrique. Le morphisme \(U \to \mathbf{A}^1_k\), \((x, y) \mapsto x + y\) est invariant par \(R\) et définit donc un morphisme \[X \longrightarrow \mathbf{A}^1_k\] Ce morphisme est un homéomorphisme universel et un isomorphisme au-dessus de \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\). Il s’ensuit que \(X\) est intègre et noethérien. Exactement comme dans l’exemple 0ENT le lecteur montre que \(\text{Cl}(X) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) avec pour générateur la classe correspondant à l’unique point fermé \(x \in |X|\) situé au-dessus de \(0 \in \mathbf{A}^1_k\). Cependant, dans ce cas, l’anneau local hensélien de \(X\) en \(x\) n’est pas un anneau intègre, car c’est l’hensélisation de \(\mathcal{O}_{U, 0_U}\).

Classe de diviseur de Weil associée à un module inversible

Dans cette section, nous suivons exactement la même progression que dans la section 0ENI pour définir une application canonique \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) sur un espace algébrique intègre localement noethérien.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. D’après Diviseurs sur les espaces, lemme 0EPQ il existe une section méromorphe régulière \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\). En fait, d’après Diviseurs sur les espaces, lemme 0ENA c’est la même chose qu’un élément non nul de \(\mathcal{L}_\eta\), où \(\eta \in |X|\) est le point générique. Le même lemme nous dit que si \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\), alors \(s\) est la même chose qu’une fonction rationnelle non nulle sur \(X\) (ainsi ce que nous ferons ci-dessous coïncide avec la construction de la section 0ENI).

Soit \(Z \subset X\) un diviseur premier et soit \(\xi \in |Z|\) le point générique. Nous allons définir l’ordre d’annulation de \(s\) le long de \(Z\). Considérons le morphisme canonique \[c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \longrightarrow X\] dont la source est le spectre de l’anneau local hensélien de \(X\) en \(\xi\) (Espaces décents, définition 0BGW). Le tiré en arrière \(\mathcal{L}_\xi = c_\xi^*\mathcal{L}\) est un module inversible, donc trivial ; choisissons un générateur \(s_\xi\) de \(\mathcal{L}_\xi\). Comme \(c_\xi\) est plat, les tirés en arrière des fonctions méromorphes et des sections (régulières) sont définis pour \(c_\xi\), voir Diviseurs sur les espaces, définition 0EN8 et les lemmes 0EN9 et 0ENC. Nous obtenons ainsi \[c_\xi^*(s) = f s_\xi\] pour un élément non diviseur de zéro \(f \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\). Nous utilisons ici le lemme de Diviseurs 02OV pour identifier l’espace des sections méromorphes de \(\mathcal{L}_\xi \cong \mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)}\) en termes de l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\). Convenons de noter cet élément \[s/s_\xi = f \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] Observons que \(f = s/s_\xi\) est remplacé par \(uf\) où \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est une unité lorsque nous changeons le choix de \(s_\xi\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Pour tout diviseur premier \(Z \subset X\) dont le point générique est \(\xi \in |Z|\) nous définissons l’ ordre d’annulation de \(s\) le long de \(Z\) comme l’entier \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) - \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] où \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) sont des non diviseurs de zéro tels que l’élément \(s/s_\xi\) de \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\) construit ci-dessus soit égal à \(a/b\). Ceci est bien défini d’après ce qui précède et le lemme d’Algèbre 02MC.

Comme expliqué ci-dessus, une section méromorphe régulière \(s\) de \(\mathcal{O}_X\) peut s’écrire \(s = f \cdot 1\) où \(f\) est une fonction rationnelle non nulle sur \(X\) et nous avons \(\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{Z, \mathcal{O}_X}(s)\). Comme dans le cas des diviseurs principaux, nous avons le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) une section méromorphe régulière (c’est-à-dire non nulle) de \(\mathcal{L}\). Alors les ensembles \[\{Z \subset X \mid Z \text{ est un diviseur premier de point générique }\xi \text{ et }s\text{ n'appartient pas à }\mathcal{L}_\xi\}\] et \[\{Z \subset X \mid Z \text{ est un diviseur premier et } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] sont localement finis dans \(X\).

Démonstration

Il existe un sous-espace ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(s\) corresponde à une section de \(\Gamma(U, \mathcal{L})\) qui engendre \(\mathcal{L}\) sur \(U\). Par conséquent, les diviseurs premiers qui peuvent apparaître dans les ensembles du lemme correspondent tous à des composantes irréductibles de \(|X| \setminus |U|\). Le lemme 0EE5 donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soient \(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) des sections méromorphes non nulles de \(\mathcal{L}\). Alors \(f = s/s'\) est un élément de \(R(X)^*\) et nous avons \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\] en tant que diviseurs de Weil.

Démonstration

C’est clair d’après les définitions. Notons que le lemme 0EPS garantit que les sommes sont bien des diviseurs de Weil.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

1. Pour toute section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}\) nous définissons le diviseur de Weil associé à \(s\) comme \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] où la somme porte sur les diviseurs premiers. Ceci est bien défini d’après le lemme 0EPS.

2. Nous définissons la classe de diviseur de Weil associée à \(\mathcal{L}\) comme l’image de \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) dans \(\text{Cl}(X)\) où \(s\) est une quelconque section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\) sur \(X\). Ceci est bien défini d’après le lemme 0EPT.

Comme prévu, cette construction est additive par rapport au module inversible.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Soient \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) deux \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Soit \(s\), resp. \(t\), une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\), resp. de \(\mathcal{N}\). Alors \(st\) est une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) et \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] dans \(\text{Div}(X)\). En particulier, la classe de diviseur de Weil de \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) est la somme des classes de diviseurs de Weil de \(\mathcal{L}\) et de \(\mathcal{N}\).

Démonstration

Soit \(s\), resp. \(t\), une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\), resp. de \(\mathcal{N}\). Alors \(st\) est une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\). Soit \(Z \subset X\) un diviseur premier. Soit \(\xi \in |Z|\) son point générique. Choisissons des générateurs \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) et \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\), avec les notations introduites plus haut dans cette section. Alors \(s_\xi \otimes t_\xi\) est un générateur de \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\). Ainsi, \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\) dans \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\). En appliquant l’additivité du lemme d’Algèbre 02MC, nous concluons que \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}, Z}(st) = \text{div}_{\mathcal{L}, Z}(s) + \text{div}_{\mathcal{N}, Z}(t)\] Nous omettons certains détails.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Les constructions et les lemmes ci-dessus donnent un homomorphisme de groupes abéliens [0EPW]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] qui associe à tout module inversible sa classe de diviseur de Weil.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre localement noethérien sur \(S\). Si \(X\) est normal, alors l’application (0EPW) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) est injective.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont la classe de diviseur de Weil associée est triviale. Soit \(s\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). L’hypothèse signifie que \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\). Alors \(t = f^{-1}s\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\) telle que \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\), voir le lemme 0EPT. Nous affirmons que \(t\) définit une trivialisation de \(\mathcal{L}\). Cette assertion achève la démonstration du lemme. La démonstration qui suit est un peu maladroite, car nous ne disposons pas encore d’une théorie très développée ; nous suggérons au lecteur de la passer.

Nous pouvons vérifier cette assertion localement pour la topologie étale. Soit \(U \in X_\etale\) affine tel que \(\mathcal{L}|_U\) soit trivial. Soit \(s_U \in \Gamma(U, \mathcal{L}|_U)\) une trivialisation. D’après le lemme de Propriétés 0357, nous pouvons aussi supposer \(U\) intègre. Écrivons \(U = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau intègre normal noethérien de corps des fractions \(K\). Nous pouvons écrire \(t|_U = f s_U\) pour un élément \(f\) de \(K\), voir par exemple le lemme de Diviseurs sur les espaces 0EN6. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier de hauteur un correspondant à un point de codimension \(1\), \(u \in U\), dont l’image est un point de codimension \(1\), \(\xi \in |X|\). Choisissons une trivialisation \(s_\xi\) de \(\mathcal{L}_\xi\) comme au début de cette section. Choisissons un point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\) situé au-dessus de \(u\). Alors \[(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)^{sh} = \mathcal{O}_{X, \overline{u}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} = (A_\mathfrak p)^{sh}\] voir les lemmes d’Espaces décents 0EMZ et le lemme de Propriétés des espaces 04KF. La normalité de \(X\) montre que tous ces anneaux sont des anneaux de valuation discrète. Les trivialisations \(s_U\) et \(s_\xi\) diffèrent par une unité comme sections du tiré en arrière de \(\mathcal{L}\) sur \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{u}})\). Écrivons \(t = f_\xi s_\xi\) avec \(f_\xi \in Q(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\). Nous en concluons que \(f_\xi\) et \(f\) diffèrent par une unité dans \(Q(\mathcal{O}_{X, \overline{u}})\). Si \(Z \subset X\) désigne le diviseur premier correspondant à \(\xi\) (lemme 0ENF), alors \(0 = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(t) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f_\xi)\) et, comme \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est un anneau de valuation discrète, nous voyons que \(f_\xi\) est une unité. Ainsi, \(f\) est une unité dans \(\mathcal{O}_{X, \overline{u}}\) et, en particulier, \(f \in A_\mathfrak p\). Cela implique \(f \in A\) d’après le lemme d’Algèbre 031T. Nous concluons que \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). En répétant le raisonnement avec \(t^{-1}\) considéré comme section méromorphe de \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\), on achève la démonstration.

Modifications et altérations

Notre notion d’espace algébrique intègre permet de définir une modification comme suit.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre sur \(S\). Une modification de \(X\) est un morphisme propre birationnel \(f : X' \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\), où \(X'\) est intègre.

Pour les morphismes birationnels d’espaces algébriques, voir la définition d’Espaces décents 0ACV.

Lemme

Soit \(f : X' \to X\) une modification comme dans la définition 0AD8. Il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 0AD5, il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit fini. Par platitude générique (Morphismes d’espaces, proposition 06QS), nous pouvons supposer \(f^{-1}(U) \to U\) plat et de présentation finie. Ainsi, \(f^{-1}(U) \to U\) est fini localement libre (Morphismes d’espaces, lemme 0416). Comme \(f\) est birationnel, le degré de \(X'\) sur \(X\) est \(1\). Par conséquent, \(f^{-1}(U) \to U\) est fini localement libre de degré \(1\), autrement dit, c’est un isomorphisme.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique intègre sur \(S\). Une altération de \(X\) est un morphisme propre dominant \(f : Y \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(Y\) intègre, tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit fini pour un certain ouvert non vide \(U \subset X\).

Si \(f : Y \to X\) est un morphisme dominant et propre entre espaces algébriques intègres, alors c’est une altération dès que l’extension induite des corps résiduels aux points génériques est finie. Voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre dominant d’espaces algébriques intègres sur \(S\). Alors \(f\) est une altération si et seulement si l’une des conditions équivalentes (1) – (6) du lemme 0AD5 est satisfaite.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du lemme cité dans l’énoncé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Y\) intègre. Alors il existe un sous-espace fermé intègre \(X' \subset X\) tel que \(f' = f|_{X'} : X' \to Y\) soit une altération.

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine non vide (Espaces décents, théorème 086U). Soit \(\eta \in V\) le point générique. Alors \(X_\eta\) est un espace algébrique propre non vide sur \(\eta\). Choisissons un point fermé \(x \in |X_\eta|\) (il en existe, car \(|X_\eta|\) est un espace topologique quasi-compact et sobre ; voir Espaces décents, proposition 03K6, et Topologie, lemme 005E). Soit \(X'\) le sous-espace fermé, muni de la structure réduite induite, porté par \(\overline{\{x\}} \subset |X|\) (Propriétés des espaces, définition 047X). Alors \(f' : X' \to Y\) est surjectif, puisque son image contient \(\eta\). De plus, \(f'\) est propre comme composé d’une immersion fermée et d’un morphisme propre. Enfin, la fibre \(X'_\eta\) ne possède qu’un seul point ; pour le voir, appliquons le lemme d’Espaces décents 0AC8 à \(X \to Y\) et à \(X' \to Y\), au point \(\eta\). Comme \(Y\) est décent et que \(X' \to Y\) est séparé, \(X'\) est décent (Espaces décents, lemmes 03M5 et 0ABY). Ainsi, \(f'\) est une altération d’après le lemme 0ADB.

Lieu schématique

Nous avons déjà démontré plusieurs résultats sur le lieu schématique d’un espace algébrique. En voici une liste de références :

1. Propriétés des espaces, sections 03JG et 07S5,

2. Espaces décents, section 06NN,

3. Propriétés des espaces, lemme 03DZ \(\Leftarrow\) Espaces décents, lemme 03IK \(\Leftarrow\) Espaces décents, lemme 047Z,

4. Limites d’espaces, section 07VQ, et

5. Limites d’espaces, section 0B7X.

Dans certains cas, certains types de morphismes d’espaces algébriques sont automatiquement représentables, par exemple les morphismes séparés et localement quasi-finis (Morphismes d’espaces, lemme 0418) et les monomorphismes plats (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0B8A). Dans la section 0B82, nous étudierons le comportement du lieu schématique par extension du corps de base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(X\) satisfasse au moins l’une des conditions suivantes :

1. \(X\) est quasi-séparé et \(\dim(X) = 0\),

2. \(X\) est localement de type fini sur un corps \(k\) et \(\dim(X) = 0\),

3. \(X\) est noethérien et \(\dim(X) = 0\), ou

4. en ajouter d’autres ici.

Alors \(X\) est un schéma séparé et tout ouvert quasi-compact de \(X\) est affine.

Démonstration

Si nous démontrons que tout ouvert quasi-compact de \(X\) est affine, alors \(X\) est un schéma séparé. Nous pouvons donc supposer \(X\) quasi-compact et cherchons à montrer que \(X\) est affine. Les cas (2) et (3) découlent immédiatement du cas (1), mais nous donnerons des démonstrations séparées de (2) et (3), qui utilisent beaucoup moins de théorie.

Démonstration de (3). Soit \(U\) un schéma affine et soit \(U \to X\) un morphisme étale. Posons \(R = U \times_X U\). Les deux morphismes de projection \(s, t : R \to U\) sont des morphismes étales de schémas. D’après la définition de Propriétés des espaces 04N6, nous avons \(\dim(U) = 0\) et \(\dim(R) = 0\). Comme \(R\) est un schéma localement noethérien de dimension \(0\), \(R\) est une réunion disjointe de spectres d’anneaux locaux artiniens (Propriétés, lemme 0AAX). Puisque nous avons supposé \(X\) noethérien (donc quasi-séparé), nous concluons que \(R\) est quasi-compact. Ainsi, \(R\) est un schéma affine (utiliser Schémas, lemme 01I5). Les morphismes étales \(s, t : R \to U\) induisent des extensions finies des corps résiduels. Le lemme d’Algèbre 07DT montre donc que \(s\) et \(t\) sont finis (nous omettons un détail mineur). La proposition de Groupoïdes 03BM montre alors que \(X = U/R\) est un schéma affine.

Démonstration de (2), presque identique à celle de (3). Soit \(U\) un schéma affine et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Posons \(R = U \times_X U\). Les deux morphismes de projection \(s, t : R \to U\) sont des morphismes étales de schémas. D’après la définition de Propriétés des espaces 04N6, nous avons \(\dim(U) = 0\) et, de même, \(\dim(R) = 0\). D’autre part, le morphisme \(U \to \Spec(k)\) est localement de type fini comme composé du morphisme étale \(U \to X\) et de \(X \to \Spec(k)\) ; voir Morphismes d’espaces, les lemmes 03XG et 06LT. De même, \(R \to \Spec(k)\) est localement de type fini. Le lemme de Variétés 06LH montre donc que \(U\) et \(R\) sont des réunions disjointes de spectres de \(k\)-algèbres locales artiniennes finies sur \(k\). Il en va donc de même pour \(U \times_{\Spec(k)} U\). Comme \[R = U \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(k)} U\] est un monomorphisme, \(R\) est une réunion finie (!) de spectres de \(k\)-algèbres finies. Il s’ensuit que \(R\) est affine ; voir Schémas, lemme 01I5. En appliquant de nouveau le lemme de Variétés 06LH, nous voyons que \(R\) est fini sur \(k\). Ainsi, \(s, t\) sont finis ; voir Morphismes, lemme 035D. La proposition de Groupoïdes 03BM montre alors que \(X = U/R\) est un schéma affine.

Démonstration cohomologique de (1). D’après le lemme de Cohomologie des espaces 0A4R, les groupes de cohomologie supérieure s’annulent pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Par conséquent, \(X\) est affine (donc, en particulier, un schéma) d’après la proposition de Cohomologie des espaces 07V6.

Démonstration géométrique de (1). Choisissons une stratification \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] et des morphismes étales \(f_p : V_p \to U_p\) comme dans le lemme d’Espaces décents 07ST (nous utiliserons ci-dessous toutes leurs propriétés). Alors \(\dim(V_p) = 0\) par notre définition de la dimension des espaces algébriques. Le lemme de Propriétés 0CKV s’applique donc à chaque \(V_p\). Puis \(f_p^{-1}(U_{p + 1}) \subset V_p\) est un ouvert quasi-compact, donc à la fois affine et fermé. Il s’ensuit que \(|T_p| \subset |U_p|\) (voir la référence citée) est à la fois ouvert et fermé. Ainsi, \(X\) est une réunion disjointe de sous-espaces ouverts et fermés dont les structures réduites sont des schémas. Il s’ensuit que \(X\) est un schéma (Limites d’espaces, lemme 07VU). La démonstration s’achève alors par le cas des schémas déjà cité ci-dessus.

Le lemme suivant affirme qu’un espace algébrique quasi-séparé est un schéma hors d’une partie de codimension au moins \(1\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-séparé sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(x\) est un point de codimension \(0\) sur \(X\) ;

2. l’anneau local de \(X\) en \(x\) est de dimension \(0\) ;

3. \(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(|X|\).

Si ces conditions sont satisfaites, il existe un sous-espace ouvert de \(X\) qui contient \(x\) et qui est un schéma.

Démonstration

L’équivalence de (1), (2) et (3) découle du lemme d’Espaces décents 0ABV et du fait qu’un espace algébrique quasi-séparé est décent (Espaces décents, section 03I7). Nous donnerons toutefois, dans le paragraphe suivant, une démonstration plus élémentaire de cette équivalence.

Notons que (1) et (2) sont équivalents par définition (Propriétés des espaces, définition 04NA). Pour démontrer l’équivalence de (1) et (3), nous pouvons supposer \(X\) quasi-compact. Choisissons \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] et \(f_i : V_i \to U_i\) comme dans le lemme d’Espaces décents 07ST. Supposons \(x \in U_i\), \(x \not \in U_{i + 1}\). Alors \(x = f_i(y)\) pour un unique \(y \in V_i\). Si (1) est satisfaite, \(y\) est un point générique d’une composante irréductible de \(V_i\) (Propriétés des espaces, lemme 0BAQ). Comme \(f_i^{-1}(U_{i + 1})\) est un ouvert quasi-compact de \(V_i\) qui ne contient pas \(y\), il existe un voisinage ouvert \(W \subset V_i\) de \(y\) disjoint de \(f_i^{-1}(V_i)\) (voir Propriétés, lemme 0AAW, ou, plus simplement, Algèbre, lemme 00EV). Alors \(f_i|_W : W \to X\) est un isomorphisme sur son image, et donc \(x = f_i(y)\) est un point générique de \(|X|\). Réciproquement, supposons (3). Alors \(f_i\) envoie \(\overline{\{y\}}\) sur la composante irréductible \(\overline{\{x\}}\) de \(|U_i|\). Comme \(|f_i|\) est bijectif au-dessus de \(\overline{\{x\}}\), il s’ensuit que \(\overline{\{y\}}\) est une composante irréductible de \(U_i\). Ainsi, \(x\) est un point de codimension \(0\).

La dernière assertion du lemme est la proposition de Propriétés des espaces 06NH.

Le lemme suivant affirme qu’un espace algébrique séparé localement noethérien est un schéma en codimension \(1\), c’est-à-dire hors de la codimension \(2\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Si \(X\) est séparé et localement noethérien, et si la dimension de l’anneau local de \(X\) en \(x\) est \(\leq 1\) (Propriétés des espaces, définition 04NA), alors il existe un sous-espace ouvert de \(X\) contenant \(x\) qui est un schéma.

Démonstration

(Voir la remarque ci-dessous pour une autre approche qui évite les résultats sur les groupoïdes finis.) Nous pouvons remplacer \(X\) par un voisinage quasi-compact de \(x\) ; nous pouvons donc supposer \(X\) quasi-compact, séparé et noethérien. Il existe un schéma \(U\) et un morphisme fini surjectif \(U \to X\) ; voir Limites d’espaces, proposition 09YC. Soit \(R = U \times_X U\). Alors \(j : R \to U \times_S U\) définit une relation d’équivalence et nous obtenons un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) sur \(S\), avec \(s, t\) finis et \(U\) noethérien et séparé. Soit \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset U\) l’ensemble des points ayant pour image \(x\). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{U, u_i}) \leq 1\) d’après le lemme d’Espaces décents 0ABW.

D’après le lemme de Compléments sur les groupoïdes 0ABI, il existe un ouvert affine \(R\)-invariant \(W \subset U\) qui contient l’orbite \(\{u_1, \ldots, u_n\}\). Comme \(U \to X\) est fini surjectif, l’application continue \(|U| \to |X|\) est fermée et surjective, donc submersive d’après le lemme de Topologie 0AAU. Ainsi, \(f(W)\) est ouvert et il existe un sous-espace ouvert \(X' \subset X\) tel que \(f : W \to X'\) soit un morphisme fini surjectif. Alors \(X'\) est un schéma affine d’après le lemme de Cohomologie des espaces 07VP, ce qui achève la démonstration.

Remarque

Voici une esquisse de démonstration du lemme 0ADD qui n’utilise pas le lemme de Compléments sur les groupoïdes 0ABI.

Étape 1. Nous pouvons supposer que \(X\) est un espace algébrique réduit, noethérien et séparé (par exemple d’après Cohomologie des espaces, lemme 07VP, ou d’après Limites d’espaces, lemme 07VU), et nous pouvons choisir un morphisme fini surjectif \(Y \to X\), où \(Y\) est un schéma noethérien (d’après Limites d’espaces, proposition 09YC).

Étape 2. Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), il existe un morphisme fini birationnel \(X' \to X\) et un sous-schéma fermé \(Y' \subset X' \times_X Y\) tels que \(Y' \to X'\) soit surjectif, fini et localement libre. En effet, puisque \(X\) est réduit, il existe un sous-espace ouvert dense \(U \subset X\) au-dessus duquel \(Y\) est plat (Morphismes d’espaces, proposition 06QS). Nous pouvons alors choisir un éclatement \(U\)-admissible \(b : \tilde X \to X\) tel que la transformée stricte \(\tilde Y\) de \(Y\) soit plate sur \(\tilde X\) ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 087E. (On peut aussi utiliser les schémas de Hilbert si l’on veut éviter le résultat sur les éclatements.) Soit alors \(X' \subset \tilde X\) l’adhérence schématique de \(b^{-1}(U)\) et \(Y' = X' \times_{\tilde X} \tilde Y\). Comme \(x\) est un point de codimension \(1\), \(X' \to X\) est fini au-dessus d’un voisinage de \(x\) (lemme 0AD2).

Étape 3. Après avoir restreint \(X\) à un voisinage plus petit de \(x\), nous obtenons que \(X'\) est un schéma. En effet, \(Y'\) est un schéma, \(Y' \to X'\) est fini localement libre, et tout ensemble fini de points de codimension \(1\) de \(Y'\) est contenu dans un ouvert affine. Utiliser la proposition de Propriétés des espaces 07S6 et la proposition de Variétés 09NN.

Étape 4. Il existe un ouvert affine \(W' \subset X'\) qui contient tous les points situés au-dessus de \(x\) et qui est l’image réciproque d’un sous-espace ouvert de \(X\). Pour le démontrer, soit \(Z \subset X\) l’adhérence de l’ensemble des points où \(X' \to X\) n’est pas un isomorphisme. Nous pouvons supposer \(x \in Z\), sinon nous avons déjà terminé. Alors \(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(Z\) et, après restriction de \(X\), nous pouvons supposer \(Z\) affine (lemme 0ADC). L’image réciproque \(Z' \subset X'\) est alors elle aussi un schéma affine. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in Z'\) les points ayant pour image \(x\). Nous pouvons trouver un ouvert affine \(W'\) de \(X'\) dont l’intersection avec \(Z'\) est l’image réciproque d’un ouvert principal de \(Z\) contenant \(x\). En effet, choisissons d’abord un ouvert affine \(W' \subset X'\) contenant \(x_1, \ldots, x_n\) grâce à la proposition de Variétés 09NN. Choisissons ensuite un ouvert principal \(D(f) \subset Z\) contenant \(x\) dont l’image réciproque \(D(f|_{Z'})\) est contenue dans \(W' \cap Z'\). Choisissons enfin \(f' \in \Gamma(W', \mathcal{O}_{W'})\) dont la restriction est \(f|_{Z'}\), puis remplaçons \(W'\) par \(D(f') \subset W'\). Comme \(X' \to X\) est un isomorphisme hors de \(Z' \to Z\), le choix de \(W'\) garantit que l’image \(W \subset X\) de \(W'\) est ouverte et qu’elle a pour image réciproque \(W'\) dans \(X'\).

Étape 5. Alors \(W' \to W\) est un morphisme fini surjectif et \(W\) est un schéma d’après le lemme de Cohomologie des espaces 07VP, ce qui achève la démonstration.

Lieu schématique et extension de corps

Il peut arriver qu’un espace algébrique non représentable sur un corps \(k\) devienne représentable (c’est-à-dire un schéma) après changement de base à une extension de \(k\). Voir Espaces, exemple 03FN. Dans cette section, nous étudions cette question.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). S’il existe une extension radicielle de corps \(k'/k\) telle que \(X_{k'}\) soit un schéma, alors \(X\) est un schéma.

Démonstration

Le morphisme \(X_{k'} \to X\) est entier, surjectif et universellement injectif. Le lemme découle donc du lemme de Limites d’espaces 07VV.

Lemme

Soit \(k\) un corps muni d’une clôture algébrique \(\overline{k}\). Soit \(X\) un espace algébrique quasi-séparé sur \(k\).

1. S’il existe une extension de corps \(K/k\) telle que \(X_K\) soit un schéma, alors \(X_{\overline{k}}\) est un schéma.

2. Si \(X\) est quasi-compact et s’il existe une extension de corps \(K/k\) telle que \(X_K\) soit un schéma, alors \(X_{k'}\) est un schéma pour une certaine extension finie séparable \(k'\) de \(k\).

Démonstration

Puisque tout espace algébrique est la réunion de ses sous-espaces ouverts quasi-compacts, la première partie du lemme découle de la seconde (nous omettons certains détails). Supposons donc \(X\) quasi-compact et donnée une extension \(K/k\) pour laquelle \(X_K\) est représentable. Écrivons \(K = \bigcup A\) comme la limite inductive des sous-\(k\)-algèbres de type fini \(A\). D’après le lemme de Limites d’espaces 07SR, \(X_A\) est un schéma pour une certaine \(A\). Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m \subset A\). D’après le théorème des zéros de Hilbert (Algèbre, théorème 00FV), le corps résiduel \(k' = A/\mathfrak m\) est une extension finie de \(k\). Ainsi, \(X_{k'}\) est un schéma. Si \(k' \supset k\) n’est pas séparable, soit \(k'/k''/k\) la sous-extension fournie par le lemme de Corps 030K. Comme \(k'/k''\) est radicielle, le lemme 0B83 montre que l’espace algébrique \(X_{k''}\) est un schéma. Puisque \(k''|k\) est séparable, la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension galoisienne finie de groupe de Galois \(G\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Alors \(G\) agit librement sur l’espace algébrique \(X_{k'}\) et \(X = X_{k'}/G\) au sens du lemme de Propriétés des espaces 071S.

Démonstration

Démonstration omise. Indications : montrer d’abord que \(\Spec(k) = \Spec(k')/G\). Utiliser ensuite la compatibilité des quotients avec le changement de base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(G\) un groupe fini agissant librement sur \(X\). Posons \(Y = X/G\) comme dans le lemme de Propriétés des espaces 071S. Pour \(y \in |Y|\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(y\) appartient au lieu schématique de \(Y\) ;

2. il existe un ouvert affine \(U \subset X\) qui contient l’image réciproque de \(y\).

Démonstration

Il découle de la construction de \(Y = X/G\) dans le lemme de Propriétés des espaces 071S que le morphisme \(X \to Y\) est surjectif et étale. Nous avons bien sûr \(X \times_Y X = X \times G\) ; le morphisme \(X \to Y\) est donc même fini étale. Il est aussi surjectif. Le lemme découle ainsi du lemme d’Espaces décents 0BA1.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-séparé sur \(k\). S’il existe une extension transcendante pure \(K/k\) telle que \(X_K\) soit un schéma, alors \(X\) est un schéma.

Démonstration

Puisque tout espace algébrique est la réunion de ses sous-espaces ouverts quasi-compacts, nous pouvons supposer \(X\) quasi-compact (certains détails sont omis). Rappelons (Corps, définition 030E) que l’hypothèse sur l’extension \(K/k\) signifie que \(K\) est le corps des fractions d’un anneau de polynômes (en un nombre éventuellement infini de variables) sur \(k\). Ainsi, \(K = \bigcup A\) est la réunion de sous-algèbres dont chacune est une localisation d’une algèbre polynomiale en un nombre fini de variables sur \(k\). D’après le lemme de Limites d’espaces 07SR, \(X_A\) est un schéma pour une certaine \(A\). Écrivons \[A = k[x_1, \ldots, x_n][1/f]\] pour un certain élément non nul \(f \in k[x_1, \ldots, x_n]\).

Si \(k\) est infini, nous pouvons achever la démonstration comme suit : choisissons \(a_1, \ldots, a_n \in k\) tels que \(f(a_1, \ldots, a_n) \not = 0\). Alors \((a_1, \ldots, a_n)\) définit un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(A \to k\) qui envoie \(x_i\) sur \(a_i\) et \(1/f\) sur \(1/f(a_1, \ldots, a_n)\). Ainsi, le changement de base \(X_A \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong X\) est un schéma, comme voulu.

Dans ce paragraphe, achevons la démonstration lorsque \(k\) est fini. Dans ce cas, écrivons \(X = \lim X_i\), où les \(X_i\) sont de présentation finie sur \(k\) et les morphismes de transition sont affines (Limites d’espaces, lemme 09NS). En utilisant le lemme de Limites d’espaces 07SR, nous voyons que \(X_{i, A}\) est un schéma pour un certain \(i\). Nous pouvons donc supposer \(X \to \Spec(k)\) de présentation finie. Soit \(x \in |X|\) un point fermé. Nous pouvons représenter \(x\) par une immersion fermée \(\Spec(\kappa) \to X\) (Espaces décents, lemme 0AHB). Alors \(\Spec(\kappa) \to \Spec(k)\) est de type fini, donc \(\kappa\) est une extension finie de \(k\) (d’après le théorème des zéros de Hilbert ; voir Algèbre, théorème 00FV ; nous omettons certains détails). Posons \([\kappa : k] = d\). Choisissons un entier \(n \gg 0\) premier à \(d\) et soit \(k'/k\) l’extension de degré \(n\). Alors \(k'/k\) est galoisienne, avec \(G = \text{Aut}(k'/k)\) cyclique d’ordre \(n\). Si \(n\) est assez grand, il existe un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(A \to k'\) pour la même raison que ci-dessus. Alors \(X_{k'}\) est un schéma et \(X = X_{k'}/G\) (lemme 0B86). D’autre part, comme \(n\) et \(d\) sont premiers entre eux, nous avons \[\Spec(\kappa) \times_{X} X_{k'} = \Spec(\kappa) \times_{\Spec(k)} \Spec(k') = \Spec(\kappa \otimes_k k')\] est le spectre d’un corps. Autrement dit, la fibre de \(X_{k'} \to X\) au-dessus de \(x\) est réduite à un seul point. Le lemme 0B87 montre donc que \(x\) appartient au lieu schématique de \(X\), comme voulu.

Remarque

Soit \(k\) un corps fini. Soit \(K/k\) une extension de corps géométriquement irréductible. Alors \(K\) est la limite inductive de \(k\)-algèbres de type fini géométriquement irréductibles \(A\). Pour une telle \(A\), les estimations de Lang et Weil [LW] montrent que, pour \(n \gg 0\), il existe un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(A \to k'\) avec \(k'/k\) de degré \(n\). L’analyse de l’argument donné dans la démonstration du lemme 0B85 montre que, si \(X\) est un espace algébrique quasi-séparé sur \(k\) et si \(X_K\) est un schéma, alors \(X\) est un schéma. Si nous avons un jour besoin de ce résultat, nous le formulerons précisément et le démontrerons ici.

Lemme

Soit \(k\) un corps muni d’une clôture algébrique \(\overline{k}\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\) tel que

1. \(X\) est décent et localement de type fini sur \(k\) ;

2. \(X_{\overline{k}}\) est un schéma ;

3. tout ensemble fini de points \(\overline{k}\)-rationnels de \(X_{\overline{k}}\) est contenu dans un ouvert affine.

Alors \(X\) est un schéma.

Démonstration

Si \(K/k\) est une extension, le changement de base \(X_K\) est décent (Espaces décents, lemme 0ABT) et localement de type fini sur \(K\) (Morphismes d’espaces, lemme 03XH). D’après le lemme 0B83, il suffit de démontrer que \(X\) devient un schéma après changement de base à la perfection de \(k\) ; nous pouvons donc supposer que \(k\) est un corps parfait (cette étape n’est pas strictement nécessaire, mais facilite la compréhension des autres arguments). En recouvrant \(X\) par des ouverts quasi-compacts, il suffit de démontrer le lemme lorsque \(X\) est quasi-compact (nous omettons un détail mineur). Dans ce cas, \(|X|\) est un espace topologique sobre (Espaces décents, proposition 03K6). Il suffit donc de montrer que tout point fermé de \(|X|\) appartient au lieu schématique de \(X\) (utiliser Propriétés des espaces, lemme 03JH, et Topologie, lemme 005E).

Soit \(x \in |X|\) un point fermé. D’après le lemme d’Espaces décents 0AHB, il existe une immersion fermée \(\Spec(l) \to X\) représentant \(x\). Alors \(\Spec(l) \to \Spec(k)\) est de type fini (Morphismes d’espaces, lemme 03XG) et nous concluons que \(l\) est une extension finie de \(k\) d’après le théorème des zéros de Hilbert (Algèbre, théorème 00FV). Elle est séparable, car \(k\) est parfait. Ainsi, le schéma \[\Spec(l) \times_X X_{\overline{k}} = \Spec(l) \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \Spec(l \otimes_k \overline{k})\] est la réunion disjointe d’un nombre fini de points \(\overline{k}\)-rationnels. D’après l’hypothèse (3), il existe un ouvert affine \(W \subset X_{\overline{k}}\) qui contient ces points.

D’après le lemme 0B84, \(X_{k'}\) est un schéma pour une certaine extension finie \(k'/k\). Après avoir agrandi \(k'\), nous pouvons supposer qu’il existe un ouvert affine \(U' \subset X_{k'}\) dont le changement de base à \(\overline{k}\) redonne \(W\) (utiliser que \(X_{\overline{k}}\) est la limite des schémas \(X_{k''}\) pour les extensions finies \(k' \subset k'' \subset \overline{k}\), ainsi que les lemmes de Limites 01Z4 et 01Z6). Nous pouvons supposer que \(k'/k\) est une extension galoisienne (prendre la clôture normale ; Corps, lemme 09DT, et utiliser que \(k\) est parfait). Posons \(G = \text{Gal}(k'/k)\). Par construction, le sous-schéma fermé stable par \(G\) \(\Spec(l) \times_X X_{k'}\) est contenu dans \(U'\). Ainsi, \(x\) appartient au lieu schématique d’après les lemmes 0B86 et 0B87.

Les deux lemmes suivants devraient figurer ailleurs. Comparer le lemme suivant au lemme d’Espaces décents 0ACA.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est localement quasi-fini sur \(k\) ;

2. \(X\) est localement de type fini sur \(k\) et de dimension \(0\) ;

3. \(X\) est un schéma localement quasi-fini sur \(k\) ;

4. \(X\) est un schéma localement de type fini sur \(k\) et de dimension \(0\) ;

5. \(X\) est une réunion disjointe de spectres de \(k\)-algèbres locales artiniennes \(A\) finies sur \(k\) telles que \(\dim_k(A) < \infty\).

Démonstration

Comme nous sommes sur un corps, la dimension relative de \(X/k\) est égale à la dimension de \(X\). Le lemme de Morphismes d’espaces 04NV montre donc que (1) et (2) sont équivalents. Il découle alors du lemme 06LZ (et d’implications immédiates) que (1) – (4) sont équivalents. Enfin, le lemme de Variétés 06LH montre que (1) – (4) sont équivalents à (5).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme d’espaces algébriques sur \(k\). Si \(Y\) est localement quasi-fini sur \(k\), alors \(X\) l’est aussi.

Démonstration

Supposons \(Y\) localement quasi-fini sur \(k\). D’après le lemme 06S0, nous avons \(Y = \coprod \Spec(A_i)\), où chaque \(A_i\) est un anneau local artinien fini sur \(k\). D’après le lemme d’Espaces décents 06RZ, \(X\) est un schéma. Considérons \(X_i = f^{-1}(\Spec(A_i))\). Alors \(X_i\) possède soit un point, soit aucun. Si \(X_i\) n’a aucun point, il n’y a rien à démontrer. Si \(X_i\) possède un point, alors \(X_i = \Spec(B_i)\), où \(B_i\) est un anneau local de dimension zéro, et \(A_i \to B_i\) est un épimorphisme d’anneaux. En particulier, \(A_i/\mathfrak m_{A_i} = B_i/\mathfrak m_{A_i}B_i\), et \(A_i \to B_i\) est surjectif d’après le lemme de Nakayama, Algèbre, lemme 00DV (car \(\mathfrak m_{A_i}\) est un idéal nilpotent !). Ainsi, \(B_i\) est une \(k\)-algèbre locale finie, et le lemme 06S0 montre que \(X \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini.

Espaces algébriques géométriquement réduits

Si \(X\) est un espace algébrique réduit sur un corps, il peut arriver que \(X\) cesse d’être réduit après extension du corps de base. Cela ne se produit pas pour les espaces algébriques géométriquement réduits.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\).

1. Soit \(x \in |X|\) un point. Nous disons que \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) si \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est géométriquement réduit sur \(k\).

2. Nous disons que \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) si \(X\) est géométriquement réduit en tout point de \(X\).

Observons que, si \(X\) est géométriquement réduit en \(x\), alors l’anneau local de \(X\) en \(x\) est réduit (Propriétés des espaces, lemme 0E01). De même, si \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\), alors \(X\) est réduit (d’après Propriétés des espaces, lemme 0BGS). Le lemme suivant implique notamment que cette définition est compatible avec la propriété correspondante pour les schémas sur un corps.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) ;

2. il existe un voisinage étale \((U, u) \to (X, x)\) tel que \(U\) soit un schéma et que \(U\) soit géométriquement réduit en \(u\) ;

3. pour tout voisinage étale \((U, u) \to (X, x)\) tel que \(U\) soit un schéma, \(U\) est géométriquement réduit en \(u\).

Démonstration

Rappelons que l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{U, u}\) ; voir le lemme de Propriétés des espaces 04KF. D’après le lemme de Variétés 035W, \(U\) est géométriquement réduit en \(u\) si et seulement si \(\mathcal{O}_{U, u}\) est géométriquement réduit sur \(k\). Il nous reste donc à montrer ceci : si \(A\) est une \(k\)-algèbre locale, \(A\) est géométriquement réduite sur \(k\) si et seulement si \(A^{sh}\) est géométriquement réduite sur \(k\). Vérifions-le à partir de la définition des algèbres géométriquement réduites (Algèbre, définition 030S). Soit \(K/k\) une extension de corps. Comme \(A \to A^{sh}\) est fidèlement plat (Compléments d’algèbre, lemme 07QM), le morphisme \(A \otimes_k K \to A^{sh} \otimes_k K\) est fidèlement plat (Algèbre, lemme 00HI). Par conséquent, si \(A^{sh} \otimes_k K\) est réduit, alors \(A \otimes_k K\) l’est aussi, d’après le lemme d’Algèbre 033F. Réciproquement, rappelons que \(A^{sh}\) est une limite inductive d’\(A\)-algèbres étales ; voir le lemme d’Algèbre 04GP. Ainsi, \(A^{sh} \otimes_k K\) est une limite inductive filtrante d’algèbres étales sur \(A \otimes_k K\). Nous concluons par le lemme d’Algèbre 033B.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement réduit ;

2. il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, et \(U\) est géométriquement réduit ;

3. pour tout morphisme étale \(U \to X\) où \(U\) est un schéma, \(U\) est géométriquement réduit.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et du lemme 0DMR.

Cette notion ne présente pas d’intérêt en caractéristique nulle.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un corps parfait \(k\) (par exemple, \(k\) est de caractéristique nulle).

1. Pour \(x \in |X|\), si \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est réduit, alors \(X\) est géométriquement réduit en \(x\).

2. Si \(X\) est réduit, alors \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\).

Démonstration

La première assertion résulte du lemme d’Algèbre 030U et de la définition d’un corps parfait (Algèbre, définition 030Y). La seconde assertion résulte de la première.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) ;

2. \(X_{k'}\) est réduit pour toute extension de corps \(k'/k\) ;

3. \(X_{k'}\) est réduit pour toute extension radicielle finie de corps \(k'/k\) ;

4. \(X_{k^{1/p}}\) est réduit ;

5. \(X_{k^{perf}}\) est réduit ;

6. \(X_{\bar k}\) est réduit.

Démonstration

Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma. Le lemme 0DMS ramène l’énoncé au résultat pour \(U\) sur \(k\). Voir le lemme de Variétés 035X.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Soit \(k'/k\) une extension de corps. Soit \(x \in |X|\) un point et soit \(x' \in |X_{k'}|\) un point au-dessus de \(x\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) ;

2. \(X_{k'}\) est géométriquement réduit en \(x'\).

En particulier, \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement réduit sur \(k'\).

Démonstration

Choisissons un morphisme étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, et un point \(u \in U\) dont l’image est \(x \in |X|\). D’après le lemme de Propriétés des espaces 03H4, nous pouvons choisir un point \(u' \in U_{k'} = U \times_X X_{k'}\) dont les images sont \(u\) et \(x'\). D’après le lemme 0DMR, l’énoncé se ramène au lemme pour \(U, u, u'\), à savoir au lemme de Variétés 0384.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(k\). Soit \(x \in |X|\) un point dont l’image est \(y \in |Y|\).

1. si \(f\) est étale en \(x\), alors \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) \(\Leftrightarrow\) \(Y\) est géométriquement réduit en \(y\) ;

2. si \(f\) est étale surjectif, alors \(X\) est géométriquement réduit \(\Leftrightarrow\) \(Y\) est géométriquement réduit.

Démonstration

L’assertion (1) est claire, car \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) lorsque \(f\) est étale en \(x\). L’assertion (2) découle immédiatement de l’assertion (1).

Espaces algébriques géométriquement connexes

Si \(X\) est un espace algébrique connexe sur un corps, il peut arriver que \(X\) devienne non connexe après extension du corps de base. Cela ne se produit pas pour les espaces algébriques géométriquement connexes.

Définition

Soit \(X\) un espace algébrique sur le corps \(k\). Nous disons que \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\) si le changement de base \(X_{k'}\) est connexe pour toute extension de corps \(k'\) de \(k\).

Par convention, un espace topologique connexe est non vide ; à plus forte raison, les espaces algébriques géométriquement connexes sont non vides.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur le corps \(k\). Soit \(k'/k\) une extension de corps. Alors \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\).

Démonstration

Si \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\), il est clair que \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\). Réciproquement, pour toute extension de corps \(k''/k\), il existe une extension de corps commune \(k'''/k\) de \(k'/k\) et \(k''/k\) ; voir le lemme de Corps 0H7K. Comme le morphisme \(X_{k'''} \to X_{k''}\) est surjectif (c’est un changement de base d’un morphisme surjectif entre spectres de corps), la connexité de \(X_{k'''}\) entraîne celle de \(X_{k''}\). Ainsi, si \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\), alors \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(k\). Supposons \(X\) géométriquement connexe sur \(k\). Alors le morphisme de projection \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] induit une bijection entre les composantes connexes.

Démonstration

Soit \(y \in |Y|\) représenté par un morphisme \(\Spec(K) \to Y\), où \(K\) est un corps. La fibre de \(|X \times_k Y| \to |Y|\) au-dessus de \(y\) est l’image de \(|X_K| \to |X \times_k Y|\) d’après le lemme de Propriétés des espaces 03H4. Ces fibres sont donc connexes puisque \(X\) est, par hypothèse, géométriquement connexe. D’après le lemme de Morphismes d’espaces 06DN l’application \(|p|\) est ouverte. Nous pouvons donc appliquer le lemme de Topologie 0378 pour conclure.

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Supposons \(k\) séparablement clos. Alors le morphisme \(X_{k'} \to X\) induit une bijection entre les composantes connexes. En particulier, \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\) si et seulement si \(X\) est connexe.

Démonstration

Comme \(k\) est séparablement clos, nous voyons que \(k'\) est géométriquement connexe sur \(k\) ; voir le lemme d’Algèbre 037U. Par conséquent, \(Z = \Spec(k')\) est géométriquement connexe sur \(k\) d’après le lemme de Variétés 0386. Comme \(X_{k'} = Z \times_k X\), le résultat est un cas particulier du lemme 0A11.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Soit \(\overline{k}\) une clôture séparable de \(k\). Alors \(X\) est géométriquement connexe si et seulement si le changement de base \(X_{\overline{k}}\) est connexe.

Démonstration

Supposons \(X_{\overline{k}}\) connexe. Soit \(k'/k\) une extension de corps. Il existe une extension de corps \(\overline{k}'/\overline{k}\) dans laquelle \(k'\) se plonge dans \(\overline{k}'\) par-dessus \(k\). D’après le lemme 0A12, \(X_{\overline{k}'}\) est connexe. Comme \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\) est surjectif, nous concluons que \(X_{k'}\) est connexe, comme voulu.

Soit \(k\) un corps. Soit \(\overline{k}/k\) une extension galoisienne (éventuellement infinie). Par exemple, \(\overline{k}\) pourrait être la clôture séparable de \(k\). À tout \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\) correspond un automorphisme \(\Spec(\sigma) : \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\). Remarquons que \(\Spec(\sigma) \circ \Spec(\tau) = \Spec(\tau \circ \sigma)\). Nous obtenons donc une action \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\] du groupe opposé sur le schéma \(\Spec(\overline{k})\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Comme \(X_{\overline{k}} = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} X\) par définition, l’action ci-dessus induit une action canonique [0A14]\[\begin{equation} \text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times X_{\overline{k}} \longrightarrow X_{\overline{k}}. \end{equation}\]

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Soit \(\overline{k}\) une extension galoisienne (éventuellement infinie) de \(k\). Soit \(V \subset X_{\overline{k}}\) un ouvert quasi-compact. Alors :

1. il existe une sous-extension finie \(\overline{k}/k'/k\) et un ouvert quasi-compact \(V' \subset X_{k'}\) tels que \(V = (V')_{\overline{k}}\),

2. il existe un sous-groupe ouvert \(H \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\) tel que \(\sigma(V) = V\) pour tout \(\sigma \in H\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Choisissons un ouvert quasi-compact \(W \subset U_{\overline{k}}\) dont l’image dans \(X_{\overline{k}}\) est \(V\). Cela est possible, car \(|U_{\overline{k}}| \to |X_{\overline{k}}|\) est continue et \(|U_{\overline{k}}|\) possède une base d’ouverts quasi-compacts. Nous pouvons appliquer le lemme de Variétés 04KU à \(W \subset U_{\overline{k}}\), ce qui donne le lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(\overline{k}/k\) une extension galoisienne (éventuellement infinie). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Soit \(\overline{T} \subset |X_{\overline{k}}|\) vérifiant les propriétés suivantes :

1. \(\overline{T}\) est une partie fermée de \(|X_{\overline{k}}|\) ;

2. pour tout \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\), nous avons \(\sigma(\overline{T}) = \overline{T}\).

Alors il existe une partie fermée \(T \subset |X|\) dont l’image réciproque dans \(|X_{k'}|\) est \(\overline{T}\).

Démonstration

Soit \(T \subset |X|\) l’image de \(\overline{T}\). Comme \(|X_{\overline{k}}| \to |X|\) est surjectif, l’assertion signifie que \(T\) est fermé et que son image réciproque est \(\overline{T}\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Dans le cas des schémas (voir le lemme de Variétés 038B), il existe une partie fermée \(T' \subset |U|\) dont l’image réciproque dans \(|U_{\overline{k}}|\) est l’image réciproque de \(\overline{T}\). Comme \(|U_{\overline{k}}| \to |X_{\overline{k}}|\) est surjectif, \(T'\) est l’image réciproque de \(T\) par \(|U| \to |X|\). Par notre construction de la topologie sur \(|X|\), cela signifie que \(T\) est fermé. De la même manière, on voit que \(\overline{T}\) est l’image réciproque de \(T\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement connexe ;

2. pour toute extension de corps finie séparable \(k'/k\), l’espace algébrique \(X_{k'}\) est connexe.

Démonstration

Cette démonstration est identique à celle du lemme de Variétés 0389, si ce n’est que nous remplaçons le lemme de Variétés 0387 par le lemme 0A13, nous remplaçons le lemme de Variétés 04KU par le lemme 0A15, et nous remplaçons le lemme de Variétés 038B par le lemme 0A16. Nous invitons le lecteur à lire cette démonstration plutôt que celle-ci.

Il découle immédiatement de la définition que (1) implique (2). Supposons que \(X\) ne soit pas géométriquement connexe. Soit \(k \subset \overline{k}\) une clôture séparable de \(k\). D’après le lemme 0A13, \(X_{\overline{k}}\) est non connexe. Écrivons \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\), où \(\overline{U}\) et \(\overline{V}\) sont des sous-espaces algébriques ouverts, fermés et non vides de \(X_{\overline{k}}\).

Soit \(W \subset X\) un sous-espace ouvert quasi-compact quelconque. Alors \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont des sous-espaces ouverts et fermés de \(W_{\overline{k}}\). En particulier, \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont quasi-compacts et, d’après le lemme 0A15, \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont tous deux définis sur une sous-extension finie et stables par un sous-groupe ouvert de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\). Nous l’utiliserons désormais sans autre mention.

Choisissons un sous-espace ouvert quasi-compact \(W_0 \subset X\) tel que \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V}\) soient tous deux non vides. Choisissons une sous-extension finie \(\overline{k}/k'/k\) et une décomposition \(W_{0, k'} = U_0' \amalg V_0'\) en parties ouvertes et fermées telle que \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U} = (U'_0)_{\overline{k}}\) et \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V} = (V'_0)_{\overline{k}}\). Posons \(H = \text{Gal}(\overline{k}/k') \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\). En particulier, \(\sigma(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}) = W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\), et de même pour \(\overline{V}\).

\(W_0\), \(k'\) étant choisis comme ci-dessus, pour tout sous-espace ouvert quasi-compact \(W \subset X\), posons \[U_W = \bigcap\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}), \quad V_W = \bigcup\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}).\] Comme \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont fixés par un sous-groupe ouvert de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\), la réunion et l’intersection ci-dessus sont finies. Ainsi, \(U_W\) et \(V_W\) sont des sous-espaces ouverts et fermés. De plus, par construction, \(W_{\bar k} = U_W \amalg V_W\).

Affirmons que, si \(W \subset W' \subset X\) sont des sous-espaces ouverts quasi-compacts, alors \(W_{\overline{k}} \cap U_{W'} = U_W\) et \(W_{\overline{k}} \cap V_{W'} = V_W\). Vérification omise. Il s’ensuit qu’en posant \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) et \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\), nous obtenons \(X_{\overline{k}} = U \amalg V\) comme réunion disjointe de parties ouvertes et fermées. Il est clair que \(V\) est non vide, puisqu’il est construit en prenant des réunions (localement). D’autre part, \(U\) est non vide puisqu’il contient \(W_0 \cap \overline{U}\) par construction. Enfin, \(U, V \subset X_{\bar k}\) sont fermés et stables par \(H\) par construction. Donc, d’après le lemme 0A16, nous avons \(U = (U')_{\bar k}\) et \(V = (V')_{\bar k}\) pour certaines parties fermées \(U', V' \subset X_{k'}\). Manifestement, \(X_{k'} = U' \amalg V'\), et \(X_{k'}\) est non connexe, comme voulu.

Espaces algébriques géométriquement irréductibles

L’exemple d’Espaces 02Z8 montre qu’il vaut mieux ne pas considérer les espaces algébriques irréductibles en toute généralité¹. Pour les espaces algébriques décents (par exemple quasi-séparés), ce type de désastre ne se produit pas. Nous posons donc la définition suivante seulement sous l’hypothèse que notre espace algébrique est décent.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(k\). Nous disons que \(X\) est géométriquement irréductible si l’espace topologique \(|X_{k'}|\) est irréductible² pour toute extension de corps \(k'\) de \(k\).

Observons que \(X_{k'}\) est un espace algébrique décent (Espaces décents, lemme 0ABT). Par conséquent, l’espace topologique \(|X_{k'}|\) est sobre, d’après la proposition d’Espaces décents 03K6.

Espaces algébriques géométriquement intègres

Rappelons que les espaces algébriques intègres sont décents par définition ; voir la section 0AD3.

Définition

Soit \(X\) un espace algébrique sur le corps \(k\). Nous disons que \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\) si l’espace algébrique \(X_{k'}\) est intègre (définition 0AD4) pour toute extension de corps \(k'\) de \(k\).

En particulier, \(X\) est un espace algébrique décent. On peut relier cette propriété au fait d’être géométriquement réduit et géométriquement irréductible comme suit.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(k\). Alors \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\) si et seulement si \(X\) est à la fois géométriquement réduit et géométriquement irréductible sur \(k\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate des définitions, car notre notion d’intégrité (sous l’hypothèse de décence) équivaut à être réduit et irréductible.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\).

1. \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(k\)-algèbre de dimension finie ;

2. \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i\) est un produit de \(k\)-algèbres locales artiniennes, avec un facteur par composante connexe de \(|X|\) ;

3. si \(X\) est réduit, alors \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} k_i\) est un produit de corps, chacun étant une extension finie de \(k\) ;

4. si \(X\) est géométriquement réduit, alors \(k_i\) est fini séparable sur \(k\) ;

5. si \(X\) est géométriquement connexe, alors \(A\) est géométriquement irréductible sur \(k\) ;

6. si \(X\) est géométriquement irréductible, alors \(A\) est géométriquement irréductible sur \(k\) ;

7. si \(X\) est géométriquement réduit et connexe, alors \(A = k\) ;

8. si \(X\) est géométriquement intègre, alors \(A = k\).

Démonstration

D’après le lemme de Cohomologie des espaces 08AS \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(k\)-algèbre de dimension finie. Cela démontre (1).

Alors \(A\) est un produit d’anneaux locaux d’après le lemme d’Algèbre 00J6 et la proposition d’Algèbre 00KJ. Si \(X = Y \amalg Z\), avec \(Y\) et \(Z\) des sous-espaces ouverts de \(X\), nous obtenons un idempotent \(e \in A\) en prenant la section de \(\mathcal{O}_X\) qui vaut \(1\) sur \(Y\) et \(0\) sur \(Z\). Réciproquement, si \(e \in A\) est un idempotent, nous obtenons une décomposition correspondante de \(|X|\). Enfin, comme \(|X|\) est un espace topologique noethérien (d’après le lemme de Morphismes d’espaces 04ZL et le lemme de Propriétés des espaces 04ZF) ses composantes connexes sont ouvertes. Les composantes connexes de \(|X|\) correspondent donc \(1\) pour \(1\) aux idempotents primitifs de \(A\). Cela démontre (2).

Si \(X\) est réduit, alors \(A\) est réduit (Propriétés des espaces, lemme 0BGS). Les anneaux locaux \(A_i = k_i\) sont donc réduits et sont par conséquent des corps (par exemple d’après le lemme d’Algèbre 00EU). Cela démontre (3).

Si \(X\) est géométriquement réduit, la même propriété vaut pour \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) (voir le lemme de Cohomologie des espaces 073K pour l’égalité). Il s’ensuit que \(k_i \otimes_k \overline{k}\) est un produit de corps et que \(k_i/k\) est donc séparable, par exemple d’après les lemmes d’Algèbre 030W et 030V. Cela démontre (4).

Si \(X\) est géométriquement connexe, alors \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) est un anneau local de dimension zéro d’après (2) ; son spectre n’a donc qu’un point et il est en particulier irréductible. Ainsi, \(A\) est géométriquement irréductible. Cela démontre (5). Bien entendu, (5) entraîne (6).

Si \(X\) est géométriquement réduit et connexe, alors \(A = k_1\) est un corps et l’extension \(k_1/k\) est finie séparable et géométriquement irréductible. Mais \(k_1 \otimes_k \overline{k}\) est alors un produit de \([k_1 : k]\) copies de \(\overline{k}\), d’où \(k_1 = k\). Cela démontre (7). Bien entendu, (7) entraîne (8).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre intègre sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Si \(H^0(X, \mathcal{L})\) et \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\) sont tous deux non nuls, alors \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\).

Démonstration

Soient \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) et \(t \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\) des sections non nulles. Soit \(x \in |X|\) un point appartenant au support de \(s\). Choisissons un voisinage affine étale \((U, u) \to (X, x)\) tel que \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\). Alors \(s|_U\) correspond à une fonction régulière non nulle sur un schéma réduit (car \(X\) est réduit), à savoir \(U\), et elle ne s’annule donc pas en un point générique d’une composante irréductible de \(U\). D’après le lemme d’Espaces décents 0ABV, le point générique \(\eta\) de \(|X|\) appartient au support de \(s\). Il en va de même pour \(t\). Alors, bien sûr, \(st\) est non nul, car l’anneau local de \(X\) en \(\eta\) est un corps (d’après le lemme précité, l’anneau local est de dimension zéro ; comme \(X\) est réduit, l’anneau local est réduit ; appliquer le lemme d’Algèbre 00EU). Or, nous avons vu que \(K = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est un corps au lemme 0DMY. Ainsi, \(st\) est partout non nul, et \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) est un isomorphisme.

Dimension

Dans cette section, nous poursuivons l’étude de la dimension. Voici une liste des résultats antérieurs :

1. la dimension est définie dans la section de Propriétés des espaces 04N3,

2. la dimension de l’anneau local est définie dans la section de Propriétés des espaces 04N7,

3. quelques résultats figurent dans les lemmes de Propriétés des espaces 04N9 et 0A4H,

4. la dimension relative est définie dans la section de Morphismes d’espaces 04NH,

5. des résultats sur la dimension des fibres figurent dans la section de Morphismes d’espaces 04NP,

6. une forme faible de la formule de dimension figure dans la section de Morphismes d’espaces 0BAW,

7. un résultat sur la lissité et la dimension figure dans le lemme de Morphismes d’espaces 0AFI,

8. pour les espaces décents, la dimension est \(\dim(|X|)\), d’après le lemme d’Espaces décents 0A4J,

9. les morphismes quasi-finis et la dimension sont étudiés dans les lemmes d’Espaces décents 0ABW et 0ED0.

Dans la section de Compléments sur les morphismes d’espaces 0D4L nous étudierons les sauts de dimension dans les fibres d’un morphisme de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier d’espaces algébriques. Alors \(\dim(X) \leq \dim(Y)\). Si \(f\) est surjectif, alors \(\dim(X) = \dim(Y)\).

Démonstration

Choisissons \(V \to Y\) étale surjectif, avec \(V\) un schéma. Alors \(U = X \times_Y V\) est un schéma et \(U \to V\) est entier (et surjectif si \(f\) est surjectif). D’après le lemme de Propriétés des espaces 0A4H nous avons \(\dim(X) = \dim(U)\) et \(\dim(Y) = \dim(V)\). Le résultat découle donc du cas des schémas, qui est le lemme de Morphismes 0ECG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que :

1. \(Y\) est localement noethérien ;

2. \(X\) et \(Y\) sont des espaces algébriques intègres ;

3. \(f\) est dominant ;

4. \(f\) est localement de type fini.

Si \(x \in |X|\) et \(y \in |Y|\) sont les points génériques, alors \[\dim(X) \leq \dim(Y) + \text{degré de transcendance de }x/y.\] Si \(f\) est propre, alors il y a égalité.

Démonstration

Rappelons que \(|X|\) et \(|Y|\) sont des espaces topologiques irréductibles et sobres ; voir la discussion qui suit la définition 0AD4. Ainsi, la dominance de \(f\) signifie que \(|f|\) envoie \(x\) sur \(y\). De plus, \(x \in |X|\) est l’unique point auquel l’anneau local de \(X\) est de dimension \(0\) ; voir le lemme d’Espaces décents 0ABV. D’après le lemme de Morphismes d’espaces 0BAX la dimension de l’anneau local de \(X\) en tout point \(x' \in |X|\) est au plus égale à celle de l’anneau local de \(Y\) en \(y' = f(x')\), augmentée du degré de transcendance de \(x/y\). Comme la dimension de \(X\), resp. celle de \(Y\), est le supremum des dimensions des anneaux locaux en \(x'\), resp. en \(y'\) (Propriétés des espaces, lemme 0BAN), nous obtenons l’inégalité.

Supposons \(f\) propre. Soit \(V \subset Y\) un sous-espace ouvert quasi-compact non vide. Si nous pouvons démontrer l’égalité pour le morphisme \(f^{-1}(V) \to V\), nous l’obtenons pour \(X \to Y\). Nous pouvons donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts. Observons que \(X\) est quasi-séparé, car c’est un espace algébrique décent localement noethérien ; voir le lemme d’Espaces décents 0BB6. Nous pouvons donc choisir \(Y' \to Y\) fini surjectif, où \(Y'\) est un schéma ; voir la proposition de Limites d’espaces 09YC. Après avoir remplacé \(Y'\) par un sous-schéma fermé convenable, nous pouvons supposer \(Y'\) intègre ; voir, par exemple, le lemme plus général 0DMN. D’après le même lemme, nous pouvons choisir un sous-espace fermé \(X' \subset X \times_Y Y'\) tel que \(X'\) soit intègre et que \(X' \to X\) soit fini surjectif. Alors \(X'\) est aussi localement noethérien (Morphismes d’espaces, lemme 04ZK) et nous pouvons utiliser la proposition de Limites d’espaces 09YC une nouvelle fois pour choisir un morphisme fini surjectif \(X'' \to X'\) avec \(X''\) un schéma. Comme précédemment, nous pouvons supposer \(X''\) intègre. On obtient le diagramme \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] D’après le lemme 0EDB, nous avons \(\dim(X'') = \dim(X)\) et \(\dim(Y') = \dim(Y)\). Comme \(X\) et \(Y\) possèdent des voisinages ouverts de \(x\), resp. de \(y\), qui sont des schémas, nous voyons aussitôt que les points génériques \(x'' \in X''\), resp. \(y' \in Y'\), sont les uniques points envoyés sur \(x\), resp. sur \(y\), et que les extensions de corps résiduels \(\kappa(x'')/\kappa(x)\) et \(\kappa(y')/\kappa(y)\) sont finies. Il s’ensuit que le degré de transcendance de \(x''/y'\) est le même que celui de \(x/y\). L’égalité découle donc du cas des schémas, qui est le lemme de Morphismes 02JX.

Espaces lisses sur les corps

Cette section est l’analogue de la section de Variétés 04QM.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique lisse sur \(k\). Alors \(X\) est un espace algébrique régulier.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Le morphisme \(U \to \Spec(k)\) est lisse, car il est composé d’un morphisme étale (donc lisse) et d’un morphisme lisse (voir les lemmes de Morphismes d’espaces 04XX et 03ZD). Par conséquent, \(U\) est régulier d’après le lemme de Variétés 056S. D’après la définition de Propriétés des espaces 03E6 cela signifie que \(X\) est régulier.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique lisse sur \(\Spec(k)\). L’ensemble des \(x \in |X|\) qui sont images de morphismes \(\Spec(k') \to X\) où \(k' \supset k\) est fini séparable est dense dans \(|X|\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Le morphisme \(U \to \Spec(k)\) est lisse, car il est composé d’un morphisme étale (donc lisse) et d’un morphisme lisse (voir les lemmes de Morphismes d’espaces 04XX et 03ZD). Nous pouvons donc appliquer le lemme de Variétés 056U, selon lequel les points fermés de \(U\) dont les corps résiduels sont finis séparables sur \(k\) sont denses. Le lemme en résulte par notre définition de la topologie sur \(|X|\).

Caractéristiques d’Euler-Poincaré

Dans cette section, nous démontrons quelques propriétés élémentaires des caractéristiques d’Euler-Poincaré des faisceaux cohérents sur les espaces algébriques propres sur des corps.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Dans cette situation, la caractéristique d’Euler-Poincaré de \(\mathcal{F}\) est l’entier \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\] La justification de cette formule est donnée ci-dessous.

Dans la situation de la définition, les espaces vectoriels \(H^i(X, \mathcal{F})\) non nuls sont en nombre fini (lemme de Cohomologie des espaces 072C) et ils sont tous de dimension finie (lemme de Cohomologie des espaces 08AS). Ainsi, \(\chi(X, \mathcal{F}) \in \mathbf{Z}\) est bien défini. Remarquons que cette définition dépend du corps \(k\) et non pas seulement de la paire \((X, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte courte de modules cohérents sur \(X\). Alors \[\chi(X, \mathcal{F}_2) = \chi(X, \mathcal{F}_1) + \chi(X, \mathcal{F}_3)\]

Démonstration

Considérons la suite exacte longue de cohomologie \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}_1) \to H^0(X, \mathcal{F}_2) \to H^0(X, \mathcal{F}_3) \to H^1(X, \mathcal{F}_1) \to \ldots\] associée à la suite exacte courte du lemme. Le théorème du rang en algèbre linéaire montre que \[0 = \dim H^0(X, \mathcal{F}_1) - \dim H^0(X, \mathcal{F}_2) + \dim H^0(X, \mathcal{F}_3) - \dim H^1(X, \mathcal{F}_1) + \ldots\] Cela implique immédiatement le lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’ espaces algébriques propres sur \(k\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent. Alors \[\chi(Y, \mathcal{G}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{G})\]

Démonstration

La formule a un sens : les faisceaux \(R^if_*\mathcal{G}\) sont cohérents et ceux qui sont non nuls sont en nombre fini ; voir les lemmes de Cohomologie des espaces 08AR et 073G. D’après le lemme de Cohomologie sur les sites 0732, il existe une suite spectrale telle que \[E_2^{p, q} = H^p(X, R^qf_*\mathcal{G})\] qui aboutit à \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\). La finitude de la cohomologie sur \(X\) montre que les \(E_2^{p, q}\) non nuls sont en nombre fini et que chaque \(E_2^{p, q}\) est un espace vectoriel de dimension finie. Il s’ensuit qu’il en va de même pour \(E_r^{p, q}\) lorsque \(r \geq 2\) et que \[\sum (-1)^{p + q} \dim_k E_r^{p, q}\] est indépendante de \(r\). Comme, pour \(r\) assez grand, nous avons \(E_r^{p, q} = E_\infty^{p, q}\) et que la convergence signifie qu’il existe sur \(H^n(Y, \mathcal{G})\) une filtration dont les quotients gradués sont les \(E_\infty^{p, q}\) avec \(p + 1 = n\) (c’est le sens de la convergence de la suite spectrale), nous concluons.

Nombres d’intersection

Dans cette section, nous étudions la caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux cohérents sur les espaces algébriques propres afin d’obtenir des nombres d’intersection pour les modules inversibles. Notre outil principal sera le lemme suivant.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. L’application \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] est un polynôme numérique en \(n_1, \ldots, n_r\) de degré total au plus égal à la dimension du support schématique de \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\). Alors \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent \(\mathcal{G}\) (lemme de Cohomologie des espaces 07UG) et nous avons \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = \chi(Z, \mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes i^*\mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] d’après la formule de projection (lemme de Cohomologie sur les sites 0944) et le lemme de Cohomologie des espaces 0D2U. Comme \(|Z| = \text{Supp}(\mathcal{F})\), il suffit de montrer que \[P_\mathcal{F}(n_1, \ldots, n_r) : (n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] est un polynôme numérique en \(n_1, \ldots, n_r\) de degré total au plus égal à \(\dim(X)\). Disons que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par le \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) si l’assertion ci-dessus est vraie.

Nous démontrerons cet énoncé par dévissage ; plus précisément, nous vérifierons que les conditions (1), (2) et (3) du lemme de Cohomologie des espaces 08AN sont satisfaites.

Vérification de la condition (1). Soit \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] une suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(X\). D’après le lemme 0DN2, nous avons \[P_{\mathcal{F}_2}(n_1, \ldots, n_r) = P_{\mathcal{F}_1}(n_1, \ldots, n_r) + P_{\mathcal{F}_3}(n_1, \ldots, n_r)\] Il est alors clair que, si deux des trois faisceaux \(\mathcal{F}_i\) vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), le troisième la vérifie aussi.

La condition (2) résulte de l’égalité \(P_{\mathcal{F}^{\oplus m}}(n_1, \ldots, n_r) = mP_\mathcal{F}(n_1, \ldots, n_r)\).

Démonstration de (3). Soit \(i : Z \to X\) un sous-espace fermé réduit tel que \(|Z|\) soit irréductible. Nous devons trouver un module cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(X\), de support \(Z\), tel que \(\mathcal{P}\) soit vérifiée pour \(\mathcal{G}\). Nous donnerons deux constructions : l’une au moyen du lemme de Chow, l’autre au moyen d’un revêtement fini par un schéma.

Existence de \(\mathcal{G}\) au moyen d’un revêtement fini par un schéma. Choisissons \(\pi : Z' \to Z\) fini surjectif, où \(Z'\) est un schéma ; voir la proposition de Limites d’espaces 09YC. Posons \(\mathcal{G} = i_*\pi_*\mathcal{O}_{Z'} = (i \circ \pi)_*\mathcal{O}_{Z'}\). Remarquons que \(Z'\) est propre sur \(k\) et que le support de \(\mathcal{G}\) est \(Y\) (détails omis). Nous avons \[R(\pi \circ i)_*(\mathcal{O}_{Z'}) = \mathcal{G} \quad\text{et}\quad R(\pi \circ i)_*(\pi^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) ) = \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}\] La première égalité vaut parce que \(i \circ \pi\) est affine (lemme de Cohomologie des espaces 073H) et la seconde résulte de la première et de la formule de projection (lemme de Cohomologie sur les sites 0944). En utilisant Leray (lemme de Cohomologie sur les sites 0733), nous obtenons \[P_\mathcal{G}(n_1, \ldots, n_r) = \chi(Z', \pi^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}))\] D’après le cas des schémas (lemme de Variétés 0BEM), il s’agit d’un polynôme numérique en \(n_1, \ldots, n_r\) de degré au plus égal à \(\dim(Z')\). Nous concluons puisque \(\dim(Z') \leq \dim(Z) \leq \dim(X)\). La première inégalité résulte du lemme d’Espaces décents 0ED0.

Existence de \(\mathcal{G}\) au moyen du lemme de Chow. Nous appliquons le lemme de Cohomologie des espaces 089J au morphisme \(Z \to \Spec(k)\). Nous obtenons ainsi un morphisme propre surjectif \(f : Y \to Z\) sur \(\Spec(k)\), où \(Y\) est un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^m_k\) pour un certain \(m\). Après remplacement de \(Y\) par un sous-schéma fermé, nous pouvons supposer que \(Y\) est intègre et que \(f : Y \to Z\) est une altération ; voir le lemme 0DMN. Notons \(\mathcal{O}_Y(n)\) le tiré en arrière de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_k}(n)\). Choisissons \(n > 0\) tel que \(R^pf_*\mathcal{O}_Y(n) = 0\) pour \(p > 0\) ; voir le lemme de Cohomologie des espaces 08AQ. Nous affirmons que \(\mathcal{G} = i_*f_*\mathcal{O}_Y(n)\) vérifie \(\mathcal{P}\). En effet, le cas des schémas (lemme de Variétés 0BEM) montre que \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(Y, \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}))\] est un polynôme numérique en \(n_1, \ldots, n_r\) de degré total au plus égal à \(\dim(Y)\). D’autre part, d’après la formule de projection (lemme de Cohomologie sur les sites 0944), \[\begin{align*} i_*Rf_*\left( \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\right) & = i_*Rf_*\mathcal{O}_Y(n) \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r} \\ & = \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r} \end{align*}\] la dernière égalité résultant de notre choix de \(n\). D’après Leray (lemme de Cohomologie sur les sites 0733), nous obtenons \[\chi(Y, \mathcal{O}_Y(n) \otimes f^*i^*(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})) = P_\mathcal{G}(n_1, \ldots, n_r)\] et nous concluons puisque \(\dim(Y) \leq \dim(Z) \leq \dim(X)\). La première inégalité résulte du lemme de Morphismes d’espaces 0BAY et du fait que \(Y \to Z\) est une altération (de sorte que l’extension induite des corps résiduels aux points génériques est finie).

Le lemme suivant montre, en gros, que le coefficient dominant ne dépend que de la longueur du module cohérent aux points génériques de son support.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Posons \(d = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\). Soient \(Z_i \subset X\) les composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de dimension \(d\). Soit \(\overline{x}_i\) un point générique géométrique de \(Z_i\) et posons \(m_i = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i})\). Alors \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] est un polynôme numérique en \(n_1, \ldots, n_r\) de degré total \(< d\).

Démonstration

Démontrons d’abord un énoncé légèrement plus faible. Posons \(\dim(X) = N\) et soient \(X_i \subset X\) les composantes irréductibles de dimension \(N\). Soit \(\overline{x}_i\) un point générique géométrique de \(X_i\). L’anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}\) est noethérien de dimension \(0\) ; ainsi, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), la longueur \[m_i(\mathcal{F}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i})\] est un entier \(\geq 0\). Nous affirmons que \[E(\mathcal{F}) = \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i(\mathcal{F})\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] est un polynôme numérique en \(n_1, \ldots, n_r\) de degré total \(< N\). Nous le démontrerons au moyen du lemme de Cohomologie des espaces 08AN. Pour toute suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\), nous avons \(E(\mathcal{F}) = E(\mathcal{F}') + E(\mathcal{F}'')\). Cela résulte de l’additivité des caractéristiques d’Euler-Poincaré (lemme 0DN2) et de l’additivité des longueurs (lemme d’Algèbre 00IV). Cela implique immédiatement les propriétés (1) et (2) du lemme de Cohomologie des espaces 08AN. Enfin, la propriété (3) est vérifiée avec \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\) pour tout sous-espace fermé réduit et irréductible \(Z \subset X\). En effet, si \(Z = Z_{i_0}\) pour un certain \(i_0\), alors \(m_i(\mathcal{G}) = \delta_{i_0i}\) et nous concluons que \(E(\mathcal{G}) = 0\). Si \(Z \not = Z_i\) pour tout \(i\), alors \(m_i(\mathcal{G}) = 0\) pour tout \(i\), \(\dim(Z) < N\) et le résultat découle du lemme 0DN4.

Démonstration de l’énoncé du lemme. Soit \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\). Alors \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent \(\mathcal{G}\) (lemme de Cohomologie des espaces 07UG) et nous avons \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = \chi(Z, \mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes i^*\mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] d’après la formule de projection (lemme de Cohomologie sur les sites 0944) et le lemme de Cohomologie des espaces 0D2U. Comme \(|Z| = \text{Supp}(\mathcal{F})\), nous avons \(Z_i \subset Z\) pour tout \(i\), et ce sont les composantes irréductibles de \(Z\) de dimension \(d\). Nous considérons désormais \(\overline{x}_i\) comme un point géométrique de \(Z\). L’application \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) détermine une surjection \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i} \to \mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i}\] Cette application induit un isomorphisme de modules \(\mathcal{G}_{\overline{x}_i} = \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\) puisque \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\). Il en résulte que \[m_i = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{F}_{\overline{x}_i}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i}} (\mathcal{G}_{\overline{x}_i})\] Nous voyons donc que l’expression du lemme est égale à \[\chi(Z, \mathcal{G} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] et le résultat découle de la discussion du premier paragraphe (appliquée à \(Z\) plutôt qu’à \(X\)).

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(i : Z \to X\) un sous-espace fermé de dimension \(d\). Soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Nous définissons le nombre d’intersection \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) comme le coefficient de \(n_1 \ldots n_d\) dans le polynôme numérique \[\chi(X, i_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] Dans le cas particulier où \(\mathcal{L}_1 = \ldots = \mathcal{L}_d = \mathcal{L}\), nous écrivons \((\mathcal{L}^d \cdot Z)\).

L’égalité affichée dans la définition résulte de la formule de projection (Cohomologie, section 01E6) et du lemme de Cohomologie des schémas 089W. Démontrons quelques lemmes sur ces nombres d’intersection.

Lemme

Dans la situation de la définition 0EDF, le nombre d’intersection \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) est un entier.

Démonstration

Tout polynôme numérique de degré \(e\) en \(n_1, \ldots, n_d\) s’écrit de manière unique comme combinaison \(\mathbf{Z}\)-linéaire des fonctions \({n_1 \choose k_1}{n_2 \choose k_2} \ldots {n_d \choose k_d}\) avec \(k_1 + \ldots + k_d \leq e\). Appliquons ceci avec \(e = d\). La vérification est laissée en exercice.

Lemme

Dans la situation de la définition 0EDF, le nombre d’intersection \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) est additif : si \(\mathcal{L}_i = \mathcal{L}_i' \otimes \mathcal{L}_i''\), alors nous avons \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) + (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i'' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\]

Démonstration

Cela résulte du lemme 0DN4, car la fonction \[(n_1, \ldots, n_{i - 1}, n_i', n_i'', n_{i + 1}, \ldots, n_d) \mapsto \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes (\mathcal{L}_i')^{\otimes n_i'} \otimes (\mathcal{L}_i'')^{\otimes n_i''} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] est un polynôme numérique de degré total au plus égal à \(d\) en \(d + 1\) variables.

Lemme

Dans la situation de la définition 0EDF, soient \(Z_i \subset Z\) les composantes irréductibles de dimension \(d\). Soit \(m_i = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}_i}} (\mathcal{O}_{Z, \overline{x}_i})\) où \(\overline{x}_i\) est un point générique géométrique de \(Z_i\). Alors \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \sum m_i(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z_i)\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0EDE et des définitions.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’ espaces algébriques propres sur \(k\). Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé intègre de dimension \(d\) et soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Alors \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg(f|_Z : Z \to f(Z)) (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot f(Z))\] où \(\deg(Z \to f(Z))\) est défini comme dans la définition 0AD6, ou vaut \(0\) si \(\dim(f(Z)) < d\).

Démonstration

Dans l’énoncé, \(f(Z) \subset X\) est l’image schématique de \(f\) et c’est aussi l’espace algébrique muni de la structure réduite induite sur la partie fermée \(f(|Z|) \subset X\) ; voir le lemme de Morphismes d’espaces 0830. Alors \(Z\) et \(f(Z)\) sont des espaces algébriques réduits, propres (donc décents) sur \(k\), et par suite intègres (définition 0AD4). Le membre de gauche se calcule comme le coefficient de \(n_1 \ldots n_d\) dans la fonction \[\chi(Y, \mathcal{O}_Z \otimes f^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes f^*\mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\] L’égalité résulte du lemme 0EDD et de la formule de projection (lemme de Cohomologie 01E8). Si \(f(Z)\) est de dimension \(< d\), alors le membre de droite est un polynôme de degré total \(< d\) d’après le lemme 0DN4, et le résultat est établi. Supposons \(\dim(f(Z)) = d\). Alors la théorie de la dimension (lemme 0EDC) montre que les conditions équivalentes (1) – (5) du lemme 0AD5 sont satisfaites. Ainsi, \(\deg(Z \to f(Z))\) est bien défini. D’après le lemme 0AD5, déjà utilisé, \(f : Z \to f(Z)\) est fini au-dessus d’un ouvert non vide \(V\) de \(f(Z)\) ; après avoir éventuellement rétréci \(V\), nous pouvons supposer que \(V\) est un schéma. Soit \(\xi \in V\) le point générique. Ainsi, \(\deg(f : Z \to f(Z))\) est la longueur du germe de \(f_*\mathcal{O}_Z\) en \(\xi\) sur \(\mathcal{O}_{X, \xi}\), et le germe de \(R^if_*\mathcal{O}_X\) en \(\xi\) est nul pour \(i > 0\) (par exemple d’après le lemme de Cohomologie des espaces 0A4K). Ainsi, les termes \(\chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\) pour \(i > 0\) ont un degré total \(< d\) et \[\chi(X, f_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \deg(f : Z \to f(Z)) \chi(f(Z), \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_{f(Z)})\] à un polynôme de degré total \(< d\) près, d’après le lemme 0EDE. Le résultat voulu en découle.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé de dimension \(d\). Soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Supposons qu’il existe un diviseur de Cartier effectif \(D \subset Z\) tel que \(\mathcal{L}_1|_Z \cong \mathcal{O}_Z(D)\). Alors \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\]

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(X\) par \(Z\) et \(\mathcal{L}_i\) par \(\mathcal{L}_i|_Z\). Ainsi, nous pouvons supposer \(X = Z\) et \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\). Alors \(\mathcal{L}_1^{-1}\) est le faisceau d’idéaux de \(D\) et nous pouvons considérer la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L}_1^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0\] Posons \(P(n_1, \ldots, n_d) = \chi(X, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\) et \(Q(n_1, \ldots, n_d) = \chi(D, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_D)\). L’additivité (lemme 0DN2) donne \[P(n_1, \ldots, n_d) - P(n_1 - 1, n_2, \ldots, n_d) = Q(n_1, \ldots, n_d)\] Comme le degré total de \(P\) est au plus égal à \(d\), nous voyons que le coefficient de \(n_1 \ldots n_d\) dans \(P\) est égal au coefficient de \(n_2 \ldots n_d\) dans \(Q\).