代数空間の射

はじめに

本章では、代数空間の射のいくつかの型を導入する。 文献として [Kn] がある。

目標は、スキームおよびスキームの射に関する各章で定義された 射の各型の定義を、代数空間の圏へ拡張することである。 各場合には少しずつ違いがあるため、すべてを個別に扱うのが最善と思われる。

規約

以下では、すべてのスキームが大 fppf サイト \(\Sch_{fppf}\) に 含まれるものとする。また、考えるすべての環 \(A\) は、 \(\Spec(A)\) がこの大サイトの対象と（同型で）あるという性質をもつものとする。

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 本章および以下の各章では、\(X\) とそれ自身との積（\(S\) 上の代数空間の 圏における積）を、\(X \times X\) ではなく \(X \times_S X\) と書く。

表現可能な射の性質

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を代数空間の表現可能な射とする。Spaces, Section 02WI では、\(\mathcal{P}\) が 次を満たすスキームの射の性質である場合に、\(f\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつとは何かを定義した。

1. 任意の基底変換で保たれる。Schemes, Definition 01JZ を参照。

2. 基底上 fppf 局所的である。Descent, Definition 02KO を参照。

すなわちこの場合、任意のスキーム \(U\) と任意の射 \(U \to Y\) に対して、 スキームの射 \(X \times_Y U \to U\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつとき、 かつそのときに限り、\(f\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつという。

Spaces, Section 02WE の一覧によれば、 これは次の性質に適用される： (1)(a) 閉埋め込み、 (1)(b) 開埋め込み、 (1)(c) 準コンパクトな埋め込み、 (2) 準コンパクト、 (3) 普遍閉、 (4) （準）分離的、 (5) 単射、 (6) 全射、 (7) 普遍的単射、 (8) アフィン、 (9) 準アフィン、 (10) （局所）有限型、 (11) （局所）準有限、 (12) （局所）有限表示、 (13) 相対次元 \(d\) の局所有限型、 (14) 普遍開、 (15) 平坦、 (16) syntomic、 (17) smooth、 (18) 非分岐（それぞれ G-非分岐）、 (19) エタール、 (20) 固有、 (21) 有限または整、 (22) 有限局所自由、 (23) universally submersive、 (24) 普遍同相写像、および (25) 埋め込み。

本章では、必ずしも表現可能でない代数空間の射に対して、 これらの概念を再定義する。その際には常に、曖昧さを避けるため、 新しい定義が旧来の定義と一致することを確かめる。

上の定義は、\(X\) がスキームである場合には適用できることに注意する。 実際、スキームから代数空間への射は表現可能である。 特に、\(X\) と \(Y\) がともにスキームである場合にも適用できる。 Spaces, Lemma 02WJ では、この場合に各定義が一致し、曖昧さが生じないことを見た。

さらに、Spaces, Lemma 02WL では、このように定義された代数空間の表現可能な射の性質が、 代数空間の射による任意の基底変換で安定であることを見た。 最後に、Spaces, Lemmas 02WK および 02WM では、\(\mathcal{P}\) が合成で安定であれば、すなわち上の性質 (1)(a), (1)(b), (1)(c), (2) – (25) のうち (13) を除くものについては、 表現可能な射の積が性質 \(\mathcal{P}\) を保ち、表現可能な射の合成も 性質 \(\mathcal{P}\) を保つことを見た。

以下ではこれらの事実を用い、そのたびに単に本節を参照する。

分離公理

代数空間の射の対角射に関して、先験的ないくつかの性質を 列挙しておくことには意味がある。

補題

\(S\) を \(\Sch_{fppf}\) に含まれるスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) を対角射とする。このとき

1. \(\Delta_{X/Y}\) は表現可能である。

2. \(\Delta_{X/Y}\) は局所有限型である。

3. \(\Delta_{X/Y}\) は単射である。

4. \(\Delta_{X/Y}\) は分離的である。

5. \(\Delta_{X/Y}\) は局所準有限である。

証明

\(\Delta_{X/S}\) が（代数空間の定義により）表現可能であり、 さらに性質 (2) – (5) を満たすという事実を用いる。 Spaces, Lemma 02X4 を参照。 対角射 \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) は \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_S X\] と分解することに注意する。\(X \times_Y X \to X \times_S X\) は 単射であり、\(\Delta_{X/S}\) は表現可能なので、形式的に \(\Delta_{X/Y}\) が表現可能であることが従う。特に残りの主張にも 意味がある。Section 03HA を参照。

\(U\) がスキームであるような全射エタール射 \(U \to X\) を選ぶ。 図式 \[\xymatrix{ R = U \times_X U \ar[r] \ar[d] & U \times_Y U \ar[d] \ar[r] & U \times_S U \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_Y X \ar[r] & X \times_S X }\] を考える。二つの正方形はともに Cartesian であり、したがって外側の 長方形もそうである。上段はスキームからなり、垂直矢印は全射エタール射である。 Spaces, Lemma 02WZ により、\(\Delta_{X/Y}\) の性質 (2) – (5) は \(R \to U \times_Y U\) の同じ性質と同値である。 Spaces, Lemma 02X4 の証明で、 \(R \to U \times_S U\) が性質 (2) – (5) をもつことを見た。 スキームの射 \(U \times_Y U \to U \times_S U\) は単射である。 これらの事実から、\(R \to U \times_Y U\) が性質 (2) – (5) をもつことが従う。

具体的には次のとおりである。(3) については、合成 \(R \to U \times_S U\) が単射であるため、\(R \to U \times_Y U\) も単射である。(2) については、合成 \(R \to U \times_S U\) が 局所有限型なので（Morphisms, Lemma 01T8）、 \(R \to U \times_Y U\) も局所有限型である。 局所有限型の単射は有限なファイバーをもつため局所準有限であり （Morphisms, Lemma 02NG）、したがって (5) が従う。 単射は分離的なので（Schemes, Lemma 01L4）、(4) が従う。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) を対角射とする。

1. \(\Delta_{X/Y}\) が閉埋め込みであるとき、\(f\) は 分離的であるという。

2. \(\Delta_{X/Y}\) が埋め込みであるとき、\(f\) は 局所分離的¹であるという。

3. \(\Delta_{X/Y}\) が準コンパクトであるとき、\(f\) は 準分離的であるという。

この定義には意味がある。実際、\(\Delta_{X/Y}\) は表現可能なので、 定義中の各性質をもつとは何かが分かっている。 以下で（Lemma 03KY）、この定義がスキームの射および 表現可能な射に対して既にある定義と一致することを見る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が分離的ならば、\(f\) は局所分離的であり、\(f\) は準分離的である。

証明

これは一般原理 Spaces, Lemma 02YO から従う。実際、スキームの閉埋め込みは埋め込みであり、準コンパクトである。

補題

Definition 03HL に挙げたすべての分離公理は、 基底変換で安定である。

証明

\(f : X \to Y\) と \(Y' \to Y\) を代数空間の射とする。 \(f' : X' \to Y'\) を \(Y' \to Y\) による \(f\) の基底変換とする。このとき \(\Delta_{X'/Y'}\) は、射 \(X' \times_{Y'} X' \to X \times_Y X\) による \(\Delta_{X/Y}\) の基底変換である。Section 03HA の結果により、Definition 03HL で用いた対角射の 各性質は基底変換で安定である。よって補題が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Z\), \(g : Y \to Z\) および \(Z \to T\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。誘導される射 \(i : X \times_Z Y \to X \times_T Y\) を考える。このとき

1. \(i\) は表現可能、局所有限型、局所準有限、分離的、かつ単射である。

2. \(Z \to T\) が局所分離的ならば、\(i\) は埋め込みである。

3. \(Z \to T\) が分離的ならば、\(i\) は閉埋め込みである。

4. \(Z \to T\) が準分離的ならば、\(i\) は準コンパクトである。

証明

一般の圏論により、図式 \[\xymatrix{ X \times_Z Y \ar[r]_i \ar[d] & X \times_T Y \ar[d] \\ Z \ar[r]^-{\Delta_{Z/T}} \ar[r] & Z \times_T Z }\] はファイバー積図式である。したがって \(i\) は対角射 \(\Delta_{Z/T}\) の基底変換である。よって補題は Lemma 03HK と Section 03HA の内容から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(T\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(g : X \to Y\) を \(T\) 上の代数空間の射とする。 \(g\) のグラフ \(i : X \to X \times_T Y\) を考える。このとき

1. \(i\) は表現可能、局所有限型、局所準有限、分離的、かつ単射である。

2. \(Y \to T\) が局所分離的ならば、\(i\) は埋め込みである。

3. \(Y \to T\) が分離的ならば、\(i\) は閉埋め込みである。

4. \(Y \to T\) が準分離的ならば、\(i\) は準コンパクトである。

証明

これは Lemma 03KN を 射 \(X = X \times_Y Y \to X \times_T Y\) に適用した特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to T\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(s : T \to X\) を \(f\) の切断とする（式では \(f \circ s = \text{id}_T\)）。このとき

1. \(s\) は表現可能、局所有限型、局所準有限、分離的、かつ単射である。

2. \(f\) が局所分離的ならば、\(s\) は埋め込みである。

3. \(f\) が分離的ならば、\(s\) は閉埋め込みである。

4. \(f\) が準分離的ならば、\(s\) は準コンパクトである。

証明

これは Lemma 03KO を \(g = s\)、したがって \(i = s : T \to T \times_T X\) に適用した特別な場合である。

補題

Definition 03HL に挙げたすべての分離公理は、 射の合成で安定である。

証明

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を、考えている公理が適用される 代数空間の射とする。対角射 \(\Delta_{X/Z}\) は合成 \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_Z X.\] である。考えている分離公理は、対角射がある性質 \(\mathcal{P}\) を もつことによって定義される。上の Lemma 03KN により、第二の矢印もこの性質をもつ。 したがって、性質 \(\mathcal{P}\) をもつ（表現可能な）射の合成も 性質 \(\mathcal{P}\) をもつため、補題が従う。 Section 03HA を参照。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(Y\) が分離的で \(f\) が分離的ならば、\(X\) は分離的である。

2. \(Y\) が準分離的で \(f\) が準分離的ならば、\(X\) は準分離的である。

3. \(Y\) が局所分離的で \(f\) が局所分離的ならば、\(X\) は局所分離的である。

4. \(Y\) が \(S\) 上分離的で \(f\) が分離的ならば、\(X\) は \(S\) 上分離的である。

5. \(Y\) が \(S\) 上準分離的で \(f\) が準分離的ならば、\(X\) は \(S\) 上準分離的である。

6. \(Y\) が \(S\) 上局所分離的で \(f\) が局所分離的ならば、 \(X\) は \(S\) 上局所分離的である。

証明

(4), (5), (6) は Lemma 03KQ と Spaces, Definition 02X5 から直ちに従う。 (1), (2), (3) は、\(X\) と \(Y\) を \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上の代数空間と みなすことにより (4), (5), (6) に帰着する。 Properties of Spaces, Definition 03BS を参照。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(g \circ f\) が分離的ならば、\(f\) も分離的である。

2. \(g \circ f\) が局所分離的ならば、\(f\) も局所分離的である。

3. \(g \circ f\) が準分離的ならば、\(f\) も準分離的である。

証明

\(g \circ f\) の対角射の分解 \[X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\] を考える。いずれの場合にも最後の射は単射である。したがって、 任意のスキーム \(T\) と射 \(T \to X \times_Y X\) に対して等式 \[X \times_{(X \times_Y X)} T = X \times_{(X \times_Z X)} T.\] を得る。よって結果は明らかである。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。

1. \(X\) が分離的ならば、\(X\) は \(S\) 上分離的である。

2. \(X\) が局所分離的ならば、\(X\) は \(S\) 上局所分離的である。

3. \(X\) が準分離的ならば、\(X\) は \(S\) 上準分離的である。

\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(X\) が \(S\) 上分離的ならば、\(f\) は分離的である。

2. \(X\) が \(S\) 上局所分離的ならば、\(f\) は局所分離的である。

3. \(X\) が \(S\) 上準分離的ならば、\(f\) は準分離的である。

証明

(4), (5), (6) は Lemma 03KR と Spaces, Definition 02X5 から直ちに従う。 (1), (2), (3) は、\(X\) と \(Y\) を \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上の代数空間と みなすことにより (4), (5), (6) から従う。 Properties of Spaces, Definition 03BS を参照。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{P}\) を Definition 03HL の分離公理の いずれかとする。次は同値である。

1. \(f\) は \(\mathcal{P}\) である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、\(f\) の基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) は \(\mathcal{P}\) である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 \(f\) の基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) は \(\mathcal{P}\) である。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 代数空間 \(Z \times_Y X\) は \(\mathcal{P}\) である（Properties of Spaces, Definition 03BS を参照）。

5. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在して、 基底変換 \(V \times_Y X \to V\) が \(\mathcal{P}\) をもつ。

6. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在して、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) が \(\mathcal{P}\) をもつ。

証明

以下では Lemma 03KL を繰り返し用いるが、 その都度は断らない。特に、(1) が (2) を含み、(2) が (3) を含むことは明らかである。

(3) と (4) が同値であることを示す。\(Z\) がアフィンスキームならば、 射 \(Z \to \Spec(\mathbf{Z})\) は \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上の代数空間の射として 分離的であることに注意する。\(Z \times_Y X \to Z\) が \(\mathcal{P}\) ならば、 合成として \(Z \times_Y X \to \Spec(\mathbf{Z})\) も \(\mathcal{P}\) である （Lemma 03KQ を参照）。 したがって、代数空間 \(Z \times_Y X\) は \(\mathcal{P}\) である。 逆に、代数空間 \(Z \times_Y X\) が \(\mathcal{P}\) ならば、 \(Z \times_Y X \to \Spec(\mathbf{Z})\) は \(\mathcal{P}\) であり、 Lemma 03KR により \(Z \times_Y X \to Z\) は \(\mathcal{P}\) である。

(3) が (5) を含むことを示す。(3) を仮定する。\(V\) をスキームとし、 \(V \to Y\) を全射エタールとする。\(V \times_Y X \to V\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつことを示さなければならない。言い換えると、射 \[V \times_Y X \longrightarrow (V \times_Y X) \times_V (V \times_Y X) = V \times_Y X \times_Y X\] が対応する性質（すなわち、閉埋め込み、埋め込み、または準コンパクト）を もつことを示せばよい。\(V = \bigcup V_j\) を \(V\) のアフィン開被覆とする。 仮定により、各射 \[V_j \times_Y X \longrightarrow V_j \times_Y X \times_Y X\] は対応する性質をもつ。閉埋め込み、埋め込み、準コンパクトな埋め込み、 または準コンパクトであることは終域上 Zariski 局所的であり、 \(V_j\) は \(V\) を被覆するので、所望の結論を得る。

(5) が (1) を含むことを示す。\(V \to Y\) を (5) のとおりとする。 このときファイバー積図式 \[\xymatrix{ V \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \times_Y X \times_Y X \ar[r] & X \times_Y X }\] を得る。仮定により左の垂直矢印は、閉埋め込み、埋め込み、 準コンパクトな埋め込み、または準コンパクトである。 Spaces, Lemma 03KD から、右の垂直矢印も、閉埋め込み、埋め込み、準コンパクトな埋め込み、 または準コンパクトであることが従う。

\(Y = Y\) という被覆を取れば、(1) が (6) を含むことは明らかである。 \(Y = \bigcup Y_i\) を (6) のとおりと仮定する。スキーム \(V_i\) と 全射エタール射 \(V_i \to Y_i\) を選ぶ。射 \(V_i \times_Y X \to V_i\) は、 射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) の基底変換なので \(\mathcal{P}\) をもつことに注意する。 \(V = \coprod V_i\) とおく。このとき \(V \to Y\) は (5) のような射である （細部は省略する）。したがって (6) は (5) を含み、証明は完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能な射とする。

1. 射 \(f\) は局所分離的である。

2. 射 \(f\) が上の Definition 03HL の意味で （準）分離的であることと、Section 03HA の意味で \(f\) が（準）分離的であることとは同値である。

特に、\(f : X \to Y\) が \(S\) 上のスキームの射ならば、 \(f\) が Definition 03HL の意味で（準）分離的であることと、 \(f\) がスキームの射として（準）分離的であることとは同値である。

証明

これは Lemma 03KM の (1) と (2) の同値性を、 任意のスキームの射が局所分離的であるという事実と組み合わせたものである。 Schemes, Lemma 01KJ を参照。

全射な射

代数空間の表現可能な射が全射であるとは何かは、既に Section 03HA で定義した。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能な射とする。 このとき、\(f\) が（Section 03HA の意味で）全射であることと、 \(|f| : |X| \to |Y|\) が全射であることとは同値である。

証明

実際、\(f : X \to Y\) が表現可能ならば、それが全射であることと、 任意のスキーム \(T\) と任意の射 \(T \to Y\) に対して、\(f\) の基底変換 \(f_T : T \times_Y X \to T\) がスキームの全射射であること、言い換えると \(|f_T|\) が全射であることとは同値である。Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、写像 \(|T \times_Y X| \to |T| \times_{|Y|} |X|\) は常に全射である。 したがって、\(|f| : |X| \to |Y|\) が全射ならば \(|f_T| : |T \times_Y X| \to |T|\) は全射である。 逆に、上の任意の \(T \to Y\) に対して \(|f_T|\) が全射ならば、 \(T\) を体のスペクトルとして取ることにより、\(|X| \to |Y|\) が全射であると結論する。

これにより、次の定義を与える準備が整った。

定義

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 付随する位相空間の写像 \(|f| : |X| \to |Y|\) が全射であるとき、 \(f\) は 全射であるという。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。次は同値である：

1. \(f\) は全射である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は全射である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は全射である。

4. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在して、 \(V \times_Y X \to V\) が全射である。

5. あるスキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) が存在して、 合成 \(f \circ \varphi\) が全射である。

6. 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] が存在し、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印は全射エタールであり、 上の水平矢印は全射である。

7. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在して、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) は全射である。

証明

省略する。

補題

全射の合成は全射である。

証明

定義から直ちに従う。

補題

全射の基底変換は全射である。

証明

Properties of Spaces, Lemma 03H4 から直ちに従う。

開射

代数空間の表現可能な射が普遍開であるとは何かは、既に Section 03HA で定義した。そこで自然な定義を 与える前に、表現可能な場合にこの定義と一致することを確かめる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能な射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は（Section 03HA の意味で）普遍開である。

2. 代数空間の任意の射 \(Z \to Y\) に対して、位相空間の写像 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は開である。

証明

(1) を仮定し、\(Z \to Y\) を (2) のとおりとする。スキーム \(V\) と 全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。仮定により、スキームの射 \(V \times_Y X \to V\) は普遍開である。Properties of Spaces, Section 03BT により、可換図式 \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] の水平矢印は開かつ全射であり、さらに \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] は全射である。したがって、左の垂直矢印が開であることから、 右の垂直矢印も開である。これで (2) が示された。 (2) \(\Rightarrow\) (1) は定義から直ちに従う。

よって次の自然な定義を用いることができる。

定義

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. 位相空間の写像 \(|f| : |X| \to |Y|\) が開であるとき、 \(f\) は 開であるという。

2. 代数空間の任意の射 \(Z \to Y\) に対して、位相空間の写像 \[|Z \times_Y X| \to |Z|\] が開であるとき、すなわち基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) が開であるとき、 \(f\) は 普遍開であるという。

代数空間のエタール射は普遍開であることに注意する。 Properties of Spaces, Definition 03FR および Lemmas 03IR と 03FU を参照。

補題

代数空間の普遍開射を代数空間の任意の射で基底変換した射は、普遍開である。

証明

定義から直ちに従う。

補題

代数空間の二つの（普遍）開射の合成は（普遍）開である。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は普遍開である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射影 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は開である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射影 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は開である。

4. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在して、 \(V \times_Y X \to V\) は代数空間の普遍開射である。

5. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在して、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) は普遍開である。

証明

(1) が (2) を含み、(2) が (3) を含むことの証明は省略する。

(3) を仮定する。全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。 \(V \times_Y X \to V\) が代数空間の普遍開射であることを示す。 \(Z \to V\) を代数空間から \(V\) への射とする。\(W = \coprod W_i\) が アフィンスキームの非交和であるような全射エタール射 \(W \to Z\) を取る。 Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照。 このとき可換図式 \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_Y X| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \ar@{=}[r] & |Z \times_V (V \times_Y X)| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |Z| }\] を得る。南東向きの矢印が開であることを示せばよい。 中央の水平矢印は全射かつ開である（Properties of Spaces, Lemma 03IR）。仮定 (3) と \(W_i\) が アフィンであることから、左の垂直矢印は開である。 したがって右の垂直矢印も開である。

\(V \to Y\) を (4) のとおりと仮定する。\(f\) が普遍開であることを示す。 \(Z \to Y\) を代数空間の射とし、図式 \[\xymatrix{ |(V \times_Y Z) \times_V (V \times_Y X)| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ & |V \times_Y Z| \ar[r] & |Z| }\] を考える。南西向きの矢印は仮定により開である。 対応する代数空間の射がエタールなので、水平矢印は全射かつ開である （Properties of Spaces, Lemma 03IR を参照）。 したがって右の垂直矢印は開である。

もちろん、被覆 \(Y = Y\) を取れば (1) は (5) を含む。 \(Y = \bigcup Y_i\) を (5) のとおりと仮定する。任意の \(Z \to Y\) に対して、 対応する Zariski 被覆 \(Z = \bigcup Z_i\) を得て、\(f\) の \(Z_i\) への 基底変換は開である。簡単な位相的議論により \(Z \times_Y X \to Z\) は開である。よって (1) が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(p : X \to \Spec(k)\) を \(S\) 上の代数空間の射とし、 \(k\) は体であるとする。このとき \(p : X \to \Spec(k)\) は普遍開である。

証明

スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X\) を選ぶ。 合成 \(U \to \Spec(k)\) は、スキームの射として普遍開である。 Morphisms, Lemma 0383 を参照。 \(Z \to \Spec(k)\) をスキームの射とする。このとき \(U \times_{\Spec(k)} Z \to X \times_{\Spec(k)} Z\) は全射である。 Lemma 03MH を参照。 したがって写像 \[|U \times_{\Spec(k)} Z| \to |X \times_{\Spec(k)} Z| \to |Z|\] の第一の写像は全射である。上により合成は開なので、 第二の写像も開であると結論する。したがって Lemma 03Z5 により \(p\) は普遍開である。

Submersive な射

代数空間の表現可能な射については、Section 03HA において、universally submersive であることの 意味をすでに定義した。そこで自然な定義を与える前に、表現可能な場合には それがこの定義と一致することを確かめる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能な射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は universally submersive である （Section 03HA の意味で）。

2. 代数空間の任意の射 \(Z \to Y\) に対して、位相空間の写像 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は submersive である。

証明

(1) を仮定し、\(Z \to Y\) を (2) のとおりとする。スキーム \(V\) と 全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。仮定により、スキームの射 \(V \times_Y X \to V\) は universally submersive である。 Properties of Spaces, Section 03BT により、可換図式 \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] において水平矢印は開かつ全射であり、さらに \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] は全射である。したがって左の垂直矢印が submersive であることから、 右の垂直矢印も submersive である。(2) が示された。 (2) \(\Rightarrow\) (1) は定義から直ちに従う。

したがって、次の自然な定義を用いることができる。

定義

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. 連続写像 \(|X| \to |Y|\) が submersive であるとき、\(f\) は submersive であるという²。Topology, Definition 0406 を参照。

2. 代数空間の任意の射 \(Y' \to Y\) に対して基底変換 \(Y' \times_Y X \to Y'\) が submersive であるとき、\(f\) は universally submersive であるという。

submersive な射は、とくに全射であることに注意する。

補題

代数空間の universally submersive な射を代数空間の任意の射で 基底変換したものは universally submersive である。

証明

これは定義から直ちに従う。

補題

代数空間の (universally) submersive な二つの射の合成は (universally) submersive である。

証明

省略する。

準コンパクト射

Section 03HA により、代数空間の表現可能な射が 準コンパクトであることの意味はわかっている。代数空間の一般の射について 定義を述べるため、次のことを確認する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能な射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は準コンパクトである （Section 03HA の意味で）。

2. 任意の準コンパクト代数空間 \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 代数空間 \(Z \times_Y X\) は準コンパクトである。

証明

(1) を仮定し、\(Z\) が準コンパクトであるような代数空間の射 \(Z \to Y\) を取る。Properties of Spaces, Definition 03E3 により、準コンパクトな スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to Z\) が存在する。\(f\) は表現可能かつ 準コンパクトなので、定義により \(U \times_Y X\) はスキームであり、 \(U \times_Y X \to U\) は準コンパクトである。したがって \(U \times_Y X\) は準コンパクトなスキームである。射 \(U \times_Y X \to Z \times_Y X\) は、表現可能、エタールかつ全射な射 \(U \to Z\) の基底変換なので、エタールかつ全射である （Section 03HA を参照）。 ゆえに定義から \(Z \times_Y X\) は準コンパクトである。

(2) を仮定する。\(Z\) をスキームとして、射 \(Z \to Y\) を取る。 \(p : Z \times_Y X \to Z\) が準コンパクトであることを示さなければならない。 \(U \subset Z\) をアフィン開集合とする。このとき \(p^{-1}(U) = U \times_Y Z\) であり、スキーム \(U \times_Y Z\) は 仮定 (2) により準コンパクトである。したがって \(p\) は準コンパクトである。 Schemes, Section 01K2 を参照。

これを動機として次のように定義する。

定義

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 任意の準コンパクト代数空間 \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対してファイバー積 \(Z \times_Y X\) が準コンパクトであるとき、\(f\) は 準コンパクト であるという。

上の Lemma 03HD により、 表現可能な代数空間の射について、これは既存の概念と一致する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) が \(S\) 上の代数空間の 準コンパクト射ならば、位相空間の基礎写像 \(|f| : |X| \to |Y|\) は準コンパクトである。

証明

\(V \subset |Y|\) を準コンパクト開集合とする。Properties of Spaces, Lemma 03BZ により、 \(V = |Y'|\) となる開部分空間 \(Y' \subset Y\) が存在する。このとき Properties of Spaces, Lemma 03E4 により \(Y'\) は 準コンパクトな代数空間であり、したがって Definition 03HE により \(X' = Y' \times_Y X\) は準コンパクトな代数空間である。 一方、\(X' \subset X\) は開部分空間であり （Spaces, Lemma 02YW）、 Properties of Spaces, Lemma 03H4 により \(|X'| = |f|^{-1}(|X'|) = |f|^{-1}(V)\) である。 再び Properties of Spaces, Lemma 03E4 を用いると、 \(|X'|\) は望みどおり \(|X|\) の準コンパクト開集合である。

補題

代数空間の準コンパクト射を代数空間の任意の射で基底変換したものは 準コンパクトである。

証明

省略する。ヒント：ファイバー積の推移性。

補題

代数空間の二つの準コンパクト射の合成は準コンパクトである。

証明

省略する。ヒント：ファイバー積の推移性。

補題

\(S\) をスキームとする。

1. \(X \to Y\) が \(S\) 上の代数空間の全射であり、 \(X\) が準コンパクトならば、\(Y\) は準コンパクトである。

2. \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & Z }\] が \(S\) 上の代数空間の射の可換図式であり、\(f\) が全射かつ \(p\) が 準コンパクトならば、\(q\) は準コンパクトである。

証明

\(X\) が準コンパクトで \(X \to Y\) が全射であると仮定する。 Definition 03ME により写像 \(|X| \to |Y|\) は 全射なので、Properties of Spaces, Lemma 03E4 と、連続写像による 準コンパクト空間の像が準コンパクトであるという位相的事実から、 \(Y\) は準コンパクトである。Topology, Lemma 04Z9 を参照。 \(f, p, q\) を (2) のとおりとする。始域が準コンパクトな代数空間である 射 \(T \to Z\) を取る。仮定により \(T \times_Z X\) は準コンパクトである。 Lemma 03MH により、射 \(T \times_Z X \to T \times_Z Y\) は全射である。したがって (1) により \(T \times_Z Y\) も準コンパクトである。ゆえに \(q\) は準コンパクトである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(g : Y' \to Y\) を universally open かつ全射な代数空間の射とし、 基底変換 \(f' : X' \to Y'\) が準コンパクトであるとする。 このとき \(f\) は準コンパクトである。

証明

\(Z\) が準コンパクトであるような代数空間の射 \(Z \to Y\) を取る。 \(g\) は universally open かつ全射なので、 \(Y' \times_Y Z \to Z\) は開かつ全射である。 \(|Y' \times_Y Z|\) の各点は準コンパクト開近傍の基本系をもつので （Properties of Spaces, Lemma 04NN を参照）、 \(Z\) 上へ全射となる準コンパクト開集合 \(W \subset |Y' \times_Y Z|\) を取ることができる。 \(f'' : W \times_Y X \to W\) を、\(W \to Y'\) による \(f'\) の 基底変換と書く。仮定により \(W \times_Y X\) は準コンパクトである。 \(W \to Z\) は全射なので、 \(W \times_Y X \to Z \times_Y X\) は全射である。 したがって Lemma 040W により \(Z \times_Y X\) は準コンパクトである。ゆえに \(f\) は準コンパクトである。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は準コンパクトである。

2. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 代数空間の射 \(Z \times_Y X \to Z\) は準コンパクトである。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 代数空間 \(Z \times_Y X\) は準コンパクトである。

4. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在し、 \(V \times_Y X \to V\) は代数空間の準コンパクト射である。

5. 代数空間の全射エタール射 \(Y' \to Y\) が存在し、 \(Y' \times_Y X \to Y'\) は代数空間の準コンパクト射である。

6. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在し、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) は準コンパクトである。

証明

以下では Lemma 03HF を断りなく用いる。 (1) が (2) を含み、(2) が (3) を含むことは明らかである。 (3) を仮定する。\(Z\) を \(S\) 上の準コンパクトな代数空間とし、 射 \(Z \to Y\) を取る。Properties of Spaces, Lemma 03H6 により、 アフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to Z\) が存在する。 このとき \(U \times_Y X \to Z \times_Y X\) は代数空間の全射である。 Lemma 03MH を参照。仮定により \(|U \times_Y X|\) は準コンパクトである。これは \(|Z \times_Y X|\) 上へ全射なので、Topology, Lemma 04Z9 により \(|Z \times_Y X|\) は準コンパクトであると結論する。 これで (3) が (1) を含むことが示された。

(1) \(\Rightarrow\) (4) および (4) \(\Rightarrow\) (5) は明らかである。 (5) \(\Rightarrow\) (1) は Lemma 04ZJ と、 代数空間のエタール射が universally open であることから従う （Definition 03Z2 に続く議論を参照）。

もちろん、被覆 \(Y = Y\) を取れば (1) は (6) を含む。 \(Y = \bigcup Y_i\) を (6) のとおりと仮定する。\(Z\) をアフィンとし、 射 \(Z \to Y\) を取る。このとき、各 \(Z_j \to Y\) がある \(i_j\) に対して \(Y_{i_j}\) を経由するような有限標準アフィン被覆 \(Z = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) が存在する。したがって代数空間 \[Z_j \times_Y X = Z_j \times_{Y_{i_j}} f^{-1}(Y_{i_j})\] は準コンパクトである。 \(Z \times_Y X = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} Z_j \times_Y X\) は Zariski 被覆なので、 \(|Z \times_Y X| = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} |Z_j \times_Y X|\) は準コンパクト空間の有限和、したがって準コンパクトである （Properties of Spaces, Lemma 03BZ を参照）。 ゆえに (6) は (3) を含む。

次の補題（およびその次の補題）は、とくに \(X\) が準コンパクトな 代数空間であれば射 \(X \to \Spec(A)\) が準コンパクトであることを保証する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) および \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。\(g \circ f\) が準コンパクトで \(g\) が準分離ならば、\(f\) は準コンパクトである。

証明

\(f\) は \((1, f) : X \to X \times_Z Y \to Y\) という合成に等しい。 第一の写像は準分離射 \(X \times_Z Y \to X\) の切断なので、 Lemma 03KP により準コンパクトである （この射は \(g\) の基底変換である。Lemma 03KL を参照）。 第二の写像は \(g \circ f\) の基底変換なので、 Lemma 03HF により準コンパクトである。 また、Lemma 03HG により 準コンパクト射の合成は準コンパクトである。

補題

\(f : X \to Y\) をスキーム \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(X\) が準コンパクトで \(Y\) が準分離ならば、\(f\) は準コンパクトである。

2. \(X\) が準コンパクトかつ準分離で \(Y\) が準分離ならば、 \(f\) は準コンパクトかつ準分離である。

3. 準コンパクトかつ準分離な代数空間のファイバー積は、 準コンパクトかつ準分離である。

証明

(1) は \(Z = S = \Spec(\mathbf{Z})\) として Lemma 03KS を用いれば従う。 (2) は (1) と Lemma 03KR から従う。 (3) について、\(X \to Y\) および \(Z \to Y\) を準コンパクトかつ準分離な 代数空間の射とする。このとき \(X \times_Y Z \to Z\) は、 (2) と Lemmas 03HF および 03KL を用いれば、\(X \to Y\) の 基底変換として準コンパクトかつ準分離である。 したがって \(X \times_Y Z\) は、\(Z\) 上準コンパクトかつ準分離な 代数空間として、準コンパクトかつ準分離である。Lemmas 04ZH および 03HG を参照。

普遍閉射

代数空間の表現可能な射については、Section 03HA において、普遍閉であることの意味を すでに定義した。そこで自然な定義を与える前に、表現可能な場合には それがこの定義と一致することを確かめる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能な射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は普遍閉である （Section 03HA の意味で）。

2. 代数空間の任意の射 \(Z \to Y\) に対して、位相空間の写像 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は閉である。

証明

(1) を仮定し、\(Z \to Y\) を (2) のとおりとする。スキーム \(V\) と 全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。仮定により、スキームの射 \(V \times_Y X \to V\) は普遍閉である。Properties of Spaces, Section 03BT により、可換図式 \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] において水平矢印は開かつ全射であり、さらに \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] は全射である。左の垂直矢印は閉なので、右の垂直矢印も閉である。 (2) が示された。(2) \(\Rightarrow\) (1) は定義から直ちに従う。

したがって、次の自然な定義を用いることができる。

定義

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. 位相空間の写像 \(|X| \to |Y|\) が閉であるとき、 \(f\) は 閉であるという。

2. 代数空間の任意の射 \(Z \to Y\) に対して、位相空間の写像 \[|Z \times_Y X| \to |Z|\] が閉であるとき、すなわち基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) が 閉であるとき、\(f\) は 普遍閉であるという。

補題

代数空間の普遍閉射を代数空間の任意の射で基底変換したものは普遍閉である。

証明

これは定義から直ちに従う。

補題

代数空間の二つの（普遍）閉射の合成は（普遍）閉である。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は普遍閉である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射影 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は閉である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射影 \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) は閉である。

4. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在し、 \(V \times_Y X \to V\) は代数空間の普遍閉射である。

5. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在し、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) は普遍閉である。

証明

(1) が (2) を含み、(2) が (3) を含むことの証明は省略する。

(3) を仮定する。全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。 \(V \times_Y X \to V\) が代数空間の普遍閉射であることを示す。 \(Z \to V\) を代数空間から \(V\) への射とする。 \(W = \coprod W_i\) がアフィンスキームの非交和であるような 全射エタール射 \(W \to Z\) を取る。Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照。 このとき可換図式 \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_Y X| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \ar@{=}[r] & |Z \times_V (V \times_Y X)| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |Z| }\] を得る。南東向きの矢印が閉であることを示さなければならない。 中央の水平矢印は全射かつ開である （Properties of Spaces, Lemma 03IR）。 仮定 (3) と \(W_i\) がアフィンであることから、左の垂直矢印は閉である。 したがって右の垂直矢印も閉である。

(4) を仮定する。\(f\) が普遍閉であることを示す。 \(Z \to Y\) を代数空間の射とし、図式 \[\xymatrix{ |(V \times_Y Z) \times_V (V \times_Y X)| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ & |V \times_Y Z| \ar[r] & |Z| }\] を考える。南西向きの矢印は仮定により閉である。 対応する代数空間の射がエタールなので、水平矢印は全射かつ開である （Properties of Spaces, Lemma 03IR を参照）。 したがって右の垂直矢印は閉である。

もちろん、被覆 \(Y = Y\) を取れば (1) は (5) を含む。 \(Y = \bigcup Y_i\) を (5) のとおりと仮定する。任意の \(Z \to Y\) に対して、 対応する Zariski 被覆 \(Z = \bigcup Z_i\) を得て、\(f\) の \(Z_i\) への 基底変換は閉である。簡単な位相的議論により \(Z \times_Y X \to Z\) は閉である。よって (1) が成り立つ。

例

普遍閉射の奇妙な例を挙げる。 \(\mathbf{Q} \subset k\) を標数零の体とする。 Spaces, Example 02Z7 と同様に \(X = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\) とする。構造射 \(p : X \to \Spec(k)\) は普遍閉であると主張する。 実際、\(Z/k\) がスキームで \(T \subset |X \times_k Z|\) が閉ならば、 \(T\) は \(T' \subset |\mathbf{A}^1 \times Z|\) という \(\mathbf{Z}\)-不変閉部分集合に対応する。これから \(T'\) が \(Z\) のある部分集合 \(T''\) の逆像であることは容易に分かる。 Morphisms, Lemma 02JY により、 \(T'' \subset Z\) は閉である。もちろん \(T''\) は \(T\) の像である。 したがって Lemma 03IT により \(p\) は普遍閉である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の代数空間の普遍閉射は準コンパクトである。

証明

この証明はスキームの場合の証明の繰り返しである。Morphisms, Lemma 04XU を参照。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とし、\(f\) が準コンパクトでないと 仮定する。目標は \(f\) が普遍閉でないことを示すことである。 Lemma 03KG により、あるアフィンスキーム \(Z\) と 射 \(Z \to Y\) が存在して \(Z \times_Y X \to Z\) は準コンパクトでない。 目標を達成するには \(Z \times_Y X \to Z\) が普遍閉でないことを 示せば十分なので、ある環 \(B\) に対して \(Y = \Spec(B)\) と仮定してよい。

\(X_i\) を \(X\) の準コンパクト開部分空間として \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) と書く。例えば、\(U\) がスキームであるような 全射エタール射 \(U \to X\) を選び、アフィン開被覆 \(U = \bigcup U_i\) を選び、\(X_i \subset X\) を \(U_i\) の像とすればよい。 後で、射 \(X_i \to Y\) が準コンパクトであることを用いる。 Lemma 03KS を参照。 \(T = \Spec(B[a_i ; i \in I])\) とし、\(T_i = D(a_i) \subset T\) とする。 \(Z \subset T \times_Y X\) を、基礎となる点の閉集合が \(|T \times_Y Z| \setminus \bigcup_{i \in I} |T_i \times_Y X_i|\) である被約閉部分空間とする。Properties of Spaces, Lemma 03IQ を参照。 （\(T_i \times_Y X_i\) は \(T \times_Y X\) の開部分空間である。これは \(T_i \to T\) と \(X_i \to X\) が開埋め込みだからである。Spaces, Lemmas 02YW および 02YV を参照。）図式は \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & T \times_Y X \ar[d]^{f_T} \ar[r]_q & X \ar[d]^f \\ & T \ar[r]^p & Y }\] である。像 \(f_T(|Z|)\) が \(|T|\) で閉でないことを示せば十分である。

ある点 \(y \in Y\) が存在して、\(Y\) における \(y\) のアフィン開近傍 \(V\) で \(X_V\) が準コンパクトとなるものは存在しないと主張する。 そうでなければ有限個のそのような \(V\) で \(Y\) を被覆でき、各 \(V\) に対して 射 \(Y_V \to V\) は Lemma 03KS により 準コンパクトであり、次いで Lemma 03KG により \(f\) は準コンパクトとなって矛盾する。主張のとおりの \(y \in Y\) を固定する。

\(t \in T\) を \(y\) 上の点で、\(\kappa(t) = \kappa(y)\) かつすべての \(i\) に 対して \(\kappa(t)\) で \(a_i = 1\) となるものとする。 \(f_T(z) = t\) となる \(z \in |Z|\) が存在すると仮定する。 このとき、ある \(i\) に対して \(q(t) \in X_i\) である。 したがって \(Z\) の構成により \(f_T(z) \not \in T_i\) となるが、 構成により \(t \in T_i\) であることと矛盾する。 ゆえに \(t \in |T| \setminus f_T(|Z|)\) である。

\(f_T(|Z|)\) が \(|T|\) で閉であると仮定する。このとき、 \(f_T(|Z|) \subset V(g)\) かつ \(t \not \in V(g)\) となる元 \(g \in B[a_i; i \in I]\) が存在する。したがって \(\kappa(t)\) における \(g\) の像は零でない。とくに \(g\) のある係数は \(\kappa(y)\) で非零の像をもつ。 ゆえに、この係数は \(y\) のあるアフィン開近傍 \(V\) 上で可逆である。 \(J\) を、変数 \(a_j\) が \(g\) に現れるような \(j \in I\) の有限集合とする。 \(X_V\) は準コンパクトでなく、各 \(X_{i, V}\) は準コンパクトなので、 点 \(x \in |X_V| \setminus \bigcup_{j \in J} |X_{j, V}|\) を選べる。 換言すれば、\(x \in |X| \setminus \bigcup_{j \in J} |X_j|\) であり、 \(x\) はある \(v \in V\) 上にある。\(g\) は \(V\) 上可逆な係数をもつので、 \(v\) 上にある点 \(t' \in T\) で、\(t' \not \in V(g)\) かつ すべての \(i \notin J\) に対して \(t' \in V(a_i)\) となるものを取れる。 これは \(V(a_i; i \in I \setminus J) = \Spec(B[a_j; j\in J])\) であり、このスキームの \(v\) 上の点の集合は \(\Spec(\kappa(v)[a_j; j \in J])\) と全単射で、構成により \(g\) はこの多項式環の非零元に制限されるからである。 換言すれば、各 \(i \not \in J\) に対して \(t' \not \in T_i\) である。 Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、 \(x \in X\) と \(t' \in T\) に写る \(X \times_Y T\) の点 \(z\) を取れる。 \(j \in J\) に対して \(x \not \in |X_j|\) であり、 \(i \in I \setminus J\) に対して \(t' \not \in T_i\) なので、 \(z \in |Z|\) である。一方、 \(f_T(z) = t' \not \in V(g)\) であり、\(f_T(Z) \subset V(g)\) に矛盾する。 したがって「\(f_T(|Z|)\) は閉である」という仮定は誤りであり、 望みどおり \(f_T\) は閉でない。

分離代数空間の全射かつ普遍閉な射による標的は分離的である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(f : X \to Y\) を \(B\) 上の代数空間の全射かつ普遍閉な射とする。

1. \(X\) が準分離ならば、\(Y\) は準分離である。

2. \(X\) が分離的ならば、\(Y\) は分離的である。

3. \(X\) が \(B\) 上準分離ならば、\(Y\) は \(B\) 上準分離である。

4. \(X\) が \(B\) 上分離的ならば、\(Y\) は \(B\) 上分離的である。

証明

(1) と (2) は \(S = B = \Spec(\mathbf{Z})\) とした (3) と (4) の帰結である （Properties of Spaces, Definition 03BS を参照）。可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[rr]_{\Delta_{X/B}} & & X \times_B X \ar[d] \\ Y \ar[rr]^{\Delta_{Y/B}} & & Y \times_B Y }\] を考える。左の垂直矢印は全射（すなわち普遍的に全射）である。 右の垂直矢印は普遍閉射 \(X \times_B X \to X \times_B Y \to Y \times_B Y\) の合成として 普遍閉である。したがって Lemma 04XW により準コンパクトでもある。

\(X\) が \(B\) 上準分離、すなわち \(\Delta_{X/B}\) が準コンパクトであると仮定する。 \(Z\) が準コンパクトで \(Z \to Y \times_B Y\) が射ならば、 \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z \times_{Y \times_B Y} Y\) は全射であり、 上の注意により \(Z \times_{Y \times_B Y} X\) は準コンパクトである。 したがって \(\Delta_{Y/B}\) は準コンパクト、すなわち \(Y\) は \(B\) 上準分離である。

\(X\) が \(B\) 上分離的、すなわち \(\Delta_{X/B}\) が閉埋め込みであると仮定する。 \(Z\) がアフィンで \(Z \to Y \times_B Y\) が射ならば、 \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z \times_{Y \times_B Y} Y\) は全射であり、 上の注意により \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z\) は普遍閉である。 したがって \(\Delta_{Y/B}\) は普遍閉である。 Lemma 03HK により \(\Delta_{Y/B}\) は 表現可能、局所有限型、かつ単射であり、さらに普遍閉なので閉埋め込みである。 Étale Morphisms, Lemma 04XV を参照 （また抽象的原理 Spaces, Lemma 02YO も参照）。 ゆえに \(Y\) は \(B\) 上分離的である。

単射

代数空間の表現可能な射 \(X \to Y\) が Section 03HA の意味で単射であるとは、任意のスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) が スキームの単射によって表現されることをいう。これはちょうど \(Z \times_Y X \to Z\) が \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の層の単射であることを意味する。 これがすべての \(Z\) とすべての写像 \(Z \to Y\) について成り立つべきなので、 さらにこれは、写像 \(X \to Y\) が \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の層の単射であることと 同値である。したがって、代数空間の（必ずしも表現可能でない ³）射の単射を 次のように定義できる。

定義

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の代数空間の射が層の単射、すなわち \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の層の圏における単射であるとき、その射を 単射という。

次の補題は、これが \(S\) 上の代数空間の圏における単射でもあることを示す。

補題

\(S\) をスキームとし、\(j : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(j\) は単射である（Definition 042L の意味で）。

2. \(j\) は \(S\) 上の代数空間の圏における単射である。

3. 対角射 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) は同型である。

証明

\(X \times_Y X\) は \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の層の圏におけるファイバー積であると 同時に、\(S\) 上の代数空間の圏におけるファイバー積でもある。 Spaces, Lemma 02X2 を参照。 (1) と (3) の同値性は、任意のサイト上の層の単射の一般的特徴づけである。 (2) と (3) の同値性は、ファイバー積をもつ任意の圏における単射の 特徴づけである。

補題

代数空間の単射は分離的である。

証明

これは同型が閉埋め込みであることと、上の Lemma 042M から従う。

補題

単射の合成は単射である。

証明

層の単射の合成が単射であることから従う。

補題

単射の基底変換は単射である。

証明

これは層の圏におけるファイバー積についての一般的事実である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は単射である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、\(f\) の基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) は単射である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 \(f\) の基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) は単射である。

4. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在し、 基底変換 \(V \times_Y X \to V\) は単射である。

5. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在し、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) は単射である。

証明

単射の基底変換が単射であることを、以下では断りなく用いる。 Lemma 042P を参照。とくに (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) は明らかである（\(V\) として \(Y\) 上エタールなアフィンスキームの 非交和を取る。Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照）。 \(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射とする。 \(V \times_Y X \to V\) が単射ならば、\(X \to Y\) も単射である。 実際、層の任意の Cartesian 図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{G} \ar[d]^c \\ \mathcal{H} \ar[r]^d & \mathcal{I} } } \quad \quad \mathcal{F} = \mathcal{H} \times_\mathcal{I} \mathcal{G}\] において、\(c\) が層の全射で \(a\) が単射ならば、\(d\) も単射である。 したがって (4) は (1) を含む。(5) と (1) の同値性の証明は省略する。

補題

代数空間の埋め込みは単射である。とくに、任意の埋め込みは分離的である。

証明

\(f : X \to Y\) を代数空間の埋め込みとする。\(Z\) が表現可能であるような 任意の射 \(Z \to Y\) に対して、基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) は スキームの埋め込み、したがって単射である。Schemes, Lemma 01L7 を参照。 ゆえに \(f\) は表現可能かつ単射である。

次の補題は Decent Spaces, Lemma 06RZ で強化される。

補題

\(S\) をスキームとする。\(k\) を体とし、\(Z \to \Spec(k)\) を \(S\) 上の代数空間の単射とする。このとき \(Z = \emptyset\) または \(Z = \Spec(k)\) である。

証明

Lemmas 042N および 04ZH により、\(Z\) は分離代数空間である。 したがってスキームである稠密開部分空間 \(Z' \subset Z\) が存在する。 Properties of Spaces, Proposition 06NH を参照。Schemes, Lemma 03DP により、 \(Z' = \emptyset\) または \(Z' \cong \Spec(k)\) である。 第一の場合には \(Z = \emptyset\)、第二の場合には \(Z \to \Spec(k)\) が \(Z'\) 上で同型となる単射であるため \(Z' = Z = \Spec(k)\) と結論する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) が \(S\) 上の代数空間の単射ならば、 \(|X| \to |Y|\) は単射である。

証明

定義から直ちに従う。

準連接層の順像

まず、代数空間の射に対する加群の層の順像と、スキームの射に対する 加群の層の順像を関係づける簡単な補題を証明する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(U \to X\) をスキームから \(X\) への全射エタール射とする。 \(R = U \times_X U\) とおき、通常どおり射影を \(t, s : R \to U\) と書く。 誘導される射を \(a : U \to Y\) および \(b : R \to Y\) と書く。 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) の任意の対象 \(\mathcal{F}\) に対して完全列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \to b_*(\mathcal{F}|_R)\] が存在し、第二の矢印は差 \(t^* - s^*\) である。

証明

\(\mathcal{F}\) という記号を、その \(X_{spaces, \etale}\) 上の 加群の層への拡張にも用いる。Properties of Spaces, Remark 03H7 を参照。 \(V \to Y\) を \(Y_\etale\) の対象とする。このとき \(V \times_Y X\) は \(X_{spaces, \etale}\) の対象であり、定義により \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V \times_Y X)\) である。 \(U \to X\) は全射エタールなので、 \(\{V \times_Y U \to V \times_Y X\}\) は被覆である。また \((V \times_Y U) \times_X (V \times_Y U) = V \times_Y R\) である。 したがって、\(X_{spaces, \etale}\) 上の \(\mathcal{F}\) の層条件により 短完全列 \[0 \to \mathcal{F}(V \times_Y X) \to \mathcal{F}(V \times_Y U) \to \mathcal{F}(V \times_Y R)\] を得る。ここで第二の矢印は \(t\) または \(s\) による制限の差である。 この完全列は \(V\) に関して関手的なので、補題を得る。

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の表現可能な代数空間 \(X\) および \(Y\) の準コンパクトかつ準分離な射とする。 Descent, Proposition 03LC により、関手 \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) は、 \(X\) と \(Y\) をスキームとみなしたときの通常の関手と一致する。

より一般に、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能、準コンパクト、 かつ準分離な射とする。\(V\) をスキームとし、 \(V \to Y\) を全射エタール射とする。\(U = V \times_Y X\) とおき、 \(f' : U \to V\) を \(f\) の基底変換とする。このとき任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して [04CF]\[\begin{equation} f'_*(\mathcal{F}|_U) = (f_*\mathcal{F})|_V, \end{equation}\] である。Properties of Spaces, Lemma 03LX を参照。 \(f' : U \to V\) はスキームの準コンパクトかつ準分離な射なので、 前段落の注意により、\(\mathcal{F}|_U\) をスキーム \(U\) 上の準連接層、 \(f'\) をスキームの射とみなすことで \(f'_*(\mathcal{F}|_U)\) を計算できる。 以下ではこれをしばしば断りなく用いる。

次の一般性の段階では、代数空間の任意の準コンパクトかつ準分離な射を考える。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が準コンパクトかつ準分離ならば、\(f_*\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群を準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群へ写す。

証明

\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。\(f_*\mathcal{F}\) が \(Y\) 上の 準連接層であることを示さなければならない。そのためには、任意の アフィンスキーム \(V\) とエタール射 \(V \to Y\) に対して、 \(f_*\mathcal{F}\) の \(V\) への制限が準連接であることを示せば十分である。 Properties of Spaces, Lemma 03M0 を参照。 \(f' : V \times_Y X \to V\) を \(V \to Y\) による \(f\) の基底変換とする。 Lemmas 03HF および 03KL により、\(f'\) も準コンパクトかつ 準分離であることに注意する。 (04CF) により、 \(f_*\mathcal{F}\) の \(V\) への制限は、\(\mathcal{F}\) の \(V \times_Y X\) への制限の \(f'_*\) である。したがって \(f\) を \(f'\) で 置き換え、\(Y\) がアフィンスキームであると仮定してよい。

\(Y\) がアフィンスキームであると仮定する。\(f\) は準コンパクトなので \(X\) は準コンパクトである。したがって、アフィンスキーム \(U\) と 全射エタール射 \(U \to X\) を選べる。Properties of Spaces, Lemma 03H6 を参照。 Lemma 03M8 により完全列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \to b_*(\mathcal{F}|_R).\] を得る。ここで \(R = U \times_X U\) である。\(X \to Y\) は準分離なので、 \(R \to U \times_Y U\) は準コンパクトな単射である。このことから \(R\) は準コンパクトな分離スキームである （この時点で \(U\) と \(Y\) はアフィンである）。 したがって \(a : U \to Y\) および \(b : R \to Y\) は スキームの準コンパクトかつ準分離な射である。ゆえに Descent, Proposition 03LC により、層 \(a_*(\mathcal{F}|_U)\) および \(b_*(\mathcal{F}|_R)\) は 準連接である（この補題の前の議論も参照）。 よって \(f_*\mathcal{F}\) は準連接加群間の射の核であり、それ自身準連接である。 Properties of Spaces, Lemma 03M1 を参照。

高次順像については Cohomology of Spaces, Section 071Y で論じる。

埋め込み

代数空間の開埋め込み、閉埋め込み、および局所閉埋め込みは Spaces, Section 02YT で定義した。 すなわち、代数空間の射が 閉埋め込み （それぞれ 開埋め込み、埋め込み）であるとは、 それが表現可能であり、Section 03HA の意味で 閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）であることをいう。

とくに、これらの型の射は基底変換で安定であり、\(S\) 上の代数空間の圏で 射の合成について安定である。Spaces, Lemmas 02YV および 02YW を参照。

補題

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）である。

4. あるスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) が存在し、 \(V \times_Y X \to V\) は閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）である。

5. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) が存在し、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) は閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）である。

証明

閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）の基底変換が同じ型であることを 用いれば、(1) が (2) を含み、(2) が (3) を含むことは明らかである。 また、Properties of Spaces, Lemma 03FX により、 \(V\) をアフィンの非交和として取れるので、(3) は (4) を含む。

\(V \to Y\) を (4) のとおりと仮定する。\(\mathcal{P}\) を スキームの射の性質「閉埋め込み（それぞれ開埋め込み、埋め込み）」とする。 性質 \(\mathcal{P}\) は任意の基底変換で保たれ、基底上 fppf 局所的である （Section 03HA を参照）。 さらに、型 \(\mathcal{P}\) の射は分離的かつ局所準有限である （三つの各場合について Schemes, Lemma 01L7 および Morphisms, Lemma 01TN を参照）。 したがって More on Morphisms, Lemma 02W8 により、型 \(\mathcal{P}\) の射は fppf 被覆に関する降下を満たす。 ゆえに Spaces, Lemma 03I2 を適用でき、 \(X \to Y\) は表現可能で性質 \(\mathcal{P}\) をもつ、すなわち (1) が成り立つ。

(1) と (5) の同値性は、\(\mathcal{P}\) が標的上 Zariski 局所的であることから 従う（実際、上で \(\mathcal{P}\) は標的上 fppf 局所的であることを見た）。

補題

\(S\) をスキームとし、\(Z \to Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(Z \to X\) が表現可能、局所有限型、局所準有限、分離的、かつ単射ならば、 \(Z \to Y\) は表現可能、局所有限型、局所準有限、分離的、かつ単射である。

2. \(Z \to X\) が埋め込みで \(Y \to X\) が局所分離的ならば、 \(Z \to Y\) は埋め込みである。

3. \(Z \to X\) が閉埋め込みで \(Y \to X\) が分離的ならば、 \(Z \to Y\) は閉埋め込みである。

証明

各場合に、可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & Y \times_X Z \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ & Y \ar[r] & X }\] を考えればよい。上の水平矢印の合成は恒等射である。 (1) を証明しよう。第一の水平矢印は \(Y \times_X Z \to Z\) の切断なので、 Lemma 03KP により、表現可能、局所有限型、 局所準有限、分離的、かつ単射である。矢印 \(Y \times_X Z \to Y\) は \(Z \to X\) の基底変換なので、表現可能、局所有限型、局所準有限、 分離的、かつ単射である （スキームの射のこれらの性質はいずれも基底変換で安定である。 Spaces, Remark 02WF を参照）。 したがって合成についても同じことが成り立つ （スキームの射のこれらの性質はいずれも合成で安定である。 Spaces, Remark 02WG を参照）。 (1) が示された。他の結果もまったく同様に証明される。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の埋め込みとする。 このとき \(|i| : |Z| \to |X|\) は局所閉部分集合の上への同相写像であり、 \(i\) が閉埋め込みであることと、像 \(|i|(|Z|) \subset |X|\) が閉部分集合であることは同値である。

証明

第一の主張は Properties of Spaces, Lemma 0ABJ である。 \(U\) をスキームとし、\(U \to X\) を全射エタール射とする。 仮定により \(T = U \times_X Z\) はスキームであり、射 \(j : T \to U\) は スキームの埋め込みである。Lemma 03M4 により、 \(i\) が閉埋め込みであることと \(j\) が閉埋め込みであることは同値である。 Schemes, Lemma 01IQ により、 これは \(j(T)\) が \(U\) で閉であることと同値である。 しかし、部分集合 \(j(T) \subset U\) は \(|i|(|Z|) \subset |X|\) の逆像である。Properties of Spaces, Lemma 03H4 を参照。これで証明が完了する。

注意

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の埋め込みとする。 \(i\) は単射なので、\(|Z|\) を \(|X|\) の部分集合とみなしてよい。 この注意の残りではそうする。\(\partial |Z|\) を、位相空間 \(|X|\) における \(|Z|\) の境界とする。式では \[\partial |Z| = \overline{|Z|} \setminus |Z|.\] である。\(\partial Z\) を、被約誘導閉部分空間構造を取って得られる \(X\) の被約閉部分空間で \(|\partial Z| = \partial |Z|\) となるものとする。 Properties of Spaces, Definition 047X を参照。 構成により、\(|Z|\) は \(|X| \setminus |\partial Z| = |X \setminus \partial Z|\) で閉である。 したがって、代数空間の任意の埋め込みは、閉埋め込みとそれに続く開埋め込みに 分解できる（一般には逆順にはできない。Morphisms, Example 01QW を参照）。

注意

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(T \subset |X|\) を局所閉部分集合とする。\(\partial T\) を 位相空間 \(|X|\) における \(T\) の境界とする。式では \[\partial T = \overline{T} \setminus T.\] である。\(U \subset X\) を、\(|U| = |X| \setminus \partial T\) となる \(X\) の開部分空間とする。Properties of Spaces, Lemma 03BZ を参照。 \(Z\) を、被約誘導閉部分空間構造を取って得られる \(U\) の被約閉部分空間で \(|Z| = T\) となるものとする。Properties of Spaces, Definition 047X を参照。 構成により \(Z \to U\) は代数空間の閉埋め込みであり、\(U \to X\) は 開埋め込みなので、\(Z \to X\) は \(S\) 上の代数空間の埋め込みである （Spaces, Lemma 02YV を参照）。 \(Z\) は被約代数空間であり、\(|X|\) の部分集合として \(|Z| = T\) であることに 注意する。\(Z\) を \(T\) 上の 被約誘導部分空間構造と呼ぶことがある。

補題

\(S\) をスキームとし、\(Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の埋め込みとする。 \(Z \to X\) が準コンパクトであると仮定する。このとき \(Z \to \overline{Z} \to X\) という分解が存在し、 \(Z \to \overline{Z}\) は開埋め込み、\(\overline{Z} \to X\) は閉埋め込みである。

証明

\(U\) をスキームとし、\(U \to X\) を全射エタール射とする。通常どおり \(R = U \times_X U\) と書き、射影を \(s, t : R \to U\) とする。 \(T = Z \times_U X\) とおく。\(\overline{T} \subset U\) を \(T \to U\) のスキーム論的像とする。準コンパクト射のスキーム論的像を取ることは 平坦基底変換と可換なので \(s^{-1}\overline{T} = t^{-1}\overline{T}\) であることに注意する。 Morphisms, Lemma 081I を参照。 したがって、\(U\) への引き戻しが \(\overline{T}\) となる閉部分空間 \(\overline{Z} \subset X\) を得る。Properties of Spaces, Lemma 07TW を参照。 Morphisms, Lemma 01RG により、 射 \(T \to \overline{T}\) は開埋め込みである。 したがって \(Z \to \overline{Z}\) は開埋め込みであり、証明が完了する。

閉埋め込み

本節では、代数空間の埋め込みについて先に得た結果のいくつかを詳しく述べる。 Spaces, Section 02YT および本章の Section 03HB を参照。本節は代数空間に対する Morphisms, Section 01QN の類似である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 任意の閉埋め込み \(i : Z \to X\) に対して、層 \(i_*\mathcal{O}_Z\) は 準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、写像 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) は全射で、その核は 準連接なイデアル層である。規則 \(Z \mapsto \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) は 包含関係を逆転する全単射 \[\begin{matrix} \text{閉部分空間}\\ Z \subset X \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{準連接な層}\\ \text{イデアル }\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X \end{matrix}\] を定める。さらに、準連接なイデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) に対応する閉部分スキーム \(Z\) が 与えられたとき、代数空間の射 \(h : Y \to X\) が \(Z\) を経由するための 必要十分条件は、写像 \(h^*\mathcal{I} \to h^*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) が零であることである。

証明

\(U \to X\) を、始域がスキームである全射エタール射とする。図式 \[\xymatrix{ U \times_X Z \ar[r] \ar[d]_{i'} & Z \ar[d]^i \\ U \ar[r] & X }\] を考える。Lemma 03M4 により、 \(i\) が閉埋め込みであることと \(i'\) が閉埋め込みであることは同値である。 Properties of Spaces, Lemma 03LX により、 \(i'_*\mathcal{O}_{U \times_X Z}\) は \(i_*\mathcal{O}_Z\) の \(U\) への制限である。 したがって \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) に関する主張は、 \(\mathcal{O}_U \to i'_*\mathcal{O}_{U \times_X Z}\) に関する対応する主張と 同値である。\(i'\) はスキームの閉埋め込みなので、これらの結果は Morphisms, Lemma 01QO から従う。

準連接なイデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) が与えられたとき、 式 \[Z(T) = \{h : T \to X \mid h^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_T \text{ は零である}\}\] が \(X\) の閉部分空間を定めることを証明しよう。 これは明らかに \(X\) の部分関手である。\(Z \to X\) が閉埋め込みにより 表現されることを示すため、スキームから \(X\) への射 \(\varphi : U \to X\) を取る。このとき \(Z \times_X U\) は、 イデアル層 \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\) に対応する \(U\) の同様な部分関手によって表現される。Properties of Spaces, Lemma 03GA により、 \(\mathcal{O}_U\)-加群 \(\varphi^*\mathcal{I}\) は \(U\) 上準連接であり、 したがって \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\) は \(U\) 上の準連接なイデアル層である。Schemes, Lemma 01HP により、 \(Z \times_X U\) は \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\) に 付随する \(U\) の閉部分スキームによって表現されると結論する。 ゆえに \(Z\) は \(X\) の閉部分空間である。

上の \(Z\) の式では、代数空間が \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の層なので、 入力 \(T\) はスキームである。同じ式が \(T\) が代数空間の場合にも 成り立つことの確認は省略する。

定義

\(S\) をスキームとし、\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Z \subset X\) を閉部分空間とする。閉部分空間 \(Z\) の逆像 \(f^{-1}(Z)\) とは、\(Y\) の閉部分空間 \(Z \times_X Y\) のことである。

この定義は Lemma 03M4 により意味をもつ。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) が Lemma 03MB によって \(Z\) に対応する準連接な イデアル層ならば、 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y = \Im(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\) は \(f^{-1}(Z)\) に対応するイデアル層である。

補題

代数空間の閉埋め込みは準コンパクトである。

証明

これは Schemes, Lemma 01K7 から一般原理によって従う。 Spaces, Lemma 02YO を参照。

補題

代数空間の閉埋め込みは分離的である。

証明

これは Schemes, Lemma 01L7 から 一般原理によって従う。Spaces, Lemma 02YO を参照。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の閉埋め込みとする。

1. 関手 \[i_{small, *} : \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] は充満忠実であり、その本質像は \(X_\etale\) 上の集合の層 \(\mathcal{F}\) で、その \(X \setminus Z\) への制限が \(*\) と同型なものからなる。

2. 関手 \[i_{small, *} : \textit{Ab}(Z_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] は充満忠実であり、その本質像は台が \(|Z|\) に含まれる \(X_\etale\) 上のアーベル層からなる。

いずれの場合も、\(i_{small}^{-1}\) は関手 \(i_{small, *}\) の左逆である。

証明

\(U\) をスキームとし、\(U \to X\) を全射エタール射とする。 \(V = Z \times_X U\) とおく。このとき \(V\) はスキームであり、 \(i' : V \to U\) はスキームの閉埋め込みである。Properties of Spaces, Lemma 03LR により、 \(Z\) 上の任意の層 \(\mathcal{G}\) に対して \[(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G})|_V = (i')_{small}^{-1}i'_{small, *}(\mathcal{G}|_V)\] である。Étale Cohomology, Proposition 04CA により、写像 \((i')_{small}^{-1}i'_{small, *}(\mathcal{G}|_V) \to \mathcal{G}|_V\) は同型である。\(V \to Z\) は全射かつエタールなので、これは \(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) が同型であることを 意味する。このことから \(i_{small, *}\) が充満忠実であることは明らかである。 Sites, Lemma 04D6 を参照。 本質像に関する主張を証明するため、\(X_\etale\) 上の集合の層 \(\mathcal{F}\) で、その \(X \setminus Z\) への制限が \(*\) と同型なものを考える。 Étale Cohomology, Proposition 04CA の証明と同様に、 随伴写像 \[\mathcal{F} \longrightarrow i_{small, *}i_{small}^{-1}\mathcal{F}.\] を考える。第一の部分と同様に、スキームの場合の対応する結果により、 この写像の \(U\) への制限は同型である。\(U\) は \(X\) のエタール被覆なので、 これは同型であると結論する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の閉埋め込みとする。 \(\overline{z}\) を \(Z\) の幾何点とし、その \(X\) における像を \(\overline{x}\) とする。このとき \(Z_\etale\) 上の任意の層 \(\mathcal{F}\) に対して \((i_{small, *}\mathcal{F})_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) である。

証明

\(\overline{x}\) のエタール近傍 \((U, \overline{u})\) を選ぶ。このとき茎 \((i_{small, *}\mathcal{F})_{\overline{z}}\) は \(i_{small, *}\mathcal{F}|_U\) の \(\overline{u}\) における茎である。 Properties of Spaces, Lemma 03LR により、 \(X\) を \(U\) で、\(Z\) を \(Z \times_X U\) で置き換えてよい。 すると \(Z \to X\) はスキームの閉埋め込みであり、結果は Étale Cohomology, Lemma 04FX である。

次の補題は閉トポスの埋め込みという設定でより一般に成り立つ （ここに将来の参照を挿入）。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の閉埋め込みとする。 \(\mathcal{A}\) を \(X_\etale\) 上の環の層とし、\(\mathcal{B}\) を \(Z_\etale\) 上の環の層とする。\(\varphi : \mathcal{A} \to i_{small, *}\mathcal{B}\) を環の層の準同型とし、これによって環付きトポスの射 \[f : (\Sh(Z_\etale), \mathcal{B}) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{A}).\] を得るとする。\(\mathcal{A}\)-加群の層 \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{B}\)-加群の層 \(\mathcal{G}\) に対して、標準写像 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{A} f_*\mathcal{G} \longrightarrow f_*(f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{G}).\] は同型である。

証明

この写像は、\(\text{id} : f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}\) と随伴写像 \(f^* f_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) から得られる写像 \[f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} f^* f_*\mathcal{G} = f^*(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{A} f_*\mathcal{G}) \longrightarrow f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{G}\] に随伴する写像である。これが同型であることは茎で確かめてよい （Properties of Spaces, Theorem 04K5）。 \(\overline{z} : \Spec(k) \to Z\) を幾何点とし、その像を \(\overline{x} = i \circ \overline{z} : \Spec(k) \to X\) とする。 写像が茎に及ぼす作用を書き下すと、示すべきことは \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}}} \mathcal{G}_{\overline{z}} = (\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}}} \mathcal{B}_{\overline{z}}) \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{z}}} \mathcal{G}_{\overline{z}}\] となり、これは成り立つ。ここでは、テンソル積を取ることが茎を取ることと 可換であること、引き戻しのもとでの茎の振る舞い Properties of Spaces, Lemma 04K2、および閉埋め込みに沿う 順像のもとでの茎の振る舞い Lemma 0DK1 を用いた。

閉埋め込みと準連接層

本節は Morphisms, Section 01QX の類似である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の閉埋め込みとする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Z\) を切り出す準連接なイデアル層とする。

1. 任意の \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して、随伴写像 \(\mathcal{F} \to i_*i^*\mathcal{F}\) は同型 \(\mathcal{F}/\mathcal{I}\mathcal{F} \cong i_*i^*\mathcal{F}\) を誘導する。

2. 関手 \(i^*\) は \(i_*\) の左逆である。すなわち任意の \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) に対して、随伴写像 \(i^*i_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) は同型である。

3. 関手 \[i_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] は完全かつ充満忠実であり、その本質像は \(\mathcal{I}\mathcal{F} = 0\) を満たす準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) からなる。

証明

この証明では小エタールサイト上の層だけを扱い、アーベル群の層の 順像および逆像を \(i_{small, *}, i_{small}^{-1}\) ではなく \(i_*, i^{-1}, \ldots\) と書く。

\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 Lemma 04G0 を \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_X\) および \(\mathcal{G} = \mathcal{B} = \mathcal{O}_Z\) として適用すると、 \(i_*i^*\mathcal{F} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z\) を得る。Lemma 03MB により短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] を得る。テンソル積の性質から \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{F}/\mathcal{I}\mathcal{F}\) が従う。これで (1) が示された （ただし写像が随伴写像から誘導されることの確認は省略する）。

\(\mathcal{G}\) を任意の \(\mathcal{O}_Z\)-加群とする。Lemma 04E5 により \(i^{-1}i_*\mathcal{G} = \mathcal{G}\) である。したがって (2) を示すには、 標準写像 \(\mathcal{G} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z \to \mathcal{G}\) が同型であることを示さなければならない。これは \(i^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z\) が全射であることを示せば、 テンソル積の一般的性質から従う。Lemma 04E5 により、写像 \(i_*i^{-1}\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) が全射であることを 証明すれば十分である。全射 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) は この写像を経由するので、(2) が成り立つ。

最後に、補題の最も興味深い部分である (3) を証明する。 閉埋め込みは準コンパクトかつ分離的である。Lemmas 04CG および 04CH を参照。 したがって Lemma 03M9 を適用でき、 \(Z\) 上の準連接層の順像は実際に \(X\) 上の準連接層である。 これにより関手 \(i^{QCoh}_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) を得る。 (2) により \(i^{QCoh}_*\) は左逆 \(i^*\) をもつので、充満忠実である。

次に関手 \(i_*\) の本質像を記述する。\(\mathcal{I}\) は写像 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) の核であり、この写像を使って \(i_*\mathcal{G}\) に \(\mathcal{O}_X\)-加群構造を入れるので、任意の \(\mathcal{O}_Z\)-加群について \(\mathcal{I}(i_*\mathcal{G}) = 0\) は明らかである。 次に、\(\mathcal{I}\mathcal{F} = 0\) を満たす任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) を考える。 \(i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) なので、 \(\mathcal{F}\) は \(i_*\mathcal{O}_Z\)-加群である。とくに、その台は \(|Z|\) に含まれる。Lemma 04E5 を適用すると、 ある \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) に対して \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\) である。残る小さな点は \(\mathcal{G}\) が準連接である理由である。これは (2) と Properties of Spaces, Lemma 03GA により \(\mathcal{G} \cong i^*\mathcal{F}\) だからである。

\(i : Z \to X\) を代数空間の閉埋め込みとする。 上の補題により、記号の濫用として、\(X\) 上の層 \(i_*\mathcal{F}\) を \(\mathcal{F}\) と書くことが多い。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-部分加群とする。 次の性質をもつ一意な準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) が存在する。任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{H}\) に対して写像 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G}') \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G})\] は全単射である。とくに \(\mathcal{G}'\) は、\(\mathcal{G}\) に含まれる \(\mathcal{F}\) の最大の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群である。

証明

\(\mathcal{G}_a\), \(a \in A\) を、\(\mathcal{G}\) に含まれる準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群の集合とする。このとき \[\bigoplus\nolimits_{a \in A} \mathcal{G}_a \longrightarrow \mathcal{F}\] の像 \(\mathcal{G}'\) は準連接である。実際、\(X\) 上の準連接層の射の像は 準連接であり、準連接層の直和も準連接である。Properties of Spaces, Lemma 03M1 を参照。 加群 \(\mathcal{G}'\) は \(\mathcal{G}\) に含まれる。したがってこれは \(\mathcal{G}\) に含まれる最大の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

式を証明するため、\(\mathcal{H}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群写像とする。 合成 \(\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) の像は、 準連接層の射の像として準連接である。したがってそれは \(\mathcal{G}'\) に含まれる。ゆえに望みどおり \(\alpha\) は \(\mathcal{G}'\) を経由する。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の閉埋め込みとする。 \(i_*\) の右随伴となる関手⁴ \(i^! : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\) が存在する。（Modules, Lemma 01AZ と比較せよ。）

証明

準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{G}\) が与えられたとき、 \(\mathcal{I}\) によって零化される局所切断からなる \(\mathcal{G}\) の部分層 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})\) を考える。Lemma 04CK により、標準的な最大の 準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})'\) がある。 構成により、任意の準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{G})') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] である。したがって \(i^!\mathcal{G} = i^*(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})')\) とおける。 詳細は省略する。

準連接なイデアル層と閉部分空間の \(1\) 対 \(1\) 対応 （Lemma 03MB を参照）を用いると、 閉部分スキームのスキーム論的交叉と和を定義できる。

定義

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(Z, Y \subset X\) を、準連接なイデアル層 \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) に対応する閉部分空間とする。 \(Z\) と \(Y\) の スキーム論的交叉とは、 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\) によって切り出される \(X\) の閉部分空間である。 \(Z\) と \(Y\) の スキーム論的和とは、 \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J}\) によって切り出される \(X\) の閉部分空間である。

スキーム論的交叉を作ることがエタール局所化と可換であることは明らかであり、 スキーム論的和についても同様である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(Z, Y \subset X\) を閉部分空間とし、\(Z \cap Y\) を \(Z\) と \(Y\) の スキーム論的交叉とする。このとき \(Z \cap Y \to Z\) および \(Z \cap Y \to Y\) は閉埋め込みであり、 \[\xymatrix{ Z \cap Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ Y \ar[r] & X }\] は \(S\) 上の代数空間の Cartesian 図式である。すなわち \(Z \cap Y = Z \times_X Y\) である。

証明

射 \(Z \cap Y \to Z\) および \(Z \cap Y \to Y\) は Lemma 03MB により閉埋め込みである。 スキーム論的交叉を作ることはエタール局所化と可換なので、 スキームの場合から図式が Cartesian であると結論する。 Morphisms, Lemma 0C4I を参照。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(Y, Z \subset X\) を閉部分空間とする。 \(Y \cup Z\) を \(Y\) と \(Z\) のスキーム論的和とし、 \(Y \cap Z\) を \(Y\) と \(Z\) のスキーム論的交叉とする。 このとき \(Y \to Y \cup Z\) および \(Z \to Y \cup Z\) は閉埋め込みであり、 \(\mathcal{O}_Z\)-加群の短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Y \times \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\] が存在し、図式 \[\xymatrix{ Y \cap Z \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y \cup Z }\] は \(S\) 上の代数空間の圏で余 Cartesian である。すなわち \(Y \cup Z = Y \amalg_{Y \cap Z} Z\) である。

証明

射 \(Y \to Y \cup Z\) および \(Z \to Y \cup Z\) は Lemma 03MB により閉埋め込みである。 短完全列では Lemma 04CJ の同値を用い、 \(X\) の閉部分空間上の準連接加群を \(X\) 上の準連接加群とみなす。 列の第一の写像には標準写像 \(\mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Y\) および \(\mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Z\) を用い、 第二の写像には標準写像 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z}\) と、標準写像 \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z}\) の負を用いる。 完全性はエタール局所的に確認でき、スキームの場合 （Morphisms, Lemma 0C4J）から従う。

図式が余 Cartesian であることを示すため、\(S\) 上の代数空間 \(T\) と、 \(Y \cap Z \to T\) として一致する射 \(f : Y \to T\) および \(g : Z \to T\) が与えられたと仮定する。目標は、\(f\) と \(g\) に一致する 一意な射 \(h : Y \cup Z \to T\) が存在することを示すことである。 \(h\) の構成は \(Y \cup Z\) 上エタール局所的に行ってよい （\(Y \cup Z\) は代数空間なのでエタール層である）。 したがって \(X\) はスキームであると仮定してよい。この場合、 Morphisms, Lemma 0C4J により、 \(Y \cup Z\) はスキームの圏で \(Y \cap Z\) に沿う \(Y\) と \(Z\) の押し出しである。 スキーム \(T'\) と全射エタール射 \(T' \to T\) を選ぶ。 \(Y' = T' \times_{T, f} Y\) および \(Z' = T' \times_{T, g} Z\) とおく。このとき \(Y'\) と \(Z'\) はスキームであり、 スキームの標準同型 \(\varphi : Y' \times_Y (Y \cap Z) \to Z' \times_Z (Y \cap Z)\) がある。More on Morphisms, Lemma 0B7M により、押し出し \(W' = Y' \amalg_{Y' \times_Y (Y \cap Z), \varphi} Z'\) は スキームの圏に存在する。More on Morphisms, Lemma 0CYY により射 \(W' \to Y \cup Z\) はエタールである。 \(Y' \to Y\) と \(Z' \to Z\) が全射なので、これは全射である。 射 \(f' : Y' \to T'\) および \(g' : Z' \to T'\) は、 一意なスキームの射 \(h' : W' \to T'\) に貼り合わされる。 一意性により、合成 \(W' \to T' \to T\) は望む射 \(h : Y \cup Z \to T\) に降下する。いくつかの詳細は省略する。

加群の台

本節では、代数空間上の準連接加群の台に関するいくつかの初等的結果を集める。 \(X\) を代数空間とする。\(X_\etale\) 上のアーベル層の台は Properties of Spaces, Section 04K7 で定義した。 加群の台にも同じ定義を用いる。次の補題は、これがスキーム上の 準連接加群について定義された概念と一致することを述べる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(U\) をスキームとし、\(\varphi : U \to X\) をエタール射とする。このとき \[\text{Supp}(\varphi^*\mathcal{F}) = |\varphi|^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\] である。ここで左辺はスキーム \(U\) 上の準連接加群としての \(\varphi^*\mathcal{F}\) の台である。

証明

\(u\in U\) を（通常の）点とし、\(\overline{x}\) を \(u\) 上の幾何点とする。 Properties of Spaces, Lemma 05VP により \((\varphi^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) である。 Properties of Spaces, Lemma 04KF により \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は強 Hensel 化なので、 忠実平坦である（More on Algebra, Lemma 07QM を参照）。 したがって \((\varphi^*\mathcal{F})_u = 0\) であることと \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = 0\) であることは同値である。 これで補題が示された。

有限型準連接加群の台は閉であり、ファイバー上で確認でき、 基底変換と可換である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき

1. \(\mathcal{F}\) の台は閉である。

2. \(x \in |X|\) 上の幾何点 \(\overline{x}\) に対して \[x \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0 \Leftrightarrow \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \kappa(\overline{x}) \not = 0.\]

3. 代数空間の任意の射 \(f : Y \to X\) に対して、引き戻し \(f^*\mathcal{F}\) も有限型であり、 \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}) = f^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) である。

証明

スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) を選ぶ。 Lemma 07TY により、\(\mathcal{F}\) の台の逆像は \(\varphi^*\mathcal{F}\) の台であり、Morphisms, Lemma 056J により閉である。 したがって (1) は \(|X|\) の位相の定義から従う。

(2) の第一の同値性は台の定義である。第二の同値性は Nakayama の補題から 従う。Algebra, Lemma 00DV を参照。

\(f : Y \to X\) を (3) のとおりとする。Properties of Spaces, Section 05VR により、 \(f^*\mathcal{F}\) は有限型である。最後の主張について、 \(Y\) の幾何点 \(\overline{y}\) が \(X\) の幾何点 \(\overline{x}\) に写るとする。 \[(f^*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}},\] であることを思い出す。Properties of Spaces, Lemma 05VQ を参照。 したがって \((f^*\mathcal{F})_{\overline{y}} \otimes \kappa(\overline{y})\) が非零であることと \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes \kappa(\overline{x})\) が非零であることは 同値である。(2) により、これは \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) と \(y \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\) の同値性、すなわち主張 (3) を与える。

次の課題は、有限型準連接加群のスキーム論的台 （Morphisms, Definition 05JV を参照）が 代数空間上の有限型準連接加群についても意味をもつことを示すことである。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) で \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\) となるものが存在するような 最小の閉部分空間 \(i : Z \to X\) が存在する。さらに次が成り立つ。

1. \(U\) がスキームで \(\varphi : U \to X\) がエタール射ならば、 \(Z \times_X U\) は \(\varphi^*\mathcal{F}\) のスキーム論的台である。

2. 準連接層 \(\mathcal{G}\) は一意な同型を除いて一意である。

3. 準連接層 \(\mathcal{G}\) は有限型である。

4. \(\mathcal{G}\) と \(\mathcal{F}\) の台は \(|Z|\) である。

証明

スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) を選ぶ。 \(R = U \times_X U\) とし、射影を \(s, t : R \to U\) とする。 \(i' : Z' \to U\) を \(\varphi^*\mathcal{F}\) のスキーム論的台とし、 \(\mathcal{G}'\) を、一意な同型を除いて一意な有限型準連接 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-加群で \(i'_*\mathcal{G}' = \varphi^*\mathcal{F}\) となるものとする。 Morphisms, Lemma 05JU を参照。 \(s^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*\varphi^*\mathcal{F}\) なので、 Morphisms, Lemma 07T9 により、 \(R\) の閉部分スキームとして \(R' = s^{-1}Z' = t^{-1}Z'\) である。 したがって Properties of Spaces, Lemma 07TW を適用し、 \(U\) への引き戻しが \(Z'\) となる閉部分空間 \(i : Z \to X\) を得る。 射影を \(s', t' : R' \to Z'\) と書き、与えられた閉埋め込みを \(j' : R' \to R\) と書くと、 \[j'_* (s')^*\mathcal{G}' = s^* i'_*\mathcal{G}' = s^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*i'_*\mathcal{G}' = j'_*(t')^*\mathcal{G}'\] を得る（最初と最後の等式には Cohomology of Schemes, Lemma 02KH を用いた）。 そこで \(R' \to R\) に Morphisms, Lemma 07T9 の一意性を適用すると、 \(j'_*\) を介した標準同型 \(t^*\varphi^*\mathcal{F} = s^*\varphi^*\mathcal{F}\) と整合する同型 \(\alpha : (t')^*\mathcal{G}' \to (s')^*\mathcal{G}'\) を得る。 明らかに \(\alpha\) は余サイクル条件を満たすので、Properties of Spaces, Proposition 03M3 を適用し、 \(Z'\) への制限が \(\alpha\) と整合する \(\mathcal{G}'\) である \(Z\) 上の準連接加群 \(\mathcal{G}\) を得る。 再び上記命題の同値（今度は \(X\) について）を用いると、 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\) と結論する。

これで存在が示された。補題の他の性質は、Lemma 07TY を用いてスキームの場合の結果と比較すれば従う。 詳細な証明は省略する。

定義

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とは、Lemma 07U0 で構成した閉部分空間 \(Z \subset X\) のことである。

この状況では、Lemma 04CJ の圏同値を介して、 \(\mathcal{F}\) を \(Z\) 上の有限型準連接層とみなすことが多い。

スキーム論的像

注意：この節の内容の一部は極めて一般的なものであり、 予想とは異なる振る舞いをすることがある。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 閉部分空間 \(Z \subset Y\) であって \(f\) が \(Z\) を経由し、かつ、任意の 他の閉部分空間 \(Z' \subset Y\) に対して、\(f\) が \(Z'\) を経由するならば \(Z \subset Z'\) となるものが存在する。

証明

\(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\) とおく。 \(\mathcal{I}\) が準連接ならば、Lemma 03MB を参照して、\(\mathcal{I}\) が定める閉部分スキームを \(Z\) とすればよい。 一般の場合には、\(\mathcal{I}\) に含まれる最大の準連接イデアル層 \(\mathcal{I}'\) が存在することを示す必要がある。 これは Lemma 04CK から従う。

上の Lemma 082X の状況で \(X\) と \(Y\) が 表現可能であるとする。このとき、補題で得られた閉部分空間 \(Z \subset Y\) は、Morphisms, Lemma 01R6 で得られる閉部分スキーム \(Z \subset Y\) と一致する。その理由は、閉部分空間（または閉部分スキーム）と \(X_\etale\) および \(X\) 上の準連接イデアル層との間に、包含を逆転する対応が あるからである。\(X_\etale\) 上と \(X\) 上の準連接加群の圏は同じなので （Properties of Spaces, Section 03G5）、結論を得る。 したがって次の定義は、スキームの射に対する先の定義と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) の スキーム論的像とは、\(f\) が経由する最小の閉部分空間 \(Z \subset Y\) のことである。上の Lemma 082X を参照せよ。

\(f\) のこの分解を単に \(f : X \to Z\) と表すことが多い。 射 \(f\) が準コンパクトでなければ、一般には、スキーム論的像の構成は \(Y\) の開部分空間への制限と可換しない。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Z \subset Y\) を \(f\) のスキーム論的像とする。 \(f\) が準コンパクトならば、

1. イデアル層 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\) は準連接であり、

2. スキーム論的像 \(Z\) は \(\mathcal{I}\) に対応する閉部分空間であり、

3. 任意のエタール射 \(V \to Y\) に対して、 \(X \times_Y V \to V\) のスキーム論的像は \(Z \times_Y V\) に等しく、

4. 像 \(|f|(|X|) \subset |Z|\) は \(|Z|\) の稠密部分集合である。

証明

\(\mathcal{I}\) の形成はエタール局所化と可換するので、(3) を示すには (1) と (2) を示せば十分である。(1) が成り立てば、Lemma 082X の証明で (2) を示している。 \(\mathcal{I}\) が準連接であることを示そう。準連接であるという性質は エタール局所的なので、\(Y\) はアフィンスキームであると仮定してよい。 \(f\) は準コンパクトなので、アフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X\) を取ることができる。合成 \(U \to X \to Y\) を \(f'\) と表す。 このとき \(f_*\mathcal{O}_X\) は \(f'_*\mathcal{O}_U\) の部分層であり、したがって \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X'})\) である。 Lemma 03M9 により、層 \(f'_*\mathcal{O}_U\) は \(Y\) 上準連接である。 ゆえに \(\mathcal{I}\) は連接加群間の写像の核として準連接である。 最後に、\(|f|(|X|)\) の閉包に含まれない \(|Y|\) の任意の点では イデアル \(\mathcal{I}\) が単位イデアルとなるので、(4) は (1)、(2)、(3) から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(X\) が被約であると仮定する。このとき

1. \(f\) のスキーム論的像 \(Z\) は、\(\overline{|f|(|X|)}\) 上に誘導される 被約代数空間構造であり、

2. 任意のエタール射 \(V \to Y\) に対して、 \(X \times_Y V \to V\) のスキーム論的像は \(Z \times_Y V\) に等しい。

証明

(1) が成り立つのは、\(\overline{|f|(|X|)}\) 上に誘導される被約代数空間構造が、 \(f\) が経由する \(Y\) の最小の閉部分空間だからである。Properties of Spaces, Lemma 03JJ を参照せよ。 (2) は (1)、\(|V| \to |Y|\) が開写像であること、および被約性が エタール局所化で保たれることから従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の準コンパクト射とする。 \(Z\) を \(f\) のスキーム論的像とする。\(z \in |Z|\) とする。 分数体 \(K\) をもつ付値環 \(A\) と可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \ar[ld] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] であって、\(\Spec(A)\) の閉点が \(z\) に写るものが存在する。

証明

点 \(z' \in V\) をもつアフィンスキーム \(V\) と、\(z'\) を \(z\) に写す エタール射 \(V \to Y\) を取る。 \(Z' \subset V\) を \(X \times_Y V \to V\) のスキーム論的像とする。 Lemma 082Z により \(Z' = Z \times_Y V\) である。したがって \(z' \in Z'\) である。 \(f\) は準コンパクトで \(V\) はアフィンなので、\(X \times_Y V\) は準コンパクトである。 したがって、アフィンスキーム \(W\) と全射エタール射 \(W \to X \times_Y V\) が存在する。このとき \(Z' \subset V\) は \(W \to V\) のスキーム論的像でもある。 Morphisms, Lemma 02JQ により、図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] であって、\(\Spec(A)\) の閉点が \(z'\) に写るものを取ることができる。 \(Z' \to Z\) および \(W \to X \times_Y V \to X\) と合成すれば所望の図式を得る。

補題

\(S\) をスキームとし、 \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r]^{f_2} & Y_2 }\] を \(S\) 上の代数空間の可換図式とする。 \(Z_i \subset Y_i\)、\(i = 1, 2\) を \(f_i\) のスキーム論的像とする。 このとき射 \(Y_1 \to Y_2\) は射 \(Z_1 \to Z_2\) および可換図式 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & Y_2 }\] を誘導する。

証明

\(Y_1\) における \(Z_2\) のスキーム論的逆像は、\(f_1\) が経由する \(Y_1\) の閉部分空間である。したがって \(Z_1\) はこの逆像に含まれる。 これで補題が示された。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の分離射とする。 \(V \subset Y\) を、\(V \to Y\) が準コンパクトであるような開部分空間とする。 \(s : V \to X\) を \(f \circ s = \text{id}_V\) を満たす射とする。 \(Y'\) を \(s\) のスキーム論的像とする。このとき \(Y' \to Y\) は \(V\) 上で同型である。

証明

Lemma 03KS により、射 \(s : V \to X\) は準コンパクトである。したがって Lemma 082Z により、\(s\) の スキーム論的像 \(Y'\) の構成は開集合への制限と可換する。 特に、\(Y' \cap f^{-1}(V)\) は分離射 \(f^{-1}(V) \to V\) の 切断のスキーム論的像であることが分かる。 分離射の切断は閉埋入なので（Lemma 03KP）、 \(Y' \cap f^{-1}(V) \to V\) は所望のように同型であると結論する。

スキーム論的閉包と稠密性

この節は Morphisms, Section 01RA に対応するものである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(W \subset S\) をスキーム論的に稠密な開部分スキーム （Morphisms, Definition 01RB）とする。 \(f : X \to S\) を、平坦、局所有限表示かつ局所準有限であるスキームの射とする。 このとき \(f^{-1}(W)\) は \(X\) でスキーム論的に稠密である。

証明

Morphisms, Lemma 01RE の特徴づけを用いる。 \(V \subset X\) を開集合とし、\(g \in \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) を \(f^{-1}(W) \cap V\) 上でゼロに制限される函数とする。 \(g = 0\) を示さなければならない。矛盾を導くため \(g \not = 0\) と仮定する。 More on Morphisms, Lemma 082V により、\(V\) を縮小し、 可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d]_\pi & X \ar[d]^f \\ U \ar[r] & S, }\] に収まる開集合 \(U \subset S\)、準連接部分層 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{O}_U\)、整数 \(r > 0\)、および像が \(g|_V\) を含む単射な \(\mathcal{O}_U\)-加群写像 \(\mathcal{F}^{\oplus r} \to \pi_*\mathcal{O}_V\) を見いだせる。 \((g_1, \ldots, g_r) \in \Gamma(U, \mathcal{F}^{\oplus r})\) が \(g\) に写るとする。 \(g|_{f^{-1}W \cap V} = 0\) なので、\(g_i|_{W \cap U} = 0\) であることが分かる。 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{O}_U\) であり、\(W\) は \(S\) で スキーム論的に稠密なので、\(g_i = 0\) である。 これは \(g = 0\) を意味し、所望の矛盾である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(U \subset X\) を開部分空間とする。 次の条件は同値である。

1. 代数空間の任意のエタール射 \(\varphi : V \to X\) に対して、 \(V\) における \(\varphi^{-1}(U)\) のスキーム論的閉包は \(V\) に等しい。

2. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(\varphi : V \to X\) であって、 \(V\) における \(\varphi^{-1}(U)\) のスキーム論的閉包が \(V\) に等しいものが存在する。

証明

\(V \to V'\) を \(X\) 上エタールな代数空間の射とし、\(Z \subset V\)、それぞれ \(Z' \subset V'\) を、\(V\)、それぞれ \(V'\) における \(U \times_X V\)、それぞれ \(U \times_X V'\) のスキーム論的閉包とする。 このとき \(Z\) は \(Z'\) の中へ写る。したがって \(V \to V'\) が全射かつ エタールならば、\(Z = V\) は \(Z' = V'\) を含意する。 次に、エタール射は平坦、局所有限表示かつ局所準有限であることに注意する （Morphisms, Section 02GH 参照）。 したがって Lemma 0832 により、\(V\) と \(V'\) がスキームならば、\(Z' = V'\) は \(Z = V\) を含意する。 すべての代数空間がスキームによるエタール被覆をもつことを用いる形式的議論から、 (1) と (2) は同値である。

Lemma 0833 から、次の定義が スキームの場合の定義と両立することが従う。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(U \subset X\) を開部分空間とする。

1. 射 \(U \to X\) のスキーム論的像を、 \(X\) における \(U\) のスキーム論的閉包という。

2. Lemma 0833 の同値な条件が満たされるとき、 \(U\) は \(X\) でスキーム論的に稠密であるという。

この定義では、\(U\) が \(X\) でスキーム論的に稠密であることと、 \(U\) のスキーム論的閉包が \(X\) であることとは、同値でない。 これはいささか洗練されていない。しかし適切な有限性条件のもとでは、 両者が同値になることを見る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(U \subset X\) を開部分空間とする。 \(U \to X\) が準コンパクトならば、\(U\) が \(X\) でスキーム論的に稠密であることと、 \(X\) における \(U\) のスキーム論的閉包が \(X\) であることとは同値である。

証明

Lemma 082Z の (3) から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(j : U \to X\) を \(S\) 上の代数空間の開埋入とする。 \(U\) が \(X\) でスキーム論的に稠密であるための必要十分条件は、 \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) が単射であることである。

証明

\(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) が単射ならば、\(X\) 上エタールな 任意の代数空間 \(V\) への制限についても同じことが成り立つ。 したがって \(V\) における \(U \times_X V\) のスキーム論的閉包は \(V\) に等しい。 Lemma 082X の証明を参照せよ。 逆に、\(X\) 上エタールなすべての \(V\) に対して、\(U \times_X V\) の スキーム論的閉包が \(V\) に等しいと仮定する。 \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) が単射でないと仮定する。 すると \(X\) 上エタールなアフィン、たとえば \(V = \Spec(A)\) と、 非零元 \(f \in A\) であって、\(f\) が \(\Gamma(V \times_X U, \mathcal{O})\) でゼロに写るものを取れる。 この場合、\(V\) における \(V \times_X U\) のスキーム論的閉包は明らかに \(\Spec(A/(f))\) に含まれ、矛盾である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(U\), \(V\) が \(X\) のスキーム論的に稠密な開部分空間ならば、 \(U \cap V\) もそうである。

証明

\(W \to X\) を任意のエタール射とする。写像 \(\mathcal{O}(W) \to \mathcal{O}(W \times_X V) \to \mathcal{O}(W \times_X (V \cap U))\) を考える。 Lemma 0836 により、 両方の写像は単射である。したがって合成も単射である。 ゆえに再び Lemma 0836 により、\(U \cap V\) は \(X\) でスキーム論的に稠密である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(h : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の埋入とする。 \(Z \to X\) が準コンパクトであるか、または \(Z\) が被約であると仮定する。 \(\overline{Z} \subset X\) を \(h\) のスキーム論的像とする。 このとき射 \(Z \to \overline{Z}\) は開埋入であり、\(Z\) を \(\overline{Z}\) のスキーム論的に稠密な開部分空間と同一視する。 さらに、\(Z\) は \(\overline{Z}\) で位相的に稠密である。

証明

どちらの場合にも \(\overline{Z}\) の形成はエタール局所化と可換する。 Lemmas 082Z および 0830 を参照せよ。 したがってこの補題はスキームの場合から従う。Morphisms, Lemma 01RG を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(f, g : X \to Y\) を \(B\) 上の代数空間の射とする。 \(U \subset X\) を \(f|_U = g|_U\) となる開部分空間とする。 \(X\) における \(U\) のスキーム論的閉包が \(X\) であり、\(Y \to B\) が分離ならば、 \(f = g\) である。

証明

\(Y \to B\) は分離なので、ファイバー積 \(Y \times_{\Delta, Y \times_B Y, (f, g)} X\) は閉部分空間 \(Z \subset X\) である。 \(f|_U = g|_U\) なので \(U \subset Z\) である。\(U\) は \(X\) で スキーム論的に稠密と仮定されているから、\(Z = X\) である。

支配的射

スキームの支配的射の定義をそのまま移して、代数空間の支配的射の概念を得る。 射が準コンパクトで、代数空間がいくつかの分離公理を満たさないかぎり、 この定義は良い振る舞いをしないことに注意されたい。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(|f| : |X| \to |Y|\) の像が \(|Y|\) で稠密ならば、この射を 支配的という。

普遍的単射な射

代数空間の表現可能射が普遍的単射であるとは何かは、すでに Section 03HA で定義した。\(S\) 上の体 \(K\)（これは構造射 \(\Spec(K) \to S\) が与えられているという意味であることを想起せよ）と、 \(S\) 上の代数空間 \(X\) に対し、 \(X(K) = \Mor_S(\Spec(K), X)\) と書く。まず、表現可能射に対する条件を 点の関手に対する条件へ翻訳する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能射とする。 \(f\) が Section 03HA の意味で普遍的単射であるための 必要十分条件は、すべての体 \(K\) に対して写像 \(X(K) \to Y(K)\) が単射であることである。

証明

以下では Morphisms, Lemma 01S4 を断りなく用いる。 \(f\) が普遍的単射であると仮定する。このとき任意の体 \(K\) と任意の射 \(\Spec(K) \to Y\) に対して、スキームの射 \(\Spec(K) \times_Y X \to \Spec(K)\) は普遍的単射である。 したがって射 \(\Spec(K) \times_Y X \to \Spec(K)\) の切断は高々一つである。 ゆえに写像 \(X(K) \to Y(K)\) は単射である。逆に、すべての体 \(K\) に対して 写像 \(X(K) \to Y(K)\) が単射であると仮定する。 \(T \to Y\) をスキームから \(Y\) への射とし、基底変換 \(f_T : T \times_Y X \to T\) を考える。任意の体 \(K\) に対して、 ファイバー積の定義により \[(T \times_Y X)(K) = T(K) \times_{Y(K)} X(K)\] である。したがって \(X(K) \to Y(K)\) の単射性は \((T \times_Y X)(K) \to T(K)\) の単射性を保証し、これは所望のように \(f_T\) が普遍的単射であることを意味する。

次に、体に値をもつ点の間の変換が単射であるという性質を、 より幾何学的な条件へ翻訳する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(S\) 上のすべての体 \(K\) に対して写像 \(X(K) \to Y(K)\) が単射である。

2. \(S\) 上の代数空間の任意の射 \(Y' \to Y\) に対して、誘導写像 \(|Y' \times_Y X| \to |Y'|\) が単射である。

3. 対角射 \(X \to X \times_Y X\) が全射である。

証明

(1) を仮定する。\(g : Y' \to Y\) を代数空間の射とし、\(f\) の基底変換を \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) と表す。 \(K_i\)、\(i = 1, 2\) を体とし、\(\varphi_i : \Spec(K_i) \to Y' \times_Y X\) を、 \(f' \circ \varphi_1\) と \(f' \circ \varphi_2\) が \(|Y'|\) の同じ元を 定めるような射とする。定義により、これは体 \(\Omega\) と埋め込み \(\alpha_i : K_i \subset \Omega\) であって、二つの射 \(f' \circ \varphi_i \circ \alpha_i : \Spec(\Omega) \to Y'\) が 等しくなるものが存在することを意味する。対応する可換図式は \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar@/_5ex/[ddrr] \ar[rd]^{\alpha_1} \ar[r]_{\alpha_2} & \Spec(K_2) \ar[rd]^{\varphi_2} \\ & \Spec(K_1) \ar[r]^{\varphi_1} & Y' \times_Y X \ar[d]^{f'} \ar[r]^{g'} & X \ar[d]^f \\ & & Y' \ar[r]^g & Y. }\] である。特に合成 \(g \circ f' \circ \varphi_i \circ \alpha_i\) は等しい。 仮定 (1) により、射 \(g' \circ \varphi_i \circ \alpha_i\) は等しい。 ここで \(g' : Y' \times_Y X \to X\) は射影である。 ファイバー積の普遍性により、射 \(\varphi_i \circ \alpha_i : \Spec(\Omega) \to Y' \times_Y X\) は等しい。 言い換えると、\(\varphi_1\) と \(\varphi_2\) は \(Y' \times_Y X\) の同じ点を定める。 したがって (2) が成り立つ。

(2) を仮定する。\(K\) を \(S\) 上の体とし、\(a, b : \Spec(K) \to X\) を \(f \circ a = f \circ b\) を満たす二つの射とする。その共通値を \(c : \Spec(K) \to Y\) と表す。仮定により \(|\Spec(K) \times_{c, Y} X| \to |\Spec(K)|\) は単射である。 これは、体 \(\Omega\) と埋め込み \(\alpha_i : K \to \Omega\) であって、図式 \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r]_{\alpha_1} \ar[d]_{\alpha_2} & \Spec(K) \ar[d]^a \\ \Spec(K) \ar[r]^-b & \Spec(K) \times_{c, Y} X }\] が可換となるものが存在することを意味する。\(\Spec(K)\) への射影と合成すると、 \(\alpha_1 = \alpha_2\) であることが分かる。その共通値を \(\alpha\) と表す。 すると \(\{\alpha : \Spec(\Omega) \to \Spec(K)\}\) は \(\Spec(K)\) の fpqc 被覆であり、その被覆の各要素上で二つの射 \(a, b\) は等しくなる。 Properties of Spaces, Proposition 0APL により \(a = b\) と結論する。 したがって (1) が成り立つ。

(3) を仮定する。\(x, x' \in |X|\) を \(|Y|\) で \(f(x) = f(x')\) となる 二点とする。Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、射影が \(x\) と \(x'\) である \(x'' \in |X \times_Y X|\) が存在する。仮定および Properties of Spaces, Lemma 03H5 により、 \(\Delta_{X/Y}(x''') = x''\) を満たす \(x''' \in |X|\) が存在する。 したがって \(x = x'\) である。言い換えると \(f\) は単射である。 条件 (3) は基底変換で安定なので、\(f\) は (2) を満たす。

(2) を仮定する。このとき特に \(|X \times_Y X| \to |X|\) は単射であり、 これは直ちに \(|\Delta_{X/Y}| : |X| \to |X \times_Y X|\) が全射であることを含意する。 ゆえに Properties of Spaces, Lemma 03H5 により、 \(\Delta_{X/Y}\) は全射である。

以上二つの補題により、次の定義は、すでに定義した代数空間の 普遍的単射な表現可能射の概念と矛盾しない。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 任意の射 \(Y' \to Y\) に対して誘導写像 \(|Y' \times_Y X| \to |Y'|\) が単射であるとき、\(f\) は 普遍的単射であるという。

正確には、これは Lemma 040X の同値な条件の いずれか、したがってすべてが成り立つことを意味する。

注意

スキームの普遍的単射は分離である。Morphisms, Lemma 05VE を参照せよ。 代数空間の射についてはそうではない。実際、Spaces, Example 02Z1 で構成された代数空間 \(X = \mathbf{A}^1_k/\{x \sim -x \mid x \not = 0\}\) には射 \(X \to \mathbf{A}^1_k\) が備わっており、座標 \(x\) の点を座標 \(x^2\) の点へ写す。 これは \(0\) の外で同型であり、\(0\) の上にある \(X\) の点は一意である。 \(X\) は分離でないので、これは分離でない代数空間の普遍的単射である。

補題

普遍的単射の基底変換は普遍的単射である。

証明

省略する。ヒント：これは形式的である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は普遍的単射である。

2. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は普遍的単射である。

3. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は普遍的単射である。

4. スキーム \(Z\) と全射 \(Z \to Y\) であって、 \(Z \times_Y X \to Z\) が普遍的単射となるものが存在する。

5. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) であって、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) が普遍的単射となるものが存在する。

証明

この証明では、普遍的単射であることが基底変換で保たれること （Lemma 03MW）を断りなく用いる。 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) は明らかである。

(4) のような \(g : Z \to Y\) を仮定する。\(y : \Spec(K) \to Y\) を 体のスペクトルから \(Y\) への射とする。仮定により、拡大体 \(\alpha : K \subset K'\) と射 \(z : \Spec(K') \to Z\) であって、 \(y \circ \alpha = g \circ z\) となるものを取れる（記法を明らかに濫用している）。 仮定により射 \(Z \times_Y X \to Z\) は普遍的単射なので、 \(g \circ z : \Spec(K') \to Y\) の \(X\) への持ち上げは高々一つである。 \(\{\alpha : \Spec(K') \to \Spec(K)\}\) は fpqc 被覆だから、これは \(y : \Spec(K) \to Y\) の \(X\) への持ち上げが高々一つであることを意味する。 Properties of Spaces, Proposition 0APL を参照せよ。 したがって (1) が成り立つ。

(5) と (1) が同値であることの確認は省略する。

補題

普遍的単射の合成は普遍的単射である。

証明

省略する。

アフィン射

代数空間の表現可能射がアフィンであるとは何かは、すでに Section 03HA で定義した。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能射とする。 \(f\) が Section 03HA の意味でアフィンであるための 必要十分条件は、すべてのアフィンスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、 スキーム \(X \times_Y Z\) がアフィンであることである。

証明

これはスキームのアフィン射の定義から直ちに従う （Morphisms, Definition 01S6）。

これにより次の定義が可能になる。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 任意のアフィンスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、代数空間 \(X \times_Y Z\) がアフィンスキームで表現可能であるとき、\(f\) は アフィンであるという。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は表現可能かつアフィンである。

2. \(f\) はアフィンである。

3. 任意のアフィンスキーム \(V\) とエタール射 \(V \to Y\) に対して、 スキーム \(X \times_Y V\) はアフィンである。

4. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) がアフィンとなるものが存在する。

5. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) であって、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) がアフィンとなるものが存在する。

証明

(1) が (2) を含意し、(2) が (3) を含意することは明らかである。 \(V\) を \(Y\) 上エタールなアフィンの非交和として取れば、(3) は (4) を含意する。 Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照せよ。 \(V \to Y\) が (4) のような射であると仮定する。このとき \(V\) の任意の アフィン開集合 \(W\) に対して、\(W \times_Y X\) は \(V \times_Y X\) の アフィン開集合である。したがって Properties of Spaces, Lemma 03JH により、\(V \times_Y X\) はスキームである。 さらに射 \(V \times_Y X \to V\) はアフィンである。よって、アフィン射の類は 必要な性質をすべて満たすので、Spaces, Lemma 03I2 を適用できる（Morphisms, Lemmas 01SD および Descent, Lemmas 02L5 と 0245 を参照せよ）。この補題を適用した結論は、 \(f\) が表現可能かつアフィン、すなわち (1) が成り立つということである。

(1) と (5) の同値性は、アフィンであることが標的上ザリスキ局所的であることから従う （上の参照は、実際にはアフィン性が標的上 fpqc 局所的であることを示す）。

補題

アフィン射の合成はアフィンである。

証明

省略する。ヒント：ファイバー積の推移性を用いよ。

補題

アフィン射の基底変換はアフィンである。

証明

省略する。ヒント：ファイバー積の推移性を用いよ。

補題

閉埋入はアフィンである。

証明

スキームの射に対する対応する主張から直ちに従う。Morphisms, Lemma 01SE を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 圏の反同値 \[\begin{matrix} \text{代数空間} \\ \text{上でアフィン：}X \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{準連接層} \\ \text{代数構造：}\mathcal{O}_X\text{-代数} \end{matrix}\] があり、\(f : Y \to X\) に層 \(f_*\mathcal{O}_Y\) を対応させる。 さらに、この同値は任意の基底変換と両立する。

証明

この補題は Morphisms, Lemma 01SA に対応するものである。 \(\mathcal{A}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-代数層とする。 \(\pi_*\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{A}\) を満たす代数空間のアフィン射 \(\pi : Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{A}) \to X\) を構成する。 そのため、スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) を取る。 通常どおり \(R = U \times_X U\) と書き、射影を \(s, t : R \to U\) とする。 合成 \(\psi = \varphi \circ s = \varphi \circ t\) を \(\psi : R \to X\) と表す。 前述の補題により、スキームのアフィン射 \(\pi_0 : V \to U\) と \(\pi_1 : W \to R\) であって、 \(\pi_{0, *}\mathcal{O}_V \cong \varphi^*\mathcal{A}\) および \(\pi_{1, *}\mathcal{O}_W \cong \psi^*\mathcal{A}\) を満たすものが存在する。 この構成は基底変換と両立するので、図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ W \ar[r]_{s'} \ar[d] & V \ar[d] \\ R \ar[r]^s & U } } \quad\text{および}\quad \vcenter{ \xymatrix{ W \ar[r]_{t'} \ar[d] & V \ar[d] \\ R \ar[r]^t & U } }\] をカルテジアンにする射 \(s', t' : W \to V\) が存在する。 したがって \(s', t'\) はエタールである。以上から形式的に、 \((t', s') : W \to V \times_S V\) はモノ射である。 \(W \to V \times_S V\) が同値関係であることの確認は省略する （ヒント：\(U \times_X U \times_X U = R \times_{s, U, t} R\) への \(\mathcal{A}\) の引き戻しを考えよ）。商層 \(Y = V/W\) は代数空間である。 Spaces, Theorem 02WW を参照せよ。 Groupoids, Lemma 07S3 により、 \(Y \times_X U \cong V\) である。したがって Lemma 03WG により \(Y \to X\) はアフィンである。最後に、同型 \[(Y \times_X U \to U)_*\mathcal{O}_{Y \times_X U} = \pi_{0, *}\mathcal{O}_V \cong \varphi^*\mathcal{A}\] は貼り合わせ同型と両立するので、Properties of Spaces, Proposition 03M3 により \((Y \to X)_*\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{A}\) である。 この構成が基底変換と両立することの確認は省略する。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{A}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-代数層とする。 圏同値 Lemma 081V のもとで \(\mathcal{A}\) に対応するアフィン射 \(\underline{\Spec}(\mathcal{A}) \to X\) を、 \(X\) 上の \(\mathcal{A}\) の相対スペクトル、または単に \(X\) 上の \(\mathcal{A}\) のスペクトルという。

相対スペクトルの形成は任意の基底変換と可換する。

注意

\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の 準コンパクトかつ準分離な射とする。このとき \(f\) は標準的な分解 \[Y \longrightarrow \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y) \longrightarrow X\] をもつ。Lemma 03M9 により \(f_*\mathcal{O}_Y\) は 準連接なので、これは意味をもつ。射 \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) は、標準的な \(\mathcal{O}_Y\)-代数写像 \(f^*f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_Y\) から得られる。 この写像は \(Y\) 上の標準射 \(Y \to Y \times_X \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) に対応するので （Lemma 081V）、上のような \(f\) の分解を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間のアフィン射とする。 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_Y\) とおく。関手 \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\) は圏同値 \[\left\{ \begin{matrix} \text{準連接加群の圏}\\ \mathcal{O}_Y\text{-加群} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{準連接加群の圏}\\ \mathcal{A}\text{-加群} \end{matrix} \right\}\] を誘導する。さらに、\(\mathcal{A}\)-加群が \(\mathcal{O}_X\)-加群として 準連接であるための必要十分条件は、\(\mathcal{A}\)-加群として 準連接であることである。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(g : X \to Y\) を \(B\) 上の代数空間の射とする。

1. \(X\) が \(B\) 上アフィンで、\(\Delta : Y \to Y \times_B Y\) がアフィンならば、 \(g\) はアフィンである。

2. \(X\) が \(B\) 上アフィンで、\(Y\) が \(B\) 上分離ならば、\(g\) はアフィンである。

3. アフィンスキームから、\(\mathbf{Z}\) 上アフィンな対角をもつ代数空間 （Properties of Spaces, Definition 03BS の意味）への射はアフィンである。

4. アフィンスキームから分離代数空間への射はアフィンである。

証明

(1) の証明。Lemma 03WI により、基底変換 \(X \times_B Y \to Y\) はアフィンである。射 \((1, g) : X \to X \times_B Y\) は、射 \(X \times_B Y \to Y \times_B Y\) による \(Y \to Y \times_B Y\) の基底変換である。したがって Lemma 03WI によりこれはアフィンである。 アフィン射の合成はアフィンなので （Lemma 03WH 参照）、(1) が従う。 閉埋入はアフィンであり（Lemma 07U2 参照）、 \(Y/B\) が分離であるとは \(\Delta\) が閉埋入であることを意味するので、 (2) は (1) から従う。(3) と (4) は (1) と (2) の特殊な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の準分離代数空間とする。 \(A\) をアルティン環とする。任意の射 \(\Spec(A) \to X\) はアフィンである。

証明

\(U\) がアフィンであるようなエタール射 \(U \to X\) を取る。 補題を示すには、Lemma 03WG により \(\Spec(A) \times_X U\) がアフィンであることを示さなければならない。 \(X\) は準分離なので、スキーム \(\Spec(A) \times_X U\) は準コンパクトである。 さらに射影 \(\Spec(A) \times_X U \to \Spec(A)\) はエタールである。 したがってこの射のファイバーは有限離散であり、さらに \(\Spec(A)\) の位相は離散である。ゆえに \(\Spec(A) \times_X U\) は 台位相空間が有限離散集合であるスキームである。 Schemes, Lemma 02O0 により証明が完了する。

準アフィン射

代数空間の表現可能射が準アフィンであるとは何かは、すでに Section 03HA で定義した。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の表現可能射とする。 \(f\) が Section 03HA の意味で準アフィンであるための 必要十分条件は、すべてのアフィンスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、 スキーム \(X \times_Y Z\) が準アフィンであることである。

証明

これはスキームの準アフィン射の定義から直ちに従う （Morphisms, Definition 01SK）。

これにより次の定義が可能になる。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 任意のアフィンスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対して、代数空間 \(X \times_Y Z\) が準アフィンスキームで表現可能であるとき、\(f\) は 準アフィンであるという。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は表現可能かつ準アフィンである。

2. \(f\) は準アフィンである。

3. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が準アフィンとなるものが存在する。

4. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) であって、各射 \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) が準アフィンとなるものが存在する。

証明

(1) が (2) を含意することは明らかである。また、\(V\) を \(Y\) 上エタールな アフィンの非交和として取れば、(2) は (3) を含意する。Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照せよ。 \(V \to Y\) が (3) のような射であると仮定する。このとき \(V\) の任意の アフィン開集合 \(W\) に対して、\(W \times_Y X\) は \(V \times_Y X\) の 準アフィン開集合である。したがって Properties of Spaces, Lemma 03JH により、\(V \times_Y X\) はスキームである。 さらに射 \(V \times_Y X \to V\) は準アフィンである。よって、準アフィン射の類は 必要な性質をすべて満たすので、Spaces, Lemma 03I2 を適用できる（Morphisms, Lemmas 01SO および Descent, Lemmas 02L7 と 0247 を参照せよ）。この補題を適用した結論は、 \(f\) が表現可能かつ準アフィン、すなわち (1) が成り立つということである。

(1) と (4) の同値性は、準アフィンであることが標的上ザリスキ局所的であることから従う （上の参照は、実際には準アフィン性が標的上 fpqc 局所的であることを示す）。

補題

準アフィン射の合成は準アフィンである。

証明

省略する。

補題

準アフィン射の基底変換は準アフィンである。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。代数空間の準コンパクトかつ準分離な射 \(f : Y \to X\) が準アフィンであるための必要十分条件は、標準的な分解 \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) （Remark 081X）が 開埋入であることである。

証明

\(U\) がスキームであるような全射 \(U \to X\) を取る。 \(f\) が準アフィンかどうかは \(U\) への基底変換後に調べられ （Lemma 03WM）、\(f_*\mathcal{O}_Y|_V\) は \((Y \times_X U \to U)_*\mathcal{O}_{Y \times_X U}\) に等しく （Properties of Spaces, Lemma 03LX）、 相対スペクトルの形成は基底変換と可換するので （Lemma 081V）、主張は \(X\) が スキームである場合に帰着する。\(X\) がスキームで、\(f\) が準アフィンであるか、 または \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) が開埋入ならば、 \(Y\) もスキームである。したがって Morphisms, Lemma 01SM に帰着する。

始域・終域についてエタール局所的な射の型

スキームの射の性質であって 始域・終域についてエタール局所的なもの （Descent, Definition 04QZ 参照）が 与えられたとする。下の補題の同値な条件のいずれかを課すことで、 対応する代数空間の射の性質を定義できる。

補題

\(\mathcal{P}\) を、始域・終域についてエタール局所的なスキームの射の性質とする。 \(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] であって、\(U\) と \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタールであるものを考える。 次の条件は同値である。

1. 上のような任意の図式に対して、射 \(h\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

2. 上のような図式で \(a : U \to X\) が全射であり、射 \(h\) が 性質 \(\mathcal{P}\) をもつものが存在する。

\(X\) と \(Y\) が表現可能ならば、これは \(f\) がスキームの射として 性質 \(\mathcal{P}\) をもつこととも同値である。 さらに \(\mathcal{P}\) が任意の基底変換で保たれ、基底上 fppf 局所的でもあるならば、 表現可能射 \(f\) については、Section 03HA の意味で \(f\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつこととも同値である。

証明

(1) と (2) の同値性を示そう。(1) \(\Rightarrow\) (2) は直ちに従う （Spaces, Lemma 02X1 を考慮せよ）。 補題のような二つの図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] が与えられたとする。\(U \to X\) は全射で、\(h\) は性質 \(\mathcal{P}\) を もつと仮定する。(2) が (1) を含意することを示すには、\(h'\) が \(\mathcal{P}\) をもつことを示さなければならない。そのため図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_h & U \times_X U' \ar[l] \ar[d]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[d]^{h'} \\ V & V \times_Y V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] を考える。Descent, Lemma 04R1 により、\(h\) が \(\mathcal{P}\) をもつことは \((h, h')\) が \(\mathcal{P}\) をもつことを含意する。 \(U \times_X U' \to U'\) は全射なので、同じ補題によりこれは \(h'\) が \(\mathcal{P}\) をもつことを含意する。

\(X\) と \(Y\) が表現可能ならば、Descent, Lemma 04R1 を適用でき、(1) と (2) が \(f\) が \(\mathcal{P}\) をもつことと同値であることが分かる。

最後に、\(f\) が表現可能であり、\(U, V, a, b, h\) が補題の (2) のようなもので、 \(\mathcal{P}\) が任意の基底変換で保たれると仮定する。 任意のスキーム \(Z\) と射 \(Z \to X\) に対して、基底変換 \(Z \times_Y X \to Z\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつことを示さなければならない。 図式 \[\xymatrix{ Z \times_Y U \ar[d] \ar[r] & Z \times_Y V \ar[d] \\ Z \times_Y X \ar[r] & Z }\] を考える。上の水平矢印は \(h\) の基底変換なので性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。 左の垂直矢印はエタールかつ全射であり、右の垂直矢印はエタールである。 したがって Descent, Lemma 04R1 を再び適用すると、 \(Z \times_Y X \to Z\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつことが分かる。

定義

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{P}\) を、始域・終域について エタール局所的なスキームの射の性質とする。 \(S\) 上の代数空間の射 \(f : X \to Y\) が Lemma 03MJ の同値な条件を満たすとき、この射は 性質 \(\mathcal{P}\) をもつという。

明らかな注意を二つ述べる。

注意

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{P}\) を、始域・終域について エタール局所的なスキームの射の性質とする。さらに \(\mathcal{P}\) が 合成で安定であると仮定する。このとき性質 \(\mathcal{P}\) をもつ 代数空間の射の類は合成で安定である。

注意

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{P}\) を、始域・終域について エタール局所的なスキームの射の性質とする。さらに \(\mathcal{P}\) が 基底変換で安定であると仮定する。このとき性質 \(\mathcal{P}\) をもつ 代数空間の射の類は基底変換で安定である。

スキームの芽の射の性質であって 始域・終域についてエタール局所的なもの （Descent, Definition 04NB 参照）が与えられたとする。 下の補題の同値な条件のいずれかを課すことで、点における対応する 代数空間の射の性質を定義できる。

補題

\(\mathcal{Q}\) を、始域・終域についてエタール局所的な芽の射の性質とする。 \(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) を \(X\) の点とする。 図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] であって、\(U\) と \(V\) はスキーム、\(a, b\) はエタールで、\(u, v, x, y\) は 対応する空間の点であるものを考える。次の条件は同値である。

1. 上のような任意の図式に対して \(\mathcal{Q}((U, u) \to (V, v))\) が成り立つ。

2. 上のようなある図式に対して \(\mathcal{Q}((U, u) \to (V, v))\) が成り立つ。

\(X\) と \(Y\) が表現可能ならば、これは \(\mathcal{Q}((X, x) \to (Y, y))\) とも同値である。

証明

省略する。ヒント：Lemma 03MJ の証明と非常によく似ている。

定義

\(\mathcal{Q}\) を、始域・終域についてエタール局所的なスキームの芽の射の性質とする。 \(S\) をスキームとする。\(S\) 上の代数空間の射 \(f : X \to Y\) と 点 \(x \in |X|\) が与えられたとする。Lemma 04NC の同値な条件を満たすとき、\(f\) は \(x\) において性質 \(\mathcal{Q}\) をもつという。

次の補題を、射の性質から点における射の性質へ無条件に移るために 用いてはならない。例えば \(\mathcal{P}\) が平坦であるという性質ならば、 次の補題の性質 \(Q\) は「\(f\) が \(x\) のある開近傍で平坦である」ことを意味し、 「\(f\) が \(x\) で平坦である」ことと同じではない。

補題

\(\mathcal{P}\) を、始域・終域についてエタール局所的なスキームの射の性質とする。 Descent, Lemma 04R6 で \(\mathcal{P}\) に対応づけられた芽の射の性質 \(\mathcal{Q}\) を考える。このとき

1. \(\mathcal{Q}\) は始域・終域についてエタール局所的である。

2. 代数空間の射 \(f : X \to Y\) と \(x \in |X|\) が与えられると、 次の条件は同値である。

   1. \(f\) は \(x\) において \(\mathcal{Q}\) をもつ。

   2. \(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、\(X' \to Y\) が \(\mathcal{P}\) をもつものが存在する。

3. 代数空間の射 \(f : X \to Y\) が与えられると、次の条件は同値である。

   1. \(f\) は \(\mathcal{P}\) をもつ。

   2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において \(\mathcal{Q}\) をもつ。

証明

(1) については Descent, Lemma 04R6 を参照せよ。 Lemma 04NC のような図式が与えられたとき、 \(X' = a(U) \subset X\) とすれば、(1)(a) \(\Rightarrow\) (2)(b) が従う。 (2)(b) \(\Rightarrow\) (1)(a) は明らかである。 (3)(a) と (3)(b) の同値性は、スキームの射に対する対応する結果から従う。 Descent, Lemma 04R7 を参照せよ。

注意

上の Lemma 04RF を、 Descent, Remark 04R3 に列挙された 「平坦」を除くすべての場合に適用する。各場合に、\(f\) が \(x\) の近傍で \(\mathcal{P}\) をもつとき、かつそのときに限り \(f\) が \(x\) で 性質 \(\mathcal{P}\) をもつと定義することで、これを行う。

有限型の射

スキームの射が「局所有限型」であるという性質は、始域・終域について エタール局所的である。Descent, Remark 04R3 を参照せよ。 また、これは基底変換で安定で、標的上 fpqc 局所的でもある。 Morphisms, Lemma 01T4 および Descent, Lemmas 02KX を参照せよ。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間の射が局所有限型であるとは何かを次のように定義できる。 射が表現可能ならば、これは Section 03HA で すでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} = \text{locally of finite type}\) に対して成り立つとき、 \(f\) は 局所有限型であるという。

2. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が局所有限型となるものが存在するとき、\(f\) は \(x\) において有限型であるという。

3. \(f\) は、局所有限型かつ準コンパクトであるとき 有限型であるという。

Spaces, Example 02Z7 の代数空間 \(\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\) を考える。射 \(\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z} \to \Spec(k)\) は有限型である。

補題

有限型射の合成は有限型である。局所有限型についても同様である。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 01T3 を参照せよ。

補題

有限型射の基底変換は有限型である。局所有限型についても同様である。

証明

Remark 0AMM および Morphisms, Lemma 01T4 を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は局所有限型である。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において有限型である。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は局所有限型である。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は局所有限型である。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が局所有限型となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) が局所有限型となるものが存在する。

7. 任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタールであるものに対して、 上の水平矢印は局所有限型である。

8. 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタール、\(U \to X\) は全射で、 上の水平矢印は局所有限型であるものが存在する。

9. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、各射 \(X_{ij} \to Y_i\) が 局所有限型となるものが存在する。

証明

条件 (2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(9) のそれぞれは、 直接的に条件 (8) を含意する。例えば (5) が成り立つならば、 アフィンの非交和であるスキーム \(V\) と全射 \(V \to Y\) を取れる （Properties of Spaces, Lemma 03FX 参照）。 このとき (5) により \(V \times_Y X \to V\) は局所有限型である。 スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。 すると Lemma 03XG により \(U \to V\) は 局所有限型である。したがって (8) が成り立つ。

条件 (1)、(7)、(8) は定義により同値である。

証明を完了するため、(1) が条件 (2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(9) のすべてを 含意することを示す。(2) については直ちに従う。 (3)、(4)、(5)、(9) については、局所有限型であることが基底変換で保たれることから従う。 Lemma 03XH を参照せよ。 (6) については \(U = X\) と取ればよく、証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型で、\(Y\) が局所ネーターならば、\(X\) は局所ネーターである。

証明

\(U\), \(V\) がスキーム、垂直矢印が全射エタールである可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を取る。\(f\) が局所有限型ならば、\(U \to V\) は局所有限型である。 \(Y\) が局所ネーターならば、\(V\) は局所ネーターである。 Morphisms, Lemma 01T6 により \(U\) は局所ネーターであり、これは \(X\) が局所ネーターであることを意味する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(g \circ f : X \to Z\) が局所有限型ならば、\(f : X \to Y\) は局所有限型である。

証明

\(U\), \(V\), \(W\) がスキーム、垂直矢印がエタールかつ全射である図式 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] を取ることができる。Spaces, Lemma 02X1 を参照せよ。 ここで Lemma 040Y および Morphisms, Lemma 01T8 を用いれば結論を得る。

補題

埋入は局所有限型である。

証明

一般原理 Spaces, Lemma 02YO および Morphisms, Lemmas 01T5 から従う。

点と幾何点

この節では、点と幾何点についていくつか注意する （Properties of Spaces, Definition 0486 参照）。 \(X\) の幾何点を考える一つの方法は、\(S\) の幾何点 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) と、\(\overline{s}\) の \(X\) への射 \(\overline{x}\) への持ち上げを考えることである。図式は \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[r]_-{\overline{x}} \ar[rd]_{\overline{s}} & X \ar[d] \\ & S. }\] である。「\(k\) を \(S\) 上の代数閉体とする」という言い方を、 \(\Spec(k)\) に射 \(\Spec(k) \to S\) が備わっていることを表すためによく用いる。 この状況では、\(X\) の \(k\)-値点の集合を \[X(k) = \Mor_S(\Spec(k), X) = \{\overline{x} \in X\text{ は次の点の上にある：}\overline{s}\}\] と書く。この場合、写像 \(X(k) \to |X|\) の像は部分集合 \(|X_s| \subset |X|\) に含まれる。ここで \(X_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S X\) であり、\(s \in S\) は \(\overline{s}\) に対応する点である。\(\Spec(\kappa(s)) \to S\) はモノ射なので、 基底変換 \(X_s \to X\) もモノ射であり、実際 \(|X_s|\) は \(|X|\) の部分集合である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型であると仮定する。次の条件は同値である。

1. \(f\) は全射である。

2. \(S\) 上の任意の代数閉体 \(k\) に対して、誘導写像 \(X(k) \to Y(k)\) は全射である。

証明

\(U\), \(V\) は \(S\) 上のスキーム、垂直矢印は全射かつエタールである図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を取る。Spaces, Lemma 02X1 を参照せよ。 \(f\) は局所有限型なので、\(U \to V\) は局所有限型である。

(1) を仮定し、\(\overline{y} \in Y(k)\) とする。このとき Lemmas 03MG および 03XG により、\(U \to Y\) は全射かつ局所有限型である。 \(Z = U \times_{Y, \overline{y}} \Spec(k)\) とおく。これはスキームである。 Lemmas 03MH および 03XH により、射影 \(Z \to \Spec(k)\) は 全射かつ局所有限型である。Varieties, Lemma 0478 により、\(Z\) は \(k\)-値点 \(\overline{z}\) をもつ。\(\overline{z}\) の像 \(\overline{x} \in X(k)\) は所望のように \(\overline{y}\) に写る。

(2) を仮定する。Properties of Spaces, Lemma 03H5 により、 \(|X| \to |Y|\) が全射であることを示せば十分である。 \(y \in |Y|\) とする。\(y\) に写る \(u \in U\) を取る。 \(k \supset \kappa(u)\) を代数閉包とする。対応する点を \(\overline{u} \in U(k)\)、その像を \(\overline{y} \in Y(k)\) と表す。 仮定により、\(\overline{y}\) に写る \(\overline{x} \in X(k)\) が存在する。 このとき \(\overline{x}\) の像 \(x \in |X|\) が \(y\) に写ることは明らかである。

次の補題を述べるため、以下の記法を導入する。スキーム \(T\) に対し、 \[\lambda(T) = \sup\{\aleph_0, |\kappa(t)| ; t \in T\}.\] と書く。言い換えると、\(\lambda(T)\) は \(T\) のすべての剰余体の濃度を 上から抑える最小の無限基数である。\(R\) が環ならば、\(R\) の任意の剰余体 \(\kappa(\mathfrak p)\) の濃度は \(R\) の濃度で抑えられることに注意する （詳細は省略する）。これは \(\lambda(T) \leq \text{size}(T)\) を含意する。 ここで \(\text{size}(T)\) は Sets, Section 000H で導入したスキーム \(T\) の大きさである。 \(L/K\) が有限生成体拡大ならば、 \(|K| \leq |L| \leq \max\{\aleph_0, |K|\}\) である。 したがって、\(T' \to T\) が局所有限型なスキームの射ならば \(\lambda(T') \leq \lambda(T)\) であり、\(T' \to T\) がさらに全射ならば等号が成り立つ。 次に \(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。この場合、 \[\lambda(X) := \lambda(U)\] と定義する。ここで \(U\) は、\(X\) への全射エタール射をもつ任意の \(S\) 上のスキームである。これが \(U\) の選択に依存しない理由は次のとおりである。 そのような一対のスキーム \(U\) と \(U'\) が与えられると、ファイバー積 \(U \times_X U'\) はスキームであり、\(U\) と \(U'\) の両方への全射エタール射をもつ。 したがって上の議論により \(\lambda(U) = \lambda(U \times_X U') = \lambda(U')\) である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\), \(Y\) を \(S\) 上の代数空間とする。

1. \(k\) が \(S\) 上のすべての代数閉体を走るとき、幾何点 \(\overline{y} \in Y(k)\) の集まりは \(|Y|\) 全体を被覆する。

2. \(k\) が、\(|k| \geq \lambda(Y)\) かつ \(|k| > \lambda(X)\) を満たす \(S\) 上のすべての代数閉体を走るとき、幾何点 \(\overline{y} \in Y(k)\) は \(|Y|\) 全体を被覆する。

3. 幾何点 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) であって、\(k\) の濃度が \(> \lambda(X)\) である任意のものに対して、写像 \[X(k) \longrightarrow |X_s|\] は全射である。

4. \(X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 幾何点 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) であって、\(k\) の濃度が \(> \lambda(X)\) である任意のものに対して、写像 \[X(k) \longrightarrow |X| \times_{|Y|} Y(k)\] は全射である。

5. \(X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。次の条件は同値である。

   1. 写像 \(X \to Y\) は全射である。

   2. \(|k| > \lambda(X)\) かつ \(|k| \geq \lambda(Y)\) を満たす \(S\) 上のすべての代数閉体 \(k\) に対して、写像 \(X(k) \to Y(k)\) は全射である。

証明

(1) を示すため、\(V\) がスキームであるような全射エタール射 \(V \to Y\) を取る。 各 \(v \in V\) に対して代数閉包 \(\kappa(v) \subset k_v\) を取る。 射 \(\overline{x} : \Spec(k_v) \to V \to Y\) を考える。 \(|Y|\) の構成により、これらは \(|Y|\) を被覆する。

(2) を示すため、証明を省略する次の二つの事実を用いる。 (i) \(K\) が体で \(\overline{K}\) が代数閉包ならば、 \(|\overline{K}| \leq \max\{\aleph_0, |K|\}\) である。 (ii) 任意の代数閉体 \(k\) と任意の基数 \(\aleph\)、 \(\aleph \geq |k|\) に対して、\(|k'| = \aleph\) となる代数閉体の拡大 \(k'/k\) が存在する。ここで \(\aleph = \max\{\lambda(X), \lambda(Y)\}^+\) とおく。 \(\lambda^+ > \lambda\) は次に大きい基数を表す。Sets, Section 000D を参照せよ。 すると (i) により、証明の第一段落で構成した体 \(k_u\) の濃度は すべて \(\lambda(X)\) で抑えられる。したがって (ii) により、 \(|k'_u| = \aleph\) となる拡大 \(k_u \subset k'_u\) を取れる。 射 \(\overline{x}' : \Spec(k'_u) \to X\) は所望のように \(|X|\) を被覆する。 (2) の証明を厳密に完了するには、スキーム \(\Spec(k'_u)\) が \(\Sch_{fppf}\) の対象と同型であることを示す必要がある。 これは、すべてのスキームを \(\Sch_{fppf}\) の対象とするという規約による。 集合論的考察に関心のない読者はこの段落の残りを飛ばしてよい。 構成により、\(\lambda(X)\) と \(\lambda(Y)\) が \(\text{size}(T)\) で抑えられるような \(\Sch_{fppf}\) の対象 \(T\) が存在する。Topologies, Definitions 021R における圏 \(\Sch_{fppf}\) の構成、 すなわち Sets, Lemma 000J で構成した 圏 \(\Sch_\alpha\) としての構成により、大きさが \(\leq \text{size}(T)^+\) である任意のスキームは \(\Sch_{fppf}\) の対象と同型である。 Sets, Equation (046U) の函数 \(Bound\) の式を参照せよ。 \(\aleph \leq \text{size}(T)^+\) なので結論を得る。

(3) における記法 \(X_s\) はファイバー積 \(\Spec(\kappa(s)) \times_S X\) を意味する。ここで \(s \in S\) は \(\overline{s}\) に対応する点である。したがって (2) は \(Y = \Spec(\kappa(s))\) とした (4) から従う。

(4) を示そう。\(X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(k\) を、濃度が \(> \lambda(X)\) である \(S\) 上の代数閉体とする。 \(\overline{y} \in Y(k)\) と \(x \in |X|\) が \(|Y|\) の同じ元 \(y\) に写るとする。 \(x\) と \(\overline{y}\) に写る \(\overline{x} \in X(k)\) を見いださなければならない。 \(U\), \(V\) は \(S\) 上のスキーム、垂直矢印は全射かつエタールである可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を取る。Spaces, Lemma 02X1 を参照せよ。 \(x\) に写る \(u \in |U|\) を取り、その像を \(v \in |V|\) と表す。 \(u = \Spec(\kappa(u))\) と \(v = \Spec(\kappa(v))\) をスキームとみなす。 \(V \times_Y \Spec(k)\) は \(k\) 上エタールなスキームであることに注意する。 したがって Morphisms, Lemma 02GL により、 これは \(k\) の有限分離拡大のスペクトルの非交和である。 \(v\) は \(y\) に写るので、\(v \times_Y \Spec(k)\) は空でないスキームである。 \(v \to V\) はモノ射なので、 \(v \times_Y \Spec(k) \to V \times_Y \Spec(k)\) はモノ射である。 したがって Schemes, Lemma 03DP により、 \(v \times_Y \Spec(k)\) は \(k\) の有限分離拡大のスペクトルの非交和である。 ゆえに射 \(v \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\) は切断をもつ。 すなわち、\(v\) と \(\overline{y}\) の上にある射 \(\overline{v} : \Spec(k) \to V\) を取れる。最後にスキーム \[u \times_{V, \overline{v}} \Spec(k) = \Spec(\kappa(u) \otimes_{\kappa(v)} k)\] を考える。ここで \(\kappa(v) \to k\) は射 \(\overline{v}\) を定める体準同型である。 仮定により \(k\) の濃度は \(\kappa(u)\) の濃度より大きいので、 Algebra, Lemma 046V を適用すると、 任意の極大イデアル \(\mathfrak m \subset \kappa(u) \otimes_{\kappa(v)} k\) の 剰余体は \(k\) 上代数的であり、したがって \(k\) に等しいことが分かる。 よってそのような極大イデアルは、\(u\) の上にあり \(\overline{v}\) に写る射 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) を与える。 合成 \(\Spec(k) \to U \to X\) が所望の幾何点 \(\overline{x} \in X(k)\) である。これで (4) の証明が完了する。

(5) は (2)、(4) および Properties of Spaces, Lemma 03H5 から形式的に従う。

有限型点

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 有限型点 \(x \in |X|\) とは、局所有限型な射 \(\Spec(k) \to X\) で 表現できる点のことである。有限型点は、代数空間および代数スタックにおける 閉点の適切な代替である。例えば、常に「十分多く」存在する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(x \in |X|\) とする。次の条件は同値である。

1. 局所有限型で \(x\) を表す射 \(\Spec(k) \to X\) が存在する。

2. スキーム \(U\)、閉点 \(u \in U\)、およびエタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、\(\varphi(u) = x\) を満たすものが存在する。

証明

\(u \in U\) と \(U \to X\) が (2) のようなものとする。このとき \(\Spec(\kappa(u)) \to U\) は有限型であり、\(U \to X\) は表現可能かつ局所有限型である （一般原理 Spaces, Lemma 02YO および Morphisms, Lemmas 02GR と 01TW による）。 したがって Lemma 03XG により (1) が成り立つ。

逆に、\(\Spec(k) \to X\) が局所有限型で \(x\) を表すと仮定する。 \(U\) がスキームであるような全射エタール射 \(U \to X\) を取る。 仮定により \(U \times_X \Spec(k) \to U\) は局所有限型である。 \(U \times_X \Spec(k)\) の有限型点 \(v\) を取る （少なくとも一つ存在する。Morphisms, Lemma 02J2 を参照せよ）。 Morphisms, Lemma 02J3 により、 \(v\) の像 \(u \in U\) は \(U\) の有限型点である。したがって Morphisms, Lemma 02J2 により、\(U\) を縮小した後、 \(u\) は \(U\) の閉点であると仮定できる。すなわち (2) が成り立つ。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 Lemma 06EF の同値な条件を満たす点 \(x \in |X|\) を 有限型点⁵という。 \(X\) の有限型点の集合を \(X_{\text{ft-pts}}\) と表す。

有限型点の集合は次のように記述できる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。このとき \[X_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{\varphi : U \to X\text{ エタール }} |\varphi|(U_0)\] である。ここで \(U_0\) は \(U\) の閉点の集合である。 \(U\) は \(X\) 上エタールなすべてのスキームを走らせても、\(X\) 上エタールな すべてのアフィンスキームを走らせてもよい。

証明

Lemma 06EF から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型ならば、\(f(X_{\text{ft-pts}}) \subset Y_{\text{ft-pts}}\) である。

証明

\(x \in X_{\text{ft-pts}}\) とする。\(x\) を局所有限型な射 \(x : \Spec(k) \to X\) で表す。Lemma 03XG により \(f \circ x\) は局所有限型である。したがって \(f(x) \in Y_{\text{ft-pts}}\) である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型かつ全射ならば、 \(f(X_{\text{ft-pts}}) = Y_{\text{ft-pts}}\) である。

証明

Lemma 06EI により \(f(X_{\text{ft-pts}}) \subset Y_{\text{ft-pts}}\) である。 \(y \in |Y|\) を有限型点とする。\(y\) を局所有限型な射 \(\Spec(k) \to Y\) で表す。\(f\) は全射なので、代数空間 \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) は空でない。したがって Lemma 06EH により、有限型点 \(x \in |X_k|\) をもつ。射 \(X_k \to X\) は \(\Spec(k) \to Y\) の 基底変換として局所有限型である （Lemma 03XH）。ゆえに Lemma 06EI により \(x\) の \(X\) における像は 有限型点であり、構成により \(y\) に写る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 任意の局所閉部分集合 \(T \subset |X|\) に対して \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap X_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] 特に、任意の閉部分集合 \(T \subset |X|\) に対して、 \(T \cap X_{\text{ft-pts}}\) は \(T\) で稠密である。

証明

\(i : Z \to X\) を \(T\) 上の誘導被約部分空間構造とする。Remark 06EC を参照せよ。 任意の埋入は局所有限型である。Lemma 06ED を参照せよ。 したがって Lemma 06EI により \(Z_{\text{ft-pts}} \subset X_{\text{ft-pts}} \cap T\) である。 最後に、\(Z\) へのエタール射をもつ任意の空でないアフィンスキーム \(U\) は 少なくとも一つの閉点をもつ。したがって Lemma 06EH により \(Z\) は少なくとも一つの 有限型点をもつ。補題が従う。

代数空間上の有限型点について、別の、より技術的な特徴づけを述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(x \in |X|\) とする。次の条件は同値である。

1. \(x\) は有限型点である。

2. 台位相空間 \(|Z|\) が一点集合である代数空間 \(Z\) と、 局所有限型な射 \(f : Z \to X\) であって、\(\{x\} = |f|(|Z|)\) を満たすものが存在する。

3. 代数空間 \(Z\) と射 \(f : Z \to X\) であって、次の性質をもつものが存在する。

   1. \(k\) が体であるような全射エタール射 \(z : \Spec(k) \to Z\) が存在する。

   2. \(f\) は局所有限型である。

   3. \(f\) はモノ射である。

   4. \(x = f(z)\) である。

証明

\(x\) が有限型点であると仮定する。アフィンスキーム \(U\)、閉点 \(u \in U\)、および \(\varphi(u) = x\) を満たすエタール射 \(\varphi : U \to X\) を取る。Lemma 06EH を参照せよ。 通常どおり \(u = \Spec(\kappa(u))\) とおく。射影 \(u \times_X u \to u\) は合成 \[u \times_X u \to u \times_X U \to u \times_X X = u\] である。ここで第一の矢印は閉埋入（\(u \to U\) の基底変換）で、 第二の矢印はエタール（エタール射 \(U \to X\) の基底変換）である。 したがって \(u \times_X U\) は \(k\) の有限分離拡大のスペクトルの非交和である （Morphisms, Lemma 02GL 参照）。 ゆえに閉部分スキーム \(u \times_X u\) は \(k\) の有限分離拡大の非交和である。 すなわち \(u \times_X u \to u\) はエタールである。 Spaces, Theorem 02WW により、 \(Z = u/u \times_X u\) は代数空間である。構成により図式 \[\xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] は可換で、垂直矢印はエタールである。したがって Lemma 040Y により、\(Z \to X\) は局所有限型である。 構成により射 \(Z \to X\) はモノ射であり、\(z\) の像は \(x\) である。 したがって (3) が成り立つ。

(3) が (2) を含意することは明らかである。 (2) が成り立つならば、Lemma 06EI により \(x\) は \(X\) の有限型点である（\(Z_{\text{ft-pts}}\) が空でないこと、すなわち \(Z\) の一意な点が \(Z\) の有限型点であることを見るには、Lemma 06EK を用いる）。

長田空間

長田代数空間の定義については Properties of Spaces, Section 03E5 を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Y\) が長田で \(f\) が局所有限型ならば、\(X\) は長田である。

証明

\(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射とする。 \(U\) をスキームとし、\(U \to X \times_Y V\) を全射エタール射とする。 \(Y\) が長田ならば、\(V\) は長田スキームである。 \(X \to Y\) が局所有限型ならば、\(U \to V\) は局所有限型である。 したがって Morphisms, Lemma 035A により、\(V\) は長田スキームである。 すると定義により \(X\) は長田である。

補題

次の型の代数空間は長田である。

1. 長田スキーム上局所有限型な任意の代数空間。

2. 体上局所有限型な任意の代数空間。

3. ネーター完備局所環上局所有限型な任意の代数空間。

4. \(\mathbf{Z}\) 上局所有限型な任意の代数空間。

5. 標数零のデデキント環上局所有限型な任意の代数空間。

6. など。

証明

第一の性質は Lemma 0BAU により成り立つ。 したがって残りも成り立つ。Morphisms, Lemma 035B を参照せよ。

準有限射

スキームの射が「局所準有限」であるという性質は、始域・終域について エタール局所的である。Descent, Remark 04R3 を参照せよ。 また、これは基底変換で安定で、標的上 fpqc 局所的でもある。 Morphisms, Lemma 01TM および Descent, Lemma 02VI を参照せよ。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間の射が局所準有限であるとは何かを次のように定義できる。 射が表現可能ならば、これは Section 03HA で すでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} = \text{locally quasi-finite}\) に対して成り立つとき、 \(f\) は 局所準有限であるという。

2. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が局所準有限となるものが存在するとき、\(f\) は \(x\) において準有限であるという。

3. 代数空間の射 \(f : X \to Y\) は、局所準有限かつ準コンパクトであるとき 準有限であるという。

最後の部分は Morphisms, Lemma 01TJ により、 スキームの射の準有限性の概念と両立する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) と \(g : Y' \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。\(g\) による \(f\) の基底変換を \(f' : X' \to Y'\) と表す。射影を \(g' : X' \to X\) と表す。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。\(W \subset |X|\)、それぞれ \(W' \subset |X'|\) を、\(f\)、それぞれ \(f'\) が準有限である点の集合とする。

1. \(W \subset |X|\) と \(W' \subset |X'|\) は開である。

2. \(W' = (g')^{-1}(W)\) である。すなわち、\(f\) が準有限である軌跡の形成は 基底変換と可換する。

3. 局所準有限射の基底変換は局所準有限である。

4. 準有限射の基底変換は準有限である。

証明

スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) を取る。 スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。 スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to Y' \times_Y V\) を取る。 \(U' = V' \times_V U\) とおくと、\(U' \to X'\) も全射エタール射である。 図式は \[\vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V } } \quad\text{は次の図式の上にある}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } }\] である。像が \(x \in |X|\) である \(u \in |U|\) を取る。 「局所準有限」であるという性質は始域・終域についてエタール局所的である。 Descent, Remark 04R3 を参照せよ。 したがって Lemmas 04NC と 04RF を適用でき、 \(f : X \to Y\) が \(x\) において準有限であることと、\(U \to V\) が \(u\) において準有限であることとは同値である。同様に \(f' : X' \to Y'\) と射 \(U' \to V'\) についても同じことが成り立つ。 したがって (1)、(2)、(3) は Morphisms, Lemmas 01TM と 01TI に帰着する。 (4) は (3) と Lemma 03HF から従う。

補題

準有限射の合成は準有限である。局所準有限についても同様である。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 01TL を参照せよ。

補題

準有限射の基底変換は準有限である。局所準有限についても同様である。

証明

Lemma 0ABM から直ちに従う。

次の補題は、局所準有限射を、局所有限型で「離散ファイバー」をもつ射として 特徴づける。しかし、これは \(|X| \to |Y|\) に離散ファイバーを要求することと 同じではない。Examples, Section 06UJ の議論を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型であると仮定する。次の条件は同値である。

1. \(f\) は局所準有限である。

2. \(k\) が体であるような任意の射 \(\Spec(k) \to Y\) に対して、 空間 \(|X_k|\) は離散である。ここで \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) である。

証明

\(f\) が局所準有限であると仮定する。(2) のような \(\Spec(k) \to Y\) を取る。 \(U\) がスキームであるような全射エタール射 \(U \to X\) を取る。 すると Properties of Spaces, Lemma 03FU により \(U_k = \Spec(k) \times_Y U \to X_k\) は代数空間のエタール射である。 Lemma 03XL により、 \(X_k \to \Spec(k)\) は局所準有限である。定義により、これは \(U_k \to \Spec(k)\) が局所準有限であることを意味する。 したがって Morphisms, Lemma 06RT により \(|U_k|\) は離散である。 \(|U_k| \to |X_k|\) は全射かつ開なので、\(|X_k|\) は離散である。

逆に、(2) を仮定する。\(V\) がスキームであるような全射エタール射 \(V \to Y\) を取る。\(U\) がスキームであるような全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。\(f\) は局所有限型なので、\(U \to V\) は 局所有限型であることに注意する。図式は \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[rd] & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ & X \ar[r] & Y }\] である。\(f\) が局所準有限でないならば、\(U \to V\) は局所準有限でない。 したがって Morphisms, Lemma 01TH により、同じ点 \(v \in V\) の上にある \(u, u' \in U\) に対して特殊化 \(u \leadsto u'\) が存在する。\(u, u'\) は \(X_v = \Spec(\kappa(v)) \times_Y X\) に同じ像をもたないと主張する。 これは \(|X_v|\) が離散であるという仮定に所望の矛盾を与える。 \(d = \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u))\) および \(d' = \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u'))\) とおく。 Morphisms, Lemma 06RU により \(d > d'\) である。 \(U_v\)（\(v\) 上の \(U \to V\) のファイバー）は \(X \times_Y V\) 上の \(U\) と \(X_v\) のファイバー積であることに注意する。したがって \(U_v \to X_v\) はエタールである（エタール射 \(U \to X \times_Y V\) の基底変換）。 \(u, u' \in U_v\) が \(|X_v|\) の同じ元に写るならば、Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、 \(t(r) = u\) かつ \(s(r) = u'\) を満たす点 \(r \in R_v = U_v \times_{X_v} U_v\) が存在する。 \(s, t : R_v \to U_v\) は \(\kappa(v)\) 上のスキームのエタール射なので、 \(\kappa(u) \subset \kappa(r) \supset \kappa(u')\) は \(\kappa(v)\) 上の 体の有限分離拡大であることに注意する （Morphisms, Lemma 02GL 参照）。 したがって超越次数は等しい。この矛盾で証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は局所準有限である。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において準有限である。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は局所準有限である。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は局所準有限である。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が局所準有限となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) が局所準有限となるものが存在する。

7. 任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタールであるものに対して、 上の水平矢印は局所準有限である。

8. 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタール、\(U \to X\) は全射で、 上の水平矢印は局所準有限であるものが存在する。

9. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、各射 \(X_{ij} \to Y_i\) が 局所準有限となるものが存在する。

証明

省略する。

補題

埋入は局所準有限である。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(X \to Z\) が局所準有限ならば、\(X \to Y\) は局所準有限である。

証明

垂直矢印がエタールかつ全射である可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] を取る（Spaces, Lemma 02X1 参照）。 上の行に Morphisms, Lemma 03WR を適用する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の有限型射とする。 \(y \in |Y|\) とする。\(y\) の上にある \(|X|\) の点であって、\(f\) が 準有限であるものは高々有限個である。

証明

\(y\) が定める同値類に属する体 \(k\) と射 \(\Spec(k) \to Y\) を取る。 ファイバー \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) は体上有限型の代数空間であり、 特に準コンパクトである。Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、写像 \(|X_k| \to |X|\) は、\(y\) 上の \(|X| \to |Y|\) のファイバー上へ全射である。 さらに Lemma 0ABM により、 \(X_k \to \Spec(k)\) が準有限である点の集合は、\(f\) が準有限である \(y\) 上の点の集合上へ写る。アフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X_k\) を取る（Properties of Spaces, Lemma 03H6）。 すると \(U \to \Spec(k)\) は有限型射であり、この射が準有限である点は 高々有限個である。Morphisms, Lemma 0AAY を参照せよ。 \(X_k \to \Spec(k)\) が点 \(x'\) で準有限であるための必要十分条件は、 \(U \to \Spec(k)\) が準有限である \(U\) の点の像であることなので、結論を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型かつモノ射ならば、\(f\) は分離かつ局所準有限である。

証明

モノ射は分離である。Lemma 042N を参照せよ。 Lemma 040Z により、\(Z\) がアフィンであるような \(Z \to Y\) による基底変換を行った後で補題を示せば十分である。 したがって \(Y\) はアフィンスキームであると仮定してよい。 アフィンスキーム \(U\) とエタール射 \(U \to X\) を取る。 \(X \to Y\) は局所有限型なので、アフィンスキームの射 \(U \to Y\) は有限型である。 \(X \to Y\) はモノ射なので \(U \times_X U = U \times_Y U\) である。 特に写像 \(U \times_Y U \to U\) はエタールである。 \(y \in Y\) とする。このとき \(U_y\) は空であるか、または、\(y\) の上にある ある \(u \in U\) に対して \(\Spec(\kappa(u)) \times_{\Spec(\kappa(y))} U_y\) は \(u\) 上の \(U \times_Y U \to U\) のファイバーと同型である。 これは \(U \to Y\) のファイバーが有限離散集合であることを含意する （\(U \times_Y U \to U\) はアフィンスキームのエタール射なので、 Morphisms, Lemma 02GL を参照せよ）。 したがって Morphisms, Lemma 01TH により \(U \to Y\) は準有限である。\(U\) がアフィンであるような任意のエタール射 \(U \to X\) に対してこれが成り立つので、\(X \to Y\) は局所準有限である。

有限表示の射

スキームの射が「局所有限表示」であるという性質は、始域・終域について エタール局所的である。Descent, Remark 04R3 を参照せよ。 また、これは基底変換で安定で、標的上 fpqc 局所的でもある。 Morphisms, Lemma 01TS および Descent, Lemma 02KY を参照せよ。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間の射が局所有限表示であるとは何かを次のように定義できる。 射が表現可能ならば、これは Section 03HA で すでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} =\)「局所有限表示」に対して成り立つとき、\(f\) は 局所有限表示であるという。

2. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が局所有限表示となるものが存在するとき、\(f\) は \(x\) において有限表示であるという⁶。

3. 代数空間の射 \(f : X \to Y\) は、局所有限表示、準コンパクトかつ 準分離であるとき 有限表示であるという。

有限表示射は、単に局所有限表示な準コンパクト射なのではないことに注意する。

補題

有限表示射の合成は有限表示である。局所有限表示についても同様である。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 01TR を参照せよ。 また、準コンパクト射と準分離射に対する結果 （Lemmas 03HG と 03KQ）を用いる。

補題

有限表示射の基底変換は有限表示である。局所有限表示についても同様である。

証明

Remark 0AMM および Morphisms, Lemma 01TS を参照せよ。 また、準コンパクト射と準分離射に対する結果 （Lemmas 03HF と 03KL）を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において有限表示である。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は局所有限表示である。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は局所有限表示である。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が局所有限表示となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) が局所有限表示となるものが存在する。

7. 任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタールであるものに対して、 上の水平矢印は局所有限表示である。

8. 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタール、\(U \to X\) は全射で、 上の水平矢印は局所有限表示であるものが存在する。

9. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、各射 \(X_{ij} \to Y_i\) が 局所有限表示となるものが存在する。

証明

省略する。

補題

局所有限表示な射は局所有限型である。有限表示射は有限型である。

証明

\(f : X \to Y\) を局所有限表示な代数空間の射とする。 これは Lemma 03MJ のような図式で、\(h\) が 局所有限表示、垂直矢印 \(a\) が全射であるものが存在することを意味する。 Morphisms, Lemma 01TW により、\(h\) は局所有限型である。 したがって定義により \(X \to Y\) は局所有限型である。 \(f\) が有限表示ならば準コンパクトであり、したがって \(f\) は有限型である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が有限表示で \(Y\) がネーターならば、\(X\) はネーターである。

証明

\(f\) が有限表示で \(Y\) がネーターであると仮定する。Lemmas 0464 と 04ZK により、\(X\) は局所ネーターである。 \(f\) は準コンパクトで \(Y\) は準コンパクトなので、\(X\) は準コンパクトである。 \(f\) は有限表示なので準分離であり （Definition 03XP 参照）、 \(Y\) はネーターなので準分離である （Properties of Spaces, Definition 03EA 参照）。 したがって Lemma 04ZH により \(X\) は準分離である。 これで Properties of Spaces, Definition 03EA の三条件をすべて確認し、結論を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(Y\) が局所ネーターで \(f\) が局所有限型ならば、\(f\) は局所有限表示である。

2. \(Y\) が局所ネーターで \(f\) が有限型かつ準分離ならば、\(f\) は有限表示である。

証明

\(f : X \to Y\) が局所有限型で、\(Y\) が局所ネーターであると仮定する。 これは Lemma 03MJ のような図式で、\(h\) が 局所有限型、垂直矢印 \(a\) が全射であるものが存在することを意味する。 Morphisms, Lemma 01TX により、 \(h\) は局所有限表示である。したがって定義により \(X \to Y\) は 局所有限表示である。これで (1) が示された。 \(f\) が有限型かつ準分離ならば、準コンパクトかつ準分離でもあり、 (2) は直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(Y\) を \(S\) 上の準コンパクトかつ準分離な 代数空間とする。\(X\) が \(Y\) 上有限表示ならば、\(X\) は準コンパクトかつ準分離である。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) と \(Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。\(X\) が \(Z\) 上局所有限表示で、 \(Y\) が \(Z\) 上局所有限型ならば、\(f\) は局所有限表示である。

証明

スキーム \(W\) と全射エタール射 \(W \to Z\) を取る。 次にスキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to W \times_Z Y\) を取る。 最後にスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。 定義により、\(U\) は \(W\) 上局所有限表示で、\(V\) は \(W\) 上局所有限型である。 Morphisms, Lemma 02FV により、 射 \(U \to V\) は局所有限表示である。したがって \(f\) は局所有限表示である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を、対角 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) をもつ \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型ならば、\(\Delta\) は局所有限表示である。 \(f\) が準分離かつ局所有限型ならば、\(\Delta\) は有限表示である。

証明

\(\Delta\) は第二射影 \(X \times_Y X \to X\) を介して \(X\) 上の射であることに注意する。 \(f\) が局所有限型であると仮定する。\(X\) は \(X\) 上有限表示であり、 \(X \times_Y X\) は \(X\) 上有限型である （Lemma 03XH による）。 したがって第一の主張は Lemma 05WT から従う。 第二の主張は、第一の主張、定義、および対角射が分離であること （Lemma 03HK）から従う。

補題

代数空間の開埋入は局所有限表示である。

証明

開埋入は定義により表現可能なので、一般原理 Spaces, Lemma 02YO および Morphisms, Lemma 01TT を用いることができる。

補題

閉埋入 \(i : Z \to X\) が有限表示であるための必要十分条件は、付随する 準連接イデアル層 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) が \(\mathcal{O}_X\)-加群として有限型であることである。

証明

\(U\) をスキームとし、\(U \to X\) を全射エタール射とする。 Lemma 0410 により、 \(i' : Z \times_X U \to U\) が有限表示であることと \(i\) が有限表示であることとは同値である。 Properties of Spaces, Section 05VR により、\(\mathcal{I}\) が 有限型であることと \(\mathcal{I}|_U = \Ker(\mathcal{O}_U \to i'_*\mathcal{O}_{Z \times_X U})\) が 有限型であることとは同値である。したがってスキームの場合の結果から従う。 Morphisms, Lemma 01TV を参照せよ。

構成可能集合

この節は Properties of Spaces, Section 0ECS の続きである。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(E \subset |Y|\) を部分集合とする。 \(E\) が \(Y\) でエタール局所構成可能ならば、\(f^{-1}(E)\) は \(X\) でエタール局所構成可能である。

証明

スキーム \(V\) と全射エタール射 \(\varphi : V \to Y\) を取る。 スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。 すると \(U \to X\) は全射エタールであり、\(U\) における \(f^{-1}(E)\) の 逆像は、\(U \to V\) による \(\varphi^{-1}(E)\) の逆像である。 したがって、\(U \to V\) に対するスキームの場合 （Morphisms, Lemma 054I）と、 定義（Properties of Spaces, Definition 0ECU）から補題が従う。

定理

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が準コンパクトかつ局所有限表示であると仮定する。 このとき \(|X|\) の任意のエタール局所構成可能部分集合の像は、 \(|Y|\) のエタール局所構成可能部分集合である。

証明

\(E \subset |X|\) をエタール局所構成可能とする。 \(V\) がアフィンであるようなエタール射 \(V \to Y\) を取る。 Properties of Spaces, Definition 0ECU により、 \(V\) における \(f(E)\) の逆像が構成可能であることを示せば十分である。 \(f\) は準コンパクトなので、\(V \times_Y X\) は準コンパクトな代数空間である。 アフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る （Properties of Spaces, Lemma 03H6）。 Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、\(V\) における \(f(E)\) の逆像は、\(U \to V\) による \(U\) における \(E\) の逆像の像である。 したがってスキームの場合から従う。Morphisms, Lemma 054J を参照せよ。

平坦射

スキームの射が「平坦」であるという性質は、始域・終域について エタール局所的である。Descent, Remark 04R3 を参照せよ。 また、これは基底変換で安定で、標的上 fpqc 局所的でもある。 Morphisms, Lemma 01U9 および Descent, Lemma 02L2 を参照せよ。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間の平坦射の概念を次のように定義できる。 射が表現可能ならば、これは Section 03HA で すでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} =\)「平坦」に対して成り立つとき、\(f\) は 平坦であるという。

2. \(x \in |X|\) とする。Lemma 04NC の同値な条件が \(\mathcal{Q} =\)「誘導される局所環の写像が平坦」に対して成り立つとき、 \(f\) は \(x\) において平坦であるという。

第二の部分は Descent, Lemma 04ND により意味をもつ。

簡単な健全性確認を行う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が平坦であるための必要十分条件は、\(|X|\) のすべての点で \(f\) が 平坦であることである。

証明

\(U\) と \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタール、\(a\) は全射である可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] を取る。定義により、\(f\) が平坦であることと \(h\) が平坦であることとは同値である （Definition 04RD）。定義により、\(f\) が \(x \in |X|\) において平坦であることと、\(x\) に写るある（同値に任意の） \(u \in U\) において \(h\) が平坦であることとは同値である （Definition 04RE）。 したがって補題は、スキームの射が平坦であるための必要十分条件が 始域のすべての点で平坦であることから従う （Morphisms, Definition 01U3）。

補題

平坦射の合成は平坦である。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 01U7 を参照せよ。

補題

平坦射の基底変換は平坦である。

証明

Remark 0AMM および Morphisms, Lemma 01U9 を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は平坦である。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において平坦である。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は平坦である。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、射 \(Z \times_Y X \to Z\) は平坦である。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が平坦となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) が平坦となるものが存在する。

7. 任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタールであるものに対して、 上の水平矢印は平坦である。

8. 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] であって、\(U\), \(V\) はスキーム、垂直矢印はエタール、\(U \to X\) は全射で、 上の水平矢印は平坦であるものが存在する。

9. ザリスキ被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、各射 \(X_{ij} \to Y_i\) が 平坦となるものが存在する。

証明

省略する。

補題

局所有限表示な平坦射は普遍的開である。

証明

\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の局所有限表示な平坦射とする。 \(U\) と \(V\) はスキーム、垂直矢印は全射かつエタールである図式 \[\xymatrix{ U \ar[r]_\alpha \ar[d] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を取る。Spaces, Lemma 02X1 を参照せよ。 Lemmas 03MM と 0410 により、射 \(\alpha\) は平坦かつ 局所有限表示である。したがって Morphisms, Lemma 01UA により、\(\alpha\) は普遍的開である。 ゆえに Lemma 03Z5 により、 \(X \to Y\) は普遍的開である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の平坦、準コンパクトかつ全射な射とする。 部分集合 \(T \subset |Y|\) が開（それぞれ閉）であるための必要十分条件は、 \(f^{-1}(|T|)\) が \(|X|\) で開（それぞれ閉）であることである。 言い換えると、\(f\) は submersive であり、実際 universally submersive である。

証明

アフィンスキーム \(V_i\) とエタール射 \(V_i \to Y\) であって、 \(V = \coprod V_i \to Y\) が全射となるものを取る。Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照せよ。 各 \(i\) に対して、代数空間 \(V_i \times_Y X\) は準コンパクトである。 したがってアフィンスキーム \(U_i\) と全射エタール射 \(U_i \to V_i \times_Y X\) を取れる。Properties of Spaces, Lemma 03H6 を参照せよ。 すると合成 \(U_i \to V_i \times_Y X \to V_i\) はアフィン間の全射平坦射である。 もちろん \(U = \coprod U_i \to X\) は全射かつエタールであり、 \(U \to V \times_Y X\) は全射である。さらに射 \(U \to V\) は射 \(U_i \to V_i\) の非交和である。したがって \(U \to V\) は全射、準コンパクトかつ平坦である。 図式 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] を考える。\(|Y|\) の位相の定義により、集合 \(T\) が閉（それぞれ開）であることと、 \(g^{-1}(T) \subset |V|\) が閉（それぞれ開）であることとは同値である。 \(f^{-1}(T)\) とその \(|U|\) における逆像についても同じである。 \(U \to V\) は準コンパクト、全射かつ平坦なので、Morphisms, Lemma 02JY により結論を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\overline{x}\) を点 \(x \in |X|\) の上にある \(X\) の幾何点とする。 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) とおく。次の条件は同値である。

1. \(f\) は \(x\) において平坦である。

2. エタール局所環の写像 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は平坦である。

証明

\(U\) と \(V\) はスキーム、\(a, b\) はエタールで、\(u \in U\) が \(x\) に写る 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] を取る。Properties of Spaces, Lemma 05VN により、 \(u\) の上にある幾何点 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) であって、 \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\) となるものを取れる。 \(\overline{v} = h \circ \overline{u}\) とおき、その像を \(v \in V\) とする。 Properties of Spaces, Lemma 04KF により \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} \quad\text{かつ}\quad \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\] である。平坦な水平矢印をもつ局所環の可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, u} \ar[r] & \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ \mathcal{O}_{V, v} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \ar[u] }\] を得る。左の垂直矢印が平坦であることと右の垂直矢印が平坦であることが 同値であることを示さなければならない。Algebra, Lemma 0584 により、 \(\mathcal{O}_{U, u}\) が \(\mathcal{O}_{V, v}\) 上平坦であることと、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) が \(\mathcal{O}_{V, v}\) 上平坦であることとは同値である。 したがって More on Flatness, Lemma 05VL から結論が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が平坦であるための必要十分条件は、\(f\) に付随するサイトの射 \((f_{small}, f^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \to (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\) が平坦であることである。

証明

\((f_{small}, f^\sharp)\) の平坦性は、\(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\)-加群としての \(\mathcal{O}_X\) の平坦性によって定義される。これは茎で確認できる。 Modules on Sites, Lemma 05VC および Properties of Spaces, Theorem 04K5 を参照せよ。 しかし \(f\) の平坦性を茎で確認できることはすでに見た。 Lemma 04NG を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を、スキーム論的台 \(Z \subset X\) をもつ有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(f\) が平坦ならば、\(f^{-1}(Z)\) は \(f^*\mathcal{F}\) のスキーム論的台である。

証明

Lemma 07U0 のスキーム論的台の特徴づけと、 Lemma 03MM のエタール被覆による平坦射の特徴づけを用いて、 スキームの場合に帰着する。これは Morphisms, Lemma 07T9 である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の平坦射とする。 \(V \to Y\) を準コンパクトな開埋入とする。\(V\) が \(Y\) で スキーム論的に稠密ならば、\(f^{-1}V\) は \(X\) でスキーム論的に稠密である。

証明

Lemma 0833 のスキーム論的に稠密な 開集合の特徴づけと、Lemma 03MM のエタール被覆による 平坦射の特徴づけを用いて、スキームの場合に帰着する。これは Morphisms, Lemma 081H である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の平坦射とする。 \(g : V \to Y\) を代数空間の準コンパクト射とする。 \(Z \subset Y\) を \(g\) のスキーム論的像とし、\(Z' \subset X\) を基底変換 \(V \times_Y X \to X\) のスキーム論的像とする。このとき \(Z' = f^{-1}Z\) である。

証明

\(Y'\) がアフィンスキームの非交和となるような全射エタール射 \(Y' \to Y\) を取る（Properties of Spaces, Lemma 03FX）。 \(X'\) がアフィンスキームの非交和となるような全射エタール射 \(X' \to X \times_Y Y'\) を取る。Lemma 03MM により、 射 \(X' \to Y'\) は平坦である。\(V' = V \times_Y Y'\) とおく。 Lemma 082Z により、 \(Y'\) における \(Z\) の逆像は \(V' \to Y'\) のスキーム論的像であり、 \(X'\) における \(Z'\) の逆像は \(V' \times_{Y'} X' \to X'\) のスキーム論的像である。 \(X' \to X\) は全射エタールなので、射 \(X' \to Y'\) と \(V' \to Y'\) の場合に 結果を示せば十分である。したがって \(X\) と \(Y\) はアフィンスキームであると 仮定してよい。この場合 \(V\) は準コンパクトな代数空間である。 アフィンスキーム \(W\) と全射エタール射 \(W \to V\) を取る （Properties of Spaces, Lemma 03H6）。 \(V \to Y\) のスキーム論的像が \(W \to Y\) のスキーム論的像と一致し、 同様に \(V \times_Y X \to Y\) と \(W \times_Y X \to X\) についても一致することは明らかである。 したがってスキームの場合に帰着する。これは Morphisms, Lemma 081I である。

平坦加群

この節では、加群が点において平坦であるとは何かを定義する。 そのため、代数空間の小エタールサイト \(X_\etale\) 上の層の茎の概念を用いる。 Properties of Spaces, Definition 04JY を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。\(x \in |X|\) とする。 次の条件は同値である。

1. ある可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] であって、\(U\) と \(V\) はスキーム、\(a, b\) はエタール、\(u \in U\) は \(x\) に写り、加群 \(a^*\mathcal{F}\) が \(u\) で \(V\) 上平坦となるものが存在する。

2. \(x\) の上にある任意の幾何点 \(\overline{x}\) と \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) に対して、茎 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) はエタール局所環 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 上平坦である。

証明

この証明を通じて、\(x\) の上の幾何点 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) を固定し、その \(Y\) における像を \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) と表す。 (1) のような図式が与えられると、Properties of Spaces, Lemma 05VN により、 \(u\) の上にある幾何点 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) であって、 \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\) となるものを取れる。 \(\overline{v} = h \circ \overline{u}\) とおき、その像を \(v \in V\) とする。 Properties of Spaces, Lemma 04KF により \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} \quad\text{かつ}\quad \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\] である。局所環の可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, u} \ar[r] & \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ \mathcal{O}_{V, v} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \ar[u] }\] を得る。最後に Properties of Spaces, Lemma 05VP により \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] である。したがって Algebra, Lemma 0584 により、 \((a^*\mathcal{F})_u\) が \(\mathcal{O}_{V, v}\) 上平坦であることと、 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) が \(\mathcal{O}_{V, v}\) 上平坦であることとは同値である。 ゆえに More on Flatness, Lemma 05VL から結論が従う。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。

1. \(x \in |X|\) とする。Lemma 05VU の同値な条件が 成り立つとき、\(\mathcal{F}\) は \(x\) において \(Y\) 上平坦であるという。

2. \(\mathcal{F}\) がすべての \(x \in |X|\) において \(Y\) 上平坦であるとき、 \(\mathcal{F}\) は \(Y\) 上平坦であるという。

この定義に伴う必須の基底変換補題を述べる。この補題は、準連接層が 平坦である軌跡の形成が平坦基底変換と可換することを含意する。

補題

\(S\) をスキームとし、 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間のカルテジアン図式とする。 \(x' \in |X'|\) とし、その像を \(x \in |X|\) とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とし、 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\) と表す。

1. \(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(Y\) 上平坦ならば、 \(\mathcal{F}'\) は \(x'\) において \(Y'\) 上平坦である。

2. \(g\) が \(f'(x')\) において平坦で、\(\mathcal{F}'\) が \(x'\) において \(Y'\) 上平坦ならば、\(\mathcal{F}\) は \(x\) において \(Y\) 上平坦である。

特に、\(\mathcal{F}\) が \(Y\) 上平坦ならば、\(\mathcal{F}'\) は \(Y'\) 上平坦である。

証明

スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) を取る。 スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。 スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to V \times_Y Y'\) を取る。 すると \(U' = V' \times_V U\) は、全射エタール射 \(U' = V' \times_V U \to Y' \times_Y X = X'\) を備えたスキームである。 \(x' \in |X'|\) に写る \(u' \in U'\) を取る。このとき \(x'\) における \(\mathcal{F}'\) の \(Y'\) 上の平坦性を、\(u'\) における \(\mathcal{F}'|_{U'}\) の \(V'\) 上の平坦性によって確認できる。 したがって補題は More on Morphisms, Lemma 047C から従う。

次の補題は、加群を用いて平坦射の「合成」を論じる。 また、平坦性が一種の上から下への降下を満たすことも示す。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(x \in |X|\) とし、その像を \(y \in |Y|\) とする。

1. \(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(Y\) 上平坦で、\(Y\) が \(y\) において \(Z\) 上平坦ならば、\(\mathcal{F}\) は \(x\) において \(Z\) 上平坦である。

2. \(x : \Spec(K) \to X\) を \(x\) の代表とする。次の条件が成り立つとする。

   1. \(\mathcal{F}\) は \(x\) において \(Y\) 上平坦である。

   2. \(x^*\mathcal{F} \not = 0\) である。

   3. \(\mathcal{F}\) は \(x\) において \(Z\) 上平坦である。

   このとき \(Y\) は \(y\) において \(Z\) 上平坦である。

3. \(\overline{x}\) を \(x\) の上にある \(X\) の幾何点とし、その \(Y\) における像を \(\overline{y}\) とする。\(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) が忠実平坦な \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-加群で、\(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(Z\) 上平坦ならば、\(Y\) は \(y\) において \(Z\) 上平坦である。

証明

(3) のような \(\overline{x}\) と \(\overline{y}\) を取り、\(Z\) に誘導される 幾何点を \(\overline{z}\) と表す。Lemmas 05VU と 04NG の平坦性の特徴づけにより、 補題は局所環の写像 \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) と加群 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) に関する純代数的な問題に帰着する。 (1) は Algebra, Lemma 00HC から従う。 条件 (2)(b) は \(\mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\) が非零であることを保証する。 したがって (2)(a) \(+\) (2)(b) は、\(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) が忠実平坦な \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-加群であることを含意する。Algebra, Lemma 00HP を参照せよ。ゆえに (2) は (3) の特殊な場合である。 最後に、(3) は Algebra, Lemma 039V から従う。

基底変換が「上側」で起こることもある。正確な主張を述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。\(\mathcal{G}\) を \(Y\) 上の準連接層とする。 \(x \in |X|\) とし、その像を \(y \in |Y|\) とする。 \(f\) が \(x\) において平坦ならば、 \[\mathcal{G}\text{ は次の上で平坦：}Z\text{、点：}y \Leftrightarrow f^*\mathcal{G}\text{ は次の上で平坦：}Z\text{、点：}x.\] 特に、\(f\) が全射かつ平坦ならば、\(\mathcal{G}\) が \(Z\) 上平坦であることと、 \(f^*\mathcal{G}\) が \(Z\) 上平坦であることとは同値である。

証明

\(X\) の幾何点 \(\overline{x}\) を取り、\(Y\) における像を \(\overline{y}\)、 \(Z\) における像を \(\overline{z}\) と表す。 Lemmas 05VU と 04NG の平坦性の特徴づけ、および Properties of Spaces, Lemma 05VQ による \(\overline{x}\) における \(f^*\mathcal{G}\) の茎の記述を用いると、補題は 局所環の写像 \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) と加群 \(\mathcal{G}_{\overline{y}}\) に関する 純代数的な問題に帰着する。この代数的主張は Algebra, Lemma 0584 である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(f\) が局所有限表示、\(\mathcal{F}\) が有限型、 \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\) であり、\(\mathcal{F}\) が \(Y\) 上平坦であると仮定する。 このとき \(f\) は普遍的開である。

証明

\(V\) がスキームであるような全射エタール射 \(\varphi : V \to Y\) を取る。 \(U\) がスキームであるような全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を取る。 すると、\(U \to V\) と準連接 \(\mathcal{O}_V\)-加群 \(\varphi^*\mathcal{F}\) に対して補題を示せば十分である。 したがって補題はスキームの場合から従う。Morphisms, Lemma 0CVT を参照せよ。

一般平坦性

この節は Morphisms, Section 0529 に対応するものである。

命題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群層とする。次を仮定する。

1. \(Y\) は被約である。

2. \(f\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

このとき、開稠密部分空間 \(W \subset Y\) であって、\(f\) の基底変換 \(X_W \to W\) が平坦、局所有限表示かつ準コンパクトであり、 \(\mathcal{F}|_{X_W}\) が \(W\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_{X_W}\) 上有限表示となるものが存在する。

証明

\(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射とする。 \(X_V = V \times_Y X\) とおき、\(\mathcal{F}_V\) を \(X_V\) への \(\mathcal{F}\) の制限とする。射 \(X_V \to V\) と層 \(\mathcal{F}_V\) に対して 結果が成り立つと仮定する。このとき開部分スキーム \(V' \subset V\) であって、 \(X_{V'} \to V'\) が平坦かつ有限表示であり、\(\mathcal{F}_{V'}\) が \(V'\) 上平坦な有限表示 \(\mathcal{O}_{X_{V'}}\)-加群となるものが存在する。 \(W \subset Y\) をエタール射 \(V' \to Y\) の像とする。Properties of Spaces, Lemma 06NF を参照せよ。 すると \(V' \to W\) は全射エタール射なので、Lemmas 0410、03MM、および 03KG により、\(X_W \to W\) は平坦、 局所有限表示かつ準コンパクトである。Properties of Spaces, Section 05VR の議論により、 \(\mathcal{F}_W\) は有限表示 \(\mathcal{O}_{X_W}\)-加群であり、Lemma 05VW により \(\mathcal{F}_W\) は \(W\) 上平坦である。 この議論により、命題は \(Y\) がスキームの場合に帰着する。

\(Y\) がアフィンスキームの場合に命題を証明できると仮定する。 \(f : X \to Y\) を、\(Y\) がスキームであるような \(S\) 上の代数空間の有限型射とし、 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 アフィン開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) を取る。仮定により、稠密開集合 \(W_j \subset V_j\) であって、\(X_{W_j} \to W_j\) が平坦、局所有限表示かつ 準コンパクトであり、\(\mathcal{F}|_{X_{W_j}}\) が \(W_j\) 上平坦かつ 有限表示 \(\mathcal{O}_{X_{W_j}}\)-加群となるものを取れる。 この状況では単に \(W = \bigcup W_j\) と取れば結論を得る。 したがって命題は \(Y\) がアフィンスキームである場合に帰着する。

\(Y\) を \(S\) 上のアフィンスキーム、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の 代数空間の有限型射、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(f\) は有限型なので準コンパクトであり、したがって \(X\) は準コンパクトである。 よって、アフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X\) を取れる。 Properties of Spaces, Lemma 03H6 を参照せよ。 \(U \to Y\) は有限型であることに注意する（この場合、これが \(f\) が 有限型であることの意味である）。したがって Morphisms, Proposition 052B を適用すると、 稠密開集合 \(W \subset Y\) であって、\(U_W \to W\) が平坦かつ有限表示であり、 \(\mathcal{F}|_{U_W}\) が \(W\) 上平坦な有限表示 \(\mathcal{O}_{U_W}\)-加群となるものが存在する。 定義により、これは \(f\) の基底変換 \(X_W \to W\) が平坦、局所有限表示かつ 準コンパクトであり、\(\mathcal{F}|_{X_W}\) が \(W\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_{X_W}\) 上有限表示であることを意味する。

上の補題の結果を \(X_W \to W\) が有限表示であるという要請まで強めることはできない。 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}/\mathbf{Z} \to \Spec(\mathbf{Q})\) が反例を与える。 問題は、対角射 \(\Delta_{X/Y}\) が準コンパクトでない可能性、すなわち \(f\) が準分離でない可能性にある。明らかに、これが唯一の問題でもある。

命題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群層とする。次を仮定する。

1. \(Y\) は被約である。

2. \(f\) は準分離である。

3. \(f\) は有限型である。

4. \(\mathcal{F}\) は有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

このとき、開稠密部分空間 \(W \subset Y\) であって、\(f\) の基底変換 \(X_W \to W\) が平坦かつ有限表示であり、\(\mathcal{F}|_{X_W}\) が \(W\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_{X_W}\) 上有限表示となるものが存在する。

証明

Proposition 06QS と、 「有限表示」\(=\)「局所有限表示」\(+\)「準コンパクト」\(+\)「準分離」 という事実から直ちに従う。

相対次元

この節では、代数空間の射の一点における相対次元と、 それに密接に関連するいくつかの性質を定義する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) とする。 \(d, r \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\) とする。

1. Lemma 04NC の同値な条件が、 Descent, Lemma 04NJ で述べた性質 \(\mathcal{P}_d\) に対して成り立つとき、 \(x\) における \(f\) のファイバーの局所環の次元は \(d\) であるという。

2. Lemma 04NC の同値な条件が、 Descent, Lemma 04NK で述べた性質 \(\mathcal{P}_r\) に対して成り立つとき、 \(x/f(x)\) の超越次数は \(r\) であるという。

3. Lemma 04NC の同値な条件が、 Descent, Lemma 04NL で述べた性質 \(\mathcal{P}_d\) に対して成り立つとき、 \(f\) は \(x\) において相対次元 \(d\) をもつという。

この定義の意味を明記しておこう。すなわち、 Lemma 04NC のような図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] を選ぶ。このとき \[\begin{matrix} \text{相対次元：}f\text{、点 }x & = & \dim_u (U_v) \\ \text{ファイバーの局所環の次元：}f\text{、点 }x & = & \dim(\mathcal{O}_{U_v, u})\\ \text{超越次数：}x/f(x) & = & \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u)) \end{matrix}\] を得る。\(Y = \Spec(k)\) が体のスペクトルである場合、 \(x\) における \(X/Y\) の相対次元は \(\dim_x(X)\) と同じであり、 \(x/f(x)\) の超越次数は \(k\) 上の超越次数であり、 \(x\) における \(f\) のファイバーの局所環の次元は \(x\) における局所環の次元にほかならない。 したがって、この場合には相対的な概念は絶対的な概念になる。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(d \in \{0, 1, 2, \ldots\}\) とする。

1. すべての \(x \in |X|\) において \(f\) の相対次元が \(\leq d\) であるとき、 \(f\) は 相対次元 \(\leq d\) をもつという。

2. すべての \(x \in |X|\) において \(f\) の相対次元が \(d\) であるとき、 \(f\) は 相対次元 \(d\) をもつという。

相対次元が \(d\) に等しいとは、大まかには、 空でないすべてのファイバーが次元 \(d\) の等次元空間であることを意味する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) とし、その像を \(y \in |Y|\), \(z \in |Z|\) とする。 \(X \to Y\) は局所準有限であり、\(Y \to Z\) は局所有限型であると仮定する。 このとき \(x/z\) の超越次数は \(y/z\) の超越次数に等しい。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \ar[r] & w \ar[d] \\ x \ar[r] & y \ar[r] & z }\] で、\(U, V, W\) がスキームであり、垂直矢印がエタールであるものを選べる。 定義により射 \(U \to V\) は局所準有限であるから、 \(\kappa(v) \subset \kappa(u)\) は有限である （Morphisms, Lemma 01TG）。 したがって結果は明らかである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型であり、\(Y\) が Jacobson であり （Properties of Spaces, Remark 03E7）、 \(x \in |X|\) が \(X\) の有限型点であるならば、 \(x/f(x)\) の超越次数は \(0\) である。

証明

\(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射として選ぶ。 \(U\) をスキームとし、\(U \to X \times_Y V\) を全射エタール射として選ぶ。 Lemma 06EJ により、 \(x\) に写る有限型点 \(u \in U\) を見つけられる。 \(U\) を縮小することにより、\(u \in U\) は閉点であるとしてよい （Morphisms, Lemma 02J2）。 \(v \in V\) を \(u\) の像とする。Morphisms, Lemma 01TB により、 拡大 \(\kappa(u)/\kappa(v)\) は有限である。これで証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の局所 Noether 代数空間の射で、平坦、局所有限型、かつ相対次元 \(d\) をもつものとする。 \(x\) を \(|X|\) の任意の点とし、その像 \(y\) を \(|Y|\) の点とする。このとき \(\dim_x(X) = \dim_y(Y) + d\) が成り立つ。

証明

一点における代数空間の次元の定義 （Properties of Spaces, Definition 04N5）と、 相対次元 \(d\) をもつことの定義により、これはスキームに対する対応する主張 （Morphisms, Lemma 0AFE）に帰着する。

射とファイバーの次元

この節は Morphisms, Section 02FW の類似である。 一点における代数空間の局所環をもたないため、 この節の定式化はやや不格好になる。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。このとき \[\begin{matrix} \text{相対次元：}f\text{、点 }x \\ = \\ \text{ファイバーの局所環の次元：}f\text{、点 }x \\ + \\ \text{超越次数：}x/f(x) \end{matrix}\] が成り立つ。記法は Definition 04NM のとおりである。

証明

Morphisms, Lemma 02FX を、 Lemma 04NC のような \(h : U \to V\) と \(u \in U\) に適用すれば直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) とし、\(y = f(x)\) とおく。 \(f\) と \(g\) は局所有限型であると仮定する。このとき

1. \[\begin{matrix} \text{相対次元：}g \circ f\text{、点 }x \\ \leq \\ \text{相対次元：}f\text{、点 }x \\ + \\ \text{相対次元：}g\text{、点 }y \end{matrix}\]

2. \(g(f(x)) = g(y)\) の類に属する体のスペクトルからのある射 \(\Spec(k) \to Z\) に対して、射 \(X_k \to Y_k\) が \(x\) において平坦ならば、 (1) で等号が成り立つ。たとえば \(f\) が \(x\) において平坦ならば成り立つ。

3. \[\begin{matrix} \text{超越次数：}x/g(f(x)) \\ = \\ \text{超越次数：}x/f(x) \\ + \\ \text{超越次数：}f(x)/g(f(x)) \end{matrix}\]

証明

垂直矢印がエタールかつ全射であり、\(U, V, W\) がスキームである図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] を選ぶ（Spaces, Lemma 02X1）。 \(x\) に写る \(u \in U\) を選び、\(u\) の \(V, W\) における像をそれぞれ \(v, w\) とする。上段と点 \(u, v, w\) に Morphisms, Lemma 02JS を適用する。 詳細は省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間のファイバー積図式とする。 \(x' \in |X'|\) とし、\(x = g'(x')\) とおく。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。このとき

1. \[\begin{matrix} \text{相対次元：}f\text{、点 }x \\ = \\ \text{相対次元：}f'\text{、点 }x' \end{matrix}\]

2. \[\begin{matrix} \text{ファイバーの局所環の次元：}f'\text{、点 }x' \\ - \\ \text{ファイバーの局所環の次元：}f\text{、点 }x \\ = \\ \text{超越次数：}x/f(x) \\ - \\ \text{超越次数：}x'/f'(x') \end{matrix}\] が成り立ち、その共通値は \(\geq 0\) である。

3. 同じ \(y \in |Y|\) に写る \(x\) と \(y' \in |Y'|\) が与えられたとき、 (2) の整数が \(0\) となる \(x'\) を選ぶことができる。

証明

\(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射として選ぶ。 \(U\) をスキームとし、\(U \to V \times_Y X\) を全射エタール射として選ぶ。 \(V'\) をスキームとし、\(V' \to V \times_Y Y'\) を全射エタール射として選ぶ。 \(U' = V' \times_V U\) とおく。このとき誘導射 \(U' \to X'\) も 全射かつエタールである（議論は省略する）。 \(x'\) に写る \(u' \in U'\) を選ぶ。この時点で、\(U', U, V', V\) と点 \(u'\) からなるスキームの図式に Morphisms, Lemma 02FY を適用すれば (1) と (2) が従う。 (3) を示すため、まず \(y\) に写る \(v \in V\) を選ぶ。 次に Properties of Spaces, Lemma 03H4 により、 \(y'\) と \(v\) に写る \(v' \in V'\)、および \(x\) と \(v\) に写る \(u \in U\) を選べる。最後に Morphisms, Lemma 02FY により、 \(v'\) と \(u\) に写り、その整数がゼロとなる \(u' \in U'\) を選べる。 この \(u'\) の像 \(x' \in |X'|\) を取ればよい。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(n \geq 0\) とする。\(f\) は局所有限型であると仮定する。集合 \[W_n = \{x \in |X| \text{ であって、\(x\) における }f\text{ の相対次元が } x \leq n\}\] は \(|X|\) で開である。

証明

図式 \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、垂直矢印が全射かつエタールであるものを選ぶ （Spaces, Lemma 02X1）。 Morphisms, Lemma 02FZ により、 \(h\) の相対次元が \(\leq n\) となる点の集合 \(U_n\) は \(U\) で開である。 一点における代数空間の射の相対次元の定義から \(U_n = a^{-1}(W_n)\) である。 したがって、\(|X|\) の位相の定義により補題が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(n \geq 0\) とする。\(f\) は局所有限表示であると仮定する。 Lemma 04NT の開集合 \[W_n = \{x \in |X| \text{ であって、\(x\) における }f\text{ の相対次元が } x \leq n\}\] は \(|X|\) 内でレトロコンパクトである （Topology, Definition 005A）。

証明

図式 \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、垂直矢印が全射かつエタールであるものを選ぶ （Spaces, Lemma 02X1）。 Lemma 04NT の証明で、 \(a^{-1}(W_n) = U_n\) は射 \(h\) に対する対応する集合であることを見た。 Morphisms, Lemma 02G0 により、\(U_n\) は \(U\) 内でレトロコンパクトである。 Properties of Spaces, Lemma 04NN とその証明も参照すれば、 \(|X|\) の位相の定義から補題が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。 このとき、\(f\) が局所準有限であることと、 すべての \(x \in |X|\) において \(f\) の相対次元が \(0\) であることは同値である。

証明

図式 \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、垂直矢印が全射かつエタールであるものを選ぶ （Spaces, Lemma 02X1）。 定義から、\(h\) が局所準有限であることと \(f\) が局所準有限であることは同値であり、 また、すべての \(x \in |X|\) において \(f\) が相対次元 \(0\) をもつことと、 すべての \(u \in U\) において \(h\) が相対次元 \(0\) をもつことは同値である。 したがって、\(h\) に対する結果、すなわち Morphisms, Lemma 0397 から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。 このとき標準的な開部分空間 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が局所準有限であり、 任意の \(x \in |X|\), \(x \not \in |X'|\) における \(f\) の相対次元が \(\geq 1\) となるものが存在する。\(X'\) の形成は任意の基底変換と可換である。

証明

Lemmas 04NT, 04NV, および 04NS を組み合わせる。

補題

\(S\) をスキームとする。カルテジアン図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ Y & \Spec(k) \ar[l] }\] を考える。ここで \(X \to Y\) は \(S\) 上の代数空間の局所有限型射であり、 \(k\) は \(S\) 上の体である。 \(z \in |F|\) が \(\dim_z(F) = 0\) を満たすとする。 このとき、\(X\) を \(p(z)\) を含む開部分空間で置き換えた後、射 \[X \longrightarrow Y\] は局所準有限である。

証明

Lemma 04NW で得られる、 \(f\) が局所準有限となる開部分空間を \(X' \subset X\) とする。 \(X'\) の形成は任意の基底変換と可換であるから、 \(z \in X' \times_Y \Spec(k)\) である。したがって補題は明らかである。

次元公式

次元公式（Morphisms, Lemma 02JU）の類似を定式化するのはやや難しい。 整代数空間（これは後で定義する）と普遍鎖状代数空間を 定義しなければならないからである。しかし、次の形は直接的である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Y\) は局所 Noether であり、\(f\) は局所有限型であると仮定する。 \(x \in |X|\) とし、その像を \(y \in |Y|\) とする。このとき \[\begin{align*} & \text{局所環の次元：}X\text{、点 }x \leq \\ & \text{局所環の次元：}Y\text{、点 }y + E - \\ & \text{超越次数：}x/y \end{align*}\] が成り立つ。ここで \(E\) は、\(\xi \in |X|\) が \(x\) に特殊化する点で、 \(X\) の局所環の次元が \(0\) となるものを動くときの、 \(\xi/f(\xi)\) の超越次数の最大値である。

証明

アフィンスキーム \(V\)、エタール射 \(V \to Y\)、および \(y\) に写る点 \(v \in V\) を選ぶ。アフィンスキーム \(U\)、エタール射 \(U \to X \times_Y V\)、および \(V\) では \(v\) に、\(X\) では \(x\) に写る点 \(u \in U\) を選ぶ。Definition 04NM と Properties of Spaces, Definition 04NA を展開すると、 示すべきことは \[\dim(\mathcal{O}_{U, u}) \leq \dim(\mathcal{O}_{V, v}) + E - \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u))\] である。\(\xi_U \in U\) を、\(u\) を含む \(U\) の既約成分の一般点とする。 すると \(\xi_U\) は、量 \(E\) の定義に用いた点のリストに属する \(\xi \in |X|\) に写る。実際、\(E\) の定義に用いるすべての \(\xi\) は このようにして現れる（細部は省略する）。 とくに、そのような \(\xi\) は有限個しかないので最大値を取れる （すなわち、これは上限ではなく実際に最大値である）。 \(\xi\) の \(f(\xi)\) 上の超越次数は \(\text{trdeg}_{\kappa(\xi_V)}(\kappa(\xi_U))\) である。 ここで \(\xi_V \in V\) は \(\xi_U\) の像である。 したがって Morphisms, Lemma 0BAE から補題が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Y\) は局所 Noether であり、\(f\) は局所有限型であると仮定する。このとき \[\dim(X) \leq \dim(Y) + E\] が成り立つ。ここで \(E\) は、\(\xi\) が \(X\) の局所環の次元が \(0\) となる点を動くときの、\(\xi/f(\xi)\) の超越次数の上限である。

証明

Lemma 0BAX と Properties of Spaces, Lemma 0BAN の直ちに得られる帰結である。

シントミック射

スキームの射の「シントミック」という性質は始域と終域の上で エタール局所的である（Descent, Remark 04R3）。 また、基底変換で保たれ、終域上 fpqc 局所的でもある （Morphisms, Lemma 01UI および Descent, Lemma 02VK）。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間のシントミック射を次のように定義できる。 この定義は、射が表現可能であるとき、Section 03HA ですでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} =\)「シントミック」に対して成り立つとき、 \(f\) は シントミックであるという。

2. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) がシントミックとなるものが存在するとき、 \(f\) は \(x\) においてシントミックであるという。

補題

シントミック射の合成はシントミックである。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 01UH を参照。

補題

シントミック射の基底変換はシントミックである。

証明

Remark 0AMM および Morphisms, Lemma 01UI を参照。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) はシントミックである。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において シントミックである。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) はシントミックである。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) はシントミックである。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) がシントミック射となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) がシントミックとなるものが存在する。

7. \(U\), \(V\) がスキームで垂直矢印がエタールである任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] に対して、上の水平矢印はシントミックである。

8. \(U\), \(V\) がスキーム、垂直矢印がエタール、\(U \to X\) が全射で、 上の水平矢印がシントミックであるような可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] が存在する。

9. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、 各射 \(X_{ij} \to Y_i\) がシントミックとなるものが存在する。

証明

省略する。

補題

シントミック射は局所有限表示である。

証明

スキームの場合（Morphisms, Lemma 01UK）から直ちに従う。

補題

シントミック射は平坦である。

証明

スキームの場合（Morphisms, Lemma 01UL）から直ちに従う。

補題

シントミック射は普遍開である。

証明

Lemmas 0DEY, 0DEZ, および 042S を組み合わせる。

滑らかな射

スキームの射の「滑らか」という性質は始域と終域の上でエタール局所的である （Descent, Remark 04R3）。 また、基底変換で保たれ、終域上 fpqc 局所的でもある （Morphisms, Lemma 01VB および Descent, Lemma 02VL）。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間の滑らかな射を次のように定義できる。 この定義は、射が表現可能であるとき、Section 03HA ですでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} =\)「滑らか」に対して成り立つとき、 \(f\) は 滑らかであるという。

2. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が滑らかとなるものが存在するとき、 \(f\) は \(x\) において滑らかであるという。

補題

滑らかな射の合成は滑らかである。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 01VA を参照。

補題

滑らかな射の基底変換は滑らかである。

証明

Remark 0AMM および Morphisms, Lemma 01VB を参照。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は滑らかである。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において滑らかである。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) は滑らかである。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) は滑らかである。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が滑らかな射となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) が滑らかとなるものが存在する。

7. \(U\), \(V\) がスキームで垂直矢印がエタールである任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] に対して、上の水平矢印は滑らかである。

8. \(U\), \(V\) がスキーム、垂直矢印がエタール、\(U \to X\) が全射で、 上の水平矢印が滑らかであるような可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] が存在する。

9. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、 各射 \(X_{ij} \to Y_i\) が滑らかとなるものが存在する。

証明

省略する。

補題

代数空間の滑らかな射は局所有限表示である。

証明

\(X \to Y\) を代数空間の滑らかな射とする。 定義により、Lemma 03MJ のような図式で、 \(h\) が滑らかで、垂直矢印 \(a\) が全射となるものが存在する。 Morphisms, Lemma 01VE により、 \(h\) は局所有限表示である。 したがって定義により \(X \to Y\) は局所有限表示である。

補題

代数空間の滑らかな射は局所有限型である。

証明

Lemmas 04AJ および 0464 を組み合わせる。

補題

代数空間の滑らかな射は平坦である。

証明

\(X \to Y\) を代数空間の滑らかな射とする。 定義により、Lemma 03MJ のような図式で、 \(h\) が滑らかで、垂直矢印 \(a\) が全射となるものが存在する。 Morphisms, Lemma 01VE により、 \(h\) は平坦である。したがって定義により \(X \to Y\) は平坦である。

補題

代数空間の滑らかな射はシントミックである。

証明

\(X \to Y\) を代数空間の滑らかな射とする。 定義により、Lemma 03MJ のような図式で、 \(h\) が滑らかで、垂直矢印 \(a\) が全射となるものが存在する。 Morphisms, Lemma 01VD により、 \(h\) はシントミックである。 したがって定義により \(X \to Y\) はシントミックである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f|_U : U \to Y\) が滑らかとなる最大の開部分空間 \(U \subset X\) が存在する。 さらに、この開部分空間の形成は、次の射による基底変換と可換である。

1. 平坦かつ局所有限表示の射。

2. \(f\) が局所有限表示である場合の平坦射。

証明

\(U\) の存在は、滑らかであるという性質が始域上 Zariski 局所的 （さらにはエタール局所的）であることから従う （Lemma 03ZF）。 さらに、この補題により、性質 (1) と (2) をスキームの射の場合へ移せる。 スキームの場合は Morphisms, Lemma 02V4 である。 いくつかの細部を省略する。

補題

\(X\) と \(Y\) をスキーム \(S\) 上の局所 Noether 代数空間とし、 \(f : X \to Y\) を滑らかな射とする。 すべての点 \(x \in |X|\) とその像 \(y \in |Y|\) に対して \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y)\] が成り立つ。ここで \(\dim_x(X_y)\) は Definition 04NM の意味での、\(x\) における \(f\) の相対次元である。

証明

一点における代数空間の次元の定義 （Properties of Spaces, Definition 04N5）により、 これはスキームに対する対応する主張 （Morphisms, Lemma 0AFF）に帰着する。

非分岐射

スキームの射の「非分岐」（それぞれ「G-非分岐」）という性質は、 始域と終域の上でエタール局所的である （Descent, Remark 04R3）。 また、基底変換で保たれ、終域上 fpqc 局所的でもある （Morphisms, Lemma 02GA および Descent, Lemma 02VM）。 したがって上の Lemma 03MJ により、 代数空間の非分岐射（それぞれ G-非分岐射）を次のように定義できる。 この定義は、射が表現可能であるとき、Section 03HA ですでに定義した概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} = \text{非分岐}\) に対して成り立つとき、 \(f\) は 非分岐であるという。

2. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が非分岐となるものが存在するとき、 \(f\) は \(x\) において非分岐であるという。

3. Lemma 03MJ の同値な条件が \(\mathcal{P} = \text{G-非分岐}\) に対して成り立つとき、 \(f\) は G-非分岐であるという。

4. \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) が G-非分岐となるものが存在するとき、 \(f\) は \(x\) において G-非分岐であるという。

次の補題により、これ以降は非分岐射についてのみ理論を展開する。 G-非分岐射を用いたいときは、単に「局所有限表示な非分岐射」と呼ぶ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 このとき、\(f\) が G-非分岐であることと、 \(f\) が非分岐かつ局所有限表示であることは同値である。

証明

Lemma 03MJ のような任意の図式を考える。 すると、主張は射 \(h\) が G-非分岐であることと、 それが非分岐かつ局所有限表示であることが同値だというだけである。 これは Morphisms, Definition 02G4 から明らかである。

補題

非分岐射の合成は非分岐である。

証明

Remark 0AML および Morphisms, Lemma 02G9 を参照。

補題

非分岐射の基底変換は非分岐である。

証明

Remark 0AMM および Morphisms, Lemma 02GA を参照。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は非分岐である。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) において非分岐である。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) は非分岐である。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) は非分岐である。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) が非分岐射となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) が非分岐となるものが存在する。

7. \(U\), \(V\) がスキームで垂直矢印がエタールである任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] に対して、上の水平矢印は非分岐である。

8. \(U\), \(V\) がスキーム、垂直矢印がエタール、\(U \to X\) が全射で、 上の水平矢印が非分岐であるような可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] が存在する。

9. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、 各射 \(X_{ij} \to Y_i\) が非分岐となるものが存在する。

証明

省略する。

補題

代数空間の非分岐射は局所有限型である。

証明

Lemma 03MJ のような図式を介して、 これは Morphisms, Lemma 02GD に移される。

補題

\(f\) が \(x\) において非分岐ならば、\(f\) は \(x\) において準有限である。 とくに、非分岐射は局所準有限である。

証明

Lemma 03MJ のような図式を介して、 これは Morphisms, Lemma 02V5 に移される。

補題

代数空間の埋入は非分岐である。

証明

\(i : X \to Y\) を代数空間の埋入とする。 \(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射として選ぶ。 すると \(V \times_Y X \to V\) はスキームの埋入であり、したがって非分岐である （Morphisms, Lemmas 02GB および 02GC）。 ゆえに定義により \(i\) は非分岐である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

1. \(f\) が非分岐ならば、対角射 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) は開埋入である。

2. \(f\) が局所有限型で、\(\Delta_{X/Y}\) が開埋入ならば、 \(f\) は非分岐である。

証明

いずれの場合にも、\(\Delta_{X/Y}\) は表現可能な単射である （Lemma 03HK）。 \(V\) をスキームとし、\(V \to Y\) を全射エタール射として選ぶ。 \(U\) をスキームとし、\(U \to X \times_Y V\) を全射エタール射として選ぶ。 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr]_-{\Delta_{U/V}} & & U \times_V U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d]^{\Delta_{V/Y}} \\ X \ar[rr]^-{\Delta_{X/Y}} & & X \times_Y X \ar[r] & V \times_Y V }\] を考える。右の正方形はカルテジアンである。 左の垂直矢印は全射エタールである。 右の垂直矢印は、\(Y\) 上エタールなスキーム間の射としてエタールである （Properties of Spaces, Lemma 03FV）。 したがって中央の垂直矢印もエタールである （ただし全射であるとは限らない）。

\(f\) が非分岐であると仮定する。 すると \(U \to V\) は非分岐なので、Morphisms, Lemma 02GE により \(\Delta_{U/V}\) は開埋入である。 上の図式の左の正方形を見ると、Properties of Spaces, Lemma 03FS により \(\Delta_{X/Y}\) はエタール射であるとわかる。 したがって \(\Delta_{X/Y}\) は表現可能なエタール単射であり、 Étale Morphisms, Theorem 025G により開埋入である。 （スキームの言葉から関手の言葉への移行については Spaces, Lemma 02YO も参照。）

\(f\) が局所有限型で、\(\Delta_{X/Y}\) が開埋入であると仮定する。 このとき \(U \to V\) も局所有限型である （代数空間の局所有限型射の定義による）。 上の表示図式を見ると、\(\Delta_{U/V}\) は \(X \times_Y X\) 上エタールなスキーム間の射としてエタールである （Properties of Spaces, Lemma 03FV）。 しかし \(\Delta_{U/V}\) はスキーム間の射の対角射なので、 いずれにしても埋入である （Schemes, Lemma 01KJ）。 したがって開埋入であり、Morphisms, Lemma 02GE により \(U \to V\) は非分岐である。これは定義により \(f\) が非分岐であることを意味する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[ld]^q \\ & Z }\] を考える。\(X \to Z\) は局所有限型であると仮定する。 このとき、\(|U(f)| \subset |X|\) が \(f\) の非分岐点の集合となるような 開部分空間 \(U(f) \subset X\) が存在する。 さらに、代数空間の任意の射 \(Z' \to Z\) に対して、 \(f' : X' \to Y'\) が \(Z' \to Z\) による \(f\) の基底変換ならば、 \(U(f')\) は射影 \(X' \to X\) による \(U(f)\) の逆像である。

証明

この補題は Morphisms, Lemma 0475 の類似であり、 実際それから導く。Definition 03ZH により、集合 \(\{x \in |X| : f \text{ が非分岐となる点 }x\}\) は \(X\) で開である。 したがって最後の主張だけを示せばよい。 Lemma 0462 により、射 \(X \to Y\) は局所有限型である。 Lemma 03XH により、射 \(X' \to Y'\) は局所有限型である。

\(W\) をスキームとし、\(W \to Z\) を全射エタール射として選ぶ。 \(V\) をスキームとし、\(V \to W \times_Z Y\) を全射エタール射として選ぶ。 \(U\) をスキームとし、\(U \to V \times_Y X\) を全射エタール射として選ぶ。 最後に \(W'\) をスキームとし、 \(W' \to W \times_Z Z'\) を全射エタール射として選ぶ。 \(V' = W' \times_W V\), \(U' = W' \times_W U\) とおく。 すると全射エタール射 \(V' \to Y'\) と \(U' \to X'\) を得る。 代数空間のエタール射は、付随する位相空間の開写像を誘導する （Properties of Spaces, Lemma 03IR）ことを、以下では断りなく用いる。 これと Lemma 03ZK から、 \(U(f)\) は、射 \(U \to V\) が非分岐となる \(U\) の点の集合 \(T\) の \(|X|\) における像である。同様に \(U(f')\) は、射 \(U' \to V'\) が 非分岐となる \(U'\) の点の集合 \(T'\) の \(|X'|\) における像である。 構成により図式 \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] は（スキームの圏で）カルテジアンである。 したがって、先に挙げた Morphisms, Lemma 0475 から、 \(T'\) は \(T\) の逆像であることが従う。 \(|U'| \to |X'|\) は全射なので、これから補題が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(X \to Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(X \to Z\) が非分岐ならば、\(X \to Y\) も非分岐である。

証明

垂直矢印がエタールかつ全射である可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] を選ぶ（Spaces, Lemma 02X1）。 上段に Morphisms, Lemma 02GG を適用する。

エタール射

代数空間のエタール射という概念は Properties of Spaces, Definition 03FR で定義した。 一点において射がエタールであるとは次の意味である。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) とする。\(x\) の開近傍 \(X' \subset X\) であって、 \(f|_{X'} : X' \to Y\) がエタールとなるものが存在するとき、 \(f\) は \(x\) においてエタールであるという。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次の条件は同値である。

1. \(f\) はエタールである。

2. すべての \(x \in |X|\) に対して、射 \(f\) は \(x\) においてエタールである。

3. 任意のスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) はエタールである。

4. 任意のアフィンスキーム \(Z\) と任意の射 \(Z \to Y\) に対して、 射 \(Z \times_Y X \to Z\) はエタールである。

5. スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) であって、 \(V \times_Y X \to V\) がエタール射となるものが存在する。

6. スキーム \(U\) と全射エタール射 \(\varphi : U \to X\) であって、 合成 \(f \circ \varphi\) がエタールとなるものが存在する。

7. \(U\), \(V\) がスキームで垂直矢印がエタールである任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] に対して、上の水平矢印はエタールである。

8. \(U\), \(V\) がスキーム、垂直矢印がエタール、\(U \to X\) が全射で、 上の水平矢印がエタールであるような可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] が存在する。

9. Zariski 被覆 \(Y = \bigcup Y_i\) および \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) であって、 各射 \(X_{ij} \to Y_i\) がエタールとなるものが存在する。

証明

Properties of Spaces, Lemmas 03FS, 03FU, および 03FT を組み合わせる。 いくつかの細部を省略する。

補題

代数空間の二つのエタール射の合成はエタールである。

証明

Properties of Spaces, Lemma 03FT の写しである。

補題

代数空間のエタール射を代数空間の任意の射で基底変換したものは エタールである。

証明

Properties of Spaces, Lemma 03FU の写しである。

補題

代数空間のエタール射は局所準有限である。

証明

\(X \to Y\) を代数空間のエタール射とする （Properties of Spaces, Definition 03FR）。 Properties of Spaces, Lemma 03FS により、これは Lemma 03MJ のような図式で、 \(h\) がエタールで、垂直矢印 \(a\) が全射となるものが存在することを意味する。 Morphisms, Lemma 03WS により、 \(h\) は局所準有限である。 したがって定義により \(X \to Y\) は局所準有限である。

補題

代数空間のエタール射は滑らかである。

証明

証明は Lemma 03XU の証明と同一である。 スキームのエタール射が滑らかであるという事実 （スキームのエタール射の定義による）を用いる。

補題

代数空間のエタール射は平坦である。

証明

証明は Lemma 03XU の証明と同一であり、 Morphisms, Lemma 02GS を用いる。

補題

代数空間のエタール射は局所有限表示である。

証明

証明は Lemma 03XU の証明と同一であり、 Morphisms, Lemma 02GR を用いる。