Morphismes d’espaces algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous introduisons certains types de morphismes d’espaces algébriques. On pourra consulter [Kn].

Le but est d’étendre à la catégorie des espaces algébriques la définition de chacun des types de morphismes de schémas définis dans les chapitres Schémas et Morphismes de schémas. Chaque cas présente de légères différences et il nous paraît préférable de les traiter séparément.

Conventions

Nous supposons une fois pour toutes que tous les schémas appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). Tous les anneaux \(A\) considérés ont en outre la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Dans ce chapitre et le suivant, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\)), au lieu de \(X \times X\).

Propriétés des morphismes représentables

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques. Dans Espaces, section 02WI, nous avons défini ce que signifie pour \(f\) posséder la propriété \(\mathcal{P}\) lorsque \(\mathcal{P}\) est une propriété des morphismes de schémas qui

1. est préservée par tout changement de base, voir Schémas, définition 01JZ, et

2. est locale sur la base pour la topologie fppf, voir Descente, définition 02KO.

Plus précisément, dans ce cas, on dit que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si et seulement si, pour tout schéma \(U\) et tout morphisme \(U \to Y\), le morphisme de schémas \(X \times_Y U \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

D’après les listes de Espaces, section 02WE, ceci s’applique aux propriétés suivantes : (1)(a) immersion fermée, (1)(b) immersion ouverte, (1)(c) immersion quasi-compacte, (2) quasi-compact, (3) universellement fermé, (4) (quasi-)séparé, (5) monomorphisme, (6) surjectif, (7) universellement injectif, (8) affine, (9) quasi-affine, (10) (localement) de type fini, (11) (localement) quasi-fini, (12) (localement) de présentation finie, (13) localement de type fini de dimension relative \(d\), (14) universellement ouvert, (15) plat, (16) syntomique, (17) lisse, (18) non ramifié (resp. G-non ramifié), (19) étale, (20) propre, (21) fini ou entier, (22) fini localement libre, (23) universellement submersif, (24) homéomorphisme universel, et (25) immersion.

Dans ce chapitre, nous redéfinirons ces notions pour les morphismes d’espaces algébriques qui ne sont pas nécessairement représentables. Chaque fois, nous nous assurerons que la nouvelle définition coïncide avec l’ancienne, afin d’éviter toute ambiguïté.

Remarquons que la définition ci-dessus s’applique lorsque \(X\) est un schéma, puisqu’un morphisme d’un schéma vers un espace algébrique est représentable. Elle s’applique donc en particulier lorsque \(X\) et \(Y\) sont tous deux des schémas. Dans Espaces, lemme 02WJ nous avons vu que, dans ce cas, les définitions coïncident et qu’aucune ambiguïté ne se présente.

En outre, dans Espaces, lemme 02WL nous avons vu que la propriété ainsi définie pour les morphismes représentables d’espaces algébriques est stable par tout changement de base par un morphisme d’espaces algébriques. Enfin, dans Espaces, lemmes 02WK et 02WM nous avons vu que, si \(\mathcal{P}\) est stable par composition, ce qui est le cas des propriétés (1)(a), (1)(b), (1)(c), (2) – (25), à l’exception de (13) ci-dessus, alors les produits de morphismes représentables possèdent encore la propriété \(\mathcal{P}\) et les composées de morphismes représentables possèdent encore la propriété \(\mathcal{P}\).

Nous utiliserons ces faits ci-dessous et, lorsque ce sera le cas, nous nous contenterons de renvoyer à la présente section.

Axiomes de séparation

Il est naturel d’énumérer quelques propriétés a priori de la diagonale d’un morphisme d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) le morphisme diagonal. Alors

1. \(\Delta_{X/Y}\) est représentable,

2. \(\Delta_{X/Y}\) est localement de type fini,

3. \(\Delta_{X/Y}\) est un monomorphisme,

4. \(\Delta_{X/Y}\) est séparé, et

5. \(\Delta_{X/Y}\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Nous allons utiliser le fait que \(\Delta_{X/S}\) est représentable (par définition d’un espace algébrique) et qu’il possède les propriétés (2) – (5), voir Espaces, lemme 02X4. Remarquons que nous avons une factorisation \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_S X\] de la diagonale \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\). Puisque \(X \times_Y X \to X \times_S X\) est un monomorphisme et que \(\Delta_{X/S}\) est représentable, il s’ensuit formellement que \(\Delta_{X/Y}\) est représentable. En particulier, les autres assertions ont désormais un sens, voir la section 03HA.

Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ R = U \times_X U \ar[r] \ar[d] & U \times_Y U \ar[d] \ar[r] & U \times_S U \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_Y X \ar[r] & X \times_S X }\] Les deux carrés sont cartésiens; le rectangle extérieur l’est donc aussi. La ligne supérieure est formée de schémas et les flèches verticales sont des morphismes étales surjectifs. D’après Espaces, lemme 02WZ, les propriétés (2) – (5) de \(\Delta_{X/Y}\) sont équivalentes à celles de \(R \to U \times_Y U\). Dans la démonstration de Espaces, lemme 02X4, nous avons vu que \(R \to U \times_S U\) possède les propriétés (2) – (5). Le morphisme \(U \times_Y U \to U \times_S U\) est un monomorphisme de schémas. Il en résulte que \(R \to U \times_Y U\) possède les propriétés (2) – (5).

En effet, pour (3), remarquons que \(R \to U \times_Y U\) est un monomorphisme, puisque la composée \(R \to U \times_S U\) en est un. Pour (2), remarquons que \(R \to U \times_Y U\) est localement de type fini, car la composée \(R \to U \times_S U\) est localement de type fini (Morphismes, lemme 01T8). Un monomorphisme localement de type fini est localement quasi-fini parce qu’il a des fibres finies (Morphismes, lemme 02NG); d’où (5). Un monomorphisme est séparé (Schémas, lemme 01L4); d’où (4).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) le morphisme diagonal.

1. On dit que \(f\) est séparé si \(\Delta_{X/Y}\) est une immersion fermée.

2. On dit que \(f\) est localement séparé¹ si \(\Delta_{X/Y}\) est une immersion.

3. On dit que \(f\) est quasi-séparé si \(\Delta_{X/Y}\) est quasi-compact.

Cette définition a un sens puisque \(\Delta_{X/Y}\) est représentable; nous savons donc ce que signifie pour lui posséder l’une des propriétés décrites dans la définition. Nous verrons plus bas (lemme 03KY) que cette définition coïncide avec celles que nous avons déjà pour les morphismes de schémas et les morphismes représentables.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Si \(f\) est séparé, alors \(f\) est localement séparé et \(f\) est quasi-séparé.

Démonstration

Cela résulte du principe général de Espaces, lemme 02YO, puisqu’une immersion fermée de schémas est une immersion et est quasi-compacte.

Lemme

Tous les axiomes de séparation énumérés dans la définition 03HL sont stables par changement de base.

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y' \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques. Soit \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\) par \(Y' \to Y\). Alors \(\Delta_{X'/Y'}\) est le changement de base de \(\Delta_{X/Y}\) par le morphisme \(X' \times_{Y'} X' \to X \times_Y X\). D’après les résultats de la section 03HA, chacune des propriétés de la diagonale utilisées dans la définition 03HL est stable par changement de base. D’où le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Z\), \(g : Y \to Z\) et \(Z \to T\) des morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Considérons le morphisme induit \(i : X \times_Z Y \to X \times_T Y\). Alors

1. \(i\) est représentable, localement de type fini, localement quasi-fini, séparé et est un monomorphisme,

2. si \(Z \to T\) est localement séparé, alors \(i\) est une immersion,

3. si \(Z \to T\) est séparé, alors \(i\) est une immersion fermée, et

4. si \(Z \to T\) est quasi-séparé, alors \(i\) est quasi-compact.

Démonstration

Par la théorie générale des catégories, le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \times_Z Y \ar[r]_i \ar[d] & X \times_T Y \ar[d] \\ Z \ar[r]^-{\Delta_{Z/T}} \ar[r] & Z \times_T Z }\] est un diagramme de produit fibré. Ainsi, \(i\) est le changement de base du morphisme diagonal \(\Delta_{Z/T}\). Le lemme résulte donc du lemme 03HK et des résultats de la section 03HA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(T\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(g : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(T\). Considérons le morphisme graphe \(i : X \to X \times_T Y\) de \(g\). Alors

1. \(i\) est représentable, localement de type fini, localement quasi-fini, séparé et est un monomorphisme,

2. si \(Y \to T\) est localement séparé, alors \(i\) est une immersion,

3. si \(Y \to T\) est séparé, alors \(i\) est une immersion fermée, et

4. si \(Y \to T\) est quasi-séparé, alors \(i\) est quasi-compact.

Démonstration

C’est le cas particulier du lemme 03KN obtenu en l’appliquant au morphisme \(X = X \times_Y Y \to X \times_T Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to T\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(s : T \to X\) une section de \(f\) (autrement dit, \(f \circ s = \text{id}_T\)). Alors

1. \(s\) est représentable, localement de type fini, localement quasi-fini, séparé et est un monomorphisme,

2. si \(f\) est localement séparé, alors \(s\) est une immersion,

3. si \(f\) est séparé, alors \(s\) est une immersion fermée, et

4. si \(f\) est quasi-séparé, alors \(s\) est quasi-compact.

Démonstration

C’est le cas particulier du lemme 03KO appliqué à \(g = s\), le morphisme considéré étant \(i = s : T \to T \times_T X\).

Lemme

Tous les axiomes de séparation énumérés dans la définition 03HL sont stables par composition des morphismes.

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques auxquels s’applique l’axiome considéré. Le morphisme diagonal \(\Delta_{X/Z}\) est la composée \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_Z X.\] Notre axiome de séparation consiste à imposer à la diagonale une certaine propriété \(\mathcal{P}\). D’après le lemme 03KN ci-dessus, nous voyons que la seconde flèche possède aussi cette propriété. Le lemme en résulte, puisque la composée de morphismes (représentables) possédant la propriété \(\mathcal{P}\) possède encore la propriété \(\mathcal{P}\), voir la section 03HA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. Si \(Y\) est séparé et \(f\) séparé, alors \(X\) est séparé.

2. Si \(Y\) est quasi-séparé et \(f\) quasi-séparé, alors \(X\) est quasi-séparé.

3. Si \(Y\) est localement séparé et \(f\) localement séparé, alors \(X\) est localement séparé.

4. Si \(Y\) est séparé au-dessus de \(S\) et \(f\) séparé, alors \(X\) est séparé au-dessus de \(S\).

5. Si \(Y\) est quasi-séparé au-dessus de \(S\) et \(f\) quasi-séparé, alors \(X\) est quasi-séparé au-dessus de \(S\).

6. Si \(Y\) est localement séparé au-dessus de \(S\) et \(f\) localement séparé, alors \(X\) est localement séparé au-dessus de \(S\).

Démonstration

Les assertions (4), (5) et (6) résultent immédiatement du lemme 03KQ et de Espaces, définition 02X5. Les assertions (1), (2) et (3) se ramènent aux assertions (4), (5) et (6) en considérant \(X\) et \(Y\) comme des espaces algébriques au-dessus de \(\Spec(\mathbf{Z})\), voir Propriétés des espaces, définition 03BS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. Si \(g \circ f\) est séparé, alors \(f\) l’est aussi.

2. Si \(g \circ f\) est localement séparé, alors \(f\) l’est aussi.

3. Si \(g \circ f\) est quasi-séparé, alors \(f\) l’est aussi.

Démonstration

Considérons la factorisation \[X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\] du morphisme diagonal de \(g \circ f\). Dans tous les cas, le dernier morphisme est un monomorphisme. Ainsi, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to X \times_Y X\), on a l’égalité \[X \times_{(X \times_Y X)} T = X \times_{(X \times_Z X)} T.\] Le résultat est donc clair.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique au-dessus de \(S\).

1. Si \(X\) est séparé, alors \(X\) est séparé au-dessus de \(S\).

2. Si \(X\) est localement séparé, alors \(X\) est localement séparé au-dessus de \(S\).

3. Si \(X\) est quasi-séparé, alors \(X\) est quasi-séparé au-dessus de \(S\).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. Si \(X\) est séparé au-dessus de \(S\), alors \(f\) est séparé.

2. Si \(X\) est localement séparé au-dessus de \(S\), alors \(f\) est localement séparé.

3. Si \(X\) est quasi-séparé au-dessus de \(S\), alors \(f\) est quasi-séparé.

Démonstration

Les assertions (4), (5) et (6) résultent immédiatement du lemme 03KR et de Espaces, définition 02X5. Les assertions (1), (2) et (3) résultent des assertions (4), (5) et (6) en considérant \(X\) et \(Y\) comme des espaces algébriques au-dessus de \(\Spec(\mathbf{Z})\), voir Propriétés des espaces, définition 03BS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{P}\) l’un quelconque des axiomes de séparation de la définition 03HL. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(Z \times_Y X\) vérifie \(\mathcal{P}\) (voir Propriétés des espaces, définition 03BS),

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que le changement de base \(V \times_Y X \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\), et

6. il existe un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Nous utiliserons à plusieurs reprises le lemme 03KL sans le mentionner davantage. En particulier, il est clair que (1) implique (2) et que (2) implique (3).

Montrons que (3) et (4) sont équivalentes. Remarquons que si \(Z\) est un schéma affine, alors le morphisme \(Z \to \Spec(\mathbf{Z})\) est séparé en tant que morphisme d’espaces algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Si \(Z \times_Y X \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(Z \times_Y X \to \Spec(\mathbf{Z})\) vérifie \(\mathcal{P}\) comme composé (voir le lemme 03KQ). Par conséquent, l’espace algébrique \(Z \times_Y X\) vérifie \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si l’espace algébrique \(Z \times_Y X\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(Z \times_Y X \to \Spec(\mathbf{Z})\) vérifie \(\mathcal{P}\), et donc, d’après le lemme 03KR, \(Z \times_Y X \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Montrons que (3) implique (5). Supposons (3). Soit \(V\) un schéma, et soit \(V \to Y\) étale surjectif. Nous devons montrer que \(V \times_Y X \to V\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). Autrement dit, nous devons montrer que le morphisme \[V \times_Y X \longrightarrow (V \times_Y X) \times_V (V \times_Y X) = V \times_Y X \times_Y X\] possède la propriété correspondante (c’est-à-dire qu’il est une immersion fermée, une immersion, ou qu’il est quasi-compact). Soit \(V = \bigcup V_j\) un recouvrement de \(V\) par des ouverts affines. Par hypothèse, chacun des morphismes \[V_j \times_Y X \longrightarrow V_j \times_Y X \times_Y X\] possède bien la propriété correspondante. Puisque les propriétés d’être une immersion fermée, une immersion, une immersion quasi-compacte ou un morphisme quasi-compact sont locales sur le but pour la topologie de Zariski, et puisque les \(V_j\) recouvrent \(V\), nous obtenons la conclusion voulue.

Montrons que (5) implique (1). Soit \(V \to Y\) comme en (5). Nous avons alors le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ V \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \times_Y X \times_Y X \ar[r] & X \times_Y X }\] Par hypothèse, la flèche verticale de gauche est une immersion fermée, une immersion, une immersion quasi-compacte, ou est quasi-compacte. Il résulte du lemme 03KD du chapitre Espaces que la flèche verticale de droite est également une immersion fermée, une immersion, une immersion quasi-compacte, ou est quasi-compacte.

Il est clair que (1) implique (6) en prenant le recouvrement \(Y = Y\). Supposons que \(Y = \bigcup Y_i\) soit comme en (6). Choisissons des schémas \(V_i\) et des morphismes étales surjectifs \(V_i \to Y_i\). Notons que les morphismes \(V_i \times_Y X \to V_i\) vérifient \(\mathcal{P}\), puisqu’ils sont des changements de base des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\). Posons \(V = \coprod V_i\). Alors \(V \to Y\) est un morphisme comme en (5) (détails omis). Ainsi, (6) implique (5), ce qui termine la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Le morphisme \(f\) est localement séparé.

2. Le morphisme \(f\) est (quasi-)séparé au sens de la définition 03HL ci-dessus si et seulement si \(f\) est (quasi-)séparé au sens de la section 03HA.

En particulier, si \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas sur \(S\), alors \(f\) est (quasi-)séparé au sens de la définition 03HL si et seulement si \(f\) est (quasi-)séparé en tant que morphisme de schémas.

Démonstration

C’est l’équivalence de (1) et (2) du lemme 03KM, combinée au fait que tout morphisme de schémas est localement séparé ; voir le lemme 01KJ du chapitre Schémas.

Morphismes surjectifs

Nous avons déjà défini à la section 03HA ce que signifie, pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, d’être surjectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est surjectif (au sens de la section 03HA) si et seulement si l’application \(|f| : |X| \to |Y|\) est surjective.

Démonstration

En effet, si \(f : X \to Y\) est représentable, il est surjectif si et seulement si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le changement de base \(f_T : T \times_Y X \to T\) de \(f\) est un morphisme surjectif de schémas, autrement dit, si et seulement si \(|f_T|\) est surjective. D’après le lemme 03H4 du chapitre Propriétés des espaces, l’application \(|T \times_Y X| \to |T| \times_{|Y|} |X|\) est toujours surjective. Par conséquent, \(|f_T| : |T \times_Y X| \to |T|\) est surjective si \(|f| : |X| \to |Y|\) est surjective. Réciproquement, si \(|f_T|\) est surjective pour tout \(T \to Y\) comme ci-dessus, alors, en prenant pour \(T\) le spectre d’un corps, nous concluons que \(|X| \to |Y|\) est surjective.

Cela nous permet de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(f\) est surjectif si l’application \(|f| : |X| \to |Y|\) induite sur les espaces topologiques sous-jacents est surjective.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est surjectif,

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est surjectif,

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est surjectif,

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme surjectif,

5. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit surjectif,

6. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas, les flèches verticales étant étales surjectives et la flèche horizontale supérieure étant surjective, et

7. il existe un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) est surjectif.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Le composé de morphismes surjectifs est surjectif.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme surjectif est surjectif.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 03H4 du chapitre Propriétés des espaces.

Morphismes ouverts

Pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, nous avons déjà défini (à la section 03HA) ce que signifie être universellement ouvert. Avant de donner la définition naturelle, vérifions donc qu’elle coïncide avec celle-ci dans le cas représentable.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement ouvert (au sens de la section 03HA), et

2. pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Z \to Y\), l’application \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) entre espaces topologiques est ouverte.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(Z \to Y\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Par hypothèse, le morphisme de schémas \(V \times_Y X \to V\) est universellement ouvert. D’après la section 03BT du chapitre Propriétés des espaces, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est ouverte, il s’ensuit que celle de droite est ouverte. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte immédiatement des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Nous disons que \(f\) est ouvert si l’application entre espaces topologiques \(|f| : |X| \to |Y|\) est ouverte.

2. Nous disons que \(f\) est universellement ouvert si, pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Z \to Y\), l’application entre espaces topologiques \[|Z \times_Y X| \to |Z|\] est ouverte, c’est-à-dire si le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) est ouvert.

Notons qu’un morphisme étale d’espaces algébriques est universellement ouvert ; voir la définition 03FR du chapitre Propriétés des espaces et les lemmes 03IR et 03FU.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme universellement ouvert d’espaces algébriques par un morphisme quelconque d’espaces algébriques est universellement ouvert.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes (universellement) ouverts d’espaces algébriques est (universellement) ouvert.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement ouvert,

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), la projection \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) est ouverte,

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), la projection \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) est ouverte, et

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme universellement ouvert d’espaces algébriques, et

5. il existe un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit universellement ouvert.

Démonstration

Nous omettons de démontrer que (1) implique (2) et que (2) implique (3).

Supposons (3). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Nous allons montrer que \(V \times_Y X \to V\) est un morphisme universellement ouvert d’espaces algébriques. Soit \(Z \to V\) un morphisme d’un espace algébrique vers \(V\). Soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif, où \(W = \coprod W_i\) est une somme disjointe de schémas affines ; voir le lemme 03FX du chapitre Propriétés des espaces. Nous avons alors le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_Y X| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \ar@{=}[r] & |Z \times_V (V \times_Y X)| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |Z| }\] Nous devons montrer que la flèche sud-est est ouverte. Les flèches horizontales centrales sont surjectives et ouvertes (lemme 03IR du chapitre Propriétés des espaces). D’après l’hypothèse (3) et le fait que \(W_i\) est affine, les flèches verticales de gauche sont ouvertes. Par conséquent, la flèche verticale de droite est ouverte.

Supposons que \(V \to Y\) soit comme en (4). Montrons que \(f\) est universellement ouvert. Soit \(Z \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ |(V \times_Y Z) \times_V (V \times_Y X)| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ & |V \times_Y Z| \ar[r] & |Z| }\] La flèche sud-ouest est ouverte par hypothèse. Les flèches horizontales sont surjectives et ouvertes, car les morphismes correspondants d’espaces algébriques sont étales (voir le lemme 03IR du chapitre Propriétés des espaces). Il s’ensuit que la flèche verticale de droite est ouverte.

Bien entendu, (1) implique (5) en prenant le recouvrement \(Y = Y\). Supposons que \(Y = \bigcup Y_i\) soit comme en (5). Alors, pour tout \(Z \to Y\), nous obtenons un recouvrement ouvert correspondant \(Z = \bigcup Z_i\) tel que le changement de base de \(f\) à \(Z_i\) soit ouvert. Un argument topologique élémentaire montre alors que \(Z \times_Y X \to Z\) est ouvert. Par conséquent, (1) est vérifiée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(p : X \to \Spec(k)\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), où \(k\) est un corps. Alors \(p : X \to \Spec(k)\) est universellement ouvert.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Le composé \(U \to \Spec(k)\) est universellement ouvert (en tant que morphisme de schémas) d’après le lemme 0383 du chapitre Morphismes. Soit \(Z \to \Spec(k)\) un morphisme de schémas. Alors \(U \times_{\Spec(k)} Z \to X \times_{\Spec(k)} Z\) est surjectif ; voir le lemme 03MH. Par conséquent, la première des applications \[|U \times_{\Spec(k)} Z| \to |X \times_{\Spec(k)} Z| \to |Z|\] est surjective. Comme leur composé est ouvert d’après ce qui précède, nous en déduisons que la seconde application est elle aussi ouverte. Ainsi, \(p\) est universellement ouvert d’après le lemme 03Z5.

Morphismes submersifs

Pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, nous avons déjà défini (à la section 03HA) ce que signifie être universellement submersif. Avant de donner la définition naturelle, vérifions donc qu’elle coïncide avec celle-ci dans le cas représentable.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement submersif (au sens de la section 03HA), et

2. pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Z \to Y\), l’application \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) entre espaces topologiques est submersive.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(Z \to Y\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Par hypothèse, le morphisme de schémas \(V \times_Y X \to V\) est universellement submersif. D’après la section 03BT du chapitre Propriétés des espaces, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est submersive, il s’ensuit que celle de droite est submersive. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte immédiatement des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Nous disons que \(f\) est submersif² si l’application continue \(|X| \to |Y|\) est submersive ; voir la définition 0406 du chapitre Topologie.

2. Nous disons que \(f\) est universellement submersif si, pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Y' \to Y\), le changement de base \(Y' \times_Y X \to Y'\) est submersif.

Remarquons qu’un morphisme submersif est en particulier surjectif.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme universellement submersif d’espaces algébriques par un morphisme quelconque d’espaces algébriques est universellement submersif.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes (universellement) submersifs d’espaces algébriques est (universellement) submersif.

Démonstration

Démonstration omise.

Morphismes quasi-compacts

D’après la section 03HA, nous savons ce que signifie pour un morphisme représentable d’espaces algébriques d’être quasi-compact. Afin de formuler la définition pour un morphisme quelconque d’espaces algébriques, faisons l’observation suivante.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est quasi-compact (au sens de la section 03HA), et

2. pour tout espace algébrique quasi-compact \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(Z \times_Y X\) est quasi-compact.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(Z \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques tel que \(Z\) soit quasi-compact. D’après Propriétés des espaces, définition 03E3, il existe un schéma quasi-compact \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to Z\). Puisque \(f\) est représentable et quasi-compact, la définition montre que \(U \times_Y X\) est un schéma et que \(U \times_Y X \to U\) est quasi-compact. Ainsi \(U \times_Y X\) est un schéma quasi-compact. Le morphisme \(U \times_Y X \to Z \times_Y X\) est étale et surjectif (car c’est le changement de base du morphisme représentable, étale et surjectif \(U \to Z\) ; voir la section 03HA). Par définition, \(Z \times_Y X\) est donc quasi-compact.

Supposons (2). Soit \(Z \to Y\) un morphisme, où \(Z\) est un schéma. Il faut montrer que \(p : Z \times_Y X \to Z\) est quasi-compact. Soit \(U \subset Z\) un ouvert affine. Alors \(p^{-1}(U) = U \times_Y Z\) et le schéma \(U \times_Y Z\) est quasi-compact par l’hypothèse (2). Ainsi \(p\) est quasi-compact ; voir Schémas, section 01K2.

Ceci motive la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(f\) est quasi-compact si, pour tout espace algébrique quasi-compact \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le produit fibré \(Z \times_Y X\) est quasi-compact.

D’après le lemme 03HD ci-dessus, cette définition coïncide avec la notion déjà existante pour les morphismes représentables d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(f : X \to Y\) est un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques sur \(S\), alors l’application sous-jacente \(|f| : |X| \to |Y|\) d’espaces topologiques est quasi-compacte.

Démonstration

Soit \(V \subset |Y|\) un ouvert quasi-compact. D’après Propriétés des espaces, lemme 03BZ, il existe un sous-espace ouvert \(Y' \subset Y\) tel que \(V = |Y'|\). Alors \(Y'\) est un espace algébrique quasi-compact d’après Propriétés des espaces, lemme 03E4, et donc \(X' = Y' \times_Y X\) est un espace algébrique quasi-compact d’après la définition 03HE. D’autre part, \(X' \subset X\) est un sous-espace ouvert (Espaces, lemme 02YW) et \(|X'| = |f|^{-1}(|X'|) = |f|^{-1}(V)\) d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. En appliquant de nouveau Propriétés des espaces, lemme 03E4, on conclut que \(|X'|\) est un ouvert quasi-compact de \(|X|\), comme souhaité.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques par un morphisme quelconque d’espaces algébriques est quasi-compact.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : transitivité des produits fibrés.

Lemme

Le composé de deux morphismes quasi-compacts d’espaces algébriques est quasi-compact.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : transitivité des produits fibrés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma.

1. Si \(X \to Y\) est un morphisme surjectif d’espaces algébriques sur \(S\), et si \(X\) est quasi-compact, alors \(Y\) est quasi-compact.

2. Si \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & Z }\] est un diagramme commutatif de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) et si \(f\) est surjectif et \(p\) quasi-compact, alors \(q\) est quasi-compact.

Démonstration

Supposons \(X\) quasi-compact et \(X \to Y\) surjectif. D’après la définition 03ME, l’application \(|X| \to |Y|\) est surjective ; ainsi \(Y\) est quasi-compact d’après Propriétés des espaces, lemme 03E4, et le fait topologique que l’image d’un espace quasi-compact par une application continue est quasi-compacte ; voir Topologie, lemme 04Z9. Soient \(f, p, q\) comme en (2). Soit \(T \to Z\) un morphisme dont la source est un espace algébrique quasi-compact. Par hypothèse, \(T \times_Z X\) est quasi-compact. D’après le lemme 03MH, le morphisme \(T \times_Z X \to T \times_Z Y\) est surjectif. La partie (1) montre donc que \(T \times_Z Y\) est également quasi-compact. Ainsi \(q\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme universellement ouvert et surjectif d’espaces algébriques tel que le changement de base \(f' : X' \to Y'\) soit quasi-compact. Alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(Z \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques avec \(Z\) quasi-compact. Comme \(g\) est universellement ouvert et surjectif, on voit que \(Y' \times_Y Z \to Z\) est ouvert et surjectif. Tout point de \(|Y' \times_Y Z|\) admettant un système fondamental de voisinages ouverts quasi-compacts (voir Propriétés des espaces, lemme 04NN), on peut trouver un ouvert quasi-compact \(W \subset |Y' \times_Y Z|\) dont l’image est \(Z\). Notons \(f'' : W \times_Y X \to W\) le changement de base de \(f'\) par \(W \to Y'\). Par hypothèse, \(W \times_Y X\) est quasi-compact. Comme \(W \to Z\) est surjectif, on voit que \(W \times_Y X \to Z \times_Y X\) est surjectif. Ainsi \(Z \times_Y X\) est quasi-compact d’après le lemme 040W. Ainsi \(f\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est quasi-compact,

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme d’espaces algébriques \(Z \times_Y X \to Z\) est quasi-compact,

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(Z \times_Y X\) est quasi-compact,

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques, et

5. il existe un morphisme étale surjectif \(Y' \to Y\) d’espaces algébriques tel que \(Y' \times_Y X \to Y'\) soit un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques, et

6. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit quasi-compact.

Démonstration

Nous utiliserons le lemme 03HF sans plus le mentionner. Il est clair que (1) implique (2) et que (2) implique (3). Supposons (3). Soit \(Z\) un espace algébrique quasi-compact sur \(S\), et soit \(Z \to Y\) un morphisme. D’après Propriétés des espaces, lemme 03H6, il existe un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to Z\). Alors \(U \times_Y X \to Z \times_Y X\) est un morphisme surjectif d’espaces algébriques ; voir le lemme 03MH. Par hypothèse, \(|U \times_Y X|\) est quasi-compact et son image est \(|Z \times_Y X|\) ; on en déduit que \(|Z \times_Y X|\) est quasi-compact ; voir Topologie, lemme 04Z9. Ceci prouve que (3) implique (1).

Les implications (1) \(\Rightarrow\) (4) et (4) \(\Rightarrow\) (5) sont claires. L’implication (5) \(\Rightarrow\) (1) découle du lemme 04ZJ et du fait qu’un morphisme étale d’espaces algébriques est universellement ouvert (voir la discussion qui suit la définition 03Z2).

Bien entendu, (1) implique (6) en prenant le recouvrement \(Y = Y\). Supposons que \(Y = \bigcup Y_i\) soit comme en (6). Soit \(Z\) affine et soit \(Z \to Y\) un morphisme. Il existe alors un recouvrement affine standard fini \(Z = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) tel que chaque \(Z_j \to Y\) se factorise par \(Y_{i_j}\) pour un certain \(i_j\). Ainsi, l’espace algébrique \[Z_j \times_Y X = Z_j \times_{Y_{i_j}} f^{-1}(Y_{i_j})\] est quasi-compact. Puisque \(Z \times_Y X = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} Z_j \times_Y X\) est un recouvrement de Zariski, on voit que \(|Z \times_Y X| = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} |Z_j \times_Y X|\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03BZ) est une réunion finie d’espaces quasi-compacts, donc est quasi-compact. Ainsi, (6) implique (3).

Le lemme ci-dessous (ainsi que le suivant) garantit en particulier qu’un morphisme \(X \to \Spec(A)\) est quasi-compact dès que \(X\) est un espace algébrique quasi-compact.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(g \circ f\) est quasi-compact et si \(g\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

Ceci est vrai parce que \(f\) est le composé \((1, f) : X \to X \times_Z Y \to Y\). Le premier morphisme est quasi-compact d’après le lemme 03KP, car c’est une section du morphisme quasi-séparé \(X \times_Z Y \to X\) (un changement de base de \(g\) ; voir le lemme 03KL). Le second morphisme est quasi-compact puisqu’il est le changement de base de \(g \circ f\) ; voir le lemme 03HF. Enfin, les composés de morphismes quasi-compacts sont quasi-compacts ; voir le lemme 03HG.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur un schéma \(S\).

1. Si \(X\) est quasi-compact et \(Y\) quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact.

2. Si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé et si \(Y\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé.

3. Un produit fibré d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

La partie (1) résulte du lemme 03KS avec \(Z = S = \Spec(\mathbf{Z})\). La partie (2) résulte de (1) et du lemme 03KR. Pour (3), soient \(X \to Y\) et \(Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés. Alors \(X \times_Y Z \to Z\) est quasi-compact et quasi-séparé en tant que changement de base de \(X \to Y\), en vertu de (2) et des lemmes 03HF et 03KL. Ainsi \(X \times_Y Z\) est quasi-compact et quasi-séparé comme espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(Z\) ; voir les lemmes 04ZH et 03HG.

Morphismes universellement fermés

Pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, nous avons déjà défini (à la section 03HA) ce que signifie être universellement fermé. Avant de donner la définition naturelle, vérifions donc qu’elle coïncide avec celle-ci dans le cas représentable.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé (au sens de la section 03HA), et

2. pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Z \to Y\), le morphisme d’espaces topologiques \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) est fermé.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(Z \to Y\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Par hypothèse, le morphisme de schémas \(V \times_Y X \to V\) est universellement fermé. D’après Propriétés des espaces, section 03BT, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |Z| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives et, de plus, \[|V \times_Y X| \longrightarrow |V| \times_{|Z|} |Z \times_Y X|\] est surjectif. Puisque la flèche verticale de gauche est fermée, il s’ensuit que celle de droite est fermée. Ceci prouve (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte immédiatement des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Nous disons que \(f\) est fermé si l’application d’espaces topologiques \(|X| \to |Y|\) est fermée.

2. Nous disons que \(f\) est universellement fermé si, pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Z \to Y\), le morphisme d’espaces topologiques \[|Z \times_Y X| \to |Z|\] est fermé, c’est-à-dire si le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) est fermé.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme universellement fermé d’espaces algébriques par un morphisme quelconque d’espaces algébriques est universellement fermé.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes (universellement) fermés d’espaces algébriques est (universellement) fermé.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé,

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), la projection \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) est fermée,

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), la projection \(|Z \times_Y X| \to |Z|\) est fermée,

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tel que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme universellement fermé d’espaces algébriques, et

5. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit universellement fermé.

Démonstration

Nous omettons la preuve que (1) implique (2) et que (2) implique (3).

Supposons (3). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Nous allons montrer que \(V \times_Y X \to V\) est un morphisme universellement fermé d’espaces algébriques. Soit \(Z \to V\) un morphisme d’un espace algébrique vers \(V\). Soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif où \(W = \coprod W_i\) est une somme disjointe de schémas affines ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FX. Nous avons alors le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_Y X| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \ar@{=}[r] & |Z \times_V (V \times_Y X)| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |Z| }\] Il faut montrer que la flèche sud-est est fermée. Les flèches horizontales centrales sont surjectives et ouvertes (Propriétés des espaces, lemme 03IR). L’hypothèse (3), jointe au fait que \(W_i\) est affine, montre que les flèches verticales de gauche sont fermées. Il s’ensuit que la flèche verticale de droite est fermée.

Supposons (4). Montrons que \(f\) est universellement fermé. Soit \(Z \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ |(V \times_Y Z) \times_V (V \times_Y X)| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_Y X| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_Y X| \ar[d] \\ & |V \times_Y Z| \ar[r] & |Z| }\] La flèche sud-ouest est fermée par hypothèse. Les flèches horizontales sont surjectives et ouvertes, car les morphismes correspondants d’espaces algébriques sont étales (voir Propriétés des espaces, lemme 03IR). Il s’ensuit que la flèche verticale de droite est fermée.

Bien entendu, (1) implique (5) en prenant le recouvrement \(Y = Y\). Supposons que \(Y = \bigcup Y_i\) soit comme en (5). Pour tout \(Z \to Y\), on obtient alors un recouvrement de Zariski correspondant \(Z = \bigcup Z_i\) tel que le changement de base de \(f\) à \(Z_i\) soit fermé. Un argument topologique élémentaire montre que \(Z \times_Y X \to Z\) est fermé. Ainsi (1) est satisfaite.

Exemple

Exemple étrange d’un morphisme universellement fermé. Soit \(\mathbf{Q} \subset k\) un corps de caractéristique zéro. Soit \(X = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\) comme dans Espaces, exemple 02Z7. Nous affirmons que le morphisme structural \(p : X \to \Spec(k)\) est universellement fermé. En effet, si \(Z/k\) est un schéma et si \(T \subset |X \times_k Z|\) est fermé, alors \(T\) correspond à une partie fermée \(\mathbf{Z}\)-invariante \(T' \subset |\mathbf{A}^1 \times Z|\). Il est facile de voir que cela implique que \(T'\) est l’image inverse d’une partie \(T''\) de \(Z\). D’après Morphismes, lemme 02JY, la partie \(T'' \subset Z\) est fermée. Bien entendu, \(T''\) est l’image de \(T\). Le morphisme \(p\) est donc universellement fermé d’après le lemme 03IT.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Tout morphisme universellement fermé d’espaces algébriques sur \(S\) est quasi-compact.

Démonstration

Cette démonstration reprend celle du cas des schémas ; voir Morphismes, lemme 04XU. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) ne soit pas quasi-compact. Notre but est de montrer que \(f\) n’est pas universellement fermé. D’après le lemme 03KG, il existe un schéma affine \(Z\) et un morphisme \(Z \to Y\) tels que \(Z \times_Y X \to Z\) ne soit pas quasi-compact. Pour atteindre notre but, il suffit de montrer que \(Z \times_Y X \to Z\) n’est pas universellement fermé ; nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(B)\) pour un certain anneau \(B\).

Écrivons \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\), où les \(X_i\) sont des sous-espaces ouverts quasi-compacts de \(X\). Par exemple, choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, puis un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup U_i\), et soit \(X_i \subset X\) l’image de \(U_i\). Nous utiliserons plus loin que les morphismes \(X_i \to Y\) sont quasi-compacts ; voir le lemme 03KS. Soit \(T = \Spec(B[a_i ; i \in I])\). Soit \(T_i = D(a_i) \subset T\). Soit \(Z \subset T \times_Y X\) le sous-espace fermé réduit dont l’ensemble fermé sous-jacent de points est \(|T \times_Y Z| \setminus \bigcup_{i \in I} |T_i \times_Y X_i|\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03IQ. (Notons que \(T_i \times_Y X_i\) est un sous-espace ouvert de \(T \times_Y X\), car \(T_i \to T\) et \(X_i \to X\) sont des immersions ouvertes ; voir Espaces, lemmes 02YW et 02YV.) Voici un diagramme : \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & T \times_Y X \ar[d]^{f_T} \ar[r]_q & X \ar[d]^f \\ & T \ar[r]^p & Y }\] Il suffit de prouver que l’image \(f_T(|Z|)\) n’est pas fermée dans \(|T|\).

Nous affirmons qu’il existe un point \(y \in Y\) tel qu’il n’existe aucun voisinage ouvert affine \(V\) de \(y\) dans \(Y\) tel que \(X_V\) soit quasi-compact. Sinon, on pourrait recouvrir \(Y\) par un nombre fini de tels \(V\) et, pour chaque \(V\), le morphisme \(Y_V \to V\) serait quasi-compact d’après le lemme 03KS ; alors le lemme 03KG entraînerait que \(f\) est quasi-compact, contradiction. Fixons un \(y \in Y\) ainsi obtenu.

Soit \(t \in T\) le point au-dessus de \(y\) tel que \(\kappa(t) = \kappa(y)\) et tel que \(a_i = 1\) dans \(\kappa(t)\) pour tout \(i\). Supposons \(z \in |Z|\) avec \(f_T(z) = t\). Alors \(q(t) \in X_i\) pour un certain \(i\). Par conséquent \(f_T(z) \not \in T_i\) par construction de \(Z\), ce qui contredit le fait que \(t \in T_i\) par construction. Ainsi \(t \in |T| \setminus f_T(|Z|)\).

Supposons \(f_T(|Z|)\) fermé dans \(|T|\). Il existe alors un élément \(g \in B[a_i; i \in I]\) tel que \(f_T(|Z|) \subset V(g)\) mais \(t \not \in V(g)\). L’image de \(g\) dans \(\kappa(t)\) est donc non nulle. En particulier, un coefficient de \(g\) a une image non nulle dans \(\kappa(y)\). Ce coefficient est donc inversible sur un voisinage ouvert affine \(V\) de \(y\). Soit \(J\) l’ensemble fini des \(j \in I\) tels que la variable \(a_j\) apparaisse dans \(g\). Puisque \(X_V\) n’est pas quasi-compact et que chaque \(X_{i, V}\) est quasi-compact, on peut choisir un point \(x \in |X_V| \setminus \bigcup_{j \in J} |X_{j, V}|\). Autrement dit, \(x \in |X| \setminus \bigcup_{j \in J} |X_j|\) et \(x\) se trouve au-dessus d’un certain \(v \in V\). Puisque \(g\) possède un coefficient inversible sur \(V\), on peut trouver un point \(t' \in T\) au-dessus de \(v\) tel que \(t' \not \in V(g)\) et \(t' \in V(a_i)\) pour tout \(i \notin J\). En effet, \(V(a_i; i \in I \setminus J) = \Spec(B[a_j; j\in J])\) et l’ensemble des points de ce schéma au-dessus de \(v\) est en bijection avec \(\Spec(\kappa(v)[a_j; j \in J])\), et la restriction de \(g\) est un élément non nul de cet anneau de polynômes par construction. Autrement dit, \(t' \not \in T_i\) pour tout \(i \not \in J\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, on peut trouver un point \(z\) de \(X \times_Y T\) qui s’envoie sur \(x \in X\) et sur \(t' \in T\). Puisque \(x \not \in |X_j|\) pour \(j \in J\) et \(t' \not \in T_i\) pour \(i \in I \setminus J\), on voit que \(z \in |Z|\). D’autre part, \(f_T(z) = t' \not \in V(g)\), ce qui contredit \(f_T(Z) \subset V(g)\). L’hypothèse « \(f_T(|Z|)\) est fermé » est donc fausse, et l’on conclut bien que \(f_T\) n’est pas fermé, comme souhaité.

L’espace d’arrivée d’un morphisme surjectif et universellement fermé issu d’un espace algébrique séparé est séparé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme surjectif et universellement fermé d’espaces algébriques sur \(B\).

1. Si \(X\) est quasi-séparé, alors \(Y\) est quasi-séparé.

2. Si \(X\) est séparé, alors \(Y\) est séparé.

3. Si \(X\) est quasi-séparé sur \(B\), alors \(Y\) est quasi-séparé sur \(B\).

4. Si \(X\) est séparé sur \(B\), alors \(Y\) est séparé sur \(B\).

Démonstration

Les parties (1) et (2) résultent de (3) et (4) pour \(S = B = \Spec(\mathbf{Z})\) (voir Propriétés des espaces, définition 03BS). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[rr]_{\Delta_{X/B}} & & X \times_B X \ar[d] \\ Y \ar[rr]^{\Delta_{Y/B}} & & Y \times_B Y }\] La flèche verticale de gauche est surjective (c’est-à-dire universellement surjective). La flèche verticale de droite est universellement fermée comme composée des morphismes universellement fermés \(X \times_B X \to X \times_B Y \to Y \times_B Y\). Elle est donc aussi quasi-compacte ; voir le lemme 04XW.

Supposons \(X\) quasi-séparé sur \(B\), c’est-à-dire \(\Delta_{X/B}\) quasi-compact. Si \(Z\) est quasi-compact et si \(Z \to Y \times_B Y\) est un morphisme, alors \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z \times_{Y \times_B Y} Y\) est surjectif et \(Z \times_{Y \times_B Y} X\) est quasi-compact d’après les remarques ci-dessus. On en déduit que \(\Delta_{Y/B}\) est quasi-compact, c’est-à-dire que \(Y\) est quasi-séparé sur \(B\).

Supposons \(X\) séparé sur \(B\), c’est-à-dire que \(\Delta_{X/B}\) est une immersion fermée. Si \(Z\) est affine et si \(Z \to Y \times_B Y\) est un morphisme, alors \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z \times_{Y \times_B Y} Y\) est surjectif et \(Z \times_{Y \times_B Y} X \to Z\) est universellement fermé d’après les remarques ci-dessus. On en déduit que \(\Delta_{Y/B}\) est universellement fermé. Il s’ensuit que \(\Delta_{Y/B}\) est représentable, localement de type fini et est un monomorphisme (voir le lemme 03HK), et qu’il est universellement fermé, donc une immersion fermée ; voir Morphismes étales, lemme 04XV (ainsi que le principe abstrait Espaces, lemme 02YO). Ainsi \(Y\) est séparé sur \(B\).

Monomorphismes

Un morphisme représentable \(X \to Y\) d’espaces algébriques est un monomorphisme au sens de la section 03HA si, pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est représentable par un monomorphisme de schémas. Cela signifie exactement que \(Z \times_Y X \to Z\) est une application injective de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Puisque ceci doit valoir pour tout \(Z\) et toute application \(Z \to Y\), c’est encore équivalent à dire que l’application \(X \to Y\) est une application injective de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous pouvons donc définir les monomorphismes parmi les morphismes éventuellement non représentables³) d’espaces algébriques comme suit.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) est appelé monomorphisme s’il est une application injective de faisceaux, c’est-à-dire un monomorphisme dans la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Le lemme suivant montre que cela signifie aussi qu’il est un monomorphisme dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(j\) est un monomorphisme (au sens de la définition 042L),

2. \(j\) est un monomorphisme dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\), et

3. le morphisme diagonal \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) est un isomorphisme.

Démonstration

Notons que \(X \times_Y X\) est à la fois le produit fibré dans la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et le produit fibré dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) ; voir Espaces, lemme 02X2. L’équivalence de (1) et (3) est une caractérisation générale des applications injectives de faisceaux sur un site quelconque. L’équivalence de (2) et (3) est une caractérisation des monomorphismes dans toute catégorie possédant des produits fibrés.

Lemme

Un monomorphisme d’espaces algébriques est séparé.

Démonstration

Cela vient de ce qu’un isomorphisme est une immersion fermée, compte tenu du lemme 042M ci-dessus.

Lemme

Un composé de monomorphismes est un monomorphisme.

Démonstration

C’est vrai, car un composé d’applications injectives de faisceaux est injectif.

Lemme

Tout changement de base d’un monomorphisme est un monomorphisme.

Démonstration

C’est un fait général sur les produits fibrés dans une catégorie de faisceaux.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est un monomorphisme,

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) est un monomorphisme,

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) est un monomorphisme,

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tel que le changement de base \(V \times_Y X \to V\) soit un monomorphisme, et

5. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit un monomorphisme.

Démonstration

Nous utiliserons sans plus le mentionner que tout changement de base d’un monomorphisme est un monomorphisme ; voir le lemme 042P. En particulier, il est clair que (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) (en prenant pour \(V\) une somme disjointe de schémas affines étales sur \(Y\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FX). Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Si \(V \times_Y X \to V\) est un monomorphisme, il s’ensuit que \(X \to Y\) est un monomorphisme. En effet, étant donné un diagramme cartésien quelconque de faisceaux \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{G} \ar[d]^c \\ \mathcal{H} \ar[r]^d & \mathcal{I} } } \quad \quad \mathcal{F} = \mathcal{H} \times_\mathcal{I} \mathcal{G}\] si \(c\) est une surjection de faisceaux et si \(a\) est injectif, alors \(d\) est également injectif. Ainsi (4) implique (1). La preuve de l’équivalence de (5) et (1) est omise.

Lemme

Une immersion d’espaces algébriques est un monomorphisme. En particulier, toute immersion est séparée.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) une immersion d’espaces algébriques. Pour tout morphisme \(Z \to Y\) avec \(Z\) représentable, le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) est une immersion de schémas, donc un monomorphisme ; voir Schémas, lemme 01L7. Ainsi \(f\) est représentable et est un monomorphisme.

Nous améliorerons le lemme suivant dans Espaces décents, lemme 06RZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(k\) un corps et soit \(Z \to \Spec(k)\) un monomorphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors, soit \(Z = \emptyset\), soit \(Z = \Spec(k)\).

Démonstration

D’après les lemmes 042N et 04ZH, \(Z\) est un espace algébrique séparé. Il existe donc un sous-espace ouvert dense \(Z' \subset Z\) qui est un schéma ; voir Propriétés des espaces, proposition 06NH. D’après Schémas, lemme 03DP, soit \(Z' = \emptyset\), soit \(Z' \cong \Spec(k)\). Dans le premier cas, on conclut que \(Z = \emptyset\) et, dans le second, que \(Z' = Z = \Spec(k)\), car \(Z \to \Spec(k)\) est un monomorphisme qui est un isomorphisme au-dessus de \(Z'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(X \to Y\) est un monomorphisme d’espaces algébriques sur \(S\), alors \(|X| \to |Y|\) est injectif.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Image directe des faisceaux quasi-cohérents

Nous démontrons d’abord un lemme simple qui relie l’image directe des faisceaux de modules pour un morphisme d’espaces algébriques à l’image directe des faisceaux de modules pour un morphisme de schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(X\). Posons \(R = U \times_X U\) et notons, comme d’habitude, \(t, s : R \to U\) les morphismes de projection. Notons \(a : U \to Y\) et \(b : R \to Y\) les morphismes induits. Pour tout objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), il existe une suite exacte \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \to b_*(\mathcal{F}|_R)\] où la seconde flèche est la différence \(t^* - s^*\).

Démonstration

Nous notons encore \(\mathcal{F}\) son prolongement en un faisceau de modules sur \(X_{spaces, \etale}\) ; voir Propriétés des espaces, remarque 03H7. Soit \(V \to Y\) un objet de \(Y_\etale\). Alors \(V \times_Y X\) est un objet de \(X_{spaces, \etale}\) et, par définition, \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V \times_Y X)\). Puisque \(U \to X\) est étale surjectif, on voit que \(\{V \times_Y U \to V \times_Y X\}\) est un recouvrement. De plus, \((V \times_Y U) \times_X (V \times_Y U) = V \times_Y R\). Par conséquent, la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) sur \(X_{spaces, \etale}\) donne une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}(V \times_Y X) \to \mathcal{F}(V \times_Y U) \to \mathcal{F}(V \times_Y R)\] où la seconde flèche est la différence des restrictions par \(t\) et par \(s\). Cette suite exacte est fonctorielle en \(V\), ce qui donne le lemme.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé entre les espaces algébriques représentables \(X\) et \(Y\) sur \(S\). D’après Descente, proposition 03LC, le foncteur \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) coïncide avec le foncteur usuel lorsque l’on considère \(X\) et \(Y\) comme des schémas.

Plus généralement, supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme représentable, quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Soit \(U = V \times_Y X\) et soit \(f' : U \to V\) le changement de base de \(f\). Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a [04CF]\[\begin{equation} f'_*(\mathcal{F}|_U) = (f_*\mathcal{F})|_V, \end{equation}\] voir Propriétés des espaces, lemme 03LX. Comme \(f' : U \to V\) est un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas, la remarque du paragraphe précédent permet de calculer \(f'_*(\mathcal{F}|_U)\) en considérant \(\mathcal{F}|_U\) comme un faisceau quasi-cohérent sur le schéma \(U\) et \(f'\) comme un morphisme de schémas. Nous l’utiliserons fréquemment sans plus le mentionner.

Le degré de généralité suivant consiste à considérer un morphisme quelconque quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(f_*\) transforme les \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents en \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Il faut montrer que \(f_*\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Pour cela, il suffit de montrer que, pour tout schéma affine \(V\) et tout morphisme étale \(V \to Y\), la restriction de \(f_*\mathcal{F}\) à \(V\) est quasi-cohérente ; voir Propriétés des espaces, lemme 03M0. Soit \(f' : V \times_Y X \to V\) le changement de base de \(f\) par \(V \to Y\). Notons que \(f'\) est encore quasi-compact et quasi-séparé ; voir les lemmes 03HF et 03KL. D’après (04CF), la restriction de \(f_*\mathcal{F}\) à \(V\) est l’image directe par \(f'_*\) de la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(V \times_Y X\). Ainsi, on peut remplacer \(f\) par \(f'\) et supposer que \(Y\) est un schéma affine.

Supposons que \(Y\) soit un schéma affine. Puisque \(f\) est quasi-compact, \(X\) est quasi-compact. On peut donc choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. Le lemme 03M8 donne une suite exacte \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \to b_*(\mathcal{F}|_R).\] où \(R = U \times_X U\). Comme \(X \to Y\) est quasi-séparé, \(R \to U \times_Y U\) est un monomorphisme quasi-compact. Il en résulte que \(R\) est un schéma quasi-compact séparé (puisque \(U\) et \(Y\) sont affines à ce stade). Ainsi \(a : U \to Y\) et \(b : R \to Y\) sont des morphismes quasi-compacts et quasi-séparés de schémas. Par conséquent, d’après Descente, proposition 03LC, les faisceaux \(a_*(\mathcal{F}|_U)\) et \(b_*(\mathcal{F}|_R)\) sont quasi-cohérents (voir aussi la discussion qui précède ce lemme). Il en résulte que \(f_*\mathcal{F}\) est un noyau de modules quasi-cohérents, et est donc lui-même quasi-cohérent ; voir Propriétés des espaces, lemme 03M1.

Les images directes supérieures sont étudiées dans Cohomologie des espaces, section 071Y.

Immersions

Les immersions ouvertes, fermées et localement fermées d’espaces algébriques ont été définies dans Espaces, section 02YT. Plus précisément, un morphisme d’espaces algébriques est une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion) s’il est représentable et est une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion) au sens de la section 03HA.

En particulier, ces types de morphismes sont stables par changement de base et par composition de morphismes dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) ; voir Espaces, lemmes 02YV et 02YW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion),

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion),

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion),

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tel que \(V \times_Y X \to V\) soit une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion), et

5. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion).

Démonstration

Puisque tout changement de base d’une immersion fermée (resp. immersion ouverte, resp. immersion) en est encore une, il est clair que (1) implique (2) et que (2) implique (3). De plus, (3) implique (4), car on peut prendre pour \(V\) une somme disjointe de schémas affines ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FX.

Supposons que \(V \to Y\) soit comme en (4). Soit \(\mathcal{P}\) la propriété d’être une immersion fermée (resp. une immersion ouverte, resp. une immersion) pour les morphismes de schémas. Notons que la propriété \(\mathcal{P}\) est stable par tout changement de base et locale pour la topologie fppf sur la base (voir la section 03HA). De plus, les morphismes de type \(\mathcal{P}\) sont séparés et localement quasi-finis (dans chacun des trois cas ; voir Schémas, lemme 01L7, et Morphismes, lemme 01TN). Ainsi, d’après Compléments sur les morphismes, lemme 02W8 les morphismes de type \(\mathcal{P}\) satisfont à la descente pour les recouvrements fppf. Ainsi Espaces, lemme 03I2 s’applique, et l’on voit que \(X \to Y\) est représentable et possède la propriété \(\mathcal{P}\) ; autrement dit, (1) est satisfaite.

L’équivalence de (1) et (5) résulte du fait que \(\mathcal{P}\) est locale sur le but pour la topologie de Zariski (puisque nous avons vu ci-dessus que \(\mathcal{P}\) est en fait locale sur le but pour la topologie fppf).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to Y \to X\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Si \(Z \to X\) est représentable, localement de type fini, localement quasi-fini, séparé et est un monomorphisme, alors \(Z \to Y\) est représentable, localement de type fini, localement quasi-fini, séparé et est un monomorphisme.

2. Si \(Z \to X\) est une immersion et si \(Y \to X\) est localement séparé, alors \(Z \to Y\) est une immersion.

3. Si \(Z \to X\) est une immersion fermée et si \(Y \to X\) est séparé, alors \(Z \to Y\) est une immersion fermée.

Démonstration

Dans chaque cas, la preuve consiste à considérer le diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & Y \times_X Z \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ & Y \ar[r] & X }\] où le composé des flèches horizontales supérieures est l’identité. Démontrons (1). La première flèche horizontale est une section de \(Y \times_X Z \to Z\) ; elle est donc représentable, localement de type fini, localement quasi-finie, séparée et est un monomorphisme d’après le lemme 03KP. La flèche \(Y \times_X Z \to Y\) est un changement de base de \(Z \to X\) ; elle est donc représentable, localement de type fini, localement quasi-finie, séparée et est un monomorphisme (car chacune de ces propriétés des morphismes de schémas est stable par changement de base ; voir Espaces, remarque 02WF). Il en va donc de même du composé (car chacune de ces propriétés des morphismes de schémas est stable par composition ; voir Espaces, remarque 02WG). Ceci prouve (1). Les autres assertions se démontrent exactement de la même façon.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(|i| : |Z| \to |X|\) est un homéomorphisme sur une partie localement fermée, et \(i\) est une immersion fermée si et seulement si l’image \(|i|(|Z|) \subset |X|\) est une partie fermée.

Démonstration

La première assertion est le lemme 0ABJ de Propriétés des espaces. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Par hypothèse, \(T = U \times_X Z\) est un schéma et le morphisme \(j : T \to U\) est une immersion de schémas. D’après le lemme 03M4, le morphisme \(i\) est une immersion fermée si et seulement si \(j\) est une immersion fermée. D’après Schémas, lemme 01IQ, cela équivaut à ce que \(j(T)\) soit fermé dans \(U\). Or la partie \(j(T) \subset U\) est l’image inverse de \(|i|(|Z|) \subset |X|\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03H4. Ceci achève la démonstration.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(S\). Puisque \(i\) est un monomorphisme, on peut considérer \(|Z|\) comme une partie de \(|X|\) ; c’est ce que nous ferons dans la suite de cette remarque. Soit \(\partial |Z|\) la frontière de \(|Z|\) dans l’espace topologique \(|X|\). En formule, \[\partial |Z| = \overline{|Z|} \setminus |Z|.\] Soit \(\partial Z\) le sous-espace fermé réduit de \(X\) tel que \(|\partial Z| = \partial |Z|\), obtenu en prenant la structure réduite induite de sous-espace fermé ; voir Propriétés des espaces, définition 047X. Par construction, \(|Z|\) est fermé dans \(|X| \setminus |\partial Z| = |X \setminus \partial Z|\). Ainsi, toute immersion d’espaces algébriques peut bien se factoriser en une immersion fermée suivie d’une immersion ouverte (mais pas dans l’autre ordre en général ; voir Morphismes, exemple 01QW).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie localement fermée. Soit \(\partial T\) la frontière de \(T\) dans l’espace topologique \(|X|\). En formule, \[\partial T = \overline{T} \setminus T.\] Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert de \(X\) tel que \(|U| = |X| \setminus \partial T\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03BZ. Soit \(Z\) le sous-espace fermé réduit de \(U\) tel que \(|Z| = T\), obtenu en prenant la structure réduite induite de sous-espace fermé ; voir Propriétés des espaces, définition 047X. Par construction, \(Z \to U\) est une immersion fermée d’espaces algébriques et \(U \to X\) est une immersion ouverte ; par conséquent, \(Z \to X\) est une immersion d’espaces algébriques sur \(S\) (voir Espaces, lemme 02YV). Notons que \(Z\) est un espace algébrique réduit et que \(|Z| = T\) comme parties de \(|X|\). On dit parfois que \(Z\) est la structure réduite induite de sous-espace sur \(T\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Z \to X\) quasi-compact. Il existe une factorisation \(Z \to \overline{Z} \to X\) où \(Z \to \overline{Z}\) est une immersion ouverte et \(\overline{Z} \to X\) est une immersion fermée.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) étale surjectif. Notons comme d’habitude \(R = U \times_X U\), avec pour projections \(s, t : R \to U\). Posons \(T = Z \times_U X\). Soit \(\overline{T} \subset U\) l’image schématique de \(T \to U\). Notons que \(s^{-1}\overline{T} = t^{-1}\overline{T}\), car la formation des images schématiques de morphismes quasi-compacts commute au changement de base plat ; voir Morphismes, lemme 081I. On obtient donc un sous-espace fermé \(\overline{Z} \subset X\) dont le changement de base à \(U\) est \(\overline{T}\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 07TW. D’après Morphismes, lemme 01RG, le morphisme \(T \to \overline{T}\) est une immersion ouverte. Il s’ensuit que \(Z \to \overline{Z}\) est une immersion ouverte, ce qui donne le résultat.

Immersions fermées

Dans cette section, nous précisons certains résultats obtenus précédemment sur les immersions d’espaces algébriques. Voir Espaces, section 02YT, et la section 03HB du présent chapitre. Cette section est l’analogue de Morphismes, section 01QN, pour les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour toute immersion fermée \(i : Z \to X\), le faisceau \(i_*\mathcal{O}_Z\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent ; l’application \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjective et son noyau est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. La règle \(Z \mapsto \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) définit une bijection renversant les inclusions \[\begin{matrix} \text{sous-espaces fermés}\\ Z \subset X \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{faisceaux quasi-cohérents}\\ \text{d'idéaux }\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X \end{matrix}\] De plus, étant donné un sous-espace fermé \(Z\) correspondant au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), un morphisme d’espaces algébriques \(h : Y \to X\) se factorise par \(Z\) si et seulement si l’application \(h^*\mathcal{I} \to h^*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) est nulle.

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif dont la source est un schéma. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U \times_X Z \ar[r] \ar[d]_{i'} & Z \ar[d]^i \\ U \ar[r] & X }\] D’après le lemme 03M4, \(i\) est une immersion fermée si et seulement si \(i'\) est une immersion fermée. D’après Propriétés des espaces, lemme 03LX, \(i'_*\mathcal{O}_{U \times_X Z}\) est la restriction de \(i_*\mathcal{O}_Z\) à \(U\). Ainsi, les assertions concernant \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) sont équivalentes aux assertions correspondantes concernant \(\mathcal{O}_U \to i'_*\mathcal{O}_{U \times_X Z}\). Puisque \(i'\) est une immersion fermée de schémas, ces résultats découlent de Morphismes, lemme 01QO.

Démontrons que, pour un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), la formule \[Z(T) = \{h : T \to X \mid h^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_T \text{ est nulle}\}\] définit un sous-espace fermé de \(X\). C’est clairement un sous-foncteur de \(X\). Pour montrer que \(Z \to X\) est représentable par des immersions fermées, soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme d’un schéma vers \(X\). Alors \(Z \times_X U\) est représenté par le sous-foncteur analogue de \(U\) correspondant au faisceau d’idéaux \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03GA, le \(\mathcal{O}_U\)-module \(\varphi^*\mathcal{I}\) est quasi-cohérent sur \(U\), et donc \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(U\). D’après Schémas, lemme 01HP, on conclut que \(Z \times_X U\) est représenté par le sous-schéma fermé de \(U\) associé à \(\Im(\varphi^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_U)\). Ainsi \(Z\) est un sous-espace fermé de \(X\).

Dans la formule ci-dessus définissant \(Z\), les arguments \(T\) sont des schémas, puisque les espaces algébriques sont des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous omettons la vérification que la même formule reste vraie lorsque \(T\) est un espace algébrique.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. L’ image inverse \(f^{-1}(Z)\) du sous-espace fermé \(Z\) est le sous-espace fermé \(Z \times_X Y\) de \(Y\).

Cette définition a un sens d’après le lemme 03M4. Si \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à \(Z\) par le lemme 03MB, alors \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y = \Im(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\) est le faisceau d’idéaux correspondant à \(f^{-1}(Z)\).

Lemme

Une immersion fermée d’espaces algébriques est quasi-compacte.

Démonstration

Ceci résulte de Schémas, lemme 01K7, par des principes généraux ; voir Espaces, lemme 02YO.

Lemme

Une immersion fermée d’espaces algébriques est séparée.

Démonstration

Ceci résulte de Schémas, lemme 01L7, par des principes généraux ; voir Espaces, lemme 02YO.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Le foncteur \[i_{small, *} : \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] est pleinement fidèle et son image essentielle est formée des faisceaux d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) dont la restriction à \(X \setminus Z\) est isomorphe à \(*\), et

2. le foncteur \[i_{small, *} : \textit{Ab}(Z_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] est pleinement fidèle et son image essentielle est formée des faisceaux abéliens sur \(X_\etale\) dont le support est contenu dans \(|Z|\).

Dans les deux cas, \(i_{small}^{-1}\) est un inverse à gauche du foncteur \(i_{small, *}\).

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) étale surjectif. Posons \(V = Z \times_X U\). Alors \(V\) est un schéma et \(i' : V \to U\) est une immersion fermée de schémas. D’après Propriétés des espaces, lemme 03LR, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(Z\), on a \[(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G})|_V = (i')_{small}^{-1}i'_{small, *}(\mathcal{G}|_V)\] D’après Cohomologie étale, proposition 04CA, l’application \((i')_{small}^{-1}i'_{small, *}(\mathcal{G}|_V) \to \mathcal{G}|_V\) est un isomorphisme. Puisque \(V \to Z\) est surjectif et étale, cela entraîne que \(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme. Ceci implique clairement que \(i_{small, *}\) est pleinement fidèle ; voir Sites, lemme 04D6. Pour prouver l’assertion sur l’image essentielle, considérons un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) dont la restriction à \(X \setminus Z\) est isomorphe à \(*\). Comme dans la preuve de Cohomologie étale, proposition 04CA nous considérons le morphisme d’adjonction \[\mathcal{F} \longrightarrow i_{small, *}i_{small}^{-1}\mathcal{F}.\] Comme dans la première partie, le résultat correspondant pour le cas des schémas montre que la restriction de ce morphisme à \(U\) est un isomorphisme. Puisque \(U\) est un recouvrement étale de \(X\), on conclut qu’il s’agit d’un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\overline{z}\) un point géométrique de \(Z\) d’image \(\overline{x}\) dans \(X\). Alors \((i_{small, *}\mathcal{F})_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(Z_\etale\).

Démonstration

Choisissons un voisinage étale \((U, \overline{u})\) de \(\overline{x}\). Alors la fibre \((i_{small, *}\mathcal{F})_{\overline{z}}\) est la fibre de \(i_{small, *}\mathcal{F}|_U\) en \(\overline{u}\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03LR, on peut remplacer \(X\) par \(U\) et \(Z\) par \(Z \times_X U\). Alors \(Z \to X\) est une immersion fermée de schémas, et le résultat est Cohomologie étale, lemme 04FX.

Le lemme suivant vaut plus généralement dans le cadre d’une immersion fermée de topos (insérer ici une référence future).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’anneaux sur \(X_\etale\). Soit \(\mathcal{B}\) un faisceau d’anneaux sur \(Z_\etale\). Soit \(\varphi : \mathcal{A} \to i_{small, *}\mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux, ce qui donne un morphisme de topos annelés \[f : (\Sh(Z_\etale), \mathcal{B}) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{A}).\] Pour un faisceau de \(\mathcal{A}\)-modules \(\mathcal{F}\) et un faisceau de \(\mathcal{B}\)-modules \(\mathcal{G}\), l’application canonique \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{A} f_*\mathcal{G} \longrightarrow f_*(f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{G})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Cette application est l’adjointe de l’application \[f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} f^* f_*\mathcal{G} = f^*(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{A} f_*\mathcal{G}) \longrightarrow f^*\mathcal{F} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{G}\] provenant de \(\text{id} : f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}\) et du morphisme d’adjonction \(f^* f_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\). Pour voir que cette application est un isomorphisme, il suffit de le vérifier sur les fibres (Propriétés des espaces, théorème 04K5). Soit \(\overline{z} : \Spec(k) \to Z\) un point géométrique d’image \(\overline{x} = i \circ \overline{z} : \Spec(k) \to X\). En explicitant l’action de notre application sur les fibres, on voit qu’il faut montrer \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}}} \mathcal{G}_{\overline{z}} = (\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}}} \mathcal{B}_{\overline{z}}) \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{z}}} \mathcal{G}_{\overline{z}}\] ce qui est vrai. Nous avons utilisé ici que la formation des produits tensoriels commute à celle des fibres, ainsi que le comportement des fibres par image inverse (Propriétés des espaces, lemme 04K2) et par image directe le long d’une immersion fermée (lemme 0DK1).

Immersions fermées et faisceaux quasi-cohérents

Cette section est l’analogue de Morphismes, section 01QX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(Z\).

1. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to i_*i^*\mathcal{F}\) induit un isomorphisme \(\mathcal{F}/\mathcal{I}\mathcal{F} \cong i_*i^*\mathcal{F}\).

2. Le foncteur \(i^*\) est un inverse à gauche de \(i_*\), c’est-à-dire que, pour tout \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{G}\), le morphisme d’adjonction \(i^*i_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme.

3. Le foncteur \[i_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] est exact et pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{I}\mathcal{F} = 0\).

Démonstration

Au cours de cette démonstration, nous travaillons exclusivement avec les faisceaux sur les petits sites étales, et nous employons \(i_*, i^{-1}, \ldots\) pour désigner l’image directe et l’image inverse des faisceaux de groupes abéliens au lieu de \(i_{small, *}, i_{small}^{-1}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Le lemme 04G0, appliqué avec \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{G} = \mathcal{B} = \mathcal{O}_Z\), montre que \(i_*i^*\mathcal{F} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z\). Le lemme 03MB nous donne une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] Il résulte des propriétés du produit tensoriel que \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{F}/\mathcal{I}\mathcal{F}\). Ceci démontre (1) (à ceci près que nous omettons de vérifier que le morphisme est induit par le morphisme d’adjonction).

Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Z\)-module quelconque. Le lemme 04E5 montre que \(i^{-1}i_*\mathcal{G} = \mathcal{G}\). Pour démontrer (2), il nous suffit donc de montrer que le morphisme canonique \(\mathcal{G} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme. Cela résulte des propriétés générales des produits tensoriels dès que l’on montre que \(i^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z\) est surjectif. D’après le lemme 04E5, il suffit de prouver que \(i_*i^{-1}\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjectif. Comme le morphisme surjectif \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) se factorise par ce morphisme, nous obtenons (2).

Enfin, démontrons la partie la plus intéressante du lemme, à savoir (3). Une immersion fermée est quasi-compacte et séparée ; voir les lemmes 04CG et 04CH. Le lemme 03M9 s’applique donc, et l’image directe d’un faisceau quasi-cohérent sur \(Z\) est bien un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Nous obtenons ainsi le foncteur \(i^{QCoh}_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\). Il résulte de (2) que \(i^{QCoh}_*\) est pleinement fidèle, puisqu’il a un inverse à gauche, à savoir \(i^*\).

Décrivons maintenant l’image essentielle du foncteur \(i_*\). Il est clair que \(\mathcal{I}(i_*\mathcal{G}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_Z\)-module, puisque \(\mathcal{I}\) est le noyau du morphisme \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\), qui est précisément celui par lequel on munit d’une structure de \(\mathcal{O}_X\)-module le faisceau \(i_*\mathcal{G}\). Supposons ensuite que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent tel que \(\mathcal{I}\mathcal{F} = 0\). Alors \(\mathcal{F}\) est un \(i_*\mathcal{O}_Z\)-module, car \(i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X/\mathcal{I}\). En particulier, son support est contenu dans \(|Z|\). Le lemme 04E5 montre que \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\) pour un certain \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{G}\). Le seul détail restant consiste à montrer que \(\mathcal{G}\) est quasi-cohérent. Or, \(\mathcal{G} \cong i^*\mathcal{F}\) par (2), et Propriétés des espaces, lemme 03GA, donne le résultat.

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques. D’après le lemme précédent, nous noterons souvent, par abus de notation, \(\mathcal{F}\) le faisceau \(i_*\mathcal{F}\) sur \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module. Il existe un unique \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) ayant la propriété suivante : pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{H}\), le morphisme \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G}') \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G})\] est bijectif. En particulier, \(\mathcal{G}'\) est le plus grand \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) contenu dans \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}_a\), \(a \in A\), l’ensemble des \(\mathcal{O}_X\)-sous-modules quasi-cohérents contenus dans \(\mathcal{G}\). Alors l’image \(\mathcal{G}'\) de \[\bigoplus\nolimits_{a \in A} \mathcal{G}_a \longrightarrow \mathcal{F}\] est quasi-cohérente, car l’image d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) est quasi-cohérente et toute somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente ; voir le lemme de Propriétés des espaces, lemme 03M1. Le module \(\mathcal{G}'\) est contenu dans \(\mathcal{G}\). C’est donc le plus grand \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent contenu dans \(\mathcal{G}\).

Pour démontrer la formule, soit \(\mathcal{H}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et soit \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. L’image du composé \(\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est quasi-cohérente, comme image d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents. Elle est donc contenue dans \(\mathcal{G}'\). Par conséquent, \(\alpha\) se factorise par \(\mathcal{G}'\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe un foncteur⁴ \(i^! : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\) qui est un adjoint à droite de \(i_*\). (Comparer avec Modules, lemme 01AZ.)

Démonstration

Étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\), considérons le sous-faisceau \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})\) de \(\mathcal{G}\) formé des sections locales annulées par \(\mathcal{I}\). D’après le lemme 04CK, il existe canoniquement un plus grand \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent, noté \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})'\). Par construction, nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{G})') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] pour tout \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Nous pouvons donc poser \(i^!\mathcal{G} = i^*(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})')\). Nous omettons les détails.

Au moyen de la correspondance biunivoque (\(1\)-à-\(1\)) entre les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux et les sous-espaces fermés (voir le lemme 03MB), nous pouvons définir les intersections et réunions schématiques de sous-schémas fermés.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(Z, Y \subset X\) des sous-espaces fermés correspondant aux faisceaux quasi-cohérents d’idéaux \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\). L’intersection schématique de \(Z\) et \(Y\) est le sous-espace fermé de \(X\) défini par \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\). La réunion schématique de \(Z\) et \(Y\) est le sous-espace fermé de \(X\) défini par \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J}\).

Il est clair que la formation de l’intersection schématique commute à la localisation étale, et qu’il en va de même pour la réunion schématique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(Z, Y \subset X\) des sous-espaces fermés. Soit \(Z \cap Y\) l’intersection schématique de \(Z\) et \(Y\). Alors \(Z \cap Y \to Z\) et \(Z \cap Y \to Y\) sont des immersions fermées, et \[\xymatrix{ Z \cap Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ Y \ar[r] & X }\] est un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\), c’est-à-dire que \(Z \cap Y = Z \times_X Y\).

Démonstration

Les morphismes \(Z \cap Y \to Z\) et \(Z \cap Y \to Y\) sont des immersions fermées d’après le lemme 03MB. Comme la formation de l’intersection schématique commute à la localisation étale, le cas des schémas montre que le diagramme est cartésien. Voir le lemme de Morphismes 0C4I.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(Y, Z \subset X\) des sous-espaces fermés. Soit \(Y \cup Z\) la réunion schématique de \(Y\) et \(Z\). Soit \(Y \cap Z\) l’intersection schématique de \(Y\) et \(Z\). Alors \(Y \to Y \cup Z\) et \(Z \to Y \cup Z\) sont des immersions fermées, il existe une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Y \times \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\] de \(\mathcal{O}_Z\)-modules, et le diagramme \[\xymatrix{ Y \cap Z \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y \cup Z }\] est cocartésien dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\), c’est-à-dire que \(Y \cup Z = Y \amalg_{Y \cap Z} Z\).

Démonstration

Les morphismes \(Y \to Y \cup Z\) et \(Z \to Y \cup Z\) sont des immersions fermées d’après le lemme 03MB. Dans la suite exacte courte, nous employons l’équivalence du lemme 04CJ pour considérer les modules quasi-cohérents sur les sous-espaces fermés de \(X\) comme des modules quasi-cohérents sur \(X\). Le premier morphisme de la suite provient des morphismes canoniques \(\mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Y\) et \(\mathcal{O}_{Y \cup Z} \to \mathcal{O}_Z\), et le second du morphisme canonique \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z}\) et de l’opposé du morphisme canonique \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z}\). Pour vérifier l’exactitude, nous pouvons travailler localement pour la topologie étale et la déduire du cas des schémas (Morphismes, lemme 0C4J).

Pour montrer que le diagramme est cocartésien, soient un espace algébrique \(T\) sur \(S\) et des morphismes \(f : Y \to T\), \(g : Z \to T\) qui coïncident sur \(Y \cap Z \to T\). Il s’agit de montrer qu’il existe un unique morphisme \(h : Y \cup Z \to T\) dont les restrictions sont \(f\) et \(g\). Pour construire \(h\), nous pouvons travailler localement sur \(Y \cup Z\) pour la topologie étale (car \(Y \cup Z\), étant un espace algébrique, est un faisceau étale). Nous pouvons donc supposer que \(X\) est un schéma. Dans ce cas, nous savons que \(Y \cup Z\) est la somme amalgamée de \(Y\) et \(Z\) le long de \(Y \cap Z\) dans la catégorie des schémas d’après Morphismes, lemme 0C4J. Choisissons un schéma \(T'\) et un morphisme étale surjectif \(T' \to T\). Posons \(Y' = T' \times_{T, f} Y\) et \(Z' = T' \times_{T, g} Z\). Alors \(Y'\) et \(Z'\) sont des schémas, et nous disposons d’un isomorphisme canonique \(\varphi : Y' \times_Y (Y \cap Z) \to Z' \times_Z (Y \cap Z)\) de schémas. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0B7M la somme amalgamée \(W' = Y' \amalg_{Y' \times_Y (Y \cap Z), \varphi} Z'\) existe dans la catégorie des schémas. Le morphisme \(W' \to Y \cup Z\) est étale d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0CYY. Il est surjectif puisque \(Y' \to Y\) et \(Z' \to Z\) le sont. Les morphismes \(f' : Y' \to T'\) et \(g' : Z' \to T'\) se recollent en un unique morphisme de schémas \(h' : W' \to T'\). Par unicité, le composé \(W' \to T' \to T\) descend au morphisme souhaité \(h : Y \cup Z \to T\). Nous omettons certains détails.

Supports de modules

Dans cette section, nous rassemblons quelques résultats élémentaires sur les supports des modules quasi-cohérents sur les espaces algébriques. Soit \(X\) un espace algébrique. Le support d’un faisceau abélien sur \(X_\etale\) a été défini dans Propriétés des espaces, section 04K7. Nous adoptons la même définition pour les supports de modules. Le lemme suivant affirme qu’elle coïncide avec la notion définie pour les modules quasi-cohérents sur les schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(U\) un schéma et soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale. Alors \[\text{Supp}(\varphi^*\mathcal{F}) = |\varphi|^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\] où le membre de gauche est le support de \(\varphi^*\mathcal{F}\) en tant que module quasi-cohérent sur le schéma \(U\).

Démonstration

Soit \(u\in U\) un point (usuel) et soit \(\overline{x}\) un point géométrique au-dessus de \(u\). D’après Propriétés des espaces, lemme 05VP, nous avons \((\varphi^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\). Comme \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict d’après Propriétés des espaces, lemme 04KF il est fidèlement plat (voir Compléments d’algèbre, lemme 07QM). Par conséquent, \((\varphi^*\mathcal{F})_u = 0\) si et seulement si \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = 0\). Cela démontre le lemme.

Pour les modules quasi-cohérents de type fini, le support est fermé, se vérifie sur les fibres et commute au changement de base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Alors

1. Le support de \(\mathcal{F}\) est fermé.

2. Pour tout point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x \in |X|\), nous avons \[x \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0 \Leftrightarrow \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \kappa(\overline{x}) \not = 0.\]

3. Pour tout morphisme d’espaces algébriques \(f : Y \to X\), l’image inverse \(f^*\mathcal{F}\) est également de type fini et nous avons \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}) = f^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\). D’après le lemme 07TY, l’image inverse du support de \(\mathcal{F}\) est le support de \(\varphi^*\mathcal{F}\), qui est fermé d’après Morphismes, lemme 056J. Ainsi, (1) découle de la définition de la topologie sur \(|X|\).

La première équivalence de (2) est la définition du support. La seconde équivalence découle du lemme de Nakayama ; voir Algèbre, lemme 00DV.

Soit \(f : Y \to X\) comme en (3). Notons que \(f^*\mathcal{F}\) est de type fini d’après Propriétés des espaces, section 05VR. Pour la dernière assertion, soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) d’image le point géométrique \(\overline{x}\) dans \(X\). Rappelons que \[(f^*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}},\] voir Propriétés des espaces, lemme 05VQ. Par conséquent, \((f^*\mathcal{F})_{\overline{y}} \otimes \kappa(\overline{y})\) est non nul si et seulement si \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes \kappa(\overline{x})\) est non nul. D’après (2), il s’ensuit que \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) si et seulement si \(y \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\), ce qui constitue l’assertion (3).

Notre objectif suivant est de montrer que le support schématique d’un module quasi-cohérent de type fini (voir Morphismes, définition 05JV) a également un sens pour les modules quasi-cohérents de type fini sur les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Il existe un plus petit sous-espace fermé \(i : Z \to X\) tel qu’il existe un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) vérifiant \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\). De plus :

1. Si \(U\) est un schéma et si \(\varphi : U \to X\) est un morphisme étale, alors \(Z \times_X U\) est le support schématique de \(\varphi^*\mathcal{F}\).

2. Le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) est unique à isomorphisme unique près.

3. Le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) est de type fini.

4. Les supports de \(\mathcal{G}\) et de \(\mathcal{F}\) sont tous deux \(|Z|\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\). Posons \(R = U \times_X U\), de projections \(s, t : R \to U\). Soit \(i' : Z' \to U\) le support schématique de \(\varphi^*\mathcal{F}\), et soit \(\mathcal{G}'\) le \(\mathcal{O}_{Z'}\)-module quasi-cohérent de type fini (unique à isomorphisme unique près) tel que \(i'_*\mathcal{G}' = \varphi^*\mathcal{F}\) ; voir Morphismes, lemme 05JU. Comme \(s^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*\varphi^*\mathcal{F}\), nous avons \(R' = s^{-1}Z' = t^{-1}Z'\) comme sous-schémas fermés de \(R\), d’après Morphismes, lemme 07T9. Nous pouvons donc appliquer Propriétés des espaces, lemme 07TW pour obtenir un sous-espace fermé \(i : Z \to X\) dont l’image inverse sur \(U\) est \(Z'\). Notons \(s', t' : R' \to Z'\) les projections et \(j' : R' \to R\) l’immersion fermée considérée ; nous avons \[j'_* (s')^*\mathcal{G}' = s^* i'_*\mathcal{G}' = s^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*\varphi^*\mathcal{F} = t^*i'_*\mathcal{G}' = j'_*(t')^*\mathcal{G}'\] (la première et la dernière égalité résultant de Cohomologie des schémas, lemme 02KH). Le lemme Morphismes, lemme 07T9, appliqué à \(R' \to R\), fournit donc, par unicité, un isomorphisme \(\alpha : (t')^*\mathcal{G}' \to (s')^*\mathcal{G}'\) compatible avec l’isomorphisme canonique \(t^*\varphi^*\mathcal{F} = s^*\varphi^*\mathcal{F}\) par l’intermédiaire de \(j'_*\). Il est clair que \(\alpha\) satisfait la condition de cocycle ; nous pouvons donc appliquer Propriétés des espaces, Proposition 03M3 pour obtenir un module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) dont la restriction à \(Z'\) s’identifie à \(\mathcal{G}'\), compatiblement à \(\alpha\). En utilisant à nouveau l’équivalence de la proposition précitée (cette fois pour \(X\)), nous concluons que \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\).

Cela démontre l’existence. Les autres propriétés du lemme découlent de la comparaison avec le résultat pour les schémas, au moyen du lemme 07TY. Nous omettons les démonstrations détaillées.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Le support schématique de \(\mathcal{F}\) est le sous-espace fermé \(Z \subset X\) construit dans le lemme 07U0.

Dans cette situation, nous considérons souvent \(\mathcal{F}\) comme un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(Z\) (au moyen de l’équivalence de catégories du lemme 04CJ).

Image schématique

Attention : une partie des résultats de cette section est d’une généralité extrême et se comporte autrement qu’on pourrait s’y attendre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe un sous-espace fermé \(Z \subset Y\) tel que \(f\) se factorise par \(Z\) et tel que, pour tout autre sous-espace fermé \(Z' \subset Y\) tel que \(f\) se factorise par \(Z'\), nous ayons \(Z \subset Z'\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\). Si \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent, il suffit de prendre pour \(Z\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathcal{I}\) ; voir le lemme 03MB. En général, il faut, pour démontrer le lemme, établir qu’il existe un plus grand faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}'\) contenu dans \(\mathcal{I}\). Cela découle du lemme 04CK.

Supposons que, dans la situation du lemme 082X ci-dessus, \(X\) et \(Y\) soient représentables. Alors le sous-espace fermé \(Z \subset Y\) obtenu dans le lemme coïncide avec le sous-schéma fermé \(Z \subset Y\) obtenu dans Morphismes, lemme 01R6. En effet, les sous-espaces fermés (ou sous-schémas fermés) sont en correspondance, en renversant les inclusions, avec les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux sur \(X_\etale\) et \(X\). Comme les catégories des modules quasi-cohérents sur \(X_\etale\) et \(X\) sont les mêmes (Propriétés des espaces, section 03G5), nous pouvons conclure. Ainsi, la définition suivante coïncide avec la définition antérieure pour les morphismes de schémas.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). L’image schématique de \(f\) est le plus petit sous-espace fermé \(Z \subset Y\) par lequel \(f\) se factorise ; voir le lemme 082X ci-dessus.

Nous désignons souvent simplement par \(f : X \to Z\) la factorisation de \(f\). Si le morphisme \(f\) n’est pas quasi-compact, alors, en général, la construction de l’image schématique ne commute pas à la restriction aux sous-espaces ouverts de \(Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset Y\) l’image schématique de \(f\). Si \(f\) est quasi-compact, alors

1. le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\) est quasi-cohérent,

2. l’image schématique \(Z\) est le sous-espace fermé correspondant à \(\mathcal{I}\),

3. pour tout morphisme étale \(V \to Y\), l’image schématique de \(X \times_Y V \to V\) est égale à \(Z \times_Y V\), et

4. l’image \(|f|(|X|) \subset |Z|\) est une partie dense de \(|Z|\).

Démonstration

Pour démontrer (3), il suffit de démontrer (1) et (2), puisque la formation de \(\mathcal{I}\) commute à la localisation étale. Si (1) est vraie, nous avons établi (2) dans la preuve du lemme 082X. Montrons que \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent. Comme la propriété d’être quasi-cohérent est locale pour la topologie étale, nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma affine. Comme \(f\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Notons \(f'\) le composé \(U \to X \to Y\). Alors \(f_*\mathcal{O}_X\) est un sous-faisceau de \(f'_*\mathcal{O}_U\), et donc \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X'})\). D’après le lemme 03M9, le faisceau \(f'_*\mathcal{O}_U\) est quasi-cohérent sur \(Y\). Ainsi, \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent comme noyau d’un morphisme de modules cohérents. Enfin, la partie (4) découle des parties (1), (2) et (3), car l’idéal \(\mathcal{I}\) sera l’idéal unité en tout point de \(|Y|\) qui n’appartient pas à l’adhérence de \(|f|(|X|)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X\) soit réduit. Alors

1. l’image schématique \(Z\) de \(f\) est l’adhérence \(\overline{|f|(|X|)}\), munie de la structure réduite induite, et

2. pour tout morphisme étale \(V \to Y\), l’image schématique de \(X \times_Y V \to V\) est égale à \(Z \times_Y V\).

Démonstration

La partie (1) est vraie parce que l’adhérence \(\overline{|f|(|X|)}\), munie de la structure réduite induite, est le plus petit sous-espace fermé de \(Y\) par lequel \(f\) se factorise ; voir Propriétés des espaces, lemme 03JJ. La partie (2) découle de (1), du fait que l’application \(|V| \to |Y|\) est ouverte et du fait que la réduction est préservée par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z\) l’image schématique de \(f\). Soit \(z \in |Z|\). Il existe un anneau de valuation \(A\) de corps des fractions \(K\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \ar[ld] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] tel que le point fermé de \(\Spec(A)\) s’envoie sur \(z\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\), un point \(z' \in V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) envoyant \(z'\) sur \(z\). Soit \(Z' \subset V\) l’image schématique de \(X \times_Y V \to V\). D’après le lemme 082Z, nous avons \(Z' = Z \times_Y V\). Ainsi, \(z' \in Z'\). Comme \(f\) est quasi-compact et \(V\) affine, nous voyons que \(X \times_Y V\) est quasi-compact. Il existe donc un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X \times_Y V\). Alors \(Z' \subset V\) est également l’image schématique de \(W \to V\). D’après Morphismes, lemme 02JQ, nous pouvons choisir un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] tel que le point fermé de \(\Spec(A)\) s’envoie sur \(z'\). En composant avec \(Z' \to Z\) et \(W \to X \times_Y V \to X\), nous obtenons une solution.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r]^{f_2} & Y_2 }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\). Soient \(Z_i \subset Y_i\), \(i = 1, 2\), les images schématiques de \(f_i\). Alors le morphisme \(Y_1 \to Y_2\) induit un morphisme \(Z_1 \to Z_2\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_1 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & Y_2 }\]

Démonstration

L’image inverse schématique de \(Z_2\) dans \(Y_1\) est un sous-espace fermé de \(Y_1\) par lequel \(f_1\) se factorise. Par conséquent, \(Z_1\) y est contenu. Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(V \subset Y\) un sous-espace ouvert tel que \(V \to Y\) soit quasi-compact. Soit \(s : V \to X\) un morphisme tel que \(f \circ s = \text{id}_V\). Soit \(Y'\) l’image schématique de \(s\). Alors \(Y' \to Y\) est un isomorphisme au-dessus de \(V\).

Démonstration

D’après le lemme 03KS, le morphisme \(s : V \to X\) est quasi-compact. La construction de l’image schématique \(Y'\) de \(s\) commute donc à la restriction aux ouverts, d’après le lemme 082Z. En particulier, nous voyons que \(Y' \cap f^{-1}(V)\) est l’image schématique d’une section du morphisme séparé \(f^{-1}(V) \to V\). Comme une section d’un morphisme séparé est une immersion fermée (lemme 03KP), nous concluons que \(Y' \cap f^{-1}(V) \to V\) est un isomorphisme, comme souhaité.

Adhérence schématique et densité

Cette section est l’analogue de Morphismes, section 01RA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(W \subset S\) un sous-schéma ouvert schématiquement dense (Morphismes, définition 01RB). Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini. Alors \(f^{-1}(W)\) est schématiquement dense dans \(X\).

Démonstration

Nous utiliserons la caractérisation de Morphismes, lemme 01RE. Supposons que \(V \subset X\) soit un ouvert et que \(g \in \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) soit une fonction dont la restriction à \(f^{-1}(W) \cap V\) est nulle. Il faut montrer que \(g = 0\). Supposons \(g \not = 0\) afin d’obtenir une contradiction. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 082V nous pouvons, quitte à rétrécir \(V\), trouver un ouvert \(U \subset S\) s’insérant dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d]_\pi & X \ar[d]^f \\ U \ar[r] & S, }\] un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F} \subset \mathcal{O}_U\), un entier \(r > 0\) et un morphisme injectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\mathcal{F}^{\oplus r} \to \pi_*\mathcal{O}_V\) dont l’image contient \(g|_V\). Soit \((g_1, \ldots, g_r) \in \Gamma(U, \mathcal{F}^{\oplus r})\) un antécédent de \(g\). Alors \(g_i|_{W \cap U} = 0\), car \(g|_{f^{-1}W \cap V} = 0\). Par conséquent, \(g_i = 0\), puisque \(\mathcal{F} \subset \mathcal{O}_U\) et que \(W\) est schématiquement dense dans \(S\). Il s’ensuit que \(g = 0\), ce qui est la contradiction cherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme étale \(\varphi : V \to X\) (d’espaces algébriques), l’adhérence schématique de \(\varphi^{-1}(U)\) dans \(V\) est égale à \(V\),

2. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : V \to X\) tels que l’adhérence schématique de \(\varphi^{-1}(U)\) dans \(V\) soit égale à \(V\),

Démonstration

Observons que, si \(V \to V'\) est un morphisme entre espaces algébriques étales sur \(X\), et si \(Z \subset V\), resp. \(Z' \subset V'\), sont les adhérences schématiques de \(U \times_X V\), resp. \(U \times_X V'\), dans \(V\), resp. \(V'\), alors \(Z\) s’envoie dans \(Z'\). Ainsi, si \(V \to V'\) est étale et surjectif, \(Z = V\) entraîne \(Z' = V'\). Ensuite, notons qu’un morphisme étale est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini (voir Morphismes, section 02GH). Le lemme 0832 implique donc que, si \(V\) et \(V'\) sont des schémas, \(Z' = V'\) entraîne \(Z = V\). Un argument formel utilisant le fait que tout espace algébrique admet un recouvrement étale par un schéma montre que (1) et (2) sont équivalentes.

Il résulte du lemme 0833 que la définition suivante est compatible avec celle du cas des schémas.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert.

1. L’image schématique du morphisme \(U \to X\) est appelée l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\).

2. Nous disons que \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si les conditions équivalentes du lemme 0833 sont satisfaites.

Avec cette définition, il n’est pas vrai que \(U\) soit schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si l’adhérence schématique de \(U\) est \(X\). C’est quelque peu inélégant. Nous verrons cependant que, sous des conditions de finitude convenables, cette équivalence est vraie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Si \(U \to X\) est quasi-compact, alors \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est \(X\).

Démonstration

Cela découle de la partie (3) du lemme 082Z.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) est injectif.

Démonstration

Si \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) est injectif, il en va de même après restriction à tout espace algébrique \(V\) étale sur \(X\). L’adhérence schématique de \(U \times_X V\) dans \(V\) est donc égale à \(V\) ; voir la preuve du lemme 082X. Réciproquement, supposons que l’adhérence schématique de \(U \times_X V\) soit égale à \(V\) pour tout \(V\) étale sur \(X\). Supposons que \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) ne soit pas injectif. Nous pouvons alors trouver un schéma affine, disons \(V = \Spec(A)\), étale sur \(X\), et un élément non nul \(f \in A\) tel que \(f\) s’envoie sur zéro dans \(\Gamma(V \times_X U, \mathcal{O})\). Dans ce cas, l’adhérence schématique de \(V \times_X U\) dans \(V\) est clairement contenue dans \(\Spec(A/(f))\), ce qui est absurde.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(U\) et \(V\) sont des sous-espaces ouverts schématiquement denses dans \(X\), alors \(U \cap V\) l’est aussi.

Démonstration

Soit \(W \to X\) un morphisme étale quelconque. Considérons l’application \(\mathcal{O}(W) \to \mathcal{O}(W \times_X V) \to \mathcal{O}(W \times_X (V \cap U))\). D’après le lemme 0836, les deux applications sont injectives. Leur composée est donc injective. Par conséquent, d’après le lemme 0836, \(U \cap V\) est schématiquement dense dans \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(h : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Z \to X\) soit quasi-compact ou que \(Z\) soit réduit. Soit \(\overline{Z} \subset X\) l’image schématique de \(h\). Alors le morphisme \(Z \to \overline{Z}\) est une immersion ouverte qui identifie \(Z\) à un sous-espace ouvert schématiquement dense de \(\overline{Z}\). De plus, \(Z\) est topologiquement dense dans \(\overline{Z}\).

Démonstration

Dans les deux cas, la formation de \(\overline{Z}\) commute à la localisation étale ; voir les lemmes 082Z et 0830. Le présent lemme découle donc du cas des schémas ; voir Morphismes, lemme 01RG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(f, g : X \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert tel que \(f|_U = g|_U\). Si l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est \(X\) et si \(Y \to B\) est séparé, alors \(f = g\).

Démonstration

Comme \(Y \to B\) est séparé, le produit fibré \(Y \times_{\Delta, Y \times_B Y, (f, g)} X\) est un sous-espace fermé \(Z \subset X\). Comme \(f|_U = g|_U\), nous avons \(U \subset Z\). Donc \(Z = X\), car l’hypothèse sur \(U\) affirme que son adhérence schématique est \(X\).

Morphismes dominants

Nous reprenons la définition d’un morphisme dominant de schémas afin d’obtenir la notion de morphisme dominant d’espaces algébriques. Nous avertissons le lecteur que cette définition ne se comporte pas bien à moins que le morphisme ne soit quasi-compact et que les espaces algébriques ne satisfassent certains axiomes de séparation.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) est dit dominant si l’image de \(|f| : |X| \to |Y|\) est dense dans \(|Y|\).

Morphismes universellement injectifs

Nous avons déjà défini à la section 03HA ce que signifie, pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, être universellement injectif. Pour un corps \(K\) sur \(S\) (rappelons que cela signifie que l’on s’est donné un morphisme structural \(\Spec(K) \to S\)) et un espace algébrique \(X\) sur \(S\), nous posons \(X(K) = \Mor_S(\Spec(K), X)\). Nous traduisons d’abord la condition portant sur les morphismes représentables en une condition sur le foncteur des points.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est universellement injectif (au sens de la section 03HA) si et seulement si, pour tout corps \(K\), l’application \(X(K) \to Y(K)\) est injective.

Démonstration

Nous utiliserons Morphismes, lemme 01S4 sans autre mention. Supposons que \(f\) soit universellement injectif. Alors, pour tout corps \(K\) et tout morphisme \(\Spec(K) \to Y\), le morphisme de schémas \(\Spec(K) \times_Y X \to \Spec(K)\) est universellement injectif. Il existe donc au plus une section du morphisme \(\Spec(K) \times_Y X \to \Spec(K)\). Ainsi, l’application \(X(K) \to Y(K)\) est injective. Réciproquement, supposons que, pour tout corps \(K\), l’application \(X(K) \to Y(K)\) soit injective. Soit \(T \to Y\) un morphisme d’un schéma vers \(Y\), et considérons le changement de base \(f_T : T \times_Y X \to T\). Pour tout corps \(K\), on a \[(T \times_Y X)(K) = T(K) \times_{Y(K)} X(K)\] par définition du produit fibré ; ainsi, l’injectivité de \(X(K) \to Y(K)\) entraîne celle de \((T \times_Y X)(K) \to T(K)\), ce qui signifie que \(f_T\) est universellement injectif, comme souhaité.

Traduisons maintenant l’injectivité de l’application sur les points à valeurs dans des corps en une condition plus géométrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. l’application \(X(K) \to Y(K)\) est injective pour tout corps \(K\) sur \(S\) ;

2. pour tout morphisme \(Y' \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\), l’application induite \(|Y' \times_Y X| \to |Y'|\) est injective ; et

3. le morphisme diagonal \(X \to X \times_Y X\) est surjectif.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques, et notons \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) le changement de base de \(f\). Soient \(K_i\), \(i = 1, 2\), des corps et soient \(\varphi_i : \Spec(K_i) \to Y' \times_Y X\) des morphismes tels que \(f' \circ \varphi_1\) et \(f' \circ \varphi_2\) définissent le même élément de \(|Y'|\). Par définition, cela signifie qu’il existe un corps \(\Omega\) et des plongements \(\alpha_i : K_i \subset \Omega\) tels que les deux morphismes \(f' \circ \varphi_i \circ \alpha_i : \Spec(\Omega) \to Y'\) soient égaux. Voici le diagramme commutatif correspondant : \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar@/_5ex/[ddrr] \ar[rd]^{\alpha_1} \ar[r]_{\alpha_2} & \Spec(K_2) \ar[rd]^{\varphi_2} \\ & \Spec(K_1) \ar[r]^{\varphi_1} & Y' \times_Y X \ar[d]^{f'} \ar[r]^{g'} & X \ar[d]^f \\ & & Y' \ar[r]^g & Y. }\] En particulier, les composés \(g \circ f' \circ \varphi_i \circ \alpha_i\) sont égaux. D’après (1), cela implique que les morphismes \(g' \circ \varphi_i \circ \alpha_i\) sont égaux, où \(g' : Y' \times_Y X \to X\) est la projection. Par la propriété universelle du produit fibré, nous en déduisons que les morphismes \(\varphi_i \circ \alpha_i : \Spec(\Omega) \to Y' \times_Y X\) sont égaux. Autrement dit, \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) définissent le même point de \(Y' \times_Y X\). Nous en concluons que (2) est vérifiée.

Supposons (2). Soit \(K\) un corps sur \(S\), et soient \(a, b : \Spec(K) \to X\) deux morphismes tels que \(f \circ a = f \circ b\). Notons \(c : \Spec(K) \to Y\) leur valeur commune. Par hypothèse, \(|\Spec(K) \times_{c, Y} X| \to |\Spec(K)|\) est injective. Cela signifie qu’il existe un corps \(\Omega\) et des plongements \(\alpha_i : K \to \Omega\) tels que \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r]_{\alpha_1} \ar[d]_{\alpha_2} & \Spec(K) \ar[d]^a \\ \Spec(K) \ar[r]^-b & \Spec(K) \times_{c, Y} X }\] soit commutatif. En composant avec la projection sur \(\Spec(K)\), on voit que \(\alpha_1 = \alpha_2\). Notons leur valeur commune \(\alpha\). Alors la famille \(\{\alpha : \Spec(\Omega) \to \Spec(K)\}\) est couvrante pour la topologie fpqc de \(\Spec(K)\) et les deux morphismes \(a, b\) deviennent égaux après ce changement de base. D’après Propriétés des espaces, Proposition 0APL, on a \(a = b\). Nous en concluons que (1) est vérifiée.

Supposons (3). Soient \(x, x' \in |X|\) deux points tels que \(f(x) = f(x')\) dans \(|Y|\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, il existe \(x'' \in |X \times_Y X|\) dont les projections sont \(x\) et \(x'\). Par hypothèse et d’après Propriétés des espaces, lemme 03H5, il existe \(x''' \in |X|\) tel que \(\Delta_{X/Y}(x''') = x''\). Ainsi \(x = x'\). Autrement dit, \(f\) est injectif sur les points. Puisque la condition (3) est stable par changement de base, on voit que \(f\) vérifie (2).

Supposons (2). Alors, en particulier, \(|X \times_Y X| \to |X|\) est injective, ce qui entraîne immédiatement que \(|\Delta_{X/Y}| : |X| \to |X \times_Y X|\) est surjective ; cela entraîne que \(\Delta_{X/Y}\) est surjectif d’après Propriétés des espaces, lemme 03H5.

D’après les deux lemmes précédents, la définition suivante est compatible avec la notion déjà définie de morphisme représentable universellement injectif d’espaces algébriques.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(f\) est universellement injectif si, pour tout morphisme \(Y' \to Y\), l’application induite \(|Y' \times_Y X| \to |Y'|\) est injective.

Précisément, cela signifie qu’une, et donc chacune, des conditions équivalentes du lemme 040X est satisfaite.

Remarque

Un morphisme universellement injectif de schémas est séparé ; voir Morphismes, lemme 05VE. Ce n’est pas le cas pour les morphismes d’espaces algébriques. En effet, l’espace algébrique \(X = \mathbf{A}^1_k/\{x \sim -x \mid x \not = 0\}\) construit dans Espaces, exemple 02Z1 est muni d’un morphisme \(X \to \mathbf{A}^1_k\) qui envoie le point de coordonnée \(x\) sur le point de coordonnée \(x^2\). C’est un isomorphisme hors de \(0\), et il existe un unique point de \(X\) au-dessus de \(0\). Comme \(X\) n’est pas séparé, il s’agit d’un morphisme universellement injectif d’espaces algébriques qui n’est pas séparé.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme universellement injectif est universellement injectif.

Démonstration

Omis. Indication : c’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement injectif ;

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est universellement injectif ;

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est universellement injectif ;

4. il existe un schéma \(Z\) et un morphisme surjectif \(Z \to Y\) tels que \(Z \times_Y X \to Z\) soit universellement injectif ; et

5. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit universellement injectif.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention dans cette démonstration le fait que la propriété d’être universellement injectif est préservée par changement de base (lemme 03MW). Il est clair que (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4).

Supposons donné \(g : Z \to Y\) comme dans (4). Soit \(y : \Spec(K) \to Y\) un morphisme du spectre d’un corps vers \(Y\). Par hypothèse, on peut trouver une extension de corps \(\alpha : K \subset K'\) et un morphisme \(z : \Spec(K') \to Z\) tels que \(y \circ \alpha = g \circ z\) (avec l’abus de notation évident). Par hypothèse, le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est universellement injectif ; il existe donc au plus un relèvement de \(g \circ z : \Spec(K') \to Y\) en un morphisme vers \(X\). Comme la famille \(\{\alpha : \Spec(K') \to \Spec(K)\}\) est couvrante pour la topologie fpqc, il existe au plus un relèvement de \(y : \Spec(K) \to Y\) en un morphisme vers \(X\) ; voir Propriétés des espaces, Proposition 0APL. Ainsi, (1) est vérifiée.

Nous omettons de vérifier que (5) est équivalente à (1).

Lemme

Tout composé de morphismes universellement injectifs est universellement injectif.

Démonstration

Omis.

Morphismes affines

Nous avons déjà défini à la section 03HA ce que signifie, pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, être affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est affine (au sens de la section 03HA) si et seulement si, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le schéma \(X \times_Y Z\) est affine.

Démonstration

Cela résulte directement de la définition d’un morphisme affine de schémas (Morphismes, définition 01S6).

Nous pouvons ainsi poser la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(f\) est affine si, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(X \times_Y Z\) est représentable par un schéma affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est représentable et affine ;

2. \(f\) est affine ;

3. pour tout schéma affine \(V\) et tout morphisme étale \(V \to Y\), le schéma \(X \times_Y V\) est affine ;

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit affine ; et

5. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit affine.

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2), que (2) implique (3), et que (3) implique (4) en prenant pour \(V\) une somme disjointe de schémas affines étales sur \(Y\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FX. Supposons \(V \to Y\) comme dans (4). Pour tout ouvert affine \(W\) de \(V\), \(W \times_Y X\) est alors un ouvert affine de \(V \times_Y X\). Par Propriétés des espaces, lemme 03JH, on en déduit que \(V \times_Y X\) est un schéma. De plus, le morphisme \(V \times_Y X \to V\) est affine. Nous pouvons donc appliquer Espaces, lemme 03I2, car la classe des morphismes affines satisfait à toutes les propriétés requises (voir Morphismes, lemmes 01SD et Descente, lemmes 02L5 et 0245). Ce lemme donne que \(f\) est représentable et affine, c’est-à-dire que (1) est vérifiée.

L’équivalence de (1) et (5) résulte de ce que la propriété d’être affine est locale sur le but pour la topologie de Zariski (la référence précédente montre qu’elle est en fait locale sur le but pour la topologie fpqc).

Lemme

Tout composé de morphismes affines est affine.

Démonstration

Omis. Indication : transitivité des produits fibrés.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme affine est affine.

Démonstration

Omis. Indication : transitivité des produits fibrés.

Lemme

Toute immersion fermée est affine.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de l’énoncé correspondant pour les morphismes de schémas ; voir Morphismes, lemme 01SE.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Il existe une anti-équivalence de catégories \[\begin{matrix} \text{espaces algébriques} \\ \text{affines sur }X \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{faisceaux quasi-cohérents} \\ \text{d'}\mathcal{O}_X\text{-algèbres} \end{matrix}\] qui associe à \(f : Y \to X\) le faisceau \(f_*\mathcal{O}_Y\). De plus, cette équivalence est compatible avec tout changement de base.

Démonstration

Ce lemme est l’analogue de Morphismes, lemme 01SA. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. Nous allons construire un morphisme affine d’espaces algébriques \(\pi : Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{A}) \to X\) tel que \(\pi_*\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{A}\). Pour cela, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\). Posons comme d’habitude \(R = U \times_X U\), avec projections \(s, t : R \to U\). Notons \(\psi : R \to X\) le composé \(\psi = \varphi \circ s = \varphi \circ t\). D’après le lemme précité, il existe des morphismes affines de schémas \(\pi_0 : V \to U\) et \(\pi_1 : W \to R\) tels que \(\pi_{0, *}\mathcal{O}_V \cong \varphi^*\mathcal{A}\) et \(\pi_{1, *}\mathcal{O}_W \cong \psi^*\mathcal{A}\). Puisque la construction est compatible avec le changement de base, il existe des morphismes \(s', t' : W \to V\) tels que les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ W \ar[r]_{s'} \ar[d] & V \ar[d] \\ R \ar[r]^s & U } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ W \ar[r]_{t'} \ar[d] & V \ar[d] \\ R \ar[r]^t & U } }\] soient cartésiens. Il s’ensuit que \(s', t'\) sont étales. Ce qui précède entraîne formellement que \((t', s') : W \to V \times_S V\) est un monomorphisme. Nous omettons de vérifier que \(W \to V \times_S V\) est une relation d’équivalence (indication : considérer l’image inverse de \(\mathcal{A}\) sur \(U \times_X U \times_X U = R \times_{s, U, t} R\)). Le faisceau quotient \(Y = V/W\) est un espace algébrique ; voir Espaces, théorème 02WW. D’après Groupoïdes, lemme 07S3, on a \(Y \times_X U \cong V\). Ainsi, \(Y \to X\) est affine par le lemme 03WG. Enfin, l’isomorphisme \[(Y \times_X U \to U)_*\mathcal{O}_{Y \times_X U} = \pi_{0, *}\mathcal{O}_V \cong \varphi^*\mathcal{A}\] est compatible avec les isomorphismes de recollement, d’où \((Y \to X)_*\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{A}\) d’après Propriétés des espaces, Proposition 03M3. Nous omettons de vérifier que cette construction est compatible avec tout changement de base.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. Le spectre relatif de \(\mathcal{A}\) sur \(X\), ou simplement le spectre de \(\mathcal{A}\) sur \(X\), est le morphisme affine \(\underline{\Spec}(\mathcal{A}) \to X\) correspondant à \(\mathcal{A}\) par l’équivalence de catégories du lemme 081V.

La formation du spectre relatif commute à tout changement de base.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) admet une factorisation canonique \[Y \longrightarrow \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y) \longrightarrow X\] Cette écriture a un sens car \(f_*\mathcal{O}_Y\) est quasi-cohérent par le lemme 03M9. Le morphisme \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) provient du morphisme canonique de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres \(f^*f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_Y\), auquel correspond un morphisme canonique \(Y \to Y \times_X \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) sur \(Y\) (voir le lemme 081V), d’où une factorisation de \(f\) comme ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_Y\). Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\) induit une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des}\\ \mathcal{O}_Y\text{-modules quasi-cohérents} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des}\\ \mathcal{A}\text{-modules quasi-cohérents} \end{matrix} \right\}\] De plus, un \(\mathcal{A}\)-module est quasi-cohérent comme \(\mathcal{O}_X\)-module si et seulement s’il est quasi-cohérent comme \(\mathcal{A}\)-module.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(g : X \to Y\) soit un morphisme d’espaces algébriques sur \(B\).

1. Si \(X\) est affine sur \(B\) et si \(\Delta : Y \to Y \times_B Y\) est affine, alors \(g\) est affine.

2. Si \(X\) est affine sur \(B\) et si \(Y\) est séparé sur \(B\), alors \(g\) est affine.

3. Tout morphisme d’un schéma affine vers un espace algébrique dont la diagonale sur \(\mathbf{Z}\) est affine (au sens de Propriétés des espaces, définition 03BS) est affine.

4. Tout morphisme d’un schéma affine vers un espace algébrique séparé est affine.

Démonstration

Démonstration de (1). Le changement de base \(X \times_B Y \to Y\) est affine par le lemme 03WI. Le morphisme \((1, g) : X \to X \times_B Y\) est le changement de base de \(Y \to Y \times_B Y\) par le morphisme \(X \times_B Y \to Y \times_B Y\). Il est donc affine par le lemme 03WI. Tout composé de morphismes affines est affine (voir le lemme 03WH), d’où (1). L’assertion (2) résulte de (1), car une immersion fermée est affine (voir le lemme 07U2) et dire que \(Y/B\) est séparé signifie que \(\Delta\) est une immersion fermée. Les assertions (3) et (4) sont des cas particuliers de (1) et (2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-séparé sur \(S\). Soit \(A\) un anneau artinien. Tout morphisme \(\Spec(A) \to X\) est affine.

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale, avec \(U\) affine. Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que \(\Spec(A) \times_X U\) est affine ; voir le lemme 03WG. Comme \(X\) est quasi-séparé, le schéma \(\Spec(A) \times_X U\) est quasi-compact. De plus, le morphisme de projection \(\Spec(A) \times_X U \to \Spec(A)\) est étale. Ce morphisme a donc des fibres discrètes finies ; en outre, la topologie de \(\Spec(A)\) est discrète. Ainsi, \(\Spec(A) \times_X U\) est un schéma dont l’espace topologique sous-jacent est un ensemble discret fini. On conclut par Schémas, lemme 02O0.

Morphismes quasi-affines

Nous avons déjà défini à la section 03HA ce que signifie, pour un morphisme représentable d’espaces algébriques, être quasi-affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est quasi-affine (au sens de la section 03HA) si et seulement si, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le schéma \(X \times_Y Z\) est quasi-affine.

Démonstration

Cela résulte directement de la définition d’un morphisme quasi-affine de schémas (Morphismes, définition 01SK).

Nous pouvons ainsi poser la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(f\) est quasi-affine si, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(X \times_Y Z\) est représentable par un schéma quasi-affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est représentable et quasi-affine ;

2. \(f\) est quasi-affine ;

3. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit quasi-affine ; et

4. il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chacun des morphismes \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) soit quasi-affine.

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2) et que (2) implique (3) en prenant pour \(V\) une somme disjointe de schémas affines étales sur \(Y\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FX. Supposons \(V \to Y\) comme dans (3). Pour tout ouvert affine \(W\) de \(V\), \(W \times_Y X\) est alors un ouvert quasi-affine de \(V \times_Y X\). Par Propriétés des espaces, lemme 03JH, on en déduit que \(V \times_Y X\) est un schéma. De plus, le morphisme \(V \times_Y X \to V\) est quasi-affine. Nous pouvons donc appliquer Espaces, lemme 03I2, car la classe des morphismes quasi-affines satisfait à toutes les propriétés requises (voir Morphismes, lemmes 01SO et Descente, lemmes 02L7 et 0247). Ce lemme donne que \(f\) est représentable et quasi-affine, c’est-à-dire que (1) est vérifiée.

L’équivalence de (1) et (4) résulte de ce que la propriété d’être quasi-affine est locale sur le but pour la topologie de Zariski (la référence précédente montre qu’elle est en fait locale sur le but pour la topologie fpqc).

Lemme

Tout composé de morphismes quasi-affines est quasi-affine.

Démonstration

Omis.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme quasi-affine est quasi-affine.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques \(f : Y \to X\) est quasi-affine si et seulement si la factorisation canonique \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) (remarque 081X) est une immersion ouverte.

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme surjectif, où \(U\) est un schéma. Comme on peut vérifier que \(f\) est quasi-affine après le changement de base à \(U\) (lemme 03WM), que \(f_*\mathcal{O}_Y|_V\) est égal à \((Y \times_X U \to U)_*\mathcal{O}_{Y \times_X U}\) (Propriétés des espaces, lemme 03LX), et que la formation du spectre relatif commute au changement de base (lemme 081V), on voit que l’assertion se ramène au cas où \(X\) est un schéma. Si \(X\) est un schéma et si \(f\) est quasi-affine ou si \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) est une immersion ouverte, alors \(Y\) est également un schéma. On se ramène donc à Morphismes, lemme 01SM.

Propriétés de morphismes locales sur la source et le but pour la topologie étale

Étant donnée une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale, voir Descente, définition 04QZ nous pouvons l’utiliser pour définir une propriété correspondante de morphismes d’espaces algébriques, en imposant l’une ou l’autre des conditions équivalentes du lemme ci-dessous.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Considérons des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout diagramme comme ci-dessus, le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ;

2. pour un certain diagramme comme ci-dessus dans lequel \(a : U \to X\) est surjectif, le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Si \(X\) et \(Y\) sont représentables, cela équivaut encore à ce que \(f\) (considéré comme morphisme de schémas) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Si, de plus, \(\mathcal{P}\) est préservée par tout changement de base et locale sur la base pour la topologie fppf, cela équivaut encore, pour les morphismes représentables \(f\), à ce que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) au sens de la section 03HA.

Démonstration

Montrons l’équivalence de (1) et (2). L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate (compte tenu de Espaces, lemme 02X1). Supposons que \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] soient deux diagrammes comme dans le lemme. Supposons que \(U \to X\) soit surjectif et que \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Pour montrer que (2) implique (1), il faut prouver que \(h'\) possède \(\mathcal{P}\). Considérons pour cela le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d]_h & U \times_X U' \ar[l] \ar[d]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[d]^{h'} \\ V & V \times_Y V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] D’après Descente, lemme 04R1 le fait que \(h\) possède \(\mathcal{P}\) entraîne que \((h, h')\) possède \(\mathcal{P}\) ; comme \(U \times_X U' \to U'\) est surjectif, cela entraîne (par le même lemme) que \(h'\) possède \(\mathcal{P}\).

Si \(X\) et \(Y\) sont représentables, alors Descente, lemme 04R1 s’applique et montre que (1) et (2) équivalent au fait que \(f\) possède \(\mathcal{P}\).

Enfin, supposons que \(f\) soit représentable, que \(U, V, a, b, h\) soient comme dans la partie (2) du lemme et que \(\mathcal{P}\) soit préservée par tout changement de base. Il faut montrer que, pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to X\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Z \times_Y U \ar[d] \ar[r] & Z \times_Y V \ar[d] \\ Z \times_Y X \ar[r] & Z }\] Notons que la flèche horizontale supérieure est un changement de base de \(h\) et possède donc la propriété \(\mathcal{P}\). La flèche verticale gauche est étale et surjective, tandis que la flèche verticale droite est étale. Ainsi, Descente, lemme 04R1 intervient une fois encore et montre que \(Z \times_Y X \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. On dit qu’un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites.

Voici deux remarques immédiates.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. Supposons de plus que \(\mathcal{P}\) soit stable par composition. Alors la classe des morphismes d’espaces algébriques possédant la propriété \(\mathcal{P}\) est stable par composition.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. Supposons de plus que \(\mathcal{P}\) soit stable par changement de base. Alors la classe des morphismes d’espaces algébriques possédant la propriété \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base.

Étant donnée une propriété de morphismes de germes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale, voir Descente, définition 04NB nous pouvons l’utiliser pour définir une propriété correspondante de morphismes d’espaces algébriques en un point, en imposant l’une ou l’autre des conditions équivalentes du lemme ci-dessous.

Lemme

Soit \(\mathcal{Q}\) une propriété de morphismes de germes qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point de \(X\). Considérons les diagrammes \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où \(a, b\) sont étales et où \(u, v, x, y\) sont des points des espaces correspondants. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout diagramme comme ci-dessus, on a \(\mathcal{Q}((U, u) \to (V, v))\) ;

2. pour un certain diagramme comme ci-dessus, on a \(\mathcal{Q}((U, u) \to (V, v))\).

Si \(X\) et \(Y\) sont représentables, cela équivaut encore à \(\mathcal{Q}((X, x) \to (Y, y))\).

Démonstration

Omis. Indication : la démonstration est très semblable à celle du lemme 03MJ.

Définition

Soit \(\mathcal{Q}\) une propriété de morphismes de germes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. Soit \(S\) un schéma. Étant donnés un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) et un point \(x \in |X|\), on dit que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{Q}\) en \(x\) si les conditions équivalentes du lemme 04NC sont satisfaites.

Il ne faut pas utiliser aveuglément le lemme suivant pour passer d’une propriété de morphismes à une propriété de morphismes en un point. Par exemple, si \(\mathcal{P}\) est la propriété d’être plat, alors la propriété \(Q\) du lemme suivant signifie « \(f\) est plat dans un voisinage ouvert de \(x\) », ce qui n’est pas équivalent à « \(f\) est plat en \(x\) ».

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source et le but pour la topologie étale. Considérons la propriété \(\mathcal{Q}\) de morphismes de germes associée à \(\mathcal{P}\) dans Descente, lemme 04R6. Alors :

1. \(\mathcal{Q}\) est locale sur la source et le but pour la topologie étale ;

2. étant donnés un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) et \(x \in |X|\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) possède \(\mathcal{Q}\) en \(x\) ;

   2. il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(X' \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) ;

3. étant donné un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) possède \(\mathcal{P}\) ;

   2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) possède \(\mathcal{Q}\) en \(x\).

Démonstration

Voir Descente, lemme 04R6 pour (1). L’implication (2)(a) \(\Rightarrow\) (2)(b) s’obtient en posant \(X' = a(U) \subset X\) dans un diagramme comme dans le lemme 04NC. L’implication (2)(b) \(\Rightarrow\) (2)(a) est claire. L’équivalence de (3)(a) et (3)(b) résulte de l’énoncé correspondant pour les morphismes de schémas ; voir Descente, lemme 04R7.

Remarque

Nous appliquerons le lemme 04RF ci-dessus à tous les cas énumérés dans Descente, remarque 04R3 sauf « plat ». Dans chaque cas, nous le ferons en disant que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(x\) si \(f\) possède \(\mathcal{P}\) dans un voisinage de \(x\).

Morphismes de type fini

La propriété « localement de type fini » des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 01T4, et Descente, lemmes 02KX. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, nous pouvons définir comme suit ce que signifie, pour un morphisme d’espaces algébriques, être localement de type fini ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie à la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est localement de type fini si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} = \text{localement de type fini}\).

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est de type fini en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit localement de type fini.

3. On dit que \(f\) est de type fini s’il est localement de type fini et quasi-compact.

Considérons l’espace algébrique \(\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\) de Espaces, exemple 02Z7. Le morphisme \(\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z} \to \Spec(k)\) est de type fini.

Lemme

Le composé de morphismes de type fini est de type fini. Il en est de même des morphismes localement de type fini.

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 01T3.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme de type fini est de type fini. Il en est de même des morphismes localement de type fini.

Démonstration

Voir la remarque 0AMM et Morphismes, lemme 01T4.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement de type fini ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est de type fini en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement de type fini ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement de type fini ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit localement de type fini ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit localement de type fini ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est localement de type fini ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales, où \(U \to X\) est surjectif et où la flèche horizontale supérieure est localement de type fini ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit localement de type fini.

Démonstration

Chacune des conditions (2), (3), (4), (5), (6), (7) et (9) implique directement la condition (8). Par exemple, si (5) est satisfaite, nous pouvons choisir un schéma \(V\) qui soit une somme disjointe de schémas affines et un morphisme surjectif \(V \to Y\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03FX). Alors \(V \times_Y X \to V\) est localement de type fini d’après (5). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Alors \(U \to V\) est localement de type fini d’après le lemme 03XG. La condition (8) est donc satisfaite.

Les conditions (1), (7) et (8) sont équivalentes par définition.

Pour terminer la démonstration, montrons que (1) implique toutes les conditions (2), (3), (4), (5), (6) et (9). Pour (2), c’est immédiat. Pour (3), (4), (5) et (9), cela résulte du fait que la propriété d’être localement de type fini est préservée par changement de base ; voir le lemme 03XH. Pour (6), on peut prendre \(U = X\), ce qui termine la preuve.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini et si \(Y\) est localement noethérien, alors \(X\) est localement noethérien.

Démonstration

Soit \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] un diagramme commutatif où \(U\), \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales surjectives. Si \(f\) est localement de type fini, alors \(U \to V\) est localement de type fini. Si \(Y\) est localement noethérien, alors \(V\) est localement noethérien. D’après Morphismes, lemme 01T6 on voit que \(U\) est localement noethérien, ce qui signifie que \(X\) est localement noethérien.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(g \circ f : X \to Z\) est localement de type fini, alors \(f : X \to Y\) est localement de type fini.

Démonstration

On peut trouver un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] où \(U\), \(V\), \(W\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales et surjectives ; voir Espaces, lemme 02X1. On peut alors utiliser le lemme 040Y et Morphismes, lemme 01T8 pour conclure.

Lemme

Une immersion est localement de type fini.

Démonstration

Cela résulte du principe général Espaces, lemme 02YO et Morphismes, lemme 01T5.

Points et points géométriques

Dans cette section, nous faisons quelques remarques sur les points et les points géométriques (voir Propriétés des espaces, définition 0486). Une manière de concevoir un point géométrique de \(X\) consiste à considérer un point géométrique \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) de \(S\) et un relèvement de \(\overline{s}\) en un morphisme \(\overline{x}\) vers \(X\). On a le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[r]_-{\overline{x}} \ar[rd]_{\overline{s}} & X \ar[d] \\ & S. }\] Nous disons souvent « soit \(k\) un corps algébriquement clos sur \(S\) » pour indiquer que \(\Spec(k)\) est muni d’un morphisme \(\Spec(k) \to S\). Dans cette situation, nous écrivons \[X(k) = \Mor_S(\Spec(k), X) = \{\overline{x} \in X\text{ situé au-dessus de }\overline{s}\}\] pour l’ensemble des points à valeurs dans \(k\) de \(X\). Dans ce cas, l’application \(X(k) \to |X|\) est à valeurs dans la partie \(|X_s| \subset |X|\). Ici, \(X_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S X\), où \(s \in S\) est le point correspondant à \(\overline{s}\). Comme \(\Spec(\kappa(s)) \to S\) est un monomorphisme, son changement de base \(X_s \to X\) est aussi un monomorphisme, et \(|X_s|\) est bien une partie de \(|X|\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est surjectif ;

2. pour tout corps algébriquement clos \(k\) sur \(S\), l’application induite \(X(k) \to Y(k)\) est surjective.

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas sur \(S\) et où les flèches verticales sont surjectives et étales ; voir Espaces, lemme 02X1. Comme \(f\) est localement de type fini, on voit que \(U \to V\) est localement de type fini.

Supposons (1) et soit \(\overline{y} \in Y(k)\). Alors \(U \to Y\) est surjectif et localement de type fini d’après les lemmes 03MG et 03XG. Posons \(Z = U \times_{Y, \overline{y}} \Spec(k)\). C’est un schéma. La projection \(Z \to \Spec(k)\) est surjective et localement de type fini d’après les lemmes 03MH et 03XH. Il résulte de Variétés, lemme 0478 que \(Z\) possède un point à valeurs dans \(k\), noté \(\overline{z}\). L’image \(\overline{x} \in X(k)\) de \(\overline{z}\) s’envoie sur \(\overline{y}\), comme voulu.

Supposons (2). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H5 il suffit de montrer que \(|X| \to |Y|\) est surjective. Soit \(y \in |Y|\). Choisissons \(u \in U\) s’envoyant sur \(y\). Soit \(k \supset \kappa(u)\) une clôture algébrique. Notons \(\overline{u} \in U(k)\) le point correspondant et \(\overline{y} \in Y(k)\) son image. Par hypothèse, il existe \(\overline{x} \in X(k)\) s’envoyant sur \(\overline{y}\). Il est alors clair que l’image \(x \in |X|\) de \(\overline{x}\) s’envoie sur \(y\).

Pour énoncer le lemme suivant, introduisons la notation suivante. Étant donné un schéma \(T\), posons \[\lambda(T) = \sup\{\aleph_0, |\kappa(t)| ; t \in T\}.\] Autrement dit, \(\lambda(T)\) est le plus petit cardinal infini qui majore toutes les cardinalités des corps résiduels de \(T\). Notons que, si \(R\) est un anneau, la cardinalité de tout corps résiduel \(\kappa(\mathfrak p)\) de \(R\) est majorée par celle de \(R\) (détails omis). Il s’ensuit que \(\lambda(T) \leq \text{size}(T)\), où \(\text{size}(T)\) est la taille du schéma \(T\) introduite dans Ensembles, section 000H. Si \(L/K\) est une extension de corps de type fini, alors \(|K| \leq |L| \leq \max\{\aleph_0, |K|\}\). Il s’ensuit que, si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas localement de type fini, alors \(\lambda(T') \leq \lambda(T)\) ; si \(T' \to T\) est en outre surjectif, il y a égalité. Supposons ensuite que \(S\) soit un schéma et que \(X\) soit un espace algébrique sur \(S\). Dans ce cas, posons \[\lambda(X) := \lambda(U)\] où \(U\) est un schéma quelconque sur \(S\) muni d’un morphisme étale surjectif vers \(X\). Cette définition est indépendante du choix de \(U\) : en effet, étant donnés deux tels schémas \(U\) et \(U'\), le produit fibré \(U \times_X U'\) est un schéma qui admet un morphisme étale surjectif vers \(U\) comme vers \(U'\), d’où \(\lambda(U) = \lambda(U \times_X U') = \lambda(U')\) d’après ce qui précède.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\).

1. Lorsque \(k\) parcourt les corps algébriquement clos sur \(S\), les points géométriques \(\overline{y} \in Y(k)\) recouvrent tout \(|Y|\).

2. Lorsque \(k\) parcourt les corps algébriquement clos sur \(S\) tels que \(|k| \geq \lambda(Y)\) et \(|k| > \lambda(X)\), les points géométriques \(\overline{y} \in Y(k)\) recouvrent tout \(|Y|\).

3. Pour tout point géométrique \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) tel que \(k\) soit de cardinalité \(> \lambda(X)\), l’application \[X(k) \longrightarrow |X_s|\] est surjective.

4. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout point géométrique \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) tel que \(k\) soit de cardinalité \(> \lambda(X)\), l’application \[X(k) \longrightarrow |X| \times_{|Y|} Y(k)\] est surjective.

5. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. l’application \(X \to Y\) est surjective ;

   2. pour tout corps algébriquement clos \(k\) sur \(S\) tel que \(|k| > \lambda(X)\) et \(|k| \geq \lambda(Y)\), l’application \(X(k) \to Y(k)\) est surjective.

Démonstration

Pour démontrer (1), choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\), où \(V\) est un schéma. Pour chaque \(v \in V\), choisissons une clôture algébrique \(\kappa(v) \subset k_v\). Considérons les morphismes \(\overline{x} : \Spec(k_v) \to V \to Y\). Par construction de \(|Y|\), ceux-ci recouvrent \(|Y|\).

Pour démontrer (2), nous utiliserons les deux faits suivants, dont nous omettons les démonstrations : (i) si \(K\) est un corps et \(\overline{K}\) une clôture algébrique, alors \(|\overline{K}| \leq \max\{\aleph_0, |K|\}\) ; (ii) pour tout corps algébriquement clos \(k\) et tout cardinal \(\aleph\) tel que \(\aleph \geq |k|\), il existe une extension de corps algébriquement clos \(k'/k\) telle que \(|k'| = \aleph\). Posons maintenant \(\aleph = \max\{\lambda(X), \lambda(Y)\}^+\). Ici, \(\lambda^+ > \lambda\) désigne le cardinal immédiatement supérieur ; voir Ensembles, section 000D. D’après (i), les corps \(k_u\) construits au premier paragraphe de la démonstration ont tous une cardinalité majorée par \(\lambda(X)\). Par suite, d’après (ii), il existe des extensions \(k_u \subset k'_u\) telles que \(|k'_u| = \aleph\). Les morphismes \(\overline{x}' : \Spec(k'_u) \to X\) recouvrent \(|X|\), comme voulu. Pour achever réellement la démonstration de (2), il faut vérifier que les schémas \(\Spec(k'_u)\) sont (isomorphes à) des objets de \(\Sch_{fppf}\), car nos conventions imposent que tous les schémas soient des objets de \(\Sch_{fppf}\) ; le reste de ce paragraphe peut être omis par qui ne s’intéresse pas aux considérations ensemblistes. Par construction, il existe un objet \(T\) de \(\Sch_{fppf}\) tel que \(\lambda(X)\) et \(\lambda(Y)\) soient majorés par \(\text{size}(T)\). D’après notre construction de la catégorie \(\Sch_{fppf}\) dans Topologies, définitions 021R comme la catégorie \(\Sch_\alpha\) construite dans Ensembles, lemme 000J on voit que tout schéma dont la taille est \(\leq \text{size}(T)^+\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{fppf}\). Voir l’expression de la fonction \(Bound\) dans Ensembles, équation (046U). Comme \(\aleph \leq \text{size}(T)^+\), on conclut.

Dans la partie (3), la notation \(X_s\) désigne le produit fibré \(\Spec(\kappa(s)) \times_S X\), où \(s \in S\) est le point correspondant à \(\overline{s}\). La partie (2) résulte donc de (4) en prenant \(Y = \Spec(\kappa(s))\).

Démontrons (4). Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(k\) un corps algébriquement clos sur \(S\), de cardinalité \(> \lambda(X)\). Soient \(\overline{y} \in Y(k)\) et \(x \in |X|\) ayant pour image le même élément \(y\) de \(|Y|\). Il faut trouver \(\overline{x} \in X(k)\) s’envoyant sur \(x\) et \(\overline{y}\). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas sur \(S\) et où les flèches verticales sont surjectives et étales ; voir Espaces, lemme 02X1. Choisissons \(u \in |U|\) s’envoyant sur \(x\), et notons \(v \in |V|\) son image. Nous considérerons \(u = \Spec(\kappa(u))\) et \(v = \Spec(\kappa(v))\) comme des schémas. Notons que \(V \times_Y \Spec(k)\) est un schéma étale sur \(k\). C’est donc une somme disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) ; voir Morphismes, lemme 02GL. Comme \(v\) s’envoie sur \(y\), on voit que \(v \times_Y \Spec(k)\) est un schéma non vide. Comme \(v \to V\) est un monomorphisme, on voit que \(v \times_Y \Spec(k) \to V \times_Y \Spec(k)\) est un monomorphisme. Ainsi, \(v \times_Y \Spec(k)\) est une somme disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\), d’après Schémas, lemme 03DP. On en déduit que le morphisme \(v \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\) possède une section, c’est-à-dire qu’il existe un morphisme \(\overline{v} : \Spec(k) \to V\) situé au-dessus de \(v\) et de \(\overline{y}\). Considérons enfin le schéma \[u \times_{V, \overline{v}} \Spec(k) = \Spec(\kappa(u) \otimes_{\kappa(v)} k)\] où \(\kappa(v) \to k\) est le morphisme de corps qui définit le morphisme \(\overline{v}\). Comme, par hypothèse, la cardinalité de \(k\) est strictement supérieure à celle de \(\kappa(u)\), on peut appliquer Algèbre, lemme 046V pour voir que tout idéal maximal \(\mathfrak m \subset \kappa(u) \otimes_{\kappa(v)} k\) a un corps résiduel algébrique sur \(k\), donc égal à \(k\). Un tel idéal maximal fournit donc un morphisme \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) situé au-dessus de \(u\) et s’envoyant sur \(\overline{v}\). Le composé \(\Spec(k) \to U \to X\) est le point géométrique recherché \(\overline{x} \in X(k)\). Ceci achève la démonstration de (4).

La partie (5) est une conséquence formelle des parties (2) et (4) et de Propriétés des espaces, lemme 03H5.

Points de type fini

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un point de type fini \(x \in |X|\) est un point qui peut être représenté par un morphisme \(\Spec(k) \to X\) localement de type fini. Les points de type fini remplacent avantageusement les points fermés pour les espaces algébriques et les champs algébriques. Par exemple, il y en a toujours « assez ».

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Il existe un morphisme \(\Spec(k) \to X\) qui est localement de type fini et représente \(x\).

2. Il existe un schéma \(U\), un point fermé \(u \in U\) et un morphisme étale \(\varphi : U \to X\) tels que \(\varphi(u) = x\).

Démonstration

Soient \(u \in U\) et \(U \to X\) comme en (2). Alors \(\Spec(\kappa(u)) \to U\) est de type fini, et \(U \to X\) est représentable et localement de type fini (d’après le principe général Espaces, lemme 02YO et Morphismes, lemmes 02GR et 01TW). On voit donc que (1) est satisfaite d’après le lemme 03XG.

Réciproquement, supposons que \(\Spec(k) \to X\) soit localement de type fini et représente \(x\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Par hypothèse, \(U \times_X \Spec(k) \to U\) est localement de type fini. Choisissons un point de type fini \(v\) de \(U \times_X \Spec(k)\) (il en existe au moins un ; voir Morphismes, lemme 02J2). D’après Morphismes, lemme 02J3 l’image \(u \in U\) de \(v\) est un point de type fini de \(U\). Par conséquent, d’après Morphismes, lemme 02J2 quitte à rétrécir \(U\), on peut supposer que \(u\) est un point fermé de \(U\), c’est-à-dire que (2) est satisfaite.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit qu’un point \(x \in |X|\) est un point de type fini⁵ si les conditions équivalentes du lemme 06EF sont satisfaites. On note \(X_{\text{ft-pts}}\) l’ensemble des points de type fini de \(X\).

On peut décrire comme suit l’ensemble des points de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On a \[X_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{\varphi : U \to X\text{ étale }} |\varphi|(U_0)\] où \(U_0\) est l’ensemble des points fermés de \(U\). Ici, on peut faire parcourir à \(U\) tous les schémas étales sur \(X\), ou tous les schémas affines étales sur \(X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 06EF.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini, alors \(f(X_{\text{ft-pts}}) \subset Y_{\text{ft-pts}}\).

Démonstration

Prenons \(x \in X_{\text{ft-pts}}\). Représentons \(x\) par un morphisme localement de type fini \(x : \Spec(k) \to X\). Alors \(f \circ x\) est localement de type fini d’après le lemme 03XG. Ainsi, \(f(x) \in Y_{\text{ft-pts}}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini et surjectif, alors \(f(X_{\text{ft-pts}}) = Y_{\text{ft-pts}}\).

Démonstration

On a \(f(X_{\text{ft-pts}}) \subset Y_{\text{ft-pts}}\) d’après le lemme 06EI. Soit \(y \in |Y|\) un point de type fini. Représentons \(y\) par un morphisme \(\Spec(k) \to Y\) localement de type fini. Comme \(f\) est surjectif, l’espace algébrique \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) est non vide et possède donc un point de type fini \(x \in |X_k|\) d’après le lemme 06EH. Or \(X_k \to X\) est un morphisme localement de type fini comme changement de base de \(\Spec(k) \to Y\) (lemme 03XH). Ainsi, l’image de \(x\) dans \(X\) est un point de type fini d’après le lemme 06EI et s’envoie sur \(y\) par construction.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour toute partie localement fermée \(T \subset |X|\), on a \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap X_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] En particulier, pour toute partie fermée \(T \subset |X|\), \(T \cap X_{\text{ft-pts}}\) est dense dans \(T\).

Démonstration

Soit \(i : Z \to X\) la structure réduite induite de sous-espace sur \(T\) ; voir la remarque 06EC. Toute immersion est localement de type fini ; voir le lemme 06ED. Ainsi, d’après le lemme 06EI, on a \(Z_{\text{ft-pts}} \subset X_{\text{ft-pts}} \cap T\). Enfin, tout schéma affine non vide \(U\) muni d’un morphisme étale vers \(Z\) possède au moins un point fermé. Ainsi, \(Z\) possède au moins un point de type fini d’après le lemme 06EH. Le lemme en résulte.

Voici une autre caractérisation, plus technique, d’un point de type fini d’un espace algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(x\) est un point de type fini ;

2. il existe un espace algébrique \(Z\) dont l’espace topologique sous-jacent \(|Z|\) est un singleton, et un morphisme \(f : Z \to X\) localement de type fini tel que \(\{x\} = |f|(|Z|)\) ;

3. il existe un espace algébrique \(Z\) et un morphisme \(f : Z \to X\) possédant les propriétés suivantes :

   1. il existe un morphisme étale surjectif \(z : \Spec(k) \to Z\), où \(k\) est un corps ;

   2. \(f\) est localement de type fini ;

   3. \(f\) est un monomorphisme ;

   4. \(x = f(z)\).

Démonstration

Supposons que \(x\) soit un point de type fini. Choisissons un schéma affine \(U\), un point fermé \(u \in U\) et un morphisme étale \(\varphi : U \to X\) avec \(\varphi(u) = x\) ; voir le lemme 06EH. Posons comme d’habitude \(u = \Spec(\kappa(u))\). Les morphismes de projection \(u \times_X u \to u\) sont les composés \[u \times_X u \to u \times_X U \to u \times_X X = u\] où la première flèche est une immersion fermée (un changement de base de \(u \to U\)) et la seconde est étale (un changement de base du morphisme étale \(U \to X\)). Ainsi, \(u \times_X U\) est une somme disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) (voir Morphismes, lemme 02GL) et, par conséquent, le sous-schéma fermé \(u \times_X u\) est une somme disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) ; ainsi, \(u \times_X u \to u\) est étale. D’après Espaces, théorème 02WW on voit que \(Z = u/u \times_X u\) est un espace algébrique. Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] est commutatif et ses flèches verticales sont étales. Ainsi, \(Z \to X\) est localement de type fini (voir le lemme 040Y). Par construction, le morphisme \(Z \to X\) est un monomorphisme et l’image de \(z\) est \(x\). La condition (3) est donc satisfaite.

Il est clair que (3) implique (2). Si (2) est satisfaite, alors \(x\) est un point de type fini de \(X\) d’après le lemme 06EI (et le lemme 06EK montre que \(Z_{\text{ft-pts}}\) est non vide, c’est-à-dire que l’unique point de \(Z\) est un point de type fini de \(Z\)).

Espaces de Nagata

Voir Propriétés des espaces, section 03E5 pour la définition d’un espace algébrique de Nagata.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(Y\) est de Nagata et si \(f\) est localement de type fini, alors \(X\) est de Nagata.

Démonstration

Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X \times_Y V\) un morphisme étale surjectif. Si \(Y\) est de Nagata, alors \(V\) est un schéma de Nagata. Si \(X \to Y\) est localement de type fini, alors \(U \to V\) est localement de type fini. Ainsi, \(V\) est un schéma de Nagata d’après Morphismes, lemme 035A. Alors \(X\) est de Nagata par définition.

Lemme

Les types suivants d’espaces algébriques sont de Nagata.

1. Tout espace algébrique localement de type fini sur un schéma de Nagata.

2. Tout espace algébrique localement de type fini sur un corps.

3. Tout espace algébrique localement de type fini sur un anneau local noethérien complet.

4. Tout espace algébrique localement de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

5. Tout espace algébrique localement de type fini sur un anneau de Dedekind de caractéristique nulle.

6. Et ainsi de suite.

Démonstration

La première assertion résulte du lemme 0BAU. Il en va donc de même des autres ; voir Morphismes, lemme 035B.

Morphismes quasi-finis

La propriété « localement quasi-fini » des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 01TM, et Descente, lemme 02VI. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, on peut définir comme suit ce que signifie, pour un morphisme d’espaces algébriques, d’être localement quasi-fini ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est localement quasi-fini si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} = \text{localement quasi-fini}\).

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est quasi-fini en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit localement quasi-fini.

3. Un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) est quasi-fini s’il est localement quasi-fini et quasi-compact.

La dernière partie est compatible avec la notion de morphisme quasi-fini pour les morphismes de schémas d’après Morphismes, lemme 01TJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y' \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Notons \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\) par \(g\). Notons \(g' : X' \to X\) la projection. Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Soient \(W \subset |X|\), resp. \(W' \subset |X'|\), l’ensemble des points où \(f\), resp. \(f'\), est quasi-fini.

1. \(W \subset |X|\) et \(W' \subset |X'|\) sont ouverts ;

2. \(W' = (g')^{-1}(W)\), c’est-à-dire que la formation du lieu où \(f\) est quasi-fini commute aux changements de base ;

3. le changement de base d’un morphisme localement quasi-fini est localement quasi-fini ;

4. le changement de base d’un morphisme quasi-fini est quasi-fini.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to Y' \times_Y V\). Posons \(U' = V' \times_V U\), de sorte que \(U' \to X'\) soit lui aussi un morphisme étale surjectif. On a le diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } }\] Choisissons \(u \in |U|\) d’image \(x \in |X|\). La propriété d’être « localement quasi-fini » est locale pour la topologie étale sur la source et le but ; voir Descente, remarque 04R3. Les lemmes 04NC et 04RF s’appliquent donc, et on voit que \(f : X \to Y\) est quasi-fini en \(x\) si et seulement si \(U \to V\) est quasi-fini en \(u\). Il en va de même de \(f' : X' \to Y'\) et du morphisme \(U' \to V'\). Ainsi, les assertions (1), (2) et (3) se ramènent à Morphismes, lemmes 01TM et 01TI. L’assertion (4) résulte de (3) et du lemme 03HF.

Lemme

Le composé de morphismes quasi-finis est quasi-fini. Il en va de même pour « localement quasi-fini ».

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 01TL.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme quasi-fini est quasi-fini. Il en va de même pour « localement quasi-fini ».

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0ABM.

Le lemme suivant caractérise les morphismes localement quasi-finis comme les morphismes localement de type fini à « fibres discrètes ». Cependant, cela ne revient pas à demander que \(|X| \to |Y|\) ait des fibres discrètes, comme le montre la discussion de Exemples, section 06UJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement quasi-fini ;

2. pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps, l’espace \(|X_k|\) est discret. Ici, \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\).

Démonstration

Supposons que \(f\) soit localement quasi-fini. Soit \(\Spec(k) \to Y\) comme en (2). Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma. Alors \(U_k = \Spec(k) \times_Y U \to X_k\) est un morphisme étale d’espaces algébriques d’après Propriétés des espaces, lemme 03FU. D’après le lemme 03XL, on voit que \(X_k \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini. Par définition, cela signifie que \(U_k \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini. Ainsi, \(|U_k|\) est discret d’après Morphismes, lemme 06RT. Comme \(|U_k| \to |X_k|\) est surjective et ouverte, on en conclut que \(|X_k|\) est discret.

Réciproquement, supposons (2). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\), où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\), où \(U\) est un schéma. Remarquons que \(U \to V\) est localement de type fini puisque \(f\) l’est. On a le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[rd] & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ & X \ar[r] & Y }\] Si \(f\) n’est pas localement quasi-fini, alors \(U \to V\) ne l’est pas. Il existe donc une spécialisation \(u \leadsto u'\) pour certains \(u, u' \in U\) au-dessus d’un même point \(v \in V\) ; voir Morphismes, lemme 01TH. Nous affirmons que \(u, u'\) n’ont pas la même image dans \(X_v = \Spec(\kappa(v)) \times_Y X\), ce qui contredira, comme voulu, l’hypothèse que \(|X_v|\) est discret. Posons \(d = \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u))\) et \(d' = \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u'))\). On voit alors que \(d > d'\) d’après Morphismes, lemme 06RU. Remarquons que \(U_v\) (la fibre de \(U \to V\) au-dessus de \(v\)) est le produit fibré de \(U\) et de \(X_v\) au-dessus de \(X \times_Y V\) ; ainsi, \(U_v \to X_v\) est étale (comme changement de base du morphisme étale \(U \to X \times_Y V\)). Si \(u, u' \in U_v\) s’envoient sur le même élément de \(|X_v|\), alors il existe un point \(r \in R_v = U_v \times_{X_v} U_v\) tel que \(t(r) = u\) et \(s(r) = u'\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03H4. Remarquons que \(s, t : R_v \to U_v\) sont des morphismes étales de schémas sur \(\kappa(v)\) ; ainsi, les extensions \(\kappa(u) \subset \kappa(r) \supset \kappa(u')\) sont finies séparables entre corps sur \(\kappa(v)\) (voir Morphismes, lemme 02GL). On en conclut que les degrés de transcendance sont égaux. Cette contradiction achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement quasi-fini ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est quasi-fini en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement quasi-fini ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement quasi-fini ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit localement quasi-fini ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit localement quasi-fini ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est localement quasi-finie ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit localement quasi-finie ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit localement quasi-fini.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Une immersion est localement quasi-finie.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X \to Z\) est localement quasi-fini, alors \(X \to Y\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] dont les flèches verticales sont étales et surjectives. (Voir Espaces, lemme 02X1.) Appliquons Morphismes, lemme 03WR à la ligne supérieure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Il n’y a qu’un nombre fini de points de \(|X|\) au-dessus de \(y\) où \(f\) est quasi-fini.

Démonstration

Choisissons un corps \(k\) et un morphisme \(\Spec(k) \to Y\) dans la classe d’équivalence déterminée par \(y\). La fibre \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) est un espace algébrique de type fini sur un corps, donc en particulier quasi-compact. L’application \(|X_k| \to |X|\) a pour image la fibre de \(|X| \to |Y|\) au-dessus de \(y\) (Propriétés des espaces, lemme 03H4). De plus, l’ensemble des points où \(X_k \to \Spec(k)\) est quasi-fini s’envoie sur l’ensemble des points au-dessus de \(y\) où \(f\) est quasi-fini d’après le lemme 0ABM. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X_k\) (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Alors \(U \to \Spec(k)\) est un morphisme de type fini et il n’y a qu’un nombre fini de points où ce morphisme est quasi-fini ; voir Morphismes, lemme 0AAY. Comme \(X_k \to \Spec(k)\) est quasi-fini en un point \(x'\) si et seulement si ce point est l’image d’un point de \(U\) où \(U \to \Spec(k)\) est quasi-fini, on conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini et est un monomorphisme, alors \(f\) est séparé et localement quasi-fini.

Démonstration

Un monomorphisme est séparé ; voir le lemme 042N. D’après le lemme 040Z, il suffit de démontrer le lemme après avoir effectué un changement de base par \(Z \to Y\), avec \(Z\) affine. On peut donc supposer que \(Y\) est un schéma affine. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\). Comme \(X \to Y\) est localement de type fini, le morphisme de schémas affines \(U \to Y\) est de type fini. Comme \(X \to Y\) est un monomorphisme, on a \(U \times_X U = U \times_Y U\). En particulier, les applications \(U \times_Y U \to U\) sont étales. Soit \(y \in Y\). Alors soit \(U_y\) est vide, soit \(\Spec(\kappa(u)) \times_{\Spec(\kappa(y))} U_y\) est isomorphe à la fibre de \(U \times_Y U \to U\) au-dessus de \(u\) pour un certain \(u \in U\) au-dessus de \(y\). Il s’ensuit que les fibres de \(U \to Y\) sont des ensembles discrets finis (car \(U \times_Y U \to U\) est un morphisme étale de schémas affines ; voir Morphismes, lemme 02GL). Ainsi, \(U \to Y\) est quasi-fini ; voir Morphismes, lemme 01TH. Comme \(U \to X\) était un morphisme étale quelconque, avec \(U\) affine, il en résulte que \(X \to Y\) est localement quasi-fini.

Morphismes de présentation finie

La propriété « localement de présentation finie » des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 01TS, et Descente, lemme 02KY. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, on peut définir comme suit ce que signifie, pour un morphisme d’espaces algébriques, d’être localement de présentation finie ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est localement de présentation finie si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} =\) « localement de présentation finie ».

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est de présentation finie en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit localement de présentation finie⁶.

3. Un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) est de présentation finie s’il est localement de présentation finie, quasi-compact et quasi-séparé.

Remarquons qu’un morphisme de présentation finie n’est pas simplement un morphisme quasi-compact et localement de présentation finie.

Lemme

Le composé de morphismes de présentation finie est de présentation finie. Il en va de même pour « localement de présentation finie ».

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 01TR. On utilise aussi le résultat pour les morphismes quasi-compacts et quasi-séparés (lemmes 03HG et 03KQ).

Lemme

Un changement de base d’un morphisme de présentation finie est de présentation finie. Il en va de même pour « localement de présentation finie ».

Démonstration

Voir la remarque 0AMM et Morphismes, lemme 01TS. On utilise aussi le résultat pour les morphismes quasi-compacts et quasi-séparés (lemmes 03HF et 03KL).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement de présentation finie ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est de présentation finie en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement de présentation finie ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement de présentation finie ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit localement de présentation finie ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit localement de présentation finie ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est localement de présentation finie ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit localement de présentation finie ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit localement de présentation finie.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Un morphisme localement de présentation finie est localement de type fini. Un morphisme de présentation finie est de type fini.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques localement de présentation finie. Cela signifie qu’il existe un diagramme comme dans le lemme 03MJ, où \(h\) est localement de présentation finie et où \(a\) est une flèche verticale surjective. D’après Morphismes, lemme 01TW \(h\) est localement de type fini. Ainsi, \(X \to Y\) est localement de type fini par définition. Si \(f\) est de présentation finie, il est quasi-compact et il en résulte que \(f\) est de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est de présentation finie et si \(Y\) est noethérien, alors \(X\) est noethérien.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit de présentation finie et que \(Y\) soit noethérien. D’après les lemmes 0464 et 04ZK on voit que \(X\) est localement noethérien. Comme \(f\) est quasi-compact et que \(Y\) est quasi-compact, on voit que \(X\) est quasi-compact. Comme \(f\) est de présentation finie, il est quasi-séparé (voir la définition 03XP), et comme \(Y\) est noethérien, il est quasi-séparé (voir Propriétés des espaces, définition 03EA). Ainsi, \(X\) est quasi-séparé d’après le lemme 04ZH. On a donc vérifié les trois conditions de Propriétés des espaces, définition 03EA et cela conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Si \(Y\) est localement noethérien et si \(f\) est localement de type fini, alors \(f\) est localement de présentation finie.

2. Si \(Y\) est localement noethérien et si \(f\) est de type fini et quasi-séparé, alors \(f\) est de présentation finie.

Démonstration

Supposons que \(f : X \to Y\) soit localement de type fini et que \(Y\) soit localement noethérien. Cela signifie qu’il existe un diagramme comme dans le lemme 03MJ, où \(h\) est localement de type fini et où \(a\) est une flèche verticale surjective. D’après Morphismes, lemme 01TX \(h\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(X \to Y\) est localement de présentation finie par définition. Ceci démontre (1). Si \(f\) est de type fini et quasi-séparé, alors il est aussi quasi-compact et quasi-séparé, et (2) en résulte immédiatement.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\) qui est quasi-compact et quasi-séparé. Si \(X\) est de présentation finie sur \(Y\), alors \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X\) est localement de présentation finie sur \(Z\) et si \(Y\) est localement de type fini sur \(Z\), alors \(f\) est localement de présentation finie.

Démonstration

Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Z\). Choisissons ensuite un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to W \times_Z Y\). Choisissons enfin un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Par définition, \(U\) est localement de présentation finie sur \(W\) et \(V\) est localement de type fini sur \(W\). D’après Morphismes, lemme 02FV le morphisme \(U \to V\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(f\) est localement de présentation finie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), de diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Si \(f\) est localement de type fini, alors \(\Delta\) est localement de présentation finie. Si \(f\) est quasi-séparé et localement de type fini, alors \(\Delta\) est de présentation finie.

Démonstration

Remarquons que \(\Delta\) est un morphisme sur \(X\) (par la seconde projection \(X \times_Y X \to X\)). Supposons \(f\) localement de type fini. Remarquons que \(X\) est de présentation finie sur \(X\) et que \(X \times_Y X\) est de type fini sur \(X\) (d’après le lemme 03XH). La première assertion résulte donc du lemme 05WT. La seconde assertion résulte de la première, des définitions et du fait qu’un morphisme diagonal est séparé (lemme 03HK).

Lemme

Une immersion ouverte d’espaces algébriques est localement de présentation finie.

Démonstration

Une immersion ouverte est représentable par définition ; on peut donc utiliser le principe général Espaces, lemme 02YO et Morphismes, lemme 01TT.

Lemme

Une immersion fermée \(i : Z \to X\) est de présentation finie si et seulement si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux associé \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) est de type fini (comme \(\mathcal{O}_X\)-module).

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après le lemme 0410, on voit que \(i' : Z \times_X U \to U\) est de présentation finie si et seulement si \(i\) l’est. D’après Propriétés des espaces, section 05VR on voit que \(\mathcal{I}\) est de type fini si et seulement si \(\mathcal{I}|_U = \Ker(\mathcal{O}_U \to i'_*\mathcal{O}_{Z \times_X U})\) l’est. Le résultat découle donc du cas des schémas ; voir Morphismes, lemme 01TV.

Parties constructibles

Cette section fait suite à Propriétés des espaces, section 0ECS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(E \subset |Y|\) une partie. Si \(E\) est localement constructible pour la topologie étale dans \(Y\), alors \(f^{-1}(E)\) est localement constructible pour la topologie étale dans \(X\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Alors \(U \to X\) est étale surjectif, et l’image inverse de \(f^{-1}(E)\) dans \(U\) est l’image inverse de \(\varphi^{-1}(E)\) par \(U \to V\). Le lemme découle donc du cas des schémas pour \(U \to V\) (Morphismes, lemme 054I) et de la définition (Propriétés des espaces, définition 0ECU).

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et localement de présentation finie. Alors l’image de toute partie de \(|X|\) localement constructible pour la topologie étale est une partie de \(|Y|\) localement constructible pour la topologie étale.

Démonstration

Soit \(E \subset |X|\) localement constructible pour la topologie étale. Soit \(V \to Y\) un morphisme étale, avec \(V\) affine. Il suffit de montrer que l’image inverse de \(f(E)\) dans \(V\) est constructible ; voir Propriétés des espaces, définition 0ECU. Comme \(f\) est quasi-compact, \(V \times_Y X\) est un espace algébrique quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\) (Propriétés des espaces, lemme 03H6). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, l’image inverse de \(f(E)\) dans \(V\) est l’image par \(U \to V\) de l’image inverse de \(E\) dans \(U\). Le résultat découle donc du cas des schémas ; voir Morphismes, lemme 054J.

Morphismes plats

La propriété « plat » des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 01U9 et Descente, lemme 02L2. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, on peut définir comme suit la notion de morphisme plat d’espaces algébriques ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est plat si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} =\) « plat ».

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est plat en \(x\) si les conditions équivalentes du lemme 04NC sont satisfaites pour \(\mathcal{Q} =\) « l’application induite sur les anneaux locaux est plate ».

Remarquons que la seconde partie a un sens d’après Descente, lemme 04ND.

Vérifions rapidement la cohérence de cette définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est plat si et seulement si \(f\) est plat en tout point de \(|X|\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(a\) est surjectif. Par définition, \(f\) est plat si et seulement si \(h\) est plat (définition 04RD). Par définition, \(f\) est plat en \(x \in |X|\) si et seulement si \(h\) est plat en un certain (ce qui équivaut à tout) \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\) (définition 04RE). Le lemme résulte donc du fait qu’un morphisme de schémas est plat si et seulement s’il est plat en tout point de la source (Morphismes, définition 01U3).

Lemme

Le composé de morphismes plats est plat.

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 01U7.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme plat est plat.

Démonstration

Voir la remarque 0AMM et Morphismes, lemme 01U9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est plat ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est plat en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est plat ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est plat ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit plat ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit plat ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est plate ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit plate ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit plat.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Un morphisme plat localement de présentation finie est universellement ouvert.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat et localement de présentation finie d’espaces algébriques sur \(S\). Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r]_\alpha \ar[d] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont surjectives et étales ; voir Espaces, lemme 02X1. D’après les lemmes 03MM et 0410, le morphisme \(\alpha\) est plat et localement de présentation finie. Ainsi, d’après Morphismes, lemme 01UA on voit que \(\alpha\) est universellement ouvert. Ainsi, \(X \to Y\) est universellement ouvert d’après le lemme 03Z5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat, quasi-compact et surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Une partie \(T \subset |Y|\) est ouverte (resp. fermée) si et seulement si \(f^{-1}(|T|)\) est ouverte (resp. fermée) dans \(|X|\). Autrement dit, \(f\) est submersif, et même universellement submersif.

Démonstration

Choisissons des schémas affines \(V_i\) et des morphismes étales \(V_i \to Y\) tels que \(V = \coprod V_i \to Y\) soit surjectif ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FX. Pour tout \(i\), l’espace algébrique \(V_i \times_Y X\) est quasi-compact. On peut donc trouver un schéma affine \(U_i\) et un morphisme étale surjectif \(U_i \to V_i \times_Y X\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. Alors le composé \(U_i \to V_i \times_Y X \to V_i\) est un morphisme surjectif et plat entre schémas affines. Bien sûr, \(U = \coprod U_i \to X\) est alors étale surjectif, et \(U \to V \times_Y X\) est surjectif. De plus, le morphisme \(U \to V\) est la somme disjointe des morphismes \(U_i \to V_i\). Ainsi, \(U \to V\) est surjectif, quasi-compact et plat. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] Par définition de la topologie sur \(|Y|\), la partie \(T\) est fermée (resp. ouverte) si et seulement si \(g^{-1}(T) \subset |V|\) est fermée (resp. ouverte). Il en va de même de \(f^{-1}(T)\) et de son image inverse dans \(|U|\). Comme \(U \to V\) est quasi-compact, surjectif et plat, on conclut par Morphismes, lemme 02JY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) au-dessus du point \(x \in |X|\). Posons \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est plat en \(x\) ;

2. l’application entre les anneaux locaux étales \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est plate.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où \(a, b\) sont étales, et où \(u \in U\) s’envoie sur \(x\). On peut trouver un point géométrique \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) au-dessus de \(u\) tel que \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 05VN. Posons \(\overline{v} = h \circ \overline{u}\), d’image \(v \in V\). On sait que \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} \quad\text{et}\quad \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\] voir Propriétés des espaces, lemme 04KF. On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, u} \ar[r] & \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ \mathcal{O}_{V, v} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \ar[u] }\] formé d’anneaux locaux et dont les flèches horizontales sont plates. Il faut montrer que la flèche verticale gauche est plate si et seulement si la flèche verticale droite l’est. Algèbre, lemme 0584 nous dit que \(\mathcal{O}_{U, u}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{V, v}\) si et seulement si \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{V, v}\). Le résultat découle donc de Compléments sur la platitude, lemme 05VL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est plat si et seulement si le morphisme de sites \((f_{small}, f^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \to (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\) associé à \(f\) est plat.

Démonstration

La platitude de \((f_{small}, f^\sharp)\) est définie au moyen de la platitude de \(\mathcal{O}_X\) comme \(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module. Elle se vérifie sur les fibres ; voir Modules sur les sites, lemme 05VC et Propriétés des espaces, théorème 04K5. Or on a déjà vu que la platitude de \(f\) se vérifie sur les fibres ; voir le lemme 04NG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini de support schématique \(Z \subset X\). Si \(f\) est plat, alors \(f^{-1}(Z)\) est le support schématique de \(f^*\mathcal{F}\).

Démonstration

En utilisant la caractérisation du support schématique donnée dans le lemme 07U0 et la caractérisation des morphismes plats au moyen de recouvrements étales donnée dans le lemme 03MM, on se ramène au cas des schémas, qui est Morphismes, lemme 07T9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(V \to Y\) une immersion ouverte quasi-compacte. Si \(V\) est schématiquement dense dans \(Y\), alors \(f^{-1}V\) est schématiquement dense dans \(X\).

Démonstration

En utilisant la caractérisation des ouverts schématiquement denses du lemme 0833 et la caractérisation des morphismes plats au moyen de recouvrements étales donnée dans le lemme 03MM, on se ramène au cas des schémas, qui est Morphismes, lemme 081H.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(g : V \to Y\) un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques. Soit \(Z \subset Y\) l’image schématique de \(g\), et soit \(Z' \subset X\) l’image schématique du changement de base \(V \times_Y X \to X\). Alors \(Z' = f^{-1}Z\).

Démonstration

Soit \(Y' \to Y\) un morphisme étale surjectif tel que \(Y'\) soit une somme disjointe de schémas affines (Propriétés des espaces, lemme 03FX). Soit \(X' \to X \times_Y Y'\) un morphisme étale surjectif tel que \(X'\) soit une somme disjointe de schémas affines. D’après le lemme 03MM, le morphisme \(X' \to Y'\) est plat. Posons \(V' = V \times_Y Y'\). D’après le lemme 082Z, l’image inverse de \(Z\) dans \(Y'\) est l’image schématique de \(V' \to Y'\), et l’image inverse de \(Z'\) dans \(X'\) est l’image schématique de \(V' \times_{Y'} X' \to X'\). Comme \(X' \to X\) est étale surjectif, il suffit de démontrer le résultat pour les morphismes \(X' \to Y'\) et \(V' \to Y'\). On peut donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont des schémas affines. Dans ce cas, \(V\) est un espace algébrique quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to V\) (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Il est clair que l’image schématique de \(V \to Y\) coïncide avec l’image schématique de \(W \to Y\), et de même pour \(V \times_Y X \to Y\) et \(W \times_Y X \to X\). On se ramène ainsi au cas des schémas, qui est Morphismes, lemme 081I.

Modules plats

Dans cette section, nous définissons ce que signifie, pour un module, être plat en un point. Nous utiliserons pour cela la notion de fibre d’un faisceau sur le petit site étale \(X_\etale\) d’un espace algébrique ; voir Propriétés des espaces, définition 04JY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où \(a, b\) sont étales et où \(u \in U\) s’envoie sur \(x\), tel que le module \(a^*\mathcal{F}\) soit plat en \(u\) sur \(V\) ;

2. la fibre \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est plate sur l’anneau local étale \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\), où \(\overline{x}\) est un point géométrique quelconque au-dessus de \(x\) et \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\).

Démonstration

Au cours de cette démonstration, fixons un point géométrique \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) au-dessus de \(x\) et notons \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) son image dans \(Y\). Étant donné un diagramme comme en (1), on peut trouver un point géométrique \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) au-dessus de \(u\) tel que \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 05VN. Posons \(\overline{v} = h \circ \overline{u}\), d’image \(v \in V\). On sait que \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh} \quad\text{et}\quad \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\] voir Propriétés des espaces, lemme 04KF. On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, u} \ar[r] & \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ \mathcal{O}_{V, v} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \ar[u] }\] d’anneaux locaux. Enfin, on a \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] d’après Propriétés des espaces, lemme 05VP. Ainsi, Algèbre, lemme 0584 nous dit que \((a^*\mathcal{F})_u\) est plat sur \(\mathcal{O}_{V, v}\) si et seulement si \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est plate sur \(\mathcal{O}_{V, v}\). Le résultat découle donc de Compléments sur la platitude, lemme 05VL.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\).

1. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Y\) si les conditions équivalentes du lemme 05VU sont satisfaites.

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est plate sur \(Y\) si \(\mathcal{F}\) est plate sur \(Y\) en tout \(x \in |X|\).

Cette définition posée, on dispose de l’inévitable lemme de changement de base. Ce lemme entraîne que la formation du lieu de platitude d’un faisceau quasi-cohérent commute au changement de base plat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x' \in |X'|\) d’image \(x \in |X|\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\), et posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\).

1. Si \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Y\), alors \(\mathcal{F}'\) est plate en \(x'\) sur \(Y'\).

2. Si \(g\) est plat en \(f'(x')\) et si \(\mathcal{F}'\) est plate en \(x'\) sur \(Y'\), alors \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Y\).

En particulier, si \(\mathcal{F}\) est plate sur \(Y\), alors \(\mathcal{F}'\) est plate sur \(Y'\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to V \times_Y Y'\). Alors \(U' = V' \times_V U\) est un schéma muni d’un morphisme étale surjectif \(U' = V' \times_V U \to Y' \times_Y X = X'\). Choisissons \(u' \in U'\) s’envoyant sur \(x' \in |X'|\). On peut alors vérifier la platitude de \(\mathcal{F}'\) en \(x'\) sur \(Y'\) au moyen de la platitude de \(\mathcal{F}'|_{U'}\) en \(u'\) sur \(V'\). Le lemme découle donc de Compléments sur les morphismes, lemme 047C.

Le lemme suivant traite de la « composition » des morphismes plats en termes de modules. Il montre aussi que la platitude satisfait une sorte de descente du haut vers le bas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\).

1. Si \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Y\) et si \(Y\) est plat en \(y\) sur \(Z\), alors \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Z\).

2. Soit \(x : \Spec(K) \to X\) un représentant de \(x\). Si

   1. \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Y\) ;

   2. \(x^*\mathcal{F} \not = 0\) ;

   3. \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Z\),

   alors \(Y\) est plat en \(y\) sur \(Z\).

3. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) au-dessus de \(x\), d’image \(\overline{y}\) dans \(Y\). Si \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est un \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-module fidèlement plat et si \(\mathcal{F}\) est plate en \(x\) sur \(Z\), alors \(Y\) est plat en \(y\) sur \(Z\).

Démonstration

Choisissons \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\) comme dans (3), et notons \(\overline{z}\) le point géométrique de \(Z\) ainsi induit. Au moyen de la caractérisation de la platitude donnée dans les lemmes 05VU et 04NG le lemme se ramène à une question purement algébrique sur l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) et sur le module \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\). La partie (1) découle de Algèbre, lemme 00HC. Remarquons que la condition (2)(b) garantit que \(\mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est non nul. Ainsi, (2)(a) \(+\) (2)(b) entraînent que \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est un \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-module fidèlement plat ; voir Algèbre, lemme 00HP. Ainsi, (2) est un cas particulier de (3). Enfin, (3) découle de Algèbre, lemme 039V.

Il arrive que le changement de base se fasse « en haut ». Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Si \(f\) est plat en \(x\), alors \[\mathcal{G}\text{ est plate sur }Z\text{ en }y \Leftrightarrow f^*\mathcal{G}\text{ est plate sur }Z\text{ en }x.\] En particulier, si \(f\) est surjectif et plat, alors \(\mathcal{G}\) est plate sur \(Z\) si et seulement si \(f^*\mathcal{G}\) est plate sur \(Z\).

Démonstration

Choisissons un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\), et notons \(\overline{y}\) son image dans \(Y\) et \(\overline{z}\) son image dans \(Z\). Au moyen de la caractérisation de la platitude donnée dans les lemmes 05VU et 04NG et de la description de la fibre de \(f^*\mathcal{G}\) en \(\overline{x}\) dans Propriétés des espaces, lemme 05VQ le lemme se ramène à une question purement algébrique sur les homomorphismes d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) et sur le module \(\mathcal{G}_{\overline{y}}\). Cet énoncé algébrique est Algèbre, lemme 0584.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie, que \(\mathcal{F}\) soit de type fini, que \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\) et que \(\mathcal{F}\) soit plate sur \(Y\). Alors \(f\) est universellement ouvert.

Démonstration

Choisissons un morphisme étale surjectif \(\varphi : V \to Y\), où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\), où \(U\) est un schéma. Il suffit alors de démontrer le lemme pour \(U \to V\) et le \(\mathcal{O}_V\)-module quasi-cohérent \(\varphi^*\mathcal{F}\). Le lemme découle donc du cas des schémas ; voir Morphismes, lemme 0CVT.

Platitude générique

Cette section est l’analogue de Morphismes, section 0529.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que

1. \(Y\) soit réduit ;

2. \(f\) soit de type fini ;

3. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Alors il existe un sous-espace ouvert dense \(W \subset Y\) tel que le changement de base \(X_W \to W\) de \(f\) soit plat, localement de présentation finie et quasi-compact, et tel que \(\mathcal{F}|_{X_W}\) soit plate sur \(W\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X_W}\).

Démonstration

Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Posons \(X_V = V \times_Y X\) et notons \(\mathcal{F}_V\) la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(X_V\). Supposons le résultat vrai pour le morphisme \(X_V \to V\) et le faisceau \(\mathcal{F}_V\). Il existe alors un sous-schéma ouvert \(V' \subset V\) tel que \(X_{V'} \to V'\) soit plat et de présentation finie, et que \(\mathcal{F}_{V'}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_{V'}}\)-module de présentation finie plat sur \(V'\). Soit \(W \subset Y\) l’image du morphisme étale \(V' \to Y\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 06NF. Alors \(V' \to W\) est un morphisme étale surjectif ; on voit donc que \(X_W \to W\) est plat, localement de présentation finie et quasi-compact d’après les lemmes 0410, 03MM et 03KG. D’après la discussion de Propriétés des espaces, section 05VR on voit que \(\mathcal{F}_W\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_W}\)-module et, d’après le lemme 05VW, que \(\mathcal{F}_W\) est plate sur \(W\). Cet argument ramène la proposition au cas où \(Y\) est un schéma.

Supposons que l’on sache démontrer la proposition lorsque \(Y\) est un schéma affine. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini d’espaces algébriques sur \(S\), où \(Y\) est un schéma, et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(Y = \bigcup V_j\). Par hypothèse, on peut trouver des ouverts denses \(W_j \subset V_j\) tels que \(X_{W_j} \to W_j\) soit plat, localement de présentation finie et quasi-compact, et tels que \(\mathcal{F}|_{X_{W_j}}\) soit plate sur \(W_j\) et de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_{W_j}}\)-module. Dans cette situation, il suffit de prendre \(W = \bigcup W_j\). On ramène ainsi la proposition au cas où \(Y\) est un schéma affine.

Soit \(Y\) un schéma affine sur \(S\), soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini d’espaces algébriques sur \(S\), et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Comme \(f\) est de type fini, il est quasi-compact ; par suite, \(X\) est quasi-compact. On peut donc trouver un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. Notons que \(U \to Y\) est de type fini (c’est précisément ce que signifie ici que \(f\) est de type fini). On peut donc appliquer Morphismes, Proposition 052B pour voir qu’il existe un ouvert dense \(W \subset Y\) tel que \(U_W \to W\) soit plat et de présentation finie, et tel que \(\mathcal{F}|_{U_W}\) soit plate sur \(W\) et de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{U_W}\)-module. D’après nos définitions, cela signifie que le changement de base \(X_W \to W\) de \(f\) est plat, localement de présentation finie et quasi-compact, et que \(\mathcal{F}|_{X_W}\) est plate sur \(W\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X_W}\).

On ne peut renforcer le résultat de la proposition précédente en exigeant que \(X_W \to W\) soit de présentation finie, car \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}/\mathbf{Z} \to \Spec(\mathbf{Q})\) fournit un contre-exemple. Le problème est que le morphisme diagonal \(\Delta_{X/Y}\) peut ne pas être quasi-compact, autrement dit que \(f\) peut ne pas être quasi-séparé. C’est manifestement le seul problème.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que

1. \(Y\) soit réduit ;

2. \(f\) soit quasi-séparé ;

3. \(f\) soit de type fini ;

4. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Alors il existe un sous-espace ouvert dense \(W \subset Y\) tel que le changement de base \(X_W \to W\) de \(f\) soit plat et de présentation finie, et tel que \(\mathcal{F}|_{X_W}\) soit plate sur \(W\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X_W}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la Proposition 06QS et du fait que « de présentation finie » \(=\) « localement de présentation finie » \(+\) « quasi-compact » \(+\) « quasi-séparé ».

Dimension relative

Dans cette section, nous définissons la dimension relative d’un morphisme d’espaces algébriques en un point, ainsi que quelques propriétés étroitement liées.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Soient \(d, r \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\).

1. On dit que la dimension de l’anneau local de la fibre de \(f\) en \(x\) vaut \(d\) si les conditions équivalentes du lemme 04NC sont satisfaites pour la propriété \(\mathcal{P}_d\) décrite dans Descente, lemme 04NJ.

2. On dit que le degré de transcendance de \(x/f(x)\) vaut \(r\) si les conditions équivalentes du lemme 04NC sont satisfaites pour la propriété \(\mathcal{P}_r\) décrite dans Descente, lemme 04NK.

3. On dit que \(f\) est de dimension relative \(d\) en \(x\) si les conditions équivalentes du lemme 04NC sont satisfaites pour la propriété \(\mathcal{P}_d\) décrite dans Descente, lemme 04NL.

Précisons ce que cela signifie. Choisissons des diagrammes \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] comme dans le lemme 04NC. Alors \[\begin{matrix} \text{dimension relative de }f\text{ en }x & = & \dim_u (U_v) \\ \text{dimension de l'anneau local de la fibre de }f\text{ en }x & = & \dim(\mathcal{O}_{U_v, u})\\ \text{degré de transcendance de }x/f(x) & = & \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u)) \end{matrix}\] Notons que si \(Y = \Spec(k)\) est le spectre d’un corps, alors la dimension relative de \(X/Y\) en \(x\) est égale à \(\dim_x(X)\), le degré de transcendance de \(x/f(x)\) est le degré de transcendance sur \(k\), et la dimension de l’anneau local de la fibre de \(f\) en \(x\) est simplement la dimension de l’anneau local en \(x\) ; autrement dit, les notions relatives deviennent alors des notions absolues.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots\}\).

1. On dit que \(f\) est de dimension relative \(\leq d\) si \(f\) est de dimension relative \(\leq d\) en tout \(x \in |X|\).

2. On dit que \(f\) est de dimension relative \(d\) si \(f\) est de dimension relative \(d\) en tout \(x \in |X|\).

Être de dimension relative égale à \(d\) signifie, en gros, que toutes les fibres non vides sont équidimensionnelles de dimension \(d\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\), et soient \(y \in |Y|\), \(z \in |Z|\) ses images. Supposons que \(X \to Y\) soit localement quasi-fini et que \(Y \to Z\) soit localement de type fini. Alors le degré de transcendance de \(x/z\) est égal au degré de transcendance de \(y/z\).

Démonstration

On peut choisir des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z } \quad\quad \xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & v \ar[d] \ar[r] & w \ar[d] \\ x \ar[r] & y \ar[r] & z }\] où \(U, V, W\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales. Par définition, le morphisme \(U \to V\) est localement quasi-fini, ce qui entraîne que \(\kappa(v) \subset \kappa(u)\) est finie ; voir Morphismes, lemme 01TG. Le résultat est donc clair.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini, si \(Y\) est de Jacobson (Propriétés des espaces, remarque 03E7), et si \(x \in |X|\) est un point de type fini de \(X\), alors le degré de transcendance de \(x/f(x)\) vaut \(0\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). D’après le lemme 06EJ, on peut trouver un point de type fini \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). Après avoir rétréci \(U\), on peut supposer que \(u \in U\) est fermé (Morphismes, lemme 02J2). Soit \(v \in V\) l’image de \(u\). D’après Morphismes, lemme 01TB l’extension \(\kappa(u)/\kappa(v)\) est finie. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques localement noethériens sur \(S\), plat, localement de type fini et de dimension relative \(d\). Pour tout point \(x\) de \(|X|\), d’image \(y\) dans \(|Y|\), on a \(\dim_x(X) = \dim_y(Y) + d\).

Démonstration

Par définition de la dimension d’un espace algébrique en un point (Propriétés des espaces, définition 04N5) et par définition de la dimension relative \(d\), on se ramène à l’énoncé correspondant pour les schémas (Morphismes, lemme 0AFE).

Morphismes et dimensions des fibres

Cette section est l’analogue de Morphismes, section 02FW. Les formulations de cette section sont un peu malcommodes, puisque nous ne disposons pas d’anneaux locaux des espaces algébriques en leurs points.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Alors \[\begin{matrix} \text{dimension relative de }f\text{ en }x \\ = \\ \text{dimension de l'anneau local de la fibre de }f\text{ en }x \\ + \\ \text{degré de transcendance de }x/f(x) \end{matrix}\] où les notations sont celles de la définition 04NM.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Morphismes, lemme 02FX appliqué à \(h : U \to V\) et \(u \in U\) comme dans le lemme 04NC.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) et posons \(y = f(x)\). Supposons que \(f\) et \(g\) soient localement de type fini. Alors :

1. \[\begin{matrix} \text{dimension relative de }g \circ f\text{ en }x \\ \leq \\ \text{dimension relative de }f\text{ en }x \\ + \\ \text{dimension relative de }g\text{ en }y \end{matrix}\]

2. il y a égalité dans (1) si, pour un certain morphisme \(\Spec(k) \to Z\) depuis le spectre d’un corps représentant la classe de \(g(f(x)) = g(y)\), le morphisme \(X_k \to Y_k\) est plat en \(x\), par exemple si \(f\) est plat en \(x\) ;

3. \[\begin{matrix} \text{degré de transcendance de }x/g(f(x)) \\ = \\ \text{degré de transcendance de }x/f(x) \\ + \\ \text{degré de transcendance de }f(x)/g(f(x)) \end{matrix}\]

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] où \(U, V, W\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales et surjectives. (Voir Espaces, lemme 02X1.) Choisissons \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). Notons \(v, w\) les images de \(u\) dans \(V, W\). Appliquons Morphismes, lemme 02JS à la ligne supérieure et aux points \(u, v, w\). Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme de produit fibré d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x' \in |X'|\). Posons \(x = g'(x')\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Alors :

1. \[\begin{matrix} \text{dimension relative de }f\text{ en }x \\ = \\ \text{dimension relative de }f'\text{ en }x' \end{matrix}\]

2. on a \[\begin{matrix} \text{dimension de l'anneau local de la fibre de }f'\text{ en }x' \\ - \\ \text{dimension de l'anneau local de la fibre de }f\text{ en }x \\ = \\ \text{degré de transcendance de }x/f(x) \\ - \\ \text{degré de transcendance de }x'/f'(x') \end{matrix}\] et cette valeur commune est \(\geq 0\) ;

3. étant donnés \(x\) et \(y' \in |Y'|\) s’envoyant sur un même \(y \in |Y|\), on peut choisir \(x'\) de sorte que l’entier de (2) soit \(0\).

Démonstration

Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\), où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\), où \(U\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(V' \to V \times_Y Y'\), où \(V'\) est un schéma. Posons \(U' = V' \times_V U\). Alors le morphisme induit \(U' \to X'\) est lui aussi étale et surjectif (nous omettons l’argument). Choisissons \(u' \in U'\) s’envoyant sur \(x'\). Les parties (1) et (2) résultent alors de l’application de Morphismes, lemme 02FY au diagramme de schémas faisant intervenir \(U', U, V', V\) et le point \(u'\). Pour démontrer (3), choisissons d’abord \(v \in V\) s’envoyant sur \(y\). Puis, à l’aide de Propriétés des espaces, lemme 03H4 nous pouvons choisir \(v' \in V'\) s’envoyant sur \(y'\) et \(v\), ainsi que \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\) et \(v\). Enfin, d’après Morphismes, lemme 02FY nous pouvons choisir \(u' \in U'\) s’envoyant sur \(v'\) et \(u\) de sorte que l’entier soit nul. Il suffit alors de prendre pour \(x' \in |X'|\) l’image de \(u'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(n \geq 0\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. La partie \[W_n = \{x \in |X| \text{ tels que la dimension relative de }f\text{ en } x \leq n\}\] est ouverte dans \(|X|\).

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont surjectives et étales ; voir Espaces, lemme 02X1. D’après Morphismes, lemme 02FZ la partie \(U_n\) des points où \(h\) est de dimension relative \(\leq n\) est ouverte dans \(U\). D’après notre définition de la dimension relative des morphismes d’espaces algébriques en leurs points, on voit que \(U_n = a^{-1}(W_n)\). Le lemme résulte de la définition de la topologie sur \(|X|\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(n \geq 0\). Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie. L’ouvert \[W_n = \{x \in |X| \text{ tels que la dimension relative de }f\text{ en } x \leq n\}\] du lemme 04NT est rétrocompact dans \(|X|\). (Voir Topologie, définition 005A.)

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont surjectives et étales ; voir Espaces, lemme 02X1. Dans la démonstration du lemme 04NT, nous avons vu que \(a^{-1}(W_n) = U_n\) est la partie correspondante pour le morphisme \(h\). D’après Morphismes, lemme 02G0 on voit que \(U_n\) est rétrocompact dans \(U\). Le lemme résulte de la définition de la topologie sur \(|X|\) ; comparer à Propriétés des espaces, lemme 04NN et à sa démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Alors \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f\) est de dimension relative \(0\) en tout \(x \in |X|\).

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r]_h \ar[d]_a & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont surjectives et étales ; voir Espaces, lemme 02X1. Les définitions entraînent que \(h\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f\) l’est, et que \(f\) est de dimension relative \(0\) en tout \(x \in |X|\) si et seulement si \(h\) est de dimension relative \(0\) en tout \(u \in U\). Le résultat découle donc du résultat pour \(h\), à savoir Morphismes, lemme 0397.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Alors il existe un sous-espace ouvert canonique \(X' \subset X\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit localement quasi-fini, et tel que la dimension relative de \(f\) en tout \(x \in |X|\), \(x \not \in |X'|\), soit \(\geq 1\). La formation de \(X'\) commute à tout changement de base.

Démonstration

Combiner les lemmes 04NT, 04NV et 04NS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ Y & \Spec(k) \ar[l] }\] où \(X \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) localement de type fini et où \(k\) est un corps sur \(S\). Soit \(z \in |F|\) tel que \(\dim_z(F) = 0\). Alors, après avoir remplacé \(X\) par un sous-espace ouvert contenant \(p(z)\), le morphisme \[X \longrightarrow Y\] est localement quasi-fini.

Démonstration

Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert sur lequel \(f\) est localement quasi-fini, construit dans le lemme 04NW. Comme la formation de \(X'\) commute à tout changement de base, on voit que \(z \in X' \times_Y \Spec(k)\). Le lemme est donc clair.

La formule de dimension

L’analogue de la formule de dimension (Morphismes, lemme 02JU) est un peu délicat à formuler, car il faudrait définir les espaces algébriques intègres (ce que nous ferons plus loin), ainsi que les espaces algébriques universellement caténaires. La version suivante est toutefois immédiate.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Alors \[\begin{align*} & \text{la dimension de l'anneau local de }X\text{ en }x \leq \\ & \text{la dimension de l'anneau local de }Y\text{ en }y + E - \\ & \text{ le degré de transcendance de }x/y \end{align*}\] où \(E\) est le maximum des degrés de transcendance de \(\xi/f(\xi)\), lorsque \(\xi \in |X|\) parcourt les points se spécialisant en \(x\) en lesquels l’anneau local de \(X\) est de dimension \(0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\), un morphisme étale \(V \to Y\) et un point \(v \in V\) s’envoyant sur \(y\). Choisissons un schéma affine \(U\), un morphisme étale \(U \to X \times_Y V\) et un point \(u \in U\) s’envoyant sur \(v\) dans \(V\) et sur \(x\) dans \(X\). En explicitant la définition 04NM et Propriétés des espaces, définition 04NA il faut montrer que \[\dim(\mathcal{O}_{U, u}) \leq \dim(\mathcal{O}_{V, v}) + E - \text{trdeg}_{\kappa(v)}(\kappa(u))\] Soit \(\xi_U \in U\) un point générique d’une composante irréductible de \(U\) contenant \(u\). Alors \(\xi_U\) s’envoie sur un point \(\xi \in |X|\) figurant dans la liste utilisée pour définir la quantité \(E\) et, en fait, chaque \(\xi\) intervenant dans la définition de \(E\) s’obtient ainsi (nous omettons ce petit détail). En particulier, il n’y a qu’un nombre fini de tels \(\xi\), et l’on peut prendre le maximum (c’est donc bien un maximum et non une borne supérieure). Le degré de transcendance de \(\xi\) sur \(f(\xi)\) est \(\text{trdeg}_{\kappa(\xi_V)}(\kappa(\xi_U))\), où \(\xi_V \in V\) est l’image de \(\xi_U\). Le lemme découle donc de Morphismes, lemme 0BAE.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Alors \[\dim(X) \leq \dim(Y) + E\] où \(E\) est la borne supérieure des degrés de transcendance de \(\xi/f(\xi)\), lorsque \(\xi\) parcourt les points en lesquels l’anneau local de \(X\) est de dimension \(0\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0BAX et de Propriétés des espaces, lemme 0BAN.

Morphismes syntomiques

La propriété « syntomique » des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 01UI et Descente, lemme 02VK. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, on peut définir comme suit la notion de morphisme syntomique d’espaces algébriques ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est syntomique si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} =\) « syntomique ».

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est syntomique en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit syntomique.

Lemme

Le composé de morphismes syntomiques est syntomique.

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 01UH.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme syntomique est syntomique.

Démonstration

Voir la remarque 0AMM et Morphismes, lemme 01UI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est syntomique ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est syntomique en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est syntomique ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est syntomique ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit syntomique ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit syntomique ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est syntomique ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit syntomique ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit syntomique.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Un morphisme syntomique est localement de présentation finie.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du cas des schémas (Morphismes, lemme 01UK).

Lemme

Un morphisme syntomique est plat.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du cas des schémas (Morphismes, lemme 01UL).

Lemme

Un morphisme syntomique est universellement ouvert.

Démonstration

Combiner les lemmes 0DEY, 0DEZ et 042S.

Morphismes lisses

La propriété « lisse » des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 01VB et Descente, lemme 02VL. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, on peut définir comme suit la notion de morphisme lisse d’espaces algébriques ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est lisse si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} =\) « lisse ».

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est lisse en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit lisse.

Lemme

Le composé de morphismes lisses est lisse.

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 01VA.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme lisse est lisse.

Démonstration

Voir la remarque 0AMM et Morphismes, lemme 01VB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est lisse en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est lisse ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est lisse ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme lisse ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit lisse ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est lisse ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit lisse ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit lisse.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Un morphisme lisse d’espaces algébriques est localement de présentation finie.

Démonstration

Soit \(X \to Y\) un morphisme lisse d’espaces algébriques. Par définition, cela signifie qu’il existe un diagramme comme dans le lemme 03MJ, où \(h\) est lisse et où \(a\) est une flèche verticale surjective. D’après Morphismes, lemme 01VE \(h\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(X \to Y\) est localement de présentation finie par définition.

Lemme

Un morphisme lisse d’espaces algébriques est localement de type fini.

Démonstration

Combiner les lemmes 04AJ et 0464.

Lemme

Un morphisme lisse d’espaces algébriques est plat.

Démonstration

Soit \(X \to Y\) un morphisme lisse d’espaces algébriques. Par définition, cela signifie qu’il existe un diagramme comme dans le lemme 03MJ, où \(h\) est lisse et où \(a\) est une flèche verticale surjective. D’après Morphismes, lemme 01VE, \(h\) est plat. Ainsi, \(X \to Y\) est plat par définition.

Lemme

Un morphisme lisse d’espaces algébriques est syntomique.

Démonstration

Soit \(X \to Y\) un morphisme lisse d’espaces algébriques. Par définition, cela signifie qu’il existe un diagramme comme dans le lemme 03MJ, où \(h\) est lisse et où \(a\) est une flèche verticale surjective. D’après Morphismes, lemme 01VD \(h\) est syntomique. Ainsi, \(X \to Y\) est syntomique par définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe un plus grand sous-espace ouvert \(U \subset X\) tel que \(f|_U : U \to Y\) soit lisse. De plus, la formation de cet ouvert commute au changement de base par

1. les morphismes plats et localement de présentation finie ;

2. les morphismes plats, pourvu que \(f\) soit localement de présentation finie.

Démonstration

L’existence de \(U\) résulte du fait que la propriété d’être lisse est locale sur la source pour la topologie de Zariski (et même étale) ; voir le lemme 03ZF. De plus, ce lemme permet de ramener les propriétés (1) et (2) au cas des morphismes de schémas. Le cas des schémas est traité dans Morphismes, lemme 02V4. Certains détails sont omis.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques localement noethériens sur un schéma \(S\), et soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse. Pour tout point \(x \in |X|\) d’image \(y \in |Y|\), on a \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y)\] où \(\dim_x(X_y)\) est la dimension relative de \(f\) en \(x\) au sens de la définition 04NM.

Démonstration

Par définition de la dimension d’un espace algébrique en un point (Propriétés des espaces, définition 04N5), on se ramène à l’énoncé correspondant pour les schémas (Morphismes, lemme 0AFF).

Morphismes non ramifiés

La propriété « non ramifié » (resp. « G-non ramifié ») des morphismes de schémas est locale sur la source et le but pour la topologie étale ; voir Descente, remarque 04R3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Morphismes, lemme 02GA et Descente, lemme 02VM. Ainsi, d’après le lemme 03MJ ci-dessus, on peut définir comme suit la notion de morphisme non ramifié (resp. de morphisme G-non ramifié) d’espaces algébriques ; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans la section 03HA lorsque le morphisme est représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. On dit que \(f\) est non ramifié si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} = \text{non ramifié}\).

2. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est non ramifié en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit non ramifié.

3. On dit que \(f\) est G-non ramifié si les conditions équivalentes du lemme 03MJ sont satisfaites pour \(\mathcal{P} = \text{G-non ramifié}\).

4. Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est G-non ramifié en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit G-non ramifié.

En raison du lemme suivant, nous ne développerons désormais que la théorie des morphismes non ramifiés et, chaque fois que nous voudrons utiliser un morphisme G-non ramifié, nous dirons simplement « un morphisme non ramifié localement de présentation finie ».

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est G-non ramifié si et seulement si \(f\) est non ramifié et localement de présentation finie.

Démonstration

Considérons un diagramme quelconque comme dans le lemme 03MJ. L’assertion revient alors à dire que le morphisme \(h\) est G-non ramifié si et seulement s’il est non ramifié et localement de présentation finie. Cela résulte immédiatement de Morphismes, définition 02G4.

Lemme

Le composé de morphismes non ramifiés est non ramifié.

Démonstration

Voir la remarque 0AML et Morphismes, lemme 02G9.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme non ramifié est non ramifié.

Démonstration

Voir la remarque 0AMM et Morphismes, lemme 02GA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est non ramifié en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est non ramifié ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est non ramifié ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme non ramifié ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit non ramifié ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est non ramifiée ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit non ramifiée ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit non ramifié.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Un morphisme non ramifié d’espaces algébriques est localement de type fini.

Démonstration

Au moyen d’un diagramme comme dans le lemme 03MJ, l’assertion se ramène à Morphismes, lemme 02GD.

Lemme

Si \(f\) est non ramifié en \(x\), alors \(f\) est quasi-fini en \(x\). En particulier, un morphisme non ramifié est localement quasi-fini.

Démonstration

Au moyen d’un diagramme comme dans le lemme 03MJ, l’assertion se ramène à Morphismes, lemme 02V5.

Lemme

Une immersion d’espaces algébriques est non ramifiée.

Démonstration

Soit \(i : X \to Y\) une immersion d’espaces algébriques. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Alors \(V \times_Y X \to V\) est une immersion de schémas, donc est non ramifié (voir Morphismes, lemmes 02GB et 02GC). Ainsi, \(i\) est non ramifié par définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Si \(f\) est non ramifié, alors le morphisme diagonal \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) est une immersion ouverte.

2. Si \(f\) est localement de type fini et si \(\Delta_{X/Y}\) est une immersion ouverte, alors \(f\) est non ramifié.

Démonstration

On sait dans tous les cas que \(\Delta_{X/Y}\) est un monomorphisme représentable ; voir le lemme 03HK. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr]_-{\Delta_{U/V}} & & U \times_V U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d]^{\Delta_{V/Y}} \\ X \ar[rr]^-{\Delta_{X/Y}} & & X \times_Y X \ar[r] & V \times_Y V }\] dont le carré de droite est cartésien. La flèche verticale de gauche est étale surjective. La flèche verticale de droite est étale en tant que morphisme entre des schémas étales sur \(Y\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FV. Par conséquent, la flèche verticale du milieu est également étale (mais elle n’est pas nécessairement surjective).

Supposons que \(f\) soit non ramifié. Alors \(U \to V\) est non ramifié, donc \(\Delta_{U/V}\) est une immersion ouverte d’après Morphismes, lemme 02GE. En considérant le carré de gauche du diagramme ci-dessus, on conclut que \(\Delta_{X/Y}\) est un morphisme étale ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FS. Ainsi, \(\Delta_{X/Y}\) est un monomorphisme étale représentable, ce qui implique que c’est une immersion ouverte d’après Ḿorphismes étales, théorème 025G. (Voir aussi Espaces, lemme 02YO pour le passage du langage des schémas à celui des foncteurs.)

Supposons que \(f\) soit localement de type fini et que \(\Delta_{X/Y}\) soit une immersion ouverte. Cela implique que \(U \to V\) est aussi localement de type fini (par définition d’un morphisme d’espaces algébriques qui est localement de type fini). En considérant le diagramme ci-dessus, on conclut que \(\Delta_{U/V}\) est étale en tant que morphisme entre des schémas étales sur \(X \times_Y X\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 03FV. Mais, puisque \(\Delta_{U/V}\) est la diagonale d’un morphisme entre schémas, on voit que c’est en tout cas une immersion ; voir Schémas, lemme 01KJ. Il s’agit donc d’une immersion ouverte, et l’on conclut que \(U \to V\) est non ramifié d’après Morphismes, lemme 02GE. Cela signifie à son tour que \(f\) est non ramifié par définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[ld]^q \\ & Z }\] d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X \to Z\) soit localement de type fini. Alors il existe un sous-espace ouvert \(U(f) \subset X\) tel que \(|U(f)| \subset |X|\) soit l’ensemble des points où \(f\) est non ramifié. De plus, pour tout morphisme d’espaces algébriques \(Z' \to Z\), si \(f' : X' \to Y'\) est le changement de base de \(f\) par \(Z' \to Z\), alors \(U(f')\) est l’image inverse de \(U(f)\) par la projection \(X' \to X\).

Démonstration

Ce lemme est l’analogue de Morphismes, lemme 0475 et nous allons en fait l’en déduire. D’après la définition 03ZH, l’ensemble \(\{x \in |X| : f \text{ est non ramifié en }x\}\) est ouvert dans \(X\). Il suffit donc de démontrer la dernière assertion. D’après le lemme 0462, le morphisme \(X \to Y\) est localement de type fini. D’après le lemme 03XH, le morphisme \(X' \to Y'\) est localement de type fini.

Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Z\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to W \times_Z Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Enfin, choisissons un schéma \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to W \times_Z Z'\). Posons \(V' = W' \times_W V\) et \(U' = W' \times_W U\) ; on obtient ainsi des morphismes étales surjectifs \(V' \to Y'\) et \(U' \to X'\). Nous utiliserons sans autre commentaire le fait qu’un morphisme étale d’espaces algébriques induit une application ouverte entre les espaces topologiques associés (voir Propriétés des espaces, lemme 03IR). Combiné avec le lemme 03ZK, cela implique que \(U(f)\) est l’image dans \(|X|\) de l’ensemble \(T\) des points de \(U\) où le morphisme \(U \to V\) est non ramifié. De même, \(U(f')\) est l’image dans \(|X'|\) de l’ensemble \(T'\) des points de \(U'\) où le morphisme \(U' \to V'\) est non ramifié. Or, par construction, le diagramme \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] est cartésien (dans la catégorie des schémas). Le lemme précité Morphismes, lemme 0475 montre donc que \(T'\) est l’image inverse de \(T\). Puisque \(|U'| \to |X'|\) est surjective, cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X \to Z\) est non ramifié, alors \(X \to Y\) est non ramifié.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] dont les flèches verticales sont étales et surjectives. (Voir Espaces, lemme 02X1.) Appliquer Morphismes, lemme 02GG à la ligne supérieure.

Morphismes étales

La notion de morphisme étale d’espaces algébriques a été définie dans Propriétés des espaces, définition 03FR. Voici ce que signifie, pour un morphisme, être étale en un point.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). On dit que \(f\) est étale en \(x\) s’il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_{X'} : X' \to Y\) soit étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est étale ;

2. pour tout \(x \in |X|\), le morphisme \(f\) est étale en \(x\) ;

3. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est étale ;

4. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est étale ;

5. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(V \times_Y X \to V\) soit un morphisme étale ;

6. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tels que le composé \(f \circ \varphi\) soit étale ;

7. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, la flèche horizontale supérieure est étale ;

8. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et où \(U \to X\) est surjectif, tel que la flèche horizontale supérieure soit étale ;

9. il existe des recouvrements de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) et \(f^{-1}(Y_i) = \bigcup X_{ij}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) soit étale.

Démonstration

Combiner Propriétés des espaces, lemmes 03FS, 03FU et 03FT. Certains détails sont omis.

Lemme

Le composé de deux morphismes étales d’espaces algébriques est étale.

Démonstration

Il s’agit d’une reprise de Propriétés des espaces, lemme 03FT.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme étale d’espaces algébriques par un morphisme quelconque d’espaces algébriques est étale.

Démonstration

Il s’agit d’une reprise de Propriétés des espaces, lemme 03FU.

Lemme

Un morphisme étale d’espaces algébriques est localement quasi-fini.

Démonstration

Soit \(X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques ; voir Propriétés des espaces, définition 03FR. D’après Propriétés des espaces, lemme 03FS on voit que cela signifie qu’il existe un diagramme comme dans le lemme 03MJ, où \(h\) est étale et où \(a\) est une flèche verticale surjective. D’après Morphismes, lemme 03WS \(h\) est localement quasi-fini. Ainsi, \(X \to Y\) est localement quasi-fini par définition.

Lemme

Un morphisme étale d’espaces algébriques est lisse.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 03XU. Elle utilise le fait qu’un morphisme étale de schémas est lisse (par définition d’un morphisme étale de schémas).

Lemme

Un morphisme étale d’espaces algébriques est plat.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 03XU. Elle utilise Morphismes, lemme 02GS.

Lemme

Un morphisme étale d’espaces algébriques est localement de présentation finie.