Introduction
Il s’agit essentiellement d’une liste de sujets que nous souhaitons ajouter au projet Champs. Comme nous enrichissons continuellement le projet Champs, cette liste reste toujours quelque peu en retard sur l’état actuel du projet Champs. En fait, c’était peut-être une erreur de tenter d’énumérer les sujets à ajouter, car il semble impossible de la tenir à jour.
Dernière mise à jour : jeudi 31 août 2017.
Conventions
Nous devrions consacrer un chapitre à une courte liste des conventions employées dans ce document. Ce chapitre existe déjà, voir Conventions, section 0003, mais on pourrait y ajouter bien davantage. Il serait particulièrement utile de repérer les conventions “cachées” et les hypothèses tacites, puis de les y consigner.
Sites et topos
Nous disposons d’un chapitre consacré aux sites et aux faisceaux, voir Sites, section 00V0. Nous disposons d’un chapitre consacré aux sites annelés (et aux topos) et aux modules sur ceux-ci, voir Modules sur les sites, section 03A5. Nous disposons d’un chapitre consacré à la cohomologie dans ce cadre, voir Cohomologie sur les sites, section 01FR. Mais on pourrait y ajouter bien davantage, surtout dans le chapitre consacré à la cohomologie.
Champs
Nous disposons d’un chapitre consacré aux champs (abstraits), voir Champs, section 0267. Il serait souhaitable :
d’améliorer la présentation de la “champification”,
de donner des exemples de champification,
de donner davantage d’exemples en général,
d’améliorer la présentation des gerbes.
Voici un exemple de résultat qui n’a pas encore été ajouté : étant donné un faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), l’ensemble des classes d’équivalence de gerbes de lien \(\mathcal{F}\) est en bijection avec \(H^2(\mathcal{C}, \mathcal{F})\).
Méthodes simpliciales
Nous disposons d’un chapitre consacré aux méthodes simpliciales, voir Objets simpliciaux, section 0163. Il doit être revu et amélioré. La présentation des rapports entre l’homotopie simpliciale (également appelée homotopie combinatoire) et les complexes de Kan devrait être améliorée. Il existe un chapitre consacré aux espaces simpliciaux, voir Espaces simpliciaux, section 09VJ. Ce chapitre traite brièvement des espaces topologiques simpliciaux, des sites simpliciaux et des topos simpliciaux. Nous pouvons développer davantage la “géométrie algébrique simpliciale” afin d’étudier les schémas simpliciaux (ou les espaces algébriques simpliciaux, ou les champs algébriques simpliciaux) et les questions géométriques, leur cohomologie, etc.
Cohomologie des schémas
Il existe déjà un chapitre consacré à la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents, voir Cohomologie des schémas, section 01X7. Nous disposons d’un chapitre qui traite de la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents sur un schéma, voir Catégories dérivées des schémas, section 08CV. Nous disposons d’un chapitre consacré à la dualité pour les schémas noethériens et à la dualité relative pour les morphismes de schémas, voir Dualité pour les schémas, section 0DWF. Nous avons également des chapitres sur la cohomologie étale des schémas et sur la cohomologie cristalline des schémas. Mais la majeure partie du contenu de ces chapitres est très élémentaire, et on pourrait/devrait y ajouter beaucoup.
Théorie des déformations à la Schlessinger
Nous disposons d’un chapitre consacré à cette matière, voir Théorie formelle des déformations, section 06G8. Nous disposons d’un chapitre qui présente des exemples de la théorie générale, voir Problèmes de déformation, section 0DVL. Nous disposons d’un chapitre, voir Théorie des déformations, section 08KX, qui traite des déformations d’anneaux (et de modules), des déformations d’espaces annelés (et de faisceaux de modules), des déformations de topos annelés (et de faisceaux de modules). Dans ce chapitre, nous employons le complexe cotangent naïf pour décrire les obstructions, les déformations du premier ordre et les automorphismes infinitésimaux. Cette matière a trouvé quelques applications à l’algébricité des champs de modules dans des chapitres ultérieurs. Il existe également un chapitre consacré au complexe cotangent complet, voir Complexe cotangent, section 08P6.
Définition des champs algébriques
Un champ algébrique est un champ en groupoïdes sur la catégorie des schémas munie de la topologie fppf, dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques et qui est la cible d’un morphisme lisse surjectif provenant d’un schéma. Voir Champs algébriques, section 026N. Un “champ de Deligne–Mumford” est un champ algébrique pour lequel il existe un schéma et un morphisme étale surjectif de ce schéma vers le champ, comme dans l’article [DM] de Deligne et Mumford, voir Champs algébriques, Définition 03YO. Nous réserverons l’expression “champ d’Artin” aux champs considérés dans les articles d’Artin, voir [ArtinI], [ArtinII] et [ArtinVersal]. Une définition possible consiste à demander qu’un champ d’Artin soit un champ algébrique \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma localement noethérien \(S\) tel que \(\mathcal{X} \to S\) soit localement de type fini1.
Exemples de schémas, d’espaces algébriques et de champs algébriques
Le projet Champs contient actuellement deux chapitres consacrés aux champs de modules et à leurs propriétés, voir Champs de modules, section 0DLU et Modules des courbes, section 0DMH. À terme, nous comptons en ajouter d’autres, par exemple :
\(\mathcal{A}_g\), c’est-à-dire les schémas abéliens principalement polarisés de genre \(g\),
\(\mathcal{A}_1 = \mathcal{M}_{1, 1}\), c’est-à-dire les courbes projectives lisses de genre \(1\) à \(1\) point marqué,
\(\mathcal{M}_{g, n}\), c’est-à-dire les courbes projectives lisses de genre \(g\) munies de \(n\) points marqués deux à deux distincts,
\(\overline{\mathcal{M}}_{g, n}\), c’est-à-dire les courbes projectives nodales stables à \(n\) points marqués, de genre \(g\),
\(\SheafHom_S(\mathcal{X}, \mathcal{Y})\), le champ de modules des morphismes (sous des conditions appropriées sur les champs \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et le schéma de base \(S\)),
\(\textit{Bun}_G(X) = \SheafHom_S(X, BG)\), le champ des torseurs sous \(G\) du programme de Langlands géométrique (sous des conditions appropriées sur le schéma \(X\), le schéma en groupes \(G\) et le schéma de base \(S\)),
\(\Picardstack_{\mathcal{X}/S}\), c’est-à-dire le champ de Picard associé à un champ algébrique sur un schéma (ou espace) de base.
Plus généralement, le projet Champs manque quelque peu d’exemples significatifs du point de vue géométrique.
Propriétés des champs algébriques
C’est peut-être l’un des projets les plus faciles à entreprendre, puisque l’essentiel de la théorie élémentaire est maintenant en place. Bien entendu, il s’agit en réalité de propriétés de morphismes de champs. Nous pouvons définir des singularités (à des facteurs lisses près), etc. Démontrer qu’un champ normal connexe est irréductible, etc.
Site lisse-étale d’un champ algébrique
Il a été introduit dans Cohomologie des champs, section 0786. Un exemple montrant qu’il n’est pas fonctoriel par rapport aux \(1\)-morphismes de champs algébriques est étudié dans Exemples, section 07BF. On pourrait bien sûr en dire beaucoup plus, mais il s’avère très utile de démontrer les résultats à l’aide du “grand” site étale dans toute la mesure du possible.
Ce que vous avez toujours voulu savoir sans jamais oser le demander
Il y aura beaucoup de lemmes utiles que l’on emploie sans cesse, mais qui ne sont pas vraiment énoncés explicitement dans la littérature, ou pour lesquels il n’est pas aisé de trouver des références. Une boîte à outils.
Exemple : étant donnés deux groupoïdes en schémas \(R\Rightarrow U\) et \(R' \Rightarrow U'\), comment exprimer un \(1\)-morphisme \([U/R] \to [U'/R']\) uniquement en termes de groupoïdes en schémas ?
Faisceaux quasi-cohérents sur les champs
Ils sont définis et étudiés dans le chapitre Cohomologie des champs, section 073Q. Les catégories dérivées de modules sont étudiées dans le chapitre Catégories dérivées des champs, section 08MX. On pourrait enrichir considérablement ces chapitres.
Plat et lisse
Le théorème d’Artin, selon lequel l’existence d’un morphisme plat surjectif dont la source est un schéma peut se substituer à la condition d’existence d’un morphisme lisse surjectif, est désormais établi dans Critères de représentabilité, Théorème 06DC.
Théorème de représentabilité d’Artin
Ce sujet est traité dans le chapitre Axiomes d’Artin, section 07T0. Nous disposons également d’une application, voir Quot, Théorème 08WC. Il devrait y avoir bien davantage d’applications, et le chapitre lui-même doit également être remanié.
Les champs DM admettent des morphismes finis surjectifs provenant de schémas
Nous disposons déjà du résultat correspondant pour les espaces algébriques, voir Limites d’espaces, section 0ACX. Il manque le résultat pour les champs DM et quasi-DM.
Article de Martin Olsson sur la propreté
Cet article démontre que deux notions de propreté coïncident. La première partie de ce résultat est désormais disponible sous la forme du lemme de Chow pour les champs algébriques, voir Compléments sur les morphismes de champs, Théorème 0CQ8. Il en résulte que, dans certains cas, il suffit de recourir aux anneaux de valuation discrète pour vérifier le critère valuatif de propreté des champs algébriques; voir Compléments sur les morphismes de champs, section 0CQL.
Image directe de faisceaux cohérents par un morphisme propre
Nous pouvons maintenant commencer à étudier cette question, puisque nous disposons du lemme de Chow pour les champs algébriques; voir la section précédente.
Keel et Mori
Voir [K-M]. Leur résultat a été ajouté dans Compléments sur les morphismes de champs, section 0DUK.
Ajouter d’autres sujets ici
En réalité, non : nous n’aurions jamais dû commencer cette liste dans le projet Champs lui-même ! Il existe ailleurs une liste de tâches qui est bien plus facile à mettre à jour.